Cap a 4t d'ESO. Matemàtiques

Cap a 4 t d’ESO

Refresca el que has ap r è s a 3r d’ESO

MATEMÀTIQUES

Què trobaràs en aquest quadern?

Refresca els teus coneixements de càlcul, àlgebra, geometria, mesura, estadística i probabilitat d’una manera pràctica i amena per començar el pròxim curs amb bon peu.

Els continguts s’agrupen en sis setmane s de cinc dies . Per facilitar-te la gestió del temps , cada setmana s’especifiquen les pàgines que pots fer diàriament.

GUANYADORA

1.

Cada setmana comença amb un enigma . El sabràs resoldre?

I, per saber com vas de matemàtiques, resol les activitats de les pàgines següents.

I, a més a més, practica una mica més amb les seccions El Repte , Crea el teu propi problema! i Sense calculadora .

I, si algun contingut et costa una mica, no et preocupis: et donem pistes !

Experimenta cada setmana el desafiament d’una nova situació d’aprenentatge !

I, quan et vingui de gust, pots llegir les curiositats o fer els passatemps que trobaràs en el Calaix de sastre (en les últimes dues pàgines de cada setmana).

El solucionari és al final del quadern. Utilitza’l correctament i procura de no mirar-lo fins que no hagis fet les activitats.

serà quan

de juliol serà el dia 15 de juliol. El dia del mes de juliol en què la cursa es farà més tard serà quan el mes comenci en divendres; aleshores el tercer dijous del mes de juliol serà el dia 21 de juliol.

juliol comenci en dijous; aleshores el tercer dijous del

2DIA Pàgines 7 a 9 1. Exercici resolt. 2. Exercici resolt.

3. Per cinc entrepans haurà de pagar 12 €, per vuit entrepans, 19,20 €. 4. La Noèlia haurà de cobrar 1.600 €; l’Ivan, 800 €, la Magda, 1.200 €. 5. Tardarà 1,5134 10 h, és a dir, 1,51 10 h 24 h/dia = 630,58 dies. 6. Trigarà a omplir-se 30 5 / 25 = 18 h. 7. Hauria hagut de treballar 8 hores cada dia. 8. a) El litre de llet

2 4 5 3

EL CEL NOCTURN

Si mireu cap allà, podreu distingir l’Ossa Major i l’Ossa Menor.

Isimireuenaquella direcció,veureula constel·lacióde Cassiopea.

HO RESOLS?

Per trobar l’Ossa Menor, uneix el 121 amb els nombres capicues següents. Tingues en compte que la constel·lació té 7 estrelles i que les quatre darreres formen un quadrilàter.

Per trobar l’Ossa Major, uneix el 1.125 amb els nombres senars següents. Tingues en compte que la constel·lació té 7 estrelles i que les quatre darreres formen un quadrilàter.

Per trobar Cassiopea, uneix el 7 amb els quatre nombres primers següents.

FRACCIONS, DECIMALS I PROPORCIONALITAT

1. Fes aquestes operacions amb fraccions:

a)

2. Expressa aquests nombres en forma de fracció, sempre que sigui possible. No t'oblidis de simplificar la fracció resultant.

a) 2,36 = 236 100 = 59 25

b) 2,363636... = 2,36 = 236 – 2 99 = 234 99 = 78 33

c) 2,4515151... = 2,451 =

d) 3,4545454545... =

e) 2,862 = f) 6,924242424... = g)

3. Un equip ciclista júnior participa en una cursa de relleus de 540 km. El primer ciclista fa una quarta part del recorregut, el segon en fa una tercera part, i el tercer, la resta de la cursa. Quants quilòmetres recorre cada ciclista?

4. La família de la Carme han comprat un cotxe per anar de vacances. Els fan un descompte del 15 %, de manera que, un cop aplicada la rebaixa, hauran de pagar 15.000 €.

a) Quant els hauria costat el cotxe sense el descompte?

b) Un cop aplicat el descompte, cal afegir-hi un 21 % d’IVA. Quant hauran de pagar finalment?

1 2 4 5 3

5. Escriu en notació científica els nombres següents:

a) 0,000000000003254 = 3,25 · 10–12

b) 3254000000000 = 3,25 · 1012

c) 581.000.000.000 =

d) 0,00091 =

e) 0,00000000307 =

f) 628.100.000.000 =

6. Fes aquestes operacions en notació científica:

a) 1,23 · 10–7 + 3,01 · 10–7 = 4,24 · 10–7

b) 3,00 · 1015 – 6,50 · 1015 = –3,50 · 1015

c) 3,50 · 103 · 8,25 · 104 = 2,887 · 108

d) 12,40 · 1015 : (2,20 · 103) = 5,64 · 1012

Notació científica

3,25689 · 1014

una sola xifra entera més gran o igual que 1 xifres decimals potència de 10

e) 2,00 · 104 + 6,00 · 104 =

f) 1,70 · 10–3 – 3,01 · 10–3 =

g) 3,20 · 103 · 0,20 · 107 =

h) 6,25 · 10–3 : (1,75 · 10–1) =

7. En el taller d’astronomia en què participen la Xènia, la Clara i la Marta, els han explicat que la sonda Mars Pathfinder que el 1996 va llançar la NASA per explorar Mart va trigar exactament 7 mesos a arribar-hi. Si va recórrer 58 milions de quilòmetres, a quina velocitat mitjana va anar la nau? Calcula la velocitat en km/h i en m/s, i expressa-la en notació científica; i suposa que tots els mesos són de 30 dies.

Cada any, el tercer dijous del mes de juliol es fa una cursa solidària amb una finalitat diferent. Argumenta quin dia del mes de juliol serà l’any en què la cursa es farà més d'hora i quin dia serà l’any en què es farà més tard.

1. Si dos camions poden carregar 7.000 kg de mercaderies, quants quilos poden carregar cinc camions?

En aquest problema hi intervenen magnituds que tenen una relació de proporcionalitat directa; per això, per resoldre’l, cal fer una regla de tres:

2 camions 7.000 kg

5 camions x kg { x = 5 · 7.000 2 = 17.500 kg

2. Si cinc treballadors tarden 8 h a descarregar un camió, quant tardaran a descarregar-lo dos treballadors?

En aquest problema hi intervenen magnituds que tenen una relació de proporcionalitat inversa; per això, per resoldre’l, es fa servir una regla de tres inversa:

5 treballadors 8 h

2 treballadors x h { x = 5 · 8 2 = 20 h

3. La Judit ha pagat 7,20 € per tres entrepans de pernil. Quant haurà de pagar si compra cinc entrepans? I si en compra vuit?

4. Tres amics han cobrat 3.600 € per dissenyar una aplicació i es volen repartir els diners de manera proporcional a les hores que hi ha treballat cadascun. La Noèlia ha treballat 8 h diàries en el projecte, l’Ivan 4 h diàries i la Magda 6 h diàries. Quant ha de cobrar cada un?

5. Una sonda espacial propulsada per un coet assoleix una velocitat de 15.000 km/h. Si la distància entre la Terra i Mart és de 2,27 · 108 km, quants dies tardarà el coet a arribar a Mart? (Expressa els càlculs en notació científica.)

6. La piscina del càmping on estiueja en Norman triga 30 hores a omplir-se si s'utilitza una mànega que subministra 15 L d'aigua per minut. Quan trigarà a omplir-se si es fa servir una mànega que proporciona 25 L d'aigua per minut?

2 4 5

7. La cooperativa VIULESTIU disposa d’una casa de colònies amb 40 lliteres i les vol canviar per unes altres de més resistents. L’encarregat de manteniment ha treballat 6 h diàries durant 4 dies per muntar-les. Si ha trigat el mateix temps a muntar totes les lliteres, quantes hores hauria hagut de treballar cada dia si les hagués volgut tenir llestes en 3 dies?

8. Per fer formatge, una grangera barreja 30 L de llet de vaca, que té un cost de producció de 0,54 € el litre, amb 20 L de llet de cabra, que té un cost de producció de 0,86 € el litre.

a) Quin és el cost de producció d’un litre de llet barrejada?

b) Amb la llet produïda, la grangera pot elaborar 5 kg de formatge. Quin és el cost de producció d’1 kg de formatge?

c) A quin preu ha de vendre el quilo de formatge per obtenir un benefici del 40 % respecte dels costos de producció de la llet?

9. En una fàbrica de cafè, 4 màquines exactament iguals envasen 6.400 paquets de cafè en 8 h de funcionament. Quantes hores hauran de treballar 6 màquines per envasar 12.000 paquets de cafè?

SUCCESSIONS

10. Indica el terme general i els cinc primers termes de la successió 2, 4, 6, 8, 10...

Una successió és un conjunt de nombres ordenats. Els termes de la successió 2, 4, 6, 8, 10... són a1 = 2, a2 = 4, a3 = 6, a4 = 8, a5 = 10…

El terme general de la successió és l'expressió matemàtica que permet trobar qualsevol terme de la successió a partir de la seva posició. En aquest cas és an = 2n

11. Expressa la successió 1, 1, 2, 3, 5, 8... en forma recurrent.

Una successió s’expressa en forma recurrent quan cada terme s’obté a partir dels termes anteriors; per tant, la successió 1, 1, 2, 3, 5, 8… s’expressa en forma recurrent així:

a1 = 1; a2 = 1; an = an–1 + an–2

12. Escriu, en cada cas, els deu primers termes de la successió:

a) –12, –9, –6, –3...

b) an = 3n – 5

c) a1 = –2; a2 = 5; an = 2an–2 + an–1

d) an = n2 – 3

13. Troba, en cada cas, el terme general de la successió:

a) –3, –1, 1, 3, 5...

b) –1, 2, 7, 14, 23...

c) 3, 0, –3, –6, –9... d) 5 3 , 6 4 , 7 5 , 8 6

14. Per comprovar la resistència del motor d’un 4 × 4, es fan 10 voltes a un circuit, de manera que cada volta es fa en 25 s menys que la volta anterior. La primera volta es fa en 635 s.

a) Quant tardarà, el 4 × 4, a fer la cinquena volta? I la desena?

b) El temps que tarda el 4 × 4 a fer les voltes ve donat pels termes d’una successió. Indica quin és el terme general d’aquesta successió de forma recurrent, en què n és el número de cada volta.

2

1. Troba el terme general de cada progressió aritmètica:

a) –  3 2 , –1, –  1 2 , 0

b) 4,2; 3,6; 3; 2,4…

c) a3 = –6; d = 3

d) a1 = 8; a4 = –7

4 5 3DIA

Progressió aritmètica

an = a1 + d · (n – 1), amb n ≥ 1

Sn = (a1 + an) · n 2

2. Troba la suma dels 30 primers termes de les progressions aritmètiques de l’activitat anterior:

a) S30 =

b) S30 =

c) S30 =

d) S30 =

3. Escriu el terme general de les progressions geomètriques que permeten caracteritzar aquestes situacions:

a) S’omple la piscina d’un hotel de manera que al cap d’una hora hi ha 5.200 L d’aigua. A partir d’aquest moment, cada hora s’hi afegeixen 300 L més. Quants litres hi haurà, a la piscina, al cap de n hores?

b) Un empresari fa cada dia una transferència de 500 € a un dels seus proveïdors per tal que aquest li enviï el material necessari per al seu negoci. L’empresari té actualment 25.000 € en el seu compte bancari. Quants diners hi tindrà al cap de n dies?

c) En Xavier té un dipòsit bancari de 10.000 € i cada any rep un 5 % d’aquesta quantitat inicial en concepte d’interessos. Quants diners tindrà en Xavier al cap de n anys?

5 % = 0,05 en tant per u

Progressió geomètrica

an = a1 · r n–1, amb n ≥ 1

Sn = a1 · (r n– 1) r – 1

En el cas que |r| < 1 : S∞ = a1 1 – r .

4. Troba el terme general de cada progressió geomètrica:

a) 3, 15, 75, 375...

b) –8, 4, –2, 1...

c) a1 = 500; a2 = 300

d) a1 = –1.000; a3 = –40

5. Troba la suma dels 10 primers termes de les progressions geomètriques de l’activitat anterior:

a) S10 =

b) S10 =

c) S10 =

d) S10 =

6. Observa la situació següent en què un augment o una disminució percentual es pot expressar com una progressió geomètrica:

El salari d’en Joan és de 1.200 € i, cada any, augmenta unl 5 %.

Per tant, el salari d’en Joan es pot expressar amb el terme general: an = 1.200 · (1 + 0,05)n–1 = 1.200 · (1,05)n–1

Fixa't en aquesta situació i escriu el terme general:

Un cotxe costa actualment 15.000 € i cada any perd el 15 % del seu valor

Quin és el valor del cotxe al cap de 5 anys?

1 2

7. El monitor del campus de natura en què s'ha inscrit en Pere aquest estiu explica quin és el paper de cada animal dins l'ecosistema. S’acosta a una finestra sense vidre i diu que una aranya triga 16 dies a construir-hi una teranyina i que cada dia en construeix el doble que la que ha construït el dia anterior. Finalment, els planteja aquesta pregunta: Quants dies trigarien dues aranyes iguals a construir una teranyina que tapés tota la finestra?

4 5 3

8. Uns excursionistes fan el camí de Sant Jaume. El primer dia el grup recorre 35 km, però, a causa del cansament acumulat, cada dia que passa el grup recorre una distància 0,95 vegades inferior a la del dia anterior.

a) Quants quilòmetres hauran fet després de caminar durant 10 dies?

b) El camí de Sant Jaume fa 730 km. El grup podrà fer tot el recorregut en 30 dies?

En cas negatiu, a quants quilòmetres de Santiago de Compostel·la es quedaran?

1. En Pep i els seus amics, aquest estiu, s’han proposat de travessar els Pirineus amb una bicicleta tot terreny. Com que no estan acostumats a afrontar aquest tipus de rutes, ho faran de forma progressiva: el primer dia recorreran 20 km i cada dia faran 5 km més que el dia anterior.

a) Quants dies trigaran a fer una etapa de 50 km?

b) El dia que facin l’etapa de 50 km, quina distància hauran recorregut en total?

2. Un grup d’amics a qui agraden els esports de risc fan servir una corda elàstica per fer salt de pont. La Carla s’ha llançat des d’un dels ponts més alts de Catalunya. La corda s’ha arribat a estirar 50 m en el primer salt. En els rebots següents, la corda s’ha estirat 7/8 parts del que s’havia estirat en el rebot anterior.

a) Quant s’ha estirat la corda després de 6 rebots?

b) Quants rebots farà la Carla abans que la corda s’estiri una longitud inferior a 20 m?

SENSE CALCULADORA

Completa aquesta piràmide tenint present que el valor de cada maó superior s'obté sumant el valor dels dos maons inferiors contigus.

1 2 4 5 3

LA REFORESTACIÓ

Una hectarea (ha) es la superficie que ocupa un quadrat de 100 m × 100 m.

Després del gran incendi que es va produir l’estiu del 2022 i que va afectar diversos municipis d’una comarca, les autoritats han decidit reforestar les 1.500 hectàrees que es van cremar.

Han acordat de reforestar el bosc amb alzines, ja que són arbres que creixen ràpidament. Per fer-ho han dividit el bosc en parcel·les d’1 ha i s’hi han plantat alzines en files i columnes, separades 20 m les unes de les altres i deixant un marge de 10 m respecte de la línia imaginària que delimita cada hectàrea, tal com es mostra en la figura adjunta.

1. Quantes alzines plantaran en total?

2. Cada alzina costa 70 €, sense l’IVA. Quant costaran totes les alzines? I si han d'afegir el 10 % d’IVA?

3. Els treballadors que participaran en la reforestació cobraran 20 € per cada hora de feina. Si s’han contractat 4 treballadors, que poden plantar 5 alzines cada hora entre tots, quantes hores de feina caldrà invertir per plantar totes les alzines? Quin serà el cost de la mà d’obra?

4. Es preveu que el cost total de la reforestació sigui de 3.500.000 €. Els ajuntaments dels municipis afectats per l’incendi es faran càrrec d’aquest cost de forma proporcional a la superfície afectada del bosc que pertany al seu municipi. La superfície afectada per l’incendi que pertany al municipi A és de 600 ha, la superfície afectada del municipi B és de 750 ha, i la resta pertany al municipi C. Quants diners haurà de pagar l’ajuntament de cada municipi?

5. L’any 2002 es va produir un altre gran incendi. Llavors, a més de reforestar el bosc, es van introduir senglars per tal d’aconseguir l’equilibri ecològic de la zona. Aquesta és la gràfica de l’evolucio de la població dels senglars en els darrers 20 anys.

a) Quants senglars es van introduir el 2002?

b) Quants n’hi havia el 2012?

c) Per quant es va multiplicar la població en aquests 10 anys?

d) Què creus que va passar a partir del 2012, per fer que la població de senglars deixés de créixer?

e) Què diries que va passar amb els senglars a partir del 2022?

L’AUTOPISTA

L’empresa AUTOSTRADA s’encarrega del manteniment de l’autopista més llarga del país, que fa 800 km de longitud. El km 0 d’aquesta autopista el trobem a la localitat de la Jonquera.

Al llarg de tota l’autopista hi ha una àrea de servei cada 40 km. La primera àrea de servei està situada, precisament, a la Jonquera, i les altres àrees es numeren a partir d’aquesta.

1. Escriu el terme general a n de la successió que indica el punt quilomètric en què es troba l’àrea de servei n

2. Omple la taula següent amb el número d’ordre de l’àrea de servei o el punt quilomètric en què està situada (pots fer servir el terme general de la successió que has escrit en l’apartat anterior):

3. Aquest diagrama mostra els milers de vehicles que van passar per un dels peatges la setmana passada. Quants vehicles van passar pel peatge de dilluns a divendres? I el cap de setmana?

Nre. de vehicles (en milers)

dilluns dimartsdimecres dijousdivendres dissabtediumenge

4. Quin percentatge de vehicles respecte del total representen els vehicles que van passar pel peatge el cap de setmana?

5. Els vehicles que passen pel peatge han de pagar 2,10 €. Quina és la diferència, pel que fa a les recaptacions, entre el dia que passen més vehicles pel peatge i el dia que n’hi passen menys?

6. L’empresa AUTOSTRADA emet uns bons a 10 anys per valor de 30 milions d’euros i ofereix un interès compost del 5 % anual. La progressió geomètrica Cn = C0 · 1,05n mostra el valor d’un bo al cap de n anys en funció del capital inicial C0 invertit. Quant pagarà l’empresa als inversors en acabar-se la vigència dels bons?

7. L’empresa vol premiar aquells conductors que facin més quilòmetres per l’autopista. Ha decidit cobrar 2 € per cada 10 km de recorregut. Els primers 10 km cobrarà els 2 € íntegrament, però a partir d’aquí farà un descompte del 10 % respecte del preu que ha cobrat en els 10 km anteriors. Expressa aquesta situació en forma de progressió geomètrica i indica a què fan referència an i n.

8. Quant pagarà un conductor per un trajecte de 20 km? I per un de 150 km?

MISSATGES EN CLAU

1

La criptografia consisteix a convertir un text en un missatge enigmàtic que només pot comprendre la persona que en té la clau. Al llarg de la història, s’han dissenyat nombrosos siste- mes de claus i codis per garantir la confidencialitat dels mis- satges. T’atreveixes a desxifrar alguns dels codis més famosos?

El codi Atbash és un mètode de xifratge hebreu. Pertany a la criptografia clàssica i és un tipus de xifratge per substitució. Consisteix a substituir la primera lletra de l’alfabet per la darrera, la segona per la penúltima, i així successivament.

a) A la pregunta «Què farem aquesta tarda?», la Petra respon amb aquest missatge xifrat:

«ZMRIVN Z OZ KRHXRMZ ZNY VOH NVFH XLHRMH»

Què diu aquest missatge?

b) Ara és el teu torn, codifica aquest missatge amb el codi Atbash:

«El meu gelat preferit és el de llimona.» Original Clau

2

El quadrat de Polibi és un sistema en què les lletres es col·loquen en una matriu de 5 × 5, i cada lletra està representada per dos nombres, corresponents a la fila i la columna en què es troba. Com que l’alfabet té 26 lletres i la matriu té 25 caselles, n’hi ha dues que es col·loquen en la mateixa casella. Poden ser la I i la J, com en aquest cas, o unes altres.

a) A la pregunta «Com has anat a París?», la Joana respon amb aquest missatge xifrat:

«2315 51241144241144 113212 1531 44421533 1411314411 511531341324441144»

Què diu aquest missatge?

b) Ara és el teu torn, codifica aquest missatge amb el quadrat de Polibi:

«Aquest estiu aniré al poble dels meus avis.»

SUMES A LA PLATJA

Quin nombre correspon a cada símbol?

EL PROBLEMA DELS 9 PUNTS

1

Uneix aquests 9 punts amb 4 línies rectes sense aixecar el llapis del full i sense passar dues vegades pel mateix lloc.

SOLUCIONARI

Refresca el que has après a 3r

ELS NOMBRES I EL CÀLCUL DEIXARAN DE SER UN PROBLEMA

En aquest quadern trobaràs activitats ben diverses que et serviran per practicar, repassar i millorar tot allò que has après i preparar - te per al curs vinent.

Altres propostes per continuar repassant: