Mary Somerville 3r. Mostra. Matemàtiques

MAT

T QU EES MÀ

J. COLERA JIMÉNEZ

M.J. OLIVEIRA GONZÁLEZ

I. GAZTELU ALBERO

R. COLERA CAÑAS

Programa Mary Somerville

CÀLCUL NUME ÓRACI i

U N I T A T

FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS

DIMENSIÓ RESOLUCIÓ DE PROBLEMES • DIMENSIÓ RAONAMENT I PROVA

DIMENSIÓ CONNEXIONS • DIMENSIÓ COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ

Fraccions sexagesimals

A l’antiga Mesopotàmia, els babilonis escrivien els nombres en el sistema sexagesimal. I per expressar parts de la unitat utilitzaven fraccions sexagesimals: amb denominador igual a una potència de base 60.

Així, per expressar 2 5 escrivien 24 60 ; per expressar 80 1 escrivien 3.600 45 = 60 45 2

Malgrat que el sistema de numeració decimal s’utilitzava a Occident des del segle xiii amb els nombres enters, per expressar les parts de la unitat es recorria a les fraccions sexagesimals. Per exemple, per expressar 1,4125 escrivien 1;24,45, que significava 1 + 60 24 + 60 45 2

El sistema sexagesimal dels babilonis

Per entendre millor com escrivien els nombres a l’antiga Mesopotàmia, sobre tauletes d’argila, observa la taula següent amb diversos exemples, en la qual es mostren els ordres d’unitats sexagesimals: 602 60

Observa que aquest sistema només feia servir dos signes ( = 10 i = 1). Amb aquests signes s’escrivien els nombres de l’1 al 59. I aquests nombres, segons la posició en què es col·locaven, multiplicaven el seu valor per 1, per 60, per 602… o bé per 1/60, per 1/602… (sistema posicional).

Decimals

No va ser fins a finals del segle xvi que es va popularitzar l’ús dels decimals per expressar parts de la unitat. El francès Viète i el flamenc Stevin van ser els principals impulsors del canvi.

Pas de fraccions sexagesimals a forma decimal

Per traduir a forma decimal un nombre expressat en notació sexagesimal, n’hi ha prou d’operar com sabem. Observa:

N = 1;24,45 (forma sexagesimal)

N = 1 60 24 60 45 1 5 2 80 1 2 ++ =+ + = = 1 + 2 : 5 + 1 : 80 = 1,4125 (forma decimal)

Potències

La primera referència que tenim de les potències es remunta a algunes taules babilòniques de fa uns 4.000 anys, que tractaven de quadrats i cubs de nombres naturals.

A Grècia, els pitagòrics (segle vi aC) van relacionar els nombres amb la geometria. A ells els devem els termes quadrat i cub referits a les potències de nombres.

RESOL

1. Expressa en forma decimal el nombre 3;8,29,44, escrit per un matemàtic italià del segle xv És un nombre significatiu en matemàtiques? Quin?

2. Com escriuries, en la taula d’unitats sexagesimals, els nombres 780, 3/5 i 1,6?

3. Quins nombres veus en aquesta tauleta? Els colors de les columnes corresponen a les mateixes unitats que les de la taula de la pàgina anterior.

Mesurar amb nombres fraccionaris

Mesurar és relacionar dues magnituds del mateix tipus.

Quan diem que el volum de la Lluna és 1/50 del volum de la Terra, estem prenent com a unitat el volum de la Terra. I si diem que la part visible d’un iceberg és 1/9 del total, estem prenent com a unitat tot el seu volum.

1. NOMBRES RACIONALS

Fraccions

Els nombres enters serveixen per comptar elements, però no són bons per expressar mesures. Per mesurar, sol ser necessari fraccionar la unitat: la meitat, quatre terceres parts, set mil·lèsimes… Aquestes mesures s’expressen mitjançant fraccions: 1/2, 4/3, 7/1.000.

Una fracció és el quocient indicat de dos nombres enters, el qual pot ser enter , 2 6 3 3 12 4 –– == dn o fraccionari , 2 17 8 2 1 5 13 2 5 3 –=+ = dn .

Si el numerador és múltiple del denominador, la fracció representa un nombre enter, i si no ho és, representa un nombre fraccionari.

La unió de tots els nombres enters i de tots els nombres fraccionaris s’anomena conjunt de nombres racionals i es designa per Q. Els nombres racionals són els que es poden escriure en forma de fracció.

Els nombres racionals es poden representar en la recta. En aquesta, s’aglomeren de tal manera que, entre cada dos nombres, hi ha infinits nombres racionals més.

Simplificació de fraccions

Per què aquest nom…

Per què Q per designar el conjunt dels nombres racionals?

En anglès, quotient significa ‘quocient’: els racionals són el quocient de dos enters.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

Si podem dividir el numerador i el denominador d’una fracció per un mateix nombre (diferent d’1 i de –1), direm que hem simplificat o reduït la fracció. Per exemple:

Quan una fracció no es pot reduir més i el seu denominador és positiu, direm que és irreductible.

1. Dibuixa en el teu quadern una recta com aquesta i situa-hi, de forma aproximada, els nombres següents:

2. A quines fraccions corresponen aquests punts de la recta?

3. Simplifica aquestes fraccions:

4. Relaciona cada fracció amb la fracció irreductible corresponent:

Productes creuats

Un procediment per comprovar si dues fraccions són equivalents és el que anomenem productes creuats:

b a d c = si a · d = c · b

Per exemple, 30 18 i 35 21 són equivalents perquè 18 · 35 = 630 = 21 · 30.

Fraccions equivalents

Cada nombre racional pot expressar-se mitjançant moltes (infinites) fraccions: 3/5 = 6/10 = 9/15 = … Per això cal establir un criteri que permeti reconèixer quan dues fraccions representen el mateix nombre racional.

Es diu que dues fraccions són equivalents quan, en simplificar-les, donen lloc a la mateixa fracció irreductible, que prenem com a expressió habitual del nombre racional corresponent.

30 18 i 35 21 són equivalents, ja que : : 5 30 18 30 6 18 6 3 = = i : : 5 21 35 7 21 7 5 3 3 == .

Comparació de fraccions

Dues fraccions amb el mateix denominador són molt fàcils de comparar observant-ne els numeradors. Per comparar dues fraccions amb diferent denominador, les «reduïm a comú denominador»; és a dir, busquem dues fraccions respectivament equivalents a les primeres i que tinguin el mateix denominador.

EXERCICIS RESOLTS

1. Indica, en cada cas, si les fraccions són equivalents:

a) i 39 9 52 12

i

a) Busquem les fraccions irreductibles i comprovem si coincideixen: : : : : ; 39 9

3

== = = → Són equivalents.

b) Fem els productes creuats i comprovem si coincideixen: 15 · 57 = 855; 38 · 35 = 1.330 → No són equivalents.

2. Compara 7 12 , 8 5 i 16 9 . Prenem com a denominador comú el MCM(12, 8, 16) = 48. 48 : 12 = 4 → · 7 12 4 74 12

: 8 = 6

: 16 = 3

APLICA EL QUE HAS APRÈS

5. Vertader o fals?

a) 5 2 > – 7 4 perquè el primer és positiu i el segon, negatiu.

b) 7 3 > 5 2 perquè el primer és més gran que 1 i el segon, més petit que 1.

c) 3 8 > 4 7 perquè el primer és més gran que 2 i el segon, més petit que 2.

d) –5 4 > – 7 4 perquè el primer és més gran que –2 i el segon, més petit que –2.

6. Indica si les fraccions són o no equivalents simplificant i mitjançant el mètode dels productes creuats: a) 20 12 i 35 21 b) 102 36 i 221 78

7. A partir de 60/126, busca la fracció equivalent… a) amb numerador 20. b) amb denominador 21.

8. Ordena, de la més petita a la més gran, aquestes fraccions: 12 7 6 4 4 6 15

MENTAL

2. OPERACIONS AMB FRACCIONS

Suma i resta de fraccions

Per sumar (o restar) fraccions amb el mateix denominador, se sumen (o es resten) els seus numeradors i el denominador es deixa igual.

Per sumar (o restar) fraccions amb diferent denominador, es comença per transformar aquestes fraccions en altres d’equivalents amb el mateix denominador.

Producte i quocient de fraccions

El producte de dues fraccions és una altra fracció el numerador de la qual és el producte dels seus numeradors i el denominador de la qual és el producte dels seus denominadors:

El quocient de dues fraccions és el producte de la primera per la inversa de la segona:

Operacions combinades amb fraccions

Per trobar el resultat d’operacions combinades, primer es resolen les operacions de dins els parèntesis i els claudàtors i, després, es fan la resta d’operacions, tenint en compte que els productes i els quocients s’han de calcular abans que les sumes i les restes. Per exemple:

APLICA EL QUE HAS APRÈS

Fes les operacions següents i simplifica els resultats:

CÀLCUL MENTAL

Troba la part del total que correspon a cada fracció:

a) 2 1 de 520.000 €.

b) 5 3 d’1.000.000 de persones.

c) 7 10 de 500 edificis.

CÀLCUL MENTAL

Digues, en cada cas, la quantitat total:

a) 2 1 del total és 350.

b) 3 2 del total és 400.

c) 10 7 del total és 350.

Observa

Les diferents parts (fraccions) d’un tot sumen 1.

Per exemple: Es reparteix un pastís de manera que a l’Anna n’hi correspon 1/3, a en Marc 1/4 i a l’Unai la resta. Quant pastís li toca a l’Unai? 1 3 11 1 412 7 12 5 += = cm

CÀLCUL MENTAL

Digues, en cada cas, quina fracció falta per completar la unitat:

a) , ? ? i 2 1 4 1 b) ,i ? ? 3 2 6 1

c) ,i ? ? 4 1 6 1 d) ,, i ? ? 2 1 4 1 8 1

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

Fracció d’una quantitat

Per trobar 5 3 d’una quantitat, per exemple de 1.200 €, es divideix aquesta quantitat entre 5 (i així s’obté una cinquena part) i el resultat es multiplica per 3. És a dir, es multiplica la quantitat per 5 3 → 5 3 · 1.200 € = 720 €

Per trobar una fracció b a d’una quantitat Q, es multiplica b a · Q

Exemples

• Un carter ha de repartir els 3/28 d’un total de 4.004 cartes. Quantes cartes li corresponen?

3 28 de 4.004 = 3 28 · 4.004 = 3 · . 28 4 004 = 3 · 143 = 429 cartes

• La Berta és propietària de 7/20 d’una empresa. Aquest any li corresponen 37.800 € en el repartiment de beneficis. Quins han estat els guanys totals de la companyia?

Si per 20 7 li corresponen 37.800 €, per 20 1 li corresponen . 7 37 800 = 5.400 €

Per tant, al total 20 20 dn li corresponen 20 · 5.400 = 108.000 €

També es pot arribar a aquest resultat multiplicant la part que correspon a la Berta (37.800 €) per la inversa de la fracció que té de l’empresa, 7 20 . 20 7 del total = 37.800 8 total = 37.800 · 7 20 = 108.000 €

Per trobar la part b a d’una altra d c d’una quantitat Q, es multiplica · b a d c C · Q

Exemple

D’una herència de 104.000 €, l’Albert en rep 3/8, la Berta 5/12 i la Clàudia la resta. La Clàudia destina 2/5 de la seva part a pagar deutes. Quant li queda? 1 –8 3 –12 5 = 24 24 910 = 24 5 és la fracció de la Clàudia.

Com que gasta 5 2 del que li toca, li queden 5 3 de la seva fracció: 5 3 · 24 5 · 104.000 = 8 1 · 104.000 = 13.000 € li queden.

13. Un ciclista ha recorregut els 5/9 de l’etapa d’avui, de 216 km. Quants quilòmetres ha fet?

14. He tret del banc 3.900 €, que són 3/11 dels meus estalvis. Quants diners tinc estalviats en total?

15. D’una bassa amb 5.250 litres d’aigua, 4/15 corresponen a la Teresa, 2/5 a l’Enric i la resta al Roger. El Roger dedica 3/10 de la seva part a regar tomàquets i la resta, als fruiters. Quanta aigua dedica el Roger als fruiters?

Recorda

En les calculadores, els decimals se separen amb un punt en comptes de separarse amb una coma.

1.437,54 → {∫∫‘¢«|…∞¢}

3. NOMBRES DECIMALS

Els nombres decimals serveixen, entre altres coses, per indicar mesures, ja que amb aquests nombres es pot expressar qualsevol valor intermedi entre dos nombres enters. Els nombres decimals es representen sobre la recta numèrica, de manera que, gràcies a aquests, podem aproximar-nos molt (tant com vulguem) a qualsevol dels seus punts:

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

Seguint aquest procés, el punt vermell pot designar-se mitjançant un nombre decimal amb tanta aproximació com vulguem (3,857…).

L’expressió decimal dels nombres permet valorar-los, comparar-los i operar-hi de manera molt còmoda i eficaç.

Tipus de nombres decimals

Vegem les diferents classes de nombres decimals que hi ha:

• Decimal exacte; és el que té un nombre limitat de xifres decimals.

Per exemple: 5,4; 0,97; 8; –0,0725.

• Decimal periòdic; és el que té infinites xifres decimals que es repeteixen periòdicament.

Periòdics purs; són aquells el període dels quals comença immediatament després de la coma. Per exemple: 7,81818181… = , 781 # .

Periòdics mixtos; són els que tenen altres xifres decimals abans del període. Per exemple: 18,35222222… = 18, 35 2 ! .

• Decimals no exactes ni periòdics. Són nombres decimals que tenen infinites xifres que no es repeteixen periòdicament. Al contrari que els decimals exactes i periòdics, aquests nombres no són racionals, per la qual cosa s’anomenen nombres irracionals

Per exemple: 2 = 1,4142135…; π = 3,14159265…

16. Indica quin tipus de nombre decimal és cada un dels següents:

3,52 , 28 ! , 154 # 3 = 1,7320508… 2,7 3,5222… π – 2 = 1,1415926…

17. Ordena del més petit al més gran aquests nombres: , 25 ! 2,5 , 235 ! 2,505005…

18. Escriu tres nombres compresos entre 2,5 i , 25 ! .

3,0 7

20 0,428571 60 40 50 10 3 es repeteix

A partir d’aquí es repeteixen els quocients i els residus.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

19. Vertader o fals?

a) 3 1 = 0,333… = , 03 !

3 3 = 3 · 0,333… = 0,999… = , 09 !

Com que 3 3 = 1, resulta que , 09 ! = 1.

b) 5,4 ! = , 544 #

c) , 372 # = 3,7272727… = 3, 727 #

d) , 03 ! + , 06 ! = 1

Pas de fracció a decimal

Per obtenir l’expressió decimal d’una fracció, s’efectua la divisió del numerador entre el denominador. El quocient pot ser:

• Un nombre enter, quan el numerador és múltiple del denominador.

Per exemple: 9 72 = 8; 15 –240 = –16

• Un decimal exacte, si el denominador de la fracció simplificada només té els factors primers 2 i 5 (o un dels dos).

Per exemple: 8 3 = 0,375; 40 123 = 3,075; 25 42 = 1,68

Observa per què passa això:

Si només hi ha els factors 2 i 5, sempre podrem completar una potència de base 10 en el denominador.

• Un decimal periòdic, si el denominador de la fracció simplificada té algun factor primer diferent de 2 i 5.

Per exemple: 11 3 = , 36 ! ; 11 86 = , 781 # ; 66 87 = 22 29 = ,3 118 #

Per què si el quocient no és exacte, llavors, segur que és periòdic? Raonem-ho amb un exemple, 3 : 7 (divisió que hi ha en el marge). Quan es divideix entre 7, el residu només pot ser 1, 2, 3, 4, 5 o 6; per tant, en algun moment haurà de repetir-se i, a partir de llavors, es repetirà tota la seqüència.

Tota fracció irreductible dona lloc a un nombre decimal:

• Decimal exacte, si el denominador només té els factors 2 i 5.

• Decimal periòdic, si el denominador té factors diferents de 2 i 5.

Per tant, els uns i els altres són nombres racionals. Tanmateix, els decimals amb infinites xifres no periòdiques són nombres irracionals.

20. Sense fer la divisió, i fixant-te només en el denominador de la fracció simplificada, digues si les fraccions següents donaran lloc a decimals exactes o a decimals periòdics:

a) 150 44 b) 150 42 c)

d) . 500 1 001

21. Escriu un valor de k perquè la fracció 84/k sigui:

a) Un nombre enter.

b) Un decimal exacte.

c) Un decimal periòdic.

Exemple

Observa

Període d’una sola xifra

En multiplicar N per 10, s’obté un altre nombre amb la mateixa part decimal.

N = 5,444…

10N = 54,444…

Observa

Període de tres xifres

En multiplicar N per 1.000, s’obté un altre nombre amb la mateixa part decimal.

N = 6,207207…

1.000N = 6.207,207207…

4. PAS DE DECIMAL A FRACCIÓ

Acabem de veure que, si dividim el numerador entre el denominador d’una fracció, el resultat és un nombre decimal exacte o periòdic (pur o mixt). Ara ens plantegem el problema invers: Quina és la fracció que correspon a un nombre decimal?

De decimal exacte a fracció

Expressar en forma de fracció un nombre decimal exacte és molt fàcil, ja que el denominador és una potència de base 10.

Per exemple: 2,5 = 10 25 = 2 5 ; 3,41 = 100 341 ; 0,004 = 1.000 4 = 1 250

De decimal periòdic pur a fracció

Vegem amb dos exemples el procés que convé seguir.

• Període d’una sola xifra: N = , 54 ! = 5,4444…

restar, la part decimal desapareix:

• Període amb més d’una xifra: N = 6,207 & = 6,207207207… ., , N N 1 000 6 207 207207 6 207207 1 000 = = 3 En restar, desapareix la part decimal: 1.000N – N = 6.207 – 6 → 999N = 6.201 → N = 999 6 201

Pots comprovar tots dos casos fent les divisions amb la calculadora.

Per escriure un nombre periòdic pur, N, en forma de fracció:

• Multipliquem N per una potència de base 10 per trobar un altre nombre amb la mateixa part decimal.

• Restant tots dos nombres, obtenim un nombre enter.

• Aïllant N, arribem a la fracció buscada.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

22. Expressa en forma de fracció:

a) 6,2 b) 0,63 c) 1,0004

d) 3,5 ! e) , 01 ! f) , 27 !

g) , 023 # h) 41,041 & i) 40,028 & j) , 59 ! k) 7,009 & l) , 099 #

23. Observem que 0,,, 208 0 791 0 999 1 += = &&& .

Comprova-ho expressant en forma de fracció cada sumand i efectuant la suma de fraccions.

24. Fes aquestes operacions; abans, però, passa els decimals a fraccions.

a) , 35 ! + , 176 # – 2,103 & b) , 13 ! : , 216 #

De decimal periòdic mixt a fracció

• Escrivim en forma de fracció N = ,5 263 # : N = 2,5636363… Multipliquem per 10 per obtenir un decimal periòdic pur.

10N = 25,636363… Ara, multipliquem per 100 per obtenir-ne un altre amb la mateixa part decimal.

1.000N = 2.563,636363… En restar els dos nombres obtinguts, desapareix la part decimal. És a dir, s’obté un nombre enter.

1.000N – 10N = 2.563 – 25 → 990N = 2.538 → N = 990 2 538

• Un altre exemple: N = , 007 324 & = 0,07324324324…

100N = 7,324324… S’obté un periòdic pur.

100.000N = 7.324,324324… Se n’obté un altre amb la mateixa part decimal.

100.000N – 100N = 7.324 – 7 → 99.900N = 7.317 → N = 99.900 7 317 Comprova els dos casos amb la calculadora.

Per escriure un nombre periòdic mixt, N, en forma de fracció:

• Multipliquem N dues vegades per potències de base 10 per tal d’aconseguir dos decimals periòdics purs amb el mateix període.

• Restant-los, s’obté un nombre enter.

• Aïllant N, s’obté la fracció buscada.

Resum

Per obtenir la fracció corresponent a un decimal periòdic, tant pur com mixt, l’estratègia seguida ha estat la següent: a partir del nombre donat s’obtenen dos nombres decimals periòdics purs amb el mateix període. En restar-los, el resultat és un nombre enter.

Com ja hem dit, els nombres decimals amb infinites xifres no periòdiques no són racionals, per la qual cosa no es poden expressar en forma de fracció.

25. Completa el procés per expressar com a fracció el nombre donat en cada cas:

a) , . , , , N N N 6217 100 1 000 6 21777 621 77777 6 217 7777

b) , .

N N N 0 03162 1 000 100 000 0 0316262 31 626262 3 162 626262

26. Expressa com a fracció els decimals següents: a) , 62 5 ! b) , 0001 ! c) ,0 518 #

27. Quins dels següents nombres són racionals? Escriu-los en forma de fracció: a) 3,51 b) 5,202002000… c) , 503 # d) 0,3212121… e) π = 3,141592… f) , 74 331 &

28. A partir de les fraccions corresponents, comprova que , 548 # = , 54 84 # .

Funcions secundàries

A les calculadores científiques, la majoria de les tecles tenen dues funcions secundàries (que apareixen indicades a sobre de la tecla).

Les dues funcions se solen diferenciar amb dos colors:

• SHIFT 8 groc

• ALPHA 8 vermell

Fixa’t en aquesta tecla:

Prement actua com a arrel cúbica.

Prement serveix per escriure nombres decimals periòdics, com veurem en la pàgina següent.

A partir d’ara, quan ens referim a una funció secundària, la destacarem a la tecla corresponent. Per exemple, per referir-nos a la funció arrel cúbica, posarem:

5. FRACCIONS I DECIMALS AMB LA CALCULADORA

En aquest curs és recomanable començar a utilitzar una calculadora científica que ens pugui servir per al que ens resta de l’ESO i per al Batxillerat. Per a moltes de les indicacions que donem, prendrem com a referent la calculadora CASIO CLASSWIZ, ja que és la més utilitzada en aquest nivell. Però podria ser qualsevol altra de característiques similars.

Configuració

La calculadora la utilitzem fonamentalment per a càlculs aritmètics. Per a això entrem en � i triem 1:Calcular.

És fonamental configurar la calculadora per tal que tant la forma en què rep les dades (ENTRADA) com l’expressió resultant (SORTIDA) siguin conformes al que necessitem.

Us suggerim que seleccioneu el mode matemàtic tant per a l’ENTRADA com per a la SORTIDA. En aquest mode, les fraccions, les arrels i les potències es visualitzen de la forma habitual.

Per fer-ho, hem de prémer la tecla configuració �. A continuació, triem 1:Entrada/Sortida i, després, seleccionem 1:E Mat/S Mat (tant ENTRADA com SORTIDA en mode matemàtic).

També és important configurar la calculadora perquè la SORTIDA, a més de matemàtica, sigui en forma de fracció i no com a nombre mixt. Per fer-ho, entrem en configuració ( �) i premem la fletxa ▼ per anar a la següent pantalla, on triem l’opció 1:Result fracció. A continuació, escollim 2:d/c.

Fraccions

Per introduir les fraccions, utilitzem la tecla i les fletxes ▼ ▼▲ ▼ .

Recorda què és un nombre mixt

La suma 3 + 5 2 es pot escriure així:

3 5 2 i s’anomena nombre mixt.

Actualment no se solen utilitzar, per la qual cosa no els prestarem més atenció.

Si la fraccció introduïda no està simplificada, en prémer = se simplifica:

29. Introdueix a la calculadora les expressions de la dreta i comprova que, en prémer =, se simplifiquen les fraccions o s’obtenen les fraccions corresponents.

a) 5 3 b) 12 8 c) 15 27 d) 3,25 e) 0,27 f) 0,321

Algunes simplificacions

Temptejant amb la calculadora, pots trobar nous camins o algunes simplificacions. Per exemple, per escriure 8 6 podem fer el següent: 6 8 = 6 8 3 4

Operacions amb fraccions

Per operar amb fraccions, senzillament s’escriu a l’ENTRADA la cadena d’operacions i es prem la tecla =

Per exemple, obtinguem

Atenció

Si introduïm un decimal exacte en el qual una o més xifres es repeteixen «moltes» vegades, és probable que la calculadora l’interpreti com a periòdic:

5.43434343434343 = �

5.43434343434343 5.43 » APLICA EL QUE HAS APRÈS

Si, durant l’escriptura, cometem un error, podem esborrar amb la tecla � (esborrar). És a dir, la tecla � esborra el que hi ha a l’esquerra del cursor.

Si, en acabar, desitgem tornar a l’ENTRADA, n’hi ha prou de prémer la fletxa ▼ . Allà podem afegir algun sumand més o corregir algun possible error.

Decimals

Els nombres decimals no periòdics s’escriuen de forma natural tenint en compte que, en comptes de la coma, s’hi posa un punt, .

La tecla �, aplicada a un nombre obtingut a la SORTIDA, el transforma de fracció a decimal, o viceversa.

Per escriure un decimal periòdic utilitzarem les tecles . , 54

Tant en l’expressió de nombres periòdics com en la de fraccions, la calculadora imposa limitacions en el cas d’una grandària excessiva de l’ENTRADA o de la SORTIDA. Pots explorar i esbrinar aquestes limitacions.

30. Obtén, amb la calculadora, les fraccions generatrius dels nombres decimals següents: a) 2,354 b) , 3002 # c) ,0 02 43 # d) , 37 01 # e) , 0125 # f) ,0 29 ! g) , 01233 # h) 1,1 !

31. Fes aquesta operació amb ajuda de la calculadora. Expressa el resultat en forma de fracció i com a nombre decimal. : 9 4 3 5 3 8 1 7 5 4 1 5 2 –+ d d n n

32. Fes aquestes operacions amb fraccions i nombres decimals amb la calculadora. Obtén els resultats en forma de fracció i de nombre decimal (exacte o periòdic). a) 4 5

6. POTENCIACIÓ

Potències d’exponent positiu

Les potències d’exponent enter positiu (1, 2, 3…) són fàcils d’interpretar:

CALCULADORA

Per trobar potències amb la calculadora, utilitzem les tecles següents:

• Per al quadrat: x

5x = 25

• Per al cub: sx (x3)

2 sx (x3) = 8

• Per a qualsevol potència: ‰

3 ‰ 4 = 81

Propietats

Calcula utilitzant propietats de les potències:

Resum

a 0 = 1, a 1 = a

Definició

Si n > 1, a n = a · a · … · a n vegades

a –n = 1/a n

Propietats

Si m, n ∈ Z, es compleix que:

1

2

3

4

5

4. Expressa cada nombre com a potència de base 10:

a) 0,001

b) 0,00000001

5. Simplifica:

Potències d’exponent zero o negatiu

La propietat 4 de la pàgina anterior només era vàlida per a m > n. Vegem què passaria si fos m = n o m < n :

Per tant, hauria de ser a 0 = 1.

Aquestes igualtats ens suggereixen la definició següent:

Si a és un nombre racional diferent de zero i n és enter: a 0 = 1 a –n = a 1 n

Com a conseqüència:

Les propietats de les potències d’exponent positiu també són vàlides per a les potències d’exponents enters qualssevol.

APLICA EL QUE HAS APRÈS

Calcula el resultat:

Expressa com a potència de base

38. Simplifica i troba el resultat quan sigui possible:

CÀLCUL MENTAL

Opera i expressa el resultat com a potència de base 10:

a) 1.000 · 100.000

b) 1.000 · 0,01

c) 1.000 : 0,01

d) 1.000 : 0,000001

e) 1.000 · 0,000001

f) 0,0001 · 0,01

g) 0,0001 : 0,01

7. NOTACIÓ CIENTÍFICA

Els nombres següents estan expressats en notació científica:

3,65 · 1011 = 365.000.000.000 9,207 · 10–14 = 0,00000000000009207 11 xifres 14 xifres

La notació científica té un avantatge respecte a la usual: les xifres se’ns donen comptades, amb la qual cosa l’ordre de magnitud del nombre és evident. Aquesta notació és útil, sobretot, per expressar nombres molt grans o molt petits.

Un nombre expressat en notació científica consta de:

• Una part entera formada per una sola xifra que no és el zero (la de les unitats).

• La resta de les xifres significatives, si n’hi ha, escrites com a part decimal.

• Una potència de base 10 que dona l’ordre de magnitud del nombre.

10

prefixos per a ordres d’unitats tera 1012 giga 109 mega 106 quilo 103 hecto 102 deca 10 deci 10–1

Si n és positiu, el nombre N és «gran», i si n és negatiu, N és «petit».

Operacions amb nombres en notació científica

Per operar amb nombres donats en notació científica se segueixen els passos habituals, tenint en compte que cada nombre està format per dos factors: l’expressió decimal i la potència de base 10.

El producte i el quocient són immediats, mentre que la suma i la resta exigeixen preparar els sumands de manera que tinguin tots la mateixa potència de base 10 perquè es pugui treure factor comú.

6. Calcula:

a) (4,73 · 107) · (7,5 · 105) = (4,73 · 7,5) · 107 + 5 = = 35,475 · 1012 = 3,5475 · 1013 b) ,· ,· 75 10 47310 5 7 –= (4,73 : 7,5) · 107 – (–5) = 0,631 · 1012 = 6,31 · 1011

c) 1,7 · 108 – 2,5 · 107 = 17 · 107 – 2,5 · 107 = (17 – 2,5) · 107 = = 14,5 · 107 = 1,45 · 108

Observa que en els tres apartats hem hagut d’«arreglar» la solució final perquè adopti la notació científica: només una xifra a la part entera.

39. Calcula el valor de n en cada cas:

a) 374,2 · 105 = 3,742 · 10n

b) 374,2 · 10–7 = 3,742 · 10n

c) 0,031 · 105 = 3,1 · 10n

d) 0,031 · 10–7 = 3,1 · 10n

40. Calcula:

a) (3,25 · 107) · (9,35 · 10–15)

b) (5,73 · 104) + (–3,2 · 105)

c) (4,8 · 1012) : (2,5 · 103)

d) (1,17 · 108) – (3,24 · 10 – 6)

EXERCICI RESOLT

CALCULADORA

La calculadora es pot configurar perquè treballi (ENTRADA i SORTIDA) en notació científica. Però cal dir-li el nombre de xifres significatives que volem utilitzar.

Entrem en la configuració, �, i escollim 3:Format nombre. Aquí seleccionem 2:Not científica. Apareix Científ:Selec 0~9

Si premem, per exemple, 5, s’utilitzaran 5 xifres significatives.

Quan acabem de treballar en notació científica, no hem d’oblidar de tornar al mode normal.

� 8 3:Format nombre 8 3:Normal 8 Normal:Selec 1~2

I premem el 2.

Calculadora per a la notació científica

Qualsevol model de calculadora pot ser programat per treballar només en notació científica. Tanmateix, és preferible que no utilitzis aquest mode de funcionament, sinó que mantinguis el mode Normal 2

Com és natural, els resultats s’han d’expressar en forma decimal, per la qual cosa has de configurar la SORTIDA decimal, E Mat/S Decimal

• Escriptura

 ENTRADA

Per escriure nombres en notació científica s’utilitza la tecla �. Per exemple: 3,456 · 1012 8 3.456 � 12 1,03452 · 10–7 8 1.03452 � f 7

 SORTIDA

Si s’escriu un nombre amb «moltes» xifres, la mateixa calculadora ho expressa automàticament en notació científica. Per exemple:

12345678910 1.234567891 x1010

Si s’escriu un nombre amb «poques» xifres, a la pantalla ens apareixerà el nombre en forma decimal no científica. Per exemple: 123456789

x104

Operacions. Les operacions s’encadenen com si fossin uns nombres qualssevol. Com acabem de dir, si el resultat té «moltes» xifres, la calculadora ho expressarà en notació científica i, si no, el donarà en notació normal i l’haurem d’interpretar nosaltres.

123000000x45000 5.535 x1012 0.000123÷5000000 2.46x10–11

EXERCICI RESOLT

7. Fes les operacions amb la calculadora i interpreta els resultats:

a) (3,214 · 10–5) · (7,2 · 1015)

b) 3,214 · 10–4 – 9,58 · 10–5

c) 3,2 · 1010 + 7,3 · 10–5 –– 4,552 · 1010

a) 3.214 � f 5 * 7.2 � 15 = b) 3.214 � f 4 - 9.58 � f 5 = Cal interpretar-lo. El resultat expressat en notació científica és 2,256 x 10–4

c) 3.2 � 10 + 7.3 � f 5 – 4.552 � 10 = Com veus en aquest últim exemple, quan sumem o restem amb la calculadora nombres amb ordres de magnitud molt diferents, el més petit no es reflecteix en el resultat.

x103x8.27 x104 1 063 522 000

APLICA EL QUE HAS APRÈS

Resol amb la calculadora l’activitat 40 de la pàgina anterior.

Dues arrels quadrades

Observa:

32 = 9, (–3)2 = 9

Per tant, 9 té dues arrels quadrades: 3 i –3.

Però, atenció!, quan escrivim 9 ens estem referint a l’arrel positiva; és a dir, 9 = 3.

Anàlogament, 16 té dues arrels quartes: 2 i –2.

Però 16 4 = 2.

8. ARRELS I RADICALS

➜ Arrels quadrades. Com saps, 81 = 9 perquè 92 = 81.

➜ Arrels cúbiques. 125 3 = 5 perquè 53 = 125.

➜ Altres arrels. De manera anàloga, s’interpreten les arrels d’índex superior a 3:

Com que 25 = 32, serà 32 5 = 2.

10 000 4 = 10 perquè 104 = 10.000.

En general, si a = bn, llavors a n = b.

En l’expressió a n (es llegeix arrel enèsima de a), n és l’índex i a, el radicand.

Si a n és un nombre racional (enter o fraccionari), llavors es diu que l’arrel és exacta

8. Calcula les arrels següents:

a) 16 49

b) 4.356

c) . 64 1 000 3

d) , 210 7· 1 3 3

a)

b) Ja que se’ns demana de trobar 4.356 , comprovem si 4.356 és un quadrat perfecte. Per fer-ho, el descomponem en factors primers: 4.356 = 22 · 32 · 112.

És a dir, 4.356 = (2 · 3 · 11)2 = 662. Per tant, 4.356 = 66.

c) 1.000 = 103, 64 = 43. Per tant,

Radicals

En l’expressió 12 no hi ha manera de suprimir l’arrel si no és calculant-ne el valor decimal aproximat. L’única manera d’indicar aquest valor de forma exacta és deixar l’expressió tal com està; és a dir, amb l’arrel.

Les expressions en què apareixen arrels s’anomenen radicals.

EL QUE HAS APRÈS

42. Calcula les arrels següents:

a) 64 6 b) 216 3

c) 14.400 d) 64 1

43. Vertader o fals?

a) Com que (–5)2 = 25, llavors 25 = –5.

b) –5 és una arrel quadrada de 25.

c) 81 té dues arrels quadrades: 3 i –3.

d) 27 té dues arrels cúbiques: 3 i –3.

e) 7 té dues arrels quartes: 7 4 i – 7 4 .

f) 4 – = –2 i 4 = 2.

EXERCICI RESOLT

Tingues en compte

Emprar amb correcció i agilitat els radicals requereix un bon aprenentatge i un llarg entrenament. Aquest curs aprendrem algunes de les regles més senzilles, com també una sèrie de mesures per evitar el que no s’ha de fer.

CÀLCUL MENTAL

Simplifica: a) 520 · b) · 33610

CÀLCUL MENTAL

Descompon i treu fora del radical: a) 50 b) 24 3 c) 2.000 3

CÀLCUL MENTAL

Calcula el valor d’aquestes potències:

a) 3 6 ` j b) 2 3 6 ` j c) 5 4 12 ` j

Algunes regles per treballar amb radicals

Producte de radicals

El producte de dos radicals amb el mateix índex es pot posar sota un únic radical. Per exemple: 32 32 6 == 55 15 15 75 33 33 ==

Si els radicals tenen índexs diferents, deixarem el producte indicat. Per exemple: 25 3

3 4

Extracció de factors fora d’una arrel

Si el radicand descompost en factors té potències d’exponent igual o més gran que l’índex de l’arrel, alguns d’aquests poden sortir de l’arrel.

Per exemple:

Potència d’un radical

La potència d’un radical es fa elevant el radicand a aquesta potència.

22 3 4 3 4 = ``jj

Si l’exponent de la potència és múltiple de l’índex de l’arrel podrem simplificar.

Per exemple:

En cas contrari, només podrem simplificar en alguns casos. Per exemple: 22 3 2 2 3 = `j

Suma i resta de radicals

Dos radicals diferents no poden sumar-se si no és obtenint les seves expressions decimals aproximades. Només poden sumar-se radicals idèntics. Per exemple:

32 77 –3 + 4

Aquestes operacions només es poden fer de manera aproximada o bé es poden deixar indicades.

Sí que pot simplificar-se l’expressió: 25 6 44 44 –33 +=33

De vegades, podrem efectuar alguna suma que semblava impossible: ·5 55 55 5 20 45 180 45 9362 36 ··

APLICA EL QUE HAS APRÈS

44. Simplifica les expressions que puguis:

a) 85 63 – b) 35 45 + c) 25 8 –3 d) 5 5– 3 e) · 67 f) · 67 3 g) 28 h) 749 3 3 i) 55 –3 6 j) 5 10`j k) 6 7`j l) 7 5 10`j

45. Extreu fora del radical els factors que puguis:

46. Opera i simplifica: a) 32712 + + b) 16 33254 3 + +

Nombres reals

El conjunt de tots els nombres racionals i irracionals són els nombres reals.

Aquest conjunt es designa amb la lletra Á

Á = Q + é

EXERCICI RESOLT

9. Situa cada un dels nombres següents en les caselles corresponents. Cada nombre pot anar en més d’una casella:

24; 0,71; ,7 01 ! ; –5; 5 3 ; 7 ; – 9 ; 7 28 ; π – 1

9. NOMBRES RACIONALS I IRRACIONALS

Nombres racionals

Els nombres racionals són els que es poden escriure en forma de fracció. És a dir, els que es poden obtenir com a quocient de dos nombres enters.

Tots els nombres enters són racionals i també ho són aquells l’expressió decimal dels quals és exacta o periòdica.

El conjunt de tots els nombres racionals es designa amb la lletra Q .

Nombres irracionals

Els nombres no racionals s’anomenen irracionals. El conjunt de tots els nombres irracionals es designa amb la lletra é

Són nombres irracionals aquells l’expressió decimal dels quals no és exacta ni periòdica. Inclouen:

— Totes les arrels no exactes. Per exemple:

2 = 1,41421256… 4 3 = 1,58740105…

— El nombre π = 3,14159265 …

Hi ha infinits nombres irracionals més.

naturals, N 24; 28/7 = 4

enters, Z 24; –5; – 9 = –3; 28/7 = 4

fraccionaris 0,71; , 07 1 ! ; 3/5

racionals, Q 24; 0,71; , 07 1 ! ; –5; 3/5; – 9 = –3; 28/7 = 4

irracionals, é 7 ; π – 1

47. Situa cada un dels nombres següents en les caselles corresponents. Tingues en compte que cada nombre pot anar en més d’una casella. (Fes-ho en el teu quadern.)

107; 3,95; , 395 # ; –7; 20 ; 9 36 ; 9 4 ; – 36 ; 3 7 ; π – 3

racionals, Q irracionals, é » APLICA EL QUE HAS APRÈS

naturals, N enters, Z fraccionaris

GeoGebra. Representació de nombres irracionals.

» OBSERVA, RAONA I RESOL

1. OPERACIONS AMB FRACCIONS

2. AIXETES I FRACCIONS

Una aixeta A omple un dipòsit d’aigua en 2 hores i una altra aixeta B, en 3 hores. El dipòsit té un desguàs que el buida en 6 hores si les aixetes estan tancades. Si obrim alhora les dues aixetes i el desguàs, quant temps tardarà a omplir-se el dipòsit?

3. NOTACIÓ CIENTÍFICA

Una nau espacial surt de la Terra cap a un planeta situat a 10 6 km. Després de recórrer 1/4 del seu trajecte, perd el contacte per ràdio i el recupera quan està a 10 5 km de la seva destinació. Quants quilòmetres ha recorregut sense ràdio?

Si l’aixeta A omple el dipòsit en 2 h, en una hora n’omple 1/2.

L’aixeta B, en una hora, omple 1/3 del dipòsit. El desguàs buida en una hora 1/6 del dipòsit.

Si els obrim tots tres alhora, en 1 h omplen: 1/2 + 1/3 – 1/6 = 2/3 del dipòsit

Per tant, el temps que tarden és 1 : 3 2 = 2 3 h = 1,5 h = 1 h 30 min.

Abans de perdre el contacte per ràdio, havia recorregut: 4 1 106 = 0,25 · 106 = 2,5 · 105 km

Quan el recupera, li falten 105 km per arribar al final. Per tant, ja ha recorregut: 106 – 105 = 10 · 105 – 105 = (10 – 1)105 = 9 · 105 km

Si d’aquesta quantitat en restem el que va recórrer abans de perdre el contacte, tindrem la distància demanada:

9 · 105 – 2,5 · 105 = 6,5 · 105 km són els que va recórrer sense ràdio.

Fes-ho tu Si perd el contacte després de recórrer la meitat del seu trajecte i el recupera a 104 km del planeta, quants quilòmetres va recórrer sense ràdio?

4. VOLUM D’UN CILINDRE

Troba el radi, el volum i l’àrea total d’un cilindre de 26 cm d’altura i 42 cm de diagonal. Fes-ho tu L’altura d’un rectangle mesura 6 cm i la seva diagonal, 18 cm. Calcula’n la base, l’àrea i el perímetre.

Volum del cilindre = πr 2h Àrea del cilindre = 2πr 2 + 2πrh

El diàmetre de la base, d, i l’altura són els catets d’un triangle rectangle la hipotenusa del qual és la diagonal: () () d 42 26 22 2 =+ 8 d 32 24 –2 = 8 d 2 ==82 8 r 2cm =

V = π () 2 2 · 2 6 = 4π 6 ≈ 30,78 cm3

A = 2π () 2 2 + 2π 2 · 2 6 = 4π + 4π 12 = 4π(1 + 2 3 ) ≈ 56,10 cm2

» EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES

Practica

Fraccions i decimals

1. Simplifica les següents fraccions i agrupa les que siguin equivalents: 36 24 65 26 400 225 39 26 165 66 539 343

2. Redueix a comú denominador i ordena de la més petita a la més gran: 24 11 – 4 7 8 3 – 6 1 5 12 –5 3

3. EXERCICI RESOLT

Calcula, en cada cas, el valor de x perquè les fraccions siguin equivalents:

a) 6 x i 4 26 b) 3 x i 17 51

a) Perquè siguin equivalents, els productes creuats han de coincidir:

x · 4 = 26 · 6 8 4x = 156 8 x = 39

b) Tornem a aplicar el mètode dels productes creuats:

3 · 17 = 51 · x 8 51 = 51x 8 x = 1

4. Troba, en cada cas, el valor de x : a) x 18 42 35 = b) x 32 15 12 =

5. Expressa com a suma d’un nombre enter i una fracció, tal com es fa en l’exemple:

• 3 8 = 3 62 + = 3 6 + 3 2 = 2 + 3 2

a) 5 8 b) 15 8 c) 7 16 d) –2 3 e) –3 7

6. Determina, sense fer la divisió, quins són decimals exactes i quins són decimals periòdics: 2 3 5 4 9 13 · · 35 711 2 · 25 19 2 · ·· 57 37 23 2

7. Ordena del més petit al més gran en cada apartat: a) 3,56; ,5 36 ! ; , 35 ! ; , 356 # b) –1,32; – ,3 12 ! ; – , 132 # ; – , 13 ! c) ,; ;, ;; 23 15 3 8 234 32 10 21 !

8. Expressa en forma de fracció: a) 14,3 ! b) , 032 ! c) , 00 12 # d) –, 315 #

Operacions amb fraccions

9. Calcula mentalment: a) 2 1 + 4 7 b) 3 1 –5 1 c) 3 2 · 4 9 d) 3 2 de 60 e) 7 12 : 3 f)

10. Calcula mentalment:

a) La meitat de 3 2 . b) La tercera part de 7 12 .

c) Dos terços d’un nombre són 22. Quin és el nombre?

d) Cinc quarts d’un nombre són 35. Quin és el nombre?

11. Redueix a una sola fracció:

12. Efectua i simplifica descomponent en factors, com en l’exemple:

13. Passa’ls a fracció i calcula:

a) 3,5 + , 23 ! b) ,1 02 ! – 0,2 c) , 16 ! – ,0 12 ! d) , 342 # + , 76 !

14. Opera i expressa cada resultat amb una fracció irreductible:

:: 5

+ ddnn

15. Vertader o fals?

a) (, ,) 3 4 0750 6 12 13 1 –+ += ! b) ,, , 6 5 01 6 3 4 01 02 3 1 3 8 65 6 17 –+= + d nddnn !!

c) :, :, 11 11 –,, 15 00 2 3 2 10 9 4 3 33 51 80 ·–+ = ! !! !

Potències

16. Calcula les potències següents:

a) (–3)3 b) (–2)4 c) (–2)–3

d) –32 e) – 4–1 f) (–1)–2

g) 2 1 –3dn h) 2 1 ––2dn i) 3 4 0dn

17. Expressa com a potència de base 2 o 3: a) 64 b) 243 c) 32 1 d) 1 3 e) –1 27 f) 3 3 3 4 –g) 2 2 3 –5 h) 2 2 2 1 3 –––eo

18. Redueix a una sola potència:

a) (117 · 114) : 118 b) (a 8 : a 5)4

c) (a –2)3 · a 9 d) (a –3 · a 2)–4 : a–6 e) 125 : (–3)5 f) 8 –6 · 16 –6

19. Simplifica utilitzant les propietats de les potències: a) · () m m m 6 24 6–b) a 5 · a 1 3dn c) : b a b 1 4 3 b d l n d) () ·· a a aa 22 21 5 –

20. Calcula: a) : 1 2 2 3 1 –3 2 – – d d n n b) 2 3 1 –2 + dn · 3–2

21. Expressa com a potència única: a) : 3 44 3 –32 ddnn b) · 2 22 4 57 ––c) 2 1 1 1 3 –+ dn> H d) : 2 1 1 4 32ddnn e) 2 3 2 –3 2 4 d d n n f) · 3 515 1 2 –

22. Vertader o fals? a) : 2 6 1 2 1 9 23 = ddnn b) · 3 7 3 49 3 2 3 ––= dn

23. Opera i simplifica: a) : b ab a 9 4 3 2

24. Calcula utilitzant les propietats de les potències: a) ·· ·

25. Simplifica:

Potències de base 10

26. Indica el valor de n en cada cas:

a) 0,001 = 10n b) (10 000)2 = 10n

c) 0,0000001 = 10n d) 0,00013 = 10n

27. Vertader o fals?

a) (0,001)–3 = 109 b) (0,001)4 = 1012 c) (0,01)3 = 10–6 d) (10–2)5 = (0,1)10

28. Expressa com a potència de base 10: a) (0,01)–5 b) , 1 0 001 4dn c) 1 10 3 3

Notació científica

29. Escriu aquests nombres amb totes les seves xifres: a) 4 · 107 b) 5 · 10– 4 c) 9,73 · 108 d) 8,5 · 10– 6 e) 3,8 · 1010 f) 1,5 · 10–5

30. Escriu en notació científica:

a) 13.800.000 b) 0,000005

c) 4.800.000.000 d) 0,0000173

e) 153 · 104 f) 93,8 · 10– 4

31. Completa aquestes igualtats:

a) 5,25 · 107 = … 106 b) 2 · 103 = … 104

c) 4,7 · 10–3 = … 10–2 d) 234 · 104 = … 103

32. EXERCICI

RESOLT

Calcula i expressa el resultat en notació científica:

, :( ) 10 10 10 32 58 54 10 2 12 7 11 19 2 – –+

Operem en el numerador:

54 · 10–19 : 4 · 10–14 = 13,5 · 10–5 = 1,35 · 10–4

En el denominador, traiem factor comú 1011:

1011(3,2 · 10 + 58) = 90 · 1011 = 9 · 1012

Dividim: (1,35 · 10–4) : (9 · 1012) = 1,5 · 10–17

33. Calcula i comprova amb la calculadora:

a) (2 · 105) · (3 · 1012) b) (1,5 · 10–7) · (2 · 10–5)

c) (3,4 · 10–8) · (2 · 1017) d) (8 · 1012) : (2 · 1017)

e) (9 · 10–7) : (3 · 107) f) (4,4 · 108) : (2 · 10–5)

34. Calcula, expressa el resultat en notació científica i comprova amb la calculadora:

a) (2,5 · 107) · (8 · 103) b) (5 · 10–3) : (8 · 105)

c) (7,4 · 1013) · (5 · 10– 6) d) (1,2 · 1011) : (2 · 10–3)

35. Calcula i comprova amb la calculadora:

a) 3,6 · 1012 – 4 · 1011 b) 5 · 109 + 8,1 · 1010

c) 8 · 10–8 – 5 · 10–9 d) 5,32 · 10– 4 + 8 · 10– 6

36. Calcula i escriu el resultat amb totes les xifres:

a) 5,3 · 1011 – 1,2 · 1012 + 7,2 · 1010

b) 4,2 · 10– 6 – 8,2 · 10–7 + 1,8 · 10–5

c) (2,25 · 1022) · (4 · 10–15) : (3 · 10–3)

Arrels i radicals

37. Troba, quan sigui possible, les arrels següents:

a) 16 4 b) 25 16 c) 8 1 3 d) –1 4 e) 216 3 f) –128 7 g) –243 5 h) 4 096 6 i) 64 6 j) –8 3 k) 625 4 l) –8 m) 625/16 4 n) –1 5

38. Les arrels següents no són exactes. Entre quins nombres naturals consecutius es troben? a) 1 235 3 b) 520 4 c) 96 5 d) · , 15 10 3

39. Extreu de cada radical els factors que puguis: a) 32 4 b) 81 3 c) 200 3

d) 50 e) 144 4 f) 250 3 g) 64 5 h) 243 3 i) a4 3

40. Simplifica quan sigui possible: a) 2 · 8 b) 5 · 16

d) 5 4 · 2

41. Simplifica: a) 2 4 4 `j b) 2 6 3 `j c) 2 2 3 6 `j

d) 10 1 000 33 e) 55216 f) 33981

42. EXERCICI RESOLT

Extreu fora del radical els factors que puguis: 12ab 2 2 3 `j

Elevem el radicand al quadrat: (22 · 3ab2)2 = 24 · 32a2b4

Descomponem en potències d’exponent 3: ab bb ab ba b 22 32 23 218 32 23 22 2 33 3 ==

43. Extreu factors fora de cada arrel: a) 2523 b) 27 3 6 3 c) 2326 4

44. Extreu factors i simplifica. : aa b 54 16 3 3 34

45. Introdueix factors a l’arrel, com en l’exemple: • 72() 72 7 448 2· ·· 3 23 3 6 3 3 2 == = a) a 53 b) · aab 13

46. Opera i simplifica: a) 1.: 125 15 b) · 12 18 33 c) () 32 8 2 + d) (( ) )5 6 56 – +

47. Només tres d’aquestes expressions es poden simplificar. Comprova-ho:

a) 510 + b) · 654 c) 32 23 –d) 77 3 + e) () 4 3 5 f) : 36 18

48. Simplifica les expressions que puguis i explica per què les altres no es poden simplificar:

a) 72 42 – b) 32 –

c) 43 53 – d) 63 2 –

e) 25 3 1 5 – f) 2 2 2–

49. Calcula:

a) 50 72 10 2 – + b) 80 45 20

c) 48 375 108 + d) 5 175 28 63 – + e) 2

Resol problemes

50. D’un dipòsit, en el qual hi havia 1.500 l d’aigua, se’n gasten en un dia 5/12 i en un altre dia, 500 l. Quina fracció queda?

51. A la Júlia li regalen 120 € pel seu aniversari. Si se’n gasta 2/5 en roba, 1/4 en llibres i 3/20 en activitats de lleure, quants diners s’ha gastat en cada cosa? Quina fracció dels diners li queda?

52. Amb una bota de vi s’han omplert 480 ampolles de 2/5 de litre. Quantes ampolles de 3/4 de litre es podran omplir amb una bota igual a l’anterior?

53. La informació nutricional d’una marca de llet diu que hi ha 120 mg de calci per cada 100 m l de llet. Aquesta quantitat de calci és 3/20 de la que és recomanable que prengui diàriament una persona. Calcula la quantitat de calci diària recomanada.

54. Els 3/5 de les entrades d’un teatre corresponen al pati de butaques; 1/4 són del primer amfiteatre i les 90 restants són del segon amfiteatre. Quantes places té el teatre?

55. Dels 28 estudiants d’una classe, 4/7 van aprovar totes les assignatures i, d’aquests, 1/4 van treure un excellent de nota mitjana. Quants estudiants van treure excel·lent? Quina part de la classe va suspendre alguna assignatura?

56. D’un solar es van vendre 2/3 de la seva superfície i després 3/5 del que quedava. Els 600 m2 restants es van destinar a camins i jardins. Quina era la superfície del solar?

57. La tercera part dels assistents a un congrés són americans i 3/10 són asiàtics. Dels restants, 6/11 són europeus i 25 són africans. Quantes persones van assistir al congrés?

58. En Miquel gasta 3/5 de la seva paga mensual quan han transcorregut 2/3 del mes. Si durant la resta del mes manté el mateix ritme de despeses, quina fracció del seu sou estalvia al final?

59. Dues caixes de pomes es posen a la venda a 2,50  € el quilo. La primera, que representa 5/12 del total, es ven per 50 €. Quants quilos de pomes hi havia en cada caixa?

60. Expressa en notació científica el nombre de segons que té un any. Quina edat tindria una persona que hagi viscut 2.000 milions de segons?

61. La longitud mitjana d’un bacteri és de 2 µm, que correspon a 2 · 10–6 m. En el món hi ha aproximadament 5 · 1030 bacteris. Si es posessin l’un darrere l’altre, quants quilòmetres mesuraria la fila? A quants anys llum correspon aquesta distància?

62. Un centímetre cúbic d’aigua conté 3,35 · 1022 molècules d’aigua. Si en el nostre planeta hi ha, aproximadament, 1,39 · 109 km3 d’aigua, quantes molècules d’aigua hi ha a la Terra? I en un got de 2/5 de litre?

63. El diàmetre d’un virus és 5 · 10–4 mm. Quants d’aquests virus són necessaris per envoltar la Terra? (Radi mitjà de la Terra: 6.371 km.)

64. De Neptú al Sol hi ha 4,50 · 109 km i de la Terra al Sol, 1,50 · 108 km. Quan els tres astres estiguin alineats, a quina distància es trobarà Neptú de la Terra? Si una nau espacial surt de la Terra en direcció a Neptú a 18.000 km/h, quant temps tardarà a arribar a la seva destinació?

65. Observa les masses d’aquests planetes: Terra: 5,98 · 1024 kg Mart: 6,42 · 1023 kg

Júpiter: 1,90 · 1027 kg

a) Quants quilos pesa més la Terra que Mart?

b) Quantes vegades pesa més Júpiter que Mart?

66. En un triangle rectangle, la hipotenusa mesura 26 m i un dels catets, 23 m. Quant mesura l’altre catet? I l’àrea del triangle? Dona els valors exactes, és a dir, amb radicals.

67. La galàxia M87, que es troba a 50 milions d’anys llum de la Terra, té un forat negre el diàmetre del qual és de 60 anys llum i la massa del qual és de dos mil milions de vegades la massa del Sol.

a) Calcula la massa del forat negre en quilograms. (La massa del Sol és, aproximadament, 2 · 1030 kg.)

b) Expressa, en quilòmetres, la distància d’aquesta galàxia a la Terra i el diàmetre del forat negre.

68. Troba el volum d’un con de 18 cm de generatriu i 3 6 cm de radi de la base.

Vcon = 3 1 πr2h

69. El volum de la Lluna és d’1,76 · 1011 km3.

Quants quilòmetres fa el seu radi? Utilitza la calculadora i dona el resultat en notació científica.

70. El VCM (volum corpuscular mitjà) és el volum mitjà dels glòbuls vermells. En una adolescent, el VCM és de 90 femtolitres (1 f l = 10–15 l). Si té uns 5 l de sang i 5 milions de glòbuls vermells per microlitre, quants litres ocupen, de mitjana, els glòbuls vermells d’una adolescent?

71. Troba el perímetre i l’àrea del rectangle ABCD tal que AB = 3 + 2 cm i BC = 1 + 2 2 cm. Escriu les respostes en la forma a + b 2 , on a i b són nombres naturals.

72. Les càpsules d’un fàrmac estan formades per dues semiesferes de 7 mm de diàmetre i un cilindre de 14 mm d’altura. Un laboratori produeix 4 tones d’aquest fàrmac i vol envasar-lo en càpsules que continguin 600 mg cada una. Quantes càpsules pot produir? Troba el volum de cada càpsula.

Resol: una mica més difícil

73. Calcula per tempteig els dígits que falten en aquestes igualtats i completa-les en el teu quadern:

74. Escriu en el teu quadern el signe (+, –, · o :) corresponent a cada buit perquè es compleixin aquestes igualtats:

75. Reemplaça cada quadrat per una xifra perquè es compleixin aquestes igualtats:

76. Dos agricultors, pare i fill, tarden 2 h a llaurar un camp. Si ho fa només el pare, tarda 6 h. Quant tardarà el fill a fer-ho sol?

77. Una aixeta omple un dipòsit d’aigua en 9 hores. Si a més de l’aixeta s’obre el desguàs, llavors el temps que tarda a omplir-se és de 36 hores. Si obrim el desguàs mentre l’aixeta està tancada, quant temps tardarà a buidar-se el dipòsit?

78. Dues gerres de 600 mil·lilitres cada una contenen suc de taronja. Una està plena fins a la tercera part i l’altra, fins als dos cinquens. Afegim aigua a cada una fins a omplir-les completament i, posteriorment, les buidem en una gerra més grossa. Quina fracció del líquid de la gerra grossa és suc de taronja?

79. En una festa, 2/3 dels convidats són nois, 3/5 de les noies tenen parella i hi ha 6 noies que no en tenen. Quantes persones van assistir a aquesta festa?

80. Tenim un quadrat de costat 1 + 3 cm i un rectangle d’1 cm d’altura i base variable.

a) Quina ha de ser la base del rectangle perquè les dues figures tinguin el mateix perímetre?

b) Quant ha de mesurar la base perquè l’àrea del quadrat sigui el doble de la del rectangle?

81. Si el radi d’un CD mesura 6 cm, és possible ficar-lo en un sobre quadrat de 16 cm de diagonal? I de 17 cm de diagonal?

Reflexiona

82. Hi ha una regla general per escriure decimals periòdics com a fracció sense aplicar el procediment que has après en la unitat:

Comprova que es compleix per als següents nombres periòdics:

a) 11,123 & b) , 07 ! c) , 32 501 & d) 0, 0217 1 !

83. Busca quatre fraccions compreses entre 11 1 i 1 12 . Quantes n’hi ha?

84. Vertader o fals? Raona la resposta i posa’n exemples:

a) Hi ha nombres decimals que no són racionals.

b) El quocient de dos nombres decimals exactes és sempre un decimal exacte.

c) En sumar dos nombres decimals periòdics purs s’obté sempre un decimal periòdic pur.

d) Tots els nombres enters es poden expressar en forma de fracció.

e) Si dues fraccions positives són més petites que 1, el seu producte pot ser més gran que 1.

f) En dividir dos nombres decimals periòdics s’obté un decimal periòdic.

85. Divideix entre 11 els nombres de l’1 al 10 i anota els resultats.

a) Quants decimals diferents pots obtenir?

b) Té això a veure amb el fet que estiguem dividint entre 11?

c) Pots predir el resultat de 23 : 11 i de 40 : 11?

86. Si escrivim en forma decimal la fracció 20/13, quina xifra ocupa el lloc 50? Seria la mateixa que la que ocupa el lloc 100?

87. Si b a d c 01 << < , quina d’aquestes afirmacions és vertadera?

a) · b a b a d c 1 < < b) b a d c d c ·> c) b a d c 1 ·>

88. Justifica quin ha de ser el valor de a, en cada cas, perquè es verifiqui la igualtat:

a) a 3 = 26 b) a –1 = 2

c) a 5 4 = d) a 4 = 1

e) a –2 = 4 1 f) a –5 = –1

89. Vertader o fals? Justifica la resposta i posa’n exemples:

a) La potència d’un nombre negatiu pot ser igual a 1.

b) Si x < 0, llavors –x 3 > 0.

c) –x 2 és sempre un nombre positiu.

d) El cub d’un nombre negatiu és sempre més petit que aquest nombre.

90. L’arrel d’índex parell d’un nombre positiu té dos valors. Quan escrivim – 4 , ens referim a l’arrel negativa. És a dir, – 4 = –2.

Quin és el valor de les expressions següents?

a) – 64 b) 81 4

c) – 1 d) 1 6

e) – 9 f) –8 3

91. Vertader o fals?

a) ()22 –2 = b) () 2 2 1 3 3 –=

c) 16 25 9 += d) ()() 10 10 10 4 = e) 50 32 18 2 1 ––= f) 82+=1535 +

92. Si a 2 = b 2, què podem afirmar de a i b ?

93. Ordena els nombres n, n2 , n i 1/n en els casos següents: a) Si n > 1. b) Si 0 < n < 1.

94. Quin resultat obtindràs si fas aquesta operació amb la teva calculadora? Justifica la resposta.

10 10 100 20 20 +

95. Troba el nombre de xifres que tenen les potències 28, 58 i 108. Fes el mateix amb 211, 511 i 1011. Pots deduir-ne cap regla?

Si la potència 2456 té m xifres i 5456 té n xifres, quantes xifres tindrà 10456?

» MATEMÀTIQUES EN CONTEXT

TRIATLÓ DE CAP DE SETMANA

En Bernat participa, amb uns amics i amigues, en una prova de triatló que se celebra a la seva ciutat durant el cap de setmana. Aquesta competició consisteix en tres proves esportives: una cursa atlètica, una prova de natació i una cursa ciclista. S’ha estat preparant durant uns quants mesos i espera fer un bon paper i quedar en una bona posició.

Primer de tot, hauran de córrer pels voltants de la ciutat, després hauran de nedar a la piscina que hi ha al poliesportiu i, finalment, hauran d’anar amb bicicleta fins al poble del costat.

1. La cursa atlètica

En Bernat comença la cursa atlètica a bon ritme: fa 1/10 part del recorregut en un temps molt bo. Després, durant 1/3 de la resta de la prova, plou. Del que li queda per recórrer, 2/3 parts les fa corrent per camins del bosc i la resta del recorregut la fa pels carrers de la ciutat. Aquesta última part té una extensió de 8 km.

a) Quina distància recorren en la cursa atlètica?

b) Quina distància recorren en passar pel bosc?

c) Durant quants quilòmetres plou?

d) En Bernat ha assolit un bon temps al principi de la cursa. Quants quilòmetres ha recorregut en aquesta etapa?

2. Refrescar-se després de la cursa

Acabada la cursa, els organitzadors ofereixen beguda als atletes perquè puguin rehidratar-se adequadament. Hi ha ampolles de begudes isotòniques d’1/3 de litre, de 2/5 de litre, de 1/2 litre i de 3/4 de litre.

a) Quan arriba a la meta, en Bernat beu dues ampolles de 2/5 de litre i una d’1/3; la Gemma beu una ampolla de 2/5 i dues d’1/3; en Xavier beu una ampolla de 3/4 i tres de 2/5, i la Júlia beu quatre ampolles d’1/3 i tres de 1/2 litre. Ordena els atletes segons la quantitat de líquid ingerit, de més a menys.

b) Al llarg del recorregut de la cursa s’ofereixen als corredors, per hidratar-se, llaunes de refresc de forma cilíndrica de 8 cm de radi i 4 10  cm d’altura. Troba el volum de cada llauna. Expressa el resultat de forma exacta; és a dir, amb les arrels quadrades indicades i el més simplificat possible.

8 cm

4 10  cm

c) Un dels amics d’en Bernat, en Xavier, ha de prendre una medicació després de córrer. Cada comprimit és de 10 mg. El medicament es troba en cada comprimit en una concentració del 25 %. Quina quantitat de medicament hi ha en cada comprimit? Calcula el resultat en grams i en quilograms. (Expressa’l en notació científica.)

3. La piscina i les aixetes

La piscina on han de fer la prova de natació s’omple per mitjà de dues aixetes: A i B. Cada una de les aixetes omple la piscina per separat; així, l’aixeta A omple la piscina en 10 hores i l’aixeta B, en 12 hores. Una avaria en el desguàs de la piscina fa que, quan aquesta és plena, es buidi en 20 hores.

a) Si la piscina és buida i obrim les aixetes, quina fracció de piscina s’omple en una hora?

b) Quantes hores tarda a omplir-se la piscina? I si s’hagués arreglat l’avaria en el desguàs i no perdés gens d’aigua, quant tardaria a omplir-se?

c) Les mides de la piscina són 50 m de llargada, 10 m d’amplada i 2,5 m de profunditat. Troba la seva capacitat en metres cúbics i en litres. Expressa aquesta última mesura en notació científica.

4. La cursa ciclista

La Júlia, després de la cursa i de la prova de natació, anava primera, però estava molt cansada, per la qual cosa la seva velocitat mitjana en la cursa ciclista ha estat una mica baixa: d’uns 20 km/hora. Ha tardat 3 hores a recórrer la distància que separa la seva ciutat de la localitat on hi ha l’arribada.

a) Quina distància separa les dues poblacions?

b) La Gemma ha començat la prova ciclista mitja hora després que la Júlia. L’haurà atrapada si va a 25 km/h? Quant haurà tardat a fer-ho i a quina distància de la sortida ho haurà aconseguit?

c) Cada hora la Júlia perd 5,4·10-3 litres d’aigua en forma de suor. Quanta aigua perd al llarg de la cursa ciclista? Si la Gemma està més ben preparada i només perd 4,2·10-3 litres per hora, quanta aigua, en litres per hora, perd més la Júlia que la Gemma?

» TALLER DE MATEMÀTIQUES

» LLEGEIX I CALCULA

Codis d’identificació i dígits de control

En el món actual s’utilitzen codis a fi d’identificar productes de forma única, com es fa amb els codis de barres, per als productes comercials, o amb la matrícula, per als cotxes. Molts d’aquests codis tenen associat un dígit la funció del qual és controlar els errors que es puguin produir en escriure’ls: són els dígits de control. Vegem-ne un exemple:

Els codis de barres

Segur que has vist molts codis de barres. Les barres i els espais en blanc formen una codificació en un sistema binari (format per uns i zeros) que, amb ajuda d’un dispositiu òptic, identifiquen l’article.

3448504835 6

Hi ha diferents tipus de codis de barres, però el més habitual té 13 dígits agrupats en tres parts, com veus a sobre. Vegem com es calcula el dígit de control:

1. Se sumen els dígits de les posicions senars, començant per l’esquerra (el dígit de control, x, queda indicat en la suma).

2. Al resultat anterior se li afegeix la suma dels dígits de les posicions parelles multiplicada per 3. Es dona el valor adequat a x perquè el resultat total sigui múltiple de 10.

Vegem un exemple del codi de barres d’un llibre com aquest que estàs llegint –el 978 inicial correspon a l’ISBN (número internacional normalitzat per als llibres)–.

9 7 8 8 4 4 8 9 5 0 8 0 x

Sumem els dígits de les posicions senars: 9 + 8 + 4 + 8 + 5 + 8 + x = 42 + x

Sumem els dígits de les posicions parelles: 7 + 8 + 4 + 9 + 0 + 0 = 28

Multipliquem per 3 el resultat anterior: 3 · 28 = 84

La suma total és 42 + x + 84 = 126 + x Ha de ser múltiple de 10.

L’únic nombre d’un sol dígit vàlid per a x és 4; així la suma és 130.

El nombre, per tant, quedaria així: 9 7 8 8 4 4 8 9 5 0 8 0 4.

• Calcula els dígits de control que falten en aquests codis de barres.

• Copia, en el teu quadern, els nombres de tres codis de barres que vegis en tres productes qualssevol i comprova que en tots està ben calculat el dígit de control.

» FES SERVIR L’ENGINY

Una qüestió de comes

Posant una coma en el lloc adequat, la següent expressió és certa:

«cinc per quatre vint més un vint-i-dos»

Podries aclarir la qüestió?

» ENTRENA’T RESOLENT ALTRES PROBLEMES

• Un cotxe i un camió surten alhora d’una població, per la mateixa carretera però en sentits oposats.

La velocitat del cotxe és de 120 km/h i la del camió és de 90 km/h. Quina distància els separa al cap de 10 minuts?

• Un pagès llaura al matí dues cinquenes parts d’un camp. A la tarda, torna a la feina i llaura un terç del que li quedava.

Sabent que encara falta per llaurar mitja hectàrea, quina és la superfície del camp?

» POSA’T A PROVA

1. Calcula i simplifica el resultat: ·: 1 5 3 8 5

2. Classifica en decimals exactes o periòdics sense fer la divisió: 50 89 12 113 32 23 7 18

3. Passa els decimals a fraccions i calcula el resultat d’aquesta operació: ,, ·,0181 1 189 11 8 –+ dn # !

4. Opera: (–3)–2 + 4 3 –1cm – 2–3 1 1 2 ––2cm

5. Aplica les propietats de les potències per simplificar aquesta expressió: ·( ) () 12 9 62 · –4 2 3 2–

6. Expressa en notació científica:

a) 758 · 10–5 b) 0,035 · 1013

c) 101 · 1011 d) 0,1001 · 10–7

• Aquí tens un problema i la solució que ha trobat l’Andreu:

«Amb vint-i-cinc soldadets de plom, com formaríem sis files de cinc soldadets cada una?»

Tanmateix, la Susanna ha disposat els 25 soldats de manera que el nombre de files, amb 5 soldats en cada una, són moltes més de sis. Prova de fer-ho tu.

7. Vertader o fals?

a) Totes les fraccions són nombres racionals.

b) Tots els nombres racionals són fraccionaris.

c) Una fracció sempre equival a un nombre decimal periòdic.

d) Un nombre decimal periòdic és racional.

8. Simplifica quan sigui possible:

a) 327 b) 3 2 1 3 + c) 5 45 59 – + d) 54 22 –3 3

9. Amb la tercera part de l’oli que tinc en un bidó, puc omplir 20 ampolles de 3/5 de litre. Quants litres hi havia al bidó? Quantes ampolles de 3/4 de litre podré omplir amb la resta?

10. La reserva de gas natural més gran de l’Àsia central conté un volum de 9 . 1011 m3. Si la seva producció anual és d’1,8 . 1013 litres i es manté el mateix ritme al llarg del temps, quants anys es podrà explotar aquest recurs energètic?

U N I T A T

PROBLEMES ARITMÈTICS

DIMENSIÓ RESOLUCIÓ DE PROBLEMES • DIMENSIÓ RAONAMENT I PROVA

DIMENSIÓ CONNEXIONS • DIMENSIÓ COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ

De la intuïció quotidiana…

El raonament matemàtic relacionat amb la proporcionalitat apareix, des de l’inici de la civilització, en la resolució de problemes pràctics: intercanvis, compres, repartiments, collites, etc.

Trobem problemes d’aquests tipus en textos egipcis, xinesos, hindús…, tots anteriors a la nostra era.

Dos problemes del papir de Rhind

El papir de Rhind, també anomenat d’Ahmes en honor a l’escriba que el va copiar fa gairebé 4.000 anys, és un rotlle de papir de prop de 6 metres de llarg. Conté una gran col·lecció de problemes resolts. Un d’aquests problemes diu així:

Si deu gerres de greix han de durar un any, quant greix pot utilitzar-se en un dia?

En un altre pot llegir-se el següent:

Repartiu 700 pans entre quatre persones de manera que les quantitats que reben siguin proporcionals

Un problema babilònic

En una dels milers de tauletes babilòniques que es conserven de l’època d’Hammurabi (1800 aC), s’hi pot llegir el problema següent:

Quant tardarà a duplicar-se una quantitat de diners a un interès del 20 % anual?

Naturalment, a la tauleta no deia «20 %», sinó «12 de cada 60»

…a l’explicació teòrica

El grec Tales de Milet va aconseguir calcular l’altura de la piràmide de Kheops relacionant l’altura del seu cos i la longitud de la seva ombra amb l’altura de la piràmide i l’ombra d’aquesta, a la mateixa hora del dia.

Els grecs, en la línia de la recerca del saber pel saber, des de Pitàgores fins a Euclides, van treballar, a més, en la construcció d’una base teòrica per a la proporcionalitat, independent dels problemes pràctics. Així, en els Elements d’Euclides ja comencen a formar-se conceptes abstractes com el de raó i el de proporció.

Auge àrab i retrocés occidental en l’edat mitjana

Als segles viii i ix, en els tractats dels matemàtics àrabs, els quals van importar el saber d’Orient, ja apareixen procediments com la regla de tres.

Tanmateix, a Occident, aquesta època va tenir un interès matemàtic menor. Els escassos tractats són traduccions més o menys afortunades dels Elements d’Euclides.

L’impuls en el Renaixement

Més tard, a Europa, a partir dels segles xiv i xv, amb el desenvolupament del comerç en el Renaixement, creixen les demandes en els camps del càlcul i la comptabilitat. Aquestes necessitats impulsen el desenvolupament de l’aritmètica comercial: percentatges, descomptes, deutes, interessos, terminis…

RESOL

1. Resol els dos problemes del papir de Rhind que s’han proposat en la pàgina anterior i, respecte del primer d’aquests, respon:

a) Quant ha de durar una gerra?

b) Quant greix es pot consumir en un mes?

2. Un banquer presta diners a un interès del 6 % anual.

a) Quins interessos obtindrà en deixar 100 doblons durant un any? I si els deixa durant un mes? I si ho fa durant set mesos?

b) Quin interès obtindrà per prestar 500 doblons durant set mesos?

3. Resol el problema de la tauleta babilònica proposat en la pàgina anterior.

1. APROXIMACIONS I ERRORS

Quantitats exactes i quantitats aproximades

En aquestes afirmacions, sens dubte, les quantitats que es presenten són exactes:

L’Andreu té 7 fills i 16 nets. La classe de pàdel em costa 13 € l’hora. La Maria fa 16 anys.

Tanmateix, evidentment, aquestes altres són aproximades:

M’he gastat 200 € en la compra del dia. Al casament hi van anar 100 persones. Aquest arbre fa 16 m d’alçària.

En el llenguatge corrent utilitzem moltes quantitats: les unes són exactes i les altres aproximades. En molts casos és evident de quin tipus són; en d’altres el context ens ajuda a entendre si es tracta d’un tipus o de l’altre.

Per què s’utilitzen quantitats aproximades?

Utilitzem nombres aproximats amb molta més freqüència del que som conscients. Ho fem per un d’aquests motius:

• Desconeixem la quantitat exacta. Per exemple: Quina distància he recorregut avui en el meu entrenament? No conec la quantitat exacta, però podria dir «més de 12 km», o bé «entre 12 i 13 km» o bé «12.400 m». En aquest últim cas, encara que no ho diguem, s’entén que poden ser 100 m més o 100 m menys.

• Encara que coneixem la quantitat exacta, no considerem necessari o convenient donar-la amb total precisió. Per exemple:

— Si algú guanya 30.458,24 € l’any, probablement, quan parli del seu sou, dirà, simplement, que és de 30.000 euros.

El nombre de visitants de pagament a un museu l’últim any ha estat de 38.148 (es coneix amb exactitud per les entrades venudes). Tanmateix, en donar la notícia a la premsa, seria raonable dir que han estat «gairebé quaranta mil» o bé «trenta-vuit mil».

Nombre de xifres significatives

Les estimacions que fem en la vida quotidiana, sense pretendre que siguin gaire precises, tenen una o, a tot estirar, dues xifres significatives: «aquestes cases costen quatrecents vint mil euros»

Una quantitat donada amb tres xifres aproxima molt la mesura. El camp de la ciència és l’únic en què es necessiten precisions de quatre o més xifres.

Xifres significatives

L’altura a la qual vola un avió es pot expressar de diverses formes (ens fixem en el nombre de xifres que utilitzem en cada cas):

9 km → només una xifra

9,2 km → dues xifres

9.200 m → quatre xifres (o, potser, només dues?)

9.246 m → quatre xifres

És clar que com més xifres s’utilitzen, amb més precisió s’està donant la mesura. Però, de vegades, no és convenient donar-ne massa. És raonable que l’altura d’un avió es doni aproximant fins als metres?

Fixem-nos ara en la mesura 9.200 m. Han volgut ser exactes fins als «metres» o només fins als «centenars de metres»? Molt probablement deu ser això últim i, en aquest cas, els dos zeros finals no són xifres significatives.

S’anomenen xifres significatives aquelles amb les quals s’expressa un nombre aproximat. Només s’han d’utilitzar aquelles l’exactitud de les quals ens consti.

Els zeros del final d’un nombre no són xifres significatives si només s’han utilitzat per poder expressar la quantitat en la unitat desitjada (9.200 m en lloc de 92 centenars de metres).

Si el nombre està donat en notació científica, les xifres significatives són les que apareixen en el nombre decimal que multiplica a la potència de base 10. Per exemple, 3,4 · 105 i 3,40 · 105 no són el mateix nombre aproximat: en el primer (amb dues xifres significatives) estem dient que només controlem fins al 4, mentre que en el segon (amb tres xifres significatives) assegurem que la xifra posterior al 4 és un 0.

Control de l’error comès

És clar que, quan donem una mesura aproximada, estem cometent un error, que consisteix en la diferència, en valor absolut, entre el valor exacte (o real) i el valor aproximat. Se’n diu error absolut.

Error absolut = |Valor real – Valor aproximat|

En general, l’error absolut és desconegut (perquè no coneixem el valor real), però pot controlar-se. Per exemple, en donar l’altura de l’avió, 9,2 km, podem saber que l’error comès és més petit que 0,05 km = 50 m, ja que, si es dona 9,2, és perquè és més a prop d’aquesta mesura que de 9,1 i que de 9,3.

No és el mateix cometre un error de 50 m en mesurar l’altura d’un avió que en mesurar l’altura d’un edifici o l’altura d’un satèl·lit. Per això es defineix l’error relatiu com el quocient entre l’error absolut i la mesura exacta.

Errorabsoluto

Error absolut

Error relatiu = Valorreal

Igual que l’error absolut, l’error relatiu també és, gairebé sempre, desconegut. Per controlar-lo, caldria donar una cota d’aquest. No obstant això, en aquest curs no ho farem; ens conformarem a saber que, com més xifres significatives s’utilitzin per donar la mesura aproximada, més petit serà l’error relatiu comès.

PROBLEMES RESOLTS

1. Expressa amb un nombre raonable de xifres significatives aquestes quantitats:

a) Trucades a urgències d’una comunitat en un any: 5.117.341.

b) Assistents als carnavals d’una ciutat: 137.223.

c) Cèl·lules que hi ha al cos humà: 29.845.237.821.984.

a) Aquesta quantitat pot ser exacta, ja que totes les trucades fetes a urgències queden comptabilitzades en una base de dades. Tanmateix, per comunicar aquesta dada, sembla més raonable utilitzar un nombre amb menys xifres significatives. Per exemple, «una mica més de cinc milions de trucades». O bé, «cinc coma un milions de trucades».

b) Sembla impossible conèixer aquesta quantitat amb tanta precisió. No es pot afinar tant. Seria més raonable dir que hi han assistit «unes 140.000 persones» o donar un interval: «entre 130.000 i 140.000 persones».

c) Una o, a tot estirar, dues xifres significatives és el que podem conèixer amb precisió en aquest tipus de quantitats: 3 desenes de bilions de cèl·lules o 30 bilions de cèl·lules.

2. L’altura d’un edifici és de 92 m, la d’un avió 9,2 km i la d’un satèl·lit artificial 920 km. Què podem dir de l’error absolut i de l’error relatiu d’aquests mesuraments?

3. Compara els errors relatius comesos en aquests mesuraments:

a) 87 m b) 453 km

c) 5 km d) 4,53 · 1011 km

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

L’error absolut té a veure amb les xifres que no apareixen en l’enunciat; és a dir, les posteriors a l’última xifra utilitzada.

Altura de l’edifici: 92 m Error absolut < 0,5 m

Altura de l’avió: 9,2 km Error absolut < 0,05 km = 50 m

Altura del satèl·lit: 920 km Error absolut < 5 km = 5 000 m

Una cota de l’error absolut és 5 unitats de la primera xifra no utilitzada. L’error relatiu és el mateix en els tres casos, ja que en tots s’utilitzen les mateixes xifres significatives. (Hem suposat que, en l’últim cas, el 0 no és cap xifra significativa. Hauríem d’haver dit 92 desenes de quilòmetres.)

L’error relatiu més gran es produeix en el mesurament de 5 km, ja que només té una xifra significativa.

L’error relatiu més petit es produeix en els mesuraments 453 km i 4,53 . 1011 km, perquè s’hi utilitzen tres xifres significatives.

1. Expressa amb un nombre de xifres significatives que et sembli raonable les quantitats següents:

a) Nombre d’assistents a tots els concerts que hi va haver l’any 2017 a Catalunya: 2.893.040.

b) Nombre d’abelles que pertanyen a un cert rusc: 78.421.

c) Altura (en centímetres) que té la torre Burj Khalifa (Dubai): 82.816.

d) Nombre d’estrelles que componen la galàxia Andròmeda: 985.428.372.491.

e) Població mundial: 7.683.589.082 habitants.

f) PIB (producte interior brut) del 2018 a Catalunya: 242.313.149.957 €.

2. Què podem dir de l’error absolut i de l’error relatiu d’aquests mesuraments?

a) Volum d’una banyera, 326 litres.

b) Volum d’una piscina, 326 m3.

c) Volum d’un pantà, 326 hm3.

d) Volum d’un asteroide, 3,26 · 106 km3.

3. Compara l’error relatiu comès en fer les pesades següents:

a) Una balena, 37 tones.

b) Un gall dindi, 3 kg.

c) El senyor Anselm, 87,3 kg.

d) La Terra, 5,972 · 1021 tones.

2. CÀLCULS AMB PERCENTATGES

CÀLCUL MENTAL

Expressa en forma decimal els percentatges següents:

a) 10 % b) 7 % c) 1 %

d) 160 % e) 127 % f) 5 %

Quin tant per cent representa cada quantitat respecte del seu total?

a) 15 respecte de 30.

b) 5 respecte de 20.

c) 2 respecte de 10.

d) 30 respecte de 3.000.

e) 3 respecte de 4.

Càlcul ràpid de percentatges

Observa la igualtat següent:

a % de b = b % de a Explica per què passa això.

Aquesta igualtat ens ajuda a fer alguns càlculs mentals amb percentatges que inicialment ens poden semblar difícils.

Per exemple:

• El 12 % de 50 és igual que el 50 % de 12, que és 6.

• El 12 % de 75 és igual que el 75 % de 12, que és 9.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

Càlcul d’un tant per cent d’una quantitat

El 16 % de 5.000 és 100 16 · 5.000 = 0,16 · 5.000 = 800.

El tant per cent (16 %) l’hem presentat en forma decimal (0,16).

Per trobar un tant per cent d’una quantitat, s’expressa el tant per cent en forma decimal i es multiplica la quantitat per aquest valor.

Obtenció del tant per cent corresponent a una proporció

En una població de 5.000 persones, 800 són menors d’edat. Quin percentatge del total representen?

Percentatge de menors d’edat : 5.000 800 = 0,16, que correspon al 16 %.

Per trobar quin tant per cent representa una quantitat, a, respecte d’un total, C, es calcula C a i es multiplica per 100.

PROBLEMES RESOLTS

4. Calcula el 35 % de 3.780 € i el 160 % de 36.200 persones.

• 35 % ∼ 0,35 (35 centèsimes)

Per tant, 35 % de 3.780 € és 3.780 · 0,35 = 1.323 €.

• 160 % 1,60 (160 centèsimes)

Per tant, 160 % de 36.200 persones és 36.200 · 1,60 = 57.920 persones.

5. Quin tant per cent representa 3.634 m2 respecte de 15.800 m2?

. 15 800 3 634 · 100 = 23. Per tant, 3.634 m2 són el 23 % de 15.800 m2

4. Indica el tant per cent corresponent a cada un d’aquests decimals:

a) 0,1 b) 0,5 c) 0,9 d) 0,25 e) 1 f) 1,5 g) 1,1 h) 2

5. Calcula:

a) El 24 % de 300. b) El 112 % de 560.

c) El 3 % de 83.200. d) El 30 % de 83.200.

6. Calcula el tant per cent que representa:

a) 45 respecte de 225.

b) 6.160 respecte de 56.000.

c) 4.230 respecte de 9.000.

d) 1.922 respecte de 1.240.

e) 6.000 respecte de 4.000.

f) 975 respecte de 32.500.

Càlcul d’augments percentuals

Un rellotge de 50 € augmenta el seu preu un 16 %. Quant val ara?

Amb el que sabem fins aquest moment, podríem resoldre-ho així:

Augment: 50 · 0,16 = 8 €

AUGMENT D’UN 16 %

1,16

LA QUANTITAT, 1 MÉS 16 CENTÈSIMES

CÀLCUL MENTAL

Quin índex de variació correspon a aquests augments percentuals?

a) 25 % b) 5 % c) 40 %

d) 80 % e) 110 % f) 200 %

CÀLCUL MENTAL

Quin índex de variació correspon a aquestes disminucions percentuals?

a) 25 % b) 5 % c) 40 % d) 15 % e) 88 % f) 1 %

Preu final: 50 + 8 = 58 €

Però observem que, si el preu s’apuja un 16 %, el nou preu és el 116 % de l’anterior. Per això, per obtenir-lo, es pot multiplicar directament 50 per 1,16:

50 · 1,16 = 58 €

1,16 és 1 + 0,16 (la quantitat més 16 centèsimes)

El nombre pel qual cal multiplicar la quantitat inicial per obtenir la quantitat final s’anomena índex de variació

En augments percentuals, l’índex de variació és 1 més l’augment percentual expressat en forma decimal.

Per calcular el valor final, troba l’índex de variació i multiplica’l per la quantitat inicial:

valor final = valor inicial · índex de variació

Càlcul de disminucions percentuals

Una nevera valia 620 €. Es rebaixa un 40 %. Quant val ara?

Si traiem un 40 % del preu inicial, queda el 60 %. El seu preu final és aquest:

620 · 0,60 = 372 €

0,60 és la unitat menys 40 centèsimes: 1 – 0,40 = 0,60

En una disminució percentual, l’índex de variació és 1 menys la disminució percentual posada en forma decimal.

Per calcular el valor final, troba l’índex de variació i multiplica’l per la quantitat inicial:

valor final = valor inicial · índex de variació

PROBLEMA RESOLT

6. L’aigua recollida en un pantà, 690 hm3, ha disminuït un 23 %. Quanta aigua hi ha ara?

1 – 0,23 = 0,77 → 690 · 0,77 = 531,3

Ara hi ha 531,3 hm3 d’aigua al pantà.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

7. Unes accions que, a començaments d’any, valien 13,70 € s’han apujat un 35 %. Quant valen ara?

8. En una comarca hi havia 69.580 aturats. Han disminuït un 15 %. Quants n’hi ha ara?

CÀLCUL MENTAL

Digues la quantitat inicial si sabem que:

a) Augmenta un 50 %; Q. final = 1.500.

b) Augmenta un 50 %; Q. final = 3.000.

c) Augmenta un 25 %; Q. final = 125.

d) Augmenta un 25 %; Q. final = 250.

e) Disminueix un 50 %; Q. final = 400.

f) Disminueix un 40 %; Q. final = 600.

PROBLEMES RESOLTS

7. Demà se celebra el dia sense IVA en una botiga de productes tecnològics. Sabent que l’IVA és del 21 %, indica quant costarà cada un dels articles següents:

• Televisor: 992,20 €

• Tauleta: 199,65 €

• Patinet elèctric: 302,50 €

8. En uns grans magatzems, tots els articles s’han rebaixat un 35 %. Hem comprat un quadre per 195 € , una bicicleta per 78 € i un llibre per 14,30 € . Quant valia cada article abans de les rebaixes?

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

Càlcul de la quantitat inicial coneixent la variació percentual i la quantitat final

Un ordinador ha augmentat de preu un 35 % i ara costa 783 €. Quant valia abans d’apujar-ne el preu?

Observa l’esquema següent:

1,35 : 1,35

Preu inicial de l’ordinador = 783 : 1,35 = 580 €

Si coneixem la quantitat final que resulta després d’haver aplicat una variació percentual, la quantitat inicial s’obté dividint la quantitat final per l’índex de variació.

quantitat inicial = quantitat final : índex de variació

L’índex de variació és 1 + 0,21 = 1,21.

Per tant:

• Preu del televisor sense IVA: 992,20 : 1,21 = 820 €

• Preu de la tauleta sense IVA: 199,65 : 1,21 = 165 €

• Preu del patinet elèctric sense IVA: 302,50 : 1,21 = 250 €

En els tres casos, l’índex de variació és 1 – 0,35 = 0,65.

Per tant, els preus dels articles abans de les rebaixes eren aquests: Quadre → 195 : 0,65 = 300 €

Bicicleta → 78 : 0,65 = 120 €

Llibre → 14,30 : 0,65 = 22 €

9. El preu d’una batedora, després d’aplicar-hi un 21 % d’IVA, és de 72,60 €. Quin era el seu preu abans de carregar-hi aquests impostos?

10. En estirar una goma elàstica, la seva longitud augmenta un 30 % i, en aquesta posició, fa 104 cm. Quant fa sense estirar?

11. En unes rebaixes en les quals es fa el 30 % de descompte, en Robert ha comprat una càmera fotogràfica per 50,40 €. Quin era el seu preu inicial?

12. Un carter ha repartit el 36 % de les cartes que tenia. Encara li’n queden 1.184. Quantes en tenia abans de començar el repartiment?

Encadenament de variacions percentuals

Una quantitat augmenta un 25 % i, després, el resultat augmenta un 33 %. Quin ha estat el percentatge d’augment total?

Per encadenar augments i disminucions percentuals, es multipliquen els índexs de variació dels successius passos.

PROBLEMES RESOLTS

9. Unes accions que valien 1.000 € s’apugen el 60 %. Després, tornen a apujar­se el 25 %. Quin és el percentatge total de pujada?

10. Una guitarra de 800 € s’apuja el 50 %. Després, s’abaixa el 50 %. Queda igual el preu?

pujada total: 1.000 € ⎯⎯→ 2.000 €

Evidentment, la pujada total és del 100 %. Com s’obté directament? Vegem-ho: 1,60 · 1,25 = 2. És a dir, la quantitat inicial, 1, més 100 centèsimes. La pujada és del 100 %.

· 0,50 =

El preu no queda igual. En total, s’abaixa 200 €.

índex de variació total = índex 1a variació · índex 2a variació 1,50 · 0,50 = 0,75 = 1 – 0,25. Correspon a una baixada del 25 %.

11. El preu d’una rentadora de 520 € s’apuja un 10 %; després, s’apuja un altre 25 % i, finalment, s’abaixa un 30 %.

a) Quin és el seu preu final?

b) Quin és l’índex de variació total? A quin percentatge d’augment o de disminució correspon?

QUE HAS APRÈS

El preu final és 520 · 1,10 · 1,25 · 0,70 = 500,50 €. b) L’índex de variació total és 1,10 · 1,25 · 0,70 = 0,9625.

Com que 0,9625 és més petit que 1, hi ha hagut una disminució. De quant?

1 – 0,9625 = 0,0375 = , 100 375 . La disminució ha estat d’un 3,75 %.

13. Un comerciant augmenta el preu dels seus productes un 30 % i, després, els vol tornar a deixar al preu inicial i els rebaixa un 30 %. Ho aconseguirà? Vegem-ho.

a) Un ordinador que inicialment costava 1.000 €, quant costarà en cada pas del procés?

b) Quina és la variació percentual que experimenten els articles respecte del preu inicial?

14. Un capital de 42.000 € es diposita en un banc al 5 % anual. En quina quantitat s’haurà convertit en un any? I en dos anys? I en tres anys? » APLICA EL

Nomenclatura

Si el banc paga els interessos cada mes, es diu que el període de capitalització és mensual

3. INTERÈS COMPOST

Si dipositem una certa quantitat C de diners en un compte d’estalvis d’una entitat bancària, aquesta ens paga interessos. Si el tipus d’interès pactat és, per exemple, un 6 % anual, en complir-se un any del dipòsit, el banc ens dona el capital C i uns interessos de C · 0,06. És a dir, ens torna C · 1,06.

Si en comptes d’emportar-nos els diners els deixem tot un any més, la quantitat creix novament un 6 %. És a dir, es torna a multiplicar per 1,06:

I així successivament, si els deixem sense tocar durant n anys, llavors:

PROBLEMES RESOLTS

12. Un banc paga el 4,8 % anual per dipòsits a termini fix. Dipositem 160.000 €. Quants diners podrem retirar al cap de 4 anys?

13. En quina quantitat es transformen 160.000 € dipositats 4 anys al 4,8 % anual, si el període de capitalització és mensual?

El capital final CF al cap de n anys de dipositar un capital C al r % anual és: CF = C · r 1 100 n + bl

Si el banc estigués disposat a pagar els interessos al cap de cada mes, el tant per cent mensual seria la dotzena part de l’anual (r /12). En l’exemple anterior, el percentatge d’augment mensual seria del 6/12 = 0,5 %. Per tant, al cap de k mesos es transformaria així:

k mesos al 0,5 %

Cada any, el capital augmenta un 4,8 %; és a dir, es multiplica per 1,048. Al cap de 4 anys s’haurà multiplicat per 1,0484. Per tant, el capital final que podrem retirar és aquest:

CF = 160.000 · 1,0484 = 193.003,47 €

Un 4,8 % anual significa un 4,8/12 = 0,4 % mensual.

En 4 anys hi ha 4 · 12 = 48 mesos.

Per tant: CF = 160.000 · 1,00448 = 193.793,05 €

Si comparem aquest resultat amb el del problema anterior, veiem que els períodes de capitalització mensuals són, per a l’inversor, més avantatjosos que els anuals.

APLICA EL QUE HAS APRÈS

15. En quina quantitat es transforma un capital inicial de 20.000 € col·locat al 3,6 % anual durant 5 anys?

16. En quina quantitat es transformen 20.000 € col·locats durant 5 anys al 3,6 % anual, amb pagament d’interessos mensual?

PROBLEMES RESOLTS

14. Tres aixetes aporten 2 l /s, 5 l /s i 7 l /s, respectivament. S’obren totes tres simultàniament per omplir una bassa de 17.000 l. Quan la bassa és plena, quin volum d’aigua haurà rajat de cada aixeta?

Dona la solució aproximant fins als centenars de litres.

4. PROBLEMES CLÀSSICS

Problemes de repartiments proporcionals

En els repartiments proporcionals, les diferents fraccions en què es parteix el total han de sumar 1.

2 + 5 + 7 = 14 l/s aporten les tres aixetes alhora. La primera ha contribuït amb 14 2 del total; la segona, amb 14 5 , i la tercera, amb 14 7 . Per tant, el volum que ha rajat de cada aixeta és aquest:

15. Dos socis posseeixen el 27,82 % i el 39,91 % d’una companyia i el tercer, la resta. Si s’han obtingut uns beneficis de 327.842 €, quant li toca al tercer?

16. Tres companys de pis paguen les despeses d’aigua de manera proporcional a la utilització que fan de la dutxa. L’Anna es dutxa cada dia, en Pere cada 2 dies i la Berta cada 3. Quant ha de pagar cada un si el rebut de l’aigua puja a 23 €?

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

Podríem dir que els volums aportats per les tres aixetes són, aproximadament, 2.400 litres, 6.100 litres i 8.500 litres.

El tercer soci és propietari del 100 % – (27,82 % + 39,91 %) = 32,27 %.

Per tant, li corresponen:

32,27 % de 327.842 € = 105.794,61 ≈ 105.800 €

Aproximant fins als centenars d’euros, podem assegurar que l’error comès és inferior a 50 €

L’Anna, doncs, es dutxa 6 dies; en Pere es dutxa 3 dies, i la Berta, 2 dies. Com que 6 + 3 + 2 = 11, l’Anna gasta 11 6 del total d’aigua; en Pere, 11 3 , i la Berta, 11 2 .

• L’Anna ha de pagar 11 6 · 23 ≈ 12,55 €

• En Pere ha de pagar 11 3 · 23 ≈ 6,27 €.

• La Berta ha de pagar 11 2 · 23 ≈ 4,18 €.

17. Tres socis van aportar 2, 3 i 6 milions d’euros, respectivament, per crear una empresa. Si els guanys del primer any van ser de 75.900 €, quant correspondrà a cada un?

18. Com es podrien repartir 2.310 € entre tres germans de manera que al més gran li correspongui la meitat del que li correspon al més petit i a aquest, el triple del que correspon al mitjà?

19. Tres persones posseïen 1/3, 2/9 i 1/6, respectivament, d’una urbanització, juntament amb un quart soci que es retira i s’emporta la seva part. Quina part del que queda correspon a cada un?

20. Una bassa de 12.150 l s’omple amb tres aixetes els cabals de les quals són 14,6 l/s, 8,9 l/s i 4,2 l/s. Quant ha aportat cada una al total de la bassa? Dona la solució aproximant fins a les desenes de litre.

Problemes de barreges

En aquests problemes, la mitjana s’obté repartint la suma de les quantitats parcials, aportades pels components, entre el pes total de la barreja (suma dels pesos parcials).

PROBLEMES RESOLTS

17. Es molen conjuntament 50 kg de cafè de 8,80 €/kg i 30 kg d’un altre cafè d’inferior qualitat, de 6,40 €/kg. A quin preu surt el quilo de la barreja obtinguda?

18. Un orfebre barreja tres lingots de diferent puresa: un de 37,84 kg amb un 68,3 % de plata, un altre de 7,35 kg i 82,15 % de plata i un tercer de 16,89 kg de plata pura. Troba el percentatge de plata en l’aliatge i arrodoneix el resultat a les unitats.

Preu de la barreja = Pestotal

La llei d’un aliatge és el quocient entre el pes del metall preciós i el pes total de l’aliatge.

Aliatge final → Llei = , , 62 08 48 77 = 0,7856

S’han obtingut 62 kg d’aliatge amb un 79 % de plata.

19. Un litre de llet pesa 1.032 g i un d’aigua, 999 g. Barregem 12 litres de llet amb 3 litres d’aigua. Quant pesa el litre de barreja?

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

Pes de la barreja = . l 15 15 381 g ≈ 1 025 g/l

El litre de la barreja pesa 1 025 g.

21. Si barregem 12 kg de cafè de 12,40 €/kg amb 8 kg de cafè de 7,40 €/kg, quin serà el preu de la barreja?

22. Si barregem un lingot de 3.500 g amb un 80 % d’or amb un altre lingot de 1.500 g amb un 95 % d’or, quina proporció d’or hi haurà en el lingot resultant? I si hi afegim 2 kg d’or pur?

23. Un litre d’aigua pesa 999,2 g i un litre d’alcohol, 794,7 g. Quin és el pes d’un litre de la dissolució obtinguda en barrejar 3 l d’aigua amb 7 l d’alcohol?

24. Un joier vol fondre un lingot de 2 kg d’or la llei del qual és 0,85 amb un altre lingot d’1,5 kg d’or la llei del qual és 0,9. Quina és la llei del lingot resultant?

Problemes de moviments

Dos objectes que s’apropen movent-se en la mateixa direcció poden anar en sentits oposats (es trobaran) o en el mateix sentit (el més ràpid, si surt després, atraparà el més lent).

• Si van en sentits oposats, tindrem en compte que els mòbils s’aproximen a una velocitat relativa igual a la suma de les seves velocitats absolutes.

• Si van en el mateix sentit, tindrem en compte que els mòbils s’aproximen a una velocitat relativa igual a la diferència de les seves velocitats absolutes.

PROBLEMES RESOLTS

20. Un ciclista professional avança per una carretera a 38 km/h. Més endavant, a 22 km, un cicloturista avança en el mateix sentit a 14 km/h. Quant tarda el ciclista professional a atrapar el cicloturista?

21. La Via Làctia es dirigeix cap a Andròmeda a una velocitat de 112,2 km/s. La galàxia Andròmeda es dirigeix cap a la Via Làctia a una velocitat de 75,4 km/s. Les separa una distància de 2,5 milions d’anys llum. Si mantinguessin les seves velocitats, quant tardarien a col·lisionar?

S’aproximen a una velocitat de 38 – 14 = 24 km/h.

Calculem el temps fins a la trobada sabent que els separen 22 km: t = v d = 24 22 = 12 11 d’hora = 55 min

Velocitat d’acostament: v = 112,2 + 75,4 = 187,6 km/s

Distància que separa les dues galàxies: d = 2,5 · 106 anys llum = = 2,5 · 106 · (60 · 60 · 24 · 365,25 · 300.000) km = 2,36682 · 1019 km segons en 1 any km que recorre la llum en 1 s

Temps que tardarien a col·lisionar: t = v d = , , 187 6 2 36682 10 19 = 1,26163 · 1017 segons =

22. Dues aixetes aboquen 17 l/min i 14 l/min en una pica de 1.200 l el desguàs de la qual expulsa 13  l/min. Si s’obren alhora les dues aixetes i el desguàs, quant tarda a omplir­se la pica?

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

La col·lisió es produiria d’aquí a 4.000 milions d’anys.

Omplir un recipient mitjançant el cabal aportat per dues aixetes és similar a completar un trajecte amb els trams recorreguts per dos mòbils que es troben. Entre les dues aixetes aboquen 17 + 14 = 31 l/min.

El ritme amb què s’omple la pica és, doncs, 31 – 13 = 18 l/min.

La pica tarda a omplir-se 1.200 : 18 = 66,7 min ≈ 1 h 7 min.

25. Un cotxe va a 120 km/h i un camió, a 90 km/h.

a) Si el cotxe segueix el camió a 75 km de distància, quant tardarà a atrapar-lo?

b) Si estan a 504 km i es dirigeixen l’un cap a l’altre, quant tardaran a creuar-se?

26. La capacitat d’un pantà és de 980 hm3. Actualment es troba al 43 % del total, està rebent una aportació de 45 m3/s i se’n desembassen 3.200 l/s.

Si es mantenen aquests cabals, quant temps tardarà a omplir-se fins a un 95 % de la seva capacitat?

Més camions, més sorra 8 Dir.

Més hores, més sorra 8 Dir.

5. PROPORCIONALITAT COMPOSTA EN PROBLEMES ARITMÈTICS

En els problemes de proporcionalitat composta intervenen, almenys, tres magnituds que, per parelles, són directament o inversament proporcionals.

Exemple 1

Per construir una autopista, 20 camions treballen 8 h diàries i aconsegueixen portar fins a l’abocador 4.000 m3 de terra cada dia. Quanta terra mouran en un dia 12 camions que treballen en torns de 10 h diàries?

20 camions que treballen 8 hores transporten 4.000 m3 de sorra.

• 4.000 : 20 = 200 m3 de sorra transporta 1 camió en 8 h.

• 200 : 8 = 25 m3 de sorra transporta 1 camió en 1 h.

• Per tant, 12 camions en 10 h transportaran 25 . 12 . 10 = 3.000 m3 de sorra. Aquesta resolució, feta per sentit comú, pot simplificar-se aplicant la regla següent:

20 camions 12 camions 8 hores 10 hores 4.000 m3 x Si la proporcionalitat és directa, assenyalem el valor de la variable que és en la fila de la x

A partir d’aquest esquema, es troba la solució de la manera següent:

La x és igual al producte de la quantitat que l’acompanya (4.000) per una fracció el numerador de la qual és el producte de les quantitats subratllades en vermell i el denominador de la qual és el producte de les altres quantitats. En el nostre cas:

x = 4.000 · · 20 8 12 10 = 3.000 m3 de sorra

Més porcs, menys dies dura 8 Inv.

Més kg, més dies dura 8 Dir.

Exemple 2

Un ramat de 23 porcs es menja, en 50 dies, 2.990 kg de pinso. Quants dies duren 6.240 kg de pinso a 75 porcs?

23 porcs en 50 dies es mengen 2.990 kg de pinso.

• 2.990 : 23 = 130 kg menja 1 porc en 50 dies.

• 130 : 50 = 2,6 kg menja 1 porc en 1 dia.

• Per tant, 6.240 : 2,6 = 2.400 dies en què un porc menja aquesta quantitat. 2.400 : 75 = 32 dies que mengen aquesta quantitat els 75 porcs.

Resolució esquemàtica:

23 porcs 75 porcs 50 dies x 2.990 kg 6.240 kg

Porcs-dies. Proporcionalitat inversa. Assenyalem la quantitat que no és en la fila de la x.

x = 50 . 75 2 990

Quantitat-dies. Proporcionalitat directa. Assenyalem el valor que és en la fila de la x.

23 6 240 · = 32 dies

Més operaris, menys dies 8 Inv.

Més hores diàries, menys dies 8 Inv.

Exemple 3

Per collir les olives d’una finca, es necessiten 10 operaris que treballin 8 h al dia durant 40 dies. Quants dies tardaran 4 operaris que treballin 5 h diàries?

10 operaris que treballin 8 h/dia durant 40 dies

• 40 . 10 = 400 dies de feina d’un operari.

• 400 8 = 3.200 hores tardaria un operari.

• Per tant, si hi ha 4 operaris, 3.200 : 4 = 800 hores cada operari. Si treballen 5 h diàries, tardaran 800 : 5 = 160 dies.

Esquemàticament:

10 operaris 4 operaris 8 h/dia 5 h/dia 40 dies x

x = 40 . 45 10 8 · = 160 dies

Més grams, menys pujada de temperatura 8 Inv.

Més calories, més pujada de temperatura 8 Dir.

Exemple 4

Per escalfar 100 g d’oli, des de la temperatura ambient, 20 °C, fins a 70 °C, s’han necessitat 2.350 calories. Si subministrem 39.151 calories a 1 litre d’oli (980 g) a temperatura ambient, quina temperatura assolirà?

100 g per fer un salt tèrmic de 50° (70° – 20°) es necessiten 2.350 cal .

• 2.350 : 100 = 23,5 calories es necessiten perquè 1 g d’oli augmenti 50 °C la seva temperatura.

• 23,5 : 50 = 0,47 calories es necessiten perquè 1 g d’oli augmenti 1 °C la seva temperatura.

• Per tant, 39.151 : 980 = 39,95 calories se subministren a cada gram d’oli.

39,95 : 0,47 = 85 °C puja la temperatura de cada gram d’oli.

20 °C de partida + 85 °C de pujada = 105 °C és la temperatura final. Obtenim esquemàticament la pujada de la temperatura:

100 g

980 g 50 °C x 2.350 cal 39.151 cal

x = 50 . . 980 2 350

100 39 151 · = 85 °C d’augment de temperatura.

APLICA EL QUE HAS APRÈS

27. En l’Exemple 1, quantes hores diàries han de treballar 30 camions per moure 5.000 m3 de sorra?

28. En l’Exemple 2, quants quilos de pinso es necessiten per alimentar 50 porcs durant 80 dies?

29. En l’Exemple 3, quants operaris en torns de 10 h/dia es necessiten per collir les olives en 20 dies?

30. En l’Exemple 4, quantes calories es necessitaran per escalfar 1/2 l d’oli des de 15 °C fins a 75 °C?

31. Per escalfar una peça de ferro de 1.240 g des de 10 °C fins a 150 °C s’han necessitat 18.228 cal.

Quantes calories caldran per augmentar la temperatura d’una peça de ferro de 3.480 g des de 0 °C fins a 210 °C?

32. Per escalfar una peça de ferro de 1.240 g des de 10 °C fins a 150 °C s’han necessitat 18.228 cal.

Quina temperatura assolirà una peça de ferro de 5 kg que es troba a 20 °C, si se li subministren 20.000 cal?

»

» OBSERVA, RAONA I RESOL

1. VALORACIÓ DE L’ERROR

Prenem les mides d’una prestatgeria i obtenim 2,6 m.

Amb el GPS obtenim la distància recorreguda en una passejada amb bicicleta, 17,5 km.

a) Què podem dir de l’error absolut que cometem en cada cas?

b) Quina mesura és més precisa?

2. ÍNDEX DE VARIACIÓ

Una moto costava 2.320 € el mes d’agost. A l’octubre es va apujar fins a 3.248 € i al gener es va abaixar fins a 2.436 €.

a) Calcula l’índex de variació (Iv) i el percentatge de pujada i baixada en cada canvi de preu.

b) Troba l’índex de variació total.

a) La mesura de la prestatgeria és una aproximació fins als decímetres. Per tant, l’error absolut és més petit que 0,5 dm.

En el recorregut amb bicicleta, l’aproximació és fins als hectòmetres, per la qual cosa l’error absolut és més petit que 0,5 hm.

L’error absolut comès en el mesurament de la passejada és més gran que el corresponent al mesurament de la prestatgeria: 0,5 hm > 0,5 dm.

b) L’error relatiu és més petit en el mesurament de la passejada, 17,5 km, ja que la mesura es dona amb més xifres significatives; és a dir, és més precisa.

a) Primer canvi: 2.320 . Iv = 3.248 8 Iv = 2.320 3 248 = 1,4 1,4 = 1 + 0,4. Correspon a un augment del 40 %.

Segon canvi: 3.248 . Iv = 2.436 8 Iv = . . 3 248 2 436 = 0,75 0,75 = 1 – 0,25. Correspon a un descompte del 25 %.

b) Índex de variació total = 1,4 . 0,75 = 1,05

1,05 = 1 + 0,05. Correspon a un augment del 5 %.

Fes-ho tu Troba l’índex de variació d’una quantitat que disminueix un 40 % i augmenta un 120 %. És un augment o una disminució?

3. REPARTIMENTS INVERSAMENT PROPORCIONALS

Es reparteixen 5.000 entre els tres guanyadors d’un concurs de manera inversament proporcional al nombre d’errades que va cometre cada un. Si el primer va cometre 2 errades, el segon 3 i el tercer 5, quant correspon a cada un?

Fes-ho tu Reparteix 10.000 € de manera inversament proporcional a 8, 10 i 12.

4. BARREGES

Es fonen 600 g d’or amb una puresa del 90 % amb 900 g d’or d’una puresa inferior. Si la barreja té una puresa del 85 %, quina és la puresa de l’or d’una qualitat inferior?

Repartir de manera inversament proporcional a 2, 3 i 5 és el mateix que repartir de manera directament proporcional a 1/2, 1/3 i 1/5. 11 2 1 3530 31 + +=

Al primer li corresponen : 2 1 30 31 31 15 = del total; al segon, : 1 30 31 31 3 10 = , i al tercer, : 1 30 31 31 5 6 = del total. Calculem el que s’emporta cada un:

Primer: 31 15 . 5.000 = 2.419,35 € Segon: 31 10 . 5.000 = 1.612,90 €

Tercer: 31 6 . 5.000 = 967,74 €

LES TEVES COMPETÈNCIES

Practica

Aproximacions i errors

1. Escriu amb dues xifres significatives aquestes quantitats i valora l’error comès en cada aproximació:

a) Nombre de vots emesos en unes eleccions: 4.392.891.

b) Nombre de vots obtinguts per un partit polític: 193.246.

c) Sou anual d’un treballador: 42.121 €.

d) Preu d’un equip de música: 3.246 €.

e) Mida d’un microprocessador: 43,257 nanòmetres.

f) Superfície d’una targeta SIM: 4.620,68 mm2.

2. Compara l’error absolut comès en les aproximacions següents:

a) Altura d’un arbre: 3,58 m.

b) Distància de casa meva al gimnàs: 1,5 km.

c) Longitud d’una etapa ciclista: 98 km.

d) Preu d’un pis: 240.000 €.

e) Pressupost de la construcció d’un xalet: 790.000 €.

f) Audiència d’un programa de televisió: 2.400.000 persones.

En quina d’aquestes aproximacions es comet un error relatiu més petit?

Percentatges

3. Calcula mentalment:

a) 20 % de 340 b) 2,5 % de 400

c) 75 % de 4.000 d) 150 % de 200

e) 60 % de 250 f) 12 % de 12

4. Quin percentatge representa?

a) 78 de 300 b) 420 de 500

c) 25 de 5.000 d) 340 de 200

5. Troba, en cada cas, la quantitat inicial x, com en l’exemple:

• 120 % de x = 450 8 1,2x = 450 8 x = 450 : 1,2 = = 375

a) 28 % de x = 98 b) 15 % de x = 28,5

c) 2 % de x = 325 d) 150 % de x = 57

6. Calcula el valor de x, com es fa en l’exemple:

• x % de 320 = 48 8 48 : 320 = 0,15 8 x = 15 %

a) x % de 300 = 60 b) x % de 60 = 59,4

c) x % d’1.600 = 720 d) x % de 98 = 107,8

7. Per quin nombre cal multiplicar la quantitat inicial per obtenir la final en cada cas?

a) Augmenta un 12 %.

b) Disminueix un 37 %.

c) Augmenta un 150 %.

d) Disminueix un 2 %.

e) Augmenta un 10 % i, després, un 30 %.

f) Disminueix un 25 % i, després, augmenta un 42 %.

8. Calcula l’índex de variació i la quantitat final:

a) 325 augmenta el 28 %.

b) 87 disminueix el 80 %.

c) 425 augmenta el 120 %.

d) 125 disminueix el 2 %.

e) 45 augmenta el 40 % i el 30 %.

f) 350 disminueix el 20 % i el 12 %.

9. Quin percentatge d’augment o de disminució correspon a aquests índexs de variació?

a) 1,54 b) 0,18 c) 0,05

d) 2,2 e) 1,09 f) 3,5

10. Quin percentatge és?

a) El 40 % del 40 %. b) El 25 % del 20 %.

c) El 30 % del 120 %. d) El 150 % del 20 %.

11. Calcula, en cada cas, la quantitat que hi falta:

12. Relaciona fraccions, decimals (índexs de variació) i percentatges:

13/20

Resol problemes bàsics

Percentatges

0,38 1,15

!

!

13. L’any passat, un litre d’oli costava 3,95 € i aquest any, 4,90 €. Quin tant per cent s’ha apujat?

14. En una classe, han aprovat totes les assignatures 24 estudiants, que són el 75 % del total.

a) Quants estudiants hi ha a la classe?

b) A final de curs, el 87,5 % del total ho va aprovar tot. Quants estudiants van suspendre alguna assignatura?

15. En un partit d’handbol, un jugador A ha anotat 2/5 de 30 intents; un altre, B, 6 de 16, i un tercer, C, el 36 % de 25 intents. Quants gols ha marcat cada un?

Quin percentatge de gols respecte del total ha anotat cada un?

16. Un edifici, pressupostat inicialment en un milió i mig d’euros, va costar finalment dos milions cent mil euros. En quin tant per cent el cost real va superar el pressupostat?

17. El preu d’un videojoc es va apujar un 28 % i després es va abaixar un 30 %. Si el preu inicial era de 58 €, calcula l’índex de variació i el preu final.

Repartiments proporcionals

18. Entre l’Anna, la Berta i la Carla han cobrat 900 € per repartir publicitat. Si l’Anna va repartir 150 fullets, la Berta 250 i la Carla 200, quant toca a cada una?

19. Tres socis aporten 15.000 €, 12.000 € i 18.000 €, respectivament, per muntar un negoci. Si aquest any el seu negoci ha obtingut un benefici de 18.000 €, quant correspon a cada un?

20. Per omplir una piscina de 42.000 l, s’utilitzen tres mànegues els cabals de les quals són 240 l/min, 360 l/min i 480 l/min. Quina quantitat d’aigua ha aportat cada una?

Barreges

21. En un celler es barregen 7 hl de vi d’alta qualitat que va a 450 € l’hectolitre amb 11 h l de vi de qualitat inferior que va a 280 €/hl. Quin preu tindrà el litre del vi resultant? (Aproxima fins a les dècimes i digues l’ordre de l’error comès.)

22. Es barregen 8 litres d’oli de qualitat amb un altre oli més barat de 2,80 €/l per obtenir 20 litres a 4 € el litre. Quin és el preu de l’oli més car?

23. Hem barrejat 30 kg de cafè de 9 €/kg amb 50 kg d’un altre cafè de qualitat inferior. La barreja resultant es ven a 7,50 €/kg. Quin és el preu per quilogram del cafè de qualitat inferior?

Mòbils

24. L’Antoni i la Berta condueixen per una autovia en sentits oposats. A les 11.00 h, l’Antoni passa per la sortida 17 i va cap al nord a una velocitat de 90 km/h. A la mateixa hora, la Berta passa per la sortida 29 i va cap al sud a 120 km/h. Si entre les dues sortides hi ha 42 km de distància, a quina hora es creuaran?

25. Un autobús surt de A a 105 km/h. Mitja hora més tard un cotxe surt de B a 120 km/h. La distància entre A i B és de 300 km. Calcula la distància que recorrerà cada un fins que es creuin.

26. Un camió surt d’una derterminada població a una velocitat de 90 km/h. Cinc minuts més tard surt una moto, a 120 km/h, que el persegueix. Quant temps tarda la moto a atrapar el camió?

27. Tres aixetes, els cabals de les quals són 300 l/min, 120 l/min i 180 l/min, deixen anar aigua en un dipòsit de 2.100 litres. El dipòsit té un desguàs que dona sortida a 4 l/s. Calcula el temps que tardarà a omplir-se el dipòsit si obrim alhora les tres aixetes i el desguàs.

Proporcionalitat composta

28. Si 4 miners perforen 15 m en 9 dies, quants metres perforaran 6 miners en 15 dies?

29. En una cadena de muntatge, 17 operaris que treballen 8 hores al dia munten 850 aparells de ràdio a la setmana. Quantes hores diàries hauran de treballar la pròxima setmana per atendre una comanda de 1.000 aparells, tenint en compte que s’afegiran al grup tres treballadors?

30. Hem tardat 5 dies i 2 hores a fer una ruta amb bicicleta de 384 km, pedalant 6 h al dia.

a) Quant vam recórrer cada dia?

b) Si pedalem 5 h al dia, quants dies necessitarem per fer 600 km?

31. En un menjador d’empresa, 113 treballadors han consumit 840 iogurts en 20 dies feiners. En tindran prou amb una reserva de 200 iogurts per als pròxims cinc dies en què es preveu una afluència mitjana de 120 treballadors/dia?

Resol problemes

32. Pel febrer, el preu d’un bitllet d’avió es va abaixar un 24 %, però pel març es va apujar un 28 % i va passar a costar 327 €. Quin era el preu inicial? Quin percentatge de descompte o d’augment em van fer?

33. En repartir un premi entre tres persones d’una manera directament proporcional a 8, 10 i 12, respetivament, a la tercera persona li corresponen 1.344 €. Calcula el que correspon a la primera i a la segona.

34. S’han abocat 3 litres d’aigua, a 20 °C, en una olla que contenia 5 litres d’aigua a 60 °C. Quina temperatura té ara l’aigua de l’olla? Quina temperatura tindria si afegim, a més, 2 litres a 50 °C?

35. Tres germans es reparteixen una herència de 2.820 € de manera que, per cada cinc euros que rebi el més gran, el mitjà en rebrà quatre i el petit tres. Quina quantitat s’emporta cada un?

36. Afegim 0,5 l d’alcohol de 50° a 0,75 l d’alcohol de 80°. Quina concentració tindrà la barreja?

37. S’han abonat 15.000 € per la neteja d’un bosc feta per dues brigades de treballadors. La primera brigada està formada per 12 operaris que han treballat durant 7 dies. La segona brigada té 15 persones que han treballat durant 5 dies. Quant correspon a cada brigada? I a cada treballador? (Dona la solució aproximant a les unitats i digues de quin ordre és l’error absolut comès.)

38. El cost de fabricació d’un ordinador es reparteix entre el 60 % de la mà d’obra i el 40 % dels materials. En un any, el cost de la mà d’obra va augmentar un 8 % i el

dels materials, un 15 %. Expressa en forma de percentatge l’augment total del cost.

39. Per fer una prova radiològica amb contrast, s’injecten a un pacient 1,8 mg d’un medicament. Se sap que el cos elimina cada hora un 30 % del medicament que hi ha a la sang. Es diu al pacient que 4 h després de la injecció tindrà menys de 0,5 mg de medicament a la sang. És correcta aquesta afirmació? Justifica-ho.

40. Reparteix 1.200 € entre els tres primers classificats en una cursa de manera inversament proporcional a l’ordre d’arribada.

41. En repartir una quantitat entre tres persones de manera inversament proporcional a 2, 4 i 8, a la segona persona li corresponen 4.000  €. Calcula quina quantitat s’ha repartit i el que correspon a les altres dues.

42. L’Anna i l’Eva van amb bicicleta cap a la platja. L’Anna diu: «Si augmentem la nostra velocitat en un 20 %, el temps que tardarem disminuirà un 20 %». L’Eva pensa que l’Anna s’equivoca. Qui té raó?

43. El 56 % de la meva classe són noies. Si tres noies es canvien per tres nois d’una altra classe, llavors el 56 % de la classe serien nois. Quants estudiants hi ha a la meva classe?

44. L’any 2006 van saltar les alarmes sobre la disminució de la població de tonyines després de dècades de sobrepesca. Els experts van estimar que, des del 1950, s’havia reduït un 68 %. En quin percentatge hauria d’augmentar la població que hi havia en aquell moment per tornar als nivells de 1950?

45. PROBLEMA RESOLT

El preu d’un pot d’1,5 l de suc de pinya és 2,70 €. El fabricant fa dues ofertes:

A ­ Un 30 % més de suc sense canviar el preu.

B ­ Descompte d’un 25 % del preu per a la mateixa quantitat.

Quina és més avantatjosa per al client?

Comparem el preu d’1 l de suc en els dos casos:

A - La quantitat de suc és 1,5 . 1,3 = 1,95 l

El preu d’un litre és 2,70 : 1,95 = 1,38 €.

B - La quantitat de suc és 1,5 l i el preu d’un pot és

2,70 . 0,75 = 2,025 €.

El preu d’un litre és 2,025 : 1,5 = 1,35 €.

És més avantatjosa la segona oferta.

46. El preu d’una capsa de 40 pastilles de detergent per a rentaplats és de 4,75 €. Per augmentar les vendes, el fabricant es planteja de fer tres tipus d’oferta:

A - La capsa amb 50 pastilles al mateix preu.

B - Emporteu-vos-en 3 capses i pagueu-ne 2.

C - La segona unitat al 50 %.

Quin descompte ens fan en cada cas?

47. Si un comerciant augmenta el preu dels seus productes un 30 % i després els rebaixa un 30 %, ha fet un augment o un descompte? Calcula l’índex de variació i explica’n el significat.

48. Pel Black Friday, un comerç ofereix un 20 % de descompte a tots els seus productes i, a més, la segona unitat al 60 %. Quin descompte total fa?

49. En quina quantitat es convertirà un capital de 80.000 €, col·locat al 3,6 % anual, durant dos anys i mig amb període de capitalització mensual?

50 . Calcula en quina quantitat es transformaran 60.000 € col·locats a interès compost en els casos següents si el període de capitalització és mensual:

a) Al 3 % anual durant 2 anys.

b) Al 5,4 % anual durant 9 mesos.

c) Al 0,36 % mensual durant un any i mig.

d) Al 4,8 % anual durant 18 mesos.

51. Dipositem en un banc 28.000 € al 6 % anual i el banc ens descompta un 20 % dels beneficis com a retenció fiscal.

a) Quin serà el percentatge net de rendiment?

b) Si els interessos s’acumulen al capital de manera trimestral, quin serà el benefici al cap de 2 anys?

52. Un comerciant fixa el preu de venda dels seus articles augmentant un 30 % el preu de cost. Durant el període de rebaixes aplica un descompte del 15 %, però, als seus familiars i amics els vol cobrar a preu de cost, per la qual cosa els aplica un descompte del 20 % sobre el preu de venda. Aconsegueix, d’aquesta manera, vendre’ls-els sense guanyar-hi ni perdre-hi?

Resol: una mica més difícil

53. Si diposito en un banc 6.000 € al 4,2 % anual, quants anys tardaran a duplicar-se?

Utilitza el factor constant de la calculadora per resoldre'l per tempteig.

54. a) Si l’àrea d’un quadrat ha disminuït un 25 %, en quin percentatge ha disminuït el seu costat?

b) El volum d’un cub augmenta un 20 %. En quin percentatge augmentarà la seva aresta?

55. En Miquel vol aplicar un herbicida a la seva finca. Sap que ha d’afegir aigua al producte, de manera que tingui una concentració del 5 %, com a mínim, perquè sigui eficaç. Barreja 1/2 litre d’herbicida amb 5 litres d’aigua i comença a aplicar-lo.

Quan ha gastat 3 litres de la barreja, s’adona que no en tindrà prou per a tota la finca i hi afegeix 2 litres d’aigua. Tindrà la concentració adequada en tot moment?

Reflexiona

56. Vertader o fals?

a) Si el preu d’un article augmenta un 40 % i després un 60 %, el preu es duplica.

b) Si una quantitat augmenta un 200 %, es triplica.

c) Si a 35 hi afegiu el 25 %, obteniu 47,5.

d) El 150 % del 50 % és el 200 %.

e) Si compro un cotxe per 12.000 € i em fan un descompte d’un 15 %, pagaré 10.200 €.

f) Si la quota anual d’un club esportiu era de 360 € i ha passat a ser de 414 €, l’han apujat un 115 %.

g) En augmentar una quantitat primer en un 20 % i després disminuir-la en un 40 %, obtenim una quantitat més gran que si apliquem primer la disminució i després l’augment.

h) Si una quantitat es duplica, ha augmentat un 100 %.

57. Si la base d’un rectangle disminueix en un 10 % i la seva altura augmenta en un 10 %, què passa amb la seva àrea: augmenta, disminueix o es queda igual? Justifica la teva resposta.

58. Què és millor: invertir 5.000 € al 4,2 % durant 2 anys o invertir la mateixa quantitat al 0,4 % mensual durant 20 mesos?

59. Tenim 5.000 € en un compte. Al final de cada mes, ingressem un 5 % dels diners que hi ha en el compte en aquell moment. Al cap de quants mesos tindrem el doble de la quantitat inicial?

Utilitza el factor constant de la calculadora per resoldre'l per tempteig.

» MATEMÀTIQUES EN CONTEXT

EL SUPERMERCAT

L’Anna és una jove emprenedora que vol posar en marxa un negoci propi. Ha pensat d’obrir un supermercat al seu barri. Per fer-ho, disposa del suport d’uns socis que l’ajudaran amb la inversió.

1. Un impost: l’IVA

L’Anna i els seus socis han de comprar un local comercial per poder-hi instal·lar el supermercat. A les pàgines web d’immobiliàries hi han trobat dos anuncis que els han interessat.

• L’un és de la immobiliària CASES. Ofereixen un local de 590 m2 per 225.000 €. Fan un descompte del 10 % per pagament immediat i després hi afegeixen l’IVA: un 21%.

• L’altre és de la immobiliària PONTS. Es tracta d’un local de 550 m2, però és més cèntric. El preu, curiosament, és el mateix, 225.000 €, però primer hi afegeixen l’IVA del 21 % i, després, hi fan un descompte del 10 %, ja que fan oferta de nous locals comercials.

a) Busca el significat de la sigla IVA i esbrina si tots els productes comercials estan gravats amb aquest impost. Busca també factures o tiquets de compra que tingueu a casa i fixa’t que a tots els productes no se’ls ha aplicat el mateix tant per cent d’IVA.

b) Calcula el preu dels productes següents després d’aplicar-los l’IVA corresponent:

c) Calcula, mitjançant índexs de variació, quant haurien de pagar l’Anna i els seus socis per cada un dels dos locals que han vist anunciats.

d) Fes els mateixos càlculs utilitzant la calculadora.

Pel que fa al preu final, obtens els mateixos resultats que en l’apartat c ?

e) Pots explicar per què obtenim els mateixos resultats en les dues immobiliàries (tingues present els índexs de variació).

f) L’IVA és un impost que la immobiliària ha de pagar a Hisenda. Quina de les dues immobiliàries pagarà més diners, en concepte d’IVA, per la venda del local?

g) Què els resulta millor, a les immobiliàries, que els apliquin primer l’IVA i que després els facin el descompte, o a l’inrevés? Per què? I, per al comprador, què li resulta més avantatjós?

3. Composicions

Al supermercat de l’Anna ens fixem en l’etiqueta d’un paquet de galetes que porta la informació següent:

a) Quina és la concentració en tant per cent de lípids, hidrats de carboni, proteïnes i sal?

b) Quin tant per cent dels lípids són greixos saturats? Quin tant per cent dels hidrats de carboni són sucres?

c) Si l’única substància que no surt en l’etiqueta és l’aigua, quin tant per cent d’aigua hi ha en les galetes?

2. Descomptes

L’Anna ja ha obert el seu negoci. Durant la primera setmana, al supermercat hi podem trobar les ofertes següents en diferents productes:

• Emporti-se’n tres i pagui’n dos.

• Segona unitat a meitat de preu.

• Descompte del 30 % en cada unitat.

a) Quin percentatge de descompte s’aplica, en cada unitat de producte, en cada cas?

b) Així doncs, quina és l’oferta més avantatjosa per al client?

Pensa en alguna altra oferta i explica-la als teus companys. Calculeu junts quin és el percentatge de descompte per cada unitat de producte.

» TALLER DE MATEMÀTIQUES

» BUSCA REGULARITATS I GENERALITZA

Un joc de fitxes i un repte

objectiu: Posar les fitxes vermelles en el lloc de les verdes i les verdes en el lloc de les vermelles.

EL REPTE

normes:

• Les vermelles només es desplacen cap a la dreta i les verdes només cap a l’esquerra.

• Els moviments es fan avançant cap a la casella següent o saltant sobre una fitxa contrària.

Series capaç de calcular el nombre de moviments necessaris per fer l’intercanvi, en funció del nombre de fitxes de cada color?

Observa els resultats, busca regularitats –si pots, generalitza– i respon aquesta pregunta: Quants moviments cal fer per a n fitxes de cada color?

compta i completa la taula:

nre. de fitxes de cada color 1 2 3 4

nre. de moviments ? 8 ? ?

» LLEGEIX I COMPRÈN

Incògnita difícil d’aclarir

Saps què és una paradoxa? Ara en pots observar una.

Escriu en una targeta els dos missatges de la dreta, un en cada cara.

I ara pregunta’t:

Hi ha cap veritat o cap mentida en alguna de les cares de la targeta?

el que es diu en l’altra cara de la targeta és veritat

el que es diu en l’altra cara de la targeta és mentida

» REFLEXIONA I TREU CONCLUSIONS

En un supermercat comparen les vendes de cada trimestre amb les del trimestre anterior:

el comptable: El primer trimestre de l’any ha estat dolent: les vendes han baixat un 10 %. Però en el segon trimestre han tornat a pujar un 10 %. el gerent: Llavors, durant el semestre, ni hem baixat ni hem pujat.

el comptable: No; hem perdut un 1 %.

Quin dels dos té raó?

» ENTRENA’T RESOLENT ALTRES PROBLEMES

• Una brigada de 4 collidors d’olives treballa 4 hores al matí en un camp d’oliveres. A la tarda, se’ls afegeixen 4 collidors més i treballen tots plegats quatre hores més. Al final del dia, les olives que s’han collit corresponen a tres cinquenes parts del camp. Quant tardaran 4 d’aquests collidors a acabar la feina?

» POSA’T A PROVA

1. Indica l’índex de variació i la quantitat final en cada cas:

a) 300 disminueix un 12 % i després un 35 %.

b) 1.520 disminueix un 90 % i després augmenta un 150 %.

2. Indica el percentatge d’augment o de disminució que correspon a cada un dels següents índexs de variació: a) 1,07 b) 0,78 c) 2,2

3. Després d’una pujada d’un 3,5 %, un pis costa 258.600 €.

a) Quin era el preu abans de la pujada?

b) Si expresses el resultat amb dues xifres significatives, què pots dir de l’error absolut comès?

4. El preu d’un telèfon mòbil s’ha apujat un 20 % i després s’ha abaixat un 25 %. Si l’he comprat per 135  €, quin era el seu preu inicial?

5. Dues pales carregadores treballen 10 hores diàries i fan un desboscament en 9 dies. Quant tardarien a fer aquesta feina tres pales a un ritme de 12 hores al dia?

• La mitjana de les edats de la Rosa, la Carol i la Pilar és de 12 anys. Quina és l’edat de la Sara si, en incorporar-se al grup, la mitjana puja a 15 anys?

• El quadrat A conté un 16 % del quadrat B. Quin percentatge del quadrat D conté el quadrat C, si el C és igual a l’A i el D és igual al B?

6. Barregem 20 kg de farina d’1,25 /kg amb 35 kg d’una altra farina de 0,75 €/kg. Quin serà el preu de la barreja?

7. Dos trens surten a les 8.00 h del matí de dues ciutats, A i B, que disten 780 km entre si. Si el que surt de A cap a B circula a una velocitat de 110 km/h i el que surt de B cap a A va a 90 km/h, a quina hora es trobaran?

8. Dipositem en un banc 4.000 € al 3,5 % d’interès anual durant 3 anys. En quants diners es convertiran si els períodes de capitalització són trimestrals?

9. S’ha repartit un premi entre tres concursants de manera proporcional als punts aconseguits: 12, 13 i 15, respectivament. El concursant que ha obtingut menys punts s’ha emportat 420 €

a) Quants diners s’han repartit?

b) Quina quantitat s’ha emportat cada un?

10. Dues aixetes deixen anar 15 l/min i 20 l/min d’aigua, respectivament, en un dipòsit de 1.800 litres que, a més, té un desguàs per on s’escola l’aigua a 10 l/min. Si s’obren alhora les dues aixetes i el desguàs, quant temps tardarà a omplir-se el dipòsit?