CAIET DE ACTIVITĂȚI Dorin Linț Maranda Linț Mariana Mitea Lucian Pițu
7
Matematică CLASA A VII-A
Matematică – clasa a 7-a. Caiet de activități Copyright © 2021 Grup Media Litera Toate drepturile rezervate
Editura Litera tel.: 0374 82 66 35; 021 319 63 90; 031 425 16 19 e‑mail: contact@litera.ro www.litera.ro Editor: Vidrașcu și fiii Redactor: Gabriela Niță. Carmen Birta Corector: Carmen Bîtlan Copertă: Vlad Panfilov Tehnoredactare: Banu Gheorghe
Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României Matematică – clasa a VII-a : caiet de activităţi / Dorin Linţ, Maranda Linţ, Mariana Mitea, Lucian Piţu. Bucureşti : Litera, 2020 ISBN 978-606-33-6678-9 I. Linț, Dorin II. Linţ, Maranda III. Mitea, Mariana IV. Piţu, Lucian Nicolae 51
CUPRINS RECAPITULAREA MATERIEI DIN CLASA A VI-A, PRIN TESTE
5
TESTUL 1
5
TESTUL 2
6
TESTUL 3
7
1. MULȚIMEA NUMERELOR REALE
8
1.1. Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural. rădăcina
A. Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural B. Rădăcina pătrată a pătratului unui număr rațional pozitiv
8 9 11
C. Estimarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv 13 1.2. Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale. Incluziunile ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ 15 1.3. Scoaterea factorilor de sub radical. Introducerea factorilor sub radical 17 A. Scoaterea factorilor de sub radical 17 B. Introducerea factorilor sub radical 18 1.4. Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor, prin aproximări. Compararea și ordonarea numerelor reale. Modulul unui număr real
19
A. Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor, prin aproximări 20 B. Compararea și ordonarea numerelor reale 21 C. Modulul unui număr real 22 1.5. Operații cu numere reale. Raționalizarea numitorilor de forma a b 23 A. Adunarea numerelor reale 24 B. Înmulțirea numerelor reale 26 C. Ridicarea la putere a unui număr real 27 D. Raționalizarea numitorilor de forma a b 28 E. Ordinea efectuării operațiilor cu numere reale 29 1.6. Media aritmetică ponderată a n numere reale, n ≥ 2. Media geometrică a două numere reale pozitive A. Media aritmetică ponderată a n numere reale, n ∈ , n ≥ 2
32 32
B. Media geometrică a două numere reale pozitive 34 1.7. Ecuații de forma x2 = a, unde a este un număr real
2. ECUAȚII ȘI SISTEME DE ECUAȚII LINIARE 2.1. Transformarea unei egalități într-o egalitate echivalentă. Identități
35 37 37
2.2. Ecuații de forma a · x + b = 0, unde a și b sunt numere reale. Ecuații reductibile la ecuații de această formă
38
2.3. Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute. Rezolvarea prin metoda substituției și/sau prin metoda reducerii
41
A. Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute 42 B. Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda substituției sau/și metoda reducerii 42 2.4. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor sau al sistemelor de ecuații liniare
3. ELEMENTE DE ORGANIZARE A DATELOR
45 49
3.1. Produsul cartezian a două mulțimi nevide. Sistem de axe ortogonale în plan 49 A. Produsul cartezian a două mulțimi nevide 50 B. Sistem de axe ortogonale 50 3.2. Dependențe funcționale
4. PATRULATERE
Aplicații ale paralelogramului în geometria triunghiului
57
A. Paralelogramul. Proprietăți 57 B. Aplicații ale paralelogramului în geometria triunghiului 60 4.3. Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat
61
A. Dreptunghiul 62 B. Rombul 65
pătrată a unui număr rațional pozitiv. Estimarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv
4.2. Paralelogramul. Proprietăți.
52 55
4.1. Patrulater convex. Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex 55
C. Pătratul 67 4.4. Trapezul. Clasificare, proprietăți, linia mijlocie a unui trapez
69
A. Trapezul. Clasificare, proprietăți 69 B. Linia mijlocie a unui trapez 73 4.5. Perimetre și arii
5. CERCUL
74 77
5.1. Unghi înscris în cerc. Tangente dintr-un punct exterior la un cerc
77
A. Arce și coarde 77 B. Unghi la centru 79 C. Unghi înscris în cerc 80 D. Tangente dintr-un punct exterior la un cerc 81 5.2. Poligoane regulate înscrise în cerc 5.3. Lungimea cercului și aria discului
6. ASEMĂNAREA TRIUNGHIURILOR 6.1. Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante
83 85 87 87
A. Segmente proporționale 87 B. Teorema paralelelor echidistante 88 6.2. Teorema lui Thales. Reciproca teoremei lui Thales. Împărțirea unui segment în părți proporționale cu numere date
89
A. Teorema lui Thales 89 B. Reciproca teoremei lui Thales 91 C. Împărțirea unui segment în părți proporționale cu numere date 92 6.3. Triunghiuri asemenea. Teorema fundamentală a asemănării, criterii de asemănare
93
A. Triunghiuri asemenea 94 B. Teorema fundamentală a asemănării 95 C. Criterii de asemănare 96
7. RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC
99
7.1. Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema înălțimii. Teorema catetei 99 A. Proiecții ortogonale pe o dreaptă 99 B. Teorema înălțimii 100 C. Teorema catetei 101 7.2. Teorema lui Pitagora. Reciproca teoremei lui Pitagora
102
A. Teorema lui Pitagora 102 B. Reciproca teoremei lui Pitagora 103 7.3. Noțiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic
104
7.4. Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații
106
A. Rezolvarea triunghiului dreptunghic 107 B. Aplicații ale triunghiului dreptunghic în determinarea unor elemente ale poligoanelor regulate 108
RECAPITULARE FINALĂ ȘI PROBLEME DE SINTEZĂ
111
Lucrare scrisă la matematică semestrul I (model)
115
Lucrare scrisă la matematică semestrul al II-lea (model)
119
INDICAȚII ȘI RĂSPUNSURI
123
Recapitularea materiei din clasa a VI-a prin teste
RECAPITULAREA MATERIEI DIN CLASA A VI-A, PRIN TESTE TESTUL 1 Alegeți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect. A B C D – 1900 – 2000 – 2002 – 2020
Citiți cu atenție enunțurile, faceți raționamentele, efectuați calculele necesare. Alegeți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect. 5 p 1. Calculând 22 – 222 + 202 – 2002, se obține: 5 p 2. Dacă
x 1 1+ 3
=
1+ y
1 2 , atunci x · y – 6 este:
–2
5 p 3. Un stilou costă 40 lei. După o scumpire cu 10% va costa: 45 lei 5 p 4. Dacă 6 muncitori construiesc un zid în 4 zile, atunci 4 muncitori 5 zile vor construi un zid de aceleași dimensiuni în: –3 5 p 5. Soluția ecuației 6 · (x + 6) + 4 = – 4 · (x – 4) – 6 este: 5 p 6. Un unghi al triunghiului ABC are măsura egală cu media 50° aritmetică a măsurilor celorlalte unghiuri. Măsura acestuia este: 5 p 7. Mulțimea A x |
5 este: x 4
5 p 8. Dreptele a și b sunt paralele și c este o secantă. Numărul x este:
–3
–4
–5
44 lei
42 lei
50 lei
6 zile
7 zile
8 zile
–2
–4
–1
60°
90°
40°
{5, 9} {1, 5, 9} {1, 9} 94°
E x + 49°
c
F
{1, 5}
a b
47°
45°
41°
37°
5 p 9. Raportul numerelor x și y este 2 . Aflați numerele știind că 3 · x + 7 · y = 216. 3 5p 5p 5p
10. Fie numărul A = 7 · 3x – 3x+1 + 3x+2, x ∈ ℕ.
a) Aflați numărul A pentru x = 1 și x = 2. b) Arătați că A este divizibil cu 13, oricare ar fi x ∈ ℕ. c) Determinați numărul x pentru care A este număr prim. 11. În triunghiul ABC, BD este bisectoarea unghiului ABC, D ∈ AC și DE ∥ AB, E ∈ BC. 10 p a) Arătați că triunghiul BDE este isoscel. 10 p b) Dacă ∢ADB = 67° și ∢CDE = 69°, calculați măsurile unghiurilor triunghiului ABC. 10 p 12. Triunghiul MNP este dreptunghic, ∢N = 90°, ∢M = 2 · ∢P și MP = 20 cm. Calculați perimetrul triunghiului MNA, punctul A fiind mijlocul segmentului MP. Se acordă 10 puncte din oficiu. 5
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
TESTUL 2 Citiți cu atenție enunțurile, faceți raționamentele și efectuați calculele necesare. 5 p 1. Mulțimea {1, 3, 4, 7}∩{x∈ℕ| 3 < x < 9} este: 5 p 2. Dacă
( −7 )2
1 = , atunci x este egal cu: 3x + 2 5
5 p 3. Un telefon costă 520 lei. După o reducere de 30 % , noul preț va fi: 5 p 4. Calculând [– 5·4 + (– 8)·2]:6 + 10, se obține: 5 p 5. Scris ca fracție zecimală, numărul
10 5 5 5 + : 2 : − este: 3 2 3 4 5 p 6. Complementul unghiului cu măsura de 53° are măsura: 5 p 7. Media aritmetică a numerelor 1,23; 2,34 și 3,45 este: 5 p 8. Triunghiul ABC este dreptunghic, ∢A = 90°, AB = 4 cm, AC = 3 cm. Perimetrul triunghiului ABC este:
Alegeți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect. A
B
C
D
{3, 4, 7, 8}
{3, 4, 7}
{3, 4}
{4, 7}
81
82
83
84
345 lei
346 lei
364 lei
354 lei
5
4
7
3
1,3
1,4
1,5
1,6
47°
37°
127°
137°
3,33
3,34
3,35
3,36
12 cm
15 cm
16 cm
10 cm
5 p 9. Un automobil s-a deplasat timp de două ore cu viteza de 80 km/h și, timp de o oră, cu viteza de 90 km/h. Calculați viteza medie cu care s-a deplasat automobilul. 10. Suma numerelor a și b este 63. 10 p a) Aflați numerele știind că sunt direct proporționale cu 3 și 4. 5p b) Aflați numerele știind că sunt invers proporționale cu 3 și 4. 11. ABC este un triunghi echilateral. Se prelungește latura BC cu CD ≡ BC. 10 p a) Aflați măsurile unghiurilor triunghiului ABD. 10 p b) Dacă E este mijlocul segmentului AD, demonstrați că CE ∥ AB. 10 p 12. În triunghiul ABC, ∢A = 90°, ∢B = 60°, iar AD este înălțime a triunghiului, D ∈ BC. Demonstrați că DC = 3 · BD.
Se acordă 10 puncte din oficiu.
6
Recapitularea materiei din clasa a VI-a prin teste
TESTUL 3 Citiți cu atenție enunțurile, faceți raționamentele și efectuați calculele necesare.
Alegeți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect. A B C D
1. Cel mai mare dintre numerele a = –3,31, b = –3,32, 5p
c =−
33 10 , d = − , este: 3 10
a a = 0,125 și este o fracție ordinară ireductibilă. b b Atunci a + b = 5 p 3. Opusul numărului –3 – (–33) – (–333) este: 5 p 2.
4 6 31 12 1 5 p 4. Calculând − + + − + + , se obține: 7 5 25 21 25 5 p 5. 40% dintre elevii unei clase sunt băieți. Dacă în clasă sunt 30 de elevi, numărul fetelor este: 5 p 6. Un triunghi isoscel cu un unghi de 150° are celelalte unghiuri de măsură: 5 p 7. Suplementul unghiului de măsură 82°, are măsura de: 5 p 8. În triunghiul ABC, ∢A = 90°, AD este înălțime, AM este mediană, D, M ∈BC și BD ≡ DM. Dacă MC = 4 cm, atunci AB = 2
a
b
c
d
8
9
10
11
300
330
333
363
0
2
–2
3
16
18
17
19
10°
15°
20°
30°
108°
8°
98°
102°
4 cm
6 cm
8 cm
2 cm
3
1 1 10 p 9. Fie numărul a : 0, 25 : 0,(037) . 2 3 Aflați numărul a și stabiliți dacă este pozitiv, negativ sau nul. 10. Media aritmetică a numerelor a și b este 3, iar unul dintre ele este cu 1,5 mai mare decât celălalt. 10 p a) Aflați cele două numere.
1 1 7 + > . a b 10 11. Punctul D aparține laturii AC a triunghiului ABC, BD ≡ DC și ∢BAC ≡ ∢ABD. a) Demonstrați că triunghiul ABC este dreptunghic. 10 p b) Dacă ∢ADB = 56°, calculați măsurile unghiurilor triunghiului ABC. 5p 10 p 12. În triunghiul DEF, ∢E = ∢F = 30°, iar M este simetricul punctului E față de dreapta DF. Demonstrați că triunghiul MEF este echilateral. 5p
b) Arătați că
Se acordă 10 puncte din oficiu.
7
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
1. MULȚIMEA NUMERELOR REALE 1.1. Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural. Rădăcina pătrată a unui număr rațional pozitiv. Estimarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv Breviar teoretic Definiție Dacă x este pătrat perfect, atunci numărul natural n cu proprietatea x = n2 se numește rădăcina pătrată a numărului x sau radicalul de ordin 2 al numărului x. Se notează
x = n.
x = n ⇔ x = n 2 , unde x ∈ ℕ este pătrat perfect și n ∈ ℕ .
x ⋅ y = x ⋅ y ;
n 2 = n , pentru orice n ∈ ℕ.
x x = , y ≠ 0 , unde x, y ∈ ℕ sunt pătrate perfecte. y y
Definiție Dacă x este pătratul unui număr rațional, atunci numărul rațional pozitiv a cu proprietatea x = a2 se numește rădăcina pătrată a numărului x sau radicalul numărului x. Vom scrie
x =a.
Oricare ar fi numerele x și y, pătrate ale unor numere raționale, y ≠ 0, avem:
x x = . y y Pentru orice număr rațional x ≥ 0 , există rădăcina pătrată x .
x ⋅ y = x ⋅ y și
Pentru a ≥ 0 avem
x = a dacă și numai dacă x = a 2 .
a 2 = a , oricare ar fi a ∈ .
Estimarea este o evaluare a unei cantități, având uneori date incomplete sau insuficiente. Dacă pentru efectuarea unui calcul folosim aproximări ale numerelor care intervin, atunci vom obține o estimare a rezultatului corect.
8
Dacă n 2 ≤ x < ( n + 1) , n ∈ , atunci n ≤ x < n + 1 .
Dacă x =
2
y cu y, n ∈ ℕ, atunci 102 n
x=
y 10n
.
Mulțimea numerelor reale A 1
Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural
Scrieți numerele 16, 49, 196, 256, 529, 900, 1024, 1225, 1600, 3969, 10000 ca pătrate ale unor numere naturale și determinați rădăcina pătrată a acestora, după modelul: n 16 49 196 256 529 900 2 2 4 n=a
6
p1: 100 = 10
4
n
1024
n n = a2
1225
1600
3969
10000
n 2
3
Se consideră următoarele numere naturale: 46, 81, 136, 317, 324, 441, 500, 625, 841, 1000, 1296, 2222, 7056. Alegeți dintre acestea doar pătratele perfecte și determinați rădăcina pătrată a fiecăruia. Scrieți rezultatele într‑un tabel precum cel din problema precedentă. Calculați:
( −19 )2 . 4 4 Scrieți numerele 54 ⋅ 106 ; 22 ⋅ 310 ; 26 ⋅ ( −3) ; 188 32 ⋅ 54 ⋅ 76 ; 2100 : 280 ; 3200 : ( −3) ca pătrate per 4, 25, 64, 289, 27 2 , 1232 ,
fecte, apoi găsiți rădăcina pătrată a fiecăruia, după modelul:
( ) ⋅ (10 ) = (5
54 ⋅ 106 = 52
2
(
3
5 ⋅ 10 = 5 ⋅ 10 4
6
2
3
2
)
2
2
⋅ 103
)
2
=5 ⋅ 10 =5 ⋅ 10 3
2
p2:
221 = 11
p3:
27 ⋅ 2 = 23
p4:
a 2 = a oricare ar fi numărul natural a.
p5:
b 2 = b , oricare ar fi numărul întreg b.
p6:
3⋅3⋅9 = 9
p7:
( −5)2
= −5
p8:
( −6 )2
= 6
p9:
( −17 )2
p10:
( −2 )2 ⋅ ( −3)4
3
{
2
Calculați: a)
676 ,
784 ,
12321,
Pentru fiecare n natural se considera mulțimea Sn ={72, 34, 56, 29, 107, 1003, 22∙n, 9n, 74 ∙ n, 116 ∙ n + 3}. Determinați mulțimile: A =x ∈ S / x = a2 , a ∈ = x / x∈ A . și B
}
=−2 ⋅ ( −3)
Descompuneți în factori și scrieți rădăcina pătrată a fiecăruia dintre numerele: 441; 5184; 11664; 50625; 10 · 2 · 53; 63 · 25 · 3; 12 · 313; 14 · 22 · n – 1 · 74 · m + 3, n, m ∈ ℕ.
5
{
= −17
7
8 2
Stabiliți valoarea de adevăr pentru fiecare propoziție. Scrieți A, în căsuța corespunzătoare din tabel, dacă propoziția este adevărată și F dacă propoziția este falsă. Propoziția A/F
b)
3025 ,
18225 ,
52 122 ,
10404 ,
104976
710 3 710 ,
18 233 ,
9 410 224
}
9
Calculați:
121 ⋅ 361; 400 ⋅ 169; 144 ⋅ 225 ⋅ 289 .
9
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a 10
Efectuați calculele necesare și încercuiți, pentru fiecare radical, rezultatul corect: Numărul a) b) c) 18
72
9
–3
3
2 ⋅ 23 ⋅ 26 =
8
25
24
a)
22 + 24
48 + 16 ⋅ 21 + 2 ⋅ 15 =
64
48
56
b)
22 ⋅ 34 − 24 ⋅ 32
( −3)2
=
7
pătratice cu latura de ab cm. Aflați dimensiunile unei plăci de parchet. Câte soluții are problema? 17
c)
care
d)
7 − n este număr natural.
36 este număr natural. m −1 12 Determinați numărul natural n pentru fiecare din situațiile: a) n2 = 16; b) n2 = 784 c) n4 = 256; d) n4 = 312. care
14
15
18
( −3)2 − ( −5)2 + ( −7 )4 42 ⋅ 15 + 2 ⋅ ( −4 ) ⋅ ( −50 )
e)
36 − 4 ⋅ ( −16 ) :
f)
361 − 225 :
( −10 )2 −
( −5)2 : ( −3)
32 + 42 3 + 4
b) 132 − 122 13 − 12
Determinați numărul întreg p pentru care:
c)
332 + 02 33 + 0
d)
27 2 − 02 27 − 0
a)
p = 15
b)
p = 27
e)
7 2 + 242 7 + 24
c)
p −3 = 21
d)
3⋅ p + 7 = 31
f)
6 2 8 2 6 8
g)
62 + 82 + 242 6 + 8 + 24
Efectuați calculele: 64 + 36
252 152 122 25 15 6 19 Se consideră mulțimea M = {1, 2, 3, …, 500}. Determinați mulțimile: A = {x ∈ M | x = a2, a ∈ ℤ}, h)
b) 144 − 81 c)
9 − 2 ⋅ 49 + 3 ⋅ 169
d)
49 + 2 ⋅
e) f)
(
16 + 196 − 900
)
( 256 − 324 ) + 1 1444 : (1 − 400 ) + 18 + 17 ⋅ 18 400 :
162 − 81
Completați spațiile punctate cu unul dintre semnele „=” sau „≠”, așa încât să obțineți propoziții adevărate: a)
Determinați numărul întreg m știind că: a) m2 = 25 și m > 0; b) m2 = 225 și m < 0 c) m2 = 289; d) m4 – 219 = 219.
a)
10
Efectuați calculele:
Determinați valorile numărului natural n pentru
b) Determinați valorile numărului natural m pentru
13
Camera Soniei are formă dreptunghiulară, cu dimensiunile de 6 m și 4 m. Podeaua camerei este acoperită complet cu parchet, format din plăci
6
36 =
11 a)
16
B y | y x , x A și C z | z B, z 5 . 20
Calculați latura unui pătrat cu aria de 1024 cm2.
21
Un pătrat magic este format din 1296 de pătrățele. Aflați numărul pătrățelelor situate pe „un rând” al pătratului magic.
Mulțimea numerelor reale B 1
Rădăcina pătrată a pătratului unui număr rațional pozitiv
Scrieți în tabel următorele numere ca pătrate ale unor numere raționale și găsiți rădăcina pătrată a fiecăruia, după model: 9 4
n a2
3 2
n
3 2
n=
2
1,21
100 169
( 0, 2 )2
324 625
9 729
23,04 0,0225
Se consideră următoarele numere raționale:
1 ; 9
64 1 961 625 ; 0,36; ; – 0,25; ; 75,69; 12,34; − ; 199 4 36 125 441 4,3; ; 5,0625; 20,19. Alegeți dintre aceste 144 numere doar pe cele care sunt pătrate ale unor numere raționale și determinați rădăcina pătrată a fiecăruia. Scrieți rezultatele într-un tabel precum cel din problema precedentă. Calculați:
4 ; 49
1 ; 0, 64 ; 2, 56 ; 400
2
4 4 ; 10, 3 ; 3 4
1, 7 2 .
900 576 ; 1,96; ; 0,0001; 121 25 2 2 363 100 108 4 2 ; 2 : 2 , ca pătrate 2 ; 3 : 5 ; 56,25; 11 12 ale unor numere raționale, apoi extrageți rădăcina pătrată, după modelul:
Scrieți numerele: 3,24;
3,24 =
576 25
24 5
2
2
1,82
24 5
2
576 25
24 5
2
24 5
24 5
x⋅ y =
0,01 ⋅ 2025 ;
b) Folosind formula
7 ; 9
x = y
x ⋅ y , calculați: 1 4 ⋅5 ; 9
3 2 ⋅ ( −4 ) 27
x , calculați: y
81 ; 289
14, 4 ; 2,5 : 0, 4 ; 4,9
45 . 80 7 Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor. Completați în tabel A, dacă propoziția este adevărată și F, dacă propoziția este falsă. Propoziția A/F
0, ( 4 ) ; 18
n
3
12 − n este număr natural. 2 b) Determinați valorile numărului natural m pentru 30 − m care este număr rațional. 4 6 Fie x și y pătratele unor numere raționale nenule. care
0,64 ⋅ 81 ;
n = a2
2
a) Determinați valorile numărului natural n pentru
a) Folosind formula
0, 2
10,24 4,41
n
81 25
0,04
5
p1:
1 1 = 49 7
p2:
4 2 = 25 25
p3:
a a b = b , oricare ar fi numerele naturale nenule a și b.
p4:
c c = , oricare ar fi numerele d întregi nenule c și d d
p5:
0,04 = −0, 2
p6:
( −0,1)2
p7:
0,000001 = 10−3
p8:
0,1 ⋅ 0,9 = 0,36
p9:
( −3,1)4
p10:
2
2
30
= 0,01
= −3,1
1 11 = 4 2 11
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
8
Calculați:
12
1 1 + ; b) 0,16 + 0, 25 ; 4 9 1 1 1 64 + ; d) . c) ⋅ 64 144 2 81 9 Calculați și încercuiți răspunsul corect: Numărul a) b) a)
6 15
36 = 169 3 10
2
9 100
24 25
18 13
c) 6 13
3 10
3 10
4 5
16 25
8 5
0,02
0, 2
0,3
−
a) 756, 25 ;
12
14641 . 366025
b)
2134, 44 ;
c)
2756, 25 ;
d)
0,01 ;
e)
0,0144 ;
f)
0,000289 .
a)
26 ; 34
b)
18 ; 2 ⋅ 54
c)
92 + 122 ; 122 + 162
d)
252 − 202 ; 452 − 27 2
e) 9 ⋅ 7
1 1 + 4⋅ 2 9 4
4 9 + 0, ( 3) ⋅ 121 484 13 Calculați: f) 0,5 ⋅
a)
1, 44 + 2,89 −
b)
6, 25 +
c)
10 Calculați:
1764 54756 ; ; 9801 4356 11 Calculați:
Efectuați calculele:
13
225 + 0,04 100
1 + 0,0576 2
7,84 + 0,01 + 1,69 − 0, 25 + 9,61 + 3, 24
rătați că numărul A n = 1 + 2 + 3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 ∙ 9 este pătrat perfect. Calculați
14
n + 189 .
rătați că numărul A n = 1 + 3 + 5 + … + 29 este pătrat perfect. Calculați
n.
Mulțimea numerelor reale C 1
Estimarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv
Pentru fiecare element a al mulțimii A=
{
7
}
50, 99, 325, − 901 , determinați cel mai mare număr întreg, mai mic decât a.
2
Determinați numărul întreg m, pentru fiecare din situațiile:
Pentru fiecare element b al mulțimii
{
}
B = − 34, 77, 450, − 1000 , determinați cel mai mic număr întreg, mai mare decât b. Determinați: a) cel mai mic număr natural a mai mare decât 3
{ } B = { x ∈ | − 3 < − x < −2}; C = { x ∈ | 44 < x < 111} D = { x ∈ | − 22 < x < 22}. 2
Un parc din orașul X se poate traversa pe aleile AC, respectiv CE.
A
E
C
7;
90 ; − 56 ;
Sara a cumpărat de la librărie un vocabular cu 3,95 lei, un compas cu 7,15 lei și două gume de șters cu 2,35 lei bucata. Estimați, printr-un număr natural, suma, în lei, necesară pentru toate cumpărăturile.
Completați spațiile libere astfel încât să obțineți propoziții adevărate. a) Pentru n ∈ ℕ, cel mai mic număr natural c, astfel 10
D
Încadrați între două numere întregi consecutive următoarele numere:
2
9
Știind că ABDE este dreptunghi și că CD = 75 m, iar AB = BC = 50 m, aproximați lungimea fiecărei alei, apoi estimați printr-un număr natural, în metri, lungimea traseului AC – CE. 1234 ;
încât n = c și n > 27,8 este … . b) Pentru m ∈ ℕ, cel mai mare număr natural d, astfel încât m =
Determinați numărul întreg n, pentru fiecare din situațiile: a) n <
Un pătrat are aria a cm2. Pentru fiecare dintre valorile a ∈ {2; 60; 525}, estimați perimetrul pătratului, exprimând rezultatul printr-un număr natural, în centimetri, apoi în milimetri.
12
Dreptunghiul cu dimensiunile 80 mm și 150 mm are aria egală cu cea a unui pătrat. Estimați, în centimetri, printr-un număr natural, perimetrul pătratului.
13
Calculați:
23 < n + 1;
b) n < − 234 < n + 1 c) – n – 1 < − 789 < –n; d) n < 1 + 5 + 9 < n + 1.
d și m < 84 este … .
11
− 700 . 6
144 < m + 1; 49
A = x∈ | 5 < x < 7 ;
− 300 .
5
b) m <
900 < –m + 1. 121 8 Determinați mulțimile:
b) cel mai mare număr natural b mai mic decât
B
4 < m + 1; 9
c) –m < −
200
4
a) m <
a)
36 + 64 ;
b)
3600 + 6400 .
13
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a 14
Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor:
A
p1: „ 200 = 15”
1.
400
p3: „ 7 ≤ 3”
2.
500
p4: „–9 ≥ –
3.
600
4.
700
p2: „ 200 < 15”
p5: „1 <
2 <3<
p6: „70 ≥
4800 ≥
b)
14
17
În figura de mai jos, este reprezentată o rețea de pătrate cu latura de 1 cm. Arătați că: B
360000 + 640000 = …;
3600...00 + 6400...00 = … . 12 cifre de 0
a. 19 b. 20 c. 21 d. 22 e. 23 f. 24 g. 25 h. 26
3900 > 60.”
RS T
a)
16
4 ”
Fără a efectua toate calculele, copiați pe caiete și completați răspunsul corect:
RS T
15
80 ”
B
12 cifre de 0
Aproximați, la cel mai apropiat întreg, radicalii din coloana A, apoi asociați fiecărui număr care numește radicalul scris în coloana A, litera corespunzătoare răspunsului corect, scris în coloana B.
A C
a) AB > 5,3 cm b) AC < 9 cm; c) PABC > 18 cm.
Mulțimea numerelor reale
1.2. Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale. Incluziunile ⊂ ⊂ ⊂ Breviar teoretic Definiție Se numește număr irațional orice număr care nu este rațional. Pentru x ∈ ℚ+ avem: x este număr irațional dacă și numai dacă x nu este pătrat perfect sau nu poate fi scris ca raport de pătrate perfecte. Un număr este irațional dacă și numai dacă se poate scrie sub formă de fracție zecimală infinită și neperiodică.
Dacă q ∈ * și
x ∉ , atunci − x , q + x , q x sunt numere iraționale.
ulțimea numerelor reale este reuniunea dintre mulțimea numerelor raționale și mulțimea numerelor M iraționale și se notează cu ℝ.
= ∪ ( \ ) Mulțimea numerelor iraționale este diferența \ .
Folosim notațiile:
+ = { x ∈ x > 0}; − ={ x ∈ x < 0}; ∗ ={ x ∈ x ≠ 0} = \ { 0}. Atunci, = + ∪ − ∪ {0} .
Un număr real nu poate fi simultan rațional și irațional: ∩ ( \ ) = ∅.
Au loc incluziunile: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
1
2
9 −18 Fie mulțimea A = 1; 2; −1, ( 4 ) ; − ; 100; − . 4 6 Efectuați operațiile:
Se consideră mulțimea
a) A ∩ ℕ; b) A ∩ ℤ; c) A ∩ ℚ;
49 20 M = −2; − ; 1, ( 5 ) ; 22 ; 3,5; − 1,5; . 4 4 Scrieți mulțimea P = {x ∈ M | –x ∈ M}, enumerându-i
d) A ∩ (ℝ\ℚ); e) A∩ ℝ; f) A∩{–2, –1, 0, 1, 2, 3}.
elementele.
Se consideră numerele:
7
4; 5 ; 1, 4 ; 2, 75; 1,10203040... ; 8 64 . ; 18 83 Dintre acestea, scrieți pe caiete: a) doar numerele iraționale b) doar numerele raționale. 100 ; − 2, 25 ;
8 9
3
Scrieți trei numere raționale de forma
a.
4
Scrieți trei numere iraționale de forma
b.
5
6
Scrieți opusul fiecăruia dintre numerele: −4 −6 –3; 5 ; –0,(2); − 2; − − 10 ; ; 3 – 33; ; 3 −2 a – b; a – b + c.
(
)
Demonstrați că numerele sunt numere iraționale.
5, 8, 111, 200
Arătați că numărul 1 + 3 + 5 + ... + 23 este rațional.
4n + 4n+1 este irațional, Arătați că numărul oricare ar fi n, număr natural.
10
Scrieți trei valori ale numărului x pentru care x + 10 este număr rațional.
11
Scrieți trei valori ale numărului y pentru care
100 − y este număr irațional. 15
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
12
Stabiliți valoarea de adevăr pentru fiecare din propozițiile din tabel. Scrieți A, în căsuța corespunzătoare, pentru propozițiile adevărate și F pentru propozițiile false. a) Propoziția A/F p1: –4∈ℚ
emonstrați că n2 < n · (n + 1) < (n + 1)2, oricare D ar fi n, număr natural nenul. b) Demonstrați, folosind subpunctul a), că numerele 13 a)
2, 6, 30, 110 sunt numere iraționale. 14
p2: 100 ∈
A ∈ ( / ).
p3: − 20 ∉ ( / ) p4:
15
( −7 )2 ∈
{
}
p6: 2,(3)∈(ℝ/ℚ)
16
6 ∉
p10: b)
3 9 ∈ 81
{
7 − n , 48 − 6 ⋅ n ,
astfel încât să reprezinte numere naturale. 17
}
x / x ∈ ,1 ≤ x ≤ 10 ∩ = ∅ Propoziția
p1: există x ∈ ℚ pentru care p2: nu există y ∈ ℚ pentru care
36 . m −1 Pentru fiecare, determinați numerele naturale m astfel încât să fie rațional.
A/F x ∈
18
Fie numărul A = 5 ⋅ n + 2, n ∈ . a) Determinați cele mai mici cinci numere de această formă. b) Arătați că oricare ar fi n ∈ ℕ, numărul A este irațional.
19
Arătați că numărul irațional.
20
Determinați cifra x (în baza zece), știind că
y +1∈
p4: există x ∈ (ℝ\ℚ) pentru care x2 = 3 p5: nu există numere raționale de forma z ,z∈ℕ
p8: ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ ⸦ ℝ
B=
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅...⋅ 23 + 2 este
7 x + x7 este număr rațional.
p6: orice număr rațional este număr real p7: orice număr irațional este număr real
Se consideră următoarele numere: 15 − m , 25 − 2 ⋅ m ,
p3: există x ∈ ℚ pentru care x2 = 3
16
Pentru fiecare dintre radicalii
49 . 15 − n
−10 , determinați valorile numărului natural n, 2 ⋅ n −1
p8: − 4 ∈ p9:
Determinați valorile numărului natural n, pentru care există (au sens) următorii radicali: a) 10 − n ; b) 10,5 − 3 ⋅ n ; c)
p5: 2, 2, 22 ⊂ p7:
Demonstrați că, dacă A este un număr natural cu proprietatea m2 < A < (m + 1)2, m ∈ ℤ, atunci
21
{
}
Fie mulțimea M = 1, 2, 3,..., 99 . Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un element din mulțimea M, acesta să fie număr rațional.
Mulțimea numerelor reale
1.3. Scoaterea factorilor de sub radical. Introducerea factorilor sub radical Breviar teoretic
Scoaterea factorului a de sub radical:
a 2b = a b , oricare ar fi a ≥ 0, b ≥ 0.
Pentru orice a ∈ , b ≥ 0 , are loc relația a 2b = a
b.
Introducerea factorului a sub radical: a b = a 2b , oricare ar fi a ≥ 0, b ≥ 0. Dacă a ≥ 0 și b ≥ 0, atunci A 1
a 2k ⋅ b = a k b și
a 2 k +1 ⋅= b
Scoaterea factorilor de sub radical
Descompuneți în factori primi numerele scrise sub
4
Scoateți factorii de sub radical:
radical, apoi scoateți factorii de sub radical:
a) 22 ⋅ 5 ,
a) 28 , 12 , 32 , − 72 , 150 , − 128 ,
b) 22 ⋅ 32 ⋅ 7 ,
b) 160 , 240 , 300 , 450 , − 980 , 1352 ,
c) 23 ,
Scoateți factorii de sub radical: 5
675 ; 294 ; 486
845 ; 325 ; 726
b)
34 + 36
( −2 )2 ⋅13 ,
33 ⋅ 53 ⋅ 7 ,
( −2 )7 ⋅ ( −3) ,
a)
50 + 2 ⋅ 25
b)
c)
9 ⋅ 900 − 2 ⋅ 81
d) − 22 ⋅ 21 + 441
44 + 4 ⋅ 121
∗
ziție. Scrieți A, în căsuța corespunzătoare din tabel, dacă propoziția este adevărată, și F, dacă propoziția este falsă.
Scrieți numerele de sub radical ca produs de factori,
22 + 22 ⋅ 5
32 ⋅ 52 ⋅ 11 ,
32c 4 , c, d ∈ ∗ e) 9a b , a, b ∈ f) 2 9d 6 Stabiliți valoarea de adevăr pentru fiecare propo
1323; 2527 ; 5819
a)
35 ,
4 8
d) 578 ; 507 ; 567 ; 3564 ; 6137 ; 450 ;
apoi scoateți factorii de sub radical:
58 ⋅ 3 ,
Scoateți factorii de sub radical:
b) 300 ; 500 ; 112 ; 540 ; 2160 ; 867 ;
c) 972 ; 1350 ; 637 ; 175 ; 2268 ; 1620 ;
36 ⋅ 5 ,
32⋅n +1 , n ∈ , 104⋅n +3 , n ∈
a) 50 ; 12 ; 567 ; 3174 ; 960 ; 363; 432 ; 384 ; 98
24 ⋅ 11 ,
( −3)4 ⋅ 5 , ( −2 )2 ⋅ 34 ⋅ 5 , ( −7 )2⋅n ⋅ ( −2 )2 ⋅ 25
2523 , − 4050
3
32 ⋅ 7 ,
102⋅n ⋅ 21
243 , 288
2
a 2 k ⋅ a ⋅= b ak a ⋅ b .
Propoziția
Propoziția
A/F
p 1:
50 = 5 2
p4:
363 = 3 11
15 3 p5: − 675 =
c) 7 + 49
d) − 22 ⋅ 33 + 23 ⋅ 32
p2:
e) 162 − 16
f) − 28 − 27 + 26 − 25
−4 5 p3: − 80 =
A/F
30 = 3 10
− 96 p6: −4 6 =
17
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a B 1
Introducerea factorilor sub radical
Introduceți factorii sub radical:
4
a) 2 5 ; 3 7 ; 4 10 ; −10 3 ; 5 6 ;
102 0,0123 1 2 1 4 ; 15 ; 8; − 3; 27 5 2 3 1 1 − 21 ; 0,3 27 7
b) 3
2
p1: 2 5 = 10 p2: −3 2 = − 18
Introduceți factorii sub radical:
1 1 ;5 ; 60 35 3 13 ; −14 8 ; 0, 4 10 ;
a) 10 2 ; 20 0, 2 ; −15
p3:
Introduceți factorii sub radical: a) a 2, a > 0 b) 2a 3 , a 0 c) b 5 , b < 0 ; d) 3b 7 , b 0 ; e) 2c 2 7c , c > 0 f) 2abc ac , a, b, c 0
18
2 3 = 2,3 3 2
p4: ( a + b ) 3 =
7 1 8 3 2 15 ;5 ;1 ; b) 160 ; − 50 4 10 4 5 8 3 56 −9 0, ( 2 ) ; 8 27 3
Stabiliți valoarea de adevăr pentru fiecare propo ziție. Scrieți A, în căsuța corespunzătoare din tabel, dacă propoziția este adevărată, și F, dacă propoziția este falsă. Propoziția A/F
p5: −3c
3 ⋅ ( a + b ) , a, b ∈ 2
2 = − 2c , c ∈ ∗ 9c
p6: 4 6 96 5
Completați spațiile libere astfel încât să obțineți propoziții adevărate:
a) Dacă 12 = a b , atunci a = … și b = … . b) Dacă a 3 = 75 , atunci a = … .
4 15 a = , a, b ∈ ℕ, (a, b) = 1, atunci 5 8 b a+b=….
c) Dacă
Mulțimea numerelor reale
1.4. Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor, prin aproximări. Compararea și ordonarea numerelor reale. Modulul unui număr real Breviar teoretic O dreaptă, pe care s-au fixat: o origine (punctul O), o unitate de măsură (segmentul OM = 1) și un sens se numește axa numerelor. O M Scriem M(a) sau xM = a și înțelegem: 0 a • a este abscisa punctului M sau coordonata punctului M • punctul M este reprezentarea, pe axa numerelor, a numărului real a. Numerele reale x și – x se reprezintă pe axa numerelor, de o parte și de alta a originii, la aceeași distanță. l Dacă xA și xB sunt două numere reale, atunci xA < xB dacă și numai dacă, pe axa numerelor, punctul A este reprezentat în stânga punctului B. l Pe mulțimea numerelor reale, relația „≤“ este reflexivă, antisimetrică și tranzitivă. l Orice număr real negativ este mai mic decât 0 și decât orice număr real pozitiv. l Dacă x și y sunt numere reale nenegative, atunci: x ≤ y ⇔ x ≤ y . l Dacă x < 0, y < 0 și x ≠ y, atunci x < y dacă și numai dacă – x > – y. l Pentru orice numere reale x și y are loc una și numai una din relațiile: x < y sau x > y sau x = y. l A compara două numere reale x și y înseamnă a stabili care dintre relațiile x < y sau x > y sau x = y are loc. Pentru oricare x ∈ ℝ, au loc relațiile:
x, pentru x 0 x2 = x , x x, pentru x 0 x + y ≤ x + y , oricare ar fi x, y ∈ x ⋅ y = x ⋅ y , oricare ar fi x, y ∈ x x , oricare ar fi x, y ∈ , y ≠ 0 = y y
x ≥ 0; x =
−x ;
l Dacă x ∈ ℝ este abscisa punctului A, pe axa numerelor, atunci x = OA , unde O este originea axei. l Dintre două numere reale pozitive, este mai mare cel care are modulul mai mare. l Dintre două numere reale negative, este mai mare cel care are modulul mai mic. l AB = |xB – xA|, unde xA și xB sunt abscisele punctelor A și B, pe axa numerelor.
19
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a A 1
Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor, prin aproximări
Aproximați prin lipsă, la unități, numerele: 2,3; 7
41 3 ; ; 5,123(4). 7 103 2 Încadrați între două pătrate perfecte consecutive numărul 10. Aproximați, prin lipsă la unități, numărul 10 . 3 Aproximați, prin lipsă la unități, numerele:
15; 123; 5048 . 4
Aproximați prin adaos, la unități, numerele: 1,79;
5
95 25 ⋅ 35 ; ; 4,00(8). 25 343
16
Încadrați între două pătrate perfecte consecutive numărul 20. Aproximați, prin adaos, la unități numărul 20 .
6
Aproximați, prin adaos la unități, numerele:
29; 456; 7532 . 7
Aproximați, prin lipsă la zecimi, numerele:
53 222 ; ; 0,7(8). 8 53 8 a) Calculați 2,82 și 2,92. 4,23;
b) Arătați că 2,82 < 8 < 2,92 și 2,8 <
8 < 2,9.
Aproximați, prin lipsă la zecimi, numerele:
5; 7; 108 . 10
Aproximați, prin adaos la sutimi, numerele: 5,3434;
17 55 ; . 16 1026 11 a) Calculați 2,44 și 2,452. 1,2(458);
b) Arătați că 2,442 < 6 < 2,452 și 2,4 <
a) –4; –1; 0; 2; 10 b) − 3 ; –3; 0; 1; 5 3 7 5 c) ; –2,5; 1,5; − ; 4; 2 2 2 9 1 d) 4,4; − 5 ; –4; 3,7; ; − 1 ; 6 5 2 17 Reprezentați pe axa numerelor, folosind doar rigla gradată și compasul, numerele:
zentați pe axă următoarele numere: 2 1 3 7 37 –0,3; 0,5; − ; ; − ; ; − 5 10 5 7 74 20 Pe axa numerelor sunt reprezentate, în această ordine, punctele: A(– 4), B(– 1), C(2), D( n ). a) Determinați numărul n, astfel încât AB ≡ CD b) Determinați numărul n, astfel încât AD ≡ 3BC.
6 < 2,5.
Aproximați, prin adaos la sutimi, numerele:
2; 3; 12 . 13
20
3, 5, 6 .
Luând ca unitate de măsură un segment cu lungimea de 5 cm, reprezentați pe axa numerelor: 7 35 a) –1,2; 2,1; − ; ; 0,3 10 25 34 23 4 7 1 ;− b) ; ; –1,7; − ; –0,8; 17 10 5 2 529 19 Alegeți o unitate de măsură convenabilă și repre
c) Aproximați, prin adaos la sutimi, numărul 6 . 12
Reprezentați pe axa numerelor, folosind aproximări, dacă este cazul:
18
c) Aproximați, prin lipsă la zecimi, numărul 8 . 9
Rotunjiți, la sutimi, numerele: 111 1 7,8035; 6,(135); ; 4 ; 3; 5; 500 . 4 7 15 Se consideră numărul a = 9,8765. a) Aproximați, prin lipsă, apoi prin adaos la unități, numărul a. b) Aproximați, prin lipsă la zecimi, numărul b = a – 1,2345. c) Aproximați, prin adaos la sutimi, numărul c = a – b + 1,3579. d) Rotunjiți, la sutimi, numerele: a, b, a + b și a + b + c. 14
Rotunjiți, la zecimi, numerele: 281 12345 3,21; 6,(5); ; ; 2; 22; 1000 . 25 105
21
Determinați cardinalul fiecărei mulțimi:
{ B ={ y ∈ / 6 ≤
} x ≤ 19}
A = x ∈ / 5 < x < 11
49 C = z ∈ / −3 < z < 4
Mulțimea numerelor reale B 1
Compararea și ordonarea numerelor reale
Scrieți pe caiete: a) trei numere naturale, mai mici decât 4 b) trei numere întregi negative, mai mari decât –7 c) trei numere raționale, cuprinse între –1 și +1 d) trei numere iraționale, cuprinse între –2 și +2
Precizați cel mai mic număr din fiecare triplet de numere reale : 23 41 7 4 a) ; 5,2 b) ; 2; 1 ; 4 8 5 9 9 c) −1,78; − 3; − d) 23 ⋅ 32 ; 25 ⋅ 3; 2 ⋅ 33 5 3 Precizați cel mai mare număr din fiecare triplet de numere reale:
8
a) 4;
b) −4 5; − 2 17; − 5 3 ; –9; −3 10 ; –8,(7). 9
Comparați numerele: a) 8 și 3; 8 și 3 7 ; 15 16 și 2019 și 13 13
4
7 5 și 6 11
c) 8 5 și 7 7 ; 0, ( 3) 243 și 0, 2 650 ; − 24 și –5 ; −4 3 și −5 2
d) 2 + 2 5 și 2 + 24 ;
73 − 4 și 9 − 2 3 ;
75 − 5 3 și 10 − 101 ; 1 − 3 3 și 1 − 4 2 10 Dați câte un exemplu de număr rațional x astfel
încât:
23 ⋅ 3 ⋅ 5; 2 ⋅ 32 ⋅ 5; 2 ⋅ 3 ⋅ 52
Scrieți în ordine crescătoare următoarele numere: 8 17 23 a) ; ; 3 6 9 b) 2 11; 3 5; 4 3 ; 7
300 48 192 147 ; ; ; 9 4 10 21 5 Scrieți în ordine descrescătoare următoarele numere: 5 1 13 567 b) − ; − 1 ; − a) 3 7; 8; 2 17; 3 4 9 70 c)
7 8 75 c) − 2; − 1 ; − ; – 1,4; − 9 3 50 6 Scrieți în ordine crescătoare numerele: 72 a) 2 5; 3 2; 19; 4, 4; 4 2; 2 6; 15 85 b) −3 5; − 2 13; − 5 2; − 6; − 2 10; − 15 7 Dați un exemplu de număr întreg x astfel încât:
a) 10 < x < 20
185 ; 3
b) 2 3 și 3 2 ; 4 7 și 6 3 ; 5 2 și 2 13 ;
a)
d)
84 10
2 ; 10 − 2 ;
26 : 2 4 2 4 : 2 2 2 2 : 20 2
2
33 43 94 ; ; 5 10 15 13 b) ; 1,84 ; 3,2(5) 4 5 c) –2,4; − 5; − 2
Scrieți în ordine descrescătoare numerele:
b) − 1, 44 < x < 0,04
a) 3 < x < 12 b)
20 < x < 40
c) − 10 < x < 0 Dați câte un exemplu de număr irațional x astfel încât: a) 4 < x < 5; b) –3 < x < –2; 5 1 c) − < x < 2 100 12 Încadrați fiecare dintre următoarele numere între 17 2 două numere întregi consecutive: ; −3 ; 4 5 2 ; 13 ; − 109 ; 4 + 44 11
13
Comparați numerele a și b în următoarele situații:
a 3, 4 + 3, 42 și b =−7 + 2 ⋅ 49 a)= b) a = 4,3 +
( −4,3)
2
și b =
289 4
c) − 10 < x < 0 21
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a 14
Scrieți în spațiile libere unul din semnele „<“, „=“
1
a) cel mai mare număr întreg mai mic decât − 70 .
a) 3,1 10
b) −7 − 50
b) cel mai mic număr întreg mai mare decât
c) 0 (−5) 2
d) 2 5 4
c) numerele întregi cuprinse între numerele − 55
9 f) 1, 8 5
32 42 52 0
− 2, 25 și
Calculați:
16 ; − 121 ; 25
c) − 6 ; + 9 ; −
3− 9 ;
5
24 − 42 ;
2 − 2 ; 3− 3 ;
2, ( 6 )
6
6
2
3
4
1 7 7 +1 + − 6 3 2
11 23 − 3 6
Determinați mulțimile: A = {x ∈ ℝ / |x| = 4}
{ {
7
4 − 40 ;
; 101 99 101 1
}
}
Stabiliți valoarea de adevăr pentru fiecare propoziție. Scrieți A, în căsuța corespunzătoare din tabel, dacă propoziția este adevărată, și F, dacă propoziția este falsă. Propoziția A/F p1: 3 7 = 3 7
Se consideră mulțimea 16 8 M= ; − ; 0, ( 4 ) ; 1,6; 3; 10 . − 9; − 81 5 Determinați numărul real x în fiecare din situațiile:
p2: −4 5 = 4 5
3 și x < 0 a) x ∈ M , x = 4 b) x ∈ M , x = și x < 0 9 16 c) x ∈ M și x = 10 d) x ∈ M și |x| ∈ (ℝ/ℚ)
p4: Dacă a < 0, atunci a = − a
c) −
1 1 1 2 1 −− 2 −− 3 + −1,6 − −2 d) 2 2 2 5 5
p3: −8 2 = −8 2
a p5: Dacă a < 0, atunci − a = p6: Dacă a ∈ ℝ, atunci − a = a Completați spațiile libere astfel încât să obțineți propoziții adevărate. Dacă a = − 2 , atunci: a) opusul numărului a este … . b) valoarea absolută a numărului a este… . c) numărul întreg b pentru care b ≤ a ≤ b + 1 este … . d) prima zecimală a numărului 2019 – a este … . 8
Să se efectueze: a) −2 + +14 − −20 b) 7 − 77 0 + −23 −
22
b)
3 B =∈ x / x = 3 ; C =∈ x / x = 2 D =∈ x / x =− 17 324
1 − 4 − 9 + 100
4 − 4 ; 25 − 25 ;
22 − 2 ; 62 − 36 ;
2 7 + − 1,3 5 10
c) 0, ( 2 ) − 1 +
10 − 101 b)
Calculați: a) 2 −
Calculați: a)
4
48 .
Modulul unui număr real
2 5 b) −2, ( 3) ; 1 ; − ; 1, 25 ; 4,3 − 3, 4 3 3
3
222 .
și 33 . d) numerele naturale cuprinse între numerele
2
a) −6 ; +4 ; −2019 ; 77 ; 1 − 2 − 3 + 4 ; 33 − 62
2
Determinați:
sau „>“, pentru a obține propoziții adevărate:
e)
C
15
( −3)
3
Mulțimea numerelor reale
1.5. Operații cu numere reale. Raționalizarea numitorilor de forma a b Breviar teoretic Opusul numărului real x este –x. 1 Inversul numărului real nenul x este . x Pentru orice x, y ∈ ℝ, x – y = x + (– y)
x + (–x) = (–x) + x = 0, oricare ar fi x ∈ ℝ. 1 1 x ⋅ = ⋅ x = 1 , oricare ar fi x ∈ ℝ. x x
1 , y Metoda factorului comun (consecință a distributivității înmulțirii față de adunare și față de scădere): Pentru orice x, y ∈ ℝ, y ≠ 0, x : y = x ⋅
a b + a c = a ( b + c ) și a b − a c = a ( b − c ) , a, b, c∈ . Semnul minus în fața unei paranteze schimbă semnele fiecărui termen din paranteză (echivalează cu înmulțirea numărului –1, cu suma scrisă în paranteză, folosind distributivitatea). – (a – b + c) = –a + b – c, oricare ar fi a, b, c ∈ ℝ. Produsul a două numere reale cu același semn este un număr pozitiv. Produsul a două numere reale cu semne contrare este un număr negativ. −x x x −x x ∗ = . = ; Dacă x, y ∈ , atunci x ⋅ ( − y ) = ( − x ) ⋅ y = − x ⋅ y ; − = y y y −y −y Dacă a ∈ , b ∈ și x ≥ 0, atunci a x + b x = ( a + b ) x și a x − b x = (a − b) x. ∗ a b x y și Dacă a ∈ , b ∈ , x ≥ 0 și y > 0, atunci a x ⋅ b y =
( x) ( x)
x −1 =
2
= x , oricare ar fi x ≥ 0.
n
= x n , oricare ar fi x ≥ 0.
a x a = b y b
x . y
1 , oricare ar fi x, număr real nenul. x
∗ Dacă n = 2k (număr par), atunci ( − x ) = x n, oricare ar fi x ∈ .
n
Dacă n = 2k+1 (număr impar), atunci (–x)n = –xn, oricare ar fi x ∈ ∗. Transformarea unei fracții date având numitorul irațional într-o fracție echivalentă cu aceasta, dar care are numitorul un număr rațional, se numește operația de raționalizare a numitorului. b)
1 a b
b , a *, b . ab
23
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
Ordinea efectuării operațiilor O1: Dacă exercițiul nu conține paranteze, atunci: 1) Se efectuează ridicările la putere și extragerea rădăcinii pătrate, dacă este posibil. 2) Se efectuează înmulțirile și împărțirile, în ordinea în care apar. 3) Se efectueză adunările și scăderile, în ordinea în care apar. O2: Dacă exercițiul conține și paranteze, atunci: 1) Se efectuează calculele din parantezele rotunde, respectând ordinea descrisă la O1. 2) Se transformă parantezele pătrate în paranteze rotunde, acoladele se transformă în paranteze pătrate. 3) Se continuă algoritmul până la obținerea rezultatului final. Observație: a) Operațiile cu puteri, scoaterea factorilor de sub radical și introducerea factorilor sub radical se pot efectua în etapa pregătitoare, sau pe parcursul rezolvării, atunci când scrierea unor numere, într-o anumită formă, duce la simplificarea calculelor. b) Raționalizarea numitorilor unor fracții se efectuează în orice etapă a rezolvării, dacă este necesară. Se recomandă ca rezultatul final să fie prezentat sub formă de fracție cu numitorul rațional, iar factorul rațional se recomandă să fie în formă ireductibilă. A
Adunarea numerelor reale
Efectuați următoarele calcule: 2 25 3 b) a) 1,3 + 1 − 1 + 3,5 5 4 4 369 248 5 − d) −3 − c) 1 − 1, ( 2 ) + − 123 −31 6 2 Calculați sumele: b) 3 3 + 5 3 a) 2 + 2 2 c) 2 5 + 7 5 + −3 5 1
(
)
d) 9 2 − 4 2
(
f) 7 5 − 8 5 + −9 5
(
)
)
) (
h) −8 3 + 6 3 − 11 3 − −13 3 + 9 3 3
Calculați a + b și a – b, pentru:
2 + 2 3 și= b 2 3− 2
b) a = 3 2 − 4 3 − 5 5 și b = 2 3 − 18 − 125
5 10 5 10 − b − și= 5 10 10 5 5 Stabiliți dacă rezultatul calculelor următoare reprezintă un număr rațional sau un număr irațional. a c)=
a = 4 2 + 2 3 −3 2 −5 3 + 2 2 +3 3
(
)
b = 5 3 + 2 5 −6 3 −5 5 + 3 +3 5
c =4 + 2 − (2 − 3 2 − 8) + 32 − 5 2 − 11
)
a) a = 10 6 + 21 6 − 32 6 și
d= 6
10 +
(
) (
40 − 6 −
90 + 15
)
Scoateți factorii de sub radical, apoi efectuați calculele: a) 18 + 32 − 50 + 72 − 200
b= −6 6 − 17 6 + 43 6
b) 12 + 27 − 48 + 300 − 192
b) a = 17 5 + 28 5 − 49 5 și
c) 5 + 20 + 720 − 2000 + 45
b 5 5 42 5 3 5 c)= a 7 3 − 243 și b = −33 3 + 3072 24
Calculați a + b și a – b, pentru: a) = a
e) 10 3 − 15 3
g) 10 2 − 16 2 + 3 2 − 7 2
(
4
d) f)
(
72 18 + 2 3
e)
) (
48 27 108 2 3 6
490 − 640 − − 2250 + 360
)
Mulțimea numerelor reale
7
Stabiliți valoarea de adevăr pentru fiecare propoziție.
b)
Scrieți A, în căsuța corespunzătoare, pentru propo
1620 ; 845 ; 325 ; 507
zițiile adevărate și F pentru propozițiile false. 5+ 5= 10
b)
d)
578 ; 507 ; 567 ; 3564 ; 6137 ; 450 ; 1323; 2527 ; 5819
A
7 3−4 3 = 3 3 A
7 3−4 3 = 3 0 F
calculele:
3+ 3+ 3= 3 3
b)
500 + 125 − 320 + 45 − 405
c)
72 − 242 + 162 − 200 + 98
d)
75 − 147 + 300 − 432 − 48
e)
28 + 2 175 − 3 847 + 1575
6 2 −8 2 = −2 4
2 3 + 75 = 3 78
c)
c)
5 + 5 =⋅ 2 5
F
3+ 3+ 3= 9
a)
972 ; 1350 ; 637 ; 175 ; 2268 ;
13 2 − 5 2 = 7 2
9
Scoateți factorii de sub radical, apoi efectuați a) 108 − 27 + 48 − 75 + 300
6 2 −8 2 = −2 2
2 3 + 75 = 7 3
f) 3 363 − 243 − 867 + 432
13 2 − 5 2 = 7 0
g)
245 − 845 + 720 + 980
h)
539 + 3 275 − 4 891 + 396
2 4 5 1872 − 325 + 2548 3 5 7 3 7 4 j) 4352 1700 5508 2873 8 5 9
i) e)
216 + 6 6 = 7 6
216 + 6 6 = 12 6
f)
3 − 300 = 9 3
3 − 300 = −9 3
10
Efectuați calculele: a) 2 50 + 12 − 98 − 363 − 18 + 432
8
Scoateți factorii de sub radical, apoi grupați
b) 1620 − 972 + 637 + 325 − 1872 − 3 180
numerele iraționale asemenea pe care îi conțin,
c)
578 + 507 + 450 − 1323 − 1250 + 192
după modelele date:
d)
4693 10192 1573
a 2 50 = 5 2 98 = 7 2 a 7 567 = 9 7
a)
a 3
a 6
12 = 2 3
3174 = 23 6
432 = 12 3
384 = 8 6
a 15 960 = 8 15
11
Efectuați calculele: a) 12 + 3 27 − 2 48 b)
50 − 5 8 + 2 + 128
c)
7 + 13 + 28 − 63 + 117 − 208
d) 2 8 + 5 72 − 98 − 50 e) 7 12 − 5 28 + 8 48 − 6 75 + 2 108 f) 6 2 + 2 32 − 6 8 + 8 18
300 ; 500 ; 112 ; 540 ; 2160 ;
g) 108 − 27 + 48 − 75 + 300
867 ; 675 ; 294 ; 486
h)
500 125 320 18 245 25
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a 12
Efectuați calculele: a) 2 3 − 5 3 +
13
corectă de răspuns. Doar un răspuns este corect. a) Dintre sumele a + b; b + c; c + d; d + a, este un
d) 11 7 − 13 7 + 4 7
număr rațional:
2−
3− 3 +4 2
g) 3 6 −
2 +4 6− 5 2− 7 6
5 7 + 13 − 7 − 3 13 . 6
B. b + c
C. c + d
D. d + a
A. 0
B. − 5
C. 5
D.
5
Înmulțirea numerelor reale
Efectuați: b)
3 ⋅ 150 50
3 16 2 c) −4 ⋅ − ⋅ ( −0,1) ; d) −3, ( 6 ) ⋅ 16 − ( −4 ) . 8 21 2 Calculați: a)
(
2 ⋅ 3 ; 5 ⋅ 11 ; − 7 ⋅ 3 ; − 15 ⋅ − 14
(
)(
− 2⋅ − 3 ⋅ − 5
)
b) 2 2 ⋅ 3 3 ; 7 2 ⋅ 2 5 ; −4 7 ⋅ 2 3
(
)
(
)(
−2 15 ⋅ −5 5 ; − 3 ⋅ −2 2 ⋅ −3 6
5 7 c) −2 : − d) –1,(6) : 15 8 4 5 Aflați produsul x ⋅ y , știind că: a) x = 2 2 + 9 2 − 12 2 și y = 4 2 + 8 2 − 13 2 b) = x
)
(
)
6
Calculați:
(
e) 6 5 : 2 5
)
)
(
)(
3 ⋅ −3 5 ⋅ − 15 ; − 10 ⋅ −2 40 ⋅ −3 90
(
(
)
(
(
4 5 ⋅ 4 5 + 2 20 − 500 Calculați: b)
)
30 : 20 7
)
)
)
7
48 : 8
( ) f) 16 3 : ( −2 3 ) h) 75 : 5 : ( − 3 ) d)
g) −20 20 : −4 5
c) −3 2 ⋅ −2 10 + 5 10 ; −2 6 ⋅ −3 3 + 75 ;
a) –108 : 6;
)
)
b) 2 2 ⋅ 3 2 ; −7 3 ⋅ 2 3 ; −3 3 ⋅ 2 6 ⋅ 2
)(
b)
c) − 20 : − 5
− 7⋅ − 7 ; − 2⋅ − 2 ⋅ 2
(
50 : 10
5⋅ 5; − 3⋅ 3
(
60 − 15
= y 4 49 − 784
a)
2⋅ 2;
y 3 + 243 și=
c) x = 10 + 40 + 90 − 160 și
Efectuați: a)
26
A. a + b
b) Rezultatul calculului (a – b) – (c – d) este:
f) 2 3 +
a) −3 ⋅ ( −22 ) ;
4
.
c) 6 5 − 5 5 +7 5
h) 2 13 −
3
2
Efectuați calculele necesare, apoi alegeți varianta
2
e) 2 5 − 4 2 + 3 2 − 5 5
1
( −5)
c = 80 și d=
3
b) 5 2 − 8 2 + 4 2 −
B
Se consideră numerele a= 4 + 2 5 , b= 4 − 20 ,
30 : − 5
i) 14 10 : 7
j) 12 2 : ( −6 )
k) −100 3 : ( −25 )
l) 99 7 : − 121
Aflați câtul x : y, știind că:
(
)
a) x = 17 5 − 9 5 − 2 5 și y = 5 + 6 5 − 13 5 b) x = 56 + 126 + 224 = și y
y c) x = 42 : 7 și=
32 − 128
343 − 700
Mulțimea numerelor reale
8
Folosind modelul următor, pentru fiecare calcul, alegeți răspunsul potrivit, scriind A dacă egalitatea are loc și F, dacă egalitatea nu are loc. 6⋅ 3= 9
F
A
96 : 32 = 3
96 : 32 = 3
9
Copiați tabelul pe caiete, scoateți factorii de sub radical, apoi simplificați fracțiile și scrieți rezultatule obținute în căsuțele corespunzătoare, folosind modelul:
F
5⋅ 5 = 2 5
−10 10 : 5 5 = −2 −10 10 : 5 5 = −2 2
f)
6⋅ 3= 3 2
A a)
−6 10 − 6 ⋅ 2 15 = −2 21 e) − 6 ⋅ 2 15 =
5⋅ 5 = 5
135 3 15 = = 153 3 17 6 : 6 =1
b)
C
6: 6 =0
c)
2 3⋅2 5 = 2 15
2 3⋅2 5 = 4 15
d)
42 : 7 = 42 : 7
42 : 7 = 42 : 7
486 9 6 3 6 = = 24 8 567
Ridicarea la putere a unui număr real
Efectuați: 2 4 5 3 a) ( −2 ) b) c) − 10 4 3 1 1 d) −1 e) 140 f) ( −4 ) 2 2 Să se calculeze: 2 2 3 a) 2 ; ( −3)3; 2 3 ; −3 2 ; 6 1
(
)
4
3
1
0
a b) =
(
)
−1
−3
−2
192 ; 320
336 ; 272
175 2 3 ; ; 108 275
252 ; 567
1331 ; 1584
891 ; 1053
5 5 1 = = 45 3 5 3
363 ; 847
1183 ; 845
1587 ; 2645
63 2 80 2 75 ; ; ; 343 320 243
153 272
Se consideră mulțimea de numere:
{ 5 ; (− 3 ) ; ( 2
−2
3
−4
(
2 ; 7 ; 2 3
32 − 23
)
) ; ( −3 2 ) −2
23
−3
}.
Determinați mulțimile A = { x ∈ S / x ∈ }
6
3 2
10 1 c) 0,75 ; 2 3 ; − 5 ; 2 ; 5 4 10 3 Calculați a2 știind că: a)= a 3 2 −7 2 −2
368 ; 304
S=
( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 b) ( 2 5 ) ; ( −3 5 ) ; ( 7 6 ) ; − 2 ; 2 3 2
15 17
−4
și B = { x ∈ S / x ∈ ( / )} .
3
5
Efectuați calculele:
( 5) ⋅( 5) 2 ⋅ 8 ( 27 ) : ( 3 3 ) ( 3 2 ) : ( − 18 ) ( 6 ) ⋅ ( 24 ) ( −2 3 ) : ( 12 ) ⋅ ( − 12 ) −3
5
7
−3
4
5
3
2
8
6
3
3
5 − 125
c) a = 2 2 ⋅ 3 3 − 4 6 d) a = 5 8 − 72 − 32 27
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
6
Pentru fiecare din numerele scrise în prima coloană, efectuați calculele necesare și încercuiți răspunsul corect. a) b) c) Numărul
( 10 ) (− 5 )
2
=
100
20
10
3
=
– 15
−5 5
−3 5
4 3
16 9
9 16
3 5
5 3
5 4 1
4
4 3 = 3 4 − 1, ( 6 )
(2 D 1
2
−2
3 − 27
)
−1
3
− 3
−
3
Raționalizarea numitorilor de forma a b
Amplificați cu 2 următoarele fracții: 1 3 5 7 , , ,− 2 2 2 18 50 Decideți dacă, după amplificare, numitorii fracțiilor sunt numere raționale sau iraționale. Amplificați cu
5
a)
3 următoarele fracții:
Amplificați fracțiile următoare cu numere cores punzătoare, astfel încât să obțineți fracții cu numi torii raționali. a)
1 5 3 7 −1 3 40 60 , ,− ,− , , , , . 3 2 5 14 2 2 2 3 10 15
15 30 −36 33 , ,− , , 2 3 5 2 6 5 2 6 2 11 25 48 50 . , ,− 2 15 12 3 2 10 4 Scoateți factorii de sub radicali, simplificați fracțiile, dacă este posibil, apoi raționalizați numitorii: b)
6
,
4 9 30 18 48 12 45 a) . , , ,− , ,− ,− 8 27 20 24 48 18 125 12 8 42 −33 54 15 ,− . b) , , , , 2 54 − 40 3 28 2 99 3 162 2 90 28
2 6 −2 10 2 20 54 , , , ,− , 5 12 45 5 8 75 28 15 5 10 . ,− , − 21 27 2 125
1 3 5 7 , ,− , 2 5 10 18 Decideți dacă, după amplificare, numitorii fracțiilor sunt numere raționale sau iraționale. 3
Raționalizați numitorii fracțiilor:
b)
12 , 18
108 , 18
2⋅ 6
98 5 4 , 5 , 5 , 56 8 12
280 , 126
33 ⋅ 44 9 ⋅ 23
Raționalizați numitorii fracțiilor, dacă este cazul, apoi comparați numerele date. 12 12 a) și 7 2 b) − și −7 3 2 3 13 5 5 c) 4 2 și d) și 2 2 2 3 3 2 e)
g)
i)
10 și 3 2 5 2 3
și
4 12
f)
−3 −1 și 4 5 2 2
3 3 2
h)
−4 45 24 18 și 3 −6 2
j)
3 363 33 5 și 2 75 5 6
4 5 7 2 și 3 2 147
Mulțimea numerelor reale
7
Stabiliți valoarea de adevăr pentru fiecare propoziție. Scrieți A, în căsuța corespunzătoare din tabel, dacă propoziția este adevărată, și F, dacă propoziția este falsă. Propoziția A/F Propoziția A/F
2 3 2
−105 = −6 5 7 5
2 3
=
21 3 7 = 4 2 7
126 3 = 3 384 2, ( 6 )
18 = 6 3 6
E 1
1,8
=
2 30 3
Albert Einstein (1879-1955)
Ordinea efectuării operațiilor cu numere reale
Efectuați calculele:
3
64 100 + 3 9
a) c) − e)
4 − 4⋅ 9 2 ⋅ 25
b)
g)
5 − 4 :
−8, 2
2,56 − 3, 24
(
(
)
(
)
98 − 2 32 − 3 ⋅ 2 2 − 5 18
c)
343 − 2 63 + 112 − 252
e)
)
75 − 12 + 2 3 ⋅ 3
(
8 −3
)
2
+
(
5 − 72
)
2
+
(
(
d)
52 − 4 2 102 − 82
f) −2 ⋅
4
4
32 − 2
)
5− 3
2
1 250 + 16 10 2
Efectuați calculele necesare pentru a scrie numerele următoare într-o formă simplă: a1 = 0,02 : 12 –2 +
300 −
a2 = 0,01 : 10 –4 +
600 −
30 3 120 24 294 −
42 6
a4 = 0,03 : 0,02 – 10 0,0025 + 507 − 2
)
( −0,9 ) : ( −10 )
a3 = 0,02 · 104 – 2 : 10 – 2 +
−3
)
b)
2 5 5 5 5 ⋅ 4 − − 2 : 4
h) 0, 4 :10 −
b)
(
g)
)
a) 12 + 4 27 − 6 3 − 4 48
d)
)
2
4
2
4
: 1 − 0,64 16,81 2 Efectuați calculele: h)
(
2− 3
2
2
66 1 − 2 + 2 ⋅ 0,16 − 2 25 4
(
c)
( −1 − 2 − 3)
2 2 e) + − 3 3
f)
2
a)
1 3 − 3 + 3, ( 3) ⋅ 3
8 2 : d) 5 10 1024 121 7 − + 1 9 256 1089
Calculați:
39 3
2700 a5 = [0,(3) · 0,09 + 0,97] · 578 − : 2 6 29
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
5
( b) ( c) ( d) (
a)
6
c4 = [– 0,1(6)]2 + (–1)1994 –
Efectuați calculele:
)
1 1 · 0, 4375 – 7 − · 7 567 7 c5 = (– 0,25)2 + (–1)1995 –
18 + 72 : 3
)
–
8 − 32 : 2
)
3 + 6 + 12 : 3
)
1 1 − 8 · 8 – · 0,015625 − 2 8 10 Efectuați calculele:
1 2
2 + 98 − 50 :
a) Pentru x = 7 și y = 28 , calculați x 2 + xy − y 2 b) Pentru x = − 3 și y = 2 2 , calculați
2 · x + 3 · y – x · y + 12 − 72 . 7 Arătați că următoarele numere sunt raționale:
x= − 3⋅
(
3 − 12 + 27
)
y 2 1 2 3 1 3 2 1 3
3 1 2
1 1 1 20 ⋅ + − + 2 ⋅ 1− 5 5 10 2 8 Efectuați calculele:
(
z=
b1 =
18 + 2
52 – 13
272 + 17
b2 =
108 – 3
b3 =
1 891 68 – · + 3 11 17
b4 =
175 – 0,5 · 7
42· 2 21
2 475 272 + – 19 17 864 – 6
828 + 23
)
135· 21 35 208· 12 39
539 – 11
114· 30 95
124 171 464 186· 12 + + – 31 19 29 62 9 Calculați, apoi scrieți numerele în ordine b5 =
crescătoare. 25 1 0,0049 – + 3 · 3 14 3 1 0,0016 – 1 + 6 · 6 c2 = (– 0,2)3 + (–1)6 + 5 6 c3 = [– 0,(3)]3 · 1,08 – (–1)1994 –
c1 = (– 0 ,5)3 + (–1)5 +
1 – 0, 0256 6 6 6 30
1 1 1 1 5 · 10 · 4 10 3 2 5 20 2 8 1 1 1 1 d2 = 7 · 21 · 84 7 7 12 3 28 1 1 1 1 2 15 d3 = 2 5 · 10 · 40 2 8 3 5 20 1 1 1 1 d4 = 2 2 · 14 · 56 7 28 2 8 14 21 d5 = 3 5 15 6 1323 245 11 Efectuați calculele, apoi ordonați descrescător numerele date.
d1 =
4 3 2 ·14 –2 · (–0,4) 3 14 1280 2 + 10,(6)· 0,625 e2 = 0,2(3) · 4 – 0,375 27 7 8464 e3 = 0,175 : (0,8 – 10 · 2 –4) + 0,475 + (–10)–1 190969 0, 015129 : 10 3 e4 = 5 7 10 9 – (–5)– 4 · 53 – 3, 24 6 : 6 5 ·5 100 87 0, 25 0, 36 0, 85 e5 = 0,0064 :5–2 + 2523 − 3 12 Determinați numărul real x, știind că: e1 = 0,025 : 2–3 +
448 −
8 16 x 3 20 = = b) x 5 2 5 x 27 7 + 28 + 63 x = = d) c) x 6 3 147 13 Comparați numerele a și b în fiecare din situațiile: a)
( ) ( ) b =5 ⋅ ( 2 + 5 ) + 5 ⋅ ( 5 + 20 − 125 ) = 39 : ( 13 − 52 ) + 3 ⋅ ( 3 − 3 ) + 3 ⋅ ( −3 3 ) b) a și b = − 500 : 125 : ( − 2 ) − ( 2 ) a) a=
2⋅
(
)
2 − 5 + 3 ⋅ 2 − 2 + 2 2 ⋅ −2 2 și
3
Mulțimea numerelor reale 14
Efectuați calculele și precizați dacă numerele obținute sunt raționale sau iraționale:
(
)
(
2
c) − 5 + 2 ⋅ 5 − 45 15 Efectuați calculele: a)
2
1 ⋅ 4
4
( −5)
2
)
2
−
(− 5 )
b = 1, 2(3) + 2,3(1) + 3,1(2) . Stabiliți valoarea de adevăr pentru fiecare propoziție Scrieți A, în căsuța corespunzătoare din tabel, dacă propoziția este adevărată, și F, dacă propoziția este falsă. Propoziția A/F Propoziția A/F p3: a ∉ ℤ p1: a ∈ ℕ
4
: 0,36 1
6 5 2 b) 4 2 8 3
Se consideră numerele: a = (− 2) 4 + (− 2)8 ,
b = (2 + 3) 2 + (2 − 3) 2 și c = (3 − 18) 2 − (3 + 18) 2 + Calculați numărul a + b + c. 17
( −6 )
2
Efectuați calculele, apoi comparați numerele 24 ⋅ 0,(6) + 0,(8) − și 6 24 2 3 b 0,1(6) . 7 2
(
Dacă x = 1− 2
)
2
(
, y= 2 −3
Arătați că numărul 6 25 12 3 27 x 3 : 2 27 3 2 2 75 5 3 48 1 2 3 este număr întreg. 5 3 23 Un triunghi isoscel are o latură de lungime
(2 +
)
19
Demonstrați că numărul A este rațional. A=
20
4 7
2
4 7 7 . 2
2
Se consideră expresia E ( x ) = x 2 − 3 ⋅ x.
( ) (
)
a) Calculați E ( 0 ) și E 3 + E − 3 . b) Găsiți o valoare a lui x, număr rațional, astfel încât E(x) > 0. c) Găsiți o valoare a lui x, număr irațional, astfel încât E(x) < 0.
)
a) Arătați că = A
(2
7 −6
)
2
−
(
7 −3
)
2
este
număr irațional.
și
4 3 3 2 z =2 6 ⋅ − , atunci x + y – z = … . 3 2
(
)
12 cm și perimetrul de 4 + 6 3 cm. Calculați lungimile celorlalte două laturi ale triunghiului. 24
2
)
p4: b ⋅ 15 ∈ ( / )
22
12 a= 2
18
(
p2: b ∈ ℚ
6 2 c) 0,1 40 2 5 16
consideră numerele
6 135 a = 7,5 + − 270 : 5 și 2
2 8 ⋅ 3 27
5 − 3 ; b)
(2 − 5) 2 +
a)
21 Se
b) Demonstrați că 1 < 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 < 2 . 25
Fie numerele:
A = 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 210 și B= 2 + 23 + 25 + 27 + ... + 219 a) Efectuați calculele și scrieți numerele într-o formă mai simplă. b) Comparați numerele A și B. c) Determinați numărul C astfel încât A + B = C.
31
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
1.6. Media aritmetică ponderată a n numere reale, n ≥ 2. Media geometrică a două numere reale pozitive Breviar teoretic Definiție 1: Dacă se dau n numere reale x1, x2, x3, …, xn atunci media lor aritmetică simplă, numită pe scurt medie aritmetică, x + x + ... + xn este ma = 1 2 . n Media aritmetică a două sau mai multe numere este cel puțin egală cu cel mai mic dintre numere și cel mult egală cu cel mai mare dintre numere. Definiție 2: Se numește media aritmetică ponderată a n numere reale x1, x2, x3, …, xn cu ponderile p1, p2, …, pn numărul p ⋅ x + p2 ⋅ x2 + ...+ pn ⋅ xn mp = 1 1 . p1 + p2 + ...+ pn O vom numi, pe scurt, medie ponderată. Media ponderată a două numere este mai apropiată de numărul care are ponderea mai mare. Definiție 3: Media geometrică sau media proporțională a două numere reale pozitive x și y este numărul pozitiv m= g
x ⋅ y.
Pentru orice 0 < x < y, x ≤ mg ≤ y.
x+ y , adică mg ≤ ma. 2 x+ y Dacă x și y sunt numere pozitive, atunci x ⋅= y ⇔= x y, adică mg = ma dacă și numai dacă x = y. 2
Dacă x > 0 și y > 0, atunci
A 1
2
Media aritmetică ponderată a n numere reale, n ∈ , n ≥ 2
Calculați media aritmetică a următoarelor numere: a) 2 și 5 2
b) 3,3 3 și 8 3
c) 2 − 5 și 2 + 5
d) 7 + 5 2 , 1 − 50 și 0,1
Raportul a două numere pozitive este 0,2. a) Calculați media aritmetică a numerelor știind că cel mai mic dintre ele este 4. b) Calculați media aritmetică a numerelor știind că cel mai mare dintre ele este 13,5. c) Aflați cele două numere știind că media lor aritmetică este
32
x⋅ y ≤
72 .
3
Calculați media aritmetică a următoarelor numere : a) 7; 10; 13; 24 b) 3,5; 0,34; 5,16 c) 5; 3 + 5;
5 − 7 ;0,6
d)
27; 5 3; 12; 48; 300 4 Calculați media ponderată a numerelor: a) 4; 6; 8, cu ponderile 8; 6; 5 b) 0,75; 2,5; 2,05, cu ponderile 3; 7; 5 c) 2 2; 18; 32; 50 , cu ponderile 1; 2; 3 respectiv 4
Mulțimea numerelor reale
5
6
Sandu a cumpărat două rigle, pentru care plătește 7,10 lei, trei echere pentru care plătește 9,60 lei și două compasuri pentru care plătește 10,30 lei. Știind că riglele au acelați preț, echerele au același preț și compasurile au același preț, calculați cât costă un set format dintr-o riglă, un echer și un compas.
Pentru a prepara magiun, Maria a cumpărat trei soiuri diferite de prune. În tabelul de mai jos aveți cantitățile de prune cumpărate și prețul respectiv.
cantitate preț/kg
Fiind la piață, Ana cumpără piersici. De la o vânzătoare cumpără 2,75 kg, pentru care plătește 25,3 lei, iar de la o altă vânzătoare cumpără 3,25 kg de piersici cu 26 lei. a) Aflați prețul cu care vinde piersicile fiecare din tre cele două vânzătoare. b) Calculați prețul mediu pe care l-a plătit Ana pentru piersici.
7
9
z1
z2
z3
z4
z5
z6
10
Temperatura 25 °C 26 °C 27 °C 29 °C 28 °C 29 °C 32 °C
8
La un restaurant s-au cumpărat 15 kg de varză și 5 kg de roșii, pentru a prepara salată de varză cu roșii. Varza a costat 1,5 lei kilogramul, iar roșiile, 2 lei kilogramul. a) C are a fost prețul mediu al unui kilogram de salată? b) Prepararea întregii cantități de salată costă 30 lei. Dacă o porție cântărește 200 g și s-a vândut cu 2,5 lei, aflați care a fost profitul restaurantului la vânzarea întregii cantități de salată.
III 4 kg 2,25 lei
Un fermier dispune de 4 loturi de teren, pe care a semănat floarea soarelui. În tabelul de mai jos sunt date suprafețele loturilor și cantitățile de floarea soarelui recoltate de pe fiecare teren.
lotul suprafață cantitate recoltată
z7
a) Calculați t1, temperatura medie din prima săptă mână a lunii iunie. b) În următoarele săptămâni, temperaturile medii au fost t2 = 27,9 °C, t3 = 28,4 °C, t4 = 28,7 °C, iar în ultimele două zile ale lunii iunie, s-au înregistrat 30 °C, respectiv 31 °C. Calculați temperatura me die a lunii iunie.
II 2 kg 2,5 lei
a) Cât a costat un kilogram de amestec de prune? b) Prin preparare, se pierde 40% din cantitatea de prune. Dacă la preparare s-a adăugat 1 kg de zahăr cu prețul 2 lei, care este prețul unui kilogram de magiun?
La o stația meteo se înregistrează temperatura aerului, zilnic, la ora 12.00, iar temperaturile înregistrate se trec într-un tabel ca cel de mai jos. În prima săptămână a lunii iunie, s-au înregistrat următoarele temperaturi: Ziua
I 3 kg 2 lei
1 2,5 ha 9000 kg
2 2 ha 8000 kg
3 1,5 ha 5800 kg
4 2 7800 kg
a) Aflați care a fost producția medie de floarea soarelui la un hectar. b) Care dintre cele patru loturi a avut cea mai mare producție la un hectar? Dar ce mai mică? 11
Nicoleta a cumpărat fructe pentru a decora tartele pe care le va servi prietenilor. În tabelul de mai jos aveți cantitățile de fructe cumpărate și prețul respectiv.
cantitate preț/kg
căpșuni 1,5 kg 8 lei
cireșe 1,75 kg 12 lei
ananas 1,25 kg 4,5 lei
a) Aflați care a fost prețul mediu al unui kilogram de fructe. b) Dacă la o tartă se folosesc 300 g de fructe, iar pierderea la fructe (prin curățare, scoaterea sâmburilor) este de 20% din cantitate, câte tarte ar fi putut orna cu fructele cumpărate? 33
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a B 1
Media geometrică a două numere reale pozitive
Calculați media geometrică a următoarelor perechi
6
de numere : a) 2 și 8
b) 2 2 și 4 2 4 c) 2 5 și 2 5 d) și 63 7 27 f) 1,(6) și e) 1,(3) și 3 5 0, 25 50 g) 2 și h) 27 – 3 și 5 4 2 Media geometrică a două numere reale pozitive a și b este 18. a) Aflați numărul a, știind că b = 6. b) Aflați numărul b, știind că a = 9. c) Aflați numerele știind că sunt egale. d) Aflați numerele dacă a = 3 · b. 3 Un dreptunghi are dimensiunile de a cm, respectiv a cm. 4 a) Determinați lungimea laturii unui pătrat care are perimetrul egal cu cel al dreptunghiului. b) Determinați lungimea laturii unui pătrat care are aria egală cu cea a dreptunghiului. 4
Dacă m este media geometrică a numerelor 0,25 și
1,(7), iar n este media geometrică a numerelor 0,(4) și 25 , calculați media geometrică a numerelor m și n. 4 5 Media aritmetică a numerelor a, b și c este 13. Aflați cele trei numere, știind că a este de nouă ori mai mic decât b, iar c este media geometrică a numerelor a și b.
34
7
Raportul a două numere pozitive este 0,25. a) Calculați media geometrică a numerelor dacă cel mai mic dintre ele este 4. b) Calculați media aritmetică și media geometrică a numerelor dacă cel mai mare dintre ele este 2,25. c) Aflați numerele, știind că media lor geometrică este 50. Se consideră numerele x =9 3 + 7 12 − 5 27 și y 75 48 3 .
Calculați numărul ma – mg, diferența dintre media aritmetică și media geometrică a numerelor x și y.
8
Considerăm șirurile de numere: s1 : 1, 2, 4, 8,…; s2 : 5, 10, 20, 40, … 3 9 2 s3 : , 1, , , , 3 2 4 în care, pentru orice trei termeni consecutivi ai șirului, termenul din mijloc este media geometrică a celorlalți doi. Completați încă trei termeni la fiecare șir.
9
Media geometrică a numerelor 3a și 27b este 9 3. Aflați numerele a și b, știind că sunt naturale nenule.
10
Se știe că x și y sunt numere reale și că
(x −
32
)
2
+
(10
50 − y
)
2
= 0. Aflați media
aritmetică și media geometrică a celor două numere. 11
Aflați numerele pozitive a, b și c care verifică egalitățile:
a ⋅= b 2, b ⋅= c 2 6, c ⋅= a 2 3.
Mulțimea numerelor reale
1.7. Ecuații de forma x2 = a, unde a este un număr real Breviar teoretic Considerăm ecuația x2 = a, unde a este un număr real. Sunt posibile următoarele cazuri: Dacă a > 0, atunci x2 = a ⇔ x = a ⇔ x = a sau x = − a . S = Dacă a = 0, atunci x2 = 0 dacă și numai dacă x = 0. S = {0}.
{−
a, a
}
Dacă a < 0, atunci x 2 ≠ a , oricare ar fi numărul real x. S = ∅. În concluzie, o ecuație de forma x2 = a, unde a este un număr real, are: l două soluții nenule, opuse l soluția unică x = 0, l nu are nicio soluție reală dacă a = 0 și S = {0} dacă a < 0 și S = ∅. dacă a > 0 și S = − a , a
{
1 2
}
Scrieți perechile de forma (a, a2), știind că a ∈{−3, −1, 1, 4}. Completați tabelele cu valorile corespunzătoare: a) 7 x −2 0,5 4
1,(3)
−1,1
1,44; x < 0
2
+2
3– 1
− 2
x2 b) x2
64, x ∈ ℕ
4 ;x>0 9
225, x ∈ ℤ
1
7 9
4 ;x>0 3
10 ;x<0 9
x 3
Scrieți perechile de forma (b2, b), știind că
7
b ∈{4, 49, 100}. 4
Dintre ecuațiile următoare, precizați-le pe cele care
c) (x − 5
5)2
b) 4 · x2 − 11 = 89 = 200
d)
70
+
72
=2·
8
x2
6
c) (x − 1)2 = 0,25
d) 0,25–1 = x2
Rezolvați, în mulțimea numerelor naturale, ecua țiile: a) x2 = 1
b) x2 = 729
c) 2 · x2 = 162
d) 3 · x2 = 0,03
e) 5 · x2 − 16 = 29
f) 3,92 − 2·x2 = 0
1 2 · x = 0,25 4 e) (x + 1)2 = 0,25–1
d) 4,9 · x2 + 1 = 20,6 f) 6 · (x + 2)2 = 70 + 53
Rezolvați, în mulțimea numerelor raționale, ecua a) 4 · x2 + 3 = 39
dacă numărul 0,5 este soluție. b) 2 = 8 · x2
b) 2 · x2 = 200
țiile:
Pentru fiecare dintre ecuațiile următoare, verificați a) 4 · x2 = −1
a) x2 = 36 c)
admit soluția x = −5. a) x2 = 25
Rezolvați, în mulțimea numerelor întregi, ecuațiile:
b) 3 – 7 · x2 = (– 4)3 + 4
1 2 2 11 9 ·x =1– f) · x2 + 0,4 = 5 3 3 20 d) 2 · (x + 5)2 + 19 = 84 : (– 2)2
c) –
e) 0,1 · x2 + 0,2 = 0,3 9
Determinați soluțiile ecuațiilor: 9 4 c) (3 · x – 1)2 = 49
a) (x + 1)2 =
e) (1 – x)2 = (70 –
b) (x – 2)2 = 196 d) (x –
5 )2 = 20
3 )2 f) x4 = 4096 35
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
Determinați mulțimile, apoi precizați cel mai mic element al fiecăreia: A = {x∈ ℤ 4 < x2 < 25} B = {x∈ ℤ 30 < x2 < 79} 1 1 C = {x∈ ℕ ≤ 2 ≤ 4– 1} 49 x 11 O placă de gresie cu suprafața pătratică are aria 12,25 cm2. Calculați perimetrul acestei plăci.
10
14
x 10 7 x 84 = b) = 4,9 x 12 x 2x 5 x−2 25 c) d) = = 125 8 x 9 x−2 1 ⋅x 18 x−4 5 3 e) f) = = 8 12 ⋅ x −20 4 − x 15 Rezolvați ecuațiile: a) x2 = 5 b) 7·x2 = 16 a)
16 12
13
Suma ariilor tuturor fețelor unui zar este 864 mm2. Exprimați, în centimetri, lungimea muchiei acestui zar. Terasa unui hotel are formă de pătrat, cu aria de 225 m2. Cu cât ar trebui mărită latura pătratului pentru ca aria terasei să devină cu 99 m2 mai mare?
Aflați numărul rațional x pentru fiecare dintre egalitățile:
c) x2 + 32 = 42
d)
e) x2 =
f) (x –
2401
6 ·x 2 = 150
2 )2 = 8
108 }. Alegeți 27 elementele a ∈ M, astfel încât ecuația x2 = a:
Fie mulțimea M = {441; – 25; 0;
a) să aibă o soluție, număr natural; b) să aibă soluții în mulțimea numerelor întregi; c) să aibă soluții în mulțimea numerelor raționale; d) să nu aibă soluții în mulțimea numerelor reale. 17
Rezolvați ecuația x2 = a pentru a = (5 – 12)2 – 52 + 122 + (12 – 5)°
18
Rezolvați ecuația x2 =
19
Un teren în formă de pătrat are perimetrul P = 6 · a, exprimat în metri, unde a este un număr natural. Determinați numărul a, știind că aria pătratului este de 2025 m2.
20
Determinați numerele reale a și b, știind că
100 pentru b b = (0,3 – 1,1)2 – 1,6 – 0,32 + 1,12
a 2 − 0,04 + 0,64 − b 2 = 0 și a · b < 0.
36
Ecuații și sisteme de ecuații liniare
2. ECUAȚII ȘI SISTEME DE ECUAȚII LINIARE 2.1. Transformarea unei egalități într-o egalitate echivalentă. Identități Breviar teoretic Pornind de la o egalitate, se pot obține egalități echivalente, prin următoarele transformări: Se adună sau se scade, din ambii membri ai egalității, același număr real. Se înmulțesc sau se împart ambii membri ai egalității cu același număr real nenul. Dacă cei doi membri ai egalității sunt numere pozitive, atunci se pot obține egalități echivalente și astfel: l Se ridică la puterea n, număr întreg, ambii membri ai egalității. l Se extrage radical din ambii membri ai egalității. Compatibilitatea relației de egalitate cu operațiile aritmetice:
a = b x = y a+ x =b+ y
(+)
a = b x = y
a= b x= y
( −)
a− x =b− y
a⋅x =b⋅ y
(⋅)
a= b x= y
(:)
a:x=b: y
a1 b1 , a2 b2 , , an bn a1 a2 an b1 b2 bn a1 b1 , a2 b2 , , an bn a1 a2 an b1 b2 bn
Definiție Numim identitate matematică o egalitate care conține una sau mai multe variabile și care este adevărată pentru orice set de valori atribuite variabilelor. 1
Demonstrați că pentru orice a, b, c, cifre în baza 10,
6
Restul împărțirii numărului n la 5 este 3, iar restul împărțirii aceluiași număr la 7 este 1. Determinați restul care se obține prin împărțirea numărului 2n la 35. Demonstrați că pentru orice numere naturale nenule n și k, au loc egalitățile:
are loc egalitatea ab + bc + ca = aa + bb + cc . 2
Demonstrați că 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1), oricare ar fi numărul natural nenul n.
3
Numerele reale nenule x, y, z verifică, simultan, egalitățile x2 = yz și y2 = xz. Demonstrați că z2 = xy.
7
4
Determinați numerele naturale a, b, c, știind că a · c + 11 · b · c + 22 · c = 224 și 2 · a + 7 · b = 5 · (4 – 3 · b).
5
Demonstrați că dacă a, b ∈ ℝ, cu a3 = b3 și a2 = b2, atunci a = b.
1 1 1 k 1 1 = − = − b) n(n + 1) n n + 1 n( n + k ) n n + k 8 Demonstrați că pentru orice număr real x cu proprietatea – 4 < x < 3, are loc egalitatea: |x + 4| + |x – 3 | = 7. a)
37
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
2.2. Ecuații de forma a · x + b = 0, unde a și b sunt numere reale. Ecuații reductibile la ecuații de această formă Breviar teoretic Considerăm ecuația a⋅ x + b = 0, unde a, b, ∈ ℝ. Numerele a și b sunt coeficienții ecuației, x reprezintă necunoscuta ecuației, numărul b se mai numește și termen liber al ecuației. O soluție a ecuației este o valoare (de regulă, aparținând unei anumite mulțimi) care poate fi atribuită necunoscutei x, astfel încât să aibă loc egalitatea. A rezolva ecuația înseamnă a determina mulțimea tuturor soluțiilor sale. Pentru identificarea soluțiilor ecuațiilor, este foarte important domeniul D în care se cere rezolvarea. Dacă nu se precizează explicit care este domeniul unei ecuații, acesta se consideră ca fiind mulțimea formată din toate valorile pentru care ecuația are sens.
Rezolvarea ecuației a · x + b = 0, unde a, b ∈ ℝ, în mulțimea numerelor reale În practică, întâlnim situații în care unele ecuații se reduc, prin transformări echivalente, la ecuații de forma a ⋅ x + b = 0, iar despre a nu știm dacă este nul sau este nenul. Sunt posibile următoarele cazuri: 1) a · x + b = 0, unde a, b, ∈ ℝ, a ≠ 0
b , a care este un număr real și care este singura soluție a ecuației. b Vom scrie S = − . a
2) a · x + b = 0 cu a = 0, b ∈ ℝ. Ecuația devine: 0 · x + b = 0, b ∈ ℝ.
Sunt posibile următoarele subcazuri: a) b = 0 și egalitatea are loc pentru orice valoare reală a lui x, deci S = ℝ. b) b ≠ 0 și egalitatea nu are loc pentru nicio valoare reală a necunoscutei, deci S = ∅.
1
a · x + b = 0− b ⇔ a ⋅ x = − b : a ⇔ x = −
Verificați dacă ecuația 2 ⋅ x – 3 = 0 are soluții în
4
Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuațiile: 5 a) x + 1,5 = b) x – 27 = 3 2 c) 2 ⋅ x + 9 = 100 d) 2 ⋅ x + 8 = 18 3 e) 0,5 ⋅ x + = 0,25 f) 1 + 5 ⋅ x = 60 4 1 g) –4 ⋅ x + 17 = 32 h) x ⋅ 3 + = 12 3
5
Scrieți o ecuație echivalentă cu ecuația x + 5 = 0.
3 mulțimea A = − ; 0; 1,5 . 2 2 Verificați, pentru fiecare dintre ecuațiile următoare, dacă numărul – 3 este soluție. a) 5 + 2 ⋅ x = 0
b) x + 4 = 0 x = 3 d) c) 3 ⋅ x + 27 = 0 3 3 Scrieți două ecuații de forma a ⋅ x + b = 0, pentru care numărul 0,5 este soluție. 38
Ecuații și sisteme de ecuații liniare 6
Stabiliți dacă următoarele perechi de ecuații sunt formate cu ecuații echivalente, argumentând răspunsul dat: a) 2,4 ⋅ x + 7,2 = 0 și 5 ⋅ x + 9 = – 6 1 19 b) ⋅ x – 1,(3) = și 5 ⋅ x + 20 = 45 3 57
1 x +1 = 0,(3) c) 3 x + = 0 și 3 2 7 Demonstrați că următoarele ecuații sunt echivalente: 3 ⋅x+
27 =
75
x 2 3 ⋅ x + 6 = 12 și 0 3 8 Demonstrați că următoarele perechi de ecuații sunt formate cu ecuații echivalente. a) x – 7 = 0 , x ∈ ℕ și x2 = 49, x ∈ ℕ x +1 12 b) = 3 și 0,3 ⋅ x – =0 3 5 x + 2 2 = 0 și – 0,25 ⋅ x = 1 c) 2 9 Demonstrați că ecuațiile următoare nu sunt echi valente: a) 2 ⋅ x – 18 = 0 și x + 3 = – 7 + 2 ⋅ x
1 x b) x − ⋅3 = 0 și − 1 ⋅ 4 = 0 2 2 1 10 Determinați numărul real a, astfel încât numărul 4 2 1 să fie soluție a ecuației ⋅x + a = 3 6 11 Rezolvați în mulțimea numerelor naturale ecuațiile: a) 4 ⋅ x + 17 = 2 ⋅ x + 35 1 1 b) ⋅ x + = 3,(6) 2 3 c) 2 2 + 8 ⋅ x = 72 d) 5 ⋅ (x – 3) = 3 ⋅ (x – 5) x −1 3 x−5 e) + = 2 4 6 2 3 5 1 f) 1 ⋅x + 2 = 3 ⋅ x + 4 3 4 6 2
12
Rezolvați ecuațiile: a) 2(3x – 1) = 5(x + 3) b) 3(2x – 1) = 5 (x – 3) 2x −1 x+2 c) –x= 3 2 3x − 1 x−3 –x= d) 2 3 13 Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuațiile: a) 4⋅(x + 0,5) = x – 1 b)
5 ⋅x –
1 = 5
20 ⋅ x
x − 10 x + 10 3x + = – 90 2 4 2 d) 0,1 + 0,2 ⋅ x = 0,7 – 0,4 ⋅ x e) 4⋅(x – 1,25) = 3⋅(5 – 2x) 2− x 5 f) = – 0,(3) ⋅ x. 3 6 14 Rezolvați, în mulțimea numerelor raționale, ecuațiile: a) 6 ⋅ x = (–6)2 – 6 b) –4 ⋅ x = 7 + (–3)3 c) –2 ⋅ x + 7 = 17 – 8 d) 5x – 27 = 5 – (–21x) e) 2,25 ⋅ x – 2,7 ⋅ x = 3,6 ⋅ x – 2,2 ⋅ x – 5,25 f) 0,1(6) ⋅ x – 4,(6) = –7 – x g) 0,08(3) ⋅ x – 9 = 2 – 0,8(3) ⋅ x 1 h) 2 ⋅ x + = –0,(6) 3 3 1 =– i) (x – 1) : 4 6 1 2 3 5 j) (x – 1 ):( 1 – 2 ) = 1 2 3 4 13 x x+3 k) – 2,5 = –5 2 7 l) 7 ⋅ (x – 9) + 4 = x – 35 c)
39
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a 15
16
Scrieți câte o ecuație pentru fiecare din situațiile:
20
a) Ecuația are exact o soluție reală.
a) x –
b) Ecuația are o infinitate de soluții reale.
b)
c) Ecuația nu are nicio soluție reală.
c) a(x + b) = b(x + a) + x (b – a), cu necunoscuta x
Rezolvați ecuațiile:
d) (x – 1)(x + 2)(x – 3) = 0
x −1 x − 3 x 1+ x b) – = – 6 2 3 4 x−2 x−6 x−2 1 c) – = – x + 6 3 x + 18 5 x + 30 3
f) x
21
(2 − 5 )
2
=
x +1 x + 3 x 1− x b) – = – 4 2 3 6 x −1 c) 5(x – 1) = 3 d) (–1)k + 2 ⋅ (x + 1) + (–1)k – 1 ⋅ (2x + 3) = 7
Determinați valorile reale x, pentru fiecare din
(–2)3,
a)
x−2 = 3
b)
2x −1 = 7
d) 22
( 5 x − 6 )2
=4
Determinați valorile reale x, pentru fiecare din situațiile:
cu
a) | x | = 3 b) | x – 3 | = 2
necunoscuta x, să fie echivalente.
c) | 2x + 1| = 9
Rezolvați, în mulțimea numerelor raționale,
d) |
a) 2(a – 3) + 11 = 3(4 – a) b) 10{4 + 3 [2 + 4 (x – 5)] –1} + 6 = 196 c) –3[1 – 2(y + 3)] = 7 + 10y
t + 2 t +8 15t + 30 + d) ⋅ 18 = 2 8 2
x – 1 | = 0,5 2
e) | 3x – 12 | = 48 3 f) ∈ℕ x+2 g) |3x – 2| + |6 – 9x| = 0 h) ||x – 1|– 2| = 3 i) |2x – 7| + |4x – 14| = 0
40
4
c) 7 − x = 2,5
Determinați valorile reale ale lui a, astfel încât
ecuațiile:
5–
situațiile:
a) 4(x – 3) = 3(3x – 14)
19
18
2
Rezolvați ecuațiile:
ecuațiile 6 + 5x = 3x + 8 și ax + 2 = x +
6 (y – 2) = 3
g) ( −2 ) x + x = 1 h) 34x – 1 = 27
d) (–1)k – 2 ⋅ (x – 4) + (–1)k + 1 ⋅ (3x + 2) = 5
18
3 = 3 ( 3 – x)
e) y –1 + y –2 = 0
a) 5(x – 3) = 4(2x + 6)
17
Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuațiile:
Ecuații și sisteme de ecuații liniare
2.3. Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute. Rezolvarea prin metoda substituției și/sau prin metoda reducerii Breviar teoretic O ecuație liniară cu două necunoscute are forma generală: a⋅ x + b⋅ y + c = 0, unde a, b, c ∈ . Două ecuații liniare cu două necunoscute formează un sistem de ecuații liniare cu două necunoscute.
c1 a1 x + b1 y = , unde a1, b1, c1, Forma generală a unui sistem de ecuații liniare cu două necunoscute este: c2 a2 x + b2 y = a2, b2, c2 ∈ ℝ. Numerele a1, b1, c1, a2, b2, c2 se numesc coeficienții sistemului; a1, b1, a2, b2 se numesc coeficienții necunoscutelor, iar c1, c2 se numesc termeni liberi.
Se numește soluție a sistemului de ecuații o pereche ordonată de numere care, atribuite necunoscutelor, verifică ambele ecuații ale sistemului. A rezolva un sistem înseamnă a găsi mulțimea tuturor soluțiilor sale. Mulțimea soluțiilor unui sistem de ecuații este intersecția mulțimilor soluțiilor celor două ecuații. Două sisteme de ecuații liniare se numesc echivalente dacă au aceeași mulțime de soluții. Observație: Dacă înlocuim o ecuație a sistemului cu o ecuație echivalentă cu ea, sau dacă înlocuim ambele ecuații ale sistemului cu ecuații echivalente, obținem un sistem echivalent cu cel inițial. Prin adunarea membru cu membru a ecuațiilor unui sistem se obține o nouă ecuație. Dacă înlocuim una din ecuațiile sistemului cu această nouă ecuație, se obține un sistem echivalent cu cel inițial. Pentru rezolvarea sistemelor de două ecuații liniare cu două necunoscute, se folosesc, de regulă, metoda reducerii sau metoda substituției și tehnici de transformare a egalităților în egalități echivalente.
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Metoda substituției Se alege necunoscuta pe care vrem să o înlocuim (să o substituim). Folosind una dintre ecuații se exprimă necunoscuta aleasă în funcție de cealaltă. Se înlocuiește în ecuația rămasă necunoscuta aleasă, folosind relația găsită. Se rezolvă ecuația obținută și se află una dintre necunoscute. Se înlocuiește valoarea găsită în una dintre ecuații și se află cealaltă necunoscută. Se scrie soluția/mulțimea soluțiilor sistemului.
Metoda reducerii 1. Dacă este necesar, se rescriu ecuațiile astfel încât necunoscutele notate cu aceeași literă să fie plasate pe aceeași poziție (x sub x și y sub y). 2. Se alege una dintre necunoscute cu scopul de a o reduce. 3. Dacă este necesar, se înmulțesc sau se împart ecuațiile cu numere nenule, astfel încât coeficienții necunoscutei alese să devină numere opuse, în cele două ecuații. 4. Se adună cele două ecuații și se reduce necunoscuta aleasă. 5. Se rezolvă ecuația obținută. 6. Se reiau pașii 3, 4 și 5 pentru cealaltă necunoscută. 7. Se scrie soluția/mulțimea soluțiilor sistemului.
Observație: În mod frecvent, pentru a economisi timp, se determină doar o necunoscută prin metoda reducerii. Aceasta se înlocuiește în una dintre cele două ecuații, care va deveni, în acest fel, ecuație de forma a ⋅ t + b = 0 și care ne oferă valoarea celei de-a doua necunoscute. 41
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a A
Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute
Stabiliți care dintre perechile de numere (–2; 3), (1; –2), (–3; –1), (4; 1) sunt soluții ale ecuației x – 5y = – 1.
5
Perechea (a, b) este soluție a ecuației x + 2y – 5 = 0. a) Exprimați a în funcție de b b) Exprimați b în funcție de a.
Verificați dacă printre perechile de numere reale
6
Demonstrați că dacă perechea (a, b) este soluție a ecuației x + y + 3 = 0, atunci și perechea (b, a) este soluție a aceleiași ecuații.
7
Găsiți două perechi de numere întregi care verifică egalitatea |4x – y + 7| = 0.
8
Determinați perechile de numere raționale care verifică egalitatea (x + 3)2 + (y2 – x – 4)2 = 0.
9
Verificați dacă perechea de numere (–1, 2) este soluție a sistemului de ecuații:
1
2
( 2 ; 0), (− 2 ;
2 ), (1; 1+ 2 ) se află soluții ale
ecuației x 2 – y + 1 = 0. 3
Se consideră ecuația 2x + 3y – 4 = 0. Stabiliți valoarea de adevăr a fiecărei propoziții: p1: „Perechea de numere (–2; 0) este soluție a ecuației.” p2: „Perechea de numere (–3; 4) nu este soluție a ecuației.” p3: „Perechea de numere (3m + 2; –2m) este soluție a ecuației.”
4
Știind că perechea de numere ( x, y ) este soluție a ecuației 3x – y = 2, completați tabelul: 1 x –1 0 3 y 1 5
B
1 3 x + y = . 3 − x + y = 10
3 −2 7 x− y= x + y = 4 x + y = (1) (2) (3) 9 −1 8 2 x + y = x + 2 y = 3 x − 2 y = Alegeți dintre acestea, prin verificare, sistemul care admite soluția (2, –1).
Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda substituției sau/și metoda reducerii
Rezolvați următoarele sisteme de ecuații liniare, folosind metoda substituției:
3
= 5 7 7 x x − 3y = x + y = a) b) c) −2 1 x + y = 2 y = −6 x − y = y 1 3 x − 2 = − x + 4 y =5 0,5 x + y = d) e) f) −4 0, 25 x + y = 0 x 2x − y = −y= −1 2 2 a) Scrieți un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute care admite numai soluția (0, –3). b) Scrieți un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute care admite o infinitate de soluții. c) Scrieți un sistem de două ecuații liniare cu două
4
1
necunoscute care nu admite nicio soluție. 42
Se consideră următoarele sisteme de ecuații liniare:
Determinați numerele reale a și b pentru care are loc egalitatea:
3a − 2b + 4 + a + 5b − 10 = 0.
Rezolvați, prin metoda substituției, sistemele de ecuații:
7 3 x + 2 y = a) −3 x − 2y = 0 x + 6y + 3 = c) 0 2 x − 5 y − 11 = x y 1 4 e) 3 x y 3 16
50 10 x + 20 y = b) 13 4x + y = y 1 x + = d) 3 2 3 2 x − 3 y = 0 x+ y 2 = −5 f) 2x − y = 4 4
Ecuații și sisteme de ecuații liniare 5
Rezolvați, prin metoda substituției, sistemele de ecuații:
8
2 ( x − 3) + 3 ( y + 1) =0 a) x + 4 ( y − x + 2 ) =−5 3 x y 4 3 b) 2 x 12 y 0 5 x − 7 y = −2 c) 0 7 x − 5 y =
1 1,5 x + 2 ( x + y − 2 ) = d) y − 1 ( y − x + 2) = 0 2 1 x − 2 + y =5 e) 1 x− y = 3 10 1 2 x 3 y 4 3 f) y 5 6 x 7 8 321 6 Rezolvați, prin metoda reducerii, sistemele de ecuații:
3 x y 8 a) 2 x y 7
21 x + 2y = b) − x + 3 y =29
7 2 x + y = c) 9 4 x − 3 y =
− x + 0,5 y =2,5 d) −6 3 x − 2,5 y = 3 x + y = 19 2 5 x + 2 y = e) f) −32 1 3 x − 5 y = 12 x + 5 y = 7 Rezolvați sistemele de ecuații, alegând convenabil metoda de rezolvare: 13 2 x + 3 y = a) −21 3 x + 5 y = 5 7x + 3y = c) 9 −3 x − 5 y = −1 4 x + 3 y = e) 1 3 x + 4 y = −7 5 x + 4 y = g) −6 4 x + 3 y = −11 3 x + 5 y = i) . −11 4 x + 3 y =
3 5 x + 4 y = b) 2 4 x + 3 y = 5 2 x + 3 y = d) −25 3 x − 2 y = 12 −3 x + 2 y = f) 1 4x + 3y = 2 x + 5 y =− 1 h) −13 3 x − 4 y =
Rezolvați sistemele de ecuații, alegând convenabil metoda de rezolvare:
1 5 x + 3 y = a) 23 4 x − 5 y =
15 8 x − 7 y = b) 15 4 x − 11 y =
15 9 x − 3 y = c) 41 3 x − 7 y =
7 5 x + 4 y = d) 21 3 x + 8 y =
−27 6 x + 5 y = e) −23 7 x + 3 y =
17 4 x + 3 y = f) 31 5 x + 7 y =
22 4 x + 5 y = g) 23 3 x + 7 y =
−7 4 x + 5 y = h) 27 3 x − 7 y =
−13 7 x + 6 y = i) 5 x − 3 y =− 2 9
Rezolvați sistemele de ecuații, alegând convenabil metoda de rezolvare:
−3 6 x − 5 y = a) 8 7 x − 2 y =
−41 7 x − 4 y = b) −5 5 x + 2 y =
x 2 + y = 20 c) 50 2 x 2 + 3 y =
−24 2 x − 5 y = d) 33 3 x + 4 y =
1 2 x − 3 y = e) −2 3 x + 0,75 y =
−4 2 x − 5 y = f) 13 3 x + 2 y =
x +1 y −1 y−x 2 − 3 = g) x+ y − y +2 = x− y 7 3
−5 3 x − 4 y = h) 11 5 x + 3 y =
4x 8 y 12 3 − 7 = i) 3 5x + y = 6 4 4
3x 4 y 1 5 − 3 = j) 25 2x − 5 y = 3 2 6
x y 0 − = k) 6 3 x + y = 3
8 2 x + 3 y = l) −3 5 x − 4 y =
10 0 2 x + 3 y − 8 = 2 ( x + 1) + 3 ( y + 1) = m) n) 0 4 x − 15 y + 12 = 3 x − 5 y= 3 ( x − y − 2 )
43
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a 10
Știind că sistemul
12 Scrieți următoarele sisteme într-o formă convenabilă
și rezolvați-le:
−0,(2), ax + 3 y = 0,(3) 3 x + by =
x + 3 y −1 5 4 − 3 = 6 a) 3 x −1 + y + 3 = 4 5 10 x+ y −5 2 = x − 2 b) 19 y − 10 − x − y = 3 6
1 1 cu necunoscutele x și y, admite soluția − , , 3 9 aflați numărul (a–2 ) ⋅ (b–1). 11
Rezolvați sistemele de ecuații: 1 3 x + 2,5 y = a) − 2 + 17 y = 16 x 3 1 2 x+2 + y −4 = b) 13 2 + 7 = x + 2 y − 4 3 −1 x + 3 y = c) 7 −2 x − 7 y = 2 x − 1 + 9 y + 2 =22 d) 6 x − 1 − 13 y + 2 =−14
44
5 4 5 3 x − 4 y = c) 6 x + 7 y = 32 5 6 2 ( x + 3 y ) + 3 ( 2 x + y )= 4 ( x + y + 7 ) − 35 d) 3 ( x − 2 y ) + 2 ( 2 x − 3 y ) = x + y − 31 13
Determinați numerele raționale a și b cu proprietatea
a · 3 3 b
3 2 5 3 .
Ecuații și sisteme de ecuații liniare
2.4. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor sau al sistemelor de ecuații liniare Breviar teoretic Multe dintre problemele întâlnite în practică pot fi rezolvate matematic, fie prin metode aritmetice, fie prin metode algebrice. Atunci când problema poate fi reformulată printr-o ecuație liniară cu o necunoscută sau printr-un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute, iar soluțiile problemei sunt numere reale, rezolvarea problemei presupune respectarea algoritmului alăturat. Se citește, cu atenție, enunțul. Pasul 1: Observarea și înțelegerea problemei Se identifică ipoteza și concluzia. Se identifică mărimile necunoscute. Se stabilesc și se notează necunoscutele. Pasul 2: „Traducerea” în limbaj matematic Scrierea ecuațiilor/ Scrierea sistemului de ecuații Pasul 3: Realizarea raționamentului și redactarea
Se exprimă cât mai clar legăturile dintre date, folosind desene, scheme, vizualizări. Se transpun în limbaj matematic relațiile dintre valorile mărimilor necunoscute.
Se rezolvă sistemul de ecuații, folosind metoda substituției, metoda reducerii sau o variantă mixtă. Se redactează clar pașii parcurși, se scrie soluția sau Rezolvarea ecuației/ Rezolvarea sistemu- mulțimea soluțiilor. lui de ecuații Pasul 4: Verificare și autoevaluare Se verifică soluția găsită, folosind ipoteza problemei. Se interpretează rezultatul. Verificarea soluției și interpretarea rezultatului
1
Suma a două numere naturale este 168. Aflați numerele dacă primul este cu 3 mai mic decât dublul celui de-al doilea.
2
Ana și Maria colecționează timbre. Ana are de cinci ori mai multe timbre decât Maria. Dacǎ Ana i-ar da Mariei 24 de timbre, atunci numǎrul timbrelor Mariei ar reprezenta jumǎtate din numǎrul timbrelor Anei. Aflați câte timbre are fiecare dintre cele două fete.
3
Suma a trei numere este 105. Aflați numerele știind că al doilea este jumătate din primul și cu 5 mai mic decât al treilea.
4
Efectivul clasei a VII-a A este de 30 de elevi. Aflați câte fete și câți baieți sunt în această clasă, știind că numărul fetelor reprezintă 25% din numărul băieților.
5
Suma a trei numere este 180, primul număr este de 4 ori mai mare decât al doilea și cu 9 mai mic decât al treilea. Aflați cele 3 numere.
6
Suma a douǎ numere naturale este 63. Împǎrțind numǎrul mai mare la numǎrul mai mic, se obține câtul 4 și restul 8. Aflați cele douǎ numere.
45
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a 7
8
9
În douǎ coșuri sunt 48 kg de cireșe. Dacǎ se iau 4 kg de cireșe din primul coș și se pun în cel de-al doilea coș, în cele două coșuri va fi aceeași cantitate de cireșe. Aflați câte kilograme de cireșe erau, la început, în fiecare coș. Suma a trei numere este 280. Primul numǎr este de douǎ ori mai mare decât al doilea, iar al treilea număr este de trei ori mai mic decât al doilea. Aflați cele trei numere.
Diferența măsurilor a două unghiuri complementare este de 18°. Aflați măsurile celor două unghiuri.
17
Dacǎ la un număr natural se adună 4, rezultatul obținut se înmulțește cu 5, din noul rezultat se scade 30, iar acest nou rezultat se împarte la 15, atunci se obține câtul 2 și restul 0. Aflați acest numǎr natural.
18
Pentru realizarea unui studiu, Victor parcurge, în patru zile, distanța d dintre două obiective turistice. În prima zi merge un sfert din întreaga distanțǎ, a doua zi merge o tremie din distanța pe care o mai avea de mers, a treia zi parcurge jumǎtate din ce-i mai rǎmǎsese, iar a patra zi ultimii 48,5 km. Calculați distanța d și distanțele parcurse în fiecare dintre primele trei zile.
19
Suma a trei numere este 3600. Aflați numerele știind că primele două sunt direct proporționale cu 0,3 și 0,5, iar al treilea este egal cu 40% din al doilea.
20
O treimie din numǎrul elevilor unei clase participă la cercul de matematicǎ, iar un sfert din cei care nu merg la cercul de matematică merg la cercul de robotică. În clasă, mai sunt 12 elevi care merg doar la cor. Aflați numărul elevilor din clasă și numărul elevilor care participă la fiecare activitate.
21
Adrian parcurge un traseu între localitǎțile A și B în trei etape: în prima etapǎ, parcurge jumǎtate din traseu și încǎ 2 km. În a doua etapǎ, parcurge o treime din ce i-a rǎmas și încǎ 3 km. Știind că pentru a încheia traseul mai are de parcurs 15 km, aflați distanța dintre localitățile A și B.
22
Numerele a, b, c sunt multipli consecutivi ai lui 5, în ordine crescătoare. Diferența dintre 50% din c și 10% din a este 65. Determinați cele trei numere.
23
Andreea, Bianca, Cristian și Dinu au împreunǎ 200 de lei. Andreea primește de la sora sa, Elena, 4 lei, iar Bianca cumpără cu 4 lei un corector. Dacă acum, suma de bani a lui Cristian s-ar mǎri de 4 ori, iar suma lui Dinu s-ar micșora de 4 ori, cei patru copii ar avea sume egale. Ce sumă de bani avea fiecare, la început?
Dacǎ, într-o salǎ, elevii unei clase se așazǎ câte unul într-o bancǎ, rǎmân 14 elevi în picioare, iar dacǎ se așazǎ câte doi într-o bancǎ, rǎmân 3 bǎnci libere. Aflați câte bǎnci și câți elevi sunt în clasǎ.
10
Un turist a parcurs distanța dintre 2 orașe, măsurând 625 km, astfel: în prima zi a parcurs 24% din drum, în a doua zi a parcurs 20% din distanța rămasă, iar în a treia zi a ajuns la destinație. Aflați distanța parcursă de acest turist în fiecare dintre cele trei zile.
11
Diferența a două numere este 205. Aflați numerele știind că, împărțindu-l pe unul dintre ele la celălalt, se obține câtul 7 și restul 13.
12
Cu suma de 89 lei, Mihai cumpără un stilou, un ceas de perete și o cutie de carioci. Aflați prețul fiecărui produs, știind că ceasul de perete costă de trei ori mai mult decât cutia de carioci și cu 9 lei mai mult decât stiloul.
13
14
15
46
16
Sorin cumpără 2 kg de portocale și 3 kg de struguri pentru care plătește suma de 33,50 lei. Știind că 11 kg de portocale costǎ 60,50 lei, calculați prețul unui kilogram de struguri. Un teren agricol de 120 ha a fost cultivat astfel: cu grâu, pe o suprafață de 28 ha, cu porumb, pe o suprafață de 3 ori mai mare, iar restul terenului, cu secară. Aflați suprafața cultivată cu secară. Un elev plătește, în avans, pentru o excursie, suma de 100 de lei. Știind că mai are de plătit 60% din întreaga sumă, aflați prețul excursiei.
Ecuații și sisteme de ecuații liniare 24
Aflați cu câte kilograme este mai greu un sac de
31
Aflați prețul unui creion și prețul unui pix, știind că 12 creioane costă cât 8 pixuri, iar 5 creioane costă cu 1 leu mai mult decât 3 pixuri.
32
Se știe că 8 caiete și 3 stilouri costǎ 93 lei, iar 5 caiete și 6 stilouri costǎ 136,50 lei. a) Aflați prețul unui caiet. b) Aflați câte stilouri se pot cumpăra cu 200 lei.
33
Suma de 145 lei s-a plătit cu 17 bancnote, unele de 10 lei, altele de 5 lei. Aflați numărul bancnotelor de 10 lei și cel al bancnotelor de 5 lei cu care s-a plătit suma.
34
Într-o curte sunt gǎini și iepuri, în total 56 de capete și 182 de picioare. Aflați numărul gǎinilor și numărul iepurilor din curte.
35
Într-un bloc sunt 135 de apartamente cu douǎ camere și cu trei camere, în total 349 de camere. Aflați numărul apartamentelor cu douǎ camere și numărul apartamentelor cu trei camere.
36
Într-o parcare sunt 75 de autoturisme și motociclete, care au împreună 270 de roți (fǎrǎ cele de rezervǎ). Aflați numărul mașinilor și numărul motocicletelor din parcare.
37
Aflați două numere raționale știind că suma lor este
cartofi decât un sac cu vinete, știind că 3 saci cu vinete cântǎresc cât 2 saci cu cartofi, iar 5 saci cu vinete și 5 saci cu cartofi cântǎresc 300 kg. 25
Vlad așază 128 de timbre într-un clasor, astfel încât pe fiecare pagină să fie cu 2 timbre mai mult decât pe pagina precedentă, nu mai mult de 25 de timbre pe pagină. Aflați câte timbre a așezat Vlad pe prima pagină și câte pagini are clasorul, dacă nu au rămas pagini libere.
26
Suma a patru numere este egală cu 138. Aflați numerele știind că primul număr este egal cu suma dintre al doilea și al treilea număr, al doilea este de două ori mai mic decât al treilea, iar al patrulea este 30.
27
Suma a patru numere naturale, diferite două câte două, este 522. Aflați cel mai mic dintre numere, știind că ia valoarea maximă posibilă.
28
Numărul participanților la Olimpiada de matematică de anul acesta este cu 10% mai mare decât cel al participanților din anul trecut. Se știe că anul
1 1 10 , iar o cincime din primul număr este cu 1 5 2 mai mare decât un sfert din celălalt.
trecut numărul băieților participanți a fost egal cu cel al fetelor participante, iar anul acesta au venit la Olimpiadă cu trei băieți mai mult decât anul trecut. Aflați câți elevi au participat la Olimpiada de matematică anul acesta. 29
Suma a douǎ numere naturale este 700, iar diferența
38
Pentru un spectacol de teatru, s-au vândut 108 bilete de două tipuri: cu 30 lei biletul și cu 40 lei biletul. Știind că în total s-a încasat suma de 3860 lei, aflați numărul biletelor vândute din fiecare categorie.
lor este 140. Aflați numerele. 30
Aflați cât costǎ un kilogram de mere și cât costă un kilogram de pere, știind că 2 kg de mere și 5 kg de pere costǎ 19 lei, iar 5 kg de mere și 10 kg de pere costǎ 40 lei. 47
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a 39
40
41
48
Dintr-o livadă, s-au cules 1870 kg de mere. Pentru vânzare, au fost puse în lǎdițe de 10 kg și de 12 kg. Știind că, în total, s-au folosit 180 lădițe, aflați ce sumă s-a încasat pe merele din lădițele de 12 kg, dacă acestea s-au vândut cu 6,50 lei kilogramul.
Se consideră numerele naturale n, de trei cifre, cu proprietățile: numărul 3 · n dă restul 4 la împărțirea prin 5, iar numărul 5 · n dă restul 6 la împărțirea prin 7. Câte astfel de numere există? Precizați-l pe cel mai mic și pe cel mai mare dintre acestea. Aflați numerele naturale a și b știind că suma lor este 70, iar 7 · a + b = 310.
42
Suma a două numere este 72. Aflați numerele știind că unul este divizibil cu 7, iar celălalt este divizibil cu 2.
43
Sorin achită, la o bancă, datoria de 245 de Euro cu 25 de bancnote, unele în valoare de 5 Euro și altele de 20 de Euro. Aflați câte bancnote de fiecare valoare a folosit Sorin pentru plata datoriei.
44
O carte de matematică costă 24 de lei, iar o carte de literatură costă 30 de lei. Adrian cumpără mai multe cărți de matematică și de literatură, pentru care plătește, în total, 180 de lei. a) Aflați numărul cărților de matematică pe care le-a cumpărat Adrian. b) Aflați numărul maxim de cărți pe care poate să le cumpere Adrian cu suma de 300 de lei.
45
Paul parcurge, cu mașina, distanța de 540 km, în 8 ore. Prin localități, Paul circulă cu viteza medie de 55 km/h, iar în afara localităților, acesta circulă cu viteza medie de 75 km/h. Aflați cât timp a circulat Paul prin localități.
Elemente de organizare a datelor
3. ELEMENTE DE ORGANIZARE A DATELOR 3.1. Produsul cartezian a două mulțimi nevide. Sistem de axe ortogonale în plan Breviar teoretic
{
}
Pentru mulțimile nevide A și B se definește produsul lor cartezian: = A× B ( a, b ) a ∈ A , b ∈ B Produsul cartezian se poate reprezenta și prin diagrame sau grafice. Dacă A ≠ B atunci A × B ≠ B × A; card (A × B) = (card A) · (card B), iar card (A × B) = card (B × A). Definiție O pereche ordonată de axe perpendiculare (ortogonale) care au aceeași origine se numește sistem de axe ortogonale sau reper cartezian sau sistem de coordonate în plan. Originea comună a celor două axe se numește originea sistemului de axe sau originea reperului cartezian. Se notează, de regulă, cu O. Axa orizontală se notează cu Ox și se numește axa absciselor. Sensul de parcurgere este de la stânga la drepta. Axa verticală se notează cu Oy și se numește axa ordonatelor. Sensul de parcurgere este de jos în sus. Reperul cartezian se notează xOy sau (Ox, Oy).
y 1 O
x
1
În plan, se consideră un sistem de axe ortogonale xOy. Fiecărei perechi y de numere reale (a, b) ∈ ℝ × ℝ îi corespunde un unic punct în plan, care se reprezintă astfel: M yM B l se reprezintă pe axa Ox punctul A, având coordonata a. l se reprezintă pe axa Oy punctul B, având coordonata b. A l se desenează dreptunghiul având vârfurile O, A și B. O x xM l al patrulea vârf al dreptunghiului, notat cu M, este punctul căutat. M se numește reprezentarea geometrică a perechii de numere reale (a, b). Numerele a și b se numesc coordonatele punctului M. Acestea se mai notează și xM, respectiv yM. Punctul M se mai notează și M (xM, yM). Se citește „Punctul M cu coordonatele xM și yM”. Coordonata xM = a se numește abscisa punctului M, iar coordonata yM = b se numește ordonata punctului M. Fiecărui punct P din plan i se asociază, în mod unic, o pereche de numere reale (x, y), notată și (xP, yP), care se determină astfel: din punctul P se trasează perpendicularele pe axele de coordonate, care vor intersecta axa Ox în punctul de coordonată xP și axa Oy în punctul de coordonată yP. Numerele xP și yP sunt coordonatele punctului P.
y yP B O
P
xP
x 49
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a A 1
Produsul cartezian a două mulțimi nevide
Se consideră mulțimile A ={−3; − 1; 1; 3} ,
6
B = {−2; 4} , C =∈ { x | ( x + 2 ) x} . a) Scrieți mulțimea C, enumerându-i elementele. b) Determinați mulțimile: A × B, B × C, C × A.
2
Se consideră mulțimile A = {1, 2, 3} și B = {a, b}. Determinați mulțimile: A × B, B × A, A × A și B × B.
3
Se consideră mulțimile C = {–1, 1} și D = {d ∈ ℤ d = c + 1, c ∈ C}. Determinați C × D și D × C.
4
5
1 3 3 Fie M = − ; − 0,75; 0; ; . Determinați mulți2 3 2 1 mile A = {x ∈ M | | x | > 1} și B = {x ∈ M | | x | < }, 2 apoi calculați A × B și B × A.
8
9
Dacă A × B = {(–3; –1), (–3; 1), (–3; 3), (3; –1), (3; 1), (3; 3)}, determinați mulțimile A și B.
10
Determinați mulțimile C, D, C × D, D × C, știind că 1 C a | a 2 , iar 4 5 D= ∈ . c ∈ | 1 − 2c
Sistem de axe ortogonale
Precizați coordonatele punctelor reprezentate în sistemul de axe ortogonale din figura 1.
3
Aflați lungimea segmentului AB, știind că punctele A și B au următoarele coordonate: a) A(3; – 2 ); B(3; 8) b) A(–5; 3); B(7; 3) c) A(3; 5); B(7; 2)
4
Reprezentați într-un sistem de axe ortogonale punctele: A(–2, 3), B(–5, 4), C(3, 2), D(9, –2), E(3, –5), F(2, 1).
B
C
F O
D
5
E fig. 1 În figura 2, este reprezentat geometric produsul cartezian A × B. Scrieți elementele mulțimilor A, B și B × A.
fig. 2 50
Determinați mulțimea
M x, y | 2 x xy 3 .
A
2
Se consideră mulțimile D =∈ {x | x < 3} ,
1 1 E = x ∈ | x − = . Determinați mulțimile 2 2 D × E și E × D.
Mulțimea C are 3 elemente, iar mulțimea D are 4 elemente. Precizați numărul elementelor mulțimii C × D. Ilustrați răspunsul dat printr-un exemplu.
B 1
7
Găsiți două mulțimi A și B astfel încât produsul cartezian A × B să aibă 5 elemente.
Reprezentați într-un sistem de axe ortogonale punctele: A(2, 3), B(–1, 4), C(– 3 , 2), D(1, –4), 5 E( , –1), F(3, 0), G(0, 2), H(–4, 0), I(0, –3). 2 6 Determinați mulțimile S și T, apoi reprezentați geometric elementele lor în același sistem de axe de coordonate: S = {(x, y) ∈ ℕ × ℕ| x + y = 3}, T = {(x, y) ∈ ℕ × ℕ| 2x + 3y = 12}.
Elemente de organizare a datelor 7
Reprezentați în câte un sistem de axe de coordonate
13
elementele mulțimilor:
a) Reprezentați grafic punctele date.
A = {(x, y) ∈ ℤ × ℤ| | x | =2 și – 1 ≤ y ≤ 2};
b) Calculați perimetrul triunghiului ABC. c) Stabiliți natura triunghiului ABC și determinați
B = {(x, y) ∈ ℤ × ℤ| x2 = 9 și (y – 1)2 = 4}; 5 −6 ∈ ℕ și ∈ ℤ}. x+2 2x + 1 8 Aflați lungimea segmentului AB, dacă:
C = {(x, y) ∈ ℤ × ℤ|
aria sa. 14
b) A(3; 2); B(–2, 2) c) A(8; 3); b(3; –9)
b) Calculați lungimile segmentelor OA, OB, OC. c) Determinați natura triunghiului ABC. 15
B = {x | x ∈ ℤ, –5 ≤ x ≤ 1}.
punctul M (6, 8).
a) Determinați mulțimile C = A ∩ ℕ, D = B ∩ ℕ.
a) Calculați lungimea segmentului OM.
b) Determinați mulțimile E = (A\B), respectiv
b) Dacă N este simetricul punctului M față de axa
F = B\A.
Ox, calculați perimetrul triunghiului MON.
c) Reprezentați geometric, într-un reper cartezian, elementele mulțimilor C × D, E × F.
Reprezentați într-un sistem de axe ortogonale punctele A(2, 5), B(5, 1), C(0, –3), D(–3, 0), apoi
16
a) A(2, 5), B(5, 1), C(1, –2) b) A(3, 0), B(7, 0), C(7, –2) 12
B = {x ∈ ℤ || 2x + 1 | ≤ 3 |}.
Demonstrați că triunghiul ABC este isoscel, știind că:
Fie punctele M (6; 2 3) și N (–2; 2 3). a) Aflați perimetrul și aria triunghiului OMN (unde O este originea sistemului de axe ortogonale). b) Demonstrați că triunghiul OMN este dreptunghic.
a) Reprezentați grafic mulțimile A × B și B × A, unde A = {x ∈ ℤ | –3 < x ≤ 1} și
calculați lungimile segmentelor AB, BC, CD, DA. 11
Se dau mulțimile: A = {x | x ∈ ℤ, –3 < x ≤ 6},
Într-un sistem de axe ortogonale xOy se consideră
10
a) Reprezentați punctele A(–4; 3), B(4, –3), C(1, 1) în sistemul de axe ortogonale xOy.
a) A(–2; 3); B(–2; –1)
9
Fie punctele A(2, 5), B(5, 3), C(7, 6).
b) Aflați A∪B, A∩B, A\B, B\A. 17
Reprezentați în același sistem cartezian punctele A(–4; 0), B(0; 4), C(2; 2), D(4; 0). a) Aflați lungimile segmentelor determinate de aceste puncte. b) Demonstrați că punctul C este mijlocul seg mentului BD. c) Calculați aria triunghiului ABC.
51
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
3.2. Dependențe funcționale Breviar teoretic Corespondența x → y de la mulțimea nevidă A la mulțimea nevidă B este o dependență funcțională dacă aceasta face ca fiecărui element al mulțimii A să-i corespundă un singur element din mulțimea B. Dependențele funcționale se pot reprezenta prin: tabele, grafice, diagrame. 1
8 caiete, respectiv 13 caiete, apoi completați pe
a) Scrieți într-un tabel distanțele parcurse de 1 motociclist în 0,5 ore, 1 ore, 2 ore, respectiv 4 în 45 de minute.
caiete tabelul de mai jos, cu valorile obținute.
b) Se știe că lungimea circuitului este de 7,5 km.
Un caiet de matematică are prețul de 4,5 lei. Aflați ce sumă ar trebui să plătim pentru 2 caiete, 5 caiete,
Numărul caietelor Suma plătită 2
1 caiet
2 caiete
5 caiete
8 caiete
Câte tururi de circuit realizează motociclistul în
13 caiete
valorile de timp prevăzute la subpunctul a). 5
4,5 lei
calculează după formula= d
Calculați aria unui pătrat cu latura ℓ, exprimată
Completați tabelul.
40 ; 500 . mulțimii 4; 7; 8,5; 3 Scrieți datele obținute, într-un tabel.
L l d
Aria unui pătrat este egală cu a cm2,
400 cu a ∈ 2, 25; 36; 144; . 81 a) Determinați lungimea laturii și perimetrul pătratului.
6
2,25
36
144
4
Un motociclist se antrenează pe un circuit precum cel din imaginea de mai jos. În timpul antrenamentelor, acesta se deplasează cu viteza medie de 120 km/h.
16
8 6
5 13
24 7
20
La un test, elevii unei clase au obținut următoarele 9; 10; 7; 10. Completați frecvența fiecărei note, rezultată din datele prezentate, apoi calculați media notelor
400 81
l P
4 3 5
note: 8; 9; 7; 10; 10; 5; 6; 9; 8; 9; 9; 9; 10; 8; 10; 9;
b) Completați tabelul cu datele obținute. a
L2 + l 2 , unde L,
respectiv l, reprezintă dimensiunile dreptunghiului.
în centimetri, pentru fiecare valoare ℓ aparținând
3
Lungimea diagonalei unui dreptunghi se
obținute la acest test. Nota frecvența 7
5
6
7
8 3
9
Se consideră dependența funcțională n → m, de la mulțimea {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, la mulțimea ℕ, dată de regula: m este ultima cifră a numărului 2n. a) Determinați mulțimea valorilor pe care le poate lua m. b) Reprezentați dependența funcțională dată, printr‑un tabel. c) Aflați ultima cifră a numărului 2100.
52
10
Elemente de organizare a datelor 8
În tabelul de mai jos este prezentat cursul euro-leu în perioada 01.09 – 10.09.2019. Data 01.09. 02.09. 03.09. 04.09. 05.09. 06.09 07.09 08.09 1 euro 4,723 4,722 4,724 4,730 4,725 4,731 4,728 4,732
09.09 4,736
10.09. 4,724
a) Stabiliți data la care moneda euro a avut cel mai mic, respectiv cel mai mare curs. b) Calculați cursul mediu al euro în această perioadă. 9
În reprezentarea de mai jos este redată preferința elevilor unei școli pentru studiul unei limbi moderne.
80
11
nr. elevilor
60 40
Trei depozite aprovizionează o fabrică de panificație cu făină, în conformitate cu diagrama circulară de mai jos. Completați tabelul de date, cuprinzând cantitatea de făină achiziționată din fiecare depozit, exprimată în tone. depozitul 1 2 3 cantitatea 30 tone
20 limba preferată engleză
a) Aflați numărul elevilor din această școală. b) Stabiliți care este limba modernă preferată de cei mai puțini elevi. c) Realizați tabelul de date corespunzător diagramei prezentate. 10
Graficul următor reprezintă evoluția temperaturii în timpul unei zile, prin corespondența ora → tempe ratura înregistrată la acea oră.
t° 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
depozit
spaniolă franceză italiană germană
1 2 3
12
Statistica premiilor și mențiunilor obținute de elevii unei școli este redată prin diagrama de mai jos. nr. elevilor
30 25 20 15 10 5 premiu
O 5
10
15
20
24
ora
a) Precizați cea mai mare temperatură înregistrată pe parcursul zilei și ora la care a fost înregistrată aceasta. b) Scrieți perioadele în care temperatura a crescut și perioadele în care temperatura a scăzut.
a) Alcătuiți tabelul de date corespunzător diagramei. b) Aflați numărul total de premii și mențiuni obți nute de elevii acestei școli. c) Exprimați frecvențele în procente și realizați diagrama circulară corespunzătoare.
53
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a 13
Se consideră mulțimea A = {–2; 0; 2; 4} și depen dența funcțională x → y cu x∈ A și y ∈ B.
x – 1, stabiliți mulțimea B cu cele 2 mai puține elemente posibile. b) Realizați tabelul de valori, apoi reprezentarea geometrică a graficului dependenței date la subpunctul a).
15
În tabelul următor este reprezentată dependența funcțională x → y cu x∈ A și y ∈ B. x y
a) Știind că y =
14
În tabelul de mai jos, au fost înregistrate datele privind numărul mașinilor care au intrat în București într-o zi, grupate pe intervale orare. Interval orar 6:00 – 10:00 8:00 – 10:00 10:00 – 12:00 12:00 – 14:00 14:00 – 16:00 16:00 – 18:00 18:00 – 20:00 20:00 – 22:00
Numărul mașinilor 13 800 13 700 13 400 13 600 12 700 13 300 13 550 11 950
a) Stabiliți perioada de timp cea mai aglomerată din acea zi. b) Reprezentați, prin batoane, corespondența între intervalele orare și numărul mașinilor intrate în oraș. c) Realizați un nou tabel de date, corespunzător intervalelor orare: 6:00–10:00; 10:00–14:00; 14:00–18:00; 18:00–22:00 d) Realizați poligonul frecvențelor, corespunză toare tabelului de la subpunctul c).
54
–2 0
0 a
2 4
b 5
a) Determinați mulțimile A și B între care se defi nește dependența funcțională. b) Știind că y = x + 2, determinați a și b. 16 În
figura următoare este reprezentat geometric gra ficul dependenței funcționale x → y, cu x∈ A și y ∈ B. y
6 5 4 3 2 1 –1 O
1 –1
2
3
4
x
–2 a) Determinați mulțimile A și B între care este definită dependența. b) Găsiți o formulă/regulă care exprimă valorile lui y în funcție de x.
Patrulatere
4. PATRULATERE 4.1. Patrulater convex. Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex Breviar teoretic
D
Definiție Un patrulater în care dreapta suport a oricărei laturi nu intersectează celelalte laturi, decât cel mult în vârfurile patrulaterului, se numește patrulater convex.
A
(AB; CD) și (BC; AD) – perechi de laturi opuse; (AB; BC), (BC; CD), (CD; DA), (DA, AB) – perechi de laturi alăturate; (∢A; ∢C) și (∢B; ∢D) – perechi de unghiuri opuse; (∢A; ∢B), (∢B; ∢C), (∢C; ∢D) și (∢D; ∢A) – perechi de unghiuri alăturate. AC și BD – diagonalele patrulaterului. Definiție Un patrulater în care oricare două laturi se intersectează, cel mult, în vârfurile patrulaterului și care nu este convex, se numește patrulater concav.
C B D
A
B
C
Observație: Într-un patrulater concav, există o latură a cărei dreaptă suport intersectează o altă latură a sa. Ordinea vârfurilor în numirea patrulaterului convex este de mare importanță. Suma măsurilor unghiurilor interioare ale unui patrulater convex este 360°. Observație: Când ne referim la un patrulater convex, vom scrie, de regulă, patrulater.
1
2
Punctul G este centru de greutate al triunghiului
Camera în care locuiește Ionel are podeaua în
ABC, iar D, E, F sunt mijloacele laturilor BC, AC,
formă de patrulater. Ionel dorește să își reamenajeze
respectiv AB. Numiți șase patrulatere convexe
camera și măsoară unghiurile formate de pereți.
determinate de câte patru dintre punctele anterioare.
Două dintre unghiuri au măsura de 90°, iar al treilea
În desenul alăturat punctele N, A, C, U sunt coliniare. Numiți patru patrulatere convexe care L se pot forma cu patru dintre punctele L, U, C, I, A, N.
3
5
are măsura de 94°. Al patrulea unghi nu poate fi
N A C
măsurat din cauza unui dulap masiv. Ionel crede I
U
Un patrulater are toate unghiurile congruente. Aflați
măsurile unghiurilor patrulaterului. 4 Într-un patrulater, două unghiuri sunt suplementare. Arătați că și celelalte două unghiuri ale patru laterului sunt suplementare.
că al patrulea unghi este unghi drept. Stabiliți dacă acesta are dreptate sau nu. 6 În patrulaterul convex ABCD triunghiurile ABC și ACD sunt dreptunghice isoscele, cu ∢ABC = ∢ACD = = 90°. Aflați măsurile unghiurilor patrulaterului. 7 Patrulaterul ABCD are două unghiuri alăturate con gruente, iar celelalte două unghiuri sunt comple mentare. Știind că măsura unuia dintre unghiuri este de 50°, aflați măsurile celorlate trei unghiuri. 55
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
Determinați măsurile unghiurilor unui patrulater convex știind că măsurile lor sunt direct proporționale cu 3; 4; 5 și 6. 9 Determinați măsurile unghiurilor unui patrulater convex știind că măsurile lor sunt invers proporționale cu 2; 3; 4 și 6. 10 În patrulaterul convex ABCD unghiurile ∢B și ∢D sunt unghiuri drepte. Demonstrați că dacă diagonala AC este bisectoarea unghiului BAD, atunci AC este și bisectoarea unghiului BCD. 11 În desenul alăturat, A E triunghiurile ABD și CDE sunt echilaterale, punctele B, C, D B E sunt coliniare, iar DE este bisectoarea unghiului ∢ADB. Aflați măsurile unghiurilor C patrulaterului ABCD. 12 În patrulaterul convex ABCD unghiurile formate de diagonala AC cu laturile AB, BC, CD și AD sunt de 30°, 40°, 50°, respectiv 60°. Aflați măsurile unghiurilor patrulaterului. 13 În patrulaterul ABCD avem ∆ABD echilateral și ∆BCD isoscel, cu ∢CBD = 90°. Dacă CE este bisectoarea unghiului ∢ACD, E ∈ AD, arătați că CE ‖ AB. D 14 Fie patrulaterul convex ABCD A cu ∆ABC echilateral și ∆BCD dreptunghic isoscel, cu ∢BCD = 90°. Determinați măsurile B C unghiurilor patrulaterului. 15 Demonstrați că dacă într-un patrulater convex bisectoarele a două unghiuri alăturate sunt perpen diculare, atunci și bisectoarele celorlalte două un ghiuri alăturate sunt perpendiculare. 8
56
16
Patrulaterele ABCD și ABCE au același perimetru și D ≠ E. Dacă CD = AE arătați că ∢ADC = ∢AEC.
17
Fie D, un punct situat pe latura BC, a triunghiului ABC. Mediatoarea segmentului BD intersectează latura AB în punctul E, iar mediatoarea segmentului CD intersectează latura AC în punctul F.
a) Dacă ∢A = 80° și ∢C = 38°, calculați măsurile unghiurilor patrulaterului AEDF. b) S tabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor: p1: ∢AED = 2 · (∢B) p2: ∢AFD = 2 · (∢C) p3: ∢A ≡ ∢EDF 18 Fie patrulaterul convex ABCD cu ∢A = ∢B − 30°; măsura unghiului B este media aritmetică a măsurilor unghiurilor alăturate lui, iar ∢D este unghi drept. Aflați măsura fiecăruia dintre unghiurile A, B și C. 19
În patrulaterul ABCD unghiurile ∢B și ∢D sunt unghiuri ascuțite și congruente. Dacă AB = AD arătați că BC = CD. 20 În patrulaterul ABCD A R unghiurile alăturate F unghiului B sunt drepte, B iar unghiul opus lui B are măsura egală cu jumătate C D din măsura unghiului B. a) Aflați măsura unghiului B. b) Fie DF bisectoarea unghiului ADC, cu F situat pe latura AB și {R} = BC ∩ DF. AF AB . Dacă = 2 calculați BF BC 21 Într-un patrulater convex ABCD, bisectoarele unghiurilor din A și C sunt paralele. Arătați că unghiurile B și D sunt congruente.
Patrulatere
4.2. Paralelogramul. Proprietăți. Aplicații ale paralelogramului în geometria triunghiului Breviar teoretic Definiție Un patrulater convex care are ambele perechi de laturi opuse paralele se numește paralelogram. Proprietățile paralelogramului: Dacă un patrulater este paralelogram, atunci: l Laturile opuse sunt paralele. l Laturile opuse sunt congruente. l Diagonalele se înjumătățesc. l Unghiurile opuse sunt congruente. l Unghiurile alăturate sunt suplementare. l Fiecare diagonală formează cu laturile opuse unghiuri congruente. Condiții suficiente: Pentru ca un patrulater convex să fie paralelogram, este suficient să fie îndeplinită una din condițiile: l Cele două perechi de laturi opuse ale patrulaterului să fie congruente. l Două laturi opuse ale patrulaterului să fie paralele și congruente. l Oricare două unghiuri opuse ale patrulaterului să fie congruente. Două perechi de unghiuri alăturate ale patrulaterului să fie suplementare, iar cele două perechi să aibă l un unghi comun. l Diagonalele patrulaterului să se înjumătățească. Definiție Segmentul care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi se numește linie mijlocie a triunghiului. Dacă prin mijlocul unei laturi a unui triunghi construim o paralelă la altă latură, atunci obținem o linie mijlocie. (Linia mijlocie obținută astfel este segmentul situat pe această paralelă cuprins între laturile triunghiului.) Folosind proprietățile paralelogramului, se demonstrează: l Linia mijlocie determinată de două laturi ale unui triunghi este paralelă cu a treia latură și are lungimea egală cu jumătate din lungimea acesteia. l Medianele unui triunghi sunt concurente într-un punct G care se află, pe fiecare mediană, la două treimi de vârful ei și la o treime de mijlocul laturii opuse. Punctul G se numește centrul de greutate al triunghiului. l Înălțimile unui triunghi sunt concurente într-un punct H, numit ortocentrul triunghiului.
A 1
Paralelogramul. Proprietăți
Pentru fiecare dintre cazurile următoare calculați
2
perimetrul paralelogramului ABCD. a) AB = 4 cm, AD = 3 cm. b) AD = 5 cm, ∢C = 60°, AD ⊥ DB. c) AB = 4 cm, DB = 3 cm, AB ⊥ DB
ABCD este paralelogram, BD = 6 cm, AD = 4 cm și AD ⊥ BD. Calculați lungimea diagonalei AC.
3
ABCD este paralelogram, iar {O} = AC ∩ BD. Se cunosc ∢ACD = 30°, ∢DBC = 60°, ∢BOC = 45° și AO = 4 cm. Determinați ∢BAD și CD.
57
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a 4
Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor: a) Orice patrulater este un paralelogram. b) Unele patrulatere sunt paralelograme. c) În orice paralelogram, laturile opuse sunt con gruente. d) În orice paralelogram, unghiurile alăturate sunt congruente. e) În orice paralelogram, laturile alăturate sunt congruente. f) Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt con gruente. În orice paralelogram, diagonalele sunt per g) pendiculare. h) Există paralelograme cu trei unghiuri ascuțite și un unghi obtuz. i) Dacă în patrulaterul ABCD avem ∢A + ∢B = 180° și
∢B + ∢C = 180°, atunci ABCD este paralelogram. j) Dacă în patrulaterul ABCD avem ∢A = ∢C, atunci
5
6
58
ABCD este paralelogram. k) Dacă în patrulaterul ABCD avem AB ∥ CD și AB = CD, atunci ABCD este paralelogram. l) Dacă în patrulaterul ABCD avem AB ∥ CD și AD = BC, atunci ABCD este paralelogram.
Desenați câte un paralelogram care să îndeplinească condițiile cerute, pentru fiecare din situațiile următoare: a) AB = 5 cm, ∢A = 45°, AD = 3 cm. b) ∆ABC este echilateral. c) AB = 5 cm, ∢DAB = 60°, ∢DBA = 40°. d) AC = 8 cm, BD = 6 cm, ∢(AC, BD) = 60°. e) AB = 6 cm, BD = 5 cm, AD = 4 cm. Triunghiul ∆ABC este isoscel, cu AB = AC, iar BCDE este paralelogram, E ∈ AB și A {O} = DE ∩ AC. O E D a) A rătați că ∆COD este isoscel. B C b) D acă ∢BAC = ∢OBC, arătați că ∆BOC este isoscel.
D Triunghiul ∆DAR este isoscel, cu DA = DR, iar DANS este paralelogram, {E} = AR ∩ SN. S a) Arătați că ∆NAE este isoscel. A R E b) Dacă AN = 3 cm și SR = 7 cm calculați SN. N 8 ABCD este un patrulater cu ∢ABD = = ∢BDC, AB = 0,04 m, CD = 40 mm. Arătați că ABCD este paralelogram. M 9 În figura alăturată avem triunghiul oarecare ∆MNO, R E D D este mijlocul laturii MN, iar NORD este paralelogram. N O Arătați că ∆DEM ≡ ∆REO, unde {E} = MO ∩ DR. 10 Arătați că segmentul care unește mijloacele a două laturi opuse ale unui paralelogram împarte paralelogramul în două paralelograme congruente. 7
L I În figura alăturată, paralelogramele AGER R E și AGIL au latura comună AG. Arătați că A G REIL este paralelogram. H 12 În figura alăturată, S A paralelogramele IAHT și VAST au diagonala T AT comună. Arătați că V I dreptele AT, IH și VS sunt concurente. 13 Se prelungesc laturile paralelogramului ABCD astfel: DA cu AF ≡ DC și DC cu CE ≡ AD. Arătați că punctele F, B, E sunt coliniare. 14 Fie ABCD un paralelogram și punctele M∈AB, N∈CD astfel încât AM ≡ CN și fie AC ∩ BD = {O}. Arătați că: a) AMCN este paralelogram; b) BNDM este paralelogram; c) MN, AC, BD sunt concurente; d) dacă DM ∩ AN = {S} și BN ∩ CM = {T}, atunci MTNS este paralelogram; e) S, O, T sunt puncte coliniare. 11
Patrulatere 15
16
17
Fie ABCD paralelogram și CE, AF bisectoarele unghiurilor ACD, respectiv CAB (E∈AD, F∈BC). Arătați că: a) AFCE este paralelogram; b) BFDE este paralelogram; c) dacă BE ∩ AF = {M} și CE ∩ DF = {N}, atunci MFNE este paralelogram. Fie BE, respectiv DF, perpediculare pe diagonala AC a paralelogramului ABCD, cu E, F ∈ AC. a) Arătați că BEDF este paralelogram; b) Dacă DF ∩ AB = {M} și BE ∩ CD = {N}, arătați că AMCN este paralelogram; c) Dacă AN ∩ DM = {P} și CM ∩ BN = {Q}, demonstrați că dreptele MN, PQ și BD sunt concurente. ABCD este paralelogram, punctele E și G sunt situate pe diagonala BD, iar EF ∥ AD, F ∈ AB, GH ∥ BC, H ∈ CD. Știind că ∢BDC = x, ∢FEB = = 3x − 20° și ∢GHC = 6x − 80°, determinați măsurile unghiurilor paralelogramului ABCD.
H
D
18
dreaptă care trece prin mijlocul laturii BC a O paralelogramului ABCD intersectează latura CD în punctul R, iar prelungirea laturii AB în punctul T. a) Arătați că BTCR este paralelogram. b) Dacă RC = 2 ∙ DR, arătați că AB = 1,5 ∙ BT.
19
ABCD este paralelogram, punctele E și N sunt situate pe diagonala BD, iar EF ∥ AD, F ∈ AB și CN ⊥ BD. Știind că DC = 2 · CN și ∢AFE = 100°, determinați măsurile unghiurilor triunghiului BCN.
D
A
C
E
F
N
E
C
F A 21
B
Se consideră paralelogramele ABCD și BLOC, cu ∢ADC = 45°, ∢LOC = 120°. a) Calculați măsura unghiului ∢DCO. b) Arătați că AL = DO. O
C
D
L A
B
22
Fie triunghiul ∆ABC și M mijlocul laturii BC. Paralela prin B la AM intersectează dreapta AC în E, iar paralela prin C la AM intersectează dreapta AB în F. Arătați că BEFC este paralelogram.
23
În paralelogramul ABCD avem ∢BCD = 75°, ∢ABD = 30° și AB = 12 cm. a) Calculați lungimea diagonalei BD . b) Fie E, F mijloacele laturilor BC respectiv CD, iar {G} = AF ∩ BD, {H} = AE ∩ BD. Arătați că GH = 4 cm.
24
În exteriorul paralelogramului ABCD, cu unghiul ∢BAD = 70°, se construiesc pătratele BLOC și BARE. Arătați că: a) BD = EL b) DR = DO c) ∢DOR = 45° d) BD ⊥ EL
B
F
ABCD este paralelogram, AE este bisectoarea unghiului ∢BAD, E se află pe latura CD și AE = AB. a) Arătați că EB este bisectoarea unghiului ∢AEC. b) Perpendiculara în C pe BE intersectează latura AE în F. Arătați că ∆ADF este isoscel. D
C
E G
A
20
B 59
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a B
Aplicații ale paralelogramului în geometria triunghiului
Punctele D și E sunt situate pe laturile AB, respectiv AC, ale triunghiul ABC. Stabiliți valoarea de adevăr pentru fiecare propoziție. Scrieți A, în căsuța corespunzătoare din tabel, dacă pro poziția este adevărată, și F, dacă propoziția este falsă. Propoziția A/ F Dacă AD = 4 cm, DB = 4 cm, AE = 3 cm, EC = 3 cm, atunci DE este linie mijlocie a triunghiului ABC. Dacă AD = DB și AC = 2 · EC, atunci BC . DE = 2 Dacă AB = 2·AD și AE = 2 · EC, atunci DE ∥ BC.
1
Dacă DE ∥ BC, atunci DE este linie mijlocie a triunghiului ABC.
În triunghiul ABC, punctul M este mijlocul laturii AB și N este mijlocul laturii BC. Completați spațiile libere pentru ca afirmațiile să fie adevărate: a) Dacă AC = 33 cm, atunci MN = ... cm. b) Dacă MN = 13,75 cm, atunci AC = ... cm. c) Dacă triunghiul ABC este echilateral, cu perime trul 90 cm, atunci MN = ... cm. d) Dacă triungiul MNP este echilateral, cu perimetrul 27 cm, P fiind mijlocul laturii AC, atunci AB = ... cm. 3 Punctele D, E, F sunt mijloacele laturilor AB, BC, AC ale triunghiului ABC. a) Arătați că ∆ ADF ≡ ∆ DBE ≡ ∆ FEC ≡ ∆ EFD. 1 b) Dacă AABC = a și AADF = · a, aflați numărul n. n c) Dacă AADF = b și ABEFD = m · b, aflați numărul m. 4 În triunghiul DEF, punctul M este mijlocul laturii DE, N este mijlocul laturii EF, iar P este mijlocul laturii DF. Știind că ∢DFE = 62° și ∢EMN = 43°, determinați: a) măsurile unghiurilor ∢EDF, ∢DPM și ∢DEF. b) măsurile unghiurilor patrulaterului EMPN. 5 Se consideră triunghiul MNP și A, B, C mijloacele laturilor MN, NP, respectiv MP. Se notează cu D intersecția dreptelor AB și CN, iar cu E intersecția dreptelor MD și AC. Demonstrați că punctul E este centrul de greutate al triunghiului ABM. 2
60
ABCD este paralelogram, iar AC ∩ BD = {O}. Paralela prin punctul M, mijlocul laturii AB, la dreapta BD intersectează BC în E și CD în F. Demonstrați că punctul O este centrul de greutate al triunghiului CEF. 7 AD este mediană a triunghiului ABC, iar M este mijlocul acesteia. Dacă AB = 12 cm, BC = 14 cm, AC ∩ BM = {N}, iar AN = 6 cm, calculați perimetrul triunghiului ABC. 8 Se consideră triunghiul MNP și D, E, F mijloacele laturilor MN, NP, respectiv MP. Demonstrați că triun ghiurile MNP și DEF au același centru de greutate. 9 Punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC, iar D și E sunt mijoacele laturilor AB, respectiv AC. a) Dacă F este mijlocul segmentului AG, stabiliți natura patrulaterului DFEG. b) Dacă BE = 3x cm, CD = 3y cm, iar G este mijlocul segmentului AN, calculați perimetrul patrulaterului BNCG. 10 Fie AD mediană în ∆ABC, iar M mijlocul ei. Dacă {N} = AC ∩ BM și AN = 4 cm, calculați lungimea laturii AC. A 11 În ∆ABC, BD este bisectoarea unghiului ∢ABC, D ∈ AC, E este mijlocul laturii AB, iar BD ⊥ DE. F Se construiește EF ‖ BC, F ∈ AC E D și {G} = DE ∩ BC. G a) Arătați că EF = CG b) Arătați că AB = 3 · BC C c) Dacă ∢ABC = 60° arătați B că AG ⊥ BG. 12 Fie D, mijocul laturii AC a triunghiului ABC. Paralela prin punctul B la dreapta AC intersectează paralela prin D la dreapta AB în E. Știind că AB ∩ EC = {F}, demonstrați că dreptele AE, BC și DF sunt concurente. 6
13
Se consideră triunghiul isoscel ABC, cu AB = AC, D ∈ AB și E ∈ AC astfel încât BD ≡ AE. Fie MN linie mijlocie a triunghiului ABC, M ∈ AB și N ∈ AC, DE ∩ MN = {P}. Arătați că DP ≡ PE.
Patrulatere
4.3. Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat Breviar teoretic Definiție: Paralelogramul cu un unghi drept se numește dreptunghi. Proprietățile dreptunghiului: l Are toate proprietățile paralelogramului. l Are toate unghiurile drepte. l Are diagonalele congruente. Condiții suficiente l Un patrulater cu trei unghiuri drepte este dreptunghi. l Un paralelogram cu diagonalele congruente este dreptunghi.
D
C
A
B
Definiție: Paralelogramul care are două laturi alăturate congruente se numește romb. Proprietățile rombului: D l Are toate proprietățile paralelogramului. l Are toate laturile congruente. O l Are diagonalele perpendiculare. A l Diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor rombului. Condiții suficiente B l Un patrulater care are toate laturile congruente este romb. l Un paralelogram cu diagonalele perpendiculare este romb. l Un paralelogram în care o diagonală este bisectoare a unui unghi al paralelogramului, este romb.
C
Definiție: Patrulaterul convex care este și dreptunghi și romb se numește pătrat. Proprietățile pătratului: l Are toate laturile congruente și toate unghiurile congruente (unghiuri drepte). D l Are diagonalele congruente, perpendiculare și se înjumătățesc. l Diagonalele formează cu fiecare latură a pătratului un unghi de 45°. Condiții suficiente l Un paralelogram cu diagonalele congruente și perpendiculare este pătrat. A l Un romb cu diagonalele congruente este pătrat. l Un romb cu un unghi drept este pătrat. l Un dreptunghi cu diagonalele perpendiculare este pătrat. l Un dreptunghi cu două laturi alăturate congruente este pătrat. l Un dreptunghi cu o diagonală bisectoare a unui unghi al dreptunghiului, este pătrat.
C O
B
61
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a A 1
Dreptunghiul
Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor: a) Unele paralelograme sunt dreptunghiuri. b) Orice dreptunghi este și patrulater și paralelogram. c) Dacă un paralelogram are un unghi drept, atunci este dreptunghi. d) D acă un patrulater are două unghiuri drepte, atunci este dreptunghi. Pentru propozițiile următoare O este punctul de intersecție a diagonalelor dreptunghiului ABCD.
7
Fie ABCD un dreptunghi, cu AB > BC, iar ΔADE echilateral, exterior dreptunghiului, și ΔBCF echila teral, interior dreptunghiului. Arătați că: a) ABFE este paralelogram; b) DCFE este paralelogram; c) Dacă AF ∩ BE = {M} și DF ∩ CE = {N}, atunci MN ⊥ AB.
8
Fie ABCD un paralelogram cu AB > BC și ∢A < 90°, iar M și N situate pe diagonala AC, astfel încât AM = AO – BO și CN = CO – DO, unde AC ∩ BD = = {O}. Arătați că DMBN este dreptunghi.
9
În patrulaterul ABCD, cu {O} = AC ∩ BD, se cunosc AB = CD, OA = OB și ∢ABD = ∢ACD. Arătați că ABCD este dreptunghi.
e) PΔBOC = AD + AC.
f) Triunghiurile ΔAOB, ΔBOC, ΔCOD și ΔAOD sunt isoscele.
g) ΔAOB sau ΔBOC este echilateral.
2
3
4
h) Dacă AC + BD = 28 atunci OA = 7. i) Dacă ∢OAB = 35° atunci ∢BOC = 70°.
Fie ABCD dreptunghi și O punctul de intersecție al diagonalelor. Arătați că: a) OA = OB = OC = OD; b) unghiurile ∢OAB și ∢OBC sunt complementare. Dacă paralelogramul ABCD are două unghiuri alăturate congruente, arătați că ABCD este dreptunghi.
10 11
6
Fie ABCD dreptunghi cu M ∈ AB și MO ∩ CD = {N}, unde AC ∩ BD = {O}. Arătați că O este mijlocul lui MN.
Fie ABCD dreptunghi, cu AB > BC, și ΔDCE echi lateral, exterior dreptunghiului, iar ΔBCF echila teral, interior dreptunghiului. Arătați că: a) CE ⊥ FC; b) BD = EF.
Fie dreptunghiul BETA cu perimetrul de 24 cm. Aflați lungimile laturilor dreptunghiului în fiecare din cazurile: a) BE = 2 ∙ ET b) BE = 2 + ET c) 5 ∙ BE = 7∙ET d) 2 ∙ BE = 4 ∙ ET + 3 Triunghiul ΔABC este dreptunghic, iar T este un punct pe ipotenuza BC. Dacă TR ⊥ AB, R ∈ AB și TE ⊥ AC, E ∈ AC, arătați că patrulaterul ARTE este dreptunghi.
13
ABCD este dreptunghi, AB = x, BC = y, iar x și y sunt două numere pare consecutive. Dacă perimetrul dreptunghiului este 28 cm, aflați lungimea dia gonalei dreptunghiului.
14
În patrulaterul EURO avem EU ∥ RO, LE = LO și ∢LEU = ∢LOR. unde {L}= RE ∩ OU. Arătați că patrulaterul EURO este dreptunghi.
PΔBOC = 21 cm.
5
EC = 10 cm și PΔCOR = 18 cm, unde {O} = CE ∩ MR.
12
Fie ABCD dreptunghi și {O} = AC ∩ BD. a) D acă AB = 10 cm și PΔCOD = 24 cm, calculați AC. b) Dacă ∢AOB = 120° și AD = 7 cm, arătați că
Aflați perimetrul dreptunghiului CREM știind că
L E
62
R
O
U
Patrulatere 15
16
Fie M mijlocul ipotenuzei BC a triunghiului
22
dreptunghic ΔABC și E simetricul punctului A față
punctele R și E astfel încât ΔARD ≡ ΔBEC. Arătați
de M. Arătați că patrulaterul ABEC este dreptunghi.
că RE ∥ AB.
În dreptunghiul DREP, perpendiculara în E pe diagonala PR intersectează latura DR în H și dreapta DP în G. Arătați că PH ⊥ GR.
P
E
D
H
R 23
18
Fie dreptunghiul ABCD și DE bisectoarea unghiului ∢ADB, D E ∈ AB. Dacă O DE = EB arătați că: a) AE = EO. A b) DE = 2∙EO. E
C
R
A 24
triunghiul isoscel ΔDOC, astfel încât OD = OC și ∢DAO = 30°. Arătați că ΔAOB este echilateral.
O
D
B
O
Aflați perimetrul dreptunghiului ABCD știind că
În exteriorul dreptunghiului ABCD se construiește
E
D
B
sale sunt exprimate prin numere naturale pare.
C
Punctul O este punctul de intersecție al diagonalelor dreptunghiului ABCD și BE ⊥ AC, DF ⊥ AC, cu E, F ∈ AC. a) Arătați că O este mijlocul lui segmentului EF. b) Arătați că BEDF este paralelogram. c) Dacă AC = 2 ∙ EF, calculați măsura unghiului ∢BOC.
PΔABC = 28 cm și DB = 10 cm, iar lungimile laturilor 19
D
A
G 17
În interiorul dreptunghiului ABCD se consideră
F
E
C
B
În paralelogramul ABCD, cu ∢DAC = 75°, construim BL ⊥ AC, L ∈ AC. Dacă BD = 8 cm și BL = 2 cm, arătați că ABCD este dreptunghi.
D
O
C
L
B
A A
25
B
20
Fie dreptunghiul ABCD și punctul O situat în interiorul dreptunghiului, astfel încât OA = OB = = OC = l. Arătați că OD = l.
21
În figura alăturată, ABCD și AEFG sunt dreptunghiuri, C iar ΔAFC este
G
F B
dreptunghic E D A isoscel, cu ∢CAF = 90°. Arătați că cele două dreptunghiuri au același perimetru.
C
În figura de mai jos, punctele E și G aparțin laturii CD a dreptunghiului ABCD astfel încât ∢DAG = ∢GAE = = ∢EAB. Perpendiculara din D pe AG intersectează AE în M și GM ∩ AB = {L}. a) Arătați că GM ⊥ AE. b) Arătați că ALEG este romb.
D
G
E
C
M
A
L
B 63
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
A 26
Triunghiul isoscel ΔABC are AB = AC și ∢BAC = 45°. Fie AD, BE și CF înălțimile triughiului și H ortocentrul său. a) Arătați că ∢DAC = ∢EBC. b) Arătați că ΔBEC ≡ ΔAEH.
30
L F
H
B
E
D
C
În figurile de mai jos sunt două rampe identice având forma de triunghiuri dreptunghice congruente, cu AO = CE = 90 cm și OB = ED = 60 cm. La prima rampă se construiesc trei trepte identice și de la A la B se așază un covor, iar la cea de a doua rampă se construiesc patru trepte identice și de la C la D se așază un covor. Aflați care dintre cele două covoare are lungimea mai mare.
B
c) D acă L este mijlocul segmentului AH, arătați că patrulaterul DELF este romb.
27
28
În dreptunghiul ABCD avem AB = 2 ∙ AD, iar AE este bisectoare ∢BAD, E ∈ BC. Demonstrați că ACED este paralelogram.
În dreptunghiul ABCD punctele E și F sunt situate pe latura AB, astfel încât AE = BF.
A
O D
C
E
a) Arătați că ΔAED ≡ ΔBFC. b) Arătați că ∢DEF = ∢CFE. c) Arătați că DF = CE. d) Fie {P} = DF ∩ CE, iar Q și R mijloacele laturilor AB și CD. Arătați că punctele P, Q și R sunt coliniare.
C
D
31
P 29
A
E
B
În figura de mai jos este desenată o rampă sub forma unui triunghi dreptunghic ΔAOG, cu laturile AO = 90 cm și OG = 60 cm. Se construiesc trei trepte sub forma triunghiurilor dreptunghice ΔABC, ΔCDE și ΔEFG. De-a lungul traseului A-B-C-D-E-F-G se așază un covor. Aflați lungimea covorului. G F D B A
64
F
E
32
În figura de mai jos ABCD este dreptunghi, iar EBCF este pătrat. Știind că PABCD = 22 cm și PAEFD = 16 cm, calculați lungimile laturilor AB și BC.
D
F
C
A
E
B
În figura de mai jos ABCD este dreptunghi, AB = = 7 cm, BC =5 cm, R ∈ AD, E ∈ AB, AR = BE = = 2 cm. Calculați măsurile unghiurilor triunghiului ΔCER.
D
C
R
C O
A
E
B
Patrulatere B 1
2 3
Rombul
Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor: a) E xistă romburi care nu au diagonalele perpen diculare. b) D acă ABCD este romb atunci AC este bisectoarea unghiului ∢BAD. c) Orice dreptunghi este și romb. d) Orice romb este și dreptunghi. e) Dacă un patrulater are toate laturile congruente atunci este romb. f) D acă un paralelogram are trei laturi congruente și două laturi opuse paralele, atunci este romb. g) Dacă ABCD este paralelogram și BD este bisectoarea unghiului ∢ABC, atunci ABCD este romb.
Calculați perimetrul rombului ABCD, știind că ∢A = 60° și BD = 5 cm. Calculați perimetrul rombului ABCD, știind că A ∢A = 30° și d(D, AB) = 2 cm.
Fie AE bisectoarea unghiului ∢BAC, E ∈ BC. Se construiesc F ED ∥ AC, D ∈ AB și EF ∥ AB, D F ∈ AC. Arătați că ADEF este romb. B E 5 În figura alăturată A ABCD este romb, puncE tele E și F pe laturile B AD respectiv CD, cu F ED = DF. Arătați că C ∆BEF este isoscel. 4
C
D
6
ABCD este romb, iar E ∈ BD. Arătați că triunghiul ∆AEC este isoscel.
7
ABCD este romb, iar triunghiul ∆AEC este echi lateral. Arătați că punctele B, D, E sunt coliniare.
8
ABCD este romb, iar E ∈ AC astfel încât ∢AED = 30°. Arătați că triunghiul ∆BED este echilateral.
9
În paralelogramul ABCD, mediatoarea laturii BC intersectează dreptele AB și DC în E, respectiv în N. Arătați că BECN este romb.
10
În paralelogramul ABCD, mediatoarea laturii BC intersectează dreptele AB și DC în E, respectiv N. Știind că ∢BAD = 30° și DB ∥ NE, arătați că BEND este romb.
N
D
A
B
11
C
O E
Fie rombul ABCD. Perpendiculara în C pe AC intersectează dreptele AB și AD în E respectiv F. a) Arătați că ∆AEF este isoscel; b) Dacă BCFD este romb, arătați că și BECD este romb. 12 Rombul ABCD are ∢BAD = 150°. În exteriorul rombului se construiește triunghiul echilateral ADE. Arătați că BD = BE. 13 Triunghiul ABC este isoscel, cu AB ≡ AC, AD este bisectoarea unghiului A, iar M și N sunt mijloacele laturilor AB, respectiv AC. Arătați că MDNA este romb. 14 În patrulaterul ABCD, AC și BD sunt bisectoarele unghiurilor BAD, respectiv ADC, iar AC ⊥ BD. Arătați că ABCD este romb. 15
ABCD și BEFG sunt romburi, astfel încât B aparține segmentului AE, iar C aparține segmentului BG. Fie {O} = AC ∩ BD, {Q} = BF ∩ GE și {R} = AC ∩ GE. Arătați că BQRO este dreptunghi.
16
Romburile ABCD și ABEF au ∢DAB = ∢FAB < 90°. Arătați că patrulaterul DCEF este dreptunghi. 17 Se consideră triunghiul dreptunghic ΔABC, cu ∢BAC = 90°, AD ⊥ BC, D ∈ BC și BE bisectoarea unghiului ABC, E ∈ AC. Fie {R} = AD ∩ BE și ET ⊥ BC, T ∈ BC. a) Arătați că AE = AR. b) Arătați că patrulaterul ARTE este romb. C T D E A
R B 65
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a 18
Se consideră triunghiul dreptunghic ΔABC, cu ∢BAC = 90°, ∢ACB = 60°, AE ⊥ BC, E ∈ BC și CF bisectoarea unghiului ∢ACB, F ∈ AB. Fie {O} = AE ∩ CF și FR ⊥ BC, R ∈ BC. a) Arătați că ΔAOF este echilateral.
21
22
b) Arătați că patrulaterul AFRO este romb. C E R O A 19
F
A
C
24
În paralelogramul ABCD, cu AC ∩ BD = {O}, bisectoarea unghiului AOB taie pe AB și CD în P, respectiv T, iar bisectoarea unghiului BOC taie pe BC și AD în S, respectiv Q. Arătați că PSTQ este romb.
25
În ΔABC, cu ∢A = 90°, bisectoarea unghiului ABC taie înălțimea AD (D ∈ BC) în E și cateta AC în F. Fie AP (P ∈ BC) bisectoarea unghiului DAC. Arătați că AEPF este romb.
66
N
D În figura alăturată ABCD este paralelogram, O AB > BC, AE este bisectoarea unghiului A F ∢DAB, E ∈ CD, iar DF ⊥ AE, F ∈ AB. Arătați că AFED este romb.
E
B
C
B
În rombul ABCD, fie DE bisectoarea unghiului ADB, respectiv DF bisectoarea unghiului BDC (E ∈ AB, F ∈ BC). Arătați că: a) Δ DEF este isoscel; b) dacă AF ∩ BD = {M}, arătați că C, M, E sunt coliniare.
P
20
C
23
c) Arătați că ΔPAN este dreptunghic.
B
P
B
b) Arătați că PB este bisectoare în ΔPAN.
A
Fie punctul E ∈ AC situat în exteriorul rombului ABCD, astfel încât ∢ABC > 90° și CE = CD. Arătați că BE este paralelă cu bisectoarea unghiului ∢DAC. E D
Fie rombul ABCD. Perpendiculara în C pe BC intersectează dreptele AB și DB în N, respectiv P. a) Arătați că AD este perpendiculară pe NP.
D
Patrulaterul convex ABCD are unghiurile din A și C congruente, iar unghiurile din B și D sunt ascuțite. Dacă AB = AD și diagonala AC este bisectoarea unghiului ∢BCD, arătați că ABCD este romb.
Patrulatere C Pătratul 1
Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor: a) E xistă patrulater care este simultan dreptunghi și romb. b) Î ntr-un pătrat, orice unghi format de o diagonală cu una din laturi are măsura de 45°. c) Există pătrate care nu sunt paralelograme. d) Î ntr-un pătrat, diagonalele sunt congruente, sunt perpendiculare și se înjumătățesc. e) Dacă într-un patrulater diagonalele sunt con gruente, sunt perpendiculare și se înjumătățesc, atunci acesta este pătrat. f) D acă într-un dreptunghi diagonalele sunt perpen diculare, atunci acesta este pătrat. g) D acă într-un romb diagonalele sunt congruente, atunci acesta este pătrat. h) D acă M este mijlocul laturii CD a pătratului ABCD, atunci ∆ABM este echilateral. i) Laturile și diagonalele unui pătrat determină opt triunghiuri dreptunghice. j) D acă într-un patrulater diagonalele sunt perpen diculare și se înjumătățesc, atunci acesta este pătrat. k) Dacă în patrulaterul ABCD avem {O} = AC ∩ BD și OA = OB = OC = OD, atunci ABCD este pătrat.
2
Punctul O, de intersecție a diagonalelor rombului MNPQ, este situat la aceeași distanță de vârfurile rombului. Calculați măsurile unghiurilor MPQ, MNP.
3
În paralelogramul ABCD, AC = BD și AC ⊥ BD. Demonstrați că ABCD este pătrat.
4
ABCD este pătrat și AC ∩ BD = {O}. Construim OM ⊥ AB, M ∈ AB, ON ⊥ AD, N ∈ AD. Demonstrați că AMON este pătrat.
5
Bisectoarele unghiurilor DAB și ABC ale drept unghiului ABCD se intersectează în punctul M, M ∈ CD, iar N este mijlocul laturii AB. Stabiliți natura patrulaterelor ANMD și BCMN.
6
În desenul alăturat, ABCD D și BEFG sunt pătrate, G este mijlocul segmentului BC, iar GF ∩ AC = {M}. A
C G
M
F
E B a) Calculați măsurile unghiurilor triunghiului BMF.
b) C alculați măsurile unghiurilor patrulaterului DCFM. c) Demonstrați că MBFC este pătrat. 7 Se consideră E și F mijloacele laturilor AD, respectiv DC ale dreptunghiului ABCD. Dacă DB ⊥ EF arătați că ABCD este pătrat. F D C E B A 8 În figura de mai jos, O este mijlocul ipotenuzei triunghiului dreptunghic isoscel ∆PTE. Dacă M este simetricul punctului O față de cateta EP, arătați că patrulaterul POEM este pătrat. O E T A P M 9 În figura de mai jos, ABCD este pătrat, iar BEFC este paralelogram, astfel încât B este mijlocul segmentului DE. a) Calculați măsurile unghiurilor paralelogramului. b) Arătați că punctele A, B, F sunt coliniare. C F D
B
E
A 10 Fie punctele E și F pe laturile AB și, respectiv, CD ale pătratului ABCD, astfel încât EF ∥ BC. a) Arătați că EBCF este dreptunghi. b) Dacă PAEFD = 14 cm și PEBCF = 16 cm, aflați PABCD. 67
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a 11
În rombul ABCD, ∢BAD = 45°, iar FN este mediatoarea laturii AD, F ∈ CD, N ∈ AB. a) Arătați că ANDF este pătrat. b) Dacă {E} = AC ∩ FN, calculați măsura unghiului ∢AEO. D F C O E A
12
15
16
B
N
În figura de mai jos, ABCD este pătrat, iar N este un punct pe diagonala DB. Punctele E și F sunt picioarele perpendicularelor duse din N pe laturile BC, respectiv AB. Arătați că BENF este pătrat. D C E
N
D C În figura alăturată ABCD este E pătrat, bisectoarea unghiului R ∢BAC intersectează latura BC în R, iar RE ⊥ AC, E ∈ AC. B A a) Arătați că RE = RB. b) Arătați că ∆ADE este isoscel. c) Arătați că DE este bisectoarea unghiului ∢BDC.
Se consideră punctul E în interiorul pătratului ABCD și punctele P și R pe laturile BC, respectiv CD, astfel încât ∆CEP ≡ ∆CER. a) Calculați măsura unghiului ∢ECP. b) Arătați că punctele A, E și C sunt coliniare. c) Dacă EM ⊥ AB, M ∈ AB și EN ⊥ AD, N ∈ AD, arătați că patrulaterul AMEN este pătrat. R C D P
A
N
B
F
13 În
A
figura de mai jos ABCD și AGER sunt pătrate. a) Arătați că RG ∥ DB. b) Arătați că punctele A, E și C sunt coliniare. D C R A
14
68
17
E G
B
În figura alăturată ABCD D H este pătrat, AC ∩ BD = {O}. Punctele E, F, G, H sunt situate O pe segmentele OA, OB, OC E respectiv OD, astfel încât A EF ∥ AB, FG ∥ BC, GH = EF. Arătați că EFGH este pătrat.
E M
B
Pe laturile BC și CD ale pătratului ABCD se consideră punctele E și, respectiv F, astfel încât A D ∆AEF este echilateral. F a) Arătați că BE = DF. b) Calculați măsura unghiului ∢BAE. C B E c) Arătați că AC ⊥ EF.
C 18 Pe laturile AB și AD ale pătratului ABCD se
G
F B
consideră punctele T și, respectiv M, astfel încât D C ATOM este pătrat. a) Arătați că DO = BO. E M O b) Paralela prin D la OB intersectează dreapta OC în E. A Arătați că BEDO este romb.
T
B
Patrulatere
4.4. Trapezul. Clasificare, proprietăți, linia mijlocie a unui trapez Breviar teoretic Definiție Patrulaterul convex cu două laturi opuse paralele și celelalte două laturi neparalele se numește trapez. Fie ABCD trapez. Identificăm elementele: l Laturile paralele AB și CD și se numesc baze. Dacă AB > CD, atunci AB este baza mare iar CD este baza mică. l Laturile AD și BC se numesc laturile neparalele ale trapezului. l Segmentele AC și BD sunt diagonalele trapezului. l Distanța dintre bazele trapezului se numește înălțime a acestuia. A Dacă DE ⊥ AB, E ∈ AB, atunci DE este înălțime a trapezului. Dacă una dintre laturile D neparalele ale trapezului este perpendiculară pe baze, atunci acesta se numește A trapez dreptunghic.
C
D
C O B
E
Dacă laturile nepara lele ale unui trapez sunt congruente, atunci acesta se numește A B trapez isoscel.
D
C
B
Teoremă: Într-un trapez isoscel unghiurile alăturate aceleiași baze sunt congruente. Teoremă: Dacă într-un trapez unghiurile alăturate unei baze sunt congruente, atunci trapezul este isoscel. Teoremă: Într-un trapez isoscel diagonalele sunt congruente. Teoremă: Dacă într-un trapez diagonalele sunt congruente, atunci trapezul este isoscel. Definiție Segmentul determinat de mijloacele laturilor neparalele ale unui trapez se numește linie mijlocie a trapezului. Teoremă: Linia mijlocie a unui trapez este paralelă cu bazele și are lungimea egală cu semisuma lungimilor acestora. Teoremă: Paralela dusă la bazele trapezului, care trece prin mijlocul unei laturi neparalele, determină linia mijlocie a trapezului. Teoremă: Într-un trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare, înălțimea este egală cu linia mijlocie a trapezului. A 1
Trapezul. Clasificare, proprietăți
Trapezul ABCD din figura de mai jos are AB ∥ CD, AB > CD și ∢BAD = 90°. D
A
C
B
Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor: a) ABCD este un trapez dreptunghic. b) Diagonalele trapezului sunt congruente. c) AD este înălțimea trapezului. d) Dacă ∢ABC = 38°, atunci ∢BCD = 152°. e) ABCD are exact două unghiuri drepte. 69
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
D C Se consideră trapezul isoscel ABCD, cu baza mare AB și O {O} = AC ∩ BD. B A Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor: a) AD și BC au aceeași lungime. b) Dacă ∢A = 45°, atunci ∢C = 135°. c) OA = OB. d) ∢ADC = ∢BCD e) Diagonalele se înjumătățesc. f) ∢OAB = ∢OBA = ∢OCD = ∢ODC. 3 Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor: a) Un trapez are două laturi paralele, iar celelalte două laturi neparalele. b) Orice patrulater cu două laturi opuse paralele este trapez. c) În orice trapez există două perechi de unghiuri suplementare. d) Vârfurile unui trapez determină cinci perechi de laturi neparalele. e) Într-un trapez isoscel unghiurile alăturate aceleiași baze sunt congruente. f) Într-un trapez isoscel există doar o pereche de un ghiuri congruente. g) Dacă un trapez are un unghi drept, atunci este trapez dreptunghic. 2
6 7
5
Trapezul ABCD are ∢C = 126° și ∢D = ∙∢C. 6 Determinați măsurile unghiurilor ∢A și ∢B.
Fie ABCD un trapez isoscel, cu baza mare AB, iar DE și CF sunt înălțimi ale trapezului, E, F ∈ AB.
AB − DC . 2 b) Dacă AB = 17 cm, DC = 5 cm și DE = 8 cm, determinați perimetrul trapezului. A 8 Fie triunghiul isoscel ABC cu a) Arătați că AE = BF =
AB = AC, iar D, E sunt simetricele B punctului A față de B respectiv C. Arătați că patrulaterul DECB este D trapez isoscel. 9 În figura alăturată, ABCD D este dreptunghi, iar ABEF F este trapez isoscel. Arătați că FECD este trapez A isoscel. 10
h) Un trapez isoscel nu poate fi trapez dreptunghic. i) U n trapez care are diagonalele congruente este trapez isoscel. j) Linia mijlocie a unui trapez isoscel împarte trapezul în două trapeze isoscele. k) Un trapez cu două unghiuri alăturate congruente este trapez isoscel. 4
Un trapez dreptunghic are măsura unghiului obtuz de 130°. Aflați măsura unghiului ascuțit.
5
ABCD este trapez, iar DE și CF sunt înălțimi ale trapezului. Arătați că DEFC este dreptunghi. D C
A 70
E
F
B
E C E B
În figura de mai jos, ΔABD și ΔBCD sunt dreptunghice isoscele, ∢DAB = ∢DBC = 90°. Arătați că patrulaterul ABCD este trapez dreptunghic. C D
A 11
C
B
Fie triunghiul ΔABC echilateral, C mijlocul seg mentului BE și BEFA trapez isoscel, cu BE ∥ AF. Arătați că CEFA este romb. F A
B
C
E
12
În trapezul ABCD, cu înălțimea de 12 cm, se cunosc AD = 15 cm, BC = 25 cm și baza mică CD = 7 cm. Aflați lungimea bazei mari. 13 Se consideră trapezul ABCD, cu înălțimea de 12 cm, baza mare BC = 29 cm și baza mică AD = 15 cm. Știind că diagonala BD este bisectoarea unghiului ∢ABC, determinați perimetrul trapezului.
Patrulatere 14
În figura de mai jos, ΔABD ≡ ΔBAC. Arătați că ABCD este trapez isoscel. C D
A
În ΔABC, AD ⊥ BC, D ∈ BC, iar E, L și F sunt mijloacele laturilor BC, AC, respectiv AB. Arătați că DELF este trapez isocel.
16
ABCD este romb, BECD este paralelogram, iar AECD este trapez isoscel. Calculați măsura unghiului ∢DBC.
În trapezul dreptunghic ABCD se cunosc: ∢A = 60°, ∢B = 90°, AD = 4 cm și AC bisectoarea unghiului ∢DAB. Calculați lungimea laturii AB. C D
A 18
19
20
O 22
În trapezul ABCD, cu {O} = AC ∩ BD, avem OA = OB. Arătați că ABCD este trapez isoscel.
În trapezul isoscel ABCD avem AB ∥ DC, AD = DC= = BC = 4 cm și AB = 8 cm. Arătați că AC ⊥ BC. D C B
A 23
În figura de mai jos ABCD este trapez, AB ∥ DC, AF este bisectoarea unghiului DAB, F ∈ DC. Se consideră punctele E și M, astfel încât D este situat pe segmentul AE și M este mijlocul segmentului EF, iar DM ∥ AF. Arătați că AFMD este trapez dreptunghic. E M D A
F
C B
24
În figura alăturată BCDE C D este romb cu ∢EBC = 60° O și {O} = BD ∩ EC. N Perpendiculara din O B E pe DE intersectează A dreapta EB în A. a) Arătați că ABCD este trapez dreptunghic. b) Arătați că AOCN este paralelogram, unde N este mijlocul segmentului DE.
25
În trapezul ABCD avem AB ∥ CD și AB = 2 ∙CD. Dacă {E} = AD ∩ BC, arătați că DC este linie mijlocie în ΔEAB.
În trapezul isoscel ABCD avem AB ∥ DC, AC ⊥ BC, ∢ABC = 60° și DC = 4 cm. Calculați perimetrul trapezului ABCD. D C B
B
A
B
Paralelogramul ABCD din figura de mai jos are unghiul BAD ascuțit. Considerăm punctul E astfel încât EC ∥ DB, EC < DB și DE = AD. a) Arătați că ΔABE este isoscel. b) D acă EB ^ DC calculați măsura unghiului ABD.
A
În figura de mai jos, ΔAOD ≡ ΔBOC. Arătați că ABCD este trapez isoscel. D C
B
15
17
21
71
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
Î n figura de mai jos ABCD este paralelogram, ∢BCD = 60°, BC = 4 cm, DC = 6 cm. Perpendiculara în B pe BC intersectează dreapta DC în E. D E C
26
31
B A a) Arătați că ED = 2 cm. b) Arătați că ABCD este trapez dreptunghic. 27 Fie ABCD trapez isoscel, cu baza mare AB. Punctul E este situat în exteriorul trapezului, astfel încât E ∈ AD și ED = EC. Arătați că punctele B, C, E sunt coliniare. E D
28
A 32
B
Fie ABCD un trapez isoscel, cu AC ⊥ BD. Fie E și N mijloacele bazelor AB, respectiv DC. a) Arătați că punctele N, O, E sunt coliniare.
N
29
30
72
C
O
C
A 33
B
E
Fie triunghiul isoscel ABC cu AB = AC, iar D, E sunt simetricele punctului A față de B respectiv C. Arătați că patrulaterul DECB este trapez isoscel. Fie ΔABC echilateral și E mijlocul laturii BC. Dacă ΔADE este echilateral arătați că punctele A, B, C, D sunt vârfurile unui trapez dreptunghic.
B
În trapezul dreptunghic ABCD avem ∢A = 90°, AB = 7 cm și AD = DC = 4 cm. Mediatoarea laturii CD intersectează bisectoarea ∢ABC în O și latura AB în E. a) Arătați că BC = 5 cm.
D
O
A
N
b) Arătați că CE ⊥ OB. c) Arătați că DE este bisectoarea unghiului ADO.
AB + CD b) Arătați că NE = . 2 D
C
D
C
A
În trapezul isoscel ABCD, AB ∥ DC, diagonala AC este bisectoarea unghiului ∢DAB. Perpendiculara în C pe AC intersectează dreptele AB și AD în N, respectiv în E. a) Arătați că ΔANE este isoscel. b) Arătați că ΔADC este isoscel. c) Arătați că DC este linie mijlocie în ΔANE. d) Dacă ∢DAN = 36°, arătați că ΔBCN este isoscel. E
D
34
A B
C
D
E C E
A
B
E
B
Î n exteriorul paralelogramului AECD se construiește triunghiul isoscel BEC cu baza BE. Dacă ∢ECD = ∢CBE, demonstrați că ABCD este trapez isoscel.
În trapezul dreptunghic ABCD cu ∢A = 90° și baza mare AB, există un punct E pe latura BC astfel încât AB = BE, DC = CE. a) Arătați că DE ⊥ AE. b) Dacă N este mijlocul laturii AD arătați că BN ⊥ CN.
D
C E
N
A
B
Patrulatere B 1
Linia mijlocie a unui trapez
ABCD este un trapez cu bazele AB și CD, AB > CD, iar MN este linia mijlocie a trapezului. Demonstrați că AB − MN = MN − CD.
2
Într-un trapez, lungimea liniei mijlocii este de 40 cm, iar lungimea segmentului ce unește mijloa cele diagonalelor este de 18 cm. Calculați lungimile bazelor trapezului.
3
În interiorul unghiului ascuțit xOy se consideră punctele A și B. Distanțele de la punctul A la laturile Ox și Oy sunt 5 cm respectiv 11 cm, iar distanțele de la punctul B la laturile Ox și Oy sunt 4 cm respectiv 10 cm. Calculați d1 + d2, suma distanțelor de la mijlocul segmentului AB la laturile unghiului.
4
Se consideră triunghiul ABC și dreptele DE, FG, HI paralele cu BC (desenul de mai jos), iar AD = DF = = FH = HB. A E
D F H
G I
B
C
a) Demonstrați că AE = EG = GI = IC. b) Dacă BC = 48 cm, aflați lungimile segmentelor DE, FG, HI. c) D acă DE = 3 cm, aflați lungimile segmentelor FG, HI, BC. 5
În desenul de mai jos, DE este linie mijlocie în triunghiul ABC, iar MN este linia mijlocie a trapezului BCED. Știind că MN = 12 cm, calculați lungimile segmentelor DE, BC și PQ. A
D M B
E P
Q
N C
ABCD este un patrulater convex, AC ∩ BD ={O}, E ∈ AC cu AE = EO = OC, iar F ∈ BD. cu BF = FO = OD. Demonstrați că ABCD este trapez și AB = 2 · C D . Dacă EF = 3 cm, calculați lungimea liniei mijlocii a trapezului. 7 În trapezul dreptunghic ABCD cu AB ∥ CD și AB > CD se cunoaște ∢B = 60°, AC = BC, iar lungimea liniei mijlocii a trapezului este de 12 cm. Calculați perimetrul triunghiului ∆ABC. 8 În paralelogramul ABCD, O este punctul de intersecție a diagonalelor. Fie E, F, G, H simetricele punctului O față de punctele A, B, C, respectiv D, și fie M, N, P, Q mijloacele segmentelor AE, BF, CG, respectiv DH. a) Dacă PABCD = 20 cm, calculați perimetrul patru laterului MNPQ. b) D acă PABCD = 20 cm și PMNPQ = 30 cm, calculați perimetrul patrulaterului EFGH. 9 În trapezul dreptunghic ABCD, ∢A = ∢D = 90°, ∢C = 2 · ∢B, BC = 20 cm, CD = 10 cm și DM este mediana corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul ADC. Paralela prin M la AB intersectează AD în E și BC în F. Calculați lungimile segmentelor AB și EF. 10 Fie ABCD un trapez isoscel, AB ∥ CD, AB > CD și EF linia sa mijlocie, E ∈ AD, F ∈ BC, ED = DC = CF. Se știe că PABCD = 28 cm și PCDEF = 18 cm. Aflați lungimile laturilor trapezului ABCD și lungimea segmentului EF. 11 Trapezul isoscel ABCD are baza mare AB, perimetrul de 24 cm și lungimea liniei mijlocii de 7 cm. a) Calculați lungimea laturii AD. AB 5 = , calculați lungimea înălțimii b) D acă DC 2 trapezului. 12 Fie trapezul ABCD cu baza mare AB, iar E, F și G, H proiecțiile vârfurilor A, B și C, D pe bazele CD, respectiv AB. Arătați că EFGH este trapez, cu același perimetru și aceeași linie mijlocie cu trapezul ABCD. 6
73
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
4.5. Perimetre și arii Breviar teoretic Perimetrul unui poligon este suma lungimilor laturilor sale. Aria triunghiului este egală cu semiprodusul dintre lungimea unei laturi și înălțimea corespunzătoare acesteia. Aria dreptunghiului este egală cu produsul lungimilor a două laturi alăturate. Aria pătratului este egală cu pătratul lungimii laturii sale. Aria paralelogramului este egală cu produsul dintre lungimea unei laturi și înălțimea corespunzătoare. Aria rombului este egală cu semiprodusul lungimilor diagonalelor sale. Aria trapezului este egală cu semiprodusul dintre suma lungimii bazelor și înălțimea trapezului. Aria trapezului este egală cu produsul dintre lungimea liniei mijlocii și înălțimea trapezului. Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este egală cu raportul dintre produsul catetelor și ipotenuză. Un triunghi echilateral are latura de 8 cm. Calculați perimetrul triunghiului determinat de liniile mijlocii ale acestuia (triunghiul median). 2 Un triunghi dreptunghic are catetele de 6 cm, res pectiv 8 cm. a) Calculați perimetrul și aria triunghiului. b) Calculați înălțimea corespunzătoare ipotenuzei. 3 Calculați ariile triunghiurilor ABC reprezentate mai jos; lungimile laturilor sunt exprimate în centimetri. 1
17
a)
E
B
A
10
c)
d) 4 3 4 3
E
2 3
C B
74
Calculați perimetrul patrulaterului convex ABCD, știind că triunghiul ∆ABD este echilateral, BD este bisectoarea unghiului ∢ABC, iar AC este bisectoarea unghiului ∢BAD, BD = 10 cm.
B
A
5
7
b) 8
15
A
4
Completați spațiile libere astfel încât să obțineți propoziții adevărate. a) Un pătrat cu aria de144 cm2 are perimetrul de … cm. b) Un pătrat cu perimetrul de 6 cm are aria de … cm2. c) Un dreptunghi cu diagonala de 15 cm și cu o latură de 9 cm are perimetrul egal cu … cm. d) Un dreptunghi are dimensiunile exprimate în centimetri, prin numere naturale consecutive, iar perimetrul acestuia este 30 cm. Aria dreptunghiului este … cm2. e) Un trapez, cu linia mijlocie de 20 cm și înălțimea de 3,5 cm are aria de … cm2. f) Un romb are latura de 15 cm și una dintre diagonale de 1,2 ori mai mare decât aceasta. Aria rombului este … cm2.
C
C
B
6
E
D
20
4
16
A
12
C
Paralelogramul ABCD are diagonala BD = AB = 5cm, iar ∢A = 60°. Aflați perimetrul paralelogramului și măsurile unghiurilor ∢ABC și ∢BAC. Paralelogramul ABCD are diagonala BD ⊥ AD, ∢A = 60° și BC = 4 cm. Aflați perimetrul parale logramului.
8
ABCD este paralelogram și AC ∩ BD = {O}. Se știe că P∆AOB = 24 cm și P∆BOC = 29 cm. Calculați AD – CD.
Patrulatere 9
În desenul de mai jos, d ∥ AB, CD ≡ AB și aria triunghiului ∆ABC de 10,5 cm2. D
d
A
C
B
12
Fie dreptunghiul ABCD, cu BD = 25 cm. Dacă perimetrul triunghiului ABC este 56 cm, aflați perimetrul dreptunghiului. 13 Calculați perimetrul și aria patrulaterului ABCD pentru fiecare dintre figurile de mai jos, dimensiunile fiind exprimate în centimetri. a) AE = EB = BC = CF = FD = AD = 2, AD ⊥ DC D C
a) Calculați aria patrulaterului ABCD. b) Dacă CD = 0,3 dm, calculați distanța dintre dreptele CD și AB. 10
A
Calculați aria trapezului pentru fiecare dintre situ ațiile următoare. D
B
b) ABCD este romb, ∢ADB = 45°, BD =
2
T
C
a) B
A
A
E
F
B
b)
c)
Q
D
C
D
C
c) AE = 24, DE = 7, BE = 10, BC = 8, D, E, B coliniare, AE ⊥ DB, BC ⊥ DC. D
7
7
A
E
F 11
11
R
S
A
B
24
10
În trapezul dreptunghic ABCD, AB ∥ CD, ∢A = 90°, AB = 2·CD, AD = CD + 1 = 4 cm. Alegeți răspunsul corect. Numai unul dintre răspunsuri este corect. a) Baza mare are lungimea: A. 3 cm. B. 5 cm. C. 6 cm. D. 8 cm. b) Aria trapezului este: B. 24 cm2. A. 18 cm2. 2 D. 9 cm2. C. 36 cm . c) Perimetrul trapezului este: A. 16 cm. B. 18 cm. C. 20 cm. D. 24 cm.
E 8
B d) AE = 8 , BE = 6, EO = 10, OD = 5, B, E, O, D coliniare, CO ⊥ 12, AE ⊥ BD, CO ⊥ BD. 14
C
A B
6
8
E 10
O
5
D
12
C Fie ABCD, paralelogram și AC ∩ BD = {O}. a) Demonstrați că AAOB = ABOC = ACOD =ADOA. b) Dacă AABC = 16 cm2, aflați AABCD. c) Dacă AAOB = 9 cm2, aflați AABCD.
75
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a 15
Prelungim latura AB, a pătratului ABCD, cu
20
segmentul BE.
AD = 3 cm. Aflați perimetrul și aria paralelogramului.
a) Dacă AD = 4 cm și BE = 3 cm calculați perimetrul și aria patrulaterului AECD. b) Dacă AC =
21
În desenul de mai jos, MNPQ este dreptunghi, 4 ⋅ NP = 32 cm, ME = EN, NF = FP, MN = 3 PG = GQ, QH = HM. Calculați: Q G P
În desenul alăturat, MNPQ
Q
P
este pătrat, iar perimetrul
2 cm și BE = 0,75 cm calculați
suprafeței colorate este
perimetrul și aria patrulaterului BECD. 16
În paralelogramul ABCD, AC ⊥ BC, AC = 4 cm și
F
24 cm. Folosind datele din
H
imagine, calculați aria și perimetrul fiecăruia dintre
M
E
G
N
pătratele reprezentate. 22
ABCD este trapez dreptunghic, EF ∥ AB și FG ∥ BC. a) Demonstrați că punctele A, F, C sunt coliniare.
H
b) Cu notațiile din figură, calculați ariile patrula
F
terelor DEFC, EAGF și BCFG. M a) Perimetrele
E patrulaterelor
MNPQ,
MNPG,
E
EFGH, MEPG. b) Ariile patrulaterelor MNPQ, MNPG, EFGH, MEPG. 17 18
ABCD este romb, P este mijlocul laturii AD, iar AABP = 14 cm2. Calculați aria rombului. În desenul de mai jos, ABCD este dreptunghi, iar suprafața colorată are aria 576 cm2. C
D
F E
G
19
Pe laturile AB și CD ale paralelogramului ABCD se iau punctele M și N, astfel încât AM ≡ CN. Demonstrați că: a) AABND = ACDMB b) AAMND = ABMNC =
76
1 AABCD. 2
B
G
23
Un trapez isoscel, cu bazele de 30 cm, respectiv 12 cm, are înălțimea cu 9 cm mai mică decât linia mijlocie. Calculați perimetrul și aria trapezului. 24 Parcul de lângă casa Soniei are formă de patrulater, ca în desenul de mai jos, segmentele din desen reprezentând aleile parcului, iar punctele B, E, O și D sunt coliniare. A
B
a) Aflați aria fiecăruia dintre dreptunghiurile care apar în configurație. b) Dacă lungimile segmentelor GB și HB sunt exprimate prin numere naturale pare consecutive, calculați perimetrele dreptunghiurilor care apar în configurație.
F
A
H A
C
D
N
16
B
12 E
9
O
21
D
20
C
a) Folosind dimensiunile din desen, exprimate în decametri, calculați timpul în care Sonia ar ajunge din punctul A în punctul C, deplasându-se cu viteza medie de 5 km/h, pe fiecare dintre traseele: 1) A – B – C; 2) A – E – O – C; 3) A – D – C. b) Calculați aria suprafeței parcului, exprimând rezultatul în hectare.
5. CERCUL 5.1. Unghi înscris în cerc. Tangente dintr-un punct exterior la un cerc Breviar teoretic În același cerc sau în cercuri congruente, la coarde congruente corespund arce congruente. În același cerc sau în cercuri congruente, la arce congruente corespund coarde congruente. Perpendiculara dusă din centrul cercului pe o coardă împarte corda și arcele formate de ea în câte două părți congruente. Dreapta care unește centrul cercului cu mijlocul coardei este perpendiculară pe coardă. Două coarde ale unui cerc sunt congruente dacă și numai dacă sunt egal depărtate de centrul cercului. Două coarde ale aceluiași cerc, cuprinse între drepte paralele, sunt congruente. Se numește unghi la centru un unghi care are vârful în centrul cercului. Măsura unui unghi la centru este egală cu măsura arcului subîntins (arcul determinat de laturile unghiului și situat în interiorul acestuia). Se numește unghi înscris în cerc un unghi care are vârful pe cerc, iar laturile sale sunt coarde ale cercului. Măsura unui unghi înscris în cerc este egală cu jumătate din măsura arcului de cerc subîntins de laturile sale. Un unghi înscris în cerc care subîntinde un semicerc (sau un diametru) este un unghi drept. O dreaptă este tangentă la un cerc dacă și numai dacă este perpendiculară pe raza cercului, în punctul de intersecție al dreptei cu cercul (numit punct de tangență). Prin orice punct A, exterior unui cerc C(O, r), se pot construi două tangente la acest cerc. Segmentele determinate de punctul A și punctele de tangență sunt congruente. A 1
Arce și coarde
Dacă trapezul ABCD, cu AB ∥ CD, are vârfurile pe
3
un cerc, arătați că este trapez isoscel.
2
Se consideră punctele A, B, C, D, E, F ∈ C(O, r), în această ordine, astfel încât AD ∥ BC și CF ∥ DE. Arătați că AB = EF. D C E F A
B
Se consideră punctele A, B, C, D, E, F ∈ C(O, r), în această ordine, astfel și BC = DE. AB = EF încât
B A C D E
Arătați că AC = DF. 4
Se consideră punctele A, B, C, D, E, F ∈ C(O, r), în această ordine, astfel încât AB ∥ FC și AE = BD. Arătați că FE = CD.
F E
D
F
C A
B 77
Culegere de matematică clasa a VII-a 5
6
7
8
Fie punctele A, B, C, D ∈ C(O, r), în acestă ordine, astfel încât AB = CD. Arătați că AC = BD. Se consideră punctele A, B, C, D, E, F ∈ C(O, r), în această ordine, astfel încât E AB ∥ FC, iar CE și FD F sunt diametre. A Arătați că AE = BD.
C
B
D
11
D
A
C
E
D
O
A
C B
A Fie AB și AC coarde în cercul D E cu centru O, iar D și E sunt O C B mijloacele coardelor. a) Dacă ∢BAC = 75° calculați ∢DOE. b) Dacă OD = OE arătați că BD = CE. c) Dacă ∢BAC = 90° și raza cercului este r = 2 cm, calculați DE.
Perpendiculara dusă din O pe coarda AB inter AB în L. Dacă E este sectează coarda în E și arcul
B
a) Arătați că AC = BD. b) Arătați că ΔACD ≡ ΔBDC. c) Dacă {E} = AC ∩ BD arătați că EC = ED și EA = EB. d) Arătați că AB ∥ CD. 12 Se consideră punctele A, B, C, D ∈ C(O, r), în această ordine, cu AC = BD. Perpendicularele duse din centrul cercului pe coardele AC și BD în E respectiv F. AC și BD intersectează arcele Arătați că FC = BE .
mijlocul segmentului OL, atunci: a) arătați că ALBO este romb. b) calculați măsura unghiului ∢OAL. B
Se consideră punctele A, B, C, D ∈ C(O, r), în această . AD = BC ordine, cu
F D
L
B
C
E A
O
E
A
O
9
Perpendicularele duse din centrul cercului pe coardele AB și BC intersectează arcele AB și BC = 110°, calculați în D respectiv E. Dacă DBE AC . B
E
C 10
78
14
Fie E și F picioarele perpendicularelor duse din centrul unui cerc pe coardele AB respectiv BC. Arătați că EF ∥ AC. În figura de mai jos, punctele A, B, C, D sunt situate . AD = BC pe cercul cu centrul O astfel încât D
A
D O
13
F E
C
B
O
A
Se consideră paralelogramul ABCD având vârfurile situate pe C(O, r). Arătați că ABCD este dreptunghi.
a) Arătați că ∆OAD ≡ ∆OBC. b) Fie OE ⊥ AB, E ∈ AB și OF ⊥ CD, F ∈ CD. Arătați că O, E, F sunt puncte coliniare. c) Arătați că AB ∥CD.
Cercul B 1
2
E
Unghi la centru
Se consideră punctele E D A, B, C, D, E, F ∈ C(O, r), în această ordine, O F C astfel încât AB = CD = EF B A și BC = ED = AF. Arătați că ∢AOC = 120° și ΔACE este echilateral.
Se consideră punctele A, B, C, D ∈ C(O, r), în această ordine, astfel încât AB este diametru, ∢ABC = 60° și . Arătați că ΔDOC este echilateral. AD = BC C
D
A
3
O
B
Se consideră punctele A, B, C, D ∈ C(O, r), în această ordine, astfel încât AB este diametru, = 100°. ∢ABC = 70° și CD Arătați că AD = BC.
4
Fie punctele A, B, C, D ∈ C(O, r), D AC < 90°, în acestă ordine, cu AC , B este mijlocul arcului mic
C
O
B
A
D C Se consideră punctele A, B, C, D ∈ C(O, 8), B A O în această ordine, astfel încât AB este diametru AD = BC și ∢ABC = 75°. și CD . a) Calculați măsura arcelor BC b) Calculați distanța de la B la OC. c) F ie punctul E pe cerc astfel ca BE || OD. Arătați că OE ⊥ OC. 6 Fie punctele A, B, C, D ∈ C(O, r), C în această ordine și M, N N mijloacele coardelor AB, D respectiv CD. E O A Dacă AB = CD și AE = DE , M arătați că OE ⊥ MN. B 7 Se consideră punctele A, B, C, D ∈ C(O, r), în această ordine și {E} = AC ∩ BD. Dacă OE este bisectoarea unghiului ∢BOC arătați că AC = BD. 5
C
B
E
D
O
A
AB . iar D este mijlocul arcului mare = 30° arătați că ∆OAC este AD − CD Dacă echilateral.
79
Culegere de matematică clasa a VII-a C 1
Unghi înscris în cerc
Se consideră punctele A, B, C, D ∈ C(O, r), în
5
această ordine, cu AB ∥ CD și {E} = AC ∩ BD. Arătați că ΔAEB este isoscel. C D E
2
E
D
B
A
Se consideră punctele A, B, C, D ∈ C(O, r), în această ordine, cu AB diametru și OD ∥ BC. AC . a) Arătați că D este mijlocul arcului
6
b) Dacă DC ∥ AB, arătați că ∢BAC = 30°. C D E
A
3
7
O
Se consideră punctele A, B, C, D ∈ C(O, r), în această ordine, cu AC = BD și {E} = AC ∩ BD. . AB = CD a) Arătați că b) Arătați că OE este bisectoarea unghiului ∢BOC. C B
B
Se consideră punctele A, B, C ∈ C(O, r) astfel încât ∢BAC = 40° și ∢ABO = 10°. Aflați măsurile unghiurilor ∢ABC și ∢ACB. B C
Se consideră triunghiul ascuțitunghic ΔABC și C(O, r) cercul său circumscris. Fie AE bisectoarea unghiului BAC, unde E ∈ C(O, r). a) Arătați că OE ⊥ BC. b) Fie CF bisectoarea ∢ACB, cu F ∈ C(O, r). Dacă ∢AEO = 10° și ∢CFO = 20°, calculați măsurile unghiurilor triunghiului ABC.
Se consideră punctele A, B, C, D, E, F ∈ C(O, r), în această ordine, cu BE diametru, AC ∥ FD, {N} = BE ∩ AC, {M} = BE ∩ FD, iar O este mijlocul segmentului NM. a) Arătați că d(O, AC) = d(O, FD). b) Arătați că ACDF este dreptunghi. DE , arătați că ACDF este pătrat. AF BC c) Dacă A
N
B
O
R
F O
C
80
C Se consideră punctele A, B, C, D ∈ C(O, r), în această ordine, astfel D încât OA ∥ BC și BD este bisectoarea unghiului ∢OBC. Arătați că: a) AB = CD. b) Punctele A, O, D sunt coliniare.
M P
E
D
A 4
A
O
8
B
O
A
Două cercuri D având centrele O B și Q, au un singur A C O Q punct comun B. Se consideră punctele E A și D pe unul din cercuri, iar punctele C și E pe celălalt cerc, astfel încât A, O, B, Q, C sunt coliniare și B ∈ DE. Arătați că AD ∥ CE.
Cercul D 1
2
Tangente dintr-un punct exterior la un cerc
a) Construiți un cerc de centru O și cu raza de 2 cm. b) F ixați pe cercul dat, punctele A și B, astfel încât AB să fie diametrul cercului. c) Construiți tangentele TA și SB la cercul dat. d) Stabiliți poziția dreptelor TA și SB. Se consideră Din punctul tangenta TA, Calculați TO TO.
Dreptele TA și TB sunt tangentele la cercul C(O, r), din punctul exterior T. Demonstrați că TO este mediatoarea segmentului AB.
4
Se consideră punctul P, exterior cercului de centru O. Tangentele din punctul P, la cercul dat, intersectează cercul în punctele A și B. a) D acă ∢APO = 30°, determinați măsura unghiului ∢OBA. AB are măsura 90°, stabiliți b) Dacă arcul mic natura patrulaterului AOBP.
6
Fie E un punct exterior cercului C(O, r) și EA, EB tangentele duse din E la cerc. Dacă AEBO este paralelogram, arătați că AEBO este pătrat.
8
Fie E un punct exterior cercului C(O, r) și EA, EB tangentele duse din E la cerc. B
cercul de centru O și rază r = 3 cm. T, exterior cercului, se construiește A fiind situat pe cerc, TA = 4 cm. și distanța de la punctul A la dreapta
3
5
7
A
a) Dacă r = 5 cm și OE = 13 cm, calculați perimetrul patrulaterului AEBO. b) Arătați că OE ⊥ AB. 9
Fie A un punct exterior cercului C(O, r) și punctele M, N ∈ C(O, r) astfel încât AM este tangentă la cerc, iar AM = AN. a) Arătați că AN este tangentă la cerc. b) Dacă E este punctul diametral opus lui M, arătați că ∢EON = ∢MAN.
10
Punctul C este situat pe cercul de diametru AB. Tangenta la cerc în punctul A intersectează dreapta BC în punctul D și BC ≡ CD. Calculați măsura arcului de cerc BC. Desenul de mai jos este schița unei fântâni arteziene. Suprafața colorată cu albastru deschis este o alee. Fântâna este alimentată cu apă prin țeava DC, dreapta DC fiind tangentă la cercul mic, în punctul B. Demonstrați că B este mijlocul segmentului DC. A
B
O
C
E
O
Laturile triunghiului ΔABC sunt tangente cercului C(O, r) în D, E, F. Știind că ∢BAC = 60°, BC = 9 cm și EF = 4 cm, calculați PΔABC. A
F E B 11
C
D
Dreapta AD este tangentă la C(O, r) în punctul E, mijlocul segmentului AD. Fie AB și DC tangente la cerc. a) Arătați că ∢BAE = ∢CDE. b) Arătați că AD ∥ BC. E A D O B
C
81
Culegere de matematică clasa a VII-a 12
Laturile unghiului BAE sunt tangente la cercul C(O, r1) în punctele B și E, iar la cercul C(Q, r2) în punctele în punctele C și D. a) Arătați că punctele A, O și Q sunt coliniare. b) Arătați că BCQO este trapez dreptunghic. c) Arătați că BCDE este trapez isoscel.
15
D
Fie BC diametru al cercului C(O, r), iar dreptele AB și CD sunt tangente la cerc, astfel încât și dreapta AD este tangentă la cerc în punctul E. a) Arătați că ABCD este trapez cu AD = AB + CD. b) Fie {T} = OA ∩ EB și {S} = OD ∩ EC. Arătați că patrulaterul ETOS este dreptunghi. c) Dacă AB = 9 cm și CD = 4 cm, arătați că r = 6 cm. C
D Q
E
S
O A 13
E C
B
O
Se consideră punctele B, C, D, E ∈ C(O, r), în această ordine, și A un punct exterior cercului, astfel încât AB și AE sunt tangente la cerc, iar BE ∥ CD. Arătați că AC = AD. B C A D E
14
Fie punctele C, D, E situate pe cercul de centru O și rază r = 5 cm, iar punctele A și B situate în exteriorul cercului. Dreptele AE, AD, BE și BC sunt tangente la cerc, iar punctele A, E și B sunt coliniare. Știind că DAE = 20° și CBE = 40°, calculați lungimea segmentului CD. D C A
20°
O E
40°
B
T A 16
Cercul înscris în triunghiul ABC are centrul O și este tangent la laturile BC, AC și AB în P, R, respectiv S. În exteriorul triunghiului se construiește un cerc cu centrul Q, care este tangent la dreapta BC în P, la dreapta AB în E, iar la paralela prin C la AB în D. Punctul Q este mijlocul segmentului DE. C D R O A
S
Q
P B
E
a) Arătați că punctele O, P, Q sunt coliniare. b) Dacă AB = 6 cm și CD = 3 cm, calculați perimetrul triunghiului ABC. c) Arătați că ∢SPE este unghi drept. d) Arătați că punctele P, S, D sunt coliniare. e) Dacă BE = 2 cm și CD = 3 cm, arătați că PQ =
82
B
6 cm.
Cercul
5.2. Poligoane regulate înscrise în cerc Breviar teoretic Definiție Poligonul convex care are toate laturile congruente și toate unghiurile congruente se numește poligon regulat. Suma măsurilor unghiurilor poligonului regulat cu n laturi este (n − 2) · 180°. Mediatoarele laturilor unui poligon regulat sunt concurente în centrul cercului circumscris acestuia. Dreapta care unește vârful unui poligon regulat cu centrul cercului circumscris este bisectoarea unghiului poligonului, corespunzător acelui vârf. Dacă n puncte situate pe un cerc împart cercul în n arce congruente, atunci ele sunt vârfurile unui poligon regulat.
1
Punctele A și B aparțin cercului C(O, r), AB 120 . Perpendiculara din O pe AB intersectează cercul în punctele C, respectiv D. Dacă C∈ AB , arătați că triunghiul ABD este echilateral.
2
Fie A, B, C puncte pe cercul C(O, r), astfel încât BC AB = AC = AB = AC = = BC . 2 2 2 Demonstrați că triunghiul ABC este echilateral.
3
Coardele AB și CD conțin centrul cercului și sunt perpendiculare. Demonstrați că A, B, C, D sunt vârfurile unui poligon regulat.
4
În cercul C(O, r), coardele AB și CD sunt paralele, r = 2 cm, iar punctele A și D sunt situate de aceeași parte a dreptei BC. Dacă d(O, AB) = d(O, CD) = 1 cm, arătați că punctele A, B, C, D determină un poligon regulat.
5
Pe cercul C(O, r), se consideră punctele A și B, astfel încât AB = r. Semidreapta AO intersectează cercul în punctul D, iar semidreapta BO intersectează cercul în punctul E. Dacă C și F sunt mijloacele arcelor respectiv BD AE , demonstrați că ABCDEF este ,
hexagon regulat.
Determinați măsurile unghiurilor unui poligon regulat, pentru fiecare din situațiile: a) pentagon regulat (poligon cu 5 laturi); b) octogon regulat (poligon cu 8 laturi); c) decagon regulat (poligon cu 10 laturi). 7 În cercul cu centrul O și rază r = 1, este înscris poligonul regulat A1A2A3… An, n ∈ ℕ, n ≥ 3. a) Determinați numărul laturilor poligonului pentru fiecare din situațiile următoare. Completați rezultatele obținute, după modelul dat. 6
∢ A1A2A3 = 90° A1 A2 A3 = 90°
n=… 4
A1 A2 A3 = 120°
∢ A1A2A3 = 120° A1 A2 A3 = 60°
b) Calculați lungimea laturii poligonului, pentru următoarele cazuri. Completați rezultatele obținute, după modelul dat. ∢ A1A2A3 = 90°
A1A2 = … 2
A1 A2 A3 = 240° A1 A2 A3 = 120°
83
Culegere de matematică clasa a VII-a 8
Determinați numărul laturilor poligonului regulat B1B2...Bn, cu proprietatea:
14
a) arcul mic B1B4 are măsura 45°; b) arcul mic B2B6 are măsura 80°; c) arcul mare B1B7 are măsura 216°.
9
Punctele A, B, C aparțin cercului C(O, r) și ∢ ABC = 45°. Dreapta AO intersectează cercul, a doua oară, în punctul D, iar dreapta CO intersectează cercul, a doua oară, în punctul E. Demonstrați că ACDE este pătrat.
10 Fie
O centrul de greutate al ∆PNT și A, B, C, D, P E, F mijloacele laturilor NT, OT, PT, D E C OP, NP, respectiv ON. O Știind că ABCDEF B F este hexagon regulat, A N T arătați că ∆PNT este echilateral. 11 În figura alăturată ∆DAR este echilateral, TARE este D pătrat, M este mijlocul laturii AR, iar S {O} = AE ∩ TR. L a) Arătați că punctele D, M R A M și O sunt coliniare. b) Calculați măsurile unghiu O rilor triunghiului ∆DER. c) Fie L ∈ DE astfel încât T E DL = LR. Arătați că LR ⊥ OR. d) Fie {S} = DM ∩ LR. Arătați că SAOR este pătrat.
12
În cercul C(O, r) cu r = 10 cm, se construiesc coardele perpendiculare AB și BC. a) Știind că d(O, AB) = d(O, BC) și că semidreapta BO intersectează cercul în punctul D, demonstrați că ABCD este un poligon regulat. b) În condițiile subpunctului a), calculați aria și perimetrul poligonului ABCD. 13 Unghiul ABC este înscris în cercul C(O, r) și are măsura 30°. Demonstrați că triunghiul ABC este echilateral. 84
În desenul alăturat, unghiurile marcate sunt congruente. Stabiliți dacă poligonul cu vârfurile A, B, C, D, E este un poligon regulat.
A
E
B
C
D
15
B Pe cercul C(O, r), se consideră punctele A, B, C, D, astfel încât ∢ ABD = ∢ BDC = 45°, A C ca în figura alăturată. Dacă d(O, AB) = d(O, CD)demon D strați că ABCD este pătrat. 16 În cercul C(O, r), coardele AB și CD sunt congruente 60 . Mediatoarea seg AD BC și paralele, iar mentului AB intersectează cercul în punctele E și F. Demonstrați că A, E, B, C, F, D sunt vârfurile unui poligon regulat.
17
În figura de mai jos, dreptele XG și XN sunt tangente la cercul cu centru O și rază r, G și N fiind punctele de tangență. Dreptunghiul GNEA are laturile GA și NE situate în exteriorul cercului și cu lungimea r, iar triunghiul ∆XGN este echilateral. Arătați că poligonul EXAGON este hexagon regulat. G
A
O
X
N 18
E
În figura alăturată, ∆ZAR este echilateral, CRZE este pătrat, CP ⊥ AE, P ∈ ZE, iar O este mijlocul segmentului CP. a) Calculați măsurile unghiuR rilor triunghiului ∆AZE. b) Arătați că ∆CEP ≡ ∆EZT, unde {T} = AE ∩ RZ. c) Arătați că triunghiul ∆ROZ C este echilateral.
A
T
Z
P O
E
Cercul
5.3. Lungimea cercului și aria discului Breviar teoretic Pentru a calcula lungimea unui cerc de rază R, folosim formula: Lcerc = 2 · π · R. Într-un cerc C(O, R), lungimea unui arc de cerc, este direct proporțională cu măsura acelui arc. R AOB Lungimea arcului mic . AB , al cercului C(O, R), este l AB 180
R (360 AOB) . Lungimea arcului mare AB , al cercului C(O, R), este L AB 180 Pentru a calcula aria unui disc de rază R, folosim formula: Adisc = π · R2. Într-un cerc C(O, R), aria unui sector de cerc este direct proporțională cu măsura arcului de cerc corespunzător. AB Pentru sectorul mărginit de arcul mic A1B1, din 1 1 A1OB1
360
Pentru sectorul mărginit de arcul mare A2 B2 , avem A2OB2
R2
se obține A1O1B1 R2
R
2
R2
A2OB2 360
A1OB1 360
.
.
Observație: Calculul ariei unui sector de cerc se poate face și utilizând regula de trei simplă pentru cele două mărimi direct proporționale: măsura arcului de cerc și aria sectorului de cerc corespunzător acelui arc.
1
Determinați lungimea cercului cu raza de 4 cm, precum și aria discului delimitat de acest cerc.
2
Determinați lungimea cercului C(O, R) și aria discului corespunzător pentru fiecare din situațiile: a) r = 6,5 cm; b) r = 2 3 cm; c) r = 0,05 cm.
3
Determinați lungimea cercului și aria discului cores punzător, știind că diametrul cercului are lungimea: a) 12 cm; b) 0,6 dm; c) 0,24 m.
4
Lungimea cercului C(O, R) este 16π cm. Alegeți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect. a) Raza cercului este: A. 4 cm B. 6 cm C. 10 cm D. 8 cm b) Aria cercului este: A. 16π cm2 B. 8π cm2 C. 48π cm2 D. 64π cm2
Calculați lungimea cercului C(O, R), știind că aria discului corespunzător este: a) 36π cm2; b) 32π cm2; c) 256π cm2; d) 144π cm2. 6 Un dispozitiv rotativ pentru irigații poate uda iarba aflată la cel mult 10 m de punctul în care este fixat. a) Calculați aria suprafeței care poate fi udată de dispozitiv. b) Folosind inegalitatea 3,14 < π < 3,15, stabiliți dacă această suprafață depășește 310 m2. 7 Cele trei cercuri din figura de mai jos au același centru O, iar razele OA = 3 cm, OB = 5 cm, respectiv OC = 6 cm. Comparați aria cercului C(O, OA) cu aria suprafeței cuprinsă între cercurile C(O, OB) și C(O, OC). (Întâi dați răspunsul intuitiv, doar privind figura, apoi efectuați calculele.) 5
O A B
C
85
Culegere de matematică clasa a VII-a
Se consideră pătratul D C ABCD cu AB = 8 cm. Determinați raportul dintre aria suprafeței colorate cu albastru deschis și aria suprafeței colorate cu albastru A B închis. 9 Triunghiul ABC este echilateral, iar centrul cercului C(O, r = OB) se află pe mediatoarea segmentului BC, astfel încât AO = 18 cm și OB ⊥ AB. Calculați lungimea cercului. 8
10
Într-un cerc de centru O se consideră coarda AB, de lungime 30 cm. Știind că distanța de la centrul cercului la dreapta AB este de 8 cm, aflați raza cercului,
lungimea cercului și aria discului corespunzător. 11 Punctul P, exterior cercului C(O, r), este situat la 51 cm de punctul O, iar PA este tangent la cerc, PA = 45 cm. Calculați diametrul și lungimea cercului C(O, r). 12 Pe cercul C(O, r), se consideră punctele A și B astfel încât AB = 60°. Paralela prin O la AB intersectează cercul în punctele C, respectiv D. Știind că patrulaterul cu vârfurile A, B, C, D are aria 75 3 cm2, aflați raza cercului. Calculați lungimea . cercului și lungimea arcului CD 13 Coarda MN a cercului C(O, r) are lungimea de pentru 24 cm. Calculați lungimea arcului MN fiecare din situațiile: = 60° = 90° c) MN = 120° b) MN a) MN 14
cazuri: a) CD = 2 2 cm; b) CD = 4 cm;
86
8 cm și ∢COD = u°. Calculați aria sectorului de disc , pentru valorile precizate, mărginit de arcul CD apoi completați tabelul cu rezultatele obținute. u° 40° 45° 75° 90° 120° 150° Aria sectorului
17
Desenul alăturat repreC zintă schița unei zone de relaxare, în formă B D circulară. Arcul de cerc ABC are măsura 90°, A O E dreptunghiul BDOE delimitează piscina, porțiunea gri este acoperită cu gazon, iar restul terenului este împădurit. Știind că OA = 30 m, iar D aparține segmentului OC, cu OD = 1,5 · DC: a) calculați dimensiunile piscinei; b) calculați aria suprafeței acoperite cu gazon; c) arătați că suprafața acoperită de gazon este mai mică de 10% din suprafața totală. 18 Calculați aria suprafeței gri în fiecare din ima ginile de mai jos, știind că ABCD este pătrat, AB = 20 cm. C D C D
Punctele C și D sunt situate pe cercul de centru O și rază r = 2 2 cm. Cunoscând lungimea coardei CD în următoarele calculați măsura arcului mare CD
15
16 Punctele C și D aparțin cercului C(O, r) cu r =
c) CD = 2 6 cm. Segmentul AB este diametru al cercului C(O, r = 6 cm), iar punctul C este situat pe unul . AC= 2 ⋅ CB din semicercurile AB , astfel încât Calculați: a) aria unui semicerc al cercului dat; AC ; b) aria sectorului de disc mărginit de arcul c) aria sectorului de disc mărginit de arcul CB .
19
O1
O2
A
B
F
A E B Patrulaterul ABCD, înscris în cercul de rază r = 12 cm, are AB = 12 cm, BC = 12 2 cm, CD = 12 A a) Calculați lungimile E arcelor de cerc . , CD , DA AB , BC b) Calculați aria secto- D rului de cerc mărginit AE , știind de arcul mic că EC este diametru.
3 cm.
B
C
6. ASEMĂNAREA TRIUNGHIURILOR 6.1. Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante Breviar teoretic Raportul a două segmente este raportul lungimilor acestora, exprimate în aceeași unitate de măsură. Pentru orice k , număr real pozitiv (k ≠ 1), există două puncte C1 și C2, coliniare cu A și B, unul în interiorul segmentului AB, celălalt în exteriorul său, care împart segmentul AB în raportul k . Singurul punct care împarte un segment în raportul k = 1 este mijlocul segmentului. Teorema paralelelor echidistante: Dacă mai multe drepte paralele determină pe o secantă segmente congruente, atunci determină pe orice secantă segmente congruente. A 1
Segmente proporționale
În rețeaua de pătrate cu latura de 1 cm, sunt reprezentate segmentele AB, CD, EF și GH. AB , Calculați valoarea fiecăruia dintre rapoartele: CD CD EF EF AE , , , . EF GH BC AF
A
B
E
C
G F
H D
În triunghiul ABC, DE este linie mijlocie, iar MN este linie mijlocie a triunghiului ADE, D ∈ AB, M ∈ AB, AD AN MN E ∈ AC, N ∈ AC. Calculați , , , AB NC BC AM . DB 4 Pe axa numerelor cu originea O și unitatea de măsură 1 cm, sunt reprezentate punctele A, B, C, AB ≡ BC. a) Calculați lungimile segmentelor AO, CO, AC, AB, BC, BO. 3
–3 A
2
Punctele A1, A2, A3, ... An ... sunt coliniare, în această ordine, A1A2 = 1 cm, A2A3 = A1A2 + 1 cm, A3A4 = A2A3 + 2 cm, ..., AnAn+1 = An–1An + (n – 1). a) Calculați lungimile segmentelor A2A3, A3A4, A4A5, A5A6. b) Calculați valoarea fiecăruia dintre rapoartele: A1 A2 A2 A3 A6 A7 , , . A2 A3 A4 A5 A3 A4 c) Stabiliți dacă printre segmentele A1A2, A2A3, A3A4, A4A5, A5A6 se află două segmente propor ționale cu segmentele MN = 3 cm și PQ = 10,5 cm.
–2 –1
0
O
1
2
B
3
4
5
6
C
b) Determinați valoarea fiecăruia dintre rapoartele: AO BO CO AM , , , , unde D este simetricul OB OC AB DB lui B față de O, iar M este mijlocul lui DC. 5
În interiorul segmentului MN = 10 cm, se consideră MP 2 punctul P, astfel încât = . Calculați lungimile PN 3 segmentelor MP și PN.
6
Fie punctele A, M, N, B coliniare, în această ordine, AM BN astfel încât . Demonstrați că: = MB NA a) AN ≡ BM b) Segmentele AB și MN au mijlocul în același punct. 87
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a B 1
Teorema paralelelor echidistante
Folosind desenul de mai jos, descrieți: a) o modalitate prin care se poate împărți segmentul AB în 3 părți egale. b) o modalitate prin care se poate împărți segmentul AC în 4 părți egale.
5
B
C
În triunghiul ABC, mediana AM este împărțită de punctele G1, G2, G3, G4, G5 în 6 părți congruente, punctul N este mijlocul segmentului AC, iar P este mijlocul segmentului AB. Completați spațiile libere, astfel încât să obțineți triplete de puncte coliniare. a) B, ..., N . b) C, ..., P . c) P, ..., N. A
G1 G2 G3 G4 G5
P
A 2
B
În figura de mai jos, a ∥ b ∥ c și AB ≡ BC. Identificați alte segmente congruente. a c
3
D
A
b
E F
B C
În desenul de mai jos se cunosc AB || HC || GD || FE, BC = CD = DE, AE = 7,2 și AF = 3. a) Numiți patru linii mijlocii, ale unor triunghiuri și trapeze din figură. b) Calculați lungimile segmentelor AH și EJ. E
G
D
J
H
a D
d
M N
C B A
P
R S
Q
a) Arătați că AB ≡ BC ≡ CD. b) Calculați valorile rapoartelor:
MP MS MQ MR , , , . NQ MT NP MT 88
B C 7
În figura de mai jos, AH ∥ BG ∥ CF ∥ DE și BC ≡ CD și HI ≡ IC.
T
H
A
B
B
În figura de mai jos, a ∥ b ∥ c ∥ d, AC = 2 · AB și AD = 3 · BC.
c
C
Folosind desenul de mai jos, descrieți modul în care puteți folosi liniatura caietului pentru a împărți: a) segmentul BC în 3 segmente congruente; b) segmentul AB în 4 segmente congruente; c) segmentul AC în 5 segmente congruente.
C
I
A
b
M
A
F
4
6
N
C M
D
I
G F E
a) Demonstrați că HG ≡ GF ≡ FE. b) Dacă AH = 4 cm, calculați lungimea segmentului BI. c) Dacă CF = 6 cm, calculați lungimea segmentului IG. d) Dacă CF = 6 cm și DE = 8 cm, calculați lungimile segmentelor BG, BI, EM și DM, unde {M} = HI ∩ DE.
Asemănarea triunghiurilor
6.2. Teorema lui Thales. Reciproca teoremei lui Thales. Împărțirea unui segment în părți proporționale cu numere date Breviar teoretic Teorema lui Thales O dreaptă paralelă cu una din laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale. Reciproca teoremei lui Thales Dacă o dreaptă determină pe două laturi ale unui triunghi segmente proporționale, atunci această dreaptă este paralelă cu a treia latură a triunghiului. Teorema bisectoarei Se consideră un triunghi ABC și AD bisectoarea unghiului BAC, D ∈ BC. Atunci A 1
DB AB = . DC AC
Teorema lui Thales
x
E
C B
A
15
D
10
3x 1
B
A
a) Dacă ME = 7, BD = 10 și AC = 42, calculați AD. b) Dacă ME = 5 și AD = 2 ∙ BD, calculați AC. 4
respectiv E. Dacă EC = 20 și EC = AD − 4 = BD + 4, calculați AE.
C
d) C
x +2 20
x
A B 4 C
5
E
2x
O paralelă la latura BC a triunghiului ∆ABC intersectează laturile AB și AC în punctele D,
A x E
Fie M și N mijloacele laturilor AB, respectiv AC ale triunghiului ∆ABC. O paralelă la drepta BC intersectează segmentele BM și CN în D, respectiv
18
O paralelă la latura BC a triunghiului ∆ABC intersectează laturile AB și AC în punctele D, respectiv E. Dacă AE = 0,8 ∙ AD, calculați raportul
BD . CE
intersectează latura AB în D.
15
D
10
D
B
c) E
30
Fie M mijlocul laturii AC a triunghiului ∆ABC și punctul E pe segmentul MC. Paralela prin E la BC
48
21
2
3
Pentru fiecare din figurile de mai jos, se cunosc D ∈ AB, E ∈ AC, DE ∥ BC. Numerele plasate în dreptul segmentelor reprezintă lungimea acestora, toate exprimate în aceeași unitate de măsură. Determinați numărul necunoscut x. a) b)
E. Dacă MD = 4, NE = 6 și AN = 2,5 ∙ BD, calculați
D
AB și AC. 6
În figura alăturată D, M ∈ AB și E, N ∈ AC astfel E D încât ED ∥ MN ∥ BC. Arătați că EM DN AE AD = și = . AC AB NC BM
A
M
B
N
C 89
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a 7
AB și CD sunt bazele trapezului ABCD și {O} = = AC ∩ BD. Paralela prin O la AB intersectează latura AD în E. Știind că AE = 8, ED = 3, OB = 16 și OC = 4,2, calculați perimetrul triunghiului ∆AOD. D C E O
13
Se consideră mediana AN a triunghiului ∆ABC și punctele D, E, F, G situate pe segmentele AB, AC, CN, respectiv BN, astfel încât DG ∥ AN ∥ EF. Arătați că N este și mijlocul segmentului GF. A D
B
A 8
Fie M mijlocul laturii BC a paralelogramului ABCD și {E} = AC ∩ DM. Paralela prin E la dreapta BC intersectează latura AB în F. Dacă CD = 12 cm, calculați lungimea segmentului FB.
9
Prin G, centrul de greutate al triunghiului ∆ABC, se construiește o paralelă la dreapta BC, care intersectează laturile AB și AC în E, respectiv F. a) Dacă EB = 3 și FC = 4, calculați AE și AF.
AE AF = 1, 6 , calculați . FC BE 10 Fie punctul N situat pe latura AC a triunghiului AN 2 ∆ABC, astfel încât = . Paralelele duse prin N NC 3 la BC și AB intersectează latura AB în E și latura BC
B 14
Dreapta AB este tangentă la cercul C(O, r) în punctul A, cu r = 9 cm și AB = 12 cm. Dreapta OB intersectează cercul în C și D. Fie E și F picioarele perpendicularelor duse din C, respectiv D, pe AB. Calculați lungimile segmentelor BC, BE și EF. E B F A C O D
15
în F. Dacă AB = 10 și BC = 15, arătați că BE = BF. În figura de mai jos, avem EB ∥ AD ∥ OC și {A} = EC ∩ BO. O E A B
C
D
AE AO 1. AC AB AE AO b) Arătați că 1. CE BO a) Arătați că
12
În figura de mai jos, BR este bisectoarea unghiului AB CD ∢ABC și RD ∥ AE. Arătați că ⋅ = 1. BC DE A B
90
În trapezul ABCD se cunosc AB ∥ CD, {O} = AC ∩ BD, OE ∥ AD, ON ∥ BC, cu E, N ∈ AB. Arătați că AE = BN. D C O
A 16
E
N
C D E
B
Fie G centrul de greutate al triunghiului ∆ABC dreptunghic isoscel, cu ∢BAC = 90° și D, F mijloa cele laturilor BC, AB. Perpendiculara din A pe CF intersectează latura BC în R, iar {E} = RG ∩ AC. C AE a) Calculați . AC b) Calculați
DR . DC
E A
R
C
G N F
b) Dacă
11
E
G
D
F
R B
Asemănarea triunghiurilor B 1
Reciproca teoremei lui Thales
F
Pentru fiecare din figurile de mai jos se cunosc D ∈ AB, E ∈ AC. Numerele plasate în dreptul segmentelor reprezintă lungimea acestora, toate exprimate în aceeași unitate de măsură. Determinați în care dintre situații are loc DE ∥ BC. B c) a) A b) 45
21
27
E
D
14
18
C
B
C
D 24
d)
C
72
E15 A
28 x+3
D
e)
E 5
B 2
3
4
3
A
C
5
A 14 E
2x+ 6
E 12
C
D
45
B
10
A 6 B 10 D
8
Fie O punctul de intersecție a diagonalelor patru laterului ABCD. Dacă OA = 9,6 cm, OB = 12,8 cm, OC = 5,4 cm și OD = 7,2 cm, arătați că ABCD este trapez. Pe laturile AB și AC ale triunghiului ABC se consideră punctele D respectiv E. Știind că 3 ∙ AD = 4 ∙ AE și BD = 1,(3) ∙ CE, arătați că DE ∥ BC. Pe latura BC a triunghiului ∆ABC se consideră punctele G, N și F, în această ordine, astfel încât
BG CF = . Paralela prin G la AN intersectează GN FN
latura AB în D, iar paralela prin F la AN intersectează latura AC în E. Arătați că DEFG este paralelogram. A D B 5
Fie punctul E A în interiorul E triunghiului C B ABC. H G În exteriorul triunghiului, pe semidreptele EA, EB, EC, se consideră punctele F, G, respectiv H. Dacă AB ∥ FG și BC ∥ GH, arătați că AC ∥ FH. 7 Punctul C este mijlocul laturii BD a triunghiului A ABD, iar CE și CF sunt bisectoarele unghiurilor E F ACB, respectiv ACD, E ∈ AB, F ∈ AD. D B C Arătați că EF ∥ BD. 6
G N F
E C
Fie G și F puncte pe latura BC a triunghiului ABC, astfel încât BG = CF. Paralela prin G la AC intersectează latura AB în D, iar paralela prin F la AB intersectează latura AC în E. Arătați că DE ∥ BC.
9
În trapezul ABCD se cunosc: AB || CD, D AB = 60, AD = 40, BD = 50, BC = 35, AF este bisectoarea unghiului ∢BAD, F ∈ BD, iar E un punct pe latura BC A
C
F
E B
astfel încât BE = 21. Arătați că EF ∥ AB.
Pe laturile AB și BC ale triunghiului echilateral ABC se consideră punctele D și F, astfel încât AD = 6 cm, BF = 9 cm și FC = 15 cm. Arătați că DF este paralelă cu bisectoarea ∢BAC.
10
Pătratul ABCD și dreptunghiul AEFG au aceeași arie și unghiul A comun. Arătați că BG ∥ ED. C D G
F
A
E
B 11 Fie punctele A, B, C, D pe cercul C(O, r), în această ordine, astfel încât AB este diametru. A Notăm cu E mijlocul razei OB și {F} = OC ∩ DE. Dacă
D C
F O
E
B
EF 1 . = arătați că C este mijlocul arcului BD ED 3 91
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a C 1
Împărțirea unui segment în părți proporționale cu numere date
N
P 2
30
A
B
H
20
M
10
În figura de mai jos sunt reprezentate fațadele a trei clădiri: ABIJ este dreptunghi cu AB = 6 m și BCGH este pătrat cu latura de 12 m, iar CDEF este pătrat cu latura de 9 m. Cu ocazia sărbătorii de 1 Decembrie, de-a lungul celor trei clădiri sunt plasate oblic trei benzi care alcătuiesc tricolorul. Costul total al benzilor este de 3240 lei. Aflați costurile care revin fiecărui proprietar, știind că sunt împărțite între cele trei clădiri direct proporțional cu lungimea benzilor din dreptul fiecărei clădiri.
G I
F G
E
4
J
92
O
P
N
H
3
și OD în punctele F, G, H respectiv P, R, S. Știind că PB = 11, RC = 12 și SD = 13, calculați lungimile segmentelor OF, OG, OH, FP, GR și HS.
Se consideră segmentul AB și punctele B, M, N, P coliniare, în această ordine, astfel încât BM = 6 cm, MN = 2 cm și NP = 4 cm. Folosind desenul de mai jos, descrieți procedeul prin care segmentul AB, se poate împărți în trei segmente, ale căror lungimi sunt direct proporționale cu 6, 2 și 4. A B
F
C
E
D
Latura OA a triunghiului ∆OAD este împărțită în trei părți: OE = 30, EN = 20, NA = 10. Pe latura AD se consideră punctele B și C. Paralele prin E și N la dreapta BC intersectează dreptele OB, OC
A
R 12
B
C
13
D
În figura de mai jos, punctul P este situat pe latura AB a triunghiului ∆ABG, astfel încât BP = 2 ∙ AP = = 6 cm, iar punctele R și S sunt situate pe latura AG, astfel încât AR = 3 cm, RS = 4 cm și SG = 5 cm. Punctele C, D, E, F ∈ BG astfel încât PC || AD || RE || SG. Știind că BG = 15 cm și CE = 4,2 cm, calculați lungimile segmentelor BC, CD, DE, EF și FG. P
3
A
3
R
6
B 5
S
11
C
D
E
4
S F
5
G
Fie M mijlocul laturii BC a paralelogramului ABCD, {O} = AC ∩ BD și {G} = AC ∩ DM. Paralelele prin O și G la dreapta BC intersectează latura AB în E, respectiv F. Arătați că E și F împart segmentul AB în trei părți direct proporționale cu numerele 3, 1 și 2. D
O A
E
F
C
G M B
Asemănarea triunghiurilor
6.3. Triunghiuri asemenea. Teorema fundamentală a asemănării, criterii de asemănare Breviar teoretic Definiție Două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile respectiv congruente și laturile corespunzătoare lor respectiv proporționale. Conform definiției, faptul că triunghiurile ABC și A′B′C′ sunt asemenea reprezintă verificarea simultană a relațiilor: AB AC BC ∢A ≡ ∢ A′, ∢B ≡ ∢B′, ∢C ≡ ∢C′ și = = . A′B′ A′C ′ B′C ′
A
A' B'
B
C' C
Teorema fundamentală a asemănării: O dreaptă paralelă cu una din laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi, sau cu prelungirile lor, un triunghi asemenea cu triunghiul inițial. Cazurile de asemănare sunt condiții suficiente de a demonstra asemănarea a două triunghiuri. Ele reprezintă metode pentru demonstrarea asemănării a două triunghiuri, mai eficiente decât definiția. Denumirea criteriului Cazul U.U. (congruența a două unghiuri) Cazul L.U.L. (o congruență de unghiuri și o egalitate de rapoarte)
Ipoteza
Configurația geometrică
∢B ≡ ∢B′
B' C
B'
∢B ≡ ∢B′, ∢C ≡ ∢C′ ∆ABC ∼ ∆A′B′C′
A' B'
B
AB AC BC = = A′B′ A′C ′ B′C ′
BC =k B′C ′
C A
AB AC BC = = ′ ′ ′ ′ A B A C B′C ′
C'
B
∢C ≡ ∢C′
∆ABC ∼ ∆A′B′C′
A'
A
Cazul L.L.L. (două egalități de raporte)
C'
B
∢A ≡ ∢ A′,
AB AC = = k A′B′ A′C ′
∆ABC ∼ ∆A′B′C′
A'
A
∢A ≡ ∢ A′
Concluzia
C' C
∢A ≡ ∢ A′ ∢B ≡ ∢B′
∢C ≡ ∢C′
93
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a A 1
Triunghiuri asemenea
Triunghiurile ABC și MNP sunt asemenea. Stabiliți valoarea de adevăr a următoarelor propoziții. a) ∢ A ≡ ∢ M b) ∢ C ≡ ∢ N
AB BC CA d) = = MN MP NP AB BC CA MN NP MP e) = = f) = = MN NP MP BC AB AC 2 Folosind definiția, alegeți dintre triunghiurile repre zentate mai jos perechi de triunghiuri asemenea. Justificați răspunsul dat.
4
c) ∢ P ≡ ∢ B
a) c) d) 5
6
30°
3 3
A 3
3
30°
E
B
D 30°
3 3
F
H
2,5
6
7
120°
6
6
M J Q
94
12
6 3 1,(3)
4,2 12 2,(3) 3,(3)
Se consideră triunghiurile asemenea ABC și DEF. a) Dacă ∢ A = 43°, ∢ E = 68°, aflați măsura unghiului ∢ C. b) Dacă ∢ C = 48°, ∢ B = 2·(∢ D), aflați măsura unghiului ∢ A. c) Dacă AB = 2 cm, BC = 3 cm, CA = 4 cm, DE = 5 cm, aflați lungimile segmentelor EF și DF. d) Dacă DE = 3 cm, EF = 4,5 cm, FD = 6,5 cm și raportul de asemănare a triunghiurilor ABC
5 , aflați lungimile laturilor 2
Se știe că ∆ABC ∼ ∆A′B′C′, AB = 8 cm, BC = 10 cm,
90°
R
60°
Se consideră ∆ABC ∼ ∆DEF, cu raportul de
3 , și ∆DEF ∼ ∆MNP, cu raportul de 4 4 asemănare . 7 a) Demonstrați că ∆ABC ∼ ∆MNP și determinați raportul lor de asemănare. b) Dacă PABC = 27 cm, determinați PDEF și PMNP. c) Dacă PMNP = 35 cm, aflați PABC.
2
L
4
2 3
3
3
2,4
asemănare P
6 3
60°
4,8
7
mile laturilor A′B′, B′C′, A′C′.
N
2
3 2
5
CA = 7 cm și PA′B′C′ = 100 cm. Determinați lungi
I
60°
5,6
triunghiului ABC.
2,5
S
10
și DEF este k =
60°
G
8
b)
C
90°
Triunghiurile ABC și MNP sunt asemenea. Com pletați tabelul următor, știind că toate lungimile sunt date în aceeași unitate de măsură. AB BC CA MN NP PM
8
K
Dacă ∆ABC ∼ ∆BCA, arătați că ∆ABC este echilateral.
Se consideră dreptunghiul ABCD și punctele M, N situate pe laturile AB, respectiv CD, așa încât ∆AMD ∼ ∆CNB. Demonstrați că BMDN este paralelogram.
Asemănarea triunghiurilor 9
Punctele D, E, F sunt mijloacele laturilor AB, BC, respectiv CA, ale triunghiului ABC. a) Demonstrați că ∆ABC ∼ ∆EFD. b) Știind ∆ABC ∼ ∆DEF, demonstrați că triunghiul ABC este echilateral.
B 1
10
Fie AD înălțime a triunghiului ABC. a) Dacă ∆DAB ∼ ∆DAC, arătați că triunghiul ABC este isoscel. b) Dacă ∆DAB ∼ ∆DCA, arătați că triunghiul ABC este dreptunghic.
Teorema fundamentală a asemănării
În figurile următoare, DE ∥ BC. Calculați numărul x pentru fiecare dintre acestea, folosind datele din desen, știind că toate lungimile sunt exprimate în aceeași unitate de măsură. A D
a)
E
B C
A
x
4
C
d)
B
x
E
h
C
B
AB = 10 AD = 6 BC = 15
AB = 5 m BC = 3 m BD = 20 m
D A
E
Calculați înălțimea clădirii din imaginea de mai jos, folosind datele din desen.
A
E
DE = 6 EA = 2 BC = 9
3
BC = 6 DE = 5 CE = 7
x
E
c)
C
D
b)
Se consideră trapezul ABCD, cu baza mare AB = 36 cm și baza mică CD = 12 cm. Notăm cu M intersecția laturilor neparalele și cu O intersecția diagonalelor trapezului. a) Știind că AM = 42 cm și BC = 30 cm, calculați lungimile segmentelor AD, MD, MC și MB. b) Știind că AC = 42 cm și OD = 10 cm, calculați lungimile segmentelor AO, BO, CO și DB.
AD = 3 BD = 5 DE = 6
x
B
2
B
D
Punctul D este situat pe latura BC a triunghiului ABC. Se construiește DE ∥ AB, E ∈ AC și DF ∥ AC,
DE DF + = 1. AB AC 5 Segmentele AM și BN sunt mediane ale ∆ABC, iar AM ∩ BN = {G}. Paralela prin G la AB, intersectează pe AC și BC în punctele P, respectiv Q. a) Demonstrați că PG = QG. b) Dacă AB = 21 cm, BC = 16 cm, AC = 24 cm, calculați lungimile segmentelor AP, MQ și PC. F ∈ AB. Demonstrați că
D
A
C
95
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a C
Criterii de asemănare
1
Lungimile laturilor triunghiului ABC sunt: AB = 8 cm, BC = 16 cm, CA = 12 cm. Se prelungesc segmentele AB și AC cu segmentele AE = 2 cm, respectiv AF = 3 cm. a) Demonstrați că ∆ABC ∼ ∆AEF. b) Calculați EF și raportul de asemănare a triunghiurilor.
2
În desenul de mai jos, ABCD este paralelogram, iar lungimile segmentelor sunt exprimate în centimetri. Demonstrați că ∆AEF ∼ ∆ABC și ∆AEF ∼ ∆CDA. D
5
c) BN= 6
C
12 10
E
6
8
A 3
F
A 42°
E
78°
B 4
60°
C
În figura de mai jos, toate lungimile segmentelor sunt exprimate în aceeași unitate de măsură.
N
9
12
P
∢M = ∢N = 30°, MP = 2 3 cm. b) Demonstrați că triunghiurile ABC și MPN sunt asemenea. c) Calculați lungimea segmentului AC și raportul de asemănare.
20
9 16
Q
Folosind datele din desen, demonstrați că: a) triunghiurile MNP și QMP sunt asemenea; b) dreptele MP și NQ sunt perpendiculare.
96
Pe laturile AB și AC ale triunghiului ABC se consi deră punctele D, respectiv E astfel încât DE || BC. Se știe că AD = 3 cm, AB = 7,5 cm, DE = 4,5 cm și AE = 6 cm. Calculați lungimile segmentelor AC și BC.
Se consideră triunghiurile ABC și DEF în care ∢ A = 60°, ∢B = 30°, AB = 2 cm, BC = 3 cm, ∢ E = 30°, ∢F = 90°, DE = 6 cm. a) Determinați măsurile unghiurilor ∢C și ∢D. b) Calculați lungimile segmentelor AC, EF, DF. c) Folosind definiția, arătați că ∆ABC ∼ ∆DEF. d) Calculați raportul de asemnare a celor două triunghiuri și valoarea raportului ABC . DEF 8 a) Desenați triunghiurile ABC și MNP în care AB = BC = 4 cm, ∢ ABC = 120°,
M 15
3 ⋅ DE . 2
7
B
Folosind datele din desenul de mai jos, verificați dacă triunghiurile ADE și ACB sunt asemenea.
D
D AD = 3 Punctul M din figura ală- E AE = 4 A AC = 12 turată este mijlocul seg AB = 9 mentului AB, iar MN ∥ AC, M N ∈ BC. Demonstrați că: a) triunghiurile ADE și N B C ABC sunt asemenea; b) triunghiurile ADE și MBN sunt asemenea;
Triunghiurile ABC și A′B′C′ sunt asemenea, având 3 raportul de asemănare . 4 a) Dacă perimetrul triunghiului A′B′C′ este 28 cm, calculați perimetrul triunghiului ABC. b) Dacă aria triunghiului ABC este 18 cm2, calculați aria triunghiului A′B′C′. c) Dacă AB = 3 cm, BC = 8 cm, A′C′= 10 cm, aflați lungimile segmentelor A′B′, B′C′ și AC.
Asemănarea triunghiurilor 10
11
Completați spațiile libere astfel încât să obțineți propoziții adevărate: p1: „Dacă ∆ABC ∼ ∆DEF, ∢A= 47°, ∢B = 74°, atunci ∢F =… .” p2: „Dacă ∆ABC ∼ ∆DEF, AB = 7,5 cm, AC = 4 cm, DE = 6 cm, atunci DF = … .” p3: „Dacă ∆ABC ∼ ∆DEF, AB = 4 cm, BC = 9 cm, AC = 6 cm, EF = 15 cm, atunci DE = … cm și DF = … .” p4: „Dacă ∆ABC ∼ ∆DEF, AB + EF + AC = 7 cm, PABC = 9 cm, iar raportul de asemănare a triunghiurilor este k, atunci BC = ... .”
15
În paralelogramul ABCD, AB = 12 cm, BC = 8 cm, iar M este un punct situat pe latura CD, astfel încât CM = 4 cm. Știind că AM ∩ BC = {N}, demonstrați că triunghiul ABN este isoscel.
16
În triunghiul ABC, cu AB = AC, mediatoarea laturii AB intersectează dreapta BC în punctul D. Demonstrați că AB2 = BC · BD.
17
Fie triunghiul ABC, un punct P situat pe latura
Un trapez isoscel are bazele de 10 cm, respectiv 20 cm și înălțimea de 12 cm. a) Calculați lungimile laturilor neparalele b) Calculați distanța de la punctul de intersecție a diagonalelor, la fiecare dintre cele două baze
18
În triunghiul ABC, ∢A = 60°, ∢B = 72°, BD este bisectoarea unghiului ABC, D ∈ AC, DE este bisectoarea unghiului BDC, E ∈ BC și GE ∥ AC, G∈BD. Demonstrați că: a) DE ≡ EC b) DE2 = DC · DG c) BE2 = BD·BG.
19
Pe laturile AB și BC ale dreptunghiului ABCD, se consideră punctele E, respectiv F, așa încât DE ⊥ EF. a) Demonstrați că ∆ADE ∼ ∆BEF. b) Pentru AB = 16 cm, BC = 12 cm, AE = 10 cm, calculați lungimea segmentului CF.
20
Măsurile unghiurilor A, B, C, ale triunghiului ABC, sunt direct proporționale cu numerele 6, 5, respectiv 4. Pe latura BC se iau punctele E și F, astfel încât ∢BAF = ∢CAE = 12°. a) Demonstrați că ∆FEA ∼ ∆ABC. b) Dacă EG este bisectoarea unghiului AEC, G ∈ AC, arătați că ∆AEG ∼ ∆ABF.
21
În triunghiul ABC, ∢A = 75°, ∢B =65°, iar F este punctul de intersecție dintre înălțimea BD și bisectoarea CE a unghiului ACB (D ∈ AC, E ∈ AB). Se construiește FN bisectoarea unghiului BFC, N ∈ BC și se notează cu M punctul de intersecție dintre dreapta AB și FN. a) Calculați măsurile unghiurilor triunghiului BCF. b) Demonstrați că triunghiurile ABC și NBM sunt asemenea.
AP 9 = . AB și PQ ∥ BC, Q ∈ AC cu PB 4 PQ . a) Calculați valoarea raportului BC RC b) Pentru QR ∥AB, R∈BC, calculați raportul . BC 12 Triunghiul ABC este isoscel, AB = AC, iar BD este bisectoarea unghiului ABC, D ∈ AC. a) Pentru ∢CBD = 36°, arătați că triunghiurile ABC și BDC sunt asemenea. b) Știind că ∆ABC ∼ ∆BDC, calculați măsurile unghiurilor triunghiului ABC. 13
Se consideră triunghiul DEF, cu DE = 6 cm, EF = 90 mm, FD = 1,2 dm și punctul P, situat pe latura DE, astfel încât DP = 2·PE. Paralela prin P la dreapta EF intersectează DF în punctul Q. Calculați lungimile laturilor triunghiului DPQ.
14
Triunghiul ABC este dreptunghic, cu ∢A = 90°, AD ⊥ BC, D∈ BC, iar E este simetricul punctului B față de D, E ≠ C. a) Demonstrați că ∆ADE ∼ ∆CAB. b) Dacă AE = 10 cm, BD = 6 cm, calculați lungimea segmentului AC.
97
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a 22
23
Pe laturile AB și BC ale triunghiului echilateral ABC, se iau punctele M, respectiv N, astfel încât AM = 3·BM și BN = CN. Demonstrați că: a) ∆NBM ∼ ∆ACN. b) dacă P este mijlocul segmentului AN, atunci ∆ABC ∼ ∆MNP. Se consideră triunghiul isoscel ABC cu AB ≡ AC și D un punct pe latura BC. O dreaptă care conține punctul D intersectează dreapta AB și AC în punctele M respectiv N, iar NP ∥ AB, P ∈ BC. Demonstrați că: a) triunghiul CNP este isoscel; b)
24
98
25
Triunghiul MNP este echilateral, cu perimetrul de 48 cm, iar punctele A și B aparțin laturilor MN, respectiv NP, MA = 4 cm, PB = 13 cm. a) Demonstrați că ∆AMP ∼ ∆BNA. b) Calculați măsura unghiului BAP.
26
În pătratul ABCD, AC ∩ BD = {O}, iar E este un punct situat pe latura AD. Știind că AF este mediană a triunghiului ABE, demonstrați că triunghiurile AFO și BED sunt asemenea.
27
Fie triunghiul ABC dreptunghic isoscel, ∢A = 90°. Punctul P este situat pe latura BC, BP = AC, iar Q este situat pe latura AB, astfel încât BQ ≡ CP. a) Arătați că triunghiul APQ este isoscel. b) Demonstrați că AP2 = AB · AQ.
28
Trapezul dreptunghic ABCD, cu ∢A = ∢D = 90°, are diagonalele perpendiculare. Demonstrați că: a) ∆ABD ∼ ∆DAC; b) AD2 = AB · CD.
DM BM = . DN CN
Semidreapta AD este bisectoarea unghiului BAC a triunghiului ABC, D ∈ BC, iar pe laturile AB și AC se iau punctele E respectiv F, astfel încât AE = BD = = 10 cm și AF = CD = 15 cm. Demonstrați că EF ∥ BD.
7. RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC 7.1. Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema înălțimii. Teorema catetei Breviar teoretic Definiția 1. Piciorul perpendicularei duse dintr-un punct A, pe o dreaptă d, se numește proiecția ortogonală a punctului A pe dreapta d (sau, pe scurt, proiecția punctului A pe dreapta d). Dacă M este proiecția punctului A pe dreapta d, vom scrie M = prd A. Definiția 2. Mulțimea proiecțiilor tuturor punctelor unei mulțimi (unei figuri) F, pe o dreaptă d se numește proiecția mulțimii (figurii) pe dreapta d. Teorema 1: i) Dacă AB ⊥ d, atunci proiecția segmentului AB dreapta d este segmentul A′B′, unde A′ = prd A și B′ = prd B . ii) Dacă AB ⊥ d, atunci proiecția segmentului AB pe dreapta d este punctul A′. Teorema 2 (teorema înălțimii): Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este egală cu media geometrică a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză. Teorema 3 (teorema catetei): Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii unei catete este egal cu produsul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției acelei catete pe ipotenuză. A 1
Proiecții ortogonale pe o dreaptă
Se consideră trapezul dreptunghic ABCD, cu
c) Reprezentați punctele A′′, B′′, C′′, D′′, proiecțiile
∢A = ∢D = 90°. Precizați proiecțiile: prCD A, prAD B,
punctelor A, B, C respectiv D pe axa Oy și determinați coordonatele lor.
prAD C, prAB D, prAD BC (proiecția segmentului BC
pe dreapta AD).
2
3
4
Diagonalele MP și NQ ale pătratului MNPQ se intersectează în punctul O. Stabiliți valoarea de
Triunghiul ABC este isoscel, AB = AC, iar D este mijlocul segmentului BC. Precizați: prBC A, prAD B,
adevăr a propozițiilor:
prAD AC (proiecția segmentului AC pe dreapta AD),
p1: prNQ M = O
p2: prMP N = Q
prBC AB (proiecția segmentului AB pe dreapta BC).
p3: prNQ P = N
p4: prMN Q = M
p5: prNQ PN = ON
p6: prPQ MQ = Q
Se consideră sistemul xOy de axe de coordonate. a) Reprezentați punctele: A(2; 3), B(−3; 2),
5
F = prAB C. Demonstrați că AE ≡ BF.
C(−2; 0), D(0; 4). b) Reprezentați punctele A′, B′, C′, D′, proiecțiile
Fie ABCD paralelogram cu ∢A < 90°, E = prAB D și
6
În dreptunghiul MNPQ, MP ∩ NQ = {O}, NA ⊥ PM,
punctelor A, B, C, respectiv D pe axa Ox și
A ∈ MP și QB ⊥ MP, B ∈ MP. Precizați proiecțiile, pe
determinați coordonatele lor.
dreapta MP, a segmentelor: MN, NP, PQ, MQ, NO, QN. 99
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a 7
Segmentul AD este înălțime în triunghiul ABC, D ∈ BC. Numiți proiecțiile laturilor AB și AC pe dreapta BC, pentru fiecare din următoarele situații: a) ∢B < 90° și ∢C < 90° b) ∢C > 90° c) ∢B > 90°
8
În rombul ABCD, M = prAB C și N = prAD C. Demonstrați că BM = DN.
9
De aceeași parte a dreptei d, se consideră punctele coliniare A, B, C. a) Reprezentați A′, B′, C′, proiecțiile punctelor A, B, C, pe dreapta d.
B
AB A ' B ' . = BC B ' C ' c) Știind că AB = BC, demonstrați că A'B' = B'C' și AA '+ CC ' . BB ' = 2 10 Pe latura AC a triunghiului ABC, se consideră
b) Demonstrați că
punctul D, astfel încât d(D, AB) = d(D, BC). Demonstrați că BD este bisectoarea unghiului ABC și BD ⊥ EF, unde E = prABD și F = prBCD.
Teorema înălțimii
Fie triunghiul ABC cu ∢A = 90° și AD ⊥ BC, D ∈ BC. a) Dacă BD = 6 cm și DC = 24 cm, calculați lungimea segmentului AD. b) Dacă AD = 15 cm și BD = 9 cm, calculați lungimile segmentelor DC și BC. c) Dacă AD = 3 5 cm și BD = 5·CD, calculați lungimile segmentelor BD, CD și BC. 2 Se consideră triunghiul DEF, ∢D = 90° și DM ⊥ EF, 1
D ∈ EF. Efectuați calculele necesare și completați în tabel căsuțele libere cu valorile obținute. DM EM FM EF a) 3,6 6,4 b) 12 16 c) 1,8 5 d) 6 x 4x 3 În triunghiul dreptunghic BCD, segmentul BA este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei. Calculați aria triunghiului pentru fiecare din situațiile: a) AB =
6 cm și AD = 2 cm;
În triunghiul ABC, ∢B = 60°, ∢C = 30°, iar AB = 12 cm. a) Determinați lungimile proiecțiilor segmentelor AB și AC pe dreapta BC. b) Calculați distanța de la punctul A la dreapta BC. 7 În triunghiul isoscel ABC (AB = AC), AD este bi sectoarea unghiului BAC, D ∈ BC, iar d(D, AB) = = DE = 3 3 cm. Știind că AE = 3 · BE, aflați lun gimile segmentelor BE, AE, AB. 6
8
Într-un triunghi dreptunghic, proiecția unei catete pe ipotenuză este de 8 cm, iar înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea proiecției celeilalte catete pe ipotenuză. Calculați lungimea ipotenuzei triunghiului dat.
9
În triunghiul dreptunghic ABC cu ∢A = 90°, AD ⊥ BC, AD =
Calculați lungimile segmentelor DC, BD și BC.
10
4
100
Se consideră dreptunghiul DEFG și punctul M, proiecția punctului D pe dreapta EG. Se știe că 2 GM = 9 cm și ME = ⋅ GE . Calculați lungimile 3 segmentelor DM și DF.
b) AC = 3 3 cm și AD = 4 3 cm. În triunghiul DEF, ∢D = 90°, EF = 15 cm și ME 1 = , calculați lungimea prEF D = M. Știind că MF 4 segmentului DM. 5 Trapezul ABCD este dreptunghic, ∢A = ∢D = 90°, AC ⊥ BC, AB = 41 cm și CD = 25 cm. Calculați înălțimea trapezului.
15 cm și BD = DC + 2 cm.
11
În triunghiul dreptunghic ABC, AD este înălți mea corespunzătoare ipotenuzei, iar E și F sunt proiecțiile punctului D pe catetele AB, respec tiv AC. Demonstrați că are loc egalitatea: BD · DC = AE · EB + AF · FC.
Relații metrice în triunghiul dreptunghic 12
În patrulaterul ABCD, ∢ABC = ∢ADC = 90°, BE ⊥ AC, DF ⊥ AC, E ∈ AC și F ∈ AC. Se știe că AE = 8 cm, AC = 26 cm și EF = 2 cm. a) Calculați lungimile segmentelor BE și DF b) Aflați raportul ariilor triunghiurilor ABC și ADC.
13
În triunghiul MNP, ∢M = 75°, ∢N = 60°, A este proiecția punctului M pe NP, B este proiecția
C
Teorema catetei
1
2
Fie triunghiul ABC, ∢A = 90°, și AD ⊥ BC, D ∈ BC. a) Pentru AB = 36 cm, BD = 18 cm, calculați lungimile segmentelor BC, AC și AD. b) Pentru AC = 20 cm, CD = 16 cm, calculați lungimile segmentelor BC, AB și AD. c) Pentru BC = 12 cm, DC = 3·BD cm, calculați lungimile segmentelor AD, AB și AC.
a) b) c) d) e)
BC
AC 15
24 18 3
AD 4 8 9 2·DC
DC BD 5 4 · AD 12
ABCD este trapez dreptunghic, cu ∢A = ∢D = 90°, în care AC ⊥ BC, AB = 8 cm și BC = 4 cm. Calculați perimetrul și aria trapezului. 4 În dreptunghiul ABCD se construiește AE ⊥ BD, E ∈ BD. Fie AE ∩ CD = {F}, AF ∩ BC = {G}. Se știe că AD = 15 cm și BD = 25 cm. Calculați lungimile segmentelor AE, BE, DF și BG. 5 Triunghiul ABC este isoscel, cu AB = AC. Fie AD ⊥ BC, D∈BC, DE ⊥ AB, E∈AB. Știind că AD = 10 cm și DE = 6 cm, calculați lungimea laturii BC.
În trapezul dreptunghic ABCD, ∢A = ∢D = 90°, BD ⊥ BC și AB = 4 cm. Dacă linia mijlocie a trapezului este de 8,5 cm, calculați aria trapezului.
Calculați lungimea bazei mici a trapezului ABCD, cu AB ∥ CD, știind că AD = BC = 4 cm, AB = 10 cm și AC ⊥ BC. 7 În triunghiul dreptunghic ABC, ∢A = 90°, AD este înălțime, AD = 15 cm și BC = 4·BD. Calculați lungimile catetelor triunghiului. 6
8
În triunghiul ABC, ∢B = 90° și BD ⊥ AC, D ∈ AC. Efectuați calculele necesare și completați căsuțele libere cu valorile obținute. AB
3
14
punctului A pe MN, C este proiecția punctului A pe MP și CD ∥ AM, D ∈ NP. Demonstrați că MB·BN = AD · DP.
Calculați lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic, știind că proiecțiile lor pe ipotenuză au lungimile 4x respectiv 5x, x > 0, iar perimetrul triunghiului este 3(5 + 5 ) cm.
9
Se consideră triunghiul ABC și D = prBCA. Perpendiculara în A pe AC intersectează dreapta BC în punctul E. Știind că AC = 4 3 cm și CD = 6 cm, calculați perimetrul triunghiului ADE.
10
Proiecțiile laturilor AB și BC ale dreptunghiului ABCD pe diagonala AC au lungimile de 3 cm, respectiv 9 cm. Calculați perimetrul dreptunghiului.
11
Triunghiul MNP este isoscel cu ∢N = ∢P = 30°. Se știe că MA este înălțime, MQ este bisectoarea unghiului AMN, Q ∈ NP, iar AQ = 3 cm. a) Demonstrați că triunghiul MPQ este dreptunghic. b) Calculați lungimile segmentelor MN și PQ.
12
Se consideră rombul ABCD cu AC = 16 cm și BD = 12 cm. Perpendiculara în punctul C pe dreapta BC intersectează dreapta BD în punctul E. Calculați perimetrul triunghiului CDE.
101
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
7.2. Teorema lui Pitagora. Reciproca teoremei lui Pitagora Breviar teoretic Teorema lui Pitagora: Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor. Reciproca teoremei lui Pitagora: Dacă suma pătratelor lungimilor a două laturi ale unui triunghi este egală cu pătratul lungimii celei de-a treia laturi, atunci triunghiul este dreptunghic, unghiul drept fiind opus laturii a treia. A 1
Teorema lui Pitagora
Fie triunghiul ABC, cu ∢A = 90°.
7
Completați spațiile libere, astfel încât să obțineți
a) Pentru AB = 6 cm și AC = 8 cm, calculați lungimea
propoziții adevărate. a) Lungimea înălțimii unui triunghi echilateral cu
segmentului BC.
b) Pentru AB = 7 cm și BC = 25 cm, calculați
latura de 4 cm este … cm.
lungimea segmentului AC.
b) Un triunghi echilateral, cu înălțimea de 6 3 cm
c) Pentru AC = 12 cm și BC = 20 cm, calculați
are perimetrul egal cu … cm.
lungimea segmentului AB.
c) Diagonala unui pătrat cu latura de 8 cm, are
d) Pentru AB = 3 10 cm și AC = 4 10 cm,
lungimea … .
calculați lungimea segmentului BC și perimetrul
d) Dacă un pătrat are aria 50 cm2, atunci diagonala
triunghiului. 2
pătratului are lungimea … .
Triunghiul ABC este isoscel, cu AB = BC = 15 cm
e) Lungimea diagonalei dreptunghiului, cu dimen
și AC = 18 cm. Calculați lungimile înălțimilor
siunile 7 cm și 24 cm, este … .
triunghiului. 3
f) Un romb, cu diagonalele de 10 cm, respectiv
Se consideră triunghiul ABC cu AB = AC = 12 cm și ∢B = 30°.
24 cm, are perimetrul … . 8
a) Calculați distanța de la punctul A la dreapta BC;
În triunghiul ABC, ∢A = 75°, ∢B = 60°, D = prBC A, DB = 2 cm.
b) Calculați lungimile segmentelor BD și DC, unde
a) Calculați lungimile segmentelor AB și AC.
D ∈ BC și AD ⊥ AB. 4
Trapezul ABCD este dreptunghic ∢A = ∢B = 90°,
b) Știind că mediatoarea laturii BC intersectează dreapta AC în punctul E, calculați lungimea
AB = 12 cm, BC = 16 cm, AD = 25 cm. a) Calculați lungimea segmentului CD.
b) Calculați lungimile diagonalelor trapezului. 5
Calculați perimetrul unui triunghi dreptunghic isoscel, știind că ipotenuza sa are lungimea 10 2 cm.
6
Un triunghi dreptunghic cu un unghi de 30° are aria 8 3 cm2. Calculați perimetrul triunghiului.
102
segmentului BE. 9
Punctele A și B sunt situate pe cercul C(O, r), r = 25 cm și AB = 120 . Calculați lungimea coardei AB și distanța de la centrul cercului la dreapta AB.
10
Lungimea laturii pătratului ABCD este 12 cm, iar punctele E și F sunt situate pe laturile BC, respectiv CD, așa încât BE = 2·CE și DF = 3·CF. Notând cu p perimetrul DAEF, demonstrați că 34 < p < 35.
Relații metrice în triunghiul dreptunghic 11
Calculați perimetrul triunghiului DEF, știind că
12
DF = 16 cm, ∢D = 105°, ∢E = 45°.
17
CD = 8 cm, AD = 10 cm. Calculați înălțimea și
În paralelogramul MNPQ, ∢M = 45°, MQ ⊥ QN și PN = 4 cm. Calculați lungimile segmentelor MN,
diagonala trapezului. 18
NQ și MP. 13
Se consideră triunghiul dreptunghic ABC, cu ∢A = 90°, AC = 6 cm, BC = 10 cm, iar BM și CN
sunt mediane ale triunghiului. Calculați lungimile segmentelor BM, CN și AG, unde G este centrul de
19 20
Demonstrați că: AB · DE + AC · DF = BC · EF. 15
Pătratul ABCD are perimetrul 24 cm, iar punctul E este situat în interiorul pătratului, astfel încât
B 1
AC, MC și MD. 21
Unghiurile A și D ale trapezului ABCD sunt drepte. Demonstrați că AB2 + AC2 = DB2 + DC2.
22
În triunghiul ABC, ∢B = 90°, AC = 25 cm,
BC = 20 cm, iar CD este bisectoarea unghiului C, a) Calculați lungimea catetei AB.
relația AC2 + BD2 = 4·AB2.
b) Calculați distanța de la punctul D la dreapta AC.
Reciproca teoremei lui Pitagora
Pe latura BC a triunghiului ABC, se consideră un AB2
= BD·BC și
AC2
= CD·BC,
În paralelogramul MNPQ, MN = 9 cm, NP = 3 cm și MP = 6 2 cm. a) Demonstrați că MP ⊥ MQ. b) Calculați înălțimile paralelogramului. c) Calculați lungimea segmentului NQ. În triunghiul ABC, AB = 6 cm, AC = 8 cm, iar AD este mediană și AD = 5 cm. Calculați lungimea segmentului BC și înălțimea corespunzătoare laturii BC.
4
Punctul M este mijlocul laturii AB, a pătratului
D ∈ AB.
arătați că triunghiul este dreptunghic.
3
Calculați lungimea diagonalei AC a rombului ABCD,
Demonstrați că, pentru orice romb ABCD, are loc
punct D. Știind că 2
NP = 8 2 cm și ∢P = 135°.
este 3 2 cm. Calculați lungimile segmentelor AB,
EA = EB = 5 cm. Calculați EC. 16
MNPQ, în care MN ∥ PQ, MN = 2·PQ,
ABCD, iar distanța de la punctul M la dreapta AC
Triunghiurile dreptunghice ABC și DEF, cu ∢A = ∢D = 90°, sunt asemenea.
Calculați perimetrul și aria trapezului dreptunghic
cu AB = BD = 6 cm.
greutate al triunghiului ABC. 14
În trapezul isoscel ABCD, AB = 20 cm, BC = 10 cm,
În patrulaterul convex ABCD, AB = BC = 20 cm, CD = DA = 15 cm și AC = 24 cm. a) Demonstrați că AC ⊥ BD. b) Calculați lungimea diagonalei BD.
Lungimile laturilor unui triunghi sunt invers pro 1 1 1 porționale cu numerele , , . Demonstrați că 5 4 3 triunghiul este dreptunghic. 6 Lungimile a = BC, b = AC, c = AB ale laturilor triunghiului ABC sunt exprimate în aceeași unitate de măsură. Verificați, pentru fiecare dintre situațiile următoare, dacă triunghiul ABC este dreptunghic și completați în căsuțele libere valoarea de adevăr a propoziției „Triunghiul ABC este dreptunghic”. 5
a) b) c) d) e) f) g) h) i) 7
j)
a
3
6
7 10 15 9 3k 5
b
4
8
8 24 32 12 4k 12 24 3 2
c
5 10 9 25 37 15 5k 13 25
2 3
2 7
A/F 103
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
7.3. Noțiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic Breviar teoretic Într-un triunghi dreptunghic: Sinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre lungimea catetei opuse acestui unghi și lungimea ipotenuzei. Cosinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre lungimea catetei alăturate acestui unghi și lungimea ipotenuzei. Tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre lungimea catetei opuse și lungimea catetei alăturate acestui unghi. Cotangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre lungimea catetei alăturate și lungimea catetei opuse acestui unghi.
1
Cu datele din imaginile următoare, calculați sin a,
3
30°
45°
60°
sin
1 2
2 2
3 2
cos
3 2
2 2
1 2
tg
3 3
1
3
ctg
3
1
3 3
Calculați sin x, cos x, tg x, ctg x, unde x este, pe
cos a, tg a, ctg a, unde a este măsura unghiului
rând, măsura unghiurilor ascuțite ale triunghiurilor
marcat.
din imaginile următoare. F
B 10
a) 6
8
A
a) 6 a C
D
C
6 x1
C 17
10
b)
a
A 2
B
B
b)
8
c)
a) înălțimea unui triunghi echilateral cu latura de 10 cm;
P 3 M
b) lungimea laturii unui triunghi echilateral cu înălțimea de 2 3 ;
5
A
Folosind elemente de trigonometrie, calculați:
104
E
4
9
N
Determinați măsurile unghiurilor unui triunghi
c) diagonala unui pătrat cu latura de 8 cm;
isoscel, știind că lungimile laturilor sunt: 4 cm,
d) latura unui pătrat cu diagonala de 7 2 cm.
4 cm, 4 3 cm.
Relații metrice în triunghiul dreptunghic 5
În triunghiul ABC, ∢A = 90°, BC = 8 cm și
13
3 . Calculați sin C și tg B. 4 6 În triunghiul DEF, ∢D = 90°, DE = 6 cm și 1 sin F = . 3 a) Calculați lungimile segmentelor DF și EF. b) Știind că DM este mediană, iar DN este înălțime în triunghiul DEF, calculați sin(∢MDN). sin B =
7
8
În dreptunghiul ABCD, AD = 15 cm și ∢ABD = 30°. a) Calculați lungimea diagonalei dreptunghiului. b) Determinați cosinusul unghiului ascuțit, format de diagonalele dreptunghiului.
C
O
A 9
30°
AO = 12
14
Fie triunghiul ABC, cu ∢A = 90°, ∢B = 30°, BC = 2 cm și BD este bisectoarea unghiului ∢ABC, D ∈ AC. a) Calculați sin(∢ABD), sin(∢ADB). b) Stabiliți dacă sin 15° + sin 75° este număr rațional sau irațional.
15
Punctele M, N, P, Q sunt mijloacele laturilor drept unghiului ABCD. Știind că AB = 2BC = 4, calculați sin(∢CNP), cos(∢PNM), tg(∢PMQ).
30°
D
B
În trapezul dreptunghic ABCD, ∢A = ∢D = 90°, 4 CD = 18 cm, AD = 24 cm și tg(∢ABC) = . 3 a) Calculați perimetrul și aria trapezului. b) Dacă M este mijlocul segmentului AB, calculați sin(∢AMD).
10
11
În dreptunghiul ABCD, AB = 6 5 cm și 2 sin(∢BDC) = . Calculați: 3 a) aria dreptunghiului; b) cosinusul unghiului ascuțit format de diagonalele dreptunghiului.
În triunghiul ABC, ∢A = 75°, ∢B = 60°, AD ⊥ BC, D ∈ BC și BD = 1 cm. a) Calculați lungimile segmentelor AB, AD, CD și AC. b) Calculați sin A. 12 ABCD este trapez isoscel, cu bazele AB = 2a și CD = a, iar AC ⊥ BD. Calculați tg(∢CAD) și sin(∢ACB).
9m
180 cm
Trapezul din figura de mai jos este isoscel. Folo sind datele din desen, lungimile fiind exprimate în aceeași unitate de măsură, calculați lungimile laturilor și lungimile diagonalelor trapezului.
D
Alexandru fotografiază o statuie, aflându-se la distanța de 9 m de aceasta. El are înălțimea de 180 cm și privește statuia sub un unghi de 30°. Folosind imaginea alăturată, calculați înălțimea statuii.
P
Q A
C N
M
B
16
În triunghiul DEF, DE = a, DF = b și ∢D = α°, unde 0° < α° < 90°. Calculați, în funcție de a, b și α, lungimea laturii EF.
17
Calculați aria unui triunghi care are două laturi cu lungimile 8 cm, respectiv 4 cm, iar măsura unghiului format de aceste laturi de 45°.
18
Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC cu 3 AB = 2 10 cm, AC = 10 cm și tg C = . 4 a) Calculați distanța de la punctul A la dreapta BC. b) Demonstrați că triunghiul ABC este isoscel și calculați sin(∢BAC). 105
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
7.4. Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații Breviar teoretic Prin „rezolvarea triunghiului dreptunghic” înțelegem raționamentul pe care îl urmăm pentru aflarea tuturor elementelor triunghiului dreptunghic (toate laturile și toate unghiurile) atunci când sunt cunoscute un număr cât mai mic de elemente ale acestuia. Dacă se cunosc lungimile a două laturi ale triunghiului dreptunghic: l Se determină lungimea celei de-a treia laturi, folosind teorema lui Pitagora. l Se calculează raportul dintre cateta opusă unui unghi și ipotenuză, aflându-se sinusul unui unghi ascuțit. Dacă este una dintre valorile care au fost determinate pentru unghiurile de 30°, 45°, 60°, atunci se pot afla și unghiurile ascuțite. Dacă nu este una dintre aceste valori, atunci se poate aproxima valoarea unghiului, folosind tabele care conțin valori aproximative ale sinusului și ale tangentei unghiurilor ascuțite. Definiție Distanța de la centrul cercului circumscris la o latură a unui poligon regulat se numește apotemă a poligonului. Pentru un poligon regulat cu n laturi, notăm apotema poligonului cu an. A
A
B A
Poligonul regulat B Apotema poligonului Lungimea apotemei în funcție de lungimea laturii și de raza cercului circumscris Unghiul format de două laturi alăturate Unghiul la centru corespunzător unei laturi Perimetrul poligonului regulat Aria poligonului regulat
106
O
D
a3 O
a4
C d (O, AB) = a3
= a3
L 3 = 6
R 2
∢BAC = 60°
∢AOB = 120° P3 = 3 · L
A A33 =
L2 3 4
O
B M
C d (O, BC) = a4
a= 4
C
L R 2 = 2 2
a6
F
M
E d (O, CD) = a6 = a6
L 3 R 3 = 2 2
∢BAC = 90°
∢BAC = 120°
P4 = 4 · L
P6 = 6 · L
∢AOB = 90° A 4 = L2
D
∢AOB = 60°
AA66 =
3L2 3 2
Relații metrice în triunghiul dreptunghic A 1
Rezolvarea triunghiului dreptunghic
Calculați perimetrul și aria triunghiului dreptunghic
6
În patrulaterul convex ABCD, AB = BC și AD = CD.
ABC, în următoarele situații:
a) Demonstrați că AC ⊥ BD.
a) AB = 3·AC, BC = 4 10 , ∢A = 90°
b) Pentru AB = 15 cm, CD = 20 cm și AC = 24 cm,
AB 3 = , AC = 16 cm, ∢A = 90° BC 5 c) AC = 8 cm, d(C, AB) = 4 3 cm, ∢C = 90°
calculați lungimea segmentului BD și aria patru
b)
2
În triunghiul ABC, ∢A = 90°, BC = 3 5 cm,
laterului ABCD. 7
Trapezul
are înălțimea 1 AD = 7 cm și raportul bazelor . Știind că aria 3 trapezului este de 168 cm2, calculați perimetrul
ctg B = 2 cm, iar punctul G este centrul de greutate al triunghiului. Efectuați calculele necesare, apoi ale
A. 5 cm
B. 6 cm
C. 7 cm
D. 8 cm.
8
Din bucata de carton ABC, Maria decupează „colțurile” BFG și CDE, suprafața rămasă având aria 41 cm2. Calculați aria triunghurilor CDE, BFG și ABC.
b) Lungimea segmentului AC este: A. 2,5 cm
B. 3,5 cm
C. 3 cm
D. 2 cm.
C D
c) Lungimea segmentului AG este:
3
A.
5 cm
B.
C.
7 cm
D. 10 cm.
Fie triunghiul DEF cu ∢D = 90°, ∢E = 60°. Bisec DEF respectiv DFE se intersectează în punctul I,
G A 9
Pe latura AB = 8 3 cm a dreptunghiului ABCD se consideră punctul M, astfel încât CM = 12 cm și DM = 4 3 cm. a) Calculați perimetrul și aria dreptunghiului.
b) Notând a1 = AADM, a2 = ACDM, a3 = ABCM, a a a calculați 1 + 2 + 3 . a2 a3 a1 5 În cercul C(O, r), coarda CD are lungimea 6 cm și este paralelă cu diametrul AB, iar ∢AOD = 30°.
Determinați lungimea razei cercului și perimetrul
B
MP = 16 cm, iar MQ este bisectoarea unghiului NMP, Q ∈ NP.
a) Calculați aria triunghiului MNP.
a) perimetrul triunghiului DEF; b) distanța de la punctul I la dreapta EF.
F
4m
În triunghiul MNP, ∢M = 60°, MN = 10 cm,
iar d(I, DE) = 3 cm. Calculați:
patrulaterului ABCD.
4m E
3 cm
toarele EA și FB, A ∈ DF, B ∈ DE ale unghiurilor
4
ABCD
trapezului.
geți răspunsul corect. Numai un răspuns este corect. a) Lungimea segmentului AB este:
dreptunghic
b) Calculați lungimea segmentului MQ și NQ. 10
În desenul de mai jos, punctele A, B, D, sunt situate pe cercul cu centrul O și rază 20 cm, ∢AOB = 90°, CD este mediatoarea segmentului AO, iar DE ⊥ OB. Calculați:
a) lungimea segmentului BE; b) tangenta unghiului ODB. A C O
D E
B 107
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a 11
Desenul de mai jos reprezintă schița unui teren în formă de pătrat, străbătut de aleile AE, EF, AF. Interiorul triunghiului delimitat de cele trei alei, reprezintă un lac artificial, iar pe restul terenului se plantează flori. Se știe că AB = 600 m și că ∢DAE ≡ ∢EAF ≡ ∢BAF. E D C F
(1, 7 < 3 < 1, 8 1, 4 < 2 < 1, 5
A
B
2, 4 < 6 < 2, 5)
a) Calculați aria suprafeței acoperite de lac. b) Arătați că, pentru a împrejmui lacul, este suficient să se planteze gard viu pe o lungime de 1900 m. 12 Terenul de sport al școlii are formă dreptunghiulară. Paul se află pe terenul de sport, în punctul P. Notând dreptunghiul (conturul terenului) ABCD, avem PA = 20 m, PB = 24 m, PC = 15 m. Aflați distanța de la punctul în care se află Paul la vârful D al dreptunghiului. B C 24 m 15 m 20 m
P
A B 1
Un trapez isoscel are diagonalele perpendiculare și lungimile bazelor 18 cm, respectiv 32 cm. Calculați înălțimea trapezului. 14 Un trapez isoscel are diagonalele perpendiculare și înălțimea de 16 cm. Calculați aria trapezului și lungimea diagonalelor acestuia. 15 Fie AD înălțime a triunghiului ABC, astfel încât BD = 8 cm, tg(∢BAD) = 2 și AD = DC. a) Aflați lungimea segmentului AD. b) Determinați perimetrul triunghiului ABD. c) Calculați distanța de la punctul C la dreapta AB. 16 Pe laturile AB și AD ale pătratului ABCD, se construiesc, în exterior, triunghiurile dreptunghice ABE și ADF, astfel încât ∢BAE = ∢DAF = 90° și AC = AE = AF = 8 2 cm. a) Demonstrați că BDFE este trapez isoscel. b) Calculați înălțimea trapezului BDFE. 17 În paralelogramul ABCD, AB = 6 3 cm, AD = 6 m și ∢BAD = 150°. Punctul E este piciorul perpendicularei din D pe dreapta AB, iar DE ∩ BC = {F}. a) Demonstrați că CD = 2 · AE. b) Calculați lungimea segmentului CF. AC 2 18 Triunghiul ABC are ∢A = 60°, iar = . AB 5 Demonstrați că AB2 = BC2 + 1,5 · AC2.
D
Aplicații ale triunghiului dreptunghic în determinarea unor elemente ale poligoanelor regulate
Se consideră poligonul A1A2A3… An, n∈ ℕ, n ≥ 3. a) Copiați pe caiete desenul A1 alăturat și trasați diagonalele A1A3, A1A4, A1An – 1.
A2
A3 A4 An
An – 1
b) Stabiliți numărul triunghiurilor alăturate care se formează prin trasarea diagonalelor A1Ak, unde k∈{3,4, …, (n–1)} c) Scrieți, pentru fiecare triunghi reprezentat, suma măsurilor unghiurilor sale.
108
13
d) Adunați relațiile scrise și deduceți formula Sn = (n – 2)180°, unde Sn reprezintă suma măsu rilor tuturor unghiurilor poligonului convex dat.
Relații metrice în triunghiul dreptunghic 2
a) Folosind problema 1 și faptul că unghiurile unui
8
Pentru pătratul ABCD, notăm AB = l4, iar R și a4
poligon regulat sunt congruente, demonstrați
reprezintă raza cercului circumscris, respectiv
următorul rezultat: „Într-un poligon regulat cu
apotema pătratului. Efectuați calculele necesare,
n laturi, măsura unghiurilor sale interioare este
apoi completați tabelul cu rezultatele obținute.
n 2 180 .” dată de relația: S n n b) Probați formula pe baza cunoștințelor pe care
l4 R
le aveți despre poligoanele regulate cu n laturi,
9
Pentru
l6
știind că măsura unghiurilor sale este:
R
a) 150°
respectiv apotema triunghiului. Efectuați calculele necesare, apoi completați tabelul cu rezultatele obținute. 6 l3 a3 PABC AABC 6
12 4 3
PABCDEF
1296
AABCDEF 10
24 3
Punctul M este mijlocul laturii BC a pătratului
3 cm2, calculați R, raza 4 cercului circumscris pătratului și valoarea rapor ABCD. Știind că AADCM =
4 3
3
R , unde R1 este raza cercului circumscris R1 triunghiului ABM.
tului
24 2,25 3
Perimetrul triunghiului determinat de liniile mijlo cii ale triunghiului echilateral ABC este 3 2 cm. Calculați apotema și aria triunghiului ABC.
7
notăm
2
a6
b) 172°. iar R și a3 reprezintă raza cercului circumscris,
ABCDEF,
rezultatele obținute.
Determinați numărul laturilor unui poligon regulat,
Pentru triunghiul echilateral ABC, notăm AB = l3,
regulat
calculele necesare, apoi completați tabelul cu
acestuia.
R
hexagonul
scris, respectiv apotema hexagonului. Efectuați
poligonului în funcție de raza cercului circumscris
5
576
AB = l6, iar R și a6 reprezintă raza cercului circum
Pentru n∈{3, 4, 6}, exprimați lungimea laturii
4
40 3
AABCD
unghi al unui poligon regulat cu 5 laturi, apoi cu Fie poligonul regulat A1A2A3… An, n∈ ℕ, n ≥ 3.
32
PABCD
c) Calculați, folosind formula găsită, măsura unui
3
4 2
a4
n∈{3, 4, 6}.
8 laturi.
10
Prin centrul de greutate al triunghiului echilateral ABC, se construiește dreapta MN ∥ BC, M ∈ AB,
N ∈ AC, cu MN = 8 cm. Calculați lungimea laturii triunghiului și raza cercului circumscris acestuia.
11
Se consideră hexagonul regulat ABCDEF, astfel încât aria triunghiului ABD este 8 3 cm2. Calculați: a) raza cercului circumscris hexagonului; b) apotema hexagonului; c) cât la sută din aria hexagonului reprezintă aria triunghiului ABD. 109
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a 12
echilaterale și trei pătrate, toate având lungimea
Patrulaterul ABCD este dreptunghi. Punctele E, M
laturii egală cu lungimea unui bețișor.
și N sunt mijloacele segmentelor CD, AE, respectiv BE. Știind că triunghiul EMN este echilateral, iar apotema sa este 13
16
deră punctele M, N ∈ BC, P ∈ AC, Q ∈ AB, astfel
3 cm, calculați aria și perimetrul
dreptunghiului.
încât MNPQ este pătrat.
În exteriorul pătratului ABCD, cu latura AB = 2 cm,
a) Dacă latura triunghiului ABC este de 16 cm,
se construiesc triunghiurile dreptunghice isoscele
calculați lungimea laturii pătratului.
MAB, NBC, PCD, QDA, având ca ipotenuze laturile
b) Dacă raza cercului circumscris pătratului este
pătratului. a) Demonstrați că MNPQ este pătrat. b) Calculați raza cercului circumscris și apotema
3 2 cm, calculați aria triunghiului. 17
OSN este (2 +
Hexagonul regulat ABCDEF are apotema 5 3 cm,
b) raza cercului circumscris pătratului;
respectiv DE. b) Calculați aria patrulaterului CMFN. 15
Dispunem de mai multe bețișoare de aceeași lungime. Aflați numărul minim de bețișoare de care avem nevoie pentru a realiza o configurație care să conțină un hexagon regulat, două triunghiuri
110
2 ) cm. Calculați:
a) aria pătratului MNPQ;
iar punctele M și N sunt mijloacele laturilor AB, a) Stabiliți dacă CMFN este poligon regulat.
În pătratul MNPQ, MP ∩ NQ = {O}, punctul S este mijllocul laturii MN, iar perimetrul triunghiului
poligonului MNPQ. 14
Pe laturile triunghiului echilateral ABC, se consi
c) aria triunghiului OSP. 18
Aria hexagonului regulat ABCDEF este 24 3 cm2. a) Calculați S1, suma distanțelor de la un vârf al hexagonului la laturile acestuia. b) Calculați S2, suma distanțelor de la un vârf al hexagonului la diagonalele acestuia.
RECAPITULARE FINALĂ ȘI PROBLEME DE SINTEZĂ 1
Completați litera A, dacă propoziția este adevărată și litera F, dacă propoziția este falsă: Propoziția A/F
48 ∈ (ℝ – ℚ) 12,906147 ∈ ℚ −
b) cel mai mic număr întreg, mai mare decât − 29. 3 Aproximați prin lipsă, la zecimi:
5 ; b)
21 ; c) 111 . 4 Aproximați prin adaos, la sutimi: 55 ; c) 90 . 5 Se consideră mulțimea:
2 b) Determinați numărul mh = , media armo 1 1 + nică a numerelor x și y. x y c) Scrieți în ordine crescătoare numerele ma, mg, mh.
7 ; b)
4 2 8 6 A = ; 0,(4); 12 ; 144 ; 5 ; 2 ; ( 1) . 9 4 Determinaţi elementele mulţimilor A ∩ ℕ; A ∩ ℤ;
10
b) 2 5 + 5 − −2 5 − 3 c) 2 ⋅ 3 4 − 2 7 + 3 ⋅ 1 − 2 7
Decideți dacă x este pozitiv, negativ sau nul.
x 12 216 : 3 3 384 : 48 . 7 Calculați: a) rădăcina pătrată a numărului 1849 8
c)
d) 11
1 a) 0, 4 ⋅ 225 − 400 ⋅ ⋅ 0, 25 2 144 − 0, 25−1 b) 729 − 0, 2−2
216 ⋅ (71 − 17 ) − 256
15 + 15 ⋅ 59 d) 0, 8(3) 324 : (0,(5) 81
(2 − 5 )
2
+
(3
3−6
)
2
−
(−
)
5 −1
2
Ordonaţi crescător şirurile de numere reale: a) 4 2 ; 6; 51; 3 5 ; 8; 3 2 ; 3 3; 2 12 ; 6 2 ; b) − 11; − 2 2; − 3; − 3 2; −
3782 − 7 ⋅ 676
Efectuați calculele:
c)
Efectuaţi: a) 3 − 2 2 + 3 − 2 3 + 2 2 − 2 3
A ∩ ℚ; A ∩ (ℝ \ ℚ).
b) 132 − 122
)
x = 0,(3) −1 ⋅ 2 9 − 3 16 + 4 25 şi 642 − 64 ⋅ 63 4 : 0,13 + 28 . y = 0,01(7) + 5 9 a) Calculați ma, media aritmetică, și mg, media geometrică, a numerelor x și y.
a) cel mai mare număr natural, mai mic decât 199.
6
1234 + 3844 − 519 + 100 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 9
(
91 ∉ 7
Determinați:
a)
f)
228 :19 + 109 + 112 ⋅ 3 − 12 765 + 76 7 h) − ⋅ ( −3)2 (−5) 4 : 0, 4375 ⋅ 256 15 9 Se consideră numerele
10
a)
375 :
g)
−2 ⋅ ( −2 ) ∈ 2
3 + 6 ⋅ 76 − 2 ⋅ 36 5
e)
12
Rezolvaţi ecuaţiile: 1 a) 7 ⋅ x − = 21 2
2 46 27; − 3 5
1 b) 7 : x − = 2 2 3 1 3 d) ⋅ 2 x − = 4 5 5
1 c) 7 − x − = 6,5 2 e) (x – 1) : 2 + (x – 1) : 3 = 5
2,5 f) 2, 25 − ( x − 1,5 ) = g) 1,75 – 5 · (0,1 – x) = 2,25 111
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
1 3 2 h) − ⋅ x =− 12 4 3 i) 55 – 44 · (x – 33) = (–40)2 –42 13
Rezolvați, în numere reale, ecuațiile: a) |2x – 1| = 7
c) |3x – 4| = –7 5 e) 3 − x − = 0, 25 2 14 Rezolvaţi ecuaţiile:
b) |3 – 2x| = 5 d) 19 – |4x + 1| = –2 f) |x · (x + 2)| = 0
a) 5 · [25 – 5 · (3 – 2x) – 9] = 1 5 2 x b) − + 3 − ( 5 − 2 x ) + = −1,5 2 5 5 3 − x x −1 2x − 3 c) + = 3 6 9 x − 8 1 − 2x x d) − − = 0, 25 + 5 10 8 15 Rezolvaţi, în mulțimea numerelor naturale, ecuaţia: x +1 x + 2 x + 2019 2019 . + + ... + = 2 3 2020 16 Într-un bloc sunt 76 de apartamente. Unele au două
20
și B = {x ∈ ℚ | |2x – 5 | = 1}. Calculați: A, B, A∪B, A∩B, A – B, A ∩ ℕ, A – ℤ. 21 Aflați numerele naturale n și m, știind că diferența lor este 165, iar dacă împărțim numărul n la m, se obține câtul 6 și restul 5. 22 Pentru a achita suma de 275 lei, s-au folosit 43 de bancnote, unele de 10 lei, altele de 5 lei. Aflați numărul bancnotelor de 10 lei și pe cel al bancnotelor de 5 lei cu care s-a plătit suma. 23 Diagrama de mai jos reprezintă mediile anuale la matematică ale elevilor unei clase a VII-a. 7 6 5 4 3 2 1 0
3
4
5
6
7
8
9
10
nota
două camere și al celor cu trei camere. Într-o parcare, sunt 20 de maşini şi motociclete
A. 40 %
camere. Determinați numărul apartamentelor cu
(fără ataș) care au împreună 66 de roți (fǎrǎ cele de rezervǎ). Aflați numărul maşinilor şi numărul motocicletelor din parcare. 18
5 Suma a două numere raționale este 4 , iar o șesime 6 1 din unul dintre numere este cu 1 mai mic decât 3 celălalt. Arătați că unul dintre numere este natural.
19
Dintr-o livadă s-au cules 780 kg de mere. Pentru vânzare, merele au fost puse în lǎdiţe de câte 10 kg sau de câte 15 kg. Știind că, în total, s-au folosit 63 de lădițe, aflați numărul lădițelor de 15 kg. Calculați suma de bani care s-a încasat din vânzarea merelor ambalate în lădițele de 10 kg, dacă prețul de vânzare a fost 4,80 lei/ kg.
112
nr. de apariții
Alegeți răspunsul corect. a) Numărul tuturor elevilor din clasă este: B. 24 C. 20 D. 30 A. 18 b) Numărul elevilor care au obținut media cel puțin egală cu 8, exprimat procentual, este:
camere, iar restul au trei camere, în total 196 de
17
Se consideră mulțimile A = {x ∈ ℕ | 3 · x – 7 < 2,3}
24
B. 45%
C.50%
D. 55%
Fie triunghiul ABC și M, N, P mijloacele laturilor AB, BC, respectiv AC. a) Desenați punctul D, simetricul lui N față de M și punctul E, simetricul lui N față de P. b) Demonstrați că ADMP și AEPM sunt paralelo grame. c) Calculați măsura unghiului DAE. 25 Fie AD mediană a triunghiului ABC, D ∈ BC și fie BE, CF perpendicularele din vârfurile B, respectiv C, pe dreapta AD, cu E, F ∈ BC. Demonstrați că patrulaterul BECF este paralelogram. 26 Punctul E aparține înălțimii AD a triunghiului ABC dreptunghic în A. Paralela prin E la AB intersectează BC în G, iar perpendiculara în E pe CE intersectează dreapta AB în F. Să se arate că AGEF este paralelogram.
Recapitulare finală și probleme de sinteză 27
Graficul de mai jos reprezintă evoluţia temperaturii
33
aerului pe parcursul unei zile. Alegeți răspunsul corect. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6
temperatura înregistrată (°C)
Un triunghi isoscel are laturile congruente de 10 cm iar baza de 12 cm. Calculați h1 + h2 + h3, suma înălțimilor triunghiului.
34
O coardă a unui cerc de rază 15 cm are lungimea de 18 cm. Calculați distanța de la centrul cercului la această coardă.
35 3
6
9
12
15
18
21
24
∢ABC =140°. Pe latura AC se consideră punctul D,
ora înregistrării
a) Diferenţa dintre temperatura maximă și tempe ratura minimă înregistrate este egală cu: A. 15 °C B. 8 °C C. 24 °C D. 13 °C b) Temperaturi pozitive s-au înregistrat: A. exact 12 ore B. mai mult de 12 ore C. între 8 ore și 12 ore D. exact 8 ore 28 Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este de 13 cm, iar una dintre catete este de 5 cm. Calculați lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză. 29 În triunghiul ABC, ∢B = 90° – ∢C, AD ⊥ BC, D ∈ BC și AC = 10 cm, AD = 6 cm. a) Calculați sin∢BAD + tg∢CAD. b) D acă E = prAB D, iar F = prAC D, aflați aria patrulaterului AEDF. 30 Fie triunghiul ABC cu ∢A = 90° și fie P = prBC A. a) D acă AB = 15 cm și BP = 9 cm, calculați aria cercului circumscris triunghiului ABC. b) Dacă AP = 15 cm și CP = 10 cm, calculați lun gimea cercului circumscris triunghiului ABC. 31 Proiecțiile catetelor unui triunghi dreptunghic pe ipotenuză au lungimile de 7 cm, respectiv de 63 cm. Calculați perimetrul și aria triunghiului. 32 ABCD este trapez, ∢A = ∢D = 90°, AB = 20 cm, CD = 12 cm, AD = 15 cm și AD ∩ BC = {M}. Calculați: a) lungimile diagonalelor și aria trapezului b) perimetrul triunghiului MBD.
Triunghiul ABC este isoscel cu baza AC, astfel încât ∢CDB = 40°.
a) Arătaţi că triunghiurile ABC și ADB sunt asemenea.
b) Demonstraţi că BC2 = AD · AC. 36
Se consideră cercurile tangente exterior C(O, R), C(O′, r) și BC tangenta comună lor. a) Știind că A, O, T și Q sunt coliniare, exprimați în funcție de R și r, lungimea segmentului BC. b) C alculați lungimea segmentului BC, pentru cazul particular R = 8 cm, r = 2 cm. C B
A
37
O
T
Q
Găsiți un triunghi dreptunghic astfel încât lungimile laturilor, lungimea înalțimii corespunzătoare ipote nuzei și lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză să fie toate numere întregi. Inspirați-vă, în stabilirea răspunsului, din informațiile pe care le puteți extrage din exemplul de mai jos. C
3
D
9 5
5 16 5
12 5
A
4
C 113
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a 38
Prin punctul A, exterior cercului C(O,r), se trasează o dreaptă secantă cercului, care îl intersectează în punctele B și C, apoi tangenta AE la cerc, E fiind punctul de tangență. E
A
B
44
Pe latura AB a triunghiului ABC se consideră punc tul D. Se construiesc DE || BC, E Î AC şi DF || AC, F Î BC. Calculați aria patrulaterului CEDF știind că AADE = ABDF = 20 cm2.
45
Triunghiurile ABC și CDE sunt echilaterale, cu AB = 12 cm și D mijlocul laturii BC. a) Demonstrați că AB || CE b) Arătați că patrulaterul ABEC este un trapez dreptunghic. c) Aflați aria patrulaterului ABEC.
C
a) Demonstrați că triunghiurile ABE și AEC sunt asemenea. b) Deduceți relația AE 2 = AB · AC.
C
A
c) Se consideră două segmente de lungimi l1 și l2. Folosind informațiile aflate la subpunctele a) și b), construiți un segment de lungime 39
D
B
l1 ⋅ l2 .
Perimetrul unui romb este de 100 cm, iar lungimea unei diagonale este de 14 cm. Calculați raportul lungimilor diagonalelor rombului.
E
46
Fie trapezul ABCD, cu baza mare AB, ∢A = 90° și
AC ∩ BD = {O} . Paralela prin punctul O la baze intersectează AD în punctul E. Demonstrați că: 40 Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC și a) ∆AEB ∼ ∆DEC; GM AB, M ∈ BC , GN BC , N ∈ AC , GP AC , P ∈ AB. b) EO este bisectoarea unghiului BEC. Știind că AB = 18 cm, BC = 12 cm, AC = 15 cm, 47 Dintr-o bucată de carton în formă de semidisc, se calculați lungimile segmentelor AN, BP și CM. decupează o suprafață pătratică. Raza discului din 41 Se consideră patrulaterul MNPQ și punctele A care provine semidiscul este egală cu 2 5 cm. și B pe laturile MN respectiv PQ astfel încât D C MA QB = = k > 0 . Arătați că MQ NP dacă și AN BP A O B 1 k numai dacă AB = ⋅ MQ + ⋅ NP . k +1 k +1 42 În triunghiul ABC, AD ^ BC, D Î BC, iar F este a) Calculați aria semidiscului. intersecția dintre bisectoarea unghiului B și perpen b) Calculați lungimea laturii pătratului. diculara în A, pe AB. Dacă {E} = AD BF. c) Calculați numărul k, raportul dintre aria pătratului a) Arătați că AB · BE = BD × BF. şi aria semidiscului. Comparați valoarea k a b) Dacă ∢ABC = 60° arătați că ΔAEF este echilateral. raportului cu numărul 0,(5), folosind inegalitățile 43 În dreptunghiul ABCD cu AC = 40 cm şi AP 7 3,14 < π < 3,15. = , BC = 24 cm, punctul P aparține laturii AB, PB 25 {O} = AC BD, iar dreapta PO intersectează latura CD în punctul Q. a) Calculați perimetrul și aria dreptunghiului. b) Calculați aria triunghiului BPQ. 114
Modele pentru lucrarea scrisă
LUCRARE SCRISĂ LA MATEMATICĂ SEMESTRUL I (model) Toate subiectele sunt oblgatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru este de 50 minute. SUBIECTUL I (25 de puncte)
Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect. 5p
1. Sanda are la fizică două note de 7, trei note de 8 și două note de 10. După rotunjire media Sandei la fizică este: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10
5p
2. Dacă a) 2
a + 121 =13, atunci numărul a este egal cu: b) 3 c) 4
d) 12
5p
3. Cel mai mare număr întreg mai mic decât 10 + 36 − 0,5 ⋅ 50 este: a) −1 b) − 2 c) 0 d) 4
5p
4. Mulțimea A={ −
221 9 ,− , −0,(5), 2,5 , 49 17 Atunci n este egal cu: a) 1 b) 2 c) 3
25 + 576 , 1000 } conține n numere iraționale. d) 6
115
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
5p
5. Aproximarea prin lipsa la ordinul zecimilor a numărului 10 este: a) 3,0 b) 3,2 c) 2,9 d) 3,1
SUBIECTUL AL II-LEA (25 de puncte)
Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect. 5p
1. M ăsura unghiului A al paralelogramului ABCD este de 63°. Unghiul B are măsura egală cu: a) 63° b) 17° c) 107° d) 117°
5p
2. Perimetrul dreptunghiului EFGH în care EF = 8 cm şi FG = 1,4 dm este: a) 4,4 cm b) 44 cm c) 54 cm d) 5,4 dm
5p
3. ABCD este un patrulater convex, iar M, N, P, Q sunt mijloace le laturilor AB, BC, CD respectiv DA. Propoziția „Patrulaterul MNPQ este paralelogram” este: a) adevărată b) falsă
5p
4. Triunghiul AED este echilateral iar BC este linie mijlocie a aces tuia, B ∈ AE și C ∈ AD. Măsura unghiului BCD este egală cu: a) 120° b) 90° c) 60° d) 80°
116
α = 63°
Modele pentru lucrarea scrisă
5p
5. ABCD este un romb, AC ∩ BD = {O}, DO = 3,5 cm și ∢BAD = 60°. Latura rombului are lungimea de: a) 3,5 cm b) 14 cm c) 7 cm d) 5,25 cm
SUBIECTUL al III-lea Scrieți rezolvările complete.
(40 de puncte)
5 − 2 3 + 2 2 1+ 2 + − și b = 6,76 . 18 8 6 2 a) Raționalizați numitorii, efectuați calculele și stabiliți dacă numărul a este rațional sau irațional. Justificați răspunsul dat.
10 p 1. Se consideră numerele a =
10 p b) Arătați că a > b.
117
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
2. Patrulaterul DEVA este un dreptunghi, DE > EV, iar punctul H este centrul dreptunghiului. O dreaptă care trece prin punctul H și este perpendiculară pe AE, intersectează AV în punctul T și DE în punctul M. 10 p a) Demonstrați că AT ≡ ME.
10 p b) Arătaţi că MATE este romb.
118
Modele pentru lucrarea scrisă
LUCRARE SCRISĂ LA MATEMATICĂ SEMESTRUL AL II-LEA (model) Toate subiectele sunt oblgatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru este de 50 de minute. SUBIECTUL I Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect.
(25 de puncte) −1
5 p 1. Dintre numerele a = 3− 3 ,b = (4 − 2 3) 2 , c =1+ 12 − 27 și d = 2– 1 , mai mic este: 3 a) d b) b c) c d) a
5 p 2. Soluția ecuației a) S = {−2}
2 x + 1 3x + 1 + = 0,1(6) ·(x − 7) este: 3 2 b) S = {−1} c) S = {1}
d) S = {2}
5 p 3. Dacă x + y = 4 și 2x − 3y = −7, atunci produsul x · y este egal cu: a) 3 b) −1 c) −3 d) 1
5 p 4. Valoarea numărului m, pentru care ecuațiile 5 − 2,5x = − 2,5 și 3x + m = mx − 1 sunt echivalente, este: a) 1 b) 3 c) 4 d) 5
5 p 5. Fie punctele A(− 2;5) și B(2;2) într-un sistem de axe ortogonale xOy. Lungimea segmentului AB este egală cu: a) 3 u.m b) 4 u.m c) 5 u.m d) 7 u.m
119
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
SUBIECTUL AL II-LEA Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect. 5p 1. În cercul C(O, r) cu r = 17 cm, coarda AB are lungimea de 30 cm. Distanța de la centrul cercului la această coardă este de …. cm a) 8 cm b) 12 cm c) 10 cm d) 14 cm
5p
2. În desenul alăturat, ABCD este un paralelogram, AB = 8 cm, AD = 6 cm, E este mijlocul laturii BC iar AE ∩ DC = {F}. Lungimea segmentului DF este egală cu: a) 12 cm b) 16 cm c) 20 cm d) 1,8 dm
5p
3. În triunghiul ABC, AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm, D∈ BC, BD = 9 cm. Propoziția „ AD este înălțime a triun ghiului ABC ” este: a) adevărată b) falsă
5p
4. Calculând 12·(sin 60°· cos 45°− a)
120
3
b) 6
c)− 3
2 ·tg 30°) se obține: d)− 6
(25 de puncte)
Recapitulare finală și probleme de sinteză
5p
5. Hexagonul regulat ABCDEF, cu aria 18 3 cm2 are latura de: a)
3 cm b)
2 cm c) 2 3 cm d) 3 2 cm
SUBIECTUL al III-lea Scrieți rezolvările complete. 10 p
1. Numerele reale a, b, c verifică inegalitatea
(40 de puncte) (a − 1) 2 + ( 2 − b) 2 + (c − 3) 2 ≤ 0 .
a) Determinați a, b, c.
10 p
b) Stabiliți dacă există un triunghi cu laturile de lungimi a, b, c, determinate. Justificați răspunsul dat.
121
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
10 p
2. Se consideră trapezul dreptunghic ABCD, cu ∢A = 90°, ∢B = 60°, AB ∥ CD, AB = 18 3 cm, BC = 12 3 cm. a) Arătați că înalțimea trapezului este 18 cm
10 p
122
b) Calculați sinusul unghiului ACB.
INDICAȚII ȘI RĂSPUNSURI RECAPITULAREA MATERIEI DIN CLASA A VI-A, PRIN TESTE TESTUL 1 1. B. 2. C. 3. B. 4. B. 5. A. 6. B. 7. A. 8. B. x 2 9. = = k ⇒ x = 2k, y = 3k; 3x + 7y = 216 ⇒ 27k = 216 ⇒ k = 8, x = 16, y = 24. y 3 10. a) Dacă x = 1, A = 7 · 31 − 31+1 + 31+2 = 21 − 9 + 27 = 39, iar dacă x = 2, A = 7 · 32 − 32+1 + 32+2 = 63 – 27 + 81 = 117; b) A = 7 · 3x − 3x+1 + 3x+2 = 3x (7 − 31 + 32) = 3x · 13 ⇒ A 13. c) A 13 și A număr prim ⇒ A = 13 ⇒ 3x = 1 ⇒ x = 0. 11. a) BD bisectoare ∢ABC ⇒ ∢ABD = ∢DBE și ∢ABD = ∢BDE (alterne interne) ⇒ ∢DBE = ∢BDE ; b) ∢ADB + ∢BDE + ∢EDC = 180° ⇒ ∢BDE = 180° − 67° − 69° = 44° ⇒ ∢DBE = 44° ⇒ ∢ABC = 88°. Din ∢DAB = ∢CDE (corespondente), obținem ∢A = 69°, apoi din triunghiul ABC obținem ∢C = 23°. 12. ∢M + ∢P = 90° ⇒ ∢P = 30° și ∢M = 60° ⇒ MN = 10 cm (cateta opusă unghiului de 30°); NA este mediană în triunghi dreptunghic ⇒ NA = 10 cm. Perimetrul cerut este 30 cm.
TESTUL 2 1. D. 2. A. 3. C. 4. B. 5. C. 6. B. 7. B. 8. A. 9. viteza medie = (2 h ∙ 80 km/h + 1 h ∙ 90 km/h) : (2 h + 1 h) = 83,(3) km/h. 10. a + b = 63; a)
a b a + b 63 = = = = 9 ⇒ a = 27, b = 36 ; b) 3a = 4b; din a + b = 63 ⇒ 3a + 3b = 3·63 ⇒ 3 4 3+ 4 7
⇒ 4b + 3b = 189 ⇒ 7b = 189 ⇒ b = 189 : 7 ⇒ b = 27 ⇒ a = 63 – 27 = 36. 11. a) ∢A = 90°, ∢B = 60°, ∢D = 30°; b) ∆CAD este isoscel, E mijlocul lui AD ⇒ CE mediană, dar și înălțime ⇒ ∢DEC = ∢DAB = 90°; dar ele sunt și unghiuri corespondente formate de dreptele AB, CE cu secanta AD; De aici avem CE ‖ AB. x ; 2 AB x 3x x = ; DC = BC − BD = = 3 ⋅ = 3·BD. În ∆ABD avem ∢D = 90°, ∢B = 60° ⇒ ∢BAD = 30° și BD = 2 4 4 4
12. În ∆ABC avem ∢A = 90°, ∢B = 60° ⇒ ∢C = 30° și BC = x, AB =
TESTUL 3
37
1 1 1 37 1 999 = 0. : +− : =1− ⋅ 37 4 4 27 999 1 27 1 1 a+b 6 7 7 a+b = > > . = 3 ⇒ a + b = 6; a = b + 1,5 ⇒ b = 2,25 și a = 3,75; b) + = 10. a) a b a ⋅ b 3,75 ⋅ 2, 25 8, 4375 10 2 11. Din ∢BAC ≡ ∢ABD ⇒ ∆DAB este isoscel, cu DA = DB; Din ipoteză BD = DC, deci BD = DC = AD, deci BD este mediană în triunghiul ABC și lungimea sa este jumătate din AC. Din reciproca teoremei medianei rezultă că triunghiul ∆ABC este dreptunghic în A. 12. Fie ME ∩ DF = {O}; ∆OEF ≡ ∆OMF (C.C.), de unde EF = MF; în ∆OEF cateta opusă unghiului de 30° este OE, deci OE este jumătate din EF; ME = MO + OE = EF = MF. 1. D. 2. B. 3. D. 4. A. 5. B. 6. B. 7. C. 8. A. 9. a =
123
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
1. MULȚIMEA NUMERELOR REALE 1.1. Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural. Estimarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv A
Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural
1
n n = a2
16 42
49 72
196 142
256 162
529 232
900 302
1024 322
1225 352
1600 402
3969 632
10000 1002
n
4
7
14
16
23
30
32
35
40
63
100
2. 81 = 92,
81 = 9 , 324 = 182,
841 = 29 , 1296 = 362,
324 = 18 , 441 = 212,
1296 = 36 , 7056 = 842,
441 = 21 , 625 = 252, 7056 = 84 .
( −19 ) =
4= 3. 2, 25= 5, 64= 8, 289= 17, 27 2= 27, 1232= 123, 4. 22 ⋅ 310 =22 ⋅ (35 ) 2 =(2 ⋅ 35 ) 2 ; 22 ⋅ 310 =2 ⋅ 35 ; 26 ⋅ ( −3)4 =
2
2
188
5. A
=3200 : 3188 =312 =( 36 ) ; 3200 : ( −3) 2
188
19 .
( 2 ⋅ ( −3) ) ; 2 2
3
80 20 32 ⋅ 54 ⋅ 7 6 =( 3 ⋅ 52 ⋅ 73 ) ; 32 ⋅ 54 ⋅ 7 6 =3 ⋅ 52 ⋅ 73 ; 2100 : 2= 2=
3200 : ( −3)
625 = 25 , 841 = 292,
(2 )
10 2
26 ⋅ ( −3) = 23 ⋅ ( −3) = 23 ⋅ 32 ; 4
2
80 ; 2100 : 2= 210 ;
=36
7 , 3 , 5 , 2 , 9 , 7 } , B {7, 3 , 5 , 2 , 3 , 7 }. {= 2
4
2⋅ n
6
n
4⋅ n
2
3
n
n
2⋅ n
6. Adevărate: p1, p4, p6, p8, p9. 7. 441 = 32 ∙ 72; 441 = 3 ⋅ 7 = 21 ; 5184 = 26 ∙ 34; 5184 = 23 ⋅ 32 = 72; 50625 = 34 ∙ 54; 50625 = 32 ⋅ 52 = 225; 10 2 53 22 54 ; 10 2 53 2 52 50; 63 25 3 28 34
63 25 3 24 32 144;12 313 22 314 ; 12 313 2 37 ; 14 22 n 1 7 4 m 3 22 n 7 4 n 4 , 14 22 n 1 7 4 m 3 2n 7 2 n 2 a) 676 26, 8. = = 784 28,= 3025 55,= 10404 102,= 12321 111,= 18225 135, = 104976 324 b)
52 + 122 = 13,
710 + 3 ⋅ 710 = 2 ⋅ 75 ,
18 ⋅ 233 = 217 ⋅ 3,
9 ⋅ 410 + 224 = 210 ⋅ 5 .
9. Calculați: 121 ⋅ 361 = 11 ⋅ 19; 400 ⋅ 169 = 20 ⋅ 13; 144 ⋅ 225 ⋅ 289 = 12 ⋅ 15 ⋅ 17 . 10. 36= 6;
( −3) = 2
3; 2 ⋅ 23 ⋅ 26= 25 ; 48 + 16 ⋅ 21 + 27 ⋅ 15= 48.
11. a) 7 − n este număr natural dacă 7 – n este pătrat perfect, deci 7 – n = 0, 7 – n = 1, 7 – n = 4, de unde valorile lui n sunt 7, 6, 3.
36 este număr natural dacă m ∈{2, 5, 10, 37}. m −1 12. a) n = 4; b) n = 28; c) n = 4; d) n = 33. 13. a) m = 5; b) m = –15; c) m = 17 sau m = –17; d) m = 25 sau m = –25. 14. a) 225; b) 729; c) 444; d) 318. 15. a) 14; b) 3; c) 28; d) –17; e) –9; f) 16. 16. a) 6; b) 6; c) 47; d) 24; e) 10; f) 28. b)
124
Răspunsuri
17. a) f)
32 + 42 ≠ 3 + 4 ; b) 132 − 122 ≠ 13 − 12 ; c)
( −6 )
2
332 + 02 = 33 + 0 ; d) ; e)
+ ( −8 ) ≠ −6 − 8 ; g) 62 + 82 + 242 ≠ 6 + 8 + 24 ; h)
7 2 + 242 ≠ 7 + 24 ;
252 − 152 − 122 = 25 − 15 + 6
2
18. A = {12, 22, 32,…; 222};B = {1, 2, 3,…; 22}; C = {5, 10, 15, 20}. 19. 32 cm. 20. 36. 21. Latura unei plăci de parchet poate fi10 cm, 20 cm, 40 cm sau 50 cm. B
Rădăcina pătrată a pătratului unui număr rațional pozitiv
1.
n
9 4
n = a2
3 2
n
3 2
0,04 2
( 0, 2 )
2
0, 2
81 25
1,21
100 169
9 5
(1,1)2
10 13
9 5
1,1
10 13
324 625
10,24
4,41
(3,2)2
18 (2,1)2 25
2
3,2
1 1 = ; 75,69 = 8,7 ; 9 3
3.
4 2 1 1 4 4 4 = ; = ; 0,64 = 0,8; 2,56 = 1,6; = ; 10,3= 10,32 ; 49 7 400 20 3 3
0,36 = 0,6;
441 21 = ; 144 12
3 27
23,04
0,0225
(4,8)2
(0,15)2
4,8
0,15
2
3 27
5,0625 = 2, 25 .
2
2
2
18 25
2,1
2.
961 31 = ; 36 6
9 729
( −1,7 )= 2
1,7 .
2
900 30 32 22 2 = ; 0,0001= 0,012; 2 = ; 34 : 52 = ; 56,25 = 7,52; 4. 1,96 = 121 11 11 11 5 2 2 363 11 1 100 108 = = ; 2 :2 4 12 2 2 5. a) n = 4 sau n = 10; b) m ∈{5, 14, 21, 26, 29}. 2
1,42;
6. a) b)
0,64 ⋅ 81= 0,8 ⋅ 9= 7, 2 ; 0,01 ⋅ 2025 = 0,1 1, 2 ⋅·45 45==4,5; 4,5; 81 9 = ; 289 17
2 7 13 0, ( 4 ) = ; 18 = ; 9 3 3
1 4 1 2 25 ⋅5 = ⋅5 = ; 9 3 3
14, 4 12 = ; 2,5 : 0, 4 = 2,5 ; 4,9 7
3 1 4 2 ⋅ ( −4 ) = ⋅ 4 = 27 3 3
45 3 = . 80 4
1 1 1 1 5 + = + = ; 4 9 2 3 6 1 1 5 2 0,16 + 0, 25 = 0, 4 + 0,5 = 0,9 ; c) + = ; d) . 8 12 24 3
7. Sunt adevărate propozițiile p1, p3, p7, p10. 8. a) b)
2
36 6 3 3 24 4 1764 14 54756 39 14641 1 10. . = ; − = ; = ; 0,01 + 3 ⋅ 0,01 = 0, 2. = = ; = ; 169 13 10 10 25 5 9801 33 4356 11 366025 5 11. a) 756,25 = 27,5 ; b) 2134,44 = 46,2 ; c) 2756,25 = 52,5 ; d) 0,01 = 0,1 ; e) 0,0144 = 0,12 ;
9.
f) 12. a)
0,000289 = 0,017 . 26 8 = ; b) 34 9
18 3 = ; c) 2 ⋅ 54 25
92 + 122 15 3 = = ; d) 2 2 12 + 16 20 4
252 − 202 5 = 2 2 45 − 27 12 125
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
e) 9 ⋅ 7 13. a)
C
1 1 64 9 8 3 4 9 3 + 4⋅ 2 = 9⋅ + 4⋅ = 9 ⋅ + 4 ⋅ = 24 + 6 = 30 ; f) 0,5 ⋅ . + 0, ( 3) ⋅ = 9 4 9 4 3 2 121 484 22
1 34 13 16 ; b) ; c) ; d) 9 25 4 15
Estimarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv
1. 7 < 50 , 9 < 99 , 18 < 325 , − 31 < − 901 . 2. −5 > − 34 , 9 > 77 , 22 > 450 , − 31 > − 1000 . 3. a) 15; b) –18. 4. AC = = 50 2
5000 ≈
4900 = 70 m, CE =
8125 ≈ 8100 = 90 m.
5. 2 < 7 < 3 ; 9 < 90 < 10 ; −8 < − 56 < −7 ; 35 < 1234 < 36 ; −27 < − 700 < −26 . 6. a) 4; b) –16; c) 28; d) 6. 7. a) 0; b) 1; c) 3. 8. A = {26, 27, 28, ... , 46, 47, 48}; B = {5, 6, 7, 8}; C = {7, 8, 9, 10}; D ={−4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4}. 9. 16 lei. 10. a) 784. b) 6889. 32 11. Notăm l = latura pătratului și P = perimetrul pătratului; a = 2 cm2 ⇒ l =
2 ⇒P= 4 2 =
a = 60 cm2 ⇒ l =
60 ⇒ P = 4= 60
36 = 6 cm și P = 10 32 mm =
32 ≈
960 ≈ 961 = 31 cm și P = = 40 60
12. Aria pătratului = Aria dreptunghiului = 8 · 15
cm2
3200 ≈ 3136 = 56 mm; 96000 ≈ 96100 = 310 mm.
cm2
= 120 ⇒ latura pătratului = 120 ≈ 121 = 11 cm. 13. Sunt adevărate propozițiile p2, p3, p6. 14. a) 14; b) 140. 15. a) 1400; b) 14000000. 16. 1−b, 2−d, 3−f, 4−h. 17. a) AB2 = 29; AB > 5,3 ⇔ AB2 > 28,09 ⇔ 29 > 28,09 adevărat; b) AC2 = 68 < 81 = 92; c) BC = 5 cm; AC > 8 ⇒ PABC > (5,3 + 8 + 5) cm = 18,3 cm > 18 cm.
1.2. Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale. Incluziunile ⊂ ⊂ ⊂ −18 −18 9 −18 ∩ 1; 100; − ∩ 1; 100; − 1. a) A= ; b) A= ; c) A ∩ = 1; −1, ( 4 ) ; − ; 100; − ; 6 6 4 6
{ }
d) A ∩ ( / ) = 2 ; e) A ∩ ℝ= A; f) A ∩ {–2, –1, 0, 1, 2, 3} = {1, 3}.
64 8 ; b) −4; − 1, ( 4 ) ; 2,75; 100; − 2, 25; 83 18 49 ; 22 ; 3,5 . 8. Sunt adevărate propozițiile p1, p2, p4, p5, p7, p8. 6. P = −2; − 4 2. a)
5; 1,10203040... ;
9. 1 + 3 + 5 + ... + 23 =122 . 10.
4n + 4n +1 =
4n (1 + 4) . 11. 6; 15; 26. 12. 1; 2; 3.
13. a) n2 = n · n < n · (n + 1) < (n + 1) · (n + 1) = (n + 1)2; b) 12 < 1 · 2 < 22 ⇒ 1 < 22 126
<2·3<
32
⇒2<
6 < 3;
52
<5·6<
62
⇒5<
30 < 6 ;
102
2 < 2;
< 10 · 11 < 112 ⇒ 10 < 110 < 11.
Răspunsuri
15. Sunt adevărate propozițiile p1, p4, p6, p7, p8. 16. a) n ≤ 10 ⇒ n ∈{0, 1, 2, …, 8, 9, 10}; b) n ≤ 3,5 ⇒ n ∈{0, 1, 2, 3}; c) n < 15 ⇒ n ∈{0, 1, 2, …, 13, 14}. 17. 7 − n =0 ⇒ n =7; 7 − n =1 ⇒ n =6; 7 − n =2 ⇒ n =3; 48 − 6 ⋅= n
6(8 − n= ) a ( p. p.) ⇒ a 6 ; avem 6(8 – n) = 0 ⇒ n = 8 sau 6(8 – n) = 36 ⇒ n = 2;
−10 nu poate fi număr natural, oricare ar fi numărul natural n. 2 ⋅ n −1 18. 15 − m ∈ ℚ ⇒ 15 – m ∈ {9, 4, 1, 0} ⇒ m ∈ {6, 11, 14, 15}, 25 2 m ∈ ℚ ⇒ 25 – 2m = 0 (imposibil) sau 25 – 2m = 1 sau 25 – 2m = 4 (imposibil) sau 25 – 2m = 9 ⇒ ⇒ m ∈ {8, 12}, 19. a)
5 ⋅ 0= +2
36 ∈ ℚ ⇒ m – 1 = 1 sau m – 1 = 4 sau m – 1 = 9 ⇒ m ∈ {2, 5, 10}. m −1
2, 5 ⋅ 1= +2
7, 5 ⋅ 2= +2
12, 5 ⋅ 3= +2
17, 5 ⋅ 4= +2
22 .
b) Ultima cifră a numărului 5n + 2 este 2 (dacă n este par) sau 7 (dacă n este impar), deci numărul de sub radical nu este pătrat perfect, de unde A irațional. 20. Ultima cifră a numărului de sub radical este 2. 9 1 P = 21. 7 x + x7 = 70 + x + 10 x + 7 = 77 + 11x = 11 ⋅ (7 + x) ⇒ 7 x + x7 ∈ Q pentru x = 4 . 22. = . 99 11
1.3. Scoaterea factorilor de sub radical. Introducerea factorilor sub radical A
Scoaterea factorilor de sub radical
1. a)
28=
22 ⋅ 7= 2 7 , 12=
22 ⋅ 3= 2 3 , = 32
= 25 22 2 , − 72 =− 23 ⋅ 32 =−2 ⋅ 3 2 ,
150=
2 ⋅ 3 ⋅ 52 = 5 6 , − 128 = − 27 = −23 2 ,
243 =
= 35 32 3 , 288 = 25 ⋅ 32 = 22 ⋅ 3 2 ;
−14 5 , 1352 = 26 2 , b) 160 = 4 10 , 240 = 4 15 , 300 = 10 3 , 450 = 15 2 , − 980 = 2523 = 29 3 , − 4050 = −45 2 .
= 5 2; 12 = 2 3; 567 9 = 7; 3174 23= 6; 960 8= 15; 363 11 = 3; 432 12 3; 2. a) 50 = 384 8= = 6 ; 98 7 2 ; 4. a)
22 + 22 ⋅ 5=
22 ⋅ (1 + 5)= 2 6 ; b)
34 + 36=
34 ⋅ (1 + 32 )= 3 10 ; c) 7 + 49 =
− 22 ⋅ 32 ⋅ (3 + 2) = 2 ⋅ 3 5 ; e) 162 − 16 = d) − 22 ⋅ 33 + 23 ⋅ 32 =
7+7 =
14 ;
16 ⋅ (16 − 1) = 4 15 ,
− 25 ⋅ (23 − 22 + 2 − 1) = −22 2 ⋅ 5 . f) − 28 − 27 + 26 − 25 = 5. Sunt adevărate propozițiile p1, p3, p6. 6. a)
50 + 2 ⋅ 25=
50 + 10=
60= 2 15 ; b)
d) − 22 ⋅ 21 + 441 = − 105 ; e) B
44 + 4 ⋅ 121=
9a 4b8 = 3a 2b 4 ; f)
Introducerea factorilor sub radical
88= 2 22 ; c)
9 ⋅ 900 − 2 ⋅ 81 = 6 7;
32c 4 4c 2 = 2. 3d 9d 2
1. a) 2 5 = 20 ; 3 7 = 63 ; 4 10 = 160 ; 10 3 300 ; 5 6 = 150 ; 102 0, 0123 = 123 . 127
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
1 1 1 1 2 12 1 4 16 1 3 = = ; ; − ; 0,3 . ; 8 = 2 ; − 15 = 3= − 21 = − 27 300 27 3 5 5 2 3 3 7 7 1 5 1 15 = = − 2. a) 10 2 = 200 ; 20 0, 2 = 80; −15 ;5 ; 3 13 = 117 ; 14 8 1568; 0, 4 10 = 1,6 ; 35 7 60 4 3 2 15 3 5 7 = 7 1 8 5 3 56 7 ; ;1 ; −9 0, ( 2 ) = . b) 160 = 90 ; − = − = = − 18 ; 50 2 4 5 8 10 4 10 4 8 27 24 b) 3
2 5 2 3. a) a 2 = 2a 2 ; b) −2a 3 = − 12a 2 ; c) b 5 5b ; d) 3b 7 63b 2 ; e) 2c 7c = 28c ;
− 4a 3b 2 c3 . f) −2abc ac = 4. Sunt adevărate propozițiile p2, p4, p5, p6. 5.a) a = 2, b = 3; b) a = 5; c) a + b = 11.
1.4. Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor, prin aproximări. Compararea și ordonarea numerelor reale. Modulul unui număr real A
Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor, prin aproximări
1. 2; 5; 2; 5. 2. 9 < 10 < 16; 3. 3. 3; 11; 71. 4. 2; 4; 23; 5. 5. 16 < 20 < 25; 5. 6. 6; 22; 87. 7. 4,2; 6,6; 3,8; 0,7. 8. a) 7,84 și 8,41; b) 7,84 < 8 < 8,41 ⇒ 2,8 <
8 < 2,9. c) 2,8. 9. 2,2; 2,6;10,3. 10. 5,35; 1,25; 1,07; 0,01. 12. 1,42 ; 1,74 ; 3,47. 13. 3,2; 6,6; 11,2; 0,1; 1,4; 4,7; 31,6. 14. 7,80; 6,14; 27,75 ; 4,14 ; 1,73 ; 2,24 ; 22,36. 15. a) 9, respectiv 10; b) 8,6; c) 2,60; d)9,88; 8,64; 18,52; 21,11. 20. n = 25. 21. card A = 95; card B = 326; card C = 13. B
Compararea și ordonarea numerelor reale
41 7 9 33 ; b) . c) − . d) 2 ⋅ 33 . 3. a) . b) 3,2(5). c) − 5; d) 2 ⋅ 3 ⋅ 52 . 8 5 5 5 23 8 17 147 192 48 300 ; ; ; . 4. a) ; ; ; b) 2 11; 3 5; 4 3 ; 7; c) 9 3 6 21 10 4 9 567 1 13 5 8 7 75 ;8;3 7; b) −1 ; − ; − ; c) − 5. a) 2 17; ; − 1 ; − 1, 4; − 2; − . 70 3 9 50 4 9 3 72 85 6. a) 3 2; 19; 4, 4;2 5; ; 2 6; 4 2; b) −2 13; − 5 2; − 3 5; − 2 10; − 6; − . 15 15 84 6 4 4 2 2 0 ; b) −2 17; −5 3; −8,(7); −4 5; −9; −3 10 . 7. a) 4; 2 : 2 − 2 : 2 + 2 : 2 + 2; 10 − 2; 2; 10 185 8. a) 8 < 3; 8 > 3 7 ; 15 16 > ; 2019 < 13 13 . 3
2. a)
b) 2 3 < 3 2 ; 4 7 > 6 3 ; 5 2 < 2 13 ; 7 5 < 6 11 . c) 8 5 < 7 7 ; 0, ( 3) 243 > 0, 2 650 ; − 24 > – 5 ; −4 3 > −5 2 ; d) 2 + 2 5 < 2 + 24 ; 128
73 − 4 < 9 − 2 3 ;
75 − 5 3 > 10 − 101 ; 1 − 3 3 > 1 − 4 2 .
Răspunsuri
17 2 < 5 ; −4 < −3 < −3 ; 1 < 2 < 2 ; 3 < 13 < 4 ; −11 < − 109 < −10 ; 8 < 4 + 44 < 9 . 4 5 14. a) a < b; b) a > b. 16. a) –9; b) 15; c) –7; –6; –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5. d) 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. 13. 4 <
C
Modulul unui număr real
4 2 5 1. a) 6; 4; 2019; 77; 0; 9 ; b) 2,(3);1 ; ;1, 25;0,9 . c) 6 ; 3; ; 11; 2,(6); 0; 0; 6. 5 3 3 2. a) 2 − 2;3 − 3;2;20; 101 − 10 ; b) 0; 30; 1; 3; 90. 11 7 1 1 17 3 3 3. a) –4; b) 2; c) − ; d) . 4. a) ; b) ; c) . 5. A = {–4; 4}; B = − 3; 3 ; C = − ; ; D = ∅ . 5 3 5 8 18 2 2 16 6. a) − 9 ; b) − ; c) 1,6; d) 10 . 7. Sunt adevărate propozițiile: p1, p2, p4, p6. 81
{
}
1.5. Operații cu numere reale. Raționalizarea numitorilor de forma A Adunarea
numerelor reale
2. a) 3 2 ; b) 8 3 ; c) 6 5 ; d) 5 2 ; e) −5 3 ; f) −10 5 ; g) −10 2 ; h) −9 3 ; 3. a) a = − 6 și b = 20 6 ; a + b = 19 6; a − b =−21 6 ; b) a 4 5 și b = 14 5 ; a b 10 5 ; a b 18 5 ; c) a = −2 3 și b = − 3 ; a + b =−3 3; a − b =− 3 4. a) a = + b 4 3; a = − b 2 2 ; b) a + b =−2 3 − 10 5; a − b =6 2 − 6 3 ;
3 5 3 10 5 10 − ; a − b= + 10 10 10 10 6. a și c sunt numere iraționale ; b și d sunt raționale. c) a + b=
7. a) 10 3; 10 5 ; 4 7 ; 6 15 ; 12 15 ; 17 3; 15 3; 7 6 ; 9 6 . b) 18 3; 15 6 ; 7 13; 5 7 ; 18 7 ; 18 5 ; 13 5 ; 5 13; 13 3 . c) 17 2 ; 13 3; 9 7 ; 18 11; 19 17 ; 15 2 ; 21 3; 19 7 ; 23 11 . 8. a) 3 2 + 4 2 − 5 2 + 6 2 − 10 2 ; b) 2 3 + 3 3 − 4 3 + 10 3 − 8 3 ; d) 4 2; e) 2 3;
(
) (
)
c) 5 + 2 5 + 12 5 − 20 5 + 3 5 ; d) 4 2 ; e) 2 3 ; f) 7 10 − 8 10 − −15 10 + 6 10 . 9. a) 6 3 − 3 3 + 4 3 − 5 3 + 10 3 ; b) 5 ; c) 2 ; d) −8 3 ; e) −6 7 ; f) 19 3 ; g) 20 5 ; h) −8 11 ; 2 4 5 3 7 4 i) ⋅ 12 13 − ⋅ 5 13 + ⋅ 14 13 = 14 13 ; j) ⋅ 16 17 − ⋅ 10 17 − ⋅ 18 17 + 13 17 =−3 17 . 3 5 7 8 5 9 10. a) 3 3 ; b) −18 3 ; c) 7 2 ; d) 36 13 . 11. a) 3 3 ; b) 4 2 ; c) 0; d) 22 2 ; e) 10 7 ; f) 26 2 ; g) 12 3 ; h) 3 2 . 12. a) −2 3 ; b) 0; c) 8 5 ; d) 2 7 ; e) −4 5 ; f) 5 2 ; g) −6 2 ; h) − 11 7 . 13. a) A; b) C. 6 B Înmulțirea numerelor reale 1. a) 66; b) 9; c) − 1 ; d) 0. 2. a) 6 ; 55 ; − 21 ; 210 ; − 30 ; b) 6 6 ; 14 10 ; − 8 21 ; 50 3 ; − 36 . 3 129
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
3. a) 2; 5; −3; 7; 2 2 ; b) 12; −42; −36; 45; −360 10 ; c) −18 5 ; −12 2 ; −40. y 10 3 ⋅ 15 = 30 5 ; c) x ⋅= y 2 10 = ⋅ 0 0. 5. a) −18; b) 3 ; c) 32 ; d) − 1 . 4. a) x ⋅ y =− 2 ⋅ (− 2 ) =2; b) x ⋅= 14 9
6. a)
x 6 5 x 9 14 x 6 3 = = −1 ; b) = = −3 2 ; c) = = − . y −6 5 y −3 7 y −4 2 4
7. a)
23 ; 19
9.
6 ; c) 2; d) − 6 ; e) 3; f) −8; g) 10; h) − 5 ; i) 2 10 ; j) −2 2 ; k) 4 3 ; l) −9 7 .
5 ; b)
3 ; 5
11 ; 13
3 ; 7
7 ; 5
2 ; 5
21 ; 17
7 1 3 10 2 11 3 ; ; ;1; ; ; ; . 9 3 12 4 11 3 7
C
Ridicarea la putere a unui număr real 1. a) −8; b) 25 ; c) 100; d) − 27 ; e) 1; f) −4. 16 8 2. a) 2; −27; 12; −54 2 ; 216; b) 20; −135 5 ; 1; − 3 2 ; 2
−2 6 3 ; c) 16 ; ; −5 5 ; 16 ; 1 . 9 81 100 9 6
3. a) a = −4 2 ⇒ a 2 = 32 ; b) a = −4 5 ⇒ a 2 = 80 ; c) a= 2 6 ⇒ a 2 = 24 ; d) a =0 ⇒ a 2 =0 .
2 = 4. A 5 ;
(
32 − 23
)
23
−2
−4
( )
; 2 ; 7 ; 2 3
−2
{(
3 − 3 ; −3 2 , B =
) (
)
−3
} . 5. 5; 128; 27; 18; 8;
12 .
D
Raționalizarea numitorilor de forma a b 1. Sunt numere raționale. 2. Sunt numere iraționale. 2 ) 1 5) 3 ) 5 5 2 3 3 5 3. a) =, =, − = − ,− 3 2 5 3 2 5 3
(3
3)
3 3 3 = = 6 2 3
3 , 2
10 )
40 40 10 = = 4 10, 10 10
7 7 14 = − 14 14
14 )
(7
14 = − , 2
2)
−1 − 2 =, 4 2 2
15 )
60 60 15 = = 4 15. 15 15
3 2 3 11 5 15 4 3 5 10 , − 5, − 3 6, , , ,− . 2 2 6 3 2 4 4 4 2 9 9 9 3 30 30 30 5 2, 3, 3 5, 4. a) 4 9 10 8 2 2 27 3 3 20 2 5 b)
3,
18 6 3 6 48 48 48 3 12 12 12 2 18 18 , 4 3, 2 2 , 12 2 12 6 48 4 3 18 3 2 24 2 6
78 78 78 13 45 45 45 5 9 5 . 2 13 , 5 39 25 117 3 13 125 5 5
12 12 2 12 12 3 13 13 2 16 2 = 6 2 < 7 2 ; b) − =− = −4 3 > −7 3 ; c) = < =4 2 ; 7. a) = 2 3 4 4 2 3 2 2 d) E
5 2 3
=
5 5 5 3 5 2 5 > > = sau 2 3 < 3 2 ⇒ . 6 6 2 3 3 2 3 2
Ordinea efectuării operațiilor cu numere reale
1. a) 6; b) −1; c) −4; d) 130
3 ; e) 3; f) −1,4; g) −6,25; h) −10. 2. a) 6; b)
5 − 3 ; c)
2− 3 = 3− 2;
Răspunsuri
9 1 10 35 ; e) ; f) − ; g) −0,1; h) . 3. a) 3 2 ; b) −2; c) 3 + 2 ; d) 6. 4. a) 24 3 ; b) 38 2 ; c) − 7 ; 2 2 9 8 5 d) ; e) 8 − 3 + 5 − 72 + 32 − 2 =−2 2 + 3 − 5 + 6 2 + 4 2 − 2 =8 2 − 4 . 3 5. a1 = 2,88; a2 = 100; a3 = 0; a4 = 1; a5 = 2. 6. a) x2 = 7, y2 = 28, x2 + xy + y2 = − 7; b) 2 6 . 7. x = –6, y = 1, z = 2. 8. b1 = b2 = b3 = b4 = b5 = 3. 9. c1 = –5; c2 = –6; c3 = 3,8; c4 = –7; c5 = 6. d)
10. d1 = d2 = d3 = d4 = d5 = 0. 11. e1 = e2 = e3 = e4 = e5 = 1. 12. a) x = 14 ; b) x = 6; c) x ∈{−3;3} ; d) x = 7 21 .
−4 3 , b = − 2 ⇒ a < b . 14. Sunt toate raționale. −8 2 , b = 5 5 ⇒ a < b ; b) a = 13. a) a = 6 2 , c = . 16. a + b + c = 10. 17. a = 8, b = 2. 18. x =−1 + 2 , y =− 2 + 3 , z = 12. 4 5 2 15 19. A = 15. 20. a = −5; b = . 21. x = −2. 22. Avem două soluții: a) 2 + 2 3 , 2 + 2 3 , 2 3 și 3 b) 1 + 2 3 , 1 + 2 3 , 2 + 2 3 . 23. a) A = 3 − 7 ; b) se ridică la pătrat de patru ori consecutiv. 15. a = 1, b =
(
)
31 2 + 2 ; B = 1023 2 ; C = 62 + 1054 2 . 25. A =
1.6. Media aritmetică ponderată a n numere reale, n ≥ 2. Media geometrică a două numere reale pozitive A
Media aritmetică ponderată a n numere reale, n ∈ ℕ, n ≥ 2
1. a) 3 2 ; b) 4 3 ; c) 2; d) 2,7. 2. a) 13,5; b) 3; c) 3,9; d) 4,8 3 . 3. a) 5,6; b) 2; c) 4 2 .
a 1 a+b a 1 4 1 a+b = ⇒ a = 2,7 ⇒ = 8,1 ; = 12 ; b) 4. = ⇒ a < b ; a) = ⇒ b = 20 ⇒ 13,5 5 2 b 5 b 5 2 a+b b 12 2 ⇒= a 2 2 ,= b 10 2 . c) = 6 2 ⇒ a += 2 5. 11,9 lei. 6. a) 9,2 lei/kg; 8 lei/kg. b) 8,55 lei/kg. 7. a) 28 °C; b) 28,4 °C. B
Media geometrică a două numere reale pozitive
1. a) 4; b) 4; c) 2 5 ; d) 6; e) 2; f) 3; g)
10 5 2 . ; h) 2 2
= 3 , b 6 3 . 3. a) a ⋅ 2. a·b = 324; a) a = 54; b) b = 36; c) a = b = 18;= d) a 18
5 1 cm; b) a ⋅ cm. 8 2
10 m ⋅ n = . 5. a = 3, b =27, c = 9. 3 a 1 4 1 6. = ⇒ a < b ; a = k , b = 4 k ; a) = ⇒ b = 16 ⇒ mg (a, b) = 4 ⋅ 16 = 8 ; b 4 b 4 9 9 a + b 45 9 b) b = ⇒ a = ⇒ = ; a ⋅ b = ; c) mg (a, b) = 4k 2 = 2k ⇒ 2k = 50 ⇒ k = 25 ⇒ a = 25, b = 100 . 4 16 2 32 8 x+ y 7. x =8 3, y =2 3 ⇒ =5 3 ; x y =4 3 . 2
4.
131
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
8. s1 : 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, …; s2 : 5 · 20, 5 · 21, 5 · 22, 5 · 23, 5 · 24, 5 · 25, 5 · 26, …; s3 :
2 0 2 −1 2 −2 2 −3 2 −4 2 −5 2 −6 ⋅ 2 , ⋅ 2 , ⋅ 2 , ⋅ 2 , ⋅ 2 , ⋅ 2 , ⋅ 2 , ... . 3 3 3 3 3 3 3
(x −
9.
32
)
2
xy = 20 . 10.
+
(10
50 − y
)
2
= 0 ⇔ x − 32 = 0 ; 10 50 − y = 0 ⇔ x = 4 2 , y = 50 2 ;
3a ⋅ 27b =9 3 ⇒ 3a ⋅ 27b =35 ⇒ a + 3b =5 ⇒ a =2 ; b =1 . 11. = a
x y 27 2 , 2
= 2, b 2 = 2, c 6 2 .
1.7. Ecuații de forma x2 = a, unde a este un număr real A
Ecuații de forma x2 = a, unde a este un număr real 1. (−3, 9), (−1, 1), (1, 1), (4, 16). 2. (16, 4), (2401, 49), (10000, 100). 4. ecuațiile (1), (2), (4). 5. Numărul 0,5 este soluție pentru ecuațiile (2) și (3). 6. a) S = {1}; b) S = {27}; c) S = {9}; d) S = ∅; e) S = {3}; f) S = ∅. 7. a) S = {−6, 6}; b) S = {−10, 10}; c) S = {−1, 1}; d) S = {−2, 2}; e) S = {−3, 1}; f) S = {−5, 1}. 8. a) S = {−3, 3}; b) S = {−3, 3}; c) S = {−2, 2}; d) S = {−6, −4}; e) S = {−1, 1}; f) S = {−0,5; 0,5}.
{
}
5 1 8 9. a) S = − ; ; b) S = {−12, 16}; c) S = −2; ; d) S = − 5;3 5 ; e) S= 2 2 3 10. A = {−4, −3, 3, 4}; B = {−8, −7, −6, 6, 7, 8}; C = {2, 3, 4, 5, 6, 7 }.
{2 −
}
3; 3 ; f) S = {−8, 8}.
11. 14 cm. 12. 1,2 cm. 13. Cu 3 m. 25 25 14. a) S = {−7, 7}; b) S = {−12, 12}; c) S ; ; d) S = {−13, 17}; e) S = {−6, 14}; f) S = {−6, 6}. 4 4 4 7 4 7 ; 15. a) S = − 5; 5 ; b) S = − ; c) S = − 7; 7 ; d) S = − 5; 5 ; e) S = {−7;7} ; 7 7
{
f) S =
{−
}
{
}
{
}
2;3 2 .
108 ; d) – 25. 17. S = {−13, 13}. 18. S = {−25, 25}. 27 19. a = 30 m. 20. Avem două soluții: a = 0,2 și b = − 0,8 sau a = − 0,2 și b = 0,8.
16. a), b), c) 441; 0;
132
}
Răspunsuri
2. ECUAȚII ȘI SISTEME DE ECUAȚII LINIARE 2.1. Transformarea unei egalități într-o egalitate echivalentă. Identități 1. a b + b c + c a =11 a + 11 b + 11 c =a a + bb + c c . 2. 2 + 4 + 6 + ... + 2n = 2(1 + 2 + 3 + ... + n) = 2 · n · (n + 1) : 2 = n · (n + 1). x2 y2 x2 y 2 2 x z ⇒ z = ⇒ z 2 =⋅ z z= ⋅ ⇒ z2 = xy. și y = y x y x 4. a, b, c ∈ ⇒ (2 ⋅ a + 7 ⋅ b) ∈ ⇒ 5 ⋅ (4 − 3b) ∈ ⇒ 4 − 3b ≥ 0 ⇒ b ∈{0,1} ; Dacă b = 0 ⇒ 2a = 20 ⇒ a = 10. Atunci 10c + 22c = 224 ⇒ 32c = 224 ⇒ c = 7.
2 3. x = y z ⇒ z =
Dacă b = 1 ⇒ 2a + 7 = 5 ⇒ a = −1∉ , care nu convine; Singura soluție a problemei este a = 10, b = 0 și c = 7.
a 3 b3 = ⇒ a = b. a 2 b2 n = 5a + 3 ⋅ 7 ⇒ 7 n = 35a + 21 6. ⇒ 7 n − 5 n= (35 a + 21) − (35b + 5) ⇒ 2 n= 35(a − b) + 16 . n = 7b + 1 ⋅ 5 ⇒ 5n = 35b + 5 Restul care se obține prin împărțirea numărului 2n la 35 este 16. 5. a3 = b3 și a2 = b2 ⇒
n+k ) 1 n) 1 n +1− n 1 1 n) 1 n+k −n k − = = − = = ; b) n n + 1 n(n + 1) n(n + 1) n n + k n( n + k ) n( n + k ) 8. Pentru orice număr real x, cu proprietatea –4 < x avem |x + 4| = x + 4, iar pentru orice număr real x, cu proprietatea x < 3 avem |x − 3| = 3 − x, deci |x + 4| + |x − 3| = x + 4 + 3 − x = 7.
7. a)
n +1)
2.2. Ecuații de forma a · x + b = 0, unde a și b sunt numere reale 1. 1,5 este soluție a ecuației 2·x – 3 = 0. 2. −3 este soluție pentru ecuația
3 ⋅ x + 27 = 0. 5 4. a) x = 1; b) x = 4 3 ; c) x = −4; d) x = 1; e) x = −1; f) x = 0; g) = 2; h) x = . 3 6. DA, pentru a) și c); NU pentru b). 7. Soluția comună celor două ecuații este x = 2. 8. Fiecare pereche de ecuații are aceeași soluție a) x = 7; b) x = 8; c) x = −4. 2 1 1 2 1 1 1 1 10. ⋅ x + a = , x = ⇒ ⋅ +a= ⇒ +a= ⇒ a = 0. 3 6 4 3 4 6 6 6 20 13 26 ∅ ; c) x = 2; d) x = 0; e) x = 11. a) x = 9 ; b) x = ∉ ⇒ S = − ∉ ⇒ S = ∅ ; f) x = − ∉ ⇒ S = ∅. 3 4 27 11 10 1 ; d) x = 1; e) x = 2; f) S = ∅. 12. a) x = −1; b) x = − ; c) x = 3 5 13. a) x = 5; b) x = 5; c) x = −1; d) x = −2; e) x = −3; f) x = −2; g) x = 12; h) x = − 1 ; i) x = 7 ; j) x = 0; k) x = 8,2; 8 2 l) x = 4. 15. a) x = 17; b) x = −12; c) x = 16; d) x = −3. 16. a) x = −13; b) x = −3; c) x = −3; d) pentru k număr par avem k + 1 număr impar, iar k − 2 număr par ⇒ x − 4 − 3x − 2 = 5, cu soluția x = –5,5; pentru k număr impar avem k + 1 număr par, iar k − 2 număr impar ⇒ − x + 4 + 3x + 2 = 5, cu soluția x = −0,5. 17. a) x = 6; b) x = − 4 ; c) x = 1; d) pentru k număr par avem k − 1 număr impar, iar k + 2 număr par, de unde 3 x +1 − 2x − 3 = 7, cu soluția x = −9; pentru k număr impar avem k − 1 număr par, iar k + 2 număr impar, de unde − x − 1 + 2x + 3 = 7, cu soluția x = 5. 133
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
18. 6 + 5x = 3x + 8 are soluția x = 1 ⇒ a + 2 = 1 + (–8) ⇒ a = −9. 19. a) a = 20. a) x − 3= 3 3 − 3 x ⇒ 4 x= 4 3 ⇒ x= 1 ; b)
6( y − 2) = 3 ⋅ 3 2 ⇔ y − 2 =
7 35 ; b) x = ; c) y = 2; d) t = 1. 5 6
{
}
9 2 9 12 ⇔ y =2 + ⇔ y =2 + 3 3 ⇒ S = 2 + 3 ; 6 6
c) ax + ab = bx + ab + bx − ax ⇔ 2ax − 2bx = 0 ⇔ 2x(a − b) = 0 ⇔ x = 0 dacă a ≠ b sau x ∈ dacă a = b. d) Un produs este egal cu zero dacă unul dintre factorii săi este egal cu zero ⇒ x − 1 = 0 sau x + 2 = 0 sau 1 1 + = 0 y y2
x − 3 = 0 ⇒ S = {1, −2, 3}; e)
(
⋅ y 2 ⇒ y + 1 = 0 ⇒ y = −1; f) x
)
(2 − 5 )
2
=
5 −2⇔
x 2 − 5 = 5 − 2 ⇔ x 5 − 2 = 5 − 2 ⇒ x = 1; g) ( −2 ) x + x = (−2)0 ⇔ x 2 + x = 0 ⇔ x ( x + 1) = 0 ⇔ x = 0 sau x = −1 ⇒ S = {−1, 0}. h) 34x – 1 = 27 ⇔ 34x – 1 = 33 ⇔ 4x – 1 = 3 ⇒ x = 1. 2
2 = 4 ⇔ 5 x − 6 = 4 ⇔ 5 x − 6 = 4 sau 5 x − 6 = −4 ⇔ x ∈ 2, . 5 22. a) |x| = 3 ⇒ x = 3 sau x = −3 ⇒ S = {−3; 3}; b) |x − 3| = 2 ⇒ x − 3 = 2 sau x − 3 = −2 ⇒ S = {5; 1};
21. a) x = 11; b) x = 25; c) x = 0,75. d)
( 5 x − 6 )2
x x x − 1 =0,5 ⇒ − 1 =0,5 sau − 1 =− 0,5 ⇒ 2 2 2 2 3 −4 3 ⇒ S = S = {3; 1}; e) 3 x − 2 3 = 4 3 ⇔ 3 x − 2 3 = 4 3 sau 3 x − 2 3 = 2 3 ; − 3 3 f) ∈ ⇔ x + 2 ∈ {1,3} ⇔ x + 2 = 1 sau x + 2 = 3 ⇔ x + 2 =± 1 sau x + 2 =± 3 ⇒ S={−1; −3; 1, −5}. x+2
c) |2x + 1| = 9 ⇒ 2x + 1 = 9 sau 2x + 1 = −9 ⇒ S = {4; −5}; d)
g) |3x – 2| + |6 – 9x| = 0 ⇔ |3x – 2| + 3|2 – 3x| = 0 ⇔ |3x – 2| + 3|3x – 2| = 0 ⇔ |3x – 2| = 0 ⇔ 3x – 2 = 0
⇔x=
2 2 ⇔ S = ; 3 3
x −1 = 5 ⇔ x = 6 x – 1 – 2= 3 ⇔ x – 1= 5 ⇔ h) x – 1 – 2 =3 ⇔ x − 1 =−5 ⇔ x =−4 ⇔ S ={−4, 6} x – 1 – 2 =−3 ⇔ x – 1 = −1, imposibil i) |2x – 7| + 2|2x – 7| = 0 ⇔ 3|2x – 7| = 0 ⇔ |2x – 7| = 0 ⇔ 2x – 7 = 0 ⇔ x =
7 7 ⇔ S = . 2 2
2.3. Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute. Rezolvarea prin metoda substituției și/ sau prin metoda reducerii A
Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute
1. (4; 1) este soluție a ecuației x – 5y = –1. 2. (1; 1+ 2 ) este soluție a ecuației x 2 – y + 1 = 0. 3. Sunt adevărate propozițiile p2 și p3. 4. 1 7 x –1 0 1 3 3 y –5 –2 1 –1 –5 134
Răspunsuri
5. a) a = 5 – 2 b; b) b = (5 –a) : 2. 8. (x + 3)2 + (y2 – x – 4)2 = 0 ⇔ x + 3 = 0 și y2 – x – 4 = 0, ⇒ (−3, −1) și (−3, 1)
7 4 x + y = 9. Nu.10. (3) . 8 3 x − 2 y = B
Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda substituției sau/și metoda reducerii
11 6 S = {(−2; −3)} ; c) S = {(4; 3)} ; d) S= − , ; e)= S {(12; −3)} ; f) S = {(2; 2)} . 7 7 1 1 S {(3 ; −1)} ; d) S = , ; e) S = {(16; 3)} ; f)= S {(2 ; −12)} . 2. a) S = {(1; 2)} ; b) S = {(3 ;1)} ; c)= 2 3
S 1. a)=
{(5; −7)} ; b)
S 3. a)=
{(3 ; −1)} ; b)
4. a)= S
{(
)} ; d) S = 32 ; 12 ; e) S = 15 ; 103 ; f) S = {(5; 2)} . f) S {( 3 ; −1)} . {( 3 ; −1)} ; b) S = {(1;10 )} ; c) S = {( 3 ;1)} ; d) S = {( −3, 25; − 1,5)} ; e) S = {(1; 7 )} ; = S = 3; 3
5. a) S = {( 2 ; 3)} ; b) S= g) S= 6. a)= S
{( −3 ; 2 )} ; h) S=
)} ; c) S = {(
5; 7
S {( 2 ; −3)} ; {( −1; 2 )} ;c)= {( −3 ;1)} ; i) S = {( −2 ; −1)} .
S {(1; −1)} ; c) {( 2 ; −3)} ; b)=
d) S=
1 S = − ; − 6 ; d) S= 3
{( −5 ; 5)} ;
e) S=
{( −1; 3)} ; e)
{( −1;1)} ;
f) S=
{( −2 ; 3)} ;
S = {( −2 ; −3)} ; f) S = {( 2 ; 3)} ;
{( 2 ; −3)} ; i) S = {( −1; −1)} . 7. a) S = {( 2 ; 3)} ; b) S= {( −3 ; 5)} ; c) S = {( 5 2 ;10 )} ; 1 2 S = − ; − ; f) S = {( 3 ; 2 )} ; g) S = {( 3 ; 4 )} ; h) S = {(1; 2 )} ; i)= S {( 3 ; −7 )} ; 2 3
g) S = {( 3 ; 2 )} ; h)= S d) S = {( 3 ; 6 )} ; e)
j) S = {( −5 ; −3)} ; k) S = {( 2 ;1)} ; l) S = {(1; 2 )} ; m) S=
{( −2 ; 3)} ; n) S = 2 ; 43 .
5 9 1 3 −2 −1 8. 3a − 2b + 4 = 0 și a + 5b − 10 = 0, de unde a = 0, b = 2. 9. a = , b = 12 ⇒ a ⋅ b = ⋅ = . 3 25 12 100 1 3 31 41 10. a) S= − ; ; b) S = ; ; c) S = {(15 ;12 )} ; d) S= {( −3 ;1)} . 2 8 10 10 1 1 1 3 a + 2,5 y = 1 x = 2 a = = ⇒S= cu soluția 11. a) Notăm = a și obținem sistemul −2a + 17 y = 2 ⇒ x 2 ⇒ {( 2,1)} ; 16 x y =1 y = 1 y = 1 a = 1 2 a + 3b = x = −1 1 1 ⇒ S = {( −1; 7 )} ; , b și obținem sistemul 1⇒ b) Notăm= a= 13 , cu soluția b= 2 a + 7b = x+2 y−4 y = 7 3 3 −1 14 a + 3 y = a = ⇔ c) Notăm x = a , cu a ≥ 0. Atunci −2a − 7 y = −5 , deci S = {(14 ; −5), (−14 ; −5)}; 7 y =
2 a + 9b 22 = 2= a 2 x − 1 = ⇒ ⇒ d) Notăm x − 1= a , y + 2= b , cu a ≥ 0, b ≥ 9; Atunci iar mulțimea −14 b = 2 y + 2 = 2 6a − 13b = soluțiilor sistemului initial este S = {(−1; 0), (3; 0), (−1; −4), (3; −4)}.
12. a = 7, b = –8.
135
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
2.4. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor sau al sistemelor de ecuații liniare 1. 111 și 57. 2. Ana: 120 de timbre, Maria: 24 de timbre. 3. 50, 25, 30. 4. 6 fete, 24 băieți. 5. 76, 19, 85. 6. 52, 11. 7. 28 kg, 20 kg. 8. 168, 84, 28. 9. 34 elevi, 20 bǎnci. 10. În prima zi: 150 km, a doua zi: 95 km, iar în a treia zi: 380 km. 11. 237, 32. 12. Stiloul: 33 lei, ceasul de perete: 42 lei, cutia de creioane carioca: 14 lei. 13. Prețul unui kilogram de struguri: 7,5 lei. 14. 8 ha a cultivate cu secară. 15. 250 de lei - prețul excursiei. 16. 54 și 36. 17. 8. 18. În fiecare zi a parcurs 48,5 km. Distanța d = 194 km. 19. 1080, 1800, 720. 20. 24 de elevi; 8 elevi participă la cercul de matematicǎ, 4 elevi merg la cercul de robotică. 21. 58 km. 22. 150, 155, 160. 23. Andreea: 28 lei, Bianca: 36 lei, Cristian: 8 lei, Dinu: 128 lei. 24. 54, 18, 36. 25. 9 timbre pe pagină, clasorul are 8 pagini. 26. Fie a cel mai mic număr. Avem a < b < c < d și a + b + c + d = 522. Notăm b = a + x, c = b + y = a + x + y, d = c + z = a + x + + y + z. Atunci a + a + x + a + x + y + a + x + y + z= 522, de unde 4a + 3x + 2y + z = 522. Valoarea lui a este maximă când 3x + 2y + z este minima, adică atunci când x = y = z = 1. Obținem a = 129. 28. 33 de elevi au participat la olimpiada de matematică anul acesta. 27. 420, 280. 28. 1 kg de mere: 2 lei, 1 kg de pere: 3 lei. 29. Prețul unui creion: 2 lei, prețul unui pix: 3 lei. 30. a) Prețul unui caiet: 4,5 lei. b) Prețul unui stilou: 19 lei; se pot cumpăra 10 stilouri cu 200 lei. 31. Un sac de cartofi cântărește 36 kg, iar un sac cu vinete 24 kg. 32. 21 de gǎini şi 35 de iepuri. 33. 56 de apartamente cu douǎ camere şi 79 cu trei camere. 1 35. 60 de autoturisme şi 15 motociclete. 34. 9 și 1 . 5 35. S-au vândut 46 bilete de 30 lei biletul, respectiv 62 bilete cu 40 lei biletul. 36. 2730 lei. 37. Fie n = abc . Atunci: (3n + 1)5 ⇒ (3 ⋅ abc + 1)5 ⇒ (300a + 30b + 3c + 1)5 ⇒ (3c + 1)5 , de unde c = 3 sau c = 8. (5n + 1) 7 ⇒ (5 ⋅ abc + 1) 7 ⇒ (500a + 50b + 5c + 1) 7 ⇒ (3a + b + 5c + 1) 7 . Cazul I. c = 3. Avem:3a + b + 15 + 1 = 3a + b + 2 + 14 ⇒ (3a + b + 2) 7. Analizăm cazurile: 3a + b + 2 = 7, cu soluția a = 1, b = 2, deci numărul n =123 (cel mai mic număr care îndeplinește condițiile date). 3a + b + 2 = 14, cu soluțiile 193, 263, 333, 403. 3a + b + 2 = 21, cu soluțiile 473, 543, 613. 3a + b + 2 = 28, cu soluțiile 683, 753, 823. 3a + b + 2 = 35, cu soluțiile 893, 963. Cazul II. c = 8. Avem: 3a + b + 40 + 1 = 3a + b + 6 + 35 ⇒ (3a + b + 6) 7. Analizăm cazurile: 3a + b + 6 = 7, fără soluții. 3a + b + 6 = 14, cu soluțiile 158, 228. 3a + b + 6 = 21, cu soluțiile 508, 438, 368, 298. 3a + b + 6 = 28, cu soluțiile 578, 648, 718. 3a + b + 6 = 35, cu soluțiile 788, 858, 928. 3a + b + 6 = 42, cu soluția 998 (cel mai mare număr care îndeplinește condițiile date). 40. a = 40, b = 30. 41. 12 bancnote de 10 lei, 5 bancnote de 5 lei. 42. Avem soluțiile: 14 și 58; 28 și 44; 42 și 30; 56 și 16; 70 și 2. 43. 17 de bancnote de 5 Euro, 8 de 20 Euro. 44. a) 5 cărţi de matematică. b) Numărul maxim de cărți pe care poate să le cumpere Adrian cu suma de 300 lei: 10 cărți de matematică, 2 de literatură, deci 12 cărți. 45. 3 ore. 136
Răspunsuri
3. ELEMENTE DE ORGANIZARE A DATELOR 3.1. Produsul cartezian a două mulțimi nevide. Sistem de axe ortogonale în plan A
Produsul cartezian a două mulțimi nevide 1. a) C = {–2, –1, 1, 2}; b) A × B = {(–3, 2); (–3, 4); (–1, –2); (–1, 4); (1, –2); (1, 4); (3, –2); (3, 4)} B × C = {(–2, –2); (–2, –1); (–2, 1); (–2, 2); (4, –2); (4. –1); (4, 1); (4, 2)} C × A = {(–2, –3); (–2, –1); (–2, 1); (–2, 3); (–1, –3); (–1, –1); (–1. 1); (–1, 3); (1, –3); (1, –1); (1, 1); (1, 3); (2, –3); (2, –1); (2, 1); (2, 3)} 2. A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}; B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)} A × A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}; B × B = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}. 3. D = {0, 2}; C × D = {(−1, 0), (−1, 2), (1, 0), (1, 2)}; D × C = {(0, −1), (0, 1), (2, −1), (2, 1)}.
3 3 1 3 3 1 3 3 1 4. A ; , B = 0; ; A × B = − ,0 ; − , ; ,0 ; , ; 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 1 3 1 3 B × A= 0, − ; 0, ; , − ; , . 2 2 3 2 3 2 5. C × D are 12 elemente. 7. D = {–2, –1, 0, 1, 2}. E = {0, 1}. D × E = {(–2, 0); (–2, 1); (–1, 0); (–1, 1); (0, 0); (0,1); (1, 0); (1, 1); (2, 0); (2, 1)}. E × D = {(0, –2); (0, –1); (0, 0); (0, 1); (0, 2); (1, –2); (1, –1); (1, 0); (1, 1); (1, 2)}. 8. M = {(1, 1); (3, –1); (–1, –5); (–3, –3)}. 9. A = {–3, 3}; B = {–1, 1, 3}
1 1 10. C = − , , D = {0,1,3} , C × D = 2 2
1 1 1 1 1 1 − ,0 , − ,1 , − ,3 , ,0 , ,1 , ,3 2 2 2 2 2 2
B Sistem de axe ortogonale
1. A(2; 3), B(0; 1,5), C(−3; 1), D(−3; −2), E(3; −3), F(4; 0). 2. A = {−2, 2, 3}, B = {−1, 0, 2}. B × A = {(−1, −2), (−1, 2), (−1, 3), (0, −2), (0, 2), (0, 3), (2, −2), (2, 2), (2, 3)}. 3. a) AB = 10; b) AB = 12; c) AB = 5. 6. S = {(0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0)}, T = {(0, 4), (3, 2), (6, 0)}. 7. A = {(–2, –1), (−2, 0), (–2, 1), (–2, 2), (2, –1), (2, 0), (2, 1), (2, 2)}; B = {(–3, –1), (–3, 3), (3, –1), (3, 3)}; C = {(−1, 0), (−1, −1), (−1, 1), (−1, −2), (3, 0), (3, −1), (3, 1), (3, −2)}; 8. a) AB = 4; b) AB = 5; c) AB = 13. AB 5,= BC 9. a) OM = 10; b) 36. 10.=
41,= CD 3 2,= DA 5 2 . 11. a) AB = 5, BC = 5; b) AB = 4, BC = 4;
12. a) MN = 8, OM = 4 3 şi NO = 4. b) Aplicați reciproca teoremei lui Pitagora. 13. AB = BC =
13, AC =
26 . c) ABC este triunghi dreptunghic isoscel, AABC =
13 . 2
14. b) OA = 5 = OB, OC = 2 . 15. A = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1}. a) C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, D = {0, 1}. b) E = {2, 3, 4, 5, 6}, F = {–5, –4, –3}. 16. A = {–2, –1, 0, 1}, B = {–2, –1, 0, 1}, deci A = B. 17. a= ) AB 4 2,= AC 2 10,= AD 8,= BC 2 2,= BD 4 2,= CD 2 2 ; b) CB + CD = BD, ceea ce înseamnă că punctele sunt coliniare; în plus, CD = CB, deci C este mijlocul segmentului BD; c) ABC este triunghi dreptunghic (B = 90°). 137
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
3.2. Dependențe funcționale 3.
5.
a
2,25
36
144
400 81
l
1,5
6
12
20 9
P
6
24
48
80 9
L l d
4 3 5
8 6 10
12 5 13
16 12 20
24 7 25
6. Media notelor obținute la acest test este 8,6. 7. Se consideră dependența funcțională n → m, de la mulțimea {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, la mulțimea ℕ, dată de regula: m este ultima cifră a numărului 2n. a) {2; 4; 6; 8}. b) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 4 8 6 2 4 8 6 2 c) 6. 9. a) 220 de elevi;b) spaniolă. 11. În depozitul 1 sunt 24 tone, în depozitul 2 sunt 18 tone. 14. a) B = {–2; –1; 0; 1}. 15. a) A = {– 2; 0; 2; b}, B = {0; a; 4; 5}; b) a = 2 și b = 3. 16. a) A = {– 1; 0; 1; 2; 3}, B = {–2; 0; 2; 4; 6}; b) y = 2x.
138
Răspunsuri
4. PATRULATERE 4.1. Patrulater convex. Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex 1. AFGE, BDGF, CDGE, BCEF, ABDE, ACDF. 2. LUIN, LUIA, LCIA, LCIN. 3. 90° 5. Ionel se înșeală. Al patrulea unghi are măsura 86°. 6. ∢C = 135°, ∢A = 90°, ∢D = 45°. 7. 40°, 135°, 135°. 8. 60°, 80°, 100°, 120°. 9. 144°, 96°, 72°, 48°. 10. ∆ABC ≡ ∆ADC (I.U.) ⇒ ∢ACB ≡ ∢ACD. 11. ∢A = ∢C = 60°, ∢B = 150°, ∢D = 90°. 12. ∢A = ∢C = 90°, ∢B = 110°, ∢D = 70°. 13. AB = BD = BC ⇒ ∆ABC isoscel cu ∢ABC = 150° ⇒ ∢BCA = ∢BAC = 15° ⇒ ∢ACD = 30°. Apoi ACE = ∢BAC = 15°; ∢ACE și ∢BAC sunt alterne interne pentru AB, CE cu secanta AC ⇒ CE ‖ AB. 14. ∢ACD = ∢BCD − ∢ BCA = 30°; AC = BC = CD ⇒ ∆ACD isoscel, cu ∢CAD = ∢CDA = 75°. 16. PABCD = PABCE și CD = AE ⇒ AD = CE ⇒ ∆ADC ≡ ∆CEA (L.L.L) ⇒ ∢ADC = ∢CEA. 17. a) ∢A = 80° , ∢E = 124°, ∢D = 80° și ∢F = 76°; b) adevărate. 18. ∢A = 60°, ∢B = 90°, ∢C = 120°. 19. Construim AE ⊥ BC, E ∈ BC și AF ⊥ CD, F ∈ CD ; ∆ABE ≡ ∆ADF (I.U.) ⇒ BE = DF, B AE = AF; ∆ACE ≡ ∆ACF (I.C.) ⇒ CE = CF; BC = BE + CE = DF + CF = CD. 20. a) ∢B + ∢D = 360° − ∢A − ∢C = 180° și ∢D = ∢B : 2 ⇒ ∢B = 120°, ∢D = 60° E
A D F
b) Fie BC ∩ DF = {R}; ∆BRF echilateral ⇒ BF = BR = RF = x ; AF = 2 · BF = 2 · x ; C
În ∆AFD, din teorema 30-60-90 ⇒ DF = 4 x ; În ∆CDR, din teorema 30-60-90 ⇒
AB 3x = = 2. RC = 2,5 x ⇒ BC = 1,5 x ⇒ BC 1,5 x 21. Fie AE și CF bisectoarele unghiurilor ∢A și∢C, cu E ∈ BC și F ∈ AD ⇒ ∢BAE = =∢DAE = x, ∢BCF = ∢DCF = y ; ∢DFC = ∢DAE = x, ∢BEA = ∢BCF = y (unghiuri corespondente); ∢B = ∢D = 180° − x − y.
fig. ex. 19 D
F
C
A
E B fig. ex. 21
4.2. Paralelogramul. Proprietăți. Aplicații ale paralelogramului în geometria triunghiului A
Paralelogramul. Proprietăți 1. a) PABCD = 14 cm; b) PABCD = 30 cm; c) PABCD = 18 cm. 2. AC ∩ BD = {O}, DO = OB = 3, AO = OB = 5. 3. În ∆BOC, ∢OCB = 180° − ∢OBC − ∢BOC = 75°; ∢CAD = ∢CDA = 75°; CD = 8 cm. 4. Sunt adevărate propozițiile: b), c), f), i), k). 6. a) ∆ABC isoscel ⇒ ∢ABC = ∢ACB ; ∢ABC = ∢CDO (unghiuri opuse în paralelogram); ∢ACB = ∢COD (alterne interne) ⇒ ∢CDO = ∢COD ⇒ ∆COD isoscel; b) Notăm ∢ACB = ∢ABC = 2x ⇒ ∢BAC = 180° − 2x ⇒ ∢OBC = 180° − 2x ⇒ ∢BOC = x. 7. a) DA = DR ⇒ ∢DAR =∢DRA; ∢DAE = ∢AEN (alterne interne) și ∢DRA = ∢EAN (alterne interne) ⇒ ⇒ ∢AEN = ∢EAN ⇒ ∆NAE isoscel ; b) AN = NE, SE = SR, SN = SE + NE = 10 cm; 8. ∢ABD = ∢BDC și sunt alterne interne ⇒ AB ‖ CD, AB = 0,04 m = CD = 40 mm ⇒ ABCD paralelogram. 9. NORD paralelogram ⇒ DR ‖ NO. Dar DE ⊂ DR ⇒ DE ‖ NO și D mijlocul lui MN ⇒ ME ≡ EO ; Din ME ≡ EO, ∢MED = ∢OER (opuse la vârf) și ∢DME = ∢EOR (alterne interne) ⇒ ∆DEM ≡ ∆REO. 139
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
10. Fie ABCD paralelogram și E, F mijloace AB, CD ; AB = CD și AB ‖ CD ⇒ AE = BE = CF = DF și AE ‖ DF, BE ‖ CF ⇒ AEFD, EBCF paralelograme ⇒ AD = EF = BC ;în plus ∢A = ∢BEF, ∢B = ∢AEF, C = ∢DFE, ∢D = ∢CFE (unghiuri corespondente) ⇒ AEFD și EBCF au laturile și unghiurile respectiv congruente ⇒ paralelogramele AEFD și EBCF sunt congruente. 11. AGER, AGIL paralelograme ⇒ AG = RE, AG ‖ RE, AG = LI, AG ‖ LI ⇒ RE = LI, RE ‖ LI ⇒ REIL paralelogram. 12. Fie O mijlocul diagonalei AT ; IAHT paralelogram ⇒ O mijloc IH ; VAST paralelogram ⇒ O mijloc VS ; AT, IH, VS au același mijloc O ⇒ AT, IH, VS sunt concurente în O. 13. AF = DC = AB ⇒ ∢AFB = ∢ABF = x; apoi ∢FAB =∢ABC = ∢BCE = 180° − 2x (unghiuri alterne interne); În ∆BCE obținem ∢CBE = ∢CEB = x ; ∢EBF = ∢ABF + ∢ABC + ∢CBE = x + (180° − 2 x) + x = 180°. 14. a ) AM = CN și AM ‖ CN ⇒ AMCN paralelogram ; c) Notăm {O} = AC ∩ BD ; ABCD paralelogram ⇒ AC și BD au același mijloc O ; AMCN paralelogram ⇒ AC și MN au același mijloc O ; Deci AC, BD, MN concurente; d) AN ‖ CM ⇒ SN ‖ TM și DM ‖ BN ⇒ SM ‖ BN, deci MTNS paralelogram ; e) O mijloc MN și ST. 15. a) ∢ACD = ∢CAB = 2 x ⇒ ∢ACE = ∢DCE = ∢CAF = ∢BAF = x ; ∢ACE și ∢CAF sunt unghiuri alterne interne pentru EC, AF cu secanta AC ⇒ EC ‖ AF ; în plus AE || CF; b) DE = AD − AE = BC − CF = BF ; c) AFCE paralelogram ⇒ NE ‖ MF ; BFDE paralelogram ⇒ FN ‖ EM ; D A
F
C
N
D
E
B
S A
M
• O
D
C E
T
F M
B
C
N
A
B
fig. ex. 13 fig. ex. 14 fig. ex. 15 16. a ) ∆ADF ≡ ∆CBE (I.U.) ⇒ DF = BE și ∢ADF = ∢CBE ; DF ⊥ AC și BE ⊥ AC ⇒ DF ‖ BE; b) ∆ADM ≡ ∆CBN (U.L.U.) ⇒ DM = BN, AM = CN; BEDF paralelogram; ⇒ DM ‖ BN; ∆ADN ≡ ∆CBM (L.U.L.) ⇒ AN = CM, apoi folosind și AM = CN ⇒ AMCN paralelogram; c) AMCN paralelogram ⇒ AC și MN au același mijloc și AN ‖ CM ; AN ‖ CM și DM ‖ BN ⇒ PMQN paralelogram ⇒ MN și PQ au același mijloc; R D C 17. x = 30°; ∢BAD = 80°, ∢ADC = 100°. O 18. a) Notăm cu O mijlocul lui BC ; ∢RCO = ∢TBO (alterne interne), T B ∢ROC = ∢TOB (opuse la vârf), BO = CO ⇒ ∆ ROC ≡ ∆TOB ⇒ RC = BT ; A fig. ex. 18 b) Notăm DR = x ⇒ RC = 2x, BT = 2x, DC = AB = 3x; AB : BT = (3x):(2x) = 1,5 19. ∢DAF = 80°, ∢CDN = 30°, ∢BCN = 20°, ∢NBC = 70°. 20. a ) ∆AEB isoscel, cu ∢ABE = ∢AEB; EC ‖ AB cu EB secantă ⇒ ∢ABE = ∢BEC. Deci ∢AEB = ∢BEC. b) Notăm AD = BC = a și AB = CD = b; DE ‖ AB cu AE secantă ⇒ ∢BAE = ∢DEA ; AE bisectoare ∢BAD ⇒ ∢DAE = ∢BAE ; Deci ∢DAE = ∢DEA ⇒ ∆ADE isoscel, cu AD = DE = a ⇒ EC = b − a; În ∆CEF, EB este bisectoare și înălțime ⇒ ∆CEF isoscel, cu EF = CE = b − a; AF = AE − EF = a = AD. 21. a) ABCD paralelogram ⇒ ∢ABC = ∢ADC = 45° și ∢BAD = ∢BCD = 135° ; BLOC paralelogram ⇒ ⇒ ∢LBC = ∢LOC = 120° și ∢BCO = ∢BLO = 60° ; ∢DCO = 360° − ∢BCD − ∢BCO = 165°; b) ∢ABL = ∢ABC + ∢LBC = 45° + 120° = 165°; ∆ABL ≡ ∆DCO (L.U.L) ⇒ AL = DO. 22. În ∆BCE avem AM ‖ BE și M mijloc BC ⇒ AM linie mijlocie în ∆BCE ⇒ A mijloc CE ; În ∆BCF avem AM ‖ CF și M mijloc BC ⇒ AM linie mijlocie în ∆BCF ⇒ A mijloc BF ; Diagonalele CE și BF au același mijloc. 140
Răspunsuri
23. a) În ∆ABD avem ∢DAB = 75°, ∢ABD = 30°, ∢ADB = 75° ⇒ ∆ABD isocel ⇒ BD = AB = 12 cm ; b) Notăm {O} = AC ∩ BD ; DO = OB = 6 cm ; AF și DO sunt mediane în ∆ACD ⇒ G este centru de greutate în ∆ACD ⇒ OG = 2 cm și DG = 4 cm ; H este centru de greutate în ∆ABC ⇒ OH = 2 cm ; GH = OG + OH. 24. a) ∢ABC = 110° ⇒ ∢EBL = 360° − ∢ABE − ∢ABC − ∢CBL = 70°; BL = BC = AD și BE = AB ⇒ ∆ABD ≡ ∆BEL (L.U.L.) ⇒ BD = EL ; b) ∢DAR = ∢OCD = 160°; ∆DAR ≡ ∆OCD (L.U.L.) ⇒ DR = OD ; c) ∆DAR ≡ ∆OCD ⇒ ∢ADR = ∢COD = x, ∢ARD = ∢CDO = y și A x + y = 20°; ∢RDO = ∢ADC − (∢ADR + ∢CDO) = 110° − (x + y) = 90°; Din ∢RDO = 90° și DR = OD ⇒ ∆DOR dreptunghic isoscel ; d) Notăm {H} = BD ∩ EL ; Din ∆ABD ≡ ∆BEL ⇒ ∢ABD = ∢BEH = z ; ∢EBH = 180° − ∢ABE − ∢ABD = 90° − z ; R În ∆BEH avem ∢BEH + ∢EBH = 90° ⇒ BH ⊥ EL ⇒ BD ⊥ EL.
F
D
G
C
O
E H
A
B
fig. ex. 23 C
D
O
B
L H
E
fig. ex. 24
B Aplicații ale paralelogramului în geometria triunghiului
3. b) n = 4 ; c) m = 2 . 4. a) ∢EDF = ∢EMN, ∢DPM = ∢DFE (unghiuri corespondente), ∢DEF = 180° − ∢EDF − ∢DFE = 75°; b) EMPN paralelogram ⇒ ∢MPN = ∢MEN = 75°, ∢EMP = ∢ENP = 105°. 5. AC ‖ NB, AC = NB ⇒ ANBC paralelogram ⇒ D mijloc AB ; AB ‖ MC, AB = MC ⇒ ABCM paralelogram ⇒ ⇒ O mijloc MB ; AO și MD mediane în ∆ABM ⇒ {E} = AO ∩ MD este centru de greutate în ∆ABM . 6. M mijloc AB și MN ‖ BD ⇒ MH, MN linii mijlocii în ∆ABO și ∆ABD; NO linie mijlocie în ∆ABD ⇒ ⇒ NO = AM și NO ‖ AM ⇒ AMON paralelogram ⇒ AH = HO = x și NH = HM = y; ABCD paralelogram ⇒ ⇒ OC = OA = 2 x și CH = 3 x; ∢FDN = ∢MAN (alterne interne), ∢FND = ∢MNA (opuse la vârf), ND = NA ⇒ ∆FND ≡ ∆MNA ⇒ FN = MN = 2 y ; Analog ∆MNA ≡ ∆MEB ⇒ MN = ME = 2 y ; Deci FH = HE = 3 y ; CH este mediană în ∆CEF și O ∈ CH cu CH = 3 · OH ⇒ O centru de greutate în ∆CEF. 7. Construim DE ‖ BN, E ∈ AC ; D mijloc BC și DE ‖ BN ⇒ DE linie mijlocie în ∆BCN ⇒ E mijloc NC ⇒ ⇒ NE = EC ; M mijloc AD și MN ‖ DE ⇒ MN linie mijlocie în ∆ADE ⇒ N mijloc AE ⇒ ⇒ AN = NE ; Deci NE = EC = AN = 4 ⇒ AC = 12 cm. 8. DE = MF = FP = MP : 2, EF = MD = DN = MN : 2, DF = NE = EP = NP : 2 ⇒ MDEF, NEFD, EPFD sunt paralelograme ⇒ O mijloc DF, T mijloc DE, R mijloc EF ⇒ ME, NF, PD sunt mediane și în ∆MNP și în ∆DEF, unde {O} = ME ∩ DF, {T} = NF ∩ DE, {R} = PD ∩ EF . M
M
A A
E
O
N
D N
D
F
C
B
fig. ex. 5
P
A
C
O
H
E
O
D
E
B
M
fig. ex. 6
N
M
T B
D
fig. ex. 7
C
N
F R
E
P
fig. ex. 8 141
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a A 9. a) DF și EF linii mijlocii în ∆ABG și ∆ACG ; b) G centrul de greutate în ∆ABC ⇒ BG = 2 x, EG = x, CG = 2 y, DG = y, AG = 2 z, MG = z ; G mijloc F E D AN ⇒ AG = NG = 2 z, MN = z ; M este mijlocul lui BC și NG ⇒ BNCG G paralelogram ⇒ PBNCG = 4 x + 4 y . C B M 11. a) În ∆BEG, BD este bisectoare și înălțime ⇒ ∆BEG isoscel, cu BE = BG și DE = DG ; ∢FED = ∢CGD (alterne interne) și ∢FDE = ∢CDG (opuse la N fig. ex. 9 vârf) ⇒ ∆FED = ∆CGD (U.L.U.) ⇒ EF = CG = x ; b) E mijloc AC și EF ‖ BC ⇒ EF linie mijlocie în ∆ABC ⇒ EF = x și BC = 2 x ⇒ BG = BE = AE = 3 x ⇒ AB = 6x = 3·BC; c) ∢ABC = 60° și ∆BEG isoscel ⇒ ∆BEG echilateral ⇒ GE = BE = AE și ∢GEA = 120°, ∢EAG = ∢EGA = 30° ⇒ ∢BGA = ∢BGE + ∢EGA = 60° + 30°.
4.3. Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat A Dreptunghiul
1. a) A; b) A; c) A; d) F; e) A; f) A; g) F; h) A; i) A. 3. Notăm ∢A = ∢B = x ; ∢A + ∢B = 180° ⇒ x = 90°. 4. a) AC = 14 cm; b) ∢BOC = 60°, ΔBOC echilateral, OB = OC = BC = AD = 7 cm. 5. OA = OC, ∢AOM = ∢CON (opuse la vârf), ∢OAM = ∢OCN (alterne interne) ⇒ ΔOAM ≡ ΔOCN. 6. a) ∢DCF = ∢DCB − ∢FCB = 30°; ∢ECF = ∢ECD + ∢DCF = 90°; b) ΔBCD ≡ ΔFCE (C.C.). 7. a) ∢EAB și ∢FBA sunt interne de aceeași parte a secantei AB, iar ∢EAB + ∢FBA = 180° ⇒ EA ‖ FB ; EA = AD = BC = FB ; b) ABFE paralelogram ⇒ EF = AB, EF ‖ AB ; ABCD dreptunghi ⇒ AB = DC, AB ‖ DC ; Obținem EF = DC, EF ‖ DC ⇒ DCEF paralelogram. c) M mijloc EB, N mijloc EC ⇒ MN linie mijlocie în ΔEBC ⇒ MN ‖ BC; În plus BC ⊥ AB, deci MN ⊥ AB. 8. OM = OB = OD = ON ⇒ DMBN dreptunghi. 9. ΔAOB ≡ ΔDOC (L.U.U.) ⇒ OA = OD, OB = OC. 10. CR = 8 cm, RE = 6 cm. 11. a) BE = 8, ET = 4; b) BE = 7, ET = 5; c) BE = 7, ET = 5; d) BE = 8,5; ET = 3,5. 12. ARTE are trei unghiuri drepte. 13. 10 cm. 14. EU ‖ RO, ER secantă ⇒ ∢LEU = ∢LRO (alterne interne). Deci ∢LOR = ∢LRO ⇒ LO = LR. Analog se arată că LE = LU. Obținem că diagonalele ER și OU sunt congruente și se înjumătățesc. 15. M mijloc BC și AE ⇒ ABEC paralelogram; ∢BAC = 90° ⇒ ABEC dreptunghi. 16. În ΔPRG, RD și GE sunt înălțimi, deci și PH este înălțime ⇒ PH ⊥ GR. 17. a) DE = EB ⇒ ΔDEB isoscel, iar O mijloc DB ⇒ EO ⊥ BD. ΔDAE ≡ ΔDOE (I.U.) ⇒ AE = EO ; b) ∢ADE = ∢BDE = x. DE = EB ⇒ ∢BDE =∢DBE = x ; AB ‖ CD, DB secantă ⇒ ∢CDB =∢DBE = x ; Deci ∢ADE =∢BDE = ∢CDB = x ; 90° = ∢ADE + ∢BDE + ∢CDB = 3x ⇒ x = 30°; În ΔDOE, ∢DOE = 90°, ∢EDO = 30° ⇒ DE = 2 · EO. 18. Fie x și y dimensiunile dreptunghiului (lungimea și lățimea); PΔABC = 2 ∙ x + 2 ∙ y = 28 ⇒ x + y = 14. Din teorema lui Pitagora în ΔABD ⇒ x2 + y2 = 100 ; Deoarece x, y ∈ , prin încercări găsim x = 8, y = 6. 19. O D = OC ⇒ ΔDOC isoscel, cu ∢ODC = ∢OCD = x ⇒ ∢ODA = ∢OCB = 90° + x; ΔODA ≡ ΔOCB (L.U.L.) ⇒ OA = OB ; În plus ∢OAB = 90° − ∢OAD = 60°; Deci ΔAOB este echilateral. 20. O A = OB ⇒ ΔOAB isoscel, cu ∢OAB = ∢OBA = x și ∢AOB = 180° − 2 · x; OB = OC ⇒ ΔOBC isoscel, cu ∢OBC = ∢OCB = 90° − x și ∢BOC = 2 · x; Deci ∢AOC = ∢AOB + ∢COB = 180° ⇒ A, O, C coliniare și O este mijlocul diagonalei AC.
142
Răspunsuri
21. ∢CAF = 90°⇒ ∢FAG = x, ∢BAC = 90° − x; În ΔABC avem ∢BCA = 180° − ∢ABC − ∢BAC = x; Apoi ΔBAC ≡ ΔGFA (I.U.) ⇒ AB = GF și BC = AG. 22. Construim RP ⊥ AD, P ∈ AD și EF ⊥ BC, F ∈ BC ; Obținem PR ‖ AB și EF ‖ AB ; ΔARP ≡ ΔBEF (I.U.) ⇒ AP = BF ; Din AP = BF și AP ‖ BF ⇒ ABFP paralelogram ⇒ AB ‖ PF ; Prin punctul P trece o singură paralelă la dreapta AB ⇒ P, R, F coliniare; Prin punctul F trece o singură paralelă la dreapta AB ⇒ F, E, P coliniare; Deci P, R, E, F coliniare și RE ‖ AB. 23. a) ΔDOF ≡ ΔBOE (I.U.) ⇒ OF = OE ; b) Diagonalele BD și EF au același mijloc; c) AC = 2∙EF ⇒ 2 · OC = 2 · 2 · OE ⇒ OC = 2 · OE ⇒ OB = 2 · OE ; Din reciproca teoremei 30-60-90 în ΔBOE ⇒∢BOE = 60°. 24. ABCD paralelogram ⇒ OD = OB = 4 cm; În ΔLOB, din reciproca teoremei 30-60-90 ⇒ ∢LOB = 30°, ∢OBL = 60°; Apoi ∢OCB = ∢OBC = 75° ⇒ ΔBOC este isoscel, cu OB = OC. 25. a) ∢DAG = ∢GAE = ∢EAB = 30°; ΔOAD ≡ ΔOAM (C.U.), unde {O} = DM ∩ AG ; Rezultă AD = AM ; Apoi ΔDAG ≡ ΔMAG (L.U.L) ⇒ ∢ADG = ∢AMG = 90°; b) În ΔALG, AM este înălțime și bisectoare ⇒ ΔALG este isoscel, cu AL = AG și GM = ML ; Apoi ΔGEM ≡ ΔLAM (U.L.U.) ⇒ AM = ME ; În patrulaterul ALEG diagonalele se înjumătățesc și AL = AG ⇒ ALEG este romb. 26. a) ∢DAC = 22,5° și ∢ABC = ∢ACB = 67,5°; În ΔABE avem ∢ABE = 45° ⇒ ∢EBC = 22,5°; b) ΔABE dreptunghic isoscel ⇒ BE = AE ; Apoi folosim ∢DAC = ∢EBC și ∢BEC = ∢AEH ; c) ΔBEC ≡ ΔAEH ⇒ BC = AH; Laturile ED, FD, EL și FL sunt mediane corespunzătoare ipotenuzei în
BC AH = = EL = FL. 2 2 27. Fie {O} = AE ∩ DC ; Din ABCD dreptunghi și AO este bisectoare ∢BAD ⇒ ∢DAO = 45°; Deci ΔDAO dreptunghic isoscel ⇒ AD = DO ; Din AB = 2 · AD = 2 · DO ⇒ DO = OC ; Apoi ΔDAO ≡ ΔCEO (C.U.) ⇒ AD = CE ; Folosind și AD ‖ CE ⇒ ACED paralelogram. 28. a) Cazul C.C.; b) au suplemente congruente; c) ΔDEF ≡ ΔCFE (L.U.L); d) ΔPEF și ΔPCD sunt isoscele, iar PQ și PR sunt mediane și înălțimi. 29. Se prelungesc segmentele BC, CD, DE și EF ca în figura alăturată; Patrulaterele fig. ex. 29 F G AORB, CRPD, EPGF, AMCB, MNED și NOGF sunt dreptunghiuri; Atunci D E lungimea covorului va fi AB + BC + CD + DE + EF + FG = OR + AM + P + RP + MN + PG + NO = (AM + MN + NO) + (OR + RP + PG) = AO + OG = B C R = 150 cm. 30. Raționând ca la problema precedentă, cele două covoare vor avea aceeași A M N O lungime, de 150 cm. 31. Și AEFD este dreptunghi; Notăm EB = BC = CF = EF = AD = x și AE = DF = y ; PABCD = 4x + 2y = 22 și PAEFD = 2 x + 2 y = 16 ; Obținem x = 3, y = 5, AB = 8, BC = 3. 32. ΔBEC ≡ ΔARE (C.C.) ⇒ EC = RE, ∢BCE = ∢AER = x, ∢BEC = ∢ARE = 90° − x ⇒ ∢CER = 90° și ΔCER este dreptunghic isoscel. triunghiurile dreptunghice ΔEBC, ΔFBC, ΔEAH, ΔFAH ⇒ ED = FD =
143
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a B Rombul
1. a) F, b) A, c) F, d) F, e) A, f) A, g) A. 2. 20 cm 3. Fie DE ⊥ AB, E ∈ AB. Din teorema 30-60-90 în ∆AED ⇒ AD = 4 ⇒ PABCD = 16 cm. 4. ED ‖ AF și EF ‖ AD ⇒ ADEF paralelogram; AE bisectoarea ∢BAC ⇒ ADEF este romb. 5. ∆BED ≡ ∆BFD (L.U.L.) ⇒ BE = BF. 6. Fie {O} = AC ∩ BD ; În ∆AEC, EO este mediană și înălțime. 7. Fie {O} = AC ∩ BD ; DO ⊥ AC, BO ⊥ AC și EO ⊥ AC ⇒ B, D, E sunt coliniare. 8. ∆AED ≡ ∆AEB (L.U.L.) ⇒ DE = BE și ∢AED = ∢AEB = 30°. 9. Fie O mijlocul laturii BC; ∆CON ≡ ∆BOE (C.U.) ⇒ CN = BE; Deoarece CN ‖ BE ⇒ BECN paralelogram. Folosind și NE ⊥ BC ⇒ BECN romb. 10. Fie O mijlocul laturii BC; ∆CON ≡ ∆BOE (C.U.) ⇒ CN = BE = 2·x; În ∆CON și ∆BOE, din teorema 30–60–90 ⇒ ON = OE = x ⇒ NE = 2·x; DB ‖ NE și DN ‖ BE ⇒ BEND paralelogram; În plus BE = NE = 2·x ⇒ BEND romb; 11. a) ∢DAC = ∢BAC și EF ⊥ AC ⇒ ∆CAF ≡ ∆CAE (C.U.) ⇒ AF = AE ; b) BCFD romb ⇒ BC = CF = FD = = DB și ABCD romb ⇒ AB = BC = CD = AD ; Prin urmare ∆ABD , ∆BCD, ∆CDF sunt echilaterale ⇒ ∢ABC = ∢BCF = 120° ⇒ ∢EBC = ∢ECB = 60° ⇒ ∆EBC echilateral ⇒ BE = CE = BC = BD. 12. Fie M mijlocul laturii DE ⇒ ∢DAM = 30° ⇒ M, A, B coliniare; ∆MBD ≡ ∆MBE (C.C.) ⇒ BD = BE.
AB AC = = AN = DN. 2 2 14. ∆AOB ≡ ∆AOD (C.U.) ⇒ OB = OD; ∆AOD ≡ ∆COD (C.U.) ⇒ OA = OC; Deci ABCD este paralelogram. 15. ∢ABO = ∢CBO = x și ∢EBQ = ∢GBQ = y, iar ∢ABE = 180° ⇒ 2·x + 2·y = 180° ⇒ x + y = 90° ⇒ ∢OBQ = 90°; În plus OB ⊥ OC și BQ ⊥ RQ ⇒ BQRO dreptunghi. 16. ABCD și ABEF romburi ⇒ DC = AB = FE și DC ‖ AB ‖ FE ⇒ DCEF paralelogram ; Notăm {O} = AB ∩ DF ; AD = AB = AF și ∢DAB = ∢FAB ⇒ ∆OAD ≡ ∆OAF ⇒ AB ⊥ DF. 13. DM și DN sunt linii mijlocii în ∆ABD respectiv ∆ACD ⇒ DM = AM =
M E
fig. ex. 12
C
D B
A
G
fig. ex. 15
C
D
A
F R
B
E
fig. ex. 16 O
A
Q
O
D
F
C
B E
17. a) ∢ABE = ∢EBC = x; Din ∆DAB obținem ∢BAD = 90° − 2 x; Din ∆ABE obținem ∢AEB = 90° − x; Din ∆DRB obținem ∢DRB = 90°− x; ∢ARE = ∢DRB = 90 °− x (opuse vârf) ⇒ ∢ARE = ∢AER ⇒ AE = AR. b) ET ⊥ BC și AD ⊥ BC ⇒ ET ‖ BC; ∆ABE ≡ ∆TBE (I.U.) ⇒ AE = ET; Deci ET = AE = AR ⇒ ARTE romb. 18. a) ∢ACF = ∢BCF = 30° și ∢ABC = 30°; În ∆ACF obținem ∢AFC = 60°; În ∆AEB obținem ∢EAB = 60°; b) ∢FBC = ∢FCB = 30° ⇒ ∆FBC isoscel, cu FB = FC; În ∆RFB, din teorema 30-60-90 ⇒ RF = FB : 2 ; În ∆AFC, din teorema 30-60-90 ⇒ AF = FC : 2 ; Deci RF = AF = AO ; În plus RF ⊥ BC, AO ⊥ BC ⇒ RF ‖ AO. 19. a) BC ⊥ PN și BC ‖ AD ⇒ AD ⊥ PN ; b) ∢PDA = ∢PDC și AD = DC ⇒ ∆PDA ≡ ∆PDC (L.U.L.) ; c) ABCD romb ⇒ ∢ABD = ∢CBD = ∢ADC = ∢CDB = x și ∢BAD = ∢BCD = 180° − 2 x ; ∢PCD = 180° − ∢BCD − ∢BCN = 2 x − 90°; ∆PDA ≡ ∆PDC ⇒ ∢PAD = ∢PCD = 2 x − 90°; ∢PAN = ∢PAD + ∢BAD = 90°. 144
Răspunsuri
20. Fie {O} = AE ∩ DF ; În ∆DAF, AO este bisectoare și înălțime ⇒ ∆DAF isoscel, cu DA = AF și DO = OF ; ∢DEO = ∢FAO (alterne interne) ⇒ ∆DOE ≡ ∆FOA (C.U.) ⇒ DE = AF ; În plus DE ‖ AF și AE bisectoare ∢DAF ⇒ AFED romb. 21. Construim AE ⊥ BC, E ∈ BC și AF ⊥ CD, F ∈ CD. Deoarece unghiurile A ∢ABC și ∢ADC sunt ascuțite, rezultă că E aparține segmentului BC, iar F aparține segmentului CD; ΔAEC ≡ ΔAFC (I.U.) ⇒ AE = AF și CE = CF; B
ΔAEB ≡ ΔAFD (I.C.) ⇒ BE = DF; Deci BC = BE + CE = DF + CF = CD; Apoi ΔABC ≡ ΔADC (L.L.L.) ⇒ ∢BAC = ∢DAC = x.
D E
C
F
fig. ex. 24
Obținem ∢BAC = ∢DAC =∢BCA = ∢DCA = x (jumătăți de unghiuri congruente). Deci ΔABC și ΔACD sunt isoscele, cu AB = AC și AD = CD . Folosind și ipoteza AB = AD obținem AB = AC = AD = CD ⇒ ABCD romb. 22. CE = CD = BC ⇒ ∆BEC isoscel, cu ∢BEC =∢EBC = x ; ∢ACB = 2 x (este unghi exterior ∆BEC); ABCD romb ⇒ ∢DAC = ∢ACB = 2 x ; Fie AP bisectoare ∢DAC, P ∈ CD ⇒ ∢DAP = ∢PAC = x ; ∢PAC = ∢BEC = x și sunt unghiuri alterne interne pentru AP, BE cu secanta AE ⇒ AP ‖ BE. 23. a) ∢ADE = ∢BDE = ∢BDF = ∢CDF = x (jumătăți de unghiuri congruente); ∆AED = ∆CFD (U.L.U.) ⇒ ⇒ DE = DF ⇒ ∆DEF isoscel ; b) Notăm {R} = CE ∩ BD; ∢ADF = ∢CDE = 3 x ⇒ ∆ADF ≡ ∆CDE (L.U.L.) ⇒ ∢DAF = ∢DCE ⇒ ∢DAM = ∢DCR ; ∆DAM ≡ ∆DCR (U.L.U.) ⇒ DM = DR ⇒ punctele M și R coincid ⇒ C, M, E coliniare. 24. ∢AOP = ∢BOP = ∢COT = ∢DOT = x și ∢BOS = ∢COS = ∢DOQ = ∢AOQ = y (jumătăți de unghiuri congruente); ∢AOC = 180° ⇒ 2 x + 2 y = 180° ⇒ ∢POT = ∢SOQ = 180 și x + y = 90° ⇒ PT ⊥ QS ; ∆APO ≡ ∆CTO (U.L.U.) ⇒ OP = OT ; ∆BOS ≡ ∆DOQ (U.L.U.) ⇒ OS = OQ. C Pătratul
1. a) A ; b) A ; c) F ; d) A ; e) A ; f) A ; g) A ; h) F ; i) A ; j) F ; k) F. 2. O M = ON = OP = OQ ⇒ MNPQ este romb cu diagonalele congruente ⇒ MNPO pătrat ⇒ ∢MPQ = 45° și ∢MNP = 90°. 4. ∢MAN = ∢AMO = ∢ANO = 90° ⇒ AMON dreptunghi; În plus AO bisectoare ∢MAN ⇒ AMON pătrat. 5. ∆ADM și ∆BCM dreptunghice isoscele ⇒ DM = AD = BC = CM = x, AB = 2 x, AN = NB = x. 6. a) BEFG pătrat ⇒ ∆BFG dreptunghic isoscel; GF ‖ BE ⇒ GM ‖ AB ; G mijloc BC ⇒ GM linie mijlocie în ∆ABC ⇒ M mijloc AC ⇒ ∢MBG = 45°; Deci ∢MBF = 90°, ∢BFM = 45° ⇒ ∢BMF = 45°; b) BEFG pătrat ⇒ BE = EF = FG = BG = x și GF ⊥ BC ; G mijloc BC ⇒ CG = BG = x; ∆CGF dreptunghic isoscel și ABCD pătrat ⇒ ∢GFC = 45°; ∢DCF = 135°, ∢MDC = 45° ⇒ ∢DMF = 135°. c) ∆CGF, ∆BGF, ∆BGM sunt dreptunghice isoscele ⇒ GC = GF = GB = GM și BC ⊥ MF ⇒ MBFC pătrat. 7. EF este linie mijlocie în ∆DAC ⇒ EF ‖ AC ; În plus DB ⊥ EF ⇒ DB ⊥ AC ⇒ ABCD pătrat. 8. Fie A piciorul perpendicularei din O pe EP ; M este simetricul lui O față de EP ⇒ OA = AM ; În ∆PTE isoscel, PO mediană ⇒ PO ⊥ ET, iar din teorema medianei în ∆PTE ⇒ PO = EO = OT ; Deci ∆POE este dreptunghic isocel, iar OA este înălțime și mediană ; Din teorema medianei în ∆POE ⇒ ⇒ OA = EA = AP ; Așadar, în POEM diagonalele se înjumătățesc, EP = OM, EP ⊥ OM ⇒ POEM pătrat. 145
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
9. a) 135° și 45°; b) CF ‖ BE, CF = BE și B mijloc DE ⇒ CF ‖ DB, CF = DB ⇒ BFCD paralelogram ⇒ BF ‖ CD ; Din AB ‖ CD și axioma paralelor obținem A, B, F coliniare. 10. a ) EF ‖ BC, EB ‖ FC și ∢EBC = 90° ⇒ EBCF dreptunghi; b) AB = BC = CD = AD = x, AE = DF = y și EB = FC = x − y ; PAEFD = 2 x + 2 y = 14 și PEBCF = 4 x − 2 y = 16 ⇒ x = 5. 11. a) În ∆OAN, ∢OAN = 45°, ∢AON = 90° ⇒ ∆OAN dreptunghic isocel; O mijloc AD ⇒ AO = OD ⇒ ∆OAN ≡ ∆ODF ⇒ OA = ON = OD = OF ; b) NAD = 45° și ABCD romb ⇒ ∢OAE = ∢NAE = 22,5°; În ∆OAE ⇒ ∢AEO = 180° − ∢AOE − ∢OAE = 67,5°. 12. În patrulaterul BENF avem ∢NFB = ∢FBE = ∢BEN = 90° ⇒ BENF dreptunghi; Deoarece ∢FBN = 45° ⇒ BENF pătrat. 13. a) ∢AGR = ∢ABD = 45° și sunt unghiuri corespondente pentru RG, DB, cu secanta AB ⇒ RG ‖ DB ; b) AE și AC sunt bisectoare al unghiului ∢BAD ⇒ A, E, C sunt coliniare. 14. ABCD pătrat ⇒ ∆AOB ≡ ∆BOC ≡ ∆COD ≡ ∆AOD sunt triunghiri drepunghice isoscele; EF ‖ AB, FG ‖ BC ⇒ ∆EOF ≡ ∆FOG drepunghice isoscele. ∆EOF ≡ ∆HOG (I.C.); Din OE ≡ OF ≡ OG ≡ OH și EG ⊥ EG ⇒ EFGH pătrat. 15. a) ∆ARE ≡ ∆ARB (I.U.) ⇒ RE = RB ; b) AD = AB = AE ; c) În ∆ADE, ∢ADE = ∢AED = 67,5°; Apoi ∢EDC = ∢ADC − ∢ADE = 22,5° și ∢EDB = ∢BDC − ∢EDC = 22,5°. 16. a ) ∢ECP = ∢ECR = 45°; b) CE bisectoare ∢BCD. Dar și CA bisectoare ∢BCD ⇒ A, E, C coliniare; c) Patrulaterul AMEN are trei unghiuri drepte: A, M, N și AE bisectoare ∢MAN ⇒ AMEN pătrat. 17. a) ∆ABE ≡ ∆ADF (I. C.) ⇒ BE = DF ; b) ∢BAE = ∢DAF = (∢BAD − ∢EAF) : 2 = 15°; c) ∢EAC = ∢BAC − ∢BAE = 30° și ∢AEF = 60° ⇒ AC ⊥ EF. 18. a ) MD = AD − AM = AB − AT = TB, ∆DOM ≡ ∆BOT (C.C.) ⇒ DO = BO ; b) ∆DOC ≡ ∆BOC (L.L.L.) ⇒ ∢DOE = ∢BOE ; DE ‖ OB, secanta OE ⇒ ∢DEO = ∢BOE (alterne interne) ⇒ ∆DOE ≡ ∆BOE și sunt isoscele ⇒ OD = DE = OB = BE ⇒ BEDO romb.
4.4. Trapezul. Clasificare, proprietăți, linia mijlocie a unui trapez A
Trapezul. Clasificare. Proprietăți 1. a) A; b) F ; c) A; d) F ; e) A. 2. a) A; b) A; c) A; d) A; e) F; f) A. 3. a) A; b) F ; c) A; d) A; e) A; f) F ; g) A; h) A; i) A; j) A; k) F. 4. 50°. 5. DE ⊥ AB și CF ⊥ AB ⇒ DE ‖ CF ; Folosind și DC ‖ EF , ∢DEF = 90° ⇒ CDEF dreptunghi. 6. ∢A = 75°, ∢B = 54°. 7. CDEF dreptunghi și ∆ADE ≡ ∆BCF ⇒ AE = BF și AE + BF = AB − EF = AB − DC. 8. B mijloc AD și C mijloc AE ⇒ BC linie mijlocie în ∆ABC ⇒ BC ‖ DE ; Avem și BD = AB = AC = CE. 9. A BEF trapez isoscel ⇒ AF = BE și∢FAB = ∢EBA = x ⇒ ∢DAF = ∢CBE = 90° − x ; ΔAFD ≡ ΔBEC (L.U.L.) ⇒ DF = CE; În plus FE ‖ AB ‖ DC ⇒ FECD trapez isoscel. 10. ΔABD dreptunghic isoscel, cu ∢DAB = 90°, ∢ADB = ∢ABD = 45°; ΔBCD dreptunghic isoscel, cu ∢DBC = 90°, ∢BDC = ∢BCD = 45°; ∢ABD = ∢BDC = 45° și sunt unghiuri alterne interne pentru AB, DC cu secanta BD ⇒ AB ‖ DC ; În plus ∢DAB = 90° ⇒ ABCD trapez dreptunghic. 11. Δ ABC echilateral ⇒ AB = AC = BC = x ; C mijloc BE ⇒ BC = CE = x ; BEFA trapez isoscel, cu BE ‖ AF ⇒ 146
Răspunsuri
FE = AB = x și ∢FEB = ∢ABE = 60°; ∢FEB = ∢ACB = 60° și sunt unghiuri corespondente pentru AC, FE, cu secanta BE ⇒ AC ‖ FE ; Din AC ‖ FE și AC = CE = FE = x ⇒ CEFA romb. 12. Construim înălțimile DE și CF ⇒ CDEF dreptunghi cu EF = DC = 7 cm și DE = CF = 12 cm; Din teorema lui Pitagora în ΔADE și ΔBCF ⇒ AE = 9 cm și BF = 16 cm ⇒ AB = 32 cm. 13. Construim înălțimile AE ⊥ BC și DF ⊥ BC, cu E, F ∈ BC; AEFD dreptunghi cu AE = DF = 12 și AD = EF = 15; BD bisectoare ∢ABC ⇒ ∢ABD = ∢CBD = x; AD ‖ BC, BD secantă ⇒ ∢ADB = ∢CBD = x (alterne interne); Deci ΔABD isoscel cu AB = AD = 15; Din teorema lui Pitagora în ΔABE și ΔDCF ⇒ BE = 9 și FC = 15; Apoi DC = 13 și PABCD = 72 cm. 14. ΔABD ≡ ΔBAC ⇒ AD ≡ BC, ∢DAB = ∢CBA. Construim DE ⊥ AB și CF ⊥ AB, cu E, F ∈ AB ⇒ DE ‖ CF. ΔAED ≡ ΔBFC (C.U.) ⇒ DE ≡ CF ⇒ CDEF paralelogram ⇒ AB ‖ DC. A fig. ex. 15 15. FL linie mijlocie în ΔABC ⇒ FL ‖ BC; LE linie mijlocie în ΔABC ⇒ ⇒ LE = AB : 2; DF este mediana corespunzătoare ipotenuzei în ΔABD dreptunghic F L ⇒ DF = AB : 2; Deci DF = EL = AB : 2 și FL ‖ DE ⇒ DELF trapez isocel. 16. A BCD romb ⇒ AB = BC = CD = AD = x și AB ‖ DC; BECD paralelogram ⇒ C B D E ‖ ‖ ‖ BE DC, BE = DC = x, CE = DB; Din AB DC și BE DC ⇒ A, B, E coliniare; D C AECD trapez isoscel și AE ‖ DC ⇒ AD = CE = x; Din BC = CD = DB = x ⇒ ΔBCD echilateral ⇒ ∢DBC = 60°. A E 17. Construim DE ⊥ AB. În ΔAED, din teorema 30-60-90 ⇒ AE = AD : 2 = 2 cm; B fig. ex. 16 EBCD este dreptunghi ⇒ EB = DC = 4 cm ⇒ AB = AE + EB = 6 cm. 18. a) DE = AD = BC și EC ‖ DB, EC < DB ⇒ BCED trapez isoscel ⇒ BE = DC ; Dar DC = AB ⇒ BE = AB; b) BCED trapez isoscel ⇒ ∢EBD = ∢CDB ; AB ‖ DC cu BD secantă ⇒ ∢CDB = ∢ABD (alterne interne); Din ∢EBD = ∢ABD și ∢ABE = 90° obținem ∢ABD = 45°. 19. AC bisectoare ∢DAB = 60° ⇒ ∢DAC = ∢BAC = 30°; AB ‖ DC cu AC secantă ⇒ ∢DCA = ∢BAC = 30° (alterne interne); Deci ∆ADC isoscel cu AD = DC = 4 cm; ABCD trapez isoscel ⇒ BC = AD = 4cm; În ∆ABC, ∢ACB = 90°, ∢ABC = 60° ⇒ AB = 2 · BC = 8 cm. 20. OA = OB ⇒ ΔAOB isoscel, cu ∢OAB = ∢OBA = x ; AB ‖ DC, AC secantă ⇒ ∢OCD = ∢OAB = x (alterne interne); AB ‖ DC, BD secantă ⇒ ∢ODC = ∢OBA = x (alterne interne); Deci ∢OCD = ∢ODC = x ⇒ ΔOCD isoscel, cu OC = OD; AC = OA + OC = OB + OD = BD. 21. ΔAOD ≡ ΔBOC ⇒ OA = OB, OD = OC, AD = BC, ∢AOD = ∢BOC = x ; Construim OM ⊥ AB, M ∈ AB și OE ⊥ DC, E ∈ DC ⇒ OM bisectoare în ΔAOB cu ∢AOM = ∢BOM = y, iar OE bisectoare în ΔDOC cu ∢DOE = ∢COE = z ; suma unghiurilor din jurul lui O este 2∙x + 2∙y + 2∙z = 360° ⇒ x + y + z = 180° ⇒ E, O, M coliniare și AB ⊥ EM, DC ⊥ EM ⇒ AB ‖ CD. D C 22. Fie E mijlocul laturii AB ; AE = AD = DC = 4 cm și AE ‖ DC ⇒ ⇒ AEDC romb ⇒ EC = 4 cm; BC = BE = EC = 4 cm ⇒ ΔBEC echilateral ⇒ ⇒ ∢EBC = ∢CEB = ∢ECB = 60°; ABCD trapez isoscel ⇒ ∢DAE = ∢EBC = 60°; A B E AECD romb ⇒ ∢DCA = ∢ECA = 30°; ∢ACB = ∢ECA + ∢ECB = 90°. fig. ex. 22 23. A F bisectoare ∢DAB ⇒ ∢DAF = ∢BAF = x; DF ‖ AB, AF secantă ⇒ ∢DFA = ∢FAB = x (alterne interne); DM ‖ AF, DF secantă ⇒ ∢MDF = ∢DFA = x (alterne interne); DM ‖ AF, AE secantă ⇒ ∢EDM = ∢DAF = x (corespondente); Deci DM bisectoare ∢EDF; DM mediană și bisectoare în ΔDEF ⇒ ΔDEF isoscel și DM ⊥ EF; Folosind și AF ⊥ EF ⇒ AFMD trapez dreptunghic. 147
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
24. a) BCDE romb cu ∢EBC = 60° ⇒ ∢CEB = ∢DEC = ∢AED = 60°; În ΔAEO, ED bisectoare și înălțime ⇒ ΔAEO isoscel cu AE = EO; Apoi ΔAED ≡ ΔOED (L.U.L.) ⇒ ∢DAE = ∢DOE = 90° ⇒ ABCD trapez dreptunghic; b) ΔCDE echilateral, CN mediană ⇒ CN ⊥ DE și CN = DO; Din AO ⊥ DE și CN ⊥ DE ⇒ ⇒ O ‖ CN; AO este mediana corespunzătoare ipotenuzei în ΔABD dreptunghic ⇒ AO = DO = BO. 25. Fie M mijlocul laturii AB. Obținem AM = MB = DC; Deoarece DC ‖ AB rezultă că AMCD și MBCD sunt paralelograme, deci MD ‖ BC și MC ‖ AD; De aici rezultă că EDMC este paralelogram, cu MC = DE și MD = CE; Obținem că D este mijlocul lui AE și C este mijlocul lui BE. 26. a ) În ΔEBC, ∢EBC = 90°, ∢BCE = 60°, din teorema 30-60-90 rezultă EC = 2 · BC = 8; ED = EC − DC = 2; b) Fie M mijlocul segmentului AD ⇒ AM = MD = 2; În ΔDEM, DE = MD = 2 și ∢EDM = 60° ⇒ ΔDEM echilateral ⇒ EM = 2 și ∢EMD = 60°; În ΔAME, AM = EM = 2 și ∢AME = 120° ⇒ ∢EAM = 30°; În concluzie ∢EAB = 90°. 27. ED = EC ⇒ ∢EDC = ∢ECD = x ; AB ‖ DC, cu secanta AE ⇒ ∢EAB = ∢EDC = x ; ABCD trapez isoscel ⇒ ∢DAB = ∢ABC = x și ∢BCD = 180° − x ⇒ ∢ECB = ∢ECD + ∢BCD = x + 180° − x = 180°. 28. a) ON mediană în ΔDOC isoscel ⇒ ON ⊥ DC; OE mediană în ΔAOB isoscel ⇒ OE ⊥ AB; Din AB ‖ DC, OE ⊥ AB ⇒ OE ⊥ DC. Din O se poate construi o singură perpendiculară pe DC, iar ON ⊥ DC, OE ⊥ DC ⇒ N, O, E sunt coliniare. 29. ΔABC isoscel cu baza BC ⇒ ∢ABC = ∢ACB = x și ∢BAC = 180° − 2 x ; ΔAED isoscel cu baza ED ⇒ ∢AED = ∢ADE = y și ∢EAD = 180° − 2 y ; ∢BAC = ∢EAD ⇒ 180° − 2 x = 180° − 2 y ⇒ x = y ⇒ ∢AED = ∢ABC; Dar ∢AED și ∢ABC sunt unghiuri corespondente pentru DE, BC cu secanta AB ⇒ DE ‖ BC. 30. ΔABC echilateral și E mijloc BC ⇒ AE ⊥ BC și ∢CAE = ∢BAE = 30°; ∢DAB = ∢DAE + ∢BAE = 90°; Notăm {O} = AC ∩ DE; În ΔAOE avem ∢OAE = 30°, ∢OEA = 60° ⇒ AO ⊥ OE și O mijloc DE; ΔDOC ≡ ΔEOC (C.C.) ⇒ ∢OCD = ∢OCE = 60°; Obținem ∢OCD = ∢OAB = 60° care sunt și unghiuri alterne interne pentru DC, AB cu secanta AC ⇒ AB ‖ DC. 31. a) AC bisectoare și înălțime în ΔANE ⇒ ΔANE isoscel cu AN = AE; b) AC bisectoare ∢DAB ⇒ ∢DAC = ∢BAC = x ; DC ‖ AB cu AE secantă ⇒ ∢DCA = ∢BAC = x ; Deci ∢DAC = ∢DCA = x ⇒ ΔADC isoscel cu AD = DC; c) C mijloc EN și DC ‖ AN ⇒ DC linie mijlocie în ΔANE; d) ABCD trapez isoscel ⇒ ∢NBC = ∢DAN = 36°; Apoi obținem ∢CAN = 18°, ∢CNA = 72°, ∢CNB = 108°, ∢NCB = 36°. 32. a) Construim CF ⊥ AB, F ∈ AB; AFCD pătrat cu AF = 4 cm; FB = 3 și aplicăm din teorema lui Pitagora în ΔBCF; b) OE mediatoare CD și AFCD pătrat ⇒ OE mediatoare AF ⇒ EF = 2 și EB = 5; ΔBOC isoscel cu BC = BE = 5 și BO bisectoarea corespunzătoare bazei ⇒ OB ⊥ CE; c) OE mediatoare DC ⇒ OC = OD; Din ΔBOC ≡ ΔBOE ⇒ OC = OE; Deci OD = OE ⇒ ΔDOE isoscel cu ∢ODE = ∢OED = x ; AD ‖ OE, secanta DE ⇒ ∢OED = ∢ADE. Deci ∢ODE = ∢ADE = x ⇒ DE bisectoare ∢ADO. 33. Δ BEC isoscel cu baza BE ⇒ ∢CBE = ∢CEB; Din ipoteză avem ∢CBE = ∢ECD, deci ∢CEB = ∢ECD; Dar ∢CEB și ∢ECD sunt alterne interne pentru DC, EB cu secanta CE ⇒ DC ‖ EB; Din DC ‖ AE și DC ‖ EB ⇒ A, E, B coliniare ⇒ DC ‖ AB; Folosind și CB = CE = AD ⇒ ABCD trapez isoscel. 34. a) AB = BE și DC = CE ⇒ ΔABE și ΔDCE isoscele cu ∢BAE = ∢BEA = x, ∢ABE = 180° − 2 x și ∢CDE = ∢CED = y, ∢DCE = 180° − 2y ; DC ‖ AB cu BC secantă ⇒ ∢ABE + ∢DCE = 180° ⇒ x + y =90°; ∢AED = 180° − ∢AEB − ∢DEC = 180° − x − y = 90°; b) Din teorema medianei în ΔAED, ∢AED = 90°, rezultă NE = ND = NA; ΔNCD ≡ ΔNCE (L.L.L.) ⇒ NC ⊥ DE; ΔNBA ≡ ΔNBE (L.L.L.) ⇒ NB ⊥ AE; Obținem că NE este diagonala unui dreptunghi. 148
Răspunsuri B Linia mijlocie a unui trapez
y
x−y x+ y 5 = MN − CD . ; AB − MN = d1 A 2 2 B−b B+b 4 + 5 10 + 11 4 M = 18 ⇒ B = 58, b = 22. 3. d1 + d2 = + = 40, = 15 cm. 2. B 2 2 2 2 10 d2 11 4. a) Se folosește teorema paralelelor echidistante; b) FG = BC : 2 = 24, DE = FG : 2 = 12, HI = (FG + BC) : 2 = 36; O x fig. ex. 3 c) FG = 2·DE = 6, BC = 2·FG = 12, HI = (FG + BC) : 2 = 9. 5. DE linie mijlocie în ΔABC ⇒ DE = x, BC = 2 x ; MN linie mijlocie în BCED ⇒ MN = (DE + BC) : 2 ⇒ 12 = 3 x : 2 ⇒ x = 8 ⇒ DE = 8, BC = 16, PQ = (BC − DE) : 2 = 4 6. E mijloc OA, F mijloc OB ⇒ EF linie mijlocie în ΔABD ⇒ AB ‖ EF, AB = 2 · EF = 6; ΔEOF = ΔCOD (L.U.L.) ⇒ EF = DC = 3 și ∢OEF = ∢OCD; Dar ∢OEF, ∢OCD sunt D x C alterne interne pentru EF și DC cu secanta EC ⇒ EF ‖ DC; Obținem AB ‖ EF ‖ DC și 2x 2x lungimea liniei mijlocii a trapezului = (AB + DC) : 2 = 4,5 cm. 2x 7. AC = BC, ∢B = 60° ⇒ ΔABC echilateral ⇒ AB = BC = AC = 2 x ; B A fig. ex. 7 În ΔDAC, ∢ADC = 90°, ∢DAC = ∢DAB − ∢BAC = 30° ⇒ DC = AC : 2 = x ; G (AB + DC) : 2 = 12 ⇒ x = 8 și PΔABC = 6 x = 48 cm. H P 8. AB, BC, CD, AD sunt linii mijlocii în ΔOEF, ΔOFG, ΔOGH, ΔOEH C Q D ⇒ PEFGH = 2 · PABCD ; MN, NP, PQ, QM sunt linii mijlocii în trapezele O ABEF, BCGF, CDHG, ADHE ⇒ PMNPQ = (PEFGH + PABCD ) : 2 A B a) PMNPQ = 30 cm; b) PEFGH = 40 cm. M N F 9. În trapezul ABCD avem ∢B + ∢C = 180° și ∢C = 2 · ∢B ⇒ E fig. ex. 8 ∢B = 60°, ∢C = 120°; Construim CN ⊥ AB ⇒ ANCD dreptunghi ⇒ AN = DC = 10; În ΔBCN avem ∢N = 90°, ∢C = 60° ⇒ NB = BC : 2 = 10; AB = AN + NB = 20 = BC și ∢ABC = 60° ⇒ ΔABC echilateral ⇒ AC = AB = BC = 20; M mijloc AC și EM ‖ AB ‖ DC, MF ‖ DC ⇒ DC AB + = 15. EM și MF sunt linii mijlocii în ΔDAC respectiv ΔABC ⇒ EF = EM + FM = 2 2 10. AE = ED = DC = CF = FB = x și AB = y, EF = (x + y) : 2 ; PABCD = 5 x + y = 28 și PCDEF = (7 x + y) : 2 = 18 ⇒ ⇒ x = 4 și y = 8 ⇒ AD = BC = 8, DC = 4, AB = 8. 11. a) Notăm AD = BC = x, AB = y, CD = z ; Linia mijlocie = (y + z) : 2 = 7 ⇒ y + z = 14 ; AB y 5 = = ⇒ y = 5k și z = 2k; Din y + z = 14 ⇒ 7k = 14 PABCD = 2x + y + z = 24 ⇒ x = 5 ⇒ AD = 5; b) DC z 2 ⇒ k = 2, AD = 10, DC = 4; Construim DE și CF înălțimile trapezului ⇒ CDEF dreptunghi, EF = DC = 4, AE = FB = (AB − DC) : 2 = 3; Din teorema lui Pitagora în ΔDAE ⇒ DE = 4. 12. Notăm {P} = AD ∩ EH și {Q} = BC ∩ GH; AHDE, CDHG, GBFC sunt dreptunghiuri ⇒ P este mijlocul segmentelor AD și EH, iar Q este mijlocul segmentelor BC și GH. 1. Notăm AB = x, CD = y ⇒ MN =
149
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
4.5. Perimetre și arii 1. Linia mijlocie = 4 cm, Perimetrul triunghiului median =12 cm; 2. a) Fie ΔABC cu ∢A = 90°, AB = 6, AC = 8; Din teorema lui Pitagora ⇒ BC = 10 cm, PΔABC = 24 cm, AΔABC = 24 cm2; b) Fie AD ⊥ BC, D ∈ BC ⇒ AD =
c1 ⋅ c2 = 4,8 cm. ip
3. a) AC 2 + AB 2 = BC 2 ⇒ AC = 8 cm; AΔABC = AC· AB : 2 = 60 cm2; b) AΔABC = AB· CE : 2 = 40 cm2 ; c) AΔABC = BC· AE : 2 = 36 cm2 ; d) AΔABC = AΔBCE − AΔABE = BC· EC : 2 − AD· BE : 2 = 56 cm2. 4. AB = BD ⇒ ∆BAD isoscel, cu ∢A = 60° ⇒ ∆BAD echilateral ⇒ AB = AD ⇒ ABCD romb ⇒ PABCD = 20; ∢ABC = 150°; AC bisectoare ∢BAD ⇒ ∢BAC = 30°. 5. ABCD paralelogram ⇒ AD = BC = 4 cm. În triunghiul ∆DAB avem ∢D = 90° , ∢A = 60° ⇒ AD = AB : 2 ⇒ ⇒ AB = 8 cm ⇒ PABCD = 24 cm. 6. a) 48; b) 2,25; c) 42; d) 2x + 2(x + 1) = 30 ⇒ x = 7; e) 70; f) 216. 7. ABCD romb ⇒ PABCD = 40 cm. 8. AD − CD = BC − AB = P∆BOC − P∆AOB = 5 cm. AB ⋅ d (d , AB ) = 10,5 cm2 ⇒ d(d, AB) = 7 cm. 2 = 36 cm2 ; c) Notăm AE = FB = x, DC = EF = y ; AABCD = (2 x + 2 y) · 7 : 2 = 77.
9. a) AABCD = 2 · AABC = 21 cm2; b) AABC = 10. a) AABCD = 96 cm2 ; b) AABCD
11. a) C ; b) A ; c) B. 12. PABCD = 62 cm. 13. a) ABCD dreptunghi ⇒ PABCD = 12 cm, AABCD = 8 cm2; b) ABCD pătrat ⇒ PABCD = 4 cm, AABCD = 1 cm2; c) Din teorema lui Pitagora ⇒ AB = 26, AD = 25, CD = 15 ⇒ PABCD = 74 cm, AABCD = AABD + ABCD = 264 cm2; d) Din teorema lui Pitagora ⇒ AB = 10, AD = 17, BC = 20, CD = 13 ⇒ PABCD = 60 cm, AABCD = AABD + ABCD = 210 cm2. 14. b) AABCD = 2 ∙ A∆ABC = 32 cm2; c) AABCD = 4 ∙ A∆AOB = 36 cm2. 15. a) AECD trapez dreptunghic; PAECD = 20 cm, AAECD = 22 cm2; b) Din teorema lui Pitagora în ∆ABC și ∆BEC 7 5 ⇒ AB = BC = 1 cm, CE = cm și PBECD = 3 + 2 cm, ABECD = ABCD + ABEC = cm2. 8 4 16. AD = BC = 3cm; Din teorema lui Pitagora ⇒ DC = AB = 5 cm, PABCD = 16 cm; AABCD = AD · AC = 12 cm2. 17. NP = 24 cm, ME = EN = PG = GQ = 12 cm; a) PMNPQ = 112 cm, PEFGH = 80 cm. b) AMNPQ = 768 cm2; AMNPG = 576 cm2; AEFGH = 384 cm2; AMEPG = 384 cm2. 18. AABCD = 2 · AABD = 2 · 2 · AABP = 4 · 14 cm2 = 56 cm2. 19. ABGHI = xy, ABEJF = 4xy, AABCD = 16xy; a) AAEJFCD = 16xy – 4xy = 12xy; 12xy = 576 ⇒ xy = 48; ABGHI = 48 cm2, ABEJF = 192 cm2, AABCD = 768 cm2; b) AABCD = 16x(x + 2) = 768 ⇒ x(x + 2) = 48 ⇒ ⇒ x = 6, y = 8; PABCD = 112 cm, PBGIJ = 28 cm, PBEJF = 56 cm. 20. a) trapezele ABND și CDMB sunt congruente; b) trapezele AMND și BMNC sunt congruente, iar AABCD = AAMND + ABMNC. 21. Pparte hașurată = 8x = 24 ⇒ x = 3 ⇒ ANHBG = 9 cm2, PNFAD = 24 cm, PMNPQ = 48 cm; PNHBG = 12 cm, ANFAD = 36 cm2; AMNPQ = 144 cm2. 150
Răspunsuri
22. a) F mijlocul AC; ( EF + CD) ⋅ ED (6 + 12) ⋅ 6 ( EF + AG ) ⋅ EA (6 + 12) ⋅ 6 = = b) ADEFC = = 54 cm2, AEAGF = = 54 cm2, 2 2 2 2 ( AB + CD) ⋅ AD (24 + 12) ⋅ 12 = = 216 cm2, ABCFG = AABCD − ADEFC − AEAGF = 108 cm2. AABCD = 2 2 23. linia mijlocie = (30 + 12) : 2 = 42 : 2 = 21 ; h = 12 cm; P = 30 + 12 + 15 + 15 = 72 cm, A = (30 + 12) ·12 : 2 = 252 cm2. 24. a) Folosind teorema lui Pitagora ⇒ AB = 20 dam, AD = 30 dam, BC = CD = 29 dam; AB + BC 49 dam 490 m 49 49 1) t = = = = h = ⋅ 60 min = 5,88min ; v 5 km / h 5000 m / h 500 500 AE + EO + OC 45 dam 450 m 45 45 2) t = = = = h = ⋅ 60 min = 5, 4 min ; v 5 km / h 5000 m / h 500 500 AB + BC 59 dam 590 m 59 59 3) t = = = = h = ⋅ 60 min = 7,08min . v 5 km / h 5000 m / h 500 500 b) AABCD = AABD + ABCD = 756 dam2 = 7,56 ha.
151
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
5. CERCUL 5.1. Unghi înscris în cerc. Tangente dintr-un punct exterior la un cerc A
Arce și coarde
= AD ⇒ BC = AD ⇒ trapezul ABCD este isoscel. 1. AB ∥ CD ⇒ BC ; CF ∥ DE ⇒ CD = EF ; Deci ⇒ AB = EF. AB = CD AB = CD = EF 2. AD ∥ BC ⇒ = DE ; = EF + DE = DF ⇒ AC = DF. AC = AB + BC 3. BC = DE ⇒ BC ; FE = − BC = CD ⇒ FE = CD. ; AE = BD ⇒ AE = BD AE − AF = BD 4. AB ∥ FC ⇒ AF = BC ⇒ = CD + BC = BD ⇒ AC = BD. 5. AB = CD ⇒ AB = CD AC = AB + BC
; ∢FOE = ∢COD (opuse la vârf) ⇒ FE = CD ; = BC + CD = BD AF = BC AE = AF + FE 6. AB ∥ FC ⇒ ⇒ AE = BD. 7. a) D, E sunt mijloacele coardelor AB, AC ⇒ OD ⊥ AB, OE ⊥ AC ⇒ ∢DOE = 105°; AB ; 2 c) OD ⊥ AB, OE ⊥ AC, AB ⊥ AC ⇒ ADOE dreptunghi ⇒ DE = OA = r = 2 cm. 8. a) În ALBO diagonalele se înjumătățesc și sunt perpendiculare. b) OA = OL = AL. b) OD = OE ⇒ d(O, AB) = d(O, AC) ⇒ AB = AC ⇒ BD = CE =
= x + y; = AD = DB = x și BE = EC = y ; 110° = DBE AC = 360 − AB − BC 9. OD ⊥ AB și OE ⊥ BC ⇒ 360° − (2x + 2y) = 140°. = AD = x ; AD ∥ BC ⇒ AB = CD = y ; 2x + 2y = 360° ⇒ x + y = 180° ⇒ AC și BD sunt 10. AB ∥ CD ⇒ BC diametre ⇒ AC = BD ⇒ ABCD dreptunghi.
= BC + DC = BD ⇒ AC = BD. b) ⇒ AD = BC; ΔACD ≡ ΔBDC (L.L.L.); AC = AD + DC AD = BC 11. a) c) ΔACD ≡ ΔBDC ⇒ ∢ACD = ∢BDC = x ⇒ ΔDEC isocel, cu EC = ED și ∢CED = 180° − 2x; EA = AC – − EC = BD − ED = EB ⇒ ΔAEB isocel, cu ∢EAB = ∢EBA = y și ∢AEB = 180° − 2y; ∢AEB = ∢CED (opuse la vârf) ⇒ x = y ⇒ ∢ABE = ∢CDE, care sunt și unghiuri alterne interne pentru AB, CD, cu secanta BD ⇒ AB ∥ CD. ⇒ x = y. AE = EC = x și BF = FD = y ; AC = BD ⇒ AC = BD 12. OE ⊥ AC și OF ⊥ BD ⇒ = − BC =− = − BC = . FC BF x BC EC BE 13. OE ⊥ AB și OF ⊥ BC ⇒ E și F mijloacele coardelor AB respectiv BC ⇒ EF linie mijlocie în ΔABC ⇒ EF ∥ AC. 14. a) Cazul L.L.L; b) OE înălțime în ∆OAB isoscel, deci și bisectoare ∢AOB; OF înălțime în ∆OCD isoscel, deci și bisectoare ∢COD. Din ∢AOD = ∢COD rezultă că OE este și bisectoare ∢AOB. Deoarece bisectoarea ∢AOB este unică, rezultă O, E, F coliniare; c) AB ⊥ OF , CD ⊥ OF. B
Unghi la centru
1. AB = CD = EF ⇒ AB = CD = EF = x ; BC = ED = AF ⇒ BC = DE = AF = y; 3x + 3y = 360° ⇒ x + y = 120° ⇒ ∢AOC = AC = 120°; AC = CE = AE = 120° ⇒ AC = CE = AE. 152
Răspunsuri
⇒ AD = BC = r; 2. OB = OC = r și ∢OBC = 60° ⇒ ΔOBC echilateral ⇒ BC = r; AD = BC OA = OD = AD = r ⇒ ΔOAD echilateral ⇒ ∢AOD = 60°; Apoi ∢DOC = 180° − ∢AOD − ∢BOC = 60°; = ∢BOC = 40°; − CD = 40° ⇒ . 3. ΔBOC isoscel, cu BC AD = AB − BC AD = BC
= y, = x + y ; 30 = = x + y − y = x ⇒ ∢AOC = AC = 2x = 60°. 4. AB = BC = x , CD AD= BD AD − CD = 30°; și CD = 120°. = ∢BOC = 180° − 2∙∢OBC = 30°; AD = BC ⇒ 5. a) ΔBOC isoscel ⇒ BC AD = BC
b) d(B,OC) = 4. c) BE || OD, AB secantă ⇒ ∢AOD = ∢ABE = 30°; ΔOBE isoscel ⇒ ∢EOB = 120°; = 30°; deci ∢EOC = 90°. ∢BOC = BC ⇒ AB = CD ⇒ d(O, AB) = d(O, CD) ⇒ OM = ON; 6. Avem OM ⊥ AB, ON ⊥ CD; AB = CD = ∆DON ≡ ∆AOM (C.C.) ⇒ ∢DON = ∢AOM; DE AE ⇒ ∢DOE = ∢AOE; Deci ∢EON = ∢EOM ⇒ OE ⊥ MN.
= CF ⇒ BF = CF ⇒ ΔBEF ≡ 7. ΔBOE ≡ ΔCOE (L.U.L.) ⇒ BE = CE. Fie {F} = OE ∩ C(O,r) ⇒ BF ≡ ΔCEF (L.L.L.) ⇒ ∢BEF = ∢CEF ⇒ ∢AEO = ∢DEO ⇒ ΔAEO ≡ ΔDEO (L.U.L.) ⇒ DE = AE; AC = AE + CE = DE + BE = BD. C Unghi înscris în cerc
⇒ ∢EAB = BC :2= 1. AB ∥ CD ⇒ AD = BC AD : 2 = ∢EBA ⇒ ΔAEB isoscel. 2. a) ∢ACB = AB : 2 = 90° ⇒ BC ⊥ AC; OD ∥ BC ⇒ OD ⊥ AC ⇒ D mijloc AC . b) DC ∥ AB ⇒ AD = BC = x; : 2 = 30°. D mijloc AC ⇒ DC = BC = x; 180° = AB = 3x ⇒ x = 60° ⇒ ∢BAC = BC = 80° ⇒ ∢BOC = 80°; ΔOBC isoscel, cu ∢OBC = ∢OCB = 50°; ABC = 60°, ∢ACB = 80°. 3. ∢BAC = 40° ⇒ BC 4. a) BD bisectoare ∢OBC ⇒ ∢OBD = ∢CBD = x; OA ∥ BC, secanta OB ⇒ = 2 ∙∢DBC = 2x ⇒ AB = CD. AB = ∢AOB = 2x și CD ∢AOB = ∢OBC = 2x ⇒ b) ΔOBD isoscel, ∢OBD = ∢ODB = x, ∢BOD = 180° − 2x ⇒ ∢AOD = ∢AOB + ∢BOD = 180°.
: 2 și ⇒ AB = CD; ∢BAC = ∢CDB = BC = DB − BC = CD . b) 5. a) AB = CD AB = AC − BC ∢AEB = ∢DEC (opuse la vârf) ⇒ ΔABE ≡ ΔDCE (L.U.U.) ⇒ BE = CE; ΔOBE ≡ ΔOCE (L.L.L.) = EC ⇒ BE = EC ⇒ ΔOBE ≡ ΔOCE (LLL) ⇒ OE bisectoare în ΔOBC isoscel 6. a) AE bisectoare ∢BAC ⇒ BE = EC = 2x; CF bisectoare ∢ACB ⇒ ⇒ OE ⊥ BC. b) AE bisectoare ∢BAC ⇒ ∢BAE = ∢CAE = x și BE = 2y; Notăm cu P și N punctele diametral opuse lui E, respectiv F. ⇒ ∢ACF = ∢BCF = y și AF = BF
BE BF AP : 2 EBP AF : 2 = (180° − 2x − 2y − 2y) : 2 = 90° − x − 2y. 10° = ∢AEO = : 2= 20° = ∢CFO = CN
− FB − BE − CE : 2 = (180° − 2y − 2x − 2x) : 2 = 90° − y − 2x. ( FBN )
x = 20°, y = 30° ⇒ ∢BAC = 40, ∢ACB = 60°.
7. a) Fie OR ⊥ AC , OP ⊥ FD; ΔRON ≡ ΔPOM (I.U.) ⇒ OR = OP. b) d(O,AC) = d(O,FD) ⇒ AC = FD. În plus AC ∥ FD ⇒ ACDF paralelogram. = x, BC = EF = y, + DE ⇒ x = y + z. Din 2x + 2y + 2z = 360° ⇒ x = 90°. = z, c) AF = CD AF = BC AB = DE 8. ∢ABD = ∢CBD = x (opuse la vârf ) ⇒ AD = CE = 2 x ⇒ ∢BAD = ∢BCE = 180° − 2x; Dar ∢BAD, ∢BCE sunt alterne interne pentru AD, CE cu secanta AC ⇒ AD ‖ CE.
153
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a D
Tangente dintr-un punct exterior la un cerc 2. ΔOCE dreptunghic în A ⇒ TO = 5. AO AT 3 4 6 12 2 2 d ( A, TO) 2, 4 TO d ( A, TO) 5 d ( A, TO) 5 AAOT 2 2 3. Fie M mijlocul lui AB. ΔOAB isoscel, M mijlocul lui AB ⇒ OM mediană OM ⊥ AB (1) ΔTAB isoscel, M mijlocul lui AB ⇒ TO mediană OT ⊥ AB (2) Din (1) și (2) ⇒ O, M, T coliniare TO ⊥ AB AB = 90° ⇒ ∢AOB = 90° ⇒ AOBP pătrat. 4. a)∢OBA = 30°; b) AAOT
5. AC este mediană în ΔABD, ∢A = 90° ⇒ AC = BC = CD. Dar AB e diametru ⇒ ΔABC dreptunghic isoscel ⇒ = 2 · ∢BAC = 90° ⇒ BC 7. AEBO paralelogram, cu OA = OB ⇒ AEBO romb. În plus ∢OAE = 90° ⇒ AEBO pătrat. 8. a) AE = BE = 12 cm. b) OE bisectoare și înălțime în ΔAEB isoscel. 9. a) ΔOAM = ΔOAN (L.L.L.) ⇒ ∢ONA= = ∢OMA = 90° ⇒ ON tangentă la C(O, r). b) ∢OAM = ∢OAN = x, ∢MOA = ∢NOA = 90°− x, ∢EON = 180° – 2∙∢MOA = 2x = ∢MAN. 10. AE = AF = x, BD = BF = y și CD = CE = z; ΔAEF echilateral ⇒ x = EF = 4; PΔABC = 2x + 2y +2z = 8 + 2(y + z) = = 8 + 2 ∙ BC = 26 cm. 11. a) AO bisectoare ∢BAE ⇒ ∢OAB = ∢OAE = x; DO bisectoare ∢CDE ⇒ ∢ODC = ∢ODE = y; ΔEOA = ΔEOD (C.C.) ⇒ ∢OAE = ∢ODE ⇒ x = y. b) ΔEOA = ΔEOD ⇒ OA = OD ⇒ OE înălțime și bisectoare în ΔAOD isoscel; ∢AOB = ∢AOE = ∢DOE = ∢DOC. Notăm {F} = OE ∩ BC, ∢BOF = 180° − ∢BOE = 180° − ∢COE = ∢COF ⇒ OF bisectoare și înălțime în ΔOBC isoscel. Din EF ⊥ AD și EF ⊥ BC ⇒ AD ∥ BC. 12. a) AO și AQ sunt bisectoare pentru unghiul ∢DAC. b) OB ⊥ AB, QC ⊥ AB ⇒ OB ∥ QC. = DE și 13. AB, AE tangente la cerc ⇒ AB = AE ⇒ ΔABE isoscel, cu ∢ABE = ∢AEB; BE ∥ CD ⇒ BC
BC = DE ⇒ BCDE trapez isoscel, cu ∢CBE = ∢DEB; Obținem ∢ABC = ∢AED și ΔABC ≡ ΔAED ⇒ AC = AD. D C 14. În patrulaterele AEOD și OEBC avem <DOE = 360° − <ODA − <DAE − <OED = 160° și <DOE = 140° ⇒ <DOC = 60° ⇒ CD = OC = 5 cm.
C A
20°
E
40°
B
15. a) AB, CD tangente la cerc ⇒ AB ⊥ BC și DC ⊥ BC ⇒ AB ∥ DC; AB, AE tangente la cerc ⇒ AB = AE; DE, DC tangente la cerc ⇒ DE = DC; AD = AE + DE = AB + CD. b) AB, AE tangente la cerc ⇒ OA ⊥ EB; DE, DC tangente la cerc ⇒
: 2 = 90° ⇒ ETOS dreptunghi. OD ⊥ EC; ∢BEC = BC c) Construim DF ⊥ AB, F ∈ AB; F = AB − CD = 5; AD = AB + CD = 13. Din teorema lui Pitagora în ΔADF ⇒ DF = 12 ⇒ r = 6 cm.
154
Răspunsuri
16. a) OP ⊥ BC, QP ⊥ BC ⇒ O, P, Q coliniare; b) CD = CP = CR = 3, AS = AR = x, BS = BP = y, 6 = AB = x + y ⇒ P∆ABC = 2x + 2y + 6 = 18 cm; c) BP = BS = BE ⇒ ∢BPS = ∢BSP = x și ∢BPE = ∢BEP = y. Suma unghiurilor în ∆SEP este 180° = 2x + 2y ⇒ ∢SPE = x + y = 90°; : 2 = 90° ⇒ ∢SPD = ∢SPE + ∢DPE = 180°; d) ∢DPE = DE e) BE = BP = 2, CD = CP = 3, BEDC trapez dreptunghic. A
D
C R
Q
P
O S
B
E
5.2 Poligoane regulate = 60° ⇒ = 120° ⇒ ∢ABD = ∢BAD =∢ADB = 60°. 1. OC ⊥ AB ⇒ C mijloc AB ⇒ AC = BC AD = BD = 2z. Avem 2x + 2y + 2z = 360°. Din ipoteză ⇒ 2x + z = 2z + y și 2z + y = 2y + 2. Notăm AB = 2x, AC = 2y, BC
x ⇒ 2x − z = y și 2z − y = x ⇒ x = z apoi z = y. 3. Diagonalele AC și BD au același mijloc O, AC = BD = 2r, AC ⊥ BD ⇒ ABCD pătrat. 4. E = prABO, F = prCDO; ∆OAE, ∆OBE, ∆OAE, ∆OCF, ∆ODF, sunt dreptunghice isoscele ⇒ A,O,C coliniare și B, O, D coliniare ⇒ diagonalele AC și BD au același mijloc O, AC = BD = 2√2̅ ̅ , AC ⊥ BD ⇒ ABCD pătrat. 5. OA = OB = AB = r ⇒ ∆OAB echilateral ⇒ ∢AOB = ∢DOE = 60° (opuse la vârf) și ∢AOD = ∢BOD = 120°; ⇒ ∢AOF = ∢EOF = ∢BOC = ∢DOC = 60° ⇒ ABCDEF hexagon regulat. AE , BD C, F mijloace 6. Măsura unghiului unui poligon regulat cu n laturi este
(n − 2) ⋅ 180 n
a) 108°; b) 135°; c) 144°.
n − 2 ⋅ 180 7. D acă cunoaștem A1 A2 A3 avem A1 A2 = A1 A2 A3 : 2 și n = 360 : A1 A2 . În plus ∢A1 A2 A3 = ( )n a) n = 8, n = 6, n = 6, n = 12; b) A1A2 = √2̅ ̅ (pătrat), A1A2 = √3̅ ̅ (triunghi echilateral), A1A2 = 1 (hexagon regulat). B = 18; 8. a) B B =B B : 3 = 15°, n = 360° : B B = 24; b) B B =B B : 4 = 20°, n = 360° : B 1 2
1 4
1 2
2 3
2 6
2 3
B B c) B 1 B2 = B1 B7 : 6 = 36°, n = 360° : 1 2 = 10. AC 9. ∢ABC = = 45°; ∆OAE isoscel ⇒ ∢OAE = ∢AOE = 90°. 2 Diagonalele AD și CE au același mijloc, AD = CE și AD ⊥ CE ⇒ ACDE pătrat.
10. OA = OB = OC = OD = OE = OF = x și ∢AOB = ∢BOC = ∢COD = ∢DOE = ∢EOF = ∢AOF = 60° ⇒ ON = OT = OP = 2x și ∆ONT ≡ ∆OTP ≡ ∆OPN (L.U.L.) ⇒ NT = TP = PN . 11. a) OM ⊥ AR, DM ⊥ AR; b) ∢DRE = 90° + 60°, DR = AR + RE, ∢RDE =∢RED =15°; c) DL = LR ⇒ ∢LDR = ∢LRD =15°, ∢ORL =∢ORA + ∢ARD − ∢LRD = 45° + 60° − 15° = 90°; d) În ∆SOR avem ∢ORS = 90°, ∢SOR = 45° ⇒ OR = SR și OM = MS = MR. Diagonalele AR și SO au același mijloc M, AR = SO, AR ⊥ SO ⇒ SAOR pătrat. 12. Notăm M și P mijloacele laturilor AB și BC; d (O, AB) = d (O, BC) ⇒ OMBP pătrat ⇒ ∢MOB = ∢ POB = 45°; ∆OAM ≡ ∆OBM ≡ ∆OBP ≡ ∆OCP ⇒ ∢AOM = ∢BOM = ∢BOP = ∢COP = 45° ⇒ ∢AOC = 180°; ABCD este pătrat pentru că diagonalele au același mijloc, AC = BD și AC ⊥ BD. AC = 60°, iar OA = OC (raze) ⇒ ∆AOC echilateral. 13. ∢ABC = 30° ⇒
= 360° : 5 = 72° ⇒ CD = DE = EA = AB = BC și 14. ∢A = ∢B =∢C =∢D =∢F ⇒ CD = DE = EA = AB = BC ∢EAB = ∢ABC = ∢BCD =∢CDE = ∢DEA = 144° ⇒ ABCDE pentagon regulat. 155
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
= x; ∢ABD = ∢BCD = 45° ⇒ 15. d (O, AB) = d (O, BC) ⇒ AB = CD ⇒ AB = CD
= 90°; + CD + AD = BC AB + BC AD = 360° ⇒ x = 90°, deci ABCD este pătrat.
(
)
M
= 360 − : 2= 120°. Fie M mijlocul segmentului E AB = CD AD − BC 16. AD = BC ⇒ ⇒ AB ⇒ OM este mediatoarea lui AB ⇒ E și F sunt mijloacele arcelor AB și CD AE = EB = BC = CF = FD = AD = 60 ⇒ AEBCFD hexagon regulat.
D
A O
B
F C
17. În GONX avem ∢GON = 360° − ∢XGO − ∢XNO − ∢GXN = 120°; ∆GOX ≡ ∆NOX ⇒ ∢GOX = ∢NOX = 60° ⇒ ∆COG și ∆CON sunt echilaterale ⇒ CG = OG = ON = CN, unde {C} = Ox ∩ C(O, r), {B} = Ox ∩ GN și OG = ON = 2y; În ∆GON, OG = ON, OB bisectoare ∢GON ⇒ OB ⊥ GN; Obținem OB = y și GB = BN = y√3̅ ̅ ; GN 3 = 3y ⇒ CX = BX − BC = 2y; 2 ∢CGX =∢OGX − ∢OGC = 30° și ∢AGX = ∢AGB − ∢BGX = 30°; Deci ∢ACG = 60°, AC = CG = 2y ⇒
BC = OC − OB = y; ∆XGN echilateral, XB ⊥ GN ⇒ XB =
∆ACG echilateral ⇒ AC = 2y; ∢ACX = 180° − ∢OCG − ∢GCA = 60° și AC = CX = 2y ⇒ ∆ACX echilateral. Analog se arată că ∆ECN și ∆ECXsunt echilaterale. În concluzie EXAGON este hexagon regulat. R Z 18. a) AZ = RZ = RE, ∢AZE = 90° + 60° ⇒ ∢ZEA = ∢ZAE = 15°; b) Notăm {F} = AE ∩ CP; ∢CEF = 90° − ∢ ZAE = 75°; ∢ECP = 180° − ∢ ZAE − ∢CEF − ∢CFE = 15°; deci ∆CEP ≡ ∆EZT. c) În ∆CEP, ∢CEP = 90°, EO mediană ⇒ OE = OC = OP ⇒ ∢OCE = ∢OEC = 15°; H O C E M În exteriorul pătratului construim triunghiul echilateral ∆BEC și fie M mijlocul laturii CE. Din OM ⊥ CE și BM ⊥ CE ⇒ O, M, B coliniare. ∢BCO = ∢ BCE + ∢OCE = 75° = ∢RCO. În plus BC = CE = RC ⇒ CO ⊥ RB și RH = BH, unde {H} = RB ∩ CO. În ∆CMO, ∢COM = 180° − ∢CMO − ∢OCM = 75°, deci B ∆HBO ≡ ∆HRC (C.U.) ⇒ CH = OH; deci BORC este romb ⇒ RO = RC = RZ; ∢ORZ = 90° − 2∙∢CRH = 60°.
5.3. Lungimea cercului și aria discului
169 p p p cm2; b) l = cm; A = cm2; c) l = 4p 3 cm, 10 400 4 A = 12pcm2. 3. a) l = 12p cm, A = 36p cm2; b) l = 6p cm, A = 9p cm2; c) l = 24p cm2, A = 144p cm2.
1. l = 8 p cm; A = 16p cm2; 2. a) l = 13p cm; A =
4. a) D; b) D. 5. a) 12p; b) 8p 2 ; c) 32p; d) 2,4p. 6. a) 100p cm2; b) 314 < 100p < 315. 7. p · OC – OB2 = 11p > 9p = p · OA2. Notăm cu A1 și A2 ariile celor două suprafețe și AB = 2x. Raza cercului înscris în pătratul ABCD este r = AB : 2 = x, iar raza cercului circumscris pătratului ABCD este AC AB 2 A 4 = = x 2 ; avem A1 = PABCD – pr2 = 4x2 – px și A2 = pR2 – AABCD = 2x2p – 4x 1 2 2 A2 2 4 9. r = cm. = R
156
Răspunsuri
10. Fie E = prABO ⇒ OA = OB = 15 și r2 = OA2 + OE2. 11. d = 48 cm; 576p cm2. 12. r = 10 cm; l = 20p cm; lCD = lcerc : 2 = 10p cm.
r MON ; a) r = MN = 24; lMN 8 ; b) MN r 2 , r 12 2 , lMN 6 2 ; 180 16 3 . c) MN r 3; r 8 3; lMN 3 14. a) 300°; b) 270°; c) 240°. 15. a) 18p cm2; b) 12p cm2; c) 6p cm2.
13. lCM
64 u 8 u . 360 45 17. a ) OD = 18 m, BD = 24; b) Agazon = (225p – 432) m2; 16. A sector =
10 432 = 3, 2 adevărat. · p · 302 ⇔ p < 100 135 18. a) (400 – 100p) cm2; b) (300 – 50p) cm2. 19. a) 60°, 90°, 120°, 90°; b) 12p cm2. c) 225p – 432 <
157
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
6. ASEMĂNAREA TRIUNGHIURILOR 6.1. Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante A
Segmente proporționale
5 AB 3 CD 4 EF = ; = ; = ; CD 2 EF 5 GH 2 2 2. a) A2A3 = 2 cm; A3A4 = 4 cm; A4A5 = 7 cm; A5A6 = 11 cm; AA 1 A A 2 A6 A7 16 = ; c) A2 A3 = MN . 3. AD = 1 ; AN = 1 ; MN = 1 ; b) 1 2 = ; 2 3 = ; A2 A3 2 A4 A5 7 A3 A4 4 AB 2 NC 3 BC 4 A4 A5 PQ 4. a) AO = 3 cm; CO = 6 cm; AC = 9 cm; AB = BC = 4,5 cm; BO = 1,5 cm
1. AB = 6 cm, CD = 4 cm, EF = 5 cm, GH = 2 2 cm.
EF 4 AE 17 = ; = BC 2 AF 26 AM 1 = . DB 2
AO 3 6 4 AM 5, 25 7 BO 1,5 1 CO = = 2; = = . ; = = ; = = OB 1,5 OC 6 4 AB 4,5 3 DB 3 4 5. MP = 4 cm; PN = 6 cm.
b)
= AB − BM AM AM BN AB AB AM + MB BN + NA 6. a) ⇒ ⇒ ⇒ MB = NA. b) NB = AB − AN ⇒ AM = NB = y = = = MB NA MB NA MB NA BM = AN Fie P mijlocul lui MN ⇒ MP = PN = x și AP = x + y = NB 7. a) Desenăm dreapta verticală d. Fie M și N intersecțiile liniilor orizontale ale caietului care trec prin A și B cu dreapta d. Alegem punctele P, Q ∈ MN astfel încât MP = PQ = QN. Fie C, D ∈ AB astfel încât MA || PC || QD || NB. Se obține AC = CD = BD. B Teorema paralelelor echidistante
MS 2 MQ 3 MR 1 MP = ; =1; = ; = MT 3 NP 1 MT 3 NQ 10. a) DJ – linie mijlocie în ∆ECI
8. DE ≡ EF. 9. b)
HI – linie mijlocie în ∆AGJ IC – linie mijlocie în trapezul ABDJ GJ – linie mijlocie în trapezul EFHI b) AH = 1, EJ = 2,4 11. a) B, G4, N; b) C, G4, P; c) P, G3, N. AH 13. b) BI linie mijlocie în ∆ACH ⇒ = BI = 2 cm 2 CF c) IG linie mijlocie în ∆HCF ⇒ = IG = 3 cm 2 BG + DE ⇒ BG = 4 cm; IG = 3 cm; BI = 1 cm. d) CF linie mijlocie în trapezul BGED ⇒ CF = 2 IG + ME ⇒ EM = 9 cm, DM = 1 cm. CF linie mijlocie în trapezul IGEM ⇒ CF = 2
158
Răspunsuri
6.2. Teorema lui Thales. Reciproca teoremei lui Thales. Împărțirea unui segment în părți proporționale cu numere date A Teorema lui Thales
1. a) x = 14; b) x = 9; c) x = 5; d) x = 6. 2. 5. AB = 20, AC = 30 7. EO || DC ⇒
BD 5 = . 3. a) AD = 20; b) AC = 30. 4. AE = 30 CE 4
11, 2 16 AE AO AO BO 8 AO = ⇒ = ⇒ AO = 11,2. AB || DC ⇒ ⇒ ⇒ OD = 6 = = 4, 2 OD ED OC OC OD 3 4, 2
P∆AOD = 28,2 AE AF AE FC AE 8 8. FB = 4 cm. 9. a) AE = 6, AF = 8; b) = ⇔ = = k , de unde AE = 8k, FC = 5k = = 2 ⇒ BE FC 8 5 FC 5 AF 10k 5 BE = 4k, AE = 10k ⇒ = = BE 4k 2 AE AN 2 AE BE 2 3 10. EN || BC ⇒ = = ⇒ ⇒ BE = 6. 3 BE NC 3 BE BF AN 2 BF 2 NF || AB ⇒ = = ⇒ ⇒ BF = 6 FC NC 3 BF FC 2 3 AE AB AO AE AO AB AO ⇒ 11. a) BE || CO ⇒ = ⋅ ⋅ = 1. AC AO AB AC AB AO AB
AE BD = AE AO BD CD BD + CD BC CE CB b) + = + = = =1 ⇒ AO CD CE BO CB CB CB CB = AD OC ⇒ BO CB AB AR BR bisectoare AB CD AR RC BC RC 12. 1 CD RC BC DE RC AR RD AE DE AR AD AE GN AD FN AE GN FN 13. DE BC ; DG AN ; EF AN . Deci GN FN AB AC BN AB CN AC BN CN 14. OB = 15 cm, OC = 9 cm, BC = 6 cm BE BC OA || CE ⇒ ⇒ BE = 4,8 cm = AB OB BE BC ⇒ EF = 14,4 cm EC || DF ⇒ = EF CD OB EB = OE AD ⇒ OD AE OA AN EB AN AB AB EB + AE AN + NB = ⇒ 15. ON BC ⇒ ⇔ ⇔ ⇒ AE = NB = = = OC NB AE NB AE NB AE NB OA OB = AB CD ⇒ OC OD AD EB ⇒
159
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
16. ∆ABC dreptunghic isoscel și D mijlocul lui BC ⇒ AD ⊥ BC. În ∆CAR avem CG ⊥ AR, AD ⊥ CR ⇒ G este ortocentru ⇒ RE ⊥ AC. G centru de greutate ⇒
GF 1 = CF 3
DR DR AE GF 1 DR DG 1 . b) . În ∆DAB, GR || AB ⇒ = = În ∆ACF, EG || AF ⇒ = = = DC DB AC CF 3 DB DA 3 B Reciproca teoremei lui Thales
15 27 27 21 14 1 x + 3 x+3 1 ⇒ DE || BC ≠ ⇒ DE ∦ BC. c) = ⇒ DE || BC. b) = ;= = 24 45 18 14 28 2 2 x + 6 2( x + 3) 2 3 3 1 5 8 6 ⇒ DE || BC. e) ⇒ DE ∦ BC d) = = = ≠ 5 12 10 45 3 5 5
1. a)
OA OB OA 96 16 OB 128 16 ; = = ⇒ ⇒ AB || CD ⇒ ABCD trapez = = = OC OD OC 54 9 OD 72 9 4 4 3 AD 4 AE AD AE AE AD 3 AE 3 3. DE BC 4 4 BD CE CE BD 1,(3) CE CE 3 3
2.
BG BD = . (1) GN DA CF CE (2) În ∆AMC, EF || AN FN EA BG CF = . (3) Din ipoteză știm că GN FN BD CE ⇒ DE || BC ⇒ DE || GF. În plus DG || AN || EF Din (1), (2) și (3) ⇒ = DA EA 5. Notăm BG = CF = a.
4. În ∆AMB, GD || AN ⇒
AD GC a GF AD AE BD BG a ⇒ DE || BC = ⇒ AE BF a GF BD EC EF AB EC FC a EA EB = AB FG ⇒ EA EC EF EG 6. ⇒ AC || FN = ⇒ EB EC EF EH = BC GH ⇒ EG EH AC AE În ACB CE bisectoare CB EB AE AF AC AF 7. În ACD CF bisectoare ⇒ ⇒ EF || BD = EB FD CD D FD DG AC
CB
CD
DF AD 40 2 DF CE FB AB 60 3 8. Aplicăm teorema bisectoarei în ∆ABD ⇒ ⇒ FE || CD ⇒ FE || AB = ⇒ CE 14 2 FB EB EB 21 3
160
Răspunsuri
9. Fie M mijlocul laturii BC ⇒ AM bisectoarea unghiului BAC BF = 24, BM = MC = 12, FM = 3 BA BM BA 24 4 BM 12 4 ; = = ⇒ ⇒ DF || AM = = = AD FM AD 6 1 FM 3 1 10. Aria pătratului = Aria dreptunghiului =
⇒ AB · AD = AE · AG ⇒
EO EA
11. OA = OB = 2x (raze) și OE = EB = x; =
AB AG ⇒ BG || DE = AE AD
EF 1 = α, BD = 2α ⇒ OF ∥ AD ⇒ ∢FOE = ∢DAB = α ⇒ BC = ED 3
C Împărțirea unui segment în părți proporționale cu numere date
2. 720 lei; 1440 lei; 1080 lei. 3. Segmentele OB, OC, OD sunt împărțite în părți proporționale cu 10, 20 și 30. OF = 33; OG = 36; OH = 39; FP = 22; GR = 24; HS = 26 4. Deoarece PC ∥ AD ∥ RE ∥ SF ⇒ BC = 4k, CD = 2k, DE = 3p, EF = 4p și FG = 5p. BC = 6k + 12p = 42 și CE = 2k + 3p = 12 ⇒ k = 3, p = 2 ⇒ lungimile căutate sunt 12, 6, 6, 8, 10. 5. G este centrul de greutate al ∆BCD ⇒ OG = x, GC = 2x; OA = OC = 3x; AE, EF și FB sunt direct proporționale cu AO = 3x, OG = x și GC = 2x.
6.3. Triunghiuri asemenea. Teorema fundamentală a asemănării. Criterii de asemănare A Triunghiuri asemenea
1. a) A; b) F; c) F; d) F; e) A; f) F. 2. ∆ABC ∼ ∆JKL; ∆DEF ∼ ∆NMP; ∆GHI ∼ ∆QSR. 4. a) ∢C = 69°; b) ∢A = 44°; c) EF = 7,5 cm, DF = 10 cm; d) AB = 7,5 cm; BC = 11,25 cm; AC = 16,25 cm. P 25 1 5. k ABC A ' B ' 32, B ' C ' 40, A ' C ' 28 P A ' B ' C ' 100 4 6. a) ra =
3 ; b) PDEF = 36 cm; PMNP = 63 cm; c) PABC = 15 cm 7
B Teorema fundamentală a asemănării
1. a) x = 16; b) x = 35; c) x = 3; d) x = 9. MD MC DC 12 1 ⇒ MD = 14 cm; AD = 28 cm. 2. a) ∆MDC ∼ ∆MAB; = = = = MA MB AB 36 3 MC 1 MC 1 ⇒ MC = 15 cm; MB = 45 cm; Din = ⇒ = MB 3 MB − MC 3 − 1 OA OB AB 36 3 b) ∆OAB ∼ ∆OCD ⇒ = = = = OC OD CD 12 1 OA AB 3 OA OC 3 1 AC 4 = = ⇒ ⇒ = ⇒ OC = 10,5 cm ⇒ AO = 31,5 cm 1 OC CD 1 OC OC 1 Analog, BD = 40 cm, BO = 30 cm. 3. h = 15 m
161
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
BD DF BF BC CA BA DE DF CD BD BC 4. 1 CE DC DE AB AC BC BC BC CED ~ CAB CA BC AB 5. a) MN linie mijlocie în ∆ABC ⇒ MN || AB ⇒ MN || QP AG GP 2 2 În ∆AMN avem GP | MN ⇒ = = ⇒ GP = MN AM MN 3 3 BG QG 2 2 În ∆BMN avem GQ | MN ⇒ = = ⇒ QG = MN BN MN 3 3 AP AG 2 b) AP = 2x, PN = x ⇒ AN = NC = 3x. AC = 24 = 6x ⇒ x = 4 PN GM 1 Analog BQ = 2y, QM = y, BC = 6y BDF ~ BCA
C Criterii de asemănare
AE 2 1 AF 3 1 = = , = = și AB 8 4 AC 12 4 ∢EAF ≡ ∢BAC ⇒ ∆EAF ~ ∆ABC (cazul L.U.L.)
1. a)
2.
EA 6 1 AF 8 1 = = , = = și BA 12 2 AC 16 2 ∢EAF ≡ ∢BAC ⇒ ∆EAF ~ ∆ABC. Dar ∆BAC ≡ ∆DCA, deci ∆EAF ∼ ∆DCA
EF AE 1 b) = = = k și EF = 4 cm BC AB 4 3. În ∆ADE, ∢A = 42°, ∢E = 60° ⇒ ∢D = 78°. Deci ∢EAD ≡ ∢BAC, ∢ADE ≡ ∢ACB ⇒ ∆ADE ~ ∆ACB (U.U.) MN 15 3 NP 9 3 MP 12 3 MN NP MP = = , = = , = = 4. a) . Deci = = ⇒ ∆MNP ∼ ∆QMP (cazul L.L.L.) QM 20 4 MP 12 4 QP 16 4 QM MP QP b) ∆MNP ∼ ∆QMP ⇒ ∢NPM ≡ ∢MPQ. Dar N, P, Q sunt coliniare ⇒ ∢NPM = 90° ⇒ MP ⊥ NQ AD 3 1 AE 4 1 și ∢DAE ≡ ∢BAC ⇒ ∆ADE ∼ ∆ABC; b) MN || AC ⇒ ∆MBN ∼ ∆ABC. = = , = = AB 9 3 AC 12 3 Dar ∆ABC ∼ ∆ADE. Deci ∆MBN ∼ ∆ADE. AD AE DE 3 2 AD AE DE 3 2 ⇒ AC = 15, BC = 11,25. = = = = 6. DE || BC ⇒ ∆ADE ~ ∆ABC. = = = = AB AC BC 7,5 5 AB AC BC 7,5 5 ⇒ AC = 15, BC = 11,25. AB 2 1 PABC 1 = . 7. a) ∢C = 90°; ∢D = 60°. b) AC = 1; EF = 3 3 ; DF = 3; d) k = ; = = DE 6 3 PDEF 3
5. a)
= AC 4= 3, k 8. b) ∆ABC ∼ ∆MPN (U.U.); c)
AC =2 MN
32 15 ; AC = . 3 2 20 K 1 = ; DF 10 ; p4: BC 10. p1: ∢F = 59°; p2: DF = 3,2 cm; p= 3: DE 3 2K PQ 9 QR 4 11. a) = ; b) = . 12. ∢CBD =∢ABD = 36°; AB = AC ⇒ ∢ABC = ∢ACB = 72° ⇒ ∢BDC = 72° BC 13 AB 13 ⇒ ∆ABC ∼ ∆DBC; b) ∢A = 36°; ∢B = ∢C = 72°. 9. a) P∆ABC = 21cm; b) A∆A'B'C' = 32 cm2; c) A'B' = 4, B'C' =
162
Răspunsuri
13. ∆DPQ ∼ ∆DEF ⇒
DP DQ PQ 4 2 ⇒ PQ = 6 cm; DQ = 8 cm. = = = = DE DF EF 6 3
14. a) BD = DE și AD ⊥ BE ⇒ ∆DAB ≡ ∆DAE ⇒ ∢ABD ≡ ∢AED; ∢ADE = ∢CAB = 90° și ∢AED ≡ ∢ABC ⇒ ⇒ ∆ADE ∼ ∆CAB. b) AC =
40 cm. 3
4 CN CM CN ⇒ = ⇒ CN = 4 ⇒ BN = 12 ⇒ AB = BN ⇒ ∆BAN isoscel = 8 8 MD AD 16. Fie M mijlocul laturii AB. Atunci MD este mediatoare și mediană în ∆DBA ⇒ ∆DBA isoscel. AB BC = Avem ∆ABC ∼ ∆DBA (U.U) ⇒ ⇒ AB2 = BD ∙ BC DB BA 17. a) 13 cm. b) Fie O punctul de intersecție a diagonalelor. d(O, baza mare) = 8 cm; d (O, baza mică) = 4 cm
15. ∆MNC ∼ ∆AND ⇒
ED CD GD ED c) ∢BDE = ∢BEG = 48° și ∢EBD = ∢GBE (unghi comun) ⇒ ∆BDE ∼ ∆BEG
18. b) ∢ECD = ∢EDC = ∢GED = ∢GDE = 48° ⇒ ∆ECD ∼ ∆GED
19. a) ∢DEA ≡ ∢EFB, ∢A ≡ ∢B ⇒ ∆AED ∼ ∆BEF ⇒
BD BE BE 2 BD BG BE BG
AE AD ⇒ BF = 5 cm ⇒ CF = 7 cm = BF BE A =° 72 ; B =° 60 ; C =° 48 20. a) FAE= 72° − 2 ⋅ 12°= 48° ⇒ ∆FEA ∼ ∆ABC AEF = 60°; AFE = 72° AEG = 60°; EAG = 12° b) ⇒ ∆AEG ∼ ∆ABF. ABF = 60°; BAF = 12° 21. a) ∢FBC = 50°; ∢FCB = 20°; ∢BFC = 110°;
b) ∆ADE ∼ ∆BEF ⇒
b)
BAC= ANB= 75° ⇒ ∆ABC ∼ ∆NBM. ABC= NBM= 65°
22. a) BM = x, AM = 3x, AC = AB = BC = 4x, BN = NC = 2x. ∢B = ∢C și AB 3 2 x 3 AP PN x 3 2 ∆NBM ∼ ∆ACN ⇒ ∢BMN = 90°; ∢BNM = 30°; MN = x 3
NB 1 BM NBM ACN AC 2 CN
b) AN =
PN =MN = x 3 și ∢MNP = 60° ⇒ ∆MNP echilateral 23. a) NP || AB, BC secantă ⇒ ∢ABC = ∢NPC. Dar ∢ABC = ∢ACB ⇒ ∢NPC = ∢ACB ⇒ ∆NPC isoscel cu NP = NC. b) NP || AB ⇒ ∆BDM ∼ ∆PDN. DB AB AE AB AE AF EF BC . 24. Din teorema bisectoarei DC AC AF AC AB AC AM 4 MN = = și ∢AMP = ∢BNA = 60° ⇒ ∆AMP ∼ ∆BNA; 25. a) BN 3 NA b) ∆AMP ∼ ∆BNA ⇒ ∢APM = ∢BAN = x, ∢MAP = ∢NBA = 120° – x, ∢BAP = 60° 163
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
26. AF este mediana corespunzătoare ipotenuzei în ∆AEB ⇒ AF = BF = EF. ∆AFO ≡ ∆BFO (L.L.L) ⇒ ∢OAF = ∢OBF, ∢AOF = ∢BOF = 45° Din ∢OAF = ∢DBE și ∢AOF = ∢BDE = 45 ⇒ ∆AFO ∼ ∆BED. 27. a ) PB = AC, BQ = CP, ∢PBQ = ∢ACP = 45° ⇒ ∆PBQ ∼ ∆ACP ≡ 45° ⇒ PQ = AP. b) PB = AC = AB ⇒ ∆BAP isoscel cu ∢BAP = ∢BPA = 67,5° ∆PAQ isoscel cu ∢PAQ = ∢PQA = 67,5°. Deci ⇒ ∆PAQ ∼ ∆BAP 28. Fie {O} = AC ∩ BD, OA ⊥ OD ⇒ ∢OAD = x, ∢ODA = 90 – x În ∆ABD, ∢A = 90°, ∢D = 90 – x ⇒ ∢ABD = x Deci ∆ABD ∼ ∆DAC (U.U.)
164
AB AD AD 2 AB CD DA DC
PA AQ AP 2 AB AQ BA AP
Răspunsuri
7. RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC 7.1. Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema înălțimii. Teorema catetei A Proiecții ortogonale pe o dreaptă
4. p1: A; p2: F; p3: F; p4:A; p5: A; p6: A. 5. ∆EAD ≡ ∆FBC (caz I.U.) ⇒ AE ≡ BF. 6. prMP MN = MA; prMP NP = AP; prMP PQ = PB; pr MP MQ = MB; pr MP NO = AO; pr MP QN = AB. 7. prBC AB = BD; prBC AC = CD. 8. ∆MCB ≡ ∆NCD (caz I.U.) ⇒ BM ≡ DN.
AB A ' B ' AA '+ CC ' = ; c) BB′ este linie mijlocie în trapezul AA′C′C ⇒ BB ' = . BC B ' C ' 2 10. Avem ∆DEB ≡ ∆DFB (caz I.C.) ⇒ BE ≡ BF și ∢EBD ≡∢FBD BD este bisectoarea unghiului ABC și triunghiul BEF este isoscel. Rezultă că BD este perpendicular pe EF. 9. b) AA′ || BB′ || CC′ ⇒
B Teorema înălțimii
1. a) AD = 12 cm; b) DC = 25 cm, BC = 34 cm, c) BD = 15 cm, CD = 3 cm și BC = 18 cm. 2. a) DM = 4,8; EF = 10; b) FM = 9; EF = 25; c) FM = 3,2; DM = 2,4; d) EM = 3; FM = 12; EF = 15. 3. a) A = 4 3 cm2; b) A = 21 3 cm2. 4. DM = 6 cm. 5. AD = 20 cm. 6. a) 6 cm, 18 cm; b) 6 3 cm. 7. AE = 9 cm, AB = 12 cm. 8. 40 cm. 9. BD = 5 cm și BC = 8 cm. 10. DM = 9 2 cm, DF = GE = 27 cm. . 11. Din teorema catetei în triunghiurile dreptunghice ∆ABC, ∆DAB, ∆DAC avem AD2 = BD · DC, DE2 = AE · EB, DF2 = AF · FC. În ∆AED dreptunghic avem AD2 = DE2 + AE2, iar AE = DF pentru că AEDF e dreptunghic. AABC AC BE 12 3 10 AADC AC DF 4 10 10 2 13. În triunghiul dreptunghic AMN avem AB = MB·BN. În triunghiul dreptunghic ACP avem CD2 = AD·DP. 12. a) BE = 12 cm, DF = 4 10 ; b)
(1) (2)
AM Triunghiul dreptunghic AMP este isoscel, deci AC este și mediană , iar CD este linie mijlocie, deci CD = . (3) 2 AM În triunghiul dreptunghic BAM, AB este cateta opusă unghiului de 30°, deci AB = (4) 2 Din (3) și (4) rezultă AB = CD, iar din (1) și (2) rezultă relația MB·BN = AD·DP. AB + CD =8,5 ⇒ CD =13 cm ⇒ htrapez =6 cm ⇒ Atrapez =51 cm 2 14. 2 C Teorema catetei
1. a) BC = 72, AC = 36 3 , AD = 18 3 ; b) BC = 25, AB = 15, AD = 12; c) AD = 3 3 ; AB = 6, AC = 6 3 2. a)
AB
BC
AC
AD
DC
BD
c)
24 48 2 72
8
64 16 2
6
3 5
9
4
5
2 5
d)
15
9
16
6 5
15
3
12
6
36
18 18 2
b) 3 5
20
25
e) 18 6 18 3 54
12
165
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
2 3. PABCD = (18 + 2 3) cm, AABCD = 14 3 cm= . 4. AE 12 = cm, BE 16 = cm, DF
45 80 = cm, BG cm. 4 3
= = 3 cm, AC 30 cm. 8. 5. BC= 15 cm. 6. CD = 6,8 cm. 7. AB 10 = AB 6= x, AC 3 5 . = cm, AD 2 3 cm, AE = 4 cm . 9. DE 2= = 12(1 + 3) cm. . 11. a) ∢AMP = 60°, ∢AMQ = 30°. 10. PABCD = b) MN 6= 3 cm, PQ 12 cm. MN și PQ.
12. = BE
50 40 = , BC 10, CE = , P∆CDE = 28. 3 3
7.2. Teorema lui Pitagora. Reciproca teoremei lui Pitagora A
Teorema lui Pitagora
1. Fie triunghiul ABC, cu ∢A = 90°. a) BC = 10 cm; b) AC = 24 cm; c) AB = 16 cm; d) BC= 5 10 cm,
P∆ABC = 12 10 cm.
72 cm . 3. a) 6 cm; b) BD = DC = 6 3 cm . 5 4. a) CD = 15 cm; b) AC = 20 cm, BD = 769 cm . 5. (20 + 10 2) cm. 6. 12 + 4 3 cm2.
h= 12 cm, h= 2. h= B A C
7. a) 2 3 cm; b) 36 cm; c) 8 2 cm; d) 10 cm; e) 25 cm; f) 52 cm. 8. a) ∢A = 75°, ∢B = 60°, AD ⊥ BC ⇒ ∆DAB = 45°. În ∆ABD dreptunghic isoscel ⇒ AC = AD 2 = 2 6 b) M ∈ BC, BM = MC = 1 +
3 . ∆BEM dreptunghic isoscel ⇒ BE = BM
2=
2+ 6
25 cm, AB = 25 3 cm. 2 p 20 + 208 10. FE = 5 cm, AF = 15 cm, AE = 208 cm ⇒ =
9. d O, AB
34 < p < 35 ⇔ 14 <
208 < + 15 adevărat
11. Fie A proiecția lui D pe EF. În ∆ADF, ∢A = 90°, ∢F = 30° ⇒ AD = DF : 2 = 8 cm, iar AF = 8 3 cm. În ∆ADE, ∢A = 90°, ∢E = 45° ⇒ AD = AE = 8 cm, iar ED = 8 2 cm. P∆DEF = 8(3 +
3 + 2 ) cm
= 2 cm, NQ 4 cm, MP = 4 5 cm 12. MN 4=
13. BM 73 cm, CN 2 13 cm, AG
2 10 2 AP 5 cm unde AP este mediana din A. 3 3 3
AB AC BC = = = k ⇒ AB = kDE , AC = kDF , BC = kEF DE DF EF AB ⋅ DE + AC ⋅ DF= kDE 2 + kDF 2= k ( DE 2 + DF 2 )= kEF 2
14. ∆ABC ∆DEF ⇔
15. EC = 13 cm. 16. Fie {0} = AC ∩ BD, ABCD romb ⇒ OA = OC = x, OB = OD = y, AC ⊥ BD. 4 · AB2 = 4(x2 + y2) = AC2 + BD2. 17. Înălțimea are lungimea 8 cm, iar diagonala 4 65 cm. (32 + 8 2) cm, A = 96 cm 2 . 19. AC = 6 3 cm ; BD = 6 cm. 18. P = AB 12 cm, AC = 12 2 cm, MC = MD = 6 5 cm. 20. = 166
Răspunsuri
21. Teorema lui Pitagora în ∆ABD și ∆ACD ⇒ AD2 = DB2 – AB2 și AD2 = AC2 – DC2 ⇒ DB2 – AB2 = AC2 – DC2. 20 cm. 22. a) AB = 15 cm; b) d(D, AC) = 3 B
Reciproca teoremei lui Pitagora 1. Adunând relațiile AB2 = BD·BC și AC2 = CD·BC, obținem AB2 + AC2 = BC(BD + CD) = BC2
2. a) MQ2 + MP2 = 32 + 6 2
2
= 81 = PQ2 ⇒ MP ⊥ MQ;
b) o înălțime este MP = 6 2 cm; a doua înălțime este ME = 2 2 cm, unde E este proiecția lui M pe QP. c) NQ = 6 3 cm. 3. Fie O mijlocul laturii BC și E simetricul lui A față de O ACEB paralelogram ⇒ CE = AB = 6. În ∆ACE avem AC2 + CE2 = AE2. 4. a) ∆BAC isoscel. Fie M mijlocul lui AC ⇒ BM mediană și înălțime ⇒BM ⊥ AC (1) ∆DAC isoscel și M mijlocul lui AC ⇒ DM mediană și înălțime ⇒DM ⊥ AC (2) Din (1) și (2) ⇒ B, M, D coliniare și deci BD ⊥ AC. b) BD = BM + MD = 25 cm. 5. Fie a, b și c lungimile laturilor triunghiului. 1 1 1 Avem: a ⋅ = b ⋅ = c ⋅ = k ⇒ a = 5k , b = 4k , c = 3k ⇒ a 2 = b 2 + c 2 5 4 3 6. a) A; b) A; c) F; d) A; e) F; f) A; g) A; i) A; j) F.
7.3. Noțiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic 1. a) sin
6 3 8 4 6 3 8 4 ; cos ; tg ; ctg ; 10 5 10 5 8 4 6 3
b) AC = 15; sin
15 8 15 8 ; cos ; tg ; ctg 17 17 8 15
2. a) h = 5 3 cm; b) 4 cm; c) 8 2 cm; d) 7 cm. 3 a) sin x=
6
= 6 2
2 6 ;cos x= = 2 6 2
= b) AC 5= 3; sin B cos = C ctg = B tg = C
5 5 3
c) PN= 3 10;sin N= sin P=
=
5 3 = 10
2 6 6 ; tg x= = 1;ctg x= = 1 2 6 6 3 5 1 5 3 ; cos = B sin = C = = ; tg B ctg = C = 2 10 2 5
3;
3 3
3 = 3 10
10 9 3 10 3 1 9 ;cos N= = ; tg N= = ;ctg N= = 3 10 10 9 3 3 3 10
9 3 10 3 = ;cos P= = 10 3 10 3 10
10 9 3 1 . ; tg P= = 3;ctg N= = 10 3 9 3 167
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
AC 6 cm,= AB 2 7;sin = C 4. 30°, 30°, 120°. 5. =
2 7 = 8
7 6 3 7 ; tg = B = 4 7 2 7
6. a) FE = 18 cm, DF = 12 2 . b) DM mediană ⇒ DM = EF : 2 = 9 cm, DN este înălțime în triunghiul DEF ⇒
MN 7 DN = 4 2 ⇒ sin(MDN ) = = . DM 9 7. În dreptunghiul ABCD, AD = 15 cm și ∢ABD = 30°.
1 a) 30 cm; b) unghiul ascuțit format de diagonalele dreptunghiului are măsura de 60° ⇒ cos 60° = . 2 8. AB 12 2 ; AD BC 8 3; AC BD 12 4 3; CD 4 6 9. a) P = 108 cm; A = 648 cm2; b) sin(∢AMD) =
AD 24 4 = = . MD 30 5
1 . 9 3= cm, AC
10. a) AABCD = 72 5 cm2; b) cos(AOD) =
2+ 6 . 4 3a 12. Triunghiurile OAB și OAB sunt dreptunghice isoscele, deci înălțimea trapezului este . 2
= cm, AD 11. a) AB 2=
3= cm, CD
Din teorema lui Pitagora ⇒ OC = OD =
6 cm , b) sin A =
a 2 a 10 OD 1 = , , OA = OB = a 2 , AD = BC = ⇒ tg (∢CAD) = 2 2 OA 2
OB 2 5 = . BC 5 13. înălțimea statuii = (1,8 + 3 3)m . sin(∢ACB) =
14. a) AM = BM = CM = 2. În ∆ADM avem ∢D = 90°; ∢A = 60° ⇒ AD = 1, DM =
3 . Apoi AB2 = AD2 + DB2.
AD DB , cos15° = . c) 4 ∈ ℚ. AB AB 3 PC 2 5 , cos(∢PNM) = , tg(∢PMQ) = 2. 15. sin(∢CNP) = = 5 PN 5 16. AD = a sina, AE = a cosa, AF = b – a cosa, EF2 = a2 + b2 – 2ab cosa. b) sin15° =
17. ∆ABC, AB = 4, AC = 8, ∢A = 45°. Construim BE ⊥ AC, E ∈ AC ⇒ BE = AE = 2 2 . A∆ABC = 8 2 .
3 AE AE = 3x, EC = 4x. Din teorema lui Pitagora în ∆AEC ⇒ x = 2 4 EC 3 10 b) BE = 2 · BC = AC. Construim CM ⊥ AB; sin (∢BAC) = . 10
18. a) Construim AE ⊥ BC, E ∈ BC; tgC =
7.4. Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații A
Rezolvarea triunghiului dreptunghic
1. a) AB = 12,·AC = 3, P = 16 + 4 10 , A = 24; b) AB = 12 cm, BC = 20 cm, P = 48, A = 96 cm2;
d) AB = 16 cm, BC = 8 3 cm, P = 24 8 3 cm, A = 32 3 cm2. 168
Răspunsuri
2. a) B: 6 cm; b) C: 3 cm; c) A:
5 cm.
3. a) DE = (3 + 3 3) cm, DF = (9 + 3 3) cm, EF = (6 + 6 3) cm, PDEF = (18 + 12 3) cm; b) d(I, EF) = 3 cm.
4. a) PABCD = 12 16 3 cm; AABCD = 48 3 cm2. a a a 55 b) a1 6 3 , a2 24 3 , a3 18 3 1 2 3 . a2 a3 a1 12 5. Fie M mijlocul coardei CD ⇒ OM ⊥ CD, DM = 3, ∢ODM = 30° ⇒ OM =
3 . Construim DE ⊥ AO,
E ∈ AO ⇒ DE = 3 , AE = 2 3 − 3 , AD2 = DE2 + AE2 ⇒ AD = 3 2 − 6 ; 6. a) ∆ABD ≡ ∆CBD (L.L.L.) ⇒ ∢ADB = ∢CDB. Notăm {O} = AC ∩ BD. ∆ACD isoscel și DO bisectoarea corespunzătoare bazei ⇒ DO ⊥ AC. b) BO = 9, OD = 16, AABCD = 300 cm2. 7. CD = 12, AB = 36, BC = 25, PABCD = 80 cm. 8. DE = CD = 2 2 , A∆CDE = A∆BFG = 4. Notăm EG = 2x ⇒ AC = AB = x 2 + 4 2 , A∆ABC = (x +4)2 ⇒ ⇒ (x + 4)2 – 8 = 41 ⇒ x = 3. 9. a) Fie ND ⊥ MP, D ∈ MP ⇒ MD = 5, ND = 5 3 ⇒ A∆MNP = 40 3 ; b) Din teorema bisectoarei în ∆MNP ⇒ DQ =
5 10 7 , NQ = 3 3
MQ MN 10 5 MQ 5 20 MQ , QP NP 14 7 MQ QP 5 7 3
10. a) = BE 10(2 − 3) cm ; b) ∆ODB isoscel (OD = OB = r) ⇒ ∢ODB = ∢OBD=∢EBD ED 10 1 = = = 2+ 3 . ∆EBD, ∢E = 90° ⇒ tg (∢ODB) = BE 10(2 − 3) 2 − 3 11. ∢DAE ≡ ∢EAF ≡ ∢BAF = 30°.
Notăm BF = x. În triunghiul ABF, BF este cateta opusă unghiului de 30°⇒ AF = 2 x , AB = x 3 .
2 2 2 2 2 2 Atunci AF = AB + BF ⇒ (2 x)= 600 + x ⇒ x= 200 3
= DE = 200 3 cm, CF = CE = 600 − 200 3 cm . Atunci BF
a) AAFE = AABCD − ( AABF + ACEF + AADE ) ; b) perimetrul lacului este 200 4 3 3 2 6 <1860. 12. Construim. PE ⊥ AB, E ∈ AB și PF ⊥ CD, F ∈ CD ⇒ BE = CF = x, AE = DF = y. Din teorema lui Pitagora în ∆PBE, ∆PAE, ∆PCF, ∆PDF ⇒ PB2 – PA2 = (PE2 + x2) – (PE2 + y2) și PC2 – PD2 = (PF2 + x2) – (PF2 + y2) ⇒ ⇒ PD = 7 cm
13. 25 cm. 14. Aria: 256 cm2, diagonala 16 2 cm. 15. a) AD = 4 cm; b) AB = 4 5 ⇒ P∆ADC = 12 4 5 . BC AD AB d (C , AB ) 12 5 ⇒ d (C , AB ) = cm . 2 2 5 16. a ) ∢BAF = 180° ⇒ B, A, F coliniare. ∆ABD = ∢BFE = 45° ⇒ BD || EF. b) BDFE este trapez isoscel c) A∆ABC =
BD EF 4 2 8 cm. 17. a) AE = 3 3 , CD = 6 3 b) CF = 18. 2 AC 2 18. Construim CD ⊥ AB, D ∈ AB. Avem AD = x, AC = 2x, CD = x 3 . AB 5 x BC x 19 . AB 5 ortodiagonal ⇒ h =
169
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a B
Aplicații ale triunghiului dreptunghic în determinarea unor elemente
ale poligoanelor regulate 4. a) n = 12; b) n = 45. 5.
ℓ3
6
12
6 3
8
3
R
2 3
4 3
6
8 3 3
3
a3
3
2 3
3
4 3 3
3 2
PABC
18
36
18 3
24
9
AABC
9 3
36 3
37 3
16 3
2, 25 3
6. apotema = 8.
9.
6 9 3 cm2. 7. BC = 12 cm, R = 4 3 cm. cm, A∆ABC = 2 2
ℓ4
10
8
8 2
10 3
R
5 2
4 2
8
5 6
a4
5
4
32
5 3
12
PABCD
40
32
32 2
40 3
9
AABCD
100
64
128
300
576
ℓ6 R
2 2
12 12
8 8
6 6
4 4
a6
3
6 3
4 3
3 3
2 3
PABCDEF
12
72
48
1296
24
AABCDEF
6 3
216 3
96 3
54 3
24 3
10. Notăm BM = CM = x ⇒ AADCM = 3x2 ⇒ = x
1 = ,R 2
24 12 2
2 5 , R1 = . 2 2
11. a) R = ℓ = 4; b) apotema = 2 3 ; c) 33,(3)%. 12. a) AABCD = 72 3 cm2; b) PABCD = 24 12 3 cm. 13. ∢ PDQ = 45° + 90° + 45° = 180° ⇒ P, D, Q coliniare. Analog Q, A, M coliniare; M, B, N coliniare; N, C, P coliniare; AM = BM = BN = CN = CP = DP = DQ = AQ =
2 ⇒ MN = NP = QM = 2 2 și ∢P = 90°.
14. a) AB = 10 cm. Notăm {O} = AD ∩ BE ∩ CF. În ∆COM, ∢O = 90°; OM = 5 3 , OC = 10 ⇒ CM = 5 7 Analog MF = FN = NC = 5 7 . Deci CMFN este romb. Deoarece MN = 10 3 ≠ 20 = FC ⇒ CMFN nu este pătrat. b) ACMFN = 170
FC MN 100 3 cm2. 2
Răspunsuri
15. 12 bețișoare. 16. a) Construim AE ⊥ BC, E ∈ BC și {F}= AE ∩ PQ, AE = 8 3 . Notăm ME = EN = QF = FP = x ⇒ MQ = FE = PN = 2x. fig. ex. 15
QF AF x 8 3 2x x 16 3 24 . BE AE 8 8 3 b) R = 3 2 ⇒ MN = 6 ⇒ BC = 6 + 4 3 .
∆ABE, QF || BE ⇒
17. a) AMNPQ = 4 cm2; b) R =
2 cm; c) A∆OSP = 0,5 cm2.
18. a) l = 4 cm; S1 = 2 · d(A, BC) + 2 · d(A, CD) = 12 3 ; b) S2 = 2 · d(I, BE) + 2 · d(A, BD) + d(A, BF) + d(A, CE) = 16 + 4 3 .
RECAPITULARE FINALĂ ȘI PROBLEME DE SINTEZĂ 2. a) 14; b) –5. 3. a) 2,2; b) 4,5; c) 10,5. 4. a) 2,65; b) 7,42; c) 9,49.
{
}
{
}
5. A = −2; 2 ; − 2 3 ;12; 7 ; 1 ;1 , A ∩ = {1; 12}, A ∩ = {−2; 1; 12}, A ∩ = −2; 2 ; 7 ; 1 ;1 , 3 3 4 3 3 4 A ∩ ( \ ) = − 2 3 .
{
}
13 ; g) 1; h) −5. 6. x = 0. 7. a) 43; b) 5; c) 60. 8. a) 72 ; b) 4; c) 23 ; d) 3; e) 73; f) 180 91 336 ; c) m < m < m . 9. x = 42, y = 56 h g a 3 ; a) ma = 3 , mg = 28; b) mh = 13
10. a) 0; b) 2; c) 9 + 2 7 ; d) 3 − 3 3 11. a) 3 2 < 3 3 < 4 2 < 6 < 3 5 < 2 12 < 51 < 8 < 6 2 ; < −3 < − 2 2 . b) − 3 2 < − 32 27 < − 11 < − 46 5 12. a) x = 72 ; b) x = 4; c) x = 1; d) x = 12 ; e) x = 7; f) x = − 52 ; g) x = 15 ; h) x = − 1; i) x = − 74 . 13. a) x ∈ {4; −3}; b) x ∈ {−1; 4}; c) x ∈ ∅; d) x ∈ 5; − 11 ; e) x ∈ 1 ; 23 ; b) x ∈ {0; −2}. 2 4 4 2 ; b) x = 9 ; c) x = 3; d) x = 10. 15. x = 1. 14. a) x = − 25 5 16. x = nr. de apartamente cu două camere, y = nr. de apartamente cu trei camere; x + y = 76 și 2x + 3y = 196 ⇒ x = 32, y = 44. 17. x = nr. de automobile, y = nr. de motociclete; x + y = 20 și 4x + 2y = 66 ⇒ x = 13, y = 7. 1 x= y − 4 ⇒ x = 3, y = 11 . 18. x + y = 26 9 și 6 3 6 19. x = nr. de lădițe de 10 kg, y = nr. de lădițe de 15 kg; x + y = 63 și 10x + 15y = 780 ⇒ x = 33, y = 30; prețul merelor din lădițele de 10 kg este 4,8·33·10 = 1584 lei. 20. A = {3; 2; 1;0}, B = {3; 2} ⇒ B ⊂ A ⇒ A ∪ B = A, A ∩ B = B, A \ B = {1; 0}, A ∩ = A, A \ = ∅. 21. n − m = 165 și n = 6m + 5 ⇒ n = 197, m = 32. 22. x = nr. de bancnote de 10 lei, y = nr. de bancnote de 5 lei; x + y = 43 și 10x + 5y = 275 ⇒ x = 12, y = 31. 23. a) C; b) A. 24. a) Vezi fig. ex. 24; b) MN, PN linii mijlocii în ΔABC ⇒ MN ‖ AP, MN = AC : 2 AD și PN ‖ AB, PN = AB : 2 = AM; c) AD ‖ MP, AE ‖ MP ⇒ D, A, E coliniare ⇒ ∢DAE = 180°.
{
}
{
}
171
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
25. ∢BED = ∢CFD = 90°, ∢BDE = ∢CDF (opuse la vârf) și BD = DC ⇒ ΔBED = ΔCFD ⇒ DE = DF; În plus BD = DC ⇒ BECF paralelogram. 26. EG ‖ AB și AB ⊥ AC ⇒ EG ⊥ AC; În ΔAGC, AD și GE sunt înălțimi ⇒ și CE este înălțime ⇒ CE ⊥ AG; Din FE ⊥ CE și AG ⊥ CE ⇒ FE ‖ AG; Din FE ‖ AC și EG ‖ FA ⇒ AGEF paralelogram. 27. a) A; b) B. 28. 25 și 144 . 13 13 A fig. ex. 27 fig. ex. 26 fig. ex. 25 C A
D
B
E
M
P N
E
C
B
E
C
D F
F
G
A
B
29. a) DC 2 = AC 2 − AD 2 ⇒ DC = 8; AC 2 = BC · DC (teorema catetei) ⇒ BC = 25 și CD = 9 ; 2 2
= BD = 3 ; tg CAD = CD = 4. AB 2 = BC · BD (teorema catetei) ⇒ AB = 15 ; sin BAD 2 AD 3 AB 5 b) Din teorema catetei în ΔABD ⇒ AD 2 = AB · AE ⇒ AE = 24 ; 5 Din teorema catetei în ΔACD ⇒ AD 2 = AC · AF ⇒ AF = 18 ; AAEDF = AE · AF = 432 cm2. 5 25 30. a) AP 2 = AB 2 − BP 2 ⇒ AP = 12; AB 2 = BC · BP ⇒ BC = 25; Fie O centrul cercului circumscris ΔABC dreptunghic în A ⇒ O mijloc BC; 625π cm2; Raza cercului circumscris este R = BC = 25 și aria cercului circumscris este π R2 = 4 2 2 b) Din teorema înălțimii în ΔABC ⇒ AP 2 = BP · CP ⇒ BP = 45 ; 2 65π cm. Raza cercului circumscris este R = BC = 65 și lungimea cercului circumscris este 2π R = 2 2 4 31. h 2 = 7 · 63 ⇒ h = 21; PΔACD = (70 + 28 10 ) cm ; AΔABC = 1470 cm2. 41 .
32. a) AC = 3 41 cm, BD = 25 cm, AABCD = 240 cm2 ; b) Fie CE ⊥ AB, E ∈ AB ; AECD dreptunghi ⇒ CE = AD = 15; BC 2 = BE 2 + CE 2 ⇒ BC = 17; ΔMDC ∼ ΔMAB ⇒ MC = 51 și MD = 45 ⇒ PΔMBD = 90 cm. 2 2 33. AB = AC = 10, BC = 12; Fie AD, BE, CF înălțimile ΔABC; AD 2 = AB 2 − BD 2 ⇒ AD = 8; BC ⋅ AD AC ⋅ BE AB ⋅ CF ⇒ BE = CF = 9,6 cm. 34. 12. AΔABC = = = 2 2 2 35. a) Fie OE ⊥ CQ, E ∈ CQ; BOEC dreptunghi ⇒ BC = OE și CE = BO = r ; EQ = CQ − CE = R − r,
OQ = OT + TQ = r + R; OE2 = OQ2 + EQ2 = 4Rr ⇒ BC = 2 Rr ; b) BC = 8 cm. 27 :2= 36. Se multiplică lungimea fiecărui segment cu 5. 37. 4 . 38. a) AE tangentă, EB secantă ⇒ ∢AEB = EB
= AB = EB ⇒ AE2 = AB · AC. = ∢ECB; Din ∢AEB = ∢ACE și ∢EAB = ∢CAE ⇒ ΔAEB ∼ ΔACE; b) AE AC AE CE 39. a) ΔABC isoscel cu baza AC ⇒ ∢A = ∢C = (180° − ∢ABC ) : 2 = 20°; În ΔABD, ∢ABD = ∢CDB − ∢BAD = 20°; Din cazul de asemănare U.U. ⇒ ΔABC ∼ ΔADB. = b) AB AD 172
AC = AB
BC ⇒ AB 2 = AD · AC ; În plus AB = BC ⇒ BC 2 = AD · AC. DB
Răspunsuri
40. Fie D mijlocul lui BC ; G centru de greutate în ΔABC ⇒ AG = 32 · AD ; GN ‖ DC ⇒ ΔAGN ∼ ΔADC ⇒ = AG = 2 ⇒ AN AC AD 3 ⇒ AN = 10; Analog obținem BP = 12, CM = 8.
= OB = AB ; EO ‖ DC ⇒ ΔAOE ∼ ΔACD ⇒ OA = EA ; 41. a) AB ‖ CD ⇒ ΔOAB ∼ ΔOCD ⇒ OA OC OD CD OC ED Deci EA = AB ; În plus ∢EAB = ∢ADC = 90°; Din cazul de asemănare L.U.L. ⇒ ΔAEB ∼ ΔDEC ; ED CD b) EO ‖ AB și AB ⊥ AD ⇒ EO ⊥ AD ; ΔAEB ∼ ΔDEC ⇒ ∢AEB = ∢DEC = x ⇒ ∢BOE = ∢COE = 90° − x. P
C A
M
AC ‖ NP și BC ‖ MQ, iar AC = k · NP și BC = 1 · MQ ; k +1 k +1 ”⇒” Dacă MQ ‖ NP, atunci A, C, B sunt coliniare și AB = BC + AC =
B
Q
42. Fie C situat pe diagonala MP astfel încât MC = k ; CP Din reciproca teoremei lui Thales în ΔMNP și ΔPQM ⇒
N fig. ex. 42
1 · MQ + k · NP. k +1 k +1
”⇐” Dacă AB =
1 · MQ + k · NP atunci rezultă că AB = BC + AC ⇒ A, C, B sunt coliniare; k +1 k +1 Din AC ‖ NP ⇒ AB ‖ NP, iar din BC ‖ MQ ⇒ AB ‖ MQ ; Din AB ‖ NP și BC ‖ MQ rezultă MQ ‖ NP.
43. a) ∢BAF = ∢BDE = 90° și ∢ABF = ∢DBE ⇒ ΔABF ∼ ΔDBE
= BF = AF ⇒ AB · BE = BD · BF ; b) BF bisectoare ∢ABC = 60° ⇒ AB DB BE DE ⇒ ∢ABF = ∢EBD = 30°; ΔABF ∼ ΔDBE ⇒ ∢AFB = ∢DEB = 60°; ∢AEF = ∢DEB = 60° (opuse la vârf). 44. a) AB 2 = AC 2 − BC 2 ⇒ AB = 32; PABCD = 108 cm, AABCD = 768 cm2 ;
A
fig. ex. 43
E B
F
D
C
b) AP = 7 și AP + PB = 32 ⇒ AP = 7, PB = 25; ΔOAP ≡ ΔOCQ ⇒ QC = AP = 7; PB 25 QB 2 = BC 2 + QC 2 ⇒ QB = 25; Fie QE ⊥ AB, E ∈ AB; EQ = 24, PE = 18, QP 2 = EQ 2 + EP 2 ⇒ QB = 30. ADE AD 2; DF ‖ AC ⇒ ΔBDF ∼ ΔBAC ⇒ BDF BD 2; 45. DE ‖ BC ⇒ ΔADE ∼ ΔABC ⇒ BAC AB AB ABC AADE = ABDF ⇒ AD = BD ⇒ D mijloc AB și DE, DF linii mijlocii ⇒ AADE = ABDF = ACEF = = ADEF = 20 cm2. 46. a) ∢ABE = ∢BCE = 60°, acestea sunt și unghiuri alterne interne pentru AB, CE cu secanta BC ⇒ AB ‖ CE ;
b) BD = BE și ∢BDE = 120° ⇒ ∢DBE = ∢DEB = 30°; ∢ABE = ∢ABC + ∢DEB = 90°; c) Fie CF ⊥ AB, F ∈ AB ⇒ BECF dreptunghi ⇒ BE = CF = AB 3 : 2 = 6 3 ; AABEC = 54 3 cm2. 47. a) Aria semidiscului = π R 2 : 2 = 10 π cm2 ; b) Notăm OA = OB = x ; OC 2 = OB 2 + BC 2 ⇒ x = 2 ; 16 16 16 k 16 160 5 0, 5 . c) k = ; 3,14 < π ⇒ 31,4 < 10π ⇒ 311,4 101 31 ,4 10 31,4 314 9 10p
173
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
Lucrare scrisă semestrială – Matematică BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare. SUBIECTUL I ȘI SUBIECTUL al II-lea: Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns, se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte. Nu se acordă punctaje intermediare. SUBIECTUL al III-lea: Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.
SUBIECTUL I 1. b) 5p
răspuns corect punctaj
2. c) 5p
3. a) 5p
4. b) 5p
(25 de puncte) 5. d) 5p
4. a) 5p
(25 de puncte) 5. c) 5p
SUBIECTUL al II-lea 1. d) 5p
răspuns corect punctaj
2. b) 5p
3. a) 5p
SUBIECTUL al III-lea a) a = =
1.
5 − 2 3 + 2 2 1+ 2 5 − 2 3 + 2 2 1+ 2 + − + − = = 18 8 6 2 3 2 2 2 6 2
5 2 −2 3 2 +4 2 +2 5 2 −2 3 2 +4 2+2 + − = + − = 6 4 12 6 4 12
3p 3p
a ∈ ℝ − ℚ.
1p
b) b =
6,76 = 2,6
3p
a–b=
3 2 +1 15 2 + 5 − 13 – 2,6 = 2 2
3p
a–b=
2p
TM ⊥ AE ⇒ ∢EHM = ∢AHT = 90° ∆ EHM ≡ ∆ AHT (C.U.) ⇒ ME ≡ AT.
2p 3p 3p 4p 5p 5p
b) AT = ME și AT ∥ ME ⇒ MATE este paralelogram ATEM este paralelogram AT ⊥ ME ⇒ MATE este romb.
174
3p
18 2 + 6 6(3 2 + 1) 3 2 + 1 = = 12 12 2
15 2 − 8 2 a – b > 0, deci a > b. a) DEVA este dreptunghi, AE ∩ DV = {H} ⇒ AH = HE.
2.
(40 de puncte)
Răspunsuri – lucrări scrise semestriale
Lucrare scrisă semestrială – Matematică BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare. SUBIECTUL I ȘI SUBIECTUL al II-lea: Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns, se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte. Nu se acordă punctaje intermediare. SUBIECTUL al III-lea: Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.
SUBIECTUL I 1. c) 5p
răspuns corect punctaj
2. b) 5p
3. a) 5p
4. d) 5p
(25 de puncte) 5. c) 5p
4. d) 5p
(25 de puncte) 5. c) 5p
SUBIECTUL al II-lea 1. a) 5p
răspuns corect punctaj
2. b) 5p
3. a) 5p
SUBIECTUL al III-lea
(40 de puncte)
a) Folosind proprietatea
x ≥ 0, ∀x ≥ 0 , rezultă (a − 1) 2 + ( 2 − b) 2 + (c − 3) 2 = 0
4p
(a − 1) 2 = 0 , ( 2 − b) 2 = 0 și (c − 3) 2 = 0.
3p
Suma este 0 dacă și numai dacă
1.
Atunci, a = 1, b =
2,c=
b) a = 1 <
3 = b + c,
2 +
3p
3.
3p
b =
2 < 1+
3 = a + c,
3p
c =
3 < 1+ 2 = a + b
2p
Numerele a = 1, b =
2 , c = 3 pot fi lungimile laturilor unui triunghi.
a) Fie E = pr ABC. Atunci înălțimea trapezului este h = CE.
2.
În ∆BCE, ∢E = 90°, ∢B = 60°, sin B = Cum sin 60° =
CE BC
3 , rezultă CE = 18 (cm). 2
1 ⋅ BC = 6 3. 2 AE = AB – EB = 18 3 − 6 3 = 12 3 .
b) EB =
2p 3p 3p 4p 2p 2p
175
Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a
2 Cu teorema lui Pitagora, în ∆AEC, AC =
AABC =
(12 3 )
2 +18 = 756 , deci AC = 6 21 .
AC ⋅ CB ⋅sin(ACB ) AB ⋅CE și AABC = , 2 2
deci 18 3 ⋅18 = 6 21 ⋅12 3 ⋅ sin(ACB) , de unde sin(ACB) =
176
2
3 21 7
2p 2p 1p 1p