Mary Somerville 1r. Mostra. Matemàtiques

MATEMÀ -TIQUES

1

J. COLERA JIMÉNEZ I. GAZTELU ALBERO R. COLERA CAÑAS

Programa

Mary Somerville

ESO

UNITAT

1

ELS NOMBRES NATURALS DIMENSIÓ RESOLUCIÓ DE PROBLEMES • DIMENSIÓ RAONAMENT I PROVA DIMENSIÓ CONNEXIONS • DIMENSIÓ COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ

Totes les civilitzacions han fet servir un sistema de numeració per representar quantitats. Des de la prehistòria fins als nostres dies, egipcis, babilonis, grecs, romans, xinesos, indis, àrabs, maies… van utilitzar sistemes de numeració molt diversos, que van passar d’uns pobles als altres i van evolucionar al llarg del temps.

Inicialment, els nombres s’utilitzaven per comptar quantitats naturals (ramats, fruits, monedes…), i els sistemes de numeració eren molt rudimentaris: es feien osques en un bastó, es dibuixaven dits i mans… Tanmateix, el progrés de les civilitzacions va portar a la introducció de símbols i normes que els van fer més complexos i pràctics.

Diferents maneres d’expressar els nombres Observa tres maneres diferents de representar el mateix nombre:

1. De quin nombre es tracta? Com representaries, en cada cas, el nombre següent?

2. Quin o quins es basen en el sistema de numeració decimal?

3. De quina altra manera representaries aquest nombre?

Els sistemes de numeració són útils per escriure nombres i, així, recordar-los i transmetre’ls. Però han de servir, també, per fer operacions. Pensa en el sistema de numeració romà (que ja coneixes) i imagina com ho havien de fer per sumar. Per exemple: MCCCXLVI + DCCCXXXIV És complicat, oi? Doncs imagina com havien de multiplicar.

Els antics matemàtics hindús, al segle vi, van fer un gran pas endavant amb la invenció del sistema de numeració decimal posicional.

8

Des de l’Índia es va propagar cap a la Mediterrània a través del poble àrab, i va arribar a Europa als segles ix i x.

Els avantatges d’aquest sistema van permetre el desenvolupament de noves estratègies de càlcul, precursores de les que utilitzem actualment.

Altres maneres de multiplicar Observa com en el passat la població hindú multiplicava 346 × 57.

6

5

3 0 7 3 2 0 4 2 1 5 2 8 2 2 1

4

1

12

9 6 1 2 1 9 7 2 2

• Es parteix d’una taula, com en l’exemple, col·locant a les vores les xifres dels factors.

• Es completen les caselles amb els productes creuats dels dígits col·locats a les vores. Per exemple, en la casella acolorida: 4 × 7 = 28

• Se sumen els resultats en vertical. En cada columna només hi cap un dígit.

4. Fes, seguint aquest mètode, les multiplicacions següents: a) 208 × 34

b) 453 × 26

Amb els nombres i les operacions, calculem i obtenim dades noves útils en situacions quotidianes. Practica-ho en la proposta següent.

Operacions combinades

5. Per participar en les escoles esportives municipals, cal pagar 20 € de matrícula i 15 € al mes.

Què creus que es calcula amb cada una d’aquestes expressions?

(20 + 15) × 3

20 + 15 × 3

15 × 3

a) El pagament del segon trimestre. b) El pagament del primer trimestre. c) El pagament del primer mes per a tres germanes o germans.

9

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

1. SISTEMES DE NUMERACIÓ Els nombres naturals (1, 2, 3…) van sorgir de la necessitat de comptar, i la seva representació va evolucionar adaptant-se a cada moment cultural i històric.

En la prehistòria ja utilitzaven algunes tècniques per comptar: comparaven amb els dits, feien osques en un bastó, enfilaven granadures en una corda, etc.

A mesura que la societat evolucionava, es va fer necessari utilitzar quantitats grans i representar-les de manera pràctica. Així, van aparèixer en diferents cultures els sistemes de numeració.

Aquest home primitiu ha escrit el nombre 47. Sabries dir el valor de cada símbol?

Els símbols utilitzats per representar els comptatges, juntament amb les seves normes d’ús, formen un sistema de numeració.

El sistema de numeració egipci Els antics egipcis utilitzaven els símbols següents:

Aquí apareix escrit el nombre 1.333.331.

1

10

100

1.000

10.000

100.000

1.000.000

pal

nansa

corda

flor

dit

granota

home

La norma per escriure un nombre era senzilla: s’anaven afegint (sumant) els símbols necessaris fins a completar la quantitat desitjada.

Els sistemes de numeració, com l’egipci, en què es van afegint símbols i se sumen els valors, s’anomenen sistemes additius.

El sistema de numeració maia 0 1 5

6

2 7

3 8

4 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

El poble maia, a l’actual Guatemala i el sud de Mèxic, abans de l’arribada de Cristòfor Colom al continent americà, utilitzava només tres símbols per escriure els nombres: (0) (0)

(1) (1)

(5) (5)

En els nombres més petits que 20, com pots veure a l’esquerra, el sistema era additiu. Fins aquí, el primer nivell. Per escriure nombres més grans, se superposaven altres nivells, amb els mateixos símbols, però multiplicant-ne el valor per 20 en pujar cada esglaó.

Segon nivell (× 20) Primer nivell (× 1) 20 20

21 21

27 27

36 36

40 40

100 100

137 137

Com veus, un símbol té diferent valor segons el nivell en què es trobi, la qual cosa és característica dels sistemes de numeració posicionals. És a dir, el sistema maia era en part additiu i en part posicional.

10

Recorda

El sistema de numeració decimal

Un nombre es pot descompondre segons els seus ordres d’unitats i segons el valor de posició de cada xifra: 27.473

El sistema de numeració que utilitzem actualment és el decimal. Consta de deu símbols o xifres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) i es regeix per aquestes normes:

2 DM → 20.000

7 UM → 7.000

4 C → 400

7 D → 70

3 U → + 3 27.473

• El valor d’una xifra depèn del lloc que ocupi (sistema de tipus posicional).

• Es defineixen ordres d’unitats: unitats, desenes, centenes…

• Deu unitats d’un ordre fan una unitat de l’ordre immediat superior.

Exemple: UMM

CM

DM

UM

C

D

U

4

7

8

4

3

0

4

↓

↓

4.000.000 U

↓

4.000 U

4U

La xifra 4 té diferent valor segons l’ordre d’unitats que ocupa.

» FIXA IDEES F1. Seguint el sistema de numeració decimal:

A JUDA

a) Quantes desenes fan 3 milers?

CM DM UM

b) Quantes centenes fan una desena de miler? c) Quantes centenes hi ha en 5 unitats de milió?

×

C 10

1

D ×

0

U

10

0

1 UM = 100 D

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 1. Escriu d’acord amb el sistema de numeració egipci els nombres 19, 65, 3.412 i 2.523.

2. En un sistema additiu s’utilitzen aquests símbols:

1

5

10

5. Completa en el teu quadern: a) 500 D = … C = … UM b) 3.000 C = … UM = … DM c) 6 UM = … C = … D

100

• Escriu, seguint aquest sistema, els nombres 7, 12, 84 i 126.

3. Tradueix al sistema decimal aquests nombres del sistema maia.

d) 8 CM = … DM = … D

6. Vertader o fals? a) Si canvies de lloc les xifres, canvia el valor del nombre. b) S i afegeixes un zero a la dreta d’un nombre, el seu valor es multiplica per 10. c) S i afegeixes un zero a l’esquerra d’un nombre, el valor es divideix entre 10.

4. Afegeix dos elements per la dreta i uns altres dos per l’esquerra a aquesta sèrie de nombres del sistema maia: Segon nivell → Primer nivell →

d) Mig miler equival a 5 desenes. e) Mil milers fan un milió.

7. Un nombre té cinc xifres que sumen 5. Si intercanvies les unitats amb les unitats de miler, augmenta 999 unitats.

Quin nombre és?

11

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

2. ELS NOMBRES GRANS Moltes quantitats i dades superen les nou xifres: el nombre d’habitants de la Terra (7.000.000.000), els segons que té un segle (3.153.600.000), els quilòmetres d’un any llum (9.460.800.000.000)…

milers

1

milions

bilions

…

milers de milions

El sistema de numeració decimal permet representar quantitats tan grans com desitgem. Aprèn els ordres d’unitats relatius als nombres de més de nou xifres:

c

1

3

8

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

d

u

Tingues en compte Als milers de milions també se’ls anomena miliards.

També es designen amb el prefix giga: 1.000.000.000 bytes = 1 gigabyte

L’univers es va originar fa tretze mil vuit-cents milions d’anys.

El cervell d’una persona jove té uns cent mil milions de neurones.

La Terra té un volum aproximat d’un bilió de quilòmetres cúbics.

• Un milió ↔ Un 1 seguit de 6 zeros.

• Un bilió ↔ Un milió de milions ↔ Un 1 seguit de 12 zeros.

• Un trilió ↔ Un milió de bilions ↔ Un 1 seguit de 18 zeros.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 8. Llegeix les primeres línies d’aquesta pàgina i escriu com es llegeixen:

a) El nombre d’habitants de la Terra. b) El nombre de segons d’un segle.

10. Copia en el teu quadern i completa: a) Mil milers fan un… b) Mil milions fan un… c) Un milió de milers fan un…

c) El nombre de quilòmetres que té un any llum.

d) Un milió de milions és un…

9. Escriu amb xifres:

11. El cos humà té entre deu i setanta milions de milions de

a) Vint-i-vuit milions tres-cents cinquanta mil. b) Cent quaranta-tres milions. c) Dos mil set-cents milions. d) Setze gigues. e) Un bilió i mig. f ) Quinze bilions tres-cents cinquanta mil milions.

12

cèl·lules. Expressa aquestes quantitats en bilions.

12. Com llegiries el nombre expressat per un 1 seguit de 16 zeros?

13. Les científiques i els científics calculen que els mars i oceans de la Terra contenen tres quadrilions de quilograms d’aigua. Què creus que és un quadrilió?

3. APROXIMACIÓ DE NOMBRES NATURALS Quan un nombre té moltes xifres, és difícil de recordar i incòmode per fer càlculs. Per això, l’acostumem a substituir per un altre, més manejable, de valor aproximat, acabat en zeros. Per exemple: L’any 2018, a Catalunya es van consumir 35.326.000 kg de tomàquets.

35.326.000 són, aproximadament, trenta-cinc milions de kg de tomàquets.

La manera més freqüent i pràctica de fer aproximacions és l’arrodoniment.

Per arrodonir un nombre a un determinat ordre d’unitats: • Se substitueixen per zeros totes les xifres a la dreta d’aquest ordre.

• Si la primera xifra substituïda és igual a 5 o més gran, se suma una unitat a

la xifra anterior.

» FIXA IDEES F2. Completa per aproximar el nombre 384.523 a les centenes de miler, a les desenes de miler i als milers. centenes de miler

3 83 348 854 425 532 23 3 +1 +1 +1

8 ≥85≥85≥ 5

... ...0...0 00 00 00 00 0

desenes de miler

milers

3 83 348 854 425 532 23 3 = = =

4 <45<45< 5

3 83 348 854 425 532 23 3 +1 +1 +1

... ...0... 0 00 00 00 0

A JUDA

Aproximació del nombre 52.722: – A les desenes de miler → 50.000 – Als milers → 53.000

5 ≥55≥55≥ 5

... ... ...0 0 00 00 0

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 14. Arrodoneix als milers aquests nombres:

17. Aproxima als milions per arrodoniment:

a) 24.963 b) 7.280 c) 40.274 d) 99.834

a) 24.356.000 b) 36.905.000 c) 274.825.048

15. Aproxima a les centenes i a les desenes de miler:

18. Fixa’t en les diverses aproximacions al preu d’un pis en

a) 530.298 b) 828.502 c) 359.481 d) 29.935.236

16. Llegeix aquesta notícia i aproxima el nombre de turistes als milions i la despesa als milers de milions.

018 L’any 2 ar it van vis ya n Catalu 00 19.196.0 ue sq turiste star van ga ions mil 20.477 s. d’euro

venda:

EN VENDA 138 290 € 138.290 €

138.000 € 138.300 € 140.000 €

a) Quina és més propera al preu real? b) Quina et sembla més adequada per a una informació col·loquial, si no es recorda la quantitat exacta?

19. Un ajuntament ha pressupostat 149.637 € per rehabilitar una àrea esportiva. Quina xifra donaries per comunicar aquesta dada en una conversa informal?

13

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

4. OPERACIONS BÀSIQUES AMB NOMBRES NATURALS Tot i que ja saps fer operacions amb nombres naturals, és important que en repassem alguns conceptes i algunes propietats.

AFORAMENT: 590 localitats Localitats ocupades Platea: 308 1r pis: 258

La suma i les seves propietats Recorda que sumar és unir, ajuntar, afegir.

Per exemple, si volem saber el nombre de persones que hi ha al teatre que veus al marge, haurem de fer una suma:

Propietat commutativa

34 + 16 = 16 + 34

50 50

308 + 258 = 566 La suma compleix les propietats següents: • Propietat commutativa: El resultat de la suma no varia encara que canviem

l’ordre dels sumands.

a+b=b+a

• Propietat associativa: El resultat de la suma és independent de la forma

com s’agrupen els sumands.

Propietat associativa

(a + b) + c = a + (b + c)

(18 + 3) + 17 = 18 + (3 + 17)

21 + 17 18 + 20

38 38

La resta i les seves relacions amb la suma Recorda que restar és treure, suprimir, trobar el que falta o el que sobra; és a dir, calcular la diferència.

Per exemple, per saber quantes localitats buides hi ha al teatre, hem de fer una resta: 590 – 566 = 24

Recorda

Observa, a més, que 590 = 566 + 24 i que 566 = 590 – 24.

590 ← Minuend (M )

– 566 ← Subtrahend (S )

M =S +D Relacions entre la suma i la resta: M – S = D → * S=M –D

24 ← Diferència (D )

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 20. Calcula:

22. Transforma:

a) 254 + 78 + 136

b) 340 + 255 – 429

a) Aquesta suma en una resta: 48 + 12 = 60

c) 1.526 – 831 + 63

d) 1.350 – 1.107 – 58

b) Aquesta resta en una suma: 22 – 2 – 6 = 14

21. Estima la resposta i comprova-la després:

23. Si l’Albert tingués 15 anys més, encara seria 18 anys

La Carme compra una bossa de 167 €, una gavardina de 235 € i un mocador de 32 €. Quant s’ha gastat?

més jove que el seu oncle Tomàs, que té 51 anys. Quants anys té l’Albert?

a) S’ha gastat al voltant de 350 €.

24. Si comprés només una rentadora, em sobrarien 246 €,

b) S’ha gastat, més o menys, 450 €. c) S’ha gastat al voltant de 550 €.

14

però si comprés també un televisor, em faltarien 204 €.

Pots dir el preu d’algun d’aquests articles?

La multiplicació i les seves propietats Recorda que multiplicar és una manera abreujada de fer una suma repetida de sumands iguals.

Per exemple, si una entrada per al teatre de la pàgina anterior costa 15 €, la recaptació de 7 entrades serà aquesta:

CÀLCUL MENTAL

16 × 55

15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 15 · 7 = 105 €

8 × 2 × 5 × 11

La multiplicació compleix les propietats següents:

88 × 10

• Propietat commutativa: El producte no varia en canviar l’ordre dels factors.

880 La propietat associativa ens permet reagrupar els termes, i la commutativa, canviar-los d’ordre.

a·b=b·a

• Propietat associativa: El resultat d’una multiplicació és independent de la

forma com s’agrupin els factors.

(a · b) · c = a · (b · c) • Propietat distributiva: El producte d’un nombre per una suma (o resta) és

igual a la suma (o resta) dels productes del nombre per cada sumand. a · (b + c) = a · b + a · c

a · (b – c) = a · b – a · c

L’exemple següent t’ajudarà a comprendre el significat de la propietat distributiva: Una colla d’amics i amigues van comprar dijous 7 entrades per al teatre i divendres, 3 entrades més. Quin va ser el cost de les entrades?

15 · 7 + 15 · 3 = 15 · (7 + 3)

105 + 45 15 · 10

150 150

Podem calcular el cost de les entrades de dues maneres: despesa de 7 entrades + despesa de 3 entrades ↔ despesa de (7 + 3) entrades 15 · 7 + 15 · 3 = 15 · 10

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 25. Completa en el teu quadern: a)

5 × 2

+ 9 0 1 2 6 0

b)

28. Fixa’t en els exemples i multiplica mentalment per 9 i

9 8 × 2 8 7 4 + 6 9 9 3 4

26.

Recorda que per multiplicar per 10, per 100, per 1.000… s’afegeixen un, dos, tres… zeros. Calcula: a) 19 · 10

b) 12 · 100

c) 15 · 1.000

d) 140 · 10

e) 230 · 100

f ) 460 · 1.000

27. Expressa amb una igualtat aritmètica: Multiplicar un nombre per vuit és el mateix que multiplicarlo primer per deu i després restar el doble d’aquest nombre.

Quina propietat s’aplica en aquesta igualtat?

per 11:

• 23 · 9 = 23 · 10 – 23 = 230 – 23 = 207 • 23 · 11 = 23 · 10 + 23 = 230 + 23 = 253 a) 12 · 9

b) 25 · 9

c) 33 · 9

d) 12 · 11

e) 25 · 11

f ) 33 · 11

29. Quantes voltes fa en un quart d’hora una roda que gira

a 1.500 revolucions per minut? I en una hora? I en una hora i mitja?

30. Una agricultora té un hort amb 200 presseguers. Calcu-

la que amb cada arbre omplirà set caixes de cinc quilos de préssecs.

Quin benefici obtindrà si ven tota la producció a 2 € el quilo?

15

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS La divisió Recorda dues de les situacions que resol la divisió i que apareixen freqüentment en els problemes aritmètics: • S’han de repartir 375 bolígrafs en 5 capses iguals. Quants bolígrafs hi haurà en cada capsa?

3 7 5 2 5 0

5 75

⎯→ 375 : 5 = 75 bolígrafs en cada capsa

Dividir és repartir un tot en parts iguals per esbrinar quantes en toquen a cada un.

Divisió exacta 35 0

5 7

• Quantes capses de 75 bolígrafs omplirem amb 375 bolígrafs?

5 7

75 5

⎯→ 375 : 75 = 5 capses

Dividir és partir un tot en porcions iguals d’una determinada mida per esbrinar quantes porcions s’obtenen.

Divisió entera 38 3

3 7 5 0 0

35 = 5 · 7

38 = 5 · 7 + 3

Una divisió pot ser exacta o entera depenent del valor del residu.

• Divisió exacta (el residu és zero).

D d ⎯→ El dividend és igual al divisor multiplicat pel quocient.

0 q

D=d·q

Tingues en compte 32 0

8 4

·7

• Divisió entera (el residu és diferent de zero).

D r

⎯→ El dividend és igual al divisor multipliat pel quocient més el residu.

D=d·q+r

·7 224 56 00 4

El quocient no varia.

d q

Si en una divisió es multipliquen el dividend i el divisor pel mateix nombre, el quocient no varia.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 31. Esbrina el quocient i el residu de cada divisió: a) 96 : 13

b) 713 : 31

c) 5.309 : 7

d) 7.029 : 26

e) 49.896 : 162

f ) 80.391 : 629

16

32. Un granger recull 1.274 ous, els envasa en safates de 30 i empaqueta les safates en capses de 10.

Quants ous queden sense completar una safata?

Quantes safates queden sense completar una capsa?

5. EXPRESSIONS AMB OPERACIONS COMBINADES Ordre en què han de fer-se les operacions Quan resolguis expressions amb operacions combinades, has de tenir en compte les normes del llenguatge matemàtic. Aquestes normes asseguren que cada expressió tingui un significat i una solució únics.

Observa l’ordre d’actuació en les expressions següents. Els resultats són diferents malgrat que estan formades pels mateixos nombres i operacions.

48 : 3 + 5 – 2 · 3

48 : (3 + 5) – 2 · 3

48 : 3 + (5 – 2) · 3

16 + 5 – 6

48 : 8 – 6

16 + 3 · 3

21 – 6

6–6

16 + 9

15

0

25

En les expressions amb operacions combinades, hem de resoldre: • Primer, els parèntesis.

• Després, les multiplicacions i les divisions.

• Finalment, les sumes i les restes.

Aprèn a fer servir la calculadora Introdueix en la calculadora aquesta seqüència: 2 + 3 * 4 = Tot i que et sembli estrany, segons la calculadora que facis servir pots obtenir dues solucions diferents: 20 o 14. {∫“≠} → La calculadora fa les operacions en l’ordre en què s’introdueixen.

(2 + 3) · 4 = 5 · 4 = 20 {∫‘¢} → La calculadora fa, primer, el producte. És a dir, respecta la prioritat de les operacions.

2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14 Per tant, no totes les calculadores tenen la mateixa lògica interna. Esbrina de quin dels dos tipus és la teva i tingues-ho en compte quan la utilitzis.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 33. Fixa’t en els exemples i fes les operacions: • 12 – 2 · 4 = 12 – 8 = 4

35. Resol, indicant els passos seguits, i comprova la solució que es dona a la dreta. Si no coincideix, revisa l’exercici. a) 6 · 4 – 2 · (12 – 7)

⎯→ 14

b) 3 · 8 – 8 : 4 – 4 · 5

⎯→ 2

c) 21 : (3 + 4) + 6

⎯→ 9

34. Resol mentalment i compara els resultats:

d) 26 – 5 · (2 + 3) + 6

⎯→ 7

a) 2 + 3 · 4 b) 6 – 2 · 3 c) 18 – 10 : 2

e) (14 + 12) : 2 – 4 · 3

⎯→ 1

f ) 2 · (6 + 4) – 3 · (5 – 2) ⎯→ 11

• (17 – 5) : 3 = 12 : 3 = 4 a) 8 + 5 · 2 d) (15 – 3) : 4

b) 15 – 10 : 5 e) (8 + 2) · 3 (2 + 3) · 4 (6 – 2) · 3 (18 – 10) : 2

c) 4 · 6 – 13 f ) 18 : (10 – 4)

g) 30 – 6 · (13 – 4 · 2)

⎯→ 0

17

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

6. POTÈNCIES Una potència és una manera abreujada d’escriure un producte de factors iguals: a · a · a · a · a = a5 En les potències, el factor repetit es diu base, i el nombre de vegades que es repeteix, exponent.

a b Nombres i geometria

exponent

→ Es llegeix: a elevat a b.

base

Exemples

el quadrat 5

El quadrat de 5 és: 52 = 5 · 5 = 25 (25 quadradets)

5

• Expressió en forma de potència: a) 3 · 3 · 3 · 3 = 34 → Tres elevat a quatre o tres elevat a la quarta potència. b) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 → Dos elevat a cinc o dos elevat a la cinquena potència.

• Càlcul:

5

el cub

a) 73 = 7 · 7 · 7 = 343

El cub de 5 és: 53 = 5 · 5 · 5 = 125 (125 cubets)

5

b) 104 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000

» FIXA IDEES F3. Completa per calcular, amb llapis i pa-

5

Com representaries geomètricament els nombres 32 i 33?

per, el valor de 75.

75 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = (7 · 7) · (7 · 7) · 7 = = 49 · 49 · 7 = · 7 = …

Potències amb la calculadora

F4. Quin és el valor de x en cada cas?

• Amb calculadora científica: 85 ⎯→ 8 ‰ 5 = {∫∫∫«“|\°} • Amb calculadora senzilla: 85 ⎯→ 8 * * = = = =

b) 5x = 3.125

a) x3 = 125

x=…

A JUDA

F3. Completa en el teu quadern: 52 = 5 · 5 = 25 53 = (5 · 5) · 5 = 25 · 5 = …

54 = (5 · 5) · (5 · 5) = …

F4. 7x = 2.401

x=…

F5. Calcula i completa cada casella amb la quantitat que correspongui:

Quant val x ?

Amb la calculadora senzilla:

7**=== {∫∫∫∫“¢≠‘}

2 · (112 – 92) – 62 = 2 · (121 – ) – – 62 = 2 · – = – =…

{∫∫∫«“|\°}

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 36. Expressa amb una potència: a) 6 · 6

38. Copia la taula en el teu quadern i completa-la:

b) 7 · 7 · 7

c) 4 · 4 · 4 · 4

d) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3

37. Llegeix aquestes potències i expressa-les en forma de producte: a) 34

18

b) 27

c) 93

d) 152

e) 106

f ) 204

potència

base

exponent

26

…

5 … m

…

3 …

5

… a4 …

GeoGebra. Concepte de potència.

7. POTÈNCIES DE BASE 10. APLICACIONS Reflexiona

Ja saps que per multiplicar per 10 només has d’afegir un zero. Així:

Què és més còmode d’escriure? I d’inter­ pretar?

1.000.000.000.000 ↔ 1012

102 = 10 · 10 = 100

103 = 10 · 10 · 10 = 1.000

105 = 100.000

109 = 1.000.000.000 9 zeros

Una potència de base 10 és igual a la unitat seguida de tants zeros com indica l’exponent.

Expressió abreujada de nombres grans En un gram d’oxigen hi ha 37.638.383.060.000.000.000.000 àtoms.

Els nombres acabats en zeros poden expressar-se com a producte d’un nombre per una potència de base 10.

Per exemple: 400.000 = 4 · 100.000 = 4 · 105 Aquest recurs facilita l’expressió i la comprensió de nombres molt grans.

Exemple Un any llum: 9.460.800.000.000 km. Observa les transformacions que fem perquè aquesta quantitat sigui més fàcil de llegir, d’escriure i de recordar: • Arrodonim i deixem dues xifres significatives → 9.500.000.000.000 • Descomponem en forma de producte → 95 · 100.000.000.000 • Expressem el segon factor com una potència de base 10 → 95 · 1011

37.638.383.060.000.000.000.000

Un any llum equival a 95 · 1011 km.

21 xifres

Descomposició polinòmica d’un nombre

En un gram

La descomposició d’un nombre segons el valor posicional de les xifres i el que has après sobre les potències de base 10 permeten la transformació de l’exemple següent. És la descomposició polinòmica del nombre.

d’oxigen hi ha 38 · 1021 àtoms.

800.000 + 30.000 + 6.000 + 200 + 70 + 9 836.279 =

8 · 105 + 3 · 104 + 6 · 103 + 2 · 102 + 7 · 10 + 9

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 39. Escriu com a potències de base 10: a) Un miler. c) Mil milions.

42. Escriu la descomposició polinòmica dels nombres següents:

b) Un milió. d) Un bilió.

a) 74.238 c) 4.528.926

40. Expressa amb totes les xifres: a) 4 · 105

b) 15 · 109

41. Escriu el valor de

x en cada cas:

c) 86 · 1014

a) 2.936.428 ≈ 29 · 10 x b) 3.601.294.835 ≈ 36 · 10 x c) 19.570.000.000.000 ≈ 20 · 10 x

b) 680.290 d) 46.350.000

43. Escriu en forma abreujada les dades següents: a) El nombre de molècules elementals en un litre d’aigua és 334.326.000.000.000.000.000.000. b) L’estrella Alfa Centauri està a uns quaranta bilions de quilòmetres del Sol.

19

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

8. OPERACIONS AMB POTÈNCIES Ara aprendràs algunes propietats que faciliten el càlcul amb potències. Per això, és convenient que les entenguis, les memoritzis i n’assagis l’aplicació en diferents situacions.

Potència d’un producte (Producte de potències amb el mateix exponent) No et confonguis (2 + 3)4 = 54 = 625 24 + 34 = 16 + 81 = 97 (2 + 3)4 ≠ 24 + 34 La potència d’una suma (o una resta) NO ÉS IGUAL a la suma de les potències dels sumands. (a + b)n ≠ an + bn (a – b)n ≠ an – bn

Compara les dues expressions següents i observa que en ambdues s’obté el mateix resultat.

• (2 · 3)3 = 63 = 6 · 6 · 6 = 216 • 23

·

33

= (2 · 2 · 2) · (3 · 3 · 3) = 8 · 27 = 216

→ (2 · 3)3 = 23 · 33

O també: • 23 · 33 = (2 · 2 · 2) · (3 · 3 · 3) = (2 · 3) · (2 · 3) · (2 · 3) = (2 · 3)3 La potència d’un producte és igual al producte de les potències dels factors.

⎯→ (a · b)n = an · bn

Potència d’un quocient (Quocient de potències amb el mateix exponent) Observa que aquestes dues expressions també tenen el mateix valor.

• (6 : 3)3 = 23 = 2 · 2 · 2 = 8 • 63

:

33

= (6 · 6 · 6) : (3 · 3 · 3) = 216 : 27 = 8

→ (6 : 3)3 = 63 : 33

O també: • 63 : 33 = (6 · 6 · 6) : (3 · 3 · 3) = (6 : 3) · (6 : 3) · (6 : 3) = (6 : 3)3 La potència d’un quocient és igual al quocient de les potències del dividend i del divisor.

⎯→ (a : b)n = an : bn

» FIXA IDEES F6. Fixa’t en els exemples resolts a la dreta i, seguint els mateixos procediments, copia en el teu quadern i completa: a) 25 · 55 = (… · …)5 = …5 = … b) 184 : 94 = (… : …)4 = …4 = … c) 63 · 53 = (… · …)3 = …3 = (… · 10)3 = …3 · 103 = … · 1.000 = … d) (85 · 65) : 245 = (… · …)5 : 245 = …5 : 245 = (… : 24)5 = …5 = … e) (363 : 93) · 253 = (… : …)3 · 253 = …3 · 253 = (… · 25)3 = …3 = … f ) (542 : 32) : 22 = (… : …)2 : …2 = …2 : …2 = (… : …)2 = …2 = …

20

EXEMPLES

• 56 · 26 = (5 · 2)6 = 106 = 1.000.000 • 123 : 43 = (12 : 4)3 = 33 = 27 • 54 · 44 = (5 · 4)4 = 204 = (2 · 10)4 = = 24 · 104 = 16 · 10.000 = 160.000

• (66 · 56) : 156 = (6 · 5)6 : 156 =

= 306 : 156 = (30 : 15)6 = 26 = 64

Producte de potències amb la mateixa base En multiplicar dues potències del mateix nombre, s’obté una altra potència d’aquest nombre.

54 · 53 = (5 · 5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) = 57 ⎯→ 54 · 53 = 54 + 3 = 57

4 vegades

3 vegades

Observa que l’exponent del producte final és la suma dels exponents dels factors.

Per multiplicar dues potències amb la mateixa base, es deixa la base i se sumen els exponents.

⎯→ am · an = am + n

Quocient de potències amb la mateixa base Recorda les relacions entre la multiplicació i la divisió i fixa-t’hi: 54 · 53 = 57 ↔

57 : 53 = 54 ⎯→ 57 : 53 = 57 – 3 = 54 57 : 54 = 53 ⎯→ 57 : 54 = 57 – 4 = 53

Observa que l’exponent de cada quocient és la diferència entre l’exponent del dividend i l’exponent del divisor.

Per dividir dues potències de la mateixa base, es deixa la base i es resten els exponents.

⎯→ am : an = am – n

Potència d’una altra potència En elevar una potència a una altra potència, s’obté una nova potència de la mateixa base.

Tingues en compte La potència zero d’un nombre (diferent de zero) és igual a u. a0

= 1 (a ≠ 0)

(54)3 = 54 · 54 · 54 = 54 + 4 + 4 = 54 · 3 = 512 Observa que l’exponent final és el producte dels exponents de l’expressió inicial.

Per elevar una potència a una altra potència, es deixa la mateixa base i es multipliquen els exponents.

⎯→ (an)m = an · m

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 44. Reflexiona i calcula de la forma més senzilla:

46. Expressa amb una única potència:

a) 53 · 23 d) 203 · 53 g) 214 : 74

a) 26 : 22 c) 107 : 106

b) 42 · 52 e) 165 : 85 h) 352 : 52

c) 252 · 42 f ) 183 : 63 i) 1003 : 503

45. Calcula i observa que els resultats no coincideixen: a) (6 + 4)2 b) (5 + 2)3 62 + 42 53 + 23

b) 38 : 35 d) a10 : a6

47. Redueix a una única potència: a) (52)3 c) (103)3 e) (m2)6

b) (25)2 d) (a5)3 f ) (x4)4

GeoGebra. Producte de potències amb la mateixa base. Quocient de potències amb la mateixa base.

Potència d’una altra potència. Operacions amb potències.

21

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

9. ARREL QUADRADA Exemples

Calcular l’arrel quadrada és fer l’operació inversa d’elevar al quadrat. b2 = a ) a = b

• 42 = 16 → 16 = 4 L’arrel quadrada de 16 és 4.

— √a = b

• 152 = 225 → 225 = 15 L’arrel quadrada de 225 és 15.

arrel ⎯→ Es llegeix: L’arrel quadrada de a és igual a b.

radicand

Arrels exactes i arrels enteres No ho oblidis

• Els quadrats dels nombres naturals s’anomenen quadrats perfectes: L’arrel quadrada d’un quadrat perfecte és una arrel exacta.

És important memoritzar els primers quadrats perfectes: 12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 64

102 = 100 112 = 121 122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225 162 = 256 172 = …

92 = 81

182 = …

Per exemple, són arrels exactes les següents: 9=3

121 = 11

400 = 20

• Però l’arrel de la majoria de nombres no coincideix amb una quantitat exacta d’unitats senceres.

Busquem, per exemple, l’arrel de 40: 6 2 = 36 < 40 L’arrel quadrada de 40 és un 4 → 6 < 40 < 7 → 2 nombre comprès entre 6 i 7.

7 = 49 > 40 El nombre natural que més s’aproxima, per sota, a l’arrel, l’anomenem arrel entera.

40 ≈ 6 → L’arrel entera de 40 és 6.

Càlcul de l’arrel quadrada per tempteig Amb el que ja saps, pots calcular arrels per tempteig. Aquesta tècnica t’ajudarà a aclarir idees i a consolidar el concepte.

Exemple

622

3.900 ↓

3.969

3.844 62

632

— √3.900 ↓

63

Calculem, per tempteig, 3.900 . _ 60 2 = 3.600 < 3.900b h h h b més petit que que63 6322..

Comoveus, veus,3.900 3.900ésésmés més gran gran que 622 i m és petit ` Com 2 62 = 3.844 < 3.900b 63 2 = 3.969 > 3.900b a L’arrel quadrada de 3.900 és un nombre comprès entre 62 i 63.

3900 ≈ 62 → L’arrel entera de 3.900 és 62.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 48. Observa l’exemple, i copia i completa: • 25 = 5 " L’arrel de 25 és igual a 5.

22

a) 49 = 7 " … c) 81 = … " …

b) 64 = … " … d) 121 = … " …

Algorisme per al càlcul de l’arrel quadrada Per calcular amb llapis i paper una arrel quadrada, segueix els passos que s’indiquen a continuació.

Exemple Calculem 105.674 : 1 Separem de dos en dos, des de la dreta, les xifres del radicand i calculem l’arrel del paquet de l’esquerra ` 10…j.

√10 . 56 . 74 3

3 · 3 → –9

6

← A A = 10 = 3 i queda 1 de residu. ← B B: Escrivim el doble d’A.

1 2 Baixem el paquet següent (56) i busquem la xifra c , de manera que 6 c × c sigui tan proper a 156 com sigui possible, sense sobrepassar-lo. √10 . 56 . 74 3

√10 . 56 . 74 3

c × c –9 ↓ ↓ 6

–9 62 × 2 = 124 c = 2

1 56

156

2 × 2 = 124 → –124 6 032 3 Pugem el valor c = 2 al camp de la solució, baixem el següent paquet (74) i repetim el procés. √10 . 56 . 74 32

–9

√10 . 56 . 74 32

62 × 2 = 124

156

–9

d × d 64

156 645 × 5 = 3.225

–124

CALCULADORA

• En algunes calculadores, la successió de tecles per calcular 105.674 és la següent:

105674 $ → {«“∞…≠|∞………} • En d’altres, és la següent:

$ 105674 = → {«“∞…≠|∞………}

–124 d = 5

32 74

62 × 2 = 124

3.274

5 × 5 = 3.225 → –3.225 64

0049 4 Pugem el valor d = 5 al camp de la solució.

Solució: 105.674 = 325 Prova: 3252 + 49 = 105.674

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 49. Copia en el teu quadern i completa les següents arrels resoltes mitjançant l’algorisme:

a) √ 1 1 5 8 4 – 6 ×

– 2 5 6 0 0

b) √ 2 7 3 8 5 – 102 × 2 2 3 8

–

23

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

» EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES Sistemes de numeració

9.

1.

Tradueix al sistema decimal aquests nombres de l’antic Egipte: B

A

a) Costa gairebé tres-cents mil euros.

D

C

2.

Escriu segons el sistema additiu egipci cada un d’aquests nombres: a) 48

3.

b) 235 b) 425

c) 2.600

4.

Escriu el nombre cinquanta-set, com a mínim, amb tres sistemes de numeració diferents.

5.

Quantes xifres necessites per escriure un bilió? I un trilió? Quants zeros són en cada cas?

6.

Vertader o fals?

c) Costa dos-cents noranta mil euros.

10.

La taula conté algunes dades sobre el consum a Catalunya de productes de l’hort durant el 2018: pes (tones)

valor (milers d’€)

hortalisses fresques

476.717

889.501

patates

217.870

197.577

total

694.587

1.087.078

Repeteix la taula aproximant les dades a les centenes de milers de tones i a les centenes de milers d’euros.

Utilitats dels nombres

a) Un milió equival a mil centenes. b) Cent milions són mil centenes de miler. c) Mil vegades un milió fan un giga. d) Cent gigues fan un bilió. e) Un bilió té un milió de milions.

11.

Aquests són els números de diverses habitacions en un hotel de platja: 401; 235; 724; 231. a) Una de les habitacions és al final del passadís. Quina és? b) Una altra és a l’última planta. Quin número té?

Aproximacions

c) Quines habitacions són al mateix pis?

7.

Operacions

Copia en el teu quadern i completa la taula: aproximacions a les centenes de miler

als milions

2.830.554

…

…

19.270.000

…

…

399.675.000

…

…

nombre

8.

24

b) Costa dos-cents mil euros i escaig.

c) 2.130

Expressa en xifres romanes:

a) 87

Llegeixes, en un anunci, que un habitatge es ven per 293.528 €. Uns quants dies després ho comentes amb una amiga, però no recordes exactament el preu.

Quina de les expressions següents triaries per transmetre la informació? Explica per què.

Suma i resta

12.

Calcula mentalment:

a) 5 + 7 – 3 – 4

b) 18 – 4 – 5 – 6

c) 10 – 6 + 3 – 7

d) 8 + 5 – 4 – 3 – 5

e) 12 + 13 + 8 – 23

f ) 40 – 18 – 12 – 6

Segons va publicar un diari, la població de la capital d’Egipte, el juny de 2018, era de 19.487.245 habitants. Si et preguntessin per aquesta xifra i no recordessis la quantitat exacta, què respondries?

13.

• Quina creus que podria ser la xifra per a l’any 2100?

Calcula:

a) 47 – (35 – 28)

b) 52 – (36 – 27)

c) 128 – (86 – 45 – 12)

d) 237 – (152 + 48 – 14)

e) 348 – (148 – 86 + 29)

f ) 235 – (340 – 152 – 84)

14.

Calcula i comprova el resultat amb les solucions del final de l’activitat: a) 5 – [7 – (2 + 3)] c) 2 + [6 + (13 – 7)] e) 20 – [15 – (11 – 9)]

b) 3 + [8 – (4 + 3)] d) 7 – [12 – (2 + 5)] f ) 15 – [17 – (8 + 4)]

21.

Si en una divisió multipliques el dividend i el divisor pel mateix nombre, el quocient no varia. Però què li passa al residu?

Operacions combinades

Solucions: a) 3; b) 4; c) 14; d) 2; e) 7; f ) 10

22.

Multiplicació i divisió

a) 2 · (4 + 6)

b) 2 · 4 + 6

15.

c) 8 : (7 – 5)

d) 5 · 7 – 5

e) (5 + 6) · 4

f ) 5 + 6 : 3

g) (19 – 7) : 2

h) 18 – 7 · 2

Multiplica:

a) 16 · 10 d) 17 · 100 g) 22 · 1.000

16.

b) 128 · 10 e) 85 · 100 h) 134 · 1.000

Calcula el quocient i el residu en cada cas:

a) 2.647 : 8 d) 7.482 : 174

17.

b) 1.345 : 29 e) 7.971 : 2.657

c) 9.045 : 45 f ) 27.178 : 254

Copia i completa en el teu quadern:

a) 8 6 6

18.

c) 60 · 10 f ) 120 · 100 i) 140 · 1.000

b) 8 2 9

7 6

5 3

14 5

Calcula mentalment:

a) 3 · (10 : 5) d) (30 : 5) · 3

b) (4 · 6) : 8 e) 10 : (40 : 8)

c) 20 : (2 · 5) f ) (40 : 8) : 5

23.

Fes els càlculs següents:

Calcula:

a) 8 + 7 – 3 · 4

b) 8 : 4 + 7 – 3

c) 15 – 2 · 3 – 5

d) 10 – 12 : 6 – 4

e) 22 – 6 · 3 + 5

f ) 8 + 10 : 5 – 10

g) 36 – 8 · 4 – 1

h) 11 – 2 – 9 : 3

i) 4 · 7 – 13 – 2 · 6

j) 15 : 3 + 7 + 4 : 2

k) 5 · 4 + 12 – 6 · 4

l) 12 : 4 – 1 – 6 : 3

m) 5 · 6 – 4 · 7 + 2 · 5

n) 9 : 3 + 8 : 4 – 7 : 7

o) 8 · 8 – 4 · 6 – 5 · 8

p) 18 : 2 – 12 : 3 – 6 : 2

24.

Escriu una expressió amb els nombres 9, 3 i 1 el resultat de la qual sigui el pes que marca cada balança: A

B

19.

Calcula mentalment, tenint en compte que dividir entre 5 és igual que dividir entre 10 i, després, multiplicar per 2: • 90

a) 60 : 5 d) 140 : 5 g) 210 : 5

20.

: 5

18

: 10

· 2

9

b) 80 : 5 e) 170 : 5 h) 340 : 5

c) 120 : 5 f ) 200 : 5 i) 420 : 5

Resol mentalment:

a) En un bidó d’aigua hi caben 5 litres. Quants bidons s’omplen amb 100 litres? b) Un quilo d’ametlles costa 12 €. Quant costa una bossa d’ametlles de 5 quilos? c) Una caixa de refrescos conté 24 ampolles. Quantes ampolles hi ha en 10 caixes? d) Canviar les dues rodes d’una bicicleta ha costat 240 euros. Quant ha costat cada roda?

25.

Calcula i comprova el resultat amb les solucions:

a) 30 – 4 · (5 + 2) b) 5 + 3 · (8 – 6) c) 5 · (11 – 3) + 7 d) 3 · (2 + 5) – 13 e) 2 · (7 + 5) – 3 · (9 – 4) f ) 4 · (7 – 5) + 3 · (9 – 7) g) 3 · 5 – 3 · (10 – 4 · 2) h) 2 · 3 + 5 · (13 – 4 · 3) Solucions: a) 2; b) 11; c) 47; d) 8; e) 9; f) 14; g) 9; h) 11

25

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

Interpreta, descriu, expressa’t

31.

26.

Relaciona cada enunciat amb dues de les expressions de sota:

I. En un autobús urbà hi anaven 50 passatgers. En la primera parada en baixen 16 i en pugen 4.

a) 2x = 256

b) 10x = 10.000

c) 7x = 2.401

d) 13x = 2.197

32.

33.

III. L’Ernest va comprar una samarreta de 16 € i una gorra de 4 € i va pagar amb un bitllet de 50 €.

34.

IV. A l’hotel hi ha 50 clients. Avui n’entren 16 de nous i en surten 4.

35.

b) 50 – 16 + 4 c) 50 – (16 + 4)

d) 50 – (16 – 4)

e) 50 + (16 – 4) f ) 50 + 16 – 4

b) 24 · 2 + 12 · 4 + 13 · 2

c) (24 + 13) · 2 + 12 · 4

d) (24 + 13 + 2) · (2 + 4)

28.

Llegeix l’enunciat del problema i fixa’t en la resolució. Després, explica el significat de cada operació i el resultat que s’obté en cada una.

En una granja hi ha cavalls, vaques i gallines. En total hem comptat 714 potes, 168 banyes i 137 becs. Quants cavalls hi ha a la granja?

Resolució

b) 510

c) 453

a2

a3

a4

a5

…

3

…

…

…

…

…

…

16

…

…

…

…

…

…

1.000

…

…

…

…

…

…

16

…

…

…

…

…

…

1

Potències de base 10.

Expressió abreujada de nombres grans 36.

Escriu amb totes les xifres:

a) 102

37.

b) 106

c) 1010

b) Cent milions.

c) Cent bilions.

d) Cent mil bilions.

38.

Transforma com en l’exemple:

5. 714 – 610 = 104

6. 104 : 4 = 26

39.

a)

Copia en el teu quadern i completa: 3

= 8.000

c) 4 = 10.000

b) 2 = 4.900 d) 4 = 160.000

b) 1.700.000

c) 4.000.000.000

Arrodoneix a la centena de miler i escriu de manera abreujada amb el suport d’una potència de base 10 el nombre d’habitants de cada ciutat:

Calcula mentalment:

30.

e) 1016

a) Cent.

a) 5.000

d) 204

d) 1012

Escriu amb potències de base 10:

4. 336 + 274 = 610

c) 35

e) 993

a1

3. 137 · 2 = 274

b) 63

d) 674

a0

• 180.000 = 18 · 104

a) 24

e) 164

Copia en el teu quadern i completa:

2. 84 · 4 = 336

29.

d) 153

Obtén amb la calculadora:

1. 168 : 2 = 84

Càlcul de potències

26

c) 110

Escriu tots els quadrats perfectes compresos entre 1.000 i 1.500.

Quina o quines de les expressions aritmètiques responen a la solució d’aquest problema?

a) 24 · 12 + 4 · 13 + 2

b) 95

a) 412

27.

En un supermercat s’han venut aquest matí 24 kg de pomes a 2 €/kg, 12 melons a 4 € la peça i 13 pinyes a 2 € cada una. Quant s’ha ingressat a la caixa per la venda d’aquestes fruites?

Calcula amb llapis i paper:

a) 55

II. La classe de música té 50 estudiants matriculats, però avui n’han faltat 4 i 16 han anat a un concert.

a) 50 – 16 – 4

Calcula l’exponent en cada cas:

e) 300

casablanca: 5.899.000 parís: 10.858.000 san francisco: 5.929.000 pequín: 21.009.000

40.

Ordena, de la més petita a la més gran, aquestes quantitats: 8 · 109

17 · 107

98 · 106

1010

16 · 108

9 · 109

41.

Escriu de manera abreujada, amb ajuda d’una potència de base 10:

48.

a) Vuit mil cinc-cents milions.

a) (a7 : a) · a3

b) (x9 : x4) : x3

c) (m2)5 : (m3)2

d) (a5)3 : (a4)3

e) (x3 · x7) : (x · x6)

f ) (m5 : m4) · (m4 : m3)

b) Dos bilions, tres-cents mil milions. c) Quatre trilions, nou-cents mil bilions.

Operacions amb potències 42.

Calcula:

a) 72 – 62 + 52 – 42

b) (5 – 4 + 2 – 1)3

c) (10 – 6)2 – (10 – 8)3

d) 34 – (5 – 3)2 – (23)2

e) (13 –

3)2

43.

Calcula de la manera més senzilla:

· (7 +

3)2

+ (15 –

5)2

· 10

a) 82 · 52

b) 26 · 56

c) 253 · 43

d) 65 : 35

e) 153 : 53

f ) 204 : 54

44.

Reflexiona sobre aquests enunciats i tradueix-los a igualtats o a desigualtats matemàtiques: a) Potència d’un producte. ↔ Producte de les potències dels factors. b) Potència d’una suma. ↔ Suma de les potències dels sumands. c) Producte de potències amb la mateixa base. ↔ La mateixa base elevada a la suma d’exponents. d) Potència d’una altra potència. ↔ La mateixa base elevada al producte dels exponents. e) Potència d’exponent zero. ↔ U.

45.

Redueix aquestes expressions:

a) x8 : x3 d) x5 · x5

b) m4 · m2 e) (m3)2

c) (k2)4 f ) k6 : k4

46.

Copia en el teu quadern i substitueix cada asterisc per l’exponent que correspongui: a) 64

63

· = 6* · m* = m9 e) a9 : a8 = a* g) (42)3 = 4* i) (m4)* = m12 c) m3

47.

b) a5

a3

· = a* : 24 = 2* f ) m8 : m* = m6 h) (a2)2 = a* j) (x*)2 = x12 d) 26

Calcula:

a) 184 : (24 · 34) c) (154 : 34) : 52 e) (62 · 65) : (63 · 64)

b) (35 · 33) : 36 d) (45)2 : (47 : 43) f ) (407 : 57) : (25 · 45)

49.

Redueix a una sola potència:

EXERCICI

RESOLT

Redueix a una sola potència i, després, calcula: 210 : 44 210 : 44 = 210 : (22)4 = 210 : 28 = 22 = 4

50.

Copia, substitueix cada asterisc pel nombre adequat i, finalment, calcula: a) 212 : 45 = 212 : (2*)5 = 212 : 2* = 2* = … b) 36 : 92 = 36 : (3*)2 = 36 : 3* = 3* = … c) 253 : 54 = (5*)3 : 54 = 5* : 54 = 5* = … d) 164 : 45 = (4*)4 : 45 = 4* : 45 = 4* = …

51.

Copia, substitueix cada asterisc pel nombre adequat i, finalment, calcula: a) (55 · 53) : 253 = (55 · 53) : (5*)3 = … b) (23 · 42) : 8 = [23 · (2*)2] : 2* = [23 · 2*] : 2* = … c) (34 · 92) : 272 = [34 · (3*)2] : (3*)2 = [34 · 3*] : 3* = …

Expressa i calcula 52.

Un restaurant ofereix a la seva carta nou primers plats, nou segons i tres postres. Expressa amb una potència i calcula el nombre de menús diferents que es poden triar.

53.

Escriu els exponents en el teu quadern i calcula:

a) La Montse té una capsa amb molts cubs de goma d’1 cm d’aresta. Construeix tres cubs iguals de 3 cm d’aresta.

Nombre de cubs utilitzats: 3 = … b) Un pagès planta enciams al seu hort.

Els distribueix en 25 solcs i en cada solc hi posa 25 enciams.

Nombre d’enciams: 25 = … c) Un camió de repartiment porta 6 palets de capses de llet. En cada palet hi ha 36 capses i en cada capsa, 6 brics de litre.

Nombre de litres: 6 = …

27

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

Arrel quadrada 54.

Calcula, per tempteig, l’arrel exacta o l’entera:

a) 90

55.

b) 121

c) 1.785

Resol amb la calculadora:

a) 655

b) 1.024

c) 1.369

d) 4.225

e) 12.664

f ) 33.856

56.

Copia en el teu quadern els quadrats perfectes: 1.000 3.364

1.225 3.540

1.600 3.773

1.724 3.844

1.601 4.000

2.464 5.625

57.

Copia en el teu quadern i substitueix cada casella pel signe «=» o pel signe «≠» segons correspongui: a) 2 · 9

36

b) 3 · 4

c) 5 · 16

20

d) 4 · 25

10

f ) 4 · 4

16

e) 9 · 9

18

12

58.

A partir del concepte d’arrel quadrada, podem dir el següent: a = b → b2 = a 2 4 ` aj = a 2 2 ` aj = b

Tenint en compte això, resol: a) 5 2 + 12 2 – ` 5j 2

b) ` 2j + ` 3j – 5 0 4

2

Resol problemes 59.

PROBLEMA

60.

En una indústria de conserves es preparen 250 kg de melmelada de pruna, que s’envasen en pots de 200 g.

Durant el procés es rebutgen 17 pots perquè s’han trencat o perquè són defectuosos. Quants pots vàlids s’obtenen?

61.

La construcció d’un xalet, A, va durar 14 mesos i va començar 4 mesos després que s’iniciessin les obres d’un altre xalet, B, la construcció del qual va durar 15 mesos.

Si A es va acabar al juny, quin mes es va acabar B?

62.

Al viver d’una horta es preparen 50 safates amb 100 llavors cada una. En cada safata es fan malbé, de mitjana, 20 llavors. Quants plançons espera obtenir el pagès?

63.

A la prestatgeria dels refrescos del supermercat quedaven 7 capses de 6 llaunes i 4 llaunes soltes. Si en col·loquen 12 capses més, quantes llaunes hi ha ara?

64.

La Neus ha enviat en l’última setmana 40 missatges amb el seu mòbil. Al seu germà Pep n’hi ha enviat cinc; als seus pares, tres més que a en Pep, i al grup de la seva colla, la resta. Quants missatges ha enviat a la colla?

65.

RESOLT

Deixa clar el significat de cada pas, de cada operació i de cada resultat.

Un majorista d’alimentació compra 150 sacs de patates de 30 kg per 2.000 €. Després, en seleccionar la mercaderia, en llença 300 kg i n’envasa la resta en bosses de 5 kg, que ven a 4 € la bossa. Quin benefici obté?

— Quilos comprats (150 sacs de 30 kg): 150 · 30 = 4.500 kg — Quilos envasats (en llença 300 kg): 4.500 – 300 = 4.200 kg

28

— Bosses de 5 kg obtingudes: 4.200 : 5 = 840 bosses — Ingressos, en euros, per la venda de 840 bosses a 4 € cada una: 840 · 4 = 3.360 € — Beneficis (ingressos, 3.360€, menys despeses, 2.000 €): 3.360 – 2.000 = 1.360 € Solució: Guanya 1.360 €.

A la Clara li han pagat 28 euros per repartir 7 blocs de propaganda. Quant li haurien pagat si hagués repartit un bloc més?

66.

En una brioixeria fan cada dia cinc safates amb tres dotzenes de magdalenes cada una. Quantes magdalenes fan a la setmana, tenint en compte que el dilluns tanquen?

67.

En una granja hi ha el doble de vaques que de cavalls i en total són 36 caps de bestiar. Quantes vaques i quants cavalls hi ha?

68.

Un camió transporta 15 caixes de refrescos de taronja i 12 de llimona. Quantes ampolles porta en total si cada caixa conté 24 ampolles?

69.

El pare de la família Smith, en Jonathan, cobra 1.940 dòlars al mes. Si guanya 720 dòlars més que en Jon, el fill gran, 880 més que la Cathy, la filla, i 280 menys que la Catherine, la seva dona, quins són els ingressos mensuals de la família?

70.

La Rosa té dos anys més que el seu germà petit, en Julià, i dos menys que l’Albert, el seu germà gran. Si entre tots tres igualen l’edat de la seva mare, la Marta, que acaba de fer 42 anys, quants anys té cada un dels germans?

71.

Un tren de mercaderies, que avança a 55 km/h, es creua amb un de passatgers que avança per la via paral·lela a 105 km/h. Quina distància els separa mitja hora més tard?

79.

Un agricultor té 140 presseguers en un hort. Ell espera collir, de mitjana, 35 kg de préssecs de cada arbre.

La fruita s’envasa en caixes de 10 kg i es ven a 20 € la caixa. Quant guanyarà per la venda de la seva collita?

80.

La Marta, en Pau i la Rosa van a comprar. La Marta gasta 30 € més que en Pau i 40 € menys que la Rosa. Si entre tots tres han gastat 208 €, quant ha gastat cada un?

81.

Tens un munt de monedes de 50, 20 i 10 cèntims. De quantes maneres diferents pots fer 1 euro? Justifica la teva resposta.

82.

Utilitzant només zeros i uns, es poden construir quatre nombres diferents de tres xifres: 1a

72.

Un cotxe i una moto surten alhora d’una cafeteria d’una carretera en la mateixa direcció. El cotxe avança a 90 km/h i la moto, a 100 km/h. Quina distància els separa al cap d’una hora i mitja?

73.

Un camió porta 27 caixes de refrescos de 24 ampolles. En un accident es trenquen 311 ampolles. Esbrina si s’ha conservat més o menys de la meitat de la càrrega.

74.

Un autobús amb 54 turistes a bord pateix una avaria camí de l’aeroport. El responsable del grup decideix acomodar les viatgeres i els viatgers en taxis de quatre places. Quants taxis necessiten?

2a

3a 0 1 0 1

1

1

0

110 111 100 101

Quants nombres de quatre xifres tenen només zeros i uns? I de cinc xifres?

83.

La carta d’un restaurant ofereix cinc varietats de primer plat, tres de segon i dos de postres. De quantes formes pot triar el seu menú, un client que tria un plat de cada grup?

84.

L’Antoni, la Blanca, la Cristina i en David acaben d’entrar al cinema. De quantes formes diferents es poden asseure en les quatre butaques que els corresponen?

1a A

75.

La Marta té estalviats 162 € i vol comprar un monopatí que costa 199 €. Si aconsegueix estalviar de la seva paga 10 € cada setmana, quantes setmanes trigarà a comprar el monopatí?

76.

Una fàbrica de cotxes ha produït 15.660 unitats entre gener, febrer i març. Quants cotxes fabrica, de mitjana, cada dia?

77.

El sector hoteler d’una localitat turística ha contractat 12.845 persones. Tres de cada cinc són dones.

Quantes dones ha contractat?

78.

En una escola que té 450 estudiants, dos de cada cinc estudien un segon idioma i, d’aquests, un de cada tres ha triat l’alemany. Quants estudien un segon idioma?

Quants estudien alemany?

Fes, primer, un problema més fàcil: De quantes formes es podran asseure si l’Antoni ha ocupat ja la butaca núm. 1?

2a

3a

4a

B B C C D D

C D B D B C

D C D B C B

85.

Una empresa organitzadora d’esdeveniments fa una comanda, a un magatzem de flors, de 150 dotzenes de roses. El magatzem disposa en aquell moment de 40 capses de 25 roses.

Quantes capses de 25 roses s’han de demanar per poder servir la comanda?

29

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

86.

La Valentina té una granja d’ànecs i oques. Avui ha venut 21 dels animals per 350 euros.

Entre els animals hi havia el doble d’ànecs que d’oques, i una oca val el triple que un ànec.

Quin preu té un ànec? I una oca?

87.

Un cotxe triga 78 segons a travessar un tram de 2 km amb la velocitat limitada a 90 km/h. Creus que ha superat el límit permès? Per què?

92.

PROBLEMA

RESOLT

Decideix els passos intermedis. Quines dades encara no coneixes, però necessites, per arribar a la solució?

La Marta ha comprat cinc paquets amb quaranta adhesius cada un i ha decorat el cub petit. Li queden prou adhesius per decorar de la mateixa manera el cub gran?

88.

En un camp rectangular de 150 m × 300 m es plantaran pollancres, en files i columnes paral·leles a les tanques, de manera que cada línia estigui a 5 metres de les del costat o de les vores. Quants pollancres tindrà el camp?

Dibuixa en una quadrícula casos més senzills. Per exemple: 20

15

15

30

20

20

30

20

89.

El gràfic informa de la distribució, per colors, dels 30.690 cotxes fabricats en un trimestre.

• Quants adhesius ha comprat?

Ha comprat 5 · 40 = 200 adhesius.

• Quants n’ha utilitzat per al cub petit?

En el cub petit ha utilitzat 6 · 32 = … adhesius.

• Quants adhesius li queden?

Li queden 200 – … = … adhesius.

• Quants en necessita per al cub gran?

Per al cub gran necessita…

Copia i completa la resolució en el teu quadern i escriu la solució.

93.

Quines són les dimensions del terra quadrat més gran que es pot cobrir amb 200 rajoles quadrades de 20 cm de costat, sense partir-ne cap? Quantes rajoles sobren? gris blanc verd blau vermell altres Quants cotxes vermells s’han fabricat en aquest període?

90.

Per a l’elaboració d’una estadística sobre les vacances en una ciutat d’interior, s’ha fet una enquesta els resultats de la qual són els següents: — El 56 % ha estat a la platja.

— El 47 % ha passat uns dies al poble.

— El 23 % ha gaudit d’ambdues destinacions.

Quin tant per cent no ha estat ni a la platja ni al poble?

91.

La Martina ha obtingut així la suma dels 7 primers nombres naturals: 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 8 · 7 = 56 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 14 56 : 2 = 28 8+8+8+8+8+8+8 Sabries calcular la suma de l’1 al 100?

30

94.

En Marc té una bossa amb 50 daus de fusta d’1 cm d’aresta. Quina és l’aresta del cub més gran que pot construir amb els daus? Quants daus sobren?

95.

Una finca quadrada té 900 metres quadrats de superfície. Quants metres lineals de filat caldria comprar per tancar-la?

96.

Observa el cub de la il·lustració format per 5 × 5 × 5 cubs unitaris.

100.

Dels alumnes matriculats a 1r d’ESO, sabem que:

— 44 es queden al menjador, 58 utilitzen el transport escolar i 47 estan apuntats a extraescolars.

— 24 es queden al menjador i a extraescolars.

— 23 es queden al menjador i utilitzen el transport escolar; 25 utilitzen el transport i es queden a extra­ escolars.

— 11 utilitzen els tres serveis i 17 no n’utilitza cap.

Quants alumnes hi ha matriculats?

a) Suposa que el pintem de vermell. Quants cubs petits unitaris hauran quedat parcialment pintats?

Et serviria, utilitzar un gràfic com aquest?

1r ESO menjador

b) Suposa que el volem fer més gran, recobrint-lo completament amb una capa de cubs petits verds. Quants cubs petits verds necessitarem?

tr. escolar

97.

Quants pares i quantes mares tenien entre tots els teus rebesavis? act. ext.

101.

Quatre amics i amigues es pesen, per parelles, de totes les maneres possibles i anoten desordenadament els resultats que obtenen: 83 kg - 87 kg - 91 kg - 80 kg - 84 kg - 88 kg El que pesa més fa 46 kg. Quant pesa cada un per separat?

102.

Problemes «+» 98.

Un nombre té quatre xifres que sumen 4. Si intercanvies les unitats amb les centenes, augmenta en 99.

Quin nombre pot ser? Intenta trobar més d’una solució.

99.

L’Arnau i en Ferran viuen al mateix edifici i van a la mateixa escola. L’Arnau, quan va sol, triga 20 minuts a fer el recorregut de casa a classe. En Ferran, al seu pas, triga 30 minuts a fer el mateix trajecte. Avui, quan l’Arnau surt, fa ja cinc minuts que el seu company ha sortit.

Quant trigarà a atrapar-lo?

L’Albert explica una notícia a l’Ignasi i la Sara.

Deu minuts després, l’Ignasi ja els l’ha explicat a la Raquel i a la Marta, a l’Ona, a la Rosa i a en Pau. Al cap de deu minuts més, cada un d’aquests últims l’ha explicada a dues persones més.

Si la difusió de la notícia segueix al mateix ritme, quantes persones la sabran una hora després que se n’assabentessin l’Ignasi i la Sara?

103.

El terra d’una habitació quadrada està enrajolat amb 484 rajoles de 15 cm de costat. Són totes blanques, excepte les que estan a 15 cm de la paret, que formen un marc decoratiu de color vermell.

Quantes rajoles vermelles hi ha en aquest terra?

31

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

» MATEMÀTIQUES EN CONTEXT DISTRIBUCIÓ DE MERCADERIES La fruita conreada pels pagesos fa un llarg recorregut fins que arriba al consumidor: el pagès, el majorista, el transportista i el punt de venda.

En Pau és un majorista de fruita que es troba en les situacions següents.

1. Compra i venda En Pau paga 1.500 € a un pagès per la compra de 200 caixes de peres.

Cada caixa té un pes mitjà de 18 quilos.

Quan arriba al magatzem les selecciona i n’aparta 300 quilos perquè són defectuoses. La resta, les envasa en safates de cartó de 3 kg.

Finalment, les ven a una cadena de supermercats, a 2 € la safata. a) Quantes safates ven al supermercat? b) Quant ingressa per la venda de la mercaderia?

3 kg

c) Quin benefici obté?

2. Nombres i matrícules En Pau contracta un transportista que s’acaba de comprar una furgoneta nova, que té aquesta matrícula:

Les matrícules dels vehicles s’ordenen d’acord amb un codi format per un nombre de quatre xifres, que comença per 0000 i acaba per 9999, seguit de tres lletres (val qualsevol lletra, excepte les vocals, les consonants Ñ i Q i els dígrafs CH, LL).

Així doncs, d’acord amb aquest codi les matrícules comencen per 0000 BBB i acaben en 9999 ZZZ. a) Quants vehicles matriculats porten, fins al moment, les mateixes lletres que el del transportista? b) Quants vehicles es matricularan abans que es canviï una lletra de la matrícula? c) Quants vehicles s’han matriculat, incloent-hi el del transportista, des que un company seu es va comprar un vehicle amb la matrícula 2581 LBS? d) Quants vehicles s’hauran matriculat abans que aparegui el primer amb la matrícula 4000 LBV?

32

Les quatre xifres i les tres lletres de les matrícules permeten un total de 8 × 107 matriculacions. (Començant amb el 0000 i fins al 9999, ens trobem 104 combinacions diferents de nombres amb quatre xifres. Pel que fa a les tres lletres, hi ha un total de 8 × 103 combinacions diferents.) e) Escriu amb totes les xifres el nombre total de matriculacions i les combinacions que permeten els quatre nombres i les tres lletres. f ) Escriu aquest nombre amb lletres. g) Si cada any es matriculen al voltant d’un milió tres-cents vint-i-un mil quatre-cents trenta-vuit vehicles, quant temps passarà fins que comencin a matricular vehicles amb les últimes quatre xifres?

1. Menys de 30 anys.

2. Entre 30 i 40 anys.

3. Més de 40 anys.

3. Dimensions i capacitat Als supermercats, la fruita es conserva durant més temps si s’emmagatzema en cambres frigorífiques.

En aquestes cambres es retarda la maduració mantenint la temperatura entre 13 °C i 1 °C i la humitat entre el 85 % i el 90 %.

En un dels supermercats tenen una cambra frigorífica que fa 500 centímetres de llargària, 500 centímetres d’amplària i 500 centímetres d’alçària útils.

Les peres s’emmagatzemen en caixes cúbiques de 50 centímetres d’aresta.

• Quantes caixes de peres caben en l’espai útil de la cambra frigorífica?

A partir de les dades d’aquesta activitat, pensa una altra pregunta per plantejar-la a un company o companya de classe.

Primer l’has de resoldre tu per comprovar que estigui ben plantejada i per saber quina és la resposta correcta.

33

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

» TALLER DE MATEMÀTIQUES » LLEGEIX I DESCOBREIX ordres d'unitats

Nombres en els ordinadors

ordres d'unitats

23

22

21

20

23

22

21

20

8

4

2

1

8

4

2

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

… … … …

9 … … … …

2

0

0

1

0

10

3

0

0

1

1

11

4

0

1

0

0

5

0

1

0

1

6

0

1

1

0

7

… … … …

8

1

0

1

0

… …

13 …

14 …

… … … …

… … … …

… … … …

1

1

1

12

15

1

Ja saps que nosaltres, per escriure els nombres, fem servir el sistema decimal, amb deu signes, del 0 al 9.

Els ordinadors i les calculadores, en el seu llenguatge intern, escriuen els nombres en el sistema binari; és a dir, utilitzant només dos signes: el 0 i l’1.

• Estudia i completa les taules en el teu quadern, seguint la lògica de les primeres files.

Quan hagis acabat, hauràs traduït al sistema binari els primers quinze nombres naturals.

La computació i, en general, les noves tecnologies, són un àmbit d’aplicació de les matemàtiquess amb molta diversitat de sortides professionals.

» INVESTIGA Nombres imparells, quadrats i cubs El món dels nombres presenta múltiples relacions, algunes de tan sorprenents que semblen màgia. Fixa’t en els exemples següents: ➜ Qualsevol nombre quadrat es pot expressar com la suma d’uns quants dels primers nombres imparells.

• Segons això, calcula: a) La suma dels set primers nombres imparells.

S7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 b) La suma dels deu primers nombres imparells (S10).

• Com calcularies, de manera ràpida i senzilla, la suma dels cent primers nombres imparells?

S100 = 1 + 3 + 5 + … + 199

S1 1

S2 1+3

1

12

S3

1+3+5

4

22

S4

1+3+5+7

9

32

➜ En la suma dels nombres imparells, trobem la suma dels nombres cúbics.

64 27 8 1 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + …

13 23 33 43

• Esbrina quina porció de la suma anterior has d’agafar per obtenir 53 = 125.

34

S5

1+3+5+7+9

16

42

25

52

» ENTRENA’T RESOLENT ALTRES PROBLEMES Reflexiona i assaja

T’ajudaria completar aquesta taula?

quadrats

1

2

3

…

…

puntes

4

…

…

…

…

resta de puntes

14

…

…

…

…

triangles

NO possible

…

…

…

…

←

• Escriu en el teu quadern els nombres de l’1 al 9, un per casella, de manera que tots els trios alineats sumin 15.

• En una safata hi havia diversos sandvitxos quadrats i n’hem partit uns quants per la meitat en forma de triangle. Si en total compto 18 puntes, quants sandvitxos estan sencers i quants estan partits?

• Quants nombres de tres xifres es poden formar utilitzant només les xifres 1, 2 i 3?

» POSA’T A PROVA 1. Copia en el teu quadern i omple els buits:

5. Observa aquestes quantitats:

a) 18 ·

• L’extensió del Brasil és de vuit milions cinc-cents catorze mil vuit-cents setanta-set quilòmetres quadrats.

• La població mundial l’abril de 2018 era de 7.601.767.200 habitants. a) Expressa amb xifres la primera quantitat i amb lletres la segona.

b)

= 180 · 100 = 27.000

c) 4.000 : d)

= 40

: 10 = 38

2. Copia i calcula els termes que falten: a) 154 · b)

= 462 : 27 = 98

c) 30.275 :

= 35

d) 1.508 =

· 125 + 8

3. Fes les següents operacions combinades: a) 12 + 3 · 5 – 2 b) 19 – 5 · (10 – 7) + 4 · 7 c) 7 · 3 – 4 · 2 + 2

b) Arrodoneix-les a les desenes de miler.

6. Calcula: a) 26

b) 53

c) 72

d) 106

7. Redueix a una sola potència: a) a3 · a2

b) x5 : x4

c) (a3)4

8. Quants daus de fusta, d’1 cm d’aresta, hi ha en 10 paquets com el que veus en la il·lustració?

d) 10 · [7 · 5 – (4 + 6 · 3)]

4. En una cafeteria hi ha 60 seients. Si hi ha el triple de cadires que de banquetes, quantes n’hi ha de cada classe?

10 cm 10

cm

m

10 c

35

UNITAT

2

DIVISIBILITAT

DIMENSIÓ RESOLUCIÓ DE PROBLEMES • DIMENSIÓ RAONAMENT I PROVA DIMENSIÓ CONNEXIONS • DIMENSIÓ COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ

Alexandria, fundada per Alexandre el Gran al segle iv aC, va esdevenir el centre cultural (científic i artístic) de la civilització grega.

Euclides, savi grec del segle iii aC, va viure a Alexandria, on va fundar una gran escola de matemàtiques. Va recollir-hi i va sistematitzar-hi tot el coneixement matemàtic de la seva època. Però no es va limitar a això: va ser, a més, un gran matemàtic que va aportar importants descobriments. Va plasmar la seva obra en una col·lecció de tretze llibres anomenats Elements. La major part d’aquests llibres estan dedicats a la geometria i només quatre, a l’arit­mè­ ti­ca. En aquests quatre va desenvolupar la teoria de la divisibilitat, que descobreix algunes relacions que hi ha entre els nombres (múltiples, divisors, nombres primers o compostos…).

Les activitats següents t’inicien en aquests conceptes.

Divisors de 30 En una quadrícula, es poden construir quatre rectangles diferents que ocupin una superfície de 30 quadradets: 1 × 30 2 × 15

3 × 10

5×6

Els parells de nombres que coincideixen amb les dimensions dels costats, 1-30, 2-15, 3-10 i 5-6, tenen unes relacions amb el nombre 30 que treballaràs en aquesta unitat.

1. Dibuixa en una quadrícula tots els rectangles que ocupen 36 quadradets.

2. Quants rectangles de 40 quadradets podries construir? I de 41?

36

Múltiples de 7 Prem aquesta seqüència de tecles en una calculadora de quatre operacions:

7++====…

Aniràs obtenint la «sèrie del 7»:

7

→

14

→

21

→

28

→

35

…

7 · 1 7 · 2 7 · 3 7 · 4 7·5 Les sèries d’aquest tipus estan relacionades amb el que estudiaràs en aquesta unitat.

3. Construeix de la mateixa manera la «sèrie de l’11» i anota’n els cinc primers termes.

4. Experimenta, amb el mateix procediment, la formació de sèries d’altres nombres.

Euclides, en els seus estudis sobre divisibilitat, va trobar dos tipus de nombres: els que resulten de multiplicar-ne altres de més petits (per exemple, 35, que és el resultat de multiplicar 5 × 7) i els que no (per exemple, 13). Als primers els va anomenar «compostos» i als segons, «primers».

Nombres fora de les taules • El nombre 4, el 12, el 28 o el 40 els trobem en les taules de multiplicar: 4 = 2 · 2 12 = 3 · 4 28 = 4 · 7 40 = 5 · 8 • N’hi ha altres que són en taules que no has memoritzat, com el 22, el 33 o el 44, que són de la taula de l’11: 22 = 2 · 11 33 = 3 · 11 44 = 4 · 11 • Però n’hi ha alguns que no els trobaràs en cap taula, a part de la taula pròpia o la taula de l’1. Això els passa, per exemple, al 5, al 19 o al 23: 5 = 1 · 5 19 = 1 · 19 23 = 1 · 23

5. Busca alguns nombres més de cada un dels grups anteriors.

37

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

1. LA RELACIÓ DE DIVISIBILITAT Dos nombres compleixen la relació de divisibilitat quan un cap en l’altre una quantitat exacta de vegades; és a dir, quan el seu quocient és exacte.

Exemples • Un llistó de 60 cm es pot partir, exactament, en trossos de 15 cm.

60 15

60 00

15

15

15

15 → La divisió és exacta. → 60 és divisible per 15.

4

• Però un llistó de 60 cm no es pot partir, exactament, en trossos de 25 cm.

60 25

60 10

Relació de divisibilitat

25 → La divisió no és exacta. → 60 no és divisible per 25.

2

Ser múltiple de…, ser divisor de…

Quan dos nombres compleixen la relació de divisibilitat: • el més gran és múltiple del més petit.

a b 0 c

• el més petit és divisor del més gran.

↓ divisió exacta

Exemple

a és divisible per b. a és múltiple de b.

25

b és divisor de a.

40 8 → 40 = 8 · 5 → 0 5 La divisió és exacta.

40 és múltiple de 8.

8 és divisor de 40.

• a és múltiple de b o, dit d’una altra manera,

si la divisió a : b és exacta.

• b és divisor de a 40 8

8

8

8

8

5·8 5 5 5 5 5 5 5 5 8·5

38

Els divisors van per parelles Cada divisor d’un nombre en té un altre de relacionat.

40 8 0 5 8 és divisor de 40.

↔

40 5 0 8 5 és divisor de 40.

10

» FIXA IDEES F1. Fixa’t en aquestes divisions, copia en el teu quadern i completa:

AJUDA

5 7

b) 86 12 02 7

35 és divisible per …

86 … divisible per …

117 … divisible per …

35 és múltiple de …

86 … múltiple de …

117 … múltiple de …

560 40 És exacta.

160 14 0

5 és divisor de …

12 … divisor de …

13 … divisor de …

560 és divisible per 40.

a) 35 0

c) 117 13 0 9

F1 i F2. Observa els exemples:

F2. Comprova si els nombres de cada parella compleixen la relació de divisibilitat.

560 és múltiple de 40.

a) 63 i 9 63 … divisible per …

b) 78 i 13 78 … divisible per …

c) 106 i 6 106 … divisible per …

47 5

63 és … de …

78 … múltiple de …

106 … múltiple de …

47 no és divisible per 7.

9 és … de …

13 … divisor de …

6 … divisor de …

47 no és múltiple de 7.

Després, copia i completa:

40 és divisor de 560.

7 6

F3.

7 no és divisor de 47.

a) Quants autobusos necessita? Aniran tots plens?

són exactes:

Una escola contracta autobusos de 45 places per portar 294 alumnes d’excursió.

F3. Comprova si les divisions següents 294 : 45

b) I si els autobusos fossin de 42 places?

294 : 42

c) 45 és divisor de 294? I 42? d) 294 és múltiple de 45? I de 42?

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 1. Pensa i contesta de manera raonada:

d) 54 és divisible per 8.

a) Es pot dividir una classe de 30 alumnes en grups de 7, sense que en sobri cap?

e) 13 està contingut un nombre exacte de vegades en 65.

b) La Marta fa passos de 60 cm. Pot recórrer 100 metres en un nombre exacte de passos?

tat exacta de vegades en 24.

c) Pot buidar-se una tina d’oli, de 1.500 litres, en un nombre exacte de garrafes de 5 litres? d) Algun mes té un nombre exacte de setmanes?

2. Digues si els nombres de cada parella compleixen la relació de divisibilitat:

4. Busca tots els nombres que estan continguts una quanti5. Copia i encercla de color vermell els divisors de 90 i de color blau els múltiples de 3: 5

10

15

20

30

35

45

60

75

90

6. Respon de manera raonada:

a) 224 i 16

b) 420 i 35

c) 613 i 13

a) Per què 522 és múltiple de 29?

d) 513 i 19

e) 688 i 44

f ) 2.070 i 46

b) Per què 17 és divisor de 544?

3. Digues si les afirmacions següents són vertaderes o falses:

7. Copia i encercla de color vermell els múltiples de 4 i de

a) 15 està contingut exactament 4 vegades en 60.

color blau els múltiples de 10:

b) 75 està contingut exactament 3 vegades en 225.

8

10

20

24

30

45

60

75

95

120

c) 42 és divisible per 7.

GeoGebra. Troba els múltiples i els divisors d’un nombre.

39

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

2. ELS MÚLTIPLES I ELS DIVISORS D’UN NOMBRE Càlcul dels múltiples d’un nombre Observa els primers múltiples de 20:

Notació Quan ens referim a un múltiple d’un nombre, el podem escriure amb un punt a sobre:

20

20 20

20 20 20

20 20 20 20

•

7 → múltiple de 7 a → múltiple de a •

•

18 = 3 → 18 és múltiple de 3.

Els nombres 20, 40, 60, 80… són divisibles per 20; és a dir, són múltiples de 20.

Cada un d’aquests nombres s’obté multiplicant 20 per un nombre natural. I la sèrie pot continuar indefinidament.

20 · 1 20 · 2 20 · 3 …

20 · 6 …

20 · 10 … ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

20 40 60 … 120 … 200 …

• Els múltiples d’un nombre natural, a, s’obtenen en multiplicar a per qualsevol altre nombre natural k. a · k → múltiple de a • Qualsevol nombre natural, a, és múltiple d’ell mateix i de la unitat. → a · 1 = a • Un nombre diferent de zero té una quantitat infinita de múltiples.

Càlcul dels divisors d’un nombre Divisors de 18 Busquem tots els divisors de 18:

: 1 = 18 → SÍ

18

Observa, ara, com calculem els divisors de 20: 20 20 11 20 000 20

20 20 22 10 000 10

20 20 44 000 55

20 20 20 20 000 11

20 20 10 10 000 22

20 20 55 000 44

: 2 = 9 → SÍ

: 3 = 6 → SÍ

: 4 → NO

: 5 → NO

: 6 = 3 → SÍ

Els nombres 1, 2, 4, 5, 10 i 20 són els divisors de 20; és a dir, són totes les quantitats entre les quals es pot dividir el 20 de forma exacta.

: 9 = 2 → SÍ

Observa, també, que formen parelles el producte de les quals és 20:

: 18 = 1 → SÍ

Els divisors de 18 són aquests: 1 2 3

18 9 6

1 ∙ 20 = 20

2 ∙ 10 = 20

• Per obtenir tots els divisors d’un nombre, a, busquem les divisions exactes: a:b=c → a = b · c → Per tant, b i c són divisors de a. a:c=b • Qualsevol nombre és divisor d’ell mateix. → a : a = 1 • L’1 és divisor de qualsevol nombre. → a : 1 = a

40

4 ∙ 5 = 20

Criteris de divisibilitat Els criteris de divisibilitat són regles pràctiques que serveixen per descobrir si un nombre és divisible per 2, 3, 5 o altres nombres senzills.

Divisibilitat per 2

Exemples • 516 → xifra parell 516 és múltiple de 2.

• 371 → xifra senar 371 no és múltiple de 2.

Els múltiples de 2 són els nombres parells: 2, 4, 6, 8, 10, …, 68, 70, …

Exemples

Divisibilitat per 5 i per 10

I perquè un nombre sigui parell, n’hi ha prou que ho sigui la seva última xifra.

Un nombre és divisible per 2 (és múltiple de 2) si acaba en una xifra parell: 0-2-4-6-8

• 325 → és múltiple de 5.

• 560 → és múltiple de 5 i de 10.

• 703 → no és múltiple ni de 5

ni de 10.

Observa les sèries dels múltiples de 5 i de 10: •

5 → 5, 10, 15, 20, 25, …, 125, 130, …, 200, 205, …

•

10 → 10, 20, 30, 40, …, 120, 130, …, 200, 210, …

Els múltiples de 5 acaben en 0 o 5 i els de 10, en 0.

• Un nombre és divisible per 5 (és múltiple de 5) si acaba en 0 o en 5.

• Un nombre és divisible per 10 (és múltiple de 10) si acaba en 0.

Divisibilitat per 3 i per 9

Exemples

• 411 → 4 + 1 + 1 = 6

•

• 432 → 4 + 3 + 2 = 9

•

3 • 9 411 és múltiple de 3, però no de 9.

3 • 9 432 és múltiple de 3 i de 9.

• 473 → 4 + 7 + 3 = 14

•

3 • 9 473 no és múltiple ni de 3 ni de 9.

Agafa qualsevol múltiple de 3 i suma’n les xifres. Obtindràs un múltiple de 3.

•

•

3 ∙ 16 = 48 → 4 + 8 = 12 → 3

3 ∙ 47 = 141 → 1 + 4 + 1 = 6 → 3

Comprova, també, que això només els passa als múltiples de 3.

Agafa qualsevol múltiple de 9 i suma’n les xifres. Obtindràs un múltiple de 9.

•

9 ∙ 21 = 189 → 1 + 8 + 9 = 18 → 9

•

9 ∙ 68 = 612 → 6 + 1 + 2 = 9 → 9

Comprova, també, que això només els passa als múltiples de 9.

• Un nombre és divisible per 3 (és múltiple de 3) si la suma de les seves xifres és múltiple de 3.

• Un nombre és divisible per 9 (és múltiple de 9) si la suma de les seves xifres és múltiple de 9.

Exemples • 418 → (4 + 8) – (1) = 11 418 és múltiple d’11.

• 1.543 → (5 + 3) – (1 + 4) = 3 1.543 no és múltiple d’11.

• 7.458 → (4 + 8) – (7 + 5) = 0 7.458 és múltiple d’11.

Divisibilitat per 11 Agafa alguns múltiples d’11, per exemple, 11 · 34 = 374 i 11 · 158 = 1.738.

Ara, observa:

3+4=7

3 7 4 7–7=0 7

7 + 8 = 15

1 7 3 8 15 – 4 = 11 1+3=4

Si, en cada un, sumes, d’una banda, les xifres de les caselles vermelles i de l’altra, les de les caselles verdes i restes els resultats, obtens 0 o 11.

Comprova, també, que només passa amb els múltiples d’11.

Un nombre és divisible per 11 si la suma de les xifres de lloc parell menys la suma de les xifres de lloc senar és 0 o un múltiple d’11.

41

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

» FIXA IDEES F4. Escriu:

A JUDA

a) Tres múltiples de 5.

b) Tres múltiples de 12.

c) Tres múltiples de 19.

d) Tres múltiples de 30.

F4. Múltiples de 13: 13 · 3 = 39

F5. Escriu els deu primers múltiples de 25.

F6. a) Quin és el primer múltiple de 8 més gran que 100?

13 · 5 = 65 13 · 11 = 143

b) Quin és l’últim múltiple de 8 abans de 1.000?

13 · … = …

F7. Busca tots els múltiples de 7 compresos entre 300 i 360.

F8. Troba, mentalment, els divisors de cada un d’aquests nombres:

més gran que 150?

a) 8

b) 12

c) 15

d) 20

F6. Quin és el primer múltiple de 13 150 13 020 11 07

e) 28

1

2

3

4

6

8

12

8

F9. Quin és el nombre els divisors del qual són els següents?

24

13 · 11 = 143 < 150 13 · 12 = 156 > 150

F10. Observa i contesta les preguntes que trobaràs a continuació: 44 0

1 44 44 4

44 0 5 8

2 22 44 2

44 2 6 7

3 14

44 0 44 2

4 11

7 6

a) Escriu sis divisors de 44. b) El nombre 44 té altres divisors, a més dels anteriors?

F11. Quins d’aquests nombres són parells? I divisibles per 2?

21 - 28 - 45 - 59 - 80 - 88 - 146 - 255 - 270 - 299

F12. Copia aquests nombres i subratlla els que siguin múltiples de 5: 60 - 72 - 80 - 85 - 100 - 103 - 130 - 155 - 210 Quins dels nombres que has subratllat són també múltiples de 10?

F13. Quins d’aquests nombres són divisibles per 3? I per 9?

19 - 45 - 63 - 83 - 105 - 145 - 209 - 513 - 666 - 909 Què observes?

F14. Recorda el criteri de divisibilitat per 11 i identifica quins dels nombres següents són múltiples d’11: a

b

c 8 a + c – b = 0 o 11

110 - 111 - 155 - 187 - 209 - 398 - 759 - 606

42

F8 i F9. Divisors de 14: 1

2

7

14

F10. Si divideixes 44 entre nombres

més grans (8, 9, 10…), obtindràs quocients més petits.

Les úniques divisions exactes seran les següents, en què hem intercanviat el divisor i el quocient de les divisions exactes de l’activitat: 44 0

11 4

44 0

22 2

44 0

44 1

F11. 516 → Acaba en xifra parell. És múltiple de 2.

F12. 325 → Acaba en 5. És múltiple de 5, però no de 10.

560 → Acaba en 0. És múltiple de 5 i de 10.

F13. 411 → 4 + 1 + 1 = 6 → És múltiple de 3 però no de 9.

990 → 9 + 9 + 0 = 18 → És múltiple de 3 i de 9.

3. NOMBRES PRIMERS I NOMBRES COMPOSTOS Els divisors d’un nombre permeten expressar-lo en forma de producte.

Exemple Descomposicions de 18 → 18 = 2 · 9 → 18 = 3 · 6 → 18 = 2 · 3 · 3

Z ]]18 = 2 · 9 DIVISORS n→ 18 → "d " [18 = 3 · 6 1 - 2 - 3 - 6 - 9 - 18 ]18 = 2 · 3 · 3 \ Els nombres que, com el 18, es poden descompondre en factors més senzills s’anomenen nombres compostos.

Hi ha nombres, en canvi, que només tenen dos divisors (el mateix nombre i la unitat), de manera que no és possible fer-ne la descomposició.

Exemple El 13 no es pot descompondre 13 = 13 · 1

13 → "d

n→ " 13 = 13 · 1

DIVISORS

1 - 13

Els nombres que, com el 13, no es poden descompondre en factors més senzills s’anomenen nombres primers.

Un nombre primer només té dos divisors: ell mateix i la unitat.

Fixa’t en els nombres que s’han marcat en la taula: — Els múltiples de 2 (•) excepte el 2.

— Els múltiples de 3 (•) excepte el 3.

1 7

— Els múltiples de 5 (•) excepte el 5.

13

— …i així, successivament, amb els múltiples de 7 (⊕); d’11 (*); de 13 (▲); …

19

25 •

2

3

8 9 • • 14 15 •⊕ •• 20 21⊕ •• • 26 27 •▲ •

4 • 10 •• 16 • 22 •* 28⊕ •

5

6 ••

12 •• 17 18 •• 23 24 •• 29 30 ••• 11

Els nombres que han quedat sense marcar i que hem encerclat són els nombres primers més petits que 30. Comprova que cap no es pot descompondre en factors.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

El nombre 1, com que només té un divisor, no es considera primer. Qualsevol altre nombre o bé és primer o bé és compost.

8. Classifica en nombres primers i nombres compostos: 5 8 11 15 21 28 31 33 45 49

9. Entre aquests nombres, busca els dos que són primers i expressa els compostos com un producte de dos factors.

47 57 67 77 87

10. Busca tots els nombres primers més petits que 60.

Són disset en total.

GeoGebra. Classifica en nombres primers i compostos.

11. Vertader o fals? a) El nombre 1 no és ni primer ni compost. b) Un nombre, si és senar, és primer. c) Tots els nombres primers, excepte el 2, són senars.

12. Descompon el nombre 100: a) En dos factors. b) En tres factors. c) En tants factors com sigui possible.

43

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

4. DESCOMPOSICIÓ D’UN NOMBRE EN FACTORS PRIMERS

Un nombre, si no és primer, es pot descompondre en factors, i aquests, al seu torn, en altres factors, fins que tots siguin primers. Vegem dues maneres d’aconseguir aquesta factorització: • Si el nombre és petit, pots fer servir el càlcul mental.

Exemple Descomposició de 36 en factors primers.

36 = 4 · 9 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22 · 32 • Si els nombres són més grans, cal actuar amb mètode, tenint en compte els criteris de divisibilitat.

Exemple Descomposicions de 792

Descomposició de 792 en factors primers.

quocients factors

parcials primers

792 2 792 : 2 → 396 2 396 : 2 → 198 2 198 : 2 → 99 3 99 : 3 → 33 3 33 : 3 → 11 11 11 : 11 → 1 792 = 23 · 32 · 11

792 és divisible per 2 → 792 =

2 · 396

396 és divisible per 2 → 792 =

2 · 2 · 198

198 és divisible per 2 → 792 =

2 · 2 · 2 · 99

99 és divisible per 3 → 792 =

2 · 2 · 2 · 3 · 33

33 és divisible per 3 → 792 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 11

Com que l’últim factor (11) és un nombre primer, hem acabat la descomposició: 792 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 11 = 23 · 32 · 11 Tot el procés se sol abreujar com s’indica al marge.

Per descompondre un nombre en factors primers (factoritzar), el dividim entre els seus factors primers: primer, entre 2 tantes vegades com sigui possible; després, entre 3, entre 5…, i així, successivament, fins a obtenir 1 en el quocient.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

13. Calcula mentalment i completa en el teu quadern la descomposició en factors d’aquests nombres:

80

8 × 10

×

×

×

4 2

7

42 = …

100 25 × ×

×

×

×

14. Descompon com en l’exemple: • 24 = 6 · 4 = 2 · 3 · 2 · 2 = 23 · 3 a) 18 b) 20 c) 40 d) 72

16. Copia, completa i descompon en factors primers: 9 0

3

1 90 = …

1 2 6

2 1

1 126 = …

17. Descompon en factors primers: e) 150

f ) 240

a) 45

b) 60

c) 76

d) 81

e) 88

15. A quins nombres corresponen aquestes descomposi-

18. Escriu com a producte de nombres primers: a) 170

b) 350

c) 580

a) 22 · 32 · 5

d) 888

e) 1.024

f ) 1.296

cions factorials?

44

b) 2 · 5 · 13

c) 2 · 52 · 7

f ) 98

Quina és la relació entre la descomposició d’un nombre i la descomposició dels seus múltiples?

Una altra manera d’obtenir els divisors d’un nombre

Compara els divisors primers de 40 amb els d’alguns dels seus múltiples: 40 =

2·2·2·5

40 · 3 = 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5

Amb el nombre descompost en factors, busquem tots els productes possibles entre si.

Per exemple, calculem els divisors de 40: 40 = 1 · 2 · 2 · 2 · 5 1=1 2=2 5=5 2·2=4 2 · 5 = 10 2·2·2=8 2 · 2 · 5 = 20 2 · 2 · 2 · 5 = 40

40 · 5 = 200 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 40 · 6 = 240 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5

Un múltiple de 40 conté tots els factors primers de 40.

En la descomposició de qualsevol dels múltiples d’un nombre apareixen tots els factors primers del nombre (i, generalment, alguns més).

Quina és la relació entre la descomposició d’un nombre i la descomposició dels seus divisors?

Compara, ara, els factors primers de 40 amb els d’alguns dels seus divisors: 40 = 40 = 8 · 5 = 40 = 4 · 10 = 40 = 2 · 20 =

2·2·2·5 2·2·2 · 5 2·2 · 2·5 2 · 2·2·5

Un divisor de 40 conté alguns dels factors primers de 40.

En la descomposició de qualsevol dels divisors d’un nombre apareixen alguns factors primers del nombre (generalment, no tots) i no apareix cap factor més.

» FIXA IDEES F15. Contesta, sense fer cap operació, i raona les respostes: a) 8 = 2 · 2 · 2 b) 15 = 3 · 5 36 = 2 · 2 · 3 · 3 90 = 2 · 3 · 3 · 5 8 és divisor de 36? 15 és divisor de 90? c) 84 = 2 · 2 · 3 · 7 d) 104 = 2 · 2 · 2 · 13 6 = 2 · 3 12 = 2 · 2 · 3 84 és múltiple de 6? 104 és múltiple de 12?

F16. Tenint en compte la descomposició en factors de 126, esbrina, a simple vista, quins dels nombres que apareixen a continuació són divisors de 126, quins són múltiples de 126 i quins no són ni divisors ni múltiples: 126 = 2 · 3 · 3 · 7 = 2 · 32 · 7 a) 4 = 22

b) 14 = 2 · 7

c) 18 = 2 · 32

d) 21 = 3 · 7

e) 28 = 22 · 7

f ) 42 = 2 · 3 · 7

g) 252 = 22 · 32 · 7

h) 180 = 22 · 32 · 5

i) 882 = 2 · 32 · 72

F17. Escriu factoritzats, sense fer operacions: a) Tres divisors de 72 = 23 · 32.

b) Tres múltiples de 45 = 32 · 5.

GeoGebra. Descompon factorialment un nombre.

A JUDA

F15 i F16. • 18 és divisor de 90, perquè

tots els factors primers de 18 apareixen en 90.

18 = 2 · 3 · 3 90 = 2 · 3 · 3 · 5

• 210 és múltiple de 15 perquè conté tots els factors primers de 15.

210 = 2 · 3 · 5 · 7 15 = 3 · 5

F17. • Dos múltiples de 28 = 2· 2·2·7 56

2·2·7

3· 2·2·7 84

• Dos divisors de 84 = 2 · 2 · 3 · 7 2·2 ·3·7 4

2· 2·3 ·7 6

45

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

5. MÍNIM COMÚ MÚLTIPLE La resolució d’alguns problemes exigeix la utilització dels múltiples comuns de diferents nombres.

Exemple TAXI

En una companyia de taxis, renten els cotxes cada 4 dies i revisen el nivell de l’oli cada 6 dies.

Cada quants dies coincideixen en un cotxe les dues tasques de manteniment?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Les dues tasques coincideixen els dies que són múltiples comuns de 4 i 6 i es repeteixen cada 12 dies.

12 24 36 48 … +12

+12

+12

+12

El més petit d’aquests múltiples comuns és 12 i rep el nom de mínim comú múltiple de 4 i 6.

Càlcul del MCM (4, 6) múltiples → 4 8 12 16 20 24 de 4 múltiples → 6 12 18 24 30 36 de 6 múltiples4 → 12, 24, 36, 48… comuns MCM (4, 6) = 12

El més petit dels múltiples comuns de dos o més nombres, a, b, c… s’anomena mínim comú múltiple i s’expressa així: MCM (a, b, c…)

Càlcul del mínim comú múltiple (mètode artesanal) Per obtenir el mínim comú múltiple de dos nombres: • Escrivim els múltiples de cada un.

• Agafem els nombres comuns.

• Ens quedem amb el més petit.

» FIXA IDEES F18. Copia, observa i completa a primer cop d’ull: a) Múltiples de 6 → 6 12 18 24 30 36 42 48 54 …

Múltiples de 8 → 8 16 24 32 40 48 56 …

MCM (6, 8) = … b) Múltiples de 9 → 9 18 27 36 45 54 63 72 …

Múltiples de 12 → 12 24 36 48 60 72 84 …

MCM (9, 12) = …

F19. Calcula com en l’activitat anterior: a) MCM (5, 8)

46

b) MCM (12, 15)

c) MCM (30, 40)

EXEMPLE

Càlcul del mínim comú múltiple de 10 i de 15.

•

10 → 10 20 30 40 50 60 70 …

• 15 → 15 30 45 60 75 90 105 …

Múltiples comuns → 30, 60, 90…

El més petit dels múltiples comuns de 10 i 15 és 30.

MCM (10, 15) = 30

Càlcul del mínim comú múltiple (mètode òptim) El mètode anterior resulta apropiat per a nombres senzills, però es complica massa amb nombres grans.

Observa una altra manera de calcular el mínim comú múltiple amb els nombres descompostos en factors primers.

Exemple Mètode artesanal

Càlcul del MCM (20, 30).

• Primer pas: descompondre en factors primers.

múltiples → 20 40 60 80 … de 20 múltiples → 30 60 90 120 … de 30 MCM (20, 30) = 60

Tingues en compte Quan un dels nombres és múltiple de l’altre, el MCM és el més gran.

Exemple: MCM (15, 30) = 30 Comprova-ho.

15 = 3 · 5 30 = 2 · 3 · 5 15

3·5

MCM (15, 30) = 2 · 3 · 5 = 30

2·3·5 30

2 1

0 0 5 1

2 2 5

3 1 20 = 22 · 5

0 5 5 1

2 3 5

30 = 2 · 3 · 5

• Segon pas: escollir els factors primers del MCM. Com que el MCM ha de ser el múltiple més petit possible de 20 i de 30, has d’agafar: 20 — Tots els factors primers de 20.

2·2·5 — Tots els factors primers de 30.

MCM (20, 30) = 2·2·3·5 —E l mínim nombre de factors que sigui possible.

2·3·5 30 Comprova que tots els factors escollits són imprescindibles, ja que, si en suprimim algun, deixa de ser múltiple d’algun dels nombres.

• Tercer pas: calcular, finalment, el MCM. MCM (20, 30) = 2 · 2 · 3 · 5 = 60 Per calcular el mínim comú múltiple de diferents nombres: 1. Es descomponen els nombres en factors primers.

2. Se n’agafen tots els factors primers (comuns i no comuns) elevats a l’ex­po­ nent més gran.

3. Es multipliquen els factors escollits.

PROBLEMA RESOLT

Càlcul del MCM (45, 40) 4 1

5 5 5 1

3 3 5

4 2 1

0 0 0 5 1

2 2 2 5

MCM (45, 40) = 23 · 32 · 5 = 360

Un distribuïdor d’electrodomèstics ha de carregar dos palets, un amb rentaplats de 45 kg i un altre amb frigorífics de 40 kg, de manera que tots dos pesin el mateix i el menys possible. Quant pesarà cada palet?

La càrrega d’un palet serà el múltiple comú més petit possible de 45 kg i de 40 kg, és a dir, el seu mínim comú múltiple.

360 : 45 = 8 rentavaixelles MCM (45, 40) = 360 kg * 360 : 40 = 9 frigorífics Solució: C ada palet pesarà 360 kg, un amb 8 rentaplats i l’altre amb 9 frigorífics.

GeoGebra. Calcula el MCM de dos nombres.

47

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

» FIXA IDEES F20. Copia i completa:

EXEMPLE

18 = 2 $ 3 2 4 MCM (18, 24) = 2 · 3 = …

24 = 2 3 $ 3

30 =

·

·

Càlcul del mínim comú múltiple de 28 i 42.

28 2·2·7 28 = 2 $ 2 $ 7 3 2·2·3·7 42 = 2 $ 3 $ 7 2·3·7 42

45 =

·

MCM (28, 42) = 22 · 3 · 7 = 84

49 = 7 2 4 MCM (49, 63) = 3 · 7 = …

63 = 3 2 $ 7

F21. Copia i completa per calcular el mínim comú múltiple de 30 i 45: 3 0

4 5

MCM (30, 45) = …

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 19. Copia, observa i completa a primer cop d’ull: •

a) a = 4 b = 8

15 → 15 30 45 60 75 90 105 …

•

25 → 25 50 75 100 125 150 …

20. Calcula com en l’activitat anterior: a) MCM (20, 25)

b) MCM (12, 24)

c) MCM (50, 75)

d) MCM (200, 300)

21. Calcula mentalment: a) MCM (6, 9)

b) MCM (6, 12)

c) MCM (5, 10)

d) MCM (15, 20)

22. Observa, completa en el teu quadern i calcula: 0 5 5 1

2 3 5

4 0 2 0

1

_ 30 = 2 · 3 · 5 b b MCM (30, 40) = …

40 = … ` b MCM (40, 54) = …

54 = … a

5 4

1

23. Calcula el MCM (a, b) en cada cas: a) a = 2 . 5 . 11 b = 3 . 5 . 11

48

b) a = 24 . 5 b = 22 . 52

b) a = 5 b = 10

c) a = 4 b = 12

d) a = 6 b = 18

25. Calcula:

MCM (15, 25) = …

3 1

24. Calcula el MCM (a, b) en cada cas. Què observes?

c) a = 24 . 32 b = 22 . 3 . 5

a) MCM (28, 35)

b) MCM (35, 40)

c) MCM (36, 54)

d) MCM (42, 63)

e) MCM (72, 108)

f ) MCM (99, 165)

26. Una fàbrica envia mercaderia a Castelló cada 6 dies i a Eivissa cada 8 dies. Avui han coincidit tots dos enviaments. Quan tornaran a coincidir?

27. S’han construït dues columnes de la mateixa alçària: la

primera apilant cubs de 40 cm d’aresta i la segona apilant cubs de 30 cm d’aresta. Quina alçària assoliran sabent que superen els 2 metres, però no arriben a 3?

28. L’autobús de la línia vermella passa per la parada, da-

vant de casa meva, cada 20 minuts i el de la línia verda, cada 30 minuts. Si tots dos passen a les dues de la tarda, a quina hora tornaran a coincidir?

29. En Juli compta de 4 en 4, l’Anna de 6 en 6 i la Sofia de

10 en 10. Quins són els tres primers nombres en els quals coincideixen?

6. MÀXIM COMÚ DIVISOR També trobaràs problemes que exigeixen la utilització dels divisors comuns de diferents nombres. Vegem-ne un exemple:

Exemple S’han de col·locar suports per a testos, a intervals iguals, a les cantonades i les vores d’un pati de 8 × 12 metres. A quina distància s’ha de col·locar un suport del següent suport?

Temptejant, es troben tres possibles solucions:

A 1 metre de distància.

Càlcul del MCD (8, 12) divisors →1 2 4 8 de 8

A 4 metres de distància.

Les solucions coincideixen amb els divisors comuns de 8 i 12: 1-2-4 El més gran d’aquests divisors comuns és 4 i rep el nom de màxim comú divisor de 8 i 12.

El més gran dels divisors comuns de dos o més nombres (a, b, c…) s’anomena màxim comú divisor i s’expressa així:

divisors → 1 2 3 4 6 12 de 12 divisors 4→ 1 - 2 - 4 comuns

A 2 metres de distància.

MCD (a, b, c…)

Càlcul del màxim comú divisor (mètode artesanal) Per obtenir el màxim comú divisor de dos nombres: • Escrivim els divisors de cada nombre.

• Agafem els nombres comuns.

• Ens quedem amb el més gran.

MCD (8, 12) = 4

» FIXA IDEES

F22. Copia, observa i completa a primer cop d’ull: a) Divisors de 12 → 1 2 3 4 6 12 Divisors de 16 → 1 2 4 8 16 MCD (12, 16) = … b) Divisors de 15 → 1 3 5 15 Divisors de 20 → 1 2 4 5 10 20 MCD (15, 20) = …

F23. Calcula com en l’activitat anterior: a) MCD (6, 8)

b) MCD (8, 20)

c) MCD (10, 15)

d) MCD (12, 24)

EXEMPLE

Càlcul del màxim comú divisor de 20 i 30.

Divisors de 20 1

2

4

5

10

1

2

3

5

6

20 10

15

30

Divisors de 30 Divisors comuns → 1 - 2 - 5 - 10 El més gran dels divisors comuns és 10.

MCD (20, 30) = 10

49

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT Càlcul del màxim comú divisor (mètode òptim) El mètode que has après en la pàgina anterior resulta adequat per a nombres senzills.

En casos més complicats, resulta molt més còmode utilitzar la descomposició en factors, com es mostra a continuació:

Exemple Càlcul del MCD (40, 60).

Mètode artesanal

• Primer pas: descompondre en factors primers.

Divisors de 40 1 2 4 5 8 10 20 40 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60 Divisors de 60

MCD (40, 60) = 20

4 2

1

0 0 0 5 1

2 2 2 5

6 3 40 = 23 · 5 1

0 0 5 5 1

2 2 3 5

60 = 22 · 3 · 5

• Segon pas: escollir els factors primers del MCD. Com que el MCD ha de ser el divisor més gran possible de 40 i de 60, has d’agafar: 40 = 2 · 2 · 2 · 5 — Els factors comuns de 40 i 60.

60 = 2 · 2 · 3 · 5 — No has d’agafar cap factor no comú.

— Tants factors com sigui possible.

MCD: (40, 60) = 2 · 2 · 5

Tingues en compte Quan un dels nombres és múltiple de l’altre, el MCD és el més petit.

Exemple: MCD (15, 30) = 15 Comprova-ho.

15 = 3 · 5 30 = 2 · 3 · 5 MCD (15, 30) = 3 · 5 = 15

Càlcul del MCD (200, 260) 2 1

0 0 5 2

0 0 0 5 5 1

2 2 2 5 5

2 1

6 3 6 1

MCD (40, 60) = 2 · 2 · 5 = 20 Per calcular el màxim comú divisor de diferents nombres: 1. Es descomponen els nombres en factors primers.

2. S’agafen només els factors primers comuns, elevats a l’exponent més petit.

3. Es multipliquen els factors escollits.

PROBLEMA RESOLT 0 0 5 3 1

MCD (200, 260) = 22 · 5 = 20

50

• Tercer pas: calcular, finalment, el MCD.

2 2 5 13

En un magatzem volen envasar, per a la seva distribució, 200 kg de pomes i 260 kg de taronges en caixes del mateix pes i de la càrrega més gran possible. Quants quilos han de posar en cada caixa?

El pes d’una caixa ha de ser el divisor comú més gran possible de 200 i 260, i a més el més gran possible, és a dir, el seu màxim comú divisor.

200 : 20 = 10 caixes de pomes MCD (200, 260) = 20 kg * 260 : 20 = 13 caixes de taronges Solució: Cada caixa pesarà 20 kg i ompliran 10 caixes de pomes i 13 de taronges.

GeoGebra. Calcula el MCD de dos nombres.

» FIXA IDEES F24. Copia i completa:

EXEMPLE

40 = 2 $ 2 $ 2 $ 5 3 MCD (40, 50) = 50 = 2 $ 5 $ 5

·

Càlcul del màxim comú divisor de 60 i 72:

=…

60 = 2 · 2 · 3 · 5 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3

54 = 2 $ 3 3 4 MCD (54, 90) = 2 · 3 = …

90 = 2 $ 3 2 $ 5

60 = 2 2 $ 3 $ 5 72 = 2 3 $ 3 2

F25. Copia i completa per calcular el màxim comú divisor de 90 i 315:

9 0

1

3 1 5

1

2

3

·

90 = 2 ·

315 = 3 ·

MCD (60, 72) = 22 · 3 = 12 ·

MCD (90, 315) = …

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 30. Observa i completa a primer cop d’ull:

35. Calcula:

Div. de 24 → 1 2 3 4 6 8 12 24 Div. de 30 → 1 2 3 5 6 10 15 30

a) MCD (20, 24)

b) MCD (24, 36)

c) MCD (54, 60)

d) MCD (56, 70)

MCD (24, 30) = …

e) MCD (120, 144)

f ) MCD (140, 180)

31. Calcula seguint el criteri de l’activitat anterior:

36. Calcula el MCD (a, b) en cada cas. Què observes?

a) MCD (10, 15)

b) MCD (12, 18)

c) MCD (16, 24)

d) MCD (30, 45)

a) a = 4 b = 8

b) MCD (6, 9)

c) MCD (30, 40)

d) MCD (50, 75) 1 0 0 5 0

1

38. La propietària d’un restaurant compra un bidó de 80 li2

34. Calcula el MCD (a, b) en cada cas: a) a = 3 · 5 · 11 b = 2 · 5 · 11

d) a = 6 b = 18

buixar-hi una quadrícula tan gran com sigui possible en la qual no hi hagi quadrats fraccionats. Quina ha de ser la mida dels quadrats?

33. Completa en el teu quadern i calcula: 6 0 2 9 0 2 3 0 4 5

1 1 _ 60 = 2 ·…b MCD (60, 90) = … b 90 = 2 ·…` MCD (60, 100) = …

100 = 2 ·…b MCD (90, 100) = … a

c) a = 4 b = 12

37. Suposa que tens un full de 30 cm × 21 cm i vols di-

32. Calcula mentalment: a) MCD (3, 9)

b) a = 5 b = 10

b) a = 23 · 52 c) a = 22 · 7 · 13 b = 22 · 52 · 7 b = 2 · 32 · 13

tres d’oli d’oliva i un altre de 60 litres d’oli de gira-sol i vol envasar-los en garrafes iguals, tan grosses com sigui possible, i sense barrejar-los. Quina serà la capacitat de les garrafes?

39. Un fuster té dos llistons de 180 cm i 240 cm, respectiva-

ment, i vol tallar-los en trossos iguals, tan llargs com sigui possible, sense desaprofitar fusta. Quina ha de ser la mida de cada tros?

51

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

» EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES Múltiples i divisors

Nombres primers i compostos

1.

10.

Escriu:

a) Els múltiples de 20 compresos entre 150 i 210. b) Un múltiple de 13 comprès entre 190 i 200.

14

17

28

29

47

53

c) Tots els parells de nombres el producte dels quals és 80.

57

63

71

79

91

99

2.

Busca tots els divisors dels nombres següents:

a) 10

b) 18

c) 20

d) 24

e) 28

f ) 30

g) 39

h) 45

i) 50

De quantes maneres diferents es poden envasar 60 bombons en capses amb el mateix nombre d’unitats en cada una sense que en sobri cap?

4.

Busca totes les formes possibles de fer grups iguals amb 72 terrossos de sucre.

El nombre 899 només té quatre divisors; un és el nombre 31. Expressa el nombre 899 com a producte de dos factors diferents d’ell mateix i de la unitat.

Descompon en factors primers aquests nombres:

a) 54

b) 140

c) 200

d) 380

13.

Busca el primer nombre, més gran que 160, que no es pugui expressar com el producte de dos factors diferents d’ell mateix i de la unitat.

14.

Esbrina si el nombre 203 és primer o compost.

Justifica la teva resposta.

15.

Per saber si el nombre 223 és primer, n’hi ha prou de comprovar que no és divisible per cap dels nombres primers fins al 17. Per què?

Criteris de divisibilitat 5.

11.

12.

3.

Escriu:

a) Un nombre de tres xifres que sigui divisible per 3. b) Un nombre de quatre xifres que sigui divisible per 5.

Mínim comú múltiple i màxim comú divisor

c) Un nombre de cinc xifres que sigui divisible per 9.

16.

6.

Substitueix cada lletra per una xifra, perquè el nombre resultant sigui divisible per 3: A51

2B8

32C

52D

1E8

7.

Busca, en cada cas, tots els valors possibles de a per tal que el nombre resultant sigui, al mateix temps, múltiple de 2 i de 3.

4

8.

a

3

2

a

2

4

a

Investiga i descriu:

a) Les condicions que ha de complir un nombre per ser múltiple de 6. b) El criteri de divisibilitat per 100.

9.

Un any és de traspàs si és múltiple de quatre, però no de 100. Quins són els tres pròxims anys de traspàs?

52

Copia els nombres i indica quins són primers i quins són compostos:

da cas:

Obtén mentalment tres múltiples comuns en ca-

a) 4 i 5

b) 10 i 12

c) 15 i 25

d) 20 i 40

e) 100 i 150

f ) 20, 25 i 30

17.

El mínim comú múltiple de dos nombres és 15.

Quins poden ser aquests nombres?

18.

Calcula el MCM i el MCD:

a) 25 i 75

b) 42 i 76

c) 81 i 99

d) 132 i 176

e) 12, 18 i 24

f ) 30, 45 i 75

Resol problemes 19.

El producte de dos nombres diferents de la unitat és 77. Quina és la seva diferència?

20.

El producte de tres nombres diferents de la unitat és 75. Quina és la seva suma?

21.

Busca el nombre més petit que en dividir-lo entre 10 i entre 12 té un residu de 5.

22.

Avui és 15 de març i dilluns. Quin dia de la setmana serà el 15 de maig?

23.

26.

Els assistents a la reunió setmanal d’un club so­ cial es poden agrupar per parelles per ballar, en trios per fer manualitats i de quatre en quatre per jugar al mus. En cap d’aquests casos no queda ningú desagrupat. Quantes persones són si gairebé arriben a 25?

En una fruiteria envasen sucs de taronja i de poma en caixes amb el mateix nombre d’ampolles. Quantes ampolles hi ha en cada caixa si un client ha rebut 15 ampolles de suc de taronja i 12 de suc de poma?

27.

24.

28.

PROBLEMA

RESOLT

Estudia els casos possibles i comprova quins compleixen les condicions del problema.

Una fornada de magdalenes s’envasa en bosses de 6 unitats i una altra d’igual, en bosses de 10 unitats, sense que en sobri cap en tots dos casos. Quantes magdalenes surten en cada fornada si s’han omplert gairebé 50 bosses?

Volem tallar una cartolina de 48 cm × 60 cm en targetes quadrades que tinguin entre 5 i 10 cm de costat.

Quina ha de ser la mida de les targetes per no desaprofitar la cartolina?

Els trens a Vall de Dalt surten cada 18 min i els de Vall de Baix, cada 24 min. Si són les 15 h 45 min i surten alhora, quan tornaran a coincidir?

29.

La caixa d’un supermercat té, en el moment d’obrir, uns quants cartutxos de deu monedes d’1 €. El caixer fa comptes i calcula que es podrien empaquetar, també, en cartutxos de quinze. Quantes monedes hi ha si són més de 100 però menys de 150?

30.

El nombre de magdalenes de cada fornada és un múltiple co­ mú de 6 i de 10 i, per tant, del seu mínim comú múltiple: MCM (6, 10) = 30 Els múltiples comuns de 6 i 10 són: 30 - 60 - 90 - 120 - 150 - …

Copia la taula següent en el teu quadern i acaba el problema: nombre de magdalenes per fornada

nombre de bosses de 6 unitats

nombre de bosses de 10 unitats

nombre total de bosses

30

5

3

8

60

10

6

16

90

15

9

24

120

…

…

…

150

…

…

…

180

…

…

…

…

…

…

…

25.

L’Anna ha tret del forn dues safates: una amb 36 brioixos i una altra amb 48 palmeres. Vol repartir els brioi­xos, d’una banda, i les palmeres, de l’altra, en bosses, totes amb el mateix nombre de peces i amb un mínim de 5 peces per bossa. Quantes peces ha de posar en cada bossa? Indica’n totes les possibilitats.

En Joan envasa 60 bombons en capses iguals i 60 més en capses més petites, amb 5 bombons menys en cada una. Quantes capses ha omplert si de les petites n’hi ha una més que de les grosses?

31.

Un comerciant de roba rep una partida de camises a 24 € la unitat. Una amiga seva, que té una botiga en un altre barri, rep una partida de pantalons a 45 €. Es posen en contacte i decideixen intercanviar part de les seves mercaderies per millorar l’oferta dels seus negocis.

En quines condicions faran l’intercanvi?

Problemes «+» 32.

En una escola de bàsquet hi havia 20 equips. A causa d’una retallada de pressupost, s’han suprimit quatre equips i s’han distribuït els jugadors entre els altres.

Així, cada equip ha augmentat en dos jugadors. Quants jugadors i jugadores hi ha en total?

33.

Una grangera, després de recollir en una cistella gairebé 100 ous de les seves gallines, pensa: Si els envaso en dotzenes, me’n sobren 3, però si en tingués un més, podria envasar-los exactament en oueres de 10.

Quants ous té?

53

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

» MATEMÀTIQUES EN CONTEXT REFORMES EN UN RESTAURANT La Marta és una professional que es dedica a decorar interiors i ha estat contractada per reformar un restaurant de la ciutat. L’amo de l’establiment li ha encarregat un disseny estètic i, al mateix temps, funcional.

1. Esbós del projecte La Marta visita el restaurant per fer l’esbós del projecte. El restaurant obre puntualment, de dotze a quatre i de dos quarts de cinc a onze de la nit. Per desplaçar-se ha fet servir el transport públic. Hi ha dues línies d’autobús que tenen el seu origen al costat del restaurant i surten a les vuit del matí i funcionen, ininterrompudament, fins a les deu del vespre: la línia vermella, cada 15 minuts, i la verda, cada 25. El restaurant té una terrassa que, des de mitjan abril fins a mitjan setembre, col·loca una dotzena de taules sota una dotzena i mitja de para-sols. a) Si és la una i dotze minuts, quant fa que ha obert el restaurant? b) Quantes vegades, al llarg del dia, para l’autobús de la línia vermella? c) Si els autobusos de les dues línies coincideixen a la parada d’origen a les vuit del matí, a quina hora tornaran a coincidir? d) L’amo del restaurant també vol renovar els para-sols de la terrassa. Si la Marta ha fet un pressupost de 1.692 euros, quant costa cada para-sol? e) Durant quants dies està instal·lada la terrassa del restaurant cada any?

2. Empaperar la recepció La Marta aconsella a l’amo empaperar la recepció del restaurant amb un paper decoratiu, perquè li surti més econòmic. Ha encarregat un rotllo de paper continu d’1 metre d’ample i de diferents longituds: 14 i 18 metres.

Per tal que ni sobri ni falti paper, el pintor ha tallat els rotllos de paper a trossos iguals. a) El pintor ha decidit fer-ne trossos de la mida més gran possible. Quina és aquesta mida? b) Quants trossos de paper li sortiran de cada rotllo?

54

3. Endreçar el magatzem Un altre encàrrec que rep la Marta és organitzar i endreçar el magatzem del restaurant, ple de condiments i productes que fan servir els cuiners per preparar els plats. Al magatzem també hi ha molts pots de llegums i verdures: 136 kg de cigrons, 208 kg de llenties i 148 kg de mongetes.

La Marta ha demanat al mosso de magatzem que desi els pots en capses iguals, que continguin el mateix pes i el màxim nombre possible de quilos d’un sol producte.

a) Quants quilos podrà desar en cada capsa? b) Quantes capses prepararà que continguin cigrons? c) I quantes en prepararà amb llenties? d) I amb mongetes?

A partir de les dades d’aquesta activitat, pensa una altra pregunta per plantejar-la a un company o companya de classe.

Primer l’has de resoldre tu per comprovar que estigui ben plantejada i per saber quina és la resposta correcta.

Al magatzem falten unes quantes prestatgeries per col·locarhi els ingredients que fan servir els cuiners i la Marta decideix encarregar-les a un fuster.

El fuster, per construir una prestatgeria, necessita el material següent: • 2 taulons llargs • 24 claus grossos • 6 taulons curts • 4 escaires El fuster té, al seu taller, el material següent: • 13 taulons llargs • 145 claus grossos • 41 taulons curts • 27 escaires e) Quantes prestatgeries podrà fer?

Primer de tot, determina quants elements necessita el fuster per fer una prestatgeria i fes una taula amb tot el material que necessita per fer més d’una prestatgeria.

55

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

» TALLER DE MATEMÀTIQUES » LLEGEIX I DESCOBREIX Els primers valen diners

El 101 és el protagonista

Els nombres primers s’utilitzen per a la construcció de les claus que protegeixen els comptes bancaris, els ordinadors, els telèfons mòbils, la informació que circula per internet, etc.

• Què li passa a un nombre de dues xifres si el multipliquem per 101? Comprova-ho.

De fet, per elaborar una clau, es necessiten dos nombres primers secrets.

Fixa’t en altres casos i verifica que sempre passa el mateix.

Per això, el que descobreix nous nombres primers descobreix un tresor cobejat per empreses informàtiques i de comunicacions, disposades a comprar-los a preus elevats.

• Què tenen en comú tots els nombres de quatre xifres que es formen repetint alternativament dues xifres?

29 × 101 = ?

Però els fàcils ja s’han descobert i els nous són molt difícils de trobar.

• Busca el primer nombre primer més gran que 1.000.

4 5 4 5

8 7 8 7

1 3 1 3

4 3 4 3

» INVESTIGA Divisibilitat i geometria Ja has vist en altres ocasions com les característiques i les propietats dels nombres es reflecteixen en relacions i propietats geomètriques. Observa ara com la descomposició factorial d’un nombre, per exemple el 24, està relacionada amb les possibilitats de construir prismes amb un conjunt de 24 daus (cubs unitaris): 1 × 24 2×2×6 2 × 12

24 = 2 · 2 · 2 · 3

2×2×2

3×8 2×3×4 4×6 2×2×2×3

• Quants prismes diferents es poden construir amb 12 daus unitaris?

• I amb un conjunt de 60 daus?

56

» ENTRENA’T RESOLENT ALTRES PROBLEMES Fes comptes, fes proves • En un restaurant s’inverteixen 300 € en la compra de plats i la mateixa quantitat en la compra de tasses. Si una tassa costa un euro més que un plat i ha comprat 15 plats més que tasses, quants plats i quantes tasses s’han adquirit?

• A la via morta, M, hi cap un vagó, A o B, però no la locomotora, L. Com ho faries per canviar entre si les posicions dels vagons?

Utilitza un esquema com el següent per explicar els moviments necessaris: M

M

M

A L

LA

B

A

B

B

L

» POSA’T A PROVA 1. Busca, entre els nombres següents, quatre parells de nombres que compleixin la relació de divisibilitat: 6

15

35

80

90

240

2. Indica si les afirmacions següents són vertaderes o falses:

a) 60 és divisible per 15. b) 7 és múltiple de 21. c) 12 és divisor de 120. d) 162 és múltiple de 8.

3. Escriu: a) Els múltiples de 12 compresos entre 50 i 100. b) Tots els divisors de 90.

4. Troba aquests nombres: a) El primer múltiple de 13, després de 1.000. b) L’últim múltiple d’11, abans de 1.000.

5. Completa en el teu quadern: a) Un nombre és múltiple de 3 quan… b) Un nombre és divisible per 5 quan… c) Un nombre és múltiple de 9 quan…

6. Escriu, ordenats, tots els nombres primers més petits que 50.

7. Esbrina si els nombres següents són primers o compostos: a) 101

b) 147

c) 247

8. Descompon en factors primers: a) 36

b) 48

c) 396

9. Calcula: a) MCM (36, 48)

b) MCD (36, 48)

c) MCM (10, 15, 25)

d) MCD (10, 15, 25)

10. De quantes maneres diferents es pot dividir una classe de 28 alumnes, en equips amb el mateix nombre de membres, sense que en sobri cap?

11. Quin és el costat del quadrat més petit que es pot formar si unim rajoles rectangulars de 15 cm de llargada per 6 cm d’amplada?

12.

Un grup de 48 nens i nenes, acompanyats de 36 adults, van a un campament de muntanya. Per dormir, acorden ocupar cada cabana amb el mateix nombre de persones. A més, com menys cabanes ocupin, menys pagaran. D’altra banda, ni els adults no volen dormir amb nens ni els nens no volen dormir amb adults.

Quantes persones hi haurà en cada cabana? Quantes cabanes ocuparan?

57