Vektor dan Operasinya

A. Pengertian Vektor Ketika kalian sedang melakukan perjalanan ke suatu tempat pasti kalian sering menentukan papan petunjuk arah seperti berikut :

Gambar 1 Papan Petunjuk Arah Sumber : https://bit.ly/3kXsvyz Untuk sampai pada kota yang diinginkan pengguna jalan harus mengikuti arah dan menempuh jarak yang ditentukan. Misalnya : untuk mencapai museum sonobudoyo, kalian harus belok kanan dan menempuh jarak sejauh 250 m dari lokasi papan tersebut atau kalau kalian mau ke taman sari, kalian harus membelok ke kiri dan menempuh jarak sejauh 1 km dari papan petunjuk. Dengan demikian ada dua hal yang harus diperhatikan, yaitu arah dan jarak (besar) yang harus ditempuh.

Arah dan jarak sudah kalian pelajari waktu di SMP dalam pelajaran IPA Fisika. Banyak contoh besaran fisika yang memiliki arah dan besar, antara lain : kecepatan, percepatan, gaya, dan sebagainya. Besaran yang mempunyai arah dan besar biasanya dinyatakan dengan ruas garis berarah. Ruas garis berarah tersebut dinakana vektor. Konsep vektor pada fisika adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Besaran yang hanya memiliki besar saja disebut skalar, seperti berat, panjang, luas dan lain-lain. Sementara itu konsep dasar vektor dalam matematika adalah ruas garis berarah yang panjangnya adalah jarak dari titik pangkal ke titik ujung dan arahnya adalah arah dari pangkal ke ujung atau perpanjangannya.

Dalam kehidupan sehari-hari vektor banyak digunakan dalam berbagai aktivitas dan berbagai bidang kehidupan. Vektor sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari seperti dalam bidang teknik sipil, navigasi, dll.

B. Notasi Vektor Suatu vektor secara geometri disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis berarah menyatakan panjang (besar vektor), sedangkan arah panah menunjukkan arah ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ . vektor. Vektor diberi nama menurut pangkal dan ujungnya, misalnya 𝑃𝑄 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ dapat dituliskan dengan menggunakan lambang kecil yang dicetak tebal atau 𝑃𝑄 dengan huruf kecil yang dibubuhi dengan tanda panah di atas huruf itu, misalnya :

Gambar 2. Notasi Vektor ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ dari gambar 5.2, titik 𝑃 disebut titik pangkal (titik asal), sedangkan Unruk vektor 𝑃𝑄 titik 𝑄 disebut titik ujung (titik terminal).

C. Komponen Vektor Vektor yang digambarkan pada bidang koordinat mempunyai komponen horizontal (gerakan ke kanan/ kiri) dan komponen vertikal (gerakan ke atas/bawah).

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ Gambar 3 Vektor 𝑃𝑄 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ sebesar 𝑥 𝑄 − 𝑥 𝑃 , sedang komponen vertical vektor 𝑃𝑄 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ Komponen horizontal vektor 𝑃𝑄 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebesar 𝑦𝑄 − 𝑦𝑃 . Dalam bentuk aljabar, vektor 𝑃𝑄 kolom : ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = ( 𝑃𝑄

𝑘𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑥 − 𝑥𝑃 )= ( 𝑄 ) 𝑘𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙 𝑦𝑄 − 𝑦𝑃

Dalam bentuk pasangan berurut ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑃𝑄 = (𝑥 𝑄 − 𝑥 𝑃 , 𝑦𝑄 − 𝑦𝑃 )

Gambar 4 Vektor AB dan DE ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴𝐵 = (

𝑘𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 ) 𝑘𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙

𝑘𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 ∶ {

𝑘𝑒 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 𝑘𝑒 𝑘𝑖𝑟𝑖 𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓

𝑘𝑒 𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 𝑘𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙 ∶ { 𝑘𝑒 𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ 𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 𝐴 𝑘𝑒 𝐶 𝑡𝑒𝑟𝑢𝑠 𝑘𝑒 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 4 = 4 4 )=( )=( ) 𝐶 𝑘𝑒 𝐵 𝑘𝑒 𝑎𝑡𝑎𝑠 = 3 3 𝐷 𝑘𝑒 𝐹 𝑡𝑒𝑟𝑢𝑠 𝑘𝑒 𝑘𝑖𝑟𝑖 4 = −4 −4 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ )=( )=( ) 𝐷𝐸 = ( 𝐹 𝑘𝑒 𝐸 𝑘𝑒 𝑎𝑡𝑎𝑠 = 3 3 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = ( 𝐴𝐵

D. Panjang Vektor Coba kalian perhatikan Kembali gambar berikut :

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ , 𝐴𝐶 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ , 𝐶𝐵 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ mempunyai segi tiga siku-siku. Panjang vektor 𝐴𝐵 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ bisa dihitung Vektor 𝐴𝐵 menggunakan rumus phytagoras.

2

2

2

2

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = |𝐴𝐵 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ | = √(𝐴𝐵 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ) + (𝐶𝐵 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ) = √ 42 + 32 = √ 25 = 5 Panjang 𝐴𝐵 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = |𝐷𝐸 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ | = √(𝐷𝐹 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ) + (𝐹𝐸 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ) = √(−4)2 + 32 = √ 25 = 5 Panjang 𝐷𝐸 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = (𝑎 ), maka panjang vektor 𝐴𝐵 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ dapat dinyatakan : Secara umum jika vektor 𝐴𝐵 𝑏 2

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ | = √(𝑎)2 + (𝑏⃗) Panjang ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴𝐵 = |𝐴𝐵

E. Kesamaan Dua Vektor (Vektor Ekuivalen) ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐶𝐷 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ Dua buah vektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama. Jika 𝐴𝐵 dibaca : ruas garis 𝐴𝐵 sama (panjang) dan sejajar ruas garis 𝐶𝐷 maka ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴𝐵 = ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐶𝐷. Dari pengertian ini dapat disimpulkan bahea sebuah vektor dapat digeser ke tempat lain dan tidak berubah asalkan panjang dan arahnya sama dengan besar dan kedudukan vektor semula.

Gambar 5 Kesamaan Dua Vektor

F. Vektor Negatif atau Vektor Lawan Panjang vektor ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴𝐵 sama dengan panjang vektor ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐸𝐹, tetapi arahnya berlawanan. Dua buah vektor disebut berlawanan apabila panjangnya sama, tetapi arahnya berlawanan. ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ atau ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ .

Maka ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴𝐵 = −𝐶𝐷 𝐸𝐹 = −𝐴𝐵

Gambar 6 Dua buah vektor yang berlawanan

G. Vektor Nol Vektor disebut vektor nol apabila panjangnya nol. Arah dari vektor nol tak tentu, ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ , 𝐶𝐶 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ , dan semacamnya disebut vektor nol. Vektor nol dilambangkan misalkan ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 dengan 𝑂⃗.

H. Vektor Posisi ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝑝 disebut vektor posisi Jika titik 𝑝 adalah sebuah titik pada bidang datar, vektor 𝑂𝑃 dari titik 𝒑. Jika koordinat titik 𝑝 adalah (𝑥1 , 𝑦1 ) maka vektor posisi dari titik 𝑃 adalah 𝑝 = ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑂𝑃 = (𝑥𝑦1 ).

1

Gambar 7 Vektor posisi titik 𝑝 Hal ini berarti vektor 𝑝 mempunyai komponen arah mendatar 𝑥 1 dan komponen arah vertikal adalah 𝑦1 . Jika titik 𝐴 di 𝑅 3 dengan koordinat 𝐴 adalah (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) maka vektor posisi titik 𝐴 sebagai berikut :

Gambar 8 Vektor posisi titik 𝐴 𝑥1 𝑥1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑦 𝑎 = 𝑂𝐴 = ( 1 ) sebaliknya, jika 𝑎 = (𝑦1 ) merupakan vektor posisi dari titik 𝐴, maka 𝑧1 𝑧1 titik 𝐴 berkoordinat (𝑥 1 , 𝑦1 , 𝑧1 ).

I. Vektor Satuan Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dengan arah sumbu 𝑥, dinotasikan dengan 𝑖. Vektor satuan dengan arah sumbu 𝑦 dinotasikan dengan 𝑗. Vektor

satuan dengan arah sumbu 𝑥 dinotasikan dengan 𝑘⃗.

1. Vektor Satuan Pada 𝑹𝟐 1 0 𝑖 = ( ); 𝑗 = ( ) 0 1

Gambar 9 Vektor satuan pada 𝑅 2 2. Vektor Satuan Pada 𝑹𝟑 1 0 0 𝑖 = (0) ; 𝑗 = (1) ; 𝑘⃗ = (0) 0 0 1

Gambar 10 Vektor satuan pada 𝑅 3

3. Vektor satuan dari Suatu Vektor Vektor satuan dapat saja diperluas pemahamannya. Kalian perhatikan vektor ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑃𝑄 yang berada pada sistem koordinat kartesius.

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ Gambar 11 Vektor 𝑃𝑄

Vektor satuan ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑃𝑄 adalah vektor ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑃𝑄 dibagi dengan panjangnya. Vektor satuan menunjukkan arah vektor dalam suatu ruangan. Contoh soal : menentukan vektor satuan dari 𝑣 = (3 6 4) 𝑣 = ( 3 6 4) 𝒗 ̂= 𝒗 ̂=

[ 3 6 4] √ 32 + 62 + 42 [3 6 4]

√ 61 1 = (3𝑖 + 6𝑗 + 4𝑘⃗) √ 61

J. Vektor Basis 1. Vektor basis di 𝑹𝟐 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ merupakan titik Diberikan titik 𝑃(𝑥 1 , 𝑦1 ) seperti tampak pada Gambar 12. 𝑂𝑃 terminal/ujung dari vektor posisi yang titik pangkalnya di pusat koordinat. Dari gambar ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝑂𝑄 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝑄𝑃 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ dimana 𝑂𝑃 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝑃⃗. tampak bahwa 𝑂𝑃 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝑥 1 𝑖 𝑂𝑄 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑄𝑃 = 𝑦1 𝑗 Sehingga dapat dituliskan : 𝑃⃗ = 𝑥 1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 Bentuk vektor ini disebut vektor basis 𝑖 dan 𝑗

Gambar 12 Vektor basis pada 𝑅 2 Jika setiap vektor di 𝑅 2 dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari dua vektor basis 𝑖 dan 𝑗 dalam bentuk 𝑃⃗ = 𝑥 1 𝑖 + 𝑦1 𝑗. 𝑥 1 dan 𝑦1 berturut-turut disebut komponenkomponen horizontal dan vertikal dari vektor 𝑃⃗.

Vektor dapat disajikan dalam bentu : -vektor basis, yaitu 𝑝 = (𝑥 1 , 𝑦1 ) -vektor kolom, yaitu (𝑥𝑦1 ).

1

2. Vektor basis di 𝑹𝟑 Jika 𝑅(𝑥 1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) adalah sembarang titik dan 𝑟 adalah vektor posisi 𝑅, maka komponen-komponen 𝑟 dapat dinyatakan sebagai : 𝑥 1 𝑖 (searah dengan ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑂𝑋 ) 𝑦1 𝑗 (searah dengan ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑂𝑌) ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ) 𝑧1 𝑘⃗ (searah dengan 𝑂𝑍

Gambar 13 Vektor basis pada 𝑅 3 Dari Gambar 13 tampak bahwa bentuk vektor ini merupakan kombinasi linear vektor basisi 𝑖, 𝑗, 𝑘⃗. ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝑂𝑃 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝑃𝑅 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑂𝑅 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑂𝑅 = ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑂𝑄 + ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑄𝑃 + ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑃𝑅, sehingga ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑂𝑅 = 𝑟 = 𝑥 1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1 𝑘⃗ Jadi, setiap vektor 𝑅 dalam ruangan (di 𝑅 3 ) dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari tiga vektor basis 𝑖, 𝑗, dan 𝑘⃗ yang tidak sebidang dalam bentuk : a. vektor basis, yaitu 𝑟 = (𝑥 1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) 𝑥1 b. Vektor kolom, yaitu 𝑟 = (𝑦1 ) 𝑧1

K. Operasi Vektor 1. Penjumlahan Vektor Diberikan dua vektor 𝑎 dan vektor 𝑏⃗. Vektor ketiga yaitu vektor 𝑐 diperoleh dengan menjumlahkan vektor 𝑎 dan vektor 𝑏⃗. Jadi, 𝑐 = 𝑎 + 𝑏⃗. Vektor 𝑐 dapat ditentukan dengan metode segitiga dan metode jajar genjang. a. Metode Segitiga Perhatikan gambar dibawah ini.

Gambar 14 Penjumlahan Vektor, (i) Metode Segitiga, dan (ii) Metode Jajargenjang Jumlah vektor 𝑎 dan vektor 𝑏⃗ yang merupakan vektor 𝑐 dapar ditentukan dengan memindahkan vektor 𝑏⃗ (tanpa mengubah panjang dan arahnya) sehingga titik pangkal vektor 𝑏⃗ berimpit dengan titik ujung vektor 𝑎. Vektor 𝑐 diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal vektor 𝑎 dengan titik ujung vektor 𝑏⃗ yang telah dipindahkan. Penjumlahan vektor seperti ini dikenal dengan metode segitiga.

b. Metode Jajar Genjang Jumlah dari vektor 𝑎 dan vektor 𝑏⃗ adalah vektor 𝑐 yang dapat ditentukan dengan memindahkan vektor 𝑏⃗ (tanpa mengubah panjang dan arahnya) sehingga titik pangkal vektor 𝑏⃗ berimpitan dengan titik pangkal vektor 𝑎. Vektor 𝑐 yang dimaksud adalah vektor yang titik pangkalnya di titik pangkal persekutuan vektor 𝑎 dan vektor 𝑏⃗, serta titik ujungnya adalah titik sudut keempat dari jajar genjang yang dibentuk oleh 𝑎 dan 𝑏⃗. Penjumlahan vektor seperti ini dikenal dengan metode jajar genjang.

Perhatikan Gambar 15! Dari metode segitiga terlihat bahwa : 𝑐 = 𝑎 + 𝑏⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑃𝑅 = ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑃𝑄 + ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑄𝑅

Gambar 15 Penjumlahan Vektor dengan Metode Segitiga Dengan memperhatikan pola penjumlahan maka : ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐴𝐶 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝐶𝐵 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ (untuk titik-titik, 𝐴, 𝐶, dan 𝐵) 𝐴𝐵 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐴𝑃 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝑃𝐵 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ (untuk titik-titik, 𝐴, 𝑃, dan 𝐵) 𝐴𝐵 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐴𝐷 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝐿𝐵 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ (untuk titik-titik, 𝐴, 𝐷, 𝐿, dan 𝐵) dan seterusnya. 𝐴𝐵

2. Pengurangan Vektor Diberikan 2 buah vektor, yaitu vektor 𝑎 dan vektor 𝑏⃗. Misalkan selisih vektor 𝑎 dan vektor 𝑏⃗ adalah vektor 𝑐 yang diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor 𝑎 dengan lawan vektor 𝑏⃗. Jadi, 𝑐 = 𝑎 − 𝑎 = 𝑎 + (−𝑏⃗). Secara geometris selisih (pengurangan) vektor 𝑎 dengan vektor 𝑏⃗ dapat diperlihatkan pada Gambar 16.

Gambar 16 Pengurangan Vektor 𝑎 − 𝑏⃗ = 𝑎 + (−𝑏⃗) ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝑃𝑆 ⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝑃𝑄 = ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑃𝑇 = ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑅𝑄 Dari ∆𝑃𝑄𝑅 terlihat bahwa : ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ − 𝑃𝑅 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝑅𝑄 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑃𝑄

3. Perkalian Skalar dengan Vektor Hasil kali skalar dengan vektor 𝑎 adalah suatu vektor yang panjangnya |𝑘| kali panjang vektor 𝑎 dan arahnya adalah : a. Sama dengan arah vektor 𝑎 jika 𝑘 > 0 b. Berlawanan dengan arah vektor 𝑎 jika 𝑘 < 0 c. Sama dengan nol jika 𝑘 = 0

Gambar 17 Perkalian Skalar dengan Vektor 1 1 2 Jika 𝑎 = (−2 ), maka 2𝑎 = 2(−2 ) = (−4 )

2 2 6 Jika 𝑏⃗ = ( 3 ), maka 3𝑏⃗ = 3 ( 3 ) = ( 9 ) −4 −4 12 𝑝 𝑝 𝑘𝑝 Secara umum, bila 𝑎 = (𝑞) maka 𝐾𝑎 = (𝑞) = (𝑘𝑞) 𝑟 𝑟 𝑘𝑟