Sophie Germain 3r. Mostra

ÉNEZ M I J A LER O C É S ÁLEZ O Z J N O G VEIRA LBERO I L O É S M.ª JO IO GAZTELU A ÑAS IGNAC RA CA .

E L O C RAMÓN A AICARDO B AN

M A T MEÀ -TIQUES DOSSIER

3 ESO

Programa

Sophie Germain

» PRESENTACIÓ I ESTRUCTURA BREU HISTÒRIA DE LES MATEMÀTIQUES Una passejada per la història de la numeració, l’àlgebra, les funcions, la geometria i l’atzar i la probabilitat.

Unitats del bloc.

SITUACIÓ D’APRENENTATGE Proposta de situació d'aprenentatge.

PENSEU-HI! Idees per encetar el debat i fer aflorar els coneixements previs.

Itinerari de la unitat.

Activitats que donen peu a reflexionar sobre els objectius de desenvolupament sostenible de l’ONU.

APLICA EL QUÈ HAS APRÈS Proposta d’activitats per resoldre.

Activitats al web per resoldre amb GeoGebra, fulls de càlcul i altres aplicacions.

Problemes que donen pistes de com resoldre la situació d’aprenentatge.

Conceptes explicats de manera amena amb exemples i exercicis resolts.

EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES Exercicis i problemes per treballar el que has après al llarg de la unitat.

OBSERVA, RAONA I RESOL Problemes de síntesi resolts.

TALLER DE MATEMÀTIQUES Activitats de lògica, enginy i cultura matemàtica.

SITUACIÓ D’APRENENTATGE Proposta per treballar els sabers i les competències matemàtiques dins un context social i cultural per analitzar i mirar de comprendre el món.

ANEM PAS A PAS Treball pas a pas i en grups cooperatius de la situació d’aprenentatge plantejada a l’inici.

POSA'T A PROVA Activitats per comprovar què has après.

RESOLEM Resolució de la situació proposada i altres de similars.

PENSEM-HI Activitats per debatre i reflexionar sobre la situació d’aprenentatge.

Reflexió sobre l’ODS relacionat amb la situació plantejada.

AMB ULLS DE DONA Articles, entrevistes i relats en què científiques de diversos àmbits transmeten la passió que senten per la seva professió.

» PROJECTE DIGITAL Una resposta global per a un entorn educatiu divers La proposta digital de Barcanova és EDUDYNAMIC, un projecte digital complet que dona una resposta global a un entorn educatiu divers i dinàmic. A partir d’una proposta senzilla i intuïtiva, EDUDYNAMIC és un projecte digital multidispositiu i multisuport que s’adapta i es visualitza en totes les plataformes i en tots els entorns virtuals d’aprenentatge (BlinkLearning, Moodle, Alexia, Google Classroom, Clickedu, Office 365…).

La diversitat i riquesa de recursos, des d’activitats interactives traçables a vídeos, presentacions i jocs, fan d’EDUDYNAMIC un projecte digital actualitzat i complet pensat per canviar amb tu.

Integració a totes les plataformes i entorns EVA. Compatibilitat i sincronització amb qualsevol dispositiu.

Gestió en línia de les activitats i tasques assignades als alumnes.

Amb suport paper o sense.

Continguts i eines per treballar on-line i off-line.

» ÍNDEX » BLOC I. Numeració I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 2 3

FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1. Nombres racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Operacions amb fraccions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Nombres decimals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Pas de decimal a fracció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Fraccions i decimals amb la calculadora . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Potenciació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Notació científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Arrels i radicals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Nombres racionals i irracionals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Observa, raona i resol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Situació d’aprenentatge. Quantes estrelles hi ha a l’Univers?. . .

14 16 18 19 20 21 23 24 26 27 28 32 33 34

PROBLEMES ARITMÈTICS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

1. Aproximacions i errors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Càlculs amb percentatges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Interès compost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Problemes clàssics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Proporcionalitat composta en problemes aritmètics. . . . . .

Observa, raona i resol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Situació d’aprenentatge. Estalvi amb premi . . . . . . . . . . . . . . .

38 40 43 44 46 48 49 54 55 56

PROGRESSIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

1. Successions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Progressions aritmètiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Progressions geomètriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Progressions geomètriques sorprenents . . . . . . . . . . . . . . . .

Observa, raona i resol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Situació d’aprenentatge. Fractals a la natura. . . . . . . . . . . . . .

60 62 64 66 67 68 74 75 76

» Amb ulls de dona. Llums i ombres de la intel·ligència artificial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

» BLOC II. Àlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4 5 6 7

EL LLENGUATGE ALGEBRAIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

1. Expressions algebraiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2. Monomis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3. Polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4. Identitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5. Divisió de polinomis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6. Factorització de polinomis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7. Fraccions algebraiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Observa, raona i resol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Situació d’aprenentatge. La factura de l’aigua. . . . . . . . . . . . . 105

EQUACIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 1. Equacions. Solució d’una equació. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 2. Equacions de primer grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3. Equacions de segon grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111 4. Equacions polinòmiques de grau més gran que dos . . . . . 115 5. Resolució de problemes amb equacions . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Observa, raona i resol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Situació d’aprenentatge.

La factura de l’aigua per a famílies nombroses. . . . . . . . . . . . 124

SISTEMES D’EQUACIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 1. Equacions de primer grau amb dues incògnites. . . . . . . . . .

2. Sistemes d’equacions lineals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Tipus de sistemes segons el nombre de solucions. . . . . . .

4. Mètodes de resolució de sistemes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Sistemes d’equacions no lineals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Resolució de problemes mitjançant sistemes. . . . . . . . . . . .

Observa, raona i resol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Situació d’aprenentatge. La concentració dels medicaments. . .

128 130 131 132 135 136 137 138 142 143 144

FUNCIONS. CARACTERÍSTIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 1. Les funcions i les gràfiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 2. Aspectes rellevants d’una funció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 3. Expressió analítica d’una funció. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Observa, raona i resol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Situació d’aprenentatge. Estudiem el cel. . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8

FUNCIONS LINEALS I QUADRÀTIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 1. Funció de proporcionalitat y = mx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 2. Funció lineal y = mx + n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 3. A plicacions de la funció lineal.

Problemes de moviments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4. Estudi conjunt de dues funcions lineals. . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5. Paràboles i funcions quadràtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Observa, raona i resol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Situació d’aprenentatge. La llegenda del serrat de l’àliga . . . 182

» Amb ulls de dona. Aventures matemàtiques a l’espai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 » BLOC III. Espai i mesura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

9 10 11

PROBLEMES MÈTRICS EN EL PLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 1. Relacions angulars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 2. Semblança de triangles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 3. Figures semblants. Escales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 4. Teorema de Pitàgores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 5. Aplicació algebraica del teorema de Pitàgores . . . . . . . . . . 196 6. Àrees dels polígons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 7. Àrees de les figures corbes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 8. Llocs geomètrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 9. Les còniques com a llocs geomètrics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Observa, raona i resol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Situació d’aprenentatge. Viatgem sobre un mapa. . . . . . . . . . 208

COSSOS GEOMÈTRICS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 1. Políedres regulars i semiregulars. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 2. Truncant políedres regulars. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 3. Plans de simetria d’una figura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 4. Eixos de gir d’una figura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5. Superfície dels cossos geomètrics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 6. Volum dels cossos geomètrics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 7. Coordenades geogràfiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Observa, raona i resol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Situació d’aprenentatge. Tallem cossos geomètrics. . . . . . . . 230

TRANSFORMACIONS GEOMÈTRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 1. Transformacions geomètriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Moviments en el pla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Translacions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Girs. Figures amb centre de gir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Simetries axials. Figures amb eixos de simetria. . . . . . . . . .

6. Composició de moviments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Mosaics, sanefes i rosasses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Observa, raona i resol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Situació d’aprenentatge. Disseny de mosaics. . . . . . . . . . . . . .

234 234 235 237 238 239 241 242 243 248 249 250

» Amb ulls de dona. Viatge per quatre històries i un final feliç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 » BLOC IV. Estadística i probabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

12 13 14

TAULES I GRÀFICS ESTADÍSTICS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 1. E l procés que se segueix en estadística.

Variables estadístiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 2. Població i mostra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 3. Confecció d’una taula de freqüències . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 4. Gràfic adequat al tipus d’informació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Observa, raona i resol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Situació d’aprenentatge. Té edat, la felicitat?. . . . . . . . . . . . . . 272

PARÀMETRES ESTADÍSTICS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 1. Dos tipus de paràmetres estadístics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 2. Càlcul de x– i σ en taules de freqüències. . . . . . . . . . . . . . . . . 278 3. Interpretació conjunta de x– i σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 4. Paràmetres de posición: mediana i quartils. . . . . . . . . . . . . . 280 5. Obtenció de x– i σ amb la calculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Observa, raona i resol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Situació d’aprenentatge. Anem al centre cívic!. . . . . . . . . . . . 290

ATZAR I PROBABILITAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 1. Esdeveniments aleatoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 2. Probabilitat d’un esdeveniment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 3. P robabilitat en experiències regulars. Llei de Laplace . . . . 296 4. P robabilitat en experiències irregulars.

Llei dels grans nombres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 5. Probabilitat en experiències compostes. . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Observa, raona i resol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 Situació d’aprenentatge. Qüestió de sort? . . . . . . . . . . . . . . . . 308

» Amb ulls de dona. La vida és resoldre problemes... i les matemàtiques t’hi ajuden . . . . . . . . 310

BLOC

ó i c a r e I. Num

El càlcul, les calculadores i els ordinadors El càlcul ha estat una tasca a la qual has dedicat moltes hores, molts dies, molts cursos al llarg dels teus anys escolars. Has fet des de sumes i restes senzilles a complicades operacions amb decimals, fraccions, potències, parèntesis…

La calculadora —quin gran invent!— et fa més lleugera la feina, de manera que, la teva ment, en alliberar-se de càlculs feixucs, pot dedicar-se de ple a reflexionar sobre el significat del que planifiques, del que desenvolupes, del que aconsegueixes.

Així mateix, la humanitat, al llarg de segles, de mil·lennis, ha maldat per tractar les fraccions (fraccions unitàries a Egipte, fracciones sexagesimals a Babilònia… fins a arribar a les fraccions ordinàries que tu fas servir) i per fer comprensibles i operatius els nombres decimals, culminats per les aportacions de Stevin i Descartes. Finalment, es van assolir els grans èxits en càlcul superior, que han aconseguit la seva màxima expressió en els últims decennis amb l’apoteosi dels ordinadors.

Potències Gairebé totes les antigues cultures prou avançades van interessar-se pels nombres grans i la forma d’expressar-los. És especialment significatiu el cas de l’Índia, on van sentir passió pels nombres enormes. En el famós llibre mitolò­gic Mahabharata (segle vi aC, aproximadament) s’explica que Buda va tenir ni més ni menys que 6 · 1011 fills i filles i, en un altre passatge, es parla de «les 24 · 1015 di­vinitats».

10

1

2

3

Fraccions i decimals.

Potències i arrels

Problemes aritmètics

Progressions

A Grècia, els pitagòrics (segle vi aC), que van relacionar els nombres amb la geometria, van aplicar els termes «quadrat» i «cub» referits a les potències de nombres.

Arquimedes, gran matemàtic, enginyer i inventor grec (segle iii aC), per demostrar que el nombre de grans de sorra «no era infinit», es va proposar escriure un nombre més gran que el nombre de grans que cabrien a l’univers. Per a això, va escriure un llibre, l’Arenari, en el qual va inventar una nova forma d’escriure nombres extraordinàriament grans basada en les potències de base 10, per la qual cosa Arquimedes és considerat el pare de la notació científica.

Progressions Euclides (segle iii aC) va ser el fundador de l’escola matemàtica d’Alexandria, on va escriure la seva monumental obra Elements. Aquesta obra es compon de 13 llibres, quatre dels quals estan dedicats a l’aritmètica. En un, el IX, va tractar les progressions geomètriques, encara que amb una nomenclatura molt diferent de la que fem servir avui dia.

Al segle i, Nicòmac va recopilar tots els sabers sobre aritmètica que es coneixien des d’Euclides fins aleshores. Es va dedicar, entre altres coses, a ­estudiar les progressions aritmètiques, cosa que no havia fet Euclides quatre-cents anys abans.

Cal esperar fins al segle xiii perquè aparegui la successió més coneguda de la història, la de Fibonacci, en què cada terme és la suma dels dos anteriors: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 …

El seu descobridor, Leonardo Fibonacci (conegut també com a Leonardo de Pisa), la va descriure en la seva obra Liber Abbaci en un context de descendència de conills. Actualment, a aquest tipus de successions, en les quals cada terme s’obté a partir dels anteriors, les anomenem recurrents.

11

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

UNITAT

1

FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS

QUANTES ESTRELLES HI HA A L’UNIVERS? L’Aina és una gran aficionada a l’astronomia. Avui, en un blog de divulgació científica, ha llegit una afirmació que l’ha sorprès. No s’ho podia imaginar!

«Hi ha més estrelles a l’univers que grans de sorra a totes les platges de la Terra.»

Aquesta cèlebre afirmació la va fer Carl Sagan, astrònom, cosmòleg i gran divulgador, amb la clara intenció de convidar-nos a reflexionar sobre la immensitat del cosmos.

En aquesta cerca per comprendre aquesta immensitat, els telescopis han estat els nostres fidels companys. El telescopi espacial James Webb, una meravella de l’enginyeria moderna, està a punt d’obrir un nou capítol en l’exploració còsmica. Equipat amb tecnologia d’avantguarda, permetrà observar regions de l’espai tan distants i antigues com mai abans no havíem imaginat.

Així com Carl Sagan ens va inspirar a contemplar la immensitat de l’univers, el telescopi espacial James Webb ens desafia a submergir-nos encara més en el cosmos, amb l’esperança que cada observació ens acosti una mica més a les respostes que busquem.

L’Aina no té ni idea de si hi ha més estrelles o grans de sorra, perquè no és capaç d’imaginar-se aquests nombres; no sap, ni tan sols, si hi cabrien en la seva llibreta. I si els escrivís de manera abreujada?

PENSEU-HI! • Seríeu capaços de dir quants grans de sorra hi ha a totes les platges de la Terra?

• Estimeu la quantitat d’estrelles que hi ha a l’univers per comprovar, així, la veracitat de l’afirmació de Carl Sagan.

12

Nombres racionals

Nombres decimals

Potenciació.

Notació científica

Arrels i radicals

Nombre racionals i irracionals

13

UNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS

1. NOMBRES RACIONALS • Fraccions. Una fracció és el quocient indicat de dos nombres enters. Els nombres racionals són els que es poden escriure en forma de fracció i es designen amb la lletra Q. Els nombres racionals es poden representar en la recta.

• Simplificació de fraccions. Si el numerador i el denominador d’una fracció es poden dividir per un mateix nombre (diferent d’1 i de –1), en fer-ho direm que hem simplificat o reduït la fracció. Quan una fracció no es pot reduir més i el seu denominador és positiu, direm que és irreductible.

3.000 = 30 = 2 8 = 4 = –2 Exemples. 25 = 5 3 15 3 –12 – 6 4.500 45 3 • Fraccions equivalents. Es diu que dues fraccions són equivalents quan, en simplificar-les, donen lloc a la mateixa fracció irreductible.

Exemple. 18 i 21 són equivalents, ja que 18 = 18 : 6 = 3 i 21 = 21 : 7 = 3 30 30 30 : 6 5 35 35 35 : 7 5

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

1. Situa de manera aproximada en la recta els nombres2 , 2 , 5d), 10 , –20 , 30 , –30 , 40 4 6 10 15

següents:

17 , – 11 , 20 , 2 , 16 , – 21 , – 7 3 4 5 3 7 5 2

30

40 –45 –60

2 , 2 , 5 , 10e), –20 , 30 , –30 , 40 4 6 10 15 30 40 –45 –60

4. Relaciona cada fracció amb la fracció irreductible

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

corresponent:

6

2. A quines fraccions corresponen els punts indicats en la recta?

A –3

B –2

C

–1

0

D 1

a) 6 18

b) 15 20

III) 3 4

III) –2 5

c) –15 40

d) 14 –35

III) 1 3

IV) –3 8

E 2

3

5. Simplifica les fraccions següents i agrupa les que siguin equivalents:

A=

B=

C=

D=

E=

3. Simplifica aquestes fraccions: a) 2 , 2 , 5 , 10 , –20 , 30 , –30 , 40 4 6 10 15 30 40 –45 –60 2b), 2 , 5 , 10 , –20 , 30 , –30 , 40 4 6 10 15 30 40 –45 –60 30 , –30c), 40 40 –45 –60

14

24 , 26 , 225 , 26 , 66 , 343 36 65 400 39 165 539

FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS « UNITAT 1 • Comparació de fraccions. Per comparar fraccions es busquen les fraccions equivalents que tinguin el mateix denominador. Per comparar dues fraccions amb diferent denominador, es redueixen a comú denominador. Per comprovar si dues fraccions són equivalents es poden utilitzar els productes creuats:

a = c si a · d = c · b b d

Exemple. 18 i 21 són equivalents perquè 18 · 35 = 630 = 21 · 30.

30 35

EXERCICI RESOLT

7 , 5 i 9 .

1. Compara 12 16 8

Prenem com a denominador comú el MCM(12, 8, 16) = 48.

48 : 12 = 4 → 7 = 7 · 4 = 28 12 12 · 4 48 48 : 8 = 6 → 5 = 5 · 6 = 30 8 8 · 6 48 48 : 16 = 3 → 9 = 9 · 3 = 27 16 16 · 3 48

Evidentment: 27 < 28 < 30 48 48 48 Per tant: 9 < 7 <5 16 12 8

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

6. Redueix a comú denominador i ordena de la més petita a la més gran:

5 7, 3, 11 , 1, 5 , 24 - 4 - 8 - 6 12 - 3

7. Indica si les fraccions són o no equivalents simplificant i mitjançant el mètode dels productes creuats:

8. Ordena aquestes fraccions de la més petita a la més gran: 7 5 9 a) 12 , 8 , 16

b) 7 , – 6 , 4 , – 3 , 5 , – 1 , 3 , 13 12 4 6 15 9 2 4 18

a) 12 i 21 → 20 35

b) 36 i 78 → 102 221

15

UNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS

2. OPERACIONS AMB FRACCIONS • Suma i resta de fraccions. Per sumar (o restar) fraccions amb el mateix denominador, se sumen (o es resten) els numeradors i es deixa igual el denominador. Per sumar (o restar) fraccions amb diferent denominador, prèviament cal transformar aquestes fraccions en altres d’equivalents amb el mateix denominador.

Exemple. 7 – 5 + 2 = 42 – 25 + 120 = 42 – 25 + 120 = 137 10 12 60 60 60 60 60 • Producte i quocient de fraccions. Per multiplicar i dividir fraccions, s’apliquen els procediments següents: a · c = a ·c b d b·d

a : c = a · d = a·d b d b c b ·c

Exemple. 8 · 7 = 8 · 7 = 56 = 28 ; 9 : 5 = 9 · 7 = 63 3 10 3 · 10 30 15 4 7 4 5 20 • Operacions combinades amb fraccions. Per trobar el resultat d’operacions combinades, primer es resolen les operacions de dins els parèntesis i els claudàtors i, després, es fan la resta d’operacions. Cal tenir en compte que els productes i els quocients s’han de calcular abans 2 – 1que 2) =restes.

2 – 1 · 3 + 2 (–2) = 2 – 1 – 4 = c1 –les1 sumes m + 2 (i–les 3 3 3 4 3 4 4 3 1 1 2 1 3 2 1 4 5 3 16 24 Exemple. 2 – 3 c1 – 4 m + 3 (–2) = 2 – 3 · 4 + 3 (–2) = 2 – 4 – 3 == 12 – 12 – 12 = 12 = 24 – 3 – 16 = 5 12 12a/b d’una 12 quantitat Q, es multiplica a/b · Q. Per trobar la • Fracció d’una quantitat. Per trobar12 una fracció part a/b d’una altra fracció c/d d’una quantitat Q, es multiplica a /b · c/d · Q.

EXERCICIS RESOLTS

2. Un carter ha de repartir els

3/28 d’un total de 4.004 cartes. Quantes cartes li corresponen?

3. La Berta és propietària de

7/20 d’una empresa. Aquest any li corresponen 37.800 € de beneficis. Quins han estat els guanys totals de la companyia?

4. D’una herència de 104.000 €,

l’Albert en rep 3/8, la Berta 5/12 i la Clàudia la resta.

La Clàudia destina 2/5 de la seva part a pagar deutes.

Quant li queda?

16

3 de 4.004 = 3 · 4.004 = 3 · 4.004 = 3 · 143 = 429 cartes.

28 28 28

Si per 7 li corresponen 37.800 €, per 1 li corresponen 37.800 = 5.400 €.

20 20 7 Per tant, al total d 20 n li corresponen 20 · 5.400 = 108.000 €.

20 També es pot arribar a aquest resultat multiplicant la part que correspon a la Berta (37.800 €) per la inversa de la fracció que té de l’empresa, 20 .

7 7 del total = 37.800 → total = 37.800 · 20 = 108.000 €.

7 20 1 – 3 – 5 = 24 – 9 – 10 = 5 és la fracció de la Clàudia.

8 12 24 24 Com que gasta 2 del que li toca, li queden 3 de la seva fracció: 5 5 3 · 5 · 104.000 = 1 · 104.000 = 13.000 € li queden.

8 5 24

FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS « UNITAT 1

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

9. Fes les operacions següents i simplifica els resultats: a) 7 + 11 = 9 12 c) 3 · 4 = 5

b) 6 – 11 = 4 d) 4 : 1 = 5 6

10. Opera i simplifica: a) d 3 + 7 – 7 n : 25 =

4

6

8

12

b) d 13 – 7 n · d 9 + –13 n = 15 25 22 33 1 – d 3 – 1n 4 c) 2 = 3 +1 4 (–3) · d 3 – 1 n 5 3 = d) (–2) · d 4 – 6 n 3 5 3 – 1 ·d 3 – 2 n 4 5 15 = e) 6 + 4 ·d 1 – 3 n 25 2 4

11.

2 5 4 32 + 35 - 34 32 ++ 35 -- 34 CÀLCUL 23 53 MENTAL 43 132 + 135 - 34 + 12 + 14 a) 2231 ++ 4531 - 43 = 312 + 314 3 17 21 +-413 b) 17 = 12517+-143 + 5 2 -43 5 c) 17 = 5$ 7- 3 317 7 3 5$ 9 317 d) 35$ 97- 3 = 79 13 $ 9712 23 $$$ 791132 e) 1 = 12 231$ $913 12 113 2 $ 3 6 132 f ) 621 |$ 13 = 512 |113 52 526 $|13 53 65 35 56 | 53 65 | 35 5|5

CÀLCUL MENTAL

Digues, en cada cas, la quantitat total: a)

1 del total és 350. → 2

b) 2 del total és 400. → 3 c) 7 del total és 350. → 10

La distància del Sol al centre de la Via Làctia és d’aproximadament 8.000 par­ secs, que són 6/525 del diàmetre de la galàxia. Quin és aquest diàmetre?

Observa Les diferents parts (fraccions) d’un tot sumen 1.

12. D’una bassa amb 5.250 litres d’aigua, 4/15 corresponen a la Teresa, 2/5 a l’Enric i la resta a en Roger. En Roger dedica 3/10 de la seva part a regar tomàquets i la resta, als fruiters. Quanta aigua dedica en Roger als fruiters?

CÀLCUL MENTAL

Digues, en cada cas, quina fracció falta per completar la unitat: a) 1 , 1 i ?

2 4 ?

b) 2 , 1 i ?

3 6 ?

17

UNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS

3. NOMBRES DECIMALS • Tipus de nombres decimals. Els nombres decimals poden ser: ‒ Exactes, si tenen un nombre limitat de xifres decimals. Per exemple, 0,5 o 5,3. ‒ Periòdics, si tenen infinites xifres decimals que es repeteixen periòdicament. Hi ha els periòdics purs (aquells #el període dels quals comença immediatament després de la coma, com ara 7,81818181... = 7, 81 ) i els periòdics mixtos (aquells que tenen altres xifres decimals abans del període, com ara 18,35222222... ! = 18, 352 ). ‒ No exactes ni periòdics. Són nombres decimals que tenen infinites xifres que no es repeteixen periòdicament.

S’anomenen nombres irracionals. Per exemple, 2 = 1,4142135…; π = 3,14159265…

• Pas de fracció a decimal. Per obtenir l’expressió decimal d’una fracció, cal dividir el numerador entre el denominador. Com a resultat es pot obtenir: ‒ Un nombre enter, quan el numerador és múltiple del denominador. ‒ Un nombre decimal exacte, si els factors primers del denominador només són 2 i 5. ‒ Un nombre decimal periòdic, si el denominador té factors primers diferents de 2 i 5.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

13. Indica de quin tipus és cada un d’aquests nombres decimals:

a) 3,52 → ! b) 2,8 → # c) 1, 54 → d) 3 = 1,7320508… → e) 2,7 →

17. Sense fer la divisió, i fixant-te només en el denomi-

f ) 3,5222… → g) π – 2 = 1,1415926… →

14. Ordena aquests nombres del més petit al més gran: !

2,5

2,5

! b) 1 = 0,333… = 0,3 3 3 = 3 · 0,333… = 0,999… = 0,!

9 3 !

Com que 3 = 1, resulta que 0,9 = 1.

3 ! # c) 5,4 = 5, 44 # # d) 3,72 = 3,7272727… = 3,727

!

2,35

2,505005…

15. Escriu tres nombres compresos entre 2,5 i 2,!5 .

nador de la fracció simplificada, digues si les fraccions següents donaran lloc a decimals exactes o a decimals periòdics: a) 44 → 150 b) 42 → 150 c) 101 → .

1024

18. Escriu un valor de k perquè la fracció 84/k sigui: 16. Cert (C) o fals (F)? ! ! a) 0,3 + 0,6 = 1

18

a) Un nombre enter: b) Un decimal exacte: c) Un decimal periòdic:

FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS « UNITAT 1

4. PAS DE DECIMAL A FRACCIÓ • De decimal exacte a fracció. Es divideix el nombre decimal sense comes entre la potència de 10 elevada al nombre de xifres decimals.

• De decimal periòdic pur a fracció. Els passos per convertir el nombre decimal, N, en fracció són aquests: 1r Es multiplica N per una potència de base 10 per trobar un altre nombre amb la mateixa part decimal.

2n Es resten els dos nombres i s’obté un nombre enter.

3r S’aïlla N i es troba la fracció buscada.

• De decimal periòdic mixt a fracció. Els passos per convertir el nombre decimal, N, en fracció són aquests: 1r Es multiplica N dues vegades per potències de base 10 per tal d’aconseguir dos decimals periòdics purs amb

el mateix període.

2n Es resten els dos nombres i s’obté un nombre enter.

3r S’aïlla N i es troba la fracció buscada.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

19. Expressa en forma de fracció: a) 6,2 b) 0,63 c) 1,0004

20. Expressa com a fracció els decimals següents: ! a) 6, 25

! b) 0, 001

! d) 3,5

21. Quins dels nombres següents són racionals? Escriu-los en forma de fracció:

! e) 0,1

a) 3,51 → b) 5,202002000… →

# f ) 0,23

# c) 5,03 → d) 0,3212121… → e) π = 3,141592… →

19

UNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS

5. FRACCIONS I DECIMALS AMB LA CALCULADORA La calculadora la utilitzem fonamentalment per a càlculs aritmètics. Per a això entrem en � i triem 1:Calcular.

• Configuració. Per escollir el mode matemàtic, en el qual es visualitzen les fraccions, les arrels i les potències de la forma habitual, hem de prémer la tecla configuració �. A continuació, triem 1:Entrada/Sortida i, després, seleccionem 1:E Mat/S Mat (tant ENTRADA com SORTIDA en mode matemàtic). També és important configurar la calculadora perquè la SORTIDA, a més de matemàtica, sigui en forma de fracció i no com a nombre mixt. Per fer-ho, entrem en configuració ( ( �) i premem la fletxa ▼ per anar a la pantalla següent, on triem l’opció 1:Result fracció. A continuació, escollim 2:d/c. ▼▲ . Si escrivim una fracció i premem

▼

i les fletxes

▼

• Fraccions. Per introduir les fraccions, utilitzem la tecla la tecla =, la fracció se simplifica.

• Operacions amb fraccions. Cal escriure la cadena d’operacions i prémer la tecla =.

Exemple.

2 ’ 3 ”+ 5 *

11 ’ 12 ”= 2 + 5 x 1 – 11

1 ’ 6 ”-

3

6

12

7 12

• Decimals. Els nombres decimals no periòdics s’escriuen de forma natural tenint en compte que, en comptes de la coma, s’hi posa un punt, ..

Per escriure un decimal periòdic utilitzarem les tecles

# Exemple. 5, 491 → 5 . 4

91 =

5.491 5437 990

�

.

5.491 5.491

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

22 Introdueix a la calculadora aquestes expressions i com-

prova que, en prémer =, se simplifiquen les fraccions o s’obtenen les fraccions corresponents: a) 3 b) 8 12 5

c) 27 15

d) 3,25

e) 0,27

f ) 0,321

23. Obtén, amb la calculadora, les fraccions generatrius dels nombres decimals següents: # a) 2,354 = b) 3, 002 = # # c) 0, 0243 = d) 3, 701 = ! # e) 0, 125 = f ) 2, 09 = ! # g) 0, 1233 = h) 1,1 =

20

24. Fes aquesta operació amb ajuda de la calculadora. Expressa el resultat en forma de fracció i de nombre decimal.

d 4 + 1n : 2 5 5 = d 4 – 5 n· 7 9 3 8 –1 3

25. Fes aquestes operacions amb fraccions i nombres deci-

mals amb la calculadora. Obtén els resultats en forma de fracció i de nombre decimal (exacte o periòdic).

a) 5 – 2 = 4 7 b) d 4 + 2n · –3 = 9 5 c) d–3 + 1 n : 2 = 3 5

FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS « UNITAT 1

6. POTENCIACIÓ

CÀLCUL MENTAL

Per trobar potències amb la calculadora, utilitzem les tecles següents: • Per al quadrat: x 5x = 25 • Per al cub: sx (x3) 2 sx (x3) = 8 • Per a qualsevol potència: ‰ 3 ‰ 4 = 81

• Potències d’exponent positiu. Es compleix que: a1 = a

• Propietats de les potències: 1 am · an = am + n 2

(a · b )n = a n · b n

4

3

(a m )n = a m · n

5

an = a · a · … · a n vegades

am = am – n an

b a l = an b b n

n

EXERCICI RESOLT

5. Calcula: a) 52 · 56 · 53 b) (2 3)4

a) 52 · 56 · 53 = 52 + 6 + 3 = 511 (Propietat 1 )

8 c) 56 5 e) 22 · 53

c) 5 6 = 58 – 6 = 52 (Propietat 4 ) 5

5 d) 145 7

b) (23)4 = 23 · 4 = 212 (Propietat 3 ) 5

5 d) 145 = d 14 n = 25 (Propietat 5 ) 7 7

8

e) 22 · 53 = 22 · 52 · 5 = (2 · 5)2 · 5 = 102 · 5 = 100 · 5 = 500

f ) (154 : 33) : 54 4

g) 42 · d 3 n 2

f ) (154 : 33) : 54 = [(54 · 34) : 33] : 54 = (54 · 3) : 54 = 3 4

4 4 g) 42 · d 3 n = (22)2 · 3 4 = 24 · 3 4 = 34 = 81 2 2 2

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

26. Redueix a una sola potència: a) 43 · 44 · 4 = 6

c) 7 4 = 7 e) 210 · 510 = 5 f ) 12 = 5 3 · 45

g) (a 6 · a 3)2 : (a2 · a 4)3 =

h) (62)3 · 35 · (27 : 22) =

27. Calcula utilitzant propietats de les potències:

b) (56)3 = 3

d) 153 = 3

a) 23 · 54 = b) (65 : 24) : 35 = 3

6

c) d 2 n · d 3 n = 3 4 4

d) 28 · d 5 n = 2 e) (33)2 : 35 = f ) (25)3 · [(53)4 : 23] =

21

UNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS • Potències d’exponent zero o negatiu. Si a és un nombre racional diferent de zero i n és enter: a –n = 1n a

a0 = 1 n

n Com a conseqüència: b a l = d b n = b n . b a a Les propietats de les potències d’exponent positiu també són vàlides per a les potències d’exponents enters qualssevol.

–n

EXERCICI RESOLT

6. Simplifica: –3

4

4

–3

4

3

a) d 3 n · d 9 n 5 5

3 4 3 4 3 4 a) d 3 n · d 9 n = d 3 n · d 5 n = 3 4 · 5 3 = 34 · 52 3 = 3 4 · 5 6 = 1 2 = 1 5 5 5 9 45 5 9 5 · (3 ) 5 ·3 5· 3

–3 2 6 b) x –·1 x 4· x2 (x · x )

2 6 5 –3 –3 + 2 + 6 5 b) x –1· x 4· x2 = x –1 + 4 2 = x3 2 = x 6 = x 5 – 6 = x –1 = 1 x (x ) x (x · x ) (x )

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

28. Calcula:

b)

a) (–2)–1 =

y 5 · y –1 · y = (y 2)–2 3

3

c) c 12 m : c 13 m = a a

b) (–2)–2 = 3

c) d 1 n = 2 2

d) d –1 n = 2 –3

e) d 3 n 5

d)

5 6 · (5 2)–1 = (5 2)3

= 0

f ) d –13 n = 7

4

4

e) 6 ·43 = 9

29. Expressa com a potència de base 10: a) 0,1 = b) 0,00001 = c) 0,001–2 =

f)

(–6)5 · (–3)5 = 36 5

d) 100.000–3 =

30. Simplifica i troba el resultat quan sigui possible: 6

–3

a) x ·2x (x ) y

22

=

5

2

g) 2 ·33 ·–41 2 ·9

–1

=

FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS « UNITAT 1

7. NOTACIÓ CIENTÍFICA

CÀLCUL MENTAL

• Un nombre expressat en notació científica consta de: N = a , b c d … · 10n PART ENTERA (NOMÉS UNA XIFRA)

PART DECIMAL

POTÈNCIA ENTERA DE BASE 10

Exemples.

3,65 · 1011 = 365.000.000.000 9,207 · 10–14 = 0,00000000000009207

11 xifres 14 xifres • Operacions amb nombres en notació científica. El producte i el quocient són immediats, mentre que la suma i la resta exigeixen preparar els sumands de manera que tinguin tots la mateixa potència de base 10 per, així, poder treure factor comú.

Opera i expressa el resultat com a potència de base 10: a) 1.000 · 100.000 = b) 1.000 · 0,01= c) 1.000 : 0,01= d) 1.000 : 0,000001= e) 1.000 · 0,000001=

prefixos per a ordres d’unitats

EXERCICI RESOLT

tera

1012

giga

109

mega

106

quilo

103

hecto

102

deca

10

deci

10–1

centi

10–2

mil·li

10–3

micro

10– 6

nano

10–9

7. Calcula: a) (4,73 · 107) · (7,5 · 105) = (4,73 · 7,5) · 107 + 5 = = 35,475 · 1012 = 3,5475 · 1013 7 b) 4, 73 · 10–5 = (4,73 : 7,5) · 107 – (–5) = 0,631 · 1012 = 6,31 · 1011 7, 5 · 10 c) 1,7 · 108 – 2,5 · 107 = 17 · 107 – 2,5 · 107 = (17 – 2,5) · 107 = = 14,5 · 107 = 1,45 · 108

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

31. Expressa aquestes quantitats en notació científica: a) 0, 00016 →

b) (5,73 · 104) + (–3,2 · 105)

c) (4,8 · 1012) : (2,5 · 103)

b) 0, 00000387 → c) 0, 00000000083 →

32.

S’ha estimat que la galàxia Andròmeda conté aproximadament 100 milers de milions d’estrelles. Expressa aquesta quantitat en notació científica.

33. Calcula:

d) (1,17 · 108) – (3,24 · 10 – 6)

e) 4, 73 $ 10-5 = 7, 5 $ 10 7

34. Comprova amb la calculadora els resultats de l’activitat anterior.

a) (3,25 · 107) · (9,35 · 10–15)

23

UNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS

8. ARRELS I RADICALS • Arrels. Si a = bn, llavors n a = b.

En l’expressió n a (es llegeix arrel enèsima de a), n és l’índex i a, el radicand.

Si n a és un nombre racional (enter o fraccionari), llavors es diu que l’arrel és exacta.

Exemples. 81 = 9 perquè 92 = 81 i 3 125 = 5 perquè 53 = 125.

• Radicals. Són les expressions en què apareixen arrels indicades.

Quan una arrel no és exacta, se sol deixar en forma de radical; per exemple: 3 24 .

EXERCICI RESOLT

8. Calcula les arrels següents: 49 16 b) 3 1.000 64

a)

2

2 a) d 7 n = 7 2 = 49 . Per tant, 4 16 4

49 = 7 .

16 4 b) 1.000 = 103, 64 = 43. Per tant, 3 1.000 = 10 = 5 .

4 64 2

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

35. Calcula les arrels següents: a) 6 64 = f) 3

3.375 = 1.000

b) 3 216 = g) 3 1, 728 · 10 21 = c) 14.400 =

36. Cert (C) o fals (F)?

1 d) 6 = 64

a) Com que (–5)2 = 25, llavors 25 = –5. b) –5 és una arrel quadrada de 25. c) 81 té dues arrels quadrades: 3 i –3. d) 27 té dues arrels cúbiques: 3 i –3.

e) 3

24

64 = 216

e) 7 té dues arrels quartes: 4 7 i – 4 7 . f ) – 4 = –2 i 4 = 2.

FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS « UNITAT 1 • Operacions amb radicals. Fixa’t en aquestes operacions amb radicals i en els passos que se segueixen: – Producte de radicals del mateix índex: Exemples. 3 · 2 = 3 · 2 = 6

3

3

3

CÀLCUL MENTAL

3

5 · 15 = 5 · 15 = 75

– Extracció de factors fora d’una arrel: Exemples. 18 = 3 2 · 2 = 3 2 · 2 = 3 2 3 81 = 3 3 4 = 3 3 3 · 3 = 3 3 3 · 3 3 = 3 3 3 – Potència d’un radical:

Exemples. ` 2 3 j = `2 3j = (2 3)2 = 2 6 4

4

– Suma i resta de radicals:

`4 10 j = 4 10 8 = 10 2 8

Descompon i treu fora del radical: a) 50 = b) 3 24 = c) 3 2.000 =

+ 2 les seves expresDos radicals diferents no poden sumar-se si no s’obtenen3abans 4 sions decimals aproximades; per exemple, 3 + 2 o 7 – 3 7 . Només poden 4 sumar-se radicals idèntics.

7–37

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

37. Simplifica les expressions que puguis:

c) 4 5 5 =

a) 8 5 – 6 3 = b) 3 5 + 4 5 =

d) 180 =

c) 3 25 – 8 = d) 5 – 3 5 = e) 6 · 7 = f) 6·3 7 = g) 2 · 8 = h) 3 7 · 3 49 =

i) 3 5 – 6 5 = j) ` 5 j

10

l)

7

7j

10

f ) 3 375 =

39. Opera i simplifica: a) 3 + 27 + 12 =

=

k) ` 6 j = `5

e) 720 =

=

38. Extreu fora del radical els factors que puguis: a) 3 2 · 5 4 = b) 3 2 5 · 3 2 =

b) 3 2 + 3 16 + 3 54 = . c) 1125 : 15 =

d) 3 12 · 3 18 =

e) (3 2 + 8)2 =

25

UNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS

9. NOMBRES RACIONALS I IRRACIONALS • Nombres racionals. Són els que es poden escriure en forma de fracció. És a dir, els que es poden obtenir com a quocient de dos nombres enters. Tots els nombres enters són racionals i també ho són aquells l’expressió decimal dels quals és exacta o periòdica. El conjunt de tots els nombres racionals es designa amb la lletra Q. ENTERS RACIONALS

Q

Z

NATURALS

N 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

–1, –2, –3, –4, –5, …

NATURALS NEGATIUS

FRACCIONARIS

Nombres reals El conjunt de tots els nombres racionals i irracionals són els nombres reals. Aquest conjunt es designa amb la lletra Á. Á=Q+é

0, 84; 17, 23; … ! # DECIMALS PERIÒDICS 2,3; 0, 084; …

DECIMALES PERIÓDICOS

*

DECIMALES EXACTOS DECIMALS EXACTES

• Nombres irracionals. Inclou tots els nombres no racionals, i el seu conjunt es designa amb la lletra é. Són nombres irracionals aquells l’expressió decimal dels quals no és exacta ni periòdica.

Exemples.

– Totes les arrels no exactes: 2 = 1,41421256…

3

4 = 1,58740105…

– El nombre π = 3,14159265...

Hi ha infinits nombres irracionals més.

EXERCICI RESOLT

9. Escriu cada un dels nombres següents en les caselles corresponents. Cada nombre pot anar en més d’una casella. !

24; 0,71; 0, 7 1 ; –5; 3; 5

7 ; – 9 ; 28 ; π – 1 7

naturals, N

24; 28/7 = 4

enters, Z

24; –5; – 9 = –3; 28/7 = 4 !

0,71; 0, 771 ; 3/5 !

24; 0,71; 0, 771 ; –5; 3/5; – 9 = –3; 28/7 = 4

fraccionaris racionals, Q irracionals, é

7 π–1 7;

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

40. Escriu cada un dels nombres següents en les caselles corresponents. Tingues en compte que cada nombre pot anar en més d’una casella.

# 9 ; –7; 20; 366 ; 107; 3,95; 3,95 9

26

4 ; – 36; 6 7;π–3 3 9

naturals, N enters, Z fraccionaris racionals, Q irracionals, é

FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS « UNITAT 1

» OBSERVA, RAONA I RESOL 1. CALCULAR EL TOTAL

L’Anna gasta durant la primera meitat del mes 2/3 de la seva paga mensual. Del que li queda, en gasta 3/5 durant la segona meitat i estalvia 10 €. De quants diners és la seva paga mensual?

Si gasta 2 , li queda 1 de la seva paga.

3 3 Calculem 3 d’ 1 → 3 · 1 = 1 .

5 3 5 5 3 El que li queda a final de mes són:

1 – c 2 + 1 m = 15 – 10 – 3 = 2 3 5 15 15 15 15 2 Si de la seva paga són 10 €, la seva paga és de: 15 10 · 15 = 150 = 75 € 2 2

Fes-ho tu D’una garrafa d’oli, se’n treu primer la meitat i, després, la cinquena part del que hi queda.

Si a la garrafa encara n’hi ha 3 L, quina és la seva capacitat?

2. MIDA DEL VIRUS DE LA COVID-19

La mida mitjana del virus de la covid-19 és de 67 nm (nanòmetres). a) Expressa-la en mil·límetres i en micres (µm). b) Compara-la amb el gruix d’un cabell humà.

a) Fem servir la notació científica per convertir unitats i comparar-les.

Z ]]1 nm = 1 m = 1 · 10 3 mm = 10 –6 mm [ 10 9 10 9 ]1 mm = 1.000 µm \ En mil·límetres: 67 nm = 67 · 10–6 mm = 6,7 · 10–5 mm.

En micres: 6,7 · 10–5 mm = 6,7 · 10–5 · 103 μm = 6,7 · 10–2 μm. b) Busquem a internet el gruix aproximat d’un cabell: 0,07 mm = 7 · 10 –2 mm.

–2 Per tant: 7 · 10 –5 = 1, 045 · 10 3 .

6, 7 · 10 En el gruix d’un cabell hi caben 1.000 virus posats en fila, aproximadament.

Fes-ho tu En respirar, emetem aerosols, milers de gotes molt petites de menys de 5 µm, que poden romandre a l’aire unes quantes hores. Són la causa principal de transmissió de la malaltia.

Quants virus hi pot haver en una partícula d’aerosol?

27

UNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS

» EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES Practica

Operacions amb fraccions

Fraccions i decimals

6.

1.

Simplifica les fraccions:

a) 91 = b) 225 = 143 400 c) 24 = d) 26 = 36 39 e) 343 = f ) 66 = 539 165 • Ara, agrupa les que siguin equivalents:

2.

Troba, en cada cas, el valor que hi falta: a) b) 32 = 12 = 35 15 18 42 c) 18 = 81 45

d)

3.

66 = 5 1.122

Determina, sense fer la divisió, quins són decimals exactes i quins són decimals periòdics: a) 3 → 2 c) 13 → 9 → e) 19 22 · 5

b) 4 → 5 d) 7 · 112 → 3·5 2 f ) 3 · 7 · 23 → 5· 7

4.

Calcula i simplifica mentalment: 1 7 1 1 1 a) + = b) 1 + = c) – = 2 4 2 2 3 d) 2 de 60 = 3

f) 3 · 2 = 5 3

7.

Redueix a una sola fracció: 3+ 1 2 = a) 7– 3 2 1–2 3 = 4 b) 5– 7 6 12

8. Descompon en factors el numerador i el denominador per simplificar, com en l’exemple: 2 2 • 60 · 33 = 2 · 3 · 5 · 113 · 3 = 2 ·311 = 11 3·5 2 15 24 2 ·3 2

a) 3 · 20 = 5 21 b) 6 · 5 = 25 18

Ordena aquests nombres del més petit al més gran: ! ! # a) 3,56; 3, 56 ; 3,5 ; 3,56

c) 12 · 35 = 7 36

! ! # b) –1,32; –1, 32 ; –1,32 ; –1,3

9.

! c) 2, 3; 8 ; 2, 34; 32 ; 21 3 15 10

e) 12 : 3 = 7

Opera i expressa cada resultat amb una fracció irreductible: a) 3 – 1 d–1 + 2 n – 7 : d 4 – 1 + 2 n = 5 2 3 15 5 3

5.

Expressa en forma de fracció: ! b) 14,3 = a) –1,03 =

! c) – 2,5 =

# e) 0, 012 =

28

! d) 0, 32 =

! f ) 5, 345 =

b) d 3 + 1 n – >1 – d 3 – 1 n + 2 – 3 H = 5 3 4 2 3 20

FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS « UNITAT 1

Potències

Potències de base 10

10.

14.

Escriu, en cada cas, l’exponent de la potència resultant: a) 256 = 2

b) 1 = 3 27

4

e) 7 –5 = 7 7

–4

d) 3 6 = 3 3

11.

c) –125 = –5 5

–7

f ) 2 ·–22 2

=2

a) (0,001)–3 = 109

b) (0,001)4 = 1012

c) (0,01)3 = 10–6

d) (10–2)5 = (0,1)10

15.

Expressa com a potència única: –3

2

a) d 3 n : d 3 n = 4 4 5

–7

b) 2 ·–24 2

16.

3

c) >d 1 + 1n H = 2 3

4ab : b 2 9 3a

17.

•

• b a l ·(a –1) –2 b (6a) –1 · (3a –2) –2 • –3

(a –1 · b 2)2 : (ab )2 •

• a–1b3

c) 8 · 10–8 – 5 · 10–9

18. Calcula, expressa el resultat en notació científica i comprova’l amb la calculadora: a) (2,5 · 107) · (8 · 103) = b) (5 · 10–3) : (8 · 105) = c) (7,4 · 1013) · (5 · 10– 6) = d) (1,2 · 1011) : (2 · 10–3) =

Arrels i radicals sible:

Extreu de cada radical els factors que sigui pos-

a) 4 32 = –1

c) 2 ·33 ·–41 2 ·9 d)

b) 5 · 109 + 8,1 · 1010

19.

–5 3 b) 2 · 4 16 2

a) 3,6 · 1012 – 4 · 1011

• 4 a2b–1 3 3 • a 54

6 4 $ 8 2 = 2 4 $ 3 4 $ 2 6 = 2 6 = 64 5 5 9 2 $ 80 34 $ 24 $ 5 2

Resol i comprova el resultat amb la calculadora:

d) 5,32 · 10– 4 + 8 · 10–6

Descompon en factors i aplica les propietats de les potències per simplificar. Fixa’t en l’exemple:

a) 15 2 · 4 12 · 10

Escriu en notació científica:

• a–4b2

13.

5

10–12 · (103)3

d) 153 · 104 =

4

2

0, 00001 0, 01

c) 0,0000173 =

Relaciona cada operació amb el seu resultat:

•

10–5 + 102

b) 4.800.000.000 =

2

e) d 2 n · d –3 n = 3 2

12.

10 –2 0, 1

a) 13.800.000 =

d) d 1 n : d 1 n = 2 4 2

Quins d’aquests nombres són iguals a 10–3?

Notació científica

=

–1

Cert (C) o fals (F)?

62 · 92

2 3 · (–3)2 · 4 2

b) 3 81 = c) 3 200 = e) 4 144 =

29

UNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS

20.

Extreu factors fora de cada arrel:

a) 2 2 · 5 3 = b) 3 2 6 · 7 3 =

Resol problemes 23.

Les dades següents expressen com gasta els seus ingressos mensuals una família: ! !

Habitatge: 0,4 Supermercat: 0,16 Roba: 0,13 Rebuts: 0,1 Estalvi: 0,05 Altres: 0,04

c) 4 2 2 · 3 6 =

a) E scriu-los tots en forma de fracció i troba la fracció que falta.

d) 5 2 · 7 4 · 3 5 =

Supermercat: Roba: Habitatge: Rebuts: Estalvi: Altres: b) S i gasta 330 € en oci, quin és el seu pressupost mensual?

21.

Simplifica, si és possible. Tingues en compte

que n a · n b = n a · b . a) 2 · 8 = b) 3 3 · 3 9 = c) 5 · 15 =

24.

La informació nutricional d’una marca de llet diu que hi ha 120 mg de calci per cada 100 mL de llet. Aquesta quantitat de calci és 3/20 de la que és recomanable que prengui diàriament una persona. Calcula la quantitat de calci diària recomanada.

d) 3 2 · 3 32 = e) 3 · 3 2 = f ) 3 12 · 3 6 =

22.

D’un solar es van vendre 2/3 de la seva superfície i després 3/5 del que quedava. Els 600 m2 restants es van destinar a camins i jardins. Quina era la superfície del solar?

Calcula:

a) 50 + 72 – 10 2 =

b) 80 – 45 – 20 =

c) – 48 + 3 75 – 108 =

d) 175 + 28 – 5 63 =

e) 3 250 – 3 128 + 3 2 =

30

25.

26.

Expressa en notació científica el nombre de segons que té un any. Quina edat tindria una persona que hagués viscut 2.000 milions de segons?

27.

La superfície forestal mundial ha disminuït en 4,7 milions d’hectàrees anuals des de 2010, segons l’avaluació dels recursos forestals mundials que fa la FAO. Calcula quantes hectàrees de boscos s’han perdut fins al 2020 i compara aquesta xifra amb la superfície total de Catalunya.

FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS « UNITAT 1

28.

La gran zona de deixalles anomenada illa de plàstic del Pacífic està creixent a gran velocitat. Una notícia afirma que aquesta àrea de residus ocupa uns 1,6 milions de km2, és a dir, gairebé tres vegades la superfície de França, i conté unes 80.000 tones de plàstic. a) Expressa les dades en notació científica.

És el teu torn 32.

Pensa quatre afirmacions relacionades amb aquesta unitat dues de les quals siguin certes i dues siguin falses. Planteja oralment les afirmacions al company o la companya del teu costat per tal que determini quines són certes i quines són falses.

1.

b) Calcula, a partir d’aquestes dades, la superfície de França. Després, busca per internet quina és realment la superfície de França i comprova la veracitat de la notícia.

2.

3.

29.

Un centímetre cúbic d’aigua conté 3,35 · 1022 mo­lècules d’aigua. Si al nostre planeta hi ha, aproximadament, 1,39 · 109 km3 d’aigua, quantes molècules d’aigua hi ha a la Terra? I en un got de 2/5 de litre?

4.

33.

Fixa’t en aquesta resolució d’un problema i planteja’n l’enunciat: 2/5 de 120 € = 48 €

30.

La hipotenusa d’un triangle rectangle mesura 2 6 m i un dels catets, 2 3 m. Quant mesura l’altre catet? I l’àrea del triangle? Dona els valors exactes, és a dir, amb radicals.

3/20 de 120 € =18 € 1/4 de 120 € = 30 € 1 – [2/5 + 1/4 + 3/20] = 1/5

31.

La galàxia M87, que es troba a 50 milions d’anys llum de la Terra, té un forat negre el diàmetre del qual és de 60 anys llum i la massa del qual és de dos mil milions de vegades la massa del Sol. a) C alcula la massa del forat negre en quilograms. (La massa del Sol és, aproximadament, 2 · 1030 kg.)

b) Expressa, en quilòmetres, la distància d’aquesta galàxia a la Terra i el diàmetre del forat negre.

34.

Cert (C) o fals (F)?

a) ( –2)2 = 2 b) 3 (–2)–3 = – 1 2 c) 4 (–10)(–10) = 10

31

UNITAT 1 » FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS

» TALLER DE MATEMÀTIQUES » FES SERVIR L’ENGINY Repartiment de camells Un beduí tenia 17 camells, que va deixar en herència als seus tres fills. En el seu testament deia això: Al meu fill gran, l’Alí, li deixo la meitat dels meus camells; al segon, en Hamed, la tercera part, i al petit, en Harim, la novena part.

1/6 Els tres fills discutien acaloradament perquè no veien la manera de repartir-se els camells d’acord amb el criteri del pare. I aleshores va passar per allà un viatger amb 1/2 6 el seu camell. Els va preguntar què passava i li van explicar el seu problema. El viatger, un hàbil matemàtic, els va fer aquesta proposta: «Als vostres 17 camells hi afegeixo el meu. Ara n’hi ha 18. La meitat, 9, són per a l’Alí; la tercera part, 6, són per a en Hamed, i la novena part, 2, per a en Harim: 1/9 9 + 6 + 2 = 17 Tots tres quedeu satisfets i jo recupero el meu formós camell.»

Com és possible?! Exlica per què ara sí és possible repartir l’herència mentre que 9 2 abans no ho era.

» LLEGEIX I CALCULA Acabats d’arribar Es considera que l’edat de l’univers és d’uns quinze mil milions d’anys (15 · 109 anys).

Gairebé res!

Per fer-nos-en una idea, suposa que comprimim tota la història de l’univers en un dels nostres anys i fixa’t en aquestes dades: – Segons aquesta escala, el Sol hauria nascut a finals de juliol (fa uns 5 · 109 anys) i la Terra, a mitjans d’agost (fa 4,6 · 109 anys).

– Els dinosaures haurien viscut, aproximadament, un dia i mig, cap al 23 o el 24 de desembre (fa 250 milions d’anys).

– L’espècie humana amb prou feines ocuparia els tres o quatre últims minuts de l’any.

– I la teva vida (15 anys), només tres dècimes de segon. Menys del que dura l’última campanada de la nit de Cap d’Any! Les restes més antigues atribuïdes a l’Homo sapiens daten de fa uns 300.000 anys. Si comprimíssim tota la història de la nostra espècie en un sol any, en quin punt del calendari tindrien lloc la construcció de les piràmides de Guiza (2500 aC), el naixement de Jesucrist i la invenció de la impremta (1440)? Quant temps duraria la teva vida en aquest calendari?

32

FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS « UNITAT 1

POSA’T A PROVA 1. Calcula i simplifica el resultat:

6. Expressa en notació científica:

1 + 5 · c 5 + 1m – 1 : 2 8 3 3 5

a) 758 · 10–5 =

b) 0,035 · 1013 = c) 101 · 1011 =

7. Cert (C) o fals (F)?

2. Indica el tipus de decimal que correspon a cada fracció sense fer la divisió: decimal exacte

decimal

decimal

periòdic pur periòdic mixt

89/50 113/12

a) Tots els nombres racionals són fraccionaris. b) Una fracció sempre equival a un nombre decimal periòdic. c) Un nombre decimal periòdic és racional.

8. Simplifica quan sigui possible: a) 3 27 =

23/32 18/7

3. Passa els decimals a fraccions i calcula el resultat d’aquesta operació: ! # d0,18 – 1, 89 + 8 n · 1, 1 11

b) 1 3 + 3 = 2 c) 4 · 5 + 5 – 9 · 5 = d) 3 54 – 2 3 2 =

9.

La cinquena part de les persones apuntades en un poliesportiu tenen més de 60 anys i dues de cada tres tenen entre 25 i 60 anys.

a) Q uina fracció d’aquestes persones té 25 anys o menys?

4. Opera:

–1

(–3)–2 + c 3 m 4

5. Simplifica: –2 a) 3ab = 6a 2 b –1 –3

–2 b) c –1 m · b a l = a b

c) b a l b

–4

–2

– 2–3 c1 – 1 m 2

b) S i hi ha 525 persones apuntades, quantes n’hi ha de cada grup d’edat?

10.

La reserva de gas natural més gran de l’Àsia Central conté un volum de 9 . 1011 m3. Si la seva producció anual és d’1,8 . 1013 litres i es manté el mateix ritme al llarg del temps, quants anys es podrà explotar aquest recurs energètic?

3

· a2 = b

33

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

SITUACIÓ D’APRENENTATGE 1

» QUANTES ESTRELLES HI HA A L’UNIVERS? L’Aina és una gran aficionada a l’astronomia. Avui, en un blog de divulgació científica, ha llegit una afirmació que l’ha sorprès. No s’ho podia imaginar!

«Hi ha més estrelles a l’univers que grans de sorra a totes les platges de la Terra.»

No té ni idea de si hi ha més estrelles o grans de sorra, perquè no és capaç d’imaginar-se aquests nombres.

Seríeu capaços de dir quants grans de sorra hi ha a totes les platges de la Terra? I la quantitat d’estrelles que hi ha a l’univers? Feu un càlcul estimatiu i comproveu la veracitat de l’afirmació de Carl Sagan.

ANEM PAS A PAS

1. L’Aina visita sovint la cala Cap Roig, a Sant Antoni de Calonge, i vol

estimar el nombre de grans de sorra que hi pot haver.

• Dimensions: 35 m de longitud, 10 m d’amplada i 20 m de profunditat.

• Ara vol saber quants grans de sorra hi ha en un mil·límetre cúbic.

Omple de sorra un got de joguina molt petit i, amb l’ajuda d’una lupa, compta que hi ha 40 grans. A continuació, fa servir el got 45 vegades per omplir una cassola de joguina. Tot seguit, aboca 27 vegades el contingut de la cassola per omplir un cub de 4 cm3. a) Quants grans de sorra estimeu que hi ha en 1 mm3? b) A partir d’això, feu un càlcul aproximat del nombre total de grans de sorra que hi ha a la cala Cap Roig.

2. Al món hi ha 300.000 km de platges. Cada una té, de mitjana, 50 m d’ample i 25 m de profunditat.

A partir del nombre de grans de sorra que hi ha en 1 mm3, calculeu quants grans de sorra hi ha a les platges de la Terra.

34

3. Actualment s’estima que hi ha aproximadament 2 · 1012 galàxies a l’univers. La nostra, la Via Làctia,

és una galàxia típica. Té 200.000 milions d’estrelles (2 · 1011 estrelles) aproximadament.

• Esbrineu quantes estrelles hi ha a l’univers a partir d’aquesta estimació del nombre de galàxies. Considereu que totes les galàxies són com la Via Làctia.

• Amb aquests resultats, podem considerar que l’afirmació de Carl Sagan és certa?

RESOLEM

4. Busqueu el nombre de quilòmetres quadrats que ocupen els deserts

de sorra fina de la Terra i la profunditat mitjana que tenen i feu una estimació del nombre de grans de sorra que hi ha als deserts.

PENSEM-HI

5. Què en penseu, del nombre d’estrelles que hi ha a l’univers? És una quantitat inabastable? Utilitzant la notació científica que heu après, creieu que po­dríeu expressar qualsevol quantitat imaginable?

R eflexioneu sobre l’ODS 11: Ciu tats i comunitats s ostenible

s.

Treballeu en equip.

Què heu apr ès?

Penseu-hi!

6. Actualment la qualitat del cel nocturn és un problema per a l’observació de les estrelles. Avalueu aquest factor a la vostra localitat i indiqueu com es podria millorar.

35

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

UNITAT

21

36

PROBLEMES ARITMÈTICS

ESTALVI AMB PREMI Els pares de l’Anna i en Marc volen que els seus fills estalviïn. Per aconseguir-ho, arriben a un acord amb ells: els diners que tinguin a la guardiola al llarg d’un mes s’incrementaran en un 10 %.

L’Anna decideix que deixarà els seus 100 € durant el primer mes i, així, es convertiran en 110 € gràcies a l’augment. Durant el segon mes, conserva aquesta suma i aconsegueix un total de 121 €. És a dir, l’Anna manté a la guardiola tant el seu capital com els interessos generats.

En Marc conserva els seus 100 euros a la guardiola, però es guarda els interessos mensuals en el seu moneder per si els necessita gastar.

Nombres racionals

PENSEU-HI! • Quin sistema d’estalvi faríeu servir? Per què?

• En què invertiríeu els diners estalviats? Com afrontaríeu el pagament d’una despesa mensual?

Aproximacions i errors

Nombres decimals

Potenciació.

Notació científica

Arrels i radicals

Càlculs amb percentatges

Interès compost

Problemes clàssics

Nombre racionals i irracionals

Proporcionalitat composta en problemes aritmètics

37

UNITAT 2 » PROBLEMES ARITMÈTICS

1. APROXIMACIONS I ERRORS • Quantitats exactes i quantitats aproximades. En el llenguatge corrent utilitzem moltes quantitats: unes són exactes, com, per exemple, quan diem que «l’Èric avui fa 13 anys», i n’hi ha d’altres que són aproximades, com, per exemple, quan diem que «el iot fa 50 m d’eslora».

• Per què s’utilitzen les quantitats aproximades? Hi ha, bàsicament, dos motius: – Perquè desconeixem la quantitat exacta.

– Perquè, encara que coneixem la quantitat exacta, no es considera necessari donar-la amb precisió.

• Xifres significatives. S’anomenen xifres significatives aquelles amb les quals s’expressa un nombre aproximat.

Només s’han d’utilitzar aquelles l’exactitud de les quals ens consti. Els zeros que escrivim al final d’un nombre són xifres significatives únicament si podem assegurar que la xifra és 0. Per exemple, quan diem que la població de Catalunya és de 7.600.000 habitants, el 7 i el 6 són xifres significatives, però els zeros no ho són.

Si el nombre s’expressa en notació científica, les xifres del nombre decimal són totes significatives. Per exemple: 3,4 · 105 té 2 xifres significatives i 3,40 · 105 té 3 xifres significatives.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

1. Expressa amb un nombre de xifres significatives que et sembli raonable les quantitats següents: a) Nombre d’assistents a tots els concerts que hi va haver l’any 2017 a Catalunya: 2.893.040.

2. Expressa amb un nombre raonable de xifres significatives aquestes quantitats. Després, escriu-les també en forma d’interval. a) Trucades a urgències d’una comunitat en un any: 5.117.341.

b) Nombre d’abelles que pertanyen a un cert rusc: 78.421.

c) Altura (en cm) que té la torre Burj Khalifa (Dubai): 82.816.

b) Assistents als carnavals d’una ciutat: 137.223.

d) Nombre d’estrelles que componen la galàxia Andròmeda: 985.428.372.491.

e) Població mundial: 8.060.542.910 habitants.

f ) PIB (producte interior brut) del 2022 a Catalunya: 270.710.048.180 €.

38

c) Cèl·lules que hi ha al cos humà: 29.845.237.821.984.

PROBLEMES ARITMÈTICS « UNITAT 2 • Control de l’error comès. Quan donem una mesura aproximada, cometem un error que s’anomena error absolut i que es calcula amb l’expressió matemàtica següent: Error absolut = |Valor real – Valor aproximat| • L’error absolut generalment és desconegut perquè no coneixem el valor real, però pot controlar-se. Com que l’error absolut va estretament lligat a la magnitud que està mesurant, treballem amb l’error relatiu, que es defineix com el quocient entre l’error absolut i la mesura exacta.

Errorabsoluto absolut Error relatiu = Error Valor real • Com més xifres significatives s’utilitzin per donar la mesura aproximada, més petit serà l’error relatiu comès.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

3. Què podem dir de l’error absolut d’aquests mesuraments?

a) Volum d’una banyera, 326 litres.

b) Volum d’una piscina, 326 m3.

5. Compara els errors relatius comesos en aquests mesu-

raments i indica en quin cas es comet l’error relatiu més gran i més petit:

a) 87 m

b) 453 km

c) 5 km

d) 4,53 · 1011 km

c) Volum d’un pantà, 326 hm3.

d) Volum d’un asteroide, 3,26 · 106 km3.

6. Observa aquestes imatges i els mesuraments que s’han fet:

– Ara, compara l’error relatiu dels mesuraments anteriors.

92 m

9,2 km

920 km

4. Compara l’error relatiu comès en fer les pesades següents:

a) Una balena, 37 tones. b) Un gall dindi, 3 kg.

– Què podem dir de l’error absolut i de l’error relatiu d’aquests mesuraments?

c) El senyor Anselm, 87,3 kg. d) La Terra, 5,972 · 1021 tones.

39

UNITAT 2 » PROBLEMES ARITMÈTICS

2. CÀLCULS AMB PERCENTATGES • Càlcul d’un tant per cent d’una quantitat. Per trobar un tant per cent d’una quantitat, s’expressa el tant per cent en forma decimal i es multiplica la quantitat per aquest valor.

Exemple. El 16 % de 5.000 és 16 · 5.000 = 0,16 · 5.000 = 800.

100 • Obtenció del tant per cent corresponent a una proporció. Per trobar quin tant per cent representa una quantitat, a, respecte d’un total, C, es calcula a i es multiplica per 100.

C Exemple. Si en una població de 5.000 persones, 800 són menors d’edat, aquest col·lectiu representa el 16 % de la població, ja que: 800 = 0,16, que correspon al 16 %.

5.000

CÀLCUL MENTAL

Expressa en forma decimal els percentatges següents: a) 10 % c) 160 %

b) 7 % d) 127 %

Quin tant per cent representa cada quantitat respecte del seu total? a) 15 respecte de 30: b) 2 respecte de 10: c) 30 respecte de 3.000:

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

7. Indica el tant per cent corresponent a cada un d’aquests

decimals:

a) 0,1 →

b) 0,5 →

c) 0,9 →

d) 0,25 →

e) 1 →

f ) 1,5 →

g) 1,1 →

h) 2 →

9. Calcula el tant per cent que representa: a) 45 respecte de 225 →

b) 6.160 respecte de 56.000 →

8. Calcula: a) El 24 % de 300 → c) 4.230 respecte de 9.000 → b) El 112 % de 560 → d) 1.922 respecte de 1.240 → c) El 3 % de 83.200 → e) 6.000 respecte de 4.000 → d) El 30 % de 83.200 →

10. Calcula el 35 % de 3.780 € i el 160 % de 36.200 persones.

40

PROBLEMES ARITMÈTICS « UNITAT 2 • Càlcul d’augments i de disminucions percentuals. En aquest tipus de problemes cal tenir en compte que: – El nombre pel qual s’ha de multiplicar la quantitat inicial per obtenir la quantitat final s’anomena índex de variació.

– En els augments percentuals, l’índex de variació és 1 més l’augment percentual expressat en forma decimal.

– En les disminucions percentuals, l’índex de variació és 1 menys la disminució percentual expressada en forma decimal.

– Per calcular el valor final en un augment o en una disminució percentual, cal trobar l’índex de variació i multiplicar-lo per la quantitat inicial: valor final = valor inicial · índex de variació Exemple.

Si s’augmenta un 16 % el preu d’un rellotge que val 50 €, acabarà valent 58 €: 50 (1 + 0,16) = 50 · 1,16 = 58 € Si es rebaixa un 40 % el preu d’un article que val 620 €, acabarà valent 372 €: 620 · (1 - 0,4) = 620 · 0,6 = 372 €

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

11. Unes accions que, a començaments d’any, valien 13,70 €

s’han apujat un 35 %. Quant valen ara?

14. Per quin nombre cal multiplicar la quantitat inicial per obtenir la quantitat final en cada cas?

a) Augmenta un 12 % → b) Disminueix un 37 % → c) Augmenta un 150 % → d) Disminueix un 2 % →

15. Calcula mentalment l’índex de variació que corres-

12. En una comarca hi havia 69.580 aturats. Si han disminuït un 15 %, quants n’hi ha ara?

pon a aquests augments percentuals: a) 25 % → b) 5 % → c) 40 % →

16. Calcula mentalment l’índex de variació que corres-

pon a aquestes disminucions percentuals: a) 25 % → b) 5 % →

13. En un pantà hi havia 680 hm3 d’aigua. Si ha dismi-

nuït un 23 %, quanta aigua hi ha ara?

17. Calcula l’índex de variació i la quantitat final: a) 325 augmenta el 28 % → b) 87 disminueix el 80 % →

41

UNITAT 2 » PROBLEMES ARITMÈTICS • Càlcul de la quantitat inicial coneixent la variació percentual i la quantitat final. Si coneixem la quantitat final que resulta després d’haver aplicat una variació percentual, la quantitat inicial s’obté dividint la quantitat final per l’índex de variació. quantitat inicial = quantitat final : índex de variació • Encadenament de variacions percentuals. Per encadenar augments i disminucions percentuals, es multipliquen els índexs de variació dels successius passos.

EXERCICIS RESOLTS

1. En uns grans magatzems,

tots els articles s’han rebaixat un 35 %. Hem comprat un quadre per 195 € i un llibre per 14,30 €. Quant valia cada um abans de les rebaixes?

2. Una guitarra de 800 €

s’apuja el 50 %. Després, s’abai­ xa el 50 %. Queda igual el preu?

En els dos casos, l’índex de variació és 1 – 0,35 = 0,65.

Per tant, els preus dels articles abans de les rebaixes eren aquests:

800

Quadre

→ 195 : 0,65 = 300 €

Llibre

→ 14,30 : 0,65 = 22 €

+50 % · 1,50

800 · 1,50 = 1.200

–50 % · 0,50

1.200 · 0,50 = 600

El preu no queda igual. En total, s’abaixa 200 €. índex de variació total = índex 1a variació · índex 2a variació 1,50 · 0,50 = 0,75 = 1 – 0,25. Correspon a una baixada del 25 %.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

18. El preu d’una batedora, després d’aplicar-hi un

21 % d’IVA, és de 72,60 €. Quin era el seu preu abans de carregar-hi aquest impost?

21. Un comerciant augmenta el preu de venda dels seus productes un 30 %, però després, els vol tornar a vendre al preu inicial i els rebaixa un 30 %. Ho aconseguirà?

Vegem-ho.

a) Un ordinador que inicialment costava 1.000 €, quant costarà en cada pas del procés?

19. En unes rebaixes en les quals es fa el 30 % de des-

compte, en Robert ha comprat una càmera fotogràfica per 50,40 €. Quin era el seu preu inicial?

20. Un carter ha repartit el 36 % de les cartes que tenia.

Si encara n’hi queden 1.184, quantes en tenia abans de començar el repartiment?

42

b) Quina és la variació percentual que experimenten els articles respecte del preu inicial?

22. Un capital de 42.000 € es diposita en un banc al

5 % anual. En quina quantitat s’haurà convertit en un any? I en dos anys?

PROBLEMES ARITMÈTICS « UNITAT 2

3. INTERÈS COMPOST • Si dipositem una certa quantitat C de diners en un compte d’estalvis d’una entitat bancària, aquesta ens paga interessos. Si el tipus d’interès pactat és, per exemple, un 6 % anual, en complir-se un any del dipòsit, el banc ens dona el capital C i uns interessos de C · 0,06. És a dir, ens torna C · 1,06. Si en comptes d’emportar-nos els diners els deixem tot un any més, la quantitat creix novament un 6 %. Per això es torna a multiplicar per 1,06. És a dir, el banc ens torna C · 1,062. Si això es repeteix n anys, el banc ens tornarà C · 1,06n. inicial

C

· 1,06

1 any

2 anys

1,06C

1,06 · (1,06C ) = 1,062C

· 1,06

n anys … …

1,06nC

• El capital final CF al cap de n anys de dipositar un capital C al r % anual és CF = C · b1 + r l .

100 • Si el banc paga els interessos cada mes, es diu que el període de capitalització és mensual. En aquest cas, el tant per cent mensual equival a la dotzena part del tant per cent anual (r/12). n

EXERCICI RESOLT

3. Un banc paga el 4,8 % anual

per dipòsits a termini fix. Si hi di­ positem 160.000 €, quants diners podrem retirar al cap de 4 anys?

Cada any, el capital augmenta un 4,8 %; és a dir, es multiplica per 1,048.

Al cap de 4 anys s’haurà multiplicat per 1,0484. Per tant, el capital final que podrem retirar és aquest: CF = 160.000 · 1,0484 = 193.003,47 €

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

23. En quina quantitat es transforma un capital inicial de 20.000 € col·locat al 3,6 % anual durant 5 anys?

26. Calcula en quina quantitat es transformen 60.000 € col·locats a interès compost en els casos següents si el període de capitalització és mensual: a) Al 3 % anual durant 2 anys.

24. En quina quantitat es transformen 20.000 € col·locats

durant 5 anys al 3,6 % anual, amb pagament d’interessos mensual? b) Al 5,4 % anual durant 9 mesos.

25. En quina quantitat es transformen 160.000 € dipositats 4 anys al 4,8 % anual, si el període de capitalització és mensual?

c) Al 0,36 % mensual durant un any i mig.

43

UNITAT 2 » PROBLEMES ARITMÈTICS

4. PROBLEMES CLÀSSICS • Problemes de repartiments proporcionals. En els repartiments proporcionals, les diferents fraccions en què es parteix el total han de sumar 1.

• Problemes de barreges. En aquests problemes, la mitjana s’obté repartint la suma de les quantitats parcials, aportades pels components, entre el pes total de la barreja (suma dels pesos parcials).

EXERCICIS RESOLTS

4. Dos socis tenen el 27,82 %

i el 39,91 % d’una companyia i el tercer, la resta. Si han obtin­ gut uns beneficis de 327.842 €, quant toca al tercer?

El tercer soci és propietari del 100 % – (27,82 % + 39,91 %) = 32,27 %.

Per tant, li corresponen: 32,27 % de 327.842 € = 105.794,61 ≈ 105.800 € Aproximant fins als centenars d’euros, podem assegurar que l’error comès és inferior a 50 €.

5. Es molen conjuntament 50 kg

de cafè de 8,80 €/kg i 30 kg d’un altre cafè, de qualitat inferior, de 6,40 €/kg. A quin preu surt el quilo de la barreja obtinguda?

quantitat

preu

cost

cafè superior

50 kg

8,80 /kg

50 · 8,80 = 440

cafè inferior

30 kg

6,40 /kg

30 · 6,40 = 192

barreja

80 kg

Preu de la barreja =

632

Cost total = 632 € = 7,90 €/kg Pes total 80 kg

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

27. Tres socis van aportar 2, 3 i 6 milions d’euros, res-

29. Si barregem 12 kg de cafè de 12,40 €/kg amb 8 kg

28. Com es poden repartir 2.310 € entre tres germans de manera que a en Marc li correspongui la meitat del que correspon a l’Anna i a aquesta, el triple del que correspon a en Lluís?

30. Un joier vol fondre un lingot de 2 kg d’or la llei

pectivament, per crear una empresa. Si els guanys del primer any van ser de 75.900 €, quant correspondrà a cada un?

44

de cafè de 7,40 €/kg, quin serà el preu de la barreja?

del qual és 0,85 amb un altre lingot d’1,5 kg d’or la llei del qual és 0,9. Quina és la llei del lingot resultant?

PROBLEMES ARITMÈTICS « UNITAT 2 • Problemes de moviments. Dos objectes que s’apropen movent-se en la mateixa direcció poden anar en sentits oposats (es trobaran) o en el mateix sentit (el més ràpid, si surt després, atraparà el més lent). ‒ Si van en sentits oposats, tindrem en compte que els mòbils s’aproximen a una velocitat relativa igual a la suma de les seves velocitats absolutes. ‒ Si van en el mateix sentit, tindrem en compte que els mòbils s’aproximen a una velocitat relativa igual a la diferència de les seves velocitats absolutes.

EXERCICI RESOLT

6. Un ciclista professional avan­

ça per una carretera a 38 km/h.

Més endavant, a 22 km, un ci­ cloturista avança en el mateix sentit a 14 km/h. Quant tarda el ciclista professional a atrapar el cicloturista?

S’aproximen a una velocitat de 38 – 14 = 24 km/h.

Com que sabem que els separen 22 km, calculem el temps fins a la trobada: t = d = 22 = 11 d’hora = 55 min v 24 12

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

31. Un cotxe va a 120 km/h i un camió, a 90 km/h. a) Si el cotxe segueix el camió a 75 km de distància, quant tardarà a atrapar-lo?

33. La Via Làctia es dirigeix cap a Andròmeda a una velocitat de 112,2 km/s. La galàxia Andròmeda es dirigeix cap a la Via Làctia a una velocitat de 75,4 km/s. Les separa una distància de 2,5 milions d’anys llum. Si mantinguessin les seves velocitats, quant tardarien a xocar?

b) Si estan a 504 km i es dirigeixen l’un cap a l’altre, quant tardaran a creuar-se?

32. La capacitat d’un pantà és de 980 hm3. Actualment

es troba al 43 % del total, rep una aportació de 45 m3/s i aboca 3.200 L/s. Si es mantenen aquests cabals, quant temps tardarà a omplir-se fins a un 95 % de la seva capacitat?

34. Dues aixetes aboquen 17 L/min i 14 L/min en una

pica de 1.200 L el desguàs de la qual expulsa 13 L/min.

Si s’obren alhora les dues aixetes i el desguàs, quant tardarà a omplir-se la pica?

45

UNITAT 2 » PROBLEMES ARITMÈTICS

5. PROPORCIONALITAT COMPOSTA EN PROBLEMES ARITMÈTICS • En els problemes de proporcionalitat composta hi intervenen, almenys, tres magnituds que, per parelles, són directament o inversament proporcionals.

EXERCICI RESOLT

7. Un ramat de 23 porcs es menja, en 50 dies, 2.990 kg de pinso. Quants dies podran menjar 75 porcs si el granger té 6.240 kg de pinso?

23 porcs en 50 dies es mengen 2.990 kg de pinso.

• 2.990 : 23 = 130 kg menja 1 porc en 50 dies.

• 130 : 50 = 2,6 kg menja 1 porc en 1 dia.

• Per tant, 6.240 : 2,6 = 2.400 dies en què un porc menja aquesta quantitat.

2.400 : 75 = 32 dies que mengen aquesta quantitat els 75 porcs.

Resolució esquemàtica: 23 porcs

50 dies

2.990 kg

75 porcs

x

6.240 kg

Porcs-dies. Proporcionalitat inversa. Assenyalem la quantitat que no és a la fila de la x.

Més porcs, menys dies dura → Inv. Més kg, més dies dura → Dir.

Quantitat-dies. Proporcionalitat directa. Assenyalem el valor que és a la fila de la x.

x = 50 . 23 · 6 240 = 32 dies 75 · 2990

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

35. Per construir una autopista, 20 camions treballant 8 h diàries i porten fins a l’abocador 4.000 m3 de terra cada dia.

Més camions, més sorra → Dir. Més hores, més sorra → Dir.

Quanta terra mouran en un dia 12 camions si treballen en torns de 10 h diàries?

46

36. Per collir les olives d’una finca, es necessiten 10 operaris que treballin 8 h al dia durant 40 dies.

Més operaris, menys dies → Inv. Més hores diàries, menys dies → Inv.

Quants dies tardaran 4 operaris que treballin 5 h diàries?

PROBLEMES ARITMÈTICS « UNITAT 2

37. Per escalfar 100 g d’oli, des de la temperatura ambient, 20 °C, fins a 70 °C, s’han necessitat 2.350 calories. Ara, subministrem 39.151 calories a 1 litre d’oli (980 g) a temperatura ambient.

Més grams, menys pujada de temperatura → Inv.

39. En un menjador d’empresa, 113 treballadors han

consumit 840 iogurts en 20 dies feiners. En tindran prou amb una reserva de 200 iogurts per als pròxims cinc dies en què es preveu una afluència mitjana de 120 treballadors/dia?

Més calories, més pujada de temperatura → Dir.

a) Quina temperatura assolirà?

40. Si 4 miners perforen 15 m en 9 dies, quants metres b) Q uantes calories es necessitaran per escalfar 1/2 L d’oli des de 15 °C fins a 75 °C?

perforaran 6 miners en 15 dies?

38. Per escalfar una peça de ferro de 1.240 g des de 10 °C fins a 150 °C s’han necessitat 18.228 cal.

a) Q uantes calories caldran per augmentar la temperatura d’una peça de ferro de 3.480 g des de 0 °C fins a 210 °C?

b) Quina temperatura assolirà una peça de ferro de 5 kg que es troba a 20 °C, si se li subministren 20.000 cal?

41. Hem tardat 5 dies i 2 hores a fer una ruta de 384 km amb bicicleta, pedalant 6 h al dia. a) Quants quilòmetres vam recórrer cada dia?

b) Si pedalem 5 h al dia, quants dies necessitarem per fer 600 km?

c) Quant pesa una peça de ferro si han calgut 15.750 cal per augmentar-ne la temperatura 60 °C?

47

UNITAT 2 » PROBLEMES ARITMÈTICS

» OBSERVA, RAONA I RESOL 1. ÍNDEX DE VARIACIÓ

Una moto costava 2.320 € el mes d’agost. A l’octubre es va apu­ jar fins a 3.248 € i al gener es va abaixar fins a 2.436 €. a) Calcula l’índex de variació (Iv) i el percentatge de pujada i baixada en cada canvi de preu. b) Troba l’índex de variació to­ tal.

a) Primer canvi: 2.320 . Iv = 3.248 → Iv = 3248 = 1,4 2320 1,4 = 1 + 0,4. Correspon a un augment del 40 %.

Segon canvi: 3.248 . Iv = 2.436 → Iv = 2 436 = 0,75 3248 0,75 = 1 – 0,25. Correspon a un descompte del 25 %. b) Índex de variació total = 1,4 . 0,75 = 1,05 1,05 = 1 + 0,05. Correspon a un augment del 5 %.

Fes-ho tu Troba l’índex de variació d’una quantitat que disminueix un 40 % i augmenta un 120 %. És un augment o una disminució?

2. REPARTIMENTS INVERSAMENT PROPORCIONALS

Es reparteixen 5.000 entre els tres guanyadors d’un concurs de manera inversament proporcio­ nal al nombre d’errades que va cometre cada un. Si el primer va cometre 2 errades, el segon 3 i el tercer 5, quant correspon a cada un?

Repartir de manera inversament proporcional a 2, 3 i 5 és el mateix que repartir de manera directament proporcional a 1/2, 1/3 i 1/5.

1 + 1 + 1 = 31 2 3 5 30 Al primer li corresponen 1 : 31 = 15 del total; al segon, 1 : 31 = 10 , 3 30 31 2 30 31 i al tercer, 1 : 31 = 6 del total. Calculem el que s’emporta cada un: 5 30 31 15 Primer: . 5.000 = 2.419,35 € Segon: 10 . 5.000 = 1.612,90 € 31 31 Tercer: 6 . 5.000 = 967,74 € 31 Fes-ho tu Reparteix 10.000 € de manera inversament proporcional a 8, 10 i 12.

48

PROBLEMES ARITMÈTICS « UNITAT 2

» EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES Practica Aproximacions i errors

1.

Escriu amb dues xifres significatives aquestes quantitats i valora l’error comès en cada aproximació: a) Nombre de vots emesos en unes eleccions: 4.392.891.

b) Nombre de vots obtinguts per un partit polític: 193.246.

e) Audiència d’un programa de televisió: 2.400.000 persones.

En quina d’aquestes aproximacions es comet un error relatiu més petit?

Percentatges

3.

Calcula mentalment:

a) 20 % de 340 → c) Sou anual d’un treballador: 42.121 €.

b) 2,5 % de 400 → c) 75 % de 4.000 →

d) Preu d’un equip de música: 3.246 €.

d) 150 % de 200 → e) 60 % de 250 →

e) Mida d’un microprocessador: 43,257 nanòmetres.

f ) 12 % de 12 →

4. f ) Superfície d’una targeta SIM: 4.620,68 mm2.

2. Compara l’error absolut comès en les aproximacions següents: a) Altura d’un arbre: 3,58 m.

Quin percentatge representa?

a) 120 de 400 →

b) 25 de 500 →

c) 45 de 150 → b) Distància de casa meva al gimnàs: 1,5 km. d) 21 de 350 → c) Longitud d’una etapa ciclista: 98 km. e) 294 de 840 → d) Preu d’un pis: 240.000 €.

49

UNITAT 2 » PROBLEMES ARITMÈTICS

5.

Troba, en cada cas, la quantitat inicial x, com en l’exemple: • 120 % de x = 450 → 1,2x = 450 → x = 450 : 1,2 = 375 a) 28 % de x = 98 →

8.

b) 15 % de x = 28,5 →

9.

6.

b) El 25 % del 20 % →

Calcula el valor de x, com es fa en l’exemple: • x % de 320 = 48 → 48 : 320 = 0,15 → x = 15 %

a) x % de 300 = 60 →

b) x % de 60 = 59,4 →

c) x % de 1.600 = 720 →

Quin percentatge d’augment o de disminució correspon a aquests índexs de variació? a) 1,54 → b) 0,18 → c) 0,05 →

d) 2,2 →

e) 1,09 →

f ) 3,5 →

Quin percentatge és? a) El 40 % del 40 % → c) El 30 % del 120 % → d) El 150 % del 20 % →

10.

Calcula, en cada cas, la quantitat que hi falta: quantitat inicial

variació percentual

850

↑ 18 %

4.500

↓ 48 %

75

↑ 110 %

quantitat final

5.600

4.592

326

603,1

d) x % de 98 = 107,8 →

↑ 32 %

165

↓ 0,8 %

4.140

7.

Resol: a) Augmenta 60 en un 25 %. →

b) Augmenta 250 en un 40 %. →

11. Relaciona fraccions, decimals (índexs de variació) i percentatges: fracció

c) Disminueix 380 en un 10 %. →

decimal percentatge

d) Disminueix 300 en un 5 %. →

e) Disminueix 400 en un 90 %. →

50

13/20 0,38

!

24,8

1,15

!

13,6

PROBLEMES ARITMÈTICS « UNITAT 2

Resol problemes bàsics

Repartiments proporcionals

Percentatges

16.

12.

En un partit d’handbol, una jugadora A ha anotat 2/5 de 30 intents; una altra, B, 6 de 16, i una tercera, C, el 36 % de 25 intents. Quants gols ha marcat cada una? Quin percentatge de gols respecte del total ha anotat cada una?

Entre l’Anna, la Berta i la Carla han cobrat 900 € per repartir publicitat. Si l’Anna va repartir 150 fullets, la Berta 250 i la Carla 200, quant toca a cada una?

17.

13.

El preu d’un videojoc es va apujar un 28 % i després es va abaixar un 30 %. Si el preu inicial era de 58 €, calcula l’índex de variació i el preu final.

Per omplir una piscina de 42.000 L, s’utilitzen tres mànegues els cabals de les quals són 240 L/min, 360 L/min i 480 L/min. Quina quantitat d’aigua ha aportat cada una?

Interès compost

14.

En quant es convertirà un capital de 5.000 € col·locat al 4,2 % anual durant tres anys?

Barreges

18.

15.

En un celler es barregen 7 hL de vi d’alta qualitat que va a 450 € l’hectolitre amb 11 hL de vi de qualitat inferior que va a 280 €/hL. Quin preu tindrà el litre del vi resultant? (Aproxima fins a les dècimes i digues l’or­dre de l’error comès.)

En quant es transformarà un capital de 28.500 € col·locat al 0,4 % mensual durant 15 mesos?

51

UNITAT 2 » PROBLEMES ARITMÈTICS

Mòbils

19.

Un autobús surt de A a 105 km/h. Mitja hora més tard un cotxe surt de B a 120 km/h. La distància entre A i B és de 300 km. Calcula la distància que recorrerà cada un fins que es creuin.

23.

S’han abocat 3 litres d’aigua, a 20 °C, en una olla que contenia 5 litres d’aigua a 60 °C. Quina temperatura té ara l’aigua de l’olla? Quina temperatura tindrà si hi afegim, a més, 2 litres a 50 °C?

24.

Afegim 0,5 L d’alcohol de 50° a 0,75 L d’alcohol de 80°. Quina concentració tindrà la barreja?

20. Un camió surt d’una determinada població a una velocitat de 90 km/h. Cinc minuts més tard surt una moto, a 120 km/h, que el persegueix. Quant temps tardarà la moto a atrapar el camió?

25.

En repartir un premi entre tres germans d’una manera directament proporcional a les seves edats (8, 10 i 12, respectivament), al gran li corresponen 1.344 €. Calcula els diners que corresponen al mitjà i al petit.

Proporcionalitat composta

21. En una cadena de muntatge, 17 operaris que treballen 8 hores al dia munten 850 aparells de ràdio a la setmana. Quantes hores diàries hauran de treballar la pròxima setmana per atendre una comanda de 1.000 aparells, tenint en compte que s’afegiran al grup tres treballadors?

Resol problemes 22.

Al febrer, el preu d’un bitllet d’avió es va abaixar un 24 %, però al març es va apujar un 28 % i va passar a costar 327 €. Quin era el preu inicial? Quin percentatge de descompte o d’augment em van fer?

52

26.

Tres germans es reparteixen una herència de 2.820 € de manera que, per cada cinc euros que rebi el més gran, el mitjà en rebrà quatre i el petit, tres. Quina quantitat s’emporta cada un?

27.

L’any 2006 van saltar les alarmes sobre la disminució de la població de tonyines després de dècades de sobrepesca. Els experts van estimar que, des del 1950, s’havia reduït un 68 %. En quin percentatge hauria d’augmentar la població que hi havia en aquell moment per tornar als nivells de 1950?

PROBLEMES ARITMÈTICS « UNITAT 2

28.

Resol:

a) Si l’aresta d’un cub disminueix un 20 %, en quin percentatge disminueix el seu volum?

És el teu torn 31.

Cert (C) o fals (F)? a) Si el preu d’un article augmenta un 40 % i després un 60 %, el preu es duplica. b) Si una quantitat augmenta un 200 %, es triplica. c) Si a 35 hi afegiu el 25 %, obteniu 47,5.

b) Q uant ha de disminuir l’aresta d’un cub perquè el seu volum disminueixi un 50 %?

c) S i l’aresta augmenta un 50 %, quant augmenta el volum del cub?

d) El 150 % del 50 % és el 200 %. e) Si la quota anual d’un club esportiu era de 360 € i ha passat a ser de 414 €, l’han apujat un 115 %. f ) S i unes accions baixen un 20 % i pugen un 25 % i unes altres pugen un 20 % i baixen un 25 %, el seu preu final no varia en cap dels dos casos. g) S i el pressupost d’un club ha passat de 8 ∙ 107 a 7 ∙ 106, ha baixat més d’un 90 %.

32.

Observa les imatges següents i proposa l’enunciat d’um problema. Després, resol-lo:

29.

En Miquel vol aplicar un herbicida a la seva finca. Sap que ha d’afegir aigua al producte, de manera que tingui una concentració del 5 %, com a mínim, perquè sigui eficaç. Barreja 1/2 litre d’herbicida amb 5 litres d’aigua i comença a aplicar-lo.

Quan ha gastat 3 litres de la barreja, s’adona que no en tindrà prou per a tota la finca i hi afegeix 2 litres d’aigua. Tindrà la concentració adequada en tot moment?

255 € sense IVA

240 € Rebaixat!

33.

30. Què és millor: invertir 5.000 € al 4,2 % durant 2 anys o invertir la mateixa quantitat al 0,4 % mensual durant 20 mesos?

Al supermercat compres un batut de 330 mL que conté el 15 % de fruita i el 10 % de llet. Quan arribes a casa t’adones que a la nevera en tenies la meitat d’un altre d’igual que havies comprat ahir. Decideixes barrejar el contingut dels dos batuts en una ampolla per emportar-te-la d’excursió. Raona si el tant per cent de fruita i llet que diu l’etiqueta es conservarà en la barreja que has fet.

53

UNITAT 2 » PROBLEMES ARITMÈTICS

» TALLER DE MATEMÀTIQUES » LLEGEIX I COMPRÈN En Samir i l’Abdul es dirigien en camell a Bagdad, i encara els faltaven dos dies per arribar-hi. Pel camí van coincidir amb un altre viatger, en Berkan, que també anava a Bagdad.

Després de diverses hores de camí, van decidir aturar-se al costat d’una font per refrescar-se, descansar i menjar una mica. En Samir va treure 5 pans i l’Abdul, 3 i en Berkan va confessar, una mica avergonyit, que no portava res per menjar. Els seus companys de viatge van compartir de bon gust amb ell el que tenien, i d’aquell pa en van anar menjant tots la mateixa quantitat en les successives parades que van fer fins a arribar a Bagdad.

En entrar a la ciutat, abans d’acomiadar-se, en Berkan va mostrar 8 monedes d’or als altres dos i els va dir: – Heu estat molt generosos de compartir amb mi la vostra amistat i el vostre pa. Vull compensar-vos amb aquestes monedes. I crec que el més just és que cada un se’n quedi tantes com pans ha aportat als àpats comuns: 5 per a en Samir i 3 per a l’Abdul.

• Què et sembla la manera de repartir les monedes que proposa en Berkan? Creus que és justa?

En Samir, que era un bon matemàtic, li va replicar: – Permet-me que et rectifiqui. Hi havia 8 pans i cada un hem menjat 8/3 de pa. Els 8/3 que s’ha menjat l’Abdul provenien dels seus 3 pans, i encara n’ha sobrat 1/3, que t’has menjat tu, Berkan. Els 8/3 que m’he menjat jo provenien dels meus 5 pans, i encara n’han sobrat 7/3, que també t’has menjat tu. Per tant, dels 8 trossos d’1/3 que t’has menjat, 1 provenia de l’Abdul i 7, de mi. El més just seria, doncs, que l’Abdul agafés 1 moneda i jo, 7.

• Què et sembla la manera de repartir les monedes que proposa en Samir? Quin dels dos repartiments és el més just?

Tant en Berkan com l’Abdul van estar d’acord amb el raonament d’en Samir. Però aquest, somrient, va afegir: – Amic, hem compartit el pa amb tu per amistat, i això no es paga. Guarda’t les monedes i procura portar queviures en el teu pròxim viatge.

I això va fer en Berkan, però aquell dia va demanar als seus amics que l’acompanyessin a casa seva, on els va oferir un opulent dinar.

(La idea d’aquest problema està extreta del llibre L’home que calculava de Malba Tahan.)

54

PROBLEMES ARITMÈTICS « UNITAT 2

POSA’T A PROVA 1. Indica l’índex de variació i la quantitat final en cada cas: a) 300 disminueix un 12 % i després un 35 %.

5. Dues pales carregadores que treballem 10 hores

dià­ries fan un desboscament en 9 dies. Quant tar­ darien a fer aquesta feina tres pales a un ritme de 12 hores al dia?

b) 1 .520 disminueix un 90 % i després augmenta un 150 %.

2. Indica el percentatge d’augment o de disminució

que correspon a cada un dels següents índexs de variació: a) 1,07 →

6. Barregem 20 kg de farina d’1,25 €/kg amb 35 kg d’una altra farina de 0,75 €/kg. Quin serà el preu de la barreja?

b) 0,78 → c) 2,2 →

3. Després d’una pujada d’un 3,5 %, un pis costa 258.600 €. a) Quin era el preu abans de la pujada?

7. Dos trens surten a les 8.00 h del matí de dues ciu-

tats, A i B, que disten 780 km l’una de l’altra. Si el que surt de A cap a B circula a una velocitat de 110 km/h i el que surt de B cap a A va a 90 km/h, a quina hora es trobaran?

b) Si expresses el resultat amb dues xifres significatives, què pots dir de l’error absolut comès?

8.

4. El preu d’un telèfon mòbil s’ha apujat un 20 % i

després s’ha abaixat un 25 %. Si l’he comprat per 135 €, quin era el seu preu inicial?

L’Anna, en Marc i en Lluís han repartit fullets publicitaris i han cobrat entre tots tres 900 €. Si l’Anna ha repartit 150 fullets, en Marc 250 i en Lluís 200, quants diners ha de rebre cada un?

55

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

SITUACIÓ D’APRENENTATGE 2

ESTALVI AMB PREMI Els pares de l’Anna i en Marc volen que els seus fills estalviïn. Per aconseguir-ho, arriben a un acord amb ells: els diners que tinguin a la guardiola al llarg d’un mes s’incrementaran en un 10 %.

L’Anna decideix que deixarà els seus 100 € durant el primer mes i, així, es convertiran en 110 € gràcies a l’augment. Durant el segon mes, conserva aquesta suma i aconsegueix un total de 121 €. És a dir, l’Anna manté a la guardiola tant el seu capital com els interessos generats.

En Marc conserva els seus 100 euros a la guardiola, però es guarda els interessos mensuals en el seu moneder per si els necessita gastar.

Quin sistema d’estalvi faríeu servir? Per què?

En què invertiríeu els diners estalviats? Com afrontaríeu el pagament d’una despesa mensual?

ANEM PAS A PAS

1. Si en Marc no ha gastat res del que té en el seu moneder, quants diners tindrà cada un dels germans al cap de 4 mesos?

2. Al cap de 4 mesos, els pares, per continuar fomentant l’estalvi, reparteixen 200 € de forma directament proporcional als diners estalviats. Quants diners corresponen a cada un?

3. I si, per compensar les seves diferències, haguessin fet el repartiment de manera inversament propor­ cional a les quantitats estalviades per cada un?

56

RESOLEM

4. Quants mesos necessita cada germà per aconseguir els 190 € que costa un

llibre digital?

5. Després d’un any, els pares de l’Anna i en Marc consideren que ja han fomentat prou l’estalvi i decideixen suspendre l’incentiu. Quants diners té aleshores cada germà?

6. A partir d’aquest moment, l’Anna fica a la guardiola 10 € de la seva paga cada mes,

mentre que en Marc hi fica 5 €. L’Anna vol fer classes de guitarra, que li costen 240 € al mes. En Marc, per la seva banda, vol fer-se soci d’una entitat esportiva que té una quota mensual de 150 € al mes. Considereu raonables aquestes opcions? Quina solució proposeu per fer front als pagaments?

PENSEM-HI

7. Quin sistema d’estalvi faríeu servir? Per què?

R eflexioneu sobre l’ODS 12: Pr oducció i consum resp onsables.

Treballeu en equip.

Què heu apr ès?

Penseu-hi!

8. En què invertiríeu els diners estalviats? Com afrontaríeu el pagament d’una despesa mensual?

57

a n o d e d lls

u b Am

e d s e r b m o i s Llum

l a i c i f i t r a a i c n è g i l · l e la int Verónica Bolón Canedo

t enormeDes de 1970, la IA ha crescu at de dament gràcies a la gran quantit la capades disponibles, a l’augment de s i als at de còmput dels ordinador cit testimonis d’aven· tècniques com l’aprenentatde s ço Al llarg de la història hem estat en av blaven màgia. Avi· i l’aprenentatge profund c ços que, en el seu moment, sem àti tom au ge · per fons que ens ons que són capaços de volar, telè són a (deep learning). lar en temps real amb persones que

qualsevol Arthur C. Clarke deia que indistingitecnologia prou avançada és ble de la màgia.

meten par quotidiana. Ja o coets espacials La IA s’ha colat en la nostra vida milers de quilòmetres de distància moment actual, és fa més de vint anys que va arribar a les nostres ca· que ens porten a l’espai. I, en el nt. Utilitzem à collint avenços la Roomba, l’aspiradora intel·lige ses la intel·ligència artificial la que est ni inassolible de desbloquegem el inimaginables i perseguint el som aquesta tecnologia cada cop que n Netflix ens reco· replicar la intel·ligència humana. nostre telèfon amb la cara o qua intel· artificial no és mana contingut personalitzat. A poc a poc, la No obstant això, la intel·ligència , fins remunta a la dè· ligència artificial va conquerint habilitats que quelcom nou. El seu origen es Alan Turing va ara, semblaven exclusives dels humans. cada de 1950, quan el matemàtic que poguessin xer Libratus, suggerir la idea de crear màquines El 2017, per exemple, va aparèi van fics ntí cie os ers div s, any ells vèn· pensar. Durant aqu intel·ligent que va aconseguir a tem sis · un cre per es tm ori alg i assolir començar a treballar en teories llors jugadors de pòquer. Per mi · els tas cer ar litz rea de s aço cap d’aprendre a ar programes que fossin ncia aquesta proesa, Libratus va haver igè el·l int en eix uer req ent alm ques que habitu no li havia dit que ció i l’apre· fer catxes, encara que ningú ica nif pla la , ent nam rao el com humana, ada de 1960, la IA calia mentir. nentatge. Cap a mitjans de la dèc gra· al punt de poder any, DeepMind va llançar el pro ja havia progressat bastant, fins teix ma El olien problemes nseguir un desenvolupar programes que res haZero, que en 24 hores va aco Alp ma · l’en 0, ada de 197 acs, els escacs matemàtics complexos. En la dèc ell de joc sobrehumà en els esc niv · pro s: ert exp es pions del món focament va derivar cap als sistem japonesos i el go en derrotar cam ent alm usu que s ja que grames dissenyats per fer tas mes d’intel·ligència artificial que gra pro es altr i , zat alit lt especi ionals. Aquest re· requereixen un coneixement mo comptaven amb resultats excepc ortant perquè, a com diagnosticar malalties. sultat va ser particularment imp va aprendre de diferència d’altres programes, no ades i estratègies partides humanes i feia servir jug siderada un signe mai vistes, cosa que pot ser con de creativitat.

78

L’última gran fita és la intel·ligència artificial ge· nerativa, que és darrere de ChatGPT o programes de generació d’imatges com Dall-E. La irrupció de Chat · GPT va aconseguir sorprendre tothom en el camp de la IA, i aviat es van descobrir les seves increïbles ha· bilitats per escriure textos o programar un codi font.

Potser el que no tothom sap és que aquests sistemes tan avançats comporten un gran consum energètic .

Abans que puguem fer ser· vir un programa intel·ligent com ChatGPT, ha hagut de passar per un procés d’ap rene ntat ge que es coneix com a entrenament, en què habitualment se li pre· senten milions de dades perquè hi reconegui pa· trons. Per exemple, perquè un sistema aprengui a distingir entre gossos i gats, caldrà proporcionarli moltes imatges de gossos i gats. Doncs bé, s’estima que una única sessió d’entrenament de ChatGPT consumeix la mateixa energia que 126 llars da· neses durant tot un any. A aquest consum cald ria afegir-hi el dels grans centres de dades on aque sts programes operen, que, a més de la seva despesa energètica, també requereixen quantitats ingents d’aigua per a la seva refrigeració.

La paradoxa actual és que la intel·ligència artificial pot ajudar-nos a solucionar problemes derivats del canvi climàtic però, alhora, també és part del problema degut al seu gran consum energètic.

Finalment, un altre problema conegut dels sis· temes d’IA actuals és que sovint apareixen casos en què aquests sistemes es comporten de forma sexis ta.

Com que els sistemes intel·ligents són creats per persones, sembla inevitable que els biaixos humans es transmetin als algoritmes o a través de les dades.

Amazon va haver de retirar el seu algoritme per a la contractació de personal en descobrir que era discriminatori i només considerava candidats masculins. El camí per solucionar aquests biaix os no és fàcil, però és clar que cal disposar d’equips de desenvolupament diversos, que supervisin ex· haustivament els resultats obtinguts.

No obstant això, una de les raons que sembla que hi ha darrere del biaix de gènere en la intel·li· gència artificial és el problema de la bretxa de gè· nere. Actualment hi ha una creixent escassesa de dones que triïn i desenvolupin professions cien ti· ficotècniques. Graus com Enginyeria Informàtica tenen, any rere any, una taxa de dones matricula · des que ronda el 12 %.

Segons un estudi de la Unesco, les dones representen només el 10 % de les persones que treballen en l’aprenentatge automàtic.

Mentre els homes continuïn dominant aquest espai, aquesta disparitat només servirà per perp e· tuar i exacerbar la desigualtat de gènere, ja que els biaixos no reconeguts es replicaran i s’incorpora· ran als algoritmes d’IA.

Per resoldre aquesta paradoxa ha sorgit el con· cepte d’algoritmes verds, amb un doble vessant: d’una banda, es tracta d’algoritmes d’IA que con· tribueixen a la sostenibilitat i a combatre el canv i climàtic i, de l’altra, fan necessari trobar el cam í perquè siguin més sostenibles i permetin redu ir l’empremta de CO dels actuals.

2

Verónica Bolón Can

edo és enginyera informàtica i doctora en Informàtica per la Unive rsitat de la Corunya (UDC). Actualment exerceix de professora titular en el Departament de Ciències de la Com putac ió i Tecnologies de la Informació de la UDC i d’investig adora al Centre d’Investigació TIC (CITIC). És acadèmica de número de l’Acadèmia Jove d’Espanya i acadèmica corresponent de la Reial Acadèmia de Ciències Exactes, Físiques i Naturals d’Espanya. Cal destacar la seva apos ta pel foment de la vocació cientificotecnològic a entre les nenes.

79