A. Eksponen 1. Bentuk Eksponen dengan Pangkat Bulat a. Definisi Eksponen : 𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 … × 𝑎 𝑛 kali b. Sifat-sifat eksponen : (1) 𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 (2)
𝑎𝑚 𝑎𝑛
(4) (𝑎 × 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 × 𝑏 𝑛 𝑎 𝑛
= 𝑎𝑚−𝑛
𝑎𝑛
(5) (𝑏) = 𝑏𝑛
(3) (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚𝑛 Bukti dengan contoh : 01. 54 × 52 = (5 × 5 × 5 ×
= 66
5 × 5) × 04. (5 × 4)3 = (5 × 4)
(5 × 5)
(5 × 4)(5 × 4)
=5×5×5×5×
= (5 × 5 × 5) ×
5×5 = 56 45
02. 43 =
(4 × 4 × 4) = 53 × 43
4×4×4×4×4 4×4×4
=4×4
2 4
2
2
2
2
05. (5) = 5 × 5 × 5 × 5
= 42
2×2×2×2
= 5×5×5×5
03. (63 )2 = (63 ) × (63 )
24
= 24
= (6 × 6 × 6) × (6 × 6 × 6)
Jika a adalah bilangan real selain nol, maka nilai 𝑎0 didapatkan dengan cara : 𝑎𝑛
𝑎0 = 𝑎𝑛−𝑛 = 𝑎𝑛 = 1 jadi 𝑎0 = 1. Sedangkan pangkat bulat negatif didapat dari proses kebalikan bilangan, yakni : 1
Jika 𝑎 adalah bilangan real selain nol, maka kebalikan dari 𝑎 adalah 𝑎 dan sebaliknya. 𝑎0
1
Sehingga kita dapatkan : 𝑎−1 = 𝑎0−1 = 𝑎1 = 𝑎. Jadi 𝑎−1 adalah kebalikan dari 𝑎 dan 1
1
𝑎
𝑎𝑛
ditulis 𝑎−1 = . Demikian pula kebalikan dari 𝑎𝑛 adalah
. Sehingga kita tulis
1
𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛. Sifat-sifat pemangkatan pada pangkat bulat positif berlaku pula pada pangkat negatif dan nol. Namun terdapat beberapa sifat tambahan, yakni : 𝑎 −𝑛
(1) [𝑏]
𝑏𝑛
= 𝑎𝑛
(2)
𝑏 −𝑛 𝑎−𝑛
=
𝑏𝑚 𝑎𝑛
2. Fungsi Eksponen Fungsi eksponen dapat dinyatakan dengan : 𝑓(𝑥) = 𝑛 × 𝑎 𝑥 dimana 𝑎 adalah bilangan pokok, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑛 adalah bilangan real tak nol dan 𝑥 adalah sebarang bilangan real. Langkah-langkah melukis grafik fungsi eksponen 1. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu 𝑦 (syarat : 𝑥 = 0) 2. Menentukan titik-titik bantu dengan menggunakan daftar 3. Menggambar grafik
a. Fungsi Pertumbuhan Eksponen Pertumbuhan di sini adalah penambahan jumlah/kandungan objek tertentu yang teratur setiap fasenya dengan mengikuti barisan geometri. Fungsi pertumbuhan eksponen dituliskan dengan : 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 dengan 𝑎 > 1 Pertumbuhan dikatakan eksponen jika setiap periodenya menghasilkan selisih nilai yang memenuhi grafik fungsi eksponen. Pertumbuhan eksponen dinyatakan sebagai berikut : 𝑃𝑛 = 𝑃0 (1 + 𝑖)𝑛 Dengan : 𝑃𝑛 = Jumlah/kandungan objek pada saat fase ke-𝑛 𝑃0 = Jumlah/kandungan objek mula-mula 𝑖 = Persentase pertumbuhan 𝑛 = Periode
b. Fungsi Peluruhan Eksponen Peluruhan adalah berkurangnya jumlah/kandungan objek. Objek yang dimaksud di sini biasanya berupa : penduduk, luas tanah, harga barang, mikroorganisme, zat kimia, dan lain sebagainya. Fungsi peluruhan eksponen dituliskan dengan : 𝑓(𝑥) = 𝑛 × 𝑎 𝑥 dengan 0 < 𝑎 < 1, 𝑛 bilangan real tak nol, 𝑥 adalah sebarang bilangan real Peluruhan dikatakan eksponen jika setiap periodenya menghasilkan selisih nilai yang memenuhi grafik fungsi eksponen. Peluruhan eksponen dinyatakan sebagai berikut : 𝑃𝑛 = 𝑃0 (1 − 𝑖)𝑛 Dengan : 𝑃𝑛 = Jumlah/kandungan objek pada saat fase ke-𝑛 𝑃0 = Jumlah/kandungan objek mula-mula 𝑖 = Persentase peluruhan 𝑛 = Periode Salah satu contoh fungsi peluruhan yang cukup dikenal dalam sains adalah peluruhan zat radioaktif. Karena zat radioaktif meluruh menjadi zat lain, jumlah zat akan berkurang seiring dengan berjalannya waktu. Jumlah zat radioaktif sebanding dengan aktivitas radiasi (besaran yang diukur) sehingga dengan berlalunya waktu, aktivitas radiasi juga akan berkurang. Misalkan pada saat awal (𝑡 = 0), suatu zat radioaktif memiliki massa 𝑁0 , maka massa ini akan berkurang mengikuti fungsi eksponensial terhadap waktu. Peluruhan zat radioaktif (radioactive decay mode) umumnya menggunakan waktu paruh, yaitu waktu yang diperlukan oleh suatu zat radioaktif untuk meluruh sehingga massanya menjadi setengah (separuh) kali massa mula-mula. Hubungan massa mula-mula, sisa massa setelah peluruhan, dan waktu paruh dinyatakan oleh 1
rumus barisan geometri dengan suku pertama 𝑎 = 𝑁0 dan rasio 𝑟 = 2, yaitu : 1 𝑛
𝑡
𝑁 = 𝑁0 (2) dengan 𝑛 = 𝑇 1⁄2 Keterangan : 𝑁 = Banyaknya zat radioaktif yang tersisa 𝑁0 = Banyaknya zat radioaktif mula-mula
𝑡 = lamanya peluruhan 𝑇 1⁄2 = Waktu paruh
3. Bentuk Akar a. Hubungan bilangan pangkat dan akar Bentuk pangkat pecahan dapat diartikan sebagai bentuk lain dari penarikan akar. Dimana untuk 𝑚 dan 𝑛 bilangan bulat dan 𝑛 ≠ 1, 𝑛 > 0 berlaku : 𝑚
𝑛
𝑚
𝑚
𝑛
𝑎 𝑛 = ( √𝑎) atau 𝑎 𝑛 = √𝑎𝑚 Sifat-sifat yang berlaku pada pangkat bulat, berlaku pula pada pangkat pecahan, yakni : (1) 𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 (2) [𝑎𝑚 ]𝑛 = 𝑎𝑚𝑛 𝑎 𝑛
𝑎−𝑛 𝑏 −𝑛
=
𝑎𝑚 𝑎𝑛
= 𝑎𝑚−𝑛
(6) (𝑎. 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 . 𝑏 𝑛
𝑎𝑛
𝑎 −𝑛
(3) [𝑏] = 𝑏𝑛 (4)
(5)
(7) [𝑏]
𝑏𝑚
𝑏𝑛
= 𝑎𝑛
𝑎𝑛
b. Merasionalkan Bentuk Akar Untuk memudahkan penggunaan bentuk akar dalam operasi aljabar, bentuk akar harus ditulis dalam bentuk paling rasional (sederhana). Cara merasionalkan bentuk akar harus memenuhi syarat-syarat sebagai berikut : (1) Pangkat pada faktor bilangan pokok, harus kurang dari indeks akarnya. Contoh : √𝑥; 𝑥 ≥ 0 → bentuk sederhana karena pangkat faktor bilangan pokoknya (𝑥) = 1, nilainya kurang dari indeks akarnya. √𝑥 5 → bukan bentuk sederhana karena pangkat faktor bilangan pokoknya (𝑥) = 5, nilainya lebih besar dari indeks akarnya. (2) Tidak ada bentuk akar di bagian penyebutnya. Contoh : √𝑥 𝑥 1 √𝑥
→ bentuk sederhana. → bukan bentuk sederhana karena terdapat akar di bagian penyebut.
(3) Di dalam akar, tidak memuat bilangan pecahan.
√5 2
→ bentuk sederhana.
5
√ → bukan bentuk sederhana karena di dalam akar memuat bilangan 2
pecahan. Jika menemukan bentuk berikut, sederhanakan dengan mengkalikan bilangan pecahan tersebut dengan bentuk akar yang sekawan dari penyebutnya. Bentuk akar sekawan itu berarti bentuk akarnya sama, cuma beda tanda operasinya aja. Terdapat tiga cara merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar.
(1) Pecahan bentuk
𝑎 √𝑏
Bila dirasionalkan dengan mengalikan bentuk sekawan akar penyebutnya. Penyebutnya itu √𝑏, berarti bentuk sekawannya juga √𝑏. Sehingga,
𝑎
=
√𝑏
(2) Pecahan bentuk
𝑎
×
√𝑏
√𝑏 √𝑏
=
𝑎√𝑏 √𝑏
𝑎 𝑏+√𝑐
Bila dirasionalkan dengan mengalikan bentuk sekawan akar pernyebutnya. Penyebutnya itu 𝑏 + √𝑐, berarti bentuk sekawannya sama, cuma beda tanda operasinya aja, yaitu 𝑏 − √𝑐. Sehingga,
𝑎 𝑏+√𝑐
(3) Pecahan bentuk
=
𝑎 𝑏+√𝑐
×
𝑏−√𝑐 𝑏−√𝑐
=
𝑎(𝑏−√𝑐) 𝑏2 −𝑐
𝑎 √𝑏+√𝑐
Bila dirasionalkan dengan mengkalikan bentuk sekawan akar penyebutnya. Penyebutnya itu √𝑏 + √𝑐, berarti bentuk sekawannya sama, cuma beda tanda operasinya aja, yaitu √𝑏 − √𝑐. Sehingga,
𝑎 √𝑏+√𝑐
=
𝑎 √𝑏+√𝑐
×
√𝑏−√𝑐 √𝑏−√𝑐
=
𝑎(√𝑏−√𝑐) 𝑏−𝑐
B. Logaritma 1. Definisi Logaritma Pengertian sederhana dari logaritma dimulai dari bentuk pangkat. Telah diketahui bahwa bentuk umum dari bilangan berpangkat adalah 𝑎𝑛 , dimana 𝑎 dinamakan bilangan pokok dan 𝑛 dinamakan pangkat. Sebagai contoh : 23 = 8 161⁄2 = 4 Tetapi jika persoalannya dibalik, misalnya 3𝑥 = 9 berarti nilai 𝑥 ? 25𝑦 = 5 berarti nilai 𝑦 ? Untuk persoalan diatas tentu mudah ditebak bahwa 𝑥 = 2 dan 𝑦 = 1⁄2. Namun untuk masalah yang lebih rumit nilai 𝑥 dan 𝑦 dapat ditentukan dengan aturan logaritma, yaitu misalkan 𝑏 adalah bilangan positip dan 𝑎 adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1, maka : 𝑎
log 𝑏 = 𝑐 Jika dan hanya jika 𝑏 = 𝑎𝑐
Dimana 𝑎 dinamakan bilangan pokok atau basis, 𝑏 dinamakan numerus dan 𝑐 adalah hasil logaritma. Jika 𝑎 = 𝑒(𝑒 = 2,7128 … ) maka 𝑒log 𝑏 ditulis ln 𝑏 (dibaca : logaritma natural dari 𝑏), yaitu logaritma dengan bilangan pokok 𝑒.
2. Sifat-sifat logaritma •
Sifat 1 Jika 𝑎 adalah bilangan real positif yang tidak sama dengan 1, maka : 𝑎
log 𝑎 = 1
Bukti : Misalkan : 𝑎log 𝑎 = 𝑥 maka 𝑎 = 𝑎 𝑥 artinya 𝑎1 = 𝑎 𝑥 jadi 𝑥 = 1 •
Sifat 2 Jika 𝑝 dan 𝑞 adalah bilangan real positif dan 𝑎 adalah bilangan real positif yang tidak sama dengan 1, maka : 𝑎
log 𝑝. 𝑞 = 𝑎log 𝑝 + 𝑎log 𝑞
Bukti : Misalkan 𝑎log 𝑝 = 𝑥 maka 𝑝 = 𝑎 𝑥 …………………….. (1) 𝑎
log 𝑞 = 𝑦 maka 𝑞 = 𝑎 𝑦 ……………………..(2)
Sehingga 𝑝. 𝑞 = 𝑎 𝑥 . 𝑎 𝑦 𝑝. 𝑞 = 𝑎 𝑥+𝑦 Menurut pengertian logaritma, diperoleh 𝑥 + 𝑦 = 𝑎log 𝑝. 𝑞 𝑎
•
log 𝑝 + 𝑎log 𝑞 = 𝑎log 𝑝. 𝑞
(terbukti)
Sifat 3 Jika 𝑝 dan 𝑞 adalah bilangan real positif dan 𝑎 adalah bilangan real positif yang tidak sama dengan 1, maka : 𝑎
log
𝑝 𝑎 = log 𝑝 − 𝑎log 𝑞 𝑞
Bukti : Misalkan 𝑎log 𝑝 = 𝑥 maka 𝑝 = 𝑎 𝑥 …………………….. (1) 𝑎
log 𝑞 = 𝑦 maka 𝑞 = 𝑎 𝑦 ……………………..(2)
𝑝
𝑎𝑥
𝑝
= 𝑎 𝑥−𝑦
Sehingga 𝑞 = 𝑎𝑦 𝑞
𝑝
Menurut pengertian logaritma, diperoleh 𝑥 − 𝑦 = 𝑎log 𝑞 𝑎
•
𝑝
log 𝑝 − 𝑎log 𝑞 = 𝑎log 𝑞
(terbukti)
Sifat 4 Jika 𝑝 adalah bilangan real positif dan 𝑎 adalah bilangan real positif yang tidak sama dengan 1 serta 𝑛 adalah bilangan real sembarang, maka : 𝑎
log 𝑝𝑛 = 𝑛. 𝑎log 𝑝
Bukti : 𝑎
log 𝑝𝑛 = 𝑎log(𝑝 × 𝑝 × 𝑝 × 𝑝 × … … × 𝑝 × 𝑝 × 𝑝) 𝑝 muncul sebanyak 𝑛 kali = 𝑎log 𝑝 + 𝑎log 𝑝 + 𝑎log 𝑝 + 𝑎log 𝑝 + … + 𝑎log 𝑝 + 𝑎log 𝑝 𝑎
= 𝑛. 𝑎log 𝑝
log 𝑝 muncul sebanyak 𝑛 kali
•
Sifat 5 Jika 𝑏 adalah bilangan real positif serta 𝑎 dan 𝑛 adalah bilangan real positif yang tidak sama dengan 1, maka : 𝑛 𝑎
log 𝑏 =
log 𝑏
𝑛log 𝑎
Bukti : Misalkan : 𝑎log 𝑏 = 𝑥 maka 𝑏 = 𝑎 𝑥 ……………………..(1) Jika kedua ruas pada persamaan (1) dilogaritmakan dengan basis 𝑛, maka : 𝑝
log 𝑏 = 𝑝log 𝑎 𝑥
𝑝
log 𝑏 = 𝑥. 𝑝log 𝑎
𝑝log 𝑏
𝑝log 𝑎 = 𝑥
•
jadi
𝑎
log 𝑏 =
𝑛log 𝑏
(terbukti)
𝑛log 𝑎
Sifat 6 Jika 𝑎 dan 𝑏 adalah bilangan real yang tidak sama dengan 1, maka 𝑎
log 𝑏 =
1 𝑏log 𝑎
Bukti : Menurut sifat (4) berlaku 𝑎log 𝑏 =
𝑛log 𝑏 𝑛log 𝑎
Sehingga misalkan 𝑛 = 𝑏, maka diperoleh 𝑎log 𝑏 = 𝑎
•
log 𝑏 =
𝑏log 𝑏 𝑏log 𝑎
1 𝑏log 𝑎
(terbukti)
Sifat 7 Jika 𝑐 adalah bilangan real positif serta 𝑎 dan 𝑏 adalah bilangan real positif yang tidak sama dengan 1, maka : 𝑎
log 𝑏 . 𝑏log 𝑐 = 𝑎log 𝑐
Bukti : 𝑎
𝑛
log 𝑏 𝑛log 𝑐 log 𝑏 . log 𝑐 = 𝑛 . log 𝑎 𝑛log 𝑏
𝑎
log 𝑏 . 𝑏log 𝑐 =
𝑏
𝑛
𝑎
log 𝑐
𝑛log 𝑎
log 𝑏 . 𝑏log 𝑐 = 𝑎log 𝑐
(terbukti)
•
Sifat 8 Jika 𝑏 adalah bilangan real positif dan 𝑎 adalah bilangan real positif yang tidak sama dengan 1 serta 𝑛 dan 𝑚 adalah bilangan real sembarang, maka : 𝑎𝑛
log 𝑏 𝑚 =
𝑚𝑎 log 𝑏 𝑛
dan
𝑎𝑛
log 𝑏 𝑛 = 𝑎log 𝑏
Bukti : 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛
log 𝑏 𝑚 = log 𝑏 𝑚 = log 𝑏 𝑚 =
𝑛log 𝑏 𝑚 𝑛log 𝑎𝑛
𝑚 𝑛log 𝑏 𝑛 𝑛log 𝑎 𝑚 𝑎 . log 𝑏 𝑛
(terbukti)
𝑛
𝑛
Jika 𝑛 = 𝑚, maka 𝑎 log 𝑏 𝑛 = 𝑛 𝑎log 𝑏 = 𝑎log 𝑏 •
Sifat 9 Jika 𝑏 adalah bilangan real positif serta 𝑎 adalah bilangan real positif yang tidak sama dengan 1, maka : 𝑎
𝑎log 𝑏
=𝑏
Bukti : Misalkan : 𝑎log 𝑏 = 𝑥……………………..(1) 𝑏 = 𝑎𝑥
Maka
Jika kedua ruas pada persamaan (1) dipangkatkan dengan bilangan pokok 𝑎, maka
𝑎 𝑎
𝑎log 𝑏 𝑎log 𝑏
= 𝑎𝑥 =𝑏
(terbukti)
3. Aplikasi logaritma dalam Kehidupan Sehari-hari Logaritma dalam kehidupan sehari-hari akan terbagi menjadi beberapa aspek sebagai berikut : •
Dalam matematika Logaritma memang dipelajari dalam ilmu matematika, fungsinya yaitu digunakan untuk memecahkan sistem persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Selain itu manfaat lainnya berkaitan dalam matematika yaitu turunannya mudah dicari, karena
hal itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari penyelesaian masalah materi integral. •
Dalam Biologi Logaritma digunakan untuk mengukur laju pertumbuhan penduduk.
•
Dalam Psikologi Logaritma dimanfaatkan untuk menggambarkan pertumbuhan dan perkembangan manusia dan organisasi atau dalam menentukan jenis pendidikan dan SDM Karyawan.
•
Dalam Ilmu Ekonomi materi logaritma juga digunakan saat kalian mencari bunga majemuk.