Matematică. Caiet de activități, clasa a V-a

VREAU SĂ ȘTIU Dorin Linț Maranda Linț Sorin Doru Noaghi

 Scurt breviar teoretic  Exerciții și probleme propuse  Teste inițiale  Teste de autoevaluare  Teste finale  Indicații și răspunsuri

5

CLASA

Matematică Caiet de activități

VREAU SĂ ȘTIU

5

CLASA

Matematică Caiet de activități

Matematică. Caiet de activități, clasa a V-a Dorin Linț, Maranda Linț, Sorin Doru Noaghi Copyright © 2021 Grup Media Litera Toate drepturile rezervate

Editura Litera tel.: 0374 82 66 35; 021 319 63 90; 031 425 16 19 e‑mail: contact@litera.ro www.litera.ro Editor: Vidrașcu și fiii Redactor: Gabriela Niță, Carmen Birta Corector: Carmen Bîtlan Copertă: Vlad Panfilov Tehnoredactare: Lorena Ionică, Banu Gheorghe Ilustrații: Shutterstock

Cuvânt-înainte Lucrarea de față reprezintă prezentarea succintă, dar explicită a conținuturilor prevăzute de programa școlară de matematică pentru clasa a V-a, din perspectiva competențelor generale și specifice precizate în Anexa nr. 2 la ordinul ministrului educației naționale nr. 3393/28.02.2021. Lucrarea ilustrează viziunea autorilor și oferă elevilor, părinților și profesorilor un instrument de lucru ușor de parcurs.

Prima parte a lucrării conține probleme recapitulative și teste inițiale, concepute așa încât să poată fi evaluat nivelul de realizare a competențelor generale, din perspectiva competențelor specifice aferente clasei a IV-a.

A doua parte, cea de fond, urmărește temele prevăzute de programa școlară, grupate pe unități de învățare, delimitate și prezentate într-un format uniform, echilibrat.

Fiecare unitate de învățare conține: 

o sinteză a cunoștințelor teoretice;



activități de învățare constând în mai multe tipuri de itemi obiectivi, semiobiectivi și subiectivi;



teste de evaluare/autoevaluare.

Breviarul teoretic oferă elevilor posibilitatea de a folosi acest auxiliar și în absența unui manual.

Activitățile de învățare constau în diferite tipuri de itemi și vizează formarea deprinderilor, formarea și dezvoltarea abilităților matematice, dezvoltarea motivației superioare privind învățarea matematicii.

Pentru menținerea unui tonus bun al elevilor, deși itemii sunt de diferite grade de dificultate, în lucrare este evitată delimitarea clară a nivelului acestora, autorii considerând că ar constitui un factor de inhibiție pentru unii copii.

Abordarea intuitivă, configurațiile geometrice sugestive facilitează înțelegerea profundă și sporește motivația în rândul elevilor.

Pentru perioada de recapitulare și sistematizare a cunoștințelor, esențială în desăvârșirea „construcției” realizate pe parcursul anului școlar, lucrarea conține probleme recapitulative și teste finale.

Caietul de activități poate fi o resursă utilă și pentru profesorii care predau matematică la clasa a V-a și care doresc un mic sprijin în demersului didactic.

Autorii

3

Cuprins RECAPITULARE ȘI EVALUARE INIȚIALĂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. PROBLEME RECAPITULATIVE DIN MATERIA DE CLASA A IV-A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. TESTE DE EVALUARE INIȚIALĂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 I. 1.

1.1 1.2

NUMERE. NUMERE NATURALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

NUMERE NATURALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Scrierea și citirea numerelor naturale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Reprezentarea numerelor naturale pe axa numerelor.

Compararea și ordonarea numerelor naturale; aproximări, estimări. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. OPERAȚII CU NUMERE NATURALE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 Adunarea numerelor naturale, proprietăți; scăderea numerelor naturale . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Înmulțirea numerelor naturale. Factor comun. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Împărțirea numerelor naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Puterea cu exponent natural a unui număr natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. METODE ARITMETICE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1 Metoda reducerii la unitate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Metoda comparației. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Metoda figurativă. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Metoda mersului invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Metoda falsei ipoteze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. DIVIZIBILITATE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1 Divizor, multiplu, divizori comuni; multipli comuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Criterii de divizibilitate. Numere prime; numere compuse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 12 12 17 23 23 29 33 38 49 54 54 57 59 61 64 67 67 70

II. NUMERE. ORGANIZAREA DATELOR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 1. FRACȚII ORDINARE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 1.1 Fracții ordinare; fracţii subunitare, echiunitare, supraunitare; procente; fracţii echivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 1.2 Compararea fracţiilor; reprezentarea pe axa numerelor a unei fracţii ordinare. . . . . . . . . . . . 81 1.3 Introducerea întregilor în fracție. Scoaterea întregilor din fracție . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 1.4 Cel mai mare divizor comun a două numere naturale.

Amplificarea și simplificarea fracțiilor. Fracții ireductibile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1.5 Cel mai mic multiplu comun a două numere naturale; aducerea fracțiilor la un numitor comun. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 1.6 Adunarea și scăderea fracțiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 1.7 Înmulțirea fracțiilor, puteri. Împărțirea fracțiilor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 1.8 Fracţii/Procente dintr-un număr natural sau dintr-o fracţie ordinară. . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5

2. FRACȚII ZECIMALE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 2.1 Fracţii zecimale; scrierea fracţiilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10 sub formă de fracţii zecimale; transformarea unei fracţii zecimale cu un număr finit de zecimale nenule în fracţie ordinară. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 2.2 Aproximări; compararea, ordonarea şi reprezentarea pe axa numerelor a unor fracții zecimale cu un număr finit de zecimale nenule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 2.3 Adunarea şi scăderea fracţiilor zecimale cu un număr finit de zecimale nenule. . . . . . . . . . 126 2.4 Înmulțirea fracţiilor zecimale cu un număr finit de zecimale nenule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2.5 Împărţirea a două numere naturale cu rezultat fracţie zecimală; aplicație: media aritmetică a două sau mai multe numere; transformarea unei fracţii ordinare într-o fracţie zecimală; periodicitate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 2.6 Împărţirea unei fracţii zecimale cu un număr finit de zecimale nenule la un număr natural nenul; împărţirea a două fracţii zecimale cu un număr finit de zecimale nenule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 2.7 Transformarea unei fracţii zecimale periodice în fracţie ordinară. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 2.8 Număr rațional pozitiv; ordinea efectuării operațiilor cu numere raționale pozitive. . . . . . 147 2.9 Metode aritmetice pentru rezolvarea problemelor cu fracții în care intervin și unități de măsură pentru lungime, arie, volum, capacitate, masă, timp și unități monetare. . . . . . 153 2.10 Probleme de organizare a datelor; frecvență; date statistice organizate în tabele, grafice cu bare și/sau cu linii; media unui set de date statistice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 III. ELEMENTE DE GEOMETRIE ȘI UNITĂȚI DE MĂSURĂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Punct, dreaptă, plan, semiplan, semidreaptă, segment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Poziții relative ale unui punct față de o dreaptă. Poziții relative a două drepte. . . . . . . . . .

3. Distanța dintre două puncte. Simetrie față de un punct. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Unghiuri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Măsura unui unghi, unghiuri congruente. Clasificări de unghiuri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Calcule cu măsuri de unghiuri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Figuri congruente. Axă de simetrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Unități de măsură. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163 163 170 175 182 186 191 196 205

IV. PROBLEME RECAPITULATIVE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 INDICAȚII ȘI RĂSPUNSURI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

RECAPITULARE ȘI EVALUARE INIȚIALĂ 1. PROBLEME RECAPITULATIVE DIN MATERIA DE CLASA A IV-A 1

Completați tabelul următor, după model:

Numărul

Cifra Numărul Cifra Cifra Cifra Cifra Numărul Numărul Numărul Numărul zecilor zecilor unităților zecilor sutelor miilor unităților zecilor sutelor miilor de mii de mii

17 592

2

9

5

7

1

17592

1759

175

17

1

20 315 99 999 2

3

4

Completați rezultatul corect pentru fiecare dintre calculele: a) 247 + 6254 =

e) 127 × 8 =

b) 706 − 279 =

f)

245 × 32 =

c) 5987 + 78956 =

g)

639 : 3 =

d) 12007 − 3496 =

h) 2043 : 9 =

Completați în căsuțe operațiile potrivite astfel încât să obțineți rezultatele indicate: a) 1

1

1

1=1

b) 2

2

2

2

2=2

c) 3

4

5

6

7

Înlocuiți steluțele cu cifre astfel încât operațiile să fie corecte: a)

5

8 = 10

6**92 + *47** 99042

b)

*805*1 − 6***1* 187084

c) 4** ×

57 **86 **** ****6

Completați tabelul după model:

Numărul 19 582

Aproximarea prin lipsă la zeci la sute la mii 19 580 19 500 19 000

Aproximarea prin adaos la zeci la sute la mii 19 590 19 600 20 000

Rotunjirea la zeci la sute la mii 19 580 19 600 20 000

192 837 199 779 Re ca p i t u l a re ș i eva l u a re i n i ț i a l ă

7

6

7

a) Scrieți cel mai mic număr natural de trei cifre care se poate forma, folosind cel puțin una din cifrele 5, 0, 7, 2. b) Scrieți cel mai mare număr natural de trei cifre care se poate forma, folosind cel puțin una din cifrele 5, 0, 7, 2.

8

a) Formați toate numerele naturale de patru cifre distincte, folosind cifrele 4, 8, 0, 1. b) Scrieți în ordine crescătoare numerele găsite la subpunctul a).

9

Scrieți cu cifre arabe numerele: a) două sute opt mii trei sute șapte zeci și cinci; b) nouă zeci de mii nouă; c) trei sute de mii cinci zeci și opt.

10

Scrieți cu cifre romane numerele: a) două zeci și șapte; b) o sută opt zeci și trei; c) patru sute patru.

11

12

8

a) Scrieți cel mai mic număr natural de trei cifre distincte (diferite) care se poate forma cu cifrele 5, 9 și 1. b) Scrieți cel mai mare număr natural de trei cifre distincte care se poate forma cu cifrele 5, 9 și 1.

Se consideră numărul 192837. a) Aproximați numărul dat, prin lipsă, la: zeci, sute, mii. b) Aproximați numărul dat, prin adaos, la: zeci, sute, mii. c) Rotunjiți numărul la ordinul zecilor, sutelor, miilor.

Se consideră numerele a, b, c, d și S astfel: a = 317, numărul b este cu 73 mai mare decât a, numărul c este cu 137 mai mic decât dublul lui b, numărul d este de trei ori mai mare decât c, iar S este suma numerelor a, b, c și d. a) Scrieți relațiile care rezultă din descrierea numerelor, folosind operațiile cunoscute. b) Calculați numerele b, c, d și S.

Re ca p i tul a re și evaluare inițială

13

Într-o livadă, s-au plantat meri, peri și cireși.

Numărul merilor este 75, numărul perilor este de două ori mai mare, iar numărul cireșilor este jumătate din numărul pomilor plantați.

Calculați numărul cireșilor plantați în livadă.

14

Pe tablă sunt scrise numerele 201, 102 și 303. a) Scrieți în ordine crescătoare cele trei numere. b) Determinați câtul și restul împărțirii numărului mai mare la numărul mai mic. c) Aflați câtul și restul împărțirii dintre suma celor două numere mai mici și numărul mai mare.

15

Efectuați calculele, respectând ordinea efectuării operațiilor: a) 589 − (784 −391); b) 789 + (354 − 297); c) 4 × 78 + 234; d) 8 × (174 − 89 + 36); e) 56 : 8 + 56 : 7 + 56 : (8 × 7); f) 230 : 10 + 4500 : 100; g) 5 × 17 + 3 × (88 − 9 × 8); h) 8 × (174 − 189 : 3); i) 707 × 1 − 707 × 0 − 707 : 7.

16

Se consideră numerele a = 441 și b = 3. Aflați: a) suma numerelor (a + 7) și (b + 549); b) câtul și restul împărțirii numărului a la b; c) de câte ori este mai mic numărul b decât numărul a.

17

Jumătatea unui număr este 350, iar sfertul unui alt număr este 152. Calculați suma celor două numere.

18

Împărțind numărul natural n la 5 obținem câtul 55. Aflați toate valorile pe care le poate lua n.

19

Pe un teren, urmează să se planteze 1008 brazi. Timp de cinci zile, 12 muncitori au plantat fiecare câte 7 brazi pe zi. Aflați câți brazi mai sunt de plantat și în câte zile vor termina lucrarea, dacă păstrează aceeași viteză de lucru.

20

21

22

23

24

25

26

Efectuați calculele: a) (408 : 8 + 32 × 23) − 784; b) 255 : (77 − 8 × 9) − (120 : 6 − 345 × 0) : 2; c) 444 + 44 × (378 : 9 −1 × 2 × 3 × 4); d) 345 × 10 + (123 × 4 + 576 : 8 + 436) : 1000. a) Calculați numerele n, m și p, știind că n = 15 × 17 + 17 × 19 − 19 × 21, m = (75 × 4 − 140) : 10 și p = 84 : 7 − 120 : 4 : 10. b) Calculați A = 7 × n + 378 : p. c) Calculați B = n × m + n × p − 30 × n.

Bogdan are de parcurs cu mașina un traseu de 625 km. Primele două ore se deplasează cu viteza medie de 80 km/h, apoi face pauză o oră. Aflați viteza medie cu care trebuie să parcurgă distanța rămasă, pentru a ajunge la destinație după opt ore de la plecare.

Diferența dintre două numere naturale este 10. Dacă se mărește unul dintre numere cu 11, acesta devine de patru ori mai mare decât celălalt. Aflați cele două numere.

Alin, Bogdan și Cristi au împreună 220 de timbre. Alin și Bogdan au împreună 110 de timbre, iar Bogdan și Cristi au împreună 190 timbre. Calculați: a) numărul de timbre pe care îl au împreună Alin și Cristi; b) numărul de timbre pe care îl are fiecare dintre cei trei copii.

Aflați numărul x din egalitățile: a) x + 29 × 92 = 3003; b) 2750 − x = 1897; c) 9 × x = 98766; d) (19 × 20 + 20) : ( x + 40) = 4.

2 George calculează din 60, iar Florin calcu3 lează 4 din 50. Alina, colega lor spune că cei 5 doi trebuie să obțină rezultate egale. Efectuați calculele necesare și decideți dacă Alina are dreptate.

27

Calculați suma tuturor numerelor naturale de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu 8.

28

Pe parcursul unei zile, Marius este la școală cinci ore, se joacă trei ore, 120 de minute își pregătește lecțiile, opt ore doarme, iar în restul timpului își ajută părinții. Precizați fracția corespunzătoare fiecărei activități, raportată la cele 24 de ore ale unei zile.

29

Anca are 80 de ilustrate, două cincimi dintre acestea sunt primite de la prieteni din străinătate, iar celelalte de la prieteni din România.

Aflați numărul ilustratelor primite de la prietenii din România.

30

Vlad dispune de o sumă de bani și dorește să cumpere mai multe stilouri de același fel.

Dacă ar cumpăra patru stilouri, i-ar mai rămâne 120 de lei, iar dacă ar cumpăra șase stilouri, ar mai avea nevoie de încă 30 de lei. a) Aflați prețul unui stilou. b) Aflați suma de bani pe care o are Vlad.

31

a) S crieți cinci numere impare consecutive, știind că unul dintre ele este 2021. Identificați toate cazurile posibile. b) Calculați suma celor cinci numere pentru fiecare caz găsit la subpunctul a). c) Calculați diferența dintre cea mai mare și cea mai mică sumă posibilă.

32

Într-un depozit, sunt lădițe cu mere și lădițe cu pere. Fiecare lădiță cu mere cântărește a kg și fiecare lădiță cu pere cântărește b kg. Știind că 11 lădițe cu mere și 7 lădițe cu pere cântăresc 187 kg, iar 14 lădițe cu pere și 20 lădițe cu mere cântăresc 354 kg, calculați a + b.

33

Parcul din cartier are formă de dreptunghi și este împrejmuit complet cu un gard de 148 m. a) Aflați dimensiunile dreptunghiului, știind că lungimea este cu 5 m mai mare decât dublul lățimii. b) Aflați lungimea laturii unui pătrat care are perimetrul egal cu lungimea gardului.

Re ca p i t u l a re ș i eva l u a re i n i ț i a l ă

9

2. TESTE DE EVALUARE INIȚIALĂ TEST DE EVALUARE NR. 1 I. La cerințele următoare alegeți litera care indică varianta corectă de răspuns; doar un răspuns este corect.

5p

1

Suma dintre cel mai mare număr natural format din trei cifre diferite și cel mai mic număr natural de două cifre este: A. 999; B. 998; C. 997; D. 1000.

5p

2

Numărul numerelor pare cuprinse între 123 și 201 este: A. 39; B. 38; C. 37;

D. 40.

Produsul 2 · 33 · 444 are cifra miilor egală cu: A. 7; B. 9; C. 5;

D. 0.

Suma numerelor naturale care împărțite la 3 dau câtul 4 este: A. 12; B. 15; C. 27;

D. 39.

5p 5p

3 4

II. La cerințele următoare se cer rezolvări complete.

15p

1

Efectuaţi calculele și exprimați rezultatul în unitatea de măsură cerută: a) 4 m + 28 dm − 2840 mm = cm ; b) 43 kg − 4250 dg =

g;

c) 3 zile + 60 minute =

ore.

20p

2

Suma a patru numere naturale este 127. Aflați numerele, știind că trei dintre ele sunt consecutive, iar al patrulea este egal cu cel mai mic dintre numere.

20p

3

Bunicul are un teren în formă de dreptunghi. Lungimea terenului este de 38 m, iar lăţimea este cu 11 m mai mică decât lungimea. Aflaţi lungimea gardului cu care este împrejmuit terenul.

15p

4

Completați în dreptunghiurile de mai jos numere naturale, în așa fel încât suma numerelor scrise în oricare trei dreptunghiuri alăturate să fie aceeași.

37

Notă.

10

Timpul de lucru: 40 de minute.

Se acordă 10 puncte din oficiu.

Re ca p i tul a re și evaluare inițială

101

83

TEST DE EVALUARE NR. 2 I. La cerințele următoare alegeți litera care indică varianta corectă de răspuns; doar un răspuns este corect.

5p

1

Numărul dreptunghiurilor din figura alăturată este: A. 3; B. 4; C. 5; D. 6.

5p

2

Fracția care reprezintă porțiunea nehașurată din pătrat este: 3 5 3 3 A. ; B. ; C. ; D. .

6 8 5 8

5p

3

Suma termenilor care lipsesc din șirul 5, 1, 55, 2, 555, 3, …, …, …, 5 sunt: A. 61114; B. 55555; C. 61614; D. 65656.

5p

4

Dacă înmulțim un număr cu dublul său se obține rezultatul 200. Numărul este: A. 100; B. 20; C. 15; D. 10.

II. La cerințele următoare se cer rezolvări complete.

15p

1

Efectuaţi calculele: a) 2 + 2 × 222 + 222 =

;

b) 342 − 47 × [111 : 3 – 300 : (101 – 7 × 13)] = 20p

2

;

Maria are 10 ani. Acum un an, vârsta ei reprezenta un sfert din vârsta mamei sale. Aflați suma vârstelor Mariei și a mamei sale.

Traseul A

20p

3

a) Parcurgând traseul A, aflați numerele care trebuie scrise în căsuțele libere și numărul x. b) Parcurgând traseul B, aflați numerele care trebuie scrise în căsuțele libere și numărul y.

–5×7

:8

×3

360

x :9

– (y + 2) +6×8 Traseul B

15p

Notă.

4

Adrian are bețișoare cu lungimea de 5 cm și bețișoare cu lungimea de 80 mm. Aflați numărul bețișoarelor folosite pentru a obține un segment cu lungimea 39 cm.

Timpul de lucru: 40 de minute.

Se acordă 10 puncte din oficiu.

Re ca p i t u l a re ș i eva l u a re i n i ț i a l ă

11

I

NUMERE. NUMERE NATURALE

1

NUMERE NATURALE

1.1

Scrierea și citirea numerelor naturale

A. BREVIAR TEORETIC Pentru scrierea numerelor naturale se folosesc cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Fiecare cifră reprezintă semnul grafic al unui număr mai mic decât zece. Pentru numerele mai mari, se folosesc 2, 3 sau mai multe cifre.

Astfel, fiecare număr natural se reprezintă (se scrie) printr-o succesiune de cifre, respectând următoarele reguli:  Cifrele folosite se pot repeta.  Prima cifră a unui număr de cel puțin două cifre, nu poate fi 0.  Fiecare cifră reprezintă un anumit ordin, în funcție de poziția pe care este scrisă. Ultima cifră reprezintă ordinul cel mai mic (al unităților).  Fiecare cifră a unui număr, cu excepția ultimei, are ordinul imediat superior cifrei din dreapta sa.  Cifrele sunt grupate pe clase de câte trei cifre; de la dreapta la stânga, se scriu: clasa unităților (compusă din ordinul unităților, ordinul zecilor, ordinul sutelor), clasa miilor (compusă din ordinul miilor, ordinul zecilor de mii, ordinul sutelor de mii), clasa milioanelor (compusă din ordinul milioanelor, ordinul zecilor de milioane, ordinul sutelor de milioane),...

Observație. Zece unități de un anumit ordin formează o unitate de ordin imediat superior.

De exemplu: 10 unități = 1 zece; 10 zeci = 1 sută; 10 sute = 1 mie; 10 mii = 1 zece de mii; 10 zeci de mii = 1 sută de mii...

Orice număr natural se scrie, folosind în ordine cifrele sale, ca sumă de unități, zeci, sute, mii,..., în mod unic. Această scriere se numește descompunerea zecimală a numărului.

Numerele naturale se citesc de la stânga la dreapta, precizând ordinul fiecărei cifre nenule (diferită de 0).

Exemplu:

12

Cifra miilor

Cifra sutelor

Cifra zecilor

Cifra unităților

703 594

Descompunerea zecimală: 703 594 =

Cifra zecilor de mii

Numărul

Clasa unităților

Cifra sutelor de mii

Clasa miilor

7 × 100000 + 0 × 10000 + 3 × 1000 + 5 × 100 + 9 × 10 + 4

7

0

3

5

9

4

Citire: șapte sute trei mii cinci sute nouă zeci și patru

I • N um e re . Nume re naturale

Atunci când nu dorim să precizăm toate cifrele, putem folosi notații de forma ab, abc, abcd, ... unde prin literele a, b, c, d am notat cifrele corespunzătoare fiecărui ordin.

Scrierea numărului

Descompunerea zecimală a numărului

ab

a zeci, b unități

a × 10 + b

abc

a sute, b zeci, c unități

a × 100 + b × 10 + c

abcd

a mii, b sute, c zeci, d unități

a × 1000 + b × 100 + c × 10 + d

a1a2a3a4a5 a1 zeci de mii, a2 mii, a3 sute, a4 zeci, a5 unități a1 × 10000 + a2 × 1000 + a3 × 100 + a4 × 10 + a5

Scrierea cu cu cifre romane În civilizația romană antică, pentru scrierea numerelor se foloseau 7 simboluri, numite cifre romane și anume: I, V, X, L, C, D, M, corespunzătoare respectiv numerelor: 1, 5, 10, 50, 100, 500 și 1000.

Pentru scrierea celorlalte numere naturale, se au în vedere următoarele: 

Dacă oricare două simboluri alăturate au valorile în ordine descrescătoare sau sunt de aceeași valoare, numărul se citește de la stânga la drepta, făcând suma valorilor reprezentate de fiecare simbol individual.



acă un simbol are valoare mai mică decât D cel de după el, atunci se face diferența acestora, care se adună cu valorile celorlalte simboluri.



În fața unei cifre romane se poate scrie cel mult o cifră cu valoare individuală mai mică decât a acesteia.

Exemple: 1) II = 2; III = 3; IV = 5 – 1 = 4; VI = 5 + 1 = 6; VII = 5 + 1 + 1 = 7; VIII = V + 1 + 1 + 1 = 8; IX = 10 – 1 = 9; XI = 10 + 1 =11; XII = 10 + 2 = 12; XIII = 10 + 3 = 13; XIV = 10 + 4 = 14; XV = 10 + 5 = 15; XVI = 10 + 6 = 16; 2) 49 = 40 + 9; 40 = 50 – 10; 40 = XL și 9 = IX, deci 49 = XLIX 3) CCCLIV = 300 + 50 + 4 = 354 CCXLIX =200 + 40 + 9 = 249.



imbolurile I, X, C se pot scrie unul după S altul și se pot repeta în scrierea unui număr de maximum trei ori.

4) 2135 = 2000 + 100 + 30 +5 2000 = MM; 100 = C; 30 = XXX; 5 = V. Obținem 2135 = MMCXXXV.



imbolurile V, L, D nu se pot repeta, ele S se pot scrie doar o dată într-un număr.

5) 79 = 70 + 9, iar 70 = 50 + 20.

50 = L; 20 = XX; 9 = IX, deci 79 = LXXIX.



Nu există cifra 0.

6) MCCLVII = 1000 + 200 + 50 + 7 = 1257.

Observație. Cifrele romane se mai folosesc și astăzi, dacă dorim să amplificăm importanța numerotării. Se folosesc, de exemplu, pentru scrierea secolului în care a a avut, are sau va avea loc un eveniment, pentru numerotarea capitolelor unei cărți, pentru numerotarea părților unei lucrări deosebite etc.

I • N u m e re . N u m e re n a t u ra le

13

B. ACTIVITĂȚI DE ÎNVĂȚARE I. Completați spațiile libere conform cerințelor 1

Competați tabelul următor, folosind modelele prezentate: scriem 73

citim

scriem

citim

scriem

șapte zeci și trei

2005

două mii cinci

5017

șapte sute cinci zeci și nouă

406

1 023 2

cinci mii șaptesprezece nouă zeci de mii opt

nouă sute zece

13279

Pe tablă este scris numărul 486 375.

Completați simbolul × în căsuța corespunzătoare valorii de adevăr a fiecărui enunț, urmând modelul: Propoziția

Cifra miilor este 6.

A

F

Propoziția

×

Dacă ștergem cifra 4, noul număr are cifra zecilor egale cu 7.

Numărul miilor este 486

Cifra zecilor de mii este egală cu dublul cifrei sutelor de mii

F ×

Completați valorile potrivite în căsuțele libere, folosind modelul prezentat

Numărul

Dezvoltarea zecimală

ab

5 ⋅ 10 + 9

abc

4

A

Dacă la sfârșitul numărului adăugăm cifra 9, obținem un număr care are cifra zecilor de mii egală cu 8.

Cifra zecilor este 3.

3

Cifrele numărului a = 5; b = 9

a= 9 ⋅ 100 + b ⋅ 10 + 7 c = b poate fi: …

Numărul

Dezvoltarea zecimală

7987

a ⋅ 1000 + b ⋅ 100 + c ⋅ 10 + d

a= c=

b= d=

pqnm

7 ⋅ 1000 + 3 ⋅ 10 + 5

m= p=

n= q=

Completați şirurile următoare cu încă cinci termeni. a) b) c) d) e)

14

citim

0, 2, 4, 6, …, …, …, …, …, ….

13, 15, 17, …, …, …, …, …, ….

1, 11, 21, 31, …, …, …, …, …, …, ....

4, 10, 16, 22, …, …, …, …, …, …, ….

1, 12, 123, 1234, …, …, …, …, …, …, ….

I • N um e re . Nume re naturale

Cifrele numărului

II. Stabiliți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect.

1

Dacă 54 = a · 10 + b, atunci: A. a = 4 și b = 5; B. a = 5 și b = 4; C. a + b = 10; D. a – b = 4.

2

Dacă 987 = a · 100 + b · 10 + c, atunci: A. a = 7, b = 8, c = 9; B. a = 7, b = 9, c = 8; C. a = 9, b = 8, c = 7; D. a = 9, b = 7, c = 8.

3

4

Pentru scrierea tuturor numerelor de 2 cifre distincte se folosesc: A. 172 cifre; B. 162 cifre; C. 90 cifre; D. 89 cifre.

5

Dacă pentru numerotarea paginilor unei cărți s-au folosit 315 cifre, știind că pe prima pagină este scris numărul 1, numărul paginilor cărții este: A. 145; B. 126; C. 40; D. 142.

2

Asociați fiecărei litere care identifică un număr scris cu cifre arabe, în coloana A, litera care identifică același număr, scris cu cifre romane, în coloana B.

Pentru scrierea tuturor numerelor de 2 cifre se folosesc: A. 180 cifre; B. 198 cifre; C. 90 cifre; D. 99 cifre.

III. Stabiliți asocierile corecte.

1

Se consideră numărul 7 689 023. Asociați fiecărei litere care identifică o cifră a numărului dat, scrisă în coloana A, cifra care identifică semnificația acesteia, scrisă în coloana B. A a) cifra 7 b) cifra 9 c) cifra 0 d) cifra 3 e) cifra 2 f) cifra 6 g) cifra 8

Cu cifre arabe a) 4 b) 10 c) 21 d) 1000 e) 145 f) 34 g) 1121 h) 99

B 1) cifra unităților 2) cifra zecilor 3) cifra sutelor 4) cifra miilor 5) cifra zecilor de mii 6) cifra sutelor de mii 7) cifra milioanelor

Cu cifre romane m) X n) M p) MCXXI q) IV r) CXLV s) XCIX t) XXXIV u) XXI

IV. Scrieți rezolvările complete.

1

2

Scrieți, cu litere, numerele naturale: a) 37; 759; 406; 910; 1 023; 4 567; 8 009; 12 345; 135 791; 767 676; 123 456 789; 970 000 018. b) 20; 300; 450; 1 000; 3 700; 5 040; 123 000; 340 000; 50 000 000; 70 700 007; 1 000 010 001. a) Scrieți, cu litere, numerele naturale corespunzătoare următoarelor lungimi: 401 m; 5 376 km; 100 100 dm.

b) Scrieți, cu litere, numerele naturale corespunzătoare următoarelor cantități: 432 g; 1 809 kg; 14 437 dag; 7007 t.

3

Scrieți, cu cifre, apoi în litere: a) anul în care te-ai născut; b) anul în care ai întrat în clasa I; c) anul în care ne aflăm; d) anul în care vei absolvi clasa a VIII-a.

I • N u m e re . N u m e re n a t u ra le

15

4

5

Scrieți cu cifre arabe (în baza zece) următoarele numere: a) o sută treizeci şi șase; b) două mii o sută optzeci şi trei; c) patruzeci şi nouă de mii nouă sute cincizeci şi cinci; d) o mie unu; e) trei milioane șaizeci și patru; f) patruzeci şi patru de milioane o mie trei.

Scrieți cu cifre romane numerele: a) nouă; b) douăzeci și trei; c) cincizeci și patru ; d) patru sute; e) o mie.

6

Scrieți cu cifre arabe următoarele numere: V, L, X, C, D, M, XII, XIX, XC, MMMC.

7

Precizați ordinul reprezentat de cifra 7 pentru fiecare din numerele: 7; 47 123; 10 070; 7 654 321; 700 000.

8

Scrieți: a) numerele naturale mai mici decât 11; b) numerele naturale cuprinse între 38 şi 51; c) şirul crescător al numerelor naturale de forma a5.

12

Scrieți: a) toate numerele de trei cifre care au suma cifrelor 3; b) cinci numere naturale care au produsul cifrelor 8.

13

Determinați numărul cifrelor folosite pentru a scrie toate numerele naturale cel mult egale cu 78. Precizați de câte ori s-a folosit cifra 0 pentru scrierea acestor numere.

14

Se consideră numerele naturale: 7; 19; 404; 2006; 170; 2021; 393; 315 731; 1 256 893; 109 109 108. Grupați numerele date în funcție de paritatea acestora.

15

Scrieți: a) şirul numerelor pare mai mici decât 21; b) şirul numerelor impare cuprinse între 78 şi 87.

16

a) Scrieți patru numere pare care au cifra zecilor 7. b) Scrieți patru numere impare care au cifra unităților mai mare decât 7.

a) Determinați cifrele a și b, știind că 79 = a · 10 + b. b) Determinați cifrele a, b și c, știind că 148 = a · 100 + b · 10 + c.

16

11

9

Scrieți trei numere de forma abcba cu cifre, apoi cu litere.

10

Scrieți toate numerele de trei cifre distincte (oricare dintre cifrele folosite apărând o singură dată) care se pot forma cu cifrele 3, 4, 0, 7. Precizați numărul numerelor găsite.

I • N um e re . Nume re naturale

1.2

Reprezentarea numerelor naturale pe axa numerelor.

Compararea și ordonarea numerelor naturale; aproximări, estimări

A. BREVIAR TEORETIC

Reprezentarea numerelor naturale pe axa numerelor Șirul numerelor naturale 0, 1, 2, 3, ..., n, n + 1, ... este infinit, deci nu există un cel mai mare număr natural.

Doi termeni vecini (care se scriu unul după altul) ai acestui șir, n și n + 1 se numesc numere naturale consecutive.

Pentru n și n + 1, numere naturale consecutive:  numărul n se numește predecesorul numărului n + 1;  numărul n + 1 se numește succesorul numărului n.

Axa numerelor este o dreaptă pe care:  s-a fixat un punct O, numit originea axei;  s-a stabilit un sens pozitiv, sensul de parcurgere a dreptei;  s-a ales un segment, numit unitate de măsură, notat cu u; Reprezentarea pe axă a unui număr oarecare n se obține numărând exact n unități de măsură, începând de la origine, în sensul pozitiv al axei. În consecință, distanța dintre punctele O și P este n. Fiecărui număr natural n îi corespunde un singur punct P pe axă. Vom spune că:  P este reprezentarea pe axă a numărului natural n.  n este coordonata punctului P. Scriem P(n) și citim „P de coordonată n”, sau scriem xP = n și citim „coordonata punctului P este n”.

A(1); B(2); M(5); P(6);

Compararea și ordonarea numerelor naturale Pentru orice două numere naturale a și b, are loc una și numai una din relațiile: a < b (a mai mic decât b) sau a = b (a egal cu b) sau a > b, (a mai mare decât b).

Numărul a este mai mic sau egal cu b și scriem a ≤ b, dacă a < b sau a = b.

Numărul a este mai mare sau egal cu b și scriem a ≥ b, dacă a > b sau a = b.

A compara două numere naturale a și b înseamnă a stabili care dintre relațiile a < b, a = b, a > b are loc.



0

x

O

A

x<y

y

0

y

B

O

B

unctul A(x) este situat în stânga punctuP lui B(y) dacă și numai dacă x < y. 



x x>y

A

unctul A(x) este situat în dreapta puncP tului B(y) dacă și numai dacă x > y.

Punctele A(x) și B(y) coincid dacă și numai dacă x = y.

I • N u m e re . N u m e re n a t u ra le

17

Relația „ ≤ ” are proprietățile: 1. a ≤ a, oricare ar fi numărul natural a.

2. Dacă a ≤ b și b ≤ a, atunci a = b.

3. Dacă a ≤ b și b ≤ c, atunci a ≤ c.

A ordona crescător două sau mai multe numere naturale înseamnă a stabili ordinea acestora, așa încât fiecare număr să fie mai mic decât cel de după el.

A ordona descrescător două sau mai multe numere naturale înseamnă a stabili ordinea acestora, așa încât fiecare număr să fie mai mare decât cel de după el.

Pentru a compara două numere naturale, avem în vedere: 1. Dacă a și b nu au același număr de cifre, atunci este mai mare numărul care are mai multe cifre.

2. Dacă a și b au același număr de cifre, atunci comparăm prima cifră a fiecăruia.  Dacă cele două cifre sunt diferite, atunci este mai mare numărul pentru care prima cifră este mai mare.  Dacă cifrele sunt egale, atunci se compară cifrele de ordin imediat inferior. S e continuă procedeul până când se identifică prima pereche de cifre de același ordin, distincte. În această situație, este mai mare numărul care are cifra cea mai mare.

Exemple: 1. Dacă a = 1750 și b = 20320, 2. Dacă a = 3750 și b = 2320, 3. Dacă a = 3750 și b = 3720, numenumărul a are 4 cifre, iar nunumerele a și b au același rele a și b au același număr de cifre. mărul b are 5 cifre și 4 < 5, număr de cifre.

Din 3 = 3, 7 = 7, 5 > 2, rezultă deci a < b.

Din 3 > 2 rezultă a > b. a > b.

Aproximări, estimări Aproximarea prin lipsă la zeci, sute, mii, ... este cel mai mare număr natural, format numai din zeci respectiv sute, mii, ..., mai mic sau egal decât numărul dat.

Aproximarea prin adaos la zeci, sute, mii, ... este cel mai mic număr natural, format numai din zeci respectiv sute, mii, ..., mai mare sau egal decât numărul dat.

Consecință. Orice număr natural este mai mare sau egal decât orice aproximare prin lipsă a acestuia.

Orice număr natural este mai mic sau egal decât orice aproximare prin adaos a acestuia.

Rotunjirea unui număr natural la zeci, sute, mii, ... este aproximarea acestui număr prin lipsă sau prin adaos, după cum urmează:  Dacă diferența dintre numărul dat și cele două aproximări este aceeași, atunci se aproximează prin adaos.  Dacă diferența dintre numărul dat și cele două aproximări este diferită, atunci se folosește aproximarea pentru care diferența este mai mică.

Observație. Cifra de ordinul la care se face rotunjirea rămâne neschimbată (se face aproximare prin lipsă) dacă cifra următoare este mai mică decât 5.

Cifra de ordinul la care se face rotunjirea crește cu o unitate (se face aproximare prin adaos) dacă cifra următoare este mai mare sau egală cu 5.

Estimarea este o evaluare a unei cantități, având date incomplete sau insuficiente.

Dacă în cazul aproximărilor, eroarea este mai mică decât 10, 100, 1000, …, în cazul estimărilor nu știm cât de aproape suntem de valoarea exactă.

Observație. Rezultatul obținut prin efectuarea unor calcule cu aproximări ale unor numere este o estimare a rezultatului exact.

18

I • N um e re . Nume re naturale

B. ACTIVITĂȚI DE ÎNVĂȚARE I. Stabiliți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect.

1

u

În desenul alăturat, sunt reprezentate pe axa numerelor mai multe puncte.

0 A B C D E F G

a) Punctele care au coordonata un număr natural par sunt: A. B, D, F; B. A, C, E, G; C. O, B, D, F; b) Punctele care au coordonata un număr mai mic decât 3 sunt: A. A, B, C; B. O, A, B, C; C. A, B; c) Punctele care au coordonata un număr mai mare sau egal cu 5 sunt: A. E, F, G; B. F, G; C. D, E, F, G; 2

D. A, B, D, F. D. O, A, B. D. E.

Punctele A(2), B(5) și D(7) sunt reprezentate pe axa numerelor. Știind că O este originea axei, atunci: a) Punctul O este reprezentat: A. în stânga punctelor A, B, D; B. în stânga punctului C și în dreapta punctelor A și B; C. în dreapta punctului B și în stânga punctelor C și D; D. în dreapta punctelor A, B, D. b) Punctul A este: A. mijlocul segmentului OB; B. între punctele O și B; C. între punctele B și D; D. mai aproape de B decât de O.

II. Completați spațiile libere, conform cerințelor.

1

Observând în desenul alăturat axa numerelor, completați simbolul × în caseta corespunzătoare valorii de adevăr a fiecărei propoziții: propoziția

p1: Originea axei este punctul A. p3: Punctul C are coordonata 6.

2

A

B

C

D

E

u A

F

propoziția p2: Toate punctele reprezentate pe axă au coordonatele numere pare. p4: Numărului 8 este coordonata punctului E.

A

F

Comparați numerele naturale și completați în casetă unul dintre simbolurile <, =, >, astfel încât relația să fie adevărată. a) 1336

1309;

f) 1131

1112;

b) 843927

843926;

g) 12987

12897;

c) 22222

2229;

h) 123 × 10

1230;

d) 1011

1100;

j) 800 × 0

700;

e) 50505

5055;

k) 999

abcd.

I • N u m e re . N u m e re n a t u ra le

19

III. Scrieți rezolvările complete.

1

Rigla gradată din imagine are mai multe numere șterse.

a) Reprezentați printr-un desen axa numerelor, apoi completați numerele care lipsesc. b) Notați cu M punctul de coordonată 10, apoi cu N punctul de coordonată 15.

2

Pe caietul de matematică, reprezentați acest desen.

a) Scrieți coordonata punctului A, știind că unitatea de măsură este segmentul OM. b) Scrieți coordonata punctului B, știind că unitatea de măsură este de OP. 3

Reprezentați pe axă numerele naturale: 1; 4; 8; 15; 3; 10.

4

Considerând unitatea de măsură 5 mm, reprezentați pe axă numerele naturale: 2; 6; 0; 14; 9; 18.

5

Scrieți coordonatele punctelor reprezentate pe axă:

A

7

Ordonați descrescător şirurile de numere naturale: a) 7; 3; 71; 43; 19; 73; 11; 21; 35; 78; 41; 102; 201; 91; 88. b) 137; 107; 307; 701; 7 531; 7 703: 3 733; 3 337. c) 920 029; 290 092; 90 099; 90 092; 992 900; 900 099; 920.

8

Determinaţi toate numerele de forma 72x astfel încât 72x > 726.

9

Scrieți: a) toate numerele de forma aaa, mai mari decât 450. b) toate numerele de forma b00, mai mici decât 450.

10

Determinați cifra impară a, știind că 475a6 < 4a650.

11

Comparați următoarele numere, analizând toate cazurile posibile: a) 9a76 și 987a; b) 53a73 și 537a3.

6

Ordonați crescător numerele naturale: a) 57; 43; 29; 96; 67; 7; 15; 34; 20; 35; 81; 53; 71. b) 1 234; 1 342; 1 423; 1 243; 2 431; 4; 2 412; 3 412; 3 421; 4 321. c) 16 016; 16 015; 15 016; 15 015; 15 916.

13

În tabelul următor, sunt redate înălțimile unor vârfuri muntoase de pe teritoriul României.

Vârful Înălțimea (m)

Bucura Moldoveanu Negoiu 2 503

2 544

2 535

12

Se consideră următoarele cifre: 1; 9; 7; 5; 4. a) Scrieți cel mai mic, respectiv cel mai mare număr natural de cinci cifre, care se pot forma folosind numai cifrele date; b) Scrieți cel mai mic, respectiv cel mai mare număr de cinci cifre distincte, care se pot forma folosind numai cifrele date.

Omu

Parângul Mare

2 514

2 519

Peleaga Viștea Mare 2 509

a) Scrieți înălțimile în ordine descrescătoare. b) Scrieți numele vârfurilor din tabel, în ordinea descrescătoare a înălțimilor lor.

20

I • N um e re . Nume re naturale

2 527

14

În tabelul următor, sunt redate suprafețele unor lacuri de pe teritoriul României.

Lacul

Bicaz

Cinciș

Colibița

Fântânele

Oașa

Vidra

Vidraru

Suprafața (ha)

3 000

261

314

980

453

1035

893

a) Scrieți în ordine crescătoare numerele care reprezintă suprafețele. b) Scrieți numele lacurilor, în ordinea crescătoare a suprafețelor lor.

15

16

Determinați toate numerele naturale n, de trei cifre, care verifică simultan condițiile: a) n este număr par; b) suma cifrelor numărului este 13; c) 237 < n < 327.

Determinați numerele naturale de forma abcd, care verifică simultan condițiile: a) cifra unitaților este cea mai mare cifră impară; b) cifra miilor este cea mai mare cifră pară; c) b + c = 16.

17

Fie numărul A = 653210. Scrieți numărul care are în plus cifra 4 și care este cel mai mare posibil.

18

Fie numărul B = 45362718. Ștergeți o cifră dintre cele ale numărului B, astfel încât numărul obținut să fie cel mai mic posibil.

19

Scrieți aproximarea prin lipsă la zeci a următoarelor numere: 1007; 379; 46; 4835; 18; 1 240 000; 10.

20

Scrieți aproximarea prin adaos la zeci a următoarelor numere: 78; 253; 20 000; 45; 56 789; 10 401; 152; 3 806.

21

Scrieți aproximarea prin lipsă la mii, a următoarelor numere: 72 500; 86 698; 9 999; 789; 49 000; 1 234 567.

22

Rotunjiți la zeci, la sute și apoi la mii, fiecare dintre numerele: 8 837 320; 270 671; 53 987; 69 702; 2 288; 99 999; 128 976; 100 000 043.

23

Scrieți: a) cel mai mare număr par de patru cifre; b) cel mai mare număr par de patru cifre diferite; c) cel mai mic număr impar de trei cifre; d) cel mai mic număr impar de trei cifre diferite; e) toate numerele naturale pare de forma a333a; f) toate numerele naturale impare de forma 197aa.

24

a) Aflați numărul natural a, știind că între 36 și a sunt cuprinse 13 numere pare; b) Aflați numărul natural b, știind că între b și 101 sunt cuprinse 23 numere impare; c) Scrieți o pereche de numere a și b astfel încât între a și b să fie cuprinse 33 numere pare și 34 numere impare.

I • N u m e re . N u m e re n a t u ra le

21

C. TEST DE EVALUARE I. Completați în căsuță litera A, dacă propoziția este adevărată și litera F, dacă propoziția este falsă: 5p

1

Cel mai mic număr natural care are cifra sutelor egală cu dublul cifrei unităților este 102.

5p

2

Cel mai mare număr natural de patru cifre diferite, care este mai mic decât 2013, este 1987.

5p

3

Dacă 1 < a < 3 < b < 6 < c < 10, atunci a + b + c < 17.

5p

4

Rotunjind numărul 28765 la sute, se obține un număr mai mare decât 28777.

II. Scrieți rezolvările complete.

15 p 10 p 10 p 10 p 10 p 10 p 5p

Notă.

22

1

Scrieți toate numerele de trei cifre care au două cifre identice și suma cifrelor 7.

2

Scrieți cu cifre romane: a) succesorul numărului 37; b) predecesorul numărului 100.

3

Alegeți din șirul 100, 101, 110, 111, 112, 121, 211 numerele care au 11 zeci.

4

Numerele naturale 50, n, 100 sunt scrise în ordine crescătoare. a) Scrieți toate valorile naturale pare pe care le poate lua n. b) Scrieți toate numerele n care au suma cifrelor 14. c) Scrieți valoarea numărului n, pentru care M(n) este situat pe axa numerelor la distanță egală față de A(50) și B(100).

Timpul de lucru: 30 minute.

Se acordă 10 puncte din oficiu.

I • N um e re . Nume re naturale

2

OPERAȚII CU NUMERE NATURALE

2.1

Adunarea numerelor naturale, proprietăți; scăderea numerelor naturale

A. BREVIAR TEORETIC 

entru oricare numere naturale a și b, se definește număP rul natural unic a + b, numit suma acestora.

Operația prin care se asociază perechii de numere a și b suma a + b se numește operația de adunare.

Exemplu:

12 + 3 = 15 termeni

Numerele a și b se numesc termenii adunării. 

entru oricare numere naturale a și b, a ≥ b, se definește P numărul natural unic a – b, numit diferența acestora.

Operația de scădere asociază perechii de numere a și b, în această ordine, diferența a – b.

Numerele a și b se numesc termenii scăderii.

sumă

Exemplu:

12 – 3 = 9 descăzut

Pentru că ordinea numerelor este esențială, cei doi termeni au nume diferite: a se numește descăzut, iar b se numește scăzător.

scăzător

termeni

rest diferență

Proprietățile adunării Adunarea este asociativă: (a + b) + c = a + (b + c), (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10 și 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10, deci (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) oricare ar fi numerele naturale a, b, c.

Adunarea este comutativă: a + b = b + a, oricare ar fi numerele naturale a și b.

2 + 3 = 5 și 3 + 2 = 5, deci 2 + 3 = 3 + 2

Numărul 0 este element neutru pentru adunare: a + 0 = 0 + a = a, oricare ar fi numărul natural a.

0+5=5+0=5

În studiul algebrei folosim enunțuri care conțin numere și litere. Enunțurile despre care putem spune cu certitudine că sunt adevărate sau că sunt false se numesc propoziții matematice.

Exemple: 1. „12 + 3 = 15” este o propoziție adevărată.

2. „12 – 3 < 8” este o propoziție falsă.

Despre afirmația „a + 1 ≤ 5” nu putem stabili că este adevărată și nici că este falsă.

Dacă a se înlocuiește cu unul din numerele 0, 1, 2, 3, 4, atunci se obține un enunț adevărat, iar dacă a se înlocuiește cu 5 sau cu o valoare mai mare, atunci se obține un enunț fals.

Deoarece litera a reprezintă o notație pentru mai multe valori, aceasta se va numi variabilă.

I • N u m e re . N u m e re n a t u ra le

23

În rezolvarea problemelor, unele enunțuri (egalități sau inegalități) se transformă, cu scopul de a le reprezenta în forme diferite, astfel încât pentru toate valorile atribuite variabilei/variabilelor, să se păstreze valoarea de adevăr a enunțului inițial. De exemplu egalitatea „n + 5 + 1 = 8” se poate scrie „n + 6 = 8”, „n = 8 – 6”, apoi „n = 2”. Prin astfel de transformări vom obține enunțuri echivalente.

Pornind de la o egalitate sau de la o inegalitate, folosind operația de adunare sau operația de scădere a numerelor naturale, obținem: 1. Dacă n = p, atunci n + a = p + a, oricare ar fi numărul natural a.

2. Dacă n și p sunt numere naturale cu n ≤ p, atunci n + a ≤ p + a, oricare ar fi numărul natural a.

3. Dacă n, p, a și b sunt numere naturale cu n ≤ p și a ≤ b, atunci n + a ≤ p + b.

Observație. Proprietățile 2, 3 au loc și pentru relațiile <, >, ≥.

4. Dacă n, p, a și b sunt numere naturale cu n = p și a ≤ n, atunci n – a = p – a.

5. Dacă n și p sunt numere naturale cu n ≤ p și a ≤ n, atunci n – a ≤ p – a

+a

+a

n

=

p

n+a

=

p+a

B. ACTIVITĂȚI DE ÎNVĂȚARE I. Stabiliți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect.

1

C. 69 689;

D. 68 689.

2

Suma dintre cel mai mare număr par de trei cifre și cel mai mic număr de 5 cifre diferite este: A. 11 232; B. 10 232; C. 11 234; D. 10 122.

3

Dacă a + x = 991 și b + y = 119, atunci suma (a + b) + (x + y) este: A. 1100; B. 1110; C. 1010;

D. 1000.

Dacă a + b =10, b + c = 100, atunci numărul a + 2b + c este egal cu: A. 111; B. 101; C. 1000;

D. 110.

4

24

Rezultatul calculului 12 345 + 555 + 56 789 este: A. 69 699; B. 70 699;

5

Un creion costă 2 lei, un pix costă cu 5 lei mai mult decât un creion, iar un stilou costă cu 25 de lei mai mult decât un pix. Pentru un creion, un pix și un stilou vom plăti: A. 51 lei; B. 41 lei; C. 31 lei; D. 42 lei.

6

Rezultatul calculului 987 − 654 − 321 este: A. 10; B. 12;

C. 21;

D. 22.

7

Diferența dintre cel mai mic număr de patru cifre și cel mai mare număr par de trei cifre este: A. 2; B. 1; C. 3; D. 4.

8

Dacă a + b + c + d = 789 și a + c = 678, atunci numărul b + d este egal cu: A. 110; B. 101; C. 111; D. 121.

I • N um e re . Nume re naturale

9

Dacă descăzutul este 301 și diferența este 103, atunci scăzătorul are valoarea: A. 188; B. 187; C. 178; D. 198.

10

Pentru o riglă, un echer și un compas s-a plătit suma de 31 lei. Compasul costă 18 lei, iar echerul cu 9 lei mai puțin decât compasul. Prețul riglei a fost: A. 5 lei; B. 4 lei; C. 3 lei; D. 6 lei.

II. Stabiliți asocierile corecte.

Asociaţi fiecărei litere care identifică un calcul, scris în coloana A, cifra corespunzătoare răspunsului corect, aflat în coloana B. A

1

B

a. 25 + 99 + 75 + 1 = b. 399 + 85 + 101 + 15 = c. 2097 + 460 + 233 + 540 + 3 = d. 39 + 45 + 37 + 55 + 61 + 63 =

A

2

1. 3333 2. 200 3. 600 4. 400 5. 300

B

a. 135 − 99 − 13 =

1. 27 2. 26 3. 25 4. 24 5. 23

b. 1240 − 783 − 432 = c. 9027 − (11 225 − 2222) = d. 69 − 6 − 9 − (37 − 3 − 7) =

III. Completați spațiile libere conform cerințelor.

1

3

2

Calculați, apoi completați răspunsul corect. a) 2345 + 799 = b) 10029 + 9087 = c) 578 + 98789 = d) 714 + 99 + 5878 = e) 33 + 555 + 7777 = f) 54 + 4005 + 19992 =

Efectuați calculele necesare și completați în casetele libere numerele corespunzătoare. n m n + 576 n + m + 2021

748 3579

40956 9079

La o florărie s-au adus flori, după cum urmează: Bujori

Trandafiri

Gerbera

Hortensii

Fresii

roșii

roz

albi

roșii

portocalii

violet

albe

roz

roșii

galbene

34

45

60

75

38

62

24

36

55

25

Nr. bujori: .....

Nr. trandafiri: ....

Nr. gerbera: ....

Nr. hortensii: ....

Nr. fresii: ....

Numărul total al florilor primite: ..........

Efectuați calculele necesare, apoi completați în tabel spațiile punctate.

4

Se consideră numerele naturale a, b și s suma lor. Completați simbolul × în coloana corespunzătoare valorii de adevăr a propozițiilor: A F Propoziția p1: Dacă a și b sunt numere naturale pare, atunci s este număr natural par. p2: Dacă a și b sunt numere naturale impare, atunci s este număr natural impar. p3: Dacă a este număr par, iar b este număr impar, atunci s este număr natural par. p4: Dacă a este număr impar, iar s este număr par, atunci b este număr natural impar.

I • N u m e re . N u m e re n a t u ra le

25

5

7

Calculați, apoi completați răspunsul corect. a) 2345 − 1799 = b) 10038 − 1087 = c) 57800 − 38769 = d) 714 − (894 − 199) = e) 3344 + 5566 − 7777 = f) 2021 − [2022 − (202 − 22)] =

6

Efectuați calculele necesare și completați în casetele libere numerele corespunzătoare. n m m−n 17403 − (n + m)

748 3579

4956 10 079

Se consideră numerele naturale a, b cu a > b și d diferența lor. Completați simbolul × în coloana corespunzătoare valorii de adevăr a propozițiilor:

Propoziția p1: Dacă a și b sunt numere naturale pare, atunci d este număr natural par. p2: Dacă a și b sunt numere naturale impare, atunci d este număr natural impar. p3: Dacă a este număr par, iar b este număr impar, atunci s este număr natural impar. p4: Dacă a este număr impar, iar d este număr par, atunci b este număr natural par.

A

F

IV. Scrieți rezolvările complete.

1

2

3

4

26

Calculaţi sumele: a) 135 + 246; b) 321 + 956; c) 147 + 853; d) 987 + 654; e) 2983 + 1374;

5

Efectuați calculele necesare și decideți dacă sunt adevărate egalitățile: a) 832 + 294 = 525 + 621; b) 534 + 6078 = 984 + 5678; c) ab + bc + ca = aa + bb + cc.

6

Ordonați crescător numerele: a = 735 + 736 + 737; b = 734 + 735 + 738; c = 734 + 737 + 738.

7

Calculaţi, folosind proprietățile adunării: a) 23 + 400 + 77; b) 982 + 375 + 125 + 18; c) 15 + 2021 + 1000 + 85 + 179; d) 1 + 3 + 5 + 7 + 9; e) 11 + 22 + 33 + … + 77 + 88 + 99; f) 1 + 19 + 2 + 18 + 3 + 17 + … + 9 + 11.

8

Comparați numărul n = 335 + {336 + [337 + + (337 + 336)] + 335} cu 2021.

9

Oana și Vlad participă la un concurs de tir.

La o tragere se pot obține 0, 40, 60, 80, respectiv 100 de puncte. Fiecare execută câte zece trageri, punctajele fiind înregistrate în tabelul:

f) 4675 + 2873; g) 8697 + 5479; h) 809 + 80401; i) 19 768 + 7499.

Scrieți numărul: a) cu 786 mai mare decât 15 894. b) cu 105 mai mare decât suma numerelor 2021 și 320 023. c) cu 9988 mai mare decât cel mai mare număr par de cinci cifre. a) S crieți numărul 5 ca sumă a două numere naturale. Găsiți toate soluțiile posibile. b) Scrieți numărul 101 ca sumă a cinci numere naturale, fiecare având două cifre. c) Scrieți numărul 2021 ca sumă a 2022 numere naturale.

Scrieți numerele 78, 356, 1493 și 250 025, ca sumă de unități, zeci, sute, etc, folosind modelele: ab = a0 + b, abc = a00 + b0 + c.

I • N um e re . Nume re naturale

tragerea punctajul

Oana Vlad

T1

T2

T3

T4

T5

T6

T7

T8

T9

T10

80 60

80 100

60 40

100 100

40 100

40 60

100 80

60 80

80 80

x y

a) Aflați numărul punctelor obținute de Oana după primele cinci trageri. b) Aflați x și y, știind că după zece trageri Oana și Vlad au același punctaj.

40 60 80 40 60 80 100 80 60 40 80 60 40

10

Aflați următoarele sume: S1 = 1 + 2 + 3 + ... + 8 + 9 + 10; S2 = 10 + 20 + 30 + ... + 970 + 980 + 990; S3 = 15 + 16 + 17 + ... + 63 + 64.

17

Efectuați scăderile, apoi faceți proba, în două moduri. a) 1234 − 567; b) 5678 − 987; c) 56 043 − 37 409.

11

Comparați numerele: a) a = 1 + 2 + 3 + ... + 9 + 10 + 11 și b = 6 + 7 + ... + 11 + 12; b) c = 10 + 13 + 16 + ... + 31 și d = 19 + 22 + 25 + ... + 34 + 35.

18

12

Reconstituiți adunarea:

Calculaţi: a) 246 − 135; b) 956 − 367; c) 947 − 758; d) 987 − 654; e) 2943 − 1376; f) 4095 − 2873; g) 8697 − 5479 − 218; h) 80 401− 809 − 79 079; i) 19 876 − 17 499 − 2377.

19

Aflaţi numărul: a) cu 678 mai mic decât 12 345. b) cu 50 905 mai mic decât diferența numerelor 320 023 și 230 032. c) cu 9988 mai mic decât cel mai mic număr par de cinci cifre.

20

a) S crieți numărul 75 ca diferența a două numere naturale. b) Scrieți numărul 10a ca diferență a două numere naturale.

21

Verificați dacă sunt adevărate egalitățile: a) 832 − 294 = 927 − 399 b) 5034 − 608 = 10 104 − 5678 c) abc – bc = acb – cb

22

Se consideră egalitatea a − b = c, cu a, b, c numere naturale, a > b. a) Dacă b = 896, a = 1403, aflați c. b) Dacă a = 1945, c = 1796, aflați b. c) Dacă b = 4337, c = 89 945, aflați a. d) Dacă a = b + 59, aflați c.

MATE + ATE + TE + E 2740

13

Calculați suma numerelor naturale de trei cifre identice.

14

Dintr-o livadă, s-au cules într-o zi 186 de lădițe cu mere, iar în fiecare din următoarele două zile cu 35 de lădițe mai mult decât în prima zi. a) Aflați câte lădițe cu mere s-au cules a doua zi. b) Aflați câte lădițe cu mere s-au cules în toate cele trei zile.

15

Suma a zece numere naturale este 44. Arătați că cel puțin două dintre numere sunt egale.

16

O societate comercială vinde în luna mai produse în valoare de 167 345 lei, iar în iunie în valoare de 274 887 lei. a) Aflați valoarea produselor vândute de societatea comercială în cele două luni. b) Rotunjiți la zeci de mii lei suma obținută din vânzarea tuturor produselor.

I • N u m e re . N u m e re n a t u ra le

27

23

Merele recoltate dintr-o livadă s-au pus în 550 de lădițe și vor fi transportate pentru vânzare la trei magazine. La unul dintre ele se vor transporta 196 de lădițe, iar la un altul cu 39 de lădițe mai puțin. Aflați numărul de lădițe cu mere care va fi transportat la al treilea depozit.

24

Suma a două numere este 4041, iar unul dintre ele este 1967. a) Aflați celălalt număr. b) Calculați diferența numerelor.

25

Efectuați calculele: a) 444 − (777 − 345); b) (3782 − 1983) − (5401 − 3902); c) (298 + 1376 − 963) − (456 + 2964 − 2709).

26

27

Comparați numerele, fără a calcula diferențele. Justificați răspunsul dat. a) 476 − 198 și 476 − 189; b) 2004 − 204 și 4002 − 204; c) 1234 − 321 și 4321 − 123; d) 2648 − 35 și 2468 − 53.

Comparați numărul n = 100 + {200 + [300 – (200 − 100)] − 100} cu numărul 402.

28

Calculați x – y în fiecare din situațiile: a) x = 1 + 2 + 3 + ... + 9 + 10 + 11 și y = 6 + 7 + ... + 10 + 11 + 12; b) x = 101 + 202 + 303 + ... + 909 și y = 99 + 199 + 299 + ... + 899.

29

În desenul alăturat, 999 începând cu linia a 456 doua, de jos în sus, nu123 mărul scris în fiecare dreptunghi este egal cu suma numerelor scrise în dreptunghiurile pe care se sprijină.

Determinați numerele care lipsesc.

30

Reconstituiți operațiile: a) 9 3 * 0 − *854 4*9*

31

b) 4 * 5 * 7 − 27*2* *4358

Arătați că oricare ar fi cifrele a, b, c, d, au loc egalitățile: a) ab – a – b = 9 ⋅ a; b) abc – ab – c = 9 ⋅ ab; c) abcd – abc – d = 9 ⋅ abc.

C. TEST DE EVALUARE I. Stabiliți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect.

5p

28

1

Numărul cu 1357 mai mare decât 3579 este: A. 4836; B. 4826; C. 4936;

D. 4926.

5p

2

Diferența dintre cel mai mare număr par de patru cifre distincte și numărul 2468 este: A. 7308; B. 7408; C. 7508; D. 7428.

5p

3

Dintre numerele a = 1 + 3 + 5 + ... + 9, b = 2 + 4 + 6 + ... + 12, c = 3 + 6 + 9 + ... + 21 și d = 7 − 2 + 8 −3 + 9 − 4 + ... +13 − 8, este par numărul: A. b; B. c; C. a; D. d.

5p

4

Numărul 15 se poate scrie ca suma a n numere naturale diferite. Valoarea cea mai mare a numărului n este: A. 5; B. 6; C. 4 sau 5; D. 5 sau 6.

I • N um e re . Nume re naturale

II. Scrieți rezolvările complete.

20 p

1

Sandu scrie pe tablă: 86 − 64 − 42 − 20 = 44. Delia, colega sa, îl atenționează că a greșit.

Puneți paranteze pentru a obține egalitate.

10 p

2

Fie numerele A = 97 − ( 53 − 31) și B = (97 − 53) − 31. Arătați că A + B = 88.

15 p

3

Numărul 97 este suma numerelor x și y, ambele de 2 cifre. Dacă suma cifrelor numărului x este 16, aflați suma cifrelor numărului y.

4

Se consideră șirul de numere naturale: 123, 116, 109, ... , 4. a) Completați șirul cu al patrulea și al cincelea termen al șirului. b) Determinați numărul de termeni ai șirului. c) Calculați diferența dintre al șaptelea și al cincisprezecelea termen al șirului.

5p 10 p 10 p Notă.

2.2

Timpul de lucru: 50 minute.

Se acordă 10 puncte din oficiu.

Înmulțirea numerelor naturale. Factor comun

A. BREVIAR TEORETIC

Înmulțirea numerelor naturale Dacă n este număr natural, pentru suma n + n (de două ori n) Exemplu: folosim notația 2 × n sau 2 · n. În general, suma (n + n + ... + n) se notează m · n (de m ori n). de m ori n

12 ⋅ 3 = 36

Numărul m · n se numește produsul numerelor naturale m și n.

Operația prin care pentru oricare două numere naturale a și b (numite factori) se asociază numărul natural a · b, numit produsul acestora, se numește înmulțirea numerelor naturale.

factori

produs

Proprietățile înmulțirii: Înmulțirea este asociativă: (a · b) · c = a · (b · c), oricare ar fi numerele naturale a, b, c. Înmulțirea este comutativă: a · b = b · a, oricare ar fi numerele naturale a, b.

Numărul 1 este element neutru pentru înmulțire: a · 1 = 1 · a = a, oricare ar fi numărul natural a.

(2 · 3) · 5 = 6 · 5 = 30 și 2 · (3 · 5) = 2 · 15 = 30, deci (2 · 3) · 5 = 2 · (3 · 5).

2 · 3 = 6 și 3 · 2 = 6, deci 2 · 3 = 3 · 2 5 · 1 = 1 · 5 = 5.

I • N u m e re . N u m e re n a t u ra le

29

Operația de adunare și operația de înmulțire a numerelor naturale sunt legate prin proprietatea numită distributivitatea înmulțirii față de adunare: a · (b + c) = a · b + a · c, oricare ar fi numerele naturale a, b, c. Înmulțirea numerelor naturale este distributivă și față de scădere: a · (b – c) = a · b – a · c, oricare ar fi numerele naturale a, b, c, cu b ≥ c.

Observație. 0 · a = 0, oricare ar fi numărul natural a.

Pornind de la o egalitate sau de la o inegalitate, folosind operația de înmulțire a numerelor naturale, obținem: 1. Dacă n = p, atunci n · a = p · a, oricare ar fi numărul natural a.

2. Dacă n și p sunt numere naturale cu n ≤ p, atunci n · a ≤ p · a, oricare ar fi numărul natural a.

3. Dacă n, p, a și b sunt numere naturale cu n ≤ p și a ≤ b, atunci n · a ≤ p · b.

Observație. Pentru relația <, proprietățile 2, 3 devin: 2′. Dacă n și p sunt numere naturale cu n < p, atunci n · a < p · a, oricare ar fi numărul natural nenul a.

3′. Dacă n, p, a și b sunt numere naturale cu n < p și a < b, atunci n · a < p · b.

Factor comun al termenilor unei sume sau al termenilor unei diferențe Dacă citim și scriem de la dreapta la stânga proprietatea de distributivitate a înmulțirii numerelor naturale față de adunare și față de scădere, obținem: 1. a · b + a · c = a · (b + c), oricare ar fi numerele naturale a, b, c.

2. a · b – a · c = a · (b – c), oricare ar fi numerele naturale a, b, c cu b ≥ c.

Numărul natural a este factor al fiecărui termen din membrul stâng al egalității, motiv pentru care se va numi factor comun al termenilor sumei, respectiv al termenilor diferenței.

Observație. În rezolvarea problemelor, uneori este avantajos ca înainte de a efectua calculele într-o sumă cu mai mulți termeni, să dăm factor comun.

B. ACTIVITĂȚI DE ÎNVĂȚARE I. Stabiliți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect.

1

30

Rezultatul calculului 123 · 45 este: A. 5535; B. 5545;

C. 5555;

D. 5355.

2

Produsul dintre cel mai mare număr par de două cifre și cel mai mic număr de trei este: A. 8900; B. 8888; C. 9800; D. 98 000.

3

Dacă a = 5, 2 · b = 20, 3 · c = 30, atunci 6 · a · b · c este: A. 2000; B. 3000; C. 6000;

D. 1000.

4

Dacă a + b = 10 și x = 2 · 4 · 8, atunci numărul a · x + x · b este egal cu: A. 64; B. 320; C. 32; D. 640.

5

Un creion costă 2 lei, un pix costă cu 4 lei mai mult decât un creion, iar un stilou costă de 11 ori mai mult decât un pix. Prețul stiloului este: A. 264 lei; B. 60 lei; C. 66 lei; D. 246 lei.

I • N um e re . Nume re naturale

II. Stabiliți asocierile corecte.

Asociaţi fiecărei litere care identifică un calcul, scris în coloana A, cifra corespunzătoare răspunsului corect, aflat în coloana B. A a) 25 · 379 = b) 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 67 = c) 123 · (975 − 753 − 135) = d) 29 · 157 + 29 · 143 =

B 1) 10 701 2) 9475 3) 8040 4) 10 107 5) 8700

III. Completați spațiile libere conform cerințelor 1

Calculați, apoi completați răspunsul corect. a) 27 · 69 = b) 110 · 53 = c) 567 · 100 + 89 = d) 9 · 37 · 218 = e) 3 · 55 · 707 = f) 43 · (17 · 19 − 323) =

2

Efectuați calculele necesare și completați în casetele libere numerele corespunzătoare.

48 509 a 36 206 b a·b 84 · a + 63 · b

3

4

IV. Scrieți rezolvările complete.

1

Efectuați înmulțirile: a) 38 · 9; b) 147 · 16; c) 49 · 357; d) 83 · 10; e) 123 · 89; f) 52 · 425;

2

Completați tabelul următor după modelul dat: 137 205 346 a 28 47 25 b a · b 3836

A

g) 987 · 65; h) 294 · 100; i) 56 · 1347; j) 1298 · 0 · 28; k) 74 · 1 · 493; l) 1005 · 10 · 17.

138 2021 1001 490 239 707

3

Calculaţi în două moduri: a) 34 · (26 + 99); b) 124 · (56 – 46); c) 20 · (9428 – 8288); d) 15 · (84 + 46 – 30); e) 225 · (17 + 197 + 7 – 200); f) (67 + 33) · 85.

4

Folosind proprietăţile înmulţirii numerelor naturale, calculaţi avantajos: a) 30 · 5 · 2 · 17; d) 1234 · 123 · 0 · 12; b) 25 · 1 · 50 · 20; e) 45 · (107 – 7); c) 10 · (11 + 289); f) 145 · 2 · 25 · 4.

5

Aflaţi numărul: a) de 65 de ori mai mare decât 154. b) de 105 ori mai mare decât produsul numerelor 15 și 44. c) de 984 de ori mai mare decât diferența dintre cel mai mare număr par de patru cifre și 4443.

Se consideră numerele naturale a, b și p produsul lor. Completați simbolul × în coloana corespunzătoare valorii de adevăr a propozițiilor:

Propoziția p1: Dacă a și b sunt numere natu rale pare, atunci p este număr natural par. p2: D acă a și b sunt numere naturale impare, atunci p este număr natural impar. p3: D acă a este număr par, iar b este număr impar, atunci p este număr natural par. p4: D acă a este număr impar, iar p este număr par, atunci b este număr natural impar.

În următoarele exerciții, s-a dat factor comun. Completați în fiecare casetă câte un număr natural astfel încât să obțineți afirmații adevărate: a) 10 · 11 + 10 · 19 = 10 · (11 + ) b) 6 · 78 − 6 · 72 = 6 · ( − 72) c) 4 · a + 4 · b + 4 · c = 4 · (a + + c) d) 100 · x − 100 = 100 · (x − ) e) 25 · 13 + 25 · 12 = · (13 + 12) f) 7 · 20 + 7 · 30 − 77 = · (20 + 30 − )

F

I • N u m e re . N u m e re n a t u ra le

31

32

6

Scrieți: a) toate perechile de numere naturale al căror produs este 12. b) toate tripletele de numere naturale al căror produs este 16.

17

La un spectacol participă băieți, fete și adulți, după cum urmează: 56 de băieţi, cu 27 mai puţini adulţi, iar fete, de patru ori mai multe decât adulţi. Aflați numărul spectatorilor prezenți la spectacol.

7

Numărul a este de zece ori mai mare decât numărul 3 · 5 · 7, iar numărul b este de nouă ori mai mare decât dublul lui a. Calculați diferența b – a.

18

8

Aflați trei numere naturale, ştiind că suma lor este 189, primul este triplul celui de-al doilea, iar al doilea este dublul celui de-al treilea.

Din cei 100 de lei pe care-i avea, Marius a cumpărat două kilograme de cireșe cu 16 lei kilogramul, patru kilograme de mere cu 4 lei kilogramul și trei kilograme de banane cu 8 lei kilogramul. Aflați ce rest a primit Marius.

19

Determinaţi numerele naturale de două cifre care au produsul cifrelor 24.

20

a) Scrieți toate numerele de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu 0 și suma cifrelor mai mică decât 3. b) Scrieți toate numerele naturale de forma abcd, știind că a + b = c · d și a + b < 5.

21

Subliniați factorul comun: a) 8 · 10 + 8 · 20; b) 125 · 27 + 125 · 54 + 19 · 125; c) 12 · 321 − 12 · 121; d) 44 · 33 + 44 · 55 − 44.

22

Efectuați calculele, dând factor comun: a) 46 · 37 + 46 · 63; b) 4 · 15 + 5 · 15 + 6 · 15; c) 5 · 21 + 5 · 8 − 5 · 19 + 55; d) 2022 · 6 + 130 · 2022 + 64 · 2022; e) 271 · 80 + 271 · 11 − 271; f) 27 · 28 + 282 − 8 · 55.

23

Fie numerele naturale a și b. a) Dacă a + b = 13, calculați 4 ∙ a + 4 ∙ b. b) Dacă a − b = 67, calculați 7 ∙ a − 7 ∙ b − 119. c) Dacă 2 ∙ a + 2 ∙ b + 202 = 2002, calculați 1000 − (a + b).

24

Dacă x + y + z = 22, calculați: a) 9 · x + 9 · y + 9 · z; b) 675 − (30 · x + 30 · y + 30 · z);

25

Se consideră numerele naturale a, b, c cu a = 25 și b − c = 17. Calculați: a) 13 · a + 13 · b − 13 · c; b) 7 · a · b – 7 · a · c.

9

Suma a șapte numere, diferite două câte două, este egală cu 21. Aflaţi produsul lor.

10

Determinați două numere naturale a căror sumă este 11, știind că produsul lor este cel mai mare posibil.

11

Arătaţi că dacă produsul a două numere naturale este 18, atunci suma numerelor este cel mult egală cu 19.

12

Se știe că a · b = 50 și a · c = 35. Calculați a · (b + c) și a · (b – c).

13

Se consideră șirul de numere 2 · 2, 2 · 4, 2 · 6, … a) Completați șirul cu următorii trei termeni. b) Aflați cel mai mic număr de trei cifre care este termen al șirului. c) Determinați al 300 – lea termen din șir.

14

Se consideră șirul de numere: 1 · 2, 1 · 2 · 3, 1 · 2 · 3 · 4, … a) Completați șirul cu următorii trei termeni. b) Aflați cel mai mic număr de șase cifre care este termen al șirului. c) Arătați că, începând cu al patrulea termen, numerele din șir au ultima cifră 0.

15

Calculați x + y – z, știind că x = 43 · 34 – 43, y = 43 · 23 – 43 și z = 54 · 5 + 13 · 54 +54 · 25.

16

Sonia are 35 de lei, Maria are o sumă de două ori mai mare, iar Elena are triplul sumei pe care o are Maria. Aflați câți lei au împreună cele trei fete.

I • N um e re . Nume re naturale

26

Calculați sumele: a) A = 3 + 6 + 9 + …+ 300. b) B = 7 + 14 + 21 + … + 350 c) C = 35 + 40 + 45 + … 530

28

Numerele n și m sunt naturale și 2 · n + 5 · m = 23. Comparați numerele A = 4 · n + 10 · m + 234 și B = 6 · n + 199 + 15 · m.

27

Fie n un număr natural. a) Aflați restul împărțirii numărului 4 · n + 20 la 4. b) Aflați restul împărțirii numărului 50 + 42 · n la 7.

29

Ştiind că a + b = 11, iar b + c = 12, calculaţi 4 · a +11 · b + 7 · c.

30

Aflaţi suma x + y, ştiind că 7 · x + 3 · y + 4 · z = 175 şi x + z = 25.

2.3

Împărțirea numerelor naturale

A. BREVIAR TEORETIC

Împărțirea cu rest zero a numerelor naturale Așa cum înmulțirea numerelor naturale este o adunare repetată a unui număr natural, împărțirea numărului natural m la numărul natural nenul n constă în efectuarea unui număr de scăderi repetate ale numărului n, având ca prim descăzut numărul m. Dacă restul ultimei scăderi posibile este 0, spunem că m se împarte exact la n, sau că este o împărțire cu rest 0. Vom scrie m : n = p, unde p este numărul scăderilor efectuate. În descrierea de mai sus :  numărul m se numește deîmpărțit;  numărul n se numește împărțitor;  numărul operațiilor de scădere posibile se numește cât.

Exemplu : 1. 12 – 3 = 9; 2. 9 – 3 = 6; 3. 6 – 3 = 3; 4. 3 – 3 = 0.

12 : 3 = 4 deîmpărțit împărțitor factori

cât

Proprietăți ale împărțirii exacte (cu rest 0) a numerelor naturale:  Dacă a, b, c sunt numere naturale astfel încât a : c și b : c sunt împărțiri exacte, c ≠ 0 și a = b, atunci a : c = b : c.  Dacă a, b, c sunt numere naturale astfel încât a : c și b : c sunt împărțiri exacte, c ≠ 0, atunci (a + b) : c = a : c + b : c.  Dacă a, b, c sunt numere naturale astfel încât a : c și b : c sunt împărțiri exacte, c ≠ 0 și a ≥ b, atunci (a – b) : c = a : c – b : c.

Observație. 1. Împărțirea la 0 nu are sens!

2. Oricare ar fi numărul natural nenul a, are loc egalitatea 0 : a = 0.

3. Dacă numărul natural nenul a se împarte exact la numărul natural nenul b, atunci egalitatea a : b = c este echivalentă cu a : c = b și cu a = b · c.

I • N u m e re . N u m e re n a t u ra le

33

Împărțirea cu rest a numerelor naturale Dacă restul împărțirii nu este 0, atunci are loc : Teorema împărțirii cu rest Oricare ar fi numărul natural a și oricare ar fi numărul natural nenul b, există numerele naturale q și r, unic determinate, astfel încât r < b și a = b · q + r . În enunțul teoremei, a este deîmpărțitul, b este împărțitorul, q este câtul, iar r este restul împărțirii.

B. ACTIVITĂȚI DE ÎNVĂȚARE

Împărțirea cu rest zero a numerelor naturale I. Stabiliți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect.

1

Rezultatul calculului 124 : 4 este: A. 33; B. 32; C. 31;

Câtul împărțirii celui mai mare număr par de două cifre la numărul 14 este : A. 8; B. 7; C. 6; D. 9.

3

Dacă a = 75, b = 125 și (a + b) · x = 1000, atunci x este : A. 5; B. 10; C. 15; D. 20.

4

Șapte stilouri costă 161 lei. Numărul de stilouri, de același fel, pe care le putem cumpăra cu 529 lei, este: A. 27; B. 19; C. 32; D. 23.

5

Rezultatul calculului aaa : a + b0b : b − abab : ab este: A. 313; B. 212; C. 111; D. 101.

II. Stabiliți asocierile corecte.

Asociaţi fiecărei litere care identifică un calcul în coloana A, cifra corespunzătoare răspunsului corect, scris în coloana B. a. 3264 : 16 = b. 720 : 9 : 10 = c. 500 : (125 : 5 − 5) = d. 324 : 4 − 324 : 9 − 324 : 18 = 34

I • N um e re . Nume re naturale

1

Calculați, apoi completați răspunsul corect. a) 273 : 13 = b) 784 : 16 = c) 567 : 9 : 7 = d) 990 : 18 = e) 945 : 21 = f) 986 : 29 : 17 =

2

Efectuați calculele necesare și completați în casetele libere numerele corespunzătoare.

D. 34.

2

A

III. Completați spațiile libere conform cerinței.

B 1. 27 2. 25 3. 6 4. 8 5. 204

a b a:b (a + b) : 19 3

486 27

1083 57

1482 114

Completați simbolul × în coloana corespunzătoare valorii de adevăr a propozițiilor:

Propoziția p1: Cel mai mic număr natural de

trei cifre care se împarte exact la 4 este 104. p2: Cel mai mare număr natural de 4 cifre care se împarte exact la 12 este 9996. p3: Numărul aa se împarte exact la 11, oricare ar fi cifra nenulă a. p4: Cu 46 de băieți și 23 de fete se pot face echipe de câte trei elevi, fiecare elev fiind într-o singură echipă.

A

F

IV. Scrieți rezolvările complete.

1

Efectuați împărțirile: a) 246 : 2; b) 168 : 7; c) 144 : 12; d) 375 : 15; e) 2072 : 8; f) 400 : 20;

g) 800 : 80; h) 1134 : 18; i) 2209 : 47; j) 5535 : 123; k) 786 : (2 · 4 − 7); l) 1072 : 67 : 16.

2

Aflaţi numărul: a) de 25 de ori mai mic decât 825. b) de 37 de ori mai mic decât triplul numărului 333.

3

Într-un ansamblu rezidențial sunt 24 de case de același fel. Suma încasată după vânzarea tuturor caselor este 2 352 000 euro. Calculați prețul cu care s-a vândut fiecare casă.

4

Determinați: a) toate numerele la care 87 se împarte exact; b) cel mai mic și cel mai mare număr de trei cifre care se împart exact la 29.

5

Calculați: a) 11 844 : 12; b) 48 840 : 22; c) 46 529 : 23; d) 9050 : 25; e) 3168 : 36;

6

La un club sportiv sunt aduse 40 de cutii cu mingi de tenis. Fiecare cutie conține 12 tuburi și în fiecare tub sunt 4 mingi de tenis.

Mingile se împart în mod egal unui număr de 24 de sportivi care se pregătesc pentru un viitor turneu. Aflați numărul de mingi primite de fiecare sportiv.

7

Fie numerele naturale a, b, n cu n ≠ 0. Verificați egalitatea a : n + b : n = (a + b) : n pentru următoarele numere : a) a = 72, b = 96, n = 8; b) a = 135, b = 345, n = 15.

8

Efectuați calculele : a) 338 : 26 + 441 : 21; b) 5120 : 32 − 77 · (38 : 19); c) 104 : 8 + 192 : 8 − 512 : (8 · 8); d) 2187 : 27 : 3 − 2184 : 26 : 7.

9

Arătați că au loc egalitățile: a) ( ab + ba ) : 11 = aa : 11 + bb : 11; b) ( abc + bca + cab ) : 111 = a + b + c.

10

La o împărțire se obține restul 0. Aflați deîmpărțitul, împărțitorul și câtul, știind că produsul celor trei numere este 49.

f) 6486 : 141; g) 766 260 : 162; h) 69 264 : 333; i) 39 039 : 1001.

Împărțirea cu rest a numerelor naturale I. Stabiliți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect.

1

Dacă împărțim un număr natural la 4 se pot obține resturile : A. 1 sau 3; B. 0, 2 sau 4; C. 1, 2, 3 sau 4; D. 0, 1, 2 sau 3.

3

Numărul numerelor naturale de două cifre care împărțite la 25 dau restul 3 este : A. 3; B. 2; C. 1; D. 4.

2

Numărul natural care împărțit la 13 dă cătul 23 și restul 3 este : A. 299; B. 302; C. 301; D. 300.

4

Dacă a și b sunt numere naturale cu proprietatea a = 3 · b, atunci restul împărțirii numărului a la numărul b, este : A. 3; B. 2; C. 1; D. 0.

I • N u m e re . N u m e re n a t u ra le

35

5

Autobuzul școlii are 16 locuri pentru pasageri. Numărul minim de transporturi necesar pentru a duce 54 de elevi la școală este : A. 2; B. 3; C. 4; D. 5.

II. Stabiliți asocierile corecte.

Asociaţi fiecărei litere care identifică o cerință în coloana A, cifra corespunzătoare răspunsului corect scris în coloana B. A

B

a) Restul împărțirii numărului 702 la 9 este ... b) Împărțind numărul 391 la 20 se obține câtul ... c) Suma resturilor unui număr impar la 4 este ... d) Cel mai mare număr care împărțit la 5 dă câtul 4 este ...

1) 24 2) 25 3) 19 4) 4 5) 0

3

Propoziția

1

Efectuați următoarele împărțiri și verificați egalitatea d = î · c + r, r < î , d, î, c și r fiind deîmpărțitul, împărțitorul, câtul, respectiv restul împărțirilor. a) 89 : 3; e) 1054 : 42; b) 345 : 9; f) 2121 : 707; c) 723 : 11; g) 5619 : 74; d) 752 : 34; h) 12 345 : 67.

2

Aflați: a) numărul care împărțit la 19 dă câtul 29 și restul 9; b) numărul care împărțit la 45 dă câtul 54 și restul de nouă ori mai mic decât câtul; c) numerele care împărțite la 7 dau câtul 23 și restul impar.

3

Aflați numerele care împărțite la 5 dau câtul 55.

4

Deîmpărțitul și împărțitorul sunt numere naturale nenule egale. Determinați câtul și restul împărțirii.

5

Aflați toate numerele de forma ab care împărțite la a dau restul 8.

6

Împărțind numărul 50 la un număr x, se obține câtul y diferit de 1 și restul 4. Aflați x și y.

Efectuați calculele necesare și completați în casetele libere numerele corespunzătoare. a)

b)

c)

d)

e)

Deîmpărțitul

78

91

147

348

567

Împărțitorul

10

15

23

25

27

Restul

36

Folosind teorema împărțirii cu rest, completați în casetele libere numerele corespunzătoare. a)

b)

Deîmpărțitul

498

243

Împărțitorul

30

c)

d)

e)

699 17

1 16 2021

Câtul

30

17

Restul

3

9

I • N um e re . Nume re naturale

27

F

IV. Scrieți rezolvările complete.

Câtul

2

A

p1 : Împărțind numărul 123 321 la 44 se obține restul 33. p2: Numărul de două cifre care împărțit la 7 dă câtul de șapte ori mai mare decât restul este 60. p3: Dacă împărțim trei numere consecutive la 3, atunci suma resturilor este 6. p4: Restul împărțirii numărului abc la numărul ab este c.

III. Completați spațiile libere conform cerințelor.

1

Completați simbolul × în coloana corespunzătoare valorii de adevăr a propozițiilor:

7

Determinaţi toate numerele naturale care împărţite la 4 dau câtul egal cu 13.

8

Determinaţi toate numerele naturale care împărţite la 6 dau câtul egal cu 10.

9

Determinaţi toate numerele naturale care împărţite la 5 dau câtul egal cu restul.

10

Determinaţi toate numerele naturale care împărţite la 7 dau câtul egal cu dublul restului.

11

Cora, Ana și Denisa trebuie să pregătească 60 de suporturi de planșe pentru o expoziție. Dacă fiecare pregătește 6 suporturi în 3 minute, aflați de câte minute au nevoie ca, lucrând împreună, să pregătească toate suporturile.

12

Determinați restul împărțirii numărului n = 1 · 2 · 3 · 4 · … · 100 + 111 la 77.

13

Suma a două numere este 99. Determinați numerele, știind că împărțindu-l pe unul dintre ele la celălalt, se obține câtul 5 și restul 9.

14

Un număr natural este cu 36 mai mic decât alt număr natural. Împărțind suma numerelor la diferența lor, obținem câtul 3 și restul 10.

Aflați cele două numere.

15

Suma a trei numere este 381. Împărțind două dintre numere la al treilea, obținem câturile 9, respectiv 13 și resturile 6, respectiv 7.

Aflați cele trei numere.

16

Alegem la întâmplare șapte numere și le împărțim pe fiecare la 6. Arătați că vom obține cel puțin două resturi egale.

17

Suma numerelor a, b, c, d este 603. Numărul a este de șase ori mai mic decât numărul b și de nouă ori mai mic decât numărul c. Aflați numărul mai mare, știind că împărțind numărul d la a se obține câtul 4 și restul 3.

18

Suma dintre împărţitor şi rest este 34, suma dintre cât şi împărţitor este 61, iar suma dintre împărţitor, cât şi rest este 76. Aflați deîmpărţitul și scrieți relația dată de teorema împărțirii cu rest.

C. TEST DE EVALUARE I. Completați spațiile libere pentru a obține afirmații adevărate.

5p

1

Numărul natural de 23 de ori mai mare decât 302 este ........... .

5p

2

Scris ca produs a trei numere naturale diferite, numărul 57 este ......... .

5p

3

Restul împărțirii numărului 433 la 2 · 3 · 5 este ………. .

5p

4

Cel mai mare număr natural de trei cifre care împărțit la cel mai mare număr natural de două cifre dă cel mai mare rest este egal cu ............. .

II. Scrieți rezolvările complete.

10 p 10 p 15 p

1

Fie numerele n = 25 · (123 + 45) și m = 25 · 123 + 50 · 22. a) Dați factor comun și scrieți numărul m ca produs de doi factori mai mari decât 1. b) Arătați, fără a face calculele, că n > m.

2

Aflați numărul cifrelor folosite pentru a scrie șirul de numere 7, 8, 9, ..., 1986, 1987.

I • N u m e re . N u m e re n a t u ra le

37

15 p

10 p 10 p Notă.

2.4

3

Diferența a două numere naturale este 261. Aflați numerele, știind că împărțind un număr la celălalt, se obține câtul 3 și restul 81.

4

La un concurs, au participat 21 de elevi. Numărul elevilor care au avut punctajul mai mic decât Florin este de n ori mai mare decât numărul elevilor care au avut punctajul mai mare decât Florin. a) Pentru n = 4, aflați pe ce loc s-a clasat Florin. b) Aflați numărul natural n, știind că Florin s-a clasat al treilea.

Timpul de lucru: 50 minute.

Se acordă 10 puncte din oficiu.

Puterea cu exponent natural a unui număr natural

A. BREVIAR TEORETIC

Puterea cu exponent natural a unui număr natural Pentru numerele naturale oarecare a și n cu n ≥ 2, produsul a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a se notează an și se numește puterea de n ori a a n-a anumărului natural a. În descrierea de mai sus, numărul a se numește bază a puterii, iar n se numește exponentul puterii.

Convenții: ▪ a1 = a, oricare ar fi numărul natural a.

▪ a0 = 1, oricare ar fi numărul natural nenul a.

▪ 00 nu are sens!

Puterea a doua a numărului natural a se numește pătratul numărului a.

02 = 0; 12 = 1; 22 = 4; 32 = 9; 42 = 16;...; 92 = 81; ...

Puterea a treia a numărului natural a se numește cubul numărului a.

03 = 0; 13 = 1; 23 = 8; 33 = 27; 43 = 64;...; 93 = 729; ...

Reguli de calcul cu puteri Considerăm numerele naturale nenule a și b și numerele naturale oarecare m și n. Atunci:

38



am · an = am + n (înmulțirea puterilor cu aceeași bază);



am : an = am – n (împărțirea puterilor cu aceeași bază);



(a · b)n = an · bn (puterea unui produs);



(a : b)n = an : bn (puterea unui cât);



(am)n = am · n (puterea unei puteri).

I • N um e re . Nume re naturale

Compararea puterilor numerelor naturale Pentru a compara două numere naturale scrise ca puteri, urmărim ca acestea să aibă aceeași bază sau același exponent. Dacă nu este posibilă scrierea lor în acest fel, le vom compara cu alte puteri, a căror ordine ne este cunoscută. Sunt utile următoarele rezultate:  Dacă a ≥ 2, atunci an > am dacă și numai dacă n > m. (Dacă două puteri au aceeași bază, a ≥ 2, atunci este mai mare puterea care are exponentul mai mare).  Dacă n ≥ 1, atunci an > bn dacă și numai dacă a > b. (Dacă două puteri au același exponent, n ≥ 1, atunci este mai mare puterea care are baza mai mare).

Observație. Înainte de a compara două puteri, încercăm să le scriem într-o formă avantajoasă (cu aceeași bază, cu același exponent sau folosind puteri cunoscute, cărora le cunoaștem ordinea).

Pătrate perfecte Definiție. Numărul natural a este pătrat perfect dacă există un număr natural b astfel încât a = b2.

Sunt pătrate perfecte: 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; ...; 81; ...

Numerele naturale a2 și (a + 1)2 se numesc pătrate perfecte consecutive. În multe situații practice, stabilirea calității de pătrat perfect a unui număr natural este esențială.

Putem stabili cu ușurință:  Dacă un număr natural se poate scrie ca putere cu exponent par, atunci el este pătrat perfect: a2k = ak·2 = (ak)2, deci este pătratul numărului natural ak.  a2 · b2 = (a · b)2, deci produsul oricăror două pătrate perfecte este un pătrat perfect. În general, dacă toți factorii unui produs sunt pătrate perfecte, atunci acest produs este pătrat perfect.  Dacă un număr natural este cuprins între două pătrate perfecte consecutive, atunci acest număr nu este pătrat perfect.

Pentru a decide dacă un număr natural poate fi pătrat perfect, uneori este util să determinăm ultima cifră a numărului. În acest scop, folosim rezultatele: ▪ Ultima cifră a unei sume este egală cu ultima cifră a sumei ultimei cifre a fie­cărui termen.

Ultima cifră a sumei 1764 + 2879 este egală cu ultima cifră a sumei 4 + 9, adică ultima cifră a numărului 13, deci 3.

▪ Ultima cifră a unui produs este egală cu ultima cifră a produsului ultimei cifre a fiecărui factor.

Ultima cifră a produsului 1764 · 2879 este egală cu ultima cifră a produsului 4 · 9, adică ultima cifră a numărului 36, deci 6.

▪ Ultima cifră a puterii a n-a a numărul natural a este egală cu ultima cifră a puterii a n-a a ultimei cifre a bazei (a numărului a).

Ultima cifră a puterii 17649 este egală cu ultima cifră a puterii 49. Observând ultima cifră a puterilor numărului 4, vom constata că puterile cu exponent impar au ultima cifră 6.

▪ Ultima cifră a unui pătrat perfect poate fi: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

Ultima cifră a numărului a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Consecință: Dacă ultima cifră a unui nu­măr natural este una din cifrele 2, 3, 7, 8, atunci numărul dat nu este pătrat perfect.

Ultima cifră a numărului 15723 este 8, deci nu este pătrat perfect, adică nu se poate scrie ca puterea a 2-a a unui număr natural.

Ultima cifră a numărului a2 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1

I • N u m e re . N u m e re n a t u ra le

39

Scrierea numerelor naturale în baza 10; scrierea numerelor naturale în baza 2  Scrierea în baza 10 În mod uzual, folosim scrierea numerelor naturale în baza 10 (în sistemul zecimal de numerație).

Orice numar natural n se poate scrie ca sumă de produse în care un factor este de forma 10k, k natural, iar celălalt factor este una din cifrele: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

De exemplu, orice număr natural de 4 cifre se scrie, descompus după puterile lui 10, astfel: n = a · 103 + b · 102 + c · 101 + d · 100 , unde a, b, c, d reprezintă cifrele numărului. Numărul n se notează abcd (10) sau abcd .

 Scrierea în baza 2 Orice numar natural m se poate scrie ca sumă de produse în care un factor este de forma 2k, iar celălalt factor este una din cifrele: 0, 1.

De exemplu, un număr natural m se poate scrie, descompus după puterile lui 2, astfel: m = a · 23 + b · 22 + c · 21 + d · 20, unde a, b, c, d ∈ {0; 1} Factorii a, b, c, d vor fi cifrele numărului, în baza 2 și vom scrie abcd (2) .

Un număr scris în baza 10 se poate scrie în baza 2 și invers, un număr scris în baza 2 se poate scrie în baza 10.

Egalitatea abcd (2) = a · 23 + b · 22 + c · 21 + d · 20 permite trecerea aceluiași număr natural din baza 2 în baza 10 și invers.

Exemplu: 1) 110(2) = 1 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 = 6(10).

2) 6 = 6(10) = 1 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 = 110(2) .

Observăm că, pentru ca un număr scris în baza 2 să fie exprimat în baza 10, este suficient să-l scriem descompus după puterile lui 2 și să efectuăm calculele.

Exemplu: Ne propunem să scriem numărul 25 în baza 2.

Pentru ca un număr scris în baza 10 să fie exprimat în baza 2, trebuie găsite cifrele numărului (în baza 2), adică trebuie să-l descompunem după puterile lui 2, cu factorii 0 sau 1. În acest scop, efectuăm împărțiri succesive la 2 și identificăm cifrele.

2. Scriem numărul în baza 2 astfel: ▪ Ultimul rest este întotdeauna 1 și reprezintă prima cifră a numărului, exprimat în baza 2.

▪ Numărul cifrelor este egal cu numărul împărțirilor efectuate.

▪ Cifrele se scriu de la stânga la dreapta, în ordinea inversă găsirii lor.

(1)

25 = 2 · 12 + 1

(2)

12 = 2 · 6 + 0

(3) 6 = 2 · 3 + 0 (4) 3 = 2 · 1 + 1 (5) 1 = 2 · 0 + 1 40

I • N um e re . Nume re naturale

1. Efectuăm împărțiri succesive la 2 și păstrăm restul, câtul devenind deîmpărțit pentru pasul următor. Ultima împărțire are deîmpărțitul egal cu 1.

25 = 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 0 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 · 2 0 = 11001 (2)

B. ACTIVITĂȚI DE ÎNVĂȚARE

Puterea cu exponent natural a unui număr natural I. Stabiliți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect.

1

Scris ca putere, numărul 2 · 2 · (1 + 0 + 1) · 2 · 2 este: A. 24; B. 25; C. 23; D. 26.

2

Efectuați calculele necesare și completați în casetele libere numerele corespunzătoare. a) 2 1

a b ab (a + b)a – b

2

Rezultatul calculului 20 + 31 + 42 + 53 este: A. 105; B. 120; C. 140; D. 145.

3

Numărul 128, scris ca putere cu exponentul mai mare sau egal cu 2, este: A. 34; B. 26; C. 27; D. 44.

3

4

Între numerele 4 și 6 sunt cuprinse: A. 19 numere naturale; B. 18 numere naturale; C. 21 numere naturale; D. 20 de numere naturale.

Puterea Baza puterii Exponentul puterii

5

2

2

Ultima cifră a numărului n = 1010 + 73 este: A. 1;

B. 3;

C. 7;

D. 9.

II. Stabiliți asocierile corecte.

Asociaţi fiecărei litere care identifică un calcul, scris în coloana A, cifra corespunzătoare răspunsului corect, scris în coloana B. A a. 07 + 70 = b. 102 − 101 − 100 = c. 10 + 11 + 12 + 13 = d. 103 − 312 =

B 1. 6 2. 1 3. 39 4. 89 5. 4

III. Completați spațiile libere conform cerinței.

1

Calculați, apoi completați răspunsul corect. a) 62 = e) 34 = b) 28 = f) 113 = c) 202 = g) (2 + 6)2 = d) 43 = h) (13 − 4)3 =

4

b) 3 3

c) 6 4

d) 10 7

Efectuați calculele necesare și completați în casetele libere numerele corespunzătoare. a) 45

b) 50

c) (2 + 4)2+5

d) 10

e) 13 4

Completați simbolul × în coloana corespunzătoare valorii de adevăr a propozițiilor:

Propoziția p1: Numărul 222 este o putere a numărului 2. p2: Î n scrierea 2728, baza puterii este 27. p3: Dacă 3x = 92, atunci x = 4. p4: 102 + 202 = (10 + 20)2. p5: a 2 + b2 = (a + b)2, oricare ar fi numerele naturale a și b.

A

F

IV. Scrieți rezolvările complete.

1

Scrieți ca putere produsele următoare: a) 2 · 2 · 2 · 2; b) 8 · 8 · 8; c) 12 · 12 · 12 · 12 · 12 · 12; d) 5 · 5 · (1 + 4) · (2 + 3) · (3 + 2) ·(4 + 1) · 5; e) ab ⋅ ab ⋅ ab ⋅ ab ⋅ ab ; f) 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅...⋅ 7 .  17 factori

I • N u m e re . N u m e re n a t u ra le

41

2

3

4

e) f) g) h) i)

60, 61, 62, 363; 70, 71, 72, 73, 74, 473; 80, 81, 82, 83, 84, 585 90, 91, 92, 93, 694; 100, 101, 102, 1003, 1504; 10005.

Efectuați calculele: a) 22, 23, 25, 27, 210; b) 30, 32, 34, 35, 36; c) 51, 52, 53, 54; d) 62, 63, 72, 73, 83, 102, 103, 106, 112, 122, 152, 202, 302, 1002, 10002.

7

Scrieți ca putere, cu exponentul cel puțin egal cu 2, fiecare dintre numerele: 49, 64, 169, 400, 625, 10 000, 250 000.

Determinați ultima cifră a fiecăruia dintre numerele: 220, 315, 412, 510, 72022, 212 + 313, 66 − 457, 85 · 58.

8

Completați spațiile libere cu unul din simbolurile <, > sau =, pentru a obține relații corecte: a) 210 …. 102; b) 73 …. 37; c) (7 + 8)2 …. 72 + 82; d) 252 …. 152 + 202; e) (13 − 5)2 …. 132 − 52; f) (7 · 2)2 …. 72 · 22.

Calculați: a) 27 − 2; b) 30 + 332; c) 10 + 21 + 32; d) 32 + 43 + 54; e) 42 + 442 + 4442;

f) 252 : 5; g) 20 + 02021 + 111; h) (7 − 2)0 + 72; i) (3 + 2)5 + (3 − 2)5.

5

Scrieți: a) numărul 7 ca sumă de puteri ale numărului 2; b) numărul 90 ca sumă de puteri ale numă­ rului 3.

9

Justificați, prin calcul, egalitățile: a) 32 + 42 = 52; e) 202 − 162 = 122; b) 62 + 82 = 102; f) 152 − 122 = 92; c) 52 + 122 = 132; g) 262 − 242 = 102; d) 72 + 242 = 252; h) 302 − 242 = 182.

6

Determinați ultima cifră a fiecăruia dintre numerele: a) 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27,28, 122, 123; b) 30, 31, 32, 33, 34, 35, 132, 133; c) 40, 41, 42, 43, 44, 145; d) 50, 51, 52, 53, 54, 153;

10

Aflați numărul natural n din egalitățile: a) 2n = 32; c) 326 = 33n+2; 2n b) 2 = 64; d) 3n = 5n.

11

Determinați numerele naturale n și m astfel încât n < m și 2n + 3m < 14.

5

Rezultatul calculului 26 · 43 : 84 este: A. 1; B. 2; C. 3; D. 4.

Reguli de calcul cu puteri I. Stabiliți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect.

1

Scris ca putere cu baza 2, numărul 26 · 23 este: A. 23; B. 22; C. 218; D. 29.

2

Scris ca putere cu baza 3, numărul 36 : 33 este: A. 32; B. 33 C. 39; D. 318.

3

Calculând 54 · 56 : 57 și scriind rezultatul ca putere cu baza 5, se obține: A. 54; B. 52; C. 53; D. 517.

a. 2 · 23 · 2

Scris ca putere cu baza 7 numărul (74)2 este: A. 76; B. 78; C. 72; D. 716.

c. 415 : (29)3

4

42

I • N um e re . Nume re naturale

II. Stabiliți asocierile corecte.

Asociaţi fiecărei litere care identifică un calcul, scris în coloana A, cifra corespunzătoare răspunsului corect, scris în coloana B. A b. 210 : (1 + 7)2 d. 25 + 25

B 1. 26 2. 23 3. 24 4. 25 5. 210

III. Completați spațiile libere conform cerinței.

1

Calculați, apoi completați răspunsul corect. a. Numărul cu (22)2 mai mare decât 84 este . b. Numărul de (32 · 33) ori mai mic decât 39 este . c. O putere a numărului 5, cuprinsă între (5 · 52)2 și 520 : 258, este .

2 3 4 d. Dintre numerele a = (2 · 3 ) și b = (2 · 32)6 , mai mare este .

5

Fie numerele x =211 · 810 și y = 343 : 329.

Aflați numerele naturale a și b știind că (x · y) : (2a · 3b) = 23 · 32.

6

Aflați numărul x din egalitățile: a) (2x)3 = 64; d) 10x+4 = (22 · 52)3; b) (5x)2 = 253; e) 3 + 3x+1 = 84; c) 9 · 27x = 38; f) 2x + 2x+1 + 2x+2 = 224.

7

Efectuați următoarele calcule: a) 410 : (24)3 + 50 : 52; 0 b) (234 · 345)2 : (217 · 322)4 + 112 ; c) (230 + 230 + 231) : 326; d) (3100 − 399 + 398) : (7 · 948); e) 914 : 278 − 2 · [625 : 54 + (29 · 38) :67].

8

Justificați, prin calcul, egalitățile: a) 1011 − 210 · 510 = 9 · 1010; b) 21001 · 31002 − 21002 · 31001 − 61000 = 5 · 61000.

9

Arătați că oricare ar fi numărul natural n, au loc egalitățile: a) 2n + 2n = 2n + 1; b) 2n + 1 − 2n = 2n; c) 3n + 3n + 3n = 3n + 1; d) 3n + 1 − 3n = 2 · 3n ; e) 2n + 1 − 2n − 2n - 1 − … − 22 − 21 − 20 = 1.

10

Efectuați calculele: a) 77− 6 · 76 − 6 · 75 − 6 · 74 − 6 · 73; b) (234 + 234 + 235 + 236 ) : (812 + 418); c) (2102 − 2101 − 2100 ) : (450 −3 · 449).

IV. Scrieți rezolvările complete.

1

Scrieți ca putere cu baza 2: a) 22 · 24; c) 2 · 22 · 23 · 24; b) 23 · 23 · 23; d) 210 · 28 · 2 · 26 · 2.

2

Scrieți ca putere cu baza 3: a) 37 : 33; c) 320 : 315 · 34 : 37; b) 313 : 36 : 35; d) 310 : 36 : 3.

3

Scrieți ca putere cu baza 5: a) (52)3; c) [(52)3 ]4; b) (54 · 52)3; d) (252)2 : (57).

4

Calculați: a) (23)2 : 24; b) 210 : 44; c) 310 : (32 · 32)2; d) 273 ·92 : 311; e) (54)5 : (53)6; f) 1252 : 252 · 52;

g) (73 · 72)2 − 710; h) 343 · 49 : 74 i) (23 · 32)4; j) (3 · 53)5; k) (212 · 510) : (210 · 58); l) (2 · 32 · 53)2 : (4 ·81 · 625).

Compararea puterilor numerelor naturale I. Stabiliți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect.

1

Dintre numerele a = 27, b = 23 · 22, c = 216 : 212, d = (22)3 este mai mare: A. a; B. b; C. c; D. d.

2

Ordinea descrescătoare a numerelor x = 37 ·9, y = 3 · 9 · 27 · 81, z = 3115 : (337)3, t = (23+1)4 este: A. y, t, x, z; B. z, y, x, t; C. y, x, t, z; D. x, y, z, t.

3

Dacă a, x, y sunt numere naturale, a > 1 și ax > ay, atunci: A. x < y; B. x > y; C. x = y; D. x + y = 0.

4

Dacă b, x, y sunt numere naturale și b < 2 < x < y , atunci: A. bx < by; B. bx > by; x y C. b = b ; D. bx + by = 1.

I • N u m e re . N u m e re n a t u ra le

43

II. Stabiliți asocierile corecte.

Asociaţi fiecărei litere care identifică o cerință, scrisă în coloana A, cifra corespunzătoare răspunsului corect, scris în coloana B. A a. Un număr mai mic decât (1+2+3)4 este: b. Un număr mai mare decât (4 + 5 − 6)10 este: c. Numărul (7 + 23 − 32)5 este egal cu: d. Numărul (10 + 10 + 10)10: 1010 este egal cu:

4

Completații spațiile punctate cu unul din simbolurile <, > sau = astfel încât să obțineți afirmații adevărate: a) 45 210; e) 545 630; b) 279 817; f) 1114 721; c) 1253 6252; g) 2525 5252; d) 322 233; h) 2505 3303.

5

Scrieți în ordine crescătoare numerele: a) 2100, 449, 834; b) 363, 932, 2722; c) 299, 355, 544, 733.

6

Scrieți în ordine descrescătoare numerele: a) 2526, 12517, 5 · 62513; b) 2x – 2, 2x + 1, 4x, pentru x > 2; c) 29 · 38 · 57, 27 · 38 · 59, 28 · 39 · 57.

7

Scrieți în ordine crescătoare numerele 777, 777, 777, (77)7.

8

Pentru fiecare din relațiile următoare, determinați valorile numărului natural x: a) 2x < 32; c) 64 < 2x < 256; x+1 b) 3 < 81; d) 26 < 5x +1< 626.

9

a) Aflați suma S, a numerelor naturale cuprinse între 29 și 210. b) Determinați numărul natural n pentru care 20n < S < 20n + 1.

10

Se consideră numerele A = [1111 · 1110 · 119 · (117 : 113)2] și B = [(27 · 46 · 85 · 164) : 323]4. a) Arătați că B = 12820. b) Demonstrați că A < B.

B 1. 310 2. 65 3. 311 4. 63 5. 64

III. Completați spațiile libere conform cerințelor 1

Calculați, apoi completați răspunsul corect. a) Dintre numerele a = 522 și b = (3 + 4)22 este mai mare numărul .

10 10 b) Dacă ab < 12 , atunci ab = sau ab = .

23 x y c) Dacă 2 < 2 < 2 < 413, atunci x+y= . d) O putere a numărului 3 cuprinsă între 93 și 39 este .

IV. Scrieți rezolvările complete.

1

44

Scrieți numerele ca puteri cu aceeași bază, apoi comparați-le: a) 2201 și 2102; c) 5 · 52 · 53 · 54 și 511; b) 139 și 1339; d) 354 : 345 și 39.

2

Scrieți numerele ca puteri cu același exponent, apoi comparați-le: a) 3547 și 5347; b) 6336 și 16336; c) 3200 : 3150 și 250; d) 210 · 29 · 28 și 35 · 36 · 37 · 39.

3

Comparați numerele: a) 522 și 255; c) 3222 și 2333; b) (217)3 și 425; d) 3636 și 673.

I • N um e re . Nume re naturale

Pătratul unui număr natural. Pătrate perfecte I. Stabiliți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect.

1

Dintre următoarele numere, pătratul unui număr natural este: A. 12; B. 24; C. 36; D. 45.

2

Dintre următoarele numere, nu este pătratul unui număr natural: A. 22; B. 32; C. 23; D. 224.

3

Numărul pătratelor perfecte din șirul 1, 49, 86, 99, 100, 136, 256, 400, 1000, 2021 este: A. 3; B. 5; C. 7; D. 2.

4

5

Între numerele 144 și 225 sunt cuprinse: A. 2 pătrate perfecte; B. 3 pătrate perfecte; C. 4 pătrate perfecte; D. 5 pătrate perfecte.

Numărul 160x este pătrat perfect. Atunci cifra x este: A. 3; B. 0; C. 1; D. 5.

II. Stabiliți asocierile corecte.

Asociaţi fiecărei litere care identifică un număr, scris în coloana A, cifra corespunzătoare pătratului acestuia, scris în coloana B. A a. 27 b. 31 c. 84 : 3 d. 25

B 1. 784 2. 874 3. 729 4. 1024 5. 961

III. Completați spațiile libere conform cerințelor 1

Calculați, apoi completați răspunsul corect. a) Pătratul celui mai mic număr par de trei cifre este . b) Dacă 44x este pătrat perfect, atunci x= .

c) Un pătrat perfect de forma abc , cu a + b + c = 4 este . d) Între numerele 32 și 332 se află pătrate perfecte.

2

Calculați, apoi completați răspunsul corect. a a2

3

11

111

1111

11111

Completați simbolul × în coloana corespunzătoare valorii de adevăr a propozițiilor:

Propoziția p1: Numărul 1296 este pătratul numărului 36.

A

F

p2: Oricare ar fi numărul natural n, numărul 2 · n este pătratul numărului n. p3: Numărul 7 · 7 · 7 · 7 este pătratul numărului 7 · 7. p4: Orice număr natural care are ultima cifră 0, 1, 4, 5, 6 sau 9 este pătrat perfect.

IV. Scrieți rezolvările complete.

1

Calculați pătratele numerelor 12, 18, 26, 42, 50, 80, 99, 121, 250.

2

Arătați că numerele 169, 361, 529, 784, 1225 sunt pătrate perfecte.

3

Scrieți toate pătratele perfecte cuprinse între 77 și 277.

4

Decideți, justificat, care dintre numerele 4, 56, 81, 132, 196, 289, 474, 1001, 4225 sunt pătrate perfecte.

5

Decideți, justificat, care dintre numerele 27, 49, 84, 144, 198, 256, 484, 1024, 3000 nu sunt pătrate perfecte.

I • N u m e re . N u m e re n a t u ra le

45

6

7

Arătați că următoarele numere sunt pătrate perfecte: A = 89 · 98 + 9 · 98; B = 59 · 49 − 9 · 49 − 49; C = 199 + 1992 + 200; D = 20222 − 2022 − 2021.

8

Suma pătratelor a două numere naturale este 100. Aflați numerele.

9

Aflați toate numerele xx și yy pentru care xx + yy este pătrat perfect.

10

Demonstrați că următoarele sume sunt pătrate perfecte: A = 1 + 3 + 5 +7; B = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13; C = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2 · n − 1); D = 10 + 10 · 2 +10 · 3 + 10 · 4 .

Demonstrați că următoarele numere nu sunt pătrate perfecte pentru nicio valoare a numărul natural n: a = 1n + 197; b = 5n + 197; c = 6n + 246; d = 5 · n + 2; e = 10 · n + 3; f = (n + 1) · (n + 2).

Scrierea numerelor naturale în baza 10; scrierea numerelor naturale în baza 2 I. Stabiliți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect.

1

2

Scris cu ajutorul puterilor lui 10, numărul 2013 este: A. 2 · 103 + 0 · 102 + 1 · 101 + 3 · 100; B. 3 · 103 + 1 · 102 + 0 · 101 + 2 · 100; C. 2 · 104 + 1 · 103 + 3 · 100; D. 2 · 102 + 1 ·101 + 3 · 100.

Numărul 5 · 105 + 4 · 104 + 2 · 102 + 1 · 100 este: A. 543 210; B. 5 421; C. 542 211; D. 540 201;

4

Scris în baza 10, numărul 11 011(2) este egal cu: A. 19; B. 23; C. 27; D. 29.

Scris cu ajutorul puterilor lui 2, numărul 13 este: A. 1 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20; B. 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20; C. 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20; D. 1 · 23 + 0 · 22 + 0 · 21+ 1 · 20.

II. Stabiliți asocierile corecte.

Asociaţi fiecărei litere care identifică un număr în baza 2, scris în coloana A, cifra care identifică numărul în baza 10 cu care este egal, scris în coloana B. A a. 10111(2) b. 10101(2) c. 11000(2) d. 10010(2)

46

3

I • N um e re . Nume re naturale

B 1. 20 2. 18 3. 23 4. 21 5. 24

III. Completați spațiile libere conform cerinței.

1

Efectuați calculele necesare și completați în casetele libere numerele corespunzătoare. a) b) c)

Numărul în baza 10 Numărul în baza 2

1

d)

53 11

e)

f)

354 10001

110011

2

Completați simbolul × în coloana corespunzătoare valorii de adevăr a propozițiilor: A

Propoziția

F

p1: 1110(2) = 12(10) p2: 234(10) < 11111111(2) p3: 101010(2) > 42(10) p4: Numărul 100(2) este pătratul unui număr natural.

3

Completați în căsuțe numere naturale astfel încât să obțineți afirmații adevărate: a) 1234(10) = 1 · 10 + 2 · 10 + 3 · 10 + + · 100; b) 1110111(2) = 1 · 2 + 1 · 2 + 1 · 2 + ·2 + 1·2 + 1·2 + · 20.

IV. Scrieți rezolvările complete.

1

Determinați numerele naturale care au următoarele descompuneri: a) 6 · 102 + 5 · 101 + 4 · 100; b) 3 · 103 + 2 · 102 + 1 ·101 + 7 · 100; c) 4 · 105 + 3 · 103 + 6 · 101 + 1 · 100; d) 8 · 104 + 4; e) 7 · 106 + 8 · 102 + 0 · 101 + 5; f) 9 · 107 + 9 · 103 + 9; g) 1 · 25 + 1 · 24 + 0 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20; h) 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20; i) 1 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20; j) 1 · 24 + 0 · 22 + 1 · 20; k) 1 · 26 + 0 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21; l) 1 · 210 + 1 · 26 + 1 · 20.

2

Descompuneți în baza 10 numerele; 758, 1213, 76005, 4a5 , 9a9b9 .

3

Scrieți următoarele numere în baza 10: 11(2), 1010(2), 11100(2), 1000001(2), 10101011(2).

4

Scrieți următoarele numere în baza 2: 10, 19, 37, 101, 2021.

5

a) Scrieți toate numerele în baza 2 care, exprimate în baza 10, sunt mai mici decât 6. b) Scrieți toate numerele în baza 2 care, exprimate în baza 10, sunt cuprinse între 11 și 15.

6

Stabiliți numărul cifrelor pentru numerele: a) 1 · 107 + a · 106 + b · 104, scris în baza 10; b) 25 + 23, scris în baza 2.

7

Scrieți toate numerele naturale care au descompunerea a · 103 + b · 102 + a · 101 + b · 100, știind că suma cifrelor fiecăruia dintre ele este 6.

8

Fie numerele a = 1110(2) și b = 1011(2). Arătați că numărul a + b este pătrat perfect.

9

Arătați că numerele 505 și 2022 se pot scrie ca sumă de puteri cu baza 2. Scrieți aceste numere în baza 2.

10

Comparați numerele: a) n = 25 + 24 + 21 și m = 25 + 23 + 22 + 21 + 20; b) n = 9 · 103 + 8 · 102 + 7 · 101 + 6 · 100 și m = abcde ; c) n = 5 · 102 + 1 · 101 + 2 · 100 și m = 100000000(2).

I • N u m e re . N u m e re n a t u ra le

47

C. TEST DE EVALUARE I. Stabiliți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect 5p 5p 5p 5p

1 2 3 4

Rezultatul calculului 73 – 182 este: A. 18;

B. 17;

C. 19;

D. 16.

Diferența dintre numerele 2 · 22 · 23 și 56 : 54 este: A. 39; B. 38;

C. 37;

D. 40.

Ordinea crescătoare a numerelor a = 317, b = 98, c = 276 și d = 813 · 33 este: A. d, b, c, a; B. d, c, a, b; C. b, d, a, c;

D. d, b, a, c.

Ultima cifră a numărului 231 · 321 este: A. 2; B. 4;

D. 8.

C. 6;

II. Scrieți rezolvările complete.

10 p

1

Suma S = 1(2) + 10(2) + 100(2) + ... 10 ... 0(2) conține zece termeni.

Efectuați transformările și scrieți rezultatul în baza 10.

15 p

2

Determinați numărul n din egalitatea 210 + 211 + 212 = 2 · n · 44 .

3

Se consideră numerele A = 213 + 210 și B = 311 – 39. a) Scrieți numerele A și B în forma 2a·3b . b) Arătați că A < B.

4

Fie numărul C = 72 · 8. a) Determinați cel mai mic număr nenul p pentru care p · C este pătrat perfect. b) Determinați cel mai mic număr nenul q pentru care q · C este cub perfect. c) Scrieți numărul C ca sumă între un pătrat perfect și un cub perfect.

10 p 10 p 10 p 5p 10 p Notă.

48

Timpul de lucru: 50 minute.

Se acordă 10 puncte din oficiu.

I • N um e re . Nume re naturale

2.5

Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor

A. BREVIAR TEORETIC Proprietățile operațiilor care intervin în calcule ne oferă informații utile în realizarea unei strategii avantajoase de parcurgere și efectuare a operațiilor. Corectitudinea rezultatului oricărui calcul cu numere naturale este consecință a respectării cu strictețe a ordinii efectuării operațiilor.

Avem în vedere următoarele:  Adunarea și scăderea sunt operații de ordinul întâi.  Înmulțirea și împărțirea sunt operații de ordinul doi.  Ridicarea la putere este operație de ordinul trei.

1. Dacă exercițiul conține doar operații de același ordin, acestea se efectuează în ordinea în care apar, de la stânga la dreapta.

2. Dacă exercițiul are operații de ordine diferite dar nu conține paranteze, atunci se efectuează operațiile de ordinul trei, apoi de ordinul doi și la final de ordinul întâi, în ordinea în care apar, adică:  se efectuează operațiile cu puteri și ridicările la putere;  se efectuează înmulțirile și împărțirile, în ordinea în care apar, folosind rezultatele de la etapa anterioară;  se efectueză adunările și scăderile, în ordinea în care apar, folosind rezultatele de la etapele anterioare.

Observație: Operațiile cu puteri se pot efectua în etapa pregătitoare sau pe parcursul rezolvării, atunci când dorim să scriem unele numere într-o formă care să simplifice calculele.

3. Dacă exercițiul conține și paranteze, atunci:  se efectuează calculele din parantezele rotunde, respectând ordinea descrisă la 2;  se transformă parantezele pătrate în paranteze rotunde, acoladele se transformă în paranteze pătrate;  se efectuează calculele din noile paranteze rotunde, respectând ordinea descrisă la 2.

Se continuă, în acest mod, până când se elimină toate parantezele, apoi se efectuează calculele fără paranteze.

B. ACTIVITĂȚI DE ÎNVĂȚARE I. Stabiliți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect.

1

Numărul cu 34 mai mare decât dublul lui 43 este: A. 120; B. 110; C. 116; D. 130.

2

Dacă scădem din triplul numărului 723 produsul numerelor 53 și 35 se obține: A. 413; B. 314; C. 431; D. 341.

I • N u m e re . N u m e re n a t u ra le

49

3

Numărul a = 250 : (77 − 216 : 3) este mai mic decât numărul b = 128 : (4 + 3 · 4) + 49 cu : A. 17; B. 16; C. 6; D. 7.

7

Dacă scădem din triplul numărului 34, pătratul numărului 15 se obține: A. 18; B. 14; C. 17; D. 16.

4

Rezultatul calculului {[(11 + 21 : 7) : 7 + 8] · 9} : 15 este: A. 9; B. 8; C. 6; D. 7.

8

Numărul a = 250 : 52 este mai mic decât numărul b = 1024 : 26 cu: A. 7; B. 16; C. 6; D. 17.

5

Ultima cifră a numărului {2 + 2 · [2 + 22 · (2 + 2 · 22)]} · 222 este: A. 4; B. 0; C. 2; D. 8.

9

Rezultatul calculului [(141 − 112) : 5 + 42 · 5] : 7 este: A. 11; B. 10; C. 13;

Numărul cu 34 mai mare decât 43 este: A. 135; B. 145; C. 146; D. 136.

10

Ultima cifră a numărului 29 + 38 + 2938 este : A. 5; B. 1; C. 3; D. 7.

2

Asociaţi fiecărei litere care identifică un calcul, scris în coloana A, cifra corespunzătoare răspunsului corect, scris în coloana B.

6

D. 12.

II. Stabiliți asocierile corecte.

1

Asociaţi fiecărei litere care identifică un calcul, scris în coloana A, cifra corespunzătoare răspunsului corect, scris în coloana B. A

a. 111 −3 · 5 · 7 b. (130 − 41 · 3) · 7 − (71− 65) · 7 c. 8400 : 100 − 760 : 10 d. 1144 : 13 − 711 : (1 + 2 · 4)

B 1. 10 2. 9 3. 8 4. 7 5. 6

A

B 1. 112 a. 34 + 62 = 2. 1 b. 2 · 224 : 217 − 162 = 3. 21 c. (45 − 54) : (52 − 42 + 10) = 4. 0 d. 1 · 103 + 2 · 102 + 3 · 101 + 4 · 100 − 1122 = 5. 117

III. Completați spațiile libere 1

2

Calculați, apoi completați răspunsul corect. a) 11 · 22 + 33 = b) 2 + 3 · (4 · 10 − 6) − 97 =

c) 3024 : 6 + 4 · (3 − 2 − 1) = d) 267 · 431 + 267 · 785 − 216 · 267 =

Completați simbolul × în coloana corespunzătoare valorii de adevăr a propozițiilor : A

Propoziția p1: 48 + 2 · (48 − 48 : 3) = 48. p2: (1 − 0) · (1 + 0) · (2 − 1) · (2 + 1) · (3 − 2) · (3 + 2) este un număr impar. p3: Dacă suma a patru numere naturale consecutive este 2022, atunci cel mai mic dintre numere este 405. p4: Egalitatea 91 : x + x : 91 = 2, are loc pentru x = 1.

3

50

Calculați, apoi completați răspunsul corect. a) 113 : 112 : (33 − 22) = b) 25 + 3 · (32)2 − 1650 : 6 =

I • N um e re . Nume re naturale

c) 3024 + 3024 : 33 = d) (218 − 217 − 216) : 512 + 1 =

F

4

Completați simbolul × în coloana corespunzătoare valorii de adevăr a propozițiilor: A

Propoziția p1 : Suma celor mai mici trei puteri ale lui 4 este 21. p2 : Numărul 72 + 48 · 49 este pătratul unui număr natural. p3 : Numărul 103 − 270 este cubul unui număr natural. p4 : Egalitatea 3 + 2000 : x3 = 5 are loc pentru x = 100.

F

IV. Scrieți rezolvările complete.

1

Efectuați calculele a) 99 + 99 : 9; b) 64 : 4 + 648 : 24; c) 33 · 101 − 909 : 3 − 2323; d) 26 · 35 + 26 · 64 + 26; e) 99 · 101 − 9 · 101 − 90; f) 30 000 : 150 : 50 − 2328 : 97 : 6.

2

3

Fie numerele a = 204 − 3 · (15 + 5 · 7) și b = 11 + 22 · (33 + 44 · 5) : 23. Calculați 5 · a − b.

4

Aflați restul împărțirii numărului c ={[(1350 : 25 + 1) : 5 +1] : 6 + 8} · 29 la 31.

5

Se consideră numerele: n = 2 · {100 + 5 · [3 + 2 · (11 + 87 : 3 −29)]} −125 și m = 3 · {50 + 10 · [5 + 6 · (4 + 68 : 4 −17)]} – 696. Arătați că n = m + 1.

6

Scrieți în ordine crescătoare numerele: a = [3 · (5 · 6 − 7) − 2 · 3 · 11], b = 4 · [31 + 4 · (3 · 8 − 9)] − 360, c = {[(8 · 13− 89) + 168 : 8] · 2 + 333 : 37} : 9 și d = 285 − 4 · [4307 − 6 · (32 · 20 + 924 : 12) + 13 · 5].

7

Aflați numerele m, n, p știind că sunt îndeplinite simultan condițiile : a) m este cu 63 mai mare decât n; b) n este de patru ori mai mic decât p; c) suma numerelor este 8001.

8

Produsul a două numere naturale este 105. a) Calculați produsul dintre un număr și dublul celuilalt. b) Calculați produsul dintre triplul primului număr și triplul celui de-al doilea. c) Aflați numerele, știind că, dacă unul dintre numere se mărește cu 2, atunci produsul devine 115.

9

Efectuați următoarele calcule : a) {1000 − [1000 − (1000 − 1)]} : (1000 −1); b) 47 · (74 + 47) − 47 · (74 − 47); c) (111 + 222 + 333) · (1 + 2 + 3) − (444 + 555 + 666) : (12 + 15 + 18).

10

Fie numerele a = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 188 + 189 și b = 5 + 10 + 15 + … + 940.

Aflați numărul A – B : 5.

Efectuați : a) (88 + 55) : 13 − (88 − 55) : 3; b) (10 · 10 − 6 · 6) : (4 · 4 · 4); c) 17 · (198 : 22 − 264 : 33); d) 540 : 10 − 17 · (89 − 602 : 7).

I • N u m e re . N u m e re n a t u ra le

51

11

12

52

Efectuați calculele : a) 70 + 07; b) 196 − 1611 : 32; c) (2 + 3)2 − 42 + 531; d) (62 − 26 : 2) : 4 + 12021; e) [7 + 3 · (26 + 62) : 50] · 31; f) (23)8 : (211)2 + 012.

Calculați : a) [145 − 8 · (132 −112)] : (24 + 3); b) (25 − 33)2 + 424 : 815; c) (12345 + 678910)0; d) (72 − 62) : 13 + (2 · 53 − 10) : 12.

14

Înlocuiți fiecare steluță cu simbolul unei operații, așa încât să obțineți egalități. a) 18 * 3 * 3 = 9; b) 25 * 52 * 4 = 5; c) 43 * 26 * 23 = 9; d) 72 * 100 * 52 = 45.

15

Scrieți numărul 29 + 90 ca sumă de patru numere naturale consecutive.

16

Scrieți numărul 231 : a) ca sumă a două puteri ale lui 2; b) ca sumă a trei puteri ale lui 2; c) ca diferență de puteri ale numărului 2; d) în forma 2a · 4b · 8c .

13

Aflați numărul natural a, știind că este de (25 − 1) ori mai mic decât cel mai mare pătrat perfect de trei cifre.

17

Fie numărul A = 55 + 2 ∙ {1029 : 72 + 4 · [11 + + 5 · (221 : 13 − 192 : 12)]}. a) Stabiliți dacă A este un pătrat perfect. b) Stabiliți dacă A este un cub perfect.

18

Calculați: a) (215 + 216) : 214 − 3; b) (2n + 2n) : 2n +1 + 5, n număr natural; c) (24 ∙ 56 + 24 ∙ 57 + 24 ∙ 58 + 24 ∙ 59) : (23 ∙ 115).

19

Aflați numărul abcd , știind că a < b < c < d și a2 + b2 + c2 + d2 < 40.

20

Produsul cifrelor numărului 5ab 2 este 150. Aflați ab și calculați ab + ba.

21

Se consideră numerele a = 35 · 62 − 35 · 45 − 172 și b = (2 · 32)3 − 182. Arătați că numărul a + b se poate scrie ca produs de trei numere naturale consecutive.

22

Comparați numerele a = 2198 + 2198 + 2199 + 2200 și b = 4102− 3 · 4101 −3 · 4100.

23

Fie numerele x = (20− 02) · (21− 12) · (33− 22) – (25 · 52) : (23 · 5) și y = 3100 : (374 · 324 + 375 · 337 : 314 + 949) − 1.

Calculați xy + yx + x · y.

24

Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor: p1: Ultima cifră a numărului n = 1101 + 2202 + + 3303 + 4404 este 8. p2: Restul împărțirii numărului m = 5505 + 6066 + 7707 la 10 este 6.

25

Arătați că: a) numărul n = 22025 − 22024 − 22023 − 22022 este pătrat perfect. b) numărul m = 210 +10 · 83 − 410 : 29 este cub perfect.

I • N um e re . Nume re naturale

26

Se consideră numărul A = 20 + 21 + 22 + ... + 2n. a) Calculați A pentru n = 7. b) Arătați că 1 + A = 2n+1, oricare ar fi numărul natural n. c) Determinați n știind că A = 1023.

27

Se consideră numărul B = 30 + 31 + 32 + ... + 3n. a) Calculați B pentru n = 5. b) Arătați că 2 · B = 3n+1 − 1 oricare ar fi numărul natural n. c) Determinați n știind că B = 1093.

28

Aflați numărul z știind că z4 = 152 + 2 · (1 + 2 + 3 + … + 224).

29

a) Determinați cifra a și numărul xy , știind 2 că 2a = 4xy . b) Determinați cifra b și numărul xyz , știind 2 că 9b = xyz 9 .

( )

( )

30

Se consideră numerele a = (410 : 211 − 512)8 + 372 − 31 · 37, b = 5 · 104 + 220 − 24 · 55 și c = 28 · 53 : (365 : 68 + 23 · 11 + 20). a) Ordonați descrescător cele trei numere. b) Aflați numărul natural n pentru care (a − b)n = c.

C. TEST DE EVALUARE I. Asociaţi fiecărei litere care identifică un calcul, scris în coloana A, cifra corespunzătoare răspunsului corect aflat în coloana B. A 5p

a) (52 · 5 – 52) : 102 =

5p

b) (101 · 202 + 202 · 303) : 2022 =

5p

c) 235 − (1 · 22 + 3 · 42 + 5 · 62 ) =

5p

d) (39 · 311 : 99 – 7)2 =

B 1.

2.

3.

4.

5.

0 1 2 3 4

II. Scrieți rezolvările complete.

10 p 10 p 10 p 5p 10 p 10 p 5p 10 p Notă.

1

Efectuați următoarele calcule: a) 625 : 53 + 33 : (3 · 32 − 18). b) 202 : 100 + 189 : 29 : 316.

2

Fie numerele n = 49 – 3 · 48 – 3 · 47 și m = 58. a) Arătați că numărul n este pătrat perfect. b) Aflați câte cifre are numărul n·m.

3

Numerele x, y, z sunt naturale și x · y = 6, y · z = 15, z · x = 10. a) Calculați x · y · z. b) Aflați cele trei numere.

4

a) Calculați 1 + 31 + 32. b) Aflați restul împărțirii numărului 1 + 31 + 32 + ... + 37 + 38 la 13.

Timpul de lucru: 50 minute.

Se acordă 10 puncte din oficiu.

I • N u m e re . N u m e re n a t u ra le

53