Catálogo Matemáticas Radix

Matemáticas

ESO BA RAD X 1

2

04

Matemáticas

Bachillerato 12

Matemáticas

Claves para

una enseñanza integral 24

Pautas DUA en acción

25

Evaluar para aprender

26

eCasals: tu aula digital

28

Refuerzo y recuperación

30

Matepractic

MATEMÁ TICAS

Ín di ce

ESO

Volver a la raíz para seguir creciendo Radix es la nueva propuesta de Editorial Casals para ESO y Bachillerato.

Una invitación a reconectar con el sentido profundo del aprendizaje y a crecer desde lo esencial.

Raíz, conocimiento y desarrollo.

Un proyecto sólido, actual y claramente alineado con la educación de hoy.

3

claves del proyecto Matemáticas ESO

Matemáticas en contexto Situaciones reales y datos actualizados que acercan los sentidos matemáticos a la vida cotidiana del alumnado.

Retos para aprender Desafíos que despiertan la curiosidad, favorecen la aplicación práctica y fortalecen el desarrollo competencial.

4

AUTOR LOS ES

Rafael-Ángel Martínez Casado (coordinador), Pablo Martínez, M.ª Concepción Muñoz y M.ª Isabel de los Santos son especialistas en la enseñanza de las matemáticas, con una amplia experiencia en educación secundaria, formación del profesorado y desarrollo de materiales didácticos. Su trabajo destaca por un enfoque práctico, riguroso y orientado al aula.

Estructura clara y progresiva Contenidos reorganizados en un orden lógico y accesible, que facilitan la comprensión y el avance gradual.

claves del proyecto

Más actividades, más práctica

Refuerzo continuo

Incremento de ejercicios variados y adaptados a todos los niveles de aprendizaje.

Los conceptos clave se recuperan de forma cíclica para asegurar una base sólida antes de avanzar.

Pensamiento matemático

Evaluar para seguir aprendiendo

Propuestas que estimulan la reflexión, el razonamiento y la resolución creativa de problemas.

Evaluación formativa y competencial a lo largo de todo el proceso.

Solucionario ampliado y revisado Desarrollo detallado de todas las actividades para guiar y apoyar la práctica docente.

5

materiales y recursos para

¡Descubre el proyecto!

el alumnado Matemáticas ESO

Matemáticas 1

Matemáticas 2

Matemáticas 3

Matemáticas 4 A

Matemáticas 4 B

ISBN papel: 978-84-218-8332-7 ISBN digital: 978-84-218-8506-2

ISBN papel: 978-84-218-8578-9 ISBN digital: 978-84-218-8721-9

ISBN papel: 978-84-218-8334-1 ISBN digital: 978-84-218-8508-6

ISBN papel: 978-84-218-8579-6 ISBN digital: 978-84-218-8723-3

ISBN papel: 978-84-218-8580-2 ISBN digital: 978-84-218-8725-7

Próximo curso 2027-2028

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¡NOVEDAD!

6

Accede a una muestra digital.

Próximo curso 2027-2028

¡NOVEDAD!

materiales y recursos para

el alumnado

Vídeos «Profesor/a en casa»

Explicaciones visuales de

conceptos teóricos y resolución de ejercicios paso a paso, a modo de clase particular.

Vídeos «Prepárate»

Ejemplos reales de aplicación de contenidos matemáticos para promover la motivación.

Imágenes técnicas

Fotografías e ilustraciones

descargables que ayudan a visualizar conceptos matemáticos.

Documentación

complementaria

Materiales de apoyo para

realizar y ampliar las actividades propuestas.

Ponte a prueba

Tests de autoevaluación que

permiten comprobar el nivel de comprensión y consolidar los contenidos trabajados.

ESO

Más de 500 recursos digitales para enriquecer tus clases y motivar al alumnado.

7

estructura de una situación de aprendizaje Matemáticas ESO 1 Campamento de verano SITUACIÓN DE APRENDIZAJE

Reto ¡Organiza la fiesta final del campamento!

Mi hoja de ruta

1

Hoja de ruta

DIVERSIÓN A RAUDALES Sentido numérico El conjunto de los números racionales Fracciones Números reales

1

Se presentan la ruta de saberes que recorrerán los alumnos, los objetivos de aprendizaje y el contexto que se abordará.

2 ACTIVIDADES AL AIRE LIBRE Sentido algebraico Funciones Formas de expresar una función Dominio y recorrido Características de una función

MASTERMATE Sentido estocástico Población y muestra Frecuencias absolutas y relativas Parámetros centrales

3

4 5 ACTIVIDADES FINALES Entrénate + Mates en contexto

KANBAN Organizo mis tareas

1 2 3 4 5

Objetivos de aprendizaje 1. Distinguir entre números naturales, enteros y racionales para expresar distintas cantidades.

Activa tus habilidades y competencias

2. Operar con fracciones y pasar de la expresión fraccionaria a la decimal y viceversa para aplicarlo a la resolución de problemas de la vida real.

1 2 3 4 5 Reto ¡ORGANIZA LA FIESTA FINAL DEL CAMPAMENTO!

1 2 3 4 5 Prepárate Vacaciones y matemáticas

KPSI ¿Qué sé sobre…?

3. Conocer las características de una función y las distintas formas de expresarla para manifestar la dependencia entre dos variables o magnitudes.

4. Calcular las frecuencias absolutas y relativas de un estudio estadístico para organizar y resumir la información que contiene a través de una tabla de frecuencias.

5. Hallar los parámetros centrales de un conjunto de datos para analizarlos estadísticamente.

2 Contenidos + Actividades

contenidos

Una función es una relación entre dos variables de modo tal que a un valor de una de ellas le corresponde un valor o ningún valor de la otra variable.

Apunte 7 El primer matemático que utilizó la actual notación para las funciones, f(x), fue Leonhard Euler (Basilea, 1707-San Petersburgo, 1783).

¿El perfil de una ruta es una función?

Ítem 1. Nos vamos de senderismo

Ítem 2. El perfil de la ruta

Los integrantes del campamento se levantarán mañana temprano para hacer una ruta a pie a lo largo de un sendero de pequeño recorrido (PR). Para no perderse, deberán seguir señales como las siguientes:

El perfil es un gráfico en el que se muestra la altitud en cada punto de la ruta.

Cambio de dirección

Los valores de la otra variable dependen del que se ha dado a la anterior y la relación entre ellas. Se llama variable dependiente y se designa con la letra y.

Se escribe y = f(x) y se lee «y es función de x» o también «y es la imagen de x» (apunte 7).

Ejemplo

Perfil

Continuidad de sendero

A una variable se le asignan los valores libremente. Se llama variable independiente y se representa con la letra x.

La relación entre ambas es la función, que se representa por la letra f.

La diferencia de altura entre dos puntos se llama desnivel. Si es positivo, significa que se asciende y si es negativo, que se desciende.

Pequeño recorrido

7. Se escribe 4 = f(−3). Se lee «4 es la imagen de −3 mediante la función f».

1500

Dirección equivocada 1000

5. Formas de expresar una función

Apunte 8 Las gráficas, como los textos, se leen de izquierda a derecha.

500

Una función se puede expresar mediante las siguientes formas; todas ellas están relacionadas, de tal modo que es posible pasar de una expresión a otra.

5.1 Texto 0 0

5

Una relación entre dos variables se puede expresar narrando la situación.

Apunte 9

10 y

Argumenta

4 3

1 Razona si es normal que en la ruta que van a hacer, la altitud del punto inicial y la del punto final sean la misma.

2 Observa el perfil del ítem 2 y realiza las actividades. a ¿Qué magnitud se ha representado en el eje horizontal? ¿En qué unidades está expresada? ¿Entre qué dos números están comprendidos los valores que toma? b Teniendo en cuenta que la altitud más baja de la ruta es 1054 m y la más alta, 1294 m, repite las preguntas del apartado anterior para el eje vertical.

Matematiza

Ejemplo

5

Actividades

3 Entra en la página web del enlace del ítem 2; observarás que, al pasar el puntero por los puntos del perfil de la ruta, aparecen dos números. ¿A qué valor representado en la gráfica corresponde cada uno de ellos?

4 Continúa trabajando con la página web para ser más preciso en las respuestas que con el dibujo del ítem 2. A lo largo del trayecto hay cambios de altitud. a ¿Entre qué valores el desnivel es positivo? b ¿Entre qué valores el desnivel es negativo? c ¿Hay algún tramo en el que no exista desnivel? Si la respuesta es afirmativa, indica en cuál.

5 a ¿A qué distancia está el punto (o los puntos) de máxima altitud? ¿Cuál es ese valor máximo? b ¿A qué distancia se encuentra el punto (o los puntos) de mínima altitud? ¿Cuál es ese valor mínimo?

Representa

6 Representa en una gráfica el recorrido de la ruta descrita en el ítem 1. Sitúa la distancia recorrida en el eje de abscisas y el tiempo en el eje de ordenadas.

16

8

1

4. Funciones

También les han informado de que es una ruta circular, esto es, empieza y termina en el mismo punto.

Recorrerán una distancia de 10 km y tardarán unas 2,5 horas. A los 5 km pararán media hora a tomar un bocadillo. A los 3 km y a los 8 km, se detendrán 10 minutos para refrescarse y descansar.

Tres bloques de contenido con un contexto de introducción, conceptos teóricos, actividades para practicar y actividades en contexto para aplicar los saberes a la vida real.

construye con lo que sabes

Altitud

2

1

Actividades al aire libre

2 1 −3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

x

8. En una laguna, la empresa Corsarios del lago alquila barcas de pedales. El precio es de 2 € cada media hora. Cada barca se puede alquilar un tiempo máximo de 2 horas.

−1 −2 −3 −4 −5 −6

En x = 2, la gráfica pasa por dos puntos (le corresponden dos valores de y), los marcados con puntos rojos. Por lo tanto, no es la gráfica de una función.

Profesora en casa.

Dominio y recorrido en la gráfica función.

Profesora en casa.

Crecimiento y decrecimiento de una función.

Profesora en casa.

Función periódica.

5.2 Tabla de valores En una tabla se reflejan los valores de la variable independiente y los que le corresponden de la variable dependiente. Con cada par de valores se obtiene un punto.

Ejemplo 9. La función del ejemplo anterior se puede expresar mediante esta tabla.

N.º de medias horas

1

2

3

4

Precio

2

4

6

8

5.3 Gráficamente En los ejes de coordenadas se representa un dibujo formado por los puntos (valores de x e y) de la función (apuntes 8 y 9).

5.4 Fórmula Es una expresión que indica las operaciones que hay que aplicar a la variable independiente, x, para obtener la dependiente, y.

18

organizo los conceptos

Organizo los conceptos

x=

Todas las cifras −Cifras hasta el período Tantos 9 como cifras tiene el período. Tantos 0 como cifras tiene el anteperíodo

Números irracionales Son aquellos que tienen infinitas cifras decimales y no se pueden escribir en forma de fracción. El número p, el número e y las raíces no exactas son números irracionales.

Clasificación de los números reales Los números reales son la unión de los números racionales y los irracionales.

Se cumple que ! ⊂ " ⊂ #.

−5 2

Síntesis de las ideas principales para repasar y estudiar.

Naturales ( ) Reales ( )

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−2 3

0,2 0,555...

Positivos (

+

)

Enteros ( ) Cero Negativos (

)

Irracionales ( )

5 2

2 3

0,516 66...

Racionales ( )

SENTIDO ALGEBRAICO

Fracciones a Una fracción es irreducible si, y solo si, m. c. d. (a, b) = 1. b Para sumar o restar dos fracciones debemos:

Una función es una relación entre dos variables de modo tal que a un valor de una de ellas le corresponde un valor o ningún valor de la otra variable.

1. Reducir a común denominador con el m. c. m.

2. Sumar o restar los numeradores y dejar el mismo denominador.

La variable independiente se representa con la letra x, mientras que la variable dependiente se representa con la letra y.

Para multiplicar dos fracciones:

La relación entre ambas es la función, que se representa por la letra f. Se escribe y = f(x) y se lee «y es función de x» o también «y es la imagen de x».

a c a⋅c ⋅ = b d b⋅d Para dividir dos fracciones:

Existen distintas formas de expresar una función:

a c a d : = ⋅ b d b c

• Texto. Una relación entre dos variables se puede expresar narrando la situación.

• Tabla de valores. En una tabla se reflejan los valores de la variable independiente y los correspondientes de la variable dependiente. Con cada par de valores se obtiene un punto.

• Gráficamente. En los ejes de coordenadas se representa un dibujo formado por los puntos (valores de x e y) de la función.

• Fórmula. Es una expresión que indica las operaciones que hay que aplicar a la variable independiente, x, para obtener la dependiente, y.

Para pasar de la expresión fraccionaria a la expresión decimal, dividimos el numerador entre el denominador.

Los tipos de decimales que podemos obtener son los siguientes: • Exactos, con una cantidad limitada de cifras decimales.

• Periódicos puros, con el período (lo que se repite) justo después de la coma.

• Periódicos mixtos, cuyo período no empieza después de la coma.

El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable x, de modo que se pueda calcular y. Se escribe D(f) o Dom(f).

El recorrido es el conjunto de valores que toma la variable dependiente, y. Se escribe Rec(f).

Los números conocidos hasta el momento son: " los números positivos sin parte de• Naturales (!).⊂Son cimal. ! ⊂("). Son los números positivos y negativos sin • Enteros parte decimal y el 0.

• Fraccionarios. Expresan unidades incompletas o partes de la unidad.

El conjunto de los números racionales ! ⊂ " ⊂(#) está formado por el conjunto de los números enteros (que incluye a los naturales) junto con los fraccionarios.

Una función es creciente si, al aumentar la variable independiente, x, aumenta la dependiente, y.

Una función es decreciente si, al aumentar x, disminuye y.

Una función es constante si, al variar x, se mantiene constante y.

Los extremos relativos de una función son los puntos en los que se produce un cambio en el crecimiento: • Máximo: punto en el que la función deja de ser creciente y empieza a ser decreciente.

• Mínimo: punto en el que la función pasa de decreciente a creciente.

El punto en el que la función alcanza el mayor valor es el máximo absoluto. Aquel punto en el que alcanza el valor menor es el mínimo absoluto.

Una función es continua si no presenta interrupciones.

Podemos saberlo de forma intuitiva si la dibujamos sin levantar el lápiz del papel.

Una función es periódica si repite el mismo valor a intervalos regulares de la variable. La longitud de esos intervalos se denota con la letra p y se llama período.

1

actividades finales

1

47. A partir de la función y = 3 – 2x, construye la tabla de

cada paso, y expresa el resultado como fracción irreducible.

9 3 2 ⎛ −2 ⎞ a − ⋅3+ 3 − : ⎜ 1− ⎟ 2 2 3 ⎝ 3⎠ b − 1 − 2 : 3+ 1 ⋅ ⎡⎢3 − 4 : ⎛ 1− 3 ⎞ 2⎤⎥ ⎜ ⎟+ 4 5 3 ⎣ 5 ⎝ 4⎠ ⎦

Actividades finales Cristalización del aprendizaje con actividades para todos los niveles.

3 5 ⎛ 4⎞ 4 − − : ⎜ 1− ⎟ 2 6 ⎝ 9⎠ d 5 1+ 3 1+ 1 1− 4

Características de las funciones

Han decidido pedir unas pizzas y han elegido de tres tipos: barbacoa, cuatro quesos y carbonara. Cada uno ha tomado

a

1 1 1 de barbacoa, de cuatro quesos y de carbonara.

3 2 4

b

−3

−2

3

2

2

1

1

−1 0 −1

1

2

3

4

−3

b 2,311…

c 0,2424…

d 3,221 212…

expresando los decimales en forma de fracción irreducible. ⌢ ⌢ a 3,6 − 5⋅ 1 + 1,04 9 ⌢ ⌢ b −1+ 0, 3 − 13 − 10 ⋅0,62 2 9 7 1− 3

−1 0 −1

−2

cionales. Luego, clasifica los racionales. c 2,333…

1

e

49

Para obtener la mediana, usaremos las frecuencias acumuladas de los valores:

Población y muestra

La muestra es el conjunto representativo de la población.

1. Tomamos el número total de datos y lo dividimos entre 2.

2. En la tabla de frecuencias, buscamos la primera frecuencia acumulada que sea mayor que el resultado anterior.

3. Esta frecuencia acumulada corresponderá a cierto valor, que será la mediana.

Frecuencias absolutas y relativas

Para obtener la media aritmética, usaremos las frecuencias absolutas de los valores:

La población es el conjunto de todos los elementos (personas o cosas) de los que trata un estudio estadístico.

A cada elemento se le llama individuo.

La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico. Se representa mediante fi.

La frecuencia relativa de un valor es el cociente (razón) entre su frecuencia absoluta y el total de datos. Se representa mediante hi.

46. Un médico dedica seis horas diarias a atender a sus pacientes. El número de personas que acuden a la consulta no es la misma todos los días. Por ello, el tiempo que debe dedicarles para que todas dispongan de los mismos minutos de atención no es siempre igual. a Escribe la tabla de valores que refleje el tiempo que dedica a cada paciente en función del número de los que acuden a la consulta en un día. b Haz la gráfica correspondiente. c Escribe la fórmula de la función.

29

a ¿Qué fracción de la piscina llena en una hora la manguera ancha? ¿Y la estrecha? b ¿Qué fracción llenan las dos mangueras juntas en una hora? c ¿Cuánto tiempo tardan en llenarla por completo?

−2

a ¿Qué fracción de agua pierde la piscina por hora? b ¿Conseguirían llenar la piscina con la fuga? ¿Cuánto tiempo tardarían?

5

3 2

Problemas

1 0

1

2

3

4

5

6

7

8 9 10 Tiempo (días)

Estadística 50. Las notas de un grupo de alumnos y alumnas en un exa-

a Construye una tabla con estos datos. b ¿Cuántos alumnos y alumnas aprobaron? ¿Y cuántos suspendieron? c ¿Cuál ha sido la nota que más ha aparecido? d ¿Cuál es su media aritmética?

han sido estas: S

3 Supón que la piscina pierde más agua que en el supuesto anterior y que se vacía en tres horas.

1 ¿Qué fracción representa a los monitores de Alcalá de Henares y a los de Rivas juntos? ¿Y a los de Madrid? ¿Qué fracción representa a los de Madrid y Rivas? Escribe fracciones irreducibles.

a ¿Cuánto tardarían las mangueras en llenarla? b ¿Qué sucedería si se estropeara la manguera estrecha? ¿Cuánto tiempo tardaría en llenarse? ¿Y si se estropease la manguera ancha?

2 Pasa a decimales las fracciones del apartado anterior, indicando de qué tipo de decimal se trata. ¿Qué porcentaje representan? Redondea a las centésimas.

L

M

X

J

V

D

Máxima

12

16

18

21

14

15

12

Mínima

–2

–1

4

5

0

–2

–4

Calcula la media de las temperaturas máximas y mínimas.

Argumenta: 2

Matematiza: 1, 3

3 El número de monitores está entre 25 y 100. ¿Cuáles son las posibilidades?

10 La clave del candado

5 ¿De qué tipo de pizza han comido más?

6 ¿Ha tomado cada uno más o menos de una pizza?

Justifica la respuesta.

Problemas

Calcula el número de pizzas de cada tipo que han encargado. ¿Sobra de algún tipo? ¿Cuánto sobra?

1 Clasifica el número decimal y escríbelo en forma de fracción.

2 Imagina que la pista que dan a María es esta otra: «Si al número secreto le sumamos 10 y 20, el resultado es 50.» ¿Cuál es el número secreto?

9 Calcula cuántas personas podrían comer si se encargaran 72 pizzas y cuántas pizzas de cada tipo se encargan. ¿Sobra algo?

Plantea: 3, 9

6

3 Aplica la misma estrategia de la pregunta 2 para hallar el número secreto que permite abrir el candado.

Argumenta: 5, 6, 7, 8

Matematiza: 1

Plantea: 2, 3

31

30

Activa tus habilidades y competencias 1 El precio de la electricidad

NUEVA FACTURA ELÉCTRICA Pagas más o menos según las horas del día Hora valle (precio más barato)

A menudo, las compañías eléctricas ofrecen tres tipos de tarifas: la hora valle, la hora llana y la hora punta.

10:00h - 14:00h 18:00h - 22:00h

1. En un día entre semana no festivo, ¿cuál de las tres tarifas abarca más tiempo?

b El tiempo que permanece en el trabajo. c El tiempo que Marcelino emplea en desplazamientos.

Para calcular el consumo eléctrico es necesario conocer la potencia de los aparatos que utilizamos y su tiempo de uso. La electricidad se mide en kWh.

a Tramo de 2 horas. b Tramo de 4 horas.

Actividades de evaluación contextualizadas.

12 11 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5

08:00h - 10:00h 14:00h - 18:00h 22:00h - 24:00h

2. Calcula el porcentaje que representa cada una de ellas en un día entre semana no festivo.

3. Escribe en forma de fracción los porcentajes del ejercicio anterior. ¿Qué tipo de decimal son?

c Tramo de 8 horas. d Tramo de 24 horas.

9. La lavadora de Marcelino consume 1,5 kWh y los precios medios son: hora valle: 0,068 06 €/kWh; hora llana: 0,107 60 €/kWh; hora punta: 0,156 33 €/kWh. Calcula el gasto semanal que tiene (sin contar los días festivos) si pone la lavadora de lunes a jueves a las 7:30 horas, los viernes a las 20:00 horas y dos veces durante el fin de semana.

Me enfrento al reto + Evaluación Presentación del reto como producto final y regulación del aprendizaje, y calificación de las competencias específicas y de las competencias clave.

Tu grupo tiene la misión de organizar la fiesta del último día del campamento. Para ello, tus compañeros y tú debéis tomar decisiones importantes relacionadas con el presupuesto, las actividades, la participación de los asistentes y la organización del evento. ¡Usad las matemáticas para que todo salga perfecto!

En grupos cooperativos, organizad la fiesta final del campamento realizando las siguientes actividades. Al final, tenéis que presentar vuestra propuesta al resto de la clase.

Asignad los roles y completad el plan de trabajo disponible en el recurso adjunto.

3. Encuesta sobre las actividades Elaborad una encuesta en el aula para saber cúantas actividades de las que habéis propuesto en la actividad 1 les gustaría hacer a vuestros compañeros y compañeras. Recoged los datos y completad una tabla de frecuencias. Calculad la media, la moda y la mediana.

4. Evolución de la fiesta final Para planificar el orden de las actividades, los organizadores de la fiesta del año anterior han compartido con vosotros la siguiente gráfica, en la que registraron el número de asistentes en función de la hora:

1. ¿Qué tipo de fiesta queréis organizar?

200

Antes de empezar, decidid en grupo. ¿Qué tipo de fiesta queréis organizar? ¿Qué actividades habrá en ella? ¿Qué elementos consideráis imprescindibles (música, decoración, comida, premios…)?

Justificad vuestras decisiones con argumentos y creatividad.

2. Administración del presupuesto

150

100

50

0

El campamento os da un presupuesto de 250 € para organizar la fiesta. Debéis decidir en qué vais a emplear ese dinero y cómo lo vais a distribuir. Con este fin: a Diseñad una tabla con el reparto del presupuesto y las cantidades respectivas. b Indicad la fracción del presupuesto que se dedicará a cada concepto. c Justificad vuestras decisiones. ¿Por qué habéis destinado más dinero a unos elementos que a otros?

Diana de autoevaluación

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

Horas transcurridas desde el inicio

a Determinad cuándo se registra la máxima afluencia. ¿Qué actividad propondríais para ese momento? b ¿En qué momentos hay menos asistentes? ¿Qué tipo de actividad podríais plantear para esos tramos?

Accede a la documentación adjunta para evaluar esta tarea.

Reflexiono sobre mi aprendizaje

Utiliza la diana de autoevaluación disponible en el recurso adjunto para valorar tu trabajo en esta situación de aprendizaje.

Responsabilidad individual

3

4

Colaboración

3

2 1 Respeto

2

Implicación

1 Atención

¿Cómo puedo poner en práctica lo que he aprendido?

¿Qué me ha resultado más interesante? ¿Y más difícil?

¿Cómo lo he aprendido?

¿Qué he aprendido?

Organización

36

2 3 4 5 6 7

25 %

23 % 15 %

2024

2023

2021

2017

universitario Un estudio realiza que los estudia do en cierta univers idad ha revelad ntes univers porte registr o itarios que an en sus practican expedientes de9 % más alta una nota que media un tipo de activid la de aquellos que no realiza ad física. n ningún La siguien te tabla recoge hacen deport el número de días a e los univers la semana itarios, según que otro estudio : N.º de días Porcentaje de univer sitarios 0 14 % 1

2022

2015

2018

2014

2019

2016

4 Depor34 te

2020

2011

2012

2013

2010

2008

Consolas vendidas (en millones)

Altura (m)

5. Expresa como decimales las fracciones del ejercicio 10.

Determina el coste aproximado del consumo elécanterior. ¿Qué tipos de decimales son? trico de tu casa a lo largo de un día siguiendo estos 6. Calcula el número de horas de cada tipo de tarifa en pasos: una semana en la que no hay días festivos. ¿Qué por-3 Extinguiendo unlista 1.º Haz una de los aparatos eléctricos que hay en incend io centaje representa cada tarifa respecto al total de hoSe hatu casa. declara do un incend ras semanales? Redondea a las centésimas.

6.º Descen con una der y soltar io y un 2.ºbolsa Fíjatepara en el consumo dehelicóp cada uno ellos. el agua sobre terode 7. Halla los porcentajes anteriores para una semana en la a 7.º Ascend llenarla de equipado el incend sofoca er hasta la agua io. seha 3.ºrlo.

Consulta internet cuál sidoeel precio de la El protocen dispon altitud de que hay dos días festivos. greso a la a ayudar olo que debe crucero y constaelectricidad base. de los siguien durante ese día.seguir el viajar de helicóptero re8. Marcelino trabaja de 9:00 a 13:00 horas y de 16:00 a 8.º Descen tes pasos: der a la base función de las horas que estén funcionando los 19:00 horas. Teniendo en cuenta que tarda media hora 1.º Salir4.º de En para aterriza la base. r. aparatos, calcula el coste de cada uno y suma todos en el trayecto de su casa al trabajo y viceversa, y que2.º Tomar altura para 2 300 tener una los costes. come en su casa, determina el porcentaje que repre-3.º Descen perspectiva der hasta de la situació Accede la documentación adjunta para recibir senta diariamente (redondeando a las centésimas): la aaltitud n. embalse. de crucer 200 el feedback del docente, mejorar entrega final de la o ylaviajar a un a El tiempo que está en casa.

4.º Descen tarea y evaluarte con la rúbrica.

3 der hasta 5 el embals 100 5.º Ascend e y llenar 7 la bolsa de er hasta la agua. altitud del incend de crucer io. o y viajar 30 1 al lugar 2 Ventas de videoconsolas 1 Observa25 4 0 6 la 5 20 gráfica y 10 contesta 15 a ¿Cuánto15 a las pregun 8 PlayStation es la videoconsola principal que comercia20 10 tiempo tas: 25 ha tardad Tiempo (min) o el helicóp liza Sony. Desde la década de 1990, se venden millonespletar su5 misión g ¿Cuántas tero en com?

0 veces ha b ¿A qué cada año y periódicamente van apareciendo nuevos ascendido cuántas veces altura ha el helicóp ascendido ha descen tiva de la tero? ¿Y modelos que mejoran las versiones anteriores. para tener dido? h ¿A qué situación? una perspe velocidad Accede a la documentación adjunta para recibir media (en cc ¿Cuánto el feedback del docente, mejorar la entrega final de la tarea el primer tramo m/min) ha tiempo El gráfico de la derecha refleja las ventas anuales de ha tardad ascendido antes con rúbrica. de o la d ¿Cuánto y autoevaluarte en recoge 2 empezar en Si el helicóp a bajar? r el agua? tiempo ha estas videoconsolas desde 2008. empleado de la base vaciarla sobre tero debe llenar desde que hasta la bolsa tres el incend al lugarydel salidode la función. los máximos los mínimos ha relativos 1. a ¿En qué año se vendieron más videoconsolas?e ¿A qué 3. Indicallegar veces y ¿cuánto tarda io antes incendio? de volver altura ha desde que soltad a la base, ¿A qué crees se deben esos máximos y mínimos? ve a llenarla llena la bolsa o que b ¿Qué año registró las ventas más bajas? el agua f ¿Cuál es ? Dibuja la sobre el incend hasta que la gráfica de 4. altitud Organizad un debate en clase sobre vuelde crucer io? los problemas altura que esta nueva c ¿Cómo puedes explicar ese descenso en las ventas? o? ¿Y cuál haque situación. alcanz supone demasiado tiempo a Accede es la máxim ado? el hecho de dedicar a a 2. Señala los tramos de crecimiento y de decrecimiento. el feedbac la documentació los videojuegos.

2009

Activa tus habilidades y competencias

Hora punta (precio más alto)

12 11 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5

Fin de semana y festivos 00:00h - 24:00h Lunes a viernes 00:00h - 08:00h

4. Expresa la fracción que representa cada uno de los siguientes tramos horarios frente al total de horas que tiene una semana. Simplifica las fracciones.

5

Hora llana (precio intermedio)

12 11 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5

En la imagen de la derecha aparecen los tramos horarios a los que corresponde cada una de estas tarifas.

me enfrento al reto

Reto | ¡Organiza la fiesta final del campamento!

¿Será posible abrir el candado?

8 ¿Cuántas pizzas más tendrían que encargar para poder repetir todos de la que ha sobrado?

Matematiza: 1, 2, 4

1

María está participando en un concurso cuya última prueba consiste en adivinar el número secreto que permitirá abrir un candado. La pista que le dan es esta: «Si al número secreto le sumamos la tercera parte y sus dos quintos, se ob⌢ tiene 30,73. »

4 Calcula el número de monitores de Alcalá de Henares, Rivas y Madrid con cada una de las posibilidades que has planteado en el ejercicio anterior.

7 Han encargado 33 pizzas. ¿Cuántos monitores son?

a Resume los datos en una tabla de frecuencias. b Calcula la media, la mediana y la moda.

52. Las temperaturas registradas en una semana de enero Día

1. Multiplicamos cada valor por su frecuencia absoluta.

(Recuerda que la frecuencia absoluta es el número de veces que se repite un valor).

2. Sumamos todos esos productos.

3. Por último, dividimos el resultado entre el número total de datos.

1 Contesta a estas preguntas:

4

dores fueron: 8, 10, 12, 12, 10, 10, 11, 11, 10, 13, 9, 11, 10, 9, 9, 11, 12, 9, 10, 9, 10, 8, 10, 9, 10.

Formas de expresar una función

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos del estudio estadístico y dividir el resultado entre el número total de datos. Se representa por el símbolo x.

El problema surge cuando tenemos un número grande de datos. En estos casos, hay que actuar como se explica a continuación.

Problemas

Carbonara

6

0

La mediana es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando estos están ordenados de menor a mayor. Se representa con Me. Su obtención es inmediata si tenemos un número impar de datos, ya que, en ese caso, solo hay un dato central. En cambio, si el número de datos es par, hay dos datos centrales. Si coinciden, no hay problema, pero si no coinciden, se considera que hay dos medianas, o también se puede tomar la media de ambos datos.

2 Ahora, imagina que no se ha logrado arreglar la fuga de la piscina.

51. En un campeonato, las canastas logradas por 25 tira-

f 4,3

Cuatro quesos

2

men de Matemáticas han sido las siguientes: 8, 4, 5, 7, 3, 6, 7, 8, 2, 2, 6, 7, 7, 9, 5, 6, 7, 4, 6, 2, 8, 5, 6, 5, 5, 6, 8, 6, 5, 7.

45. Indica si los siguientes números son racionales o irra-

d 7

Barbacoa

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

Se representa con Mo.

Han trabajado con rapidez para arreglarla y han instalado dos mangueras para volver a llenarla cuanto antes. La manguera más ancha la llenaría en dos horas y la más estrecha, en tres horas.

−3

ca: dominio y recorrido, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos y absolutos, continuidad y periodicidad.

b e2

−4

−2

49. Dada la siguiente función, indi-

sus partes y posteriormente calcula la fracción generatriz de dos formas diferentes.

44. Haz las siguientes operaciones. Para ello, comienza

a 17 15

−5

−3

43. Clasifica los siguientes números decimales. Identifica

a 1,067 77...

4

3

Los parámetros centrales, también llamados parámetros de posición, son números que representan de forma global el conjunto de los datos.

La piscina de cierto pueblo se ha estropeado. Al parecer, tiene una fuga y ha perdido toda el agua en seis horas.

2 1 del total son de Alcalá de Henares, son de 5 6 Rivas y el resto son del centro de Madrid.

un tramo más a la derecha y un tramo más a la izquierda. Explica por qué y cómo puedes hacerlo.

4

Parámetros centrales

9 Piscina averiada

8 Reunión de monitores Pablo y los demás monitores de un campamento de verano se han reunido para planificar las actividades. En el grupo de monitores,

48. Completa las gráficas de las siguientes funciones con

Cotización (miles de €)

4

9 7 + 8 6 +1 c 1 +3 12 8 1 2 + 1+ 2 3 3 1 − 4 6

valores correspondiente para que su dominio sea de –2 a 2, incluidos, y represéntala gráficamente.

f Frecuencia absoluta → hi = i Total de datos N

actividades finales

Mates en contexto

Entrénate + 42. Resuelve las siguientes operaciones, simplificando en

Frecuencia relativa =

La frecuencia absoluta acumulada de un determinado valor es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado. Se representa con Fi.

SENTIDO ESTOCÁSTICO

28

Números

organizo los conceptos

Características de una función

N.º de asistentes

3

1

Para pasar decimales periódicos de la expresión decimal a la expresión fraccionaria:

El conjunto de los números racionales

ESO

1

SENTIDO NUMÉRICO

estructura de una situación de aprendizaje

n adjunta k del docent para tarea y coevalu e, mejorar la entrega recibir arte con la compañera. final de rúbrica con un compañ la ero o

Sabiendo que en España nes de estudia hay, aproxim adamente, ntes univers 1,7 milloitarios: 1 Construye una tabla de frecue cuencias ncias acumuladas y frecuencias absolutas, fre2 Calcula relativas. la moda y la mediana.

3 Obtén la media de los días deporte los a la seman universitario a que hacen s.

4 En grupo s, planificad vuestros compañeros y realizad un estudi o entre para compr y compa ñeras del obar si los instituto diantes univer porcentajes sitarios se de los estucentro. parecen a los de vuestro Accede a el feedbac la documentació n adjunta k del docent para tarea y autoeva e, mejorar la entrega recibir luarte con final de la la rúbrica.

10 % 4% 5% 4%

KSPI justific

ado Ponte a prueba

35

9

materiales y recursos del

docente Matemáticas ESO

Matemáticas 1

Matemáticas 2

Matemáticas 3

Matemáticas 4 A

Matemáticas 4 B

ISBN papel: 978-84-218-8436-2

ISBN papel: 978-84-218-8612-0

ISBN papel: 978-84-218-8438-6

ISBN papel: 978-84-218-8615-1

ISBN papel: 978-84-218-8614-4

Próximo curso 2027-2028

Próximo curso 2027-2028

¡NOVEDAD!

Adaptación curricular

Próximo curso 2027-2028

Aprende lo básico, el recurso del docente para adaptar los saberes y para acompañar a los alumnos en los distintos ritmos de aprendizaje.

Cuaderno fotocopiable

10

¡NOVEDAD!

Con la misma estructura y metodología que el libro del alumnado

Con solucionario y en versión digital

materiales y recursos del

docente

Orientaciones prácticas

Pautas metodológicas e itinerarios de personalización del aprendizaje que garantizan la inclusión de todos los alumnos.

Ofrece refuerzos, ampliaciones y solucionario completo.

Programación de aula

Criterios de evaluación, competencias específicas y competencias clave, y actividades organizadas por sesiones.

Rúbricas de evaluación

Herramientas claras para valorar el progreso y las competencias del alumnado. Autoevaluación, coevaluación y heteroevaluación.

Generador de exámenes

Para crear pruebas personalizadas basadas en criterios de evaluación y en competencias.

Incluye modelos sugeridos por situación de aprendizaje y por trimestre.

Recursos digitales

Guía explicativa del uso y la finalidad de todas las herramientas.

Gestión de aula eCasals

Libro digital y seguimiento individual de los alumnos desde un único entorno.

ESO

Todo lo que necesitas para planificar, acompañar y evaluar el aprendizaje, en tu Propuesta didáctica.

11

12

bachillerato Matemáticas

13

claves del proyecto

Proyecto renovado y actualizado Ampliación de saberes según el nuevo currículo LOMLOE.

Matemáticas BA Hacia la nueva PAU Actividades competenciales y contextualizadas que integran la gestión de la información, la resolución de problemas y el pensamiento crítico.

14

AUTOR LOS ES

Rafael-Ángel Martínez (coordinador), Carmen Cano, Pablo Martínez y M.ª Isabel de los Santos aportan una amplia experiencia en la enseñanza de las matemáticas en Bachillerato y en la creación de materiales didácticos innovadores. Rafael-Ángel Martínez ha sido reconocido con premios nacionales por su excelente labor docente e investigadora, y todo el equipo combina rigor, práctica y actualidad para facilitar el aprendizaje en el aula.

Síntesis final Resúmenes que ayudan a los alumnos a fijar los conceptos esenciales y a conectar ideas.

claves del proyecto

Actividades en contexto Más propuestas aplicadas a la vida real en «Activa tus habilidades y competencias», graduadas por nivel.

Aprendizaje conectado por bloques Situaciones de aprendizaje reales que integran varias unidades, fomentan una visión global y competencial, y concluyen con la creación de un producto final.

Pensamiento computacional Nueva situación de aprendizaje final elaborada con expertos y centrada en el desarrollo del pensamiento computacional.

Evaluar para avanzar Instrumentos claros que permiten seguir el progreso del alumnado y conectar los criterios de evaluación con las competencias específicas del área.

Itinerario visual de aprendizaje Ruta clara y visual al inicio de cada unidad, con los pasos y los objetivos de aprendizaje.

15

materiales y recursos para

el alumnado Matemáticas BA

Matemáticas 1

Matemáticas 2

ISBN papel: 978-84-218-8381-5 ISBN digital: 978-84-218-8542-0

ISBN papel: 978-84-218-8666-3 ISBN digital: 978-84-218-8758-5

¡NOVEDAD!

16

Próximo curso 2027-2028

¡Descubre el proyecto!

Accede a una muestra digital.

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales 1

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales 2

ISBN papel: 978-84-218-8383-9 ISBN digital: 978-84-218-8544-4

ISBN papel: 978-84-218-8668-7 ISBN digital: 978-84-218-8760-8

¡NOVEDAD!

Próximo curso 2027-2028

materiales y recursos para

el alumnado

Vídeos «Prepárate»

Ejemplos reales de aplicación

de contenidos matemáticos para promover la motivación.

Vídeos «Profesor/a en casa»

Explicaciones visuales de conceptos

teóricos y resolución de ejercicios paso a paso, a modo de clase particular.

Investigaciones matemáticas

Casos de estudio reales en

los que se aplican los conocimientos adquiridos y se fomenta la reflexión crítica.

Actividades con GeoGebra

Ejercicios interactivos para explorar, practicar y consolidar contenidos matemáticos mediante la experimentación.

Herramientas digitales

Uso de la calculadora, el Excel

y otras herramientas para el cálculo y la resolución de problemas matemáticos diversos.

BA

Más de 500 recursos digitales para enriquecer tus clases y motivar al alumnado.

Ponte a prueba

Tests de autoevaluación que

permiten comprobar el nivel de comprensión y consolidar los contenidos trabajados.

17

estructura de una situación de aprendizaje Matemáticas BA 2

2 Situación de aprendizaje 1

Sucesiones

1

Hoja de ruta y exploro

Aprendo estrategias de resolución de problemas

Practico +

Se presentan la ruta de saberes que los alumnos recorrerán, los objetivos de aprendizaje y la situación de aprendizaje con la que conecta la unidad.

Se muestran distintos contextos reales (naturaleza, historia, economía, filosofía…) en los que se aplicarán los saberes básicos abordados.

Por ejemplo, el término 9 se obtiene así: f9 = f7 + f8 = 13 + 21 = 34. El subíndice indica en qué posición de la sucesión se encuentra el elemento.

En la naturaleza • En la historia • En la economía • En la filosofía

Conozco y practico

Reto I Viajes sostenibles Esta hoja de ruta conecta con…

La sucesión de Fibonacci es una secuencia infinita de números en la cual cada número (a partir del tercero) es la suma de los dos anteriores. En su versión clásica, la sucesión comienza con dos unos: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

Mi hoja de ruta Exploro

exploro

En la naturaleza

Sucesiones. Término general • Monotonía de las sucesiones • Acotación de sucesiones • Introducción al concepto de límite de una sucesión • Cálculo del límite de sucesiones • El número e • Progresiones

Actividades para afianzar los conocimientos

Activa tus habilidades y competencias

En otra versión, la sucesión empieza con un cero: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

Esta secuencia la describió en el siglo xiii el matemático italiano Leonardo Pisano, conocido como Fibonacci, en su obra Liber abaci (Libro del ábaco).

La sucesión de Fibonacci tiene aplicaciones en diversos campos (la naturaleza, el arte, la arquitectura, la computación, la teoría de juegos…). Así, se observa en patrones de crecimiento biológico (las ramas de los árboles o la disposición de las hojas en el tallo) y en el modo en que el ADN codifica el crecimiento de formas orgánicas complejas. Igualmente, se puede apreciar en la estructura espiral del caparazón de algunos moluscos.

Asimismo, aunque las margaritas no comparten la misma cantidad de pétalos, ese número es siempre un término de la sucesión de Fibonacci: 13, 21, 34, 55, 89, 144. Cuando salgas al campo y encuentres una margarita, podrás comprobarlo.

Caso 2

Caso 3

Viaje de fin de curso a Roma. En busca de establecimientos baratos con productos de proximidad

En busca de la sostenibilidad en la vivienda turística. El caso de Gran Canaria

¿Qué debería saber?

¿Qué debería saber?

• Calcular el término general de una sucesión.

• Calcular el límite de una sucesión.

• Identificar sucesiones aritméticas y geométricas.

• Escribir los términos de una sucesión.

En la historia

En la economía

¿Cuánto suman los números naturales del 1 al 100?

¿Interés simple o compuesto?

Parece ser que hicieron esta misma pregunta a Carl Friedrich Gauss en el colegio cuando tenía unos 8 años de edad, quien rápidamente respondió: 5050.

Gauss se dio cuenta de que, en una progresión aritmética de n términos, la suma de dos términos equidistantes es siempre la misma. Es decir, que 1 + 100 = 101; 2 + 99 = 101; 3 + 98 = 101... Por tanto, basta con sumar 101 cincuenta veces o con multiplicar 50 por 101.

Aplico y resuelvo

1 Pensamiento crítico. ¿Podrías calcular de la misma forma la suma de los 5000 primeros números naturales? ¿Y la suma de todos los números pares del 1 al 100?

Evalúo mis conocimientos

Hay dos tipos de interés: el que se recoge año a año, que recibe el nombre de interés simple, y el que se va incorporando a la cantidad inicial y solo se recoge al final (por lo que esa cantidad también incrementa anualmente la cantidad inicial). Este segundo tipo se conoce como interés compuesto.

1 Resolución de problemas. Considera que ingresas 1000 € en una entidad bancaria y te dicen que te van a dar un 2 % de interés. Según el tipo de interés, ¿cómo varían las ganancias obtenidas año a año?

En la �ilosofía

Me enfrento al reto

¿Existe el movimiento?

Se supone que un atleta puede desplazarse desde el punto de salida (A) hasta la meta (B). Sin embargo, según el filósofo griego Zenón de Elea, es imposible que suceda tal cosa. Su argumento es el siguiente: antes de llegar a la meta, el atleta deberá recorrer la mitad de la distancia que separa los puntos A y B, esto es, habrá de pasar por el punto medio I1. Una vez que alcance I1, antes de llegar a B deberá recorrer la mitad de la distancia que le queda y alcanzar el punto medio entre I1 y B, es decir, I2. Y así sucesivamente, por lo que nunca llegará a la meta.

Objetivos de aprendizaje Determinar el término general de una sucesión cuando se conocen algunos de sus elementos.

Determinar los términos de una sucesión cuando se conoce el término general.

Identificar diferentes tipos de sucesiones (aritméticas, geométricas, crecientes, decrecientes, acotadas, no acotadas...).

Calcular el límite de una sucesión.

Resolver problemas contextualizados utilizando sucesiones con la finalidad de modelizar situaciones reales.

Prepárate Ejemplos reales para motivarte

KPSI ¿Qué sé sobre…?

La sucesión de Fibonacci también está relacionada con el número áureo: φ=

1+ 5 = 1,618...

2

1 Resolución de problemas. Escribe los quince primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

A

A

2 Pensamiento crítico. ¿Qué ocurre cada vez que dividimos una distancia? ¿Qué falla en el argumento de Zenón?

2 ¿Es una sucesión aritmética? ¿Y geométrica? ¿Por qué?

3 Pensamiento crítico. ¿Es una sucesión creciente, decreciente o alternada? ¿Por qué?

A

B

I1

+

I1

+

I2

+

B

I3

Diario de aprendizaje

02_MATES 1_BACH_2026.indd 43

2

5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

−1

n+ 3 es decren+ 1 ciente, pues sus términos toman valores cada vez menores y está acotada inferiormente por k = 1. Por mucho que disminuya el valor de los términos, nunca toman valores inferiores a 1, aunque se aproximan cada vez más a ese valor.

La sucesión an =

20/11/25 14:44

conozco y practico

2

4 Introducción al concepto de límite de una sucesión La sucesión de los números impares 1, 3, 5, 7... toma valores cada vez mayores y supera cualquier número arbitrariamente grande; esto es, carece de una cota superior. Esta sucesión no tiene límite finito; se podría afirmar que es ilimitada o que su límite es infinito (+∞).

Una sucesión está acotada superiormente si existe una constante k tal que an ≤ k para todo n, es decir, si todos sus términos son menores o iguales que un cierto valor denominado cota superior de la sucesión.

La sucesión 3, –3, 3, –3... va pasando indefinidamente de 3 a –3. Tampoco tiene límite. Se trata de una sucesión oscilante.

Ejemplo

1 3 5 7 La sucesión de los números impares divididos entre los números pares , , , ... toma 2 4 6 8 valores cada vez mayores, pero está acotada por el número 1, ya que su término general es 2n− 1 , cuyo valor es claramente menor que 1, pues 2n – 1 < 2n. an = 2n

Ejemplo

La sucesión {1; 0,1; 0,01; 0,001...} está acotada superiormente por cualquier número k ≥ 1.

También está acotada inferiormente por cualquier número k ʹ ≤ 0.

La cota inferior más interesante es la mayor de todas las cotas inferiores. Se llama extremo inferior o ínfimo.

Esta sucesión está limitada por el número 1. Se dice que tiende a 1 o que su límite es 1. Esto se puede comprobar dando valores cada vez mayores a n:

La cota superior más interesante es la menor de todas las cotas superiores. Se llama extremo superior o supremo.

Ejemplo Los extremos inferior y superior de la sucesión {1; 0,1; 0,01; 0,001...} son, respectivamente, 0 y 1.

an =

Para determinar si una sucesión está acotada por un valor k, se puede calcular an – k. Si an − k > 0, an es mayor que la cota y, por tanto, la sucesión está acotada inferiormente. Si an − k < 0, an es menor que la cota y, por tanto, la sucesión está acotada superiormente.

Las sucesiones no son funciones de una variable real; lo que sucede es que la variable solo toma valores en los números naturales. Esto es una función de variable discreta.

La representación gráfica de una sucesión está formada por puntos aislados.

conozco y practico

3 Acotación de sucesiones Una sucesión está acotada inferiormente si existe una constante k tal que an ≥ k para todo n, es decir, si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto valor denominado cota inferior de la sucesión.

Apunte 7

2n− 1 . Cota superior k = 2 n+ 2

b an =

5

10

50

100

…

1000

n→∞

0,5

0,9

0,95

0,99

0,995

…

0,9995

an → 1

Apunte 9

lim an = L ⇒ ∀ε > 0, ∃k | ∀n > k ⇒ an − a < L n→∞

Las sucesiones que tienen límite son convergentes. Toda sucesión monótona y acotada es convergente. Las sucesiones que tienen un límite infinito (± ∞) son divergentes.

2n− 1 ≤ 2 ⇒ 2n− 1≤ 2 ( n+ 2) ⇒ 2n− 1≤ 2n+ 4 ⇒ −1≤ 4 n+ 2

Si una sucesión es convergente, su límite es único.

Actividad resuelta

Lo anterior se cumple siempre para todo valor de n; esto significa que la sucesión está acotada superiormente por k = 2.

an ≥ 1⇒

Apunte 8 La definición lim an = L equivale a n→∞ decir que, para cualquier número real positivo, e (por muy pequeño que sea), existe un número natural k, tal que, si n > k, entonces an − L < ε.

De una manera más precisa, el límite L de una sucesión se define así:

n+ 3 . Cota inferior k = 1 n+ 1

a Para que la sucesión esté acotada superiormente por k = 2, tiene que ocurrir que an ≤ 2 para cualquier valor de n. an ≤ 2 ⇒

1

2n− 1 2n

En general, se dice que la sucesión an tiende a L o que lim an = L si, para valores altos de n, la n→∞ diferencia an − L es tan pequeña como se desee.

Actividad resuelta 3 Demuestra que las siguientes sucesiones tienen la cota indicada en cada caso: a an =

n

2n− 1 Para expresar matemáticamente que el límite de esta sucesión vale 1, se escribe: lim =1 n→∞ 2n

b Para que la sucesión esté acotada superiormente por k = 1, debe ocurrir que an ≥ 1 para cualquier valor de n.

4 Dada la sucesión an =

n+ 3 ≥ 1⇒ n+ 3 ≥ n+ 1⇒ 3 ≥ 1 n+ 1

an < 3,01⇒

Lo anterior se cumple siempre para todo valor de n; esto significa que la sucesión está acotada inferiormente por k = 1.

3n+ 5 , ¿a partir de qué término se cumple que an < 0,01? n+ 1

3n+ 5 < 3,01⇒ 3n+ 5 < 3,01n+ 3,01⇒ 1,99 < 0,01n ⇒ n > 199 n+ 1

A partir del término a199, los elementos siguientes son menores que 3,01. Por tanto, entre 3 y 3,01 hay infinitos términos. Como, además, la sucesión es decreciente, su valor se acercará a 3 cada vez más.

Practica 4 Demuestra que las siguientes sucesiones tienen la cota indicada en cada caso: a an =

b bn =

n+6 . Cota inferior 0,5 2n

n− 2 . Cota inferior 0,25 4n+ 1

c cn =

2n . Cota superior 1 1+ n2

d dn =

n+ 2 . Cota superior 3 2n− 1

e en =

n . Cota superior 1 n+ 1

Practica 5 Demuestra que la sucesión an =

2n− 4 es creciente y está 5n+ 2

6 Demuestra que la sucesión bn =

4n+ 5 es decreciente n+ 1

y está acotada inferiormente por k = 4.

2 acotada superiormente por k = .

5

¿A partir de qué término se cumple que bn > 4,0001?

¿A partir de qué término se cumple que an > 0,399?

Diario de aprendizaje

47

46

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18

B

I2

43

20/11/25 14:44

Apunte 6

Desarrollo de los conocimientos teóricos con ejemplos, actividades resueltas, ilustraciones y recursos digitales de apoyo.

B

I1

Piensa en todo lo que sabes sobre las sucesiones. A continuación, completa la rutina «Preguntas creativas», disponible en el recurso adjunto.

42

02_MATES 1_BACH_2026.indd 42

Conozco y practico

A

1 ¿Crees que la distancia entre dos puntos se puede dividir infinitamente?

Al final de esta unidad estudiarías la relación entre ambos.

6

2

Tanto si tienes unos ahorros y quieres invertir como si debes pedir un préstamo, al acudir a cualquier banco te hablarán de intereses.

20/11/25 14:44

02_MATES 1_BACH_2026.indd 47

20/11/25 15:20

2 Estrategia

Si p > q ⇒ lim = ∞ n→∞

Estrategias de resolución de problemas

lim

n→∞

n→∞

Aplícalo

(

n→∞

2 Considera los monomios de

mayor grado, tanto del numerador como del denominador.

Presta atención al grado de lo que hay dentro de la raíz.

6 Halla el límite de la siguiente sucesión: lim n→∞

Ahora tenemos que resolver el límite una sucesión racional; así obtenemos una inde∞ terminación del tipo en la que el grado del polinomio del numerador es mayor que ∞

Opera y simplifica.

∞ – ∞.

la

n→∞

1 Identifica la indeterminación 1∞. n2 +3n

7 Calcula el límite de la siguiente sucesión: lim

⎛ n3 + n ⎞ n3 Límite de la base: lim ⎜ 3 ⎟ = lim 3 = 1 n→∞ ⎝ n + 1 ⎠ n→∞ n Límite del exponente: lim n2 + 3n = lim n2 = ∞ n→∞

Q( n)

Para resolverla, aplicamos la fórmula lim ⎡⎣P ( n)⎤⎦ n→∞

= lim

( n + n+ 1 − n − 7n− 7 ) ⋅ ( n + n+ 1+ n − 7n− 7 ) =

= lim

(n + n+ 1) − (n − 7n− 7) = lim

2

2

2

n2 +3n

⎛ n3 + n ⎞ lim ⎜ 3 ⎟ n→∞ ⎝ n +1 ⎠

2

2

2

n2 + n+ 1+ n2 − 7n− 7

n→∞

n→∞

8n+ 8 n2 + n+ 1+ n2 − 7n− 7

=e

Una vez que hemos operado y simplificado, volvemos a aplicar la propiedad de que el límite de un polinomio es el límite de su monomio de mayor grado: lim n→∞

8n+ 8 n2 + n+ 1+ n2 − 7n− 7

8n

= lim

n2 + n2

n→∞

= lim

n→∞

Calcula el límite de esta sucesión: lim

n→∞

Aplícalo

Límite de una sucesión Es el número al cual se van aproximando los términos de la sucesión, cuando n toma valores cada vez mayores:

lim

= e n→∞

⎛ n3 +n ⎞ lim ⎜ −1⎟⎟ n2 +3n ⎠

⎜ 3 n→∞ ⎝ n +1

(

(n−1)⋅(n2 +3n) n3 +1

lim

n3

n→∞ n3

)

=e

lim

= e n→∞

y obtenemos:

⎛ n3 +n−(n3 +1) ⎞ ⎟ n2 +3n lim ⎜ ⎟ n3 +1 ⎠

⎜ n→∞ ⎝

n3 +3n2 −n2 −3n n3 +1

(

lim

= e n→∞

)

=

n3 +2n2 −3n n3 +1

4n− 7 − 9n+ 2

=

=e =e 1

3n

Diario de aprendizaje

57

20/11/25 14:44

02_MATES 1_BACH_2026.indd 57

20/11/25 14:44

Convergentes: tienen límite finito.

Divergentes: tienden a ±∞.

Indeterminación

n→∞

0 0

∞ ∞

∞−∞

0 ⋅∞

00

∞0

1∞

Indeterminación del tipo 1∞

Estrictamente decrecientes: an + 1 < an

Cuando al calcular el límite de una sucesión de la forma lim P(n)Q(n) n→∞

Decrecientes: an + 1 ≤ an

se obtiene una indeterminación del tipo 1∞, se resuelve con la fórmula:

Constantes: an = an + 1

lim P(n)Q(n) = e lim [P(n)−1]Q(n) n→∞ n→∞

Acotación

Activa tus habilidades y competencias

Operaciones con límites de sucesiones

Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número denominado cota inferior de la sucesión.

lim (an ± bn) = lim a ± lim bn = a ± b n→∞ n→∞ n n→∞

lim (t an) = t lim a = t a, ∀t ∈ n→∞ n→∞ n

lim (an bn) = lim a · lim bn = ab n→∞ n→∞ n n→∞

lim n→∞

lim (anbn) = (lim a )lim bn = ab n→∞ n→∞ n n→∞

Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número denominado cota superior de la sucesión.

an

bn

lim an a = n→∞ = ; lim b ≠ 0 lim bn b n→∞ n n→∞

1

Operaciones con infinito ∞±a=∞

∞+∞=∞

−∞ ± a = −∞

Una sucesión está acotada si está acotada superior e inferiormente.

a>0

⎩− ∞

a<0

6

a ±∞ = 0

−∞ − ∞ = −∞

⎧ ∞

a·∞=⎨

∞·∞=∞ ±∞ ±∞ = a

Progresiones aritméticas

Progresiones geométricas

Cada término se obtiene al sumaro restar al anterior un número fijo llamado diferencia (d). La diferencia puede ser positiva o negativa.

Cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo o razón (r). El cociente entre un término y su anterior es siempre la razón, r.

La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

a1 + an n 2

Sn =

an r − a1 a (rn − 1) = 1 con r ≠ 1 r−1 r−1

Activa tus habilidades y competencias

La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica es:

S∞ =

a1 para −1 < r < 1 1−r

58

20/11/25 14:44

2

actividades

Practica + 38 Calcula estos límites de sucesiones:

34 Calcula los siguientes límites de sucesiones:

)

7

d

lim

⎛ 1⎞ lim ⎜3 − 2 ⎟ n→∞ ⎝ n ⎠

e

lim n2 − 2n+ 1

lim 3 27n2 + 4n− 5

f

lim 5n2 − 7n+ 3

b c

n→∞

n→∞

n→∞ 3

n→∞

a

n2

(

b

⎛ 1 1 ⎞ lim ⎜ + ⎟ n→∞ ⎝ n+ 2 n− 2 ⎠

Practico +

n→∞

n2 − 1 n2 + 1 5n2 + 8 7n3 − 5

e

2n2 − 3n+ 1 7−n

lim

n→∞

4n−6n2 + 2 2n2 + 2n+ 1

b

lim

f

lim

c

n4 lim n→∞ −2n4 + 3n3 −6

g

1− n2 lim 2 n→∞ n + 3n

d

lim

3n2 + 2n+ 1 5n−6

h

n→∞

n→∞

lim

n2 − 2n+ 3 n3 + 1

5n2 + 3n+ 1 2n2 − 4n− 5

e

lim

4n5 −6n4 + 3n2 3n3 + 5n2 +6n

n2 n3 + n

f

b

lim

c

lim

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n4 + 3n 3n3 − 4n2

lim

n→∞

37 Calcula estos límites de sucesiones: a

lim

n→∞

b

lim

c

lim

n→∞

n→∞

d

lim

n− 2 4n2 − 9 1− n2 9n2 + 1 6n+ 7 25n− 9 2n+ 5

h lim

n→∞

i

lim

j

lim

2n+ n2 + 4n− 7 2− 5n 7n2 + 3

n→∞ 3

n→∞

n6 − 1 n 9n+ 1 n2 + 1 − 1

k

lim

n→∞

n2 + 2 − 4

e

lim

n 9n+ 1

l

lim

1+ n n2

f

lim

n+ 4n2 + 1 3n− 1

m

g

lim

n→∞

n→∞

n3 + 16

d

⎛ n3 + 1 n4 + n+ 1 ⎞ lim ⎜ 2 − 3 ⎟ n→∞ n +n ⎠ ⎝ n

n→∞

6n 5n2 + 1 − n+ 3 n+ 2

lim

n→∞

n→∞

lim

( n + 2 − n − 3n )

b

lim

( n + n+ 1 − n − 7n− 7 ) j

c

lim

− 1 − resio n + 1) ( n Prog nes aritm k lim n − n− 4 − n− 1

n→∞

n→∞

n→∞

2

2

2

i

2

2

lim n− n+ 1 n→∞

lim

n2 − 2n+ 3 − ( n− 1)

n→∞

2

2

2

n→∞

4n− 1 9n2 + 1+ 2n

ades

)

)

(

)

(

)

(

(

)

(

)

)

1 dm

n2

n→∞

activid

41 De éticas n→∞ Practica una prog + d lim 4n− 7mino − 9n+ 2 resión aritm s terce n→∞ ética se l lim 3n+ 2 −n tar al térm ro y sépti sabe que la es 50 ino nove mon→∞ 48 Encu suma de gene no el segu y que 21 es entra S los tére lim n2 + 3 − 2nral y los cinco el resul 40 en una n→∞ a1 = 5 y tado de primeros ndo término. progresió a2 = 8. resEscribe m lim térm 2n−inos 1−n 42 La 49 Calc n aritm n→∞ de la prog el término suma ética, sabie ula S resión. n2 − 1 del segundo f lim 3n−gresi a6 = 26. 56 en una prog ndo que ón aritm n→∞ resión ética es y el undécimo el térm 50 Escri aritmética 46; el ino gene térm be la prog n limcuar 3n− 4n+ 2 ino de en la que prog ral y los to térm n→∞ una proresión a1 = 1 y a3 = 11 g lim n− n2 −resió n n. ino cuatro S7 = 70. aritmética y n→∞ primeros vale 13. Escri 51 en la que 43 La Calcula be términos suma la suma se cum de esta 52 de los ñ lim 3 n − 4n+ 1 de los ple que aritm tres prim Escribe 1− ética n2 + n h lim n+ múltiplos n→∞ la eros es n→∞ prog 66 y de 7 men términos su térm resión a2 = 5 y ino gene la suma de aritmética ores de S12 = 168. de una los tres 1000. ral. en la que siguiente progresión 44 los La siguientes 40 Calcula se diferencia límites de sucesiones: s es 21. cum Progresio ple que Halla de una suma 4n nes geom progresió 2n+5 53 Escri ⎛ 1 ⎞los términos étricas 2n− 1 ⎞ n ⎛aritm cuarto i be el térm a lim no 1+gene ⎜ ⎟ lim ética ral? ⎜ ⎟ y quint n→∞ ⎝ es d = n→∞o ⎝ 2n+ 3 ⎠ n⎠ sabiendo ino gene vale 1.

–3 y 45 ¿Cuá ral de que c ¿Cuál una prog es su térm la ntas pieza 4 = 20 y 54 ¿Cuá c5 = 25. resión is de fruta n geométric l es el ⎛ 6n 1 ⎞ hay?

Quiz área de ⎛ n2 + 3 ⎞ a b lim ⎜ 1+á en⎟algun este cuad n→∞ j lim ⎜ ⎟ a fruta Se dispo ⎝ s 2n ⎠ rado? aparecen ocasión haya n→∞ ⎝ n2 − 5n ⎠ ne s visto mide de y se corta de una cartu colocadas en base cuad lina cuad n las esqu formando las fruterías situa⎛n ⎞n ta, de rada cuyo rada en inas tal que las en1 los mod una lado mide c infer lim ior, es la mitad o que se obtie y como se ⎜ 1− ⎟ huecos que la que las pieza espe 3−n n→∞ ⎝ ⎛ 9n−s2de ⎞ cie de piráve en la com 1 dm n ⎠ o se quedan ne un del área proceso k entre lim ⎜ ve en la ⎟ una capa del cuad nuevo cuad figura adjun resulta fotografía.n→∞ ⎝ las se 9n+fruta 5⎠ s rado cuya rado inicia mitad un de nuev la de la del capa 2n−1 área l. Si se ⎛ 4⎞ cuadrado o cuadrado cuya supe repite este d lim ⎜ 1+ ⎟ anterior, n2 +1 n→∞ ⎝ n⎠ rficie es y así suce ⎛ n2 + n+ 1 ⎞ n+1 la sivamente l lim ⎜ 2 ⎟ . n→∞ ⎝ n + 2n+ 3 ⎠ 5n ⎛ 1 ⎞ e lim ⎜ 1− ⎟ n→∞ ⎝ 5n ⎠ 2n+1 ⎛ 2n2 + 3n ⎞ m lim ⎜ ⎟ 5n−6 n→∞ 2n2 − 5 ⎛ 2 ⎞ ⎝ ⎠ f lim ⎜ 1+ ⎟ n→∞ ⎝ 3n+ 4 ⎠

(

5n2 + 8 7n3 − 5

d

lim

lim

a

(

lim

2n+ 3 3n+ 1

n→∞

36 Calcula estos límites de sucesiones: a

2n2 + 5 2n2 − 5 − n− 1 n+ 1

c

1 dm

Cristalización del aprendizaje y una evaluación reguladora que impulsa el progreso.

lim

n→∞

39 Calcula los siguientes límites de sucesiones:

35 Calcula estos límites de sucesiones: a

2n 2n− 5 − n− 1 n+ 3

lim

)

a

2

Las series de números poligonales son: • • • •

Triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21...

Cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49...

Pentagonales: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70...

Hexagonales: 1, 6, 15, 28, 45...

Orden 2

Orden 3

Orden 4

Orden 5

Si nos fijamos en su representación, podemos observar que los números triangulares 1, 3, 6, 10, 15... resultan de sumar los términos de una progresión aritmética con T1 = 1 y la diferencia es d = 1. Por ejemplo, el quinto término, T5, es igual a 1 + 2 + + 3 + 4 + 5.

1 Resolución de problemas. Usando la propiedad que se acaba de explicar, encuentra el término general de esta sucesión.

Números cuadrados

Orden 1

Orden 2

Orden 3

Orden 4

Orden 5

Aunque el término general de los números cuadrados es muy fácil, Cn = n2, cada término también se puede obtener sumando los términos generales de una progresión aritmética.

2 Resolución de problemas. Indica el primer término y la diferencia de esta progresión. Calcula el término general usando la fórmula de la suma de progresiones.

Números pentagonales

Orden 1

Orden 2

Orden 3

Orden 4

Esto se traduce en un aumento exponencial de la potencia de procesamiento y una disminución del coste por transistor.

La ley de Moore ha sido la base del desarrollo de la tecnología informática durante las últimas décadas, impulsando la creación de equipos más pequeños, rápidos y baratos.

Números triangulares

Orden 1

Ley de Moore Gordon Moore enunció en 1965 la ley que lleva su nombre. Según esta ley, el número de transistores que se pueden colocar en un circuito integrado se duplica, aproximadamente, cada dos años.

Orden 5

Números hexagonales

En los últimos años ha habido cierta incertidumbre sobre si esta ley seguirá siendo válida, porque los transistores están llegando a sus límites físicos de miniaturización. No obstante, los investigadores están trabajando en nuevas tecnologías que podrían evitar su obsolescencia.

1 Gestión de la información. ¿Qué tipo de progresión es la ley de Moore? ¿Cuál es su razón anual?

2 En el año 2000, un chip Intel Pentium 4 tenía 42 millones de transistores. En 2020, un chip Intel Core i9 contaba con 10 700 millones de transistores. ¿Se cumple la ley de Moore en este caso? Razona tu respuesta.

3 Pensamiento crítico. Usa los datos del ejercicio anterior para determinar cuál tendría que ser la razón de la progresión para que las cifras reales se ajusten a la ley de Moore.

4 Escribe el término general con los datos que has obtenido y calcula el número de transistores esperados para el año 2023.

5 Pensamiento crítico. En 2023 se alcanzó la cifra de 17 800 millones de transistores. Analiza y compara este número con el resultado que has obtenido en el ejercicio anterior. ¿A qué crees que se debe la diferencia?

6 Existe la previsión de llegar a 57 000 millones de transistores. ¿En qué año consideras que ocurrirá tal cosa? Razona tu respuesta.

7 A consecuencia de la ley de Moore, se han reducido el Orden 1 Orden 2 Orden 3 Orden 4 Orden 5 precio y el tamaño de los transistores. En cuanto al precio, el núha bajado desde la década de 1960, de tal modo que en Podemos decir lo mismo de los números pentagonales iona y loscon se relac 1965 un transistor costaba unos 100 € y en 2025 vale 0,1 hexagonales. números Fibonacci de los sión de céntimos de euro. Halla la razón de esta nueva progresión nacci es uno la suce de los números 3 Calcula el término pentagonales; 5 = 1,618... , que sión Fibo Además,general 1+ d. geométrica y escribe su término general. de hacerlo, averigua qué =progresión o y la suce para aritmética creaüeda cada e la Antig 2 áureo, φ sucesión ero áure mero números. dos desd término de estos d, en la antesión de 8 Pensamiento crítico. En grupo, seguid la rutina El núm más utiliza 6 esta unida sumar los dos prode la suce onales «¿Qué te hace decir eso?», disponible en el recurso al término inicio de irraci das ne al un 4 Haz lo mismo con los números hexagonales. er varia obtie has visto adjunto, para analizar y razonar hasta dónde creéis ino se ite obten áureo: sión tiene n Como que perm cada térm ⎞ . Esta suce número n que llegará esta tecnología.

5 Pensamiento fórmula Curiosamente, La crítico.

Fibonacci, f +fn−1, n ≥ 2 1− 5nú⎞ de⎛ dos nde del la suma real. ⎟⎟ vida depe 5 ⎛ = la la ⎜ f n−2 meros triangulares consecutivos da como1+resultado es ⎟⎟ − ⎜ un ⎠ 2 núFibonacci riores: n utilidades en ⎜ Fibonacci mero cuadrado: y ⎠ + ⎝15 = 25...

2 10 1 + 3 = 4; 3 + 6 = 9; 6 +n 10⎜⎝= 16; Accede a la documentación adjunta para autoevaluarte sión de piedades n − (1− φ ) = 5 de la suce lo siguiente: φ y mejorar tu trabajo antes de hacer la entrega final.

Demuestra que T + T = C . es n–1 n n ladora fn = propiedad 5 establece la calcu de las ini, que a con 1 Una de Cass n Compruebf , f 20 y f 25.

2 ≥ s. n , identidad lema , f 12, f 15, 18 62 2 ⋅f − (−1) de prob nte: ales. fn = fn−1 n+1 para f 10 lución ros natur ta lo siguie es cierta 3 Reso en cuen ros núme fórmula la ndo 8 prime que 7 tenie el lími6 los diez 5 ,φ yφ es que 2φ + 1 ala para la φ , φ fn+1 + 1) + φ = sucesión 2 Compruéb 4 Calcu + φ = (φ = , e de esta 02_MATES 1_BACH_2026.indd 1 ⋅φ = φ vos, ϕ n f62 2 important n φ = (φ + ) 3 +2 consecuti φ =φ ⋅ iedad más 1 + =3 términos 2 = 2( + ) 2 La prop de sus =2 + rvando? . cocientes 3 = (2 + 1) 4 estás obse ro áureo te de los = lo que términos el núme rte primeros regla para samente, autoevalua er los 20 es, preci ntrar una ta para final. rías enco para obten nación adjun la entrega 5 ¿Pod ladora la calcu document de hacer decrecimie . a Usa de a la to o el jo antes sión ϕ n Acce mien traba suce tu rar el creci de la y mejo decir sobre se va puedes sucesión b ¿Qué sucesión? esta si to de la Observa crítico. siones: de suce áureo. amiento úa límites número c Pens Eval al ntes los siguie acercando Calcula 7 1 2 n − 2n+ de estas a lim n→∞ cada una 2 ral de 2n − 3 ino gene el térm 2 b lim +5 . n→∞ n Encuentra 20, -40..

1 s: c 5, -10, n− 2 sucesione ..

3 c lim +n 0,22; 0,23. n→∞ n 9, 12... a 3, 6, d 0,2; 0,21; 2 una n + 5n 10 ... o de 1 4, 7, décim e y d lim n n→∞ 7. Escrib b , 3 3 3 tercero no vale 3 2 términos o térmi de esta 5n + 2 de los el quint términos vale 23; La suma e lim 4 8 −1 primeros n n→∞ 2 aritmética cuatro 2 progresión general y los n −3 2 se no n +3 − el térmi . de la que n+ 1 f lim 1 n→∞ n− aritmética progresión resión 2 n − 2n una prog –13 y a 9 = –33.

2 = S 40 en n +3 − resión inos: a 5 Calcula g lim n→∞ 5n 3 una prog estos térm ⎞ inos de conocen el ⎛ n2 + 2 ⎟ tos térm recibir infini los ⎜ 2 − 3n ⎠ ta para antes de h lim y c 6 = 25. suma de jo n→∞ ⎝ n ino ación adjun c = 400 Halla la su térm rar tu traba la rúbrica. document 4 tal que 2 das por de a la docente y mejovalúate con étrica mina Acce geom del s, deter Autoe feedbackentrega final. sucesione si estas no: hacer la Estudia monótonas o 5 son 2− n general, ba b bn = n2 a prue es Ponte 3n+ 2 que estra a an = n 4n+ 10 , demu = icado n+ 1 sión an ...?

KPSI justif 4. la suce sé sobre por k = Dada , ¿qué 6 Y ahora ormente da inferi e y acota les decrecient

)

(

(

tas digita Herramien a calculador Uso la

.indd

H_2026

TES 1_BAC

02_MA

20/11/25 14:44

65

)

5 14:44

20/11/2

65

0,5 dm

(

a

Actividades de evaluación contextualizadas y enfocadas en la PAU: gestión de la información, resolución de problemas y pensamiento crítico.

Números poligonales Los números figurados son aquellos que se pueden representar mediante figuras geométricas, con la condición de que los puntos que los representan guarden entre sí la misma distancia. Si las figuras son polígonos regulares, se habla de números poligonales.

a = a1 r−1

an = a1 + (n − 1)d La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:

02_MATES 1_BACH_2026.indd 58

5

)

Sucesiones según su límite

lim an = l

Crecientes: an + 1 ≥ an

Sn =

(

organizo los conceptos

Sucesión Secuencia ordenada de números reales que se pueden numerar según la posición que ocupen.

Estrictamente crecientes: an + 1 > an

Síntesis de las ideas principales para repasar y estudiar.

⎛ n3 +n−n3 −1 ⎞ ⎟ n2 +3n lim ⎜ ⎟⋅ n3 +1 ⎠

⎜ n→∞ ⎝

⎛ 2n2 +6n ⎞ ⎜ ⎟ Calcula el límite de la siguiente sucesión: lim 2 n→∞ ⎝ 2n + 3 ⎠

56

02_MATES 1_BACH_2026.indd 56

Organizo los conceptos

=e

=e

8n 8n = lim =4 n+ n n→∞ 2n

Aplícalo

Profesora en casa Indeterminación ∞ – ∞ con radicales

lim ⎡⎣P(n)−1⎤⎦Q( n)

= e n→∞

2

n + n+ 1+ n − 7n− 7 2

n→∞

n→∞

Obtenemos, así, una indeterminación 1∞ .

n2 + n+ 1 − n2 − 7n− 7 =

n→∞

rar, se obtiene el límite de una sucesión racional.

Analizamos el límite de la base y el límite del exponente por separado:

n2 + n+ 1 − n2 − 7n− 7

n→∞

lim

2 Fíjate en que, después de ope-

⎛ n3 + n ⎞ 9 Halla el límite de la siguiente sucesión: lim ⎜ 3 ⎟ n→∞ ⎝ n +1 ⎠

Es una indeterminación ∞ – ∞ que resolvemos multiplicando por y dividiendo entre el conjugado. Operamos y aplicamos las propiedades de los límites:

3 Opera respetando los paréntesis.

En las indeterminaciones ∞ – ∞ no se puede utilizar la propiedad de que el límite de un polinomio es igual al límite del monomio de mayor grado.

Estrategia

Actividad resuelta | Indeterminación 1∞

4n− 1 9n2 + 1+ 2n

Actividad resuelta | Indeterminación ∞ – ∞ con radicales

indeterminación

el conjugado, se obtiene una identidad notable.

2n3 =∞ n2

n+ 4n2 + 1 n+ 4n2 n+ 2n 3n = lim = lim = lim =1 n→∞ n→∞ n→∞ 3n 3n 3n− 1 3n

lim

Determina el límite de esta sucesión: lim n→∞

2 Observa que, al multiplicar por

2n3 − 13n2 + 3n = lim n→∞ n2 − 9

⎛ n2 ⎞ Calcula el límite de la siguiente sucesión: lim ⎜3n− ⎟ n→∞ n− 3 ⎠ ⎝

Hemos de fijarnos en los monomios que están dentro de las raíces para determinar su grado real.

Aplícalo

Estrategia 1 Identifica

lim

Aplícalo

n+ 4n2 + 1 3n− 1

Aplicamos la propiedad de que el límite de un polinomio es el límite de su monomio de mayor grado y tenemos:

Profesora en casa Cálculo de límites de sucesiones racionales con radicales

Paso a paso de la resolución de problemas asociados a los saberes básicos.

4

3 Opera respetando los paréntesis.

)

3n3 − 9n2 − n2 + 3n− n3 − 3n2 2n3 − 13n2 + 3n = lim n→∞ n2 − 9 n2 − 9

Actividad resuelta | Cálculo de límites de sucesiones racionales con radicales

∞ . ∞

n→∞

Sucesiones según su monotonía

indeterminación

el grado del polinomio del denominador, por lo que el límite es ∞:

Estrategia 1 Identifica la indeterminación

3

2

la

⎛ 3n2 − n n2 ⎞ 3n2 − n ( n− 3) − n2 ( n+ 3) lim ⎜ − = ⎟ = lim n→∞ ⎝ n+ 3 n− 3 ⎠ n→∞ (n+ 3) (n− 3) = lim

3n2 + 5 4n− 1

Calcula el límite de la siguiente sucesión: lim n→∞

∞ – ∞.

2 Resta las fracciones.

Se trata de una indeterminación ∞ – ∞. Para resolverla, restamos las fracciones y nos quedamos con una única fracción:

lim 5 5 5n2 + 8 5n2 5 = lim = lim = n→∞ = = 0 7n3 − 5 n→∞ 7n3 n→∞ 7n lim 7n ∞ n→∞

grado del polinomio del numerador y q es el grado del polinomio del denominador.

Estrategia 1 Identifica

BA

3

an aq

Si p < q ⇒ lim = 0 En estas expresiones, p es el

estructura de una situación de aprendizaje

estrategias de resolución de problemas

⎛ 3n2 − n n2 ⎞ − ⎜ ⎟ 8 Halla el límite de esta sucesión: lim n→∞ ⎝ n+ 3 n− 3 ⎠

En las sucesiones racionales tenemos que fijarnos en los grados de los polinomios del numerador y del denominador. En este caso, el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador, por lo que el límite es 0. También podemos optar por aplicar la propiedad de que el límite de un polinomio es el límite de su monomio de mayor grado:

posibles:

n→∞

2

Actividad resuelta | Indeterminación ∞ – ∞ con fracciones

5n2 + 8 7n3 − 5

5 Calcula el límite de esta sucesión: lim n→∞

nomios.

2 Recuerda que hay tres casos

Si p = q ⇒ lim =

estrategias de resolución de problemas

Actividad resuelta | Cálculo de límites de sucesiones racionales

1 Observa los grados de los poli-

Calcula 0,5 dm el área del cuad rado inicia Demuestr l. cuadrado a analíticam n2 es la mitad ente que la n+2 supe ⎛ 4n+ 7 ⎞ n−1 ⎛ n+ 1 ⎞ que la n2 − 1 c Halla superficie rficie del segu lim h lim ⎜ ñ lim ⎜ ⎟ ⎟ la ndo n→∞ ⎝ 4n− 5 ⎠ n→∞ 2n+ 1 n→∞ ⎝ n− 1 ⎠ del prim cuadrado expresión que ero. que se determin obtiene 55 Halla tras repe a la superficie el prod tir el proc ucto del gresión eso n vece geométricde los seis prim 60 a ¿Cuá s.

56 Calc eros térm a: 81, 27, ntas fruta ula la suma 9... inos de s hay en capas? esta prosión geom de los ¿Y en una la base doce prim étrica de una 57 Dete de cuatr de térm eros térm pirámide b Halla o? rmina inos c inos la la expre de tres 20/11/25 14:44 de suma 3 = 14 y sión geom c6 = 4802 la progresión de los de fruta étrica infinitos . que hay que proporcio 58 La tal que número na la canti suma de en la base c2 = 108 términos de de capa los infini una prog y c5 = 4. trica es s de esa de la pirámide dad de pieza tos térm re12 y a s 59 c ¿Cuá pirámide. en func inos 2 = 3. Calc ntas fruta La suma ión del ula a y de una prog s hay de resió capas?

1 la razón geométric los dos prim en total de la prog n geoméen una eros térm a es 12 46 Escri resión. es 120. pirámide y la suma inos de ¿Cuál be tres de diez 60 de sus una prog es esta térm mética cuatro Calcula progresió resión primeros cuya sumainos consecut la n?

47 Halla ivos de términos nes geom suma de los es 15 y una la suma infinitos cuyos étricas cuadrado progresión de los términos en las progresió aritque se veint s suma de las a a = n aritm cumple: n 99,5. progresio ética tal icinco primeros 1 103; r = 0,3 que a términos 1=7yd de una = 6. b b Mejora 1 = 40; b 2 = 10

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n

n→∞

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n

⎛ n2 + 1 ⎞ 2 lim ⎜ 2 ⎟ n→∞ n − 8 ⎝ ⎠

b

Actividade

02_MA

TES 1_BAC

H_202

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s autoe valuables

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20/11/2

5 14:44

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materiales y recursos del

docente Matemáticas BA

Matemáticas 1

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materiales y recursos del

docente

Orientaciones prácticas

Pautas metodológicas e itinerarios de personalización del aprendizaje que garantizan la inclusión de todos los alumnos. Ofrece refuerzos, ampliaciones y solucionario completo.

Programación de aula

Criterios de evaluación, competencias específicas y competencias clave, y actividades organizadas por sesiones.

Rúbricas de evaluación

Herramientas claras para valorar el progreso y las competencias del alumnado. Autoevaluación, coevaluación y heteroevaluación.

Generador de exámenes

Para crear pruebas personalizadas basadas en criterios de evaluación y en competencias. Incluye modelos sugeridos por situación de aprendizaje y por trimestre.

Recursos digitales

Guía explicativa del uso y la finalidad de todas las herramientas.

Gestión de aula eCasals

Libro digital y seguimiento individual de los alumnos desde un único entorno.

BA

Todo lo que necesitas para planificar, acompañar y evaluar el aprendizaje, en tu Propuesta didáctica.

21

claves para una

enseñanza integral

22

24

Pautas DUA en acción

25

Evaluar para aprender

26

eCasals: tu aula digital

28

Refuerzo y recuperación

30

Matepractic

23

pautas

DUA en acción RADIX ayuda a diseñar experiencias inclusivas que eliminan barreras y que garantizan la participación de todos los alumnos.

Pensamiento

Hacer el pensamiento más visible, organizar las ideas y desarrollar habilidades cognitivas.

Cooperativo

Aprender con los demás para crear juntos.

Encontrarás estrategias para ofrecer múltiples formas de representación, acción e implicación.

Evaluación

Valorar para mejorar, seguir aprendiendo y conocer los logros alcanzados.

ESO BACHILLERATO 24

evaluar para

aprender Descubre el itinerario que garantiza la evaluación de las competencias de una forma clara y sencilla.

Doble función de la evaluación competencial: REGULADORA

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Acompaña y orienta a los alumnos durante su proceso de aprendizaje.

Mediante rúbricas, reconoce los logros que han alcanzado.

Y así se incorpora en cada situación de aprendizaje:

Inicio

Avance

Final

Hoja de ruta y objetivos de aprendizaje para implicar al alumnado

Entre dos y seis actividades de desarrollo y estructuración

Autonomía y autorregulación (diario de aprendizaje)

Reto. Actividades de aplicación

Diana de aprendizaje

Diagnóstico inicial (KPSI)

Estrategias de progreso: feedback, listas de verificación y bases de orientación

Mejora. Actividades autoevaluables

Estrategias de progreso: feedback, listas de verificación y bases de orientación

Escalera de metacognición

Organización de las tareas (KANBAN)

Calificación

Calificación

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Libro digital accesible

Tu aliado digital para enseñar y aprender sin límites.

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Vive una experiencia más enriquecedora en el aula • Proyecta los contenidos del libro y descubre la facilidad del formato digital con HTML integrado.

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Inclusivo Flexible Fácil para todos

Personaliza el aprendizaje • Combina actividades y recursos para crear tareas adaptadas a tus alumnos y a tu manera de enseñar.

Diseña tu propia experiencia • Crea tus propias actividades, sube tus materiales y organiza tus recursos con las herramientas de eCasals.

Integrado en las principales plataformas • eCasals se integra fácilmente en Moodle, Classroom, Teams y otros entornos educativos a través de Marsupial y LTI.

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27

Refuerzo y recuperación Aprende a tu manera

ESO

Colección de cuadernos que permiten trabajar y consolidar los sentidos matemáticos de la ESO conforme a la LOMLOE y a las necesidades de cada alumno.

Refuerzo eficaz

Práctica abundante y variada

Estructura clásica, mirada actual

Avance seguro, paso a paso

Cuadernos diseñados para consolidar los aprendizajes esenciales y para facilitar la recuperación de manera guiada.

Organizados por bloques de contenidos con situaciones de aprendizaje conocidas y que conectan con la realidad del alumnado.

Conceptos claros y aplicables

Píldoras teóricas breves y ejemplos resueltos que facilitan la comprensión inmediata de los contenidos.

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Gran cantidad de actividades y problemas, con estrategias de resolución de problemas y rutinas de pensamiento para ganar autonomía.

Itinerarios claros que ayudan a seguir el proceso y a aplicar con confianza lo aprendido.

Geometría

Estadística y probabilidad

1

Números y operaciones

Geometría

ESO

Álgebra y funciones

Estadística y probabilidad

Refuerzo y recuperación Matemáticas

2

Números y operaciones

ESO

Geometría

Álgebra y funciones

Estadística y probabilidad

Rafael-Ángel Martínez Casado

Refuerzo y recuperación Matemáticas

3

Números y operaciones

Geometría

Álgebra y funciones

Estadística y probabilidad

ESO

Refuerzo y recuperación Matemáticas 4

Álgebra y funciones

Refuerzo y recuperación Matemáticas

Rafael-Ángel Martínez Casado

Refuerzo y recuperación Matemáticas 3

0

Números y operaciones

Rafael-Ángel Martínez Casado

Refuerzo y recuperación Matemáticas 2

Refuerzo y recuperación Matemáticas

Refuerzo y recuperación Matemáticas 1

Refuerzo y recuperación Matemáticas 0

Para la transición de Primaria Rafael-Ángel Martínez Casado (coordinador) a la ESO y Carmen Cano

Rafael-Ángel Martínez Casado

Refuerzo y recuperación Matemáticas

4

Números y operaciones

Geometría

ESO

Álgebra y funciones

Estadística y probabilidad

ESO

Refuerzo y recuperación Matemáticas 0

Refuerzo y recuperación Matemáticas 1

Refuerzo y recuperación Matemáticas 2

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Refuerzo y recuperación Matemáticas 4

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Ciclo de aprendizaje

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Próximo curso 2027-2028

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2

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4

5

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Aportemos soluciones

Evalúa tu progreso

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ESO y 1.º de Bachillerato

Disponible en dos formatos:

Cuadernos de trabajo impresos

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Autores: Ángel Alsina y Fernando García

MÁS INFORMACIÓN EN:

matepractic.es

Matepractic es un método práctico y didáctico que ayuda a los alumnos a adquirir las destrezas matemáticas necesarias para hacer frente a los desafíos de la vida real. Inspirado en las pautas de evaluación de las pruebas internacionales PISA, centra la enseñanza en lo visual, lo concreto y lo aplicado, y se adapta a las necesidades de cada alumno.

Diagnostica

Mejora

Evalúa

Prueba inicial con 7 tareas adaptativas que determina el nivel real de competencia matemática de cada alumno.

Una actividad semanal de 5 tareas, ajustada al ritmo del estudiante. Si no la supera, recibe la solución y una nueva oportunidad con valores distintos.

El docente visualiza el progreso mediante gráficos y puede ajustar fácilmente el ritmo o el nivel de cada alumno.

Contexto

CONTEXTO

Cada actividad parte de una situación motivadora basada en un contexto personal, laboral o escolar, social o científico.

: PROFESION

AL actividad comp

3. A Pablo y a Pedro

les gustan much o los bizcochos , ¿cuánto bizco . Si Pablo se cho quedaría? comiese la * mitad y

etencial 7

tercera parte

Pedro la

4. Tras come rnos

Puntuación el bizcocho nos queda un bizcocho del mismo tama tercio. Nues tros vecinos ño. ¿Cómo tamaño lo más podemos partir nos han traído grandes posib los para que medio le? Dibuja cómo queden trozo quedarían los s del mism trozos. o

5. Normalme nte

Puntuación utilizamos un cuchillo forma de secto para partir r circular. Pero, un bizcocho sin utilizar ¿sería posib y los trozos segmentos le partir un salen recto ?, ¿y en tres bizcocho circu s, en trozos?, ¿y lar en dos parte en cuatro? s iguales Dibuja cómo quedarían.

Puntuación Consulta el

Habilidades

DOMINIO DE Cantidad

solucionario

esta tabla con

NIDOS

HABILIDADE

5 tareas de dificultad creciente.

y completa

S

1

3. Represento.

4. Razono y argumento.

5. Diseño estrate gias.

6. Utilizo el lenguaje simbó lico.

7. Utilizo herram ientas matem áticas.

CONSULTA LAS TABLAS

* Es conven

iente desarro

Secundaria

llar y razona

2

3

4

5

3

A7

4

5

3 2

1

PÁGINA 27

·5= · 3,33 = ·5= · 10 =

2 CIÓN DE LA

cada tarea.

TOTAL

TAREA

2 2

DE PUNTUA

obtenida en

TAREA

1

S MATEMÁTICA

1. Comunico.

2. Matematizo.

01 Cuaderno

la puntuación

LOS CONTE

PARA CONOCE

·5= R TU GRADO

DE LOGRO.

H2 H3 H5 H6 H7

r las operac

iones. Recuer da que puntúa

n.

Matepractric

FINAL.indd

15

15

17/09/15 11:32

30

Autoevaluación Tabla de autoevaluación de cada actividad competencial.

1.º ESO

1.º ESO

1.º ESO

2.º ESO

2.º ESO

Números enteros. Divisibilidad.

Fracciones y decimales.

Porcentajes. Sistemas de numeración.

Magnitudes directa e inversamente proporcionales.

Porcentajes. Función lineal.

Gráficas.

y áreas. Teorema de Pitágoras.

Frecuencia absoluta y relativa.

Diagrama de sectores. Gráfico de barras. Regla de Laplace.

naturales, enteros y decimales.

Divisibilidad. Unidades de peso y volumen. Gráficas y parámetros estadísticos. Ley de los grandes números.

algebraica y grafica de una función. Ecuaciones de primer y segundo grado.

Interpretación de gráficos.

2.º ESO

3.º ESO

3.º ESO

3.º ESO

geométricas. Áreas y perímetros. Semejanza. Escala.

Puntos y rectas notables del triángulo. Sólidos y platónicos.

Notación científica.

Aproximación y errores.

Sucesiones. Progresiones aritméticas y geométricas.

inversa. Función parabólica.

Sistemas de ecuaciones. Ángulos y semejanza. Vectores. Simetría, giros y traslaciones.

4.º ESO

4.º ESO

condicionada. Tablas y gráficas estadísticas. Distribuciones bidimensionales. Recta de regresión e interpolación.

1. Números naturales.

6. Lógica. Figuras

11. Visión espacial. Perímetros,

áreas y volúmenes en poliedros y en superficies de revolución.

2. Lenguaje algebraico.

7. Potenciación y radicación.

12. Probabilidad

3. Rectas y ángulos. Perímetros

8. Porcentajes. Proporcionalidad

4. Operaciones con números

5. Funciones. Expresión

4.º ESO

9. Parámetros de centralización

y desviación. Diagramas de árbol.

Variaciones y combinaciones.

Probabilidad condicionada.

10. Códigos y divisibilidad.

Potenciación y radicación.

Interés compuesto. Función exponencial y logarítmica.

1.º BA

1.º BA

1.º BA

sistemas. Inecuaciones. Estudio de funciones. Límites. Continuidad.

Derivadas.

Ángulos. Radianes.

Trigonometría. Resolución de triángulos. Números complejos.

Cónicas.

Probabilidad total. Teorema de Bayes. Correlación y regresión.

Distribución binomial y normal.

13. Números reales. Ecuaciones y

14. Rectas y distancias.

15. Operaciones con sucesos.

31

PEFC/14-38-00310

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