Cap a 4t d'ESO. Matemàtiques

a ap

C Refre

4t d’ESO

après a 3r d’ s a h ESO e sca el qu

À M E T A M S E U Q I T

Què trobaràs en aquest quadern?

Refresca els teus coneixements de càlcul, àlgebra, geometria, mesura, estadística i probabilitat d’una manera pràctica i amena per començar el pròxim curs amb bon peu.

1

DIA

Màxims 25

cre ixe nt

20 15

2

DIA

10

2

DIA

DIA

PI STA!

FUNCIÓ CONTÍNUA

GRÀFIQUES I FUNCIONS LINEALS

ent reix

TERCERA SETMANA

L’ESTRATÈGIA GUANYADORA

5 0

1

2

3

4

5

6

7

Mínim

8

9

10

3

DIA

DIA

3

Mmm. Aquest joc demana una bona estratègia.

1. Indica, en cada cas, els intervals de creixement o decreixement, els màxims i els mínims, si la funció és contínua, i els punts de discontinuïtat en cas que no sigui contínua: a)

Comença tu i, si ho fas bé, segur que guanyaràs.

4

DIA

DIA

torns, Posem-les totes al centre i, per qui agafem-ne 1, 2 o 3. Guanyarà s’emporti l’última bala.

b) 7

DIA

5

y

4

5

3

4

2

3 –5

1 –2

0 –1 –1

5

1

2

–3

y

5

6

DIA

A què podem jugar amb les bales?

4

TERCERA SETMANA

1

dec

Els continguts s’agrupen en sis setmanes de cinc dies.

Per facilitar-te la gestió del temps, cada setmana s’especifiquen les pàgines que pots fer diàriament.

–4

–3

–2

0

–1

1

2

3

–1 1

2

3

4

5

6

7

4

5 x

–2

8 x

–3

–2

–4

–3

–5

2. Dibuixa la gràfica de les funcions següents: a) Una funció contínua que té un màxim en el punt (2, 4). b) Una funció discontínua en x = –2 i x = 2 que té un mínim en (0, –3).

Cada setmana comença amb un enigma.

El sabràs resoldre?

HO RESOLS? Què ha de fer el Jordi per guanyar la partida?

36

37

I, per saber com vas de matemàtiques, resol les activitats de les pàgines següents.

c)

{

5x – 2y = 8

(Les solucions són x =

a) Quant s’ha estirat la

5. Calcula la quantitat de plàstic neces sària per fabric la forma de la ar una carpa com base és quadr ada i que a cada la de la imatge. costat hi ha una Observa que petita franja rectan gular.

2,24 m

5

(Té infinites solucions.)

4m

5

{

DIA

DIA

DIA

corda després de 6 rebots?

la Carla abans b) Quants rebots farà tud inferior a 20 m?

4

que la corda s’estiri una

5

longi-

SENSE CALCULADORA

vatenint present que el Completa aquesta piràmide dels s'obté sumant el valor lor de cada maó superior . dos maons inferiors contigus

EL REPTE!

tat comença de 24 m de profundi fins al fons d’un pou Un cargol que ha lliscat ritme següent: el rastre de la llum al diaris. pel pou a raó de 3 m veu la llum del Sol, puja • Durant el dia, com que s’atura i rellisca 2 m cap no veu la llum del Sol, • Durant la nit, com que avall.

Quants dies tardara a

3

4

que dos siguin equivalents. Recorda aquest parell de sistemes 2. Troba el valor de m i n perquènts quan tenen la mateixa solució per a totes les incògnites. són equivale sistemes d’equacions x + 6y = m –2x + 3y = 21 5x + 2y = n 3x + y = –4

{

2

recorregut en total?

per fer salt de pont. servir una corda elàstica els esports de risc fan m en 2. Un grup d’amics a qui agradenponts més alts de Catalunya. La corda s’ha arribat a estirar 50 d’un dels s’havia estirat en el rebot La Carla s’ha llançat des estirat 7/8 parts del que següents, la corda s’ha el primer salt. En els rebots anterior.

2 i y = 1.)

km, quina distància hauran

DIA

3

4

de 50 b) El dia que facin l’etapa

DIA

DIA DIA

18 cm

DIA

indicada:

DIA

compleixi la condició

(És incompatible.)

no estan el dia anterior. tot terreny. Com que dia faran 5 km més que recorreran 20 km i cada gressiva: el primer dia km? a fer una etapa de 50 a) Quants dies trigaran

DIA

5x – 2y = 8

d’equacions per tal que

de la boia és buit, quants metre necessiten per s quadrats de construir-ne una? plàstic es

DIA

{

2

b) ¡Sí l’interior

0,15 m

b)

5x – 2y = 8

36 cm

DIA

DIA

{

d

3

DIA

a)

1

18 cm

DIA

1. Completa, en cada cas, el sistema

No té solució. s.

Dues rectes paral·lele

1

amb una bicicleta pro-

ho faran de forma 1. En Pep i els seus amics, aquest aquest tipus de rutes, acostumats a afrontar

NA

Solució única.

Dues rectes que es tallen en un punt.

Sistema incompatible

de travessar els Pirineus

PRIMERA SETMANA

Sistema compati

inat

Sistema compatible indeterm Infinites solucions. nts.

Dues rectes coincide

4. Al port d’Arenys de Mar s’ha separ zona de banyi at la stes de la zona portuària amb unes boies com les que s’obtenen en fer girar la figura següe nt al voltant de l’eix indicat. a) Quins cosso s geomètrics comp onen el cos resultant?

QUARTA SETMA

2

ble determinat

estiu, s’han proposat

SEGONA SETMANA

1

PIS TA !

a pujar seguint

CREA EL TEU PROPI Completa l’enun El bric fa 15,625 Un bric en què

sortir del pou?

PROBLEMA!

ciat d’un proble

cm d’alt.

cap un litre de

ma la resposta

suc té una base

del qual sigui aques

quadrada de

1 15

1 6

ta:

1 2

cm.

–

1 3

– 2 5

7 20 –

3 4

3 2

–

5 3

13

29

59

I, a més a més, practica una mica més amb les seccions El Repte, Crea el teu propi problema! i Sense calculadora.

I, si algun contingut et costa una mica, no et preocupis: et donem pistes!

Experimenta cada setmana el desafiament d’una nova situació d’aprenentatge!

la resposta.

DIA DIA

2

DIA

3

sodi:

Pedra calcària:

3

DIA

1. Calcula el volum

d’aigua que cap

16 cm

8 cm

12 cm

8 cm

4

DIA

4

30 cm

30 cm

30 cm

5

figure

a)

Carbonat de

2

DIA

CLATGE DE VIDRE

t la regió de Txeca i han visita on e a la República fàbrica de vidre s han fet un viatg a visitar una l’Aina i en Carle . Avui han anat La família de ació de vidre nsions: sa per la fabric formes i les dime les rva’n Bohèmia, famo s. Obse 4 cm tipus de gerre 8 cm C modelen tres 4 cm B A

DIA

ENTATGE

DIA

4

RICACIÓ I RECI 1 FAB

rials:

Resta de mate

5

DIA

1. Digues si aquestes

regulars. Raona s són poliedres

SITUACIÓ D’APREN

x concorren el matei En cada vèrtex ns regulars. nombre de polígo

R POLIEDRE SEMIREGULA

3

DIA

Octaedre 8 cares triangulars

Cub o hexaedre 6 cares quadrades

Icosaedre 20 cares triangulars

DIA

DIA

DIA

2

Dodecaedre 12 cares pentagonals

1

de sílice són la sorra s per fer vidre %). A nat sigui l’acabat (45%), el carbo segons quin altres materials més, es fan servir al vidre. r dona i minada que es vulgu fer una deter de sílice per resta kg de sorra grams de la Si calen 300 , quants quilo polles de vidre quantitat d’am n? es necessitara de materials

ria (10 3. Els materials bàsic i la pedra calcà de sodi (15%)

TATGE

Tetraedre 4 cares triangulars

RS

DIA

POLIEDRES REGULA

PIS TA!

CS

SITUACIÓ D’APRENEN

QUARTA SETMANA

1

COSSOS GEOMÈTRI

és que es pot rtant del vidre ica molt impo reciclat. lat reel % de vidre recic reciclar. De fet, ació d’un 10 que la utilitz A més, s’estima %.

2,5 del ètic estalvi energ %, quin perpresenta un 15 un en sa energètica reduir la despe ampolles? les en er Si la fàbrica vol hi haurà d’hav vidre reciclat centatge de

.

4. Una característ90% del vidre d’una ampolla pot ser

en cada gerra

DIA

5

b)

l’aigua gerres amb omplert les ant i han enremanera const del que rajava de a en funció d’una aixeta arribat l’aigu ira a què ha gràfica? Justif gistrat l’altu correspon cada ient recip temps. A quin ca la resposta.

2. A la fàbrica han 2. Digues si aquestes

sta. rs. Raona la respo

res semiregula

altres són polied

b)

a)

a la fàbrica, a

Altura

sen un ? les, els propo Com ho faran s de 4 ampolles. polles en 6 filere

20

20

10

10

10

t (s) 0

10

20

30

40

50

t (s) 0

60

punella de 6 una estr es Pensa en 2 triangl ïda amb tes constru . invertits equilàters

30

30

20

A!

Altura

Altura 30

P I ST

l’Aina i a en Car-

5. Durant la visita repte: han de col·locar 12 am-

10

20

30

40

50

t (s) 20

10

0

60

50

40

30

60

53

63

62

CALAIX DE SASTRE

regions contigües es pot pintar que qualsevol mapa geogràfic amb El teorema dels 4 colors estableix adjacents pintades amb el mateix tal manera que no hi hagi regions amb quatre colors diferents, de n una frontera comuna que no són adjacents quan comparteixe color. Es considera que dues regions sigui un sol punt compartit per

tres regions o més.

només 4 colors les comarques de Catalunya utilitzant Aplica aquest teorema i pinta totes pintades del mateix color: que hi hagi dues comarques adjacents

i evitant

és situar 9 fitxes en les puntes a un sol jugador, l’objectiu del qual La pentalfa és un joc antic per que formen un pentàgon. l’estrella i en les interseccions interiors dos primers Fixa’t en aquest exemple per als

Regles del joc: es fa un moviment en • Per situar cada fitxa tres passos: punt lliure del tauler.

1. Es posa la fitxa en un a un segon punt, que cap fitxa la 2. Es mou per una altra fitpot estar lliure o ocupat xa. al tercer punt lliure i es 3. Es mou la fitxa cap deixa allà. han de ser consecutius i • Els tres punts han d’estar en línia recta. una fitxa en el ter• Una vegada s’ha col·locat el punt definitiu–, ja no cer punt –és a dir, en es pot tornar a moure. dues fitxes en un ma• No es poden col·locar per un punt que estigui teix punt ni començar

CALAIX DE SASTRE

LA PENTALFA

EL MÓN EN 4 COLORS

de

moviments:

I, quan et vingui de gust, pots llegir les curiositats o fer els passatemps que trobaràs en el Calaix de sastre (en les últimes dues pàgines de cada setmana).

Primer moviment

Un...

... dos ...

... i tres

Segon moviment

Un...

... dos ...

... i tres

ocupat.

–3, 0, 3, 6, 9,

1 Pàgines 4

b) –2, 1, 4, 7, 253, 515 13, 35, 61, 131, c) –2, 5, 1, 11, 78, 97 22, 33, 46, 61, d) –2, 1, 6, 13,

a6

13. a) an = 2n –

EL CEL NOCTURN

.

at manipulativa

HO RESOLS? Activit

FRACCIONS, DECIM

35

3

f)

1. e) – 10

ALS I PROPORCION 1 g) – 6

13 24

457 1.431 f) 66 e) 500 ciclista 1 · 540 km = 135 km, el segon fa 4 135 – 180 = ciclista, 540 – 1 · 540 km = 180 km, i el tercer fa 3 = 225 km. a 17.647,10 €.

18.150 €.

4. a) El cotxe costav haurà de pagar 11 b) Finalment, -9 f) 6,281 · 10 -4 e) 3,07 · 10 11 d) 9,10 · 10 10–2 5. c) 5,81 · 10 9 h) 5,571428 · –3 g) 6,4 · 10 4 f) –1,31 · 10 3 m/s.

6. e) 8,00 · 10 4 km/h = 3,2 · 10 10 · mada és de 1,15 La velocitat aproxi

3. El primer ciclista

3 Pàgines 10

c) an = –12 + 345 2. a) 2

més aviat serà la cursa es farà tercer de juliol en què aleshores el El dia del mes ci en dijous; de juliol comen quan el mes el dia 15 de juliol. més tard serà de juliol serà la cursa es farà dijous del mes el tercer dijous de juliol en què res; aleshores El dia del mes divend en ci quan el mes comen el dia 21 de juliol. serà del mes de juliol DIA

a9

ans haurà de

pagar 12 €, i

pans, 19,20 €.

de cobrar 1.600

da, 1.200 €.

4

5. Tardar

630,58 dies.

-se 30 · 5 / 25

6. Trigarà a omplir 8. a) El litre de

de treballar 8

per vuit entre-

€; l’Ivan, 800

h, és a dir, 1,51 à 1,5134 · 10

7. Hauria hagut

+ 300 · (n – 1)

+ 500 · (n – 1) 0,6n–1 n–1 ) c) an = 500 · n–1 n–1 b) an = –8 · (–0,5 · (–0,2) 4. a) an = 3 · 5 · 0,2n–1 o an = –1.000 d) an = –1.000 c) 1.242,4417 b) –5,328125 –0,2) = r 18 (si 332 5. a) 7.324.2 (si r = 0,2) i –833,3 d) –1.249,9999 n

c) an = 10.000

6. an = 15.000 ·

9 €.

(0,85) serà de 7.830,0 al cap de 5 anys de cobrir la aranya hauria perquè cada n–1

El valor del cotxe

7. Trigarien 15 dies ície de la finestra. de la superf meitat

10 dies caminar durant

€, i la Mag-

· 104 h : 24

h/dia =

km. hauran fet 280,88 caminaran

4 Pàgines 13

2. a) Després de fer 7 rebots, la corda s’estira 19,63 SENSE CALCU

= 18 h.

té un cost de

11. Exercici resolt.

7 6 11 10

1 15

producció de

7 60

1 – 20 7 30 1 6

9.

Exercici resolt.

LADORA

hores cada dia.

llet de la barreja

SUCCESSIONS

a 15

dies. en total. egut 245 km b) Hauran recorr 22,44 m. la corda s’estira m. fer 6 rebots, b) Després de

1. a) Trigaran 7

6,68 €/kg.

0,67 €/L formatge és de €. producció del b) El cost de de vendre a 9,35 formatge s’ha c) El quilo de hores. ar durant 10 Hauran de treball

10.

1)

· (n – 1)

d) –1.935

ran a 180,25 b) No arribar tant, es queda 549,75 km; per ostel·la. ago de Comp

3. Per cinc entrep

4. La Noèlia haurà

(–0,6) · (n –

d) an = 8 + (–5) c) 945

b) –135

8. a) Després dean a Santiago, ja que en 30 dieskm de Santi-

1. Exercici resolt.

2. Exercici resolt.

b) an = 4,2 +

3 · (n – 1)

3. a) an = 5.200 – 500 · (n – 1) b) a = 25.000

EL REPTE!

El solucionari és al final del quadern. Utilitza’l correctament i procura de no mirar-lo fins que no hagis fet les activitats.

s a fer la

a 12 1 · (n – 1)

3

1. a) an = – 2 + 2

7.

2 Pàgines 7

na volta i 410

s a fer la cinque

desena.

25 b) an = an–1 –

34 g) – 9

2. d) 11

2

5

14. a) Tardarà 535

112 h) – 225

c) an = 6 – 3n

b) an = n – 2

n+4 d) an = n + 2

ALITAT

38

34

12, 15

12. a) –12, –9, –6, 22, 25 10, 13, 16, 19,

MANA

PRIMERA SET

DIA

En el temple egipci de Kurna hi han trobat un tauler en forma d’estrella pentagonal que data, aproximadament, de l’any 1700 aC. Actualment, a aquest joc, encara s’hi juga a l’illa de Creta.

DIA

El teorema dels 4 colors va ser demostrat el 1976 per Kenneth Appel la i Wolfgang Haken. Van utilitzar un ordinador per a la demostració, ja qual cosa va generar múltiples controvèrsies en l’àmbit matemàtic, d’alque alguns matemàtics van donar la demostració per bona, però pertres van dir que no es podia considerar que estigués demostrat què no es podia comprovar manualment.

etc.

DIA

Ara et toca

fer servir pedres petites, cigrons, jugar a tu. En lloc de 9 fitxes, pots

1 2

1 – 3

–

17 60

1 15

– 2 5

59 60 2 5

7 12

3 4

7 20 –

3 4

– 3 2

1 6 –

5 3

99

DIA

EL CEL NOCTURN 342 2

1.468 2

2

DIA

PRIMERA SETMANA

1

(√100 + 8)

3

DIA

342

372

(1.125 + 2) 2.258 2

(1.150 – 13)

DIA

4

DIA

5

, Si mireu cap allà r podreu distingi l’Ossa Major i l’Ossa Menor.

(110 + 41)

191

595 7

(1.225 – 75)

√196

(30 – 7)

√400

(150 – 9)

33

√100

1.123

1.131 (879 + 254)

(5 × 227)

√1.369

161 181

1.125

(1.125 + 3)

323

223

(16 + 34) (923 + 174)

(23 + 25)

19

393 3 36 + 64 5

121

√9 26 2

√1.125 (122 + 133)

(15 + 2)

30 + 15

√225

√121

(√400 – √225)

7

ella aqu la n e ireu ureu I si m cció, ve ió de dire stel·lac a. con ssiope Ca

HO RESOLS? Per trobar l’Ossa Menor, uneix el 121 amb els nombres capicues següents. Tingues en compte que la constel·lació té 7 estrelles i que les quatre darreres formen un quadrilàter.

Per trobar l’Ossa Major, uneix el 1.125 amb els nombres senars següents. Tingues en compte que la constel·lació té 7 estrelles i que les quatre darreres formen un quadrilàter.

Per trobar Cassiopea, uneix el 7 amb els quatre nombres primers següents.

4

FRACCIONS, DECIMALS I PROPORCIONALITAT

DIA

PRIMERA SETMANA

1

1. Fes aquestes operacions amb fraccions: a)

2 2 10 8 18 9 + = + = = 4 5 20 20 20 10

e)

2 7 – = 5 10

b)

2 2 8 10 2 1 – = – =– =– 5 4 20 20 20 10

f) –

1 1 7 + · = 3 4 2

c)

3 –2 6 3 · =– =– 4 5 20 10

g) –

1 4 3 = · – 3 5 10

d)

3 –2 15 : =– 4 5 8

h) –

2 4 1 8 = · + · 5 5 6 3

DIA

)

3

DIA

( (

2

)

2. Expressa aquests nombres en forma de fracció, sempre que sigui possible. No t'oblidis de simplificar la fracció resultant.

DIA

4

236 59 a) 2,36 = = 100 25 236 – 2 234 78 = = 99 99 33 2.451 – 24 2.427 809 c) 2,4515151... = 2,451 = = = 990 990 330 b) 2,363636... = 2,36 =

d) 3,4545454545... =

e) 2,862 =

DIA

5

f) 6,924242424... = g) –3,7 =

3. Un equip ciclista júnior participa en una cursa de relleus de 540 km. El primer ciclista fa una quarta part del recorregut, el segon en fa una tercera part, i el tercer, la resta de la cursa.

Quants quilòmetres recorre cada ciclista?

4. La família de la Carme han comprat un cotxe per anar de vacances. Els fan un descompte del 15 %, de manera que, un cop aplicada la rebaixa, hauran de pagar 15.000 €. a) Quant els hauria costat el cotxe sense el descompte?

P I S TA

!

= 30 % de 400

30 · 400 = 120 100

b) Un cop aplicat el descompte, cal afegir-hi un 21 % d’IVA. Quant hauran de pagar finalment?

5

a) 0,000000000003254 = 3,25 · 10–12

DIA

Notació científica

P I S TA !

3,25689 · 1014

b) 3254000000000 = 3,25 · 1012

2

DIA

PRIMERA SETMANA

1

5. Escriu en notació científica els nombres següents:

una sola xifra entera més gran o igual que 1

c) 581.000.000.000 =

xifres decimals

potència de 10

d) 0,00091 = e) 0,00000000307 = DIA

3 f) 628.100.000.000 =

DIA

4

DIA

5

6. Fes aquestes operacions en notació científica: a) 1,23 · 10–7 + 3,01 · 10–7 = 4,24 · 10–7

e) 2,00 · 104 + 6,00 · 104 =

b) 3,00 · 1015 – 6,50 · 1015 = –3,50 · 1015

f) 1,70 · 10–3 – 3,01 · 10–3 =

c) 3,50 · 103 · 8,25 · 104 = 2,887 · 108

g) 3,20 · 103 · 0,20 · 107 =

d) 12,40 · 1015 : (2,20 · 103) = 5,64 · 1012

h) 6,25 · 10–3 : (1,75 · 10–1) =

7. En el taller d’astronomia en què participen la Xènia, la Clara i la Marta, els han explicat que la sonda Mars Pathfinder que el 1996 va llançar la NASA per explorar Mart va trigar exactament 7 mesos a arribar-hi. Si va recórrer 58 milions de quilòmetres, a quina velocitat mitjana va anar la nau? Calcula la velocitat en km/h i en m/s, i expressa-la en notació científica; i suposa que tots els mesos són de 30 dies.

EL REPTE! Cada any, el tercer dijous del mes de juliol es fa una cursa solidària amb una finalitat diferent.

Argumenta quin dia del mes de juliol serà l’any en què la cursa es farà més d'hora i quin dia serà l’any en què es farà més tard.

6

DIA

En aquest problema hi intervenen magnituds que tenen una relació de proporcionalitat directa; per això, per resoldre’l, cal fer una regla de tres: 2 camions 5 camions

7.000 kg x kg

x=

5 · 7.000 = 17.500 kg 2

2

DIA

{

2. Si cinc treballadors tarden 8 h a descarregar un camió, quant tardaran a descarregar-lo dos treballadors?

En aquest problema hi intervenen magnituds que tenen una relació de proporcionalitat inversa; per això, per resoldre’l, es fa servir una regla de tres inversa: 5 treballadors 2 treballadors

8h xh

x=

5·8 = 20 h 2

3. La Judit ha pagat 7,20 € per tres entrepans de pernil.

4

DIA

{

3

Quant haurà de pagar si compra cinc entrepans? I si en compra vuit?

5

DIA

EXERCICI RESOLT

1

DIA

EXERCICI RESOLT

­camions?

PRIMERA SETMANA

1. Si dos camions poden carregar 7.000 kg de mercaderies, quants quilos poden carregar cinc

4. Tres amics han cobrat 3.600 € per dissenyar una aplicació i es volen repartir els diners de manera proporcional a les hores que hi ha treballat cadascun. La Noèlia ha treballat 8 h diàries en el projecte, l’Ivan 4 h diàries i la Magda 6 h diàries. Quant ha de cobrar cada un?

5. Una sonda espacial propulsada per un coet assoleix una velocitat de 15.000 km/h. Si la distància entre la Terra i Mart és de 2,27 · 108 km, quants dies tardarà el coet a arribar a Mart? (Expressa els càlculs en notació científica.)

6. La piscina del càmping on estiueja en Norman triga 30 hores a omplir-se si s'utilitza una mànega que subministra 15 L d'aigua per minut. Quan trigarà a omplir-se si es fa servir una mànega que proporciona 25 L d'aigua per minut?

7

DIA

2

DIA

PRIMERA SETMANA

1

7. La cooperativa VIULESTIU disposa d’una casa de colònies amb 40 lliteres i les vol canviar per unes altres de més resistents. L’encarregat de manteniment ha treballat 6 h diàries durant 4 dies per muntar-les. Si ha trigat el mateix temps a muntar totes les lliteres, quantes hores hauria hagut de treballar cada dia si les hagués volgut tenir llestes en 3 dies?

DIA

3

DIA

4

8. Per fer formatge, una grangera barreja 30 L de llet de vaca, que té un cost de producció de 0,54 € el litre, amb 20 L de llet de cabra, que té un cost de producció de 0,86 € el litre. a) Quin és el cost de producció d’un litre de llet barrejada?

DIA

5 b) Amb la llet produïda, la grangera pot elaborar 5 kg de formatge. Quin és el cost de producció d’1 kg de formatge?

c) A quin preu ha de vendre el quilo de formatge per obtenir un benefici del 40 % respecte dels costos de producció de la llet?

9. En una fàbrica de cafè, 4 màquines exactament iguals envasen 6.400 paquets de cafè en 8 h de funcionament. Quantes hores hauran de treballar 6 màquines per envasar 12.000 paquets de cafè?

8

1

DIA

10. Indica el terme general i els cinc primers termes de la successió 2, 4, 6, 8, 10...

2

DIA

Una successió és un conjunt de nombres ordenats. Els termes de la successió 2, 4, 6, 8, 10... són a1 = 2, a2 = 4, a3 = 6, a4 = 8, a5 = 10…

El terme general de la successió és l'expressió matemàtica que permet trobar qualsevol terme de la successió a partir de la seva posició. En aquest cas és an = 2n.

11. Expressa la successió 1, 1, 2, 3, 5, 8... en forma recurrent.

Una successió s’expressa en forma recurrent quan cada terme s’obté a partir dels termes anteriors; per tant, la successió 1, 1, 2, 3, 5, 8… s’expressa en forma recurrent així:

3

DIA

a1 = 1; a2 = 1; an = an–1 + an–2

a) –12, –9, –6, –3...

4

DIA

12. Escriu, en cada cas, els deu primers termes de la successió: b) an = 3n – 5 c) a1 = –2; a2 = 5; an = 2an–2 + an–1 d) an

5

DIA

EXERCICI RESOLT

PRIMERA SETMANA

EXERCICI RESOLT

SUCCESSIONS

= n2 – 3

13. Troba, en cada cas, el terme general de la successió: a) –3, –1, 1, 3, 5...

c) 3, 0, –3, –6, –9...

b) –1, 2, 7, 14, 23...

d)

5 6 7 8 , , , ...

3 4 5 6

14. Per comprovar la resistència del motor d’un 4 × 4, es fan 10 voltes a un circuit, de manera que cada volta es fa en 25 s menys que la volta anterior. La primera volta es fa en 635 s. a) Quant tardarà, el 4 × 4, a fer la cinquena volta? I la desena?

b) El temps que tarda el 4 × 4 a fer les voltes ve donat pels termes d’una successió. Indica quin és el terme general d’aquesta successió de forma recurrent, en què n és el número de cada volta.

9

DIA

1. Troba el terme general de cada progressió aritmètica: a) –

3 1 , –1, – , 0 2 2

DIA

2

P I S TA !

Progressió aritmètica

b) 4,2; 3,6; 3; 2,4…

an = a1 + d · (n – 1), amb n ≥ 1

c) a3 = –6; d = 3

Sn =

d) a1 = 8; a4 = –7

(a1 + an) · n 2

2. Troba la suma dels 30 primers termes de les progressions aritmètiques de l’activitat anterior:

3 a) S30 =

c) S30 =

b) S30 =

d) S30 =

DIA

PRIMERA SETMANA

1

DIA

4

3. Escriu el terme general de les progressions geomètriques que permeten caracteritzar aquestes situa­cions:

DIA

5

a) S’omple la piscina d’un hotel de manera que al cap d’una hora hi ha 5.200 L d’aigua. A partir d’aquest moment, cada hora s’hi afegeixen 300 L més. Quants litres hi haurà, a la piscina, al cap de n hores?

b) Un empresari fa cada dia una transferència de 500 € a un dels seus proveïdors per tal que aquest li enviï el material necessari per al seu negoci. L’empresari té actualment 25.000 € en el seu compte bancari. Quants diners hi tindrà al cap de n dies?

c) En Xavier té un dipòsit bancari de 10.000 € i cada any rep un 5 % d’aquesta quantitat inicial en concepte d’interessos.

Quants diners tindrà en Xavier al cap de n anys?

10

P I S TA !

5% = 0,05 en tant per u

4. Troba el terme general de cada progressió geoa Progressió geomètric 1 n–1 a = a1 · r , amb n ≥

mètrica:

1

DIA

A!

PRIMERA SETMANA

P I ST

a) 3, 15, 75, 375...

n

c) a1 = 500; a2 = 300

2

d) a1 = –1.000; a3 = –40

5. Troba la suma dels 10 primers termes de les progressions geomètriques de l’activitat anterior: a) S10 =

c) S10 =

b) S10 =

d) S10 =

3

4

DIA

a1 .

S = En el cas que |r| < 1 : ∞ 1 – r

b) –8, 4, –2, 1...

DIA

a1 · (rn– 1) r–1

DIA

Sn =

6. Observa la situació següent en què un augment o una disminució percentual es pot expressar

5

DIA

com una progressió geomètrica:

augmenta unl 5%.

El salari d’en Joan és de 1.200 € i, cada any, r amb el terme general: Per tant, el salari d’en Joan es pot expressa n–1 = 1.200 · (1,05)n–1 an = 1.200 · (1 + 0,05)

Fixa't en aquesta situació i escriu el terme general: Un cotxe costa actualment 15.000 € i cada any perd el 15 % del seu valor.

Quin és el valor del cotxe al cap de 5 anys?

11

DIA

2

DIA

PRIMERA SETMANA

1

7. El monitor del campus de natura en què s'ha inscrit en Pere aquest estiu explica quin és el paper de cada animal dins l'ecosistema. S’acosta a una finestra sense vidre i diu que una aranya triga 16 dies a construir-hi una teranyina i que cada dia en construeix el doble que la que ha construït el dia anterior. Finalment, els planteja aquesta pregunta: Quants dies trigarien dues aranyes iguals a construir una teranyina que tapés tota la finestra?

DIA

3

DIA

4

DIA

5

8. Uns excursionistes fan el camí de Sant Jaume. El primer dia el grup recorre 35 km, però, a causa del cansament acumulat, cada dia que passa el grup recorre una distància 0,95 vegades inferior a la del dia anterior. a) Quants quilòmetres hauran fet després de caminar durant 10 dies?

b) El camí de Sant Jaume fa 730 km. El grup podrà fer tot el recorregut en 30 dies?

En cas negatiu, a quants quilòmetres de Santiago de Compostel·la es quedaran?

12

1

DIA

tot terreny. Com que no estan acostumats a afrontar aquest tipus de rutes, ho faran de forma progressiva: el primer dia recorreran 20 km i cada dia faran 5 km més que el dia anterior.

PRIMERA SETMANA

1. En Pep i els seus amics, aquest estiu, s’han proposat de travessar els Pirineus amb una bicicleta a) Quants dies trigaran a fer una etapa de 50 km?

DIA

2

b) El dia que facin l’etapa de 50 km, quina distància hauran recorregut en total?

DIA

3

4

DIA

2. Un grup d’amics a qui agraden els esports de risc fan servir una corda elàstica per fer salt de pont.

La Carla s’ha llançat des d’un dels ponts més alts de Catalunya. La corda s’ha arribat a estirar 50 m en el primer salt. En els rebots següents, la corda s’ha estirat 7/8 parts del que s’havia estirat en el rebot anterior. a) Quant s’ha estirat la corda després de 6 rebots?

DIA

5

b) Quants rebots farà la Carla abans que la corda s’estiri una longitud inferior a 20 m?

SENSE CALCULADORA Completa aquesta piràmide tenint present que el valor de cada maó superior s'obté sumant el valor dels dos maons inferiors contigus.

1 6 1 2

1 15 –

1 3

– 2 5

7 20 –

3 4

3 2

–

5 3

13

3

DIA

4

LA REFORESTACIÓ

! la superficie que Una hectarea (ha) es 100 m × 100 m. ocupa un quadrat de

100 m

Després del gran incendi que es va produir l’estiu del 2022 i que va afectar diversos municipis d’una comarca, les autoritats han decidit reforestar les 1.500 hectàrees que es van cremar.

Han acordat de reforestar el bosc amb alzines, ja que són arbres que creixen ràpidament. Per fer-ho han dividit el bosc en parcel·les d’1 ha i s’hi han plantat alzines en files i columnes, separades 20 m les unes de les altres i deixant un marge de 10 m respecte de la línia imaginària que delimita cada hectàrea, tal com es mostra en la figura adjunta.

10 m

100 m

DIA

DIA

2

DIA

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

1

A P I ST

20 m

20 m

10 m

1. Quantes alzines plantaran en total?

DIA

5

2. Cada alzina costa 70 €, sense l’IVA. Quant costaran totes les alzines? I si han d'afegir el 10 % d’IVA?

3. Els treballadors que participaran en la reforestació cobraran 20 € per cada hora de feina. Si s’han contractat 4 treballadors, que poden plantar 5 alzines cada hora entre tots, quantes hores de feina caldrà invertir per plantar totes les alzines? Quin serà el cost de la mà d’obra?

14

1

DIA

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

4. Es preveu que el cost total de la reforestació sigui de 3.500.000 €. Els ajuntaments dels municipis afectats per l’incendi es faran càrrec d’aquest cost de forma proporcional a la superfície afectada del bosc que pertany al seu municipi. La superfície afectada per l’incendi que pertany al municipi A és de 600 ha, la superfície afectada del municipi B és de 750 ha, i la resta pertany al municipi C. Quants diners haurà de pagar l’ajuntament de cada municipi?

DIA

2

DIA

3

Llavors, a més de reforestar el bosc, es van introduir senglars per tal d’aconseguir l’equilibri ecològic de la zona. Aquesta és la gràfica de l’evolucio de la població dels senglars en els darrers 20 anys. a) Quants senglars es van introduir el 2002?

Nre. de senglars 1.200 1.000

4

DIA

5. L’any 2002 es va produir un altre gran incendi.

800 600 400

5

DIA

200 0

b) Quants n’hi havia el 2012?

2002

2007

2012

2017

2022

Any

c) Per quant es va multiplicar la població en aquests 10 anys?

d) Què creus que va passar a partir del 2012, per fer que la població de senglars deixés de créixer?

e) Què diries que va passar amb els senglars a partir del 2022?

15

DIA

DIA

2

3

DIA

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

1

L’AUTOPISTA L’empresa AUTOSTRADA s’encarrega del manteniment de l’autopista més llarga del país, que fa 800 km de longitud. El km 0 d’aquesta autopista el trobem a la localitat de la Jonquera.

Al llarg de tota l’autopista hi ha una àrea de servei cada 40 km. La primera àrea de servei està situada, precisament, a la Jonquera, i les altres àrees es numeren a partir d’aquesta.

DIA

Escriu el terme general an de la successió que indica el punt quilomètric en què es troba l’àrea 4 1. de servei n.

DIA

5

2. Omple la taula següent amb el número d’ordre de l’àrea de servei o el punt quilomètric en què està situada (pots fer servir el terme general de la successió que has escrit en l’apartat anterior): Àrea de servei

1

2

km

0

40

5

3. Aquest diagrama mostra els milers de vehicles que van passar per un dels peatges la setmana passada. Quants vehicles van passar pel peatge de dilluns a divendres? I el cap de setmana?

6

12

20

320

Nre. de vehicles (en milers) 300 275 250 225 200 175 150 125 100 75 50 25 0 s s res un art ec dill dim dim

640

us

dijo

res

nd

e div

te

sab

dis

ge

en

m diu

4. Quin percentatge de vehicles respecte del total representen els vehicles que van passar pel ­peatge el cap de setmana?

16

1

DIA

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

5. Els vehicles que passen pel peatge han de pagar 2,10 €. Quina és la diferència, pel que fa a les recaptacions, entre el dia que passen més vehicles pel peatge i el dia que n’hi passen menys?

DIA

2

6. L’empresa AUTOSTRADA emet uns bons a 10 anys per valor de 30 milions d’euros i ofereix un

3

DIA

interès compost del 5 % anual. La progressió geomètrica Cn = C0 · 1,05n mostra el valor d’un bo al cap de n anys en funció del capital inicial C0 invertit. Quant pagarà l’empresa als inversors en acabar-se la vigència dels bons?

DIA

4

7. L’empresa vol premiar aquells conductors que facin més quilòmetres per l’autopista. Ha decidit

5

DIA

cobrar 2 € per cada 10 km de recorregut. Els primers 10 km cobrarà els 2 € íntegrament, però a partir d’aquí farà un descompte del 10 % respecte del preu que ha cobrat en els 10 km anteriors. Expressa aquesta situació en forma de progressió geomètrica i indica a què fan referència an i n.

8. Quant pagarà un conductor per un trajecte de 20 km? I per un de 150 km?

17

CALAIX DE SASTRE

MISSATGES EN CLAU

La criptografia consist eix a convertir un tex t en un missatge enigmàtic que només pot comprendre la pe rso na que en té la clau. Al llarg de la his tòria, s’han dissenyat no m brosos sistemes de claus i codis per garantir la confide ncialitat dels missatges. T’atreveixes a desxifrar alguns dels co dis més famosos?

El codi Atbash és un mètode de xifratge hebreu. Pertany a la criptografia clàssica i és un tipus de xifratge per substitució. Consisteix a substituir la primera lletra de l’alfabet per la darrera, la segona per la penúltima, i així successivament.

1 Original Clau A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M N O

Z

Y

X W V

U

T

S

R

Q

P

O N M

L

P

Q

R

S

T

U

V W

X

Y

Z

K

J

I

H

G

F

E

C

B

A

D

a) A la pregunta «Què farem aquesta tarda?», la Petra respon amb aquest missatge xifrat: «ZMRIVN Z OZ KRHXRMZ ZNY VOH NVFH XLHRMH» Què diu aquest missatge? b) Ara és el teu torn, codifica aquest missatge amb el codi Atbash: «El meu gelat preferit és el de llimona.»

El quadrat de Polibi és un sistema en què les lletres es col·loquen en una matriu de 5 × 5, i cada lletra està representada per dos nombres, corresponents a la fila i la columna en què es troba. Com que l’alfabet té 26 lletres i la matriu té 25 caselles, n’hi ha dues que es col·loquen en la mateixa casella. Poden ser la I i la J, com en aquest cas, o unes altres.

2 1

2

3

4

5

1

A

B

C

D

E

2

F

G

H

I/J

K

3

L

M

N

O

P

4

Q

R

S

T

U

5

V

W

X

Y

Z

a) A la pregunta «Com has anat a París?», la Joana respon amb aquest missatge xifrat: «2315 51241144241144 113212 1531 44421533 1411314411 511531341324441144» Què diu aquest missatge?

b) Ara és el teu torn, codifica aquest missatge amb el quadrat de Polibi: «Aquest estiu aniré al poble dels meus avis.»

18

CALAIX DE SASTRE

SUMES A LA PLATJA Quin nombre correspon a cada símbol?

1

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

=

=

31

35

32

26

43

=

32

=

24

=

39

=

37

+

+

=

=

=

+ +

+

35

+

+

+

+

+

+

+

= +

+

+

+

+

=

+ +

+

+

+ +

+

+

+

+

=

=

EL PROBLEMA DELS 9 PUNTS

1

Uneix aquests 9 punts amb 4 línies rectes sense aixecar el llapis del full i sense passar dues vegades pel mateix lloc.

19

SOLUCIONARI

Cap

a

Refresca el que has après a 3r

4t d’ESO

ELS NOMBRES I EL CÀLCUL DEIXARAN DE SER UN PROBLEMA PER A TU. En aquest quadern trobaràs activitats ben diverses que et serviran per practicar, repassar i millorar tot allò que has après i preparar-te per al curs vinent.

Altres propostes per continuar repassant:

a 4t p a C d’ESO

Destino a

eh Refresca el qu

O

e has Refresca lo qu

as après a 3r d’ES

LLENGUA

CATALANA

www.barcanova.cat 1472305

@EDBARCANOVA facebook.com/editorialbarcanova barcanovaedu / barcanova_editorial

4.° de ESO

aprendido en 3. ° de E SO

L E N GLLUANAA CASTE