ESO D’AULA GUIA
Aquest projecte editorial de l’àmbit matemàtic ha estat elaborat d’acord amb les dimensions competencials i els continguts descrits en el decret d’ordenació curricular publicat pel Departament d’Ensenyament de la Generalitat de Catalunya l’any 2015; aquest decret es fonamenta en la Llei d’educació de Catalunya i en les directrius de la Unió Europea, i respon al marc normatiu i a la legalitat vigent.
Equip editorial:
Cap del projecte editorial: Montse Ballaró Coordinació i edició: Mario Suárez
Correcció: Immaculada Riera
Coordinació artística i disseny: Laura R. Dengra Coordinació tècnica: Mercedes F. Bravo Maquetació: Servei Gràfic NJR, SLU
Aquesta guia d'aula correspon als continguts del llibre de Matemàtiques 4 (Programa Ada Lovelace), de José Colera Jiménez, Ignacio Gaztelu Albero, Mª José Oliveira González, Ramón Colera Cañas i Rosario García Pérez.
© 2021 d’aquesta edició: Editorial Barcanova, SA Rosa Sensat, 9-11, 4a planta. 08005 Barcelona Telèfon 932 172 054 barcanova@barcanova.cat www.barcanova.cat
Primera edició: juliol de 2021 ISBN: 978-84-489-5331-7 DL B. 13629-2021
Printed in Spain
Reservats tots els drets. El contingut d’aquesta obra està protegit per la llei, que estableix penes de presó i multes, a més de les indemnitzacions corresponents per danys i perjudicis, per a aquells que reproduïssin, plagiessin o comuniquessin públicament, totalment o parcialment, una obra literària, artística o científica, o la seva transformació, interpretació o execució artística fixada en qualsevol tipus de suport o comunicada per qualsevol mitjà, sense l’autorització preceptiva.
» DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE
E PROJ TEC EL DE MAT T QU E ES MÀ I
» PRESENTACIÓ
» PRESENTACIÓ
El nou projecte per a l’Educació Secundària Obligatòria permet avançar des del marc de l’escola curricular fins a l’escola competencial, responent a la demanda de noves eines que aquest nou model necessita. Es tracta de formar alumnes competents a l’hora de connectar els continguts amb la informació que requereixen en cada moment per interactuar amb l’entorn, per donar-los un sentit d’utilitat transversal que els ajudi a resoldre els problemes i reptes que els planteja el seu procés d’aprenentatge i la societat en què vivim.
Per facilitar el procés d’aprenentatge competencial proposem un material educatiu amb un contingut teòric com a font d’informació de tot allò que estableix el currículum per a la matèria i el curs corresponent, i unes activitats perquè l’alumne aprengui a gestionar la informació i adquireixi la competència d’aprendre a aprendre. A més a més, el docent disposa d’un llibre digital descarregable, multisuport, multidispositiu i multiplataforma, que conté recursos exclusius, com ara suggeriments didàctics, vídeos i enllaços d’interès per ajudar a dinamitzar l’aula i motivar l’alumnat.
Aquesta Guia d’aula per a l’àmbit matemàtic, de Matemàtiques, forma part del projecte competencial elaborat per l’editorial seguint el currículum del Departament d’Ensenyament. Cobreix totes les necessitats del docent per afrontar el currículum competencial enfocat a treballar les competències pròpies de l’àmbit, agrupades per dimensions
El contingut de la guia està pensat per facilitar la tasca del professorat a l’aula: per això es presenta la reproducció de les pàgines del llibre amb la informació necessària per ser utilitzada en cada moment:
• La temporització orientativa del contingut del llibre.
• Una proposta de programació didàctica de cada unitat.
• Els continguts clau de cada unitat.
• Les solucions de totes les activitats.
• La indicació de les activitats proposades per avaluar per dimensions i competències amb l’aplicació AvaluApp ( ).
• La indicació de les activitats relacionades amb els objectius de desenvolupament sostenible (ODS, ).
• La indicació de les pàgines on es poden treballar activitats amb GeoGebra ( ).
ORIENTATIVA
El currículum estableix 140 hores per a la matèria de Matemàtiques de 4t d’ESO. Es fa difícil establir una temporització que sigui aplicable a tots els grups, perquè els ritmes d’aprenentatge solen ser diversos. D’altra banda, pot haver-hi alguna part de l’alumnat que, per les seves característiques, no treballi tots els continguts activitats que presentem. És per això que la temporització que oferim aquí només és orientativa. Els tres reptes trimestrals que es presenten estan pensats perquè els alumnes els facin a casa; tanmateix, en aquesta temporització els destinem 2 hores per a una posterior posada en comú a l’aula.
» DESENVOLUPAMENT DE LES UNITATS
» UNITAT 1. ELS NOMBRES REALS
Programació competencial d’aula i concreció de les dimensions
Dimensió resolució de problemes COMPETÈNCIES CRITERIS INDICADORS
C1. Traduir un problema a llenguatge matemàtic o a una representació matemàtica utilitzant variables, símbols, diagrames models adequats.
C2. Emprar conceptes, eines estratègies matemàtiques per resoldre problemes. C4. Generar preguntes de caire matemàtic plantejar problemes.
1. L’alumne ha de ser capaç de resoldre problemes de la vida quotidiana, d’altres matèries de les mateixes matemàtiques utilitzant diferents tipus de nombres (racionals i irracionals), símbols i mètodes algebraics, avaluar altres mètodes de resolució possibles, com, per exemple, l’assaig error o bé el càlcul numèric amb mitjans tecnològics.
1.1. Tradueix un problema a llenguatge matemàtic utilitzant gràfics, expressions aritmètiques o expressions algebraiques senzilles. 1.2. Empra conceptes, eines estratègies matemàtiques per resoldre problemes, explicant el procés i comprovant la raonabilitat de la solució. 1.3. Genera preguntes o problemes que impliquin connexions que siguin coherents amb el context en què es planteja.
- Nombres racionals irracionals. El nombre 2 El nombre auri. El nombre π - Arrels radicals. Forma exponencial. Potències. - Propietats dels radicals. Operacions amb radicals. Racionalització de denominadors. - Nombres aproximats. Error absolut error relatiu. - Logaritmes. Propietats dels logaritmes.
ACTIVITATS
Resol: 1 Aplica el que has après: 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 23, 24 Observa, raona resol: 1, 2 Exercita les teves competències: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 Matemàtiques en context: 1, 2, 3 Posa’t a prova: 1, 4, 5
Solucionari
3 –1 3 4 2 –7 –3 Pàgina 10 1. NOMBRES IRRACIONALS Aplica el que has après 1. a) Si 3 és racional, b a 3 → 3 b a2 → 3b2 a2 Arribem
d’operar racionals amb un irracional i, per tant, són nombres irracionals. d) Raonant com a l’apartat a, si 8 és racional: b a 8 → 8ba2 → 23 b2 a2 Arribem a una contradicció, ja que 2 b conté el factor 2 un nombre imparell de vegades, fet que contradiu que a2 el con- tingui un nombre parell de vegades. e) És el resultat d’operar un racional amb un irracional i, per tant, és un irracional.
de l’esquerra és de 2,58 cm la de la
acolorida de la figura de la dreta és de 57,08 cm2 Pàgina 192 MATEMÀTIQUES EN CONTEXT 1. a) La representació de les maniobres queda així: ÀNCIA km) m) (13, 5) (29, 0) (7, 2) (4, 2) (2, 5) 16 24 2 6 b) 25 25 29 5 385 Distància al puntk 22=+ == ^ h c) 42,, 42 20 4 472 Distància al punt km 22=+ ^ h d) La solució, AB , es mostra en el gràfic de l’apartat a). e) La solució, BC es mostra en el gràfic de l’apartat a). f) xx yy OA 40 20 4 2 2 1 Penden 21 21-== CDxx yy 29 13 05 16 5 Pendent 21 21--Com que 2 1 16 8 es compleix que 16 5 2 1 1; per tant, el pendent del descens és més petit que el de l’enlairament, considerant que aquest consisteix en la maniobra inicial des del punt (0, 0)
Per tal de completar les eines per al professorat, el docent pot comptar amb material complementari preparat per ser fotocopiat. Aquest material el podrà descarregar des de l’espai personal del web www.barcanova.cat:
• Avaluacions curriculars: tres propostes en tres nivells de dificultat.
• Avaluacions competencials: seguint el model de les proves PISA.
• Activitats de reforç.
• Rúbriques i dianes d’avaluació.
4 ESO D’AULA GUIA Mat t qu e es mà i-
Programa Ada Lovelace
i dimensió comunicació i representació Pàgina 26, Activitat 1 Descriptors Nivell d’assoliment Pes Expert 4 (100 %) Avançat 3 (75 %) Aprenent 2 (50 %) Novell 1 (25 %)
1.identificacióInterpretacióde la informació sobre ladistribuciópreparacióde lots que ofereix l’enunciat del problema.
Extrec les dades sobre la preparació i distribució de lots de l’enunciat del problema i faig una representació a partir de l’enunciat. Sé triar les dades sobre la preparació distribució de lots de l’enunciat del problema entenc què demana què cal fer per resoldre’l.
Sé triar allò més important de l’enunciat del problema em faig una idea de què demana de què cal fer per resoldre’l.
dificultats, l’enunciat del problema. 30 % 2. Aplicació d’estratègies matemàtiques per esbrinar la distribució de lots entre els amics els marges de guany.
Estudio el problema, dissenyo un pla per esbrinar la distribució de lots els marges de guany, el desenvolupo amb seguretat i, un cop resolt, repasso el procediment amb detall. Estudio el problema, estableixo un pla per esbrinar la distribució de lots els marges de guany el desenvolupo.
3. Generació de preguntes problemes en el context d’una cooperativa ecològica. Plantejo noves preguntes
4. Identificació de les idees matemàtiques relacionades amb situacions quotidianes..
5. Explicació dels raonaments matemàtics per obtenir les solucions del problema sobre la compra
Estudio el problema, penso en una sèrie d’idees per esbrinar la distribució de lots els marges de guany provo de desenvolupar-les.
Afronto el problema, penso en algunes idees per esbrinar la distribució de lots els marges de guany provo de desenvolupar-les amb dificultats. 30 %
Provo de plantejar noves preguntes i problemes relacionats amb expressions algebraiques en el context d’una cooperativa ecològica. Tinc dificultats per plantejar noves preguntes problemes. 10 %
Plantejo resolc una equació per esbrinar la distribució de lots entre els amics. Aplico operacions diverses per esbrinar la distribució de lots entre els amics.
Entenc que cal plantejar i realitzar algunes operacions per esbrinar la distribució de lots entre els amics.
Dubto de quines són les operacions que cal fer per esbrinar la distribució de lots entre els amics. 15 %
L CURR UÍC UM N COMP EET CIAL UN
» LES COMPETÈNCIES, LES RÚBRIQUES I LES DIANES
» COMPETÈNCIES DE L’ÀMBIT MATEMÀTIC
» ELS OBJECTIUS DE DESENVOLUPAMENT SOSTENIBLE (ODS)
» LES COMPETÈNCIES, LES RÚBRIQUES I LES DIANES
Les competències
Una competència és el resultat d’integrar coneixements, habilitats i actituds d’una manera pràctica i saber-les aplicar a contextos diversos, siguin de l’àmbit acadèmic o de l’àmbit no acadèmic. Les competències són, per tant, combinacions de coneixements, habilitats i actituds adquirides que interactuen per donar una resposta eficient al treball o a l’activitat que es duu a terme.
L’objectiu principal de l’aprenentatge és el desenvolupament de les competències. La nomenclatura de les competències que utilitzem en aquesta Guia d’aula és la que estableix el Departament d’Ensenyament en el document Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic
Les competències s’han de considerar totalment integrades amb els continguts del currículum. Per a l’adquisició de cada competència són necessaris continguts molt diversos que s’hauran d’anar assolint progressivament al llarg dels cursos. Les competències de cada àmbit de coneixement s’estableixen per a tota l’etapa educativa; per tant, la seva adquisició s’haurà d’anar consolidant amb els aprenentatges que es vagin aconseguint en els diversos cursos de l’ESO.
Cal assenyalar que no totes les activitats que requereix un alumne per assolir plenament els continguts tenen un caràcter competencial. També són necessàries les activitats d’aplicació directa dels continguts.
En l’apartat d’aquesta guia «Programació competencial d’aula i concreció de les dimensions» trobareu una relació de les activitats proposades en el llibre agrupades per dimensions. Sovint les activitats proposades es relacionen amb més d’una dimensió i posen en joc diverses competències, però en aquesta programació s’ha volgut indicar la dimensió que té més rellevància en cada activitat. En el cas de les activitats que pertanyen a la secció «Matemàtiques en context», excepcionalment indiquem totes les dimensions que hi intervenen, ja que proposem aquestes activitats per avaluar per dimensions mitjançant l’aplicació AvaluApp.
DIMENSIÓ
Les rúbriques
Les rúbriques són eines d’autoavaluació dels alumnes que serveixen perquè siguin conscients del seu nivell d’aprenentatge, però també són una eina excel·lent per al docent per copsar la percepció que cada alumne té d’aquest aprenentatge i, si cal, establir estratègies perquè millorin.
Es poden fer servir en l’avaluació de determinades activitats i descriuen les característiques específiques d’aquella activitat en diversos nivells de rendiment, per tal d’aclarir allò que s’espera del treball de l’alumne, valorar-ne l’execució i facilitar el feedback (retroalimentació).
Així, doncs, la rúbrica és un instrument d’avaluació que no solament serveix per al docent, que la utilitza per mostrar a l’alumnat, d’una manera clara, el que es valorarà d’aquella tasca i com hi poden arribar, sinó també per a l’alumne, ja que facilita l’autoreflexió i la seva implicació activa i, per tant, és una eina per guiar-ne l’aprenentatge. A més, la rúbrica pot ser motivadora si orienta l’alumnat sobre com pot millorar.
Si es vol que sigui una eina potent per a l’aprenentatge de l’alumnat, cal involucrar-lo en la seva elaboració, posada en pràctica i revisió. En aquest programa de Matemàtiques posem a l’abast del docent diferents rúbriques perquè les pugueu fotocopiar, comentar i lliurar a cada un dels vostres alumnes abans de fer l’activitat a què es refereix i, si ho creieu convenient, modificar-la conjuntament, de manera que sigui una mena de contracte entre docent i alumnat.
Per a cada descriptor s’estableix una gradació en quatre nivells, cada un amb un valor: expert (4), avançat (3), aprenent (2) i novell (1), i s’estableix un percentatge per a cada ítem, de manera que, tots sumats, arribin a 100.
Si d’una competència indiquem que té un percentatge del 5 %, l’alumne que marqui l’opció expert obtindrà el 100 % del percentatge de la nota, és a dir, un 5 %; el que hagi marcat l’opció avançat obtindrà un 75 % del 5 %, és a dir, un 3,75 ; l’ aprenent , un 50 % del 5 %, és a dir, un 2,5 %, i el novell, un 25 % del 5 %, és a dir, un 1,25 %. Sumats els valors obtinguts per a cada ítem, tindrà el valor global d’assoliment d’aquella activitat i el percentatge corresponent a cada competència.
Tant els descriptors de les competències —o ítems— com els percentatges que hem atorgat a cada un els podeu modificar segons el vostre criteri. El que cal és que, repartits els percentatges, el total faci 100. També, a partir d’aquests models, vosaltres mateixos podeu elaborar rúbriques per a altres activitats o treballs del vostre alumnat. 2
2. Aplicació d’estratègies matemàtiques per esbrinar la distribució de lots entre els amics els marges de guany.
Estudio el problema, dissenyo un pla per esbrinar la distribució de lots els marges de guany, el desenvolupo amb seguretat i, un cop resolt, repasso el procediment amb detall.
Estudio el problema, estableixo un pla per esbrinar la distribució de lots els
Les dianes
La diana d’autoavaluació és una altra eina que ens permet avaluar les competències d’una activitat que considerem rellevant, d’una manera ràpida i àgil, a partir de la percepció que l’alumne té del seu aprenentatge. És una eina més senzilla que la rúbrica però, de vegades, és suficient.
La representació de la diana presenta quatre cercles concèntrics, que determinen el grau d’assoliment de les competències que es volen avaluar, amb una numeració de l’1 al 4: al cercle més intern li correspon l’1 i al més extern, el 4. Vindrien a ser els graus d’assoliment de les rúbriques (expert, avançat, aprenent i novell).
Aquesta diana es divideix en tants sectors com descriptors de les competències o ítems es vulguin avaluar. Cada línia que separa els sectors representa un dels ítems. De vegades es posa el descriptor de la competència a la part externa del cercle o, si no hi ha espai, un número i la llegenda corresponent a cada un dels ítems al costat de la diana.
Per fer l’autoavaluació, l’alumne ha de valorar si l’ítem corresponent l’ha assolit de manera excel·lent (Sempre), bé (Gairebé sempre), suficient (De vegades) o cal que s’ho revisi (Mai) segons el que indiqui la llegenda de la diana, i marcar un punt en la intersecció entre la línia de l’ítem i el cercle de la numeració corresponent. Quan l’alumne ha valorat tots els ítems, ha de traçar una línia per unir tots els punts i pintar l’àrea del polígon resultant. Com més gran sigui l’àrea, més assoliment hi ha de les competències de l’activitat que s’avalua. Finalment, els alumnes poden comparar el dibuix resultant de la seva diana amb el de la resta dels companys i companyes.
DIANES • Unitat 1 • Sistema de numeració decimal i sistema sexagesimal
Dimensió resolució de problemes Pàgina 27, activitat 2
Interpreto la informació continguda en l’enunciat del problema en destrio les dades rellevants per esbrinar les dimensions de les caixes.
Transformo fraccions en altres d’equivalents més senzilles i en calculo el resultat per comparar el volum de les caixes.
Aproximo les dimensions de les caixes a un nombre determinat de xifres significatives i dono fites d’error absolut i d’error relatiu.
4 Sempre 3 Gairebé sempre 2 De vegades 1 Mai
Utilitzo expressions pròpies de la geometria per calcula l’àrea i el volum de les caixes.
Efectuo operacions amb radicals per calcular les dimensions de les caixes.
DIANES • Unitat 1 • Sistema de numeració decimal i sistema sexagesimal
Dimensió resolució de problemes, dimensió raonament i prova, dimensió connexions i dimensió comunicació i representació Pàgina 27, activitat 3
verbalmentExpressoper escrit, precisió,amb els meus resultats i conclusions. Faig servir argumentacions per justificar les meves afirmacions. Faig servir matemàticconeixementel per trobar la relació entre la superfície del túnel i la secció d’il·luminació de cada focus. Utilitzo pròpiesexpressions de la geometria per calcular la posició exacta dels focus i el perímetre de la secció il·luminen.que Interpreto la informació continguda en l’enunciat del problema i anoto les dades que dona sobre la distribució dels focus en el sostre del túnel.
RESOLUCIÓ DE PROBLEMES
Competència 1 Traduir un problema a llenguatge matemàtic o a una representació matemàtica utilitzant variables, símbols, diagrames i models adequats.
Competència 2 Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes.
Competència 3 Mantenir una actitud de recerca davant d’un problema assajant estratègies diverses.
Competència 4 . Generar preguntes de caire matemàtic i plantejar problemes.
Competència 5 Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques.
Competència 6 Emprar el raonament matemàtic en entorns no matemàtics.
CONNEXIONS
C10
COMUNICACIÓ I
Competència 7 Usar les relacions que hi ha entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i per raonar.
Competència 8 Identificar les matemàtiques implicades en situacions properes i acadèmiques i cercar situacions que es puguin relacionar amb idees matemàtiques concretes.
Competència 9 Representar un concepte o relació matemàtica de diverses maneres i usar el canvi de representació com a estratègia de treball matemàtic.
Competència 10 Expressar idees matemàtiques amb claredat i precisió i comprendre les dels altres.
Competència 11 . Emprar la comunicació i el treball col·laboratiu per compartir i construir coneixement a partir d’idees matemàtiques.
Competència 12 . Seleccionar i usar tecnologies diverses per gestionar i mostrar informació, i visualitzar i estructurar idees o processos matemàtics.
C1
C2
C2 C3
C4
C5
C6
C7
C8
C9
C11
C12
» ELS OBJECTIUS DE DESENVOLUPAMENT SOSTENIBLE (ODS)
Els objectius de desenvolupament sostenible (ODS) són una crida universal per a l’acció per posar fi a la pobresa, protegir el planeta i garantir que totes les persones tinguin accés a l’educació, la igualtat, l’aigua, l’energia neta, la pau i la prosperitat.
Es tracta d’un pla de mesures amb 17 objectius i 169 metes per aconseguir un món més igualitari i habitable i que s’haurien de complir abans de 2030
Aquests objectius porten implícit un esperit de col·laboració i pragmatisme amb la finalitat de millorar la vida, de manera sostenible, de les generacions futures.
A més, en si mateixos són una agenda inclusiva en tant que tracten les causes fonamentals de la pobresa i uneixen tots els estats que hi participen per aconseguir així un canvi positiu en benefici de les persones i del planeta.
La lluita contra el canvi climàtic és un element transversal i decisiu que influeix en tots els aspectes del desenvolupament sostenible i l’Agenda 2030.
Fer conscient l’alumnat dels reptes imminents plantejats en els objectius de desenvolupament sostenible en aquest programa pedagògic proporciona un marc de treball a partir del qual articular aprenentatges competencials que activin l’alumne, no tan sols quant al saber sinó també pel que fa al saber fer i al saber ser, i reforcin la seva preparació com a futurs ciutadans compromesos amb la realitat del seu temps. La primera forma de contribuir a la consecució d’aquests ODS és contribuir a augmentar la consciència pública d’aquests en tots els àmbits, i l’aula és un espai fonamental d’aprenentatge de la convivència de les generacions futures.
L’Agenda Educativa 2030, sorgida del Fòrum Educatiu Mundial celebrat a Inch’ŏn, República de Corea (UNESCO, 2015; Nacions Unides, 2015), va situar l’educació com una de les eines fonamentals per forjar un desenvolupament que sigui a la vegada sostenible, inclusiu, just, pacífic i cohesiu.
Els 17 objectius de desenvolupament sostenible
E PROJ TEC L DESE E O M N N V UPA T DEL
» ÍNDEX DE MATEMÀTIQUES
» TEMPORITZACIÓ ORIENTATIVA
» DESENVOLUPAMENT DE LES UNITATS
» ÍNDEX DE MATEMÀTIQUES
BLOC I. NUMERACIÓ I CÀLCUL
NOMBRES REALS
1. Nombres irracionals*
2. Nombres reals: la recta real
3. Trams de la recta real: intervals i semirectes
4. Arrels i radicals
5. Nombres aproximats. Errors
6. Nombres en notació científica. Control de l’error
7. Logaritmes*
Observa, raona i resol
Exercita les teves competències
Matemàtiques en context
Taller de matemàtiques
Posa’t a prova
BLOC II. CANVI I RELACIONS
POLINOMIS I FRACCIONS ALGEBRAIQUES
1. Polinomis. Operacions
2. Regla de Ruffini
3. Arrel d’un polinomi. Cerca d’arrels
4. Factorització de polinomis
5. Divisibilitat de polinomis
6. Fraccions algebraiques
7. Descompondre una fracció algebraica en fraccions elementals
Observa, raona i resol
Exercita les teves competències
Matemàtiques en context
Taller de matemàtiques
Posa’t a prova
EQUACIONS, INEQUACIONS I SISTEMES
1. Equacions
2. Sistemes d’equacions
3. Inequacions amb una incògnita*
Observa, raona i resol
Exercita les teves competències
Matemàtiques en context
Taller de matemàtiques
Posa’t a prova
FUNCIONS. CARACTERÍSTIQUES
1. Conceptes bàsics
2. Com es presenten les funcions
3. Domini de definició
4. Funcions contínues. Discontinuïtats
5. Creixement, màxims i mínims
6. Tendència i periodicitat
Observa, raona i resol
Exercita les teves competències
Matemàtiques en context
Taller de matemàtiques
Posa’t a prova
REPTE 1r TRIMESTRE: Visita al museu de la ciència
FUNCIONS ELEMENTALS
1. Funcions lineals
2. La paràbola: una corba molt interessant
3. Funcions quadràtiques
4. Funcions amb valor absolut
5. Funcions radicals
6. Funcions de proporcionalitat inversa
7. Funcions exponencials
8. Funcions logarítmiques*
Observa, raona i resol
Exercita les teves competències
Matemàtiques en context
Taller de matemàtiques
Posa’t a prova
BLOC III. ESPAI, FORMA I MESURA
SEMBLANÇA. APLICACIONS
1. Semblança
2. Homotècia
3. Rectangles de dimensions interessants
4. Semblança de triangles
5. La semblança en els triangles rectangles
6. Semblança de triangles rectangles en cossos geomètrics
Observa, raona i resol
Exercita les teves competències
Matemàtiques en context
Taller de matemàtiques
Posa’t a prova
TRIGONOMETRIA*
1. Raons trigonomètriques d’un angle agut
2. Relacions trigonomètriques fonamentals
3. Utilització de la calculadora en trigonometria
4. Resolució de triangles rectangles
5. Resolució de triangles no rectangles
6. Raons trigonomètriques de 0° a 360°
7. Angles de mesures qualssevol. Raons trigonomètriques
Observa, raona i resol
Exercita les teves competències
Matemàtiques en context
Taller de matemàtiques
Posa’t a prova
GEOMETRIA ANALÍTICA*
1. Vectors en el pla
2. Operacions amb vectors
3. Vectors que representen punts
4. Punt mitjà d’un segment
5. Comprovació que tres punts estan alineats
6. Equacions de la recta
7. Rectes. Paral·lelisme i perpendicularitat
8. Rectes paral·leles als eixos de coordenades
9. Posicions relatives de dues rectes
10. Distància entre dos punts
11. Equació d’una circumferència
Observa, raona i resol
Exercita les teves competències
Matemàtiques en context
Taller de matemàtiques
Posa’t a prova
» REPTE 2n TRIMESTRE: Preparació d’una missió espacial
BLOC IV. ESTADÍSTICA I ATZAR
ESTADÍSTICA
1. L’estadística i els seus mètodes
2. Taules de freqüències
3. Paràmetres estadístics: x – i σ
4. Paràmetres de posició per a dades aïllades
5. Paràmetres de posició per a dades agrupades
6. Diagrames de caixa
7. Estadística inferencial
8. Estadística en els mitjans de comunicació
Observa, raona i resol
Exercita les teves competències
Matemàtiques en context
Taller de matemàtiques
Posa’t a prova
DISTRIBUCIONS BIDIMENSIONALS
1. Distribucions bidimensionals
2. El valor de la correlació
3. La recta de regressió per fer estimacions
4. Reflexionem: la correlació significa causa-efecte?
5. Distribucions bidimensionals amb calculadora
Observa, raona i resol
Exercita les teves competències
Matemàtiques en context
Taller de matemàtiques
Posa’t a prova
COMBINATÒRIA*
1. Estratègies basades en el producte
2. Variacions i permutacions (importa l’ordre)
3. Quan no hi influeix l’ordre. Combinacions
4. Un triangle numèric interessant
Observa, raona i resol
Exercita les teves competències
Matemàtiques en context
Taller de matemàtiques
Posa’t a prova
CÀLCUL DE PROBABILITATS
1. Esdeveniments aleatoris
2. Probabilitats dels esdeveniments. Propietats
3. Probabilitats en experiències simples
4. Probabilitats en experiències compostes
5. Composició d’experiències independents
6. Composició d’experiències dependents*
7. Taules de contingència
Observa, raona i resol
Exercita les teves competències
Matemàtiques en context
Taller de matemàtiques
Posa’t a prova
*NOTA: Les unitats o apartats assenyalats amb un asterisc (*) són específics dels ensenyaments acadèmics.
» TEMPORITZACIÓ ORIENTATIVA
El currículum estableix 140 hores per a la matèria de Matemàtiques de 4t d’ESO. Es fa difícil establir una temporització que sigui aplicable a tots els grups, perquè els ritmes d’aprenentatge solen ser diversos. D’altra banda, pot haver-hi alguna part de l’alumnat que, per les seves característiques, no treballi tots els continguts i activitats que presentem. És per això que la temporització que oferim aquí només és orientativa.
Els tres reptes trimestrals que es presenten estan pensats perquè els alumnes els facin a casa; tanmateix, en aquesta temporització els destinem 2 hores per a una posterior posada en comú a l’aula.
1. Nombres irracionals
2. Nombres reals: la
3. Trams de la recta
4. Arrels i
5. Nombres aproximats. Errors
6. Nombres en notació científica. Control de l’error
7. Logaritmes
Posa’t
UNITAT 2
Presentació. Resol
1. Polinomis. Operacions
2. Regla de Ruffini
3. Arrel d’un polinomi. Cerca d’arrels
4. Factorització de polinomis
5. Divisibilitat de polinomis
6. Fraccions algebraiques
7. Descompondre una fracció algebraica en fraccions elementals
en context
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
3
Presentació. Resol
1. Equacions
Inequacions amb una incògnita
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
4
Presentació. Resol
1. Conceptes bàsics
2. Com es presenten les funcions
3. Domini de definició
4. Funcions contínues. Discontinuïtats
5. Creixement, màxims i mínims
6. Tendència i periodicitat
Matemàtiques en context
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova 1 h
Repte 1r trimestre: Visita al museu de la ciència 2 h
UNITAT 5
Presentació. Resol
1. Funcions lineals
2. La paràbola: una corba molt interessant
3. Funcions quadràtiques
4. Funcions amb valor absolut
5. Funcions radicals 1
6. Funcions de proporcionalitat inversa 1 h
7. Funcions exponencials
8. Funcions logarítmiques
de matemàtiques. Posa’t a prova
6
Presentació. Resol
1. Semblança
2. Homotècia 1 h
3. Rectangles de dimensions interessants 1 h
4. Semblança de triangles 2 h
5. La semblança en els triangles rectangles 2 h
6. Semblança de triangles rectangles en cossos geomètrics 2
Matemàtiques en context
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
7
Presentació. Resol
1. Raons trigonomètriques d’un angle agut
2. Relacions trigonomètriques fonamentals 1 h
3. Utilització de la calculadora en trigonometria 1 h
4. Resolució de triangles rectangles 1 h
5. Resolució de triangles no rectangles 1 h
6. Raons trigonomètriques de 0° a 360° 2 h
7. Angles de mesures qualssevol. Raons trigonomètriques 1
Matemàtiques en context 1
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
8
Presentació. Resol
1. Vectors en el pla
2. Operacions amb vectors 1 h
3. Vectors que representen punts 1 h
4. Punt mitjà d’un segment 1 h
5. Comprovació que tres punts estan alineats 1 h
6. Equacions de la recta 1 h
7. Rectes. Paral·lelisme i perpendicularitat 1 h
8. Rectes paral·leles als eixos de coordenades
9. Posicions relatives de dues rectes 1 h
10. Distància entre dos punts 1 h
11. Equació d’una circumferència 1 h
Matemàtiques en context 1 h
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova 1 h
Repte 2n trimestre: Preparació d’una missió espacial 2 h
UNITAT 9
Presentació. Resol
1. L’estadística i els seus mètodes
2. Taules de freqüències
3. Paràmetres estadístics: x¯ i σ 1 h
4. Paràmetres de posició per a dades aïllades 2
5. Paràmetres de posició per a dades agrupades
6. Diagrames de caixa
7. Estadística inferencial
8. Estadística en els mitjans de comunicació
Matemàtiques en context
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova 1 h
UNITAT 10
HORES LECTIVES
Presentació. Resol 3 h
1. Distribucions bidimensionals
2. El valor de la correlació 2 h
3. La recta de regressió per fer estimacions 2 h
4. Reflexionem: la correlació significa causa-efecte?
5. Distribucions bidimensionals amb calculadora
Matemàtiques en context
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova 1
Presentació. Resol
1. Estratègies basades en el producte
2. Variacions i permutacions (importa l’ordre) 2 h
3. Quan no hi influeix l’ordre. Combinacions 2 h
4. Un triangle numèric interessant 2 h
Matemàtiques en context 1 h
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova 1 h
UNITAT 12
Presentació. Resol 1 h
1. Esdeveniments aleatoris
2. Probabilitats dels esdeveniments. Propietats 1 h
3. Probabilitats en experiències simples 1 h
4. Probabilitats en experiències compostes 1 h
5. Composició d’experiències independents 1 h
6. Composició d’experiències dependents 1 h
7. Taules de contingència 1 h
Matemàtiques en context 1 h
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova 1 h
Repte 3r trimestre: Organització de la setmana cultural 2 h
» DESENVOLUPAMENT DE LES UNITATS
» UNITAT 1. ELS NOMBRES REALS
Programació competencial d’aula i concreció de les dimensions
Dimensió resolució de problemes
COMPETÈNCIES CRITERIS INDICADORS CONTINGUTS ACTIVITATS
C1. Traduir un problema a llenguatge matemàtic o a una representació matemàtica utilitzant variables, símbols, diagrames i models adequats.
C2. Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes.
C4. Generar preguntes de caire matemàtic i plantejar problemes.
1. L’alumne ha de ser capaç de resoldre problemes de la vida quotidiana, d’altres matèries i de les mateixes matemàtiques utilitzant diferents tipus de nombres (racionals i irracionals), símbols i mètodes algebraics, i avaluar altres mètodes de resolució possibles, com, per exemple, l’assaig error o bé el càlcul numèric amb mitjans tecnològics.
1.1. Tradueix un problema a llenguatge matemàtic utilitzant gràfics, expressions aritmètiques o expressions algebraiques senzilles.
1.2. Empra conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes, explicant el procés i comprovant la raonabilitat de la solució.
1.3. Genera preguntes o problemes que impliquin connexions i que siguin coherents amb el context en què es planteja.
- Nombres racionals i irracionals. El nombre 2 . El nombre auri. El nombre π
- Arrels i radicals. Forma exponencial. Potències.
- Propietats dels radicals. Operacions amb radicals. Racionalització de denominadors.
- Nombres aproximats. Error absolut i error relatiu.
- Logaritmes. Propietats dels logaritmes.
Resol: 1
Aplica el que has après: 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 23, 24
Observa, raona i resol: 1, 2
Exercita les teves competències: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28
Matemàtiques en context: 1, 2, 3
Posa’t a prova: 1, 4, 5
Dimensió raonament i prova
COMPETÈNCIES CRITERIS
C5. Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques.
7. L’alumne ha de ser capaç de planificar i utilitzar processos de raonament i estratègies de resolució de problemes, com la realització de conjectures, la seva justificació i generalització, així com la comprovació, el tempteig i el contrast amb diverses formes de raonament al llarg de la història de les matemàtiques.
INDICADORS CONTINGUTS ACTIVITATS
7.1. Empra processos de raonament i estratègies de resolució de problemes per construir argumentacions matemàtiques, les expressa amb precisió i les contrasta amb les dels altres.
7.2. Fa generalitzacions o concrecions tot realitzant conjectures, comprovant-les i justificant-les.
7.3. Identifica exemples o contraexemples per justificar o rebutjar afirmacions matemàtiques.
- Tipus de nombres. Significat dels nombres reals.
- Significat de les potències i de les arrels.
Aplica el que has après: 1, 2, 3, 4, 19
Exercita les teves competències: 1, 2, 7, 30, 32, 33, 41, 42, 43
Taller de matemàtiques:
Llegeix i comprèn. Descobreix
Posa’t a prova: 7
C6. Emprar el raonament matemàtic en entorns no matemàtics.
8. L’alumne ha de ser capaç d’analitzar i avaluar les estratègies i el pensament matemàtic dels altres, a través del treball per parelles o en grup o bé la posada en comú amb tota la classe.
8.1. Expressa amb precisió les seves argumentacions matemàtiques emprant els recursos adients.
8.2. Contrasta les argumentacions pròpies amb les dels altres.
8.3. Avalua les estratègies pròpies i dels altres i les incorpora al seu aprenentatge.
- Plantejament de problemes en situacions de la vida quotidiana.
- Ús de potències, arrels i notació científica en situacions de la vida quotidiana.
Aplica el que has après: 20, 22
Matemàtiques en context: 1, 3
Dimensió connexions
COMPETÈNCIES CRITERIS
C7. Usar les relacions que hi ha entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i per raonar.
9. L’alumne ha de ser capaç d’usar les relacions entre les diverses parts de les matemàtiques (nombres i geometria), que afavoreixin l’anàlisi de situacions i el raonament.
INDICADORS CONTINGUTS ACTIVITATS
9.1. Usa les relacions entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i construir raonaments.
9.2. Empra el llenguatge matemàtic, així com els conceptes i els procediments transversals, per analitzar situacions i construir raonaments.
- Relació entre els diferents tipus de nombres i les maneres d’expressar-los.
- Càlcul manual i mental.
Aplica el que has après: 9, 11
Exercita les teves competències: 9, 10, 29, 35, 36, 37, 39, 40
Matemàtiques en context: 1, 3
Posa’t a prova: 8
C8. Identificar les matemàtiques implicades en situacions properes i acadèmiques i cercar situacions que es puguin relacionar amb idees matemàtiques concretes.
10. L’alumne ha de ser capaç de reconèixer models numèrics (racionals i irracionals) en contextos no necessàriament matemàtics o en d’altres matèries i utilitzar les seves característiques i propietats per resoldre situacions que apareixen en treballs per projectes realitzats des de la pròpia àrea o de manera interdisciplinària.
10.1. Reconeix models o estructures matemàtiques (especialment models numèrics) en contextos diaris, de l’entorn o d’altres disciplines.
10.2. Empra els coneixements, les eines i la forma de treballar de les matemàtiques per analitzar situacions quotidianes o relacionades amb altres matèries.
- Models numèrics.
- Processos de treball propis de les matemàtiques.
- Aplicació de les matemàtiques a situacions reals.
Exercita les teves competències: 34, 38
Matemàtiques en context: 4
Dimensió comunicació i representació
COMPETÈNCIES CRITERIS
C10. Expressar idees matemàtiques amb claredat i precisió i comprendre les dels altres.
C12. Seleccionar i usar tecnologies diverses per gestionar i mostrar informació, i visualitzar i estructurar idees o processos matemàtics.
11. L’alumne ha de ser capaç d’expressar verbalment i per escrit, amb precisió, raonaments, relacions quantitatives i informacions que incorporin elements matemàtics, simbòlics o gràfics, valorant la utilitat del llenguatge matemàtic i la seva evolució al llarg de la història.
12. L’alumne ha de ser capaç de seleccionar i usar tecnologies diverses per gestionar i mostrar informació, i visualitzar i estructurar idees o processos matemàtics.
INDICADORS CONTINGUTS ACTIVITATS
11.1. Expressa, verbalment i per escrit, conceptes i relacions matemàtiques fent servir el llenguatge matemàtic amb precisió.
11.2. Interpreta les representacions matemàtiques dels altres i les contrasta amb les seves pròpies.
12.1. Valora el potencial i les limitacions de diverses tecnologies per cercar, recollir, tractar i mostrar informació.
12.2. Selecciona tecnologies diverses amb criteris d’idoneïtat i les fa servir per gestionar i visualitzar la informació. En particular, utilitza de manera adequada la calculadora, així com programari lliure de geometria dinàmica.
- Representació de nombres racionals i irracionals, així com d’intervals i semirectes, en la recta real.
- Expressió oral i escrita dels conceptes associats a les operacions aritmètiques.
Aplica el que has après: 5, 6, 7, 8
Exercita les teves competències: 3, 4, 5, 6, 8, 31
Matemàtiques en context: 1, 3
Posa’t a prova: 2
- Coneixement de l’ús de la calculadora en mode notació científica.
- Coneixement de l’ús de les tecles de la calculadora per calcular logaritmes.
- Ús d’eines digitals (cercadors d’internet i programari lliure de geometria dinàmica: GeoGebra).
Aplica el que has après: 21, 25
Posa’t a prova: 3, 6
CONTINGUTS CLAU DE LES COMPETÈNCIES
CC1. Sentit del nombre i de les operacions. CC3. Càlcul (mental, estimatiu, algorísmic, amb calculadora).
Solucionari
Pàgina 9
Resol
1. a) Per exemple:
Naturals: 2, 3, 4
Enters no naturals: -1, -7, -3
b) Per exemple:
Racionals no enters: ,, 4 3 2 1 3 2-
No racionals: π; 2 ; 0,1010010001…
c) 3 4 1
Pàgina 10
1. NOMBRES IRRACIONALS
Aplica el que has après
1. a) Si 3 és racional, b a 3 = → 3 = b a 2 2 → 3b2 = a2
Arribem a una contradicció: 3b2 conté el factor 3 un nombre imparell de vegades, fet que contradiu que a2 el contingui un nombre parell de vegades.
b) i c) Són el resultat d’operar racionals amb un irracional i, per tant, són nombres irracionals.
d) Raonant com a l’apartat a, si 8 és racional: b a 8 = → 8b2 = a2 → 23 · b2 = a2
Arribem a una contradicció, ja que 23 · b2 conté el factor 2 un nombre imparell de vegades, fet que contradiu que a2 el contingui un nombre parell de vegades.
e) És el resultat d’operar un racional amb un irracional i, per tant, és un irracional.
Pàgina 11
Aplica el que has après 2.
3. Si F fos racional, aleshores
2F - 1 seria racional.
2F - 1 = 5 , que és irracional. Contradicció.
De l’esquema obtenim la proporció: x x 1 1 1 –=
D’aquí obtenim l’equació: x 2 - x - 1 = 0
l’única solució positiva de la qual és Φ
Pàgina 12
2. NOMBRES REALS: LA RECTA REAL
Aplica el que has après
5. a)
Pàgina 13
3. TRAMS DE LA RECTA REAL: INTERVALS I SEMIRECTES
Aplica el que has après
6. a) [5, 6] 6 5
b) (7, +∞) 7
c) (- ∞ , -5] –5
7. a) [3, 5) 5 3
b) [0, +∞) 0
c) (-3, -1) 0 1 –3
8. a) {x / -1 1 x # 4} 4 –1
b) {x / 0 # x # 6} 6 0
c) {x / x 1 - 4} –4
Pàgina 14
4. ARRELS I RADICALS
Càlcul mental
1. a) k = 8 b) k = 5 c) k = 16/81 d) k = 10
2. a) -2 b) 2 c) -2 d) 0
Aplica el que has après
9. a) x 1/5 b) x 10/3 c) a 2/5 d) a 7/2 e) x 1/6 f ) x 24/5 g) (-3)3/5 h) a 1/4 i) x -6/5 j) a 1/3
10. a) 2 b) 5 c) 5 d) 4 e) 32 f ) 216
11. a) x 7 9 b) () mn 5 3 c) ab 3 d) xx 2 3 5 2 15 =
e) x 5 6 f ) yz 64 3 g) a 3 h ) a 3 5 –
Pàgina 15
Aplica el que has après 12. a) x 3 4
a) 2xx 4 3 b) 3
3 2 3 c) 2 2 5 d) 5 9 3 2 e ) 2 1 9 5
Pàgina 16
Aplica el que has après 16. a) 3 2 3 b) 2 3 10 c) a 4 d) x 11 6 17. a) 5 2 b) 7 3 18. a) 2 52 b) 7 57 $ c) 2 4 3 d) 3 23 3 5 e) 43 2 – _ i
Pàgina 17
5. NOMBRES APROXIMATS. ERRORS
Aplica el que has après
19. a) F b) F
20. ODS (2)
És impossible aconseguir tanta precisió en els mesuraments. Expressió més adequada: 12 milions.
Error absolut 1 500.000
Error relativu 1 4,2 %
Pàgina 18
6. NOMBRES EN NOTACIÓ CIENTÍFICA. CONTROL DE L’ERROR
Aplica el que has après
21. a) 3,328 b) 6,3 ⋅ 109 c) 4,372 ⋅ 107 d) 7,3773 ⋅ 1012
22. a) dTS = 1,49 ⋅ 108 km; dTL = 3,844 ⋅ 105 km b) dTS = 1,5 ⋅ 1013 cm; dTL = 3,8 ⋅ 1010 cm
Pàgina 19
7. LOGARITMES
Aplica el que has après
23. a) 3 b) -2 c) 7 d) - 4 e) 0 f) - 4
24. a) 100 b) 6 c) 5 d) 9
25. a) log2 740 → j 2 ”740 = 9.531381461
log2 740 = ln ln 2 740 → l 740 )/l 2 = 9.531381461
b) log3 100 → j 3 ”100 = 4.191806549
log3 100 = ln ln 3 100 → l 100 )/l 3 = 4.191806549
c) log5 0,533 → j 5 ”0.533 = -0.390964976
log5 0,533 = , ln ln 5 0 533 → l 0.533 )/l 5 = -0.390964976
Pàgina 20 OBSERVA, RAONA I RESOL 1. 2 2 11 2 –2. 5 1
Pàgina 21 EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES 1. - 4 ∈ Z 6 13 ; , 27 ! ∈ Q 5 ; π; 2 13 + ; e ∈ Á 152
6. a) [-1, 3] b) (1, 5] c) [-2, +∞) d) (- ∞, 4) -1 # x # 3 1 1 x # 5 x $ -2 x 1 4
7. A + B = [-3, +∞) = { x / -3 # x} A + B = (5, 7) = { x / 5 1 x 1 7}
8. a) (- 4, 2) b) [3, 11]
Pàgina 22
9. a) x 2/5 b) 21/2 c) 102 d) 201/2
10. a) 5 b) () –3 2 3 c) 3 4 3 d) a 3 4
11. a) 27/6 b) 3 c) 35/3 d) 51/4
12. a) a 9/10 b) x 1/6 c) a -3/4
13. a) x = -7 b) x = - 8
14. a) 3 b) a 2 3 c) a 3 d) ab 2 4
15. a) 6 b) a 2 a 12
16. a) 2a 2 3 b) 3aab 3 4 c) 2a2 a2 2 d) aa 2 3 3
17. a) 8 748 10 b) 5 2 12 c) 2 7
18. a) 15 b) 2 c) 14 3 d) 338 d) 3 20 4
19. a) -7 b) 23 - 4 15 c) 4 2
20. a) 21/4 ⋅ 35/6 b) 25/3 ⋅ a -4/3
Pàgina 23
21. a) 3 b) 10 21020 + c) 4 6 3 d) –2 31 3 – _ i e) -3 + 2 2 f) a aa 1 ––
22. a) 3 23 b) 4 52
23. a) 5 104 b) 5 103 c) 5 10-6 d) 5 10-8 El menor error relatiu correspon a d), i el més gran a a ).
24. a) 3 ⋅ 1012 b) 1,5 ⋅ 10-5
25. a) 1,4 ⋅ 1016 b) 2,4 ⋅ 1012 c) 5 ⋅ 1012 d) 3,82 ⋅ 10-5
26. a) 6 b) 2 1 c ) -3 d) -3
27. a) 100 b) 5 c) 4
28. 6 5
29. Perímetre de ABC = 5 + 3 5 u
Pàgina 24
30. a) x ! [7, +∞) b) x ! (- ∞, 5]
31. a) (-1, 1) b) (-3, 3) c) (-2, 8) d) (-3,5; -0,5)
32. a) 2,1 b) 1,7 c) -1,8 d) 0,25
33. a) 1 + logx + 3 logy
b) 3 logz + logy - 2 logx
c) 2 logx + 2 1 logy + 2 1 logz
34. Tardarà, aproximadament, 5 1011 segons a desaparèixer completament.
Error absolut 1 5 1010
35. 3 86 cm
36. a) R = 2 m; r = 2 - 2 cm
b) R r = 2 - 1
c) P = 4π m; A = 8 - 8π + 4π 2
37. a) 1,544 · 1017 km
b) La nau espacial tardaria 7,72 · 1013 segons a travessar la galàxia, o 2,45 mil·lenis.
c) Aproximadament 1,2 · 1035 electrons.
Pàgina 25
38. ODS (3)
Surten del rang de valors de referència els leucòcits i la creatinina.
39. 4 3 cm3
40. 2 5 cm
41. Resposta oberta. Per exemple:
a) B = (- 2, 0] i C = (0, 7]
b) B = (- ∞, 0] i C = (- 1,+∞)
42. En (-1, 7).
43. a) F b) V c) F d) F
44. Resposta oberta.
45. a) Resposta oberta. Per exemple: A = (-3,2] i B = [0,6].
b) Resposta oberta. Per als intervals de l’exemple:
A , B = (-3, 6].
c) Resposta oberta. Per als intervals de l’exemple:
A:
B:
A , B:
A , B:
d) Sí es possible que intervals diferents siguin correctes.
Pàgina 26
MATEMÀTIQUES EN CONTEXT
1. a) 241,5 kg / 5,75 kg/lot = 42 lots.
b) Elisenda: x lots; Toni: x + 3 lots; Bernat: x + 5 lots; Carla: x + 6 lots. Total lots: 4 x + 14
4 x + 14 = 42; x = 7 lots
Elisenda: 7 lots; Toni: 10 lots; Bernat: 12 lots; Carla: 13 lots.
c) Preu lot = Preu cost + marge de guany
Preu lot = 20 + 2 = 22 €/lot.
Elisenda: 7 · 22 = 154 €
Toni: 10 · 22 = 220 €
Bernat: 12 · 22 = 264 €
Carla: 13 · 22 = 286 €
Total: 924 €
d) 241,5 · 5 = 1.207,5 €
Guany = cobrat per lots - cost dels lots = 1.207 - (20 · 42) = = 367,5 € de guany
e) Una altra pregunta podria ser: Quin benefici obtenien quan el marge de guany era de 2 € per lot? Fes-ho per dos procediments diferents.
Procediment 1: 42 · 2 = 84 € de benefici.
Procediment 2: benefici = cobrat per lots - cost dels lots
Benefici = 924 - (42 · 20) = 924 - 840 = 84 € de benefici.
Pàgina 27
2. a) Base = 5 m = 2,24 m; E.A. 1 0,004; E.R. 1 0,002
Altura: ( 5 + 1) m = 3,24 m; E.A. 1 0,004; E.R. 1 0,002
Àrea: ( 5 + 5) m2 = 7,24 m2; E.A. 1 0,004; E.R. 1 0,0006
b) Volum P2: ( 5 + 5) · 3 5 = (15 5 + 15) m3 = 48,54 m3
c) Volum P1: 2 · 1 · ( 5 + 1) = 2( 5 + 1) m3
Comparació dels volums: , V V 25 1 15 515 25 1 15 51 2 15 75 m m m m
3. a) h = 4222 - ^ h = 12 m
c = 612 2 2 + _ ^ h i = 48 m
PerímetreAFC = 48 + 4 + 4 = ( 48 + 8) m
b) Com ja hem calculat, h = 12 m
SAFC = (b· h)/2=(4 · 12 )/2 = 2 12 m2
c) Superfície secció túnel = 1/2 πr2 = 1/2 · 3,14 · 42 = 25,12 m2
Comparació de les superfícies:
Pàgina 28
TALLER DE MATEMÀTIQUES
Llegeix i comprèn
La succesió de coeficients en la sèrie dels radis de l’espiral coincideix amb la successió de Fibonacci: 1 - 1 - 2 - 3 - 5 - …
Pàgina 29
POSA’T A PROVA
1. a) i b)
• 3 4 6 –⇒ Real (irracional)
• 2π ⇒ Real (irracional)
• ,log0 5 2 ⇒ No existeix
• , 347 # ⇒ Racional
• 2,0333… ⇒ Racional
• 81 = 9 ⇒ Natural
• 4 3 ⇒ Real (irracional)
• 3 5 ⇒ Real (irracional)
• –9 13 ⇒ Racional
• - 8 ⇒ Enter
2. a) i) [-2, 7)
Notes
0 2 0 2 4 –3 6
b) A = {x / -3 # x 1 4} B = {x / x 1 3 }
c) A , B = (-∞, 4) = { x / x 1 4}
0 2 0 2 4 –3 6 ii) (-1, +∞)
A + B = [-3, 3 ) = { x / -3 # x 1 3 }
3. 3,35 1015
E.A. 1 0,005 1015
E.R. 1 0,0015
4. z b z ab 2 3 2 3 22 3
5. a) 7 + 2 6 b) 6 6 c) 0
6. a) –3 2 b) 2-3/4
7. 2 5 ⋅ log 22 3 ⋅ log 3
8. a) c = 10 ( 2 - 1) cm
b) A = 200 ( 2 - 1) cm2
c) L’apotema de l’octàgon fa 5 cm i el radi (distància del centre al vèrtex) fa 5,4 cm.