A. Baris dan Deret Aritmatika 1. Baris Aritmatika Baris bilangan merupakan urutan bilangan-bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu. Suatu barisan dikatakan sebagai barisan aritmatika jika selisih antara dia suku yang berturutan selalu tetap. Bilangan (Selisih) tetap disebut sebagai beda. Biasanya diberi simbol (b) . Barisan bilangan jika diubah ke bentuk notasi adalah U1, U2, U3, …Un-1, Un, sedangkan apabila diubah kedalam bentuk barisan aritmatika harus memenuhi hubungan sebagai berikut : U2 – U1 = U3 – U2 = … = Un – Un-1 Sebagai contoh barisan 1,3,5,7,9 merupakan barisan aritmatika dengan nilai : b = (9 − 7) = (7 − 5) = (5 − 3) = (3 − 1) = 2 Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-n dan selisih antar suku yang berdekatan (b). rumusnya sebagai berikut : 𝑈𝑛 = 𝑈𝑘 + (𝑛 − 𝑘)𝑏 Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama 𝑈𝑘 = 𝑎 dan selisih antar sukunya (b), maka nilai 𝑘 = 1 dan nilai 𝑈𝑛 adalah : 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 2. Deter Aritmatika Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari barisan aritmatika. Penjumlahan dari suku-suku pertama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung sebagai berikut : 𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + … + 𝑈(𝑛−1) Atau sebagai : 𝑆𝑛 + 𝑎 + (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + 2𝑏) + … + (𝑎 + (𝑛 − 2)𝑏) + (𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) Jika hanya diketahui nilai a adalah suku pertama dan nilai adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah : 𝑆𝑛 =
𝑛 (𝑎 + 𝑈𝑛 ) 2
B. Barisan dan Deret Geometri 1. Barisan Geometri Barisan geometri adalah barisan yang memiliki perbandingan antara suku terdekat adalah sama. Perbandingan tersebut dikatakan rasio (r). sehingga : 𝑈𝑛 𝑈(𝑛−1)
=𝑟
Sebagai contoh barisan 1,2,4,8,16 merupakan barisan geometri dengan nilai : 𝑟=
16 8 4 2 = = = 8 4 2 1
Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-n dan rasio antar suku yang berdekatan (r). Rumusnya berikut ini : 𝑈𝑛 = 𝑈𝑘 . 𝑟 (𝑛−𝑘) Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama 𝑈𝑘 = 𝑎 dan rasio antar sukunya (r), maka nilai 𝑘 = 1 dan nilai 𝑈𝑛 adalah : 𝑈𝑛 = 𝑎. 𝑟 (𝑛−1) 2. Deret Geometri Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Penjumlahan dari suku-suku pertama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitug sebagai : 𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + … + 𝑈(𝑛−1) + 𝑈𝑛 Atau sebagai : 𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + 𝑎𝑟 3 + … + 𝑎𝑟 (𝑛−2) + 𝑎𝑟 (𝑛−1) Jika hanya diketahui nilai a adalah suku pertama dan nilai 𝑈𝑛 adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah : (1 − 𝑟 𝑛 ) 𝑆𝑛 = 𝑎 (1 − 𝑟) Dengan syarat 0 < 𝑟 < 1 Atau : (𝑟 𝑛 − 1) 𝑆𝑛 = 𝑎 (𝑟 − 1) Dengan syarat 𝑟 > 1 Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari suku ke-n. Cara memperoleh sama dengan deret aritmatika yaitu :
𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆(𝑛−1) C. Deret Geometri Tak Hingga Suatu deret geometri dapat menjumlahkan suku-sukunya sampai menuju tak hingga. Apabila deret geometri menuju tak hinga dimana 𝑛 → ∞, maka deret ini dapat dijumlahkan menjadi : 𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈4 + … Atau sebagai : 𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + 𝑎𝑟 3 + 𝑎𝑟 4 + ⋯ Dengan geometri tak hingga terdiri dari 2 jenis yaitu konvergen dan divergen. Deret geometri tak hingga bersifat konvergen jika penjumlahan dari suku-sukunya menuju atau mendekati suatu bilangaan tertentu. Sedangkan bersifat divergen jika penjumlahan dari suku-sukunya tidak terbatas. Nilai deret geometri tak hingga dapat diperoleh dengan mengunakan limit. Sebelumnya diketahui bahwa nilai deret geometri adalah : (1 − 𝑟 𝑛 ) 𝑆𝑛 = 𝑎 (1 − 𝑟) Dimana terdapat unsur 𝑟 𝑛 didalam perhitungannya yang terpengaruh jumlah suku n. Jika 𝑛 → ∞, maka untuk menentukan nilai 𝑟 𝑛 dapat menggunakan limit yaitu : lim 𝑟 𝑛
𝑛→∞
Dengan syarat −1 < 𝑟 < 1 dan : lim 𝑟 𝑛 = 𝑡𝑎𝑘𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠
𝑛→∞
Dengan syarat 𝑟 < −1 atau 𝑟 > 1 Kemudian hasil limit 𝑟 𝑛 tersebut dapat dimasukkan kedalam perhitungan deret sebagai : (1 − lim 𝑟 𝑛 ) 𝑆=𝑎
𝑛→∞
(1 − 𝑟)
=𝑎
(1 − 0) =∞ (1 − ∞)
=𝑎
(1 − ∞) =∞ (1 − 𝑟)
Dengan syarat −1 < 𝑟 < 1 Dan : (1 − lim 𝑟 𝑛 ) 𝑆=𝑎
𝑛→∞
(1 − 𝑟)
Dengan syarat 𝑟 < −1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑟 > 1