Geometría en el espacio
3
El teorema de Pitágoras en el espacio 3.1 Recuerda
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa c es
Cálculo de diagonales de un ortoedro
Para calcular las diagonales de un ortoedro de anchura a, longitud b y altura c, hay que aplicar el teorema de Pitágoras.
c =a +b 2
2
2
diagonal
c
Observa que la diagonal D es el segmento QR. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo PQR, se obtiene:
Q
P
b
a
D2 = (PQ) + c2 2
igual a la suma de los cuadrados de los catetos a y b.
R
S
Por otro lado, el triángulo PQS también es rectángulo: sus catetos son a y b; por lo tanto, (PQ)2 = a2 + b2. Combinando esta fórmula con la anterior se obtiene: D 2 = a2 + b2 + c 2
D = a2 + b2 + c 2
Esta última fórmula permite calcular la diagonal de un ortoedro. c
a
Ejemplo
b
11. La diagonal de un cubo de arista la unidad mide: D = a 2 + b 2 + c 2 = 12 + 12 + 12 = 3 = 1,73 cm
c=1 b=1 a=1
3.2
202
Cálculo de la apotema de una pirámide regular
Recuerda
En una pirámide regular, hay que distinguir entre la apotema de la base y la apotema de una de las caras laterales. La relación entre estas magnitudes viene dada por el teorema de Pitágoras.
B
La apotema de un polígono regular es el segmento que va
El triángulo ABC es rectángulo. La apotema de la base es el segmento AC, la apotema de una cara lateral es AB y la altura de la pirámide es el segmento BC. La relación que mantienen es AB 2 = AC 2 + BC 2 .
desde el centro del polígono al punto medio de uno de sus lados; o dicho de otro modo, centro del polígono que es per-
Llamando h a la altura de la pirámide, aC a la apotema de una cara y aB a la apotema de la base, la relación anterior se escribe:
pendicular a uno de sus lados.
aC2 = aB2 + h2
el segmento trazado desde el
C
A
Ejemplo 12. Calcula la altura de una pirámide de base cuadrada, cuyo lado mide 10 m, y la apotema de una cara, 20 m. h = aC2
aB 2
h = 202
52
h = 375 = 19,36 m
Aplica
Resuelve
9 ■ Halla la diagonal de un ortoedro de aristas 3, 4 y 12 cm.
12 ■■ El área de la base de un ortoedro de base cuadrada es de 36 dm2. Calcula la diagonal del ortoedro si su altura es de
10 ■ Calcula la apotema de una pirámide de base cuadrada,
45 cm.
cuya apotema mide 10 cm y la altura, 8 cm. ¿Cuál es el área de la base?
13 ■■ La base de una pirámide es un hexágono de 3 cm de lado. La altura de la pirámide es de 6 cm. Halla las dimensiones
11 ■ Calcula las dimensiones de la arista de una pirámide de
de la apotema de cada cara y las dimensiones de la arista de la
base cuadrada de apotema lateral 10 cm y altura 8 cm.
pirámide.
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