KELAS X
BAHAN BACAAN Perpangkatan dan Logaritma
DISUSUN OLEH: Eka Aprilia, S.Pd.
DINAS PENDIDIKAN PROVINSI BANTEN SMA NEGERI 2 TANGERANG TAHUN 2022-2023
A. Perpangkatan Bilangan perpangkatan adalah suatu bilangan yang dipangkatkan oleh bilangan bulat. Perpangkatan dibagi tiga, yaitu pangkat bulat positif, pangkat bulat nol dan negatif, serta pangkat pecahan. 1. Pangkat Bulat Positif a.
Pengertian Pangkat Bulat Positif Bilangan berpangkat merupakan perkalian berulang yang sama. Secara matematis ditulis : 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 × 𝑎𝑎 × 𝑎𝑎 × 𝑎𝑎 … × 𝑎𝑎 𝑛𝑛 kali
Ket : a disebut basis atau bilangan pokok n disebut pangkat atau eksponen b. Sifat-Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Bulat Positif (1) 𝑎𝑎𝑚𝑚 × 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑚𝑚+𝑛𝑛
(2)
𝑎𝑎𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑛𝑛
= 𝑎𝑎𝑚𝑚−𝑛𝑛
(3) (𝑎𝑎𝑚𝑚 )𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚
(4) (𝑎𝑎 × 𝑏𝑏)𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑛𝑛 × 𝑏𝑏 𝑛𝑛 𝑎𝑎 𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑛𝑛
(5) �𝑏𝑏� = 𝑏𝑏𝑛𝑛
Bukti dengan contoh : 01. 54 × 52 = (5 × 5 × 5 × 5) × (5 × 5)
=5×5×5×
04. (5 × 4)3 = (5 × 4)
(5 × 4)(5 × 4)
= (5 × 5 × 5) ×
5×5×5
45
02. 43 =
= 56
(4 × 4 × 4)
= 53 × 43
4×4×4×4×4 4×4×4
=4×4
= 42
03. (63 )2 = (63 ) × (63 )
= (6 × 6 × 6) × (6 × 6 × 6)
= 66
2 4
2
2
2
2
05. �5� = 5 × 5 × 5 × 5 2×2×2×2
= 5×5×5×5 24
= 54
Untuk memahami uraian di atas, ikutilah contoh-contoh soal berikut ini. 01. Sederhanakanlah setiap bentuk berikut ini : a.
32 ×35
b.
34
Jawab : a.
b.
32 ×35 34
24 ×83 4
32+5
=
34
37
= 34 = 37−4 = 33 = =
c.
64 ×32 183
=
3
24 �23 �
=
22
24 ×29 22
213 22
= 211
(3×2)4 ×32
=
(32 ×2)3
34 ×24 ×32 36 ×23
= 34+2−6 × 24−3
= 30 × 21
=1×2=2
02. Sederhanakan bentuk : a.
4
�𝑎𝑎3 � ×𝑏𝑏8 (𝑏𝑏2 )3 ×𝑎𝑎6 𝑝𝑝4 ×𝑞𝑞 5
b. �(𝑝𝑝×𝑞𝑞)3 �
3
(𝑎𝑎𝑎𝑎)5 ×𝑎𝑎3
c. �𝑏𝑏(𝑎𝑎2 ×𝑏𝑏)3�
2
Jawab : a.
4
�𝑎𝑎3 � ×𝑏𝑏8 (𝑏𝑏2 )3 ×𝑎𝑎6
=
𝑎𝑎12 ×𝑏𝑏8 𝑏𝑏6 ×𝑎𝑎6
= 𝑎𝑎12−6 × 𝑏𝑏 8−6 = 𝑎𝑎6 × 𝑏𝑏 2
24 ×83 4
c.
64 ×32 183
𝑝𝑝4 ×𝑞𝑞 5
3
𝑝𝑝4 ×𝑞𝑞 5
b. �(𝑝𝑝×𝑞𝑞)3 � = �𝑝𝑝3 ×𝑞𝑞3�
3
= [𝑝𝑝4−3 × 𝑞𝑞 5−3 ]3
= [𝑝𝑝1 × 𝑞𝑞 2 ]3
= 𝑝𝑝3 × 𝑞𝑞 6 2
(𝑎𝑎𝑎𝑎)5 ×𝑎𝑎3
𝑎𝑎5 𝑏𝑏5 .𝑎𝑎3
c. �𝑏𝑏(𝑎𝑎2 ×𝑏𝑏)3� = �𝑏𝑏1 𝑎𝑎6.𝑏𝑏3 � 𝑎𝑎8 𝑏𝑏5
= �𝑎𝑎6 𝑏𝑏4 �
2
2
= [𝑎𝑎2 𝑏𝑏1 ]2
= 𝑎𝑎4 𝑏𝑏 2
03. Sederhanakan bentuk : a.
𝑎𝑎2 𝑏𝑏+𝑎𝑎𝑏𝑏5
b.
𝑎𝑎𝑎𝑎
Jawaban : a.
𝑎𝑎2 𝑏𝑏+𝑎𝑎𝑏𝑏5 𝑎𝑎𝑎𝑎
=
=
= b.
𝑎𝑎5 𝑏𝑏3 +𝑎𝑎3 𝑏𝑏5 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 +𝑏𝑏4
𝑎𝑎.𝑎𝑎.𝑏𝑏+𝑎𝑎.𝑏𝑏.𝑏𝑏 𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑎𝑎.(𝑎𝑎𝑎𝑎)+(𝑎𝑎𝑎𝑎).𝑏𝑏 𝑎𝑎𝑎𝑎
(𝑎𝑎𝑎𝑎)[𝑎𝑎+𝑏𝑏] 𝑎𝑎𝑎𝑎
= 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏
𝑎𝑎5 𝑏𝑏3 +𝑎𝑎3 𝑏𝑏5 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 +𝑏𝑏4
=
=
=
=
𝑎𝑎2 𝑎𝑎3 𝑏𝑏3 +𝑎𝑎3 𝑏𝑏3 𝑏𝑏2 𝑏𝑏2 (𝑎𝑎2 +𝑏𝑏2 )
𝑎𝑎2 (𝑎𝑎𝑎𝑎)3 +(𝑎𝑎𝑎𝑎)3 𝑏𝑏2 𝑏𝑏2 (𝑎𝑎2 +𝑏𝑏2 )
(𝑎𝑎𝑎𝑎)3 �𝑎𝑎2 +𝑏𝑏2 � 𝑏𝑏2 (𝑎𝑎2 +𝑏𝑏2 )
(𝑎𝑎𝑎𝑎)3 𝑏𝑏2
= 𝑎𝑎3 𝑏𝑏
2. Pangkat Bulat Nol dan Negatif Pangkat bulat positif dikenal dengan pangkat sebenarnya. Sedangkan pangkat tak sebenarnya merupakan pangkat bulat nol dan negatif. a.
Pengertian Pangkat Bulat Nol dan Negatif Jika a adalah bilangan real selain nol, maka nilai 𝑎𝑎0 didapatkan dengan cara : 𝑎𝑎𝑛𝑛
𝑎𝑎0 = 𝑎𝑎𝑛𝑛−𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 1 jadi 𝑎𝑎0 = 1
Sedangkan pangkat bulat negatif didapat dari proses kebalikan bilangan, yakni : 1
Jika 𝑎𝑎 adalah bilangan real selain nol, maka kebalikan dari 𝑎𝑎 adalah 𝑎𝑎 dan 𝑎𝑎0
1
sebaliknya. Sehingga kita dapatkan : 𝑎𝑎−1 = 𝑎𝑎0−1 = 𝑎𝑎1 = 𝑎𝑎. Jadi 𝑎𝑎−1 adalah 1
1
kebalikan dari 𝑎𝑎 dan ditulis 𝑎𝑎−1 = 𝑎𝑎. Demikian pula kebalikan dari 𝑎𝑎𝑛𝑛 adalah 𝑎𝑎𝑛𝑛.
Sehingga kita tulis :
𝑎𝑎−𝑛𝑛 =
1 𝑎𝑎𝑛𝑛
b. Sifat-Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Nol dan Negatif Sifat-sifat pemangkatan pada pangkat bulat positif berlaku pula pada pangkat negatif dan nol. Namun terdapat beberapa sifat tambahan, yakni : 𝑎𝑎 −𝑛𝑛
(1) �𝑏𝑏�
𝑏𝑏𝑛𝑛
(2)
= 𝑎𝑎𝑛𝑛
Bukti dengan contoh : 2 −3
01. �5� 02.
3−2
4 −3
2−3
(1⁄2)3
1
= 5−3 = (1⁄5)3 = 23 × (1⁄3)2
1
= (1⁄4)3 = 32 ×
43 1
43
= 32
53 1
53
𝑏𝑏−𝑛𝑛
𝑎𝑎−𝑛𝑛
=
𝑏𝑏𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑛𝑛
5 3
= 23 = �2�
Untuk memahami uraian di atas, ikutilah contoh-contoh soal berikut ini 01. Sederhanakanlah setiap bentuk berikut ini : 5.2−4
a. � 103 �
−1
62 .3
b. �123 .12−4 �
Jawab :
5.2−4
a. � 103 �
−1
5×2−4
= �(5×2)3 �
−1
51 ×2−4
= � 53 ×23 �
−1
= [51−3 × 2−4−3 ]−1 = [5−2 × 2−7 ]−1
= 52 × 27
= 25 × 128
−1
62 .3
b. �123 .12−4 �
= 3200
−1
(3×2)2 .3
= �(3×22 )3.2−4 � 32 ×22 ×31
3
3
= �33 ×26×2−4 � 33 ×22
= �33 ×22�
3
= [33−3 × 22−2 ]3
= [30 × 20 ]3 = [1 × 1]3 =1
02. Sederhanakan setiap bentuk berikut ini : 𝑎𝑎3 .𝑏𝑏−4
a.
� 𝑏𝑏.𝑎𝑎−2 �
−1
b.
Jawab :
𝑎𝑎3 .𝑏𝑏−4
a. � 𝑏𝑏.𝑎𝑎−2 �
−1
= �𝑎𝑎3−(−2) . 𝑏𝑏 −4−1 � = [𝑎𝑎5 . 𝑏𝑏 −5 ]−1
𝑎𝑎 −2 (𝑎𝑎𝑎𝑎)−3 (𝑎𝑎2 𝑏𝑏)−4
�𝑏𝑏�
−1
= 𝑎𝑎−5 . 𝑏𝑏 5
𝑎𝑎 −2 (𝑎𝑎𝑎𝑎)−3 (𝑎𝑎2 𝑏𝑏)−4
b. �𝑏𝑏�
𝑏𝑏5
𝑏𝑏 5
= 𝑎𝑎5 = �𝑎𝑎�
𝑎𝑎−2 𝑎𝑎−3 𝑏𝑏−3
= 𝑏𝑏−2 𝑎𝑎−8 𝑏𝑏−4
=
𝑎𝑎 −2 .𝑎𝑎−3 𝑏𝑏−3 𝑏𝑏−2. 𝑎𝑎−8 𝑏𝑏−4
𝑎𝑎 −5 .𝑏𝑏−3
= 𝑏𝑏−6 .𝑎𝑎−8
= 𝑎𝑎−5−(8) 𝑏𝑏 −3−(−6)
= 𝑎𝑎3 . 𝑏𝑏 3 = (𝑎𝑎𝑎𝑎)3
03. Hitunglah setiap nilai berikut ini : a. (0,03)6 × (0,0027)−3 b.
(200)−3 (0,8)4 (0,016)2
c. 60 + 06 + (2 × 4)0
Jawab : a. (0,03)6 × (0,0027)−3 = (3 × 10−2 )6 × (27 × 10−4 )−3 = 36 × 10−12 × 3−9 × 1012 = 36+(−9) × 10−12+12 = 3−3 × 100 b.
(200)−3 (0,8)4 (0,016)2
=
−3
�2.102 �
1
= =
4
�8.10−1 �
(16.10−3 )2
=
1
= 33 = 27
2−3 ×10−6 ×84 ×10−4 162 ×10−6
2−3 ×10−6+(−4) ×(23 )4 (24 )2 ×10−6
2−3 ×10−10 ×212 28 ×10−6
2(−3+12)−8
= 10−6−(−10) 21
2
= 104 = 104
c. 60 + 06 + (2 × 4)0 = 1 + 0 + 1 =2
04. Tentukan nilai 𝑥𝑥 yang memenuhi (23𝑥𝑥 . 23𝑥𝑥 . 23𝑥𝑥 )(4𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 ) = 1650 Jawab :
(23𝑥𝑥 . 23𝑥𝑥 . 23𝑥𝑥 )(4𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 ) = 1650
23𝑥𝑥+3𝑥𝑥+3𝑥𝑥 . 4. 4𝑥𝑥 = (42 )50 29𝑥𝑥 . 22𝑥𝑥 =
4100 41
211𝑥𝑥 = 2198 jadi 11𝑥𝑥 = 198 ⟺ 𝑥𝑥 = 18
3. Pangkat Pecahan a. Pengertian Pangkat Pecahan
Bentuk pangkat pecahan dapat diartikan sebagai bentuk lain dari penarikan akar. Dimana untuk 𝑚𝑚 dan 𝑛𝑛 bilangan bulat dan 𝑛𝑛 ≠ 1, 𝑛𝑛 > 0 berlaku : 𝑚𝑚
𝑛𝑛
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑛𝑛
𝑎𝑎 𝑛𝑛 = � √𝑎𝑎� atau 𝑎𝑎 𝑛𝑛 = √𝑎𝑎𝑚𝑚
b. Sifat-Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Pecahan Sifat-sifat yang berlaku pada pangkat bulat, berlaku pula pada pangkat pecahan, yakni : (1) 𝑎𝑎𝑚𝑚 × 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑚𝑚+𝑛𝑛
(2) [𝑎𝑎𝑚𝑚 ]𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑎𝑎 𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑛𝑛
(3) �𝑏𝑏� = 𝑏𝑏𝑛𝑛 (4)
𝑎𝑎−𝑛𝑛
𝑏𝑏−𝑚𝑚
=
𝑏𝑏𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑛𝑛
(5)
𝑎𝑎𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑛𝑛
= 𝑎𝑎𝑚𝑚−𝑛𝑛
(6) (𝑎𝑎. 𝑏𝑏)𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑛𝑛 . 𝑏𝑏 𝑛𝑛 𝑎𝑎 −𝑛𝑛
(7) �𝑏𝑏�
𝑏𝑏𝑛𝑛
= 𝑎𝑎𝑛𝑛
Untuk mendalami materi ini, ikutilah contoh soal berikut ini : 01. Ubahlah setiap bentuk pangkat berikut ini ke dalam bentuk akar dan sederhanakanlah a. 327⁄10
b. 815⁄8
Jawab :
a. 327⁄10 = (25 )7⁄10 = 27⁄2 = √27
= √26 . 21 = 23 √21 = 8√2
b. 815⁄8 = (34 )5⁄8 = 35⁄2 = √35
= √34 . 31 = 32 √31 = 9√3
c. 253⁄4 = (52 )3⁄4 = 53⁄2 = √53
= √125
= √25.5 = 5√2
c. 253⁄4
02. Ubahlah setiap bentuk akar berikut ini ke dalam bentuk pangkat dan sederhanakanlah a. 16√32
c. �25√125
3
b. 27 √9
3
d. �16√8
Jawab :
a. 16√32 = 24 . √25
= 24 . 25⁄2
= 2(8⁄2)+(5⁄2)
3
= 213⁄2 3
b. 27 √9 = 33 . √32 = 33 . 32⁄3
= 3(9⁄3)+(2⁄3)
= 311⁄3
c. �25√125 = �52 √53 = �52 . 53⁄2 � = �57⁄2 � = 57⁄4
1⁄2
1⁄2
3
3 d. �16√8 = �24 √23
= �24 . 23⁄2 � = �211⁄2 �
= 211⁄6
1⁄3
1⁄3
03. Sederhanakan setiap bentuk berikut ini : a.
2
�25⁄4 � .163⁄8
b. �
4⁄3
32⁄3 .�271⁄2 �
Jawab : a.
87⁄6
5
�811⁄3 � 2
�25⁄4 � .163⁄8 87⁄6
=
=
c. �
−1⁄2
�
2
3 ⁄8
�25⁄4 � �24 � (23 )7⁄2
25⁄2 .23⁄2 27⁄2
3
�5√125� .4√2 √160
�
2
2 8 ⁄2
= 2 7 ⁄2
= 21⁄2 b. �
4⁄3
32⁄3 .�271⁄2 � 5
�811⁄3 �
= √2
−1⁄2
�
=�
32⁄3 .274⁄6 815⁄3
=�
(34 )5⁄3
32⁄3 .32 38⁄3
= �320⁄3 �
c. �
√160
2
=�
−1⁄2
= 312⁄6 = 32 = 9 3
� =�
=�
�
−1⁄2
2
�5√53 � .4√2
=�
−1⁄2
−1⁄2
= �3−12⁄3 �
3
−1⁄2
4 ⁄6
32⁄3 .�33 �
= � 320⁄3 �
�5√125� .4√2
�
4√10
�
3
�51 .53⁄2 � .√2 √10
�
3
�51 .53⁄2 � .√2 √2.√5
3
�51 .53⁄2 � √5
3
�55⁄2 �
=�
51⁄2
515⁄2
= � 51⁄2 � = (57 )2 = 514
2
�
2
2
2
�
2
�
B. Logaritma 1. Pengertian Logaritma Pengertian sederhana dari logaritma dimulai dari bentuk pangkat. Telah diketahui bahwa bentuk umum dari bilangan berpangkat adalah 𝑎𝑎𝑛𝑛 , dimana 𝑎𝑎 dinamakan bilangan pokok dan 𝑛𝑛 dinamakan pangkat. Sebagai contoh : 23 = 8 161⁄2 = 4
Tetapi jika persoalannya dibalik, misalnya 3𝑥𝑥 = 9 berarti nilai 𝑥𝑥 ?
25𝑦𝑦 = 5 berarti nilai 𝑦𝑦 ?
Untuk persoalan diatas tentu mudah ditebak bahwa 𝑥𝑥 = 2 dan 𝑦𝑦 = 1⁄2. Namun untuk
masalah yang lebih rumit nilai 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦 dapat ditentukan dengan aturan logaritma, yaitu misalkan 𝑏𝑏 adalah bilangan positip dan 𝑎𝑎 adalah bilangan positif yang tidak
sama dengan 1, maka :
𝑎𝑎
log 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 Jika dan hanya jika 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎𝑐𝑐
Dimana 𝑎𝑎 dinamakan bilangan pokok atau basis, 𝑏𝑏 dinamakan numerus dan 𝑐𝑐 adalah
hasil logaritma.
Jika 𝑎𝑎 = 𝑒𝑒(𝑒𝑒 = 2,7128 … ) maka 𝑒𝑒log 𝑏𝑏 ditulis ln 𝑏𝑏 (dibaca : logaritma natural dari 𝑏𝑏), yaitu logaritma dengan bilangan pokok 𝑒𝑒.
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : 01. Hitunglah nilai tiap logaritma berikut ini a. b.
7
c.
log 49
64
log 4
d.
Jawab :
3
e.
log 81
f.
25
log √5
a. Misalkan 7log 49 = 𝑥𝑥, maka 49 = 7𝑥𝑥 72 = 7𝑥𝑥
b. Misalkan
𝑥𝑥 = 2 jadi 7log 49 = 2
log 4 = 𝑥𝑥, maka 4 = 64𝑥𝑥
64
41 = (22 )𝑥𝑥 41 = 22𝑥𝑥 3𝑥𝑥 = 1
𝑥𝑥 = 1⁄3
jadi 64log 4 = 1⁄3
4
log 32
2
log 2√2
c. Misalkan 3log 81 = 𝑥𝑥, maka 81 = 3𝑥𝑥 34 = 3𝑥𝑥
d. Misalkan
𝑥𝑥 = 4
log √5 = 𝑥𝑥, maka √5 = 25𝑥𝑥
25
jadi 3log 81 = 4
51⁄2 = (52 )𝑥𝑥
51⁄2 = 52𝑥𝑥
2𝑥𝑥 = 1⁄2 𝑥𝑥 = 1⁄4
e. Misalkan 4log 32 = 𝑥𝑥, maka 32 = 4𝑥𝑥
jadi 25log √5 = 1⁄4
25 = (23 )𝑥𝑥
25 = 22𝑥𝑥 2𝑥𝑥 = 5
𝑥𝑥 = 5⁄2
f. Misalkan 2log 2√2 = 𝑥𝑥, maka 2√2 = 2𝑥𝑥
jadi 4log 32 = 5⁄2
21 21⁄2 = 2𝑥𝑥
21+(1⁄2) = 2𝑥𝑥
23⁄2 = 2𝑥𝑥
𝑥𝑥 = 3⁄2
2. Sifat-Sifat Logaritma •
jadi 2log 2√2 = 3⁄2
Sifat 1 Jika 𝑎𝑎 adalah bilangan real positif yang tidak sama dengan 1, maka : 𝑎𝑎
Bukti : •
log 𝑎𝑎 = 1
Misalkan : 𝑎𝑎log 𝑎𝑎 = 𝑥𝑥 maka 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 artinya 𝑎𝑎1 = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 jadi 𝑥𝑥 = 1 Sifat 2
Jika 𝑝𝑝 dan 𝑞𝑞 adalah bilangan real positif dan 𝑎𝑎 adalah bilangan real positif yang tidak sama dengan 1, maka :
𝑎𝑎
log 𝑝𝑝. 𝑞𝑞 = 𝑎𝑎log 𝑝𝑝 + 𝑎𝑎log 𝑞𝑞
Bukti : Misalkan 𝑎𝑎log 𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 maka 𝑝𝑝 = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 …………………….. (1) 𝑎𝑎
log 𝑞𝑞 = 𝑦𝑦 maka 𝑞𝑞 = 𝑎𝑎 𝑦𝑦 ……………………..(2)
Sehingga 𝑝𝑝. 𝑞𝑞 = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 . 𝑎𝑎 𝑦𝑦 𝑝𝑝. 𝑞𝑞 = 𝑎𝑎 𝑥𝑥+𝑦𝑦
Menurut pengertian logaritma, diperoleh 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎log 𝑝𝑝. 𝑞𝑞 •
𝑎𝑎
Sifat 3
log 𝑝𝑝 + 𝑎𝑎log 𝑞𝑞 = 𝑎𝑎log 𝑝𝑝. 𝑞𝑞
(terbukti)
Jika 𝑝𝑝 dan 𝑞𝑞 adalah bilangan real positif dan 𝑎𝑎 adalah bilangan real positif yang tidak sama dengan 1, maka : Bukti :
𝑎𝑎
log
𝑝𝑝 𝑎𝑎 = log 𝑝𝑝 − 𝑎𝑎log 𝑞𝑞 𝑞𝑞
Misalkan 𝑎𝑎log 𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 maka 𝑝𝑝 = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 …………………….. (1) 𝑎𝑎
𝑝𝑝
log 𝑞𝑞 = 𝑦𝑦 maka 𝑞𝑞 = 𝑎𝑎 𝑦𝑦 ……………………..(2) 𝑎𝑎𝑥𝑥
Sehingga 𝑞𝑞 = 𝑎𝑎𝑦𝑦 𝑝𝑝 𝑞𝑞
= 𝑎𝑎 𝑥𝑥−𝑦𝑦
𝑝𝑝
Menurut pengertian logaritma, diperoleh 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎log 𝑞𝑞 𝑎𝑎
𝑝𝑝
(terbukti)
log 𝑝𝑝 − 𝑎𝑎log 𝑞𝑞 = 𝑎𝑎log 𝑞𝑞
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : 01. Hitunglah nilai dari :
c.
a. 2log 8 + 2log 4
b. 6log 18 + 6log 2 Jawab :
a. 2log 8 + 2log 4 = 2log(8 × 4) = 2log 32
= 2log 25
= 5. 2log 2 = 5(1) =5
3
log 81 − 3log 27
b. 6log 18 + 6log 2 = 6log(18 × 2) = 6log 36 = 6log 62
= 2. 6log 6 = 2(1) =2
81
c. 3log 81 − 3log 27 = 3log 27 = 3log 3
=1
02. Sederhanakanlah setiap bentuk logaritma berikut : a. log 60 + log 5 − log 3
b. 2log 8 + 2log 16 − 2log 4
c. log 16 − log 2 + log 125
Jawab : a.
log 60 + log 5 − log 3 = log
60×5 3
= log 100
b.
2
=2
log 8 + 2log 16 − 2log 4 = 2log 2
8×16 4
= log 32
= 2log 25
= 5. 2log 2
= 5(1) =5
c. log 16 − log 2 + log 125 = log
16×125
= log 100
•
Sifat 4
2
=2
Jika 𝑝𝑝 adalah bilangan real positif dan 𝑎𝑎 adalah bilangan real positif yang tidak
sama dengan 1 serta 𝑛𝑛 adalah bilangan real sembarang, maka : 𝑎𝑎
log 𝑝𝑝𝑛𝑛 = 𝑛𝑛. 𝑎𝑎log 𝑝𝑝
Bukti : 𝑎𝑎
log 𝑝𝑝𝑛𝑛 = 𝑎𝑎log(𝑝𝑝 × 𝑝𝑝 × 𝑝𝑝 × 𝑝𝑝 × … … × 𝑝𝑝 × 𝑝𝑝 × 𝑝𝑝) 𝑝𝑝 muncul sebanyak 𝑛𝑛 kali
= 𝑎𝑎log 𝑝𝑝 + 𝑎𝑎log 𝑝𝑝 + 𝑎𝑎log 𝑝𝑝 + 𝑎𝑎log 𝑝𝑝 + … + 𝑎𝑎log 𝑝𝑝 + 𝑎𝑎log 𝑝𝑝 = 𝑛𝑛. 𝑎𝑎log 𝑝𝑝
𝑎𝑎
log 𝑝𝑝 muncul sebanyak 𝑛𝑛 kali
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : 03. Sederhanakan setiap bentuk logaritma berikut : a. 5log 125
b. 6log 9 + 2. 6log 2 − 2. 6log 36
c. 6. log 9 + 4. log 4 − 8. log 6 − 4. log 3
Jawab :
a. 5log 125 = 5log 53
= 3. 5log 5 = 3(1) =3
b. 6log 9 + 2. 6log 2 − 2. 6log 36 = 6log 9 + 6log 22 − 6log 362
= 6log 32 + 6log 22 − 6log 362 = 6log = 6log
32 .22 362
(3×2)2 (62 )2
62
= 6log 64
= 6log 62−4
= 6log 6−2
= −2. 6log 6
= −2
c. 6. log 9 + 4. log 4 − 8. log 6 − 4. log 3 = log 96 + log 44 − log 68 − log 34 = log
= log
96 × 44 68 × 34
(32 )6 × (22 )4 (3 × 2)8 × 34
312 × 28 = log 8 3 × 28 × 34 312 × 28 = log 12 3 × 38 = log 1
=0
04. Diketahui 3log 𝑎𝑎 = 5 dan 3log 𝑏𝑏 = 2, maka tentukan nilai 3log 𝑎𝑎4 𝑏𝑏 6 Jawab : 3
log 𝑎𝑎4 𝑏𝑏 6 = 3log 𝑎𝑎4 + 3log 𝑏𝑏 6
= 4. 3log 𝑎𝑎 + 6. 3log 6 = 4. (5) + 6. (2)
•
Sifat 5
= 32
Jika 𝑏𝑏 adalah bilangan real positif serta 𝑎𝑎 dan 𝑛𝑛 adalah bilangan real positif yang tidak sama dengan 1, maka : Bukti :
𝑎𝑎
log 𝑏𝑏 =
𝑛𝑛
log 𝑏𝑏
𝑛𝑛log 𝑎𝑎
Misalkan : 𝑎𝑎log 𝑏𝑏 = 𝑥𝑥 maka 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 ……………………..(1)
Jika kedua ruas pada persamaan (1) dilogaritmakan dengan basis 𝑛𝑛, maka : 𝑝𝑝 𝑝𝑝
log 𝑏𝑏 = 𝑝𝑝log 𝑎𝑎 𝑥𝑥
log 𝑏𝑏 = 𝑥𝑥. 𝑝𝑝log 𝑎𝑎
𝑝𝑝log 𝑏𝑏
𝑝𝑝log 𝑎𝑎 = 𝑥𝑥
jadi
𝑎𝑎
log 𝑏𝑏 =
𝑛𝑛log 𝑏𝑏
𝑛𝑛log 𝑎𝑎
(terbukti)
•
Sifat 6 Jika 𝑎𝑎 dan 𝑏𝑏 adalah bilangan real yang tidak sama dengan 1, maka 𝑎𝑎
Bukti : Menurut sifat (4) berlaku
𝑎𝑎
log 𝑏𝑏 =
log 𝑏𝑏 =
𝑛𝑛log 𝑏𝑏
1
𝑏𝑏 log 𝑎𝑎
𝑛𝑛log 𝑎𝑎
Sehingga misalkan 𝑛𝑛 = 𝑏𝑏, maka diperoleh 𝑎𝑎log 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎
log 𝑏𝑏 =
𝑏𝑏log 𝑏𝑏
𝑏𝑏log 𝑎𝑎
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : 06. Hitunglah setiap logaritma berikut ini : a. b.
81
log 27
c.
64
log 2
Jawaban : a.
81
log 27 =
=
3log 27 3log 81 3log 33 3log 34
3log 3
3
= 4 × 3log 3 3
=4×1 3
b.
64
=4
log 2 = =
1
2log 64
1
2log 26
1
= 6. 2log 2 1
= 6(1) 1
c.
=6
2log 25+ 2log 40 2log 10
=
= =
2log(25×40) 2log 10
2log 1000 2log 10
10
=3
log 1000
2log 25+ 2log 40 2log 10
1
𝑏𝑏log 𝑎𝑎
(terbukti)
07. Jika 2log 3 = 𝑎𝑎 maka nyatakan logaritma-logaritma berikut ini dalam a.
b. 3log 54
81
log 32
Jawab :
a. 81log 32 = =
2log 32 2log 81
2log 25 2log 34
5. 2log 2
= 4. 2log 3 =
5.(1) 4.𝑎𝑎
5
= 4𝑎𝑎
b. 3log 54 = 3log(2 × 27)
= 3log 2 + 3log 27 =
•
1
2log 3
1
+ 3log 27
= 𝑎𝑎 + 3
Sifat 7
Jika 𝑐𝑐 adalah bilangan real positif serta 𝑎𝑎 dan 𝑏𝑏 adalah bilangan real positif yang tidak sama dengan 1, maka :
𝑎𝑎
Bukti : 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑎𝑎
log 𝑏𝑏 𝑛𝑛log 𝑐𝑐 log 𝑏𝑏 . log 𝑐𝑐 = 𝑛𝑛 . log 𝑎𝑎 𝑛𝑛log 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑏𝑏
log 𝑏𝑏 . log 𝑐𝑐 =
𝑛𝑛
𝑛𝑛
log 𝑏𝑏 . 𝑏𝑏log 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎log 𝑐𝑐
log 𝑐𝑐
𝑛𝑛log 𝑎𝑎
log 𝑏𝑏 . 𝑏𝑏log 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎log 𝑐𝑐
(terbukti)
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : 08. Hitunglah setiap logaritma berikut ini : a. 2log 8 . 8log 64
b. 3log 5 . 8log 27 . 5log 8
Jawaban :
a. 2log 8 . 8log 64 = 2log 64 = 2log 26
= 6. 2log 2 = 6(1)
=6
b. 3log 5 . 8log 27 . 5log 8 = 3log 5 . 5log 8 . 8log 27 = 3log 27 =3
09. Hitunglah setiap logaritma berikut ini a. 3log 125 . 5log 81
b. 8log √3 . 3log 16
Jawaban :
a. 3log 125 . 5log 81 = 3log 53 . 5log 34
= 3. 3log 5 . 4. 5log 3
= (3)(4) 3log 5 . 5log 3 = (12) 3log 3
= 12(1) b. 8log √3 . 3log 16 =
= 12 23
log 31⁄2 . 3log 24
3
= 1⁄2 3log 53 . 5log 34 = 3. 3log 5 . 4. 5log 3
= (3)(4) 3log 5 . 5log 3 = (12) 3log 3
•
= 12
Sifat 8
Jika 𝑏𝑏 adalah bilangan real positif dan 𝑎𝑎 adalah bilangan real positif yang tidak sama dengan 1 serta 𝑛𝑛 dan 𝑚𝑚 adalah bilangan real sembarang, maka : 𝑎𝑎𝑛𝑛
Bukti : 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛
log 𝑏𝑏 𝑚𝑚 = log 𝑏𝑏 𝑚𝑚 = log 𝑏𝑏 𝑚𝑚 =
log 𝑏𝑏 𝑚𝑚 =
𝑚𝑚 𝑎𝑎 log 𝑏𝑏 𝑛𝑛
dan
𝑎𝑎𝑛𝑛
log 𝑏𝑏 𝑛𝑛 = 𝑎𝑎log 𝑏𝑏
𝑛𝑛log 𝑏𝑏𝑚𝑚 𝑛𝑛log 𝑎𝑎𝑛𝑛
𝑚𝑚 𝑛𝑛log 𝑏𝑏
𝑛𝑛 𝑛𝑛log 𝑎𝑎
𝑚𝑚 𝑎𝑎 . log 𝑏𝑏 𝑛𝑛 𝑛𝑛
(terbukti) 𝑛𝑛
Jika 𝑛𝑛 = 𝑚𝑚, maka 𝑎𝑎 log 𝑏𝑏 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 𝑎𝑎log 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎log 𝑏𝑏
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :
10. Hitunglah setiap logaritrma berikut ini a. 64log 16 1
b. √3log 27 Jawab :
a. 64log 16 =
26 4
log 24
= 6 2log 2 2
= 3 . (1) 1
2
=3
b. √3log 27 =
31⁄2
−3
log 3−3
= 1⁄2 . 3log 3 = (−6)(1)
•
= −6
Sifat 9
Jika 𝑏𝑏 adalah bilangan real positif serta 𝑎𝑎 adalah bilangan real positif yang tidak
sama dengan 1, maka : Bukti :
𝑎𝑎
𝑎𝑎log 𝑏𝑏
= 𝑏𝑏
Misalkan : 𝑎𝑎log 𝑏𝑏 = 𝑥𝑥 ……………………..(1)
Maka
𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 𝑥𝑥
Jika kedua ruas pada persamaan (1) dipangkatkan dengan bilangan pokok 𝑎𝑎, maka
𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑎𝑎log 𝑏𝑏 𝑎𝑎log 𝑏𝑏
= 𝑎𝑎 𝑥𝑥
(terbukti)
= 𝑏𝑏
Untuk lebih jelasnya diskusikanlah contoh soal berikut ini 11. Sederhanakanlah a. 6
b. 9
6log 4
c. 2
3log 5
d. 16
Jawab : a. 6
6log 4
4log 3
=4
8log
√27
b. 9
3log 5
= (32 )
= 32. =3
=3 c. 2
4log 3
3log 25
1 2
= �4 �
4log 3
= 4(1⁄2). =4
8log
3log 5
3log 52
= 25
=4
d. 16
3log 5
4log 3(1⁄2) 4log
= √3
√27
4log 3
√3
= (24 )
= 24. =2 =2
23 log 36
62
= 22. =2
=9
3 23 log 32
3 4 23 log�32 �
= 23 =2
3 23 log 32
log 3
2log 3
2log 32 2log 9
12. Jika 2log 3 = 𝑝𝑝 dan 3log 5 = 𝑞𝑞 maka nyatakanlah setiap bentuk berikut ini dalam 𝑝𝑝 dan 𝑞𝑞 a.
2
log 20
Jawab : a.
2
log 20 = 2log(5 × 4)
= 2log 5 + 2log 4
= 2log 3. 3log 5 + 2log 4
= 2log 3. 3log 5 + 2log 22
= 2log 3. 3log 5 + 2. 2log 2
b.
5
log 6
= 2log 3. 3log 5 + 2.1
b.
= 𝑝𝑝𝑝𝑝 + 2
5
log 6 = = = = = = =
3log 6 3log 5
3log(2×3) 3log 5
3log 2+ 3log 3 3log 5
1 3 2log 3+ log 3 3log 5
1 +1 𝑝𝑝
𝑞𝑞
1 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 𝑝𝑝
𝑞𝑞
1+𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝
13. Tentukan nilai dari 25 Jawaban : 25
36log 3
. 30
6log 2
36log 3
= (52 )
. 30
62 log 3
=5
6log 3
=5
6log 3+2
=5
=5
.5
6log 2
. (5.6)
6log 2
6log 3+ 6log 2 6log 5
= 5.2
.6
.6
.6
.6
6log 2
6log 2
6log 2
6log 2
6log 2
= 10
14. Jika diketahui 4log 6 = 𝑚𝑚, tentukan nilai 9log 8 dalam 𝑚𝑚. Jawab : 4
log 6 = 4log(2 × 3) = 𝑚𝑚 4
log 2 + 4log 3 = 𝑚𝑚
22
12 2
log 2 + 4log 3 = 𝑚𝑚
log 2 + 4log 3 = 𝑚𝑚
1 2
(1) + 4log 3 = 𝑚𝑚 1 2
+ 4log 3 = 𝑚𝑚 4
1
log 3 = 𝑚𝑚 − 2
Sehingga
1
3
log 4 =
3
log 4 = 9log 4 9log 3
9log 4
32 log 3 9log 4
13 . log 3 2 9log 4
9 9
1⁄2
1
𝑚𝑚−
1 2
1
1
= 2𝑚𝑚−1 1
= 2𝑚𝑚−1 1
= 2𝑚𝑚−1
2(1⁄2) 2𝑚𝑚−1 1
log 4 = 2𝑚𝑚−1 3
1
= 2 . 2𝑚𝑚−1 3
log 43⁄2 = 4𝑚𝑚−2 9
(Pembilang dan penyebut dikali 2)
= 2𝑚𝑚−1
log 4 =
3 9 . log 4 2
9
4log 3
3
log 8 = 4𝑚𝑚−2
(Kedua ruas dikali 3⁄2)
C. Latihan Soal 1. Bentuk sederhana dari … a. (𝑎𝑎3 )2 × 𝑎𝑎4
4 2
b. (2𝑎𝑎−2 )−2 : �𝑎𝑎� c.
1
�5𝑎𝑎2 𝑏𝑏4 �3
1
(25𝑎𝑎𝑎𝑎2 )−3
2
2. Nilai dari 8−3 adalah … 2
1
1
3. Hasil dari 𝑥𝑥 3 . 𝑥𝑥 4 : 𝑥𝑥 6 jika dinyatakan dalam bentuk akar adalah … 4. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut ini. a. (8𝑥𝑥 )2 = 16 3
b. 𝑥𝑥 −2 = 8 c. 5𝑥𝑥 = 0
5. Jumlah 𝑥𝑥 yang memenuhi 2(4𝑥𝑥 ) − 5(2𝑥𝑥 ) + 2 = 0 adalah …
6. Jika 25log 52𝑥𝑥 = 8, maka 𝑥𝑥 = …
7. Nilai dari 27log 9 sama dengan … 1
8. Jika 𝑎𝑎log �1 − 3log 27� = 2, maka nilai 𝑎𝑎 yang memenuhi adalah … 9. Jika 2log 7 = 𝑎𝑎, maka 8log 49 dalam 𝑎𝑎 adalah … 10. Nilai 𝑥𝑥 yang memenuhi persamaan
11. 3𝑥𝑥+2log 27 = 5log 3 adalah …