Issuu

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI CERCETĂRII

Dorin Linț Maranda Linț Alina Carmen Birta Sorin Doru Noaghi Dan Zaharia Maria Zaharia

Varianta digitală are un conținut similar celei tipărite. În plus, cuprinde o serie de activități multimedia interactive de învățare (exerciții interactive, jocuri educaționale, animații, filme, simulări).

Educația nu schimbă lumea. Schimbă oamenii care vor schimba lumea. Paulo Freire

Matematică

tipărită și în variantă digitală.

Manual pentru clasa a VIII-a

Manualul este prezentat în variantă

Matematică Manual pentru clasa a VIII-a

ISBN 978-630-355-285-9

9 786303 55285 9

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI CERCETĂRII

Dorin Linț Maranda Linț Alina Carmen Birta Sorin Doru Noaghi Dan Zaharia Maria Zaharia

Matematică Manual pentru clasa a VIII-a

Manualul școlar a fost aprobat de Ministerul Educației și Cercetării prin ordinul de ministru nr. .......................

Manualul este distribuit elevilor în mod gratuit, atât în format tipărit, cât și digital, și este transmisibil timp de patru ani școlari, începând cu anul școlar 2025–2026. Inspectoratul școlar .................................................................................................................................................................................................................................. Școala/Colegiul/Liceul ............................................................................................................................................................................................................................. ACEST MANUAL A FOST FOLOSIT: Anul

Numele elevului

Clasa

Anul școlar

Aspectul manualului* la primire la predare

1 2 3 4 * Pentru precizarea aspectului manualului, se va folosi unul dintre următorii termeni: nou, bun, îngrijit, neîngrijit, deteriorat. • Cadrele didactice vor verifica dacă informațiile înscrise în tabelul de mai sus sunt corecte. • Elevii nu vor face niciun fel de însemnări pe manual.

Matematică. Manual pentru clasa a VIII-a Dorin Linț, Maranda Linț, Alina Carmen Birta, Sorin Doru Noaghi, Dan Zaharia, Maria Zaharia Referenți științifici: Lector univ. dr. Marius-Nicolae Heljiu, Departamentul de Matematică-Informatică, Facultatea de Științe, Universitatea din Petroșani Prof. gr. I Daniela Tatiana Pop, Colegiul Național Pedagogic Regina Maria, Deva

Editura Litera tel.: 0374 82 66 35; 021 319 63 90; 031 425 16 19 e‑mail: contact@litera.ro www.litera.ro

Editor: Vidrașcu și fiii Redactor: Carmen Birta Corector: Carmen Bîtlan Credite foto: Shutterstock Ilustrație copertă: Shutterstock Copertă: Lorena Ionică Tehnoredactare și prepress: Lorena Ionică, A.B.C. POINT DESIGN SRL

CUPRINS

PROBLEME RECAPITULATIVE.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

TESTE DE AUTOEVALUARE.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 INTERVALE DE NUMERE REALE INECUAȚII ÎN ℝ .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1. Mulțimi definite printr-o proprietate comună a elementelor .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Lecția 1. Mulțimi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Lecția 2. Relații între mulțimi. Operații cu mulțimi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2. Intervale numerice. Intersecția și reuniunea intervalelor.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Lecția 1. Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor. Submulțimi ale unei drepte .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 17 Lecția 2. Intervale de numere reale.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 19 Lecția 3. Operații cu intervale de numere reale.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3. Inecuații de forma a · x + b ≤ 0 (<, >, ≥), unde a, b ∈ ℝ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Lecția 1. Relațiile de inegalitate pe mulțimea numerelor reale: ≤, ≥, <, >. Proprietăți.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 26 Lecția 2. Inecuații de forma ax + b ≤ 0 (<, >, ≥), unde a, b ∈ ℝ.. . . . . . . . . . . . . . . . 29 Lecția 3. Rezolvarea inecuației de forma ax + b ≤ 0 (<, >, ≥), unde a, b ∈ ℝ, în mulțimea numerelor reale.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 32 Lecția 4. Inecuații reductibile la inecuații de forma ax + b ≤ 0 (<, >, ≥), unde a, b ∈ ℝ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Evaluare sumativă .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 CALCUL ALGEBRIC ÎN MULȚIMEA NUMERELOR REALE.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1. Operații cu numere reale .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 41 Lecția 1. Recapitulare. Operații cu numere reale .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Lecția 2. Calcule cu numere reale reprezentate prin litere.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 43 2.2. Formule de calcul prescurtat .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Lecția 1. Pătratul unui binom. Produsul dintre suma și diferența a doi termeni.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Lecția 2. Aplicații ale formulelor de calcul prescurtat în raționalizarea numitorilor unor fracții.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3. Descompuneri în factori utilizând reguli de calcul.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Lecția 1. Descompuneri în factori folosind factorul comun. Gruparea termenilor .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 54 Lecția 2. Descompunerea în factori, folosind formule de calcul prescurtat.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 56 Lecția 3. Alte metode de descompunere în factori.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 59 Lecția 4. Aplicații practice, folosind calcule rapide cu ajutorul formulelor.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 61 2.4. Fracții algebrice. Operații cu fracții algebrice.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 64 Lecția 1. Fracții algebrice. Mulțimea de definiție a unei fracții algebrice. Valoarea numerică a unei expresii algebrice.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Lecția 2. Amplificarea și simplificarea unei fracții algebrice.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 67 Lecția 3. Operații cu fracții algebrice.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.5. Ecuații de forma ax2 + bx + c = 0, unde a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Lecția 1. Rezolvarea ecuației de gradul al doilea, folosind formule de calcul prescurtat .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 75 Lecția 2. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor de forma ax2 + bx + c = 0, unde a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Evaluare sumativă .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 FUNCȚII .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.1. Funcții definite pe mulțimi finite. Graficul unei funcții.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Lecția 1. Noțiunea de funcție. Moduri de a defini o funcție.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Lecția 2. Graficul unei funcții. Reprezentarea geometrică a graficului unor funcții numerice .. . . . . . . . 87 3.2. Funcții de forma f : D → ℝ, f (x) = ax + b, unde a, b ∈ ℝ și D este un interval de numere reale. Lecturi grafice .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 91 Lecția 1. Funcții de forma f : ℝ → ℝ, f (x) = ax + b, unde a, b ∈ ℝ .. .. .. .. .. .. 91 Lecția 2. Reprezentarea grafică a funcțiilor f : D → ℝ, f (x) = ax + b, unde a, b ∈ ℝ și D este un interval de numere reale. Lecturi grafice.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 95 3.3. Elemente de statistică. Indicatorii tendinței centrale .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Lecția 1. Sortarea și organizarea unor date după criterii de tip dependență funcțională, frecvența absolută.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Lecția 2. Tabelul frecvențelor absolute. Reprezentarea geometrică a seriilor statistice.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Lecția 3. Indicatorii tendinței centrale. Interpretarea indicatorilor tendinței centrale a unui set de date.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Evaluare sumativă .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

ELEMENTE ALE GEOMETRIEI ÎN SPAȚIU.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .111 4.1. Puncte, drepte, plane .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Lecția 1. Puncte, drepte, plane. Determinarea dreptei .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .111 Lecția 2. Determinarea planului. Relații între puncte, drepte, plane.. . . . . . . . . . . 114 Lecția 3. Pozițiile relative ale unei drepte față de un plan.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Lecția 4. Pozițiile relative a două plane. Plane paralele: descriere și reprezentare .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.2. Corpuri geometrice.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .123 Lecția 1. Piramida, reprezentare, elemente caracteristice.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..123 Lecția 2. Desfășurarea piramidei.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Lecția 3. Prisma dreaptă, reprezentare, elemente caracteristice.. .. .. .. .. .. .. .129 Lecția 4. Desfășurarea prismei drepte.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .133 Lecția 5. Cilindrul circular drept: reprezentare, elemente caracteristice, desfășurare.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Lecția 6. Conul circular drept: reprezentare, elemente caracteristice, desfășurare.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.3. Paralelism în spațiu.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Lecția 1. Drepte paralele, unghiul a două drepte în spațiu .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Lecția 2. Dreaptă paralelă cu un plan.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..146 Lecția 3. Plane paralele.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .149 Lecția 4. Secțiuni paralele cu baza în corpurile geometrice studiate.. .. .. .. .. .151 4.4. Perpendicularitate.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Lecția 1. Drepte perpendiculare, dreaptă perpendiculară pe un plan, distanța de la un punct la un plan .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .156 Lecția 2. Distanța dintre două plane paralele. Aplicații ale distanței dintre două plane paralele .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Lecția 3. Plane perpendiculare. Aplicații .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.5. Proiecții ortogonale în spațiu.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .171 Lecția 1. Proiecții de puncte, de segmente de dreaptă și de drepte, pe un plan .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Lecția 2. Unghiul dintre o dreaptă și un plan, lungimea proiecției unui segment pe un plan.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Lecția 3. Unghi diedru, unghi plan corespunzător unghiului diedru, unghiul a două plane, plane perpendiculare.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 4.6. Teorema celor trei perpendiculare. Aplicații .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Lecția 1. Teorema celor trei perpendiculare. Calculul distanței de la un punct la o dreaptă .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .182 Lecția 2. Reciproce ale teoremei celor trei perpendiculare. Aplicații .. .. .. .. .. .186 Evaluare sumativă .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 ARII ȘI VOLUME ALE UNOR CORPURI GEOMETRICE.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .191 5.1. Distanțe și măsuri de unghiuri pe fețele sau în interiorul corpurilor geometrice studiate .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .191 Lecția 1. Calcularea unor distanțe pe fețele sau în interiorul corpurilor studiate .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Lecția 2. Calcularea unor măsuri de unghiuri pe fețele sau în interiorul corpurilor studiate.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 5.2. Arii și volume ale unor corpuri geometrice.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Lecția 1. Aria și volumul prismei drepte .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Lecția 2. Aria și volumul piramidei regulate .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Lecția 3. Aria și volumul trunchiului de piramidă regulată .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 5.3. Aria și volumul corpurilor rotunde studiate .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Lecția 1. Aria și volumul cilindrului circular drept .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Lecția 2. Aria și volumul conului circular drept. Aria și volumul trunchiului de con circular drept.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .210 Lecția 3. Sfera. Aria și volumul sferei.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Evaluare sumativă .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 RECAPITULARE FINALĂ. PROBLEME DE SINTEZĂ .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Evaluare finală 1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Evaluare finală 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 RĂSPUNSURI .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

PREZENTAREA MANUALULUI VARIANTA TIPĂRITĂ

 Manualul de Matematică pentru clasa a VIII-a conține 5 unități de conținut, divizate în 20 de unități de învățare. Fiecare unitate de învățare este organizată în lecții, care pot fi parcurse la clasă în 1- 2 activități didactice.  Manualul conține activități de învățareevaluare cu caracter practic-aplicativ, în concordanță cu competențele specifice vizate.  Manualul propune, de asemenea, proiecte, investigații, teme de portofoliu, în scopul stimulării interesului pentru studiul matematicii.

PAGINI DE CONȚINUT Unitate de conținut

Recapitulare/Autoevaluare

Unitate de învățare

Titlul lecției

ARII ȘI VOLUME ALE UNOR CORPURI GEOMETRICE

5.1. DISTANȚE ȘI MĂSURI DE UNGHIURI PE FEȚELE SAU ÎN INTERIORUL CORPURILOR GEOMETRICE STUDIATE Lecția 1. Calcularea unor distanțe pe fețele sau în interiorul corpurilor studiate

RUBRICI DIN CONȚINUT Ne amintim concepte, cunoștințe pe care elevii le-au dobândit în lecții anterioare, în scopul valorificării achizițiilor acestora și vizând identificarea firească a noilor conținuturi prin conexiuni logice Rezolvăm și observăm exerciții/probleme relevante pentru identificarea sau deducerea unor elemente noi pe baza observației: proprietăți, algoritmi, implicații Descoperim, înțelegem, exemplificăm conținuturile prevăzute de programa școlară, însoțite de exemple concludente, comentarii, modele de rezolvare

Teorema celor trei perpendiculare cu reciprocele ei completează instrumentele pe care le avem la dispoziție pentru a calcula unele distanțe pe fețele sau în interiorul unui poliedru: distanța de la un vârf la o muchie sau la o diagonală a bazei, distanța de la un vârf al bazei la o față laterală, distanța de la centrul bazei la o muchie sau la o față laterală. Știm să aplicăm, identificăm conexiuni A. Calculul distanțelor pe fețele poliedrelor Calculul distanțelor între două puncte, între un punct și o dreaptă, între două drepte situate în planele fețelor, reprezintă o problemă de geometrie plană. Aplicația 1. ABCDA′B′C′D′ este prismă dreaptă cu baza trapez isoscel, AB ∥ CD, AD = CD = a și AB = 2 · CD, iar AA′ = b. Calculați distanța de la vârful A la dreptele CD, BC, A′B′ și A′D′. C' D' Rezolvare: În planul (ABC), considerăm O mijlocul bazei mari A' B' a trapezului ABCD și E piciorul perpendicularei, din D, pe AB. Atunci, DC ≡ OB, DC ∥ OB, deci DCBO este paralelogram, de D unde DO = BC = a. Triunghiul ADO este echilateral de latură a și a 3 C D . AO ∥ CD. Atunci, d(A, DC) = d(E, DC) = DE = A B A E O 2 În triunghiul BAC, ∢ABC = ∢DAB = 60° și AB = 2 · CB. Rezultă ∢BAC= 30° și ∢ACB = 90°.

C B

Atunci, d(A, BC) = AC = a 3 . În prisma dreaptă, fețele laterale sunt dreptunghiuri, deci AA′ ⊥ A′B′, iar d(A, A′B′) = AA′ = b. Analog, AA′ ⊥ A′D′ și d(A, A′D′) = AA′ = b. B. Calculul distanțelor în interiorul corpurilor studiate

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni aplicații rezolvate, unele rezultate matematice remarcabile care realizează conexiuni între elementele de conținut din lecție, achiziții anterioare și viața cotidiană

Determinarea distanței dintre două puncte care aparțin unui poliedru și care nu sunt situate pe aceeași față a acestuia, calculul distanței de la un punct al poliedrului la o dreaptă, care nu este inclusă în planul unei fețe și care nu conține punctul dat, constituie elemente specifice geometriei în spațiu. Aplicația 2. Calculați lungimile diagonalelor unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile a, b, respectiv c. Rezolvare: În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′, cu AB = a, BC = b, AA′= c, secțiunile diagonale ACC′A′ și BDD′B′ sunt dreptunghiuri, deci A′C = AC′ =

A′A2 + AC 2 și B′D = BD′ =

Dar A′A = BB′ = c și AC = BD =

B′B 2 + BD 2 .

a 2 + b 2 . Rezultă A′C = AC′ = B′D = BD′ =

D' A'

C' B'

D A

C B

191

Activități de învățare

Activități de învățare propuse

4.6. TEOREMA CELOR TREI PERPENDICULARE. APLICAȚII Lecția 1. Teorema celor trei perpendiculare. Calculul distanței de la un punct la o dreaptă Descoperim, înțelegem, exemplificăm În plan, construcția perpendicularei dintr-un punct pe o dreaptă se realizează cu ajutorul echerului. M Astfel de construcții se pot realiza dacă distanțele sunt suficient de mici sau dacă instrumentul d este suficient de mare. În spațiu, distanța dintre un punct și o dreaptă sau dintre un punct și un plan poate fi foarte mare. Nu se poate lucra cu instrumente destul de mari pentru a determina perpendiculara dintr-un punct al acoperișului unei case, la o dreaptă care mărginește fundația.

activități eșalonate în funcție de gradul de dificultate și de parcurgerea conținuturilor în cadrul unității de învățare

rezultate matematice utile în activitatea practică de aplicare a noțiunilor studiate

Dacă d ⊥ α și a ⊥ b, atunci MB ⊥ b, oricare ar fi M ∈ d.

Demonstrație: Din d ⊥ α, rezultă că dreapta d este perpendiculară pe orice dreaptă din planul α. În particular, d ⊥ b. Dar a ⊥ b, adică b este perpendiculară pe dreptele concurente d și a, prin urmare, b ⊥ (d, a).

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm

Reținem!

Considerăm un plan α, o dreaptă d cu d ⋂ α ={A}, dreptele a ⊂ α și b ⊂ α, A ∈ a și a ⋂ b ={B}.

itemi obiectivi, semiobiectivi, prin care elevul conștientizează gradul de înțelegere a lecției

Teorema celor trei perpendiculare ne ajută să determinăm distanța de la un punct la o dreaptă, în spațiu. Teoremă (Teorema celor trei perpendiculare)

Minitest

a 2 + b2 + c2 .

Notăm cu d lungimea oricăreia dintre cele patru diagonale ale paralelipipedului dreptunghic.

b A

Cum MB ⊂ (d, a), rezultă b ⊥ MB, adică MB ⊥ b, oricare ar fi M ∈ d. Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Aplicația 1. Pe planul dreptunghiului ABCD, cu laturile AB = 5 cm, AD = 12 cm, se ridică perpendiculara AM astfel încât AM = 12 cm. a) Calculați distanța de la punctul M la dreapta BC. b) Construiți perpendiculara din punctul M pe diagonala BD. c) Calculați distanța de la punctul M la diagonala BD.

A B

Rezolvare:

a) Din ipoteză, MA ⊥ (ABC), AB ⊥ BC, AB ⊂ (ABC) și BC ⊂ (ABC), iar AB și BC concurente. Aplicăm teorema celor trei perpendiculare și rezultă MB ⊥ BC. Prin urmare, d(M, BC ) = MB. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABM și obținem MB =

AM 2 + AB 2 = 13 (cm).

b) Construim AN ⊥ BD, N ∈ BD. Atunci, MA ⊥ (ABC), AN ⊥ BD, AN ⊂ (ABC) și BD ⊂ (ABC), iar AN și BD sunt concurente. Cu teorema celor trei perpendiculare, rezultă MN ⊥ BD. AB ⋅ AD c) În triunghiul dreptunghic ABD, înălțimea din A este AN = . În același triunghi, cu teorema lui PitaBD 60 (cm). AB 2 + AD 2 = 13 (cm). Atunci, AN = 13 12 Din MN ⊥ BD, N ∈ BD, rezultă d(M, BD) = MN. În triunghiul dreptunghic AMN, MN = AM 2 + AN 2 =194 (cm). 13

gora, obținem BD =

182

Temă de portofoliu activitate individuală sau de grup care constă în parcurgerea unor etape descrise, folosind modele prezentate de manual

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Exemplul 1

Exemplul 2

Funcția f : [−1, 3) → ℝ, f (x) = 0,25x + 2,25 este restricție a unei funcții de gradul I la intervalul [−1, 3), deci graficul funcției f este segmentul [PQ), unde P(−1, 2), Q(3, 3), P∈ Gf , iar Q∉ Gf .

Funcția g : (−2, ∞) → ℝ, g (x) = 0,75x + 2,5 este restricție a unei funcții de gradul I la intervalul (−2, ∞), deci graficul funcției g este semidreapta (SM, unde S(−2, 1), M(2, 4) și S ∉ Gg.

y 3

29. Semidreapta AA′ este bisectoarea unghiului BAC, A′∈BC, iar A′D || AC și A′E || AB, D ∈ AB, E ∈ AC. Se știe că AB = 24 cm, AC = 36 cm, BC = 30 cm. a) Stabiliți, argumentat, natura patrulaterului ADA′E. b) Calculați perimetrele patrulaterelor ADA′E și ADA′C.

3 x

–1 O

1 –2

Miniteste Minitest

Teme de portofoliu

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

Segmentul deschis AB reprezintă graficul unei funcții f : D → ℝ, f(x) = a · x + b, a, b ∈ ℝ. 30 p 30 p

3.2. 30 p

31. Pe laturile MN și MP ale triunghiului MNP se iau punctele A, respectiv B, astfel încât ∢MAB ≡ ∢MPN. a) Demonstrați că ∆MAB ∼ ∆MPN. b) Pentru MN = 10 cm, NP = 15 cm, MP = 12 cm și AB = 9 cm, calculați perimetrul patrulaterului ABPN.

EVALUARE PRIN METODE TRADIȚIONALE SAU COMPLEMENTARE Q

28. În trapezul ABCD, AB || CD, AB > CD, AD = CD = BC, ∢B = 60° și CD = 4 cm. a) Calculați lungimea bazei mari AB. b) Dacă AD ∩ BC = {P}, calculați valoarea raporPD . tului PA

∈ℝ

Rezolvăm și observăm Minitest Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect. Problema 1. La un supermarket, prețul unei pungi biodegradabile este de b lei. V1 formată În desenul alăturat, este reprezentată desfășurarea în plan a piramidei VABCD, Pe ecranul cântarului electronic se afișează: a lei, prețul unui kilogramregulate de legume și y lei, suma de achitat, în care AB cantității = BV, iarde suma tuturor muchiilor este 48 cm. Deoarece y este o mărime dependin costul x kglungimilor legume cumpărate și prețul piramidei pungii biodegradabile. D C dentă funcțional de mărimea variabilei x, vom scrie suma încasată pentru cantitatea de x kg legume cumpărate, 1. Lungimea muchiei bazei piramidei este: 30 p y = f (x). V2

A. 4 cm; 8 cm; C. 6 ycm; D. particular 12 cm. a = 1,5 și b = 0,75. a) Deduceți forma algebrică a B. dependenței funcționale = f (x), în cazul B A b) de corespondență descoperită la subpunctul a), definiți funcția f : D → ℝ, precizând mulțimea 2.legea Aria unei fețe laterale este: 30 pFolosind D, conform condițiilor impuse de contextul real. 2 3 cm2; (0,5; 3 cm 3 cm2. adică mulțimiiVG A. că 8 perechile B. 91,5), ; 3) și (2; C.3,75) 12 3aparțin cm2; graficului D. 16 funcției, .. c) (1,5; 98 Demonstrați 3 f d) Demonstrați că punctele A(0,5; 1,5), B(1,5; 3) și C(2; 3,75) sunt coliniare. 3. Propoziția „Poligonul V V V V , obținut prin desfășurarea în plan a piramidei VABCD este poligon 30 p 2

este:kilogram de legume este a lei. Suma plătită pentru x kg de Rezolvare: a)regulat” Prețul unui y C legume este ax la care se adaugă b lei, prețul pungii biodegradabile. A.lei, adevărată; B. falsă. 3,75 Suma de achitat este ax + b (lei), deci f (x) = ax + b reprezintă forma algebrică a depenNotă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte B din oficiu. 3 denței funcționale y = f (x).

b) Din a), rezultă f : D → B, f (x) = ax + b. Temă de portofoliu Deoarece elementele mulțimii D sunt numere prin care se exprimă cantitățile de M N 1,5 A legume cumpărate, rezultă x afirmaților > 0, deci D 2, = 3, (0,4,∞). Identificați în lecție reciprocele 5, 6 și formulați echivalențe, folosind modelul de mai jos. 1 Pentru a = 1,5 și b = 0,75, obținem f : (0, ∞) → ℝ, f (x) = 1,5 · x + 0,75. Afirmația directă Afirmația reciprocă Concluzia c) f (0,5) = 1,5; f (1,5) = 3; f (2) = 3,75. 1. Dacă a, b și c ∈ ℝ și a < b, 1′. Dacă a, b, c ∈ ℝ și a + c < b + c, Dacă a, b și c ∈ ℝ, atunci O 0,5 1 1,5 2 x Gf ; (2; 3,75) În concluzie, 1,5) ∈ Gf ; (1,5; 3) ∈atunci atunci a + c <(0,5; b + c. a< b. ∈ Gf . a < b ⇔ a + c < b + c. d) Reprezentăm punctele A(0,5; 1,5), B(1,5; 3) și C(2; 3,75). Folosind asemănarea triunghiurilor AMB și ANC, demonstrăm coliniaritatea punctelor A, B, C. Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Temă de portofoliu

F J

Evaluare sumativă

Investigație B

a) Demonstrați că punctele B, I, F sunt coliniare. b) Demonstrați că BD = BI și BD ⊥ BI. c) Demonstrați că există un punct P, situat pe dreapta BC, pentru care BDPI este pătrat.

EVALUARE SUMATIVĂ

PREZENTAREA PROIECTELOR

lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu. Lecția 1. Funcții de forma f : ℝ → ℝ, f(x) = Notă: ax +Timp b, de unde a, b ∈ ℝ

Proiect

G D

5.3 ARIA ȘI VOLUMUL CORPURILOR ROTUNDE STUDIATE y

B 1. Domeniul de definiție al funcției f este: 4 A. (−3, 4); B. (1, 2); C. (−3, 2); D. (2, 4). 2. Mulțimea valorilor funcției f este: A 1 A. ℝ; B. (1, 2); C. (−3, 4); D. (1, 4). FUNCȚII DE FORMA f : D → , f(x) = ax + b, unde a, b O și 3. Dacă M(m, n) este un punct situat pe segmentul deschis AB, atunci: x –3 2 D ESTE UN INTERVAL DE C.NUMERE REALE. LECTURI GRAFICE A. m ∈ (−3, 2); B. n < 1; m > 2; D. n ∈ (4, +∞).

ℝ

C 30. ABCD este un trapez drept- D unghic, ∢A = ∢D = 90° și AB ∥ CD ∥ MN. P M N a) Observați desenul și scrieți un șir de rapoarte egale, A B justificând alegerea făcută. b) Dacă triunghiul CNP este echilateral, iar AD = 7 3 cm, calculați aria trapezului ABCD.

32. În desenul alăturat, ABCD, BEFG și FHIJ sunt pătrate și I ∈ CD.

2 Rezolvare: Folosim transformări echivalente: Notăm cu P1că prisma triunghiulară x < , MNPM′N′P′, reprezentată în figura alăturată. Lun- M' Demonstrați oricare ar fi x ∈ ,dreaptă N' 2 gimile muchiilor prismei, exprimate în 5centimetri, sunt: x < MN ⋅ 5 = 4x – 2, MP = NP = 10 – x, . aria laterală a prismei P . numărul 5·xprismă, este unPnumăr pozitiv. , are aria laterală cu 17 cm2 mai5mică decât MM′ = 1. 2O–altă 2 1 P x < 2laterală − 5 x a prismei P . a) Pentru x = 2, calculați aria laterală a prismei P1 și5aria 2 < 2D,−cu 5 xD⇔ 2 − 2, 5 x3}, > 0iar , deci – 5·x este unM număr pozitiv. N b) Se consideră legea de corespondență x → f (x), unde x0 ∈ = {1, f (x) 2este numărul real, egal cu aria laterală a prismei P2. Scrieți, prin formulă, legea de corespondență f (x). Minitest Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect. 128 c) Definiți funcția f : D → ℝ, f (x) = 2x + 1 cu ajutorul diagramelor, apoi realizați tabelul de valori. d) , graficul funcției f, prin enumerarea elementelor. 1. Dacă a G >f 0,(3), atunci: 30 pScrieți mulțimea

Lecția 1. Aria și volumul cilindrului circular drept 2. Organizăm date cu Microsoft Excel și cu Lecția 3. Sfera. Aria și volumul sferei 1. Învățăm PROIECTE Negeometrie amintim cu GeoGebra

SUBIECTUL I

Dacă veți participa la proiectele propuse, vă veți îmbunătăți abilitățile de utilizare a calculatorului și veți ști:

Stabiliți valoarea de adevăr a următoarelor propoziții.

Microsoft Word

Cilindrul circular drept este corpul geometric obținut prin rotația unui dreptunghi în jurul uneia din laturile sale și • să realizați cu acuratețe configurații geo• să realizați tabele de date și să reprezenare metrice următoarele caracteristici: spațiale și săînțelegem, probați intuitiv protați diagrame asociate unui șir de date; Descoperim, exemplificăm prietățicilindrului ale corpurilor geometrice; • să ordonați un șir de date, să introduceți  Bazele circular drept sunt discuri congruente. să este realizați animații simple prin geometrice. care să este„Universul și infisă eliminați date din șirul construit; Sfera „perla” tuturor corpurilor este o sferă • Axa de simetrie a cilindrului circular drept dreapta determinată de vizualizați distanțe, unghiuri, poziții ale să calculați indicatorii statistici învățați: nită, al căruibazelor. centru este pretutindeni și circumferința nicăieri” (Blaise•Pascal). centrele D C media, mediana și modul elementelor corpurilor geometrice, din amplitudinea,  Generatoarea circular drept estearată congruentă Din orice punct alcilindrului spațiului ar fi privită, sfera la fel. cu înălțimea unui set de date; poziții avantajoase; • sferă. să interpretați geometric valorile indicato• cilindrului. să realizați simulări ale secționării unui Pretutindeni întâlnim obiecte care au formă de sferă sau porțiuni dintr-o B unui set de date; A ai  Desfășurarea cilindrului circular este formată dintr-un dreptcorp geometric printr-un plan drept paralel rilor centrali Sfera fi regăsită în orice colț prin al lumii înconjurătoare, fiind luată drept model deîntr-un reprezentare obiectelor cu poate baza să realizați animații • să transferați fișier aword diaunghi cu și dimensiunile 2πR, respectivcare G, care corespunde suprafeței ideale, de la bolta cerească, la forma ideală a Terrei. se obțin secțiuni diagonale sau secțiuni laterale a cilindrului și două discuri congruente, bazele cilindrului. gramele realizate în Microsoft Excel; aledreaptă unor corpuri geometrice; • R.să Considerăm un punct fixat spațiu un numărh,real pozitiv  Oaxiale prismă cuO,baza deînarie A șișiînălțimea arestrict volumul egal cu modificați V = A · h.și să salvați un fișier Excel, b • să afișați textul care însoțește o configurespectivbWord. Definiție. Mulțimea tuturor punctelor din spațiu care sunt situate la distanța R de punctul O se numește sferă rație geometrică sau o animație.

exemplificăm de centruDescoperim, O și rază R șiînțelegem, se notează S(O, R).

ACESTE PROIECTE SUNT SEMNALATE ÎN MANUAL CU SIGLA

Convenții de reprezentare Definiția 1. Aria laterală a cilindrului circular dreptseeste aria suprafeței laterale și unui se notează . Reprezentarea bidimensională, prin desen, a sferei realizează prin evidențierea cerc cuAlcentrul în centrul Folosind desfășurarea circular drept, obținem =cerc 2 · πîntr-un · R · G. sferei. Pentru a sugera cilindrului că figura este un corp, o sferă și nuAun plan, convenim să reprezentăm cel puțin l o intersecție a sferei cu un plan, de regulă cu planul orizontal, desenat ca un „cerc turtit”. Definiția 2. Aria totală a cilindrului circular drept este suma dintre aria laterală și ariile celor două baze și se Sfera împarte punctele din spațiu în trei mulțimi disjuncte: 9 notează cu At. M  puncte situate pe sferă: M ∈ S(O, R) ⇔ d(M, O) = R; Dacă notăm cu AB aria bazei, atunci At = Al + 2 · AB , adică At = 2 · π · R · (G + R).  puncte interioare sferei: N ∈ Int S(O, R) ⇔ d(N, O) < R; O R Investigație: A  puncte exterioare sferei: P ∈ Ext S(O, R) ⇔ d(P, O) > R. O metodă interesantă pentru calculul volumului corpurilor geometrice Pse numește Principiul lui Cavalieri. N Observație: Pe parcursul acestei unități de învățare, căutați, împreună cu alți colegi, folosind resurse digitale, informații refe Sferalanu conține și punctele din interiorul său. Cavalieri (1598–1647) și la metoda de calcul care îi poartă nuritoare matematicianul Bonaventura Francesco mele. Deducețidintre similitudini formulelor de calcul al volumului pentru: prismă cilindru circular  Reuniunea sferă șiale mulțimea punctelor interioare formează sfera plinășisau bila de centrusau O șipiramidă rază R, și con circular. notată B(O, R), adică B(O, R) = {M | d(M, O) ≤ R}.

1. Volumul unui colet care are formă de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile 40 cm, 20 cm, respectiv 0,5 m, este egal cu 40 dm3.

2. Aria totală a tetraedrului cu muchia de 8 cm este egală cu 64 3 cm2.

3. Secțiunea axială a unui con circular drept este un triunghi dreptunghic cu aria de 32 cm2. Aria laterală a conului este 16 2π cm2.

SUBIECTUL AL II-LEA

inițială) a unui semicerc de centru O și rază R, în jurul diametrului. Știm să aplicăm, identificăm conexiuni

3. Un rezervor are forma unui cilindru cu diametrul bazei 100 cm și înălțimea 80 cm. Cantitatea maximă de apă care încape în rezervor, exprimată în litri, printr-un număr natural, este: A. 308; B. 458; C. 628; D. 758.

SUBIECTUL AL III-LEA

60 de puncte

La cerințele următoare, se cer rezolvări complete.

5p 5p 5p

Aplicația 1. Andreea ambalează cadoul prietenei sale într-o cutie în formă de cilindru circular drept cu PROIECT raza bazei R și înălțimea h = π · R, îmbrăcat într-o folie albastră, dreptunghiulară. Ea decoreză apoi cutia cu un fir de mătase vișinie, care pornește dintr-un punct A al bazei C(O, R) și se înfășoară pe Învățăm geometrie cu GeoGebra suprafața laterală a cilindrului, rămânând întins, astfel încât la fiecare nouă atingere a generatoarei care Lucrare practică. Verificați, folosind de geometrie dinamică (de această exemplu conține punctul A, firul să fie mai sus cuun 10program % din înălțimea cilindrului. Se repetă înfășurare Geogebra) validitatea afirmației: până când firul ajunge în punctul B, al celeilalte baze a cilindrului, situat pe aceeași generatoare. „Prin rotația unui arc de cerc cu măsura mai mare decât 180°, în jurul unei drepte, care trece prin centrul cercului din care provine arcul și intersectează arcul în două puncte 208 distincte, se obține o sferă.”

15 puncte

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect. 5p 1. O prismă hexagonală dreaptă are latura bazei 7 cm și aria laterală 252 cm2. Volumul prismei este: B. 414 3 cm3; C. 461 3 cm3; D. 416 3 cm3. A. 441 3 cm3; 5p 2. Muchia laterală a unei piramide regulate are lungimea de 12 cm și formează cu planul bazei un unghi cu măsura de 60°. Înălțimea piramidei este egală cu: B. 6 3 cm; A. 6 cm; D. 8 3 cm. C. 6 2 cm;

Extinderea conceptului de sferă la sfera circular plină (bilă) esteeste necesară Ca și la prismă, volumul cilindrului drept V = Apentru · h. a putea vorbi despre volumul acestui corp B geometric. Cum A = π · R2, iar înălțimea cilindrului circular drept este egală cu generatoarea,

deducem că un volumul circular drept este V = π ·prin R2 ·rotația G. completă (până când ajunge în poziția  Sfera este corp decilindrului rotație. Sfera S(O, R) se poate obține

15 puncte

15 p 10 p

20 p

1. În prisma patrulateră regulată ABCDA′B′C′D′, A′C′⋂B′D′ ={Q }, latura bazei este 12 cm, iar volumul prismei este 864 2 cm3. a) Demonstrați că înălțimea prismei este 6 2 cm. b) Calculați măsura unghiului format de dreapta CQ cu planul (BDD′). c) Determinați distanța de la punctul A la planul (BCQ). 2. În imaginea alăturată, este schițat un cort format din două părți: un cilindru circular drept și un con circular drept. A Diametrul bazei cilindrului este de 4,8 m, generatoarea cilindrului este de 3,2 m, iar înălțimea cortului este de 3,9 m. E a) Calculați volumul cortului. D

D' Q M

D A

C' B'

P O

C B

V B

b) În planul (ABC), al secțiunii axiale, cortul este prevăzut cu ancorele din frânghie AE și BF, punctele E și F fiind coliniare cu C și D, OE = OF = 4,8 m. Calculați lungimea frânghiei folosite la ancorarea cortului 3. Un muncitor trebuie să vopsească trei bile. El vopsește două dintre bile, acestea având diametrul de 18 cm respectiv 24 cm, apoi o vopsește și pe a treia. După ce termină activitatea, constată că pentru vopsirea celei de-a treia bile a folosit aceeași cantitate de vopsea cât a fost necesară pentru a vopsi primele două bile. Aflați raza celei de-a treia bile. Timp de lucru: 45 de minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

218

Observație: Situațiile A. 3·a +practice 1 > 2; analizate B. mai 3·a sus + 1 impun = 2; studiul funcțiilor C. 3·a +definite 1 < 2. prin expresii algebrice de forma f30(x)p = ax +2.b.Dacă b < 5, atunci: A. 5 − b < 0; B. 5 − b > 0; 30 p 3. Dacă c ∈ (–2, 2], atunci: A. c − 2 > 0;

B. c ∈ { –2, 2 };

215 C. 5 − b = 0 . C. –2 < c ≤ 2.

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm

VARIANTA DIGITALĂ

3. Demonstrați că numărul –7a + 3 este un număr ne3 gativ, pentru oricare a > . 7

Varianta digitală cuprinde integral conținutul manualului în variantă tipărită, având în plus o serie de activități multimedia interactive de învățare (AMII): animate, statice, interactive. Paginile din manual pot fi vizionate pe diverse dispozitive (desktop, laptop, tabletă, telefon), oferind o excelentă experiență de navigare.

2. Copiați pe caiete și completați în spațiile libere câte unul dintre simbolurilor <, ≤, > sau ≥ , astfel încât următoarele enunțuri să fie adevărate. a) Dacă x ≤ –7, atunci 3 · x … –21. b) Dacă x < –2, atunci –3 · x … 6. c) Dacă x ≥ –4, atunci –2 · x + 1 … 9. d) Dacă x > –5, atunci 4 · x – 5 …–25. e) Dacă –2 · x ≤ –14, atunci x …7. f) Dacă –6·x ≥ –14, atunci 3 · x – 7 … 0.

7 1 5 4. Se știe că − ≤ 2b − ≤ . 2 2 2 3 Demonstrați că b ≤ . 2

2 3 și b ≥ − . 3 2 Demonstrați că 9a + 4b ≥ 0.

5. Se consideră a ≥

6. Demonstrați că:

 2a + b a + 2b  , a) dacă a < b, atunci   ⊂ (a, b); 3   3

 3c + d c + 3d  , b) dacă −c > −d, atunci   ⊂ (c, d). 4   4

Activitățile multimedia interactive de învățare încurajează elevii să-și dezvolte gândirea critică și să-și sporească interesul și cunoștințele.

Descoperiți informații utile pentru utilizarea manualului digital examinând schema de mai jos.

AMII statice galerii de imagini, informații suplimentare, probleme rezolvate, răspunsurile problemelor din rubrica „Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm”. AMII animate filmulețe sau animații AMII interactive jocuri sau exerciții, la finalul cărora elevul poate verifica corectitudinea răspunsurilor oferite

COMPETENȚE GENERALE ȘI COMPETENȚE SPECIFICE CONFORM OMEN 3393/28.02.2017 1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar 1.1. Recunoașterea apartenenței unui număr real la o mulțime 1.2. Identificarea componentelor unei expresii algebrice 1.3. Identificarea unor dependențe funcționale în diferite situații date 1.4. Identificarea unor figuri plane sau a unor elemente caracteristice acestora în configurații spațiale 1.5. Identificarea corpurilor geometrice și a elementelor metrice necesare pentru calcularea ariei sau a volumului acestora 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surseinformaționale 2.1. Efectuarea unor operații cu intervale numerice reprezentate pe axa numerelor sau cu mulțimi 2.2. Aplicarea unor reguli de calcul cu numere reale exprimate prin litere 2.3. Descrierea unei dependențe funcționale într-o situație dată, folosind diagrame, tabele sau formule 2.4. Reprezentarea, prin desen sau prin modele, a unor configurații spațiale date Prelucrarea unor date caracteristice ale corpurilor 2.5. geometrice studiate în vederea calculării unor elemente ale acestora 3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice 3.1. Utilizarea unor procedee matematice pentru operații cu intervale și rezolvarea inecuațiilor în ℝ 3.2. Utilizarea formulelor de calcul prescurtat și a unor algoritmi pentru rezolvarea ecuațiilor și a inecuațiilor 3.3. Reprezentarea în diverse moduri a unor funcții cu scopul caracterizării acestora 3.4. Folosirea unor proprietăți de paralelism sau perpendicularitate pentru analizarea pozițiilor relative ale dreptelor și planelor 3.5. Alegerea metodei adecvate pentru calcularea unor caracteristici numerice ale corpurilor geometrice

4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, concluziilor și demersurilor de rezolvare pentru o situație dată 4.1. Folosirea terminologiei aferente noțiunilor de mulțime, de interval numeric și de inecuații 4.2. Exprimarea matematică a unor situații concrete prin calcul algebric 4.3. Utilizarea unui limbaj specific pentru formularea unor opinii referitoare la diferite dependențe funcționale 4.4. Descrierea în limbaj matematic a elementelor unei configurații geometrice 4.5. Utilizarea unor termeni și expresii specifice pentru descrierea proprietăților figurilor și corpurilor geometrice 5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date 5.1. Interpretarea unei situații date utilizând intervale și inecuații 5.2. Interpretarea unei situații date utilizând calcul algebric 5.3. Analizarea unor funcții în context intra și interdisciplinar 5.4. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea descrierii unor configurații spațiale și a calculării unor elemente metrice 5.5. Analizarea condițiilor necesare pentru ca o configurație geometrică spațială să verifice anumite cerințe date 6. Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii 6.1. Rezolvarea unor situații date, utilizând intervale numerice sau inecuații 6.2. Interpretarea matematică a unor probleme practice prin utilizarea ecuațiilor sau a formulelor de calcul prescurtat 6.3. Modelarea cu ajutorul funcțiilor a unor fenomene din viața reală 6.4. Modelarea unor situații practice în limbaj geometric, utilizând configurații spațiale Interpretarea informațiilor referitoare la distanțe, 6.5. arii și volume după modelarea printr-o configurație spațială a unei situații date din cotidian

La finalul fiecărei unități de învățare, evaluează activitatea pe care ai desfășurat-o și modul în care te-ai simțit parcurgând aceste lecții. Comportamentul Am dovedit interes în învățare. Am urmat instrucțiunile profesorului. Am lucrat individual. Am cerut ajutor când am avut nevoie. Când am greșit, am vrut să aflu cum pot să corectez. Am dus activitățile până la capăt. Mi-am spus părerea. Am cooperat cu ceilalți în activitățile de grup.

Niciodată

Uneori

Deseori

Întotdeauna

PROBLEME RECAPITULATIVE 1. Se consideră numerele a = și b = 2 − 12 + 2 ·

12 6

2 + (1 − 6) + −1 2

(−1 + 3 − 3 6) .

a) Efectuați calculele necesare și precizați numărul m = min{a; b}, adică cel mai mic dintre nume rele a și b, apoi precizați numărul M = max{a; b}, adică cel mai mare dintre numerele a și b. a+b și b) Calculați media aritmetică, ma = 2 a ⋅ b , pentru nume media geometrică, m= g rele a și b, date. c) Folosind rezultatele obținute la subpunctele anterioare, verificați șirul de inegalități m ≤ mg ≤ ma ≤ M . 2. Demonstrați că: a)

2252 − 224 ⋅ 225 și

1 + 3 + 5 + 7 + .... + 35 + 37 sunt numere raționale. b)

499 ⋅ 500 și 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅...⋅ 35 ⋅ 37 sunt nu mere iraționale. c) oricare ar fi n ∈ ℕ, numărul 4n + 22 n+ 3 este rațional, iar numărul

5 ⋅ n + 7 este irațional.

3. Se consideră numerele:

x = 3 + 2 3 + 3 3 , y = 98 − 128 + 50 și z= 2⋅ 2+

( 3) − 2 5 ⋅3 5 . 2

a) Efectuați calculele și scrieți numerele în ordine crescătoare. b) Determinați numărul x ⋅ 3 + z − y ⋅ 2 . 4. Dacă a = 1 + 2 − 3 și b = calculați 2 · a – b. 5.

4 + 8 − 12 ,

Scrieți în ordine descrescătoare numerele: −1

 3   , 3 27 , − 75 .  18  6. Determinați numărul a care verifică egalitatea a a+5 = . 3 4

7. Determinați numărul b, știind că b ≥ 0 și 4b 2 + 3 = b +

(−5) 2 .

8. Determinați numărul c, știind că c < 0 și 9c 2 + 0,25 = c + 2. 16

9. Dacă a =

52 + 208 , demonstrați că a −19 > 0.

10. Calculați media aritmetică a numerelor naturale nenule a1, a2, ..., a9, știind că media aritmetică a numerelor a1 și a2 este 1,5, media aritmetică a nu merelor a3, a4, a5 este 4, iar media aritmetică a nu merelor a6, a7, a8, a9 este 7,5. 11. După o reducere cu 8% din preț, un televizor se poate cumpăra cu 1288 lei. a) Calculați prețul televizorului înainte de reducere. b) Determinați cel mai mic număr natural p, ast fel încât dacă reducerea de preț ar fi fost de p %, atunci prețul televizorului ar fi scăzut sub 1000 de lei.

12. Din numărul cărților aflate în biblioteca unui liceu, 52% sunt utile pentru studiul disciplinelor uma niste, 44% sunt utile pentru studiul disciplinelor realiste, iar restul, în număr de 864, sunt albume sau dicționare. a) Calculați numărul cărților din bibliotecă. b) Determinați numărul minim de cărți ce trebuie achiziționate pentru ca disciplinele umaniste și cele realiste să aibă la dispoziție același număr de cărți. 13. Se consideră A = 22n · 25n + 1 – 9 · 5n · 20n, n ∈ ℕ. a) Calculați numărul A pentru n ∈ {0, 1}. b) Determinați valorile lui n pentru care A < 106. 14. Rezolvați în mulțimea numerelor reale sistemele: y  10  x + 2 = a)  ; x + y = 11  2

(

)

(

)

2 ⋅ x + 2 + 3 ⋅ y − 2 = 10 2  . b)  x  = 0,(3) y

15. Pe laturile triunghiului echilateral ABC se iau punc tele D ∈ AB, E ∈ BC, F ∈ AC, astfel încât DE || AC, EF || AB, iar P este punctul de intersecție a drepte lor AE și DF. Demonstrați că: a) ADEF este paralelogram; b) CD = 2 · AP; c) BC = AD + AF; d) ∢AEB − ∢ CAE = 60°.

21. În trapezul ABCD, ∢A = ∢D = 90°, AB = 8 cm, CD = 2 cm și AD = 4 cm. Paralela prin D la BC intersectează AB în E, AC ∩ DE ={F}, iar P este proiecția punctului F pe dreapta AD. a) Calculați raportul dintre aria patrulaterului BCDE și aria trapezului. b) Calculați lungimea segmentului AP. c) Demonstrați că dreptele BD și EP sunt paralele.

17. În exteriorul triunghiului ABC se construiesc triunghiurile dreptunghice ABD și ACE astfel încât ∢ABD = ∢ACE = 90° și ∢BAE = ∢CAD. Demonstrați că: a) triunghiurile ABD și ACE sunt asemenea; b) dacă AD = AE, atunci triunghiul ABC este isoscel.

23. O coardă a unui cerc are lungimea de 48 cm și se află la distanța de 18 cm față de centrul cer cului. Calculați lungimea cercului și aria discului corespunzător.

16. În triunghiul ABC, cu ∢BAC = 90°, BC = 13 cm și 5 . Calculați: tg(∢ACB) = 12 a) lungimea proiecției catetei AC pe ipotenuză; b) lungimea razei cercului circumscris triunghiu lui ABC.

18. Triunghiul ABC este isoscel, cu AB = AC, AD bi sectoarea unghiului BAC, D∈BC și punctul E mij locul laturii AB. Dreapta DE intersectează paralela prin A la dreapta BC în punctul F, iar punctul G este simetricul punctului F față de A. a) Realizați un desen care să corespundă datelor problemei. b) Demonstrați că ADBF este dreptunghi, iar ABDG este paralelogram. c) Stabiliți o relație între AB și BC așa încât BCGF să fie poligon regulat. 19. Pe laturile AB și BC ale pătratului ABCD, se consideră punctele E, respectiv F, astfel încât AE BF = . Calculați măsura unghiului format de EB FC dreptele DE și AF. 20. Se consideră trapezul isoscel ortodiagonal (are di agonalele perpendiculare), în care B este lungimea bazei mari, b este lungimea bazei mici, h repre zintă înălțimea trapezului, iar d este lungimea dia B+b gonalelor trapezului. Demonstrați că h = și 2 d 2 că h = . 2

22. În triunghiul dreptunghic ABC, ∢C = 90°, D este un punct pe latura AB, așa încât AD = 10 cm și BD = 20 cm. a) Calculați raportul ariilor triunghiurilor ACD și BCD. b) Dacă ∢ACD = ∢BCD, calculați lungimile seg mentelor AC, BC și DC.

24. Pe cercul C(O, r), r = 6 cm, se consideră punctele A, B, cu ∢AOB = 120°. Pe tangenta în punctul B la cerc, se ia, în interiorul unghiului ∢AOB, punctul D astfel încât BD = 6 cm. Cercul de centru D și rază DB intersectează a doua oară cercul C(O, r) în punctul P. . Calculați măsurile arcelor mici  AP și BP 25. În cercul C(O, r), coarda AB este paralelă cu dia metrul CD și determină patrulaterul ABCD, iar BO ∥ AD. Știind că AB = 4 cm, calculați aria pa . trulaterului ABCD și lungimile arcelor  AB și BC 26. În triunghiul MNP, MP = 8 cm, PN = 6 cm, ∢MPN = 60°, iar MA este înălțime a triunghiului, A ∈ NP. Se construiește dreptunghiul AMBN. Calculați: a) perimetrul dreptunghiului AMBN; b) sinusul unghiului BPM; AQ , Q fiind punctul de c) valoarea raportului QM intersecție a dreptelor AM și BP. 27. Se consideră un punct B, interior segmentului AC. De aceeași parte a dreptei AC, se construiesc pătra tele ABMN și BCEF. Demonstrați că: a) AF = MC; b) AM ⊥ FC.

28. În trapezul ABCD, AB || CD, AB > CD, AD = CD = BC, ∢B = 60° și CD = 4 cm. a) Calculați lungimea bazei mari AB. b) Dacă AD ∩ BC = {P}, calculați valoarea rapor PD . tului PA 29. Semidreapta AA′ este bisectoarea unghiului BAC, A′∈BC, iar A′D || AC și A′E || AB, D ∈ AB, E ∈ AC. Se știe că AB = 24 cm, AC = 36 cm, BC = 30 cm. a) Stabiliți, argumentat, natura patrulaterului ADA′E. b) Calculați perimetrele patrulaterelor ADA′E și ADA′C.

C 30. ABCD este un trapez drept D unghic, ∢A = ∢D = 90° și AB ∥ CD ∥ MN. P M N a) Observați desenul și scri eți un șir de rapoarte egale, A B justificând alegerea făcută. b) Dacă triunghiul CNP este echilateral, iar AD = 7 3 cm, calculați aria trapezului ABCD.

P G D

a) Demonstrați că punctele B, I, F sunt coliniare. b) Demonstrați că BD = BI și BD ⊥ BI. c) Demonstrați că există un punct P, situat pe dreapta BC, pentru care BDPI este pătrat.

PREZENTAREA PROIECTELOR 1. Învățăm geometrie cu GeoGebra

PROIECTE

2. Organizăm date cu Microsoft Excel și cu Microsoft Word

Dacă veți participa la proiectele propuse, vă veți îmbunătăți abilitățile de utilizare a calculatorului și veți ști: • să realizați cu acuratețe configurații geometrice spațiale și să probați intuitiv proprietăți ale corpurilor geometrice; • să realizați animații simple prin care să vizualizați distanțe, unghiuri, poziții ale elementelor corpurilor geometrice, din poziții avantajoase; • să realizați simulări ale secționării unui corp geometric printr-un plan paralel cu baza și să realizați animații prin care se obțin secțiuni diagonale sau secțiuni axiale ale unor corpuri geometrice; • să afișați textul care însoțește o configurație geometrică sau o animație.

• să realizați tabele de date și să reprezentați diagrame asociate unui șir de date; • să ordonați un șir de date, să introduceți și să eliminați date din șirul construit; • să calculați indicatorii statistici învățați: amplitudinea, media, mediana și modul unui set de date; • să interpretați geometric valorile indicatorilor centrali ai unui set de date; • să transferați într-un fișier word diagramele realizate în Microsoft Excel; • să modificați și să salvați un fișier Excel, respectiv Word.

ACESTE PROIECTE SUNT SEMNALATE ÎN MANUAL CU SIGLA

TEST DE AUTOEVALUARE 1 Subiectul I. Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

1 = 0,(3), atunci numărul x este egal cu: x A. 9; B. 3; C. 10;

1. Dacă

2. Dacă (3 – y) ≤ 0, atunci numărul y poate fi: A. 3; B. 0; C. −3;

D. 33.

D. orice număr real.

3. Segmentul MN este linie mijlocie în triunghiul ABC, M ∈ AB, N ∈ AC. Raportul dintre ariile triunghiurilor AMN și ABC este: A. 1 ; B. 1 ; C. 1 ; D. 1 . 6 4 3 2

4. Dacă ABCDEF este hexagon regulat și AD = 20 cm, atunci latura hexagonului are lungimea: A. 20 cm; B. 5 cm; C. 40 cm; D. 10 cm.

Subiectul al II-lea. Efectuați calculele necesare și stabiliți valoarea de adevăr a următoarelor propoziții. A/F

Propoziția 5p

Numărul

Numărul 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅... ⋅ 9 ⋅ 10 este irațional.

Ipotenuza unui triunghi dreptunghic, cu catetele de 9 cm, respectiv 12 cm, are lungimea 16 cm.

Un pătrat cu diagonala de 6 cm are perimetrul de 12 2 cm.

2 ⋅ 22 ⋅ 23 ⋅ 24 este rațional.

Subiectul al III-lea. Scrieți rezolvarea completă. 10 p

10 p 10 p

1. Prețul unui stilou s-a redus în două etape. În prima etapă s-a redus cu 10 lei, iar în etapa a doua, s-a redus cu 10%. Prețul final al stiloului este 27 lei. Calculați prețul inițial al acestuia. x+2 x−a 2. Se consideră ecuația − = 1 , a ∈ ℝ, cu necunoscuta x. 3 4 a) Rezolvați ecuația pentru a = 1. b) Determinați valoarea numărului a astfel încât 2 să fie soluție a ecuației.

3. Dreptunghiul ABCD are dimensiunile AB = 12 cm, BC = 9 cm. Paralela prin punctul C la dreapta BD intersectează AB în punctul E și AD în punctul F. Calculați: a) lungimea segmentului CE; b) raza cercului circumscris triunghiului AEF. Timp de lucru: 45 de minute. Se acordă din oficiu 10 puncte.

TEST DE AUTOEVALUARE 2 Subiectul I. Copiați pe caiete și completați spațiile libere pentru a obține propoziții adevărate. 5p

1. Numărul

2. Rădăcina pătrată a numărului 22 ⋅ (−3) 2 ⋅ 54 este … .

5p 5p

3. Un triunghi echilateral, cu perimetrul 24 cm, are înălțimea egală cu … cm.

2 + 2 + 22 este egal cu … .

4. În dreptunghiul ABCD, AC ∩ BD ={O}, AB = 10 cm și BC = 3,2 cm. Aria triunghiului AOD este egală cu ... cm2.

Subiectul al II-lea. Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect. 5p 5p 5p 5p

1. Numerele care verifică egalitatea −2 = 7 − x2 sunt: A. 9 și −9; B. −2 și 7; C. −3 și 3; 2. Dacă n ∈ ℕ și A. 2;

D. −7 și 2.

7 − 2 ⋅ n este rațional, atunci n este egal cu:

B. 1;

C. 4;

D. 3.

3. Un romb, cu aria de 24 cm și o diagonală de 6 cm, are perimetrul: A. 20 cm; B. 48 cm; C. 100 cm; D. 24 cm. 2

4. Lungimea cercului în care este înscris triunghiul isoscel ABC, cu AB = AC = 10 cm și BC = 12 cm, este egală cu: A. 6π cm; B. 8,5π cm; C. 12,5π cm; D. 16π cm.

Subiectul al III-lea. Scrieți rezolvările complete. 1. Se consideră mulțimea M = 10 p 5p 5p 10 p

10 p 10 p

{ 4, 14, 24, 34, ..., 384, 394} . Determinați:

a) numărul elementelor mulțimii M; b) mulțimea M ∩ ℕ; c) numărul elementelor mulțimii M ∩ (ℝ \ ℚ).

9 x + y = . 2. Rezolvați în mulțimea numerelor reale sistemul  3 ⋅ x − (2 + y ) =−3 3. În figura alăturată, ABCD este un trapez dreptunghic, iar E ∈ AB. Folosind datele și notațiile din figură: a) calculați în funcție de a lungimea segmentului CE; b) pentru a = 4 cm și b =10 cm, determinați măsura unghiului BCE.

A a E

D 3a

Timp de lucru: 45 de minute. Se acordă din oficiu 10 puncte.

INTERVALE DE NUMERE REALE INECUAȚII ÎN ℝ

1.1. MULȚIMI DEFINITE PRINTR-O PROPRIETATE COMUNĂ A ELEMENTELOR Lecția 1. Mulțimi Din istoria matematicii Studiul sistematic al mulțimilor a condus la teoria mulțimilor, devenită ulterior fundamentală în stu diul matematicii. Teoria mulțimilor oferă tuturor ramurilor matematicii o bază comună. Mai mult, me todele raționamentului matematic sunt o combinație de argumente logice și de teoria mulțimilor. Fondatorul teoriei mulțimilor este Georg Cantor, matematician german (1845-1918). Ne amintim O mulțime este o colecție de obiecte bine determinate și distincte (elementele mulțimii), considerată ca entitate.  Dacă A este o mulțime și x este un element al său, vom spune că x aparține mulțimii A și vom scrie x ∈ A.  Dacă x nu este element al mulțimii A, vom scrie x ∉ A.  Mulțimea care nu are niciun element se notează cu sim bolul ∅ și se numește mulțimea vidă.  O mulțime care are un număr finit de elemente se nu mește mulțime finită, iar numărul elementelor sale se numește cardinalul mulțimii.  O mulțime numerică este o mulțime ale cărei elemente sunt numere.

Pentru mulțimea A = {1, 3, 5, 7, 9}, vom scrie: 1 ∈ A, 3 ∈ A, 5 ∈ A, 7 ∈ A, 9 ∈ A. 0 ∉ A, 2 ∉ A. Mulțimea elevilor din clasa a VIII-a, care nu au absolvit clasa a VII-a, nu conține niciun element, deci este mulțimea vidă. A = {Ana, Alexandra, Adrian} este o mulțime finită și cardinalul său este 3. Scriem card A = 3. B = {0, 2, 4, 6, 8} este o mulțime numerică, iar C = {alb, albastru, auriu, argintiu} este o mulțime nenumerică.

O mulțime poate fi descrisă astfel: 1) enumerând elementele mulțimii

2) prin diagrame Venn-Euler

3) enunțând o proprietate comună a elementelor mulțimii

M = {0, 1, 4, 5, 6, 9}.

M 1 5 4 0 6 9

M = {x | x poate fi ultima cifră a unui pătrat perfect}.

În clasele anterioare ne-am ocupat de primele două modalități de scriere a unei mulțimi. Rezolvăm și observăm Scrieți, prin precizarea proprietății comune a elementelor, mulțimile: ℝ*, ℝ+ și ℝ– .

Rezolvare: ℝ* = {x | x ∈ ℝ și x ≠ 0} sau ℝ* = {x ∈ ℝ | x ≠ 0}; ℝ+ = {x | x ∈ ℝ și x > 0} sau ℝ+ = {x ∈ ℝ | x > 0}; ℝ– = {x | x ∈ ℝ și x < 0} sau ℝ– = {x ∈ ℝ | x < 0}.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Aplicația 1. Se consideră mulțimile: B = {b ∈ ℤ | b = a , a ∈ A}. a) Determinați cardinalul mulțimii A. b) Scrieți mulțimea B, enumerându-i elementele.

Rezolvare: a) Mulțimea A conține 9 numere întregi negative, numărul 0 și 30 de numere întregi pozitive, deci card A = 40. b) Din b ∈ ℤ și b = a , rezultă că a este pătrat perfect. Cum a ∈ A, obținem a ∈ {0, 1, 4, 9, 16, 25}, deci B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Aplicația 2. Decideți care dintre mulțimile următoare este finită și care este infinită: C = {x ∈ ℕ | x este divizor al numărului 50}; D = {y ∈ ℕ | 50 este divizor al numărului y}; E = {t ∈ ℕ | t = 7n + 1, n ∈ ℕ}.

Rezolvare: C = {1, 2, 5, 10, 25, 50} este mulțime finită. D = {0, 50, 100, 150, ...} este mulțime infinită. Pentru fiecare număr natural n, se obține un număr t unic. Cum mulțimea ℕ este infinită, rezultă că E este mulțime infinită.

A = {a ∈ ℤ | –10 < a ≤ 30},

Minitest

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

Considerăm mulțimea A = {x | x este număr natural impar și x < 13}. 30 p 30 p 30 p

1. Scrisă prin enumerarea elementelor, mulțimea A este: A. {0, 1, 2, 3, ..., 12, 13}; B. {1, 2, 3, ..., 12}; C. {1, 3, 5, 7, 9, 11}; 2. Cardinalul mulțimii A este: A. 12; B. 13; C. 7; x 3. Mulțimea B = {y ∈ ℕ | y = , x ∈ A}, este: 4 A. {1, 2, 3}; B. ∅; C. {0, 1, 2};

D. {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}. D. 6.

D. {1, 2}.

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Se consideră mulțimile, date prin enumerarea ele mentelor: A = {0, 2, 4, 6, 8}, B = {1, 2, 4, 8, 16, 32}, C = {0, 3, 6, 9, 12, …}. Scrieți fiecare mulțime printr-o proprietate caracte ristică a elementelor. 2. Pentru fiecare dintre mulțimile A ={1, 2, 3, 4, 5}, 1 1 1 1 B =  , , , ... ,  , respectiv C = {−2, −1, 0, 1, 2}, 9 2 3 4 identificați o proprietate comună a elementelor, apoi scrieți mulțimea, folosind proprietatea găsită. 3. Determinați elementele mulțimilor:     12 12 A= x ∈  ∈  , B = x ∈  ∈  , x x    

  10   10 ∈  . C= ∈  , D = x ∈  x ∈  2x + 1 2x + 1    

4. Scrieți mulțimile, enumerând elementele fiecăreia: A = {x | x ∈ ℕ și 2 ≤ x < 7}; B = {x | x ∈ ℕ și −3 ≤ x < 2}; C = {x | x ∈ ℤ și −3 ≤ x < 2}. 5. Se consideră mulțimea 1   M = −7; − ; − 4; 0; 2; 3; 0,5; 7  . 3   Scrieți, prin enumerarea elementelor, mulțimile: A = {x ∈ M | x ∈ ℕ}, B = {x ∈ M | x ∈ ℤ}, C = {x ∈ M | x ∈ ℚ}, D = {x ∈ M | x ∈ ℝ – ℚ}. 6. Se consideră mulțimile A = {2, 3, 4} și B = {1, 2, 3, 6}. a  Determinați mulțimea C =  | a ∈ A, b ∈ B  . b  7. Fie mulțimea B = {x ∈ ℕ | 3x3 < 600}. a) Determinați elementele mulțimii B. b) Precizați, argumentat, care dintre elementele mulțimii B sunt pătrate perfecte.

Lecția 2. Relații între mulțimi. Operații cu mulțimi Ne amintim  Două mulțimi care au aceleași elemente se numesc mulțimi egale. Dacă mulțimile A și B sunt egale, scriem A = B. Dacă mulțimile A și B nu sunt egale, scriem A ≠ B.

Pentru A = {3, 4}, B = {x | x este cifră a numărului 43}, C = {2, 4}, au loc relațiile:

 Mulțimea A este inclusă în mulțimea B dacă orice element al mulțimii A este și element al mulțimii B. Dacă mulțimea A este inclusă în mulțimea B, scriem A ⊂ B. Se mai spune că B include pe A și scriem B ⊃ A. Dacă mulțimea A nu este inclusă în mulțimea B, scriem A ⊄ B sau B ⊅ A.

Pentru A = {3, 9} și B = {x| x este cifră în baza 10},

 Reuniunea mulțimilor A și B este mulțimea formată din elementele care aparțin cel puțin uneia dintre ele: A ⋃ B ={x | x ∈ A sau x∈ B}.

• Pentru A = {6, 7, 8} și B = {x ∈ ℕ | x < 7}, obținem A ⋃ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

 Dacă A ⊂ B, atunci mulțimea A se numește submulțime a mulțimii B, sau parte a mulțimii B. Mulțimea vidă, notată ∅, este submulțime a oricărei mulțimi, adică: ∅ ⊂ A oricare ar fi mulțimea A.

 Intersecția mulțimilor A și B este mulțimea formată din elementele comune celor două mulțimi: A ⋂ B ={x | x∈ A și x ∈ B}.

Dacă A ⋂ B = ∅, atunci A și B se numesc mulțimi disjuncte.  Diferența mulțimilor A și B este mulțimea formată din elementele care aparțin mulțimii A și nu aparțin mulțimii B, adică: A − B = {x | x ∈ A și x ∉ B}.

A = B, A ≠ C și B ≠ C.

elementele 3 și 9, ale mulțimii A, sunt cifre în baza 10, deci și ale mulțimii B, adică A ⊂ B sau B ⊃ A.

Mulțimea B = {x | x este cifră în baza 10} conține, de exemplu, elementul x = 1, care nu aparține mulțimii A = {3, 9}, deci B ⊄ A sau A ⊅ B.

Din ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ, rezultă că ℕ este submulțime a mulțimii ℤ, aceasta este submulțime a mulțimii ℚ, care este submulțime a mulțimii ℝ.

• ℝ = ℚ ⋃ (ℝ – ℚ).

• Pentru A = {6, 7, 8} și B = {2, 6, 8, 9}, obținem A ⋂ B = {6, 8}. • Mulțimile ℚ și ℝ – ℚ sunt disjuncte, deoarece ℚ ⋂ (ℝ – ℚ) = ∅.

• Pentru A = {x | x este cifră nenulă} și B = {x ∈ ℕ | x < 7}, obținem A − B = {7, 8, 9}. • Mulțimea numerelor iraționale este diferența ℝ – ℚ.

Rezolvăm și observăm Problemă. Se consideră mulțimile: A = {3, 4}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {3, 4, 5, 6, 7}, D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, E = {x | x este cifră, x ≠ 9 și x ≠ 0}. a) Scrieți mulțimea E, enumerându-i elementele. a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} b) Copiați pe caiete, apoi completați spațiile libere astfel încât să obțineți o afirmație adevărată: Mulțimile … și … sunt egale deoarece au aceleași elemente. c) Stabiliți valoarea de adevăr a fiecăreia dintre propozițiile: B ⊂ C; C ⊂ B; B ⊂ D; A⊂ B.

b) Mulțimile D și E sunt egale deoarece au aceleași elemente. c) Sunt adevărate propozițiile: B ⊂ D; A ⊂ B. Sunt false propozițiile: B ⊂ C; C ⊂ B.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Aplicația 1. Se consideră mulțimile A = {x | x este cifră pară}, B = {2, 4, 5, 7} și C ={4, 6, 7, 9}. a) Scrieți mulțimea A, enumerându-i elementele. b) Calculați: A ⋃ B, A ⋃ C, B ⋃ C, A – B, B – C, A ⋃ B ⋃ C, A ⋂ B ⋂ C, (A ⋃ C) – B.

Rezolvare:

a) A = {0, 2, 4, 6, 8}.

b) A ⋃ B ={x | x ∈ A sau x ∈ B}={0, 2, 4, 5, 6, 7, 8}, A ⋃ C ={x | x ∈ A sau x ∈ C } = {0, 2, 4, 6, 7, 8, 9}, B ⋃ C = {x | x ∈ B sau x ∈ C} = {2, 4, 5, 6, 7, 9}, A – B ={x | x ∈ A și x ∉ B }={0, 6, 8},

B – C ={x | x ∈ B și x ∉ C} = {2, 5}, A ⋃ B ⋃ C = {x | x ∈ A sau x ∈ B sau x ∈ C} = {0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A ⋂ B ⋂ C = {x | x ∈ A și x ∈ B și x ∈ C} = {4}, (A ⋃ C) – B = {x | x ∈ A ⋃ C și x ∉ B} = {0, 6, 8, 9}.

Aplicația 2. Se notează cu E mulțimea elevilor clasei a VIII-a, a unei școli. Se consideră mulțimile: A = {x ∈ E | x participă la cercul de robotică}, B = {x ∈ E | x îndrăgește fizica}, C = {x ∈ E | x îndrăgește matematica}. În această școală, dacă un elev participă la cercul de robotică, atunci el îndrăgește fizica, iar dacă un elev îndrăgește fizica, atunci acesta îndrăgește și matematica. Stabiliți incluziunile care au loc între mulțimile A, B, C, E. Rezolvare: Se observă că, dacă x ∈ A, atunci x ∈ E, prin urmare A ⊂ E. Analog B ⊂ E și C ⊂ E. Fie x un elev al clasei a VIII-a (x ∈ E):

În limbaj cotidian Dacă x participă la cercul de robotică, atunci x îndrăgește fizica. Dacă x îndrăgește fizica, atunci x îndrăgește și matematica. Dacă x participă la cercul de robotică, atunci x îndrăgește fizica, iar dacă x îndrăgește fizica, atunci x îndrăgește și matematica. Deci, dacă x participă la cercul de robotică, atunci x îndrăgește matematica.

În limbajul simbolisticii matematice

Dacă x ∈ A, atunci x ∈ B. Dacă x ∈ B, atunci x ∈ C. Din x ∈ A, rezultă x ∈ B, iar din x ∈ B rezultă x ∈ C. Deci, dacă x ∈ A, atunci x ∈ C.

Prin urmare, A ⊂ B ⊂ C ⊂ E. Minitest

30 p

1. Reuniunea {1, 3, 4} ⋃ {2, 3, 4, 5} este mulțimea:

Dacă A ⊂ B și B ⊂ C, atunci A ⊂ C.

B. {3, 4};

C. {1, 2, 5};

D. {1, 3, 4, 5}.

C. a = 3;

D. a = 4.

2. Dacă {0, 1, 2} ∩ {1, 3, a, 4 } = {1, 2}, atunci: A. a = 1;

30 p

B⊂C

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

A. {1, 2, 3, 4, 5};

30 p

A⊂B

B. a = 2;

3. Dacă A = {m, a, t, e} și B = {t, e, m, a}, atunci A – B, este mulțimea: A. {m};

B. {a, t, e};

C. {m, a, t, e};

D. ∅.

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Pentru mulțimile M = {0, 2, 6, 12, 20} și P = {a | a = x · (x + 1), x ∈ ℕ și x < 5}, determinați numărul afirmațiilor corecte: a) M ⊂ P; c) P ⊂ M; d) M ≠ P. b) M = P;

8. Calculați: A ⋃ B; A ∩ B; A − B și B – A dacă: a) A = {x | x ∈ ℕ și 3 < x ≤ 6};

B = {x | x ∈ ℤ și −3 ≤ x < 5 }.

b) A = {x | x ∈ ℕ și −2 3 ≤ x < 3 2 };

2. a) Scrieți toate submulțimile mulțimii A = {a, b}. b) Deduceți numărul submulțimilor unei mulțimi cu două elemente. c) Determinați numărul submulțimilor unei mul țimi cu trei elemente. 3. Precizați valoarea de adevăr a propozițiilor: a) {– 1, 0, 2} ⊂ ℤ; d) {– 4} ⊂ ℝ – ℚ; b) −

⊄ ℝ – ℚ; e)

−

c) {–1, 3} ⊂ ℕ;

{

7 ∈ ℝ – ℚ;

}

f) − 9 , 2 ⊂ ℝ – ℚ.

4. Precizați valoarea de adevăr a propozițiilor:

13 + 23 + 33 ∈ ℕ; 33 ⋅ 12 ∈ ℕ;

92 + 122 ∈ ℤ ;

225 ∈ ℝ – ℚ;

5. a) Calculați x =

1 ∈ ℚ. 4

221 + 2 + 4 + 6 + ... + 440 .

b) Copiați pe caiete și completați în fiecare casetă liberă A, dacă afirmația este adevărată și F, dacă afirmația este falsă. Propoziția

A/F Propoziția

x este pătrat perfect

A/F

x∈ℚ

x∈ℕ

x∈ℝ–ℚ

x∈ℤ

x∈ℝ

6. Se consideră mulțimile A = {2, 4, 6, 12, 20} și B = {x2 | x ∈ ℕ și x ≤ 4}. Calculați: A ⋃ B, A ∩ B, A − B și B − A. 7. Se consideră mulțimile A = {x | x ∈ ℕ și −4 ≤ x < 3} și B = {x | x ∈ ℤ și −4 ≤ x < 3}.

a) Scrieți mulțimile A și B, prin enumerarea elementelor. b) Calculați: A ⋃ B, A ∩ B, A − B și B − A. c) Precizați valoarea de adevăr a propozițiilor: A ⊂ B, B ⊂ A, A ⊂ (A ⋃ B), A ⊂ (B − A).

B = {x | x ∈ ℤ și −2 3 ≤ x < 3 2 }. 9. Se consideră mulțimea

 7 2 −3 3  A = 32 ; ( −1) ; ( −2 ) ; 2 ; 12; 0,(2); ( −2 )  . 9   Calculați: A ∩ ℕ; A – ℕ; A ∩ ℤ; A – ℤ; A ∩ ℚ; A ∩ ℝ; A ∩ (ℝ – ℚ); A ∩ (ℚ – ℤ). 10. Se consideră mulțimile A = {1, 2, 3, 4, 7}, B = {2, 4, 6, 8} și C = {3, 6, 7}. Verificați dacă au loc egalitățile: a) A – (B ⋃ C) = (A – B) ∩ (A – C); b) A – (B ∩ C) = (A – B) ⋃ (A – C). 11. Determinați mulțimile A și B care îndeplinesc si multan condițiile: (i) A⋃B = {1, 2, 3, 4, 5}; (iii) 1 ∈ (A – B); (ii) A ∩ B = {3, 4, 5}; (iv) 2 ∈ (B – A). 12. Scrieți mulțimea M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ca reu niune a două mulțimi disjuncte A și B, astfel încât suma elementelor mulțimii A să fie egală cu suma elementelor mulțimii B. Analizați toate variantele posibile. 13. Scrieți mulțimea P = {1, 3, 5, 7} ca intersecție a două mulțimi C și D, având fiecare câte cinci ele mente, cifre, în baza 10. Analizați toate variantele posibile. 14. Scrieți toate mulțimile A cu proprietatea A ⊂ {0, 2, 4}. 15. Calculați suma a + b + c, știind că A = {4, a, 7}, B = {b, 5, c} și A = B. 16. Se consideră mulțimile C = {x ∈ ℕ | x este cifră pară} și D = {0, 2, 4, 8}. Stabiliți care dintre mulțimile date este submulțime a celeilalte.

1.2. INTERVALE NUMERICE. INTERSECȚIA ȘI REUNIUNEA INTERVALELOR Lecția 1. Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor. Submulțimi ale unei drepte Ne amintim Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor  Axa numerelor este o dreaptă pe care am fixat un punct O, numit origine, un sens pozitiv și o unitate de măsură.  Oricărui număr real îi corespunde pe axa numerelor un punct unic. Numărului real 0 îi corespunde punctul O. Dacă numărului real x îi corespunde punctul P, atunci spunem că punctul P are coordonata x și scriem P(x).

0 OP = | x |

 Reciproc, oricărui punct M de pe axa numerelor îi corespunde un număr real unic, numit abscisa sau coordonata punctului M și notat xM.

OM = | xM |

 Dacă M și N sunt două puncte oarecare pe axa numerelor, având coordonatele xM și xN , atunci MN = |xN − xM |.

 Pentru reprezentarea numerelor iraționale pe axa numerelor se folosesc, de regulă, aproximări zecimale ale acestora. Submulțimi ale unei drepte Două puncte oarecare A și B, situate pe o dreapta d, determină segmentul AB. Un punct oarecare A, situat pe o dreaptă d, determină două semidrepte opuse. Dacă punctele M și N aparțin dreptei d și sunt de o parte și de alta a punctului A, atunci cele două semidrepte vor fi AM respectiv AN. Segmentul AB și semidreptele AM și AN sunt submulțimi ale dreptei d.

B A

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni 1. Pe axa numerelor reale, considerăm punctele A, B, C, D, ca în desenul alăturat. a) Stabiliți coordonatele punctelor A, B, C, D. b) Folosind formula MN = |xN − xM |, calculați lungimile segmentelor AB, AC, AD, CB, DB, DC și DO. c) Verificați rezultatele de la subpunctul precedent, numărând pe desen unitățile de măsură corespunzătoare lun gimii fiecărui segment.

u.m. D

Rezolvare: a) Coordonatele punctelor A, B, C și D sunt respectiv: xA = 3, xB = 2, xC = –1 și xD = –2. b) AB = |2 − 3| = 1. Analog: AC = 4, AD = 5, CB = 3, DB = 4, DC = 1 și DO = 2.

2. Considerăm punctele A(– 3) și B(3), pe axa numerelor reale. a) Reprezentați segmentele AB, OA, OB, pe desene diferite. A O A O B –3

–3

–3 A

b) Reprezentați semidreptele AB și OA pe același desen, folosind culori diferite. c) Reprezentați semidreptele OA și OB, pe același desen, cu culori diferite. Minitest 30 p

30 p

3 B

–3

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

1. Observați desenul alăturat

PQ N

. –1,5 –1,4 Reprezentarea numărului − 2 este un punct situat: A. între M și P; B. între P și Q; C. pe semidreapta PM;

D. pe semidreapta QN.

2. Este adevărată relația: A. 5 < 6 < 6 ;

30 p

–3 A

B. 2 < 6 < 3;

3. Cardinalul mulțimii M = A. 13;

{ab 8 < ab < 9} este:

B. 14;

C. 3 < 6 < 4 ;

D. 4 < 6 < 5 .

C. 15;

D. 16.

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Pe axa numerelor, cu unitatea de măsură de 10 cm, reprezentați: 1 a) numerele: −1; 0; 1; 0,(6); − . 2 b) punctele A și B care au coordonatele xA = −0,7, 3 respectiv xB = . 4 2. Pe axa numerelor reale, cu originea O, se consideră punctele A(1), B(2). a) Desenați pătratul OACD. Notați cu M punctul în care cercul C(O, OC) intersectează semidreapta OA. Determinați coordonata punctului M. b) Desenați pătratul OBEF și notați cu N și P punc tele în care cercul C(O, OE) intersectează axa. Determinați coordonatele punctelor N și P, apoi calculați lungimea segmentului NP. 3. Pe axa numerelor, cu originea O, se consideră punctele A(1), B(2). Împărțim segmentul AB în seg mentele congruente AP1, P1P2, P2P3, P3P4, P4B.

a) Alegeți o unitate de măsură potrivită și realizați un desen care să ilustreze datele problemei. b) Stabiliți coordonatele punctelor P1, P2, P3, P4. c) Reprezentați pe axă punctele M ( 2 ) și N ( 3 ). d) Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor și completați tabelul de mai jos. A/F Propoziția Punctul M aparține segmentului P2P3. Punctul N aparține semidreptei P4B. P2P3 > MN. Mijlocul segmentului MN are coordonata un număr irațional mai mare decât 1,5. 4. Copiați pe caiete și completați spațiile libere astfel încât să obțineți relații de forma a, b < x < a,(b + 1), unde a este un număr natural, iar b este cifră în baza 10. a) … <

2 < …; 1 1 1 1 b) … < <…. + + + 2 ⋅3 3⋅ 4 4 ⋅5 5⋅ 6

5. a) Scrieți trei numere raționale pozitive, mai mici a decât 1, de forma , a ∈ ℕ. 10 Alegeți o unitate de măsură convenabilă și re prezentați numerele pe axa numerelor. b) Scrieți două numere iraționale negative, mai mari decât −2, de forma − b , b ∈ ℕ. Alegeți o unitate de măsură convenabilă și re prezentați numerele pe axa numerelor. 6. Scrieți toate numerele iraționale pozitive de forma 3 − a , a ∈ ℕ. Alegeți o unitate de măsură convenabilă și repre zentați pe axă cel mai mic și cel mai mare dintre aceste numere.

7. Determinați cardinalul mulțimii = M

{ab − 6 < − ab < −5,5}.

8. Punctele A(1), B(b), C(c), D(7) sunt reprezentate pe axa numerelor, în această ordine, b ∈ ℕ, c ∈ ℝ \ ℚ. a) Identificați o valoare pentru b și o valoare pen tru c astfel încât AB > CD. b) Demonstrați că nu există b ∈ ℚ și c ∈ ℝ \ ℚ, astfel încât AD = 2 · BC. 9. Pe axa numerelor, cu originea punctul O, este re prezentat punctul A de coordonată 8 . Punctul B este mijlocul segmentului OA. Precizați, argumen tat, dacă punctul C ( 3) aparține segmentului AB.

Lecția 2. Intervale de numere reale  Conceptul de interval, cu sensuri distincte, apare în multe domenii ale științei: fizică, istorie, geografie, chimie, astronomie, statistică, muzică și evident, matematică. Acest termen apare des și în limbajul cotidian al fiecăruia dintre noi, având în vedere că ne raportăm frecvent la valori ale unor mărimi, situate între anumite limite.  Un interval de timp este timpul scurs între două fenomene, între două evenimente, între două momente conse cutive sau între momentul în care începe și cel în care se încheie un fenomen sau un eveniment. Secolul este un interval de timp cu durata de 100 de ani.  În muzică, intervalele sunt determinate de înălțimile a două sunete muzicale. De exemplu, în gama Do Major, distanța între sunetele Do1 și Do2 este un interval, numit octavă. Descoperim, înțelegem, exemplificăm Pe o dreaptă d oarecare, stabilim sensul pozitiv, originea și unitatea de măsură. Fiecărui punct de pe dreaptă îi corespunde un număr real și fiecărui număr real îi corespunde un punct pe dreapta d. În acest fel, dreapta d se identifică cu mulțimea numerelor reale și vom spune că dreapta d este reprezentarea geometrică a mulțimii numerelor reale. A. Intervale mărginite Două puncte distincte oarecare A(a) și B(b) determină pe dreapta d un segment. Pentru a < b, considerăm un număr real x astfel încât a < x < b. Numărului real x îi va corespunde pe axa numerelor un punct M, situat între punctele A și B.  Pentru a și b numere reale, cu a < b, mulțimea tuturor numerelor reale cuprinse între a și b se numește interval deschis determinat de numerele a și b și se notează (a, b). Mulțimea tuturor punctelor dreptei d, situate între A și B se numește segment deschis și se notează (AB).

M B

x b

(a, b) ={x | x ∈ ℝ și a < x < b } (–2, 3) ={x | x ∈ ℝ și –2 < x < 3} (AB) = {M | M ∈ d și M este între A și B}.

Convenții:

A ( a

(i) Vom reprezenta pe axa numerelor intervalul deschis (a, b) prin segmentul deschis (AB), corespunzător acestuia. (ii) Pentru a = b, (a, b) = ∅. În desenul alăturat este reprezentat segmentul deschis (AB), cu capetele A(– 2) și B(3).

B ) b

–2

Observații: Segmentul deschis (AB) este reprezentarea pe axa numerelor a intervalului deschis (a, b). Intervalul (a, b) este mulțimea coordonatelor punctelor situate pe segmentul (AB).  Pentru a < b, mulțimea (a, b) ⋃{a, b} se numește interval închis de terminat de numerele a și b și se notează [a, b]. Mulțimea (AB) ⋃{A, B} se numește segment închis și se notează [AB].

[a, b] ={x | x ∈ ℝ și a ≤ x ≤ b} [–2, 3] ={x | x ∈ ℝ și – 2 ≤ x ≤ 3}

Convenții: (i) Vom reprezenta pe axa numerelor intervalul închis [a, b] prin seg mentul închis [AB], corespunzător acestuia.

a A

(ii) Pentru a = b, [a, b] = {a} = {b}.

O 0

–2

 Pentru a < b, mulțimea de numere (a, b) ⋃{a} se notează [a, b), iar mulțimea (a, b) ⋃{b} se notează (a, b]. Cele două mulțimi se numesc intervale semideschise. Mulțimea pe puncte (AB) ⋃{A} se notează [AB), iar mulțimea (AB) ⋃{B} se notează (AB]. Aceste mulțimi se numesc segmente semideschise.

]

[

[a, b) = {x | x ∈ ℝ și a ≤ x < b} (a, b] = {x | x ∈ ℝ și a < x ≤ b}. [–2, 3) = {x | x ∈ ℝ și –2 ≤ x < 3} (–2, 3] = {x | x ∈ ℝ și –2 < x ≤ 3}.

Convenții: (i) Intervalul semideschis [a, b) se reprezintă geometric prin segmentul semideschis [AB).

A a[

B )b B

O 0

–2

(ii) Intervalul semideschis (a, b] se reprezintă geometric prin segmentul semideschis (AB].

A a(

–2

B ]b O

B. Intervale nemărginite Pentru a evidenția nemărginirea dreptei reale, vom folosi simbolurile – ∞ (minus infinit) și + ∞ ( plus infinit), iar axa numerelor se va repre zenta ca în desenul alăturat. Pe axa numerelor reale, considerăm punctele A(a) și M(x).  Dacă punctul M este situat pe axă în dreapta punctului A, atunci mulțimea tuturor numerelor reale x, cu proprietatea x > a, se no tează (a, + ∞) și se numește interval deschis nemărginit la dreapta, determinat de numărul real a.

O –

(a, + ∞) = {x | x ∈ ℝ și x > a} –∞

Reprezentarea intervalului (a, + ∞) pe axa reală este semidreapta deschisă (AM.

(

M x

+∞

 Dacă punctul M este situat pe axă în stânga punctului A, atunci mulțimea tuturor numerelor reale x, cu proprietatea x < a, se notează (–∞, a) și se numește interval deschis nemărginit la stânga, determinat de numărul real a.

(–∞, a) = {x | x ∈ ℝ și x < a} –∞

)

+∞

Reprezentarea intervalului (–∞, a) pe axa reală este semidreapta deschisă (AM.

[a, +∞) = {x | x ∈ ℝ și x ≥ a}

 Mulțimea (a, + ∞) ⋃{a} se notează [a, +∞) și se numește interval închis la stânga, nemărginit la dreapta, determinat de numărul real a. Reprezentarea intervalului [a, +∞) pe axa reală este semidreapta închisă [AM.  Mulțimea (–∞, a) ⋃{a} se notează (–∞, a] și se numește interval închis la dreapta, nemărginit la stânga, determinat de numărul real a.

[

–

(–∞, a] = {x | x ∈ ℝ și x ≤ a}

M x

–

]

Reprezentarea intervalului (–∞, a] pe axa reală este semidreapta închisă [AM. Observație: Intervalele de numere reale sunt submulțimi ale mulțimii numerelor reale. ℝ = (– ∞, + ∞)  Mulțimea numerelor reale este un interval nemărginit atât la stânga cât și la dreapta. Axa numerelor este reprezentarea intervalului ne –∞ 0 mărginit (–∞, +∞)

+∞

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Formați grupe de câte doi elevi. Studiați împreună tabelul următor, apoi identificați și alte două numere reale, care aparțin, respectiv care nu aparțin intervalului, pentru fiecare exemplu. Justificați alegerea făcută. Interval

Două numere care aparțin intervalului 2,(4) ∈ [2, 3]

Descrierea intervalului

[2, 3]

{x | x ∈ ℝ și 2 ≤ x ≤ 3}

[1, +∞)

[1, +∞) = {x | x ∈ ℝ și x ≥ 1}

(–∞, –3]

(–∞, –3] = {x | x ∈ ℝ și x ≤ –3}

3 ∈ [2, 3]

2 ∈ [1, +∞) 1 ∈ [1, +∞) –4 ∈ (–∞, –3] –3 ∈ (–∞, –3]

Justificare 2 ≤ 2,(4) ≤ 3 2≤3≤3

2 ≥1 1≥1 –4 < –3 –3 = –3

Două numere care nu aparțin intervalului 1,9 ∉ [2, 3]

Justificare 1,9 < 2

4 ∉ [2, 3]

4>3

0 ∉ [1, +∞)

0<1

– 2 ∉ [1, +∞)

– 2<1

–2 ∉ (–∞, –3]

–2 > – 3

0 ∉ (–∞, –3]

0>–3

Aplicație. Demonstrați, folosind reprezentarea geometrică a numerelor reale și a intervalelor de numere reale, că pentru a∈ ℝ și a > 0 au loc egalitățile: a) {x | x ∈ ℝ și |x| < a} = (–a, a);

b) {x | x ∈ℝ și |x| ≤ a} = [–a, a].

Demonstrație: a) Vom folosi reprezentarea intervalului (–a, a) pe axa numerelor și definiția modulului unui număr real. Considerăm x ∈ ℝ, cu | x | < a. Notăm cu A imaginea geometrică a numărului a și cu A′ imaginea geometrică a numărului –a. Fie P imaginea geometrică a numărului x.

A' ( –a

A ) a

Deoarece | x | = OP rezultă OP < a. Dar a = OA = OA′, deci OP < OA și OP < OA′, ceea ce înseamnă că P aparține segmentului deschis (A′A), adică x ∈ (– a, a). Am demonstrat că orice element al mulțimii {x | x ∈ ℝ și | x | < a} este și element al intervalului (–a, a). (1) Pe de altă parte, reprezentarea geometrică a intervalului (–a, a) este segmentul deschis (A′A), cu a = OA = OA′. Oricare ar fi x ∈ (– a, a), are imaginea geometrică P ∈ (A′A) cu OP < OA′ = a, adică x ∈ ℝ și | x | < a, deci x ∈{x | x ∈ ℝ și | x | < a}. Folosind (1), se obține egalitatea {x | x ∈ ℝ și | x | < a} = (– a, a). (2) b) {x | x ∈ ℝ și | x | ≤ a} ={x | x ∈ ℝ și | x | < a} ⋃ {– a, a} și [– a, a] = (– a, a) ⋃ {– a, a}. Folosind egalitatea (2), rezultă {x | x ∈ℝ și | x | ≤ a} = [– a, a]. Reținem! INTERVALE MĂRGINITE Reprezentarea Intervalul geometrică interval deschis (a, b) (a, b) = {x | x ∈ ℝ și a < x < b} interval închis [a, b] [a, b] = {x | x ∈ ℝ și a ≤ x ≤ b} interval semideschis (a, b] (a, b] = {x | x ∈ ℝ și a < x ≤ b} interval semideschis [a, b) [a, b) = {x | x ∈ ℝ și a ≤ x <b}

( a

) b

[ a

] b

( a

] b

[ a

) b

INTERVALE NEMĂRGINITE Reprezentarea Intervalul geometrică Interval deschis nemărginit la ( dreapta (a, ∞) – a x (a, ∞) = {x | x ∈ ℝ și x > a} Interval închis la stânga, nemărginit la dreapta [a, ∞)

[a, ∞) = {x | x ∈ ℝ și x ≥ a} interval deschis, nemărginit la stânga (–∞, a) (–∞, a) = {x | x ∈ ℝ și x < a} interval închis la dreapta, nemărginit la stânga (–∞, a]

–

– x

) a

– x

[

]

Oricare ar fi a > 0, au loc echivalențele:

(–∞, a] = {x | x ∈ ℝ și x ≤ a} Oricare ar fi a > 0, au loc echivalențele:

1) x ∈ ℝ și | x | < a ⇔ x ∈ (– a, a ).

1) x ∈ ℝ și | x | > a ⇔ x ∈ (–∞, – a) sau x ∈ (a, ∞).

2) x ∈ ℝ și | x | ≤ a ⇔ x ∈ [– a, a].

2) x ∈ ℝ și | x | ≥ a ⇔ x ∈ (–∞, – a] sau x ∈ [a, ∞).

Minitest 30 p

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

1. Mulțimea A ={ x ∈ ℝ − 2 < x < 3}, scrisă ca interval, este: A. (−2, 3];

30 p

C. [−2, 3);

D. [−2, 3].

C. [1, + ∞);

D. (1, + ∞).

2. Dacă B ={ x ∈ ℝx > 1}, atunci B este intervalul: A. (−∞, 1);

30 p

B. (−2, 3); B. (−∞, 1];

3. Intervalul C = (−1, 7], scris ca mulțime de elemente cu o proprietate caracteristică, este: A. {x ∈ ℝ−1 < x < 7};

B. {x∈ ℝ−1 ≤ x < 7};

C. {x ∈ ℝ−1 < x ≤ 7};

D. {x ∈ ℚ−1 < x ≤7}.

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. a) Scrieți următoarele intervale, folosind proprieta tea caracteristică elementelor fiecăruia dintre ele: (–∞, –6); (–4, –2); [–1, 1]; (2, 4]; [5, 7); [8, + ∞). b) Alegeți unitatea de măsură de 0,5 cm și repre zentați pe axa numerelor intervalele de mai sus. 2. Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor. Propoziția

A/F Propoziția

2 ∈ [0, 3]

A/F

3 ∈ [1,71; 1,72]

– 2 ∈ (–2, –1) 5 ∈ (3, 5)

6,7 ∈ (6,

–2 ∉ (–2, 0)

π ∈ (3, + ∞)

49 ) 169 ∉ [12, 13]

3. Scrieți ca interval de numere reale mulțimile: A = {x ∈ ℝ | –2 ≤ x < 1}, B = {x ∈ ℝ | x ≤ 3 }, C = {x ∈ ℝ | x ≥ 3}. 4. Se consideră intervalul I = [–2, 2].

11 a) Verificați dacă numărul rațional − aparține 5 intervalului I.

b) Scrieți patru numere iraționale care aparțin in tervalului. Justificați răspunsul dat. 5. Dați exemplu de câte un interval pentru fiecare din tre situațiile următoare: a) conține numere naturale; b) nu conține niciun număr întreg; c) conține exact două numere naturale; d) conține numere oricât de mari; e) conține numere oricât de mici. 6. Folosind noțiunea de interval, scrieți următoarele enunțuri: a) distanța d, până la școală, este de cel mult 300 m; b) masa unui pachet este de 500g ± 10g; c) viteza unui avion aflat în zbor este cel puțin 100 km/h. 7. Se consideră mulțimile A ={x ∈ ℝ– 1 < x < 4} și B = (−3, − 2 ). a) Stabiliți dacă 0 este element al mulțimii A. b) Demonstrați că a > b, oricare are fi a ∈ A și b ∈ B.

8. Scrieți ca interval, apoi reprezentați pe axa numere lor, fiecare mulțime: a) A = {x ∈ ℝ  −2 ≤ x ≤ 5}; b) B = {x ∈ ℝ  2 < x < 6}; c) C = {x ∈ ℝ  x ≤ −3}; 216 − 215   d) D = x ∈  x > ; 47  

e) E ={x ∈ ℝ  x − 2 ≤

8 };

f) F ={x ∈ ℝ −4 < x < −3}. 9. În figura de mai jos, pe axa reală sunt reprezentate numerele întregi − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3 și punctele  7  4 5 A −  , B − 3 , C  −  , D 2 , E  .  2  5 2 A B C O D E

(

)

( )

–3 –2 –1 0 1 2 3 a) Reprezentați în caiete, pe axa numerelor, cele 12 numere reale. b) Scrieți punctele reprezentate pe axă, care au abscisa în intervalul [−1, 2]. c) Scrieți punctele reprezentate pe axă, care au abscisa în intervalul (−∞, 0). d) Scrieți punctele reprezentate pe axă care au abs cisa număr irațional. 10. Calculați suma dintre cel mai mic și cel mai mare număr întreg din intervalul:  31 148  a) [−8, 6); b)  − , .  13 841  11. Demonstrați că numărul a = 7 3 − 75 aparține intervalului (3, 4). 12. a) Demonstrați că

k 1 1 , = − n ⋅ (n + k ) n n + k

oricare ar fi n ∈ ℕ și k ∈ ℕ∗. b) Stabiliți, argumentat, dacă numărul b=

5 7 9 + + 3 ⋅ 8 8 ⋅ 15 15 ⋅ 24

1 1 aparține intervalului b∈ ,  .  4 3

Lecția 3. Operații cu intervale de numere reale Ne amintim Pentru oricare două mulțimi A și B: A ⋃ B = {x | x ∈ A sau x ∈ B} și A ⋂ B = {x | x ∈ A și x ∈ B}. Descoperim, înțelegem, exemplificăm

Intervalele de numere reale sunt submulțimi ale mulțimii numerelor reale. În consecință, între intervale de numere reale vom defini aceleași operații ca între mulțimi. Pentru efectuarea operațiilor cu intervale, reprezentarea pe axă a acestora este un suport intuitiv foarte util. Aplicația 1. Calculați: a) (–3, 2) ⋃ [1, 4 ]; b) (–3, 2) ⋂ [1, 4]; c) (–3, 2 ) ⋂ ( 2 , 4]. a)

Descriere și reprezentare geometrică (–3, 2) ⋃ [1, 4 ] = {x | x ∈ (–3, 2) sau x ∈ [1, 4] } (–3, 2) ⋂ [1, 4] = {x | x ∈ (–3, 2) și x ∈ [1, 4] }

Rezultat

(–3, 2) ⋃ [1, 4] = (–3, 4] (–3, 2) ⋂ [1, 4] = [1, 2)

(–3, 2 ) ⋂ ( 2 , 4] = {x | x ∈ (–3, 2 ) și x ∈ ( 2 , 4]} 2

(–3, 2 ) ⋂ ( 2 , 4] = ∅

Observație: Reuniunea și intersecția a două intervale nu au ca rezultat neapărat un interval. Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Aplicația 2. a) Oricare ar fi numărul real a > 0, au loc egalitățile: 1. {x | x ∈ ℝ și | x | < a} = (–∞, a) ⋂ (–a, +∞) = (–a, a).

2. {x | x ∈ ℝ și | x | ≤ a} = (–∞, a] ⋂ [–a, +∞) = [–a, a].

b) Oricare ar fi numărul real a > 0, au loc egalitățile: 1. {x | x ∈ ℝ și | x | > a} = (–∞, –a) ⋃ (a, +∞).

2. {x | x ∈ ℝ și | x | ≥ a} = (–∞, –a ] ⋃ [ a, +∞).

c) {x | x ∈ ℝ și | x | ≥ 0} = (–∞, +∞) = ℝ. Pentru a = 0, {x | x ∈ ℝ și | x | ≥ 0}= (–∞; 0] ⋃ [0, +∞) = (–∞, +∞) = ℝ.

Minitest 30 p

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

1. Dacă A = (−4, 2), atunci A ⋃ {−3, 2} este: A. (−3, 2);

30 p

B. (−4, 2);

D. (−4, 2].

2. Dacă B = (−3, 2] și C = [−2, 4), atunci B ⋂ C este: A. (−2, 2);

30 p

C. [−3, 2);

B. (−3, 4);

C. [−2, 2]; 7 3. Efectuând {x ∈ ℝ | x < 2}⋂ {x ∈ ℝ | | x | ≤ }, se obține intervalul: 3 7 7     ; B.  −∞, A. − , 2  ; C.  2, 7  ;  3  3     3

D. [−3, 4].

D.  −2, 7  .  3  

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Scrieți sub formă de interval: a) [2, 5) ⋃ {5};

c) [–4, 3] ⋃ [–2, 3];

a) (2, 5) ⋂ (1, 3) ;

c) [–5, 1] ⋂ [–3, 2];

b) (–3, 1) ⋃{–3, 1};

d) [–4, 3] ⋃ [–4, 2).

2. Scrieți sub formă de interval: b) (–3, 1) ⋂{–3, 1};

d) [–4, 2] ⋂ {–2, 4}.

3. Scrieți fiecare mulțime, enumerându-i elementele. a) [–3, 5) ⋂ ℕ*; b) [–3, 5) ⋂ ℤ*;

c) (–3, 3) ⋂ ℤ;

d) [–4, 4] ⋂ (ℤ – ℕ).

4. Se dau mulțimile: A = {x | x ∈ ℝ și –3 < x ≤ 1} și B = {y | y ∈ ℝ și –2 ≤ y < 3}. Dintre mulțimile A, B, A ⋃ B, A ⋂ B, A ⋂ ℕ, B ⋂ ℤ, alegeți:

a) mulțimile care se pot scrie ca interval și repre zentați-le pe axa reală; b) mulțimile finite și scrieți-le prin enumerarea elementelor.

5. Calculați: a) [–3,4; 2] ⋂ [−2 3; 1] ;

b) [–2, 3] ⋂ [–3, 2] ⋂ ℤ*.

6. Calculați A ⋃ B, A ⋂ B pentru fiecare dintre pere chile de intervale: a) A = (–2, 4), B = [0, 5];

b) A = (–7, 3], B = [3, 6);

c) A = (– 3 , 2), B = (0,

5 ];

d) A = (–∞, 3), B = ( 6 , 4]. 7. a) Determinați a, b ∈ ℝ astfel încât a < b și [a, b] ⋃ [–2, 3] = [–4, 5]. b) Determinați a, b ∈ ℝ astfel încât a < b și [a, b] ⋂ [–3, 2] = [–2, 1].

8. Stabiliți dacă 1,2 ∈ A ⋂ B, unde A = (–5, +∞) și  1 7 B=  − ,  .  5 5

9. Se consideră mulțimile C = {x ∈ ℤ*| – 3 < x < 2} și D = {x ∈ ℝ | – 1 < x ≤ 2}. Calculați C ⋃ D, D ⋃C, C ⋂ D, D ⋂ C. 10. Găsiți două intervale I și J astfel încât I ⋃ J = [1, 6] și I ⋂ J = [2, 5].

11. Dacă a, b ∈ ℝ și 0 < a < b, stabiliți dacă: a+b a) ∈ (a, b); b) ab ∈ (a, b). 2 12. a) Determinați numerele întregi a și b, știind că (a, b) ⋂ ℤ = {–2}. b) Determinați numerele întregi c și d, știind că [c, d] ⋃ (–1, 10) = [–1, 11].

c) Determinați numerele întregi e și f, știind că [e, f ] ⋂ [8, 11] = [9, 10].

1.3. INECUAȚII DE FORMA a · x + b ≤ 0 (< (<, >, ≥), unde a, b ∈ ℝ

Lecția 1. Relațiile de inegalitate pe mulțimea numerelor reale: ≤, ≥, <, >. Proprietăți Ne amintim Pentru a compara două numere (naturale, întregi, raționale, reale) folosim reprezentarea lor pe axa numerelor, relația de egalitate „ =” sau relația de ordine „≤” (relația mai mic sau egal).  a = b dacă și numai dacă se reprezintă pe axa reală prin puncte identice. Fie A și B două puncte pe axa numerelor, cu abscisele xA = a respectiv xB = b, numere reale.  a < b (a este mai mic decât b) dacă și numai dacă, pe axa numerelor, punctul A este reprezentat în stânga punctului B.

1<5 A (1) se reprezintă în stânga punctului B (5).

 a > b (a este mai mare decât b) dacă și numai dacă, pe axa numerelor, punctul A este reprezentat în dreapta punctului B. a ≤ b ⇔ (a b sau a = b)

7,2 > 5,4 B(7,2) se reprezintă în dreapta punctului A(5,4).

– 2 ≤ – 1,8 pentru că – 2 < – 1,8, iar

4 ≤ 2 pentru că

4 = 2.

– 1,8 ≥ – 2 pentru că – 1,8 > – 2, iar

4 ≥ 2 pentru că

4 = 2.

Observație: (a b) ⇔ a ≠ b. Proprietăți ale relațiilor de inegalitate ≤, ≥, <, > Pe mulțimea numerelor reale, relația ≤ are proprietățile:  a ≤ a, oricare ar fi a ∈ ℝ. (este reflexivă)  Dacă a ≤ b și b ≤ a, atunci a = b. (este antisimetrică) (este tranzitivă)  Dacă a ≤ b și b ≤ c, atunci a ≤ c.  Proprietățile relației „ ≤ ” rămân valabile și pentru relația „ ≥ ”.

 Pe mulțimea numerelor reale, relațiile <, > sunt tranzitive. (a b și b > c) ⇒ a > c.

Rezolvăm și observăm În clasa a VII-a, pe baza proprietăților relației de egalitate și a proprietăților operațiilor cu numere reale, am obținut ecuații echivalente. Ne propunem să aflăm dacă proprietățile operațiilor cu numere reale ne oferă posibilitatea obținerii unor inegali tăți echivalente în cazul relațiilor de inegalitate ≤, ≥, <, >. Aplicație. P e axa numerelor, considerăm punctele: A(–3), B(–2 ), C(2), D(3), E(–8), F(–7), L (–6), M (–4), N (–1,5), P (–1), Q (6), R (4), S (1,5), T (1). E

–8

–7

–6

–5

B N P

T S C

–4

–3

–2

–1

Q 5

Copiați tabelul următor pe caiete, observați figura de mai sus și completați spațiile punctate cu unul dintre sim bolurile ≤, ≥, >, <, =, folosind modelele prezentate, astfel încât să obțineți afirmații adevărate.

a) xA < xB b) xA < xB c) xA < xB

xA + 5 = xC

xB + 5 = xD

xC < xD

xA + 5 < xB + 5

xA – 5 … xE

xB – 5 … xF

xE … xF

xA – 5 … xB – 5

xA · 2 … xL

xB · 2 … xM

xL … xM

xA · 2 … xB · 2

xA : 2 … xN

xB : 2 … xP

xN … xP

xA : 2 … xB : 2

xA · (–2) … xQ

xB · (–2) … xR

xQ … xR

xA · (–2) … xB · (–2)

xA : (–2) = xS

xB : (–2) = xT

xS > xT

xA : (–2) > xB : (–2)

Descoperim, înțelegem, exemplificăm  Adunarea și scăderea ambilor membri ai unei inegalități cu un număr real, păstrează relația de inegalitate. Dacă a, b și c sunt numere reale și a < b, atunci a + c < b + c.

Adunăm numărul 5 la ambii membri ai inegalității −3 < −2 și obținem 2 < 3. Vom scrie: −3 < −2 | (+5) ⇒ −3 + 5 < −2 + 5 ⇒ 2 < 3.

Dacă a, b și c sunt numere reale și a < b, atunci a − c < b − c.

Scădem numărul 5 din ambii membri ai inegalității −3 < −2 și obținem −8 < −7. Vom scrie: −3 < −2 | (−5 ) ⇒ −3 − 5 < −2 − 5 ⇒ −8 < −7.

 Înmulțirea cu un număr pozitiv și împărțirea la un număr pozitiv, a ambilor membri ai unei inegalități, păstrează relația de inegalitate. Dacă a, b sunt numere reale cu a 0, atunci a · c < b · c.

Înmulțim cu 2 ambii membri ai inegalității −3 < −2 și obținem −6 < −4.

Dacă a, b sunt numere reale cu

Împărțim la 3 ambii membri ai inegalității −3< −2 și obținem −1< −0,(6).

a b a 0, atunci < . c c

Vom scrie: −3 < −2 | (· 2) ⇒ −3 · 2 < −2 · 2 ⇒ −6 < −4.

Vom scrie: −3 < −2 | (: 3) ⇒

−3 −2 ⇒ −1< −0,(6). < 3 3

 Înmulțirea cu un număr negativ și împărțirea la un număr negativ, a ambilor membri ai unei inegalități, inversează relațiile. Dacă a, b sunt numere reale cu a b · c.

Înmulțim cu −1 ambii membri ai inegalității −3 < −2 și obținem 3 > 2.

Dacă a, b sunt numere reale cu

Împărțim prin −2 ambii membri ai inegalității −3 < −2 și obținem 1,5 > 1.

a b a . c c

Vom scrie: −3 < −2 | · (−1) ⇒ −3 · (−1) > −2 · (−1) ⇒ 3 > 2.

Vom scrie: −3 < −2 | : (−2 ) ⇒

−3 −2 ⇒ 1,5 > 1. > −2 −2

Observație: Proprietățile enumerate mai sus pentru relația „<”, sunt valabile pentru toate relațiile de inegalitate, adică și pentru relațiile: >, ≤, ≥. Aplicație. Folosind proprietățile prezentate mai sus, demonstrați că: 4. Dacă a, b ∈ ℝ, c > 0 și a : c < b : c, atunci a < b. 1. Dacă a, b, c ∈ ℝ și a + c < b + c, atunci a < b. 2. Dacă a, b, c ∈ ℝ și a − c < b − c, atunci a < b.

3. Dacă a, b ∈ ℝ, c > 0 și a · c < b · c, atunci a < b.

5. Dacă a, b ∈ ℝ, c < 0 și a · c > b · c, atunci a < b. 6. Dacă a, b ∈ ℝ, c < 0 și a : c > b : c, atunci a < b.

Temă de portofoliu Identificați în lecție reciprocele afirmaților 2, 3, 4, 5, 6 și formulați echivalențe, folosind modelul de mai jos. Afirmația directă 1. Dacă a, b și c ∈ ℝ și a < b, atunci a + c < b + c.

Afirmația reciprocă 1′. Dacă a, b, c ∈ ℝ și a + c < b + c, atunci a < b.

Concluzia Dacă a, b și c ∈ ℝ, atunci a < b ⇔ a + c < b + c.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Demonstrați că oricare ar fi x ∈ , x <

2 , 5

numărul 2 – 5·x este un număr pozitiv.

Minitest 30 p 30 p 30 p

Rezolvare: Folosim transformări echivalente: 2 x < ⋅5 5 . 5x < 2 − 5x 0 < 2 − 5 x ⇔ 2 − 5 x > 0 , deci 2 – 5·x este un număr pozitiv.

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

1. Dacă a > 0,(3), atunci: A. 3·a + 1 > 2; B. 3·a + 1 = 2; 2. Dacă b < 5, atunci: A. 5 − b < 0; B. 5 − b > 0; 3. Dacă c ∈ (–2, 2], atunci: A. c − 2 > 0; B. c ∈ { –2, 2 };

C. 3·a + 1 < 2. C. 5 − b = 0 . C. –2 < c ≤ 2. Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm

1. Se consideră inegalitatea 4 < 7. Scrieți inegalitățile care se obțin, făcând următoarele transformări: a) La ambii membri se adună 6. b) Din ambii membri se scade 7. c) Se înmulțesc ambii membri cu 3. d) Se împart ambii membri la –2. 2. Copiați pe caiete și completați în spațiile libere câte unul dintre simbolurilor <, ≤, > sau ≥ , astfel încât următoarele enunțuri să fie adevărate. a) Dacă x ≤ –7, atunci 3 · x … –21. b) Dacă x < –2, atunci –3 · x … 6. c) Dacă x ≥ –4, atunci –2 · x + 1 … 9. d) Dacă x > –5, atunci 4 · x – 5 …–25. e) Dacă –2 · x ≤ –14, atunci x …7. f) Dacă –6·x ≥ –14, atunci 3 · x – 7 … 0.

3. Demonstrați că numărul –7a + 3 este un număr ne 3 gativ, pentru oricare a > . 7 7 1 5 4. Se știe că − ≤ 2b − ≤ . 2 2 2 3 Demonstrați că b ≤ . 2 2 3 și b ≥ − . 3 2 Demonstrați că 9a + 4b ≥ 0.

5. Se consideră a ≥

6. Demonstrați că:

 2a + b a + 2b  , a) dacă a < b, atunci   ⊂ (a, b); 3   3  3c + d c + 3d  , b) dacă −c > −d, atunci   ⊂ (c, d). 4   4

Lecția 2. Inecuații de forma ax + b ≤ 0 (<, >, ≥), unde a, b ∈ ℝ Ne amintim

Adunarea, scăderea, înmulțirea cu un număr pozitiv și împărțirea la un număr pozitiv, a ambilor membri ai unei inegalități, conservă (păstrează ) relațiile ≤, ≥, >, <. Înmulțirea cu un număr negativ și împărțirea la un număr negativ, a ambilor membri ai unei inegalități, inversează inegalitatea. Rezolvăm și observăm Problemă. O familie de meșteri populari cheltuiește pentru a pro duce și pentru a vinde obiecte de artizanat, în total, 4500 de lei. Din materialele achiziționate, se pot confecționa cel puțin 200 și cel mult 400 de obiecte de artizanat, pe care le vând cu prețul de 15 lei bucata. a) Stabiliți argumentat dacă familia își recuperează banii cheltuiți confecționând și vânzând 200 de obiecte de artizanat. b) Decideți dacă meșterii populari realizează profit confecționând și vânzând 300 de obiecte de artizanat. c) Calculați profitul obținut confecționând și vânzând 320 de obiecte de artizanat. d) Determinați numărul obiectelor care trebuie confecționate, pen tru ca, din vânzarea lor, să se obțină profit. Calculați profitul maxim pe care îl pot obține aceștia.

Dicționar

• profit = diferența dintre încasările rezultate din vânzări și totalul cheltuielilor.

Rezolvare: a) Din vânzarea a 200 de obiecte, se încasează 200 · 15 = 3000 (lei) și 3000 < 4500. Prin urmare, nu se recuperează banii cheltuiți. Mai au de recuperat 4500 − 3000 = 1500 (lei). b) Din vânzarea a 300 de obiecte se încasează 300 · 15 = 4500 (lei), deci meșteșugarii își recuperează banii chel tuiți, dar nu obțin profit (diferența dintre încasările rezultate din vânzări și totalul cheltuielilor este: 4500 − 4500 = 0 (lei). c) Dacă se confecționează și vând 320 de obiecte, se încasează 320 · 15 = 4800 (lei). Profitul obținut este de 4800 − 4500 = 300 (lei). d) Dacă notăm cu x numărul de obiecte artizanale confecționate și vândute, atunci profitul obținut va fi 15 · x − 4500. Astfel, problema se reduce la aflarea elementului x din mulțimea de numere naturale M = {200, 201, … , 400} pentru care 15 · x − 4500 > 0. Comentariu. Modelarea matematică a situației date a condus la următoarea problemă: „Determinați x din mulțimea M = {200, 201, … , 400}, pentru care 15 · x − 4500 > 0.”, care poate fi reformulată astfel: Rezolvați în mulțimea M = {200, 201, ... 400} inecuația 15 · x − 4500 > 0. Fiecare număr x din mulțimea M = {200, 201, …, 400} pentru care 15 · x − 4500 > 0, se numește soluție a inecuației . A rezolva inecuația 15 · x − 4500 > 0 în mulțimea M înseamnă a parcurge pașii necesari astfel încât să determinăm toate soluțiile acesteia. Mulțimea M este finită, dar are 201 elemente, verificarea directă a fiecăruia nefiind recomandată.

Este avantajos să folosim proprietățile operațiilor cu numere reale și proprietățile relațiilor de inegalitate pe mul țimea numerelor reale, astfel: 15 · x − 4500 > 0, x ∈{200, 201, … , 400}. 15 · x − 4500 > 0 | + 4500

 Adunăm 4500 în fiecare membru al inecuației.

15 · x > 4500 | : 15

 Împărțim fiecare membru al inecuației la 15.

15 ⋅ x 4500 > 15 15

 Efectuăm calculele.

x > 300.

 Scriem mulțimea soluțiilor.

Soluțiile inecuației 15·x − 4500 > 0 sunt numerele din mulțimea M = {200, 201, … , 400}, mai mari ca 300, adică S = {301, 302, ..., 399, 400}. Suntem acum în măsură să spunem că pentru a obține profit, în condițiile date, trebuie să confecționeze și să vândă cel puțin 301 obiecte de artizanat, profitul maxim fiind 15 · 400 − 4500 = 6000 – 4500 = 1500 (lei).

Descoperim, înțelegem, exemplificăm  Dacă a și b sunt numere reale fixate, a ≠ 0, o ine cuație de forma ax + b ≤ 0 (<, >, ≥), x ∈ M, M ⊂ ℝ, se numește inecuație de gradul I cu necunoscuta x, și cu coeficienții reali a și b. Numărul a este coeficientul necunoscutei, iar nu mărul b este termenul liber al inecuației. Observații: Atunci când mulțimea M nu este specificată, se va con sidera că aceasta este mulțimea ℝ, a numerelor reale. Necunoscutele unei inecuații se pot nota și cu alte litere. Exemple: Problemă

necunoscuta

a·x+b≤0 coeficientul necunoscutei

termenul liber

2x + 7 ≤ 0, x ∈ ℝ este inecuație de gradul I cu necunos cuta x și cu coeficienții reali 2 și 7. Coeficientul necunoscutei este 2, iar termenul liber este 7. 2m + 1 < 0 este inecuație de gradul I cu necunoscuta m, număr real. −y + 5 < 0, y ∈ ℚ este inecuație de gradul I cu necunos cuta y, număr rațional. Inecuație

1. Determinați numerele naturale x pentru care 15 · x − 10 ≤ 0.

1. Rezolvați în mulțimea ℕ inecuația 15 · x − 10 ≤ 0.

2. Determinați numerele reale x, pentru care 15 · x − 10 ≤ 0.

2. Rezolvați inecuația 15 · x − 10 ≤ 0.

 Se numește soluție a inecuației ax + b ≤ 0 (<, >, ≥) cu a, b ∈ ℝ și cu necunoscuta x ∈ M, fiecare element al mulțimii M, pentru care inegalitatea ax + b ≤ 0 (<, >, ≥) este adevărată.

Exemplu: Pentru M = ℤ și inecuația −2 ⋅ x + 3 > 0, cu necunoscuta x: a) Înlocuind în inecuație x = −3, obținem: (−2)⋅ (−3) + 3 > 0 sau 9 > 0, afirmație adevărată. Vom spune că numărul întreg − 3 verifică inecuația sau că numărul întreg − 3 este soluție a inecuației. b) Înlocuind în inecuație x = 3, obținem: (−2) ⋅ 3 + 3 > 0 ⇔ −3 > 0, care este o afirmație falsă. Vom spune că numărul întreg 3 nu verifică inecuația sau că numărul întreg 3 nu este soluție a inecuației.

Observație: Valorile necunoscutei care verifică inegalitatea dar nu sunt elemente ale mulțimii M nu sunt soluții ale inecuației.

Contraexemplu: Numărul −0,25 nu este soluție a inecuației −2x + 3 > 0, x ∈ ℤ, deși

(−2) ⋅ (−0,25) + 3 > 0, pentru că −0,25 nu este număr întreg.

 Mulțimea tuturor soluțiilor unei inecuații se notează cu S și se numește mulțimea soluțiilor inecuației. Minitest

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect. 8 , este: 3

30 p

1. Mulțimea numerelor naturale mai mici decât

30 p

C. {0, 1, 2}; B.  −∞, 8  ; 3   2. O soluție a inecuației −3 · x + 6 < 0, este numărul: A. {1, 2};

A. −1; 30 p

B. 0;

8 D.  , + ∞  . 3 

C. 2;

D. 3.

C. x − 3 > 0;

D. x − 2 ≤ 0.

3. Numărul 3 este soluție a inecuației: A. x − 3 < 0;

B. x − 2 ≥ 0;

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Copiați pe caiete și completați tabelul, folosind modelele prezentate. Inecuația ax + b ≤ 0 2y+4<0

Coeficienții inecuației a b 2

necunoscuta

x y

–6,2 m + 3,6 < 0 –0,6 x – 1,5 < 0 2. Determinați: a) numerele naturale mai mici decât 5. b) numerele întregi negative mai mari decât − 4. c) elementele care verifică relația x ≤ 10, din mul

{

}

țimea M = −2000; − 1; 0,75; 2; 17; 199 . d) numerele de forma ab , cu proprietatea 72 − < −6 . ab 3. Verificați dacă numărul − 1 este soluție a inecuației: 1 a) 4 · x + 2 < 0; b) x + 1 ≥ 0; c) <0. x+2

4. Copiați tabelul pe caiete și completați în caseta li beră, litera A, dacă propoziția este adevărată, sau litera F, dacă propoziția este falsă. Propoziția a) Numărul −2 este soluție a inecuației x < 0. b) În mulțimea M = {1, 3, 5, 7, 9} se află soluții ale inecuației x – 4,5 > 0. c) Orice număr real este soluție a inecu ației x ≥ 0. d) Există în intervalul (3; +∞) soluții ale inecuației x – 3 ≤ 0.

A/F

5. Se consideră enunțul: „Perimetrul unui dreptunghi este cel mult egal cu 10 cm. Lungimea dreptunghiului este egală cu x cm, iar lățimea sa este egală cu 1,5 cm.” a) Demonstrați că x nu poate lua niciuna dintre va lorile: –2; –1,5; 0; 4; 6,5. b) Decideți, argumentat, dacă numărul x poate fi egal cu 2 sau cu 3. c) Reformulați enunțul dat cu ajutorul unei inecuații.

Lecția 3. Rezolvarea inecuației de forma ax + b ≤ 0 (<, >, ≥), unde a, b ∈ ℝ, în mulțimea numerelor reale Descoperim, înțelegem, exemplificăm

A rezolva o inecuație înseamnă a determina mulțimea S, a soluțiilor acesteia. Considerăm inecuația a ⋅ x + b ≤ 0, având coeficienții reali a și b și necunoscuta x. Folosind transformări echivalente, obținem: a ⋅ x + b ≤ 0− b ⇔ a ⋅ x ≤ − b.  Pentru a ≠ 0:

a>0

a ⋅ x ≤ − b : a ⇔ x ≤ −

b . a

a<0

a ⋅ x ≤ − b : a ⇔ x ≥ −

b . a

b Sunt soluții toate numerele reale, cel mult egale cu − . a b  Vom scrie S =  −∞, −  . a  b Sunt soluții toate numerele reale, cel puțin egale cu − . a Vom scrie .

În practică, întâlnim situații în care unele inecuații se reduc, prin transformări echivalente, la inecuații de forma a ⋅ x + b ≤ 0, iar despre a, nu știm dacă este nenul.  Pentru a = 0, inecuația devine 0 ⋅ x + b ≤ 0, b ∈ ℝ.

Dacă b ≤ 0, inegalitatea are loc pentru orice valoare reală a lui x, deci S =  .

Dacă b > 0, inegalitatea nu are loc pentru nicio valoare reală a necunoscutei, deci S = ∅. Observație: Dacă se cere rezolvarea într-o mulțime M ⊂ ℝ, mulțimea soluțiilor este intersecția dintre mulțimea soluțiilor reale și mulțimea M. Exemplu: Se consideră inecuația −2x + 3 > 0. a) Rezolvați inecuația. b) Rezolvați inecuația în mulțimea ℤ.

c) Rezolvați inecuația în mulțimea ℕ. d) Rezolvați inecuația în mulțimea ℚ.

−2 x −3 ⇔ x < 1,5. < −2 −2 a) Pentru că nu se specifică mulțimea M, inecuația se c) S = (−∞, 1,5) ∩ ℕ = {x ∈ ℕ | x < 1,5} sau rezolvă în mulțimea numerelor reale, deci mulțimea S ={0, 1}. soluțiilor este S = (−∞, 1,5). b) S = (−∞, 1,5) ∩ ℤ = {x ∈ ℤ | x < 1,5} sau d) S = (−∞, 1,5) ∩ ℚ = {x ∈ ℚ | x < 1,5} . S = {… −4, −3, −2, −1, 0, 1}.

Rezolvare: −2x + 3 > 0 | −3 ⇔ −2x + 3 − 3 > 0 −3 ⇔ −2x > −3| : (−2) ⇔

Să nu uităm! Atunci când înmulțim sau împărțim ambii membri ai unei inecuații cu un număr negativ, se inversează relația de inegalitate.

–2x > –3 | : (–2)

2 x < 3 2 2

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Aplicația 1. a) Modelați matematic prin câte o inecuație enunțurile următoare. (i) Triplul opusului numărului real x este cel puțin egal cu 21. (ii) O treime din numărul întreg x are modulul mai mic decât 1. b) Rezolvați inecuațiile formulate. c) Reprezentați pe axa numerelor mulțimea soluțiilor pentru fiecare inecuație. Rezolvare: a)

(i) 3 · (–x ) ≥ 21, x ∈ ℝ.

–3x ≥ 21 | : (−3) ⇔ x ≤ –7.

(ii)

x <1 |·3 3 −3 < x < 3

−3 x 21 ≤ −3 −3

−1 <

Soluțiile inecuației sunt numerele reale x cu pro prietate x ≤ –7. S = {x ∈ ℝ | x ≤ – 7}= (–∞, –7]. c)

1 ⋅ x < 1, x ∈ ℤ. 3

Soluțiile inecuației sunt numerele întregi x cu proprie tatea −3 < x < 3. S = {x ∈ ℤ | −3 < x < 3} = { −2, −1, 0, 1, 2 }.

] –7

–∞

–2

–1

Aplicația 2. Se consideră inecuațiile: x + 3 < 5, 2x – 1 > 1, 5x + 3 ≥ – 2, –7x + 3 ≥ –11. a) Rezolvați în ℝ inecuațiile date. b) Reprezentați geometric mulțimea soluțiilor, pentru fiecare inecuație. c) Rezolvați în mulțimea M = [2, +∞) inecuațiile date. d) Reprezentați geometric mulțimile soluțiilor inecuațiilor, dacă este posibil. e) Folosind subpunctele anterioare, rezolvați în M ∩ ℚ aceleași inecuații. f) Stabiliți dacă mulțimile de soluții ale inecuațiilor corespunzătoare subpunctului e) se pot reprezenta geometric. Rezolvare: a)

5x + 3 ≥ – 2 5x ≥ – 5 x≥–1 S = {x ∈ ℝ | x ≥ – 1} S = [–1, +∞)

S = {x ∈ ℝ | x < 2} S = (–∞, 2) )

2x – 1 > 1 2x > 2 x >1 S = {x ∈ ℝ | x > 1} S = (1, +∞) (

S = (–∞, 2) ∩ [2, +∞)

S = (1, +∞) ∩ [2, +∞)

S = [– 1, +∞) ∩ [2, +∞)

S = (–∞, 2] ∩ [2, +∞)

S = [2, +∞) [ –

S = [2, +∞) [

S = {2}

d) e) f)

x+3<5 x<2

–

S=∅ Inecuația nu are nicio soluție. S=∅∩ℚ =∅ Inecuația nu are nicio soluție.

– 1

– –11

[

– 2

S = [2, +∞) ∩ ℚ S = [2, +∞) ∩ ℚ Nu se pot reprezenta pe axă toate elementele mulțimii S.

–7 x + 3 ≥ –11 –7 x ≥ –14 x≤2 S = {x ∈ ℝ | x ≤ 2} S = (–∞, 2] ] –

–

{2}∩ℚ= {2} –

Reținem!  Pe mulțimea numerelor reale, mulțimea soluțiilor unei inecuații de forma ax + b ≤ 0 (<, >, ≥), unde a și b sunt numere reale date, a ≠ 0, este un interval nemărginit.  Reprezentarea geometrică a mulțimii soluțiilor inecuației ax + b ≤ 0 (<, >, ≥) este o semidreaptă.  Dacă inecuația este rezolvată într-o mulțime infinită care nu este interval, atunci este posibil ca mulțimea soluțiilor să nu poată fi reprezentată geometric. Minitest 30 p

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

1. Inecuația x + 2 ≤ A. două soluții;

30 p

7 9  3 , x ∈ M, unde M = − , 0, 1,  , are: 2 2 5  B. o infinitate de soluții; C. trei soluții;

2. Numărul x − 5 este pozitiv dacă și numai dacă: A. x ∈ {6, 7, 8, …};

30 p

B. x∈

( 5, + ∞ ) ;

(

D. patru soluții.

)

C. x ∈ −∞, 5 ;

D. x ∈ {0, +∞}.

C. ℕ;

D. ∅.

3. Soluția inecuației 2·x − 6 ≤ 0 este mulțimea: A. (−∞, 3];

B. (3, +∞);

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Se consideră inecuația 2x + 3 ≤ 10, unde x este număr real pozitiv. a) Justificați faptul că numerele –2; –1,5; 0; 4; 6,5 nu sunt soluții ale inecuației. b) Justificați faptul că numerele 2 și 3 sunt soluții ale inecuației. c) Copiați pe caiete, apoi completați spațiile libere, urmând pașii necesari rezolvării inecuației date. 2 · x + 3 ≤ 10

2 · x + 3 − 3 ≤ 10 − 3

• Scădem 3 din fiecare membru al inecuației.

2·x≤7

•…

2⋅ x 7 ≤ 2 2

• Împărțim …

x≤…

• ...

Soluțiile inecuației sunt numerele pozitive, cel mult egale cu 3,5, adică S = .... 2. Se notează cu S mulțimea soluțiilor inecuației 2x – 7 ≤ 0, x > 0. a) Scrieți mulțimea S, enunțând o proprietate ca racteristică elementelor sale. b) Stabiliți dacă numerele 0 respectiv 3,5 sunt so luții ale inecuației date. c) Reprezentați pe axa numerelor mulțimea S.

d) Se consideră enunțul: „Reprezentată pe axa nu merelor, mulțimea soluțiilor inecuației 2x – 7 ≤ 0, x > 0 este …”. Copiați pe caiete și completați spațiul liber cu una dintre expresiile: un segment, o dreaptă, o semidreaptă, astfel încât enunțul dat să fie adevărat. 3. Reluați cerințele de la exercițiul 2, pentru inecuația 2x – 7 ≤ 0, x ∈ ℝ.

4. Se consideră inecuațiile: 2x + 4 < 0; 5x – 10 < 0; –6x + 12 < 0; –0,8x + 2,4 < 0. a) Rezolvați fiecare inecuație și reprezentați pe axa numerelor, pentru fiecare, mulțimea soluțiilor. b) În inecuațiile date, înlocuiți, pe rând, simbolul < cu fiecare dintre simbolurile ≤, >, ≥, rezolvați inecuația obținută și reprezentați pe axa nume relor mulțimea soluțiilor. 5. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuațiile și reprezentați pe axă mulțimea soluțiilor. 1 a) x + 3 < 0; d) ·x − 1 ≤ 0; 4 x+5 b) 2,3 + x ≥ 0; e) ≤0; −3 c) 0 > − x + 2 ; f) − 7·x > 0. 6. Folosind informațiile oferite de desenele date, scri eți câte o inecuație cu necunoscuta x, respectiv y, în condițiile precizate: a) x este lungimea segmentului AP, punctul P fiind situat pe segmentul AB. A P B AB = 4 b) y este măsura unghiului A din desenul de mai A jos. y

25°

7. a) Determinați cel mai mare număr natural m și cel mai mic număr natural n astfel încât m < x < n, pentru oricare x, abscisă a unuia dintre punctele reprezentate în desenul de mai jos. b) Determinați cel mai mare număr natural p și cel mai mic număr natural q astfel încât p < y < q, pentru oricare y, ordonată a unuia dintre punc tele reprezentate în desenul de mai jos. y 3

8. Rezolvați în ℝ inecuațiile: b) −4 · x + 2 ≤ 0;

5 ·(3 − x) ≤ 0; 6 g) −10 · (x − 0,25) > 0;

c) −5 · (x + 2) > 0;

h) 0 · x + 1 ≥ 0;

d) 4 : (x − 1) > 0;

i) −5 + x < 0;

e) x : 6 + 0,1(6) < 0;

j) 15 · x − 7 < 0.

a) 3 · x + 6 ≥ 0;

9. Rezolvați inecuațiile: a)

3 ·x + 15 < 0;

b) − 2 ·x +

32 > 0;

c) (1 − 5 )·x −1+ 5 ≤ 0. 10. Determinați valorile numărului real x pentru care: a) numărul −1,5 · x + 4,5 este pozitiv; 2 4 b) numărul · x − este negativ; 3 9 c) numărul 10 · x + 10 este nenegativ; d) numărul −32 · x − 33 este cel puțin egal cu 0. 11. Stabiliți valorile numărului real y pentru care au sens radicalii: a)

y − 5 ;

5, 4 − 3 ⋅ y ;

2⋅ y −3 ;

1 . 2⋅ y − 7

12. Stabiliți dacă există numere reale x astfel încât nu merele 5 · x − 3 și 5 − 3 · x să fie simultan pozitive. 13. Rezolvați, în mulțimea numerelor naturale, inecuațiile: 9 2 ⋅ x − 11 c) ≤ 0; a) 3 · x − ≤ 0; 2 −5 b) −x + 2 ≥ 0;

d) 0 · x ≥ x.

14. Rezolvați în mulțimea numerelor întregi inecuațiile: a) −2 · x + 3 ≤ 0; x b) − 2–1 > 0; 2 c) x : (−2)3 < 0; d) (215 – 214 – … – 29) · (–x) – 83 ≤ 0. e) 7 ⋅ x − 5 ≥ 1 − 3 . 7 7

Lecția 4. Inecuații reductibile la inecuații de forma ax + b ≤ 0 (<, >, ≥), unde a, b ∈ ℝ Rezolvăm și observăm

Unele probleme practice pot fi rezolvate cu ajutorul unor inecuații care pot fi aduse la forma ax + b ≤ 0, unde a și b sunt numere reale, și pe care le vom numi inecuații reductibile la această formă. Problemă. În două silozuri au fost depozitate 2800 t de furaje, respectiv 1300 t de furaje. Din primul siloz se livrează către ferme zootehnice 100 t furaje pe zi, iar din al doilea siloz se livrează 25 t furaje pe zi. Determinați numărul de zile în care, după livrare, cantitatea de furaje rămasă în primul siloz este cel puțin dublă față de cea rămasă în cel de-al doilea. Rezolvare:  Modelare matematică: Notăm cu x, x ∈ ℕ*, numărul de zile în care, după livrare, cantitatea de furaje din primul siloz este cel puțin dublă față de cea rămasă în cel de-al doilea. Atunci, cantitatea de furaje rămasă în primul siloz este 2800 –100x (tone), iar cantitatea de furaje rămasă în cel de-al doilea este 1300 – 25x (tone). Deoarece după x zile „cantitatea de furaje rămasă în primul siloz este cel puțin dublă față de cea rămasă în cel de-al doilea”, se obține inecuația 2800 – 100x ≥ 2(1300 – 25x), reductibilă la o inecuație de forma ax + b ≥ 0.  Rezolvarea inecuației: 2800 – 100x ≥ 2(1300 – 25x) ⇔ 2800 – 100x ≥ 2600 – 50x | –(2600 – 50x) ⇔ 2800 – 100x – 2600 + 50x ≥ 0 ⇔ –50x + 200 ≥ 0. Mulțimea soluțiilor este S = (–∞, 4] ⋂ ℕ* = {1, 2, 3, 4}.  Formularea răspunsului: Cum 2800 > 1300 · 2, cantitatea de furaje din primul siloz este cel puțin dublă față de cea rămasă în cel de-al doilea înainte de prima livrare și rămâne cu această proprietate timp de 4 livrări deci timp de 4 zile. Răspuns: În primele 4 zile. Descoperim, înțelegem, exemplificăm

a < 0 (>, ≤, ≥ ), a, b ∈ ℝ*, c ∈ ℝ. bx + c Observație: Din studiul inecuațiilor de această formă, excludem posibilitatea ca bx + c să fie 0, Aplicația 1. Rezolvarea inecuațiilor de forma

deoarece raportul Inecuația 3 <0 −2 x + 5 −8 <0 −2 x + 5 12 >0 −2 x + 5 −7 >0 −2 x + 5

a nu ar avea sens. bx + c

Tehnica de folosire a regulii semnelor

Transformarea inecuației

a < 0 ⇒ bx + c < 0 bx + c a a < 0 și < 0 ⇒ bx + c > 0 bx + c

3 < 0 ⇔ −2x + 5 < 0 −2 x + 5 −8 < 0 ⇔ −2x + 5 > 0 −8 < 0, deci −2 x + 5 12 12 > 0, deci > 0 ⇔ −2x + 5 > 0 −2 x + 5 −7 −7 < 0, deci > 0 ⇔ −2x + 5 < 0 −2 x + 5

a > 0 și

a > 0 ⇒ bx + c > 0 bx + c a a < 0 și > 0 ⇒ bx + c < 0 bx + c

a > 0 și

3 > 0, deci

 Folosind faptul că a este nenul, deducem ușor că inecuația

a a < 0, ≤ 0 este echivalentă cu inecuația bx + c bx + c

a a ≥ 0 este echivalentă cu inecuația > 0. bx + c bx + c a < 0 (>, ≤, ≥ ), unde a, b ∈ ℝ*, c ∈ ℝ sunt reductibile la inecuația  Toate inecuațiile de forma bx + c bx + c < 0 sau bx + c > 0. iar inecuația

Aplicația 2. Rezolvarea inecuațiilor de forma | ax + b |< c (≤), unde a ∈ ℝ*, b, c ∈ ℝ. Problemă Determinați numerele reale x pentru care | 2x + 7 | < 5.

Reformulare Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația | 2x + 7 | < 5.

Rezolvare: |2x + 7| < 5 ⇔ −5 < 2x + 7 < 5. Adunăm la ambii membri −7, efectuăm calculele și obținem −12 < 2x < −2, care, prin împărțirea ambilor membri la 2, devine −6 < x < −1. Mulțimea soluțiilor inecuației date este S = (−6 , −1). Generalizare

Reformulare

Determinați numerele reale x pentru care | ax + b | < c, unde a ∈ ℝ*, b, c ∈ ℝ.

Rezolvare:

Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația | ax + b | < c, unde a ∈ ℝ*, b, c ∈ ℝ.

 Dacă c > 0, | ax + b | < c ⇔ − c < ax + b < c. Adunăm la ambii membri −b, efectuăm calculele și obținem −c − b < ax < c − b. Sunt posibile cazurile: −c − b c−b  −c − b c − b  1. a > 0 și obținem <x< , deci S =  , . a a a   a −c − b c−b  c − b −c − b  2. a < 0 și obținem >x> , deci S =  , . a a a   a  Dacă c ≤ 0, inecuația | ax + b | < c nu are nicio soluție, deoarece modulul niciunui număr real nu este negativ. Aplicația 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația | ax + b | ≤ c, unde a ∈ ℝ*, b, c ∈ ℝ.

Rezolvare:  Dacă c > 0, | ax + b | ≤ c ⇔ − c ≤ ax + b ≤ c.

Adunăm la ambii membri −b, efectuăm calculele și obținem −c − b ≤ ax ≤ c − b. Sunt posibile cazurile: −c − b c−b  −c − b c − b  1. a > 0 și obținem ≤x≤ , deci S =  . , a a a   a −c − b c−b  c − b −c − b  2. a < 0 și obținem ≥x≥ , deci S =  . , a a a   a  b b  Dacă c = 0, inecuația devine | ax + b | ≤ 0, deci ax + b = 0, cu a ≠ 0, adică x = − și S = −  . a  a  Dacă c < 0, inecuația | ax + b | ≤ c nu are nicio soluție, deoarece modulul niciunui număr real nu este negativ. Temă de portofoliu Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuațiile: a) | 2x + 7 | < 0; b) | 2x + 7 | < –5;

c) | 2x + 7 | ≤ 0; d) | 2x + 7 | ≥ 0.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni 1. Rezolvați inecuația

3 < 0. −2 x + 5

3 < 0 ⇔ −2x + 5< 0. −2 x + 5 −2x + 5 < 0 | − 5 ⇔ −2x < − 5 | : (−2) ⇔ x > 2,5 și S = (2,5; +∞). Rezolvare:

2. Un pătrat are lungimea laturii x cm, unde x este un număr natural. Dimensiunile unui dreptunghi, exprimate în centimetri, sunt 5x − 14, respectiv 8. P Notăm cu P1 și P2 perimetrul pătratului, respectiv perimetrul dreptunghiului. Raportul dintre 5 ⋅ 1 și P2 este cel 2 puțin egal cu 1. Determinați cel mai mic număr natural x, prin care se poate exprima lungimea laturii pătratului, în centimetri. Rezolvare: Perimetrul pătratului, exprimat în cm, este P1 = 4x. Perimetrul dreptunghiului, exprimat în centimetri, este 2(5x − 14 + 8), deci P2 = 10x − 12. 5x P Cum „Raportul dintre 5 ⋅ 1 și P2 este cel puțin egal cu 1”, obținem inecuația ≥ 1. 5x − 6 2 Rezolvăm inecuația în mulțimea numerelor reale: 5x 5x − 5x + 6 6 ≥ 0 ⇔ 5x − 6 > 0, cu mulțimea soluțiilor S = (1,2; +∞). ≥ 1 −1 ⇔ ≥0⇔ 5x − 6 5x − 6 5x − 6 Dimensiunile pătratului și cele ale dreptunghiului sunt numere pozitive, deci x > 0 și 5x − 14 > 0, cu mulțimile soluțiilor (0; +∞) respectiv (2,8; +∞). Prin urmare, x aparține intersecției (1,2; +∞) ⋂ (0; +∞) ⋂ (2,8; +∞) = (2,8; +∞). Cel mai mic număr natural x din acest interval este numărul 3. Minitest 30 p

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

1. În mulțimea numerelor naturale, inecuația 2 · x + 4 ≤ 6 are: A. o infinitate de soluții;

30 p

2. Mulțimea soluțiilor inecuației A. (– ∞, – 5];

30 p

3. Mulțimea soluțiilor inecuației A. (1, +∞);

B. patru soluții;

C. trei soluții;

D. două soluții.

x −1 > 3 este: −2 B. (– ∞, – 5);

C. (– 5, + ∞);

D. [– 5, + ∞).

1 1 1 ·x − > este: 3 6 2 B. (−∞, 1);

C. ℕ;

D. ∅.

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Determinați elementele mulțimii 1 4   B =−2, − , 0, , 5  , care nu sunt 2 3   soluții ale inecuației 4 · x > 2 + x.

2. Rezolvați în numere reale următoarele inecuații: a) 2 · x + 3 < x +1;

c) − 10 ≥ 2 · (z + 1) + z; 1 b) − 3 · y + 7 > −5 · y + 3; d) 0,5 · t + ≤ 1,5 · t + 4. 2

3. Rezolvați inecuațiile: 2 1 7 a) · x − > ; 3 5 15

11. Rezolvați inecuațiile: c) 1,3 · x − 13 < 2 · x + 8;

−2 ⋅ x + 1 −5 ⋅ x + 1 4 ⋅ ( x + 3) 2 ⋅ x − 2 ≥ ; d) ≤ . b) 5 2 −3 9 4. Punctele O, A, B, C sunt reprezentate pe axa nume relor. Aflați valorile întregi ale numărului x pentru care A(x − 1) și B(x + 2) sunt situate pe segmentul deschis OC, cu O(0) și C(6). 5. În figura alăturată 20 cm sunt reprezentate 5 cm D1 suprafețele drept unghiulare D1 și D2 D2. Se notează cu A1, respectiv A2 x cm ariile suprafețelor dreptunghiulare D1, respectiv D2. Determinați x pentru fiecare dintre situațiile: a) A1 < A2; b) A1 = A2; c) A1 > A2.

15 cm

6. Rezolvați inecuațiile: 2 4 ≤ 0; a) < 0; c) 1,6 x − 3, 2 9 x − 18 6 10 > 0; d) b) ≥0. −2 x − 5 −2 x + 1 7. a) Demonstrați că −8x +17 = −2(4x − 7) + 3, pentru orice număr real x. −8 x + 17 ≤ −2 . b) Rezolvați inecuația 4x − 7 8. Rezolvați inecuațiile: 3x + 2 ≤ 0; 5

a) |−4x + 3| < 2;

c) x −

b) |−3x −5| ≤3;

x+6 d) 5 − < 1. 2

9. Rezultatul calculului 2 · (z + 1) − 3 · (z − 2) este un număr mai mic decât 10. Determinați numărul z, știind că este un număr întreg negativ. 10. Determinați valorile numărului natural n, pentru 0,1 care este număr pozitiv. 5 − 1, 2 ⋅ n

a) | x − 2| ≤ 3;

c) 3 − | 4 · x − 1 | ≥ 0;

b) | 1 − x | ≤ 0;

d) | x | · (x − 4) > 0.

12. În triunghiul ABC, AB = 8 cm, BC = (3 · x − 10) cm, și AC = (10 − x) cm. Determinați valorile numărului natural x pentru care triunghiul este isoscel. 13. Trei caiete și patru pixuri costă 27 lei. Determinați prețul minim posibil și prețul maxim posibil al unui caiet, știind că atât caietele cât și pixurile au prețu rile, exprimate în lei, prin numere naturale. 14. Sandu a avut de rezolvat, în numere reale, inecuația x−2 ≤ 0,(6) . El scrie pe caiet următoarele: −6

Rezolvați inecuația și stabiliți dacă Sandu a scris corect. Justificați răspunsul dat. 15. Rezolvați inecuațiile: x +1 1 x a) − ≥ ; 3 2 6 b) x · 2 − 1 < x · 8 +1 − 2 ;

2⋅ x 1 x 5 + <− + ; −3 −4 −6 −12 1 1 1    d) 3 ⋅  x −  − 2 ⋅  x +  ≤ 4 ⋅  x −  ; 4 3 2    c)

16. Determinați mulțimile: B = { x ∈ ℝ3 · x + 8 ≥ 4 · x + 5 ≥ 2 · x − 1}; 3⋅ x +1   ≤ 4 . C =  x ∈  | −2 ≤ 4   17. Determinați numerele x ∈ ℝ, știind că 3 – 2x ∈ (–1, 1]. 18. Se consideră intervalele 1+ a   și I2 = [a – 1, +∞). I1 =  −∞, 2   a) Determinați valorile lui a astfel încât I1 ⋂ I2 ≠ ∅.

b) Determinați valorile lui a, pentru care intersec ția I1 ⋂ I2 conține numai numere naturale.

EVALUARE SUMATIVĂ SUBIECTUL I

20 de puncte

Stabiliți valoarea de adevăr a următoarelor propoziții.

5 este element al mulțimii 1, + ∞ . ( ) 2 5 2  2. Cel mai mic număr întreg din mulțimea  x ∈  − < x <  este −1. 2 5   3. Intersecția ( −3, 5]  [ −2,7 ) este intervalul ( −3, 7 ) .

4. Mulțimea soluțiilor inecuației 2 · x + 1 ≥ −3 · x − 9 este S = [ −2, +∞ ) .

5p 5p

1. Numărul

SUBIECTUL AL II-LEA

20 de puncte

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect. 1. Scrisă ca interval, mulțimea { x ∈ ℝ3–1 < x < 30}este: 5p 1 1  1  B.  , 0  ; C.  − , 1 ; A.  − , 0  ;  3  3   3  7 3 5p 2. Suma numerelor întregi din intervalul  − ,  este:  3 7 A. −3; B. −2; C. −1; 5p 3. Dacă I1 = (−13, 20] și I2 = (−11, 20], atunci: B. I2 ⊂ I1; C. I1 = I2; A. I1 ⊂ I2; 5p

4. Mulțimea soluțiilor inecuației A. (−∞, 3);

SUBIECTUL AL III-LEA

B. {3};

1 − 3x < 4 este: −2

C. (3, +∞);

1 D.  , 1 . 3 

D. 0. D. I1 ∩ I2 = ∅. D. (−3, +∞). 50 de puncte

Scrieți rezolvările complete. 5p 5p 10 p 5p 5p 5p 5p 10 p

9  1. Scrieți mulțimea numerelor naturale din intervalul  −2,  . 4  2. a) Scrieți două numere reale, care au valoarea absolută mai mică decât 2. b) Determinați mulțimea A a numerelor reale, care au valoarea absolută mai mică decât 2. 3  c) Determinați mulțimea A ⋂  −3, −  . 2  3. a) Verificați dacă numărul −6 este soluție a inecuației −4 − x < 3. 1  b) Rezolvați inecuațiile: (1) 4 ·  x −  < x − 0,25; (2) 2 · x − 2–1 > x − 3–1. 4  Scrieți mulțimile S1 respectiv S2, ale soluțiilor acestora. 1 c) Determinați numărul natural n, știind că ∈ S1 ⋂ S2. n 4. Se consideră cercurile C1(O1, r) și C2(O2, 3 cm) astfel încât O1O2 = 10 cm. Determinați valorile numărului natural r, știind că cercurile C1 și C2 sunt secante. Timp de lucru: 45 de minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

CALCUL ALGEBRIC ÎN MULȚIMEA NUMERELOR REALE

2.1. OPERAȚII CU NUMERE REALE Lecția 1. Recapitulare. Operații cu numere reale Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Pe mulțimea numerelor reale, am studiat operațiile: adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, cărora li s-au adăugat ridicarea la putere și rădăcina pătrată a unui număr real. 1. Efectuați calculele următoare. Justificați proprietățile folosite în fiecare etapă de calcul.  1  a) − 7 + 5 + 7 ; b)  ⋅ 5 · 3 .  3  Rezolvare:

(

)

(

)

a) − 7 + 5 +

(

)

7 = 5 + − 7  +  

Folosim comutativitatea adunării numerelor reale.

Folosim asociativitatea adunării numerelor reale.

 1   1  ⋅ 5 · 3 =  5 ⋅ b)  · 3 3  3   Folosim comutativitatea înmulțirii numerelor reale.

(

Folosim asociativitatea înmulțirii numerelor reale.

)

7 = 5 +  − 7 + 7  = 5 + 0 = 5.   Opusul numărului − 7 este 7 și − 7 + 7 =0

(

0 este element neutru în raport cu adunarea numerelor reale.

)

 1  ⋅ 3  = 5 · 1 = 5. = 5·   3  Inversul numărului 1 și 3 este 3 1 ⋅ 3=1 3

1 este element neutru în raport cu înmulțirea numerelor reale.

Temă de portofoliu 1. Descrieți ordinea efectuării operațiilor cu numere reale și modul de folosire a parantezelor în operațiile cu numere reale. 2. Compuneți două exerciții de calcul. Rezolvați-le, descriind fiecare etapă și precizând ordinea efectuării operațiilor. Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Calculați:

(

)

a) 5 3 + 2 3 – 4 3 ;

d) 3 7 – 2 7 − 5 7 + 7 – 4 7 ;

b) 4 2 – 5 2 + 3 2 ;

e) 4 + 4 + 12 − 108 + 48 ;

c) −2 5 + 10 5 – 6 5 ;

f) 9 + 9 − 2 98 + 2 162 − 32 .

2. Calculați: a) 2 3 · 3 2 · 6 ;

c) 6 11 : 2 11 ;

b) 4 5 · 3 5 ; d) 108 19 : 36 19 . 3. Calculați: a) 6 12 : 3 2 ;

d) 4 3 · 5 2 ;

b) −10 18 : 5 6 ;

e) −2 10 · 5 5 ;

f) 8 8 · 4 2 .

c) 27 9 : 9 3 ; 4. Calculați:

(

( 2 ) · ( 2 ) ; d) ( 2 ⋅ 5 ) ; ( 3 ) ;  18  e)  ; b)  2    3 ( ) c) ( 5 )  ; f) 27 .   4

13. Efectuați:

5. Calculați:

2 2 3 1  2 3 ; b) −3 2 ; c)  ⋅ 2  ; d) −2 5 . 2  6. Copiați pe caiete și completați tabelul:

(

)

(

)

(

)

–a

− 3

1 − 2

a2 a3 7. Calculați a + b – c pentru: a) a = 2 3 – 5, b = 3 2 – 2 3 , c = –5 + 3 2 . b) a = 2 –

5 , b = −4 7 + 2 5 , c =

8. Calculați: a) 12 6 : 2 3 ; b) −20 27 : 4 9 . 9. Comparați numerele: a) 7 + 3 2 și 7 + 2 3 , b) −5 2 + 11 și − 49 + 11. 6 5 . c) și 5 2 6

5 – 4 7.

4− 5 ; 20

2− 5 5− 3 3− 2 + + . 10 15 6 14. Determinați x din egalitățile: x x 2 6 = ; c) + = a) 6 3 2 3 6

x 2 5 + = ; 10 2 5

2 ; 3

−x − 2 = 5. 5

15. Calculați: 2 3  12  · ·− a) : 6 ; 6 2  2  2  5 4    1   . – : − − 1 1    98 32    2

3 + 90

 1 – b)   10

16 2

3− 4 + 12

2− 3 + 6

–1

)

 2  5 5  2 b)  − −  · 50 .  · 10 +  2  5  10 5 

2 3

10. Raționalizați numitorii și simplificați fracțiile, dacă este posibil: 10 15 2 3 −4 6 ; b) ; c) ; d) . a) − 2 5 2 15 2 3 2 11. Calculați: 2 2 2 2  12 5  1   7  a) −2 6 ; b)  ⋅ 10  ; c)   .  ; d)  5   7  6  12. Calculați în două moduri:  1  2 1  3  a)  − − · 6 –   · 24 – 6; 2 6  3  12



16. Se consideră numerele a = 4 2 – și b = 5 3 +



32 +

128

27 – 6 12 . Calculați:

a) a – b; b) a · b; c) a : b; d) a2 + b2. 17. Demonstrați că următoarele numere sunt raționale: 3 14 a) – 3 ; c) – 28 ; 3 7 b)

2 – 2

18. Dacă a = 0,1(6) + calculați

  1 d)  + 20  ⋅ 5 .  5  1 0,36 + 1 · 0,09 , 3

2 ;

6 ⋅ a. 7

Lecția 2. Calcule cu numere reale reprezentate prin litere Din istoria matematicii Cuvântul algebră provine din limba arabă (al-jabr). Rădăcinile algebrei provin din Babilonul antic. Babilonienii au dezvoltat un sistem aritmetic avansat, lucru evident mai ales în modalitatea algoritmică de a efectua calculele. Metodele algebrice standard au apărut datorită matematicianului Al-Horezmi (Muhammad ibn Musa Khwārizmī) care, aproximativ între anii 780 și 850, a elaborat celebra sa lucrare Cartea adunării și scăderii după metodele indiene.

Rezolvăm și observăm 1. Într-o clasă sunt x rânduri de câte y bănci cu câte 2 elevi în fiecare bancă și un rând cu z bănci, cu câte 3 elevi în fiecare bancă. Exprimați numărul elevilor în funcție de x, y, z. Rezolvare: (x · y) · 2 + (1 · z) · 3 = 2xy + 3z. În clasă sunt 2xy + 3z elevi. 2. Un dreptunghi are lățimea a și lungimea b. Un alt dreptunghi, de aceeași arie, are lățimea cu c mai mică decât lungimea primului dreptunghi. a) Exprimați lungimea celui de-al doilea dreptunghi, în funcție de a, b, c. b) Calculați lungimea celui de-al doilea dreptunghi, pentru a = 3 m, b = 6 m și c = 2 m. Rezolvare: a) Cele două dreptunghiuri au aceeași arie, a · b. Cum lățimea celui de-al doilea este cu c mai mică decât luna·b gimea primului, atunci, al doilea dreptunghi are lungimea de . b−c 3⋅ 6 b) Pentru a = 3 m, b = 6 m și c = 2 m, lungimea celui de-al doilea dreptunghi este = 4,5 (m). 6−2 a·b 2xy + 3z și sunt expresii algebrice. b−c Descoperim, înțelegem, exemplificăm A. Expresie algebrică Un calcul cu numere reale sau/și cu numere reale reprezentate prin litere este o expresie algebrică. Literele sunt numite variabile sau nedeterminate. Suma, diferența, produsul și raportul a două expresii algebrice sunt expresii algebrice, împărțirea la 0 fiind exclusă. Prin ridicarea la putere a unei expresii algebrice se obține o expresie algebrică. Rădăcina pătrată a unei expresii algebrice, dacă are sens, este o expresie algebrică. Modulul unei expresii algebrice este o expresie algebrică.

Nedeterminatele se notează cu: a, b, …, x, y, … și desemnează numere oarecare, aparținând unei mulțimi de numere reale. Exemple de expresii algebrice: 2 6; ; a; 5 · x − 4; −6 · (x + y); 3 x2 y − 1 1 ; ⋅ x − 2y . ab + 3x − 2; x − 2 y ; a 3

O expresie algebrică oarecare cu o singură variabilă x se notează, de regulă, cu E sau E(x). Se citește „E de x”. O expresie algebrică oarecare cu două variabile x și y se notează, de regulă cu E sau E(x, y). Se citește „E de x și y”.

Expresia algebrică −2x + 3 se poate nota: E = −2x + 3 sau E(x) = −2x + 3 sau E1(x) = −2x + 3.

Expresia algebrică u2 − 2uv + 3 se poate nota: F = u2 − 2uv + 3, sau F2(u, v) = u2 − 2uv + 3, sau F(u, v) = u2 − 2uv + 3, sau A(u, v) = u2 − 2uv + 3. Observație: În practică, dacă nu există pericolul unei confuzii, expresiile algebrice se pot numi simplu: expresii. Litera E poate fi înlocuită și cu alte litere, eventual însoțite de indici.

Înlocuind variabila/variabilele cu numere și efectuând calculele, obținem valoarea numerică a expresiei.

Exemplu: Valoarea numerică a expresiei E(x) pentru x = 0,5 este E(0,5) = −2 · 0,5 + 3 = −1 + 3 = 2.

Problema 1. Se consideră un cub cu muchia de x cm și un paralelipiped dreptunghic, care are lungimea de x ori mai mare decât lungimea muchiei cubului, înălțimea de 1,5 ori mai mare decât lungimea muchiei cubului, iar lățimea de y cm. Calculați volumul paralelipipedului.

1,5x

B. Produs algebric. Produs algebric restrâns

x·x

Rezolvare: Volumul unui paralelipiped dreptunghic este produsul dintre lungime, lățime și înălțime, exprimate în aceeași unitate de măsură. Dimensiunile paralelipipedului, exprimate în centimetri, sunt: lungimea este x · x, lățimea este y, înălțimea este 1,5 · x. Volumul paralelipipedului dreptunghic, exprimat în cm3, este V = (x · x) · y · (1,5 · x). Proprietatea de asociativitate a înmulțirii numerelor reale ne permite să renunțăm la paranteze, deci V = x · x · y · 1,5 · x; Folosind comutativitatea și asociativitatea înmulțirii, scriem V = 1,5 · (x · x · x) · y, deci V = 1,5 · x3y.  Un produs în care factorii produsului sunt numere reale sau litere (care reprezintă numere reale) este numit produs algebric.

Exemple: x · x · y · 1,5 · x 1  2

( −2 ) ⋅ x ⋅ y ⋅ z ⋅ x ⋅ y ⋅  −  ⋅ x ⋅ z .

 Pentru n număr natural nenul, puterea a n-a a unui număr real x este produsul algebric x · x · ... · x, având n factori identici și se notează xn. Pentru valorile nenule ale lui x, are loc relația x – n = (x –1) n. Atenție! 00 nu are sens.  Utilizând regulile de calcul cu numere reale, un produs algebric se poate restrânge. Un produs algebric este produs algebric restrâns dacă are un singur factor numeric (numit coeficient), restul factorilor fiind litere care apar o singură dată și au exponenții numere întregi, nenule. A efectua sau a calcula un produs algebric înseamnă a scrie acel produs sub formă de produs restrâns.  Un produs algebric restrâns are două părți: coeficientul produsului și partea literală a acestuia.

1) Produsul algebric x · x · y · 1,5 · x nu este un produs algebric restrâns. Efectuând calculele rezultă produsul algebric restrâns 1,5x3y. Prin urmare: x · x · y · 1,5 · x = 1,5x3y.

 1 2) ( −2 ) ⋅ x ⋅ 3 ⋅ y ⋅ z ⋅ x ⋅ y ⋅  −  ⋅ x ⋅ z =  2 = 3· x3 · y2 · z2 = 3x3 y2z2.

produs algebric coeficient

–4 x5y4

partea literală

C. Sumă algebrică. Reducerea termenilor asemenea

sumă algebrică

O succesiune de adunări și scăderi de produse algebrice se numește sumă algebrică.

În acest context, produsele algebrice se numesc termenii sumei algebrice, iar coeficienții lor se numesc coeficienții termenilor sumei.

x5 y3

+2xy

–7x

coeficienții termenilor sumei: 1 , 2, 7, 9 2

termenii sumei Doi sau mai mulți termeni restrânși ai unei sume algebrice sunt termeni asemenea dacă au aceeași parte literală.

2xy3− 7xy + 3,5x + 2,3xy − 5xy3 + 8 − 3 xy termeni asemenea: 2xy3 și − 5xy3; termeni asemenea: −7xy, 2,3xy și − 3 xy.

 Utilizând metoda factorului comun, o sumă algebrică care are toți termenii asemenea se transformă în produs algebric. Exemplu: S1 = 2 xyz2 – 3xyz2 + 0,2 xyz2

S1 = (2 – 3 + 0, 2) xyz

S1 = – 0,8xyz

1 sumă algebrică cu toți termenii asemenea 2 metoda factorului comun 3 produs algebric

 Operația prin care o sumă algebrică cu toți termenii asemenea se transformă în produs algebric se numește reducerea termenilor asemenea. D. Dezvoltarea produsului dintre două sume algebrice Calculați: (a + b)(c + d)

Etapele calculului. Proprietăți folosite 1

Considerăm (c + d) factor cu care înmulțim suma a + b.

Aplicăm distributivitatea înmulțirii față de adunare.

a(c + d) + b(c + d)

Aplicăm distributivitatea înmulțirii față de adunare.

(ac + ad) + (bc + bd)

Aplicăm asociativitatea adunării.

Finalizăm.

(a + b)(c + d)

ac + ad + bc + bd (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Dicționar

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Regulă practică pentru dezvoltarea produsului a două sume.  Se înmulțește fiecare termen al primei sume cu fiecare termen al celei de-a doua.  Se scrie suma produselor algebrice rezultate.  Se restrâng termenii sumei și se identifică termenii asemenea.  Se reduc termenii asemenea.  Se scrie rezultatul final.

• binom = suma a doi termeni.

Exemplu: Calculați produsul (–2x – 3)(4 – 3x). ⇾ (–2x) · 4; (–2x) · (–3x); (–3) · 4; (–3) · (–3x).

⇾ (–2x) · 4 + (–2x) · (–3x) + (–3) · 4 + (–3) · (–3x) = ⇾ = –8x + 6x2 – 12 + 9x =

⇾ = x + 6x2 –12. (–2x – 3)(4 – 3x) = 6x2 + x – 12.

Aplicație. Efectuați calculele, precizând proprietățile și regulile folosite în fiecare etapă. Calcul

Proprietăți/reguli

1. (–3x2y)3 = (–3)3 · (x2)3 · y3 = – 27x6y3.

 reguli de calcul cu puteri.

2. (–x2y + 5xy + 7x) – (3xy + x2y – 3x – 2z) =

 distributivitatea înmulțirii față de adunare, ținând cont de faptul că semnul minus în fața parantezei echivalează cu înmulțirea numărului –1 cu suma scrisă în paranteză;  asociativitatea și comutativitatea adunării;  reducerea termenilor asemenea;

= – x y + 5xy + 7x – 3xy – x y + 3x + 2z = 2

= (–1 – 1) x2y + (5 – 3) xy + (7 + 3) x + 2z = = –2x2y + 2xy + 10x + 2z. −27 x 6 y 3 27 x 6 y 3 1 = · · · = –9 x4 y -1z-1. − 3x 2 y 4 z 3 x2 y 4 z

4. –2x(x – 3y + 1) = –2x · x – 2x · (–3y) – 2x · 1 = = –2x + 6xy – 2x.

30 p 30 p 30 p

 înmulțirea fracțiilor;  reguli de calcul cu puteri;  distributivitatea înmulțirii față de adunare: a(b + c + d) = ab + ac + ad.

Minitest

 regula semnelor la înmulțire;

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

1. Rezultatul calculului 4 x2 + [x · (x + 6) − (5x2 + 2x)] este: A. 2x; B. − 4x; C. 4x; D. 6x. 2. Dacă A = 3x − y și B = 2x + 5y, atunci rezultatul calculului 2x · A + y · B este: A. x2 + 5y2; B. 6x2 + y2; C. x2 + y2; D. 6x2 + 5y2. 3. Perimetrul unui dreptunghi este (4a + 2b) cm, a > 0, b > 0, iar lungimea uneia dintre laturi este 2a cm. Aria dreptunghiului este: A. a · b cm2; B. 2 · a · b cm2; C. 4 · a · b cm2; D. a2 · b2 cm2. Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Restrângeți produsul algebric: 1 2  21  a) 3a · 6 · (–2ab); c) a ⋅ b ⋅  − a  ; 3 5  4  1 b) –3 · 2x · (–x); d) – x2a · (–6x2a2). 2 2. Se consideră sumele: 1 S1 = 3xyz2 – xyz2 + 0,2xyz2 și 2 1 5 S2 = – 3ax + ax – ax + 7ax. 2 2 Utilizând metoda factorului comun, transformați fiecare sumă în produs algebric.

3. Grupați termenii sumei astfel încât în fiecare grupă, toți termenii să fie asemenea. a) S1 = 3x2 – 7x – x3 – 5x2 + 9x + 15;

b) S2 = – 2ab2 + 3cd – 7ab2 + 3 cd – ab2. 4. Reduceți termenii asemenea: a) 3x – x + 5x – 7x; b) x – 2 – 3x + 5; c) 0,2 – 0,3x + 0,5 – 0,7x. 1 1 1 d) x + x − x . 2 4 8

5. Calculați, în funcție de x, perimetrele următoarelor figuri geometrice: a) ABCD este dreptunghi și x > 0;

D x+5

A H

b) EFGH este paralelogram și x > 3;

C B G

x–3 2x + 10 F M

c) Triunghiul MNP este isoscel și x > 0.

2x + 3 N

6. Reduceți termenii asemenea:

x+1

a) 5x + (– 4x + 2y) – (5x – 7y) – (9y + 3x); b) y2 – 2y + 3 – (3y – 1 + y2) + (1 + 5y); c) – 2 x2y + 2xy2 + 3 2 x2y –2xy2; d) (0,1x + 0,7x2 – 0,3) + (0,3x2 + 0,9x + 1,3); e) (3 2 x – 2 3 y +

6 ) – ( 18 x – 12 y).

7. Calculați: a) a −2b + 3c − 2·(3a + b − 2c) − 3·(−2a + 3b + c); b) [3x2 + x − 2·(−x + 3x2)]:(−3) − (2x + x2); c) 0,7·|x| + 1,9·|x| − 3,6·|x|, x < 0. 8. Efectuați înmulțirile: a) 2ab2 · (–3a2b); 1 b) –5x2 · xy2· (–x); 2 1 c) 2 ⋅ 2 ⋅ 8 ; 2

d) x(x – 2); e) x(– x + y –1); f) –4xy(3x – 2y).

9. Se consideră A = –x + y2 – 2 și B = 3 + y2 – 2x. a) Scrieți suma A + B ca o sumă algebrică restrânsă. b) Scrieți expresia 3A – B într-o formă cât mai simplă. c) Calculați numerele A și B pentru x = –1 și y = 2. 10. Efectuați împărțirile: a) (2x2 + 3x) : x; b) (x2y – xy2 + x2y2) : (xy); c) (2x3y – x2y2 + 4 x2y) : (2xy); d) (4x + 4y) : (x + y); e) (x + y)5 : (x + y)2 : (x + y).

11. Pentru numărul natural x, se consideră: A = 3x – 1, B = –x. a) Demonstrați că A + B este un număr natural impar, oricare ar fi numărul x, natural și nenul. b) Scrieți expresia algebrică –2A + 5B în formă restrânsă. c) Demonstrați că A + 3B este număr întreg. 12. Efectuați înmulțirile și reduceți termenii asemenea: a) (x + 1)(2x – 1);

c) (x – 1)(x2 + x + 1);

b) (x – 2)(–2x + 3);

d) (x + 1)(x2 – x + 1).

13. Fie a, b, c numere reale, c ≠ 0. Probați egalitățile (a + b) : c = a : c + b : c și (a − b) : c = a : c − b : c, pentru: a) a = 25, b = 30, c = −5; b) a = 6x, b = 9x, c = −3x, x ≠ 0. 14. Efectuați ridicările la putere: 2 1 2 3 2 3 a) (–a b) ; b)  xy z  ; c) 3 

( 2ab c ) . 2

1 2 xy , C = xy, cu 3 x ≠ 0, y ≠ 0. Efectuați calculele și scrieți rezultatul în formă restrânsă:

15. Se consideră A = –3x2y, B =

a) A · B · C; b) (A · B) : C; c) ( A2 ⋅ B ) : C1. 16. Se consideră A = – 2 xyz2, B = C=

6 x2yz și

3 xy2z, cu xyz ≠ 0. Calculați:

a) A · B · C;

b) (A · C) : B;

c) (A · B2) : ( 3 ·C).

17. Efectuați calculele și scrieți rezultatul obținut după reducerea termenilor asemenea. a) x(–2x + 1) + 3x(x –2); b) (2x + 3)(x – 1) + (3x – 2)(–x + 5); c) (–5x + 2)(3x – 1) + (15x + 7)(x – 3); d) (x – 1)(–5x + 3) + 5x(x – 1); e) (x + 2)(x2 – 2x + 4) – x3 + 8; f) (2x –1)(4x2 + 2x + 1) + 1 – 8x3. 18. Demonstrați că numărul n = x 2 + 1x + x3 este impar, oricare ar fi cifra nenulă x.

2.2. FORMULE DE CALCUL PRESCURTAT Lecția 1. Pătratul unui binom. Produsul dintre suma și diferența a doi termeni Dicționar

Rezolvăm și observăm

• binom = suma a doi termeni.

Problema 1. În figura alăturată, ABCD este o suprafața pătratică, formată din reuniunea suprafețelor pătratice OQDP și MONB și a suprafețelor dreptunghiulare OPCN și AQOM, iar lungimile a și b sunt exprimate în aceeași unitate de măsură. a) Calculați ariile suprafețelor pătratice OQDP și MONB. b) Calculați ariile suprafețelor dreptunghiulare OPCN și AQOM. c) Calculați aria suprafeței pătratice ABCD, în două moduri și deduceți că (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, oricare ar fi numerele reale pozitive a și b.

C b

Rezolvare: a) A(OQDP) = a ; A(MONB) = b . (1) b) A (OPCN) = a · b ; A (AQOM) = a · b. (2) c) Observăm că A(ABCD) = A(OQDP) + A(MONB) + A(OPCN) + A(AQOM), iar A(ABCD) = (a + b)2. Folosind (1) și (2), rezultă egalitatea (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, oricare ar fi numerele reale pozitive a și b. Pătratul sumei a doi termeni pozitivi este egal cu suma dintre suma pătratelor celor doi termeni și dublul  produsului acestora. 2

Problema 2. În figura alăturată, ABCD, MONB și OQDP sunt suprafețe pătratice, iar AQNB și MPCB sunt suprafețe dreptunghiulare. Lungimile a și b sunt exprimate în aceeași unitate de măsură. a) Calculați ariile suprafețelor ABCD, OQDP, MPCB, AQNB și MONB. b) Calculați aria suprafeței pătratice OQDP în două moduri și deduceți că (a − b)2 = a2 − 2ab + b2, oricare ar fi numerele reale pozitive a și b.

A Q

Rezolvare: a) A(ABCD) = a2; A(OQDP) = (a − b)2; A(MPCB) = ab; A(AQNB) = ab; A(MONB) = b2. b) Observăm că A(OQDP) = A(ABCD) − A(MPCB) − A(AQNB) + A(MONB), iar A(ABCD) = a 2. Folosind a), rezultă egalitatea (a − b)2 = a2 − 2ab + b2, oricare ar fi numerele reale pozitive a și b.  Pătratul diferenței a doi termeni pozitivi este egal cu diferența dintre suma pătratelor celor doi termeni și dublul produsului acestora. a Problema 3. În figura alăturată, ABCD și ONPC sunt suprafețe pătratice, iar OBMN A B M și OCDQ sunt suprafețe dreptunghiulare. Lungimile a și b sunt exprimate în aceeași unitate de măsură. a N a) Calculați ariile suprafețelor AMNQ, ABCD, BMPC, OCDQ și ONPC. Q O b) Exprimați aria suprafeței AMNQ, în două moduri și deduceți că b (a + b) (a − b) = a2 − b2, oricare ar fi numerele reale pozitive a și b, cu a > b. C b P D Rezolvare: a) A(AMNQ) = (a + b)(a − b); A(ABCD) = a2; A(BMPC) = ab; A(OCDQ ) = ab; A(ONPC) = b2. b) Observăm că A(AMNQ) = A(ABCD) + A(BMPC) − A(OCDQ) − A(ONPC) = a2 + ab − ab − b2, iar A(AMNQ) = (a + b)(a − b). Folosind a), rezultă egalitatea (a + b)(a − b) = a2 − b2, oricare ar fi numerele reale pozitive a și b, cu a > b.  Produsul dintre suma și diferența a doi termeni pozitivi este egal cu diferența pătratelor termenilor.

Descoperim, înțelegem, exemplificăm Întrucât lungimile segmentelor sunt numere pozitive, egalitățile au fost justificate doar pentru cazul când numerele a și b sunt mai mari decât 0. Vom demonstra, prin calcul algebric, justețea celor trei egalități pentru două numere reale oarecare. Problema 4. Dezvoltând expresia algebrică din membrul stâng, dovediți că fiecare dintre următoarele trei egalități este adevărată, oricare ar fi numerele reale a și b. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2;

a) (a + b)2 = (a + b) (a + b)= a2 + ab + ba + b2 = = a2 + 2ab + b2; b) (a − b)2 = (a − b) (a − b) = a2 − ab − ba + b2 = = a2 − 2ab + b2;

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2;

c) (a + b)(a − b) = a2 − ab + ba − b2 = a2 − b2.

(a + b)(a − b) = a − b . 2

Rezolvare:

Concluzie: Oricare ar fi numerele reale a și b, au loc următoarele formule de calcul prescurtat: Pătratul sumei a doi termeni

Pătratul diferenței a doi termeni

Produsul dintre suma și diferența a doi termeni

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a + b)(a – b) = a2 – b2

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni 1. Dezvoltați expresia algebrică E1 = ( –2x2y + xy2 )2. Etapele rezolvării Rezolvare 2 2 E1 = (–2x2y + xy2 )2;  Identificăm termenii sumei: –2x y și xy : E1 = (–2x2y)2 + 2(–2x2y) · (xy2)+ (xy2 )2;  Aplicăm formula: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2: E1 = 4x4y2 – 4x3y3 + x2 y4 ;  Efectuăm operațiile cu puteri: (–2x2y + xy2 )2 = 4x4y2 – 4x3y3 + x2 y4.  Finalizăm: Observație: E1 = ( – 2x2y + xy2 )2 se poate scrie E1 = ( xy2 – 2x2y )2 și aplicăm formula (a – b)2 = a2 – 2ab + b2.. 2. Dezvoltați expresia algebrică E2 = (2x2 – 5x) ( 2x2 + 5x). Etapele rezolvării  Identificăm cei doi termeni ai sumei, care sunt și termeni ai diferenței: 2x2 și 5x.  Aplicăm formula: (a + b)(a − b) = a2 − b2.  Efectuăm calculele:  Finalizăm:

Rezolvare E2 = (2x2 – 5x ) (2x2 + 5x ); E2 = (2x2)2 – (5x )2; E2 = 4x4 – 25x2; (2x2 – 5x ) (2x2 + 5x ) = 4x4 – 25x2.

3. Utilizați formulele de calcul prescurtat pentru a calcula: a) 612 ; b) 592; c) 61 · 59. Rezolvare: b) 592 = (60 – 1)2 = c) 61·59 = (60 + 1) · (60 – 1) = a) 612 = (60 + 1)2 = 2 2 2 2 = 60 + 2 · 60 · 1 + 1 = = 60 – 2 · 60 · 1 + 1 = = 602 –12 = = 3600 + 120 + 1 = = 3600 – 120 + 1 = = 3600 – 1 = = 3721; = 3481; = 3599.

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

Minitest 30 p

1. Calculând ( a + b ) − (a − b) 2 , se obține: 2

A. 4 · a · b; 30 p

D. 2a2 − 2b2.

C. 2a2 + 2b2;

2. Înmulțind numerele x + 2y și x − 2y se obține: A. x2 + 4y2;

30 p

B. 0; B. x2 − 2y2;

C. x2 − 4y2;

D. x + 4y. x+1

3. O coală de carton are suprafața pătratică. Lungimea laturii pătratului este egală cu (x + 2) cm. Din această suprafață, se decupează o suprafață dreptunghiulară având dimensiunile (x + 1) cm, respectiv (x − 1) cm, x > 1. Aria suprafeței rămase este: A. x cm2;

B. x2 cm2;

C. (5x + 4) cm2;

x–1

D. (4x + 5) cm2.

x+2

Notă: Timp de lucru: 15minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Dezvoltați următoarele expresii algebrice: a) (3x + 1) ;

1  2 1  1 1   1 b)  a + 3  ;  x − 3 y  ;  a + b  a − b  . 2  3 2  3 2   3

d) (– 4u + 3v) ;

b) (2a + 3b) ; e) (– 4xy – 3z)2; 2

c) (5a – 2b)2;

c) ( 5 a + 3)2; ( 2 x − 3 y )2;

f) (4xy + 3z)2.

2. Folosind formulele de calcul prescurtat, calculați: a) 101 ; 102 ; 105 ; c) 1,1 ; 0,9 ; 1001 ; 2

b) 992; 1992; 572;

d) 222; 492; 812.

3. Folosind formula de calcul pentru pătratul unei sume algebrice, calculați: a) (x2 + 2y)2; d) (x –

5 y )2; 2

1  e)  x − y  ; 2  2 1  f)  x +  . 2 

b) (4x – 3y)2; c) ( 2 x + 3) 2 ; 4. Calculați: a) (3x + y) (3x – y);

( 3 − x) ( 3 + x) ;

1  1  b)  5 x −  5 x +  ; 2  2 

  2  6 d)  x − + x   .   3 3    5. Folosind formulele de calcul potrivite, calculați: a) 101 · 99; b) 102 · 98;

c) 299 · 301; d) 805 · 795;

e) 3,3 · 2,7; f) 4,1 · 3,9.

6. Folosind formulele de calcul potrivite, calculați: a) (7a + 5)2; (3b – 5c)2; (2u + v)(2u – v);

( 2p+

5 q) · ( 2 p –

5 q).

7. Efectuați calculele: a) (x + 2y)2 + (x – 2y) (x + 2y); b) (3x – y)2 – (3x + 5)(3x – 5); c) (1 – 5y)2 + (1 + 5y)2 – 25y2 – 2. 8. Se consideră expresia algebrică E(x) = (2x – 3)2 + 2(2x – 3) (2x + 3) + (2x + 3)2. a) Demonstrați că expresia E(x) este pătratul unei expresii algebrice, oricare ar fi numărul real x.  2 este un număr natural. b) Demonstrați că E   2    9. Calculați:

a) (x – 1)(x + 1)(x2 + 1); b) (2x – 3)(2x + 3)(4x2 + 9);

c) ( 2 x + 5)( 2 x – 5)(2x2 + 25). 10. a) Fie k ∈ ℕ. Calculați: (4· k)2, (4 · k + 1)2, (4 · k + 2)2, (4 · k + 3)2. b) Deduceți că restul împărțirii unui pătrat perfect la 4 este 0 sau 1. c) Demonstrați că a · (a + 1) · (a + 2) · (a + 3) + 10 nu este pătrat perfect pentru nicio valoare a ∈ ℕ.

Lecția 2. Aplicații ale formulelor de calcul prescurtat în raționalizarea numitorilor unor fracții Ne amintim  ℚ+ = ℚ ∩ (0, +∞), ℚ – = ℚ ∩ (–∞, 0), ℚ* = ℚ \{0}.  Suma a două numere iraționale poate fi un număr rațional sau un număr irațional.  Produsul a două numere iraționale poate fi un număr rațional sau un număr irațional.  Dacă a ∈ ℝ, b ∈ ℚ+, atunci numitorul fracției b)

a astfel: = b

a⋅ b a⋅ b . = b b⋅ b

a se raționalizează, b

 Dacă a ∈ ℝ, b ∈ ℚ + și c ∈ ℚ * , atunci numitorul fracției b) a a⋅ b a b se raționalizează, astfel: = = . bc c b c b⋅ b

3) 2 = 3

c b

2⋅ 3 2 3. = 3 3⋅ 3

3 3⋅ 2 3 2 3 2. = = = 10 5 2 5 2 ⋅ 2 5⋅2

Rezolvăm și observăm Se consideră numerele a = (2 + 3) 2 , b =

( 2 − 3) , c = ( 2 + 3 ) , d = ( 2 − 3 ) , e = (2 + 3 )·(2− 3 ) și 2

f = ( 2 − 3 )·( 2 + 3 ). Determinați mulțimile {a, b, c, d, e, f } ∩ ℚ și {a, b, c, d, e, f} ∩ ℝ \ ℚ. Rezolvare: Aplicăm formulele de calcul prescurtat și obținem: a = 4 + 4 3 + 3 = 7 + 4 3 ; b = 2 − 6 2 + 9 = 11 − 6 2 ; c = 2 + 2 6 + 3 = 5 + 2 6 ; d = 2 − 2 6 + 3 = 5 − 2 6 ; e = 4 – 3 = 1; f = 2 – 3 = −1. Atunci, {a, b, c, d, e, f} ∩ ℚ = {e, f } și {a, b, c, d, e, f } ∩ ℝ \ ℚ = {a, b, c, d}. Descoperim, înțelegem, exemplificăm  Dacă a ∈ ℚ *, b ∈ ℚ + și

 Dacă a ∈ ℚ +, b ∈ ℚ + și

b ∈ ℝ − ℚ, atunci (a + a,

b )·( a − b ) = a2 – b ∈ ℚ.

b ∈ ℝ − ℚ, a ≠ b, atunci ( a +

b )·( a − b ) = a – b ∈ ℚ.

Formula de calcul prescurtat referitoare la diferența a două pătrate ne ajută să formulăm o tehnică de raționalizare a numitorilor unor fracții. A raționaliza numitorul unei fracții înseamnă a amplifica fracția astfel încât să se obțină o fracție care are numitorul exprimat printr-un număr rațional.

Aplicație: Raționalizarea numitorilor a) Pentru a∈ ℚ *, b∈ ℚ + , astfel încât 1 cu nub ∈ ℝ − ℚ, scrieți fracția a+ b mitorul exprimat printr-un număr rațional.

Rezolvare: Știm că (a + b ) (a − b ) = a2 − b, care este un număr rațional. Deducem că, dacă amplificăm fracția cu a − b , obținem

a− b

)

1 a− b , care are numitorul = 2 a + b a −b

număr rațional.

a+ b

)

1 a + b , unde a∈ ℚ *, b∈ ℚ și b ∈ ℝ − ℚ. = 2 + a − b a −b b) Pentru a∈ ℚ +, b∈ ℚ + astfel încât Rezolvare: Știm că ( a + b )· ( a − b ) = a − b, care a , b ∈ ℝ − ℚ, a ≠ b, scrieți fracția este un număr rațional. Deducem că putem amplifica fracția 1 a− b) 1 a− b cu numitorul exprimat printr-un − și obținem , care = cu a b a+ b a −b a+ b număr rațional. are numitorul rațional. Observație: În mod analog,

a+ b

Observație: În mod analog,

)

1 a + b , unde a ∈ ℚ , b∈ ℚ și = + + a −b a− b

b ∈ ℝ − ℚ, a ≠ b.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Problemă. Raționalizați numitorii fracțiilor:

Rezolvare:

1+ 3

) )

2 −1

5 = 2 +1

)

30 p

2 − 1) (=

(

)

2 −1

(

)

10 + 2

( 2 − 1) ; 3− 5;

1+ 2

)

1 = 10 − 2

(

3 −2 , . 3 + 5 − 2 +1 5 +1 ; 2

10 + 2 = 10 − 2

)

( 5 + 1) ; 8

3 1+ 2 3 = = −3 1 + 2 . 1− 2 1− 2

(

)

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

2 −1;

3− 2;

3. Rezultatul calculului 3;

1 , 10 − 2

) 2 2 5 +1 = = 5 −1 5 −1

2 + 1;

2. După raționalizarea numitorului, fracția

5 , 2 +1

5 +1

1. După raționalizarea numitorului, fracția

A. 30 p

−2 3 − 5 −2 = = 3−5 3+ 5

Minitest

2 , 5 −1

1 1+ 3 1+ 3 ; = = − 1− 3 2 1− 3

3− 5

30 p

1 , 1− 3

3+ 2;

1 2 −1

devine: C.

D. 2.

D. 3 − 2 .

3 D. − . 2

1 devine: 3+ 2

3 9 − este: 1+ 3 2 3 B. − 5 ;

Notă: Timp de lucru: 15minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Raționalizați numitorii fracțiilor: 1 2 1 5 , , , , 2− 2 3 −1 6− 2 5 +1

−9 . 2+ 5

2. Scoateți factorii de sub radical, apoi raționalizați numitorii fracțiilor: 4 6 10 3 12 6 , , , , . 12 + 2 3 − 27 12 − 9 3− 8 20 + 8 3. Calculați: 1 1 a) ; + 2 2 −1 b)

1 1 1 + − ; 3 +1 3 − 3 3

18 5 − 24 ; − 6 6 −1

1 2 3 + − . 2 +1 8+2 18 + 3

11 3 . , 2 6 − 2 4 3 −5 2 −2 1 5. Demonstrați că numărul este + 9− 5 5 −2 irațional.

(

)

( 5 − 3) . −1

7. Efectuați calculele: 1 1 1 a) ; + + 2 +1 3+ 2 4+ 3 1 3 5 15 ; b) + + + 2 +1 5+ 2 10 + 5 25 + 10  2 3   6 1 3 − − c)   :  . 3   2 3 +3 3 3 +5  3− 2 3 8. Calculați media aritmetică și media geometrică a numerelor m și n, pentru: 2 5 2 − și n = a) m = 2 −3 . 3+ 7 2− 7 2 b) m = și ( 3 + 2) ⋅ ( 6 − 4)

(

6 . ( 3 − 2) ⋅ ( 6 + 4)

a) Demonstrați că p este număr rațional. 1 . b) Calculați p+6 10. Stabiliți, argumentat, dacă numărul b − a este rațional, știind că: −1    5+ 7 1 1 a=  −  și  : 7  5 − 7    5+ 7   5  2 4 b =  + . : 7 − 5 : 7+ 3  5 − 3  5 11. a) Verificați dacă are loc egalitatea: 9 + 4 2 = ( 2 2 + 1)2. 1 1 b) Știind că a = + , 9+4 2 9−4 2 7 ⋅ a este număr natural. demonstrați că 8 x2 − y 2 12. Calculați valoarea raportului 2 , pentru x + y2 2 +1 2 −1 și y = . x= 2 −1 2 +1 13. Identificați două valori ale numărului real q, știind 1 că q + este număr rațional. 3 −1 14. Se consideră numerele

(

4. Raționalizați numitorii

6. Comparați numerele −1 și b = a= 7− 5

9. Se consideră numărul 1 1  1  p= – − − (2 2) −1  · 2 2 . 2 −1 2 +1 3 2 

)

a1 =

10 10 + și 11 − 1 11 + 1 2

)

 10   10  a2 =   +   .  11 − 1   11 + 1  Demonstrați că a1 < a2 . 15. Scrieți în ordine crescătoare numerele: m= n= p=

( 5 + 1) + ( 5 + 3) , −1

2 8 + 48

−1

−

2 8 − 48

( 3 + 2) + 2⋅( 5 + 3) + 4⋅( 9 + 5) . −1

−1

2.3. DESCOMPUNERI ÎN FACTORI UTILIZÂND REGULI DE CALCUL Lecția 1. Descompuneri în factori folosind factorul comun. Gruparea termenilor Descoperim, înțelegem, exemplificăm  Proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de adunare ne permite să scriem produsul a ⋅ (b + c) sub forma sumei algebrice a ⋅ b + a ⋅ c. Am învățat, astfel, să dezvoltăm un produs de factori.  Ne propunem să identificăm modalități de a scrie, sub forma unui produs de factori, sau să restrângem o expresie algebrică dată. Scriind identitatea a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c în forma sa echivalentă a ⋅ b + a ⋅ c = a ⋅ (b + c), observăm că: • membrul stâng al egalității este o sumă în care a este factor comun pentru termenii a ⋅ b și a ⋅ c; • membrul drept este produsul dintre factorul comun a și factorul (b + c).  Prin scrierea a ⋅ b + a ⋅ c = a ⋅ (b + c), am transformat suma a ⋅ b + a ⋅ c în produsul a ⋅ (b + c), dând factor comun numărul a, sau am descompus suma a ⋅ b + a ⋅ c în factori, folosind factorul comun. Transformarea unei sume algebrice într-un produs de expresii algebrice se numește descompunerea în factori a sumei date. Nu există o metodă de descompunere valabilă pentru orice sumă algebrică și nu orice sumă algebrică poate fi descompusă în factori. Prin exemple concrete, vom cunoaște câteva metode de descompunere în factori a unei sume algebrice.

Expresia

Descompunerea în factori

a⋅b+a⋅c

a ⋅ (b + c)

3x + 6 = 3 ⋅ x + 3 ⋅ 2

3 ⋅ (x + 2)

7y2 + 21y = 7y ⋅ y + 7y ⋅ 3

7y ⋅ (y + 3)

–5a2b + 10ab = –5ab ⋅ a + (– 5ab) ⋅ (– 2)

–5ab ⋅ (a – 2)

1 ⋅ ( aS ) , unde a este un număr real oarecare nenul, reprea zentat prin nedeterminata a. Această scriere nu reprezintă, neapărat, descompunerea expresiei în factori întrucât factorul a nu este, neapărat, factor comun pentru toți termenii sumei. Observație: Orice sumă algebrică S se poate scrie S =

 Dacă o sumă are mai mulți termeni, este posibil ca tehnica de mai sus să se poată aplica în mod repetat, grupând termenii, în funcție de factorul comun pe care îl au, cu scopul de a obține un nou factor comun. Exemplu: Descompuneți în factori expresia algebrică ac + ad + bc + bd. Rezolvare: ac + ad + bc + bd = = (ac + ad ) + (bc + bd) =

= (c + d)(a + b).

 Grupăm (asociem) termenii avantajos, pentru a da factor comun.  Scoatem factorul comun a, pentru prima grupă și factorul comun b pentru grupa a doua. Identificăm noul factor comun, (c + d).  Scoatem factorul comun (c + d).

ac + ad + bc + bd = (c + d)(a + b).

 Finalizăm.

= a(c + d) + b(c + d) =

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Aplicație. Descompuneți în factori: a) (2x + 3)(x − 2) − (2x + 3) (−2x + 1); b) x2 − x − 2x + 2. Rezolvare: a) (2x + 3)(x − 2) − (2x + 3) (−2x + 1) = (2x + 3)[(x − 2) − (−2x + 1)] = (2x + 3)(x − 2 + 2x − 1) = = (2x + 3)(3x − 3) = (2x + 3) · 3 · (x − 1) = 3(2x + 3)(x − 1). În concluzie, (2x + 3)(x − 2) − (2x + 3) (−2x + 1) = 3(2x + 3)(x − 1). b) x2 − x − 2x + 2 = (x2 − x) + (−2x + 2) = x (x − 1) −2 (x − 1) = (x − 1)(x − 2). În concluzie, x2 − x − 2x + 2 = (x −1)(x − 2).

Minitest 30 p

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

1. Folosind factorul comun, deducem că numărul 101 · 8 + 101 · 9 − 101 · 10 este egal cu: A. 101;

30 p

B. 0;

D. 777.

C. 154;

D. 321.

2. Dacă a + 2 · b = 77, atunci 3 · a + 6 · b este: A. 231;

30 p

C. 707;

B. 123;

3. Descompusă în factori, expresia x3 + x2 + x + 1 este: A. x2 · (x + 1);

B. x · (x + 1);

C. x · (x2 + 1);

D. (x + 1) · (x2 + 1).

Notă: Timp de lucru: 15minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Descompuneți, folosind metoda factorului comun: a) 6x + 6y;

e) 9ab + 6a2;

b) –8x – 8z;

f) –5abc + 25bc;

c) 3n – 30m;

g) 4u2 – 3uv + 6u;

d) a3 + 5a;

h) 8x3 – 6x2 + 2x.

2. Descompuneți în factori următoarele expresii: a) am + bm;

e) p2 – pq;

b) 5nmp + 10mp;

2 a2 + a;

1 1 q+ ; 2 2 3 g) 11x – 22ax;

d) 3ab – 9bcd;

h) 4d 2 – 7 d.

3. Descompuneți în factori: a) x – x2 ;

c) − 6uv + 3v ;

3 9 xy − y ; 2 2

d) 0,(3)t – 0,(6) t2.

4. Determinați termenul care trebuie scris în spațiul liber pentru a obține afirmații adevărate: a) 7x – 7y + ... = 7 · (x – y + 3); b) 6x – 12xy + 18xyz = 6x · (1 – 2y + ...); c) x3 + x2 + ... = x · (... + ... + 1). 5. Scrieți ca produs expresiile: a) x(x + 4) + 3(x + 4); b) 2x(x + 3 ) – 5(x + 3 ); c) (x + 6)(x – 3 ) + (x + 6)(x + 5). 6. Se consideră expresiile algebrice E(x) și F(x), x ∈ ℝ, E(x) = (x – 1)(x + 2) + (x – 1)(2x + 5) și F(x) = (x – 11)(x – 2) – (11 – x). a) Demonstrați că a – x = – (x – a). b) Descompuneți în factori expresiile E(x), F(x) și E(x) + F(x). c) Demonstrați că oricare ar fi n ∈ ℤ, numărul E(n) + F(n) este pătratul unui număr întreg.

7. Descompuneți în factori: E(x) = 3x(x – 3) – (x – 3)(2x – 1); F(a) = (a + 1)2 – 3a(a + 1); G(x) = (x + 2 )(x + 1) – (x + 2 )(2x – 1); H(x) = ( x + 1)2 – x ( x + 1). 8. Calculați, folosind factorul comun: a) 1957 · 1959 – 1958 · 1957; b) 2009 · 2010 + 2009 · 2008 – 2009 · 4018; c) 20092 + 2009 · 2008 – 2009 · 4017; d) 20092 + 2008 · 2009 – 4018 · 2009. 9. Descompuneți în factori expresiile, folosind gruparea termenilor: a) ax + bx + ay + by ; b) a + ab + b+ 1; c) 7x + 7y + ax + ay; d) x3 + x2 + 2x + 2;

e) 10 x3 + x2 + 10x + 1; f) x3 – 9x2 + x – 9; g) a – b + ab – 1; h) ab + a 3 – b 2 – 3 ⋅ 2 . 10. a) Dacă a + b + c = 15 și d = 2 calculați ad + bd + cd. b) Dacă ab = ac = –3 calculați a(b + c). 11. Se consideră expresia E (t) = (3t – 7) 2 + (4t + 9) (3t – 7). a) Scrieți expresia (3t – 7)2 ca produs de doi factori. b) Descompuneți expresia E(t), folosind factorul comun. 12. Descompuneți în factori: 3 27 3 9 a; a) 1 + a + a2 + 5 125 25 b) (3x + 1)2 – (3x + 1)(3x + 2) – 6x(3x + 1).

Lecția 2. Descompunerea în factori, folosind formule de calcul prescurtat Ne amintim Oricare ar fi numerele reale a și b, au loc formulele: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2; (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 ; (a + b)(a − b) = a2 − b2. Descoperim, înțelegem, exemplificăm Formulele de mai sus pot fi citite și astfel:

Dicționar

• binom = suma a doi termeni.

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2, a2 − 2ab + b2 = (a − b)2, respectiv a2 − b2 = (a + b)(a − b). Devin, în acest fel, formule pentru descompunerea în factori sau formule pentru restrângerea expresiilor a2 + 2ab + b2, a2 − 2ab + b2, respectiv a2 − b2. Dezvotarea pătratului unui binom

Restrângerea pătratului unui binom/ descompunerea în factori

(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b)2

(a – b)2 = a 2 – 2ab + b 2

a 2 – 2ab + b 2 = (a – b)2

Observație: Folosind faptul că oricare ar fi x număr real, x2 = (– x)2, deducem egalitățile: a 2 – 2ab + b 2 = (a – b)2 = (– a + b)2 = (b – a)2 . Dezvoltarea produsului dintre suma și diferența a doi termeni (a + b)(a − b) = a2 − b2

Descompunerea în factori a diferenței a două pătrate a2 − b2 = (a + b)(a − b)

Considerăm expresiile A = a2 + 2ax + x2, B = x 2 + 2 x + 1, C = 4 – 12y + 9y2, D = 4 – x2, E = 4 x2– 9 și dorim să le descompunem în factori folosind formule de calcul prescurtat. Vom prelucra fiecare expresie, pentru a stabili formula care urmează să fie utilizată și pentru a identifica termenii corespunzători formulei. Expresia A = a2 + 2ax + x2 B = x 2 + 2x + 1 C = 4 – 12y + 9y2 D = 4 – x2 E = 4 x2 – 9

Pregătirea termenilor Descompunerea în factori Formula folosită și identificarea formulei A = a2 + 2ax + x2 A = (a + x)2 a 2 + 2 a b + b 2 = (a + b )2 2 2 B = x + 2x · 1 + 1 B = ( x + 1)2 C = 22 – 2 · 2 · (3y) + (3y)2 C = (2 – 3y)2 sau C = (3y – 2)2 a 2 – 2 a b + b 2 = (a – b )2 D = 22 – x2 D = (2 + x)(2 − x) a2 − b2 = (a + b)(a − b) E =(2x)2 – 32 E = (2x + 3)(2x − 3)

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni

1 1. Descompuneți în factori expresia 9 − 3xy + x2y2. 4 Rezolvare: (1) Identificăm doi termeni ai expresiei, care sunt pătrate ale unor expresii algebrice. (2) Verificăm dacă termenul rămas se poate obține înmulțind cu 2 produsul numerelor ale căror pătrate au fost identificate la (1). (3) Aplicăm formula pentru restrângerea pătratului unui binom.  Din 9 = 32 = (−3)2, rezultă că un termen al sumei va fi 3 sau −3. 2

2 1 1 1 1  1 Din x2y2 =  xy  =  − xy  , rezultă că celălalt termen ar putea fi − xy sau xy . 2 2 4 2   2 

 1  1   Dar − 3xy = 2 · 3 ·  − xy  sau − 3xy = 2·(−3) ·  xy  . Sunt posibile situațiile:  2  2  2 2 2 1  1   1 2 2 2  − 1 xy  1 1 + 2 · 3 ·  − xy  =  3 − xy  , adică 9 − 3xy + x2y2 =  3 − xy  . a) 9 − 3xy + x y = 3 +    2  4 4  2   2  2   2

2 2 1  1 22 1 1   1  1 2 b) 9 − 3xy + x y = (−3) +  xy  + 2 · (−3) ·  xy  =  −3 + xy  , adică 9 − 3xy + x2y2 =  −3 + xy  . 2  4 4 2  2  2    Observație: Dacă (1) și (2) nu sunt simultan adevărate, metoda de descompunere descrisă nu poate fi aplicată. De exemplu, x4 + 4 = (x2)2 + 22 și nu putem aplica niciuna dintre cele trei formule. Este o sumă de pătrate și nu se poate descompune prin această metodă.

2. Descompuneți în factori expresia 3x4y2 − 4z2. Rezolvare: 3x4y2 = ( 3 x2y)2 și 4z2 = (2z)2. Atunci, 3x4y2 − 4z2 = ( 3 x2y)2 − (2z)2 = ( 3 x2y + 2z)( 3 x2y − 2z). În concluzie, 3x4y2 − 4z2 = ( 3 x2y + 2z)( 3 x2y − 2z). 3. Descompuneți în factori, folosind formule de calcul prescurtat, dacă este posibil: a) 16x4y2 + 40x2 y + 25; b) 4x2 −14x + 12; c) 25 – 16x2. Rezolvare: a) 16x4y2 + 40x2 y + 25 = (4x2 y)2 + 40x2 y + (5)2 = (4x2 y)2 + 2 · (4x2 y) · 5 + 5 2 = (4x2 y + 5)2, deci 16x4y2 + 40x2 y + 25 = (4x2 y + 5)2. b) 4x2 − 14x + 12 = (2x)2 − 14x +

( 12 ) . Cum −14x ≠ −2 · (2x) · 12 , rezultă că expresia 4x − 14x + 12 2

nu se poate descompune în factori folosind formula pătratului unui binom. c) 25 – 16x2 = 52 − (4x)2 = (5 − 4x) · (5 + 4x), deci 25 – 16x2 = (5 − 4x) · (5 + 4x).

Minitest 30 p

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

1. Dacă x2 + 4x + 4 = (a + b)2, atunci: A. a = x, b = 4;

30 p

B. a = x2, b = 4;

D. a = x, b = 2.

C. c = 5y, d = 3;

D. c = 5, d = 3.

2. Dacă 25y2 − 9 = (c − d) · (c + d), atunci: A. c = 25, d = 9;

30 p

C. a = x, b = −2;

B. c = 5y, d = 4,5;

3. Descompunerea în factori a expresiei (2z + 1)2 − 16 este: A. (2z + 3) · (2z −5);

B. (2z − 3) · (2z + 5);

C. (2z + 3) · (2z + 5);

D. (2z − 3) · (2z − 5).

Notă: Timp de lucru: 15minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Descompuneți în factori expresiile algebrice: a) x2 + 10x + 25;

f) 81y2 –18y + 1;

b) y2 – 6y + 9;

g) 4x2 – 28x + 49;

c) x2y2 + 4xy + 4;

h) 9x2 – 12xy + 4y2;

d) 100 –20ab + a2b2;

i) 5x2 + 2 5 x + 1 ;

a) y2 – 25;

d) 81x2 – 16y2;

e) 16x2 + 8x + 1;

j) 3y2 – 24 xy + 2 x2.

b) 4x2 – 1;

e) 1,69x2 – 1,44;

2. Copiați pe caiete și completați termenul care lipsește pentru a obține pătratul unui binom:

a) 982 + 2 · 98 · 2 + 22;

c) 1042 – 962;

b) 2012 –2 · 201 +1; d) 42 · 192 – 242. 7. Descompuneți în factori diferențele de pătrate:

c) 25 – 4y2; f) 1 – 2,25x2y2. 8. Scrieți ca pătrat al unei sume sau al unei diferențe:

a) 9a2 – 6a + ...;

d) x2 + 5 + ...;

a) a4 + 8a2 + 16;

c) 2x2 + 2 2 x + 1;

b) 25x2 + 4 + ...;

e) 3 – 2 6 y + ...;

b) 81 – 72b2 + 16b4;

d) y2 + 2 3 y + 3.

c) 9y2 – 12y + ...;

f) 1 – 6b + ....

3. Descompuneți în factori expresiile: a) (x – 2)2 + 2(x – 2) + 1; b) (m +5)2 – 4(m + 5) + 4; c) (x + 3)2 – 2(x + 3)(x – 1) + (x – 1)2; d) 9x4y2z2 + 24 x2yz + 16; e) 4(x – 2)2 – 12(x – 2) + 9. 4. Descompuneți în factori: a) x2 – 64;

d) 9x4y2 – 16;

b) 121 – y2 ;

e) 4(2x – 1)2 – 49;

c) 4x2 – 25;

f) 81x6y2 – 4.

5. Descompuneți în factori:

6. Utilizând descompunerea în factori, calculați:

a) a2b2 – 9;

c) x2 – 2;

b) x2y2 – 1,21;

d) 5a2 – 3.

9. Scrieți ca produs de numere reale, folosind formule de calcul prescurtat: a) 992 – 12;

c) 1992 – 1982;

b) 9962 – 42;

d) 742 – 2 ⋅ 74 ⋅ 49 + 492;

e) 9992 + 2 ⋅ 999 ⋅ 1001+ 10012. 10. Descompuneți în factori: 1 a) x2 – x + ; e) (x + 2)2 – 1; 4 b) 7x2 – 2 7 x + 1; f) x2 + 10xy + 25y2; 1 c) x2 + – 0,(6)x; g) ( 3 )2 – x2; 9 1 h) 3x2 – 2. d) 9x2 – ; 4 11. Demonstrați că modulul diferenței pătratelor a două numere naturale consecutive este un număr natural impar.

Lecția 3. Alte metode de descompunere în factori Am demonstrat, în lecțiile anterioare, tehnici de descompunere în factori a expresiior algebrice, folosind factorul comun, folosind formule de calcul prescurtat, sau folosind gruparea termenilor pentru a da factor comun. Vom descoperi că de cele mai multe ori, pentru descompunerea în factori a unei expresii algebrice se împletesc tehnicile, scriind convenabil termenii expresiei, prelucrând expresia, folosind artificii de calcul1. Descoperim, înțelegem, exemplificăm 1. Scrieți produsul (x + 2)(x + 3) ca sumă algebrică. Etapele rezolvării Start

2. Transformați suma x2 + 5x + 6 în produsul a două sume.

Rezolvare (x + 2)(x + 3)

Etapele rezolvării Rezolvare Start x2 + 5x + 6 Scriem: = x2 + (3x + 2x) + 2 · 3 = x2 + 3x + 2x + 2 · 3 5x = 3x + 2x și 6 = 2 · 3. = (x2 + 3x) + (2x + 2 · 3). Dezvoltăm produsul Dăm factor comun x, apoi = x (x + 3) + (2x + 6) = x2 + 3x + 2x + 6 factor comun 2. = x (x + 3) + 2(x + 3). Reducem termenii asemenea = x2 + 5x + 6 Dăm factor comun (x + 3). = (x + 2)(x + 3). Concluzie: x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3). Concluzie: (x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6. Observații: x2 + 5x + 6 este dezvoltarea expresiei algebrice (x + 2)(x + 3). (x + 2)(x + 3) este descompunerea în factori a expresiei algebrice x2 + 5x + 6. 3. Demonstrați că orice expresie algebrică de forma x2 + mx poate fi scrisă ca o diferență de pătrate. Metodă în trei pași: 2mx m = 2·x· . 2 2 2 Identificăm termenul care lipsește pentru a obține pătratul unei sume. 1

mx Scriem =

Scriem expresia, punând în evidență pătratul sumei. 3 Restrângem pătratul sumei și obținem o diferență

de pătrate.

m m m x + 2 · x · +  −  2 2 2

pătratul sumei 2

m m  x2 + mx =  x +  −   . 2 2 

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni În practică, metoda factorului comun, gruparea convenabilă a termenilor, aplicarea unor formule de calcul prescurtat și alte reguli se împletesc pentru descompunerea în factori a expresiilor algebrice. Aplicația 1. Descompuneți în factori: a) 4x2 − 14x + 12; b) x4 + 4. Rezolvare: a) 4x2 − 14x + 12 = 4x2 − 8x − 6x + 12 = (4x2 − 8x) − (6x − 12) = 2x(2x − 4) −3(2x − 4) = (2x − 4)(2x − 3) = = 2(x − 2)(2x − 3). Concluzie: 4x2 − 14x + 12 = 2 (x − 2)(2x − 3). 1 Arficiu de calcul = procedeu prin care scriem termenii expresiei astfel încât să identificăm factorul comun, modul de grupare a termenilor sau formulele de calcul pe care dorim să le folosim.

b) x4 + 4 = (x2)2 + 22 + 2 · x2 · 2 − 4x2 = [(x2)2 + 2 · x2 · 2 + 22] − 4x2 = (x2 + 2)2 − 4x2 = ( x2 + 2)2 − (2x)2 = = [( x2 + 2) + (2x)] · [( x2 + 2) − (2x)] = ( x2 + 2 + 2x) · ( x2 + 2 − 2x) = (x2 + 2x + 2) · (x2 − 2x + 2). Concluzie: x4 + 4 = ( x2 + 2x + 2)·( x2 − 2x + 2). Aplicația 2. a) Scrieți expresia E1 = x2 + 10x +26 ca sumă de pătrate și calculați valoarea expresiei pentru x = –5. b) Scrieți expresia E2 = x2 – 20x + 104 ca sumă de pătrate și calculați valoarea expresiei pentru x = 10. c) Utilizând inegalitatea a2 ≥ 0, oricare ar fi a ∈ ℝ, demonstrați că x2 + 10x +26 ≥ 1, pentru orice x real. d) Utilizând inegalitatea –a2 ≤ 0, oricare ar fi a ∈ ℝ, demonstrați că dacă E3(x) = –x2 + 20x – 104, atunci E3(x) ≤ –4, pentru orice x real. Observații: Se constată următoarele:

a) E1 = x2 + 10x + 26 = x2 + 10x + 25 + 1 E1 = (x + 5)2 + 12 și E1(–5) = 1.

b) E2 = x2 – 20x + 104 = x2 – 20x + 100 + 4 E2 = (x – 10)2 + 22 și E2(10) = 4.

c) Din (x + 5)2 ≥ 0, rezultă (x + 5)2 + 1 ≥ 1 și x2 + 10x + 26 ≥ 1, pentru orice x∈ℝ. d) E3(x) = –x2 + 20x – 104 = –(x2 – 20x + 104) = = –[(x – 10)2 + 22] = –(x – 10)2 – 4.

Din –(x – 10)2 ≤ 0 rezultă –(x – 10)2 – 4 ≤ –4, deci –x2 + 20x – 104 ≤ –4, pentru orice x ∈ ℝ.

 E1(–5) = 1 și E1(x) ≥ 1, pentru orice x real. Spunem că 1 este valoarea minimă a expresiei E1.  E3(10) = –4 și E3(x) ≤ –4, pentru orice x real. Spunem că –4 este valoarea maximă a expresiei E3. Temă de portofoliu a) Demonstrați că valoarea minimă a expresiei x2 – 4x + 7 este 3. b) Demonstrați că valoarea minimă a expresiei x2 + 6x + 10 este 1. Folosind rezultatul „Dacă a și b sunt numere pozitive cu E1 ≥ a și E2 ≥ b, atunci E1 · E2 ≥ ab”, demonstrați că (x2 – 4x + 7)( x2 + 6x + 10) ≥ 3, oricare ar fi x ∈ ℝ. Minitest 30 p 30 p 30 p

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

1. Descompunerea în factori a expresiei x3 + 2x2 + x este: A. (x2 + x)2; B. x · (x + 2)2; C. x · (x2 + x) ; 2. Scriind expresia y3 −100y ca produs de trei expresii, se obține: A. y · (y −10) · (y – 10); B. y · (y −10) · (y + 10); C. y · (y +10) · (y +10); 3. Expresia (z + 1)2 +2 · (z + 1) · (z + 2) + (z + 2)2 este pătratul binomului: A. z + 3; B. 2z − 3; C. 2z + 3;

D. x · (x + 1)2. D. y · (y −50) · (y + 50). D. 4z + 3.

Notă: Timp de lucru: 15minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Descompuneți în factori: a) (x + y) ⋅ a2 – (x + y) ⋅ b2; b) ax2 + bx2 – ay2 – by2; c) 49a2 + 14a(2x + 1) + (2x + 1)2; – x) + 9. d) ( – x)2 + 6(

2. Descompuneți în factori, grupând termenii convenabil. a) 12a2b3 + 4a2b + 9ab2 + 3a; b) 2xy + 3x2y – 4x2y2 – 6x3y2; c) 5x2 + 2a2x – 10ax – 4a3; d) x2 + 2x – 12xy – 24y.

3. Descompuneți în factori. a) x2 + 16x + 63; b) x2 – x – 2; c) y4 + 64;

d) 15x + 7x – 2; e) 3x2 – 5x – 2; f) x2 – 12x + 35. 2

4. Descompuneți în factori. a) 81x4 – 16; b) 256x4y4 – 1; c) x2 + 6x + 9 – y2; d) (3x + 2)2 – 2 ⋅ (3x – 2)(3x + 2) – 12 – 18x; e) (3x – 2)(2x + 1) – 3(2x + 1)2 + 2x(2x + 1); f) 4(x – 2)2 – (x + 1)2; g) 16(x + 3)2 – 9(x + 2)2. 5. Fie expresiile E(x) = x2 – 9 și F(x) = (x + 3)(3x – 4) – (x + 3)(2x – 1). a) Calculați valoarea numerică a expresiei E(x) pentru x = 0, apoi pentru x = –1. b) Calculați valoarea expresiei F(x) pentru x = 0, apoi pentru x = –1. c) Descompuneți în factori cele două expresii și verificați dacă E(x) = F(x), oricare ar fi x ∈ ℝ. 6. Descompuneți în factori expresia E(x) = 9x2 – 4 + (3x + 2)(x – 2). 7. Descompuneți în factori, utilizând identitatea: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b) ⋅ x + a ⋅ b a) x2 + 5x + 6; d) x2 – 12x + 20; b) x2 – 9x + 20; e) x2 – 8x + 15; c) x2 + 6x – 7; f) x2 – 3x – 28.

8. Se consideră un triunghi cu lungimile laturilor a, b și c. Demonstrați următoarele afirmații: a) Dacă a4 + b4 – c4 = 2a2b2, atunci triunghiul este dreptunghic. b) Dacă a2b – b2a + b2c – c2b = a2c – c2a, atunci triunghiul este isoscel. c) Dacă a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac , atunci triunghiul este echilateral. Indicație: Se scriu egalitățile echivalente, care au membrul drept egal cu 0, apoi se folosesc formule de calcul prescurtat, factor comun sau gruparea termenilor. 9. Demonstrați că numărul a = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + (x2 + 2x)(x2 – 1) este divizibil cu 24, oricare ar fi x număr întreg. 10. Demonstrați că oricare ar fi a, număr real, au loc relațiile: a) a2 + 4a + 4 ≥ 0;

b) a2 – 6a ≥ – 9.

11. Determinați valoarea minimă a fiecăreia dintre expresiile: a) x2 + 1;

b) x2 + 2x + 2, x ∈ ℝ;

c) 9x2 – 6x – 3, x ∈ ℝ;

d) (3x – 2)(3x + 4), x ∈ ℝ.

12. Determinați valoarea maximă a fiecăreia dintre expresiile: a) –x2, x∈ℝ; b) –7 – 6x – x2, x ∈ ℝ; c) (2x – 1)(3 – 2x), x ∈ ℝ.

Lecția 4. Aplicații practice, folosind calcule rapide cu ajutorul formulelor Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Aplicația 1. Calculul ariei unei suprafețe dreptunghiulare sau pătratice, cu dimensiuni care permit folosirea formulelor de calcul prescurtat a) Calculați aria suprafeței dreptunghiulare, cu dimensiunile: a = 1005 m și b = 995 m. b) Calculați aria suprafeței unui teren în formă pătratică, știind că latura pătratului este a = 51 m. Rezolvare: a) Dacă suprafața este dreptunghiulară, cu dimensiunile a și b, atunci aria suprafeței este A = ab. A = ab = 1005 · 995 = (1000 + 5) · (1000 – 5) = 10002 – 52 = 1 000 000 – 25 = 999 975 (m2). b) Dacă suprafața este pătratică și are latura a, atunci aria suprafeței este A = a2 . A = a2 = 512 = (50 + 1)2 = 502 + 2 · 50 · 1 + 1 = 2601 (m2). Observație: Cu puțin antrenament, astfel de calcule se pot face în memorie, foarte repede.

Aplicația 2. Calculul unor arii, folosind formule de calcul prescurtat Imaginea alăturată reprezintă o jucărie veche din lemn. Discurile suprapuse, desenate, reprezintă suprafața unei roți a jucăriei. Cele două discuri au același O r centru, iar razele lor sunt exprimate în centimetri. Discul albastru are raza r, 2 iar diferența dintre razele celor două discuri este de 2 cm. Aria suprafeței colorate cu roșu se poate exprima printr-o expresia algebrică A(π, r). a) Scrieți expresia A(π, r) ca sumă algebrică. b) Scrieți expresia A(π, r) ca o diferență de două pătrate. c) Folosind subpunctul a), descompuneți în factori diferența de pătrate obținută la b). d) Pentru a colora o suprafață de 1 cm2 este necesar un gram de vopsea. Știind că r = 5 cm, verificați dacă este suficientă o cantitate de vopsea de 75,4 g, pentru colorarea suprafeței roșii. Rezolvare: a) A(π, r) = π(r + 2)2− πr2 = π(r2 + 4r + 4) − πr2 = 4πr + 4π, deci A(π, r) = 4πr + 4π. 2 2 b) A(π, r) =  π ( r + 2 )  − πr . c) Din a), rezultă A(π, r) = 4π(r + 1). Din b), rezultă:

(

A(π, r) =  π ( r + 2 )  −

(

)

( πr ) =  π ( r + 2) + πr   π ( r + 2) − πr  , deci 2

A(π, r) = 2 πr + 2 π ⋅ 2 π = 4π(r + 1). d) Din A(π, r) = 4π(r + 1) și r = 5 cm, rezultă A(π, 5) = 24π cm2. Pentru colorare este necesară cantitatea de 24π grame de vopsea. Dar, π < 3,1416 , adică 24 · π < 75,3984 < 75,4, deci A(π, 5) < 75,4, adică este suficientă cantitatea de 75,4 g de vopsea. Aplicația 3. Exprimarea unor arii ca expresii algebrice, folosind formule de calcul prescurtat Pe un teren, având formă dreptunghiulară, cu dimensiunile (2x + 5) m 3 respectiv (x + 5) m, urmează să fie construită o casă. 2 Schița alăturată conține următoarele informații: – casa se construiește pe o suprafață pătratică, de latură x m; x – suprafața de culoare gri reprezintă o alee cu lățimea de 2 m; 2x + 5 – suprafața colorată cu verde reprezintă grădina casei. Se notează cu A aria totală a terenului, cu A1 aria aleii și cu A2 aria grădinii. a) Exprimați A, A1 și A2 în funcție de x și scrieți expresiile A, A1 și A2 sub forma unor sume algebrice restrânse. b) Calculați A, A1 și A2 pentru x = 10 m. c) Demonstrați că expresia A2 se poate scrie ca diferență de două pătrate. Rezolvare: a) A = (2x + 5) · ( x + 2 + 3) = (2x + 5) · ( x + 5) = 2x2 + 15x + 25. Suprafața terenului pe care este amplasată construcția împreună cu aleea formează o suprafață pătratică a cărei laturi este egală cu x + 2. Rezultă x2 + A1 = (x + 2)2, de unde A1 = (x + 2)2 − x2 = 4x + 4. A2 = A − (x + 2)2 = 2x2 + 15x + 25 − (x + 2)2 = x2 + 11x + 21.

b) Pentru x = 10, rezultă: A = 375 m2; A 1 = 44 m2; A 2 = 231 m2. 2

2 2 2  37  11  11    11   c) A2 = x + 11x + 21, deci A2 =  x +  −   + 21 , adică A2 =  x +  −   2  . 2 2  2   

Minitest 30 p

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

(13 − 3 ) ⋅ (103 − 3 ) este: 1. Rezultatul calcului 2

A. 1; 30 p

160 ⋅ 1060 B. 3;

C. 10;

2. Un dreptunghi are dimensiunile (10 − 10 ) cm și (10 + A. 100 cm2;

30 p

B. 10 10 cm2;

D. 32. 10 ) cm. Aria acestui dreptunghi este:

C. 99 cm2;

D. 90 cm2.

3. Un pătrat are aria a m2. Lungimea unui dreptunghi este cu 1 m mai mare decât latura pătratului, iar lățimea sa este cu 1 m mai mică decât latura pătratului. Dacă aria dreptunghiului este b cm2, atunci: A. a > b;

B. a < b;

D. ariile nu se pot compara.

C. a = b;

Notă: Timp de lucru: 15 de minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Un teren se descompune în două su N prafețe: ABCD suprafața pătratică și 2 AMNP suprafața dreptunghiulară, unde AM este două treimi din AB D M și AP = AB. Notăm cu A1 aria su 1 prafeței pătratice, cu A2 aria supra feței dreptunghiulare și cu A aria C totală a terenului. 6x−9 a) Demonstrați că x ∈ (1,5; ∞).

4. Triunghiul dreptunghic ABC are catetele AB = x cm și AC = 3 cm, iar triunghiul dreptunghic MNP are catetele MN și MP. Lungimea lui MN este dublul lungimii lui AB, iar lungimea lui NP este cu x cm mai mică decât lungimea lui AC. a) Calculați pătratul lungimii catetei MP.

b) Calculați, în funcție de x, ariile A1, A2 și A. Scri eți fiecare rezultat ca o sumă algebrică redusă. c) Verificați egalitatea A = 15(2x − 3)2. d) Calculați aria totală a terenului, știind că x = 15 m. 2. Fie n un număr natural, n ≥ 2 . a) Dovediți că: n2 − (n − 1)2 = 2n − 1. b) Folosind rezultatul de la a), calculați diferența dintre pătratele numerelor 272 și 271. 3. Conturul exterior ale ramei tabloului din imagine formează un pătrat cu latura de 143 cm, iar con turul interior formează un pătrat cu latura de 133 cm. Folosind o formulă de calcul convenabil aleasă, calculați aria ramei.

b) Calculați pătratul ariei triunghiului MNP. c) Demonstrați că x ∈ (0, 1). 5. Folosind o formulă de calcul prescurtat, calculați: a) 397 · 403;

b) 532;

c) 542;

d) 562; e) 572.

6. a) Fie expresia algebrică n2 − (n + 1)(n − l). Efectuați calcule și reduceți termenii asemenea. b) Fără a efectua operațiile, precizați rezultatul calculului 4,132 − 5,13 · 3,13. 7. În desenul de mai jos, sunt reprezentate un triunghi isoscel și un pătrat. Lungimile laturilor sunt ex primate în aceeași unitate de măsură. Determinați mulțimea numerelor reale x pentru care un sfert din aria triunghiului este cel puțin egală cu aria pătratului. Indicație: Folosiți 2x 4 descompunerea în factori a diferenței 30° a două pătrate. 2x + 3

2.4. FRACȚII ALGEBRICE. OPERAȚII CU FRACȚII ALGEBRICE Lecția 1. Fracții algebrice. Mulțimea de definiție a unei fracții algebrice. Valoarea numerică a unei fracții algebrice Rezolvăm și observăm Problemă

Rezolvare:

Lungimea laturii unui pătrat este x, iar lungimea bazei unui dreptunghi este y, acestea fiind exprimate cu aceeași unitate de măsură.

a) Notăm cu A aria noului dreptunghi și cu h înălțimea acestuia, aria pătratului fiind x2. O latură a celui de-al doilea dreptunghi este y – 2, deci y – 2 > 0.

Dacă se micșorează baza dreptunghiului cu două unități, se obține un nou dreptunghi care are aria egală cu aria pătratului.

x2 . y−2 b) Noul dreptunghi are baza y – 2, deci perimetrul său este

Deoarece A = (y − 2) · h, rezultă x2 = (y − 2)·h , deci h =

a) Exprimați înălțimea noului dreptunghi, în funcție de x și y.

 x2  ( y − 2) 2 + x 2 2 y 2 − 8 y + 8 + 2 x 2 P = 2 ⋅  ( y − 2) + . = 2 ⋅ =  y − 2  y−2 y−2 

b) Exprimați perimetrul noului dreptunghi, în funcție de x și y.

c) Calculați înălțimea și perimetrul noului dreptunghi, pentru x = 2 cm și y = 4 cm.

c) h =

2 ⋅ ( 4 − 2) + 2 ⋅ 2 22 , deci P = 8 (cm). = 2 (cm); P = 4−2 4−2 2

Descoperim, înțelegem, exemplificăm 2x2 − 8 y + 2 y 2 + 8 x2 și obținute în problema anterioară, se numesc rapoarte de numere y−2 y−2 reale reprezentate prin litere sau fracții algebrice.

Expresiile algebrice

 Întrucât împărțirea la 0 nu are sens, este esențial ca atunci când definim o fracție algebrică să precizăm mulțimea de definiție sau mulțimea pe care fracția are sens. Raportul a două expresii algebrice, împărțitorul fiind diferit de zero, este un raport algebric sau o fracție algebrică.

Exemple de fracții algebrice:

x x +1 b2 4 , a, b, c ℝ*; , x ∈ , y ∈ ∗ ; , x ∈ ∗ , y ∈ ∗ ; y xy abc

O fracție algebrică este definită (are sens) pentru toate numere reale pentru care numitorul fracției este diferit de zero.

x +1 2

x + ( y − 1) 2 + 2 z

, x, y, z ∈ℝ și x2 + (y − 1)2 + 2z ≠ 0.

O fracție algebrică cu nedeterminata sau variabila x se notează F(x). O fracție algebrică cu nedeterminatele sau variabilele x și y se notează F(x, y). F ( x) =

3x 1+ x

, x ∈ ;

F ( x, y ) =

2x 1  , x ∈ , y ∈  \   . 2 y −1 2

Numărul real obținut atribuind variabilei (sau variabilelor) unei fracții algebrice valori numerice care nu anulează numitorul se numește valoarea numerică a fracției pentru acele valori ale variabilei. Exemplu:Valoarea numerică a fracției F ( x) =

3 ⋅ ( −2 ) + 1 −5 3x + 1 , pentru x = –2 este F(–2) = = . 2 x +4 ( −2 )2 + 4 8

3x + 1 este 3 x 2 − 12 {x ∈ ℝ | 3x2 −12 ≠ 0} = ℝ \ {−2, 2}. xy • Mulțimea de definiție a fracției 2 este x + y2 {(x, y) ∈ ℝ × ℝ | x2 + y2 ≠ 0}. x • Mulțimea de definiție a fracției este y+3 {(x, y) ∈ ℝ × ℝ | y + 3 ≠ 0}.

Mulțimea tuturor numerelor reale atribuite variabilelor pentru care o fracție algebrică are sens se numește mulțimea de definiție a fracției sau domeniul de definiție al acesteia.

• Mulțimea de definiție a fracției

E ( x) are domeniul de definiție F ( x) {x ∈ ℝ | F(x) ≠ 0}. E ( x, y ) are domeniul de definiție  Fracția F ( x, y )

 Fracția

{(x, y) ∈ ℝ × ℝ | F(x, y) ≠ 0}. Știm să aplicăm, identificăm conexiuni 9 x2 − 4 y 2 , x, y ∈  și 3 x + 2 y ≠ 0 . 3x + 2 y a) Calculați valoarea numerică a fracției algebrice pentru x = 2 și y = 1,5. b) Decideți dacă F(x, y) este definită pentru x = −2 și y = 3.

1. Se consideră fracția algebrică F(x, y) =

Rezolvare:

9 ⋅ 22 − 4 ⋅ 1,52 9 ⋅ 4 − 4 ⋅ 2, 25 27 = = = 3, deci F(2; 1,5) = 3. a) F(2; 1,5) = 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1,5 9 6+3 b) Calculăm 3x + 2y pentru x = − 2 și y = 3 și obținem 3· (− 2) + 2·3 = 0.

Deoarece numitorul fracției se anulează, fracția algebrică dată nu este definită pentru x = − 2 și y = 3. 2. Determinați mulțimea de definiție a fracției algebrice F(x) =

3x 2 − 2 x + 1 . (2 x − 5) 2 − 4 x 2

Rezolvare: Determinăm numerele reale care anulează numitorul. (2x − 5)2 − 4x2 = 0 ⇔ 4x2 − 20x + 25 − 4x2 = 0 ⇔ −20x + 25 = 0 ⇔ x = 1,25. Fracția algebrică nu are sens pentru x = 1,25, deci mulțimea de definiție este {x ∈ ℝ | x ≠ 1,25 }= ℝ \ {1,25}. Minitest 30 p

1. Valorile lui x pentru care este definit raportul A. {−7; 3};

30 p

x+7 formează mulțimea: −3 + x

B. ℝ \{−7; 3};

C. ℝ \{−7};

2. Valorile lui x pentru care nu este definit raportul A. {−4};

30 p

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

1  B.   ; 4

D. ℝ \{3}.

2x + 8 formează mulțimea: 8x − 2 C. {4};

 1 D. −  .  4

3. Valoarea numerică a fracției algebrice x −2 x + 1 , x∈ℝ\{−1; 1}, pentru x = 2 este: x −1 A. −1; B. 0; C. 1; D. 2. Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Copiați pe caiete tabelul și completați casetele libere, folosind modelul dat.

6 6x

Raportul Mulțimea de definiție Justificare

x x −1

2x − 7 ; x +1

2− x ; −x − 2

x+4 ; 2 x − 4x + 4 5x − 7 . j) 2 x − 25

5+ x este definită pentru x + ax − 16 x∈ ℝ \ {−4, 4}, determinați numărul real a.

3. Știind că expresia

4. Copiați pe caiete tabelul și completați casetele libere, folosind modelul dat.

3+ x x−2

x x+3

x+6 2 x − 10

4x + 5 3 x 2 − 48

x–2=0⇔x=2 Mulțimea valorilor lui x pentru care fracția nu are sens este {2}. 5. Calculați valorile numerice ale expresiilor pentru valorile specificate: 4 pentru x∈{0, 2}; a) x+2 x +1 pentru x∈{−1, 2 , b − 1}, b > 0; b) 2 x +1 x2 − x − 3 , pentru x = − 3. c) 2 x + x−3

x x −1

x +4

x −1 x + 2x + 1 2

6x −1 x 2 − 36

ℝ – {1} x–1≠0⇔x≠1

2. Determinați pentru fiecare raport valorile lui x pentru care acesta este definit: 101 x+5 ; ; a) f) 2 x x +1 x2 + x x−3 ; g) ; b) 3x + 8 −3 x x − 12 7x 4 ; h) ; c) ( x + 1)( x − 2 ) x2 d)

x2 − 4

x3 − x 2 + x . x2 + x + 1 Calculați valoarea numerică a fracției pentru: 1 a) x = –1; b) x = 0; c) x = . 2 5 7. Determinați valorile numerice ale raportului x pentru x = −1 și pentru x = 5 . 6. Se consideră F(x) =

8. Se consideră expresiile algebrice: x3 − 2 x 2 + x x 2 + x − 2 ; ; x 2 − 2 x + 1 x( x + 2) − 3

x2 − 9 x2 − 2 x + 1 ; . x2 − 6x + 9 x2 − 1 a) Descompuneți în factori numitorii fracțiilor. b) Pentru fiecare expresie, determinați numerele reale x pentru care numitorul fracției este 0. c) Pentru fiecare fracție, determinați numerele reale x pentru care aceasta nu are sens. d) Scrieți mulțimea de definiție a fiecărei fracții. 10 . x −x a) Descompuneți în factori expresia x3 – x.

9. Se consideră fracția F ( x) =

b) Determinați valorile numărului x care anulează numitorul fracției algebrice F(x). c) Precizații mulțimea numerelor reale pentru care este definită fracția algebrică F(x). 10. Determinați mulțimea de definiție pentru fracțiile: a)

x+ y ; x + y − 4 x + 6 y + 13

x+ y . xy + 3 x − 2 y − 6

Lecția 2. Amplificarea și simplificarea unei fracții algebrice Ne amintim  A amplifica o fracție cu numărul real nenul m înseamnă a înmulți și numărătorul și numitorul fracției date cu numărul m.  A simplifica o fracție cu numărul real nenul p înseamnă a împărți și numărătorul și numitorul fracției date cu numărul p.

a m ⋅ a , unde a ∈ ℝ, b, m ∈ ℝ∗. = b m⋅b

a(p a : p = , unde a ∈ ℝ, b, p ∈ ℝ∗. b b: p

 Prin amplificarea și prin simplificarea unei fracții se obțin fracții echivalente cu cea inițială. a c  Dacă a, c ∈ ℝ, b, d ∈ ℝ∗, atunci = ⇔ ad =bc . b d Descoperim, înțelegem, exemplificăm G E și , F ≠ 0 și H F H ≠ 0, sunt egale dacă și numai dacă

1 Două fracții algebrice,

E · H = F · G.

Exemplu: Demonstrați că

x x2 + x = , x ∈  \ {−1, 1} . 2 x −1 x −1

Rezolvare: (x2 + x) (x − 1) = x3 − x2 + x2 − x = x3 − x și (x2 − 1) x = x3 − x.

E G = ⇔E·H=F·G F H

x x2 + x Rezultă (x2 + x) (x − 1) = (x2 − 1) x, deci = , 2 x − 1 x − 1 oricare ar fi x ∈ ℝ\{−1, 1}.

Observație: Egalitatea a două fracții algebrice presupune egalitatea valorilor numerice pe domeniul lor comun de definiție. În exemplul de mai sus, intersecția mulțimilor de definiție este mulțimea ℝ − {– 1, 1}. 2 Amplificarea unei fracții algebrice

expresie algebrică G ≠ 0: G)

E cu o F

E E ⋅G = F F ⋅G

E 3 Simplificarea unei fracții algebrice cu o F expresie algebrică G ≠ 0: E (G E : G = F F :G

x Exemplu: Amplificați fracția algebrică , x ≠ 1 cu x −1 expresia algebrică nenulă, x + 1. Rezolvare: x +1)

x ⋅ ( x + 1) x x2 + x = = 2 , x ∈ ℝ \ {–1, 1}. x − 1 ( x − 1) ⋅ ( x + 1) x −1

Exemplu: Simplificați fracția algebrică prin expresia algebrică x + 1. Rezolvare: x ⋅ ( x + 1) x2 + x = 2 x − 1 ( x − 1) ⋅ ( x + 1)

( x +1

x2 + x x2 − 1

, x2 − 1 ≠ 0 ,

x , x ∈ ℝ \ {– 1, 1}. x −1

Observație: Simplificarea unei fracții algebrice impune descopunerea în factori a numărătorului și a numitorului. Amplificarea unei fracții are sens doar pentru acele valori ale variabilei sau ale variabilelor, pentru care atât numitorul fracției amplificate cât și expresia cu care se amplifică aceasta sunt diferite de 0.

Simplificarea unei fracții are sens doar pentru acele valori ale variabilei sau ale variabilelor, pentru care atât numitorul fracției simplificate cât și expresia cu care se simplifică aceasta sunt diferite de 0.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni x −1 x2 − 2 x + 1 și F2(x) = . x +1 x2 − 1 a) Determinați mulțimile de definiție ale fracțiilor F1 (x) și F2 (x). b) Demonstrați că F1(x) = F2(x) oricare ar fi x ∈ ℝ− {−1, 1}. c) Amplificând fracția F1(x) cu expresia algebrică (x − 1), (x − 1) ≠ 0, demonstrați că F1 (x) = F2 (x). d) Simplificând fracția F2(x), demonstrați că F1 (x) = F2 (x). Problemă rezolvată. Se consideră fracțiile algebrice F1(x) =

Rezolvare: a) x + 1 = 0, rezultă x = −1. F1 (x) nu are sens pentru x = −1.

Mulțimea de definiție a fracției F1 (x) este ℝ − {−1}. x2 − 1 = 0, rezultă x = −1 sau x = 1. F2(x) nu are sens pentru x ∈ {−1, 1}. Mulțimea de definiție a fracției F2 (x) este ℝ − {−1, 1}.

b) Problema egalității fracțiilor algebrice F1 (x) și F2 (x) are sens oricare ar fi x din mulțimea comună de definiție. x2 − 2 x + 1 x −1 F1 (x) = F2 (x) ⇔ = oricare ar fi x∈ ℝ − {−1, 1}. x +1 x2 − 1 (1) Calcuăm: (x − 1)(x2 − 1) = x3 − x − x2 +1 = x3 − x2 − x + 1. Calcuăm: (x + 1) (x2 − 2x + 1) = x3 − 2x2 + x + x2 −2x + 1= x3 − x2 − x + 1.

(2)

Din (1) și (2), rezultă (x − 1)(x2 − 1) = (x + 1)(x2 − 2x + 1), adică F1 (x) = F2 (x), oricare ar fi x∈ ℝ \ {−1, 1}. 2

x2 − 2 x + 1 x − 1 ( x − 1)( x − 1) ( x − 1) = c) F1 (x) = = = F2 (x), oricare ar fi x∈ ℝ \ {−1, 1}. = 2 x2 − 1 x + 1 ( x + 1)( x − 1) x −1 d) Din x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 și x2 − 1= (x + 1)(x − 1), rezultă x −1)

x2 − 2 x + 1 ( x − 1) 2 F2 (x)= = x2 − 1 ( x + 1)( x − 1)

( x −1

x −1 = F1 (x), oricare ar fi x ∈ ℝ − {−1, 1}. x +1

În concluzie, F1 (x) = F2 (x), oricare ar fi x ∈ ℝ − {−1, 1}. Minitest 30 p

1. Amplificând cu x, x ≠ 0, fracția algebrică A.

30 p

2x ; 3 xy

2 x2 ; 3y

B. 7;

3. Fie x ∈ ℝ\{−5; 5}. Simplificând fracția A.

x+5 ; x−5

5 ; x+5

2x , se obține: 3y

2. Pentru a obține numitorul 3x + 21, fracția A. 3;

30 p

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

2 x2 ; 3 xy

3x . x + 3y

x+3 , x ∈ ℝ\{−7} se amplifică cu: x+7 C. 21; D. 14.

5 x + 25 , se obține: x 2 − 25 x−5 C. ; x+5

5 . x−5

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm Observație: Toate exercițiile propuse se rezolvă pe domeniul de existență a fracțiilor algebrice date, iar expresiile algebrice cu care se amplifică sau se simplifică se consideră nenule. 1. Amplificați: x2 , cu 2x; a) x −1

2x + 3 , cu x – 1. x+2

2. Amplificați:

x ; 2x + 1 x −1 ; b) cu x + 1, raportul x +1 x c) cu 5, raportul ; 2x + 1 x −1 d) cu x − 1, raportul . x +1 3. Amplificați cu x + 3 următoarele fracții algebrice: 7 1− x a) 2 ; c) 2 ; x x − 3x x−3 x b) ; d) 2 . x − 3x + 9 x +1 4. Aduceți la același numitor fracțiile: 1 1 3 5 1 a) , 2 ; c) , ; 2 , 9x 12x 18x x x a) cu 4, raportul

6. a) Descompuneți în factori expresiile: x2 + x, x2 − x și x3 − x. b) Simplificați rapoartele: x2 + x x2 − x x3 − x , și . x 2 − x x3 − x x2 + x 7. Simplificați rapoartele: a2 − 4 24 a) ; d) 2 ; a − 4a + 4 8 x − 16 2 x2 − 6 x ; b) 4 x − 12 c)

y 2 − 10 y + 25 ; y 2 − 25

e) f)

( 2b − 3)2 − b2 3b 2 − 9b

;

6 x2 + x − 1 . 2x + 1

8. Demonstrați că F1(x) și F2(x) sunt egale pe domeniul lor comun de definiție, pentru fiecare dintre cazurile: 7x 14 x 2 − 7 x și F2(x) = ; a) F1(x) = 12 x − 6 6

a 5b c , , . 2 3 8 x y 6 xy 3 x3 5. Simplificați următoarele rapoarte:

b) F1(x) =

6x2 + x − 1 3x − 1 și F2(x) = ; 2 4 x + 8x + 3 2x + 3

c) F1(x) =

2x2 5x 2 y −3ab 2 c3 x −1 b) . ; ; c) ; d) 3 3 3 2 1− x x xy 15a b c

x2 − 5x + 6 x−3 și F2 (x) = ; 2 x + x−6 x+3

d) F1 (x) =

x2 + 1 x3 − 2 x 2 + x − 2 și F2(x) = 2 . x + 2x − 3 x3 − 7 x + 6

3 −4 , ; 2 y 3y

Lecția 3. Operații cu fracții algebrice Fracțiile algebrice sunt rapoarte de numere reale reprezentate prin litere. Prin urmare, operațiile cu fracții algebrice (adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, ridicarea la putere) se efectuează respectând regulile de calcul cu numere reale. Rezolvăm și observăm 1. Amplificați fracțiile:

E2 ( x) E3 ( x) E ( x) , , 2 4 astfel încât toate acestea să aibă la numitor 2 x + 1 x − 1 ( x − 1) ( x + 1)( x − 1) E1 ( x) 2

expresia algebrică (x2 + 1)(x – 1)2.

Rezolvare: ( x −1)2

) E1 ( x)

( x − 1) 2 ⋅ E1 ( x) ; ( x + 1)( x −1) ) E2 ( x) ( x 2 + 1)( x − 1) ⋅ E2 ( x) ; = = x− 1 x 2 + 1 ( x 2 + 1)( x − 1) 2 ( x 2 + 1)( x − 1) 2

) E3 ( x)

x2 + 1

( x − 1)

= 2

( x 2 + 1) ⋅ E3 ( x) ; 2

( x + 1)( x − 1)

x −1) 2

E4 ( x )

( x + 1)( x − 1)

( x − 1) ⋅ E4 ( x) .

( x 2 + 1)( x − 1) 2

2. a) Descompuneți în factori primi numerele naturale 132 și 198, apoi determinați cel mai mic multiplu comun al lor. 1 5 b) Aduceți fracțiile și la același 132 198 numitor.

3. a) Descompuneți în factori expresiile algebrice x4 − x2 și x4 + x3 − x2 − x. 1 5 b) Aduceți fracțiile 4 2 și 4 3 x −x x + x − x2 − x la același numitor.

Rezolvare: a) 132 = 22 · 3· 11 198 = 2 · 32· 11

Rezolvare: a) x4 − x2 = x2(x + 1)(x − 1). x4 + x3 − x2 − x = x2(x2 − 1) + x (x2 − 1) =

Cel mai mic multiplu comun este 22 · 32· 11 = 396 (produsul factorilor primi comuni și necomuni, luați o singură dată, la puterea cea mai mare). b)

= (x2 − 1)(x2 + x) = x( x + 1)2(x − 1). b) Un numitor comun este x2(x + 1)2 (x − 1) (produsul factorilor comuni și necomuni, luați o singură dată, la puterea cea mai mare).

1 3 ; = 132 396

x +1) 1 1 x +1 = = 4 2 2 2 x −x x ( x + 1)( x − 1) x ( x + 1)2 ( x − 1)

5 10 . = 198 396

x) 5 5 = = 4 3 2 2 x + x − x − x −1 x ( x + 1) ( x − 1)

= Concluzie: Descompunerea în factori primi a numitorilor unor fracții ordinare ne ajută să aducem fracțiile ordinare la același numitor.

5x 2

x ( x + 1) ( x − 1) 2

Descompunerea în factori a numitorilor unei fracții algebrice ne ajută să aducem fracțiile algebrice la același numitor.

Descoperim, înțelegem, exemplificăm  Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice care au același numitor Dacă A, B, P sunt expresii algebrice cu P ≠ 0, atunci:

A B A− B A B A+ B și − = . + = P P P P P P

Exemplu: Determinați mulțimea comună de definiție a fracțiilor și calculați

x 2x + 1 5− x − + . x −1 x −1 x −1

Rezolvare: Mulțimea comună de definiție a celor trei fracții algebrice este {x∈ℝ| x – 1 ≠ 0}= ℝ\{1}.

x 2x + 1 5− x (2 x + 1) + x − (5 − x) 2 x + 1 + x − 5 + x 4 x − 4 4 ( x − 1) = + − = = 4. = = x −1 x −1 x −1 x −1 x −1 x −1 x −1

 Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice care nu au același numitor A B Q ) A P ) B AQ + BP + = . Dacă A, B, P, Q sunt expresii algebrice cu P ≠ 0, Q ≠ 0, atunci: + = P Q P Q PQ Exemplu: Determinați mulțimea comună de definiție a fracțiilor și calculați

1 1 1 + 2 . + 3 2 x x + x x − x2

Rezolvare: Mulțimea comună de definiție a celor trei fracții algebrice este {x ∈ ℝ| x ≠ 0, x + 1 ≠ 0 și x – 1 ≠ 0} = ℝ\{– 1, 0, 1}. Descompunem numitorii în factori: x2 + x = x(x + 1) și x3 − x2 = x2(x − 1). Identificăm numitorul comun și aducem fracțiile la același numitor: x2(x + 1)(x − 1) = x2(x2 − 1); x 2 −1)

x +1) 1 x ( x −1)) 1 1 x2 − 1 x( x − 1) x +1 + + = + 2 + 2 = 2 2 2 2 + x x ( 1) x x ( x − 1) x ( x − 1) x ( x + 1)( x − 1) x ( x − 1)( x + 1)

2 x2 x2 − 1 + x2 − x + x + 1 = = x 2 ( x 2 − 1) x 2 ( x 2 − 1)

( x2

2 . x −1 2

1 1 1 2 + 2 , oricare ar fi x ∈ ℝ\{– 1, 0, 1}. + 3 = 2 2 2 x x +x x −x x −1  Înmulțirea fracțiilor algebrice A B A⋅ B Dacă A, B, P, Q sunt expresii algebrice cu P ≠ 0, Q ≠ 0, atunci: ⋅ = . P Q P ⋅Q B A B A⋅ B . Pentru cazul particular P = 1, A ⋅ = ⋅ = Q 1 Q Q x x2 − 1 3x 2 + 1 ⋅ , x + 2 ≠ 0 și 5x – 5 ≠ 0; b) 3 Exemplu: Calculați: a) ⋅ (2 x 2 − 3) , 2x3 – 3x ≠ 0. x + 2 5x − 5 2 x − 3x Rezolvare: ( x + 1) ⋅ ( x − 1) ⋅ x ( x + 1) ⋅ x x x2 + x x2 − 1 ( x 2 − 1) ⋅ x = ⋅ = a) , oricare ar fi x ∈ ℝ\{– 2, 1}. = = x + 2 5 x − 5 ( x + 2)(5 x − 5) ( x + 2) ⋅ 5 ⋅ ( x − 1) ( x + 2) ⋅ 5 5 x + 10 În concluzie,

(2 x 2 − 3) 3 x 2 + 1 3x 2 + 1 3x 2 + 1  3 2 ⋅ (2 x − 3) = ⋅ = , oricare ar fi x ∈  \ − , 0, 3 1 x 2 x − 3x x (2 x 2 − 3)  2

3  . 2 

Observație: După efectuarea calculelor, dacă este posibil, fracția obținută se simplifică. Se pot face simplificări ale fracțiilor cu condiția ca expresia prin care se simplifică să fie factor comun atât pentru unul dintre numărătorii fracțiilor cât și pentru unul dintre numitorii fracțiilor care se înmulțesc.  Ridicarea unei fracții algebrice la o putere cu exponent întreg Dacă n este un număr natural, n ≥ 1 și A, P sunt expresii algebrice cu P ≠ 0, atunci: A  A   = și P P 1

 A . Dacă, în plus, A ≠ 0, atunci:   P

−n

P A =   , iar   = 1 . A   P 0

 x −1  Exemplu: Calculați:   , x + 1 ≠ 0.  x +1 3 3 ( x − 1) ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x − 1) ( x − 1) 2 ⋅ ( x − 1) ( x 2 − 2 x + 1) ⋅ ( x − 1)  x − 1  ( x − 1) = = Rezolvare:  = = =  3 ( x + 1) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x + 1) ( x + 1) 2 ⋅ ( x + 1) ( x 2 + 2 x + 1) ⋅ ( x + 1)  x + 1  ( x + 1) =

x3 − x 2 − 2 x 2 + 2 x + x − 1 x3 − 3 x 2 + 3 x − 1 = , oricare ar fi x∈ ℝ\{– 1}. x3 + x 2 + 2 x 2 + 2 x + x + 1 x3 + 3 x 2 + 3 x + 1

 Împărțirea fracțiilor algebrice Se consideră expresiile algebrice P, Q, R, S cu Q ≠ 0, R ≠ 0, S ≠ 0. R S • Inversa fracției este fracția . S R R P P R P S • A împărți fracția înseamnă a înmulți prima fracție cu inversa celei de-a doua. la fracția : = ⋅ . S Q Q S Q R x 2 − 16 x − 4 : , x ≠ 0 și x – 4 ≠ 0 . 3x x2 ( x + 4) ( x − 4) 3x 3 x( x + 4) ( x 3( x + 4) x 2 − 16 x − 4 x 2 − 16 3 x ⋅ = ⋅ = = = : . Rezolvare: = 3x x−4 x x−4 x2 x2 x2 x2 Exemplu: Calculați:

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Ordinea efectuării operaților și folosirea parantezelor în calcule cu fracții algebrice sunt similare celor învățate la operații cu numere reale. Aplicație. Se consideră expresia E(x, y) =

x 2 + xy  x y  ⋅ −  , x, y ∈ℝ, x ≠ y, x ≠ −y. 2 2  x + y  x− y x+ y

x , pentru orice pereche de numere reale (x, y) cu x ≠ y, x ≠ −y. x− y b) Calculați valoarea numerică a expresiei pentru x = 2 și y = 2 . a) Demonstrați că E(x, y) =

Rezolvare: a) 2

x− y )  x 2 + xy xy − y 2 x 2 + xy  x + y x y  x 2 + xy  ⋅ − ⋅ − =    = 2 2 2 2  x− y x + y  x + y  ( x − y )( x + y ) ( x − y )( x + y )  x +y 

(

x 2 + xy x + xy − xy − y = ⋅ ( x − y )( x + y ) x2 + y 2

)= x( x + y ) x + xy − xy + y ⋅ = 2

x +y 2

( x − y) ( x + y)

x +y 2

⋅

x2 + y 2

( x − y)

x . x− y

x , pentru orice pereche de numere reale (x, y) cu x ≠ y și x ≠ −y. x− y 2 . b) E(2, 2 ) = 2− 2 Comentariu: Se recomandă ca rezultatul să fie prezentat sub forma unei fracții cu numitorul exprimat printr-un E(x, y) =

)

(

)

2 2+ 2 2 = = 2+ 2 . 4−2 2− 2 Observație: Valoarea numerică a expresiei se poate calcula și folosind forma inițială a expresiei algebrice, efec tuând, după înlocuire, calculele necesare. Această variantă este, de multe ori, mult mai laborioasă.

număr rațional. Prin urmare, E(2,

2)=

2+ 2

Pentru E(x, y), dată mai sus, valoarea numerică E(2, 2 ) se poate calcula și astfel:   2− 2 )   22 + 2 2  2+ 2 ) 2 2  2 2+ 2  2 2+ 2 − 2 2− 2  ⋅ − E(2, 2 ) = = ⋅ = 2  2 2 6 2− 2 2 + 2     22 + 2 − 2 2     2+ 2  4+ 2 2 − 2 2 +2 6 2+ 2 = = 2+ 2 . = ⋅   3⋅ 2 3 2  

( )

(

)

) (

)

( ( )

)

Minitest

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect. 3 − 2x 2 și , x ≠ 0, este: x2 x 3 −2x B. 2 ; C. ; x x2

30 p

1. Suma fracțiilor algebrice

30 p

5 − 2x ; x2 x − 2 2x , x ∈ ℝ\{−2; 0; 2}, se obține: 2. Calculând ⋅ x x2 − 4 2 2 2 x2 A. ; B. ; C. 3 ; x+2 x−2 x − 4x A.

30 p

5 − 2x . x + x2

−4 x . x − 4x

4x + 3 . 3x

x + 1 4x + 4  1  3. Rezultatul calculului +   , unde x ∈ ℝ \ {−1; 0; 1}, este: : x − 1 3x − 3  x  3x + 4 4 x2 + 3 3x 2 + 4 ; A. B. ; C. ; 4x 3x 2 4x2

Notă: Timp de lucru: 15minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Efectuați calculele, pe domeniul de definiție. x 3x y 5y a) + ; d) − ; 5 5 4 4 x 3− x y 2 b) + ; e) − ; 7 7 y−2 y−2 c)

x + 2 x −1 + ; x x

−2 y 6 − 2y . − 2 2 y +4 y +4

2. Calculați, pe domeniul de definiție, apoi simplificați fracția algebrică rezultată: x2 2x 1 − 2 + 2 ; a) 2 x −1 x −1 x −1

ax + a bx + b − ; a −b a −b 11x 7x 2x c) − 2 − . 2 6 x − xy 6 x − xy xy − 6 x 2

3. Aduceți la același numitor perechile de fracții algebrice, pe domeniul comun de definiție: 3 1 a) E(x) = , F(x) = ; 2x 5x x +1 1 , F(x) = 2 ; b) E(x) = 3x 6x c) E(x) =

1 1 , F(x) = . 2x −1 2x + 1

4. Calculați E(x) + F(x) și E(x) − F(x) pentru fiecare din subpunctele exercițiului 3. 5. Efectuați calculele: −2 x 1 a) ; + − 2 x − 2 x + 2 x − 4x + 4 x2 x2 + 2 4 − ; b) + 2 2x + 4 x + 2x 2x x 2− x 4x − 4 − . c) + 2− x x ( x − 1) 2 − 1 6. Se consideră expresia algebrică 1 1 1 E ( x) = − + . 2 x − 3 4 x − 6 12 − 8 x a) Determinați mulțimea de definiție a expresiei algebrice E(x). b) Aduceți expresia E(x) la o formă cât mai simplă. 7. Stabiliți, pentru fiecare din fracțiile date, domeniul de definiție, apoi calculați puterile indicate. 2

x a)   ; 4

−1

 2ab  c)   ;  13c 

 x−2 e)   ;  2x 

3 −2  3a  2   2  x b)  −  ; d) −  −  ; f)    .  x + 1    y  y

8. Efectuați înmulțirile pe domeniile de existență ale fracțiilor corespunzătoare: 5 x x +1 3 x+2 a) · ; e) · · ; 3 y x + 2 x + 1 −6 b)

x  3 · − ; 10  x 

ax + ay x − 4 · ; x2 − 4 x x + y

 1 + x 1 + 2 x  10 x − E(x) =  , x ∈ ℝ, x ≠ −3, x ≠ 0. · 5x  x + 3  2x Demonstrați că E(x) = 1, pentru orice număr real x, x ≠ −3 și x ≠ 0. 14. Se consideră expresia

x2 − 4 x − 1 g) 2 ; ⋅ x − 1 x2 + 2 x

2 y 6x · ; c) 3x 7 y

13. Se consideră expresia

 x2 − x + 4 x − 2 1  x2 + 2x − 8  = − + E ( x)  2 , x ∈  \ −2, −  ⋅ x+2 x−2 4x + 2   x −4 x2 y3 x +1 x − 2 2 2 d) − · ;  x − x +h)4 2x − 2⋅ 2 1 ·(−x x )+. 2 x − 8 1   y= −x − 4 +x + x  ⋅ Ex( x)  2 , x ∈  \ −2, − , 2  . x+2 x−2 4x + 2 2  4   xpe−domeniile 9. Efectuați împărțirile de existență ale a) Descompuneți în factori x 2 + 2 x − 8 . fracțiilor corespunzătoare: 2 3 2 6a b 2a b x 4 x+4 a) − : ; c) : ; . b) Demonstrați că E ( x) = 66c 11c 2 y 3 x+2 8x 6x x3 − 9 x x + 3 15. Fie expresia : ; d) : . b) 3 x + 6 5 x + 10 −3 x 2x  1 + x2 1 − x2   1 + x 1 − x  − − E(x) =  . 2 2  : 10. Calculați pe domeniile de existență ale fracțiilor 1− x 1+ x   1− x 1+ x  corespunzătoare, respectând ordinea efectuării a) Determinați mulțimea D, domeniul de existență operațiilor: a expresiei E(x). a)

x2 − 1 4x − 4 : ; x 2 + 1 x3 + x −1

x c)   6 −1

x x  b)   :  x −  ; 4 2    

−2

x  : x −  3 

−2

;

−2

x−2  x−2 ⋅  . 2  2 

11. Efectuați calculele pe domeniile de existență ale fracțiilor corespunzătoare, respectând ordinea efectuării operațiilor: 2 6−a a 3 a + a)  −  ⋅ 2 ; 3  3 a  a −9 2   1 (a − 3) 2 − 1 ; − b)   ⋅  a −1 a − 2  a  a  a3 + a 1 2 2a c)  ; + + 2 − : 2  a − 1 a + 1 a − 1 (a − 1)(a + 1)  a − 1 4ab b 2ab     a + b: − − 2 d)  a − . a+b    a + b b − a a − b2  2x x2 − 1 12. Fie expresiile A(x) = 2 și B(x) = − 2 , x∈ℝ. x +1 x +1 Demonstrați că: a) B(x) = 1 − x ·A(x), oricare ar fi x ∈ ℝ; b) [A(x)]2 + [B(x)]2 = 1, oricare ar fi x ∈ ℝ.

b) Aduceți expresia la o formă mai simplă. 1 c) Demonstrați că E(x) < , oricare ar fi x ∈ D. 2 16. Se consideră expresia

1 x +1 1  x2 − 1  2x + 2 − 2 + ⋅ 2 F(x) =  2 .  x −1 x + x x − x x  2x − x − 3 a) Determinați M, mulțimea valorilor numărului real x pentru care este definită expresia F(x). b) Aduceți expresia la o formă mai simplă. c) Demonstrați că F(a) nu poate fi număr întreg pentru nicio valoare a ∈ M ∩ ℤ. 17. Se consideră expresia 2 2x + 9  8  5 E(x) =  + + 2 , : 2 + − 2 x 3 3 2 x 4 x − 9  4 x + 12 x + 9  x ∈ ℤ. a) Aduceți expresia la o formă cât mai simplă. b) Demonstrați că numărul 1 + 2 · [E(0) + E(1) + ... + E(18)] este pătrat perfect.

c) Rezolvați ecuația E ( x)= 2 ⋅ [ E ( x) ] .

2.5. ECUAȚII DE FORMA ax2 + bx + c = 0, unde a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0

Lecția 1. Rezolvarea ecuației de gradul al doilea, folosind formule de calcul prescurtat Ne amintim Rezolvarea ecuației de forma x2 = a, cu a ∈ ℝ  Dacă a > 0, ecuația x2 = a se poate scrie x = a , egalitate care

Exemplu: Ecuația x2 = 15 are soluțiile x1 = 15 și x2 = − 15 , deci

are loc dacă și numai dacă x = a sau x = − a . Mulțimea soluțiilor ecuației este S = − a , a .

{

}

{− 15, 15} .

 Dacă a = 0, ecuația devine x2 = 0 și are doar soluția x = 0, iar mulțimea soluțiilor este S = {0}.  Dacă a < 0, ecuația x2 = a nu are nicio soluție număr real, 2 2 pentru că x ≥ 0 și a < 0, deci x ≠ a , oricare ar fi numărul real x. Mulțimea soluțiilor ecuației este S = ∅.

Exemplu: Ecuația x2 = – 16 nu are nicio soluție în mulțimea numerelor reale, deci S = ∅.

Rezolvăm și observăm Problemă. O piscină are forma dreptunghiulară, cu lungimea de 7 m și lățimea de 3 m. Aceasta este înconjurată de o alee cu lățimea de x metri. Se notează cu A(x) aria suprafeței terenului ocupat de piscină și alee, exprimată în metri pătrați. a) Calculați A(x) în două moduri și deduceți egalitatea (2x + 3)(2x + 7) = 4x2 + 20x + 21. b) Știind că întregul teren are o suprafață de 77 m², calculați lățimea aleii. x x

Rezolvare: a) Terenul total este o suprafața dreptunghiulară, care are lățimea de (2x + 3) m și lungimea de (2x + 7) m. Rezultă A(x) = (2x + 3)(2x + 7). (1) Aceeași suprafață este reuniunea a patru suprafețe pătratice și cinci suprafețe dreptunghiulare. Rezultă A(x) = 4 · x2 + 2 · 7x + 2 · 3x + 21 = 4x2 + 20x + 21 (2) Din (1) și (2), rezultă 4x2 + 20x + 21 = (2x + 3)(2x + 7).

x 3 x

b) Deoarece A(x) = 4x2 +20x + 21, egalitatea A(x) = 77 devine 4x2 + 20x − 56 = 0, cu x > 0. Problema se reformulează astfel: „Rezolvați, în numere reale pozitive, ecuația 4x2 + 20x − 56 = 0.” 4x2 + 20x − 56 = 0 ⇔ x2 + 5x − 14 = 0 ⇔ (x − 2)(x + 7) = 0 ⇔ x − 2 = 0 sau x + 7 = 0 ⇔ x = 2 sau x = −7. Deoarece x reprezintă lățimea aleii, rezultă x > 0, deci aleea are lățimea de 2 m. Descoperim, înțelegem, exemplificăm Definiție. O ecuație de forma ax2 + bx + c = 0, unde a, b și c sunt numere reale date, a ≠ 0, se numește ecuație de gradul al doilea cu necunoscuta x.

Ecuația

Numerele a, b și c sunt coeficienții ecuației.

x2 + 2x = 0 −2x2 −7 = 0

x 2 − 3x +

Coeficienții 5 = 0 2

a = 1; b = − 3 ; c =

5 . 2

a = 1; b = 2; c = 0. a = −2; b = 0; c = −7.

 Un număr real care, atribuit necunoscutei x, verifică egalitatea ax2 + bx + c = 0 se numește soluție a ecuației.  A rezolva o ecuație înseamnă a parcurge pașii necesari determinării tuturor soluțiilor ei.  Mulțimea valorilor reale ale necunoscutei x care verifică ecuația se numește mulțimea soluțiilor ecuației, notată, de regulă, cu S.

Exemple: Pentru ecuația x2 + 3x = 0 și numărul real −3, are loc egalitatea (−3)2 + 3(−3) = 0, deci −3 este soluție a ecuației x2 + 3x = 0. x2 + 3x = 0 ⇔ x(x + 3) = 0 ⇔ x = 0 sau x + 3 = 0, deci S = {−3, 0}. Mulțimea soluțiilor ecuației x2 + 3x = 0 este S = {−3, 0}.

În forma generală a ecuației de gradul al doilea, ax2 + bx + c = 0, condiția a ≠ 0 este esențială. 1. Pentru b = 0 sau c = 0, identificăm cazurile particulare: ax2 + c = 0 și ax2 + bx = 0. a) Pentru a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0, b = 0, ecuația devine ax2 + c = 0. Rezolvarea ecuației ax2 + c = 0, unde a, c ∈ ℝ, a ≠ 0

c ax2 + c = 0 ⇔ ax2 = −c ⇔ x2 = − . a c Dacă − < 0 , cum x2 ≥ 0, ecuația nu are soluții în mulțimea numerelor reale. a c c c c c c 2 Dacă − ≥ 0 , atunci x2 = − ⇔ x = − ⇔ |x| = − de unde x = − sau x =− − , deci a a a a a a c  S = − − , a 

c  − . a 

Exemple:  2x2 + 4 = 0 ⇔ 2x2 = − 4 | :2 ⇔ x2 = −2. Cum −2 < 0 și x2 ≥ 0, rezultă S = ∅.  3x2 − 12 = 0 ⇔ 3x2 = 12 | : 3 ⇔ x2 = 4 ⇔ |x| = 2 și S = {−2, 2}. b) Pentru a, b, c ∈ ℝ a ≠ 0, c= 0, ecuația devine ax2 + bx = 0. Rezolvarea ecuației ax2 + bx = 0 (a, b ∈ ℝ, a ≠ 0)

b  ax2 + bx = 0 ⇔ x · (ax + b) = 0 ⇔ x = 0 sau ax + b = 0. Rezultă S = 0, −  . a  Exemplu:  − 2 x2 + 2x = 0 ⇔ − 2 x(x −

2 ) = 0 ⇔ x = 0 sau x − 2 = 0. Rezultă S = {0,

2 }.

2. Rezolvarea ecuației ax2 + bx + c = 0, unde a ∈ ℝ*, b, c ∈ ℝ, folosind formule de calcul prescurtat.

Cu ajutorul formulelor de calcul prescurtat, orice ecuație de gradul al doilea se poate aduce la una dintre formele anterioare. În general, putem rezolva ecuația ax2 + bx + c = 0, unde a ∈ ℝ*, b, c ∈ ℝ, parcurgând etapele:

Pasul 1. Împărțim ambii membri ai ecuației cu numărul nenul a și scriem ecuația echivalentă obținută. bx c + = 0 , a ≠ 0. ax2 + bx + c = 0 | : a, a ≠ 0 ⇔ x2 + a a bx ca diferență de pătrate și scriem ecuația echivalentă obținută. Pasul 2. Scriem expresia x2 + a 2 2 2 b   b 2 b  bx bx c c b   b   2 2 2 x + = x + 2·x· = x + −   . Ecuația x + + = 0 devine  x + −  + = 0.   2a  a a a 2a   2a  2a   2a  a  2

b  b 2 − 4ac  = 0. Pasul 3. Scriem ecuația sub forma  x +  − 2a  4a 2 

(*)

Pasul 4. Rezolvăm ecuația (*), folosind algoritmul 1. a). Sunt posibile situațiile: b 2 − 4ac Dacă b2 – 4ac < 0, atunci < 0 , ecuația nu are soluții și S = ∅. 4a 2 2

b b  b 2 − 4ac   −b  Dacă b – 4ac = 0, = 0 , ecuația devine  x +  = 0 și are soluția x = − , deci S =   . 2 2a  2a 4a   2a  2

Dacă b2 – 4ac > 0,

b 2 − 4ac b >0 , x+ = 2 4a 2a

2 2   −b − b − 4ac −b + b − 4ac   S = , . 2 a 2 a    

b b 2 − 4ac b 2 − 4ac − x + sau = și obținem 4a 2 4a 2 2a Atenție! Ecuația de forma ax2 + bx + c = 0 are soluții reale doar dacă b2 – 4ac ≥ 0.

−b − ∆ −b + ∆ și x2 = , mulțimea soluțiilor fiind Dacă notăm b2 − 4ac = ∆ (delta), se deduc formulele: x1 = 2a 2 a  −b − ∆ −b + ∆     −b  ,  , dacă ∆ > 0. S =   , dacă ∆ = 0 și S =  2a    2a   2a  Pasul 4′. Pasul 4. poate fi inlocuit cu: Analizăm posibilitatea descompunerii în factori de gradul I a expresiei din membrul stâng al ecuației (*). • Dacă expresia nu se poate descompune în factori de gradul I, atunci ecuația nu are nicio soluție reală. • Dacă expresia se descompune în factori de gradul I, atunci soluțiile ecuației date sunt soluțiile ecuațiilor de gradul I, corespunzătoare factorilor descompunerii. Știm să aplicăm, identificăm conexiuni 1. Rezolvați ecuațiile, folosind formule de calcul prescurtat: a) x2 − x + 1 = 0; b) 4x2 + 4x + 1 = 0; c) 2x2 – 6x + 2,5 = 0. 2

1 1 3 1 3 1 3   Rezolvare: a) x2 − x + 1 = 0 ⇔ x 2 − 2 ⋅ ⋅ x + + = 0 ⇔  x −  + = 0 ⇔  x −  = − . 2 4 4 2 4 2 4   2

1 3  3 Suntem în cazul 1. a), cu c = . Cum  x −  ≥ 0, iar − < 0, oricare ar fi x ∈ ℝ, rezultă că ecuația nu are soluții 2 4  4 reale, deci S = ∅.  1 2 b) 4x2 + 4x + 1 = 0 ⇔ ( 2 x ) + 2 ⋅ 2 x ⋅ 1 + 12 =0 ⇔ ( 2 x + 1)2 = 0 ⇔ 2x + 1 = 0 , adică S = −  .  2 2

1 9 3 c) 2x – 6x + 2,5 = 0 | : 2 ⇔ x – 3x + 1,25 = 0 ⇔ x − 2 ⋅ ⋅ 3 x + − 1 = 0 ⇔  x −  − 1 = 0⇔ 2 2 4  5  1  3 3  ⇔  x − − 1 0 . Un produs este egal cu 0 dacă și numai dacă cel puțin unul x − + 1 = 0 ⇔  x −  x −  =  2  2 2  2    5 1 din factori este egal cu 0. Se obțin două soluții reale, și anume x = , respectiv x = . 2 2 1 5  Mulțimea soluțiilor ecuației este S =  ,  . 2 2  În numeroase cazuri, este mai eficient ca expresia ax2 + bx + c = 0 să se descompună în factori de gradul I, folosind artificii de calcul și gruparea termenilor. 2

Aplicația 1 a) Rezolvați ecuația x2 + (a + b)x + ab = 0, folosind descompunerea în factori, prin gruparea termenilor. b) Rezolvați în același mod ecuația x2 − 5x + 6 = 0.

Rezolvare: a) x2 + (a + b)x + ab = 0 ⇔ x2 + ax + bx + ab = 0 ⇔ (x2 + ax) + (bx + ab) = 0 ⇔ x (x + a) + b(x + a) = 0 ⇔ ⇔ (x + a)(x + b) = 0 cu soluțiile x = –a și x = –b, deci S = {–a, –b}. b) x2 − 5x + 6 = 0 ⇔ x 2 − 2 x − 3 x + 6 = 0 ⇔ ( x − 2)( x − 3) = 0 cu x1 = 2 și x2 = 3, 0 ⇔ x( x − 2) − 3( x − 2) = deci S = {2, 3}.  Pentru rezolvarea unor ecuații este util ca acestea să fie aduse la forma generală a ecuației de gradul al doilea, prin transformări echivalente. 3 Aplicația 2. Rezolvați ecuația + x + 4 = 0 , x ≠ 0. x 3 0 |· x, x ≠ 0 ⇔ x2 + 4x + 3 = 0, x ≠ 0 ⇔ x2 + 2 · 2 · x + 22 – 1 = 0, x ≠ 0 ⇔ Rezolvare: + x + 4 = x ⇔ (x + 2)2 – 1 = 0, x ≠ 0 ⇔ (x + 2 – 1)(x + 2 + 1) = 0 ⇔ (x + 1)(x + 3) = 0, x ≠ 0 ⇔ x = −1 sau x = −3. Cum ambele valori sunt nenule, rezultă că mulțimea soluțiilor ecuației este S = {−3, −1}. Minitest 30 p

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

1. Ecuația 2x2 + 7x − m2 = 0 admite soluția x = −4 pentru: A. m ∈ {−2, 2};

30 p

B. m = −2;

D. m ∈{−4, 4}.

C. {2, 6};

D. {−6, −2}.

2. Mulțimea soluțiilor ecuației x2 + 4x −12 = 0 este: A. {−2, 6};

30 p

C. m = 2;

B. {−6, 2};

3. Mulțimea soluțiilor ecuației (x − 3)2 + (x − 3) = 0 este: A. S = {0, 3};

B. S = {3, 4};

C. S = {3, 6};

D. S = {2, 3}.

Notă: Timp de lucru: 15minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Copiați pe caiete și completați fiecare linie a tabelului de mai jos cu coeficienții ecuației corespunzătoare. ax2 + bx + c = 0 − 3x2 − 5x + 0,4 = 0

a) 16t2 + 1 = 0;

c) –16(1– t)2 – 25 = 0;

b) (1– t)2 – 1 = 0;

d) 32 – 2(4t + 3)2 = 0.

4. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuațiile:

1 2 5 x +x− =0 2 3 2 4x − 8x = 0 − 3 x2 + 4 = 0 4x2 = 0 2. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuațiile:

3. Rezolvați ecuațiile:

a) 3x2 = 12;

e) x2 – 6x = 0;

b) 2x2 – 6 = 0;

f) 2x2 + x = 0;

c) – x2 + 5 = 0;

g) – 6x2 + 4x = 0;

d) x2 + 4 = 0;

h) – 3x2 = 0.

a) x2 + 4x + 3 = 0;

f) x2 – 6x + 9 = 0;

b) x2 – 6x + 8 = 0;

g) x2 + 10x + 25 = 0;

c) x2 + 4x + 5 = 0;

h) 4x2 – 12x + 9 = 0;

d) 2x2 + 5x + 3 = 0;

i) 9x2 + 6x + 1 = 0;

e) 3x2 – 10x + 7 = 0;

j) x2 – 2 5 x + 6 = 0.

5. Rezolvați ecuațiile: a) − 3 x2 + 27 x = 0; d) (1– x)2 – 4(1– x) = 0; b) x2 – 4x = 0;

e) 2(t – 2)2 – t + 2= 0;

c) 3t2 + 6 18 t = 0;

f) – 2x + 3 – 2(2x – 3)2 = 0.

6. Stabiliți care dintre ecuații au soluții reale: a) 3x2 + 5x + 4 = 0;

c) 9x2 – 3x – 2 = 0;

b) 2x2 + 7x + 5 = 0;

d) x2 + 20x + 101 = 0.

8. Aduceți ecuațiile la forma ax2 + bx + c = 0, apoi rezolvați-le:

7. Rezolvați în mulțimea numerelor reale: a) 2x2 + 9x + 10 = 0; f) x 2 + x ⋅ ( 2 + 3) + 6 = 0; b) x2 – 5x + 4 = 0;

g) (x + 2)2 + 3x + 6 = 0;

c) 2 x 2 + x 7 − 7 = 0; h) x2 + 2x + m = 0, |m| = 3; 0; d) –3x2 – x + 2 = 0; i) x 2 10 − 7 x + 10 = x −1 5 1 1 e) j) x 2 + x − = 0. = ; x −1 6 6 5

a) x(x + 3) = 4;

b) (2x – 1) (– x + 3) = – 7;

c) (x – 3)2 = 2(x + 1);

d) (3x + 1)2 = (– x + 3)2;

e) – 2 x(x + 3) = 6 + x;

f) (5 x + 7)( 7 − 5 x) = −24 x 2 .

9. Rezolvați ecuația E(x) = 0, pentru: 1 a) E(x) = x2 − x + ; 4 b) E(x) = 4x2 + 20x + 25; c) E(x) = 3x2 + 8x + 4; d) E(x) = 9x2 + 12x + 25.

Lecția 2. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor de forma ax2 + bx + c = 0, unde a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0 Rezolvăm și observăm

Ecuația de gradul al doilea este un instrument de calcul indispensabil multor discipline importane în explorarea cunoașterii umane. Problema 1. Doi cicliști pornesc în același moment, unul către celălalt, din localitățile A și B și se deplasează dus-întors, pe șoseaua AB cu viteze constante, dar diferite. Cicliștii se întâlnesc prima dată la 6 km de localitatea B. La întoarcere, se întâlnesc la 4,5 km de localitatea A. Considerăm x distanța dintre cele două localități. Notăm d11, respectiv d21 distanța parcursă de primul, respectiv al doilea ciclist, până la prima întâlnire, iar cu d12, respectiv d22 distanța parcursă de primul, respectiv al doilea ciclist, până la a doua întâlnire. a) Demonstrați că d11 și d12 sunt direct proporționale cu d21 și d22.

b) Determinați distanța dintre cele două localități. Rezolvare: (1) v1

(2)

6 km

4,5 km

a) Notăm cu v1 viteza primului ciclist și cu v2 viteza celui de-al doilea. Notăm cu t1 timpul scurs până la prima întâlnire și cu t2 timpul scurs până la a doua întâlnire a cicliștilor. v1 d11 d12 d11 d12 d 21 d 22 Atunci, v1 = = t și v2= = t , adică v = d = d . t1 t1 2 2 2 21 22 Ultimul șir de rapoarte egale demonstrează că d11 și d12 sunt direct proporționale cu d21 și d22.

b) Din (1), care descrie traseul parcurs de cicliști până la prima întâlnire, rezultă d11 = x − 6 și d21 = 6.

Din (2), care descrie traseul parcurs de cicliști până la a doua întâlnire, rezultă d12 = 2x − 4,5 și d22 = x + 4,5. x − 6 2x – 4,5 Folosind subpunctul a), obținem ecuația = , care conduce la ecuația x2 − 13,5x = 0, cu soluțiile x + 4,5 6 x1 = 0 și x2 = 13,5. Acceptabilă este doar soluția nenulă, deci AB = 13,5 km.

Problema 2. În desenul alăturat, punctul C împarte segmentul AB în raportul

AC 13 = . BC 8 C

B A AB . AC b) Rotunjiți la sutimi fracțiile zecimale corespunzătoare celor două rapoarte, și decideți dacă valorile lor sunt apropiate. AC AB = . c) Considerând AB = x și AC = 1, determinați x astfel încât BC AC 1 d) Calculați x2, x + 1, x − 1 și . x e) Folosind un calculator, aproximați numărul x la sutimi de miimi, prin lipsă. a) Folosind desenul, identificați raportul

AB 21 = . Rezolvare: a) Considerăm AB = 21 u.m. Atunci BC = 8 u.m, AC = 13 u.m, iar 13 AC AC AB AC 13 AB 21 ≈ = ≈ 1,63 și = ≈ 1,62, deci . b) BC AC BC 8 AC 13 2 2 1 5 1 5   AC AB 1 x 0 ⇔ x−  = c) Din , rezultă ⇔ = = , de unde ecuația x2 − x − 1 = 0 ⇔  x −  − = 2 4 2 4 BC AC x −1 1   1− 5 1 5 1 5 1+ 5 ⇔ x − = sau x − = . Obținem soluțiile x1 = și x1 = . − 2 2 2 2 2 2 1+ 5 . Deoarece x > 0, rezultă x = 2 N M 3+ 5 1 −1 + 5 d) x2 = x + 1= ; = x − 1= . 2 2 x e) x ≈ 1,61803. MN 21 = = 1,61... 1+ 5 Numărul se numește numărul de aur. MP 13 2 Matematicienii îl notează cu litera greacă ϕ (phi), după numele P arhitectului Phidias (490 – 431 î.H.), care l-a folosit la construcția Parthenonului din Atena. Parthenonul din Atena (477 – 432 î.H.) Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Aplicație. Se consideră dreptunghiul ABCD cu AB = 1 dm, BC = 3 dm și punctele M, N situate pe laturile BC A D 3 respectiv CD, cu BM − CN = dm. Determinați pozițiile punctelor M și N 2 N astfel încât aria triunghiului AMN să fie o treime din aria dreptunghiului. B

Rezolvare:  Necunoscuta va fi lungimea unuia dintre segmentele BM și CN. Notăm CN = x. 3 3  Atunci, BM = x + , DN = 1− x, CM = − x. 2 2 AABCD = AB · BC = 3 dm2 și AABCD = AAMN + AABM + ACMN + AADN, iar AAMN = 3 − (AABM + ACMN + AADN). 1  3 1 3  1 1 Dar, AAMN = · AABCD, deci AABM + ACMN + AADN = 2 ⇔ ⋅ 1 ⋅  x +  + ⋅  − x  ⋅ x + ⋅ 3 ⋅ (1 − x ) = 2, care 2  2 2 2  2 3 este reductibilă la ecuația de gradul al doilea 2x2 + x – 1 = 0.

 2x2 + x – 1 = 0 ⇔ 2x2 + 2x – x – 1 = 0 ⇔ 2x(x + 1) – (x + 1) = 0 ⇔ (x + 1)(2x – 1) = 0. 1 1  Soluțiile ecuației sunt numerele –1 și , deci S = −1,  . 2 2 

1 .  Cum CD = 1 dm și N aparține laturii DC, rezultă 0 ≤ x ≤ 1, fiind validă doar soluția x = 2 1 CN = dm, deci N este mijlocul segmentului CD, iar M este situat pe segmentul BC astfel încât BM =2 dm. 2 Minitest

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

Ana desenează un pătrat ABCD, AB = x > 0. Prelungește latura AB cu segmentul BE = 2 cm și latura AD cu segmentul DF = 4 cm. Aria dreptunghiului pentru care punctele A, E, F sunt vârfuri este de trei ori mai mare decât aria pătratului dat. Ana determină lungimea x a laturii pătratului ABCD, folosind o ecuație de gradul al doilea. Atunci: 30 p

1. Ecuația formulată de Ana este: A. (x + 2) · (x + 4) = 3x2; B. 2x · 4x = 3x2;

30 p

2. Scrisă sub forma x2 + bx + c = 0, cu b, c ∈ ℝ, ecuația este: A. x2 + 2x + 4 = 0;

30 p

C. (x − 2) · (x − 4) = 3 + x2; D. 2x · 4x = 3 + x2.

B. x2 + 4x + 2 = 0;

C. x2 − 3x − 4 = 0;

D. x2 − 3x + 4 = 0.

C. 3 cm;

D. 4 cm.

3. Latura pătratului are lungimea: A. 1 cm;

B. 2 cm;

Notă: Timp de lucru: 15minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Determinați un număr real pozitiv cu 6 mai mare decât inversul său. 2. a) S uma dintre un număr real și inversul său este 2. Determinați numărul. b) Demonstrați că oricare ar fi un număr real pozitiv, suma dintre acesta și inversul său este cel puțin egală cu 2. c) Demonstrați că oricare ar fi un număr real negativ, suma dintre acesta și inversul său este cel mult egală cu − 2. 3. Stabiliți în două moduri dacă există două numere naturale consecutive al căror produs să fie 136. 4. Calculați aria și perimetrul unui triunghi dreptunghic care are ipotenuza de 10 cm, știind că una dintre catete este cu 2 cm mai mică decât cealaltă. 5. Calculați diagonala unui dreptunghi știind că are perimetrul 34 m și aria 60 m². 6. Media aritmetică a numerelor a2 + 11, 2ab și b2 − 8 este egală cu 1. Determinați raportul numerelor a și b.

7. Determinați toate triunghiurile dreptunghice care au lungimile laturilor exprimate în cm, prin numere naturale consecutive. 1 8. Calculați x 2 + 2 , știind că x este un număr real cu proprietatea: x 1 1 2 2; 1. b) x − = a) x + = x x Model de rezolvare: 2 2 1 1  2 2 , rezultă  x +  = a) Din x + = 2 2 , x x  2 1 1 8 , adică deci x 2 + 2 ⋅ x ⋅ +   = x x 1 1 x 2 + 2 + 2 =, 6. 8 prin urmare x 2 + 2 = x x 2ab 9. Dacă a > 0 și b > 0, numărul se numește a+b media armonică a numerelor a și b. Determinați numerele reale care au media geometrică 40 și media armonică 32.

(

)

10. Determinați numărul real x pentru care diferența dintre acest număr și pătratul său este maximă.

EVALUARE SUMATIVĂ SUBIECTUL I

20 de puncte

Stabiliți valoarea de adevăr a următoarelor propoziții. 5p 5p 5p 5p

(

)

1. Rezultatul calculului 2 5 − 1 + 80 este 21. 2. Dacă a = x2 − 3x + 2 și b = 4x − (1 + x2), atunci a + b = x − 1. 1 1 3 , atunci x 2 + 2 = 3. Dacă x + = 9. x x 4. Descompunerea în factori a expresiei (3a – 2)2 – 4 este 3a(3a – 4).

SUBIECTUL AL II-LEA

20 de puncte

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect. 5p 5p 5p

1 4 + este: 2 6 +5 6 −2 B. 9; D. −1. A. 6 ; C. 1 + 6 ; 2 2. Valoarea numerică a expresiei E(x) = (1 − x) − 2(x − 1)(x + 1), pentru x = −2, este: A. −3; B. 1; C. 2; D. 3. 2 3. După simplificare, fracția x − 4 x + 4 , x ≠ 2, devine: 2x − 4 x−2 x+2 ; B. x – 2; C. ; D. x + 2. A. 2 2 4. Dacă numărul real x = –3 este soluție a ecuației x2 + 2x − m = 0, atunci m este egal cu: A. −3; B. 6; C. 3; D. −6. 1. Rezultatul calculului

SUBIECTUL AL III-LEA

50 de puncte

Scrieți rezolvările complete. 5p 1. a) Calculați a − b, știind că a + b = 7 și a2 − b2 = 21. b) Calculați a · b, știind că (a + b)2 = 25 și a2 + b2 = 97. 5p c) Calculați perimetrul unui triunghi dreptunghic ale cărui catete au lungimile x cm, respectiv 5p (x + 7) cm și ipotenuza de 17 cm. 3x 2  1 1   x    + 1 :  1 − , , 1 . 2. Se consideră expresia E(x) =  2  , x ∈ ℝ\  −1, − 2 2   x +1   1− x   5p 10 p 5p 10 p 5p

3x 2 3x 2 = , oricare ar fi x ∈ ℝ, x ≠ −1 și x ≠ 1. − 1 − x2 x2 − 1 1 1  x −1  b) Demonstrați că E(x) = , oricare ar fi x ∈ ℝ \ −1, − , , 1 . 2 2  2x −1  c) Determinați valorile întregi ale numărului n, pentru care 2 · E(n) este număr întreg. 3. a) Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația x2 – 4x + 4 = 0. b) Determinați numerele x, y ∈ ℝ astfel încât x2 – 4x + 4 + y2 = 0.

a) Demonstrați egalitatea:

Timp de lucru: 45 de minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

FUNCȚII

3.1. FUNCȚII DEFINITE PE MULȚIMI FINITE. GRAFICUL UNEI FUNCȚII Lecția 1. Noțiunea de funcție. Moduri de a defini o funcție În viața de zi cu zi, dar și în științe (matematică, fizică, economie, sociologie ...), faptul că o mărime depinde de una sau mai multe mărimi variabile, care sunt independente, se exprimă printr-o formulă de calcul. Acest mod de scriere arată dependența funcțională dintre mărimile respective. Exemplu: Dacă x este un număr real nenul și y este inversul său, atunci xy = 1. Această egalitate se poate scrie 1 1 și în una dintre formele: y = sau x = . Oricare dintre numerele x și y poate fi exprimat în funcție de celălalt. x y

Rezolvăm și observăm înălțimea h(t) (în m)

Problema 1. Se lansează în sus o minge. După 6 secunde de la momentul lansării, mingea ajunge din nou pe sol. Din secundă în secundă, un 40 dispozitiv măsoară înălțimea la care ajunge mingea la momentul t, 30 notată cu h(t). 20 Andrei realizează două liste: 10  o listă A, în care consemnează timpul, din secundă în secundă, de timpul t la momentul 0 al lansării până la momentul în care mingea ajunge (în s) 6 0 1 2 3 4 5 din nou pe sol;  o listă B, în care notează înălțimea la care ajunge mingea după t secunde și pe care o notează cu h(t). Andrei constată că înălțimea h, dependentă de timpul t, se poate exprima prin expresia algebrică h(t) = – 5t2 + 30t, apoi realizează desenul în care reprezintă perechile (t, h(t)). a) Scrieți listele A și B sub forma unor mulțimi numerice. b) Realizați un tabel astfel: pe prima linie a tabelului scrieți valorile corespunzătoare variabilei t, iar pe a doua linie scrieți valoarea corespunzătoare înălțimii la care ajunge mingea la momentul t. c) Reprezentați dependența funcțională de la mulțimea A la mulțimea B, prin diagrame Venn-Euler. Rezolvare: a) Timpul, din secundă în secundă, este dat de mulțimea A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, iar înălțimea la care ajunge mingea la momentul t este h(t) = − 5t2 + 30t. Înălțimea la care se află mingea la momentul t = 0 este h(0) = 0 (m), înălțimea la care se află mingea după o secundă este h(1) = 25 (m) și așa mai departe, obținând mulțimea B = {0, 25, 40, 45}. c) b) Folosind rezultatele obținute la subpunctul a) pentru t ∈ A și A 0 B h(t) = − 5t2 + 30t, rezultă tabelul: 1 0 2 0 1 2 3 4 5 6 t 25 3 h(t) 0 25 40 45 40 25 0 40 4 45 5 6

Descoperim, înțelegem, exemplificăm Definiția 1. Considerăm mulțimile nevide A și B. Spunem că am definit funcția f pe mulțimea A, cu valori în mulțimea B, dacă printr-un procedeu oarecare, facem ca fiecărui element x din mulțimea A să-i corespundă un unic element y, din mulțimea B. Notăm f : A → B și citim „ f definită pe A cu valori în B”.

B y

x A, y B și y = f(x)

Mulțimea A se numește domeniul de definiție al funcției. Mulțimea B se numește mulțimea în care funcția ia valori sau codomeniul funcției. Procedeul f, prin care fiecărui element x din mulțimea A i se pune în corespondență un singur element y, din mulțimea B, se numește lege de corespondență. Dacă elementului x din A îi corespunde elementul y din B, spunem că y este valoarea funcției f, în punctul x, sau că y este imaginea lui x, prin funcția f și scriem y = f(x). După modul în care este dată legea de corespondență, o funcție poate fi definită:  prin diagrame Venn-Euler;  prin tabel de valori;  prin formule, cu ajutorul uneia sau mai multor expresii algebrice.

Exemplu: Funcția definită în problema 1, h : A → B, unde A = {0, 1, 2, 3, 5, 6} și B = {0, 25, 40, 45}, poate fi prezentată:  prin diagramă: h : A → B (vezi diagrama problemei 1)  prin tabel de valori: h : A → B, t h(t)

0 0

1 25

2 40

3 45

4 40

5 25

6 0

 prin formulă, cu ajutorul unei expresii algebrice: h : A → B, h(t) = − 5t2 + 30t.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Definiția 2. Mulțimea tuturor valorilor unei funcții f se numește imaginea funcției f și se notează cu Im f.

y ∈ Im f ⇔ există x ∈ A astfel încât y = f(x) Im f ={ f(x)  x ∈ A}.

 Pentru funcția  Pentru funcția f : {0, 1, 2, 3} → {–12, –7, –2, 3}, f(x) = −5x + 3: g : {–2, 0, 1, 2} → {–2, 0, 1, 2}, g(x) = | x |: Domeniul de definiție al funcției: {0, 1, 2, 3}. Domeniul de definiție al funcției: {–2, 0, 1, 2}. Codomeniul funcției: {–12, – 7, – 2, 3}. Codomeniul funcției: {–2, 0, 1, 2}. Legea de corespondență a funcției: f(x) = −5x + 3. Legea de corespondență a funcției: g(x) = | x |. Imaginea funcției: Imf ={f(0), f(1), f(2), f(3)}, deci Imaginea funcției: Im g ={g(– 2), g(0), g(1), g(2)}, deci Imf ={–12, –7, –2, 3}. Im g ={0, 1, 2}. Observații: În cazul funcției f, imaginea funcției coincide cu codomeniul acesteia. În cazul funcției g, imaginea funcției este submulțime a codomeniului, dar nu coincide cu acesta. Reținem!  Dacă x este element al domeniului, atunci elementul y = f(x), al codomeniului, se numește valoarea funcției f în punctul x, sau imaginea lui x, prin funcția f.  Mulțimea Im f este submulțime a codomeniului funcției. Im f ⊂ B, oricare ar fi funcția f : A → B.  Dacă Im f = B, spunem că B are număr minim de elemente.  În cazul unor funcții, apar condiții suplimentare care impun definirea prin mai multe formule.

Problema 2. A

În figura alăturată, ABCD este un dreptunghi, MNP este triunghi isoscel cu înălțimea MQ și baza NP = 4 cm, iar x este un număr real, care exprimă, în centimetri, o lungime. a) Determinați mulțimea numerele reale x pentru care dreptunghiul există (poate fi construit). b) Determinați mulțimea numerelor reale x pentru care triunghiul există (poate fi construit). c) Definiți o funcție care să asocieze fiecărui număr x aria figurii geometrice care poate fi construită.

6–x

x–3

x–6 C

Rezolvare: a) AB = 6 − x > 0 și AD = x − 3 > 0 rezultă x ∈ (3, 6). Mulțimea căutată este intervalul (3, 6). b) MQ = x − 6 > 0 rezultă x∈(6, +∞). Mulțimea căutată este intervalul (6, +∞). c) Din rezolvarea cerințelor de mai sus, constatăm:

 Pentru x ∈ (3, 6), se poate construi doar dreptunghiul, iar pentru x ∈ (6, +∞), se poate construi doar triunghiul. Pentru celelalte valori reale ale lui x, nu există niciuna dintre cele două figuri geometrice.  Considerăm A = (3, 6) ⋃ (6, + ∞), mulțimea valorilor lui x pentru care există exact una dintre cele două figuri geometrice din imagine, adică mulțimea valorilor lui x pentru care are sens exact una dintre arii. Cum aria unei suprafețe este un număr pozitiv, alegem B = (0, +∞). (alegerea nu este unică). Definim funcția f : A → B, pentru care f(x) = aria dreptunghiului, dacă x ∈ (3, 6) și f(x) = aria triunghiului, dacă x ∈ (6, ∞). ă x ∈ (3, 6)  ( x − 3)(6 − x), . Vom scrie f : (3, 6) ⋃ (6, + ∞) → (0, + ∞), f ( x) =   2(x – 6), De exemplu: Pentru x = 4, se poate construi doar dreptunghiul, cu aria f(4) = (4 – 1)(6 – 4) = 6. Pentru x = 7, se poate construi doar triunghiul cu aria f(7) = 2(7 – 1) = 12. Minitest

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

Funcția f este definită prin următorul tabel: 30 p 30 p 30 p

x f(x)

−3 −4

−1 −2

0 −1

1. Domeniul de definiție al funcției f este: A. {−3; −1; 0; 1; 2; 3; 4}; B. {−4; −2; −1; 0; 2; 3}; 2. Imaginea numărului –1, prin funcția f, este: A. − 4; B. 4; 3. Calculând f(−3) + f(0) + f(3), se obține: A. − 3; B. − 4;

1 0

3 2

4 3

C. {−3; −1; 0; 1; 3; 4};

D. ℤ.

C. 0;

D. −2.

C. −1;

D. 0.

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Se consideră mulțimile: A = {1, 2, 3, 4} și B = {a, b, c, d}. a) Reprezentați pe caiete diagramele care reprezintă o funcție definită pe A, cu valori în B. 1 11 11

a aa aa

1 11 11

a aa aa

2 22 22 3 33 33 4 44 44

b bb bb c cc cc d dd dd

2 22 22 3 33 33 4 44 44

b bb bb c cc cc d dd dd

1 11 11 2 22 22 3 33 33 4 44 44

a aa aa 1 11 11 b bb bb 2 22 22 c cc cc 3 33 33 d dd dd 4 44 44

a aa aa b bb bb c cc cc d dd dd

b) Justificați faptul că diagramele rămase nu reprezintă funcții.

2. Funcția f : A → B este definită prin diagrama Venn-Euler:

6. Se consideră mulțimile A = {1, 2} și B = {x, y, z}. a) Scrieți, folosind diagrame Venn-Euler, toate funcțiile care pot fi definite pe mulțimea A, cu valori în mulțimea B.

B 1

b) Deduceți numărul funcțiilor care se pot defini pe mulțimea A, cu valori în mulțimea B.

a) Precizați domeniul de definiție și mulțimea de valori. Enumerați valorile funcției. b) Copiați pe caiete și completați spațiile libere: f(a) = ...;

f(b) = ...;

f(c) = ...;

f(a) + 2· f(b) + 3 · f(c) = ... .

3. Tabelul următor descrie o funcție f : A → B. x f(x)

0 3

1 5

2 7

77 157

a) Scrieți elementele domeniului de definiție. b) Scrieți elementele mulțimii Im f. c) Reprezentați funcția prin diagrame Venn-Euler. 4. Următoarele funcții sunt definite prin tabele. x f(x)

1 1

2 4

3 9

4 16

x g(x)

−1 −3

0 0

1 3

2 6

7 21

a) Precizați domeniul de definiție și mulțimea valorilor pentru fiecare funcție. b) Descrieți corespondența x → f(x) respectiv x → g(x) prin câte o formulă. 5. Următoarele funcții sunt definite prin formule. Precizați, în fiecare caz, domeniul de definiție, mulțimea de valori și imaginea funcției.

8. Se consideră funcția f : A → B, f (x) = –x + 1, unde A = {x ∈ ℤ | –4 < x ≤ 2}. Scrieți elementele care nu pot lipsi din mulțimea B . 9. Tabelul de mai jos definește o lege de corespondență între două mulțimi. –3 –1 0 2 5 8 10 15 x 4 10 16 20 30 f (x) –6 –2 0 a) Determinați imaginea numărului –1, prin funcția f. b) Scrieți numărul care are imaginea 10. c) Scrieți formula care definește legea de corespondență. d) Calculați 3 ⋅ f(–3) + f(0) – f(5) + 2 ⋅ f(10) – f(15). 10. Se consideră funcția f : ℕ → ℕ, f(n) = ultima cifră a numărului 9n. a) Calculați f(0) și f(3). b) Determinați mulțimea Im f. c) Calculați f (3) + f (33) + f (333) – 3 · f (3330).

a) f : {1, 3, 5, 7} → ℕ, f(x) = restul împărțirii lui x la 2.

11. Fie funcția f : A → B, unde A = {x ∈ ℤ | |x – 1| ≤ 2} x +1 + x . și f ( x)=

b) g :{1, 2, 3, 4}→ (0, ∞), g(x) = x2;

a) Scrieți elementele domeniului de definiție.

c) h : ℝ → ℝ, d) t : {–2, –1, 0, 1, 2} → ℝ, 1, 2 2 x 3, dacă x . t ( x) 3 x 1, dacă x 0, 1, 2

7. a) Scrieți cele mai mici cinci numere naturale, care împărțite la 3 dau restul 1. b) Scrieți regula de construire a șirului de numere 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 … c) Definiți o funcție de la mulțimea ℕ, la mulțimea infinită M = {1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 …}. Exprimați legea de corespondență printr-o formulă.

;

b) Precizați care este imaginea lui 3, prin funcția f. c) Scrieți elementele mulțimii M = { f(x)| x ∈ A}. d) Demonstrați că mulțimea B conține elementele: −1, 1, 2 + 1, 3 + 2, 5 . e) Ilustrați, printr-un exemplu, faptul că mulțimea B nu coincide, neapărat, cu mulțimea M.

12. Pentru funcțiile de mai jos, determinați mulțimea A, știind că fiecare element al codomeniului este imaginea unui element din domeniul de definiție: a) f : A → {–5, –3, –1, 1, 3, 5}, f (x) = –2x + 1; b) g : A → {0, 1, 4, 9}, g(x) = x2, x ≥ 0; c) h : A → {–2, –1, 0, 2, 3}, h(x) = x – 3. 13. Pentru funcțiile de mai jos, stabiliți codomeniul cu număr minim de elemente, știind că: a) f : {–3, –1, 0, 1, 2} → B, f (x) = –x + 1; b) h : {–2, –1, 0, 1, 2} → C, h (x) = x2; c) g : {–1, 0, 1, 2, 4} → D, g (x) = 2x – 3. 14. Lungimea laturii unui triunghi echilateral este (4 − x) cm, unde x este un număr natural nenul, iar perimetrul triunghiului este p cm. a) Exprimați, printr-o formulă de calcul, dependența funcțională a mărimii p de mărimea varia bilă x. b) Definiți o funcție care exprimă dependența funcțională găsită la subpuncul a), precizând domeniul, codomeniul și legea de corespondență a funcției. c) Calculați imaginea numărului 3, prin funcția găsită la subpunctul b).

d) Verificați dacă 7 este element al mulțimii valorilor funcției. e) Definiți funcția prin diagrame Venn-Euler, apoi cu ajutorul tabelului de valori. 15. Transcrieți pe caiete și completați spațiile libere așa încât să obțineți propoziții adevărate. a) Considerăm mulțimile A = {0, 1, 2} și B = {a, b}. Numărul funcțiilor care se pot defini pe mulțimea A, cu valori în mulțimea B este ... . Numărul funcțiilor care se pot defini pe mulțimea B, cu valori în mulțimea A este ... . b) Se consideră C = {–3, 3}și D = {– 2, 1, 2}. Numărul funcțiilor f : C → D, cu proprietatea f (x) > 0, oricare ar fi x ∈ C este egal cu … . c) Se consideră funcția g : ℝ→ M, g(x) = | x |. Cel mai mic element al mulțimii M este … . d) Tabelul descrie funcția h : ... → …, h(n) =… . n

–1

h(n)

–5

–10

–50

e) Funcția i : A →{– 4, 0, 4, 8}, i(x) = 4x are domeniul de definiție cu cel mai mare număr de elemente: A = … . Indicație: Pentru subpunctele a) și b), folosiți diagrame Venn-Euler.

Lecția 2. Graficul unei funcții. Reprezentarea geometrică a graficului unor funcții numerice Rezolvăm și observăm Problema 1. În diagrama alăturată, sunt reprezentate mulțimile: A = {a, b, c}, B = {s, p, c, d} și corespondența f între elementele celor două mulțimi. a) Stabiliți dacă tripletul (A, B, f) definește o funcție. Justificați răspunsul. b) Numiți domeniul de definiție și mulțimea în care funcția ia valori. c) Scrieți tabelul de valori corespunzător funcției.

f A

d) Scrieți mulțimea valorilor funcției f : A → B, prin enumerarea elementelor.

e) Scrieți produsul cartezian A × B. f) Scrieți, enumerând elementele, submulțimea Gf a produsului cartezian A × B definită astfel: Gf = {(x, y) ∈ A × B | x ∈ A și y = f(x)}.

Rezolvare: a) Legea de corespondență f asociază fiecărui element din mulțimea A un element unic din mulțimea B, deci tripletul (A, B, f) definește o funcție. b) Domeniul de definiție al funcției este mulțimea A, iar mulțimea în care funcția ia valori este mulțimea B. c)

x f(x)

a d

b p

c d

d) Mulțimea valorilor funcției sau imaginea funcției este mulțimea: Im f = { f(x) x ∈ A} ={ f(x)  x ∈{a, b, c}}. Cum f(a) = f(c) = d și f(b) = p, rezultă Im f ={d, p}. Observăm că {d, p} ⊂ {s, p, c, d}, adică Im f ⊂ B. e) A × B = {(x, y) | x ∈ A și y ∈ B)}. A × B = {(a, s), (a, p), (a, c), (a, d), (b, s), (b, p), (b, c), (b, d), (c, s), (c, p), (c, c), (c, d)}. f) Din x ∈ A și y = f(x), rezultă Gf = {(a, f(a)), (b, f(b)), (c, f(c))} = {(a, d), (b, p), (c, d)}. Descoperim, înțelegem, exemplificăm Considerăm o funcție f : A → B. Definiția 1. Submulțimea Gf a produsului cartezian A × B, definită prin Gf = {(x, y) ∈ A × B | x ∈ A și y = f(x)} se numește graficul funcției f . Afirmația de mai sus se scrie matematic în una din formele: (i) (x, y) ∈ Gf ⇔ x ∈ A și y = f(x); (ii) Gf = {(x, f(x)) | x ∈ A}. Exemplu: Funcția f : {− 1, 2, 3} → ℝ, f(x) = 2x − 3, are tabelul de valori alăturat, de unde rezultă că graficul funcției este mulțimea Gf = {(−1, −5), (2, 1), (3, 3)}.

−1 −5

x f(x)

2 1

3 3

Definiția 2. O funcție se numește funcție numerică dacă mulțimea de definiție și mulțimea în care funcția ia valori sunt submulțimi de numere reale. f : A → B este funcție numerică ⇔ A ⊂ ℝ și B ⊂ ℝ. Considerăm funcția numerică f : A → B. Graficul funcției f este o submulțime a mulțimii A × B, A ⊂ ℝ și B ⊂ ℝ , deci graficul unei funcții numerice f : A → B este o submulțime a produsului cartezian ℝ × ℝ, adică Gf ⊂ ℝ × ℝ. Consecință. Orice element al graficului unei funcții numerice, se „identifică” cu punctul P(x, f (x)) și poate fi reprezentat în plan într-un sistem de axe ortogonale, xOy.

f(x)=y

Mulțimea tuturor punctelor P(x, f (x)) se numește reprezentarea geometrică a graficului funcției f.

(x, y) x

Observație: Exprimarea „reprezentarea geometrică a graficului funcției f ” se înlocuiește, în mod uzual, cu „reprezentarea graficului funcției f ”. Problema 2 a) Reprezentați geometric graficul funcției f, dată prin tabelul de valori: b) Definiți funcția f printr-o formulă.

x f(x)

1 6

2 3

3 2

6 1

Rezolvare: a) Gf = {(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)}. Reprezentăm grafic, într-un sistem de coordonate xOy elementele mulțimii Gf . Reprezentarea geometrică este formată din patru puncte.

b) Considerăm y = f (x). Observăm că 1 · 6 = 2 · 3 = 3 · 2 = 6 · 1, deci mări6 mile x și y sunt mărimi invers proporționale. Din x·y = 6, rezultă y = , iar x 6 funcția se definește astfel: f : {1, 2, 3, 6}→ ℝ, f(x) = . x

3 2 1

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni

1 2 3

Problema 3. Ioana cumpără creioane colorate. Prețul unui creion este 1,5 lei. Ioana notează cu n n 2 3 4 5 numărul creioanelor cumpărate, cu S suma plătită și realizează tabelul de valori alăturat: S a) Exprimați suma S în funcție de numărul n al creioanelor cumpărate. b) Completați tabelul de valori realizat de Ioana, pentru n ∈ {2, 3, 4, 5}. c) Scrieți funcția definită prin tabelul de valori, precizând, printr-o formulă, legea de corespondență. d) Scrieți mulțimea valorilor funcției găsite la subpunctul c). e) Scrieți graficul funcției de la subpunctul c), apoi reprezentați-l într-un sistem de axe ortogonale, xOy. Rezolvare: a) S =1,5 · n. b) Deoarece S =1,5 · n, avem:

n S

2 3

3 4,5

4 6

y 7,5 6

5 7,5

4,5 3

c) Conform tabelului, S : {2, 3, 4, 5} → {3; 4,5; 6; 7,5}, S(n) =1,5 · n. d) Im S ={S(n)  n ∈ {2, 3, 4, 5}} = {3; 4,5; 6; 7,5}. e) GS = {(n, S(n)) | n ∈ {2, 3, 4, 5}} = {(2, 3), (3; 4,5), (4, 6), (5; 7,5)}.

Reprezentarea graficului funcției S este în imaginea alăturată. Minitest

30 p

30 p 30 p

1 2 3 4 5

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

1. Graficul funcției f : {−3, −2, 1}→ ℝ, f(x) = x + 3, este mulțimea: A. {(−3, −3), (−2, −2), (1, 1)}; B. {(−3, 0), (−2, 1), (1, 4)}; C. {(0, −3), (1, −2), (4, 1)}; D. {(−3, 1), (−2, 0), (1, 4)}. 2. Punctul A(1, a) aparține graficului funcției g : {−2, −1, 0, 1}→{−7, −5, −3, −1} definită prin g(x) = 2 · x − 3, pentru: A. a = − 7; B. a = − 5; C. a = − 3; D. a = −1. 3. Reprezentarea geometrică a graficului funcției h:{−2, 1} → ℝ, h(x) = x + 1, este: D. y y y y B. C. A. –2

2 1 O

–2 1 2 x –1

1 O

1 –2

–2

O –2

–2 x

O –1

–2

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Scrieți:

10. În figurile următoare sunt reprezentate graficele funcțiilor f și g.

a) două exemple de funcții numerice; b) două funcții care să nu fie funcții numerice. 2. Se definește funcția f : A → B, unde card A = a, iar card B = b, cu a, b ∈ ℕ * . Comparați cardinalul mulțimii Gf cu cardinalul mulțimii A × B. 3. Fie funcția g : {–2, –1, 1, 2} → ℝ, g(x) = 2x + 3. a) Determinați mulțimea Gg.

b) Reprezentați Gg într-un sistem de axe ortogonale. 4. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x + x − 1 și punctele A(2, 3), B(−1, −1), C(−2, 1), D(0, −1), 2

E( 3 , 3 +1). Efectuați calculele necesare, apoi precizați care dintre aceste puncte aparțin graficului funcției f. 5. a) Alcătuiți tabelul de valori al funcției g : {0, 1, 4, 9} → ℝ, g(x) = x . b) Scrieți graficul funcției, enumerând elementele acestuia. c) Reprezentați graficul funcției într-un sistem de axe ortogonale. 6. Fie funcția h : A → {–2, 0, 4}, h (x) = x + 4. a) Determinați elementele mulțimii A, știind că are trei elemente. b) Reprezentați grafic funcția. 7. Fie funcția f : {–1, 0, 1} → B, f (x) = 3x + 2. a) Determinați mulțimea valorilor funcției, apoi scrieți mulțimea B cu număr minim de elemente. b) Reprezentați grafic funcția. 8. Se consideră funcția f : {0, 1, 2} → ℝ, f (x) = – x + 4. a) Verificați dacă A(–3, 7) aparține graficului funcției. b) Reprezentați graficul funcției într-un sistem de axe ortogonale. 9. Reprezentarea geometrică a unei funcții h este mulțimea de puncte {M, N, P, Q}, M(–3, 1), N(–1, 3), P(1, –3), Q(3, –1). Determinați domeniul de definiție al funcției și mulțimea Im f.

–2 –1

1 2 3 x –1 –2

3 2 1 –3 –2 –1

x 1 2 3

a) Scrieți domeniul de definiție și codomeniul cu număr minim de elemente pentru fiecare funcție. b) Scrieți, cu ajutorul unor formule, legile de corespondență ale celor două funcții. 11. a) Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = x + a. Determinați a, știind că A(–2, 3) ∈ Gf .

b) Punctul B(b, 3b) este situat pe graficul funcției x−4 g : ℝ → ℝ, g(x) = . Determinați numărul b. 3 12. Un dreptunghi are lungimile laturilor de 2x cm, respectiv y cm și perimetrul 18 cm, unde x și y sunt numere naturale. a) Scrieți relația de dependență funcțională dintre x și y, exprimând pe y în funcție de x. b) Precizați mulțimea A, a valorilor naturale pe care le poate lua x și mulțimea B, a valorilor naturale pe care le va lua y. c) Notăm cu f funcția definită pe A cu valori în B, prin dependența funcțională de la subpunctul a). Definiți funcția f, în trei moduri: prin formulă, prin tabel de valori, prin diagrame. d) Reprezentați grafic funcția f . e) Scrieți relația de dependență funcțională dintre x și y, exprimând pe x în funcție de y. f) Precizați mulțimea B, a numerelor naturale pe care le poate lua y și mulțimea A a numerelor naturale pe care le va lua x. g) Notăm cu g funcția definită pe B cu valori în A, prin dependența funcțională de la subpunctul e). Definiți funcția g în trei moduri: prin formulă, prin tabel de valori, prin diagrame. h) Reprezentați grafic funcția g.

3.2. FUNCȚII DE FORMA f : D → ℝ, f(x) = ax + b, unde a, b ∈ ℝ și D ESTE UN INTERVAL DE NUMERE REALE. LECTURI GRAFICE Lecția 1. Funcții de forma f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, unde a, b ∈ ℝ Rezolvăm și observăm Problema 1. La un supermarket, prețul unei pungi biodegradabile este de b lei. Pe ecranul cântarului electronic se afișează: a lei, prețul unui kilogram de legume și y lei, suma de achitat, formată din costul cantității de x kg legume cumpărate și prețul pungii biodegradabile. Deoarece y este o mărime dependentă funcțional de mărimea variabilei x, vom scrie suma încasată pentru cantitatea de x kg legume cumpărate, y = f (x). a) Deduceți forma algebrică a dependenței funcționale y = f (x), în cazul particular a = 1,5 și b = 0,75. b) Folosind legea de corespondență descoperită la subpunctul a), definiți funcția f : D → ℝ, precizând mulțimea D, conform condițiilor impuse de contextul real. c) Demonstrați că perechile (0,5; 1,5), (1,5; 3) și (2; 3,75) aparțin graficului funcției, adică mulțimii Gf. . d) Demonstrați că punctele A(0,5; 1,5), B(1,5; 3) și C(2; 3,75) sunt coliniare. Rezolvare: a) Prețul unui kilogram de legume este a lei. Suma plătită pentru x kg de legume este ax lei, la care se adaugă b lei, prețul pungii biodegradabile. Suma de achitat este ax + b (lei), deci f (x) = ax + b reprezintă forma algebrică a dependenței funcționale y = f (x). b) Din a), rezultă f : D → B, f (x) = ax + b. Deoarece elementele mulțimii D sunt numere prin care se exprimă cantitățile de legume cumpărate, rezultă x > 0, deci D = (0, ∞). Pentru a = 1,5 și b = 0,75, obținem f : (0, ∞) → ℝ, f (x) = 1,5 · x + 0,75.

y 3,75

C B

3 1,5 A

M N

c) f (0,5) = 1,5; f (1,5) = 3; f (2) = 3,75. În concluzie, (0,5; 1,5) ∈ Gf ; (1,5; 3) ∈ Gf ; (2; 3,75) ∈ Gf .

O 0,5 1 1,5 2 x

d) Reprezentăm punctele A(0,5; 1,5), B(1,5; 3) și C(2; 3,75). Folosind asemănarea triunghiurilor AMB și ANC, demonstrăm coliniaritatea punctelor A, B, C. Temă de portofoliu Notăm cu P1 prisma triunghiulară dreaptă MNPM′N′P′, reprezentată în figura alăturată. LunM' gimile muchiilor prismei, exprimate în centimetri, sunt: MN = 4x – 2, MP = NP = 10 – x, MM′ = 1. O altă prismă, P2, are aria laterală cu 17 cm2 mai mică decât aria laterală a prismei P1. a) Pentru x = 2, calculați aria laterală a prismei P1 și aria laterală a prismei P2. b) Se consideră legea de corespondență x → f (x), unde x ∈ D, cu D = {1, 2, 3}, iar f (x) este numă- M rul real, egal cu aria laterală a prismei P2. Scrieți, prin formulă, legea de corespondență f (x). c) Definiți funcția f : D → ℝ, f (x) = 2x + 1 cu ajutorul diagramelor, apoi realizați tabelul de valori. d) Scrieți mulțimea Gf , graficul funcției f, prin enumerarea elementelor.

P' N' P N

Observație: Situațiile practice analizate mai sus impun studiul funcțiilor definite prin expresii algebrice de forma f (x) = ax + b.

Pentru funcțiile de forma f : ℝ → ℝ, f (x) = ax + b, unde a și b sunt numere reale date, sunt posibile situațiile:  Dacă a = 0, atunci funcția devine f : ℝ → ℝ, f (x) = b, b ∈ ℝ și se numește funcție constantă.  Dacă a ≠ 0, atunci funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = ax + b se numește funcție de gradul I. Exemple: f : ℝ → ℝ, f (x) = 4 este funcție constantă g : ℝ → ℝ , g(x) = 1,5 · x + 0,75 este funcție de gradul I, cu a = 1,5 și b = 0,75. h : ℝ → ℝ, h(x) = −2x este funcție de gradul I, cu a = −2 și b = 0.

Contraexemple: Următoarele funcții nu sunt funcții de gradul I și nici funcții constante. f : {1, 2, 3}→ ℝ, f (x) = 2x + 1 (domeniul de definiție nu este ℝ) x<0 3, g : ℝ → ℝ, g ( x) =   x + 1, x ≥ 0 (expresia g(x) nu este aceeași pentru toate elementele domeniului)

Descoperim, înțelegem, exemplificăm Problema 2. Într-un sistem de axe ortogonale, se consideră punctele A(−2, −3) și B(2, 5). a) Reprezentați geometric dreapta AB. b) Demonstrați că există o funcție f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, unde a și b sunt numere reale, astfel încât: (−2, −3) ∈ Gf și (2, 5) ∈ Gf . c) Determinați punctul P(x, y), situat pe axa Oy, pentru care (x, y) ∈ Gf . d) Determinați punctul Q(x, y), situat pe axa Ox, pentru care (x, y) ∈ Gf . Rezolvare: a) Reprezentarea dreptei AB este în imaginea alăturată. b) Folosim faptul că (x, y) ∈ Gf ⇔ f (x) = y, adică (x, y) ∈ Gf ⇔ ax + b = y. (1) (−2, −3) ∈ Gf ⇔ f (−2) = −3 ⇔ −2a + b = −3.

y B 5

(2, 5) ∈ Gf ⇔ f (2) = 5 ⇔ 2a + b = 5. (2) − 2 a + b = − 3  , cu soluția a = 2 și b =1. Din (1) și (2), rezultă sistemul de ecuații  5  2a + b = Funcția căutată este f : ℝ → ℝ, f (x) = 2x + 1.

c) P(x, y) ∈ Gf ⇔ y = 2x + 1; P(x, y)∈ Oy ⇔ x = 0. Prin urmare, P(x, y) ∈ Gf ⋂ Oy ⇔ x = 0 și y = f (0) = 1. Am obținut punctul P(0, 1).

P –2 Q 2 A

–3

d) Q(x, y) ∈ Gf ⇔ y = 2x + 1; Q(x, y) ∈ Ox ⇔ y = 0. Prin urmare, Q(x, y) ∈ Gf ⋂ Ox ⇔ 2x + 1 = 0 și y = 0, adică x = −0,5 și y = 0. Am obținut punctul Q(−0,5; 0).

Observație: Notația Gf și exprimarea graficul funcției f sunt folosite atât pentru mulțimea perechilor de numere reale (x, f(x)), cât și pentru mulțimea punctelor din plan cu coordonatele (x, f(x)), înțelegând din context despre care dintre cele două sensuri este vorba. Reținem!  Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f (x) = ax + b, unde a și b sunt numere reale date, este o submulțime a produsului cartezian ℝ × ℝ, se notează cu Gf și se definește prin: Gf = {(x, y) | x ∈ ℝ și y = ax + b}.  (x, y) ∈ Gf ⇔ x ∈ ℝ și y = ax + b.

 Mulțimea punctelor din plan, raportate la reperul cartezian xOy, având coordonatele (x, f (x)), se numește reprezentarea geometrică a graficului funcției f .  Scriem: (x, y) ∈ Gf sau M(x, y) ∈ Gf .  M (x, y) ∈ Gf ⇔ y = f (x).

Teoremă. Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f (x) = ax + b, unde a și b sunt numere reale date, este dreapta d, determinată de oricare două puncte distincte ale graficului. Observație: În acest context, ecuația y = ax + b se numește ecuația dreptei d, scriem d : y = ax + b și citim „dreapta d, de ecuație y = ax + b”.  Graficul funcției constante f : ℝ → ℝ, f (x) = b este dreapta paralelă cu axa Ox, prin punctul A(0, b).  Pentru a reprezenta geometric graficul funcției f : ℝ → ℝ , f (x) = ax + b, a ≠ 0 este nevoie de două puncte distincte oarecare ale graficului funcției. Cele două puncte, distincte ale dreptei, se aleg, de regulă, astfel: a) În multe situații, este avantajos ca aceste puncte să fie intersecțiile graficului cu axele de coordonate.1

b) Dacă intersecțiile cu axele nu prezintă interes, atunci identificăm, convenabil, două puncte distincte.

 intersecția graficului cu axa Oy: Gf ⋂ Oy = { A(0, b)}.

Alegem, x1 și x2, diferite, având în vedere datele concrete ale problemei. Calculăm y1 și y2, folosind:

A(x, y) ∈ Oy ⇔ x = 0; A(0, y) ∈ Gf ⇔ y = f (0) ⇔ y = b, adică Gf ⋂ Oy = { A(0, b)}.  intersecția graficului cu axa Ox:   b  Gf ⋂ Ox =  B  − , 0   ; B(x, y)∈ Ox ⇔ y = 0;   a  B(x, 0) ∈ Gf ⇔ f (x) = 0 ⇔ ax + b = 0 echivalent   b  −b , adică Gf ⋂ Ox =  B  − , 0   . a   a   Reprezentăm punctele A și B, apoi trasăm dreapta AB. Dreapta AB, cu A și B determinate mai sus, este reprezentarea geometrică a graficului funcției f. cu x =

 M(x1, y1) ∈ Gf ⇔ y1 = f(x1); M(x1, y1) ∈ Gf ⇔ y1 = ax1 + b.  N(x2, y2) ∈ Gf ⇔ y2 = f(x2); N(x2, y2) ∈ Gf ⇔ y2 = ax2 + b.  Reprezentăm M(x1, y1) și N(x2, y2) și trasăm dreapta MN. Dreapta MN, cu M și N determinate mai sus, este reprezentarea geometrică a graficului funcției f.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Aplicația 1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = – 2x + 4. a) Scrieți mulțimea Gf . b) Determinați punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate. c) Reprezentați grafic funcția f.

Rezolvare: a) Gf = {(x, y) | x ∈ ℝ și y = f (x)} sau Gf = {(x, f (x)) | x ∈ ℝ}. Cum f (x) = –2x + 4, obținem Gf = {(x, y) | x ∈ ℝ și y = –2x + 4} sau Gf = {(x, –2x + 4) | x ∈ ℝ}. y 4 P(0,4)

b) Gf ⋂ Oy = {P(0, y)} cu y = f (0)}. Din f (0) = 4, rezultă Gf ⋂ Oy = {P(0, 4)}.

Gf ⋂ Ox = {Q(x, 0)} cu f (x) = 0. Din – 2x + 4 = 0, rezultă x = 2, adică Gf ⋂ Ox = {Q(2, 0)}. c) Graficul funcției este dreapta PQ. Aplicația 2. Se consideră funcția g : ℝ → ℝ, g(x) = 3x + 1. a) Scrieți mulțimea Gg. b) Demonstrați că punctul P(–1, –2) este un punct al graficului funcției g. c) Reprezentați grafic funcția g. 1

O 2

Q(2,0) x

Rezolvare: a) Gg= {(x, y) | x ∈ ℝ și y = g (x)} sau Gg = {(x, g(x)) | x ∈ ℝ}. Din g (x) = 3x + 1, rezultă Gg= {(x, y) | x ∈ ℝ și y = 3x + 1} sau Gg = {(x, 3x + 1) | x ∈ ℝ}.

O astfel de reprezentare se numește reprezentarea dreptei prin tăieturi.

y 4

b) Cum g (–1) = –3 + 1= – 2, rezultă P(–1, –2) ∈ Gg.

c) Avem deja un punct al graficului, P(–1, –2). Pentru reprezentarea graficului, este suficient să mai găsim un punct. Atribuim variabilei x o valoare oarecare, diferită de –1, de exemplu, valoarea 1. g (1) = 3 + 1 = 4, obținem Q(1, 4). Dreapta PQ este graficul funcției g. Observație: Uneori, evidențiem cele două puncte completând un tabel de valori: Aplicația 3.

Rezolvare:

Se consideră funcția h: ℝ → ℝ, h (x) = – 2.

a) h (0) = h (–1) = – 2.

a) Calculați h (0) și h (–1).

b) Gh = {(x, – 2 )| x ∈ ℝ}.

b) Scrieți mulțimea Gh.

c) Reprezentați grafic funcția h.

Minitest 30 p

30 p

c) Punctele A(0, –2) și B(–1, –2) determină dreapta AB, care este reprezentarea geometrică a graficului funcției h.

–1 1 P

–2

y x

–1 B

–2 A

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

1. O funcție de gradul I, al cărei grafic trece prin punctul O(0, 0), în sistemul de axe de coordonate xOy, este: A. f : ℝ → ℝ, f(x) = −x + 1; B. f : ℝ → ℝ, f(x) = x − 1; C. f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x; D. f : ℝ → ℝ, f(x) = 2. 2. Punctul de intersecție dintre reprezentarea grafică a funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 6 și axa absciselor este: A. A(0, 3); B. B(3, 0); C. A(−3, 0); D. A(0, −3). 3. Numărul m, pentru care punctul P(−1, 2) aparține reprezentării grafice a funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = m·x + 3, este: A. −1; B. 2; C. −2; D. 1. Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Funcțiile următoare sunt de forma f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b. Precizați coeficienții a și b pentru fiecare dintre ele. a) f(x) = 3x + 2; c) f(x) = –4x; b) f(x) = –x + 6; d) f(x) = –1. 2. Funcția g: ℝ → ℝ, este definită prin g(x) = 3x – 1. 1  1  Calculați g(–1), g(0), g   , g  . 3  3  3. Se consideră funcția h : ℝ → ℝ, h(x) = –x + 2. a) Verificați dacă punctele A(–2, 0) și B(1, 1) aparțin graficului funcției h. b) Reprezentați graficul funcției într-un sistem de axe de coordonate.

4. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 3. Determinați punctul situat pe grafic, cu proprietatea: a) are ordonata 1; b) are abscisa –2; c) are coordonatele egale; d) are ordonata egală cu triplul abscisei; e) are ordonata egală cu opusul abscisei. 5. Stabiliți dacă următoarele puncte sunt coliniare: a) A(–2, 1), B(2, 3) și C(–4, 0); b) A(–3, 2), B(4, –5) și C(2, –1); c) A(–1, 2), B(1, –2) și C(–2, 3); d) A(2, –1), B(–1, 5) și C(1, 1).

6. Determinați funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b ale căror grafice conțin punctele: a) A(–1, 2) și B(1, –2);

c) A(–2, 1) și B(2, 3);

b) A(–3, 2) și B(4, –5);

d) A(–1, 5) și B(2, –1).

7. Se consideră funcția f: ℝ → ℝ, f (x) = 2x – 1. a) Verificați dacă punctul M(– 1, – 3) aparține graficului funcției f. b) Determinați punctele de intersecție ale graficului funcției f cu axele de coordonate. c) Reprezentați grafic funcția f . 8. Se dă funcția g: ℝ → ℝ, g (x) = – 2x +4. a) Trasați graficul funcției g. b) Calculați aria triunghiului determinat de graficul funcției g și axele de coordonate. c) Calculați distanța de la originea sistemului de axe de coordonate la graficul funcției g. 9. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f (x) = 2x – 1 și g : ℝ → ℝ, g(x) = – x + 2. a) Reprezentați, în același reper cartezian, graficele funcțiilor f și g. b) Determinați coordonatele punctului de intersecție dintre graficul funcției f și graficul funcției g. c) Calculați: f (1) + f (2) + ... + f (10) + 2[g(1) + g(2) + ... + g(10)].

10. Două funcții f și g sunt egale dacă au același domeniu de definiție, același codomeniu și aceeași lege de corespondență (f (x) = g (x) pentru orice x din domeniul de definiție). a) Funcția f este dată prin diagrama alăturată, iar funcția g este definită prin: g : A → {–1, 0, 1}, g(x) = –x + 2. Scrieți elementele mulțimii A, știind că funcțiile f și g sunt egale.

1 0 –1

1 2 3

b) Se definesc funcțiile f, g : ℝ → ℝ, f (x) = 2x + 6 și g(x) = (a – 3) ⋅ x + b – 2. Determinați numerele a și b, știind că funcțiile f și g sunt egale. 11. Funcția f : ℝ → ℝ este definită prin: −2 x + 1, x < 0  = f ( x) 2, 0≤ x<2. 1 − x, x ≥ 2  Calculați f (–3), f (–1), f (0), f (1), f (2), f (5). 12. Graficului funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 4 intersectează axa Ox în punctul A și axa Oy în punctul B. a) Determinați coordonatele punctelor A și B. b) Determinați punctul C(c, 0), știind că bisectoarea unghiului ABC este situată pe axa ordonatelor.

Lecția 2. Reprezentarea grafică a funcțiilor f : D → ℝ, f(x) = ax + b, unde a, b ∈ ℝ și D este un interval de numere reale. Lecturi grafice y

Rezolvăm și observăm

Problema 1. Se consideră funcțiile:

f : ℝ → ℝ, f (x) = 2x + 3, g : [−4, −2 ) → ℝ, g (x) = 2x + 3, h : (0, 1 ) → ℝ, h (x) = 2x + 3, u : (2, ∞)→ ℝ, u (x) = 2x + 3, iar într-un reper cartezian xOy, se consideră punctele: A(−4, −5), B(−2, −1), C(0, 3), D(1, 5) și E (2, 7). a) Reprezentați geometric punctele A, B, C, D și E. b) Demonstrați că punctele A, B, C, D și E sunt coliniare. c) Reprezentați, în același reper cartezian, graficele funcțiilor g, h și u. Rezolvare: a) Reprezentarea punctelor A, B, C, D și E este realizată în figura alăturată. b) Desenul realizat sugerează coliniaritatea punctelor A, B, C, D și E.

E D

3 C

–4

–2 B

1 2 –1

–5

O tehnică eficientă prin care demonstrăm coliniaritatea punctelor este următoarea: Scriem funcția de gradul I al cărei grafic este dreapta determinată de două dintre cele cinci puncte, de exemplu, AB și verificăm dacă punctele rămase, adică C, D și E, aparțin graficului acestei funcții. AB = Gt, unde t: ℝ → ℝ, t (x) = ax + b. A(−4, −5) ∈ AB ⇔ −4a + b = −5;

F B(−2, −1) ∈ AB ⇔ −2a + b = −1. 7 E −4a + b =−5 Obținem sistemul  , cu soluția a = 2 și b = 3.  −2a + b =−1 5 D Rezultă funcția t : ℝ → ℝ, t (x) = 2x + 3, care are același domeniu, același codomeniu și aceeași lege de corespondență cu funcția f. Spunem că funcțiile 3 C t și f sunt funcții egale și scriem t = f. Dreapta AB este reprezentarea grafică a funcției f, deci toate punctele graficului vor fi situate pe dreapta AB. Verificăm dacă punctele date aparțin graficului –4 –2 1 2 funcției f, adică dreptei AB. x O f(xC) = f(0) = 3 = yC , deci C(0, 3) ∈ AB. Analog, f(xD) = f(1) = 5 = yD, și –1 B f(xE) = f(2) = 7 = yE , adică D(1, 5) și E (2, 7) aparțin dreptei AB. În concluzie, punctele A, B, C, D și E sunt situate pe dreapta AB, deci sunt puncte coliniare. c) Formula care definește legea de corespondență pentru fiecare dintre funcțiile f, –5 A g, h și u este aceeași, adică x → y = 2x + 3, unde x∈D, mulțimea D fiind domeniul de definiție al funcției. Graficul fiecărei funcții este acea porțiune din graficul funcției f care corespunde domeniului de definiție: un segment sau o semidreaptă, după cum D este un interval mărginit sau nemărginit. Mulțimea ℝ este intervalul nemărginit, ℝ = (−∞, +∞). Graficul funcției f : ℝ → ℝ este dreapta AB. Din g : [− 4, −2 ) → ℝ, xA = −4 și xB = −2, rezultă că graficul funcției g este segmentul [AB), închis la stânga, deschis la dreapta. Din h : (0, 1) → ℝ, xC = 0 și xD = 1, rezultă că graficul funcției h este segmentul deschis (CD). Din u : (2, +∞) → ℝ, xE = 2, rezultă că graficul funcției u este semidreapta deschisă (EF.

Descoperim, înțelegem, exemplificăm Funcțiile g, h, u, din problema de mai sus, sunt restricții ale funcției f la intervalele [− 4, −2), (0, 1) respectiv (2, ∞). Reprezentarea geometrică a graficului unei funcții poate fi un instrument cu ajutorul căruia observăm, citim, identificăm, proprietăți ale funcțiilor.  Pentru o funcție f : D → ℝ, D ⊂ ℝ, prin lecturi grafice, putem identifica: • domeniul de definiție al funcției; • valori ale funcției, folosind ordonatele unor puncte ale graficului; • elemente ale domeniului, în care funcția are o valoare m, adică soluții ale ecuației f(x) = m; • mulțimea valorilor funcției, adică mulțimea Im f; • elemente ale domeniului, în care funcția are valori mai mici sau mai mari decât un număr m, adică soluții ale inecuației f(x) < m respectiv f(x) > m.  Dacă în același reper cartezian sunt reprezentate grafic două funcții, putem identifica soluțiile ecuației f(x) = g (x), adică abscisele punctelor în care se intersectează graficele celor două funcții.

Problema 2. În figura alăturată, sunt reprezentate grafic trei funcții: f, g și h. Graficul funcției f este dreapta PQ, graficul funcției g este dreapta PR, iar graficul funcției h este segmentul închis PQ. a) Folosind reprezentarea geometrică a graficelor: (i) stabiliți coordonatele punctelor P, Q și R; (ii) determinați imaginea numărului 3 prin cele trei funcții; (iii) determinați imaginea numărului 0 prin funcția g; (iv) demonstrați că −1 este o valoare a funcției h; (v) scrieți mulțimea valorilor funcției h.

b) Folosind coordonatele punctelor P, Q și R și graficele funcțiilor f , g și h, precizați, pentru fiecare funcție, domeniul de definiție, codomeniul Gf și legea de corespondență.

R 4 P 2 –1 y Q

Gh O x –1

M 3

Rezolvare: a) (i) P(3, 2), Q(−1, −1) și R (0, 4). (ii) P ∈ Gf ⋂ Gg ⋂ Gh și f (3) = g(3) = h(3) = 2. Observație: x = 3 este simultan soluție a ecuațiilor f (x) = g(x), f (x) = h(x), g(x) = h(x). (iii) Din R (0, 4)∈ Gg , rezultă g(0) = 4, deci imaginea lui 0 prin funcția g este 4. (iv) Din Q(−1, −1) ∈ Gh , rezultă h (−1) = −1, deci −1 este valoarea funcției h în punctul −1. (v) Reprezentarea grafică a funcției h este segmentul [PQ] cu P(3, 2), Q(−1, −1). Prin lectură grafică, M(x, y) ∈ [PQ], dacă și numai dacă y este imagine a unui element din intervalul [–1, 3], adică y ∈[−1, 2]. Prin urmare, Im h = [−1, 2].  P (3, 2) ∈ G f . b) Graficul funcției f este dreapta PQ, deci D = ℝ, adică f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, astfel încât  Q(−1, − 1) ∈ G f 2  3a + b = 3 1 3 1 Atunci,  cu soluția a = și b = − . Am obținut f : ℝ → ℝ, f (x) = x− . − a + b = − 1 4 4 4 4   P (3, 2) ∈ Gg 2  3m + n = 2 . Atunci,  cu soluția m = − și Analog, g : ℝ → ℝ, g (x) = mx + n, astfel încât  4 3 m ⋅ 0 + n =  R (0, 4) ∈ Gg 2 n = 4. Am obținut g : ℝ → ℝ, g(x) = − x+4. 3 Punctul M(x, y) aparține segmentului închis PQ dacă și numai dacă x ∈ [−1, 3] și y = h(x), deci 3 1 3 1 M(x, y) ∈ Gh ⇔ x ∈ [−1, 3] și = y h(= x) x − . Rezultă h : [−1, 3] → ℝ, h(x) = x− . 4 4 4 4 Concluzii. În reperul cartezian xOy, considerăm funcția f : D → ℝ, f(x) = ax + b, unde a, b ∈ ℝ.  Dacă D este un interval de forma (p, q), [p, q], (p, q] sau [p, q), p, q ∈ ℝ, atunci graficul Gf al funcției f este segmentul PQ, unde P (p, ap + b) și Q (q, aq + b). Fiecare dintre punctele P sau Q aparține sau nu aparține graficului funcției f, după cum D este interval închis sau interval deschis la capătul corespunzător.  Dacă D este un interval de forma (p, +∞) sau [p, +∞), p ∈ ℝ, atunci graficul Gf al funcției f este semidreapta PM, unde P(p, ap + b), iar M(m, am + b) și m > p. Punctul P aparține sau nu aparține graficului funcției f, după cum intervalul D este interval închis la stânga sau interval deschis la stânga.  Dacă D este un interval de forma (−∞, p) sau (−∞, p], p ∈ ℝ, atunci graficul Gf al funcției f este semidreapta PM, unde P(p, ap + b), iar M(m, am + b) și m < p. Punctul P aparține sau nu aparține graficului funcției f, după cum intervalul D este interval închis la dreapta sau interval deschis la dreapta.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Exemplul 1

Exemplul 2

y 3

M 3

2 –1 O

3 x

S 1 –2

Problemă rezolvată. Graficul funcției f : I → ℝ, f(x) = ax + b are ca reprezentare geometrică segmentul închis AB, unde A(−8,−3) și B(0, 3). a) Determinați domeniul de definiție al funcției f. b) Determinați numerele reale a și b. Rezolvare: a) Domeniul de definiție al funcției f este mulțimea absciselor punctelor M, situate pe segmentul închis AB. Din xA = – 8 și xB = 0, rezultă xA < xB. adică I = [xA, xB] = [−8, 0]. b) Din B(0, 3)∈Gf, rezultă f(0) = 3 ⇔ 0 ⋅ a + b = 3 , deci b = 3. 3 Din A(−8, −3)∈Gf, rezultă f(−8) = −3 ⇔ − 8a + b = −3⇔ − 8a + 3 = −3, deci a = . 4 Minitest

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

Segmentul deschis AB reprezintă graficul unei funcții f : D → ℝ, f(x) = a · x + b, a, b ∈ ℝ. 30 p 30 p 30 p

1. Domeniul de definiție al funcției f este: A. (−3, 4); B. (1, 2); C. (−3, 2); D. (2, 4). 2. Mulțimea valorilor funcției f este: A. ℝ; B. (1, 2); C. (−3, 4); D. (1, 4). 3. Dacă M(m, n) este un punct situat pe segmentul deschis AB, atunci: A. m ∈ (−3, 2); B. n < 1; C. m > 2; D. n ∈ (4, +∞).

y 4

A O –3

1 2

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Se consideră funcțiile: f : [2, 4] → ℝ, f (x) = −2x + 3; g : (1, 4) → ℝ, g (x) = −x +3; h: (−4, 1] → ℝ, h (x) = 2x + 5; u : [−2, 3) → ℝ, u (x) = −2x + 1. a) Reprezentați grafic funcțiile date. b) Stabiliți imaginea fiecărei funcții, prin lectură grafică.

2. Se consideră funcțiile: f : [2 , ∞) → ℝ, f (x) = 2x − 3; g : (−∞, 4) → ℝ, g (x) = −x −2; h : (−4, ∞) → ℝ, h (x) = −2x − 5; u : (−∞, 1] → ℝ, u (x) = − 3 a) Reprezentați grafic funcțiile. b) Stabiliți imaginea fiecărei funcții, prin lectură grafică.

3. Pentru m, n numere reale, se definește funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = (m – 1) ⋅ x + 2n + 3. a) Determinați m și n astfel încât punctele A(–1, 1) și B(2, 4) să aparțină graficului funcției.

8. a) Determinați valoarea lui m pentru care punctul A(1, m2) ∈ Gf , unde f : ℝ → ℝ, f (x) = (m2 – 2)x + m. b) Pentru m determinat la subpunctul a), reprezentați grafic funcția f.

b) Reprezentați grafic funcția, într-un sistem de axe ortogonale, în condițiile subpunctului a).

9. a) Determinați funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = ax + b, al cărei grafic conține punctele A(2, 1) și B(6, –1) .

4. a) Determinați funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = ax + b, al 5  cărei grafic conține punctele A(5, 6) și B  , 4  . 3  b) Determinați punctele de intersecție dintre graficul funcției și axele de coordonate, apoi trasați graficul Gf.

b) Determinați punctele de intersecție dintre graficul funcției și axele de coordonate, apoi trasați graficul Gf.

5. Se dau funcțiile:

3x + 2 ; 4 3 g : [6, 8] → ℝ, g (x)= − x + 14; 2 h : [2, 8] → ℝ, h (x) = 2.

f : [2, 6] → ℝ, f (x) =

Se notează cu A, B și C punctele de intersecție ale graficelor acestor funcții, după cum urmează: Gf ∩ Gg ={A}; Gg ∩ Gh ={B}; Gh ∩ Gf ={C}.

a) Reprezentați grafic funcțiile, în același sistem de axe de coordonate. b) Prin lectură grafică, identificați coordonatele punctelor A, B și C. c) Calculați aria triunghiului ABC. d) Calculați lungimile laturilor triunghiului ABC. 6. Funcția f: ℝ → ℝ se definește prin: x≤2 | x |, f(x) =  . 7 − 2 x, x > 2 a) Calculați f(–1), f(2), f(a), f(a2), unde a ∈ ℝ. b) Rezolvați ecuația f(x) = 1. 7. Graficele funcțiilor f: ℝ → ℝ, f (x) = a și g: ℝ → ℝ, g(x) = 2x + b se intersectează în punctul A(–1; 2). a) Determinați numerele a și b și rescrieți legile de corespondență ale celor două funcții. b) Reprezentați grafic funcțiile f și g, în același sistem de coordonate, xOy. c) Știind că Gf ∩ Oy = {B}, Gf ∩ Gg = {C}, Gg ∩ Ox = {D}, calculați aria patrulaterului BCDO.

c) Calculați aria cuprinsă între graficul funcției și axele de coordonate.

10. Determinați numărul real a, știind că punctul A(a, 1) se află pe graficul funcției f: ℝ → ℝ, f (x) = –x + 0,5a. 11. Reprezentați grafic funcțiile: a) f : {x ∈ ℝ | |x| ≤

3 } → ℝ, f ( x) =

3 ⋅ x −1 ;

−2, x < 0  b) f : ℝ → ℝ, f(x) =  0, x = 0 .  2, x > 0 

12. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, unde f (x) = ax + b. a) Determinați numerele a și b pentru care punctele A(2, 0) și B(0, 6) aparțin graficului funcției f. b) Reprezentați grafic funcția, într-un sistem de axe ortogonale, în condițiile subpunctului a). c) Calculați distanța de la originea reperului cartezian la graficul funcție reprezentate la subpunctul b). d) Dacă M este simetricul punctului A, iar N este simetricul lui B față de originea sistemului de axe ortogonale, determinați perimetrul și aria patrulaterului ABMN. 13. Se consideră funcțiile f : [–2, 0] → ℝ, f(x) = x + 2 și g : [0, 2] → ℝ, g(x) = –x + 2. a) Reprezentați grafic, în același sistem de coordonate, funcțiile f și g. b) Determinați măsura unghiului format de dreptele suport ale graficelor celor două funcții. c) Dacă Gf ⋂ Ox ={A }, Gg ⋂ Ox ={B }, calculați lungimea segmentului AB.

3.3. ELEMENTE DE STATISTICĂ. INDICATORII TENDINȚEI CENTRALE Lecția 1. Sortarea și organizarea unor date după criterii de tip dependență funcțională, frecvența absolută Ne amintim  Datele statistice sunt date cantitative afectate de o mulțime de cauze (după Yule și Kendall), caracterizări ale unor entități reale sau imaginare. Datele pot fi scrise prin simboluri, numere, litere, grupuri de litere, imagini, note muzicale și altele.  Mulțimea tuturor unităților (de orice natură, care au una sau mai multe însușiri esențiale comune), asupra cărora se realizează un studiu statistic, se numește populație statistică. Numărul unităților participante la studiu (cardinalul populației statistice) se numește efectiv al populației statistice.  Trăsătura comună a unităților se numește caracteristică sau variabilă. Aceasta ia valori, nu toate identice.  Numărul aparițiilor unei valori a variabilei într-un set de date se numește frecvența absolută a acelei valori a variabilei. Exemplu: Notele obținute de cei 25 de elevi ai unei clase la un test de cunoștințe determină o variabilă notată cu T și un set de date, corespunzătoare valorilor variabilei T. T: 8, 6, 10, 7, 5, 9, 8, 10, 8, 9, 7, 10, 8, 7, 5, 9, 10, 8, 9, 9, 7, 9, 8, 7, 8. Variabila definită ia valori numerice, numere naturale, mai mari sau egale cu 5 și mai mici sau egale cu 10.  Unele seturi de date fac o caracterizare, o apreciere, printr-o calitate a elementelor populației statistice (de exemplu, culoarea ochilor). Acestea sunt date calitative și definesc o variabilă calitativă.

 Exemplul de mai sus prezintă un set de date exprimate prin numere. Acestea sunt date numerice sau cantitative și definesc o variabilă numerică sau cantitativă.

Descoperim, înțelegem, exemplificăm Forma în care sunt prezentate datele este uneori greu de urmărit și de analizat. Ar fi utilă o grupare a datelor. Valorile variabilelor numerice pot fi ordonate, ceea ce aduce avantaje importante în prezentarea sintetică a datelor. Exemplu: Înregistrând înălțimea, în cm, a fiecărui elev dintr-o clasă, obținem setul de date numerice din tabelul alăturat. Datele din acest tabel sunt greu de observat, avem nevoie de o altă scriere mai organizată a datelor.

159 143 143 156

144 149 154 143

138 149 154 132

147 138 136 152

154 145 149 143

135 145 132 134

159 156 132 155

 Ordonăm crescător valorile variabilei numerice dată de înălțimea elevilor clasei și alcătuim tabelul următor. Înălțimi existente

132 134 135 136 138 143 144

145 147 149 152 154 155 156 159

Înălțimi din setul de date

143 132 138 143 132 134 135 136 144 138 143 132 143

149 154 145 156 159 147 149 152 154 155 145 156 159 149 154

Numărul aparițiilor (frecvența)

100

Tabelul de mai sus ne oferă posibilitatea să răspundem la mai multe întrebări. Întrebarea

Răspunsul

1. Care este diferența dintre cel mai înalt și cel mai scund elev?

159 – 132 = 27 (cm) Cel mai mare număr de elevi care 2. Care este numărul cel mai mare de elevi care au aceeași înălțime? au aceeași înălțime este 4. Ce înălțime au aceștia? Aceștia au înălțimea de143 cm. 3. Câți elevi au înălțimea mai mare de 150 cm? 1 + 3 + 1 + 2 + 2 = 9 (elevi) 4. În câte moduri putem forma echipe de câte trei elevi cu aceeași înălțime? 1 + 1 + 1 + 4 = 7 (echipe). Din tabel, rezultă că putem forma o echipă de elevi cu înălțimea de 132 cm, o echipă de elevi cu înălțimea de 149 cm și o echipă de elevi cu înălțimea de 154 cm. Există 4 elevi cu înălțimea de 143 cm. Cum o mulțime cu 4 elemente are exact 4 submulțimi cu 3 elemente, deducem că există 4 moduri de a forma echipe de câte 3 elevi cu înălțimea de 143 cm. În total, vor fi 1 + 1 + 1 + 4 = 7 (echipe). Valorile variabilei numerice înălțimea elevilor sunt numere întregi, cuprinse între 132 și 159. Observând tabelul anterior, constatăm că sunt puțini elevi care au aceeași înălțime.  Putem forma grupe de înălțimi sau clase de valori, astfel: Împărțim intervalul [132, 159], de lungime 159 – 132 = 27 în următoarele intervale: [131, 135], [136, 140], [141, 145], [146, 150], [151, 155], [156, 160], înregistrând înălțimile din fiecare interval în tabelul de mai jos. Intervalul/ clasa Înălțimea elevilor (în cm) Numărul elevilor care au aceste înălțimi

[131, 135]

[136, 140]

[141, 145]

[146, 150]

[151, 155]

[156, 160]

132, 132, 132, 136, 138, 143, 143, 143, 143, 147, 149, 152, 154, 154, 156, 156, 134, 135 138 144, 145,145, 149, 149 154, 155 159, 159 5

Observație: Valorile aceleiași caracteristici (variabile) au fost înregistrate, în trei moduri diferite, în cele trei tabele. Se poate constata cu ușurință că, dintre ele, cel mai sintetic și cel mai eficient este ultimul tabel. Știm să aplicăm, identificăm conexiuni  A realiza tabelul frecvențelor absolute înseamnă a înregistra, într-un tabel, dependența funcțională de la mulțimea valorile caracteristicii la mulțimea numerelor naturale, prin care fiecărei valori a variabilei i se pune în corespondență frecvența sa absolută. Exemplul 1. Culoarea ochilor celor 8 elevi care participă la cursul de pictură este redată în tabelul alăturat. Mulțimea valorile variabilei: {albaștri, verzi, căprui, negri}. Suma frecvențelor absolute este numărul elevilor care participă la cercul de pictură, efectivul populației statistice, adică 8.

Culoarea ochilor albaștri verzi căprui negri

Exemplul 2. Notele obținute de cei 25 de elevi ai unei clase la un test de cunoștințe sunt înregistrate în tabelul alăturat. Mulțimea valorilor variabilei: {5, 6, 7, 8, 9, 10}. Suma frecvențelor absolute este numărul elevilor care participă la test, adică 25.

Nota Frecvența absolută

Frecvența absolută 2 1 3 2

101

Minitest

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

Un club de fotbal are 22 de jucători, dintre care 3 sunt portari, 8 sunt fundași, 6 sunt mijlocași și 5 sunt atacanți. Conducerea clubului realizează un studiu privind eficacitatea atacanților echipei, în funcție de numărul golurilor înscrise în ultima ediție a campionatului național. Baza de date a clubului prezintă numărul golurilor marcate de atacanți, raportat la meciurile jucate, astfel:

30 p

Jucător (atacant)

Raportul între numărul golurilor marcate și numărul meciurilor jucate

8 12

9 15

7 10

12 15

10 15

1. Efectivul populației statistice este: A. 22;

30 p

B. 5;

C. 8;

D. 6.

2. Variabila studiului statistic este:

30 p

A. Numărul golurilor înscrise;

B. numărul meciurilor jucate;

C. numărul golurilor marcate ; numărul meciurilor jucate

D. numărul meciurilor jucate . numărul golurilor marcate

3. Cel mai eficient atacant a fost: A. A1

B. A2;

C. A3;

D. A4.

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. În vederea unor prelucrări statistice, dirigintele unei clase cu 28 de elevi culege, din catalog, mediile obținute la matematică în anul școlar precedent. Precizați: populația statistică, efectivul populației și variabila studiului statistic. 2. La o firmă, a fost creată o bază de date referitoare la vechimea în muncă și la nivelul studiilor angajaților unui compartiment, după cum urmează: Angajat A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 Vechime 6 8 5 5 6 8 8 7 8 7 (ani) Nivelul Studii Studii Studii Studii Studii Studii Studii Studii Studii Studii studiilor medii superioare superioare medii superioare superioare superioare superioare superioare superioare a) Realizați tabelul frecvențelor absolute corespunzător variabilei „vechime în muncă” și tabelul frecvențelor absolute corespunzător variabilei „nivelul studiilor”. b) Exprimați în procente cât reprezintă numărul angajaților cu studii medii, din numărul celor cu studii superioare. c) Determinați vechimea pe care o au cei mai mulți angajați (vechimea cu frecvența cea mai mare). 3. Timp de 20 de zile consecutive s-a înregistrat, într-un tabel, cantitatea de deșeuri, în kg, rezultată în urma procesului de producție la o fermă. Ziua Z1 Cant. 78

102

Z10 Z11 Z12 Z13 Z14 Z15 Z16 Z17 Z18 Z19 Z20

a) Stabiliți valoarea maximă a cantității de deșeuri care se produce la fermă într-o zi. b) Realizați tabelul frecvențelor corespunzător variabilei „cantitatea de deșeuri”. c) Grupați datele în clase de valori. Realizați două astfel de grupări. 4. O fabrică de autoturisme a realizat, în fiecare din ultimii trei ani, o creștere a producției cu 10% față de anul precedent. a) Știind că în anul 2020, fabrica a produs 100 000 de autoturisme, completați tabelul următor: Anul Număr autoturisme produse

2020 100 000

2021

2022

2023

b) Calculați numărul total de autoturisme realizate în ultimii trei ani înregistrați în tabel. 5. La un concurs de matematică, elevii unei școli au obținut următoarele punctaje, din 100 de puncte posibile: 75, 64, 58, 81, 76, 93, 96, 58, 65, 73, 84, 82, 97, 51, 99, 100, 87,100, 64, 86, 99, 53, 77, 62,74, 55, 98, 60, 70, 88. a) Realizați tabelul frecvențelor absolute corespunzător variabilei „punctaj”. b) Grupați datele în clase de valori, completând următorul tabel: Interval de punctaj Număr elevi

< 50 0

50 – 59 5

60 – 69

70 – 79

80 – 89

90 – 100

Lecția 2. Tabelul frecvențelor absolute. Reprezentarea geometrică a seriilor statistice Descoperim, înțelegem, exemplificăm  Pentru a fi cât mai ușor de observat, de comparat, de evaluat, dependența funcțională prin care fiecărei valori a variabilei i se pune în corespondență frecvența sa absolută se reprezintă geometric prin grafice, diagrame, folosind sisteme de axe de coordonate în plan. Punctele graficului vor avea abscisele date de valorile variabilei și ordonatele date de frecvențele lor absolute. Pentru fiecare exemplu parcurs în lecția anterioară, vom realiza tabelul frecvențelor, diagramele sau/și graficele corespunzătoare.  Diagrama circulară ne ajută să vizualizăm ponderea fiecărei valori a variabilei, fie prin frecvența absolută, fie procentual. Exemplul 1. Culoarea ochilor

Frecvența absolută

albaștri

verzi

căprui

negri

Culoarea ochilor

4 3

negri 25%

2 1 0

albaștri

verzi

căprui

negri

căprui 37,5%

albaștri 25% verzi 12,5%

albaștri verzi căprui negri

2 1 ⋅ 100 % = 25 % din total, frecvența absolută 1 reprezintă ⋅ 100 % = 12,5 % 8 8 3 din total, frecvența absolută 3 reprezintă ⋅ 100 % = 37,5 % din total. 8

Frecvența absolută 2 reprezintă

103

Exemplul 2. Frecvența absolută

Nota la test

Nota la test Frecvența absolută

Nota

8 7 6 5 4 3 2 1 0

8% 16%

5 6

20% 24%

8 9 10

28%

Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota 10

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Exemplul 3. Înălțimea elevilor clasei, tabelul frecvențelor absolute Înălțimea Frecvența Înălțimea Frecvența Înălțimea Frecvența Înălțimea Frecvența Înălțimea Frecvența 132

136

144

149

155

134

138

145

152

156

135

143

147

154

159

Graficul dependenței funcționale corespunzătoare frecvențelor absolute ale înălțimilor elevilor este mulțimea {(132, 3), (134, 1), (135, 1), (136, 1), (138, 2), (143, 4), (144, 1), (145, 2), (147, 1), (149, 3), (152, 1), (154, 3), (155, 1), (156, 2), (159, 2)}. Din această mulțime se pot extrage informații cu dificultate.

Frecvența absolută

Vom reprezenta geometric acest grafic pentru a avea o imagine mai clară asupra ponderii valorilor înălțimilor. Înălțimea elevilor – graficul dependenței 5 4 3 2 1 0

132

134

135

136

138

143

144

145

147

149

152

154

155

156

159

Înălțimea

Frecvența absolută

Reprezentăm apoi poligonul frecvențelor care oferă o imagine mai clară asupra ponderii valorilor înălțimilor.

104

Poligonul frecvențelor 5 4 3 2 1 0

132

134

135

136

138

143

144

145 147 Înălțimea

149

152

154

155

156

159

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

Minitest

Seria statistică: 75, 80, 76, 65, 81, 54, 76, 91, 87, 69, 75, 90, 88, 58, 74, 59, 64, 75, 77, 83 reprezintă numărul cărților împrumutate de la bibliotecă, de către elevii unei școli, pe parcursul a 20 zile. 30 p

1. Numărul zilelor în care au fost împrumutate cel puțin 75 de cărți este: A. 12 zile;

30 p

B. 10 zile;

D. 13 zile.

2. Tabelul frecvențelor f ale variabilei „n = cărți împrumutate”, grupate în clasele n < 75, n = 75 respectiv n > 75 este: B.

30 p

C. 15 zile;

< 75

= 75

> 75

< 75

= 75

> 75

< 75

= 75

> 75

< 75

= 75

> 75

3. Linia poligonală corespunzătoare seriei de date statistice de la cerința anterioară este: A. 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

B. 11

2 < 75

= 75

> 75

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

C. 10 7 3

< 75

= 75

> 75

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

10 6 4

< 75

= 75

> 75

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

10 8

2 < 75

= 75

> 75

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Datele obținute la sondajul realizat în rândul elevilor de clasa a VIII-a dintr-o școală, cu privire la profilul și specializarea pe care doresc să le urmeze în învățământul liceal sunt următoarele: Clasa

Total opțiuni 32

Profilul, specializarea a VIII-a A a VIII-a B a VIII-a C a VIII-a D Real, matematică-informatică (R–MI) 6 8 10 8 Real, științe ale naturii (R–SN) 7 5 8 6 Uman, filologie (U–F) 3 5 3 8 Sportiv, gimnastică (S–G) 4 5 2 Artistic, arte plastice (A–AP) 4 5 3 Număr total al elevilor clasei 24 28 24 24 a) Copiați pe caiete și completați ultima coloană a tabelului, b) Stabiliți specializarea dorită de cei mai mulți elevi. c) Determinați, în procente, ponderea elevilor care doresc să urmeze profilul real, specializarea matematică-informatică. d) Realizați, în același reper, diagramele cu bare pentru variabila „Profil, specializare” corespunzătoare fiecărei clase a VIII-a din studiul realizat. e) Reprezentați geometric graficul corespunzător opțiunilor fiecărei clase.

105

2. Cinci sportivi participă la o competiție/întrecere de tir. Fiecare sportiv trage de trei ori la țintă. Punctajele posibile sunt numerele naturale de la 0 la10, iar rezultatele celor cinci sportivi sunt reprezentate în diagrama de mai jos.

Număr de puncte

Rezultate tragere la țintă 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

3. Tabelul de mai jos clasifică elevii unei clase după tipul de literatură pe care o preferă. Tip

Tragerea 1 Tragerea 2 Tragerea 3 S1

Sportivii

a) Copiați pe caiete și completați casetele libere cu rezultatele extrase din diagramă, după model. S1 S2 S3 S4 S5

b) Realizați tabelul frecvențelor variabilei rezultatul tragerii, care descrie numărul de puncte obținute la o tragere, de către un sportiv. c) Folosind tabelul realizat la subpunctul a), realizați graficul corespunzător variabilei rezultatul tragerii.

Tragerea 1 8

Tragerea 2 9

Tragerea 3 10

Cărți Romane Cărți de științificoTotal polițiste fantastice aventuri Nr. elevi Fete 3 4 Băieți 3 3 Total 10 8 a) Copiați pe caiete și completați casetele libere ale tabelului. b) Indicați tipul de literatură preferat de cele mai multe fete, apoi tipul de literatură preferat de cei mai mulți băieți. c) Reprezentați, în același reper, folosind culori diferite, poligonul frecvențelor variabilei „Tipul de literatură preferat de fete”, apoi poligonul frecvențelor variabilei „Tipul de literatură preferat de băieți”.

Lecția 3. Indicatorii tendinței centrale. Interpretarea indicatorilor tendinței centrale a unui set de date Descoperim, înțelegem, exemplificăm Statistica studiază fenomene sau procese pe baza cărora definim variabile statistice. Tabelele și reprezentările grafice studiate prelucrează întreaga cantitate de date, uneori fiind greu de interpretat datorită volumului mare de informații. Putem elimina acest neajuns, definind anumiți descriptori numerici, numiți indicatori statistici. Principalele avantaje aduse de utilizarea indicatorilor statistici este ușurința interpretării și condensarea unui volum mare de informații într-o valoare unică a variabilei. În cazul unei variabile numerice X, este ușor să remarcăm valorile sale extreme. Notăm cu Min(X) valoarea cea mai mică și cu Max(X) valoarea cea mai mare a variabilei numerice.  Cu ajutorul indicatorilor Min și Max, definim amplitudinea absolută a variabilei, obținând astfel un indicator statistic al împrăștierii valorilor variabilei. Definiția 1. Amplitudinea unei variabile numerice X este diferența între valoarea maximă și valoarea minimă a valorilor variabilei statistice. A(X) = Max(X) – Min(X). Observație: Sunt situații în care valorile Min și Max sunt neobișnuite, iar rezultatul la care ajungem conduce la concluzii greșite. În aceste situații se poate opta pentru o serie cu amplitudinea mai mică, obținută prin eliminarea valorilor extreme.

106

 Tendința centrală a unui set de date indică modul în care se grupează datele în jurul unei valori și oferă o caracterizare sintetică asupra întregii variabile numerice. În analiza variabilelor numerice, cei mai utilizați indicatori ai tendinței centrale sunt: media, mediana și modul. I1

Media aritmetică a unei variabile statistice reprezintă valoarea în jurul căreia variază datele setului.

 Pentru o populație cu N unități statistice se consideră variabila numerică X, care ia valorile reale x1, x2, x3, ..., xN. Definiția 2. Se numește media variabilei numerice X numărul real notat M(X), egal cu media aritmetică a numerelor x1, x2, x3, ..., xN.

Scriem M(X) =

x1 + x2 + ... + xN . N

Observație: Dacă numărul valorilor variabilei nu este egal cu numărul unităților, deci aceeași valoare a variabilei caracterizează mai multe unități și apare în tabelul de date de mai multe ori, frecvența absolută a valorii respective reprezintă ponderea acestei valori în calculul mediei.  Pentru o populație cu N unități statistice, se consideră variabila numerică X cu valorile x1, x2, x3, ..., xp, având frecvențele absolute (ponderile) n1, n2, n3, ..., np, astfel încât n1 + n2 + n3 + ... + np = N. Definiția 3. Media variabilei numerice X este media aritmetică ponderată a valorilor x1, x2, x3, ..., xp, cu ponderile n1, n2, n3, ..., np.

M (X ) =

x1 ⋅ n1 + x2 ⋅ n2 + ... + x p ⋅ n p N

Observație: Ordinea valorilor setului de date nu contează în calculul mediei. I2

ediana unei variabile numerice X, notată Me(X) reprezintă valoarea centrală a setului, după ordonarea M acestuia.

Definiția 4. Mediana unei variabile numerice X este valoarea care împarte setul de date în două părți cu același număr de elemente: jumătate dintre datele numerice au valori mai mici decât mediana, iar jumătate au valori numerice mai mari decât mediana.  Pentru variabila numerică X, cu valorile ordonate: x1 < x2 < … < xk < xk + 1 < xk + 2 < x2k + 1, mediana setului de date este Me(X) = xk + 1.

 Pentru variabila numerică X, cu valorile ordonate: x1 < x2 < … < xk < xk + 1 < xk + 2 < x2k, mediana setului de date x + xk + 1 este Me ( X ) = k . 2

Aplicația 1. Salariile angajaților unei societăți comerciale, în luna ianuarie, sunt date prin următorul set de valori numerice: S: 2500, 2400, 2100, 2500, 9990, 1980, 1990, 2230, 2780, 2450, 2124. a) Calculați media salariilor angajaților, pentru luna ianuarie. b) Ordonați crescător salariile angajaților și determinați mediana variabilei. Rezolvare: a) Folosim formula mediei aritmetice și obținem M(S) = 3004 lei. b) S: 1980, 1990, 2100, 2124, 2230, 2400, 2450, 2500, 2500, 2780, 9990. cinci valori

cinci valori

Dintre cele 11 valori ale variabilei, 5 sunt mai mici decât 2400 și 5 sunt mai mari decât 2400. Rezultă că mediana este 2400. Vom scrie Me(S) = 2400.

107

Modul sau valoarea modală a unui set de date numerice X se notează Mo(X) și este un indicator de poziție.

Definiția 5. Modul sau valoarea modală a unui set de date nu- Observație: Modul nu este neapărat unic, merice reprezintă valoarea sau valorile variabilei corespunzătoare există seturi de date cu mai multe valori care corespund frecvenței maxime. celei mai mari frecvențe. Temă de portofoliu Folosind datele de la aplicația 1: a) Alcătuiți setul de date DIF 1, corespunzător diferenței dintre salariul real al fiecărui angajat și media salariilor. b) Alcătuiți setul de date DIF 2, corespunzător diferenței dintre salariul real al fiecărui angajat și valoarea mediană. c) Calculați mediana setului de date DIF 1 și mediana setului de date DIF 2. d) Stabiliți care dintre indicatorii tendinței centrale calculați oferă o caracterizare mai realistă.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Aplicația 2. Notele obținute de elevii unei clase la un test de cunoștințe sunt date de tabelul alăturat. Determinați amplitudinea setului de date și valorile indicatorilor centrali ai setului de date. Interpretați geometric valorile obținute. Nota Frecvența absolută

5 2

6 1

7 5

8 7

9 6

10 4

Rezolvare: Notăm variabila descrisă cu Nota și vom calcula indicatorii statistici ai acesteia. Mediana variabilei Nota este Me(Nota) = 8 pentru că, dacă ordonăm elevii în ordinea crescătoare a notei, atunci, elevul din mijloc are nota 8. Primele douăsprezece note (2 + 1 + 5 + 4), sunt cel mult egale cu 8, iar ultimele 12 note (4 + 6 + 2) sunt cel puțin egale cu 8. Min(Nota) = 5, Max(Nota) = 10, A(Nota) = 10 – 5 = 5.

Nota la test

Frecvența absolută

Mo(Nota) = 8 pentru că valoarea 8 a variabilei are frecvența maximă, ceea ce ne spune că, la acest test, nota cea mai întâlnită (dominantă) este nota 8.

Media variabilei Nota este 8,04 pentru că 5 ⋅ 2 + 6 ⋅ 1 + 7 ⋅ 5 + 8 ⋅ 7 + 9 ⋅ 6 + 10 ⋅ 4 M(Nota) = = 8,04. 25 Observație: Valorile celor trei indicatori ai tendinței centrale, Me(Nota) = 8, Mo(Nota) = 8, M(Nota) = 8,04 sunt atât de apropiate întrucât distribuția este destul de echilibrată, iar diferența între valorile extreme este relativ mică.  Indicatorul de poziție, mod, poate fi folosit și pentru variabile calitative.

108

8 7 6 5 4 3 2 1 0

Reținem!  Mediana variabilei numerice X, notată Me(X), este valoarea variabilei pentru care jumătate dintre datele numerice au valori mai mici, iar jumătate au valori numerice mai mari decât aceasta.  Modul sau valoarea modală a unui set de date numerice, notat Mo(X), reprezintă valoarea sau valorile variabilei corespunzătoare celei mai mari frecvențe. Minitest

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

Un curier trebuie să distribuie 5 colete, având masa: 400 g, 575 g, 1 kg, 1,25 kg, respectiv 0,600 kg. 30 p

1. Ordinea descrescătoare a masei coletelor este: A. 1,25 kg; 1 kg; 0,6 kg; 575 g; 400 g; C. 575 g; 400 g; 1,25 kg; 1 kg; 0,6 kg;

B. 1,25 kg; 1 kg; 575 g; 400 g; 0,6 kg; D. 0,6 kg; 1 kg; 1,25 kg; 400 g; 575 g.

30 p

2. Media variabilei numerice „masa unui colet” este: A. 675 g; B. 700 g;

C. 765 g;

D. 650 g.

30 p

3. Mediana seriei de date corespunzătoare masei coletelor este: A. 1,25 kg; B. 0,6 kg; C. 1 kg;

D. 575 g.

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm

Nota Frecvența

4 1

5 4

6 5

7 7

8 13

9 14

10 6

2. Pentru măsurători de laborator, se alege următorul set de greutăți: 4 g, 3 g, 2 g, 5 g, 1 g, 10 g, 15 g. Ordonați crescător valorile greutăților și determinați valoarea mediană a seriei statistice. Comparați valoarea medianei greutăților cu valoarea medie a acestora. 3. Într-o cofetărie s-au vândut cinci tipuri diferite de ciocolată. Pentru fiecare tip de ciocolată, s-a încasat aceeași sumă de bani, suma totală fiind de S lei. a) Determinați prețul mediu de vânzare a ciocolatei, știind că prețurile pentru fiecare tip de ciocolată sunt cele din tabelul de mai jos. Produsul Prețul, în lei/bucată

A 1

B 8

C 5

D 2

E 4

b) Știind că suma totală încasată este S = 1000 lei, determinați numărul de bucăți de ciocolată vândută din fiecare fel și alcătuiți tabelul frecvenței vânzărilor pentru diferite tipuri de ciocolată.

4. Pe un raft, se află patru sticle diferite cu apă minerală, având capacitatea: 300 ml; 500 ml; 1 l și 1,5 l. a) Determinați valoarea mediană, Me, a seriei statistice corespunzătoare capacităților. b) Calculați diferența dintre valoarea mediană, Me și capacitatea medie, M, a sticlelor de pe raft. 5. Diagrama de mai jos ilustrează aprecierea impactului educațional al unei anumite emisiuni TV asupra unui grup de consumatori adolescenți. Aprecierea impactului educațional 5 Frecvența absolută

1. Calculați amplitudinea și media variabilei „Nota la test” a seriei statistice din următorul tabel:

4 3 2 1 0

Foarte mic

Mic

Nici mic, Mare Foarte nici mare mare

a) Determinați modul variabilei date și identificați, folosind diagrama, valorile modale. b) Realizați tabelul frecvențelor, folosind informațiile oferite de diagramă.

109

EVALUARE SUMATIVĂ SUBIECTUL I

20 de puncte

Stabiliți valoarea de adevăr a următoarelor propoziții.

1. Coordonatele punctului A formează perechea (1, –2).

2. Coordonatele punctului B formează perechea (2, –3).

3. D omeniul de definițíe al funcției este intervalul de numere reale [–3, 1]. 4. M ulțimea valorilor funcției este intervalul de numere reale [–2, 3].

SUBIECTUL AL II-LEA

u.m.

B O

[

Segmentul AB din figura alăturată reprezintă graficul funcției f : [a, b] → ℝ, f(x) = –x – 1, într-un sistem de axe ortogonale, xOy, cu unitatea de măsură dată.

20 de puncte

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect. 5p 5p 5p 5p

1. Punctul de intersecție dintre graficul funcției f și axa absciselor are coordonatele: A. (–3, 0); B. (–1, 0); C. (0, –1); D. (1, –2). 2. Punctul de intersecție dintre graficul funcției f și axa ordonatelor are coordonatele: A. (–2, 0); B. (0, –2); C. (–1, 0); D. (0, –1). 3. Mijlocul segmentului AB are coordonatele: A. (–1, 1); B. (1, 0); C. (–1, 0); D. (1, –1). 4. Aria triunghiului determinat de graficul funcției f și axele de coordonate este: B. 0,5 cm2; C. 2 cm2; D. 1,5 cm2. A. 1 cm2;

SUBIECTUL AL III-LEA

50 de puncte

Scrieți rezolvările complete.

5p 5p 5p 10 p 5p

5p 5p 5p 5p

1 1. S e consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x și g : ℝ → ℝ, g(x) = − x , iar d și d′ sunt reprezen2 tările geometrice ale graficelor acestora. a) Determinați ordonata punctului, situat pe graficul funcției f, care are abscisa egală cu 2. b) Determinați abscisa punctului, situat pe graficul funcției g, care are ordonata egală cu –1. c) Determinați coordonatele punctului în care se intersectează dreptele d și d′. d) Reprezentați în același sistem de axe ortogonale graficele funcțiilor f și g. e) Demonstrați că d ⊥ d′. 2. P e vârful Omu, în primele 15 zile ale lunii iunie, temperaturile minime înregistrate au fost: 1 °C, 2 °C, 3 °C, 1 °C, 0 °C, 2 °C, 0 °C, 2 °C, 3 °C, 5 °C, 4 °C, 2° C, 1 °C, 2 °C, 5 °C. a) Ordonați crescător valorile înregistrate. b) Realizați tabelul frecvențelor și precizați temperatura cu frecvența cea mai mare (MO). c) Calculați media temperaturilor minime înregistrate pe vârful Omu, în perioada analizată (M). d) Determinați mediana setului de date (Me). Timp de lucru: 45 de minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

110

ELEMENTE ALE GEOMETRIEI ÎN SPAȚIU

Geometria este ramura matematicii care se ocupă cu studiul proprietăților figurilor și corpurilor geometrice. Pentru a identifica tehnici prin care reprezentăm bidimensional1 un obiect tridimensional, să observăm și să comparăm imaginile: Remarcăm importanța convențiilor de realizare a desenelor pentru reprezentarea formelor geometrice. Imaginația ne ajută să privim obiectele desenate, pe care le vom „vedea” corpuri geometrice, din poziții diferite, să înțelegem și elementele care se „ascund” privirii. Convențiile de realizare a reprezentărilor bidimensionale vor fi precizate pentru fiecare tip de corpuri geometrice. Între imaginile alăturate, recunoaștem cubul și paralelipipedul dreptunghic. Observăm, de asemenea, obiecte cu contur rotund, din viața cotidiană. Pentru a reprezenta bidimensional un obiect din realitate, parcurgem următoarele etape: Pas 1. Observăm obiectul și identificăm corpul geometric (sau corpurile geometrice) care îl caracterizează. Pas 2. Stabilim conturul exterior, vizibil din poziția pe care o dorim. Pas 3. Realizăm reprezentarea corectă a configurației geometrice, folosind convenții care au la origine imaginea intuitivă.

Convenții de reprezentare  Unghiurile drepte se pot reprezenta, în funcție de poziția din care este „văzut” corpul, prin unghiuri proprii2, cu orice măsură.  Dreptele paralele se reprezintă prin drepte paralele.  Dreptunghiul, pătratul, rombul se reprezintă prin paralelograme.  Cercurile se pot reprezenta ca cercuri sau ca cercuri „turtite”.

Observație: Lista convențiilor de reprezentare prin desene va fi completată pe parcursul manualului.

4.1. PUNCTE, DREPTE, PLANE Lecția 1. Puncte, drepte, plane. Determinarea dreptei Descoperim, înțelegem, exemplificăm  Punctul, dreapta și planul sunt noțiunile fundamentale ale geometriei în spațiu. Acestea sunt reprezentate în plan prin desene și sunt notate folosind convențiile învățate în clasa a VI-a.  În fiecare plan din spațiu rămân adevărate axiomele geometriei plane și, de asemenea, toate rezultatele din geometria plană. 1 2

reprezentare bidimensională = reprezentare în plan, reprezentare cu două dimensiuni. unghi propriu = unghi cu măsura mai mare decât 0° și mai mică decât 180°.

111

 Geometria în spațiu se bazează pe următoarele afirmații, pe care le vom considera adevărate (axiome): A.1. În spațiu, prin orice două puncte distincte trece o singură dreaptă. Orice dreaptă conține cel puțin două puncte distincte. A.2. Prin trei puncte necoliniare trece un singur plan. Orice plan conține cel puțin trei puncte necoliniare. A.3. În spațiu, există cel puțin patru puncte necoplanare (nu există un plan care să le conțină pe toate). A.4. Dacă două plane distincte au un punct comun, atunci intersecția lor este o dreaptă, care conține acel punct. A.5. Printr-un punct exterior unei drepte, trece o singură dreaptă paralelă cu aceasta. Observație: Configurațiile geometrice spațiale pot fi reprezentate prin desen numai în mod convențional. Aplicația 1. Analizați imaginile următoare, identificați puncte, drepte, plane. Observați notațiile folosite și modul în care se citesc reprezentările în plan ale elementelor spațiului. Convenții de reprezentare și de notare

Convenții de citire

Planele α și β sunt identice

Convenții de reprezentare și de notare α β

Dreapta d este inclusă în planul α.

d⊂α

Planele α și β sunt distincte

α≠β

α=β

D A

Convenții de citire

A ∉ α B ∈ α

Punctul A este exterior planului α Punctul B aparține planului α

B B

A, B, C, D ∈ α

Punctele A, B, C, D sunt coplanare.

D A

Punctele A, B, C, D sunt necoplanare.

A, C, D ∈ α și B ∉ α

 Una sau mai multe condiții determină o figură geometrică dacă această figură este singura care verifică toate condițiile date. Exemplul 1. Enunțul „Prin orice două Exemplul 2. În legătură cu figura alăturată, b a A B puncte distincte trece o singură dreaptă“ sunt adevărate afirmațiile: d a) A ∉ d, A ∉ b; poate fi reformulat astfel: b) Punctele B și C determină dreapta b. Orice două puncte distincte determină C c) Punctele A și C determină dreapta a. o dreaptă. d) Punctele A, B, C sunt necoliniare. Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Teorema 1. Dacă două puncte distincte ale unei drepte aparțin unui plan, atunci această dreaptă este inclusă în plan.

B d'

Demonstrație: Fie d o dreaptă și α un plan care conține două puncte distincte A și B ale dreptei d. Din A, B ∈ α, aplicând în planul α axioma dreptei: „două puncte distincte determină o dreaptă”, rezultă că există o dreaptă d′ ⊂ α astfel încât A, B ∈ d′. Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă, deci d și d′ sunt drepte identice. Dar d′ ⊂ α, deci d ⊂ α.

112

Aplicația 2. În figura alăturată, pătratele ABCD și BCC′B′ sunt situate în plane diferite. Punctele M și N sunt mijloacele segmentelor AC respectiv BC. Demonstrați că: a) dreapta B′M nu este inclusă în planul pătratului ABCD; b) dreapta B′N este inclusă în planul pătratului BCC'B'; c) dreapta MN este inclusă în planul pătratului ABCD; d) dreapta AN nu este inclusă în planul pătratului BCC'B'.

B' D M

Rezolvare: a) Notăm cu α planul pătratului ABCD și cu α′ planul pătratului BCC′B′. Cum B′ ∉ α, rezultă B′M ⊄ α. b) Dar BC ⊂ α′, N ∈ BC, deci N ∈ α′. Cum B′ ∈ α′ și N ≠ B′ dreapta B′N are două puncte distincte, N și B′ în planul α′, al pătratului BCC′B′, deci este inclusă în acest plan. c) Planul triunghiului ABC este chiar planul α. Din M ∈ AC și AC ⊂ α, rezultă M ∈ α. La fel, din N ∈ BC și BC ⊂ α, rezultă N ∈ α. În concluzie, α conține punctele distincte M și N, adică MN ⊂ α. d) Din A ∉ α′, rezultă AN ⊄ α′. Minitest 30 p

B. B, C, F;

C. C, D, E;

D. D, A, C.

2. Dintre dreptele determinate de puncte reprezentate în desen, conțin punctul C: A. o dreaptă;

30 p

1. Un grup format din trei puncte coliniare este: A. A, E, F;

30 p

Folosind convențiile de reprezentare în plan și convențiile de notare a configurațiilor spațiale, alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

B. două drepte;

C. trei drepte;

E a

A B

D. o infinitate de drepte.

3. Numărul dreptelor determinate de perechi de puncte, dintre cele reprezentate, este egal cu: A. 8;

B. 10;

C. 9;

D. 12. Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Fie α un plan și A, B, C puncte distincte astfel încât A, B ∈ α, iar C ∉ α. a) Realizați un desen care să corespundă descrierii de mai sus. b) Determinați valoarea de adevăr a propozițiilor: p1: AB ⊂ α; p2: AC ⊂ α; p3: BC ⊄ α. 2. Reprezentați printr-un desen: un plan α, punctele A, B ∈ α, C ∉ α și dreapta AD ⊂ α. 3. Reprezentați printr-un desen: a) planul α, punctele A, B ∈ α și dreapta AB; b) planul β, punctul C ∈ β, punctul D ∉ β și dreapta CD;

c) planul γ, punctele E, F ∈ γ, punctul G ∉ γ și triunghiul EFG; d) planul δ, punctele M, N exterioare planului δ, situate de aceeași parte a acestuia și dreapta MN. 4. Identificați în mediul înconjurător o suprafață plană. Găsiți două puncte și două drepte conținute în acest plan. Reprezentați printr-un desen configurația descrisă. Notați corespunzăror figurile geometrice reprezentate. 5. Reprezentați configurația geometrică formată din punctele distincte A, B, C, dreapta d și planul β astfel încât: A, B ∈ β, C ∉ β, d ⊂ β, A ∈ d, B ∉ d.

113

6. Stabiliți valoarea de adevăr a fiecărei propoziții. Dacă propoziția este adevărată, precizați raționamentul realizat, iar dacă propoziția este falsă, justificați răspunsul printr-un contraexemplu. a) „Orice două puncte distincte aparțin unei drepte.” b) „Pentru orice dreaptă d, există un singur plan α care o conține”. c) „Orice plan β conține cel puțin o dreaptă.” d) „Dacă trei puncte sunt situate într-un plan, atunci ele sunt coliniare.” 7. Se consideră punctele distincte A, B, C, D. Stabiliți numărul dreptelor determinate de aceste puncte, în următoarele situații: a) Punctele A, B și C sunt coliniare. b) Oricare trei dintre puncte sunt necoliniare; c) Punctele A, B, C, D sunt necoplanare.

8. În desenul din figura de mai jos, AO = OM și BO = ON. Folosind convențiile de reprezentare în plan și convenP țiile de notare a M a B a configurațiilor O spațiale, preciA N b zați valoarea de adevăr a propozițiilor: a) A ∈ a; e) {A, B, O} ⊂ α; b) N ∉ b; f) b ⊂ α; g) a ∩ b = {O}; c) AM = a; d) PO ⊂ α; h) MN ∩ AB = ∅. 9. Se consideră planul α și punctele M, N, P, Q, în spațiu, astfel încât MN ⊂ α, P ∈ α și PQ ⊄ α. Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor: p1: Q ∈ α; p2: M ∈ α și N ∈ α; p3: M ∈ α și Q ∉ α.

Lecția 2. Determinarea planului. Relații între puncte, drepte, plane A. Pozițiile relative a două drepte în spațiu Ne amintim În plan, două drepte pot fi identice, concurente, sau paralele.

Exemple: Considerăm triunghiului echilateral ABC.

 Dreapta suport a bisectoarei unghiului A și mediatoarea AM, a laturii BC sunt drepte identice.  Dreptele AB și AC sunt concurente în punctul A.

 Dacă N este mijlocul laturii AC, atunci dreptele MN și AB sunt paralele.

Descoperim, înțelegem, exemplificăm În spațiu, există o infinitate de plane. Definiția 1. Două drepte se numesc drepte coplanare dacă sunt incluse în același plan. Prin urmare, două drepte coplanare pot fi: identice, concurente sau paralele. Vom demonstra că, în spațiu, există drepte care nu sunt coplanare, pe care le vom numi drepte necoplanare. Problemă rezolvată. În desenul alăturat, este reprezentat un cub. a) Identificați patru perechi de drepte distincte, coplanare. b) Pentru dreptele găsite la subpunctul a), precizați dacă sunt concurente sau paralele. c) Demonstrați că dreptele distincte DD′ și BC nu sunt coplanare. Spunem că dreptele DD′ și BC sunt drepte necoplanare.

114

D' A'

C' B'

D A

C B

Rezolvare: a) AB și BC, AB și BB′ sunt perechi de laturi alăturate ale unor pătrate, iar BC și B′C′, BB′ și CC′ sunt perechi de laturi opuse ale unor pătrate. Toate sunt perechi de drepte coplanare pentru că pătratul este o figură plană. b) AB și BC, AB și BB′ sunt perechi de drepte concurente, iar BC și B′C′, BB′ și CC′ sunt perechi de drepte paralele. c) Notăm cu (BCD) planul feței ABCD. Punctul D′ ∉ (BCD). Presupunând că DD′ și BC ar fi coplanare, ar rezulta că punctul D′ s-ar afla în planul (BCD), ceea ce este în contradicție cu D′ ∉ (BCD). Prin urmare, DD′ și BC nu sunt coplanare, adică sunt necoplanare. Definiția 2. În spațiu, două drepte d1 și d2 sunt paralele dacă sunt coplanare și nu au niciun punct comun. Axioma paralelelor

A5, enunțată la pag. 112, se menține și în spațiu.

Printr-un punct A, exterior unei drepte d, trece o singură dreaptă d′, paralelă cu dreapta d. Teorema 1 (tranzitivitatea relației de paralelism)

Reformulare:

Considerăm dreptele distincte a, b și c, în spațiu.

Două drepte distincte, paralele cu o a treia dreaptă, sunt paralele între ele.

Dacă a ∥ b și b ∥ c, atunci a ∥ c.

B. Determinarea planului Axioma A2 „ Prin trei puncte necoliniare trece un singur plan” se reformulează astfel: Orice trei puncte necoliniare determină un plan.

Planul determinat de punctele necoliniare A, B, C se notează (ABC).

Pe baza axiomelor, folosind rezultate demonstrate în geometria plană, vom obține rezultate specifice geometriei în spațiu. Căutăm alte elemente care ar putea determina un plan. Teorema 2: O dreaptă d și un punct A, exterior acesteia, determină un plan. Planul determinat de dreapta d și punctul A se notează (d, A).

Demonstrație: Vom demonstra că există un singur plan α care să conțină dreapta d și punctul A.

N Fie M și N ∈ d, distincte. Cum A ∉ d, rezultă că M, N și A sunt puncte necoliniare. Folosind axioma de determinare a planului, A.2, rezultă că M, N, A determină un plan unic, α. Dreapta determinată de M și N este inclusă în α și MN = d, deci d ⊂ α și A ∈ α. Cum α nu depinde de alegerea punctelor M și N pe dreapta d, rezultă (d, A) = α.

Teorema 3: Două drepte concurente d1 și d2 determină un plan.

M O

Planul determinat de dreptele d1 și d2 se notează (d1, d2).

Consultați manualul digital pentru a studia demonstrația teoremei. Teorema 4: Două drepte paralele d1 și d2 determină un plan. Planul determinat de dreptele d1 și d2 se va nota (d1, d2).

d1 P

M Demonstrație: Dreptele d1 și d2 sunt paralele, deci coplanare. Prin urmare, există un plan α, astfel încât dreptele d1 ⊂ α și d2 ⊂ α. N Vom demonstra că α este unicul plan care le include. Presupunem că există un plan β ≠ α astfel încât d1 ⊂ β și d2 ⊂ β. Atunci, există punctele M, N distincte, pe dreapta d1, și punctul P, pe dreapta d2. Cum d1 ∥ d2, rezultă că M, N și P sunt necoliniare, deci sunt conținute de un plan unic, adică β = α, contradicție. Presupunerea este falsă și planul α este singurul care conține dreptele paralele d1 și d2.

115

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Aplicația 1. Punctele A, B, C, D sunt necoplanare. Decideți, argumentat, dacă există trei dintre acestea care să fie coliniare. Demonstrație: Presupunem că punctele A, B și C sunt coliniare. Atunci, planele (AB, D), (AC, D) și (BC, D) coincid, adică punctele A, B, C, D sunt coplanare, contradicție cu ipoteza. Același raționament se realizează și pentru oricare dintre celelalte triplete de puncte. Concluzie: Dacă patru puncte sunt necoplanare, atunci oricare trei dintre acestea sunt necoliniare. Problemă rezolvată. Dreptunghiul ABCD, pătratul BCEF și triunghiul echilateral EFG din desenul următor sunt situate în plane diferite, două câte două. Punctul P este mijlocul segmentului GF.

E G

a) Identificați, în configurația dată, trei plane, altele decât cele trei date în ipoteză, determinate de o dreaptă și un punct. b) Identificați, în configurația dată, cel puțin patru plane, altele decât cele trei date în ipoteză, determinate de două drepte.

Rezolvare: a) (AB, P), (AB, E), (AB, G). Se mai pot găsi și alte plane, folosind celelalte drepte și puncte reprezentate în configurație. b) Dreptele AB și BF sunt concurente, deci determină planul (ABF). În același fel, găsim planele (BFG), (DCE) și (CEA). Din AD || BC și BC || EF, rezultă AD || EF, deci dreptele AD și EF determină planul (ADF). Aplicația 2. Orice patru puncte necoplanare determină trei perechi de drepte necoplanare. D

Demonstrație: Fie A, B, C, D patru puncte necoplanare. Punctele A, B, C sunt necoliniare și determină un plan α. Presupunem, prin reducere la absurd, că dreptele AD și BC sunt coplanare. Cum BC ⊂ α și A∈ α obținem D ∈ α adică A, B, C, D sunt coplanare, contradicție. Prin urmare, dreptele AD și BC sunt necoplanare. Se procedează analog cu perechile de drepte AB și CD, respectiv AC și BD. În concluzie, punctele necoplanare A, B, C, D determină, perechile de drepte necoplanare AD și BC, AB și CD, AC și BD. Minitest

C B

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

În desenul alăturat, ABCD este un pătrat, AC ⋂ BD = {O}, iar punctul S este exterior planului pătratului. 30 p

30 p 30 p

1. Dreptele AO și BC sunt: A. identice; B. paralele; C. necoplanare; D. concurente. 2. Dreptele SA și SO determină planul: A A. (SAD); B. (SAB); C. (SAC); D. (SCD). 3. Numărul planelor determinate de triplete de puncte, dintre cele reprezentate, este: A. 7; B. 6; C. 5; D. 4.

O B

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

116

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Punctele A, B, C sunt coliniare, în această ordine, iar D ∉ AB. a) Scrieți două perechi de drepte identice. b) Scrieți două perechi de drepte distincte. 2. Considerăm paralelipipedul ABCDA′B′C′D′. a) Scrieți două perechi de drepte necoplanare. b) Scrieți două perechi de drepte coplanare. 3. Stabiliți valoarea de adevăr a fiecărei propoziții. În cazul propozițiilor false, identificați un contraexemplu. a) Două drepte care nu au niciun punct comun sunt paralele. b) Orice două drepte determină un plan. c) Două drepte pot fi: identice, paralele, concurente sau necoplanare. d) Dacă două drepte nu sunt paralele, atunci ele sunt concurente. 4. În planul dreptunghiului ABCD, reprezentat în fiC gura alăturată, identificați: D a) perechi de drepte concurente; b) perechi de drepte paralele.

O A

5. Dreptele a și b sunt necoplanare, iar C este un punct astfel încât C ∉ a, C ∉ b. Demonstrați că există o dreaptă d care conține punctul C și este coplanară atât cu dreapta a cât și cu dreapta b. 6. Planele paralelogramelor ABCD și ABMN sunt diferite. Punctele P și O sunt mijloacele segmentelor BN, respectiv BD. Determinați D poziția dreptelor:

M N C

a) MN și AB;

c) MN și BD;

b) AM și BN;

d) MO și CP.

B S

P B

O A

d1 O

9. Se consideră dreptele concurente a, b și punctele distincte A, B, astfel încât A ∈ a și B ∈ b. a) Realizați câte un desen care să corespundă datelor problemei, pentru fiecare caz posibil. b) Demonstrați că mijlocul segmentului AB aparține planului (a, b). c) Demonstrați că orice punct al dreptei AB aparține planului (a, b). 10. Triunghiul echilateral ABC are latura de 6 cm. Se îndoaie după mediana AM, ca în figura de mai jos. C′

A P

C M

a) Precizați natura triunghiului ABC′. Justificați răspunsul dat. b) Știind că BC′ = 4 2 cm, determinați lungimea segmentului AP, unde P este mijlocul segmentului BC′. 11. Demonstrați că, dacă dreptele distincte a, b, c se intersectează două câte două în puncte distincte, atunci cele trei drepte sunt coplanare. 12. Demonstrați că dacă ABCD este un paralelogram, atunci punctele A, B, C și D sunt coplanare.

7. Pentru fiecare dintre situațiile următoare, scrieți notațiile corespunzătoare pentru planele care pot fi determinate de elementele reprezentate. A

8. Fie A, B, C, D patru puncte distincte, dintre care trei sunt coliniare. Stabiliți, argumentat, numărul planelor determinate de triplete de puncte dintre cele date.

13. Se consideră punctele distincte A, B, C, D astfel încât AB = AC = AD = BC = BD = CD. a) Demonstrați că cele patru puncte sunt necoplanare. b) Dacă P este un punct situat pe segmentul AB, precizați, justificând răspunsul dat, numărul planelor determinate de punctele A, B, C, D, P. 14. Punctele A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7 sunt situate în planul α, iar punctul P este exterior planului α. Determinați numărul maxim de plane determinate de grupuri de câte trei puncte necoliniare dintre cele date. Precizați în ce condiții se obține acest număr de plane.

117

Lecția 3. Pozițiile relative ale unei drepte față de un plan Rezolvăm și observăm Confecționați din carton un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′ sau realizați, din bețe de plastic, scheletul acestuia. Observați paralelipipedul dreptunghic, consultați-vă cu partenerul de echipă și grupați dreptele AA′, A′B′, A′C′, AD′, AB, A′C, BB′, A′D, B′C′, BD în funcție de numărul de puncte comune cu planul (ABC).

A' B'

Rezolvare: Presupunem că AA′ are două puncte distincte în planul (ABC). Atunci, AA′ este inclusă în (ABC), contradicție cu faptul că A′ ∉ (ABC). Prin urmare, AA′ ⋂ (ABC) = {A}. Analog, pentru dreptele AD′, A′C, BB′, A′D. Din ABCDA′B′C′D′ paralelipiped dreptunghic, rezultă A′B′ ∥ AB și AB ∥ CD, deci A′B′∥ CD. Presupunem că există M ∈ A′B′ ⋂ (ABC). Atunci, în planul (ABC), prin punctul 0 puncte comune A′B′, A′C′, B′C′ M, există o paralelă la CD. Cu axioma paralelelor, deducem că 1 punct comun AA′, AD′, A′C, BB′, A′D A′B′ ⊂ (ABC), contradicție! Prin urmare, A′B′ ⋂ (ABC) = ∅. o infinitate de AB, BD Analog pentru dreptele A′C′ și B′C′. puncte comune Dreptele AB și BD sunt incluse în (ABC), deci au o infinitate de puncte comune cu acesta. Descoperim, înțelegem, exemplificăm Dacă α este un plan și d este o dreaptă oarecare, sunt posibile următoarele situații: poziția dreptei față de plan notația reprezentarea bidimensională

Dreapta d este paralelă cu planul α. d ∥ α, d ⋂ α = ∅ d

Dreapta d este secantă1 planului α. d ⋂ α = {M} d

Dreapta d este inclusă în planul α. d ⊂ α, d ⋂ α = d

Folosind afirmația: „Dacă o dreaptă d are două puncte distincte într-un plan α, atunci d ⊂ α”, deducem:  Pentru a demonstra că o dreaptă d este inclusă  Pentru a demonstra că o dreaptă este secantă unui într-un plan α, este suficient să identificăm două plan, este suficient să identificăm două puncte A și puncte distincte ale dreptei, care aparțin planului. B, ale dreptei d, astfel încât A ∈ α și B ∉ α. Concluzie: Dacă o dreaptă este paralelă cu un plan, atunci aceasta este sau paralelă sau necoplanară cu orice dreaptă, inclusă în acel plan. Teoremă. Fie un plan α și o dreaptă d. Dreapta d este paralelă cu planul α dacă și numai dacă d nu este inclusă în α și d este paralelă cu o dreaptă d′, conținută de acest plan.

d M

În limbaj matematic: d || α ⇔ (d ⊄ α și există d′ ⊂ α astfel încât d′ || d). Consultați manualul digital pentru a studia demonstrația teoremei. Concluzie: Pentru a demonstra că o dreptă d este paralelă cu un plan, identificăm în acel plan o altă dreaptă paralelă cu d. 1

Sau dreapta înțeapă planul

118

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Aplicație. În configurația alăturată, d1 || d3, d1 ⊂ α, d2 ⊂ α, d2 ≠ d1, d3 ⊄ α, {A}= d1 ⋂ d2 ⋂ a, {B}= d3 ⋂ a, C, D ∈ d1. Determinați valoarea de adevăr a propozițiilor:

p1: „Dreapta a este secantă planului α“.

p3: „Planele (d1, d3) și (a, d3) sunt diferite“.

p2: „Dreapta d2 este secantă planului (d1, d3)“. p4: „Punctele A, B, C, D sunt necoplanare“.

B A

C d1 d2

Rezolvare: Punctele A și B sunt situate pe dreapta a, A ∈ α și B ∉ α. Propoziția p1 este adevărată. Din d1 || d3, știind că d1 ⊂ α și d3 ⊄ α, rezultă d3 || α. Cum d2 ⊂ α rezultă că d2 și d3 nu au puncte comune. Prin punctul A, exterior dreptei d3, singura paralelă la d3 este d1, adică dreptele d2 și d3 sunt necoplanare. Cum A ∈ (d1, d3), A ∈ d2 și d2 nu este inclusă în (d1, d3), rezultă că propoziția p2 este adevărată. Dreapta a are punctele distincte A și B în planul (d1, d3), deci a ⊂ (d1, d3), adică (d1, d3) și (a, d3) sunt identice și p3 este falsă. A, D, C ∈ d1, B ∈ d3. Cum d1, d3 sunt paralele, deci coplanare, rezultă A, B, C, D sunt coplanare și propoziția p4 este falsă. Minitest

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

Vârfurile A și B ale pătratului ABCD sunt situate în planul α, iar vârful C nu aparține planului α. 30 p 30 p 30 p

1. O dreaptă inclusă în planul α este: A. AB; B. BC; C. CD; D. DA. 2. Numărul dreptelor secante planului α, reprezentate în desen, este: A. 1; B. 2; C. 3; D. 4. 3. O dreaptă paralelă cu planul α este: A. AB; B. BC; C. CD; D. DA.

A α

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Folosind bețe de plastic și o suprafață plană, ilustrați împreună cu colegul/colega de bancă pozițiile relative ale unei drepte față de un plan. 2. Identificați în mediul înconjurător: a) o pereche de drepte concurente; b) o pereche de drepte paralele; c) o dreaptă paralelă cu un plan; d) o dreaptă secantă unui plan. 3. Fie A, B, C, D patru puncte necoplanare. a) Reprezentați printr-un desen cele patru puncte, apoi uniți-le două câte două. b) Precizați poziția fiecăreia dintre dreptele AB, AC, AD față de planul (BCD);

c) Precizați poziția dreptelor AB, BC, BD față de planul (ACD). 4. a) Reprezentați printr-un desen un plan α, o dreaptă d ⊂ α, un punct A ∉ α și o dreaptă d′ || d, astfel încât A ∈ d′, apoi determinați poziția dreptei d′ față de planul α. b) Reprezentați printr-un desen un plan α, o dreaptă d ⊄ α, cu proprietatea d ⋂ α ≠ ∅, apoi determinați poziția dreptei d față de planul α.

5. Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′. Identificați: a) drepte paralele cu planul (ABB′); b) drepte paralele cu planul (ABC′);

119

c) drepte incluse în planul (ADD′); d) drepte secante planului (ADD′); e) drepte secante planului (ACC′). 6. Punctele distincte A și B aparțin planului α, iar C ∉ α. Dacă M este mijlocul segmentului AC și N este mijlocul segmentului BC, determinați poziția dreptei MN față de planul α. 7. Paralelogramul ABCD și triunghiul ABE sunt situate în plane diferite. Punctul M aparține segmentului AE și punctul N aparține segmentului BE astfel ME NE . încât = MA NB a) Stabiliți poziția dreptei CD față de planul (ABE). b) Determinați poziția dreptei MN față de planul (ABC). c) Demonstrați că dreapta AB este paralelă cu planul (CDM).

8. Triunghiul ABC are latura AB inclusă în planul α, iar C ∉ α. Se consideră M pe latura AC și N pe latura BC astfel încât MC = 2 · MA și NB = 2 · NC. Determinați poziția dreptei MN față de planul α. 9. Trapezul ABCD cu bazele AB, CD și paralelogramul BCEF sunt situate în plane diferite. Stabiliți: a) poziția dreptei AD față de planul (BEF); b) poziția dreptei BF față de planul (DCE); c) poziția dreptei EF față de planul (ABC); d) poziția dreptei O1O2 față de planul (ABF), unde {O1} = AC ⋂ BD, iar {O2} = BE ⋂ CF.

10. Punctele A, B, C, D sunt necoplanare, BD = CD, iar semidreptele DE și DF sunt bisectoarele unghiurilor ADB respectiv ADC, E ∈ AB și F ∈ AC. Determinați: a) poziția dreptei EF față de planul (BCD); b) poziția dreptei BC față de planul (DEF).

Lecția 4. Pozițiile relative a două plane. Plane paralele: descriere și reprezentare Rezolvăm și observăm

Problemă. Observați paralelipipedul dreptunghic, consultați-vă cu partenerul de echipă și stabiliți, pentru fiecare dintre planele (DAA′), (AA′B′), (ADC), (ABD), (A′B′C′), (A′B′D′), mulțimea punctelor comune cu planul (ABC).

B' C

Rezolvare: Dreapta AD este inclusă atât în planul (DAA′) cât și în planul (ABC). Cele două plane nu sunt identice deoarece punctul B, de exemplu, aparține planului (ABC), dar nu aparține lui (DAA′). Conform axiomei A.4, pag. 112, intersecția lor este o dreaptă, deci (DAA′) ⋂ (ABC) = AD. Analog, (AA′B′) ⋂ (ABC) = AB. Planul (ADC) conține punctul B, deci (ADC) și (ABC) conțin trei puncte necoliniare comune. Conform axiomei A.2, pag. 112, cele două plane sunt identice. Analog, planele (ABD) și (ABC) coincid. Intuitiv, planele (A′B′C′) și (ABC) nu au niciun punct comun. Dar (A′B′D′) coincide cu (A′B′C′), prin urmare (A′B′D′) și (ABC) nu au puncte comune. Descoperim, înțelegem, exemplificăm Activitatea de mai sus ne sugerează că există plane care nu au puncte comune. Pentru a demonstra această afirmație, vom demonstra, mai întâi, teorema următoare. Teorema 1. (Teorema acoperișului) Planele secante α și β care conțin, respectiv, dreptele paralele a și b se intersectează după o dreaptă paralelă cu acestea. Ipoteză: a ∥ b, a ⊂ α, b ⊂ β și α ∩ β = c, α ≠ β

120

Concluzie: a ∥ b ∥ c.

A B b

Demonstrație: Cazurile a = c și b = c implică, evident, concluzia teoremei. Considerăm a ≠ c și b ≠ c. Atunci, α = (a, c) și β = (b, c) sunt plane distincte. Pentru dreptele a și c sunt posibile situațiile: a ∥ c sau a ∩ c = {A}, iar pentru dreptele b și c sunt posibile situațiile: b ∥ c sau b ∩ c = {B}. Dacă a ∥ c și b ∩ c = {B}, atunci există două paralele distincte la dreapta a, prin punctul B, contradicție cu axioma paralelelor A.5, pag. 112, deci b || c. Dacă b ∥ c și a ∩ c = {A}, atunci există două paralele distincte la dreapta b, prin punctul A, contradicție cu axioma paralelelor A.5, pag. 112, deci a || c. Dacă a ∦ c și b ∦ c, punctele A și B sunt distincte, deci c = AB, c ⊂ (a, b), adică α = (a, c) = (a, b) = (b, c) = β. Contradicție cu α ≠ β, deci a || b || c. În concluzie, a ∥ c și b ∥ c, deci a || b || c. Teorema 2. În spațiu, există plane paralele (plane care nu au niciun punct comun).

A c Demonstrație: Considerăm un plan α, punctul A ∈ α, și două drepte distincte a1 a a2 a1 ⊂ α și a2 ⊂ α, a1 ∩ a2 = {A}. Prin punctul B, exterior planului α, construim, conform axiomei paralelelor, dreptele b1 și b2 cu b1 ∩ b2 = {B} și b1 ∥ a1, b2 ∥ a2. Notăm β = (b1, b2) și demonstrăm că α și β nu au niciun punct comun. Presupunem, prin reducere la absurd, că există C ∈ α ∩ β, deci planele ar fi secante, după o dreaptă c. Planele α și β conțin dreptele a1 respectiv b1 cu a1 ∥ b1. Folosind Teorema 1, α ∩ β = c și c ∥ a1. Analog, c ∥ a2. Prin urmare, a1 ∥ c ∥ a2, adică a1 ∥ a2, contradicție cu a1 ∩ a2 = {A}. Presupunerea este falsă, deci cele două plane nu au puncte comune. Vom scrie α ∥ β.  Teorema 2 se poate reformula astfel: „Dacă două drepte concurente situate în planul α sunt respectiv paralele cu două drepte concurente situate în planul β, atunci α ∥ β.”  Prin orice punct exterior unui plan, există un singur plan paralel cu acesta. (Justificarea unicității, la pag. 149, digital) Pentru a demonstra că două plane α și β sunt paralele, se identifică dreptele concurente b1 și b2 în planul β și  dreptele concurente a1 și a2, în planul α, astfel încât b1∥ a1 și b2∥ a2.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Dacă α și β sunt două plane oarecare, acestea pot avea: toate punctele comune, o dreaptă comună sau niciun punct comun. Planele α și β nu au niciun punct comun. α⋂β=∅ poziția planelor Planele sunt paralele. intersecția planelor

reprezentarea bidimensională

Planele α și β au o dreaptă comună. α ⋂ β ≠ ∅ și α ≠ β Planele sunt secante

Temă de portofoliu

notația

Planele α și β coincid. Acestea au toate punctele comune. α⋂β=α=β Planele sunt identice

α∥β

Fie ABCDEFGH un cub. Stabiliți, argumentat, poziția planelor: a) (ABC) și (BCD); b) (ABC) și (BCF); c) (ABC) și (EFG).

α=β

α⋂β=d

G F

E D A

C B

121

Minitest

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

În imaginea alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic ABCDEFGH. 30 p 30 p 30 p

1. Planele (ABE) și (CDH) sunt: A. paralele; B. secante; 2. Planele (ADE) și (EHD) sunt: A. paralele; B. secante; 3. Planele (BCG) și (ACE) sunt: A. paralele; B. secante;

C. identice.

H F

E D

C. identice. C. identice.

C B

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Pătratul ABCD și dreptunghiul CDEF nu sunt si tuate în același plan. Demonstrați că: a) Dreptele AE și BF sunt paralele. b) Planele (ADE) și (BCF) sunt paralele. 2. Se consideră cubul ABCDEFGH. Stabiliți, argumentat, care dintre următoarele afirmații sunt adevărate și care sunt false. a1: Planele (AFH) și (BDG) sunt paralele. a2: Planele (DEG) și (BFH) au o dreaptă comună. a3: Planele (ACE) și (ACH) sunt identice. 3. Punctele A, B, C, D sunt necoplanare, iar punctele M, N, P sunt mijloacele segmentelor DA, DB, respectiv DC. Demonstrați că planele (MNP) și (ABC) sunt paralele. G 4. Tudor alătură două cuburi H de dimensiuni egale, ca în desenul următor. DemonF strați că: E a) (ADG) || (BCM); b) (EBC) ⋂ (MNP) ≠ ∅. Investigație:

C D

B A

P N

5. Știind că ABCDMNPQ este paralelipiped dreptunghic, stabiliți pozițiile relative ale următoarelor plane: a) (ABC) și (MBQ); b) (ACP) și (BDQ); c) (AMC) și (NPQ); d) (ADQ) și (BCN). 6. Punctul P este mijlocul muchiei CG a cubului ABCDEFGH. Stabiliți, argumentat, poziția planelor: a) (BPH) și (ADE); b) (BHP) și (ABC). 7. Se consideră paralelogramul ABCD și S un punct exterior planului (ABC). Determinați intersecțiile: S a) (ABC) ⋂ (SAB); b) (SAB) ⋂ (SBC); c) (SAB) ⋂ (SCD); C D d) (SBD) ⋂ (ABC); O e) (SBD) ⋂ (SAC); A B f) (SBC) ⋂ (SAD).

„Suprafețe netede, margini ascuțite, linii curate, materiale lustruite, unghiuri drepte; claritate și ordine. Așa îmi imaginez eu casa de mâine, logică și geometrică.” (citat din Robert Mallet-Stivens) Pe parcursul unității de învățare 4.2 Corpuri geometrice, organizați în echipe de 3-4 elevi, realizați o investigație cu tema Corpurile geometrice în arhitectura lumii, folosind surse digitale și prin informare directă. Din manualul digital puteți afla mai multe detalii privind realizarea acestei investigații.

122

4.2. CORPURI GEOMETRICE Corpurile geometrice sunt cunoscute din timpuri îndepărtate. Cinci corpuri regulate, considerate corpuri sacre, numite corpuri platonice, se găsesc la Muzeul Ashmolean (Oxford) din Anglia. Acestea sunt sculpatate în piatră și se crede că au fost create cu mai mult de 1000 de ani înainte ca filosoful antic Platon să le aducă în atenția matematicienilor. Tetraedrul regulat

Cubul

Octaedrul

Icosaedrul

Dodecaedrul

În viziunea filosofului mitic Platon (427-347 î.e.n), „Tetraedrul este simbolul focului, fețele lui sunt 4 triunghiuri echilaterale; cubul are 6 fețe pătrate și este simbolul pământului; octaedrul, mărginit de 8 triunghiuri echilaterale, este simbolul aerului; icosaedrul, cu 20 de triunghiuri echilaterale ca fețe, este simbolul apei și în fine, dodecaedrul, simbol al cosmosului cu tot ce cuprinde el, este singurul poliedru regulat cu fețe formate din pentagoane în număr de 12 și nu din triunghiuri sau din pătrate”. Odată ajunse în atenția matematicienilor, corpurile geometrice au fost studiate din perspectivă realistă.

Lecția 1. Piramida, reprezentare, elemente caracteristice Rezolvăm și observăm Extrageți din trusa de geometrie corpurile geometrice care corespund reprezentărilor de mai jos.

D C

A B

E D

A B B C Observați corpurile geometrice reale și identificați, pe desen, reprezentarea fiecăruia, apoi elemente cunoscute din geometria plană: figuri geometrice, suprafețe poligonale, puncte, segmente. Numiți și descrieți suprafețele poligonale care delimitează fiecare corp.  Corpurile geometrice mărginite de suprafețe plane se numesc POLIEDRE. Descoperim, înțelegem, exemplificăm Definiția 1. Piramida este corpul geometric mărginit de o suprafață poligonală convexă plană, cu n laturi, n ≥ 3, și de n suprafețe triunghiulare cu vârful comun, nesituat în planul suprafeței poligonale, având ca baze câte o latură a suprafeței poligonale.  O piramidă este determinată de suprafața poligonală convexă, numită bază a piramidei și de un punct exterior planului bazei, numit vârf al piramidei.  Pentru simplificarea limbajului, vom folosi termenul piramidă și pentru a numi corpul geometric și pentru a numi suprafața piramidei (piramida cu interiorul gol). Contextul în care apare acest termen ne spune exact la care dintre cele două concepte ne referim.

123

 Convenim ca, atunci când numim o piramidă, să scriem mai întâi litera corespunzătoare vârfului, apoi pe cele care numesc baza.  În funcție de numărul laturilor bazei, o piramidă poate fi: triunghiulară, patrulateră, pentagonală, hexagonală, etc. Piramida triunghiulară, care este și cel mai simplu dintre poliedre, este mărginită de patru suprafețe triunghiulare și se mai numește TETRAEDRU. Elemente

Piramidă triunghiulară

Vârful piramidei: punctul V. Baza: suprafața triunghiulară ABC. Vârfurile bazei: punctele A, B, C. Muchiile bazei: segmentele AB, BC, AC. Muchiile laterale: segmentele VA, VB, VC. Fețele laterale: suprafețele triunghiulare VAB, VBC, VCA.

C B

Piramidă patrulateră V D

A B

Piramidă hexagonală V

A B

Numărul elementelor f=1+3=4 m=3+3=6 v = 3 +1 = 4 f+v=m+2

Elemente Numărul elementelor Vârful piramidei: punctul V. Baza: suprafața patrulateră ABCD. f=1+4=5 Vârfurile bazei: punctele A, B, C, D. m=4+4=8 Muchiile bazei: segmentele AB, BC, CD, DA. v = 4 +1 = 5 Muchiile laterale: segnnmentele VA, VB, VC, VD. f+v=m+2 Fețele laterale: suprafețele triunghiulare VAB, VBC, VCD, VDA. Elemente Numărul elementelor Vârful piramidei: punctul V. Baza: suprafața hexagonală ABCDEF. f=1+6=7 Vârfurile bazei: punctele A, B, C, D, E, F. m = 6 + 6 = 12 Muchiile bazei: segmentele AB, BC, CD, DE, EF, FA. v=6+1=7 Muchiile laterale: segmentele VA, VB, VC, VD, VE, VF. f+v=m+2 Fețele laterale: suprafețele triunghiulare VAB, VBC, VCD, VDE, VEF, VFA.

Am notat cu f numărul fețelor (baza și fețele laterale), cu m numărul muchiilor (muchiile bazei și muchiile laterale) și cu v numărul vârfurilor corpului geometric (vârful piramidei și vârfurile bazei). Observație: Pentru simplificarea exprimării, referindu-ne la o suprafață poligonală, dacă nu există posibilitatea unei confuzii, vom numi direct poligonul care delimitează suprafața.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Definiția 2. O piramidă a cărei bază este un poligon regulat, iar muchiile sale laterale sunt congruente, se numește piramidă regulată. V

Aplicația 1. În desenul alăturat, este reprezentată piramida patrulateră regulată VABCD. a) Folosind definiția, stabiliți natura fețelor laterale ale piramidei date. b) Enumerați triunghiurile congruente, situate în plane diferite.

D A

124

C B

Rezolvare: a) Din definiție, muchiile laterale sunt congruente, adică triunghiurile VAB, VBC, VCD și VDA au câte două laturi congruente, deci sunt isoscele. Baza fiecărui astfel de triunghi este una dintre muchiile bazei piramidei. b) Conform cazului de congruență L.L.L, ∆VAB ≡ ∆VBC ≡ ∆VCD ≡ ∆VDA.  Fețele laterale ale oricărei piramide regulate sunt triunghiuri isoscele congruente. Definiția 3. Un tetraedru care are toate cele patru fețe triunghiuri echilaterale se numește tetraedru regulat. Aplicația 2. Se consideră tetraedrul SABC, unde triunghiul ABC este echilateral, iar SA = SB = SC. Stabiliți condiția ca SABC să fie un tetraedru regulat. Rezolvare: Triunghiul ABC este echilateral și SA = SB = SC. Conform definiției, SABC este o piramidă triunghiulară regulată. Pentru a fi tetraedru regulat, este necesar ca fețele laterale să fie, de asemenea, triunghiuri echilaterale. Triunghiul SAB, de exemplu, este echilateral doar dacă SA = AB, adică muchiile laterale ar trebui să fie congruente cu muchiile bazei.  Un tetraedru care are toate muchiile congruente este un tetraedru regulat. Minitest Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect. 30 p 30 p 30 p

1. Numărul muchiilor unei piramide patrulatere este: A. 4; B. 8; C. 12; D. 16. 2. Numărul fețelor unei piramide hexagonale este: A. 12; B. 9; C. 7; D. 6. 3. Un tetraedru regulat are muchia bazei de 4 cm. Suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului este: A. 16 cm; B. 12 cm; C. 18 cm; D. 24 cm. Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. a) Desenați pe caiete, utilizând rigla, o piramidă hexagonală, cu vârful S. b) Notați piramida, știind că baza este ABCDEF. c) Numiți elementele piramidei reprezentate. 2. Copiați pe caiete și completați spațiile libere astfel încât să obțineți afirmații adevărate: a) Baza unei piramide cu 7 fețe laterale are ... vârfuri. b) O piramidă cu 5 fețe se numește piramidă ... . c) O piramidă cu 7 vârfuri se numește piramidă ... . 3. Desenați, numiți și descrieți piramida în care baza și fețele laterale sunt reprezentate prin aceeași figură geometrică. 4. Stabiliți valoarea de adevăr a propoziției: „Numărul muchiilor oricărei piramide este un număr par”, argumentând răspunsul dat.

5. Reprezentați, printr-un desen, piramida EABCD știind că are ca bază dreptunghiul ABCD și că toate muchiile laterale sunt congruente. Demonstrați că dacă AE ⊥ EC, atunci BE ⊥ ED. 6. Desenați o piramidă patrulateră VABCD, apoi reprezentați punctele M, N, P, Q, mijloacele muchiilor VA, VB, VC, VD. Se consideră mulțimea L = {A, B, C, D, M, N, P, Q, V}. a) Scrieți trei submulțimi ale mulțimii L, de câte patru elemente, puncte coplanare. b) Scrieți trei submulțimi ale mulțimii L, de câte patru elemente, puncte necoplanare. c) Cercetați dacă există două submulțimi de câte cinci elemente ale mulțimii L care să reprezinte vârfurile unor piramide. Justificați răspunsul.

125

7. Considerăm cubul ABCDA′B′C′D′. a) Numiți tetraedrele care au baza ACD și ale căror vârfuri sunt și vârfuri ale cubului. b) Numiți piramidele patrulatere ale căror vârfuri sunt și vârfuri ale cubului. 8. Se consideră piramida triunghiulară VABC și punctele E și F situate pe muchiile AC respectiv VB. a) Precizați planele care conțin punctul E. b) Precizați dreapta după care se intersectează planele: (i) (VBE) și (VAB); (ii) (VEF) și (ABC); (iii) (VBE) și (ACF).

Lecția 2. Desfășurarea piramidei

9. a) O piramidă are 10 vârfuri. Determinați numărul fețelor și numărul muchiilor piramidei. b) O piramidă are 8 muchii. Determinați numărul fețelor și numărul vârfurilor piramidei. 10. Se consideră piramida hexagonală VABCDEF. Punctul O este centrul hexagonului ABCDEF. Determinați intersecțiile: a) (VAB) ⋂ (VBC);

e) (VAD) ⋂ (VCD);

b) (VAB) ⋂ (BCE);

f) (VBE) ⋂ (VDA); g) (VBC) ⋂ (VDE);

c) (VOB) ⋂ (VAD);

h) (VBD) ⋂ (VCE).

d) (VOA) ⋂ (BCD);

Rezolvăm și observăm Problema 1. a) Desenați pe carton configurația alăturată, respectând dimensiunile înscrise, știind că MN = 6 cm, MP = 11 cm și PN = 14 cm. Decupați și îndoiți după dreptele MN, MP, NP astfel încât segmentele congruente să se suprapună. b) Observați figura și precizați poziția punctelor Q, Q1, Q2, după îndoire. c) Așezați pe suprafața băncii corpul geometric obținut, pe rând, cu fiecare dintre cele patru suprafețe triunghiulare determinate de punctele M, N, P, Q. Numiți corpul geometric, în fiecare caz. Rezolvare:

Q 6 cm

12 cm

6 cm

M 8 cm

12 cm

8 cm

b) Din MQ1 = MQ2 rezultă că Q1 și Q2 se suprapun. Din NQ1 = NQ, rezultă că Q1 și Q se suprapun. Cum PQ = PQ2 rezultă că și aceste segmente se suprapun perfect, iar punctele Q, Q1, Q2 coincid, după îndoire. c) Prin plierea suprafeței date, am obținut o piramidă triunghiulară (un tetraedru). Acesta poate fi numit: QMNP, MNPQ, NPQM, PQMN, în funcție de punctul pe care îl considerăm vârf al piramidei. Descoperim, înțelegem, exemplificăm Problema 2. Considerăm acum, tetraedrul QMNP, cu vârful Q și baza MNP, obținut la subpunctul b), al problemei 1. Desprindem muchiile MQ, NQ, PQ și rabatăm1 cele trei fețe laterale, în jurul muchiilor bazei, fără modificarea fețelor, pentru a le aduce pe toate în planul bazei. Figura plană obținută coincide cu cea dată la problema 1 și reprezintă desfășurarea piramidei triunghiulare QMNP. Observație: Desfășurarea piramidei se poate realiza și prin alte tehnici. Este esențial ca toate fețele laterale și baza să fie alăturate, într-un același plan prin pliere, să se poată reconstitui piramida. Desfășurarea unei piramide regulate constă în alăturarea unui poligon regulat cu n laturi, baza piramidei și a n triunghiuri isoscele, fețele laterale ale piramidei, având bazele congruente cu latura bazei, astfel încât, prin pliere, să se poată reconstitui piramida. 1

A rabata = a roti în jurul unei drepte

126

Tetraedrul regulat Rabatare în jurul muchiilor bazei Rostogolire pe planul unei fețe și rabatarea bazei

Piramida patrulateră regulată S3

S3 S4

C A

S A

B S

D A

Piramida hexagonală regulată

B A1

Temă de portofoliu 1. Realizați, pe carton, o a treia variantă de prezentare a desfășurării, pentru: piramida triunghiulară regulată, piramida patrulateră regulată și piramida hexagonală regulată. 2. „Construiți” piramidele corespunzătoare desfășurărilor, înfășurând (pliind, îndoind) figura plană desenată. 3. Vizionați animațiile conținute de manualul digital. Aplicație. Toate fețele laterale ale piramidei patrulatere VABCD sunt triunghiuri echilaterale cu latura de lungime a. Determinați poziția punctului M ∈ VA, astfel încât perimetrul triunghiului MBD să fie minim. Rezolvare: Din M ∈ VA, rezultă PMBD = BD + MB + MD.

Diagonala pătratului ABCD are lungime constantă, BD = a 2 , deci perimetrul este minim atunci când suma MB + MD este minimă. Pentru a putea evalua această sumă, vom aduce suprafețele VAD și VAB într-un același plan. Desfășurăm piramida, decupând baza, astfel încât muchia VA să rămână latură comună pentru triunghiurile provenite din fețele laterale VAB și VAD. Prin desfășurare, am obținut configurația plană, în care VBA1D1 este romb. Notăm cu O mijlocul segmentului VA1.

C1 V V M C D

M O

Atunci, oricare ar fi M∈VA1, obținem MB + MD = MB + MD1 ≥ OB + OD1 = BD1 = a 3 . În concluzie, perimetrul triunghiului este minim dacă și numai dacă M coincide cu O, adică este mijlocul muchiei VA.

Problema 3. Desfășurarea în plan a piramidei regulate VABC este suprafața poligonală V1AV2BV3C, unde V1, V2 și V3 reprezintă vârfurile triunghiurilor corespunzătoare fețelor laterale, în planul desfășurării. Perimetrul poligonului V1AV2BV3C este egal cu 36 2 cm, iar măsura unghiului V1AV2 este 150°. a) Demonstrați că lungimea muchiei bazei piramidei este 12 cm.

A V2

V1 D B

C V3

127

b) Calculați lungimea segmentului V1B, în desfășurare.

Rezolvare: a) Muchiile laterale ale piramide regulate sunt congruente. Cum VABC este piramidă regulată, rezultă V1A = V2A = V2B = V3B = V3C = V1C = PV1 AV2 BV3C : 6 = 6 2 (cm).

Triunghiul ABC, baza piramidei, este triunghi echilateral, deci ∢CAB = 60°.

Fețele laterale ale piramidei sunt triunghiuri isoscele congruente, deci unghiurile de la baza acestora sunt congruente. Rezultă ∢V1AC = ∢V2AB. Cum ∢V1AV2 = ∢V1AC + ∢CAB + ∢V2AB, rezultă ∢V1AC = (150°− 60°) : 2 = = 45° = ∢V1CA. În concluzie, triunghiul AV1C este dreptunghic și AC = V1 A ⋅ 2 = 12 cm, deci lungimea muchiei bazei este 12 cm.

b) V1A = V1C, BA = BC. Rezultă că V1B este mediatoarea segmentului AC. Notăm cu D intersecția segmentului V1B cu segmentul AC. Atunci, V1D =

AC AC 3 = 6 cm, BD = = 6 3 și V1B = V1D + BD = 6 ⋅ (1 + 3) cm. 2 2

Minitest

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

În desenul alăturat, este reprezentată desfășurarea în plan a piramidei regulate VABCD, în care AB = BV, iar suma lungimilor tuturor muchiilor piramidei este 48 cm. 30 p 30 p

B. 8 cm; B. 9 3 cm2;

C. 6 cm;

D. 12 cm.

C. 12 3 cm2;

D. 16 3 cm2.

V4 B

2. Aria unei fețe laterale este: A. 8 3 cm2;

30 p

1. Lungimea muchiei bazei piramidei este: A. 4 cm;

3. Propoziția „Poligonul V1V2V3V4, obținut prin desfășurarea în plan a piramidei VABCD este poligon regulat” este: A. adevărată;

B. falsă. Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. a) F olosind instrumentele geometrice, desenați pe carton un triunghi oarecare ABC, marcați punctele M, N, P, mijloacele laturilor BC, AC, AB, ale triunghiului dat, apoi reprezentați liniile mijlocii. b) Decupați triunghiul și demonstrați că, prin îndoirea acestuia după liniile mijlocii, obțineți un tetraedru. c) Dacă ABC este un triunghi echilateral cu perimetrul 36 cm, demonstrați că, prin îndoire, după liniile mijlocii, se obține un tetraedru regulat. d) Calculați lungimea muchiei tetraedrului regulat obținut la subpunctul c).

128

2. Desfășurarea piramidei patrulatere regulate VABCD este reprezentată în figura de mai jos. C

B V

C1 D

Știind că AC = 4 2 cm și că AB ∥ VD1, calculați lungimea muchiei laterale a piramidei. Observație: D1, C1, respectiv B1, reprezintă pozițiile pe care vârfurile D, C, respectiv B, le vor ocupa în planul bazei ABCD, după desfășurare.

3. Desenați un triunghi echilateral și trei triunghiuri dreptunghice isoscele, ale căror ipotenuze sunt laturile triunghiului echilateral desenat, iar vârfurile unghiurilor drepte sunt în exteriorul triunghiului echilateral. a) Demonstrați că suprafața obținută este desfășurarea în plan a unei piramide triunghiulare regulate. b) Calculați lungimea muchiei bazei și lungimea muchiei laterale a piramidei, știind că aria suprafeței desenate este 8 · (3+ 3 ) cm2. 4. Se consideră tetraedrul ABCD. Notăm cu A1, A2, A3; B1, B2, B3; C1, C2, C3 și D1, D2, D3 măsurile unghiurilor situate pe fețe diferite cu vârful în A, B, C respectiv D. Știind că A1 + A2 + A3 = B1 + B2 + B3 = C1 + C2 + C3 = D1 + D2 + D3 = 180°, demonstrați că orice două muchii opuse ale tetraedrului sunt congruente. 5. Fețele laterale ale piramidei patrulatere regulate SABCD sunt triunghiuri echilaterale. Se desfășoară piramida în planul bazei, prin rotirea fețelor laterale în jurul muchiilor bazei astfel încât, după desfășurare, să ocupe pozițiile ABS1, BCS2, CDS3, respectiv DAS4. a) Realizați un desen care să reprezinte desfășurarea descrisă. b) Calculați măsura unghiului format de dreptele SA și SC, înainte de desfășurare. c) Calculați măsura unghiului format de dreptele S1A și S2C, în desfășurare.

6. Desenul următor reprezintă desfășurarea piramidei hexagonale regulate SABCDEF. Știind că S1B ⊥ S2B, calculați:

C A

a) măsurile unghiurilor S1 unei fețe laterale. b) măsura unghiului format de dreptele S1A și S2C.

7. Desenați pe o bucată de carton un paralelogram ABCD cu AB = 24 cm, BC = 12 cm și ∢A= 60°. Punctele M și N sunt mijloacele laturilor AB respectiv CD. a) Demonstrați că paralelogramul ABCD poate fi desfășurarea în plan a unui tetraedru regulat. b) Reconstituiți, prin îndoire, tetraedrul regulat cu baza MNB și precizați pozițiile punctelor A și B respectiv C și D în tetraedrul format. 8. O clădire în formă de tetraedru regulat ABCD cu AB = 10 m, urmează a fi decorată cu o ghirlandă care începe din punctul B, trece printr-un punct M, situat pe muchia AD, și se încheie în punctul C. a) Determinați poziția punctului M astfel încât lungimea ghirlandei să fie minimă (cea mai mică, posibilă). b) Calculați lungimea ghirlandei, în condițiile subpunctului b). 9. O clădire în formă de piramidă regulată VABC, cu VA = 12 m și ∢AVB = 40°, urmează a fi decorată cu o ghirlandă care începe din punctul A, trece printr-un punct M, situat pe muchia VB, apoi printr-un punct N, situat pe muchia VC, și revine în punctul A. Calculați lungimea minimă a ghirlandei.

Lecția 3. Prisma dreaptă, reprezentare, elemente caracteristice Descoperim, înțelegem, exemplificăm Extrageți din trusa de geometrie corpurile geometrice mărginite de figuri geometrice plane, care nu sunt piramide. Identificați figurile geometrice plane corespunzătoare fețelor acestor corpuri. Definiția 1. Prisma este un poliedru mărginit de două baze, suprafețe poligonale convexe congruente, cu n laturi, n ≥ 3, situate în plane diferite, și de n fețe laterale, ale căror laturi determină paralelograme. În funcție de numărul laturilor bazelor, prismele pot fi: triunghiulare, patrulatere, pentagonale, hexagonale, etc Observație: Pentru simplificarea exprimării, referindu-ne la bazele prismei sau la fețele ei laterale, vom menționa doar poligoanele care le delimitează. Pentru că bazele sunt poligoane congruente, exprimarea „baza prismei” se referă la oricare dintre cele două baze.

129

Sintetizăm, mai jos, elementele prismei, în funcție de numărul laturilor bazei. Elemente Numărul elementelor Bazele: Suprafețele triunghiulare ABC și A′B′C′, cu ∆ABC ≡ ∆A′B′C′. A' C' Muchiile bazelor: segmentele AB, BC, AC respectiv A′B′, f=2+3=5 B' B′C′ și A′C′. m=3+3+3=9 Muchiile laterale: segmentele AA′, BB′ și CC′. v=3+3=6 C A Fețele laterale: suprafețele delimitate de paralelogramele: v+f=m+2 B ABB′A′, BCC′B′ și ACC′A′. Vârfurile: punctele A, B, C, A′, B′, C′. Elemente Numărul elementelor Prisma patrulateră Bazele: suprafețele delimitate de patrulaterele: ABCD și A′B′C′D′. f=2+4=6 D' C' Muchiile bazelor: segmentele AB, BC, CD, DA respectiv m = 4 + 4 + 4 = 12 A′B′, B′C′, C′D′ și D′A. A' B' Muchiile laterale: segmentele AA′, BB′, CC′ și DD′. v=4+4=8 D C Fețele laterale: suprafețele delimitate de paralelogramele: d=2+2=4 ABB′A′, BCC′B′, CDD′C′, ADD′A′. v+f=m+2 A B Vârfurile: punctele A, B, C, D, A′, B′, C′, D′. Diagonalele prismei: segmentele A′C, B′D, C′A, D′B. Elemente Numărul elementelor Prisma hexagonală Bazele: suprafețele delimitate de hexagoanele ABCDEF și A′B′C′D′E′F′. f=2+6=8 Muchiile bazelor: segmentele AB, BC, CD, DE, EF, FA reF' E' A' D' spectiv A′B′, B′C′, C′D′, D′E′, E′F′, F′A′. m = 6 + 6 + 6 = 18 B' C' Muchiile laterale: segmentele AA′, BB′, CC′, DD′, EE′ și FF′. v = 6 + 6 = 12 Fețele laterale: suprafețele delimitate de paralelogramele: F E d = 9 + 9 = 18 A D ABB′A′, BCC′B′, CDD′C′, DEE′D′, EFF′E′, FAA′F′. B C Vârfurile: punctele A, B, C, D, E, F, A′, B′, C′, D′, E′, F′. v+f=m+2 Diagonalele prismei: segmentele AC′, A′C, AD′, A′D, AE′, A′E, BD′, B′D, BE′, B′E, BF′, B′F, CE′, C′E, CF′, C′F, DF′, D′F. Am notat cu f numărul fețelor (bazele și fețele laterale), cu m numărul muchiilor (muchiile bazelor și muchiile laterale), cu v numărul vârfurilor și cu d numărul diagonalelor corpului geometric.  Un segment determinat de două vârfuri ale prismei, situate pe fețe diferite, se numește diagonală a Prisma triunghiulară

prismei.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Definiția 2. Prismele care au toate fețele laterale suprafețe dreptunghiulare se numesc prisme drepte. Dintre prismele drepte, o clasă specială este aceea a prismelor regulate. Definiția 3. O prismă dreaptă, a cărui bază este o suprafață poligonală delimitată de un poligon regulat se numește prismă regulată.  Reprezentarea bidimensională a unui poligon regulat, văzut tridimensional, nu păstrează lungimile segmentelor și măsurile unghiurilor, dar păstrează paralelismul. Reprezentarea geometrică a unei prisme drepte și cea a unei prisme regulate nu sunt neapărat diferite. Datele complete trebuie extrase din enunțul problemelor.

130

 Dacă muchiile laterale sunt reprezentate în poziție verticală și nu se fac alte precizări, vom considera că este prismă dreaptă, nu neapărat prismă regulată. Prisma triunghiulară regulată

Tipul prismei

F D

Reprezentarea în plan a prismei regulate

Prisma patrulateră regulată

G F

C A

B C

Prisma hexagonală regulată K

H C

C E

A A

Reprezentarea bazei prismei

I F

B D

D B

Dintre prismele patrulatere drepte, paralelipipedul drept, paralelipipedul dreptunghic și cubul sunt cele mai des întâlnite în viața cotidiană. Elementele lor caracteristice sunt deja cunoscute. Paralelipipedul drept 1. Baza este paralelogram,

Paralelipipedul dreptunghic 1. Baza este dreptunghi.

2. Fețele laterale sunt dreptunghiuri. 2. Fețele laterale sunt dreptunghiuri.  Prisma patrulateră dreaptă cu baza  Prisma patrulateră dreaptă cu baza paralelogram dreptunghi.  Paralelipipedul drept, cu baza dreptunghi.  Prisma care are toate fețele dreptunghiuri.

Cubul Toate fețele sunt pătrate.  Prisma patrulateră regulată cu fețele laterale pătrate.  Paralelipipedul dreptunghic, având muchiile bazei congruente cu muchia laterală.  Prisma patrulateră regulată cu toate muchiile congruente.

Tabelul de mai sus conține definiții echivalente pentru paralelipipedul drept, pentru paralelipipedul dreptunghic și pentru cub, foarte utile în rezolvarea problemelor. Minitest 30 p

30 p

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

1. Dacă v, m, f reprezintă numărul vârfurilor, numărul muchiilor, respectiv numărul fețelor unei prisme triunghiulare regulate, atunci numărul (v − 2 · m + 3 · f ) este egal cu: A. 4; B. 3; C. 9; D. 6. 2. O prismă patrulateră regulată are muchia bazei de 3,5 cm, iar muchia laterală a prismei este egală cu 4,5 cm. Suma lungimilor muchiilor prismei este: A. 56 m; B. 64 cm; C. 46 cm; D. 65 cm. 3. În prisma hexagonală regulată ABCDEFA′B′C′D′E′F′, perimetrul feței laterale ABB′A′ este 28 cm, iar AD = 12 cm. Muchia laterală a prismei are lungimea: A. 8 cm; B. 12 cm; C. 9 cm; D. 6 cm. Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

131

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. a) I dentificați, în mediul înconjurător, obiecte care au formă de prismă dreaptă, triunghiulară sau patrulateră. b) Reprezentați printr-un desen prismele corespunzătoare obiectelor de la subpunctul a). c) Notați prismele și precizați elementele acestora. 2. a) Pentru fiecare dintre prismele din imagine, precizați numărul fețelor (f), numărul muchiilor (m) și numărul vârfurilor (v).

a) Calculați lungimea unei muchii laterale. b) Calculați suma lungimilor muchiilor prismei. 7. Se consideră ABCDA′B′C′D′ paralelipiped drept unghic. Copiați pe caiete și completați spațiile libere astfel încât să obțineți afirmații adevărate: a) Muchiile paralelipipedului, care conțin punctul D, sunt ... . b) Fețele paralelipipedului, care conțin vârful D, sunt ... . c) Fețele paralelipipedului, care conțin muchia AD, sunt ... .

b) Calculați numărul f − m + v, pentru fiecare prismă. 3. Baza unei prisme este un patrulater cu perimetrul 64 cm, iar o muchie laterală are lungimea 9 cm. Determinați suma tuturor muchiilor prismei. 4. Fie ABCA′B′C′ o prismă triunghiulară, M mijlocul segmentului BC și M′ mijlocul segmentului B′C′. a) Realizați un desen care să corespundă datelor problemei. b) Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor: p1: „Punctele B′, A, B, C sunt coplanare“. p2: „Paralelogramul ABB′A′ și punctul C determină o piramidă patrulateră“. p3: „Reuniunea prismelor ABMA′B′M′ și ACMA′C′M′ este prisma ABCA′B′C′.“ 5. Punctele M și M′ sunt intersecțiile diagonalelor bazelor ABCD respectiv A′B′C′D′, ale prismei drepte ABCDA′B′C′D′. a) Realizați un desen care să corespundă datelor problemei. b) În configurația realizată, denumiți câte o prismă triunghiulară, cu baza: ABD, ACD, ABC respectiv BCD. c) Precizați elementele prismei cu baza MAB și muchia laterală MM′. d) Identificați patru tetraedre care au toate vârfurile printre vârfurile prismei date. 6. Fețele laterale ale unei prisme hexagonale sunt congruente și fiecare are perimetrul de 30 cm. Perimetrul bazei este egal cu perimetrul unei fețe laterale.

132

8. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ se cunosc: AB = 7 cm, B′C′ = 8 cm, DD′ = 9 cm. a) Realizați un desen care să corespundă datelor problemei. b) Calculați suma tuturor muchiilor paralelipipedului. 9. Două cuburi cu muchia de 5 cm se alătură astfel încât să se obțină un paralelipiped dreptunghic. a) Realizați un desen care să corespundă datelor problemei. b) Determinați cea mai mare dintre ariile fețelor paralelipipedului obținut. c) Calculați suma tuturor muchiilor paralelipipedului obținut. 10. Lungimile muchiilor AB, BC, AE, ale paralelipipedului dreptunghic ABCDEFGH sunt direct proporționale cu numerele 2, 3 respectiv 5, iar suma lungimilor tuturor muchiilor paralelipipedului este 360 cm. Calculați dimensiunile paralelipipedului, exprimând rezultatele în centimetri. 11. Diagonalele unei fețe laterale a unei prisme patrulatere regulate sunt perpendiculare. Demonstrați că prisma este un cub. 12. Punctul M este mijlocul muchiei AA′, a prismei patrulatere regulate ABCDA′B′C′D′, iar triunghiul MBD este echilateral. Calculați raportul dintre lungimea muchiei bazei și lungimea muchiei laterale.

Lecția 4. Desfășurarea prismei drepte Ne amintim  O prismă care are toate fețele laterale dreptunghiuri se numește prismă dreaptă.  O prismă dreaptă, a cărei bază este un poligon regulat, se numește prismă regulată. Descoperim, înțelegem, exemplificăm Desfășurarea unei prisme drepte este o suprafață geometrică plană obținută prin reprezentarea dreptunghiurilor care reprezintă fețele laterale și a poligoanelor care reprezintă bazele astfel încât, prin pliere, să se poată reconstitui prisma. Suprafața laterală a prismei poate fi reprezentată printr-un dreptunghi având lungimea egală cu perimetrul bazei și lățimea egală cu muchia laterală a prismei. Pentru a obține desfășurarea unei prisme, o decupăm după anumite muchii astfel încât fețele laterale și bazele să poată fi „aduse” în același plan. Există multe variante de desfășurare a unei prisme. Imaginația fiecăruia va găsi desfășurări interesante și potrivite, în funcție de scopul pentru care se realizează. Rabatare în jurul muchiilor bazelor Prisma triunghiulară regulată

C' C A

Rostogolire pe planul unei fețe și rabatarea bazelor

B' B

Prisma hexagonală regulată

Prisma patrulateră regulată

A B'

D B

E' F'

133

Concluzii:  Desfășurarea unei prisme regulate având bazele suprafețe poligonale cu n laturi este o suprafață plană formată din reuniunea a n suprafețe dreptunghiulare congruente, corespunzătoare fețelor laterale, și două suprafețe poligonale regulate, cu n laturi, corespunzătoare bazelor prismei.  Pentru orice prismă dreaptă, există o desfășurare în care suprafața laterală a prismei este reprezentată de un dreptunghi cu dimensiunile: perimetrul bazei prismei, respectiv muchia laterală a prismei. Aplicație practică. Imaginile de mai jos reprezintă secvențe de realizare a desfășurării paralelipipedului dreptunghic ABCDA′B′C′D′, în planul feței ABCD. 1. A'

C' D

A B

Folosind o foaie de hârtie, de mărime potrivită, refaceți paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′, urmând, în ordine inversă, secvențele prezentate, numerotate de la 1 la 4. Concluzii:  Desfășurarea paralelipipedului este formată din 6 suprafețe dreptunghiulare. Cele 6 dreptunghiuri sunt grupate în 3 perechi de dreptunghiuri congruente (corespunzătoare fețelor opuse ale paralelipipedului).  Cele 6 suprafețe dreptunghiulare, în funcție de tehnica de desfășurare, pot fi alăturate în configurații diferite, dimensiunile lor rămânând neschimbate.  Desfășurarea unui cub este, de fapt, desfășurarea unui paralelipiped dreptunghic având dimensiunile egale. Urmăriți, în manualul digital, toate desfășurările cubului. Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Aplicație. În configurația alăturată, sunt reprezentate două hexagoane regulate cu latura de lungime a și șase dreptunghiuri cu dimensiunile a și b.

B' A'

a) Justificați faptul că această suprafață plană reprezintă desfășurarea unei prisme. b) Numiți prisma identificată la subpunctul a) și precizați natura ei. c) Realizați pe caiete altă desfășurare a aceleiași prisme.

E' F'

D C

Indicație: a) Hexagoanele regulate ABCDEF și A′B′C′D′E′F′ au laturile congruente, deci pot fi bazele unei prisme hexagonale regulate. Cele șase dreptunghiuri sunt congruente, având o dimensiune egală cu latura hexagoanelor, iar cealaltă dimensiune este aceeași pentru toate dreptunghiurile. Deducem că aceste dreptunghiuri ar putea fi fețe laterale ale prismei. Observăm, de asemenea, că poziția celor opt suprafețe permite, prin înfășurare, realizarea prismei hexagonale regulate cu muchia bazei a și muchia laterală b. b) Am obținut prisma hexagonală regulată ABCDEFA'B'C'D'E'F'.

134

Minitest

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

Pe o foaie de hârtie, se reprezintă trei pătrate și două triunghiuri echilaterale, cu latura de 10 cm, ca în imaginea alăturată. Se decupează foaia după conturul desenului, apoi se îndoaie după laturile pătratului ABNM, până când segmentele vecine se suprapun. 30 p

1. Corpul geometric obținut prin îndoire este: A. o piramidă triunghiulară regulată; B. o prismă triunghiulară regulată;

C. o piramidă patrulateră regulată; D. o prismă patrulateră regulată. 2. O pereche de puncte care vor coincide, după îndoire, este: A. A și R; B. E și Q; C. D și B; D. R și P. 3. După îndoire, dreptele AD și NR vor fi: A. identice; B. concurente; C. paralele; D. necoplanare.

30 p 30 p

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm

B′

C′

D′

B 2 cm C

2 cm

6 cm

2 cm 4 cm

A′

2 cm

1. Realizați pe carton configurația formată din 6 dreptunghiuri, ca în figura de mai jos, respectând dimensiunile înscrise.

a) Decupați după conturul exterior, apoi îndoiți cartonul pentru a obține o prismă cu baza ABCD. b) Denumiți prisma obținută. c) Identificați și descrieți elementele prismei de la subpunctul a). d) Repetați subpunctele a), b), c) pentru a obține o prismă cu baza ABB′A′, apoi ADD′A′. 2. Construiți din carton o prismă hexagonală regulată, ABCDEFA′B′C′D′E′F′, cu AB = AA′ = 12 cm. a) Desfășurați prisma pe suprafața băncii/biroului. b) Calculați aria unei fețe laterale și aria bazei prismei. c) Calculați aria suprafeței corespunzătoare desfășurării prismei. 3. Desfășurarea suprafeței laterale a unui cub este dreptunghiul MNPQ, MN > NP, iar punctul R este mijlocul laturii NP. Dacă MR = 65 cm, calculați lungimea muchiei cubului.

4. În desenul alăturat, este reprezentată desfășurarea în plan a unui cub, care are muchia de 6 cm. Calculați lungimea traseului A → B, marcat în desen.

A B

5. În figura alăturată C D este reprezentată E B desfășurarea în F A plan a unei prisme hexagonale regulate ABCDEFMNPQRS. În desfășurare, M S punctele E, F, M R N sunt coliniare și Q P EM = 27 cm. a) Demonstrați că, în desfășurare, punctul N este situat pe dreapta EM. b) Calculați lungimea muchiei bazei prismei și lungimea muchiei laterale a prismei. 6. Desfășurarea unui cub este o suprafață cu aria egală cu 108 cm2. Calculați lungimea muchiei cubului. 7. Desfășurarea suprafeței laterale a unei prisme triunghiulare regulate este un pătrat cu diagonala de 18 2 cm. Calculați lungimea muchiei laterale și lungimea muchiei bazei prismei.

135

Lecția 5. Cilindrul circular drept: reprezentare, elemente caracteristice, desfășurare Din motive practice, care țin de economie de spațiu, de viteza de deplasare, de echilibru, de rezistența la intemperii, o mare parte dintre obiectele care ne înconjoară sunt mărginite de forme rotunde. Ne amintim  Cercul este figura geometrică formată din toate punctele dintr-un plan, situate la o distanță constantă de un punct fix, numit centru.  Fiecare cerc poate fi generat prin rotirea unui punct, într-un plan dat, în jurul unui punct fix, centrul cercului. La corpurile din imagini, putem identifica, în plane convenabil alese, cercuri. Vom modela matematic câteva corpuri care sunt mărginite și de suprafețe rotunde, prin alăturarea sau îmbinarea cărora se pot realiza multe alte corpuri geometrice.

Descoperim, înțelegem, exemplificăm Fie ABCD suprafață dreptunghiulară. Rotim suprafața în jurul dreptei AB, numită axă de rotație până când suprafața ajunge, din nou, în poziția inițială.

B M

M M'

M' M

B M'

D Punctul D va descrie cercul de centru A și D A A A A rază AD, punctul C va descrie cercul de cenD D tru B și rază BC. Fiecare punct M, situat pe suprafața dreptunghiulară ABCD va descrie la rândul său un cerc, având centrul M′ pe segmentul AB și de rază MM′. Corpul obținut în acest fel este un cilindru circular drept. Identificați-l în trusa de geometrie.

Cilindrul circular drept este un corp de rotație. Definiție. Corpul geometric obținut prin rotația completă a unei suprafețe dreptunghiulare în jurul uneia dintre laturile sale se numește cilindru circular drept. Elementele cilindrului circular drept sunt:  Bazele: Discul de centru A și rază AD, respectiv discul de centru B și rază BC sunt bazele cilindrului.  Suprafața laterală: Suprafața descrisă de segmentul CD, în timpul rotației, este suprafața laterală a cilindrului.  Raza bazelor: Orice segment AN, unde N este punct situat pe cercul descris de punctul D, este rază a unei baze și orice segment BP, unde P este punct situat pe cercul descris de punctul C, este rază a celeilalte baze. Razele celor două baze au aceeași lungime și se notează, de regulă, cu R.  Generatoarea: Segmentul CD și orice alt segment PQ, cu P ∈ C(A, AD) și Q ∈ C(B, BC) astfel încât PQ ∥ AB, sunt generatoare ale cilindrului. Lungimea generatoarei cilindrului se notează, de regulă, cu G. Observație: Axa de rotație a unui cilindru circular drept este dreapta determinată de centrele bazelor cilindrului.

136

Convențional, pentru reprezentarea unui cilindru, când nu există alte precizări, notăm cu O, respectiv cu O', centrele celor două baze și reprezentăm două generatoare, AA' și BB', astfel încât AB este diametru în baza C(O, OA), iar A'B' este diametru în baza C(O', O'A'). Poziția axei în jurul căreia se rotește suprafața dreptunghiulară nu este relevantă, aceasta poate fi verticală, orizontală sau oblică, cilindrul generat având aceleași caracteristici. Cilindru cu axa de rotație verticală A' A

Cilindru cu axa de rotație orizontală B

Cilindru cu axa de rotație oblică B'

B' B

În cele trei desene alăturate: Discul de centru O și rază AO, respectiv discul de centru O′ și rază A′O′, sunt bazele cilindrului.

O' O

A' A

Segmentele OA și OB sunt raze ale unei baze, iar O′A′, O′B′ sunt raze ale celeilalte baze. OA = O′A′= R. Segmentele AA′ și BB′ sunt generatoare ale cilindrilor, AA′ = BB′= G.

Observație: În numeroase situații practice, atunci când ne referim la un cilindru, avem în vedere doar suprafața bazelor și suprafața sa laterală, făcând abstracție de punctele din interiorul cilindrului. Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Aplicația 1. Demonstrați că, dacă M este un punct oarecare pe suprafața laterală a cilindrului, atunci simetricul său față de dreapta OO′ aparține suprafeței cilindrului. (Axa de rotație a cilindrului este axă de simetrie pentru suprafața sa laterală). Demonstrație: Dreapta OO′ este axa de simetrie a cilindrului. Fie M un punct situat pe suprafața laterală a cilindrului și AA′ generatoarea care îl conține. Reprezentăm diametrele AB și A′B′ în cele două baze.

B' K

O' L

B O

A' M A

B' K B

A' M

L O

Atunci, ABB′A′ este dreptunghi, format prin alăturarea dreptunghiurilor congruente OBB′O′ și OAA′O′. În planul (ABM), construim ML ⊥ OO′, L ∈ OO′. Notăm cu K, punctul de intersecție a dreptelor ML și BB′. Atunci, OBKL și OAML sunt dreptunghiuri congruente și KL = OB = OA = ML, deci K este, în același timp, simetricul punctului M față de dreapta OO′ și punct al generatoarei BB′. În concluzie, simetricul oricărui punct de pe suprafața cilindrului, față de dreapta OO′ este un punct situat, de asemenea, pe suprafața cilindrului, adică OO′ este axă de simetrie pentru suprafața laterală a cilindrului. Observație: În demonstrația de mai sus, am folosit raționamente uzuale din geometria plană (construcții, proprietăți ale figurilor plane), toate aplicate într-un plan convenabil ales. Pentru aceasta, am făcut abstracție de elementele cilindrului care nu aparțin acelui plan. Acest demers face din geometria în spațiu o construcție care folosește conceptele și rezultatele geometriei plane într-un mod interesant, plăcut, util și practic. Temă de portofoliu Demonstrați că afirmația din Aplicația 1 rămâne adevărată și dacă, în locul suprafeței laterale, considerăm bazele sau interiorul cilindrului, deci „Axa de rotație a cilindrului circular drept este axă de simetrie a acestuia.”

137

Aplicația 2. Considerăm cilindrul circular drept, având raza R și generatoarea G. Așezăm cilindrul, proaspăt vopsit, pe un carton, pe planul băncii, astfel încât o generatoare să fie inclusă în acest plan. Rostogolim cilindrul, până când, aceeași generatoare ajunge, din nou, pe bancă. Ridicați cilindrul și lăsați o bază să „se așeze” pe planul băncii, apoi procedați la fel cu cealaltă bază. Descrieți suprafața obținută.

R 2p R

Rezolvare: Rulând cilindrul în plan, acesta colorează o suprafață G G dreptunghiulară care are ca dimensiuni generatoarea cilindrului și R lungimea cercului bază. Cele două baze vor colora două discuri tangente la câte una din laturile dreptunghiului. Practic, ne imaginăm că decupăm bazele după cercurile care le delimitează, apoi tăiem suprafața laterală a cilindrului după o generatoare. Obținem astfel, în plan, două discuri de raze egale (bazele) și un dreptunghi care are ca dimensiuni generatoarea cilindrului și lungimea cercului bază (suprafața laterală). Am realizat, în acest fel, desfășurarea cilindrului circular drept. Minitest 30 p

30 p

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

1. Suprafața laterală a unui cilindru circular drept se desfășoară după un dreptunghi cu dimensiunile G (generatoarea), respectiv 12,6 cm. Cea mai bună dintre aproximările următoare, pentru raza bazei, este: A. 1,5 cm; B. 2 cm; C. 2,5 cm; D. 3 cm. 2. Raza bazei unui cilindru circular drept este de 3 dm. Dacă raportul dintre generatoarea cilindrului și 5 diametrul bazei acestuia este , atunci lungimea generatoarei este: 2 A. 7,5 dm; B. 75 dm; C. 15 dm; D. 15 cm. 3. Pătratul ABCD, înscris în cercul de la baza unui cilindru circular drept, are aria 8 dm2. Raza bazei este: A. 4 dm; B. 2 cm; C. 2 dm; D. 4 cm. Notă: Timp de lucru:15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Efectuăm o rotație completă a dreptunghiului ABCD, în jurul laturii AB. Reprezentați pe caiete, printr-un desen, corpul obținut. Numiți elementele acestuia. 2. Desfășurarea în plan a suprafeței laterale a unui cilindru circular drept este un pătrat. Calculați raportul dintre raza bazei cilindrului și generatoarea acestuia. 3. Dreptunghiul ABCD este desfășurarea în plan a suprafeței laterale a unui cilindru circular drept, cu generatoarea de 24 cm. Știind că punctul P este mijlocul segmentului AB și CP = 40 cm, calculați lungimea razei cilindrului.

138

4. O suprafață dreptunghiulară se rotește în jurul lungimii, apoi în jurul lățimii, obținând de fiecare dată, câte un cilindru circular drept: C1 respectiv C2. a) Reprezentați prin câte un desen cei doi cilindri. b) Reprezentați desfășurarea în plan a cilindrului, în fiecare caz. c) Notăm cu a și b dimensiunile dreptunghiului și cu A1, respectiv A2, ariile suprafețelor obținute prin desfășurarea cilindrilor C1, respectiv C2. A a Dacă = 2 , calculați raportul 1 . A2 b

5. a) Punctele O și O′ sunt mijloacele laturilor AB res pectiv CD ale dreptunghiului ABCD. Se rotește dreptunghiul, în jurul dreptei OO′. Reprezentați printr-un desen corpul obținut, apoi numiți elementele acestuia. b) Punctele M și N sunt mijloacele laturilor AB res pectiv CD ale pătratului ABCD. Se rotește pătratul în jurul dreptei MN. Reprezentați printr-un desen corpul geometric obținut, apoi numiți elementele acestuia. F A

6. Desenul alăturat reprezintă desfășurarea în plan a unui cilindru circular drept.

a) Demonstrați că ABCDEF nu poate fi hexagon regulat.

b) Pentru AB = BC = DE = EF = 10 cm, calculați raza bazei cilindrului. 7. Aria bazei unui cilindru circular drept este 144π cm2, iar generatoarea cilindrului este de 24 cm. Calculați: a) raza bazei cilindrului; b) dimensiunile dreptunghiului obținut prin desfășurarea suprafeței laterale a cilindrului. 8. Desfășurarea suprafeței laterale a unui cilindru circular drept are aria 168π cm2, iar raza bazei cilindrului este de 4 cm. Calculați: a) generatoarea cilindrului; b) aria bazei cilindrului. 9. Pătratul ABCD are aria 72 cm2 și este înscris în cercul de bază a unui cilindru cu generatoarea de 8 cm. a) Calculați raza bazei cilindrului și aria bazei acestuia. b) Calculați aria suprafeței plane obținute prin desfășurarea cilindrului.

Lecția 6. Conul circular drept: reprezentare, elemente caracteristice, desfășurare Rezolvăm și observăm Considerăm triunghiul dreptunghic VOA cu ∢VOA = 90°. Rotim complet suprafața triunghiulară VOA în jurul catetei VO (până când suprafața triunghiulară ajunge, din nou, în poziția inițială). Identificați în trusa de geometrie V un corp care ar putea fi generat în acest mod. Rotind suprafața triunghiulară VOA în jurul dreptei suport a catetei VO, numită axă de rotație, punctul A va descrie cercul de centru O și rază OA. Fiecare punct M, situat pe suprafața triunghiulară VOA, va descrie, la rândul său, un cerc, având centrul M′, pe segmentul închis VO și de rază MM′. Punctul V și toate punctele situate pe segmentul închis VO sunt puncte fixe. Corpul obținut în acest fel se numește con circular drept. Putem simula rotația, folosind un echer.  Discul de centru O și rază OA este baza conului.  Segmentul OA și orice alt segment OP, cu P ∈ C(O, OA) sunt raze ale bazei și se notează, de regulă, cu R.  Punctul V este vârful conului.  Segmentul VA și orice alt segment VP, cu P ∈ C(O, OA) sunt generatoare ale conului și se notează, de regulă, cu G. Conul circular drept este un corp de rotație.

M' O

M A

Axa de rotație a conului circular drept este dreapta determinată de vârful conului și centrul bazei. Definiție. Corpul geometric obținut prin rotația completă a unei suprafețe triunghiulare, mărginită de un triunghi dreptunghic, în jurul uneia dintre catetele sale, se numește con circular drept. Pentru simplificarea exprimării, deoarece am definit numai conul circular drept, convenim să-l numim, simplu, con.

139

Descoperim, înțelegem, exemplificăm  În numeroase situații practice, atunci când ne referim la un con, avem în vedere doar suprafața bazei și suprafața laterală a conului, făcând abstracție de punctele din interiorul său.  Convențional, pentru reprezentarea unui con, când nu există alte precizări, vom nota cu O centrul bazei și vom desena două generatoare, AV și BV, unde A și B sunt puncte diametral opuse, în baza C(O, OA). Poziția axei în jurul căreia se rotește suprafața triunghiulară nu este relevantă; aceasta poate fi verticală, orizontală sau oblică, conul generat având aceleași caracteristici. Conul cu axa verticală V

Conul cu axa orizontală A O

Conul cu axa oblică

A V

O B

În desenele alăturate:  Punctul V este vârful conului.  Discul de centru O și rază OA este baza conului.  Segmentele OA și OB sunt raze ale bazei conului, OA = OB = R.  Segmentele VA și VB sunt generatoare ale conului, VA = VB = G.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Aplicația 1. Demonstrați că axa de rotație a conului este axă de simetrie pentru suprafața laterală a conului circular drept.

Indicație: Intuitiv, folosim figurile alăturate pentru a demonstra proprietaF M E E M tea de simetrie față de dreapta VO a suprafeței laterale a conului. ConsideD O răm un punct M pe suprafața laterală, CV generatoarea pe care este situat B A C D O punctul M, iar D punctul diametral opus lui C, pe cercul de bază. C Construim ME ⊥ VO, E ∈ VO și notăm cu F intersecția dintre ME și VD. Demonstrăm că EM ≡ EF, deci F este simetricul punctului M față de VO și aparține suprafeței laterale a conului, adică VO este axă de simetrie pentru suprafața laterală a conului. Temă de portofoliu Demonstrați că afirmația de la Aplicația 1 rămâne adevărată și dacă punctul M este situat pe baza conului sau în interiorul conului, deci „Axa de rotație a conului circular drept este axă de simetrie a acestuia.” Aplicația 2. Imaginile alăturate ilustrează o metodă de desfășurare a conului circular drept. a) Analizați imaginile și descrieți etapele parcurse pentru desfășurarea conului. b) Descrieți suprafața obținută (desfășurarea conului).

140

Rezolvare: a) Se decupează baza conului și se rabatează în planul în care dorim să obținem desfășurarea. Decupăm suprafața laterală a conului după o generatoare oarecare, apoi „aducem” această suprafață în planul de desfășurare. Dacă planul de desfășurare coincide cu planul bazei, atunci baza rămâne în poziția inițială, iar suprafața laterală se decupează și se aduce în planul bazei. b) Toate generatoarele unui con circular drept sunt congruente, iar suprafața laterală este formată din mulțimea tuturor generatoarelor. Prin urmare, desfășurarea suprafeței laterale va fi un sector de cerc, având ca rază generatoarea conului. Lungimea arcului sectorului de cerc obținut este egală cu lungimea cercului, bază a conului.  Desfășurarea conului circular drept este suprafața formată din discul de bază a conului și un sector de cerc cu raza egală cu generatoarea conului, care are lungimea egală cu lungimea cercului de bază. Problemă rezolvată. Un disc din carton cu raza R = 24 cm este tăiat în trei sectoare de cerc, corespunzătoare unghiurilor la centru cu măsurile 90°, 120°, respectiv 150°. Din sectoarele decupate, se confecționează trei conuri circulare drepte. Știind că r1, r2 respectiv r3 sunt razele bazelor conurilor confecționate, r1 < r2 < r3, detemonstrați că 2 · r2 = r1 + r3. Rezolvare: Lungimea cercului de bază al fiecărui con este egală cu lungimea arcului de cerc corespunzător un ghiului la centru al sectorului din care este confecționat. Știm că lungimea arcului de cerc corespunzător unghiului la centru de măsură u° este dată de formula u larc = 2πR ⋅ . Din enunț, R = 24 cm, iar u° reprezintă, pe rând, 90°, 120°, respectiv 150°. 360 Razele bazelor celor trei conuri sunt r1, r2 respectiv r3, prin urmare, aceleași lungimi se vor exprima sub forma 2πr1, 2πr2, respectiv 2πr3. 90 1 120 1 Atunci, 2π ⋅ r1 = 2π ⋅ 24 ⋅ ⇔ = ⋅ = (cm), π ⋅ = π ⋅ ⋅ ⇔ r2 = 24 ⋅ = 8 (cm) și r r 24 6 2 2 24 1 2   4 3 360 360 150 5 ⇔ r3 = 24 ⋅ = 10 (cm).  12 360 Am obținut r1 = 6 cm, r2 = 8 cm, r3 = 10 cm. Prin urmare, 2 · r2 = 16 = 6 + 10 = r1 + r3. 2π ⋅ r3 = 2π ⋅ 24 ⋅

Minitest

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

În desenul alăturat, este reprezentat conul circular drept cu baza C(O, OA) și vârful V, împreună cu desfășurarea suprafeței laterale a conului, semidiscul de diametru AA1 = 24 cm. 30 p 30 p 30 p

1. Generatoarea conului are lungimea egală cu: A. 12 cm; B. 24 cm; 2. Raza bazei conului are lungimea egală cu: A. 12 cm; B. 24 cm; 3. Măsura unghiului AVB este egală cu: A. 80°; B. 30°;

V V A

C. 18 cm;

D. 6 cm.

C. 18 cm;

D. 6 cm.

C. 90°;

D. 60°.

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

141

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Prin rotirea triunghiului dreptunghic ABC în jurul catetelor AB, respectiv AC, se obțin două conuri circulare drepte. a) Reprezentați, prin câte un desen, conurile obținute prin cele două rotații. b) Pentru AB = a cm, AC = b cm, a > b, copiați pe caiete tabelul, completați și comparați rezultatele, știind că R și G reprezintă raza și generatoarea conului circular drept. Conul 1 b

R G

Conul 2 a

2. Se știe că suprafața laterală a unui con circular drept se poate obține prin „înfășurarea“ unui sector de cerc. A C 6 S

120 6

90 8

În desenul de mai sus, sunt reprezentate două sectoare de cerc, din care se obțin suprafețele laterale pentru două conuri circulare drepte. Determinați generatoarea, raza bazei și lungimea cercului de bază pentru fiecare dintre cele două conuri. 3. Schița unui vas ornamental este reprezentată în desenul alăturat.

O O1

a) Identificați și numiți A corpurile geometrice din care este compus vasul ornamental.

b) Precizați elementele fiecărui corp din care este compus acest vas. 4. ABCD este un pătrat, AC ∩ BD = {O} și AC = 6 2 cm. a) Rotiți pătratul în jurul diagonalei BD și descrieți corpurile geometrice obținute. b) Numiți elementele celor două corpuri și precizați raza și generatoarea fiecărui corp. 5. Lungimile laturilor triunghiului isoscel ABC sunt AB = AC = 2a, BC = 3a, cu a > 0. a) Desenați un triunghi care să corespundă datelor problemei, pentru o valoare convenabilă a numărului a, apoi reprezentați axa de simetrie a triunghiului.

142

b) Demonstrați că, dacă suprafața triunghiulară se rotește în jurul axei sale de simetrie, atunci se obține un con circular drept. c) Precizați lungimea generatoarei și lungimea razei bazei conului obținut. O1 6. Baza conului din imagine co- D C incide cu baza de rază O1C a cilindrului, iar vârful conului este centrul bazei de rază OA a A B O cilindrului. Determinați raza și generatoarea conului, respectiv ale cilindrului, știind că ABCD este pătrat, cu AB = 6 cm.

7. Baza conului din imagine coincide cu baza de rază O1P a cilindrului, iar vârful conului este exterior E cilindrului. Determinați raza și generatoarea O1 Q P conului, respectiv ale cilindrului, știind că MNPQ este pătrat, PEQ este triunghi echilateral și O M N PMNPEQ = 20 cm. 8. Piesa din figură se obține alăturând două conuri circulare drepte care au aceeași bază, de centru O și rază OA.

a) Demonstrați că punctele V, O, S sunt coliniare. b) Dacă VASB este romb, VS = 40 3 cm și ∢AVB = 60°, calculați raza și generatoarea fiecărui con.

9. Baza unui con circular drept are centrul O și raza R, iar vârful conului este punctul V. Pe cercul C(O, R), se considră punctele distincte M, N, P astfel încât M, O, N sunt coliniare. Determinați intersecțiile: (VMP) ⋂ (MNP), (VMP) ⋂ (VON), (VOM) ⋂ (VON). 10. Desfășurarea suprafeței laterale a unui con circular drept este un sector de cerc corespunzător unui unghi la centru cu masura 135° și cu raza de 12 cm. Calculați: a) aria sectorului de cerc; b) lungimea cercului de bază a conului; c) raza bazei conului.

4.3. PARALELISM ÎN SPAȚIU Lecția 1. Drepte paralele, unghiul a două drepte în spațiu Rezolvăm și observăm

Problema 1 a) Aplicați axioma paralelelor muchiilor AB, AD respectiv AA′ și vârfurilor care nu aparțin acestora, în paralelipipedul ABCDA′B′C′D′. b) Scrieți patru exemple de perechi de muchii necoplanare.

C' C

A B Rezolvare: a) Paralela la dreapta AB prin punctul A′ este dreapta A′B′, iar paralela la AB, prin punctul C este dreapta CD. De asemenea, paralela la AB, prin B′ este A′B′, iar paralela la AB, prin punctul D este dreapta CD. Din C′D′∥A′B′și A′B′∥AB, rezultă C′D′∥AB. Prin urmare, dreapta C′D′ este unica paralelă la dreapta AB, prin punctul C′, respectiv prin punctul D′. Procedăm la fel pentru muchiile AD și AA′. b) Dreptele care nu sunt nici paralele nici concurente cu AB sunt DD′, CC′, A′D′ și B′C′. Se formează astfel, perechile de drepte necoplanare AB și DD′, AB și CC′, AB și A′D′ respectiv AB și B′C′.  În plan, două drepte distincte sunt sau paralele (nu au niciun punct comun) sau concurente (au exact un punct comun).  În spațiu, am aflat deja că există drepte care nu sunt nici concurente, nici paralele. Este vorba despre drepte necoplanare. Descoperim, înțelegem, exemplificăm Problema 2. Comparați următoarele două imagini. Decideți dacă între dreptele a, b, c există două drepte care au puncte comune.

c b

Rezolvare: a  Analizând primul desen, nu putem stabili cu certitudine că dreptele reprezentate au sau nu a puncte comune. Dreptele a și c ar putea fi paralele, dar nu suntem siguri. Dreptele a și b, ca și dreptele b și c, par să se intersecteze. Avem nevoie de informații suplimentare.  Clădirea, ale cărei muchii au fost modelate ca drepte, ne oferă suficiente date să răspundem corect. Dreptele a și c sunt coplanare și corespund unor muchii paralele, deci nu au puncte comune. Dreptele a și b sunt necoplanare ca și dreptele b și c, prin urmare, nu au puncte comune.  În reprezentarea plană a figurilor geometrice spațiale, convențiile trebuie respectate cu strictețe. În geometria plană, o figură realizată corect oferă o viziune generală asupra variantelor de abordare a problemei asupra relațiilor elementelor care apar. În spațiu, desenul arată doar „o față” a configurației. Folosindu-ne imaginația,vom reuși să „vedem în spațiu”, adică să intuim poziții, relații, măsuri pe care desenul nu ni le poate da. Unghiul a două drepte, în spațiu Pentru orice două drepte din spațiu, putem vorbi despre măsura unghiului format de acestea. În spațiu, două drepte pot fi: identice, paralele, concurente sau necoplanare. Prin urmare, sunt posibile următoarele situații:  Dacă d1 = d2, atunci ∢ (d1, d2) = 0°. (Două drepte identice formează un unghi nul).

143

 Convenim că dacă d1 ∥ d2, atunci ∢ (d1, d2) = 0° (Două drepte paralele formează un unghi nul).

 Dacă dreptele d1 și d2 sunt concurente, atunci acestea determină planul (d1, d2), iar ∢ (d1, d2) se analizează în plan, folosind definiția. d1 Cea mai mică dintre măsurile celor patru unghiuri, în jurul punctului de intersecție O, se nuO mește măsura unghiului format de dreptele d1 și d2, pe care o notăm ∢ (d1, d2). d2 Observație: Vom folosi aceeași notație atât pentru unghiul format de două drepte, cât și pentru măsura acestui unghi, rezultând din context la care ne referim.  Elementul specific geometriei în spațiu se referă la unghiul format de două drepte necoplanare. Următorul rezultat din geometria plană rămâne valabil și pentru geometria în spațiu. Propoziție. Dacă unghiurile ∢AOB și ∢A′O′B′ au laturile respectiv paralele, OA ∥ O′A′, OB ∥ O′B′, atunci ∢AOB ≡ ∢A′O′B′ sau ∢AOB + ∢A′O′B′ = 180°.

Reformulare: Două unghiuri cu laturile respectiv paralele sunt congruente sau suplementare.

Definiția 1. Unghiul a două drepte oarecare din spațiu este unghiul format de paralelele la cele două drepte, printr-un punct oarecare din spațiu.

Observație: Propoziția de mai sus ne asigură că definiția unghiului a două drepte nu depinde de punctul prin care se construiesc paralelele, acesta poate fi și un punct al uneia dintre drepte. Prin urmare, putem construi doar paralela la una dintre drepte, printr-un punct al celeilalte, definiția putând fi reformulată astfel:

d'2 d2

Definiția 1′. Unghiul format de dreptele distincte oarecare d1 și d2 este unghiul format de dreapta d1 cu o paralelă d 12 la d2, printr-un punct oarecare al dreptei d1. Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Aplicația 1. Punctele M, N, P sunt mijloacele muchiilor AB, BV, respectiv CV ale piramidei regulate VABCD, AC ⋂ BD ={O}. Determinați pozițiile următoarelor perechi de drepte: a) OM și PN; b) MN și PO.

V N

Rezolvare: a) OM este linie mijlocie în triunghiul ABC, iar NP este linie mijlocie O A BC B M = = NP . (2) în triunghiul VBC, prin urmare, OM || BC, NP || BC (1) și OM 2 Dreptele OM și NP sunt distincte. Folosind tranzitivitatea relației de paralelism, din (1), rezultă OM || PN. b) Din (1) și (2), rezultă că MNPO are două laturi paralele și congruente, deci este paralelogram și MN || PO.

Aplicația 2. Considerăm cubul ABCDEFGH. Acesta are 12 muchii, 12 diagonale ale fețelor și 4 diagonale ale cubului. Determinați măsurile unghiurilor formate de perechile de drepte: a) AE și ED; b) CD și HG; c) AD și BF; d) AH și CG; Rezolvare: Toate fețele cubului sunt suprafețe pătratice și atunci: (1) Laturile opuse ale fiecărei fețe sunt situate pe drepte paralele. (2) Laturile consecutive ale fețelor cubului formează unghiuri drepte.

144

e) BG și DE; H

E A

F D B

G C

f) BG și CH. H E A

F D B

G C

E I A

(3) Diagonalele fiecărei fețe a cubului formează unghiuri de 45° cu laturile pătratului. (4) Diagonalele fiecărei fețe a cubului sunt perpendiculare.

(3)

a) Dreptele AE și ED sunt concurente și ∢(AE,ED) = ∢(AED) = 45°. b) Din (1), rezultă CD ∥ HG și ∢(CD, HG) = 0°.

(2)

c) ABFE este pătrat și BF ∥ AE. ∢(AD, BF) = ∢(AD, AE) = ∢(DAE) = 90°. (3) d) CDHG este pătrat și CG ∥ HD. Se obține ∢(AH, CG) = ∢(AH, HD) = ∢(AHD) = 45°.

e) Dreptele ED și BG fac parte din planele fețelor ADHE respectiv BCGF. Diagonala AH se intersectează cu DE. Vom demonstra că AH ∥ BG. Din AB ∥ CD și AB ≡ CD, iar CD∥ HG și CD ≡ HG, rezultă AB ∥ HG și AB ≡ HG, deci ABGH este paralelogram și AH ∥ BG. Atunci, ∢(BG, DE) = ∢(AH, DE ), iar DE și AH sunt incluse în planul feței ADHE. (4) Cum AH și ED sunt dreptele suport ale diagonalelor obținem ∢(BG, DE) = ∢(AH, DE) = 90°. f) Din AH ∥ BG , avem ∢(BG, CH) = ∢(AH, CH) = ∢(AHC). Triunghiul AHC este echilateral, laturile lui fiind diagonale în pătrate congruente, deci ∢(BG, CH) = 60°. Aplicația 3. Romburile ABCD și CDPQ sunt situate în plane diferite. Se știe că ∢BAD = 140° și CD ≡ CP.

Aflați măsurile unghiurilor: a) ∢(AB, DP); b) ∢(PQ, BC). Rezolvare:

a) Dreptele AB și DP sunt necoplanare. Identificăm paralela la dreapta AB, printr-un punct al dreptei PD, de exemplu, prin D. Deoarece ABCD este romb, obținem CD ∥ AB. Atunci ∢(AB, DP)= ∢(CD, DP) = ∢CDP. Laturile rombului CDPQ sunt congruente și din CD ≡ CP, rezultă că triunghiul CDP este echilateral, ∢CDP = 60°, deci ∢(AB, DP) = 60°.

b) Procedăm analog pentru ∢(PQ, BC) și obținem ∢(PQ, BC) = ∢(CD, BC). Cum ∢BCD = ∢BAD = 140° (unghiuri opuse ale rombului), adică unghiul BCD este obtuz, rezultă ∢(PQ, BC) = 180°− ∢BCD = 40°. Minitest

30 p

Q D

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

D′ 1. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului format de A′ dreptele DD′ și BC este egală cu: A. 0°; B. 30°; C. 90°; D. 180° A

2. În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului format de dreptele AA′ și BC′ este egală cu: A. 90°; B. 45°; C. 60°; D. 30°. 3. În prisma regulată dreaptă ABCA′B′C′, unghiului format de dreptele AB și B′C′ are măsura egală cu: A. 60°; B. 30°; C. 45°; D. 90°.

C′ B′

A′

D′

D A A′

B′

C B C′

C B C′ B′ C

A B

Notă: Timp de lucru:15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

145

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. În planul α, se consideră unghiul AOB. Prin punctul Q ∉ α, se construiesc dreptele QC ∥ OA și QD ∥ OB. Determinați măsura unghiului CQD în fiecare din situațiile: a) ∢(AOB) = 72°; b) ∢(AOB) =123°.

2. Dreptele a și b se intersectează în punctul M. Unul dintre unghiurile determinate în jurul punctului M are măsura de 130°. Prin punctul O, exterior planului (a, b), se consideră dreapta c, astfel încât c ∥ a și dreapta d, paralelă cu bisectoarea unuia dintre unghiurile generate de a și b, în jurul punctului M. Calculați măsura unghiului format de dreptele c și d. 3. Reprezentați, printr-un desen, cubul ABCDEFGH. a) Scrieți două perechi de drepte necoplanare care formează unghiuri de 90°. b) Scrieți două drepte necoplanare care formează unghi cu măsura de 45°. c) Scrieți două drepte care formează unghi cu măsura de 60°. 4. Se consideră piramida regulată VABC, cu AB = 2a, VA = a 2 . Dacă punctul M este mijlocul muchiei AB, iar punctul N este mijlocul muchiei AC, calculați măsura unghiului format de dreptele: a) VA și VB; b) VN și BC; c) VB și MN. 5. Rombul ABCD și dreptunghiul ADEF sunt situate în plane diferite, AB = 2 cm, ∢(BAD) = 60°, AF = 2 2 cm și EC = 2 3 cm. Calculați măsura unghiului format de dreptele:

Lecția 2. Dreaptă paralelă cu un plan

a) AB și EF;

c) BF și EC;

b) AE și EC;

d) EF și AC.

6. În paralelipipedul dreptunghic ABCDEFGH, AC ∩ BD = {O}, EG ∩ FH = {Q}. Demonstrați că AE ∥ OQ.

7. În tetraedrul regulat ABCD, punctele M, N, P sunt mijloacele segmentelor BC, BD respectiv CD. Determinați măsurile unghiurilor formate de dreptele: a) AD și MN;

c) AP și MN;

b) AM și NP;

d) AC și MN.

8. Punctele O și Q sunt centrele fețelor ABCD respectiv BCGF, ale cubului ABCDEFGH. Calculați măsurile unghiurilor: ∢(GO, BD), ∢(HO, BG), ∢(AB, OQ), ∢(BO, EF). 9. Punctul M este mijlocul muchiei DD′, a paralelipipedului dreptunghic ABCDA′B′C′D′, AB = 4 3 cm, BC = 4 cm și CC′ = 8 cm. a) Demonstrați că MD ⊥ B′C′. b) Calculați măsurile unghiurilor: ∢(AM, CC′), ∢(AB, MC), ∢(AA′, MC).

10. Punctul M este exterior planului paralelogramului CDEF, astfel încât ∢MED = 90°, ∢DME = 55° și ∢EMF = ∢EFM = 45°. a) Demonstrați că CF ⊥ ME și ME ⊥ CD.

b) Calculați măsurile unghiurilor ∢(CF, DM) și ∢(CD, MF).

Descoperim, înțelegem, exemplificăm Definiție. Dacă dreapta d și planul α nu au niciun punct comun, spunem că d este paralelă cu α și notăm d ∥ α.

Observație: Atunci când trebuie desenată o singură dreaptă d paralelă cu planul α, convenim să o reprezentăm, paralelă cu una din marginile porțiunii de plan, reprezentate.

Propoziția 1. Dacă o dreaptă d este paralelă cu o dreaptă d1, inclusă într-un plan α, atunci dreapta d este paralelă cu α, sau este inclusă în α. Ipoteză: d ∥ d1 și d1⊂ α.

146

Concluzie: d ∥ α sau d ⊂ α.

Demonstrație: 1. Considerăm dreptele d și d1, d ⊄ α, d1 ⊂ α și d ∥ d1. Presupunem că d ∩ α ≠ ∅. Cum d ⊄ α, rezultă că d este secantă planului, adică există A astfel încât d ∩ α ={A}. Dreptele paralele d și d1 determină un plan β, diferit de α, iar d1 ⊂ α și d1 ⊂ β adică α ∩ β = d1. Cum A ∈ α și A ∈ d ⊂ β rezultă A ∈ α ∩ β sau A ∈ d ∩ d1, contradicție cu d ∥ d1. Presupunerea este falsă și d ∩ α = ∅, adică d ∥ α. 2. Cazul d ⊂ α implică direct concluzia propoziției.

b A

 Pentru a demonstra că o dreaptă d, care conține un punct exterior planului α, este paralelă cu acesta, este suficient să identificăm o dreaptă, inclusă în planul α, paralelă cu dreapta d. Propoziția 2. Dacă o dreaptă d este paralelă cu un plan α, iar d1 este paralelă cu dreapta d și conține un punct A situat în planul α, atunci dreapta d1 este inclusă în planul α.

Concluzie: d1 ⊂ α. Demonstrație: Considerăm d ∥α și A∈α. Dreapta d și punctul exterior A determină un plan care are un punct comun cu α și este diferit de acesta, deci există o dreaptă b = α ∩ (d, A). Din d ∥α și d, b coplanare, rezultă d ∥ b (d ∦ b ar implica d ∦ α). Așadar, dreptele d1 și b sunt paralele la dreapta d, prin punctul A. Aplicând axioma paralelelor, obținem d1 = b și cum b ⊂ α, rezultă d1 ⊂ α. Ipoteză: d ∥ α, d1 ∥ d, A ∈ d1 și A ∈ α.

(d, A)

d1 a

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Propoziția 3. (Consecință a Propoziției 2) Un plan α, care conține o dreaptă d, paralelă cu un alt plan β, se intersectează cu acesta după o dreaptă paralelă cu d. Suntem în măsură să demonstrăm teorema referitoare la tranzitivitatea relației de paralelism în spațiu despre care am afirmat în lecțiile anterioare că se păstrează și în spațiu. Teoremă. Dacă două drepte distincte sunt paralele cu o a treia dreaptă, atunci acestea sunt paralele. Ipoteză: a, b și c sunt distincte, a ∥ b și b ∥ c

Concluzie: a ∥ c b a Demonstrație: Considerăm dreptele a, b și c astfel încât a ∥ b și b ∥ c. Cazul 1. Dacă cele trei drepte sunt toate într-un același plan, problema se reb duce la rezultatul din geometria plană, cunoscut ca tranzitivitatea relației de c1 A c a paralelism. Cazul 2. Dacă dreptele a, b și c nu sunt incluse în același plan, considerăm α = (b, c). Din a ∥ b și b ⊂ α, conform Propoziției 2, rezultă a ∥ α. Considerăm punctul A ∈ c, și notăm β = (a, A). Planul β conține dreapta a, și a ∥ α. Conform Propoziției 3, planele α și β se intersectează după o dreaptă paralelă cu a. Fie c1 = α ∩ β, deci c1 ∥ a și A ∈ c1. Din b ∥ a și a ⊂ β, rezultă b ∥ β. Dar, b ⊂ α, de unde, b ∥ c1. Dreptele c și c1 sunt paralele, prin A la dreapta b și folosind axioma paralelelor, obținem c coincide cu c1 dar c1 ∥ a, deci c ∥ a. Aplicație. Demonstrați că dacă ABCDEFGH este un paralelipiped dreptunghic, atunci AD || FG. Demonstrație: Fețele paralelipipedului dreptunghic sunt dreptunghiuri, deci ABCD și BCGF sunt dreptunghiuri. Atunci, AD || BC și BC || FG. Deoarece dreptele AD și FG sunt distincte, folosind tranzitivitatea relației de paralelism, rezultă AD || FG.

E A

F C B

147

Minitest

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

Diagonalele bazei piramidei patrulatere regulate VABCD se intersectează în punctul O. Punctele M și N sunt mijloacele muchiilor AB, respectiv VB. 30 p

B. (VAB);

C. (VBC);

D. (MNO). M

2. O dreaptă paralelă cu planul (MNO) este: A. CD;

30 p

1. Dreapta CD este paralelă cu planul: A. (VAO);

30 p

B. CV;

C. VB;

D. BC.

3. Afirmația: „Dacă o dreaptă d este paralelă cu un plan α, atunci dreapta d este paralelă cu orice dreaptă inclusă în planul α.” este: A. adevărată;

B. falsă. Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. În cubul ABCDA′B′C′D′, identificați:

6. În desenul alăturat, este reprezentată o prismă hexagonală regulată.

a) drepte paralele cu planul (ADD′); b) drepte paralele cu planul (ADC′).

a) Precizați dreptele paralele cu planul (ABA′).

2. Reprezentați, printr-un desen, paralelipipedul dreptunghic ABCDMNPQ. a) Scrieți dreptele paralele cu planul (ADQ), determinate de două vârfuri ale paralelipipedului. b) Scrieți planele paralele cu dreapta NP, determinate de trei vârfuri ale paralelipipedului. c) Demonstrați că MP || (ACQ). 3. Baza piramidei SABCD este pătrat. Notăm cu M mijlocul muchiei laterale SC. Demonstrați că dreapta SA este paralelă cu planul A (MBD).

S M D O

C B

4. Considerăm ABCDEFGH paralelipiped dreptunghic. Semidreapta BK este bisectoarea unghiului CBD, K ∈ CD, iar DL este bisectoarea unghiului ADB, L ∈ AB. Demonstrați că: b) DL ∥ (BFK). a) BK ∥ (DEL); 5. Triunghiul echilateral ABC are latura AB inclusă în planul α, AB = 24 cm, iar C ∉ α. Punctul M este situat pe semidreapta AC, astfel încât MC = 3 · MA. Calculați lungimea segmentului NC, cu N pe dreapta BC, astfel încât MN ∥ α.

148

F' B'

E' C'

F B

E C

b) Demonstrați că dreapta AB′ este paralelă cu planul (DEE′). 7. În tetraedrul MNPQ, punctele A și B sunt situate pe muchiile MN respectiv MP, așa încât MA = 2 · AN, MP = 3 · BP. Paralela prin punctul G, centrul de greutate al triunghiului NPQ, la dreapta NP intersectează laturile PQ respectiv NQ în punctele C respectiv D. a) Determinați poziția dreptei MQ față de planul (ABC). b) Demonstrați că NP ∥ (ABG).

8. Trapezul ABCD cu bazele AB ∥ CD și paralelogramul BCEF sunt situate în plane diferite. Stabiliți, argumentat: a) poziția dreptei EF față de planul (ABC); b) poziția dreptei BF față de planul (DCE); c) poziția dreptei AD față de planul (BEF). 9. În tetraedrul ABCD, G1 și G2 sunt centrele de greutate ale triunghiurilor ABC și ABD.

Demonstrați că dreapta G1G2 este paralelă cu planele (BCD) și (ACD).

Lecția 3. Plane paralele Descoperim, înțelegem, exemplificăm  În paralelipiped, oricare două fețe opuse sunt situate în plane paralele. H E

F D

ABCDEFGH este paralelipiped.

F D

(ABC) ∥ (EFG)

F D

C A

F D

C B

G C

(ABE) ∥ (DCG)

(ADH) ∥ (BCG)

Demonstrație: Planele (ABC) și (EFG) sunt distincte. Din AB, BC ⊂ (ABC), EF, FG ⊂ (EFG), AB ∥ EF și BC ∥ FG, folosind consecința Teoremei 2 pag. 121, rezultă (ABC) ∥ (EFG). Analog, (ABE) și (DCG) conțin dreptele concurente AB și BF, respectiv paralele cu DC, CG, iar (ADH) și (BCG) conțin dreptele concurente AD și DH, respectiv paralele cu BC, CG, deci (ABE) ∥ (DCG) și (ADH) ∥ (BCG).  Bazele oricărei prisme sunt situate în plane paralele.  Bazele cilindrului sunt situate în plane paralele.

 Reprezentarea bidimensională a două plane paralele din spațiu se va face prin două paralelograme cu laturile respectiv paralele sau două unghiuri cu laturile respectiv paralele: Propoziția 1. (teorema fierăstrăului) Două plane paralele se intersectează cu un plan secant după două drepte paralele.

Demonstrație: Considerăm planele paralele α și β, iar γ este plan secant acestora. Notăm α ∩ γ = a și β ∩ γ = b, urmărind să arătăm că a ∥ b. Utilizăm metoda reducerii la absurd. Presupunem, prin absurd, că a ∩ b = {M}. Din M ∈ a, a ⊂ α și M ∈ b, b ⊂ β, avem M ∈ α ∩ β, adică α ∩ β ≠ ∅, deci α ∦ β, rezultat care contrazice ipoteza. Presupunerea este falsă și a ∥ b.

a α

M b

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni

Proprietatea de tranzitivitate se păstrează și pentru relația de paralelism între plane. Aplicația 1. Dacă planele α și γ sunt plane distincte, iar β este un plan astfel încât α ∥ β și β ∥ γ, atunci α ∥ γ. Ipoteză: α ≠ γ, α ∥ β și β ∥ γ.

Concluzie: α ∥ γ.

Demonstrație: Presupunem că α ∦ γ și deducem că există A ∈α ∩ γ. Prin A, trece un singur plan paralel cu β, conform consecinței Teoremei 2 pag. 121, deci α = γ, contradicție cu ipoteza că α ≠ γ. Presupunerea este falsă și α ∥ γ.

 Reformulare: Două plane distincte, paralele cu un al treilea plan, sunt paralele între ele.

Propoziția 2. Două plane paralele determină pe două drepte paralele, pe care le intersectează, segmente congruente. Propoziția 3. (Teorema lui Thales în spațiu) Trei sau mai multe plane paralele determină, pe două secante oarecare, segmente proporționale.

149

Ne vom limita la trei plane paralele. Ipoteză: α ≠ γ, α ∥ β și β ∥ γ, dreapta d1 intersectează planele α, β, γ în punctele A1, B1, respectiv C1, iar dreapta d2 le intersectează în A2, B2, respectiv C2. AB AB Concluzie: 1 1 = 2 2 . B1C1 B2 C2

d1 d2 d A1 A2 B1 C1

M B2 N

Pentru justificare, consultați manualul digital. Se analizează cazurile: Cazul 1: Dreptele d1 și d2 sunt coplanare. Cazul 2: Dreptele d1 și d2 sunt necoplanare. Minitest

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

Punctele M, N, P sunt situate pe muchiile AA′, BB′ respectiv DD′ ale prismei hexagonale regulate ABCDEFA′B′C′D′E′F′ cu toate muchiile de lungime 10 cm, DP = k. astfel încât AM = 4 cm, B′N = 6 cm, PD′ 30 p

A′ B′ M A

30 p

B. (BB′C);

C. (ABA′);

2. Dacă (ABC) ∥(MNP), atunci numărul k este egal cu: A. 0,(6);

30 p

B. 0,4;

b g

F′

N B

1. Un plan paralel cu planul (DEE′) este: A. (AA′F);

E′ C′

D′ P

E D C

D. (A′B′F).

C. 2,5;

D. 1,5;

C. (D′F′E).

D. (DFF′).

3. Un plan paralel cu (ACC′) este: A. (DEF);

B. (DFE′);

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Analizați figurile următoare și precizați, folosind convențiile de reprezentare, pozițiile relative ale planelor α și β. a)

a) Demonstrați că planele (ADF) și (BCE) sunt paralele. b) Demonstrați că dacă G este un punct din spațiu cu proprietatea EG || BC, atunci planele (EFG) și (ABC) sunt paralele.

b) (ACC′) și (BDD′); d) (ADD′) și (BCC′).

5. Punctul S este exterior planului pătratului ABCD, iar punctele M, N, P, Q sunt mijloacele segmentelor SA, SB, SC respectiv SD. Demonstrați că punctele M, N, P, Q sunt coplanare și că planul lor este paralel cu planul (ABC).

3. ABCDEFGH este un paralelipiped dreptunghic, punctele O și Q sunt centrele bazelor ABCD respectiv EFGH, iar punctul M este mijlocul segmentului BC. Demonstrați că (ABE) || (MOQ) || (CDH).

a) Demonstrați că (ABB′)||(CDD′) și (ADD′) || (BCC′).

2. ABCDA′B′C′D′ este un paralelipiped. Precizați pozițiile relative ale următoarelor plane: a) (ABC) și (A′B′D′); c) (ACC′) și (A′B′C′);

4. Paralelogramele ABCD și ABEF sunt situate în plane diferite.

150

6. Prin vârfurile dreptunghiului ABCD, se construiesc dreptele paralele AA′, BB′, CC′ și DD′, unde A′, B′, C′ și D′ sunt situate de aceeași parte a planului (ABC). b) Știind că AA′ = 0,1 m, BB′ = 1 dm, CC′ = 10 cm și DD′ = 100 mm, demonstrați că (ABC) || (A′B′D′).

7. În desenul alăturat, planele α, β și γ sunt paralele, SA = 6 cm, SC = 36 cm, SD = 10 cm, SE = 30 cm și BE = 24 cm. a) Calculați lungimile segmentelor AB, BC și SF. b) Calculați suma lungimilor segmentelor AD și CF.

A B

b) Construiți c || DE, d || DF, astfel încât c ⋂ d ={N}.

Da E

c) Demonstrați că (a, b) || (c, d). b

8. În prisma triunghiulară dreaptă ABCDEF, punctele M și N aparțin N muchiei laterale AD astfel încât M AM = MN = ND. A

a) Completați desenul, construind B a || AB, b || AC, astfel încât a ⋂ b ={M}.

9. Planele α, β, γ din figura alăturată sunt paralele, punctele A, B ∈ α și C, D ∈ β astfel încât dreptele AB și CD să fie necoplanare. Dreptele AC, BC, BD și AD intersectează planul γ în punctele E, F, G, respectiv H. Demonstrați că punctele E, F, G, H sunt vârfurile unui paralelogram.

D E G

Lecția 4. Secțiuni paralele cu baza în corpurile geometrice studiate Descoperim, înțelegem, exemplificăm Prisma are două baze, suprafețe poligonale convexe congruente, situate în plane paralele. Cilindrul are două baze, discuri congruente, situate în plane paralele. Definiție. Mulțimea tuturor punctelor de intersecție dintre un corp geometric și un plan α se numește secțiune a corpului cu planul α. Secțiunea depinde de poziția pe care planul o are față de corpul respectiv. Pentru început, vom considera doar secțiuni determinate de plane paralele cu baza res pectiv cu bazele corpurilor.

A. Secțiuni paralele cu baza în prismă. Secțiuni paralele cu baza în cilindru Propoziția 1. Secțiunea unei prisme printr-un plan paralel cu bazele este o suprafață poligonală congruentă cu bazele. Demonstrație: Considerăm prisma triunghiulară ABCA′B′C′. Fie α || (ABC) și A′′, B′′, C′′ punctele în care α intersectează muchiile laterale ale prismei. Planul (ABB′) intersectează planul (ABC) după dreapta AB și planul α după dreapta A′′B′′. Cum α || (ABC), rezultă, din teorema fierăstrăului, AB || A′′B′′. Dar, AA′ || BB′, deci patrulaterul ABB′′A′′ este paralelogram și A′′B′′ ≡ AB. Analog, B′′C′′ ≡ BC și A′′C′′ ≡ AC. Conform cazului de congruență L.L.L, ∆ABC ≡ ∆A′′B′′C′′. Cum ∆ABC ≡ ∆A′B′C′, rezultă ∆A′′B′′C′′ ≡ ∆A′B′C′, adică secțiunea este congruentă cu bazele.

C' B' C''

A'' A

B''

Se folosește un raționament similar pentru prisma patrulateră și pentru prisma hexagonală.

151

Reținem!  Prin secționarea unei prisme printr-un plan paralel cu bazele, se obțin două prisme.

A' A'' A''

B B' B B''

D' A'

C''

A''

C'' B'' B C'' B'''' C B

D''

 a) Cele două prisme obținute prin secționare au bazele congruente C'' D'' B'' cu cele ale prismei inițiale A'' D A C b) Dacă prisma secționată este o prismă dreaptă, atunci și prismele A B obținute sunt prisme drepte. c) Dacă prisma secționată este o prismă regulată, atunci și prismele obținute sunt prisme regulate.  Secțiunea unei prisme cu un plan paralel cu bazele este o suprafață poligonală congruentă cu bazele prismei inițiale. Propoziția 2. Secțiunea unui cilindru circular drept printr-un plan paralel cu bazele este un disc congruent cu bazele cilindrului. Demonstrație: Considerăm cilindrul circular drept obținut prin rotația suprafeței dreptunghiulare ABB′A′ în jurul axei sale de simetrie OO′. Planul α, paralel cu planele bazelor, intersectează AA′ și OO′ în A′′, respectiv O′′. Aplicând teorema fierăstrăului celor trei plane paralele tăiate de planul (AOA′), rezultă AO || A′′O′′ || A′O′. Cum ABB′A′ este dreptunghi și AA′ || OO′, rezultă A′′O′′ ≡ AO ≡ A′O′. Proprietatea obținută nu depinde de poziția punctului A′′, prin urmare, intersecția dintre planul α și cilindrul circular drept este un disc congruent cu bazele.

A''

O''

B''

Reținem!  Prin secționarea unui cilindru circular drept cu un plan paralel cu bazele, se obțin doi cilindri circulari drepți.  Cilindrii obținuți prin secționare au bazele congruente cu cele ale cilindrului inițial.  Secțiunea unui cilindru cu un plan paralel cu bazele este o un disc congruent cu bazele cilindrului inițial. Știm să aplicăm, identificăm conexiuni B. Secțiuni paralele cu baza în piramidă. Secțiuni paralele cu baza în con Aplicația 1. Considerăm tetraedrul VABC și printr-un punct A1 al muchiei laterale VA, un plan α paralel cu baza. Acesta intersectează celelalte muchii laterale în B1 respectiv C1. Demonstrați că piramida VA1B1C1 are muchiile proporționale cu muchiile piramidei inițiale, iar unghiurile bazei piramidei VA1B1C1 sunt respectiv congruente cu unghiurile bazei piramidei VABC.

V A1 A

C1 C B

Demonstrație: Planele secante (VAB), (VAC), respectiv (VBC) intersectează planele paralele α și (ABC) după dreptele A1B1, A1C1, respectiv B1C1, astfel încât AB ∥ A1B1, AC ∥ A1C1 și BC ∥ B1C1. Unghiurile triunghiurilor ABC și A1B1C1 sunt cu laturile respectiv paralele, deci sunt respectiv congruente sau suplementare, dar suma unghiurilor unui triunghi fiind 180°, rezultă că unghiurile sunt respectiv congruente, deci ∆A1B1C1 ∼ ∆ABC, raportul de ase= k mănare fiind

152

A1 B1 B1C1 C1 A1 = = . AB BC CA

Pe de altă parte, din AB ∥ A1B1, folosind teorema fundamentală a asemănării în triunghiul VAB, avem VA1 VB1 A1 B1 ∆ VA1B1 ∼ ∆VAB, adică egalitățile = = = k . Analog pentru celelalte fețe laterale. VA VB AB Rezultatele evidențiate pentru piramida triunghiulară pot fi generalizate pentru orice piramidă cu baza poligon convex cu n laturi, considerând un plan paralel cu baza, care secționează muchiile laterale. Reținem!  Prin secționarea unei piramide printr-un plan paralel cu baza, se obțin două corpuri: • Corpul situat de aceeași parte a planului cu vârful piramidei secționate este o piramidă (piramida mică). • Corpul geometric situat între planul de secțiune și planul bazei piramidei se numește trunchi de piramidă.  Piramida obținută și piramida inițială au proprietățile: • Muchiile celor două piramide sunt proporționale. • Baza piramidei obținute prin secționare este asemenea cu baza piramidei secționate. • Fețele laterale ale celor două piramide sunt triunghiuri asemenea. • Dacă piramida secționată este o piramidă regulată, atunci și piramida mică este o piramidă regulată.  Secțiunea unei piramide cu un plan paralel cu baza este o suprafață poligonală asemenea cu baza piramidei secționate. Aplicația 2. Secționăm piramida patrulateră VABCD cu un plan paralel cu baza și notăm A1, B1, C1 respectiv D1 punctele de intersecție a planului cu muchiile laterale ale piramidei. Corpul geometric obținut prin îndepărtarea piramidei VA1B1C1D1 (piramida mică) din piramida VABCD (piramida mare) se numește trunchi de piramidă. Spunem că am construit trunchiul de piramida patrulateră ABCDA1B1C1D1.

V a

D1 C1 D

Identificăm elementele trunchiului de piramidă, pe trunchiul de piramidă patrulateră ABCDA1B1C1D1. Bazele: Baza piramidei mari este baza Baza mare: suprafața ABCD; mare a trunchiului și baza piramidei mici Baza mică: suprafața A1B1C1D1. este baza mică a trunchiului de piramidă. Muchiile bazelor: Laturile bazei mari și la- AB, BC, CD, AD sunt muchiile bazei mari, iar turile bazei mici sunt muchiile bazelor. A1B1, B1C1, C1D1, A1D1 sunt muchiile bazei mici. Muchii laterale: Segmentele care rămân din muchiile laterale ale piramidei mari, după înlăturarea piramidei mici. Fețele laterale: Suprafețele obținute din fețele laterale ale piramidei mari, după înlăturarea piramidei mici. Vârfurile: Vârfurile bazei mari și vârfurile bazei mici.

AA1, BB1, CC1, DD1 sunt muchiile laterale ale trunchiului de piramidă. Suprafețele delimitate de trapezele ABB1A1, BCC1B1, CDD1C1, ADD1A1 sunt fețele laterale ale trunchiului de piramidă. Punctele A, B, C, D, A1, B1, C1, D1.

În funcție de piramida din care provine, un trunchi de piramidă poate fi: • trunchi de piramidă triunghiulară, patrulateră, pentagonală, hexagonală,… • trunchi de piramidă regulată sau trunchi de piramidă oarecare.

153

Reprezentarea, prin desen, a trunchiului de piramidă se realizează, construind punctat piramida din care provine, apoi trasând muchiile trunchiului: muchiile bazelor și muchiile laterale. Trunchiul de piramidă triunghiu- Trunchiul de piramidă patrulateră lară regulată regulată

Trunchiul de piramidă hexagonală regulată

Observație: Pentru a ști că este vorba de o piramidă regulată, nu este suficient desenul. Este obligatoriu ca datele problemei să ne asigure de acest fapt. Aplicația 3. Intersecția unui con cu un plan paralel cu baza sa este un disc cu centrul pe axa de simetrie a conului.

Demonstrație: Considerăm conul cu baza cercul C(O, R), având axa de simetrie OV și un a O1 r punctul variabil M ∈ C(O, R). Prin punctul O1 al segmentului OV ducem un plan α paralel N cu baza, care taie generatoarea VM în N. Planul (MOV) intersectează planele paralele α și planul bazei, după două drepte paO R M ralele, deci O1N ∥ OM. Așadar, cu teorema fundamentală a asemănării, obținem: VO1 VN O1 N VO1 . Pentru M variabil pe cerc, raportul = k și OM = R sunt con∆NO1V ∼ ∆MOV, de unde = = VM OM VO VO VO1 ⋅ OM stante, prin urmare O1 N= = k ⋅ R este constant și notăm O1N = r. VO Am obținut discul de centru O1 și rază r, cu O1 pe axa de simetrie VO.

 Deducem ușor că raportul razelor conurilor, rezultate prin secționare, este egal cu raportul determinat de planul r VO1 VN α pe segmentul VO și pe generatoarele VM ale conului:= = . R VO VM  Prin secționarea unui con circular drept printr-un plan paralel cu baza, se obțin două corpuri: • Corpul situat de aceeași parte cu vârful conului secționat este un con circular drept (conul mic). • Corpul rămas după înlăturarea conului mic, obținut prin secționarea unui con circular drept, printr-un plan paralel cu baza, se numește trunchi de con circular drept.  Conul obținut prin secționarea unui con circular drept printr-un plan paralel cu baza are raza bazei și generatoarea respectiv proporționale cu cele ale conului secționat. Elementele trunchiului de con sunt identificate cu ajutorul elementelor conului. Bazele: Baza conului mare este baza mare a trunchiului de con, iar baza conului mic este baza mică a trunchiului de con. Generatoarele trunchiului de con: Segmentele care rămân din generatoarele conului secționat, după înlăturarea conului mic. Axa de simetrie a trunchiului de con: axa de simetrie a conului secționat.

Baza mare: discul delimitat de cercul C (O, R); Baza mică: discul delimitat de cercul C (O1, r).

Segmentul MN este o generatoare a trunchiului de con. Dreapta suport a segmentului OO1 este axă de simetrie a trunchiului de con.

Observație: Trunchiul de con circular drept este un corp de rotație. Acesta se poate obține prin rotirea unei suprafețe delimitate de un trapez dreptunghic, în jurul laturii perpendiculare pe baze.

154

Minitest

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

Planele α și β sunt paralele cu bazele prismei patrulatere regulate ABCDA′B′C′D′. Planul α intersectează muchiile laterale ale prismei în punctele M, N, P, Q, planul β le intersectează în punctele R, S, T, V, iar AA′ = 18 cm, AM = 4 cm, MR = 8 cm. D' C' 30 p

30 p

A. AB = 4 cm;

B. AB = 6 cm;

C. AB = 8 cm;

D. AB = 12 cm.

B' V

2. Propoziția „Planele (BMQ) și (NRV) sunt paralele.” este: A. falsă;

30 p

1. Dacă A′B′C′D′RSTV este cub, atunci:

B. adevărată.

3. Propoziția „Planele (TVD′) și (ABN) sunt paralele.” este: A. falsă;

B. adevărată.

M A

Q D

P N

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Punctele M, N, P, Q sunt situate pe muchiile laterale AE, BF, CG respectiv DH ale prismei patrulatere ABCDEFGH astfel încât MA = NB = PC = QD. a) Realizați un desen care să corespundă datelor problemei. b) Demonstrați că punctele M, N, P, Q sunt coplanare. c) Numiți și descrieți corpurile geometrice obținute prin secționarea prismei cu planul (MNP). 2. Punctele M, N, respectiv P reprezintă intersecțiile diagonalelor fețelor laterale ABB′A′, BCC′B′ respectiv ACC′A′, ale prismei triunghiulare ABCA′B′C′. a) Demonstrați că planele (MNP) și (ABC) sunt paralele. b) Calculați raportul ariilor triunghiurilor MNP și ABC. c) Calculați raportul dintre aria secțiunii determinate de planul (MNP) în prisma dată și aria triunghiului ABC. 3. Piramida VABC cu baza triunghiul ABC se secționează printr-un plan paralel cu baza. a) Reprezentați piramida, planul de secțiune și punctele de intersecție ale planului cu muchiile laterale. b) Notați punctele de intersecție ale planului de secțiune cu muchiile laterale ale piramidei

și numiți corpurile obținute prin secționarea piramidei. c) Precizați bazele și muchiile acestor corpuri. 4. Tetraedrul regulat SABC este secționat printr-un plan α, paralel cu baza ABC, care conține mijlocul M, al muchiei SA. a) Demonstrați că, dacă {N} = α ⋂ SB și {P} = α ⋂ SC, atunci SN + CP = SA.

b) Știind că aria uneia dintre fețele tetraedrului este 4 3 cm2, calculați lungimile muchiilor trunchiului de piramidă format. 5. Demonstrați că, dacă AA′, BB′, CC′, DD′ sunt muchiile laterale ale unui trunchi de piramidă patrulateră, atunci acestea sunt coplanare două câte două. 6. Un cilindru circular drept are bazele C(O, r) și C(O′, r), AB este un diametru al cercului C(O, r), iar AA′, BB′ sunt generatoare. Planul α, paralel cu bazele cilindrului, intersectează generatoarele AA′ și BB′ în punctele C respectiv C′. Numiți razele și generatoarele celor doi cilindri, rezultați în urma secționării. 7. Conul circular drept cu vârful V și diametrul bazei AB = 10 cm este secționat cu un plan paralel cu baza, care conține centrul de greutate al triunghiului VAB. Calculați aria secțiunii.

155

4.4. PERPENDICULARITATE Lecția 1. Drepte perpendiculare, dreaptă perpendiculară pe un plan, distanța de la un punct la un plan Ne amintim  Unghiul dintre două drepte este unghiul ascuțit sau drept, format de paralelele la cele două drepte, duse printr-un punct din spațiu.  Două unghiuri cu laturile respectiv paralele sunt congruente sau suplementare. Definiție. Două drepte d1 și d2 sunt perpendiculare dacă formează un unghi drept.

În limbajul simbolisticii matematice d ⊥ d ⇔ ∢( d , d ) = 90°. 1

Rezolvăm și observăm

Problema 1. Acoperișul casei bunicuței are forma unei piramide patrulatere regulate VABCD, având ca bază suprafața podului casei. Demonstrați că muchia VB a acoperișului este perpendiculară pe diagonala AC a podului. Rezolvare: Punctul convenabil pe AC, prin care putem construi o paralelă la BV este O, intersecția diagonalelor. Paralela prin O la VB este inclusă în planul (VBO). Detașăm triunghiul VBD pentru a-l putea vedea în plan. Triunghiul VBD este isoscel (muchiile laterale ale piramidei regulate sunt congruente), OT este linie mijlocie (O centrul pătratului, OT ∥ BV) și ∢( VB, AC) ≡ ∢( TO, AC). Cercetăm triunghiul TAC, despre care bănuim că este isoscel. Încadrăm laturile TA și TC în două triunghiuri congruente, ∆TDA și ∆TDC. V

A B

T DD

Triunghiurile TDA și TDC au DA ≡ DC (laturi ale pătratului), ∢TDA ≡ ∢TDC (fețele laterale ale piramidei sunt triunghiuri isoscele congruente), TD ≡ TD (latură comună). Aplicând cazul de congruență L.U.L., avem ∆TDA ≡ ∆TDC, adică TA ≡ TC. În triunghiul TAC isoscel, TO este mediana corespunzătoare bazei, deci este și înălțime, adică TO ⊥ AC. Concluzie: Din TO ⊥ AC și ∢(VB, AC) ≡ ∢( TO, AC) = 90° , rezultă BV ⊥ AC. Problema 2. Considerăm paralelipipedul dreptunghic ABCDEFGH. Identificați toate muchiile, diagonalele fețelor sau diagonalele para lelipipedului, care sunt perpendiculare pe muchia BF.

Rezolvare: Paralelipipedul dreptunghic are toate fețele dreptunghiuri. Analizăm unghiul dintre BF și GH.

F B

C D

Evident, dreptele BF și GH sunt necoplanare. Dreapta CG este paralelă cu BF și coplanară cu GH. Atunci, ∢(BF, GH) = ∢(CG, GH) = ∢CGH, care este unghi al dreptunghiului CGHD, adică ∢(BF, GH) = 90°. Conform definiției, BF ⊥ HG.

156

Observație: CG nu este unica paralelă la BF, printr-un punct al dreptei GH. Găsiți încă una! Se identifică următoarele drepte perpendiculare pe FB: dreptele suport ale muchiilor: CD, AB, EF, BC, GF, EH, AD și dreptele suport ale diagonalelor fețelor: FH, EG, AC, BD. Descoperim, înțelegem, exemplificăm În problema anterioară, muchia laterală BF a paralelipipedului dreptunghic ABCDEFGH este perpendiculară pe multe drepte incluse în planul feței ABCD, mai precis pe: AB, BC, CD, DA, AC, BD. Acest fapt ne încurajează să cercetăm dacă BF este perpendiculară pe toate dreptele situate în planul (ABC). Definiția 1. O dreaptă d este perpendiculară pe un plan α dacă d este perpendiculară pe orice dreaptă inclusă în planul α. Scriem d ⊥ α. Nu este posibil să verificăm sau să demonstrăm perpendicularitatea pe toate dreptele planului (o infinitate), așa că vom folosi următorul rezultat matematic pentru a deduce tehnica de demonstrație. Propoziția 1. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte concurente situate într-un plan, atunci ea este perpendiculară pe plan. Ipoteză: d ⊥ a și d ⊥ b, unde a ⊂ α, b ⊂ α și a ⋂ b ≠ ∅.

Concluzie: d ⊥ α.

Demonstrație: Notăm {O} = d ∩ α. Prin punctul O, construim paralelele la a respectiv b, notate a1 respectiv b1, pe care vom considera punctele A respectiv B, diferite de O. Trebuie să demonstrăm că dacă c este o dreaptă oarecare, inclusă în α, atunci d ⊥ c. Construim, prin O, dreapta c1 ∥ c și notăm cu C intesecția ei cu AB. Pe dreapta d, considerăm punctele E și F astfel încât O este mijlocul segmentului EF.

d O

a1 c1 C

Din OE ≡ OF, OA ≡ OA, rezultă ∆ OAE ≡ ∆ OAF (C.C.), de unde AE ≡ AF. (1)

Din OE ≡ OF, OB ≡ OB, rezultă ∆ OBE ≡ ∆ OBF (C.C.), de unde BE ≡ BF. (2) Folosind (1) și (2), obținem ∆ EAB ≡ ∆ FAB (L.L.L.). Rezultă ∢EAC ≡ ∢FAC. (3) Folosind (1), (3) și AC ≡ AC, obținem ∆ EAC ≡ ∆ FAC (L.U.L.). Prin urmare, EC ≡ FC, adică triunghiul EFC este isoscel, cu CO mediana corespunzătoare bazei.

Rezultă că CO este și înălțime, deci CO ⊥ EF, adică d ⊥ c, oricare ar fi, c⊂α, prin urmare, d ⊥ α. Aplicația 1. Orice dreaptă paralelă cu o dreaptă perpendiculară pe un plan, este perpendiculară pe acel plan. d1 Ipoteză: d1 ∥ d2 și d2 ⊥ α. Concluzie: d1 ⊥ α.

Demonstrație: Din d2 ⊥ α,rezultă că există dreptele concurente a1 și a2, în planul α, cu d2 ⊥ a1 și d2 ⊥ a2. Paralelismul păstrează măsura unghiurilor, adică d1 ⊥ a1 și d1 ⊥ a2, deci d1 ⊥ α.

a1 a2

d2 M2

Propoziția 2. Printr-un punct din spațiu, există o singură dreaptă, perpendiculară pe un plan dat. Propoziția 3. Două drepte perpendiculare pe același plan sunt drepte paralele. Propoziția 4. Printr-un punct M din spațiu, există un singur plan, perpendicular pe o dreaptă dată d, numit planul perpendicular pe d, care trece prin punctul M. Propoziția 5. Două plane distincte, perpendiculare pe aceeași dreaptă, sunt plane paralele. Consultați manualul digital pentru justificarea propozițiilor 2, 3, 4.

157

Temă de portofoliu Folosind metoda reducerii la absurd, urmând modelele de demonstrație din manualul digital pentru rezultatele date de propozițiile 2, 3, 4, demonstrați propoziția 5. Propozițiile 1-5 sunt foarte utile în rezolvarea problemelor de perpendicularitate sau de paralelism.  Definiția distanței de la un punct la o dreaptă, pe care o știm de la geometria plană, rămâne valabilă și în spațiu. Definim, în mod asemănător, distanța de la un punct la un plan. Distanța de la punctul M la dreapta a Se consideră punctul M și dreapta a Construim din M, dreapta d1 perpendiculară pe a, care este unică. Notăm {O} = d1 ∩ a. Uzual, O se numește piciorul perpendicularei din M pe dreapta a.

d1 M d(M, a) a

d(M, a) = MO

Distanța de la punctul M la planul α Se consideră punctul M și planul α Construim din M, dreapta d1 perpendiculară pe α, care este unică. Notăm {O} = d1 ∩ α. Uzual, O se numește piciorul perpendicularei din M pe planul α.

d1 M d(M, a) a

d(M, α) = MO

Definiția 2. Distanța de la punctul M la dreapta a este lungimea segmentului MO, unde O este piciorul perpendicularei din punctul M, pe dreapta a.

Definiția 3. Distanța de la punctul M la planul α este lungimea segmentului MO, unde O este piciorul perpendicularei din punctul M, pe planul α.

Scriem d(M, a) = MO.

Scriem d(M, α) = MO.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni V

Aplicația 2. Demonstrați că dreapta care unește vârful piramidei patrulatere regulate cu centrul bazei sale este perpendiculară pe planul bazei. Demonstrație: Considerăm piramida patrulateră regulată VABCD, cu baza în planul α și notăm cu O intersecția diagonalelor bazei. Dorim să demonstrăm că VO ⊥ α. Conform Propoziției 1, trebuie să demonstrăm că VO este perpendiculară pe două drepte concurente, incluse în plan.

D A

Triunghiurile VBD și VAC sunt isoscele (VD ≡ VB ≡ VA ≡ VC), iar VO este mediana corespunzătoare bazelor, în fiecare, deci VO este și înălțime în fiecare triunghi, adică VO ⊥ AC și VO ⊥ BD. Conform Propoziției 1, VO ⊥ α. Aplicația 3. Demonstrați că dreapta determinată de vârful piramidei triunghiulare regulate și centrul bazei este perpendiculară pe planul bazei. Demonstrație: Considerăm piramida triunghiulară regulată VABC, în care O este centrul triunghiului echilateral ABC, adică centrul cercului circumscris bazei. Din vârful V, considerăm VO1 ⊥ (ABC). Se formează triunghiurile dreptunghice ∆VO1A, ∆VO1B și ∆VO1C congruente (cazul I.C.). Congruența triunghiurilor conduce la O1A ≡ O1B ≡ O1C, adică O1 este centrul cercului circumscris triunghiului ABC, deci O = O1. Prin urmare, VO ⊥ (ABC). Rezultatele obținute în Aplicația 2 și Aplicația 3 pot fi ușor generalizate pentru alte piramide regulate.

158

C A

Teoremă. Pentru orice piramidă regulată, dreapta care unește vârful piramidei cu centrul cercului circumscris bazei, este perpendiculară pe planul bazei. Observație: Lungimea segmentului determinat de vârful piramidei regulate și centrul bazei sale reprezintă distanța de la vârful piramidei la planul bazei. Definiția 4. Distanța de la vârful piramidei la planul bazei se numește înălțimea piramidei. Observații: 1) Avem puține convenții grafice pentru perpendicularitatea pe un plan. Când este posibil, planul se poziționează orizontal, iar dreapta perpendiculară pe plan se reprezintă vertical. Atenție! Nu orice dreaptă reprezentată vertical este perpendiculară pe planul orizontal. 2) În piramida triunghiulară (tetraedru), oricare dintre fețe poate fi considerată bază, deci putem vorbi de patru înălțimi ale tetraedrului. Aplicația 4. Demonstrați că axa de simetrie a conului circular drept este perpendiculară pe planul bazei.

Demonstrație: Considerăm conul obținut prin rotația triunghiului ABC, ∢BAC= 90°, în jurul catetei AB și fie două poziții necoplanare ale rotației, adică triunghiul ABC1 și triunghiul ABC2. Axa de simetrie a conului este dreapta AB. D Din AB ⊥ AC1 și AB⊥ AC2, rezultă că AB este perpendiculară pe două drepte concurente C1 din planul bazei, deci este perpendiculată pe planul bazei.

Definiția 5. Distanța de la vârful unui con circular drept la planul bazei se numește înălțimea conului. Înălțimea conului circular drept este lungimea segmentului determinat de vârful conului și centrul bazei sale.

Minitest 30 p

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

1. O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe … din acel plan. Alegeți, dintre expresiile de mai jos, pe cea care face ca afirmația să fie adevărată. A. două drepte identice;

30 p

B. o dreaptă;

C. două drepte concurente;

2. Dacă ABCDEFGH este prismă patrulateră regulată, atunci: A. AB ⊥ (BDF);

B. AC ⊥ (CFG);

C. AD ⊥ (CDE);

D. AE ⊥ (FGH).

C. 6 3 cm;

B. 6 cm; D. 3 2 cm.

F C

D A

3. Dacă ABCDMNPQ este cub și AC = 6 2 cm, atunci distanța de la punctul A la planul (BCN) este: A. 12 cm;

D. două drepte paralele.

Q M

P N

D A

C B

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

159

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. În figura alăturată ABCDEFGH este un paralelipiped dreptunghic. Cu notațiile din desen: H G a) numiți drepte perpendicuE F lare pe dreapta AB, care C sunt coplanare cu AB. D b) numiți drepte perpendicu- A B lare pe dreapta AB, care sunt necoplanare cu AB. c) numiți și scrieți toate muchiile perpendiculare pe planul (ABC). d) numiți și scrieți toate muchiile perpendiculare pe planul (BCF). 2. Andrei deschide caietul de matematică și îl așază pe birou astfel încât filele caietului să aibă câte o latură pe planul biroului, ca în imagine. Precizați, justificând răspunsul dat, dacă propoziția „dreapta simbolizată de cotorul caietului este perpendiculară pe planul biroului” este adevărată sau este falsă. 3. Demonstrați că într-un paralelipiped dreptunghic, fiecare muchie este perpendiculară pe două fețe ale paralelipipedului. 4. Dreapta DM este perpendiculară pe planul pătratului ABCD. Demonstrați că: a) MD ⊥ AB;

b) AB ⊥ (ADM).

5. În prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′, M este mijlocul muchiei BC, AB = 6 cm, AA′ = 3 cm. a) Demonstrați AA′⊥ AM. b) Calculați lungimea segmentului A′M. 6. Demonstrați că dacă ABCDEFGH este cub, atunci ∢HAB = 90°.

7. Triunghiurile echilaterale ABC și BCD sunt situate în plane diferite, iar E este mijlocul laturii BC. Demonstrați că BC ⊥ (ADE). 8. În tetraedrul ABCD, fețele ABC, ACD, ABD sunt delimitate de triunghiuri dreptunghice în A. a) Demonstrați că AC ⊥ (ABD), AD ⊥ (ABC) și AB ⊥ (ACD) b) Determinați poziția dreptei BC față de planul (ABD). c) Demonstrați că orice două muchii opuse ale tetraedrului ABCD sunt perpendiculare.

160

9. Se consideră cubul ABCDEFGH, AC ⋂ BD = {O}, EG ⋂ FH = {Q}. Demonstrați că: a) BD ⊥ (ACE); b) OQ || AE; c) OQ ⊥ (ABC).

10. Pe planul triunghiului ABC, ∢BAC = 90°, se ridică perpendiculara AM. Știind că AB = 8 cm, BC = 10 cm, iar MB = 2 · AB, calculați distanța: a) de la punctul M la planul (ABC); b) de la punctul B la planul (ACM); c) de la punctul C la planul (ABM). 11. Se consideră pătratul BCDE, BC = 40 cm. Dreapta AB este perpendiculară pe (CDE), AB = 30 cm. a) Demonstrați că CD ⊥ (ABC) și DE ⊥ (ABE). b) Calculați d(A, (CDE)), d(C, (ABE)), d(D, (ABC)). 12. În desenul alăturat, dreapta AB A este perpendiculară pe planul cercului de centru O și rază R = OB, segmentul BC este diB ametru al cercului, iar dreapta d este tangenta la cerc în punctul C.

C d

a) Demonstrați că d ⊥ (ABC). b) Dacă AB = 20 cm și AC = 2,5 · R , calculați raza cercului. F

13. În desenul alăturat, FO este înălțimea piramidei patrulatere regulate FABCD. Punctul E este D C O mijlocul muchiei BC, aria triunE A 2 B ghiului FOE este 6 3 cm , iar ∢FEO = 60°. Calculați înălțimea piramidei.

14. Dreptunghiul ABCD, cu centrul O, are dimensiunile AB = 12 cm, BC = 4 3 cm, iar punctul S este exterior planului (ABC), astfel încât SA = SB = SC = SD = AB. a) Demonstrați că SO ⊥ AC. b) Demonstrați că SO ⊥ (ABC). c) Calculați distanța de la punctul S la planul (ABC). 15. Triunghiul echilateral ABC, cu AB = 6 cm, este baza tetraedrului DABC, punctul O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC, iar d(D, (ABC)) = DO = 2 6 cm. Calculați d(A, (BCD)).

Lecția 2. Distanța dintre două plane paralele. Aplicații ale distanței dintre două plane paralele Ne amintim Distanța dintre două drepte paralele este distanța de la un punct oarecare al primei drepte la a doua dreaptă. Descoperim, înțelegem, exemplificăm A. Distanța de la o dreaptă la un plan paralel cu aceasta Considerăm dreapta d, paralelă cu un plan α. Ne propunem să definim distanța de la dreapta d la planul α. Propoziția 1. Dacă A∈ d, d ∥ α, AA 1 ⊥ α cu A 1 ∈ α, atunci lungimea segmentului AA1 este constantă (nu depinde de alegerea punctului A pe dreapta d).

Demonstrație: Pe dreapta d, luăm punctul B, diferit de A și construim BB1 ⊥ α A1 ∈ α, B1∈ α. Vom demonstra că segmentele AA1 și BB1 sunt congruente.

Dreptele AA1 și BB1 sunt perpendiculare pe același plan, prin urmare AA1∥ BB1 și determină un plan, care taie α după dreapta A1B1, paralelă cu d. În consecință, AA1∥ BB1 și AB∥ A1B1, AA1 ⊥ A1B1 adică patrulaterul AA1B1B este dreptunghi, rezultând AA1 ≡ BB1.

Definiția 1. Distanța de la dreapta d la planul α, paralel cu dreapta d, este distanța de la un punct oarecare al dreptei d la planul α și se notează cu d(d, α).

Activitate practică. Tudor și Andrei vor să construiască un leagăn din lemn, ca în figura alăturată. Corpurile ACDBFE și GHJLMO sunt prisme drepte, cu AC = AD și GH = GJ.

G A C

B L F

M a) Precizați care ar trebui să fie segmentele cărora trebuie să le cunoaștem lungiE D H Q J mile, pentru a putea calcula distanța de la bara AB la planul leagănului (CDE) și N O distanța de la bara GL la planul solului (HJO). b) Exprimați distanța de la dreptele CD, DE, EF, CF la planul solului, în repaus, în funcție de rezultatele obținute la a).

c) Identificați distanța de la planul solului la planul leagănului când leagănul este în repaus. Consultați manualul digital! B. Distanța dintre două plane  În plan, distanța dintre două drepte are sens doar pentru drepte paralele.  În spațiu, distanța dintre două plane are sens doar pentru plane paralele. Propoziția 2. Dacă două drepte sunt perpendiculare pe planele paralele α și β, pe care le intersectează în punctele A și B, respectiv A1 și B1, atunci AA1 ≡ BB1.

161

Demonstrație: Două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele, adică AA1 ∥ BB1. Planul (AA1B1) intersectează planele paralele α și β după drepte paralele, deci AB ∥ A1B1. Patrulaterul AA1B1B are laturile opuse paralele, deci este paralelogram cu AA1 ≡ BB1. Propoziția de mai sus este un caz particular al rezultatului următor:

A b

Două plane paralele determină pe două drepte paralele, pe care le intersectează, segmente congruente.

Concluzii:  O dreaptă perpendiculară pe un plan este perpendiculară pe orice plan paralel cu acesta.  Dacă două plane sunt paralele, atunci o dreaptă perpendiculară pe unul dintre ele este perpendiculară și pe cel de-al doilea, iar distanța dintre punctele de intersecție este constantă. Definiția 2. Distanța dintre planele paralele α și β este distanța de la un punct oarecare al unuia dintre plane la celălalt plan. Observație: Dacă α ∥ β, atunci distanța dintre oricare două puncte M ∈ α și N ∈ β este mai mare sau egală cu distanța dintre cele două plane. Știm să aplicăm, identificăm conexiuni C. Înălțimea unei prisme. Înălțimea unui cilindru circular drept Bazele prismei sunt suprafețe poligonale congruente, situate în plane paralele.

Bazele cilindrului circular drept sunt discuri congruente, situate în plane paralele.

Definiția 3. Distanța dintre planele bazelor unei prisme se numește înălțimea prismei.

Definiția 4. Distanța dintre planele bazelor unui cilindru se numește înălțimea cilindrului.

M B

E A

D A

G F

C B

Aplicația 1. Demonstrați că în orice prismă dreaptă, fiecare muchie laterală este înălțime a prismei. Demonstrație: Prisma dreaptă are fețele laterale dreptunghiuri. Fiecare muchie laterală formează cu muchiile bazei, cu care se intersectează, unghiuri drepte. Muchia aleasă este perpendiculară pe două drepte concurente incluse în planul bazei, deci este perpendiculară pe baze, adică este înălțime a prismei.  Muchiile laterale ale oricărei prisme drepte sunt și înălțimi ale ecesteia. Aplicația 2. Dreptunghiul ABCD se rotește în jurul laturii AB și generează cilindrul circular drept din imagine. a) Demonstrați că AB este o înălțime a cilindrului. b) Demonstrați că oricare dintre generatoarele cilindrului este înălțime a acestuia.

C1 A

D1 D2 Demonstrație: a) Fixăm două poziții necoplanare ale rotației: ABC1D1 și ABC2D2. Atunci, ABC1D1 și ABC2D2 sunt dreptunghiuri, deci AB ⊥ AD1 și AB ⊥ AD2, adică AB este perpendiculară pe planul bazei (discul cu centrul A și de rază AD).

162

Cum bazele sunt situate în plane paralele, AB este perpendiculară și pe planul discului cu centrul B și de rază BC. b) Fie CD o generatoare. Atunci, ABCD este dreptunghi, deci CD ∥ AB, de unde CD este perpendiculară pe baze, adică este înălțime.

 Înălțimea unui cilindru circular drept este lungimea segmentului determinat de centrele bazelor acestuia.  Oricare dintre gneratoarele unui cilindru circular drept este înălțime a cilindrului.

D. Înălțimea unui trunchi de piramidă. Înălțimea unui trunchi de con circular drept Trunchiul de piramidă se obține prin secționarea unei piramide cu un plan paralel cu baza. Trunchiul de con se obține prin secționarea unui con circular drept cu un plan paralel cu baza. Bazele trunchiului de piramidă și bazele trunchiului de con sunt situate în plane paralele. Definiția 5. Distanța dintre bazele unui trunchi de piramidă se numește înălțimea trunchiului de piramidă. Definiția 6. Distanța dintre bazele unui trunchi de con circular drept se numește înălțimea trunchiului de con. I

Aplicația 3. Determinați înălțimea piramidei din care provine trunchiul de piramidă patrulateră ABCDEFGH, știind că raportul dintre muchia bazei mici și muchia bazei 1 mari este , iar înălțimea trunchiului de piramidă este JK = 12cm. 4 Observație: Înălțimea trunchiului de piramidă este diferența dintre înălțimea piramidei din care provine trunchiul (piramida mare) și înălțimea piramidei care se îndepărtează (piramida mică).

G F

D A

C K

Rezolvare: Fie I vârful piramidei din care provine trunchiul. Aplicăm, pe rând, teorema fundamentală a asemănării pentru: ∆IEF ∼ ∆IAB și ∆IFJ ∼ ∆IBK. EF IF IF IJ IK − 12 1 EF 1 IJ = = . Rezultă IK = 16 (cm). = = = , deci sau Rezultă și AB IB IB IK IK 4 AB 4 IK Aplicația 4. Determinați înălțimea conului din care provine trunchiul de con, știind că razele bazelor sunt OC = 7 cm, O1B = 3 cm, iar înălțimea trunchiului de con este OO1 = 8 cm. Observație: Înălțimea trunchiului de con este diferența dintre înălțimea conului din care provine trunchiul (conul mare) și înălțimea conului care se îndepărtează (conul mic).

A O1 B

Rezolvare: Fie A vârful conului din care provine trunchiul.

O B AO1 . Aplicăm teorema fundamentală a asemănării, în planul (AOC) pentru ∆AO1B ∼ ∆AOC și obținem: 1 = OC AO OC − O1 B AO − AO1 4 8 = , deci = , adică AO = 14 cm. Folosind proporții derivate, obținem OC AO 7 AO Înălțimea conului din care provine trunchiul este AO = 14 cm.

163

Minitest 30 p

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

1. În prisma triunghiulară regulată ABCDEF, AC = 6 cm, AF = 10 cm. Distanța dintre planele bazelor prismei este: A. 10 cm;

30 p

B. 8 cm;

C. 6 cm;

D. 6 3 cm.

A. 8 cm;

C. 4 cm;

B. 4 2 cm;

D. 8 2 cm.

C. 2 2 cm;

B. 4 cm;

D. 8 cm.

M C

3. Paralelipipedul ANMDEQPH se obține prin alăturarea cuburilor ABCDEFGH și BCMNFGPQ, având muchiile de 4 cm. Distanța dintre planele (BDH) și (CGQ) este: A. 4 2 cm;

2. Cilindrul circular drept, din imagine, are raza bazelor 8 cm. Pătratele ABCD și MNPQ sunt înscrise în cercurile, baze ale cilindrului, iar AM ∥BN. Distanța dintre planele (ABM) și (CDP) este:

A G

H E

F C

D B

M N

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Fie ABCDMNPQ un cub. a) Demonstrați că AB ⊥ (ADM) și AB ⊥ (BCN). b) Dacă AN = 4 2 cm, calculați distanța dintre planele (ADM) și (BCN). 2. În figura alăturată, d ⊥ α, C d α || β, d ∩ α = {A}, d ∩ β = {B}și punctul C ∈ d, B BC = 2,4 cm. β O dreaptă care conține punctul C înțeapă planul β în punctul A α D și planul α în E, astfel încât BD = 4 cm, AE = 10 cm. Calculați distanța dintre planele α și β.

a) Realizați un desen care să ilustreze datele problemei. D

b) Demonstrați că planele (LMQ) și (NPS) sunt paralele. E

3. O prismă patrulateră regulată are aria bazei de 16 cm2 și aria unei fețe laterale de 20 2 cm2 . Calculați înălțimea prismei. 4. Prisma hexagonală regulată ABCDEFA′B′C′D′E′F′ are fețele laterale suprafețe pătratice, AD = 24 cm. Un plan α, paralel cu bazele prismei, intersectează segmentul AB′ în punctul M, AM = 2 2 cm. Calculați înălțimile prismelor determinate de planul α.

164

5. Se consideră ABCDEFGH prismă patrulateră regulată. Punctele L, M, N, P sunt mijloacele muchiilor AB, BC, CD respectiv DA, iar punctele Q, R, S, T sunt mijloacele muchiilor EF, FG, GH, respectiv HE.

c) Calculați distanța dintre planele (LMQ) și (NPS), dacă muchia bazei este l. 6. Punctul A este vârful unui con circular drept cu diametrul bazei BC = 36 cm. Bisectoarea unghiului ABC intersectează generatoarea AC în punctul D și AD 5 . = DC 6 a) Calculați înălțimea conului. b) Se secționează conul printr-un plan care conține punctul D și este paralel cu baza conului. Calculați înălțimea trunchiului de con care se formează prin secționare.

7. ABCMNP este o prismă triunghiulară dreaptă. Punctele D, E, F aparțin muchiilor laterale AM, BN respectiv CP, astfel încât AD = 3 · DM, BN = 4 · EN și PF = 0,(3) · CF. a) Reprezentați prisma printr-un desen și puneți în evidență planul (DEF). b) Demonstrați că (DEF) || (ABC) || (MNP). c) Demonstrați că d((ABC), (DEF)) = 3 · d((DEF), (MNP)). 8. În paralelipipedul dreptunghic BCDELMNP, cu baza BCDE, BC = 7 cm, BD = 25 cm și CN = 40 cm, calculați:

a) înălțimea BL a paralelipipedului; b) distanța dintre planele (BCL) și (PND). 9. Piramida patrulateră regulată VABCD are muchia bazei AB = 8 2 cm și muchia laterală VA = 10 cm. Prin mijlocul înălțimii piramidei se duce un plan paralel cu baza acesteia. Calculați înălțimea trunchiului de piramidă format. 10. Se consideră cilindrul circular drept, AB și CD diametre coplanare, AD generatoare și O, Q centrele bazelor cilindrului. Știind că CO = 12 cm și ∢COD = u, calculați înălțimea cilindrului pentru u ∈ {60°, 90°, 120°}.

Lecția 3. Plane perpendiculare. Aplicații Ne amintim  Dacă o dreaptă d este perpendiculară pe planul α, atunci orice dreaptă paralelă cu dreapta d este perpendiculară pe planul α.  Simetricul unui punct M față de o dreaptă a este punctul M′ cu MM′⊥ a și d(M, a) = d(M′, a), M și M′ fiind distincte.

Axă de simetrie

F M'

 O dreaptă a este axă de simetrie pentru figura F, dacă simetricul oricărui punct M al figurii F față de dreapta a aparține, de asemenea, figurii F.

Descoperim, înțelegem, exemplificăm Multe dintre suprafețele pe care le avem în preajmă sunt suprafețe plane: fațada unei clădiri, peretele unei încăperi sau ușa dulapului. Observăm că unele dintre acestea sunt plane verticale, în apropierea lor putând găsi plane orizontale care le intersectează. Mai mult, considerând într-un plan vertical o dreaptă perpendiculară pe muchia comună planului vertical și planului orizontal, am putea constata că aceasta este perpendiculară pe planul orizontal. Definiția 1. Planele α și β, care se intersectează după dreapta a, se numesc plane perpendiculare dacă există o dreaptă d, inclusă în unul dintre cele două plane, perpendiculară pe celălalt plan.1 În limbajul simbolisticii matematice: β ⊥ α dacă și numai dacă există d ⊂ β astfel încât d ⊥ α.

Un prim criteriu de a demonstra că două plane sunt perpendiculare este reprezentat de următoarea reformulare a definiției: Propoziție. Dacă un plan α conține o dreaptă d, perpendiculară pe un alt plan β, atunci α ⊥ β.

Definiția clasică a noțiunii de plane perpendiculare va putea fi formulată după alte câteva lecții.

165

Aplicația 1. Considerăm paralelipipedul dreptunghic ABCDEFGH. Demonstrați că toate planele determinate de două muchii laterale ale paralelipipedului sunt perpendiculare pe planul (ABC).

G F

E C

D Demonstrație: Paralelipipedul dreptunghic are fețele și bazele dreptunghiuri. Pentru A muchia AE, avem: AE ⊥ AB și AE ⊥ AD, adică AE ⊥ (ABC). Dreapta AE este inclusă în planele (ABE), (ADH), (AEG). Aplicând criteriul enunțat mai sus, rezultă (ABE) ⊥ (ABC), (ADH) ⊥ (ABC), (AEG) ⊥ (ABC).

Din BF ∥ AE ∥ DH și AE ⊥ (ABC), rezultă BF ⊥ (ABC) și DH ⊥ (ABC). Planele (DBF), (BCG) și (DCG) conțin câte una dintre aceste perpendiculare pe (ABC), adică (DBF) ⊥ (ABC), (BCG) ⊥ (ABC), (DCG) ⊥ (ABC). În concluzie, în paralelipipedul dreptunghic, oricare două muchii laterale determină un plan perpendicular pe planul bazei. A. Secțiuni diagonale În rezolvarea Aplicației 1, remarcăm planele (ACE) și (DBF), două plane care conțin diagonale ale bazelor și muchii laterale. Definiția 2. Secțiunea obținută într-un corp geometric cu baza poligon cu cel puțin 4 laturi (prismă, piramidă, trunchi de piramidă), printr-un plan determinat de o diagonală a bazei și o muchie laterală, se numește secțiune diagonală.  Secțiunea diagonală a unei prisme este suprafața paralelogramului care are ca laturi două muchii laterale ale prismei, care nu sunt situate pe aceeași față laterală și câte o diagonală a fiecărei baze.  Dacă prisma este dreaptă, atunci secțiunea diagonală este o suprafață dreptunghiulară situată într-un plan perpendicular pe baze.  Secțiunea diagonală a unei piramide regulate este o suprafață delimitată de un triunghi isoscel, care are ca bază o diagonală a bazei piramidei, laturile congruente fiind două muchii laterale ale piramidei.  Secțiunea diagonală a unui trunchi de piramidă regulată este o suprafață delimitată de un trapez isoscel, care are ca baze câte o diagonală a bazelor trunchiului, laturile congruente fiind două muchii laterale ale trunchiului de piramidă. Exemple de secțiuni diagonale Prisma dreaptă Piramida regulată Trunchiul de piramidă regulată H

E D A

F B

H Q

A S

M N E C

F D

R Q E

F B

C B R

Q E

A B

Observații: Numărul secțiunilor diagonale ale unui corp geometric este egal cu numărul diagonalelor bazei acestuia. Dacă baza este patrulater, corpul are două secțiuni diagonale, iar dacă baza este hexagon, corpul are nouă secțiuni diagonale. Secțiunile diagonale nu conțin muchii ale bazelor.

166

Aplicația 2. Secțiunile diagonale ale unui prisme drepte care are baza un poligon cu n laturi, n ≥ 4, sunt suprafețe dreptunghiulare. Demonstrație: O secțiune diagonală este intersecția dintre prismă și un plan determinat de o diagonală a bazei prismei și o muchie laterală a prismei. Considerăm prisma patrulateră dreaptă, ABCDA′B′C′D′, raționamentul fiind similar și pentru n > 4. Planul determinat de muchia laterală A′A și diagonala AC, a bazei ABCD, conține și muchia laterală C′C respectiv diagonala A′C′, a bazei A′B′C′D′. Prin urmare, secțiunea diagonală este suprafața ACC′A′. Dar, A′A ||CC′ și A′A ≡ CC′, deci ACC′A′ este paralelogram. Pe de altă parte, muchiile laterale ale prisme drepte sunt perpendiculare pe baze. Rezultă că A′A ⊥ (ABC). Cum AC ⊂ (ABC, rezultă A′A ⊥ AC, deci paralelogramul ACC′A′ are un unghi drept, adică este dreptunghi. Se demonstrează, analog, că secțiunea diagonală BDD′B′ este dreptunghi.

D' A' D A

C' B'

B. Secțiuni axiale Dacă un corp are axă de simetrie, atunci:  Oricum am alege un punct situat pe suprafața corpului geometric, simetricul acestui punct față de axa de simetrie se află tot pe suprafața sa.  Oricum am alege un punct situat în interiorul corpului geometric, simetricul acestui punct față de axa de simetrie se află tot în interiorul său.  Axa de simetrie a unui corp geometric este perpendiculară pe baza acestuia. Definiția 3. Secțiunea determinată de un plan care conține axa de simetrie a unui corp geometric se numește secțiune axială a corpului. Corpuri geometrice care au secțiuni axiale Paralelipipedul dreptunghic și prisma regulată care are ca bază un poligon cu număr par de laturi

Piramida regulată care are ca bază un poligon cu număr par de laturi

Trunchiul de piramidă regulată care are ca bază un poligon cu număr par de laturi

Secțiunea este dreptunghi

Secțiunea este triunghi isoscel

Secțiunea este trapez isoscel

Cilindrul circular drept

Conul circular drept

Trunchiul de con circular drept

167

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Aplicația 1. Demonstrați că dreapta determinată de centrul bazei și vârful piramidei triunghiulare regulate nu este axă de simetrie pentru această piramidă.

C Demonstrație: Fie piramida triunghiulară regulată VABC și O cenO A trul bazei piramidei. Fie F punctul de intersecție dintre dreptele AO F F' O E F A B și BC. Punctul F aparține suprafeței piramidei. Este suficient să demonstrăm că simetricul punctului F față de VO nu aparține suprafeței piramidei. Dreapta VO este înălțimea piramidei, deci VO ⊥ (ABC), de unde, VO ⊥ AO. Simetricul lui F față de VO este F′, mijlocul segmentului AO, care nu aparține suprafeței piramidei. Am demonstrat că VO nu este axă de simetrie.

Aplicația 2. Pe muchiile AD și BC ale piramidei patrulatere regulate SABCD cu AB = 8 cm, se iau punctele E respectiv F, cu AE = 2 cm, BF = 6 cm. a) Demonstrați că suprafața triunghiulară SEF este o secțiune axială a piramidei. b) Demonstrați că (SEF) ⊥ (ABC). c) Dacă aria triunghiului SEF este 32 5 cm2, calculați înălțimea piramidei.

F M

M E

N B

Rezolvare: a) ABCD este pătrat, deci AD = AB = 8 cm și DE = AD − AE = 6 cm. Notăm EF ∩ BD ={M}. Deoarece ∢EDM ≡ ∢FBM (= 45°), DE ≡ BF, ∢DEM ≡ ∢BFM (alterne interne), rezultă ∆ DEM ≡ ∆ BFM (ULU). Rezultă DM ≡ BM și EM ≡ FM. Atunci, punctul M este mijlocul diagonalei BD, deci coincide cu O, centrul bazei piramidei. Planul (SEF) conține înălțimea SO a piramidei, care este și axa de simetrie a acesteia, deci suprafața triunghiulară SEF este o secțiune axială. b) SO este inclusă în planul (SEF) și SO ⊥ (ABC), adică (SEF) ⊥ (ABC). c) Fie EN ⊥ BC, N∈BC. Patrulaterul ABNE are trei unghiuri drepte, deci este dreptunghi și NE = AB = 8 cm, BN = AE = 2 cm, iar NF = BF − BN = 4 cm. În triunghiul EFN, ∢ENF = 90°. Folosind teorema lui Pitagora, se EF ⋅ SO = 32 5 ⇔ 2 5 ⋅ SO = 32 5, de unde SO = 16 cm. obține EF = 4 5 cm. ASEF = 32 5 ⇔ 2 Reținem!  Secțiunea determinată de un plan care conține o diagonală a bazei unui corp geometric și o muchie laterală a acestuia se numește secțiune diagonală.  Secțiunea determinată de un plan care conține axa de simetrie a unui corp geometric se numește secțiune axială. Temă de portofoliu Ilustrați prin exemple, folosind un soft de geometrie dinamică (de exemplu Geogebra), validitatea următoarelor afirmații. 1. Secțiunea axială a unui corp geometric este situată într-un plan perpendicular pe bază și conține centrul bazei. 2. Dacă un corp geometric admite axă de simetrie, atunci există o infinitate de secțiuni axiale ale acestuia. 3. Cilindrul, conul și trunchiul de con au toate secțiunile axiale congruente.

168

Minitest Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect. 30 p

30 p

1. Dacă ABCDA′B′C′D′ este un cub, atunci: A. (ABC) ⊥ (A′C′D′);

C. (BDD′) ⊥ (BB′C′);

B. (ABB′) ⊥ (ADD′);

D. (ACC′) ⊥ (DC′D′).

B. (ACF);

C. (BCF);

C' B'

2. Punctele M și N sunt mijloacele muchiilor BC, respectiv EF ale prismei triunghiulare regulate ABCDEF. Atunci, planul (AMN) este perpendicular pe planul: A. (ABD);

F E

D. (BND).

A B

30 p

3. În figura alăturată sunt reprezentate patru secțiuni diagonale ale piramidei regulate VABCDEF. Secțiunea situată într-un plan perpendicular pe (ABC) este: A. VAE;

B. VAD;

C. VCA;

N C

M V

D. VCE. B

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Dreapta AP este perpendiculară pe planul pătratului ABCD. Stabiliți, justificând răspunsul dat, care dintre următoarele propoziții sunt adevărate și care sunt false. p1: (ABP)⊥(ABC); p2: (ADP)⊥(ABP); p3: (BCP)⊥(BCD); p4: (ACP) ⊥ (ABC).

2. Punctul M este mijlocul mu- A1 chiei BC a prismei regulate ABCA1B1C1. Demonstrați că: a) (A1AM) ⊥ (ABC). b) (A1BC) ⊥ (A1AM).

A B

3. a) Alegeți, dintre desenele următoare, pe cele care reprezintă secțiuni diagonale în corpuri geometrice. b) Alegeți, dintre desenele următoare, pe cele care reprezintă secțiuni axiale în corpuri geometrice. c) Desenați pe caiete corpurile geometrice care au fost selectate la subpunctele a) și b). d) Determinați, pentru fiecare dintre corpurile de la subpunctul c), numărul secțiunilor care sunt, simultan, secțiuni diagonale și secțiuni axiale. (1) Prismă tri- (2) Con (3) Piramidă (4) Prismă (5) Cilindru (6) Piramidă (7) Trunchi unghiulară circular patrulateră patrulateră circular patrulateră de con regulată drept regulată regulată drept regulată circular drept

(8) Piramidă (9) Prismă hexagonală hexaregulată gonală regulată

169

4. Paralelipipedul dreptunghic ABCDEFGH are dimensiunile AB = 6 cm, BC = 8 cm, iar CM ⊥ BD, M ∈ BD. a) Demonstrați că planele (CGM) și (BDH) sunt perpendiculare. b) Calculați distanța de la punctul C la planul (BDH). 5. Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′, cu AC ⋂ BD = {O}. Demonstrați că: a) BD ⊥ OC′; b) (BDD′) ⊥ (ACC′); c) (BDC′) ⊥ (ACC′). 6. Desenați o prismă patrulateră regulată și reprezentați una dintre secțiunile diagonale. Știind că secțiunea diagonală este o suprafață pătratică cu diagonala de 8 2 cm, aflați dimensiunile prismei. 7. În cubul ABCDEFGH, M ∈ AB, N ∈ BC, P ∈ FG, Q ∈ EF și AM = CN = H G 1 P E Q F = GP = · AB. Știind că 3 D AMNPQ = 24 2 cm2, C N calculați aria secțiunii diaA M B gonale a cubului. 8. Prisma hexagonală regulată ABCDEFA′B′C′D′E′F′ are latura bazei de 4 cm și AD′ = 16 cm. Calculați ariile secțiunilor diagonale care conțin muchia AA′. 9. Se consideră prisma patrulateră regulată ABCDEFGH. Perimetrul patrulaterului ACGE este 24 cm, iar ctg(∢AED) = 2 . Calculați: a) înălțimea prismei; b) aria patrulaterului BDHF. 10. Fie ABCDMNPQ un cub și E, F, G, H mijloacele muchiilor AD, BC, NP respectiv MQ. a) Stabiliți, argumentat, dacă suprafața patrulateră EFGH este secțiune axială a cubului. b) Pentru AG = 6 cm, calculați aria suprafeței patrulatere EFGH. 11. Punctul P este mijlocul muchiei VA a piramidei patrulatere regulate VABCD. Aria triunghiului VPC este 24 cm2. Calculați aria triunghiului VBD.

170

12. Se consideră ABCDEFA′B′C′D′E′F′ prismă hexagonală regulată. a) Demonstrați că planele (AEA′) și (DED′) sunt perpendiculare. b) Decideți, argumentat, dacă suprafața patrulateră (AEE′A′) este secțiune axială a prismei. c) Pentru BB′ = 15 cm, AE′ = 25 cm, calculați distanța dintre planele (AEA′) și (BDD') 13. Centrele bazelor trunchiului de piramidă patrulateră regulată ABCDMNPR sunt O, respectiv Q. Punctele E și F sunt mijloacele muchiilor AD, respectiv BC. Triunghiul QEF este echilateral, cu perimetrul 48 cm, iar MN =12 cm. a) Demonstrați că dreapta OQ aparține planului (QEF). b) Calculați aria secțiunii diagonale a trunchiului de piramidă. 14. Suprafața dreptunghiulară ABCD este o secțiune axială a unui cilindru circular drept. Punctul O este centrul bazei cilindrului cu diametrul AB. Știind că OC = 8 cm și ∢CDO = 60°, calculați raza bazei și generatoarea cilindrului. AB 15. Suprafața triunghiulară VAB, cu VA = VB = , 2 este secțiunea axială a unui con. Știind că perimetrul triunghiului VAB este 2 · ( 2 + 2 ) cm, calculați raza bazei conului. 16. Un delfinariu are un bazin în formă de cilindru circular drept. Pentru a oferi mai multe reprezentații, bazinul este împărțit în două părți egale printr-un perete dreptunghiular cu aria de 300 m2. Se știe că raza bazei cilindrului este de 15 m. Calculați înălțimea bazinului. 17. O societate comercială ocupă un spațiu în forma unei prisme hexagonale regulate. Dorind să-și rentabilizeze cifra de afaceri, transformă jumătate din spațiul pe care îl deține în cinematograf. Peretele despărțitor are înălțimea de 6 m și aria de 324 m2. Calculați suprafața pe care o ocupă societatea comercială, exprimând rezultatul în hectare.

4.5. PROIECȚII ORTOGONALE ÎN SPAȚIU Lecția 1. Proiecții de puncte, de segmente de dreaptă și de drepte, pe un plan Ne amintim A

Definiția 1. Punctul de intersecție dintre perpendiculara, prin punctul A, pe o dreaptă d și dreapta d se numește proiecția ortogonală a punctului A pe dreapta d.

A prd A = A

prd A = B

Dacă A ∉ d și B este proiecția punctului A pe dreapta d, vom scrie prd A = B. Descoperim, înțelegem, exemplificăm Definiția 2. Punctul de intersecție dintre perpendiculara, prin punctul A, pe un plan α și planul α se numește proiecția ortogonală a punctului A pe planul α.

Dacă A ∈ d, atunci prd A = A.

prα A = B

prα A = A

Dacă A ∈ α, atunci prαA = A.

Dacă A ∉ α și B este proiecția punctului A pe planul α, vom scrie prαA = B.

Observații:  Pentru simplificarea limbajului, în loc de proiecție ortogonală vom spune proiecție.  Dacă B este proiecția punctului A pe dreapta d, respectiv pe planul α, uzual, spunem că B este piciorul perpendicularei din A pe dreapta d, respectiv piciorul perpendicularei din A pe planul α.  Proiecția unui punct pe o dreaptă sau pe un plan este un punct și anume piciorul perpendicularei din acel punct pe dreaptă, respectiv piciorul perpendicularei din acel punct pe plan. Aplicația 1 a) Pe dreapta d, din planul α, se consideră un punct fix B. Identificați toate punctele A din plan pentru care B = prd A.

b) Pe dreapta d, din spațiu, se consideră un punct fix B. Identificați toate punctele A din spațiu pentru care B = prd A.

Reprezentare a

A B

c) a) b) c) În planul α, considerăm un punct fix B. Identificați toate punctele A din spațiu pentru care B = prα A. Rezolvare: a) Punctele situate în planul α pe perpendiculara în punctul B pe dreapta d respectă condiția impusă. b) Considerăm planul α perpendicular pe d în punctul B și A un punct oarecare al planului. Avem d ⊥ α și AB ⊂ α, deci AB ⊥ d. În consecință, B = prd A, oricare ar fi punctul A, din plan. Punctele care au proiecția pe d în punctul fix B formează planul perpendicular pe d, care trece prin punctul B. c) Punctele situate pe perpendiculara în punctul B pe planul α sunt singurele puncte din spațiu care se proiectează în punctul B.

171

Aplicația 2 a) Dacă A, B și C sunt puncte coliniare, atunci proiecțiile lor pe planul α sunt puncte coliniare. AB A ' B ' b) Dacă A′= prαA, B′= prαB și C′= prαC, atunci . = BC B ' C ' Rezolvare: b d a) Fie dreapta d pe care se găsesc punctele A, B și C. C B • Dacă d ∩ α = {M}, notăm cu β = (AA′B) și f = α ∩ β, A′ = prαA, A B′ = prαB, C′ = prαC. Din AA′ ⊥ α, BB′ ⊥ α și CC′⊥ α, rezultă AA′ ∥ BB′ ∥ CC′. f M Din B ∈ d, d ⊂ β, AA′⊂ β și AA′ ∥ BB′, rezultă BB′ ⊂ β, adică B′∈ α ∩ β. A′ B′ C′ a Analog, C′ ∈ α ∩ β, prin urmare, punctele A′, B′ și C′ se află pe dreapta f, deci A′, B′, C′ sunt coliniare. • Dacă d ∥ α, atunci prα d = d′, unde d′ este intersecția dintre planul α și planul (AB, A′B′). • Dacă d ⊂ α, atunci A′ = A, B′ = B, C′ = C , deci punctele A′, B′ și C′ sunt coliniare. AB A ' B ' = . b) În planul β, dreptele paralele determină pe orice două secante segmente proporționale, deci BC B ' C ' Consecințe  Dacă B aparține segmentului AC și A′C′= prαAC, atunci B′ = prαB aparține segmentului A′C′.  Proiecția mijlocului unui segment pe un plan este mijlocul segmentului determinat de proiecțiile capetelor segmentului dat, pe acel plan. Figurile geometrice sunt mulțimi de puncte, deci putem vorbi despre proiecția unei figuri geometrice pe o dreaptă sau pe un plan. Definiția 3. Mulțimea proiecțiilor tuturor punctelor unei figuri geometrice F, pe o dreaptă d sau pe un plan α, se numește proiecția figurii F, pe dreapta d, respectiv pe planul α. Teorema 1. Proiecția unei drepte pe un plan este o dreaptă sau un punct.

A' = pra A B' = pra B A'B' = pra AB

Demonstrație: Fie AB o dreaptă și α un plan, A′ = prα A și B′ = prα B . B Cazul 1. Dacă AB ⊥ α, din A′ = prαA și B′ = prαB, rezultă A′ și B′ sunt diferite. C Cum proiecțiile ortogonale ale punctelor coliniare sunt puncte coliniare, A' B' a rezultă că proiecția dreptei AB pe planul α este dreapta A′B′. Cazul 2. Dacă AB ⊥ α, atunci prα AB = {A′} = {B′}, deci proiecția dreptei AB pe planul α este un punct. Observație: Dacă AB ∩ α = {C}, atunci punctul C aparține proiecției dreptei AB pe planul α. Teorema 2. Fie AB un segment și α un plan. Notăm A′ = prαA și B′ = prαB. 1) Dacă AB ⊥ α, atunci proiecția segmentului AB pe planul α este segmentul A′B′ cu A′B′ < AB. 2) Dacă AB ⊥ α, atunci proiecția segmentului AB pe planul α este punctul A′.

Demonstrație: Este relevant doar cazul 1), când AB ⊥ α. Considerăm punctele A A′ ∈ α, B′ ∈ α, A′ = prαA, B′ = prαB. Sunt posibile următoarele situații: B a) Dacă AB ⊂ α , atunci fiecare punct al segmentului AB are ca proiecție A′ B′ punctul însuși, adică prαAB = AB, deci lungimea proiecției este egală cu lungimea segmentului proiectat. b) Dacă AB ∥ α, deci AB || A′B′, cum AA′∥ BB′, rezultă că ABB′A′ este paralelogram, prαAB = A′B′ și A′B′ = AB. c) Dacă AB ⊄ α și AB ∦ α, considerăm, mai întâi, cazul când segmentul nu intersectează planul α. Se formează trapezul dreptunghic ABB′A′, având laturile neparalele AB și A′B′, cu A′B′ < AB (A′B′ fiind înălțimea trapezului). Pentru cazul când segmentul intersectează planul, considerăm trapezul AA′BB′, în care AB este o diagonală, deci este mai mare decât înălțimea A′B′ a trapezului. 2) Dacă AB ⊥ α, atunci prα A coincide cu prαB, deci proiecția segmentului AB pe planul α este punctul A'.

172

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Aplicația 3. Pentru cubul ABCDEFGH, cu centrele bazelor O și Q, completați în tabel proiecția fiecărui segment pe planul corespunzător, după modelul indicat mai jos.

Planul pe care se proiectează (ABC) (ABE) (DBF)

Segmentul CE proiectat

CA C D Model de rezolvare: Proiecția segmenO tului CE pe planul (ABC) este segmenA B tul determinat de proiecțiile capetelor C, respectiv E, ale acestui segment, pe plan. Din C ∈ (ABC), rezultă pr(ABC) C = C. Din E ∉ (ABC) și EA ⊥ (ABC), A ∈ (ABC), rezultă pr(ABC) E = A. Prin urmare, proiecția segmentului CE pe planul (ABC) este segmentul CA. În concluzie, la intersecția liniei (ABC) cu coloana CE, vom completa CA. Consultați manualul digital pentru a vizualiza proiecțiile cerute. Reținem!  Proiecția unui punct pe o dreaptă sau pe un plan este punctul de intersecție dintre dreaptă, respectiv plan, și perpendiculara prin acel punct pe dreapta dată, respectiv pe planul dat.  Proiecția unei drepte pe un plan este o dreaptă sau un punct (Teorema 1).  Proiecția unui segment pe un plan este un segment sau un punct. Minitest

 Dacă dreapta suport a unui segment nu este perpendiculară pe un plan, atunci proiecția mijlocului segmentului pe acel plan este mijlocul proiecției acestuia pe plan.  Lungimea proiecției unui segment pe un plan este cel mult egală cu lungimea segmentului (Teorema 2).  Dacă dreapta suport a unui segment este paralelă cu planul, atunci segmentul proiectat și proiecția sa sunt două segmente congruente.

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

În tetraedrul regulat VABC, VO este înălțime, iar punctele E și F sunt mijloacele muchiilor BC, respectiv AB. 30 p 30 p 30 p

1. Proiecția punctului A pe planul (VOC) este: A. punctul C; B. punctul O; C. punctul F; 2. Proiecția segmentului VE pe planul (ABC) este: A. segmentul AE; B. segmentul OE; C. segmentul AO; 3. Proiecția dreptei VA pe planul (VCF) este: A. dreapta VC; B. dreapta VO; C. dreapta VE;

D. punctul V. D. punctul O.

D. dreapta VF.

O B

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. În figura alăturată este reprezentat un cub, iar O, respectiv Q, sunt centrele fețelor ABCD, H respectiv EFGH. Determinați: E d) pr(ABC)AE, pr(BCF)AE; a) prADC, prEFB; b) pr(ABC)A, pr(EFG)D;

c) pr(ABC)Q, pr(EFG)O;

e) pr(ABC)AG, pr(BCF)EC;

f) pr(ADE)AC, pr(ADE)AB, pr(ADE)BG.

Q F

O B

173

2. Dreapta d este paralelă cu un plan α și g = prαd. Demonstrați că dreapta g este paralelă cu d. 3. Segmentul AB este situat pe o dreaptă paralelă cu planul α, iar segmentul A′B′ este proiecția sa pe planul α. Punctul P aparține segmentului AB, AP = 2 · PB, iar Q = prαP. a) Demonstrați că punctul Q este situat pe segmentul A′B′. QB′ . b) Calculați valoarea raportului A′B′ 4. Fie α un plan, A ∈ α și B ∉ α, AB = 8 2 cm. Știind că proiecția punctului B pe planul α este punctul C și AC ≡ BC, calculați lungimea proiecției segmentului AB pe planul α. 5. Triunghiul echilateral ABC, cu AB = 20 cm, are latura BC inclusă în planul α, iar BM și CN sunt înălțimi ale triunghiului, M ∈ AC, N ∈ AB. Calculați lungimea proiecției segmentului MN pe planul α. 6. Punctele A, B, C, D sunt necoplanare astfel încât AB⊥ AC, AC⊥ AD, AD⊥ AB. a) Demonstrați că AD⊥ (ABC). b) Determinați proiecțiile segmentelor BD și CD pe planul (ABC).

c) Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor: p1: Proiecția segmentului BC pe planul (ABD) este segmentul AB. p2: Proiecția segmentului BD pe planul (ACD) este segmentul CD. p3: Proiecția segmentului AD pe planul (ABC) este punctul A. 7. Punctele distincte și coliniare A, B, C se proiectează pe un plan β în punctele distincte A′, B, C′. a) Demonstrați că punctele A′, B, C′ sunt coliniare. AB A′B b) Demonstrați că . = BC BC ′ c) Calculați lungimile segmentelor A′B și BC′ penA 9 tru A′C′ = 25 cm și ABA′ = . ABCC ′ 4 8. Triunghiul DEF este proiecția unui triunghi oarecare ABC pe un plan α. Demonstrați că proiecția punctului G, centrul de greutate al triunghiului ABC, pe planul α este centrul de greutate al triunghiului DEF. 9. Triunghiul echilateral ABC, AB = a, are latura BC conținută în planul α, iar punctul M este proiecția punctului A pe planul α. Știind că ∢BMC = 90°, determinați lungimea segmentului AM și tangenta unghiului ABM.

Lecția 2. Unghiul dintre o dreaptă și un plan, lungimea proiecției unui segment pe un plan Descoperim, înțelegem, exemplificăm Situație problemă. Se consideră d, o dreaptă oarecare din spațiu, α un plan și a o dreaptă inclusă în α. Se pun următoarele două întrebări: 1) Cum determinăm unghiul format de dreapta d cu dreapta a? 2) Care este dreapta din plan care formează cu dreapta d unghiul cel mai mic? Rezolvare:  Pentru d ⊂ α,dreptele a și d sunt coplanare și cunoaștem cazurile posibile pentru unghiul format de acestea. Unghiul de măsură minimă se obține pentru a = d sau a ∥ d, deci măsura minimă este 0°.  Dacă d ⊥ α, atunci d ⊥ a pentru orice a ⊂ α, adică dreapta d formează cu orice dreaptă din planul α unghi de 90°.

 În cazul în care d este secantă planului și d nu este perpendiculară pe α, unghiul format de dreptele d și a este unghiul determinat de dreapta d cu paralela la dreapta a prin punctul de intersecție cu planul. Valorile unghiurilor formate de dreptele d și a variază între 0° și 90°. Vom observa că dreapta a, inclusă în plan, cu care dreapta d formează unghiul cu cea mai mică măsură, este proiecția dreptei d pe planul α. Dreapta a este unic determinată de dreapta d.

174

Definiția 1. Unghiul dintre dreapta d și planul α, d ⊥ α și d ∦ α este unghiul format de dreapta d cu proiecția ei pe planul α.

Dacă d ⊂ α, atunci Dacă d este secantă planului și d ⊥ α, atunci ∢(d, α) = ∢(d, d′), unde d′ = prαd. ∢(d, α) = 0°. M

A a

M′

Convenții Dacă d ∥ α, atunci ∢(d, α) = 0°. d

d′

A′

Dacă d ⊥ α, atunci ∢(d, α) = 90°. d

B′

Observație. Dacă d este o dreaptă oarecare din spațiu și α este un plan oarecare, atunci 0° ≤ ∢(d, α) ≤ 90°. Aplicația 1. Oricare ar fi d o dreaptă din spațiu și oricare ar fi dreapta a ⊂ α, are loc relația ∢(d, α) ≤ ∢(d, a).

Pentru demonstrație, consultați manualul digital.

Rezultatul următor ne oferă un instrument pentru determinarea lungimii proiecției unui segment pe un plan. Propoziție. Lungimea proiecției unui segment AB pe un plan α este egală cu produsul dintre lungimea segmentului și cosinusul unghiului format de dreapta suport a segmentului AB cu planul α.

C B′′

B′ a

d′

În limbajul simbolisticii matematice: Oricare ar fi segmentul AB și oricare ar fi planul α cu A′B′= prα AB, are loc egalitatea: A′B′=AB · cos(∢(AB, α )).

Demonstrație: Analizăm cazul când AB intersectează planul într-un punct C. Notăm A′B′ proiecția segmentului AB pe planul α. Construim, în planul (ACA′), prin B, paralela la A′B′ și notăm cu D intersecția acesteia cu AA′. Se formează dreptunghiul BB′A′D, în care BD = A′B′.

Unghiul dintre AB și planul α este ∢ACA′≡ ∢ABD (unghiuri corespondente), BD iar în triunghiul dreptunghic ABD obținem cos(∢ABD) = , deci AB BD = AB · cos(∢ABD) sau A′B′=AB · cos(∢ACA′). Afirmația rămâne adevărată și pentru AB ∥ α, respectiv AB ⊥ α.

B C

A′

B′

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni A

Aplicația 2. Proiecția triunghiului ABC pe planul α este triunghiul DBC în care DB = 2 3 cm, BC = 4 3 cm și ∢BDC = 90°, iar AD = 6 cm. Determinați măsurile unghiurilor formate de dreptele AB, respectiv AC, cu planul α.

Rezolvare: Triunghiul BCD este dreptunghic (∢BDC = 90°), DB = 2 3 cm, BC = 4 3 cm. Rezultă CD = 6 cm. Cum A ∉ α și prαA = D, prαB = B, prαC = C, rezultă prαAB = DB, iar prαAC = DC. Din definiție, ∢(AB, α) = ∢(AB, DB) = ∢ABD și ∢(AC, α) = ∢(AC, DC) = ∢ACD.

175

Deoarece AD ⊥ α, DB, DC ⊂ α, rezultă AD ⊥ DB și AD ⊥ DC, iar triunghiurile ADB și ADC sunt dreptunghice. AD 6 = = 3 . Atunci, ∢ABD = ∢(AB, α) = 60 °. În triunghiul ADB, ∢ADB = 90°; tg∢ABD = DB 2 3 În triunghiul ADC, ∢ADC = 90°, AD = DC = 6 cm și ∢ACD = ∢(AC, α) = 45°. Aplicația 3. Fie ABCD un romb cu BD = 12 cm și E un punct exterior planului rombu lui, astfel încât EA = EC = 12 cm, EB = ED, iar dreapta EA face cu planul rombului un unghi de 30°.

a) Calculați lungimea proiecției segmentului EA pe planul rombului.

b) Calculați lungimea proiecției segmentului EA pe planul (EBD).

c) Calculați măsura unghiului format de dreapta EB cu planul (ABC).

Rezolvare: Notăm {O} = AC ∩ BD, deci EO este mediană în triunghirile isoscele EAC și EBD, prin urmare este și înălțime. Atunci, EO ⊥ AC și EO ⊥ BD, deci EO ⊥ (ABC) și pr(ABC)AE = AO, pr(ABC)EB = OB, prin urmare ∢(AE, (ABC)) = ∢EAO, iar ∢(BE, (ABC)) = ∢EBO. 3 a) Cum ∢(AE, (ABC)) = 30°, rezultă AO = AE · cos 30°= 12 · = 6 3 (cm). 2 b) Diagonalele rombului sunt perpendiculare, deci AO ⊥ BD. (1) Dar, EO ⊥ (ABC) și AO ⊂ (ABC). Rezultă EO ⊥ AO, deci AO ⊥ EO .

(2)

Din (1) și (2), rezultă AO ⊥ (EBD) , deci pr(EBD)EA = EO. Triunghiul EOA este dreptunghic și EO se opune unghiului de 30°, de unde EO = 6 cm. c) Am demonstrat că pr(ABC)EB = OB și deducem că ∢(BE, (ABC)) = ∢EBO. Triunghiul dreptunghic EOB are catetele BO = EO = 6, deci ∢EBO = 45°. Temă de portofoliu

1. Demonstrați că nu există o piramidă hexagonală regulată ale cărei fețe laterale să fie triunghiuri echilaterale. 2. a) Determinați cosinusul unghiului format de o muchie laterală a unui tetraedru regulat cu planul bazei acestuia. b) Determinați cosinusul unghiului format de o muchie laterală a unei piramide patrulatere regulate ale cărei fețe laterale sunt triunghiuri echilaterale de latură a, cu planul bazei piramidei. Reținem!  Dacă o dreaptă este inclusă într-un plan sau este paralelă cu acesta, atunci unghiul dintre dreapta dată și acel plan are măsura 0°.  Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci unghiul dintre dreapta dată și acel plan are măsura 90°.  Dacă o dreaptă este secantă unui plan și nu este perpendiculară pe acesta, atunci unghiul dintre dreapta dată și acel plan este unghiul format de aceasta cu proiecția ei pe plan.  Dacă d este o dreaptă oarecare din spațiu și α este un plan oarecare, atunci 0° ≤ ∢(d, α) ≤ 90°.

 Lungimea proiecției unui segment pe un plan este egală cu produsul dintre lungimea segmentului și cosinusul unghiului format de dreapta suport a segmentului cu planul. prαAB = AB · cos(∢AB, α).

176

Minitest

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

Diagonalele bazei piramidei regulate VABCD se intersectează în punctul O, iar AB = VA = 12 cm. 30 p 30 p

1. Unghiul format de dreapta VA cu planul (ABC) este: A. ∢VAB;

C. ∢VAO;

D. ∢AVO.

2. Lungimea proiecției segmentului VB pe planul (ABC) este egală cu: A. 12 cm;

30 p

B. ∢VAD;

C. 12 2 cm;

B. 6 cm;

D. 6 2 cm.

3. Măsura unghiului format de dreapta VA cu planul (VBD) este egală cu: A. 45°;

B. 90°;

C. 30°;

D. 60°.

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Desenați paralelipipedul dreptunghic ABCDEFGH. Numiți:

a) lungimea proiecției segmentului AN pe planul (BCN);

a) proiecția dreptei AF pe planul (BCF) și unghiul dreptei AF cu planul (BCF);

b) lungimea proiecției segmentului AC pe planul (AMN).

b) proiecția dreptei BH pe planul (ACD) și unghiul dreptei BH cu planul (ACD); c) proiecția dreptei CE pe planul (ADE) și unghiul dreptei CE cu planul (ADE). 2. Determinați măsura unghiului format de dreapta AB cu planul α, în următoarele condiții: a) A ∈ α, B ∉ α, prα B = C, AB = 10 cm, AC = 5 cm; b) A ∈ α, B ∉ α, prα B = C, AB = 12 cm, AC = 6 3 cm; c) A ∉ α, B ∈ α, prα A = D, AD = BD.

3. Dreapta AB formează cu planul α un unghi de 30°. Proiecția A′B′, a segmentului AB pe α, are lungimea de 24 cm. Calculați:

A a A′

5. Piramida SABCD are toate muchiile congruente. a) Determinați: pr(ABC)S, pr(ABC)SA și pr(ABC)SB.

b) Calculați măsurile unghiurilor triunghiului SAC.

A c) Determinați ∢(SA, (ABC)) și ∢(SB, (SAC)).

6. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′, AB = BC = 9 2 cm, iar AC′ = 12 3 cm. a) Demonstrați că AC′ = 2 · AA′.

B M B′

a) lungimea segmentului AB; b) lungimea proiecției segmentului AB pe dreapta BB′. 4. Pe planul triunghiului dreptunghic ABC, se ridică perpendiculara MN astfel încât MN = 8 cm, unde M este mijlocul ipotenuzei BC. Știind că AB = AC = 6 2 cm, calculați:

b) Calculați măsura unghiului format de dreapta AC′ cu planul (ABC). 7. Triunghiul ABC este dreptunghic, ∢BAC = 90°, iar BB′ și CC′ sunt perpendiculare pe planul acestuia. Știind că B′A și C′A fac unghiuri de 60°, respectiv 45°, cu planul (ABC), B′B = 3 3 cm și C′C = 2 cm, calculați: a) lungimile proiecțiilor segmentelor AB′ și AC′ pe planul triunghiului ABC; b) aria și perimetrul triunghiului ABC.

177

8. Se consideră prisma triunghiuA′ lară regulată ABCA′B′C′ cu AB = AA′, AM ⊥ BC și A′M′ ⊥ B′C′. a) Numiți unghiul format de A dreapta AC′ cu planul (BCC′).

C′ B′

M′ C M

b) Determinați măsura unghiului format de dreapta A′B cu planul (ABM). c) Determinați ∢ (AM, (BCC′)) și ∢ (BM, (AMM′)).

d) Demonstrați că ∢(AC′, (ABC)) ≡ ∢(A′B, (A′B′C′)).

9. Pe planul triunghiului dreptunghic ABC, cu ∢A = 90°, AB = AC = 4 3 cm, se ridică perpendiculara TA

astfel încât TA = 2 2 cm. Se notează cu N mijlocul segmentului BC. a) Demonstrați că BC ⊥ (ANT). b) Calculați măsura pentru: ∢(AT, (ABC)), ∢(AT, (ANT)), ∢(AB, (ANT)), ∢(NT, (ABC)).

10. Dreptele AM și DN sunt perpendiculare pe planul hexagonului regulat ABCDEF, punctele M și N fiind situate de o parte și de alta a planului (ABC), AM = DN = AB = a. a) Demonstrați că punctele M, A, N, D sunt vârfurile unui paralelogram. b) Determinați măsurile pentru ∢(MN, (ABC)), ∢(MA, (ABC)), ∢(BF, (MAD)).

11. Unghiul drept AOB se proiectează pe planul α și se obține unghiul drept A′O′B′. Se știe că OA ∦ α. Demonstrați că:

B′

a) O′A′ ⊥ (OB′O′). b) OB ⊥ (O′A′, OA).

A′

a O′

c) OB || α.

Lecția 3. Unghi diedru, unghi plan corespunzător unghiului diedru, unghiul a două plane, plane perpendiculare Ne amintim În plan, mulțimea tuturor punctelor situate de aceeași parte a unei drepte se numește semiplan. Dacă dreapta d este inclusă în planul α, aceasta generează două semiplane. Dacă d ⊂ α, iar A ∈ α și B ∈ α, A și B situate de o parte și de alta a dreptei d (segmentul AB are un punct comun cu d), notăm cu α 1 semiplanul delimitat de dreapta d, care conține punctul A, și cu α 2 semiplanul delimitat de dreapta d, care conține punctul B. Vom scrie α 1 = (d, A și α 2 = (d, B. Descoperim, înțelegem, exemplificăm Priviți casele din imagini și observați câteva dintre planele care le delimitează: planele pereților, planele din care pot fi identificate porțiuni pe suprafața acoperișului. Apar în mod natural întrebările: Cum putem caracteriza înclinarea planelor, unul față de altul? Putem vorbi despre „unghiurile formate de două plane”?

Considerăm două plane care se intersectează după dreapta AB. Dreapta de intersecție împarte fiecare plan în câte două semiplane. Astfel, obținem o construcție geometrică de bază a geometriei în spațiu, formată din două semiplane, provenite din plane diferite, care au ca margine o dreaptă comună. Vizualizați pe figura alăturată perechile de semiplane: (AB, C și (AB, O ; (AB, O și (AB, D; (AB, D și (AB, M; (AB, M și (AB, C.

178

d D

A M

C P

E B

Definiția 1. Figura geometrică formată de două semiplane, mărginite de aceeași dreaptă, se numește unghi diedru sau, mai scurt, diedru.

Planele din configurația anterioară, cu dreapta comună AB, generează patru diedre.

Semiplanele care formează diedrul se numesc fețele diedrului, iar dreapta lor comună se numește muchia diedrului. b1 G

Dacă fețele diedrului sunt semiplanele α 1 și β1, acesta se notează ∢(α 1 , β1).

Propoziție. Pe muchia d a unghiului diedru ∢(α 1 , β1), considerăm punctele A și B prin care construim planele γ1 ⊥ d și γ2 ⊥ d. Notăm AD și AE semidreptele de intersecție ale planului γ1 cu diedrul și cu BF și BG semidreptele de intersecție ale planului γ2 cu diedrul. Atunci, ∢DAE ≡ ∢FBG.

d B

F A

D a1

Demonstrație: Din γ1 ⊥ d și γ2 ⊥ d, rezultă γ1 ∥ γ2. Planele paralele γ1 și γ2 sunt tăiate de α 1 după dreptele AD ∥ BF și de β1 după dreptele AE ∥ BG.

În consecință, ∢DAE și ∢FBG au laturile respectiv paralele, ambele ascuțite sau ambele obtuze, deci sunt congruente. Definiția 2. Se numește unghi plan al unui unghi diedru sau unghi plan corespunzător unui unghi diedru unghiul determinat de intersecția fețelor diedrului cu un plan perpendicular pe muchia comună. Definiția 3. Măsura unui unghi diedru este egală cu măsura oricărui unghi plan corespunzător acestui diedru. Observații:  Propoziția ne asigură că măsura unghiului plan corespunzător unui diedru nu depinde de punctul în care construim planul perpendicular pe muchia acestuia.  Semidreptele care formează unghiul plan al unui diedru sunt perpendiculare pe muchia diedrului.  Două plane secante generează două perechi de unghiuri diedre cu aceeași măsură și perechi de unghiuri diedre suplementare. Aceste observații ne oferă următorul algoritm de construcție a unghiului plan corespunzător unui diedru: Pasul 1 Alegem, pe muchia diedrului, un punct convenabil. Pasul 2 În fiecare dintre fețele diedrului, prin punctul ales, construim câte o semidreaptă, perpendiculară pe muchia diedrului. Pasul 3 Unghiul determinat de cele două semidrepte este unghiul plan corespunzător diedrului.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Aplicație

a) Construiți unghiurile plane corespunzătoare diedrelor formate de baza unei piramide patrulatere regulate cu fețele laterale ale acesteia. b) Calculați măsura unghiurilor construite la a), știind că înălțimea piramidei este egală cu jumătate din lungimea laturii bazei.

D A

179

Rezolvare: a) Pentru diedrul format din semiplanele (AB, V și (AB, C, alegem E mijlocul segmentului AB. Deoarece triunghiurile ABV și ABO sunt isoscele, rezultă VE ⊥ AB, EO ⊥ AB. Cum VE ⊂ (AB, V și EO ⊂ (AB, C, deducem că unghiul plan corespunzător diedrului format de bază cu fața (VAB) este ∢VEO. Pentru celelalte fețe laterale se procedează la fel. 1 1 b) Din ipoteză, VO = AB , iar ABCD este pătrat, deci OE = AB. 2 2 Cum triunghiul VOE este dreptunghic, VO ⊥ EO, acesta are catetele congruente, deci ∢VEO = 45°.

În concluzie, în piramida dată, diedrele determinate de fețele laterale cu planul bazei piramidei au măsura de 45°. Definiția 4. Măsura unghiului dintre două plane neparalele este cea mai mică valoare a măsurilor unghiurilor plane corespunzătoare unghiurilor diedre formate. Prin convenție, măsura unghiului a două plane paralele este 0°. Într-una dintre lecțiile anterioare, am definit perpendicularitatea a două plane, astfel:

„Două plane secante sunt perpendiculare dacă o dreaptă, inclusă în unul dintre ele, este perpendiculară pe celălalt plan.” Deducem că măsura unghiurilor diedre formate de două plane perpendiculare este de 90°, adică măsura unghiului a două plane perpendiculare este de 90°. Concluzie: Măsura unghiului a două plane este un număr din intervalul [0°, 90°]. Suntem acum în măsură să facem o nouă caracterizare a perpendicularității a două plane, cunoscută, de regulă, ca definiție a acestei noțiuni. Definiția 5. Două plane sunt perpendiculare dacă formează un unghi cu măsura de 90°. Următoarele rezultate sunt consecințe imediate ale perpendicularității planelor, foarte utile în rezolvarea problemelor.  Două plane secante sunt perpendiculare dacă determină unghiuri diedre drepte.  Dacă un plan conține o dreaptă perpendiculară pe alt plan, atunci cele două plane sunt perpendiculare.  Dacă o dreaptă este perpendiculară pe dreapta de intersecție a două plane perpendiculare și este inclusă în unul dintre ele, atunci această dreaptă este perpendiculară pe celălalt plan.  Dacă două plane sunt perpendiculare, iar printr-un punct al unuia dintre ele se construiește o dreaptă perpendiculară pe al doilea, atunci aceasta este conținută în primul plan. Minitest

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

Se consideră prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′. 30 p 30 p

1. Unghiul plan corespunzător diedrului format de planele (ABA′) și (ACA′) este: A. ∢A′AB;

C. ∢B′AC′;

2. Măsura unghiului format de planele (ABA′) și (ACA′) este: A. 90°;

30 p

B. ∢A′AC; B. 60°;

C. 45°;

D. ∢BAC. D. 30°.

3. Măsura unghiului format de planele (BCB′) și (ABC) este: A. 90°;

B. 60°;

C. 45°;

D. 30°

A′

C′ B′ C

A B

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

180

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Desenați pe caiete o prismă triunghiulară dreaptă ABCDEF. a) Identificați unghiurile diedre generate de următoarele perechi de plane: (ACF) și (BCE); (ABD) și (BCF). b) Marcați, pe desen, câte un unghi plan corespunzător diedrului, pentru fiecare caz. 2. a) Desenați dreptunghiurile ABCD și CDEF, situate în plane diferite. Identificați un unghi plan corespunzător diedrului format. b) Dacă triunghiul ADE este echilateral, determinați măsura unghiului format de planele dreptunghiurilor de la a). 3. SABCD este piramidă regulată. Precizați diedrele ale căror unghiuri plane sunt marcate pe figură cu roșu, respec- A tiv cu verde.

D N B

4. Piramida triunghiulară regulată VABC are înălțimea VO, iar A AO ∩ BC = {M}. C O a) Numiți câte un M unghi plan coresB punzător diedrelor determinate de perechile de semiplane (VO, M și (VO, B, respectiv (VO, A și (VO, B. b) Determinați măsura unghiului planelor (VOA) și (VOB). 5. Fie cubul ABCDEFGH. Calculați măsurile unghiurilor formate de planele: a) (ABC) și (BCG); b) (ABE) și (ADH); c) (ADH) și (EFG);

d) (ABG) și (ABH); e) (ABD) și (ADF); f) (ACG) și (BDF).

6. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are dimensiunile AB = 6 3 cm, D' C' BC = 6 cm și AA′= 2 3 cm. B' C A' D Calculați: ∢((DD′A), (DD′B)) și A B ∢((ABD′), (ABC)).

a 7. În figura alăturată, ∢(a, b) este a unghiul plan corespunzător diedrului (α, β), iar ∢(b, c) este unghiul plan corespunzător dieO drului (β, γ).

b c

a) Demonstrați că semidreptele a, b, c sunt coplanare. b) Știind că ∢(a, b) ≤ 45° și ∢(b, c) ≤ 45°, demonstrați că măsura diedrului (α, γ) este egală cu suma măsurilor diedrelor (α, β) și (β, γ). 8. Prisma regulată ABCDEF are muchia bazei 36 cm. a) Demonstrați că DB = DC. b) Știind că măsura unghiului format de planele (DBC) și (ABC) este de 60°, calculați înălțimea prismei. 9. În prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′, latura bazei este de 16 cm, DE este linie mijlocie a triunghiului ABC, D ∈ AB, E ∈ AC, iar măsura unghiului format de planele (A′DE) și (ABC) este de 60°. a) Demonstrați că AA′ = 12 cm. b) Calculați măsura unghiului planelor (A′DE) și (B′C′E). 10. Pătratul ABCD și trapezul dreptunghic ABMN, AB || MN și ∢BAN = 90°, sunt situate în plane diferite și determină un diedru cu măsura de 30°. Știind că AB = AN = 12 cm, determinați: a) măsura unghiului format de planele (ABC) și (CDN); b) măsura unghiului format de planele (ABN) și (CDM). 11. Piramida patrulateră regulată VABCD are toate fețele laterale triunghiuri echilaterale, AB = 24 cm. Calculați: a) cosinusul unghiului format de planele (ABC) și (VBC). b) sinusul unghiului format de planele (VAC) și (VBC). 12. Triunghiul echilateral PAB și triunghiul dreptunghic isoscel QAB, ∢AQB = 90°, sunt situate în plane diferite, AB = PQ = 30 cm, iar M este mijlocul laturii AB. a) Calculați măsura unghiului PMQ. b) Demonstrați că (PAB) ⊥ (QAB).

181

Teorema celor trei perpendiculare ne ajută să determinăm distanța de la un punct la o dreaptă, în spațiu. Teoremă (Teorema celor trei perpendiculare)

Considerăm un plan α, o dreaptă d cu d ⋂ α ={A}, dreptele a ⊂ α și b ⊂ α, A ∈ a și a ⋂ b ={B}.

M c

Dacă d ⊥ α și a ⊥ b, atunci MB ⊥ b, oricare ar fi M ∈ d.

b A

A B

D N

AM 2 + AB 2 = 13 (cm).

b) Construim AN ⊥ BD, N ∈ BD. Atunci, MA ⊥ (ABC), AN ⊥ BD, AN ⊂ (ABC) și BD ⊂ (ABC), iar AN și BD sunt concurente. Cu teorema celor trei perpendiculare, rezultă MN ⊥ BD. AB ⋅ AD c) În triunghiul dreptunghic ABD, înălțimea din A este AN = . În același triunghi, cu teorema lui PitaBD 60 (cm). gora, obținem BD = AB 2 + AD 2 = 13 (cm). Atunci, AN = 13 12 Din MN ⊥ BD, N ∈ BD, rezultă d(M, BD) = MN. În triunghiul dreptunghic AMN, MN = AM 2 + AN 2 =194 (cm). 13

182

Aplicația 2. Cele trei fețe laterale ale tetraedrului VABC sunt triunghiuri dreptunghice în V, cu muchiile laterale AV = a, BV = b și CV = c. Calculați raportul în care înălțimea din A a triunghiului ABC, împarte latura BC. Rezolvare: Din ipoteză, AV ⊥ VB și AV ⊥ VC, adică AV ⊥ (VBC). Construim perpendiculara din V pe dreapta BC, care este situată în planul (VBC). Atunci, AV ⊥ (VBC) și VD ⊥ BC, VD ⊂ (VBC) și BC ⊂ (VBC), iar VD și BC sunt concurente. Conform teoremei celor trei perpendiculare, AD ⊥ BC. Pentru determinarea raportului în care punctul D împarte latura BC, vom lucra în triunghiul dreptunghic VBC care are catetele b și c. Aplicăm teorema lui Pitagora și b2 c2 și DC = . Raportul în care înălteorema catetei și avem: BD = b2 + c2 b2 + c2

V C D

A B

DB b 2 = . țimea din A, a triunghiului ABC, împarte latura BC este DC c 2

D b

c V

Se obțin rezultate similare pentru celelalte înălțimi ale bazei tetraedrului.

Aplicația 3. Considerăm paralelipipedul dreptunghic ABCDEFGH, cu AB = a, AD = b și AE = c. a) Calculați distanțele de la vârful A la diagonalele fețelor BCGF, EFGH, CDHG. b) Calculați distanțele de la vârful A la diagonalele paralelipipedului. Rezolvare: a) Fețele BCGF, CDHG și EFGH nu conțin punctul A. Realizăm raționamentul pe fața BCGF cu diagonalele BG și CF. Din AB ⊥ BC și AB ⊥ BF, rezultă AB ⊥ (BCG). Cum BG ⊂ (BCG), rezultă AB ⊥ BG, deci d(A, BG) = a. Pentru d(A, CF) construim perpendiculara BM pe CF, M ∈ CF. Avem: AB ⊥ (BCG), BM ⊥ CF, CF ⊂ (BCF) și BM ⊂ (BCF). Conform teoremei celor trei perpendiculare, AM ⊥ CF. bc Obținem d(A, FC) = AM. Calculăm BM = d(B, CF) = , b2 + c2

iar în triunghiul dreptunghic ABM (∢ABM=90°), cu teorema lui Pitagora, AM = a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 În concluzie, d(A, FC) = . b2 + c2

D a

G M

c C

c B

M b

a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 . b2 + c2

Se procedează analog pentru fețele CDHG și EFGH. b) Diagonalele paralelipipedului dreptunghic sunt: AG, EC, BH, DF. Ne interesează distanțele de la A la EC, DF și BH.

Diagonala EC a paralelipipedului este și diagonală a dreptunghiului E G Q F Q ACGE, secțiunea diagonală. 2 2 c D Laturile dreptunghiului sunt EA = c și AC = a + b . A c a2 + b2 a A B b C . Triunghiul AEC este dreptunghic și d(A, EC) = 2 2 2 a 2 + b2 a +b +c Distanțele de la A la diagonalele DF și BH se determină folosind teorema celor trei perpendiculare.

G c C

Diagonalele DF și BH aparțin secțiunii diagonale (DBFH).

183

HD ⊥ (ABC) și HD ⊂ (DBF), deci (DBF) ⊥ (ABC), având E dreapta DB comună. Atunci, perpendiculara AR, din A pe BD, este perpendiculară pe (DBF). Construim RT ⊥ BH, T ∈ BH. Cum AR ⊥ (DBF), BH ⊂ (DBF) și RT ⊥ BH, rezultă, cu teorema celor trei A perpendiculare, d(A, BH) = AT. ab , iar, cu În planul (ABC), obținem AR = 2 a + b2 2 b a2 D și BR = . teorema catetei, DR = a 2 + b2 a 2 + b2 b R Triunghiurile dreptunghice BTR și BDH sunt asemeA ca 2 . nea (U.U.), de unde RT = a 2 + b2 ⋅ a 2 + b2 + c2 Cum AR ⊥ (DBF), rezultă AR ⊥ RT.

H T

R a

c B

B a 2 + b2

C a

C b

S D R

a b2 + c2

. a 2 + b2 + c2 Printr-un raționament similar pentru AR ⊥ (DBF), FD ⊂ (DBF) și RS ⊥ FD, rezultă d(A, FD) = AS.

= ) AT = Cu teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ART, obținem d ( A, BH

= ) AS = Prin calcul, d ( A, DF

b a2 + c2 a 2 + b2 + c2

Temă de portofoliu 1. Demonstrați că triunghiurile HAB respectiv DAF, din aplicația de mai sus, sunt dreptunghice. 2. Determinați distanțele AT = d(A, BH) respectiv AS = d(A, DF) de la aplicația de mai sus, ca înălțimi corespunzătoare ipotenuzei în triunghiurile dreptunghice HAB respectiv DAF. Observație: Configurația geometrică prin care ilustrăm teorema celor trei perpendiculare ne oferă și o tehnică de construcție pentru perpendiculara dintr-un punct M, exterior unui plan α, pe o dreaptă a, inclusă în α.  Construim A, proiecția punctului M pe plan.  Construim B, proiecția punctului A, pe dreapta a.  Construim dreapta MB. Am obținut dreapta MB, perpendiculara din M pe dreapta a. Minitest

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

Cubul ABCDEFGH are muchia de 10 cm, iar AC ⋂ BD = {O}. 30 p

30 p 30 p

1. Perpendiculara pe dreapta AB, din punctul H, este: A. HB; B. HA; C. HC; 2. Distanța de la punctul G la dreapta AD este egală cu: A. 10 cm; C. 10 2 cm; B. 10 3 cm; 3. Distanța de la punctul C la dreapta AH este egală cu: A. 5 cm; B. 5 2 cm; C. 5 3 cm;

D. HO.

D. 20 cm. D

D. 5 6 cm.

O B

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

184

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Dreapta PA este perpendiculară pe planul pătratului ABCD. Demonstrați că: a) PB ⊥ BC;

c) Calculați aria și perimetrul triunghiului DPQ.

b) PD ⊥ CD;

c) Dacă AC ∩ BD = {O}, atunci PO ⊥ BD. 2. Pe planul rombului MNPQ se ridică perpendiculara AM. Știind că MP ∩ NQ = {O}, demonstrați că AO ⊥ NQ. 3. Dreapta DA este perpendiculară pe planul triunghiului isoscel ABC, AB ≡ AC. a) Știind că E este mijlocul laturii BC, demonstrați că DE ⊥ BC. b) Pentru AB = 20 cm, BC = 32 cm și DA = 5 cm, calculați aria triunghiului DBC. 4. În figura alăturată, este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′. a) Demonstrați că A′B ⊥ BC. b) Demonstrați că A′D′CB este dreptunghi. 5. Piramida triunghiulară regulată SABC are muchia bazei AB = 24 cm și înălțimea SO = 8 3 cm. Punctul M este mijlocul segmentului SO, A N mijlocul segmentului AB. a) Demonstrați că MN ⊥ AB.

a) Demonstrați că PD ⊥ BC. b) Demonstrați că BC ⊥ (DPQ).

D′

C′

A′

B′ D

10. Dreapta MA este perpendiculară pe planul rombului ABCD, iar MA = AB = BD = 6 cm. Calculați: a) distanța de la punctul M la diagonala BD; b) suma distanțelor de la punctul M la laturile rombului. 11. Fie ABCDEFGH un cub, punctele M, N, P mijloacele muchiilor EH, AD, respectiv BC, și O mijlocul segmentului MP. Demonstrați că: a) MP ⊥ BC; b) MP ⊥ EH; c) AD ⊥ (MNP); d) AO ⊥ MP. 12. ABCD este un trapez, AB || CD, AB = 24 cm, AD = BC = CD = 12 cm. Pe planul trapezului, se consideră perpendiculara EA astfel încât EA = 12 cm. Calculați distanțele de la punctul E la dreptele CD, respectiv BC.

S M C N

9. În triunghiul dreptunghic ABC, ∢A = 90°, AB = 6 cm, AC = 8 cm. Știind că O este mijlocul laturii BC, OP ⊥ (ABC) și OP = 4 cm, calculați distanța de la punctul P la laturile triunghiului.

O B

b) Calculați lungimile segmentelor MN și MA. 6. Se consideră triunghiul dreptunghic MAB în care ∢AMB = 90°, MA = 16 cm, AB = 20 cm. Perpendiculara, în vârful M, pe planul triunghiului, conține punctul N și MN = 7,2 cm. Calculați distanța de la punctul N la dreapta AB. 7. Pe planul pătratului CDEF, cu latura de 9 cm, se ridică perpendiculara CM, CM =12 cm. Calculați: a) distanțele de la punctul M la laturile pătratului; b) distanțele de la punctul M la diagonalele pătratului. 8. În vârful A al triunghiului echilateral ABC, cu latura a, se construiește perpendiculara PQ pe pla3a , iar punctul D este nul triunghiului, PA = QA = 2 mijlocul laturii BC.

13. Pe bisectoarea unghiului xOy, se consideră punctul A ≠ O. În punctul A, se ridică AA′ ⊥ (Ox, Oy). Demonstrați că distanțele de la punctul A′ la laturile unghiului sunt egale. 14. Piramida patrulateră regulată VABCD are toate muchiile congruente, punctul E este mijlocul muchiei VA, iar VO este înălțimea piramidei, VO = 8 2 cm. Calculați distanța de la punctul E la diagonalele bazei piramidei. 15. Pe planul triunghiului ABC, cu ∢A = 90°, se consideră perpendicularele AD și BE, cu AD ≡ BE de aceeași parte a planului. a) Demonstrați că triunghiul CDE este dreptunghic. b) Pentru AC = 3 7 cm, CD = 12 cm și EC = 1,5 dm, calculați distanțele de la punctul B la planul (ADC) și la dreapta DC. 16. Punctul I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC. Pe perpendiculara în I pe planul triunghiului se fixează un punct M, M ∉ (ABC). Demonstrați că d(M, AB) = d(M, BC) = d(M, AC).

185

Lecția 2. Reciproce ale teoremei celor trei perpendiculare. Aplicații Ne amintim Pornind de la o teoremă, pe care o numim teoremă directă, putem formula un alt enunț în care ipoteza conține concluzia teoremei directe, iar concluzia noului enunț este ipoteza sau o parte a ipotezei teoremei directe. Dacă enunțul obținut în acest fel este adevărat, acesta se numește reciproca teoremei sau teorema reciprocă.

Descoperim, înțelegem, exemplificăm Pornind de la teorema celor trei perpendiculare, putem formula două reciproce, ambele adevărate, adică două teoreme reciproce.  Considerăm un plan α, o dreaptă d, cu d ⋂ α ={A}, dreptele a ⊂ α și b ⊂ α, A ∈ a și a ⋂ b ={B}. Pentru un punct M, oarecare pe dreapta d, notăm cu c dreapta MB.

Vom ilustra construcția reciprocelor teoremei celor trei perpendiculare.

Reprezentare

Teorema directă

Ipoteză Concluzie

Reciproca I

d M

d M c

A a

Reciproca a II-a

c b

d M

d ⊥ α și a⊥ b, a ⊂ α, b ⊂ α c⊥b

A a

c b

d ⊥ α și c ⊥ b, a ⊂ α, b ⊂ α a⊥b

A a

a b

d ⊥ a, a ⊥ b și c ⊥ b, a ⊂ α, b ⊂ α d⊥α

Teorema 1 (Reciproca I a teoremei celor trei perpendiculare) Se consideră un plan α, o dreaptă d, cu d ⋂ α ={A}, dreptele a ⊂ α și b ⊂ α, A ∈ a și a ⋂ b = {B} și un punct oarecare M ∈ d. Notăm cu c dreapta MB.

Dacă d ⊥ α, c ⊥ b, atunci a ⊥ b.

Demonstrație: Pentru a demonstra a ⊥ b, căutăm un plan în care să fie inclusă una dintre drepte și care să fie perpendicular pe cealaltă.

d M

Considerăm planul (MAB), cu a ⊂ (MAB). Din ipoteză, b ⊥ c și c ⊂ (MAB). Cum d ⊂ (MAB), este suficient să demonstrăm că b este perpendiculară și pe d. Din d ⊥ α și b ⊂ α, rezultă d ⊥ b. Așadar, b ⊥ d și b ⊥ c, iar b și c sunt concurente. Rezultă b ⊥ (MAB), care include dreapta a, de unde b ⊥ a, adică a ⊥ b.

b a

Observație. Reciproca I a teoremei celor trei perpendiculare este foarte utilă pentru a determina distanța dintre două plane paralele.

186

Aplicația 1. Tetraedrul DABC, cu baza ABC, are toate fețele laterale triunghiuri isoscele, DA = DB = DC. Demonstrați că înălțimea tetraedrului conține centrul cercului circumscris bazei.

Rezolvare: Înălțimea din D intersectează planul bazei (ABC) într-un punct O. Notăm cu E, F, G mijloacele laturilor AB, BC, respectiv AC. Avem de demonstrat că punctul O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC, adică OE, OF și OG sunt mediatoare ale laturilor triunghiului. Cum E, F, G sunt mijloacele laturilor, este suficient să demonstrăm că OE ⊥ AB, OF ⊥ BC, OG ⊥ AC.

G O

C E

Căutăm elementele care ar conduce la concluzia DF ⊥ BC. Vizualizăm planul (DBC). Triunghiul DBC este isoscel, cu baza BC, deci mediana DF este și înălțime. Din DO⊥ (ABC), BC ⊂ (ABC), OF ⊂ (ABC) și DF ⊥ BC, iar DF și BC drepte concurente rezultă, conform reciprocei I a teoremei celor trei perpendiculare, OF ⊥ BC.

Procedând analog pentru fețele laterale DAB și DAC, obținem OE ⊥ AB și OG ⊥ AC, deci OE și OG sunt mediatoare ale triunghiului ABC, adică O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Temă de portofoliu 1. Formulați reciproca Aplicației 1 și verificați valabilitatea ei. 2. Demonstrați că tetraedrul cu proprietatea că trei dintre înălțimile sale intersectează bazele în centrele cercurilor circumscrise este tetraedru regulat. 3. Formulați și demonstrați o aplicație similară pentru piramida patrulateră cu fețele laterale triunghiuri isoscele. Teorema 2 (Reciproca a II-a a teoremei celor trei perpendiculare) Se consideră un plan α, o dreaptă d, cu d ⋂ α = {A}, dreptele a ⊂ α și b ⊂ α, A ∈ a, a ⋂ b ={B} și un punct oarecare M ∈ d. Notăm cu c dreapta MB.

Dacă d ⊥ a, a ⊥ b și c ⊥ b, atunci d ⊥ α.

Demonstrație: Este suficient să demonstrăm că d este perpendiculară pe două drepte concurente din α. Alegem dreptele a și b, care sunt concurente și sunt incluse în α. d Din ipoteză, d ⊥ a. (1) M Planul (MAB) conține dreapta d = MA. Din ipoteză, a ⊥ b, b ⊥ c, cu a ⊂ (MAB), c c ⊂ (MAB), iar a și c sunt concurente. În concluzie, b ⊥ (a, c). Cum (a, c) = (MAB) și d ⊂ (MAB), rezultă b ⊥ d, adică d ⊥ b. (2) A a B Din (1) și (2), rezultă că d este perpendiculară pe planul determinat de dreptele concub a rente a și b, adică d ⊥ α. Observație. Reciproca a II-a a teoremei celor trei perpendiculare este foarte utilă pentru a determina distanța de la un punct din spațiu la un plan. Comentariu. În demonstrația teoremei celor trei perpendiculare și în demonstrația celor două teoreme reciproce ale teoremei celor trei perpendiculare, am folosit două „mecanisme” fundamentale, care „se împletesc” ingenios în mai toate problemele de perpendicularitate în spațiu. Acestea sunt cuprinse în afirmațiile:  Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci aceasta este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan.  Pentru a demonstra că o dreaptă este perpendiculară pe un plan, este suficient să demonstrăm că această dreaptă este perpendiculară pe două drepte concurente din acel plan.  Pentru a demonstra că două drepte sunt perpendiculare, identificăm un plan care conține una dintre drepte și pe care cealaltă dreaptă este perpendiculară.

187

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni

Aplicația 2. În dreptunghiul ABCD, AB = 4 cm, BC = 12 cm. Punctul E este exterior planului dreptunghiului astfel încât EA = 3 cm, EB = 5 cm, EC = 13 cm. Demonstrați că EA ⊥ (ABC).

Rezolvare: În triunghiul ABE, din EA + AB = 9 + 16 = 25 = EB , rezultă ∢EAB = 90°, deci EA ⊥ AB. 2

În triunghiul BCE, din EB2 + BC2 = 25 + 144 = 169 = EC2, rezultă ∢EBC = 90°, deci EB ⊥ BC. Dar, din ipoteză, AB ⊥ BC. Avem: EA ⊥ AB, AB ⊥ BC, AB, BC ⊂ (ABC) și EB ⊥ BC. Cu reciproca a doua a teoremei celor trei perpendiculare, rezultă EA ⊥ (ABC). Aplicația 3. În tetraedrul ABCD, înălțimile din A și C ale fețelor ABD și CBD sunt concurente într-un punct E, situat pe dreapta BD. a) Demonstrați că înălțimile din A și C ale tetraedrului sunt concurente. b) Demonstrați că înălțimile din B și D ale fețelor BAC și DAC sunt concurente într-un punct situat pe dreapta AC. Rezolvare: a) AE ⊥ BD și CE ⊥ BD, CE și BD incluse în (CBD), ne încurajează să construim perpendiculara AF ⊥ CE. Cu reciproca a II-a a teoremei celor trei perpendiculare, obținem AF ⊥ (CBD), deci AF este înălțimea din A a tetraedrului. D Analog, construim CG ⊥ AE, G ∈ AE și rezultă CG ⊥ (ABD), adică CG E este înălțimea din C a tetraedrului. F Cum AF și CG sunt înălțimi ale triunghiului CEA, rezultă că sunt concurente în H, ortocentrul acestui triunghi. În consecință, înălțimile din A și C B H G ale tetraedrului sunt concurente. C

b) Notând cu {I} = EH ⋂ AC, avem EI ⊥ AC. Ne propunem să demonstrăm că I A DI ⊥ AC și BI ⊥ AC. Din DE ⊥ EA și DE ⊥ EC, rezultă DE ⊥ (CEA). Din DE ⊥ (CEA) și EI ⊥ AC, AC ⊂ (CEA), aplicând teorema celor trei perpendiculare, obținem DI ⊥ AC. Analog, din BE ⊥ (ACE), EI ⊥ AC, AC ⊂ (CEA) și EI ⊂ (CAE) obținem BI ⊥ AC, adică înălțimile din B și D ale fețelor DAC și BAC se intersectează în punctul I, situat pe muchia AC. Minitest

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

Paralelogramul ABCD are dimensiunile AB = 12 cm, BC = 3 cm. Punctul M este exterior planului (ABC) și MC = 4 cm. 30 p

1. Propoziția „Dacă MC ⊥ (ABC) și MB ⊥ AB, atunci ABCD este dreptunghi” este: A. adevărată;

30 p

2. Dacă MC ⊥ (ABC) și MD ⊥ AD, atunci lungimea segmentului AC este: A. 7 13 cm;

30 p

B. falsă. B. 3 17 cm;

C. 17 cm;

D. 13 cm.

3. Dacă AM = 13 cm, BM = 5 cm, AC = 3 17 cm, atunci: A. MA ⊥ (ABC);

B. MB ⊥ (ABC);

C. MC ⊥ (ABC);

D A

D. MD ⊥ (ABC).

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

188

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Punctele A, B, C, D sunt necoplanare, AB ⊥ (BCD) și AC ⊥ CD.

a) Demonstrați că triunghiul BCD este dreptunghic.

7. Se consideră triunghiul ABC, cu ortocentrul H și DH ⊥ (ABC). Demonstrați că DA ⊥ BC, DB ⊥ AC și DC ⊥ AB.

b) Dacă d(A, (BCD)) = 8 cm și d(A, CD) = 10 cm, calculați d(B, CD). M

2. În configurația alăturată, MA ⊥ (ABC) și MP ⊥ BC, P ∈ BC, MA = a − b, MP = a + b, a > b > 0. Calculați înălțimea din A, a triunghiului ABC.

B P

3. În centrul O al dreptunghiului ABCD se ridică perpendiculara pe planul dreptunghiului, pe care se ia un punct M. a) Demonstrați că d(M, AB) = d(M, CD) și d(M, AD) = d(M, BC). b) Știind că MO = 12 cm și că distanțele de la punctul M la laturile dreptunghiului sunt de 13 cm și 15 cm, calculați perimetrul dreptunghiului. 4. Dreapta MA este perpendiculară pe planul trapezului ABCD, AB ∥ CD și d(M, CD) = MD.

a) Demonstrați că trapezul ABCD este dreptunghic.

b) Pentru AB = 8 cm, CD = 4 cm, MD = 8 cm, MA = 4 3 cm, calculați: (i) măsura unghiului ascuțit al trapezului; (ii) distanța de la punctul M la dreapta BC.

5. Dreapta SA este perpendiculară pe planul paralelogramului ABCD. Se știe că SA = AD = 8 cm și că d(S, BC) = SC = 16 cm. S Calculați: a) distanța de la punctul B la planul (ACS). b) suma distanțelor de la punctul S la laturile paralelogramului.

A 8. Triunghiul dreptunghic ABC, cu ∢ABC = 90°, și dreptunghiul BCDE sunt situate în B plane diferite, iar AC ⊥ CD. Demonstrați că AB ⊥ (BCD). C

E D

9. Semidreptele OA, OB, OC sunt perpendiculare două câte două, OA = OB = OC, iar M este centrul cercului circumscris triunghiului ABC. a) Demonstrați că OM ⊥ (ABC). b) Pentru OA = 4 cm, calculați distanța de la punctul O la planul (ABC). C

10. În desenul alăturat, punctele A și B aparțin cercului C(O, R) AB = 120° astfel încât 

și AB = 10 3 cm. Punctul C este exterior planului cercului, triunghiul ABC este echilateral, iar CO = 10 2 cm.

O D B

a) Calculați raza cercului C(O, R). b) Determinați natura triunghiului COD, punctul D fiind mijlocul segmentului AB. c) Demonstrați că CO este perpendiculară pe planul (AOB). d) Dacă M este proiecția punctului O pe dreapta CD, demonstrați că OM ⊥ (ABC). 11. Dreapta PA este perpendiculară pe planul triunghiului ABC, PB = 4 cm, PC = 4 2 cm și BC = 4 cm.

6. Punctul P este situat în exteriorul planului unghiului xOy, iar punctul A este în interiorul unghiului xOy, astfel încât PA ⊥ (Ox, Oy). Demonstrați că, dacă d(P, Ox) = d(P, Oy), atunci A aparține bisectoarei unghiului xOy.

a) Demonstrați că triunghiul ABC este dreptunghic. C

b) Pentru PA = 2 2 cm, calculați aria triunghiului ABC.

189

EVALUARE SUMATIVĂ SUBIECTUL I

15 puncte

Stabiliți valoarea de adevăr a următoarelor propoziții. Se consideră prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′, AB = 4 cm, AA′ = 6 cm și punctele M, N mijloacele muchiilor AB, respectiv A′B′. 5p

a) Oricare ar fi punctul P, situat pe muchia CC′, triunghiul PAB este isoscel.

b) Dreapta A′M este paralelă cu planul (BCN).

c) Planele (ABC′) și (ABC) formează un unghi cu măsura de 45°.

SUBIECTUL AL II-LEA

15 puncte

Asociați fiecărei litere care identifică o distanță, scrisă în coloana A, cifra corespunzătoare răspunsului corect, scris în coloana B. Triunghiul ABC este dreptunghic, ∢A = 90°, AB = 2 3 cm, iar

AD este înălțime a triunghiului,

AD = 3 cm. Dreapta AP este perpendiculară pe planul triunghiului și AP = 1 cm.

P C

D B

A 5 p a. d(P, BC)

B 1.

3 cm

3 cm 2 3. 1 cm

5 p b. d(C, (PAD)) 5 p c. d(A, (PBC))

4. 2 cm

SUBIECTUL AL III-LEA

60 de puncte

Scrieți rezolvările complete. H

1. Paralelipipedul dreptunghic ABCDEFGH are dimensiunile AB = 6 2 cm, BC = 6 cm și AE = 6 3 cm.

10 p

a) Demonstrați că AB ⊥ AH.

10 p

b) Calculați lungimea proiecției segmentului AH pe planul (BDH).

10 p

c) Determinați măsura unghiului format de dreapta BH cu planul (ACD). 2. Se consideră tetraedrul regulat ABCD, AB = 6 cm. Punctul M este mijlocul muchiei AC, iar E este simetricul punctului C față de punctul D.

15 p 15 p

a) Demonstrați că AE ∥ (BDM).

b) Calculați sin u, unde u este măsura unghiului dreptelor B AD și BE.

G F

D A

C B

E D

C Timp de lucru: 45 de minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

190

ARII ȘI VOLUME ALE UNOR CORPURI GEOMETRICE

5.1. DISTANȚE ȘI MĂSURI DE UNGHIURI PE FEȚELE SAU ÎN INTERIORUL CORPURILOR GEOMETRICE STUDIATE Lecția 1. Calcularea unor distanțe pe fețele sau în interiorul corpurilor studiate Teorema celor trei perpendiculare cu reciprocele ei completează instrumentele pe care le avem la dispoziție pentru a calcula unele distanțe pe fețele sau în interiorul unui poliedru: distanța de la un vârf la o muchie sau la o diagonală a bazei, distanța de la un vârf al bazei la o față laterală, distanța de la centrul bazei la o muchie sau la o față laterală. Știm să aplicăm, identificăm conexiuni A. Calculul distanțelor pe fețele poliedrelor Calculul distanțelor între două puncte, între un punct și o dreaptă, între două drepte situate în planele fețelor, re prezintă o problemă de geometrie plană. Aplicația 1. ABCDA′B′C′D′ este prismă dreaptă cu baza trapez isoscel, AB ∥ CD, AD = CD = a și AB = 2 · CD, iar AA′ = b. Calculați distanța de la vârful A la dreptele CD, BC, A′B′ și A′D′.

D' C' Rezolvare: În planul (ABC), considerăm O mijlocul bazei mari A' B' a trapezului ABCD și E piciorul perpendicularei, din D, pe AB. Atunci, DC ≡ OB, DC ∥ OB, deci DCBO este paralelogram, de D unde DO = BC = a. Triunghiul ADO este echilateral de latură a și a 3 C D . AO ∥ CD. Atunci, d(A, DC) = d(E, DC) = DE = A B A E O 2 În triunghiul BAC, ∢ABC = ∢DAB = 60° și AB = 2 · CB. Rezultă ∢BAC= 30° și ∢ACB = 90°.

C B

Determinarea distanței dintre două puncte care aparțin unui poliedru și care nu sunt situate pe aceeași față a aces tuia, calculul distanței de la un punct al poliedrului la o dreaptă, care este inclusă sau nu este inclusă în planul unei fețe și care nu conține punctul dat, constituie elemente specifice geometriei în spațiu. Aplicația 2. Calculați lungimile diagonalelor unui paralelipiped dreptunghic cu dimensi unile a, b, respectiv c. Rezolvare: În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′, cu AB = a, BC = b, AA′= c, secțiunile diagonale ACC′A′ și BDD′B′ sunt dreptunghiuri, deci A′C = AC′ =

A′A2 + AC 2 și B′D = BD′ =

Dar A′A = BB′ = c și AC = BD =

B′B 2 + BD 2 .

a 2 + b 2 . Rezultă A′C = AC′ = B′D = BD′ =

D' A'

C' B'

D A

C B

a 2 + b2 + c2 .

Notăm cu d lungimea oricăreia dintre cele patru diagonale ale paralelipipedului dreptunghic.

191

Atunci, d =

a 2 + b 2 + c 2 sau d2 = a2 + b2 + c2 relație cunoscută ca „Teorema lui Pitagora în spațiu”.

Dacă a = b = c, obținem d2 = 3a2, deci lungimea diagonalei cubului este d = a 3 . Aplicația 3. Cubul ABCDA′B′C′D′ are AB = a, AC ∩ BD = {O } și P = prA′CO. a) Calculați distanța de la punctul O la dreapta A′C.

D' A'

b) Calculați lungimea segmentului D′P. Rezolvare: a) Muchia AA′ este perpendiculară pe planul (ABC), AC ⊂ (ABC), deci AA′ A este perpendiculară pe dreapta AC. a 2 În triunghiul A′AC, ∢A′AC = 90°, A′A = a, AC = a 2 , adică AO = OC = și A′C = a 3 . 2 Din P = pr A′CO, rezultă ∢CPO = 90° și d(O, A′C) = OP. A′A A′C AC Asemănarea ∆A′AC ∼ ∆OPC (U.U.) conduce la = = (*). OP OC CP

C' B'

Q D

P O

C B

1 a 2 a 6 a 6 1 =a · · = , adică d(O, A′C) = . 2 6 6 A′C a 3 b) Calculăm lungimea segmentului D′P în triunghiul A′D′C, în care ∢A′D′C = 90°, A′D′ = a, D′C = a 2 , A′C = a 3.

Obținem OP = A′A · OC ·

Construim Q = pr A′C D′. Atunci, D ' Q =

A′D′ ⋅ D′C a 6 = . 3 A′C

a 6 ⋅a 2 OP ⋅ AC 6= a 3 . Din relația (*), rezultă = CP = A' A a 3 2 D′C 2a 3 a 3 = . Rezultă PQ = CQ − CP = , iar în triunghiul D′PQ, Cu teorema catetei, obținem CQ = ′ AC 3 3 ∢ D′QP = 90° și D′P = D′Q 2 + QP 2 = a, deci D′P = a. Aplicația 4. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei a și înălțimea h.

Calculați distanțele de la centrul bazei la fețele laterale. Rezolvare: Piramida patrulateră regulată are baza pătrat, iar înălțimea din V intersec C G D tează planul bazei în centrul O al pătratului. Considerăm E mijlocul muchiei BC și E P O avem OE ⊥ BC (OE este apotema pătratului). Deoarece VO ⊥ (ABC), BC ⊂ (ABC), B A sunt îndeplinite ipotezele teoremei celor trei perpendiculare, deci are loc și conclu zia VE ⊥ BC. În planul (VBC), dreptele BC și VE sunt perpendiculare. Notăm cu G proiecția lui O pe VE. Atunci, OG ⊥ GE , GE ⊥ BC și OE ⊥ BC. Aplicând reciproca a doua a teoremei celor trei perpendiculare, rezultă OG ⊥ (VBC), deci d(O, (VBC)) = OG. OE ⋅ VO ah ah = și d(O, (VBC)) = . În triunghiul dreptunghic VOE, OG = VE a 2 + 4h 2 a 2 + 4h 2 Observație:  Din considerente de simetrie, distanța de la centrul bazei la fiecare dintre fețele laterale ale piramidei regulate este aceeași.  Din AD ∥ (VBC) rezultă d(A, (VBC)) = d(P, (VBC)), oricare ar fi punctul P ∈ AD. Alegând P mijlocul muchiei AD, înălțimea din P a triunghiului VEP este și distanța de la punctul P la planul 2ah . Afirmația este adevărată VBC. Obținem d(A, (VBC)) = d(P, (VBC)) = 2d(O, (VBC)) = 2OG = a 2 + 4h 2 pentru distanța de la oricare vârf al bazei piramidei patrulatere regulate la planele fețelor care nu-l conțin.

192

Minitest

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

30 p

1. Cubul ABCDA′B′C′D′ are muchia de 2 cm. Atunci, distanța de la punctul A′ la planul (BDD′) este: D. 4 cm. A. 2 cm; C. 2 2 cm; B. 2 cm;

30 p

2. Punctul S este mijlocul muchiei laterale BE, a prismei regulate ABCDEF, AB = 3 cm, AD = 8 cm. Perimetrul triunghiului ASF este: A. 5 + 73 cm;

30 p

D. 6 + 53 cm. C. 10 + 73 cm; B. 7 + 53 cm; 3. Piramida patrulateră regulată SABCD, cu baza ABCD are toate muchiile egale cu 4 cm. Semidreapta AE este bisectoarea unghiului SAB, E∈ SB. Lungimea segmentului DE este: A. 4 5 cm;

B. 3 5 cm;

C. 2 5 cm;

5 cm.

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Copiați propozițiile pe caiete, efectuați calculele necesare și completați spațiile libere pentru a ob ține propoziții adevărate: a) Cubul ABCDEFGH are muchia de 18 cm. Dis tanța de la punctul F la dreapta AH este … cm. b) Diagonalele fețelor laterale ale prismei regu late ABCMNP cu AB = AM = 6 cm au lungimea de … cm. c) Distanța de la centrul bazei unui tetraedru regu lat cu muchia de 9 cm la o muchie laterală este egală cu … cm. d) Piramida patrulateră regulată SABCD are latura bazei AB = 16 cm și înălțimea SO = 8 2 cm, iar E este proiecția punctului O pe muchia SA. Lungimea segmentului AE este egală cu ... cm. 2. Prisma hexagonală regulată ABCDEFA′B′C′D′E′F′ are dimensiunile AB = AA′ = 6 cm. a) Demonstrați că AC⊥ CD. b) Calculați distanța de la punctul A′ la dreapta CD. 3. Punctul M este mijlocul muchiei laterale AE, a paralelipipedului dreptunghic ABCDEFGH, AB = 1 cm, FG = 3 cm și triunghiul MCG este drept unghic isoscel. Calculați înălțimea paralelipipedului. 4. Tetraedrul regulat SABC are muchia a, iar punctele D, E, F sunt mijloacele muchiilor AB, BC respectiv SC. Calculați d(C, (AES)) și d(E, (CDS)).

5. Una dintre bazele unui cilindru circular drept este cercul C(O, r). Punctele A, B, E, F sunt situate pe cerc astfel încât AB = 2 · r = 8 2 cm, iar EF este o coardă perpendiculară pe diametrul AB și subîn tinde un arc cu măsura de 120°. Segmentul BC este generatoare a cilindrului, iar distanța de la punctul C la dreapta EF este 6 3 cm. Calculați generatoa rea cilindrului. 6. Un con circular drept are vârful V, iar baza sa este cercul de centru O și diametru AB . Distanța de la centrul bazei la generatoarea VB este de 2 cm și reprezintă jumătate din lungimea gene ratoarei. Calculați raza bazei și înălțimea conului. 7. Se consideră cubul ABCDMNPQ cu latura de 1 dm. Punctul R este mijlocul muchiei AM, punc tul S este mijlocul muchiei CP, {L} = AC ∩ BD, {O} = AP ∩ CM și {K} = MP ∩ NQ. a) Calculați perimetrul triunghiului RKO. b) Stabiliți, argumentat, natura patrulaterului LRKS. c) Determinați distanța de la punctul R la planul (BDM). 8. În prisma dreaptă ABCDEFGH, cu baza pătratul ABCD, AB = 4 cm, AE = 8 cm și AC ∩ BD ={O}. a) Calculați distanța de la punctul E la dreapta BD. b) Demonstrați că planele (ACG) și (BDE) sunt perpendiculare. c) Calculați distanța de la punctul G la planul (BDE).

193

Lecția 2. Calcularea unor măsuri de unghiuri pe fețele sau în interiorul corpurilor studiate Ne amintim A. Unghiul a două drepte:  Dacă dreptele d1 și d2 sunt concurente, cu d1 ∩ d2 ={A}, atunci unghiul format de ele și notat ∢(d1, d2) este unghiul ascuțit sau drept determinat de două semidrepte cu originea A, generate de dreptele d1 și d2.

 Dacă dreptele d1 și d2 sunt identice sau paralele, prin convenție, ∢(d1, d2) = 0°.

 Dacă dreptele d1 și d2 sunt necoplanare, atunci unghiul format de ele este unghiul format de două drepte para lele cu acestea, care trec printr-un punct comun.

B. Unghiul unei drepte cu un plan: Dacă d ∩ α ={A}, d ⊥ α, atunci unghiul format de dreapta d cu planul α, notat ∢(d, α), este un ghiul format de dreapta d cu proiecția ei pe plan.

Dacă d ⊥α, atunci unghiul format de dreapta d cu pla nul α este un unghi drept.

d ∩ = {A}, d d B d'

d' = pr d C = pr B

∢(d, α) = ∢(d, d') = ∢BAC

Dacă d ∥ α sau d ⸦ α, atunci unghiul format de dreapta d cu planul α este, prin convenție, unghi nul.

d d

d ||

∢(d, α) = 90°

∢(d, α) = 0°

C. Unghiul a două plane: Un diedru este reuniunea a două semiplane delimitate de o dreaptă comună numită muchia diedrului. Un unghi plan corespunzător diedrului este unghiul determinat de două semidrepte concurente, perpendiculare pe muchia diedrului, fiecare inclusă în câte unul din semiplanele diedrului.  Dacă planele α și β sunt secante, α∩β = d, atunci unghiul planelor α și β, notat ∢(α, β), este unghiul plan, ascuțit sau drept, corespunzător diedrului format de două dintre semiplanele generate de dreapta d pe fiecare plan.  Dacă planele α și β sunt perpendiculare, atunci unghiul dintre ele este drept.  Dacă planele α și β sunt paralele sau identice, atunci unghiul dintre ele este, prin convenție, unghiul nul. Știm să aplicăm, identificăm conexiuni D

Aplicația 1. Tetraedrul regulat ABCD are muchia de lungime a.

a) Calculați valoarea sinusului unghiului format de o muchie laterală cu planul bazei. b) Calculați valoarea sinusului unghiului format de două fețe ale tetraedrului.

A B

Rezolvare: În tetraedrul regulat, înălțimea dintr-un vârf conține centrul cercului circumscris feței opuse și acesta este și centrul de greutate al acestei fețe.

194

a) Fie O = pr(ABC)D. Atunci, pr(ABC)AD = AO, deci unghiul dintre muchia DA și planul (ABC) este ∢DAO = ∢DAE. Cerințele problemei implică unghiuri din triunghiul ADE și vom considera vizualizarea, în plan, a acestui a 3 și triunghi. Segmentele AE și DE sunt înăltimi în triunghiuri echilaterale congruente, deci AE = DE = 2 a 6 1 a 3 . Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul DOE, obținem DO = . În triunghiul ADO, EO = AE = 3 3 6 DO 6 sin ∢DAE = = . Deoarece tetraedrul este regulat, sinusul unghiului format de orice muchie cu planul unei AD 3 6 fețe pe care nu o conține este egal cu . 3 b) Din (ABC) ⋂ (DBC) = BC, DE ⊥ BC, DE ⊂ (DBC), AE ⊥ BC, AE ⊂ (ABC), rezultă că unghiul plan al diedrului 2 2 DO = . Deoarece tetraedrul format de fețele (BCD) și (BCA) este ∢DEA. În triunghiul DOE, sin ∢DEO = 3 DE H G 2 2 . este regulat, sinusul unghiului format de oricare două fețe ale sale este egal cu 3 F E Aplicația 2. Paralelipipedul dreptunghic ABCDEFGH are dimensiunile AB = 3 3 cm, AD = 9 cm și AE = 12 cm. Calculați: a) măsura unghiului format de dreapta AC cu planul (BCF); C D b) sinusul unghiului format de planele (ABC) și (AGH). A B Rezolvare: a) ABCDEFGH este paralelipiped dreptunghic, rezultă AB ⊥ (BCF), deci B = pr(BCF)A. Deoarece C∈(BCF), deducem că pr(BCF)AC = BC, iar ∢(AC, (BCF))= ∢(AC, BC) = ∢ACB. AB 3 În triunghiul ABC, ∢B = 90° și tg ∢ACB = = , de unde ∢(AC, (BCF))= 30° . BC 3 b) Din GH ∥ AB, rezultă AB ⊂ (AGH) și (ABC) ∩ (AGH) = AB. Avem AD ⊥ AB, AD ⊂ (ABC), AH ⊥ AB, AH ⊂ (AGH). Unghiul planelor (ABC) și (AGH) este unghiul dreptelor AD și AH, adică ∢DAH. În triunghiul ADH, ∢ADH = 90°, AD = 9 cm, HD = AE = 12 cm. HD 4 = . Aplicând teorema lui Pitagora, obținem AH = 15 cm, apoi sin(∢DAH) = AH 5 V

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

30 p

30 p 30 p

Minitest

1. O piramidă patrulateră regulată are toate muchiile de lungime 9 cm. O A Unghiul format de două muchii laterale opuse are măsura: 9 cm B ° ° ° ° A. 30 ; B. 45 ; C. 60 ; D. 90 . D 2. În prisma triunghiulară regulată ABCDEF, punctul P este mijlocul muchiei BC. E Măsura unghiului format de planele (ADB) și (ADP) este: A B. 45°; C. 60°; D. 90°. A. 30°; P 3. Conul circular drept din imagine are diametrul bazei AB = 12 cm și generatoarea B VA = 10 cm. Punctul P este situat pe înălțimea VO a conului la distanța de V 2 cm de vârful acestuia. Măsura unghiului format de dreapta PA cu planul bazei P conului este: ° ° ° ° A. 30 ; B. 45 ; C. 60 ; D. 90 . A

C F

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

195

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Tudor alătură bazele a două cuburi care au muchiile congruente, ca în figura următoare. Folosind nota țiile din desen, calculați: C

G H

D B

F E

N M

a) măsura unghiului format de dreapta AF cu pla nul (ABC); b) măsura unghiului diedru al semiplanelor (AD, F și (AD, N. 2. Prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′ are AB = 4 cm și AB′ = 8 cm. Determinați măsura unghiului format de dreapta AB′ cu planul (ABC). 3. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are dimensiunile AB = 8 cm, BC = 6 cm, AA′ = 24 cm, punctele M și N sunt mijloacele muchiilor AA′, respectiv DD′. Calculați: a) tangenta unghiului ∢(MN, BC′);

b) sinusul unghiului format de diagonala BD′ cu planul (ABC).

4. Piramida patrulateră regulată SABCD are toate mu chiile de lungime b, b > 0. Calculați: a) sin∢((SAD), (ABC)); b) sin∢((SAB), (SBC)); c) sin∢((SAD), (SBC)). 5. În paralelipipedul dreptunghic ABCDEFGH, AB = AE = 6 cm și BC = 8 cm. Calculați: a) distanța de la centrul feței BCGF la diagonala AG; b) tangenta unghiului format de dreptele AB și AG. 6. Tetraedrul regulat ABCD are muchiile de lungime 2a, a > 0, iar E și F sunt mijloacele segmentelor BC respectiv CD. Calculați: a) cosinusul unghiului format de o față laterală cu planul bazei; b) sinusul unghiului ∢EAF.

196

7. Muchiile laterale ale unui trunchi de piramidă tri unghiulară regulată formează cu planul bazei mari unghiuri de 45°. Razele cercurilor circumscrise ba zelor trunchiului au lungimile de 6 3 cm și 3 3 cm. Calculați înălțimea trunchiului de piramidă. 8. Paralelipipedul dreptunghic ABCDEFGH are di mensiunile AB = 2 5 cm, BC = 5 cm, AE = 5 cm. Punctele M și N sunt mijloacele muchiilor CD, respectiv GH. Calculați: a) măsura unghiului format de dreapta DF cu pla nul (ABC); b) măsura unghiului format de planele (BMN) și (CDH). 9. Pătratul ABCD este baza prismei drepte ABCDMNPQ, iar măsura unghiului format de dreapta BQ cu planul (ABM) este egală cu u. Demonstrați că u < 45°. 10. Discul de centru O și cu raza 3 cm este bază a unui con circular drept. Distanța de la punctul O la o ge neratoare este de 2,4 cm. Calculați cosinusul un ghiului format de generatoare cu înălțimea conului. 11. Secțiunea axială a unui con circular drept este o su prafață triunghiulară cu aria 3 cm2 . Diametrul bazei are lungimea 2 3 cm. Calculați măsura unghiului format de generatoarea conului cu baza acestuia. 12. Secțiunea axială a unui cilindru circular drept are diagonalele perpendiculare. Determinați măsura unghiului format de una din diagonalele secțiunii axiale cu planul bazei cilindrului. 13. Prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′, are mu chia bazei AB = 18 cm și muchia laterală AA′ = 9 cm. Calculați măsura unghiului format de planele H G (A′BC) și (ABC). 14. Pe muchia CG a cubului E ABCDEFGH, se consi deră punctul P astfel încât ∢((PBD), (ABD)) = 30°.

F D

P C

B Știind că AB = 18 cm, calcu A lați raportul lungimilor segmentelor CP și PG.

5.2. ARII ȘI VOLUME ALE UNOR CORPURI GEOMETRICE Lecția 1. Aria și volumul prismei drepte Ne amintim  Aria poligoanelor regulate, studiate, cu latura de lungime a și aria discului cu raza R sunt: Aria triunghiului echilateral de latură a Aria pătratului de latură a

a2 3 4

Aria hexagonului regulat de latură a

3a 2 3 2

Aria discului de rază R

πR2

 Dacă o suprafață F poate fi descompusă într-o reuniune de două suprafețe disjuncte, F1 și F2, atunci aria suprafeței F este suma ariilor suprafețelor F1 și F2. Dacă F = F1 ⋃ F2 și F1 ∩ F2 = ∅, atunci A(F) = A(F1) + A(F2).

 Volumul paralelipipedului dreptunghic cu dimensiunile a, b, c, numere naturale, se calculează cu formula V = a ⋅ b ⋅ c.

E C

F1 A

Descoperim, înțelegem, exemplificăm Desfășurarea în plan a unui poliedru este o suprafață formată din reuniunea mai multor suprafețe poligonale disjuncte, reprezentând fețele poliedrului (fețele laterale și bazele). Definiția 1. Suma ariilor fețelor laterale ale unui poliedru se numește arie laterală și se notează cu Al. Definiția 2. Suma ariilor tuturor fețelor unui poliedru se numește arie totală și se notează cu At. Observație: Aria totală a unui poliedru este suma dintre aria laterală și aria bazei respectiv aria bazelor poliedrului.  O definiție riguroasă a noțiunii de volum aparține unei ramuri a matematicii numită teoria măsurii și depășește cadrul acestui manual. Volumul unui corp geometric este un număr real pozitiv care exprimă numărul de unități de volum (cuburi cu muchia 1) în care poate fi „descompus“ corpul.  Dacă un corp geometric C poate fi descompus în reuniune de două corpuri geometrice disjuncte, C1 și C2, atunci volumul corpului C este suma volumelor corpurilor C1 și C2.

Dacă C = C1 ⋃ C2 și C1 ∩ C2 = ∅, atunci V(C) = V(C1) + V(C2). Știm să aplicăm, identificăm conexiuni

B. Aria și volumul prismei drepte  Prisma dreaptă are toate fețele laterale dreptunghiuri.  Muchiile laterale ale oricărei prisme drepte sunt și înălțimi ale prismei.  Desfășurarea prismei drepte este reuniunea dintre o suprafață dreptunghiulară cu dimensiunile Pb, respectiv h, și două suprafețe poligonale congruente (bazele prismei), unde Pb este perimetrul bazei prismei, iar h este înălțimea prismei. Aria totală a prismei drepte, notată At, este egală cu aria desfășurării acesteia.  Desfășurarea suprafeței laterale a unei prisme drepte este reuniunea suprafețelor fețelor laterale. Aria laterală a prismei drepte, notată Al, este egală cu aria desfășurării suprafeței laterale a acesteia.

197

Cum desfășurarea suprafeței laterale a prismei drepte este suprafața dreptunghiulară cu dimensiunile Pb , re spectiv h, rezultă că pentru orice prismă dreaptă, aria laterală, respectiv aria totală, se calculează cu formulele: Al = Pb ⋅ h și At = Al + 2 · Ab, deci At = Pb ⋅ h + 2 ⋅ Ab .

 Formula dedusă pentru paralelipipedul dreptunghic cu dimensiunile exprimate prin numere naturale rămâne valabilă pentru volumul paralelipipedului dreptunghic cu dimensiunile exprimate prin numere reale pozitive. Pentru orice paralelipiped dreptunghic, cu dimensiunile a, b, c, are loc formula V = a · b · c sau V = Ab · h.

 Dacă două prisme au baze echivalente (cu aceeași arie) și înălțimi egale, atunci volumele lor sunt egale.

Propoziție. O prismă dreaptă cu baza de arie Ab și înălțimea h, are volumul egal cu volumul paralelipipedului dreptunghic pentru care aria bazei este Ab și înălțimea h. În concluzie, în orice prismă dreaptă, V = Ab ⋅ h.  Particularizăm formulele enumerate pentru prismele studiate. Paralelipipedul dreptunghic ABCDEFGH H

Prisma patrulateră regulată ABCDEFGH H

D A

F G

K J

J K

D E

Al = Pb ⋅ h . Cum Pb = 4a, rezultă Al = 4ah.

AB = BC = AC = a, AD = h Al = Pb ⋅ h . Cum Pb = 3a, rezultă Al = 3ah.

At = Al + 2Ab. Dar, Ab = a2, deci At = 4ah + 2a2.

At = Al + 2Ab. At = Al + 2Ab. 2 a 3 a2 3 , deci Dar, b = 3 ⋅ Dar, b = , deci 4 2

AB = BC = a, AE = h.

V = Ab ⋅ h sau V = a2h. A = 3ah + a t

Cubul este paralelipipedul dreptunghic cu a = b = c sau prisma patrulateră regulată cu h = a. Prin urmare, Al = 4a2, At = 6a2 și V = a3.

198

L G H

AB = a, BC = b, AE = c. Considerăm ABCD bază. Al = Pb ⋅ h . Cum Pb = 2a + 2b, și h = c, Al = (2a + 2b)c, adică Al = 2ac + 2bc. At = Al + 2Ab. Dar, Ab = ab, deci At = 2ab + 2ac + 2bc. V = Ab ⋅ h, adică V = abc.

ABCDEFGHIJKL

E C

Prisma hexagonală regulată

F D

Prisma triunghiulară regulată ABCDEF

V = Ab ⋅ h =

AB = BC = CD = DE = EF = = FA = a, AG = h. Al = Pb ⋅ h . Cum Pb = 6a, rezultă Al = 6ah.

At = 6ah + 3a 2 3 .

3a 2 3 ⋅ h a2 3 ⋅ h . V = Ab ⋅ h = 2 4

Observație: Formulele pe care le-am dedus pentru prismele particulare, nu trebuie memorate. Deducerea lor din datele concrete ale problemei face parte din demersul rezolvării acesteia. Probleme rezolvate: 1. O prismă dreaptă cu bazele triunghiuri echilaterale are înălțimea de 4 cm și aria laterală egală cu 216 cm2. Calculați muchia bazei și volumul prismei. Rezolvare: Din Al = 216 cm2 și Al = Pb · h, rezultă 216 = 4 · Pb, deci Pb = 54, adică 3 · l = 54, l = 18 cm. V = Ab · h =

l2 3 182 3 ⋅h = ⋅ 4 = 324 3 (cm3). Prin urmare, V = 324 3 cm3 . 4 4

2. În prisma hexagonală regulată ABCDEFA′B′C′D′E′F′, AD ∩ BE = {O}, A′O = 6 2 cm, iar dreapta A′O face cu planul bazei un unghi cu măsura 45°.

E' F' A'

a) Demonstrați că AB = 6 cm.

b) Calculați aria totală și volumul prismei.

E A

B' D O

Rezolvare: a) Muchiile laterale sunt înălțimi ale prismei, deci AA′ ⊥ (ABC). Atunci, pr(ABC)A'O = AO. ′O, AO) = ( A′O,( = ABC )) ( A= ( A′OA) 45. Rezultă că triunghiul A′AO este dreptunghic isoscel, cu A′O ∢A′AO = 90° și AO = A′A = = 6 (cm). Cum ABCDEF este hexagon regulat, rezultă AB = AO = 6 cm. 2 l2 3 = 54 3 (cm2), b) Din a), rezultă AB = A′A = 6 cm, deci l = 6 cm și h = 6 cm . Atunci, Ab =6 · 4 Al = Pb · h = 216 (cm2), deci At = Al + 2 · Ab = 216 + 2 · 54 3 = 108( 2 + 3 )(cm2). Volumul prismei este V = Ab · h = 54 3 ⋅ 6 = 324 3 (cm3), adică V V = 324 3 cm3 . Reținem!  Aria laterală a prismei drepte este produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea prismei.

Al = Pb ⋅ h

 Aria totală a prismei drepte este suma dintre aria laterală și ariile celor două baze.

At = Al + 2Ab

 Volumul prismei drepte este produsul dintre aria bazei și înălțimea prismei.

V = Ab ⋅ h

Minitest Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect. Se consideră prisma patrulateră regulată. Se notează cu a lungimea muchiei bazei, cu b lungimea muchiei laterale, cu Ab, Al, At aria bazei, aria laterală, respectiv aria totală a prismei și cu V, volumul prismei. 30 p

1. Dacă a = 4 cm, b = 3 cm, atunci Al este: A. 48 cm2;

B. 84 cm2;

C. 64 cm2;

D. 72 cm2.

C. 162 cm2;

D. 196 cm2.

30 p

2. Dacă Ab = 36 cm2 și b = 4,5 cm, atunci At este:

30 p

3. Dacă At =312 cm2, Al =240 cm2, atunci V este egal cu:

A. 96 cm2; A. 420 cm3;

B. 180 cm2; B. 360 cm3;

C. 320 cm3;

D. 480 cm3.

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

199

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are di mensiunile: AB = a, BC = b, AA′ = c. Lungimea diagonalei este d, aria laterală și aria totală a para lelipipedului sunt Al, respectiv At, iar volumul pa ralelipipedului este V. Efectuați calculele necesare și completați spațiile libere. a) b) c) 3 cm 15 cm a 4 cm 12 cm 10 cm b 12 cm 16 cm c 25 cm d Al At 300 cm3 V 2. Laturile bazei unui paralelipiped dreptunghic au lungimile 10 cm și 24 cm, iar diagonala paralelipi pedului face cu planul bazei un unghi de 45°. Cal culați înălțimea paralelipipedului și aria sa laterală. 3. Aria secțiunii diagonale a unui cub este 64 2 cm2. a) Calculați lungimea muchiei cubului. b) Calculați volumul cubului. 4. Se consideră paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′. a) Dacă BC =16 cm, AA′ = 8 cm și V = 768 cm3, calculați d(D′, BC). b) Calculați aria bazei paralelipipedului, dacă AA′= 32 cm, AB = 12 cm și d(B′, CD) = 40 cm. 5. a) Un cub are muchia de 2 cm. Calculați aria late rală, aria totală și volumul cubului. b) Se consideră un alt cub cu muchia de trei ori mai mare. Calculați de câte ori este mai mare aria laterală, aria totală respectiv volumul aces tui cub față de aria laterală, aria totală respectiv volumul primului cub. 6. Se notează AB = a, BC = b, CC′ = c, muchiile paralelipipedului dreptunghic ABCDA′B′C′D′. Unghiurile formate de diagonala AC′cu fețele (ABC), (ABB′) respectiv (ADD′) se notează cu u, v, respectiv w. Calculați sin2u + sin2v + sin2w. 7. O prismă regulată are în total 18 muchii, toate con gruente, suma lungimilor lor fiind 216 cm.

200

a) Precizați numărul muchiilor bazei prismei. b) Calculați aria totală și volumul prismei. 8. Baza unei prisme regulate are n laturi, n ∈ {3, 4, 6}, iar l, h, Ab, Al, At și V, reprezintă lungimea laturii bazei, înălțimea, aria bazei, aria laterală, respectiv volumul prismei. Completați tabelul, pe caiet. n l h Ab Al At V

3 8 cm 10 cm

4 4 cm

6 5 cm

112 cm2

120 3 cm3 9. Din cubulețe cu muchia de 1 cm, se realizează un cub cu volumul de 27 cm3. a) Determinați numărul cubulețelor necesare reali zării cubului mare. b) Se vopsesc fețele cubului în trei culori, fețele opuse având aceeași culoare. Aflați numărul cubulețelor: (i) care au trei fețe vopsite; (ii) care au vopsită o singură față; (iii) care nu au nicio față vopsită; (iv) care au fețe vopsite în cel puțin două culori. 10. Prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′ are mu chia bazei AB = 10 cm, iar BC′⊥ CB′. a) Calculați înălțimea prismei. b) Aflați aria totală și volumul prismei. 11. Aria bazei prismei regulate ABCDEF este 64 3cm2, iar cos ∢(AE, BC) = 0,25. a) Arătați că muchia bazei are lungimea de 16 cm. b) Determinați măsura unghiului format de AF cu planul bazei. c) Calculați aria laterală a prismei. 12. În prisma patrulateră regulată ABCDA′B′C′D′ cu muchia bazei de 12 cm, punctul P este mijlocul muchiei CC′ iar ∢BPD = 60°. a) Calculați înălțimea prismei. b) Verificați dacă planele (A′BD) și (PBD) sunt perpendiculare.

Lecția 2. Aria și volumul piramidei regulate Descoperim, înțelegem, exemplificăm  Piramida regulată are următoarele caracteristici: • Baza este un poligon regulat, iar proiecția vârfului pe planul bazei este centrul cercului circumscris bazei. • Muchiile laterale sunt congruente. • Fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente. • Pentru piramida regulată se definește un element specific, numit apotema piramidei. Definiție. Dacă VA1A2…An este piramidă regulată, cu baza A1A2…An, atunci înălțimea din punctul V a unei fețe laterale se numește apotema piramidei.  Apotema poligonului regulat A1A2…An se numește apotema bazei.

Lungimea apotemei piramidei se notează ap, iar lungimea apotemei bazei se notează ab.

Exemplu: VABCD este piramidă patrulateră regulată și M este mijlocul segmentului BC. Atunci, OM este apotema bazei și scriem OM = ab, iar VM este apotema piramidei și scriem VM = ap. Observație: Înălțimile din V, ale fețelor laterale ale piramidei regulate, sunt egale, deci calculul apotemei nu depinde de alegerea feței laterale.

D A

C O

M B

Apotema piramidei se poate construi cu ajutorul teoremei celor trei perpendiculare:  Construim proiecția punctului V pe planul bazei și o notăm cu O.  Construim perpendiculara, din O, pe o muchie a bazei, fie aceasta BC, pe care o intersectează în M.  Aplicăm teorema celor trei perpendiculare și obținem VM ⊥ BC. Apotema piramidei regulate este și mediană a triunghiului isoscel corespunzător feței laterale alese. Triunghiul MOV este dreptunghic în O, iar laturile sale sunt: VO = h, OM = ab, VM = ap.

Teorema lui Pitagora ne oferă relația între înălțimea piramidei regulate, apotema piramidei și apotema bazei aces teia: ap2 = ab2 + h2 . Notăm cu m lungimea muchiei laterale și cu Ln lungimea laturii bazei, aplicăm teorema lui 2 Pitagora în triunghiul VMB și obținem m2 = ap2 + Ln . Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul VOB și obținem 4 2 2 2 m = R + h , unde R este raza cercului circumscris bazei. Desfășurarea unei piramide regulate constă în alăturarea unui poligon regulat cu n laturi (baza piramidei) și a n triunghiuri isoscele congruente (fețele laterale). Pentru n = 3, piramida triunghiulară regulată

Pentru n = 4, piramida patrulateră regulată

Pentru n = 6, piramida hexagonală regulată

ap ab

201

 Aria laterală a piramidei este suma ariilor fețelor laterale și se notează cu Al. Fețele laterale sunt triunghiuri isoscele. Bazele lor sunt chiar laturile bazei piramidei, iar înălțimile lor sunt apotemele piramidei. Notăm lungimea laturii poligonului bază cu Ln. Fiecare față laterală este triunghi isoscel care are baza de lungime Ln și înălțimea ap. Ln ⋅ a p ⋅ Atunci, aria laterală este Al = n · , sau Al = b p , unde Pb este perimetrul bazei piramidei. 2 2  Aria totală a piramidei este suma dintre aria laterală a piramidei și aria bazei acesteia și se notează At. b ⋅( p + b) Dacă notăm aria bazei piramidei cu Ab, atunci At = Al + Ab sau At = . 2 Propoziția 1. Volumul unui tetraedru este egal cu o treime din volumul prismei drepte cu aceeași bază și aceeași înălțime cu cea a tetraedrului. . Pentru justificare, consultați manualul digital.

Prin urmare, volumul tetraedrului este V =

 Formula identificată mai sus pentru piramida triunghiulară (tetraedru) se păstrează pentru orice piramidă. Prin urmare, volumul oricărei piramide se calculează cu formula V =

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni b ⋅ p , At = Al + Ab și V = pentru piramida regulată cu baza poligon  Particularizăm formulele Al = 2 cu n laturi, n ∈{3, 4, 6}. Notăm cu Ln lungimea laturii bazei, cu h înălțimea piramidei și cu m muchia piramidei, iar cu ap și ab notăm apo tema piramidei, respectiv apotema bazei piramidei.

Piramida triunghiulară regulată

Piramida patrulateră regulată V

ap h A

ab =

L3 3 , ap = 6

C O L a 3 b

D A

L23 , 12 3· L3·a p

h2 +

L23 ⋅ 3 , Al = , 4 2 3· L3 ⋅ a p L2 3 ⋅ h L2 · 3 At = + 3 ,V V= 3 2 12 4

Abb = A

Piramida hexagonală regulată

h m

ap M

ab O

L4 , ap = 2

E h A

ap b

D M B

L24 , 4

ab =

L6 · 3 , ap = 2

Abb = L24 , A A All = 2 ⋅ L4 ⋅ a p

Abb = A

3 ⋅ L26 3 All = 3 ⋅ L6 ⋅ a p , A 2

ab =

h2 +

L ⋅h At = 2 ⋅ L4 ⋅ a p + L24 , V A V= 4 t 2

At = 3· L6 ⋅ a p +

h2 +

3L26 , 4

3 ⋅ L26 3 L2 3 ⋅ h ,VV = 6 2 2

 Un caz special îl constituie tetraedrul regulat (piramida triunghiulară cu toate fețele triunghiuri echilaterale). Notăm cu a muchia tetraedrului. Cum toate fețele sunt triunghiuri echilaterale congruente, au loc relațiile: a3 ⋅ 2 a 3 a⋅ 6 a2 3 a2 3 a2 3 a 3 , ap = , Ab = , Al = 3 ⋅ , At = 4 ⋅ ,V= . ab = , h= 3 12 6 4 4 4 2 Observație: Formulele de mai sus nu trebuie memorate, deducerea lor pentru fiecare situație concretă face parte din demersul rezolvării problemei.

202

Problemă rezolvată: Piramida regulată VABCD are muchia bazei AB = 24 cm și muchia laterală VA = 12 5 cm. a) Demonstrați că înălțimea piramidei este 12 3 cm. b) Calculați volumul piramidei. c) Calculați cantitatea de vopsea necesară pentru a vopsi suprafața laterală a pirami dei, știind că se folosesc 45 g vopsea pentru o suprafață de 1 dm2. d) Determinați măsura unghiului format dintre planele (VAD) și (VBC).

d D M A

AB 2 = 12 2 (cm) și VO ⊥ (ABC). 2 Deoarece AO ⊂ (ABC), rezultă VO ⊥ AO. Triunghiul VOA este dreptunghic, cu ∢VOA = 90°. Folosind teorema lui

Rezolvare: a) Fie {O }= AC ⋂ BD, AO =

2 122 ⋅ 5 − 122 ⋅= 2 122 ⋅= 3 12 3 (cm). Pitagora, obținem VO = VA2 − AO= 1 1 1 · AABCD · VO = · AB2 · VO = · 576 · 12 3 = 2304 3 (cm3). b) VVABCD = 3 3 3 c) Fie M mijlocul muchiei AD. Atunci, VM = ap. Din VO ⊥ (ABC) și OM ⊂ (ABC), rezultă VO ⊥ OM. AB În triunghiul MOV, ∢MOV = 90°, MO = =12 (cm) și VM = VO 2 + OM 2 = 122 ⋅ 3 + 122 = 24(cm). 2 PABCD ⋅ VM 4 ⋅ AB ⋅ VM 4 ⋅ 24 ⋅ 24 Al = = = =1152 (cm2) = 11,52 (dm2). 2 2 2 Cantitatea de vopsea necesară pentru a vopsi suprafața laterală a piramidei este 11,52 · 45 g = 518,4 g. d) Construim apotema VN, N ∈ BC. Atunci, VM ⊥ AD și VN ⊥ BC. Construim dreapta d, paralela prin V, la planul bazei. Atunci, (VAD)⋂ (VBC) = d. Din VM ⊥ AD, VN ⊥ BC și AD ∥ BC ∥ d, rezultă VM ⊥ d și VN ⊥ d, deci ∢((VAD), (VBC)) = ∢(MVN). Dar, MN = VM = VN = 24, adică triunghiul VMN este echilateral și ∢(MVN) = 60°.

Reținem!

 Aria laterală a piramidei este suma ariilor fețelor laterale. Dacă piramida este regulată, atunci Al =

⋅

 Aria totală a piramidei este suma dintre aria laterală și aria bazei: At = Al +Ab.  Volumul piramidei este o treime din produsul dintre aria bazei și înălțimea piramidei: V = Minitest

⋅ . 3

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

30 p

1. O piramidă patrulateră regulată are muchia laterală egală cu 3 3 cm și latura bazei de 6 cm. Volumul piramidei este egal cu: B. 27 cm3; C. 48 cm3; D. 36 cm3. A. 54 cm3;

30 p

2. Piramida triunghiulară regulată VABC are latura bazei de 6 cm și înălțimea de 6 cm. Apotema piramidei are lungimea egală cu: A. 3 cm; B. 2 cm; C. 4 cm; D. 6 cm.

30 p

3. Latura bazei unei piramide hexagonale regulate are lungimea 8 3 cm, iar apotema piramidei are lungimea de 20 cm. Volumul piramidei este egal cu: A. 1576 3 cm3;

B. 1536 3 cm3 ;

C. 1556 3 cm3;

D. 1596 3 cm3.

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

203

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Se notează cu l, m, ab, h latura bazei, muchia late rală, apotema bazei, respectiv înălțimea unei pira mide patrulatere regulate. Se notează cu Ab, Al , At aria bazei, aria laterală, respectiv aria totală a piramidei și cu V, volumul piramidei. Copiați pe caiete tabelul, efectuați calculele nece sare și completați spațiile libere. l m ab

h Ab Al At V

a) 6 cm 6 cm

b) 16 cm 12 cm

c) 25 m

b) Știind că AB = 4 cm și că volumul piramidei este 24 3 cm3, calculați perimetrul triunghiului SAD. 7. O piramidă triunghiulară regulată are înălțimea de 18 cm și raza cercului circumscris bazei de 6 cm. Calculați: a) lungimea muchiei bazei piramidei; b) aria laterală a piramidei. 8. În piramida hexagonală regulată SABCDEF, mu chia laterală face cu planul bazei un unghi de 60°. Știind că AB = 24 mm, calculați:

900 m2

a) înălțimea piramidei;

2. Piramida patrulateră regulată VABCD are toate mu chiile egale cu 18 cm. Calculați: a) aria secțiunii diagonale; b) măsura unghiului BVD. 3. Calculați aria totală a piramidei patrulatere regu late SABCD, știind că triunghiul SBD este dreptun ghic și are aria 288 cm2. 4. Segmentul VO este înălțimea piramidei regulate VABC. a) Pentru AB = VO = 6 cm, calculați aria totală și volumul piramidei. b) Știind că apotema piramidei este de 3 cm, iar aria laterală a piramidei este 27 cm2, calculați lungimea muchiei bazei piramidei. 5. Trapezul din desenul alăturat reprezintă desfășu rarea în plan a suprafeței A S A' 60° laterale a unei piramide tri unghiulare regulate. C

B 8 cm a) Demonstrați că muchia laterală a piramidei are aceeași lungime cu mu chia bazei.

b) Calculați aria laterală și aria totală a piramidei. 6. Segmentul SO este înălțimea piramidei hexagonale regulate SABCDEF.

204

a) Pentru SA = 10 cm, SO = 6 cm, calculați aria totală a piramidei.

b) distanța de la punctul O, centrul bazei pirami dei, la dreapta SA. 9. Secțiunea diagonală MAD a piramidei hexagonale regulate MABCDEF este echivalentă cu baza pira midei, iar AB = 4 2 cm. Calculați: a) înălțimea și volumul piramidei; b) tangenta unghiului format de muchia laterală MA cu planul bazei (ABC). 10. În piramida regulată ABCD, cu vârful A, muchiile bazei au lungimea 12 cm, iar muchiile laterale au lungimea 10 cm. a) Calculați înălțimea și apotema piramidei. b) Determinați poziția punctului P pe muchia AD a piramidei așa încât perimetrul triunghiului PBC să fie minim. 11. Piramida patrulateră regulată VABCD are muchia laterală VA = 12 cm și aria laterală 144 3 cm2. a) Determinați măsura unghiului AVB, știind că este un unghi ascuțit. b) Calculați volumul piramidei. 12. Se consideră tetraedrul ABCD în care AB ⊥ AC, AC ⊥ AD și AD ⊥ AB. 2 2 2 2 Demonstrați că ABC + ACD + ADB = BCD , unde SABC, SACD, SADB și SBCD sunt ariile triunghiurilor ABC, ACD, ADB, respectiv BCD.

Lecția 3. Aria și volumul trunchiului de piramidă regulată Ne amintim  Trunchiul de piramidă regulată este corpul geometric obținut prin îndepărtarea piramidei mici rezultate prin secționarea unei piramide regulate cu un plan paralel cu baza și are următoarele caracteristici: • Fețele laterale ale trunchiului de piramidă regulată sunt trapeze isoscele congruente. • Bazele fețelor laterale sunt laturi ale bazelor trunchiului. • Laturile neparalele ale fețelor laterale sunt muchiile laterale ale trunchiului. • Bazele trunchiului de piramidă regulată sunt poligoane regulate asemenea. • Elementele piramidei mici (îndepărtată) și elementele corespunzătoare ale piramidei din care provine trunchiul se pot încadra în triunghiuri asemenea, raportul de asemănare fiind egal cu raportul dintre muchia bazei mici a trunchiului și muchia bazei mari a acestuia.  Desfășurarea trunchiului de piramidă regulată este prezentată mai jos. Trunchi de piramidă triunghiulară regulată

Trunchi de piramidă patrulateră regulată

Trunchi de piramidă hexagonală regulată

ab at

Descoperim, înțelegem, exemplificăm Definiția 1. Segmentul care unește mijloacele bazelor unei fețe laterale a unui trunchi de piramidă regulată se numește apotema trunchiului de piramidă regulată și se notează at. V

Relații între elementele trunchiului de piramidă. Notăm cu L, l, aB, ab, at, h, m, R și r respectiv: latura bazei mari, latura bazei mici, apotema bazei mari, apotema bazei mici, apotema trunchiului, înălțimea trunchiului de piramidă, mu chia laterală a trunchiului, raza cercului circumscris bazei mari și raza cercului circumscris bazei mici. V

F N

Q ab N

l 2

În trapezul dreptunghic QNMO,

L 2

O aB

În trapezul dreptunghic NMCG,

m R

În trapezul dreptunghic OCGQ,

2  L−l  m = h2 + ( R − r ) at2 +    2   Aria laterală a trunchiului de piramidă este suma ariilor fețelor laterale și se notează cu Al. Cum fețele laterale sunt trapeze isoscele cu bazele L respectiv l și cu înălțimea at, rezultă

at =

h 2 + (aB − ab ) 2

C M

Q r G

a G Q b N h F D at

205

 Aria totală a trunchiului de piramidă este suma dintre aria laterală și ariile celor două baze ale trunchiului de piramidă și se notează cu At. Prin urmare, At = Al + AB + Ab , unde AB și Ab reprezintă aria bazei mari, respectiv aria bazei mici.  Volumul trunchiului de piramidă este diferența dintre volumul piramidei din care provine trunchiul și volumul piramidei îndepărtate. Consultați manualul digital pentru a studia justificarea rezultatului următor. Propoziție. Volumul trunchiului de piramidă cu aria bazei mari AB , aria bazei mici Ab și cu înălțimea h este .

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Aplicație. O piesă din metal are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile 14 cm, 15 cm, respectiv 21 cm. Din materialul rezultat prin topirea piesei, fără pierderi de material, se realizează o altă piesă având forma unui trunchi de piramidă patrulateră regulată. Calculați înălțimea noii piese, știind că aceasta are bazele suprafețe pătratice cu ariile 225 cm2, respectiv 81 cm2. Rezolvare: Cele două piese au același volum Vp = Vtr = 14 · 15 · 21 = 4410 (cm3). Piesa nouă are AB = 225 cm3 și Ab = 81 cm3. Fie h înălțimea piesei, adică înălțimea trunchiului de piramidă. h , rezultă 4410 = ⋅ ( 225 + 81 + 15 ⋅ 9 ) , adică 4410 = 441 · h, deci Din Vtr = 4410 și Vtr = 3 h = 10 cm. Prin urmare, noua piesă are înălțimea de 10 cm. Reținem! Oricare ar fi un trunchi de piramidă regulată, au loc relațiile: l

At = Al + AB + Ab

Minitest 30 p

30 p

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

1. Un trunchi de piramidă hexagonală regulată are apotema 12 cm, muchia laterală 13 cm, iar latura bazei mici 8 cm. Raza cercului circumscris bazei mari este: A. 9 cm; B. 18 cm; C. 12 cm; D. 15 cm. 2. Un tetraedru regulat se secționează cu un plan paralel cu una dintre fețele laterale, care trece prin mijlocul înălțimii corespunzătoare acestei fețe a tetraedrului. Raportul dintre volumul tetraedrului și cel al trunchiului de piramidă obținut este:

1 8 C. 8 ; B. 7 ; D. . ; 8 8 7 1 3. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are latura bazei mari de 15 cm și latura bazei mici de 3 cm. Știind că apotema trunchiului are lungimea 8 cm, atunci muchia laterală are lungimea: A. 12 cm; B. 10 cm; C. 9 cm; D. 15 cm. A.

30 p

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

206

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Fie ABCDA′B′C′D′ un trunchi de piramidă patrula teră regulată în care AB = 12 cm, A′B′ = 4 cm, AA′ = 4 5 cm. Calculați: a) aria totală a trunchiului de piramidă; b) măsura unghiului planelor (ABC) și (BCB′). 2. Un rezervor pentru apă, confecționat din tablă, are forma unui trunchi de piramidă patrulateră regu lată. Se știe că lungimea bazei mari a trunchiului este 12 2 dm, lungimea bazei mici 8 2 dm și aria laterală 160 3 dm2. Determinați: a) înălțimea rezervorului; b) capacitatea rezervorului, exprimată în litri. 3. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are înălțimea 3 cm, volumul 208 cm3 și aria bazei mari de 9 ori mai mare decât aria bazei mici. a) Calculați lungimile laturilor bazelor trunchiului. b) Calculați tangenta unghiului format de diago nala trunchiului cu baza mare a acestuia. 4. Piramida triunghiulară regulată VABC are muchia bazei AB = 12 3 cm, iar volumul său este 576 3 cm3. Prin punctul D, situat pe muchia laterală AV, astfel încât AV = 4 · AD, se duce un plan paralel cu baza piramidei. Determinați: a) înălțimea piramidei; b) volumul trunchiului de piramidă format; c) numărul p, știind că volumul trunchiului de pi ramidă reprezintă p% din volumul piramidei din care provine trunchiul. 5. Un trunchi de piramidă triunghiulară regulată are apotemele bazelor 4 3 cm respectiv 3 cm și înăl țimea 3 cm. Calculați: a) volumul trunchiului de piramidă; b) volumul piramidei din care provine trunchiul; c) tangenta unghiului format de muchia laterală cu planul bazei mari. 6. Într-o piramidă triunghiulară regulată muchia bazei este de 12 cm, iar muchia laterală are lungimea 8 3 cm. Se secționează piramida cu un plan para lel cu baza piramidei, situat la distanța de 4 cm de

aceasta. Calculați volumul și aria laterală a trun chiului de piramidă format. 7. Trunchiul de piramidă hexagonală regulată ABCDEFA′B′C′D′E′F′ are AB = AA′ = 20 cm, iar diagonala AD′ formează cu planul (ABC) un unghi cu măsura 30°. a) Demonstrați că A′B′ = 10 cm. b) Calculați aria laterală a trunchiului de piramidă. c) Determinați înălțimea piramidei din care pro vine trunchiul. 8. Se consideră trunchiul de piramidă hexagonală re gulată ABCDEFMNPQRS în care O este centrul bazei mari ABCDEF, AB = 12 cm, MO ⊥ OQ, iar muchia laterală formează cu planul (ABC) un unghi cu măsura 45°. Calculați: a) lungimea muchiei laterale a trunchiului de piramidă; b) aria secțiunii diagonale ADQM; c) sinusul unghiului format de o față laterală cu planul bazei mari a trunchiului; d) aria totală și volumul trunchiului de piramidă. 9. Un observator este format prin suprapunerea bazelor a două corpuri geometrice: ABCDEFGH, trunchi de piramidă patrulateră regu lată și EFGHIJKL, prismă patrulateră regulată, ca în figura alăturată.

I E

L H

J F

K G

D A

C B

Suprafața laterală a observatorului este acoperită cu scânduri din lemn. Pătratele ABCD și EFGH au perimetrele PABCD = 48 m și PEFGH = 24 m, iar AE = 34 m și EI = 1,5 m. a) Calculați înălțimea observatorului. b) Determinați numărul minim de scânduri nece sare acoperirii suprafeței laterale a observatoru lui, știind că scândurile au formă dreptunghiulară cu dimensiunile 4 m, respectiv 0,3 m, și că, prin prelucrare, se pierde 12,50 % din material.

207

5.3 ARIA ȘI VOLUMUL CORPURILOR ROTUNDE STUDIATE Lecția 1. Aria și volumul cilindrului circular drept Ne amintim Cilindrul circular drept este corpul geometric obținut prin rotația unui dreptunghi în jurul uneia din laturile sale și are următoarele caracteristici:  Bazele cilindrului circular drept sunt discuri congruente.  Axa de simetrie a cilindrului circular drept este dreapta determinată de D C centrele bazelor.  Generatoarea cilindrului circular drept este congruentă cu înălțimea cilindrului deci cu segmentul determinat de centrele bazelor. A B  Desfășurarea cilindrului circular drept este formată dintr-un drept unghi cu dimensiunile 2πR, respectiv G, care corespunde suprafeței laterale a cilindrului și două discuri congruente, bazele cilindrului.  O prismă dreaptă cu baza de arie Ab și înălțimea h, are volumul egal cu V = Ab · h.

2πR G

Descoperim, înțelegem, exemplificăm Definiția 1. Aria laterală a cilindrului circular drept este aria suprafeței laterale și se notează Al . Folosind desfășurarea cilindrului circular drept, obținem Al = 2 · π · R · G. Definiția 2. Aria totală a cilindrului circular drept este suma dintre aria laterală și ariile celor două baze și se notează cu At. Dacă notăm cu AB aria bazei, atunci At = Al + 2 · AB , adică At = 2 · π · R · (G + R). Investigație: O metodă interesantă pentru calculul volumului corpurilor geometrice se numește Principiul lui Cavalieri. Pe parcursul acestei unități de învățare, căutați, împreună cu alți colegi, folosind resurse digitale, informații refe ritoare la matematicianul Bonaventura Francesco Cavalieri (1598–1647) și la metoda de calcul care îi poartă nu mele. Deduceți similitudini ale formulelor de calcul al volumului pentru: prismă și cilindru circular sau piramidă și con circular.

Ca și la prismă, volumul cilindrului circular drept este V = AB · h. Cum AB = π · R2, iar înălțimea cilindrului circular drept este egală cu generatoarea, deducem că volumul cilindrului circular drept este V = π · R2 · G. Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Aplicație. Andreea ambalează cadoul prietenei sale într-o cutie în formă de cilindru circular drept cu raza bazei R și înălțimea h = π · R, îmbrăcat într-o folie albastră, dreptunghiulară. Ea decoreză apoi cutia cu un fir de mătase vișinie, care pornește dintr-un punct A al bazei C(O, R) și se înfășoară pe suprafața laterală a cilindrului, rămânând întins, astfel încât la fiecare nouă atingere a generatoarei care conține punctul A, firul să fie mai sus cu 10 % din înălțimea cilindrului. Se repetă această înfășurare până când firul ajunge în punctul B, al celeilalte baze a cilindrului, situat pe aceeași generatoare.

208

a) Determinați numărul de puncte în care firul de mătase atinge generatoarea AB. b) Știind că lungimea firului folosit este 2 · π · îmbracă cilindrul și volumul cilindrului.

401 dm, calculați raza cilindrului, aria suprafeței de hârtie care

Rezolvare: a) Desfășurând suprafața laterală, obținem un dreptunghi cu o dimensiune 2 · π · R și cealaltă π · R. După fiecare ocol, punctul în care firul atinge generatoarea care conține punctul din care a plecat, este mai sus cu 10% πR mai sus decât la etapa anterioară. Pentru a ajunge pe cealaltă bază, atinge generatoarea în din π · R, deci cu 10 10 puncte, altele decât A. b) Desfășurând în plan suprafața laterală a cilindrului și alăturând zece astfel de dreptunghiuri cu latura comună egală cu generatoarea cilindrului, (vezi manualul digital) observăm că firul se suprapune perfect pe diagonala unui dreptunghi cu dimensiunile 10 · 2πR și πR. Diagonala acestui dreptunghi este d = πR 401 . Dar, lungimea firului este 2 · π · 401 . Atunci, πR 401 = 2 · π · 401 , deci R = 2 (dm), G = h = 2π (dm), Al = 2 · π · R · G = 2 · π · 2 · 2π = 8π2 (dm2) și V = π · R2 · h = π · 22 · 2π = 8π2 (dm3). Reținem! Aria laterală, aria totală și volumul cilindrului circular drept cu raza bazei R și generatoarea G: Al = 2 · π · R · G Minitest

At = 2 · π · R · (G + R)

V = π · R2 · G.

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

30 p

1. Un cilindru circular drept are raza R = 6 cm și generatoarea G = 5 cm. Volumul acestui cilindru este: A. 160π cm3; B. 180π cm3; C. 150π cm3; D. 210π cm3.

30 p

2. Un cilindru circular drept are aria totală 70π cm și aria laterală 20π cm . Raza bazei cilindrului este: A. 10 cm; B. 6 cm; C. 5 cm; D. 8 cm. D Q C

30 p

3. Secțiunea axială a unui cilindru circular drept este un pătrat cu latura de 6 cm. Aria laterală a cilindrului este: B. 24π cm2; C. 18π cm2; D. 60π cm2. A. 36π cm2;

Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Copiați în caiete și completați tabelul de mai jos, știind că R, G, Ab, Al, At și V reprezintă raza, generatoarea, aria bazei, aria laterală, aria totală respectiv volumul unui cilindru circular drept. a) b) c) d) e)

R 5 cm 8 cm

G 10 cm

Ab (cm2)

Al (cm2)

At (cm2)

V (cm3)

80π 40 mm

9π 108π

1,6 dm

270π 256π

209

2. Calculați aria laterală a unui cilindru circular drept care are diametrul bazei de 20 cm și înălțimea egală cu jumătate din raza bazei. 3. Un cilindru circular drept are raza de 15 cm și ge 3 neratoarea din lungimea razei. Calculați lungi 5 mea generatoarei și volumul cilindrului. 4. Secțiunea axială a unui cilindru circular drept este un pătrat cu latura de 20 cm. Calculați raza, genera toarea, aria laterală și volumul cilindrului. 5. Un cilindru circular drept are diametrul cercului de la bază 16 cm. Dacă distanța de la centrul unei baze la mijlocul unei generatoare este 10 cm, calculați generatoarea, aria totală și volumul cilindrului. 6. Raportul dintre lungimea razei și lungimea genera 4 toarei unui cilindru circular drept este . 3 Știind că suma dintre lungimea generatoarei și lun gimea diametrului unei baze este 33 cm, calculați aria secțiunii axiale și volumul cilindrului. 7. Aria laterală a unui cilindru circular drept este 90π cm2, iar volumul este 225π cm3. Calculați raza, generatoarea și aria totală a cilindrului. 8. Aria totală a unui cilindru circular drept este cu 72π cm2 mai mare decât aria sa laterală, iar genera toarea cilindrului este 16 cm. Calculați raza, volu mul și diagonala secțiunii axiale.

9. Secțiunea axială ABCD a unui cilindru circular drept este un dreptunghi cu perimetrul 80 cm. În baza care conține diametrul AB se înscrie triun ghiul echilateral AEF de arie 75 3 cm2. Calculați: a) raza și volumul cilindrului; b) distanța de la punctul D la dreapta EF. Q 10. În desenul alăturat, este reprezen tat un cilindru circular drept, iar MN și PQ sunt coarde paralele și congruente.

a) Demonstrați că MNPQ este un dreptunghi. M

b) Știind că raza bazei cilindrului N și coarda MN au lungimile egale cu 6 cm și că MQ = 12 cm, calculați înăl țimea cilindrului. 11. Pe marginea unei autostrăzi, pentru a susține afișe publicitare, se montează 24 de stâlpi, fiecare având forma unui cilindru circular drept cu înălțimea 3 m și diametrul 40 cm. Pentru a vopsi stâlpii, se folo sesc 10 g de vopsea pentru o suprafață de 1 dm2. Calculați cantitatea de vopsea necesară pentru în treaga suprafață a acestora. (3,14 < π < 3,15). 12. O țeavă are diametrul interior de 36 mm, dia metrul exterior de 48 mm, lungimea de 4,5 m și este confecționată dintr-un material cu densitatea r = 5g/cm3. Calculați masa bucății de țeavă (se aproximează π cu 3,1).

Lecția 2. Aria și volumul conului circular drept. Aria și volumul trunchiului de con circular drept Ne amintim

 Conul circular drept este corpul generat prin rotația suprafeței unui triunghi dreptunghic, în jurul unei catete.  Cateta care are ca dreaptă suport axa de rotație devine înălțimea conului, cealaltă catetă este raza bazei conului, iar ipotenuza devine generatoarea conului.  Desfășurarea suprafeței laterale a conului cu raza cercului de bază R și generatoarea de lungime G, este un sector de cerc de rază G.

2 R G

trei simplă, deducem că unghiul la centru corespunzător sectorului de cerc de rază G are măsura

360 R . G

Lungimea arcului de cerc corespunzător sectorului este egală cu lungimea cercului de bază a conului, adică 2πR.

Lungimea cercului din care provine sectorul de cerc este 2πG. Cu regula de

210

Descoperim, înțelegem, exemplificăm Aria laterală a conului circular drept este aria sectorului de cerc cu raza G și lungimea arcului 2πR. Al = πRG.

Aria totală a conului circular drept este suma dintre aria laterală a conului și aria bazei acestuia. At = πRG + πR2 sau At = πR(G + R). Ca și la piramidă, volumul conului circular drept este egal cu o treime din 1 produsul dintre aria bazei și înălțimea cunului. Prin urmare, V = Ab ⋅ h. 3 1 2 2 Cum Ab = πR , deducem că V = ⋅ πR h. 3 Aplicația 1. O piesă din metal având forma unei piramide patrulatere regulate, cu latura bazei de 16 cm și înălțimea de 6 cm, se prelucrează prin îndepărtarea unui con astfel încât peretele corpului rămas să aibă grosimea minimă de 1 cm. Determinați volumul corpului rămas după prelucrare, folosind aproximarea π ≈ 3,14.

C D M

P QA

Rezolvare: Notăm cu M mijlocul muchiei AD a piramidei VABCD, cu ON raza conului și OW înălțimea sa. Grosimea minimă a corpului rămas după W prelucrare este identificată în secțiunea axială care trece prin M, adică dis V tanța dintre dreptele paralele NW și MV. Construim, în planul triunghiului OMV, perpendiculara din O pe MV. Aceasta intersectează segmentul NW în Q și segmentul MV în P. Problema impune PQ = 1 cm. Calculăm înălțimea din O a triunghiului dreptunghic OMV,

19 OM ⋅ OV 24 = MN (cm), de unde OQ = OP – PQ = (cm). 5 MV 5 Q 19 19 OQ 19 = Dar, ∆ONW ∼ ∆OMV cu raportul de asemănare , deci ON = (cm) și OW = (cm). P 3 4 OP 24 2 6859 π πON ⋅ OW Volumul conului este con = = (cm3) ≈ 199 (cm3), iar volumul piramidei 108 3 AB 2 ⋅ OV este piramidă = = 512 (cm3). 3 6859π ≈ 313 (cm3). Prin urmare, Vcorp = Vpiramidă – Vcon = 512 − 108

= PO

W V

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni V

 Trunchiul de con circular drept se obține prin secționarea unui con circular drept cu un plan paralel cu baza.  Trunchiul de con circular drept este un corp de rotație. Acesta se poate obține prin rotația suprafeței unui trapez dreptunghic în jurul laturii care este perpendiculară pe baze.

C B

D A

Bazele trapezului devin raze ale bazelor trunchiului, latura perpendiculară pe baze devine înălțime a trunchiului, iar a doua latură neparalelă devine generatoare a trunchiului.

211

Considerăm trunchiul de con circular drept cu secțiunea axială ABCD, O și Q fiind centrele Q bazelor. Bazele trunchiului de con sunt discuri mărginite de cercuri cu razele OA și QD, iar înălțimea trunchiului de con este OQ. Notăm OA = R, QD = r, OQ = h și AD = G. În trapezul dreptunghic OADQ, prin calcul, obținem relația G2 = h2 + (R – r)2.

D G

h E

Aria laterală a trunchiului de con este aria suprafeței descrise de generatoarea trunchiului, în mișcarea sa de rotație și se notează cu Al. Suprafața totală a trunchiului de con, este reuniunea dintre suprafața laterală și suprafețele celor două baze. Aria acestei suprafețe se numește aria totală a trunchiului de con și se notează cu At. Propoziția 1. Aria laterală și aria totală ale unui trunchi de con circular drept, cu razele bazelor R respectiv r și cu generatoarea G, sunt date de formulele: Al = πG(R + r);

At = Al + AB + Ab, unde AB = πR2 și Ab = πr2.

Propoziția 2. Volumul trunchiului de con cu razele bazelor R respectiv r și înălțimea h este dat de formula: πh 2 2 ( + + ⋅ ). t = 3 Observație: Formula cunoscută de la trunchiul de piramidă,

, rămâne valabilă și la

trunchiul de con circular drept, având în vedere că AB = πR2 și Ab = πr2, unde R, r și h sunt raza bazei mari, raza bazei mici, respectiv înălțimea trunchiului de con. Aplicația 2. Un vas are formă de trunchi de con circular drept. Diametrele cercurilor de bază sunt de 80 cm, res pectiv 50 cm, iar generatoarea este de 25 cm. Calculați volumul vasului. Rezolvare: Considerăm secțiunea axială ABCD. Atunci, R = AB : 2 = 40 (cm), r = CD : 2 = 25 (cm) și G = AD = 25 (cm). Dacă M = prABD, atunci h = DM. În triunghiul dreptunghic AMD, h = DM = t =

B C

AD − MA = 20 (cm), iar volumul este

20π πh 2 (R + r 2 + R ⋅ r) = (402 + 252 + 40 ⋅ 25) = 21500π (cm3). 3 3

D V

Reținem! • Aria laterală, aria totală și volumul conului circular drept cu raza bazei R și generatoare G: h 1 At = πRG + πR2 sau At = πR(G + R) V = Ab ⋅ h sau V = ⋅ πR2h. Al = πRG 3 3 • Aria laterală, aria totală și volumul trunchiului de con circular drept cu raza bazei mari R, raza bazei mici r, generatoarea G și înălțimea h: Al = πG(R + r)

At = Al + AB + Ab, unde AB = πR2 și Ab = πr2 At = πG(R + r) + πR2 + πr2

212

t =

πh ( 3

+ 2+

⋅ ).

Minitest 30 p

30 p

1. Raza bazei mari a unui trunchi de con este 15 cm, raza bazei mici este 12 cm, iar generatoarea este 5 cm. Înălțimea trunchiului de con este: A. 9 cm; B. 10 cm; C. 4 cm; D. 5 cm. 2. Un con circular drept se secționează cu un plan paralel cu baza, care trece prin mijlocul înălțimii. Raportul dintre volumul conului mic și volumul trunchiului de con este: A.

30 p

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

1 ; 8

1 ; 7

7 ; 8

7 . 8

3. Raza bazei unui con circular drept este de 9 cm, iar generatoarea acestuia este de 15 cm. Aria laterală a conului este egală cu: A. 145π cm2; B. 225π cm2; C. 125π cm2; D. 135 cm2. Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. Prin rotirea în jurul catetelor AC și AB ale triun ghiului dreptunghic ABC se obțin două conuri cir culare drepte. a) Reprezentați prin câte un desen corpurile geo metrice obținute. b) Specificați, în fiecare caz, raza, înălțimea și ge neratoarea conului. c) Pentru AB = a cm, AC = b cm, a > b copiați în caiete tabelul, completați casetele libere și com parați rezultatele, știind că R, H, G, Al, At și V reprezintă raza, înălțimea, generatoarea, aria laterală, aria totală, respectiv volumul conului circular drept. Conul 1 Conul 2

R a b

H b a

4. Diametrul bazei unui con circular drept este de 18 cm, iar raportul dintre înălțimea și generatoarea 4 conului este . Calculați: 5 a) raza, generatoarea și înălțimea conului; b) aria secțiunii axiale; c) raportul dintre aria bazei și aria laterală a conu lui. Scrieți acest raport ca raport procentual. 5. Suprafața laterală a unui con se poate obține prin „înfășurarea“ unui sector de cerc. În desenul alătu rat sunt prezentate două sectoare de cerc care pro vin din cercuri diferite. A

d) Completați un tabel asemănător pentru AB = 15 cm, AC = 8 cm. 2. Un con circular drept are generatoarea de 5 cm și raza de 3 cm. Calculați înălțimea, aria laterală și volumul conului. 3. Generatoarele unui con circular drept au lungimea de 18 2 cm și fiecare dintre ele formează cu pla nul bazei unghiuri cu măsura u. Pentru u ∈{30°, 45°, 60°} calculați lungimea razei conului, înălțimea și volumul acestuia.

120°

V 12 cm

90° D

S 16 cm

a) Determinați raza și înălțimea pentru fiecare con. b) Calculați ariile laterale și volumele conurilor corespunzătoare acestor suprafețe laterale. 6. Secțiunea axială a unui con circular drept este un triunghi echilateral, iar distanța dintre centrul bazei conului și mijlocul unei generatoare este de 4 cm. a) Calculați raza, generatoarea și înălțimea conului. b) Calculați aria totală și volumul acestuia.

213

7. Un con circular drept are diametrul bazei de 64 cm și înălțimea de 24 cm. a) Calculați raza, generatoarea și volumul conului. b) Calculați la ce distanță de vârful conului, tre buie dus un plan paralel cu baza, astfel încât aria cercului de secțiune să fie 144 cm2. 8. Desfășurarea suprafeței laterale a unui con circular drept este mărginită de un semicerc cu diametrul de 12 cm. a) Calculați generatoarea și înălțimea conului. b) Calculați volumul conului. 9. Un cort având forma unui con circular drept are înălțimea de 3 m, iar suprafața pe care se sprijină cortul este de 16π m2. Calculați câți metri de pânză se folosesc pentru confecționarea cortului. (Se ia în calcul și suprafața orizontală, iar π ≈ 3,14). 10. Înălțimea unui con circular drept este de 20 cm. Calculați la ce distanță de baza conului trebuie dus un plan paralel cu baza acestuia, pentru a ob ține, prin secționare, două corpuri cu ariile laterale egale. 11. Un con circular drept are raza egală cu 18 cm și generatoarea egală cu 3 dm. Calculați: a) înălțimea, aria laterală și volumul conului; b) măsura unghiului sectorului de cerc obținut prin desfășurarea suprafeței laterale a conului. 12. Un con circular drept are vârful V. În cercul de bază al conului, se înscrie pătratul ABCD. a) Demonstrați că VABCD este o piramidă regulată. b) Pentru VA = 8 3 cm, AB = 16 cm, calculați înălțimea conului și raportul volumelor celor două corpuri. 13. Dintr-o bucată de tablă, având forma unui sector de disc, se confecționează, prin înfășurare, un reci pient conic. Unghiul la centru al sectorului de disc are măsura de 120°, iar lungimea arcului de cerc care mărginește bucata de tablă are lungimea de 60π cm. a) Calculați înălțimea recipientului conic. b) Calculați capacitatea recipientului, exprimând valoarea acesteia în litri, printr-un număr cu două zecimale. Folosiți aproximările: π ≈ 3,14 și 2 ≈ 1,41.

214

14. Un trunchi de con circular drept are razele bazelor de 5 cm, respectiv 2 cm, și înălțimea de 4 cm. Cal culați generatoarea trunchiului de con. 15. Volumul unui trunchi de con circular drept este 84π cm3, înălțimea acestui trunchi este de 4 cm, iar raportul dintre razele bazelor este 0,5. Calculați: a) razelor bazelor trunchiului de con; b) aria totală a trunchiului de con; c) înălțimea conului din care provine trunchiul de con. 16. Un trunchi de con circular drept are înălțimea de 15 cm, generatoarea de 25 cm și linia mijlocie a secțiunii axiale de 30 cm. a) Calculați aria laterală a trunchiului de con. b) Calculați razele bazelor și volumul trunchiului de con. 17. Un recipient în formă de trunchi de con circular drept are înălțimea de 40 cm și diametrele bazelor de 140 cm respectiv 80 cm. Calculați câți litri de apă încap în recipient. Folosiți π ≈ 3,14 și aproxi mați rezultatul la unități. 18. Un con circular drept are raza de 6 cm și înălțimea egală cu 0,(6) din lungimea diametrului bazei. a) Calculați înălțimea și generatoarea conului. b) Un plan paralel cu baza conului determină în con o secțiune cu aria 9π cm2. Calculați volumul trunchiului de con obținut prin secționare. 19. Un cort de forma unui trunchi de con circular drept are înălțimea de 3 m și circumferințele bazelor de 1600π cm, respectiv 800π cm. Calculați câți metri pătrați de pânză s-au folosit pentru confecționarea cortului, inclusiv suprafața sprijinită pe pământ. Folosiți aproximarea π ≈ 3,14.

20. Un trunchi de con circular drept are ca secțiune axială trapezul isoscel ABCD, cu ∢ABC = 60°, AB = 8 cm, CD = 4 cm. Calculați: a) aria laterală a trunchiului;

b) volumul trunchiului.

Lecția 3. Sfera. Aria și volumul sferei

Descoperim, înțelegem, exemplificăm Sfera este „perla” tuturor corpurilor geometrice. „Universul este o sferă infi nită, al cărui centru este pretutindeni și circumferința nicăieri” (Blaise Pascal). Din orice punct al spațiului ar fi privită, sfera arată la fel. Pretutindeni întâlnim obiecte care au formă de sferă sau porțiuni dintr-o sferă. Sfera poate fi regăsită în orice colț al lumii înconjurătoare, fiind luată drept model de reprezentare a obiectelor ideale, de la bolta cerească, la forma ideală a Terrei. Considerăm un punct O, fixat în spațiu și un număr real strict pozitiv R. Definiție. Mulțimea tuturor punctelor din spațiu care sunt situate la distanța R de punctul O se numește sferă de centru O și rază R și se notează S(O, R). Convenții de reprezentare Reprezentarea bidimensională, prin desen, a sferei se realizează prin evidențierea unui cerc cu centrul în centrul sferei. Pentru a sugera că figura este un corp, o sferă și nu un cerc într-un plan, convenim să reprezentăm cel puțin o intersecție a sferei cu un plan, de regulă cu planul orizontal, desenat ca un „cerc turtit”. Sfera împarte punctele din spațiu în trei mulțimi disjuncte:

 puncte situate pe sferă: M ∈ S(O, R) ⇔ d(M, O) = R;  puncte interioare sferei: N ∈ Int S(O, R) ⇔ d(N, O) < R;  puncte exterioare sferei: P ∈ Ext S(O, R) ⇔ d(P, O) > R. Observație:  Sfera nu conține și punctele din interiorul său.

O R P

 Reuniunea dintre sferă și mulțimea punctelor interioare formează sfera plină sau bila de centru O și rază R, notată B(O, R), adică B(O, R) = {M | d(M, O) ≤ R}. Extinderea conceptului de sferă la sfera plină (bilă) este necesară pentru a putea vorbi despre volumul acestui corp geometric.  Sfera este un corp de rotație. Sfera S(O, R) se poate obține prin rotația completă (până când ajunge în poziția inițială) a unui semicerc de centru O și rază R, în jurul diametrului.

PROIECT Învățăm geometrie cu GeoGebra Lucrare practică. Verificați, folosind un program de geometrie dinamică (de exemplu Geogebra) validitatea afirmației: „Prin rotația unui arc de cerc cu măsura mai mare decât 180°, în jurul unei drepte, care trece prin centrul cercului din care provine arcul și intersectează arcul în două puncte distincte, se obține o sferă.”

215

Intersecția dintre un plan α și sfera S(O, R) depinde de distanța dintre centrul sferei și planul α. Propoziție. Sunt posibile următoarele situații. a) α ∩ S(O, R) = ∅, dacă d(O, α) > R. Planul α se numește exterior sferei. b) α ∩ S(O, R) conține un punct, dacă d(O, α) = R. Planul este tangent sferei în acel punct. c) α ∩ S(O, R) este un cerc cu centrul în punctul A, proiecția lui O pe α, dacă d(O, α) < R. Planul este secant sferei. Pentru vizualizare, consultați manualul digital. Observație: Nu se poate realiza o desfășurare, în plan, a sferei. Acceptăm următoarele formule de calcul, demonstrația lor depășind nivelul manualului: 4πR 3 Aria sferei de rază R este A = 4πR2 , iar volumul corpului sferic de rază R este = . 3 Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Aplicația 1. Pe suprafața unei sfere S(O, R) se află punctele A, B, C așa încât AB = BC = CA = 9 cm. Știind că distanța de la centrul sferei la planul (ABC) este de 3 cm, aflați raza sferei, aria și volumul corpului sferic. Rezolvare: Din A, B, C ∈ S(O, R), rezultă AO = BO = CO = R. Piramida OABC este regulată, punctul Q = pr( ABC ) O este centrul cercului circumscris triun AB 3 ghiului ABC, iar AQ = = 3 3 (cm). În triunghiul AOQ, aplicând teorema lui Pitagora, 3 4πR 3 obținem AO2 = AQ2 + OQ2, AO = R = 6 (cm). Atunci, A = 4πR2 = 144π (cm2) și V = = 288π (cm3). 3

O C A

Aplicația 2. Secționăm o sferă de rază R după un plan diametral și „lipim”, între cele două se misfere, un cilindru. Determinați înălțimea cilindrului, știind că volumul corpului obținut este dublul volumului sferei. Rezolvare: Observăm că raza sferei și raza bazei cilindrului sunt egale. Volumul corpului sferic

4πR 3 , iar pentru volumul cilindrului de rază R și înălțime h avem VVCC == π ⋅ R 2 ⋅ h . 3 4R . Pentru ca volumul întregului corp să fie dublul volumului corpului sferic, trebuie ca VS = VC, adică h = 3

este

Minitest 30 p

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect.

1. Aria unei sfere cu raza de 4 cm este egală cu: A. 36π cm2;

B. 64π cm2;

C. 32π cm2;

D. 80π cm2.

C. 48π cm3;

D. 18π cm3.

30 p

2. Volumul sferei cu aria 36π cm2 este:

30 p

3. O piesă din oțel în formă de cilindru circular drept cu raza bazei 3 cm și înălțimea 5 cm se topește, fără pierderi. Numărul maxim de bile cu raza 2 cm care se pot obține din materialul rezultat prin topire este:

A. 36π cm3;

A. 3;

B. 72π cm3;

B. 5;

C. 4;

D. 6. Notă: Timp de lucru: 15 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

216

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm 1. a) Numiți forma geometrică descrisă de fiecare din AB când acesta punctele situate pe un semicerc  se rotește în jurul dreptei AB. b) Numiți corpul geometric obținut prin rotirea AB în jurul dreptei AB. completă a semicercului  2. Copiați pe caiete tabelul și completați casetele li bere, știind că R, A, respectiv V, reprezintă raza sferei, aria sferei, respectiv volumul sferei. a) b) c) d)

R 9 cm

7. O sferă cu aria 144π cm2 se secționează cu un plan, lungimea cercului de secțiune fiind 4π cm. Calculați: a) raza și volumul sferei; b) distanța de la centrul sferei la planul de secțiune. 8. O sferă cu raza de 20 cm este intersectată de un plan situat la distanța 12 cm față de centrul sferei. Calculați: a) aria și volumul sferei; b) raza cercului obținut prin secționarea sferei.

144π cm2 36π cm3 0,03 m

3. Determinați raza unei sfere știind că aria și volumul acesteia sunt exprimate în cm2, respectiv cm3, prin același număr. 4. Pentru întrecerea sportivilor la aruncarea greutății, se folosește o bilă. Calculați diametrul sferei (bilei), știind că o secțiune care conține centrul acesteia are aria de 49π cm2. 5. Raza unei sfere este exprimată în centimetri prin tr-un număr natural. Aflați acest număr știind că raportul dintre aria sferei și volumul acesteia este tot un număr natural. 6. În desenul alăturat, B D sunt reprezentate o sferă și un cilindru cir cular drept. Segmentul AB este ge neratoare a cilindrului, C A C și D sunt situate pe sferă, diametral opuse, iar AC ∥ BD și AC ⊥ CD.

a) Deduceți relația dintre înălțimea cilindrului și raza sferei.

b) Știind că aria laterală a cilindrului este egală cu aria sferei, comparați raza bazei cilindrului cu raza sferei. c) Comparați raza bazei cilindrului cu raza sferei în cazul când aria totală a cilindrului este egală cu aria sferei.

9. Fie ABCDA′B′C′D′ un cub cu muchia AB = 6 cm și AC′ ⋂ A′C = {O}.

a) Arătați că centrele fețelor cubului aparțin sferei AB de centru O și rază r = . 2 b) Calculați raportul dintre volumul cubului și vo lumul sferei S(O, r)

10. Pe suprafața unei sferei se consideră punctele A, B, C astfel încât AB = 9 cm, BC = 12 cm, CA = 15 cm, iar planul (ABC) conține centrul sferei. Calculați raza și volumul sferei. 11. Sfera de centru O și rază R = 8 cm conține punc tele A, B, C și OA ⊥ OB, A OB ⊥ OC, OC ⊥ OA. Calculați: a) aria și volumul sferei; b) aria triunghiului ABC; c) distanța de la centrul sfe rei la planul (ABC).

O B

12. Un acvariu are forma unei semisfere. Raza sferei, din care provine aceasta, este de 15 cm. a) Calculați aria și volumul acvariului. b) Decideți, argumentat, dacă se pot pune 6 litri de apă în acvariu, știind că acesta poate fi umplut doar până la 90% din capacitatea sa. 13. O bilă metalică, cu raza 10 cm, se află într-un vas în formă de cilindru circular drept cu diametrul in terior de 24 cm. Calculați cantitatea minimă de apă, exprimată în litri, care trebuie turnată în vas pentru ca bila să fie acoperită de apă.

217

EVALUARE SUMATIVĂ SUBIECTUL I

15 puncte

Stabiliți valoarea de adevăr a următoarelor propoziții. 5p

1. Volumul unui colet care are formă de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile 40 cm, 20 cm, respectiv 0,5 m, este egal cu 40 dm3.

2. Aria totală a tetraedrului cu muchia de 8 cm este egală cu 64 3 cm2.

3. Secțiunea axială a unui con circular drept este un triunghi dreptunghic cu aria de 32 cm2. Aria laterală a conului este 16 2π cm2.

SUBIECTUL AL II-LEA

15 puncte

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect. 5p 1. O prismă hexagonală dreaptă are latura bazei 7 cm și aria laterală 252 cm2. Volumul prismei este: A. 441 3 cm3; B. 414 3 cm3; C. 461 3 cm3; D. 416 3 cm3. 5p 2. Muchia laterală a unei piramide regulate are lungimea de 12 cm și formează cu planul bazei un unghi cu măsura de 60°. Înălțimea piramidei este egală cu: B. 6 3 cm; A. 6 cm; D. 8 3 cm. C. 6 2 cm; 5p

SUBIECTUL AL III-LEA

60 de puncte

La cerințele următoare, se cer rezolvări complete.

5p 5p 5p

15 p 10 p

20 p

D' Q M

D A

C' B'

P O

C B

V B

b) În planul (ABC), al secțiunii axiale, cortul este prevăzut cu ancorele din frânghie AE și BF, punctele E și F fiind coliniare cu C și D, OE = OF = 4,8 m. Calculați lungimea frânghiei folosite la ancorarea cortului 3. Un muncitor trebuie să vopsească trei bile. El vopsește două dintre bile, acestea având dia metrul de 18 cm respectiv 24 cm, apoi o vopsește și pe a treia. După ce termină activitatea, constată că pentru vopsirea celei de-a treia bile a folosit aceeași cantitate de vopsea cât a fost necesară pentru a vopsi primele două bile. Aflați raza celei de-a treia bile. Timp de lucru: 45 de minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

218

RECAPITULARE FINALĂ. PROBLEME DE SINTEZĂ   4 ∈   și 1. Se consideră mulțimea A =  x ∈  x−3   mulțimea P a numerelor prime. Scrieți mulțimile A și A ∩ P, prin enumerarea elementelor.

2. Pentru a = 2 + 3 și b = 1 + 6 , demonstrați că numărul (a2 – b2 +1)10 aparține mulțimii I, unde  1 5  I = x ∈  − < x < . 2 2   3. Demonstrați că 20 + 20 aparține intervalului 9   2 , 5 .   4. Demonstrați că oricare ar fi n ∈ ℕ, numărul m = (2n − 3)2 + (4n − 6)(3n + 4) + (3n + 4)2 este pătratul unui număr natural.

) x3 − 9 x 5. Se consideră expresiile algebrice E1 ( x= și E2 ( x) = x 2 + 9 + 6 x , x∈ℝ. a) Descompuneți în factori expresiile E1(x) și E2(x). b) Calculați valoarea expresiei E2 ( x) pentru x =2− 5 . c) Rezolvați în mulțimea ℝ* ecuația E1 ( x) =( x − 4) 2 − 1 . x 6. Demonstrați că: a) 4x2 + 12x + 11 ≥ 2, oricare ar fi x ∈ ℝ. b) − x2 − 4x − 3 ≤ 1, oricare ar fi x ∈ ℝ. 7. Demonstrați că expresia

 ( x − 3)2  2 x E(x) = 1 − 2 este un număr natu : 2 x +9  x +9   ral, oricare ar fi x ∈ ℝ. 8. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 1. f ( 3) − f (1) . 3 −1 b) Reprezentați geometric graficul funcției f. c) Determinați punctul în care graficului funcției f intersectează graficul funcției g : [−2, +∞) → ℝ, g(x) = −x + 3. a) Calculați

9. Rezolvați ecuațiile: a) 2(x + 4)2 – (x −1)(x + 1) = x2 + 1, x ∈ ℝ; b)

2x −1 4x − 3  2 6 = , x ∈  \ − , −  . 3x + 2 5 x + 6  3 5

10. Se consideră ecuația x2 − x = a2 − a, cu necunoscuta x, unde a este un număr real. a) Rezolvați ecuația pentru a = 1. b) Determinați numărul a, știind că ecuația admite soluția x = 2. c) Demonstrați că oricare ar fi a ∈ ℝ, ecuația ad mite soluții reale. (vezi pag. 77) 11. În figura alăturată este D C F x reprezentat pătratul ABCD. E Punctul E este situat pe la tura BC, iar F este inter secția dreptelor DC și AE. A 4x B Folosind datele înscrise pe desen, calculați în funcție de numărul pozitiv x, perimetrul și aria suprafeței ABEFD. 12. Într-un parc, se montează P luminatoare, pe stâlpi ver ticali cu înălțimea de 5 m. d a Unul dintre stâlpi este si O b M tuat la distanța de 12 m față de aleea b, ca în figura de mai sus. Calculați distanța de la vârful stâlpului la alee. 13. Pe planul triunghiului dreptunghic ABC, se ridică perpendiculara, în mijlocul M al ipotenuzei BC, pe care se fixează punctul N astfel încât MN = 8 cm. Știind că AB = AC = 6 2 cm, calculați: a) cosinusul unghiului format de dreapta NB cu planul triunghiului; b) măsura unghiului format de dreapta AB cu pla nul (AMN); c) lungimea proiecției segmentului AC pe planul (AMN). 14. Diagonala unui cub are lungimea d. a) Calculați volumul cubului, în funcție de d . b) Calculați volumul cubului, pentru d = 6 cm.

219

15. O piramidă patrulateră regulată cu latura bazei de 6 cm, are volumul 36 3 cm3. Determinați: a) măsura unghiului format de planul unei fețe la terale cu planul bazei; b) aria laterală a piramidei.

22. O piesă din metal are forma unui con circular drept cu raza bazei de 18 cm și înălțimea de 10 cm. Se topește piesa și din ea se confecționează o altă piesă, sferică. Știind că, prin prelucrare, se pierde 10% din volum, calculați raza piesei sferice.

16. Prisma dreaptă ABCDEFGH are ca bază pătratul ABCD, AC ∩ BD = {O}, AB = 6 cm și AE = 9 2 cm. Punctul P este situat pe muchia CG astfel încât PG = 2 · PC. Demonstrați că: a) triunghiul COP este isoscel; b) EP ⊥ (BDP).

23. Pe o bucată de carton, se desenează triunghiul echilateral ABC cu aria 64 3 cm2. Se notează cu M, N, P mijloacele laturilor AB, BC, respectiv AC. Se împart laturile triunghiului în câte patru părți egale și se înlătură triunghiurile mici cu vârfurile B și C.

17. Piramida triunghiulară regulată SABC are înăl țimea SO =18 cm și muchia laterală SA = 3 dm. Secționăm piramida cu un plan α, paralel cu baza, astfel încât perimetrul secțiunii să fie o treime din perimetrul bazei. Calculați: a) distanța de la planul de secțiune la planul bazei piramidei; b) muchia laterală a trunchiului de piramidă, re zultat prin secționarea piramidei; c) volumul trunchiului de piramidă. 18. Muchia cubului ABCDEFGH are lungimea 4 dm, punctul P este mijlocul muchiei EH. Calculați: a) perimetrul patrulaterului BCHP; b) distanța de la punctul P la dreapta AC; c) sinusul unghiului format de dreapta PC cu pla nul (BCD). 19. În paralelipipedul dreptunghic ABCDMNPQ, AB = 12 cm, DQ = 15 cm, iar suma lungimilor tu turor muchiilor paralelipipedului este 144 cm. a) Calculați lungimea diagonalei paralelipipedului. b) Calculați cosinusul unghiului format de planele (ABQ) și (MNP). 20. Sandu are un acvariu în formă de cilindru circular drept cu raza de 20 cm. Adăugând o piatră în acva riu, nivelul apei crește cu 0,2 cm. Calculați volu mul pietrei. 21. Se consideră cilindrul circular drept cu secțiunea E axială ABCD și punctul E D C . mijlocul arcului CD M Calculați lungimea minimă a traseului A → E, măsurată pe B suprafața laterală a cilindru A lui, știind că lungimea cercului de bază este 32 dm, iar înălțimea cilindrului este 7 dm.

220

a) Demonstrați că suprafața rămasă poate repre zenta desfășurarea unui trunchi de piramidă triunghiulară regulată, având baza mare triun ghiul MNP. b) Îndoim suprafața de carton rămasă după drep tele MN, NP și PM până când se formează o cutie, având forma unui trunchi de piramidă tri unghiulară regulată. Calculați înălțimea cutiei. 24. Se consideră cubul D' C' ABCDA′B′C′D′, B' A' AB = 12 cm și punc N M tele M, N pe muchiile D C BB′, respectiv DD′ ast B A fel încât BM = 8 cm, Q DN = 4 cm.

a) Demonstrați că planele (ACN) și (A′C′M) sunt paralele. b) Calculați lungimea segmentului PQ, știind că A′M ⋂ (ABC) ={P} și C′M ⋂ (ABC) ={Q}.

25. Într-un bol cu interiorul în formă de semisferă cu raza de 15 cm este apă, aceasta ocupând 75% din capacitatea bolului. Se toarnă toată apa într-un vas cilindric gol, cu di mensiunile R = 15 cm și G = 25 cm. Determinați înălțimea la care urcă apa în vasul cilindric.

26. Aria unei mingi cu formă sferică este 784π cm2. Precizați, justificând răspunsul dat, dacă această minge se poate introduce într-o cutie cubică cu vo lumul 27 dm3.

EVALUARE FINALĂ 1 SUBIECTUL I

30 de puncte

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect. 5p

1. Numărul

3−2

aparține intervalului: 2+ 3 A. (−1, 0); B. (0, 1); C. (1, 2); 2. Rezultatul calculului 2 · (3x − 1) − 3 · (2x + 1) + 6 este: A. 0; B. 12x + 1; C. 12x − 1; 3. Mulțimea soluțiilor inecuației 7 − x ≤ 11− 3x este:

B. [ −2, + ∞ ) ; C. ( −∞, 2] ; D. ( −∞, − 2] . A. [ 2, + ∞ ) ; 4. Suma muchiilor unui tetraedru regulat este 60 cm. Aria totală a tetraedrului este:

D. 400 2 cm2. C. 100 2 cm2; A. 100 3 cm2; B. 400 3 cm2; 5. Lungimea muchiei cubului ABCDEFGH este 9 cm. Distanța de la punctul A la dreapta BH este:

D. (1, +∞). D. 1.

B. 3 6 cm; C. 4 3 cm; D. 4 6 cm. A. 6 3 cm; 6. Un cilindru circular drept și o sferă au razele de aceeași lungime și volumele egale cu 36π cm3. Înălțimea cilindrului este egală cu: A. 12 cm; B. 8 cm; C. 6 cm; D. 4 cm.

SUBIECTUL AL II-LEA

60 de puncte

Scrieți rezolvările complete.

10 p 5p

3 −1 . 1. Se consideră numărul real a = 2 1 a) Demonstrați că a2 + a − = 0. 2 b) Calculați (2a2 + 2a − 1)3 + 1.

2 ⋅x + 2 . 3 a) Determinați numărul real m pentru care punctul P(m, 2m) aparține reprezentării geometrice a graficului funcției f. b) Demonstrați că f (− 6) + f (0) este un număr întreg. c) Reprezentați, într-un sistem de axe ortogonlae xOy, graficul funcției f. 3. Pentru a urca pe o clădire în formă de paralelipiped dreptunghic ABCDEFGH, un pompier se de plasează pe scara fixă MN, lungă de 24 de metri. Dreapta MN formează cu planul solului (ABC), un unghi de 30° și cu planul feței ABFE un unghi de 45°. a) Calculați distanța de la capătul M al scării, la clădire. G N F H b) Determinați înățimea clădirii. E C B c) Dacă P = pr(ABE)M și Q = pr(ABC) N, calculați lungimea segmentului PQ. Q

2. Se consideră funcția f :  →  , f(x) = 5p 5p 10 p

10 p 10 p 5p

Timp de lucru: 45 de minute Se acordă 10 puncte din oficiu.

221

EVALUARE FINALĂ 2 SUBIECTUL I

30 de puncte

Alegeți varianta corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect. 5p 5p

5p 5p

1. Produsul numerelor 5 + 3 și 3 − 5 este egal cu: A. 2; B. 8; C. −8; D. −2. 2. Mulțimea soluțiilor ecuației 2x2 − 5x + 3 = 0 este: 3 3 3  3    B. S = −1,  ; D. S = −1, −  . A. S = 1,  ; C. S = 1, −  ; 2 2 2     2 3. Reprezentarea geometrică a graficului funcției f : [−2, +∞) → ℝ, f(x) = −x − 3 este o semidreaptă închisă, cu originea A. Coordonatele punctului A sunt: A. (−1, −2); B. (−2, −1); C. (−1, 2); D. (−2, 1). AG 4. Se consideră cubul ABCDEFGH. Valoarea raportului este: CH 3 2 6 D. 6 . ; B. C. ; ; A. 2 3 3 2 5. Un cilindru circular drept cu raza 6 cm are înălțimea egală cu o treime din lungimea diametrului bazei. Volumul cilindrului este egal cu: B. 148π cm3; C. 144π cm3; D. 136π cm3. A. 124π cm3; 6. Apotema piramidei regulate VABCD este egală cu 3 dm, iar înălțimea sa este de 5 dm. Ana, Bianca, Călin și Darius au calculat aria totală a piramidei și au obținut următoarele rezultate: Ana Bianca Călin Darius . Rezultatul corect a fost obținut de: 2 2 2 40 dm 36 dm2 20 5 dm 36 5 dm A. Ana;

SUBIECTUL AL II-LEA

B. Bianca;

C. Călin;

D. Darius. 60 de puncte

Scrieți rezolvările complete. 10 p  x 3  3 1. Se consideră expresia E(x) =  −  : 1 +  , x ∈ ℝ \ {−3, 0}. 10 p x 3 x  P x−3 a) Demonstrați că E(x) = , oricare ar fi x ∈ ℝ \ {−3, 0}. 3 1 este număr întreg. b) Determinați numerele întregi n pentru care B E ( n) A 2. Triunghiul ABC are ∢(BAC) = 90°, AB = 2a cm, BC = (2a + 2) cm și Q 10 p C AC = (a + 2) cm, a > 0. Pe planul triunghiului, se ridică perpendiculara 10 p PA, astfel încât PA = 3,6 cm. Q a) Determinați numărul a. b) Calculați distanța de la punctul P la dreapta BC. G 3. Pe planul pătratului DEFG, EF = b cm, b > 0, se consideră perpendiculara D 10 p QD, QD = 40 cm, iar distanța de la punctul Q la dreapta EG este 50 cm. 10 p P F E a) Aflați numărul b. b) Calculați distanța de la punctul E la planul (DFQ). Timp de lucru: 45 de minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

222

RĂSPUNSURI TEST DE AUTOEVALUARE 1 (pag. 10) SUBIECTUL I: 1. B; 2. A; 3. C; 4. D. SUBIECTUL AL II-LEA: 1. A; 2. A; 3. F; 4. A. 90 · (p −10) = 27 . Se obține p = 40 (lei). SUBIECTUL AL III-LEA: 1. Fie p prețul inițial. Atunci, 100 x + 2 x −1 4 2−a 2 2. a) a = 1. Ecuația devine − = 1 și S ={1}. b) x = 2 este soluție, deci − = 1, a = . 3 4 3 4 3 2 2 3. a) BE∥CD, BD∥CE, deci BDCE este paralelogram, cu BE = CD = 12 cm. CE = BC + BE = 15 cm. b) BC este linie mijlocie în triunghiul AEF, deci C este mijlocul ipotenuzei EF și RAEF = AC = 15 cm. TEST DE AUTOEVALUARE 2 (pag. 11) SUBIECTUL I: 1. 2; 2. 150; 3. 4 3 ; 4. 8. SUBIECTUL AL II-LEA: 1. C; 2. D; 3. A; 4. C.

= SUBIECTUL AL III-LEA: 1. a) Mulțimea M

{ 10 ⋅ 0 + 4, 10 ⋅1 + 4, ... , 10 ⋅ 39 + 4} conține 40 de elemente.

b) Condiția este verificată de numerele 22, 82, 122, 182, iar M ∩ ℕ ={2, 8, 12, 18}. c) card {M ∩ (ℝ\ℚ)}=36. 2. S ={(2, 7)}. 3. a) CE = a 10 . b) ∢BCE = 45°. 1. INTERVALE DE NUMERE REALE. INECUAȚII ÎN ℝ EVALUARE SUMATIVĂ (pag. 40) SUBIECTUL I: 1. A; 2. F; 3. F; 4. A. SUBIECTUL AL II- LEA: 1. D; 2. A; 3. B; 4. A.

3  3  SUBIECTUL AL III- LEA: 1. Numerele sunt 0, 1, 2. 2. a) − 2 și 1. b) A = (–2, 2). c) A ∩  −3, −  = −2, −  . 2  2  1  1  3. a) −4 − (−6) = 2 < 3. Numărul −6 este soluție a inecuației. b) S1 =  −∞,  , = S 2  , + ∞  . c) n = 5. 4  6  ∗ 4. | r − 3 |< 10 < r + 3 și r ∈  . Rezultă r ∈{8, 9, 10, 11, 12}. 2. CALCUL ALGEBRIC ÎN MULȚIMEA NUMERELOR REALE EVALUARE SUMATIVĂ (pag. 82) SUBIECTUL I: 1. A; 2. F; 3. F; 4. A. SUBIECTUL AL II-LEA: 1. B; 2. D; 3. A; 4. C. SUBIECTUL AL III-LEA: 1. a) a − b = 3. b) a · b = −36. c) x2 + (x + 7)2 = 172, x > 0, P = 40 cm. 3x 2 3x 2 3x 2 2. a) = = − , x ∈  \ {−1, 1} ; 1 − x 2 −( x 2 − 1) x2 − 1 b) E ( x) = c) 2 ⋅

2 x + 1 ( x − 1) ( x + 1) x −1 1 1   ⋅ = , x ∈  \ −1, − , , 1 . 2 x − 1 2 2  x + 1 ( 2 x − 1) ( 2 x + 1) 

n − 1 2n − 2  1  2 2 = = 1 −  ∈  , n = 0. 3. a) S = {2}. b) (x – 2) + y = 0, rezultă x = 2, y = 0. 2n − 1 2n − 1  2n − 1 

223

3. FUNCȚII EVALUARE SUMATIVĂ (pag. 110) SUBIECTUL I: 1. A; 2. F; 3. A; 4. F. G SUBIECTUL AL II-LEA: 1. B; 2. D; 3. C; 4. B. SUBIECTUL AL III-LEA: 1. a) A(2, a)∈ d, a = 4. b) B(b, –1)∈d’, b = 2. O(0, 0) c) d ∩ d’ = M (0, 0) = O (0, 0). d) Din a), b) și c), rezultă Gf = OA și Gg = OB, unde O(0, 0), A(2, 4) și B(2, –1). e) OA2 + OB2 = AB2. Rezultă OA ⊥ OB. 2. a) 0 °C, 0 °C, 1 °C, 1 °C, 1 °C, 2 °C, 2 °C, 2 °C, 2 °C, 2 °C, 3 °C, 3 °C, 4 °C, 5 °C, 5 °C. b) Temperatura 0°C 1°C 2°C 3°C 4°C 5°C Frecvența 2 3 5 2 1 2 Temperatura cu frecvența cea mai mare este 2°C. c) M = 2,2°C. d) Me = 2°C.

A(2, 4)

B(2, –1)

4. ELEMENTE ALE GEOMETRIEI ÎN SPAȚIU EVALUARE SUMATIVĂ (pag. 190) SUBIECTUL I: 1. a) A; b) A; c) F. 2. a) 4; b) 3; c) 2. SUBIECTUL AL II-LEA: 1. a) AB ⊥ AD, AB ⊥ AE. Rezultă AB ⊥ (ADE). AH ⊂ (ADE), deci AB ⊥ AH. b) 3 15 cm. c) 45°. 2. a) Din AE  MD, MD ⊂ ( BDM ), A ∉ ( BDM ), rezultă AE  ( BDM ) . b) BE ∥ DP, P∈BC,

6 . 3 5. ARII ȘI VOLUME ALE UNOR CORPURI GEOMETRICE EVALUARE SUMATIVĂ (pag. 218) SUBIECTUL I: 1. A; 2. A; 3. F. SUBIECTUL AL II-LEA: 1. A; 2. B; 3. C. SUBIECTUL AL III-LEA: 1. a) H = 6 2 (cm). b) 45°. c) 4 6 cm. 2. a) V = 19,776π (m3)  62,09(m3). 2 2 2 b) L = 8 m. 3. R1 = 9 cm, R2 = 12 cm și A1 + A2 = A3 = 900π (cm2). Din egalitatea 4πR1 + 4πR2 = 4πR3 , rezultă R3 = 15 cm.

iar ∢(AD, BE) = ∢(AD, DP) = u și sin u =

RECAPITULARE FINALĂ. PROBLEME DE SINTEZĂ EVALUARE FINALĂ 1 (pag. 221) SUBIECTUL I: 1. B; 2. D; 3. C; 4. A; 5. B; 6. D. 3 −1 1 1 2− 3 + − = 0. b) (2a2 + 2a − 1)3 + 1 = 1. SUBIECTUL AL II-LEA: 1. a) a2 + a − = 2 2 2 2 3 2. a) f(m) = 2 · m , m = . b) f (−6) + f (0) = 0 ∈ ℤ. 3. a) d(M, (ABE)) = 12 2 m. b) h = 12 m. c) PQ = 12 m. 2 EVALUARE FINALĂ 2 (pag. 222) SUBIECTUL I: 1. D; 2. A; 3. B; 4. D; 5. C; 6. B. x x−3  x 3   3  ( x − 3) ( x + 3) ⋅ = . SUBIECTUL AL II-LEA: 1. a) x ∈ ℝ\{−3, 0}și E(x) =  −  : 1 +  = 3 x 3x x+3 3 x  1 3 3 , n ∈ ℝ\{−3, 0, 3}. b) = ∈  , rezultă (n − 3)∈{−3, −1, 1, 3}. Convin valorile n = 2, n = 4, n−3 E ( n) n − 3 n = 6. 2. a) În ∆ABC, ∢BAC = 90°. Din AB2 + AC2 = BC2, rezultă 4a2 + (a + 2)2 = (2 · a + 2)2 și a = 4. b) Fie AQ ⊥ BC, Q ∈ BC. Cu teorema celor trei perpendiculare rezultă d(P, BC) = PQ și după calcule PQ = 6 cm. 3. a) Fie QP ⊥ EG, P ∈ EG. Atunci QP = d(Q, EG) = 50 cm. Cu reciproca teoremei celor trei perpendiculare rezultă P centrul pătratului. DP =

224

b 2 = 30 (cm), b = 30 2 . b) d(E, (DFQ)) = EP = 30 cm. 2