Issuu on Google+


Editorial Queremos compartir con ustedes las novedades del año 2011: la revista Variables se beneficia, en su cuarto año de existencia, de un reforzamiento institucional, con el involucramiento oficial de la Universidad de Costa Rica, a través de las Escuelas de Matemáticas y Estudios Generales. Un grupo de docentes dinámicos conforma un equipo que comparte la misma visión de Variables: las matemáticas deben estar abiertas a su entorno inmediato y han de ser lúdicas y creativas. Otro avance significativo conseguido por la revista es su puesta a disposición en el sitio educatico del MEP, el portal Educatico, en la dirección www.educativo.ed.cr. El Proyecto Francés para el mejoramiento de la enseñanza de las matemáticas (PFEM), desarrollado conjuntamente por el instituto Francés para América Central (IFAC) de la Embajada de Francia en Costa Rica, el Centro Nacional de Enseñanza a Distancia (CNED), el Instituto de Investigación para las Matemáticas (IREM) de Bretaña en Francia y la Universidad de Costa Rica, seguirá cumpliendo, en el 2011, con sus compromisos de poner al alcance de los asesores y docentes de matemáticas un amplio panel de herramientas sencillas y actualizadas, así como talleres y charlas sin olvidar la III edición del Día del juego lógico-matemático que tendrá lugar el sábado 5 de noviembre.

ial

Editor

es

nfoqu

ye Temas

___ 4 tegia_ a r t s e sy Juego

es

Aport

R. del D a í g lo ___9 umero La n _ _ _ _ _ _ _ S F L IE S _14 ____ _ h s la dor F Matha

óricas

hist Gotas Eva

__17

____

alois riste G

pos asatiem p y s Juego __19 _

resa_

Sorp lculo -

Tram

mero pa Nú

Primo

_21

_22 ciones lu o s y s Anexo

Para más información, no duden en contactarnos en la dirección: educatif@coopfr.org. Consejo editorial. Susana Murillo L, Escuela de Matemáticas U.C.R. Andrea Araya, Escuela Matemáticas U.C.R. Francoise Guimier, IREM Rennes, Francia. Jean Michel Le Laouenan, CNED, Francia. Jean-Pierre Escofier, Université Rennes I, Francia. Marie-Christine Petitdemange, Liceo Franco Costarricense. Luis Valverde, Escuela de Estudios Generales U.C.R. William Castillo, exdirector Escuela Matemáticas UCR. Publicación impresa y Portal Digital: : Instituto Francés de América Central de la Embajada de Francia. Diseño y Diagramación: Greivin Alexis Sánchez Salazar. ISSN 1659-3391 X Edición. Abril 2011.

3


TEMAS Y ENFOQUES JUEGOS Y ESTRATEGIA Jean Michel Le Laouénan Director del departamento de Ciencias, Coordinador de la revista « Diagonales » Instituto de Rennes del CNED – Francia. Jean-Pierre Escofier Profesor de Universidad de Rennes 1 – Francia.

SEGUNDA PARTE

Juegos y Estrategia Quizás usted haya tenido la impresión, leyendo la primera parte de este artículo sobre « Juego y estrategia », que la búsqueda de las posiciones ganadoras es bastante intuitiva y por lo tanto, nada fácil. Vamos a presentar ahora un método general que permite encontrar posiciones ganadoras en muchos juegos. Este método se apoya en el análisis de las posiciones partiendo del final del juego.

Las columnas de un tablero están marcadas con las letras a, b, c, d, e, f, g y h, y sus líneas con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 (ver la figura adjunta). Un rey está sobre la casilla a1 de un tablero. Dos jugadores van a desplazarlo sucesivamente, respetando la siguiente regla: en un movimiento, En la primera parte de nuestro artículo, en el un jugador puede desplazarlo una casilla hacia número anterior de la revista Variables, habíamos la derecha, hacia arriba sobre la columna o hacia propuesto al lector el siguiente problema. arriba en diagonal tal y como se muestra en la figura adjunta.

Problema 4

El rey sobre el tablero

4

El jugador que consiga colocar al rey sobre la casilla h8, ganará. ¿Cuál de los dos jugadores tiene la estrategia ganadora? ¿El primero o el segundo?


Veamos, basándonos en este ejemplo, en qué consiste el método de indagación de las posiciones ganadoras partiendo del final. La posición final de un juego, aquí h8, es la ganadora. Marquémosla con el signo de « + », como todas las otras posiciones ganadoras que vamos a descubrir sobre la marcha.

Todas las posiciones mediante las cuales el rey pueda llegar a la casilla h8 en un solo movimiento, son posiciones perdedoras. Si el rey está sobre una de las casillas g8, g7 o h7, puede en el siguiente movimiento alcanzar la posición ganadora h8. Estas tres posiciones son por lo tanto perdedoras; las marcamos con el signo de « - », como todas las otras posiciones perdedoras que hallaremos mientras avanzamos en esta presentación.

Ahora bien, desde las casillas h6 y f8, el rey puede únicamente pasar con un solo movimiento a una posición perdedora (retomar sobre este tema las características de la clase de posiciones ganadoras, en la primera parte del artículo). Estas son dos posiciones ganadoras que debemos marcar con « + ».

Estas posiciones ganadoras generan una lista de posiciones perdedoras: h5, g5, g6, f7, e7 y e8. En efecto, cuando el rey se encuentra sobre una de estas casillas puede, de un solo movimiento, colocarse en una de las posiciones ganadoras h6 o f8 (retomar al respecto las características de la clase de posiciones ganadoras, en la primera parte del artículo). Las seis posiciones h5, g5, g6, f7, e7 y e8 deben marcarse con « - ».

5


Si continuamos así, obtenemos paso a paso la distribución de los « + » y los « - » sobre todo el tablero, disponiendo de un panorama completo de las posiciones ganadoras o perdedoras en este juego.

Usted puede constatar por lo tanto, que la posición inicial a1 del rey, en este juego, no es una posición ganadora. Es entonces el primer jugador quien posee una estrategia ganadora, ya que puede, desde el primer movimiento, ubicar al rey sobre la posición ganadora b2. Vamos a continuar jugando sobre un tablero, pero esta vez, es la reina quien entra en juego.

Problema 5

Vamos a construir, como lo hicimos en el juego anterior, el abanico de posiciones ganadoras en todo el tablero para los movimientos de la reina, siguiendo la regla indicada. La casilla h8 es la posición ganadora final del juego. Esta casilla es entonces, marcada con el signo « + ». Las otras casillas de la línea 8, de la columna h o de la diagonal a1-h8 son posiciones perdedoras, porque la reina puede con un solo movimiento y desde cualquiera de esas casillas, alcanzar la posición ganadora h8. Fuera de la casilla h8, las de la línea 8 de la columna h y de la diagonal a1-h8, debemos marcarlas con el signo « - ». Las dos casillas f7 y g6 estarían entonces marcadas con « + » pues, si la reina se encuentra en éstas, solo puede alcanzar, con un solo movimiento, una de las casillas f8, g8, g7, h7 o h6, que son todas perdedoras. Si seguimos así paso a paso, completaremos el tablero señalándolo con signos de « + » y « - ». Esta disposición la representamos en la figura adjunta.

La reina sobre el tablero Una reina está ubicada en el tablero. Dos jugadores van alternadamente a colocarla respetando la siguiente regla: esta reina debe efectuar un desplazamiento de cualquier cantidad de casillas, ya sea hacia la derecha, hacia arriba o diagonalmente (hacia arriba y hacia la derecha), como se muestra en la figura adjunta. Está inicialmente ubicada en la casilla c1 del tablero. El jugador que logre colocarla en la casilla h8, gana la partida. ¿Cuál de los dos jugadores posee la estrategia ganadora? ¿El que juega de primero o el que juega de segundo?

6

Usted podrá constatar que la posición inicial de la reina c1, en este juego, no es una posición ganadora. Por lo tanto, es el primer jugador quien


posee una estrategia ganadora, ya que puede, Así, por ejemplo, la posición con su primer movimiento, colocar a la reina en inicial del juego (7 piedras en una de las posiciones ganadoras c5, d1 o e3. el primer puño y 5 en el segundo) está asociada a la casilla (7, 5) que Continuemos con un juego en donde el contexto a su vez se encuentra sobre la línea 7 no es el de un tablero, pero lo evocaremos con el y sobre la columna 5. Remarquemos que fin de aplicar cómodamente el método de análisis un movimiento en este juego corresponde a un a partir del final. desplazamiento de la reina en el juego anterior:

Problema 6

Puños de piedras Sobre una tabla hay dos puños de piedras: uno de 7 y otro de 5. Dos jugadores juegan por turno con sus puños de piedras de la siguiente manera: en su turno, el jugador puede tomar un determinado número de piedras en uno de los puños o tomar el mismo número de piedras en cada puño. El jugador que no puede jugar su turno, pierde. ¿Cuál de los dos jugadores posee una estrategia ganadora?, ¿el que comienza o el otro? La idea consiste en cambiar el marco del problema propuesto y formularlo en términos del juego de ajedrez. Enumeremos las horizontales y las verticales del tablero con los números del 0 al 7. Cada posición del juego puede entonces estar asociada a una casilla del tablero de la siguiente manera: el número de piedras que quedan en el primer puño es igual al número de la línea sobre la cual se encuentra la casilla y el número de piedras restantes en el segundo puño es igual al número de la columna a la que pertenece esta misma casilla. 0 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 0

► tomar piedras del primer puño en este juego, corresponde a un desplazamiento de la reina hacia arriba en el juego anterior; ► tomar piedras del segundo puño corresponde a un desplazamiento de la reina hacia la derecha, ► tomar la misma cantidad de piedras en los dos puños, corresponde a un desplazamiento de la reina en diagonal. Hemos evidenciado entonces la correspondencia de este juego con el anterior. Las posiciones ganadoras en éste son las mismas que las del anterior. Estas posiciones están representadas en la figura adjunta. 0 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 0 Usted puede constatar que la posición inicial (7, 5) del juego (la casilla que se encuentra sobre la línea 7 y en la columna 5) no es una posición ganadora. Es por lo tanto el primer jugador quien posee una estrategia ganadora, pues puede, desde su primer movimiento, ocupar una de las posiciones ganadoras (3, 5), (7, 4) o (5, 3) tomando 4 piedras del primer puño o 1 piedra del segundo, o dos piedras en cada puño.

7


Terminamos presentando un juego de cálculo que puede practicar con sus estudiantes. Estarán muy contentos jugándolo con los números y satisfechos al descubrir junto con usted la estrategia ganadora obtenida por el método de análisis a partir del final.

Problema 7

Al menos obtener 500 Este juego comienza con el número 1. Dos jugadores van modificándolo sucesivamente de la siguiente manera: cuando es su turno, el jugador agrega 7 al último resultado o lo multiplica por 7. El jugador que obtiene de primero un número superior a 500 gana. De estos dos jugadores, ¿cuál posee una estrategia ganadora? ¿El que comienza o el otro? Analicémoslo a partir del final del juego. El conjunto de números {72, 73, 74, …, 499} es un conjunto de posiciones perdedoras, pues la multiplicación por 7 de cualquiera de estos números da un resultado superior a 500. El conjunto {65, 66, …, 71} constituye un conjunto de posiciones ganadoras, pues si se agrega 7 a cada uno de estos números o si se multiplica por 7, se obtiene un resultado que forma parte del conjunto anterior de posiciones perdedoras. Entonces, el conjunto {58, 59, …, 64} constituye un conjunto de posiciones perdedoras dado que es posible, agregando 7, pasar de cualquiera de sus posiciones a una posición ganadora. Continuando paso a paso con este análisis, concluiremos que los conjuntos {51, 52, …, 57}, {44, 45, …, 50}, {37, 38, …, 49}, {30, 31, …, 36}, {23, 24, …, 29}, {16, 17, …, 22} constituyen alternativamente familias de posiciones ganadoras y perdedoras (los conjuntos de posiciones ganadoras están en negrita). Usted remarcará la regularidad en el número de elementos (7) de estas últimas clases

8

de posiciones. El conjunto siguiente de posiciones ganadoras es el conjunto {11, 12, 13, 14, 15}. En efecto, es un conjunto de posiciones ganadoras pues, si agregamos 7 a cada uno de sus números o si los multiplicamos por 7, accederemos a posiciones perdedoras. Observe que este último conjunto sólo posee 5 elementos. El número 10 no forma parte de este conjunto de posiciones ganadoras pues si se multiplica por 7, accedemos a una posición ganadora. Por lo que representa una posición perdedora aislada. El final del análisis muestra que los conjuntos {9}, {4, 5, 6, 7, 8}, {3}, {2} y {1} constituyen alternativamente clases de posiciones ganadoras y perdedoras (todas las posiciones ganadoras están en negrita). La posición inicial del juego (1) es una posición ganadora. Por lo que es el segundo jugador quien dispone de una estrategia ganadora.

rafía : Cned: Biblioge Diagonales du pe Baurens, - Revu an-Philip

1 e Aubry, J -Roy, Danielle nçoise Coste Ilia Itenberg, ra cofier, Marie-F uénan, ierre Es Jean-P Michel Le Lao Jean ikova, 999, a Miasn Nathali tch – CNED, 1 ri . o 1 ° Z n que Anton thémati ques de a m r ie Cah émati les math ine, 2- Cerc e Dimitri Fom erg d d enb Léningra enkine y Ilia It u G ï Sergue 1. a, s A , v o Kir


APORTES HOMENAJE A MARTIN GARDNER Como planteamos en la edición anterior, la muerte de Martin Gardner en mayo del 2010, nos motivó a publicar dos artículos como muestra de su destreza y cultura matemática, he aquí el segundo de ellos. Aunque inicialmente se planteó “El todo” como el artículo por publicar, con el objetivo de llegar a un mayor público hemos pensado en el artículo, “La numerología del Dr. Fliess”, para este objetivo.

Posiblemente una de las páginas más inverosímiles de la historia donde se involucran la numerología, la ciencia, la homosexualidad y el fanatismo, lo protagonizan un cirujano berlinés de apellido Fliess y ni más ni menos que el propio Sigmund Freud. Verdadera novela que plantea una neurótica relación que trata de reducir el comportamiento humano a ciclos alrededor de los números 23 y 28. El cierre de la historia era de esperarse, ninguno de los dos participantes contaba con grandes habilidades matemáticas que les permitiera descubrir el error que cometían. Las aclaraciones llegaron tarde, la fliessmanía había contagiado a muchos. Sin duda que de la pluma de Martin Gardner, la historia cautivará a más de uno de nuestros lectores.

LA NUMEROLOGIA DEL DR. FLIESS Por Martin Gardner

En Aussee conozco un bosque maravilloso, lleno de helechos y de hongos, en el que habrás de revelarme los secretos del mundo de los animales inferiores y de los niños. Nunca me he sentido tan atónito y embobado ante tus comunicaciones, pero espero que seré el primero en oírlas y que, en lugar de un breve artículo, nos obsequiarás dentro de un año con un pequeño libro que resuelva todos los secretos orgánicos, reduciéndolos a períodos de 28 y de 23. SIGMUND FREUD en una carta a Wilhelm Fliess, 1897

9


Uno de los episodios más absurdos y extraordinarios de la historia de la pseudociencia numerológica tiene que ver con la obra de un cirujano berlinés llamado Wilhelm Fliess. Fliess estaba obsesionado con los números 23 y 28. Estaba convencido y convenció a otros de que detrás de todo fenómeno biológico, y quizás de la naturaleza inorgánica, habían dos ciclos fundamentales: uno masculino de 23 días y otro femenino de 28. Trabajando con múltiplos de estos números —a veces sumando, otras restando— logró imponer este esquema a casi cualquier cosa. Su obra provocó en Alemania gran revuelo durante los primeros años de este siglo. Varios discípulos suyos adoptaron el sistema, elaborándolo y modificándolo en libros, panfletos y artículos. En los últimos años el movimiento ha arraigado en los Estados Unidos. La numerología de Fliess tiene interés para la matemática recreativa y para los estudiosos de la ciencia patológica; pero probablemente no se recordaría hoy a Fliess de no ser por un hecho casi increíble: durante toda una década fue el mejor amigo y confidente de Sigmund Freud. En el período de máxima creatividad de Freud, aproximadamente de 1890 a 1900, que culminó con la publicación de La interpretación de los sueños (1900), le unió a Fliess una relación extraña y neurótica que tenía —como muy bien sabía Freud— fuertes corrientes homosexuales no conocidas. Las primeras figuras del psicoanálisis conocían naturalmente la historia, pero del resto de la gente pocos eran los que habían oído hablar de ella hasta que se publicó en 1950 una selección de 168 cartas de Freud a Fliess, de un total de 284 que el segundo había conservado cuidadosamente. Freud, anonadado al saber que las cartas seguían existiendo, rogó a su propietaria (la analista Marie Bonaparte) que no permitiera su publicación. Cuando aquélla preguntó a Freud dónde estaba la correspondencia que había recibido de Fliess, contestó: «Todavía no sé si la destruí o la escondí ladinamente». Se supone que la destruyó.

10

Cuando los dos hombres se encontraron por primera vez en Viena en 1877, Freud tenía treinta y un años, era relativamente desconocido, feliz en su matrimonio y poseía una experiencia modesta en psiquiatría. Fliess tenía una consulta mucho más boyante como cirujano de garganta y nariz en Berlín. Era dos años más joven que Freud, soltero (más tarde se casó con una vienesa adinerada), apuesto, vano, brillante, ingenioso y bien informado en temas médicos y científicos. Freud inició su correspondencia con una carta lisonjera. Fliess respondió con un regalo, recibiendo después una fotografía de Freud que había pedido. En 1892 habían cambiado el Sie (usted) formal por el íntimo du (tú). Freud escribía a Fliess con más frecuencia que éste a aquél y se atormentaba cuando tardaba en contestarle. Mientras su esposa esperaba el quinto hijo, Freud decidió que se llamaría Wilhelm. De hecho hubiese bautizado así a cualquiera de sus dos vástagos menores, pero, como dice Jones, «afortunadamente los dos fueron niñas». Los fundamentos de la numerología de Fliess fueron dados a conocer al mundo por primera vez en 1897 con la publicación de su monografía Die Beziebungen zwischen Nase und weibliche Geschlechtsorganen tn ihrer biolo-gischen Bedeutungen dargestellt (Las relaciones entre la nariz y los órganos sexuales femeninos desde el punto de vista biológico). Fliess mantenía que cualquier persona es realmente bisexual. El componente masculino está sintonizado con el ciclo rítmico de 23 días, el femenino con el de 28. (El ciclo femenino no debe confundirse con el menstrual, aunque ambos están relacionados en su origen evolutivo). El ciclo masculino es el dominante en los machos normales, estando reprimido el femenino. En las hembras normales ocurre lo contrario. Los dos ciclos están presentes en cualquier célula viva y, por consiguiente, juegan sus papeles dialécticos en todas las cosas animadas. En el hombre y en los animales los dos ciclos comienzan con el nacimiento. El sexo del niño viene determinado por el ciclo que se transmite primero.


Los períodos continúan a lo largo de la vida, manifestándose en los altos y bajos de la vitalidad física y mental, y determinando finalmente el día de la muerte. Por otro lado, ambos ciclos están íntimamente relacionados con la mucosa de la nariz. Fliess pensó que había encontrado una relación entre las irritaciones nasales y toda clase de síntomas neuróticos e irregularidades sexuales. Diagnosticaba estas enfermedades inspeccionando la nariz y las trataba aplicando cocaína a los «puntos genitales» del interior de la misma. Informó de casos en que se habían producido abortos por anestesiar la nariz y sostenía que, tratando ésta, podía controlar las menstruaciones dolorosas. En dos ocasiones operó a Freud de la nariz. En un libro posterior sostuvo que los zurdos están dominados por el ciclo del sexo opuesto; cuando Freud expresó sus dudas, le acusó de ser zurdo sin saberlo.

Sin embargo, la aceptación por parte de Freud de la teoría cíclica de Fliess no era todo lo entusiasta que éste esperaba. Anormalmente sensible a la más ligera crítica, creyó haber detectado en una carta que Freud le escribió en 1896 ligeras sospechas acerca de su sistema: fue el momento en que comenzó a surgir lentamente una hostilidad latente entre ambos. La anterior actitud de Freud hacia Fliess había sido la de una dependencia casi de adolescente hacia una figura paterna, mientras que ahora desarrollaba teorías propias acerca de los orígenes de la neurosis y los métodos para tratarla. A Fliess le agradó muy poco ésto. Dijo que las curas imaginarias de Freud no eran más que las fluctuaciones de la enfermedad mental siguiendo los ritmos masculino y femenino. El choque entre los dos hombres era inevitable.

Freud tomó al principio la teoría de los ciclos de Fliess por uno de los mayores avances en biología. Envió a Fliess informaciones sobre los ciclos de 23 y 28 días de su propia vida y los de los miembros de su familia y vio las alteraciones de su salud como fluctuaciones de estos dos períodos. Creyó que con ellos podía explicarse la distinción que había encontrado entre neurastenia y neurosis de angustia. En 1898 rompió sus relaciones editoriales con una revista por negarse ésta a retirar una dura recensión de uno de los libros de Fliess.

Fue Fliess quien inició la retirada, como era de prever por las anteriores cartas. La grieta creciente hundió a Freud en una profunda neurosis, de la que sólo salió después de años de penoso autoanálisis. Los dos acostumbraban a reunirse frecuentemente en Viena, Berlín, Roma o en cualquier otro lugar para celebrar lo que Freud denominaba alegremente sus «congresos».

Hubo una época en que Freud sospechó que el placer sexual era una liberación de energía del ciclo de 23, y el displacer sexual del de 28. Durante mucho tiempo creyó que moriría a los 51 años porque era la suma de 23 y 28, y Fliess le había dicho que ésta sería su edad más crítica. En el libro sobre los sueños escribió Freud: «los cincuenta y un años parecen ser particularmente peligrosos para los hombres». «Conozco muchos colegas que han muerto repentinamente a esta edad. Entre ellos uno a quien después de grandes demoras se le concedió una cátedra solamente unos cuantos días antes de su muerte».

Freud trató de curar la herida. Le propuso colaborar en un libro sobre bisexualidad. Le sugirió reunirse de nuevo en 1902. Fliess no atendió ninguna de las dos invitaciones. Además, en 1904, escribió violentas acusaciones contra Freud, diciendo que por él se habían filtrado algunas de sus ideas, que Hermann Swoboda, uno de los jóvenes pacientes de Freud, había publicado como propias. La disputa final parece que tuvo lugar en el restaurante del Hotel Park de Munich. En dos ocasiones posteriores, hallándose Freud en este mismo lugar por celebrarse reuniones del movimiento analítico, tuvo fuertes ataques de angustia. Jones recuerda que en 1912 un grupo que incluía a Freud y a Jung estaba almorzando en el mismo salón. La ruptura entre los dos era inminente. En medio de una discusión Freud se desmayó de pronto. Jung lo llevó a un sofá.

11


Cuando Freud volvía en sí dijo: «Qué dulce debe ser morir». Más tarde confió a Jones la razón de su desmayo. Fliess escribió muchos libros y artículos sobre su teoría de los ciclos. Su obra magna fue un volumen de 584 páginas de título Der Ablauf des Lebens: Grundlegung zurExakten Biologie (El decurso de la vida: fundamentos de una biología exacta), publicado en Leipzig en 1906 (segunda edición, Viena, 1923). El tratado es una obra maestra de excentricidad germánica. La fórmula básica de Fliess puede escribirse así: 23x + 28y, siendo x e y enteros positivos o negativos. Página a página la aplica a fenómenos naturales que van desde la célula al sistema solar. Por ejemplo, la luna da la vuelta a la tierra en 28 días; el ciclo de una mancha solar es de casi 23 años. El apéndice del libro está repleto de tablas tales como los múltiplos de 365 (días del año), múltiplos de 23, de 28, de 232, de 282, de 644 (que es 23 x 28). Ciertas constantes importantes tales como 12.167 [23 x 232 ]; 24.334 [2 x 23 x 232 ]; 36.501 [3 x 23 x 232 ]; 21.952 [28 x 282 ]; 43.904 [2 x 28 x 282 ], etc., van impresas en negritas.

En una tabla se recogen los números del 1 al 28 expresados como diferencias entre múltiplos de 28 y 23 (por ejemplo, 13 = (21 x 28) - (25x23) ). Otra contiene los números del 1 al 51 [23 + 28] como sumas y diferencias de los múltiplos de 23 y 28 [por ejemplo, 1 = (1/2 x 28) + (2 x 28) - (3 x 23)]. Freud admitió con frecuencia que era desesperadamente inepto para cualquier habilidad matemática. Fliess conocía la aritmética elemental y poco más. No se dio cuenta de que si los números 23 y 28 de su fórmula básica se sustituyen por dos enteros positivos cualquiera, es posible expresar cualquier entero positivo. ¡No es maravilla que la expresión pudiera adaptarse sin dificultad a los fenómenos naturales! Puede verse fácilmente operando en varios ejemplos con el 23 y el 28. En primer lugar determinemos que valores de x e y pueden dar a la fórmula el valor 1. Son x = 11 e y = -9: (23 x 11) + (28 x -9) = 1

12

Es muy sencillo obtener el entero positivo que se desee siguiendo el procedimiento que se indica: [23 x (11 x 2)] + [28 x (-9 x 2)] = 2 [23 x (11 x 3)] + [28 x (-9 x 3)] = 3 [23 x (11 x 4)] + [28 x (-9 x 4)] = 4, etc. Como señaló recientemente Roland Sprague en un libro de pasatiempos alemán, “es posible expresar todos los enteros positivos superiores a un cierto valor incluso si se excluyen los valores negativos de x e y. Sprague pregunta: ¿Cuál es el mayor número perteneciente al conjunto finito de los enteros positivos que no pueden expresarse mediante esta fórmula? Dicho de otro modo: ¿Cuál es el mayor número que no puede obtenerse sustituyendo x e y por enteros no negativos en la expresión 23x + 28y? Freud cayó finalmente en la cuenta de que los resultados superficialmente sorprendentes de Fliess no eran otra cosa que malabarismos numerológicos. Tras la muerte de Fliess en 1928 (obsérvese el obligado 28), el físico alemán J. Aelby publicó un libro que refutaba por completo sus dislates. Pero a esas alturas había echado ya raíces el culto al 23-28 en Alemania. Swoboda, que vivió hasta 1963, fue la segunda figura en importancia. Como psicólogo de la Universidad de Viena dedicó mucho tiempo a investigar, defender y escribir acerca de la teoría de los ciclos de Fliess. En su propia obra maestra, un libro de 576 páginas intitulado Das Siebenjahr (El año del Siete), informa de sus estudios de cientos de árboles genealógicos para demostrar que acontecimientos tales como los ataques al corazón, muertes y enfermedades graves tienden a producirse en ciertos días críticos que pueden calcularse tomando como base los ciclos masculino y femenino. Aplicó la teoría cíclica al análisis de los sueños, práctica que criticó Freud en una nota a pie de página, de 1911, en su libro sobre los sueños. Swoboda ideó la primera regla de cálculo para determinar los días críticos, sin cuya ayuda la labor es tediosa y difícil. Por increíble que parezca, en 1960 el sistema de Fliess tenía todavía un pequeño pero devoto círculo de adeptos en Alemania y Suiza.


Habían doctores en varios hospitales suizos que determinaban los días apropiados para las intervenciones quirúrgicas en base a los ciclos de Fliess. (La práctica se remonta a Fliess. Cuando uno de los pioneros del análisis, Karl Abraham, hubo de ser operado en 1925 de la vesícula, insistió en que la intervención tuviese lugar en uno de los días favorables calculados por Fliess). A los ciclos masculino y femenino primitivos han añadido los modernos fliessianos un tercero al que denominan intelectual y que tiene una longitud de 33 días. La editorial Crown ha publicado en Estados Unidos dos libros sobre el sistema suizo: Biorhyíhm, por Hans J. Wernli (1961), y Is this your day?, de George Thommen (1964). Este último fue el presidente de una compañía que fabrica calculadoras y tablas para trazar los ciclos de una persona. Los tres ciclos comienzan con el nacimiento y continúan con absoluta regularidad a lo largo de toda la vida, aunque su amplitud decrece con la edad. El masculino controla caracteres tales como el vigor físico, la confianza, la agresividad y la fortaleza; el femenino, rasgos como los sentimientos, la intuición, la creatividad, el amor, la cooperación y la alegría; el intelectual, los poderes mentales que son comunes a ambos sexos: inteligencia, memoria, concentración, rapidez de pensamiento. Anexo En el discurso pronunciado por Thommen en la XXXVI convención anual del Consejo de Seguridad del Gran Nueva York, dijo que se estaban preparando proyectos de investigación sobre el biorritmo en las Universidades de Nebraska y de Minnesota y que el médico-jefe del Departamento de Salud Pública de Tokio, el doctor Tatai, había publicado un libro, Biorhythm and Human Life (Biorritmo y vida humana) en el que empleaba su sistema. Añadió que con motivo del accidente de un Boeing 727 ocurrido en Tokio en 1966, Tatai había trazado la carta del piloto y comprobado que se había estrellado en uno de sus días bajos. Japón parece haber recibido con más entusiasmo la teoría del biorritmo que los Estados Unidos. Según la revista Time del 10 de enero de

1972, página 48, la Ohmi Railway Co., de Japón, calculó los biorritmos de sus 500 conductores de autobuses, aconsejándoles que fueran especialmente prudentes en sus días «malos». El número de accidentes descendió el 50%. El número del 18 de enero de 1975 de Science News, en su página 45, publicó un gran anuncio sobre los nuevos Instrumentos Biorrítmicos ($11,50) de la Edmund Scientific Company, entre los que se encontraba una calculadora Dialgraf de precisión. Se ofrecía además una carta biorrítmica «calculada con exactitud y personalizada», para 12 meses, a todo lector que indicase su fecha de nacimiento y enviase 15,95 dólares. Me pregunto si Edmund estará empleando los gráficos tradicionales (posiblemente desfasados tres días) o los procedimientos más refinados de Zaeske. Respuestas El mayor entero positivo que no puede expresarse como suma de múltiplos de dos enteros no negativos a y b que sean primos entre sí es igual a ab - a - b. En nuestro caso: (23 x 28) - 23 - 28 = 593. La demostración de la fórmula puede encontrarse en Recreation in Mathematics de Roland Sprague, Problema 26 (Londres: Blackie, 1963). El segundo problema pedía determinar cuándo la carta biológica de una persona, construida de acuerdo con la escuela suiza de Wilhelm Fliess, terminará un ciclo completo y comenzará a repetirlo de nuevo. Los tres ciclos superpuestos tienen períodos de 23, 28 y 33 días. Los tres números son primos entre sí (no tienen ningún divisor común), por lo cual el modelo combinado no se repetirá hasta después de un lapso de 23 x 28 x 33 = 21.252 días, más o menos 58 años. Puesto que el sistema de Fliess no incluía el ciclo de 33 días, su modelo se repite después de 23 x 28. = 644 días. Este período lo llaman «año biorrítmico» los fliessianos suizos. Es importante cuando se calcula la «compatibilidad biorrítmica» de dos individuos, ya que dos personas nacidas con 644 días de diferencia tienen sus ciclos principales sincronizados. Fuente: Martin Gardner. Carnaval Matemático. Alianza Editorial. IV edición 1984.

13


Material:

MATHADOR FLASH Mathador flash es un juego matemático cuyo objetivo es practicar el cálculo mental. Lo creó un profesor de matemática francés: Eric Trouillot. La aventura Mathador, en pocas palabras, es un intento de acercamiento entre los tres mundos: los números, la escuela y el juego. En resumen, Mathador tiene dos vidas: dentro y fuera de la escuela; y esto, creo, es importante para crear imágenes matemáticas atractivas que pueda construir puentes entre la escuela y la vida real. Una vez que el estudiante sea capaz, por sí mismo, de practicar las matemáticas fuera de la escuela, se rompe una imagen austera de la matemática. Crear las condiciones para un aprendizaje efectivo de las matemáticas con el placer, es lo que se propone con este juego.

* 5 dados blancos: 1 dado con 4 caras (1, 2, 3, 4), 1 dado con 6 caras (1, 2, 3, 4, 5, 6), 1 dado con 8 caras (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), un dado con 12 caras ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) y un dado con 20 caras (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20).

* 3 dados rojos: 1 dado de 6 caras (1, 2, 3, 4, 5, 6), 1 dado de 10 caras (unidades: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), y un dado de 10 caras (decenas: 00, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90)

Todos estos dados se leen en su cara superior. Cuidado con el dado de 4 caras que es una pirámide! El nombre que hay que recordar es el que se repite alrededor del vértice. • Un reloj de arena de un minuto.

El juego se compone de 10 dados con caras múltiples y de un reloj de arena. Está destinado a niños y adultos a partir de los 7 años. Sirve para favorecer el cálculo mental “reflexionado” o cálculo mental “al revés”.

14


Objetivo:

Observaciones

Encontrar lo más rápido posible el número” meta”, usando cinco números. El número “meta” y los cinco números se obtienen a partir de un lanzamiento de 7 dados.

* Cada número se puede usar a lo sumo una vez, pero no es obligatorio usarlos todos. * Hay que hacer por lo menos una operación para obtener el número “meta”.

Número de jugadores

La partida finaliza cuando un jugador ha ganado 5 puntos.

* De 2 a 6 jugadores. * En el aula, el profesor maneja el uso del reloj de Ejemplo: arena. Escribe el número “meta” y los 5 números que se usan en la pizarra para que todos los vean. Desarrollo de una partida Para obtener el número “meta” y los cinco números: * Un jugador tira dos dados rojos: el cubo (de 1 a 6) y el dado de 10 caras (de 0 a 9). El cubo determina el dígito de las decenas y el dado de 10 caras el de las unidades. Se obtiene un número entre 10 y 69. Este número es el número “meta”. * Un jugador tira los cinco dados blancos. Se obtienen los 5 números que hay que combinar con las cuatro operaciones básicas para obtener el número “meta”. * Se coloca el reloj de arena en el centro de la mesa y se le da vuelta; ¡la partida puede empezar! * En cuanto un jugador piensa haber fabricado el número “meta”, toma el reloj de arena y lo acuesta para parar la caída de la arena y detalla sus cálculos a los otros jugadores. * Si se equivocó, pierde un punto, entonces se endereza de nuevo el reloj de arena y el juego sigue. * Si sus cálculos son exactos, gana un punto. * Si ningún jugador ha encontrado una solución al final del tiempo, ningún punto se atribuye.

Soluciones: 14− 5=9 y 7×9=63 o 5×14=70 y 70−7=63; 14+7 = 21 y 8−5 =3 y 21×3=63

Variantes del juego. * Para los más jóvenes (a partir de 7 años), basta con tomar el dado blanco de 20 caras para obtener el número “meta”. Los 4 otros dados blancos sirven para calcular. * Para los campeones se sustituye el cubo rojo por el dado rojo de las decenas (de 00 a 90). Por ejemplo, si el dado de 10 caras (decenas) da 70 y el dado de 10 caras (unidades) da 8, el número “meta” es 78 (70+8). Puede encontrar más información en la página: http://www.mathador.fr/

Los dados se pueden fabricar en cartulina en clase. A continuación se dan modelos de los 7 Luego, se endereza el reloj de arena y se sólidos. vuelve a tirar los dados. La partida sigue.

15


11 3 7

1

4 6

D12

D6

8

2

10 2 1

6

4

6

7

5

3

8

12

5

6.

3

5 1

6.

13

1

2

2

1

2 4

3

x2

3

3 1 1

4

11

70 . 90

00

2

20

9.

7

4

D100

D4

D6

1 3 2 4 6 5

8

7

. 40

9.

17

0

60

80

D20

5 10

1

3

20

2

14

10

19 16 12 18

15

30 50

16


GOTAS HISTORICAS UN MATEMÁTICO EXCEPCIONAL Evariste Galois (1811-1832) I PARTE. Jean-Pierre Escofier UFR mathématique Campus de Beaulieu. Université de Rennes I, Francia. Este año se celebra el bicentenario del nacimiento de Evariste Galois, un matemático excepcional, quien tuvo una vida particularmente intensa y dramática. Evariste Galois nace el 25 de octubre de 1811, en Bourg-la-Reine, una comunidad ubicada algunos kilómetros al sur de París. Su padre fue director de un colegio y también alcalde de su comunidad, un liberal en oposición política con el régimen reaccionario instaurado por el rey Luis XVIII, luego de la caída de Napoleón. La madre de Evariste toma a cargo una gran parte de la educación de su hijo. A los doce años, Evariste entra al colegio real Luis-El-Grande. Sus profesores lo encuentran brillante, aunque un poco raro y enfrentador. En 1826, sus resultados son mediocres y tiene que repetir el año. Al contrario de la época revolucionaria, las matemáticas no son enseñadas más que de manera opcional. El joven Evariste las descubre solo, leyendo sin problema a los grandes autores de su época: los Elementos de geometría de Legendre, los textos sobre

ecuaciones de Lagrange, textos de Euler, de Gauss y de Jacobi, y obtiene el primer premio en el Concurso general de matemáticas, un concurso nacional que tenía lugar todos los años.

17


En 1828, Evariste fracasa por primera vez en el concurso de entrada a la Escuela Politécnica, la gran escuela francesa que forma la élite científica de Francia desde la Revolución. Es aceptado en la clase de matemáticas especiales del liceo Luis-ElGrande. Su profesor, Richard, tiene 33 años y admira el genio de su alumno; motiva a su joven estudiante y lo compromete a publicar un primer trabajo que aparecerá en abril de 1829. Conserva los exámenes de su joven alumno y es gracias a él, que nosotros los tenemos todavía. Los primeros retos comienzan. Cauchy pierde un artículo que Galois le envía (Cauchy era a menudo negligente para los trabajos de otros). El padre de Galois es víctima de cartas anónimas (escritas por el cura) y se suicida el 2 de julio de 1829; su entierro da lugar a un motín. Algunos días más tarde, Galois se presenta nuevamente al concurso de la Escuela politécnica y fracasa, ante la estupefacción general; el examinador habría planteado una pregunta (quizá sobre logaritmos), juzgada como estúpida por Galois, que hablará más tarde de la risa loca de los señores examinadores de los candidatos a la Escuela politécnica; “su lugar no está ciertamente en la posteridad”, añade.

Las opiniones políticas de Galois parecen haber evolucionado rápidamente y desde ese momento, vive con la misma intensidad los acontecimientos históricos y los matemáticos. Durante los días revolucionarios del 27, 28 y 29 de julio de 1830, que desarrollan el régimen reaccionario que controlaba entonces Francia y que lleva al poder a un nuevo rey, Luis-Felipe. Galois no puede participar en la acción, ya que está inscrito en su escuela; por el contrario, los politécnicos se escapan y toman parte en la historia. En octubre de 1830, al inicio del año, cuando el nuevo rey hace evolucionar a Francia hacia un régimen más liberal, Galois se radicaliza: se convierte en republicano, participa en acciones de lucha contra el nuevo régimen, muestra coraje, “Siempre listo a defender el derecho de las masas” según la expresión de un miembro de su familia. El 10 de noviembre, critica el oportunismo del director de la Escuela Normal, fiel al reino reaccionario y que se ha convertido en defensor del nuevo reino. Además, agrega a sus críticas políticas, críticas sobre la enseñanza dentro de la escuela. Es suspendido temporalmente.

El último artículo matemático publicado estando Galois en vida, aparece el 1° de diciembre. El 5 de diciembre siguiente, un alumno de la Escuela Normal firma una extensa carta, en la que el director se burla: se le atribuyen ideas muy Richard aconseja a su alumno presentarse a la estrechas. A principios de enero de 1831, por Escuela Normal, de un nivel inferior al de la Escuela decisión excepcional, Galois es expulsado de la Politécnica en ese momento, lo que Galois logra Escuela Normal. sin dificultad. A la fecha Galois tiene 17 años; sus investigaciones son suficientemente avanzadas Galois publica el 2 de enero de 1831 otra carta: para que planee participar en el gran premio Sobre la enseñanza de las ciencias, subtitulada: de matemáticas de la Academia de ciencias. Profesores, Obras y Examinadores. En ésta se Presenta su trabajo al secretario de la Academia, denuncia con fuerza y vehemencia la mediocridad el gran Joseph Fourier. Fourier es viejo, se lleva el de la enseñanza a los estudiantes: ¿ Cuándo les manuscrito a su casa y muere el año siguiente. El dejaremos tiempo para meditar este montón de manuscrito se pierde; sin embargo, una parte de conocimientos? ¿Por qué los examinadores sólo los resultados de Galois se publica en una revista plantean preguntas a los candidatos de manera científica, el Boletín de las Ciencias Matemáticas enredada? Pareciera que temen ser incluidos del Barón de Férussac en abril y junio de 1830. entre aquellos que son interrogados... ¿Se cree El gran premio de la Academia corona ese año que la ciencia es demasiado fácil? los trabajos de Abel (fallecido el año anterior, él también víctima de grandes injusticias) y de Continuará en la próxima edición… Jacobi.

18


JUEGOS Y PASATIEMPOS CALCULO - SORPRESA

Técnicas de cálculo * 2 jugadores * De 5 a 10 minutos Material * 10 fichas enumeradas de 0 a 9 que se lanzarán al azar * Un esquema de cálculo presentado según una disposición conocida por los dos jugadores (la complejidad del juego dependerá de la complejidad del esquema) Ejemplo: x

+

-

x

Objetivo del juego Estar la mayor cantidad de tiempo posible con el fin de hacer un cálculo, del cual solo conocemos un esquema al inicio del juego. Reglas 1. Por turno, cada jugador: * tira al azar 2 fichas de las diez, * escoge una de las dos cifras indicadas por las fichas, * escribe la cifra escogida en una de las casillas libres del esquema, de manera que siempre sea posible completar el cálculo sin errores. 2. La partida termina cuando se da alguno de los tres casos siguientes: * Después de tirar al azar 2 fichas, un jugador estima que no puede colocar una de las cifras sin que ésta conduzca a un error de cálculo: debe abandonar y por lo tanto pierde (eventualmente, embauca el juego colocando a pesar de todo, una de las cifras, esperando que su adversario no perciba la imposibilidad de completar correctamente el cálculo). * Antes de tirar sus dos fichas, uno de los jugadores estima que su adversario debió abandonar, desafiándolo para que complete el esquema. El adversario deberá entonces completar todas las casillas libres con las cifras de su elección; si logra obtener el cálculo correcto, gana; si no, pierde. * Todas las casillas han sido completadas por los jugadores y el cálculo constituido es correcto: la partida se anula.

19


Ejemplos

El jugador A comienza. Obtiene las fichas 5 y 9, escoge 9 y la coloca de la siguiente forma.

1. Los jugadores utilizan el esquema adjunto. Luego tira el jugador B y obtiene 0 y 2. Escoge colocar el 0.

Después de 8 jugadas, la situación es la siguiente: En el noveno turno, A obtiene 3 y 5; escoge 5 y lo ubica conforme a la figura adjunta. B lo desafía, y le pide completar el esquema, claro está, A no logra hacerlo; por lo que pierde la partida. 2. Los jugadores utilizan un esquema de cálculo de uno ya producido. En el sexto turno, B obtiene 2 y 0, escoge colocar el 2 según la figura adjunta. A lo desafía a completar el esquema. B no lo logra, por lo que pierde el juego. Comentario

6

+

7

4 2 1

9

Este juego demanda mucha reflexión. Las partidas nulas en general, son escasas. Se tratará más bien que cada jugador ubique el momento donde se dé una imposibilidad. Por lo general, los niños se percatan de dichas imposibilidades hasta varios turnos después de que se dan. Entre más pronto los descubran, más oportunidades tendrán de ganar.

20


Números naturales primos * 2 jugadores * De 3 a 5 minutos

Comentario El ganador es aquél que termina diciendo el número 113. Efectivamente, hasta el 113, dos naturales primos consecutivos siempre tienen una separación inferior a 10. Por el contrario, el natural primo que sigue después de 113 es 127. Como con el juego “Punto meta”, aquí nos encontramos en presencia de un juego de Nim, para el cual existe una estrategia ganadora para uno de los jugadores; descubriremos fácilmente esta estrategia “retomando hacia atrás” las posiciones del ganador a partir de 113.

Material * Papel y lápiz * El juego puede, eventualmente, desarrollarse de manera oral Objetivo del juego Estar siempre en condición de dar un número natural primo. Reglas 1. El primer jugador dice un número natural, elegido entre 2, 3, 5 y 7. 2. Por turno, cada jugador dice y escribe el número natural obtenido al sumar, al número que le dio su adversario, un número natural entre 1 y 10. 3. Todo número natural dicho debe ser un número primo. 4. El que no pueda jugar más, pierde.

Variantes * Si cada jugador debe sumar un número natural comprendido entre 1 y 9 (o entre 1 y 8), 113 continúa siendo la posición ganadora, pero la estrategia se modifica. * Si cada jugador debe sumar un número natural comprendido entre 1 y 7 (o entre 1 y 6), es 89 la última posición ganadora. * Si cada jugador debe sumar un número natural comprendido entre 1 y 5, 23 es la última posición ganadora; en este caso la estrategia que se debe utilizar es muy simple de poner en evidencia. * Se puede remplazar la regla 3 por la siguiente: todo número natural dicho debe ser un cuadrado o un número primo.

TRAMPA NUMERO PRIMO ( D.L. Silverman “Your move” Kaye and Ward, London, citado en el Petit Archimede, no 84-85)

21


ANEXOS Y SOLUCIONES SOLUCIONES JUEGOS Y PASATIEMPOS EDICION N°9 DICIEMBRE 2010 Pag. 20 1. PIRAMIDES NUMERICAS

3. AMANTES DEL ORDEN. SOLUCION: No es única la ubicación.

SOLUCIÓN:

35 15 10 8

20

20

15

5 2

2

39

3

12

12 5

19 11

8 7

1

10

6

8

5

4

1

3

7

2. SEPARANDO LOS ASNOS SOLUCIÓN:

4. COLOCANDO 4 CEROS Y 4 UNOS. SOLUCION:

1

0

0

1

1

0 0

1 22



Nº 10 Abril, 2011. Variables