Ghidul profesorului de matematică. Clasa a VII-a

MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE

Sorin Doru Noaghi Dorin Linț Maranda Linț Lucian Nicolae Pițu

Matematică Clasa a VII-a Ghidul profesorului

Matematică. Clasa a VII-a. Ghidul profesorului Sorin Doru Noaghi, Dorin Linț, Maranda Linț, Lucian Nicolae Pițu Copyright © 2019 Grup Media Litera Toate drepturile rezervate

Editura Litera O.P. 53; C.P. 212, sector 4, București, România tel.: 021 319 63 90; 031 425 16 19; 0752 548 372 e‑mail: comenzi@litera.ro Ne puteți vizita pe

Editor: Vidrașcu și fiii Redactor: Gabriela Niță Copertă: Vlad Panfilov Tehnoredactare și prepress: Dorel Melinte

Descrierea CIP a Bibliotecii Naționale a României Matematică. Clasa a VII-a. Ghidul profesorului Sorin Doru Noaghi, Dorin Linț, Maranda Linț, Lucian Nicolae Pițu. – București: Litera, 2019 ISBN 978-606-33-4406-0 I. Noaghi, Sorin Doru II. Linț, Dorin III. Linț, Maranda IV. Pițu, Lucian Nicolae 51

CUPRINS

Introducere...............................................................................................................................................................................................5

TEST INIȚIAL 1, MATEMATICĂ, CLASA A VII-A...................................................................................................................................7 1. MATRICE DE SPECIFICAȚII ..................................................................................................................................................................7 2. SUBIECTE...........................................................................................................................................................................................8 3. BAREM DE EVALUARE ȘI NOTARE .......................................................................................................................................................9

TEST INIȚIAL 2, MATEMATICĂ, CLASA A VII-A ................................................................................................................................10 1. MATRICE DE SPECIFICAȚII.................................................................................................................................................................10 2. SUBIECTE ........................................................................................................................................................................................11 3. BAREM DE EVALUARE ȘI NOTARE.....................................................................................................................................................12

PLANIFICARE ANUALĂ, CLASA a VII-a.............................................................................................................................................14

Disciplina: Matematică ...................................................................................................................................................................... 14

PLANIFICARE CALENDARISTICĂ, CLASA a VII-a ............................................................................................................................15 Disciplina: Matematică – Algebră ......................................................................................................................................................15 Disciplina: Matematică – Geometrie ..................................................................................................................................................18

PROIECTAREA UNITĂȚILOR DE ÎNVĂȚARE, CLASA A VII-A, MATEMATICĂ .................................................................................20

1. MULȚIMEA NUMERELOR REALE....................................................................................................................................................... 20 2. ECUAȚII ȘI SISTEME DE ECUAȚII LINIARE...........................................................................................................................................24 3. ELEMENTE DE ORGANIZARE A DATELOR...........................................................................................................................................26 4. PATRULATERE ..................................................................................................................................................................................27 5. CERCUL ...........................................................................................................................................................................................30 6. ASEMĂNAREA TRIUNGHIURILOR .....................................................................................................................................................32 7. RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC .............................................................................................................................34 8. RECAPITULARE FINALĂ ...................................................................................................................................................................36

PROIECT DE ACTIVITATE DIDACTICĂ, Clasa a VII-a .......................................................................................................................39 FIȘĂ PENTRU ACTIVITATE DIDACTICĂ .............................................................................................................................................42 FIȘĂ DE ACTIVITATE INDEPENDENTĂ ..............................................................................................................................................43 RĂDĂCINA PĂTRATĂ A PĂTRATULUI UNUI NUMĂR NATURAL.................................................................................................................43

BRAINSTORMING – PREZENTARE SUCCINTĂ .................................................................................................................................45 METODA CUBULUI – PREZENTARE SUCCINTĂ ................................................................................................................................48 LUCRARE SCRISĂ LA MATEMATICĂ PE SEMESTRUL I, CLASA A VII-A.................................................................... 53 A. MATRICEA DE SPECIFICAȚII ..............................................................................................................................................................53 B. SUBIECTE ........................................................................................................................................................................................54 C. BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE ................................................................................................................................................55

TEST DE EVALUARE PATRULATERE / CLASA A VII-A ......................................................................................................................56

4

INTRODUCERE

Prin această lucrare, ne propunem să oferim unele sugestii metodice/didactice privind predarea matematicii la clasa a VII-a, în concordanță cu programa școlară – Anexa nr. 2 la ordinul ministrului educației naționale nr. 3393/28.02.2017 și cu trimiteri la manualul de matematică pentru clasa a VII-a, Editura Litera, 2019.

Nu ne propunem să acoperim întregul proces didactic, care este complex și are loc pe mai multe planuri. Fiecare profesor se află într-o anumită etapă de dezvoltare și formare profesională, iar accentul poate cădea mai mult sau mai puțin pe anumite aspecte ale procesului didactic. Considerăm că profesorii evoluează din punct de vedere profesional, propunându-și să-și dezvolte și să asimileze multiplele aspecte ale procesului/demersului didactic.

Planul 1: Conținuturi Lista detaliată a conținuturilor pentru fiecare lecție/activitate didactică se stabilește de către fiecare profesor în acord cu documentele de planificare și proiectare și cu particularitățile clasei, folosind manualul școlar, bagajul personal de cunoștințe, alte materiale orientative.

Este necesar ca profesorul să acorde atenție conținutului disciplinei, relațiilor intrinseci dintre noțiuni, coerenței informației transmise. Pentru o activitate didactică de calitate, profesorul trebuie să știe cu claritate care sunt informațiile care dorește să ajungă la elevi; apoi, aceste informații să fie formulate concis, riguros și făcând apel la suport intuitiv. Pentru unele conținuturi se recomandă abordarea intuitivă, facilitând înțelegerea profundă, în timp ce pentru altele este avantajos ca accentul să fie preluat de formarea deprinderilor, sau chiar de dezvoltarea motivației superioare privind învățarea matematicii. Este util ca aceste modalități de abordare să se împletească într-un mod armonios, natural.

Planul 2: Predare–învățare Este necesar să se acorde atenție sporită modului în care informațiile ajung la elevi, în ce măsură aceste informații își găsesc utilitatea în aplicații, ce atitudine produce elevilor furnizarea acestora. Profesorul stabilește strategii potrivite atât din perspectiva activității lui, cât și din perspectiva activității elevilor. Limbajul folosit, modul de scriere, viteza de reacție, tonul vocii, utilizarea unor exemple concludente, logica succesiunii ideilor, antrenarea elevilor în conversație sau în rezolvarea unor situații problemă, valorificarea experiențelor anterioare ale elevilor sunt doar câteva dintre elementele care au un impact major în transmiterea simultană a mesajului informațional și a emoțiilor constructive.

Planul 3: Conexiunea cu elevii Elevii sunt ființe unice, animate de resorturi interne pe care este necesar ca profesorul să le înțeleagă. Culegerea feedbackului de la elevi, printr-o atenție stăruitoare asupra acestora și prin completarea sistematică a fișelor de observații asigură cunoașterea reciprocă și adaptarea rapidă. Profesorul trebuie să inducă grupului de elevi un tonus potrivit, să le stimuleze interesul și plăcerea de a studia, de a colabora, de a formula liber idei, de a aplica proprietăți ale conceptelor matematice în situații inedite.

5

Planul 4: Analiza și planificarea Sunt neprețuite perioadele de analiză/reflexie asupra a tot ce s-a realizat: dacă și în ce măsură au fost atinse obiectivele operaționale, dacă și în ce măsură s-au realizat competențele speci­fice/generale, în ce mod se poate îmbunătăți situația.

Toate aceste date îi sunt furnizate profesorului de fișele de observare a elevilor, completate cu ocazia evaluării inițiale (la început de ciclu școlar sau la început de an școlar), a evaluărilor sumative, dar și cu ocazia participării elevilor la proiecte sau la activitățile didactice obișnuite.

Datele statistice privind evoluția individuală sau de grup sunt, de asemenea, foarte utile în analiza critică și constructivă a activității desfășurate într-o anumită perioadă de timp.

Planificarea și proiectarea activității didactice pentru perioadele următoare vor avea ca bază de pornire concluziile acestei analize și vor cuprinde și acțiuni remediale.

Planurile enumerate se întrepătrund și se condiționează reciproc, legăturile lor fiind, de cele mai multe ori, foarte subtile.

Privind din perspectiva prezentată mai sus, oferim colegilor noștri, profesori de matematică, câteva materiale orientative, produs al viziunii autorilor manualului de Matematică pentru clasa a VII-a, Editura Litera, 2019, asupra predării matematicii.

6

7

Competențe generale de evaluat

5p

I.4(5p)

C1

5p

I.2(5p)

C2

15 p

I.1(5p)

I.3.a(5p) I.2(5p)

C3

C6: Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii

C5: Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date

C4: E xprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, a concluziilor și a demersurilor de rezolvare pentru o situație dată

C3: Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice

C2: Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse informaționale

C1: Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar

Competențe generale evaluate prin testul de evaluare inițială pentru clasa a VII-a

Total

Proprietăți ale triunghiului isoscel și echilateral Proprietăți ale triunghiului dreptunghic

Procente Ecuații. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor Triunghiul. Perimetrul triunghiului, suma măsurilor unghiurilor unui triunghi, unghi exterior

Operații cu numere raționale, ordinea efectuării operațiilor

Conținuturi Proporții. Proprietatea fundamentală a proporțiilor Operații cu numere întregi. Compararea numerelor întregi

1. MATRICE DE SPECIFICAȚII

TEST INIȚIAL 1, MATEMATICĂ, CLASA A VII-A

15 p

II.1.a(15p)

C4

5p

I.5(5p)

C5

45 p

II.2.b(10p) II.2.c(10p)

II.1.b(15p) II.2.a(10p)

C6

90 p

15 p 10 p

15 p 15 p 15 p

5p

5p 10 p

Total

8

3. Dacă

a 3 = , atunci: 5 b a) valoarea produsului a ⋅ b este egală cu ... .

450 b) valoarea raportului este egală cu ... . −a 2 ⋅ b2 4. Măsura unui unghi al unui triunghi isoscel este 98°. Celelalte unghiuri au măsurile de ... și ...

5. Suma ariilor tuturor triunghiurilor reprezentate în figura alăturată este ... cm2.

3 2. Dintre numerele a =−200 + ( −900 ) : ( −5 ) și b = ( −4 ) − ( −7 ) ⋅ 6 , mai mic este ... .

 1  2 1. Calculând −2 ⋅  −  − ( −3) ⋅  −  se obține ... .  2  3

b) Demonstrați că triunghiul ABD este isoscel.

c) Dacă AE este bisectoarea unghiului BAD, E ∈ BD , arătați că AE < AC < 2 ⋅ AE.

10p

10p

Notă : Se acordă 10 puncte din oficiu.

Timp de lucru 50 minute.

a) Aflați suma măsurilor unghiurilor a și b, exterioare triunghiului ABC.

2. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, iar în exteriorul său, se află segmentul AD, D ∈ BC astfel încât CAD = 10 10°.

10p

15p 15p

1. Un grup format din elevi și profesori participă la o excursie la care, pentru transport, elevii beneficiază de o reducere de 60% din prețul biletelor pentru adulți, un bilet cu reducere pentru traseul dorit costând 36 lei. a) Aflați prețul unui bilet pentru adulți. b) Grupul este format din trei profesori și mai mulți elevi. Dacă suma totală plătită de excursioniști este de 1350 lei, aflați numărul elevilor care participă la excursie.

Scrieți rezolvările complete.

SUBIECTUL II (2 × 30 de puncte = 60 de puncte)

5p 5p

5p 5p

5p

5p

Completați spațiile libere pentru a obține propoziții adevărate.

SUBIECTUL I 30 de puncte

2. SUBIECTE

9

II.2

II.1

x = 36 :

2 5

,

x = 90.

40 ⋅x= 36 .

100

Deoarece EAC < EAD ⇒ EC < ED și atunci AE < AC < AD , adică AE < AC < 2 ⋅ AE .

AE este perpendiculara din punctul A față de dreapta BC , iar AC , AD sunt oblice față de aceeași dreaptă.

Rezultă AED = 90. În triunghiul AED, dreptunghic cu un unghi de 30°, deducem că AD = 2 · AE.

 ACB = ADC + CAD ⇔ 40= ADC + 10 Rezultă = ADC = ADB 30 . = ADB = ABD 30 , deci triunghiul ABD este isoscel. c) AE este bisectoarea unghiului format de laturile congruente ale unui triunghi isoscel, deci este și înălțime.

b) Unghiul ACB este exterior triunghiului ACD și

Atunci, a = ABC + ACB = 30 + 40 = 70. b este măsura unghiului exterior B , al triunghiului ABC .

Atunci, b = 180 − ABC = 180 − 30 = 150 . a+b= 220

a) a este măsura unghiului exterior A al triunghiului ABC .

3 ⋅ 90 + n ⋅ 36 = 1350 ⇔ 36 ⋅= n 1080 ⇒ = n 30 La excursie participă 30 de elevi.

1350 b) Notând cu n numărul elevilor participanți, se obține ecuația 3 ⋅ 90 + n ⋅ 36 =

Prețul unui bilet fără reducere este 90 lei.

Rezultă

a) Fie x prețul unui bilet fără reducere. Atunci,

2p

2p 3p 2p

2p 1p

2p

2p 1p 5p

9p 1p 1p 3p 1p 3p

1p 5p

9p

5p

Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim prevăzut. Pentru rezolvări parțiale, se acordă punctaje intermediare, exprimate prin numere întregi, în acord și în limitele punctajului prevăzut de barem.

SUBIECTUL al II-lea 60 de puncte

Se punctează doar rezultatul. Pentru fiecare răspuns corect se acordă 5 puncte, pentru răspuns greșit se acordă 0 puncte. Nu se acordă punctaje intermediare.

Nr. item 1.

2.

3.a 3.b 4.

5.

Rezultate –1 b 15 –2 41° și 41° 10 cm2 Punctaj 5p 5p 5p 5p 5p 5p

SUBIECTUL I 30 de puncte

3. BAREM DE EVALUARE ȘI NOTARE

10 5p

I.1(5p)

C1

15 p

I.4(5p)

II.2(5p) I.3(5 p)

C2

30 p

II.3(5p)

I.2(5p) III.2.b(5p) II.1(5p) III.1(10p)

C3

10 p

III.2.a(10p)

C4

15 p

II.4(5p) III.3.b(10p)

C5

C6: Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii

C5: Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date

C4: E xprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, a concluziilor și a demersurilor de rezolvare pentru o situație dată

C3: Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice

C2: Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse informaționale

C1: Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar

Competențe generale asociate testului de evaluare inițială pentru clasa a VII-a

Total

Conținuturi Numere întregi.

Operații cu numere întregi Numere raționale.

Operații cu numere raționale Mulțimi. Reprezentarea mulțimilor.

Ordonarea elementelor unei mulțimi Ecuații și inecuații în numere raționale Proprietăți ale triunghiului isoscel și echilateral Proprietăți ale triunghiului dreptunghic

Competențe de evaluat

1. MATRICE DE SPECIFICAȚII

TEST INIȚIAL 2, MATEMATICĂ, CLASA A VII-A

15 p

III.3.c(10p)

III.3.a(5p)

C6

90 p

15 p

5p 30 p

10 p

20 p

10 p

Total

11

2. SUBIECTE

B. 1,25;

5 este: 4

B. –8; C. 8;

C. 5,4;

B. 60°;

C. 90°;

D. 120° .

D. 10.

D. 0,9.

B. 8 cm;

C. 9 cm;

D. 12 cm.

1

−1

3. Triunghiul ABC este isoscel, AB AC, A) < 90°. Perpendiculara în A pe dreapta AC intersectează dreapta BC în punctul D, iar perpendiculara în A pe dreapta AB intersectează dreapta BC în punctul E. 5 p a) Realizați un desen care să corespundă datelor problemei.

10 p b) Demonstrați că ∆ ABD ∆ ACE. 10 p c) Dacă BD BC, demonstrați că triunghiul ABC este echilateral.

2. Fie mulțimea A = { x ∈  / −3 ≤ x − 1 ≤ 1} .

10 p a) Scrie mulțimea A prin enumerarea elementelor.

5 p b) Calculează suma elementelor mulțimii A.

10 p 1. Determinați valoarea absolută a inversului numărului a =− 2 − −3 + 4 .

1

4. În triunghiul isoscel ABC, AD este înălțimea corespunzătoare bazei, D ∈ BC și DE este bisectoarea unghiului ADB. Măsura unghiului ADE este 60°.

5p

SUBIECTUL III. La problemele următoare se cer rezolvări complete.

3. Într-un triunghi echilateral, orice înălțime este și mediană.

5 6

5p

2 3

2. Soluția ecuației − = este numărul 4.

x 2

1. Opusul numărului 1 + 1, 2 − 2,(3) este 0,1(3).

5p

5p

SUBIECTUL II. Completați în căsuța alăturată fiecărui enunț litera A, dacă propoziția este adevărată și litera F, dacă propoziția este falsă.

A. 4 cm;

5 p 4. Triunghiul ABC este echilateral, AB = 10 cm și DE este paralelă cu BC, D ∈ AB, E ∈ AC, DE = 4 cm. Perimetrul triunghiului ADE este:

A. 30°;

5 p 3. Triunghiul ABC este dreptunghic, cu (A) > (B) și B =2 · (C) . Măsura unghiului A este:

A. –10;

5 p 2. Rezultatul calculului ( −1)3 + ( −3)2 este :

A. 0,25;

5 p 1. Scris în formă zecimală numărul

SUBIECTUL I. La cerințele următoare alegeți litera care indică varianta corectă; doar un răspuns este corect.

12

B

5p

Rezultate

Punctaj

C

I.2

5p

5p

C

I.3 5p

D

I.4

Punctaj

Nr. item Rezultate 5p

II.1 A

SUBIECTUL II – 20 de puncte

5p

II.2 F 5p

II.3 A 5p

II.4 F

III.2

III.1.

5p 5p

Rezultă A ={−2, −1,0,1, 2}

b) s =−2 + ( −1) + 0 + 1 + 2 =0

5p 5p

12 12 și a −1 = .

5 5

5p

a) Din − 3 ≤ x − 1 ≤ 1 și x ∈  ⇔ −3 + 1 ≤ x ≤ 1 + 1 și x ∈  ⇔ −2 ≤ x ≤ 2 și x ∈  .

a −1 = −

1  1  1 1 1 1 6 4 3 5 a= − −−  +−  = − + − = − + − = − 2  3  4 2 3 4 12 12 12 12 .

Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim prevăzut.

Pentru rezolvări parțiale, se acordă punctaje intermediare, exprimate prin numere întregi, în acord și în limitele punctajului prevăzut de barem.

SUBIECTUL III – 50 de puncte

I.1

Nr. item

SUBIECTUL I – 20 de puncte

Nu se acordă punctaje intermediare.

Se punctează doar rezultatul. Pentru fiecare răspuns corect se acordă 5 puncte, pentru răspuns greșit se acordă 0 puncte.

SUBIECTUL I – 20 puncte, SUBIECTUL al II-lea – 20 puncte

3. BAREM DE EVALUARE ȘI NOTARE

13

III.3

1p 2p 1p 2p 2p 1p 1p 1p 3p 2p 3p

b) AB ≡ AC ⇒ ABC ≡ ACB

ABD = 180 − ABC și ACE = 180 − ACB .

Rezultă ABD ≡ ACE (1)

AD ⊥ AC ⇒ CAD = 90 și BAD = 90 − BAC .

AE ⊥ AB ⇒ BAE = 90 și CAE = 90 − BAC .

Rezultă BAD ≡ CAE (2)

Din (1), AB ≡ AC , (2) și cazul de congruență U.L.U., se obține ∆ABD ≡ ∆ACE .

b) Triunghiul ACD este dreptunghic cu CAD = 90 . (dem.)

Cum BD ≡ BC (ipoteză) rezultă AB este mediana corespunzătoare ipotenuzei

și= AB CD = : 2 BC .

Dar, AB ≡ AC . Rezultă AB ≡ BC ≡ AC , deci triunghiul ABC este echilateral.

1p

5p

a) Desenul

14

Număr total de ore

Evaluare inițială Predare-învățare-evaluare Evaluări/lucrări scrise semestriale Recapitulare finală Activități remediale și de progres

Repartizarea orelor

Număr total de ore pe an școlar

Număr de ore pe semestru

Test inițial Mulțimea numerelor reale Ecuații și sisteme de ecuații Elemente de organizare a datelor Lucrare scrisă semestrială Recapitulare și consolidare

Repartizarea orelor

Test inițial Patrulatere Cercul Asemanarea triunghiurilor

Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Lucrare scrisă semestrială Recapitulare și consolidare Număr de ore pe semestru Număr total de ore pe an școlar

5

6 7

Repartizarea orelor

1 2 3 4

Nr. crt.

Disciplina: Matematică – Geometrie

1 2 3 4 5 6

Nr. crt.

Disciplina: Matematică – Algebră

1 2 3 4 5

Nr. crt.

2 30

-

Sem. I 2 18 8 -

68

Nr. de ore

68

Nr. de ore

Număr ore pe săptămână: 2

30

Sem. I 3 23 2 2

Număr ore pe săptămână: 2

136

5 102 8 10 11

Nr. de ore/ an școlar

Număr total de ore pe an școlar: 136

PLANIFICARE ANUALĂ, CLASA a VII-a

Disciplina: Matematică Număr de ore pe săptămână: 4

60

2 4 38

15

Sem. II 3 14

38

Sem. II 11 11 8 2 6

76

Nr. de ore/semestru Sem. I Sem. II 5 46 56 4 4 10 5 6

15

Compentențe specifice

LUCRARE SCRISĂ SEMESTRIALĂ (2 ore)

1.1 Identificarea numerelor 1. aparținând diferitelor MULȚIMEA NUMEREsubmulțimi ale lui ℝ LOR REALE 2.1 Aplicarea regulilor de calcul (34 de ore, pentru estimarea și aproxidin care 25 de ore marea numerelor reale în semestrul I) 3.1 Utilizarea unor algoritmi și a proprietăților operațiilor în efectuarea unor calcule cu numere reale 4.1 Folosirea terminologiei aferente noțiunii de număr real (semn, modul, opus, invers) 5.1 Elaborarea de strategii pentru rezolvarea unor probleme cu numere reale 6.1 Modelarea matematică a unor situații practice care implică operații cu numere reale

Evaluare inițială (3 ore)

SEMESTRUL I

Capitolul

Numere iraționale, exemple Mulțimea numerelor reale, incluziunile ℕ⸦ ℤ⸦ℚ⸦ℝ Scoaterea factorilor de sub radicali. Introducerea factorilor sub radicali Consolidare: rădăcina pătrată, numere reale

Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural Rădăcina pătrată a pătratului unui număr rațional Estimarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv

Recapitulare pentru evaluarea inițială Test inițial

Împărțirea numerelor reale de forma a b ; a, b ∈ ℚ*, b > 0 Ridicarea la putere cu exponent întreg a numerelor reale Ordinea efectuării operațiilor cu numere reale Consolidare: operații cu numere reale Pregătirea lucrării scrise Lucrare scrisă

Aproximarea numerelor reale prin fracții zecimale Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor, prin aproximări Compararea și ordonarea numerelor reale Modulul unui număr real 1.5 Operații cu numere reale. Raționa- Adunarea și scăderea numerelor reale lizarea numitorilor de forma a √b¯ Înmulțirea numerelor reale de forma a b ; a, b ∈ ℚ, b > 0

Evaluare sumativă 1.2 – 1.3 1.4 Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor. Compararea și ordonarea numerelor. Modulul unui număr real

1.3 S coaterea factorilor de sub radicali. Introducerea factorilor sub radicali

1.1 R ădăcina pătrată a pătratului unui număr natural. Estimarea rădăcinii pătrate dintr-un număr rațional pozitiv Evaluare sumativă 1.1 1.2 Numere iraționale, exemple.

Mulțimea numerelor reale

Unitatea de învățare/Lecția

Conținuturi

PLANIFICARE CALENDARISTICĂ, CLASA a VII-a

Număr de săptămâni: 35 (din care o săptămână a semestrului al II-lea este destinată programului național „Școala Altfel”) Număr total de ore: 68 (2 ore/săptămână) În conformitate cu programa școlară aprobată prin Ordinul ministrului educației naționale nr. 3393/28.02.2017

Disciplina: Matematică – Algebră

S14 S14 S15 S15 S12 S12

1 1 1 1 1

S13

1 1

S8 S8, S9 S9 S10 S11 S11, S13

1 2 1 2 1 2

S7

S6

1

1

S5 S5, S6

1 2

S7

S4

1

1

S2, S3 S3, S4

S1 S2

Perioada – săptămâna

2 2

2 1

Nr. de ore alocate

Obs.

16

2.

ECUAȚII ȘI SISTEME DE ECUAȚII LINIARE (11 ore)

1.

MULȚIMEA NUMERELOR REALE (continuare 11 ore)

1.2 Identificarea unei situații date rezolvabile prin ecuații sau sisteme de ecuații liniare 2.2 Utilizarea regulilor de calcul cu numere reale pentru verificarea soluțiilor unor ecuații sau sisteme de ecuații liniare 3.2 Utilizarea transformărilor echivalente în rezolvarea unor ecuații și sisteme de ecuații liniare 4.2 Redactarea rezolvării ecuațiilor și sistemelor de ecuații liniare 5.2 Stabilirea unor metode de rezolvare a ecuațiilor sau a sistemelor de ecuații liniare 6.2 Transpunerea matematică a unor situații date, utilizând ecuații și/sau sisteme de ecuații liniare

SEMESTRUL AL II-LEA

S25 S26

2 1 1 1

Rezolvarea sistemelor de două ecuații liniare cu două necunoscute prin metoda reducerii 2.4 Probleme care se rezolvă cu ajutorul Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor sau al sistemelor de ecuațiilor sau al sistemelor de ecuații liniare ecuații liniare Consolidare: sisteme de ecuații liniare Evaluare sumativă 2.1 – 2.4

S26

S24, S25

S23, S24

2

Rezolvarea sistemelor de două ecuații liniare cu două necunoscute prin metoda substituției

S23

S22 1

1

S22

S21

S21

S20

S19

S18

S18

S17

S16

Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute. Mulțimea soluțiilor unui sistem de ecuații.

2.3 S isteme de două ecuații liniare cu două necunoscute

Rezolvarea ecuațiilor de forma a ∙ x + b = 0, unde a, b ∈ ℝ.

1

Ecuații de forma a ∙ x + b = 0, unde a, b ∈ ℝ. Mulțimea soluțiilor unei ecuații. Ecuații echivalente

2.2 E cuații de forma a ∙ x + b = 0, unde a, b ∈ ℝ.

1

2.1 Transformarea unei egalități Transformarea unei egalități într-o egalitate echivalentă. Identități într-o egalitate echivalentă. Identități

1

2

Ecuații de forma x = a, unde a ∈ ℝ

Evaluare sumativă 1.6 – 1.7

2

Media geometrică a două numere reale pozitive

1.7 E cuații de forma x2 = a, unde a ∈ ℝ 2

1

Media aritmetică ponderată a n numere reale, n ∈ ℕ, n ≥ 2.

edia aritmetică ponderată a 1.6 M n numere reale, n ≥ 2. Media geometrică a două numere reale pozitive

2

Ordinea efectuării operațiilor cu numere reale 1

2

¯ Raționalizarea numitorilor de forma a √b

Evaluare sumativă 1.4 – 1.5

1.5 O perații cu numere reale. Raționalizarea numitorilor

17

1.3 Identificarea unor informații din tabele, grafice și diagrame 2.3 Prelucrarea unor date sub formă de tabele, grafice sau diagrame în vederea înregistrării, reprezentării și prezentării acestora 3.3 Alegerea metodei adecvate de reprezentare a problemelor în care intervin dependențe funcționale și reprezentări ale acestora 4.3 Descrierea în limbajul specific mate­ maticii a unor elemente de organizare a datelor 5.3 Analizarea unor situații practice prin elemente de organizare a datelor 6.3 Transpunerea unei situații date într-o reprezentare adecvată (text, formulă, diagramă, grafic)

RECAPITULARE FINALĂ (6 ore)

Evaluare sumativă 3.1 – 3.2

3.2 Dependențe funcționale

3.1 Produsul cartezian a două mulțimi nevide. Sistem de axe ortogonale în plan

5.1 Elaborarea de strategii pentru rezolvarea unor probleme cu numere reale 6.1 Modelarea matematică a unor situații practice care implică operații cu numere reale 6.2 Transpunerea matematică a unor situații date, utilizând ecuații și/sau sisteme de ecuații liniare 6.3 Transpunerea unei situații date într-o reprezentare adecvată (text, formulă, diagramă, grafic)

LUCRARE SCRISĂ SEMESTRIALĂ (2 ore)

3.

ELEMENTE DE ORGANIZARE A DATELOR (8 ore)

1

Consolidare: elemente de organizare a datelor

1 1 2 2 2

Pregătirea lucrării scrise Lucrare scrisă Numere reale Ecuații, sisteme de ecuații Elemente de organizare a datelor

1

1

Reprezentarea unor dependențe funcționale prin tabele, diagrame, grafice. Interpretarea unor dependențe funcționale reprezentate prin tabele, diagrame, grafice

2

Reprezentarea punctelor în plan cu ajutorul unui sistem de axe ortogonale. Distanța dintre două puncte 1

1

Sistem de axe ortogonale în plan. Reprezentarea într-un sistem de axe perpendiculare a unor perechi de numere întregi

Dependențe funcționale

1

Produsul cartezian a două mulțimi nevide

S34

S33

S32

S31

S31

S30

S30

S29

S29

S28

S27

S27

18

Compentențe specifice

Unitatea de învățare

Evaluare sumativă 4.4 1.5 Identificarea elementelor cercului și/sau poligoanelor 5.1 Unghi înscris în cerc.

Tangente dintr-un punct regulate în configurații geometrice date 2.5 Descrierea proprietăților cercului și ale poligoanelor exterior la un cerc regulate înscrise într-un cerc 3.5 Utilizarea proprietăților cercului în rezolvarea de probleme 4.5 Exprimarea proprietăților cercului și ale poligoanelor în limbaj matematic 5.5 Interpretarea unor proprietăți ale cercului și ale poligoa­ 5.2 Poligoane regulate înscrise într-un cerc nelor regulate folosind reprezentări geometrice 6.5 Modelarea matematică a unor situații practice în care intervin poligoane regulate sau cercuri

4.5 Perimetre și arii

Evaluare sumativă 4.1 – 4.3 4.4 Trapezul

4.1 Patrulater convex. Suma 1.4 Identificarea patrulaterelor particulare în configurații măsurilor unghiurilor unui geometrice date 2.4 Descrierea patrulaterelor utilizând definiții și proprietăți patrulater convex ale acestora, în configurații geometrice date 4.2 Paralelogramul. Proprietăți.

3.4 Utilizarea proprietăților patrulaterelor în rezolvarea unor Aplicații în geometria probleme triunghiului 4.4 Exprimarea în limbaj geometric a noțiunilor legate de patrulatere 5.4 Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea 4.3 Paralelograme particulare: optimizării calculării unor lungimi de segmente, a unor dreptunghi, romb, pătrat măsuri de unghiuri și a unor arii 6.4 Modelarea unor situații date prin reprezentări geometrice cu patrulatere

LUCRARE SCRISĂ SEMESTRIALĂ (2 ore)

5.

CERCUL (11 ore din care 8 ore în semestrul I)

4.

PATRULATERE (18 ore)

Evaluare inițială (2 ore)

SEMESTRUL I

Capitolul

Număr de săptămâni: 35 (din care o săptămână a semestrului al II-lea este destinată programului „Școala Altfel”) Număr total de ore: 68 (2 ore/săptămână ) În conformitate cu programa școlară aprobată prin Ordinul ministrului educației naționale nr. 3393/28.02.2017

Disciplina: Matematică – Geometrie

S4 S5 S6 S6 S7 S7 S8 S8 S9 S9 S10 S10

1 2 1 1

2 1 3 1

1

1

Tangente, dintr-un punct exterior, la un cerc Poligoane regulate înscrise într-un cerc Consolidare: cercul

Pregătirea lucrării scrise Corectarea lucrării scrise

1

S12 S12

S15

S14, S15

S13

S11, S13

S11

S4

1

1 1 1 1 1 1 1 1

S3

S2

1 2

S1 S2

2 1

Nr. de ore Perioada/ alocate săptămâna

Unghi înscris în cerc

Coarde și arce în cerc, proprietăți

Trapezul, clasificare, proprietăți. Linia mijlocie în trapez Trapezul isoscel; proprietăți Trapezul dreptunghic; proprietăți Perimetre și arii ale figurilor geometrice cunoscute Consolidare: trapez, perimetre, arii

Consolidare: dreptunghi, romb pătrat

Paralelogramul; proprietăți Aplicații în geometria triunghiului: linia mijlocie în triunghi, centrul de greutate al unui triunghi Consolidare: paralelogramul Dreptunghiul; proprietăți Rombul; proprietăți Pătratul; proprietăți

Recapitulare pentru evaluarea inițială Patrulaterul convex Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex

Conținuturi

PLANIFICARE CALENDARISTICĂ, Clasa: a VII-a

Obs.

19

1.7 Recunoașterea elementelor unui triunghi dreptunghic într-o configurație geometrică dată 2.7 Aplicarea relațiilor metrice într-un triunghi dreptun­ ghic pentru determinarea unor elemente ale acestuia 3.7 Deducerea relațiilor metrice într-un triunghi dreptunghic 4.7 Exprimarea în limbaj matematic a relațiilor dintre elementele unui triunghi dreptunghic 5.7 Interpretarea unor relații metrice între elementele unui triunghi dreptunghic 6.7 Implementarea unei strategii pentru rezolvarea unor situații date, utilizând relații metrice în triunghiul dreptunghic

RECAPITULARE FINALĂ (4 ore)

6.4 Modelarea unor situații date prin reprezentări geometrice cu patrulatere 6.5 Modelarea matematică a unor situații practice în care intervin poligoane regulate sau cercuri 6.6 Implementarea unei strategii pentru rezolvarea unor situații date, utilizând asemănarea triunghiurilor 6.7 Implementarea unei strategii pentru rezolvarea unor situații date, utilizând relații metrice în triunghiul dreptunghic

Evaluare sumativă 7.1 – 7.4

7.4 R ezolvarea triunghiului dreptunghic.

Aplicații

Proiecții ortogonale pe o dreaptă Teorema înălțimii Teorema catetei Teorema lui Pitagora Reciproca teoremei lui Pitagora Consolidare: teoreme în triunghiul dreptunghic Noțiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic (rapoarte în triunghiul dreptunghic) Rezolvarea triunghiului dreptunghic Aplicații: determinarea lungimilor unor segmente și a măsurilor unor unghiuri în poligoane regulate și în situații practice Consolidare: noțiuni de trigonometrie

Segmente proporționale Teorema paralelelor echidistante Teorema lui Thales Reciproca teoremei lui Thales Împărțirea unui segment în părți proporționale cu numere (segmente) date Triunghiuri asemenea Teorema fundamentală a asemănării Criterii de asemănare a triunghiurilor Aplicații practice ale asemănării triunghiurilor Consolidare: triunghiuri asemenea

Lungimea cercului și aria discului

1 1 1

Cercul Asemănarea triunghiurilor Relații metrice

S34

S34

S33

S33

S32 S32 S31 S31

1 1 1 1

1

S30

S29, S30

2 1

S28, S29

S20 S21 S22 S23 S23 S24 S24 S25 S25 S26 S27 S27

S20

S16 S17 S17 S18 S18, S19 S19

3

1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1

1

2 1 1 1 2 1

Patrulatere

Pregătirea lucrării scrise Corectarea lucrării scrise

7.3 N oțiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic

7.2 Teorema lui Pitagora. Reciproca teoremei lui Pitagora

7.1 P roiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema înălțimii. Teorema catetei

Evaluare sumativă 6.1 – 6.3

5.3 Lungimea cercului și aria discului Evaluare sumativă 5.1 – 5.3 6.1 Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante 6.2 Teorema lui Thales. Reciproca teoremei lui Thales

1.6 Identificarea triunghiurilor asemenea în configurații geometrice date 2.6 Stabilirea relației de asemănare între triunghiuri 3.6 Utilizarea asemănării triunghiurilor în configurații geometrice date pentru determinarea de lungimi, măsuri și arii 4.6 Exprimarea în limbaj matematic a proprietăților unor 6.3 Triunghiuri asemenea figuri geometrice folosind asemănarea 5.6 Interpretarea asemănării triunghiurilor în configurații geometrice 6.6 Implementarea unei strategii pentru rezolvarea unor situații date, utilizând asemănarea triunghiurilor

LUCRARE SCRISĂ SEMESTRIALĂ (2 ore)

7. RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC (15 ore)

(14 ore)

TRIUNGHIURILOR

6. ASEMĂNAREA

5. CERCUL (continuare 3 ore)

SEMESTRUL AL II-LEA

20

Activități de învățare

Competențe specifice

1.1 Identificarea numerelor aparținând diferitelor submulțimi ale lui ℝ 2. Mulțimea numerelor reale, 2.1 Aplicarea regulilor de calcul incluziunile pentru estimarea și aproximarea numerelor reale ℕ⸦ ℤ⸦ℚ⸦ℝ

1. Numere iraționale, exemple

Conținuturi (detaliere)

 Recunoașterea unui număr irațional dintr-o mulțime de numere date  Recunoașterea numerelor naturale, întregi, raționale, reale  Estimarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv

Activități de învățare

Materiale

Procedurale/ metode, mijloace

Resurse

Materiale

 Fișe pentru activitatea la clasă

 Conversația euristică  E xplicația  P roblematizarea  Observația didactică  Exercițiul didactic

Procedurale/ metode, mijloace

Resurse

Conversația euristică Explicația Fișe pentru activitatea la clasă Exercițiul didactic Observația didactică Fișe pentru activitate indivi­ Demonstrația didactică Brainstorming dual/ auxiliar curricular Învățare prin Fișe de evaluare/ autoeva­ descoperire dirijată (deducluare tivă, transductivă) Problematizare

Manualul

anualul M

1.1 Identificarea numerelor  Identificarea pătratelor unor numere natu­rale aparținând diferitelor dintr-o enumerare de numere date submulțimi ale lui ℝ  Identificarea, în exemple relevante, 2.1 Aplicarea regulilor de a relației între puterea cu exponent 2 calcul pentru estimarea și rădăcina pătrată a pătratului unui număr și aproximarea nunatural merelor reale  Identificarea pătratelor unor numere raționale  Scrierea unui număr rațional ca putere cu exponent par  Estimarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv

Competențe specifice

Unitatea de învățare: 1.2. Numere iraționale, exemple. Mulțimea numerelor reale Nr. ore alocate: 3 Perioada: S5 (1 oră), S6

4. Evaluare sumativă 1.1

3. Estimarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv

2. Radăcina pătrată a pătra­ tului unui număr rațional

1. Radăcina pătrată a pătra­ tului unui număr natural

Conținuturi (detaliere)

Temporale/nr. de ore alocate

2 2  6 ore  1 1

Temporale/nr. de ore alocate

3 ore (2 + 1)

Unitatea de învățare: 1.1. Radăcina pătrată a pătratului unui număr natural. Estimarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv Nr. ore alocate: 6 Perioada: S2 (1 oră), S2, S3, S4, S5 (1 oră)

1. MULȚIMEA NUMERELOR REALE (34 de ore)

CLASA A VII-A, MATEMATICĂ

PROIECTAREA UNITĂȚILOR DE ÎNVĂȚARE

 Test de autoevaluare cu itemi de asociere

 Test de autoevaluare cu itemi de completare

Evaluare/autoevaluare

Fișa de observație

Test de valuare

Test de autoevaluare cu itemi obiectivi, semiobiectivi

Evaluare/autoevaluare

21

Competențe specifice  Scoaterea factorilor de sub radical  Introducerea factorilor sub radical  Scrierea unui număr real în diverse forme

Activități de învățare

1. Aproximarea numerelor reale prin fracții zecimale 2. Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor prin aproximări 3. Compararea și ordonarea numerelor reale 4. Modulul unui număr real

Conținuturi (detaliere) Activități de învățare

2.1 Aplicarea regulilor  Aproximarea unui număr real și de calcul pentru estireprezentarea acestuia pe axa marea și aproximarea numerelor numerelor reale  Determinarea opusului, a modulului unui număr real 3.1 Utilizarea unor  Compararea numerelor reale utialgoritmi și a proprilizând modulul, aproximări, încadraretăților operațiilor ea unui număr real între doi întregi în efectuarea unor consecutivi, scoaterea factorilor de calcule cu numere sub radical, introducerea factorilor reale sub radical sub radicali  Utilizarea calculatorului pentru efectuarea sau verificarea unor calcule cu numere reale

Competențe specifice

Unitatea de învățare: 1.4. Compararea și ordonarea numerelor reale Nr. ore alocate: 6 Perioada: S8 (1 oră), S9, S10, S11 (1 oră)

1. Scoaterea factorilor de 1.1 Identificarea numerelor sub radical aparținând diferitelor sub2. Introducerea factorilor mulțimi ale lui ℝ. sub radical 2.1 Aplicarea regulilor de calcul 3. Evaluare, unitățile pentru estimarea și aproxi1.2.-1.3. marea numerelor reale

Conținuturi (detaliere)

 Fișe pentru activitate individuală

 Fișe pentru activitatea la clasă

 Auxiliar curricular

 Manualul

Materiale

 Manualul  Fișe pentru activitatea la clasă  Fișe de evaluare/ autoevaluare

Materiale

Unitatea de învățare: 1.3. Scoaterea factorilor de sub radicali. Introducerea factorilor sub radicali Nr. ore alocate: 3 Perioada: S7-S8 (1 oră)

 Conversația euristică  E xplicația  Observația didactică  Exercițiul didactic  Învățare prin descoperire dirijată  P roblematizarea  Demonstrația didactică

Procedurale/ metode, mijloace

Resurse

 Conversația euristică  Explicația  Exercițiul didactic  Învățare prin descoperire dirijată

Procedurale/ metode, mijloace

Resurse

6 ore (2 + 1 + 2 + 1)

Temporale/nr. de ore alocate

1  3 ore 1 1 

Temporale/nr. de ore alocate

 Test de autoevaluare cu itemi obiectivi/ semiobiectivi  Fișa de observații

Evaluare/autoevaluare

 Test de autoevaluare cu itemi obiectivi și semiobiectivi  Test de evaluare  Fișa de observații

Evaluare/autoevaluare

22

3.1 Utilizarea unor algoritmi și a proprietăților operațiilor în efectuarea unor calcule cu numere reale 4.1 Folosirea terminologiei aferente noțiunii de număr real (semn, modul, opus, invers) 5.1 Elaborarea de strategii pentru rezolvarea unor probleme cu numere reale

Competențe specifice

Competențe specifice

1. Media aritmetică 5.1 Elaborarea de strategii ponderată a n numere pentru rezolvarea unor reale, n ≥ 2 probleme cu numere reale 2. Media geometrică 6.1 Modelarea mate­ a două numere reale matică a unor situații pozitive practice care implică operații cu numere reale

Conținuturi (detaliere)  Determinarea mediei aritmetice ponderate a două sau mai multe numere reale  Determinarea mediei geometrice a două numere reale pozitive  Rezolvarea de probleme în care apar medii (aritmetică ponderată sau geometrică)  Utilizarea regulilor de calcul pentru a efectua operații cu numere reale  Utilizarea calculatorului pentru efectuarea sau verificarea unor calcule cu numere reale  Formularea de probleme pornind de la un set de informații obținute din cotidian sau din diverse domenii

Activități de învățare

 Manualul  Auxiliar curricular  Fișe pentru activitatea la clasă  Fișe pentru activitate individuală  Fișe de evaluare/ autoevaluare

Materiale

 Manualul  Fișe pentru activitatea la clasă  Fișe pentru activitate individuală

Materiale

 Utilizarea regulilor de calcul pentru a efectua operații cu numere reale  Identificarea rezultatului corect dintr-o listă de răspunsuri posibile  Raționalizarea numitorilor de forma a b cu a ∈ ∗ , b ∈  +  Scrierea adecvată a unor rapoarte de numere reale care necesită raționali­ zare, descompunere în factori și/sau simplificare  Utilizarea calculatorului pentru efectuarea sau verificarea unor calcule cu numere reale

Activități de învățare

Unitatea de învățare: 1.6. Media aritmetică ponderată. Media geometrică Nr. ore alocate: 3 Perioada: S18 (1 oră), S19

4. Ridicarea la putere cu exponent întreg a numerelor reale 5. Ordinea efectuării operațiilor cu numere reale.

6. Consolidare: ℝ 7. Raționalizarea numitorilor de forma a b 8. Ordinea efectuării operațiilor cu numere reale 9. Consolidare: ℝ 9. Evaluare 1.4- 1.5.

1. Adunarea și scăderea numerelor reale 2. Înmulțirea numerelor reale de forma a b , a, b ∈ , b ≥ 0 3. Împărțirea numerelor reale de forma a b , a, b ∈ , b ≥ 0

Conținuturi (detaliere)

Unitatea de învățare: 1.5. Operații cu numere reale Nr. ore alocate: 12 Perioada: S11 (1 oră), S13, S12, S14, S15, S16, S17, S18 (1 oră) (în săptămâna S12 se face evaluarea semestrială)

Procedurale/ metode, mijloace  Conversația euristică  Explicația  Exercițiul didactic  Problematizarea  Învățare prin descoperire dirijată

Resurse

 Conversația euristică  Explicația  Exercițiul didactic  Demonstrația didactică  Problematizarea  Învățare prin descoperire dirijată  Brainstorming  Utilizarea de soft educațional  Activitate pe grupe

Procedurale/ metode, mijloace

Resurse

3 ore (2 + 1)

Temporale/nr. de ore alocate

2 1  1  1 9 ore 1 1  1  1  1

Temporale/nr. de ore alocate

 Test de autoevaluare cu itemi obiectivi/ semiobiectivi  Evaluare sumativă  Fișa de observații

Evaluare/autoe­ valuare

 Test de autoevaluare cu itemi obiectivi/ semiobiectivi  Evaluare sumativă  Fișa de observații  Test de evaluare

Evaluare/autoeva­ luare

23

Competențe specifice

1.2 Identificarea unei situații date rezolvabile prin ecuații 2. Evaluare sumativă 1.6-1.7 4.2 Redactarea rezolvării ecuațiilor 6.1 Modelarea mate­ matică a unor situații practice care implică operații cu numere reale

1. Ecuații de forma x2 = a, unde a ∈ ℝ

Conținuturi (detaliere)  Recunoașterea unor relații mate­ matice care reprezintă ecuații  Identificarea necunoscutei, coeficienților, termenilor liberi ai unei ecuații  Rezolvarea unor ecuații de forma x2 = a  Verificarea validității unei soluții a unei ecuații  Formularea unor probleme pornind de la un set de informații obținute din cotidian sau din diverse domenii

Activități de învățare

Unitatea de învățare: 1.7. Ecuații de forma x2 = a, unde a ∈ ℝ Nr. ore alocate: 3 Perioada: S20, S21 (1 oră)

 Manualul  Auxiliar curricular  Fișe pentru activitatea la clasă  Fișe pentru activitate individuală  Fișe de evaluare

Materiale  Conversația euristică  Explicația  Exercițiul didactic  Problematizarea transductivă  Învățare prin descoperire dirijată  Algoritmizarea

Procedurale/ metode, mijloace

Resurse

3 ore (1 + 2)

Temporale/nr. de ore alocate

 Test de autoevalua­re cu itemi semiobiectivi/ subiectivi  Evaluare sumativă  Fișa de observații

Evaluare/autoevaluare

24

3.2 Utilizarea transformărilor echivalente în rezolvarea unor ecuații și sisteme de ecuații liniare 5.2 Stabilirea unor metode de rezolvare a ecuațiilor sau a sistemelor de ecuații liniare

1. Transformarea unei egalități într-o ega­ litate echivalentă.

Identități  Aducerea unor egalități la o formă mai simplă prin transformări echivalente  Aplicarea transformărilor pentru obținerea unor egalități echivalente  Utilizarea transformărilor echivalente pentru fundamentarea unei metode de rezolvare

Activități de învățare

Competențe specifice

1. Ecuații de forma 1.2. I dentificarea unei situații date rezolvabile a · x + b = 0, unde prin ecuații sau sisteme de a, b ∈ ℝ. ecuații liniare Mulțimea soluțiilor 4.2.

Redactarea rezolvării unei ecuații. ecuațiilor și sistemelor de Ecuații echivalente ecuații liniare 2. Rezolvarea ecuațiilor 5.2 Stabilirea unor metode de de forma rezolvare a ecuațiilor a · x + b = 0, unde a, b ∈ ℝ.

Conținuturi (detaliere)  Recunoașterea unor relații mate­ matice care reprezintă ecuații  Identificarea necunoscutei, coeficienților și termenilor liberi ai unei ecuații  Rezolvarea unor ecuații de forma a · x + b = 0, a, b ∈ ℝ.  Verificarea validității unei soluții a unei ecuații

Activități de învățare

Unitatea de învățare: 2.2. Ecuații de forma: a · x + b = 0, a, b ∈ ℝ Nr. de ore alocate: 2 Perioada: S22

Competențe specifice

Conținuturi (detaliere)

Unitatea de învățare: 2.1. Egalități. Identități Nr. de ore alocate: 1 Perioada: S21

2. ECUAȚII ȘI SISTEME DE ECUAȚII LINIARE (6 ore)

M anualul  A uxiliar curricular  Fișe pentru activitatea la clasă  Fișe pentru activitate individuală

Materiale

M anualul  A uxiliar curricular  Fișe pentru activitatea la clasă

Materiale

 Conversația euristică  E xplicația  Exercițiul didactic  P roblematizarea  Învățare prin descoperire dirijată  Algoritmizarea

Procedurale/ metode, mijloace

Resurse

 Conversația euristică  E xplicația  Exercițiul didactic  Problematizarea transductivă  Învățare prin descoperire dirijată  Algoritmizarea

Procedurale/ metode, mijloace

Resurse

2 ore (1 + 1)

Temporale/nr. de ore alocate

1 oră

Temporale/nr. de ore alocate

 Fișa de observații

 Test de autoevaluare cu itemi obiectivi/ semiobiectivi/subiectivi

Evaluare/autoevaluare

 Test de autoevaluare cu itemi obiectivi/ semiobiectivi/subiectivi

Evaluare/autoevaluare

25

Activități de învățare

2.2 Utilizarea regulilor de calcul cu  Verificarea, prin calcul, numere reale pentru verificara soluției unui sistem de ea soluțiilor unor ecuații sau ecuații liniare sisteme de ecuații liniare  Utilizarea metodelor de 4.2 Redactarea rezolvării ecuațiilor rezolvare a sistemelor de și sistemelor de ecuații liniare ecuații liniare (metoda 5.2 Stabilirea unor metode de reducerii și metoda rezolvare a ecuațiilor sau substituției) a sistemelor de ecuații liniare  Verificarea validității unei soluții a unui sistem de ecuații

Competențe specifice M anualul  A uxiliar curricular  Fișe pentru activitatea la clasă  Fișe pentru activitate individuală

Materiale

Competențe specifice

1. Probleme care se 2.2 Utilizarea regulilor de calcul cu numere reale pentru verificarea rezolvă cu ajutorul soluțiilor unor ecuații sau sisteme ecuațiilor sau a de ecuații liniare sistemelor de ecuații 4.2 Redactarea rezolvării ecuațiilor liniare și a sistemelor de ecuații liniare 6.2 Transpunerea matematică a unor 2. Evaluare sumativă situații date, utilizând ecuații 2.1-2.4 și/sau sisteme de ecuații liniare

Conținuturi (detaliere)  Transpunerea relațiilor cuprinse într-o situație dată sub formă de ecuații sau sisteme de ecuații  Rezolvarea unor probleme având conținut practic, utilizând ecuații sau sisteme de ecuații liniare  Utilizarea metodelor de rezolvare a ecuațiilor și a sistemelor de ecuații liniare

Activități de învățare

 Manualul  Auxiliar curricular  Fișe pentru acti­ vitatea la clasă  Fișe pentru acti­ vitate individuală

Materiale

Procedurale/ metode, mijloace

Resurse

 Conversația euristică  Explicația  Exercițiul didactic  Problematizarea (deductivă, transductivă)  Învățare prin descoperire dirijată  Algoritmizarea

Procedurale/ metode, mijloace

Resurse

 Conversația euristică  E xplicația  Exercițiul didactic  Învățare prin descoperire dirijată  Modelarea didactică

Unitatea de învățare: 2.4. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor sau a sistemelor de ecuații liniare Nr. de ore alocate: 3 Perioada: S25 (1 oră), S26

1. Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute.

Mulțimea soluțiilor unui sistem de ecuații 2. Rezolvarea sistemelor de două ecuații liniare cu două necunoscute prin metoda substituției 3. Rezolvarea sistemelor de două ecuații liniare cu două necunoscute prin metoda reducerii

Conținuturi (detaliere)

Unitatea de învățare: 2.3. Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute Nr. de ore alocate: 5 Perioada: S23, S24, S25 (1 oră)

3 ore (2 + 1)

Temporale/nr. de ore alocate

5 ore (1 + 2 + 2)

Temporale/nr. de ore alocate

 Test de autoevaluare cu itemi obiectivi/ semiobiectivi/subiectivi  Test de evaluare  Fișa de observații

Evaluare/autoevaluare

 Test de autoevaluare cu itemi obiectivi/ semiobiectivi/subiectivi  Fișa de observații

Evaluare/autoevaluare

26

Competențe specifice  Reprezentarea produsului cartezian a două mulțimi numerice finite  Reprezentarea într-un sistem de axe ortogonale a unor puncte având coordonatele numere reale  Analizarea unor seturi de date pentru a determina un mod adecvat de repre­zentare grafică a acestora  Exprimarea distanței dintre două puncte în plan ca lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic într-un sistem de axe ortogonale

Activități de învățare

Competențe specifice

1.3 Identificarea unor informații din tabele, grafice și diagrame 2.3 Prelucrarea unor date sub formă de tabele, grafice sau diagrame în vederea înregistrării, reprezentării și prezentării acestora 4.3 Descrierea în limbajul specific matematicii a unor elemente de organizare a datelor 5.3 Analizarea unor situații practice prin elemente de organizare a datelor 6.3 Transpunerea unei situații date într-o reprezentare adecvată (text, formulă, diagramă, grafic)

Conținuturi (detaliere)

1. Dependențe funcționale 2. Reprezentarea unor dependențe funcționale prin tabele, diagrame, grafice. Interpretarea unor dependențe funcționale reprezentate prin tabele, diagrame, grafice 3. Evaluare, unitățile 3.1-3.2

 Recunoașterea unei dependențe funcționale  Reprezentarea unor date prin diagrame, grafice circulare sau grafice cu bare  Extragerea unei informații dintr-un tabel, grafic sau diagramă  Identificarea modului adecvat de repre­ zentare a unor date  Identificarea unor exemple de corespondențe matematice în contexte variate  Construirea și interpretarea unor diagrame cu date din situații practice  Prelucrarea statistică a unor date reprezentate în tabele

Activități de învățare

Unitatea de învățare: 3.2. Dependențe funcționale Nr. de ore alocate: 4 Perioada: S29, S30 (în săptămâna S31 se planifică lucrarea scrisă semestrială)

1. Produsul cartezian a două 3.3 Alegerea metodei adecvate mulțimi nevide de reprezentare a problemelor 2. Sistem de axe ortogonale în plan. în care intervin dependențe Reprezentarea într-un sistem de funcționale și reprezentări ale axe ortogonale a unor perechi acestora de numere întregi 4.3 Descrierea în limbajul specific 3. Reprezentarea punctelor în plan matematicii a unor elemente de cu ajutorul unui sistem de axe organizare a datelor ortogonale.

6.3 Transpunerea unei situații date Distanța dintre două într-o reprezentare adecvată puncte (text, formulă, diagramă, grafic)

Conținuturi (detaliere)

Unitatea de învățare: 3.1. Produsul cartezian. Sistem de axe ortogonale în plan Nr. de ore alocate: 4 Perioada: S27, S28

3. ELEMENTE DE ORGANIZARE A DATELOR

 Manualul  Auxiliar curricular  Fișe pentru activitatea la clasă  Fișe pentru activitate individuală  Fișe de evaluare sumativă

Materiale

 Manualul  Auxiliar curricular  Fișe pentru activitatea la clasă  Fișe pentru activitate individuală

Materiale

Temporale/nr. de ore alocate

4 ore (1 + 1 + 2)

Temporale/nr. de ore alocate

 Conversația euristică 4 ore  E xplicația (1 + 2 + 1)  Exercițiul didactic  Problematizarea (deductive, transductivă)  Observarea didactică  Învățare prin descoperire dirijată  Modelarea didactică

Procedurale/ metode, mijloace

Resurse

 Conversația euristică  Explicația  Exercițiul didactic  Observarea didactică  Învățare prin descoperire dirijată  Algoritmizarea

Procedurale/ metode, mijloace

Resurse

 Test de autoevaluare cu itemi obiectivi/ semiobiectivi/subiectivi  Fișa de observații

Evaluare/ autoevaluare

 Test de autoevaluare cu itemi obiectivi/ semiobiectivi/subiectivi  Fișa de observații

Evaluare/ autoevaluare

27

1.4 Identificarea patrulaterelor particulare în configurații geometrice date 2.4 Descrierea patrulaterelor utilizând definiții și proprietăți ale acestora, în configurații geometrice date 4.4 Exprimarea în limbaj geometric a noțiunilor legate de patrulatere

Competențe specifice  Recunoașterea patrulaterelor în cotidian (în sala de clasă, mediul înconjurător etc.)  Construcția cu ajutorul instrumentelor geometrice a unor patrulatere utilizând definiția sau proprietăți  Determinarea măsurilor unghiurilor unui patrulater convex  Descrierea unor proprietăți ale laturilor și unghiurilor unui patrulater

Activități de învățare

2. Aplicații în geometria triunghiului: linie mijlocie în triunghi, centrul de greutate al unui tri­unghi

1. Paralelogramul.

Proprietăți.

Conținuturi (detaliere) Activități de învățare

2.4 Descrierea patrulaterelor utilizând  Descrierea unor proprietăți ale ladefiniții și proprietăți ale acestora, turilor, unghiurilor și diagonalelor în configurații geometrice date unui paralelogram 5.4 Alegerea reprezentărilor geometrice  Analizarea unor metode adecvate în vederea optimizării calalternative de rezolvare a unor culării unor lungimi de segmente, a probleme de geometrie utilizând unor măsuri de unghiuri și a unor arii proprietățile paralelogramului

Competențe specifice

Materiale

Resurse

 Conversația  Explicația  Exercițiul didactic  Observarea didactică  Învățare prin descope­ rire dirijată  Problematizarea (deductivă)

 Conversația euristică  Explicația  Exercițiul didactic  Învățare prin descoperire dirijată  Problematizarea (deductivă, transductivă)  Brainstorming

2 2

Temporale/nr. de ore alocate

1 1

2 ore 

Temporale/nr. de ore alocate

4 ore 

Procedurale/ metode, mijloace

Resurse

Procedurale/ metode, mijloace

 Manualul  Fișe pentru activitatea la clasă  Fișe pentru activitate individuală

Materiale

 Manualul  Auxiliar curricular  Fișe pentru activitatea la clasă

Unitatea de învățare: 4.2. Paralelogramul. Proprietăți. Aplicații în geometria triunghiului Nr. ore alocate: 4 Perioada: S3-S4

2. Suma măsurilor unghiu­ri­ lor unui patrulater convex

1. Patrulater convex

Conținuturi (detaliere)

Unitatea de învățare: 4.1. Patrulater convex Nr. ore alocate: 2 Perioada: S2

4. PATRULATERE (18 ore)

 Test de autoevaluare cu itemi obiectivi/ semiobiectivi/subiectivi  Fișa de observații

Evaluare/autoevaluare

 Test de autoevaluare cu itemi obiectivi/ semiobiectivi/subiectivi  Fișa de observații

Evaluare/autoevaluare

28

1.4 Identificarea patrulaterelor particulare în configurații geometrice date 2.4 Descrierea patrulaterelor utilizând definiții și proprietăți ale acestora, în configurații geometrice date 3.4 Utilizarea proprietăților patrulaterelor în rezolvarea unor probleme 4.4 Exprimarea în limbaj geometric a noțiunilor legate de patrulatere 6.4 Modelarea unor situații date prin reprezentări geometrice cu patrulatere

1. Dreptunghiul. Proprietăți 2. Rombul. Proprietăți 3. Pătratul. Proprietăți 4. Evaluare sumativă 4.1-4.3

Competențe specifice

2.4 Descrierea patrulaterelor utilizând definiții și proprietăți ale acestora, în configurații geometrice date 3.4 Utilizarea proprietăților patrulaterelor în rezolvarea unor probleme 5.4 Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării calculării unor lungimi de segmente, a unor măsuri de unghiuri și a unor arii

Conținuturi (detaliere)

1. Trapezul: clasificare, proprietăți. Linia mijlocie în trapez 2. Trapezul isoscel 3. Trapezul dreptunghic

Unitatea de învățare: 4.4. Trapezul Nr. ore alocate: 3 Perioada: S8-S9

Competențe specifice

Conținuturi (detaliere) Activități de învățare

 Descrierea unor proprietăți ale laturilor, unghiurilor și diagonalelor unui trapez  Recunoașterea trapezului isoscel sau a trapezului dreptunghic  Utilizarea definiției și a proprietăților trapezului, a liniei mijlocii în trapez în rezolvarea de probleme  Descrierea în limbaj matematic a unor relații (congruență, paralelism, perpendicularitate) între elemente ale unor configurații geometrice

Activități de învățare

anualul M  Fișe pentru activitatea la clasă  Fișe pentru activitate individuală

Resurse

 Conversația euristică  E xplicația  Exercițiul didactic  Demonstrația didactică  Observarea didactică  Problematizarea (deductivă, transductivă)  Învățare prin descope­ rire dirijată

Procedurale/ metode, mijloace

Resurse

 Conversația euristică  E xplicația  Exercițiul didactic  Demonstrația didactică  Observarea didactică  Problematizarea (deductivă, transductivă)  Învățare prin descoperire dirijată

Procedurale/ metode, mijloace

 Manualul  Fișe pentru activitatea la clasă  Fișe pentru activitate individuală  Fișe de evaluare

Materiale

Materiale

 Identificarea patrulaterelor particulare în mediul înconjurător  Descrierea unor proprietăți ale laturilor, unghiurilor și diagonalelor unor patrulatere particular  Recunoașterea paralelogramelor particulare pe baza unor proprietăți precizate  Demonstrarea proprietăților paralelogramelor particulare utilizând metode variate  Transpunerea în desen a unei configurații geometrice referitoare la patrulatere descrise matematic

Unitatea de învățare: 4.3. Paralelograme particulare. Proprietăți Nr. ore alocate: 6 Perioada: S5-S7

1  3 ore 1 1 

Temporale/nr. de ore alocate

2 1  6 ore  2 1

Temporale/nr. de ore alocate

 Test de autoevaluare cu itemi obiectivi/ semiobiectivi/subiectivi  Test evaluare  Fișa de observații

Evaluare/autoevaluare

 Test de autoevaluare cu itemi obiectivi/ semiobiectivi/subiectivi  Test evaluare  Fișa de observații

Evaluare/autoevaluare

29

1. Perimetre și arii ale patrulaterelor 2. Evaluare sumativă

Conținuturi (detaliere) Activități de învățare

2.4 Descrierea patrulaterelor utilizând  Recunoașterea patrulaterelor definiții și proprietăți ale acestora, în configurații date sau pe baza în configurații geometrice date proprietăților.

3.4 Utilizarea proprietăților patrulate­  Descrierea unor proprietăți ale relor în rezolvarea unor probleme 5.4 Alegerea reprezentărilor geometrice laturilor, unghiurilor și diagonalelor unui patrulater adecvate în vederea optimizării  Utilizarea definiției și a calculării unor lungimi de segmente, a unor măsuri de unghiuri proprietăților patrulaterelor și a unor arii în rezolvarea de probleme cu perimetre și arii  Descrierea în limbaj matematic a unor relații (congruență, paralelism, perpendicularitate) între elemente ale unor configurații geometrice

Competențe specifice

Unitatea de învățare: 4.5. Perimetre și arii Nr. ore alocate: 3 Perioada: S9-S10

 Manualul  Fișe pentru activitatea la clasă  Fișe pentru activitate individuală  Fișe de evaluare

Materiale  Conversația euristică  Explicația  Exercițiul didactic  Demonstrația didactică  Observarea didactică  Problematizarea (deductivă, transductivă)  Învățare prin descoperire dirijată

Procedurale/ metode, mijloace

Resurse

2 1

3 ore 

Temporale/nr. de ore alocate

 Test de autoevaluare cu itemi obiectivi/ semiobiectivi/subiectivi  Test evaluare  Fișa de observații

Evaluare/autoevaluare

30

1.5 Identificarea elementelor cercului în configurații geometrice date 2.5 Descrierea proprietăților cercului 3.5 Utilizarea proprietăților cercului în rezolvarea de probleme 4.5 Exprimarea proprietăților cercului în limbaj matematic

1. Coarde și arce în cerc, proprietăți 2. Unghi înscris în cerc 3. Tangente dintr-un punct exterior la un cerc

1. Poligoane regulate 2. Poligoane regulate înscrise într-un cerc 3. Cercul; consolidare

Conținuturi (detaliere)

1.5 Identificarea elementelor poligoanelor regulate în configurații geometrice date 2.5 Descrierea proprietăților poligoanelor regulate înscrise într-un cerc 4.5 Exprimarea proprietăților poligoanelor în limbaj matematic 5.5 Interpretarea unor proprietăți ale poligoanelor regulate folosind reprezentări geometrice 6.5 Modelarea matematică a unor situații practice în care intervin poligoane regulate sau cercuri

Competențe specifice

Activități de învățare Materiale

Materiale

 Identificarea și evidențierea unor proprietăți  Manualul referitoare la poligoane regulate  F ișe pentru activitatea la  Utilizarea instrumentelor geometrice pentru a reprezenta prin desen poligoane regulate și clasă poligoane regulate înscrise în cerc  Fișe pentru activitate  Stabilirea unor metode adecvate pentru construcția poligoanelor regulate individuală  Formularea sau rezolvarea unor probleme corespunzătoare unor situații practice în care intervin poligoane regulate sau cercuri

Activități de învățare

 Recunoașterea elementelor unui cerc pe configu-  Manualul rații geometrice date  F ișe pentru activitatea la  Identificarea unor proprietăți ale arcelor, coardelor și a diametrului perpendicular pe o coardă clasă  Fișe pentru  Rezolvarea unor probleme folosind proprietățile tangentelor duse dintr-un punct exterior la un cerc activitate individuală  Utilizarea instrumentelor geometrice pentru construirea unor configurații geometrice referitoare la cerc

Unitatea de învățare: 5.2. Poligoane regulate înscrise în cerc Nr. ore alocate: 4 Perioada: S14-S15

Competențe specifice

Conținuturi (detaliere)

Unitatea de învățare: 4.1. Patrulater convex Unitatea de învățare: 5.1. Unghi înscris în cerc. Tangente dintr-un punct exterior la un cerc Nr. ore alocate: 4 Perioada: S11 și S13

5. CERCUL (11 ore)

 Conversația euristică  E xplicația  Exercițiul didactic  Demonstrația didactică  Observarea didactică  Problematizarea (deductivă, transductivă)  Învățare prin descope­ rire dirijată

Procedurale/ metode, mijloace

Resurse

1  4 ore 2 1 

Temporale/nr. de ore alocate

1  2 1 

Temporale/nr. de ore alocate

 Conversația euristică  Explicația 4 ore  Exercițiul didactic  Observarea didactică  Problematizarea (deductivă, transductivă)  Învățare prin descoperire dirijată

Procedurale/ metode, mijloace

Resurse

 Test de autoevaluare cu itemi obiectivi/ semiobiectivi/subiectivi  Fișa de observații

Evaluare/autoevaluare

 Test de autoevaluare cu itemi obiectivi/ semiobiectivi/subiectivi  Fișa de observații

Evaluare/autoevaluare

31

1. Lungimea cercului 2. Aria discului 3. Evaluare sumativă 5.1-5.3

Conținuturi (detaliere)

3.5 Utilizarea proprietăților cercului în rezolvarea de probleme 6.5 Modelarea matematică a unor situații practice în care intervin cercuri

Competențe specifice  Determinarea lungimii unui cerc, a ariei unui disc  Analizarea unor situații practice care necesită folosirea proprietăților cercului, calculul lungimii cercului și/sau calculul ariei discului  Utilizarea instrumentelor geometrice pentru construirea unor configurații geometrice referitoare la cerc

Activități de învățare

Unitatea de învățare: 5.3. Lungimea cercului. Aria discului Nr. ore alocate: 3 Perioada: S16-S17

 Manualul  Fișe pentru activitatea la clasă  Fișe pentru activitate individuală  Fișe de evaluare

Materiale  Conversația euristică  Explicația  Exercițiul didactic  Modelarea didactică

Procedurale/ metode, mijloace

Resurse

1  3 ore 1 1 

Temporale/nr. de ore alocate

 Test de autoevaluare cu itemi obiectivi/ semiobiectivi/subiectivi  Test de evaluare  Fișa de observații

Evaluare/autoevaluare

32

4.6 Exprimarea în limbaj matematic a proprietăților unor figuri geometrice 5.4 Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării calculării unor lungimi de segmente, a unor măsuri de unghiuri și a unor arii

1. Segmente proporționale 2. Teorema parale­lelor echidistante

1. Teorema lui Thales 2. Reciproca teoremei lui Thales 3. Împărțirea unui segment în părți proporționale cu numere (segmente) date

Conținuturi (detaliere) Activități de învățare

 Recunoașterea proporționalității lungimilor unor segmente  Calcularea lungimilor unor segmente utili­ zând proporționalitatea, teorema paralelelor echidistante sau proporții derivate

Activități de învățare

Materiale

 Manualul  Fișe pentru activitatea la clasă

Materiale

4.6 Exprimarea în limbaj matema­tic  Recunoașterea proporționalității lungimi-  Manualul a proprietăților unor figuri lor unor segmente care reprezintă laturi ale  C ulegere de geometrice unor triunghiuri probleme 5.4 Alegerea reprezentărilor geometrice  Calcularea lungimilor unor segmente uti Fișe pentru adecvate în vederea optimizării lizând teorema lui Thales sau proporționa­ activitatea calculării unor lungimi de litatea segmentelor individuală segmente, a unor măsuri de unghiuri și a unor arii

Competențe specifice

Unitatea de învățare: 6.2. Teorema lui Thales Nr. ore alocate: 4 Perioada: S18-S20

Competențe specifice

Conținuturi (detaliere)

Unitatea de învățare: 6.1. Segmente proporționale Nr. ore alocate: 2 Perioada: S17-S18

6. ASEMĂNAREA TRIUNGHIURILOR (14 ore)

 Conversația euristică  Explicația  Exercițiul didactic  Observarea didactică  Demonstrația didactică  Problematizarea (deductivă, transductivă)  Învățarea prin descoperire dirijată

Procedurale/ metode, mijloace

Resurse

 Conversația euristică  Explicația  Exercițiul didactic  Problematizarea (transductivă)  Modelarea didactică

Procedurale/ metode, mijloace

Resurse

2  4 ore 1 1 

Temporale/nr. de ore alocate

1 1

2 ore 

Temporale/nr. de ore alocate

 Test de autoevaluare cu itemi obiectivi/ semiobiectivi/subiectivi  Fișa de observații

Evaluare/autoevaluare

 Test de autoevaluare cu itemi obiectivi/ semiobiectivi/subiectivi

Evaluare/autoevaluare

33

Competențe specifice

1.6 Identificarea triunghiurilor asemenea în configurații geometrice date 2.6 Stabilirea relației de asemănare între triunghiuri 3.6 Utilizarea asemănării triunghiurilor în configurații geometrice date pentru determinarea de lungimi, măsuri și arii 4.6 Exprimarea în limbaj matematic a proprietăților unor figuri geometrice folosind asemănarea 5.6 Interpretarea asemănării triunghiu­rilor în configurații geometrice 6.6 Implementarea unei strategii pentru rezolvarea unor situații date, utilizând asemănarea triunghiurilor

Conținuturi (detaliere)

1. Triunghiuri asemenea 2. Teorema fundamentală a asemănării 3. Criterii de asemănare a triunghiurilor 4. Aplicații practice ale asemănării triunghiurilor 5. Evaluare sumativă 6.1-6.3

Unitatea de învățare: 6.3. Triunghiuri asemenea Nr. ore alocate: 8 Perioada: S20-S24

 Identificarea vârfurilor, laturilor, unghiurilor omoloage ale unor triunghiuri asemenea  Stabilirea relației de asemănare între două triunghiuri prin aplicarea teoremei fundamentale a asemănării  Stabilirea relației de asemănare între două triunghiuri prin aplicarea criteriilor de asemănare ale triunghiurilor  Calcularea lungimilor unor segmente, a măsurilor unor unghiuri utilizând teorema fundamentală a asemănării sau cazurile de asemănare

Activități de învățare anualul M  Fișe pentru activitatea la clasă  Fișe pentru activitatea individuală  Fișe de evaluare

Materiale  Conversația euristică  Explicația  Exercițiul didactic  Observarea didactică  Demonstrația didactică  Problematizarea (deductivă, transductivă)  Învățarea prin descoperire dirijată

Procedurale/ metode, mijloace

Resurse

1 2  8 ore 2 2  1

Temporale/nr. de ore alocate

 Test de autoevaluare cu itemi obiectivi/semiobiectivi/subiectivi  Test de evaluare  Fișa de observații

Evaluare/autoevaluare

34

1.7 Recunoașterea elementelor unui triunghi dreptunghic într-o configurație geometrică dată 2.7 Aplicarea relațiilor metrice într-un triunghi dreptunghic pentru determinarea unor elemente ale acestuia 3.7 Deducerea relațiilor metrice într-un triunghi dreptunghic 6.7 Implementarea unei strategii pentru rezolvarea unor situații date, utilizând relații metrice în triunghiul dreptunghic

Competențe specifice

Competențe specifice

2.7 Aplicarea relațiilor metrice într-un tri­ unghi dreptunghic pentru determinarea unor elemente ale acestuia 4.7 Exprimarea în limbaj matematic a relațiilor dintre elementele unui triunghi dreptunghic 6.7 Implementarea unei strategii pentru rezolvarea unor situații date, utilizând relații metrice în triunghiul dreptunghic

Conținuturi (detaliere)

1. Teorema lui Pitagora 2. Reciproca teoremei lui Pitagora

Materiale

 Calcularea lungimilor unor segmente  Manualul utilizând teorema lui Pitagora  A uxiliar curricular  Utilizarea reciprocei teoremei lui Pitagora pentru stabilirea perpendicularității a două  F ișe pentru drepte sau a naturii unui triunghi activitatea individuală  Rezolvarea unor probleme prin estimarea unor mărimi din situații practice, folosind triunghiul dreptunghic

Activități de învățare

Materiale

 Identificarea triunghiurilor dreptunghice în  Manualul configurații date  F ișe pentru  Identificarea catetelor și a ipotenuzei activitatea la într-un triunghi dreptunghic dat clasă  Calcularea lungimilor unor segmente  Fișe pentru utilizând teorema înălțimii, teorema catetei activitatea individuală  Rezolvarea unor probleme folosind relațiile metrice în triunghiul dreptunghic

Activități de învățare

Unitatea de învățare: 7.2. Teorema lui Pitagora. Reciproca teoremei lui Pitagora Nr. ore alocate: 6 Perioada: S26-S27

1. Proiecții ortogonale pe o dreaptă 2. Teorema înălțimii 3. Teorema catetei

Conținuturi (detaliere)

Unitatea de învățare: 7.1. Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema înălțimii. Teorema catetei Nr. ore alocate: 4 Perioada: S24-S26

7. RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC (15 ore)

Procedurale/ metode, mijloace  Conversația euristică  Explicația  Exercițiul didactic  Observarea didactică  Demonstrația didactică  Problematizarea (deductivă, transductivă)  Învățarea prin descoperire dirijată

Resurse

 Conversația euristică  E xplicația  Exercițiul didactic  Observarea didactică  Demonstrația didactică  Problematizarea (deductivă, transductivă)  Învățarea prin descoperire dirijată  Modelarea didactică

Procedurale/ metode, mijloace

Resurse

2 1

3 ore 

Temporale/nr. de ore alocate

1  4 ore 1 2 

Temporale/nr. de ore alocate

 Test de autoevaluare cu itemi obiectivi/ semiobiectivi/subiectivi  Fișa de observații

Evaluare/autoevaluare

 Test de autoevaluare cu itemi obiectivi/semiobiectivi/ subiectivi  Fișa de observații

Evaluare/autoe­ valuare

35

Activități de învățare

Competențe specifice

1. Rezolvarea triun­ 3.7 Deducerea relațiilor metrice într-un triunghi dreptunghic ghiului dreptunghic 2. Aplicații: determinarea 4.7 Exprimarea în limbaj matematic a relațiilor dintre elementele unui lungimilor unor segtriunghi dreptunghic mente și a măsurilor 5.7 Interpretarea unor relații metrice unor unghiuri în între elementele unui triunghi poligoane regulate și dreptunghic în situații practice 3. Evaluare unitățile 7.1-7.4

Conținuturi (detaliere)

Materiale

 Determinarea unor lungimi de segmente, măsuri de unghiuri, perimetre, arii în configurații geometrice  Utilizarea unor metode de calculare a laturii, apotemei, ariei unui poligon regulat  Analizarea unor metode alternative de rezolvare a problemelor de geometrie utilizând relații metrice și elemente de trigonometrie

Activități de învățare

anualul M  Fișe pentru activitatea la clasă  Fișe pentru activitatea individuală  Fișe de evaluare

Materiale

Resurse

 Conversația euristică  E xplicația  Exercițiul didactic  Observarea didactică  Problematizarea (deductivă, transductivă)  Învățarea prin descoperire dirijată  Algoritmizarea  Modelarea didactică

2  5 ore 2 1 

Temporale/nr. de ore alocate

Procedurale/ metode, Temporale/nr. de mijloace ore alocate  Conversația euristică 1  E xplicația  3 ore 1  Exercițiul didactic 1   Observarea didactică  Problematizarea (deductivă, transductivă)  Învățarea prin descoperire dirijată  Modelarea didactică

Resurse

Procedurale/ metode, mijloace

1.7 Recunoașterea elementelor unui triunghi  Calcularea sinusului, cosinusului, tangentei  M anualul drept­unghic într-o configurație geometrică și cotangentei pentru unghiuri ascuțite  F ișe pentru data ale unui triunghi dreptunghic. Determi­ activitatea la 3.7 Deducerea relațiilor metrice într-un triunghi narea valorilor pentru sinusul, cosinusul, clasă dreptunghic tangenta și cotangenta unghiurilor de  Fișe pentru 4.7 Exprimarea în limbaj matematic a relațiilor 30°,45°sau 60°. activitatea dintre elementele unui triunghi dreptunghic  Utilizarea valorilor pentru sinusul, cosinuindividuală 5.7 Interpretarea unor relații metrice între elemen- sul, tangenta și cotangenta unghiurilor tele unui triunghi dreptunghic de 30°, 45°sau 60° pentru determinarea 6.7 Implementarea unei strategii pentru rezol­ unor lungimi de segmente într-un triunghi varea unor situații date, utilizând relații dreptunghic metrice în triunghiul dreptunghic

Competențe specifice

Unitatea de învățare: 7.4. Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații Nr. ore alocate: 5 Perioada: S29-S31

1. Rapoarte în triunghiul dreptunghic.

Sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit 2. Tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit 3. Aplicații rapoarte în triunghiul dreptunghic

Conținuturi (detaliere)

Unitatea de învățare: 7.3. Noțiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic Nr. ore alocate: 3 Perioada: S28-S29

 Test de autoevaluare cu itemi de completare  Test de autoevaluare cu itemi de asociere  Test de evaluare  Fișa de observații

Evaluare/autoevaluare

 Test de autoevaluare cu itemi de completare  Test de autoevaluare cu itemi de asociere  Fișa de observații

Evaluare/autoevaluare

36

1. MULȚIMEA NUMERELOR REALE

Conținuturi (detaliere)

2.1 Aplicarea regulilor de calcul pentru estimarea și aproximarea numerelor reale 5.1 Elaborarea de strategii pentru rezolvarea unor probleme cu numere reale

Competențe specifice

Perioada

Nr. ore alocate

Disciplina

Activități de învățare

S32, S33 (1 oră)

3

ALGEBRĂ

S33, S34

4

GEOMETRIE

Materiale

 Scrierea unui număr real în diverse forme  Manualul  Utilizarea regulilor de calcul pentru a efectua operații cu numere reale  F ișe pentru activitatea la  Scrierea adecvată a unor rapoarte de numere reale care necesită raționalizare, clasă descompunere în factori și/sau simplificare  Rezolvarea de probleme în care apar medii (aritmetică ponderată sau geometrică)  Fișe pentru activitatea  Utilizarea regulilor de calcul pentru a efectua operații cu numere reale individuală  Utilizarea calculatorului pentru efectuarea sau verificarea unor calcule cu numere reale

C. Planificarea temelor pentru recapitulare

 Conversația euristică  Explicația  Exercițiul didactic  Modelarea didactică

Procedurale/ metode, mijloace

Resurse

S33 (1 oră), S34

3

SINTEZĂ

1 oră

Temporale/ nr. de ore alocate

1) Se vor enumera principalele dificultăți întâmpinate de elevi, pe care profesorul le-a consemnat în fișele de observații în urma evaluărilor sumative și în urma evaluărilor semestriale.

2) Se vor enumera competențele specifice, a căror realizare nu este mulțumitoare.

3) Se realizează planificarea temelor pentru recapitulare finală.

4) În acord cu 1), 2) și 3) se va elabora, în detaliu, planul de recapitulare pentru fiecare temă.

B. Dificultăți pe care le-au întâmpinat elevii clasei în timpul orelor de matematică

1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse informaționale 3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice 4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, concluziilor și demersurilor de rezolvare pentru o situație dată 5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date 6. Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii

A. Competențe generale:

8. RECAPITULARE FINALĂ

37

6. ASEMĂNAREA 5.6 Interpretarea asemănării triunghiu-  Recunoașterea proporționalității lungimilor unor segmente care reprezintă laturi rilor în configurații geometrice TRIUNGHIURILOR ale unor triunghiuri 6.6 Implementarea unei strategii pentru  Calcularea lungimilor unor segmente utilizând teorema lui Thales sau proporțiorezolvarea unor situații date, utilinalitatea segmentelor zând asemănarea triunghiurilor

5. CERCUL

4. PATRULATERUL

6.3 Transpunerea unei situații date într-o reprezentare adecvată (text, formulă, diagramă, grafic)

3. ELEMENTE DE ORGANIZARE A DATELOR

 Manualul  Fișe pentru activitatea la clasă  Fișe pentru activitate individuală

 Manualul  Fișe pentru activitatea la clasă  Fișe pentru activitate individuală

 Manualul  Fișe pentru activitatea la clasă  Fișe pentru activitate individuală

 Rezolvarea unor ecuații de forma x2 = a, a ∈ ℝ anualul M  Verificarea validității unei soluții a unei ecuații  F ișe pentru  Formularea de probleme pornind de la un set de informații obținute din cotidian activitatea la clasă sau din diverse domenii  Fișe pentru  Rezolvarea unor ecuații de forma a · x + b = 0, a, b ∈ ℝ  Utilizarea metodelor de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare (metoda reducerii activitatea individuală și metoda substituției)  Rezolvarea unor probleme având conținut practic, utilizând ecuații sau sisteme de ecuații liniare

 Analizarea unor seturi de date pentru a determina un mod adecvat de reprezentare grafică a acestora  Identificarea modului adecvat de reprezentare a unor date  Identificarea unor exemple de corespondențe matematice în contexte variate  Construirea și interpretarea unor diagrame cu date din situații practice 5.4 Alegerea reprezentărilor geometrice  Analizarea unor metode alternative de rezolvare a unor probleme de geometrie adecvate în vederea optimizării utilizând proprietățile paralelogramului calculării unor lungimi de segmente,  Descrierea în limbaj matematic a unor relații (congruență, paralelism, perpendia unor măsuri de unghiuri și a cularitate) între elemente ale unor configurații geometrice unor arii 6.4 Modelarea unor situații date prin reprezentări geometrice cu patrulatere 5.5 Interpretarea unor proprietăți ale  Rezolvarea unor probleme folosind proprietățile tangentelor duse dintr-un punct poligoanelor regulate folosind exterior la un cerc reprezentări geometrice  Utilizarea instrumentelor geometrice pentru construirea unor configurații geome6.5 Modelarea matematică a unor trice referitoare la cerc situații practice în care intervin poligoane regulate sau cercuri

5.2 Stabilirea unor metode de rezolvare a ecuațiilor sau a sistemelor de ecuații liniare 6.2 Transpunerea matematică a unor situații date, utilizând ecuații și/sau sisteme de ecuații liniare

2. ECUAȚII ȘI SISTEME DE ECUAȚII LINIARE

 Conversația euristică  Explicația  Exercițiul didactic  Observarea didactică  Problematizarea (deductivă, transductivă)  Învățare prin descoperire dirijată  Modelarea didactică  Conversația euristică  Explicația  Exercițiul didactic  Observarea didactică  Învățare prin descoperire dirijată  Modelarea didactică

 Conversația euristică  Explicația  Exercițiul didactic  Observarea didactică  Modelarea didactică  Conversația euristică  Explicația  Exercițiul didactic  Observarea didactică  Problematizarea (deductivă, transductivă)  Modelarea didactică

 Conversația euristică  Explicația  Exercițiul didactic  Învățare prin descoperire dirijată  Modelarea didactică

1 oră

1 oră

1 oră

1 oră

1 oră

38

8. PROBLEME DE SINTEZĂ, ALGEBRĂ ȘI GEOMETRIE

7. RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC

 Manualul  Fișe pentru activitatea la clasă  Fișe pentru activitate individuală 5.1 Elaborarea de strategii pentru  Soft educa­  U tilizarea regulilor de calcul pentru a efectua operații cu numere reale rezolvarea unor probleme cu  U tilizarea calculatorului pentru efectuarea sau verificarea unor calcule cu numere țional specific numere reale reale  Fișe de 5.4 Alegerea reprezentărilor geometrice  F ormularea de probleme pornind de la un set de informații obținute din cotidian activitate pe adecvate în vederea optimizării grupe sau din diverse domenii calculării unor lungimi de segmen-  C onstruirea și interpretarea unor diagrame cu date din situații practice te, a unor măsuri de unghiuri și a  A nalizarea unor metode alternative de rezolvare a unor probleme de geometrie unor arii utilizând proprietățile paralelogramului 6.2 Transpunerea matematică a unor  R ezolvarea unor probleme prin estimarea unor mărimi din situații practice, situații date, utilizând ecuații și/sau folosind triunghiul dreptunghic sisteme de ecuații liniare  A nalizarea unor metode alternative de rezolvare a problemelor de geometrie 6.4 Modelarea unor situații date utilizând relații metrice și elemente de trigonometrie prin reprezentări geometrice cu patrulatere

6.7 Implementarea unei strategii  Utilizarea reciprocei teoremei lui Pitagora pentru stabilirea perpendicularității a pentru rezolvarea unor situații date, două drepte sau a naturii unui triunghi utilizând relații metrice în triunghiul  Rezolvarea unor probleme prin estimarea unor mărimi din situații practice, dreptunghic folosind triunghiul dreptunghic  Analizarea unor metode alternative de rezolvare a problemelor de geometrie utilizând relații metrice și elemente de trigonometrie  C onversația euristică  Î nvățare prin descoperire dirijată  B rainstorming  P roblematizarea deductivă M odelarea didactică

 C onversația euristică  E xplicația  E xercițiul didactic  O bservarea didactică  Î nvățare prin descoperire dirijată M odelarea didactică 3 ore

1 oră

39

Competențe specifice: 1.1. Identificarea unei situații date rezolvabile prin ecuații 1.2. Utilizarea regulilor de calcul cu numere reale pentru verificarea soluțiilor unor ecuații 1.3. Utilizarea transformărilor echivalente în rezolvarea unor ecuații 1.4. Redactarea rezolvării ecuațiilor 1.5. Stabilirea unor metode de rezolvare a ecuațiilor 1.6. Transpunerea matematică a unor situații date, utilizând ecuații

Obiective operaționale: La finalul activității didactice, elevii vor fi capabili: 1. să identifice necunoscuta și coeficienții unei ecuații de forma a · x + b = 0, unde a, b ∈ ℝ.

2. să exprime în cuvinte proprii etapele de rezolvare a unei ecuații de forma a · x + b = 0, unde a, b ∈ ℝ.

3. să aplice transformări echivalente pentru a reduce o ecuație la forma a · x + b = 0, unde a, b ∈ ℝ.

4. să formuleze etapele de rezolvare a unei ecuații reductibile la ecuații de forma a · x + b = 0, unde a, b ∈ ℝ.

5. să compare diferite variante de a rezolva ecuații reductibile la forma a · x + b = 0, unde a, b ∈ ℝ și să aleagă varianta optimă de rezolvare.

Strategia didactică: Metode și procedee: conversația euristică, problematizarea, explicația, exercițiul, algoritmizarea, brainstorming.

Mijloace didactice: manual, manual digital, auxiliar curricular, fișa pentru activitatea la clasă, fișa de autoevaluare.

Forme de organizare a lecției: activitate frontală, activitate individuală, activitate pe grupe.

Competențe generale: 1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse informaționale 3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice 4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, concluziilor și demersurilor de rezolvare pentru o situație dată 5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date 6. Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii

Tipul lecției: Dobândire de noi cunoștințe Subiectul: Ecuații reductibile la ecuații de forma a ⋅ x + b = 0 , unde a, b ∈  Durata: 50 min

Disciplina: Matematică – Algebră Unitatea de învățare: Ecuații de forma a ⋅ x + b = 0 , unde a, b ∈ 

Data: _ _ _ _ _ _ _ _

Profesor: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Aria curriculară: Matematică și Științe

PROIECT DE ACTIVITATE DIDACTICĂ, Clasa a VII-a

40

CONȚINUTUL INFORMAȚIONAL

Dirijarea învățării 15 minute

REPERE TEMPORALE

Activitate frontală

Studiul individual Observarea didactică Conversația euristică Conversația euristică Problematizarea Algoritmizarea

Evaluare formativă

Evaluare formativă

Activitate în perechi Activitate frontală

Evaluare formativă

Observare sistematică

Evaluare formativă

Evaluare formativă Evaluare docimologică

Observare sistematică

Evaluare formativă

Observare sistematică Evaluare formativă

FORME DE EVALUARE Evaluare formativă

Activitate individuală

Exercițiul Activitate frontală Demonstrația didactică Activitate pe grupe Fișe de lucru

Conversația Explicația

Elevii notează titlul lecției pe caiet.

Activitate în echipe

Brainstorming

Activitate frontală

Activitate frontală

Conversația euristică

Conversația euristică Algoritmizarea

Activitate frontală

FORME DE ORGANIZARE Activitate frontală

STRATEGIA DIDACTICĂ

Conversația Explicația Exercițiul Problematizarea

Conversația

METODE ȘI MIJLOACE

Elevii identifică necunoscuta, coeficienții, termenul liber pentru ecuațiile propuse.

Elevii își pregătesc pentru lecție: manualele, caietele, instrumente de scris, apoi participă la distribuirea fișelor de activitate și a fișelor de autoevaluare.

Elevii formulează oral ecuațiile și determină soluțiile acestora.

Elevii formulează întrebări, răspund la întrebările adresate de colegii lor și de profesor.

Elevul va comunica profesorului rezultatul obținut.

Elevii discută cu colegii din vecinătate (câte 3-4) și descoperă „secretul” jocului, scriind, apoi rezolvând ecuația corespunzătoare.

ACTIVITATEA ELEVULUI

Elevii rezolvă ecuațiile propuse, folosind transformări echivalente, scriu soluțiile ecuațiilor, respectiv mulțimea soluțiilor fiecărei ecuații.

Elevii rezolvă la tablă exercițiile propuse.

2. Profesorul dirijează elevii în parcurgerea exemplelor rezolvate în manual la Elevii citesc, discută, înțeleg rezolvările pag. 75, în echipe de câte 2 elevi prezentate în manual, observând etapele parcurse în cazul fiecărei ecuații.

3. Profesorul dirizează elevii în formularea etapelor de rezolvare a ecuațiilor: Elevii formulează etapele parcurse pentru a) Separarea termenilor rezolvarea unei ecuații, sub îndrumarea b) Eliminarea numitorului. profesorului. c) Determinarea soluției/ soluțiilor Elevii notează pe caiete etapele de rezolvare d) Scrierea mulțimii soluțiilor a ecuațiilor.

Profesorul scrie pe tablă etapele enumerate mai sus.

1. Profesorul propune rezolvarea ecuații simple, din fișa 1, folosind proprietățile operațiilor aritmetice, proprietățile relației de egalitate, transformări echivalente: Exercițiile 5, 6, 7.

ACTIVITATEA PROFESORULUI Moment Pregătirea lecției: profesorul consemnează absențele în catalog, rezolvă organizatoric eventualele probleme organizatorice: pregătirea materialul didactic, instalarea soft-ului educațional care urmează să fie folosit în lecție, 3 minute distribuirea fișelor de activitate și a fișelor de autoevaluare.

Captarea atenței, reactua- 1. Profesorul le propune elevilor să rezolve oral probleme simple care conduc la ecuații de forma a · x + b = 0, unde a, b ∈ ℝ. lizarea cunoștințelor, a) Dacă aduni dublul unui număr cu 77 se obține 199. Numărul este ... ? pregătirea pentru lecția b Dacă dintr-un număr scazi triplul lui obții – 2000. Care este numărul ? nouă 10 minute 2. Joc matematic Magie sau truc aritmetic? a) Profesorul solicită unui elev să se gândească la un număr, apoi spune: „Adună 3 la numărul ales de tine, înmulțește rezultatul cu 7, scade din produs numărul la care te-ai gândit, iar din rezultat scade 9, apoi împarte rezultatul la 6.” b) Profesorul „ghicește” numărul la care s-a gândit elevul, după ce a aflat rezultatul calculului.

3. Profesorul dirijează reactualizarea cunoștințelor privind: a) rezolvarea ecuațiilor de forma a · x + b = 0 b) soluție a unei ecuații c) ecuații echivalente În acest scop, sunt propuse spre rezolvare ecuațiile 1, 2, 3, 4 (fișa de activitate) Anunțarea subiectului Profesorul anunță subiectul lecției și îl scrie titlul pe tablă. lecției noi „Ecuații reductibile la forma a · x + b = 0, unde a, b ∈ ℝ.

Profesorul comunică elevilor obiectivele operaționale, folosind un limbaj accesibil.

2 minute

DESFĂȘURAREA LECȚIEI/

41

1. Profesorul propune un concurs pentru îmbunătățirea ritmului de lucru: Clasa va fi organizată pe grupe de câte 4 elevi. Fiecare grupă va rezolva 2 ecuații cu grad de dificultate diferit, dar similare la nivelul grupelor.

Timpul alocat este de 4 minute.

La expirarea timpului, fiecare echipă își va alege un reprezentant, care va rezolva pe tablă ecuațiile grupei. Pentru fiecare ecuație rezolvată corect se acordă 5 puncte.

Profesorul scrie punctajul fiecărei echipe și anunță echipa câștigătoare.

ACTIVITATEA PROFESORULUI 4. Profesorul propune spre rezolvare ecuații de la exercițiile 5, 6, 7, 8, având grade diferite de dificultate.

După prezentarea exercițiului rezolvat, elevii celorlalte grupe pot adresa întrebări, pot propune altă rezolvare, propun punctaj argumentat.

Elevii propun variante de rezolvare a ecuațiilor, le discută, apoi optează pentru o variantă care va fi scrisă pe tablă.

Dacă evoluția elevilor permite, pot scrie simultan 2 elevi pe tablă, ceilalți scriind pe caiete.

La expirarea timpului, un reprezentant al grupei va rezolva la tablă exercițiul ales.

ACTIVITATEA ELEVULUI

2. Profesorul propune elevilor să rezolve AMII interactiv din manualul digital, Elevii rezolvă, folosind telefoanele, tabletele clasa a VII-a, pag. 76. sau calculatoarele AMII interactiv propus de profesor și verifică rezultatele obținute, pentru autoevaluare.

Elevii pot solicita explicații suplimentare, pot Aprecierea activității Profesorul face aprecieri referitoare la gradul de cunoaștere, înțelegere, elevilor aplicare, analiză, sinteză și evaluare a modalităților de rezolvare a ecuațiilor. face aprecieri referitoare la diferite etape ale demersului didactic.

Vor fi notați elevii care s-au remarcat în timpul activității didactice, vor fi 3 min argumentate notele acordate.

Recomandări pentru acasă Profesorul recomandă rezolvarea exercițiilor de pe fișa de lucru rămase Elevii își notează recomandările profesorului. neefectuate și le oferă indicații.

2 min

15 minute

Asigurarea retenției și realizarea transferului

REPERE TEMPORALE

Evaluare formativă Observare sistematică

FORME DE EVALUARE Evaluare formativă

Activitate frontală

Activitate frontală

Conversația euristică Caiete de clasă Fișe de lucru

Evaluare formativă Consemnarea notelor acordate

Activitate independentă Evaluare formativă Observare sistematică

Activitate în echipe Activitate frontală

Activitate frontală

FORME DE ORGANIZARE Activitate individuală

Conversația euristică Explicația

Studiu individual

Conversația euristică Explicația

Conversația euristică

Exercițiul didactic

METODE ȘI MIJLOACE

FIȘĂ PENTRU ACTIVITATE DIDACTICĂ Tema lecției: ECUAȚII reductibile la ecuații de forma a ⋅ x= + b 0, a, b ∈ , a ≠ 0 A. Captarea atenției și reactualizarea cunoștințelor, etapa 3.

1. Să se rezolve ecuațiile: b) 3 ⋅ x − 21 = 0

0 a) 5 ⋅ x + 45 =

c) 2 ⋅ x + 3 2 = 0

2. Verificați dacă: a) numărul –2 este soluție a ecuației − 4 ⋅ x + 64 = 0. b) numărul 0,5 este soluție a ecuației x + 1,5 = 2 ⋅ x − 1 .

3 2

3. Rezolvați ecuațiile − 3 ⋅ x + 27 = 0 și 0,5 ⋅ x − = 0 . Stabiliți dacă ecuațiile sunt echivalente. Justificați răspunsul dat.

4. Scrieți o ecuație echivalentă cu ecuația 1,(3) ⋅ x +

20 = 0.

3

B. Dirijarea învățării, etapa 4.

5. Rezolvați ecuațiile: a) 3 ⋅ x + 4 = 2 ⋅ x + 5

b) − 2 ⋅ x + 3, 4 = 3 ⋅ x − 1,1

c)

2 8 ⋅ x + 2,8 = 2 ⋅ (1, 2 ⋅ x − ) 5 5

6. Dacă ecuațiile − 3 ⋅ x + 7 = 25 și m ⋅ x + 11 =−1 sunt echivalente, atunci numărul real m este … .

7. Rezolvați în mulțimea numerelor raționale ecuațiile: a) 3 ⋅ ( x − 5 ) + 2 = 2 ⋅ ( 3 − x ) − 11

b)

7 ⋅ x − ( x − 4= )

x x +1 = + 2 2 3 g) 10 x + 7 = 3 ⋅  4 − 5 ⋅ ( x + 2 ) 

c) x + 2 x + 3 x + ... + 10 x = 10 + 20 + 30 + ... + 100 f) 7 ⋅ 1 − 3 ⋅ ( x − 3)  = 10 − x 8. Rezolvați în numere reale ecuațiile: a) x = 6

Răspunsuri: 1. a) S =

b) − x =3

{−9} ; b)

63 − x + 4

8 c) 3 ⋅ x − 1 =

S = {7} ; c) S =

d)

e)

x+4 x−3 −3=

2 4

d) 2 ⋅ x − 12 = 300

{−3} . 2. a) – 2 este soluție; b) 0,5 nu este soluție. 3. S=1

9 8  4. x + 5 = 0. 5. a) S = {1} ; b) S =   ; c) S = {3} . 6. m = 2 . 7. a) S =   ; b) S = {3} ; c) 10  5 d) S = {6}; e) S = {1}; f) S = {3}; g) S = {−1}. 8. a) S = {−6, 6}; b) S = − 3, 3 ; c) S =

{

42

}

S= 2

{3}. Ecuațiile sunt echivalente.

S = {10};  7  − , 3; d) S =  3 

{−4

}

3, 6 3 .

FIȘĂ DE ACTIVITATE INDEPENDENTĂ RĂDĂCINA PĂTRATĂ A PĂTRATULUI UNUI NUMĂR NATURAL 1. Pentru fiecare dintre figurile de mai jos, scrieți pătratul perfect care este sugerat de figură și rădăcina pătrată corespunzătoare:

Item

a)

b)

c)

a)

b)

Pătrat perfect asociat Rădăcina pătrată a acestuia

d)

2. Scrieți pătratele perfecte mai mici decât 100 și calculați rădăcina pătrată a fiecăruia dintre aceste numere.

3. Scrieți valorile rădăcinilor pătrate: a) 9 = b) 36 = c) 81 = d) 400 = 4. Completați căsuțele libere ale tabelului următor, știind că x desemnează un număr natural. x

11

15

20

22

25

30

37

81

196

529

576

729

1600

2500

2

x

x2 x x2

5. Determinați numărul x dacă: a) x = 42

b) x = 37

c) x + 1 = 31

d) 2 ⋅ x − 35 = 67

e) x 2 + 2109 = 47

6. Determinați numerele naturale cuprinse între 121 și 289 .

7. Determinați numerele naturale consecutive între care se găsește numărul 441 .

8. Determinați următoarele numere, folosind modelul: = 25 = 52 5 .

49 ; 81; 100; 324; 484; 576; 1024 ; 1296 .

9. Determinați următoarele numere, folosind modelul: 1600 = 16 ⋅ 100 = 10. Completați spațiile libere, după modelul: 232 = 529 ⇒ 70 = ......... ⇒ 2

3212 = ......... ⇒

529 = 23

( 4 ⋅10 )

2

=

402 = 40 .

3600; 6400; 900; 8100; 14400; 1960000

282 = ......... ⇒

...... = 70

42 ⋅ 102 =

88 = ......... ⇒ 2

...... = 28 ...... = 88

332 = ......... ⇒ 95 = ......... ⇒ 2

...... = 33 ...... = 95

512 = ......... ⇒ 102 = ......... ⇒ 2

...... = 51 ...... = 102

...... = 321

11. Precizați valoarea de adevăr a propozițiilor, scriind în căsuță A, dacă propoziția este adevărată și F, dacă propoziția este falsă.

Propoziția

Valoarea de adevăr

Propoziția

Valoarea de adevăr

Propoziția

361 = 19

484 = 28

961 = 31

1234 = 38

1089 = 33

8181 = 99

2025 = 25

12100 = 110

1354 = 1352

43

Valoarea de adevăr

c)

d)

12. Determinați valorile numărului natural n pentru care 8 − n este număr natural.

13. Determinați valorile numărului natural m pentru care 19 − 2 ⋅ m este număr natural.

14. Aflați câte cifre are numărul a , în fiecare din situațiile următoare. a) a = 49 b) a = 676 c) a = 1521 d) a = 15129 15. Completați spațiile libere pentru a obține propoziții adevărate: a) Dacă numărul b este pătrat perfect și b are 2 cifre, atunci b are ... cifre. b) Dacă numărul b este pătrat perfect și b are 3 cifre, atunci b are ... cifre. c) Dacă numărul b este pătrat perfect și b are 4 cifre, atunci b are ... cifre. d) Dacă numărul b este pătrat perfect și b are n cifre, n ℕ, atunci b are ... cifre.

16. Studiați cu atenție tabelul următor, apoi efectuați calculele.

Numărul a este pătratul numărului rațional pozitiv b.

a = b2, a, b > 0

⇒ a= b

Numărul a este pătratul numărului rațional negativ b.

a = b2, a > 0, b < 0

⇒ a= −b

Numărul a este pătratul numărului rațional b.

a = b2, a > 0, b ℚ

⇒ a= b

a) 132 , 242 , 7 4 , 156 , 22 ⋅ 32 , 24 ⋅ 36 , 32 ⋅ 54 ⋅ 76 . b) ( −15 )2 , ( −24 )2 , ( −8 )4 , ( −36 )6 , ( −2 )2 ⋅ 32 , ( −2 )2 ⋅ ( −3)4 17. În modelul următor se extrage rădăcina pătrată folosind descompunerea în produse de puteri de factori primi.

Model: 32400 2 ⋅ 5 2⋅5

3240

2⋅5

324 162

2 2

3

81 27

3 3

3

9 3

3 3

32400 =

24 ⋅ 34 ⋅ 52 =

(2

2

⋅ 32 ⋅ 5

)

2

= 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 180

32400 = 180

3

1

Determinați rădăcina pătrată a următoarelor numere naturale folosind același procedeu (descompunerea în produs de puteri de factori primi).

196; 225; 256; 484; 676; 729; 784; 1024; 1296; 1764; 2916; 3025; 4225; 16384.

18. a) Aflați latura pătratului care are aria 1764 cm2. b) Aflați perimetrul unui pătrat care are aria 9025 cm2.

19. Efectuați următoarele calcule: a) 25 + ( −5 )

2

b) ( −3) + ( −6 ) + 400

20. Aflați numerele x și y știind că

2

2

c) 36 + 362 − 6 ⋅ 49

xyx = xx .

44

(

d) 289 − 3 ⋅ 144 − 100

)

BRAINSTORMING – PREZENTARE SUCCINTĂ Brainstormingul (asaltul de idei) face parte din clasa metodelor didactice moderne. Implementarea acestei metode în demersul didactic prezintă o oarecare dificultate, datorită rolului de moderator pe care profesorul trebuie să și-l asume și din cauza consumului mare de timp.

Metoda didactică Brainstorming are rolul de a stimula creativitatea și spontaneitatea elevilor. Această metodă constă în obținerea unui număr mare de idei spontane referitoare la o anumită problemă, fără riscul de a influența în vreun fel evaluarea elevilor.

Profesorul/moderatorul solicită elevilor cât mai multe idei pentru soluționarea unei probleme, într-o atmosferă de cooperare, dând frâu liber imaginației și creativității. Participarea activă a elevilor atât la formularea ideilor, cât și la analiza, evaluarea, apoi la selectarea acestora, are rolul de a le dezvolta capacitatea de a formula întrebări, de a argumenta idei, de a căuta și de a găsi soluții, de a lua decizii în alegerea unor căi de lucru. Pe de altă parte, utilizarea brainstormingului oferă elevilor instrumente de autocunoaștere, realizează dezvoltarea relațiilor interpersonale.

Durata optimă de timp alocată fiecărei etape depinde de sarcina de lucru/problema supusă dezbaterii și de numărul de elevi care participă la activitate.

Vor fi parcurse următoarele etape:  Profesorul/moderatorul alege tema și formulează sarcina de lucru. 

Profesorul/moderatorul urmărește să trezească elevilor interesul pentru tema propusă. Este etapa de amorsare, de dinamizare a creativității elevilor.  Profesorul/moderatorul solicită elevilor să-și exprime oral ideile pentru rezolvarea sarcinii de lucru.  Profesorul/moderatorul înregistrează toate ideile, în scris sau video, în ordinea în care au fost formulate.  Ideile înregistrate se grupează pe categorii, variante, în funcție de criteriile stabilite de comun acord cu elevii.  Elevii vor analiza critic, vor evalua, vor aduce argumente și contraargumente în sprijinul, respectiv împotriva ideilor emise anterior.  Sunt selectate ideile originale, valide, pentru problema sau tema pusă în discuție.  Sunt afișate ideile rezultate, sub formă de scheme, imagini, configurații geometrice, raționamente.  Sub îndrumarea profesorului, se formulează și se argumentează concluziile.  Sunt felicitați/încurajați toți elevii care au participat la emiterea ideilor de abordare și de rezolvare a problemei.

Exemplu de aplicare a metodei brainstorming la rezolvarea unei probleme de geometrie la clasa a VII-a Observație: Secvența prezentată mai jos face parte din proiectul de lecție și se referă la aplicarea metodei brainstorming.

Tema lecției: Relații metrice în triunghiul dreptunghic – aplicații 1) Alegerea sarcinii de lucru Se crie pe tablă Problema 9, pag. 216, din manual. Fiecare elev primește o fișă de lucru cu enunțul problemei și spațiu de redactare. În triunghiul oarecare TRI, se știe că ∢R = 60°, TR = 8 cm, RI = 12 cm, iar TA ⊥ RI, A ∈ RI. a) Aflați lungimile segmentelor AR și TI. b) Punctul B este simetricul punctului R față de mijlocul segmentului AI. Demonstrați că triunghiul BTR este dreptunghic.

2) Solicitarea exprimării ideilor legate de rezolvarea problemei (Timp de gândire 10 min) Se cere elevilor:  să citească enunțul;  să realizeze desenul/figura începută pe tablă de către profesor (triunghiul TRI este reprezentat deja pe tablă);  să propună strategii de rezolvare a problemei.

(Resursă temporală 10 min)

45

3) Înregistrarea tuturor ideilor La sfârșitul celor 10 minute, elevii prezintă fișele cu soluțiile propuse, fișe care se prind pe un panou. Sunt afișate, la loc vizibil, toate propu­ nerile elevilor.

4) Gruparea ideilor pe categorii Pentru problema dată spre rezolvare, ideile pot fi grupate, de exemplu, în următoarele categorii: a) Idei de rezolvare a problemei folosind numai teoremele învățate la relațiile metrice în triunghiul dreptunghic. b) Rezolvarea problemei folosind teoremele învățate la relațiile metrice în triunghiul dreptunghic și relații trigonometrice în triunghiul dreptunghic.

5) Analiza critică, evaluarea, argumentarea, contraargumentarea ideilor emise Profesorul poate pune întrebări de tipul: i1) Care este natura triunghiului TRI? i2) Dar a triunghiului ART? i3) Ce reprezintă RA pentru triunghiul ART? i4) Cum se poate calcula lungimea RA? i5) Care sunt etapele rezolvării problemei?

6) Selectarea ideilor originale pentru problema propusă spre rezolvare Elevii vor alege argumentat, într-o atmosferă de cooperare și acceptare, ideile care pot conduce la soluționarea problemei.

7) Afișarea ideilor rezultate Vor fi afișate ideile rezultate, sub formă de scheme, imagini, configurații geometrice, raționamente.

8) Formularea și argumentarea concluziilor Sub îndrumarea profesorului, ca urmare a dezbaterilor elevilor, rezultă strategiile de rezolvare a problemei.

46

Prezentăm, mai jos, două variante posibile.

Ipoteză: TRI este triunghi oarecare ∢R = 60°, TR = 8 cm, RI = 12 cm, iar TA ⊥ RI, A ∈ RI ∢R = 60°.

M – mijlocul segmentului AI; B este simetricul lui R față de M Concluzie: a) AR = ? TI = ? b) Triunghiul BTR este dreptunghic Varianta A A.1. Reprezentăm configurația geometrică A.2. Deducem că triunghiul ART este dreptunghic cu un unghi de 30°.

Obținem= RA RT = : 2 4cm , apoi AI = RI − RA = 8cm .

A.3. Cu teorema lui Pitagora în triunghiul ART, rezultă AT = 4 3 cm Cu teorema lui Pitagora în triunghiul AIT, rezultă TI = 4 7 cm .

A.4. Notăm M, mijlocul segmentului AI. Deducem că AM = MI = 4cm și RB = 16cm .

(

A.5. TA2 = 4 3

)

2

=48 =4 ⋅ 12 =RA ⋅ AB . Folosind reciproca teoremei înălțimii în triunghiul BTR, rezultă că triunghiul BTR este dreptunghic în T.

Varianta B B.1. Reprezentăm configurația geometrică B.2. Deducem că triunghiul ART este dreptunghic cu R = 60 .

Din cos R =

RA , rezultă RA = 4 cm, apoi AI = RI – RA = 8 cm.

RT

TA , rezultă AT = 4 3 cm RT B.3. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul AIT și obținem TI = 4 7 cm .

B.4. Notăm M mijlocul segmentului AI. Deducem că AM = MI = 4 cm și RB = 16 cm

Din sin R =

B.5. Știm că TR = RB : 2 și  (TR, RB ) = 60 .

Vom demonstra că BTR = 90 . Într-adevăr, triunghiul MRT este echilateral și TM = 8 cm, triunghiul BMT este isoscel și TM = MB = 8 cm, TMR= 60= 2 ⋅ MTB , deci MTB = 30 .

În concluzie, BTR = 90 și triunghiul BTR este dreptunghic.

47

METODA CUBULUI – PREZENTARE SUCCINTĂ A. Metoda cubului presupune explorarea din perspective diferite a unui subiect, a unei situații, permițând abordarea cuprinzătoare a unei teme.

În activitatea la clasă, metoda cubului poate cuprinde următoarele secvențe:  Stabilirea și anunțarea temei sau a subiectului pus în discuție.  Realizarea unui cub pe ale cărui fețe sunt scrise cuvintele: DESCRIE, COMPARĂ, ASOCIAZĂ, ANALIZEAZĂ, ARGUMENTEAZĂ, APLICĂ.

Observație: Pe fețele cubului se pot scrie alte 6 cuvinte, în funcție de tema propusă și de obiectivele operaționale ale lecției.  Împărțirea elevilor clasei în 6 grupe, fiecare dintre ele examinând tema din perspectiva cerinței de pe una din fețele cubului: Grupa nr. 1: „Descrie” Grupa nr. 2: „Compară” Grupa nr. 3: „Asociază” Grupa nr. 4: „Analizează” Grupa nr. 5: „Aplică” Grupa nr. 6: „Argumentează”  Un reprezentant al fiecărei grupe trage la sorți un număr de la 1 la 6. Fiecare elev primește fișa cu sarcinile de lucru, corespunzătoare grupei din care face parte.  Se acordă elevilor timp pentru informare, consultare, dezbatere și redactare.  Un reprezentant al fiecărei grupe prezintă colegilor din celelalte grupe soluția propusă.  Versiunea finală soluțiilor celor șase cerințe se afișează pe flipchart.

B. Exemplu de aplicare a metodei cubului la geometrie, clasa a VII-a

Observație: Secvența prezentată mai jos face parte din proiectul de lecție și se referă la aplicarea metodei cubul.

Tema lecției: Paralelograme particulare – recapitulare și sistematizarea cunoștințelor 1. Împărțirea clasei în 6 grupe, desemnarea unui reprezentant pentru tragerea la sorți și pentru prezentarea rezultatelor 2. Tragerea la sorți, anunțarea temei, distribuirea fișelor de lucru Cubul are fețele numerotate de la 1 la 6 și are cele șase cuvinte înscrise pe cele șase fețe. Reprezentantul grupei trage la sorți, apoi profesorul distribuie fișele de lucru în concordanță cu sarcina corespunzătoare grupei.

FIȘĂ DE LUCRU

Descrie – Grupa nr. 1

1. Realizează un desen/o reprezentare a fiecărui patrulater studiat, descriind modul în care se realizează construcția.

2. Identifică, în desenele realizate, elementele și proprietățile specifice pentru fiecare patrulater studiat. = BC = 3cm .

3. Punctele A, B, C sunt distincte și coliniare, AB a) Construiți în A, B, respectiv C dreptele a, b, c perpendiculare pe dreapta AC. b) Reprezentați punctul D, pe dreapta a, la distanță de 6 cm față de dreapta AC. c) Paralela prin D la dreapta AC intersectează dreapta b în E și drepta c în F. d) Notează {M= } AE ∩ BD și { N= } BF ∩ CE . În configurația geometrică realizată, numește un paralelogram care nu este dreptunghi sau romb, apoi un romb care nu este pătrat, jus­tificând alegerea făcută.

48

Compară – Grupa nr. 2

FIȘĂ DE LUCRU 1. Stabilește asemănări între patrulaterele studiate.

2. Stabilește deosebiri între patrulaterele studiate.

3. Completează următorul tabel: Patrulaterul

Relații între laturile opuse

Relații între laturile consecutive

Relații între unghiurile opuse

Relații între unghiurile consecutive

Relații între diagonale

Diagonalele sunt/nu sunt bisectoare ale unghiurilor

PARALELOGRAM DREPTUNGHI ROMB PĂTRAT

4. S tabilește, cu ajutorul diagramelor, incluziuni care au loc între mulțimea paralelogramelor, mulțimea dreptunghiurilor, mulțimea romburilor, mulțimea pătratelor.

Asociază – Grupa nr. 3

FIȘĂ DE LUCRU

1. Asociază fiecare patrulater studiat cu un obiect din mediul înconjurător. Justifică alegerea.

2. Asociază fiecărei descrieri din prima linie a tabelului următor numele patrulaterului descris.

Patrulaterul cu două laturi opuse paralele și congruente

Paralelogramul cu un unghi drept

Dreptunghiul cu trei laturi congruente

Rombul cu două unghiuri Patrulaterul care este și consecutive congruente dreptunghi și romb

3. Stabilește natura patrulaterului ABCD în fiecare din situațiile: 3.1. A = ( x + 25) , B = ( x + 45) , C = ( 2 ⋅ x − 30 ) , D = ( 3 ⋅ x − 65) . 



3.2. AB  CD, AB ≡ CD, BAC = 34 , ABD = 56 .

49

FIȘĂ DE LUCRU

Analizează – Grupa nr. 4

1. Alăturat, sunt reprezentate paralelograme.

Analizează și calculează lungimile segmentelor și măsurile unghiurilor notate cu litere.

2. Alăturat, sunt reprezentate dreptunghiuri.

Analizează și calculează lungimile segmentelor și măsurile unghiurilor notate cu litere.

3. Fie ABC triunghi și M, N, P mijloacele laturilor AB, BC, respectiv AC. Realizați configurația geometrică cu notațiile din enunț.

Analizați și completați spațiile libere pentru a obține propoziții adevărate. a) „Patrulaterul AMNP este …………………….” b) „Dacă AB ≡ BC , atunci patrulaterul BMPN este …………………” c) „Dacă C = 90 , atunci patrulaterul CNMP este …………………” d) „Dacă AB ≡ AC și A = 90, atunci patrulaterul AMNP este …………………”

50

Argumentează – Grupa nr. 5

FIȘĂ DE LUCRU

1. Completați în căsuță litera A, dacă propoziția este adevărată și litera F, dacă propoziția este falsă.

Argumentați răspunsul dat.

Propoziția

Valoarea de adevăr

Justificare/argumentare

a. Patrulaterul cu două unghiuri consecutive congruente este paralelogram. b. Paralelogramul cu diagonalele perpendiculare este romb.

c. Paralelogramul cu un unghi drept este pătrat.

d. Dreptunghiul în care o diagonală formează cu o latură un unghi de 45° este pătrat.

e. Rombul cu un unghi drept nu este pătrat.

2. Fie ABCD un paralelogram, O punctul de intersecție a diagonalelor și P un punct oarecare al paralelogramului. Dreapta PO intersectează a doua oară paralelogramul în punctul Q. a) Demonstrați că punctul Q este simetricul lui P față de punctul O. b) Completați spațiile libere pentru a obține o propoziție adevărată: „Punctul O este ………………………………… al paralelogramului ABCD.” 3. Completați spațiile libere pentru a obține propoziții adevărate: a) „Dreptunghiul are ...... axe de simetrie.” b) „Pătratul are ....... axe de simetrie.” c) „Rombul are ....... axe de simetrie.”

Argumentați, în fiecare caz, răspunsul dat.

51

FIȘĂ DE LUCRU

Aplică – Grupa nr. 6

Aplicând proprietățile patrulaterelor studiate, rezolvați următoarele probleme: 25cm . Calculați perimetrul paralelogramului.

1. Patrulaterul ABCD este paralelogram și AB + BC =

= FO = 4cm .

2. EFGH este un dreptunghi în care EG ∩ FH = {O} și HE a) Aflați măsura unghiului EOH. b) Calculați perimetrul triunghiului FOG. 3. Pe laturile pătratului ABCD se iau punctele M , N ∈ AB, P, Q ∈ BC , R, S ∈ CD și T ,U ∈ DA , astfel încât AM ≡ MN ≡ NB ≡ BP ≡ PQ ≡ QC ≡ CR ≡ RS ≡ SD ≡ DT ≡ TU ≡ UA . a) Realizați un desen care să corespundă datelor problemei. b) Demonstrați că BNSR este paralelogram. c) MQRU este dreptunghi.

3. Informare, consultare, dezbatere și redactare (20 de minute) Se proiectează schema recapitulativă referitoare la patrulatere. Se acordă elevilor timp pentru informare, consultare, dezbatere și redactare.

PATRULATERE – schemă recapitulativă

A : Ambele perechi de laturi opuse sunt paralele.

1 A : Ambele perechi de laturi opuse sunt congruente.

2 A : O pereche de laturi opuse sunt paralele și congruente.

3 A : Diagonalele se înjumătățesc.

4 A : Ambele perechi de unghiuri opuse sunt congruente.

5 A : D ouă perechi de unghiuri alăturate sunt suplementare (perechi 6 care au un unghi comun).

D : Are un unghi drept.

1 D : Are diagonalele congruente.

2 R : Are două laturi alăturate congruente.

1 R : Are diagonalele perpendiculare.

2 R : O diagonală este bisectoarea unui unghi.

3 B : Are o pereche de laturi paralele și cealaltă pereche de laturi sunt neparalele.

S : Are laturile neparalele congruente.

1 S : Are unghiurile alăturate unei baze congruente.

2 S : Are diagonalele congruente.

3 T : Are un unghi drept.

Elevii se consultă, își compară soluțiile și redactează soluția, pe care o scriu pe fișe.

4. Prezentarea rezultatelor de către fiecare grupă Reprezentantul grupei prezintă datele problemei, figura geometrică aferentă și soluția argumentată a acesteia, elevilor din celelalte grupe.

5. Afișarea produsului final al tuturor celor 6 grupe pe flipchart Pe flipchart, se vor afișa soluțiile problemelor de pe cele 6 fișe. Elevii le pot fotografia pentru a studia independent soluțiile date problemelor celorlalte echipe.

52

LUCRARE SCRISĂ LA MATEMATICĂ PE SEMESTRUL I, CLASA A VII-A

A. MATRICEA DE SPECIFICAȚII Competențe de evaluat

C1

C2

C3

C4

C5

C6

Total

I.1(5p)

II.2(5p)

10 p

I.2(5p)

5p

Conținuturi Rădăcina pătrată a unui număr rațional Scoaterea factorilor de sub radical Adunarea și scăderea numerelor reale

II.1(5p)

II.3(5p) III.1.a(10p) III.1.b(5p)

Paralelograme particulare.

Proprietăți Trapezul. Proprietăți Total

10 p

10 p

20 p

25 p III.2.a (5p)

III.2.b(10p) III.2.c(10p)

I.4(5p)

30 p

I.3(5p)

II.4(5p)

III.2.d(10p)

20 p

10 p

25 p

15 p

90 p

Competențe specifice asociate lucrării scrise în semestrul I, clasa a VII-a C1: (1.1) Determinarea rădăcinii pătrate a pătratului unui număr natural sau rațional C2: (4.1) Identificarea unor numere naturale, întregi, raționale sau iraționale în funcție de mulțimea căreia îi aparțin . Identificarea unei forme convenabile de scriere a unui număr real în funcție de un context dat C3: (3.1) Utilizarea regulilor de calcul pentru adunarea și scăderea numerelor reale. Valoarea absolută a unui număr real C4: (2.4.) Descrierea patrulaterelor utilizând definiții și proprietăți ale acestora, în configurații geometrice date C5: (3.4.) Utilizarea proprietăților patrulaterelor în rezolvarea unor probleme C6: (5.4.) Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării calculării unor lungimi de segmente, a unor măsuri de unghiuri și a unor arii

53

B. SUBIECTE Pentru rezolvarea corectă a tuturor cerințelor subiectelor I și II se acordă 90 de puncte. Din oficiu, se acordă 10 puncte.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru este de 50 de minute.

Subiectul I. Completați spațiile libere pentru a obține propoziții adevărate. (20 p) 5p

1. Rădăcina pătrată a numărului 2304 este .......

5p

2. Dacă 98= a ⋅ b , a, b ℕ, a > 1, atunci a + b este .......

5p

3. Patrulaterul ABCD în care AB || CD și AB > CD este un ......................

5p

4. Punctul O este centrul pătratului ABCD, perimetrul triunghiului AOB este ( 2 + 2 2 ) cm cm iar perimetrul triunghiului BCD este ( 4 + 2 2 ) cm. Perimetrul pătratului este egal cu ............. cm.

Subiectul II. Completați în căsuța alăturată fiecărui enunț litera A, dacă propoziția este adevărată și litera F, dacă propoziția este falsă. (20 p) 5p

1. Ordinea crescătoare a numerelor a = 1 − 36 , b = 3 − 121, c = 5 − 225 este c, a, b.

5p

2. Numărul 0,01 este irațional.

5p

3. Valoarea absolută a numărului d =−2 + 2 2 − ( 8 + 100 ) este 12.

5p

2 F − 100. Unghiurile ascuțite ale trapezului au măsura egală cu 80 .

4. EFGH este un trapez isoscel cu EF || GH și E =⋅

Subiectul al III-lea. Pentru problemele următoare scrieți rezolvările complete. (50 p) 1. Fie numerele { N= } BF ∩ CE și m = 3 − 3 − 3 − 3 3 .

10p

a) Stabiliți dacă numărul m este număr rațional sau număr irațional.

5p

b) Determinați numărul real p astfel încât m= p − n .

2. Se consideră rombul ABCD în care BD = 5 cm și ABC = 120 .

5p

a) Realizați un desen care să corespundă datelor problemei.

10p

b) Calculați măsura unghiului ACD .

10p

c) Calculați perimetrul rombului.

10p

d) Paralela prin punctul C la dreapta BD intersectează dreptele AB și AD în punctele E, respectiv F. Demonstrați că patrulaterul BDFE este trapez isoscel.

54

C. BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE Se punctează doar rezultatul. Pentru fiecare răspuns corect se acordă 5 puncte, pentru răspuns greșit se acordă 0 puncte.

Nu se acordă punctaje intermediare.

SUBIECTUL I Nr. item

I.1

20 de puncte I.2

I.3

I.4

SUBIECTUL II Nr. item

II.1

20 de puncte II.2

II.3

II.4

Rezultate

48

9

trapez

8 cm

Rezultate

F

A

A

A

Punctaj

5p

5p

5p

5p

Punctaj

5p

5p

5p

5p

SUBIECTUL III Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim prevăzut.

Pentru rezolvări parțiale, se acordă punctaje intermediare, exprimate prin numere întregi, în acord și în limitele punctajului prevăzut de barem.

a) = 3 III.1.

III.2.

5p

9 > 3 . Rezultă 3 − 3 > 0 și 3 − 3 =− 3 3

m =3 − 3 − 3 − 3 3 =3 − 3 − 3 − 3 3 =−4 3 . Numărul m este irațional.

5p

−4 3 + 4 3 , p = 0 . b) Din m= p − n , obținem p= m + n , p =

5p

a) Desenul

5p

b) Într-un romb, unghiurile alăturate sunt suplementare.

2p

Rezultă BCD = 180 − ABC = 180 − 120 = 60 .

3p

Diagonalele unui romb sunt și bisectoare ale unghiurilor rombului, deci.

2p

AB + BC = 25cm

3p

c) Din proprietățile rombului AB ≡ BC ≡ CD ≡ DA .

2p

Deoarece BCD = 60 , triunghiul BCD este isoscel cu un unghi de 60 ,

2p

deci este echilateral și T ,U ∈ DA

3p

.

PABCD = 4 ⋅ AB = 4 ⋅ 5 = 20cm .

3p

d) Din ipoteză BD  EF și BE ∩ DF = { A} . Rezultă că BDFE este trapez.

2p

BD  CF și DF  BC , rezultă că BCFD este paralelogram, deci DF ≡ BC . (2)

3p

BD  CE și CD  BE , rezultă că BDCE este paralelogram, deci BE ≡ CD . (3)

3p

Din (1), (2) și (3), rezultă BE ≡ DF , ceea ce arată că trapezul este isoscel.

55

2p

TEST DE EVALUARE PATRULATERE / CLASA A VII-A SUBIECTUL I (30 de puncte) Completați spațiile libere astfel încât să obțineți propoziții adevărate: 5p

1. Un unghi al unui paralelogram are măsura de 68 . Unghiul alăturat lui are măsura de …… 

5p

2. Paralelogramul cu ………………………………………………………. este dreptunghi.

5p

3. Unghiul format de diagonalele unui romb are măsura egală cu ……. grade.

5p

4. Un drepunghi are perimetrul 76,8 cm și lungimea 20,5 cm. Lățimea dreptunghiului este egală cu ……. cm.

5p

5. Pătratul ABCD cu AC ∩ BD = {O} are aria 121 cm2. Triunghiul AOB are aria ........... cm 2 .

5p

6. GEOM este un dreptunghi, ME ∩ GO = {L} iar LE = 7 cm. Atunci GO = …… cm.

SUBIECTUL II (60 de puncte) Pentru problemele următoare scrieți rezolvările complete:

1.

10 p

10 p 10 p

a) Pe fișa de răspuns desenați fiecare patrulater din figura de mai sus, folosind notațiile: paralelogramul ABCD, dreptunghiul EFGH, pătratul MNPQ și rombul IJKL. b) Patrulaterele desenate au perimetrele egale, iar lungimile laturilor sunt exprimate în cm, prin numere naturale cu AB > BC, EF > FG. b1) Dacă PABCD = 8 cm, aflați lungimile segmentelor EF și LK.  b2) Dacă EF + EH = 4 cm și CAD NMQ = = 60°, lungimea segmentului NQ. 10aflați

10 p 20 p

2. Patrulaterul DEVA este un dreptunghi, DE > EV, iar punctual H este centrul dreptunghiului.

O dreaptă ce trece prin punctul H și este perpendiculară pe AE, intersectează AV în T și DE în M. a) Realizați un desen care să corespundă datelor problemei. b) Arătați că MATE este romb.

Notă: Se acordă 10 puncte din oficiu.

Timp de lucru 50 de minute.

56