Guia Mary Somerville 1r. Mostra. Matemàtiques

MAT

QU EES MÀ

D’AULA GUIA 1 ESO

Programa Mary Somerville

Aquest projecte editorial de l’àmbit matemàtic ha estat elaborat d’acord amb les dimensions competencials i els continguts descrits en el decret d’ordenació curricular publicat pel Departament d’Ensenyament de la Generalitat de Catalunya l’any 2015; aquest decret es fonamenta en la Llei d’educació de Catalunya i en les directrius de la Unió Europea, i respon al marc normatiu i a la legalitat vigent.

Equip editorial:

Cap del projecte editorial: Montse Ballaró

Coordinació editorial: Alícia Almonacid

Edició: Alícia Almonacid i Agnès Toda

Correcció: M. Mercè Estévez

Coordinació artística i disseny: Laura R. Dengra

Coordinació tècnica: Mercedes F. Bravo i Gemma Vadillo

Maquetació: Moelmo, SCP

Aquesta guia d'aula correspon als continguts del llibre de Matemàtiques 1 (Programa Mary Somerville), de José Colera Jiménez, Ignacio Gaztelu Albero i Ramón Colera Cañas.

© 2020 d’aquesta edició: Editorial Barcanova, SA Rosa Sensat, 9-11, 4a planta. 08005 Barcelona Telèfon 932 172 054 barcanova@barcanova.cat www.barcanova.cat

Primera edició: juliol de 2020

ISBN: 978-84-489-5072-9 DL B. 15113-2020

Printed in Spain

Reservats tots els drets. El contingut d’aquesta obra està protegit per la llei, que estableix penes de presó i multes, a més de les indemnitzacions corresponents per danys i perjudicis, per a aquells que reproduïssin, plagiessin o comuniquessin públicament, totalment o parcialment, una obra literària, artística o científica, o la seva transformació, interpretació o execució artística fixada en qualsevol tipus de suport o comunicada per qualsevol mitjà, sense l’autorització preceptiva.

» DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE

E PROJ TEC EL DE MAT T QU E ES MÀ I

» PRESENTACIÓ

» PRESENTACIÓ

El nou projecte per a l’Educació Secundària Obligatòria permet avançar des del marc de l’escola curricular fins a l’escola competencial, responent a la demanda de noves eines que aquest nou model necessita. Es tracta de formar alumnes competents a l’hora de connectar els continguts amb la informació que requereixen en cada moment per interactuar amb l’entorn, per donar-los un sentit d’utilitat transversal que els ajudi a resoldre els problemes i reptes que els planteja el seu procés d’aprenentatge i la societat en què vivim.

Per facilitar el procés d’aprenentatge competencial proposem un material educatiu amb un contingut teòric com a font d’informació de tot allò que estableix el currículum per a la matèria i el curs corresponent, i unes activitats perquè l’alumne aprengui a gestionar la informació i adquireixi la competència d’aprendre a aprendre. A més a més, el docent disposa d’un llibre digital descarregable, multisuport, multidispositiu i multiplataforma, que conté recursos exclusius, com ara suggeriments didàctics, vídeos i enllaços d’interès per ajudar a dinamitzar l’aula i motivar l’alumnat.

Aquesta Guia d’aula per a l’àmbit matemàtic, de Matemàtiques, forma part del projecte competencial elaborat per l’editorial seguint el currículum del Departament d’Ensenyament. Cobreix totes les necessitats del docent per afrontar el currículum competencial enfocat a treballar les competències pròpies de l’àmbit, agrupades per dimensions

MATTQUEESMÀ I

Programa Mary Somerville

El contingut de la guia està pensat per facilitar la tasca del professorat a l’aula: per això es presenta la reproducció de les pàgines del llibre amb la informació necessària per ser utilitzada en cada moment:

• La temporització orientativa del contingut del llibre.

• Una proposta de programació didàctica de cada unitat.

• Els continguts clau de cada unitat.

• Les solucions de totes les activitats.

• La indicació de les activitats proposades per avaluar per dimensions i competències amb l’aplicació AvaluApp ( ).

• La indicació de les activitats relacionades amb els objectius de desenvolupament sostenible (ODS, ).

• La indicació de les pàgines on es poden treballar activitats amb GeoGebra ( ).

» TEMPORITZACIÓ ORIENTATIVA

El currículum estableix 105 hores per a la matèria de Matemàtiques de 1r d’ESO. Es fa difícil establir una temporització que sigui aplicable a tots els grups, perquè els ritmes d’aprenentatge solen ser diversos. D’altra banda, pot haver-hi alguna part de l’alumnat que, per les seves característiques, no treballi tots els continguts activitats que presentem. És per això que la temporització que oferim aquí només és orientativa. Els tres reptes trimestrals que es presenten estan pensats perquè els alumnes els facin a casa; tanmateix, en aquesta temporització els destinem 2 hores per a una posterior posada en comú a l’aula. L’apartat «Resolució de problemes» també està pensat perquè el facin de manera autònoma, aquí destinem 4 hores a la posada en comú.

UNITAT 1

Per tal de completar les eines per al professorat, el docent pot comptar amb material complementari preparat per ser fotocopiat. Aquest material el podrà descarregar des de l’espai personal del web www.barcanova.cat:

• Avaluacions curriculars: tres propostes en tres nivells de dificultat.

• Avaluacions competencials: seguint el model de les proves PISA.

• Activitats de reforç.

• Rúbriques i dianes d’avaluació.

RÚBRIQUES Unitat 1

Dimensió resolució de problemes, dimensió connexions i dimensió comunicació i representació Pàgina 32, activitat 1

Aprenent 2 (50 %) Novell 1 (25 %)

Descriptors

1. Interpretació identificació de la informació de l’enunciat del problema.

2. Aplicació d’estratègies matemàtiques per resoldre el problema.

3. Ús d’eines procediments per fer càlculs amb nombres enters.

Nivell d’assoliment Pes Expert 4 (100 %) Avançat 3 (75 %)

Extrec les dades de l’enunciat del problema i en faig una representació.

Sé triar les dades de l’enunciat del problema entenc què demana i què cal fer per resoldre’l.

Estudio com esbrinar quant ingressa en Pau, desenvolupo el procediment amb seguretat i, un cop resolt, el repasso.

Estudio com esbrinar quant ingressa en Pau, estableixo un pla per calcular-ho el desenvolupo.

Sé triar allò més important de l’enunciat del problema em faig una idea de què demana de què cal fer per resoldre’l. Entenc l’enunciat del problema amb dificultats. 30 %

Estudio com esbrinar quant ingressa en Pau, penso idees per resoldre-ho provo de desenvolupar-les.

Transformo lesaritmètiquesexpressionsper calcular quantes safates ven en Pau amb agilitat seguretat. Transformo algunes expressions aritmètiques per calcular quantes safates ven en Pau.

4. Identificació de les idees matemàtiques relacionades amb situacions quotidianes.

Multiplico, resto divideixo per saber quantes safates ven en Pau. Aplico operacions diverses per calcular quantes safates ven en Pau.

5. Argumentació de les afirmacions. Explico, d’una manera senzilla i amb precisió, com calculo el benefici que obté en Pau.

Miro d’esbrinar quant ingressa en Pau, penso en algunes idees per resoldre-ho i provo de desenvolupar-les amb dificultats. 30 %

Faig algunes transformacions amb aritmètiquesexpressions per calcular quantes safates ven en Pau.

Tinc dificultats per transformar lesaritmètiquesexpressionsper calcular quantes safates ven en Pau. 15 %

Crec que cal multiplicar dividir per saber quantes safates ven en Pau, però no sé en quin ordre cal fer-ho.

Explico d’una manera entenedora com calculo el benefici que obté en Pau.

Provo d’explicar com calculo el benefici que obté en Pau.

No tinc clar quines són les operacions que cal fer per saber quantes safates ven en Pau. 10 %

Provo d’explicar, amb dificultats, com es pot calcular el benefici que obté en Pau. 15 %

Programa Mary Somerville

Data: QUALIFICACIÓ: Tema 2. Opció A 2.1. a) Troba tres exemples de múltiples de cadascun dels nombres següents: 6: 10: 12: 25: b)Troba tots els divisors de 30.

2.2.Troba els nombres següents: a)Un múltiple de 6 que tingui el 0 com a darrera xifra (és a dir, la xifra de les unitats).

b)El divisor de 60 que tingui 5 com a darrera xifra.

c)Un múltiple de 7 que tingui el 5 com a darrera xifra.

2.3. Classifica els següents nombres segons siguin múltiples de 2, de 3 o de 5 (alguns d’ells poden ser divisibles per més d’un nombre): 20 12 4 28 35 42 33 15 25 32 48 60 Múltiples de 2 Múltiples de 3 Múltiples de 5 AVALUACIÓ CURRICULAR. TEMA 2

L CURR UÍC UM N COMP EET CIAL UN

» LES COMPETÈNCIES, LES RÚBRIQUES I LES DIANES

» COMPETÈNCIES DE L’ÀMBIT MATEMÀTIC

» ELS OBJECTIUS DE DESENVOLUPAMENT SOSTENIBLE (ODS)

» LES COMPETÈNCIES, LES RÚBRIQUES I LES DIANES

Les competències

Una competència és el resultat d’integrar coneixements, habilitats i actituds d’una manera pràctica i saber-les aplicar a contextos diversos, siguin de l’àmbit acadèmic o de l’àmbit no acadèmic. Les competències són, per tant, combinacions de coneixements, habilitats i actituds adquirides que interactuen per donar una resposta eficient al treball o a l’activitat que es duu a terme.

L’objectiu principal de l’aprenentatge és el desenvolupament de les competències. La nomenclatura de les competències que utilitzem en aquesta Guia d’aula és la que estableix el Departament d’Ensenyament en el document Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic

Les competències s’han de considerar totalment integrades amb els continguts del currículum. Per a l’adquisició de cada competència són necessaris continguts molt diversos que s’hauran d’anar assolint progressivament al llarg dels cursos. Les competències de cada àmbit de coneixement s’estableixen per a tota l’etapa educativa; per tant, la seva adquisició s’haurà d’anar consolidant amb els aprenentatges que es vagin aconseguint en els diversos cursos de l’ESO.

Cal assenyalar que no totes les activitats que requereix un alumne per assolir plenament els continguts tenen un caràcter competencial. També són necessàries les activitats d’aplicació directa dels continguts.

En l’apartat d’aquesta guia «Programació competencial d’aula i concreció de les dimensions» trobareu una relació de les activitats proposades en el llibre agrupades per dimensions. Sovint les activitats proposades es relacionen amb més d’una dimensió i posen en joc diverses competències, però en aquesta programació s’ha volgut indicar la dimensió que té més rellevància en cada activitat. En el cas de les activitats que pertanyen a la secció «Matemàtiques en context», excepcionalment indiquem totes les dimensions que hi intervenen, ja que proposem aquestes activitats per avaluar per dimensions mitjançant l’aplicació AvaluApp.

DIMENSIÓ

Les rúbriques

Les rúbriques són eines d’autoavaluació dels alumnes que serveixen perquè siguin conscients del seu nivell d’aprenentatge, però també són una eina excel·lent per al docent per copsar la percepció que cada alumne té d’aquest aprenentatge i, si cal, establir estratègies perquè millorin.

Es poden fer servir en l’avaluació de determinades activitats i descriuen les característiques específiques d’aquella activitat en diversos nivells de rendiment, per tal d’aclarir allò que s’espera del treball de l’alumne, valorar-ne l’execució i facilitar el feedback (retroalimentació).

Així, doncs, la rúbrica és un instrument d’avaluació que no solament serveix per al docent, que la utilitza per mostrar a l’alumnat, d’una manera clara, el que es valorarà d’aquella tasca i com hi poden arribar, sinó també per a l’alumne, ja que facilita l’autoreflexió i la seva implicació activa i, per tant, és una eina per guiar-ne l’aprenentatge. A més, la rúbrica pot ser motivadora si orienta l’alumnat sobre com pot millorar.

Si es vol que sigui una eina potent per a l’aprenentatge de l’alumnat, cal involucrar-lo en la seva elaboració, posada en pràctica i revisió. En aquest programa de Matemàtiques posem a l’abast del docent diferents rúbriques perquè les pugueu fotocopiar, comentar i lliurar a cada un dels vostres alumnes abans de fer l’activitat a què es refereix i, si ho creieu convenient, modificar-la conjuntament, de manera que sigui una mena de contracte entre docent i alumnat.

Per a cada descriptor s’estableix una gradació en quatre nivells, cada un amb un valor: expert (4), avançat (3), aprenent (2) i novell (1), i s’estableix un percentatge per a cada ítem, de manera que, tots sumats, arribin a 100.

Si d’una competència indiquem que té un percentatge del 5 %, l’alumne que marqui l’opció expert obtindrà el 100 % del percentatge de la nota, és a dir, un 5 %; el que hagi marcat l’opció avançat obtindrà un 75 % del 5 %, és a dir, un 3,75 ; l’ aprenent , un 50 % del 5 %, és a dir, un 2,5 %, i el novell, un 25 % del 5 %, és a dir, un 1,25 %. Sumats els valors obtinguts per a cada ítem, tindrà el valor global d’assoliment d’aquella activitat i el percentatge corresponent a cada competència.

Tant els descriptors de les competències —o ítems— com els percentatges que hem atorgat a cada un els podeu modificar segons el vostre criteri. El que cal és que, repartits els percentatges, el total faci 100. També, a partir d’aquests models, vosaltres mateixos podeu elaborar rúbriques per a altres activitats o treballs del vostre alumnat.

RÚBRIQUES • Unitat 1

Dimensió resolució de problemes, dimensió connexions i

Les dianes

La diana d’autoavaluació és una altra eina que ens permet avaluar les competències d’una activitat que considerem rellevant, d’una manera ràpida i àgil, a partir de la percepció que l’alumne té del seu aprenentatge. És una eina més senzilla que la rúbrica però, de vegades, és suficient.

La representació de la diana presenta quatre cercles concèntrics, que determinen el grau d’assoliment de les competències que es volen avaluar, amb una numeració de l’1 al 4: al cercle més intern li correspon l’1 i al més extern, el 4. Vindrien a ser els graus d’assoliment de les rúbriques (expert, avançat, aprenent i novell).

Aquesta diana es divideix en tants sectors com descriptors de les competències o ítems es vulguin avaluar. Cada línia que separa els sectors representa un dels ítems. De vegades es posa el descriptor de la competència a la part externa del cercle o, si no hi ha espai, un número i la llegenda corresponent a cada un dels ítems al costat de la diana.

Per fer l’autoavaluació, l’alumne ha de valorar si l’ítem corresponent l’ha assolit de manera excel·lent (Sempre), bé (Gairebé sempre), suficient (De vegades) o cal que s’ho revisi (Mai) segons el que indiqui la llegenda de la diana, i marcar un punt en la intersecció entre la línia de l’ítem i el cercle de la numeració corresponent. Quan l’alumne ha valorat tots els ítems, ha de traçar una línia per unir tots els punts i pintar l’àrea del polígon resultant. Com més gran sigui l’àrea, més assoliment hi ha de les competències de l’activitat que s’avalua. Finalment, els alumnes poden comparar el dibuix resultant de la seva diana amb el de la resta dels companys i companyes.

DIANES • Unitat 1

Dimensió resolució de problemes, dimensió raonament i prova, dimensió connexions i dimensió comunicació i representació

Pàgines 32 i 33, activitat 2

Faig servir nombres grans per calcular el nombre total de matriculacions.

Expresso de manera argumentada i precisa quant temps ha de passar fins que es comencin a matricular vehicles amb les quatre últimes xifres.

Uso diferents eines i procediments per fer els càlculs amb nombres enters.

DIANES • Unitat 1 2 1 2 3 4 4 Sempre 3 Gairebé sempre 2 De vegades 1 Mai

Interpreto la informació de l’enunciat del problema.

Uso potències de base 10 per expressar el nombre de matrícules que es poden fer amb combinacions de quatre nombres i tres lletres.

Dimensió resolució de problemes, dimensió raonament i prova i dimensió comunicació i representació Pàgina 33, activitat 3

Interpreto la informació de l’enunciat del problema i en destrio les rellevants.dades

Plantejo a un company una pregunta ambrelacionadanova l’activitat.

Aplico operacions amb nombres naturals per calcular la capacitat de la cambra frigorífica.

de pernaturalsnombres resoldre el problema. Faig servir el matemàticconeixement per raonar quantes caixes caben en la cambra.

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

Competència 1 Traduir un problema a llenguatge matemàtic o a una representació matemàtica utilitzant variables, símbols, diagrames i models adequats.

Competència 2 Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes.

Competència 3 Mantenir una actitud de recerca davant d’un problema assajant estratègies diverses.

Competència 4 . Generar preguntes de caire matemàtic i plantejar problemes.

Competència 5 Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques.

Competència 6 Emprar el raonament matemàtic en entorns no matemàtics. RAONAMENT

CONNEXIONS

C10

COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ

Competència 7 Usar les relacions que hi ha entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i per raonar.

Competència 8 Identificar les matemàtiques implicades en situacions properes i acadèmiques i cercar situacions que es puguin relacionar amb idees matemàtiques concretes.

Competència 9 Representar un concepte o relació matemàtica de diverses maneres i usar el canvi de representació com a estratègia de treball matemàtic.

Competència 10 Expressar idees matemàtiques amb claredat i precisió i comprendre les dels altres.

Competència 11 . Emprar la comunicació i el treball col·laboratiu per compartir i construir coneixement a partir d’idees matemàtiques.

Competència 12 Seleccionar i usar tecnologies diverses per gestionar i mostrar informació i visualitzar i estructurar idees o processos matemàtics.

C1

C2

C3

C4

C5

C6

C7

C8

C9

C11 C12

» ELS OBJECTIUS DE DESENVOLUPAMENT SOSTENIBLE (ODS)

Els objectius de desenvolupament sostenible (ODS) són una crida universal per a l’acció per posar fi a la pobresa, protegir el planeta i garantir que totes les persones tinguin accés a l’educació, la igualtat, l’aigua, l’energia neta, la pau i la prosperitat.

Es tracta d’un pla de mesures amb 17 objectius i 169 metes per aconseguir un món més igualitari i habitable i que s’haurien de complir abans de 2030

Aquests objectius porten implícit un esperit de col·laboració i pragmatisme amb la finalitat de millorar la vida, de manera sostenible, de les generacions futures.

A més, en si mateixos són una agenda inclusiva en tant que tracten les causes fonamentals de la pobresa i uneixen tots els estats que hi participen per aconseguir així un canvi positiu en benefici de les persones i del planeta.

La lluita contra el canvi climàtic és un element transversal i decisiu que influeix en tots els aspectes del desenvolupament sostenible i l’Agenda 2030.

Fer conscient l’alumnat dels reptes imminents plantejats en els objectius de desenvolupament sostenible en aquest programa pedagògic proporciona un marc de treball a partir del qual articular aprenentatges competencials que activin l’alumne, no tan sols quant al saber sinó també pel que fa al saber fer i al saber ser, i reforcin la seva preparació com a futurs ciutadans compromesos amb la realitat del seu temps. La primera forma de contribuir a la consecució d’aquests ODS és contribuir a augmentar la consciència pública d’aquests en tots els àmbits, i l’aula és un espai fonamental d’aprenentatge de la convivència de les generacions futures.

L’Agenda Educativa 2030, sorgida del Fòrum Educatiu Mundial celebrat a Inch’ŏn, República de Corea (UNESCO, 2015; Nacions Unides, 2015), va situar l’educació com una de les eines fonamentals per forjar un desenvolupament que sigui a la vegada sostenible, inclusiu, just, pacífic i cohesiu.

Els 17 objectius de desenvolupament sostenible

E PROJ TEC L DESE E O M N N V UPA T DEL

» ÍNDEX DE MATEMÀTIQUES

» TEMPORITZACIÓ ORIENTATIVA

» DESENVOLUPAMENT DE LES UNITATS

» ÍNDEX DE MATEMÀTIQUES

ELS NOMBRES NATURALS

1. Sistemes de numeració

2. Els nombres grans

3. Aproximació de nombres naturals

4. Operacions bàsiques amb nombres naturals

5. Expressions amb operacions combinades

6. Potències

7. Potències de base 10. Aplicacions

8. Operacions amb potències

9. Arrel quadrada

Exercita les teves competències

Matemàtiques en context Distribució de mercaderies

Taller de matemàtiques

Posa’t a prova

DIVISIBILITAT

1. La relació de divisibilitat

2. Els múltiples i els divisors d’un nombre

3. Nombres primers i nombres compostos

4. Descomposició d’un nombre en factors primers

5. Mínim comú múltiple

6. Màxim comú divisor

Exercita les teves competències

Matemàtiques en context . Reformes en un restaurant

Taller de matemàtiques

Posa’t a prova

ELS NOMBRES ENTERS

1. Nombres positius i nombres negatius

2. El conjunt dels nombres enters

3. Sumes i restes de nombres enters

4. Sumes i restes amb parèntesis

5. Multiplicació i divisió de nombres enters

6. Operacions combinades

7. Potències i arrels de nombres enters

Exercita les teves competències

Matemàtiques en context . Rodatge d’un documental

Taller de matemàtiques

Posa’t a prova

ELS NOMBRES DECIMALS

1. Estructura dels nombres decimals

2. Suma, resta i multiplicació de nombres decimals

3. Divisió de nombres decimals

4. Arrel quadrada i nombres decimals

Exercita les teves competències

Matemàtiques en context Una dieta sana i equilibrada

Taller de matemàtiques

Posa’t a prova

Posa’t a prova 5

LES FRACCIONS

1. El significat de les fraccions

2. Relació entre fraccions i decimals

3. Fraccions equivalents

4. Alguns problemes amb fraccions

Exercita les teves competències

Matemàtiques en context . Agricultura ecològica

Taller de matemàtiques

OPERACIONS AMB FRACCIONS

1. Reducció a comú denominador

2. Suma i resta de fraccions

3. Multiplicació i divisió de fraccions

4. Operacions combinades

5. Alguns problemes amb fraccions

Exercita les teves competències

Matemàtiques en context Un ofici per a bons olfactes

Taller de matemàtiques

Posa’t a prova

PROPORCIONALITAT I PERCENTATGES

1. Relació de proporcionalitat entre magnituds

2. Problemes de proporcionalitat directa

3. Problemes de proporcionalitat inversa

4. Percentatges

5. Augments i disminucions percentuals

Exercita les teves competències

Matemàtiques en context . La família Babot se’n va d’excursió

Taller de matemàtiques

Posa’t a prova

RECTES I ANGLES

1. Elements geomètrics bàsics

2. Dues rectes importants

3. Angles

4. Mesura d’angles

5. Operacions amb mesures angulars

6. Relacions angulars

7. Angles en els polígons

8. Angles en la circumferència

9. Simetries en les figures planes

Exercita les teves competències

Matemàtiques en context Centre d’alt rendiment

Taller de matemàtiques

Posa’t a prova

MESURES. ÀREES I PERÍMETRES

1. El sistema mètric decimal

2. Unitats de mesura de les magnituds bàsiques

3. Canvis d’unitat

4. Quantitats complexes i incomplexes

5. Mesura de la superfície

6. Mesures en els quadrilàters

7. Mesures en els triangles

8. Mesures en els polígons

9. Mesures en el cercle

Exercita les teves competències

Matemàtiques en context . Arquitecta de l’Ajuntament

Taller de matemàtiques

Posa’t a prova

GRÀFICS. ESTADÍSTICA I PROBABILITAT

1. Coordenades cartesianes

2. Punts que transmeten informació

3. Punts que es relacionen

4. Interpretació de gràfics

5. Procés per realitzar un estudi estadístic

6. Freqüència i taules de freqüències

7. Gràfics estadístics

8. Paràmetres estadístics

9. Esdeveniments aleatoris. Probabilitat

Exercita les teves competències

Matemàtiques en context . Un estudi de l’aligot vesper

Taller de matemàtiques

Posa’t a prova

» REPTE 3r trimestre: El món de la granja »

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

» TEMPORITZACIÓ ORIENTATIVA

El currículum estableix 105 hores per a la matèria de Matemàtiques de 1r d’ESO. Es fa difícil establir una temporització que sigui aplicable a tots els grups, perquè els ritmes d’aprenentatge solen ser diversos. D’altra banda, pot haver-hi alguna part de l’alumnat que, per les seves característiques, no treballi tots els continguts i activitats que presentem. És per això que la temporització que oferim aquí només és orientativa.

Els tres reptes trimestrals que es presenten estan pensats perquè els alumnes els facin a casa; tanmateix, en aquesta temporització els destinem 2 hores per a una posterior posada en comú a l’aula. L’apartat «Resolució de problemes» també està pensat perquè el facin de manera autònoma, aquí destinem 4 hores a la posada en comú.

UNITAT 1

Presentació i activitats

1. Sistemes de numeració

2. Els nombres grans

3. Aproximació de nombres naturals

4. Operacions bàsiques amb nombres naturals

5. Expressions amb operacions combinades

6. Potències 2 h

7. Potències de base 10. Aplicacions

8. Operacions amb potències

9. Arrel quadrada

Matemàtiques en context

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova 1 h

UNITAT 2

HORES LECTIVES

Presentació i activitats 1 h

1. La relació de divisibilitat 1 h

2. Els múltiples i els divisors d’un nombre 1 h

3. Nombres primers i nombres compostos 1 h

4. Descomposició d’un nombre en factors primers 1 h

5. Mínim comú múltiple 1 h

6. Màxim comú divisor 1 h Matemàtiques en context 1 h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova 1 h

UNITAT

3

HORES LECTIVES

Presentació i activitats 1 h

1. Nombres positius i nombres negatius 1 h

2. El conjunt dels nombres enters 1 h

3. Sumes i restes de nombres enters 1 h

4. Sumes i restes amb parèntesis 1 h

5. Multiplicació i divisió de nombres enters 1 h

6. Operacions combinades 1 h

7. Potències i arrels de nombres enters 1 h

Matemàtiques en context 1 h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova 1 h

Repte 1r trimestre: Disseny d’un gratacel 2 h

UNITAT 4

Presentació i activitats

HORES LECTIVES

1. Estructura dels nombres decimals 2 h

2. Suma, resta i multiplicació de nombres decimals

3. Divisió de nombres decimals

4. Arrel quadrada i nombres decimals

Matemàtiques en context

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

UNITAT 5

Presentació i activitats

1. El significat de les fraccions

2. Relació entre fraccions i decimals

3. Fraccions equivalents

4. Alguns problemes amb fraccions

Matemàtiques en context

HORES LECTIVES

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova 1 h

UNITAT 6

Presentació i activitats

1. Reducció a comú denominador

2. Suma i resta de fraccions

3. Multiplicació i divisió de fraccions

4. Operacions combinades

5. Alguns problemes amb fraccions

HORES LECTIVES

Matemàtiques en context 1 h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova 1 h

Repte 2n trimestre: Producció de mel 2 h

UNITAT 7

Presentació i activitats 1 h

1. Relació de proporcionalitat entre magnituds 1 h

2. Problemes de proporcionalitat directa 2 h

3. Problemes de proporcionalitat inversa 1 h

4. Percentatges 2 h

5. Augments i disminucions percentuals

Matemàtiques en context 1 h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova 1 h

UNITAT 8

Presentació i activitats 1 h

1. Elements geomètrics bàsics 1 h

2. Dues rectes importants 1 h

3. Angles

4. Mesura d’angles 1 h

5. Operacions amb mesures angulars 1 h

6. Relacions angulars 1 h

7. Angles en els polígons

8. Angles en la circumferència 1 h

9. Simetries en les figures planes

Matemàtiques en context 1 h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova 1 h

UNITAT 9

Presentació i activitats

1. El sistema mètric decimal

2. Unitats de mesura de les magnituds bàsiques

3. Canvis d’unitat

4. Quantitats complexes i incomplexes

5. Mesura de la superfície

6. Mesures en els quadrilàters

7. Mesures en els triangles

8. Mesures en els polígons

9. Mesures en el cercle

Posa’t

UNITAT 10

Presentació i activitats

1. Coordenades cartesianes

2. Punts que transmeten informació

3. Punts que es relacionen 1 h

4. Interpretació de gràfics 1 h

5. Procés per realitzar un estudi estadístic 1 h

6. Freqüència i taules de freqüències 1 h

7. Gràfics estadístics 2 h

8. Paràmetres estadístics 1 h

9. Esdeveniments aleatoris. Probabilitat 1 h

Matemàtiques en context 1 h Taller de matemàtiques. Posa’t a prova 1 h

Repte 3r trimestre: El món de la granja 2 h

Resolució de problemes 4 h

» DESENVOLUPAMENT DE LES UNITATS

» UNITAT 1. ELS NOMBRES NATURALS

Programació competencial d’aula

i concreció de les dimensions

Dimensió resolució de problemes

COMPETÈNCIES CRITERIS

C1. Traduir un problema a llenguatge matemàtic o a una representació matemàtica utilitzant variables, símbols, diagrames i models adequats.

C2. Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes.

1. L’alumne ha de ser capaç de resoldre problemes de la vida quotidiana en els quals calgui la utilització de les quatre operacions amb nombres enters, fent ús de la forma de càlcul més apropiada i valorant l’adequació del resultat al context.

INDICADORS CONTINGUTS ACTIVITATS

1.1. Entén el plantejament de problemes que inclouen operacions amb nombres naturals.

1.1. Aproxima nombres decimals a la unitat indicada.

1.2. Practica les operacions bàsiques amb nombres naturals.

1.3. Fa càlculs amb potències.

1.4. Practica el càlcul de les operacions combinades i coneix l’ordre en què han de fer-se les operacions.

- Operacions amb nombres naturals. Exercita les teves competències: 61, 64, 69, 70, 71, 72, 75, 76, 78, 79, 80

Matemàtiques en context: 1, 2, 3

Posa’t a prova: 4

- Utilitat dels nombres.

- Aproximació de nombres naturals.

- Pràctica de les operacions bàsiques amb nombres naturals (suma, resta, multiplicació i divisió).

- Càlcul de potències i operacions amb potències.

- Càlcul d’arrels quadrades.

- Operacions combinades.

2. L’alumne ha de ser capaç d’organitzar i interpretar informacions diverses mitjançant relacions simples, expressades amb taules i gràfics, en situacions quotidianes.

2.1. Interpreta taules i gràfics i resol les activitats plantejades.

2.2. Identifica com s’escriuen els nombres en el sistema binari.

- Ús dels nombres naturals en situacions quotidianes.

Fixa idees: F2, F6

Aplica el que has après: 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 31, 32, 36, 37, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 48, 49

Exercita les teves competències: 7, 11, 13, 15, 16, 17, 22, 23, 30, 31, 32, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 43, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 57, 59, 60, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 73, 74, 77, 85, 86, 92, 93, 94, 95, 99

Matemàtiques en context: 1, 3

Posa’t a prova: 1, 2, 3, 6, 7, 8

Exercita les teves competències: 10, 84, 89, 97, 100

Taller de matemàtiques: Entrena’t resolent altres problemes

COMPETÈNCIES CRITERIS

C3. Mantenir una actitud de recerca davant d’un problema assajant estratègies diverses.

1. L’alumne ha de ser capaç de resoldre problemes de la vida quotidiana en els quals calgui la utilització de les quatre operacions amb nombres enters, fent ús de la forma de càlcul més apropiada i valorant l’adequació del resultat al context.

Dimensió raonament i prova

COMPETÈNCIES CRITERIS

C5. Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques. 6. L’alumne ha de ser capaç de fer conjectures, experimentar, comprovar, argumentar, generalitzar i particularitzar en contextos de la vida real relacionats amb els nombres.

INDICADORS CONTINGUTS ACTIVITATS

1.1. Sap emprar diferents sistemes per resoldre problemes i per comprovar solucions.

1.2. Revisa els procediments utilitzats i, si cal, els rectifica.

- Ús de diferents eines i procediments per fer càlculs amb nombres enters.

Matemàtiques en context: 1, 2, 3

C6. Emprar el raonament matemàtic en entorns no matemàtics.

INDICADORS CONTINGUTS ACTIVITATS

6.1. Entén el sistema de numeració decimal.

6.2. Identifica les propietats en els nombres naturals.

6.3. Treballa amb expressions amb operacions combinades.

6.4. Entén el concepte de potència.

6.5. Identifica diferents sistemes de numeració.

6.1. Utilitza el càlcul aritmètic en situacions properes.

- Paper dels nombres naturals. Avantatges del sistema de numeració decimal.

- Propietats en els nombres naturals.

- Jerarquia de les operacions. Ús de parèntesis.

- Significat de les potències i de les arrels quadrades.

- Ús de les potències i de les potències de base 10 en contextos quotidians.

Fixa idees: F3, F4, F5

Aplica el que has après: 6, 7, 27, 34, 35

Exercita les teves competències: 8, 9, 14, 21, 24, 25, 26, 27, 28, 44, 58, 81, 91, 98, 101

Exercita les teves competències: 83, 87, 88, 102, 103

Matemàtiques en context: 2, 3

Dimensió connexions

COMPETÈNCIES CRITERIS

C7. Usar les relacions que hi ha entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i per raonar.

7. L’alumne ha de ser capaç de reconèixer diferents tipus de nombres i usar les relacions entre ells per resoldre situacions diverses.

INDICADORS CONTINGUTS ACTIVITATS

7.1. Sap construir nombres grans i els aplica en la vida quotidiana.

7.2. Entén la relació entre la suma i la resta de nombres naturals.

7.3. Practica el càlcul mental.

7.4. Identifica relacions entre els nombres.

- Nombres grans aplicats a la vida quotidiana.

- Operacions amb nombres naturals.

- Càlcul mental.

- Nombres imparells, quadrats i cubs.

Aplica el que has après: 8, 11, 13, 22

Exercita les teves competències: 12, 18, 20, 29, 41, 90, 96

Matemàtiques en context: 1, 2

Taller de matemàtiques: Investiga

Posa’t a prova: 5

Dimensió comunicació i representació

COMPETÈNCIES CRITERIS

C9. Representar un concepte o relació matemàtica de diverses maneres i usar el canvi de representació com a estratègia de treball matemàtic.

10. L’alumne ha de ser capaç de representar conceptes o relacions matemàtiques de diverses maneres, ser capaç de comprendre les dels altres i valorar la més adequada a cada situació.

INDICADORS CONTINGUTS ACTIVITATS

10.1. Representa conceptes vinculats als sistemes de numeració.

10.2. Representa operacions amb nombres enters i nombres grans.

C11. Emprar la comunicació i el treball col·laboratiu per compartir i construir coneixement a partir d’idees matemàtiques.

9. L’alumne ha de ser capaç d’expressar oralment i per escrit raonaments, conjectures, relacions quantitatives i informacions que incorporin elements matemàtics, simbòlics o gràfics, valorant la utilitat del llenguatge matemàtic.

9.1. Crea activitats a partir d’un model.

- Sistemes de numeració.

- Sistema de numeració decimal.

- Expressions amb operacions combinades.

- Nombres grans.

- Operacions amb nombres naturals en situacions quotidianes.

- Potències de base 10 en situacions quotidianes.

Presentació de la unitat: 1, 2, 3, 4, 5

Fixa idees: F1

Aplica el que has après: 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 12, 33

Exercita les teves competències: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Matemàtiques en context: 1, 2, 3

C12. Seleccionar i usar tecnologies diverses per gestionar i mostrar informació, i visualitzar i estructurar idees o processos matemàtics.

10. L’alumne ha de ser capaç de representar conceptes o relacions matemàtiques de diverses maneres, ser capaç de comprendre les dels altres i valorar la més adequada a cada situació.

10.1. Empra la calculadora per comprovar resultats obtinguts manualment.

10.2. Utilitza programes de geometria dinàmica per consolidar els coneixements apresos.

- Llenguatge intern de la calculadora i els ordinadors.

- Ús d’eines digitals (programari lliure de geometria dinàmica GeoGebra).

Aplica el que has après: 38, 44, 46, 47

Exercita les teves competències: 33, 55, 82

Taller de matemàtiques: Llegeix i descobreix

ELS NOMBRES NATURALS

maies… van utilitzar sistemes de numeració molt diversos, que van passar d’uns pobles als altres i van evolucionar al llarg del temps.

Inicialment, els nombres s’utilitzaven per comptar quantitats naturals (ramats, fruits, monedes…), els sistemes de numeració eren molt rudimentaris: es feien osques en un bastó, es dibuixaven dits i mans… Tanmateix, el progrés de les civilitzacions va portar a la introducció de símbols normes que els van fer més complexos pràctics.

Diferents maneres d’expressar els nombres Observa tres maneres diferents de representar el mateix nombre:

1. De quin nombre es tracta? Com representaries, en cada cas, el nombre següent?

2. Quin o quins es basen en el sistema de numeració decimal?

3. De quina altra manera representaries aquest nombre? 8

Els sistemes de numeració són útils per escriure nombres i, així, recordar-los transmetre’ls. Però han de servir, també, per fer operacions. Pensa en el sistema de numeració romà (que ja coneixes) i imagina com ho havien de fer per sumar. Per exemple: MCCCXLVI + DCCCXXXIV

És complicat, oi? Doncs imagina com havien de multiplicar. Els antics matemàtics hindús, al segle vi van fer un gran pas endavant amb la invenció del sistema de numeració decimal posicional.

Els nombres naturals no semblen obeir a cap «construcció» intel·lectual de l’ésser humà. Des de sempre i en totes les cultures sorgeixen de manera natural per comptar, ordenar, mesurar, etc.

Comencem contrastant alguns dels sistemes de numeració més coneguts. Així, a més de l’evolució històrica dels mètodes de representació, ens adonem que el concepte de nombre natural és el mateix en tots els casos, independentment de com s’expressi.

Un cop revisada l’estructura del sistema decimal i descoberts els avantatges respecte d’altres sistemes de numeració, treballem la lectura i l’escriptura de nombres de nou o més xifres. També recordem els procediments i els avantatges de l’aproximació dels nombres per arrodoniment.

Després, estudiem les operacions bàsiques amb nombres naturals i algunes de les seves propietats i, finalment, la resolució d’expressions amb parèntesis i operacions combinades. Les operacions amb potències i radicals són eines matemàtiques que tindran aplicació en cursos superiors. No obstant això, convé que els alumnes iniciïn la construcció de conceptes bàsics i s’acostumin a utilitzar notacions, nomenclatures i procediments que els preparin el camí i els facilitin l’aprenentatge futur.

CONTINGUTS CLAU DE LES COMPETÈNCIES

CC1. Sentit del nombre i de les operacions.

CC3. Càlcul (mental, estimatiu, algorísmic, amb calculadora).

Solucionari

1. És el nombre 3.059. MMMLX

2. Els dos àbacs es basen en el sistema de numeració decimal.

3. Resposta oberta. Per exemple: egipci, maia…

4. a) 208 · 34 = 7.027 b) 453 · 26 = 11.778

5. a) 15 · 3; b) 20 + 15 · 3; c) (20 + 15) · 3

1. SISTEMES DE NUMERACIÓ

Els nombres naturals (1, 2, 3…) van sorgir de la necessitat de comptar, i la seva representació va evolucionar adaptant-se a cada moment cultural i històric.

En la prehistòria ja utilitzaven algunes tècniques per comptar: comparaven amb els dits, feien osques en un bastó, enfilaven granadures en una corda, etc.

A mesura que la societat evolucionava, es va fer necessari utilitzar quantitats grans representar-les de manera pràctica. Així, van aparèixer en diferents cultures els sistemes de numeració.

Els símbols utilitzats per representar els comptatges, juntament amb les seves normes d’ús, formen un sistema de numeració

El sistema de numeració egipci

Els antics egipcis utilitzaven els símbols següents:

» FIXA IDEES

F1. Seguint el sistema de numeració decimal:

El sistema de numeració decimal

El sistema de numeració que utilitzem actualment és el decimal. Consta de deu símbols o xifres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) i es regeix per aquestes normes: Es defineixen ordres d’unitats: unitats,

Deu unitats d’un ordre fan una unitat de l’ordre immediat

El valor d’una xifra depèn del lloc que ocupi (sistema de tipus posicional).

Exemple:

La xifra 4 té diferent valor segons l’ordre d’unitats que ocupa.

1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 pal nansa corda flor dit granota home

La norma per escriure un nombre era senzilla: s’anaven afegint (sumant) els símbols necessaris fins a completar la quantitat desitjada. Els sistemes de numeració, com l’egipci, en què es van afegint símbols se sumen els valors, s’anomenen sistemes additius

El sistema de numeració maia

El poble maia, a l’actual Guatemala i el sud de Mèxic, abans de l’arribada de Cristòfor Colom al continent americà, utilitzava només tres símbols per escriure els nombres:

En els nombres més petits que 20, com pots veure a l’esquerra, el sistema era additiu. Fins aquí, el primer nivell. Per escriure nombres més grans, se superposaven altres nivells, amb els mateixos símbols, però multiplicant-ne el valor per 20 en pujar cada esglaó.

Segon nivell (× 20)

Primer nivell (× 1)

Com veus, un símbol té diferent valor segons el nivell en què es trobi, la qual cosa és característica dels sistemes de numeració posicionals És a dir, el sistema maia era en part additiu en part posicional.

a) Quantes desenes fan 3 milers?

b) Quantes centenes fan una desena de miler?

c) Quantes centenes hi ha en 5 unitats de milió?

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

1. Escriu d’acord amb el sistema de numeració egipci els nombres 19, 65, 3.412 2.523.

2. En un sistema additiu s’utilitzen aquests símbols:

1 5 10 100

• Escriu, seguint aquest sistema, els nombres 7, 12, 84 i 126.

3. Tradueix al sistema decimal aquests nombres del sistema maia.

4. Afegeix dos elements per la dreta i uns altres dos per l’esquerra a aquesta sèrie de nombres del sistema maia:

Solucionari

Fixa idees

F1. a) 3 milers fan 300 desenes.

b) 1 desena de miler fa 100 centenes.

c) 5 unitats de milió fan 50.000 centenes.

Aplica el que has après 1.

4. Per la dreta: Per l’esquerra:

5. a) 500 D = 50 C = 5 UM

b) 3.000 C = 300 UM = 30 DM

c) 6 UM = 60 C = 600 D

d) 8 CM = 80 DM = 80.000 D

6. a) Vertader

b) Vertader

c) Fals

d) Fals

e) Vertader

7. El nombre és

Notes

Solucionari

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

2.

ELS NOMBRES GRANS

Moltes quantitats i dades superen les nou xifres: el nombre d’habitants de la Terra (7.000.000.000), els segons que té un segle (3.153.600.000), els quilòmetres d’un any llum (9.460.800.000.000)…

3. APROXIMACIÓ DE NOMBRES NATURALS

Quan un nombre té moltes xifres, és difícil de recordar incòmode per fer càlculs. Per això, l’acostumem a substituir per un altre, més manejable, de valor aproximat, acabat en zeros. Per exemple:

L’any

El sistema de numeració decimal permet representar quantitats tan grans com desitgem. Aprèn els ordres d’unitats relatius als nombres de més de nou xifres: L’univers

8. Llegeix les primeres línies d’aquesta pàgina escriu com es llegeixen:

a) El nombre d’habitants de la Terra.

b) El nombre de segons d’un segle.

c) El nombre de quilòmetres que té un any llum.

9. Escriu amb xifres:

a) Vint-i-vuit milions tres-cents cinquanta mil.

b) Cent quaranta-tres milions.

c) Dos mil set-cents milions.

d) Setze gigues.

e) Un bilió mig.

f) Quinze bilions tres-cents cinquanta mil milions.

10. Copia en el teu quadern completa: a) Mil milers fan un… b) Mil milions fan un… c) Un milió de milers fan un… d) Un milió de milions és un… 11. El cos humà té entre deu i setanta milions de milions de cèl·lules. Expressa aquestes quantitats en bilions. 12. Com llegiries el nombre expressat per un 1 seguit de 16 zeros? 13. Les científiques

EL QUE HAS

La manera més freqüent i pràctica de fer aproximacions és l’arrodoniment. Per arrodonir un nombre a un determinat ordre d’unitats: Se substitueixen per zeros totes les xifres a la dreta d’aquest ordre.

• Si la primera xifra substituïda és igual a 5 o més gran, se suma una unitat a la xifra anterior.

Aplica el que has après

8. a) Set mil milions o set miliards

b) Tres mil cent cinquanta-tres milions sis-cents mil c) Nou bilions quatre-cents seixanta mil vuit-cents milions

9. a) 28.350.000; b) 143.000.000; c) 2.700.000.000; d) 16.000.000.000; e) 1.500.000.000.000; f ) 15.350.000.000.000

10. a) …milió; b) …miliard; c) …miliard; d) …bilió

11. Entre 10 i 70 bilions de cèl·lules.

12. Deu mil bilions.

13. Un bilió de bilions.

Fixa idees

F2.

car aquesta dada en una conversa informal?

Aplica el que has après

14. a) 25.000

b) 7.000

c) 40.000

d) 100.000

15. a) 530.298 → 500.000 i 530.000

b) 828.502 → 800.000 i 830.000

c) 359.481 → 400.000 i 360.000

d) 29.935.236 → 29.900.000 i 29.940.000

16. El nombre de turistes va ser de 19 milions, aproximadament. La despesa va ser de 20 milers de milions, aproximadament.

17. a) 24.000.000

b) 37.000.000

c) 275.000.000

18. a) 138.300 €

b) Resposta oberta. Per exemple, 138.000 €

19. 150.000 €

AFORAMENT: 590 localitats Localitats ocupades Platea: 308 1r pis: 258

Propietat commutativa 34 + 16 = 16 + 34 50 50

Propietat associativa (18 + 3) + 17 = 18 + (3 + 17) 21 + 17 18 + 20 38 38 Recorda 590 ← Minuend (M – 566 ← Subtrahend (S ) 24

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

4. OPERACIONS BÀSIQUES AMB NOMBRES NATURALS

Tot i que ja saps fer operacions amb nombres naturals, és important que en repassem alguns conceptes i algunes propietats.

La suma i les seves propietats

Recorda que sumar és unir, ajuntar, afegir.

Per exemple, si volem saber el nombre de persones que hi ha al teatre que veus al marge, haurem de fer una suma: 308 + 258 = 566

La suma compleix les propietats següents:

• Propietat commutativa: El resultat de la suma no varia encara que canviem l’ordre dels sumands.

a + b b + a

• Propietat associativa: El resultat de la suma és independent de la forma com s’agrupen els sumands. (a + b) + c = a + (b + c)

La resta i les seves relacions amb la suma

Recorda que restar és treure, suprimir, trobar el que falta o el que sobra; és a dir, calcular la diferència.

Per exemple, per saber quantes localitats buides hi ha al teatre, hem de fer una resta: 590 – 566 = 24

Observa, a més, que 590 = 566 + 24 i que 566 = 590 – 24.

Relacions entre la suma la resta: M S D → MS D SM D –=+ *

20. Calcula: a) 254 + 78 + 136 b) 340 + 255 – 429

c) 1.526 – 831 + 63 d) 1.350 – 1.107 – 58

21. Estima la resposta comprova-la després:

La Carme compra una bossa de 167 € una gavardina de 235 € i un mocador de 32 € Quant s’ha gastat?

a) S’ha gastat al voltant de 350 € b) S’ha gastat, més o menys, 450 € c) S’ha gastat al voltant de 550 €

Solucionari

Aplica el que has après

20. a) 468; b) 166; c) 758; d) 185

Transforma: a) Aquesta suma en una resta: 48 + 12 = 60 b) Aquesta resta en una suma: 22 – 2 – 6 = 14

Si l’Albert tingués 15 anys més, encara seria 18 anys més jove que el seu oncle Tomàs, que té 51 anys. Quants anys té l’Albert?

Si comprés només una rentadora, em sobrarien 246  € però si comprés també un televisor, em faltarien 204  € Pots dir el preu d’algun d’aquests articles?

21. La resposta correcta és la b). S’ha gastat, més o menys, 450 €

Comprovació: 167 + 235 + 32 = 434 €

22. a) 48 + 12 = 60 → 60 – 48 = 12 o 60 – 12 = 48 b) 22 – 2 – 6 = 14 → 14 + 2 + 6 = 22

23. L’Albert té 51 – 18 – 15 = 18 anys.

24. El preu del televisor és: 204 + 246 = 450 €

25. a) 4 5 × 2 8 3 6 0 + 9 0 1 2 6 0 b) 9 5 8 × 7 3 2 8 7 4 + 6 7 0 6 6 9 9 3 4

26. a) 190; b) 1.200; c) 15.000; d) 1.400; e) 23.000; f) 460.000

27. a · 8 = a · (10 – 2) = a · 10 – a · 2

Hem aplicat la propietat distributiva.

La multiplicació i les seves propietats Recorda que multiplicar és una manera abreujada de fer una suma repetida de sumands iguals. Per exemple, si una entrada per al teatre de la pàgina anterior costa 15 €, la recaptació de 7 entrades serà aquesta: 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 15 7 = 105 €

La multiplicació compleix les propietats següents: Propietat commutativa: El producte no varia en canviar l’ordre dels factors. a b b a

• Propietat associativa: El resultat d’una multiplicació és independent de la forma com s’agrupin els factors. (a b) · c = a (b c)

• Propietat distributiva: El producte d’un nombre per una suma (o resta) és igual a la suma (o resta) dels productes del nombre per cada sumand. a (b + c) = a · b + a · c a · (b – c) = a b – a c

L’exemple següent t’ajudarà a comprendre el significat de la propietat distributiva: Una colla d’amics i amigues van comprar dijous 7 entrades per al teatre i divendres, 3 entrades més. Quin va ser el cost de les entrades? Podem calcular el cost de les entrades de dues maneres: despesa de 7 entrades + despesa de 3 entrades ↔ despesa de (7 + 3) entrades 15 · 7 + 15

28. a) 12 · 9 = 12 · 10 – 12 = 120 – 12 = 108 b) 25 · 9 = 25 · 10 – 25 = 250 – 25 = 225 c) 33 · 9 = 33 · 10 – 33 = 330 – 33 = 297 d) 12 · 11 = 12 · 10 + 12 = 120 + 12 = 132 e) 25 · 11 = 25 · 10 + 25 = 250 + 25 = 275 f ) 33 · 11 = 33 · 10 + 33 = 330 + 33 = 363

29. En 15 minuts: 1.500 · 15 = 22.500 voltes.

En una hora: 22.500 · 4 = 90.000 voltes.

En una hora i mitja: 22.500 · 6 = 135.000 voltes.

30. Obtindrà un benefici de 200 · 7 · 5 · 2 = 14.000 €

Notes

La divisió

Recorda dues de les situacions que resol la divisió i que apareixen freqüentment en els problemes aritmètics: S’han de repartir 375 bolígrafs en 5 capses iguals. Quants bolígrafs hi haurà en cada capsa?

3 7 5 5 2 5 75 0 ⎯→ 375 : 5 = 75 bolígrafs en cada capsa

Dividir és repartir un tot en parts iguals per esbrinar quantes en toquen a cada un.

Quantes capses de 75 bolígrafs omplirem amb 375 bolígrafs? 3 7 5 75 0 0 5 ⎯→ 375 : 75 = 5 capses

Dividir és partir un tot en porcions iguals d’una determinada mida per esbrinar quantes porcions s’obtenen.

Una divisió pot ser exacta o entera depenent del valor del residu.

• Divisió exacta (el residu és zero).

d 0 q ⎯→ El dividend és igual al divisor multiplicat pel quocient.

5. EXPRESSIONS AMB OPERACIONS COMBINADES

Ordre en què han de fer-se les operacions

Quan resolguis expressions amb operacions combinades, has de tenir en compte les normes del llenguatge matemàtic. Aquestes normes asseguren que cada expressió tingui un significat i una solució únics.

Observa l’ordre d’actuació en les expressions següents. Els resultats són diferents malgrat que estan formades pels mateixos nombres operacions.

3 16 + 9 25

En les expressions amb operacions combinades, hem de resoldre: Primer, els parèntesis.

• Després, les multiplicacions les divisions. Finalment, les sumes les restes.

Aprèn a fer servir la calculadora

Introdueix en la calculadora aquesta seqüència: 2 + 3 * 4 = Tot i que et sembli estrany, segons la calculadora que facis servir pots obtenir dues solucions diferents: 20 o 14. {∫“≠} → La calculadora fa les operacions en l’ordre en què s’introdueixen. (2 + 3) 4 = 5 · 4 = 20

{∫‘¢} → La calculadora fa, primer, el producte. És a dir, respecta la prioritat de les operacions.

2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14

Per tant, no totes les calculadores tenen la mateixa lògica interna. Esbrina de quin dels dos tipus és la teva i tingues-ho en compte quan la utilitzis.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

31. Esbrina el quocient el residu de cada divisió:

a) 96 13 b) 713 : 31 c) 5.309 : 7

d) 7.029 26 e) 49.896 : 162 f ) 80.391 629

32. Un granger recull 1.274 ous, els envasa en safates de 30 i empaqueta les safates en capses de 10. Quants ous queden sense completar una safata? Quantes safates queden sense completar una capsa?

Solucionari

Aplica el que has après

31. a) q = 7; r = 5

b) q = 23; r = 0

c) q = 758; r = 3

d) q = 270; r = 9

e) q = 308; r = 0

f ) q = 127; r = 508

32. 1.274 : 30 → q = 42 i r = 14

Li queden 14 ous sense completar la safata.

42 : 10 → q = 4 i r = 2

Li queden 2 safates sense completar la capsa.

33. a) 8 + 5 · 2 = 8 + 10 = 18

b) 15 – 10 : 5 = 15 – 2 = 13

c) 4 · 6 – 13 = 24 – 13 = 11

d) (15 – 3) : 4 = 12 : 4 = 3

e) (8 + 2) · 3 = 10 · 3 = 30

f) 18 : (10 – 4) = 18 : 6 = 3

34. a) 2 + 3 · 4 = 14 i (2 + 3) · 4 = 20

b) 6 – 2 · 3 = 0 i (6 – 2) · 3 = 12

c) 18 – 10 : 2 = 13 i (18 – 10) : 2 = 4

35. a) 6 · 4 – 2 · (12 – 7) = 24 – 2 · 5 = 24 – 10 = 14

b) 3 · 8 – 8 : 4 – 4 · 5 = 24 – 2 – 20 = 22 – 20 = 2

c) 21 : (3 + 4) + 6 = 21 : 7 + 6 = 3 + 6 = 9

d) 26 – 5 · (2 + 3) + 6 = 26 – 5 · 5 + 6 = 26 – 25 + 6 = 1 + 6 = 7

e) (14 + 12) : 2 – 4 · 3 = 26 : 2 – 12 = 13 – 12 = 1

f) 2 · (6 + 4) – 3 · (5 – 2) = 2 · 10 – 3 · 3 = 20 – 9 = 11

g) 30 – 6 · (13 – 4 · 2) = 30 – 6 · (13 – 8) = 30 – 6 · 5 = 30 – 30 = 0

Trobareu un gran nombre de tutorials sobre el funcionament de la calculadora Casio Classwiz en l’enllaç següent: https://www.edu-casio.es/recursos-didacticos/?product_cat= videotutoriales

Notes

6. POTÈNCIES

Solucionari

Nombres i geometria

32 = 3 · 3 = 9 33 = 3 · 3 · 3 = 27

7. POTÈNCIES DE BASE 10. APLICACIONS

Ja saps que per multiplicar per 10 només has d’afegir un zero. Així: 102 = 10 10 = 100 103 = 10 · 10 · 10 = 1.000 105 = 100.000 109 = 1.000.000.000 9 zeros

Una potència de base 10 és igual a la unitat seguida de tants zeros com indica l’exponent.

Expressió abreujada de nombres grans

Els nombres acabats en zeros poden expressar-se com a producte d’un nombre per una potència de base 10. Per exemple: 400.000 = 4 · 100.000 = 4 · 105

Aquest recurs facilita l’expressió la comprensió de nombres molt grans.

Exemple

Un any llum: 9.460.800.000.000 km. Observa les transformacions que fem perquè aquesta quantitat sigui més fàcil de llegir, d’escriure i de recordar:

Arrodonim i deixem dues xifres significatives → 9.500.000.000.000

Descomponem en forma de producte → 95 100.000.000.000

Expressem el segon factor com una potència de base 10 → 95 · 1011

Un any llum equival a 95 1011 km.

Descomposició polinòmica d’un nombre

La descomposició d’un nombre segons el valor posicional de les xifres i el que has après sobre les potències de base 10 permeten la transformació de l’exemple següent. És la descomposició polinòmica del nombre.

Fixa idees

F3. 75 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = (7 · 7) · (7 · 7) · 7 = 49 · 49 · 7 = = 2.401 · 7 = 16.807

F4. a) x3 = 125 → x = 5 b) 5x = 3.125 → x = 5

F5. 2 · (112 – 92) – 62 = 2 · (121 – 81) – 62 = 2 · 40 – 36 = = 80 – 36 = 44

Ajuda

F3. 53 = (5 · 5) · 5 = 25 · 5 = 125; 54 = (5 · 5) · (5 · 5) = 625

F4. 7x = 2.401 → x = 4

Aplica el que has après

36. a) 6 · 6 = 62 b) 7 · 7 · 7 = 73 c) 4 · 4 · 4 · 4 = 44 d) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 36

elementals en un litre d’aigua és 334.326.000.000.000.000.000.000. b) L’estrella Alfa Centauri està a uns quaranta bilions de quilòmetres del Sol.

37. a) 34 = 3 · 3 · 3 · 3; b) 27 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2; c) 93 = 9 · 9 · 9; d) 152 = 15 · 15; e) 106 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10; f) 204 = 20 · 20 · 20 · 20 38. potència base exponent 26 2 6 53 5 3 a 4 a

39. a) 103; b) 106; c) 109; d) 1012

40. a) 400.000; b) 15.000.000.000; c) 8.600.000.000.000.000

41. a) x = 5; b) x = 8; c) x = 12

42. a) 74.238 = 7 · 104 + 4 · 103 + 2 · 102 + 3 · 10 + 8 b) 680.290 = 6 · 105 + 8 ·

c) 4.528.926 = 4

+ 2 · 10 + 6 d) 46.350.000 = 4 · 107 +

43. a) 33 · 1022; b) 40 · 1012

et confonguis

8. OPERACIONS AMB POTÈNCIES

Ara aprendràs algunes propietats que faciliten el càlcul amb potències. Per això, és convenient que les entenguis, les memoritzis i n’assagis l’aplicació en diferents situacions.

Potència d’un producte

(Producte de potències amb el mateix exponent)

Compara les dues expressions següents observa que en ambdues s’obté el mateix resultat.

• (2 · 3)3 = 63 = 6 · 6 · 6 = 216 23 33 = (2 2 2) · (3 · 3 · 3) = 8 · 27 = 216 O també: 23 33 = (2 2 2) · (3 · 3 · 3) = (2 · 3) · (2 · 3) · (2 3) = (2 · 3)3

La potència d’un producte és igual al producte de les potències dels factors. ⎯→ (a b)n = an · bn

Potència d’un quocient

(Quocient de potències amb el mateix exponent)

Observa que aquestes dues expressions també tenen el mateix valor. (6 : 3)3 = 23 = 2 · 2 · 2 = 8 63 33 = (6 6 6) : (3 · 3 · 3) = 216 : 27 = 8 O també:

potència d’un quocient és igual al quocient

Solucionari

Fixa idees

F6. a) 25 · 55 = (2 · 5)5 = 105 = 100.000

b) 184 : 94 = (18 : 9)4 = 24 = 16

c) 63 · 53 = (6 · 5)3 = 303 = (3 · 10)3 = 33 · 103 = 27 · 1.000 = = 27.000

d) (85 · 65) : 245 = (8 · 6)5 : 245 = 485 : 245 = (48 : 24)5 = 25 = 32

e) (363 : 93) · 253 = (36 : 9)3 · 253 = 43 · 253 = (4 · 25)3 = 1003 = = 1.000.000

f) (542 : 32) : 22 = (54 : 3)2 : 22 = 182 : 22 = (18 : 2)2 = 92 = 81

Aplica el que has après

44. a) 53 · 23 = (5 · 2) 3 = 103 = 1.000

b) 42 · 52 = (4 · 5) 2 = 202 = 400

c) 252 · 42 = (25 · 4)2 = 1002 = 10.000

d) 203 · 53 = (20 · 5) 3 = 1003 = 1.000.000

e) 165 : 85 = (16 : 8)5 = 25 = 32

f) 183 : 63 = (18 : 6) 3 = 33 = 27

g) 214 : 74 = (21 : 7)4 = 34 = 81

h) 352 : 52 = (35 : 5)2 = 72 = 49

i) 1003 : 503 = (100 : 50) 3 = 23 = 8

45. a) (6 + 4)2 = 102 = 100 b) (5 + 2)3 = (7)3 = 343 62 + 42 = 36 + 16 = 52 53 + 23 = 125 + 8 = 133

Producte de potències amb la mateixa base En multiplicar dues potències del mateix nombre, s’obté una altra potència d’aquest nombre.

vegades

Observa que l’exponent del producte final és la suma dels exponents dels factors.

Per multiplicar dues potències amb la mateixa base, es deixa la base se sumen els exponents. ⎯→ am an am + n

Quocient de potències amb la mateixa base

Recorda les relacions entre la multiplicació i la divisió fixa-t’hi: 54 53 = 57 ↔ 57 53 = 54 ⎯→ 57 53 = 57 – 3 = 54 57 54 = 53 ⎯→ 57 54 = 57 – 4 = 53

Observa que l’exponent de cada quocient és la diferència entre l’exponent del dividend i l’exponent del divisor.

Per dividir dues potències de la mateixa base es deixa la base es resten els exponents. ⎯→ am : an am – n

Potència d’una altra potència

En elevar una potència a una altra potència, s’obté una nova potència de la mateixa base. (54)3 = 54 54 · 54 = 54 4 4 = 54 3 = 512

Observa que l’exponent final és el producte dels exponents de l’expressió inicial. Per elevar una potència a una altra potència es deixa la mateixa base es multipliquen els exponents. ⎯→ (a ) a

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

44. Reflexiona calcula de la forma més senzilla: a) 53 · 23 b) 42 · 52 c) 252 42 d) 203 · 53 e) 165 : 85 f) 183 63 g) 214 : 74 h) 352 : 52 i) 1003

46. a) 26 : 22 = 24

b) 38 : 35 = 33

c) 107 : 106 = 101 = 10

d) a10 : a6 = a4

47. a) (52)3 = 52 3 = 56

b) (25)2 = 25·2 = 210

c) (103)3 = 103·3 = 109

d) (a5)3 = a15

e) (m2)6 = m12

f) (x4)4 = x16

Notes

9. ARREL QUADRADA

Calcular l’arrel quadrada és fer l’operació inversa d’elevar al quadrat. ba ab 2 arrel

√a = b ⎯→ Es llegeix: L’arrel quadrada de a és igual a b

radicand

Arrels exactes i arrels enteres

Els quadrats dels nombres naturals s’anomenen quadrats perfectes:

L’arrel quadrada d’un quadrat perfecte és una arrel exacta

Per exemple, són arrels exactes les següents: 93 121 11 400 20

Però l’arrel de la majoria de nombres no coincideix amb una quantitat exacta d’unitats senceres.

Busquem, per exemple, l’arrel de 40: 63640 74940 < > 2 2 4 → 6 < 40 < 7 → L’arrel quadrada de 40 és un nombre comprès entre 6 7.

El nombre natural que més s’aproxima, per sota, a l’arrel, l’anomenem arrel entera 40 ≈ 6 → L’arrel entera de 40 és 6.

Càlcul de l’arrel quadrada per tempteig

Amb el que ja saps, pots calcular arrels per tempteig. Aquesta tècnica t’ajudarà a aclarir idees i a consolidar el concepte.

Exemple

Calculem, per tempteig, 3 900 Com veus, 3.900 és més gran que 622 i més petit que 632 és .é és gran quepetit

Solucionari

Aplica el que has après

48. a) √49 = 7 → L’arrel quadrada de 49 és igual a 7.

b) √64 = 8 → L’arrel quadrada de 64 és igual a 8.

c) √81 = 9 → L’arrel quadrada de 81 és igual a 9.

d) √21 = 11 → L’arrel quadrada de 121 és igual a 11.

49. a) √ 1 1 5 8 3 4 – 9 6 4 × 4 2 5 8 – 2 5 6 0 0 2 b) √ 2 7 3 8 5 2

Notes

Algorisme per al càlcul de l’arrel quadrada

Per calcular amb llapis i paper una arrel quadrada, segueix els passos que s’indiquen a continuació.

Exemple

Calculem 105 674

1 Separem de dos en dos, des de la dreta, les xifres del radicand i calculem l’arrel del paquet

2 Baixem el paquet següent (56) i busquem la xifra c de manera que 6 c × c sigui tan proper a 156 com sigui possible, sense sobrepassar-lo. √10

» EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES

Sistemes de numeració

1. Tradueix al sistema decimal aquests nombres de l’antic Egipte: A C B D

2. Escriu segons el sistema additiu egipci cada un d’aquests nombres:

a) 48 b) 235 c) 2.130

3. Expressa en xifres romanes:

a) 87 b) 425 c) 2.600

4. Escriu el nombre cinquanta-set, com a mínim, amb tres sistemes de numeració diferents.

5. Quantes xifres necessites per escriure un bilió? I un trilió? Quants zeros són en cada cas?

6. Vertader o fals? a) Un milió equival a mil centenes. b) Cent milions són mil centenes de miler.

c) Mil vegades un milió fan un giga. d) Cent gigues fan un bilió. e) Un bilió té un milió de milions.

Aproximacions

7. Copia en el teu quadern completa la taula: aproximacions nombre a les centenes de miler als milions 2.830.554 19.270.000 399.675.000

8. Segons va publicar un diari, la població de la capital d’Egipte, el juny de 2018, era de 19.487.245 habitants. Si et preguntessin per aquesta xifra i no recordessis la quantitat exacta, què respondries? • Quina creus que podria ser

noranta mil euros.

10. La taula conté algunes dades sobre el consum a Catalunya de productes de l’hort durant el 2018: pes (tones) valor (milers d’€) hortalisses fresques

Solucionari

Exercita les teves competències

1. A: 57; B: 234; C: 2.540; D: 3.430.000

2. a) b) c)

3. a) 87 = LXXXVII; b) 425 = CDXXV; c) 2.600 = MMDC

4. Sistema de numeració decimal: 57

Sistema de numeració romà: LVII

Sistema de numeració egipci:

5. a) Un bilió → 1.000.000.000.000 → 13 xifres, 12 zeros

b) Un trilió → 1.000.000.000.000.000.000 → 19 xifres, 18 zeros

6. a) Fals; b) Vertader; c) Vertader; d) Fals; e) Vertader

7. aproximacions

8. ODS (11)

19 milions d’habitants, aproximadament. • Resposta oberta.

9. a) Costa gairebé tres-cents mil euros.

10.

11. a) 235; b) 724; c) 231 i 235

12. a) 5; b) 3; c) 0; d) 1; e) 10; f) 4

13. a) 40; b) 43; c) 99; d) 51; e) 257; f) 131

Notes

Solucionari

14. a) 5 – [7 – 5] = 5 – 2 = 3

b) 3 + [8 – 7] = 3 + 1 = 4

c) 2 + [6 + 6] = 2 + 12 = 14

d) 7 – [12 – 7] = 7 – 5 = 2

e) 20 – [15 – 2] = 7

f) 15 – [17 – 12] = 10

15. a) 160; b) 1.280; c) 600; d) 1.700; e) 8.500; f) 12.000; g) 22.000; h) 134.000; i) 140.000

16. a) q = 330; r = 7

b) q = 46; r = 11

c) q = 201; r = 0

d) q = 43; r = 0

e) q = 3; r = 0

f) q = 107; r = 0

17. a) 8 1 6 2 5 0 6 6 3

18. a) 6; b) 3; c) 2; d) 18; e) 2; f) 1

19. a) 12; b) 16; c) 24; d) 28; e) 34; f) 40; g) 42; h) 68; i) 84

20. a) 100 : 5 = 20 bidons; b) 12 · 5 = 60 €; c) 24 · 10 = 240 ampolles; d) 240 : 2 = 120 €

21. D = d · q + r

k · D = k · (d · q + r) = k · d · q + k · r

La propietat distributiva diu que el residu queda també multiplicat pel mateix nombre.

22. a) 20; b) 14; c) 4; d) 30; e) 44; f) 7; g) 6; h) 4

23. a) 3; b) 6; c) 4; d) 4; e) 9; f) 0; g) 3; h) 6; i) 3; j) 14; k) 8; l) 0; m) 12; n) 4; o) 0; p) 2

24. A. 9 + (3 – 1) = 11 B. 9 – (3 + 1) = 5

25. a) 30 – 4 · 7 = 30 – 28 = 2

b) 5 + 3 · 2 = 5 + 6 = 11

c) 5 · 8 + 7 = 40 + 7 = 47

d) 3 · 7 – 13 = 21 – 13 = 8

e) 2 · 12 – 3 · 5 = 24 – 15 = 9

f) 4 · 2 + 3 · 2 = 8 + 6 = 14

g) 15 – 3 · (10 – 8) = 15 – 3 · 2 = 15 – 6 = 9

h) 6 + 5 · (13 – 12) = 6 + 5 · 1 = 6 + 5 = 11

Interpreta, descriu, expressa’t

26. Relaciona cada enunciat amb dues de les expressions de sota:

I. En un autobús urbà hi anaven 50 passatgers. En la primera parada en baixen 16 i en pugen 4.

II. La classe de música té 50 estudiants matriculats, però avui n’han faltat 4 i 16 han anat a un concert.

III. L’Ernest va comprar una samarreta de 16 € una gorra de 4 € va pagar amb un bitllet de 50 € IV. A l’hotel hi ha 50 clients. Avui n’entren 16 de nous i en surten 4. a) 50 – 16 – 4 b) 50 – 16 + 4 c) 50 – (16 + 4) d) 50 – (16 – 4) e) 50 + (16 – 4) f) 50 + 16 – 4

27. Quina o quines de les expressions aritmètiques responen a la solució d’aquest problema?

En un supermercat s’han venut aquest matí 24 kg de pomes a 2 €/kg, 12 melons a 4 € la peça i 13 pinyes a 2 € cada una. Quant s’ha ingressat a la caixa per la venda d’aquestes fruites? a) 24 · 12 + 4 13 + 2 b) 24 2 + 12 · 4 + 13 2 c) (24 + 13) 2 + 12 · 4 d) (24 + 13 + 2) (2 + 4)

28. Llegeix l’enunciat del problema i fixa’t en la resolució. Després, explica el significat de cada operació i el resultat que s’obté en cada una. En una granja hi ha cavalls, vaques i gallines. En total hem comptat 714 potes, 168 banyes i 137 becs. Quants cavalls hi ha a la granja?

Solucionari

26. I → b) i d) III → a) i c) II → a) i c) IV → e) i f )

27. b) i c)

28. 1. Només les vaques tenen banyes; per tant, el nombre de vaques és la meitat del nombre de banyes. → 168 : 2 = 84

2. Les potes de les vaques. → 84 · 4 = 336

3. El nombre de potes de gallina és el doble que el nombre de becs. → 137 · 2 = 274

4. El nombre de potes de vaca i potes de gallina. → 336 + 274 = 610

5. El nombre de potes de cavall és igual al total de potes menys les potes de gallina i les potes de vaca. → 714 – 610 = 104

6. El nombre de cavalls és el nombre de potes de cavall dividit per 4. → 104 : 4 = 26

29. a) 16; b) 216; c) 243; d) 160.000; e) 1

30. a) 203 = 8.000 c) 104 = 10.000 b) 702 = 4.900 d) 204 = 160.000

31. a) x = 8 b) x = 4 c) x = 4 d) x = 3

32. a) 3.125; b) 59.049; c) 1; d) 3.375; e) 65.536

33. a) 16.777.216; b) 9.765.625; c) 91.125; d) 20.151.121; e) 970.299 34. 322 = 1.024

=

36. a) 100; b) 1.000.000; c) 10.000.000.000; d) 1.000.000.000.000; e) 10.000.000.000.000.000

37. a) 102 b) 108 c) 1014 d) 1017

38. a) 5 · 103 b) 17 · 105 c) 4 · 109

39. Casablanca: 5.899.000 → 5.900.000 i 59 · 105 París: 10.858.000 → 10.900.000 i 109 · 105

San Francisco: 5.929.000 → 5.900.000 i 59 · 105

Pequín: 21.009.000 → 21.000.000 i 21 · 106

40. 98 · 106 < 17 · 107 < 16 · 108 < 8 ·

< 1010

41. Escriu de manera abreujada, amb ajuda d’una potència de base 10: a) Vuit mil cinc-cents milions.

b) Dos bilions, tres-cents mil milions.

c) Quatre trilions, nou-cents mil bilions.

Operacions amb potències

42. Calcula:

72

c) (10 – 6)2 – (10 – 8)3 d) 34 – (5 – 3)2 – (23)2

e) (13 – 3)2 · (7 + 3)2 + (15 – 5)2 · 10

43. Calcula de la manera més senzilla: a) 82 · 52 b) 26 · 56 c) 253 · 43

d) 65 : 35 e) 153 : 53 f) 204 : 54

44. Reflexiona sobre aquests enunciats tradueix-los a igualtats o a desigualtats matemàtiques:

a) Potència d’un producte. ↔ Producte de les potències dels factors.

b) Potència d’una suma. ↔ Suma de les potències dels sumands.

c) Producte de potències amb la mateixa base. ↔ La mateixa base elevada a la suma d’exponents. d) Potència d’una altra potència. ↔ La mateixa base elevada al producte dels exponents.

e) Potència d’exponent zero. ↔ U.

45. Redueix aquestes expressions: a) x8 : x3 b) m4 m2 c) (k

46. Copia en el teu quadern i substitueix cada asterisc per l’exponent que correspongui: a) 64 · 63 = 6*

Solucionari

41. a) 8.500.000.000 = 85 · 108 b) 2.300.000.000.000 = 23 · 1011

c) 4.900.000.000.000.000.000 = 49 · 1017

42. a) 22; b) 8; c) 8; d) 13; e) 11.000

43. a) 402 = 1.600

c) 1003 = 1.000.000

e) 33 = 27 b) 106 = 1.000.000 d) 25 = 32 f) 44 = 256

44. a) (a · b)m = a m · b m

b) (a + b) m ≠ a m + b m

c) a m · a n = a m + n

d) (a m)n = a m · n

e) a0 = 1

45. a) x8 : x3 = x5

d) x5 · x5 = x10 b) m4 · m2 = m6 e) (m3)2 = m6 c) (k2)4 = k8 f) k6 : k4 = k2

46. a) 64 · 63 = 67

d) 26 : 24 = 22

g) (42)3 = 46

j) (x6)2 = x12

b) a5 · a3 = a8

e) a9 : a8 = a h) (a2)2 = a4

47. a) 184 : 64 = 34 = 81

c) 54 : 52 = 52 = 25

e) 67 : 67 = 1

c) m3 · m6 = m9

f) m8 : m2 = m6 i) (m4)3 = m12

b) 38 : 36 = 32 = 9

d) 410 : 44 = 46 = 4.096 f) 87 : 85 = 82 = 64

51. Copia, substitueix cada asterisc pel nombre adequat i, finalment, calcula:

: 253 = (55 53) : (5*)3 = … b) (23 · 42) : 8 = [23 · (2*)2] : 2* = [23 2*] : 2* = … c) (34 · 92) : 272 = [34 (3*)2] : (3*)2 = [34 · 3*] : 3* = …

Expressa calcula

52. Un restaurant ofereix a la seva carta nou primers plats, nou segons i tres postres. Expressa amb una potència i calcula el nombre de menús diferents que es poden triar.

53. Escriu els exponents en el teu quadern i calcula: a) La Montse té una capsa amb molts cubs de goma d’1 cm d’aresta. Construeix tres cubs iguals de 3 cm d’aresta. Nombre de cubs utilitzats: 3 b) Un pagès planta enciams al seu hort. Els distribueix en 25 solcs en cada solc hi posa 25 enciams.

Nombre d’enciams: 25

c) Un camió de repartiment porta 6 palets de capses de llet. En cada palet hi ha 36 capses en cada capsa, 6 brics de litre.

Nombre de litres: 6

48. a) a6 · a3 = a9

c) m10 : m6 = m4

e) x10 : x7 = x3

49. Exercici resolt.

b) x5 : x3 = x2

d) a15 : a12 = a3 f) m1 · m1 = m2

50. a) 212 : 45 = 212 : (22)5 = 212 : 210 = 22 = 4

b) 36 : 92 = 36 : (32)2 = 36 : 34 = 32 = 9

c) 253 : 54 = (52)3 : 54 = 56 : 54 = 52 = 25

d) 164 : 45 = (42)4 : 45 = 48 : 45 = 43 = 64

51. a) (55 · 53) : (52)3 = (58) : (52)3 = 58 : 56 = 52 = 25

b) [23 · (22)2] : 23 = [23 · 24] : 23 = 27 : 23 = 24 = 16

c) [34 · (32)2] : (33)2 = [34 · 34] : 36 = 38 : 36 = 32 = 9

52. Es poden triar 32 · 32 · 3 = 35 = 243 menús diferents.

53. a) 34 = 81 cubs d’1 cm d’aresta

b) 252 = 625 enciams

c) 64 = 1.296 litres

Notes

Arrel quadrada

54. Calcula, per tempteig, l’arrel exacta o l’entera: a) 90 b) 121 c) 1 785

55. Resol amb la calculadora: a) 655 b) 1 024 c) 1 369 d) 4 225 e) 12 664 f) 33 856

56. Copia en el teu quadern els quadrats perfectes: 1.000 1.225 1.600 1.724 1.601 2.464 3.364 3.540 3.773 3.844 4.000 5.625

57. Copia en el teu quadern i substitueix cada casella pel signe « » o pel signe «≠» segons correspongui: a) 2 9 36 b) 3 · 4 12 c) 5 16 20 d) 4 · 25 10 e) 9 9 18 f) 4 4 16

58. A partir del concepte d’arrel quadrada, podem dir el següent: ab ba ab aa 2 2 2 2 ` ` j j 4 Tenint en compte això, resol: a) 5125 –22 2 + `j b) 25 3– 0 2 4 + ``jj Resol problemes

59 PROBLEMA RESOLT Deixa clar el significat de cada pas, de cada operació de cada resultat.

majorista d’alimentació compra

sacs de patates de 30 kg per 2.000 € Després, en seleccionar la mercaderia, en llença 300 kg i n’envasa la resta en bosses de 5 kg, que ven a 4 € la bossa. Quin benefici obté?

— Quilos comprats (150 sacs de 30 kg): 150 · 30 = 4.500 kg Quilos envasats (en llença 300 kg): 4.500 – 300 = 4.200 kg

Bosses de 5 kg obtingudes: 4.200 : 5 = 840 bosses Ingressos, en euros, per la venda de 840 bosses a 4 € cada una: 840 · 4 = 3.360 € — Beneficis (ingressos, 3.360€, menys despeses, 2.000 €): 3.360 – 2.000 = 1.360 € Solució: Guanya 1.360 €

60. En una indústria de conserves es preparen 250 kg de melmelada de pruna, que s’envasen en pots de 200 g. Durant el procés es rebutgen 17 pots perquè s’han trencat o perquè són defectuosos. Quants pots vàlids s’obtenen?

61. La construcció d’un xalet, A, va durar 14 mesos i va començar 4 mesos després que s’iniciessin les obres d’un altre xalet, B, la construcció del qual va durar 15 mesos. Si A es va acabar al juny, quin mes es va acabar B?

62. Al viver d’una horta es preparen 50 safates amb 100 llavors cada una. En cada safata es fan malbé, de mitjana, 20 llavors. Quants plançons espera obtenir el pagès?

63. A la prestatgeria dels refrescos del supermercat quedaven 7 capses de 6 llaunes 4 llaunes soltes. Si en col·loquen 12 capses més, quantes llaunes hi ha ara?

64. La Neus ha enviat en l’última setmana 40 missatges amb el seu mòbil. Al seu germà Pep n’hi ha enviat cinc; als seus pares, tres més que a en Pep, i al grup de la seva colla, la resta. Quants missatges ha enviat a la colla?

65. A la Clara li han pagat 28 euros per repartir 7 blocs de propaganda. Quant li haurien pagat si hagués repartit un bloc més?

66. En una brioixeria fan cada dia cinc safates amb tres dotzenes de magdalenes cada una. Quantes magdalenes fan a la setmana, tenint en compte que el dilluns tanquen?

67. En una granja hi ha el doble de vaques que de cavalls i en total són 36 caps de bestiar. Quantes vaques i quants cavalls hi ha?

68. Un camió transporta 15 caixes de refrescos de taronja i 12 de llimona. Quantes ampolles porta en total si cada caixa conté 24 ampolles?

Solucionari

54. a) 90 ≈ 9 → entera

b) 121 11 = → exacta

c) 1.785 ≈ 42 → entera

55. a) 655 25 ≈ → entera

b) 1.024 32 = → exacta

c) 1.369 37 = → exacta

d) 4.225 65 = → exacta

e) 12 664 112 ≈ → entera

f) 33.856 184 = → exacta

56. 1.225 = 352; 1.600 = 402; 3.364 = 582; 3.844 = 622; 5.625 = 752

57. a) 2 9 36 · =

b) 3 4 12 · ≠

c) 5 16 20 · =

d) 4 25 10 · =

e) 9 9 18 · ≠

f) 4 4 16 · =

58. a) 2 2 2 5 12 5 25 144 5 169 5 13 5 8 + =

2

59. Problema resolt.

60. 250 kg = 250 · 1.000 = 250.000 g de melmelada

250.000 : 200 = 1.250 pots de melmelada 1.250 – 17 = 1.233 pots de melmelada vàlids

S’obtenen 1.233 pots de 200 g de melmelada.

61. La construcció del xalet B va començar al mes de desembre i es va acabar al mes de març.

62. Espera obtenir 50 · (100 – 20) = 4.000 plançons.

63. Hi ha (7 · 6) + 4 + (12 · 6) = 118 llaunes.

64. Ha enviat 40 – 5 – (5 + 3) = 27 missatges.

65. Per cada bloc de propaganda li paguen: 28 : 7 = 4 €.

Si hagués repartit un bloc més, li haurien pagat: 28 + 4 = 32 €.

66. Fan 5 · (3 · 12) · 6 = 5 · 36 · 6 = 1.080 magdalenes a la setmana.

67. Hi hauria 12 cavalls i 24 (el doble) vaques.

68. Porta 24 · (15 + 12) = 648 ampolles.

69. El pare de la família Smith, en Jonathan, cobra 1.940 dòlars al mes. Si guanya 720 dòlars més que en Jon, el fill gran, 880 més que la Cathy, la filla, i 280 menys que la Catherine, la seva dona, quins són els ingressos mensuals de la família?

70. La Rosa té dos anys més que el seu germà petit, en Julià, i dos menys que l’Albert, el seu germà gran. Si entre tots tres igualen l’edat de la seva mare, la Marta, que acaba de fer 42 anys, quants anys té cada un dels germans?

71. Un tren de mercaderies, que avança a 55 km/h, es creua amb un de passatgers que avança per la via paral·lela a 105 km/h. Quina distància els separa mitja hora més tard?

72. Un cotxe i una moto surten alhora d’una cafeteria d’una carretera en la mateixa direcció. El cotxe avança a 90 km/h i la moto, a 100 km/h. Quina distància els separa al cap d’una hora i mitja?

73. Un camió porta 27 caixes de refrescos de 24 ampolles. En un accident es trenquen 311 ampolles. Esbrina si s’ha conservat més o menys de la meitat de la càrrega.

74. Un autobús amb 54 turistes a bord pateix una avaria camí de l’aeroport. El responsable del grup decideix acomodar les viatgeres els viatgers en taxis de quatre places. Quants taxis necessiten?

75. La Marta té estalviats 162 € i vol comprar un monopatí que costa 199 € Si aconsegueix estalviar de la seva paga 10 € cada setmana, quantes setmanes trigarà a comprar el monopatí?

76. Una fàbrica de cotxes ha produït 15.660 unitats entre gener, febrer i març. Quants cotxes fabrica, de mitjana, cada dia?

77. El sector hoteler d’una localitat turística ha contractat 12.845 persones. Tres de cada cinc són dones. Quantes dones ha contractat?

78. En una escola que té 450 estudiants, dos de cada cinc estudien un segon idioma i, d’aquests, un de cada tres ha triat l’alemany. Quants estudien un segon idioma? Quants estudien alemany?

79. Un agricultor té 140 presseguers en un hort. Ell espera collir, de mitjana, 35 kg de préssecs de cada arbre. La fruita s’envasa en caixes de 10 kg i es ven a 20 € la caixa. Quant guanyarà per la venda de la seva collita?

80. La Marta, en Pau i la Rosa van a comprar. La Marta gasta 30 € més que en Pau i 40 € menys que la Rosa. Si entre tots tres han gastat 208 €, quant ha gastat cada un?

81. Tens un munt de monedes de 50, 20 i 10 cèntims. De quantes maneres diferents pots fer 1 euro? Justifica la teva resposta.

82. Utilitzant només zeros i uns, es poden construir quatre nombres diferents de tres xifres: 110

Quants nombres de quatre xifres tenen només zeros i uns? I de cinc xifres?

83. La carta d’un restaurant ofereix cinc varietats de primer plat, tres de segon i dos de postres. De quantes formes pot triar el seu menú, un client que tria un plat de cada grup?

84. L’Antoni, la Blanca, la Cristina i en David acaben d’entrar al cinema. De quantes formes diferents es poden asseure en les quatre butaques que els corresponen? Fes, primer, un problema més fàcil: De quantes formes es podran asseure si l’Antoni ha ocupat ja la butaca núm. 1? 1a 2a

Solucionari

69. Els ingressos mensuals de la família són 6.440 dòlars.

70. La Marta té 42 anys; la Rosa té 14 anys; en Julià, 12 i l’Albert, 16 anys.

71. La distància que els separa passats 30 min és de 80 km.

72. La distància que separa el cotxe i la moto una hora i mitja més tard és de 150 – 135 = 15 km.

73. De les 648 ampolles que portava el camió, n’hi queden 337; per tant, ha conservat més de la meitat de la càrrega.

74. Necessiten 14 taxis.

75. Caldrà que estalviï 4 setmanes i encara li sobraran 3 €.

76. De mitjana fabrica 15.660 : 90 = 174 cotxes cada dia.

77. Han contractat (12.845 : 5) · 3 = 7.707 dones.

78. 180 estudien un segon idioma i 60 estudien alemany.

79. L’agricultor cull 140 35 = 4.900 kg de préssecs. Si s’envasen en caixes de 10 kg, farà 4.900 : 10 = 490 caixes. Si ven cada caixa a 20 €, guanyarà 490 20 = 9.800 €

80. La Marta gasta 66 €, en Pau 36 € i la Rosa 106 €.

81. Hi ha 10 maneres diferents de fer 1 €:

Hi ha 8 nombres de 4 xifres que només tenen 0 i 1. De nombres de 5 xifres amb aquestes condicions n’hi ha 16.

83. Hi ha 5 · 3 · 2 = 30 formes possibles.

84. Anomenem 1a, 2a, 3a i 4a les butaques i anomenem

A l’Antoni, B la Blanca, C la Cristina i D en David: Si l’Antoni ocupa la 1a butaca, els altres tres amics es poden asseure de 6 maneres diferents. Com que a la 1a butaca s’hi pot asseure qualsevol dels quatre, en total es poden asseure de 24 maneres diferents.

D B C

D C B

85. Si al magatzem hi ha 1.000 roses, han de demanar 32 capses de 25 roses per servir la comanda.

86. La Valentina té una granja d’ànecs i oques. Avui ha venut 21 dels animals per 350 euros. Entre els animals hi havia el doble d’ànecs que d’oques, una oca val el triple que un ànec. Quin preu té un ànec? I una oca?

87. Un cotxe triga 78 segons a travessar un tram de 2 km amb la velocitat limitada a 90 km/h. Creus que ha superat el límit permès? Per què?

88. En un camp rectangular de 150 m × 300 m es plantaran pollancres, en files i columnes paral·leles a les tanques, de manera que cada línia estigui a 5 metres de les del costat o de les vores. Quants pollancres tindrà el camp?

Dibuixa en una quadrícula casos més senzills. Per exemple:

89. El gràfic informa de la distribució, per colors, dels 30.690 cotxes fabricats en un trimestre.

gris blanc verd blau vermell altres Quants cotxes vermells s’han fabricat en aquest període?

90. Per a l’elaboració d’una estadística sobre les vacances en una ciutat d’interior, s’ha fet una enquesta els resultats de la qual són els següents: — El 56 % ha estat a la platja. El 47 % ha passat uns dies al poble. El 23 % ha gaudit d’ambdues destinacions. Quin tant per cent no ha estat ni a la platja ni al poble?

91. La Martina ha obtingut així la suma dels 7 primers nombres naturals:

intermedis. Quines dades encara no coneixes, però necessites, per arribar a la solució?

La Marta ha comprat cinc paquets amb quaranta adhesius cada un i ha decorat el cub petit. Li queden prou adhesius per decorar de la mateixa manera el cub gran?

Quants adhesius ha comprat? Ha comprat 5 40 = 200 adhesius. Quants n’ha utilitzat per al cub petit? En el cub petit ha utilitzat 6 · 32 = … adhesius. Quants adhesius li queden? Li queden

Solucionari

86. Ven 21 animals, entre els quals hi ha el doble d’ànecs que d’oques: 21 : 3 = 7 → Ven 7 oques i 14 ànecs.

Com que 1 oca val el mateix que 3 ànecs, el preu de les 7 oques és equivalent al preu de 21 ànecs. És a dir, podem considerar que ven 21 + 14 = 35 ànecs.

Cada ànec val 350 : 35 = 10 €.

Cada oca val 3 · 10 = 30 €.

87. 90 km/h = 90.000 m/h = 1.500 m/min = 25 m/s

En 78 segons, a 90 km/h, farà 78 · 25 = 1.950 m.

Sí, ha superat el límit de velocitat permès.

88. El camp tindrà (30 – 2) · (60 – 2) = 28 · 58 = 1.624 pollancres.

89. Nombre de caselles ocupades → 62

Cotxes fabricats per casella → 30.690 : 62 = 495

Cotxes vermells fabricats → 495 · 8 = 3.960

90. 100 – (33 + 23 + 24) = 100 – 80 = 20; el 20 % de la població no ha estat ni a la platja ni al poble.

Platja

Poble

92. Problema resolt.

Ha comprat 5 · 40 = 200 adhesius.

En el cub petit ha utilitzat 6 · 32 = 54 adhesius.

Li queden 200 – 54 = 154 adhesius.

Per al cub gran necessita 216 adhesius.

93. 200 14 14 196 rajoles 2 ≈ → =

El terra més gran que podem cobrir amb 196 rajoles de 0,04 m2 és de 7,84 m2

Sobren 200 – 196 = 4 rajoles.

94. 33 = 27 i 43 = 64

El cub més gran que pot construir és de 3 cm d’aresta.

Li sobren 50 – 27 = 23 daus.

95. Cada costat de la finca mesura 900 = 30 m

Per tant, caldria comprar 4 · 30 = 120 m de filat per tancar la finca.

96. Observa el cub de la il·lustració format per 5 × 5 × 5 cubs unitaris.

a) Suposa que el pintem de vermell. Quants cubs petits unitaris hauran quedat parcialment pintats?

b) Suposa que el volem fer més gran, recobrint-lo completament amb una capa de cubs petits verds. Quants cubs petits verds necessitarem?

97. Quants pares i quantes mares tenien entre tots els teus rebesavis?

Problemes «+»

98. Un nombre té quatre xifres que sumen 4. Si intercanvies les unitats amb les centenes, augmenta en 99. Quin nombre pot ser? Intenta trobar més d’una solució.

99. L’Arnau i en Ferran viuen al mateix edifici i van a la mateixa escola. L’Arnau, quan va sol, triga 20 minuts a fer el recorregut de casa a classe. En Ferran, al seu pas, triga 30 minuts a fer el mateix trajecte. Avui, quan l’Arnau surt, fa ja cinc minuts que el seu company ha sortit. Quant trigarà a atrapar-lo?

Solucionari

96. a) Hauran quedat pintats 53 – 33 = 125 – 27 = 98 cubs unitaris.

b) Necessitarem 73 – 53 = 343 – 125 = 218 cubs unitaris verds.

97. Pare i mare → 2; Avis i àvies → 22 = 4; Besavis i besàvies → 23 = 8; Rebesavis i rebesàvies → 24 = 16. Per tant, entre tots els teus rebesavis tenien 25 = 32 pares i mares.

98. Resposta oberta. Per exemple: 1.102, 2.011 o 3.001.

99. L’Arnau triga 10 minuts a recórrer la meitat del camí i en Ferran, 15 minuts. Per tant, si en Ferran surt 5 minuts abans, l’Arnau l’atraparà a la meitat del camí, quan faci 10 minuts que camina.

100. Hi ha 8 + 13 + 12 + 21 + 14 + 9 + 11 + 17 = 105 alumnes matriculats a 1r d’ESO.

100. Dels alumnes matriculats a 1r d’ESO, sabem que: 44 es queden al menjador, 58 utilitzen el transport escolar i 47 estan apuntats a extraescolars.

24 es queden al menjador i a extraescolars.

23 es queden al menjador i utilitzen el transport escolar; 25 utilitzen el transport i es queden a extraescolars.

11 utilitzen els tres serveis i 17 no n’utilitza cap. Quants alumnes hi ha matriculats? Et serviria, utilitzar un gràfic com aquest? 1r ESO menjador tr. escolar act. ext.

101. Quatre amics i amigues es pesen, per parelles, de totes les maneres possibles anoten desordenadament els resultats que obtenen:

83 kg - 87 kg - 91 kg - 80 kg - 84 kg - 88 kg El que pesa més fa 46 kg. Quant pesa cada un per separat?

102. L’Albert explica una notícia a l’Ignasi la Sara. Deu minuts després, l’Ignasi ja els l’ha explicat a la Raquel i a la Marta, a l’Ona, a la Rosa a en Pau. Al cap de deu minuts més, cada un d’aquests últims l’ha explicada a dues persones més. Si la difusió de la notícia segueix al mateix ritme, quantes persones la sabran una hora després que se n’assabentessin l’Ignasi la Sara?

103. El terra d’una habitació quadrada està enrajolat amb 484 rajoles de 15 cm de costat. Són totes blanques, excepte les que estan a 15 cm de la paret, que formen un marc decoratiu de color vermell. Quantes rajoles vermelles hi ha en aquest terra?

101. Anomenem 1 < 2 < 3 < 4 els quatre amics i amigues ordenats per pes.

4 → 46 kg

3 → 91 – 46 = 45 kg

2 → 88 – 46 = 42 kg

1 → 80 – 42 = 38 kg

102. Als 10 minuts que se n’assabenten l’Ignasi i la Sara, ho saben dues persones més, i cada 10 minuts es multipliquen per 2 les persones que ho saben. Una hora són 60 minuts i 60 : 10 = 6 trams de 10 minuts. Així que, al cap d’una hora, ho sabran 26 = 64 persones.

103. El costat de l’habitació té 484 = 22 rajoles.

Si traiem les rajoles del voltant, ens queda un quadrat de 20 rajoles de costat; és a dir, un total de 202 = 400 rajoles (amb la vora vermella). El quadrat interior de rajoles blanques té 18 rajoles de costat; és a dir, 182 = 324 rajoles blanques.

Si al total de rajoles del quadrat interior hi restem el quadrat de rajoles blanques, tenim: 400 – 324 = 76 rajoles vermelles.

» MATEMÀTIQUES EN CONTEXT

DISTRIBUCIÓ DE MERCADERIES

La fruita conreada pels pagesos fa un llarg recorregut fins que arriba al consumidor: el pagès, el majorista, el transportista el punt de venda. En Pau és un majorista de fruita que es troba en les situacions següents.

1. Compra i venda En Pau paga 1.500 € a un pagès per la compra de 200 caixes de peres. Cada caixa té un pes mitjà de 18 quilos. Quan arriba al magatzem les selecciona n’aparta 300 quilos perquè són defectuoses. La resta, les envasa en safates de cartó de 3 kg. Finalment, les ven a una cadena de supermercats, a 2 € la safata.

a) Quantes safates ven al supermercat?

b) Quant ingressa per la venda de la mercaderia?

c) Quin benefici obté?

2. Nombres matrícules

En Pau contracta un transportista que s’acaba de comprar una furgoneta nova, que té aquesta matrícula:

Les matrícules dels vehicles s’ordenen d’acord amb un codi format per un nombre de quatre xifres, que comença per 0000 acaba per 9999, seguit de tres lletres (val qualsevol lletra, excepte les vocals, les consonants Ñ i Q els dígrafs CH, LL). Així doncs, d’acord amb aquest codi les matrícules comencen per 0000 BBB i acaben en 9999 ZZZ.

a) Quants vehicles matriculats porten, fins al moment, les mateixes lletres que el del transportista?

b) Quants vehicles es matricularan abans que es canviï una lletra de la matrícula?

c) Quants vehicles s’han matriculat, incloent-hi el del transportista, des que un company seu es va comprar un vehicle amb la matrícula 2581 LBS?

d) Quants vehicles s’hauran matriculat abans que aparegui el primer amb la matrícula 4000 LBV?

Les quatre xifres les tres lletres de les matrícules permeten un total de 8 × 107 matriculacions. (Començant amb el 0000 fins al 9999, ens trobem 104 combinacions diferents de nombres amb quatre xifres. Pel que fa a les tres lletres, hi ha un total de 8 × 103 combinacions diferents.)

e) Escriu amb totes les xifres el nombre total de matriculacions i les combinacions que permeten els quatre nombres i les tres lletres.

f) Escriu aquest nombre amb lletres.

g) Si cada any es matriculen al voltant d’un milió tres-cents vint-i-un mil quatre-cents trenta-vuit vehicles, quant temps passarà fins que comencin a matricular vehicles amb les últimes quatre xifres?

1. Menys de 30 anys.

2. Entre 30 40 anys.

3. Més de 40 anys.

3. Dimensions capacitat

Als supermercats, la fruita es conserva durant més temps si s’emmagatzema en cambres frigorífiques.

En aquestes cambres es retarda la maduració mantenint la temperatura entre 13 °C 1 °C la humitat entre el 85 % i el 90 %.

En un dels supermercats tenen una cambra frigorífica que fa 500 centímetres de llargària, 500 centímetres d’amplària i

500 centímetres d’alçària útils.

Les peres s’emmagatzemen en caixes cúbiques de 50 centímetres d’aresta.

• Quantes caixes de peres caben en l’espai útil de la cambra frigorífica?

A partir de les dades d’aquesta activitat, pensa una altra pregunta per plantejar-la a un company o companya de classe.

Primer l’has de resoldre tu per comprovar que estigui ben plantejada i per saber quina és la resposta correcta.

Solucionari

Matemàtiques en context

1. a) 200 caixes · 18 kg/caixa = 3.600 kg de peres

3.600 kg – 300 kg = 3.300 kg de peres bones

3.300 kg : 3 kg = 1.100 safates de 3 kg

b) 1.100 safates 2 € = 2.200 € ingressats

c) 2.200 – 1.500 = 700 € de benefici

2. a) 2.581, incloent-hi la furgoneta del transportista.

b) La lletra T s’acabarà quan s’arribi als 10.000; per tant, 10.000 – 2.581 = 7.419 vehicles.

c) 7.419 + 2.581 = 10.000 vehicles

d) 7.419 + 10.000 + 4.000 = 21.419 vehicles

e) 8 · 107 = 80.000.000 matriculacions; 104 = 10.000 combinacions permeten els quatre nombres; les tres lletres permeten

8 · 103 = 8.000 combinacions.

f) Vuitanta milions; deu mil; vuit mil.

g) Més de 40 anys (80.000.000 : 1.381.438 = 57,91 ≈ 58 anys).

3. • La cambra frigorífica fa 500 · 500 · 500 = (500)3 = = 125 106 cm3

Una caixa fa 50 · 50 · 50 = (50)3 = 125 103 cm3

En l’espai útil de la cambra hi caben (125 106) : (125 103) = = 1.000 caixes de peres.

Solucionari

Llegeix i descobreix

» TALLER DE MATEMÀTIQUES

» LLEGEIX I DESCOBREIX

Nombres en els ordinadors

Ja saps que nosaltres, per escriure els nombres, fem servir el sistema decimal, amb deu signes, del 0 al 9. Els ordinadors i les calculadores, en el seu llenguatge intern, escriuen els nombres en el sistema binari és a dir, utilitzant només dos signes: el 0 i l’1 Estudia i completa les taules en el teu quadern, seguint la lògica de les primeres files. Quan hagis acabat, hauràs traduït al sistema binari els primers quinze nombres naturals.

La computació i, en general, les noves tecnologies, són un àmbit d’aplicació de les matemàtiquess amb molta diversitat de sortides professionals.

» INVESTIGA

Nombres imparells, quadrats i cubs El món dels nombres presenta múltiples relacions, algunes de tan sorprenents que semblen màgia. Fixa’t en els exemples següents:

➜ Qualsevol nombre quadrat es pot expressar com la suma d’uns quants dels primers nombres imparells. Segons això, calcula: a) La suma dels set primers nombres imparells S7 = 1

+ 7 + 9 + 11 + 13 b) La suma dels deu primers nombres

5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1

Investiga

• a) S7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 72 = 49 b) S10 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 102 = 100

• S100 = 1 + 3 + 5 + … + 199 = 1002 = 10.000

• 53 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29

Notes

Solucionari

Entrena’t resolent altres

• Hi ha tres opcions (1, 2 o 3) per a cada xifra. Per tant, es poden formar 3 · 3 · 3 = 27 nombres diferents.

• Hi ha 3 sandvitxos sencers (3 4 = 12) i 1 de partit (2 3 = 6).

quadrats 1 2 3 4 5

puntes 4 8 12 16 20

resta de puntes 14 10 6 2 NO possible

triangles NO possible NO possible 2 NO possible NO possible

Posa’t a prova

1. a) 18 · 10 = 180

b) 270 · 100 = 27.000

c) 4.000 : 100 = 40

d) 380 : 10 = 38

2. a) 154 · 3 = 462

b) 2.646 : 27 = 98

c) 30.275 : 865 = 35 d) 1.508 = 12 · 125 + 8

3. a) 12 + 3 · 5 – 2 = 12 + 15 – 2 = 12 + 13 = 25

b) 19 – 5 · (10 – 7) + 4 · 7 = 19 – 5 · 3 + 4 · 7 = 19 – 15 + 28 = 32

c) 7 · 3 – 4 · 2 + 2 = 21 – 8 + 2 = 15

d) 10 · [7 · 5 – (4 + 6 · 3)] = 10 · [35 – (4 + 18)] = = 10 · [35 – 22] = 10 · 13 = 130

4. 60 : 4 = 15 banquetes

(60 : 4) · 3 = 15 3 = 45 cadires

5. a) L’extensió del Brasil és de 8.514.877 km2.

La població mundial l’abril de 2018 era de set mil sis-cents un milions set-cents seixanta-set mil dos-cents habitants.

b) L’extensió del Brasil és de 8.510.000 km2.

La població mundial l’abril de 2018 era de 7.601.770.000 habitants.

6. a) 26 = 64 b) 53 = 125 c) 72 = 49 d) 106 = 1.000.000

7. a) a3 · a2 = a5 b) x5 : x4 = x c) (a3)4 = a12

8. Hi haurà 104 = 10.000 daus en total.