2º ESO MATEMÁTICAS T2 ( ISBN 978-84-613-8268-2 )

Matemรกticas 2ยบ ESO Segundo trimestre

ร ndice Pรกg.

Tema 5

121

Tema 6

151

Tema 7

181

Tema 8

207

1

5

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1

El lenguaje algebraico........................................................................... Página 122

2

El valor numérico de una expresión algebraica.............Página 124

3

Monomios......................................................................................................... Página 126

4

Suma y resta de monomios...............................................................Página 128

5

Multiplicación y división de monomios................................. Página 130

6

Polinomios.......................................................................................................Página 132

7

Suma y resta de polinomios............................................................. Página 134

8

Multiplicación de polinomios......................................................... Página 136

9

Sacar factror común/Igualdades notables......................... Página 138

11 121

1 El lenguaje algebraico • Lenguaje numérico y lenguaje algebraico El lenguaje numérico usa números y signos de operaciones:

2 + 7 = 9

El lenguaje algebraico usa letras además de números y signos.

2x + y = 10

La parte de las matemáticas que estudia las relaciones entre los números, los signos y las letras se llama Álgebra.

• Expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas son conjuntos de números y letras unidos con los signos de operaciones matemáticas:

(x+y)2 = 100

2x - 3

3ab + c = 0

• Ejemplos Lenguaje usual Dos más siete es igual a nueve.

2+7=9

Cinco al cuadrado.

52

La cuarta parte de 12.

12/4

Diez por diez es igual a 100.

10 · 10 = 100

Lenguaje usual

122

Lenguaje numérico

Lenguaje algebraico

La suma de dos números.

x+y

La mitad de un número.

m/2

El cuadrado de un número es igual a nueve.

a2 = 9

El número posterior a un número entero.

x+1

El doble de un número más el triple de otro.

2x + 3y

El cuadrado de la suma de dos números.

(a + b)2

Actividades 1. Une cada enunciado del lenguaje usual con la correspondiente expresión del lenguaje algebraico.

Lenguaje usual

Lenguaje algebraico

La tercera parte de un número.

2x - 3

El doble de un número menos tres unidades.

x-1

El número anterior a un número entero.

x2 + 4

El cuadrado de un número más cuatro unidades.

x/3

2. Escribe en lenguaje numérico o algebraico.

La suma de tres más cuatro es siete.

Cien dividido entre cinco.

La mitad de cincuenta es veinticinco.

Ocho elevado al cuadrado.

La suma de tres números.

El producto de dos números.

3. Escribe en lenguaje usual estas expresiones del lenguaje algebraico.

a+b 2x + 3 m/2 a·b·c (x + y)2 4x - 5

123 123 123 123

2 El valor numérico de una expresión algebraica • El valor numérico de una expresión algebraica El valor numérico de una expresión algebraica es el número que obtenemos al sustituir las letras por números y realizar las operaciones que se indican.

• Ejemplos

2x + 1 a) Si sustituimos x por 0, el valor numérico se calcula así:

2 · (0) + 1 = 0 + 1 = 1 El valor numérico es 1. b) Si sustituimos x por 1:

c) Si sustituimos x por 2:

2 · (1) + 1 = 2 + 1 = 3

2 · (2) + 1 = 4 + 1 = 5

El valor numérico es 3.

El valor numérico es 5.

d) Si sustituimos x por -1:

e) Si sustituimos x por -2:

2 · (-1) + 1 = -2 + 1 = -1

2 · (-2) + 1 = -4 + 1 = -3

El valor numérico es -1.

El valor numérico es -3.

3x - 2y a) Si sustituimos x por 0, y por 0, el valor numérico se calcula así:

3 · (0) - 2 (0) = 0 El valor numérico es 0. b) Si sustituimos x por 1, y por 1:

3 · (1) - 2 · (1) = 3 - 2= 1 El valor numérico es 1. c) Si sustituimos x por -1, y por 3:

3 · (-1) - 2 · (3) = -3 - 6 = -9 El valor numérico es -9.

124

c) Si sustituimos x por 2, y por 1:

3 · (2) - 2 · (1) = 6 - 3 = 3 El valor numérico es 3. d) Si sustituimos x por 4, y por -2:

3· (4) - 2 · (-2) = 12 + 4 = 16 El valor numérico es 16.

Actividades 4. Halla el valor numérico de la expresión algebraica 2x + 3 para estos valores: a) x = 0 b) x = 1 c) x = -1 d) x = 2

5. Completa la tabla para la expresión 3x + 1: Valor

Sustitución de la x

Operación

Valor numérico

X=0 X=1

X = -2 6. Halla el valor numérico de la expresión algebraica x - y para estos valores: a) x = 0 y = 0 b) x = 1 y = 1 c) x = 3 y = 2 d) x = - 1 y= -4

125 125 125 125

3 Monomios • Monomios Un monomio es una expresión algebraica formada por un producto de números y letras.

2xy 3ab 2x 5n2 8xyz A los números del monomio les llamamos coeficientes y a las letras con sus exponentes les llamamos parte literal.

Monomio

Coeficiente

Parte literal

2x

2

x

-6x3

-6

x3

abc

1

abc

• El grado de un monomio El grado de un monomio es el número que resulta de sumar los exponentes de la parte literal: Monomio

Grado

Explicación

5x

1

El exponente de x es 1.

-2ab

2

3x2y3

5

La suma de los exponentes de a y b que son ambos 1. (1 + 1 = 2) La suma de los exponentes de x e y que es 2 + 3 = 5

• Monomios semejantes Dos o más monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.

2x y 3x son semejantes (tienen la misma parte literal).

2ab2 y -ab2 son semejantes (tienen la misma parte literal).

3ab y -2abc NO son semejantes (NO tienen la misma parte literal). xy2 y -x2y NO son semejantes (NO tienen la misma parte literal).

126

Actividades 7. Completa la tabla: Monomio

Coeficiente

Parte literal

-2x 3xy xyc 2 6bc2 2xy 3 -10a3b2

8. Escribe dos monomios semejantes a cada uno de estos:

a) -3x b) ab c) yx2 2 d) 8y3z e) 5abc 9. Completa la tabla: Monomio

Grado

Explicaciรณn

-2x2 5xy3 x4 2 -13bc2 4ay3

127 127 127 127

4 Suma y resta de monomios • Sumar y restar monomios Solamente podemos sumar y restar monomios semejantes (con la misma parte literal).

1. Sumamos o restamos los coeficientes (los números).

2. Dejamos igual la parte literal (las letras).

Nota: Sumar y restar monomios también se llama reducir.

• Ejemplos

3x + 2x = (3+2)x = 5x

9x - 3x = 6x

a + a + a + a + a + a + a = 7a

4ab - 3ab = 1ab = ab

3x2 + x2 + 5x2 = 9x2

10xy - 4xy - 2xy = 4xy

mn + 2mn + n + 3m + 5n = 3mn + 6n + 3m 2ab + 5ab + a + 6b + 3a +7ab +2a = 14ab + 6a + 6b 5xy + 2xy - 2x - 3y = 7xy - 2x -3y

2ab + 4ab - a + 6b + 2a -5ab - 7b = ab + a - b mn - mn + 6mn - 2m - 5n + 4n + 4m = 6mn + 2m - n 3x2y3 + 2x2y - 2x2y3 - 3xy3 + 2x2y - 2xy3 = x2y3 + 4x2y -5xy3

128

Actividades 10. Realiza las siguientes operaciones:

a) b + b + b =

e) 6x - 2x - 7x =

b) y2 + 2y2 + 3y2 =

f) 10x3 + 2x3 + 3x3 =

c) 6ab - 3ab - ab =

g) m - 3m + 5m =

d) 7p + 3p - 2p =

h) 8q - 3q - 7q =

11. Reduce estas expresiones algebraicas:

a) x2 + 4x + 2x -5x + 3x2 = b) xy - 2xy + 8x + 6y -2y + 3x = c) 2ab - 3ab + 2ab + 4ab - 5ab = d) 20x4 - 2x3 + 4x2 + 5x3 - 10x4 = e) 10y3 + 2x3 + 3x3 - 5y3 = f) xyz + 2x -3y +2y -5z +6x -3z +2xyz +10xy = 12. Completa los huecos con monomios semejantes.

a) 2x +

= 5x

b) 5p -

= 3p

c) 2xy +

+ xy = 6xy

d) 7pq +

= 3pq

e) 3ab +

= 10ab

f) 5mn -

=0 129 129 129 129

5 Multiplicación y división de monomios • Multiplicar monomios El producto de dos o más monomios es otro monomio que se halla así: 1. Se multiplican los coeficientes (los números).

2. Se multiplican las partes literales (las letras). Para multiplicar estas letras sumamos sus exponentes de las letras iguales.

• Ejemplos

3x · 2x = (3·2) · x · x = 6x(1+1) = 6x2 6x2 · (-2x3) = 6·(-2) · x2 · x3 = -12x(2+3) = -12x5 a · a2 · a = (1 · 1 · 1) · (a · a2 · a) = 1a(1+2+1) = a4 1 m3 · 8m6 = (1 · 8) · (m3 · m6) = 8 m(3+6) = 4m9 2 2 2 3x5 · 4x3 = (3 · 4) x(5+3) = 12 x8 2 5 2·5 10 (-9n2) · (-3n) = (-9) · (-3) · n2 · n1 = 27n(2+1) = 27n3 ab · a2 · b3 = a(1+2)b(1+3) = a3b4 3xy2 · 5y4 · 2x = (3·5·2) · x(1+1)y(2+4) = 30x2y6 • Dividir monomios El cociente de dos o más monomios es otro monomio que se halla así: 1. Se dividen los coeficientes (los números).

2. Se dividen las partes literales (las letras). Para dividir estas letras restamos sus exponentes.

8x2 : 2x = (8:2) · x2 = 4x(2-1) = 4x1 x

10mn2 : 3n = (10) ·mn2 = 10mn 3 n 3 10x : 5x = (10:5) · x = 2x(1-1) = -2x0 = 2·1= 2 x -18y4 : 3y2 = (-18:3) · y4 = -6y(4-2) = -6y2 y2 130

10z5 : 3z = (10 · 2 ) ·z(5-1) = 20z4 4 2 4 · 3 12

Actividades 13. Realiza las siguientes multiplicaciones de monomios:

a) 4a · 3a2 = b) 5x2 · 5x2 = c) -2y3 · (-6)y2 = d) 1m · 2m2 = 2 5 e) 4b · (-2b) · 3b = f) -10x3 · 2x2 · 3x = g) n · 4n · 6n2 = 3 h) pq · 3p · 7q = i) xy2 · 3y · 5x3 = 14. Realiza las siguientes divisiones de monomios:

a) 20b2 : 10b = b) 8y2 : 2y2 = c) (-6a4) : (-3a2) = d) 21p5 : 3p4 = e) 6x10 : 2x 6 = 3 5 f) 9m2 : 3m3 = g) q8: 3q = h) ab3: b = i) xyz : xy= 131 131 131 131

6 Los polinomios • Polinomios Un polinomio es la suma (y resta) de varios monomios.

- Cada uno de los sumandos del polinomio se llama término del polinomio.

- Los términos que no tienen parte literal (letras) se llaman términos independientes.

- El grado del polinomio es el grado del monomio de mayor grado.

• Ejemplos Polinomio 2x3 - 2x + 9

Términos 2x3

-ab - 1

-ab

abc2 + ab

9

Grado del polinomio 3 (es el grado de 2x3)

-1

2 (es el grado de -ab)

No tiene

4 (es el grado de abc2)

5

3 (es el grado de -3x3)

-3 2

4 (es el grado de 6x2y2)

-1

abc2 + ab

-3x3 + 2x2 +5 -8x + 6x2y2 - 3 2

- 2x

Término independiente 9

-3x3

2x2 6x2y2

-8x

5 -3 2

• El valor numérico de un polinomio Para hallar el valor numérico de un polinómio para unos determinados valores de las letras tenemos que sustituir las letras por esos valores.

• Ejemplo

3x2 + x - 5 a) Si sustituimos x por 0, el valor numérico se calcula así:

3 · (0)2 + 0 - 5 = 0 + 0 -5 = -5 El valor numérico es -5. b) Si sustituimos x por 2:

3 · (2)2 + 2 -5 = 12 + 2 -5 = 9 El valor numérico es 9.

132

c) Si sustituimos x por -1:

3 · (-1)2 + (-1) -5 = 3 - 1 -5 = -3 El valor numérico es -3.

Actividades 14. Completa la tabla: Polinomio

Términos

Término independiente

Grado del polinomio

4x2 + 10x + 1 5xy - 7xy2 6b + 10 y3 - 6y2 +8y -15 2 a2b - 3 5 15. Escribe: a) Un polinomio de grado 3. b) Un polinomio con cuatro términos. c) Un polinomio sin término independiente.

16. Escribe el valor numérico del polinomio 4x2 - 5x +2 para estos valores: a) x= 0 b) x = 1 c) x = -1

d) x= 3 e) x = 5 f) x = -2

133 133 133 133

7 Suma y resta de polinomios • Suma de polinomios Para sumar polinomios sumamos los monomios semejantes.

• Ejemplos A (x) = 4x2 - 2x + 8

C (x) = 2x3 + x - 10

B (x) = 2x2 + 5x + 3

D (x) = -x2 + 3x + 2

A (x) + B (x):

C (x) + D (x):

4x2 2x2

- 2x +5x

6x2

+3x +11

+8 +3

2x3 -x

2

2x 3 -x2

+x +3x

-10 +2

+4x

-8

• Resta de polinomios Para restar polinomios restamos los monomios semejantes . Podemos sumar el polinomio contrario, cambiando de signo todos los monomios.

• Ejemplos

A (x) = 4x2 - 2x + 8

C (x) = 2x3 + x - 10

B (x) = 2x2 + 5x + 3

D (x) = -x2 + 3x + 2

A (x) - B (x):

C (x) - D (x):

4x2 -2x2

- 2x -5x

+8 - 3 (*)

2x2

-7x

+5

2x3 +x2 2x3 + x2

+ x -10 -3x - 2 (*) -2x

-12

(*)Sumamos el polinomio contrario (con los monomios cambiados de signo).

134

Actividades 17. Dados estos polinomios: A(x) = 3x3 +5x2 + 6x +7

C (x) = -2x2 + x -10

B (x) = x3 + 2x2 + 3x +2

D (x) = - x3 + 4x2 + 4x

• Realiza estas sumas: a) A(x) + B(x)

c) C(x) + D(x)

b) A(x) + C(x)

d) D(x) + B(x)

• Realiza estas restas: a) A(x) - B(x)

c) C(x) - D(x)

b) A(x) - C(x)

d) D(x) - B(x)

135 135 135 135

8 Producto de polinomios • Producto de polinomios Para multiplicar polinomios debemos seguir estos pasos: 1. Multiplicamos cada monomio del primer polinomio por cada monomio del segundo.

2. Reducimos los monomios semejantes.

4x2

- 2x 5x -6x

x 12x2 A(x) · B (x) =

20x3

-10x2

20x3

2x2

+8 +3 24

A(x) B(x)

40x 34x

24

• Ejemplos

-x3

3x2 - 5x

x

+2 3x

C(x) D(x)

C(x) · D (x) = -3x4 + 9x3 -15x2 6x

4x3 x

4x6 E(x) · F (x) =

136

20x5

8x4 -5x4

-x5

3x4

4x6 19x5

6x4

- x2 + 3x + 2 E(x) x3 + 5x2 + 2x F(x) -2x3 6x2 4x 15x3 10x2 2x3 15x3

16x2

4x

Actividades 18. Multiplica x3 + 2x2 + 3x +2 por 4x.

19. Dados estos polinomios: A(x) = 3x3 + 5x2 + 6x +7

C (x) = -2x2 + x -10

B (x) = 3x + 2

D (x) = - x3 + 4x2 + 4x

• Realiza estas multiplicaciones: a) A(x) · B(x)

c) C(x) · B(x)

b) A(x) · C(x)

d) D(x) · C(x)

137 137 137 137

9 Sacar factor común/Igualdades notables • Sacar factor común Sacar factor común es una operación que consiste en extraer un elemento que se repite en todos los términos de una expresión (un polinomio, por ejemplo).

Expresión

Factor común

Sacamos factor común.

3x + 3y

3

3(x + y)

2x - 2

2

2(x - 1)

3a + 7a

a

a(3 + 7)

5x2 + x

x

x(5x+1)

-3x3 + 2x2 + x

x

x(-3x2 + 2x + 1)

2x2 + 4x

2x

2x(x+2)

• Igualdades notables Las igualdades notables son igualdades que son fáciles de recordar y son útiles para abreviar cálculos con expresiones algebraicas. La principales igualdades notables son:

Cuadrado de una suma: ( a + b)2 = a2 + b2 + 2ab Cuadrado de una diferencia: ( a - b)2 = a2 + b2 - 2ab Suma por diferencia: (a + b) · ( a - b) = a2 - b2 • Ejemplos

( x + 2)2 = x2 + 22 + 2(x·2) = x2 + 4 + 4x = x2 + 4x + 4 ( x - 5)2 = x2 + 52 - 2(x·5) = x2 + 25 - 10x = x2 - 10x + 25 ( x + 1) · (x - 1) = x2 - 12 = x2 - 1

138

Actividades 20. Completa la tabla: Expresión

Factor común

Sacamos factor común.

2b - 2a 5y + 5 3m + 4m 8y2 - 3y 3x4 + 5x2 + x 3x2 + 9x

21. Extrae factor común en las siguientes expresiones: a) 2a + 2b + 4

b) 6xy + 4xy

c) x3 + x2 - x

22. Calcula: a) (x + 3)2 = _____________________

b) (x + y)2 = _____________________

c) (x + 10)2 = _____________________

c) (m + n)2 = _____________________

23. Calcula: a) (x - 2)2 = _____________________

b) (4 - x)2 = _____________________

c) (z - d)2 = _____________________

c) (m - n)2 = _____________________

24. Calcula: a) (x + 2)(x - 2) = __________________ b) (x + y)(x - y) = __________________ c) (x + 5)(x - 5) = ___________________ d) (2a + b)(2a - b) = _________________ 139 139 139 139

Actividades de repaso 25. Escribe en lenguaje usual estas expresiones del lenguaje algebraico.

x+y 2x - 4 n/3 a+b+c y2 4a + 2b

26. Completa la tabla para la expresión 2x - 4: Valor

Sustitución de la x

Operación

X=0 X=1

X = -2

27. Escribe dos monomios semejantes a cada uno de estos:

a) 5x b) -abc c) y2 2 140

Valor numérico

Actividades de repaso 28. Completa la tabla: Monomio

Coeficiente

Parte literal

6x2 2xy2 xy 5 3a3bc2 4ab 3 -10mn4

29. Realiza las siguientes operaciones:

a) a+ a + a + a=

e) 8y - 4y - 7y =

b) 3x2 + 5x2 + 7x2 =

f) 12x3 - 2x3 + 3x3 =

c) 9abc - 3abc =

g) mn - 2mn + 4mn =

d) 4q + q - 2q =

h) 10p - p - 7p =

30. Completa la tabla: Monomio

Grado

Explicaciรณn

4x 2xy x2 3 -b3c2 -2a4y3

141 141 141 141

Actividades de repaso 31. Completa los huecos con monomios semejantes.

a) x +

= 10x

b) 10y -

= 3y

c) 3xy2 +

+ xy2 = 10 xy2

d) 5pq -

= 2pq

e) 3abc -

= abc

f) 6xyz -

=0

32. Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones de monomios:

a) 2b2 · 4b2 =

j) 2a2 : a =

b) -6x2 · 8x4 =

k) 10y2 : 2y =

c) -10z3 · (-z) =

l) (-15p3) : (-5p2) =

d) 1m2 · 3m = 3 5

m) 12y8 : 4y2 =

e) -z · (-3z) · 5z = f) -7a3 · 9a2 =

142

n) 1x5 : 2x 6 = 3 5 o) 20m2 : 5m2 =

g) n2 · 2n · 6n2 = 3

p) 36p4: 9p =

h) yz · 2z · 5y =

q) -7cd: 3d =

i) a2 · 34b · 3ab2 =

r) xy : xy =

EXAMEN 1. Escribe en lenguaje algebraico: La suma de tres números.

El cuadrado de un número.

La mitad deun número.

El triple de un número.

El cociente de dos números.

El producto de dos números.

2. Completa la tabla: Monomio

Coeficiente

Parte literal

10x 2ab xyz 5 bc2 4y2 3 -2bcd2

3. Completa la tabla: Monomio

6x2 -3ab3 5x2y -xyz 146

Grado

Explicación

EXAMEN 4. Reduce estas expresiones algebraicas:

a) 2y2 + 5y - 2y +5y2 - 3y2 = b) xy + 4xy + 2x - 4y -2y + 3x = c) 6ab - 4ab + 2ab + ab - 2ab = d) 10x2 - 12x3 + 4x2 + 5x3 + 10x3 = e) 8a3 + 2b3 + 3a3 - 7b3 = f) 6xyz + x -2y +2y -3z + 10x - 4z + xyz + 8xy =

5. Realiza estas operaciones:

a) 2a2 · 3a2 =

j) 20b3 : 5b =

b) -3y2 · 5y3 =

k) 8y2 : 4y =

c) -2z3 · (-4)z =

l) (-6a2) : (-2a2) =

d) 1n2 · 3n = 2 4

m) 21p8 : 7p4 =

e) -4b · (-3b) · 2b = f) -x3 · x2 · x =

n) 2x5 : 4x 6 = 3 5 o) 15m2 : 3m3 =

g) n2 · 2n · 2n2 = 5

p) 9q4: 3q2 =

h) xyz · 3x · 7y =

q) 2ab: b =

i) a2 · 3b · 5ab2 =

r) xyz2 : xz= 147 147 147 147 147

EXAMEN 6. Completa la tabla: Polinomio

TĂŠrminos

TĂŠrmino independiente

Grado del polinomio

2x2 + 3x + 5 -y2 + 4y - 9 18a + 10 2b3 + 4b2 +6b + 8 2 x2y - 8 3

7. Realiza estas sumas de polinomios: a) A(x) + B(x)

148

b) C(x) + D(x)

c) A(x) + D(x)

A(x) = 4x3 - 2x2 + 5x + 10

C (x) = -x2 + 2x -1

B (x) = 2x3 + 4x2 - 2x + 3

D (x) = 5x3 - 6x2 + 8x

EXAMEN 8. Realiza estas restas de los polinomios del ejercicios siete. a) A(x) - B(x)

b) D(x) - D(x)

c) B(x) - C(x)

9. Realiza estas multiplicaciones: a) A(x) · B(x)

b) C(x) · B(x)

A(x) = 2x3 +3x2 + 4x +10

B (x) = 5x

c) A(x) · C(x) C (x) = 2x2 + x

149 149 149 149 149

EXAMEN 10. Completa estas tablas:

Expresión

Factor común

Sacamos factor común.

3b + 3a 10y + 10 2a + 4a x2 - x x4 + x 2 + x 2x2 + 2x

Igualdad (x + y)2 (x - y)2 (x + y)· (x - y) (a + 3)2 (b - 5)2 (m + 1) · (m - 1)

150

Resultado

6

Ecuaciones de primer grado

1

Ecuaciones e identidades..................................................................... Página 152

2

Ecuaciones equivalentes....................................................................... Página 154

3

Método de resolución de ecuaciones............................................ Página 156

4

Resolución de ecuaciones con denominadores................. Página 160

5 Resolución de problemas con ecuaciones

................................

Página 164

151 151

7

Ecuaciones de segundo grado

1

Las ecuaciones de segundo grado................................................. Página 182

2

Fórmula para resolver ecuaciones de segunmdo grado................ Página 184

3

Ecuaciones del tipo ax2 + c = 0 ....................................................... Página 188

4

Ecuaciones del tipo ax2 + bx = 0 ...................................................... Página 192

5

Resolución de problemas con ecuaciones de segundo grado....... Página 196

181 181

8 1

Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones y sus elementos.................................. Página 208

2 Método de sustitución

...............................................................................

Página 212

3 Método de reducción

.................................................................................

Página 216

4

Método de igualación............................................................................... Página 220

..

5

Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones ...................Página 224

207 207