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JEFFERSON CEVADA | DANIEL ROMÃO DA SILVA

MATEMÁTICA

NOS DIAS DE HOJE

MATEMÁTICA ENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS

MANUAL DO PROFESSOR

MATEMÁTICA

NOS DIAS DE HOJE

MATEMÁTICA ENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS

MANUAL DO PROFESSOR

Jefferson Cevada Licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Mato Grosso (UFMT). Foi professor e coordenador da rede pública de São Paulo. Editor e elaborador de conteúdos didáticos. Daniel Romão da Silva Doutor e Mestre em Educação pela Universidade de São Paulo (USP). Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP). Foi coordenador e professor da rede pública e particular de São Paulo. Autor de materiais didáticos.

São Paulo • 1a edição • 2022

Direção editorial Sandro Aloísio Produção gráfica Reinaldo Correale Giliard Andrade Equipe M10 Editorial Coordenação pedagógica Alessandra Corá Coordenação editorial Fernanda Azevedo Edição Angela Leite Assistência editorial Gabriel Santos Novaes Carolina Tsuda Conceição Longo Rui de Melo Neves Neto Preparação e revisão de textos Brenda Gomes Caroline Ponzi Thais Sanchez Marina Bueno Projeto gráfico de capa e miolo Arte/M10

Coordenação de editoração eletrônica Eduardo Enoki Editoração eletrônica Fanny Sosa Nathalia Scala Ricardo Coelho Iconografia M10 Editorial Licenciamento de texto e imagens Tempo Composto Imagens gerais, de projeto gráfico e ilustrações técnicas Arte/ M10 Shutterstock.com Freepik

Impressão e acabamento Oceano Indústria Gráfica e Editora Ltda. Rua Osasco, 644 – Rod. Anhanguera, km 33 CEP 07750-020 – Cajamar – SP CNPJ: 67.795.906/0001-10 Tel.: (11) 4446-7000 Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada. ISBN 978-85-54226-82-4 (Aluno) ISBN 978-85-54226-83-1 (Professor)

INTRODUÇÃO Ensinar e aprender dizem respeito às experiências diversas ao longo da trajetória de uma pessoa, uma comunidade, um povo. É na trajetória que se manifestam as diversas experiências enriquecedoras para o ensino e a aprendizagem. Sendo ela um elemento fundamental do processo de transformação, quais seriam, então, seus significados? Como parte de sua essência, destacamos: trajeto, ou seja, um curso a ser percorrido entre uma paisagem material ou imaterial de determinado espaço; sequência de acontecimentos, como um tecido temporal entrelaçado de fatos diversos, sejam concretos ou não; esboço de um caminho – a órbita desenhada por algo em movimento. Juntos, esses sentidos se complementam, se mesclam e favorecem a construção de uma metáfora para a relação complexa que é ensinar e aprender. Aqueles que se colocaram a caminho perceberam o quanto de estratégias conhecidas e de originalidade para o imprevisível se fizeram necessários. Assim é como se sente um professor, com os materiais que tem em mãos, diante de sua sala de aula, sujeito à diversidade de tempo de aprendizagem de seus alunos. Conhecer esses elementos e ter aptidão para os imprevistos favorecem a construção de estratégias necessárias à sua própria trajetória. Convide seus pares a compartilhar impressões, reflexões, pontos de vista e possibilidades de adaptações tanto no livro do estudante quanto nas propostas do manual do professor, entre outras ações, todas em favor de ressignificações para o melhor uso do material em suas mãos. Esperamos que esses materiais se tornem um aliado para envolver os alunos em aprendizagens significativas.

# SUMÁRIO EM FOCO: O LIVRO DO ESTUDANTE, VI EM FOCO: O MANUAL DO PROFESSOR , VIII PRONTOS PARA COMEÇAR!, X TRAJETÓRIA 1 – NORTEADORES: PARA TODOS OS VOLUMES , XIV

2. A prática docente, XXVII RAWPIXEL.COM/SHUTTERSTOCK

ESB PROFESSIONAL/ SHUTTERSTOCK

1. Visão geral da nossa proposta, XV

Como aproveitar ao máximo os recursos apresentados nesta coleção?, XV

• Check-in, XV • Salas de aula e realidades diferentes, XVI • Estrutura da coleção e a prática docente, XVI Avaliação: informada × assistida, XVI

• As fases da trajetória de aprendizagens, XVII • A aprendizagem autorregulada, XVIII • Ciclos de aprendizagens e ciclos avaliativos, XX Avaliação diagnóstica, XX Avaliação de processo ou formativa, XX Avaliação de resultado, XX

• Avaliação a serviço da aprendizagem, XX

1. Para efeitos de avaliação diagnóstica, usos possíveis, XX 2. Para efeitos de avaliação em processo, usos possíveis, XXII 3. Para efeitos de avaliação de resultados, usos possíveis, XXIV

• Autoavaliação e autoconhecimento como aprendiz, XXVI

Como ajustar a prática docente para melhorar o processo de ensino-aprendizagem?, XXVII

• Check-in, XXVII • Identidade do professor, ambientes de aprendizagem e avaliação, XXVIII

• Cenários de proposição, XXVIII • Avaliação formativa, XXX

Avaliação na prática pedagógica, XXX Verbos da ação avaliativa, XXXI Aprendizagem assistida por avaliação, XXXI

LIGHTSPRING/SHUTTERSTOCK

3. Articulações entre os materiais, XXXII

Articulações entre objetivos, justificativas desses objetivos, competências e habilidades, XLII

• Trajetória 1 do LE, XLII • Trajetória 2 do LE, XLIV • Trajetória 3 do LE, XLVI • Trajetória 4 do LE, XLVII

Como estabelecer vínculos entre os materiais voltados para o estudante e os que são voltados para o professor?, XXXII

• Check-in, XXXII • Vínculo entre a estrutura da obra e as ações docentes voltadas para a avaliação, XXXIII

Subsídios para trabalhar a interdisciplinaridade, L

• Trajetória 1 do LE, L • Trajetória 2 do LE, LI • Trajetória 3 do LE, LIII • Trajetória 4 do LE, LIV

• Letramento matemático, XXXIII

A BNCC e o letramento matemático, XXXV Os processo matemáticos, XXXVI

• Flexibilização curricular da coleção, XXXVIII

Aspectos envolvidos na avaliação, nos problemas e nos exercícios, XXXVIII Aspectos envolvidos nas perguntas norteadoras, nos TCTs e na interdisciplinaridade, XXXVIII

• Mapa de Temas Contemporâneos Transversais na BNCC, XXXIX

Justificativa e pertinência dos objetivos e propostas de avaliação, LVI

• Trajetória 1 do LE, LVI • Trajetória 2 do LE, LVII • Trajetória 3 do LE, LVIII • Trajetória 4 do LE, LIX

BIBLIOGRAFIA, XL Sugestão de cronograma, LX

LABORANT/SHUTTERSTOCK

TRAJETÓRIA 2 – ESSENCIAIS: PARA ESTE VOLUME, XLI

HABILIDADES DE MATEMÁTICA E DE OUTRAS DISCIPLINAS, LXI • Quadros de habilidades do 6º ano – Matemática, LXI • Quadros de habilidades do 6º ano – outras disciplinas, LXIII

• Check-in, XLI

EM FOCO: O LIVRO DO ESTUDANTE O livro do estudante tem uma estrutura gráfico-editorial com intencionalidade didática voltada para o processo de mediação da aprendizagem.

ALEXANDRE R. / M10

ESTRUTURA DA OBRA: MEDIAÇÃO DA APRENDIZAGEM

PRÉ-MEDIAÇÃO

Seções especiais para declarar as intenções e os objetivos de aprendizagem, fazer diagnósticos e levantar conhecimentos prévios, ler mapas norteadores, instigar e convidar o aluno a percorrer um novo passeio e se envolver com o conhecimento que está por vir.

1 3

Leia o texto:

O Brasil é um país de dimensões continentais, com vinte e três mil, cento e dois quilômetros de fronteiras, terrestres e marítimas. Esse tamanho abriga uma biodiversidade de doze mil e vinte e oito espécies de animais e quatro mil seiscentos e dezessete espécies de plantas. Um animal símbolo dessa biodiversidade é o tamanduá-bandeira, que chega a medir duzentos e vinte centímetros

4 8

4 6

1 2

2 3

PASSEIO 1 – NÚMEROS NATURAIS 1

de comprimento e consegue comer até trinta mil formigas em um só dia! Mas precisamos cuidar dos biomas brasileiros que abrigam tal biodiversidade. Entre os anos de 2000 e 2018, o Cerrado, bioma que abriga boa parte dos tamanduás-bandeira, teve uma perda de cento e cinquenta e dois mil setecentos e seis quilômetros quadrados de sua extensão.

ATMOSFERA ATMOSFER A

ARREDORES

COMO INTERPRETAMOS O MUNDO À NOSSA VOLTA E NOS EXPRESSAMOS POR MEIO DOS NÚMEROS?

Nosso jeito de ver as formas no mundo Você gosta de observar a forma dos objetos em lugares diversos?

Comparação e ordenação

Leitura e escrita

China antiga

Incas

História da numeração Reta numérica

VANITJAN/SHUTTERSTOCK

3. 0

VVVITA/SHUTTERSTOCK

#PRONTOSPARACOMEÇAR!

Roma antiga

NÚMEROS NATURAIS Egito antigo

Texto elaborado com finalidade didática. Informações obtidas em: www.wwf.org.br e https://educacao.uol.com.br. Acessos em: 17 maio 2022.

Escreva com algarismos os números destacados no texto, em ordem crescente, utilizando o símbolo de menor (<). 220 < 2 000 < 2 018 < 4 617 < 12 028 < 23 102 < 30 000 < 152 706 Represente estes números em uma reta numérica:

Observe as figuras (considere o círculo como o inteiro): 1 ; 4 ; 1 ; 2 ; 4 ;

3 5 ; 0,3; ; 1; 2,25 4 2

0,3

3 4

2 6 3 3 8

Escreva a fração que corresponde às partes pintadas em relação ao todo em cada figura e, em seguida, represente essas frações em uma reta numérica. 4.

Em uma caixa há 100 livros destinados para doação. Considerando essa informação, substitua cada ■ pelo número correto: a) Se há 75 livros usados, então ■%

dos livros são usados. 75 b) Se a décima parte dos livros é de ficção científica, então ■% dos livros são de ficção científica. 10 c) Sabendo que metade dos livros foi doada por uma única pessoa, as doações dessa pessoa correspondem a ■% do total de livros. 50 d) Se 25% dos livros são de poesia, então há ■ livros de poesia na caixa. 25 14 |

VI | MANUAL DO PROFESSOR

2 2,25 5 2

Sistemas de numeração

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Povos originários do Brasil

Formas geométricas no design de ambientes.

Foi desenhado um plano cartesiano sobre o mapa de certa cidade: Contagens

Qual das alternativas é a correta em cada item? a) O ponto de coordenadas (1, 3) repre-

senta um local do mapa: com água x terrestre • área verde b) Um ponto situado em uma área verde do mapa é: • (6, 10) • (13, 3) x • (10, 9) • •

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Valor proporcional

SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL Estimativas

Diversidade, quantidade e qualidade no mundo ao nosso redor.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Sabe dar nome, perceber características ou pensar em relações entre algumas figuras geométricas? Veja o que o olhar de Armandinho descobriu:

Base

ALEXANDRE R./M10

Ao olhar o mundo ao redor, percebemos uma grande diversidade de objetos, pessoas e seres vivos. Além de serem diversos, também existem em grandes quantidades. Há situações em que nos interessa contar com exatidão essas quantidades e, em outras, gostaríamos somente de ter uma ideia aproximada, ou seja, estimar essas quantidades.

EF06MA01, EF06MA02 EF67LP23, EF69LP33 EF06HI14 EF69AR34

BECK, Alexandre. Armandinho. Tiras Armandinho. Disponível em: https://tirasarmandinho.tumblr.com/ post/115869048829/tirinha-original. Acesso em: 27 jun. 2022.

BÚSSOLA BÚSSOL A

CHECK-IN

Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: •

Observe a imagem e responda: Respostas pessoais.

•

a) Quantas pedras, aproximadamente, existem na imagem?

•

b) Em grupos, elaborem uma estratégia para estimar a quantidade de pedras. Em

seguida, compartilhem com a turma.

•

Conte ou estime a quantidade de cada uma delas. Compartilhe sua resposta com os colegas.

•

c) É possível organizar as pedras da imagem por cores? Que cores você identifica?

20 | TRAJETÓRIA 1

Função do zero

ARMANDINHO, DE ALEXANDRE BECK/ ACERVO DO CARTUNISTA

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

• •

ATIVIDADES

Ler, escrever, comparar e ordenar números naturais. Reconhecer o Sistema de Numeração Decimal que prevaleceu no mundo ocidental. Identificar as principais características do Sistema de Numeração Decimal, como valor posicional e função do zero. Compor e decompor números naturais. Localizar números naturais na reta numérica. Fazer estimativas de quantidades. Reconhecer diversos sistemas de numeração de distintos povos e épocas.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

1. 2. 3.

21 |

As falas do personagem Armandinho nos primeiros quadrinhos estavam corretas? Por Sim, mas ele ficou confuso porque, ao alterar a posição, ele que o personagem ficou confuso? viu formas diferentes. Um Na primeira imagem, qual figura geométrica plana você consegue identificar? quadrilátero. A fala do pai de Armandinho no último quadrinho pode ter dois sentidos. Um deles é relacionado à própria Matemática. Outro é relacionado à maneira como nos comportamos, agimos e nos relacionamos com o mundo e com os outros. Identifique esses sentidos e compartilhe com os colegas. Respostas pessoais.

70 | TRAJETÓRIA 1

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

INTERMEDIAÇÃO

Páginas e seções pensadas para o aluno ler, refletir, questionar, elaborar, investigar, usar tecnologias da informação, aprender e compartilhar. Oferecem oportunidades variadas de interações e de incentivo às criações propositivas do aluno. Sólidos geométricos no cotidiano

5. Responda no caderno: a) No cubo e na pirâmide de base quadrada.

ARTE/ M10

FRESHPAINT/SHUTTERSTOCK

a) Em quais daqueles sólidos geométricos as bordas são formadas só por linhas retas?

ARTE/ M10

ATIVIDADES

Agora, ampliaremos essa figura de modo que cada lado tenha o triplo do comprimento dos lados da figura original. Para isso, podemos selecionar um dos pontos da lista. Ao abrir o teclado virtual, digitaremos “× 3”. Em seguida, marcaremos no plano cartesiano os pontos A, B, C e D. Note que, ao marcarmos os pontos no plano, aparece uma lista com as coordenadas dos pontos.

BLUE PLANET STUDIO/SHUTTERSTOCK

Elas contornaram as bordas planas e, depois, preencheram colorindo a parte interna.

Ao iniciar o aplicativo, será exibido um plano cartesiano e uma barra de ferramentas com diversas opções. Aqui, utilizaremos a função “novo ponto”.

JAKA SURYANTA/SHUTTERSTOCK

JAMESTEOHART/SHUTTERSTOCK

Esfera

FRESHPAINT/SHUTTERSTOCK

Cone

SABINE HORTEBUSCH/SHUTTERSTOCK

JAVIER G./ M10

Pirâmide de base quadrada

Ampliar e reduzir figuras utilizando aplicativos de geometria dinâmica

Você costuma observar a forma de objetos volumétricos em seu cotidiano?

Veja os registros feitos pelas crianças:

Cubo

NUVENS NUVEN S

Os sólidos geométricos também são conhecidos como formas volumétricas, pois ocupam um volume ou uma porção do espaço.

LUPAS E LUNETAS Todos estão contornando as bordas de suas peças, exceto Gustavo. Por que ele está em dúvida? Comente com os colegas. Resposta pessoal.

ARTE/ M10

Bordas retas e bordas curvas

Faremos isso para cada um dos pontos A, B, C e D. Veja como ficou a figura final, ampliada com o triplo do tamanho da original:

b) Em qual houve borda curva? No cone.

c) As bordas mais o preenchimento de cada uma representam figuras planas. Quantas figuras

planas com somente bordas retas foram obtidas por essas crianças na aula da professora Cleide? 11 figuras planas com bordas retas.

6. Observe a representação de alguns copos. Classifique a borda do perfil lateral de cada um deles em reta ou curva.

Volumes na natureza e nas construções humanas.

Agora, vamos observar com mais detalhes o formato dos diversos sólidos geométricos e também das suas superfícies. ATIVIDADES

ALEXANDRE R./M10

LUPAS E LUNETAS

Respostas pessoais.

Em seguida, utilizaremos a função “Reta (Dois Pontos)” para criarmos os lados do polígono que terá seus vértices nos pontos A, B, C e D. Para fazer isso, é necessário clicar nos pontos até que todos os lados tenham sido desenhados.

Formem pequenos grupos e conversem sobre estes assuntos: Respostas pessoais. a) As formas geométricas que identificamos em nosso cotidiano, na arquitetura, nas construções e até na natureza, em sua maioria, não são com exatidão tal como as figuras geométricas estudadas na Matemática. Você acredita que essa afirmação é verdadeira? Por quê? b) Qual é a sua hipótese: a humanidade escolheu usar essas formas porque eram matematicamente interessantes ou a Matemática as estudou porque eram muito utilizadas no cotidiano? Reta

Reta

Curva

Reta

Curva

74 | TRAJETÓRIA 1

Curva

• Compartilhem com os demais colegas da turma.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

75 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Em expressões numéricas envolvendo as quatro operações fundamentais, deve-se respeitar a seguinte ordem para as operações: • 1o multiplicação e divisão, na ordem em que aparecem; • 2o adição e subtração, na ordem em que aparecem.

As diversas “facetas” do ângulo

TRAJETÓRIA 1 Sistemas de numeração

ROMI49/SHUTTERSTOCK

DELCARMAT/SHUTTERSTOCK

INSTITUTO DE ARTE DE CHICAGO, CHICAGO, EUA

São diversos os pintores cubistas. Caso tenha interesse, pesquise na internet as obras de alguns deles, como Pablo Picasso (1881-1973), Juan Gris (1887-1927), Georges Braque (1882-1963) e a brasileira Tarsila do Amaral (1886-1973).

O sistema de numeração que utilizamos – o indo-arábico – tem como características ter base 10 e ser posicional, além da existência do zero. Ao longo da história, outros sistemas de numeração foram substituídos pelo indo-arábico (como os sistemas chinês e egípcio antigos); outros ainda têm alguns usos no cotidiano,

A 1a obra é de Juan Gris, intitulada Retrato de Pablo Picasso, 1912. Óleo sobre tela, 93 cm × 74 cm. School of the Art Institute of Chicago. As duas outras imagens são criações artísticas contemporâneas no estilo cubista, utilizando softwares especializados.

como o sistema de numeração romano. Números naturais

O conjunto dos números naturais é representado pela letra |N: |N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...} Na reta numérica:

Adicionando 1 a um número natural qualquer, obtemos o seu sucessor.

A adição e a subtração são operações inversas. Por exemplo, se 3 + 5 = 8, então 8 – 5 = 3 e 8 – 3 = 5. A operação de multiplicação está relacionada a significados como contagem, adição de parcelas iguais, proporcionalidade, configuração retangular etc. • Propriedades da multiplicação I. Pela propriedade comutativa, a ordem dos fatores não altera o produto da multiplicação. II. A propriedade associativa possibilita associar os fatores de uma multiplicação para realizar os cálculos em uma ordem conveniente.

Subtraindo 1 de um número natural, dife-

III. Pela propriedade do elemento neutro, o produto da multiplicação de um número natural por um 1 é sempre ele mesmo.

Operações com números naturais

totalizar etc. • Propriedades da adição

I. Pela propriedade comutativa, é possível alterar a ordem das parcelas sem

ATIVIDADES

que isso altere o resultado.

possível associar parcelas para decidir

Dividendo

Divisor

Resto

Quociente

E a relação fundamental da divisão é: Dividendo = Quociente × Divisor + Resto

a ordem em que serão realizadas as adições.

133 |

Os prismas apresentam duas bases que são polígonos idênticos. Face

• Qualquer número a elevado a 1 é ele

mesmo:

a 1 = a. Sólidos geométricos Sólidos geométricos podem ser classificados em corpos redondos e poliedros. Os corpos redondos são sólidos geométricos com superfícies curvas, mas podem ter superfícies planas. Os poliedros são sólidos geométricos formados somente por superfícies planas. A superfície dos poliedros é composta de porções de planos. Cada uma dessas porções de superfícies planas é chamada de face do poliedro.

Vértice

Aresta

As pirâmides têm somente uma base e, externo ao polígono da base, há um único vértice, que é comum a todas as faces laterais triangulares.

Um metro cúbico (1 m3) corresponde ao volume ocupado por um cubo de arestas com medida 1 m.

Veja exemplos:

Podemos escrever a divisão como:

adição com três ou mais parcelas, é

delas aquela definição corresponde? Explique. b) Represente cada uma das cinco definições por meio de um desenho. Você pode utilizar lápis de cor para os casos em que for necessário colorir. • Compartilhe com os demais colegas as descobertas que vocês fizeram.

A intersecção de duas ou mais arestas de um poliedro é denominada vértice.

A operação de divisão está relacionada a significados como repartir, agrupar, separar, partilhar etc.

II. Pela propriedade associativa, em uma

a) Compare as cinco definições com a definição apresentada na página anterior. A qual

A intersecção de 2 faces de um poliedro é denominada aresta.

A multiplicação de fatores iguais recebe o nome de potenciação. O produto 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2, por exemplo, pode ser representado por 25. • Qualquer número a, diferente de zero, elevado a 0 é igual a 1: a0 = 1, para a ≠ 0.

IV. Pela propriedade distributiva, podemos relacionar a operação de multiplicação com as operações de adição e subtração. Por exemplo: 3 ⋅ (2 + 5) = 3 ⋅ 2 + 3 ⋅ 5 = 6 + 15 = 21

A operação de adição está relacionada a diversas ações: juntar, acrescentar, adicionar,

12. Forme dupla ou trio. Leia as questões para realizar essa investigação. Respostas pessoais.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

rente de 0, obtemos o seu antecessor.

I. Duas retas distintas que se cortam em um ponto, formando quatro aberturas. Cada abertura recebe o nome de ângulo. II. Ângulo é cada uma das regiões em que o plano fica dividido por duas retas que têm um único ponto comum. III. Um ângulo é a figura geométrica formada por duas semirretas com uma extremidade comum. IV. Ângulo é o nome de cada uma das regiões em que o plano fica dividido por duas de suas retas que tenham um só ponto comum. V. Ângulo é uma rotação que transforma uma semirreta em outra semirreta com a mesma origem.

225 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

RETORNOS

TRAVESSIAS

10. Elabore outras figuras e experimente ampliá-las com um aplicativo de geometria dinâmica. Compartilhe sua produção com os colegas. 11. Como faríamos para reduzir uma figura geométrica utilizando esse aplicativo? Compartilhe com os colegas a sua estratégia.

302 | RETORNOS

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

A superfície do cubo é composta somente por superfícies planas.

A superfície da esfera é composta por uma superfície curva.

A superfície do cilindro é composta por duas superfícies planas e uma superfície curva. 303 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

REMEDIAÇÃO

A tomada de decisão não é uma etapa exclusiva do fim de um processo – uma decisão remediadora pode ser tomada a qualquer momento. Essas seções favorecem a autoavaliação do aluno, incentivam-no a se conhecer como aprendiz e oferecem atividades de revisão e de testes para checagem da aprendizagem. BARCOS E PORTOS

LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais.

Vamos fazer um mapa visual para ilustrar tudo isso? a) Pesquisem por um mapa de seu bairro ou de sua cidade (pode ser impresso ou

digital).

b) Escolham pontos de interesse: praças, referências etc. TOVOVAN/SHUTTERSTOCK

▶ Organize Respostas pessoais. Neste passeio, você estudou maneiras de localizar, representar e manipular figuras geométricas utilizando malhas quadriculadas, plano cartesiano e aplicativos de geometria dinâmica. Você também aprendeu a calcular o perímetro e a área da superfície de algumas figuras geométricas planas, com ou sem o auxílio de malhas quadriculadas. Os dois principais conceitos abordados neste passeio são: plano cartesiano e ampliação e redução de figuras. Revisite o passeio, em detalhes, e procure palavras-chave que tenham relação direta com um desses dois principais temas. Copie o esquema e complete-o, conectando cada círculo principal com essas palavras-chave.

• Sabe escrever números utilizando múltiplos de potências de 10? • Você sabe resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, relacionada à ideia de proporcionalidade, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos diversos? • Calcula a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a na forma fracionária, decimal e percentual? • Consegue realizar experimentos sucessivos para determinar a probabilidade de um evento? • Resolve problemas que envolvam a grandeza massa inseridos em contextos diversos? ▶ Outras disciplinas Geografia • Sabe analisar interações com a natureza de diferentes povos ou grupos sociais, observando transformações da biodiversidade local ou do mundo?

Ampliação e redução de figuras

Plano cartesiano

Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Parcialmente suficiente

Satisfatório

▶ Elabore Plenamente satisfatório

Você aprendeu a ampliar e a reduzir figuras utilizando malhas quadriculadas, plano cartesiano e aplicativos de geometria dinâmica. Elabore um desenho simples e escolha um desses recursos para ampliar e reduzir esse desenho. Em seguida, proponha que um colega amplie e reduza o seu desenho utilizando algum desses recursos. ▶ Proponha

MATEMÁTICA

SUNDRY STUDIO/SHUTTERSTOCK

Insuficiente

A pergunta inicial deste passeio é: De que modo interagimos com o espaço em casa e na cidade? A cidade é constituída de inúmeros elementos, como parques, prédios, comércio, praças, ruas, avenidas, espaços de lazer etc. Os locais onde moramos, em que convivemos e onde estudamos são parte desse todo.

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

Ilustração de mapa de uma cidade fictícia, com destaque para alguns pontos de referência. c) Em seguida tirem fotos, coletem imagens na internet ou produzam desenhos para

representar esses lugares e ilustrar esses pontos de interesse no mapa.

d) Depois, tirem fotos ou ilustrem os locais que vocês frequentam, convivem, moram

Mapa desenhado à mão, representando a cidade de Pula, na Croácia, com os principais pontos de interesse, incluindo a Arena Pula.

277 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

etc. Coloquem-nos também no mapa.

e) Ao final, exponham o mapa produzido em murais da escola ou da própria sala de aula.

230 | BARCOS E PORTOS

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

231 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

12. Corpos redondos: bola de futebol, casquinha de sorvete, lata de óleo. Poliedros: caixa de sapatos, lápis sextavado, barraca de camping.

a) Ela gastou R$ 200,00 no supermercado

e R$ 150,00 com um conserto elétrico. Determine quanto sobrou após esses gastos. R$ 650,00.

b) Do que restou, uma parte ela reservou

substituindo o ■ por algum número natural de 1 a 10: Respostas possíveis:

6. Utilize estratégias de decomposição numérica

e as propriedades da adição para determinar as somas: Possíveis respostas: (3 + 7) + 15 = 10 + 15 = 25. a) 3 + 15 + 7 (12 + 8) + (25 + 5) = 20 + 30 = 50. b) 12 + 25 + 5 + 8 c) 13 + 1 + 6 + 7 + 4 + 9 d) 56 + 67 e) 123 + 329

a) 6 < ■ 8

b) ■ < 5 0 c) 3 < ■ < 8 5 d) ■ < 4 < ■ 1 e 9

2. Considere os números:

KRAKENIMAGES.COM/SHUTTERSTOCK

10 001, 9 998, 10 002, 9 990, 10 010, 10 000, 9 999 a) Escreva-os em ordem crescente utilizando o símbolo < (menor). b) Represente os números na reta numérica.

3. Determine:

a) o sucessor de 4. 5

a) 45 1 024

b) 105 100 000 c) 990 1

d) 1731 173

12. Pense nos seguintes objetos: caixa de sapatos,

bola de futebol, casquinha de sorvete, lápis sextavado, lata de óleo e barraca de camping. Quais são objetos com formas de corpos redondos e quais na forma de poliedros?

com uma bermuda, uma camiseta e um chinelo. Ela tem uma bermuda xadrez, uma laranja e uma listrada. Ela também tem uma camiseta vermelha, uma cor de anil, uma amarela, uma lilás e uma cinza. Chinelos, ela tem um preto, um branco, um marrom e um roxo. Determine de quantas maneiras Duda pode se vestir em casa.

Trajetória 1 1. (Enem) Os incas desenvolveram uma maneira

de registrar quantidades e representar números utilizando um sistema de numeração decimal posicional: um conjunto de cordas com nós denominado quipus. O quipus era feito de uma corda matriz, ou principal (mais grossa que as demais), na qual eram penduradas outras cordas, mais finas, de diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De acordo com sua posição, os nós significavam unidades, dezenas, centenas e milhares. Na Figura 1, o quipus representa o número decimal 2 453. Para representar o “zero” em qualquer posição, não se coloca nenhum nó.

3 ⋅ 5 ⋅ 4 = 60. 60 maneiras.

b) o antecessor de 18. 17 c) o sucessor do sucessor de 3. 5 d) o antecessor do antecessor de 101. 99

utilizando adições e multiplicações: a) 472

•

Comente com os colegas como você fez para calcular cada uma dessas operações.

7. Ary dispunha de R$ 1.000,00 para suas des-

4 ⋅ 100 + 7 ⋅ 10 + 2 ⋅ 1

pesas.

b) 6 754 6 ? 1000 + 7 3 100 + 5 3 10 + 4 3 1 c) 10 982 d) 213 454

2 3 100000 + 1 3 10000 ! 3 3 1000 ! 4 3 100 ! 5 3 10 ! 4 3 1

5. Arredonde os números para a dezena ou

a centena exata mais próxima e faça uma estimativa para a soma deles: a) 59 60 Estimativa da soma: b) 101 100 60 + 100 + 30 + 300 + 400 = 890. c) 28 30 d) 299 300 e) 397 400

4. c) 1 3 10000 + 0 3 1000 ! 9 3 100 + 8 3 10 ! 2 3 1 88 | VISTORIAS

atendente e anotou o número 13_98207, sendo que o espaço vazio é o do algarismo que João não entendeu. De acordo com essas informações, a posição ocupada pelo algarismo que falta no número de protocolo é a de a) centena. b) dezena de milhar. c) centena de milhar. d) milhão. e) centena de milhão.

3. (OBMEP) Cinco dados foram lançados e a

soma dos pontos obtidos nas faces de cima foi 19. Em cada um desses dados, a soma dos pontos da face de cima com os pontos da face de baixo é sempre 7. Qual foi a soma dos pontos obtidos nas faces de baixo? a) 10 d) 18 b) 12 e) 20 c) 16

4. (Enem) Maria quer inovar sua loja de embala-

e) o antecessor do sucessor de 7. 7 f) o sucessor do antecessor de 100. 100

4. Decomponha os números em suas ordens

PROSTOCK-STUDIO/SHUTTERSTOCK

9 899 < 9 998 < 9 999 < 10 000 < 10 001 < 10 002 < 10 010

8. Sempre que está em casa, Duda se veste

SUPLEMENTE SUA APRENDIZAGEM

11. Calcule os resultados das potenciações:

JAVIER G./ M10

CHECK-OUT

1. Complete as desigualdades em seu caderno

para comprar um livro. Mas acabou comprando, com esse dinheiro, um caderno de R$ 25,00 e ainda sobraram R$ 275,00. Quanto ela havia reservado para a compra do livro? R$ 300,00.

ARTE/ M10

Você chegou ao final desta Trajetória. Reflita sobre tudo o que aprendeu e verifique a qualidade da sua aprendizagem. Resolva todos os exercícios no caderno.

JAVIER G./ M10

VISTORIAS

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

gens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas, estão as planificações dessas caixas.

13. Observe o sólido geométrico e responda: Guga: 8 × 7 = 56 ovos; Mário: 6 × 9 = 54 ovos. Logo, Guga comprou mais ovos.

Disponível em: www.culturaperuana.com.br. Acesso em: 13 dez. 2012.

9. Guga comprou uma caixa de ovos dispostos

O número da representação do quipus da Figura 2, em base decimal, é a) 364. c) 3 064. e) 4 603. b) 463. d) 3 640.

em 8 fileiras de 7 ovos cada e Mário, uma caixa em que os ovos estavam dispostos em 6 fileiras de 9 ovos. Quem comprou mais ovos?

10. Helena tem 4 800 mL de suco para servir aos convidados de sua festa. Calcule quantos copos completamente cheios ela conseguirá servir, sabendo que os copos têm capacidade de: a) 200 mL 24 copos. b) 300 mL 16 copos. c) 400 mL 12 copos.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

2. (Enem) João decidiu contratar os serviços de a) Cada uma de suas faces corresponde a

qual tipo de figura plana? Quadrados e trapézios.

b) Determine quantas faces, vértices e ares-

tas ele tem. 6 faces, 8 vértices e 12 arestas.

89 |

uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor). O atendente ditou para João o número de protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele anotasse. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados pelo

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações? a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. c) Cone, tronco de pirâmide e prisma. d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. e) Cilindro, prisma e tronco de cone. 313 |

6. c) Possível resposta: (13 + 7) + (6 + 4) + (1 + 9) = 20 + 10 + 10 = 40. 6. d) Possível resposta: 50 + 6 + 60 + 7 = (50 + 60) + (6 + 7) = 110 +13 = 100 + 10 + 10 + 3 = 100 + 20 + 3 = 123. 6. e) Possível resposta: 100 + 20 + 3 + 300 + 20 + 9 = (100 + 300) + (20 + 20) + (9 + 3) = 400 + 40 + 12 = 400 + 40 + 10 + 2 = 400 + 50 + 2 = 452.

VII |

EM FOCO: O MANUAL DO PROFESSOR O manual do professor é um livro de múltiplas funcionalidades que impactam diretamente o professor, indiretamente o aluno e, de modo circundante, a comunidade escolar. O manual do professor tem o caráter de inspirar o professor para a reflexão, a compreensão e a transformação, levando-o a

ALEXANDRE R. / M10

refletir sobre si mesmo, os conhecimentos, os estudantes e os recursos materiais.

ALEXANDRE R. / M10

ESTRUTURA DA OBRA × INSPIRAÇÃO PARA O ENSINO

Livro do professor: páginas com teor pedagógico abrangente que antecedem o livro do estudante anotado. Livro do estudante anotado: livro do estudante em formato reduzido com respostas, orientações e resoluções nas bordas.

Há conteúdos no manual do professor indicados para o trabalho inicial do ano letivo e outros para os trabalhos no decurso do ano letivo. VIII | MANUAL DO PROFESSOR

Trabalhos iniciais do ano letivo

A seção Prontos para começar! – no manual do professor – traz, a cada volume, um diálogo sobre a prática docente e que incentiva a reflexão do professor antes ou durante os primeiros dias do ano letivo. São temas que têm por objetivo favorecer o planejamento das unidades didáticas e das aulas, considerando as necessidades reais do contexto local.

LEMOV, Doug. Aula Nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2017.

JOA SOUZA/SHUTTERSTOCK

Avance do planejamento da unidade para o planejamento da aula. Defina o objetivo, decida como irá avaliá-lo e depois escolha atividades apropriadas para a aula. Quando comecei a lecionar, eu me perguntava enquanto planejava: “O que vou fazer amanhã?”. A pergunta por si só já revelava falhas no meu método de planejamento em pelo menos dois aspectos essenciais – sem contar as minhas respostas algumas vezes dúbias. A primeira falha era que eu estava pensando em uma atividade para as minhas aulas no dia seguinte, e não em um objetivo – o que queria que meus alunos soubessem ou fossem capazes de fazer quando a aula tivesse terminado. É muito melhor fazer o contrário e Começar pelo fim – o objetivo. Ao estruturar primeiro um objetivo, você substitui a pergunta: “De que atividades os meus alunos vão participar hoje?” por “O que meus alunos serão capazes de fazer quando minha aula tiver terminado?”. A segunda dessas perguntas é mensurável de uma forma significativa. A primeira não é. O sucesso de uma atividade não é determinado pelo fato de você realizá-la ou não e os alunos parecerem ter vontade de participar, mas sim se você atingiu um objetivo que possa ser avaliado. Em vez de pensar sobre uma atividade – talvez: “Vamos ler O sol é para todos” –, estruturar seu objetivo força você a se perguntar o que seus alunos vão ganhar com a leitura do livro. Eles vão entender e descrever a natureza da coragem conforme demonstrado em O sol é para todos? Eles vão entender por que a injustiça algumas vezes prevalece, como mostra o livro O sol é para todos? Ou talvez eles usem O sol é para todos para descrever como o autor constrói personagens importantes por meio de suas palavras e ações. Em suma, há muitas coisas valiosas que você pode fazer em aula e muitas maneiras de abordar cada uma delas. Sua primeira tarefa é escolher a lógica mais produtiva: por que você está ensinando esse conteúdo? Qual é o resultado que você espera? Como esse resultado se relaciona com o que você vai ensinar amanhã e com o que seus alunos precisam para estarem preparados para os anos subsequentes? A segunda falha que minha pergunta revelava tinha a ver com o fato de que eu geralmente a formulava na noite anterior à aula. Além de ser um sinal óbvio de procrastinação, também demonstra que eu estava planejando minhas aulas de forma isolada. Cada aula estava talvez vagamente relacionada com a anterior, porém, não refletia uma progressão intencional no seu propósito. Das duas falhas, esta era na verdade a mais censurável. Eu poderia solucionar o problema da procrastinação planejando todas as minhas aulas na sexta-feira anterior, por exemplo. Mas até que começasse a pensar nas minhas aulas como partes de uma unidade maior, desenvolvendo as ideias com intencionalidade e lentamente em direção ao domínio de conceitos maiores, eu estava certo de que estava andando à deriva. Na verdade, estaria em melhor situação se planejasse com antecedência todos os meus objetivos (apenas eles) para o trimestre e, depois, deixasse o planejamento de cada aula para a última hora, do que se tivesse planejado devidamente na semana anterior todo um lote de aulas, porém centradas apenas em atividades.

2. A avaliação de chegada dos alunos ao novo ano letivo é uma etapa fundamental para nortear as práticas subsequentes.

A avaliação de chegada ajuda a identificar os conhecimentos que os alunos trazem consigo e quais são as melhores estratégias para os diferentes perfis de estudantes.

Antes de aplicar a avaliação, é de suma importância planejá-la. Um dos itens desse planejamento é selecionar as questões, orientadas por suas intencionalidades.

LUPAS E LUNETAS Para essa reflexão, se possível, convide outros professores parceiros. A reflexão poderá ser até mais interessante se nem todos forem de Matemática, pois, certamente, trarão contribuições valiosas por seus pontos de vista surpreendentes.

a) O ano letivo está prestes a começar em sua escola. Abra o livro do estudante na seção Prontos para começar!. Avalie

as propostas de atividades que têm foco nas habilidades da BNCC do ano anterior. Juntos, esbocem uma estratégia de como realizar essa avaliação diagnóstica. Essa avaliação está integralmente adequada ao perfil real dos seus alunos? Há necessidade de ajustar algumas questões ou substituir e criar outras? Em que momento, ou em quantas aulas, será possível realizá-la?

b) Como será feito o registro do desempenho dos alunos? Quais instrumentos de registro já estão disponíveis ou precisam

ser elaborados? Quais aspectos qualitativos os registros devem explicitar para as buscas mais eficientes na mediação da aprendizagem?

3. Após a aplicação da avaliação e da checagem das resoluções de todos os alunos, é o momento de fazer os registros dos desempenhos e mapear os diagnósticos. GROUND PICTURE/SHUTTERSTOCK

Comece pelo fim

ARROWSMITH2/SHUTTERSTOCK

1. O texto a seguir pode ser discutido no momento de trabalho coletivo dos professores.

PHASE4STUDIOS/SHUTTERSTOCK

#PRONTOSPARACOMEÇAR!

LUPAS E LUNETAS Após a leitura desse texto, reúna-se com seus pares.

a) Releia a frase: “Cada aula estava talvez vagamente relacionada com a anterior, porém não refletia uma progressão intencional no seu propósito”. O que você entende por progressão intencional? Em que medida você reconhece esse conceito em suas práticas?

b) A progressão pressupõe um ponto de partida, um percurso estratégico e um ponto de chegada. Considerando a lógica do comece pelo fim, como seria o processo de planejar um capítulo (na coleção, o passeio é o capítulo) fluindo como uma progressão? Cite alguns passos que você organizaria para planejar um capítulo segundo essa lógica.

c) As duas falhas no método de planejamento anteriormente cometidas pelo autor também ocorrem no seu cotidiano

escolar? Como você lidaria com essas falhas? O que você achou das novas estratégias do autor após reconhecer essas falhas? Você imagina que as estratégias utilizadas por ele são aplicáveis à sua realidade? Em que medida necessitam ser ajustadas para suas reais necessidades?

Os estudantes têm tempo e caminhos de aprendizagem distintos. Seja individual ou coletivamente, os desempenhos na avaliação de chegada devem ser analisados considerando essa diversidade.

Os mapas construídos a partir da avaliação diagnóstica podem ser variados, desde que seja possível compreender aspectos diversos do desempenho coletivo, também possibilitando cruzar informações com o desempenho individual. Veja um mapa de diagnósticos fictício, feito logo após a correção das atividades da seção Prontos para começar! realizadas pelos alunos de uma turma de 6º ano com 40 alunos. Este é um mapa coletivo.

X | MANUAL DO PROFESSOR

XI |

Trabalhos no decurso do ano letivo

A Trajetória 1 traz a visão geral da proposta, reflexões sobre a prática docente, a organização da obra, as possíveis articulações entre o livro do estudante e o manual do professor para todos os volumes. A Trajetória 2 apresenta os temas essenciais de cada volume, reforçando seus aspectos específicos e as possibilidades de trabalho para os conteúdos que dizem respeito àquele volume. TRAJETÓRIA 2 – ESSENCIAIS: PARA ESTE VOLUME

TRAJETÓRIA 1 – NORTEADORES: PARA TODOS OS VOLUMES

JOA SOUZA/SHUTTERSTOCK

3. Articulação entre os materiais.

SPEEDKINGZ/SHUTTERSTOCK

1. Visão geral da nossa proposta.

Nesta Trajetória: 2. A prática docente.

Alunos no pátio de escola pública em Santo Antônio de Jesus, Bahia, Brasil.

JOA SOUZA/SHUTTERSTOCK

Realizar atividades de resolução de problemas, modelagem, investigações matemáticas e projetos contribui para o desenvolvimento de habilidades e competências, particularmente aquelas relacionadas ao letramento matemático.

CHECK-IN • De que maneira o livro didático oferece suporte ao trabalho docente quanto ao desenvolvimento de habilidades e competências no Ensino Fundamental?

• Como a interdisciplinaridade pode estar aliada ao desenvolvimento de habilidades e competências específicas de Matemática? • Como os Temas Contemporâneos Transversais (TCT) podem apresentar situações propícias para o trabalho interdisciplinar e o desenvolvimento de habilidades e competências específicas de Matemática?

Sala de aula de escola municipal de Dias D’Ávila, Bahia, Brasil.

XIV | MANUAL DO PROFESSOR

40 | MANUAL DO PROFESSOR

LIGHTSPRING/SHUTTERSTOCK

Desta forma, o manual do professor busca apoiar o trabalho de formação continuada na escola, e o trabalho coletivo, colaborativo e entre pares, na busca por um ensino com mais sentido.

Compartilhamento de estratégias de ensino.

IX |

#PRONTOSPARACOMEÇAR! 1. O texto a seguir pode ser discutido no momento de trabalho coletivo dos professores.

Comece pelo fim Avance do planejamento da unidade para o planejamento da aula. Defina o objetivo, decida como irá avaliá-lo e depois escolha atividades apropriadas para a aula. Quando comecei a lecionar, eu me perguntava enquanto planejava: “O que vou fazer amanhã?”. A pergunta por si só já revelava falhas no meu método de planejamento em pelo menos dois aspectos essenciais – sem contar as minhas respostas algumas vezes dúbias. A primeira falha era que eu estava pensando em uma atividade para as minhas aulas no dia seguinte, e não em um objetivo – o que queria que meus alunos soubessem ou fossem capazes de fazer quando a aula tivesse terminado. É muito melhor fazer o contrário e Começar pelo fim – o objetivo. Ao estruturar primeiro um objetivo, você substitui a pergunta: “De que atividades os meus alunos vão participar hoje?” por “O que meus alunos serão capazes de fazer quando minha aula tiver terminado?”. A segunda dessas perguntas é mensurável de uma forma significativa. A primeira não é. O sucesso de uma atividade não é determinado pelo fato de você realizá-la ou não e os alunos parecerem ter vontade de participar, mas sim se você atingiu um objetivo que possa ser avaliado. Em vez de pensar sobre uma atividade – talvez: “Vamos ler O sol é para todos” –, estruturar seu objetivo força você a se perguntar o que seus alunos vão ganhar com a leitura do livro. Eles vão entender e descrever a natureza da coragem conforme demonstrado em O sol é para todos? Eles vão entender por que a injustiça algumas vezes prevalece, como mostra o livro O sol é para todos? Ou talvez eles usem O sol é para todos para descrever como o autor constrói personagens importantes por meio de suas palavras e ações. Em suma, há muitas coisas valiosas que você pode fazer em aula e muitas maneiras de abordar cada uma delas. Sua primeira tarefa é escolher a lógica mais produtiva: por que você está ensinando esse conteúdo? Qual é o resultado que você espera? Como esse resultado se relaciona com o que você vai ensinar amanhã e com o que seus alunos precisam para estarem preparados para os anos subsequentes? A segunda falha que minha pergunta revelava tinha a ver com o fato de que eu geralmente a formulava na noite anterior à aula. Além de ser um sinal óbvio de procrastinação, também demonstra que eu estava planejando minhas aulas de forma isolada. Cada aula estava talvez vagamente relacionada com a anterior, porém, não refletia uma progressão intencional no seu propósito. Das duas falhas, esta era na verdade a mais censurável. Eu poderia solucionar o problema da procrastinação planejando todas as minhas aulas na sexta-feira anterior, por exemplo. Mas até que começasse a pensar nas minhas aulas como partes de uma unidade maior, desenvolvendo as ideias com intencionalidade e lentamente em direção ao domínio de conceitos maiores, eu estava certo de que estava andando à deriva. Na verdade, estaria em melhor situação se planejasse com antecedência todos os meus objetivos (apenas eles) para o trimestre e, depois, deixasse o planejamento de cada aula para a última hora, do que se tivesse planejado devidamente na semana anterior todo um lote de aulas, porém centradas apenas em atividades. LEMOV, Doug. Aula Nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2017.

LUPAS E LUNETAS Após a leitura desse texto, reúna-se com seus pares.

c) As duas falhas no método de planejamento anteriormente cometidas pelo autor também ocorrem no seu cotidiano

X | MANUAL DO PROFESSOR

ARROWSMITH2/SHUTTERSTOCK

JOA SOUZA/SHUTTERSTOCK

2. A avaliação de chegada dos alunos ao novo ano letivo é uma etapa fundamental para nortear as práticas subsequentes.

A avaliação de chegada ajuda a identificar os conhecimentos que os alunos trazem consigo e quais são as melhores estratégias para os diferentes perfis de estudantes.

Antes de aplicar a avaliação, é de suma importância planejá-la. Um dos itens desse planejamento é selecionar as questões, orientadas por suas intencionalidades.

a) O ano letivo está prestes a começar em sua escola. Abra o livro do estudante na seção Prontos para começar!. Avalie

b) Como será feito o registro do desempenho dos alunos? Quais instrumentos de registro já estão disponíveis ou precisam

ser elaborados? Quais aspectos qualitativos os registros devem explicitar para as buscas mais eficientes na mediação da aprendizagem?

3. Após a aplicação da avaliação e da checagem das resoluções de todos os alunos, é o momento de fazer os registros dos desemGROUND PICTURE/SHUTTERSTOCK

PHASE4STUDIOS/SHUTTERSTOCK

penhos e mapear os diagnósticos.

Os estudantes têm tempo e caminhos de aprendizagem distintos. Seja individual ou coletivamente, os desempenhos na avaliação de chegada devem ser analisados considerando essa diversidade.

Mapa 1

QUESTÃO

UNIDADE

MENÇÃO (%)

TEMÁTICA

HABILIDADES N

EF05MA01

EF05MA02, EF05MA03, EF05MA05

12,5

EF05MA03, EF05MA04, EF05MA05

EF05MA06

EF05MA14, EF05MA15

EF05MA16

EF05MA12, EF05MA19, EF05MA24, EF05MA25

EF05MA12, EF05MA19, EF05MA21

EF05MA09, EF05MA22, EF05MA23

EF05MA18, EF05MA20

EF05MA07, EF05MA08

EF05MA11

12,5

52,5

EF05MA10

EF05MA07

EF05MA07, EF05MA11

EF05MA07

X X

Unidades temáticas: N (Números); A (Álgebra), G (Geometria); GM (Grandezas e Medidas) PE (Probabilidade e Estatística). Menção: o aluno está apto para esses objetivos? Sim (S), Não (N), Parcialmente (P).

As células pintadas na coluna “menção” indicam em qual menção a maioria da turma está localizada, a cada questão. Veja agora um mapa de diagnósticos, também fictício, com as menções individuais.

ALUNO

Mapa 2

QUESTÕES

MENÇÃO (%)

31,25

18,75

56,25

37,5

31,25

Menção: o aluno está apto para esses objetivos? Sim (S), Não (N), Parcialmente (P).

XII | MANUAL DO PROFESSOR

LUPAS E LUNETAS Considere todas as questões da seção Prontos para começar! do livro do estudante e também esses dois mapas de diagnósticos. Se preferir, convide seus pares para esta reflexão.

O que chama a sua atenção no mapa 1?

Observando esse mapa 1, qual destas frases você julga ser mais adequada para descrever essa turma:

São alunos que vieram do 5º ano com grandes dificuldades em todas as unidades temáticas.

II.

Têm dificuldades somente em geometria.

III.

Toda a turma é excelente em números.

IV.

A maioria é boa em números e fraca em geometria e, no geral, são medianos nas demais unidades temáticas.

A maioria é mediana em todas as unidades temáticas, exceto em geometria, em que são muito fracos.

c) Considerando o diagnóstico dessa turma, quais decisões você tomaria em favor de direcionar a aprendizagem dos alunos para os objetivos desejados?

d) Considerando o mapa 2, o que podemos observar? I. Analisando o desempenho do aluno 1 quanto às unidades temáticas, seu perfil 1 vai no sentido contrário ao da maioria dos alunos da turma: ele é excelente em geometria, mediano em números e fraco em álgebra. Como deve ser a tomada de decisão em relação a esse aluno, comparada à tomada de decisão sobre a maioria? Explique. II.

Descreva o perfil do aluno 2. Ele é mais parecido ou é muito distinto do perfil geral da turma?

III.

Descreva o perfil do aluno 3. Ele é mais parecido ou é muito distinto do perfil geral da turma?

4. Após a avaliação de chegada, é hora de fazer ajustes no planejamento, em favor de atender à diversidade de aprendizagem mos-

RAWPIXEL.COM/SHUTTERSTOCK

DRAGON IMAGES/SHUTTERSTOCK

trada nos mapas de diagnósticos. É hora de planejar as novas ações, “começando pelo fim”.

O planejamento da unidade e das aulas deve ser elaborado pelo professor sozinho, mas pode ser articulado em parceria com os demais professores e seu desenvolvimento pode ser comunicado coletivamente.

a) Tenha em mãos os mapas de diagnósticos que você elaborou após a realização das questões da seção Prontos para começar!. Trace objetivos claros e alcançáveis pelos alunos, aula por aula.

b) Em seguida, analise o primeiro passeio e planeje ações com intencionalidades lentamente crescentes em direção ao domínio desses objetivos.

c) Como você organizaria as práticas didáticas agora que tem claramente os objetivos a serem alcançados dentro de um capítulo (passeio)?

d) Escolha um passeio do livro e avalie (fazendo os ajustes para a sua realidade) como ele auxiliaria você a percorrer o caminho em favor de atingir o domínio esperado pelos alunos.

XIII |

TRAJETÓRIA 1 – NORTEADORES: PARA TODOS OS VOLUMES 1. Visão geral da nossa proposta.

Nesta Trajetória: 2. A prática docente. JOA SOUZA/SHUTTERSTOCK

3. Articulação entre os materiais.

JOA SOUZA/SHUTTERSTOCK

Alunos no pátio de escola pública em Santo Antônio de Jesus, Bahia, Brasil.

Sala de aula de escola municipal de Dias D’Ávila, Bahia, Brasil.

XIV | MANUAL DO PROFESSOR

1. VISÃO GERAL DA NOSSA PROPOSTA A Matemática desenvolve um papel fundamental nas atividades do dia a dia, relacionando diferentes áreas das ciências, tecnologias, artes e outras linguagens. Os conhecimentos matemáticos estabelecidos pela Base Nacional Comum Curricular (BNCC) são entrelaçados nesta coleção por meio de situações apresentadas em contextos diversos do cotidiano e de outras áreas do conhecimento. Para conhecer as particularidades desta coleção, seja em relação aos materiais do estudante ou do professor, este manual favorece, por meio de explorações gradativas, uma forma de conhecê-lo por sucessivas aproximações no decorrer do ano letivo, em momentos de horário pedagógico coletivo, por exemplo, também entre duplas, trios ou outras pequenas formações. Assim, os professores podem encontrar as melhores formas de construir parcerias por meio desta obra, desde a exploração inicial deste material até o seu uso efetivo em sala de aula.

ESB PROFESSIONAL/SHUTTERSTOCK

Como aproveitar ao máximo os recursos apresentados nesta coleção?

A excelência da aula depende do professor, todavia, vai além das suas ações e dos materiais que ele utiliza: há uma rede complexa de fatores que implica a necessidade de competências diversas a todos os envolvidos.

CHECK-IN • De que maneira você utiliza o livro didático em sala de aula? • Além de constituir um suporte de conteúdos sobre matemática e didática, que outras possibilidades quanto à prática docente você enxerga para o livro didático?

• Considerando a noção de avaliação formativa, de que maneira o livro didático pode subsidiar a prática docente?

XV |

Salas de aula e realidades diferentes

GOLDEN DAYZ/SHUTTERSTOCK

Existem diversas maneiras de utilizar os mesmos materiais didáticos, todas elas com possibilidades de desencadear aulas excelentes. Cada turma é diferente: em algumas os alunos são participativos, em outras, eles necessitam de mais estímulos para a participação; algumas são eficientes em diversidade de assuntos e curiosidades e outras não correm os riscos da curiosidade. Também cada professor excelente é diferente: alguns são enérgicos, outros são brandos; alguns são acadêmicos, outros, mais informais. Cada um utiliza melhor seu repertório de técnicas adequadas a cada um dos diversos momentos da aula. As salas de aula de alta produtividade estão sempre acolhidas por professores que se esforçam para criar os melhores cenários de aprendizagem, buscando cada vez mais um rigor nas suas ações para o ensino, nas atitudes de aprendizagem de seus alunos e na melhoria das formas de interações entre ele, os alunos e os conhecimentos, para que todos possam ter oportunidades de ampliar seu horizonte acadêmico e aprimorar a própria reflexão crítica no convívio pacífico em sala de aula.

Há diversos caminhos para ensinar os diferentes alunos, cada um com suas potencialidades e seus obstáculos.

Conhecer a fundo os recursos materiais, a diversidade de perfis de alunos, os possíveis obstáculos de cada um, as estratégias mais satisfatórias para a maioria – ou as estratégias específicas para determinado aluno –, identificar modos de estimular aqueles que sempre dizem “eu não sei”, entre outras análises profundas, são parte da rotina diária dos excelentes professores. Um bom início para essas análises profundas é conhecer o material que está em suas mãos. Estrutura da coleção e a prática docente

Avaliação: informada

assistida

Vamos apresentar a estrutura padrão de cada volume por meio do processo avaliativo. Cada volume é assim composto:

Páginas iniciais: avaliação de chegada

Unidades bimestrais

Páginas finais: revisão e exames de larga escala

Prontos para começar!

Trajetória (de 1 a 4)

Retornos e Suplemente sua aprendizagem

ALEXANDRE R. / M10

Cada Trajetória é dividida em três passeios. Os passeios se inter-relacionam por meio de uma pergunta norteadora abrangente que desencadeia o contexto central da Trajetória. Essa pergunta abrangente, por sua vez, desencadeia outras três perguntas, uma para cada passeio.

XVI | MANUAL DO PROFESSOR

ALEXANDRE R. / M10

Veja o esquema detalhado da estrutura padrão de uma Trajetória.

A avaliação, que ocorre na interação entre professor e aluno, no decorrer de cada passeio é:

• informada, pois cabe ao professor evidenciar as expectativas de aprendizagem, os propósitos das práticas em sala e a qualidade

dos resultados; e cabe ao aluno expor suas primeiras noções, informar a percepção sobre sua própria aprendizagem, os possíveis efeitos das práticas em sala e comunicar os resultados obtidos; • assistida, pois cabe ao professor observar e analisar os movimentos de aprendizagem do aluno; e cabe a este expor e sinalizar os efeitos de todas as práticas de ensino ofertadas pelo professor. As fases da trajetória de aprendizagens

Chamamos de trajetória de aprendizagens um conjunto de ações didáticas estruturadas em três fases: chegada, núcleo e desfecho, de modo que cada fase seja, ao mesmo tempo, informada e assistida. As fases de uma trajetória de aprendizagens são nomeadas por: mapa de estudos, percurso e porto de chegada. Quais são as diferentes possibilidades para o professor em suas práticas? E como tirar o melhor proveito do processo avaliativo? Como essas questões podem ser contempladas em uma Trajetória no livro do estudante? O quadro mostra algumas possibilidades oferecidas pela estrutura de uma Trajetória no livro do estudante, segundo as três fases: o mapa, o percurso e o porto.

Fases de uma trajetória de aprendizagens FASE

TRAJETÓRIA Check-in;

Mapa de estudos

QUESTÕES REFLEXIVAS

ESTRUTURA DE UMA

Arredores;

Da parte do aluno • Onde estou? • Para onde vou?

Da parte do professor • Onde o aluno está? • Do que necessita para se colocar a caminho?

Bússola.

• A que precisarei estar atento para ver corretamente?

Textos e teorias;

O foco do olhar:

• O que o aluno é capaz de ver?

Atividades;

• O que vejo e o que não vejo?

Lupas e lunetas.

• O que preciso ver ainda?

• Do que ele precisa para ver aquilo que ainda não consegue?

Percurso

A crítica do olhar: Diálogo em aula por meio das atividades.

• Como vejo? • O que fazer para ver melhor? • Para que vejo?

Levo na bagagem; Porto de chegada Barcos e portos; Vistorias.

• Consegui chegar? • Vi tudo que era para ser visto? • Como poderia ter visto melhor?

• O que ele tem e o que não tem na bagagem?

• Por que motivos o aluno aprendeu/não aprendeu? • Para quais ações ele já está apto e em quais ainda precisa de apoio? • Sob quais pontos de vista o aluno chegou ao objetivo? • Como poderia ter navegado melhor? XVII |

Ao longo de toda a trajetória de aprendizagens, aluno e professor, em um trabalho complementar de esforços, desenvolvem estratégias para identificar aquilo que representa um obstáculo na aprendizagem e, juntos, podem verificar formas possíveis de superá-lo.

LUPAS E LUNETAS Para esta reflexão, tenha em mãos um volume desta coleção, de sua escolha. Abra uma dupla de páginas que contenha as seções Check-in, Arredores e Bússola. Considere a situação de entrada, as informações, os conteúdos, o contexto, o mapa de vínculos e ênfases, que se encontra na seção Arredores, e a lista dos objetivos, que se encontra na seção Bússola.

Que estratégias você planejaria para o trabalho com essa dupla de páginas, antes de entrar em sala de aula?

Segundo seu olhar, que eficácia o uso dessas páginas proporciona à avaliação informada e assistida?

Como você utilizaria essa dupla de páginas em sala de aula, levando em conta as reflexões que você acabou de fazer?

A estrutura da obra oferece ao aluno oportunidades variadas para que, gradativamente, desenvolva autonomia para monitorar sua aprendizagem, organizar seus conhecimentos, desenvolver estratégias de estudo e autoavaliar-se. É possível criar condições em sala que o incentivem a vivenciar experiências de aprendizagem voltadas para reflexões, tanto da ordem cognitiva quanto da metacognitiva.

Cuidar da mente, desenvolver bons hábitos de estudos, monitorar e regular o próprio pensamento são habilidades e atitudes que envolvem a aprendizagem autorregulada.

A principal função de uma estratégia cognitiva é lhe ajudar a alcançar o objetivo de qualquer iniciativa cognitiva em que você esteja envolvido. Em contraste, a principal função de uma estratégia metacognitiva é lhe oferecer informações sobre a iniciativa ou seu progresso nela. Podemos dizer que as estratégias cognitivas são evocadas para fazer o progresso cognitivo, e as estratégias metacognitivas para monitorá-lo. (FLAVELL; MILLER; MILLER, 1999, p. 129) As pesquisas voltadas para aprendizagem autorregulada, metacognição, autoaprendizagem e outros temas desse campo têm se intensificado nos últimos anos.

Barry Zimmerman e outros pesquisadores apresentaram a perspectiva do aprendizado autorregulado ou selfregulated learning (SRL). Nesta visão, o aluno autorregulado é consciente e controla o seu processo de aprendizagem; seleciona os métodos e as estratégias que utiliza, revelando um grande sentido de autoeficácia; e organiza e estrutura quer o seu contexto de estudo quer o trabalho a realizar, identificando as situações em que precisa de ajuda e adaptando as estratégias de aprendizagem aos seus objetivos acadêmicos (ZIMMERMAN, 1986). Estas são as seções do livro que oferecem oportunidades de desenvolver um trabalho com essas finalidades:

• Bússola: seção que apresenta ao aluno, a cada início de passeio, o que se espera que ele aprenda. Uma vez informado da expectativa quanto à sua aprendizagem, ele próprio deve ficar atento, no decorrer do passeio, ao que é esperado dele.

• Levo na bagagem: boxe que aparece no fechamento do passeio, que é um momento reflexivo individual do aluno quanto à qua-

lidade do seu aprendizado. As perguntas estão em acordo com as expectativas de aprendizagem declaradas na seção descrita anteriormente. • Organize (da seção Barcos e portos): há sempre uma proposta de retomada, por parte do aluno, dos conhecimentos e habilidades explorados no passeio, para que ele possa atribuir significados novos ou reorganizar mentalmente os conteúdos explorados. XVIII | MANUAL DO PROFESSOR

EAMESBOT/SHUTTERSTOCK

A aprendizagem autorregulada

• Vistorias: ao final da Trajetória (que equivale a um bimestre), o aluno tem mais um conjunto de atividades representativas das habilidades essenciais daquela Trajetória. Ele próprio pode verificar quais habilidades desenvolveu em melhores condições e quais não.

• Dicas de estudos: ao final de cada Trajetória, o aluno é convidado a refletir, descobrir modos de estudar e tentar colocar em prática os bons hábitos de estudo individual.

• Suplemente sua aprendizagem: ao final de cada volume, há uma coletânea de questões de exames de larga escala que pode ser utilizada como instrumento de avaliação (ou autoavaliação, uma vez que há o gabarito disponível para o aluno).

• Retornos: para os alunos que demonstrarem dificuldades de compreensão dos conhecimentos essenciais no decorrer do passeio,

ou para alunos que desejarem reforçar seus conhecimentos, há uma síntese dos conteúdos explorados em cada Trajetória. A leitura e a construção dos próprios resumos, esquemas, fichamentos de conteúdos devem ser incentivadas na rotina de estudos dos alunos. O quadro expõe exemplos de perguntas que podem ser ensinadas aos alunos para exercitarem o pensamento metacognitivo.

Possíveis questões com ênfase nas estratégias metacognitivas SOBRE OS

QUESTÕES

DESEMPENHOS Das ferramentas

• Eu sei fazer cálculos mentais? • Aprendo melhor registrando no papel ou só mentalizando as etapas de cálculo? • Eu sei usar diferentes representações para um mesmo cálculo? • Sei usar cálculo mental em situações do cotidiano?

Do uso das tarefas

• Como uso as ideias e as propriedades das operações ao registrar no papel ou mentalizar as etapas da realização de uma conta? • Eu reconheço as diferentes estratégias de cálculo de uma mesma operação em situações do cotidiano, em uma compra de supermercado, por exemplo? • O que preciso fazer para aprender a calcular mentalmente?

Sobre os efeitos • Como devo agir na hora de registrar mentalmente uma conta para que cada vez eu possa calcular melhor? do uso das ferramentas • Como posso eliminar a insegurança e o medo de aprender mais de uma estratégia de cálculo para uma mesma operação? Sobre as finalidades de uso das ferramentas

• Para que devo fazer uso do cálculo mental no cotidiano? • Por que aprendo melhor (ou é indiferente) as propriedades das operações ao fazer uma conta “de cabeça”, por exemplo, no supermercado? • Como escolher a melhor estratégia de cálculo para uma conta em uma situação do cotidiano (em uma compra de supermercado, por exemplo)?

Com base nessas questões em que o próprio aluno refletiu, autorregulou seu pensamento e autoavaliou-se é, agora, a vez de o professor verificar a qualidade dos desempenhos metacognitivos do aluno:

Verificação dos efeitos dos processos metacognitivos

• Descreva os processos de cálculo em uma situação real em que você utilizou cálculo mental. • Relate um fato que você aprendeu durante um registro por escrito de um cálculo ou de um processo mental de resolução de uma operação. • Invente uma conta e escreva pelo menos duas maneiras de determinar seu resultado.

LUPAS E LUNETAS Escolha uma página que contenha o boxe Levo na bagagem. Considere os conhecimentos, as atitudes e a exploração dos contextos aos quais essa seção se refere para realizar o que se segue.

a) Que orientações você daria para a turma quanto ao momento em que cada aluno for refletir sobre sua aprendizagem? Como você monitoraria e validaria a atitude dos alunos na realização dessa autoavaliação?

b) Que outras questões autoavaliativas você acrescentaria às que estão sugeridas no livro do estudante? c) Com essa página, escolhida por você, roteirize um caminho de trabalho a ser aplicado em aula, escolhendo sempre uma linguagem clara e sucinta.

XIX |

Ciclos de aprendizagens e ciclos avaliativos

ALEXANDRE R. / M10

A prática docente é permeada pela atividade avaliativa em suas diversas modalidades.

Avaliação diagnóstica É aplicada no início de cada ciclo de aprendizagem. Possibilita a identificação de conceitos, procedimentos, fatos e atitudes que os alunos já têm estabelecidos em momentos anteriores ao novo ciclo prestes a começar. Por meio dos feedbacks dos alunos, é possível captar o alcance do que têm já efetivado para, com essas informações, o professor construir as estratégias das novas aprendizagens. Tem a função de ajuste bilateral, aluno/programa de estudos: seja modificando o programa de estudos para adequá-lo aos alunos, seja orientando as aprendizagens dos alunos para que percorram com sucesso o programa estabelecido. Avaliação de processo ou formativa Dentro da atividade avaliativa está a avaliação de processo, que se traduz como o acompanhamento da aprendizagem, de maneira que seja possível monitorar avanços, dificuldades, possíveis obstáculos que envolvem a aprendizagem dos alunos e fazer intervenções em “tempo real”, oferecendo oportunidades que satisfaçam às necessidades diversas que ocorrerem no decurso do ciclo de aprendizagem. Essa avaliação interfere em toda a atividade de ensino-aprendizagem. É preciso levantar informações úteis e criar modificações eficazes para a regulação do processo de ensino-aprendizagem. Tem caráter formativo. Avaliação de resultado Esta ocorre ao final de um ciclo de aprendizagem. Sua função é verificar quais aquisições foram feitas ao longo do ciclo de aprendizagem com vistas a expedir ou não um “certificado”, ou seja, tem caráter certificativo. Essa avaliação mensura a eficácia do processo de ensino-aprendizagem. Avaliação a serviço da aprendizagem

Ao longo do livro do estudante, é possível verificar possibilidades para o trabalho docente que, por vezes, extrapolam a esfera estrita da Matemática e, por outras, complementam-na a partir do convite à utilização de diversas maneiras de se expressar matematicamente: oralmente, artisticamente, ludicamente etc. Levando em conta as três modalidades de avaliação, apresentamos os potenciais das diversas seções do livro quanto a cada uma dessas modalidades avaliativas:

1. Para efeitos de avaliação diagnóstica, usos possíveis: Prontos para começar!, Check-in, Arredores, Bússola, Atmosfera. Todas essas seções indicam as possibilidades preparatórias para as ações diagnósticas, ou seja, levantamento de indícios e, em seguida, favorecer a condução influenciada por expectativas de aprendizagem específicas a serem monitoradas mediante as produções dos alunos. Tais produções serão desenvolvidas ao longo do processo de ensino-aprendizagem. Assim, podem ser utilizadas como levantamento de indícios as seções Prontos para começar!, Check-in e Atmosfera.

4 8

4 6

1 2

2 3

Texto elaborado com finalidade didática. Informações obtidas em: www.wwf.org.br e https://educacao.uol.com.br. Acessos em: 17 maio 2022.

Escreva com algarismos os números destacados no texto, em ordem crescente, utilizando o símbolo de menor (<). 220 < 2 000 < 2 018 < 4 617 < 12 028 < 23 102 < 30 000 < 152 706 2.

Represente estes números em uma reta numérica:

Observe as figuras (considere o círculo como o inteiro): 1 ; 4 ; 1 ; 2 ; 4 ;

3 5 ; 0,3; ; 1; 2,25 4 2

0,3

3 4

2 6 3 3 8

Escreva a fração que corresponde às partes pintadas em relação ao todo em cada figura e, em seguida, represente essas frações em uma reta numérica. 4.

Em uma caixa há 100 livros destinados para doação. Considerando essa informação, substitua cada ■ pelo número correto: a) Se há 75 livros usados, então ■%

dos livros são usados. 75 b) Se a décima parte dos livros é de

ficção científica, então ■% dos livros são de ficção científica. 10 c) Sabendo que metade dos livros foi doada por uma única pessoa, as doações dessa pessoa correspondem a ■% do total de livros. 50 d) Se 25% dos livros são de poesia, então há ■ livros de poesia na caixa. 25 14 |

2 2,25 5 2

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Um cientista fotografou, a cada 10 minutos, o termômetro com a temperatura da substância que estava pesquisando:

100 oC 90 oC 80 oC 70 oC 60 oC 50 oC 40 oC 30 oC 20 oC 10 oC

a) Reproduza e complete a tabela que

Qual das alternativas é a correta em cada item? a) O ponto de coordenadas (1, 3) repre-

senta um local do mapa: • com água x • terrestre • área verde b) Um ponto situado em uma área verde do mapa é: • (6, 10) • (13, 3) x • (10, 9)

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

7. b) Temperatura da substância 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

0 min 10 min 20 min 30 min 40 min

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

A – II; B – I; C – IV; D – III.

Temperatura da substância 3

Foi desenhado um plano cartesiano sobre o mapa de certa cidade: ALEXANDRE R./M10

Associe cada sólido geométrico à planificação de sua superfície:

Temperatura (oC)

1 3

Leia o texto:

representa a temperatura, em °C, a cada 10 minutos de experiência, partindo do momento 0 min:

III

20 30 40 Tempo (min)

No depósito de uma fábrica, um funcionário trabalha organizando as caixas. ICONIC BESTIARY/SHUTTERSTOCK

3. 0

ARTE/ M10

#PRONTOSPARACOMEÇAR!

Foram empilhadas várias caixas em formato de cubo com 1 m de aresta:

Temperatura da substância Tempo (min)

50 70

Temperatura (oC) b) Elabore um gráfico de linhas que

represente a temperatura, em °C, a cada 10 minutos de experiência. c) Supondo que o aumento de temperatura siga esse mesmo padrão, qual seria a temperatura no tempo 50 min? 110 °C. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

16 caixas.

a) Quantas caixas foram empilhadas? b) Se o volume de cada cubo é

1 m3, qual é o volume total do empilhamento? 16 m3.

c) Se 1 000 L correspondem a 1 m3,

qual seria a capacidade em litros?

16 000 L.

15 |

A seção Prontos para começar! é uma ótima ferramenta para realizar um diagnóstico na chegada dos alunos, nas primeiras aulas do ano letivo.

XX | MANUAL DO PROFESSOR

PASSEIO 1 – NÚMEROS DECIMAIS

ATMOSFERA [...]

O QUE OS NÚMEROS INDICAM SOBRE O MEIO AMBIENTE?

As “contas” do meio ambiente

Observe este infográfico. Levando em conta os números que aparecem nele, responda às questões.

Nossa civilização, assim como todas as demais que já existiram sobre a Terra, possui forte dependência do meio ambiente. Embora muitas vezes a gente se esqueça disso, os recursos naturais estão presentes nas mais elementares atividades humanas, como comer, beber e respirar. Mesmo nas sociedades mais complexas, essa dependência se mantém. Continuamos a precisar de água e de

FREEPIK/ ARTE/ M10

Os países que geram mais e menos lixo eletrônico (kg por pessoa)

energia, por exemplo, que são elementos básicos para quase todas as atividades humanas, especialmente as econômicas. Além de prover nossa subsistência, a natureza nos propicia lazer e prazer estético, cultural e espiritual e é também responsável pela reciclagem dos resíduos gerados pelas ações humanas. [...]

CONTAS econômicas ambientais: o que são? Projeto TEEB regional-local. Brasília/DF: Ministério do Meio Ambiente, 2019. Disponível em: www.giz.de/en/downloads_els/Cartilha%20Contas%20Econ%C3%B4micas%20Ambientais_09_05_2019.pdf. Acesso em: 12 jul. 2022.

ALEXANDRE R./M10

Água: participação das atividades econômicas no consumo total (em %) Agricultura, pecuária, produção florestal, pesca e aquicultura

97,4

Indústrias extrativas

0,1

Indústrias de transformação e construção

1,0

Eletricidade e gás

0,0

Água e esgoto

0,8

Demais atividades

0,1

Participação das famílias no consumo total

0,6

Consumo total

100,0

Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) e a Agência Nacional de Águas (ANA). Contas Econômicas Ambientais da Água. Divulgação em 2020, dados de 2017.

ATIVIDADES

CHECK-IN a) Quantos números há nesse infográfico? 10 números.

b) Pense em alguém que pese 28 kg. Considere essa pessoa e imagine o que significa

a quantidade de lixo eletrônico que uma pessoa, sozinha, gera na Noruega. Que conclusões você pode propor com essa comparação? Resposta pessoal. 1 5 , , c) Observe os números: 5, 2 10%, 50%, 10 50. Quais deles você relacionaria ao número 0,5? Converse com os colegas a esse respeito. 1

3. 4. 5. 6. 7.

c) 2 50% e 10 pois são os únicos que equivalem ao número 0,5. 238 | TRAJETÓRIA 4

1. Lazer, prazer estético, cultural, espiritual e também reciclagem dos resíduos gerados pelas ações humanas.

Segundo o texto, atividades elementares como comer, beber e respirar são sinais da nossa forte dependência do meio ambiente. A natureza provê nossa subsistência. Além desses, que outros elementos da atividade humana são também a natureza que nos propicia? Quais são os dois elementos que o texto afirma serem básicos para quase todas as atividades humanas? Água e energia. Agricultura, pecuária, produção florestal, pesca e aquicultura. Qual atividade econômica é a que mais consome água do total de participação? Quanto consomem, juntas, as indústrias extrativas e as de transformação e construção? 1,1%. A soma de quais duas atividades econômicas resulta em 1,5%? Água e esgoto e demais atividades. Quem consome mais água: as famílias ou as indústrias de construção? As indústrias de construção. Qual dessas atividades econômicas você acha que deveria economizar mais água? Como acredita que isso seria possível? Apresente uma proposta para que essa atividade econômica citada por você possa economizar água. Respostas pessoais.

258 | TRAJETÓRIA 4

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

As seções Check-in e Atmosfera são adequadas para realizar um diagnóstico dos conhecimentos e atitudes dos alunos quanto à Matemática e aos contextos diversos no início de cada novo passeio – que pode durar de 15 a 20 dias.

Para o monitoramento das expectativas de aprendizagem, são adequadas as seções Arredores e Bússola.

ARREDORES Composição e decomposição

Relação entre d, c e m

Décimos d

Centésimos c

Milésimos m

NÚMEROS DECIMAIS

Representação de número

Decimal

Fracionária

SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL

Comparação de números decimais

Reta numérica

EF06MA01, EF06MA02, EF06MA08 EF69LP05 EF06CI04

BÚSSOLA Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: • •

• • • • •

Reconhecer números decimais em situações cotidianas. Reconhecer a correspondência entre as representações decimal e fracionária de um mesmo número e estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra. Compreender a representação de números decimais segundo o sistema de numeração decimal. Compor e decompor números decimais. Comparar e ordenar números decimais, representando-os na reta numérica. Justificar em charges o efeito de humor, ironia ou crítica pelo uso ambíguo de palavras, expressões ou imagens. Associar a produção de materiais sintéticos ao desenvolvimento científico e tecnológico, reconhecendo benefícios, mas também avaliando impactos ambientais.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

239 |

O mapa de vínculos e ênfase apresenta uma possibilidade de conexões entre os diferentes conteúdos matemáticos e, logo abaixo, as expectativas de aprendizagem, que podem ser previamente ajustadas pelo professor, de acordo com seu planejamento.

XXI |

2. Para efeitos de avaliação em processo, usos possíveis: Atividades, Nuvens, Travessias, Lupas e lunetas e Retornos. A seção Atividades fornece as principais ações cotidianas da sala de aula para o olhar da avaliação mediadora. Nesse momento, o aluno enfrenta uma tarefa, registra um processo, demonstra o produto de uma atividade e, a partir de então, são expostos os elementos observáveis que passam a ser informações para a avaliação em processo. Essa seção tem um duplo papel na avaliação em processo: avaliar a atividade do aluno (sua postura acadêmica no ato de aprender, que vai além de destrezas mentais com os conhecimentos matemáticos, como sua autoestima e perseverança na busca de soluções) e avaliar o resultado da sua produção ou o seu produto (nesse caso, é possível fazer uma observação indireta do aluno como produtor, levando em conta os traços de seu produto).

ATIVIDADES

20. b) Problema possível: Maria comprou cinco bandejas com seis ovos cada uma. Um ovo ela consumiu. Qual fração de meia-dúzia de ovos ainda restam?

19. Escreva uma fração imprópria e a forma mista

b) A partir dessa situação, elabore um pro-

9 1 =2 4 4

21. Observe as divisões de cada círculo e de

20. Observe esta imagem, considerando meia-

1 1 1 segundo, fossem divididas ao meio, a qual , , . 4 6 8 fração do todo cada nova fatia corres-

blema e, depois, troque-o com um colega na hora de resolver.

de modo que sejam representadas as partes pintadas das figuras em relação a um inteiro:

cada maçã.

CHEKYRAVAA/SHUTTERSTOCK

7 1 = 2 b) 3 3

7 1 c) =1 6 6 a) Se as fatias de cada círculo, a partir do

-dúzia de ovos como o inteiro:

ponderia?

ERMAK OKSANA/ SHUTTERSTOCK

b) Imagine que as quatro maçãs estivessem

7 1 ou 2 . divididas, cada uma, em três fatias iguais. 3 3 Quanto representariam sete fatias em

relação ao todo (no caso, uma maçã)? Represente de duas maneiras diferentes.

a) Represente a soma dessas quantidades de

c) Elabore uma pergunta em que a resposta

ovos por uma fração imprópria e, depois, na forma mista. 29 e 4 5 ! 29 6

seja uma fração imprópria ou uma representação mista. Resposta pessoal.

22. Neste labirinto o sapo só pula sobre uma vitória-régia com fração própria. Escreva no caderno a IGDEEVA ALENA/SHUTTERSTOCK

sequência de frações em que ele vai percorrer até chegar à flor.

5 2

8 3 11 6

6 11 7 9

9 7

7 3

17 2

10 7 3 5

3 2

3 5

12 13

13 12

2 3

9 4 31 21

5 6 4 3

21 31

190 | TRAJETÓRIA 3

4 9 3 4

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

A seção Atividades favorece a exposição, por parte do aluno, de informações observáveis para a avaliação em processo, demonstrando se de fato ele compreendeu as situações, os conceitos, os fatos e os procedimentos explorados anteriormente.

O boxe Lupas e lunetas propõe reflexões sobre os objetos de conhecimento estudados em relação aos diferentes contextos, matemáticos ou não. Além do apelo ao desenvolvimento de um espírito investigativo por parte dos alunos, a marca desse boxe é justamente convidar o aluno para uma reflexão a respeito de um detalhe ou um olhar amplo sobre um conhecimento de modo imediato, no decurso da aula. #Um mesmo sinal, diferentes significados Em situações do cotidiano envolvendo noções de igualdade, essa palavra também pode estar associada à noção de equilíbrio, especialmente em situações com balanças e gangorras. Acompanhe o experimento de Carol, em que ela utiliza pequenos pesos de metal, cuja massa

JAVIER G./ M10

é em gramas, e uma balança de dois pratos.

LUPAS E LUNETAS a) Ao final, o que Carol verificou? Que a maçã pesa 150 g. b) Escreva uma sentença que represente a síntese da verificação feita por Carol. Utilize algum símbolo de Matemática nessa sentença. Compartilhe sua escrita com os colegas. Resposta pessoal.

A igualdade na Matemática situação e a sua correspondente sentença Exemplo de boxe Lupas e lunetas no qual o Observe alunocada é levado refletir sobre umamatemática. situação que é o fio condutor da explanação da aula. I.

XXII | MANUAL DO PROFESSOR

II.

III.

Mundos imaginados.

A Matemática é uma produção humana. Ao longo da história, diversos povos, culturas e civilizações elaboraram suas maneiras de interpretar e explicar o mundo a partir de sua própria A coleção considera essencial o enfrentamento e a elaboração de perguntas, sejam elas matemáticas ou não, convidando o aluno linguagem matemática. Mais do que somente uma maneira de compreender, a Matemática se a ler, entender e reelaborar as perguntas problematizadoras, como ocorre no boxe da abertura de cada Trajetória: constituiu como uma maneira de estar e de agir sobre o mundo.

LUPAS E LUNETAS Reflita sobre as questões expostas anteriormente e considere-as para elaborar outras perguntas de sua própria autoria. Publique suas perguntas no mural da sala de aula e aprecie as perguntas dos colegas.

19 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Boxe recorrente, que convida o aluno a reelaborar as questões norteadoras, apresentadas a cada abertura de Trajetória.

A coleção também valoriza o desenvolvimento de habilidades e competências relacionadas ao letramento matemático, ou numeramento: representar, comunicar e argumentar matematicamente. As situações descritas anteriormente contemplam tais habilidades; além disso, é também comum verificar problemas e atividades que convidam os alunos a expor suas ideias, hipóteses, argumentações e justificativas. Além de esses momentos se constituírem em locais privilegiados para a avaliação formativa, cria-se também nos alunos o sentimento de pertencimento. Em outras palavras, ao investigar um problema matemático coletivamente, argumentar matematicamente e justificar suas estratégias para a resolução, o aluno toma para si o problema e, a partir de então, não se trata mais de um problema “inventado pelo livro”, mas um problema em que todos se envolvem para resolver. TRAVESSIAS

ARTE/ M10 ARTE/ M10

Em seguida, marcaremos no plano cartesiano os pontos A, B, C e D. Note que, ao marcarmos os pontos no plano, aparece uma lista com as coordenadas dos pontos.

ARTE/ M10

Faremos isso para cada um dos pontos A, B, C e D. Veja como ficou a figura final, ampliada com o triplo do tamanho da original:

ATIVIDADES

Respostas pessoais.

Ao iniciar o aplicativo, será exibido um plano cartesiano e uma barra de ferramentas com diversas opções. Aqui, utilizaremos a função “novo ponto”.

As diversas “facetas” do ângulo

DELCARMAT/SHUTTERSTOCK

Ampliar e reduzir figuras utilizando aplicativos de geometria dinâmica

INSTITUTO DE ARTE DE CHICAGO, CHICAGO, EUA

ARTE/ M10

NUVENS NUVEN S

Assim como as obras cubistas, que chamam a atenção por possibilitar diferentes facetas de um mesmo retrato, o ângulo, essa figura geométrica, também é multifacetado. Ao longo da história da Matemática e, em particular, entre os diferentes livros didáticos, é possível encontrar algumas distintas definições de ângulo. O mais comum atualmente, por um lado, é que um mesmo material didático de Matemática assuma uma das definições possíveis. Por outro, constatar que há distintas definições contribui para ampliar o campo de significados associado ao conceito de ângulo. Pensar nas consequências que cada definição traz também é uma boa reflexão. Veja cinco possíveis definições de ângulo, vindas de materiais escolares brasileiros ao longo dos tempos. I. Duas retas distintas que se cortam em um ponto, formando quatro aberturas. Cada abertura recebe o nome de ângulo. II. Ângulo é cada uma das regiões em que o plano fica dividido por duas retas que têm um único ponto comum. III. Um ângulo é a figura geométrica formada por duas semirretas com uma extremidade comum. IV. Ângulo é o nome de cada uma das regiões em que o plano fica dividido por duas de suas retas que tenham um só ponto comum. V. Ângulo é uma rotação que transforma uma semirreta em outra semirreta com a mesma origem.

ATIVIDADES

12. Forme dupla ou trio. Leia as questões para realizar essa investigação. Respostas pessoais. a) Compare as cinco definições com a definição apresentada na página anterior. A qual

delas aquela definição corresponde? Explique.

b) Represente cada uma das cinco definições por meio de um desenho. Você pode •

utilizar lápis de cor para os casos em que for necessário colorir. Compartilhe com os demais colegas as descobertas que vocês fizeram.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

133 |

As seções Nuvens e Travessias convidam o aluno a se envolver com variadas situações que promovem o letramento matemático.

Finalmente, como parte necessária aos hábitos de estudo do aluno para revisar, reorganizar e construir novas conexões, há a seção Vistorias, que oferece possibilidades de revisão dos conhecimentos. É uma etapa importante para o aluno resgatar as informações da memória de longa duração, manipulá-las na memória de trabalho e também o inverso, o aprendizado que recém‑chegou à memória de trabalho poder ser levado para a memória de longa duração, sempre que o conteúdo for repassado no mesmo dia. XXIII |

RETORNOS

TRAJETÓRIA 1 Sistemas de numeração O sistema de numeração que utilizamos – o indo-arábico – tem como características ter base 10 e ser posicional, além da existência do zero. Ao longo da história, outros sistemas de numeração foram substituídos pelo indo-arábico (como os sistemas chinês e egípcio antigos); outros ainda têm alguns usos no cotidiano, como o sistema de numeração romano. Números naturais O conjunto dos números naturais é representado pela letra |N: |N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...} Na reta numérica:

Adicionando 1 a um número natural qualquer, obtemos o seu sucessor.

Subtraindo 1 de um número natural, dife-

III. Pela propriedade do elemento neutro, o produto da multiplicação de um número natural por um 1 é sempre ele mesmo.

rente de 0, obtemos o seu antecessor. Operações com números naturais

IV. Pela propriedade distributiva, podemos relacionar a operação de multiplicação com as operações de adição e subtração. Por exemplo: 3 ⋅ (2 + 5) = 3 ⋅ 2 + 3 ⋅ 5 = 6 + 15 = 21

A operação de adição está relacionada a diversas ações: juntar, acrescentar, adicionar, totalizar etc. • Propriedades da adição

I. Pela propriedade comutativa, é possível alterar a ordem das parcelas sem que isso altere o resultado.

A intersecção de 2 faces de um poliedro é denominada aresta. A intersecção de duas ou mais arestas de um poliedro é denominada vértice. Os prismas apresentam duas bases que são polígonos idênticos. Face

mesmo:

Vértice

Aresta

As pirâmides têm somente uma base e, externo ao polígono da base, há um único vértice, que é comum a todas as faces laterais triangulares.

Um metro cúbico (1 m3) corresponde ao volume ocupado por um cubo de arestas com medida 1 m.

Veja exemplos:

A operação de divisão está relacionada a significados como repartir, agrupar, separar, partilhar etc. Podemos escrever a divisão como:

II. Pela propriedade associativa, em uma adição com três ou mais parcelas, é possível associar parcelas para decidir

Dividendo

Divisor

Resto

Quociente

E a relação fundamental da divisão é: Dividendo = Quociente × Divisor + Resto

a ordem em que serão realizadas as adições. 302 | RETORNOS

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

A superfície do cubo é composta somente por superfícies planas.

A superfície da esfera é composta por uma superfície curva.

A superfície do cilindro é composta por duas superfícies planas e uma superfície curva. 303 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

A seção Retornos representa uma oportunidade de revisar, por meio de uma síntese, os conteúdos explorados pelo aluno.

3. Para efeitos de avaliação de resultados, usos possíveis: Levo na bagagem, Barcos e portos, Vistorias e Suplemente sua aprendizagem. Todo o processo de avaliação, no contexto escolar, é dotado de uma dimensão de comunicação, ou seja, o professor envia “mensagens” ao aluno pronunciando o modo como ele foi avaliado. A informação deve ser útil e clara de modo que faça sentido na mente do aluno e ele possa reconhecer por quais mudanças devem passar suas posturas durante a aprendizagem e igualmente suas estratégias de estudo em prol do alcance da totalidade da aprendizagem. Especialmente nessa etapa da comunicação de resultados, essa dimensão comunicativa da avaliação ganha um caráter conclusivo.

BARCOS E PORTOS

Mas sua decomposição está errada. Corrija a decomposição dela e elabore uma justificativa que fundamente a decomposição correta. ▶ Proponha

▶ Organize Respostas pessoais. Acompanhe o post de Eduarda sobre o modo de ela organizar seus estudos. Eduarda_Sexto_Ano

@Duda_

963,929 = 9 ⋅ 102 + 6 ⋅ 101 + 3 ⋅ 100 + 9 ⋅

1 1 1 +2 ⋅ +9 ⋅ 101 102 103

A pergunta inicial deste passeio é: O que os números indicam sobre o meio ambiente? Ao longo deste passeio, você identificou diversos números ou índices relacionados a algum fato sobre o meio ambiente. Continue aplicando o que aprendeu. Observe a charge.

Composição e decomposição

Sistema de numeração decimal

Comparação de números decimais

POUL CARLSEN/SHUTTERSTOCK

Eu sempre copio o mapa mental que está no início do passeio. Daí, quando chegamos ao final do passeio, eu pinto de azul o que aprendi bem e de amarelo o que ainda tenho alguma dúvida. Isso vai me ajudar a enxergar onde estão minhas dificuldades e posso pedir ajuda para o professor, colegas, um adulto que saiba esses conteúdos ou, ainda, fazer pesquisas na internet. Reta numérica

Milésimos m Fracionária Relação entre d, c e m

Centésimos c

Números decimais

Representação de número Decimal

Décimos d 73

a) O que você achou da ideia de Eduarda? Você acredita que isso pode ajudar a or-

ganizar seu aprendizado?

b) Olhando o esquema de Eduarda, o que você afirmaria sobre a aprendizagem dela?

c) Você sempre toma nota de palavras, termos matemáticos, procedimentos de cálculo,

modos de resolver problemas ou algum outro fato matemático que não compreendeu bem para, em seguida, buscar estratégias para superá-los? O que costuma fazer quando não consegue aprender algum conceito?

b) Resposta possível: Ela aprendeu tudo sobre sistema de numeração decimal, mas tem difi-

▶ Elabore culdades com os números decimais.

Eduarda escreveu no caderno a decomposição de um número decimal. 963,929 = 9 ∙ 102 + 6 ∙ 101 + 3 ∙ 100 + 9 ∙ 254 | BARCOS E PORTOS

XXIV | MANUAL DO PROFESSOR

1 1 1 +2∙ +9∙ 102 101 100 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Pesquise os números relacionados ao meio ambiente em sua cidade. Por exemplo, qual é a quantidade de pneus enviados para o descarte? Quantos são encaminhados aos descartes adequados? Quais locais existem em sua cidade para a reciclagem? As pessoas sabem dessa informação? Apresente uma proposta que possa melhorar o cenário da qualidade do meio ambiente em sua cidade. Anote os números que você for descobrindo. Escreva-os corretamente. Faça a leitura de cada número corretamente. Destaque aqueles que estão em notação decimal. Tire fotos da sua produção e poste no mural da sala. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

255 |

Justificativa: 963,929 = 900 + 60 + 3 + 0,9 + 0,02 + 0,009 9 2 9 + + = 9 ! 100 + 6 ! 10 + 3 ! 1 + 10 100 1000 " 9 ! 102 + 6 ! 101 + 3 ! 100 +

9 2 9 + 2 + 3 101 10 10

9. Sacos de

VISTORIAS

Ela fez uma votação para saber quais são os estilos de games preferidos de cada um.

Games preferidos

6. Rui e Laís compraram uma fazenda em que

Esporte

de 2025.

1 de todo o terreno. 10 2 Para a casa principal, vão construir em de 15 todo o terreno.

Menina JAVIER G./M10

3 Do bolo de morango foi comida 4 . Do bolo de laranja foi consumida uma fração equivalente a essa. 2 fatias. Quantas fatias do bolo de laranja sobraram?

ARTE/ M10

JAVIER G./M10

realizam eventos sobre boa alimentação. O evento criado por Tainá ocorre a cada 5 meses e o de Aisha, a cada 8 meses. Os eventos coincidiram em maio de 2022. Quando serão realizados juntos de novo? Em setembro

farão um celeiro usando

Ação

Para organizar os times para as partidas de cada estilo de jogo, determine qual a quantidade máxima de pessoas em um time de modo que todos os times, de todos os estilos de games, tenham a mesma quantidade de membros. 4 pessoas.

M_AGENCY/SHUTTERSTOCK

Estratégia

2. Lúcia está organizando um dia de games JAVIER G./M10

para entretenimento com os amigos.

4. Verifique se os pares de frações são equivalentes; se não forem, escreva uma fração equivalente para cada uma no par. 21 84 a) 36 , 144 Equivalentes. 2 4 b) 5 , 9

70 | VISTORIAS

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

SUPLEMENTE SUA APRENDIZAGEM

1. (Enem) Os incas desenvolveram uma maneira

ARTE/ M10

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

⎛ 2⎞ b) ⎝ 5 ⎠

1 16 4 25

⎛ 3⎞

81 10000

⎛ 9⎞ d) ⎝ 10 ⎠

81 100

c) ⎝ 10 ⎠

no mês de fevereiro. Em março seu faturamento aumentou 20%.

Jovens empreendedores do agronegócio. a) Determine a fração correspondente à parte

de toda a fazenda que será ocupada pelo celeiro e a casa principal. b) Qual é a diferença entre os tamanhos

dos terrenos usados para a casa e para o celeiro? 1 de toda a fazenda. 30

7. Lana recebeu 8 000 reais pela produção

6 anual de seus vídeos. Ela investiu desse 15 valor, presenteou seu irmão Fernando com 1 e o restante depositou para uma obra de 8 caridade. Determine a quantia que foi para a obra de caridade. R$ 3.800,00.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

7 de toda a fazenda. 30 3 0

Alternativa b. As outras alternaatendente e anotou o número 13_98207, tivas dispõem sendo que o espaço vazio é o do algarismo as faces numa organização que que João não entendeu. não é possível a De acordo com essas informações, a posição partir da planifiocupada pelo algarismo que falta nocação número indicada.

de protocolo é a de a) centena. b) dezena de milhar. c) centena de milhar. d) milhão. e) centena de milhão.

recortou um pedaço de cartolina branca e pintou de cinza algumas partes, como na figura.

a) De quanto foi o aumento do faturamento

de Lucas? 20% de 4000 = 800. O aumento foi de R$ 800,00.

b) Quanto foi o faturamento do mês de

março? 4000 + 20% de 4000 = 4000 + 800 = 4800. O faturamento de março foi R$ 4.800,00. c) Utilize outro procedimento para resolver esse problema. 4000 ⋅ 120% = 4800 71 |

7. (OBMEP) Numa reunião da comunidade do bairro, cada uma das 125 pessoas presentes recebeu um número diferente, a partir do número 1 até o 125. Em dado momento, foi feita uma lista das pessoas com número par e das pessoas com número múltiplo de 3, que deveriam participar de um projeto. Algumas pessoas reclamaram, dizendo que o seu nome aparecia duas vezes na lista. Quantas pessoas apareceram duas vezes na lista?

Qual das figuras abaixo representa o cubo construído por Guilherme?

a) 2

d) 41

b) 6

e) 62

c) 20

8. (Enem) A rosa dos ventos é uma figura que a)

3. (OBMEP) Cinco dados foram lançados e a

representa oito sentidos, que dividem o círculo em partes iguais.

6. (FATEC-SP) A figura mostra a planificação

de um cubo, que apresenta imagens em suas faces. ARTE/ M10

Uma câmera de vigilância está fixada no

que não podem acontecer a partir da planificação apresentada.

teto de um shopping e sua lente pode ser direcionada remotamente, através de um controlador, para qualquer sentido. A lente O cubo montado a partir dessa planificação é:

ARTE/ M10

2. (Enem) João decidiu contratar os serviços de

⎛ 1⎞

11. Lucas faturou R$ 4.000,00 com sua empresa

gens e decidiu vender caixas comAlternativa diferentese. Nas outras alternaformatos. Nas imagens apresentadas, estão tivas há contaas planificações dessas caixas. to entre faces

O número da representação do quipus da Figura 2, em base decimal, é a) 364. c) 3 064. e) 4 603. b) 463. d) 3 640.

quantos sacos de cada tipo podem ser feitos a partir de um saco de 5 kg.

Trajetória 2

4. (Enem) Maria quer inovar sua loja de embala-

Disponível em: www.culturaperuana.com.br. Acesso em: 13 dez. 2012.

A instituição vai dividir sacos como esse em 1 1 kg. Determine outros menores de kg e 2 4

a) ⎝ 2 ⎠

5. (OBMEP) Para montar um cubo, Guilherme

Trajetória 1

associada a cada situação?

9. Isabela doou um saco contendo 5 kg de arroz.

10. Calcule as potências:

3. São dados os números 10, 15 e 25. Com esses

números, em dupla, produzam, revisem e editem dois problemas: um de mmc e outro de mdc. Respostas pessoais. a) Resolvam os problemas e descrevam a estratégia de resolução para cada um deles por meio de um fluxograma. b) Quais são as regularidades em termos de construção e composição nos textos dos problemas?

Na atividade 6 a ideia é parte de um todo. Na atividade 7, é fração de uma quantidade.

8. Nas atividades 6 e 7, qual ideia de fração está

JAVIER G./M10

1. Tainá e Aisha são nutricionistas que sempre

2 4 6 20 : , , etc. 4 10 15 50

ARTE/ M10

4 8 12 40 , , etc. Sugestões de frações equivalentes a : 9 18 27 90

ANADOLU_DIZGI/SHUTTERSTOCK

4. b) Não equivalentes. Sugestões de frações equivalentes a

MENTALMIND/SHUTTERSTOCK

ranja, de mesmo tamanho, foram divididos conforme mostram as figuras.

Você chegou ao final desta Trajetória. Reflita sobre tudo o que aprendeu e verifique a qualidade da sua aprendizagem. Resolva todos os exercícios no caderno.

CHECK-OUT

1 1 1 1 kg: 5 ÷ = 10 sacos; sacos de kg: 5 ÷ = 20 sacos. 2 2 4 4

5. Dois bolos, um de morango e outro de la-

da câmera está apontada inicialmente no sentido Oeste e o seu controlador efetua três mudanças consecutivas, a saber: •

1ª mudança: 135o no sentido anti-horário;

•

2ª mudança: 60o no sentido horário;

•

3ª mudança: 45o no sentido anti-horário.

Após a 3ª mudança, ele é orientado a reposicionar a câmera, com a menor amplitude possível, no sentido Noroeste (NO) devido

314 | REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

a um movimento suspeito de um cliente. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

As seções Barcos e portos, Vistorias e Suplemente sua aprendizagem oferecem possibilidades para a avaliação de resultados e podem ser utilizadas como atividades cotidianas ou na avaliação em processo, a depender das estratégias docentes.

XXV |

Outro aspecto importante da avaliação de resultados é o aluno desenvolver, aos poucos, a capacidade de ele próprio reconhecer sua lógica de pensamento equivocada ou procedimentos e regras que ele mesmo criou sem fundamentos com os conhecimentos que foram até então explorados. Ou seja, o processo de autoavaliação é, antes de tudo, uma possibilidade de “abrir os olhos” do próprio aluno para não só enxergar seus equívocos, como também enxergar os modos de superá-los. LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais. Recupere em sua memória fatos relacionados às suas experiências de estudos sobre os assuntos deste passeio. Tente relembrar aquilo que mais aprendeu e o que você julga necessário estudar um pouco mais. Considere os seguintes aspectos: ▶ Matemática • Você sabe resolver e elaborar problemas com números na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos, com e sem uso de calculadora? • Sabe escrever números utilizando múltiplos de potências de 10? • Você sabe resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, relacionada à ideia de proporcionalidade, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos diversos? • Calcula a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a na forma fracionária, decimal e percentual? • Consegue realizar experimentos sucessivos para determinar a probabilidade de um evento? • Resolve problemas que envolvam a grandeza massa inseridos em contextos diversos? ▶ Outras disciplinas Geografia • Sabe analisar interações com a natureza de diferentes povos ou grupos sociais, observando transformações da biodiversidade local ou do mundo? Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Insuficiente

Parcialmente suficiente

Satisfatório

Plenamente satisfatório

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

277 |

Ao aluno é oferecida a oportunidade de atribuir a si mesmo uma qualificação a respeito do resultado dos seus próprios trabalhos escolares, segundo os objetivos que lhe foram declarados desde o início do passeio.

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SENNTABI/SHUTTERSTOCK

Autoavaliação e autoconhecimento como aprendiz

A autoavaliação, a autoestima e o autocuidado são processos que se mesclam e se entrelaçam no desenvolvimento do autoconhecimento como aprendiz.

Pensar sobre a própria aprendizagem, reconhecer os desafios a serem superados e, ao mesmo tempo, ter noção das conquistas realizadas no decurso escolar são ferramentas importantes a serem desenvolvidas pelos jovens estudantes que, gradativamente, se permitem ao monitoramento das suas aprendizagens e assumem para si as responsabilidades dos hábitos acadêmicos. Desenvolver a autoestima e a perseverança na busca por soluções e conhecer-se como aprendiz de modo crítico e criativo no ambiente escolar são atitudes cada vez mais valorizadas não somente na escola, como também em toda a sociedade contemporânea. Por exemplo, tomar consciência sobre aquilo em que possui facilidades para aprender e explorar seu potencial na realização dessas atividades ou, por outro lado, reconhecer as limitações momentâneas e as dificuldades a elas associadas, encorajando-se a buscar formas de superá-las, são atitudes que tornam o estudante um cidadão mais consciente das suas competências para a vida em sociedade e o faz reconhecer-se em um processo constante de desenvolvimento pessoal. XXVI | MANUAL DO PROFESSOR

2. A PRÁTICA DOCENTE Como ajustar a prática docente para melhorar o processo de ensino-aprendizagem?

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Os alunos aprendem de formas diferentes. Muitos deles sentem mais facilidade ao agir ativamente fazendo coisas, manipulando objetos e interagindo com o espaço e com as pessoas em vez de somente estudar de forma abstrata os assuntos apresentados. Todavia, há diversos momentos no decurso da aprendizagem de um aluno. A história construída da aprendizagem individual é mesclada de estratégias e de diversas experiências, sejam individuais, em grupo, coletivamente, concretamente, abstratamente, afetivamente etc. Os alunos aprendem de formas diferentes nos diversos momentos das experiências de aprendizagem e o olhar atento do professor e a familiaridade quanto aos materiais disponíveis para o melhor desempenho de suas práticas potencializa a realização de excelentes aulas. Isso torna a prática docente um exercício cotidiano desafiador mas, ao mesmo tempo, satisfatório pelos bons resultados.

Há diversos modos de acompanhar e monitorar a aprendizagem. Desde as formas de expressões do próprio aluno sobre aquilo que aprende até as formas críticas e investigativas do professor com base na observação da atividade do aluno.

CHECK-IN • • • •

Você ajusta sua prática docente de modo a contemplar a diversidade de interesses, necessidades e dificuldades dos alunos? Como você identifica e registra os conhecimentos prévios dos alunos antes de um novo ciclo de aprendizagens? De que modo a compreensão desses conhecimentos prévios ajuda no planejamento de sua ação didática? Você deixa as suas intenções de aprendizagem claras para os alunos?

XXVII |

Identidade do professor, ambientes de aprendizagem e avaliação

A identidade do professor é construída a partir de sua própria ação docente. É um processo que se situa no dia a dia, nas interações com os alunos, com os colegas e com o próprio objeto de conhecimento que é ensinado. A contínua ação docente interfere no processo de delinear a identidade do professor de tal modo que adaptações e ajustes na ação docente demandam reajustes nos esquemas de reconhecimento da própria identidade. Ao assumir a dinâmica da sala de aula, o professor leva consigo suas experiências e um conjunto de esquemas práticos que se torna um meio para mobilizar sua ação, conforme cada uma das necessidades que emergem do ambiente de aprendizagem.

O ambiente de aprendizagem escolar é compreendido como um lugar previamente organizado para promover oportunidades de aprendizagem e se constitui de forma única, na medida em que é socialmente construído por estudantes e professores, a partir das interações estabelecidas entre si e com as demais fontes materiais e simbólicas do ambiente. Lugar, nessa conceituação, deve ser entendido em sentido amplo e não reduzido a espaço físico. É o locus do acontecimento, é síntese de múltiplas condições, é o solo, mas, mais ainda, a cultura e a sociedade. (MOREIRA; PEDROSA; PONTELO, 2011). A avaliação assume um papel fundamental na constituição do ambiente de aprendizagem. É a partir das opções feitas sobre o ato de avaliar que se torna possível a compreensão do que o aluno já sabe e de que maneira se apropriou dos conhecimentos. Mais ainda, é a partir da avaliação que professor e instituição de ensino podem refletir sobre suas práticas e replanejar suas ações caso seja necessário. “Avaliar é informar-se para julgar. Remediar é ajustar a ação, apoiando-se no feedback” (HADJI, 2001, p. 123). Observar os diversos modos de aprender nas diferentes situações de aprendizagem é uma das tarefas do professor em sua prática docente. Os alunos são diferentes – em seus tempos de aprendizagem, em suas experiências, em suas histórias de vida –, de maneira que os mesmos estímulos geram efeitos diversos no ambiente da sala de aula. Para que todos os alunos tenham chances de aprender, é esperado que a prática docente venha seguida de possibilidades de modificações, situadas em relação a um feedback e encaminhadas em relação ao objetivo.

LUPAS E LUNETAS Para esta reflexão, aproveite o momento de trabalho coletivo na escola e reúna-se com outros colegas. Tenham em mãos o livro do estudante deste volume. Escolham uma atividade que, segundo o julgamento do grupo, tenha possibilidade de gerar na aprendizagem dos alunos desempenhos diversos, variando desde alunos que compreenderão com certa facilidade até alunos que demonstrarão dificuldades extremas para realizá-la.

a) Estipulem qual é a expectativa de aprendizagem com essa atividade, ou seja, aquilo que se espera que o aluno aprenda. b) Roteirizem um trajeto para a realização dessa atividade em aula, com uma turma real (se possível, especifiquem inclusive o nome da turma).

c) Planejem possibilidades de ajuste na condução da aula no intento de atender a todos os alunos com suas dificuldades

específicas. Se for necessário, prevejam atividades preparatórias, atividades complementares, adaptações da mesma atividade alterando a linguagem, o contexto ou a forma de se relacionar (se individual, em grupo, no coletivo) etc.

d) Com o planejamento dos ajustes necessários às diversas demandas de aprendizagem, vocês acreditam que essas intervenções pedagógicas vão favorecer o progresso individual e da turma como um todo?

•

Troquem suas impressões e analisem como potencializar o uso do material.

Cenários de proposição

Sabemos que o processo de ensino-aprendizagem é amplo e complexo. Isso nos leva a buscar meios de aprimorar esse processo, seja no âmbito da escola, seja da prática docente, mas, especialmente, no âmbito das experiências proporcionadas aos alunos. Nessa busca tomaremos, a nosso favor, a interação entre o professor, os alunos e os conhecimentos como um conjunto chamado de cenários de proposição. As experiências de aprendizagem vivenciadas pelos alunos têm seu contexto a partir de cenários de proposição que, por sua vez, demandam vivências que incentivem a existência de competências que podem ser classificadas deste modo:

CENÁRIO DE PROPOSIÇÃO

Criatividade

Criticidade

Interatividade

CARÁTER

Emocional-imaginativo

Racional-científico

Social-tecnológico

AÇÃO DOMINANTE

Apresentar novas ideias e soluções.

Questionar e avaliar ideias e soluções.

Envolver-se socialmente em projetos e soluções.

XXVIII | MANUAL DO PROFESSOR

Os cenários de proposição são um conjunto de ações impulsionadas para favorecer a problematização, a inovação e a socialização em sala de aula. Essas ações articulam três competências essenciais (criticidade, criatividade e interatividade) em quatro dimensões de processos.

CENÁRIO DE PROPOSIÇÃO CARÁTER

AÇÃO DOMINANTE

DIMENSÃO 1:

Criticidade

Emocional-imaginativo

Social-tecnológico

Questionar e avaliar ideias e soluções.

Apresentar novas ideias e soluções.

Envolver-se socialmente em projetos e soluções.

Observar e descrever experiências.

Compreender as oportunidades do contexto/cenário e os limites do problema.

Apreciar criticamente diversas formas de interações.

Selecionar e analisar conhecimentos e informações relevantes. conceitos e ideias.

Integrar diferentes perspectivas disciplinares.

IMAGINAÇÃO

AÇÃO

DIMENSÃO 4: REFLEXÃO

Identificar e questionar premissas. Verificar a precisão de dados, fatos, informações e interpretações. Analisar lacunas no conhecimento.

Buscar e criar ideias.

Revisar teorias e opiniões estabelecidas e imaginar diferentes perspectivas sobre o problema.

Experimentar ou ampliar ideias incomuns, arriscadas ou radicais.

Identificar pontos fortes e fracos de evidências, argumentos, alegações e opiniões.

Exercitar a curiosidade intelectual.

Realizar prognóstico de um fato; prever, inferir.

DIMENSÃO 3:

Interatividade

Racional-científico

QUESTIONAMENTO Estabelecer relações entre

DIMENSÃO 2:

Criatividade

Produzir, criar protótipos de um produto. Propor uma solução ou uma apresentação de maneira pessoalmente nova.

Considerar e avaliar a novidade da solução escolhida e de suas possíveis consequências.

Justificar uma solução ou um produto proposto por meio de critérios/raciocínios lógicos, éticos ou estéticos.

Avaliar e reconhecer a incerteza ou os limites da solução ou posição defendida.

Refletir sobre o possível viés Considerar e avaliar a relevância da perspectiva pessoal em da solução escolhida e de suas comparação com outras possíveis consequências. perspectivas.

Ter empatia. Debater e problematizar as práticas de intolerância, discriminação e violência contra indivíduos, grupos sociais ou povos com vistas à tomada de consciência e ao exercício da paz social.

Idealizar soluções mediadoras de conflitos em favor de produzir entendimento mútuo. Conceber projetos que visam ao acolhimento das diversidades na perspectiva dos direitos humanos e da cultura de paz.

Aderir ao bem comum propondo ações que incentivem o respeito às diferenças entre pessoas e povos. Construir coletivamente procedimentos e normas de convívio que viabilizem a participação de todos em diferentes espaços.

Julgar sua própria aptidão para respeitar regras básicas de convívio social nas interações. Considerar aspectos relativos à qualidade do convívio social no grupo do qual faz parte em favor de propor superação de conflitos ou melhorias nas socializações.

Quais são os ganhos da prática docente quando transita por diferentes cenários? Uma das respostas está na mudança de perspectiva, quando professor e alunos se defrontam com questões não previstas ou pouco usuais dentro dos “limites” da Matemática. Aliás, os limites podem se tornar cada vez mais tênues à medida que mobilizamos conhecimentos por diversos cenários. XXIX |

De acordo com a Organização para Cooperação e Desenvolvimento Econômico (OCDE):

Embora criatividade e pensamento crítico sejam fundamentais para a inovação e as necessidades do mercado de trabalho, outras competências complementares são igualmente importantes. A estrutura conceitual do projeto diferencia três categorias sobrepostas de “competências para a inovação”: 1) competências técnicas (know-what [saber o quê] e know-how [saber como]); 2) competências de criatividade e de pensamento crítico (pensamento crítico, imaginação, criatividade); e 3) competências socioemocionais (persistência, conscienciosidade, autoestima, comunicação, colaboração). Essas três categorias de competências precisam ser desenvolvidas em conjunto. INSTITUTO AYRTON SENNA. OCDE (2020). Desenvolvimento da criatividade e do pensamento crítico dos estudantes: o que significa na escola. Tradução Carbajal Traduções. São Paulo: Fundação Santillana, 2020. p. 52.

LUPAS E LUNETAS Leia esta frase e, se possível, discuta depois com os outros colegas professores. O conhecimento pode ser explorado pelo aluno em diferentes perspectivas, de uma forma crítica e criativa.

a) Procurem no livro do estudante exemplos de atividades que favoreçam o que está dito nessa frase. b) Como vocês explorariam essa atividade em sala de aula por meio de cenários de proposição? Quais categorias de cenário e de proposição seriam mais enfáticas nessa atividade? Como a aula seria conduzida para obter o melhor proveito?

c) Converse com seus pares a respeito da proposta didática de exploração dessa atividade e tentem implementá-la nas

aulas. Depois, compartilhem como foi a experiência e os resultados em um mural da sala dos professores ou no espaço virtual de troca de informações dos professores.

Avaliação formativa

Avaliação na prática pedagógica

ALEXANDRE R. / M10

A atividade de avaliação é contínua porque as aprendizagens estão sempre em andamento. No centro da relação ensino-aprendizagem estão dois importantes atores: professor e aluno, impactados reciprocamente – o que favorece, de modo contínuo, a reestruturação sociocognitiva.

A avaliação formativa, decorrente da interação entre professor e aluno, propaga estes efeitos: informativa, verificativa e corretiva. Esses efeitos impactam ambos de modos distintos, mas que se complementam.

EFEITOS DA AVALIAÇÃO

PROFESSOR

ALUNO

Informativa

As intenções com a proposta da atividade e as expectativas devem ser informadas antes de efetuar julgamentos.

Por meios indiretos (atividade do aluno) ou diretos (autoavaliação), o aluno comunica seu desempenho.

Verificativa

Por meio da observação da atividade do aluno, o professor será informado dos efeitos reais da ação de ensino e poderá submetê-la a ajustes.

Por meio de convite à tomada de consciência sobre suas dificuldades, poderá cada vez mais se tornar apto a reconhecer e a corrigir, ele mesmo, seus erros.

Corretiva

Professor e aluno, em parceria, corrigem sua ação, modificando seus modos na busca de obter os melhores efeitos.

FORMATIVA

XXX | MANUAL DO PROFESSOR

Em um cenário de avaliação formativa, o fio condutor das ações essenciais ao professor é composto de, basicamente, um conjunto de seis ou sete verbos: • Desencadear: situação de ensino, por meio de exercícios, problemas, provas, questões etc. • Observar: os comportamentos no instante da atividade do aluno; • Coletar/registrar: informações referentes ao progresso e às dificuldades de aprendizagem; • Interpretar: os registros desses comportamentos; • Comunicar: os resultados da análise e apreciação final; • Remediar: as dificuldades diagnosticadas e analisadas. O modo como é apresentada a atividade de avaliação não pode ser separado da atividade de ensino. É verdade que a avaliação deve ser tomada como um momento autônomo (caráter de evento), mas será mais útil se, na maior parte do tempo, for concebida como um projeto educativo (caráter de processo).

LSTOCKSTUDIO/SHUTTERSTOCK

Verbos da ação avaliativa

Aprendizagem assistida por avaliação O processo de aprendizagem leva, em sua complexa trama, as diversas modalidades de avaliação que, para longe de classificar, estão a serviço de estabelecer, firmar e expandir toda a estrutura de aprendizagem dos alunos. O papel da avaliação – que é o de observar, aferir e julgar – é também o que justifica sua presença no processo de aprendizagem, uma vez que, por meio dela, é possível favorecer aos alunos seguirem na progressão do que aprendem.

Avaliar os alunos para fazer com que evoluam melhor (rumo ao êxito), esta é a ideia central do que designamos pela expressão “aprendizagem assistida por avaliação”. Uma avaliação capaz de compreender tanto a situação do aluno quanto de “medir” seu desempenho; capaz de fornecer-lhe indicações esclarecedoras, mais do que oprimi-lo com recriminações; capaz de preparar a operacionalização das ferramentas do êxito, mais do que se resignar a ser apenas um termômetro (até mesmo um instrumento) do fracasso, não seria o mais belo auxiliar, e o primeiro meio, de uma pedagogia enfim eficaz? (HADJI, 2001) A avaliação permeada no trabalho pedagógico eficaz é composta de redes ou camadas que se entrecortam em momentos diversos, na aula e fora dela, e nem sempre sincronizada entre o grupo de alunos. Por ser assistida, entende-se que há um trabalho de observação e “leitura” quanto às produções do aluno, que exigirá, para ser apreciado, uma interpretação que leve em conta um alinhamento entre o que se espera alcançar, como alcançar e o que fazer se, em dado momento, o aluno não alcançar. Esse alinhamento compõe um código favorável para a análise, a interpretação e o julgamento de ações possíveis na remediação da aprendizagem do aluno.

LUPAS E LUNETAS Sozinho ou junto com outro professor (de Matemática ou de outra área), escolham uma atividade do livro do estudante. Listem duas ou três dificuldades possíveis de ocorrer no momento da aula envolvendo essa atividade. Para cada uma dessas dificuldades, levem em conta perfis de “alunos possíveis” (alunos do contexto real da escola e que valem a pena ser considerados neste exercício de prática docente). Considerem o modo como cada um aprende, sob quais estímulos eles costumam dar melhores respostas, se têm melhor desempenho individualmente ou em grupo, se só resolvem situações contextualizadas ou não etc. (o ideal para essa reflexão seria ter em mãos o registro do desempenho de dois ou três alunos reais do contexto escolar local). Considerando essas dificuldades e o perfil desses alunos, proponham decisões favoráveis ao avanço de cada um deles. Criem uma estratégia pedagógica voltada para ações de apoio tanto intelectual quanto de caráter afetivo e que sejam favoráveis à continuidade da aprendizagem de cada um desses alunos. Ao final, publiquem em um mural, na sala dos professores ou na sala virtual, tanto o exercício do livro do estudante, como as análises, a descrição do perfil dos alunos e as propostas de intervenção pedagógica sugeridas para cada um. O ideal é que, na publicação, os nomes dos alunos não sejam citados, para preservar suas identidades e, em vez disso, o foco sejam as estratégias consideradas e os resultados obtidos. Aproveite para apreciar as soluções apresentadas pelos outros colegas, em outras situações consideradas por eles.

XXXI |

3. ARTICULAÇÕES ENTRE OS MATERIAIS

LIGHTSPRING/SHUTTERSTOCK

Como estabelecer os vínculos entre os materiais voltados para o estudante e os que são voltados para o professor?

Concepções artísticas sobre o ato de estabelecer vínculos entre pessoas, objeto e ideias.

CHECK-IN • Compare essas duas imagens: a construção de vínculos entre pessoas ou ideias ocorre por acaso? Por tentativa e erro? Por uma busca intencional? O que essas imagens mostram, segundo sua interpretação?

• Como você vê a construção de vínculos entre professor e aluno a partir de diferentes materiais didáticos? • Em que medida os materiais didáticos favorecem o processo de construção desses vínculos? • E quanto aos materiais: que vínculos você espera encontrar entre eles próprios no sentido de trazer contribuições para a prática docente?

• Você deixa claro para os alunos as suas intenções de aprendizagem? XXXII | MANUAL DO PROFESSOR

Vínculo entre a estrutura da obra e as ações docentes voltadas para a avaliação

ALEXANDRE R. / M10

As estratégias de ensino e aprendizagem e suas diversas modalidades de avaliação, na etapa do Ensino Fundamental – Anos Finais, da área e do componente de Matemática, podem ser assim representadas:

Ter, de certa forma, a preocupação de informar antes de julgar. Fazer tudo para pôr a avaliação nas mãos do aluno (avaliação em primeira pessoa). Isso não leva a pensar, finalmente, que o momento próprio da avaliação é bastante secundário? Que o essencial é esclarecer, ajudar e remediar? Que, se a avaliação cumulativa é um mal necessário, a avaliação formativa só tem interesse pelo que precede ou pelo que segue o julgamento de avaliação propriamente dito: pela coleta e análise dos dados; por todo o trabalho pedagógico que tem a ambição de permitir ao aluno que progrida (o que será chamado de remediação)? Em última hipótese, a melhor maneira de pôr a avaliação a serviço das aprendizagens não seria, senão fazê-la desaparecer totalmente, pelo menos consagrar-lhe muito menos tempo e energia, para se dedicar ao trabalho pedagógico de facilitação das aprendizagens? HADJI, Charles. Avaliação desmistificada. Porto Alegre: Artmed, 2001. p. 66.

Assumimos a palavra remediação com triplo sentido:

• Ajuste da ação ao objetivo, ou seja, no sentido de “re-mediar”, mediar de novo e de outro modo; • Busca por responsabilidade dupla, entre professor e aluno, na melhoria da aprendizagem. • Vínculo construído em uma via de mão dupla, envolvendo diagnóstico e ação corretiva eficaz. Serão apresentadas a seguir algumas noções amplas que se relacionam com o campo da educação, ou da educação matemática, para favorecer a construção de vínculos entre as ofertas de conteúdos no livro do estudante e as possibilidades teóricas norteadoras das ações docentes. Letramento matemático

O letramento matemático remete ao conceito de letramento, próprio da área de ensino de linguagem. Este, por sua vez, se apresentou como uma resposta à noção de que o aprendizado da língua se resumia à aquisição dos códigos convencionais relacionados à leitura e à escrita. Nesse sentido, é possível compreender letramento como algo além da alfabetização, estendendo-se aos contextos de usos da linguagem. XXXIII |

Implícita nesse conceito [de letramento] está a ideia de que a escrita traz consequências sociais, culturais, políticas, econômicas, cognitivas, linguísticas, quer para o grupo social em que seja introduzida, quer para o indivíduo que aprenda a usá-la1. No ensino de Matemática, a noção de letramento (matemático) também considera a diversidade de usos, de contextos sociais e culturais nos quais a Matemática está inserida. Assim como o termo letramento teve sua origem na palavra inglesa literacy, as primeiras noções envolvendo o letramento matemático tiveram sua origem na palavra inglesa numeracy. No entanto, a tradução direta do termo para a língua portuguesa – numeramento – enfrentou uma série de críticas, uma vez que podia apontar ao entendimento de que o aprendizado de Matemática se resumiria aos conhecimentos sobre os números e suas operações. Buscando um conceito mais amplo, o PISA define o conceito de letramento matemático como “a capacidade individual de formular, empregar e interpretar a Matemática em uma variedade de contextos”. Dados certo contexto e os contornos e as possibilidades por ele apresentados, são mobilizados variados processos matemáticos, como: formular situações matematicamente, aplicar conceitos, procedimentos e raciocínios matemáticos, avaliar e interpretar resultados matemáticos, assim como planejar ações a partir de resultados matemáticos. Os conteúdos matemáticos, por sua vez, podem ser entendidos como a sistematização desses processos. São exemplos de conteúdos as ideias de variação e relação, espaço e formas, quantidade etc. A BNCC parte dessas mesmas concepções para definir letramento matemático:

[…] competências e habilidades de raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente […]. É o letramento matemático que assegura aos alunos reconhecer que os conhecimentos matemáticos são fundamentais para a compreensão e a atuação no mundo e perceber o caráter de jogo intelectual da matemática, como aspecto que favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e crítico, estimula a investigação e pode ser prazeroso (fruição).

ALEXANDRE R. / M10

De modo a desenvolver o raciocínio matemático, é necessário mobilizar competências e habilidades relacionadas à representação, comunicação e argumentação. Ou seja, é fundamental que alunos e professores interajam em situações de problemas reais, expressem suas ideias, produzam argumentações e justifiquem matematicamente as estratégias além do raciocínio empregado. É justamente na “interação com os pares e com adultos que as crianças vão constituindo um modo próprio de agir, sentir e pensar e vão descobrindo que existem outros modos de vida, pessoas diferentes, com outros pontos de vista”2.

B a

Representar

Comunicar

Raciocínio matemático

SOARES, M. Letramento: um tema em três gêneros. São Paulo: Autêntica, 1999. p. 17.

Base Nacional Comum Curricular.

XXXIV | MANUAL DO PROFESSOR

Argumentar

• Representar

Aprender Matemática implica também aprender a escrever e se expressar matematicamente. Isso significa conhecer e utilizar símbolos, escrever sentenças matemáticas, gráficos e esquemas, assim como utilizar e manipular diferentes representações para os objetos matemáticos. Por exemplo, compreender que é possível descrever uma função a partir de sua expressão algébrica e a partir do gráfico correspondente. • Comunicar O ato de comunicar implica a existência de um interlocutor. Desse modo, o desenvolvimento do raciocínio matemático passa pela relação estabelecida entre os indivíduos. Esse ato revela também uma preocupação com o outro, com aquele que vai receber a mensagem. Assim, ao tornar comunicáveis conhecimentos, estratégias e raciocínios matemáticos, é importante também conhecer o outro e saber articular diferentes maneiras de representação. Nesse sentido, representar e comunicar são duas habilidades que não devem ser tomadas isoladamente. • Argumentar O desenvolvimento da habilidade de argumentar pressupõe “a formulação e a testagem de conjecturas, com a apresentação de justificativas, além dos aspectos já citados anteriormente em relação às competências de raciocinar e representar”3. Assim como representar e comunicar são habilidades inter-relacionadas, argumentar matematicamente perpassa ambas. A BNCC e o letramento matemático As Competências Específicas de Matemática para o Ensino Fundamental propostas pela Base Nacional Comum Curricular (BNCC), cada qual a partir de uma perspectiva, têm como maior objetivo o desenvolvimento do letramento matemático:

1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas e dados). 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles. O desenvolvimento dessas competências ao longo dos nove anos do Ensino Fundamental é gradual, apesar de as habilidades relacionadas a raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente serem trabalhadas desde o primeiro ano. De modo geral, nos anos iniciais são retomadas as experiências e vivências cotidianas da Educação Infantil, orientando-se sempre pela ideia de que compreender a Matemática significa a apreensão dos significados dos objetos matemáticos, assim como as suas aplicações. Desse modo, nos anos iniciais são mais nítidas as relações entre os objetos matemáticos e a realidade concreta, assim como com diferentes áreas do conhecimento. Isso não significa que nos anos finais tal relação com a realidade concreta desapareça. Pelo contrário, continua sendo um elemento que motiva a investigação, que proporciona situações-problema, que confere sentido e significado para processos e conteúdos matemáticos. No entanto, em muitos casos, será a própria Matemática o contexto em que tais

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movimentos ocorrem. Nesse sentido, há um mergulho na própria Matemática, um aprofundamento nos conceitos e procedimentos cujos sentido e significado se posicionam dentro da própria Matemática. Assim, é possível considerar um desenvolvimento horizontal das habilidades e competências, estabelecendo relações com diversas áreas do conhecimento, da própria Matemática e da realidade concreta, mas também momentos de desenvolvimento vertical, no qual se aprofunda em determinado conteúdo matemático. Vale ressaltar que há complexidade nesse tipo de processo, havendo, ao longo desse desenvolvimento vertical, variadas situações de pausa e desenvolvimento horizontal, das quais se apresentam novas oportunidades para desenvolvimentos verticais e assim por diante. O diagrama a seguir ilustra como esse movimento pode ocorrer. A título de exemplo, destacam-se dois grupos de habilidades da BNCC: o primeiro trata da noção de números inteiros (EF07MA03 e EF07MA04), enquanto o segundo trata da noção de transformações geométricas (EF07MA20 e EF07MA21). Nota-se um desenvolvimento vertical entre as habilidades de cada grupo. Em ambos os casos se explora o conteúdo matemático de modo a aprofundar discussões ou aprender novos detalhes desse conteúdo. É possível verificar também que, particularmente no desenvolvimento de habilidades como EF07MA03 e EF07MA21, ocorre também um movimento horizontal ao relacionar objetos matemáticos a diferentes contextos e significados. De modo geral, o desenvolvimento de cada grupo segue de maneira relativamente desconectada entre si. No entanto, é possível verificar como a habilidade EF07MA19 promove, ao mesmo tempo, um avanço vertical em cada grupo, além de os conectar em um movimento horizontal.

(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adições e subtração.

(EF07MA21) Reconhecer e construir ﬁguras obtidas por simetrias de translação, rotação e reﬂexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

(EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de ﬁguras em relação aos eixos e à origem.

(EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro.

Os processos matemáticos Os conhecimentos explorados com os alunos fluem de forma planificada por meio de Trajetórias que entrelaçam contextos e recursos matemáticos de modo a contemplar todos os conteúdos previstos na BNCC para o Ensino Fundamental dos anos finais. Os recursos matemáticos são entendidos como os processos de investigação, a construção de modelos e a resolução de problemas. a) Sobre os processos de investigação:

[…] a atividade investigativa em sala de aula constitui-se da observação de uma situação; a partir daí começam a surgir conjecturas que vão sendo testadas. Por meio desses testes, elas poderão ser refutadas e estabelecer novas conjecturas ou, então, quando confirmadas pelos testes, vão sendo melhor definidas. Se validadas através da demonstração, podem adquirir o status de uma propriedade estabelecida pelo método matemático. VARIZO, Zaíra da Cunha Melo; ROCHA, Luciana Parente; MAGALHÃES, Ana Paula de A. S. A Investigação matemática como estratégia de ensino e aprendizagem da Matemática. XII Encontro Nacional de Educação Matemática. Educação Matemática na Contemporaneidade: desafios e possibilidades. SBEM, São Paulo, 13 a 15 de julho de 2016.

b) Sobre a construção de modelos:

A criação de modelos matemáticos constitui uma ferramenta importante e adequada ao ensino: a modelagem matemática busca sempre um “retorno” ao problema original, ou seja, responder à realidade, evitando se perder na pura discussão abstrata. Ao tentar resolver um problema, explicar uma situação da realidade ou tomar ações sobre ela, é preciso mobilizar ferramentas necessárias e adequadas. Em outras palavras, um modelo que explique a situação e forneça os meios para agir sobre ela. No caso XXXVI | MANUAL DO PROFESSOR

Compreender o problema.

Estabelecer um plano para resolver o problema.

Executar o plano.

Veriﬁcar e avaliar a solução.

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de um modelo matemático, as ferramentas são os símbolos e as relações que representam o objeto ou a situação em questão. Trata-se de construção mental e abstrata para representar a realidade (ainda que somente uma parte específica). Segundo Bassanezi (2002), “a importância do modelo matemático consiste em se ter uma linguagem concisa que expressa nossas ideias de maneira clara e sem ambiguidades, além de proporcionar um arsenal enorme de resultados (teoremas) que propiciam o uso de métodos computacionais para calcular suas soluções numéricas”. Entretanto, para o desenvolvimento de atividades de modelagem matemática, é fundamental que sejam criados ambientes de aprendizagem que possibilitem a mobilização dos conhecimentos matemáticos dos alunos, sejam prévios, aprendidos na escola ou em outras experiências, sejam os que estão sendo aprendidos no momento. Nesse sentido, tais ambientes de aprendizagem devem convidar os alunos a “indagar e a investigar, por meio da Matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade”4 . c) Sobre a resolução de problemas: A resolução de problemas se configura em um elemento privilegiado para o desenvolvimento de habilidades relacionadas ao letramento matemático, estando também associada aos processos de investigação e construção de modelos. Isso porque um problema apresenta certa questão matemática (oriunda de uma situação imaginada ou da própria realidade), cujos métodos ou estratégias de resolução não estão dados explicitamente ou não são reconhecidos imediatamente pelos alunos. Essa é uma das características que diferencia os problemas dos exercícios. No cotidiano da sala de aula é esperado que haja uma mescla entre problemas e exercícios. A resolução de um exercício costuma demandar menos tempo que de um problema. Isso não significa que se deva optar por um ou outro tipo somente, uma vez que cada um tem objetivos pedagógicos diferentes e, de certo modo, complementares. Nesse sentido, a construção de boas situações-problema deve: • contemplar conteúdos diversos que necessitem ou estimulem a mobilização não só de conhecimentos matemáticos, como também de outras áreas e de experiências vivenciadas; • evitar cenários que admitam uma única estratégia de resolução; • fomentar a interação e a cooperação entre os alunos; • valorizar o pensamento reflexivo e crítico, tanto sobre o processo de resolução quanto sobre as soluções obtidas. De modo geral, é possível pensar o processo de resolução de problemas segundo as etapas propostas por Polya5:

AMESBOT/SHUTTERSTOCK

Cabe ressaltar que, ao longo dessas etapas, é importante conversar com os alunos sobre o processo de resolução de problemas, de modo a refletir sobre a própria experiência e aplicá-la em outras situações e contextos. É parte desse processo o ato de elaborar problemas, uma vez que o aluno precisa antecipar possíveis estratégias de resolução.

Os processos de investigação, a modelagem e a linguagem matemática e as estratégias de resolução de problemas compõem um campo abrangente e propício para a aprendizagem em Matemática.

ROSA, M.; OREY, D. C. A modelagem como um ambiente de aprendizagem para a conversão do conhecimento matemático. Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42A, p. 261-290, abr. 2012.

POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 2006. XXXVII |

Flexibilização curricular da coleção

Consideramos o currículo uma estrutura dinâmica e em constante construção e transformação. Não é estático ou cristalizado no tempo, mas aberto às experiências e vivências da comunidade escolar, assim como às discussões mais atuais no âmbito das ciências, da cultura e das transformações sociais. Mais ainda, uma educação pensada segundo ideias de interdisciplinaridade e de valorização da diversidade deve considerar o currículo de maneira ampla e flexível, garantindo a participação ativa dos alunos e da comunidade escolar como um todo, o desenvolvimento de projetos interdisciplinares, assim como fomentar a autonomia dos professores para construir um “currículo” adequado às possibilidades e necessidades apresentadas pelo ambiente em que estão inseridos. Organizamos cada volume em quatro Trajetórias, que, por sua vez, estão subdivididas em três passeios cada uma. Estimamos que a duração média de trabalho com cada passeio seja de três semanas, considerando um ano letivo de aproximadamente 40 semanas. Entretanto, essa é apenas uma sugestão de organização do cronograma, cabendo ao professor adaptá-lo a seu ritmo e sua realidade. Para além do fator tempo, há diferentes maneiras de “ler e acompanhar o livro”. Se, por um lado, uma leitura mais linear expressa a organização lógica e a visão pedagógica dos autores, foi também objeto do nosso cuidado garantir que você, professor, pudesse se apropriar das referidas lógica e visão e transformá-las, de modo que expressasse seus próprios valores, o conhecimento dos seus alunos e famílias, as características da instituição escolar e da comunidade em que se inserem. Nesse sentido, apresentaremos algumas sugestões de outras maneiras de “ler e acompanhar o livro” para servir de inspiração ao professor. Se o projeto didático do professor reforça os aspectos envolvidos na avaliação, nos problemas e nos exercícios, então as maneiras de flexibilizar o currículo proposto serão de um tal modo; se, por outro lado, o projeto do professor reforça os aspectos envolvidos nas perguntas norteadoras, nos TCTs e na interdisciplinaridade, então as maneiras de flexibilizar serão de outra forma. Aspectos envolvidos na avaliação, nos problemas e nos exercícios A seção Prontos para começar! inicia cada livro e tem como objetivo realizar uma avaliação diagnóstica. Os problemas apresentados na seção apontam para habilidades essenciais de cada unidade temática da Matemática, tal qual pressupostas pela BNCC. É interessante que o professor, a partir do próprio conhecimento sobre os alunos e a escola, avalie a pertinência das atividades propostas e realize adequações, caso sejam necessárias. Após Prontos para começar!, a estrutura do livro – quanto a avaliações, atividades, exercícios e problemas – segue uma lógica na qual, depois da discussão de certos pontos teóricos e da apresentação de exemplos em meio a contextos diversos, abrem-se seções de Atividades, com caráter de desenvolvimento ou verificação de conhecimentos, apresentando, em muitos casos, contextos diferentes daqueles utilizados na discussão teórica. Ao longo dessa discussão, estão os boxes Lupas e lunetas, que conduzem o estudante a uma reflexão mais aprofundada sobre algum aspecto matemático, sobre o contexto geral, ou, ainda, propondo uma articulação entre ambos. Caso julgue que os estudantes ainda não estão preparados para desenvolver satisfatoriamente as propostas de Lupas e lunetas, o professor pode antecipar alguns dos problemas e exercícios de Atividades, tanto para servir, neste momento, como diagnóstico, quanto para tirar eventuais dúvidas ou superar dificuldades pontuais. O mesmo pode ocorrer com seções como Travessias, que conduz os alunos por investigações de caráter matemático, e Nuvens, que apresenta possíveis relações entre o contexto, a Matemática e as tecnologias digitais. Ao final de cada Trajetória, a seção Vistorias (em especial a subseção Check-out) propõe outros problemas e exercícios relacionados às discussões realizadas, porém, a partir de outros contextos e apresentando diferentes graus de dificuldade e níveis de complexidade dos problemas e exercícios presentes em Atividades. Para finalizar o livro de cada ano, é apresentada também a seção Suplemente sua aprendizagem, com problemas de diversos tipos de exames, desde concursos, macroavaliações até vestibulares ou vestibulinhos. Tais problemas, de modo geral, têm graus de dificuldade e níveis de complexidade maiores que os até então apresentados aos estudantes. Uma possibilidade de adaptação desses diferentes momentos de resolução de problemas ou desenvolvimento de atividades é justamente incorporar às Atividades os problemas das seções Check-out e Suplemente sua aprendizagem, construindo, dessa maneira, um conjunto mais amplo de exercícios e problemas. Para estruturar esse movimento, sugerimos a análise dos objetivos de aprendizagem apresentados em Bússola e Levo na bagagem. Aspectos envolvidos nas perguntas norteadoras, nos TCTs e na interdisciplinaridade Cada Trajetória apresenta uma pergunta norteadora, que, por sua vez, se desdobra em outras três, estabelecendo-se como os fios condutores de cada passeio. Tais perguntas também se articulam com os Temas Contemporâneos Transversais (TCTs) propostos para cada passeio. Consideramos, ao longo da coleção, o desenvolvimento de um trabalho interdisciplinar no qual, em certos momentos, são os contextos, os TCTs ou as habilidades e competências de outras áreas do conhecimento que dão significado, ou mesmo ressignificam, os conhecimentos matemáticos, enquanto em outros momentos é justamente a Matemática que se apresenta “a serviço” de outras áreas ou do contexto. Esse tipo de conexão é ocasionado não somente pelas perguntas norteadoras no início dos passeios, mas também pelas seções Atmosfera e Check-in, pelas situações apresentadas, pelos temas desenvolvidos nos boxes Lupas e lunetas e, especialmente, pela seção Barcos e portos, que propõe um olhar integrador para as perguntas norteadoras, os TCTs, a Matemática e as demais áreas do conhecimento. Dessa maneira, a ênfase dada a tais seções pode transformar o caráter das aulas, desde uma situação na qual os contextos apresentam os sentidos e significados para os conhecimentos matemáticos, atividades que se assemelham a projetos ou sequências didáticas, até aquelas em que variados conhecimentos e saberes são mobilizados, sem dissociar qual é a área do conhecimento predominante. Caso o professor deseje, é possível enriquecer a experiência dos estudantes aprofundando as discussões sobre as perguntas norteadoras e os TCTs, trazendo convidados ou professores de outras áreas, novos textos, fotografias, vídeos, realizando visitas, passeios de campo etc. Dessa maneira, considere utilizar boxes e seções em diferentes momentos, à luz das alterações pensadas XXXVIII | MANUAL DO PROFESSOR

para as aulas. A seção Barcos e portos, por exemplo, foi idealizada para fechar os passeios, porém muitas delas contêm elementos e discussões que podem ser trazidos para outros momentos do desenvolvimento dos passeios. Da mesma maneira, os textos de Atmosfera foram pensados de modo a ambientar os estudantes no início do passeio. Entretanto, o professor tem a liberdade de substituí-los ou pensar em outras opções, como a apresentação de um vídeo, utilizando o texto em outra ocasião. Como anunciado anteriormente, as sugestões feitas não são únicas: visam apenas inspirar os professores a considerar “outras leituras” para os livros da coleção, de modo a exercer sua autonomia docente e adaptar as ideias apresentadas às diferentes realidades em que atuam, ampliando o escopo do trabalho dos autores. Esperamos que este material possa auxiliar o trabalho docente, sendo subsídio e inspiração para os professores. Mapa dos Temas Contemporâneos Transversais na BNCC

ARTE M10

Nesta coleção, os Temas Contemporâneos Transversais (TCTs) são referenciados pelos contextos apresentados nas diversas situações didáticas propostas ao longo de cada volume. As perguntas motivadoras, em grande parte, servem de gatilho para propiciar reflexões, ampliar a visão de mundo do aluno e, ao mesmo tempo, atender as demandas sociais contemporâneas. Na BNCC, os TCTs totalizam quinze temas, distribuídos em seis macroáreas, conforme mostra esta imagem:

MEIO AMBIENTE Educação Ambiental Educação para o Consumo

CIÊNCIA E TECNOLOGIA

Trabalho

Ciência e Tecnologia

MULTICULTURALISMO

Educação Financeira

Temas Contemporâneos Transversais na BNCC

Diversidade Cultural Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

ECONOMIA

Educação Fiscal

SAÚDE Saúde Educação Alimentar e Nutricional

CIDADANIA E CIVISMO Vida Familiar e Social Educação para o Trânsito Educação em Direitos Humanos Direitos da Criança e do Adolescente Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso

Fonte: BRASIL. Disponível em: https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://basenacionalcomum.mec.gov. br/images/implementacao/contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf&ved=2ahUKEwjik46_m4P6AhX7ppUCHWngCskQFnoECAkQAQ&usg=AOvVaw3cfX9DlW6gGGB2GIXLzRqH. Acesso em: 7. set. 2022

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BIBLIOGRAFIA CARVALHO, Cicefran S. de. A aprendizagem cooperativa no ensino da Matemática. Curitiba: Appris, 2019. Relato de uma experiência pedagógica focada na metodologia da aprendizagem cooperativa em uma cidade do Ceará, com o intuito de motivar e inspirar professores a aproveitar elementos dessa metodologia em sua sala de aula. COHEN, Elizabeth G.; LOTAN, Rachel A. Planejando o trabalho em grupo: estratégias para salas de aula heterogêneas. 3. ed. Porto Alegre: Penso, 2017. O livro contém pesquisas e resultados mais recentes sobre a estratégia do trabalho em grupo na sala de aula, com o objetivo de alcançar uma dinâmica equilibrada e adequada para a aprendizagem de todos os alunos. HADJI, Charles. Avaliação desmistificada. Porto Alegre: Artmed, 2001. Uma visita aos últimos 30 anos do ensino e as análises, pesquisas e debates sobre o tópico polêmico da avaliação, com o objetivo de fornecer ao docente todos os elementos para implementar um sistema mais justo e adequado em sua sala de aula. HOFFMANN, Jussara. Avaliação mediadora. 35. ed. Porto Alegre: Mediação, 2019. A avaliação mediadora é um instrumento poderoso para legitimar o professor como aquele que encaminha a aprendizagem de forma mais orgânica e fluida. Neste livro, tal prática é aprofundada para tanto. HOFFMANN, Jussara. O jogo do contrário em avaliação. 10. ed. Porto Alegre: Mediação, 2018. E se a melhor avaliação possível fosse exatamente o contrário do que é praticado nas salas de aula até hoje? É o que propõe a autora, com exemplos e ideias que certamente levarão o docente a repensar suas práticas. LEMOV, Doug. Aula nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. 2. ed. Porto Alegre: Penso, 2018. Uma coletânea de diferentes e inusitados relatos de professores em sala de aula por todo o globo, com técnicas e estratégias diferenciadas para aprimorar a experiência em sala de aula. MOREIRA, Adelson F.; PEDROSA, José Geraldo; PONTELO, Ivan. O conceito de atividade e suas possibilidades na interpretação de práticas educativas. Ensaio: pesquisa em educação em ciências. v. 13, n. 3, p. 13-29. Belo Horizonte: UFMG, 2011. Elaborações sobre a prática escolar com diálogos entre novas ideias e reflexões sobre o que já é proposto e consolidado por autores como Vygotsky e Leontiev. SCHÖN, Donald A. Educando o profissional reflexivo: um novo design para o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: Artmed, 2000. Livro com a proposta de trazer uma formação profissional diferenciada para o leitor, focando na “reflexão-na-ação”, baseando o ensino muito mais na ação do que no modelo clássico de ouvir e ver. VILLAS BOAS, Benigna M. de F. (org.). Avaliação: interações com o trabalho pedagógico. Campinas: Papirus, 2017. Análise da avaliação como estratégia que ocorre em três camadas diferentes do ambiente da educação: em todas as ações da escola, especificamente na sala de aula, e no diálogo entre cursos de licenciatura e o ensino básico. VILLAS BOAS, Benigna M. de F. Portfólio, avaliação e trabalho pedagógico. 8. ed. Campinas: Papirus, 2012. A utilização do portfólio como método avaliativo é muito presente em algumas disciplinas e cursos superiores, mas subaproveitado em outros casos. Ao explorar todos os pontos positivos do portfólio, o autor convida o leitor a refletir sobre a possibilidade da inclusão do método em suas avaliações. ZABALA, Antoni; ARNAU, Laia. Como aprender e ensinar competências. Porto Alegre: Artmed, 2010. A BNCC trouxe à tona a discussão sobre as habilidades e competências, e essa discussão fortaleceu e engrandeceu muito o ensino em geral. Mas... como ensinar as competências? ZASLAVSKY, Alexandre. Ação pedagógica, ação comunicativa e didática. Conjectura: filosofia e educação. v. 22, n. 1, p. 69-81. jan./ abr. Caxias do Sul: EDUCS, 2017. Artigo da revista Conjectura, que traz uma reflexão aprofundada sobre o papel da comunicação na didática.

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SPEEDKINGZ/SHUTTERSTOCK

LABORANT/SHUTTERSTOCK

TRAJETÓRIA 2 – ESSENCIAIS: PARA ESTE VOLUME

CHECK-IN • De que maneira o livro didático oferece suporte ao trabalho docente quanto ao desenvolvimento de habilidades e competências no Ensino Fundamental?

• Como a interdisciplinaridade pode estar aliada ao desenvolvimento de habilidades e competências específicas de Matemática? • Como os Temas Contemporâneos Transversais (TCTs) podem apresentar situações propícias para o trabalho interdisciplinar e o desenvolvimento de habilidades e competências específicas de Matemática?

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ARTICULAÇÕES ENTRE OBJETIVOS, JUSTIFICATIVAS DESSES OBJETIVOS, COMPETÊNCIAS E HABILIDADES A BNCC se articula em torno de habilidades, competências gerais e competências específicas. Entretanto, cabem aos sistemas ou redes de ensino e instituições escolares as decisões que objetivem a adequação de tais habilidades e competências às realidades locais, aos contextos e características dos estudantes e suas famílias. Parte dessas decisões se referem às “formas de organização interdisciplinar dos componentes curriculares” (BNCC, 2018, p. 16). Na concepção desta obra, são consideradas fundamentais as concepções de pedagogia por competências e habilidades, assim como de interdisciplinaridade. Consideramos que uma competência se constitui pelos conhecimentos, atitudes e habilidades mobilizados. Nesse sentido, é importante considerar que os conhecimentos não são estáticos (ou acabados), mas algo em constante condição de revisão, avaliação e aprendizado. As habilidades, por sua vez, se situam no âmbito da utilização dos conhecimentos para resolver problemas, desenvolver estratégias, lidar com situações, agir sobre estas etc. Por fim, as atitudes se enquadram no âmbito das maneiras de se posicionar em diversas situações de mobilização dos conhecimentos e habilidades. Já a concepção de interdisciplinaridade pode ser entendida pela proposição de variadas disciplinas mobilizadas simultaneamente, com relações claras entre si. Tais relações pressupõem a existência de coordenação e organização entre si, bem como a decisão sobre qual disciplina terá mais ou terá menos peso dentro de tal organização. Ambas as concepções se articulam, por sua vez, com o desenvolvimento do letramento matemático ao longo dos anos do Ensino Fundamental, uma vez que a ideia de letramento matemático considera a diversidade de usos, de contextos sociais e culturais na qual a Matemática está inserida. Segundo a BNCC, o letramento matemático se refere justamente a:

É possível verificar que as competências gerais propostas pela BNCC para a educação básica se traduzem nas diferentes competências específicas de Matemática que, por sua vez, se desdobram em habilidades de diversas áreas: números, álgebra, geometria, grandezas e medidas, probabilidade e estatística. Apresentaremos, a seguir, dentro da concepção da obra, como se articulam os principais objetivos de aprendizagem, competências e habilidades.

Trajetória 1 do LE

PASSEIO 1 Competência geral 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.

Competência específica 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.

Habilidades EF06MA01 e EF06MA02. Objetivos • Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais. • Identificar as principais características do sistema de numeração decimal como valor posicional e função do zero. • Fazer composição e decomposição de números naturais. • Localizar números naturais na reta numérica. • Fazer estimativas de quantidades. • Reconhecer diversos sistemas de numeração de distintos povos e épocas. • Reconhecer o sistema de numeração decimal como o que prevaleceu no mundo ocidental.

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Articulações e justificativas Partindo do pressuposto de que a Matemática é uma produção humana e, consequentemente, “fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos”, são trabalhadas habilidades que busquem não somente desenvolver a compreensão do sistema de numeração decimal, dos conjuntos numéricos, operações e propriedades, como também compreender que tais aspectos são de fato o produto de um processo histórico para o qual contribuíram diferentes povos e culturas. Ainda que não haja uma relação direta entre algumas dessas contribuições, é possível verificar como diferentes povos (talvez em diferentes momentos históricos) chegaram a conclusões bastante similares sobre determinados problemas. Tal discussão pode extrapolar o âmbito histórico e antropológico ao trazer as práticas e os usos da Matemática para o cenário cotidiano, relacionado ao desenvolvimento de estratégias e procedimentos para resolução de problemas. Dessa maneira, espera-se que o estudante possa valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos, assim como entender e explicar a realidade, agindo sobre o mundo a partir de princípios democráticos que promovam uma sociedade mais justa e inclusiva.

PASSEIO 2 Competência geral 4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.

Competências específicas 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas e dados).

Habilidades EF06MA03 e EF06MA24. Objetivos • Identificar e aplicar diferentes estratégias de resolução de problemas. • Resolver e elaborar problemas diversos utilizando as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. • Identificar e aplicar diferentes estratégias de cálculo nas operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. • Compreender e aplicar a operação de potenciação com números naturais. Articulações e justificativas Olhar para a realidade de uma perspectiva matemática significa, de certo modo, considerá-la de maneira analítica. Isso significa realizar “observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais”, assim como resolver situações-problema em diferentes contextos, seja de situações cotidianas reais ou imaginadas, seja de diferentes áreas do conhecimento, incluindo situações cujo contexto é a área de grandezas e medidas. Nesse sentido, é importante o estudante resolver e elaborar problemas por meio de diferentes estratégias, por exemplo, estimativas, cálculo mental, uso de algoritmo, calculadora etc. Tal olhar para a realidade implica uma interpretação matemática que pode envolver diferentes relações ou significados para a noção de igualdade. Considera-se que esse tipo atividade contribua para o exercício da curiosidade intelectual e de um olhar crítico sobre a realidade.

PASSEIO 3 Competência geral

Competência específica

3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.

Habilidades EF06MA17 e EF06MA24. XLIII |

Objetivos • Identificar características e propriedades de alguns sólidos geométricos. • Estabelecer relações entre o número de arestas, faces e vértices em prismas e pirâmides. • Resolver problemas por meio da percepção espacial. • Resolver e elaborar problemas que envolvam a grandeza volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas. Articulações e justificativas A realização de observações sistemáticas de diversos aspectos (quantitativos e qualitativos) das práticas sociais e culturais pode se estabelecer sobre produções artísticas e na arquitetura. Em grande parte, tais observações permeiam o desenvolvimento da percepção espacial, do reconhecimento de elementos de figuras geométricas, assim como da compreensão sobre grandezas e suas medidas. A partir dessas observações, é possível valorizar diferentes manifestações artísticas e culturais, sejam elas locais ou globais.

Trajetória 2 do LE

PASSEIO 1 Competência geral

Competência específica

5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.

5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

Habilidades EF06MA04, EF06MA05 e EF06MA06. Objetivos • Classificar números naturais em primos e compostos, reconhecer se um número “é múltiplo de”, “é divisor de” ou “é fator de” outro número e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000. • Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. • Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma, indicando a resolução de um problema simples. Articulações e justificativas As tecnologias digitais podem ser utilizadas tanto como ferramentas para resolução de problemas, quanto como maneiras de oferecer novos significados para conhecimentos matemáticos. Uma das possibilidades do uso das tecnologias digitais é desenvolver a compreensão de propriedades dos números naturais, como as ideias de múltiplo e divisor. A partir da construção de fluxogramas, podem-se estabelecer passos ou procedimentos para verificar se determinado número é divisor ou múltiplo de outro (por exemplo, verificar se determinado número é par). Tais procedimentos podem ser implementados ou testados com o auxílio de tecnologias digitais ou mesmo de calculadoras. Trata-se de outra maneira de resolver problemas e compreender a realidade a partir da Matemática e da tecnologia. Desse modo, espera-se também contribuir para a produção de conhecimentos e novas estratégias de resolução de problemas.

PASSEIO 2 Competência geral

Competência específica

Habilidades EF06MA22, EF06MA23, EF06MA25, EF06MA26 e EF06MA27.

XLIV | MANUAL DO PROFESSOR

Objetivos • Reconhecer as ideias de ângulo e identificá-lo como figura geométrica. • Classificar os diferentes ângulos quanto à sua abertura. • Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos. • Determinar medida da abertura de ângulos usando transferidor. • Utilizar régua e esquadro na construção de retas paralelas e perpendiculares. • Construir retas paralelas, perpendiculares e retângulos utilizando softwares. • Elaborar um algoritmo que descreva a construção de um retângulo. Articulações e justificativas Entre as diversas possibilidades de uso de tecnologias digitais, cabe destacar as relacionadas à geometria e a construções geométricas. A partir, por exemplo, de softwares de geometria dinâmica, é possível explorar não somente os procedimentos de construção de ângulos e polígonos, como também suas características e propriedades. Além disso, é possível explorar diferentes resoluções para problemas e testar diversas hipóteses a partir das tecnologias digitais. Dessa maneira, espera-se contribuir para o desenvolvimento da compreensão e criação de tecnologias digitais, bem como seu uso de maneira crítica, significativa, reflexiva e ética.

PASSEIO 3 Competência geral 9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

Competências específicas 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

Habilidades EF06MA12, EF06MA14, EF06MA18, EF06MA19 e EF06MA20. Objetivos • Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas. • Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima. • Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos. • Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles. • Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros. Articulações e justificativas A Matemática pode ser interpretada como uma maneira de ler e de agir sobre o mundo. A partir dessa premissa, é possível partir da Matemática em direção ao desenvolvimento de projetos que foquem em questões de urgência social, assumindo, em sua concepção, princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários. Considerando esse contexto, é possível desenvolver diversas habilidades matemáticas. Por exemplo, a partir da consideração sobre diferentes significados para a igualdade matemática, assim como da análise de semelhanças entre figuras geométricas, é possível extrapolar para discussões mais gerais sobre igualdade, identidade, diferença etc. Possuindo tais discussões como ponto de partida, é possível “exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação”, por exemplo.

XLV |

Trajetória 3 do LE

PASSEIO 1 Competência geral

Competência específica

8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.

8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

Habilidades EF06MA07 e EF06MA09. Objetivos • Representar números em forma de fração. • Reconhecer diferentes significados e interpretações para as frações: parte/todo, fração de uma quantidade, fração como quociente. • Resolver problemas envolvendo diferentes significados para as frações. Articulações e justificativas Situações-problema envolvendo partilhas, divisões em partes iguais, porcentagens e matemática financeira podem apresentar aberturas interessantes tanto para o aprofundamento do conhecimento sobre conjuntos numéricos, operações e representações numéricas, quanto para a reflexão dos próprios contextos a partir dos quais as situações-problema emergiram. A partir dessas situações, espera-se que os estudantes possam exercitar a reflexão e o espírito crítico, buscando solução de problemas e proposição de soluções que respeitem o modo de pensar dos colegas e que possam aprender uns com os outros.

PASSEIO 2 Competência geral 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.

Competências específicas 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

Habilidades EF06MA07, EF06MA09, EF06MA10, EF06MA13 e EF06MA15. Objetivos • Representar frações na reta numérica. • Comparar e ordenar frações. • Identificar e utilizar frações equivalentes em diversos contextos. • Realizar operações de adição e subtração envolvendo frações. • Compreender a fração com o significado de razão. • Compreender a noção de porcentagem e sua relação com o conceito de fração. • Resolver problemas envolvendo frações no contexto de medidas.

XLVI | MANUAL DO PROFESSOR

Articulações e justificativas Acrescenta-se às situações-problema envolvendo partilhas a noção de divisões não equitativas. Nesse sentido, abrem-se possibilidades tanto para contemplar outros significados para as operações e para a noção de porcentagem e de proporcionalidade, como as decorrentes reflexões a partir dos contextos dos quais as situações-problema emergiram. Procura-se incentivar o alunos a relacionar os conceitos e procedimentos da Matemática com outras áreas do conhecimento, propondo-lhes uma conversa sobre a necessidade de acesso ao saneamento básico a todas as pessoas, por exemplo.

PASSEIO 3 Competência geral

Competências específicas

6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.

4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

Habilidades EF06MA16, EF06MA21, EF06MA24, EF06MA28 e EF06MA29. Objetivos • Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas de residências e vistas aéreas. • Representar pontos e figuras geométricas planas em um plano cartesiano. • Ampliar e reduzir figuras geométricas planas utilizando malhas quadriculadas, plano cartesiano e aplicativos de geometria dinâmica. • Calcular o perímetro de figuras geométricas planas. • Calcular a área da superfície de figuras geométricas planas utilizando malhas quadriculadas. • Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área da superfície de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem as medidas de seus lados. • Resolver problemas no contexto de medidas de comprimento e de superfície. Articulações e justificativas Alguns dos desafios para os jovens são participar dos espaços públicos, sejam em ambientes urbanos ou rurais, se reconhecer como parte do espaço, compreender seus problemas e desafios, posicionar-se de maneira crítica e reflexiva e, sobretudo, agir sobre tais problemas. Parte desse processo ocorre por meio de observações sistemáticas sobre diversos aspectos do espaço e da cidade, assim como do estabelecimento de um olhar crítico e reflexivo sobre a diversidade de indivíduos e grupos sociais que também participam desses espaços. Uma maneira de compreender e agir sobre o espaço e a cidade é com uma observação analítica, seja por meio da geometria ou da álgebra, ao considerar representações de locais e trajetos no plano cartesiano, por exemplo. Espera-se que, com reflexões como essas, os estudantes possam valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais nos espaços que frequentam, construindo suas identidades e fazendo escolhas alinhadas ao exercício da cidadania. Trajetória 4 do LE

PASSEIO 1 Competência geral

Competência específica

2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.

3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

Habilidades EF06MA01, EF06MA02 e EF06MA08. XLVII |

Objetivos • Reconhecer números decimais em situações cotidianas. • Reconhecer a correspondência entre a representação decimal e fracionária de um mesmo número, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra. • Compreender a representação de números decimais segundo o sistema de numeração decimal. • Compor e decompor números decimais. • Comparar e ordenar números decimais inclusive representando-os na reta numérica. Articulações e justificativas Resolver problemas inseridos em diversos contextos possibilita tanto a ressignificação dos conhecimentos em diferentes situações como a discussão dos próprios contextos dos quais emanaram as situações‑problemas. Abrem-se também possibilidades de pensar nos próprios conhecimentos matemáticos e em suas inter-relações. Nesse caso, reflexões sobre o sistema de numeração e representações numéricas decimais proporcionam esse olhar sobre outras áreas da Matemática, ao passo que ajudam o estudante a exercitar a curiosidade intelectual, a criatividade, elaborar e testar hipóteses.

PASSEIO 2 Competência geral

Competência específica

7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

Habilidades EF06MA11, EF06MA13, EF06MA24 e EF06MA30.

Objetivos • Resolver e elaborar problemas com números na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos, com e sem uso de calculadora. • Escrever números utilizando múltiplos de potências de 10. • Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de proporcionalidade, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos diversos. • Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a na forma fracionária, decimal e percentual. • Realizar experimentos sucessivos para determinar probabilidade de um evento.

Articulações e justificativas O desenvolvimento do raciocínio lógico e do espírito de investigação, bem como a produção de argumentações matemáticas, encontram em atividades de resolução de problemas terrenos bastante férteis. No caso, por exemplo, de habilidades relacionadas a números, operações e álgebra, é possível focar em tais investigações tanto no sentido de aprofundar conhecimentos matemáticos, quanto de utilizá-los para resolver problemas cotidianos ou de outras áreas do conhecimento, incluindo contextos relacionados à área de grandezas e medidas. O estudo de probabilidades é um exemplo: apresenta outros significados para representações fracionárias e decimais de números racionais, outras interpretações para a operação de multiplicação, da mesma maneira que pode ser utilizado para analisar situações cotidianas. Desse modo, é possível desenvolver argumentações baseadas na ideia de probabilidade ou das chances de ocorrência de eventos que possam expressar “posicionamentos éticos em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta”.

PASSEIO 3 Competência geral

Competência específica

10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

Habilidades EF06MA24, EF06MA31, EF06MA32, EF06MA33 e EF06MA34. XLVIII | MANUAL DO PROFESSOR

Objetivos • Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas tempo e temperatura em contextos diversos. • Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráficos e tabelas. • Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos diversos, em diferentes tipos de gráficos, e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. • Coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto. • Interpretar e desenvolver fluxogramas simples. Articulações e justificativas A resolução de problemas pode ser encarada como um processo individual do estudante em busca de soluções e estratégias, mas também pode ser considerada no âmbito coletivo, promovendo a troca de ideias, o desenvolvimento de argumentações matemáticas e maneiras de se expressar matematicamente. Situações coletivas de investigação matemática ou de resolução de problemas são interessantes também no sentido de trabalhar aspectos como o respeito ao modo de pensar dos colegas, podendo inclusive aprender com eles. Situações coletivas envolvendo medições e o uso de instrumentos contribuem para esse fim. De maneira similar, investigações envolvendo pesquisas estatísticas podem mobilizar o interesse dos estudantes tanto no problema da pesquisa, quanto nos processos de obtenção, organização e análise dos dados obtidos. Nesse processo, diferentes pontos de vista, interpretações e estratégias podem surgir, cabendo aos participantes da pesquisa obter um consenso acerca daqueles mais adequados. Tais situações contribuem para o desenvolvimento do senso de responsabilidade, de participação no grupo e de identidade, assim como na construção de bases democráticas, éticas e solidárias na formação do estudante.

LUPAS E LUNETAS Retome o livro do estudante e identifique nas atividades ou situações apresentadas algumas das possíveis articulações sugeridas anteriormente. Escolha uma delas e verifique outras possíveis relações e articulações, buscando imaginar novas atividades que aprofundem ou expandam as discussões em jogo. Compartilhe com os colegas e discutam as possibilidades de efetivação dessas ideias em sala de aula.

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XLIX |

SUBSÍDIOS PARA TRABALHAR A INTERDISCIPLINARIDADE Os quadros explicitam as possibilidades de trabalho com outras disciplinas.

TRAJETÓRIA 1 DO LE TCTs: Diversidade Cultural e Vida Familiar e Social

Quadro de interdisciplinaridade DISCIPLINA

Língua Portuguesa

HABILIDADE

JUSTIFICATIVA

(EF67LP23) Respeitar os turnos de fala, na participação em conversações e em discussões ou atividades coletivas, na sala de aula e na escola e formular perguntas coerentes e adequadas em momentos oportunos em situações de aulas, apresentação oral, seminário etc.

A habilidade EF67LP23 é desenvolvida, em muitas ocasiões, de maneira tácita. No entanto, possui um papel fundamental no desenvolvimento de habilidades relacionadas ao letramento matemático, como expressar-se matematicamente, comunicar estratégias de resolução de problemas e hipóteses, argumentar etc. Ao longo da Trajetória, são propostas diversas situações individuais ou coletivas pelas quais o aluno passa, seja a partir de um contexto matemático, de um TCT ou das perguntas norteadoras. Nesse sentido, é importante considerar não somente o “conteúdo” ou “tema” da discussão, mas também a sua organização geral. Trata-se de um exercício de respeito às opiniões dos demais, da capacidade de formular boas perguntas ou ainda de sustentar um ponto de vista a partir de ideias bem fundamentadas.

(EF69LP33) Articular o verbal com os esquemas, infográficos, imagens variadas etc. na (re)construção dos sentidos dos textos de divulgação científica e retextualizar do discursivo para o esquemático – infográfico, esquema, tabela, gráfico, ilustração etc. – e, ao contrário, transformar o conteúdo das tabelas, esquemas, infográficos, ilustrações etc. em texto discursivo, como forma de ampliar as possibilidades de compreensão desses textos e analisar as características das multissemioses e dos gêneros em questão.

Arte

(EF69AR31) Relacionar as práticas artísticas às diferentes dimensões da vida social, cultural, política, histórica, econômica, estética e ética. (EF69AR34) Analisar e valorizar o patrimônio cultural, material e imaterial, de culturas diversas, em especial a brasileira, incluindo suas matrizes indígenas, africanas e europeias, de diferentes épocas, e favorecendo a construção de vocabulário e repertório relativos às diferentes linguagens artísticas.

L | MANUAL DO PROFESSOR

A habilidade EF69LP33 pode ser trabalhada a partir da análise de diversas figuras, tabelas, esquemas, gráficos e infográficos apresentados ao longo da Trajetória. É importante que o estudante possa considerar esses elementos de modo a auxiliar a sua compreensão sobre o assunto ou ainda enriquecer essa experiência apresentando novos elementos, interpretações e olhares. Nesse sentido, é possível que essa habilidade dialogue com a EF69LP23, uma vez que parte de um elemento como um esquema, por exemplo, para realizar uma conversa coletiva. Da mesma maneira que o desenvolvimento das habilidades relacionadas à geometria se relacionam ao reconhecimento das formas geométricas, ele também deve estar atrelado às possibilidades de construção e de representação dessas formas. Nesse sentido, a produção de formas geométricas a partir de recortes, colagens, modelagem com materiais manipuláveis, desenho, dobradura etc. proporciona ao estudante compreender melhor as características e propriedades geométricas das formas produzidas. O desenvolvimento das habilidades relacionadas à geometria nesta Trajetória perpassa o reconhecimento das formas geométricas no mundo físico, seja em objetos cotidianos, seja em produções artísticas e/ou arquitetônicas. Nesta discussão, a diversidade cultural é um ponto fundamental, abordando como diferentes culturas e períodos históricos se apropriaram e utilizaram a Matemática em suas produções. Desse modo, é interessante refletir com os estudantes como diferentes práticas artísticas se relacionam com a Matemática.

DISCIPLINA

História

HABILIDADE

JUSTIFICATIVA

(EF06HI14) Identificar e analisar diferentes formas de contato, adaptação ou exclusão entre populações em diferentes tempos e espaços.

A interação entre diferentes populações ao longo da história pode ser identificada em contextos diversos, desde manifestações artísticas e religiosas até a língua e outros costumes. No âmbito da Matemática, é possível contribuir para o desenvolvimento da habilidade EF06HI14 ao verificar, por exemplo, como diferentes povos e culturas desenvolveram seus sistemas de numeração, em alguns casos, baseando e adaptando outros sistemas. Compreender este movimento de trocas, adaptações e exclusões, por sua vez, contribui para o desenvolvimento da habilidade matemática EF06MA02. Assim, é interessante ampliar as discussões sobre sistemas de numeração de modo a vislumbrar um panorama das relações entre diferentes culturas. Por exemplo, assim como os sistemas de numeração de origem árabe foram pouco a pouco sendo apropriados pelos povos europeus, é possível discutir com os estudantes como outros aspectos da cultura árabe também estão presentes em diversos países europeus. A culinária e a arte de mosaicos são exemplos disso.

TRAJETÓRIA 2 DO LE TCTs: Diversidade Cultural, Vida Familiar e Social, Ciência e Tecnologia e Educação em Direitos Humanos

Quadro de interdisciplinaridade DISCIPLINA

HABILIDADE

JUSTIFICATIVA

A habilidade EF69LP25 se articula com a habilidade EF67LP23, já explorada anteriormente. Como já salientado, possui um papel fundamental no desenvolvimento de habilidades relacionadas a expressão, comunicação e argumentação matemáticas. Entretanto, há um aumento no nível de complexidade da habilidade no sentido de que se espera que os alunos já consigam se organizar melhor em situações de discussão, respeitando os turnos de fala, as opiniões e os posicionamentos dos demais. A partir desse ponto, o objetivo deve ser focar em aspectos relacionados à própria argumentação matemática, explicando e defendendo seus pontos de vista, estratégias ou hipóteses de maneira clara, organizada e fundamentada.

(EF69LP25) Posicionar-se de forma

Língua consistente e sustentada em uma Portuguesa discussão, assembleia, reuniões de

colegiados da escola, de agremiações e outras situações de apresentação de propostas e defesas de opiniões, respeitando as opiniões contrárias e propostas alternativas e fundamentando seus posicionamentos, no tempo de fala previsto, valendo-se de sínteses e propostas claras e justificadas.

LI |

DISCIPLINA

HABILIDADE

(EF69AR07) Dialogar com princípios conceituais, proposições temáticas, repertórios imagéticos e processos de criação nas suas produções visuais.

A apreciação de produções e expressões artísticas como pinturas, desenhos, esculturas, fotografias etc. apresenta interessantes aberturas para discussão na sala de aula de Matemática. Por um lado, é possível analisar as formas representadas na obra verificando relações com a geometria ou com a noção de proporcionalidade. Por outro, é possível propor a criação de obras artísticas utilizando diferentes materiais e técnicas, observando nessas criações o uso, por exemplo, de figuras geométricas. No âmbito da geometria espacial, é possível não somente estudar objetos escultóricos, como também a arquitetura. Para esta última, utilizar imagens e vídeos de estruturas reais é uma possibilidade, porém, é sempre desejável que o estudante possa visitar pessoalmente tais obras arquitetônicas, ainda que no próprio entorno da escola. Atividades de desenho de observação (podendo utilizar instrumentos como régua e compasso) também são boas maneiras de colocar o estudante em contato com as relações entre, por exemplo, a geometria e a arquitetura.

(EF67EF02) Identificar as transformações nas características dos jogos eletrônicos em função dos avanços das tecnologias e nas respectivas exigências corporais colocadas por esses diferentes tipos de jogos.

Os jogos eletrônicos fazem parte da experiência cotidiana de várias crianças e adolescentes. Muitos se identificam inclusive com a cultura gamer, que pode estar também vinculada à cultura geek. As possibilidades de jogos e a relação com estes estabelecida pelos estudantes são inúmeras. Sendo assim, os repertórios trazidos pelos estudantes à sala de aula são bastante diversos. Em certos jogos, é necessária a leitura rápida de gráficos de radar (ou outras representações gráficas), de modo a tomar decisões sobre as melhores escolhas para aquele momento; outros jogos exigem o raciocínio sobre a gestão de recursos; outros, ainda, exigem a leitura do espaço virtual para uma rápida tomada de decisões; e, por fim, a necessidade de, em muitos desses jogos, elaborar estratégias para resolver problemas ou quebra-cabeças. Em outra perspectiva, é possível considerar jogos produzidos com o objetivo de ensinar Matemática. Eles podem ser inseridos em sala de aula de acordo com o tema ou a unidade temática e, sempre que possível, é interessante propor um diálogo sobre as experiências dos estudantes com os jogos que eles conhecem e os trabalhados em sala de aula.

(EF06GE01) Comparar modificações das paisagens nos lugares de vivência e os usos desses lugares em diferentes tempos.

A habilidade pode ser desenvolvida a partir da observação de fotos ou vídeos da mudança de certas paisagens, locais ou globais. Entretanto, é interessante discutir tais mudanças em locais familiares aos estudantes, como a escola e o seu entorno. Nesse sentido, é importante observar como novos usos foram sendo dados a esses espaços ao longo do tempo, apontando seus impactos positivos e negativos. É importante trazer para a discussão como a presença das pessoas e os aspectos culturais contribuíram para modificar tais paisagens. Observar “matematicamente” o espaço, a partir da geometria, das grandezas e medidas, por exemplo, é ao mesmo tempo uma maneira de compreender e de agir sobre o espaço e as paisagens.

Arte

Educação Física

Geografia

LII | MANUAL DO PROFESSOR

JUSTIFICATIVA

DISCIPLINA

História

Ciência

HABILIDADE

(EF06HI14) Identificar e analisar diferentes formas de contato, adaptação ou exclusão entre populações em diferentes tempos e espaços.

(EF06CI13) Selecionar argumentos e evidências que demonstrem a esfericidade da Terra.

JUSTIFICATIVA Entre as diferentes formas de interação estabelecidas por diferentes populações ao longo da história, está a arte. Sendo assim, especialmente ao tratar as relações entre geometria e arte, é interessante ampliar a discussão para as inter-relações culturais que podem ser verificadas. Um bom exemplo são os mosaicos presentes em países como Espanha e Portugal e que possuem uma notável influência árabe. Externamente a tal contexto, a habilidade pode ser tratada, ainda que parcialmente, conversando sobre como grupos de diferentes identidades, ou tribos urbanas, se relacionam, compreendem e agem no mundo ao seu redor.

Ao estudar padrões e regularidades, especialmente aqueles que se repetem ciclicamente, é interessante abordar eventos periódicos da natureza, como a existência do dia e da noite, das estações do ano etc. Enquanto, por um lado, tais padrões e regularidades podem ser investigados a partir da álgebra, por outro lado, a explicação para a sua ocorrência no mundo “real” aponta justamente para a esfericidade da Terra. Nesse sentido, é interessante convidar professores de outras áreas e explorar globos terrestres ou outros materiais concretos, de modo a compreender tais fenômenos.

TRAJETÓRIA 3 DO LE TCTs: Vida Familiar e Social, Direitos da Criança e do Adolescente, Saúde e Educação Alimentar e Nutricional

Quadro de interdisciplinaridade DISCIPLINA

HABILIDADE (EF69AR04) Analisar os elementos constitutivos das artes visuais (ponto, linha, forma, direção, cor, tom, escala, dimensão, espaço, movimento etc.) na apreciação de diferentes produções artísticas.

Arte

(EF69AR05) Experimentar e analisar diferentes formas de expressão artística (desenho, pintura, colagem, quadrinhos, dobradura, escultura, modelagem, instalação, vídeo, fotografia, performance etc.). (EF69AR06) Desenvolver processos de criação em artes visuais, com base em temas ou interesses artísticos, de modo individual, coletivo e colaborativo, fazendo uso de materiais, instrumentos e recursos convencionais, alternativos e digitais.

JUSTIFICATIVA Tais habilidades podem ser consideradas especialmente ao trabalhar habilidades relacionadas às unidades temáticas de geometria e grandezas e medidas. Nesse sentido, elas podem ser mobilizadas durante as aulas de Matemática em momentos (e com intenções) variados: seja na apreciação de obras de arte e na arquitetura, de modo a analisar formas geométricas, medidas e proporções envolvidas, seja no âmbito da criação de obras pelos estudantes, mobilizando conhecimentos relacionados às construções geométricas ou na elaboração de maquetes, croquis etc.

LIII |

DISCIPLINA

HABILIDADE

JUSTIFICATIVA

(EF67EF09) Construir, coletivamente, procedimentos e normas de convívio que viabilizem a participação de todos na prática de exercícios físicos, com o objetivo de promover a saúde.

É possível partir de contextos relacionados diretamente à prática de exercícios físicos para não somente trabalhar aspectos relacionados à Matemática, como também propor condições para que todos participem das atividades de maneira divertida, cooperativa e saudável. Uma possibilidade é discutir, por exemplo, medidas ou conjuntos numéricos associados a situações práticas, como “qual estudante pula mais alto”, “corre mais rápido” etc. Apesar de soar como uma atividade “competitiva”, ao deslocar a discussão não para o desempenho do estudante, mas para a comparação entre medidas, representações numéricas etc., cria-se uma discussão coletiva em torno da Matemática em si, diluindo o viés competitivo da atividade.

(EF06GE08) Medir distâncias na superfície pelas escalas gráficas e numéricas dos mapas.

O próprio contexto do estudo de mapas, croquis e vistas aéreas favorece o desenvolvimento de habilidades relacionadas às unidades temáticas de geometria, grandezas e medidas e também de álgebra, seja no âmbito do estudo da proporcionalidade, seja nas representações no plano cartesiano. Nesse sentido, é importante partir sempre de situações em contextos reais, utilizando mapas (impressos ou digitais), fotos de vistas aéreas etc. Os conhecimentos matemáticos, por sua vez, devem contribuir para a resolução desses problemas contextualizados, de modo a auxiliar o desenvolvimento dessa habilidade, ao passo que apresenta novos significados às habilidades da área de Matemática.

Educação Física

Geografia

TRAJETÓRIA 4 DO LE TCTs: Educação Ambiental, Educação para o Consumo, Vida Familiar e Social e Educação para Valorização do Multiculturalismo nas Matrizes Históricas e Culturais Brasileiras

Quadro de interdisciplinaridade DISCIPLINA

Língua Portuguesa

LIV | MANUAL DO PROFESSOR

HABILIDADE

JUSTIFICATIVA

(EF69LP05) Inferir e justificar, em textos multissemióticos – tirinhas, charges, memes, gifs etc. –, o efeito de humor, ironia e/ou crítica pelo uso ambíguo de palavras, expressões ou imagens ambíguas, de clichês, de recursos iconográficos, de pontuação etc.

Textos multissemióticos como tirinhas, charges, memes e gifs são apresentados em diferentes momentos e contextos. Na aula de Matemática, alguns desses textos podem despertar a curiosidade ou abrir espaços de conversa sobre conteúdos propriamente matemáticos. Em certos casos, a própria compressão dos efeitos de humor e ironia, ou mesmo crítica, depende da compreensão sobre determinado conteúdo matemático. Nesse sentido, não se trata apenas de usar esse tipo de texto para “disparar” uma atividade de Matemática, mas, sim, de discutir, a partir da Matemática, de que maneira os autores construíram os efeitos humor, ironia ou crítica identificados.

DISCIPLINA

Ciências

Geografia

História

HABILIDADE

JUSTIFICATIVA

(EF06CI04) Associar a produção de medicamentos e outros materiais sintéticos ao desenvolvimento científico e tecnológico, reconhecendo benefícios e avaliando impactos socioambientais.

É possível partir da leitura de textos específicos da área de Ciências ou mesmo da leitura da composição química de alguns medicamentos e outros materiais sintéticos e trabalhar conteúdos relacionados às noções de proporcionalidade, representações fracionárias e decimais, porcentagens etc. Por outro lado, é também interessante partir de textos ou vídeos que discutam os impactos socioambientais relacionados à produção desse tipo de material, abordando a discussão a partir da estatística, por exemplo.

(EF06GE11) Analisar distintas interações das sociedades com a natureza, com base na distribuição dos componentes físico ‑naturais, incluindo as transformações da biodiversidade local e do mundo.

O desenvolvimento de ambas as habilidades pode se beneficiar da inclusão de discussões de natureza quantitativa. Um elemento fundamental para a análise das interações das sociedades com a natureza e das consequências dessas interações é a partir de dados quantitativos. Ou seja, a partir da leitura de tabelas, gráficos, relatórios, dados numéricos etc., o estudante pode compreender melhor os cenários apresentados, obter conclusões e propor ações hipotéticas a fim de contribuir para a solução do problema. Nesse sentido, tais habilidades também contribuem para o desenvolvimento de habilidades relacionadas à Matemática ao produzir novos significados e contextos de aplicação.

(EF06GE13) Analisar consequências, vantagens e desvantagens das práticas humanas na dinâmica climática (ilha de calor etc.).

(EF06HI08) Identificar os espaços territoriais ocupados e os aportes culturais, científicos, sociais e econômicos dos astecas, maias e incas e dos povos indígenas de diversas regiões brasileiras.

Compreender as matrizes culturais dos povos originários da América e do Brasil, especificamente, é fundamental para a constituição da identidade dos estudantes. Ao considerar a Matemática como uma produção humana, é possível lançar outros olhares sobre o tema, considerando tanto os aspectos relacionados aos sistemas de numeração, estratégias de contagem e medidas, como também os relacionados à utilização do espaço, à arquitetura e à arte.

LUPAS E LUNETAS Os quadros anteriores apresentam sugestões de possíveis articulações entre habilidades de outras disciplinas e as da Matemática, assim como com alguns TCTs.

a) Converse com professores de outras disciplinas sobre as possibilidades aqui apresentadas. b) Assim como a interdisciplinaridade pode agregar novos sentidos e significados a conhecimentos matemáticos, de

que maneira as habilidades e competências específicas de Matemática podem contribuir para o desenvolvimento de habilidades e competências das outras disciplinas?

LV |

JUSTIFICATIVA E PERTINÊNCIA DOS OBJETIVOS E PROPOSTAS DE AVALIAÇÃO TRAJETÓRIA 1 DO LE O início do 6º ano do Ensino Fundamental busca retomar os conhecimentos construídos ao longo dos anos iniciais, entretanto, propondo novas abordagens, significados e relações com diferentes contextos. Nesse sentido, objetiva-se o aprofundamento de conhecimentos ao mesmo tempo que outros são apresentados aos estudantes. A Trajetória propõe uma retomada do sistema de numeração decimal a partir de um olhar histórico-cultural, abordando diversos sistemas de numeração de distintos povos e épocas, de modo a discutir noções como “base”, “valor posicional” e “função do zero”. São retomadas também diferentes estratégias de cálculo a partir da resolução de problemas, assim como as operações aritméticas fundamentais e suas propriedades, além da apresentação da noção de potenciação. A geometria também é contemplada a partir do olhar sobre figuras geométricas planas e não planas, diferentes tipos de sólidos geométricos, a relação entre seus elementos (vértices, arestas e faces), assim como a noção de volume. Quadro: objetivos e avaliações Ao longo da Trajetória, são propostas atividades individuais e coletivas, situações de reflexão, de investigação e de utilização de tecnologias digitais. Utilize-as para acompanhar a aprendizagem dos estudantes durante a Trajetória. Sugerimos utilizar a seção Vistorias para avaliar a aprendizagem ao final da Trajetória, assim como o boxe Levo na bagagem ao fim de cada passeio para promover momentos de autoavaliação. A ficha favorece o registro e o monitoramento da aprendizagem para cada objetivo durante e ao fim da Trajetória.

Ficha de monitoramento da aprendizagem – Individual Nome do(a) estudante: ________________ Turma: _______ Durante a Trajetória

Objetivos O(a) estudante está apto(a) a... Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais. Identificar principais características do sistema de numeração decimal, como valor posicional e função do zero. Fazer composição e decomposição de números naturais. Localizar números naturais na reta numérica. Fazer estimativas de quantidades. Reconhecer diversos sistemas de numeração de distintos povos e épocas. Reconhecer o sistema de numeração decimal como o que prevaleceu no mundo ocidental. Identificar e aplicar diferentes estratégias de resolução de problemas. Resolver e elaborar problemas diversos utilizando operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. Identificar e aplicar diferentes estratégias de cálculo com operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. Compreender e aplicar a operação de potenciação com números naturais. Identificar características e propriedades de alguns sólidos geométricos. Estabelecer relações entre o número de arestas, faces e vértices em prismas e pirâmides. Resolver problemas por meio da percepção espacial. Resolver e elaborar problemas que envolvam a grandeza volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas. Legenda: Sim (S), Não (N), Parcialmente (P).

LVI | MANUAL DO PROFESSOR

Ao fim da Trajetória P

TRAJETÓRIA 2 DO LE Nesta Trajetória, são aprofundados conhecimentos relativos aos conjuntos numéricos e às operações, como noções de múltiplos e divisores, números primos e critérios de divisibilidade. Tais conteúdos proporcionam um olhar algébrico a partir de situações de generalização e busca por algoritmos ou processos para determinar, por exemplo, se um número é par. O conceito de relação de igualdade e seus significados são desenvolvidos a partir da resolução de problemas, especialmente na obtenção de valores desconhecidos em uma sentença matemática, introduzindo a noção de incógnita. A noção de igualdade também se estende para a unidade temática da geometria, segundo a ideia de comparação no âmbito da análise de polígonos, medidas de seus lados e ângulos. Desse modo, são discutidas também a definição de ângulo e a classificação de acordo com a medida. A discussão sobre retas e posições relativas complementa o tema de geometria. As construções geométricas utilizando régua, compasso, transferidor e tecnologias digitais, por sua vez, apresentam outros significados para esses conceitos, como também exploram a ideia de algoritmo ou de um conjunto de procedimentos e passos necessários para construir uma figura ou resolver um problema de natureza geométrica. Quadro: objetivos e avaliações Ao longo da Trajetória, são propostas atividades individuais e coletivas, situações de reflexão, de investigação e de utilização de tecnologias digitais. Utilize-as para acompanhar a aprendizagem dos estudantes durante a Trajetória. Sugerimos utilizar a seção Vistorias para avaliar a aprendizagem ao final da Trajetória, assim como o boxe Levo na bagagem ao fim de cada passeio para promover momentos de autoavaliação. A ficha favorece o registro e o monitoramento da aprendizagem para cada objetivo durante e ao fim da Trajetória.

Ficha de monitoramento da aprendizagem – Individual Nome do(a) estudante: ________________ Turma: _______ Objetivos

Durante a Trajetória

Ao fim da Trajetória

O(a) estudante está apto(a) a...

Classificar números naturais em primos e compostos, reconhecer se um número “é múltiplo de”, “é divisor de” ou “é fator de” outro número e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000. Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. Construir algoritmo em linguagem natural e classificá-lo por fluxograma, indicando a resolução de um problema simples. Reconhecer as ideias de ângulo e classificá-lo como figura geométrica. Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos. Determinar a medida da abertura de ângulos usando transferidor. Utilizar régua e esquadro na construção de retas paralelas e retas perpendiculares. Construir retas paralelas, retas perpendiculares e retângulo utilizando softwares. Construir um algoritmo que descreva a construção de um retângulo. Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas. Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima. Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos. Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles. Legenda: Sim (S), Não (N), Parcialmente (P).

LVII |

TRAJETÓRIA 3 DO LE Nesta Trajetória, é retomada a ideia de fração a partir de situações-problema oriundas de diversos contextos, contemplando diferentes interpretações: parte do todo, quociente, operador e razão. A partir dessas situações, são ampliados ou aprofundados os conhecimentos dos estudantes sobre noções de partilhas não equitativas, frações equivalentes, operações com frações, representação na reta numérica e utilização no contexto de grandezas e medidas. As ideias de razão e proporcionalidade são desenvolvidas a partir da ampliação e redução de figuras, seja em malhas quadriculadas, seja no plano cartesiano. Quadro: objetivos e avaliações Ao longo da Trajetória, são propostas atividades individuais e coletivas, situações de reflexão, de investigação e de utilização de tecnologias digitais. Utilize-as para acompanhar a aprendizagem dos estudantes durante a Trajetória. Sugerimos utilizar a seção Vistorias para avaliar a aprendizagem ao final da Trajetória, assim como o boxe Levo na bagagem ao fim de cada passeio para promover momentos de autoavaliação. A ficha favorece o registro e o monitoramento da aprendizagem para cada objetivo durante e ao fim da Trajetória.

Ficha de monitoramento da aprendizagem – Individual Nome do(a) estudante: ________________ Turma: _______ Objetivos O(a) estudante está apto(a) a... Representar números em forma de fração. Reconhecer diferentes significados e interpretações para as frações: parte/todo, fração de uma quantidade, fração como quociente. Resolver problemas envolvendo diferentes significados para as frações. Representar frações na reta numérica. Comparar e ordenar frações. Identificar e utilizar frações equivalentes em diversos contextos. Realizar operações de adição e subtração envolvendo frações. Compreender a fração com o significado de razão. Compreender a noção de porcentagem e sua relação com o conceito de fração. Resolver problemas envolvendo frações no contexto de medidas. Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas de residências e vistas aéreas. Representar pontos e figuras geométricas planas em um plano cartesiano. Calcular perímetro de figuras geométricas planas. Calcular área da superfície de figuras geométricas planas utilizando malhas quadriculadas. Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área da superfície de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem as medidas de seus lados. Resolver problemas no contexto de medidas de comprimento e de superfície. Legenda: Sim (S), Não (N), Parcialmente (P).

LVIII | MANUAL DO PROFESSOR

Durante a trajetória S

Ao fim da trajetória S

TRAJETÓRIA 4 DO LE Os números decimais são explorados ao longo da Trajetória de modo a consolidar os conhecimentos sobre sistema de numeração decimal, iniciados na primeira Trajetória. Nesse sentido, muitas habilidades já trabalhadas no âmbito dos números naturais são retomadas e aprofundadas: comparação, representação, estimativa, composição e decomposição numérica. Abre-se espaço também para explorar a ideia de fração, como o quociente entre numerador e denominador, o uso de números decimais no contexto de medidas e grandezas diversas, bem como a introdução da ideia de probabilidade ou da chance de ocorrência de um evento. De certo modo, a maioria dessas discussões e temas é retomada no último passeio, focado na unidade temática estatística. Nele, são desenvolvidas habilidades relacionadas à ideia de pesquisa estatística, obtenção, organização e tratamento dos dados, representações gráficas, bem como o uso de tecnologias digitais. Quadro: objetivos e avaliações Ao longo da Trajetória, são propostas atividades individuais e coletivas, situações de reflexão, de investigação e de utilização de tecnologias digitais. Utilize-as para acompanhar a aprendizagem dos estudantes durante a Trajetória. Sugerimos utilizar a seção Vistorias para avaliar a aprendizagem ao final da Trajetória, assim como o boxe Levo na bagagem ao fim de cada passeio para promover momentos de autoavaliação. A ficha favorece o registro e o monitoramento da aprendizagem para cada objetivo durante e ao fim da Trajetória.

Ficha de monitoramento da aprendizagem – Individual Nome do(a) estudante: ________________ Turma: _______ Objetivos O(a) estudante está apto(a) a...

Durante a Trajetória S

Ao fim da Trajetória S

Reconhecer números decimais em situações cotidianas. Reconhecer a correspondência entre a representação decimal e a fracionária de um mesmo número, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra. Compreender a representação de números decimais segundo o sistema de numeração decimal. Compor e decompor números decimais. Comparar e ordenar números decimais, inclusive representando-os na reta numérica. Resolver e elaborar problemas com números na representação decimal envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos, com e sem uso de calculadora. Transformar números para múltiplos da potência de 10. Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos diversos. Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a nas formas fracionária, decimal e percentual. Realizar experimentos sucessivos para determinar a probabilidade de um evento. Legenda: Sim (S), Não (N), Parcialmente (P).

LIX |

SUGESTÃO DE CRONOGRAMA Segue uma sugestão de cronograma baseada na estrutura de Trajetórias e passeios apresentada neste livro. Entretanto, é importante ressaltar que o(a) professor(a) pode adaptar este cronograma de acordo com sua realidade e o contexto escolar.

PERÍODO

TRAJETÓRIA

PASSEIO

1. Números naturais

1º bimestre

2. Operações com números naturais

3. Sólidos geométricos e volume

1. Múltiplos e divisores

2º bimestre

2. Retas e ângulos

3. Relação de igualdade e polígonos

1. Frações

3º bimestre

2. Operações com frações

3. Ampliação e redução de figuras e plano cartesiano

1. Números decimais

4º bimestre

2. Operações com decimais

3. Grandezas e medidas e estatística

LX | MANUAL DO PROFESSOR

HABILIDADES DE MATEMÁTICA E DE OUTRAS DISCIPLINAS Estas são as habilidades presentes neste volume.

QUADRO DE HABILIDADES DO 6 O ANO

Matemática NÚMEROS (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação r decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. 2

(EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal. (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. C

(EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par). (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica. (EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora. (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária. (EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora. (EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima. (EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros. r2

ÁLGEBRA

(EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas. (EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo. C

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

309 |

LXI |

GEOMETRIA (EF06MA16) Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1o quadrante, em situações como a localização dos vértices de um polígono. (EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial. C

(EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros. (EF06MA19) Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos. (EF06MA20) Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles. (EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais. (EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros. r 2

(EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.). GRANDEZAS E MEDIDAS (EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento. C

(EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas. (EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão. r 2

(EF06MA27) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais. (EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas. (EF06MA29) Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área. C A

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

(EF06MA30) Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e percentual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos. (EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico. (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. (EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto. (EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exemplo, posição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.). 310 | QUADRO DE HABILIDADES

LXII | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

As propostas do material do aluno oferecem oportunidades para o trabalho em parceria com professores de outras disciplinas. O quadro a seguir apresenta as habilidades que, em algum momento, foram tocadas.

Outras disciplinas

LÍNGUA PORTUGUESA (EF69LP05) Inferir e justificar, em textos multissemióticos – tirinhas, charges, memes, gifs etc. –, o efeito de humor, ironia e/ou crítica pelo uso ambíguo de palavras, expressões ou imagens ambíguas, de clichês, de recursos iconográficos, de pontuação etc. (EF69LP25) Posicionar-se de forma consistente e sustentada em uma discussão, assembleia, reuniões de colegiados da escola, de agremiações e outras situações de apresentação de propostas e defesas de opiniões, respeitando as opiniões contrárias e propostas alternativas e fundamentando seus posicionamentos, no tempo de fala previsto, valendo-se de sínteses e propostas claras e justificadas. (EF69LP33) Articular o verbal com os esquemas, infográficos, imagens variadas etc. na (re)construção dos sentidos dos textos de divulgação científica e retextualizar do discursivo para o esquemático – infográfico, esquema, tabela, gráfico, ilustração etc. – e, ao contrário, transformar o conteúdo das tabelas, esquemas, infográficos, ilustrações etc. em texto discursivo, como forma de ampliar as possibilidades de compreensão desses textos e analisar as características das multissemioses e dos gêneros em questão.

ANTONOV MAXIM/SHUTTERSTOCK

ARTE (EF69AR04) Analisar os elementos constitutivos das artes visuais (ponto, linha, forma, direção, cor, tom, escala, dimensão, espaço, movimento etc.) na apreciação de diferentes produções artísticas. (EF69AR05) Experimentar e analisar diferentes formas de expressão artística (desenho, pintura, colagem, quadrinhos, dobradura, escultura, modelagem, instalação, vídeo, fotografia, performance etc.). (EF69AR06) Desenvolver processos de criação em artes visuais, com base em temas ou interesses artísticos, de modo individual, coletivo e colaborativo, fazendo uso de materiais, instrumentos e recursos convencionais, alternativos e digitais. (EF69AR07) Dialogar com princípios conceituais, proposições temáticas, repertórios imagéticos e processos de criação nas suas produções visuais. (EF69AR31) Relacionar as práticas artísticas às diferentes dimensões da vida social, cultural, política, histórica, econômica, estética e ética.

ANTONOV MAXIM/SHUTTERSTOCK

(EF69AR34) Analisar e valorizar o patrimônio cultural, material e imaterial, de culturas diversas, em especial a brasileira, incluindo suas matrizes indígenas, africanas e europeias, de diferentes épocas, e favorecendo a construção de vocabulário e repertório relativos às diferentes linguagens artísticas.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

311 |

LXIII |

HISTÓRIA (EF06HI08) Identificar os espaços territoriais ocupados e os aportes culturais, científicos, sociais e econômicos dos astecas, maias e incas e dos povos indígenas de diversas regiões brasileiras.

ANTONOV MAXIM/ SHUTTERSTOCK

(EF06HI14) Identificar e analisar diferentes formas de contato, adaptação ou exclusão entre populações em diferentes tempos e espaços.

CIÊNCIAS (EF06CI04) Associar a produção de medicamentos e outros materiais sintéticos ao desenvolvimento científico e tecnológico, reconhecendo benefícios e avaliando impactos socioambientais.

ANTONOV MAXIM/ SHUTTERSTOCK

(EF06CI13) Selecionar argumentos e evidências que demonstrem a esfericidade da Terra.

EDUCAÇÃO FÍSICA (EF67EF02) Identificar as transformações nas características dos jogos eletrônicos em função dos avanços das tecnologias e nas respectivas exigências corporais colocadas por esses diferentes tipos de jogos.

ANTONOV MAXIM/ SHUTTERSTOCK

(EF67EF09) Construir, coletivamente, procedimentos e normas de convívio que viabilizem a participação de todos na prática de exercícios físicos, com o objetivo de promover a saúde.

GEOGRAFIA (EF06GE01) Comparar modificações das paisagens nos lugares de vivência e os usos desses lugares em diferentes tempos. (EF06GE08) Medir distâncias na superfície pelas escalas gráficas e numéricas dos mapas. (EF06GE11) Analisar distintas interações das sociedades com a natureza, com base na distribuição dos componentes físico-naturais, incluindo as transformações da biodiversidade local e do mundo.

ANTONOV MAXIM/ SHUTTERSTOCK

(EF06GE13) Analisar consequências, vantagens e desvantagens das práticas humanas na dinâmica climática (ilha de calor etc.).

312 | QUADRO DE HABILIDADES

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

MATEMÁTICA

MATEMÁTICA ENSINO FUNDAMENTAL

NOS DIAS DE HOJE

ANOS FINAIS

São Paulo • 1a edição • 2022

Direção editorial Sandro Aloísio Produção gráfica Reinaldo Correale Giliard Andrade Equipe M10 Editorial Coordenação pedagógica Alessandra Corá Coordenação editorial Fernanda Azevedo

Coordenação de editoração eletrônica Eduardo Enoki

Edição Angela Leite

Editoração eletrônica Fanny Sosa Nathalia Scala Ricardo Coelho

Assistência editorial Gabriel Santos Novaes

Iconografia M10 Editorial

Preparação e revisão de textos Brenda Gomes Caroline Ponzi Thais Sanchez Marina Bueno

Licenciamento de texto e imagens Tempo Composto

Projeto gráfico de capa e miolo Arte/M10

Imagens gerais, de projeto gráfico e ilustrações técnicas Arte/ M10 Shutterstock.com Freepik

2 | MANUAL DO PROFESSOR

#APRESENTAÇÃO Como você se reconhece, em seu dia a dia, com mais frequência:

FREEPIK

• muito interativo?

Sabia que, em qualquer desses casos, você pode exercitar seu talento – e desenvolver outros – por meio de qualquer conhecimento, inclusive matemático? Tudo depende das suas ideias e do que você tem para propor aos que estão em seu entorno. Este livro vai convidá-lo a expor ideias por meio de ferramentas conhecidas por você e incentivá-lo a buscar outras que podem ser novas para você, em atividades que o levarão

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• muito criativo?

a questionar, imaginar, analisar e elaborar situações diversas. Você vai mobilizar conhecimentos, atitudes, afetos e talentos essenciais para formar a pessoa que você vem se tornando. O pensamento matemático, sua linguagem própria, seus objetos de conhecimento, seus processos e produtos no cotidiano escolar geram oportunidades únicas para que você possa apresentar propostas críticas, criativas e de caráter interativo.

• muito crítico?

Envolva-se nessa jornada que, certamente, pode ser percorrida do seu jeito, mas sem perder de vista as contribuições da Matemática para a sua formação e as possibilidades que

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ela oferece para transformar o pensamento e os modos de conviver. Venha conosco diversificar seu modo de pensar e de apresentar suas propostas! Os autores

#CONHEÇASEU #CONHEÇA SEULIVRO LIVRO NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

PRONTOS PARA COMEÇAR! Seja bem-vindo ao novo ano escolar! Comece mostrando o que você já sabe. Leia e resolva sozinho algumas questões do ano anterior.

TRAJETÓRIA Que tal começar uma Trajetória com perguntas instigantes? Fazer boas perguntas é uma maneira de iniciar novos caminhos.

PASSEIO Cada Trajetória é composta de três passeios. Cada passeio é norteado por uma pergunta. Inicie seu passeio resgatando os conhecimentos que você já tem, matemáticos ou não, sobre o tema da pergunta. Depois, consulte o mapa mental e os objetivos esperados para o passeio.

CHECK‑IN Reflita sobre o tema interdisciplinar do passeio e resgate conhecimentos de Matemática.

ATMOSFERA Entre no clima! O passeio já começou. Envolva-se com as primeiras reflexões junto aos colegas.

4 | MANUAL DO PROFESSOR

TRAVESSIAS Investigar, resolver problemas, modelar, atravessar outros conhecimentos: adquira novas ferramentas para prosseguir em seu passeio.

NUVENS Alcance ferramentas do mundo tecnológico digital e também do pensamento computacional.

Seu livro está organizado em quatro TRAJETÓRIAS, uma para cada bimestre. Cada Trajetória é composta de três PASSEIOS.

LUPAS E LUNETAS Para “enxergar” melhor – de perto ou de longe –, venha refletir sobre questões que detalham ou que ampliam os temas explorados na página.

Selo que indica Encontro com outras disciplinas.

LEVO NA BAGAGEM Pausa para reorganizar conhecimentos e checar se, de fato, os objetivos declarados no início do passeio vieram para sua bagagem.

BARCOS E PORTOS Conclua o seu passeio: organize seus conhecimentos, elabore uma questão e proponha ideias – de modo crítico, criativo e interativo – relacionadas à pergunta norteadora que abriu seu passeio.

VISTORIAS Depois de três passeios, é hora de encerrar a Trajetória! Resolva exercícios essenciais da Trajetória para verificar quais conhecimentos você adquiriu. Prossiga interagindo com os conhecimentos e desenvolvendo cada vez mais autonomia para monitorar sua própria aprendizagem.

RETORNOS Aqui, você tem acesso rápido aos principais objetos matemáticos explorados ao longo de cada Trajetória para que possa ir ao encontro da síntese do que aprendeu. Use ao máximo os recursos que o livro oferece para superar todos os obstáculos da sua aprendizagem.

SUPLEMENTE SUA APRENDIZAGEM Ao final do livro, você encontra questões de concursos organizadas por Trajetória para você continuar aprimorando sua aprendizagem.

TRAJETÓRIA 4

TRAJETÓRIA 3

TRAJETÓRIA 2

TRAJETÓRIA 1

#MAPADE #MAPA DECONTEÚDOS CONTEÚDOS – 6 o ANO

6 | MANUAL DO PROFESSOR

TEMAS

BÚSSOLA

PASSEIO 1

Podemos compreender o mundo e agir sobre ele a partir da Matemática? 18 Como interpretamos o mundo à nossa volta e nos expressamos por meio dos números? 20 De que modo usamos números para resolver problemas no cotidiano? 42 Como utilizamos a Matemática para agir sobre o espaço ao nosso redor? 68

Passeio 1 21 EF06MA01, EF06MA02 Passeio 2 43 EF06MA03, EF06MA24 Passeio 3 69 EF06MA17, EF06MA24

Números naturais 20 Números e estratégias de contagem • Os números em diversas culturas • Sistema indo-arábico • Números: diferentes linguagens • Números naturais: comparar e ordenar

Qual é a relação entre as tecnologias digitais e a identidade das pessoas? 92 O que são as tribos digitais? 94 Como as tecnologias digitais ativam a criatividade nas artes visuais? 124 No espaço virtual, somos iguais ou diferentes? 144

Passeio 1 95 EF06MA04, EF06MA05, EF06MA06 Passeio 2 125 EF06MA22, EF06MA23, EF06MA25, EF06MA26, EF06MA27 Passeio 3 145 EF06MA12, EF06MA14, EF06MA18, EF06MA19, EF06MA20

Múltiplos e divisores 94 Números pares ou números ímpares • Linguagem matemática: fluxograma • Múltiplos de um número natural • Divisores de um número natural • Divisores ou fatores • Critérios de divisibilidade • Mesmo produto, diferentes fatores • Os múltiplos e os eventos periódicos

Como agimos em relação ao todo? 172 Contribuímos para o bem-estar coletivo? 174 Cuidamos da nossa saúde como um todo? 194 De que modo interagimos com o espaço em casa e na cidade? 214

Passeio 1 175 EF06MA07, EF06MA09 Passeio 2 195 EF06MA07, EF06MA09, EF06MA10, EF06MA13, EF06MA15 Passeio 3 215 EF06MA16, EF06MA21, EF06MA24, EF06MA28, EF06MA29

Frações 174 Frações em diversas situações • Fração: as partes e o todo • Obter as partes que compõem o todo • Frações de uma quantidade • Fração como quociente • Tipos de frações

O que podemos fazer para habitar melhor o mundo? 236 O que os números indicam sobre o meio ambiente? 238 O que podemos fazer para melhorar o lugar onde vivemos? 256 Quais são as diferentes formas de habitar o mundo? 280

Passeio 1 239 EF06MA01, EF06MA02, EF06MA08 Passeio 2 257 EF06MA11, EF06MA13, EF06MA24, EF06MA30 Passeio 3 281 EF06MA24, EF06MA31, EF06MA32, EF06MA33, EF06MA34

Números decimais 238 Décimos • Centésimos • Milésimos • O sistema de numeração decimal e os números decimais • Comparação de números decimais

BARCOS E PORTOS E

PASSEIO 2

PASSEIO 3

Operações com números naturais 42 Números e operações para resolver problemas • Adição de números naturais • Subtração de números naturais • Adição e subtração: operações inversas • Multiplicação de números naturais • Divisão de números naturais • Expressões numéricas • Potenciação

Sólidos geométricos e volume 68 Figuras geométricas • Os sólidos geométricos • Corpos redondos e poliedros • Elementos de um poliedro • Volume de sólidos formados por blocos retangulares

Passeio 1 41 Produzir um vídeo sobre como representar números em Libras. Passeio 2 67 Refletir sobre as maneiras de resolver problemas reais do cotidiano. Passeio 3 86 Produzir objeto utilizando materiais recicláveis. Vistorias 88

Retas e ângulos 124 Noções introdutórias da Geometria • Ângulos • Retas paralelas e retas concorrentes

Relação de igualdade e polígonos 144 Um mesmo sinal, diferentes significados • Valor desconhecido • Cálculo mental, aproximações e valor desconhecido • Aproximações e potências de 10 • Triângulos • Quadriláteros • Polígonos

Passeio 1 122 Imaginar ações que beneficiem o entorno imediato. Passeio 2 142 Propor criação de pintura em uma grande parede. Passeio 3 166 Montar um mosaico digital com imagens. Vistorias 168

Operações com frações 194 Frações e a reta numérica • Frações equivalentes • Comparação de frações • Adição e subtração envolvendo frações • Fração como razão • Distribuições não equitativas • Frações e medidas

Ampliação e redução de figuras e plano cartesiano 214 Vistas aéreas e localização • Plano cartesiano • Ampliação e redução de figuras • Plantas baixas, perímetro e área da superfície

Passeio 1 192 Contribuir com propostas de soluções dos problemas do entorno. Passeio 2 212 Refletir sobre melhorias dos hábitos em benefício da própria saúde. Passeio 3 230 Elaborar um mapa do entorno. Vistorias 232

Operações com decimais 256 Decimais: cálculo mental, estimativas e calculadora • Adição e subtração de decimais • Multiplicação de decimal por 10, 100, 1 000... • Divisão de decimal por 10, 100, 1 000... • Multiplicação de decimal por número natural • Multiplicação de decimal por decimal • Divisão de números naturais com quociente decimal • Divisão de número decimal por número natural • Divisão de decimal por decimal • Potenciação com base decimal • Porcentagem • Experimento aleatório com lançamento de moeda • A probabilidade e a moeda “honesta”

Grandezas e medidas e Estatística 280 Temperatura • Intervalos de tempo • Medições e problematizações • A problematização e as pesquisas em Estatística • Representações gráficas • Relatório de pesquisa

Passeio 1 254 Apresentar proposta de melhoria do meio ambiente. Passeio 2 278 Criar campanha para espalhar boas atitudes que melhoram o entorno. Passeio 3 296 Organizar um relatório de pesquisa. Vistorias 298

VISTORIAS

PÁGINAS FINAIS Retornos, 302

Quadro de habilidades do 6º ano, 309

Suplemente sua aprendizagem, 313

Leituras para o aluno, 317

Referências bibliográficas, 318

A META E O MOTIVO COMO SINALIZADORES DO ENSINO E DA APRENDIZAGEM A cada volume desta coleção, as Competências gerais da Educação Básica são exploradas por meio de temas diversos do cotidiano, das tecnologias, das ciências, da história etc. Cada competência, de modo geral, sinaliza o que se espera que o aluno mobilize (conhecimentos, habilidades, atitudes e valores), de maneira que haja um para que correspondente, ou seja, há uma justificativa voltada para as demandas da vida cotidiana, do convívio social, do exercício da cidadania e do mundo do trabalho e consumo. As Competências gerais inter-relacionam-se e desdobram-se ao longo de toda a Educação Básica; sendo assim, o conjunto composto por sua totalidade é retomado, ampliado e complementado a cada nova oportunidade, fluindo por meio de diferentes situações, no tratamento didático proposto a cada volume. Nestas duas páginas o aluno conhece as expectativas de aprendizagens amplas e complexas apresentadas de tal modo que se aproximam, a cada ano, das intenções declaradas nas Competências gerais da BNCC. Observe que a meta (o quê) a ser alcançada está didática e visualmente separada do motivo (para quê) que justifica alcançá-la. Tanto a meta como o motivo se ajustam a cada ano escolar segundo os conteúdos e os contextos de cada volume.

#OQUÊ #O QUÊ? ? 1 Conhecimento: valorizar conhecimentos construídos por diferentes povos em diferentes épocas...

2 Pensamento científico, crítico e criativo: exercitar a curiosidade e utilizar o pensamento crítico e imaginativo...

3 Repertório cultural: valorizar manifestações culturais diversas, sejam locais ou mundiais...

Projeto de vida: valorizar a diversidade de saberes e vivências próprias dos diferentes espaços de circulação urbanos...

7 Argumentação: argumentar com base em dados coletados da realidade e informações confiáveis...

8 Autoconhecimento e autocuidado: refletir sobre a própria saúde física e emocional...

4 Comunicação: utilizar diferentes linguagens (matemática, artística, verbal, por exemplo, Libras)...

5 Cultura digital: utilizar e criar tecnologias digitais de forma significativa e reflexiva...

Propostas críticas

9 Empatia, cooperação e cidadania: exercitar o diálogo e a cooperação, promovendo o respeito ao outro...

10 Responsabilidade e cidadania: refletir e agir com autonomia, responsabilidade e flexibilidade...

Propostas criativas Propostas interativas

COMPETÊNCIAS GERAIS DA EDUCAÇÃO BÁSICA 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos histori-

camente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a 8 | MANUAL DO PROFESSOR

imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. 3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural. 4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal,

7. Argumentar com base em

6. ...para repensar o espaço à sua volta e os objetos do entorno.

# PARA PARAQUÊ? QUÊ? 1 ...para entender e explicar a realidade e aprender com as diferenças culturais, buscando a construção de uma sociedade inclusiva e mais justa.

2 ...para investigar causas, elaborar questões, coletar dados, resolver problemas envolvendo conhecimentos de diferentes áreas.

7 ...para formular questões, tratar informações, apresentar resultados e tomar decisões em favor do cuidado de si, dos outros e do planeta.

8 ...para valorizar saberes, identidades e potencialidades de diversos indivíduos e grupos sociais sem preconceitos de qualquer natureza.

9 ...para desenvolver hábitos e rotinas mais saudáveis para si e para os outros.

3 ...para partilhar sentimentos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.

10 ...para tomar decisões benéficas ao entorno de modo sustentável e solidário.

...para entender as relações sociais e fazer escolhas adequadas ao exercício da cidadania.

5 ...para disseminar informações e exercer autoria na vida pessoal e coletiva.

fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo ‑se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas. 9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza. 10.Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

visual, sonora e digital –, bem como conheciproduzir conhecimentos, resolver problemas e mentos das linguagens artística, matemática e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal científica, para se expressar e partilhar infore coletiva. mações, experiências, ideias e sentimentos em 6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências diferentes contextos e produzir sentidos que culturais e apropriar-se de conhecimentos e levem ao entendimento mútuo. experiências que lhe possibilitem entender as 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais relações próprias do mundo do trabalho e fazer de informação e comunicação de forma crítica, escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e significativa, reflexiva e ética nas diversas práao seu projeto de vida, com liberdade, autonoticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, mia, consciência crítica e responsabilidade. 9|

# SUMÁRIO

Prontos para começar!, 14

• Check-in, 42

• Arredores e Bússola, 43

• Atmosfera: O cubo mágico, 44

• Números e operações para resolver pro-

blemas, 45

TRAJETÓRIA 1

• Adição de números naturais, 46

• Subtração de números naturais, 50

• Adição e subtração: operações inversas, 51 • Multiplicação de números naturais, 53

Podemos compreender o mundo e agir sobre ele a partir da Matemática?, 18

• Divisão de números naturais, 58 • Expressões numéricas, 61

• Travessias: Parênteses, colchetes e chaves,

Passeio 1: Números naturais, 20

• Potenciação, 63

VVVITA/SHUTTERSTOCK

• Levo na bagagem, 66 • Barcos e portos, 67

• Check-in, 20

• Arredores e Bússola, 21

• Atmosfera: Os animais sabem contar?, 22 • Números e estratégias de contagem, 23 • Os números em diversas culturas, 27

• Travessias: Resolução de um problema

egípcio antigo, 31

• Sistema indo-arábico, 32

• Check-in, 68

• Nuvens: Aplicativo para Libras, 35

• Atmosfera: Nosso jeito de ver as formas

• Levo na bagagem, 40

• Figuras geométricas, 71

• Números: diferentes linguagens, 34 • Números naturais: comparar e ordenar, 35 • Barcos e portos, 41

Passeio 2: Operações com números naturais, 42 ALEXANDRE R./ M10

BJ.SCHOENMAKERS/ WIKIMEDIA COMMONS

Passeio 3: Sólidos geométricos e volume, 68

• Arredores e Bússola, 69

no mundo, 70

• Os sólidos geométricos, 73

• Corpos redondos e poliedros, 76 • Elementos de um poliedro, 77

• Travessias: O número de faces, arestas e

vértices de prismas e pirâmides, 79

• Volume de sólidos formados por blocos

retangulares, 80

• Levo na bagagem, 85 • Barcos e portos, 86 • Vistorias, 88

10 | MANUAL DO PROFESSOR

• Check-in, 124

• Arredores e Bússola, 125

• Atmosfera: Comparação e criatividade, 126

TRAJETÓRIA 2

• Noções introdutórias da Geometria, 127

• Travessias: A imaginação, a intuição, a edu-

cação do olhar e a Geometria, 130

• Ângulos, 131

Qual é a relação entre as tecnologias digitais e a identidade das pessoas?, 92

• Travessias: As diversas "facetas" do ângulo,

133

• Retas paralelas e retas concorrentes, 137

• Nuvens: Paralelas e perpendiculares em TOMERTU/SHUTTERSTOCK

Passeio 1: Múltiplos e divisores, 94

um software de geometria dinâmica, 140

• Levo na bagagem, 141 • Barcos e portos, 142

Passeio 3: Relação de igualdade e polígonos, 144 ZURIJETA/SHUTTERSTOCK

• Check-in, 94

• Arredores e Bússola, 95

• Atmosfera: Como as tribos digitais

nascem, 96

• Números pares ou números ímpares, 97 • Linguagem matemática: fluxograma, 98 • Múltiplos de um número natural, 99

• Divisores de um número natural, 100 • Divisores ou fatores, 102

• Nuvens: Crie um aplicativo, 103

• Check-in, 144

• Travessias: Números primos e o crivo de

• Atmosfera: Comparação e igualdade, 146

• Arredores e Bússola, 145

• Critérios de divisibilidade, 104

• Um mesmo sinal, diferentes significados, 147

Eratóstenes, 111 • Mesmo produto, diferentes fatores, 112 • Os múltiplos e os eventos periódicos, 115 • Levo na bagagem, 121 • Barcos e portos, 122

• Valor desconhecido, 151

• Cálculo mental, aproximações e valor des-

conhecido, 154

• Aproximações e potências de 10, 155 • Triângulos, 156

Passeio 2: Retas e ângulos, 124 GORODENKOFF/SHUTTERSTOCK

• Quadriláteros, 158 • Polígonos, 162

• Travessias: Duas novas categorias de po-

lígonos convexos, 164

• Levo na bagagem, 165 • Barcos e portos, 166 • Vistorias, 168

11 |

• Check-in, 194

• Arredores e Bússola, 195

• Atmosfera: Direito à vida e à saúde: toda

TRAJETÓRIA 3

criança tem, 196

• Frações e a reta numérica, 197 • Frações equivalentes, 198

Como agimos em relação ao todo?, 172

• Comparação de frações, 199

• Adição e subtração envolvendo frações, 202 • Travessias: Parte das partes, 205 • Fração como razão, 207

Passeio 1: Frações, 174 ALPHASPIRIT.IT/ SHUTTERSTOCK.

• Distribuições não equitativas, 209 • Frações e medidas, 210 • Levo na bagagem, 211 • Barcos e portos, 212

• Check-in, 174

• Arredores e Bússola, 175

• Atmosfera: O todo é formado pelas partes,

176

• Frações em diversas situações, 177

DENIS CRISTO/SHUTTERSTOCK

Passeio 3: Ampliação e redução de figuras e plano cartesiano, 214

• Fração: as partes e o todo, 178

• Obter as partes que compõem o todo, 180 • Frações de uma quantidade, 182 • Fração como quociente, 186

• Check-in, 214

• Levo na bagagem, 191

• Atmosfera: O jovem e a cidade, 216

• Tipos de frações, 187

• Arredores e Bússola, 215

• Barcos e portos, 192

• Vistas aéreas e localização, 217

SHUTTERSTOCK/ARTE M10

Passeio 2: Operações com frações, 194

• Plano cartesiano, 218

• Ampliação e redução de figuras, 221

• Nuvens: Ampliar e reduzir figuras utilizando

aplicativos de geometria dinâmica, 225

• Plantas baixas, perímetro e área da super-

fície, 226

• Travessias: Perímetro e superfície de uma

figura e sua relação com a ampliação ou a redução, 228 • Levo na bagagem, 229 • Barcos e portos, 230 • Vistorias, 232

12 | MANUAL DO PROFESSOR

• Divisão de decimal por 10, 100, 1 000..., 262 • Multiplicação de decimal por número na-

tural, 263

TRAJETÓRIA 4

• Multiplicação de decimal por decimal, 264

• Divisão de números naturais com quociente

decimal, 266

• Divisão de número decimal por número

O que podemos fazer para habitar melhor o mundo?, 236

natural, 268

• Divisão de decimal por decimal, 269 • Potenciação com base decimal, 271 ARTE/ M10

Passeio 1: Números decimais, 238

• Porcentagem, 272

• Experimento aleatório com lançamento

de moeda, 273

• A probabilidade e a moeda “honesta”, 275

• Arredores e Bússola, 239

• Atmosfera: Razão e ironia, 240 • Décimos, 241

• Centésimos, 242 • Milésimos, 243

• Travessias: A história dos números

• Check-in, 280

decimais, 245 • O sistema de numeração decimal e os números decimais, 246 • Comparação de números decimais, 252 • Levo na bagagem, 253 é • Barcos Riqueza e portos, 254

• Arredores e Bússola, 281

• Atmosfera: A criança em diversas culturas:

condições de tempo e espaço, 282

• Temperatura, 283

• Intervalos de tempo, 284

Eu amo • Medições e problematizações, 285 shopping com os amigos.

estar na natureza!

• A problematização e as pesquisas em

JAVIER G./ M10

Passeio 2: Operações com decimais, 256

• Check-in, 256

• Arredores e Bússola, 257

• Atmosfera: As "contas" do meio ambiente,

258 • Decimais: cálculo mental, estimativas e Surfar depois da aula, 259 é calculadora, uma riqueza. • Adição e subtração de decimais, 260 • Multiplicação de decimal por 10, 100, 1 000..., 261

BW PRESS/SHUTTERSTOCK

Passeio 3: Grandezas e medidas e Estatística, 280

• Check-in, 238

Estatística, 286

• Representações gráficas, 290

• Nuvens: Planilha eletrônica, 292 • Relatório de pesquisa, 293 • Levo na bagagem, 295 • Barcos e portos, 296 • Vistorias, 298

Retornos, 302 Quadro de habilidades do 6º ano, 309 Ah... esse afago... é uma Suplemente sua aprendizagem, 313 riqueza... Leituras para o aluno, 317 Referências bibliográficas, 318

13 |

1. Oriente os estudantes a es-

#PRONTOSPARACOMEÇAR!

crever primeiro os números com algarismos na ordem em que aparecem no texto: 23 102, 12 028, 4 617 220, 30 000, 2 000, 2 018, 152 706 para só então organizarem uma sequência em ordem crescente, utilizando o símbolo de menor: 220 < 2 000 < 2 018 < 4 617 < 12 028 < 23 102 < 30 000 < 152 706

1 3

Leia o texto:

4 8

4 6

1 2

2 3

Texto elaborado com finalidade didática. Informações obtidas em: www.wwf.org.br e https://educacao.uol.com.br. Acessos em: 17 maio 2022.

2. Sugere-se que os alunos

Escreva com algarismos os números destacados no texto, em ordem crescente, utilizando o símbolo de menor (<). 220 < 2 000 < 2 018 < 4 617 < 12 028 < 23 102 < 30 000 < 152 706 2.

Represente estes números em uma reta numérica: 0;

3 5 ; 0,3; ; 1; 2,25 4 2

0,3

3 4

Observe as figuras (considere o círculo como o inteiro): 1 ; 4 ; 1 ; 2 ; 4 ; 2 6 3 3 8

Escreva a fração que corresponde às partes pintadas em relação ao todo em cada figura e, em seguida, represente essas frações em uma reta numérica. 4.

Em uma caixa há 100 livros destinados para doação. Considerando essa informação, substitua cada ■ pelo número correto: a) Se há 75 livros usados, então ■%

dos livros são usados. 75 b) Se a décima parte dos livros é de

75 = 75% a) 100 1 b) A décima parte corresponde à fração = 10%. 10 1

c) Metade corresponde à fração 2 = 100 = 50%.

poesia.

Foi desenhado um plano cartesiano sobre o mapa de certa cidade: 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Qual das alternativas é a correta em cada item? a) O ponto de coordenadas (1, 3) repre-

senta um local do mapa: com água x • terrestre • área verde b) Um ponto situado em uma área verde do mapa é: • (6, 10) • (13, 3) x • (10, 9) •

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

d) 25% de100 100livros livros→=

2 2,25 5 2

ALEXANDRE R./M10

utilizem o centímetro como unidade na reta numérica. 3 Para localizar , é espera4 do que eles recordem que 4 = 11 e, então, concluam 4 3 que é menor que 1; para 4 representá-lo na reta numérica, é necessário dividir em quatro partes iguais o comprimento entre 0 e 1 e tomar a terça parte. 5 Para a fração 2 , é possível que eles, intuitivamente, busquem a metade de 5, que é 2,5, ou raciocinem que 5 = 4 + 1 e, então, 4+1 1 =2+ = 2,5. 2 2 3. Para representar os números na reta numérica, é necessário dividir a unidade ao meio 1 2 4 1 4 para e . Para 3 , 3 e 6, é 2 8 necessário dividir a unidade em 3 partes para marcar a primeira e a segunda parte da unidade. É esperado que, comparando as figuras, reconheçam quais frações são equivalentes.

14 | MANUAL DO PROFESSOR

25 25 livros de × 100 = 25 100

5. Para o item a é dado um ponto a ser localizado

no plano e, então, verificar o tipo de terreno. Para o item b é possível que os alunos utilizem a estimativa para determinar quais pontos estão próximos da área verde. Por exemplo, na direção da abscissa 10, não há uma área verde, o que não acontece com as abcissas 6 e 13. Depois de realizarem a estimativa, eles poderão determinar o resultado final.

Associe cada sólido geométrico à planificação de sua superfície:

A – II; B – I; C – IV; D – III.

7. b) Temperatura da substância

Temperatura (oC)

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Um cientista fotografou, a cada 10 minutos, o termômetro com a temperatura da substância que estava pesquisando:

Temperatura da substância 0 min 10 min 20 min 30 min 40 min ARTE/ M10

100 oC 90 oC 80 oC 70 oC 60 oC 50 oC 40 oC 30 oC 20 oC 10 oC

a) Reproduza e complete a tabela que

representa a temperatura, em °C, a cada 10 minutos de experiência, partindo do momento 0 min:

III

20 30 40 Tempo (min)

No depósito de uma fábrica, um funcionário trabalha organizando as caixas.

Foram empilhadas várias caixas em formato de cubo com 1 m de aresta:

Temperatura da substância Tempo (min)

50 70

Temperatura (oC) b) Elabore um gráfico de linhas que

cie do cubo (A) é a que tem somente quadrados (II). A planificação da superfície do cilindro (B) é a que tem círculos como bases (I). A planificação da superfície da pirâmide (C) é a que possui faces laterais triangulares e a base quadrada (IV). Restando o prisma de base triangular (D) com faces laterais retangulares e bases triangulares (III).

7. a) Basta realizar a leitura da

temperatura na figura, no instante apresentado. b) É esperado que os estudantes reconheçam que no instante zero a temperatura é 10 oC; além disso, que representem os dados da tabela por pares ordenados (tempo, temperatura), para só depois traçar a linha que liga os pontos cujas coordenadas compõem esses pares ordenados. c) Conclui-se, pela tabela e pelo gráfico, que a cada 10 minutos a temperatura da substância aumenta 20 oC. Como aos 40 min a temperatura é 90 oC, então, 10 min depois (aos 50 min), teremos 110 oC (90 + 20).

ICONIC BESTIARY/SHUTTERSTOCK

6. A planificação da superfí-

8. a) São 9 caixas no primeiro an-

dar, 4 caixas no segundo e 3 no terceiro. a) Quantas caixas foram empilhadas? 9 + 4 + 3 = 16 caixas. b) Se o volume de cada cubo é b) 16 × 1 m3 = 16 m3 3 1 m , qual é o volume total do c) 16 m3 = 16 × 1 000 L = 16 000 L 3 empilhamento? 16 m3. 16 m = 16 × 1 000 L = 16 000 L c) Se 1 000 L correspondem a 1 m3, qual seria a capacidade em litros? 16 caixas.

16 000 L.

15 |

9. a) 3 tipos de pastel, 2 tipos de

molho e 4 tipos de bebida: 3 × 2 × 4 = 24 combos. Se necessário, sugira uma representação das possibilidades por um diagrama de árvore.

Uma pastelaria oferece o combo com um pastel, um molho e uma bebida. As opções de pastel desse combo são: carne, queijo ou palmito. Os molhos são: vinagrete ou apimentado. E as opções de bebida são: água, refrigerante, suco ou caldo de cana.

d) O triângulo D é uma ampliação do

triângulo C. Quantas vezes os lados do triângulo C foram ampliados? Duas vezes. e) Ao ampliar o triângulo C e obter o triângulo D, as medidas dos seus ângulos internos ■. não se alteraram. 11. Tatá e Duda querem utilizar suas

24 combos.

a) Quantos tipos de combo é possível

economias para comprar a assinatuproduzir, considerando sempre um ra de uma plataforma de filmes pela pastel, um molho e uma bebida? internet. b) Imagine que o pasteleiro produziu um combo possível de cada tipo e 10. embrulhou cada um em pacotes a) Perímetro de A = 3 + 3 + 2 + 2 = 10 u exatamente iguais. Qual é a prorímetro de A = 3 + 3 + 2 + 2 = 10 u babilidade de um cliente escolher Perímetro de B = 4 + 4 + 1 + 1 = 10 u aleatoriamente um pacote e ele ser ímetro de B = 4 + 4 + 1 + 1 = 10 u o combo “pastel de palmito, molho 2 2 b) Área de A = 3 × 2 = 6 u ; Área de B = 4 × 1 = 4 u . 1 . vinagrete e caldo de cana”? 1 em 24, ou seja, 2 2 24 × 2 = 6 u ; Área de B = 4 × 1 = 4 u . 10. Algumas figuras geométricas plac) É esperado que concluam nas foram desenhadas nesta malha que os retângulos A e B quadriculada: têm mesmo perímetro,

combo p.v.c. 1 = (total de possibilidades) 24 1 p.v.c. = 24 bilidades)

mas áreas das superfícies diferentes. d) A medida de um lado do triângulo C é 2 u, e do triângulo D é 4 u. Como 4 é o dobro de 2, então o lado do triângulo C foi ampliado 2 vezes. e) Para resolver esse problema, é necessária uma observação a respeito dos ângulos internos dos triângulos. Isso pode ser feito reproduzindo um dos triângulos e sobrepondo-os.

INSPIRING/SHUTTERSTOCK

10. a) Ambos têm perímetro igual a 10 lados de quadradinho. B

12.

12 a) 3 × ? = 12 ⇒ ? = 3 = 4 ? b) = 9 ⇒ ? = 2 × 9 = 18 2

16 | MANUAL DO PROFESSOR

R$ 155,10. Quantos reais eles possuem ao todo? R$ 475,60. b) A assinatura mensal dessa plataforma custava R$ 14,90, mas, após um desconto, passou a custar R$ 10,00. De quanto foi o desconto? R$ 4,90. c) Usando toda a quantia que possuem juntos, por quantos meses completos eles poderão pagar a assinatura, considerando o preço de R$ 10,00 mensais? 47 meses.

a) Considerando o lado do menor qua-

dradinho da malha como unidade de medida de comprimento: qual é o perímetro do retângulo A? E do B? b) Sendo o menor quadradinho da 12. Resolva as adivinhas: malha a unidade de medida de superfície, qual é a área do retângulo a) Pensei em um número. Calculei o A? E do B? A: 6 quadradinhos; B: 4 quadradinhos. triplo desse número. Obtive 12. Em c) Analisando as áreas e os perímeque número pensei? 4 tros dos retângulos A e B, podemos b) Pensei em um número. Calculei a afirmar que figuras com o mesmo sua metade e obtive 9. Em que nú■ podem ter ■ diferentes. perímetro; mero pensei? 18

11. a)

3 2 0, 5 0 + 1 5 5, 1 0 4 7 5, 6 0 b) É esperado que calculem mentalmente 14,90 – 10,00 = 4,90. 90 – 10,00 = 4,90. c) Ao concluir que será necessário realizar a divisão de 475,60 por 10, espera-se que utilizem a regularidade da divisão por 10: 475,60 ÷ 10 = 47,56. P o r fim, concluam que os meses completos são representados pela parte inteira do número: 47 meses.

a) Tatá possui R$ 320,50 e Duda,

16 |

áreas.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Este quadro apresenta o código alfanumérico das habilidades do 5o ano exploradas nesta proposta de Avaliação diagnóstica.

QUESTÃO

HABILIDADES

EF05MA01

EF05MA02, EF05MA03, EF05MA05

EF05MA03, EF05MA04, EF05MA05

EF05MA06

EF05MA14, EF05MA15

13.Pela 1a balança, conclui-se

15. Resolva o desafio.

ARTE/ M10

TRISMEGISTA/SHUTTERSTOCK

13. Observe as massas das frutas:

1 kg

2 kg

= 13

= 10

–

16. Copie e calcule:

224 114

3 kg

–

14 – 10 =

–

109

–

110

215

Qual é a massa de cada banana? 1 250 g ou 0,25 kg ou kg. 14. Copie e complete no caderno. 4

106

228 95

133

7 17 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

QUESTÃO

que um abacaxi pesa 1 kg. Pela 2ª balança, conclui-se que uma maçã pesa 0,5 kg. Na última balança temos 2 maçãs (1 kg), 1 abacaxi (1 kg) e 4 bananas, resultando em 3 kg. Conclui-se então que 4 bananas pesam 1 kg, ou seja, cada banana pesa 0,25 kg (250 g). 14.É esperado que os alunos utilizem o cálculo mental para resolver as adições e subtrações apresentadas em cada quadro. 15.Pela 1a informação do desafio, descobre-se que a borboleta amarela vale 3. Pela 2a informação, descobre-se que a borboleta verde vale 5. Pela 3a informação, descobre-se que a borboleta roxa vale 2. Assim, na última, tem-se o cálculo: 5 – 2 + 3 – 2 = 8 – 4 = 4. 16.É esperado que o aluno utilize o cálculo mental na maior parte da atividade, utilizando o algoritmo, se necessário, nas adições 64 + 46 e 109 + 106.

HABILIDADES

QUESTÃO

HABILIDADES

EF05MA16

EF05MA10

EF05MA12, EF05MA19, EF05MA24, EF05MA25

EF05MA07

EF05MA12, EF05MA19, EF05MA21,

EF05MA07, EF05MA11

EF05MA09, EF05MA22, EF05MA23

EF05MA07

EF05MA18, EF05MA20

EF05MA07, EF05MA08

EF05MA11 17 |

TRAJETÓRIA 1

PANORAMA DA TRAJETÓRIA ALEXANDRE R./ M10

Competências gerais: 1, 3, 4.

Habilidades de Matemática:

EF06MA01, EF06MA02, EF06MA03, EF06MA17, EF06MA24.

Habilidades de outras disciplinas:

VVVITA/SHUTTERSTOCK

Competências específicas: 1, 4, 6.

Língua Portuguesa:

EF67LP23, EF69LP33. Arte: EF69AR05,

BJ.SCHOENMAKERS/ WIKIMEDIA COMMONS

EF69AR31, EF69AR34.

História: EF06HI14. Temas Contemporâneos Transversais: Diversidade Cultural Vida familiar e Social Sugestão de atividade

A Trajetória vai começar, assim como uma nova etapa na aprendizagem dos estudantes. Chame a atenção deles para a pergunta motivadora da Trajetória, que é: Podemos compreender o mundo e agir sobre ele a partir da Matemática? Observe que essa pergunta tem caráter abrangente e o mais provável é que não seja possível dar uma resposta única, fechada ou rígida. Considere-a norteadora da busca de conhecimentos e, além disso, dotada de possibilidades inspiradoras para diversas leituras de mundo, de modo complexo e reflexivo. Inicie convidando os estudantes a esta reflexão: • O que significa para você compreender o mundo? • Por meio de quais conhecimentos é possível compreender o mundo? Incentive-os a explorar situações cotidianas em que se envolveram em problemas cujas soluções foram alcançadas por uma resultante de conhecimentos racionais, matemáticos e não matemáticos, de conhecimentos emocionais, de estratégias sociais, de recursos espirituais, dentre outros aspectos complexos da experiência humana. 18 | MANUAL DO PROFESSOR

PODEMOS COMPREENDER O MUNDO E AGIR SOBRE ELE A PARTIR DA MATEMÁTICA? • Como interpretamos o mundo à nossa volta e nos

expressamos por meio dos números?

• De que modo usamos números para resolver

problemas no cotidiano?

• Como utilizamos a Matemática para agir sobre o

espaço ao nosso redor?

18 | Trajetória 1

Solucionar problemas não é uma habilidade somente matemática, ainda que, na verdade, ela forneça ótimas ferramentas para compreender com mais profundidade diversas situações cotidianas. Outras questões decorrentes dessa pergunta motivadora podem ser: • Como agir sobre o mundo a partir da Matemática? • Quais conhecimentos matemáticos são melhores para agir de modo eficiente sobre o mundo? • Quais conhecimentos matemáticos você utiliza conscientemente no seu cotidiano para torná-lo,

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

por exemplo: mais prático, mais eficiente, menos dispendioso, menos demorado, mais bem organizado etc.? Peça aos estudantes que listem coletivamente os conhecimentos matemáticos (aritmético, algébrico, geométrico, estatístico, pensamento computacional etc.) que eles têm plena consciência de já terem utilizado ou que ainda utilizam com frequência no dia a dia. Verifique a lista construída por eles e, rapidamente, busque por temas matemáticos que foram certamente estudados em anos anteriores

ART FURNACE/SHUTTERSTOCK

CONTEÚDOS DA TRAJETÓRIA Passeio 1 – Números naturais

• Características do sistema de numeração decimal.

• Leitura, escrita e comparação de números naturais.

• Contagens, estimativas e aproximações.

Passeio 2 – Operações com números naturais

• Operações de adição, subtra-

ART FURNACE/SHUTTERSTOCK

Abstração, imaginação e raciocínio lógico são criações da mente para lermos o mundo de modos diversos.

ção, multiplicação, divisão e potenciação com números naturais. • Divisão euclidiana. Passeio 3 – Sólidos geométricos e volume

• Prisma e pirâmide. • Planificação. • Relações entre vértices, faces e arestas.

• Problemas sobre medi-

das envolvendo a grandeza volume.

LUPAS E LUNETAS

Mundos imaginados.

A Matemática é uma produção humana. Ao longo da história, diversos povos, culturas e civilizações elaboraram suas maneiras de interpretar e explicar o mundo a partir de sua própria linguagem matemática. Mais do que somente uma maneira de compreender, a Matemática se constituiu como uma maneira de estar e de agir sobre o mundo.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. Reflita sobre as questões expostas anteriormente e considere-as para elaborar outras perguntas de sua própria autoria. Publique suas perguntas no mural da sala de aula e aprecie as perguntas dos colegas.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

e que não apareceram nessa lista. Questionem o porquê dessa ausência: • Seria esquecimento ou seriam conhecimentos apropriados para outras categorias de situações? • Seriam categorias de situações que eles ainda não tiveram oportunidade de vivenciar? Por quê? Essas reflexões introdutórias podem desmistificar a Matemática, tanto pelo caráter exageradamente obrigatório de ser útil apenas se tiver aplicação imediata no cotidiano simples e corriqueiro quanto pelo seu oposto, de ser vista como um conhecimento totalmente inútil e distante da

19 |

vida prática. A verdade é que a Matemática transita por entre seus diversos aspectos, que incluem um caráter utilitário, o potencial de desenvolvimento cognitivo, o aspecto cultural e histórico da humanidade, a aplicação às tecnologias, a potência para intervir nos aspectos sociais por meio das pesquisas de comportamento etc. Essa conversa vai preparar os estudantes para iniciar uma trajetória matemática com nova expectativa diante desse campo tão abrangente que é a Matemática.

Proponha que os estudantes pensem sobre as questões motivadoras da Trajetória apresentadas na página anterior. Nessa primeira discussão, proponha questões sobre o uso da Matemática no cotidiano para que participem verbalizando sobre as relações entre o próprio cotidiano e a Matemática. Essa abordagem pode ser entrelaçada com o Tema Contemporâneo Transversal (TCT) Diversidade Cultural para que, observando as diferenças entre as pessoas e os modos de se relacionar com os números, considerem as diferenças culturais desenvolvendo valores humanos como: respeito, honestidade, senso de justiça, humildade, empatia, dentre outros.

19 |

Habilidade

PASSEIO 1 – NÚMEROS NATURAIS

(EF06MA01) Comparar,

CHECK-IN Organize uma roda de conversa e proponha a leitura do texto. Estimule os estudantes a apresentar situações de contagem e estimativa (por exemplo, na produção industrial ou agrícola). Uma estratégia possível é pedir a eles que sobreponham a imagem das pedras com um papel de seda (para não riscar o livro, a folha transparente favorecerá enxergar as pedras a serem contadas) e dividam a imagem em 4, 6 ou 8 partes iguais. Em seguida, podem realizar a contagem da quantidade de pedras em uma dessas partes e utilizar esse número multiplicado pela quantidade de partes em que foi dividida a imagem. Incentive os estudantes a compartilhar as diversas estratégias. Sugestão de atividade

Outra possibilidade de trabalhar a estimativa é apresentar um pote transparente completo com tampinhas coloridas. Peça que, individualmente, anotem a quantidade por cor e pelo total de tampinhas estimadas. Retire um punhado de tampinhas e contem juntos. Indague se manterão o valor estimado ou se pretendem reavaliar a estimativa e as estratégias usadas na escolha dos valores. Finalize contando, coletivamente, o total de tampinhas e a quantidade de cada cor. A contagem é o ato de fazer correspondência 1 a 1 do conjunto de elementos considerados ao conjunto {1, 2, 3, 4 ... n}, assegurando-se que o número n seja a quantidade de elementos do conjunto contado.

20 | MANUAL DO PROFESSOR

COMO INTERPRETAMOS O MUNDO À NOSSA VOLTA E NOS EXPRESSAMOS POR MEIO DOS NÚMEROS? VVVITA/SHUTTERSTOCK

ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica.

Diversidade, quantidade e qualidade no mundo ao nosso redor.

CHECK-IN Observe a imagem e responda: Respostas pessoais. a) Quantas pedras, aproximadamente, existem na imagem?

b) Em grupos, elaborem uma estratégia para estimar a quantidade de pedras. Em

seguida, compartilhem com a turma.

c) É possível organizar as pedras da imagem por cores? Que cores você identifica?

Conte ou estime a quantidade de cada uma delas. Compartilhe sua resposta com os colegas.

20 | TRAJETÓRIA 1

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ARREDORES Comparação e ordenação

Leitura e escrita

China antiga

Incas

História da numeração Reta numérica

Roma antiga

NÚMEROS NATURAIS Egito antigo

Sistemas de numeração

Povos originários do Brasil

Base Contagens Valor proporcional

SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL Estimativas

Função do zero

EF06MA01, EF06MA02 EF67LP23, EF69LP33 EF06HI14 EF69AR34

BÚSSOLA BÚSSOL A Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: • • • • • • •

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

21 |

(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. Encontro com outras disciplinas (EF67LP23) Respeitar os turnos de fala, na participação em conversações e em discussões ou atividades coletivas, na sala de aula e na escola e formular perguntas coerentes e adequadas em momentos oportunos em situações de aulas, apresentação oral, seminário etc. Proponha que os estudantes apresentem as respostas coletivamente. Durante a conversa, para que consigam compreender as ideias uns dos outros, é importante que aconteçam duas situações simultaneamente: enquanto um estudante verbaliza seu modo de entender o texto, os outros escutam atentamente para possíveis argumentações. No caso desse texto específico, a principal discussão reside no fato de que não é porque alguns animais conseguem diferenciar ou comparar quantidades que eles têm a habilidade de contar. Ou seja, ter noções de “muito/pouco”, “maior que”/“menor que” não significa quantificar ou enumerar. É possível d) A contagem é o ato de fazer discutir essa questão com sucorrespondência 1 a 1 do conjunto porte de materiais manipuláde elementos considerados ao veis. Observe conjunto {1, 2,se3,os 4 ...estudantes n}, assegurando-seperguntas que o número n seja a formulam coerentes quantidade de elementos do cone relacionadas ao tema proposjunto contado. to. Caso perceba a necessidade de intervenção, explique como devem ser formuladas questões adequadas em atividades coletivas. Ao trabalhar nessa perspectiva, nota-se que é possível também contemplar, ainda que parcialmente, a habilidade de Língua Portuguesa EF67LP23.

22 | MANUAL DO PROFESSOR

ATMOSFERA Os animais sabem contar? Animais são espertos, isso já sabemos. Se não em nossa própria casa, é fácil encontrar vídeos na internet mostrando que cães e gatos, por exemplo, frequentemente, recorrem às mais diversas estratégias para ganhar um carinho ou um alimento delicioso. Mas será que essa inteligência avança e chega ao ponto de eles conseguirem contar? [...] Dentre os primatas, e após os seres humanos, chimpanzés são os animais mais inteligentes, o que foi provado em uma pesquisa feita nos anos 80. Nela foram colocados chocolates em dois recipientes (até cinco pedaços em cada um), e chimpanzés precisavam contar e indicar qual deles possuía mais elementos. Em 90% das vezes os animais conseguiram acertar, indicando que sabiam avaliar as quantidades. Apesar da dificuldade de testar o quanto animais conseguem contar especificamente, o que se confirmou foi que eles têm senso de quantidade, e isso faz muito sentido considerando a necessidade de sobrevivência. Algumas pesquisas indicam até que animais já nascem com essa qualidade, e em uma delas, feita em 2015, cientistas descobriram que pintinhos com 3 dias de idade demonstram essa habilidade.

Seja para escolher em qual árvore subir por ter mais frutas, se vale a pena enfrentar uma determinada quantidade de inimigos, considerando o tamanho do seu bando, ou mesmo saber quantos filhotes têm e se nenhum foi se aventurar fora do ninho, o fato é que animais têm noção de quantidade. [...] MICHAEL WOODRUFF/SHUTTERSTOCK.

Habilidade

Será que ele está contando nos dedos?

FRANÇA, Allan. Os animais sabem contar? Megacurioso, 17 fev. 2018. Disponível em: www.megacurioso.com.br/ ciencia/105864-os-animais-sabem-contar.htm. Acesso em: 27 jun. 2022.

b) Para escolher em qual árvore subir por ter mais frutas, se vale a pena enfrentar uma determinada quantidade de inimigos, considerando o tamanho do seu bando, ou mesmo ATIVIDADES saber quantos filhotes têm e se nenhum foi se aventurar fora do ninho.

a) Resposta

Considere as informações que leu no texto e responda às perguntas: pessoal.

a) Explique, com suas palavras, a pesquisa feita com os chimpanzés nos anos 1980. b) Por que é importante para alguns animais saber comparar quantidades?

c) Qual é a conclusão do texto: os animais sabem contar ou os animais sabem com-

parar quantidades? Os animais sabem comparar quantidades.

d) Na Matemática, contar significa relacionar um número a uma quantidade. Sabendo

disso, você acha que os animais conseguem contar? Resposta pessoal.

e) Leia o trecho:

"cientistas descobriram que pintinhos com 3 dias de idade demonstram essa habilidade." Elabore uma pergunta de modo que esse trecho seja a resposta. Pergunta possível: O que descobriram os cientistas sobre os pintinhos e o senso de quantidade?

22 | TRAJETÓRIA 1

ATMOSFERA

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

precisar contar. Converse sobre essa experiência com os estudantes, estabelecendo paralelos com Proponha a leitura coletiva do texto e faça as os argumentos apresentados no texto. perguntas da atividade seguinte ou crie outras, para que expressem a compreensão do texto que Atividade 1 aponta os resultados de pesquisas sobre os animais As questões propostas intencionam que os terem noção de contagem. estudantes compreendam a leitura da seção É importante conversar sobre a diferença entre Atmosfera. Caso perceba que não compreendecontar e comparar quantidades. Apresente duas coleções de objetos, sendo evidente que uma delas ram o texto, sugira outras perguntas para que, na tenha uma quantidade inferior à outra. Pergunte aos tentativa de respondê-las (ou ouvindo a resposta estudantes em qual delas há mais objetos, sem de um colega), tenham compreensão do assunto.

Habilidade

#Números e estratégias de contagem

JAVIER G./M10

Os seres humanos habitam o planeta Terra há milhares de anos. Desde o início, os desafios do cotidiano eram muitos: conseguir alimentos, se proteger de ameaças, encontrar abrigo... Conforme os grupos de pessoas aumentavam e as comunidades se tornavam mais complexas, organizar objetos e tarefas do dia a dia também se tornou um desafio: • quantas pessoas existem em minha comunidade? • quantas frutas eu coletei? • quantos animais meu grupo possui? Acredita-se que o início da Matemática e da história dos números surgiu da necessidade de contar. É possível que essas primeiras pessoas utilizassem pequenas pedras para ajudar a contar.

Cada pedrinha correspondia a um dos animais do rebanho.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. O que você acha dessa estratégia? O que aconteceria se houvesse uma grande quantidade de coisas para contar? E se fosse preciso comparar grandes quantidades de coisas? • Converse com seus colegas e imaginem soluções para resolver esse problema.

Contar com os dedos

ARTE/ M10

Você provavelmente já contou utilizando os dedos, não é verdade? Essa estratégia de contagem é bastante antiga e pode explicar a base do sistema de numeração que utilizamos atualmente.

23 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Antes de realizar a leitura do texto, proponha aos estudantes que observem apenas a imagem, seus personagens e os detalhes que nela estão desenhados. A partir da observação, construa com os estudantes um texto coletivo. Nessa construção, os estudantes estarão verbalizando o que observam na imagem, e isso nos leva ao encontro da habilidade EF69LP33, proposta para a disciplina de Língua Portuguesa.

LUPAS E LUNETAS Essa estratégia pode se tornar inadequada conforme aumentam as quantidades a serem contadas. Isso porque o número de pedrinhas, por exemplo, que representam os elementos a serem contados também deve aumentar. Para comparar duas quantidades grandes seriam necessárias quantidades igualmente grandes de pedrinhas que o pastor, em nosso exemplo, deveria carregar. Proponha aos estudantes utilizar uma estratégia semelhante para contar e comparar quantidades até 10. Em seguida,

(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. Encontro com outras disciplinas (EF69LP33) Articular o verbal com os esquemas, infográficos, imagens variadas etc. na (re)construção dos sentidos dos textos de divulgação científica e retextualizar do discursivo para o esquemático – infográfico, esquema, tabela, gráfico, ilustração etc. – e, ao contrário, transformar o conteúdo das tabelas, esquemas, infográficos, ilustrações etc. em texto discursivo, como forma de ampliar as possibilidades de compreensão desses textos e analisar as características das multissemioses e dos gêneros em questão. peça que imaginem como seria contar ou comparar quantidades acima dos milhares. Aos estudantes que apresentarem dificuldade, proponha que, sem usar os números que conhecem, comparem a quantidade de lápis de cor entre dois colegas. Sugira também que a discussão aconteça de modo coletivo e façam algumas tentativas. Caso contem com os dedos, solicite outra estratégia. Uma possibilidade é colocar os lápis organizados em pares, um de cada estudante, e quem tiver mais ficará com algum lápis sem par.

23 |

Habilidade

O Instituto de Pesquisa e Formação Indígena (disponível em: https://institutoiepe.org.br/), conhecido por “Iepé” apresenta várias notícias sobre os povos indígenas, informações sobre suas principais características (habitantes, área, povos, língua, cidades onde estão localizados) e uma infoteca, na qual o Livro da arte gráfica wayana e aparai (disponível em: https://institutoiepe.org.br/wp-content/ uploads/2020/07/Livro-Wayanae-Aparai.pdf) faz parte do acervo e está disponível para download. Convide os professores de Arte, Geografia e História para juntos elaborarem uma atividade interdisciplinar que relacione a cultura dos povos indígenas, sua representação artística na arte gráfica e as formas geométricas presentes em objetos. O desenvolvimento de atividades nesse contexto contribui para que os estudantes analisem e valorizem o patrimônio cultural, material e imaterial da cultura indígena e, assim, reconheçam os diferentes 24 | MANUAL DO PROFESSOR

LUPAS E LUNETAS Forme uma dupla ou um trio com os colegas. Utilizando os dedos, como vocês fariam para contar uma quantidade de objetos: Respostas pessoais. a) menor que 10? b) maior que 10? Descrevam a estratégia utilizada para contar uma quantidade de objetos maior do que 10. Compartilhem com os demais colegas.

O nosso sistema decimal utiliza dez símbolos ou algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Dizemos que a base do nosso sistema de numeração é 10 – ou seja, base decimal – porque os agrupamentos são de 10 em 10: 10 unidades formam uma dezena; 10 dezenas formam uma centena; e assim por diante.

Povos originários Na cultura de muitos povos indígenas do Brasil, os números não representam apenas quantidades, mas se relacionam a uma diversidade de significados, desde a natureza até a comunidade em que vivem. Dentre os vários povos e culturas, existem também diferentes maneiras de contar utilizando os dedos e de dar nomes aos números. O povo Maku, que habita o interior da Amazônia, utiliza um sistema de numeração com base 5, porque usa apenas uma das mãos para contar. Veja os nomes dados aos números de 1 a 5, em um dos dialetos Maku: JOSE GOMEZ/REUTERS/FOTOARENA

(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. Encontro com outras disciplinas (EF69AR34) Analisar e valorizar o patrimônio cultural, material e imaterial, de culturas diversas, em especial a brasileira, incluindo suas matrizes indígenas, africanas e europeias, de diferentes épocas, e favorecendo a construção de vocabulário e repertório relativos às diferentes linguagens artísticas. (EF06HI14) Identificar e analisar diferentes formas de contato, adaptação ou exclusão entre populações em diferentes tempos e espaços.

ayup

ka’ap

mod’ap

babniy

hedapo

Mulher da etnia Nukak Maku.

Uma curiosidade é que hedapo significa “uma mão”. Porém, a relação do número 5 com o número de dedos da mão pode ser só uma das explicações para essa maneira de contar. É possível também que haja relações com tons musicais percebidos pelos Maku ou com o mito dos cinco clãs que deram origem ao povo. 24 | TRAJETÓRIA 1

grupos sociais em diversas épocas no Brasil. Além das habilidades de Matemática contempladas no desenvolvimento dessa proposta e, sem a pretensão de contemplar na totalidade as habilidades de Arte e História, notamos que é possível desenvolver nos estudantes a habilidade EF69AR34, de Arte, e a habilidade EF06HI14, de História.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LUPAS E LUNETAS Caso considere adequado, ofereça palitos de madeira para criarem as estratégias de contagem; proponha que socializem os modos de contagem que descobriram.

ISMAR INGBER/ PULSAR IMAGENS

Outro povo indígena da Amazônia, os Baniwa, utiliza base 20, ou seja, os numerais vão de 1 a 20. Isso porque, além de utilizar os dedos das mãos, os Baniwa consideram também os dedos dos pés para a contagem.

Cestarias confeccionadas com talo de arumã e corante natural feito por indígenas da etnia Baniwa.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. a) Você já conhecia essas maneiras de contar dos povos originários do Brasil? b) O que achou mais interessante sobre esse assunto? c) Pesquise mais sobre o tema em livros, revistas ou na internet. Compartilhe com os colegas.

ATIVIDADES

2. Existem muitas outras maneiras de contar com as mãos.

Na antiga Mesopotâmia (região entre os rios Tigre e Eufrates que, atualmente, corresponde aos territórios do norte da Síria e grande parte do Iraque, terminando no Golfo Pérsico), utilizava-se o dedo polegar de uma das mãos para contar cada falange dos dedos dessa mão, de 1 a 12. Ao chegar ao 12, marcava-se um dedo da outra mão. ALEXANDRE R./ M10

•

Habilidades (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal. LUPAS E LUNETAS Depois da leitura coletiva do texto “Povos originários”, promova a discussão usando as questões propostas ou elabore outras que considere pertinentes. A pesquisa pode ser realizada na própria aula ou como atividade extraclasse; organize como podem compartilhar as descobertas que fizerem com a pesquisa. Atividade 2

Mapa da antiga Mesopotâmia. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

25 |

Nessa atividade, se considerar adequado, solicite que contem outras coleções, como a quantidade de livros na mochila ou de vidros das janelas da sala de aula. Proponha que compartilhem as facilidades ou dificuldades em cada método de contagem.

25 |

26 | MANUAL DO PROFESSOR

Contagem na Mesopotâmia antiga.

ALEXANDRE R./ M10

• O povo indígena Yuki, da América do Norte, utilizava os espaços entre os dedos para contar:

a) Conte os elementos de cada grupo de imagens utilizando as duas estratégias: ARTE/ M10

a) Pergunte aos estudantes em qual das duas estratégias utilizadas para representar as quantidades houve maior dificuldade. Incentive-os a criar uma estratégia diferente dessas duas apresentadas. b) Na Mesopotâmia antiga, na mão direita contavam-se as falanges, “guardando” o número de contagens na mão esquerda, sendo possível contar até 60 usando as duas mãos. Já o povo Yuki usa as duas mãos para contar até o número 8. c) Escreva outros números na lousa e peça aos estudantes que representem como faziam na Mesopotâmia, a fim de perceberem a função do dedo polegar.

ALEXANDRE R./ M10

7 e 64.

b) 60 e 8. Resposta pessoal.

b) Utilizando somente os dedos das mãos e nenhum outro recurso, até que número é possível

contar em cada uma dessas duas culturas? Por quê? Compartilhe sua resposta com os colegas. c) No sistema de contagem da Mesopotâmia antiga eram utilizadas as falanges dos dedos de

uma mão para os cálculos. Por que não entravam na contagem as falanges do dedo polegar? Explique. Porque o dedo polegar tinha a função de apontar cada falange dos outros dedos, ou seja, era ele "quem" fazia a contagem.

26 | TRAJETÓRIA 1

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

#Os números em diversas culturas Enfrentando os desafios que cada época e localização geográfica apresentaram, diferentes povos, culturas e civilizações desenvolveram as suas próprias maneiras de representar os números.

Incas

JAVIER G./ M10

Na região da atual América Latina, antes da chegada dos europeus, os Incas criaram um império que ia desde a Floresta Amazônica até o Oceano Pacífico. Para ajudar a organizar esse vasto império, foram desenvolvidos os quipus. Trata-se de um artefato feito de cordões compridos pendurados em um cordão principal.

Na língua quéchua, QuipuouKhipu significa nó.

MAKINAJP/SHUTTERSTOCK

ALEXANDRE R./ M10

Nos cordões são feitos nós de diferentes tipos que representam os números.

O quipu – que significa nó, ligadura, gravata, amarrado – era um instrumento de armazenamento de informações constituído por cordas de lã ou algodão de várias cores, providas de nós. Era usado pelas civilizações andinas. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

O texto fala sobre os números em diversas culturas. Ao apresentá-lo aos estudantes o professor poderá relacioná-lo com a habilidade de História EF06HI14. Como algumas civilizações tinham maneiras próprias de representar os números, proponha um trabalho, se possível com o professor de Arte, para que os estudantes construam colares

27 |

Habilidades (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal. Encontro com outras disciplinas (EF06HI14) Identificar e analisar diferentes formas de contato, adaptação ou exclusão entre populações em diferentes tempos e espaços. (EF69AR34) Analisar e valorizar o patrimônio cultural, material e imaterial, de culturas diversas, em especial a brasileira, incluindo suas matrizes indígenas, africanas e europeias, de diferentes épocas, e favorecendo a construção de vocabulário e repertório relativos às diferentes linguagens artísticas.

formados por nós representando determinada quantidade. Outros colegas deverão observar os colares e tentar adivinhar que quantidade eles representam. A habilidade da disciplina de Arte EF69AR34 é também explorada durante a realização da atividade.

27 |

Proponha que realizem as atividades em duplas, coloque alguns números para que transformem de uma representação para outra (do sistema da “China antiga” para o sistema de numeração decimal e vice-versa, por exemplo). Espera-se que os estudantes percebam que o bambu na horizontal representa cinco unidades e o sistema é posicional.

6. a) Espera-se que reconheçam

que o traço horizontal corresEspera-se que reconheçam que ponde a 5 unidades a serem o traço horizontal corresponde a adicionadas quantidade de à 5 unidades aà serem adicionadas traços verticais em cada sím-em quantidade de traços verticais cada símbolo numérico. bolo numérico.

28 | MANUAL DO PROFESSOR

3. Veja como o número 253 é representado

b) Sabe-se que o número representado na

imagem é da ordem dos milhares. Que número é esse? 3 241

utilizando o quipu:

ALEXANDRE R./ M10

a) Converse com os colegas sobre o que

você compreendeu dessa maneira de representar os números. Resposta pessoal.

China antiga ARTE/ M10

Na China antiga, utilizavam-se tiras de bambu para representar os números de 1 a 9:

Veja como eram representados os números 586 e 856: ARTE/ M10

Atividades 3 a 6

ATIVIDADES

ALEXANDRE R./ M10

Utilizando os mesmos arranjos feitos em bambu, era possível representar dois números diferentes. Ou seja, a posição em que se representavam os símbolos era importante. Por esse motivo, dizemos que esse sistema era posicional. ATIVIDADES

4. Um número foi representado utilizando o antigo sistema chinês. Que número é este? 719

6. Em duplas, observem os símbolos que representam os números 6, 7, 8 e 9. a) Vocês identificam algum padrão ou re-

gularidade? Respostas pessoais.

5. Utilizando o antigo sistema de numeração chinês, represente o número 3 658.

28 | TRAJETÓRIA 1

b) Como interpretam a tira de bambu hori-

zontal na representação desses números?

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Roma antiga Os antigos romanos desenvolveram um sistema numérico que utilizava símbolos, que lembram letras do alfabeto latino, para representar os números: I

100

500

1 000

Para representar outros números, utilizavam-se estas regras: • ao escrever os símbolos I, X e C à direita de símbolos com valor maior, deve-se adicionar

I, X ou C a esses valores; • ao escrever os símbolos I, X e C à esquerda de símbolos com valor maior, deve-se subtrair

I, X ou C desses valores. Escrito à direita do símbolo de maior valor

X I 10

Escrito à esquerda do símbolo de maior valor

X L

10 + 1

50 – 10

Veja outros exemplos: XXXVIII

XIV

LXXI

MMXXIV

DCCL

2 024

900

750

Ao longo dos anos, novas regras foram sendo criadas para a representação de números no sistema romano. Entre elas, a regra de que 3 símbolos iguais não podem ser repetidos em

Atividades 7 a 10

sequência. Por exemplo, para escrever 4 000 não é possível utilizar MMMM. Para isso, os romanos

Nessas atividades, trabalha-se o sistema de numeração romano, cuja importância é dada por sua relevância histórica para a civilização ocidental e pelo fato de ainda hoje esses símbolos serem utilizados. Pergunte aos estudantes se eles identificam as regras que compõe esse sistema de numeração. Escreva alguns números na lousa usando esse sistema de numeração e peça que identifiquem as regras usadas.

colocavam uma barra sobre o símbolo: IV representa 4 000

10. V, L, D, V. O sistema de numeração romano não é posicional. Embora a posição de um símbolo à direita ou à esquerda de outro altere o valor (adicionando como em VI ou subATIVIDADES traindo como em IV), o símbolo em si (I ou V) não muda de valor conforme a posição.

7. Represente os números de 1 a 20 utilizando o sistema de numeração romano. I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX e XX.

8. Represente o ano atual utilizando o sistema de numeração romano. Resposta conforme o ano corrente.

9. Os numerais romanos são bastante utilizados ainda hoje em diversas situações cotidianas. Converse sobre isso com os colegas e cite algumas dessas situações.

Resposta pessoal. Em relógios, referências a séculos, capítulos, listas, leis, números de página etc.

10. Em duplas ou trios, representem, em numeração romana: 5, 50, 500 e 5 000. Analisando essas representações numéricas, é possível concluir que o sistema de numeração romano é posicional?

Sugestão de atividade

Compartilhe sua resposta com os colegas.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

29 |

Para ampliar a proposta da atividade 9, organize-os em duplas ou trios e proponha uma pesquisa sobre as situações em que os símbolos romanos são utilizados atualmente.

29 |

Egito antigo No continente africano, os egípcios, antes mesmo do tempo dos faraós, já haviam desenvolvido um sistema de escrita e de representação dos números utilizando figuras, conhecidas como hieróglifos. YOSHI0511/SHUTTERSTOCK

Egito em mapa antigo, século XVIII.

No sistema numérico do Egito antigo, o número 1 era representado por uma barra vertical, o 10 por uma alça, o 100 por uma espiral, o 1 000 por uma flor de lótus, 10 000 por um dedo, 100 000 por um sapo e 1 000 000 por uma pessoa com as mãos levantadas. ALEXANDRE R./ M10

Para representar outros números, agrupavam-se esses símbolos e adicionavam-se os valores:

Sugestão de atividade

Para explorar mais esse sistema de numeração, solicite que façam um quadro como o apresentado a seguir e peça aos estudantes que preencham duas células de cada coluna e troquem com um colega.

O sistema de numeração egípcio utiliza o princípio aditivo, ou seja, os números são obtidos pela adição dos valores de cada símbolo. ATIVIDADES

11. Os números em cada item foram representados utilizando o sistema de numeração egípcio. A

128

12 208

30 | TRAJETÓRIA 1

Sistema de numeração egípcio

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Sistema de numeração decimal

536 2 340 30 | MANUAL DO PROFESSOR

R./ M10

que números eles correspondem escritos com nossos algarismos?

ALEXANDRE

Verifique se os estudantes percebem a ausência de um símbolo para representar o zero no sistema de numeração egípcio.

345

R./ M10

(100 + 100 + 100) + 10 " +######## 10 + 10)$ + (1 + 1 +" 1 ####### + 1 + 1)$ !####### #"####### #$ + (10 !######## !####### 300 5 !############################ #"40############################ #$

ALEXANDRE

Explique aos estudantes que nesse sistema de numeração a ordem dos símbolos não modifica o número escrito (não posicional). O mesmo número, 128, por exemplo, pode ser representado em disposições diferentes dos símbolos do sistema de numeração egípcio:

ALEXANDRE R./ M10

Atividade 11

TRAVESSIAS TRAVESSIA S Resolução de um problema egípcio antigo

ALEXANDRE R./ M10

Vamos descobrir como os antigos egípcios resolviam problemas utilizando seu sistema de numeração? Leia o seguinte problema: Certa região tem 7 famílias. Se cada família receber 13 pães, quantos pães serão distribuídos? Veja uma estratégia de resolução muito comum utilizada pelos antigos egípcios:

Como dez símbolos

correspondem a um símbolo

, é possível fazer este

agrupamento: ALEXANDRE R./ M10

Atividade 12

ATIVIDADES

12. Agora, responda às questões a seguir. Respostas pessoais. a) Com suas palavras, explique a estratégia apresentada. Compartilhe com os colegas.

b) Utilizando os seus conhecimentos, elabore uma estratégia pessoal para resolver

esse problema. Compartilhe com os colegas.

c) Compare a sua estratégia de resolução desse problema com a estratégia utilizada

pelos antigos egípcios. Quais são as principais diferenças?

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

31 |

Proponha a discussão e solicite que observem o modo de organizar as quantidades de famílias e de pães. Registraram 1, 2 e 4 famílias, pois dobravam o valor de pães correspondentes. Espera-se que percebam que 1 + 2 + 4 = 7 (total de famílias). Caso considere necessário, elabore perguntas para que percebam esse fato. Pode-se explorar esse assunto pedindo que, coletivamente, elaborem dois problemas que estarão transcritos na lousa para que todos resolvam e compartilhem as estratégias ao concluir a atividade. Sugestão de leitura

Essa atividade foi elaborada a partir do que é abordado no livro indicado nesta sugestão de leitura. A obra aborda a história da Matemática ao longo do tempo de maneira objetiva, mostrando que algumas práticas são adotadas desde sempre. ROQUE, Tatiana. História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. São Paulo: Zahar, 2012.

31 |

Nesta página são apresentados os símbolos indo-arábicos e sua evolução no decorrer dos anos para que os estudantes conheçam a origem e as características do nosso sistema de numeração decimal. Para trabalhar esse tópico, sugerimos perguntar aos estudantes: • Os algarismos indo-arábicos sempre foram escritos como fazemos hoje? • Sempre existiu um símbolo para o zero? Se considerar necessário, enfatize que o nosso sistema de numeração é posicional, apresentando outros exemplos, como 27 e 72. Sugestão de leitura

Essa obra aborda de modo resumido a história da Matemática acompanhando a evolução do raciocínio de nossos ancestrais desde a Pré-história, passando por civilizações como a dos egípcios, babilônios, fenícios, gregos, romanos, hebreus, maias, chineses, hindus e árabes. IFRAH, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. 5. ed. Rio de Janeiro: Globo, 1992. 32 | MANUAL DO PROFESSOR

#Sistema indo-arábico O sistema de numeração que utilizamos atualmente teve sua origem na região do Vale do Rio Indo, situado onde estão a Índia e o Paquistão. Ao longo dos anos, foi aperfeiçoado pelos

ARTE / M10

povos árabes. Por esse motivo recebeu o nome de sistema indo-arábico.

Evolução da escrita dos algarismos no sistema indo-arábico ao longo dos anos. Em sua origem, não

SPATULETAIL/SHUTTERSTOCK

havia símbolo para o número 0.

CHRISTOPHE CAPPELLI/SHUTTERSTOCK

Estátua do matemático Al-Khwarizmi e as muralhas da cidade de Quiva (ou Khiva) ao fundo, no Uzbequistão. Estátua do matemático Leonardo Fibonacci, em Pisa, cidade da Itália.

O matemático Al-Khwarizmi foi um dos maiores estudiosos do sistema de numeração hindu no mundo árabe. A palavra algarismo tem origem em seu nome. A difusão desse sistema no continente europeu pode ser atribuída ao matemático italiano Fibonacci que teve contato com os escritos árabes durante seus estudos na região atual da Argélia, no norte do continente africano. O sistema de numeração indo-arábico é de base decimal, utilizando dez algarismos para representar os números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. É também um sistema posicional, ou seja, o valor de cada algarismo depende da posição que ocupa. 32 | TRAJETÓRIA 1

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ATIVIDADES

13. Uma das vantagens do sistema de numeração indo-arábico é a facilidade de representar os

ALEXANDRE R./ M10

números. Por ser um sistema posicional, é possível representar até mesmo números muito grandes com poucos símbolos. Por exemplo, veja como representar o número 9 999 999 utilizando o sistema egípcio:

63 símbolos.

a) Quantos símbolos foram necessários para representar esse número utilizando o sistema egípcio?

b) Quantos algarismos são necessários para representar esse número utilizando o sistema

indo-arábico? 7 algarismos.

14. Imagine agora representar o número 9 999 999 utilizando os quipus dos incas. Converse com os colegas sobre as dificuldades em representá-lo. Resposta pessoal.

O número zero Outra vantagem do sistema de numeração indo-arábico é a existência do símbolo para o zero, que, além de contribuir para a representação dos números, também facilitou as operações aritméticas. Até então, o zero era representado como um espaço vazio em algumas culturas e era muito comum utilizar ábacos para realizar operações. Os ábacos mais antigos eram apenas buracos feitos no chão nos quais se depositavam pedrinhas. Definia-se, por exemplo, que as pedras de certo buraco valeriam 100, as do seguinte valeriam 10 e as do outro valeriam 1.

ARTE/ M10

Veja como seriam representados os números 421 e 203. Para adicionar 421 + 203, as pedras seriam reunidas de acordo com o valor estabelecido:

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

33 |

Espera-se que os estudantes percebam que o sistema de numeração indo-arábico utiliza poucos símbolos, facilitando o registro de números cada vez maiores. Além disso, nesse sistema não é preciso inventar símbolos novos para cada número novo. Bastam dez símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), que irão compor todos os números. Por ser um sistema de numeração posicional, permite não só escrever os números de maneira simples, mas efetuar as operações com mais facilidade do que em outros sistemas de numeração.

33 |

Com a inclusão dos diversos grupos sociais em atividades culturais, há intérpretes de Libras (Língua Brasileira de Sinais) em shows e apresentações musicais para que pessoas com deficiência auditiva participem desses eventos e possam interagir. Combine que apresentará o vídeo de uma música para que identifiquem qual é o título e o cantor: selecione um vídeo da música com tradução em Libras, apresente-a sem o “som” e deixe-os verbalizar as possíveis músicas; depois, deixe exibirem o vídeo com o som. Use essa atividade para promover uma discussão sobre a exclusão de grupos sociais, como a dos deficientes auditivos na ausência de intérprete de Libras, indo ao encontro da habilidade EF06HI14.

34 | MANUAL DO PROFESSOR

#Números: diferentes linguagens

ALEXANDRE R./ M10

A comunidade dos surdos enfrenta uma variedade de desafios cotidianos. Aqui no Brasil, para ajudá-los a se comunicar, foi desenvolvida a Língua Brasileira de Sinais, conhecida como Libras. Trata-se de um idioma no qual é possível se comunicar por meio de sinais e expressões faciais ou corporais. Com ela, é possível também expressar números. Para expressar quantidades, utilizam-se estes sinais:

Números cardinais em Libras.

ALEXANDRE R./ M10

Dependendo da região, os sinais para os números 1, 2, 3 e 4 podem ser representados de maneiras diferentes:

Números cardinais de 1 a 4 em Libras: forma alternativa.

ALEXANDRE R./ M10

Para expressar ordem ou posição, utilizam-se os mesmos sinais, porém realizados com um movimento trêmulo das mãos:

Números ordinais em Libras.

Por exemplo, para comunicar que em uma gincana havia 5 competidores, utiliza-se o sinal da esquerda. E para dizer que o competidor ficou em 5º lugar, utiliza-se o sinal da direita. ALEXANDRE R./ M10

ATIVIDADES

15. Vamos recordar um conhecimento de Matemática de anos anteriores: os números que repre-

sentam uma quantidade são denominados cardinais e os números que representam ordens são denominados ordinais. Em dupla com um colega, represente os números ordinais e cardinais de 1 a 9 em Libras.

34 | TRAJETÓRIA 1

Atividade 15

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

como uma comunidade escolar do Paraná procurou desenvolver conhecimento para aprender Libras e participar da inclusão de uma aluna deficiente auditiva. DOMANOVSKI, Marilene; VASSÃO, Adriane Meyer. A importância da Libras para inclusão escolar do surdo. Cadernos PDE, vol. 1, 2016. Disponível em: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2016/2016_artigo_edespecial_unicentro_marilenedomanovski.pdf. Sugestão de leitura O artigo a seguir retrata alguns aspectos da Acesso em: 24 abr. 2022. inclusão escolar, da formação dos professores e Ao apresentar a Libras aos estudantes, proponha uma conversa sobre as diferenças entre as pessoas e a necessidade de comunicação entre todos. Essa abordagem relaciona-se com o TCT Diversidade Cultural e pode contribuir para que não desenvolvam preconceitos ao deparar com pessoas diferentes deles.

NUVENS Aplicativo para Libras GOVERNO DO BRASIL

Você sabia que existem aplicativos para celular que traduzem do português para a Libras? Procure por um aplicativo nas diversas plataformas e digite uma frase para ver como ele a traduz. É a tecnologia sendo utilizada para promover inclusão e acessibilidade.

Há diversos aplicativos tradutores de Libras que favorecem a interação de todos com as comunidades de surdos.

ATIVIDADES

16. Que tal explorar os recursos do aplicativo? Experimente escrever palavras ou frases

curtas e reproduzir o que o aplicativo traduz. Treine com os colegas! Respostas pessoais. 17. Vamos explorar agora como se comunicar matematicamente utilizando a Libras?

Respostas pessoais.

a) Reproduza os números apresentados anteriormente e veja como o aplicativo irá

traduzir para você! b) Elabore frases que utilizem números com diferentes significados:

“Na cesta há 5 maçãs.” “O time ficou em 2º lugar no campeonato.” 18. Vamos aprender mais? Forme uma dupla com um colega. Escolham números ordinais

ou cardinais maiores que 9 ou 9º. Usem o aplicativo para aprender a comunicá-los em Libras. Treine com sua dupla e, em seguida, comunique os números para os demais colegas. Aprenda também os números que eles escolheram. Respostas pessoais.

#Números naturais: comparar e ordenar Estes números são denominados números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11... O conjunto dos números naturais é representado pela letra |N: = !0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…"

Habilidades (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal. possam aprender alguns sinais de Libras com significados matemáticos, e combine também a presença do intérprete que fará a mediação entre as linguagens. Combine os detalhes com antecedência e divulgue para os gestores da escola, se possível, convidando-os para também estarem presentes. Publique no mural da escola os resultados desse encontro.

|N = !0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…" Atividades 16 a 18

É possível também representar os números naturais em uma reta numérica: 0

No conjunto dos números naturais, é sempre possível comparar e ordenar dois ou mais números, distinguindo qual número é maior e qual é menor. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL Organize com os estudantes uma aula diferente: uma aula dada por um deficiente auditivo. Se na escola tiver algum deficiente auditivo ou se algum estudante tem alguém na família ou conhece alguém deficiente auditivo, combine a possibilidade de um convite para que um deficiente auditivo (ou mais de um, a depender das possibilidades da comunidade, da organização do roteiro da aula e da coordenação dessa aula pelo professor responsável) vá presencialmente à sala de aula e, dessa maneira,

35 |

gere entre ouvintes e o deficiente auditivo laços de caráter social republicano e de afetos diversos no meio da família e da comunidade escolar, entre outros grupos sociais. A construção das relações sociais diversificadas pode trazer mudanças profundas na compreensão dos estudantes ouvintes a respeito dos deficientes auditivos como membros de uma comunidade cultural e linguística e não como pessoas restritas a uma condição. Agende com antecedência o conteúdo da aula a ser ministrada, que pode ser de Matemática elementar para que os estudantes

Converse com a turma sobre esses aplicativos, sugira que os instalem no celular e explorem na aula ou como atividade extraclasse. Na aula seguinte, proponha que compartilhem suas experiências. Essas atividades podem ser exploradas em aula ou extraclasse, porém com a socialização na aula em ambos os casos.

35 |

ATIVIDADES

19. Utilize os símbolos > (maior) ou < (menor) a) 0 e 100 0 < 100 b) 63 e 0 63 > 0

20. Escreva no caderno um número natural que substitua corretamente o ■. b) 103 <

< 90 < 115

c) 909 <

< 999

d) 10000 <

Atividade 20

a) Qualquer um destes núme-

ros substitui corretamente o : 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 e 89. b) Qualquer um destes números substitui corretamente o : 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113 e 114. c) Qualquer um destes números substitui corretamente o : 910, 911, 912, ..., 997 e 998. d) Qualquer um destes números substitui corretamente o : 10 001, 10 002, 10 003, ..., 19 997, 19 998 e 19 999. Atividade 22

Construa na lousa uma reta numérica e marque os alguns números naturais, por exemplo, 997, 998, 999, 1 000, 1 001. Explique aos estudantes que 36 | MANUAL DO PROFESSOR

89 899

101 000

90 000

a ordem crescente.

89 899 < 89 900 < 90 000 < 100 000 < 100 001 < 101000

b) Represente esses números em uma reta

numérica.

89 899 90 000

80 000

89 900

100 001

100 000 101 000

22. Existe algum número natural que seja, ao mesmo tempo, maior que 999 e menor que

< 20000 • Compartilhe suas respostas com os colegas. Respostas pessoais.

100 000

100 001

zando o símbolo de < (menor) para indicar

d) 104 100 e 104 099 104 100 > 104 099

a) 80 <

89 900

a) Ordene os números apresentados utili-

c) 999 e 1 000 999 < 1000

1 000? Por quê? •

Elabore uma explicação para esse fato e compartilhe com a turma. Resposta pessoal.

21. Não há número natural entre 999 e 1 000, porque 999 + 1 = 1000.

Sucessor e antecessor de um número natural

Observe a sequência de números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11... Se escolhermos um número qualquer dessa sequência, o primeiro número natural maior que o número escolhido é chamado de sucessor desse número. Por exemplo: 1 é o sucessor de 0, 6 é o sucessor de 5, 11 é o sucessor de 10. Dizendo de outro modo:

Atividades 19 a 21

Existem algumas estratégias para memorizar os símbolos < ou >; uma delas é mostrar que o “vértice” sempre aponta para o menor, e a abertura, para o maior. Deixe um exemplo de cada na lousa para observação, se necessário.

21. Considere os números:

para comparar os números:

Se adicionarmos 1 a qualquer número natural, obteremos o seu sucessor.

Uma ideia semelhante a essa é a de antecessor. Se escolhermos um número diferente de zero da sequência, o primeiro número natural menor que o número escolhido é chamado de antecessor desse número. Por exemplo: 0 é o antecessor de 1, 5 é o antecessor de 6, 10 é o antecessor de 11. Ou de outro modo: Se subtrairmos 1 de um número natural diferente de zero, obteremos o seu antecessor.

LUPAS E LUNETAS Utilizando as definições de sucessor e antecessor, responda às questões e, em seguida, compartilhe suas respostas com os colegas. Não, porque 5 + 1 = 6, e não 10. Não, porque 10 – 1 = 9, e não 5. a) É possível dizer que 10 é o sucessor de 5? Ou que 5 é o antecessor de 10? Por quê? b) Existe o antecessor do número 0? Por quê? No conjunto dos números naturais, não existe o antecessor de zero. c) É possível dizer que qualquer número natural tem um sucessor? Por quê? Sim, porque a sequência dos números naturais é infinita. 36 | TRAJETÓRIA 1

o conjunto dos números naturais é formado por números inteiros positivos e que, se usarmos como referência determinado número natural, podemos saber qual é seu sucessor e ter a certeza de que entre um número e seu sucessor não haverá qualquer outro número natural, como, por exemplo, entre os números 999 e 1 000.

LUPAS E LUNETAS Esta reflexão é uma introdução ao estudo de sucessores e antecessores. Espera-se que, mesmo

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

que o conhecimento ainda não esteja formalizado, os estudantes percebam que 999 e 1 000 são o sucessor ou o antecessor um do outro. No Ensino Fundamental I os estudantes já exploraram números racionais positivos. Assim, pode ser interessante verificar se compreendem que é possível obter um número racional entre 999 e 1 000, o que não pode ser dito com relação aos números naturais. Esse tipo de discussão pode ser proposta para consolidar os conhecimentos dos estudantes sobre o conjunto dos números naturais.

ATIVIDADES

23. Copie as frases, substituindo o ▲ pelos termos sucessor ou antecessor: a) O número 8 000 é o ▲ de 8 001. antecessor

b) O número 461 973 é o ▲ de 461 972. sucessor

c) Todo número natural tem um ▲. sucessor

d) Nem todo número natural tem um ▲. antecessor

Composição e decomposição Por usarmos um sistema de numeração posicional de base decimal, é possível compor e decompor os números naturais utilizando agrupamentos de 10, 100, 1 000, e assim por diante. Por exemplo, vamos representar os números 67 324 e 30 821 695 no quadro valor de lugar ou quadro de ordens: CLASSE DOS MILHÕES 9ª Ordem

8ª Ordem

CLASSE DOS MILHARES

CLASSE DAS UNIDADES

7ª Ordem

6ª Ordem

5ª Ordem

4ª Ordem

3ª Ordem

2ª Ordem

1ª Ordem

Centena Dezena Unidade de milhão de milhão de milhão

Centena de milhar

Dezena de milhar

Unidade de milhar

Centena

Dezena

Unidade

(C)

(D)

(U)

Esses números são lidos como:

• 67 324: sessenta e sete mil, trezentos e vinte e quatro

• 30 821 695: trinta milhões, oitocentos e vinte e um mil, seiscentos e noventa e cinco

Retome oralmente os significados de sucessor e antecessor e proponha aos estudantes que, após responderem à atividade, socializem as respostas. Incentive-os a verbalizar as dúvidas caso haja alguma.

É possível decompor esses números em suas ordens da seguinte forma:

• 67 324 = 60000 + 7000 + 300 + 20 + 4 =

= 6 ! 10000 + 7 ! 1 000 + 3 ! 100 + 2 ! 10 + 4 ! 1 • 30821 695 = 30000000 + 800000 + 20000 + 1 000 + 600 + 90 + 5 =

= 3 × 10000000 + 8 × 100000 + 2 × 10000 + 1 × 1000 + + 6 × 100 + 9 × 10 + 5 × 1

LUPAS E LUNETAS Os números 67 324 e 30 821 695 foram apresentados de três maneiras: Resposta possível: cada uma das • escritos no quadro valor de lugar; três maneiras destaca melhor um • escritos por extenso, da maneira como se lê; dos aspectos do sistema de nume• decompostos em suas ordens, com adições e multiplicações. ração decimal. Reflita sobre essas três maneiras em que foram apresentados os números e identifique possíveis relações entre elas. Compartilhe suas observações com os colegas. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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LUPAS E LUNETAS

Esse fato, por sua vez, pode ser explorado a partir da análise do quadro valor de lugar. Ao utilizar a linguagem oral, em muitos casos, Nesse momento, espera-se que os estuutilizamos os princípios aditivos e multiplicativos dantes consigam representar os números em presentes na própria decomposição numérica. Por qualquer formato. Durante a discussão, obserexemplo, ao falar “oitocentos e vinte e um” obtemos ve suas respostas nessa atividade para avaliar uma “dica” de como escrever esse número com o conhecimento prévio e planejar quais aspectos adições, 800 + 20 + 1, sendo que a conjunção “e” aspriorizar nas aulas seguintes. sume o papel da operação de “+”. Note que, ao falar “oitocentos e vinte e um mil”, não queremos dizer 800 + 20 + 1 000, mas 800 000 + 20 000 + 1 000.

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9423 = 9 × 1000 + 4 × 100 + 2 × 10 + 3 × 1

a) 187 452 187452 = 1 × 100000 + 8 × 10000 + 7 × 1000 + 4 × 100 + 5 × 10 + 2 × 1 b) 503 865 503865 = 5 × 100000 + 3 × 1000 + 8 × 100 + 6 × 10 + 5 × 1 c) 61 010 61010 = 6 × 10000 + 1 × 1000 + 1 × 10

25. Sem efetuar os cálculos, obtenha o número que resulta destas expressões numéricas: a) 4 × 1000 + 7 × 100 + 6 × 10 + 4 × 1 4 764 b) 2 × 10 + 7 × 10 000 + 7 × 1000 77 020

c) 8 × 100000 + 6 × 1000000 + 8 × 100 + 9 × 1 6 800 809

26. Resolva as charadas:

a) Pensei em um número composto de quatro unidades de milhar, nove centenas e sete uni-

dades. Em que número eu pensei? 4 907

b) Pensei em um número composto de três unidades, cinco centenas de milhão e seis unidades

de milhão. Em que número eu pensei? 506 000 003

27. Elabore uma charada semelhante às do exercício anterior. Desafie seus colegas com ela! Responda também às charadas que eles propuserem a você! Respostas pessoais.

Estimativas com números naturais Há situações em que não se deseja obter um valor exato para uma certa quantidade, basta uma estimativa. Ou seja, há momentos em que o mais importante é obter um valor aproximado. ATIVIDADES

28. Observe as situações e responda utilizando um valor aproximado: Respostas pessoais. a) Quantas maçãs cabem nesta cesta? Em torno de 20.

b) Quantas páginas tem este livro?

Em torno de 400.

Atividade 28

Explique aos estudantes o que é estimar e como fazer uma boa estimativa. Esclareça também que a estimativa não é o 38 | MANUAL DO PROFESSOR

c) Quantas pessoas há na figura?

Compartilhe suas respostas com a turma. As respostas foram muito diferentes das suas? Coletivamente, conversem, expliquem as estratégias utilizadas e obtenham um valor aproximado comum para toda a turma. Resposta possível: em torno de 200 pessoas. d) Em uma reta numérica como esta, marque de forma aproximada os valores obtidos em cada item anterior. •

Resposta pessoal.

Atividades 26 e 27

Ao criar a charada, proponha que a escrevam em uma folha de papel para trocar com um colega. Verifique se houve dificuldade na resposta à charada. Caso o estudante não consiga responder à charada, peça ao colega que a escreva na lousa e peça auxílio dos outros colegas para resolver.

Nos itens b e c verifique se os alunos perceberam que as parcelas estão fora da ordem de leitura do número.

HOBBITART/SHUTTERSTOCK

Para explorar essas atividades com decomposições, pode-se fazer uso do ábaco e desenvolver o trabalho com as classes, por ser um material que permite ao estudante compreender de maneira concreta as classes de números. Enfatize que o trabalho com decomposições facilita o cálculo mental nas operações com números naturais. Apresente alguns exemplos de decomposição para que os estudantes representem em um ábaco.

24. Decomponha os números em suas ordens, utilizando adições e multiplicações:

SHUTTERSTOCK/ARTE M10

Atividades 24 e 25

ATIVIDADES

NEW AFRICA/SHUTTERSTOCK.

38 | TRAJETÓRIA 1

mesmo que um “chute”, que existe a necessidade de estimar baseado em uma referência, que não está ligado ao fator sorte. O importante é trabalhar com o estudante que um número estimado não é um número qualquer e sim um número que foi pensado para se aproximar o máximo possível do valor real. Estratégias possíveis são: comparar o tamanho da maçã com o da cesta; contar as primeiras folhas do livro e comparar com o volume total; dividir a figura com pessoas em seções e contar as pessoas em uma delas. Proponha atividades com

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

o uso de tampinhas em um pote transparente. Realize a estimativa e faça a contagem. Discuta os valores estimados que ficaram muito distantes do valor real e os valores que mais se aproximaram.

Contagens, estimativas e aproximações O professor compartilhou a opinião de duas amigas sobre quantas bolas havia na imagem que uma delas postou. O_Professor

Bruna @aluna_sexto_ano

PINKPUEBLO/ SHUTTERSTOCK

Acho que tem 40 bolas.

Ana @ ana_adora_# Não! Tem menos. Eu acho que tem 30 bolas. 30

Para saber quem melhor se aproximou da quantidade exata, o professor pediu para elas contarem as bolas uma a uma e elas descobriram que havia 36 bolas na imagem. • Qual das duas fez a melhor estimativa? Por quê? Compartilhe com os colegas a estratégia que você utilizou. A aluna que estimou 40 bolas, pois de 36 para 40 há uma diferença de 4 bolas, enquanto de 36 para 30 há uma diferença de 6 bolas. Em suas estimativas, cada aluna aproximou a quantidade de bolas para a dezena que considerava mais próxima da realidade. Ou seja, utilizaram números do tipo 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 ou 90 – dezenas exatas – para estimar. Veja como usar a reta numérica como estratégia de aproximação para localizar a dezena exata mais próxima: 30

6 unidades para chegar a 30

4 unidades para chegar a 40

LUPAS E LUNETAS E se o número tem o algarismo 5 na ordem das unidades (por exemplo, 5, 15, 25, 65...), qual seria a dezena exata mais próxima? Ou como arredondar? (Você sabe o que é arredondar? Converse com os colegas.) • Elabore um critério de aproximação e compartilhe com a turma. Resposta pessoal. Um possível critério é arredondar para a dezena exata maior porque teríamos, então, números com o algarismo das unidades sendo 0, 1, 2, 3 ou 4 arredondaATIVIDADES dos para a dezena exata menor ou igual a eles e números com o algarismo das unidades sendo 5, 6, 7, 8 ou 9 arredondados para a dezena exata maior que eles.

29. Arredonde os números para a dezena exata mais próxima: a) 8 10

c) 82 80

b) 46 50

d) 94 90

30. Considere as centenas exatas 100, 200, 300,

400, 500, 600, 700, 800 e 900. Arredonde cada número para a centena exata mais próxima: a) 97 100 c) 873 900 b) 162 200 d) 546 500

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LUPAS E LUNETAS Oriente os estudantes a respeito do termo coloquial “arredondar” (que tem relação com o formato do zero) com o sentido de aproximar um número à dezena (ou outra ordem qualquer) exata mais próxima. Em muitas situações, não há necessidade de obter um valor exato, bastando uma estimativa. Por exemplo, se desejássemos obter uma soma aproximada para 1 892 + 419, poderíamos considerar o seguinte arredondamento: 1 892 + 420.

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Caso desejássemos obter outras aproximações, poderíamos ainda fazer: 1 900 + 400. Note que quanto mais arredondadas as parcelas menos preciso é o cálculo, porém, obter a soma é mais rápido e prático. Converse sobre esse assunto com os estudantes. No caso específico do tema, converse sobre como obter estimativas para cálculos envolvendo números da ordem das dezenas. Um possível critério é arredondar para a dezena exata maior porque teríamos, então, números com o algarismo

Habilidades (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal. das unidades sendo 0, 1, 2, 3 ou 4 arredondados para a dezena exata menor ou igual a esses números, e números com o algarismo das unidades sendo 5, 6, 7, 8 ou 9 arredondados para a dezena exata maior que eles. Os critérios de arredondamento ocorrem com frequência entre os números decimais; caso considere adequado, apresente Lupas e lunetas alguns exemplos de arredondaOriente os alunos a respeito do mento de decimais para instigar termo coloquial "arrendondar" a curiosidade desse estudo na (que tem a ver com o formato Trajetória do zero) com4.o sentido de aproximar um número à dezena (ou outra ordem qualquer) exata mais Atividades 29 e 30 próxima.

Complemente com arredondamentos para a dezena mais próxima de números da ordem da centena ou milhar. Para a centena mais próxima, use milhar ou dezena de milhar.

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LEVO NA BAGAGEM Nesse momento do passeio, organize a leitura coletiva do texto para que, ao responder às questões propostas, os estudantes reflitam sobre seu aprendizado enquanto escutam ativamente as dificuldades encontradas pelos colegas. Com o preenchimento do quadro, classificarão seu desempenho em Matemática e/ou nas disciplinas presentes nas atividades interdisciplinares. Diante dessas informações, poderão conversar com professores, familiares ou amigos para compartilhar suas estratégias e repensar em novas atitudes que contribuam para minimizar as dificuldades.

LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais. Consulte em seu caderno os trabalhos que você desenvolveu, suas anotações de estudos e reflita sobre o que aprendeu até agora neste passeio. ▶ Matemática • Você sabe comparar, ordenar, ler e escrever números naturais? • Reconhece o Sistema de Numeração Decimal como o que prevaleceu no mundo ocidental? • Sabe identificar as principais características do sistema de numeração decimal, como valor posicional e função do zero? • Sabe compor e decompor números naturais? • Localiza números naturais na reta numérica? • Sabe fazer estimativas e arredondamentos de quantidades? ▶ Outras disciplinas Língua Portuguesa • Você respeita a vez da fala, na participação em conversações e em discussões na sala de aula, e formula perguntas coerentes e adequadas em momentos oportunos e em situações de troca de ideias nas aulas de Matemática? • Articula verbalmente a partir de esquemas e imagens diversas na construção de sentido em textos de divulgação científica? História • Reconhece os diferentes modos de contato, adaptação entre grupos sociais e culturais, em diferentes épocas e espaços, no Brasil e no mundo? Arte • Consegue analisar e valorizar o patrimônio cultural – material e imaterial – de culturas diversas, em especial a brasileira, incluindo suas matrizes indígenas, africanas e europeias, de diferentes épocas? Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Insuficiente

Parcialmente suficiente

Satisfatório

Plenamente satisfatório

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

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40 | MANUAL DO PROFESSOR

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BARCOS E PORTOS

Proponha aos estudantes que consultem o próprio material para preencher uma tabela como essa com os diversos sistemas de numeração. Peça que transcrevam o quadro para o caderno. Solicite que observem a imagem da seção Arredores: para identificar o que aprenderam, podem copiar o fluxograma e colorir o que assimilaram, deixando o que têm de dúvidas apenas contornado em vermelho.

▶ Organize Respostas pessoais. •

Copie este quadro e represente os números de acordo com os sistemas de numeração indicados.

INDO-ARÁBICO

INCA ROMANO CHINÊS EGÍPCIO •

O sistema indo-arábico é o que utilizamos atualmente. Explique algumas de suas características e quais são as suas vantagens em relação aos demais sistemas estudados. Em grupo, elabore um painel que sintetize sua resposta.

Proponha

Retome a questão inicial deste passeio: Como interpretamos o mundo à nossa volta e nos expressamos por meio dos números? Converse com a turma sobre os sistemas de numeração que estudaram e sobre como comunicar contagem ou ordenação por Libras. Organize os estudantes em grupos para pesquisar outros sistemas de numeração ainda não estudados e incentive-os a produzir um vídeo explicando como representar os números em Libras. Ajude-os com as informações sobre o site da escola e os caminhos possíveis, ou não, para a postagem.

▶ Elabore Neste passeio, você aprendeu sobre representações numéricas de diferentes tempos, grupos de pessoas e culturas. Em grupos, escolham uma dessas maneiras de representar os números e pesquisem sobre ela. Investiguem como representar números diferentes dos apresentados: o sistema de numeração conseguia representar números na forma decimal ou de frações? Mesmo sem ter um símbolo para o zero, como eles lidavam com a ideia de “vazio” ou de “nenhuma quantidade”? • Existem representações para outros conteúdos da Matemática, como operações, medidas, figuras geométricas etc.? • Elaborem um cartaz com as informações obtidas e compartilhem no mural da turma. Apresentem para os demais colegas as informações que vocês obtiveram. •

▶ Proponha A pergunta inicial deste passeio é: Como interpretamos o mundo à nossa volta e nos expressamos por meio dos números? Você estudou que é possível representar números em diferentes situações, contextos e significados utilizando Libras. Em grupos, pesquisem sobre como representar outros números além dos citados no passeio (pode utilizar aplicativos, sites e vídeos da internet ou consultar alguém que saiba se comunicar por Libras). • Com as informações coletadas em sua pesquisa, produza um ou mais vídeos explicando como representar números em Libras. • Consulte alguém responsável pela escola sobre a possibilidade de postar o vídeo no site ou nas redes sociais da escola. Veja também se é possível publicar o vídeo de outra maneira. •

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Habilidade

PASSEIO 2 – OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS

(EF06MA03) Resolver

DE QUE MODO USAMOS NÚMEROS PARA RESOLVER PROBLEMAS NO COTIDIANO? ALEXANDRE R./ M10

Quadrado mágico Lo Shu.

O Lo Shu é um antigo “quadrado mágico” conhecido dos chineses, conforme registros de aproximadamente 3 000 anos. Segundo a lenda, o Imperador Yu estava às margens do Rio Amarelo quando uma tartaruga divina apareceu com essas marcas decorando seu casco.

CHECK-IN Você sabe como funcionam os quadrados mágicos, como os apresentados na imagem? Vamos explorar um pouco mais: a) As inscrições feitas com pontos e traços no casco da tartaruga representam os

números. Investigue a relação entre esses desenhos e os algarismos indo-arábicos representados no quadrado.

As quantidades de pontinhos correspondem aos números do quadrado mágico.

b) Neste quadrado mágico, a soma dos números de qualquer coluna, de qualquer linha

e de ambas as diagonais é sempre igual. Calcule esse valor. 15

CHECK-IN Proponha a leitura coletiva do texto e observem as imagens da tartaruga e dos quadrados mágicos. Inicie a discussão indagando sobre quem conhece, ou não, os quadrados mágicos. Além dos quadrados mágicos, o Sudoku é resolvido com algarismos de 1 a 9 que não podem se repetir na mesma linha, coluna ou quadrado. Explore o uso dos quadrados mágicos na aula: entregue alguns como desafios para os estudantes preencherem corretamente no menor tempo possível. Existem aplicativos dos jogos Sudoku, quadrado ou triângulos mágicos disponíveis para jogar gratuitamente. 42 | MANUAL DO PROFESSOR

•

Existem outros padrões e regularidades no quadrado mágico. Em duplas ou trios, identifiquem algumas delas e compartilhem com os demais colegas. Respostas pessoais.

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ARREDORES Cálculo mental

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Calculadora Estratégias de cálculo Reta numérica

Capacidade Algoritmo

Operações inversas Associativa

Elemento neutro Adição e subtração

Comutativa

Distributiva Propriedades das operações

Multiplicação e divisão

OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Potenciação

EF06MA03, EF06MA24 EF67LP23, EF69LP33

BÚSSOLA Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: Identificar e aplicar diferentes estratégias de resolução de problemas. Resolver e elaborar problemas diversos utilizando as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. • Identificar e aplicar diferentes estratégias de cálculo nas operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. • Resolver e elaborar problemas que envolvam a capacidade em contextos diversos. • Compreender e aplicar a operação de potenciação com números naturais. • •

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(EF06MA03) Resolver

ATMOSFERA ATMOSFER A O cubo mágico Vamos ver algumas curiosidades sobre esse tipo de quebra-cabeça. Aqui no Brasil, conhecemos o brinquedo por esse nome, que foi o que ele ganhou ao ser criado pelo húngaro Erno Rubik, em 1974. Porém, em 1980, ele foi licenciado pela empresa Ideal Toy Company que o apelidou de “Rubik’s Cube”, ou “Cubo de Rubik”, que permanece como seu nome oficial até hoje. A ideia era que o “mágico” do nome original poderia remeter a algum tipo de feitiçaria e não era um bom nome. [...] Erno Rubik conta que levou mais de 1 mês para resolver o cubo quando o inventou, em 1974. Hoje em dia, ele precisa de cerca de 1 minuto para resolver o cubo – algo longe dos recordistas mundiais, que o fazem em menos de 10 segundos! [...] O cubo original, com 6 faces contendo 9 bloquinhos cada, pode gerar mais de 43 quintilhões de combinações diferente. Você tem noção do tamanho desse número? O número completinho é: 43 252 003 274 489 856 000 de possibilidades! [...]

Atualmente, o recorde de montagem mais rápida com as mãos pertence ao garoto Lucas Etter, que com apenas 14 anos, em 2015, resolveu o cubo em meros 4,9 segundos! Já Jakub Kipa foi capaz de realinhar as faces do brinquedo em 20,57 segundos, mas usando apenas os pés! Além deles, o garotinho Chan Hong Lik, de 7 anos, demorou 2 minutos e 21 segundos para decorar o cubo e depois resolvê-lo de olhos fechados. É mole?

ATIVIDADES

Você já resolveu um cubo mágico? Compartilhe com seus colegas. Respostas pessoais.

O texto apresenta números impressionantes sobre as combinações do cubo e o tempo em que algumas pessoas conseguem solucionar o quebra-cabeça. Retome essas informações no texto e converse com os colegas sobre isso. Existem muitos vídeos e tutoriais na internet que ensinam a solucionar esse quebra-cabeça. Pesquise alguns deles e compartilhe com seus colegas o que achou de mais interessante. A solução do cubo mágico utiliza um conjunto de ações e etapas que podem ser repetidas de maneira organizada até que o quebra-cabeça seja solucionado. Em outras palavras, existe um algoritmo para solucioná-lo. Acompanhe um dos vídeos ou tutoriais pesquisados e veja se conseguiria solucionar o cubo mágico a partir deles. Compartilhe o que descobriu com os colegas.

44 | TRAJETÓRIA 1

44 | MANUAL DO PROFESSOR

Cubo mágico.

Adaptado de: DENK, Diego. 9 curiosidades fascinantes sobre o cubo mágico. Megacurioso, 7 mar. 2017. Disponível em: www.megacurioso.com.br/brinquedos/102057-9-curiosidades-fascinantes-sobre-o-cubo-magico.htm. Acesso em: 25 jul. 2022.

Atividades 1 a 4

Organize uma roda de conversa, proponha a leitura coletiva do texto e instigue os estudantes a narrar as experiências que tiveram, ou não, com o cubo mágico. Sugira que se organizem em grupos para realizar as atividades. A pesquisa pode ser realizada em aula ou extraclasse, porém, retome a discussão coletiva para que compartilhem suas descobertas.

URBANBUZZ/SHUTTERSTOCK

Habilidade

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Habilidade

#Números e operações para resolver problemas

(EF06MA03) Resolver

As pessoas utilizam números e operações para resolver diversos problemas.

Com esta lata de tinta consigo pintar todas as paredes?

Temos mais duas notícias para vocês...

...mas só faltam 40 segundos de ﬁlmagem. ANIMASHKA/ SHUTTERSTOCK

Esta caixa deve pesar uns 20 kg!

Este café custou R$ 5,00. Restou dinheiro para o bolo?

Se ﬁzer mais 6 entregas, encerro por hoje!

Muitas vezes, resolvemos problemas do dia a dia sem nem perceber! Porém, quando os problemas ficam mais complexos, precisamos nos organizar e refletir mais para resolvê-los.

Algoritmo para resolução de problemas Faltam 6 páginas para Duda terminar de ler um livro. Ela decidiu ler somente uma página por dia, começando em uma quinta-feira. Em que dia da semana ela terminará a leitura?

SHUTTERSTOCK/ ARTE M10

GOODSTUDIO/SHUTTERSTOCK

Para resolver esse problema, primeiro, precisamos compreendê-lo. Em seguida, pensar em uma estratégia para resolvê-lo. Depois, colocamos esse plano em ação e, finalmente, verificamos se nossa solução estava mesmo correta!

Há muitas estratégias para o ensino e aprendizagem de resolução de problemas, dentre elas a investigativa. Essa abordagem (investigações matemáticas) do conhecimento matemático envolve três fases: • introdução da tarefa; • realização da investigação; • discussão dos resultados. Na introdução da tarefa, as dúvidas precisam ser esclarecidas quanto ao enunciado do problema e ao modo de trabalhar coletivamente; nas investigações, podem ser utilizados materiais manipuláveis ou qualquer estratégia pela qual o estudante consiga estabelecer uma conjectura para formular a resposta; e a discussão dos resultados é o momento em que usarão seus argumentos para convencer que suas justificativas são adequadas, podendo o grupo validar ou não as respostas. Essa abordagem coloca o estudante como protagonista no processo de ensino e aprendizagem. Sugestão de leitura

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Esse livro apresenta o resultado de pesquisas sobre as vantagens e dificuldades de trabalhar na perspectiva das “investigações matemáticas em sala de aula” realizadas em Portugal, analisando os papéis do professor e do estudante na resolução de problemas nas áreas de Geometria, Estatística e Aritmética. PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de aula. 3. ed. ampl. Belo Horizonte: Autêntica, 2003. 45 |

Habilidade (EF06MA03) Resolver

LUPAS E LUNETAS Em várias situações há mais de uma estratégia ou plano para resolver um mesmo problema. Elabore uma estratégia diferente para resolver o problema de Duda e compartilhe com os colegas. Resposta pessoal.

Neste passeio, você resolverá variados problemas envolvendo os números naturais e as operações. Procure utilizar aquelas etapas para ajudar na resolução dos problemas.

#Adição de números naturais A operação de adição está relacionada a diversas ações, por exemplo, juntar, acrescentar, adicionar ou totalizar. Veja a seguinte situação: Para um evento festivo, uma escola quer reunir os 94 alunos do 6º ano aos 63 alunos do 7º ano. Sabendo que 6 professores da escola também estarão presentes no evento, o total de pessoas nesse evento pode ser obtido realizando uma adição em duas etapas: • Calculando o total de alunos: 94 + 63 = 157 alunos do 6º ano

• E, em seguida, acrescentando os professores:

157

total de alunos

163

professores

total de pessoas

É possível também calcular utilizando o algoritmo da adição: CDU 94 1 63 157

LUPAS E LUNETAS Nesse momento, incentive os estudantes a criar novas estratégias de resolução de problemas. Algumas estratégias comuns são o uso do algoritmo e a elaboração de tabelas, quadros ou gráficos e esboços. A socialização poderá inspirar novas estratégias na resolução de problemas futuros.

alunos do 7º ano

parcela parcela soma ou total

U 7 6

A adição tem algumas propriedades que podem ser muito úteis ao realizar cálculos e resolver problemas.

Propriedades da adição Pela propriedade comutativa, é possível alterar a ordem das parcelas sem que isso altere o resultado: 94 + 63 = 157 e 63 + 94 = 157 O mesmo vale para o algoritmo da adição: 94 63 1 63 1 94 157 157 Segundo a propriedade associativa, em uma adição com três ou mais parcelas, é possível associar parcelas para decidir a ordem em que serão realizadas as adições. 46 | TRAJETÓRIA 1

46 | MANUAL DO PROFESSOR

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Habilidade

Por exemplo, é possível também resolver o problema anterior em uma única etapa: 6 !

professores

(EF06MA03) Resolver

+ ! 94 + ! 63 = 163 total de alunos do 6 o ano

pessoas

alunos do 7 o ano

Pela propriedade associativa, podemos escolher qual cálculo realizar primeiro. Utilizamos o símbolo de parênteses “( )” para indicar a associação das parcelas: (6 +### 63)$ = 163 !###+"94) ###$ + 63 = 163 ou 6 + (94 !###" 100 "######$ 157 !###### !######"###### $ 163

163

A existência do elemento neutro da adição é uma propriedade que diz que todo número adicionado a zero resulta nele mesmo. Por exemplo: 0+6=6

LUPAS E LUNETAS Conhecer as propriedades da adição pode facilitar a escolha de estratégias para realizar um cálculo mental. Reflita sobre o uso das propriedades da adição na resolução do problema proposto e identifique de que maneira isso ocorre. Resposta pessoal.

ATIVIDADES

5. Uma pessoa quer calcular a soma 7 468 + 1834 utili-

ARTE/ M10

zando a calculadora do celular. Ao começar a digitar, essa pessoa inseriu primeiro a parcela 1 834. Ela precisa apagar e recomeçar digitando a parcela 7 468? Justifique matematicamente sua resposta. Não, porque a adição é comutativa: 7 468 + 1834 tem o mesmo resultado que 1834 + 7 468.

6. Observe uma estratégia, compartilhada por um professor, que um aluno utilizou para calcular mentalmente 3 + 15 + 7 + 5: O_Professor

@matemúltiplo

Pela propriedade comutativa, sei que 3 + 15 + 7 + 5 = 3 + 7 + 15 + 5. Usando a propriedade associativa, posso fazer (3 + 7) + (15 + 5) = 10 + 20 = 30. 68

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Agora é sua vez! Calcule mentalmente as somas: a) 6 + 27 + 4 37 b) 700 + 61 + 5 + 200 + 4 970 c) 525 + 18 + 15 + 2 560 d) 109 + 47 + 11 + 13 180

7. Veja como esta operação de adição foi realizada:

583 + 359 = = 500 + 80 + 3 + 300 + 50 + 9 = = (500 + 300) + (80 + 50) + (3 + 9) = = 800 + 130 + 12 = = 800 + 100 + 30 + 10 + 2 = = (800 + 100) + (30 + 10) + 2 = = 900 + 40 + 2 =

LUPAS E LUNETAS Apresente alguns exemplos envolvendo as propriedades comutativa e associativa e deixe-os na lousa para que consultem, caso considerem necessário, enquanto respondem às próximas atividades. Atividades 5 a 7

Espera-se que os estudantes, ao realizar essas atividades, sobre propriedades da adição, consigam agrupar mentalmente múltiplos de 10, assim como verbalizar como aplicam as propriedades. Na resolução por cálculo mental, uma possibilidade é mostrar o cálculo em linha: 1

= 942 a) Identifique as propriedades da

adição que foram utilizadas. Compartilhe com os colegas. Associativa e comutativa. b) Utilize essa estratégia para calcular o resultado das adições: • 592 + 103 = ? 695 • 1731 + 3869 = ? 5 600 • 5938 + 13230 = ? 19 168 47 |

2835 + 1428 =

Iniciar pela unidade, para valores iguais ou maiores a 10, e registrar a unidade acima da próxima ordem. 1 1 2835 + 1428 = 4 2 6 3 Repetir esse processo. Atividade 7

b) Da mesma forma que no

exemplo, podemos utilizar as propriedades da adição para obter os resultados. Por exemplo, na primeira adição: 592 + 103 = = 500 + 90 + 2 + 100 + 3 = = (500 + 100) + 90 + (2 + 3) = = 600 + 90 + 5 = 695

47 |

Um professor apresentou o preço, por quilograma, das frutas em uma feira livre:

Depois da leitura coletiva, elabore perguntas para que percebam as diferenças entre os enunciados, tais como: • Em algum dos problemas o comprador estava com a sacola vazia? • Em qual situação-problema sua sacola tinha apenas 1 kg de frutas? • Nos outros problemas, a sacola estava com quantos quilogramas de frutas? O último problema usa a palavra acrescentar, mas pode ser entendido como juntar as quantidades que comprou por último. É importante que diferenciem a ideia de juntar quantidades e acrescentar uma quantidade a outra já existente.

Depois, considerando esses preços, ele compartilhou as situações-problema: O_Professor

O_Professor

@matemúltiplo

Em minha sacola, tenho 1 kg de manga e 1 kg de banana. Quanto pagarei ao todo pelas frutas?

Havia 1 kg de kiwi na minha sacola. Acrescentei 1 kg de manga. Quanto pagarei agora pelas frutas em minha sacola?

Já havia frutas em minha sacola, mas acrescentei 1 kg de kiwi e 1 kg de banana. Quanto pagarei a mais após acrescentar essas frutas à minha sacola?

VECTOR TRADITION/SHUTTERSTOCK

O_Professor

@matemúltiplo

Sugestão de leitura

Esse artigo apresenta vinte estratégias diferentes de resolução de problemas aditivos que são classificados em quatro tipos: transformação, comparação, igualação e combinação. O trabalho apresenta algumas propostas e problemas modelo com algumas representações figurativas das estratégias de resolução; conhecer essas variações dos problemas aditivos pode contribuir com o processo de ensino e aprendizagem. JUSTO, Jutta C. R. Resolução de problemas matemáticos aditivos: um ensaio teórico. EDUMATEC (UFP), v. 3, n. 2. Recife, jan./dez. 2012. Disponível em: https://periodicos.ufpe.br/ revistas/emteia/article/download/2161/1730. Acesso em: 27 jul. 2022.

48 | MANUAL DO PROFESSOR

48 | TRAJETÓRIA 1

Atividade 8

VECTOR TRADITION/SHUTTERSTOCK

Problemas envolvendo adição de números naturais

VECTOR TRADITION/SHUTTERSTOCK

(EF06MA03) Resolver

VECTOR TRADITION/SHUTTERSTOCK

Habilidade

2 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 9

Argumentar sobre quais estratégias consideSugestão de resolução dos problemas: ram mais adequada: dentre os raciocínios podem a) As duas embalagens têm 600 g e 375 g; juntas considerar uma estratégia mais fácil por ter um (600 g + 375 g), têm 975 g. registro menor ou realizar menos cálculos. Ao reali- b) Para calcular a idade após determinado tempo, zar os cálculos com as duas estratégias propostas precisamos acrescentar esse tempo. Assim, a decomposição e o algoritmo da adição –, podem idade inicial 13 anos acrescida de 25 anos resulta sugerir que pela decomposição conseguem utilizar em 38 anos de idade. o cálculo mental, uma estratégia que agiliza os c) Com a ideia de juntar a quantidade das duas cálculos, pois não requer os registros para obter pilhas de tijolos, podemos adicionar 351 e 632, a resposta. resultando em 983 tijolos.

Habilidade

Observe algumas estratégias de resolução desses problemas: • Estratégia 1: usando o cálculo mental R$ 7,00 + R$ 5,00 = R$ 2,00 + R$ 5,00 + R$ 5,00 = R$ 2,00 + R$ 10,00 = R$ 12,00

(EF06MA03) Resolver

R$ 9,00 + R$ 7,00 = R$ 9,00 + R$ 1,00 + R$ 6,00 = R$ 10,00 + R$ 6,00 = R$ 16,00 R$ 9,00 + R$ 5,00 = R$ 4,00 + R$ 5,00 + R$ 5,00 = R$ 4,00 + R$ 10,00 = R$ 14,00 • Estratégia 2: usando a reta numérica

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais.

• Em quais problemas junta-

a) Em pequenos grupos, reflitam sobre cada uma das três situações-problema. Quais são as semelhanças e diferenças entre elas? b) Agora, observem as duas estratégias apresentadas: usando o cálculo mental e a reta numérica. Expliquem, com suas palavras, o que vocês compreendem dessas estratégias de resolução.

ATIVIDADES

8. Um reservatório tem 5 251 litros de água. Ao longo de um dia, não houve perda de água e ele recebeu 1 662 litros. Observe duas estratégias para calcular com quantos litros de água esse reservatório ficou ao final desse dia: 662 !#########5251 "#########$ !##########1" ##########$ 5000 + 200 + 50 + 1 + 1000 + 600 + 60 + 2

6000 + 800 + 110 + 3 6000 + 800 + 100 + 10 + 3 6913

Explique, da sua maneira, cada uma das estratégias. Compartilhe com os colegas.

Resposta pessoal.

9. Resolva os problemas:

a) Certa embalagem tem 600 g de cereais. Outra tem 375 g de cereais. Quantos gramas de ce-

reais têm as embalagens juntas? 975 g.

b) Uma pessoa tem 13 anos hoje. Quantos ela terá daqui a 25 anos? 38 anos.

c) Em um canteiro de obras, há duas pilhas de tijolos. Uma tem 351 tijolos e a outra tem 632 ti-

jolos. Quantos tijolos há nas duas pilhas juntas? 983 tijolos.

d) Em certo dia do ano, houve um aumento de temperatura de 4 °C pela manhã. À tarde, a tem-

peratura aumentou outros 2 °C. De quanto foi o aumento de temperatura ao longo desse dia? 6 °C.

e) O preço de um eletrodoméstico em uma loja era R$ 799,00. O preço aumentou R$ 59,00 em

um mês. Qual é o preço do eletrodoméstico após o aumento? R$ 858,00.

f) Para uma receita culinária, foram acrescentados 250 mL de leite. Em seguida, foram adicio-

nados mais 120 mL de leite. Quantos mL de leite foram adicionados? 370 mL.

10. Os problemas da atividade anterior podem ser agrupados em três tipos de problemas de adição. a) Em duplas ou trios, analisem esses problemas e os agrupem de acordo com esses tipos. b) Elaborem um problema de cada tipo e compartilhem com os colegas da turma.

Respostas pessoais. 49 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

mos duas quantidades para encontrar uma quantidade final? A intenção com essa pergunta é que os estudantes identifiquem que os problemas dos itens a e c têm essa característica. • Em quais problemas temos uma quantidade inicial, acrescentamos algo a essa quantidade inicial e encontramos a quantidade final? Nesse caso, os problemas b e e apresentam essa característica. • Em quais problemas não se fala no que se tem antes nem no que se tem depois, mas sim no quanto mudou? Percebam que nos problemas dos itens d e f a pergunta do problema tem como característica comum perguntar o quanto aumentou. Não se tem a pretensão de que os estudantes utilizem as categorias do campo aditivo, mas sim que percebam que existem problemas de tipos diferentes. Caso ocorra entre os estudantes uma categorização diferente dessas apresentadas, considere as observações feitas e peça ao estudante que explique qual foi o critério usado.

d) Considerando que a temperatura inicial foi de Atividade 10 4 oC, o aumento de temperatura será acrescentado. Assim, 4 oC + 2 oC = 6 oC. e) O aumento de preço representa um acréscimo. Com isso, R$ 799,00 acrescidos de R$ 59,00 resulta em R$ 858,00 f) Na receita foram adicionadas duas quantidades de leite, 250 mL e 120 mL, o que totaliza 370 mL.

Nessa atividade oriente os estudantes a observar como resolveram os problemas. Reúna-os em grupos e permita que conversem sobre os problemas propostos. O importante é que percebam que os problemas apresentam tipos diferentes. Para essa proposta, não há necessidade de nomes ou categorias, apenas que notem que são tipos diferentes e consigam agrupá-los. Para ajudar os estudantes, proponha algumas perguntas, como: 49 |

Habilidade (EF06MA03) Resolver

#Subtração de números naturais A operação de subtração está associada às noções de tirar, subtrair, comparar, descontar, perder etc.

Atividade 11

1o mês de treino: 48 minutos. 2o mês de treino: reduziu o tempo em 9 minutos. Para encontrar em quantos minutos o atleta realizou o percurso ao final do 2º mês, fazemos: 48 – 9 = 39. Logo, o atleta realizou o percurso em 39 minutos. 50 | MANUAL DO PROFESSOR

revistas que tenho

Tenho 85 revistas em quadrinhos. Se eu doar 21 para a biblioteca do bairro, com quantas revistas ficarei?

revistas restantes

minuendo

85 – 2 1 64

subtraendo diferença ou resto

Outra maneira é calcular por decomposição e composição numérica: 85 – 21 =

BENCHART/SHUTTERSTOCK

revistas doadas

O_Professor

@matemúltiplo

= (80 + 5) – (20 + 1) = = 80 + 5

– – $1 !##20 #"###

subtrair 21 é o mesmo que "subtrair 20 e subtrair 1"

= 80 – 20 + 5 – 1 = = 60 + 4 = = 64 Ficará com 64 revistas.

LUPAS E LUNETAS Essa estratégia também pode auxiliar no cálculo mental. Em duplas, calculem mentalmente as diferenças e expliquem para outras duplas as estratégias utilizadas: a) 120 – 80 40 b) 75 – 35 40 c) 348 – 124 224

ATIVIDADES

11. Um atleta está treinando para reduzir o tempo que leva para percorrer determinado percurso. No 1º mês de treino, o seu tempo foi de 48 minutos. Ao final do 2º mês, ele reduziu 9 minutos

Atividades 11 a 13

Organize-os em duplas ou trios para conversarem sobre os problemas. Retome com eles as etapas de resolução de problemas: compreensão do enunciado, elaboração das estratégias, execução das estratégias e verificação do resultado. Aponte que esboços e organização de listas são algumas das estratégias de resolução. A socialização das estratégias será inspiração para novas resoluções de problemas.

85 – ! 21 ! !

Veja um exemplo:

LUPAS E LUNETAS Proponha que conversem sobre o cálculo mental da atividade. Algumas possibilidades de cálculo mental são: 120 – 80 = 140 – 100 = 40 75 – 35 = 80 – 40 = 40 Observe que foi acrescentado o mesmo valor no minuendo e no subtraendo. Outra estratégia para o cálculo mental é a decomposição: 348 – 124 = (300 + 48) – (100 + 24) = (300 – 100) + (48 – 24) = 200 + 24 = 224 Caso os estudantes apresentem outras estratégias de cálculo, peça que verbalizem como efetuaram os cálculos para validar esses modos.

Uma maneira de registrar a resolução desse problema é:

do tempo para concluir o percurso. Em quantos minutos esse atleta realizou o percurso ao final do 2º mês? 39 minutos.

12. Um elevador está no 17º andar de um prédio. Após descer 5 andares, em que andar o elevador parou? 12º andar.

13. Foram registrados 216 casos de uma doença em certa cidade. Após uma campanha de vacinação, foram registrados menos 192 casos. Quantos casos foram registrados? 24 casos.

50 | TRAJETÓRIA 1

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 12

Sugestão de atividade

Para encontrar o andar em que o elevador parou após sair do 17o andar e descer 5 andares, fazemos: 17 – 5 = 12. Logo, o elevador parou no 12o andar.

Caso considere adequado, explore outras estratégias de cálculo mental e apresente exercícios complementares. Veja alguns exemplos: a) 432 – 145 = 432 – 100 = 332 332 – 40 = 292 292 – 5 = 287 b) 432 – 99 = 432 – 100 + 1 = 332 + 1 = 333

Atividade 13

Dos 216 casos de uma doença registrados em uma cidade, houve 192 casos a menos após uma campanha de vacinação. Para encontrar quantos casos foram registrados, fazemos: 216 – 192 = 24. Assim, foram registrados apenas 24 casos da doença após a vacinação.

Habilidade

Mais subtrações Um agricultor colheu 120 maçãs em seu pomar. Após vender algumas, ele ficou com 85 maçãs. Quantas maçãs ele vendeu? Escrevendo matematicamente a situação-problema: tinha no início

vendeu

ficou

final ! algumas ! no! 120 – ? = 85

Ou representando na reta numérica:

Para resolver o problema, podemos calcular “quanto falta” para 85 chegar a 120. Ou seja:

(EF06MA03) Resolver

250 – 94 = 156, ou seja, a quantia gasta foi de R$ 156,00.

120 – 85 = 35 O agricultor vendeu 35 maçãs.

Atividade 15

ATIVIDADES

14. Uma pessoa tinha R$ 250,00. Após gastar certa quantia, ela ficou com R$ 94,00. Quantos reais ela gastou? R$ 156,00.

15. Em um evento cultural, estavam presentes 1 360 pessoas. Após a saída de algumas delas, restaram 831 pessoas. Quantas pessoas saíram? 529 pessoas.

16. Luca tem 42 anos. Andrea tem 23 anos. Quantos anos Andrea tem a menos? 19 anos. 17. Um saco de farinha tinha 900 g. Após ser utilizada certa quantidade em uma receita, o saco ficou com 180 g. Quantos gramas de farinha foram utilizados? 720 g.

18. Forme dupla com um colega. Elabore um problema semelhante aos anteriores e proponha que sua dupla resolva. Ao finalizar, conversem sobre a estratégia utilizada. Resposta pessoal.

Sabemos que 1 360 pessoas participavam de um evento e que, após saírem algumas, restaram 831 pessoas. Para saber quantas pessoas saíram, fazemos: 1 360 – 831 = 529. Logo, 529 pessoas saíram do evento. Atividade 16

Para encontrar a diferença entre as idades de Luca e Andrea, fazemos 42 – 23 = 19 e encontramos que Andrea tem 19 anos a menos que Luca. Atividade 17

Leia o seguinte problema: Em um torneio entre escolas, a Escola Guaraci ganhou 8 medalhas e a Escola Anhangá ganhou 15 medalhas. Quantas medalhas a mais ganhou a Escola Anhangá? Observe como um aluno resolveu o problema:

Inicialmente, o saco de farinha estava com 900 g e, ao final, ficou com 180 g. Para saber que foram gastos 720 g, fazemos: 900 – 180 = 720.

ARTE/ M10

#Adição e subtração: operações inversas

51 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

c) 432 – 5 =

432 – (2 + 3) 432 – 2 = 430 430 – 3 = 427

Atividades 14 a 18

problemas seja realizado usando a reta numérica. A socialização auxiliará os estudantes a compreender que há muitos modos de resolver um mesmo problema. As atividades de 14 a 18 complementam as situações aditivas, apresentando os problemas de combinação, transformação e comparação.

Apresente a resolução dos problemas usando como estratégia a reta numérica. Organize-os em Atividade 14 Incialmente, uma pessoa possuía R$ 250,00 duplas ou trios para conversarem sobre os problemas e compreender o enunciado. Caso conside- e, após gastar certa quantia, ficou com R$ 94,00. re adequado, proponha que pelo menos um dos Para encontrar o gasto dessa pessoa, fazemos: 51 |

Habilidade (EF06MA03) Resolver

Outra aluna resolveu o problema utilizando a reta numérica:

LUPAS E LUNETAS Analise as duas estratégias. O que elas têm em comum? Compartilhe com os colegas. Respostas pessoais.

Escrevendo com expressões matemáticas, percebemos que: medalhas da Escola Anhangá

LUPAS E LUNETAS Com a apresentação das duas estratégias de resolução, espera-se que os estudantes usem técnicas variadas de resolução de problemas. Atividades 19 a 22

Apresente a adição e a subtração como operações inversas; deixe alguns exemplos na lousa para consultarem, se for necessário. Espera-se que os estudantes resolvam esses problemas e exercícios com autonomia. Organize a socialização das respostas para que percebam as diferentes maneiras de registrar os cálculos e as estratégias de resolução de problemas. As atividades 19 a 22 complementam as situações aditivas, apresentando os problemas de combinação, transformação e comparação. Atividade 19

a) J o y c e t e m 3 4 a n o s , e

Pamela, 23. A diferença entre as idades é de 34 – 23 = 11. Portanto, Joyce tem 11 anos a mais que Pamela. b) Inicialmente, Duda tinha guardado R$ 385,00, mas, ao ganhar certa quantia, ficou com R$ 476,00. Para encontrar a quantia que Duda ganhou, fazemos: 476 – 385 = 91. Note que, apesar de usarmos a palavra “ganhou”, a operação realizada é a da subtração. Duda ganhou R$ 91,00. c) Sabemos que 16 pessoas desembarcaram de um ônibus que ficou com 23 pessoas. Se adicionarmos as 52 | MANUAL DO PROFESSOR

! 15

–

medalhas da Escola Guaraci

! 8

medalhas a mais

! 7

e que: medalhas da Escola Anhangá

! 15

–

medalhas a mais

! 7

medalhas da Escola Guaraci

! 8

ou que: medalhas da Escola Guaraci

! 8

medalhas a mais

! 7

medalhas da Escola Anhangá

! 15

Assim, dependendo da situação-problema, podemos utilizar tanto a adição quanto a subtração. Essas relações acontecem porque: A adição e a subtração são operações inversas. ATIVIDADES

19. Resolva os problemas:

11 anos.

a) Joyce tem 34 anos e Pamela tem 23 anos. Quantos anos Joyce tem a mais que Pamela?

b) Duda tinha guardado R$ 385,00. Ganhou certa quantia e ficou com R$ 476,00. Quanto reais

ela ganhou? 91 reais.

c) Sabe-se que 16 pessoas desembarcaram em um ponto de ônibus escolar, restando 23 pes-

soas no ônibus. Quantas pessoas havia antes no ônibus? 39 pessoas.

d) Após utilizar 230 L de uma caixa-d’água, restaram 135 L em seu interior. Quantos litros de água

havia na caixa-d’água anteriormente? 365 L.

20. Elabore um problema similar aos da atividade anterior. Compartilhe com seus colegas.

Resposta pessoal.

21. Responda utilizando o cálculo mental:

a) Sabendo que 35 + 15 = 50, quanto é 50 – 15? 35

b) Sabendo que 35 + 15 = 50, quanto é 50 – 35? 15

c) Sabendo que 73 – 35 = 38, quanto é 35 + 38? 73

d) Sabendo que 4653 – 3328 = 1325, quanto é 3328 + 1325? 4 653

22. Elabore uma questão similar às anteriores. Compartilhe com seus colegas. Resposta pessoal. 52 | TRAJETÓRIA 1

pessoas que desembarcaram às pessoas que ficaram dentro do ônibus, temos a quantidade de pessoas no ônibus antes do desembarque: 16 + 23 = 39, ou seja, 39 pessoas. d) Foram utilizados 230 litros de uma caixa-d’água e ainda restaram 135 litros. Adicionando a quantidade gasta com a quantidade que restou, temos 230 + 135 = 365 , que é a quantidade de litros que a caixa-d’água tinha inicialmente.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 21

Diferentes estratégias poderão ser mobilizadas pelos estudantes para realizar essa atividade utilizando o cálculo mental, como a noção de que adição e subtração são operações inversas. Resolva-a oralmente. Em seguida, proponha que alguns estudantes expliquem na lousa, utilizando o cálculo escrito, como responderam à atividade.

Habilidade

#Multiplicação de números naturais

(EF06MA03) Resolver

A multiplicação tem variados significados. Veja algumas situações relacionadas à multiplicação.

SENSVECTOR/SHUTTERSTOCK

Um artesão produz peças de cerâmica para vender.

Situação 1 Ele vendeu 6 vasos pelo preço de R$ 40,00 cada e registrou a quantia que recebeu por essa venda desta forma: R$ 40,00 + R$ 40,00 + R$ 40,00 " + ################################## R$ 40,00 + R$ 40,00 + R$ 40,00$ = R$ 240,00 !################################## 6 vasos de R$ 40,00 cada

Por se tratar de uma adição de parcelas iguais, essa expressão matemática poderia ser

As principais ideias associadas à multiplicação são: adição de parcelas iguais, disposição retangular, contar possibilidades e proporcionalidade. No estudo da multiplicação como adição de parcelas iguais, comente sobre a ordem dos fatores: a multiplicação 3 ⋅ 12 = 12 + 12 + 12 corresponde a uma adição de 3 parcelas iguais a 12, enquanto a multiplicação 1212⋅ 3⋅ 3 == 33 ++ 33 ++ 33 ++ 33 ++ 33 ++ 33 ++ ++ 33 ++ 33 ++ 33 ++ 33 ++ 33 ++ 33 corresponde a uma adição de 12 parcelas iguais a 3, pois na resolução de problemas pode ser explorado como representar uma situação de adição de parcelas iguais pela multiplicação.

escrita como uma multiplicação: 6 ! R$ 40,00 = R$ 240,00 ou C

6 2

Utilizamos os símbolos × ou • para representar a operação de multiplicação. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

53 |

e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. Encontro com outras disciplinas (EF69LP33) Articular o verbal com os esquemas, infográficos, imagens variadas etc. na (re)construção dos sentidos dos textos de divulgação científica e retextualizar do discursivo para o esquemático – infográfico, esquema, tabela, gráfico, ilustração etc. – e, ao contrário, transformar o conteúdo das tabelas, esquemas, infográficos, ilustrações etc. em texto discursivo, como forma de ampliar as possibilidades de compreensão desses textos e analisar as características das multissemioses e dos gêneros em questão. LUPAS E LUNETAS Faça a leitura coletiva dos problemas da seção anterior e verifique se os estudantes compreenderam os enunciados. A discussão aponta muitos modos de utilizar a multiplicação; para que o estudante compreenda a multiplicação, precisa conhecer outras representações, não apenas como adição de parcelas iguais. Espera-se que os estudantes considerem que a situação 2 possa ser representada por 5 + 5 + 5; na situação 3, como cada vaso utiliza 2 kg de argila, poderíamos representar por uma adição: 2+2+2+2+2+2+2+2+ + 2 + 2 = 10 ⋅ 2 kg; p o ré m , n a 54 | MANUAL DO PROFESSOR

Situação 2 O artesão embalou algumas de suas peças em caixas idênticas e as dispôs em 3 linhas e 5 colunas, em uma organização retangular: ALEXANDRE R./ M10

(EF06MA03) Resolver

Cada uma das 3 linhas tem 5 caixas. Assim, o total de caixas é 3 ! 5 = 15 Situação 3 Sabe-se que para produzir uma unidade de certo modelo de vaso esse artesão utiliza 2 kg de argila. Então, para produzir 10 unidades, ele fez um raciocínio proporcional e vai utilizar: 2 ⋅ 10 kg = 20 kg Situação 4 O artesão produz também kits de presente com: uma xícara na cor azul ou preta; um pires na cor azul, preta ou rosa; e uma tigela na cor rosa. Veja os diferentes kits que podem ser formados pelas combinações, utilizando um item de cada: ARTE/ M10

Habilidade

O número total de possibilidades de diferentes kits pode ser calculado por: !1

uma cor de tigela

3 !

!s cores tre de pires

2 !

duas cores de xícaras

LUPAS E LUNETAS Em duplas ou trios, verifiquem se as situações 2, 3 e 4 podem ser explicadas ou justificadas pelo significado da multiplicação apresentado na situação 1. Compartilhem com os demais colegas. Resposta pessoal. 54 | TRAJETÓRIA 1

situação 4, a multiplicação representa as combinações de objetos: há itens combinados de 6 modos diferentes. A adição não representa adequadamente essa situação, porém, por se tratar de um estudo exploratório, alguns estudantes poderão – observando o diagrama de árvore – propor a adição 1 + 3 + 2, que, embora apresente o mesmo resultado, não corresponde à resolução correta. Proponha outros exemplos para investigar isso.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 23

Na representação da contagem dos pontos, pergunte: • Qual estratégia consideram mais eficaz: a adição de parcelas iguais ou a multiplicação? • E se o resultado da pontuação fosse 1 000, qual estratégia seria melhor? Incentive-os a resolver os problemas usando o algoritmo da multiplicação.

ATIVIDADES

23. Uma pessoa representou algumas quantidades utilizando registros pessoais diferentes.

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 30; 10 + 10 + 10 = 30.

a) Represente cada quantidade registrada como uma adição de parcelas iguais.

b) Represente cada quantidade registrada como uma multiplicação. 6 × 5 = 30; 3 × 10 = 30.

24. Para entrar na casa de Alice, todos os convidados deixaram seus calçados à porta, sobre dois VOINAU PAVEL/SHUTTERSTOCK / ARTE/ M10

tapetes diferentes.

Utilize uma multiplicação para representar a quantidade de pares de calçados na imagem. 2 × 5 = 10 ou 5 × 2 = 10 pares.

25. Adilson bebe cerca de 2 L de água por dia. Copie e complete a tabela com a quantidade total de litros de água que ele bebe de acordo com o número de dias:

Quanto de água? Número de dias

Litros de água

4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20 6

Atividade 26

Em uma semana, ele terá bebido 14 L de água.

26. Uma sorveteria permite que seus clientes escolham entre duas opções de casquinha, cinco

VOLHA SHAUKAVETS/ SHUTTERSTOCK.

sabores de sorvete e três complementos.

Usando apenas um tipo de casquinha, um sabor e um complemento, quantos sorvetes diferentes podem ser feitos? Justifique sua resposta utilizando uma multiplicação. 2 × 5 × 3 = 30. Podem ser feitos 30 sorvetes diferentes.

27. Elabore um problema sobre cada um dos significados para a multiplicação que você estudou. Em pelo menos um problema, crie uma situação envolvendo capacidade em litros. Compartilhe com os colegas. Resposta pessoal.

55 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidades (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. (EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.

Atividade 24

Atividade 25

O modo como os calçados estão organizados remete à ideia de disposição retangular: são duas linhas por cinco colunas. A multiplicação 2 ⋅ 5 fornece a solução da situação problema. Outra situação que pode ser comentada para exemplificar é a contagem dos assentos de um cinema usando a quantidade de cadeiras por fileira multiplicada pela quantidade de fileiras.

A proporcionalidade pode ser explorada usando a tabela preenchida. Como há a ingestão de 2 L de água diariamente e no dia 1 foram ingeridos 2 L de água, pergunte: • Qual será a quantidade de água ingerida se triplicarmos a quantidade de dias observados? Com isso, espera-se que os estudantes percebam que os valores correspondentes são triplicados.

Complemente a ideia de combinar os elementos para compor o sorvete com casquinha, massa e complemento usando o diagrama de árvore, pois uma quantidade maior do que dois elementos combinados não poderá ser facilmente representada por uma tabela. Atividade 27

Converse com os estudantes sobre os diferentes significados e aplicações da multiplicação: • adição de parcelas iguais; • representação geométrica ou disposição retangular; • princípio de contagem; • proporcionalidade Utilizando os problemas resolvidos e suas diferentes estratégias de resolução, sugira que os problemas elaborados sejam apresentados em uma folha de papel para facilitar a troca com os colegas. O compartilhamento das resoluções e conclusões auxilia o estudante a usar outras estratégias futuramente.

55 |

Habilidade (EF06MA03) Resolver

Multiplicação: propriedades e estratégias de cálculo A multiplicação tem algumas propriedades que podem ser importantes para realizar operações e resolver problemas. Pela propriedade comutativa, a ordem dos fatores não altera o produto da multiplicação: 25 · 7 = 175 3

25 7 175

7 · 25 = 175 7

3 25

35 1140 175

fator fator

produto

A propriedade associativa possibilita associar os fatores de uma multiplicação para realizar os cálculos em uma ordem que possa ser conveniente para cada um: Há vários modos de representar uma mesma multiplica3 ⋅ 12 ⋅ 5 = (3 ⋅ ## 12) !###" #$ ⋅ 5 = 180 ção; o que determina a escolha 36 de qual utilizar é a situação3 ⋅ 12 ⋅ 5 = 3 ⋅ (12 !###"⋅##5) #$ = 180 -problema envolvida. Se em 60 um grupo de 6 pessoas, cada Utilizando as propriedades comutativa e associativa juntas, podemos ainda escrever: uma precisa montar 5 pacotes de balas, a ideia utilizada pode 3 ! 12 ! 5 = (3 ! ## 5)$ ! 12 = 180 !##" ser a aditiva; se o problema for a 15 área da superfície de um retânA propriedade do elemento neutro nos informa que o produto da multiplicação de um gulo de 6 cm × 5 cm, poderão número natural por um 1 é sempre ele mesmo. Por exemplo: usar a disposição retangular. O importante é que os estudantes 16 ⋅ 1 = 16 consigam selecionar um modo A propriedade distributiva permite relacionar a operação de multiplicação com as operade compreender a multiplicações de adição e de subtração. Por exemplo: ção que seja significativo para eles. Outro ponto é conhecer 3 ⋅ (2 + 5) = 3 ⋅ 2 + 3 ⋅ 5 = 6 + 15 = 21 as propriedades da multiplicação; explore os conhecimentos prévios dos estudantes sobre a propriedade distributiva e façam a representação de uma multiplicação usando a distributiva com o material dourado. P o r e x e m p l o , 3 ⋅ 12 = (3 ⋅ 10) + (3 ⋅ 2): 3 ⋅ 12 = (3 ⋅ 10) + (3 ⋅ 2):

Essa propriedade é bastante interessante quando utilizada em diversas estratégias de cálculo. Por exemplo, para calcular mentalmente 5 ⋅ 18. Primeiro, podemos decompor 18 em 10 + 8. Assim: 5 ⋅ 18 = 5 ⋅ (10 + 8) = 5 ⋅ 10 + 5 ⋅ 8 = 50 + 40 = 90

que, com a distributiva, pode ser representado por:

56 | MANUAL DO PROFESSOR

56 | TRAJETÓRIA 1

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LUPAS E LUNETAS

Atividades 28 a 31

Nessa discussão, incentive os estudantes a verbalizar suas estratégias de cálculo mental e faça o registro na lousa para que os colegas possam refletir sobre esses cálculos. Apresente outros exemplos de cálculo mental com múltiplos de 10 ou antecessores (9, 99, 999 ...), como: • 20 ⋅ 30 ⋅ 6 = 2 ⋅ 3 ⋅ 6 ⋅ 100 = 3 600 • 15 ⋅ 20 ⋅ 2 000 = 15 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 10 000 = 600 000 • 12 ⋅ 9 = 12 ⋅ (10 – 1) = 120 – 12 = 108 • 20 ⋅ 99 = 20 ⋅ (100 – 1) = 2 000 – 20 = 1 980

Proponha que realizem as atividades em duplas ou trios e socializem suas estratégias de resolução. A discussão realizada anteriormente complementa essas atividades. Atividade 28

a) (7 ⋅ 8) ⋅ 10 = 56 ⋅ 10 = 560 b) (7 ⋅ 8) ⋅ 10 ⋅ 2 = (56 ⋅ 10) ⋅ 2 = 560 ⋅ 2 = 1 120 c) (2 ⋅ 7) ⋅ (2 ⋅ 8) = (7 ⋅ 8) ⋅ (2 ⋅ 2) = 56 ⋅ 4 = 224 d) (7 ⋅ 8) ⋅ 4 = 56 ⋅ 4 = 224

A propriedade distributiva ajuda também a compreender o algoritmo da multiplicação. Por exemplo, vamos calcular o produto de 25 ! 12: 25 3 12 50 1 250 300

25 · 12 = 25 · (2 + 10) = 50 + 250 = 300

A propriedade distributiva também é válida em relação à subtração. Veja um post de um professor comentando sobre uma estratégia de cálculo: O_Professor

@matemúltiplo

Então, 5 ⋅ 49 = 5 ⋅ (50 – 1) = 250 – 5 = 245.

LUPAS E LUNETAS a) O que você achou dessa estratégia? Resposta pessoal.

Porque multiplicar por dezenas exatas e b) Por que escrever 49 = 50 – 1 ajuda a realizar os cálculos?por 1 é mais simples. c) Na estratégia, o produto 5 ⋅ 50 = 250 foi feito diretamente. Como você poderia utilizar uma propriedade da multiplicação para facilitar esse cálculo também? Decompondo 50 como 5 ⋅ 10 e associando os dois primeiros fatores: (5 ⋅ 5) ⋅ 10. ATIVIDADES

calcule mentalmente os produtos: a) 7 ⋅ 10 ⋅ 8 560 b) 80 ⋅ 2 ⋅ 7 1 120 c) 14 ⋅ 16 224 d) 7 ! 4 ! 2 ! 4 224 e) 2 ! 4 ! 20 ! 7 1 120

29. Calcule mentalmente:

Uma possível resposta é: 6 ⋅ (10 + 2) = 6 ⋅ 10 + 6 ⋅ 2 = = 60 + 12 = 72. Como o problema trata da ideia de configuração retangular, os estudantes devem perceber que, nessa multiplicação, é preciso contar quantidades de elementos dispostos de modo organizado (em fileiras) em retângulos grandes, cuja contagem um a um é inviável. Daí a estratégia de organização em retângulos menores e o uso da propriedade distributiva.

28. Utilize a informação de que 7 ⋅ 8 = 56 e

(EF06MA03) Resolver

Atividade 31

Para calcular mentalmente 5 ⋅ 49, primeiro considerei que 49 = 50 – 1. 47

Habilidade

30. Que número deve substituir cada ■ para tornar as expressões numéricas verdadeiras? · (10 + 2) = 24 2 a) · (8 – 5) = 36 12 b) · (2 + 6) = 60 + 180 30 c)

31. Calcule mentalmente a quantidade de quadradinhos. 6 3 10 + 6 3 2 = 60 + 12 = 72

a) 6 ⋅ 42 252

b) 50 ⋅ 35 1 750 c) 7 ⋅ 99 693 d) 19 ⋅ 8 152

e) 8 ⋅ 49 392

f) 9 ⋅ 40 360

g) 36 ⋅ 25 900

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

e) (8 ⋅ 7) ⋅ 20 = 56 ⋅ 20 = 1 120 Atividade 29

57 |

f) 9 ⋅ 40 = 9 ⋅ 4 ⋅ 10 = 36 ⋅ 10 = 360 g) 36 ⋅ 25 = (6 ⋅ 6) ⋅ (5 ⋅ 5) = (6 ⋅ 5) ⋅ (6 ⋅ 5) =

= 30 ⋅ 30 = 900 Diferentes estratégias podem ser usadas no Atividade 30 cálculo mental. Apresentamos uma sugestão. (6 ⋅ 40) + (6 ⋅ 2) = 240 + 12 = 252 É possível resolver a atividade usando o cálculo a) mental ou o cálculo escrito usando a operação b) (50 ⋅ 30) + (50 ⋅ 5) = 1 500 + 250 = 1 750 inversa. c) (7 ⋅ 100) – (7 ⋅ 1) = 700 – 7 = 693 a) 24 ÷ 12 = 2, logo 2 ⋅ (10 + 2) = 24. d) (20 ⋅ 8) – (8 ⋅ 1) = 160 – 8 = 152 b) 36 ÷ 3 = 12, logo 12 ⋅ (8 – 5) = 36. e) 8 ⋅ 49 = 8 ⋅ 50 – 8 = 400 – 8 = 392 c) 240 ÷ 8 = 30, logo 30 ⋅ (2 + 6) = 240. 57 |

(EF06MA03) Resolver

#Divisão de números naturais A divisão geralmente está relacionada a ideias como repartir, agrupar, separar, partilhar, medir etc. Vamos ver como alguns desses significados surgem em uma situação-problema. Duas irmãs estão reformando a casa em que moram. Antes de iniciar as obras, elas fizeram uma lista de 12 tarefas que precisam cumprir. SENSVECTOR/SHUTTERSTOCK.

Habilidade

LUPAS E LUNETAS As ideias relacionadas à divisão abordada são duas: • repartir em partes iguais; e • quantas vezes uma quantidade cabe em outra. Nessa proposta será abordada a divisão em partes iguais. Em algumas situações, na divisão de alguns objetos em partes iguais o resto deve ser zero. Contextualize indagando como fariam a divisão de 15 camisetas entre duas pessoas: É possível dividir o total em partes iguais? E se fossem 16 camisetas? Porém, a divisão de 15 biscoitos entre duas pessoas pode ser realizada oferecendo 7 biscoitos a cada uma e repartindo um biscoito ao meio, totalizando 7 biscoitos e meio para cada pessoa. Ainda explorando a divisão, verifique como fazem a divisão de um círculo em 3 partes iguais, pois, para que as áreas das partes sejam iguais, a divisão precisa partir do ponto central, como indica a figura:

Para que nenhuma irmã ficasse sobrecarregada, elas separaram igualmente entre si essas tarefas: 12 !

2 !

número de ~ irmas

6 !

número de tarefas ~ de cada irma

Assim, cada irmã ficou responsável por 6 tarefas. Elas também decidiram repartir igualmente os custos da obra. Como a obra custará R$ 3.250,00 ao todo, cada uma gastará R$ 1.625,00: UM C D U

3 250 2 −2 1 625 UM C D U 1 2 −1 2 05 − 4 1 0 −1 0 0

LUPAS E LUNETAS Em cada uma dessas situações houve um todo ("tarefas" em uma, "custos" na outra) que foi dividido em partes iguais. Elabore um problema em que a divisão tenha esse tipo de significado. Compartilhe com os colegas. Resposta pessoal. 58 | TRAJETÓRIA 1

58 | MANUAL DO PROFESSOR

número de tarefas

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Uma das etapas da obra é instalar um piso novo em um quarto cujo comprimento é de 2 m (lembrando que, se 1 metro equivale a 100 centímetros, então 2 m = 200 cm). Elas têm as seguintes opções de piso para instalar:

Para saber quantas unidades de cada piso são necessárias para completar o comprimento do quarto, cada irmã seguiu uma estratégia: Estratégia 1

Habilidade (EF06MA03) Resolver

LUPAS E LUNETAS Uma das ideias da divisão é quantas vezes uma quantidade cabe em outra, como nas situações: • Com 40 balas, quantos pacotes contendo 5 balas podemos organizar? • Quantas duplas podem ser formadas em um grupo de 10 pessoas? Com esses exemplos, proponha que verbalizem outras situações que indicam a ideia de quantas vezes uma quantidade cabe em outra.

Estratégia 2 –

200 100 200 2 0 2 unidades

–

200 50 200 4 0 4 unidades

–

200 25 200 8 0 8 unidades

Podemos registrar a resolução pela estratégia 1 com multiplicações: 2 ⋅ 100 = 200 4 ⋅ 50 = 200 8 ⋅ 25 = 200 Concluímos que:

• Se 2 ⋅ 100 = 200, então 200 ÷ 100 = 2 ou 200 ÷ 2 = 100, e vice-versa. • Se 4 ⋅ 50 = 200, então 200 ÷ 50 = 4 ou 200 ÷ 4 = 50, e vice-versa. • Se 8 ⋅ 25 = 200, então 200 ÷ 25 = 8 ou 200 ÷ 8 = 25, e vice-versa.

Isso ocorre porque:

A multiplicação e a divisão são operações inversas.

LUPAS E LUNETAS Nessa situação, utilizaram-se as partes (comprimento dos diferentes pisos) para completar o todo (comprimento do quarto). Elabore um problema em que a divisão tenha esse tipo de significado. Compartilhe com os colegas. Resposta pessoal. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

59 |

(EF06MA03) Resolver

LUPAS E LUNETAS Converse sobre as divisões não exatas. Veja outro problema possível de abordar: • Tenho 13 carrinhos para dividir entre 4 crianças. Quantos carrinhos cada uma receberá? Quantos irão sobrar? Proponha que organizem a lista com os múltiplos naturais de 4: 0, 4, 8, 12, 16... O valor que mais se aproxima de 13 é o 12, por ser resultado de 4 ⋅ 3; nesse caso, o quociente é 3 e o resto é 1. O número natural múltiplo de 3 que mais se aproxima de 25 pode ser determinado observando-se os múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27... Como 24 é o mais próximo e resulta de 3 ⋅ 8, o quociente é 8 e o resto 1.

Refletindo sobre a divisão inteira Divisões exatas Como vimos, as operações de multiplicação e divisão são inversas. Assim, a pergunta qual é o resultado da divisão 63 ÷ 7? pode ser respondida questionando: que número natural multiplicado por 7 resulta em 63? Nesse caso, a resposta é 9, pois como 9 ⋅ 7 = 63, então 63 ÷ 7 = 9. Divisões não exatas Considere esta situação-problema: Deseja-se distribuir igualmente 25 livros entre 3 bibliotecas. Uma estratégia de resolução é agrupar os livros de 3 em 3: ALEXANDRE R./ M10

Habilidade

Outra estratégia é efetuar a divisão 25 ÷ 3: –

25 24 1

3 8

Portanto, cada biblioteca receberá 8 livros e restará 1 livro. Como o resto dessa divisão é diferente de 0, dizemos que ela é uma divisão não exata.

LUPAS E LUNETAS Perceba que, quando a divisão apresenta resto diferente de zero, uma pergunta como “Que número natural multiplicado por 3 resulta em 25?” não terá resposta. O mais adequado, nesse caso, seria perguntar “O produto de qual número natural por 3 mais se aproxima de 25?”. Converse com os colegas sobre esse fato. Resposta pessoal.

Analisando as resoluções do problema, podemos escrever: 25 = 3 ! 8 + !1

resto

Generalizando: Dividendo Divisor Resto Quociente

Dividendo = Divisor × Quociente + Resto

No caso de uma divisão exata, ou seja, com resto igual a 0, essa relação continua sendo verdadeira, por exemplo: 72 ÷ 4 = 18, assim, 72 = 4 × 18 + ! 0

resto

60 | TRAJETÓRIA 1

Atividades 32 a 35

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 32

Espera-se que os estudantes compreendam a) Para distribuir igualmente a quantidade, fazemos a divisão como operação inversa da multiplicação 54 ÷ 9 = 6. Portanto, cada criança receberá 6 e consigam utilizar os algoritmos da divisão nas brinquedos. divisões exatas e nas não exatas. Caso considere b) Para distribuir o conteúdo da jarra igualmente adequado, apresente outros exemplos e proponha entre 6 copos, fazemos 1 200 ÷ 6 = 200. Cada atividades complementares. Nas atividades de copo terá 200 mL. elaboração de problemas, aponte para a diferença entre as divisões exatas e as não exatas. Atividade 34 Assim como nas situações aditivas, é importante apresentar situações variadas no campo da divisão. 60 | MANUAL DO PROFESSOR

ATIVIDADES

32. Resolva os problemas: 6 brinquedos.

a) Uma pessoa deseja distribuir igualmente

54 brinquedos entre 9 crianças. Quantos brinquedos cada criança receberá? b) Uma jarra tem 1 200 mL de suco. Se distribuirmos todo o suco igualmente entre 6 copos, quantos mililitros de suco cada copo conterá? 200 mL.

33. Elabore um problema semelhante aos da atividade anterior. Compartilhe com os colegas.

34. Resolva estes problemas:

Resposta pessoal.

a) Um grupo com 4 amigos está juntando

dinheiro para fazer uma viagem. A meta do grupo é juntar R$ 1.200,00 e cada amigo contribuirá com a mesma quantia. Qual é o valor, em reais, dessa quantia? R$ 300,00. b) Para chegar ao nível máximo em certo jogo eletrônico, é necessário atingir um total de 18 h jogando. Se uma pessoa jogar

por exatamente 2 h por dia, quantos dias levará para atingir o nível máximo? 9 dias. c) Você acha que é saudável uma pessoa ficar 2 h por dia em jogos eletrônicos? Converse com os colegas e o professor. Resposta pessoal.

35. Elabore um problema semelhante aos da atividade anterior. Compartilhe com os colegas.

Resposta pessoal.

36. Observe o exemplo e complete as operações

em seu caderno: 67 = 13 × 5 + 2 a) c) 460 = × 7 + 5 65 = 27 × 3 + 1 82 b) 98 = 12 × 8 + 2 d) 127 = × 11 + 6 11

37. Certo número pode ser escrito pela expressão numérica 28 × 7 + 5. Sem efetuar cálculos, responda: a) Qual é o resto da divisão desse número por 28? 5 b) Qual é o resto da divisão desse número por 7? 5

#Expressões numéricas Em certas situações-problema, precisamos lidar com muitas informações e realizar mais de uma operação para resolvê-las. Veja um exemplo. Um pintor faz misturas de tintas de várias cores até obter o tom que gostaria de utilizar. Uma de suas composições preferidas usa estas quantidades de tinta:

ALEXANDRE R./ M10

Atividade 36

61 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

a) A quantia que os 4 amigos querem arrecadar é Atividades 36 e 37 R$ 1.200,00. Como todos devem contribuir com o mesmo valor, fazemos: 1 200 ÷ 4 = 300. Logo, cada amigo deverá juntar R$ 300,00. b) Para atingir o nível máximo em um jogo, são necessárias 18 horas. Se são jogadas 2 horas por dia, serão necessários 9 dias para atingir as 18 horas, ou seja, fizemos 18 ÷ 2 = 9.

Proponha que resolvam essas atividades em duplas e observe se trabalham com autonomia ou apresentam dificuldade. Caso considere adequado, explore coletivamente a divisão, identifique dividendo, divisor, quociente e resto e a relação que pode ser estabelecida entre eles, como no exemplo: 25 ÷ 4 = 6 com resto 1 25 = 6 ⋅ 4 + 1

Ao trabalhar com o sinal de igualdade, tenha certo cuidado: o sinal de igualdade significa “o mesmo que”, porém, alguns estudantes compreendem que ele indica sempre a resposta de uma conta, como em uma calculadora, por exemplo, 2 × 5 = 10. Portanto, é possível, nessa atividade, resolver de diferentes maneiras usando esse princípio da igualdade. Como sugestão, temos: a) – 1 = 27 3 ⇒ – 1 = = 81 ⇒ 82 – 1 = 81 b) 98 – = 12 8 ⇒ 98 – = 96 ⇒ 98 – 2 = 96 c) 460 – 5 = 7 ⇒ 455 = = 7 ⇒ 455 : 7 = 65 d) 127 – 6 = 11 ⇒ 121 = = 11 ⇒ 121 : 11 = 11 Atividade 37

Considerando = 28 7 + 5, temos: : 28 = 7 e resto 5 • : 7 = 28 e resto 5 •

61 |

Com essas quantidades, o pintor consegue pintar um cômodo. Sabendo que ele vai pintar 3 cômodos de mesmo tamanho, de quantos mililitros de tinta ele precisará ao todo? Para calcular a quantidade total, em mL, de tinta necessária para os cômodos, podemos adicionar as três quantidades e, em seguida, multiplicar o resultado por 3: 600 200 1 50 850

Atividade 38

Proponha que releiam o exemplo do problema da “mistura de tintas” para se inspirarem na elaboração de outros problemas. A solução dos possíveis problemas deve ser: a) (100 + 50) ÷ 3 = = 150 ÷ 3 = 50 e b) (9 – 6) ⋅ 10 = 3 ⋅ 10 = 30

62 | MANUAL DO PROFESSOR

850 3 3 2550

Assim, serão necessários 2 550 mL de tinta para pintar os 3 cômodos. Outra maneira de resolver esse problema é escrever as informações como uma expressão numérica: + 200 + 50)$ ! !(600 ######## "######## quantidade de tinta (mL) para um cômodo

3 !

2550 !

quantidade total de tinta (mL)

tre^s cômodos

Imagine agora uma continuação para essa situação-problema: Se o pintor dividir o uso da tinta igualmente ao longo de cinco dias de trabalho, quanto de tinta, em mililitros, ele utilizará por dia? Para solucionar essa questão, podemos dividir por 5 a quantidade total de tinta obtida anteriormente: 2 550 − 25

5 510

05 − 5 00 −0 0 Podemos também escrever uma expressão numérica: + 200 + 50) ! 3) !((600 ########## #"########## #$ 4 quantidade de tinta (mL) para 3 cômodos

LUPAS E LUNETAS Espera-se que o estudante compreenda a distributiva utilizada na atividade e também perceba que os valores 600, 200 e 50 são múltiplos de 50. Com isso, a multiplicação por distributiva foi reorganizada considerando: 600 ÷ 50 = 12; 200 ÷ 50 = 4; 50 ÷ 50 = 1 Incentive que verbalizem como compreendem a atividade e apresente outros exemplos se julgar necessário.

5 !

cinco dias de trabalho

510

quantidade de tinta (mL) utilizada em cada um dos cinco dias

LUPAS E LUNETAS Observe a expressão 600 + 200 + 50. a) Podemos dizer que (600 + 200 + 50) = 10 ⋅ (60 + 20 + 5)? Sim. b) E podemos dizer que (600 + 200 + 50) = 50 ⋅ (12 + 4 + 1)? Sim. • Compartilhe suas respostas com os colegas.

ATIVIDADES

38. Elabore situações-problema que possam ser resolvidas pelas expressões numéricas: a) (100 + 50) ÷ 3 50

Respostas pessoais.

b) (9 – 6) ⋅ 10 30

62 | TRAJETÓRIA 1

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Habilidade

TRAVESSIAS

(EF06MA03) Resolver

Parênteses, colchetes e chaves Em expressões numéricas envolvendo as quatro operações fundamentais, deve-se respeitar a seguinte ordem para a resolução: 1º – multiplicação e divisão, na ordem em que aparecerem; 2º – adição e subtração, na ordem em que aparecerem. Observe como algumas pessoas calcularam o valor da expressão numérica:

10 – 2 ⋅ 3 + 7 + 7 = 8 ⋅ 10 = 80 Resolução 1: 10 !##"–##2$ ⋅ 3 ! 8

Resolução 2: 10 – 2 ⋅ 3 + 7 = 8 ⋅ 3 + 7 = 24 + 7 = 31 Resolução 3: 10 – 2 ⋅ 3 + 7 = 10 – 6 + 7 = 11

LUPAS E LUNETAS • Qual dessas resoluções é a correta? A resolução 3. • Explique por que as outras estão incorretas. A multiplicação deve ser resolvida primeiro.

Porém, existem símbolos que podem alterar essa prioridade: ( ) parênteses, [ ] colchetes e { } chaves. Para esses símbolos, também é necessário respeitar certa ordem: 1º – operações dentro de ( ) parênteses; 2º – operações dentro de [ ] colchetes; 3º – operações dentro de { } chaves. Por exemplo, se a expressão anterior fosse escrita desta maneira:

(10 – 2) ⋅ 3 + 7 2)$ ⋅ 3 + 7 = 8 ⋅ 3 + 7 = 24 + 7 = 31 Então, a resolução correta seria: (10 !###"–### 8

ATIVIDADES

39. Retome a Resolução 1. Utilize parênteses para torná-la correta. 40. Resolva a expressão numérica:

(10 +## 7)$ = 8 ⋅ 10 = 80 !###"–##2) #$ ⋅ (3 !##" 8

{10 + [3 ⋅ (5 – 1)] + 8 ÷ 4 – 3} 21 41. Elabore uma expressão numérica utilizando as quatro operações além de símbolos

como ( ) parênteses, [ ] colchetes e { } chaves. Desafie seus colegas a calcular o valor de sua expressão numérica! Resposta pessoal.

#Potenciação

LUPAS E LUNETAS

Nosso corpo é constituído de células. Elas se dividem constantemente desde quando somos gerados no útero materno. É por esse motivo que crescemos e mudamos nosso corpo ao longo da vida. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 40

{10 + [3 ∙ (5 - 1)] + 8 4 - 3} = = {10 + [3 ∙ 4] + 2 - 3} = = {10 + 12 + 2 - 3} = = {22 + 2 - 3} = = {24 - 3} = 21

63 |

Faça uma roda de conversa, proponha a leitura coletiva do texto e debatam sobre as estratégias (corretas ou não) de resolução das expressões numéricas. Caso considere adequado, organize-os em duplas ou trios, entregue dez expressões numéricas para que resolvam e compartilhem na lousa, de modo que outros colegas possam contestar, justificando as resoluções. Finalize solicitando que verifiquem a quantidade de expressões que acertaram e avaliem juntos as dificuldades encontradas.

63 |

(EF06MA03) Resolver

Há diversas aplicações práticas para o uso das potências. Por ser a representação de uma multiplicação de fatores iguais, a potência é usada: a) n a d e c o m p o s i ç ã o d e um número natural em suas ordens, como: 3 541 = 3 ⋅ 103 + 5 ⋅ 102 + + 4 ⋅ 10 + 1; b) em escritas de números muito grandes, como a vem locidade da luz (3 108 s ) ou muito pequenos, como o tamanho de uma bactéria, que pode variar de a 5 ⋅ 104 a 1 ⋅ 103 mm; c) nas representações de números em notação científica. Essas notações são usuais nas áreas relacionadas a Ciências.

Uma célula se divide em duas novas células por meio de um processo de divisão celular conhecido como mitose. Cada uma dessas novas células também se divide em outras duas novas células, que também se dividirão em novas células, e assim por diante. Vamos acompanhar, passo a passo, como a quantidade de células vai aumentando? ALEXANDRE R./ M10

Habilidade

Podemos verificar que, a cada mitose, a quantidade de células dobra, ou seja:

Multiplicação celular Antes de ocorrer a 1ª mitose, ou seja, ainda não ocorreu multiplicação celular. MITOSES QUANTIDADE DE

64 | MANUAL DO PROFESSOR

2 ⋅ 2=4

2 ⋅ 2 ⋅ 2=8

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32

CÉLULAS

Na Matemática, essa multiplicação de fatores iguais recebe o nome de potenciação. Por exemplo, 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 pode ser representado por 25, pois: 25 = 2 ! 2 !" 2####### ! 2 ! 2$ !####### o 2 é multiplicado 5 vezes

Da mesma maneira: 24 = 2 ! 2 "! ##### 2 ! 2$ !#####

o 2 é multiplicado 4 vezes

2 = 3

22 =

Sugestão de leitura

Esse artigo apresenta algumas atividades aplicadas em uma turma de 6o ano. As perguntas elaboradas são um modo de verificar se conseguem compreender as principais notações das potências e suas propriedades. SOBREIRA, André A. et al. Ensino de potenciação: uma sequência didática aplicada com estudantes do sexto ano da escola municipal Dr. Fernando Guilhon. Revista Conjecturas, v. 21, n. 7, jan./dez. 2021. Disponível em: https://conjecturas.org/ index.php/edicoes/article/download/414/323. Acesso em: 2 maio 2022.

OCORRIDAS

2 !" 2### ! 2$ !###

o 2 é multiplicado 3 vezes

2 ! 2 !

o 2 é multiplicado 2 vezes

Chamamos de potência o resultado da operação de potenciação, de base o número que será multiplicado e de expoente a quantidade de vezes que ele é multiplicado:

210

Potência

10 Expoente

Base

Lemos essa informação como “potência de base dois com expoente dez” ou “dois elevado à décima potência”. 64 | TRAJETÓRIA 1

LUPAS E LUNETAS

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da memória ou um dominó relacionando a potência com seu valor. Conforme considerar adequaProponha a leitura coletiva do texto, reproduza do, façam como atividade extraclasse ou joguem o quadro das mitoses e as quantidades de células juntos na aula. na lousa e peça que um estudante faça o registro das potências correspondentes. Sugira a discussão dos casos de potências com expoente 0 ou 1. Apresente outros exemplos e peça que alguns estudantes respondam enquanto os colegas justificam se está correto ou não. Outra possibilidade é solicitar que construam um jogo sobre potências: pode ser como um jogo

Habilidade

LUPAS E LUNETAS

(EF06MA03) Resolver

E como calcularíamos 2 e 2 ? Vamos observar novamente a tabela com as mitoses e as quantidades de células. Naquele contexto, no início, havia uma única célula porque não havia ocorrido nenhuma mitose, ou seja, 0 mitose. Nesse sentido, podemos representar essa situação como: 0

20 ! 1 Após ocorrer uma mitose, havia 2 células, por isso temos que: 21 ! 2 Observe as sequências: 25 24 23 22 21 20 32: 2 16: 2 8 : 2 4 : 2 ◊ □

□ = 1 e ◊ = 2. 35, 34, 33, 32divisões , 31, 30 • Em pequenos grupos, conversem sobre essas afirmações. Prossiga com as sucessivas por 2 e descubra o valor de ◊ e de ◻. 243, 81, 27, 9, 3, 1 □ = 1 e ◊ =com 2. essa, porém de base igual a 3. Compartilhe seus • Depois, crie uma sequência parecida resultados com os colegas. 35, 34, 33, 32, 31, 30 243, 81, 27, 9, 3, 1

Atividade 44

Nas potências de base 10, faça perguntas para que os estudantes percebam que a quantidade de zeros é a mesma que o valor do expoente.

Veja outros exemplos de potenciação: 6 • 3 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 729 • 10 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 10000 4

• 81 = 81 ⋅ 81 ⋅ 81 = 531441 3

b) 210 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 1024

ATIVIDADES

42. Calcular algumas potências pode ser bem

ARTE/ M10

trabalhoso sem o uso de uma calculadora! Algumas calculadoras têm teclas próprias para a potenciação.

c) 314 31 ⋅ 31 ⋅ 31 ⋅ 31 = 923521

43. Represente as multiplicações como potências: a) 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 79 b) 9 91 c) 15 ⋅ 15 ⋅ 15 ⋅ 15 ⋅ 15 ⋅ 15 156 d) 1 Há infinitas respostas possíveis,

como: 270; 10; 50; 1000.

44. Ao multiplicar um número por 10 sucessivamente, é possível identificar uma regularidade: 10 10$ = !##"! ##

dois fatores 10

100 !

dois algarismos 0

! 10 ! 10$ = !10 ##### "##### tre^ s fatores 10

Porém, mesmo sem esses botões, é fácil calcular. Basta repetir a operação de multiplicação quantas vezes for necessário. Escreva as potências como multiplicações e, em seguida, calcule os resultados utilizando uma calculadora. a) 85 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8 = 32768

1000 !

tre^s algarismos 0

e assim por diante... Utilizando esse raciocínio, calcule mentalmente as potências de base 10: a) 104 10 000 b) 106 1 000 000 c) 109 1 000 000 000

65 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 42

Atividade 43

Os estudantes precisam conhecer o conceito de Veja as representações: potenciação: repetir a base como um fator tantas 7!############ ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅#" 7 ############# ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7$ = 79 a) vezes quanto as indicadas pelo expoente. 9 fatores 1 85 = 8 ⋅ 8 ⋅#" 8####### ⋅ 8 ⋅ #8$ = !####### 9 = 9 ! a) = 32 768 5 fatores

b) c)

210 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2#"⋅ ################# 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ #2$ = 1 024 !################# 10 fatores

31 = 31 ⋅ 31 "⋅ ####### 31 ⋅ 31$ = !####### = 923 521 4 fatores 4

b) 1 fator

15 ⋅ 15 ⋅ 15 "⋅ ############ 15 ⋅ 15 ⋅ 15$ = !############

c) = 156 6 fatores d) É possível representar o 1 por qualquer base

não nula com expoente zero ou pela base 1 com qualquer expoente. 65 |

LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais. Consulte em seu caderno os trabalhos que você desenvolveu, suas anotações de estudos e reflita sobre o que aprendeu até agora neste passeio. ▶ Matemática • Você consegue identificar e aplicar diferentes estratégias de resolução de problemas? • Resolve e elabora problemas diversos utilizando as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão? • Consegue identificar e aplicar diferentes estratégias de cálculo com operações de adição, subtração, multiplicação e divisão? • Você compreende e resolve a operação de potenciação com números naturais? • Resolve e elabora problemas que envolvam a capacidade em contextos diversos? ▶ Outras disciplinas Língua Portuguesa • Você respeita a vez da fala, na participação em conversações e em discussões na sala de aula e formula perguntas coerentes e adequadas, em momentos oportunos e em situações de troca de ideias nas aulas de Matemática? • Você se articula verbalmente a partir de esquemas e imagens diversos na construção de sentido, em textos de divulgação científica? Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete o quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Insuficiente

Parcialmente suficiente

Satisfatório

Plenamente satisfatório

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

66 | TRAJETÓRIA 1

66 | MANUAL DO PROFESSOR

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BARCOS E PORTOS

Organize

Proponha aos estudantes que façam uma avaliação dos conteúdos que aprenderam nesta Trajetória. Podem consultar o caderno e observar o mapa de vínculos da página 43, fazer um resumo das estratégias de cálculo que consideram interessantes, apresentar uns para os outros ou organizar outro modo de compartilhar que considere adequado.

▶ Organize Respostas pessoais. Neste passeio, você estudou como resolver e elaborar problemas envolvendo diversas operações matemáticas, além de desenvolver e refletir acerca de diferentes estratégias de cálculo. Repasse as atividades deste passeio e organize um esquema para resumir os principais significados ou interpretações para as operações estudadas. Nesse resumo, aponte também as principais estratégias de cálculo que utilizou. ▶ Elabore Ao longo deste passeio, você não somente resolveu diversos problemas, como também elaborou alguns. Baseando-se no resumo que montou anteriormente, elabore um problema envolvendo cada uma das operações estudadas. Forme uma dupla com um colega. Apresente os problemas elaborados e explique as estratégias que utilizaria para resolvê-los. Após ouvir as situações elaboradas por sua dupla, elaborem um problema conjuntamente sobre qualquer tema ou operação. Compartilhem com o restante da turma.

Proponha

Retome a questão inicial deste passeio: De que modo usamos números para resolver problemas no cotidiano?. Os estudantes podem identificar alguma situação da escola para resolver usando a Matemática. Por exemplo: organizar uma escala para que cada turma possa usar algum brinquedo da escola (pingue-pongue, pebolim, xadrez etc.) de modo que todos tenham a mesma oportunidade.

▶ Proponha

MENTALMIND/SHUTTERSTOCK

A pergunta inicial deste passeio é: De que modo usamos números para resolver problemas no cotidiano? Muitos dos problemas e situações apresentados neste passeio foram inspirados em situações do dia a dia. Você já teve que lidar com alguma situação semelhante às apresentadas? Como resolveu? Saber resolver problemas é uma maneira de agir sobre o mundo à nossa volta, seja para resolver nossas questões e desafios cotidianos, seja para ajudar os outros em seus desafios. Em pequenos grupos, conversem sobre situações do dia a dia da escola, da comunidade em que vivem ou dos grupos dos quais participam: existem problemas que vocês podem ajudar a resolver utilizando a Matemática? Escolham alguns e reflitam sobre maneiras de resolvê-los. Lembre-se de que uma boa maneira de resolver problemas é, primeiro, compreendê-lo e, em seguida, elaborar um plano ou estratégia para resolvê-lo. Depois, colocar o plano em ação. Por fim, lembre-se de verificar se esse plano resolveu de fato o problema!

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PASSEIO 3 – SÓLIDOS GEOMÉTRICOS E VOLUME COMO UTILIZAMOS A MATEMÁTICA PARA AGIR SOBRE O ESPAÇO AO NOSSO REDOR? BJ.SCHOENMAKERS/ WIKIMEDIA COMMONS

Encontro com outras disciplinas (EF69AR05) Experimentar e analisar diferentes formas de expressão artística (desenho, pintura, colagem, quadrinhos, dobradura, escultura, modelagem, instalação, vídeo, fotografia, performance etc.). (EF69AR31) Relacionar as práticas artísticas às diferentes dimensões da vida social, cultural, política, histórica, econômica, estética e ética. CHECK-IN Proponha uma leitura coletiva, apresente a imagem e incentive os estudantes a falar sobre a arquitetura da foto e de outros lugares de que se lembrarem. Elabore perguntas para que eles participem da conversa. Peça que observem a sala de aula ou outro lugar de preferência e que desenhem o espaço, destacando os objetos com formas geométricas. Organize um painel na sala de aula para expor os desenhos e, coletivamente, nomeiem as formas geométricas que fazem parte das composições. Com isso, avalie o conhecimento prévio sobre figuras geométricas.

Formas geométricas na arquitetura de edifícios.

Nas mais diversas culturas, a arquitetura é uma expressão não somente de arte, mas também de como as noções de espaço e de forma são apropriadas, interpretadas e utilizadas.

CHECK-IN Vamos observar o espaço, prestando atenção às formas dos objetos que nos cercam no dia a dia. Respostas pessoais. a) Observe o seu entorno. Que formas geométricas você identifica?

b) Desenhe o ambiente em que você se encontra, dando atenção especial para as

formas dos objetos presentes. Compartilhe com os colegas.

c) Você sabe nomear, geometricamente, as formas dos objetos presentes no ambiente

e no seu desenho? Compartilhe com os colegas.

68 | TRAJETÓRIA 1

68 | MANUAL DO PROFESSOR

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ARREDORES Arestas

Vértices

Relação entre os elementos

Superfície de sólidos geométricos

Faces

Prismas Poliedros

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Pirâmides

Blocos retangulares

Figuras não planas

Figuras planas

Figuras geométricas

VOLUME EF06MA17, EF06MA24 EF69AR05, EF69AR31

BÚSSOLA Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: Identificar características e propriedades de alguns sólidos geométricos. Estabelecer relações entre o número de arestas, faces e vértices em prismas e pirâmides. • Resolver problemas por meio da percepção espacial. • Resolver e elaborar problemas que envolvam a grandeza volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem o uso de fórmulas. • •

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ATMOSFERA ATMOSFER A Nosso jeito de ver as formas no mundo Você gosta de observar a forma dos objetos em lugares diversos? VANITJAN/SHUTTERSTOCK

Habilidade

Formas geométricas no design de ambientes.

Sabe dar nome, perceber características ou pensar em relações entre algumas figuras geométricas? Veja o que o olhar de Armandinho descobriu:

Selecione e proponha aos estudantes que assistam a um vídeo sobre bullying. Em seguida, esclareça que o trabalho será realizado em grupos. Há situações em que os professores permitem que os estudantes elejam com quem gostariam de trabalhar, e em outros casos, determinam qual será o grupo. Escolha um dos modelos e informe os objetivos e as regras de convivência antes de iniciar o processo. Entregue uma pergunta para cada grupo. Você pode elaborar outras, e como sugestão propomos: • O que a escola deve fazer? • Como acolher e fortalecer a vítima? • Como lidar com o agressor? • Como conscientizar os expectadores? Para apresentar as reflexões do grupo, os estudantes podem fazer cartazes, escrever pequenas mensagens para postar nas redes, organizar um momento de apresentação de vídeos sobre o problema nos intervalos das aulas e até mesmo expor essas reflexões em uma reunião com pais e alunos. Incentive a 70 | MANUAL DO PROFESSOR

ARMANDINHO, DE ALEXANDRE BECK/ ACERVO DO CARTUNISTA

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL

BECK, Alexandre. Armandinho. Tiras Armandinho. Disponível em: https://tirasarmandinho.tumblr.com/ post/115869048829/tirinha-original. Acesso em: 27 jun. 2022.

ATIVIDADES

1. 2. 3.

70 | TRAJETÓRIA 1

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

participação da comunidade. O trabalho pode se faces, vértices e arestas. Peça que um estudante estender para outros momentos coletivos dentro represente na lousa a vista de frente, outro, a vista da unidade escolar. superior, e um terceiro, a representação do sólido geométrico. Atividades 1 a 3 Solicite que essas atividades sejam realizadas Proponha que observem a imagem do quarto coletivamente, dialoguem sobre a questão e depois infantil e listem alguns objetos e sua forma geo- registrem suas conclusões. Uma sugestão de enmétrica. Depois, leiam coletivamente a tirinha de caminhamento dessa discussão é levar para a sala Armandinho e conversem sobre a perspectiva do de aula sólidos geométricos e apresentá-los aos sapo, de Armandinho e do pai. Se possível, apre- estudantes de modo que quem estiver sentado em sente alguns sólidos geométricos, identificando diferentes lugares veja uma face diferente. A sátira

Habilidade

#Figuras geométricas

NOMAD_SOUL/SHUTTERSTOCK

SABELSKAYA/SHUTTERSTOCK

Desde a pré-história, os humanos já registravam seu cotidiano: uma caçada de mamute, por exemplo.

Representação de pintura rupestre de humano primitivo caçando mamute. Ilustração sugestiva dessa mesma pintura rupestre.

A pintura na caverna tem uma aparência 2D, ou seja, em duas dimensões (bidimensional), pois dela seria possível medir o comprimento e a largura. A cena representando a caçada ao mamute induz nossa imaginação a pensar em um mamute de verdade e um humano de verdade, todos se movimentando! Os mamutes e os humanos primitivos eram seres 3D, ou seja, em três dimensões (tridimensionais), pois tanto o mamute como os humanos poderiam ter seu comprimento, largura e altura medidos. É provável que, naquela época, isso não tenha ocorrido, pois sistemas de numeração e medições ainda não tinham sido desenvolvidos. O desenho de um mamute na parede nos dá a ideia de uma figura plana. Já o próprio mamute nos dá a ideia de uma figura não plana, ou seja, uma figura do espaço.

Figuras geométricas: no plano e no espaço

SHUTTERSTOCK/ ARTE M10

O cotidiano dos humanos contemporâneos é marcado pela presença de diversos objetos, construções, seres vivos etc. em que suas formas como um todo, ou em partes, podem ser associadas a alguma figura geométrica plana ou figura geométrica não plana.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

(EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial. Encontro com outras disciplinas (EF69AR31) Relacionar as práticas artísticas às diferentes dimensões da vida social, cultural, política, histórica, econômica, estética e ética. Em interdisciplinaridade com o professor de Arte, pode-se solicitar aos estudantes que pesquisem sobre pinturas rupestres e que encontrem outras pinturas ou gravuras rupestres. Ao professor de Arte pode-se propor que discuta as características dessas duas técnicas, aproximando-se da habilidade EF69AR31; os estudantes poderão criar suas próprias pinturas. Além disso, os registros rupestres – ao olhar da Matemática – podem levar ao estudo da etnomatemática, ao se reaproximarem dos contextos socioculturais dos povos que viveram naquela época.

71 |

está no duplo sentido da fala do pai: Filho, antes de concluir, olhe por outros lados... Refere-se a podermos mudar o lugar de observação, olhar por outra perspectiva para perceber o objeto ou as relações humanas de modo mais abrangente.

71 |

(EF06MA17) Quantificar

e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.

Classificar figuras geométricas Os objetos do mundo real podem ser associados a alguma figura imaginada pelo pensamento geométrico. Há momentos em que nos interessa considerar todo o objeto e há momentos em que vamos considerar um de seus aspectos, “ignorando” outros propositalmente. Por exemplo, o relógio de parede: “ignoramos” a sua espessura e olhamos apenas para o contorno da sua borda, como se ele fosse todo achatado. ZAMUROVIC BROTHERS/SHUTTERSTOCK

Habilidade

Atividade 4

Converse sobre figuras planas e não planas usando materiais manipuláveis. Apresente a parede da sala de aula como um plano. Coloque um sólido geométrico encostado na parede e indague: o sólido geométrico é plano? Suas faces são superfícies planas? Com a discussão sobre figuras planas e não planas, espera-se que os estudantes façam a atividade com autonomia. Uma possibilidade é pedir que produzam uma expressão artística com figuras planas e outra com figuras não planas e as peças sejam expostas na escola.

Assim, classificando aquelas quatro figuras geométricas, teremos: • Figuras geométricas planas: círculo e hexágono. • Figuras geométricas não planas: bloco retangular e pirâmide. ATIVIDADES

4. Considere as figuras geométricas e, no caderno, classifique-as em dois grupos: figuras planas e figuras não planas.

4. Figuras planas: losango, retân-

gulo, pentágono, paralelogramo, hexágono, quadrado. Figuras não planas: cubo, prisma de base pentagonal, linha espiral (mola), pirâmide de base triangular, prisma de base hexagonal, cilindro, cone, prisma de base triangular, pirâmide de base quadrangular, bloco retangular, esfera, superfície “batata ondulada”, pirâmide de base hexagonal. 72 | TRAJETÓRIA 1

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Figura planas: losango, retângulo, pentágono, paralelogramo, hexágono, quadrado. Figuras não planas: cubo, prisma de base pentagonal, linha espiral (mola), pirâmide de base triangular, prisma de base hexagonal, cilindro, cone, prisma de base triangular, pirâmide de base quadrangular, bloco retangular, esfera, superfície “batata ondulada”, pirâmide de base hexagonal.

72 | MANUAL DO PROFESSOR

Habilidade

#Os sólidos geométricos Observe as figuras da categoria figuras não planas da atividade anterior. Há duas figuras que chamam a atenção: a linha espiral (ou mola) e a “batata ondulada”. A primeira é uma linha sem espessura; a segunda é uma superfície curva, também sem espessura. Para essas duas figuras não faz sentido pensarmos na ideia de volume. As demais são exemplos de sólidos geométricos e, para essas, podemos pensar na ideia de volume.

As “bordas” dos sólidos geométricos

ALEXANDRE R./ M10

No dia da aula de Matemática da professora Cleide, ela trouxe uma coleção de modelos em madeira pintados de azul que representam figuras geométricas.

JAVIER G./ M10

Ela pediu que cada aluno pegasse uma das peças e, com o lápis, contornasse todas as bordas da superfície dessa peça.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Os sólidos geométricos aqui representados em madeira pintada têm pontas agudas, entretanto, alertamos ao professor, caso venha a utilizar esses materiais manipuláveis, certificar-se de que as pontas sejamOs arredondadas para aaqui se-represen sólidos geométricos madeira pintada têmdurante pontas agudas, e gurança dos estudantes alertamos ao professor, caso venha a o manuseio – ainda que isso materiais manipuláveis, certificar-se d implique em “prejuízo” na fidetas sejam arredondadas para a segura lidadedurante da representação o manuseio -dessas ainda que isso i "prejuízo" na fidelidade da represe figurasum que, na verdade, são enfiguras que, na verdade, são entes ide tes ideais, só existem no penno pensamento matemático. samento matemático.

73 |

Habilidade

Bordas retas e bordas curvas

(EF06MA17) Quantificar

LUPAS E LUNETAS Todos estão contornando as bordas de suas peças, exceto Gustavo. Por que ele está em dúvida? Comente com os colegas. Resposta pessoal.

Veja os registros feitos pelas crianças: JAVIER G./ M10

Pirâmide de base quadrada

Cubo

Cone

Esfera

Atividade 5

c) No cubo são 6 faces planas com bordas retas e na pirâmide são 5. Então, 6 + 5 = 11. Elas contornaram as bordas planas e, depois, preencheram colorindo a parte interna. ATIVIDADES

5. Responda no caderno: a) No cubo e na pirâmide de base quadrada.

a) Em quais daqueles sólidos geométricos as bordas são formadas só por linhas retas? b) Em qual houve borda curva? No cone.

c) As bordas mais o preenchimento de cada uma representam figuras planas. Quantas figuras

planas com somente bordas retas foram obtidas por essas crianças na aula da professora Cleide? 11 figuras planas com bordas retas.

6. Observe a representação de alguns copos. Classifique a borda do perfil lateral de cada um deles

ALEXANDRE R./M10

em reta ou curva.

Reta 74 | TRAJETÓRIA 1

74 | MANUAL DO PROFESSOR

Reta

Curva

Reta

Curva

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Habilidade

Sólidos geométricos no cotidiano Os sólidos geométricos também são conhecidos como formas volumétricas, pois ocupam um volume ou uma porção do espaço.

JAKA SURYANTA/SHUTTERSTOCK FRESHPAINT/SHUTTERSTOCK

FRESHPAINT/SHUTTERSTOCK

BLUE PLANET STUDIO/SHUTTERSTOCK

JAMESTEOHART/SHUTTERSTOCK SABINE HORTEBUSCH/SHUTTERSTOCK

Você costuma observar a forma de objetos volumétricos em seu cotidiano?

Volumes na natureza e nas construções humanas.

Agora, vamos observar com mais detalhes o formato dos diversos sólidos geométricos e também das suas superfícies.

LUPAS E LUNETAS Proponha que os estudantes pesquisem imagens que relacionam a Matemática e a natureza, levem-nas para a aula e que as exponham na lousa e conversem sobre elas. Converse também sobre as perguntas da atividade, para que compreendam as questões e consigam discuti-las em duplas. Organize como compartilhar suas observações.

LUPAS E LUNETAS Formem pequenos grupos e conversem sobre estes assuntos: Respostas pessoais. a) As formas geométricas que identificamos em nosso cotidiano, na arquitetura, nas construções e até na natureza, em sua maioria, não são com exatidão tal como as figuras geométricas estudadas na Matemática. Você acredita que essa afirmação é verdadeira? Por quê? b) Qual é a sua hipótese: a humanidade escolheu usar essas formas porque eram matematicamente interessantes ou a Matemática as estudou porque eram muito utilizadas no cotidiano? • Compartilhem com os demais colegas da turma. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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(EF06MA17) Quantificar

e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial. A teoria do desenvolvimento do pensamento geométrico dos Van Hiele contempla cinco níveis de aprendizagem: • Visualização (classes e formas). • Análise (propriedades das formas). • Dedução informal (relações entre as propriedades). • Dedução (sistemas dedutivos de propriedades). • Rigor (Análise dos sistemas dedutivos). Em momentos anteriores, os estudantes aprenderam a agrupar e classificar e, depois, a construir e decompor as figuras. Agora, com esse conhecimento, podem analisar as propriedades geométricas envolvidas diante das discussões que serão promovidas no decorrer da atividade proposta, dentre elas as propriedades dos corpos redondos e dos poliedros.

#Corpos redondos e poliedros Os sólidos geométricos podem ser classificados em corpos redondos e poliedros.

Exemplos de corpos redondos: esfera, cilindro e cone.

Os corpos redondos são sólidos geométricos que têm superfícies curvas. Os poliedros são sólidos geométricos que têm apenas superfícies planas.

Exemplos de poliedros: prismas e pirâmides.

Por apresentarem superfícies curvas, os corpos redondos “rolam”, em alguma posição, quando são soltos do topo de um plano inclinado. Já os poliedros não rolam, mas é possível que deslizem. ALEXANDRE R./ M10

Habilidade

76 | TRAJETÓRIA 1

76 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

#Elementos de um poliedro As figuras a seguir são poliedros:

A superfície dos poliedros é composta de porções de planos. Cada uma dessas porções de superfícies planas é chamada de face do poliedro. A palavra poliedro tem origem na Grécia antiga. Na língua grega, poli (ou póli) significa vários e edro (ou hedra) significa face. Assim, a palavra poliedro pode ser interpretada como “que tem várias faces”. Em um poliedro, a linha que demarca o encontro de duas faces é denominada aresta. O ponto de encontro – de intersecção – de duas ou mais arestas é denominado vértice.

ATIVIDADES

7. Observe os poliedros e responda:

a) As faces têm a forma de quais figuras planas?

Polígonos: triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos.

b) Quantos tipos de figuras planas diferentes aparecem na composição da superfície desses

poliedros? 4 tipos de polígonos: triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos.

c) Quantos vértices e quantas arestas têm esses poliedros?

(I) Vértices: 6, arestas: 9; (II) vértices: 8, arestas: 18; (III) vértices: 10, arestas: 15; (IV) vértices: 8, arestas: 12; (V) vértices: 4, arestas: 6.

Para que os estudantes desenvolvam a visualização espacial, é fundamental o trabalho manipulativo associado ao raciocínio. Por isso, incentive-os a observar os sólidos geométricos e a falar sobre as semelhanças e diferenças entre eles. Mostre aos estudantes diferentes embalagens com o formato de poliedros e aproveite para conversar sobre os TCTs Educação para o Consumo e Saúde. Explore, por exemplo, a quantidade de produto contida em determinada embalagem, qual a unidade de medida usada nas embalagens, a data de vencimento ou validade dos produtos, as formas mais adequadas e econômicas de embalar determinado produto, dentre outros assuntos.

Prismas e pirâmides Estes poliedros são exemplos de prismas:

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Habilidade (EF06MA17) Quantificar

e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial. LUPAS E LUNETAS Se considerar adequado, organize grupos e peça que cada um construa pirâmides ou prismas (atribua para cada grupo diferentes figuras). Proponha que pesquisem planificações das superfícies de sólidos para imprimir e vídeos que orientem como construir os sólidos. Organize um espaço na sala de aula para expor os sólidos geométricos que serão usados em aulas posteriores. Proponha que observem o fechamento da planificação das superfícies dos sólidos para concluírem que, nas pirâmides, as faces laterais são triângulos porque as arestas têm um ponto (o vértice) em comum. É possível apresentar, além dos prismas, o tronco de pirâmide da imagem para observarem casos de sólidos com faces laterais na forma de quadriláteros.

Os prismas têm duas bases representadas por figuras planas idênticas. Note que as faces laterais de um prisma são sempre paralelogramos ou retângulos. Esse fato fica mais evidente ao olharmos para a planificação da superfície de um prisma:

Os poliedros a seguir são exemplos de pirâmides:

Diferentemente dos prismas, as pirâmides têm somente uma base. Além disso, fora de sua base há um único vértice, que é comum a todas as faces laterais. Note que, apesar de diferentes figuras planas poderem constituir a base de uma pirâmide, suas faces laterais são sempre triangulares. Esse fato pode ser verificado na planificação da superfície de uma pirâmide:

LUPAS E LUNETAS Em duplas ou trios, conversem sobre a seguinte questão: o fato de as pirâmides terem apenas um vértice fora de sua base é uma justificativa para o fato de que suas faces laterais sejam sempre triângulos? Respostas pessoais. • Compartilhem suas respostas com os demais colegas.

ATIVIDADES

8. Nos prismas e pirâmides apresentados, identifique as bases, os vértices e as arestas.

Respostas pessoais.

9. Em seu caderno, desenhe as planificações das superfícies dos prismas e pirâmides apresentados. Compartilhe suas respostas com os colegas. Construções pessoais.

Proponha que realizem essa atividade em duplas ou trios. Caso queira ampliar esse estudo, peça que usem os sólidos construídos para nomear e quantificar faces, arestas e vértices. Eles podem trocar os sólidos entre si para fazer a planificação de suas superfícies.

78 | MANUAL DO PROFESSOR

78 | TRAJETÓRIA 1

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Habilidade

TRAVESSIAS TRAVESSIA S O número de faces, arestas e vértices de prismas e pirâmides Nos prismas e nas pirâmides, o número de arestas, faces e vértices está diretamente relacionado à figura plana que define sua(s) a(s) base(s). Vamos investigar essa relação?

ATIVIDADES

10. Copie o quadro e complete-o com o número de arestas, faces e vértices de cada

poliedro:

Número de lados da figura plana da(s) base(s) Pirâmides

Prismas

Vértices

Faces

Arestas

(EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas Travessias de prismas e pirâmides, Como os prismas têm função do seu duasem bases, têm o dobro de vértices do polígono da para polígono da base, base,resolver duas facesproblemas a mais e (as bases)em relação ao desenvolver a percepção número de vértices do espacial. polígono da base; e o nú-

mero de arestas é o triplo do número de lados do polígonoCom da base. essas relações, os es-

tudantes podem observar o quadro da atividade 10 e verificar como se comporta a quantidade de vértices, a quantidade de arestas e a quantidade de faces em relação ao número de lados do polígono da base. Sugestão de leitura

11. A partir do quadro, vamos analisar separadamente cada elemento. Copie no caderno

e complete as afirmações:

Número de vértices. Nas pirâmides, é possível notar que o número de vértices é sempre ■ do que o número de lados da figura plana da base. uma unidade a mais Nos prismas, é possível notar que o número de vértices é sempre ■ do número de lados da figura plana da base. o dobro •

Número de faces. Nas pirâmides, é possível notar que o número de faces é sempre ■ do que o número de lados da figura plana da base. uma unidade a mais Nos prismas, é possível notar que o número de faces é sempre ■ do que o número de lados da figura plana da base. duas unidades a mais •

Número de arestas. Nas pirâmides, é possível notar que o número de arestas é sempre ■ do número de lados da figura plana da base. o dobro Nos prismas, é possível notar que o número de arestas é sempre ■ do número de lados da figura plana da base. o triplo •

12. Justifique as afirmações anteriores, levando em consideração o número de bases dos

prismas e das pirâmides.

Artigo que apresenta a construção de figuras geométricas espaciais com canudinhos de jornal e as atividades elaboradas que se entrelaçam com esse material. O estudante pode se envolver nessa construção, despertar o interesse pelo assunto e desenvolver seu conhecimento sobre os elementos da Geometria. BARBOSA, Silvio Aparecido; R I B E I R O, Lu c a s d a S i lva . Construção de figuras geométricas com canudos de jornais no estudo de geometria espacial. RECIT, Cadernos Matemática E – 5124. Disponível em: https:// periodicos.utfpr.edu.br/recit/ article/view/5124. Acesso em: 24 abr. 2022.

13. Explore prismas e pirâmides com bases diferentes das analisadas nesta seção. Verifique

se essas relações se confirmam. Compartilhe com os demais colegas. Resposta pessoal.

79 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 10

Atividades 11 a 13

Esse momento pode ser usado para enfatizar a importância de cuidarmos da linguagem específica no estudo da Geometria de modo a evitar erros comuns, como: quando nos referirmos à face de um poliedro, não devemos usar o termo “lado”, pois, em Geometria, o conceito de lado está relacionado a um polígono. Se julgar pertinente, proponha aos estudantes que descubram relações observando os números do quadro, como o fato de o número de vértices e o de faces em uma pirâmide serem iguais. Incentive-os a elaborar conjecturas.

Como os prismas têm duas bases, eles têm: o dobro de vértices do polígono da base; duas faces a mais (as bases) em relação ao número de vértices do polígono da base; e o número de arestas é o triplo do número de lados do polígono da base. Como as pirâmides têm uma base, elas têm: um vértice a mais em relação aos vértices do polígono da base e uma face a mais (a base) em relação ao número de vértices do polígono da base; o número de arestas é o dobro do número de lados do polígono da base. 79 |

Habilidade (EF06MA24) Resolver e

#Volume de sólidos formados por blocos retangulares Os sólidos geométricos ocupam um espaço. Assim, podemos dizer que têm três dimensões: altura, largura e comprimento.

A grandeza desse espaço é chamada de volume. Vamos considerar blocos de madeira, por exemplo:

Uma sugestão de atividade para complementar esse assunto é apresentar outros cubos colados pela face: peça que façam o esboço e que um colega verifique o volume. Proponha que façam a representação de cubos que não são visualizados na vista frontal. Se considerar adequado, leve os cubos do material dourado para representar a situação proposta na leitura do boxe acima. Proponha a discussão em grupos e organize como compartilhar suas descobertas.

HOMESTUDIO/SHUTTERSTOCK

LUPAS E LUNETAS

Cada bloco, individualmente, tem um volume. Levando em conta a reunião de blocos desse grupo, podemos afirmar também que o grupo como um todo tem um volume. Nesse exemplo, independentemente da organização dos blocos, podemos dizer que o volume desse grupo é sempre igual a 9 blocos:

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. a) Confira se o volume total dos grupos de blocos de cada imagem é igual a 9 blocos. b) Que estratégias você utilizou para calcular o volume total? Compartilhe com os colegas. c) Considere os três grupos de blocos acima. Descreva uma estratégia para calcular o volume total 5 + 4 ou 4 + 5; desses grupos utilizando adições ou multiplicações. 5 + 4 ou 4 + 5; 3 × × 3 3 ou ou 3 3+ +3 3+ + 3; 3; 3 5 + 3 + 1 ou 1 + 3 + 5. 5. 5 + 3 + 1 ou 1 + 3 +

80 | TRAJETÓRIA 1

80 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

ATIVIDADES

(EF06MA24) Resolver e

14. Utilizando um bloco como unidade de medida, calcule o volume total destes empilhamentos:

esta atividade: elaborem um sólido composto de blocos, como na atividade anterior. Proponha que seu colega calcule o volume do seu sólido utilizando o bloco como unidade de medida. Resposta pessoal.

16. Para criar um jogo de montar, uma pessoa

16 blocos.

15. Forme dupla com um colega para realizar

utilizou vários blocos inteiros, mas também cortou alguns pela metade de duas maneiras diferentes:

9 blocos.

Sabendo disso, calcule o volume total do empilhamento considerando um bloco inteiro como unidade de medida: 13 blocos.

32 blocos.

12 blocos.

Unidades de medida padronizadas Para medir volumes, na maioria das situações cotidianas, são usadas unidades padronizadas. Por exemplo: o metro cúbico (m3), o centímetro cúbico (cm3) e o decímetro cúbico (dm3). Dizemos que:

Atividades 14 a 16

Converse com os estudantes sobre as representações dos blocos: • É possível ver todos os blocos? • Como contar os blocos que estão embaixo ou atrás? • Como contar os blocos que foram divididos? • Como desenhar um sólido formado por blocos? Permita que os estudantes apresentem as soluções e compartilhem suas estratégias para responder às atividades propostas. Atividade 16

Há 10 blocos inteiros e 6 metades, totalizando 13 blocos.

1 m3 é o volume ocupado por um cubo cujas arestas medem 1 m.

1 m3

1m 1m

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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Habilidade (EF06MA24) Resolver e

Vamos aplicar essa noção no cálculo do volume de um prisma de base retangular. Considere este prisma com as medidas de suas dimensões dadas em metros (m):

Veja a seguinte estratégia de cálculo do volume:

LUPAS E LUNETAS Para criarem a estratégia de cálculo do volume por multiplicação, os estudantes precisam perceber que a quantidade de cubos da base resulta da multiplicação das quantidades na largura e no comprimento e que o volume total pode ser calculado se perceberem que a base forma uma “camada”, com várias “camadas” iguais sobrepostas até a altura do sólido. Faça na lousa a representação de um bloco e proponha que um dos estudantes calcule seu volume enquanto os colegas propõem outras estratégias. Sugira que façam representações diferentes com o mesmo volume, por exemplo: blocos com 16 cm3 podem ser representados com estas dimensões, em cm: • 1 ⋅ 1 ⋅ 16 • 2 ⋅ 2 ⋅ 4 • 1 ⋅ 4 ⋅ 4 • 1 ⋅ 2 ⋅ 8 Caso considere adequado, amplie esse estudo com atividades complementares. Atividade 17

No cálculo de volume, podemos usar a multiplicação das três dimensões: base, altura e largura: a) 3 m ⋅ 6 m ⋅ 2 m = 36 m3 b) 1 m ⋅ 10 m ⋅ 15 m = 150 m3 c) 5 m ⋅ 5 m ⋅ 5 m = 125 m3

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. a) Como você explicaria essa estratégia para outra pessoa? b) Elabore outra estratégia de cálculo utilizando multiplicações para calcular o volume desse bloco. Compartilhe com os colegas.

ATIVIDADES

17. Divida os prismas em cubos de 1 m3 e calcule seus volumes: 36 m3; 150 m3; 125 m3.

•

Compartilhe suas estratégias com os colegas.

18. Desenhe prismas de bases retangulares cujos volumes sejam: Respostas pessoais. a) 64 m3 •

c) 20 m3

Compartilhe suas respostas com os colegas.

82 | TRAJETÓRIA 1

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 18

Há diferentes modos de representar esses sólidos. Veja algumas possibilidades: a) 64 m3 (4 × 4 × 4) m3 ou (2 × 4 × 8) m3 ou (16 × 2 × 2) m3

b) 1 000 m3

c) 20 m3 pode ser:

dm3

000

(10 ⋅ 10 ⋅ 10) m ou (100 ⋅ 10 ⋅ 1) m 3

(2 × 2 × 5) m3 ou (1 × 2 × 10) m3

82 | MANUAL DO PROFESSOR

b) 1 000 m3

cm3

000

Habilidade

LUPAS E LUNETAS

(EF06MA24) Resolver e

Um professor compartilhou a estratégia de uma aluna para calcular o volume deste prisma de base retangular: 2m 2m 4m

Logo em seguida, João comentou a postagem do professor sobre o que Aline disse. O_Professor

@matemúltiplo

Vejam o que Aline disse: Primeiro, eu divido o prisma em cubos de 1 m3. Depois, observo que tenho duas camadas com 2 3 4 = 8 cubos de 1 m3. Assim, o total de cubos é 8 × 2 = 16.

LUPAS E LUNETAS Apresente algumas combinações com o material dourado usando a placa das centenas para que representem um modo de calcular o volume. Outra possibilidade é mostrar uma pilha de cartas de baralho e pedir que calculem o volume. Espera-se que calculem o volume pela multiplicação das três dimensões de um prisma de base retangular.

Portanto, o volume do prisma é 16 m3. 58

João @matfanm Eu percebi que, se multiplicarmos as medidas do comprimento, da largura e da altura desse prisma, chegamos ao mesmo resultado! 13

Sim. Respostas pessoais. b) Vocês acreditam que é possível utilizar essa ideia para calcular o volume de qualquer prisma de base retangular? Testem essa ideia para calcular o volume de outros prismas de base retangular que apareceram neste passeio. Resposta pessoal. a) Em pequenos grupos, analisem a afirmação de João. Ele tem razão? Por quê?

c) Utilizem essa ideia para elaborar uma regra para calcular o volume de quaisquer prismas de base retangular. Compartilhem com os demais colegas. Resposta pessoal.

Centímetros cúbicos (cm3) e decímetros cúbicos (dm3) Assim como o metro cúbico pode ser relacionado ao volume ocupado por um cubo de 1 m de aresta, podemos relacionar o decímetro cúbico (dm3) e o centímetro cúbico (cm3) ao volume ocupado por cubos de arestas de medidas 1 dm e 1 cm, respectivamente. Lembrando que 1 dm = 10 cm.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

83 |

Habilidade (EF06MA24) Resolver e

Podemos construir um cubo de 1 dm3 utilizando blocos de 1 cm3:

Assim, concluímos que 1 dm3 = 10 cm ! 10 cm ! 10 cm = 1 000 cm3 1 dm3 = 1 000 cm3

Para construir um cubo de 1 m3 utilizando blocos de 1 dm3, usamos a mesma estratégia:

Atividade 19

Oriente os estudantes a imaginar que os cubos soltos comporão um cubo maior, composto somente de cubinhos de 1 dm3. Esse grande cubo resultará em um empilhamento composto por 5 ⋅ 5 ⋅ 5 cubinhos. Assim, concluímos que: 1 m3 = 10 dm ! 10 dm ! 10 dm = 1000 dm3 1 m3 = 1 000 dm3

Portanto: 1 m3 = 10 ! 10 cm ! 10 ! 10 cm ! 10 ! 10 cm = 1 000 000 cm3 1 m3 = 1 000 000 cm3

dm3

cm3

000 1

000

19. Cada cubinho nessa imagem mede 1 dm3. Suponha que esse

conjunto de cubinhos vai compor um cubo perfeito. Qual é o volume desse conjunto de cubinhos? • Explique aos colegas como você pensou. 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125, ou seja, 125 dm3 .

84 | TRAJETÓRIA 1

84 | MANUAL DO PROFESSOR

VERSUSSTUDIO/SHUTTERSTOCK

ATIVIDADES

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

LUPAS E LUNETAS

(EF06MA24) Resolver e

Sabendo que, utilizando o conceito de potenciação, podemos escrever: 1 m = 10 dm 3

1 m3 = 106 cm3 de que maneira usar essa notação pode auxiliar na escrita de números muito grandes? Reduzindo a quantidade de algarismos iguais a zero a repetir.

Trena mostrando 1 decímetro em escala real.

LEVO NA BAGAGEM

OLEKSII ARSENIUK/SHUTTERSTOCK

Respostas pessoais.

Consulte em seu caderno os trabalhos que desenvolveu, suas anotações de estudos e reflita sobre o que você aprendeu até agora neste passeio. ▶ Matemática • Você identifica características e propriedades de alguns sólidos geométricos? • Sabe estabelecer relações entre o número de arestas, faces e vértices de prismas e de pirâmides? • Sabe resolver problemas que demandam sua percepção espacial? • É capaz de resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de vários blocos retangulares? ▶ Outras disciplinas Arte • Consegue relacionar práticas artísticas a diferentes áreas, como a Matemática? • Experimentou diferentes formas de expressão artística, como desenho e modelagem? Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete o quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Insuficiente

Parcialmente suficiente

Satisfatório

Plenamente satisfatório

LUPAS E LUNETAS Apresente o cubo do milhar do material dourado para que os estudantes associem a 1 dm3 e o cubinho a 1 cm3; pergunte quantos cubos de 1 cm3 cabem no dm3. Outra possibilidade é que construam blocos de 1 dm3 ou também que construam 12 arestas de 1 m, com canudinhos de papel (ou levem canos de pvc) e posicionem na forma do cubo. Pergunte quantos blocos de 1 dm3 cabem nele. Depois construam coletivamente, na lousa, o registro do volume com base 10.

LEVO NA BAGAGEM

MATEMÁTICA OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que você autodiagnosticou.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

85 |

Neste momento do passeio, organize a leitura coletiva do texto para que, ao responder às questões propostas, os estudantes reflitam sobre seu aprendizado enquanto escutam ativamente as dificuldades encontradas pelos colegas. Com o preenchimento do quadro, classificarão seu desempenho em Matemática e/ou nas disciplinas presentes nas atividades interdisciplinares. Diante dessas informações, poderão conversar com professores, familiares ou amigos para compartilhar suas estratégias e repensar em novas atitudes que contribuam para minimizar as dificuldades.

85 |

BARCOS E PORTOS

Organize

Solicite aos estudantes que transcrevam o fluxograma para o caderno. Caso tenham realizado a exposição de expressões artísticas anteriormente, resgate esse material para classificá-lo e completar o fluxograma.

▶ Organize Respostas pessoais. Neste passeio, você estudou variadas figuras planas e não planas, como os poliedros. Foram também discutidas maneiras de calcular o volume de blocos retangulares. Desenhe no caderno um esquema semelhante ao exemplo e organize os tipos de figuras estudadas. Considere acrescentar as informações sobre volumes ao falar de prismas.

Proponha

Figuras geométricas

Retome a pergunta inicial deste passeio: Como utilizamos a Matemática para agir sobre o espaço ao nosso redor? Façam a leitura coletiva do texto e conversem sobre as maneiras de agir matematicamente. Depois, proponha que pesquisem objetos que possam ser construídos com material reciclado, aponte se a construção será em aula ou extraclasse e organize uma exposição dos trabalhos.

Planas

Não planas

▶ Elabore Vamos elaborar agora um esquema visual para sintetizar tudo que foi explorado neste passeio? Em grupos, retomem o esquema desenhado anteriormente. Em seguida, reproduzam as figuras geométricas utilizando diferentes formas de expressão artística: colagens, dobraduras, massa de modelar etc. • Reproduza um esquema similar ao primeiro, mas, desta vez, contemplando também as figuras produzidas com os diferentes materiais. • Exponha no mural da turma. Aprecie as produções dos demais grupos e conversem sobre a atividade. •

▶ Proponha A pergunta inicial deste passeio é: Como utilizamos a Matemática para agir sobre o espaço ao nosso redor? Formas como as de poliedros, prismas e pirâmides são utilizadas por diversos povos e civilizações. Apesar de identificarmos muitas dessas formas em construções, na arquitetura e na engenharia, elas também aparecem em diversos objetos cotidianos. •

Você considera que essas diversas produções são maneiras de agir matematicamente no espaço? Converse sobre esse assunto com os colegas.

86 | BARCOS E PORTOS

86 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Agora, incentive os estudantes a realizar uma exposição de suas artes! Uma alternativa é expor esses materiais na feira de Ciências, em conjunto com outras produções, de modo que apresentem oralmente como construíram cada objeto e sua respectiva função, contribuindo para a criatividade e para a conservação do meio ambiente.

SHUTTERSTOCK/ ARTE M10

Existem várias coisas do cotidiano que podem ser produzidas utilizando materiais recicláveis que apresentam muitas formas geométricas em sua composição. Podem ser feitos brinquedos, vasos de planta, organizadores, enfeites etc.:

Brinquedos e enfeites feitos com materiais recicláveis. •

Em grupos, conversem sobre os diversos materiais disponíveis, como caixas de papelão, latas, embalagens, vasilhames etc. e que tipos de objetos do dia a dia podem ser produzidos a partir deles. Conversem também com outros professores e elaborem objetos que possam ser utilizados na própria escola!

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

87 |

VISTORIAS

Habilidades de Matemática EF06MA01, EF06MA02, EF06MA03, EF06MA17, EF06MA24.

Você chegou ao final desta Trajetória. Reflita sobre tudo o que aprendeu e verifique a qualidade da sua aprendizagem. Resolva todos os exercícios no caderno.

CHECK-OUT

Atividade 1

No item a, as possibilidades de resposta são: 7, 8, 9 e 10. No item b, há apenas quatro possibilidades de resposta, que são: 4, 3, 2, e 1. No item c, as possibilidades são finitas e se restringem a: 4, 5, 6 e 7. No item d: na lacuna à esquerda, podem ser soluções: 1, 2 ou 3; na lacuna à direita, 5, 6, 899 < 9 998 < 9 999 7, 8, 9 ou 910.

1. Complete as desigualdades em seu caderno

substituindo o ■ por algum número natural de 1 a 10: Respostas possíveis:

a) 6 < ■ 8

b) ■ < 5 0 c) 3 < ■ < 8 5 d) ■ < 4 < ■ 1 e 9

2. Considere os números:

< 10 000 < 10 001 < 10 002 < 10 010

KRAKENIMAGES.COM/SHUTTERSTOCK

10 001, 9 998, 10 002, 9 990, 10 010, 10 000, 9 999 a) Escreva-os em ordem crescente utilizando o símbolo < (menor). b) Represente os números na reta numérica.

Atividade 3

3. Determine:

A partir do item c, é necessário aplicar os conhecimentos de sucessor e antecessor de forma composta. Para determinar o “sucessor do sucessor 3”, por exemplo, é necessário determinar o sucessor do 3, que é 4 e, em seguida, determinar o sucessor de 4, que é 5.

a) o sucessor de 4. 5 b) o antecessor de 18. 17 c) o sucessor do sucessor de 3. 5 d) o antecessor do antecessor de 101. 99 e) o antecessor do sucessor de 7. 7 •

f) o sucessor do antecessor de 100. 100

utilizando adições e multiplicações: a) 472 4 ⋅ 100 + 7 ⋅ 10 + 2 ⋅ 1 b) 6 754 6 ? 1000 + 7 3 100 + 5 3 10 + 4 3 1 c) 10 982 d) 213 454

Comente com os colegas como você fez para calcular cada uma dessas operações.

7. Ary dispunha de R$ 1.000,00 para suas despesas.

PROSTOCK-STUDIO/SHUTTERSTOCK

4. Decomponha os números em suas ordens

Atividade 4

A decomposição dos números é uma das maneiras de favorecer a compreensão do estudante em relação ao sistema de numeração decimal. Atente para o item c, na ordem da unidade de milhar, pois pode ser que alguns estudantes não utilizem 0 × 1 000 na representação da decomposição. Em uma discussão, pós-avaliação, isso pode ser destacado e discutido com a turma.

6. Utilize estratégias de decomposição numérica

2 3 100000 + 1 3 10000 ! 3 3 1000 ! 4 3 100 ! 5 3 10 ! 4 3 1

5. Arredonde os números para a dezena ou

a centena exata mais próxima e faça uma estimativa para a soma deles: a) 59 60 Estimativa da soma: b) 101 100 60 + 100 + 30 + 300 + 400 = 890. c) 28 30 d) 299 300 e) 397 400

4. c) 1 3 10000 + 0 3 1000 ! 9 3 100 + 8 3 10 ! 2 3 1 88 | VISTORIAS

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 5

88 | MANUAL DO PROFESSOR

Atividade 2

6. c) Possível resposta: (13 + 7) + (6 + 4) + (1 + 9) = 20 + 10 + 10 = 40.

Possível a) 9 990 < 9 998 6. < d) 9 999 < 10resposta: 000 < 10 001 < 10 002 < 10 010 50 + 6 + 60 + 7 = (50 + 60) + (6 + 7) = 110 +13 = 100 + 10 + 10 + 3 = 100 + 20 + 3 = 123. b) 01 0

98 99 10 00 10 0 00 10 1 00 2

6. e) Possível resposta: 100 + 20 + 3 + 300 + 20 + 9 = (100 + 300) + (20 + 20) + (9 + 3) = 400 + 40 + 12 = 400 + 40 + 10 + 2 = 400 + 50 + 2 99

99 90

Esse exercício pede ao estudante que faça estimativas e aproxime os números para múltiplos de potência de dez (exemplos: 30, 60, 100), além de exigir uma estimativa que trabalhará o cálculo mental a partir dos números arredondados.

É possível que alguns estudantes tenham dificuldade em realizar a transposição da sequência crescente dos números para sua representação na reta numérica. Alerte para que calculem o comprimento mínimo da reta (10 010 – 9 990 – 20) e, depois, façam a distribuição dos números ao longo de um segmento com medida de 20 unidades. Chame a atenção para que tenham cuidado com a escala a ser utilizada, escolhendo aquela que seja a melhor possível para realizar corretamente o registro e com clareza.

2 = 452.

a) Ela gastou R$ 200,00 no supermercado

e R$ 150,00 com um conserto elétrico. Determine quanto sobrou após esses gastos. R$ 650,00. b) Do que restou, uma parte ela reservou para comprar um livro. Mas acabou comprando, com esse dinheiro, um caderno de R$ 25,00 e ainda sobraram R$ 275,00. Quanto ela havia reservado para a compra do livro? R$ 300,00.

8. Sempre que está em casa, Duda se veste

11. Calcule os resultados das potenciações: a) 45 1 024

b) 105 100 000 c) 990 1

d) 1731 173

12. Pense nos seguintes objetos: caixa de sapatos,

bola de futebol, casquinha de sorvete, lápis sextavado, lata de óleo e barraca de camping. Quais são objetos com formas de corpos redondos e quais na forma de poliedros? JAVIER G./ M10

3 ⋅ 5 ⋅ 4 = 60. 60 maneiras.

13. Observe o sólido geométrico e responda: 9. Guga comprou uma caixa de ovos dispostos

em 8 fileiras de 7 ovos cada e Mário, uma caixa em que os ovos estavam dispostos em 6 fileiras de 9 ovos. Quem comprou mais ovos?

Atividade 6

• resolver pela “reconstituição

do todo”: Se sobraram 275 reais logo após o gasto de 25, então, para reconstituir o todo, deve ser feito: 275 + 25 = 300 Relembre com os estudantes que, na resolução de um problema, a etapa de verificar as respostas é um passo importante e eles podem fazer isso utilizando a adição e a subtração como operações inversas. Essa atividade avalia a habilidade de utilizar o princípio multiplicativo em uma situação-problema. Verifique quais foram as estratégias utilizadas pelos estudantes. Comente pós-avaliação que, no caso de valores muito grandes, não é viável representar essas situações graficamente por meio do diagrama de árvore. Atividade 9

Essa atividade visa verificar se os estudantes são capazes de compreender organização retangular para multiplicação.

10. Helena tem 4 800 mL de suco para servir

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

– 25 = 275 ⇒ = 275 + 25 ⇒ = 300

Atividade 8

Guga: 8 × 7 = 56 ovos; Mário: 6 × 9 = 54 ovos. Logo, Guga comprou mais ovos.

aos convidados de sua festa. Calcule quantos copos completamente cheios ela conseguirá servir, sabendo que os copos têm capacidade de: a) 200 mL 24 copos. b) 300 mL 16 copos. c) 400 mL 12 copos.

Esse é um problema típico do campo aditivo, ou seja, pode ser resolvido com ideia de subtração ou de adição. Veja dois modos possíveis de resolvê-lo: • considerar o valor desconhecido:

a) Cada uma de suas faces corresponde a

qual tipo de figura plana? Quadrados e trapézios. b) Determine quantas faces, vértices e arestas ele tem. 6 faces, 8 vértices e 12 arestas. 89 |

e) (100 + 300) + (20 + 20) + (3 + 9) = Pós-avaliação, pode-se pedir aos alunos que = 400 + 40 + 12 = 452 apresentem seus registros e discutam as estratégias Atividade 7 utilizadas. Idealmente, eles deverão perceber que utilizar a decomposição numérica e as proprieda- a) Estratégia possível: 1 000 – 200 – 150 = 1 000 – 300 – 50 = des da adição tornam suas estratégias de cálculo 700 – 50 = 650. mental mais potentes. b) Estratégia possível: a) (3 + 7) + 15 = 10 + 15 = 25 A parte reservada por Ary é desconhecida. b) (12 + 8) + (25 + 5) = 20 + 30 = 50 No entanto, sabemos que dessa parte ela gasc) (13 + 7) + (6 + 4) + (9 + 1) = 20 + 10 + 10 = 40 tou 25 reais com um caderno e ainda sobraram d) (50 + 60) + (6 + 7) = 110 + 13 = 123 275 reais.

Atividade 10

a) 4 800 ÷ 200 = 48 ÷ 2 = 24 b) 4 800 ÷ 300 = 48 ÷ 3 = 16 c) 4 800 ÷ 400 = 48 ÷ 4 = 12

Essa atividade avalia as estratégias de divisão na resolução de problemas. É esperado que os estudantes sejam capazes de utilizar as propriedades do Sistema de Numeração Decimal para simplificar as divisões a serem realizadas.

89 |

Sólido B

Atividade 11

este outro sólido geométrico: a) 45 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 16 ⋅ 16 ⋅ 4 = 16 ⋅ 2 ⋅ 16 ⋅ 2Observe = 32 ⋅ 32 = 1 024

4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 16 ⋅ 16 ⋅ 4 = 16 ⋅ 2 ⋅ 16 ⋅ 2 = 32 ⋅ 32 = 1 024 6 ⋅ 16 ⋅ 4 = 16 ⋅ 2 ⋅ 16 ⋅ 2 = 32 ⋅ 32 = 1 024 2 ⋅ 16 ⋅ 2 = 32 ⋅ 32 = 1 024 b) Basta notar a regularidade nas potências de 10. c) Qualquer número não nulo com expoente zero é igual a 1. d) Qualquer número com potência 1 é igual a ele mesmo.

Sólido A: 24 blocos. Sólido C Sólido B: 23 blocos. Sólido C: 26 blocos. Sólido D: 32 blocos.

Atividade 12

Atividades 13 e 14

Essas atividades avaliam a capacidade dos estudantes em quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas, pirâmides e troncos de pirâmides. No caso da atividade 14, ao não estar representada a imagem das figuras para o estudante, é exigido dele a visualização mental por meio da própria imaginação. Atividade 15

Aqui o estudante calcula o volume de diferentes figuras usando uma figura unitária, o menor bloco (um cubo) como unidade de medida, avaliando sua capacidade de abstração para visualizar os blocos ocultos e representando um volume sem uso de fórmulas. Atividade 16

O estudante precisa abstrair para criar um bloco retangular cujo volume seja o indicado em cada item. Em um momento pós-avaliação, é possível discutir as diferentes soluções obtidas pelos estudantes, mostrando que há diversas possibilidades para as figuras de acordo com os volumes em cada item.

90 | MANUAL DO PROFESSOR

c) Cada uma de suas faces corresponde a

qual tipo de figura plana? Hexágonos e retângulos.

d) Determine quantas faces, vértices e ares-

tas ele tem. 8 faces; 12 vértices; 18 arestas.

14. Determine o número de faces, arestas e

vértices de um prisma e de uma pirâmide, ambos com polígonos das bases com 5 lados.

15. Usando o menor bloco como unidade de

medida, determine o volume de cada empilhamento.

Sólido D

16. Utilizando cubos de 1 m3 como unidade de

medida, desenhe prismas retangulares com os seguintes volumes: Sugestões de resposta: a) 12 m3 a) b) 18 m3 b)

17. Observe a imagem a seguir. Considere-a e

Sólido A

14. Prisma: 7 faces, 15 arestas, Sólido A 10 vértices. Pirâmide: 6 faces, 10 arestas, 6 vértices.

Sólido B

elabore um problema utilizando no enunciado uma destas unidades de medida: 1 cm3 ou 1 dm3. a) Dê seu problema para um colega resolver. b) Corrija a resolução do seu colega e depois compartilhe seu problema no mural da sala. DMITRY RUKHLENKO/SHUTTERSTOCK

Essa atividade favorece a avaliação da capacidade do estudante quanto à percepção espacial, recorrendo às características memorizadas dos objetos do cotidiano e às formas dos corpos redondos e dos poliedros.

Sólido B

90 | VISTORIAS

Problema possível: Cada cubinho dessa imagem mede 1 cm3. Qual é o volume total nesse conjunto de cubinhos, imaginando que formou um cubo perfeito? 64 cm3. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 17

A elaboração de uma situação-problema leva o estudante a um grau mais exigente da compreensão Sólido C de situações que envolvam a grandeza volume, C retangulares. com sólidos formados porSólido blocos Desse modo, o estudante tem a responsabilidade de pensar tanto na situação-problema quanto na avaliação da resolução que o colega escreveu. Ao fim, proponha a troca de experiências em uma roda de conversa.

Sempre é bom refletir sobre nossos hábitos de estudo. Proponha a autoavaliação, solicitando que os estudantes respondam às questões, e o aprofundamento dos temas por meio dos recursos que esta obra disponibiliza. Ao refletir sobre os modos de aprender, o estudante poderá levantar possíveis atitudes a serem ajustadas com a intenção de se conhecer e se desenvolver para obter um melhor desempenho escolar.

DE OLHO NA BÚSSOLA Após resolver corretamente os exercícios da seção Check-out, você pôde checar se de fato aprendeu a: OBJETIVOS

EXERCÍCIOS

Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais.

1, 2, 3

Identificar as principais características do sistema de numeração decimal como valor posicional e função do zero.

1, 2, 3

Fazer composição e decomposição de números naturais.

4, 6

Localizar números naturais na reta numérica.

Fazer estimativas de quantidades.

Identificar características e propriedades de alguns sólidos geométricos.

12, 13, 14

Estabelecer relações entre o número de arestas, faces e vértices em prismas e pirâmides.

13, 14

Resolver problemas por meio da percepção espacial.

Resolver e elaborar problemas que envolvam a grandeza volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas.

15, 16, 17

Identificar e aplicar diferentes estratégias de resolução de problemas.

7, 8, 9, 10

Resolver problemas diversos utilizando operações de adição, subtração, multiplicação e divisão.

7, 8, 9, 10

Compreender e aplicar a operação de potenciação com números naturais.

Considerando os exercícios que você resolveu, como julga seu desempenho: insuficiente, parcialmente suficiente, satisfatório ou plenamente satisfatório? Resposta pessoal. Prossiga ▶ Continue estudando! Retome esta Trajetória buscando, com professores e colegas, alternativas para superar os obstáculos de sua aprendizagem. Estude a seção Retornos e resolva novos exercícios referentes à Trajetória 1 que estão na seção Suplemente sua aprendizagem, ao final do livro.

DICAS DE ESTUDO Cada pessoa tem seu jeito de aprender. Algumas pessoas aprendem mais rapidamente ouvindo, são as auditivas. Outras aprendem melhor observando imagens, são as visuais. Finalmente, há aquelas que aprendem rapidamente se tocarem nos objetos e se estiverem "mergulhadas" na situação, são as cinestésicas. Seja qual for o seu modo de aprender, duas dicas são bastante importantes: I. tire o máximo proveito da sua melhor forma de aprender, recorrendo a ela com

frequência, sempre que possível; II. aos poucos, vá também estimulando os outros dois modos de aprender que, por

ventura, estejam menos desenvolvidos em suas estratégias para estudar e aprender. Acompanhe mais dicas como essas, ao final de cada Trajetória, e faça o melhor uso delas. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

91 |

TRAJETÓRIA 2

PANORAMA DA TRAJETÓRIA Competências gerais: 5, 9 Competências específicas: 5, 7, 8 GORODENKOFF/SHUTTERSTOCK

Habilidades de Matemática: EF06MA04, EF06MA05, EF06MA06, EF06MA12, EF06MA14, EF06MA18, EF06MA19, EF06MA20, EF06MA22, EF06MA23, EF06MA25, EF06MA26,

Arte: EF69AR07 Ciências da Natureza:

EF06CI13

Educação Física: EF67EF02

ZURIJETA/SHUTTERSTOCK

Habilidades de outras disciplinas:

TOMERTU/SHUTTERSTOCK

EF06MA27

Geografia: EF06GE01 História: EF06HI14 Língua Portuguesa:

EF67LP23, EF69LP25 Temas Contemporâneos Transversais: Diversidade Cultural Ciência e Tecnologia Vida familiar e Social Educação em Direitos Humanos

CONTEÚDOS DA TRAJETÓRIA Passeio 1 – Múltiplos e divisores

• Números pares e números ímpares • Fluxograma • Múltiplos e divisores • Critérios de divisibilidade Passeio 2 – Retas e ângulos

• Ponto, reta e plano • Ângulos • Retas paralelas e retas concorrentes Passeio 3 – Relação de igualdade e polígonos

• Relação de igualdade e valor desconhecido • Aproximações para potências de 10 • Triângulos, quadriláteros, polígonos

92 | MANUAL DO PROFESSOR

QUAL É A RELAÇÃO ENTRE AS TECNOLOGIAS DIGITAIS E A IDENTIDADE DAS PESSOAS? • O que são as tribos digitais? • Como as tecnologias digitais ativam a criatividade nas

artes visuais?

• No espaço virtual, somos iguais ou diferentes?

92 | Trajetória 2

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Sugestão de atividade

Ao iniciar a Trajetória, os estudantes já trazem consigo muitas referências, de conhecimentos matemáticos ou não. Utilize essa diversidade de conhecimentos para, por exemplo, compor coletivamente um mapa de vínculos e relevâncias a respeito dos conhecimentos que eles imaginam fazer parte da temática apontada na pergunta motivadora da Trajetória, que é: Qual é a relação entre as tecnologias digitais e a identidade das pessoas? As questões motivadoras, próprias das aberturas de cada Trajetória, têm caráter abrangente e o mais

SHISTA CHAKMA/ SHUTTERSTOCK.

pergunta e que, de algum modo, seria importante buscarem saber mais sobre cada palavra-chave anunciada, no intuito de gerar um campo de sentidos para a busca de respostas à pergunta problematizadora da Trajetória. Observe que a estrutura da pergunta propõe relação entre duas expressões que possibilitam, cada uma, diversas buscas de conhecimentos. Escreva essas duas expressões, cada uma no interior de um círculo, ou elipse, distante um do outro e, por meio de linhas, crie conexões com outras palavras conforme a rede de sentidos e de relevâncias para a pergunta enunciada. O mapa pode ter diversos vínculos associados por diferentes palavras. As palavras decorrentes das duas primeiras devem, também, estar dentro de círculos ou elipses. Se possível, escreva somente uma palavra ou duas dentro de cada círculo. Utilize círculos de tamanhos diferentes para indicar o grau de relevância de cada termo ou o grau de aprofundamento estimado à necessidade de novos conhecimentos. Podem, também, ser utilizadas cores diferentes para indicar cada grupo de palavras de um mesmo campo de conhecimento ou de uma mesma rede de significados. A construção coletiva desse mapa vai servir como um primeiro passo para levantar conhecimentos prévios e elencar as prioridades de aprendizagem esperadas pelos estudantes e orientadas pelo professor. Serve também para, a partir da análise de cada palavra-chave, listar à parte as fontes possíveis para a busca de significados de cada uma delas. Veja um exemplo:

MOHAMED ALAYA/ SHUTTERSTOCK.

A tecnologia favorece a criação de mundos imaginários fantásticos.

Imagem de anime representando noite fantástica com grandes medusas.

A cultura digital cria mundos nos quais os jovens exercem costumes e modos de interação por meio dos recursos da tecnologia digital. A necessidade de comunicação, seus meios e suas diversas formas possibilitam que esses jovens desenvolvam seu próprio modo de ser e de participar da comunidade da qual fazem parte.

LUPAS E LUNETAS Reflita sobre as questões apresentadas anteriormente e considere-as para elaborar outras perguntas de sua própria autoria. Publique suas perguntas no mural da sala de aula e aprecie as perguntas dos colegas. Respostas pessoais.

93 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

provável é que não seja possível dar uma resposta fechada ou rígida em um momento estanque, por exemplo, quando a pergunta é enunciada pela primeira vez em aula. O professor, como mediador do processo de ensino-aprendizagem, pode apresentar recursos criativos ou motivadores de reflexões que, para os estudantes, por si mesmos e em outras situações, talvez não ocorressem. Escreva a pergunta no topo da lousa e, abaixo dela, comece um processo de construção de um mapa de vínculos e relevâncias com os termos que os estudantes imaginam ter relação com a

Relações sociais

Urbanas

Tecnologias digitais

Tribos

Dispositivos eletrônicos

Identidade das pessoas

Digitais Redes sociais

Computador

Celular Pertencimento

Valores

Afinidades Bem-estar comum

Concepção de si mesmo

Crenças

Metas

93 |

Ao longo da Trajetória, vá orientando os estudantes em suas pesquisas e, a cada fase, proponha a eles ir à frente da sala e apresentar o que descobriram e quais dos conhecimentos que trouxeram se conectam ou se diferenciam dos significados matemáticos. Por exemplo, a palavra comum: o que torna algo “comum”? No caso da Matemática, é possível pensar em um número em relação a dois conjuntos diferentes. O pertencimento de um mesmo número a dois conjuntos diferentes torna-o comum a ambos os conjuntos. Os estudantes podem explorar os diferentes significados da palavra comum: quais seriam as propriedades de dois conjuntos dotados de elementos comuns (os múltiplos comuns de dois conjuntos) e quais as propriedades de um grupo social (uma tal tribo urbana, por exemplo). Essa construção de rede de significados por proximidades e por distanciamentos amplia as noções sociais, lógicas, de linguagem e de vivências dos estudantes por estarem em contato com um conhecimento que não se declara restrito à Matemática, às linguagens ou às ciências sociais. Além disso, aguça a criatividade para estabelecer conexões diversas e favorecer a valorização dos processos de enfrentamento e resolução de problemas como algo flexível e dinâmico. 94 | MANUAL DO PROFESSOR

PASSEIO 1 – MÚLTIPLOS E DIVISORES O QUE SÃO AS TRIBOS DIGITAIS? TOMERTU/SHUTTERSTOCK

Já encontrou a sua tribo?

Os grupos sociais são distintos, mas fazem parte do todo como um grande quebra-cabeça e suas peças. Os múltiplos grupos, cada um com seu próprio valor, ocupam diferentes papéis no espaço social.

CHECK-IN Juntando uma peça azul com uma cinza e uma amarela, obtemos esta montagem.

a) Quantos quadradinhos há na peça azul? Quantos quadradinhos haverá em 4 peças

azuis iguais a essa? E em 5? E em 6? E em 7? 5; 20; 25; 30; 35 quadradinhos. São números múltiplos de 5. b) Quantas peças cinza são necessárias para obtermos 20 quadradinhos? Que números dividem 20 deixando resto igual a zero? 5 peças cinza. 1, 2, 4, 5, 10, 20. c) Uma área com 30 quadradinhos foi coberta utilizando-se somente a peça amarela. Quantas peças foram utilizadas? Divisões de 30 por 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30 deixam que tipo de resto? 10 peças amarelas. Resto zero. 94 | TRAJETÓRIA 2

CHECK-IN A leitura e discussão desse tema permite que o estudante se envolva com os Temas Contemporâneos Transversais (TCT) Ciência e Tecnologia e Diversidade Cultural para que compreenda, utilize e crie tecnologias de informação para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos e resolver problemas, assim como respeitar as diferenças culturais entre as pessoas.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Forneça papel quadriculado e peça que reproduzam as peças da atividade. As questões apresentadas podem ser resolvidas coletivamente, de modo que sejam feitas novas perguntas que direcionem o estudante a compreender o que são múltiplos e divisores. Algumas possíveis respostas são: a) Se em 1 peça azul há 5 quadradinhos, em 2 peças teremos 10 quadradinhos; em 3 peças, 15 quadradinhos; e, em 4 peças, 20 quadradinhos. Se necessário, construa um quadro com as respostas:

igual a zero indicam os divisores naturais de 20: 1, 2, 4, 5, 10 e 20; c) A peça amarela tem 3 quadradinhos. Então, com 10 peças desse modelo cobrimos a área de 30 quadradinhos, pois 3 ⋅ 10 = 30. As divisões de um número por um de seus divisores têm resto 0. Como os divisores de 30 são 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30, o resto é zero.

ARREDORES

Resolução de problemas Generalizações

MÚLTIPLOS

DIVISORES

Fluxograma

Investigação Números compostos

Par

Critérios de divisibilidade

Números primos

Ímpar

EF06MA04, EF06MA05, EF06MA06 EF67LP23, EF06CI13, EF06HI14

BÚSSOLA Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: •

Classificar números naturais em primos ou compostos; reconhecer se um número “é múltiplo de”, “é divisor de” ou “é fator de” outro número e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000.

•

Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.

•

Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma, indicando a resolução de um problema simples. 95 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Número de peças

Quantidade de quadradinhos

É importante que os estudantes percebam que os múltiplos de determinado número têm características que facilitam sua identificação: nesse caso, os números sempre terminam em 0 ou 5. b) Se a peça cinza tem 4 quadradinhos, podemos concluir que precisamos de 5 peças, pois 5 ⋅ 4 = 20 ou 20 : 4 = 5. Por meio de investigação proponha aos estudantes realizar as divisões de 20 por: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9... 19 e 20. As divisões que têm resto 95 |

Proponha que apresentem as respostas coletivamente, para ampliarem o conhecimento sobre as tribos digitais. Com essa intenção, converse com os estudantes sobre a importância de respeitar a ordem de fala de cada um. Durante a discussão, para que consigam compreender as ideias uns dos outros, é importante que aconteçam duas situações simultaneamente: enquanto um estudante verbaliza seu modo de entender o texto e sua vivência diante desse tema, os outros escutam atentamente para possíveis argumentações. Observe se os estudantes formulam perguntas coerentes e relacionadas ao tema proposto. Caso perceba a necessidade de intervenção, explique como devem ser formuladas questões adequadas em atividades coletivas. Ao trabalhar nessa perspectiva, nota-se que é possível também contemplar uma das habilidades de Língua Portuguesa: EF67LP23.

ATMOSFERA Como as tribos digitais nascem [...] Com a explosão das redes sociais, a possibilidade de interagir com diversas tribos que representam os mesmos desejos, anseios e expectativas se multiplicou. Antes disso, a proximidade geográfica, a faixa etária ou sexo eram os poucos quesitos que separavam um grupo do outro nas salas de bate-papo. Hoje, existe um verdadeiro ecossistema comunicativo que facilita o ajuntamento dos indivíduos com gostos mais específicos. [...] há grupos exclusivos para mulheres ruivas, homens de barba, mochileiros viajantes, freelancers e outros tantos que a sua mente conseguir imaginar.

Conheça alguns tipos de tribos digitais Como você viu, as tribos são formadas, principalmente, pela afinidade de comportamentos e interesses. Seria humanamente impossível descrever todas. Por isso, confira estas: Geek Um geek é conhecido como alguém que é apaixonado por tecnologia. Existem aqueles que são apenas entusiasmados pelo tema, outros têm a casa toda estruturada com equipamentos de ponta e ainda os que montam os próprios brinquedinhos eletrônicos. Nerd Esse grupo tem fama de inteligente. Isso

acontece porque eles são muito dedicados quando estão aprendendo alguma coisa. Gastam incansáveis horas para aperfeiçoar cada detalhe durante o aprendizado. Pessoas que possuem um grande fascínio por conhecimento e tecnologia se encaixam no grupo dos nerds. Otaku MENTATDGT/SHUTTERSTOCK

Encontro com outras disciplinas (EF67LP23) Respeitar os turnos de fala, na participação em conversações e em discussões ou atividades coletivas, na sala de aula e na escola e formular perguntas coerentes e adequadas em momentos oportunos em situações de aulas, apresentação oral, seminário etc.

Fãs de anime.

No mundo inteiro, existe uma legião de fãs de desenhos japoneses conhecidos como anime. Eles fazem parte da comunidade denominada otaku e praticam o cosplay, que é, basicamente, se fantasiar de um personagem e participar de eventos organizados para esse tipo de exposição.

TRIBOS digitais: como elas escolhem seus influenciadores. Airfluencers. Disponível em: https://blog.airfluencers. com/blog/tribos-digitais-como-elas-escolhem-seus-influenciadores. Acesso em: 28 jun. 2022.

ATIVIDADES

Considere as informações que você leu no texto para responder. a) Que tribos digitais o texto cita? Geeks, nerds e otakus.

b) Você conhece outras tribos digitais? Comente com os colegas. Resposta pessoal. c) Você pertence a diferentes grupos sociais? Como você transita por eles?

Resposta pessoal.

d) Como você se vê diante da necessidade de apresentar propostas de soluções para

os problemas que podem surgir dentro dos diversos grupos sociais? Resposta pessoal.

e) Como você utiliza as noções de dividir, partilhar e multiplicar nesses grupos?Resposta

pessoal.

f) Você considera seu pensamento organizado e sua fala clara para se expressar dentro

de cada grupo? Ouça as diferentes opiniões dos colegas e reflita sobre as estratégias que julgar melhores para as suas necessidades específicas. Resposta pessoal.

Atividade 1

Após a leitura do texto, elabore perguntas para que os estudantes compreendam as diferenças culturais de cada tribo e a importância de respeitar os diversos interesses e comportamentos. Sugira que realizem a atividade em duplas ou trios. Faça a leitura coletiva e esclareça o significado de possíveis palavras desconhecidas: algumas palavras, como dividir, partilhar e multiplicar podem contribuir na elaboração e compreensão das respostas. 96 | MANUAL DO PROFESSOR

96 | TRAJETÓRIA 2

Ao concluir a tarefa, organize a socialização das respostas. Uma possibilidade de aprofundamento dessa atividade é focar em expressões “emprestadas” de outras áreas do conhecimento ou com significado original diferente dos apresentados no texto, como: “ecossistema” e “tribo”. Debata com os estudantes inclusive se essas opções de expressão são as melhores e sugira uma investigação sobre expressões alternativas.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Sugestão de leitura

Esse artigo apresenta um referencial teórico sobre o tribalismo, que por certa perspectiva é caracterizado pela fluidez, pelos ajuntamentos pontuais e pela dispersão, considerando os encontros uma possibilidade de gerar redes de socialidade a partir da formação das tribos virtuais. Corrêa, Cynthia H. W. Uma abordagem teórica sobre a formação de tribos virtuais: do banal ao intelectual. V ENLEPICC – UFBA, 11 nov. 2005. Disponível em: http://www.gepicc.ufba.br/enlepicc/ pdf/CynthiaCorrea.pdf. Acesso em: 8 jul. 2022.

#Números pares ou números ímpares

ALEXANDRE R./M10

Gael está brincando com um jogo em seu celular. Nesse jogo, a cada fase, as estrelas aparecem aos pares e as moedas aparecem em quantidades ímpares. Cada uma vale um ponto.

Os números pares são aqueles que, ao serem divididos por 2, têm resto zero. Os números ímpares são aqueles que, ao serem divididos por 2, deixam resto diferente de zero.

Atividade 4

LUPAS E LUNETAS Quais são os restos que podemos obter na divisão de qualquer número natural por 2? 0 ou 1. Considerando essa reflexão, reescreva a definição de número ímpar. Um número é ímpar quando o resto da divisão dele por 2 for 1. ATIVIDADES

2. Gael continuou seu jogo. Respostas pessoais. Respostas possíveis: a) 2, 6, 4; b) 9, 5, 5. a) Quantas estrelas você imagina que apareceram em três fases seguidas?

b) Quantas moedas você imagina que apareceram em três fases seguidas? •

Compartilhe suas respostas com os colegas.

3. No caderno, escreva a sequência formada pelos sete primeiros números ímpares maiores do que 11. 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25.

4. Explique por que o número 17 é ímpar. Resposta esperada: porque o resto da divisão de 17 por 2 é 1. 5. Descubra o décimo termo de cada sequência: a) 6, 8, 10, 12... 24

b) 13, 15, 17, 19... 31

c) 18, 21, 24, 27, 30... 45

6. Esta é a sequência dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12... O número 1 é o su-

cessor do 0; o número 2 é o sucessor do 1; o número 3 é o sucessor do 2; e assim por diante. Considere essa informação e responda: a) É dada uma sequência composta de quatro números naturais consecutivos: 37, a, 39, b. Qual é o valor de a? E de b? a = 38 e b = 40. b) Na sequência x, y, 82, os termos são números naturais pares consecutivos. Qual é o valor de x? Qual é o valor de y? x = 78 e y = 80. c) Na sequência r, 99, s, os termos são números naturais ímpares consecutivos. Qual é o valor de r? E de s? r = 97 e s = 101.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LUPAS E LUNETAS Apresente algumas operações de divisão na lousa, com dividendos pares e ímpares. Peça aos estudantes que resolvam e observem o valor do resto. Oriente-os a expressar com suas palavras o que compreendeu sobre a definição de par ou ímpar.

Para todos os números ímpares, o resto da divisão por 2 é 1. Proponha que, por meio de investigação, os estudantes façam a divisão por 2 de alguns números ímpares e, assim, percebam que o resto sempre é 1. Atividade 5

Primeiro, é preciso que os estudantes percebam a regularidade de cada sequência, para depois completá-la até o 10o termo. a) Números pares entre 5 e 25: 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24. b) Números ímpares entre 12 e 32: 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31. c) Números múltiplos de 3 entre 20 e 46: 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45. Atividade 6

a) O sucessor de 37 é o 38, enquanto o sucessor de 39 97 | é o 40. Com isso, a = 38 e b = 40. a = 38 e b = 40. b) A sequência é formada por números pares: o número respondam e que compartilhem suas respostas. par que antecede 82 é 80 e o par que antecede 80 é 78. Essas atividades contribuem para o desenvolviAssim, x = 78 e y = 80. mento do pensamento algébrico trabalhado no c) O número ímpar que antedecorrer da Trajetória. cede o 99 é o 97 e o que sucede o 99 é o 101. Atividade 3

A partir do conjunto dos números naturais, outros subconjuntos podem ser determinados. Atividades 2 a 6 Nesse caso, podemos escrever os sete primeiros Retome o significado de números naturais, números ímpares a partir do número 11 e, assim, sucessor, antecessor e consecutivos. Estimule que obter 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25. 97 |

Habilidades (EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá ‑lo por fluxograma que indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par). (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investi gações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. Atividades 7 e 8

Oriente que façam esta atividade em duplas ou trios e apresentem o algoritmo e o fluxograma em cartolina ou na lousa. Solicite aos estudantes que comparem as etapas do desenho com as etapas escritas: eles devem observar se todas as etapas escritas estão relacionadas com as etapas da figura. O uso de fluxograma introduz o pensamento computacional, um Tema Contemporâneo Transversal. Explore o significado das formas e o tipo de comando correspondente para que construam um fluxograma nas atividades posteriores. Enfatize que os fluxogramas facilitam a compreensão de processos, pois os apresentam de maneira visual, sintética e descomplicada.

#Linguagem matemática: fluxograma O esquema mostra as etapas percorridas no processo necessário para determinar se um número é par ou se é ímpar.

Observe que o esquema, chamado de fluxograma, tem estas características:

• as figuras arredondadas indicam o início e o fim do processo;

• as figuras retangulares são reservadas para instruções ou afirmações; • a figura em forma de losango é a tomada de decisão; • as setas conectam um passo ao seguinte.

Esse fluxograma determina se um número natural n é par ou é ímpar ao efetuar a divisão do número dado por 2 e verificar se o resto é zero ou não. Lembrando que a divisão de qualquer número natural por 2 deixa resto 0 ou resto 1. ATIVIDADES

7. Davi quis fazer um fluxograma que mostrasse as etapas

para acessar, via celular, as mensagens de seu aplicativo de mensagens instantâneas preferido. Antes de elaborar o fluxograma, ele fez um algoritmo: uma sequência de ações e instruções apresentadas em linguagem natural e em uma ordem lógica, finita, que, ao serem seguidas, resolvem um problema ou executam uma tarefa.

Clicar no ícone do aplicativo; Verificar se há novas mensagens; SE (há mensagens novas?) ENTÃO: Leia todas e responda. SE NÃO: Ignore. FIM

a) Considere o algoritmo de Davi e, usando o mesmo “esqueleto” do fluxograma apresentado

anteriormente, represente-o na forma de fluxograma. Clicar no ícone do aplicativo.

Há novas mensagens?

Ignorar.

NÃO

FIM

INÍCIO Verificar se há novas mensagens.

SIM

Leia todas e responda.

b) Reúna-se com um colega e pensem em alterações que vocês fariam nas etapas do algoritmo

de Davi. Acrescentem ou alterem etapas conforme preferirem e, depois, representem esse novo algoritmo por meio de um fluxograma. Compartilhem o algoritmo e o fluxograma de vocês. Resposta pessoal.

8. Represente por meio de um algoritmo o fluxograma que determina se um número é par ou ímpar. 98 | TRAJETÓRIA 2

INÍCIO Entre com um número natural n. Divida n por 2.

Sugestão de leitura

Alguns exemplos de fluxogramas podem ser encontrados no link: https://repositorio.ufpb.br/ jspui/bitstream/123456789/21676/1/JEVJ21122021. pdf. Acesso em: 28 jul. 2022. Nesse trabalho, são analisadas propostas de fluxogramas em uma coleção de livros didáticos de Matemática dos quatro anos finais do Ensino Fundamental.

98 | MANUAL DO PROFESSOR

INÍCIO

SE (o resto da divisão for zero) ENTÃO: O número é par. SE NÃO: O número é ímpar. FIM

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

#Múltiplos de um número natural

GIUSEPPE_R/SHUTTERSTOCK/ ARTE M10

Os soldados de um jogo enfrentam as batalhas em grupos. Nesse jogo, se fôssemos formar grupos de três em três a partir do zero, faríamos assim:

A sequência numérica 0, 3, 6, 9, 12 é formada pelos primeiros múltiplos naturais de 3. Imaginando essa sequência numérica continuando até o infinito, teríamos: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18..., que é a sequência dos números naturais múltiplos de 3. Um número natural M é múltiplo de outro m se existir um terceiro número natural p, que, ao multiplicarmos por m, vamos obter M.

Exemplo: 12 é múltiplo de 3, pois existe o número natural 4 de modo que 12 = 4 × 3.

Pense na sequência infinita dos múltiplos naturais de outros números, por exemplo, os múltiplos de 2. a) Qual é o primeiro múltiplo natural de 2? 0 Não existe um “último múltiplo de 2” porque a sequência dos múltiplos de 2 é b) E qual é o último? infinita. c) Pense de modo a generalizar a resposta: qual é o primeiro termo da sequência dos múltiplos naturais de um número qualquer e qual é o seu último termo? 0; não existe um último termo. • Converse sobre isso com os colegas.

ATIVIDADES

9. Arthur escreveu uma lista com os múltiplos naturais de 4 no caderno:

0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36... Aline também escreveu uma lista, só que a dela era dos múltiplos naturais de 6. Logo após o 10º termo, ela acrescentou reticências para dar a ideia de que a sequência continua. Escreva em seu caderno como ficou a lista de Aline. 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54...

10. Quais são os múltiplos naturais de 7 que têm somente dois algarismos? 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98

11. Indique seis números múltiplos de 15, incluindo pelo menos um que seja maior do que 100 e um que seja maior do que 200. Resposta possível: 135, 150, 165, 180, 195, 210.

99 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

a) Para determinar os múltiplos naturais do número 2, devemos multiplicá-lo pelos números naturais. O primeiro número natural é o 0. Logo, 2 ⋅ 0 = 0. E, assim, podemos concluir que o número 0 é o primeiro múltiplo natural de qualquer número natural. b) Como você pode verificar, o conjunto dos múltiplos naturais de determinado número (com exceção do zero) é infinito, porque existem infinitos naturais para multiplicar. Logo, não há o maior múltiplo de um número.

Complemente as informações apresentadas sobre as incógnitas e continue a mediação: se um número é representado por n, como representamos o dobro dele? E o triplo? Atividade 11

LUPAS E LUNETAS

c) O primeiro termo da sequência dos múltiplos é sempre 0, e, como haverá sempre o próximo termo, não haverá um último termo. Atividades 9 a 14

Converse com os estudantes sobre generalizações. É possível iniciar perguntando: • Como podemos representar um número que não sabemos qual é?

Nessa atividade, muitas respostas podem surgir. Proponha que investiguem quais são os números naturais múltiplos de 15. Peça que escrevam alguns maiores que 100 e outros maiores que 200. É importante que percebam que existem infinitos números naturais múltiplos de 15, logo, são infinitos os múltiplos de 15 maiores que 100 ou maiores que 200. Sugestão de atividade

Uma sugestão de atividade é propor uma competição em que ganha quem registrar o maior número par. Peça que escolham um número par e anotem no caderno. Escolha um estudante e peça que diga o número escolhido. Depois, quem escolheu um número par maior que o anterior pode dizê-lo, e até que se encontre o vencedor, repita a brincadeira. Agora, tente mudar a regra do jogo: cada um diz um número par pela ordem de chamada, e quem escolher o maior ganha. O que eles acham dessa regra? É justa? Todos têm a mesma chance de ganhar?

• Quais símbolos vocês usariam para representar um número? 99 |

12. Na linguagem matemática, podemos utilizar letras para indicar um número qualquer. Por exemplo,

para indicar um múltiplo de 5, podemos escrever 5 ⋅ n, para n natural, n ≥ 0. Chamamos essa forma de generalização ou forma geral. É fácil ver por que essa é a forma geral: 5! ! 0 5! ! 1 5 ! 2 5! ! 3 5! ! 4 5! ! 5 …5 ! n ! ! 0

Atividade 13

Para determinar o número de cadeiras, devemos dividir o número de pés por 4, isto é, 156 : 4 = 39 cadeiras. Atividade 14

Pode-se determinar os múltiplos de 3 e de 8, encontrar os números repetidos da lista e, por fim, escolher aquele que está entre 70 e 80.

deiras há nessa sala de aula? 39 cadeiras.

14. A idade do vovô Léo é maior do que 70, menor do que 80 e um múltiplo de 3 e de 8. Qual é a idade dele? 72 anos.

#Divisores de um número natural Alguns adolescentes estão brincando com jogos virtuais em 3D.

Em um jogo virtual, cada jogador começa com 48 pontos e o objetivo é manter essa pontuação. Sabe-se que se o jogador não conseguir manter essa pontuação até o fim da primeira fase, a segunda começa com uma pontuação menor e assim por diante. Veja a mudança de pontuação, de uma fase para outra: 48, 24, 16, 12, 8, 6, 4, 3, 2, 1 O esforço dos jogadores é de passar de uma fase para a outra com a mesma pontuação da fase anterior. Vence quem chegar à última fase com o maior saldo de pontos. A regra desse jogo usa uma sequência numérica que, em ordem crescente, é 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 e 48; essa é a sequência dos números naturais divisores de 48. Um número natural não nulo é divisor de outro número se dividindo o segundo pelo primeiro obtivermos resto zero, ou seja, se a divisão for exata.

Exemplo: 4 é divisor de 48, pois a divisão 48 ÷ 4 = 12 tem resto zero, ou seja, é exata.

LUPAS E LUNETAS Pense na sequência crescente dos divisores naturais de outros números, por exemplo, os divisores de 32. a) Qual será o último divisor de 32 nessa sequência? 32 b) E qual é o primeiro divisor? 1 c) Pense de modo a generalizar: qual é o último termo da sequência crescente dos divisores naturais de um número qualquer e qual é o seu primeiro termo? O próprio número. O número 1. • Converse com os colegas.

100 | TRAJETÓRIA 2

100 | MANUAL DO PROFESSOR

13. Ao contar todos os pés das cadeiras de uma sala de aula, o número obtido foi 156. Quantas ca-

LUPAS E LUNETAS Uma possibilidade para a organização dos divisores naturais é fazer uma lista de todas as multiplicações que resultem em 32 e apontar a divisão como operação inversa: os divisores são os fatores que resultam 32, ou seja, 1 ⋅ 32 = 2 ⋅ 16 = 4 ⋅ 8. Escolha outros números e solicite que resolvam na lousa.

Escreva no caderno, utilizando uma generalização, os múltiplos naturais de 3, os de 8, os de 12 e os de 100. 3n; 8n; 12n; 100n, para n natural, n ≥ 0.

JAVIER G./ M10

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ATIVIDADES

15. Sara escreveu no caderno uma lista com os divisores naturais de 45:

1, 3, 5, 9, 15, 45 João também escreveu uma lista, mas com os divisores naturais de 42. Escreva em seu caderno como ficou a lista de João. 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

16. Sabia que conhecendo as noções de divisor você pode fazer previsões? Por exemplo, prever se

uma certa divisão será exata ou não. Que tal testar se você é bom nisso? Resolva cada questão e anote sua resposta no caderno: Não sobrarão lápis. a) Dividindo igualmente 48 lápis entre 6 crianças, sobrarão lápis ou não? Quantos? Não sobrarão b) Dividindo igualmente 160 pães entre 16 famílias, sobrarão pães ou não? Quantos? pães. c) Dividindo igualmente 180 cadernos entre 80 estudantes, sobrarão cadernos ou não? Quantos? Sim. Sobrarão 20 cadernos.

BURAVLEVA STOCK/SHUTTERSTOCK

Transitar entre ambos os conceitos favorece a compreensão dos significados correspondentes. Atividade 17

Representação livre sugerindo que, em diversas situações, a Matemática é uma ferramenta para predizer resultados.

17. Leia as afirmações e, no caderno, classifique cada uma delas em verdadeira (V) ou falsa (F). I. Os números 2, 3, 4 e 6 são todos os divisores naturais de 12. F II. 6 e 4 são divisores de 10 porque 6 + 4 = 10. F

III. Os cinco primeiros múltiplos naturais de 4 são: 0, 4, 8, 12 e 16. V IV. 15 é um múltiplo natural de 3. V V. 3 é um divisor natural de 15. V

VI. 2 e 4 são divisores naturais de 16, mas 6 não é. V VII.O número 0 é divisor de qualquer número. F O_Professor

@matemúltiplo

Lembre-se: em uma divisão, o divisor nunca pode ser zero. 31

101 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 15

Atividade 16

Conduza os estudantes a perceber algumas regularidades nas sequências dos divisores de números naturais, como: o 1 é divisor de qualquer número; o 0 não é divisor de nenhum número (pois não existe divisão por 0); a sequência dos divisores de um número tem um número finito de elementos; e, quando os divisores estão em ordem crescente ou decrescente, o produto dos termos equidistantes da sequência é sempre igual ao número. Assim: D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}.

a) O número 6 é divisor de 48, pois 6 ⋅ 8 = 48,. Portanto, não haverá sobra de lápis. b) O número 16 é divisor de 160, pois 16 ⋅ 10 = 160,. Portanto, não haverá sobra de pães. O número 80 não é divisor de 180, pois 180 : 80 não resulta em uma divisão exata. Nesse caso, haverá sobra de 20 cadernos porque 180 = 2 ⋅ 80 + 20. É interessante que os estudantes percebam que, por exemplo, “se 2 é divisor de um número, podemos afirmar que esse número é múltiplo de 2”.

Correção das afirmações falsas. I. Os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Logo, a lista apresentada está incompleta. Retome a afirmação de que todo número natural tem, pelo menos, dois divisores naturais distintos: o 1 e o próprio número. II. Não existe relação entre a soma dos termos e os divisores. O resultado da adição 6 + 4 ser igual a 10 não comprova que esses números são divisores de 10. Os divisores de 10 são: 1, 2, 5 e 10. VII. O zero não é divisor de nenhum número, pois não existe a divisão por zero. Mostre, por meio de exemplos, que essa divisão não faz sentido. Se tentarmos dividir o número 8 por zero, não conseguimos realizar a operação porque não existe nenhum número que multiplicado por zero resulte em 8, por exemplo.

101 |

Um jogo como esse pode ser instalado gratuitamente no aparelho de celular ou computador e existem outros jogos similares. Incentive os estudantes a pesquisar o que são tetraminós.

#Divisores ou fatores A imagem mostra um jogo de empilhar tetraminós que descem do topo da tela de modo que completem linhas horizontais. WACHIWIT/SHUTTERSTOCK

Foto de uma pessoa jogando e ilustração de todas as formas de tetraminós, peças que compõem esse jogo.

Quando uma linha fica totalmente preenchida, ela se desintegra, as camadas superiores descem e o jogador ganha pontos. Quando a pilha de peças cresce até que uma delas chegue ao topo da tela, a partida se encerra. Manuela gosta muito de jogos digitais e é muito criativa. Então, ela inventou uma versão desse jogo de tetraminós que usa a ideia de divisores. A base da tela tem capacidade para 12 quadradinhos. Suas peças têm apenas 3 modelos como as mostradas a seguir:

Atividade 18

Os registros possíveis são: Uma linha só pode ser preenchida com o mesmo tipo de peça:

• 3 + 3 + 3 + 3 = 12, ou seja, 4 × 3 = 12; • 4 + 4 + 4 = 12, ou seja, 3 × 4 = 12;

Para os estudantes perceberem essas soluções, distribua 12 quadradinhos feitos em EVA e solicite que formem os retângulos. Compare e mostre no quadro que estes retângulos apresentam as mesmas dimensões e, portanto, são o mesmo retângulo, independentemente da disposição:

• 6 + 6 = 12, ou seja, 2 × 6 = 12.

Na operação 4 × 3 = 12, os números 4 e 3 são fatores de 12. O mesmo vale na operação 2 × 6 = 12: os números 2 e 6 são fatores de 12. Os números 1, 2, 3, 4, 6 e 12 são divisores naturais de 12 ou, ainda, são fatores de 12. ATIVIDADES

18. Em uma malha quadriculada, desenhe regiões retangulares que preencham 12 quadradinhos. Quais soluções você encontrou? Exponha no mural da sala de aula. Resposta pessoal.

19. Doutor Alonso recomendou a Jussara que tomasse uma cápsula de vitamina de 8 em 8 horas por 5 dias. Para Karine, ele recomendou uma cápsula de 6 em 6 horas por 4 dias. a) Quantas cápsulas cada uma das moças vai ingerir? Jussara vai ingerir 15 cápsulas e Karine, 16 cápsulas. b) Quem vai ingerir mais cápsulas? Karine.

102 | TRAJETÓRIA 2

Atividade 19

Os estudantes podem organizar os resultados como sequência, lista ou quadro. Outra possibilidade é: Jussara vai tomar vitaminas por 5 dias, 102 | MANUAL DO PROFESSOR

que correspondem a 120 horas (5 ⋅ 24 = 120); como a vitamina será ingerida a cada 8 horas, a divisão determina a quantidade de cápsulas (120 : 8 = 15 cápsulas). Simultaneamente, Karine consumirá a vitamina por 4 dias, o mesmo que 96 horas (4 ⋅ 24 = 96); se a ingestão é de 6 em 6 horas, por divisão (96 : 6 = 16) sabemos que serão consumidas 16 cápsulas.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

NUVENS

(EF06MA04) Construir

Crie um aplicativo

MANGPOR2004/SHUTTERSTOCK

Anteriormente, você viu que Manuela é uma garota criativa. Agora, que tal se inspirar na atitude dela e criar você também um aplicativo?

Planejamento e criatividade em ação ao projetar um aplicativo.

SHUTTERSTOCK/ ARTE M10

Veja as etapas necessárias para você criar seu projeto de aplicativo:

Definir objetivos, o público-alvo; fazer esboços; criar wireframes.

Planejar o trabalho do desenvolvedor; validar o modelo idealizado.

Construir o aplicativo; criar o design.

Testar o aplicativo; fazer os ajustes necessários.

Experimentar a versão beta; lançar o aplicativo.

ATIVIDADES

20. Manuela criou um aplicativo que é uma variação de um jogo muito conhecido. Você

pode fazer a mesma coisa: se inspirar em um aplicativo de jogo (ou de outra categoria de sua preferência) para propor alterações ou simplificações em um aplicativo já existente. Respostas pessoais. a) Escolha o tipo de aplicativo e como ele funciona. b) Faça desenhos de cada tela do seu aplicativo.

c) Escreva as etapas do trabalho do desenvolvedor: cada tela precisa ter todas as

etapas descritas. Você pode fazer isso usando um fluxograma para cada tela.

d) Teste seu aplicativo seguindo cada um dos passos previstos na fase anterior. Faça

os ajustes necessários.

e) Publique seu aplicativo no mural da sala de aula. Aprecie as propostas dos colegas

e, coletivamente, apontem quais das ideias vocês consideram muito criativas.

21. Depois de apreciar as propostas de aplicativos dos colegas, reúnam-se em uma gran-

algoritmo em linguagem natural e representálo por fluxograma que indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par).

Verifique a possibilidade de criarem esse aplicativo usando dispositivos móveis. Caso nem todos os estudantes possuam um aparelho móvel, proponha que a atividade seja realizada em grupos; verifique antecipadamente se a escola disponibiliza rede wi-fi, pois caso haja a necessidade de usar a internet, nem todos os estudantes poderão ter a rede disponível em seus dispositivos móveis. O uso de aplicativos em sala de aula é uma proposta bastante eficaz para quem quer despertar o interesse e promover o engajamento dos estudantes em atividades que permitem o uso da tecnologia. Atividades 20 e 21

Os estudantes podem se inspirar nos aplicativos que conhecem; sugira que façam com o auxílio da família um livreto com as informações da proposta dessas atividades. Organize a exposição dos trabalhos e faça uma roda de conversa para socializar as vivências no decorrer do processo.

de roda e troquem ideias sobre as informações que cada um foi buscar, como cada um imaginou seu aplicativo funcionando e como pesquisou para oferecer o melhor resultado. Respostas pessoais.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

103 |

#Critérios de divisibilidade

ANTONIO J MOZAS/SHUTTERSTOCK

Geovani se considera da tribo dos fotógrafos do cotidiano. Ele faz ótimas fotos com seu celular. Esse mês ele selecionou 416 fotografias para montar um foto-livro. Ele não sabe se distribui igualmente 5, 8 ou 6 fotos por dupla de páginas.

ANDREW ANGELOV/SHUTTERSTOCK

Há amplo acesso às fotografias, pois há câmeras fotográficas instaladas nos celulares, e localizar uma imagem sobre algo se torna fácil com o auxílio dos sites de busca e as redes sociais. Esse artigo é um recorte de um trabalho de conclusão de curso que procura identificar e compreender conceitos matemáticos como o número de ouro ou a regra dos terços em fotografias. DESSLER, Giovani Franco; S P I N ATO, M a r i a n a P rott i ; BATTISTI, Isabel Koltermann. A fotografia na matemática escolar. XXI Jornada de Extensão ODS: 4a Educação de qualidade. Unijuí. Disponível em: https://publicacoeseventos.unijui.edu.br/ index.php/salaoconhecimento/ article/view/18045. Acesso em: 14 abr. 2022.

Uma pessoa fotografa, com um celular, cenas do cotidiano. Um foto-livro com 8 fotos na página dupla.

Vamos verificar se é possível que cada dupla de páginas do foto-livro contenha 5, 8 ou 6 fotos. Para isso, efetuaremos as divisões: 5

4 1 6 8

4 1 6 6

1 6 83

1 6 52

5 6 69

Como a divisão de 416 por 5 não é exata, não é possível distribuir 5 fotos em página dupla sem que sobrem fotos avulsas.

Como a divisão de 416 por 8 é exata, é possível distribuir 8 fotos em página dupla do foto-livro.

Como a divisão de 416 por 6 não é exata, não é possível distribuir 6 fotos em página dupla sem que sobrem fotos avulsas.

4 1 6

Em situações como essa, precisamos saber se um número é divisível por outro ou não. É possível saber sem que seja necessário efetuarmos as divisões. Muitas vezes basta utilizar os critérios de divisibilidade. 104 | TRAJETÓRIA 2

104 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LUPAS E LUNETAS

ATIVIDADES

a) Você já ouviu falar em “tribo de fotografia”? b) Como você imagina que as pessoas dessa tribo se relacionam? c) Que conhecimentos de Matemática você imagina que essas pessoas podem ter para desempenhar melhor seu papel? • Comente com o professor e os colegas.

UNDREY/SHUTTERSTOCK

Respostas pessoais.

22. Qual é o menor número natural que se deve adicionar ao número 406 para obter um número que seja divisível por 5? 4

23. Qual é o menor número natural que se deve adicionar ao número 473 para obter um número que seja divisível por 15? 7

24. Qual é o maior número natural de três algarismos divisível por 15? 990

25. Qual é o divisor? Registre no caderno, substituindo cada pelo número correto. a) 360 ÷ = 36 10

Mania nacional: fotografar?

b) 175 ÷

= 35 5

c) 468 ÷

= 234 2

450 + 15 = 465, 450 + 30 = 480. Para descobrir o que falta, precisamos calcular a diferença 480 – 473 = 7.

Critérios de divisibilidade por 2 e por 5 Vamos agora observar regularidades nas divisões por 2 e, depois, por 5.

Atividade 24

Divisibilidade por 2 Esta é a sequência dos múltiplos naturais de 2: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24... Ao observar a regularidade dessa sequência como um todo e, principalmente, quais características tem o último algarismo, das unidades, em cada termo dessa sequência, vamos perceber que: todo termo tem como último algarismo o 0, ou o 2, ou o 4, ou o 6, ou o 8.

O maior número natural de 3 algarismos é o 999, que, dividido por 15, resulta em 66 com resto 9. Assim: 999 – 9 = 990. O número 990 é o maior número de 3 algarismos divisível por 15. Atividade 25

Podemos generalizar esse fato, que é chamado de critério de divisibilidade por 2: Um número natural é divisível por 2 se o seu último algarismo, o das unidades, for divisível por 2.

O_Professor

@matemúltiplo

Os critérios de divisibilidade são úteis porque podemos saber se um número natural é ou não divisível por outro sem que seja necessário realizarmos a divisão. 46

Para completar a frase, precisamos dividir o dividendo pelo quociente. a) 360 : 36 = 10. O número 10 substitui corretamente o . b) 175 : 35 = 5. O número 5 substitui corretamente o . c) 468 : 234 = 2. O número 2 substitui corretamente o .

105 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LUPAS E LUNETAS

Atividade 22

Questione sobre as “tribos de fotografia”: que tipo de fotos elas fazem? Conhecem fotos do tipo newborn, casamento, natureza ou família? Mostre algumas fotos que apresentem simetria, proporcionalidade, regra dos terços. Aproveite para comentar que nos relacionamos com pessoas pertencentes a grupos de interesses diferentes, como esportes, artesanato, culinária etc., sempre respeitando as preferências e diferenças culturais.

Como o critério de divisibilidade por 5 é o número terminar em 0 ou 5, o próximo número natural divisível por 5 depois de 406 é 410. A diferença entre 410 e 406 é 4, ou seja, adicionando 4 unidades teremos o múltiplo de 5 desejado. Atividade 23

Uma possibilidade de resposta é escrever o número 450 fatorado assim: 15 ⋅ 10 ⋅ 3. Sabendo que 450 é múltiplo de 15, poderão perceber que 105 |

Habilidades (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investiga ções, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. LUPAS E LUNETAS Após os estudantes lerem o texto “Critérios de divisibilidade por 2 e por 5”, organize-os em duplas e crie novas perguntas para que descubram e socializem os critérios de divisibilidade por 2 e por 5. Feitas as atividades, proponha um levantamento do que aprenderam e oriente-os a registrar suas conclusões para consultá-las mais tarde. Atividade 26

a) Um número natural é divisível por 2 quando é um número par, ou seja, quando o algarismo da ordem das unidades é 0 (zero), 2, 4, 6 ou 8: 48 010, 58 016, 103 000 e 2 000 018. b) Um número natural é divisível por 5 quando o algarismo da ordem das unidades é 0 (zero) ou 5: 48 010, 55 315, 103 000, 1 409 875. c) Os que não são pares e não terminam em 5: 97 999 e 314 923.

Veja estes exemplos: • Os números 450 e 1 386 são divisíveis por 2, pois têm seus últimos algarismos (0 e 6) di-

visíveis por 2. • O número 1 387 não é divisível por 2, pois 7 não é divisível por 2.

Divisibilidade por 5 Vamos observar a sequência dos múltiplos naturais de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60... Os números 2 025 e 13 908 570 certamente estão nessa sequência. Já os números 2 026 e 13 908 569 não fazem parte dessa sequência.

LUPAS E LUNETAS Reúna-se com um colega para fazer esta investigação:a) O último algarismo, o das unidades, de cada número é 0 ou 5. a) Que regularidades vocês percebem na sequência dos múltiplos naturais de 5? Um número natural é divisível por 5 se o seu b) Escreva no caderno o critério de divisibilidade por 5. último algarismo, o das unidades, é 0 ou 5. c) Dê exemplos de números com três ou mais algarismos que sejam divisíveis por 5. Resposta possível: 4 535 e 2 030. • Compartilhe suas descobertas com os colegas.

ATIVIDADES

26. Considere os números listados: 48 010, 55 315, 58 016, 97 999, 103 000, 314 923, 1 409 875, 2 000 018 a) Quais são divisíveis por 2? 48 010, 58 016, 103 000 e 2 000 018. b) Quais são divisíveis por 5? 48 010, 55 315, 103 000 e 1 409 875. c) Quais não são divisíveis nem por 2 nem por 5? 97 999 e 314 923.

27. No seu caderno, crie um fluxograma que possibilite saber se um número natural n é divisível por 5. Resposta possível:

Entre com um número natural n.

Ele é 0 ou 5?

NÃO

n não é divisível por 5.

FIM

INÍCIO Considere o algarismo das unidades.

SIM

n é divisível por 5.

28. Escreva no caderno a sequência dos múltiplos naturais de 25. Registre ao menos os primeiros 12 termos dessa sequência. Observe a regularidade que ocorre com os algarismos finais, das dezenas e das unidades, de cada termo dessa sequência e generalize, enunciando um critério de divisibilidade por 25.

0, 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225, 250, 275, 300. Um número natural é divisível por 25 se o número formado pelos algarismos das dezenas e das unidades deixar resto 0 na divisão por 25.

106 | TRAJETÓRIA 2

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 27

Como essa tarefa envolve fluxograma, registre na lousa as formas básicas e o tipo de comando correspondente:

Indica o início ou fim do processo. Indica cada atividade que precisa ser executada. Indica um ponto de tomada de decisão. Indica a direção do fluxo. Indica que o fluxograma continua a partir desse ponto em outro círculo, com a mesma letra ou número, que aparece em seu interior.

106 | MANUAL DO PROFESSOR

Critérios de divisibilidade por 10, por 100 e por 1 000 Vamos observar três sequências; primeiramente a dos múltiplos naturais de 10; depois, a dos múltiplos naturais de 100; e, por último, a dos múltiplos naturais de 1 000: • 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120... • 0, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1 000, 1 100, 1 200... • 0, 1 000, 2 000, 3 000, 4 000, 5 000, 6 000, 7 000, 8 000, 9 000, 10 000, 11 000, 12 000...

Essas três sequências têm características comuns e diferenças.

LUPAS E LUNETAS Reúna-se com um colega para investigar essas sequências. a) Ao observar as três sequências ao mesmo tempo, que semelhanças e que diferenças vocês observam? Respostas pessoais. b) Que regularidades vocês percebem na sequência dos múltiplos naturais de 10? E na dos múltiplos de 100? E na dos múltiplos de 1 000? Respostas pessoais. c) Escrevam no caderno os critérios de divisibilidade por 10, por 100 e por 1 000. • Compartilhem suas descobertas com os demais colegas. c) Um número é divisível por 10 se termina em 0. Um número é divisível por 100 se termina em 00. Critérios de divisibilidade por 3 e por 9 Um número é divisível por 1 000 se termina em 000.

Vamos considerar o número 2 346 e decompô-lo deste modo: 2 346 = 2 × 1000 + 3 × 100 + 4 × 10 + 6 = = 2 × (999 + 1) + 3 × (99 + 1) + 4 × (9 + 1) + 6 = = 2 × 999 + 2 + 3 × 99 + 3 + 4 × 9 + 4 + 6 = = 2!############# × 999 + 3 "×############# 99 + 4 × 9$ + 2 + 3#" +##### 4 + #6$ !#####

Basta sabermos se essa soma é divisível por 3.

O_Professor

@matemúltiplo

Substituímos 1 000 por 999 + 1; 100 por 99 + 1; e 10 por 9 + 1. Usamos esse artifício porque sabemos que 999, 99 e 9 são divisíveis por 3. 57

LUPAS E LUNETAS Caso perceba que os estudantes estão com dificuldades para identificar a regularidade, escreva os múltiplos naturais de 10, 100 e 1 000 em colunas na lousa. Mostrando a 1a coluna, questione qual regularidade percebem naqueles números e faça o mesmo para as outras colunas. Depois, circule um número de cada coluna e pergunte a diferença entre eles.

Divisibilidade por 3

Essa parte já sabemos: é divisível por 3.

Sugestão de atividade complementar

(OBMEP) A, B, C, D, E, F, G e H são os fios de apoio que uma aranha usa para construir sua teia, conforme mostra a figura. A aranha continua seu trabalho. Sobre qual fio de apoio estará o número 118?

Calculando 2 + 3 + 4 + 6, obtemos 15, que é divisível por 3. Logo, 2 346 é divisível por 3. Considerando esse raciocínio, podemos generalizar o seguinte critério:

Um número natural é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 3.

18 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

107 |

3 4 12

9 10

Atividade 28

Escreva a sequência dos múltiplos naturais de 25 na lousa. A cada número escrito, chame a atenção dos estudantes para os algarismos das unidades e das dezenas: 0, 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225, 250, 275, 300, 325, 350, 375, 400, 425, 450, 475, 500... Um número é diferente de 0 divisível por 25 quando seus dois últimos algarismos forem 00, 25, 50 ou 75.

B 17

15 14

107 |

Habilidades (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investiga ções, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. LUPAS E LUNETAS Para auxiliar os estudantes com maior dificuldade, apresente alguns números e exemplifique a decomposição que mostra como avaliar se há divisibilidade por 9. Peça que digam o critério de divisibilidade por 9 e anote na lousa. Se, dentre as respostas, estiver o critério de divisibilidade adequado, deixe que apontem qual definição devem anotar no caderno. Caso necessário, faça intervenções para que complementem a resposta e finalizem a atividade.

LUPAS E LUNETAS Após a leitura da explicação do livro, crie outros exemplos e escreva cada etapa na lousa. Se julgar adequado, solicite que realizem a divisão dos fatores da decomposição por 4 e observem o valor do resto. Com isso, conseguirão perceber que os múltiplos de 100 são divisíveis por 4. Encaminhe a discussão para que percebam que analisar os dois últimos algarismos é a maneira prática de identificar a divisibilidade por 4.

108 | MANUAL DO PROFESSOR

6 543 = 6 × 1000 + 5 × 100 + 4 × 10 + 3 = = 6 × (999 + 1) + 5 × (99 + 1) + 4 × (9 + 1) + 3 6 + 5 + 4 + 3 = 18, e 18 é divisível por 9; então, 6 543 é divisível por 9.

Divisibilidade por 9 a)

O critério de divisibilidade por 9 é análogo ao de divisibilidade por 3.

b) Um número natural é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos

LUPAS E LUNETAS for um número divisível por 9.

a) Utilizando o mesmo raciocínio, decomponha o número 6 543, para verificar se ele é um número divisível por 9. b) Escreva no caderno o critério de divisibilidade por 9. c) Dê exemplos de números com quatro ou mais algarismos que sejam divisíveis por 9. Respostas pessoais. • Compartilhe suas descobertas com os colegas.

Critérios de divisibilidade por 4 e por 8 Divisibilidade por 4 O número 100 é divisível por 4 (100 = 25 × 4). Então, podemos afirmar que todos os múltiplos de 100 são também divisíveis por 4. 100, 200, 300, 400, ..., 1 000, 2 000, 3 000, 4 000, ..., 10 000, 20 000, 30 000, 40 000 ..., e assim por diante, são números divisíveis por 4. O_Professor

@matemúltiplo

Podemos decompor o número 43 227, por exemplo, deste modo: 40 000 + 3 000 + 200 + 27. Para sabermos se 43 227 é divisível por 4, basta sabermos se 27 é ou não divisível por 4. 37

LUPAS E LUNETAS a) Considere os números 57 916 e 62 700. Decomponha-os e investigue se cada um deles é ou não 57 916 = 50 000 + 7 000 + 900 + 16 é divisível por 4 porque 16 é divisível por 4. divisível por 4. 62 700 = 60 000 + 2 000 + 700 + 00 é divisível por 4 porque 0 é divisível por 4. • Compartilhe suas dúvidas e descobertas com os colegas e o professor. b) Leia o critério de divisibilidade por 4. Um número natural é divisível por 4 se os dois últimos algarismos, das dezenas e das unidades, formam um número divisível por 4 Agora, considerando esse critério, cite três exemplos de números divisíveis por 4 e que tenham cinco ou mais algarismos. Respostas pessoais. 108 | TRAJETÓRIA 2

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Divisibilidade por 8 O critério de divisibilidade por 8 é análogo ao critério de divisibilidade por 4. Um número natural é divisível por 8 se os três últimos algarismos – das ordens das centenas, das dezenas e das unidades – formam um número divisível por 8.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. a) Compare os critérios de divisibilidade por 2, por 4 e por 8: o que há de semelhante e o que há de diferente? Liste os fatos curiosos que você descobriu. b) Dê três exemplos de números divisíveis por 8 e que tenham cinco ou mais algarismos. • Compartilhe suas conclusões com os colegas e professor. c) Uma loja vende um aparelho eletrônico de R$ 1.072,00 em 8 prestações. Será possível que todas as parcelas sejam iguais? Sim, cada parcela será de R$ 134,00. d) Elabore um problema parecido com esse. Dê para seu colega resolver. Resposta pessoal.

Critérios de divisibilidade por 6 e por 12 Observe a sequência dos múltiplos naturais de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72... Dois fatos curiosos chamam a atenção nessa sequência: os múltiplos de 6 são todos pares e a soma dos seus algarismos resulta em um número divisível por 3. Observe agora a sequência dos múltiplos naturais de 12: 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144... Também dois fatos curiosos chamam a atenção nessa sequência: nos múltiplos de 12, a soma dos seus algarismos resulta em um número divisível por 3 e os dois últimos algarismos (das dezenas e das unidades) formam números que são divisíveis por 4.

LUPAS E LUNETAS

Habilidades (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investiga ções, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. estudantes elaboraram corretamente os problemas, forme grupos com cinco integrantes, proponha que troquem os problemas e resolvam. Em seguida, eles deverão escolher apenas um desses problemas e apresentar para a sala. Recolha as resoluções. Elas podem ajudá-lo se considerar as resoluções uma forma de avaliação de processo.

LUPAS E LUNETAS

ANDRII YALANSKYI/ SHUTTERSTOCK

a) Considere as informações dadas e enuncie os critérios de divisibilidade por 6 e por 12. • Compartilhe suas conclusões com os colegas e o professor. Um número é divisível por 6 se for par e a soma de seus algarismos b) Observe esta imagem: for divisível por 3. Um número é divisível por 12 se a soma de seus algarismos for divisível por 3 e o número formado pelos algarismos da dezena e da unidade for divisível por 4. Cada peça dessa composição representa uma pessoa e a imagem mostra uma divisão possível em dois grupos. • Quantos grupos seriam se em cada grupo houvesse 6 pessoas? 4 grupos. • Quantos grupos seriam se em cada grupo houvesse 2 pessoas? 12 grupos.

Entregue dois quadros numéricos: no primeiro devem circular os múltiplos de 2 e sublinhar os múltiplos de 3. No outro, devem circular os múltiplos de 3 e sublinhar os múltiplos de 4. Agora peça que listem os números circulados e sublinhados simultaneamente e observem os múltiplos de 6 e 12, respectivamente.

• Por quais números naturais não nulos, menores do que 24, não é possível dividir esse grupo? 23, 22, 21, 20, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 11, 10, 9, 7 e 5. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LUPAS E LUNETAS Espera-se que relacionem e comparem os diversos critérios de divisibilidade estudados até o momento. Organize a socialização das conclusões elaboradas pelos estudantes. Para explorar o que há em comum aos critérios de divisibilidade por 2, 4 e 8, escreva alguns números na lousa (divisíveis por 2, 4 e 8) e peça para verificarem se atendem aos critérios de divisibilidade por 2, 4 e 8. Anote as proposições dos estudantes na lousa. Em seguida, faça um único texto coletivo que liste as descobertas.

109 |

Nos exemplos de números divisíveis por 8 com 5 ou mais algarismos, proponha que alguns estudantes que se sentirem confortáveis escrevam esses números na lousa. Combine com um deles que escreva um número que não seja divisível por 8 e peça aos outros estudantes que tentem descobrir qual é esse número. Os estudantes deverão verificar se o valor de R$ 1.072,00 é um número divisível por 8 para saber se as prestações serão iguais. Use o critério de divisibilidade e faça a divisão por 8 para mostrar que o resto é igual a zero. Para identificar se os 109 |

ATIVIDADES

A soma dos algarismos de 180 000 é 9,

29. São dados os números 180 000 e 1 230. Exrismos de 1 230 é 6.

dir os pedaços de pizza conforme a quantidade de clientes que há na mesa. Por exemplo, se em uma mesa há três pessoas, elas podem dividir a pizza em seis ou nove pedaços, de modo que na hora de servir a pizza a divisão fique equitativa. Veja a figura que representa uma pizza feita nessa pizzaria.

Atividade 32

Correção das afirmativas falsas. a) Um número divisível por 4 nem sempre é divisível por 3. Veja: 40 : 4 = 10, resto 0; mas, 40 : 3 = 13 e resto 1. Mostre que podem existir números que são divisíveis por 3 e 4 ao mesmo tempo, por exemplo, o 12. Porém, nem sempre isso acontece. b) Não. Mostre por contraexemplos: 16 é divisível por 4 (16 : 4 = 4, resto 0); 16 não é divisível por 3 (16 : 3 = 5, resto 1). d) Para ser divisível por 8, o critério exige que os três 110 | MANUAL DO PROFESSOR

Responda: Não, porque não é par. Não, porque não termina em 0 ou 5. a) Esse número é divisível por 2? E por 5? b) Por quais valores podemos substituir A para que esse número seja divisível por 3? A = 1, 4 ou 7.

34. Luiza tem um livro com 200 exercícios nu-

merados em sequência, começando pelo 1. Ela fez somente os exercícios numerados com os múltiplos de 3 ou de 5. Quantos exercícios Luiza fez? Luiza fez 93 exercícios.

Indique as possibilidades para a quantidade de clientes na mesa em que foi servida essa pizza. 1, 2, 3, 4, 6 ou 12 clientes.

JAVIER G./ M10

31. Um tablete de chocolate é pensado para compartilhar com as pessoas ou comer de forma racionada. Liste as maneiras de dividir um tablete representado pela figura, de modo que cada porção tenha a mesma quantidade e desconsiderando a organização dos pedacinhos. É possível dividir igualmente

Atividade 31

O tablete de chocolate tem 48 pedaços, que podem ser divididos equitativamente em partes que correspondem aos divisores de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 e 48.

33. É dado um número de três algarismos: 4A7.

ALEXANDRE R./M10

Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é divisível por 9. Em 180 000, temosa)1Isso + 8 nem + 0 sempre + 0 + 0será + 0possí= 9, que vel, é divisível portodo 9. Jánúmero em 1 230, pois nem que é divisível divisível temos não 1 + 2 por + 34+é0também = 6, que por 3. é divisível por 9.

fatias, o número correspondente de pessoas será um divisor de 12: 1, 2, 3, 4, 6 ou 12.

mação, explique seu raciocínio e corrija as sentenças falsas. a) Se eu posso distribuir igualmente uma quantidade de balas para 4 crianças, sem sobrar nenhuma, então eu posso dividir essas balas para 3 crianças também sem sobrar nenhuma. F b) Todo número divisível por 4 é divisível por 3. F c) Todo número divisível por 4 é divisível por 2. V d) Se o último algarismo de um número é divisível por 8, então esse número é divisível por 8. F e) Se um número é divisível por 3 e 5, então ele é divisível por 15. V

30. Uma pizzaria usa a ideia de múltiplos para divi-

Atividade 29

b) Justificativa análoga a do item a. Atividade 30 de divisibilidade d) Pelo critério por 8servir é necessário que os três Para equitativamente últimos algarismos sejam divisía pizza que8.foi dividida em 12 veis por

32. Julgue como verdadeira ou falsa cada afir-

plique por que o primeiro é divisível por 9 e o segundo não é. enquanto a soma dos alga-

os 48 pedaços em 1 pedaço (o que equivaleria a não compartilhar ou não dividir), em 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 ou 48 pedaços.

ALEXANDRE R./M10

35. Elabore um problema sobre divisibilidade com cada par de números: a) 512 e 8 b) 324 e 12 Respostas pessoais.

110 | TRAJETÓRIA 2

últimos algarismos sejam divisíveis por 8, não apenas o último. Atividade 33

a) Um número é divisível por 2 se terminar em 0, 2, 4, 6, 8, ou seja, se for par. É divisível por 5 se terminar em 0 ou 5. O número 4A7 não satisfaz essas condições e, por isso, não é divisível por 2 nem por 5. b) Para que 4A7 seja divisível por 3, a soma dos algarismos deve ser múltipla de 3. Como 4 + 7 = 11, os próximos múltiplos de 3 são: 12,

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

15 e 18. As diferenças desses valores e 11 são respectivamente 1, 4 e 7. Logo A pode ser substituído pelos algarismos 1, 4 ou 7. Atividade 34

Os múltiplos de 3, a partir do 1 são: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120, 123, 126, 129, 132, 135, 138, 141, 144, 147, 150, 153, 156, 159, 162, 165, 168, 171, 174, 177, 180, 183, 186, 189, 192, 195, 198. Total de 66 números.

TRAVESSIAS Números primos e o crivo de Eratóstenes Há um grupo de números chamados de números primos. Esses números são conhecidos desde a época dos pitagóricos, há mais de 2 500 anos. O termo “primos” não tem nada a ver com parentesco. “Primos” vem da palavra latina primus, que quer dizer “primeiros”. Isso porque os números primos “produzem” todos os outros números, os chamados números compostos. Essa é a ideia da decomposição em fatores primos, em que um número composto é representado pelo produto de dois ou mais números primos. Por exemplo, o número 21 é composto e pode ser escrito como produto de dois números primos, ou seja: 21 = 3 × 7. O número 42

também é composto, pois pode ser escrito assim: 42 = 2 × 3 × 7. Eratóstenes, um matemático grego, criou um método para reconhecer números primos. Mais tarde, esse método passou a ser chamado de crivo de Eratóstenes. A sequência dos números primos é infinita. Nesta seção, vamos dispor os números de 1 a 100 em ordem crescente dentro de um quadro, para determinarmos quais, dentre esses, são números primos. O método de Eratóstenes consiste em realizar o cancelamento sucessivo dos números múltiplos de primos, de modo que, ao final, permaneçam somente os números primos.

Atividade 36

ATIVIDADES

36. Faça um quadro como este, com números de 1 a 100. O número 1 não entra no quadro

porque não é primo nem composto.

Desenhe o quadro sobre papel branco e destaque os números conforme estas instruções: Pinte todos os múltiplos de 2, exceto o 2.

Pinte todos os múltiplos de 5, exceto o 5.

Pinte todos os múltiplos de 3, exceto o 3.

Pinte todos os múltiplos de 7, exceto o 7.

Os números que ficaram sem colorir no quadro são números primos. Um número natural é primo se tem somente dois divisores distintos: o um e o próprio número. a) Escreva no caderno a sequência dos números primos menores do que 100. Quantos

são os primos menores do que 100?

b) Em quais linhas desse quadro há mais números primos? Nas duas primeiras linhas. c) Cite três números compostos que estão nesse quadro. Respostas pessoais. •

Compartilhe suas conclusões com os colegas.

a) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73,

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO. 79, 83, 89, 97. São 25 números primos menores do que 100.

Os múltiplos de 5, a partir do 1, são: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 155, 160, 165, 170, 175, 180, 185, 190, 195 e 200. Total de 40 números. Os múltiplos de 3 e 5 ao mesmo tempo são múltiplos de 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180 e 195. Total: 13 números. Para encontrar o total de exercícios, fazemos: 66 + 40 – 13 = 93 exercícios.

111 |

Faça a leitura coletiva, sugira que anotem as palavras desconhecidas e aproveite para relembrar o significado de fator e divisível. A atividade seguinte complementa essa leitura. Você também pode reproduzir o quadro ampliado e entregar pedaços pequenos de EVA nas cores sugeridas, pedindo que coloquem o retalho de EVA sobre o múltiplo, conforme a orientação da atividade. Ao responder às perguntas dessa atividade, organizarão uma lista de números primos.

100

Os números primos estão com o fundo em tom cinza para melhor visualização. a) Os números primos menores que 100 estão em cinza nesse quadro. b) Há 4 números primos nas duas primeiras linhas. c) Todos os números circulados nesse quadro – os que não são primos – são possíveis respostas: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100.

111 |

Encontro com outras disciplinas (EF06HI14) Identificar e analisar diferentes formas de contato, adaptação ou exclusão entre populações em diferentes tempos e espaços.

#Mesmo produto, diferentes fatores Leia este texto:

Grupos de pessoas que se unem por identificação O conceito de tribos urbanas é atribuído pelo sociólogo francês Michel Maffesoli. Segundo sua teoria, as tribos urbanas podem ser classificadas como grupos de pessoas que se unem com base em interesses em comum, hábitos, ideias similares, maneiras de se vestir ou mesmo gosto musical semelhante. Dessa forma, as tribos são formadas pelos laços de identificação ou características que os indivíduos de determinado grupo compartilham. São exemplos os funkeiros, punks, otakus, emos, geeks e muitos outros.

LUPAS E LUNETAS

Sugestão de leitura

Há duas sugestões de leitura sobre as tribos urbanas: o artigo mostra as principais características de algumas tribos descritas por informações obtidas em sites de busca; e o livro analisa as mudanças da sociedade pós-moderna que troca o individualismo pela necessidade de identificação com um grupo, além de abordar a cultura como um meio de os indivíduos se posicionarem socialmente. MAFFESOLI, Michel. O tempo das tribos: o declínio do individualismo nas sociedades de massa. 5. ed. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 2014. SOUSA, Helena Sofia Martins, FONSECA, Paula. As tribos urbanas: as de ontem até as de hoje. Revista Nascer e Crescer, 2009, v. 23, n. 3. UNESCO. Declaração Universal sobre a Diversidade Cultural. Disponível em: https:// www.oas.org/dil/port/2001%20 Declara%C3%A7%C3%A3o%20 Universal%20sobre%20a%20 Diversidade%20Cultural%20 da%20UNESCO.pdf. Acesso em: 13 abr. 2022.

112 | MANUAL DO PROFESSOR

nas cidades, fato que se deve, principalmente, pelo acesso aos meios de comunicação e ao contato com diferentes culturas, muito comum nas metrópoles. Desde o período em que a expressão foi criada, muitas tribos urbanas surgiram e outras desapareceram ou ganharam novas roupagens, com estéticas próprias. [...]

SANTANA, Esther. Tribos urbanas. Educa+Brasil. Disponível em: www.educamaisbrasil.com.br/enem/sociologia/ tribos-urbanas. Acesso em: 28 jun. 2022. MAXIMILIANO ALFARO/SHUTTERSTOCK

As reflexões sobre o texto podem ser direcionadas para abordar o TCT Diversidade Cultural. Nesse caso, retome com os estudantes o respeito às diferenças culturais, pois a diversidade cultural é uma realidade presente em nosso país. Do mesmo modo, evite o desenvolvimento de preconceitos na formação dos estudantes.

Como o próprio nome diz, o agrupamento é específico dos espaços urbanos, que se formam

Representação de diferentes pessoas de tribos diversas.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. a) De qual dessas “tribos” você já ouviu falar? Conhece alguém que se declara pertencer a algum desses grupos? Como você se relaciona com pessoas de diferentes grupos? b) Pertencer a algum grupo e partilhar do bem comum entre os integrantes do mesmo grupo, principalmente com os de outros grupos, é uma atitude que pode ser exercitada por meio do diálogo, da escuta atenta e da cooperação. Que atitudes você recomenda quando dois diferentes grupos demonstram conflito de ideias? Você já presenciou situação parecida? Como você mediou a conversa entre os que se conflitavam? • Compartilhe sua experiência e ouça o que os colegas têm para dizer.

112 | TRAJETÓRIA 2

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Diferentes fatorações de um mesmo número

LITTLEPERFECTSTOCK/SHUTTERSTOCK

Um evento para a paz entre diversos grupos, promovido pela prefeitura de um município, reuniu adolescentes de cinco tribos distintas.

Pomba branca como símbolo da paz mundial.

Cada tribo teve direito a inscrever doze representantes. Quantos inscritos houve nesse evento? 5 × 12 = 60 inscritos O número 60 composto desses fatores, 5 e 12, tem relação direta com a situação do evento para a paz nesse município. Mas o número 60 tem diversas outras fatorações possíveis: I. 60 = 6 × 10 II. 60 = 2 × 3 × 10 III. 60 = 6 × 5 × 2 IV.60 = 2 × 3 × 2 × 5 De todas essas fatorações somente no item IV os fatores são todos primos, ou seja, não podem mais ser decompostos. Essa é a decomposição do número 60 em fatores primos. Para ficar mais organizado, escrevemos assim: 60 = 2 3 2 3 3 3 5 ou 60 = 22 ! 3 ! 5

Decomposição de um número natural em fatores primos Vamos observar a sequência dos divisores naturais de alguns números:

• Divisores de 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 • Divisores de 77: 1, 7, 11, 77

Habilidades (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. H á d i fe re n t e s m o d o s de realizar a decomposição de um número. Para explorar usando outra estratégia, proponha uma fatoração do número 120 e, depois, que decomponham os fatores que não são primos: 120 = 3 ⋅ 40 120 = 3 ⋅ (2 ⋅ 20) 120 = 3 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 10) 120 = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5) Para organizar, podem escrever os fatores em ordem crescente e representar os fatores repetidos como potências: 120 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5.

• Divisores de 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45 • Divisores de 35: 1, 5, 7, 35

Notamos que:

Dado um número qualquer, o menor dos seus divisores (excluindo o 1) é sempre um número primo.

Observe que o menor divisor de 42 é o 2; o de 45 é o 3; o de 77 é o 7; e o de 35 é o 5. Sabemos também que todo número maior do que 1 que não é primo pode ser decomposto em um produto de dois ou mais fatores primos. Assim, podemos apresentar esta regra para decompor um número em fatores primos: NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

113 |

• divide-se o número pelo menor divisor primo; • o resultado dessa divisão é um número que deve ser dividido pelo seu menor divisor primo

e assim por diante, até se obter um quociente igual a 1;

• o número inicial é o produto de todos os divisores primos encontrados ao longo desse

processo. Exemplo: vamos decompor 180 em fatores primos. 180 0

2 90 0

menor divisor primo de 180

2 45 0

menor divisor primo de 90

3 15 0

menor divisor primo de 15

5 1

menor divisor primo de 5 quociente igual a 1

Assim: 180 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ou 180 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5. Podemos também determinar a fatoração em primos por um método prático: 2

180 90 45 15 5 1

Atividade 37

Realize a atividade coletivamente: os estudantes falam suas respostas e depois registram-nas no caderno. a) Os números primos correspondem ao conjunto dos números naturais, maiores que 1, que têm apenas dois divisores (1 e ele próprio). b) O número 2 é o único número primo par, já que todos os demais números pares têm ao menos 3 divisores, dentre eles a unidade, o próprio número e o número 2. c) Em ordem decrescente, os maiores números de 2 algarismos são 99, 98 e 97. O número 99 é divisível por 3 e 98 é divisível por 2; assim, não compõem o conjunto de números primos. O maior número primo de dois algarismos é 97.

menor divisor primo de 45

3 5 0

2 2 3 3 5

Os números 2, 2, 3, 3 e 5 são os fatores primos de 180. O_Professor

@matemúltiplo

A decomposição em fatores primos é, a menos da ordem dos fatores, única e é chamada simplesmente de fatoração, embora haja diversas fatorações de 180, mas em fatores não primos. 66

ATIVIDADES

37. Responda no caderno:

a) Quais são os divisores de um número

primo? 1 e o próprio número. b) Há algum número primo par? Qual? Sim, o 2. c) Qual é o maior número primo de dois algarismos? 97

38. Observe o item a como exemplo e registre no

caderno a decomposição em fatores primos dos números: d) 528 24 ⋅ 3 ⋅ 11 a) 50 = 2 ⋅ 52 2 e) 875 53 ⋅ 7 b) 84 2 ⋅ 3 ⋅ 7 f) 975 3 ⋅ 52 ⋅ 13 c) 300 22 ⋅ 3 ⋅ 52

Atividade 38

Escreva alguns exemplos de decomposição na lousa e retome potenciação para que agrupem os fatores repetidos como potências.

114 | MANUAL DO PROFESSOR

114 | TRAJETÓRIA 2

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

#Os múltiplos e os eventos periódicos Fenômenos periódicos na natureza O Sol e a Lua encontram-se em quadratura quando as forças atrativas se encontram defasadas em 90°. É durante este período, quarto minguante e quarto crescente, que as marés atingem a amplitude mínima chamando-se assim de marés mortas. A atração gravitacional da Lua faz com que a água dos oceanos avance sobre a parte da Terra que se encontra mais próxima à Lua e também sobre a parte diametralmente oposta. O movimento de translação da Lua, também conhecido como dia lunar, tem a duração de 24h50min, dividindo-se este tempo em 4 períodos, teremos quatro turnos de aproximadamente 6h12min, que é a duração de cada maré e suas variações, de preamar a baixa-mar.

ALEXANDRE R./M10

Leia o texto: Maré é o movimento periódico das águas do mar, pelo qual elas se elevam ou abaixam em relação a uma referência fixa no solo. É o fenômeno causado pelas atrações simultâneas do Sol e Lua sobre as águas do Globo, e, pelo fato do nosso astro mais próximo ser a Lua, é claro que ele causa maior influência. [...] Num dado momento há sempre duas marés altas na Terra. A maré direta, no lado que está voltado para a Lua e a maré indireta no lado oposto. As grandes marés, ou marés vivas são aquelas cuja amplitude é a maior do ciclo lunar e correspondem ao momento de concordância das atrações solares e lunares, na lua cheia e lua nova.

Encontro com outras disciplinas (EF06CI13) Selecionar argumentos e evidências que demonstrem a esfericidade da Terra. Convide o professor de Ciências a planejar uma atividade interdisciplinar sobre as fases da Lua e o efeito das marés para contribuir com o processo de ensino e aprendizagem sobre a esfericidade da Terra e as forças gravitacionais entre o Sol a Lua e a Terra. Como sugestão de atividades, os estudantes podem assistir aos vídeos: Fases da Lua – Refletindo a luz do Sol (disponível em: https://www.youtube. com/watch?v=2USGowR0Y7o; acesso em: 9 jul. 2022) e Efeito de maré – A Lua e o Sol puxando a água da Terra (disponível em: https://www.youtube.com/ watch?v=sH4DiW2wRds; acesso em: 9 jul. 2022). Depois das discussões e da compreensão dos conceitos envolvidos, proponha que confeccionem maquetes e cartazes para expor os trabalhos do modo que considerar adequado. Caso haja uma feira de Ciências, será uma boa oportunidade de apresentar os materiais construídos pelos estudantes. Essa atividade interdisciplinar relaciona-se com a habilidade EF06CI13.

AS FIGURAS NÃO ESTÃO EM ESCALA E AS DEFORMAÇÕES DE MARÉ FORAM AUMENTADAS, PARA EFEITOS DE LEITURA.

A Lua e as marés. SILVA, Marcio Sousa da; SILVA, Lucila Maria dos Santos. Fenômeno das marés. IEPA. Disponível em: www.iepa.ap.gov.br/pnopg/pnopg/Oficinas/Fenomenos%20de%20Mare/Fenomeno_Mares.htm#:~:text=Mar%C3%A9%20%C3%A9%20o%20movimento%20peri%C3%B3dico,que%20ele%20causa%20maior%20influ%C3%AAncia. Acesso em: 11 mar. 2022. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

115 |

Encontro com outras disciplinas (EF06HI14) Identificar e analisar diferentes formas de contato, adaptação ou exclusão entre populações em diferentes tempos e espaços.

EUGENIO MARONGIU/SHUTTERSTOCK

Além dos fenômenos periódicos das marés, há muitos outros fenômenos naturais periódicos, como o próprio dia: o movimento aparente do Sol que “nasce” pela manhã e se “põe” à tarde e as estações do ano. E, para além dos fenômenos naturais, há ainda diversos eventos periódicos culturais. Veja exemplos:

Feira anual Viscom, em Milão, Itália. Importante feira internacional sobre comunicação visual.

ARTHUR MATSUO/SHUTTERSTOCK

ALEXANDRE ROTENBERG/SHUTTERSTOCK

Eventos de natureza diversa são destinados a grupos sociais, em algumas situações de modo mais específico. Uma partida de futebol, por exemplo, pode ser assistida por pessoas de qualquer grupo social; um evento corporativo pode restringir a entrada de pessoas que não atuam nessa área; alguns espetáculos ou mesmo filmes em cinema fazem restrição quanto à idade. Com a intenção de identificar e analisar as diferentes formas de contato, adaptação ou exclusão em eventos sociais periódicos, proponha uma pesquisa que relacione os eventos e se há orientações ou restrições quanto à participação de grupos culturais diversos. Esta atividade interdisciplinar desenvolve a habilidade de História EF06HI14. Com isso, o estudante compreende melhor os diferentes modos de interação, inclusão ou exclusão dos diversos grupos sociais.

Eventos periódicos em diversas culturas

Mercado de rua semanal. Indígena vendendo artes em Belo Horizonte, Brasil.

Feira do artesanato de Caruaru, Pernambuco, Brasil. Evento diário e ao ar livre.

Há muitos eventos que ocorrem regularmente, sempre após um intervalo aproximado de tempo. As Olimpíadas são um evento periódico bastante conhecido: costumam ocorrer de 4 em 4 anos. Cada época e cada cultura cria, mantém e difunde seus eventos periódicos. 116 | TRAJETÓRIA 2

Atividade 39

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 40

São quatro períodos de variação das marés: a) O evento que ocorre a cada três anos a partir preamar, baixa-mar, preamar e baixa-mar; depois de 2022 será em: do fenômeno preamar que iniciou as 6h12min, os 2022 + 3 = 2025, 2025 + 3 = 2028, próximos períodos ocorrem às 12h24min (baixa-mar), 2028 + 3 = 2031 e 2031 + 3 = 2034. às 18h36min (preamar) e às 24h48min (baixa-mar). b) O evento que ocorre a cada dois anos a partir Há um período de 12h24min que separa o próximo de 2022 será em: preamar e, então, às 18h36min ocorre o próximo 2022 + 2 = 2024, 2024 + 2 = 2026, preamar. O próximo período depois deste será 2026 + 2 = 2028 e 2028 + 2 = 2030. baixa-mar. c) Os eventos coincidem no ano 2028, ou seja, a cada seis anos. 116 | MANUAL DO PROFESSOR

39. c) Resposta possível: A existência de marés alta e baixa ocorre em virtude da ação gravitacional do Sol e da Lua. ATIVIDADES

EPICSTOCKMEDIA/SHUTTERSTOCK

marés. Imagine que, dentro dos 4 períodos que compõem o dia lunar, ocorra, em um determinado local, o fenômeno de preamar às 6h12min da manhã. Às 18h36min. a) Nesse mesmo dia, a que horas vai ocorrer novamente o fenômeno da preamar? b) À zero hora, início do dia seguinte, qual fenômeno está começando? Baixa-mar. c) Observe esta imagem:

•

Crie uma legenda para essa imagem em que apareçam as palavras “marés alta e baixa”, “Sol” e “Lua”.

41. Em uma escola, a cada 2 meses, todas

as vidraças são lavadas; a cada 6 meses, as cortinas são trocadas por limpas; e, a cada 3 meses, é realizada a limpeza do ar-condicionado. Esses três eventos ocorrem ao mesmo tempo todo mês de janeiro. Em quais meses os três eventos se tornam coincidentes? Janeiro e julho.

42. Uma cidade criou um concurso de literatura

para premiar seus escritores a cada 5 anos, mediante suas produções dentro desse período. A primeira edição desse concurso foi em 2000. Depois, foi criado outro concurso, dessa vez para literatura infantojuvenil, que ocorre também a cada 5 anos, com diferença de dois anos do concurso anterior. A primeira edição desse concurso foi em 2002. a) Em que ano ocorrerá a 6ª edição do concurso de literatura? E a 6ª edição do concurso de literatura infantojuvenil? Em 2025. Em 2027. b) Em 2017, qual concurso ocorreu? E em 2020? De literatura infantojuvenil. De literatura. c) Em 2031 haverá algum concurso desses? Explique.

40. Um bairro populoso de uma grande cidade

promove de três em três anos um festival de arte de rua. Esse mesmo bairro promove de dois em dois anos uma olimpíada local de esportes de rua. No ano de 2022, os dois eventos coincidiram. b) 2024, 2026, 2028, 2030. a) Escreva os próximos quatro anos, após 2022, em que ocorrerá o festival de arte de rua. 2025, 2028, 2031, 2034. b) Escreva os próximos quatro anos, após 2022, em que ocorrerá a olimpíada local. c) De quantos em quantos anos esses dois eventos coincidem? A cada 6 anos. d) Cite pelo menos dois anos em que a coincidência ocorrerá, após 2022. 2028 e 2034.

Representação de anúncio para atrair jovens escritores para concurso.

42. c) Não. Os anos de concurso são divisíveis por 5 ou aqueles que, ao serem divididos por 5, deixam resto 2; o ano de 2031 não se enquadra em nenhum desses casos. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

c) Há uma regularidade: os concursos de literatura acontecem em anos que terminam em 0 ou 5 e os de literatura infantojuvenil terminam em 2 ou 7; então, podemos afirmar que em 2031 não haverá nenhum desses concursos.

EMOJOEZ/SHUTTERSTOCK

39. Considere o texto sobre o fenômeno das

117 |

d) Algumas possibilidades de resposta são 2028, Atividade 42 2034, 2040, 2046. a) Como o concurso de literatura teve início em 2000 e ocorre a cada 5 anos, os concursos seAtividade 41 guintes ocorreram nos anos: 2000 (1o), 2005 (2o), Observando os meses em que ocorre cada tipo 2010 (3º), 2015 (4o), 2020 (5o), 2025 (6o). de limpeza, temos: Como o concurso de literatura infantojuvenil • vidraças lavadas nos meses: 1, 3, 5, 7, 9 e 11; teve início em 2002 e ocorre a cada 5 anos, os • limpeza do ar-condicionado: 1, 4, 7, 10; concursos seguintes são nos anos: 2002 (1o), • troca das cortinas: 1 e 7. 2007 (2o), 2012 (3o), 2017 (4o), 2022 (5o), 2027 (6o). Nos meses de janeiro e julho ocorrem, simul- b) Em 2017 ocorreu o concurso de literatura intaneamente, a limpeza das vidraças, do ar-condifantojuvenil, e em 2020, o de literatura. cionado e das cortinas. 117 |

Múltiplos comuns

ANDRE LUIZ MOREIRA/SHUTTERSTOCK

NATALIA GOLOVINA/SHUTTERSTOCK

Dois grupos distintos de cosplay se reúnem no mesmo local. O grupo dos heróis de quadrinhos se reúne a cada 4 meses. O grupo dos personagens de anime se reúne a cada 3 meses. Quando acontece de os dois grupos se reunirem ao mesmo tempo, no mesmo local?

Jovens que apreciam cosplay de personagens do universo dos quadrinhos estadunidenses.

Proponha a leitura do texto por um estudante, converse sobre a situação apresentada, faça o registro dos múltiplos na lousa e peça que um estudante circule os múltiplos comuns de 3 e 4. Exponha outras situações para que compreendam esse conceito, por exemplo: tomar um remédio de 6 em 6 horas e outro de 8 em 8 horas; sabendo que iniciam o tratamento com os dois remédios ao mesmo tempo, depois de quantas horas serão tomados os remédios simultaneamente?

Cosplayers de personagens da cultura japonesa.

Considerando a informação sobre o padrão periódico dos encontros de cada grupo, podemos escrever a sequência dos múltiplos de 4 e, depois, a de 3: • Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44... • Múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42... Observe que os números: 0, 12, 24 e 36 são múltiplos de 4 e são também múltiplos de 3. Dizemos que esses números são múltiplos comuns de 4 e 3. Isso significa que os dois grupos se encontram no mesmo local para seus eventos depois de 12 meses, depois de 24 meses, depois de 36 meses... ATIVIDADES

43. Considere as sequências de múltiplos naturais:

Corrija com os estudantes as afirmações falsas. II. U m a d a s m a n e i ra s d e resolver é usar a divis ã o. 40 : 4 = 10 e re s t o 0 ; 40 : 8 = 5 e re s t o 0 ; 40 : 12 = 3 e resto 4. Logo, 40 não é múltiplo de 12. IV. 8 é múltiplo de 4, então qualquer número múltiplo de 8 será múltiplo de 4 também.

Múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12...

embalagens com 25 unidades e clipes de

•

Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16...

plástico em embalagens com 15 unidades.

•

Múltiplos de 8: 0, 8, 16, 24, 32...

•

Múltiplos de 12: 0, 12, 24, 36, 48...

FIREDARK/SHUTTERSTOCK

Atividade 43

44. Uma papelaria vende clipes de metal em

•

Quais afirmações são falsas? I. 24 é múltiplo comum de 2, 4, 8 e 12. II. 40 é múltiplo de 4, 8 e 12. Falsa. III. Os múltiplos de 12 estão também na

sequência dos múltiplos de 3 e dos múltiplos de 4. IV. Nem todo número da sequência dos

múltiplos de 8 está na sequência dos múltiplos de 4. Falsa.

Uma pessoa deseja comprar uma quantidade igual de clipes de metal e de plástico, desde que não ultrapasse 120 unidades de cada. Quantas embalagens de cada categoria de clipe ela deverá comprar?

3 embalagens de clipes de metal e 5 embalagens de clipes de plástico. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

118 | TRAJETÓRIA 2

Atividade 44

Faça um quadro como este para ilustrar a atividade com a quantidade de embalagens para uma quantidade total de clipes menor que 120 em cada embalagem:

118 | MANUAL DO PROFESSOR

Embalagens

Clipes de metal

Clipes de plástico

100

105

Para comprar a mesma quantidade são necessários 3 pacotes de 25 clipes metálicos e 5 pacotes com 15 clipes de plástico.

a) Na 6ª volta dela (que corresponde à 5ª volta dele). JAVIER G./ M10

45. Dois atletas iniciaram, lado a lado na posição

de largada, seu treino de corrida em uma pista circular. A atleta completa cada volta em 90 segundos, enquanto o atleta leva 75 segundos para completar cada volta. Ambos mantiveram seus ritmos sempre constantes. a) Sendo assim, depois de quantas voltas dela ele vai estar novamente ao seu lado? b) Elabore um problema parecido com esse. • Compartilhe seu problema com um colega. Peça para ele editar o texto do seu problema e depois resolvê-lo. b) Resposta pessoal.

Divisores comuns

No evento escolar de cultura de rua se inscreveram 24 skatistas e 18 dançarinos de break. JAVIER G./ M10

Atividade 45

Caso os estudantes tenham dificuldade em perceber que os atletas se encontram na 5a volta da atleta e na 6a volta do atleta proponha que construam um quadro para ilustrar a solução da atividade.

O coordenador do evento quer distribuir os participantes das duas categorias de modo que, em cada grupo, haja o mesmo número de participantes de cada uma. Quantos participantes, de cada categoria, podem se apresentar a cada dia? Vamos pensar quais são os possíveis modos de agrupar os participantes de cada categoria: • Os 24 skatistas podem ser dispostos em grupos com 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 participantes. • Os 18 dançarinos de break podem ser organizados em grupos com 1, 2, 3, 6, 9, 18 participantes. A primeira sequência é a dos divisores naturais de 24, ou seja, cada termo dessa sequência indica o número de skatistas que pode haver em cada grupo, sendo todos os grupos com igual número de participantes. A segunda é a dos divisores de 18, ou seja, cada termo da sequência indica o número de dançarinos de break que pode haver em cada grupo, todos os grupos com igual número de participantes. Observe que os números 1, 2, 3 e 6 fazem parte dos divisores de 24 e de 18. Afirmamos que os números 1, 2, 3 e 6 são divisores comuns de 24 e 18. Isso significa que o coordenador do evento pode formar grupos com 1, 2, 3 ou 6 integrantes de cada categoria para fazerem suas apresentações. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

119 |

Número de voltas

Tempo da atleta

Tempo do atleta

180

150

270

225

360

300

450

375

540

450

Logo, os atletas se encontram novamente na 5a volta da atleta, que será a 6a volta do atleta. Divisores comuns

A proposta apresentada relaciona a cultura de rua com o conteúdo divisores comuns para que o estudante se interesse pela temática. É uma oportunidade de fazer relações com o TCT Diversidade Cultural e propiciar o entendimento sobre respeito pelas diferentes preferências das pessoas.

119 |

ATIVIDADES

46. Encontre os divisores comuns de 18 e 24.

1, 2, 3 e 6.

47. Um artesão produz sabonetes de três ca-

tegorias: frescor, proteção e equilíbrio. Ele deseja amarrar com fita o maior número de sabonetes, de modo que todos os amarrados tenham quantidades iguais de sabonetes da mesma categoria.

SOHO A STUDIO/SHUTTERSTOCK

Veja como ela fez: • Listar todos os divisores naturais de 24. • Listar também todos os divisores naturais de 30. • Circular os números que se repetem em ambas as sequências. • Transcrever os números que foram circulados em ambas as listas, agora em uma lista à parte: são os divisores comuns de 24 e 30. 1, 2, 3, 6.

a) Siga cada um dos passos desse algoritmo

e encontre os divisores comuns de 24 e 30.

b) Escreva um algoritmo para calcular os

Atividade 46

Como os divisores de 18 são 1, 2, 3, 6, 9 e 18 e os divisores de 24 são 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24, temos estes divisores em comum: 1, 2, 3 e 6. Caso perceba que os estudantes têm dificuldade para identificar a solução, proponha que façam a lista de divisores de cada número, circulem os divisores comuns e escrevam uma nova lista com os divisores comuns a 18 e 24.

divisores comuns de 16, 24 e 20. Resposta

Neste momento, ele tem para vender 16 sabonetes de frescor, 32 de proteção e 24 de equilíbrio. Quantos sabonetes haverá em cada amarrado? 8 sabonetes.

48. a) Podem ser feitos 5 grupos.

48. Em um evento para artistas adolescentes,

compareceram 35 dançarinos, 75 rappers e 40 desenhistas. O coordenador do evento quer organizar os artistas em grupos, de modo que cada grupo tenha o mesmo número de integrantes e que cada linguagem artística esteja igualmente distribuída nos grupos. a) Qual é o número máximo de grupos com quantidades iguais de representantes de cada linguagem artística em cada grupo? b) Quantos artistas de cada linguagem haverá por grupo?

Atividade 47

Uma estratégia para resolver o problema é identificar o maior divisor comum. Os divisores de 16 são: 1, 2, 4, 8 e 16; os divisores de 32 são: 1, 2, 4, 8, 16 e 32; os divisores de 24 são: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24. O maior divisor comum é 8, logo, a quantidade de cada tipo de sabonete nos amarrados será de 8. Atividade 48

Observe que a pergunta do problema solicita o número máximo de grupos e um número comum a todos os grupos. Vamos listar os divisores do número de integrantes em cada grupo: • Dançarinos: D(35) = {1, 5, 7, 35}; • Rappers: D(75) = {1, 3, 5, 15, 25, 75}; • Desenhistas: D(40) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}. O maior número comum a esses três conjuntos é o número 5. Logo, haverá: 5 grupos com 120 | MANUAL DO PROFESSOR

pessoal.

c) Verifique se seu algoritmo funciona, se-

Sabonetes artesanais.

49. A professora de Aline solicitou que ela en-

contrasse os divisores comuns de 24 e 30. Aline escreveu uma lista que mostra, passo a passo, o que ela tem de fazer para descobrir isso. Ela criou um algoritmo.

guindo passo a passo até obter os divisores comuns de 16, 24 e 20. 1, 2, 4. d) Represente seu algoritmo por meio de um fluxograma. Resposta pessoal.

50. Faça este problema com um ou dois colegas.

Uma tia comprou algumas miniaturas e as dividiu em kits para distribuir aos seus sobrinhos. ITENS PARA OS KITS Miniatura

Quantidade

Bonecos

Carrinhos

Animais

Ela montou os kits conforme estas regras: • Todos os kits são iguais entre si. • Nenhuma miniatura deve sobrar fora dos kits. Qual foi o número máximo de kits que essa tia distribuiu? 12 kits.

48. b) Cada grupo será composto de: 7 dançarinos, 15 rappers e 8 desenhistas. 120 | TRAJETÓRIA 2

7 dançarinos em cada; 5 grupos com 15 rappers em cada; 5 grupos com 8 desenhistas em cada. Atividade 49

a) Seguindo os passos do algoritmo, temos: • divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24; • divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30; • divisores comuns de 24 e 30: 1, 2, 3 e 6. b) Uma maneira de apresentar o novo algoritmo, semelhante ao modelo proposto, é: • listar todos os divisores de 16.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

• Listar todos os divisores de 24. • Listar todos os divisores de 20. • Circular os números que se repetem em ambas as sequências. • Transcrever os números circulados em uma nova lista, os divisores comuns de 16, 24 e 20. c) Para validar o novo algoritmo, temos: • divisores de 16: 1, 2, 4, 8 e 16; • divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24; • divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Os divisores comuns de 16, 24 e 20 são 1, 2 e 4.

LEVO NA BAGAGEM

LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais. Consulte, em seu caderno, os trabalhos que você desenvolveu, suas anotações de estudos e reflita sobre o que aprendeu até agora neste passeio. ▶ Matemática • Você consegue classificar números naturais até 100 em primos ou compostos? • Reconhece se um número natural é “múltiplo de”, “divisor de” ou “fator de” outro número? • Resolve e elabora problemas que envolvem as ideias de múltiplo e de divisor? • Sabe construir um algoritmo em linguagem natural e representá-lo por meio de um fluxograma? ▶ Outras disciplinas Língua Portuguesa • Você respeita a vez da fala, na participação em conversações e em discussões, na sala de aula? Formula perguntas coerentes e adequadas, em momentos oportunos, em situações de troca de ideias nas aulas de Matemática? Ciências da Natureza • Você reconhece, por meio de textos informativos, evidências que demonstram a esfericidade da Terra, por exemplo, os fenômenos das marés, decorrentes das forças gravitacionais da Lua e do Sol? História 1, 2, 3, 6formas de contato e de adaptação entre grupos sociais e culturais, em • Reconhece as diferentes diversas épocas e espaços no Brasil e no mundo? Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

Neste momento do passeio, organize a leitura coletiva do texto para que, respondendo às questões propostas, os estudantes reflitam sobre seu próprio aprendizado enquanto escutam atentamente as dificuldades encontradas pelos colegas. Com o preenchimento da tabela, poderão classificar seu desempenho em Matemática ou nas disciplinas presentes nas atividades interdisciplinares. Diante dessas informações, poderão conversar com professores, familiares ou amigos para compartilhar suas estratégias e repensar em novas atitudes que contribuam para minimizar as dificuldades.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Insuficiente

Parcialmente suficiente

Satisfatório

Plenamente satisfatório

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que você autodiagnosticou.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

121 |

Os estudantes podem propor outros modos Os divisores comuns de 24, 36 e 48 são: 1, 2, de responder: observe as diferentes resoluções e 3, 4, 6 e 12 organize-os para que compartilhem os registros O número máximo de kits que essa tia distrina lousa e expliquem como pensaram sobre as buiu foi 12. questões. Atividade 50

Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24; Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36 Divisores de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

121 |

BARCOS E PORTOS

Organize

Solicite que copiem o fluxograma no caderno e observem a imagem da seção Arredores. Para identificar o que aprenderam, podem colorir o que aprenderam e apenas contornar o que ainda têm de dúvidas.

▶ Organize Respostas pessoais. Agora que você percorreu todo este passeio, vamos organizar um esquema com as palavras-chave do que aprendeu? Primeiramente, consulte o mapa mental da seção Arredores deste passeio: as mesmas palavras que estão lá devem fazer parte do mapa. Copie o mapa e complete com os tópicos que foram estudados. Resolução de problemas MÚLTIPLOS Fluxogramas

DIVISORES Números compostos

Investigação

Critérios de divisibilidade

a) Compare esse mapa com o mapa mental da seção Arredores. Qual dos dois você

entende melhor? Qual lhe agrada mais? Por quê?

b) Personalize o seu mapa, por exemplo, pintando da sua cor preferida os tópicos

que você mais aprendeu e de outra cor os tópicos sobre os quais você ainda tem alguma dúvida. c) Depois de pintado, compare seu mapa com os mapas dos colegas e ouça o que eles têm a dizer sobre os conceitos e as ideias sobre os quais tiveram dificuldade e, caso sejam diferentes dos seus, discorra sobre esses conceitos, sempre que possível, mostrando exemplos. ▶ Elabore

VISUAL GENERATION/SHUTTERSTOCK

Repasse os problemas que foram apresentados ao longo deste passeio. isso e nomeie cada grupo de acordo com seu método resolutivo. c) Crie um fluxograma que detalhe os passos para resolver problemas de um dos grupos que você criou.

a) Observe a estrutura de resolução

de cada problema e agrupe-os por semelhanças. b) Agora, verifique se nas resoluções

de cada grupo de problemas foram utilizados os mesmos procedimentos. Converse com os colegas sobre 122 | BARCOS E PORTOS

122 | MANUAL DO PROFESSOR

d) Elabore um problema que possa ser

resolvido pelo seu algoritmo e apresente os dois para um colega. Ele deve resolver o problema e verificar a eficácia do seu algoritmo. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Proponha

▶ Proponha A pergunta inicial deste passeio é: O que são as tribos digitais? Retome as ideias exploradas a respeito das tribos digitais e de outras tribos. A partir do que você aprendeu sobre esse tema, reflita sobre as questões:

PR IMAGE FACTORY/SHUTTERSTOCK

PJ_PHOTOGRAPHY/SHUTTERSTOCK

SERGEY CAUSELOVE/SHUTTERSTOCK

a) Que tribos você consegue identificar em cada imagem? Fotógrafos, cosplayers, nerds.

Solicite aos estudantes que apresentem os pontos relevantes nas discussões sobre o texto. Como as tribos digitais nascem e quais eram as principais características das tribos geek, nerd e otaku? Organize grupos para realizar a proposta e elaborar a criação de uma tribo. É importante socializar as discussões e características das tribos.

As mais diversas tribos... b) Escolha algumas das tribos que foram mencionadas ao longo deste passeio e liste

as principais atividades realizadas por elas e quais são os impactos dessas atividades para a sociedade como um todo. Respostas pessoais. c) Compare as características e relacione as tribos conforme o que elas têm em comum. Por exemplo, tanto os geeks quanto os nerds gostam de entretenimento on-line, enquanto os fotógrafos e desenhistas costumam publicar seus portfólios em redes sociais. Após o registro dessas características, construa um mapa mental (semelhante ao da seção Arredores), relacionando palavras-chave do tema Tribos digitais e outras tribos. Faça círculos ou retângulos, como preferir, usando os fios para representar relações entre as palavras. Respostas pessoais. 2.

Agora, forme grupo com outros colegas para esta atividade: Respostas pessoais. a) Proponham a criação de uma tribo, seja ela digital ou não. Descreva quais são suas

principais características.

b) Imaginem uma ação que beneficie o entorno imediato onde os integrantes dessa

tribo participam. Essa ação pode ser ambiental, social, entre outras.

c) Representem a tribo criada por vocês no seu mapa mental das diversas tribos.

RAWPIXEL.COM/SHUTTERSTOCK

Compartilhem suas produções com os colegas.

Quais são as características da sua tribo? NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

123 |

Os estudantes deverão fazer uma representação de escultura 3D imaginando que têm o recurso tecnológico em discussão. Oriente que, se possível, as carteiras sejam organizadas de forma circular e um estudante simule os movimentos da criação de sua escultura, enquanto todos representam em folha de sulfite a arte criada pelo movimento. Esta atividade contempla a habilidade EF67EF02, ao apresentar como funciona o recurso da realidade aumentada aos estudantes. A habilidade EF69AR07 também é abordada nas construções artísticas, quando os estudantes imaginam os movimentos e a escultura que querem construir e fazem um desenho colorido que representa a escultura. Para intensificar a qualidade das produções artísticas, proponha uma parceria com o professor de Arte e, como encerramento, organize um painel com essa atividade na sala de aula.

PASSEIO 2 – RETAS E ÂNGULOS COMO AS TECNOLOGIAS DIGITAIS ATIVAM A CRIATIVIDADE NAS ARTES VISUAIS? GORODENKOFF/SHUTTERSTOCK

Encontro com outras disciplinas (EF67EF02) Identificar as transformações nas características dos jogos eletrônicos em função dos avanços das tecnologias e nas respectivas exigências corporais colocadas por esses diferentes tipos de jogos. (EF69AR07) Dialogar com princípios conceituais, proposições temáticas, repertórios imagéticos e processos de criação nas suas produções visuais.

Artista criando escultura 3D abstrata.

Essa artista está usando recursos de realidade aumentada, trabalhando em uma escultura 3D abstrata com controladores. Seus gestos corporais criam arte conceitual. Essa nova maneira de fazer arte substitui os materiais utilizados na produção da arte tradicional por meio do uso de ferramentas tecnológicas.

CHECK-IN Reúna-se com outros colegas para conversar sobre estas questões: a) As formas utilizadas pela artista em sua escultura abstrata lembram quais formas

geométricas? Formas curvas ou arredondadas, como a esfera, por exemplo.

c) A representação da escultura 3D está, na verdade, no campo de visão da artista

por meio da “tela” interna aos óculos. Essa foto sofreu uma intervenção pós-produção para que nós, leitores, pudéssemos conhecer a imagem que a artista está criando com seus gestos corporais. O que antes era um recurso restrito aos jogos eletrônicos, agora é também uma possibilidade para criações artísticas. Que efeitos nos movimentos do corpo as tecnologias digitais vêm trazendo, seja para jogos eletrônicos, seja para criações artísticas? Você acha que essa criação artística exigiu muita coordenação motora para se fazerem esses “desenhos no ar”? Comente.

Resposta pessoal. 124 | TRAJETÓRIA 2

CHECK-IN Faça uma roda de conversa: inicie com a leitura do texto e a observação da imagem. Introduza o TCT Ciência e Tecnologia ao mostrar que uma escultura pode ser construída em 3D com recursos tecnológicos. Elabore perguntas sobre o texto para que os estudantes percebam os elementos matemáticos presentes nas obras virtuais, apresentem o que conhecem sobre esses recursos tecnológicos e estabeleçam relações entre os conceitos matemáticos e as criações artísticas virtuais. 124 | MANUAL DO PROFESSOR

Triângulo.

b) As formas esféricas aparentam ser compostas de qual figura geométrica plana?

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ARREDORES

Paralelas

Construção RETAS Perpendiculares

Algoritmo

Agudo Reto

Obtuso

Comparação Medidas da abertura de ângulos Transferidor Definições de ângulos

ÂNGULOS Giro

EF06MA22, EF06MA23, EF06MA25, EF06MA26, EF06MA27 EF67EF02, EF69AR07

BÚSSOLA Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: • • • • • • •

Reconhecer as ideias de ângulo e identificá-lo como uma figura geométrica. Classificar os diferentes ângulos quanto à sua abertura. Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos. Determinar a medida da abertura de ângulos usando transferidor. Utilizar régua e esquadro na construção de retas paralelas e retas perpendiculares. Construir retas paralelas, retas perpendiculares e retângulos utilizando softwares. Elaborar um algoritmo que descreva a construção de um retângulo.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

125 |

ATMOSFERA Comparação e criatividade

A obra a seguir se chama O grito na noite estrelada, uma paródia feita por um artista contemporâneo, que mescla as duas obras anteriores por meio de tecnologia digital.

Atividade 2

Possivelmente, perceberão que a obra O grito tem predominância de cores quentes e linhas retas, enquanto a obra Noite estrelada tem cores frias e linhas curvas. Na composição O grito na noite estrelada, observamos essas duas características.

Vincent van Gogh pintou A noite estrelada em 1889, usando óleo sobre tela de 74 cm × 92 cm. A pintura está exposta no Museu de Arte Moderna de Nova York, nos Estados Unidos.

ATIVIDADES

Respostas pessoais.

Com os colegas, compare as obras O grito e A noite estrelada e responda: qual tem mais cores quentes? Qual tem mais linhas retas? Qual delas parece mais “agitada”? Além das diferenças, o que vocês veem de semelhante nas duas telas? Comente suas percepções. Como você acha que o artista de O grito na noite estrelada teve a ideia de mesclar duas obras diferentes? O que você achou do resultado?

126 | TRAJETÓRIA 2

126 | MANUAL DO PROFESSOR

MUSEU DE ARTE MODERNA, NOVA IORQUE, EUA

Esta tela é de Edvard Munch e se chama O grito. Foi pintada em 1893 usando óleo, têmpera e pastel sobre cartão com 91 cm × 73,5 cm. Ela está em exposição na Galeria Nacional e Museu Munch, em Oslo, na Noruega.

ARIF_S/SHUTTERSTOCK

Convide os estudantes a observar as imagens e explore os conhecimentos prévios com perguntas como: • Quem já viu uma obra como essas? • Quem já ouviu falar nesse artista? • Vocês sabem o que são cores quentes e cores frias? Deem exemplos. Pergunte também: • O que são linhas retas? • O que são linhas curvas? Se julgar pertinente, sugira que pesquisem informações das obras de arte que apareceram no texto e de outros artistas com caraterísticas similares às apresentadas. Aproveite para incentivá-los a buscar informações sobre as principais características das obras de arte desse mesmo período.

MUSEU MUNCH, OSLO, NORUEGA

Atividade 1

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

#Noções introdutórias da Geometria Olhar atento

KASPARS GRINVALDS/SHUTTERSTOCK

MILANMARKOVIC78/SHUTTERSTOCK

As imagens permeiam nosso cotidiano a todo instante. Elas chegam a nós por meio de diversos veículos, por exemplo, os meios de comunicação.

Os smartphones e as redes sociais facilitaram a propagação de diversas imagens.

Pontos, linhas, planos e uma profusão de formas são alguns dos elementos que compõem a totalidade imagética na qual estamos mergulhados. Sem falar das cores, texturas, luz e sombra, volumes etc. Para a educação do olhar, podemos contemplar e deter a atenção aos detalhes e buscar por generalizações, conforme características específicas. Veja o que propôs a professora do 6º ano de uma escola pública.

Ponto, reta e plano

MUSEU SOLOMON R. GUGGENHEIM, NOVA IORQUE, EUA

Uma professora do 6o ano convidou os alunos para uma “simulação” mental: partindo de uma pintura, os alunos deveriam levar mentalmente alguns elementos de uma obra de arte para as ideias de ponto, reta e plano da Geometria. Para facilitar a simulação mental, a professora “eliminou” a diversidade de cores da obra para que o olhar dos alunos focasse totalmente nas formas dos elementos que dela constam.

(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros. A introdução à Geometria inicia com a apresentação dos conceitos ideais de ponto, reta e plano. Como esses conceitos não têm definição, precisamos apresentar modelos e figuras geométricas para que os estudantes identifiquem e entendam sua representação. Podemos mostrar objetos na sala de aula e propor que apresentem elementos que podem estar associados à ideia de ponto, reta ou plano. Na atividade proposta, ao observar a tela, há muitas linhas retas e círculos, por isso é preciso lembrá-los que o ponto não tem dimensão e os círculos grandes não dão a ideia de ponto; essa ideia é mais bem representada pela imagem do grão de areia.

Wassily Kandinsky. Composição VIII, 1923. Óleo sobre tela, 140 cm × 201 cm. Museu Solomon R. Guggenheim, Nova York. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

127 |

Habilidade

Acompanhe a proposta enviada pela professora.

(EF06MA22) Utilizar

instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros.

Professora_Sandra

@matemúltiplo

Observem algo na pintura que lembre um ponto e imaginem esse elemento sendo cada vez mais reduzido, até que ele seja tão ínfimo que não tenha dimensão alguma. Agora, observem uma linha completamente reta e imaginem essa linha cada vez mais fina, até que fique totalmente sem espessura, sem largura. Imaginem também que essa reta não tenha começo nem fim, ou seja, que ela siga existindo infinitamente para os dois sentidos de suas pontas. Por último, observem a superfície da tela sobre a qual está a pintura. Imaginem essa superfície extremamente plana, sem espessura e existindo infinitamente para todas as direções possíveis sobre a superfície.

LUPAS E LUNETAS Releia as falas da professora Sandra e faça uma representação de ponto, reta e plano na lousa, apontando como é a notação de cada um. Converse sobre como entenderam a redução da figura até não ter dimensão e complemente suas respostas. Você pode apresentar objetos como grãos de areia, um fio de varal esticado e uma parede, que dão a ideia de pontos, reta e plano, respectivamente.

Esses elementos totalmente abstratos, apenas imaginados, são, na ordem em que a professora propôs, chamados em Geometria de ponto, reta e plano.

LUPAS E LUNETAS Você acompanhou a proposta de simulação mental da professora? Respostas pessoais. a) Que outros objetos, figuras ou elementos do seu entorno você seria capaz de aproximar à ideia de ponto? b) Faça o mesmo citando objetos ou elementos presentes no seu cotidiano que possam ser aproximados às ideias de reta e de plano. • Compartilhe o que você imaginou com os colegas e o professor.

Atividades 3 e 4 3. b) Natureza: troncos das árvores; vida social: linhas do revestimento da calçada, hastes da mala, linhas no mapa etc.

3. Observe duas situações: uma da natureza e outra da vida social.

b) Reta

c) Plano Vida social: tela do celular, super-

TERO VESALAINEN/SHUTTERSTOCK

fície reta da calçada.

4. Observe a pintura artística feita por um jovem. ARTE/ M10

ATIVIDADES

MINTIMAGES/SHUTTERSTOCK

O ponto, a reta e o plano não têm definição, mas são elementos importantes da Geometria. Caso os estudantes tenham dificuldades em estabelecer relações para identificar ponto, reta e plano, proponha que verbalizem objetos que possam dar a ideia desses elementos geométricos. Uma resposta possível: na pintura, as duas linhas paralelas na vertical dão ideia de retas; há dois retângulos, cada um com um elemento que dá ideia de ponto, e qualquer retângulo remete a plano.

Plantação de árvores de Álamos. Mulher navegando em aplicativo de mapa.

Indique os elementos dessas fotos que dão a ideia de: Natureza: pequenas marcas nos a) Ponto troncos, pontos verdes das folhas. Vida social: ponto de partida e ponto de chegada no mapa.

128 | TRAJETÓRIA 2

Atividade 5

Aponte para um colega quais elementos dessa pintura lembram pontos, retas ou planos. Resposta pessoal.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

d) As semirretas DC e DE têm a origem D em comum. a) Os segmentos consecutivos têm um ponto em comum. Nesse caso, não há ponto comum e, Atividade 6 assim, não são consecutivos. b) Segmentos colineares ficam sobre a mesma a) linha reta, o que não acontece com CD e DE. Y c) São consecutivos e colineares por simultaneamente terem um ponto em comum e estarem sobre a mesma linha reta, como os segmentos PQ e QS. W X Z

128 | MANUAL DO PROFESSOR

Habilidade

Segmento de reta e semirreta

(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros.

ARTE/ M10

Na continuação da aula, a professora representou na lousa o seguinte:

Acompanhe as definições, considerando os desenhos feitos na lousa:

• A linha que começa em A e termina em B é um segmento de reta. Os pontos A e B são

as extremidades do segmento de reta, que indicamos deste modo: AB. • CD e DE são segmentos consecutivos, pois têm uma extremidade comum: o ponto D.

KL e LM ou KM e ML são também segmentos consecutivos. PQ e ST não são consecutivos. • KL e LM são segmentos colineares, pois estão sobre a mesma linha. PQ e ST também

são colineares.

e) Os segmentos XY e YZ não são colineares, pois não estão sobre uma mesma linha; são segmentos consecutivos, pois têm uma extremidade em comum.

• A linha representada pela letra r é a reta suporte dos segmentos PQ e ST. A reta r pode

!##" ser também indicada por dois de seus pontos, assim: QT . • A reta r é formada por infinitos pontos. • A linha que começa em D, passa por C e segue infinitamente é chamada de semirreta de !!!" origem em D, e indicamos assim: DC. ATIVIDADES

5. Converse com um colega e, juntos, respondam às questões observando a lousa da professora Sandra: Porque Q não coincide com S. Há o segmento de reta a) Por que PQ e ST não são consecutivas? QS entre PQ e ST. b) Por que CD e DE não são colineares? Porque não existe uma reta que contenha ambos.

f) Os segmentos são colineares, pois estão sobre uma mesma linha, E também são segmentos consecutivos, pois têm uma extremidade em comum.

!!!"

d) DC e DE são duas semirretas com a mesma origem? Sim, o ponto D é a origem comum a

essas semirretas.

c) Sim, por exemplo, PQ e QS.

6. Junto com um colega, imagine 4 pontos: W, X, Y, Z. Os dois primeiros e o último são colineares;

o terceiro não é (vocês vão precisar do caderno e de uma régua). Construções pessoais em a, b e c.

a) Desenhe no caderno esses quatro pontos. Localize o ponto Y como se estivesse no meio,

entre X e Z, porém, bem acima deles.

b) Trace XY e XZ.

!##"

d) Os pontos X e Y são colineares? Sim, há uma reta que os liga. e) XY e YZ são colineares? São consecutivos? Não. Sim.

f) WX e XZ são colineares? São consecutivos? Sim. Sim.

!##" g) Quais dos quatro pontos dados pertencem a WZ ? W, X e Z

129 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

d) Sim, pois há uma reta que os liga.

Y Z

ponto comum

c) Trace WX e WY .

c) KL e LM são, ao mesmo tempo, consecutivas e colineares. Há outro caso assim na lousa?

!!!"

ponto comum

Z 129 |

Habilidade (EF06MA22) Utilizar

TRAVESSIAS

instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros.

A imaginação, a intuição, a educação do olhar e a Geometria A Geometria estimula a imaginação e melhora as estratégias de comunicação de ideias matemáticas. Além disso, ela esclarece situações abstratas que, muitas vezes, surpreendem nosso senso comum. Observe os dois segmentos de reta.

Em qual deles você acredita que há mais pontos? Essa pergunta parece óbvia, mas, ao refletirmos mais sobre isso, vamos ser surpreendidos. Por isso, vamos fazer uma prova “mental” (ou prova geométrica intuitiva) com o apoio de um desenho:

Atividade 7

Proponha uma roda de conversa, utilize a leitura do texto para iniciar a discussão e pergunte: em qual deles você acredita que há mais pontos? A imagem com o fundo branco não dá a ideia de profundidade como na imagem apresentada com o feixe de retas com o ponto P em comum que atravessa as paralelas. Conduza a conversa para esse entendimento. Observando a primeira figura, pergunte se todos os quadrados são do mesmo tamanho. Sugira reproduzir essa figura três vezes no caderno: na primeira, contornar e numerar os quadrados pequenos; repetir o procedimento para os quadrados intermediários e para o grande. Sugira que, em uma folha de papel, os estudantes reproduzam as figuras e façam uma investigação a respeito das áreas apresentadas. Como todas as regiões azuis possuem a mesma medida de área da superfície, peça aos estudantes que utilizem a sobreposição de figuras para demonstrar esse fato. Sugira que observem a terceira figura. Crie perguntas com a intenção de perceberem as diagonais do retângulo ABCD. Peça que reproduzam a figura no caderno e representem as diagonais. Com isso, concluirão que a diagonal também é raio do círculo e tem a mesma medida do raio.

130 | MANUAL DO PROFESSOR

A figura nos mostra que qualquer segmento de reta que imaginarmos tem o mesmo número de pontos que há em AB. Observe que o ponto P serviu de suporte para as retas que passam por ele. Todas as retas que passam por ele e que atravessam o primeiro segmento AB vão atravessar também o segundo segmento YZ. Ou seja, todas as retas passando por P, ao “varrerem” todos os pontos de AB, “varrem” também todos os pontos de YZ (você pode também imaginar que fosse uma reta só, articulável, fixa em P, longa o suficiente para atravessar o primeiro e o segundo segmento, ao mesmo tempo). Essa investigação mental, utilizando esse raciocínio, garante que todo ponto do primeiro segmento encontrará um único ponto do segundo segmento e vice-versa. Logo, o mesmo número de pontos que há no primeiro há também no segundo segmento. O que lhe surpreendeu nesse raciocínio? Respostas pessoais.

•

ATIVIDADES

Considere as figuras e, utilizando um processo mental de investigação, responda às O mesmo que o raio, porque BD é uma diagonal do retângulo perguntas. ABCD, assim como AC, que é também um raio.

•

Quantos quadrados você vê nessa figura? Resposta pessoal.

130 | TRAJETÓRIA 2

•

Os 4 quadrados têm o mesmo tamanho. A região azul é maior em qual deles? Em

•

Dado um círculo e a medida de seu raio, quanto mede a diagonal BD ? NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

#Ângulos

(EF06MA26) Resolver

problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão.

Ideias de ângulo

Esse giro foi radical!

Por favor, coloque essa caixa naquele canto.

JAVIER G./ M10

Observe as situações:

A abertura dessa tesoura facilitou a poda.

LUPAS E LUNETAS Em grupo, reflita sobre as questões: Respostas pessoais. a) Imagine que, em pé e parado, você deu um giro de meia volta. O que esse movimento causou? b) É possível colocar uma caixa em um canto da parede e ela se encaixar nele perfeitamente? Por quê? c) Se abrirmos manualmente as hastes da tesoura, o que acontecerá com a abertura entre as lâminas? Por que isso ocorre?

ATIVIDADES

8. A imagem a seguir foi feita por um artista com recurso de manipulação digital. Nela, foram destacados em vermelho detalhes que, de modo aproximado, dão a ideia de ângulo. IONUT MUSCA/SHUTTERSTOCK

Respostas pessoais.

Chame um voluntário à frente da sala e peça que fique virado para a lousa e dê meia volta no sentido horário. Deixe que os estudantes o observem dar outra meia volta no mesmo sentido. Pergunte: o que aconteceu? E se o movimento fosse no sentido contrário, algo mudaria? Leve uma caixa para a sala de aula e peça que coloquem no canto da sala. Pode ser que a parede esteja no esquadro, ou não. Se, no caso da caixa, não encaixar, coloque um papel no canto da sala e faça um vinco no canto entre a parede e chão. Depois, dobre a folha e mostre que não havia um ângulo de 90o no canto; sobreponha o papel com canto da caixa para que percebam os ângulos diferentes. Peça que usem a tesoura escolar para observar o ângulo formado entre as lâminas: deixe que percebam e registrem que o ângulo aumenta ou diminui conforme abre ou fecha a tesoura. Atividade 8

Pequeno barco de pesca em um lago. a) Esses ângulos têm ideia de giro, canto, inclinação ou abertura?

b) Considere o ângulo imaginado entre a estaca da direita e a linha do horizonte como referência.

A abertura dos outros dois é maior ou menor do que a deste?

c) A medida do ângulo que a corda do barco faz com o nível da água é igual ou diferente do ân-

gulo do reflexo dessa corda com o nível da água? Explique o que você compreende sobre isso.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LUPAS E LUNETAS

131 |

Essa atividade faz uma analogia com a anterior: os ângulos têm a ideia de abertura, inclinação e canto. Ao comparar os ângulos da estaca e do barco com o ângulo de 90o, eles perceberão que o primeiro é maior e o segundo é menor que o ângulo reto. Na comparação com o ângulo refletido na água, eles perceberão que a imagem refletida é distorcida e o ângulo é maior. As imagens refletidas na água feitas com luz natural serão simétricas se a luz for paralela à água, e as imagens criadas com recursos digitais serão simétricas, pois a imagem é invertida e a parte refletida tem o brilho diminuído. Existem vídeos que mostram o passo a passo de como criar esse efeito.

131 |

Definição de ângulo Há uma variedade de softwares que permitem fazer intervenções em imagens. O resultado vai depender da criatividade do artista. Observe a imagem feita com o auxílio de um desses softwares: MASTER1305/SHUTTERSTOCK

B O

Atividade 9

Seguindo o algoritmo, teremos a construção:

O POQ

A partir dessa imagem, representamos o plano a (lê-se: alfa), dividido em duas regiões: a azul e a branca. O ponto O é o vértice do ângulo. !!" !!" As semirretas OA e OB são os lados do ângulo destacado. ! B ou BO ! A ou simplesmente O !. Indicamos esse ângulo por: AO ! B destacado é uma das duas regiões do plano a. O interior do ângulo AO

! P; ou apenas com o vértice QO !. do ângulo, O

ATIVIDADES

! Q, QO !P e O !. PO

9. Marque no caderno três pontos não colineares: P, O, Q. Proceda conforme o algoritmo: Passo 1

Passo 2

Trace OP.

Trace OQ.

!!"

!!!"

Passo 3 Indique esse ângulo de três maneiras diferentes.

11. Observe os ângulos entre os ponteiros deste relógio. Em seguida, faça o que se pede.

G L

R O

ARTE/ M10

Oriente a observarem a figura e os três modos diferentes de indicar o menor ângulo entre as semirretas: iniciando pelo ponto ! Q; iniciando pelo ponto Q, P, PO

Uma figura geométrica que reúne duas semirretas de mesma origem e a região limitada por elas é chamada de ângulo.

10. Considere os ângulos e responda: a) Indique o ângulo formado pelos ponteiros

!R ou RO !G. das horas e dos minutos. GO

b) Indique o ângulo formado pelos ponteiros

! L ou LO ! G. das horas e dos segundos. GO

a) Qual é o vértice de cada ângulo? E e M.

c) Indique o ângulo formado pelos ponteiros

b) Quais são os lados de !cada !" !ângulo? !" !!!" !!!"

! L ou LO ! R. dos minutos e dos segundos. RO

ED e EF ; ML e MN.

132 | TRAJETÓRIA 2

132 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

TRAVESSIAS As diversas “facetas” do ângulo

ROMI49/SHUTTERSTOCK

DELCARMAT/SHUTTERSTOCK

INSTITUTO DE ARTE DE CHICAGO, CHICAGO, EUA

Atividade 12

ATIVIDADES

12. Forme dupla ou trio. Leia as questões para realizar essa investigação. Respostas pessoais. a) Compare as cinco definições com a definição apresentada na página anterior. A qual

delas aquela definição corresponde? Explique.

b) Represente cada uma das cinco definições por meio de um desenho. Você pode •

utilizar lápis de cor para os casos em que for necessário colorir. Compartilhe com os demais colegas as descobertas que vocês fizeram.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Em uma atividade investigativa, o professor deve estar preparado para as respostas diversas que poderão surgir da discussão entre os estudantes. Nessa proposta, a definição de ângulo é: uma figura geométrica que reúne duas semirretas de mesma origem e a região do plano limitada por elas. Nas afirmativas selecionadas, podemos fazer algumas observações: as afirmativas I, II e IV usam o conceito de retas concorrentes, com um único ponto em comum, e essas retas formam dois pares de ângulos opostos pelo vértice. Caso considere adequado, apresente essa característica aos estudantes. As afirmativas III e V apresentam os ângulos formados a partir das semirretas, ou seja, há dois ângulos que podem ser observados. Peça aos estudantes que comparem com as definições apresentadas e organize uma construção coletiva que pode ser um cartaz com as definições e suas representações correspondentes.

133 |

Sugestão de atividade

Ângulos e giros Ao baixarmos um aplicativo, ou quando o computador está carregando algum processo, é comum surgir na tela um sinal parecido com algum destes, que dão a ideia de giro: ARTE/ M10

Vamos escolher um deles para analisar giros que correspondem às frações de uma volta completa. Um giro de uma volta completa mede 360° (lê-se: 360 graus). 1 1o corresponde a uma parte de 360 partes iguais em que dividimos um círculo ⎛ do círculo⎞ . ⎝ 360 ⎠ Ângulo de 1o

ÂNGULOS e frações de giro. Conhecendo e aplicando. Nova Escola. Disponível em: https:// planosdeaula.novaescola.org.br/ fundamental/4ano/matematica/angulos-e-fracoes-de-giro-conhecendo-e-aplicando/1188. Acesso em: 16 abr. 2022.

Sugestão de plano de aula

CLASSIFICANDO ângulos. Nova Escola. Disponível em: https://planosdeaula.novaescola.org.br/fundamental/6ano/ matematica/classificando-angulos/388. Acesso em: 16 abr. 2022. Como atividade complementar, você pode construir um “relógio pedagógico” para que compreendam o significado de ângulos (não é necessário colocar os números que representam as horas). Recorte um quadrado em papelão e cole um círculo em papel ou feltro centralizando. Fure no centro do círculo. Use um material como caixa de leite ou capa de caderno para fazer os ponteiros e fure uma das extremidades. Utilize alguma figura que represente pessoas que realizam movimentos circulares em suas profissões, esportes ou atividades, por exemplo, capoeiristas, bailarinos, ginastas. Aproveite para utilizar figuras de pessoas de gêneros masculino e feminino, assim como figuras que não identifiquem necessariamente um gênero. Importante também utilizar, sempre que possível, pessoas com corpos diferentes (magros, gordos, baixos, altos), fugindo, dessa maneira, não só de estereótipos, como também contribuindo para a ideia de representatividade e a construção da identidade dos estudantes. 134 | MANUAL DO PROFESSOR

Ângulo agudo e ângulo obtuso Vamos comparar a abertura do ângulo reto com a abertura de outros dois tipos de ângulos. Ângulo reto

Ângulo agudo

Ângulo obtuso

Um ângulo reto A abertura desse ângulo é meA abertura desse ângulo é maior mede 90°. nor do que a do ângulo reto (90°) e do que a do ângulo reto (90°) e memaior do que a do ângulo nulo (0°). nor do que a do ângulo raso (180°). 134 | TRAJETÓRIA 2

Recorte as figuras de modo que algum de seus membros esteja “esticado”, e outro, perpendicular a esse. Por exemplo, as pernas de um bailarino fazendo ângulo de 90o. Posicione a figura no centro do círculo. Utilize esse material para mostrar os ângulos que correspondem às frações de um giro. Depois de ler o texto explicativo com os estudantes, entregue dois canudinhos para cada um e peça que se organizem em duplas: cada um deve construir ângulos com os canudinhos e o colega classificar em reto, agudo ou obtuso. Após alguns minutos, troque as duplas se julgar necessário.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ATIVIDADES

13. Forme dupla para fazer esta atividade. Construções pessoais. a) No caderno, desenhem quatro círculos. b) Com uma linha vermelha contornando cada círculo por fora, representem, em cada um deles,

um giro de: • • • •

3 de volta. 4 1 de volta. 8 1 de volta. 2 3 de volta. 8

Habilidades (EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas. (EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão. (EF06MA27) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais.

Medida da abertura de um ângulo

ESB PROFESSIONAL/SHUTTERSTOCK

ME IMAGE/SHUTTERSTOCK

No mundo do trabalho há diversas situações em que é preciso saber a medida de um ângulo.

Um arquiteto e uma engenheira analisam um detalhe da planta em um tablet.

Um fisioterapeuta examina o ângulo do joelho de um paciente com um goniômetro.

Atividade 13

Caso perceba que um estudante tem dificuldade em reconhecer as frações que indicam partes de uma volta, uma sugestão é a entrega de folha colorida com quatro círculos impressos, para que recortem, dobrem em partes equivalentes ao denominador, marquem a parte equivalente ao numerador e, em seguida, desenhem a linha vermelha.

No ambiente escolar, o mais comum é usarmos um transferidor. Veja um modelo de

ARTE/ M10

transferidor:

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

• Limbo: arco do transferidor

que guia a marcação do ângulo em graus. • Linha de fé: segmento que liga as graduações de 0° e 180°. • Centro: ponto que divide a linha de fé ao meio.

135 |

Caso perceba que os estudantes apresentam dificuldade com o uso do transferidor, uma sugestão é apresentar – com o auxílio do transferidor do professor – como posicionar o zero do transferidor sobre o vértice do ângulo para efetuar as medições. Caso a dificuldade do estudante seja não posicionar o transferidor corretamente para medir o ângulo, questione se eles sabem qual o ponto de referência do transferidor que ele utiliza para começar a medir o ângulo, ou seja, se ele localiza em seu transferidor o centro, a linha de fé e as medidas contadas a partir do ângulo nulo. Atividade 15

Complemente essa atividade solicitando uma pesquisa de imagens que possam ser usadas para classificar os ângulos em reto, agudo ou obtuso. Apresente-as uma a uma para que os estudantes as classifiquem quanto aos ângulos.

Observe que o centro do transferidor sempre coincide com o vértice do ângulo e a linha de fé se sobrepõe a um dos lados do ângulo. A medida do ângulo será a graduação indicada pelo outro lado do ângulo. ATIVIDADES

14. Com um transferidor, determine a medida da abertura dos ângulos.

35°

165°

120°

90°

15. Classifique, no caderno, cada ângulo desta-

cado nas imagens em agudo, reto ou obtuso. Reto

Obtuso

Reto 1ª posição

2ª posição

Agudo

Obtuso

3ª posição

136 | TRAJETÓRIA 2

Atividade 16

Primeiro verifique se os estudantes compreenderam o enunciado do problema: faça a leitura da imagem detalhadamente mostrando nas próprias imagens seus elementos mais importantes para a resolução do problema. Em seguida, pergunte aos estudantes: • Quando observamos um objeto ou uma imagem a partir 136 | MANUAL DO PROFESSOR

16. Observe os dois esquemas: SHUTTERSTOCK/ ALEXANDRE R./M10

Atividade 14

Veja exemplos de alguns ângulos medidos com um transferidor:

ARTE/ M10

de suas vistas frontal ou lateral, essa imagem se mostra sempre a mesma ou ela muda? • Em que essas mudanças se relacionam com o ângulo de visão? Comente com os estudantes que o ângulo de visão é a medida que mostra o quanto de uma imagem nossos olhos conseguem observar.

Velocidade e campo de visão dos motociclistas. A visão periférica diminui em altas velocidades, porque o motociclista foca a frente, enquanto fatos nas laterais não são percebidos.

O primeiro esquema mostra o campo de visão de um motociclista a 100 km/h. O outro mostra o campo de visão de uma pessoa parada. a) Quanto mede a abertura do campo binocular da visão? 120°. b) Quanto mede a abertura do campo de visão de apenas um olho? 155°. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

c) Estime a abertura do campo de visão do

motociclista quando ele está a 50 km/h. Depois, estime a abertura do campo de visão quando ele está a 100 km/h. d) Há uma redução de quantos graus quando ele aumenta a velocidade de 50 para anterior, 100 km/h? Conforme estimativa há redução de 40o. e) Considerando essas informações, que orientações você daria para um amigo motociclista? Comente com a turma.

Habilidade

18. Caio estava brincando com seu carrinho e

quis fazer uma rampa que dava acesso ao nível mais elevado da estrada que construiu. Ele improvisou a rampa com duas cunhas sobrepostas consecutivamente. Veja a abertura do ângulo de inclinação de cada cunha. ALEXANDRE R./M10

c) Resposta possível: 120o quando está a 50 km/h e 80o quando está a 100 km/h.

Sugestão de resposta: não dirigir a 100 km/h.

17. Um arquiteto, em um de seus projetos, fez

medições de alguns ângulos. Uma dessas medições foi sobre dois ângulos consecutivos cujas aberturas somam 135°, e o menor deles mede 55°. Quanto mede o ângulo maior? 80°.

Com quantos graus ficou a inclinação da rampa construída por Caio? 50°.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. Considere as obras de arte que você viu até aqui neste passeio. Inspire-se nelas (ou em outras artes visuais de sua preferência) e crie uma composição artística desenhando muitos ângulos. Pinte sua composição com a técnica que você achar melhor ou faça colagens. Se quiser, pode digitalizar sua arte e fazer intervenções com algum aplicativo de manipulação de imagens. • Exponha sua composição no mural da sala de aula.

#Retas paralelas e retas concorrentes

JAVIER G./ M10; ALEXANDRE R./M10

André gosta muito de Matemática e Arte. Ele também tem facilidade com aplicativos. Sabendo disso, a professora dele mostrou uma arte feita com recurso digital. Veja a releitura que ele fez da arte apresentada pela professora:

(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros. Encontro com outras disciplinas (EF69AR07) Dialogar com princípios conceituais, proposições temáticas, repertórios imagéticos e processos de criação nas suas produções visuais.

LUPAS E LUNETAS Observe com os estudantes as imagens apresentadas na última seção Travessias, bem como as imagens que você apresentou. Essa atividade visa que os estudantes utilizem os elementos geométricos que conhecem para realizar uma composição artística e é interdisciplinar, pois em sua construção relaciona os conhecimentos de Matemática e Arte. Organize-os em grupos e faça uma composição artística de pintura ou colagem de materiais com diferentes texturas.

Composição com formas abstratas e cores primárias.

Vamos observar detalhes na releitura de André, imaginando que cada linha seja uma reta do plano. 137 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 17

Atividade 18

Sugira um esboço que represente a situação. Observe as respostas e peça que alguns estudantes reproduzam, na lousa, diferentes modos de resolução, ou construa com eles a resolução. Uma possibilidade de resolução: 135o = 55o + a

Explique o que são cunhas e o que significa sobrepor para que os estudantes percebam que é um problema aditivo, de modo que 15o + 35o = 50o é a solução. Os estudantes precisam compreender como se relacionam os cálculos realizados e a imagem, ou seja, precisam compreender que a rampa está mais inclinada, pois a medida do ângulo aumentou e vice-versa. Caso percebam que enfrentam dificuldades nesse entendimento, construa um modelo físico que represente a situação-problema.

135o – 55o = a 80o = a O valor desconhecido é 80o.

137 |

Habilidade (EF06MA22) Utilizar

instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros.

Retas paralelas Duas retas, no mesmo plano, são paralelas quando não têm nenhum ponto comum, ou seja, nunca se cruzam.

Retas concorrentes Duas retas coplanares são concorrentes quando têm apenas um ponto comum.

Atividade 19

Peça que apresentem justificativas para suas afirmações. Em I, é esperado que, analisando a figura, concluam que as linhas amarelas não são paralelas, pois, se estendidas, teriam um ponto em comum. Em II, é esperado que observem o seguinte recorte para a afirmação:

Retas perpendiculares Duas retas concorrentes que, na intersecção, formam 4 ângulos de 90° são chamadas de perpendiculares.

ATIVIDADES

19. Observe novamente o trabalho feito por André. Considere as frases e, no caderno, classifique

Destaque que a perpendicularidade da linha preta surge somente na releitura de André, pois na arte original a linha preta não corta as demais perpendicularmente. Em III, é esperado que os estudantes concluam que ao estender as duas linhas vermelhas presentes na arte de André, há um ponto em comum entre elas e, portanto, são concorrentes. Atividade 20

Para justificar suas escolhas nos itens a e b, é esperado que utilizem um esquadro ou alguma outra ferramenta. Para o item c, é esperado que utilizem um esquadro e uma régua.

138 | MANUAL DO PROFESSOR

cada uma delas em verdadeira ou falsa. I. Há duas linhas amarelas que são paralelas. Falsa. II. Há uma linha preta que corta perpendicularmente um feixe de linhas paralelas. Verdadeira. III. Não há duas linhas vermelhas concorrentes entre si. Falsa.

20. No caderno, classifique cada par de retas como paralelas, concorrentes perpendiculares ou concorrentes não perpendiculares. t

Concorrentes não perpendiculares.

r s

Concorrentes perpendiculares.

Paralelas.

Paralelas e perpendiculares: construção com régua e esquadro A professora de André achou boa a ideia de fazer composições artísticas usando retas paralelas e retas concorrentes. Para auxiliar os alunos em suas composições, ela ensinou como construir retas paralelas e perpendiculares em um passo a passo utilizando régua e esquadro. 138 | TRAJETÓRIA 2

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

Construção de retas perpendiculares Passo 2

Passo 3 ARTE/ M10

Passo 1

Trace uma reta.

Apoie um lado do ângulo reto do Retire o esquadro e proesquadro sobre a reta e trace uma longue a reta s. parte da reta s perpendicular a r.

Construção de retas paralelas Passo 2

Passo 3 ARTE/ M10

Passo 1

Apoie um lado do ângulo Mantenha a régua fixa e reto do esquadro sobre a régua deslize o esquadro para traçar e trace r. a reta s.

Retire o esquadro e a régua.

Atividade 21

ATIVIDADES

21. Acompanhe um algoritmo, representado visualmente, da construção de uma reta perpendicular ARTE/ M10

a uma reta r dada passando por um ponto P fora dela.

No caderno, trace a reta x e marque o ponto A, fora dela. Depois, com régua e esquadro, trace a reta y, que passa por A e é paralela a x. Dica: considere o algoritmo. Construção pessoal.

22. No caderno, trace a reta w e destaque o ponto H sobre ela. Depois, com régua e esquadro, trace a reta z, que passa por H e é perpendicular a w. Construção pessoal.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros. (EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.).

A atividade consiste em executar os passos apresentados no algoritmo. Você pode pedir que escrevam uma argumentação para cada passo, por exemplo: Utiliza-se uma régua combinada com o esquadro para garantir que o segmento desenhado seja perpendicular à reta em que a régua é sobreposta, Só então, utilizando a régua, é que se traça a reta perpendicular passando pelo ponto A. Atividade 22

É esperado que os estudantes notem que essa atividade é um caso específico da atividade anterior, em que o ponto não é mais um qualquer, mas sim um ponto que pertence à reta dada.

139 |

Habilidades (EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros. (EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.).

NUVENS Paralelas e perpendiculares em um software de geometria dinâmica Com o auxílio de um software de geometria dinâmica, acompanhe o passo a passo para a construção de retas perpendiculares. Trace, próximo ao centro da tela, uma reta usando a ferramenta “reta” , selecionando dois pontos: A e B.

Use a ferramenta “círculo dados centro e um de seus pontos” e construa a circunferência de centro A.

Use a mesma ferramenta para construir a segunda circunferência, com centro em B e que passa por A.

Atividades 23 e 24

Faça com a turma a leitura coletiva do texto da seção Nuvens e sugira que instalem, se possível, um aplicativo de Geometria Dinâmica no celular e explorem o aplicativo em horário extraclasse. Na aula seguinte, lembre-os de compartilhar as experiências e construções que realizaram. Softwares de Geometria Dinâmica podem ser instalados em computadores ou celulares e estão disponíveis gratuitamente. Se possível, realize essa atividade na sala de informática. Oriente um dos estudantes a ler cada item pausando, enquanto um colega representa na lousa as retas solicitadas. Com esse esboço inicial, eles compreenderão a construção que será realizada no software.

140 | MANUAL DO PROFESSOR

Trace a reta que passa pelos pontos obtidos do encontro das duas circunferências e indique-os com as letras C e D. !##" Assim, está construída CD perpen!##" dicular a AB.

ATIVIDADES

23. Considere as construções e, usando um software de geometria dinâmica, faça o que

se pede. Construções pessoais.

a) Dada a reta s, construa uma reta p perpendicular a s. Depois, construa uma reta q

perpendicular a p e distinta de s.

b) Usando as produções do item a, construa uma reta perpendicular a q e diferente

de p. Observe a figura obtida.

c) Considerando os procedimentos realizados em a e b, crie um algoritmo que des-

creva a construção de um retângulo.

24. Escreva um parágrafo explicando como você faria para construir duas retas paralelas

utilizando um procedimento diferente do apresentado. Respostas pessoais.

140 | TRAJETÓRIA 2

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LEVO NA BAGAGEM

LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais. Retome todos os registros feitos ao longo deste passeio. Conforme esses registros e considerando o que você achou mais fácil e o que pareceu mais difícil até agora, reflita sobre sua aprendizagem nos seguintes aspectos: ▶ Matemática • Você reconhece as ideias de ângulo e compreende ângulo como figura geométrica? • Classifica diferentes ângulos segundo a medida da sua abertura? • Resolve problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos? • Determina a medida da abertura de ângulos usando um transferidor? • Constrói retas paralelas e retas perpendiculares usando régua e esquadro? • Sabe construir um retângulo utilizando um software? • Elabora um algoritmo que descreva a construção de um retângulo? ▶ Outras disciplinas Educação Física • Você identifica transformações no movimento do corpo mediante os avanços tecnológicos voltados para os jogos eletrônicos ou para as criações artísticas? Arte • Você se inspira em obras artísticas clássicas, em ideias artísticas ou em referências imagéticas contemporâneas digitais na criação de suas produções visuais?

Neste momento do passeio, organize a leitura coletiva do texto para que, respondendo às questões propostas, os estudantes reflitam sobre seu próprio aprendizado enquanto escutam ativamente as dificuldades encontradas pelos colegas. Com o preenchimento da tabela, poderão classificar seu desempenho em Matemática ou nas disciplinas presentes nas atividades interdisciplinares. Diante dessas informações, poderão conversar com professores, familiares ou amigos para compartilhar suas estratégias e repensar em novas atitudes que contribuam para minimizar as dificuldades.

Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Insuficiente

Parcialmente suficiente

Satisfatório

Plenamente satisfatório

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que você autodiagnosticou.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

141 |

BARCOS E PORTOS

Organize

▶ Organize Respostas pessoais. Faça a atividade a seguir em dupla. Juntos, observem as palavras e os termos que foram explorados neste passeio.

RETAS

Construção

Paralelas

Algoritmo Perpendiculares Agudo

Comparação

Obtuso ÂNGULOS

Definições de ângulos

a) Recuperando apenas com auxílio da

memória, em que ordem essas palavras ou termos apareceram uma após outra neste passeio? Escreva no caderno essas palavras e termos na ordem em que apareceram. Depois, confira se você acertou ou se a ordem de alguns termos foi trocada. Em caso afirmativo, corrija sua lista. Tire par ou ímpar com sua dupla para saber quem começa explicando para o outro o significado de cada palavra ou termo da lista. O primeiro começa com a palavra do topo da lista. Depois, é a vez do outro, que explica o conceito associado à palavra seguinte e assim por diante, até que todas as palavras da lista tenham 142 | BARCOS E PORTOS

142 | MANUAL DO PROFESSOR

Reto Medidas da abertura de ângulos Giro

Transferidor

sido explicadas ou comentadas. Tentem fazer isso sem consultar os livros e os cadernos. Use-os somente em último caso. AMNAJ KHETSAMTIP/SHUTTERSTOCK

Com a intenção de que os estudantes possam acompanhar o próprio desenvolvimento diante dos conhecimentos desenvolvidos neste passeio, solicite que observem as imagens das seções Arredores e Barcos e portos e identifiquem como os assuntos se conectam de modo a avaliar como descrevem os significados desses termos. Na sequência, solicite que copiem o fluxograma e, verificando os registros no caderno, numerem os conteúdos na ordem em que apareceram. Organize a socialização dessa lista, assim como a discussão em duplas sobre os significados de cada termo.

Alunos que cooperam com o aprendizado dos colegas. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Elabore

▶ Elabore Sofia e Alex são irmãos. Atualmente, eles moram juntos em uma casa no interior do estado, onde os dois estudam, longe da família. Ela acha que ele é muito distraído. Para testar se ele, de fato, observa os detalhes da casa, ela virou o quadro da parede. Depois MANKA_WEB/SHUTTERSTOCK

Antes

Proponha

Considere essa situação e elabore um problema envolvendo a ideia de ângulo. •

Publique seu problema no mural da sala de aula. Aprecie a criação dos demais colegas. Compare com a sua criação.

▶ Proponha

CASSETTE BLEUE/SHUTTERSTOCK

A pergunta inicial deste passeio é: Como as tecnologias digitais ativam a criatividade nas artes visuais? Ao longo deste passeio, você tomou conhecimento das artes, das possibilidades das ferramentas digitais e do olhar para os detalhes oferecidos pela linguagem geométrica. Continue aplicando o que você aprendeu. Observe as obras de arte. GALERIA NACIONAL DE ARTE MODERNA E CONTEMPORÂNEA

Essa é uma proposta que usa criatividade, de modo que o estudante elabore um cenário que envolva ângulos e um colega perceba as alterações. Uma sugestão seria desenvolverem um livro digital com vários “jogos dos sete erros”, com as imagens criadas pelos estudantes.

Solicite que retomem as imagens da seção Atmosfera e relembrem coletivamente o que lhes chamou a atenção na discussão sobre as obras de arte. Espera-se que apontem as cores serem quentes ou frias, e as linhas, retas ou curvas. A observação dessas obras é uma estratégia para identificarem os elementos de Geometria: pontos, retas (paralelas, coincidentes, concorrentes, perpendiculares), planos, polígonos (lados, vértices e ângulos) dentre outros. Organize-os em grupos para observação e realização da proposta, que será concluída com o esboço de uma arte destinada para uma grande parede e suas representações apresentadas no mural da sala de aula.

A 1ª obra é de Mondrian, intitulada Azul, vermelho e amarelo, de 1932, pintada em óleo sobre tela. A outra é uma criação de um artista contemporâneo por meio de recursos digitais. a) O que vocês percebem de semelhanças e de diferenças entre as duas obras? b) Quanto ao tipo de linhas utilizadas em cada uma, o que chama a atenção? c) Que tipos de figuras há na obra à esquerda? E na obra à direita? d) Qual delas lhes agrada mais? Expliquem. e) Proponha a criação de uma pintura em uma grande parede. Escreva suas ideias

em uma folha à parte e faça um esboço do seu projeto de arte. Exponha no mural da sala de aula. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

143 |

CHECK-IN

PASSEIO 3 – RELAÇÃO DE IGUALDADE E POLÍGONOS NO ESPAÇO VIRTUAL, SOMOS IGUAIS OU DIFERENTES? ZURIJETA/SHUTTERSTOCK

Organize uma roda de conversa e inicie com a leitura do texto. Convide os estudantes, então, a observar a imagem do tablet e promova uma discussão sobre a comunicação por meio das tecnologias digitais. Crie perguntas para fomentar a participação dos estudantes. O foco principal da discussão é que percebam que todos somos únicos, com diferentes maneiras de pensar, agir, nos relacionar etc. e ainda assim temos características semelhantes uns aos outros. Como discutido anteriormente, as “tribos” são compostas por pessoas que se assemelham por algumas escolhas ou preferências. Uma “imagem” que pode contribuir é pensar nas ondas do mar: todas são únicas, pois uma onda depois que arrebenta deixa de existir, e existem outras semelhantes àquela, mas nunca mais a mesma. Na discussão sobre as imagens dos rostos apresentadas na forma retangular, pode lembrá-los de que a foto do perfil em algumas redes sociais é no formato de um círculo.

Interatividade e comunicação.

As tecnologias digitais de informação e comunicação abrem possibilidades de nos relacionarmos com várias pessoas ao mesmo tempo sem sair de casa. Essa nova maneira de comunicação permite que possamos estar ligados coletivamente, cada um com suas diferenças, mas também movidos por um interesse em comum.

CHECK-IN a) Pela imagem, é possível ver quantas crianças na tela do tablet? 9 crianças.

b) Elas são iguais? Comparando-as, que característica você consideraria comum a

todas elas? Respostas pessoais.

c) Cada criança tem a imagem do seu rosto em um pequeno retângulo. Por que

não poderiam ser círculos ou triângulos? Argumente em favor da sua ideia e ouça atentamente as ideias dos colegas, valorizando a forma de pensar de cada um, incentivando o outro a expor de modo diferente aquilo que para você ainda não está claro. Respostas pessoais.

144 | TRAJETÓRIA 2

144 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ARREDORES Triângulos Lados e ângulos

POLÍGONOS

Quadriláteros

Comparação Valor desconhecido

RELAÇÃO DE IGUALDADE

Cálculo mental Valor exato Potência de 10

Estimativa Aproximação

EF06MA12, EF06MA14, EF06MA18, EF06MA19, EF06MA20 EF69LP25, EF06GE01

BÚSSOLA Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: •

• • • •

Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os dois membros da igualdade por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas. Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima. Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos. Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles. Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não regulares tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

145 |

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL

ATMOSFERA Comparação e igualdade Vamos observar estas ilustrações e ler o trecho de um texto que discorre sobre como Aristóteles (pensador grego que viveu há mais de 2 300 anos) pensava duas noções distintas de igualdade para a sociedade grega antiga.

Igualdade geométrica e igualdade aritmética na sociedade de Aristóteles [...] A diferença entre igualdade geométrica e aritmética é que a primeira considera que as pessoas têm diversos valores e, por isso, a distribuição será proporcional a esse valor; já a segunda considera as pessoas com valores iguais e assim distribui de forma equivalente. A igualdade geométrica trata de qualidade e a aritmética de quantidade. [...] Disponível em: http://conpedi.danilolr.info/publicacoes/7j4p413w/e0r9x884/37YesKh07uG7qPRM.pdf. Acesso em: 29 jun. 2022.

ATIVIDADES

Respostas pessoais.

O que significa o trecho do texto que diz: “as pessoas têm diversos valores”?

Será que as pessoas são como mercadorias, que têm preço? O que você entende por valores? Faça uma pesquisa rápida na internet sobre “valores

Qual momento dela você acha que é de igualdade e qual é de equidade? Resposta

humanos” e compartilhe com os colegas o seu entendimento, expondo-o com clareza e respeitando seu tempo previsto de fala. Ouça atentamente o que os colegas têm para expor. 2.

Na imagem do texto, três pessoas querem ver o horizonte por cima da cer-

Pluralismo de ideias e pensamento crítico

ca. Levando em conta essa imagem,

São muitas as possibilidades de refletir sobre as questões que envolvem equidade e igualdade. Todos as pessoas deviam ter direito a moradia, alimentação e saneamento básico, por exemplo. Escolha um tema que considere relevante para discutir sobre as condições de igualdade e equidade. Caso o tema escolhido seja saneamento básico, por exemplo, proponha que a turma se organize em dois grupos que pesquisarão sobre as condições sanitárias de regiões distintas: uma de classe alta e outra de classe baixa. Proponha que avaliem as condições de vida das pessoas desses grupos sociais. Incentive a observar que, em decorrência das condições de saneamento, outros aspectos

entre as palavras “igualdade” e “equi-

146 | MANUAL DO PROFESSOR

IAM2MAI/SHUTTERSTOCK

(EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas. Encontro com outras disciplinas (EF69LP25) Posicionar-se de forma consistente e sustentada em uma discussão, assembleia, reuniões de colegiados da escola, de agremiações e outras situações de apresentação de propostas e defesas de opiniões, respeitando as opiniões contrárias e propostas alternativas e fundamentando seus posicionamentos, no tempo de fala previsto, valendo-se de sínteses e propostas claras e justificadas.

BATSHEVS/SHUTTERSTOCK

Habilidade

compare a diferença de significados dade”. O que você compreende desses

pessoal.

Agora, considere o texto. Forme dois pares de palavras e termos: o primeiro elemento do par é uma palavra da imagem (igualdade ou equidade); o segundo elemento do par é um termo criado por Aristóteles (“igualdade geométrica” ou “igualdade aritmética”). Reflita sobre esses dois pares que você fez e apresente aos colegas justificativas que o levaram a compor os pares desse modo.

significados? Igualdade está associada à quantidade. • Ouça atentamente as justificatiEquidade está associada à qualidade. Levando em conta o que você entenvas dos colegas, avaliando se os deu na questão anterior, avalie esta seus pares estão coerentes com imagem: os significados. Respostas pessoais.

146 | TRAJETÓRIA 2

do cotidiano também são afetados, como deslocamento, higiene, saúde, educação, alimentação etc. Organize um debate entre esses dois grupos e proponha que elaborem uma carta aberta à comunidade sobre as reflexões e conclusões diante dessa atividade. Se julgar conveniente, proponha um debate entre os estudantes. O debate é um evento propício à comunicação. Em um debate precisamos de, no mínimo, dois debatedores, que podem ser indivíduos ou um grupo e uma plateia. O importante para realizar um debate é a existência

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

de um tema polêmico sobre o qual os debatedores vão defender seus pontos de vista. Atividade 1

De acordo com a disponibilidade de uso da internet, organize a pesquisa sobre valores humanos no momento da aula ou como atividade domiciliar. Os valores humanos podem ser: morais, religiosos, universais, estéticos, intelectuais, físicos, sociais e afetivos. Pensando de forma ampla, podemos dizer que os valores humanos são um meio de facilitar

Habilidade

#Um mesmo sinal, diferentes significados Em situações do cotidiano envolvendo noções de igualdade, essa palavra também pode estar associada à noção de equilíbrio, especialmente em situações com balanças e gangorras. Acompanhe o experimento de Carol, em que ela utiliza pequenos pesos de metal, cuja massa

JAVIER G./ M10

é em gramas, e uma balança de dois pratos.

LUPAS E LUNETAS

A igualdade na Matemática Observe cada situação e sua correspondente sentença matemática. I.

II.

2+4=6

III.

A = B

2a + 6 = 12

Uma sentença matemática pode ser escrita em linguagem natural sem perder sua validade: • Dois mais quatro é igual a seis. • O dobro de um número desconhecido adicionado a seis é equivalente a doze. • O ponto A é coincidente ao ponto B. 147 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

a convivência em sociedade, pois envolvem as Existem outras imagens com a ideia de equirelações com: respeito, honestidade, humildade, dade e igualdade e outros objetivos que podem empatia, senso de justiça, educação, solidariedade, ser abordados neste momento, como: direito a ética, dentre outras. educação, vida, liberdade, moradia e trabalho. Atividades 2 e 3

Atividade 4

Inicie a observação da imagem pelas características de cada pessoa. Elabore perguntas para que percebam que receber tratamento igualitário não é condição para alcançar o objetivo comum. Na imagem, o objetivo é alcançar os frutos.

Retome a leitura do texto da seção Atmosfera, que explica a igualdade aritmética e geométrica, para que percebam as semelhanças com o significado de igualdade e equidade apresentadas pela imagem.

Faça a leitura do texto coletivamente e converse sobre as igualdades apresentadas nas situações-problema. Carol colocou um peso de 120 g e outro de 30 g, totalizando 150 g, e manteve a balança em equilíbrio com a maçã. Assim, podemos concluir que a maçã tem massa equivalente a 150 g. A situação pode ser representada pela igualdade x = 120 + 30,, e os estudantes podem apresentar outros modos de representar a igualdade, como maçã = 120 + 30. Caso perceba que grande parte da turma está com dificuldade em compreender essa relação de igualdade, uma sugestão de atividade é construir uma balança de dois pratos usando um cabide e pratos de plástico e organizar saquinhos com grãos em quantidades diferentes para representar as igualdades nos pratos da balança. Organize-os em uma roda de conversa e elabore perguntas que inspirem os estudantes a participar das discussões. Observem a imagem e leve outras, se julgar necessário, para que compreendam a diferença entre igualdade e equidade. Ao abordar esse assunto, você atua de acordo com o TCT Educação em Direitos Humanos, promovendo a valorização do ser humano em busca de todos serem tratados com respeito e dignidade. Sugestão para conhecer os objetivos de Educação em Direitos Humanos: Podcast O futuro se equilibra. Disponível em: porvir. org. Acesso em: 16 abr. 2022. Caso tenha interesse, visite a página do Instituto Aurora, cujo objetivo é educação em direitos humanos. Disponível em: https:// institutoaurora.org. Acesso em: 16 abr. 2022. 147 |

Habilidade (EF06MA14) Reconhecer

que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas. Um modo de aproximar o estudante do pensamento algébrico é trabalhar situações para que perceba ambos os membros da igualdade como expressões equivalentes. Apresente algumas sentenças para avaliarem se são verdadeiras ou falsas e incentive-os a justificar suas escolhas, por exemplo: • 3 + 7 = 7 + 3; • 3 + 3 + 4 = 7 + 3; • 8 + 5 = 7 + 6. Use também sentenças abertas para que completem com valores que as tornem verdadeiras e justifiquem a escolha realizada. Alguns exemplos são: • 13 + 6 = • 7 + = 12 • 8 + 15 = – 1 • 2+3=3+ • + 5 = 10 • = 20 – 1 Esse estudo terá significado de acordo com as argumentações usadas nas discussões em aula.

Em cada uma dessas três sentenças o sinal de igual tem um significado, conforme destacado: I. 2 + 4 = 6 O sinal = tem significado de igualdade de medida ou de quantidade. Diz respeito a uma operação. É aritmético.

II. 2a + 6 = 12 O sinal = tem significado de equivalência. Diz respeito a uma relação ou equação. É algébrico.

III. A = B O sinal = tem significado de coincidência quanto a forma, posição ou localização. Diz respeito a uma qualidade no espaço. É geométrico.

Os dois primeiros significados são próprios dos aspectos quantitativos da Matemática, enquanto o terceiro significado é próprio dos aspectos qualitativos da Matemática.

Propriedades da igualdade (operacional ou aritmético) Toda sentença envolvendo uma igualdade é composta de dois membros: 2+4 primeiro membro

a+a+6

segundo membro

primeiro membro

segundo membro

primeiro membro

B segundo membro

Vamos analisar algumas propriedades envolvendo as igualdades operacionais e seus dois membros. Adição e subtração de um mesmo número aos dois membros da igualdade Acrescentar um mesmo número aos dois membros da igualdade: 2+4+1=6+1

4 + 1

Subtrair um mesmo número dos dois membros da igualdade: 2+4–1=6–1

6 + 1

Havia 2 + 4 ou 6 quadradinhos. Agora, há 2 + 4 + 1 ou 6 + 1 (7 quadradinhos) ao todo.

4 – 1

6 – 1

Havia 2 + 4 ou 6 quadradinhos. Agora, há 2 + 4 – 1 ou 6 – 1 (5 quadradinhos) ao todo.

Observe que, em ambos os casos, obtivemos uma nova igualdade, porém trata-se de uma sentença verdadeira: a relação de igualdade se manteve. Isso é verdadeiro para a adição e a subtração de qualquer número. Mais exemplos: • 57 – 23 = 34

podemos fazer:

57 – 23 + 9 = 34 + 9 ou, ainda, 57 – 23 – 7 = 34 – 7 e a relação de igualdade se mantém. 148 | TRAJETÓRIA 2

148 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

Multiplicação e divisão de um mesmo número nos dois membros da igualdade Multiplicar por um mesmo número os dois membros da igualdade: (2 + 4) × 2 = 6 × 2

Dividir por um mesmo número, diferente de zero, os dois membros da igualdade: (2 + 4) ÷ 2 = 6 ÷ 2

Havia 2 + 4 ou 6 quadradinhos. Agora, há (2 + 4) × 2 ou 6 × 2 (12 quadradinhos) ao todo.

Havia 2 + 4 ou 6 quadradinhos. Agora, há (2 + 4) ÷ 2 ou 6 ÷ 2 (3 quadradinhos) ao todo.

Nesse caso, também obtivemos uma nova igualdade, ou seja, uma sentença que continua verdadeira. Isso é válido para a multiplicação por qualquer número e para a divisão por qualquer número diferente de zero. Mais exemplos: • 120 – 20 = 100

podemos fazer: (120 – 20) × 5 = 100 × 5 ou, ainda, (120 – 20) ÷ 5 = 100 ÷ 5 e a relação de igualdade se mantém. • 8 × 35 = 280

Você pode apresentar outras maneiras de fazer o registro como exemplo: 259 + 21 = 280 +1 –1 = 0 260 + 20 = 280 Como +1 – 1 = 0, a quantidade acrescentada em cada membro da igualdade é a mesma. 125 – 58 = 67 + 8 = +8 125 – 50 = 75 Acrescentar a mesma quantidade (+8) aos membros da igualdade. 3 ⋅ 21 = 63 : 3

: 3 63 21 = 3 Dividir pelo mesmo valor (não nulo) ( : 3) os membros da igualdade.

podemos fazer: 8 × 35 × 3 = 280 × 3 ou, ainda, 8 × 35 ÷ 10 = 280 ÷ 10 e a relação de igualdade se mantém. ATIVIDADES

5. Copie no caderno estas três igualdades. Respostas pessoais. •

139 + 21 = 160

•

235 – 108 = 127

•

3 × 21 = 63

Por meio de operações, faça alterações em cada uma delas para obter novas igualdades que sejam verdadeiras. •

Compartilhe com os colegas as novas igualdades que você obteve.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

149 |

Habilidade que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.

Vamos retomar a situação da balança e verificar se as propriedades que observamos para as sentenças matemáticas envolvendo operações aritméticas funcionam também para sentenças matemáticas envolvendo valores desconhecidos, ou seja, equações.

Para complementar o estudo das relações de igualdade, podemos analisar o pensamento relacional: ao completar a sentença + 12 = 16 + 11, há duas possibilidades de como argumentar que a solução é 15. Na primeira, efetuamos o cálculo do segundo membro, 16 + 11 = 27,, e para completar a sentença, fazemos: 27 – 12 = 15. No segundo modo de pensar, relacionamos que se uma parcela aumentou uma unidade (11 para 12), a outra diminuirá uma unidade (de 16 para 15). Nesse segundo caso, as estratégias usadas analisam os dois membros da igualdade, tratando-se do pensamento relacional. Essa é uma ferramenta que pode ser usada no desenvolvimento do pensamento algébrico.

Acrescentar um mesmo número aos dois membros da igualdade: 2a + 6 + 8 = 12 + 8

ARTE/ M10

Propriedades da igualdade (relacional ou algébrico)

(EF06MA14) Reconhecer

2a + 6 = 12

Essa é a balança inicial. Nela vamos fazer algumas alterações mantendo seu equilíbrio. Adição e subtração de um mesmo número nos dois membros da igualdade

ARTE/ M10

Subtrair um mesmo número dos dois membros da igualdade: 2a + 6 – 6 = 12 – 6

O equilíbrio permanece.

Observe que, em ambos os casos, obtivemos uma nova sentença; porém, a relação de igualdade se manteve, ou seja, a balança que a representa continuou em equilíbrio. Adicionar ou subtrair um mesmo número qualquer nos dois membros de uma igualdade mantém a relação de igualdade.

Multiplicação e divisão por um mesmo número nos dois membros da igualdade Multiplicar por um mesmo número os dois membros da igualdade: (2a + 6) × 2 = 12 × 2

a+3=6

ARTE/ M10

4a + 12 = 24

Dividir por um mesmo número (diferente de zero) os dois membros da igualdade: (2a + 6) ÷ 2 = 12 ÷ 2

O equilíbrio permanece. Podemos concluir que:

O equilíbrio permanece.

Ao multiplicar por um mesmo número qualquer ou dividir por um mesmo número qualquer, diferente de zero, os dois membros de uma igualdade, mantém-se a relação de igualdade. 150 | TRAJETÓRIA 2

150 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

ATIVIDADES

das operações.

7. Em cada balança, qual número é melhor subtrair de cada lado para saber o valor de a? a)

a) 12 + 8 – 8 = ? 12

b) 17 – 5 + 5 = ? 17

ARTE/ M10

6. Encontre e anote no caderno os resultados

c) 3 × 5 ÷ 5 = ? 3 d) 35 ÷ 7 × 7 = ? 35 •

O que você observou de curioso nessas

operações? Comente com os colegas.

Atividade 6

#Valor desconhecido

a) Sabendo que 8 – 8 = 0, temos 12 + 0 = 12;. b) Os estudantes ainda não conhecem as operações com inteiros, mas como a ideia de retirar 5 e ganhar 5 remete às operações inversas e resulta um valor nulo (– 5 + 5 = 0), temos 17 – 0 = 17; c) De modo similar, multiplicar por 5 e, depois, dividir por 5, resulta no próprio número, 3. d) Com a ideia de operações inversas, 35 ÷ 7 = 5 e 5 ⋅ 7 = 35 ÷ 7 = 5 e 5 ⋅ 7 = 35.

Para facilitar o entendimento da resolução de um problema com igualdade envolvendo balanças, o professor organizou um algoritmo. O_Professor

@matemúltiplo

Vamos fazer alterações nos dois pratos da balança, sem desequilibrá-la em momento algum. Com isso, queremos que fique somente um dos objetos de massa desconhecida em um prato da balança. 48

Passo 1

Passo 2

Subtrair 8, ao mesmo tempo, de ambos os membros da igualdade.

Dividir por 3, ao mesmo tempo, ambos os membros da igualdade.

3a + 8 = 20

3a + 8 – 8 = 20 – 8 3a = 12

3a ÷ 3 = 12 ÷ 3 a=4

O triplo da massa de um objeto mais 8 pesa 20.

O triplo da massa de um objeto pesa 12.

O objeto sozinho pesa 4.

Atividade 7 FIM

ARTE/ M10

INÍCIO

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

a=4 Solução do problema.

151 |

Os estudantes poderão ter dificuldades de iniciar o problema por não entenderem o conceito de equilíbrio. Pergunte a eles como funciona uma balança de dois pratos: crie situações hipotéticas para mostrar o funcionamento desse instrumento. Em seguida, pergunte qual sinal representa o equilíbrio dos dois pratos, ou seja, quando a balança está equilibrada pelo fato de os dois lados serem equivalentes. a) a + 6 = 8, 2 + 6 = 8, então, a = 2. b) 15 = a + 8, 15 = 7 + 8, então, a = 7.

151 |

Habilidade

Atividade 8

a) x + 4 – 4 = 5 + 4 – 4 x =5 b) x + 6 – 6 = 3 + 8 + 3 – 6 x =8 c) x + 5 + 2 – 7 = 3 + 9 + 4 – 7 x =9 d) x + 5 + 4 – 9 = 5 + 7 + 8 + 4 – 9 +4–9=5+7+8+4–9 x = 15

8. Apenas observando as balanças e calculando mentalmente, diga qual é o valor do objeto x desARTE/ M10

conhecido em cada item.

x =5

x =8

x =9

x = 15

9. Observe as balanças e calcule mentalmente o valor do objeto x.

x =4

x =5

10. Observe as transformações, uma após outra, na mesma balança, sempre mantendo seu equilíbrio. Resolva mentalmente para descobrir quanto pesa a pera. 5

Atividade 9

I 10

III

11. Observe as transformações na mesma balança e descubra o valor do peso que vai no segundo prato da 4ª pesagem. 6 kg

ARTE/ M10

Permita que os estudantes resolvam essa atividade em duplas. É indicado que respondam usando cálculo mental (por comparação) e operações inversas. Caso perceba dificuldades na resolução, peça que reproduzam a balança no caderno e apresente outros exemplos para que equilibrem as quantidades nos pratos da balança.

ARTE/ M10

ATIVIDADES

ARTE/ M10

(EF06MA14) Reconhecer

Atividade 10

Para facilitar o registro, vamos representar a massa de cada laranja por l, de cada maçã por m e de cada pera por p: I. l + m = p II. l + m + p = 10 III. p = ? Observe que a pera mantém o equilíbrio com a laranja e a maçã juntas. Quando as três frutas são colocadas no mesmo prato, passam a ter o dobro da massa da pesagem anterior. Com isso, o equilíbrio se mantém com 10, o que mostra que a pera pesa 5, metade desse valor, pois a laranja e a maçã juntas também pesam 5.

152 | MANUAL DO PROFESSOR

152 | TRAJETÓRIA 2

Atividade 11

Para facilitar o registro vamos representar a massa de cada banana por b, de cada maçã por m e de cada pera por p. I. 2b + p = 3 II. 2b + m = 5 III. 2b + m + p = 7 IV. p + m = ? Observando as sentenças I e II, percebemos que a maçã tem 2 unidades a mais que a pera (p + 2 = m).

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Observando as sentenças II e III, percebemos que a pera acrescenta 2 a duas bananas e uma maçã. Então, p = 2. Logo, m = 4 e p + m = 6. Organize-os para que respondam à atividade em duplas. Oriente que registrem um comparativo entre as massas das frutas: podem fazer esquemas no caderno como estratégia de resolução e socializar ao final da aula.

Habilidade

12. Acompanhe o passo a passo organizado pela professora Larissa: ARTE/ M10

x + x + 17 = 25

Representar a balança por uma equação.

ou:

Passo 2

Subtrair 17 dos dois pratos da balança.

2x + 17 – 17 = 25 – 17 ou: 2x = 8

Passo 3

Dividir por 2 o que ficou em cada prato.

Passo 1

2x + 17 = 25

2x ÷ 2 = 8 ÷ 2

ou:

x =4

O valor desconhecido foi descoberto e vale 4.

Passo 4

Atividade 12

x =4

No caderno, construa um passo a passo e descubra o valor de x na balança: ARTE/ M10

3x + 13 = 22 3x + 13 – 13 = 22 – 13 3x = 9 9 3x = 3 3 x =3

É comum que se esqueçam de deixar espaço na equação para completar com a operação oposta. Se julgar pertinente, apresente as operações inversas na linha de baixo, como no exemplo: 2x + 17 = 25 – 17 –17 2x = 8 ÷2 ÷2 x = 4

LUPAS E LUNETAS

LUPAS E LUNETAS Até agora você utilizou algumas propriedades das equações para descobrir valores desconhecidos. Agora, vamos lhe apresentar um desafio. Observe atentamente e descubra o valor da soma indicada nesse desafio. IRYNA_ZA/SHUTTERSTOCK

Se dois caramujos têm o valor de uma abelha, e uma abelha e um caramujo valem 18, então o caramujo vale 6 e abelha vale 12. Se o produto do caramujo pela joaninha é igual a 24, então o valor da joaninha é 4. A soma do valor da joaninha, da abelha e do caramujo é 4 + 12 + 6, e isso é igual a 22.

153 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Sugestão de atividade complementar

Use o passo a passo que você elaborou e descubra o valor de x nas balanças: x x

x x

49 x

Resposta: 7x + 49 = 63; x = 2.

Resposta: 4x + 12 = 40; x = 7. 153 |

Habilidades (EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima. (EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.

#Cálculo mental, aproximações e valor desconhecido André postou duas fotos em sua rede social. A primeira foto teve 439 likes e 97 comentários; a segunda, 296 likes e 148 comentários. Rapidamente, ele fez este cálculo mental, imaginando a soma dos likes das duas fotos: Andre_sexto_ano

@Desafiando_com_numeros

Vou aproximar 296 para 300. Faço assim: 296 + 4 = 300. Agora, eu calculo 439 + 300. No fim, eu retiro 4 do resultado. Fica assim: 439 + 300 = 739 739 – 4 = 735 Oba! Descobri que 439 + 296 = 735 . 58

O registro do cálculo mental feito por André pode ser feito como um procedimento de cálculo de valor desconhecido. Vamos chamar de a o valor desconhecido:

LUPAS E LUNETAS Organize-os em duplas e deixe que construam suas estratégias. Peça que coloque no quadro as resoluções diferentes, que podem ser: a = 97 + 148 a + 3 = 97 + 3 + 148 a + 3 = 100 + 148 a + 3 – 3 = 248 – 3 a = 245 ou

a = 97 + 148 a + 2 = 97 + 148 + 2 a + 2 = 97 + 150 a + 2 – 2 = 247 – 2 a = 245

a = 439 + 296 a + 4 = 439 + 296 + 4 a + 4 = 439 + 300 a + 4 = 739 a + 4 – 4 = 739 – 4 a = 735

LUPAS E LUNETAS Reúna-se com um colega para resolver as questões. Observe a quantidade de comentários que André obteve em cada foto. Utilize o mesmo raciocínio de André para calcular a soma dos comentários recebidos pelas duas fotos juntas. • O que vocês observaram nesse procedimento que chamou a atenção? Comentem com a turma. 245 comentários. Respostas pessoais. ATIVIDADES

13. Considere as operações indicadas nos esquemas e descubra o número que vai dentro de cada círculo. a)

273; 398

Atividade 13

Apresente alguns exemplos semelhantes de exercícios, de modo que coloquem as setas no sentido contrário e com a operação inversa, simultaneamente. a) 257 + 141 = 398 398 – 125 = 732 b) 609 – 321 = 288 288 + 519 = 807

b) 807; 288

154 | TRAJETÓRIA 2

Atividade 14

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 15

Uma das estratégias de cálculo mental: Considerando que 99 = 100 – 1, podemos fazer a) Po r s a b e r m o s q u e 100 – 10 = 90, t e m o s : os cálculos. a) 465 + 100 – 1 = 565 – 1 = 564 465 + 100 – 10 = 565 – 10 = 555 b) Como 1 000 – 100 = 900, temos: b) 2 338 + 100 – 1 = 2 438 – 1 = 2 437 4 774 + 1 000 – 100 = 5 774 – 100 = 5 674 c) 12 507 + 100 – 1 = 12 607 – 1 = 12 606 c) Porque 10000 – 1 000 = 9 000, Sendo 999 = 1 000 – 1, podemos fazer os temos: 54 807 + 10 000 – 1 000 = 63 807 – 1 000 = 63cálculos. 807 d) Por sabermos que 100 000 – 10 000 = 90 000, d) 754 + 1 000 – 1 = 1 754 – 1 = 1 753 402 297 temos: 312 297 + 100000 – 10 000 = 412 297 – 10 000 e) =3373 + 1 000 – 1 = 4373 – 1 = 4372 312 297 + 100000 – 10 000 = 412 297 – 10 000 = 402 297 f) 21 078 + 1 000 – 1 = 22 078 – 1 = 22 077 154 | MANUAL DO PROFESSOR

Habilidade

#Aproximações e potências de 10

(EF06MA12) Fazer

Outro dia, André postou este desafio, que ele mesmo explicou quando foi questionado por sua colega: Andre_sexto_ano

@Desafiando_com_numeros

estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.

Calcule mentalmente esse resultado 8 + 98 + 998 em menos de 10 segundos!

Atividade 17

197

Apresente a pirâmide aditiva de modo que observem as setas para colocar o resultado no retângulo acima das parcelas; pergunte se cada parcela é utilizada nos cálculos uma única vez, caso não percebam esse fato na resolução da atividade. Acompanhando as setas, complete com a adição: 99 + 32 = 131 32 + 14 = 46 131 + 46 = 177 45 + 99 = 144 99 + 61 = 160 144 + 160 = 304

Juliana_sexto_ano @Andre_sexto_ano Como você faz para calcular essa soma tão rapidamente? 13 @Andre_sexto_ano É só você aproximar cada parcela para uma potência de 10 mais próxima. Assim, 10 + 100 + 1 000 . Isso é fácil de calcular: dá 1 110. Cada parcela aumentou 2. Então, o total teve aumento de 6. Agora é só tirar 6 do resultado final. Assim, 1 110 – 6 = 1 104. 30

Se você não se lembra de quais são algumas potências de 10, consulte o quadro: 10 = 101 100 = 102

1000 = 103

100 000 = 105

10000 = 10

1000 000 = 106

ATIVIDADES

14. Calcule mentalmente o valor exato de:

16. Faça uma estimativa e dê o resultado apro-

b) 4774 + 900 5 674

ximado de: a) 2190 g + 990 g 3 180 g b) 3 900 mL + 9 900 mL 13 800 mL

d) 312 297 + 90 000 402 297

c) 7 900 km – 5 990 km 1 910 km

a) 465 + 90 555

c) 54 807 + 9000 63 807

15. Calcule mentalmente o valor exato de: a) 465 + 99 564

b) 2 338 + 99 2 437

d) 12 870 kg – 7 990 kg 4 880 kg

17. Copie cada esquema no seu caderno, complete e decifre o mistério:

c) 12 507 + 99 12 606 e) 3373 + 999 4 372

131

f) 21078 + 999 22 077 g) 547 + 9999 10 546

h) 5447 + 9999 15 446

i) 47 135 + 9 999 57 134

99 •

j) 672 + 99 999 100 671

k) 6732 + 99 999 106 731

l) 72 509 + 99 999 172 508 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

304

177

d) 754 + 999 1 753

144

46 +

160 +

Por que a soma dos números na base de cada triângulo não coincide com o valor no topo de cada triângulo?

Porque as parcelas do meio na adição da base foram consideradas duas vezes. Por exemplo: 99 + 32 = 131 e 32 + 14 = 46. Quando fazemos 131 + 46 = 177, estamos adicionando duas vezes 155 | o 32 em comparação a 99 + 32 + 14 = 145.

Considerando que 9 999 = 10 000 – 1, podemos fazer os cálculos. g) 547 + 10 000 – 1 = 10 547 – 1 = 10 546 h) 5 447 + 10 000 – 1 = 15 447 – 1 = 15 446 i) 47 135 + 10 000 – 1 = 57 135 – 1 = 57 134 Como 99 999 = 100 000 – 1, podemos fazer os cálculos. j) 672 + 100 000 – 1 = 100 672 – 1 = 100 671 k) 6 732 + 100 000 – 1 = 106 732 – 1 = 106 731 l) 72 509 + 100 000 – 1 = 172 509 – 1 = 172 508

Atividade 16

Nestas estimativas, os estudantes podem usar o cálculo mental e apresentar o valor exato, usando as estratégias: a) 2190 + 1 000 – 10 = 3180 b) 3900 + 10 000 – 100 = 13800 c) 7900 – 6000 + 10 = 1 910 d) 12870 – 8 000 + 10 = 4880 Pode-se, ainda, considerar as aproximações, por exemplo: 2 190 + 1 000 ~ 2 200 + 1 000 = 3 200 155 |

Habilidade

#Triângulos

(EF06MA19) Identificar

Realize essa pesquisa de acordo com a disponibilidade de recursos: é possível solicitar que usem o próprio celular na aula, encaminhá-los para a sala de informática ou solicitar a pesquisa como tarefa extraclasse. Organize a apresentação das descobertas resultantes da pesquisa.

O_Professor

@matemúltiplo

Você já ouviu falar do estilo Low Poly de imagens? Observe a composição desta imagem. Ela parece estar rachada, toda partida, como se fosse um espelho quebrado com seus pedacinhos colados. Esse estilo é muito usado por profissionais que criam jogos para aplicativos. ALEXANDRE R./M10

LUPAS E LUNETAS

No aniversário de André, um amigo deu para ele um pôster de super-herói. MALCHEV/SHUTTERSTOCK

características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos.

André gostou bastante porque a arte é feita com uma técnica que chamou a sua atenção. Ele foi pesquisar e descobriu que a técnica se chama Low Poly.

101

LUPAS E LUNETAS a) A imagem do super-herói é composta por qual figura geométrica? Triângulos. b) Pesquise sobre a técnica Low Poly de criação de imagens. • Compartilhe suas descobertas. Resposta pessoal.

Triângulo (ou trilátero) é uma figura geométrica limitada no plano por três segmentos de reta consecutivos e não colineares.

No triângulo ABC: Comente que, embora seja correta, a palavra trilátero nos dias de hoje está em desuso, sendo triângulo a palavra amplamente usada para essa figura geométrica. Indicação: triângulo ABC ou △ABC. • os segmentos AB, BC e CA são os lados do triângulo ABC; • os pontos A, B e C são os vértices do △ABC;

!C, BC !A e C A ! B são os ângulos internos do △ABC . • AB 156 | TRAJETÓRIA 2

156 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

Classificação de triângulos quanto às medidas dos ângulos internos Os triângulos podem ser classificados, de acordo com as medidas de seus ângulos internos, em: Retângulos: quando há Acutângulos: quando os Obtusângulos: quando um ângulo reto. três ângulos são agudos (de um ângulo é obtuso (de memedidas menores do que 90°). dida entre 90° e 180°).

(EF06MA19) Identificar

características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos.

Atividade 18

Classificação de triângulos quanto às medidas dos lados Os triângulos podem ser classificados, de acordo com a medida do comprimento dos seus lados, em: Equiláteros: quando as Isósceles: quando as Escalenos: quando as medidas de comprimento medidas de comprimento medidas de comprimento dos três lados são iguais. de dois lados são iguais. dos três lados são diferentes.

ATIVIDADES

Explore as respostas dos estudantes. Considere que eles podem dar respostas diferentes a uma mesma pergunta. Como já apontamos outras vezes, é necessário dar voz e vez para os estudantes, independentemente do assunto que está sendo trabalhado. Saiba ouvir as ideias dos estudantes, respeitando-as e dando-lhes o direito de se colocarem com liberdade e sem medo de errar. O pensamento crítico, científico e criativo é a segunda das dez competências gerais da Base Nacional Comum Curricular (BNCC).

MJGRAPHICS/SHUTTERSTOCK

LUCKYKOT/SHUTTERSTOCK

18. Observe os triângulos que compõem cada imagem. Que sensações você tem? Respostas possíveis:

Imagem I.

Imagem II.

a) Na imagem I: você acha que a maioria dos triângulos são retângulos, acutângulos ou obtu-

sângulos? Por quê? Dá a sensação de serem acutângulos, pela composição dos picos.

b) Na imagem II: a maioria dos triângulos são retângulos, acutângulos ou obtusângulos? Por quê?

c) Escolha um elemento qualquer de uma dessas imagens e elabore uma pergunta para seu

colega responder. A resposta dele deve ter relação com as classificações dos triângulos quanto às medidas dos lados ou quanto às medidas dos ângulos.

Sugestão de pergunta: Que tipo de triângulos compõem as faces das montanhas na imagem I? Resposta: isósceles e escalenos. b) Dá a sensação de serem obtusângulos, pela composição da superfície do “mar”.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

157 |

Habilidade (EF06MA20) Identificar

características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles.

#Quadriláteros Aline e sua mãe fizeram uma videochamada com os avós dela. Depois da chamada, as duas selecionaram algumas fotos e enviaram para os avós. O que Aline observou foi o formato das fotos, da tela do celular e o espaço do vídeo na tela enquanto ela falava com os avós. Todas essas coisas tinham formatos um pouco parecidos. “Outros formatos talvez não sejam bons para mostrar imagens”, ela pensou. Ela observou que os formatos lembravam os de figuras geométricas com quatro lados. Então, pensou em outras figuras com quatro lados:

Oriente os estudantes a procurar objetos com diversas formas geométricas. Coletivamente, podem organizá-los pela forma e fazer uma exposição na sala de aula. Observando os objetos respondam aos itens c e d, que relacionam a forma com a função do objeto. Há vários formatos retangulares em objetos como embalagens, nichos para organização e composições artísticas. O trapézio é observado, por exemplo, em carteiras para facilitar o trabalho em grupo, e o losango, em pipas, bijuterias, placas de trânsito, balão colmeia em papel de seda etc. Alguns materiais com a forma de losango ou trapézio, por serem pontiagudos, podem ser usados como objetos perfurocortantes.

JAVIER G./ M10

LUPAS E LUNETAS

Respostas pessoais.

a) As figuras com quatro lados em que Aline pensou funcionariam para formatos de fotografias, para a tela do celular ou formato do vídeo? Por quê? Converse com os colegas. b) As coisas do mundo real com formato das figuras como a verde e a laranja servem para quê? c) Algumas vezes, é importante observar para o “preenchimento” da figura geométrica quanto à “distribuição do seu espaço interno”: se é bem distribuído na altura e no comprimento ou é se estreito. Outras vezes é importante observar suas “bordas”: se são pontiagudas, se têm poucos ou muitos cantos, se são ângulos mais abertos ou mais fechados. Levando isso em conta, indique quais desses formatos são mais adequados para alguns objetos do cotidiano. d) A que conclusão vocês chegaram? Quais conhecimentos de Geometria vocês utilizaram para reforçar suas conclusões?

Quadrilátero (ou quadrângulo) é uma figura geométrica limitada no plano por quatro segmentos de reta consecutivos e não colineares.

No quadrilátero ABCD: A D B

C • os segmentos AB, BC, CD e DA são os lados do quadrilátero ABCD; • os pontos A, B, C e D são os vértices do quadrilátero ABCD;

!C, BC !D, CD ! A e DA ! B são os ângulos internos do quadrilátero ABCD. • AB 158 | TRAJETÓRIA 2

158 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidades (EF06MA19) Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos. (EF06MA20) Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles.

ATIVIDADES

19. Observe os triângulos numerados de I a X:

Copie os quadros no caderno e identifique cada triângulo conforme solicitado. a) Classifique cada triângulo quanto às medidas de seus ângulos internos. I

III

Retângulo Acutângulo X

VII

Atividade 20

Apenas seguindo as instruções iniciais, teremos a construção de um quadrilátero qualquer. Porém, para atender as condições de dois ângulos retos e um ângulo agudo, os ângulos retos precisam ser consecutivos. De outro modo, não atende à construção do ângulo agudo.

Obtusângulo

VIII

b) Agora, classifique cada triângulo quanto às medidas de seus lados. I

III

VII

VIII

Equilátero

Isósceles Escaleno

X X

20. Desenhe no caderno quatro pontos, três deles não colineares: L, M, N, P. Construções pessoais.

Trace LM, MN, NP e PL de modo que:

I. dois ângulos sejam retos; II. um ângulo seja obtuso;

III. um ângulo seja agudo. •

Compare seu desenho com os de outros colegas.

21. O triângulo I é isósceles, o triângulo II é equilátero e as medidas de seus lados estão indicadas.

Triângulo I

Triângulo II

Calcule o valor de x, de m e de n. x = 3, m = 5, n = 4

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 19

Ao classificar os triângulos quanto aos ângulos, V e VI são triângulos retângulos, pois um de seus ângulos é de 90o, os triângulos I, II, IV, VII e X são acutângulos, ou seja, seus ângulos são menores que 90o, e os demais, III, VIII e IX, são obtusângulos (um de seus ângulos é maior que 90o).

159 |

Ao classificar os triângulos quanto aos lados, os equiláteros têm todos os lados congruentes (II), o triângulo isósceles tem dois lados com a mesma medida e, assim, os triângulos equiláteros também são isósceles (II, VI, IX e X) e o escaleno tem as medidas diferentes umas das outras (I, III, IV, V, VII e VIII).

Atividade 21

Como as medidas dos lados do triângulo isósceles são iguais: 5x + 21 = 36 Us a n d o a s o p e ra ç õ e s inversas: 5x + 21 – 21 = 36 – 21 15 5x = 5 5 x =3 No triângulo equilátero, as medidas dos lados são iguais. Com isso: 2m + 15 = 5n + 5 = 25 2m + 15 – 15 = 25 – 15 10 2m = 2 2 m=5 5n + 5 = 25 5n + 5 – 5 = 25 – 5 20 5n = 5 5 n=4

159 |

Habilidade (EF06MA20) Identificar

características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles. Esse estudo de Geometria requer identificar as propriedades dos quadriláteros. Algumas propriedades são comuns a dois tipos de figuras, por exemplo, ser quadrilátero e ter quatro ângulos de 90o – essa característica é comum aos quadrados e aos retângulos. Então, como diferenciá-los? Primeiro, os quadrados também podem ser classificados como retângulos. Os retângulos podem ter todos os lados com a mesma medida ou pares de lados com a mesma medida. Para organizar as informações sobre a classificação dos quadriláteros, utilize o diagrama: Quadriláteros

Classificação dos quadriláteros Côncavos e convexos Há uma classificação de quadriláteros que leva em conta a superfície formada pelos quatro segmentos de reta, ou seja, a região delimitada por esses segmentos tem qual aparência: côncava ou convexa?

Se qualquer segmento de reta, com suas extremidades na superfície do quadrilátero, tiver seus demais pontos igualmente na superfície, dizemos que esse é um quadrilátero convexo.

Se existir um segmento de reta com suas extremidades na superfície do quadrilátero, mas nem todos os seus demais pontos estiverem na superfície dele, dizemos que esse é um quadrilátero côncavo ou não convexo.

Classificação dos quadriláteros convexos Conforme essa classificação, vamos estudar os quadriláteros convexos. Os quadriláteros convexos podem ser classificados levando em consideração o paralelismo de seus lados, ou seja, quantos pares de lados opostos são paralelos. Assim, temos: Quadrilátero convexo qualquer: quando nenhum par de lados opostos é paralelo.

Trapézios: quando apenas dois pares de lados opostos são paralelos.

Paralelogramos: quando os dois pares de lados opostos são paralelos.

Paralelogramos

Retângulos

Quadrados Losangos

Diagrama de Venn envolvendo os quadriláteros, segundo Hadamard.

A classe dos paralelogramos subdivide-se em: Retângulo: paralelogramo que tem os quatro ângulos retos.

160 | TRAJETÓRIA 2

160 | MANUAL DO PROFESSOR

Losango: paralelogramo que tem os quatro lados com iguais medidas de comprimento (congruentes).

Quadrado: paralelogramo que tem os quatro lados congruentes e os quatro ângulos internos retos.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

Esquema dos quadriláteros convexos

(EF06MA20) Identificar características dos quadriláteros, classificálos em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles.

Levando em conta essas classificações, podemos montar o esquema:

Atividade 22

LUPAS E LUNETAS Elabore, com um colega, um fluxograma para determinar a classificação de um quadrilátero. Respostas pessoais. ATIVIDADES

22. Reúna-se com um ou dois colegas para refletirem sobre as frases, julgando cada uma delas como verdadeira ou falsa. I. Todo quadrado é retângulo. Verdadeira. II. Todo quadrado é losango. Verdadeira. III. Todo retângulo é quadrado. Falsa. IV. Todo retângulo é paralelogramo. Verdadeira. V. Todo losango é paralelogramo. Verdadeira. VI. Todo paralelogramo é trapézio. Falsa. VII.Todo trapézio é quadrilátero. Verdadeira.

Atividade 23

Esses quadriláteros não têm pares de lados paralelos e pares de lados de mesma medida (III). O trapézio tem apenas um par de lados opostos e paralelos (I e IV). O paralelogramo tem dois pares de lados paralelos (II, V, VI, VII, VIII). O retângulo tem quatro ângulos internos retos e dois pares de lados congruentes (VI, VII e VIII). O quadrado tem quatro ângulos internos retos e quatro lados de mesma medida (VI, VIII). O losango tem os ângulos internos opostos congruentes e os quatro lados com a mesma medida (V, VI e VIII).

23. Considere os quadriláteros:

Copie o quadro no caderno e identifique cada quadrilátero conforme indicado. I

Trapézio Paralelogramo

III

Quadrado NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

VII

VIII

X X

Retângulo Losango

Quadrilátero convexo qualquer

As afirmativas falsas são III e VI porque: • Há retângulos com pares de lados com medidas diferentes; o quadrado é um retângulo com todos os lados congruentes. • Há lados não paralelos nos trapézios.

X 161 |

LUPAS E LUNETAS

e os comandos correspondentes para fluxogramas. Observe as resoluções e escolha alguns fluxograPara realizar essa atividade, os estudantes precimas diferentes, solicitando que expliquem sobre sam conhecer as características dos quadriláteros: sua funcionalidade. uma figura limitada no plano por quatro segmentos consecutivos e não colineares. Podem organizar as informações sobre as classificações analisando as questões: • Os pares de lados são paralelos? • Os pares de lados têm a mesma medida? Caso perceba que os estudantes não recordam como usar os símbolos, coloque na lousa as formas 161 |

Número de ângulos Número de vértices 3 4

Habilidade

4 (EF06MA20) Identificar

5 dos características quadriláteros,6 classificáa lados e 7 -los em relação 7 a ângulos e reconhecer a 8 8 inclusão e a intersecção 9 9 de classes entre eles. 10 10 Encontro com outras 11 11 disciplinas 12 12 (EF06GE01) Comparar modificações das paisagens nos lugares de vivência e os usos desses lugares em diferentes tempos. 5

24. Observe o quadro com os nomes de figuras geométricas planas conforme sua quantidade de lados. TRIÂNGULO OU

QUADRÂNGULO OU

TRILÁTERO

QUADRILÁTERO

3 lados

4 lados

PENTÁGONO

HEXÁGONO

DECÁGONO

5 lados

6 lados

10 lados

a) Pesquise e descubra o nome dessas figuras com até 12 lados. b) Quantos ângulos e quantos vértices tem cada uma dessas figuras? Que relação você pode

estabelecer entre o número de lados, o de ângulos e o de vértices dessas figuras?

O número de lados, o de ângulos e o de vértices em cada uma dessas figuras são iguais. a) 7 lados: heptágono; 8 lados: octógono; 9 lados: eneágono; 11 lados: undecágono; 12 lados: dodecágono.

#Polígonos

A escola de Carol fez um mutirão para transformar a paisagem de um espaço público próximo da escola. Algumas fotos foram tiradas enquanto eles trabalhavam. Fizeram uma compo-

LUPAS E LUNETAS A situação apresentada retoma a conversa inicial sobre cada pessoa ser única, mas apresentarem características semelhantes umas às outras. O cenário mostra que os participantes se interessam pelo trabalho voluntário com a proposta de melhoria de locais públicos. Organize a roda de conversa e faça-os observar as imagens para responder à atividade. No dia a dia, frequentamos vários espaços coletivos, como nosso lar, a escola e o trabalho. Em momentos diversos, os ambientes são modificados de acordo com o uso. A sala de aula pode ser organizada com as carteiras enfileiradas, em roda ou em grupos. Para que seja agradável permanecer nesses espaços, as pessoas precisam ter atitudes que contribuam para que o ambiente permaneça limpo e organizado. Proponha que observem a própria escola (ou outro ambiente se julgar adequado) e notem: as carteiras são limpas? As paredes da sala, do pátio e do banheiro estão pintadas? São encontrados papéis ou restos de alimentos no piso? Proponha que comentem quais aspectos podem ser melhorados e como podem se organizar para isso. Essa atividade é interdisciplinar e aborda a habilidade EF06GE01, contemplada em Geografia.

162 | MANUAL DO PROFESSOR

sição com três delas e depois postaram na rede social da classe. A foto foi um sucesso: uma das mais curtidas! JAVIER G./ M10

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. a) Em que condições estava o espaço público antes do mutirão? b) Para que você imagina que esse lugar servia? Para quais tipos de pessoas e em que momentos do ano você acha que esse espaço é ainda mais útil? c) Compare as modificações ocorridas nesse cenário. Que efeitos você imagina que o trabalho do mutirão pode causar na vivência das pessoas nesse espaço? Compartilhe suas ideias. d) As diversas pessoas que participaram desse trabalho eram diferentes entre si ou eram todas iguais? Em quais aspectos eram iguais e em quais elas eram diferentes? Comente. 162 | TRAJETÓRIA 2

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL Existem movimentos que organizam mutirões para limpar as praias dos lixos urbanos; mas, mais importante do que coletar é promover hábitos que evitem a sujeira. Proponha que os estudantes pensem como evitar a sujeira em um evento escolar (festa junina, campeonato, dia da família, feira de ciências). Além

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

de cartazes de incentivo, podem, por exemplo, colocar mais lixeiras e analisar como gerar menos lixo de acordo com o tipo de evento. Outra possibilidade é dar algum brinde para quem usa o mesmo copo na compra de bebida. Esse movimento de organizar a limpeza coletivamente após um evento organizado pela escola contribui para promover a cultura de paz e o convívio social republicano.

Habilidade

Definição de polígono

Nas cenas, vimos objetos que lembram a forma de:

Todas essas figuras são exemplos de polígonos convexos. Polígono é uma figura geométrica limitada no plano por segmentos de reta que são, dois a dois, consecutivos e não colineares.

No hexágono ABCDEF:

Atividade 25

As figuras geométricas são pentágono, heptágono, hexágono e quadrilátero. Caso perceba que os estudantes encontram dificuldade em reconhecer as figuras geométricas, faça a construção das figuras geométricas com pedaços de palito roliço de madeira (segmentos de reta) e massa de modelar ou garrote (vértice).

• os segmentos AB, BC, CD, DE, EF e FA são os lados; • os pontos A, B, C, D, E e F são os vértices do polígono ABCDEF;

!C, BC !D, CD !E, DE !F , EF!A e F A ! B são os ângulos internos de ABCDEF. • AB ATIVIDADES

Atividade 26

25. Considere os polígonos e, no caderno, nomeie cada um. Também indique quantos e quais são os lados, os vértices e os ângulos internos.

26. Observe estes sólidos geométricos:

As pirâmides têm as faces laterais triangulares, e os prismas, quadrangulares. As bases, nos dois casos, podem ser triângulos, quadriláteros etc. Uma sugestão de atividade é organizar os estudantes em grupos para usarem a planifi25. Pentágono RSTUV: 5 lados: RS, ST , TU, U cação das superfícies cons!V , UV !T , ST ! !R e V R !na RS U, TU S. trução dos sólidos, observando Heptágono ABCDEFG: 7 lados: AB, BC, CD, D os polígonos ! D,das ! E,faces. !F , EF!G, FG !A e GA ! B. !C, BC nos: AB CD DE 25. Pentágono Hexágono KLMNOP:RSTUV: 6 lados: 5 KL,laLM, MN, NO !

Nos prismas, as faces laterais são paralelogramos; nas pirâmides, as faces laterais são triângulos.

a) Compare-os quanto aos polígonos que compõem a superfície lateral de cada um.

b) Analise a abertura dos ângulos dos polígonos das faces e observe quais desses sólidos são

mais “pontiagudos” e o que justifica isso.

As pirâmides são mais “pontiagudas” por serem “mais agudos” os ângulos das faces laterais que se reúnem em torno do vértice da pirâmide.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

!T , ST !U, TU !V , UV !R e V R !S. RS

Heptágono ABCDEFG: 7 lados:

AB, BC, CD, DE, EF , FG e GA;

7 vértices: A, B, C, D, E, F e G; e 7 ângulos internos:

! D, CD ! E, DE !F , EF!G, FG !A e G !C, BC AB ! D, CD ! E, DE !F , EF!G, FG !A e GA ! B. !C, BC AB Hexágono KLMNOP: 6 lados:

KL, LM, MN, NO, OP, PK;

24. a)

Triângulo Quadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono Eneágono Decágono Undecágono Dodecágono

163 |

N, MN OPK e e PK L. dKoLsM,: LM RS, STO,, NO TU,P, UV VR; 5Quadrilátero v é r t i c e sXYZW: : R , 4 Slados: , T , XYU, YZ, e ZW, WX ! ! e WX ! Y. ! YZ VXY ; Z, e 5 W, â nZW g uXl o s i nt ernos:

Número de lados 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Número de ângulos 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

6 vértices: K, L, M, N, O e Número de vértices P e 6 ângulos internos: 3 !N, MN !O, NO ! P, OP !L. ! !K e PK K LM, LM 4 ! ! ! ! ! ! K L M, LM N, MN O, NO P, OP K e PK L. 5 Quadrilátero XYZW: 4 lados: 6 7 XY , YZ, ZW , WX; 4 vértices: 8 X, Y, Z e W; e 4 ângulos inter9 ! W, ZW !X e WX ! Y. !Z, Y Z nos: XY 10 11 12 163 |

TRAVESSIAS

Atividades 27 e 28

Revestimento cerâmico em parede e revestimento para piso em peças de mármore.

Faça a leitura coletiva do texto e solicite que observem as imagens: quais as semelhanças e as diferenças entre elas? Solicite que observem as imagens da seção Travessias. Pergunte se conhecem polígonos regulares e deixe-os explicar o que são. Mostre que, em ambas as figuras, a região composta da união de um vértice e vários lados dos polígonos justapostos totalizam 360o (faça uma representação na lousa se julgar necessário). Pergunte: O que aconteceria se a medida desses ângulos juntos fosse maior ou menor que 360o? Espera-se que, ao final dessa atividade, entendam a diferença entre polígonos regulares e polígonos não regulares. Oportunize a discussão sobre essa atividade e, caso dentre as elaborações apresentadas faltem elementos para classificar os polígonos em regulares ou não, apresente as características principais de cada situação. 28. b) Os polígonos regulares têm lados de mesma medida e ângulos de mesma medida. Os polígonos não regulares têm lados com medidas diferentes e ângulos com medidas diferentes. c) Os lados e os ângulos tendo mesma medida é mais fácil ajustar as diversas peças com mesmo formato.

164 | MANUAL DO PROFESSOR

Duas novas categorias de polígonos convexos

FXXPROJECT/SHUTTERSTOCK

O senhor Romero é azulejista. Ele sempre posta imagens do seu trabalho nas redes sociais. Veja duas das composições que ele postou recentemente: SHUBHAM855/SHUTTERSTOCK

Habilidade

ATIVIDADES

Faça as atividades em dupla e anote no caderno os registros que forem necessários. 27. Observe o formato de cada peça, em ambas as composições. Imagine se cada peça

desses revestimentos fosse um polígono.

a) Em qual composição as medidas dos lados e as medidas dos ângulos de cada peça

são iguais? Na do revestimento cerâmico em parede composto de peças hexagonais.

b) Na 1ª composição, as peças dão ideia de um tipo chamado de polígonos regulares.

Isso ocorre na outra composição? Não. Na 2ª composição, os polígonos não são regulares.

c) Compare as duas composições e explique as diferenças. Em qual delas é mais fácil

revestir o plano, sem faltas ou sobreposições? Por quê? Respostas pessoais.

28. Observe estas representações de diversos polígonos:

a) Classifique esses polígonos em dois grupos, levando em conta as reflexões que

você fez na questão anterior. Regulares: I, III, V, VIII, XI, XII, XIII; Não regulares: II, IV, VI, VII, IX, X. b) Após a classificação, observe o que há em comum a todos os polígonos de uma mesma classe. Escreva uma frase, para cada grupo, que descreva a caraterística comum dos elementos desse grupo. Depois, explique por que nenhum representante de um grupo pode estar no outro grupo e vice-versa. c) A partir das descobertas feitas, escreva uma justificativa para o fato de que, para um desses dois grupos, as figuras dele facilitam o revestimento do plano. • Com a classe reunida, compartilhe os raciocínios de vocês e ouça atentamente a exposição dos demais colegas. 164 | TRAJETÓRIA 2

b) Os polígonos regulares têm lados de mesma medida e ângulos de mesma medida. Os polígonos não regulares têm lados com medidas diferentes e ângulos com medidas diferentes. c) Os lados e os ângulos tendo mesma medida é mais fácil ajustar as diversas peças com mesmo formato.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LEVO NA BAGAGEM

LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais. Agora é o momento de verificar se você aprendeu tudo o que foi explorado neste passeio. Reflita sobre sua aprendizagem avaliando a si mesmo conforme cada pergunta. ▶ Matemática • Você reconhece que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número (diferente de zero) e sabe utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas? • Sabe fazer estimativas de quantidades aproximando um número para outro que é a potência de 10 mais próxima? • Identifica características dos triângulos e sabe classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos? • Identifica características dos quadriláteros e sabe classificá-los em relação a lados e a ângulos? • Consegue reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e sabe classificá-los em regulares e não regulares? ▶ Outras disciplinas Língua Portuguesa • Sabe se posicionar de modo consistente em uma conversa ou em situações de apresentação de ideias, fundamentando seus posicionamentos de maneira clara e respeitando o tempo de fala previsto? Geografia • Compara modificações em espaços públicos comentando sobre os usos desses lugares por diversas pessoas, em diferentes tempos?

Neste momento do passeio, organize a leitura coletiva do texto para que, respondendo às questões propostas, os estudantes reflitam sobre seu próprio aprendizado enquanto escutam ativamente as dificuldades encontradas pelos colegas. Com o preenchimento da tabela, poderão classificar seu desempenho em Matemática ou nas disciplinas presentes nas atividades interdisciplinares. Diante dessas informações, poderão conversar com professores, familiares ou amigos para compartilhar suas estratégias e repensar em novas atitudes que contribuam para minimizar as dificuldades

Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, avalie sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Insuficiente

Parcialmente suficiente

Satisfatório

Plenamente satisfatório

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que você autodiagnosticou.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

165 |

BARCOS E PORTOS Leia coletivamente o quadro e relembre os objetos de conhecimento. Solicite que façam uma lista com os conteúdos que aprenderam e outra com as dificuldades. Sobre os dados apresentados na imagem, perceba que há um dado cúbico (6 faces), um dodecaedro (12 faces) e um icosaedro (20 faces). No RPG, o dado de 20 faces serve para verificar se o personagem consegue fazer uma ação baseado na dificuldade da ação, por exemplo: se a ação for subir em uma árvore grande, no dado precisa obter 10 pontos adicionados com seu modificador de habilidade. Como exemplo de uso dos dados de 6 e 12 faces, podem ser para causar/sofrer um dano – se conseguir atacar com espada que sofreu golpe leva um D12 de dano e quem caiu de uma árvore recebe um D6 de dano.

BARCOS E PORTOS

▶ Organize Respostas pessoais. O quadro mostra os objetos de conhecimento que você estudou neste passeio: CAMPO DA MATEMÁTICA Álgebra Números

OBJETOS DE CONHECIMENTO MATEMÁTICOS Propriedades da igualdade Cálculo de valor desconhecido em uma sentença Cálculo mental Aproximação para potências de 10 Classificação de triângulos

Geometria

Classificação de quadriláteros Classificação de polígonos

Para cada um dos campos da Matemática, liste no caderno – com caneta vermelha – palavras, termos ou processos de resoluções em que você teve, ou ainda tem, alguma dificuldade. Liste também – com caneta azul – palavras, termos ou processos de resolução que você está seguro de que aprendeu. Compare essas duas listas, respondendo: a) Qual das duas é maior: a de dificuldades ou a das aprendizagens?

b) Em que campo da Matemática está a maioria das suas dificuldades?

c) A quais fatos você atribui a boa aprendizagem dos itens que constam da lista azul?

d) Será que esses fatos podem ser replicados aos itens que constam da sua lista

vermelha? Anote as conclusões dessa reflexão no caderno e troque ideias sobre elas com colegas e professor, sempre buscando melhorar suas estratégias de aprendizagem. ▶ Elabore

MINE EYES DESIGN/ SHUTTERSTOCK

Observe alguns dados para jogar RPG (do inglês role-playing game), que significa algo como “jogo de interpretação de personagens”.

a) Faça uma pesquisa rápida na internet para descobrir a função desses dados nesse

tipo de jogo e escreva um parágrafo apresentando-os.

b) Compare cada um desses dados a um destes sólidos:

c) Por fim compare, os três sólidos geométricos entre si, buscando o que há de comum

entre eles, embora sejam diferentes.

166 | BARCOS E PORTOS

166 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Proponha

▶ Proponha

A leitura da subseção Proponha rememora a discussão do início do passeio: No espaço virtual, somos todos iguais ou diferentes? Faça a leitura coletiva do texto e organize como será construído o painel de colagem. Selecione a figura geométrica para recortar as fotos. Sugira um molde para que todos levem as fotos no mesmo tamanho. Providencie o material que será usado como fundo: pode ser TNT, papel kraft etc. Organize-os para que consigam participar da colagem de suas fotos e exponha o painel na escola.

A pergunta inicial deste passeio é: No espaço virtual, somos iguais ou diferentes? Questões que envolvem “ser igual”, “ser diferente” ou propõem “comparações” são muito comuns em nosso dia a dia. Ser igual ou ser diferente é, ao mesmo tempo, o que define nosso jeito de ser. Hoje quase podemos dizer: somos diferentes, mas

JAVIER G./ M10

todos conectados.

Neste passeio, você teve oportunidade de fazer comparações com números, com álgebra e com geometria. Sendo assim, que tal misturar um pouco de tudo (do que você aprendeu, do que você já sabia e do que ainda gostaria de saber) na proposta de um grande painel de imagens? Assim, mais uma vez, você vai poder ver o que há de igual, de diferente e o que está sempre mudando! Junte-se com dois ou três colegas para montar um mosaico de imagens (podem ser impressas ou digitais, apenas combinem com a sala a mesma modalidade).

JAVIER G./ M10

SHUTTERSTOCK/ ARTE M10

Podem trazer fotos de vocês mesmos ou de situações que os representam.

Recortem as fotos em formatos inusitados – fora do usual para fotos – e componham um mosaico com todas elas. Vocês podem também recortar cada uma em um formato poligonal diferente. Depois, com toda a turma, juntem os mosaicos para compor um só painel coletivo de imagens virtuais ou impressas. Se forem impressas, procurem uma grande parede e exponham o mosaico coletivo que mostra a diversidade que é ser igual e ser diferente ao mesmo tempo. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

167 |

VISTORIAS

Habilidades de Matemática EF06MA04, EF06MA05, EF06MA06, EF06MA12, EF06MA14, EF06MA18, EF06MA19, EF06MA20, EF06MA22, EF06MA23, EF06MA25, EF06MA26, EF06MA27

VISTORIAS Você chegou ao final da Trajetória. Reflita sobre tudo o que aprendeu e verifique 6. a qualidade da sua aprendizagem. 2 3 2, 4 3, 5 Resolva todos os exercícios no caderno. 2, 3, 5, 6, 10

CHECK-OUT

1. Quais são os 10 menores múltiplos naturais de 7?

0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63.

2. Qual é a sequência dos múltiplos naturais Atividade 1

É possível que alguns estudantes esqueçam de considerar o zero como múltiplo. Assim, ao resumir os conceitos abordados durante a Trajetória, chame atenção para esse fato, trazendo à luz isso para que possam conversar e investigar rapidamente e construir suas próprias conclusões. Atividade 2

Outra resposta possível é descrever a sequência por escrito: 4. De 0: 1, que 2, 3, 4, 6, 7... “É a sequência se5,inicia De 10: 1, 2,de 5 eum 10. termo no zero e aumenta, De 15: 1, 3, 5 e 15. para outro,De5 18: unidades.” 1, 2, 3, 6, 9 e 18. Atividade 3

Pode haver dificuldades em perceber a regularidade somente pelas figuras. Por isso, no momento da avaliação, é possível chamar atenção para que percebam as regularidades nos números também. Ao precisar determinar o número que a soma dos algarismos resulta em 12, é provável que eles façam o teste um a um, obtendo, depois do 16: 20 → 2 + 0 = 2; 24 → 2 + 4 = 6; 28 → 2 + 8 = 10; 32 → 3 + 2 = 5; 36 → 3 + 6 = 9; 40 → 4 + 0 = 4; 44 → 4 + 4 = 8; 48 → 4 + 8 = 12. Atividade 4

D(0) = {1, 2, 3, 4...}; D(10) = {1, 2, 5, 10}; D(15) = {1, 3, 5, 15}; D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}. 168 | MANUAL DO PROFESSOR

de 5? 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50...

3. Observe a figura:

36, 40, 44, 48.

4. Escreva a sequência dos divisores naturais de 0, 10, 15 e 18. Observando essas quatro sequências, indique as sentenças falsas: I. A sequência dos divisores de um número diferente de zero é finita. II. A sequência dos divisores de zero é finita. Falsa. III. O número 1 é divisor de qualquer número. IV. Todo número natural é divisor dele mesmo, exceto o zero. V. O número 0 é divisor de qualquer número. Falsa. VI. Dois números não podem ter a mesma quantidade de divisores. Falsa

168 | VISTORIAS

As afirmativas falsas são II, V, e VI, mas é interessante, durante a discussão pós-avaliação, debater cada uma delas. Reforçar, por exemplo, como o zero é exceção por ser o único caso de infinitos divisores, mas que, ainda assim, não contém o próprio zero, que nunca pode ser divisor, ao passo que o 1 se encontra em todos os conjuntos de divisores.

2, 3, 5, 9, 10, 100

2, 5, 10, 100, 1 000

5. Quais destes números são primos?

3 5 9 13 17 31 33 47 49 70 71 3, 5, 13, 17, 31, 47, 71

6. Considere estes números: 622

3 489

9 316

23 745

3 030

1 808

3 600

43 000

Analise-os e, usando critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000, indique por quais desses cada número é divisível.

Imagine que essa sequência de figuras continue crescendo conforme a regra que a constrói. a) De uma figura para a seguinte, quantos pontos aumentam? De 4 em 4. b) Considere a sequência de figuras e, partindo de 0, 4, 8, 12, 16, continue essa sequência até encontrar um termo em que a soma de seus algarismos dê 12. 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, c) Que sequência é essa? De múltiplos de 4.

2, 4, 8

7. Alice e Bianca largaram juntas em uma pista

de atletismo. Alice percorre a pista em 6 minutos e Bianca, em 4 minutos. Depois de quantos minutos elas voltam a se encontrar na largada? 12 minutos.

8. Um trabalho comunitário será feito por 40

estudantes de uma escola. O coordenador quer organizá-los em equipes com a mesma quantidade de estudantes, que deve ter no mínimo 2 e no máximo 10. Quais são as possibilidades de formar essas equipes quanto ao número de integrantes por equipe?

9. Reescreva o enunciado do problema 7, alte-

rando os valores 6 e 4 minutos dados. Depois resolva esse novo problema. Resposta pessoal.

10. Reescreva o enunciado do problema 8, alte-

rando o valor 40 estudantes e, depois, resolva esse novo problema. Resposta pessoal.

11. Escreva um algoritmo para verificar se um

número é divisível por 3. Depois, represente esse algoritmo na forma de fluxograma. Resposta pessoal.

12. Um carro, tendo como destino o local indicado

no mapa, percorreu uma trajetória composta do primeiro ao quinto ângulo.

8. As possibilidades são: 2, 4, 5, 8 ou 10 integrantes por equipe.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

além dos critérios de divisibilidade. Atividade 6

Pós-avaliação pode-se pedir aos estudantes que apresentem seus registros e discutam as estratégias utilizadas. Idealmente, o estudante deverá perceber que o processo de utilização dos critérios pode ser agilizado ao se perceber as semelhanças que há Atividade 5 entre eles. Um número que não é divisível por 2, Nessa atividade, serão avaliadas as estratégias por exemplo, com certeza não será por nenhum possíveis para encontrar os números primos, como outro par, e efetuar a soma dos dígitos já faz com observações sobre a paridade do dígito da unidade, que se encontre a divisibilidade por 3 e por 9.

ALEXANDRE R./M10

RUA C

a) Maior, maior, menor, maior e igual.

a) Qual número você adicionaria ou subtrairia

RUA D

desses dois membros para obter uma nova sentença equivalente a essa? Subtrairia 3. b) Após efetuar corretamente o passo do item anterior, por qual número você multiplicaria ou dividiria a igualdade resultante do item a? Dividiria por 2.

RUA A

AB RU

a) Sem medir, classifique cada um dos cinco

ângulos indicados, conforme suas medidas, em: maior do que 90°, menor do que 90° e igual a 90°. b) Utilize o transferidor e determine a medida exata de cada ângulo. 130°, 270°, 60°, 120° e 90°.

13. O campo visual humano vertical está repreALEXANDRE R./M10

sentado na figura:

60o 0o

17. Faça uma estimativa e dê o resultado aproximado de:

a) 8090 + 3990 12 080

b) 7090 – 5990 1 100

c) Paralelogramos: III, VII, X, XIV; trapézio: II; quadrilátero qualquer: XII. d) 12080 ÷ 4 3 020 d) Paralelogramos: III, VII, 18. Considere os polígonos. X, XIV; retângulos: X, XIV. c) 5009 × 3 15 027

VIII

70o

XII

VII

XIII

XIV

e polígonos de 5 ou mais lados. b) Classifique os triângulos quanto aos ân-

gulos. Acutângulos: I, VIII; obtusângulo: V; retângulo: VI. c) Classifique os quadriláteros quanto à posição relativa dos lados. d) Classifique os paralelogramos quanto à medida dos ângulos internos. e) Nomeie cada polígono, indicando o número de lados de cada um.

14. É dado o lado AD de um retângulo. Proceda Respostas

conforme as instruções a seguir. pessoais. a) Escreva um algoritmo para construção geométrica desse retângulo. b) Construa o retângulo conforme o algoritmo que você escreveu. c) Verifique se o seu algoritmo está correto, caso não faça os ajustes necessários.

19. Claudia é artesã. Ela construiu, com varetas, estruturas de objetos que representam sólidos geométricos.

15. Acompanhe os registros feitos por Clarinda. JAVIER G./ M10

7 + 3 = 10 7 + 3 + 2 = 10 + 4 12 = 14

Explique o erro que ela cometeu.

16. A igualdade que corresponde à balança é: ARTE/ M10

a) Indique os que são triângulos, quadriláteros

Qual é a medida total, em graus, do campo visual vertical? 130°.

III

2x + 3 = 15 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

15. Clarinda adicionou 2 ao 1º membro da igualdade, mas 4 ao 2º membro.

Então, será possível formar estes agrupamentos: 20 grupos com 2 integrantes; 10 grupos com 4 integrantes; 8 grupos com 5 integrantes; 5 grupos com 8 integrantes; ou 4 grupos com 10 integrantes. No momento da avaliação, relembre que, por se tratar de um problema, é possível verificar o resultado. Atividades 9 e 10

Para reformular os proble-

18. a) Triângulos: I, V, VI, mas, é necessário que os estuVIII; quadriláteros: II, III, dantes tenham compreendido o VII, X, XII, XIV; polígonos tanto de comconceito 5 ou maismatemático lados: IV, IX, XI, XIII. múltiplos quanto de divisores

e consigam utilizar a criatividade para trazer esses conceitos para situações do cotidiano. Resolver o problema faz com que ele possa verificar se sua produção está correta. Atividade 11

Seja a um número natural. Veja um possível algoritmo: 18.e) • Adicione os algarismos de a. Número Nome • A soma dos algarismos é um 3 I Triângulo acutângulo isósceles número múltiplo de 3? II Trapézio 4 • Se sim, então a também é III Paralelogramo 4 múltiplo de 3. IV Pentágono • Se não, então a não é múl- 5 tiplo Vde 3.Triângulo obtusângulo isósceles 3 VI

Triângulo retângulo isósceles

VII

Losango

Triângulo equilátero

VIII

III

VII

Agora ela vai recortar pedaços de papel-cartão colorido para revestir o “esqueleto” de cada figura. a) Para qual(quais) figura(s) ela vai recortar papel somente em formato de triângulos? Figura IV. b) Para qual(quais) figura(s) ela vai recortar papel somente em formato de retângulos? Figuras II, III e VII.

169 |

Atividade 7

• M(6) = {0, 6, 12} Reforce com os estudantes que, para números Para o cálculo do mmc, nesse caso, podemos tanto utilizar a técnica clássica de decomposição menores, como é o caso do exercício, é interessante que eles consigam desenvolver o cálculo mental. conjunta dos números: 4, 6 2 2, 3 2 1, 3 3 1, 1 quanto observar os dois conjuntos de múltiplos naturais: • M(4) = {0, 4, 8, 12}

Atividade 8

Busca-se verificar quais são os divisores de 40 que estão entre 2 e 10. Primeiro, determinamos todos os divisores de 40. D(40) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40} Em seguida, selecionamos os que estão entre 2 e 10 (inclusive): 2, 4 ,5, 8 e 10.

NÃO X

INÍCIO

Adicione os algarismos de a Pentágono

A soma dos algarismos Quadrado é um número múltiplo de 3?

SIM

Hexágono

XII Quadrilátero Então o número não é múltiplo de 1.

Então o número 4 é múltiplo de 1.

XIII

Heptágono

XIV

Retângulo

FIM

Declare que o algoritmo e o fluxograma a serem produzidos não têm muitas etapas e que para um algoritmo ser efetivo ele não precisa ter muitas etapas, mas sim esclarecer todos os processos envolvidos da melhor maneira. 18. a) Triângulos: I, V, VI, VIII; quadriláteros: II, III, VII, X, XII, XIV; polígonos de 5 ou mais lados: IV, IX, XI, XIII. 18. b) Triângulos (3), quadriláteros (4), pentágonos (5), hexágonos (6) e heptágonos (7).

169 |

Atividade 12

Pela observação e comparação com o ângulo de 90o que está na imagem, os estudantes podem determinar quais medidas são maiores ou menores que 90o. Relembre que eles podem utilizar a resposta do item a para validar os resultados obtidos no item b, e vice-versa. Então, coloca-se em confronto as percepções intuitivas do estudante (estimativas) e a mensuração técnica, para que se fortaleça tanto a capacidade de classificação de ângulos intuitivamente quanto a capacidade de utilizar as ferramentas apropriadas para confirmar e testar tais classificações.

DE OLHO NA BÚSSOLA Após resolver corretamente os exercícios da seção Check-out, você pôde checar se de fato aprendeu a: OBJETIVOS

Atividade 13

Como os ângulos são adjacentes, basta adicionar as duas medidas: 60o + 70o = 130o . Atividade 14

a) Possível algoritmo para construir um retângulo de lado determinado por AD: • A partir do segmento AD, traçar outro segmento, AB, de medida qualquer, perpendicular a AD com uma extremidade em A. • Traçar a reta r perpendicular a AB por B. • Construir a reta s perpendicular a AD passando por D. • Determinar C, intersecção entre r e s. • O retângulo ABCD é o retângulo desejado. b) B

EXERCÍCIOS

Reconhecer os múltiplos ou os divisores naturais de um número.

1, 2, 3, 4, 6

Classificar números naturais até 100 em primos ou compostos.

Reconhecer critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000.

Resolver e elaborar problemas com as ideias de múltiplo e de divisor.

7, 8, 9, 10

Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo em fluxograma.

Reconhecer as ideias de ângulo e compreender ângulo como figura geométrica.

12, 13

Classificar ângulos segundo a medida da sua abertura.

Resolver problemas que envolvam a noção de ângulos em diferentes contextos.

12, 13

Determinar a medida da abertura de ângulos usando transferidor.

Construir retas paralelas e retas perpendiculares usando régua e esquadro.

Criar algoritmo que descreva a construção de um retângulo.

Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número (não nulo) e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.

15, 16

Fazer estimativas de quantidades aproximando um número para outro que é a potência de 10 mais próxima.

Identificar características dos triângulos e dos quadriláteros e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos.

Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos e classificá-los em regulares e não regulares.

18, 19

Considerando os exercícios que resolveu, como você julga seu desempenho: insuficiente, parcialmente suficiente, satisfatório ou plenamente satisfatório? Resposta pessoal.

Prossiga ▶

Continue estudando! Retome esta Trajetória buscando, com professores e colegas, alternativas para superar os obstáculos de sua aprendizagem. Estude a seção Retornos e resolva novos exercícios referentes à Trajetória 2 que estão na seção Suplemente sua aprendizagem, ao final do livro.

C 170 | VISTORIAS

c) Resposta pessoal. Essa atividade favorece avaliar a capacidade do aluno quanto à percepção geométrica e à capacidade de utilização das ferramentas geométricas na construção de quadriláteros, assim como quanto à organização de tal processo com um algoritmo. 170 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 15

O item a avalia verificar a escolha correta a respeito da operação de adição ou subtração para Com essa atividade, é pretendido avaliar a hasimplificar a equação. bilidade de reconhecer que a relação de igualdade O item b avalia se o aluno reconhece que a matemática não se altera ao adicionar aos seus operação de divisão é a que resolve o problema. dois membros um mesmo número. Atividade 17

Atividade 16

Essa atividade avalia a capacidade de utilizar as propriedades da igualdade para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.

A seguir, iremos apresentar algumas possibilidades de estimativas. a) Aproxima-se 8 090 para 8 100 e 3 990 para 4 000. Assim, 8 100 + 4 000 = 12 100.

Atividade 19

DICAS DE ESTUDO

Nesta atividade, o aluno reconhece os polígonos como faces de poliedros, para que entenda como as figuras planas podem compor figuras espaciais. Sempre é bom refletir sobre seus hábitos de estudo. Faça uma autoavaliação respondendo a essas questões. Ao refletir sobre suas atitudes com relação à organização do espaço e do tempo dedicado às atividades, você poderá levantar possíveis atitudes a ser ajustadas com a intenção de obter um melhor desempenho escolar.

Você tem o hábito de organizar seus materiais, o espaço e o tempo de estudo? Caso não tenha, que tal buscar maneiras que o ajudem a desenvolver bons hábitos de estudo fora da sala de aula? Leia cada pergunta e busque para si respostas que sejam verdadeiras. Respostas pessoais. a) Seus materiais (cadernos, livros, portfólios, trabalhos etc.) estão sempre atualizados,

organizados e acessíveis para consultas imediatas?

b) Você realiza todas as atividades propostas e procura eliminar todas as dúvidas

imediatamente?

c) O local do seu estudo é tranquilo, iluminado, arejado e estimula a concentração?

d) Você reserva um tempo todos os dias, em um mesmo horário, para estudar, mesmo

que não tenha lição de casa?

e) Considerando suas respostas anteriores, o que você julga urgente e necessário ser

RAIMUNDA-LOSANTOS/SHUTTERSTOCK

WHITE BEAR STUDIO/SHUTTERSTOCK

mudado nas suas atitudes em relação aos estudos? Tome nota de quais recursos e quais novas atitudes podem melhorar seus hábitos de estudos e teste-os nos próximos dias.

Materiais escolares organizados e disponíveis. Local de estudo iluminado e agradável.

Você não precisa ter uma mochila, materiais, mesa com luminária ou pastas de arquivos como mostram as imagens, mas é importante você ter um espaço agradável e organizado para estudar.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

171 |

b) Aproxima-se 7 090 para 7 100 e 5 990 para 6 000. Então, 7 100 – 6 000 = 1 100. c) A p rox i m a-s e 5 0 0 9 p a ra 5 0 0 0. Lo g o, 5000 × 3 = 15000. d) Aproxima-se 12 080 para 12 000. Assim, 12000 ÷ 4 = 3000. Pós-avaliação, é possível discutir os diferentes resultados obtidos e verificar quais estratégias resultaram em estimativas mais precisas.

171 |

TRAJETÓRIA 3

PANORAMA DA TRAJETÓRIA

Arte: EF69AR04, EF69AR05, EF69AR06 Geografia: EF06GE08

DENIS CRISTO/ SHUTTERSTOCK

Habilidades de outras disciplinas:

NDAB CREATIVITY/ SHUTTERSTOCK

Habilidades de Matemática: EF06MA07, EF06MA09, EF06MA10, EF06MA13, EF06MA15, EF06MA16, EF06MA21, EF06MA24, EF06MA28, EF06MA29

ALPHASPIRIT.IT/ SHUTTERSTOCK.

Competências específicas: 3, 4, 7, 8

RIDO/ SHUTTERSTOCK

Competências gerais: 6, 8

Educação Física: EF67EF09 Temas Contemporâneos Transversais: Vida Familiar e Social Saúde Educação Alimentar e Nutricional Direitos da Criança e do Adolescente

Comente com os alunos que, nesta trajetória, as palavras “parte” e “todo” serão exploradas com significados amplos e diversos, porém, para o estudo matemático, nos interessarão os significados que envolvem as ideias de fração.

Sugestão de atividade

Mais uma Trajetória está prestes a iniciar e, novamente, não deixe de explorar com a sala a pergunta motivadora: Como agimos em relação ao todo? Há nessa pergunta uma palavra centralizadora da questão: todo. Observe que o todo é a referência da questão: deseja-se saber algo “em relação ao todo”. Vejamos a quantidade de circunstâncias que essa palavra, situada em uma pergunta tão abrangente, pode suscitar. Os temas matemáticos a serem explorados nesta Trajetória são: as frações, suas operações, as ampliações e reduções de figuras e as noções de plano cartesiano. Ora, em que esses temas matemáticos, aparentemente díspares, podem contribuir com a noção do todo? O todo como quantidade enumerável? Como uma grandeza pode ser medida? Como um espaço em que se possa delimitar uma porção tomada como unidade? Como referência para comparação entre seu outro idêntico, porém menor ou maior, sob efeito de redução ou de ampliação? 172 | MANUAL DO PROFESSOR

COMO AGIMOS EM RELAÇÃO AO TODO? • Contribuímos para o bem-estar coletivo? • Cuidamos da nossa saúde como um todo? • De que modo interagimos com o espaço em casa

e na cidade?

172 | Trajetória 3

Do ponto de vista do contexto social: seria toda uma comunidade? A integridade de um grupo? O espaço inteiro? A história inteira? O vivido e o que está por vir? Toda a categoria da relação social? As situações esboçadas por meio dessas perguntas já são suficientes para nos mostrar quão complexo e amplo é o significado de uma palavra. É bem verdade que essa pergunta motivadora, em sua enunciação completa, tem por objetivo introduzir um estudo em Matemática, entretanto é também verdade que a leitura dessa pergunta exige um processo mental que ultrapassa os limites

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

de quaisquer disciplinas e, certamente, será mais bem compreendida pelas atribuições de sentidos ora no interior dos entrelaçamentos matemáticos ora para fora deles, quanto mais se impregnar dos sentidos dados pelas ciências sociais, pelas linguagens, pela arte. Estamos interessados em abrir caminhos para uma leitura de mundo complexa e desejamos convidar os estudantes para uma reflexão a respeito desses diversos sentidos. Para fazer um estudo isolado da palavra todo, organize os estudantes em pequenos grupos e proponha que escolham, cada grupo na sua vez, um

INSIDE CREATIVE HOUSE/SHUTTERSTOCK

CONTEÚDOS DA TRAJETÓRIA Passeio 1 – Frações

• • • • •

Significados de frações Frações próprias Frações impróprias Forma mista Frações e grandezas

Passeio 2 – Operações com frações

• • • • •

Frações equivalentes Comparação de frações Adição e subtração Partilhas não equitativas Porcentagem

Passeio 3 – Ampliação e redução de figuras no plano cartesiano

• • • •

Plantas baixas Vistas aéreas e localização Plano cartesiano Á re a d a s u p e r f í c i e e perímetro

Cada um isolado ou como parte de um todo?

Cada pessoa tem sua identidade própria, construída por suas relações familiares, pelos grupos sociais a que pertence, aos espaços que frequenta, por sua matriz cultural etc. Mais ainda, a identidade se constrói a partir do modo como a pessoa se percebe e atua nessa grande diversidade de elementos.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

desses sentidos diversos da palavra todo. Solicite a cada grupo que expresse as possibilidades do sentido escolhido pelo grupo. Proponha que se expressem por meio de desenho, pintura, colagens de imagens ou outras expressões artísticas que desejarem. Cada grupo deve apresentar sua produção, explicando o que compreende da palavra todo, segundo aquele sentido. Após a apresentação do último grupo, dê mais 5 minutos para cada grupo, dessa vez, refletir sobre a pergunta motivadora em sua enunciação completa

173 |

e, com base no que ouviram das apresentações dos colegas, mostrar o que compreendem dessa pergunta motivadora. A compreensão clara e ampla de uma pergunta problematizadora é o primeiro passo no percurso da resolução de problemas.

173 |

Habilidade

PASSEIO 1 – FRAÇÕES

(EF06MA07) Compreender,

comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.

CONTRIBUÍMOS PARA O BEM-ESTAR COLETIVO?

Na discussão motivada pela questão Contribuímos para o bem-estar coletivo?, o estudante pode refletir sobre suas atitudes individuais e coletivas nos diferentes ambientes de sua vivência, como escola, casa, clube etc. Com as reflexões, espera-se que os estudantes proponham atitudes simples que, se realizadas coletivamente, podem alcançar um resultado expressivo. Apresente a imagem, mostre alguns detalhes, como a escada e as pessoas se ajudando e chame a atenção também para o título. Com essas observações, espera-se que participem da discussão. Aproveite para fazer relações com o Tema Contemporâneo Transversal (TCT) Vida Familiar e Social, criando outras perguntas que estimulem a participação de todos.

ALPHASPIRIT.IT/ SHUTTERSTOCK.

CHECK-IN

A construção das relações humanas pode ser como o processo de montagem de um quebra-cabeça.

CHECK-IN Observe a imagem, responda às questões e compartilhe suas respostas com os colegas: a) Quais são suas impressões sobre a cena apresentada? Que tipo de interpretação

você pode fazer? Resposta pessoal.

b) Quantas peças haverá nesse quebra-cabeça, após montado? 144 peças. c) Quantas peças já foram ou estão sendo montadas? 89 peças.

55 144 e) O que você acha do fato de haver várias pessoas contribuindo para montar o quebra-cabeça? Resposta pessoal. d) Qual fração representa a quantidade de peças que ainda faltam?

174 | TRAJETÓRIA 3

174 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ARREDORES

Leitura e representação Parte/todo

Quociente

Significados da fração

FRAÇÃO

Medida

Frações próprias

Forma mista

Frações impróprias

EF06MA07, EF06MA09 EF69AR06

BÚSSOLA BÚSSOL A Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: Representar números em forma de fração. Reconhecer diferentes significados e interpretações para as frações: parte/todo, fração de uma quantidade, fração como quociente. • Resolver problemas envolvendo diferentes significados para as frações. • •

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

175 |

Proponha ao professor de Arte um trabalho interdisciplinar que transforme a ideia mostrada pela imagem das formigas “Uma por todas e todas por uma” em uma tirinha de história em quadrinhos (HQ). A estrutura da produção de uma HQ, bem como suas características, será trabalhada pelo professor de Arte e, assim, a atividade irá ao encontro da habilidade EF69AR06. Proponha que elaborem um roteiro antes de iniciarem a produção da HQ. Converse sobre o tema proposto e, se necessário, mostre alguns exemplos de situações que ilustrem a frase “Uma por todas (ou todos) e todas (ou todos) por uma”. Oriente os estudantes a fazer um rascunho antes da produção final e incentive-os a desenvolver a linguagem artística com criatividade. Converse com a turma sobre o dom ou talento que cada um de nós temos. O trabalho pode ser realizado em grupos e dividido pelos talentos encontrados no grupo, por exemplo, aquele que gosta de escrever o roteiro, o que gosta de desenhar etc., o importante é a dedicação e interesse de todos. Com empenho, interesse e sem autojulgamentos, o resultado sempre será valorizado artisticamente, independentemente dos desenhos feitos. 176 | MANUAL DO PROFESSOR

ATMOSFERA O todo é formado pelas partes Leia esta tirinha:

Disponível em: www.facebook.com/tirasarmandinho/photos/a.488361671209144.113963.488356901209621/ 1625220414189925/?type=3&theater. Acesso em: 29 jul. 2022.

Agora, observe a imagem a seguir. Ela representa um grupo de formigas-correição “construindo uma ponte” com seus próprios corpos, a fim de transpor um buraco. FRANK60/SHUTTERSTOCK

(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. Encontro com outras disciplinas (EF69AR06) Desenvolver processos de criação em artes visuais, com base em temas ou interesses artísticos, de modo individual, coletivo e colaborativo, fazendo uso de materiais, instrumentos e recursos convencionais, alternativos e digitais.

ARMANDINHO, DE ALEXANDRE BECK/ ACERVO DO CARTUNISTA

Habilidade

Comente com os alunos que formigas-correição é a nomenclatura

Uma por todas e todas por uma. comum dada a cerca de 200 espécies de formigas, notórias por orga-

nizarem expedições periódicas de milhares de indivíduos.

A partir da observação da tirinha e da imagem, resolva as atividades. Lembre-se de compartilhar as suas respostas com os colegas.

ATIVIDADES

1. 2. 3. 4. 5.

Respostas pessoais.

Que relações você consegue fazer entre a imagem das formigas-correição e a tirinha? O que aconteceria se as formigas-correição não se organizassem para criar a ponte com seus corpos? Será que uma formiga sozinha conseguiria superar esse obstáculo? Na tirinha, cada um dos personagens faz sua parte para construir uma estrutura de tijolos maior. Que tipo de coisas cada um de nós pode fazer para ajudar o todo? Na tirinha, o personagem exclama “Muros não! Podemos construir pontes!”. Por que você acha que ele disse isso? Elabore uma tirinha que use a noção de parte e todo. Exponha sua produção.

176 | TRAJETÓRIA 3

Quando todas as HQs estiverem terminadas, marque uma data com os estudantes e peça que convidem familiares e amigos para uma exposição. No evento, separe um momento e permita que os grupos falem aos convidados como foi essa produção, reforçando o tema em questão. Atividades 1 a 5

Organize uma roda de leitura, peça que leiam a tirinha e observem a imagem das formigas-correição. Converse sobre a ideia central de ambos,

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

crie perguntas para que os estudantes verbalizem como compreendem as situações apresentadas. Proponha que façam a discussão coletivamente e, depois, registrem as conclusões no caderno. Instigue-os a verbalizar as conexões entre a tirinha e a imagem das formigas, criando outras perguntas. Espera-se que percebam que suas atitudes, mesmo que simples ou individuais, podem impactar positivamente com a colaboração de outras pessoas. Retome a imagem das formigas e faça uma relação com os TCTs Trabalho e Vida Familiar e

Habilidade

#Frações em diversas situações ALEXANDRE R./ M10

Observe as situações:

Uma pessoa dentre um grupo com 5 pessoas.

Uma medida de café dentre 5 medidas iguais de bebida.

1 cm de tecido de uma fita de 5 cm.

Uma faixa de parede pintada dentre 5 faixas iguais a serem pintadas.

Podemos expressar matematicamente essas situações utilizando números escritos na forma de fração: 1 • Cada pessoa representa (um quinto) do grupo. 5 1 • A quantidade de café no copo corresponde a da capacidade total. 5 1 • Cada pedaço de 1 cm é do comprimento da fita de tecido de 5 cm. 5 1 • 5 da parede já foi pintada.

LUPAS E LUNETAS

(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. “O muro isola, então ele protege.”. Se necessário, leia a história novamente, pois isso permite que os estudantes relembrem algum fato ou imagem que não perceberam na primeira leitura. Em seguida, proponha que se reúnam em grupos com quatro componentes e organizem suas reflexões individuais em um “papel diamante” (adaptado de: https://mentalidadesmatematicas.org.br/matematica-mais-aberta-criativa-e-visual/. Acesso em: 29 jul. 2022.)

Em duplas ou trios, elaborem três diferentes situações que possam ser expressas utilizando a 3 fração (três décimos). 10 • Compartilhem sua produção com os demais colegas. Respostas pessoais.

Em todos esses casos, o inteiro, total ou todo pode ser dividido em cinco partes iguais. 1 Assim, cada uma das partes corresponde a 5 do todo. Numerador: representa o número de partes consideradas.

Denominador: representa o número de partes iguais em que o todo foi dividido. ARTE./ M10

1 5

As partes pintadas representam

1 do todo. 5

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Social: pergunte se vivenciaram alguma situação de trabalho cooperativo e explore as situações questionando se houvesse menos pessoas, como seria. Proporcione que imaginem em quais situações poderiam ajudar de modo mais amplo, coletivo. Uma estratégia seria pedir que fechem os olhos, fale com tom baixo sobre os pontos principais que discutiram e imaginem que estão ajudando coletivamente. Peça que visualizem suas atitudes individuais: quais seriam? Quais resultados esperam alcançar? Que pontes podem construir?

1 Nenhuma parte corresponde a 5 do todo, porque o todo não está dividido em partes iguais. 177 |

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL Proponha a leitura do livro O muro no meio do Livro, de Jon Agee, da Editora Pequena Zahar. Prepare a leitura do livro com antecedência e pense na melhor maneira para fazer os estudantes observarem calmamente as imagens do livro. Escolha um local agradável para a atividade: pode ser ao ar livre, debaixo de uma árvore ou mesmo na sala organizada com tapetes e almofadas. Após a leitura, retome com eles a história e proponha que reflitam sobre esta afirmação:

As reflexões individuais devem ser colocadas nos quatro cantos do papel e, ao centro, os estudantes, em conjunto, devem elaborar a reflexão coletiva. Finalize a atividade provocando-os a refletir. Se, em vez de um muro entre as páginas, tivéssemos uma ponte, como você recontaria essa história? Os personagens da história poderiam ser pessoas que ainda não se conhecem, parentes que não se falam, um amigo esquecido, um parente que mora longe... Sugestão de leitura

Desenvolvido por Cathy Williams, o papel diamante é uma forma de sugerir aos estudantes a resolução de um problema matemático e a ideia é oferecer diversas possibilidades de resposta. Para saber mais sobre o papel diamante, consulte: https://mentalidadesmatematicas.org.br/ papel-diamante-conheca-o-recurso-que-ajuda-os-alunos-a-aprenderem-matematica-de-forma-visual/ (acesso em: 29 jul. 2022).

177 |

Habilidade (EF06MA07) Compreender,

comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.

Algumas ideias importantes da fração podem ser consideradas: • as partes fracionárias são partilhas iguais, ou porções de mesmo tamanho de uma unidade ou todo, de modo que uma unidade pode ser um objeto ou uma coleção; • quanto mais partes fracionárias forem necessárias para formar o todo, menores elas serão; por exemplo, um décimo é menor que um quarto; • o denominador de uma fração indica em quantas partes o todo foi dividido, sendo um divisor, e nomeia o tipo de parte fracionária (quartos, décimos); • o numerador indica a quantidade de partes consideradas (do tipo indicado pelo denominador), sendo um multiplicador.

LUPAS E LUNETAS Os estudantes podem elaborar os problemas de acordo com quatro ideias associadas às frações: • parte-todo: a unidade dividida em partes iguais; • razão: comparação entre duas grandezas; • fração de uma quantidade: a fração é associada à quantidade de elementos em um grupo de elementos iguais; • quociente: a fração é associada ao resultado da divisão de dois números.

#Fração: as partes e o todo Um muro foi dividido em quatro partes iguais para ser pintado:

parte não pintada

parte pintada

Como são 3 partes pintadas de um todo de 4 partes iguais, então a fração que representa 3 o número de partes pintadas em relação ao todo é 4 (três quartos). Em cada figura, o todo foi dividido em partes iguais. Veja as frações que representam as partes pintadas em relação ao todo:

Cada figura, sendo considerada como um todo, foi dividida em 8 partes iguais:

Em todas as imagens, a fração que representa o número de partes pintadas em relação ao 4 todo pode ser expressa pela fração 8 (quatro oitavos).

Leitura das frações Nas frações, lemos o numerador da maneira como fazemos com os demais números: “um, dois, três, vinte, trinta e dois”, por exemplo. Já o denominador lemos de maneira diferente: 1 2

1 3

1 4

Um meio

Um terc,o

Um quarto

3 5

Tre^ s quintos

5 6

6 7

4 8

8 9

Cinco sextos

Seis sétimos

Quatro oitavos

Oito nonos

As frações com denominadores múltiplos de 10 são lidas da seguinte maneira: 1 10

5 100

15 1000

Um décimo

Cinco centésimos

Quinze milésimos

178 | TRAJETÓRIA 3

Atividades 6 a 8

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 6

Com a leitura da seção anterior, explore as siAs frações correspondem a parte considerada tuações do cotidiano que usam as frações. Aponte da figura em relação ao todo. o que significam o numerador e o denominador a) A figura está dividida em 4 partes iguais (dena relação parte/todo. Escreva algumas frações na nominador), sendo que duas estão pintadas 2 lousa e solicite que leiam. Se considerar adequado, (numerador): . 4 apresente outros exemplos, para que resolvam com autonomia. Faça uma socialização das respostas e b) O recipiente cilíndrico tem uma capacidade total proponha que usem os erros como possibilidade de que está dividida em 3 partes iguais (denominamelhorias no processo de ensino e aprendizagem. dor), sendo que 1 dessas partes está ocupada 1 (numerador): . 3 178 | MANUAL DO PROFESSOR

E as frações com outros denominadores? Nesses casos, utilizamos a palavra “avos” na leitura. Por exemplo: 2 15

17 20

Dois quinze avos

Dezessete vinte avos

A palavra “avos” tem origem na palavra latina octavus. Com o tempo, a palavra começou a ser escrita como “oit’avos” para expressar números fracionários e divisão em partes iguais.

6. Sabendo que cada figura é um inteiro e elas

foram divididas em partes iguais, escreva em seu caderno a fração que representa as partes pintadas em relação ao todo: 7. Duda usou como numerador o número de partes não destacadas, quando deveria ter sido o contrário. Zezé utilizou o denominador como o número de partes não destacadas, quando deveria ter usado o total de partes em que a figura foi dividida.

2 4

1 3

7. Duda e Zezé escreveram diferentes frações

para representar as partes pintadas desta figura em relação ao todo:

•

Duda:

5 8

•

Zezé:

3 5

Explique o erro que cada um cometeu ao escrever a fração. Compartilhe sua resposta com os colegas.

8. Reproduza e complete o quadro. 3 8

COMO SE LÊ

FRAÇÃO

Três nonos

3 9

Dois terços

2 3

Três décimos

3 10

Oito doze avos

8 12

1 10

(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. Atividade 7

ATIVIDADES

Habilidade

5 10

8 16

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

REPRESENTAÇÃO POR FIGURAS

Indague os estudantes sobre o significado de numerador e denominador. O quadrado foi dividido em 8 partes iguais (denominador), das quais 3 foram pintadas (numerador) e 5 permanecem em branco. A fração correspondente à parte pintada 3 é 8 (resposta correta) e a fração referente à parte não pintada é 5 (resposta de Duda). 8 ⎛ 3⎞ A escrita de Zezé ⎜⎝ 5 ⎟⎠ relaciona as partes pintadas (3) com as não pintadas (5) (e não com o todo ou o inteiro de referência). Atividade 8

As respostas consideram numerador a quantidade de partes tomadas do inteiro e consideram denominador a quantidade de partes em que o inteiro foi dividido. Na leitura da fração, o denominador nomeia o tipo de parte fracionária. Como as figuras são divididas em 9, 3, 10 e 12 partes, serão nomeadas nonos, terços, décimos e doze avos, respectivamente.

179 |

c) Há 8 partes iguais (denominador), sendo que

totalidade da parte pintada corresponde à metade. 3 estão pintadas (numerador). Os estudantes percebem que as partes, mesmo em posições f) A figura está dividida em 16 partes iguais (de3 nominador), sendo que 8 estão pintadas (nudiferentes, são congruentes, ou seja: 8. 8 d) A figura está dividida em 10 partes iguais (denomerador): 16. Visualmente é possível perceber minador), sendo que 1 está pintada (numerador): que a totalidade da parte pintada corresponde 1 à metade. 10. e) Há 10 partes iguais (denominador), sendo que 5 estão pintadas (numerador), ou seja, 5 . Visualmente, é possível perceber que a 10 179 |

Habilidade

#Obter as partes que compõem o todo

(EF06MA07) Compreender,

comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.

GOODSTUDIO/SHUTTERSTOCK

Tainá está pintando, com duas cores, o muro de uma praça de seu bairro. Veja o modo como ela pintou.

Atividade 9

Peça que reproduzam as figuras no caderno. Para visualizar as imagens divididas em partes iguais, precisam decompor a figura.

Tainá pintando o muro em uma ação voluntária. Esquema da pintura do muro.

Como você escreveria uma fração para representar a parte do todo pintada de azul? Uma estratégia é dividir o todo em partes iguais, porém de um modo que nos ajude a identificar as partes desse todo. Veja uma possibilidade:

b) Observando que o muro está dividido em quatro partes iguais, podemos concluir que uma 3 fração que representa a parte pintada de azul é . 4 ATIVIDADES

9. Escreva no caderno a fração que representa a parte pintada de cada figura em relação ao todo. Em seguida, compartilhe com os colegas as estratégias que você utilizou.

4 8

10. No caderno, elabore uma figura como as a)

Atividade 10

Incentive os estudantes a criar formas diversificadas. Veja algumas possibilidades: 1 a) 2

3 8

180 | TRAJETÓRIA 3

180 | MANUAL DO PROFESSOR

anteriores, de modo que a parte pintada Respostas corresponda às frações do todo:

10 16

5 10

1 2

5 b) 10

possíveis:

2 3

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

2 3

Habilidade

Compor o todo pelas partes

MXDESIGN24/SHUTTERSTOCK/ ARTE M10

Duda quer receber convidados para um evento cultural em sua comunidade e está elaborando um convite.

(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. Atividades 11 e 12

19 STUDIO/ SHUTTERSTOCK.

Ela pegou folhas de papel e dobrou cada uma em partes iguais. Em cada parte, adicionou informações importantes para os convidados.

Proponha aos estudantes que façam representações diferentes do todo, de modo que possam compartilhá-las na lousa. Observe alguns exemplos: 5 a) 5

1 A face da frente do seu convite representa 3 da folha de papel original.

Isso significa que a folha original foi dobrada em 3 partes iguais. Ao desdobrar a folha, temos:

ATIVIDADES

11. Desenhe em seu caderno a figura que representaria o todo se:

c) a figura representa 3 do todo:

a) a figura representa 5 do todo:

1 b) a figura representa 6 do todo:

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

12. Elabore um problema similar aos anteriores e

compartilhe com os colegas. Resposta pessoal.

6 6

3 3

181 |

Incentive os estudantes a elaborar diversas possibilidades de resposta para o mesmo problema ao desenvolverem o conceito de fração. 181 |

Habilidade

#Frações de uma quantidade

(EF06MA09) Resolver

e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora.

As próximas situações apresentam diferentes contextos, mas ambas utilizam a ideia de fração de uma quantidade de objetos, pessoas etc. Situação 1

YUMMYBUUM/SHUTTERSTOCK

Juju está organizando os livros de uma prateleira da biblioteca de sua escola:

Ao abordar a ideia de fração de uma quantidade discreta, usamos como exemplos a fração de grupos de objetos. Nesse caso, a fração tem função de fator multiplicativo. No caso da atividade proposta, são 15 livros, dos quais 1 2 são de fantasia e são de 3 3 poesia. Para organizar essas quantidades, os estudantes precisam reconhecer que o denominador define a quantidade de grupos de mesma quantidade dos objetos. O grupo de 15 livros, divididos por 3, resulta em 3 grupos com 5 livros cada um. O numerador refere-se à quantidade de cada grupo que será selecionada. No caso dos 1 livros fantasia, são de 15 livros 3 ou 5 livros, enquanto os livros 2 de poesia são de 15 livros, 3 2 ⋅ 5 = 10 livros.

1 Dos 15 livros, ela verificou que 3 corresponde a livros de fantasia. Como saber exatamente quantos são os livros de fantasia?

SHUTTERSTOCK/ARTE M10

Uma estratégia é distribuir os 15 livros em 3 grupos com a mesma quantidade:

1 Assim, os 5 livros de fantasia correspondem a 3 do total de livros.

2 O restante dos livros é de poesia. Portanto, os livros de poesia correspondem a 3 do total.

Como esse significado (de fator multiplicativo) aborda quantidades, ofereça materiais manipuláveis, como palitos de sorvete, tampinhas, figurinhas, lápis etc., para que explorem o conceito. I. Forneça copos descartáveis e tampinhas ou outro material que desejar. II. Peça que selecionem 20 tampinhas: será o total de tampinhas. III. Oriente a usar os copos para dividir as tampinhas. A quantidade de copos corresponde ao denominador. IV. Peça que observem a quantidade do denominador e selecionem quantos copos precisarão. Essa quantidade corresponde ao numerador. V. Oriente-os a preencher o quadro:

182 | MANUAL DO PROFESSOR

SHUTTERSTOCK/ARTE M10

Sugestão de atividade

182 | TRAJETÓRIA 3

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Total de objetos do grupo – 20 tampinhas Fração

Representação ou cálculo

3 5

4 + 4 + 4 ou

2 4

5 + 5 ou

3 4

5 + 5 + 5 ou

1 1 1 + + 5 5 5 1 1 + 4 4

1 1 1 + + 4 4 4

Quantidade 12 tampinhas 10 tampinhas 15 tampinhas

Total de objetos do grupo – 20 tampinhas Fração 4 10 3 20

Representação ou cálculo 2 + 2 + 2 + 2 ou 1 1 1 1 + + + 10 10 10 10

1 + 1 + 1 ou

1 1 1 + + 20 20 20

Quantidade 8 tampinhas 3 tampinhas

Habilidade

LUPAS E LUNETAS

(EF06MA09) Resolver

e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora.

1 Espera-se que os alunos comentem a correspondência entre 3 da figura com 5 livros. 1 2 Podemos representar as frações e com as figuras: 3 3

Na segunda situação: qual 1 é o total se 6 é 12? A parte é informada para determinar o valor total. Situação 2 Proponha que elaborem No início de um evento beneficente, os organizadores contaram com a presença de 12 conseus próprios problemas. 1 Seguem alguns enunciados com vidados. Sabe-se que esse número corresponde a 6 do total de convidados. a resolução que podem servir de 1 inspiração para os estudantes: 6 do total de convidados • Comprei 20 ovos no supermercado, mas durante a volta 1 para casa quebraram-se 4 dos ovos. Determine quantos ovos quebraram. Como 20 ÷ 4 = 5, então 5 ovos quebraram. 1 • Da minha coleção de livros, 5 12 convidados do total são de ficção cienComo saber exatamente o total de convidados para esse evento? Uma estratégia é compor tífica. Quantos livros há em o total a partir de suas partes: minha coleção se possuo 10 livros de ficção científica? 1 Se corresponde a 10 livros, 5 1 1 5 1 1 1 + + + + o total será = 5 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 + , que equivale a = + + + 5 5 5 5 5 5 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50 livros. Apresente a situação-problema sobre os convidados de um evento. Proponha outras siLUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. tuações problema semelhantes, como: a presença de 15 conviAgrupem-se em duplas ou trios: 3 a) Quais são as semelhanças e as diferenças entre as duas situações? dados corresponde a 10 do total b) Com seu grupo, elabore um problema similar a cada situação. Compartilhe com os demais colegas. de convidados. Qual é o total de convidados? Sugira que façam um esboço para representar a NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO. 183 | situação-problema. GOODSTUDIO/SHUTTERSTOCK

GOODSTUDIO/SHUTTERSTOCK

Porém, nesse caso, sabemos que cada parte pintada dessas figuras corresponde a 5 livros. • Converse sobre esse assunto com os colegas. Respostas pessoais.

LUPAS E LUNETAS Converse sobre a situação dos livros e peça que usem 15 lápis de cor para simular uma situa1 2 ção semelhante. Para determinar e , precisam 3 3 conhecer o significado do denominador, pois os 15 lápis serão divididos igualmente por 3 grupos, dos quais uma parte se refere aos livros de fantasia e duas partes referem-se aos livros de poesia, correspondendo a 5 e 10 livros, respectivamente. O estudante, ao compreender o significado do

numerador e do denominador, determina as quantidades correspondentes a cada fração.

LUPAS E LUNETAS Depois, retome o problema sobre a organização dos livros para comparar os tipos de problemas. Nesse problema (dos livros), a questão, resumidamente, pode ser interpretada como: quanto é 1 de 15? O total é informado para descobrir uma 3 parte dele. 183 |

Habilidade

ATIVIDADES

(EF06MA09) Resolver

e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora.

13. Escreva as frações relativas à parte colorida em cada item:

4 7

3 5 b)

Atividade 13

Chame a atenção dos alunos quanto aos itens b e d. São figuras que exploram a noção de fração sobre uma quantidade discreta e não sobre uma quantidade contínua. Assim, o todo no item b é composto de 5 quadradinhos e são pintados 3 3 deles, ou seja: . No item d, 5 o todo é composto de 8 bolinhas e são pintadas 3 delas, 3 ou seja: . 8

14. Leleco comprou frutas e legumes na feira e

Atividades 14 e 15

organizou suas compras em cestas.

Proponha que realizem as atividades em duplas e conversem sobre os enunciados para que compreendam o significado das palavras e a situação-problema apresentada. Organize a socialização das respostas.

a) As frutas desta cesta representam 4 do

total de frutas compradas por Leleco na feira.

pessoas. Veja alguns dos resultados dessa pesquisa e responda às questões: 48 : 2 = 24 mulheres. 1 a) 2 dos entrevistados eram mulheres; quantas mulheres foram entrevistadas? 48 : 4 = 12 pessoas. 1 b) 4 dos entrevistados afirmou assistir a séries de televisão em seu tempo de lazer. Qual é a quantidade de pessoas? c) 16 entrevistados afirmaram preferir ler no 16 celular ou tablet do que em livros impres48 sos. Que fração do total de entrevistados representa essas pessoas? d) 12 entrevistados afirmaram ouvir música 12 enquanto realizam outras atividades. Que 48 fração do total de entrevistados representa essas pessoas?

Situação 3

1 que correspondem a 4 do total de frutas compradas por Leleco, ou seja, o total corresponde a 4 grupos de 3 frutas cada, 3 ⋅ 4 = 12 frutas. frutas. b) O total de legumes comprados são 12 unidades. A quantidade na cesta equivale 1 a 3 de 12, ou seja, 12 ÷ 3 = 4 legumes. legumes.

Em uma campanha de arrecadação de mantimentos para pessoas afetadas por uma enchente, os produtos que serão entregues estão organizados em caixas iguais de acordo com seu tipo. João está organizando as caixas de alimentos: DEAWSS/SHUTTERSTOCK

Atividade 14

a) A cesta contém 3 frutas,

12 : 3 = 4 legumes.

3 8

4 × 3 = 12 frutas.

Quantas frutas foram compradas ao todo? 1 b) Em outra cesta, Leleco colocou 3 dos legumes comprados. Se ele comprou 12 legumes no total, quantos legumes foram colocados nessa cesta?

15. Em uma pesquisa, foram entrevistadas 48

2 6

ARTE/ M10

2 Ele precisa carregar 7 dessas caixas em um caminhão. Para calcular quantas caixas precisa carregar, João pensou nesta estratégia: 184 | TRAJETÓRIA 3

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 15

A pesquisa obteve estes resultados: metade dos entrevistados eram mulheres, um quarto prefere assistir a séries de TV, 16 entrevistados preferem ler no celular ou no tablet do que em livros impressos e 12 ouvem música enquanto fazem outras atividades. a) Metade de uma quantidade pode ser calculada dividindo o total por 2. Assim, 48 ÷ 2 = 24 mulheres. 184 | MANUAL DO PROFESSOR

b) A quarta parte de uma quantidade por ser calcu- Encontro com outras disciplinas

lada dividindo o total por 4. Assim, 48 ÷ 4 = 12 pessoas. Com o professor de Ciências, amplie a atividade pessoas. 18, discutindo: por que ficamos doentes? c) Essa é uma fração parte-todo que compara Inicie o trabalho propondo uma pesquisa soas pessoas que preferem ler no celular ou no bre por que as vacinas são tão importantes. Em tablet com relação ao total de pessoas, de seguida, peça que pesquisem sobre quais vacinas modo que a parte observada corresponde a devem ser tomadas ao longo da vida. Sugira que 16 elaborem um quadro como este: . 16 e o total de entrevistados, a 48, ou seja, 48 d) São 12 entrevistados que ouvem música fazendo outra atividade de um total de 48 pessoas, 12 . ou 48

Habilidade (EF06MA09) Resolver

O_Professor

e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora.

@matemúltiplo

DEAWSS/SHUTTERSTOCK

Contei 21 caixas ao todo. Primeiro, vou separar as caixas em 7 grupos iguais. Para isso, vou calcular o quociente 21 ÷ 7 = 3.

Ao final, combine com os estudantes como farão a divulgação dos materiais produzidos – podem organizar um dia de “conscientização da vacinação”. Nesse dia, serão apresentados os trabalhos realizados, mas também será possível convidar algum profissional ligado à saúde para palestrar.

1 Assim, sei que 7 de 21 caixas corresponde a um grupo com 3 caixas. Como 2 preciso carregar 7 das caixas, então devo pegar dois grupos com 3 caixas. 2 Assim, 7 de 21 caixas correspondem a 3 + 3 = 6 ou 2 ⋅ 3 = 6 caixas. 47

LUPAS E LUNETAS Para esta atividade, reúnam-se em duplas ou trios. Resposta pessoal. Conversem com os colegas sobre essa estratégia. Expliquem, com suas palavras, o funcionamento dela. a) Utilizem a estratégia de João para calcular: 3 1 1 5 3 de 72 ⇒ 72 : 8 = 9; de 72 ⇒ 3 × 9 = 27 5 de 96 ⇒ 96 : 6 = 16; de 96 ⇒ 5 × 16 = 80 • de 72 8 • de 96 6 8 6 6 8 b) Elaborem uma regra para realizar cálculos como os anteriores. Compartilhem com os colegas. Respostas pessoais. 1 17. a) Calcular do total e depois dobrar o resultado é o mesmo que 9 ATIVIDADES 1 dobrar o total e, em seguida, determinar . 9 a) A estratégia de Juca está correta. Em 16. Neste pote, há 40 bolinhas: a) Sabemos que 10 bolinhas do total foram

ganhas em uma brincadeira na escola. Que fração representa essas bolinhas em relação ao total? 10 3 40 b) Deseja-se doar dessas bolinhas. Quantas 4 bolinhas serão doadas? 30 bolinhas. 2 17. Juca quer calcular 9 de 1 800 utilizando uma

ARTE/ M10

calculadora. Veja como ele fez:

duplas ou trios, analisem a estratégia e verifiquem por que ela funciona. b) Utilizem essa estratégia para calcular: 8 • de 1 975 10 8 × 1975 = 15800 ⇒ 15 800 : 10 = 1580

4 de 455 4 × 455 = 1820 ⇒ 1820 : 7 = 260 7 18. A prefeitura de um município está fazendo uma campanha de vacinação. Seu objetivo é vacinar todas as 1 000 crianças que moram em certa região. 3 Até então, haviam sido vacinadas das crian5 ças. Quantas crianças já foram vacinadas? •

LUPAS E LUNETAS Os estudantes conhecem o significado do denominador (indica o tipo de partes: oitavos, sextos). Assim, percebem que o total da quantidade é dividido pelo denominador e o resultado é multiplicado pelo numerador (indica quantas partes considerar). Apresente outros exemplos semelhantes para calcular a quantidade que corresponde a determinada fração. Incentive-os a verbalizar as estratégias que elaboraram. Os comentários das atividade 16 a 18 se encontram na página seguinte.

600 crianças já foram vacinadas.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

185 |

vacinação? Eles devem criar um material interessante e acessível. Oriente-os a fazer um planejamento do que deve ser produzido, contendo o que abordar, como abordar e o modo como irão apresentar o material produzido, que pode ser um vídeo, uma Divididos em grupos, cada estudante levará, animação, um infográfico etc. Alguns sites podem no dia previamente agendado, sua pesquisa e seu auxiliar na produção de vídeos e animações, como quadro preenchido. Eles deverão reunir tudo o que https://www.powtoon.com/home/. Caso tenham foi pesquisado para organizar um modo de criar um interesse no uso de infográficos, poderão consultar material que responda à questão: como podemos https://piktochart.com/ (acessos em: 29 jul. 2022). compartilhar informações sobre a importância da

Idade Vacina O que previne Já tomei?

185 |

Atividades 16 a 18

Retome as etapas de resolução de problemas: compreensão do enunciado, elaboração da estratégia, execução da estratégia, verificação do resultado. Conversem sobre as palavras desconhecidas e peça que expliquem como compreendem a situação-problema. Organize-os em duplas ou trios para responder e socializar suas descobertas. Atividade 16

Considerando o total de 40 bolinhas: a) na fração parte-todo, temos 10 , e 10 representa as boli40 nhas ganhas; b) a quantidade a ser doa3 da é 4 do total, ou seja, 40 ÷ 4 ⋅ 3 = 10 ⋅ 3 = 30 bolinhas. bolinhas. Atividade 17

#Fração como quociente Guga está ajudando na decoração de uma festa da escola. Para preparar alguns cartazes, ela dividiu uma folha de cartolina em 4 partes iguais:

1 Desse modo, cada parte dessa cartolina equivale a 4 da folha original. Também podemos 1 1 interpretar a fração 4 como um quociente, ou seja, nessa situação, a fração 4 pode ser interpretada como uma folha dividida em 4 partes iguais. 1 4

quatro partes iguais

Guga também tem um rolo com 48 metros de fita de tecido para enfeitar cada uma das seis barracas da festa. Para isso, ela dividiu 48 m de fita em 6 pedaços iguais: 48 ÷ 6 = 8 Ou seja,

1 Cada pedaço de 8 m de fita corresponde a 6 do rolo todo.

Mas se o inteiro considerado fosse o metro, pensando no contexto das frações, cada pedaço 48 de 8 m de fita corresponde à fração 6 do metro. 48 Em outras palavras, podemos dizer que a fração é uma maneira de representar o quo6 ciente ou o resultado da divisão 48 ÷ 6.

LUPAS E LUNETAS

Respostas pessoais.

a) Você já notou que o símbolo de divisão “÷” lembra a maneira de representar frações? Converse sobre isso com os colegas. b) O símbolo “4” tem de fato suas origens no símbolo que os árabes utilizavam para frações: uma barra horizontal “–”. Pesquise esse assunto e compartilhe o que descobrir com os colegas.

Se necessário, forneça uma calculadora para que efetuem 186 | TRAJETÓRIA 3 os cálculos e discutam sobre a ordem das operações. Essa estratégia é o mesmo que multiplicar a quantidade pela fração, Atividade 18 visto que: 15 800 8 8 ⋅ 1 975 Para calcular a quantidade de crianças vacina= = 1 580; a) 10 de 1 975 é 3 10 10 das, precisamos fazer 5 de 1 000. Com isso, temos: ⋅ 1 975 15 800 = 1 580; = 3 ⋅ 1 000 3 000 10 10 = = 600 crianças vacinadas. 4 1 820 5 5 = 260. b) de 455 é 7 7

186 | MANUAL DO PROFESSOR

uma folha dividida em

ARTE/ M10

Habilidades (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. (EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LUPAS E LUNETAS Na divisão utilizamos diferentes símbolos, dentre eles, os dois-pontos (:), que foram usados em 1633 em um livro intitulado Aritmética de Johnson como símbolo de fração, não divisão. Depois de muito tempo, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), que defendia que a multiplicação fosse representada por um ponto, usava dois-pontos tanto para frações quanto para a operação de divisão.

#Tipos de frações

HAPPYPICTURES/SHUTTERSTOCK

Luna está fazendo uma massa de pão caseiro. Depois de preparar e deixar descansar a massa, ela dividiu toda a massa em 6 porções iguais.

Assim, cada porção de massa corresponde a

1 do total de massa. 6

Frações nas quais o numerador é menor que o denominador (ambos diferentes de zero) são denominadas frações próprias.

Veja exemplos: 1 4 9 10 , , , etc. 2 6 35 99

Depois de prontos, Luna decidiu distribuir igualmente os 6 pães entre 4 amigos. A fração que 6 4

representa quanto de pão cada amigo receberá é . Frações nas quais o numerador é maior ou igual ao denominador (diferente de zero) são denominadas frações impróprias.

Veja exemplos: 8 56 27 42 , , , etc. 8 4 22 9 Note que frações nas quais o numerador é igual a 0 também podem ser consideradas impróprias: 0 0 0 , , etc. 2 6 100 Utilizando a situação da distribuição, podemos interpretar essas frações como se não houvesse nenhum pão para distribuir entre os amigos de Luna.

LUPAS E LUNETAS

a) Exemplo de resposta:

92 100 63 56 144 = 23, = 4, = 9, = 7, = 12. 4 25 7 8 12

Habilidade (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. LUPAS E LUNETAS Converse com os estudantes sobre as frações aparentes e indague: todo número natural pode ser representado por uma fração aparente? Coloque um número natural na lousa e peça que digam as frações aparentes que o representam. Por exemplo: 25 100 60 10 5= = = = ... 5 20 12 2 Isso para que percebam que um número natural pode ser representado por infinitas frações aparentes. Continue a discussão perguntando se toda fração aparente representa um número natural, para que os estudantes percebam que sim. Continue indagando: e como ficam as frações aparentes com numera0 0 0 0 dor zero, como 2 , 10 , 50 , 63 ...? Considerando as frações como quociente de números naturais, temos, 0 ÷ 2 = 0; 0 ÷ 10 = 0, ou seja, resultam em um número natural (o zero).

Existe também um tipo de fração imprópria chamada de fração aparente. As frações aparentes são 10 aquelas que representam números naturais. Por exemplo, se entendermos a fração como o quociente 5 10 da divisão 10 ÷ 5 = 2, então representa o número natural 2. 5 a) Em pequenos grupos, escrevam cinco frações aparentes. Se necessário, utilizem uma calculadora para ajudar nos cálculos. Compartilhem as suas respostas com os demais colegas. b) Uma fração cujo numerador é 0 é uma fração aparente? Investigue esse fato com os colegas. Sim, pois o resultado da divisão de zero por qualquer outro número natural não nulo é zero, que é um número natural. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

O símbolo da divisão “÷” foi introduzido pelo suíço Johann Rahn (1622-1676) em 1659, a barra diagonal “/” surgiu no século 18 como alternativa à barra horizontal de fração, que é difícil de compor tipograficamente. Um dos primeiros a usá-la foi o comerciante inglês Thomas Twinings (1675-1741), fundador de uma famosa companhia de chá, em uma lista manuscrita de transações de chá e café

187 |

datada de 1718. Gradualmente, o símbolo passou a ser usado também para a operação de divisão. Adaptado de INSTITUTO de Matemática Pura e Aplicada (IMPA). Na Folha: Chá e a tipografia definiram símbolos da divisão. Jornal IMPA, 19 set. 2021. Disponível em: https://impa.br/noticias/na-folha-cha-e-a-tipografia-definiram-simbolos-da-divisao/. Acesso em: 31 ago. 2022.

187 |

Habilidade

Forma mista

(EF06MA07) Compreender,

Relacione as representações fracionárias e decimal, utilizando o contexto da educação financeira. a) 14 moedas de 25 centavos podem ser agrupadas de 4 em 4, totalizando 3 grupos de 4 (3 reais) e 2 moedas sobressalentes (50 centavos). Isto é, R$ 3,50. b) A g r u p a n d o a s m o e d a s de Ana Claudia de 4 em 4, temos 36 grupos de 4 (36 reais) e 3 moedas sobressalentes (75 centavos). Isto é, R$ 36,75.

DAVID GYUNG/SHUTTERSTOCK

LUPAS E LUNETAS R$ 3,50. a) Ontem Ana Claudia depositou 14 moedas em seu cofrinho. Quantos reais ela depositou ontem? b) Ana Claudia tem, ao todo, 147 moedas. Sua tia tem R$ 36,00. Qual das duas tem a maior quantia? Explique. Ana Claudia, pois a quantia de R$ 36,75 é maior do que a de R$ 36,00. c) Quantas moedas Ana Claudia precisa para obter 1 real? 4 moedas.

A quantia de 1 real pode ser decomposta em quatro parcelas de 25 centavos. Em outras palavras, quatro moedas de 25 centavos equivalem a uma moeda de 1 real. 1 Desse modo, podemos afirmar que 25 centavos correspondem a de 1 real. 4

Utilizando essa ideia, veja como podemos ler as quantias: SHUTTERSTOCK/ARTE M10

LUPAS E LUNETAS

A pequena Ana Claudia coleciona somente moedas de 25 centavos. Sua tia Lúcia coleciona moedas de diversos valores.

SHUTTERSTOCK/ARTE M10

Converse com os estudantes sobre as situações do cotidiano em que já usaram a forma mista para representar uma quantidade ou medida. É comum que eles reconheçam a forma mista das receitas culinárias, por exemplo, quanto há indicação de 1 2 xícaras de farinha de trigo ou 2 1 3 de xícaras chocolate em pó 4 em uma receita de bolo.

Observe as situações. FIZKES/SHUTTERSTOCK

comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.

188 | TRAJETÓRIA 3

188 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

Escrevendo na forma de fração:

(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.

3 • Três quartos de um real: 4 de R$ 1,00. Para as outras duas quantias, podemos utilizar uma representação na forma mista: • Um real e um quarto de um real: • Três reais e dois quartos de real:

Lemos as formas mistas

1 4 de R$ 1,00.

2 4 de R$ 1,00.

1 2 3 4 como “um e um quarto”, e 4 como “três e dois quartos”.

Nessa maneira de representação, há uma parcela inteira seguida de outra fracionária. Observe, trocando cada moeda de 1 real por quatro de 25 centavos:

A adição de frações pode ser utilizada de maneira intuitiva para transformar uma fração em forma mista e vice-versa. Observe os exemplos:

SHUTTERSTOCK/ARTE M10

4 1 5 1 + = ou 1 4 4 4 4

Escrevendo na forma de fração: 5

• Cinco quartos de um real: 4 de R$ 1,00.

• Quatorze quartos de um real: 4 de R$ 1,00.

Assim, podemos escrever a forma mista como uma fração imprópria e vice-versa: 1

1 5 = 4 4

2 14 = 4 4

Representando essas frações por meio de figuras:

2 1 4 4 4 2 14 + + + = ou 3 ou 3 4 2 4 4 4 4 4

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

189 |

4 4 4 2 14 2 1 + + + = ou 3 ou 3 4 4 4 4 4 4 2 Converse com os estudantes sobre a representação da unidade como uma fração de numerador e denominador iguais e proponha outros exemplos usando a adição de frações de mesmo denominador para representar a fração imprópria e a forma mista.

189 |

Habilidade

ATIVIDADES

(EF06MA07) Compreender,

comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.

20. b) Problema possível: Maria comprou cinco bandejas com seis ovos cada uma. Um ovo ela consumiu. Qual fração de meia-dúzia de ovos ainda restam?

19. Escreva uma fração imprópria e a forma mista

b) A partir dessa situação, elabore um pro-

9 1 =2 4 4

21. Observe as divisões de cada círculo e de

20. Observe esta imagem, considerando meia-

1 1 1 segundo, fossem divididas ao meio, a qual , , . 4 6 8 fração do todo cada nova fatia corres-

blema e, depois, troque-o com um colega na hora de resolver.

de modo que sejam representadas as partes pintadas das figuras em relação a um inteiro:

cada maçã.

CHEKYRAVAA/SHUTTERSTOCK

Atividade 19

7 dente é 6 .

Atividade 20

O total de ovos é 4 ⋅ 6 + 5 = 29,. Na fração imprópria, corresponde ao numerador, e o denominador é a quantidade de ovos de uma caixa (o inteiro ou todo de referência), ou seja 29 6, resultando em 6 . Considerando cada caixa de ovos 1 unidade, temos 4 unidades. Uma das caixas tem 5 de um total de 6 ovos, ou seja, a 5 caixa contém dos ovos, tota6 5 lizando 4 . 6 Atividade 21

a) Reforce com os alunos que

a questão pede que as fatias do círculo amarelo, verde e azul sejam cada uma, a seu tempo, divididas ao meio. Explore intuitivamente a noção de fração de fração:

190 | MANUAL DO PROFESSOR

7 1 = 2 b) 3 3

7 1 c) =1 6 6 a) Se as fatias de cada círculo, a partir do

-dúzia de ovos como o inteiro:

ponderia?

ERMAK OKSANA/ SHUTTERSTOCK

b) Imagine que as quatro maçãs estivessem

7 1 ou 2 . divididas, cada uma, em três fatias iguais. 3 3 Quanto representariam sete fatias em

relação ao todo (no caso, uma maçã)? Represente de duas maneiras diferentes. c) Elabore uma pergunta em que a resposta seja uma fração imprópria ou uma representação mista. Resposta pessoal.

a) Represente a soma dessas quantidades de

ovos por uma fração imprópria e, depois, na forma mista. 29 e 4 5 ! 29 6

22. Neste labirinto o sapo só pula sobre uma vitória-régia com fração própria. Escreva no caderno a sequência de frações em que ele vai percorrer até chegar à flor.

IGDEEVA ALENA/SHUTTERSTOCK

A atividade indica a figura que representa uma unidade. Com isso, teremos: a) Duas unidades e a figura dividida em quatro partes iguais com uma parte colorida, re1 1 presentando , ou seja, 2 . 4 4 A fração imprópria corres9 pondente é . 4 b) Duas unidades e a figura dividida em três partes iguais com uma parte colorida, re1 1 presentando , ou seja, 2 . 3 3 A fração imprópria corres7 pondente é . 3 c) Uma unidade e a figura dividida em seis partes iguais com uma parte colorida, re1 1 presentando , ou seja, 1 . A 6 6 fração imprópria correspon-

5 2

8 3 11 6

7 3

6 11 7 9

9 7 17 2

10 7 3 5

3 2

3 5

190 | TRAJETÓRIA 3

metade da metade, metade de um terço e metade de um quarto. b) Seriam 4 maçãs divididas em 3 partes iguais 1 cada uma, ou seja, seriam 12 partes iguais a 3 de uma maçã. Considerando 7 fatias dessas, 7 1 seriam = 2 . 3 3 Atividade 22

Se possível, projete o labirinto e desenvolva a atividade orientando os estudantes a não escrever no livro.

12 13

13 12

2 3

9 4 31 21 21 31

5 6 4 3

4 9 3 4

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LEVO NA BAGAGEM

LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais. Consulte seu caderno, os trabalhos que desenvolveu, suas anotações de estudos e reflita sobre o que você aprendeu até agora neste passeio. ▶ Matemática • Você sabe representar números na forma de fração? • Reconhece diferentes significados e interpretações para as frações: parte/todo, fração de uma quantidade, fração como quociente? • Consegue resolver problemas envolvendo diferentes significados para as frações? ▶ Outras disciplinas Arte • Reconhece processos de criação em artes visuais e elabora desenhos e esquemas individual ou coletivamente, utilizando materiais convencionais ou alternativos (inclusive digitais)? Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Insuficiente

Parcialmente suficiente

Satisfatório

Plenamente satisfatório

Neste momento do passeio, organize a leitura coletiva do texto para que, respondendo às questões propostas, os estudantes reflitam sobre seu próprio aprendizado enquanto escutam ativamente as dificuldades encontradas pelos colegas. Com o preenchimento da tabela, poderão classificar seu desempenho em Matemática ou nas disciplinas presentes nas atividades interdisciplinares. Diante dessas informações, poderão conversar com professores, familiares ou amigos para compartilhar suas estratégias e repensar em novas atitudes que contribuam para minimizar as dificuldades.

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

191 |

BARCOS E PORTOS

▶ Organize Respostas pessoais. Neste passeio, você estudou números representados em forma de fração em diversos contextos e a partir de diferentes significados e interpretações. Observe um 2 esquema mostrando, por exemplos, diferentes representações para o número . 3

Fração de quantidade descrita

Fração representada na reta numérica

Fração de quantidade contínua

Organize

Duas possibilidades

Elabore um resumo para descrever todos os significados explorados. Note que uma parte importante deste passeio se relacionou às diferentes maneiras de representar as partes de um inteiro. Portanto, fique atento a essa questão ao produzir seu resumo. Se quiser, você pode se inspirar no esquema acima utilizando outras frações di2 . ferentes de 3 ▶ Elabore Veja as instruções para fazer um pássaro de origami: ARTE/ M10

Solicite que retomem o fluxograma da seção Arredores para identificar o que aprenderam. É possível fazer um resumo explorando todos os significados das frações estudados com exemplos para quando precisarem relembrar algum conceito. Construa um mapa mental sobre frações: consulte nos sites de busca as principais características e observe alguns para usar como inspiração. Elabore

No processo de confecção dos origamis, considere que as marcações feitas pelas dobras determinam a área de algumas formas. Responda às questões desta seção e elabore outras de modo que os estudantes usem seu conhecimento sobre frações para respondê-las. O origami é feito usando um quadrado de papel próprio para origami, mas podem usar papel para dobradura ou sulfite. Proponha a confecção de outros modelos de origami, estimulando a criatividade. Na observação do esquema, perceba que os tracejados representam os vincos e as linhas com as setas em dois sentidos indicam que se deve dobrar e abrir o papel. Esse trabalho é interdisciplinar e pode ser realizado em parceria com o professor do componente curricular Arte.

192 | MANUAL DO PROFESSOR

SOUSOU07/SHUTTERSTOCK

Encontro com outras disciplinas (EF69AR06) Desenvolver processos de criação em artes visuais, com base em temas ou interesses artísticos, de modo individual, coletivo e colaborativo, fazendo uso de materiais, instrumentos e recursos convencionais, alternativos e digitais.

Coloque a ponta para dentro do origami, depois abra

192 | BARCOS E PORTOS

Repita do outro lado

Desenhe os olhos

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Sugestão de leitura

Conheça um pouco sobre a origem do origami e as modificações que sofreu com a modernidade, com a leitura dessa curiosidade do Mentalidades Matemáticas. CONHEÇA a arte e a matemática dos origamis. Mentalidades Matemáticas, 2 set. 2020. Disponível em: https:// mentalidadesmatematicas.org. br/o-que-e-origami/. Acesso em: 14 jul. 2022.

ARTE/ M10

Repita do outro lado

Desenhe os olhos

1 8

a) Que fração do papel inicial (etapa 1) representa o triângulo da figura na etapa 4?

b) Siga as instruções e construa o pássaro em origami. Depois, desdobre-o com cui-

dado até retornar ao formato inicial. Observe as marcas que ficaram no papel. É possível dizer que o papel foi dividido em partes iguais? Não. c) Identifique, pelas marcas da dobradura, maneiras de dividir essa folha de papel em partes iguais. Que fração do todo representa as figuras formadas pelas marcas de 1 1 dobradura? , 4 8 • Compartilhe a sua resposta com os colegas. ▶ Proponha A pergunta inicial deste passeio é: Contribuímos para o bem-estar coletivo? Olhe ao redor, converse com colegas, professores e outras pessoas da comunidade escolar. Existe algo que você possa fazer para contribuir ou solucionar problemas do dia a dia? Reúna-se com os colegas para pensar maneiras de contribuir ou resolver algum problema identificado. Lembre-se de que você não precisa fazer tudo sozinho! Divida as tarefas com os colegas de modo que, se cada um fizer sua parte, todos sairão ganhando! Perceba também que, em muitos casos, fazer a sua parte significa também se preocupar com o outro e, se for necessário, ajudá-lo em sua parte também! Para ajudar na organização dessa atividade, anote o número de pessoas que estão participando ao todo e quantas estão responsáveis por determinada tarefa. Aproveite para exercitar os conhecimentos sobre frações aprendidos neste passeio e, sempre que possível, faça registros utilizando números em representação fracionária. •

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Proponha

No início deste passeio foi sugerido, neste manual, que imaginassem que estão ajudando coletivamente, pensassem sobre quais seriam suas atitudes individuais ou coletivas e quais os resultados que esperavam alcançar. Pedimos uma produção, como a elaboração de desenhos, música,

193 |

poemas ou textos. Revisite esse material e retome os significados das produções artísticas. Algumas possibilidades para incentivá-los com atitudes concretas são: visitar creches, orfanatos, asilos; buscar entidades que procuram lares para animais abandonados; contribuir na assistência a famílias carentes etc.

193 |

CHECK-IN Faça uma roda de conversa e inicie com a observação da imagem. Introduza os TCTs Saúde e Educação Alimentar e Nutricional, tema principal deste passeio: Cuidamos da nossa saúde como um todo? Incentive-os a conversar sobre a própria alimentação e avaliar 194 | MANUAL DO PROFESSOR

CUIDAMOS DA NOSSA SAÚDE COMO UM TODO? SHUTTERSTOCK/ARTE M10

Convide o professor de Educação Física para conversar com os estudantes sobre o conceito de saúde e como o exercício físico pode contribuir para a saúde física, mental e emocional das pessoas. Assim, desenvolveremos a habilidade relacionada à disciplina de Educação Física EF67EF09. Em seguida, proponha algumas atividades que possam ser realizadas ali mesmo na sala de aula, como: erguer as mochilas, andar em um pé só, agachar e levantar etc. Para realizar essas atividades, é importante a presença do professor de Educação Física. O intuito é que se amplie a conversa para as atividades que possam ser realizadas no próprio local de vivência ou mesmo do trabalho. Desse modo, os estudantes poderão sugerir em casa que seus familiares realizem atividades físicas em diferentes locais. Simule situações de uma pessoa que fica muito tempo sentada (médico, escriturário, recepcionista) e sugira que levantem a cada hora para se alongar e relaxar. Para quem mora em prédios com elevadores, sugira que desçam ou subam ao menos um andar usando as escadas. Com esses exemplos, motive-os a elaborar outras sugestões de atividades físicas que possam ser realizadas no cotidiano.

PASSEIO 2 – OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

Composição de imagens representando alimentação saudável, saúde do corpo, saúde emocional, saúde do sono e saúde do espírito.

CHECK-IN a) Observe cada símbolo na ilustração a seguir e associe cada um deles a uma imagem

na composição acima. Saúde do espírito, saúde do sono, alimentação saudável, saúde do corpo, saúde emocional.

TEFI/SHUTTERSTOCK

Encontro com outras disciplinas (EF67EF09) Construir, coletivamente, procedimentos e normas de convívio que viabilizem a participação de todos na prática de exercícios físicos, com o objetivo de promover a saúde.

b) Em seu dia a dia, você dá atenção a todos esses aspectos da saúde? Quais você

considera dar mais atenção? Qual considera dar menos? Respostas pessoais. c) Divida mentalmente seu dia em 5 momentos. Em quais desses momentos você

encaixaria cada um dos elementos da figura? Por exemplo, em que momento do dia você relaxa e descansa? Em qual pratica atividades físicas? Em qual se alimenta?

194 | TRAJETÓRIA 3

quais são os alimentos saudáveis, ou não, que consomem e como podem melhorar a alimentação. Proponha a leitura dos itens e incentive a discussão sobre os cuidados com a própria saúde. Espera-se que, tendo conhecimento sobre cuidados com a saúde e a alimentação, o estudante também consiga ter estabilidade emocional, determinação, dedicação, sensação de estar no controle e otimismo.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL Organize os estudantes para realizar uma aula fora da sala de aula ou da escola. Pense em todos os fatores que possam contribuir para o sucesso da aula. Agende com antecedência o dia, comunique os pais e conte com a colaboração de outras pessoas da escola ou voluntários para ajudar na organização da pesquisa no entorno da escola. O estudo no entorno da escola será sobre os locais disponíveis na comunidade para a prática de atividade física.

Após essa aula de compartilhamento de tudo que foi observado, uma carta aberta pode ser escrita. Se a comunidade tem locais disponíveis para a prática da atividade física, a carta pode conter esses locais, que serão divulgados aos que ainda não os conhecem. Caso no entorno não haja locais para a prática de atividade física, a carta pode conter um apelo para que esses locais sejam construídos ou disponibilizados.

ARREDORES

Medidas Significados de fração

Partilhas não equitativas

OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

Adição e subtração

Razão

Porcentagem Cálculo mental FRAÇÕES EQUIVALENTES Estimativas

Comparação

EF06MA07, EF06MA09, EF06MA10, EF06MA13, EF06MA15 EF67EF09

BÚSSOLA Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: • • • • • • •

Representar frações na reta numérica. Comparar e ordenar frações. Identificar e utilizar frações equivalentes em diversos contextos. Realizar operações de adição e subtração envolvendo frações. Compreender a fração com o significado de razão. Compreender a noção de porcentagem e sua relação com o conceito de fração. Resolver problemas envolvendo frações no contexto de medidas.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Antes do dia marcado, realize você um passeio pelo entorno da escola para descobrir se existem tais locais – podem ser praças públicas, academias, clubes, bosques etc. No dia da aula, tenha de antemão o trajeto que será realizado pelos estudantes. Organize também como registrarão suas observações: um grupo pode fazer as anotações usando apenas lápis e papel; outro grupo pode fazer suas anotações usando apenas um gravador de áudio; outro grupo, usando o celular (ou máquina fotográfica) para registrar suas observações apenas com

195 |

fotografias, e outro grupo deverá apenas observar e “guardar” na memória tudo que observar. No retorno do estudo (ou em outro dia de aula), toda a turma deve trazer suas observações para socialização. As fotos podem ser exibidas usando um projetor ou mostradas no próprio celular. As gravações poderão ser editadas ou apenas colocadas para a turma ouvir. As anotações devem ser compartilhadas. Nessa socialização, todos devem falar, inclusive a turma que apenas observou.

195 |

Leve para a sala de aula alguns gráficos que apresentam resultados de pesquisas relacionados ao tema saúde. Convide o professor de Ciências para falar sobre os temas que geraram esses gráficos, como os disponíveis no site https:// www.fadc.org.br/noticias/entenda-a-importancia-do-comite-de-mortalidade-infantil (acesso em: 29 jul. 2022), que tratam da mortalidade infantil. Vários assuntos poderão surgir ao se apresentar gráficos com diferentes temas. Procure selecionar gráficos que apresentem resultados de pesquisas ligados à saúde da comunidade, do estado ou da região em que sua unidade escolar está inserida, gráficos que tratem da questão do saneamento básico e da veiculação de doenças ligadas a falta de saneamento ou outras condições como poluição. Caso deseje, os estudantes poderão fazer a pesquisa dos gráficos e do tema que está tratado nele. É importante a presença do professor de Ciências para encaminhar as discussões de maneira coerente e com informações específicas de sua disciplina. Atividades 1 e 2

Organize uma roda de conversa sobre os direitos das crianças e dos adolescentes. Essa é uma oportunidade de trabalhar os TCTs Saúde e Direitos da Criança e do Adolescente. Englobe nessa discussão questões para que percebam que são capazes de exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação. Proponha reflexões para que compreendam quais atitudes podem ter para serem respeitados e respeitar o outro e os direitos humanos.

196 | MANUAL DO PROFESSOR

ATMOSFERA

FAMVELD/ SHUTTERSTOCK.

Direito à vida e à saúde: toda criança tem LIGHTFIELD STUDIOS /SHUTTERSTOCK.

Adolescentes praticando atividade física como parte de seu desenvolvimento. Criança sendo orientada por um adulto sobre cuidados de saúde.

[...] O Dia Nacional da Saúde é comemorado em 5 de agosto. A data foi escolhida em homenagem ao médico Oswaldo Cruz, que nasceu em 5 de agosto de 1872. Ele entrou na faculdade de medicina aos 15 anos e depois especializou-se em bacteriologia. Em 1903, foi nomeado Diretor-Geral de Saúde Pública, cargo equivalente ao de Ministro da Saúde. Durante o período que atuou na saúde pública, lutou contra a febre amarela, a peste bubônica e a varíola. O Estatuto da Criança e do Adolescente – ECA diz que crianças e adolescentes devem ter o seu direito à vida e à saúde protegido com prioridade pela família, pela comunidade, pela sociedade em geral e pelo poder público (governantes e autoridades públicas).

As crianças têm primazia para receber proteção e socorro em qualquer circunstância. Têm também o direito de serem atendidas com precedência pelos serviços públicos ou de relevância pública. Além disso, o ECA diz que nenhuma criança ou adolescente sofrerá qualquer forma de negligência (descuido, desleixo, menosprezo) e discriminação. Os governantes devem implementar políticas sociais públicas que permitam o nascimento e o desenvolvimento sadio e harmonioso, em condições dignas de existência. É o governo que responde pela saúde pública e cuida de questões fundamentais para que a população viva em um ambiente adequado: com saneamento básico, coleta de lixo e manutenção de áreas verdes.

BRASIL. Ministério Público Federal. Direito à vida e à saúde: toda criança tem. Turminha do MPF. Disponível em: https://turminha.mpf.mp.br/explore/direitos-das-criancas/saude/direito-a-saude. Acesso em: 11 jul. 2022.

ATIVIDADES

1. 2.

Respostas pessoais.

Você sabia que o direito à saúde é garantido pelo ECA? Converse com os colegas sobre o que compreendem desse assunto. Atualmente, quando falamos em saúde, não nos referimos somente à saúde física, mas a ela como um todo, considerando também a mental e a emocional. Você sabe o que isso significa? Pesquise sobre essa visão ampla de saúde e compartilhe com os colegas.

196 | TRAJETÓRIA 3

Se considerar adequado, faça um estudo de caso para que reflitam sobre atitudes acolhedoras e de valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza. A pesquisa pode ser realizada na aula ou extraclasse. Organize a socialização sobre as descobertas das diferenças entre saúde física, mental e emocional. Permita que compartilhem suas vivências relacionadas ao tema.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL Proponha aos estudantes um trabalho com o tema “fique bem”. A ideia é que eles se tornem os multiplicadores de ações que promovam o bem-estar e um estilo de vida saudável desde a infância até a melhor idade. Convide a merendeira da escola (se possível) para participar dessa aula. Inicie falando dos sentidos que envolvem o comer: o paladar, o aroma, o tato e a visão. Desse modo, conclua que comer não é algo ruim, e sim um dos prazeres da vida.

Habilidade

#Frações e a reta numérica Preocupada com a saúde dos estudantes, uma escola decidiu realizar uma série de ações. Uma delas foi um teste de condicionamento físico. Em uma das atividades, uma corda foi presa ao teto e foi medido o quanto dessa corda os alunos conseguiriam escalar. Caio_Sexto_Ano

@caio_corredor

1 Eu escalei 2 da corda! 89

Julia_Sexto_Ano 1 da corda! 3

Eu subi 30

Paulo_Sexto_Ano 3 da corda. 4

Eu subi 25

ATIVIDADES

Escrevendo esses valores na reta numérica:

LUPAS E LUNETAS Para obter essas frações, o comprimento da corda foi dividido em partes iguais do chão ao teto e, em seguida, foi verificado quantas dessas partes 1 os alunos escalaram. Para obter 2 , dividiu-se em 1 duas partes iguais; para obter 3 , em três partes 3 iguais; e para obter 4 , em quatro partes iguais. Organizem-se em duplas ou trios. Utilizando essas noções, respondam: a) Por que o 0 na reta numérica representa o chão? Trata-se da menor altura possível, ou seja, a altura que corresponde ao nível do chão. b) Por que o 1 representa o teto? Porque é possível adotar como unidade a distância do chão ao teto. Essa distância corresponde ao todo da corda.

3. O professor verificou que um aluno escalou 5 da corda. Ao observar a reta numérica com as frações

que representam o quanto seus colegas escalaram, o aluno ficou em dúvida: “Eu escalei mais ou menos que meus colegas?” Veja uma estratégia que ele utilizou para responder a essa questão: Pedro_Sexto_Ano

@pedrinho_

1 Se eu dobrar a corda em duas partes iguais, o comprimento final será do 2 1 comprimento total da corda. Se dobrar em três, será 3 . E, se dobrar em cinco, 1 será 5 . Quanto mais vezes eu dobro essa corda, menor é seu comprimento final. 1 1 1 Assim, sei que 5 < 3 < 2 . 101

(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. incentivar o consumo de frutas, verduras ou legumes, promova a elaboração de uma salada de frutas ou de verduras e legumes. Enfatize a necessidade de manter a higiene na manipulação dos alimentos, bem como de evitar o desperdício, incorporando nessas saladas as cascas e sementes de alguns alimentos, quando possível.

LUPAS E LUNETAS Nessa atividade, a corda do chão ao teto é considerada a unidade, iniciando no chão, “0”, e terminado no teto, ”1”. Se considerar adequado, explore também a noção de porcentagem: podem relacionar metade a 50% e a quarta parte a 25%.

a) Possibilidade de resposta: quanto mais vezes se dobra a corda, mais vezes se divide a corda e menor é a parte da corda obtida correspondente à fração.

a) Se você compreendeu essa estratégia, explique-a para os colegas usando suas palavras.

1 1 1 , e em uma reta numérica. 5 3 2 c) Copie a frase, substituindo o por uma das palavras: “maior”, “menor” ou “igual”: Considerando frações com o mesmo numerador, quanto maior for o denominador, o valor dessa fração. menor b) Represente as frações

b) 0 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

1 5

1 3

1 2

será

1 197 |

Aplique um questionário com perguntas como: h) No almoço ou no jantar você come frituras? Os resultados do questionário podem ser a) Para você, o que é uma alimentação saudável? mostrados por meio da construção de gráficos b) Você considera sua alimentação saudável? c) Quais frutas você consome com mais ou tabelas ou com um texto explicativo. O objetivo frequência?

é que os estudantes reflitam sobre seus hábitos

d) Você consome verduras ou legumes todos os e que, ao compreenderem a importância de uma dias? e) O que você mais gosta de comer? f) O que você não gosta de comer? g) Você come doces ou bolachas ou salgadinhos todos os dias?

alimentação saudável, mudem seus hábitos alimentares, se for o caso. É importante, nessa etapa do trabalho, definir o que é uma alimentação saudável. Pode-se começar diferenciando frutas, legumes e verduras e a importância de cada um deles para a saúde. Para 197 |

Habilidade (EF06MA07) Compreender,

comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.

#Frações equivalentes Refletir sobre seus hábitos alimentares é fundamental para cuidar da saúde como um todo. Luca e Andrea compraram pizzas de mesmo tamanho. A pizza de Luca veio dividida em 4 pedaços iguais e a de Andrea, em 8 pedaços iguais. 1 Luca comeu 1 pedaço de sua pizza, ou seja, da pizza, e Andrea comeu 2 pedaços de sua 4 2 pizza, ou seja, 8 da pizza.

Para fazer as comparações propostas pela atividade forneça um pedaço de barbante para que eles dobrem em 2, 3 e 5 partes iguais. a) Observando as dobras no barbante, perceberão que em frações com mesmo numerador, quanto maior o denominador, menor o tamanho “do barbante”, ou seja, da parte. b) No registro da reta numérica podem, inicialmente, fazer três retas paralelas com mesma distância entre 0 e 1 (mesma unidade) e dividi-las conforme a imagem: 1 5 0

1 3

1 2

1 0

1 1 5 3

HAMID AHADI - OFFICIAL/SHUTTERSTOCK/ ARTE M10

Atividade 3

A quantidade de pizza que Luca e Andrea comeram foi a mesma. Mesmo representadas de maneiras diferentes, essas frações representam a mesma parte do todo. Em outras palavras, têm o mesmo valor em relação a certa unidade, inteiro ou todo. Frações desse tipo são chamadas 1 2 de frações equivalentes. Assim, podemos escrever que = .. 4 8

LUPAS E LUNETAS E se Luca e Andrea comessem a metade de suas pizzas? a) Obtenha uma fração que represente a metade de cada pizza, considerando o número de pedaços em que cada uma foi cortada. 2 , 4 4 8 b) Imagine que uma dessas pizzas tivesse sido cortada em seis pedaços iguais. Que fração poderia representar a metade dessa pizza? 3 1 6 c) A palavra “metade” remete à fração . Podemos dizer que as frações obtidas nos itens anteriores 2 Sim, porque todas correspondem também à 1 1 2 3 4 são equivalentes a ? Justifique sua resposta. 2 = = . metade de uma pizza: = 2 4 6 8

Veja a representação das frações

1 2 e em retas numéricas: 4 8

a) Depois que perceberem

1 1 1 < < , peça que que 5 3 2 elaborem um registro explicando como generalizar a comparação de frações com mesmo numerador e denominadores diferentes. Com as próprias palavras, devem explicar que, ao comparar frações com o mesmo numerador, quanto maior o denominador, menor será a fração.

LUPAS E LUNETAS Explore a atividade disponibilizando discos de frações, peça que representem a situação das pizzas, sobrepondo as partes dos discos referentes a um quarto e a um oitavo para constatarem que precisam de duas partes de um oitavo para 198 | MANUAL DO PROFESSOR

As frações

4 2 6 3 8 4 e , e , e são equivalentes entre si: 8 4 8 4 8 4 2 1 = ; 8 4

4 2 = ; 8 4

6 3 = ; 8 4

8 4 = 8 4

198 | TRAJETÓRIA 3

compor a parte que representa um quarto. Agora podem responder as perguntas: a) A metade da pizza cortada em 4 pedaços pode 2 ser representada por , e a da pizza cortada em 4 4 8 pedaços, por 8 . b) Com a representação da pizza dividida em 6 pedaços, conseguem observar que metade 3 equivale a 3 fatias, 6 . c) Peça que façam o esboço das frações equivalentes. Para que percebam que há diferentes

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

modos de representar a mesma parte do todo, apresente as figuras:

4 8

2 4

1 2

4 8

2 4

1 2

Habilidade

ATIVIDADES

4. Obtenha uma fração equivalente à fração dada e, no caderno, represente-a por meio de figuras. 2 5

2 8 b)

5. Utilize figuras para representar as frações dadas e uma fração equivalente a elas. Respostas pessoais. 4

a) 6 b) 7 • Compartilhe suas respostas com os colegas e explique a estratégia que você utilizou.

Atividade 6

6. Nuno percebeu uma curiosidade ao estudar frações equivalentes: Nuno_Sexto_Ano

@Nuno_Leandro

Se multiplicarmos o numerador e o denominador de uma fração por um número 1 ×2 2 diferente de zero, obtemos uma fração equivalente a ela. Por exemplo: 3 ×2 = 6 . Isso também vale se dividirmos o numerador e o denominador de uma fração 15 ÷5 3 por um número diferente de zero. Por exemplo: 25 ÷5 = 5 . 101

Utilizando as estratégias de Nuno, copie as igualdades e complete-as: 1 7 70 42 = = = b) 80 a) c) 5 15 3 8 12 6 21

#Comparação de frações

d) Há várias possibilidades de resposta: 9 e 10; 10 e 9; 5 e 18; 18 e 5.

Denominadores iguais Ter momentos de lazer e relaxamento é também fundamental para a nossa saúde. Pensando nisso, Kalel decidiu organizar o tempo do seu dia da seguinte maneira: Kalel _Sexto_Ano

@Kalel_Silva

3 1 2 6 com estudos, 6 para descanso ou lazer e 6 com tarefas domésticas.

A qual das atividades Kalel destinou mais tempo? E menos tempo? Existem várias estratégias que podemos utilizar para responder. 199 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 4

Atividade 5

8 4 Proponha que coloquem possibilidades variadas e são equivalentes. a) As frações 12 6 de resposta, para que percebam que uma mesma atividade pode ser resolvida de muitos modos diferentes. Por exemplo, a quarta parte pode ser representada também pelas figuras:

b) As frações

(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.

1 2 e são equivalentes. 7 14

Observando as atividades 4 e 5, indague: • Qual é a relação entre os numeradores das frações equivalentes? • E entre os denominadores das frações equivalentes? • Conseguem perceber um modo transformar uma fração equivalente em outra? Espera-se que percebam que multiplicando ou dividindo os numeradores e denominadores pelo mesmo número natural, diferente de zero, conseguirão uma nova fração equivalente. a) O denominador 15 é múltiplo de 5. Considerando que 15 ÷ 5 = 3, numerador e denominador foram multiplicados por 3; como 1 ⋅ 3 = 3, a lacuna é preenchida com 3. b) O numerador 70 é múltiplo de 7. Considerando que 70 ÷ 7 = 10, numerador e denominador foram multiplicados por 10; como 8 ⋅ 10 = 80, a l a c u n a é preenchida com 80. c) O denominador 12 é o dobro de 6, então numerador e denominador foram divididos por 2. Como 42 : 2 = 21, a lacuna é preenchida com 21. d) Observe que há duas lacunas a serem preenchidas, de modo que há muitas possibilidades de resposta. Podemos considerar as frações equivalentes: 9 10 10 10 • 9 e 10: = ou = ; 9 10 9 9 5 10 18 10 • 5 e 18: = ou = ; 9 18 9 5 2 10 45 10 • 2 e 45: = ou = ; 9 45 9 2 6 10 15 10 • 6 e 15: = ou = .; 9 15 9 6

199 |

Habilidade (EF06MA07) Compreender,

• Representando as frações por meio de figuras:

ARTE/ M10

comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. Atividade 7

Complemente essa atividade pedindo que representem as frações na reta numérica e comparem as frações.

• Escrevendo as frações em uma reta numérica:

4 11

7 11

b) 00

4 11

76 118

0 00

4 11

7 610 7 11813 8

0 000

4 1142 100

7 610 7 1 131 1 11813 86 13 8 100

0 00 0

d) 0 0

42 100 42 100 42 100

1 7 8

A partir de ambas as estratégias, concluímos que a maior parte do tempo foi destinada aos estudos e a menor para tarefas domésticas. É possível escrever: 1 2 3 < < 6 6 6

1 131 13

6 7 1 810 86 8 1 13 13 13 100 10 13 13 86 1 13 100 86 1 100

Quando os denominadores são iguais, para comparar as frações basta comparar os valores de seus numeradores.

ATIVIDADES

7. Copie e complete as desigualdades com os sinais de < (menor) ou > (maior): a)

7 11

4 11 >

6 8

7 8 <

10 13

13 13 <

d) 100

42 100 >

Denominadores diferentes Teca e Nina também estão conversando sobre quanto do dia elas têm destinado a momentos de descanso e lazer: Teca_Sexto_Ano

@teca_teca

3 Eu destino 7 do meu dia para descanso e lazer. 40

Nina_Sexto_Ano @nina_menina 2 do meu dia para descanso e lazer. 5

Eu prefiro utilizar 30 200 | TRAJETÓRIA 3

Sugestão de atividade

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

dois ou mais carrinhos; 6 faixas de frações coloridas Uma possibilidade é propor que construam o (5 cm × 15 cm), divididas de 1 a 6 partes. Sugestão de como jogar: jogo “corrida das frações”: sugira que assistam a 1. Cada participante lança o primeiro dado (qual vídeos disponíveis em plataformas de compartiparte) e deve escolher a faixa da fração conforlhamento que mostram como construir o tabuleiro me o número sorteado. Como exemplo, se sair e orientam sobre as regras do jogo. Ainda podem 6, deve ser escolhida a faixa do todo dividido elaborar regras próprias com a turma de acordo em 6 partes iguais (sextos). com o que estão estudando. Para o jogo, são necessários: dois dados nu- 2. Em seguida, lança o segundo dado (quantas partes) e deve dobrar a parte da faixa da fração merados de 1 a 6 (um será o denominador – qual parte – e o outro, o numerador – quantas partes); 200 | MANUAL DO PROFESSOR

Habilidade

Nesse caso, como saber quem destina a maior parte de seu dia para descanso e lazer? Se as frações tivessem o mesmo denominador, bastaria comparar seus numeradores. Então, 2 3 podemos encontrar frações equivalentes a e a que apresentem o mesmo denominador. 5 7 Lembrando que, se multiplicarmos o denominador e o numerador de uma fração por um mesmo número, obteremos uma fração equivalente a ela. Em outras palavras, o denominador e o numerador de frações equivalentes são múltiplos do denominador e do numerador das frações originais. Assim, para comparar

3 2 e , precisamos encontrar denominadores que sejam múltiplos 7 5

comuns de 7 e 5. Veja alguns múltiplos desses números:

×2

×3

×4

×5

×6

×7

35 ...

×2

×3

×4

×5

×6

×7

49 ...

Podemos observar que um múltiplo comum a 5 e a 7 é 35. Esse será o denominador das 3 2 frações equivalentes a 7 e a 5. Assim: ×5

3 7

×7

15 35

2 5

×5

14 35

15 14 > 35 35

8. Copie e complete as desigualdades com os sinais de < (menor) ou > (maior):

7 11

2 8 >

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

2 9

1 7 >

2 6

3 5 <

11 2 8 7 56 t e r e m o s 8 ⋅ 11 = 88 e 11 ⋅ 8 8 7 56 11 2 22 ⋅ = ; ⋅ = e 8 11 88 11 8 88. Comparando, 56 22 7 2 > , ou seja, > . 88 88 11 8 Assim, 9 1 7 2 14 t e r e m o s 7 ⋅ 9 = 63 e 9 ⋅ 7 7 2 14 9 1 9 ⋅ = ; ⋅ = e 7 9 63 9 7 63. Comparando, 14 9 2 1 > , ou seja, > . 63 63 9 7

ATIVIDADES

Relembre-os de que, para comparar, precisam transformar as frações em frações equivalentes com mesmo denominador. Segue uma possibilidade de resolução: a) mmc (6, 10) = 30 . Assim, te5 15 4 20 = e = ;. remos 10 30 6 30 15 20 Comparando, < , ou 30 5 4 30 seja, < . 10 6

c) mmc (7, 9) = 63.

Quando os denominadores são diferentes, para comparar as frações basta determinar frações equivalentes às originais de mesmo denominador.

4 6 <

Atividade 8

b) mmc (8, 11) = 88. A s s i m ,

×7

15 14 Agora, podemos comparar as frações 35 e 35 observando apenas seus numeradores. Portanto,

5 a) 10

(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.

d) mmc (5, 6) = 30.

Assim, teremos 5 2 10 6 3 18 ⋅ = e ⋅ = ; 5 6 30 6 5 30 . 2 10 18 Comparando, 30 < 30 , ou seja, 6 10 18 2 3 < . < , ou seja, 30 30 6 5

201 |

que deve ser percorrida. Por exemplo, se sair 4, 4 dobrar na 4a parte, . 6 3. Então, posiciona seu carrinho no trajeto correspondente. 4. Ganha quem avançar mais seu carrinho após 3 rodadas.

201 |

Habilidade

BARANQ/SHUTTERSTOCK

elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.

BARANQ/SHUTTERSTOCK

#Adição e subtração envolvendo frações

(EF06MA10) Resolver e

Atleta corredor de rua fazendo alongamento e depois treinando em rua com área verde ao redor.

Frações com denominadores iguais Adilson está treinando para participar de uma corrida de longa distância. Nos primeiros mi1 nutos de treino, ele correu do percurso total. 8 2 Nos minutos seguintes, ele conseguiu correr mais do percurso. 8 Representando essa situação com o auxílio de retas numéricas: • Nos primeiros minutos, ele correu:

No total, ele já correu

3 do percurso. Podemos escrever: 8 1 2 3 + = 8 8 8

Na adição com frações de denominadores iguais, mantém-se o denominador e adicionam-se os numeradores.

Para calcular quanto ainda falta percorrer, podemos subtrair do total o quanto Adilson já correu.

202 | TRAJETÓRIA 3

202 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

5 Pela análise da reta, podemos verificar que faltam a serem percorridos. Podemos também 8 8 obter o quanto falta utilizando uma subtração. Considerando 1 = , então: 8 8 3 5 – = 8 8 8 Na subtração com frações de denominadores iguais, mantém-se o denominador e subtraem-se os numeradores.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais.

Atividade 10

a) Em qual dessas práticas você se reconhece? b) Que importância você dá para a prática da atividade física? Qual você gostaria de praticar?

ATIVIDADES

cessário, utilize retas numéricas para auxiliar nos cálculos. 9 6 15 = 3 1 4 3 8 + + + a) c) 10 10 10 2 9 9 9 9 b)

7 3 4 – 15 15 15

5 4 3 6 + – 7 7 7 7

10. Calcule mentalmente as operações e, em

seguida, compartilhe suas estratégias com os colegas. 1 3 6 4 = 2 5 a) 1 – 4 4 c) 1 – 10 10 3 4

b) 1 – 7 7

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária. Encontro com outras disciplinas (EF67EF09) Construir, coletivamente, procedimentos e normas de convívio que viabilizem a participação de todos na prática de exercícios físicos, com o objetivo de promover a saúde.

Considerando que os denominadores são iguais, o cálculo de adição ou subtração ocorre entre os numeradores: 9 6 9+6 15 3 a) 10 + 10 = 10 = 10 = 2 7 3 7–3 4 b) 15 – 15 = 15 = 15 1 4 3 1+4+3 8 = c) 9 + 9 + 9 = 9 9 5 4 3 5+4–3 6 = d) + – = 7 7 7 7 7

Rio de Janeiro (RJ), agosto de 2016: adolescentes jogando vôlei na praia de Copacabana em um dia ensolarado. São Vicente (SP), maio de 2016: garoto usando acessórios de segurança manobrando em half pipe. Salvador (BA), novembro de 2014: capoeiristas praticando sua arte no Farol da Barra. Santo Antônio de Jesus (BA), agosto de 2019: estudantes de escola pública praticando futebol na quadra da escola.

9. Calcule o resultado das operações. Se ne-

(EF06MA10) Resolver e

Atividade 9

JOA SOUZA/SHUTTERSTOCK

TALITA NICOLIELO/ SHUTTERSTOCK

MAARTEN ZEEHANDELAAR/SHUTTERSTOCK

Observe esses adolescentes praticando atividades físicas.

Habilidade

5 4

d) 1 – 9 9

203 |

Considerando que a unidade pode ser representada por uma fração de numerador e denominador iguais, no cálculo mental os estudantes podem usar esse conhecimento, fazendo as operações: 4 1 3 a) 4 – 4 = 4 7 3 4 b) 7 – 7 = 7 10 6 4 2 c) 10 – 10 = 10 = 5 9 5 4 d) 9 – 9 = 9 Sugestão de atividade

LUPAS E LUNETAS Comente sobre as variedades regionais de atividades físicas. Se possível, combine com o professor de educação física um trabalho em conjunto sobre frações e suas ocorrências em diversos contextos esportivos.

Para fazer as representações nas retas numéricas, imprima algumas retas com diferentes escalas em papel-cartão e aplique plástico autoadesivo transparente. Os estudantes podem usar caneta para quadro branco de modo a utilizar a mesma reta numérica várias vezes (a tinta pode ser retirada com pano seco ou papel-toalha).

203 |

(EF06MA10) Resolver e

elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.

Atividade 11

Na adição de frações com denominadores diferentes, podemos multiplicar os denominadores ou utilizar o mmc dos denominadores. Em alguns casos, resultam no mesmo valor. Acompanhe as resoluções: a) O p r o d u t o d o s d e n o m i n a d o re s 3 e 4 é 1 2 , 1 4 2 6 = e = , 3 12 4 12 ou seja, 1 2 4 6 10 5 + = + = = . 3 4 12 12 12 6 b) O p r o d u t o d o s d e n o minadores 10 e 5 é 50, 8 40 4 40 = e = , 10 50 5 50 ou seja, 8 4 40 40 80 + = + = , 10 5 50 50 50 simplificando por 10, tere8 mos . Outra possibilidade 5 8 seria simplificar 10 antes de iniciar a adição, assim 8 4 4 4 8 + = + = . 10 5 5 5 5 c) O p r o d u t o d o s d e n o minadores 11 e 5 é 55, 6 30 1 11 = e = , 11 55 5 55 ou seja, 6 1 30 11 19 – = – = . 11 5 55 55 55 d) O p r o d u t o d o s d e n o minadores 6 e 9 é 54, 3 27 4 24 = e = , 6 54 9 54 ou seja, 1 3 4 27 24 3 – = – = = . 18 6 9 54 54 54 24 3 1 . = = 54 54 18 Atividade 12

Veja como proceder com o cálculo mental: 2 2 2 1 3 a) 5 + 10 = 5 + 5 = 5 3 1 3 2 5 b) 8 + 4 = 8 + 8 = 8 5 2 5 1 4 c) 3 – 6 = 3 – 3 = 3 7 1 7 2 5 d) 6 – 3 = 6 – 6 = 6 Atividade 13

7 2 35 16 19 – = – = 8 5 40 40 40 204 | MANUAL DO PROFESSOR

Frações com denominadores diferentes Para calcular o resultado de operações de adição e subtração envolvendo frações com denominadores diferentes, podemos utilizar frações equivalentes. Por exemplo, vamos calcular: 4 1 + 7 4

4 1 Primeiro, precisamos obter frações equivalentes a 7 e a 4 que tenham um denominador 4 1 em comum. Veja algumas frações equivalentes a 7 e a 4: ×2

4 8 = = 7 14 ×2

×3

×4

×3

×4

×2

12 16 = 21 28

1 2 = = 4 8 ×2

×3

×4

×5

×3

×4

×5

3 4 5 = = = 12 16 20

×6

×7

×6

×7

6 7 = 24 28

16 7 44 11 e aa a , respectivamente, que Identificamos que 28 e 28 são duas frações equivalentes a 77 ee 44 têm o mesmo denominador. Assim: 4 1 16 7 23 + = + = 7 4 28 28 28 Para calcular a subtração dessas mesmas frações, seguimos a mesma estratégia: primeiro, obtemos frações equivalentes com um mesmo denominador. Em seguida, realizamos a subtração: 4 1 16 7 9 2 = 2 = 7 4 28 28 28 ATIVIDADES

11. Calcule os resultados das operações:

1 2 10 5 a) 3 + 4 12 = 6 8 4 80 8 b) 10 + 5 50 = 5 6 1 19 c) 11 – 5 55 3 4 3 = 1 – d) 6 9 54 18 12. Considere cada item e, em cada um, substitua a segunda fração por uma equivalente, mas com o mesmo denominador da primeira. Depois calcule a soma ou a diferença mentalmente. 2 2 3 + a) 5 10 5 3 1 5 + b) 8 4 8 204 | TRAJETÓRIA 3

Sugestão de leitura

Esse caderno apresenta sugestões de situações problema envolvendo os conceitos relacionados a fração. É um material que pode ser consultado na elaboração de atividades complementares. #, Ricardo Ferreira. Frações. E-Tec Brasil – Aula 04 – Matemática Instrumental. E-Tec Brasil. Disponível em: http://proedu.rnp.br/bitstream/ handle/123456789/585/Aula_04.pdf?sequence=4. Acesso em: 14 jul. 2022.

2 4 6 3 7 1 5 d) – 6 3 6 13. Judith começou o percurso à casa do filho 7 com 8 do tanque abastecido. Durante a viagem, seu carro consumiu o equivalente 2 a 5 do tanque. Qual fração da medida de 19 capacidade total do tanque restou de com40 bustível? 5

c) 3

–

TANGXN/SHUTTERSTOCK

Habilidade

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Até agora você estudou o inteiro dividido em partes iguais. Saiba que há situações em que também é possível tomar uma parte que já foi dividida e dividi-la novamente: é a parte da parte, também conhecida como fração de fração.

Habilidades (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.

ATIVIDADES

Atividade 14

TRAVESSIAS Parte das partes

14. Uma pessoa tem uma barra de chocolate e gostaria de dividi-la igualmente entre

HE2/SHUTTERSTOCK

ROBERT KNESCHKE/SHUTTERSTOCK

8 amigos.

Para realizar essa repartição, ela usou a seguinte estratégia: primeiro, dividiu a barra em duas metades; depois, dividiu cada uma das metades em outras duas metades; em seguida, dividiu cada um desses pedaços também pela metade, obtendo os pedaços desejados. a) O esquema mostra a divisão realizada. Copie e complete o esquema com a fração

que representa cada parte em relação ao todo. 1 1 2

1 2

1 4 1 8

1 8

1 4 1 8

1 8

A metade de um número é obtida pela divisão em duas partes iguais. Peça que dobrem tiras de papel e marquem com caneta onde ficaram as dobras. Pela própria ilustração, os es1 tudantes perceberão que é 8 1 1 1 1 metade de ,; é metade de 2 ; 2 4 4 1 1 ; é metade de uma unidade. e 2 2 Observando a figura, explore também a multiplicação de um número natural por uma fração como uma adição de parcelas fracionárias iguais. Veja outros exemplos: 1 1 1 1 3 3 ⋅ = + + = 4 4 4 4 4 1 5 ⋅ = 8 1 1 1 1 1 5 + + + + = 8 8 8 8 8 8

1 4 1 8

1 8

b) Em duplas ou trios, analisem o esquema e verifiquem a veracidade das afirmações: • • •

A metade da metade é a quarta parte, ou seja,

1 1 1 ⋅ = . 2 2 4

A quarta parte da metade é um oitavo, ou seja,

1 1 1 ⋅ = . 4 2 8

Esses três afirmações são verdadeiras. São 1 1 1 mais bem compreendi⋅ = . das observando o esqueA metade da quarta parte é um oitavo, ou seja, 2 4 8 ma acima.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

205 |

Habilidade (EF06MA10) Resolver e

elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.

Continue a apresentar a multiplicação de um número natural por uma fração, agora com outros denominadores. Veja mais exemplos: 1 1 1 2 2 ⋅ = + = 3 3 3 3 1 1 1 1 1 4 4 ⋅ = + + + = 9 9 9 9 9 9

c) A partir da análise do esquema, podemos concluir que: •

1 1 + 2 2

1 =

= 2 ·

1 2

duas parcelas iguais •

1 =

1 1 1 1 + + + = 4 · 4 4 4 4

1 4

quatro parcelas iguais •

1 =

1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + = 8 · 8 8 8 8 8 8 8 8

1 8

oito parcelas iguais

d) Escreva as frações como adição de parcelas iguais e como multiplicação: •

1 1 1 1 + =2 ⋅ 4 2 4 4

•

1 1 1 1 + =2 ⋅ 8 4 8 8

Considere agora dividir essa barra em nove partes iguais. Uma estratégia é dividir o inteiro em três partes iguais e, em seguida, dividir cada uma dessas partes também em três partes iguais. e) O esquema mostra a divisão realizada. Copie e complete o esquema com a fração

que representa cada parte em relação ao todo. 1

1 3

1 3 1 9

1 9

1 3 1 9

1 9

f) Em duplas ou trios, analisem o esquema, copiem e completem as afirmações no

caderno. Utilizem as afirmações das investigações anteriores como exemplo. A terça parte da terça parte é , ou seja, . • Dois nonos da barra são equivalentes à terça parte de dois terços, ou seja, . 1 1 1 1 2 2 3 ⋅ + + = • 1 = = :3 3 9 3 3 3 3

1 1 1 , :3= • 9 3 9

três parcelas iguais •

1 =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + = 9 9 9 9 9 9 9 9 9

9 ⋅

1 9

nove parcelas iguais

206 | TRAJETÓRIA 3

206 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

#Fração como razão

SHUTTERSTOCK/ARTE M10

Lica decidiu ter uma alimentação mais saudável. Veja as compras que ela fez no mercado para elaborar seu cardápio semanal:

Legumes

Pão integral

Peixes e carnes magras

Frutas

Dos dez diferentes alimentos que ela comprou, quatro são legumes, um é pão, dois são peixes ou carnes magras e três são frutas. Assim, podemos dizer que: 4 • os legumes correspondem a 10 do total de alimentos; 1 • o pão integral corresponde a 10 do total de alimentos; 2 • os peixes ou as carnes magras correspondem a 10 do total de alimentos; 3 • as frutas correspondem a 10 do total de alimentos. Perceba que, adicionando essas frações, obtemos o todo: 4 1 2 3 10 + + + = =1 10 10 10 10 10 Nesse sentido, a representação de números na forma de fração também pode ser interpretada como comparação entre dois números, valores ou quantidades: 4 10

Há 4 legumes dentre 10 tipos de alimentos.

4 Nesse caso, dizemos que a fração 10 expressa uma razão entre 4 e 10. ATIVIDADES

tuações descritas: a) Uma em cada quatro pessoas não cos1 tuma comer alimentos saudáveis. 4 b) Dez dentre os vinte e cinco itens em uma 10 2 = lista de compras são legumes. 25 5 c) A cada cem pessoas, oitenta e três afirmam que é importante ter hábitos de alimentação mais saudáveis. 83 100

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

16. Observe a figura: SHUTTERSTOCK/ARTE M10

15. Escreva uma fração que represente as si-

Escreva uma fração que expresse a quantidade de sucos industrializados em relação ao total de sucos. 3 7

207 |

Habilidades (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária. (EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo. Atividade 15

Faça uma roda de leitura e conversem com a turma sobre a situação-problema. Caso considere pertinente, entregue algumas tiras de papel para que dobrem e realizem as divisões propostas. Fomente a discussão elaborando perguntas que incentivem os estudantes a verbalizar como compreendem as sentenças apresentadas. a) A pessoa que não come alimentos saudáveis representa 1 de um grupo de 4 pessoas, o que corresponde 1 à razão 4 . b) Os 10 legumes na lista de 25 itens de compra represen10 2 tam a razão 25 = 5 . c) Sobre a importância da alimentação saudável, 83 pessoas concordam em um grupo de 100 pessoas; essa 83 . razão é 100 Atividade 16

A imagem apresenta 3 sucos industrializados e 4 copos de suco natural, totalizando 7 sucos. A razão entre os sucos 3 industrializados e o total é . 7

207 |

Habilidade

Porcentagem

(EF06MA13) Resolver e

Convide o professor do componente curricular Ciências para falar sobre as condições de saúde da comunidade em que a escola está inserida. É possível apresentar taxas sobre a cobertura de saneamento básico, incidência de doenças de veiculação hídrica ou atmosférica, que são indicadores de saúde. Para uma possível finalização desse encontro, pode-se comparar os indicadores de saúde com os resultados das políticas públicas destinadas à saúde e deixar que os estudantes produzam suas próprias conclusões.

LUPAS E LUNETAS Organize a leitura coletiva do texto e explore o TCT Saúde. a) As informações do texto re50 velam que 100 das pessoas do mundo não têm acesso a esgoto tratado, para saber qual é essa quantidade de pessoas o cálculo é:

A saúde das pessoas depende também do seu acesso ao saneamento básico, à água potável, a vacinas, medicamentos etc. Esses são fatores fundamentais para ajudar a proteger e manter a saúde. Entretanto, segundo a Organização das Nações

soas no mundo não têm acesso a esgoto tratado e cerca 3 bilhões dos habitantes do globo vivem sem ao menos água e sabão para lavar as mãos.

ORGANIZAÇÃO DAS NAÇÕES UNIDAS (ONU). ONU Brasil. Mais de 4,2 bilhões de pessoas vivem sem acesso a saneamento básico. ONU Notícias, 19 nov. 2020. Disponível em: https://brasil.un.org/pt-br/101526-mais-de-42-bilhoes-de-pessoas-vivem-sem-acesso-saneamento-basico. Acesso em: 11 jul. 2022.

Vejamos o que esses números significam considerando a população mundial como um todo. Imagine que o mundo tivesse somente 100 pessoas:

Podemos escrever esses dados utilizando frações: 50

• 100 das pessoas do mundo não têm acesso a esgoto tratado;

• 100 da população mundial não têm água e sabão para lavar as mãos.

Frações desse tipo, cujo denominador é 100, podem ser lidas como porcentagem: 50 correspondem a 50% (50 por cento) 100 40 correspondem a 40% (40 por cento) 100

LUPAS E LUNETAS Em 2021, a população mundial era de aproximadamente 7 800 000 000 de pessoas. a) Relembre as estratégias para cálculo de frações de uma quantidade no passeio 1 e, em seguida, calcule quantas dessas pessoas não tinham, em 2021, acesso a esgoto tratado e a água e sabão. Se necessário, utilize uma calculadora. Não tinham acesso a esgoto: 3 900 000 000 pessoas. Não tinham acesso a água e sabão: 3 120 000 000 pessoas. b) Em grupos, reflitam sobre esses dados e conversem sobre a necessidade de levar o acesso ao saneamento básico a todas as pessoas. Pesquisem na internet dados de acesso ao saneamento básico no Brasil. Respostas pessoais.

208 | TRAJETÓRIA 3

das pessoas do mundo não têm água e sabão para lavar as mãos; para saber qual é essa quantidade 7800000000 ÷ 100 = 78000000 de pessoas o cálculo é: (sabemos que 78 000 000 0 ÷ 100 = 78000000 (um centésimo é um centésimo da população): ou 1% da população). 78000000 ⋅ 40 = 3120000000 7800000000 ⋅ 50 = 3900000000 São 3 120 000 000 pessoas que não têm água ou sabão para lavar as mãos. 0000000 ⋅ 50 = 3900000000 b) Converse sobre saneamento básico com os São 3 900 000 000 pessoas estudantes: pergunte quais são as condições sem acesso a esgoto tratado. de saneamento da região onde vivem, quais 40 A outra informação é 100 fatores são positivos e negativos, questione 208 | MANUAL DO PROFESSOR

Unidas (ONU), em 2021, cerca de 4 bilhões de pes-

ARTE/ M10

elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros. Encontro com outras disciplinas (EF67EF09) Construir, coletivamente, procedimentos e normas de convívio que viabilizem a participação de todos na prática de exercícios físicos, com o objetivo de promover a saúde.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

como cuidam da higiene do corpo e do local onde moram e solicite que proponham atitudes pessoais que contribuam com a saúde.

#Distribuições não equitativas Tatá gosta muito de praticar esportes, especialmente corrida, natação e futebol. Ela gostaria de dividir seu tempo livre durante a semana para praticar todas essas atividades. Uma maneira seria distribuir igualmente o total de tempo livre entre cada esporte:

Tempo livre total

Note que o tempo livre de Tatá não mudou! A diferença é que, na primeira situação, ela o dividiu em 3 partes iguais e, na segunda, dividiu em 5 partes iguais. Note também que, em cada situação, os tamanhos de cada parte são iguais entre si. O que mudou foi o número de partes destinadas a cada esporte. Na 1a situação, a divisão do tempo livre de Tatá foi equitativa e, na 2a situação, a divisão foi não equitativa, pois há esportes a que ela dedicará mais de seu tempo livre do que para outros.

1 Assim, ela destinaria 3 de seu tempo livre total para a prática de cada esporte. Porém, ela notou que esse tipo de distribuição do tempo não funcionaria bem ao considerar todas as demais atividades. Então, ela decidiu testar outra maneira de organizar seu tempo, distribuindo-o de maneira não equitativa: 2 • 5 do tempo livre para a prática de futebol; 1 • 5 do tempo livre para a prática de natação; 2 • 5 do tempo livre para a prática de corrida. Representando essa nova distribuição com uma figura:

Tempo livre total

Distribuições não equitativas e porcentagens É possível representar distribuições como as da situação anterior utilizando porcentagens. Para isso, precisamos obter frações equivalentes com denominador igual a 100. 2 5

×2

×10

4 40 = 10 100

×2

×10

1 5

×2

×10

2 20 = 10 100

×2

×10

Assim, podemos escrever: 2 40 • 5 = 100 = 40% 1 20 • 5 = 100 = 20% Utilizando essa representação no contexto anterior: • 40% do tempo livre para a prática de

futebol; • 20% do tempo livre para a prática de

natação; • 40% do tempo livre para a prática de

corrida. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidades (EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros. (EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo. A porcentagem é comum no dia a dia dos estudantes, pois é usada em noticiários, cálculos domésticos, juros das compras parceladas etc. Use algumas informações da turma para calcular porcentagens, como: ao calcular a porcentagem de meninas na turma, supondo que sejam 6 meninas em uma turma 6 1 de 24 alunos, teremos 24 = 4 ou 25%. Apresente figuras que representam porcentagens: 25% 25%

50%

25% 25%

50%

A imagem pode contribuir para a compreensão intuitiva do conceito de porcentagem.

209 |

Estes comentários são referentes à atividade 17, na página seguinte. Atividade 17

Para transformar essas frações em porcentagens, podemos seguir o procedimento sugerido: !###×"50###$ !####×"10####$ 50 1 80 8 a) 2 = 100 ou 50% c) 10 = 100 ou 80% !###×"25###$ !####×"5####$ 75 3 30 6 = ou 75% = ou 30% b) 4 d) 100 20 100 209 |

18. a) Remédios: R$ 200,00; promoção de atividades físicas: R$ 400,00; alimentação: R$ 600,00.

ATIVIDADES

17. Escreva as frações na forma de porcentagem: 1 a) 2

50%

3 b) 4

75%

8 c) 10

80%

6 d) 20

30%

18. Deseja-se distribuir uma quantia de R$ 1.200,00 para auxiliar na melhoria da condição de saúde de uma pessoa. Calcule quantos reais serão distribuídos em cada situação apresentada. Se necessário, utilize uma calculadora.

a) Da quantia total, serão distribuídos: 6 para

2 remédios, 6 para a promoção de atividades 3 físicas e 6 para alimentação. b) Da quantia total, serão distribuídos: 30% para remédios, 20% para promoção de atividades físicas e 50% para alimentação.

Remédios: R$ 360,00; promoção de atividades físicas: R$ 240,00; alimentação: R$ 600,00.

#Frações e medidas A representação de números em forma de fração é bastante comum no contexto das medidas. JAVIER G./ M10

1 2 xícara de farinha 3 e de xícara 4 de leite. Preciso de: 1

Esse jogo dura 40 min, divididos em quatro quartos de 10 minutos.

A quinta e a sexta parte desse mostrador indicam temperaturas médias da fornalha.

Atividade 18

200 + 200 = 400 reais.

ATIVIDADES

19. Sabendo que 1 xícara equivale a 250 mL de

leite ou a 120 g de farinha de trigo, calcule: a) Quantos mililitros de leite equivalem a 1 2 xícaras? 625 mL. 2 b) Quantos gramas de farinha de trigo equi1 valem a 1 2 xícara? 180 g.

Alimentação: 20. a) 30 minutos. 3 1 1 1 20. Considere uma partida oficial de basquete. = + + → 200 + 200 + 200 = 600 reais. 6 6 6 6 a) Se a partida encerrou o terceiro “quarto” 1 1 nesse instante, quantos minutos jogados + + → 200 + 200 + 200 = 600 reais. 6 6 200 + 200 = 600 reais. se passaram desde o início da partida? b) Remédios: 30% b) Quando a partida estiver na metade do 30 último “quarto”, quantos minutos jogados 30% = → 1200 ÷ 100 ⋅ 30 = 12 ⋅ 30 = 360 reais. 100 terão se passado desde o início da partida? 30 0% = → 1200 ÷ 100 ⋅ 30 = 12 ⋅ 30 = 360 reais. 35 minutos. 100 100 ⋅ 30 = 12 ⋅ 30 = 360 reais. Atividade física: 210 | TRAJETÓRIA 3 20 20% = → 100 1200 ÷ 100 ⋅ 20 = 12 ⋅ 20 = 240 reais.

21. Sabe-se que a fornalha de uma indústria pode chegar a 1 600 °C.

Azul indica temperaturas mais baixas e vermelho, as mais elevadas. 1 000 °C – laranja; 500 °C – azul-claro. ARTE/ M10

Vamos calcular o valor que corresponde ao uso do dinheiro: 1 a) Remédios: 6 é calculado dividindo o valor total por 6, 1 200 ÷ 6 = 200 reais. Atividade física: 2 1 1 = + → 200 + 200 = 400 reais. 6 6 6

a) Sem realizar cálculos, estime em que

gradação de cores o mostrador do termômetro estará quando a temperatura for 1 000 °C. E quando for 500 °C? b) Qual é a temperatura do forno no exato momento em que o mostrador chega à graduação amarela? 640 °C.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

vivências. Proponha que realizem as atividades em b) A farinha equivale a (120 + 60) g = 180 g. duplas ou trios, faça a leitura coletiva dos enun50 100 ⋅ e50 = 12 ⋅ 50 600 reais. desconhecidas; Atividade 20 Alimentação: 50% = 100 → 1200 ÷ciados verifique se =há palavras 50 crie perguntas para verificar se compreendem cada Informe aos estudantes que as partidas de 0% = → 1200 ÷ 100 ⋅ 50 = 12 ⋅ 50 = 600 reais. situação-problema. 100 basquete têm 40 minutos de duração divididos 100 ⋅ 50 = 12 ⋅ 50 = 600 reais. em quatro tempos de 10 minutos cada chamados Atividade 19 Atividades 19 a 21 quartos. Assim, cada quarto de tempo corresponde No uso da forma mista, os estudantes deverão a 10 minutos. Converse com os estudanadicionar a quantidade inteira e a parte fracionária. a) Até o final do 3o quarto, passaram-se 30 mites sobre o uso cotidiano das frações e da forma mista e pera) A q u a n t i d a d e d e l e i t e e q u i v a l e a nutos. mita que compartilhem suas (250 + 250 + 125) mL = 625 mL. 210 | MANUAL DO PROFESSOR

• para 20%: dividir a quantidade por 5;

LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais. Consulte, em seu caderno, os trabalhos que desenvolveu, suas anotações de estudos e reflita sobre o que você aprendeu até agora neste passeio. ▶ Matemática • Consegue representar frações na reta numérica? • Sabe comparar e ordenar frações? • Consegue identificar e utilizar frações equivalentes em diversos contextos? • Realiza operações de adição e subtração envolvendo frações? • Compreende a fração como significado de razão? • Compreende a noção de porcentagem e sua relação com o conceito de fração? • Consegue resolver problemas envolvendo frações no contexto de medidas? ▶ Outras disciplinas Educação Física • Reconhece a necessidade de buscar uma alimentação mais saudável? • Compreende a importância de desenvolver hábitos de higiene saudáveis? • Consegue organizar seu tempo para a prática regular de atividades físicas? • Identifica e antecipa riscos relacionados a atividades físicas, zelando pela segurança e usando os equipamentos adequados a cada prática?

QUADRO DE AVALIAÇÃO Parcialmente suficiente

Satisfatório

por 10;

• para 1%: dividir a quantidade

por 100. Converse sobre o cálculo mental das divisões por 10 e por 100 e solicite que realizem o cálculo de porcentagens usando essa estratégia. É possível também compor algumas porcentagens, para calcular 15% de 60, por exemplo, podem calcular 10% de 60, o que resulta em 6, e considerar a metade de 10%: 5% equivale à metade de 6, ou seja, 3. Resumindo: de 60

Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

Insuficiente

• para 10%: dividir a quantidade

Plenamente satisfatório

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

15% = 10% + 5% ⎯⎯⎯ → 6 + 3 = 9. Neste momento do passeio, organize a leitura coletiva do texto para que, respondendo às questões propostas, os estudantes reflitam sobre seu próprio aprendizado enquanto escutam ativamente as dificuldades encontradas pelos colegas. Com o preenchimento do quadro, poderão acompanhar seu desempenho em Matemática ou nas disciplinas presentes nas atividades interdisciplinares. Diante dessas informações, poderão conversar com professores, familiares ou amigos para compartilhar suas estratégias e repensar em novas atitudes que contribuam para minimizar as dificuldades.

LEVO NA BAGAGEM

211 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

b) Até a metade do último quarto, passaram 30 minutos dos três primeiros quartos e 5 minutos do último quarto, totalizando 35 minutos.

Atividade 21

Considerando que a temperatura inicia no zero e a graduação está dividida em 10 partes iguais que correspondem a 160 oC cada, temos: a) 160 ⋅ 6 = 960. A temperatura de 1 000 oC está na graduação laranja.

A temperatura 500 oC, considerando que 160 oC ⋅ 3 = 480 oC,está na graduação azul clara. b) A graduação amarela inicia em 4 do total, ou 10 seja, em 640 oC. Sugestão de atividade

Algumas porcentagens são mais usuais e podem ser calculadas por divisão simples. Para calcular estas porcentagens, basta: • para 50%: dividir a quantidade por 2; • para 25%: dividir a quantidade por 4;

Neste momento do passeio, organize a leitura coletiva do texto para que, respondendo às questões propostas, os estudantes reflitam sobre seu próprio aprendizado enquanto escutam ativamente as dificuldades encontradas pelos colegas. Com o preenchimento da tabela, poderão classificar seu desempenho em Matemática ou nas disciplinas presentes nas atividades interdisciplinares. Diante dessas informações, poderão conversar com professores, familiares ou amigos para compartilhar suas estratégias e repensar em novas atitudes que contribuam para minimizar as dificuldades. 211 |

BARCOS E PORTOS

Elabore

4 6

1 6

3 5

3 6

1 3

inteiro

1 2

2 3

2 6

2 4

▶ Organize Respostas pessoais. Neste passeio, você explorou novas interpretações e maneiras de representação para frações (como razão, porcentagem), assim como a noção de fração equivalente e estratégias para realizar operações com as frações. Observe o esquema: Operações com frações

Frações equivalentes

Significados de fração

Porcentagem

Resgate do passeio dois ou três exemplos de cada item apontado no esquema. Depois, compartilhe com o colega e compare os registros dele com os seus. SASUN BUGHDARYAN/SHUTTERSTOCK

JOYSEULAY/SHUTTERSTOCK

Os estudantes podem fazer o jogo da memória com 20 cartas: 10 cartas com a fração e 10 com uma imagem que represente a fração. Colocam-se todas as cartas embaralhadas viradas para baixo organizadas em 5 linhas e 4 colunas. Cada jogador vira duas cartas e coloca-as viradas para cima na posição que estavam. • Se encontrar o par, fração e figura, ganha as cartas e joga novamente; • Se não encontrar o par, vira as cartas novamente e passa a vez para o outro jogador. Uma estratégia é memorizar a posição das cartas quando são viradas, e procurar seu par em outra jogada. O jogo da memória pode ser confeccionado com porcentagem, fração imprópria ou forma mista.

Uma maneira eficiente de organizar e reorganizar os conhecimentos é compartilhar o que você sabe com os colegas.

▶ Elabore A noção de equivalência entre frações é um dos pontos centrais deste passeio. Vamos transformar esse tema em um jogo? Uma proposta interessante é o dominó de frações equivalentes. A ideia do jogo é semelhante ao dominó tradicional, porém aqui as peças conterão diferentes representações de frações, incluindo figuras. Veja um exemplo de combinação de peças: 1 3

15 20

2 6

212 | BARCOS E PORTOS

212 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Para produzir o jogo, você vai precisar de cartolina, tesoura com pontas arredondadas e materiais de desenho, como régua, canetas, lápis coloridos etc. Escreva números na forma de fração, assim como variadas frações equivalentes. Para tornar o jogo mais divertido, elabore também figuras que representem essas frações. Se quiser um desafio extra, coloque também números na forma de porcentagem! Só não se esqueça de que não pode haver peças que não se conectam a nenhuma outra. Depois de pronto, aproveite para se divertir com os colegas e estudar um pouco mais sobre frações! ▶ Proponha A pergunta inicial deste passeio é: Cuidamos da nossa saúde como um todo? Ao longo do passeio, você se deparou com diversos contextos relacionados à saúde, desde a alimentação, a necessidade de realizar atividades físicas, de ter acesso às condições básicas de higiene, até a necessidade de se cuidar mentalmente e emocionalmente. Esses são os únicos elementos relacionados à nossa saúde como um todo? Pesquise na internet, em livros ou consulte outras pessoas sobre o assunto. Compartilhe com os colegas as informações que você descobrir. • Reflita sobre como esses elementos estão presentes em seu dia a dia. Pense em como melhorar a sua saúde. Utilize o que você já aprendeu para ajudar a organizar seu tempo, sua alimentação e toda a sua estratégia para se manter mais saudável. • Compartilhe essas ideias com colegas, amigos e familiares. Ajude-os a também desenvolver hábitos e rotinas mais saudáveis!

Retome a questão inicial deste passeio: Cuidamos da nossa saúde como um todo? Agora que conversaram sobre alimentação, atividade física, condições sanitárias e de higiene e saúde emocional para mantermos uma boa saúde, cada estudante pode fazer uma lista com duas colunas: as práticas saudáveis que estão em uso e aquelas que pretendem implementar. Ainda podem propor essas mudanças de hábitos aos familiares e, daqui a alguns meses, resgatar quais atitudes ou mudanças aconteceram efetivamente.

KUTSENKO DENIS/SHUTTERSTOCK

•

Proponha

Atividade física e alimentação saudável: equilíbrio físico e mental. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

213 |

Você já brincou de construir cidades? Como você chamaria uma cidade imaginária? Que nome você daria aos bairros dessa cidade? Criar uma cidade fictícia é um desafio bastante interessante e divertido. As cidades reais têm pessoas reais. Mas como seriam “as pessoas” da sua cidade fictícia? Será preciso despertar a imaginação dos estudantes em todos os detalhes. Comece promovendo uma pesquisa sobre alguma cidade fictícia de que eles ouviram falar, por exemplo, em filmes, em jogos, em animações, livros, HQs etc. Ao criar sua cidade, oriente-os a pensar em elementos do mundo real que o estudante conheça para usar como modelo dos elementos fictícios. Dê outras dicas sobre o clima, o relevo, a vegetação, as características dos indivíduos, as classes sociais etc. Após esse planejamento inicial, oriente cada estudante na elaboração de uma história em que ele seja o personagem principal em sua cidade fictícia. É importante que o estudante conte com detalhes como é sua cidade, como são os personagens e como ele interage com esse espaço. Convide o professor do componente curricular Arte para ajudar na elaboração das ilustrações que irão compor esse 214 | MANUAL DO PROFESSOR

PASSEIO 3 – AMPLIAÇÃO E REDUÇÃO DE FIGURAS E PLANO CARTESIANO DE QUE MODO INTERAGIMOS COM O ESPAÇO EM CASA E NA CIDADE? DENIS CRISTO/SHUTTERSTOCK

Encontro com outras disciplinas (EF69AR04) Analisar os elementos constitutivos das artes visuais (ponto, linha, forma, direção, cor, tom, escala, dimensão, espaço, movimento etc.) na apreciação de diferentes produções artísticas. (EF69AR05) Experimentar e analisar diferentes formas de expressão artística (desenho, pintura, colagem, quadrinhos, dobradura, escultura, modelagem, instalação, vídeo, fotografia, performance etc.).

Ocupar a cidade e interagir com os ambientes.

CHECK-IN Respostas pessoais. O modo como interagimos com a cidade, com nossa casa ou com outros ambientes que frequentamos sempre se relaciona a como percebemos e nos situamos nesses espaços. a) Pense em um espaço que frequenta e conhece bem: casa, escola etc. Desenhe um

rascunho da vista aérea desse espaço. Procure adicionar elementos como portas, janelas, entradas, saídas, móveis, estruturas etc. b) Pense agora no bairro, nas imediações ou entornos do espaço que você desenhou no item anterior. Desenhe um rascunho da vista aérea da região escolhida. Procure descrever, além das ruas, pontos de interesse, como praças, comércios etc. Destaque a localização do espaço representado no item anterior. • Compartilhe seus desenhos com os colegas. Converse sobre como cada um percebe os espaços, que lugares frequentam, o que fazem ali etc. 214 | TRAJETÓRIA 3

texto. Assim, será promovido o desenvolvimento de algumas habilidades da disciplina de Arte, como EF69AR04 e EF69AR05. As histórias podem ser reunidas e organizadas de modo a ser produzido um livro que pode contar também com a participação do professor de Língua Portuguesa.

CHECK-IN Apresente a imagem de abertura do passeio e proponha que comentem a cena e façam a

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

pergunta: De que modo interagimos com o espaço em casa e na cidade? A discussão relaciona-se com o TCT Vida Familiar e Social. Procure instigar os estudantes a verbalizar como é sua vivência, propondo reflexões para que, em suas relações, haja empatia, diálogo e cooperação e suas atitudes promovam o respeito ao próximo. Aproveite esse momento de produção artística para organizar um mural na escola e expor os trabalhos.

Apresente à turma algumas sugestões de questões que possam orientar suas gravações, como: Até que ano você estudou? Como era a sua escola? Como você ia para a escola? Conte-nos um fato que marcou sua vida na escola. Algumas dicas de como gravar um vídeo com o celular podem ser encontradas em sites populares. Após gravarem os vídeos, organize um dia para a apresentação, para todos da turma assistirem a eles.

ARREDORES Representação de pontos PLANO CARTESIANO Representação de polígonos

Perímetros AMPLIAÇÃO E REDUÇÃO DE FIGURAS

Medidas Área da superfície

Vista aérea e localização

Malha quadriculada

Plantas baixas

EF06MA16, EF06MA21, EF06MA24, EF06MA28, EF06MA29 EF69AR04, EF69AR05 EF06GE08

BÚSSOLA Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: • • • • • • •

Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas de residências e vistas aéreas. Representar pontos e figuras geométricas planas em um plano cartesiano. Ampliar e reduzir figuras geométricas planas utilizando malhas quadriculadas, plano cartesiano e aplicativos de geometria dinâmica. Calcular o perímetro de figuras geométricas planas. Calcular a área da superfície de figuras geométricas planas utilizando malhas quadriculadas. Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área da superfície de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem as medidas de seus lados. Resolver problemas no contexto de medidas de comprimento e de superfície.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL Com o objetivo de incentivar o diálogo com seus familiares e conhecer um pouco mais sobre a relação deles com o estudo, proponha aos estudantes que realizem um vídeo relato. Cada estudante deve escolher dois familiares e gravar seus depoimentos em vídeo. Eles escolhem se irão usar o celular, o computador ou uma câmera. Verifique com antecedência se todos os estudantes possuem ao menos um desses três recursos. Caso contrário, organize duplas ou trios que possam compartilhar

215 |

esses equipamentos. O vídeo deverá ter, no máximo, três minutos e os participantes deverão relatar sua trajetória como estudantes. Esclareça aos estudantes que a atividade não é relacionada apenas a familiares com laços consanguíneos, mas também laços de afeto e carinho. Oriente-os a determinar quais os critérios na escolha dos familiares com diferença entre as idades, no gênero, no grau de parentesco etc. Com essa atividade, os estudantes conhecerão histórias de sua própria família e, assim, valorizarão a importância dos estudos para a sua vida. 215 |

Organize uma roda de conversa e leiam o texto coletivamente. Elabore questões para que apresentem as palavras desconhecidas e os trechos do texto que não entenderam para que conversem sobre eles. As atividades exploram a leitura da seção Atmosfera. Crie perguntas para que eles façam reflexões críticas sobre ser jovem, suas particularidades pessoais e o envolvimento com as pessoas e lugares que frequenta. No decorrer dessas atividades, espera-se que o estudante verbalize sobre modos de se fazer respeitado e respeitar os outros.

ATMOSFERA ATMOSFER A O jovem e a cidade PAPER TRIDENT/SHUTTERSTOCK

Atividades 1 e 2

Pertencer à cidade não é algo simples aos jovens. Muitas vezes, nem aos adultos. Algo que exige curiosidade, entrega e coragem. Coragem para descobrir o que não se sabe. Para se arriscar no desconhecido. Para olhar para os lados e contemplar. Mais do que saber andar de ônibus, saber qual estação descer no metrô ou atravessar na faixa de pedestres. Tem algo a mais, além de entender o “simples” funcionamento da cidade. Ir a museus e exposições, explorar parques e praças públicas, assistir apresentações de teatro, música e cinema, andar pela cidade e participar de atividades culturais são ações que contribuem para o envolvimento do jovem com o território. Ampliam sua possibilidade de mundo interno e externo. Na arte, na rua e na cultura, ele é capaz de se encontrar, descobrir seus gostos e preferências, se conhecer e reconhecer.

Pertencer à cidade exige estabelecer laços com ela. E isso só é possível com o dia a dia, com a “con-vivência”. Com o ir e vir que ela oferece. E assim vai se criando intimidade e, aos poucos, ela pode ser vista e vivida como acolhedora. Assim, fica mais fácil viver nela, confiar e dela sentir-se parte. Lugares do território podem ser referências importantes para a formação do senso de pertencimento do jovem. Circular pela cidade, conhecê-la e se apropriar dos espaços que ela oferece amplia o repertório cultural e olhar crítico do jovem sobre seu território. Além disso, entrar em contato com uma gama diversa de elementos culturais também favorece a expressão de pensamentos, sentimentos e sensações internas muitas vezes conflituosas e difíceis de serem expressas pelo jovem através da fala. [...]

O JOVEM e a cidade. Instituto Fazendo História, 19 dez. 2017. Disponível em: www.fazendohistoria.org.br/blog-geral/2017/12/19/o-jovem-e-a-cidade. Acesso em: 29 jul. 2022.

ATIVIDADES

Respostas pessoais.

Segundo o texto, “pertencer à cidade não é algo simples aos jovens. [...] Tem algo a mais, além de entender o ‘simples’ funcionamento da cidade”. O que seria esse “algo a mais”, segundo o texto? Em pequenos grupos, conversem sobre o significado da afirmação: “Ir a museus e exposições, explorar parques e praças públicas, assistir apresentações de teatro, música e cinema, andar pela cidade e participar de atividades culturais são ações que contribuem para o envolvimento do jovem com o território. Ampliam sua possibilidade de mundo interno e externo.” •

Compartilhem as ideias com a turma.

216 | TRAJETÓRIA 3

216 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

#Vistas aéreas e localização EQUINOXVECT/SHUTTERSTOCK

A imagem representa a vista aérea de certa parte de uma cidade:

Há uma variedade de elementos que podemos identificar: ruas, pontes, rios, áreas verdes, casas, faixas de pedestres etc. Entretanto, como poderíamos descrever com maior precisão informações sobre essa vista? Por exemplo, a informação “às margens do rio” não é muito precisa. De qual margem estamos falando: a esquerda ou a direita? Na região mais próxima da primeira ponte? Ou entre as duas pontes? Ou depois da segunda ponte?

EQUINOXVECT/SHUTTERSTOCK

Para tornar essas indicações mais precisas, podemos adotar esta estratégia: quadricular a imagem e utilizar letras para representar colunas e números para representar linhas.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

217 |

Habilidades (EF06MA16) Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1o quadrante, em situações como a localização dos vértices de um polígono. (EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas. Encontro com outras disciplinas (EF06GE08) Medir distâncias na superfície pelas escalas gráficas e numéricas dos mapas. As orientações que seguem são válidas para esta e para a página seguinte. Proponha aos estudantes a construção da planta baixa da sala de aula. Para explicar o que é uma planta baixa como um tipo de representação cartográfica, convide o professor de Geografia e, juntos, incentivem o desenvolvimento da habilidade EF06GE08. Mostre um exemplo de planta baixa de uma casa ou de um apartamento. Oriente os estudantes a efetuar as medições das dimensões da sala de aula e de tudo que a compõe usando uma trena ou uma fita métrica. Confira com eles essas medições. Peça que anotem em uma folha de papel. Nesse momento, é importante decidir em qual escala a planta baixa deverá ser desenhada. Escolhida a escala, permita que iniciem a construção da planta baixa. Lembre-os de que todos os objetos devem ser representados em duas dimensões e que devem ser usadas cores diferentes para ilustrar esses objetos. Após a construção da planta baixa da sala de aula, organize uma exposição.

217 |

Agora, podemos utilizar um código de letras e números para indicar certo elemento da figura. Por exemplo, o “quadrado I4” representa um trecho específico da margem do rio:

EQUINOXVECT/SHUTTERSTOCK

LUPAS E LUNETAS Para esta atividade, forme uma dupla com um colega. a) Escolha algum elemento da figura (por exemplo, um carro). Descreva a sua localização para o colega sem utilizar os códigos. Em seguida, utilize o código para informar uma localização mais precisa desse elemento. Resposta pessoal. b) Se desenharmos uma malha quadriculada com quadrados maiores e indicarmos as informações na figura, será mais ou será menos preciso? E se desenharmos malhas com quadrados cada vez menores? Justifique sua resposta e compartilhe com o restante da turma. Resposta esperada: uma malha quadriculada com mais quadrados faz com que uma parte menor da cidade seja limitada pelo quadrado, sendo mais precisa a localização de algo que está nessa área. Se o quadrado for maior, uma área maior será localizada por ele, dificultando a localização de algo específico nessa região.

#Plano cartesiano

Relacionamos os pontos de uma reta numérica a números:

Ao posicionarmos no plano duas retas numéricas perpendiculares, cruzando-se no ponto 0 de cada uma, delimitamos um plano cartesiano. Essas retas numéricas são os eixos cartesianos, sendo a reta vertical chamada de eixo Oy e a horizontal de eixo Ox. O ponto de encontro entre as retas, ou eixos cartesianos, é denominado origem. Esse sistema de eixos nos permite agora relacionar pontos do plano a números de cada uma das retas numéricas ou eixos cartesianos. Representamos esses pontos como um par de coordenadas: (coordenada do eixo Ox, coordenada do eixo Oy ) 218 | TRAJETÓRIA 3

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Sugestão de atividade

Explore o uso da malha quadriculada antes das atividades deste boxe: proponha que construam, em malha quadriculada, o 1o quadrante do plano cartesiano, localizem os pontos, A(4,8), B(5,5), C(8,4), D(5,3), E(4,0), F(3,3), G(0,4), H(3,5), e tracem os segmentos de reta, AB, BC, CD, DE, EF , FG, GH, HA.

218 | MANUAL DO PROFESSOR

Habilidade

Veja alguns exemplos:

(EF06MA16) Associar

pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1o quadrante, em situações como a localização dos vértices de um polígono.

Os valores do eixo Ox são denominados abscissas e os do eixo Oy são denominados ordenadas. Por exemplo, no ponto C (6, 5), dizemos que 6 é a abscissa e 5 é a ordenada desse ponto. Por esse motivo, é comum também falarmos que o eixo Ox é o eixo das abscissas, e o eixo Oy é o eixo das ordenadas. Perceba que a ordem como representamos os pontos de cada eixo é importante: o primeiro número desse par de coordenadas é sempre relativo ao eixo Ox e o segundo é sempre relativo ao eixo Oy. Por exemplo, os pontos D (11, 4) e E (4, 11) são diferentes. Por esse motivo, esses pares de coordenadas são denominados também pares ordenados. Sim. Basta identificar a ordenada no eixo Oy e, a partir dela, traçar um LUPAS E LUNETAS c) segmento de reta horizontal até atingir a abscissa do ponto. Uma estratégia para representar pontos no plano cartesiano a partir de um par ordenado é: • identificar a abscissa no eixo Ox;

219 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

4 3

P M N 1

M(1, 2); N(2, 1); Q(3, 4); P(4, 3) c) Na localização dos pontos, é importante saber identificar a abscissa e a ordenada. Não importa a ordem para iniciar a localização, porém, o par ordenado tem o primeiro número relativo à abscissa, e o segundo, à ordenada, ou seja, aos eixos Ox e Oy, nessa ordem.

8 7

I k

g h

1 0

trar localizações diferentes. Uma possibilidade de resposta é:

• Compartilhe suas respostas com a turma. Sim. A abscissa indica a distância do ponto em relação ao eixo vertical, então os pontos do eixo vertical (Oy) sempre terão abscissa igual a zero.

b) Os estudantes podem regis-

–1

• Todos os pontos pertencentes ao eixo Oy sempre terão abscissa igual a 0?

e no plano cartesiano é:

a) Em duplas, desenhem um plano cartesiano e utilizem essa estratégia para representar os pontos A (2, 4) e B (1, 5). b) Escreva um par ordenado qualquer e proponha que o colega de dupla o represente no plano cartesiano. Resposta pessoal. c) A estratégia apresentada parte da abscissa do ponto. É possível reelaborar essa estratégia partindo da ordenada do ponto? Converse com sua dupla e compartilhe com o restante da turma. d) Observe os pontos O, A e B no plano cartesiano do início do tema. Esses pontos têm o zero como ordenada ou abscissa (ou ambas, no caso do ponto O). Assim, investigue as questões com o colega de sua dupla: • Todos os pontos pertencentes ao eixo Ox sempre terão ordenada igual a 0?

a) A representação dos pontos

• a partir dela, traçar um segmento de reta vertical até atingir a altura da ordenada do ponto.

Espera-se que façam uma figura semelhante a representada abaixo. Apresente a solução depois de os estudantes terem concluído a atividade. Caso tenham cometido algum engano, o desenho não será semelhante a essa imagem. Então, proponha que refaçam em outro plano cartesiano. Se possível, utilizem um software de geometria dinâmica.

LUPAS E LUNETAS

E13_MAT_L6_T3_G113

d) Sim. A ordenada indica a altura do ponto em relação ao eixo horizontal, então os pontos do eixo horizontal (Ox) sempre terão ordenada igual a zero.

Estrela da atividade sugerida. 219 |

Habilidade

ATIVIDADES

(EF06MA16) Associar

Atividade 3

3. Utilize uma malha quadriculada para desenhar um plano cartesiano e representar os pontos: E13_MAT_L6_T3_G115

pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1o quadrante, em situações como a localização dos vértices de um polígono.

1 5 ⎛2 ⎞ G⎛ , ⎞. A (1, 4), B (4, 1), C (3, 3), D (0, 5), E (2, 0), FF ⎝ 4 , 5⎠ e G ⎝ 3 2⎠

4. Neste plano cartesiano, foram representadas algumas figuras geométricas:

Essa atividade pode ser realizada na malha quadriculada ou utilizando um software para que os estudantes compreendam e utilizem as tecnologias digitais. Observe os pontos no plano cartesiano.

Atividade 4

Escreva os pares ordenados que representam os vértices do: a) retângulo; (1, 6), (9, 6), (1, 10), (9, 10) b) triângulo; (1, 1), (6, 1), (5, 5) c) trapézio. (9, 2), (15, 2), (14, 5), (9, 5)

E13_MAT_L6_T3_G118

Espera-se que os estudantes consigam identificar as coordenadas dos pontos cartesianos e perceber que, para vértices paralelos ao eixo x ou ao eixo y, os vértices têm uma das coordenadas iguais.

5. Um círculo com centro C foi desenhado no plano cartesiano:

a) Escreva o par ordenado que representa

o seu centro. C (4, 3) b) Escreva um par ordenado que corresponda

a um ponto:

Respostas possíveis:

•

dentro do círculo; (4, 3), (4, 2), (5, 3) etc.

•

fora do círculo;

•

pertencente à circunferência que delimita

Respostas possíveis: (6, 1), (6, 2), (2, 5) etc.

o círculo. Resposta possível: (4, 1).

6. Utilize uma malha quadriculada para desenhar um plano cartesiano. Desenhe nele uma figura geométrica fechada, com lados retos e que não se cruzam, tendo como vértices os pares ordenados: A (1, 1), B (2, 3), C (1, 5), D (3, 5), E (5, 4), F (6, 1), G (2, 0). Compartilhe sua resposta com os colegas. 220 | TRAJETÓRIA 3

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 5

Esta atividade, com a representação de um círculo, apresenta muitas possibilidades de resposta para cada pergunta. Proponha que representem o plano cartesiano na lousa e compartilhem suas respostas.

Esta atividade pode ser realizada usando um software de geometria dinâmica, caso considere adequado.

y 6 5

(2, 5)

(3, 4)

(5, 3)

2 1 0

220 | MANUAL DO PROFESSOR

Atividade 6

Uma sugestão de resposta é:

(3, 2) (1, 1) 1

(4, 1) 2

6 x

Habilidade

#Ampliação e redução de figuras

ROBUART/SHUTTERSTOCK/ ARTE M10

Duda está tirando fotos da praça de seu bairro e notou uma curiosidade: apesar de a foto representar exatamente o lugar, as pessoas e os objetos, a imagem na tela de seu celular é bem menor do que a realidade!

(EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais. A ampliação, ou a redução, requer manter a proporcionalidade das medidas. Um bom exemplo é a impressão ou cópias ampliadas ou reduzidas de documentos ou fotos. Um recurso que pode ser utilizado para explorar esse conceito são os aplicativos de desenho: podemos construir polígonos e ampliar e reduzir as imagens. Sugestão de leitura

SHUTTERSTOCK/ARTE M10

Isso ocorre porque a imagem capturada na foto é uma redução daquele cenário da vida real. Duda gostou tanto de sua fotografia que decidiu imprimi-la no tamanho de uma cartolina e transformar em um quadro! Comparando com a imagem na tela do celular, notou que, dessa vez, a imagem era maior, mesmo mantendo todos os seus aspectos, elementos e características. Assim, houve uma ampliação da imagem do celular.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

O vídeo mostra como ampliar ou reduzir uma figura mantendo a proporcionalidade das medidas. A noção de ampliação é apresentada usando a imagem de um carro e o carro original. Também são apresentadas a ampliação e redução de figuras planas. AMPLIAÇÃO ou redução? Khan Academy. Disponível em: https://pt.khanacademy. org/math/6-ano-matematica/ geometria/ampliacao-e-reducao-de-figuras/v/reconhecendo-situacoes-de-ampliacao-e-reducao. Acesso em: 15 jul. 2022.

221 |

Proponha que elaborem outra figura: escolha um dos estudantes para informar as coordenadas da sua figura enquanto os colegas localizam as coordenadas no plano cartesiano.

221 |

figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais.

Perceba que falar somente em “maior” ou “menor” não garante que as imagens sejam, de fato, ampliações ou reduções da imagem real. Por exemplo, considere a imagem deste banco:

As próximas imagens, apesar de aparentarem ser maiores ou menores que ela, não são suas ampliações nem reduções:

6 unidades

Há dois modos de fazer uma ampliação. Um deles é dobrando, por exemplo, a medida de cada lado e mantendo os ângulos para que as figuras sejam semelhantes. Veja um exemplo:

Redução e ampliação em malha quadriculada

ALEXANDRE R./ M10

(EF06MA21) Construir

ALEXANDRE R./ M10

Habilidade

8 unidades

Outro modo é utilizando malhas quadriculadas de tamanhos diferentes. Se o quadrado da malha for maior que o da malha original, a figura será ampliada. Se for menor, será reduzida. Veja o exemplo:

Podemos dizer que são imagens de bancos diferentes do original. Vamos entender melhor como produzir ampliações e reduções de uma figura? Observe as figuras geométricas poligonais desenhadas em uma malha quadriculada:

Original

Ampliação

Nesse exemplo, para obter a redução da figura, o comprimento de cada lado da figura original foi dividido por dois. Para obter a ampliação, o comprimento de cada lado da figura original foi multiplicado por dois. Perceba que as medidas dos ângulos correspondentes de todas as figuras se mantiveram. 222 | TRAJETÓRIA 3

222 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

ATIVIDADES

7. Reproduza esta figura em uma malha quadriculada.

(EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais.

9. Observe a estratégia de ampliação e redução de uma figura: O_Professor

@matemúltiplo

Para duplicar o tamanho da figura original, em vez de multiplicar a medida do comprimento de cada lado por dois, por exemplo, eu poderia dobrar o comprimento dos lados de cada quadradinho da malha quadriculada. Assim, reproduziria o mesmo desenho, mas utilizando quadradinhos maiores! 56

7. Atividade 7

Caso considere adequado, esta atividade pode ser realizada utilizando um software de geometria dinâmica para realizar a ampliação e a redução da figura. Explore outras figuras. a) e b)

a) Amplie a figura de modo que cada lado

9. b)

tenha o triplo do comprimento da figura original. b) Reduza a figura de modo que cada lado tenha a metade do comprimento da figura original.

8. Observe as figuras desenhadas em uma

item (a): x3

malha quadriculada:

figura original item (b): x0,5

c) a) Em duplas ou trios, conversem sobre essa

Quais delas são ampliações ou reduções da figura original? Justifique sua resposta.

estratégia e verifiquem se a compreenderam. Resposta pessoal. b) Construa duas malhas quadriculadas: uma delas deverá ter quadradinhos com 2 cm de lado e a outra, quadradinhos com 4 cm de lado. Desenhe uma figura geométrica poligonal qualquer na malha de quadradinhos de 2 cm e a amplie utilizando a outra malha. c) Será que essa estratégia também funciona para reduzir a figura original? Construa uma malha quadriculada com quadradinhos de 1 cm de lado e reduza a figura que você criou originalmente.

8. As figuras A e C, porque preservam as medidas dos ângulos da figura original e as medidas dos lados são múltiplas ou divisoras das medidas originais.

Atividade 9

Caso julgue adequado, entregue material impresso com as malhas quadriculadas em tamanhos diferentes. Organize a socialização da atividade. a) Possível resposta:

b) Possível resposta:

Sobrepondo as imagens, percebemos a proporcionalidade das medidas, pois o triângulo médio (A) tem metade da medida do lado do triângulo original, e o menor (C), a quarta parte; também se mantêm as medidas dos ângulos internos nesses triângulos.

223 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 8

Original

Aponte que, nas transformações homotéticas, além da proporcionalidade nas medidas lineares, os ângulos também são mantidos com as mesmas medidas. Proponha que um aluno faça a representação de um retângulo e um losango e, depois, ampliem-nos ou reduzam-nos. Mostre os ângulos e compare-os. Compare também as medidas dos lados e faça perguntas para que os estudantes percebam a proporcionalidade. 223 |

Habilidade (EF06MA21) Construir

figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais.

Ampliação e redução no plano cartesiano Observe a figura geométrica. Seus vértices estão representados pelos pontos: O (0, 0), A (1, 4), B (2, 4), C (3, 2), D (3, 1), E (4, 0). Como faríamos para ampliar essa figura de modo a, por exemplo, duplicar as medidas dos comprimentos de seus lados?

×2

A (1, 4)

LUPAS E LUNETAS Proponha que um estudante resolva na lousa, com o auxílio dos colegas, e, depois, peça a todos que registrem no caderno.

A’ (2, 8) ×2

Uma estratégia é multiplicar a abscissa e a ordenada de cada par ordenado por dois. Os pontos da figura ampliada serão representados por O’, A’, B’, D’, E’. Por exemplo: y

VÉRTICES DA

FIGURA ORIGINAL

FIGURA AMPLIADA

O (0, 0)

O’ (0, 0)

A (1, 4)

A’ (2, 8)

B (2, 4)

B’ (4, 8)

C (3, 2)

C’ (6, 4)

D (3, 1)

D’ (6, 2)

E (4, 0)

E’ (8, 0)

B’

A’

8 7 6 5

C’ C

O’ 0

D’

D O

E’

E 1

9 x

LUPAS E LUNETAS Para reduzir uma figura no plano cartesiano, utilizamos uma estratégia similar, porém dividindo as abscissas e as ordenadas dos pontos que representam os vértices da figura.

y 5

Observe uma figura reduzida até que seus lados tivessem, por exemplo, metade do comprimento da figura original:

Escreva as coordenadas dos pares ordenados da figura original e da figura reduzida.

Figura original: (0, 0), (4, 0), (3, 1), (3, 2), (2, 4), (1, 4). 3 1 3 1 (0, 0), (2, 0), ⎛⎜ , ⎞⎟ , ⎛⎜ , 1⎞⎟ , (1, 2), ⎛⎜ , 2⎞⎟ . Figura reduzida: ⎝ 2 2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝2 ⎠

2 1 1 2 0

224 | TRAJETÓRIA 3

224 | MANUAL DO PROFESSOR

1 2

3 2

5 x

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade ARTE/ M10

NUVENS NUVEN S Ampliar e reduzir figuras utilizando aplicativos de geometria dinâmica Ao iniciar o aplicativo, será exibido um plano cartesiano e uma barra de ferramentas com diversas opções. Aqui, utilizaremos a função “novo ponto”.

(EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais.

ARTE/ M10

Atividades 10 e 11

ARTE/ M10

Em seguida, marcaremos no plano cartesiano os pontos A, B, C e D. Note que, ao marcarmos os pontos no plano, aparece uma lista com as coordenadas dos pontos.

ARTE/ M10

Faremos isso para cada um dos pontos A, B, C e D. Veja como ficou a figura final, ampliada com o triplo do tamanho da original:

Verifique antecipadamente se é possível realizar as atividades na sala de informática e se há um software de geometria dinâmica instalado. Faça previamente com a turma a leitura coletiva do texto. Se possível, faça o passo a passo em uma máquina (transmitindo a imagem duplicada em uma TV ou telão) para que consigam realizar a atividade simultaneamente. Organize como poderão compartilhar as figuras criadas. Proponha que os estudantes discutam essas questões em duplas e socializem os modos que descobriram para reduzir a figura geométrica, tal como usando o teclado virtual para dividir as coordenadas pelo valor desejado.

ATIVIDADES

Respostas pessoais.

10. Elabore outras figuras e experimen-

te ampliá-las com um aplicativo de geometria dinâmica. Compartilhe sua produção com os colegas. 11. Como faríamos para reduzir uma figura geométrica utilizando esse aplicativo? Compartilhe com os colegas a sua estratégia. 225 |

225 |

Algumas figuras podem ser usadas como referência de uma unidade de medida de superfície. Observe estas imagens:

#Plantas baixas, perímetro e área da superfície Para determinar a quantidade de lajotas necessárias, Lina dividiu a região em duas regiões retangulares e, em seguida, quadriculou cada uma de acordo com o tamanho da lajota. Para calcular quantas lajotas serão necessárias, ela seguiu a estratégia: ALEXANDRE R./ M10

ALEXANDRE R./ M10

Lina vai reformar uma parte da casa onde mora. Ela gostaria de trocar todo o piso da região delimitada:

Ela precisa calcular quanto de material vai gastar. Para o piso, ela utilizará lajotas quadradas e peças de rodapé:

Assim, serão necessárias 30 lajotas. Em Geometria, chamamos a medida de uma superfície de área.

ALEXANDRE R./ M10

Habilidades (EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento. (EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas. Encontro com outras disciplinas (EF06GE08) Medir distâncias na superfície pelas escalas gráficas e numéricas dos mapas.

Uma unidade de medida de superfície é o metro quadrado (m2), que pode ser definido como a área ocupada por um quadrado de 1 m de lado.

Para calcular “quantos metros” de rodapé precisará, ela adicionou os comprimentos de cada parede da região que vai reformar: 4 m + 3 m + 5 m + 2 m + 9 m + 5 m = 28 m A soma das medidas dos lados de uma figura poligonal é o seu perímetro.

Assim, dizemos que o perímetro da figura poligonal que representa a região a ser reformada é 28 m. Ou seja, Lina precisará comprar, ao todo, 28 metros de peças de rodapé.

No contexto da reforma de Lina, como as lajotas eram quadradas e tinham lados com 1 m de comprimento, podemos afirmar que a área de cada lajota era 1 m2 e, como serão necessárias 30 lajotas para recobrir toda a região, a área da figura poligonal que representa essa região é de 30 m2.

226 | TRAJETÓRIA 3

As duas figuras têm a mesma área de superfície, mas foram utilizadas unidades de medida diferentes. Como a área do triângulo é metade da área do quadrado, na figura caberá o dobro das unidades de medida de superfície. Sugestão de atividade

Forneça uma malha quadriculada de 1 cm × 1 cm para os 226 | MANUAL DO PROFESSOR

estudantes e peça que desenhem todos os retângulos possíveis de perímetro 36 cm e que registrem no caderno e compartilhem. Depois, façam todos os retângulos possíveis com área da superfície de 36 cm2 e que registrem no caderno e compartilhem para verificar se conseguiram encontrar todas as possibilidades. Os estudantes podem também registrar outra informação: na atividade do perímetro, registrem as áreas, e na atividade das áreas, registrem os perímetros. Essa atividade contribui para que o

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

estudante diferencie área da superfície e perímetro e possa analisar como as medidas dos lados interferem nessas grandezas. Atividades 12 a 15

Converse sobre o significado de área da superfície e de perímetro e apresente algumas figuras como quadrado e retângulo para que calculem mentalmente. Aponte a diferença entre as unidades de medida. O cálculo da área pode ser por decomposição da figura na malha quadriculada ou pela multiplicação de dois lados não paralelos.

ATIVIDADES

Perímetro: 28 m. Área da superfície: 41 m2.

12. Calcule o perímetro e a área da superfície

da figura. Compartilhe com os colegas a estratégia que você utilizou.

Utilizando essa estratégia, calcule as áreas das figuras:

Habilidades (EF06MA24) Resolver e elaborar problemas queem um re14. Triângulo: pode ser reorganizado tângulo de dimensões 2 × 3 quadradinhos, ou envolvam as grandezas seja,comprimento, de área da superfície 6 m2. Losango: pode massa, ser reorganizado em um retângulo de dimensõe temperatura, áreada superou seja, de área 2 × tempo, 4 quadradinhos, e retângulos), pode ser reorganizado em fície(triângulos 8 m2. Pentágono: doiscapacidade retângulos de respectivas dimensões 5 × 4 e volume 2 × 2 quadradinhos. Assim, a área da superfície (sólidos formados por 20 + 4 = 24 m . blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento. (EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas. 2

15. Veja o que Nina concluiu após calcular áreas

13. Calcule o perímetro das figuras:

utilizando malhas quadriculadas: Nina_onze

84 cm

@melhorsala

Para calcular a área da superfície de uma figura retangular em m2, não preciso de uma malha quadriculada. Basta multiplicar a medida de dois lados não paralelos. Por exemplo:

16 cm

Atividade 14

• Atria!ngulo = 2 ⋅ 3 = 6 m 2 • Alosango = 4 ⋅ 2 = 8 m • Apentágono = (5 ⋅ 4) + (2 ⋅ 2) = 20 + 4 2

Apentágono = (5 ⋅ 4) + (2 ⋅ 2) = 20 + 4 = 24 m2 c)

2 130 mm

14. Observe a estratégia para calcular a área da superfície de uma figura triangular em uma malha quadriculada:

Resposta pessoal.

a) Em duplas ou trios, conversem sobre essa

estratégia. Justifiquem seu funcionamento.

b) Calcule a área da superfície de cada figura

geométrica:

16 mm2, 26 m2, 65 cm2.

Observe se algum aluno observa que a área da superfície do triângulo pode também ser calculada pela multiplicação da altura pela metade da base ou da base pela metade da altura. Atividade 15

a) As multiplicações podem ser

227 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

representadas geometricamente e usadas para facilitar os cálculos. b) As áreas das superfícies das figuras de acordo com a multiplicação das dimensões ou por diferença de áreas no caso do hexágono são: Aquadrado = 4 ⋅ 4 = 16 mm2 Areta!ngulo = 2 ⋅ 13 = 26 m2 4 cm

Atividade 12

A área da superfície pode ser calculada por 5 ⋅ 7 + 6 = 41 m2 .

O perímetro pela adição das medidas dos lados: (2 ⋅ 7) + (2 ⋅ 3) + (8 ⋅ 1) = 14 + 6 + 8 = 28 m

4 cm (5 + 4) cm

Atividade 13

O perímetro pode ser calculado adicionando as medidas dos lados ou calculando o dobro do semiperímetro, dentre outros modos, de acordo com a figura. a) 21 + 35 + 28 = 84 cm b) 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 6 = 4 + 12 = 16 cm c) 200 + 295 + 300 + 210 + 520 + 605 = 2 130 mm

(5 + 4) cm

Ahexágono = 9 ⋅ 9 – 4 ⋅ 4 = 65 cm2

227 |

Habilidade (EF06MA29) Analisar e

descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área.

TRAVESSIAS

c) Área da superfície da figura original: 4 quadradinhos da malha; área da superfície da figura reduzida: 1 quadradinho da malha; área da superfície da figura ampliada: 16 quadradinhos da malha.

Perímetro e superfície de uma figura e sua relação com a ampliação ou a redução Observe a redução e a ampliação de um quadrado:

Atividade 16

Essa atividade exploratória pode ser aplicada entregando uma reprodução da imagem do livro para o estudante, de modo que ele possa recortar e sobrepor os quadrados ou pintá-los. Converse com cada grupo instigando-os a verbalizar as relações entre a medida do lado e a área da superfície e a medida do lado e o perímetro e peça que registrem suas conclusões. Pela proposta investigativa da atividade, espera-se que os estudantes percebam que dobrando a medida do lado, o perímetro dobra e a área da superfície quadruplica.

a) Perímetro da figura original: 8 lados de quadradinhos da malha; perímetro da figura reduzida: 4 lados de quadradinhos da malha; perímetro da figura ampliada: 16 lados de quadradinhos da malha. ATIVIDADES

Sabe-se que as medidas dos comprimentos dos lados da figura reduzida têm a metade das medidas dos lados da figura original e que as medidas dos comprimentos dos lados da figura ampliada têm o dobro das medidas dos lados da figura original. 16. Vamos investigar o que ocorre com o perímetro e a área da superfície das ampliações

e das reduções em relação à figura original? Recorra a uma investigação, realizando cada etapa indicada a seguir. a) Calcule o perímetro de cada uma das figuras, utilizando o lado do menor quadra-

dinho da malha como unidade de medida de comprimento.

b) A partir da investigação, copie e complete as afirmações. Justifique suas respostas.

Ao dobrar a medida do comprimento do lado do quadrado, seu perímetro . dobra Ao dividir pela metade a medida do comprimento do lado do quadrado, seu perímetro fica . dividido pela metade c) Calcule a área da superfície de cada uma das figuras, utilizando o quadradinho da malha como unidade de medida de superfície. d) A partir da investigação, responda: Não, a área da superfície quadruplica. • Ao dobrar a medida do comprimento do lado do quadrado, sua área também dobra? • Ao dividir pela metade a medida do comprimento do lado do quadrado, sua área Não, a área da superfície fica reduzida a um quarto da medida também é dividida por 2? original. e) A partir das investigações realizadas, elabore um texto para resumir as mudanças que ocorrem com áreas das superfícies e perímetros de quadrados quando são reduzidos ou ampliados. Respostas pessoais. • •

228 | TRAJETÓRIA 3

228 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LEVO NA BAGAGEM

LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais. Consulte, em seu caderno, os trabalhos que desenvolveu, suas anotações de estudos e reflita sobre o que você aprendeu até agora neste passeio. ▶ Matemática • Consegue interpretar, descrever e desenhar plantas baixas de residências e vistas aéreas? • Sabe representar pontos e figuras geométricas planas em um plano cartesiano? • Sabe ampliar e reduzir figuras geométricas planas utilizando malhas quadriculadas, plano cartesiano e aplicativos de geometria dinâmica? • Consegue calcular o perímetro de figuras geométricas planas? • Consegue calcular a área da superfície de figuras geométricas planas utilizando malhas quadriculadas? • Compreende as mudanças que ocorrem no perímetro e na área da superfície de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem as medidas de seus lados? • Resolve problemas no contexto de medidas de comprimento e de superfície? ▶ Outras disciplinas Arte • Experimentou diferentes formas de expressão artística (desenho, fotografia etc.)? • Analisou elementos constitutivos das artes visuais (ponto, linha, forma, direção, escala, dimensão, espaço, movimento etc.)? Geografia • Mediu distâncias na superfície de mapas ou plantas baixas?

Neste momento do passeio, organize a leitura coletiva do texto para que, respondendo às questões propostas, os estudantes reflitam sobre seu próprio aprendizado enquanto escutam ativamente as dificuldades encontradas pelos colegas. Com o preenchimento da tabela poderão classificar seu desempenho em Matemática ou nas disciplinas presentes nas atividades interdisciplinares. Diante dessas informações, poderão conversar com professores, familiares ou amigos para compartilhar suas estratégias e repensar em novas atitudes que contribuam para minimizar as dificuldades.

Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Insuficiente

Parcialmente suficiente

Satisfatório

Plenamente satisfatório

MATEMÁTICA OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

229 |

BARCOS E PORTOS

Organize

Oriente os estudantes a observar o material produzido ao longo deste passeio e façam um resumo dos conteúdos. Peça que elaborem uma figura em folha à parte para facilitar a troca entre os colegas. Organizar os conteúdos que estudaram ajuda a identificar as possíveis dificuldades. Proponha

Retome a questão inicial do passeio: De que modo interagimos com o espaço em casa e na cidade? Relembre a conversa inicial, façam um mapa simples da região e localizem os pontos principais de convívio (praça, igreja, escola, mercado, farmácia).

Plano cartesiano

Ampliação e redução de figuras

▶ Elabore

▶ Proponha A pergunta inicial deste passeio é: De que modo interagimos com o espaço em casa e na cidade? A cidade é constituída de inúmeros elementos, como parques, prédios, comércio, praças, ruas, avenidas, espaços de lazer etc. Os locais onde moramos, em que convivemos e onde estudamos são parte desse todo.

SUNDRY STUDIO/SHUTTERSTOCK

Mapa desenhado à mão, representando a cidade de Pula, na Croácia, com os principais pontos de interesse, incluindo a Arena Pula.

230 | BARCOS E PORTOS

230 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Vamos fazer um mapa visual para ilustrar tudo isso? a) Pesquisem por um mapa de seu bairro ou de sua cidade (pode ser impresso ou

digital).

TOVOVAN/SHUTTERSTOCK

b) Escolham pontos de interesse: praças, referências etc.

Caso encontrem dificuldades em elaborar o mapa, use um aplicativo de geolocalização e observe onde esses lugares estão posicionados. Use imagens que criaram ou fotos para destacar esses locais. Para que outras turmas identifiquem os lugares registrados, organize um mural e exponham a produção na escola.

Ilustração de mapa de uma cidade fictícia, com destaque para alguns pontos de referência. c) Em seguida tirem fotos, coletem imagens na internet ou produzam desenhos para

representar esses lugares e ilustrar esses pontos de interesse no mapa.

d) Depois, tirem fotos ou ilustrem os locais que vocês frequentam, convivem, moram

etc. Coloquem-nos também no mapa.

e) Ao final, exponham o mapa produzido em murais da escola ou da própria sala de aula.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

231 |

VISTORIAS

Habilidades de Matemática EF06MA07, EF06MA09, EF06MA10, EF06MA13, EF06MA15, EF06MA16, EF06MA21, EF06MA24, EF06MA28, EF06MA29

Você chegou ao final desta Trajetória. Reflita sobre tudo o que aprendeu e verifique a qualidade da sua aprendizagem. Resolva todos os exercícios no caderno.

CHECK-OUT

1. Escreva a fração correspondente a cada siAtividade 1

12 a) Em um grupo de 100 pessoas, 12 têm 100

Avalia a capacidade de compreender os significados das frações em situações do cotidiano.

olhos verdes.

47 b) Lena encomendou 150 brigadeiros e, até 150

Atividade 2

15 24

agora, comeu 47 deles.

8 c) Um jardim recém-criado de 15 m2 tem 15

Avalia a capacidade de representar por meio de frações as partes (ou quantidades) pintadas da(s) figura(s) que compõe(m) o todo, seja ele contínuo, seja discreto.

8 m2 de área da superfície plantada.

7 d) Comprei 20 ovos e deixei quebrar 7 deles. 20

2. Escreva as frações relativas à parte colorida

3. Sabendo que cada figura representa uma fração de um todo, desenhe o todo.

em cada item:

Atividade 3

Avalia a capacidade de representar o todo, observando uma parte.

2 4

1 4 1

b) 6

1 2 × 20 = 8 vermelhas e × 20 = 5 amarelas. 4 5 1 × 20 = 5 amarelas. ermelhas e 4 Assim, 20 – 8 – 5 = 7 brancas. 20 – 8 – 5 = 7 brancas. Outro modo de determinar a quantidade de camisas brancas pode ser: 2 1 20 – 8 – 5 7 1– – = = 5 4 20 20 7 × 20 = 7 brancas. brancas. Então, 20

5 9

Atividade 4

c) 3

4. Nino possui 20 camisas, das quais 5 são

1 vermelhas, 4 , amarelas e as demais, brancas. Determine a quantidade de camisas de cada cor que ele tem. 8 vermelhas, 5 amare-

4 5

las, 7 brancas.

5. A bibliotecária Fran comprou uma coleção

7 8

1 de livros dos quais 5 eram científicos, que correspondem a 12 livros. a) Quantos livros ela comprou? 60 livros. b) Um quarto dos livros de literatura da coleção que ela comprou era de um mesmo autor: 6 livros. Determine o total de livros de literatura que ela adquiriu.

Atividade 5

1 a) Se 5 do total de livros = 12, então, o total de livros é 12 ⋅ 5 = 60. 1 dos livros livros de de literatura literatura = 6, b) Se 4 dos literatura = 6, então, o total de livros de literatura é 6 ⋅ 4 = 24. Avalia a capacidade de resolver problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade cujo resultado seja um número natural. Isso acontece tanto na atividade 4 quanto na atividade 5.

6 10

tuação.

2 6 e)

24 livros de literatura.

232 | VISTORIAS

Atividade 6

Exemplos de resposta: 1 2 a) = 3 6

3 6 = 4 8

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

2 4 = 5 10

Busque avaliar os conhecimentos a respeito das frações equivalentes, por meio da representação com figuras. Atividade 7

Para poder comparar as frações apresentadas no problema, é necessário deixar todas com 232 | MANUAL DO PROFESSOR

6. Obtenha frações equivalentes às dadas e desenhe figuras que mostrem a equivalência. a)

1 3

3 4

2 5

Respostas pessoais.

11. Escreva os pares ordenados dos vértices do polígono. (2, 4), (6, 1), (4, 4), (9, 4), (9, 5), (4, 5), (6, 8), (2, 5).

Atividade 9

Basta realizar a subtração: 21 4 7 1 7 ⋅ 3 1 ⋅ 4 – = – = – 24 24 8 6 8 ⋅ 3 6 ⋅ 4 7 1 7 ⋅ 3 1 ⋅ 4 21 4 17 – = . – = – = 8 6 8 ⋅ 3 6 ⋅ 4 24 24 24 Aqui é avaliada a subtração de frações com denominadores diferentes. Atividade 10

7. Três colegas estão fazendo uma tarefa pro1 posta pela professora. Cacá fez 3 da tarefa,

3 6 Liz fez 5 e Luca fez 9 . Determine quem já fez a maior parte da atividade até agora. Luca.

8. O dono de uma rede de três papelarias realiza doações mensais de parte do que fatura em cada uma para instituições de caridade. Certo mês, as papelarias tiveram faturamentos 1 1 2 iguais e ele doou 8 , 10 e 15 desse fatura-

mento de cada uma das suas papelarias. Determine a fração do faturamento conjunto das 3 papelarias que ele doou. 43

120

7 9. Uma caixa-d’água tinha 8 do seu volume preenchido. Um vazamento causou a perda

12. Desenhe, em um plano cartesiano, o polígono cujos vértices são A (1, 1), B (2, 1), C (4, 3), D (5, 6), E (2, 4).

13. Reproduza a figura em uma malha quadriculada e construa duas figuras semelhantes: uma em que as medidas dos lados sejam o dobro das medidas da figura original e outra cujas medidas dos lados sejam a metade das medidas da original.

1 de 6 de seu volume total. Determine a fração

do volume da caixa que ainda está preenchido por água. 17

10. Cerca de 70% da massa do corpo de um ser humano é composta de água. Determine

Esses exercícios trabalham a capacidade de associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1o quadrante em situações como a localização dos vértices de um polígono. Para a atividade 12, o polígono é:

de uma pessoa cuja massa é 80 quilogramas

1 e estime quantas garrafas de água de 1 2 litro

são necessárias para armazenar essa quanti-

dade de água (considere que um quilograma

de água tem volume de 1 litro).

56 quilogramas; cerca de 38 garrafas.

Atividades 11 e 12

quantos quilogramas de água tem o corpo

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

70% de 80 kg são 56 kg de água, que equivalem a 56 litros de água. Um possível raciocínio para a estimativa é: • Se 1 garrafa armazena 1,5 litro, então 10 garrafas armazenam 15 litros. • Se 10 garrafas armazenam 15 litros, então 30 garrafas armazenam 45 litros. O restante pode ser armazenado em 5 a 10 garrafas. Desse modo, uma estimativa seria de 35 a 40 garrafas.

233 |

um denominador comum, por meio das frações Atividade 8 equivalentes. Começamos transformando os denominadores Calculando o mínimo múltiplo comum entre em denominadores comuns entre as três frações: 5, 9 e 3, obtemos 45. 1 15 15 = = 1 1 ⋅ 15 15 8 8 ⋅ 15 120 Assim, Cacá fez 3 = 3 ⋅ 15 = 45 ;, Liz fez 12 12 1 6 6 ⋅ 5 30 = = 3 3 ⋅ 9 27 = . = = ; e Luca fez = 10 ⋅ 12 120 10 9 9 ⋅ 5 45 5 5 ⋅ 9 45 2 ⋅ 8 16 2 C o m o m e s m o d e n o m i n a d o r, t e m o s = = 15 15 ⋅ 8 120 15 27 30 < < Adicionando, obtemos: 45 45 45 , e conclui-se que Luca fez a maior 15 12 16 43 parte de sua tarefa. + + = 120 120 120 120 233 |

Atividades 13 e 14

Com esses exercícios, trabalhamos com figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso do plano cartesiano, favorecendo que o aluno precise abstrair parte do processo e também veja-o ocorrendo no plano concretamente. Para a atividade 13:

14. Dada a figura, crie uma outra ampliada ou

15. Determine a área da superfície da figura, em cm2: 32 cm2.

reduzida em relação a ela. Em seguida, calcule o perímetro e a área da superfície de ambas. Considere o lado do quadrado 1 cm. Construções pessoais.

DE OLHO NA BÚSSOLA Após resolver corretamente os exercícios da seção Check-out, você pôde checar se, de fato, aprendeu a: OBJETIVOS

EXERCÍCIOS

Representar números em forma de fração e reconhecer seus diferentes significados e interpretações.

1, 2, 3

Resolver problemas envolvendo diferentes significados para as frações.

4, 5, 7, 8, 9

Comparar e ordenar frações.

Identificar e utilizar frações equivalentes em diversos contextos.

Realizar operações de adição e subtração envolvendo frações.

4, 5, 7, 8, 9

Compreender a fração como significado de razão e porcentagem.

Resolver problemas envolvendo frações no contexto de medidas.

1, 10

Representar pontos e figuras geométricas planas em um plano cartesiano ou em malhas quadriculadas.

11, 12, 13, 14, 15

Ampliar e reduzir figuras geométricas planas utilizando malhas quadriculadas, plano cartesiano ou aplicativos de geometria dinâmica.

13, 14

Calcular perímetro de figuras geométricas planas. Calcular área da superfície de figuras geométricas planas utilizando malhas quadriculadas. Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área da superfície de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem as medidas de seus lados.

14, 15

Resolver problemas no contexto de medidas de comprimento e de superfície.

234 | VISTORIAS

Atividade 15

É esperado que dividam a figura em partes para calcular a área da superfície de cada uma, supondo que o quadradinho da malha seja 1 cm × 1 cm. Uma possível organização:

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

3 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

234 | MANUAL DO PROFESSOR

Considerando os exercícios que resolveu, como você julga seu desempenho: insuficiente, parcialmente suficiente, satisfatório ou plenamente satisfatório? Resposta pessoal.

Prossiga ▶

Continue estudando! Retome esta Trajetória buscando, com professores e colegas, alternativas para superar os obstáculos de sua aprendizagem. Estude a seção Retornos e resolva novos exercícios referentes à Trajetória 3 que estão na seção Suplemente sua aprendizagem, ao final do livro.

DICAS DE ESTUDO Você aprende melhor por meio da percepção visual? Arquitetos, artistas plásticos e engenheiros apresentam uma percepção visual muito desenvolvida. E você: utiliza a sua percepção a favor dos seus estudos? Responda para si mesmo as seguintes perguntas: a) Você tem facilidade para reconhecer rostos, observar detalhes em objetos ou em

cenas?

b) Gosta de fazer mapas, esquemas e rabiscos para assimilar conteúdos?

c) Você compreende com facilidade informações apresentadas em gráficos, tabelas,

fotos ou infográficos?

d) Utiliza marcações nos seus textos: grifa, risca ou escreve com cores variadas? e) Aprecia murais, composição com imagens, móbiles, leitura de quadrinhos?

f) Gosta de assistir a filmes e vídeos e ver obras de arte?

VECTORMINE/ SHUTTERSTOCK

Se você respondeu sim para a maioria dessas questões, é bem possível que seja um aprendiz “visual”: necessita ver para aprender. Tire proveito desse seu jeito de aprender. Se você respondeu não para a maioria dessas questões, busque desenvolver um pouco mais seu lado visual ou faça parcerias de estudos com algum amigo que seja visual para compreender as estratégias dele ao estudar e aprender.

Representação da inteligência visual espacial. 235 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

A1 = 3 ⋅ 1 = 3; A2 = 3 ⋅ 5 = 15; 4 ⋅ 2 = 4; 2 2 ⋅ 4 = 4; A4 = 2 A5 = 6 ⋅ 1 = 6 A3 =

cartesiano em outras de forma conhecida, exigindo também a capacidade de associar a unidade de medida 1 cm2 a um quadradinho do plano cartesiano e o cálculo de regiões com lados inclinados.

A = A 1 + A2 + A3 + A4 + A5 = 3 + 15 + 4 + 4 + 6 = 32 Com esse exercício, o aluno precisa trabalhar a noção de área da superfície e seu cálculo por meio de decomposição de uma imagem no plano 235 |

TRAJETÓRIA 4 Surfar depois PANORAMA DA daTRAJETÓRIA aula é Competências gerais: 2, 7, 10 uma riqueza.

TRAJETÓRIA 4 Ah... esse afago... é uma riqueza... BW PRESS/SHUTTERSTOCK

Competências específicas: 2, 3, 8

Habilidades de Matemática: EF06MA01, EF06MA02, EF06MA08, EF06MA11, EF06MA13, EF06MA24, EF06MA30, EF06MA31, EF06MA32, EF06MA33,

EF06MA34

Habilidades de outras disciplinas: Língua Portuguesa:

Geografia: EF06GE11,

EF06GE13

JAVIER G./ M10

Ciências da Natureza:

EF06CI04

ARTE/ M10

EF69LP05

História: EF06HI08 Temas Contemporâneos Transversais: Educação Ambiental Educação para o Consumo Vida Familiar e Social Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

O QUE PODEMOS FAZER PARA HABITAR MELHOR O MUNDO?

Sugestão de atividade

Escreva na lousa a pergunta motivadora da trajetória que é: O que podemos fazer para habitar melhor o mundo? Habitar o mundo pode ser entendido quanto às distintas interações do humano com os aspectos ambientais ou com as relações sociais ou ainda segundo valores culturais. As mais diferentes leituras de mundo devem auxiliar na produção do saber dos estudantes que, já no começo desta Trajetória, convida-os a se envolver no saber existente e difundido por diversas fontes impressas e digitais sobre essa temática. Selecione previamente ou solicite que realizem uma pesquisa sobre as noções de habitar o mundo para que, a partir dessas pesquisas iniciais, possam reconstruí-lo segundo as experiências locais e as relações sociais pensadas segundo um caráter de proximidade imediata ou até um de proximidade global. 236 | MANUAL DO PROFESSOR

• O que os números indicam sobre o meio ambiente? • O que podemos fazer para melhorar o lugar onde vivemos? • Quais são as diferentes formas de habitar o mundo?

236 | Trajetória 4

Um elemento importante sobre as formas de habitar o mundo passa pela noção de “ser humano”.

Talvez estejamos muito condicionados a uma ideia de ser humano e a um tipo de existência. Se a gente desestabilizar esse padrão, talvez a nossa mente sofra uma espécie de ruptura, como se caíssemos num abismo. Quem disse que a gente não pode cair? Quem disse que a gente já não caiu? Houve um tempo em que o planeta que chamamos Terra juntava os continentes

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

todos numa grande Pangeia. Se olhássemos lá de cima do céu, tiraríamos uma fotografia completamente diferente do globo. Quem sabe se quando o astronauta Iúri Gargárin disse “a Terra é azul”, ele não fez um retrato ideal daquele momento para essa humanidade que pensamos ser. Ele olhou como o nosso olho, viu o que a gente queria ver. Existe muita coisa que se aproxima mais daquilo que pretendemos ver do que se

MARCELLO S./ M10

CONTEÚDOS DA TRAJETÓRIA Passeio 1 – Números decimais

• Relações entre décimos, centésimos e milésimos

• Representações fracionárias e decimais

CELLI07/ SHUTTERSTOCK

• Sistema de numeração de-

A floresta é vital para a sobrevivência dos povos indígenas e de todos no planeta.

Plantar árvores, em vez de cortá-las; economizar água; não poluir rios e mananciais; mover-se no espaço urbano em transportes coletivos, bicicleta ou a pé em vez de usar automóveis; comprar produtos locais, produzidos o mais próximo possível de quem vai consumir... São diversas as alternativas para preservar o planeta.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. Reflita sobre as questões expostas na página anterior e considere-as para elaborar outras perguntas de sua autoria. Publique suas perguntas no mural da sala de aula e aprecie as perguntas dos colegas. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

podia constatar se juntássemos as duas imagens: a que você pensa e a que você tem. Se já houve outras configurações da Terra, inclusive sem a gente aqui, por que é que nos apegamos tanto a esse retrato com a gente aqui? KRENAK, Ailton. Ideias para adiar o fim do mundo. 2. ed. São Paulo: Companhia da Letras, 2020, p. 57-58.

Leia para os alunos esse e outros textos que eles mesmos trouxerem e, juntos, elaborem perguntas

237 |

que julgarem necessárias para compreender os sentidos complexos de termos como humanidade, habitar o mundo, planeta entre outros. Tanto professor como estudantes devem estar dispostos a vivenciar uma relação de investigadores dos diversos saberes. É por meio dessa relação que se amplia a construção do saber, tornando professor e aluno produtores de conhecimentos e atuando como agentes de sua própria história, motivados para interagir na transformação do espaço imediato ou para além dele.

cimal e números decimais

• Composição e decomposição • Comparação Passeio 2 – Operações com números decimais

• • • • • •

Estratégias de cálculo Adição e subtração Multiplicação e divisão Potenciação Porcentagem Probabilidade

Passeio 3 – Grandezas e medidas e estatística

• • • • •

Temperatura Intervalos de tempo Pesquisa estatística Representações gráficas Relatório de pesquisa

LUPAS E LUNETAS Convide os estudantes para, em uma roda de conversa, observarem os quadrinhos e comentarem sobre eles. O meio ambiente, segundo a Organização das Nações Unidas (ONU), é o conjunto de elementos (físicos, químicos, biológicos e sociais) que podem afetar direta ou indiretamente os seres vivos e as atividades humanas. Questione se apenas nas florestas cuidamos do meio ambiente: refletindo sobre as questões iniciais perceberão que as atitudes humanas como consumo de água, geração de lixo, poluição atmosférica etc. interferem na vida de animais e pessoas.

237 |

(EF06MA01) Comparar,

ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. Encontro com outras disciplinas (EF06CI04) Associar a produção de medicamentos e outros materiais sintéticos ao desenvolvimento científico e tecnológico, reconhecendo benefícios e avaliando impactos socioambientais.

PASSEIO 1 – NÚMEROS DECIMAIS O QUE OS NÚMEROS INDICAM SOBRE O MEIO AMBIENTE? Observe este infográfico. Levando em conta os números que aparecem nele, responda às questões.

Os países que geram mais e menos lixo eletrônico (kg por pessoa) FREEPIK/ ARTE/ M10

Habilidade

CHECK-IN Oriente que observem o infográfico com os números expressos na forma decimal, pergunte sobre o título, a legenda e o que significam esses números. Converse sobre a quantidade de lixo gerada por pessoa: observando o infográfico, em quanto tempo geram esse lixo? Um dia? Um mês? Um ano? Sugira que pesquisem (ou anote na lousa) a massa de notebook, celular, tv, aparelho de som, micro-ondas etc. e façam uma lista de aparelhos que, juntos, pesem aproximadamente 28 kg, complementando a discussão do item b. O infográfico apresenta 10 números na forma decimal; em comum esses números têm uma ordem decimal (décimos). Os estudantes têm conhecimento prévio para expressar, no item c, metade como

⎛1 5⎞ ou ⎟ decimal (0,5) ⎝2 10 ⎠

fração ⎜

ou porcentagem (50%).

238 | MANUAL DO PROFESSOR

CHECK-IN a) Quantos números há nesse infográfico? 10 números.

b) Pense em alguém que pese 28 kg. Considere essa pessoa e imagine o que significa

c) 2 50% e 10 pois são os únicos que equivalem ao número 0,5. 238 | TRAJETÓRIA 4

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ARREDORES Composição e decomposição

Relação entre d, c e m

Décimos d

Centésimos c

Milésimos m

NÚMEROS DECIMAIS

Representação de número

Decimal

Fracionária

SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL

Comparação de números decimais

Reta numérica

EF06MA01, EF06MA02, EF06MA08 EF69LP05 EF06CI04

BÚSSOLA Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: • •

• • • • •

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

239 |

ATMOSFERA ATMOSFER A Razão e ironia WALDEZ

Encontro com outras disciplinas (EF69LP05) Inferir e justificar, em textos multissemióticos – tirinhas, charges, memes, gifs etc. –, o efeito de humor, ironia e/ou crítica pelo uso ambíguo de palavras, expressões ou imagens ambíguas, de clichês, de recursos iconográficos, de pontuação etc. Atividades 1 a 5

Apresente a imagem e permita que os estudantes comentem sobre a importância das árvores (e outros seres) realizarem a fotossíntese, pois utilizam o gás carbônico para sintetizar seu próprio alimento e, nesse processo, liberam oxigênio que usamos na respiração (podem complementar com outras informações). O que acontece com a derrubada de muitas árvores? Essa indagação e outras que pode criar sobre o Tema Contemporâneo Transversal (TCT) Educação Ambiental desenvolvem a percepção de que as ações individuais e coletivas precisam ser realizadas com criticidade para a preservação do meio ambiente. Organize os estudantes em duplas ou trios. Comente que o verbo no passado “havia” se refere as árvores antes de serem derrubadas. A intenção é apresentar a quantidade total de árvores e as que sobreviveram como uma razão. As reflexões proporcionadas na seção Atmosfera possibilitarão a percepção de que a derrubada de muitas árvores prejudica a fauna, a flora, os mananciais e os seres humanos, de modo que a figura de um caixão (esculpida na árvore pelo pica-pau) simboliza a extinção da vida com o fim das árvores. Atividade 1

Inicialmente havia 10 árvores na paisagem, que podem ser contadas, levando-se em 240 | MANUAL DO PROFESSOR

Charge de Waldez, Belém (PA). MOSTRA de humor gráfico aborda importância da preservação do meio ambiente. TV Cabo Branco, 11 jun. 2018. Disponível em: https://redeglobo.globo.com/tvcabobranco/noticia/mostra-de-humor-grafico-aborda-importancia-da-preservacao-do-meio-ambiente-veja-fotos.ghtml. Acesso em: 12 jul. 2022.

ATIVIDADES

1. 2.

3. 4. 5.

10 árvores. Apenas uma.

Quantas árvores completas havia nessa paisagem? Que quantidade foi preservada? Qual é a relação entre o número total de árvores que havia e o número de árvores que sobrou? Observação: essa relação é matemática, mas você pode enunciá-la em linguagem natural. Exemplo de resposta: de 10 árvores, somente uma sobreviveu. Se essa relação se mantivesse e caso fossem 20 árvores, quantas teriam sobrevivido? E se o total fosse 30? 2 árvores. 3 árvores. Indique qual é o recurso visual nessa charge que causa o efeito de humor. Explique por que essa imagem, com estilo de humor gráfico, causa também um efeito de reflexão crítica. Resposta pessoal. 4. O buraco construído pelo pica-pau em forma de caixão.

240 | TRAJETÓRIA 4

consideração os troncos. Apenas uma arvore foi preservada. Atividade 2

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

total fosse de 30 árvores, deveriam ter sobrado 3 árvores. As razões são todas equivalentes, de modo 30 20 10 = = . que temos a proporção 3 2 1

Na linguagem matemática, essa relação (na Atividades 4 e 5 10 ordem mencionada) é dada por , ou seja, de um O efeito de humor dá-se pela figura do pica-pau 1 total de 10 árvores, apenas uma sobrou. que está cavoucando um caixão na árvore, indicando que ela será a próxima a ser cortada. Mobilize e Atividade 3 desenvolva a habilidade EF69LP05 proposta para Para manter a proporção, caso o total fosse de Língua Portuguesa. 20 árvores, deveriam ter sobrado 2 árvores. Caso o

#Décimos Observe a distribuição de água doce nos continentes.

Distribuição do total de água doce nos continentes ALEXANDRE R./ M10

0°

Círculo Polar Ártico

0,07

0,18

0,32

Trópico de Câncer

OCEANO ATLÂNTICO

OCEANO PACÍFICO

0,23 Trópico de Capricórnio

Círculo Polar Antártico

OCEANO PACÍFICO

0,1 OCEANO ÍNDICO

Meridiano de Greenwich

Equador

0°

0,05

3820 km

Dados retirados de: DISTRIBUIÇÃO de água na Terra. Khan Academy. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/ science/5-ano/matria-e-energia-a-gua-na-terra/a-agua-na-terra/a/distribuicao-da-agua-na-terra. Acesso em: 12 jul. 2022.

Se toda a água doce fosse representada em um cubo, teríamos a seguinte comparação:

O cubo (a unidade) foi dividido em 10 partes iguais; cada uma das partes corresponde a um décimo da unidade.

LUPAS E LUNETAS Forme dupla ou trio e, juntos, reflitam sobre estas questões. a) Considerando as imagens anteriores, responda: podemos afirmar que 0,1 equivale a um décimo da unidade? Relembrem uma das características do sistema de numeração decimal e, a partir dela, formulem sua resposta. ÷ 10

100 U ou 1C

÷ 10

10 U ou 1D

÷ 10

Porque 1 U ÷ 10 =

1 U = 0,1 U. 10

b) Considere o cubo inteiro correspondendo à unidade. Como representar, com algarismos, o número mostrado nesta imagem?

3,4 ou

34 . 10

• Mostrem para a turma a representação de vocês. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

241 |

Proponha que realizem a atividade em duplas ou trios, apresentando a Distribuição do total de água doce nos continentes e solicitando que observem os valores de cada continente. Possivelmente não compreenderão o significado dos decimais na imagem: faça a sequência de atividades propostas e retorne a esta página para analisarem novamente o gráfico. Apresente o material dourado para que relacionem a imagem do livro e o material manipulável. Aponte que, nesta situação, o cubo todo corresponde a uma unidade que será dividida em 10 partes iguais (placas). É importante mostrar (no item b) que o decimal e a fração correspondem ao mesmo valor; inicie perguntando como representamos metade e quarta parte, inclua a representação percentual se julgar pertinente.

241 |

Atividade 6

Faz parte da vivência dos estudantes o uso do dinheiro, mas, caso precisem de auxílio, pergunte o que compram com valor abaixo de um real e quanto pagam. Associe os termos centésimo, centavo, centímetro à centésima parte das respectivas unidades. Atividade 7

Utilizando a mesma estratégia, R$ 45,09 será escrito como 9 45 45 ++ (quarenta e cinco intei100 ros e nove centésimos). Já o valor R$ 127,65 será 65 escrito como 127 127 ++ (cento 100 e vinte e sete inteiros e sessenta e cinco centésimos).

#Centésimos Leia as informações: SHUTTERSTOCK/ ARTE M10

DIA mundial da água. WWF Brasil. Disponível em: www.wwf.org.br/natureza_brasileira/areas_prioritarias/pantanal/ dia_da_agua/#:~:text=Do%20total%20de%20%C3%A1gua%20dispon%C3%ADvel,1%25%20est%C3%A1%20dispon%C3%ADvel%20para%20consumo. Acesso em: 12 jul. 2022.

Se toda a água potável fosse representada em um cubo, teríamos a seguinte comparação:

O cubo (a unidade) foi dividido em 100 partes iguais; cada uma das partes corresponde a um centésimo da unidade. ATIVIDADES

6. Responda: a) Qual é o nome da centésima parte do

real (R$)? Centavo. b) Qual é o nome da centésima parte do

metro (m)? Centímetro.

242 | MANUAL DO PROFESSOR

0,27

0,53

0,62

e R$ 127,65. 45 + 9 ; 127 + 65 . 100

100

8. O comprimento 12,35 metros pode ser de35 12 m ++ composto como 12 metros 100 m. Faça o mesmo com 86,50 m e 324,05 m.

9. Considere o cubo como a unidade. Represente cada figura por um número decimal,

Atividade 8

Utilizando a estratégia proposta, a medida 86,50 m será 50 86 ++ escrita como 86 100 (oitenta e seis inteiros e cinquenta centésimos ou oitenta e seis metros e cinquenta centímetros). Já a medida 324,05 m será 5 escrita como324 324 ++ (trezen100 tos e vinte e quatro inteiros e cinco centésimos ou trezentos e vinte e quatro metros e cinco centímetros).

39 R$ 5,39 é igual a 55 reais reais ++ 100 do real. Represente desse modo os valores R$ 45,09

levando em conta a parte pintada de azul.

242 | TRAJETÓRIA 4

⎛ 86 + 50 ⎞ m; ⎛ 324 + 5 ⎞ m. ⎟ ⎟ 8. ⎝⎜ ⎝⎜ 100 ⎠ 100 ⎠

Atividade 9

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

O texto entrelaça os objetivos do TCT Educação

a) A parte em azul corresponde a 27 barras de um Ambiental com o conteúdo matemático (Números total de 100, sendo a representação dada por 27 = 0,27. 100 b) A parte em azul corresponde a 53 barras de um total de 100, sendo a representação dada por 53 = 0,53. 100 c) A parte em azul corresponde a 62 barras de um total de 100, sendo a representação dada por 62 = 0,62. 100

Decimais) a partir da proposta de uma reflexão crítica sobre o descarte de pilhas. Nesta proposta apresentamos uma atividade para trabalhar com os alunos uma das habilidades de Ciências EF06CI04 No decorrer da atividade, você observará que a habilidade não será contemplada em sua totalidade. Convide o professor de Ciências para contribuir com o desenvolvimento desta proposta.

#Milésimos

TATIANA POPOVA/SHUTTERSTOCK

Os alunos de uma escola descobriram que, em seu município, a reciclagem de pilhas era quase zero.

O cubo (a unidade) foi dividido em 1 000 partes iguais; cada uma das partes corresponde a um milésimo da unidade.

LUPAS E LUNETAS

ARTE/ M10

Se você se encontrasse com algum aluno dessa escola, que propostas sobre reciclagem de pilhas você apresentaria para ele? Respostas pessoais.

Pilhas: por que reciclar?

Junto à prefeitura, eles descobriram que o índice estimado era de 1 para cada 1 000 pilhas descartadas por semestre. Se o volume total de pilhas descartadas por semestre fosse representado em um cubo, teríamos a seguinte comparação:

Números decimais e a vírgula A vírgula separa a parte inteira da parte decimal. Exemplos: 0,001 Parte decimal Parte inteira 12,05 Parte decimal Parte inteira

ATIVIDADES

10. Considere o cubo como a unidade. Represente cada figura por um número decimal, levando em

Habilidades (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica. Encontro com outras disciplinas (EF06CI04) Associar a produção de medicamentos e outros materiais sintéticos ao desenvolvimento científico e tecnológico, reconhecendo benefícios e avaliando impactos socioambientais.

conta a parte pintada de azul.

a) A parte em azul corresponde a 70 cubinhos de um total de 1 000, sendo a representação

0,070

0,032

0,025

0,16

11. Quanto falta para completar o cubo (a unidade) em cada item?

0,6

0,95

243 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

= 0,070. dada por 1 000 = 0,070. b) A parte em azul corresponde a 32 cubinhos de um total de 1 000, sendo a representação 32 0,032. dada por 1 000 == 0,032 c) A parte em azul corresponde a 25 cubinhos de um total de 1 000, sendo a representação 25 dada por == 0,025. 0,025 1 000

Atividade 11

a) Para completar o cubo, falProponha aos estudantes refletirem sobre o significado da expressão “consumo consciente”. Algumas palavras importantes selecionadas das frases podem ir sendo escritas na lousa. Aponte que, nesta situação, o cubo todo corresponde a uma unidade que será dividida em 1 000 partes iguais (cubinhos).

substância não é biodegradável, não se decompõe e pode contaminar o solo. Questione como fazem o descarte das pilhas e se na escola há pontos de coleta. Ouça as sugestões sobre a reciclagem de pilhas e, se julgar adequado, proponha que realizem as propostas na própria escola.

LUPAS E LUNETAS

Atividade 10

tam 6 placas de um total de 10, ou seja, 0,6. b) Para completar o cubo faltam 95 barras de um total de 100, ou seja, 0,95. c) Para completar o cubo faltam 16 peças (16 barras ou uma placa e 6 barras), de um total de 100, ou seja, 0,16.

Estabelecendo relação da imagem com o valor As pilhas e baterias, quando descartadas incornumérico, o estudante amplia sua compreensão retamente, podem amassar ou estourar deixansobre os números decimais. do vazar o líquido tóxico de seus interiores. Essa 243 |

Relação entre décimos, centésimos e milésimos

NPETER/SHUTTERSTOCK

A maior parte da superfície do planeta Terra é coberta por água. Façamos a medida da superfície terrestre equivalente a 1. As três imagens de cubos a seguir indicam, de modos diferentes, a mesma razão entre a superfície com água e o todo da superfície terrestre.

A maior parte da superfície do planeta Terra é coberta por água.

A unidade foi dividida em 10 partes iguais. A parte azul 7 corresponde a 10 ou 0,7. Lê-se: sete décimos.

A unidade foi dividida em 100 partes iguais. A parte azul 70 corresponde a 100 ou 0,70. Lê-se: setenta centésimos.

A unidade foi dividida em 1 000 partes iguais. A parte azul 700 corresponde a 1 000 ou 0,700. Lê-se: setecentos milésimos.

As figuras mostram que:

7 70 700 = = ou 0,7 = 0,70 = 0,700 10 100 1000 Sete décimos são equivalentes a setenta centésimos, que são equivalentes a setecentos milésimos. Ao acrescentar ou diminuir zeros à direita de um número decimal, seu valor não se altera. 7 70 700 As frações 10 , 100 e 1000 são exemplos de frações decimais: frações com potências de

Atividade 12

A atividade relaciona a representação decimal e fracionária. b) As frações representadas são chamadas de frações decimais, pois seus denominadores são todos iguais a 10 ou potências de 10.

base 10 no denominador. ATIVIDADES

LUISRFTC/ SHUTTERSTOCK.

XM4THX/ SHUTTERSTOCK.

Atividade 13

a) Considere que 1 unidade, 10

EVILWATA/SHUTTERSTOCK.

12. Observe as moedas.

décimos, 1 unidade = 100 centésimos e 1 unidade = 1 000 milésimos, nidade = 100 centésimos ee 1 unidade = 1 000 milésimos, centésimos 1 real ou R$ 1,00. 10 centavos ou R$ 0,10. 1 centavo ou R$ 0,01. 1 unidade = 1 000 milésimos, então: a) Copie e complete cada frase com uma fração. 10 1 • 2 unidades = 20 décimos • R$ 0,10 equivalem a de R$ 1,00. = 100 10 1 centési• 2 unidades = 200 • R$ 0,01 equivale a de R$ 1,00. 100 1 mos • R$ 0,01 equivale a de R$ 0,10. 10 • 2 unidades = 2 000 milésib) Como são chamadas as frações que você escreveu no item a? Frações decimais. mos 13. Responda: b) 80 décimos correspondem a) Duas unidades correspondem a quantos décimos? E a quantos centésimos? E milésimos? a 8 unidades. 20; 200; 2 000. b) 80 décimos correspondem a quantas unidades? 8 c) Se 10 unidades são 100 déc) Quantos centésimos eu preciso acrescentar a setenta décimos para obter dez unidades? 300 4 1 3 cimos, possuindo 70 dé0,5 0,2 10% 0,1 60% cimos faltam 30 décimos (100 – 70 = 30). Esses 30 décimos correspondem a 300 centésimos, pois 1 décimo = 10 centésimos.

Sugestão de atividade

Construir um dominó das formas fracionária, decimal e percentual. No dominó, cada jogador coloca uma peça encostada em outra que está em uma das extremidades com o mesmo valor.

244 | MANUAL DO PROFESSOR

244 | TRAJETÓRIA 4

Veja como podem ser as peças: 0,5 0,2

4 5

1 4

0,25

0,8 25%

10% 0,6

25%

3 4

4 5

3 4

1 60% 10 80%

1 2

0,25

1 5

80%

1 5

0,1 50%

3 5

1 4

3 4

75%

1 2

0,5

1 10

0,6 75%

0,75 0,2

50%

1 4

0,1 75%

3 5

20%

0,75

10% 0,2

0,8

20%

10%

1 10

0,1

0,25

3 5

60%

0,6 0,8

0,8 25%

10% 0,6

1 4

0,25

25%

3 4

4 5

3 4

1 60% 10 80%

1 2

0,25

1 5

80%

1 5

0,1 50%

3 5

1 4

3 4

75%

1 2

0,5

1 10

0,6 75%

0,75 0,2

50%

1 4

0,1 75%

3 5

20%

1 2

0,75

10% 0,2

4 5

0,8

1 5

20%

0,25

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO. 0,6 0,8

TRAVESSIAS A história dos números decimais Historicamente, a ideia da representação decimal veio das frações decimais. Segundo Ifrah (1989, p. 327): [...] graças à descoberta das frações denominadas “decimais” (aquelas cujo denominador é uma potência de 10), foi pouco a pouco transparecendo

o interesse em prolongar a numeração decimal de posição no outro sentido, isto é, em termos modernos, na representação dos números “depois da vírgula”.

IFRAH, Georges. Os números: história de uma grande invenção. 3. ed. São Paulo: Globo, 1989.

Ainda, segundo Ifrah (1989), foi Simon Stevin (1548-1620), principal matemático dos Países Baixos, o responsável pelo passo decisivo para que se pudesse chegar à notação do que hoje chamamos de forma decimal. A notação de Stevin deixava indicada a posição de cada algarismo, tanto da parte inteira como da parte decimal. Veja como ele representava, por exemplo, o número 8,937: Antes de Stevin

Stevin

0 1 2 3 9 8 0 9 1 3 2 7 3 ou 8 9 3 7 em vez de: 8

3 7 10 100 1000

Em vez de ele utilizar as palavras décimos, centésimos, milésimos, que usamos hoje, ele utilizava primo, segundo, terceiro e assim por diante. Para a parte inteira, ele dizia comunzos. A preocupação de Simon Stevin era mostrar novas representações de números e, desse modo, suavizar as dificuldades que existiam para realizar cálculos. Antes de Alguns anos mais tarde, os símbolos que faziam menção à ordem das frações Stevin Stevin decimais – aqueles posicionados no alto dos algarismos – foram eliminados, per2 3era colocado no 9 alto 3 das 7 unidades simples. Em manecendo apenas o símbolo 0 , 1que 8 0 9 1 3 2 7 3 ou 8 9 3 7 em vez de: 8 10entre 100 1000 seguida, ele passou a ser substituído por um ponto o algarismo da unidade e os décimos, notação que permanece até os dias de hoje nos países anglo-saxões. Outros países, como o Brasil, utilizam a vírgula.

ATIVIDADES

14. O pensamento matemático sofre mudanças no decorrer do tempo e em diferentes

lugares, por variados povos e culturas. Como você avalia, por exemplo, a transformação ocorrida na notação dos números decimais? O que você achou da notação criada por Stevin comparada à notação anterior à dele? Resposta pessoal. 15. Considere o que foi apresentado no texto e pronuncie em voz alta o número 8,937 tal como nos tempos de Stevin. 8 comunzos, 9 primo, 3 segundo, 7 terceiro. 16. Represente os números tal como eram representados antes de Stevin. 2

a) 0,25 0 10 100

• Método de Stein:

0 1 2 3 1 2 4 5 +2 3 2 8 3 5 7 3

Proponha que comentem as facilidades e dificuldades dos dois métodos. Atividade 16

Esse método usa frações para representar a parte decimal.

c) 123,09 123 100

b) 6,344 10 100 1000

245 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Oriente que façam uma roda de leitura, anotem Atividade 14 as palavras desconhecidas e busquem os respecA mudança de notação foi motivada para facilitar tivos significados. Proponha que comentem como os cálculos. Peça que calculem nas duas notações. compreendem o texto, elabore perguntas sobre as Ficará deste modo: representações decimais criadas por Stein e as que • Método antes de Stein: 5 6 13 2 4 5 3 2 8 existiam antes disso. Escreva alguns números na 1 +2 =3 lousa e peça que representem nas duas formas 10 100 1 000 10 100 1 000 10 100 1 000 5 3 2 8 5 6 13 apresentadas no texto.2 4 1 +2 =3 10 100 1 000 10 100 1 000 10 100 1 000 Como

10 1 5 7 3 = , temos: 3 1 000 100 10 100 1 000 245 |

Habilidade

#O sistema de numeração decimal e os números decimais

(EF06MA01) Comparar,

Organize a leitura coletiva do texto, sugira que observem o gráfico e comentem sobre as medidas das plantas. Esperase que percebam que todos os números têm os mesmos algarismos, porém, o número 3 ocupa o valor posicional da unidade, décimos, centésimos e milésimos nos números 3,111; 1,311; 1,131; 1,113 respectivamente.

ALE FERNANDES/SHUTTERSTOCK

LUPAS E LUNETAS

Para a melhoria do meio ambiente, podemos cultivar diversas plantas. JAROSLAVA V/SHUTTERSTOCK

ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica.

A acácia imperial e o álamo são plantas de crescimento rápido.

Algumas têm crescimento rápido e são muito adaptáveis ao sol pleno, por exemplo, a curiosa flor chamada bastão-do-imperador, que pode atingir até 5 metros de altura. Um biólogo, estudioso da planta, acompanhou seu crescimento. O maior exemplar de seu plantio alcançou 3,111 m. Entre diversas medidas de outros exemplares, surgiram estas outras, bastante curiosas: RACHEL MOON/SHUTTERSTOCK

BASTÃO-DO-IMPERADOR

Bastão-do-imperador.

Dados fictícios.

LUPAS E LUNETAS O que chama a sua atenção ao observar a variação nas alturas das flores e a variação dos números correspondentes a elas? Observe o algarismo 3. O que está acontecendo com o valor do algarismo 3, conforme ele se desloca da esquerda para a direita nas ordens decimais? Comente com os colegas. Respostas pessoais.

246 | TRAJETÓRIA 4

Sugestão de atividade

Entregue uma lista com o nome de alguns produtos. Proponha que pesquisem os preços desses produtos e onde é mais provável eles serem encontrados para a venda. Os produtos devem fazer parte de grupos diferentes, como por exemplo: alimentação, vestuário, eletrônicos, produtos de higiene, brinquedos ou jogos etc. Escolha no máximo oito produtos. Entregue uma folha de papel em branco para ser dobrada em seis partes peça para escrevem estas perguntas: 246 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

• • • • • •

Por que comprar? O que comprar? Como comprar? De quem comprar? Como usar? Como descartar? Dê um tempo para eles pensarem e, em seguida, promova uma discussão sobre as respostas. No item “Por que comprar?”, converse sobre a real necessidade do produto, sobre compras por impulso e sobre o reaproveitamento de algo que se tem etc.

Esses números decimais podem ser assim representados no quadro de ordens: PARTE INTEIRA

Centena (C)

Dezena (D)

PARTE DECIMAL

Unidade (U)

Décimo (d)

Centésimo (c)

Milésimo (m)

Veja como lemos alguns desses e outros números decimais:

• 3,111: três inteiros e cento e onze milésimos. • 1,113: um inteiro e cento e treze milésimos. • 23,6: vinte e três inteiros e seis décimos. • 0,85: oitenta e cinco centésimos.

Atividade 17

• 133,03: cento e trinta e três inteiros e três centésimos.

O sistema de numeração decimal é posicional, ou seja, o valor do algarismo depende da posição que ele ocupa na escrita do número. Cada algarismo, da esquerda para a direita, valeria a décima parte do seu valor caso ocupasse a posição do algarismo na ordem seguinte ou 10 vezes mais caso ocupasse a posição do algarismo na ordem vizinha anterior. ATIVIDADES

18. Copie e complete o quadro: LITROS

MILILITROS

1 000

1 2

500

1 4

250

1 5

200

1 10

100

Qual é o índice, na forma decimal, que representa o desmatamento em relação ao total da vegetação? 18 = 72 = 0,72 25 100 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Nas questões sobre “O que comprar?” converse sobre se aquele produto atende a sua necessidade, a durabilidade e a qualidade esperadas, além do preço. Em “Como comprar?”, é hora de conversar sobre as formas de pagamento. Em “De quem comprar?”, converse sobre a importância de se obter informações sobre os fabricantes e revendedores. Em “Como usar?”, fale sobre os cuidados com os produtos, como manipulá-los de forma a não serem danificados e nem desperdiçados.

Atividade 18 ALEXANDRE R./M10

BARRY BARNES/SHUTTERSTOCK

17. Observe este esquema visual e responda:

Esta atividade retoma o tema do TCT Educação Ambiental e o estudo de razões. Antes do desmatamento, é possível contabilizar um total de 25 árvores. Após, foram derrubadas um total de 18 árvores, restando apenas 7 árvores. Sendo assim, o índice de desmatamento 18 é de ou utilizando uma fração 25 decimal equivalente e a forma 18 ⋅ 4 72 = = 0,72. decimal: 25 ⋅ 4 100

247 |

Por fim, converse sobre o “Como descartar?”: destaque que, antes de descartar, é importante avaliar se esse produto não tem utilidade para outras pessoas, como por exemplo, roupas antigas podem ser adaptadas, móveis reformados ou eletroeletrônicos consertados ou até mesmo trocados ou doados.

Proponha uma revisão sobre medidas de capacidade para que apontem que 1 litro equivale a 1 000 mililitros. Nesta atividade espera-se que o estudante perceba que: 1 • de 1 000 mL é o mesmo 2 que 1 000 ÷ 2 = 500 mL 1 • de 1 000 mL é o mesmo 4 que 1 000 ÷ 4 = 250 mL 1 • de 1 000 mL é o mesmo 5 que 1 000 ÷ 5 = 200 mL 1 • 10 de 1 000 mL é o mesmo que 1 000 ÷ 10 = 100 mL

247 |

Atividade 19

Utilizando a linguagem matemática: 1 1 1 a) 10 ⋅ 10 = 100 ou 0,1 × 0,1 = 0,01.

1 10 1 19. b) 10 ⋅ 100 = 100 = 10 ou 10 × 0,01 = 0,10 = 0,1.

19. Forme dupla ou trio. Leias as frases para investigar e representar os resultados.

Para compreender mais facilmente a relação entre a forma fracionária e a forma decimal, utilizam-se frações com denominadores 10, 100 ou 1 000. Exemplos: 7 23 103 = 0,7; = 0,23; e = 0,103. 10 100 1000 Pode-se usar essa equivalência para fazer as transformações de fração para a forma decimal, quando possível. 1 5 Exemplo: 2 = 10 = 0,5.

•

Compartilhe com os demais colegas da turma as descobertas que vocês fizeram.

20. Escreva como se lê cada número:

a) 35,02 Trinta e cinco inteiros e dois centésimos. b) 2,002 Dois inteiros e dois milésimos.

c) 305,035 Trezentos e cinco inteiros e trinta

e cinco milésimos.

d) 325,253 Trezentos e vinte e cinco inteiros

e duzentos e cinquenta e três milésimos.

21. A professora Juliana escreveu na lousa o

3 número . Ela pediu para as crianças repre4 sentarem esse número na forma decimal. Qual criança representou corretamente? JAVIER G./ M10

Reescreva as frases utilizando a linguagem matemática: a) A décima parte de um décimo é um cen1 1 1 tésimo. ⋅ = ou 0,1 × 0,1 = 0,01. 10 10 100 b) Dez vezes um centésimo são dez centésimos ou um décimo. c) A centésima parte de dez unidades é um 1 10 1 décimo. ⋅ 10 = = ou 0,01 × 10 = 0,1. 100 100 10 d) Se dividir dez unidades em cem partes Explique por que as outras duas crianças iguais, ou seja, cada unidade em dez parrepresentaram errado. Use argumentos mates iguais, cada uma dessas partes será 10 1 = = 0,1. temáticos. 3 = 75 = 0,75. Respostas pessoais. um décimo. 100 10 4 100 22. Saulo combinou dois tipos de conhecimentos para resolver uma questão de Matemática. Ele sabia como transformar a representação fracionária em decimal de um mesmo número e sabia também encontrar frações equivalentes. Veja os registros feitos por ele:

1 ou 0,1 × 0,1 = 0,01. 100 1 10 1 b) 10 ⋅ 100 = 100 = 10 ou 10 × 0,01 = 0,10 = 0,1. 1 = ou 10 × 0,01 = 0,10 = 0,1. 0 10 1 10 1 ⋅ 10 = = ou 0,01 × 10 = 0,1. c) 100 100 10 1 a) Considere os registros feitos por Saulo e represente na forma decimal estes números: = ou 0,01 × 10 = 0,1. 0 10 28 7 7 14 10 7 7 4 3 7 7 4 4 3 75 = = 0,28 = = + =1 = 1,4 10 1 = + =1 =1 = 1,75 • 5 5 • 4 4 • 25 25 100 10 10 10 10 4 4 4 100 d) 100 = 10 = 0,1. 1 b) Use uma calculadora e verifique se esse raciocínio funciona para escrever na representação 3 Atividade 20 1 decimal. Não funciona porque não existe fração decimal equivalente a . 3 Os estudantes podem fazer • O que acontece com esse número? Compare o denominador dessa fração com os denomitambém as seguintes leituras: nadores daquelas outras frações. Que regularidades há nos denominadores delas? E o que a) Trinta e cinco unidades e 1 dois centésimos. há no denominador de 3 ? Tome nota das suas conclusões até aqui e saiba que, mais adiante, 1 b) D u a s u n i d a d e s e d o i s esse número 3 será estudado com detalhes. Respostas pessoais. milésimos. c) Trezentas e cinco unidades e trinta e cinco milésimos. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO. 248 | TRAJETÓRIA 4 d) Trezentas e vinte e cinco unidades e duzentos e cinquenta e três milésimos. Sendo assim, a forma decimal correta é 0,75. Atividade 22 Atividade 21 Uma possível resposta para o porquê das ou- a) Escrevendo as frações equivalentes de denotras crianças terem representado errado é: A rePara determinar a forma minador 100, tem-se: 3 3 , decimal da fração pode-se presentação de 4 como 3,4 ocorre por ler a barra • 7 = 7 ⋅ 20 = 140 = 1,4 4 5 5 ⋅ 20 100 escrevê-la na forma de uma frade fração como um separador entre o inteiro e a 7 7 ⋅ 25 175 ção equivalente de denominador 3 parte decimal; e a representação de como 0,34 • 4 = 4 ⋅ 25 = 100 = 1,75 100, multiplicando o numerador 4 ocorre por entender a fração como um valor menor e o denominador da fração por 7 7 ⋅ 4 28 = = = 0,28 do que 1 e atribuindo significados aos termos da • 25, de modo que: 25 25 ⋅ 4 100 fração como se fossem decimais. 3 ⋅ 25 75 = = 0,75. 4 ⋅ 25 100 =

248 | MANUAL DO PROFESSOR

Habilidade

Composição e decomposição de números decimais O Conselho Nacional do Meio Ambiente (CONAMA) determina que, para cada pneu novo comercializado para o mercado de reposição, as empresas produtoras e importadoras de pneus deverão dar destinação adequada a um pneu que não serve mais (inservível). Segundo o gráfico, a gestão de pneus inservíveis no Brasil tem obtido sucesso, reduzindo impactos ambientais e na saúde pública do país.

Destinação adequada de pneus inservíveis no Brasil ÍNDICE DO CUMPRIMENTO DA META

Cadastro Técnico Federal de Atividades Potencialmente Poluidoras e Utilizadoras de Recursos Naturais (CTF/APP)/ IBAMA.

LUPAS E LUNETAS A produção de pneus é consequência de um avanço tecnológico. Que benefícios você pode listar quanto a esse avanço? E quais impactos socioambientais esse mesmo avanço traz para a sociedade? Quais propostas você apresentaria para que esses impactos fossem suavizados ou totalmente eliminados? Respostas pessoais.

Observe que os números no gráfico estão na forma decimal. Vamos observar como é feita a decomposição do número 0,957, por exemplo, em suas ordens: U 0

O índice 0,957 mostra que, para quase a totalidade da produção de pneus novos daquele ano, as empresas produtoras e importadoras de pneus conseguiram dar destinação adequada a um pneu sem serventia (isso porque 0,957 é muito próximo de 1).

0,957 = 9 ⋅ 0,1 + 5 ⋅ 0,01 + 7 ⋅ 0,001

Veja a decomposição deste outro número decimal em suas ordens: C

433,957 = 4 ! 100 + 3 ! 10 + 3 ! 1 + 9 ! 0,1 + 5 ! 0,01 + 7 ! 0,001 249 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

as dificuldades da logística de coleta dos pneus

b) A fração 3 não pode ser escrita na forma de inservíveis.

uma fração de denominador 100, pois não existe SILVA, Eliane C. R.; PACHECO, Elen Beatriz A. V. As número inteiro que multiplicado por 3 resulte destinações de pneus inservíveis e seus impactos. em 100. ICTR 2004. Costão do Santinho – Florianópolis – Santa Catarina. Disponível em: https://www.ipen.br/ Sugestão de leitura biblioteca/cd/ictr/2004/ARQUIVOS%20PDF/14/14Este artigo é resultado de uma pesquisa sobre 050.pdf. Acesso em: 15 jul. 2.022. a identificação dos impactos ambientais referentes às destinações de pneus como: aterro comum, mistura asfáltica, regeneração etc. Ainda apresenta

(EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal. Encontro com outras disciplinas (EF06CI04) Associar a produção de medicamentos e outros materiais sintéticos ao desenvolvimento científico e tecnológico, reconhecendo benefícios e avaliando impactos socioambientais.

LUPAS E LUNETAS O conhecimento sobre as tecnologias envolvidas no descarte de pneus inservíveis está interligado ao TCT Educação Ambiental. O pneu é uma tecnologia consolidada e que faz parte do nosso cotidiano, utilizado nos meios de transporte e maquinários agrícolas, facilitam a distribuição de mercadorias e auxiliam nas atividades de produção agrícola. Após o consumo, cerca de 10% de seu material sofre desgaste e o restante torna-se resíduo. O material a ser descartado não é biodegradável e demora em média 600 anos para a decomposição. Os fabricantes são responsáveis pela coleta e destinação do material para o processamento: mistura asfáltica, regeneração, pirólise com xisto e coprocessamento. Ainda existem pneus que não são coletados ou descartados corretamente, mas a conscientização sobre esse tema contribui para uma sociedade que compreende e preserva o ambiente onde vive.

249 |

ATIVIDADES

23. Observe a decomposição do número em suas ordens e registre-o na forma composta. 199,019 1 ⋅ 100 + 9 ⋅ 10 + 9 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0,01 + 9 ⋅ 0,001

24. Decomponha os números em suas ordens:

b) 405,43 4 ⋅ 100 + 0 ⋅ 10 + 5 ⋅ 1 + 4 ⋅ 0,1 + 3 ⋅ 0,01

a) 37,555

3 ⋅ 10 + 7 ⋅ 1 + 5 ⋅ 0,1 + 5 ⋅ 0,01 + 5 ⋅ 0,001

25. Observe o número decimal 0,123 e sua decomposição com frações decimais:

1 2 3 1 2 3 + + ou ainda: 1 + 2 + 3 . 10 100 1000 10 10 10 Conforme essa escrita, represente os números como composição de frações decimais: 7 3 a) 0,773 7 b) 0,105 1 + 5 c) 0,39 3 + 9 + + 10

100

1000

100

Transformações entre representações fracionária e decimal Leia o texto e observe o gráfico: [...] Espécies invasoras são aquelas que, não sendo originárias de um determinado local ou território, nele se estabeleceram após serem introduzidas pela ação humana ou por fatores naturais, passando a se reproduzir e dispersar neste novo ambiente sem a ajuda direta do homem. Indiretamente, ao modificar os ambientes naturais, como por exemplo, ocupan-

do e/ou desmatando uma região, o homem pode facilitar a dispersão dessas espécies. Elas abrangem também aquelas nativas do Brasil, que passaram a viver fora de sua área de ocorrência original no País. Embora seja um fenômeno natural, a chegada de espécies invasoras a um território é muito intensificada pela ação do homem. [...]

BRASIL. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). Indicadores de desenvolvimento sustentável. 2015. Brasília: IBGE, 2016. Disponível em: https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv94254.pdf. Acesso em: 26 jul. 2022.

Espécies invasoras, por forma de introdução – Brasil – 2013

Atividade 23

Associe a escrita da decomposição do número em suas ordens ao quadro de ordens e o valor posicional:

Atividade 25

A estratégia de resolução pode ser se apoiar na própria leitura dos números e na decomposição em suas ordens.

Instituto Hórus de Desenvolvimento e Conservação Ambiental. Base de Dados Nacional de Espécies Exóticas Invasoras. I3N Brasil. Florianópolis (2013). Disponível em: https://bd.institutohorus.org.br/. Acesso em: 12 jul. 2022.

LUPAS E LUNETAS A ação humana favorece a invasão de microrganismos, vegetais e animais, terrestres e aquáticos (marinhos e de água doce), de modo acidental, voluntário ou desconhecido. O principal fato é que a ação humana modifica o ambiente natural. Como você vê o desenvolvimento científico e tecnológico aplicados aos ambientes naturais? Respostas pessoais.

250 | TRAJETÓRIA 4

LUPAS E LUNETAS

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 24

Veja como os estudantes podem realizar a Os estudantes podem verbalizar diversas tecdecomposição: nologias que conhecem e estão relacionados aos a) 3 ⋅ 10 + 7 ⋅ 1 + 5 ⋅ 0,1 + 5 ⋅ 0,01 + 5 ⋅ 0,001 ambientes naturais. Para fomentar a discussão, b) 4 ⋅ 100 + 0 ⋅ 10 + 5 ⋅ 1 + 4 ⋅ 0,1 + 3 ⋅ 0,01 comente sobre a tecnologia agropecuária destinada a controlar as etapas do processo de plantio e colheita que inclui o monitoramento por gps, uso da robótica com máquinas guiadas por computador e satélite, drones, diversos tipos de sensores, utilização de máquinas e sistemas integrados.

250 | MANUAL DO PROFESSOR

Os números representados no gráfico estão na forma decimal. Vamos observar a transformação de uma para outra forma. Exemplos 221 a. 0,221 → duzentos e vinte e um milésimos → 1000 303 1 9 1 0 500 b. 3,03 → três inteiros e três centésimos → 100 4 1 0 0, 3 8 2 432 8 ! ! 0,8 c. 532 10 1 00 191 ! 191 4 500 ! 0,382 0 d. 500 Transformar de fração decimal para número decimal

Um zero no denominador Dois zeros no denominador corresponde a correspondem a uma casa decimal. duas casas decimais.

0,3 = Transformar de número decimal para fração decimal

3 10

Uma casa decimal corresponde a um zero no denominador.

2,38 =

238 100

Duas casas decimais correspondem a dois zeros no denominador.

Três zeros no denominador correspondem a três casas decimais.

0,382 =

382 1000

Três casas decimais correspondem a três zeros no denominador.

15 3 1 1 2 26. Não, a afirmação de Camila está errada porque 1,5 = 10 = 2 ≠ 5 ; e 5 = 10 = 0,2 ≠ 1,5. ATIVIDADES

sala. Camila_Sexto_Ano

@camila_mila

Estas duas representações 1 são equivalentes: 1,5 = . 5 31

A afirmação dela está correta? Explique.

27. Escreva os números decimais na forma de fração decimal. a) 2,3

23 10

b) 4,25

c) 32,58 d) 9,99 e) 2,198

3 258 100 2198 1000

f) 0,0005

425 b) 100 999 d) 100 5

39 28. Escreva as frações decimais na forma 39 de = decimais. 45 a) 10 4,5 238 b) 100 2,38 81 c) 1000 0,081

600

÷3

600 ÷ 3

÷3

13 = 0,065 200

Atividade 29

d) 25 0,24

André leu 0,75 do livro ou 180 páginas; a seguir, uma sugestão 39 de cálculo: f) 600 0,065 3 a) Para representar a fração 4 3 na forma decimal, é neces29. André já leu 4 de um livro. sário reescrevê-la na forma a) Represente essa fração na forma decimal. 0,75 de uma fração equivalenb) Se o livro tem 240 páginas, quantas já te de denominador 100: foram lidas? 180 páginas. 3 ⋅ 25 75 = = 0,75 4 ⋅ 25 100 30. Sandra comprou 1 metro de arame para b) Para determinar a quantidade amarrar a cerca de seu jardim. Na hora de de páginas já lidas, deve-se trabalhar ela descobriu que, na verdade, serealizar a seguinte operação: riam necessários 5,6 metros. Qual fração de 3 ⋅ 240 3 3 56 de 240 → ⋅ 240 = = 1 m representa a parte necessária de arame? 4 4 4 10 3 3 3 ⋅ 240 720 = 180 páginas. de 240 → ⋅ 240 = = 4 4 4 4 70

e) 100 0,70 ou 0,7

f) 10000

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

MAXX-STUDIO/ SHUTTERSTOCK

26. Leia o que Camila postou na rede social da

f) 600 = 600 ÷ 3 = 200 = 0,065

Atividade 30

251 |

São necessários 5,6 m de arame: 5 inteiros e 6 décimos ou 56 décimos. 56 Então corresponde a 5,6. 10

Atividade 26

45 = 4,5 A afirmação que Camila postou na rede so- a) 10 1 2 238 = = cial da sala está errada, pois = 0,2. 0,2. Já = 2,38 5 10 b) 100 15 3 1 1,5 = = =1 . 81 10 2 2 = 0,081 c) 1 000 Atividade 28 6 6 ⋅ 4 24 = = = 0,24 25 ⋅ 4 100 Os estudantes podem resolver mentalmente: d) 25 70 com denominador 10, 100 ou 1 000 o deslocamento = 0,70 = 0,7 da vírgula para a esquerda é de 1, 2 ou 3 ordens e) 100 decimais. 251 |

(EF06MA01) Comparar,

ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica.

#Comparação de números decimais Junior acha que o celular é uma boa ferramenta para registros comparativos. Ele e a família iam viajar na véspera de um feriado prolongado. Ele tirou foto do painel de preços do posto de combustíveis antes da viagem e, depois, ao final do feriadão, ele tirou outra foto do mesmo painel. ARTE/ M10

Habilidade

LUPAS E LUNETAS a) A comparação proposta

ocorre na ordem dos milésimos porque as ordens maiores são iguais: como 9 é maior que 1, temos que 6,879 > 6,871. b) A segunda comparação acontece entre os décimos, visto que ambos têm 8 unidades: 8,990 > 8,099. Apresente outros pares de números decimais com a mesma unidade para compararem e compartilharem na lousa as estratégias usadas. Trabalhe outros exemplos de pares para comparação: inteiros com centésimos, inteiros com décimos, décimos com milésimos etc. Atividade 31

Comparando o preço da gasolina comum de antes com o preço dela depois, vemos que a parte inteira diminuiu de 8 para 7. Portanto, 8,009 é maior do que 7,905: 8,009 > 7,905 Mas como comparar os preços do diesel: R$ 6,871 e R$ 6,879? a) 6,879 > 6,871 porque, desde as unidades, todas as ordens decimais LUPAS E LUNETAS são iguais, mas 9 milésimos é maior do que 1 milésimo. Forme dupla ou trio e responda às perguntas: a) Qual é maior: 6,871 ou 6,879? Por quê? Apresente uma justificativa para sua resposta. b) Qual número é maior: 8,099 ou 8,990? Como justificar qual é o maior deles? Comente. 8,990 > 8,099, porque as unidades são iguais, mas 9 décimos é maior do que 0 décimo. ATIVIDADES

5,803; 5,893; 6,871; 6,879; 7,905; 8,009; 8,099; 8,990. Oriente-os a pensar nos nú31. Considere os números decimais fotografados 33. Copie e substitua cada por um dos sinais meros como os valores a pagar por Junior. Escreva-os em ordem crescente. <, > ou = que tornará verdadeira cada compelo litro de combustível; com paração entre números decimais. 32. Leia o post que Teodoro fez em sua rede social. isso o mais barato é o menor a) 13,13 13,130 = e deve ser escrito primeiro e b) 13,013 13,13 < assim sucessivamente. Então, Teodoro_Sexto_Ano c) 1,3013 13,013 < os números escritos em ordem @teodoro_teo d) 1,1303 1,1301 > crescente são: 1,456 é maior do que 1,5 pore) 1,313 1,0313 > 5,803 < 5,893 < 6,871 < 6,879 < 7,905 < 8,009 < 8,099 < 8,990 que tem mais algarismos. f) 0,13 0,130 = 3 < 6,871 < 6,879 < 7,905 < 8,009 < 8,099 < 8,990 101 0 34. Represente os números em uma reta nu7,905 < 8,009 < 8,099 < 8,990 mérica: 12 22 3 3 Atividade 32 5,19 3,10 5,9 Você concorda com ele? Explique. 5 5 10 2 O post feito por Teodoro Resposta pessoal. em sua rede social está erraNÃO ESCREVA NO SEU LIVRO. 252 | TRAJETÓRIA 4 do, pois 1,456 é menor que 1,5. Escrevendo os algarismos dos centésimos e milésimos para faAtividade 33 Atividade 34 cilitar a visualização, tem-se que 1,456 < 1,500. Assim, um inteiro e Os estudantes podem colocar zeros para igualar Escrevendo os números na forma decimal, 3 12 22 3 quatrocentos e cinquenta e seis a quantidade de ordens decimais: tem-se: = 2,4; 5, 19; = 4,4; = 0,3; 3, 10; 5,9 e = 1,5. milésimos é menor do que um 2 5 5 10 a) 13,130 = 13,130 12 22 3 3 e = 1,5. = 2,4; 5, 19; = 4,4; = 0,3; 3, 10; 5,9 inteiro e quinhentos milésimos. b) 13,013 < 13,130 5 5 10 2 Na reta numérica: c) 1,3013 < 13,013 d) 1,1303 < 1,1301 x e) 1,3130 > 1,0313 3,10 5,19 5,9 22 12 3 0 3 1 2 3 4 5 6 7 5 5 10 2 f) 1,130 = 0,130

252 | MANUAL DO PROFESSOR

0,11; 0,21; 0,35; 0,421; 0,515; 0,65; 0,7; 0,793; 0,801; 0,9;

35. Escreva os números em ordem crescente. 0,7

0,35 0,9

0,515

36. Maria, Nélia e Perla comeram de uma mesma fruta. Maria comeu três décimos, Nélia comeu 30 centésimos e Perla comeu 30 milésimos. Qual das três comeu a menor quantidade dessa fruta? Alguém comeu a mesma quantidade que outra pessoa? Quem?

0,11 0,65

0,801

0,21 0,421

Perla comeu a menor quantidade. Maria e Nélia comeram a mesma quantidade.

0,793

Habilidade (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. Atividade 35

LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais.

Na ordem crescente, tem-se:

Consulte seu livro, seu caderno e todos os demais registros feitos por você quanto aos conhecimentos 0,11 < 0,21 < 0,35 < 0,421 < 0,515 < 0 desenvolvidos neste passeio. Resgate sua experiência de aprendizagem, buscando pela memória o que mais aprendeu e sobre o que ainda resta alguma dúvida. Considere os seguintes aspectos: 0,11 < 0,21 < 0,35 < 0,421 < 0,515 < 0,65 < 0,7 < 0,793 < 0,801 ▶ Matemática 0,11 < 0,21 < 0,35 < 0,421 < 0,515 < 0,65 < 0,7 < 0,793 < 0,801 < 0,9 • Você reconhece números decimais em situações cotidianas? • Compreende a correspondência entre a representação decimal e fracionária de um mesmo número? • Sabe transformar a representação decimal em fracionária (e vice-versa) de um mesmo número? • Compreende a representação de números decimais segundo o sistema de numeração decimal? • Sabe compor e decompor números decimais em suas ordens? • Compara e ordena números decimais inclusive representando-os na reta numérica? ▶ Outras disciplinas Língua Portuguesa • Justifica em charges o efeito de humor, ironia ou crítica pelo uso ambíguo de palavras, expressões ou imagens? Ciências • Associa a produção de materiais sintéticos ao desenvolvimento científico e tecnológico, reconhecendo benefícios, mas também avaliando impactos ambientais?

Atividade 36

As frações que correspondem as partes de Maria, Nélia e Perla, são respectivamente, 3 30 30 , , . 10 100 1 000 Organizando em ordem crescente, tem-se: 30 30 3 < = . 1 000 100 10 Sendo assim, quem comeu a menor quantidade foi Perla, enquanto Nélia e Maria comeram a mesma quantidade.

Anote seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Insuficiente

Parcialmente suficiente

Satisfatório

Plenamente satisfatório

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

253 |

BARCOS E PORTOS

Organize

A proposta desta seção é que os estudantes façam como Maria, pintem de verde ou vermelho o que sabem ou não, respectivamente. Na discussão sobre o aprendizado de Maria perceberão que as dificuldades dela se relacionam com o sistema de numeração decimal. Aproveite para refletir com os alunos sobre suas dificuldades e quais estratégias usam para aprender algum conceito. Ainda podem observar que os registros sobre as dúvidas ou alguns cálculos específicos podem contribuir para diminuir as dificuldades.

▶ Organize Respostas pessoais. Acompanhe o post de Eduarda sobre o modo de ela organizar seus estudos. Eduarda_Sexto_Ano

@Duda_

Elabore

A decomposição precisa de correção, pois o décimo corresponde a dividir por 10, o centésimo por 100 e o milésimo por 1 000. Logo, podemos corrigir os expoentes destacados a seguir: 963,929 = 9 ⋅ 102 + 6 ⋅ 101 + 3 ⋅ 100 + 9 ⋅ 1 1 1 +2 ⋅ +9. 3 10 101 102 1 1 1 9 ⋅ +2 ⋅ +9. 3 101 102 10

6 ⋅ 101 + 3 ⋅ 100 + 9 ⋅

Sistema de numeração decimal

Comparação de números decimais

Reta numérica

Milésimos m Fracionária Relação entre d, c e m

Centésimos c

1 1 1 +2 ⋅ +9. 3 101 102 10

Décimos d

Números decimais

Representação de número Decimal

a) O que você achou da ideia de Eduarda? Você acredita que isso pode ajudar a or-

ganizar seu aprendizado?

b) Olhando o esquema de Eduarda, o que você afirmaria sobre a aprendizagem dela?

c) Você sempre toma nota de palavras, termos matemáticos, procedimentos de cálculo,

b) Resposta possível: Ela aprendeu tudo sobre sistema de numeração decimal, mas tem difi-

▶ Elabore culdades com os números decimais.

Eduarda escreveu no caderno a decomposição de um número decimal. 963,929 = 9 ∙ 102 + 6 ∙ 101 + 3 ∙ 100 + 9 ∙ 254 | BARCOS E PORTOS

254 | MANUAL DO PROFESSOR

1 1 1 +2∙ +9∙ 102 101 100 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Mas sua decomposição está errada. Corrija a decomposição dela e elabore uma justificativa que fundamente a decomposição correta. ▶ Proponha

963,929 = 9 ⋅ 102 + 6 ⋅ 101 + 3 ⋅ 100 + 9 ⋅

1 1 1 +2 ⋅ +9 ⋅ 101 102 103

POUL CARLSEN/SHUTTERSTOCK

Encontro com outras disciplinas Justificativa: (EF06CI04) 963,929 = 900 Associar + 60 + 3 + 0,9 + 0,02 + 0,009 a produção de 9 2 = 9 ! 100 + 6 ! 10 + 3 ! 1 + medicamentos e outros 10 + 100 materiais sintéticos 9 " 9 ! 10 + 6 ! 10 + 3 ! 10 + + ao desenvolvimento 10 científico e tecnológico, reconhecendo benefícios e avaliando impactos socioambientais. 2

Proponha

Incentive os estudantes a pesquisar sobre o descarte de pneus inservíveis como indicado nesta seção. Com isso, podemos conhecer como o material é descartado na região em que vivemos e colaborar para a divulgação de como proceder quando houver pneus para serem coletados e, posteriormente, processados. Com essas informações, os estudantes podem confeccionar um folder (com duas dobras usando folha de papel sulfite A4) contendo orientações sobre o descarte de pneus e as tecnologias envolvidas no processo de reciclagem, além de possíveis propostas de melhorias que considerem relevantes para sua cidade. Consulte a gestão escolar sobre a possibilidade de fazer cópias dos folders e entregar para os colegas de outras turmas.

255 |

Habilidade

PASSEIO 2 – OPERAÇÕES COM DECIMAIS

(EF06MA11) Resolver e

O QUE PODEMOS FAZER PARA MELHORAR O LUGAR ONDE VIVEMOS? Acompanhe esta tirinha: JAVIER G./ M10

elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora. Encontro com outras disciplinas (EF06GE11) Analisar distintas interações das sociedades com a natureza, com base na distribuição dos componentes físico-naturais, incluindo as transformações da biodiversidade local e do mundo.

Riqueza é estar na natureza!

Surfar depois da aula é uma riqueza.

Eu amo shopping com os amigos.

Ah... esse afago... é uma riqueza...

CHECK-IN A discussão sobre esse tema coloca o estudante em uma posição reflexiva sobre sua casa, escola, comunidade, cidade etc. Observando a tirinha podemos pensar que não se trata apenas do espaço físico, mas das relações de convivência e das atividades que podemos realizar. Para descobrirem o tempo das entrevistas, deixe que calculem mentalmente ou usando o algoritmo. Proponha que comentem sobre a própria interação com o meio ambiente. Para fomentar a conversa pergunte sobre os Riqueza é estar na lugares que frequentam, quais natureza! são os aspectos positivos e negativos do local. Um aspecto impactante na relação do ambiente com os seres humanos é a natureza. Quando apontarem os pontos favoráveis e ofensivos relacioSurfar depois da aula é nando a ação humana nauma nariqueza. tureza, permita que explorem situações além das apresentadas nas tirinhas.

256 | MANUAL DO PROFESSOR

Tirinha elaborada pelos autores.

CHECK-IN a) Cada quadro da repórter com o entrevistado dura 2,5 segundos. Quantos segundos

duram as entrevistas juntas? 7,5 segundos.

b) Cada entrevistado interage com o meio de um modo diferente. Com qual deles

mais se parece o seu modo de interagir com o lugar onde vive? Respostas pessoais.

c) Escolha um dos personagens da tirinha. Cite um ponto favorável e um ofensivo à

natureza causado pelo modo de vida desse personagem. Como você imagina, por exemplo, a transformação da biodiversidade local desse personagem? Exponha suas ideias aos colegas. Respostas pessoais.

256 | TRAJETÓRIA 4

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Eu amo shopping com os amigos.

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL

Pergunte quem tem animais de estimação em casa, que animais são esses, quem gostaria de ter e Retome com os estudantes o último quadrinho qual seria esse animal. Informe os estudantes que, da tirinha como ação disparadora da proposta a de acordo com a Organização Mundial de Saúde seguir. (OMS), somente no Brasil, cerca de 30 milhões de animais estão abandonados, sendo aproximadaAh... esse afago... é uma riqueza... mente 20 milhões de cães e 10 milhões de gatos. A partir desses dados, informe aos estudantes que o abandono de animais domésticos é um crime ambiental (Lei Federal no 9605/1998) e que além de crime é um ato de crueldade contra a vida. Quando

ARREDORES Cálculo de porcentagem

Representação fracionária

Estratégias de cálculo

Cálculo mental

Estimativa

Calculadora

Representação decimal

PROBABILIDADE

OPERAÇÕES COM DECIMAIS

Massa

Experimento aleatório Adição

Potenciação

Subtração Multiplicação

Divisão

Evento equiprovável

EF06MA11, EF06MA13, EF06MA24, EF06MA30 EF06GE11

BÚSSOLA BÚSSOL A Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: •

• •

• • • •

Resolver e elaborar problemas com números na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos, com e sem uso de calculadora. Escrever números utilizando múltiplos de potências de 10. Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de proporcionalidade, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos diversos. Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a na forma fracionária, decimal e percentual. Realizar experimentos sucessivos para determinar a probabilidade de um evento. Resolver problemas que envolvam a grandeza massa inseridos em contextos diversos. Analisar interações com a natureza de diferentes povos ou grupos sociais, observando transformações da biodiversidade local ou do mundo. 257 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

os animais são abandonados sofrem com sede, fome, doenças e maus-tratos. Dentre muitas ações de conscientização – você poderá elaborar uma com a turma – propomos realizar o exemplo da reprodução descontrolada. Uma gata pode ter, em média, 3 a 4 gestações por ano e cada ninhada nascida varia de 4 a 6 gatinhos. Finalize a conversa interpretando, junto com os estudantes, o que significa 1 728 gatos abandonados nas ruas, praças ou parques.

CASAL DE GATOS 1 ano 12 gatos 2 anos 144 gatos

257 |

Habilidade

ATMOSFERA

(EF06MA11) Resolver e

[...]

As “contas” do meio ambiente Nossa civilização, assim como todas as demais que já existiram sobre a Terra, possui forte dependência do meio ambiente. Embora muitas vezes a gente se esqueça disso, os recursos naturais estão presentes nas mais elementares atividades humanas, como comer, beber e respirar. Mesmo nas sociedades mais complexas, essa dependência se mantém. Continuamos a precisar de água e de

Água: participação das atividades econômicas no consumo total (em %)

258 | MANUAL DO PROFESSOR

Agricultura, pecuária, produção florestal, pesca e aquicultura

97,4

Indústrias extrativas

0,1

Indústrias de transformação e construção

1,0

Eletricidade e gás

0,0

Água e esgoto

0,8

Demais atividades

0,1

Participação das famílias no consumo total

0,6

Consumo total

100,0

Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) e a Agência Nacional de Águas (ANA). Contas Econômicas Ambientais da Água. Divulgação em 2020, dados de 2017.

Atividades 1 a 7

Organize uma roda de conversa sobre a relação entre o ser humano e a natureza, assim o TCT Educação Ambiental contribuirá para que desenvolvam senso crítico e percebam a importância de preservação ambiental. Faça perguntas sobre como se relacionam com a natureza: • Fre q u e nt a m e s p a ç o s arborizados? • Cuidam da reciclagem? • Conhecem os espaços onde acontece a reciclagem? • O que aconteceria se não houvesse a reciclagem? Com isso podem desenvolver o senso crítico e tomar decisões com princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. Estas atividades se relacionam com a leitura, interpretação e discussão do texto “As contas do meio ambiente” e podem contribuir nas áreas de Língua Portuguesa e Ciências. Explore a importância da água e da energia na manutenção da vida e nas atividades do cotidiano; também explore a leitura e interpretação

ALEXANDRE R./M10

ATIVIDADES

2. 3. 4. 5. 6. 7.

1. Lazer, prazer estético, cultural, espiritual e também reciclagem dos resíduos gerados pelas ações humanas.

258 | TRAJETÓRIA 4

das informações do quadro sobre o consumo de água nas diversas atividades econômicas. Convide o professor de Geografia para juntos executarem uma proposta de trabalho com toponímias. Isso mesmo! Toponímias. Com certeza uma palavra que não é muito comum em nosso vocabulário, tão menos nas aulas de Matemática. Não temos aqui a pretensão de desenvolver na totalidade uma das habilidades de Geografia EF06GE11, mas parte dela será contemplada ao desenvolvermos esta proposta.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Muitas cidades, vilas, bairros, ruas, estradas etc. receberam seus nomes a partir de alguma característica física da região na qual foram criadas. Por exemplo: a cidade de Bariri, localizada no interior do Estado de São Paulo, nasceu como Bariry e significa “trecho do rio com cachoeiras com águas barulhentas e agitadas (Disponível em: https://www.bariri.sp.gov.br/portal/servicos/1001/ historia/. Acesso em: 31 jul. 2022). A partir disso, proponha aos estudantes que pesquisem três vilas, bairros, ruas, estradas etc. que receberam seus

Habilidade

#Decimais: cálculo mental, estimativas e calculadora

(EF06MA11) Resolver e

JAVIER G./ M10

Para responder à pergunta: Quanto consomem juntas as indústrias extrativas e as de transformação e construção? Por meio de cálculo mental, veja como cada criança pensou:

LUPAS E LUNETAS

Atividade 8

a) Por que Loide foi a única que acertou a conta? b) Analise e explique o erro das outras duas crianças. Resposta pessoal.

Com a adição de decimais e a combinação de valores, os estudantes relacionam o conhecimento do cotidiano com o escolar. a) O sanduiche custa R$ 5,25 e o suco R$ 3,15, no total gastarei R$ 8,40. b) A maçã custa R$ 2,89 e o biscoito R$ 1,99, no total gastarei R$ 4,88. c) Um suco de laranja, uma maçã e um biscoito de aveia, p o i s R$ 3,15 + R$ 2,89 + R$ 1,99 R$ 3,15 + R$ 2,89 + R$ 1,99 = R$ 8,03.

ATIVIDADES

SHUTTERSTOCK/ARTE M10

8. Observe o preço dos lanches de uma cantina. Calcule mentalmente e responda:

a) Que quantia vou gastar comprando um sanduíche natural e um suco? R$ 8,40.

b) E quanto gastaria se eu comprasse uma maçã e um biscoito de aveia? R$ 4,88.

c) Que itens eu comprei, sabendo que gastei exatamente R$ 8,03?

Um suco de laranja, uma maçã e um biscoito de aveia.

9. Considere cada operação:

OPÇÕES VOVANIVANOVICH/SHUTTERSTOCK

cálculo mental, as estimativas e o uso da calculadora.

a) Porque colocou ordem decimal embaixo de ordem decimal ou, mais simplesmente, vírgula embaixo de vírgula.

OPERAÇÃO

III

Atividade 9

a) 5,98 + 7,03 = ?

13 X

b) 47,89 + 31,97 = ?

80 X

87 3 500

c) 3489,19 + 601,14 = ?

4 200

4 100 X

4 000

d) 3,489 – 1,104 = ?

3,3

2,3

2,5

2,4 X

e) 47,89 – 6,1 = ?

42 X

Faça uma estimativa do resultado escolhendo a opção mais próxima do resultado exato. Registre as respostas e confira cada resultado com uma calculadora. a) 13,01; b) 79,86; c) 4 090,33; d) 2,385; e) 41,79.

259 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

As estimativas podem ser confirmadas pelos cálculos: a) 5,98 + 7,03 = 13,01. O valor mais próximo é 13. b) 47,89 + 31,97 = 79,86. O valor mais próximo é 80. c) 3 489,19 + 601,14 = 4 090,33. O valor mais próximo é 4 100. d) 3,489 – 1,104 = 2,385. O valor mais próximo é 2,4. e) 47,89 – 6,1 = 41,79. O valor mais próximo é 42.

nomes a partir da relação entre a natureza e a LUPAS E LUNETAS sociedade que ali se estabeleceu. Escolha um dia Lóide acertou a conta porque as ordens decipara que todos exponham suas pesquisas. Tem-se mais estão alinhadas. aqui a oportunidade de trabalhar com diferentes As respostas previstas para os erros podem ser toponímias que, por sua vez, contarão um pouco que Timóteo alinhou 1 abaixo de 1 e Eunice achou da origem de muitos nomes. que deveria alinhar 0 abaixo de 0. Atividades 8 e 9

Avalie o conhecimento prévio dos estudantes sobre as operações de adição e subtração de números racionais na forma decimal. Mobilize o 259 |

#Adição e subtração de decimais Leia o trecho de um texto: Uma pesquisa liderada pela Organização das Nações Unidas (ONU) lançada este mês mostra que 931 milhões de toneladas de alimentos foram para o lixo em 2019. [...] Em termos per capita global, a pesquisa mostra que 121 quilos de alimentos por ano são desperdiçados, em média, considerando o volume descartado pelos varejistas e consumidores. Desse total, 74 quilos são provenientes de domicílios.

DESPERDÍCIO de alimentos pode chegar a 121 kg por pessoa. O Especialista, 14 mar 2021. Disponível em: https:// oespecialista.com.br/desperdicio-de-alimentos-mundo-por-pessoa/#:~:text=Uma%20pesquisa%20liderada%20 pela%20Organiza%C3%A7%C3%A3o,para%20o%20lixo%20em%202019. Acesso em: 12 jul. 2022.

Veja o desperdício de comida de uma família de classe média em dois meses. 1o mês: 12,94 kg 2o mês: 4,897 kg Observe a estratégia de cálculo para responder a cada pergunta: • Quantos quilogramas essa família des-

perdiçou nesses dois meses? D 1 +

260 | MANUAL DO PROFESSOR

• De quanto foi a diferença de desperdício

de um mês para o outro?

1 3

–

LUPAS E LUNETAS a) O que significam os zeros vermelhos, tanto na adição quanto na subtração? Comente com os colegas. Eles completam as ordens em que não há valores. b) Explique como foram dispostos os números decimais no algoritmo da adição. E no algoritmo da subtração? Os números são dispostos nos algoritmos, tanto da adição como da subtração, de modo que os algarismos das respectivas ordens fiquem um abaixo do outro, ou, de modo simplificado, vírgula abaixo de vírgula. ATIVIDADES

10. Calcule mentalmente:

LUPAS E LUNETAS A leitura do texto sobre o desperdício de alimentos proporciona uma reflexão sobre o TCT Educação para o Consumo, com a informação sobre o desperdício de alimentos de uma família, questione sobre o desperdício de alimentos na própria família, estimule a criticidade sobre o consumo para que contribuam com sugestões de mudanças de atitudes individuais e coletivas.

SIMPLY AMAZING/SHUTTERSTOCK

Habilidades (EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora. (EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento. Encontro com outras disciplinas (EF06GE11) Analisar distintas interações das sociedades com a natureza, com base na distribuição dos componentes físico ‑naturais, incluindo as transformações da biodiversidade local e do mundo.

11. Copie e calcule o resultado de:

a) 12,95 + 1,01 13,96

a) 5,089 + 38,79 43,879

b) 12,95 + 1,1 14,05

b) 436,77 + 28,865 465,635

c) 12,95 – 1,01 11,94

c) 9,354 – 5,8 3,554

d) 12,95 – 3,1 9,85

d) 8 – 3,973 4,027

260 | TRAJETÓRIA 4

Atividade 10

b) 12,95 + 1,10 = 14,05 95 + 10 = 105 = 1,05 Há várias estratégias de cálculo mental: uma 12 + 1 + 1 = 14 delas é adicionar a parte decimal separada da parte 14,05 inteira e observar se, na parte decimal, o resultado c) 12,95 – 1,01 = 11,94 é maior ou igual a uma unidade. 95 – 01 = 94 a) 12,95 + 1,01 = 13,96 12 – 1 = 11 95 + 01 = 96 11,94 12 + 1 = 13 d) 12,95 – 3,1 = 9,85 13,96 95 – 10 = 85 12 – 3 = 9 9,85

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

12. Leia o problema e veja como Diana o resolveu.

(EF06MA11) Resolver e

Comprei na padaria R$ 13,99 de pão francês, R$ 6,34 de pão de queijo e R$ 16,59 de muçarela

fatiada. Para o pagamento, dei uma cédula de R$ 50,00. De quanto foi meu troco?

a) Você acha que as contas feitas por Diana estão corretas? Explique. Sim. Resposta pessoal. b) Troque apenas um dos dados desse problema por outro que você vai inventar. Reescreva esse

problema com esse novo dado e dê para um colega resolver. Resposta pessoal. •

Corrija a resolução do colega.

#Multiplicação de decimal por 10, 100, 1 000... Uma das propostas dos alunos do 6o ano da Escola Unidos do Parque para melhorar o local onde vivem foi oferecer ajuda para cuidar do Grande Parque, local em que fica a escola. Uma empresa parceira da escola comprou, de um site estrangeiro, uma cerca que pode ser construída por uma estrutura modular decorativa organizada em fileira, instalada de modo prático. ALEXANDRE R./M10

Informe aos alunos que a polegada, do inglês, inch, cujo símbolo é “in”, é uma unidade de medida de comprimento utilizada no sistema inglês. Uma polegada é equivalente a 2,54 cm.

grupos e combine a data de entrega da maquete, os materiais que poderão ser utilizados na construção da maquete (opte por objetos ou materiais que eles tenham em casa). Antes de iniciar a construção da maquete, peça aos grupos que façam um projeto e marque uma aula para a discussão dos projetos. No dia da apresentação das maquetes, convide toda a comunidade local, vizinhos e parentes. Se possível, convide também representantes locais. A ideia é sensibilizar a comunidade sobre projetos de revitalização e preservação de bosques e praças. Atividade 12

Peça que após realizem os cálculos, confiram os resultados usando uma calculadora. a) As contas feitas por Diana estão corretas. Confira:

Que medida, em polegadas, terá uma cerca composta de 10 estruturas modulares como essa enfileiradas? E uma composta com 100? E com 1 000? 261 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

c) 9,354 – 5,8 = 3,554 D U 98 , – 5 , 3 , d) 8 – 3,973 = 4,027 D U 7 8 , – 3 , 4 ,

d 1 3 8 5

c 5

m 4

d c m 9 10 10 10 9 7 3 0 2 7

Converse com os estudantes sobre as praças ou parques que existem na cidade. Pergunte sobre a presença desses locais no entono da escola ou próximo às suas residências. Permita que compartilhem suas experiências e vivências nesses locais. Mostre algumas fotos de praças ou parques, caso algum estudante não tenha identificado a presença desses locais nem no entorno da escola nem próximo às suas residências. Proponha a construção de uma maquete com o tema: A praça dos meus sonhos. Reúna-os em

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL

Atividade 11

–

b) Os problemas serão seme-

lhantes ao que resolveram anteriormente, visto que trocarão uma das informações do problema. Podem conferir o resultado com uma calculadora. 261 |

Habilidade (EF06MA11) Resolver e

Atividade 13

Proponha que apliquem a regra que elaboraram na resolução daquela atividade, resolvendo mentalmente. a) 0,700 × 10 = 7 b) 0,700 × 100 = 70 c) 0,700 × 1 000 = 700 d) 0,730 × 10 = 7,3 e) 0,730 × 100 = 73 f) 0,730 × 1 000 = 730 g) 0,735 × 10 = 7,35 h) 0,735 × 100 = 73,5 i) 0,735 × 1 000 = 735

LUPAS E LUNETAS Proponha o uso de calculadora para que o foco da atividade seja a observação da regularidade e que a divisão e a multiplicação são operações inversas. Espera-se que os alunos percebam que, em divisões como essas, de um número decimal por potências de 10, basta deslocar a vírgula, da direita para a esquerda, uma ordem no caso de divisão por 10; duas ordens, na divisão por 100; três ordens, na divisão por 1 000; e assim por diante.

LUPAS E LUNETAS a) Forme dupla ou trio e observe os registros feitos por Laura: 10 3 1 dezena = 10 dezenas = 1 centena 10 3 4 unidades = 40 unidades = 4 dezenas

10 3 14, 37

10 3 3 décimos = 30 décimos = 3 unidades 10 3 7 centésimos = 70 centésimos = 7 décimos

Escreva, com algarismos, o número que ela obteve. 143,7 b) Utilize o mesmo raciocínio de Laura e efetue as outras duas multiplicações. Que regularidades podem ser observadas nas multiplicações de 14,37 por 10, por 100 e por 1 000? 1 437 e 14 370. c) Agora, considerando as regularidades observadas nos registros das multiplicações por 10, por 100 e por 1 000, elabore uma regra prática que determine o resultado de multiplicações como essas. Resposta pessoal.

ATIVIDADES

13. Calcule e registre os resultados de: a) 0,7 × 10 = ? 7

d) 0,73 × 10 = ? 7,3

g) 0,735 × 10 = ? 7,35

c) 0,7 × 1000 = ? 700

f) 0,73 × 1000 = ? 730

i) 0,735 × 1000 = ? 735

b) 0,7 × 100 = ? 70

e) 0,73 × 100 = ? 73

h) 0,735 × 100 = ? 73,5

#Divisão de decimal por 10, 100, 1 000... Foram investigadas as regularidades das multiplicações por 10, por 100 e por 1 000. Junte-se a um colega e, com uma calculadora, investiguem as regularidades das divisões por 10, por 100 e por 1 000 propostas no boxe.

LUPAS E LUNETAS I. Calcule e registre os resultados de: a) 7 ÷ 10 = ? 0,7 b) 70 ÷ 100 = ? 0,7 c) 700 ÷ 1000 = ? 0,7

d) 7,3 ÷ 10 = ? 0,73 e) 73 ÷ 100 = ? 0,73 f) 730 ÷ 1000 = ? 0,73

g) 7,35 ÷ 10 = ? 0,735 h) 73,5 ÷ 100 = ? 0,735 i) 735 ÷ 1000 = ? 0,735

II. Compare item por item dessa lista com as contas correspondentes na lista da atividade 13. O que você percebe nessa comparação? As contas dos itens correspondentes são de operações inversas uma da outra. III. Observe cada par de operações inversas: 0,735 × 10 = 7,35 e 7,35 ÷ 10 = 0,735 0,735 × 100 = 73,5 e 73,5 ÷ 100 = 0,735 0,735 × 1000 = 735 e 735 ÷ 1000 = 0,735 • Considere o primeiro par. A multiplicação por 10 deslocou a vírgula quantas ordens para a direita? E a divisão por 10, como deslocou a vírgula? Deslocou uma ordem para a direita. Deslocou uma ordem para a esquerda. • Considere agora o segundo par. A multiplicação por 100 deslocou a vírgula quantas ordens para a direita? E a divisão por 100, como deslocou a vírgula? Deslocou duas ordens para a direita. Deslocou duas ordens para a esquerda. • Finalmente, considere o terceiro par. A multiplicação por 1 000 deslocou a vírgula quantas ordens para a direita? E a divisão por 1 000, como deslocou a vírgula? Deslocou três ordens para a direita. Deslocou três ordens para a esquerda. IV. Elabore uma regra prática que determine o resultado de divisões como essas. Resposta pessoal. 262 | TRAJETÓRIA 4

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LUPAS E LUNETAS a) Seguindo o pensamento de Laura, teremos:

100 × 1 dezena = 100 dezenas = 1 milhar ⎧ ⎪ 100 × 4 unidades = 400 unidades = 4 centenas ⎪ 100 × 14,37 ⎨ 100 × 3 décimos = 300 décimos = 3 dezenas ⎪ ⎪⎩ 100 × 7 centésimos = 700 centésimos = 70 décimos = 7 unidades 100 × 14,37 = 1 437

262 | MANUAL DO PROFESSOR

Habilidade

ATIVIDADES

14. Observe o exemplo dado no quadro. Depois, copie este quadro e complete-o. Use uma calculadora para encontrar cada resultado. CONTA INICIAL

MULTIPLICAR OS

CONTA OBTIDA

DOIS TERMOS POR

O RESULTADO É

6 : 0,2

60 : 2

0,56 : 0,8

100

56 : 80

0,7

0,36 : 0,144

1 000

360 : 144

2,5

1,08 : 0,12

100

108 : 12

7,68 : 0,048

1 000

7 680 : 48

160

a) Compare cada operação da coluna “conta obtida” à sua correspondente da coluna “conta

As contas são diferentes, mas o

inicial”. As duas contas são iguais? E os seus resultados? resultado é o mesmo em ambas. b) E se, em cada conta, em vez de multiplicar por potências de 10, os dois termos fossem multiplicados por outro número natural qualquer diferente de zero? O que aconteceria? c) Copie e complete a frase: “Se o dividendo e o divisor de uma divisão forem multiplicados por um mesmo número, diferente de zero, ...” então a nova divisão terá o mesmo resultado.

b) Os resultados permaneceriam inalterados, mas o procedimento não necessariamente facilitaria as contas.

#Multiplicação de decimal por número natural Os alunos da escola Unidos do Parque descobriram que cada unidade modular utilizada na construção da cerca tinha um custo de R$ 12,58. Qual será o custo total de uma cerca composta por seis desses módulos? Para resolver esse problema, precisamos calcular o resultado de 6 × 12,58. Veja o algoritmo (ou o passo a passo) da resolução dessa conta: D

× 7

c 8

(EF06MA11) Resolver e

elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora. compreendam, precisam verbalizar uma regra prática: espera-se que os alunos percebam que, em multiplicações como essas, de um número decimal por potências de 10, basta deslocar a vírgula, da esquerda para a direita, uma ordem no caso de multiplicação por 10; duas ordens, na multiplicação por 100; três ordens, na multiplicação por 1 000; e assim por diante.

Atividade 14

Esta atividade é uma proposta de observar e compreender como as divisões com números decimais acontecem de modo prático, quando as ordens decimais são igualadas no dividendo e no divisor. a) Este procedimento justifica a regra prática de igualar as casas decimais nas divisões com números decimais.

1 . 6 vezes 8 centésimos é igual a 48 centésimos. Agrupamos 40 centésimos em 4 décimos e conservamos os 8 centésimos que restaram. o

2o. 6 vezes 5 décimos é igual a 30 décimos, que, adicionados aos 4 décimos anteriores, totalizam 34 décimos. Agrupamos 30 décimos em 3 unidades e conservamos os 4 décimos que restaram. 3o. 6 vezes 2 unidades é igual a 12 unidades, que, adicionadas às 3 unidades anteriores, totalizam 15 unidades. Agrupamos 10 unidades em uma dezena e conservamos as 5 unidades que restaram. 4o. 6 vezes 1 dezena é igual a 6 dezenas, que, adicionadas a uma dezena anterior, totalizam 7 dezenas. Desse modo, determinamos o resultado de 6 × 12,58, que é 75,48. Portanto, uma cerca formada por seis módulos terá um custo total de R$ 75,48. 263 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

100 × 14,37 100 × 1 dezena = 1 000 dezenas = 1 dezena de milhar

⎧ ⎪ 1 000 × 4 unidades = 4 000 unidades = 4 milhares ⎪ ⎨ 1 000 × 3 décimos = 3 000 décimos = 300 unidades = 3 centenas ⎪ ⎪⎩ 1 000 × 7 centésimos = 7 000 centésimos = 700 décimos = 70 unidades 1 000 × 14,37 = 14 370

b) Espera-se que os estudantes percebam que, nas multiplicações por múltiplos de 10, a vírgula

desloca-se “uma ou mais” ordens para a direita e que os algarismos são preservados; amplie esta atividade solicitando que façam as multiplicações por 10, 100 e 1 000 de outros números, organizando os resultados em um quadro e auxiliando a perceber a regularidade. Com essa discussão, para que 263 |

Atividade 15

As aproximações são as seguintes: a) 12,09 ⋅ 3 ≅ 12 ⋅ 3 = 36 b) 249,87 ⋅ 4 ≅ 250 ⋅ 4 = 1 000 c) 5,023 ⋅ 8 ≅ 5 ⋅ 8 = 40 d) 14,989 ⋅ 6 ≅ 15 ⋅ 6 = 90 Atividade 16

Uma maneira de usar a aproximação pelos estudantes é: a) Por aproximação, fazendo o produto 8 ⋅ 7 = 56, o que já é um valor maior que 49,04. César errou o cálculo. b) Aproximando 7,28 para 7 e, assim, realizando a multiplicação por 8. Atividade 17

A distância dirigida pelo marido de Perla é dada por 3 ⋅ 97,5 = 292,5 km. Adicionando a distância dirigida por ela, tem-se 292,5 + 97,5 = 390 km.

264 | MANUAL DO PROFESSOR

ATIVIDADES 16. b) Basta arredondar 7,28 para o inteiro mais próximo, que é 7, e calcular

o produto 8 ⋅ 7 = 56 para verificar que a resposta de César está incorreta.

mais próximo e calcule, por aproximação, cada produto. a) 12,09 ⋅ 3 = ? 36 b) 249,87 ⋅ 4 = ? 1 000 c) 5,023 ⋅ 8 = ? 40 d) 14,989 ⋅ 6 = ? 90

18. Matteo comprou este tênis parcelado em cinco prestações iguais.

MACROVECTOR/SHUTTERSTOCK/ ARTE M10

15. Arredonde cada número decimal para o inteiro

16. Leia o problema e a resposta de César, um

aluno do 6o ano. A resolução dele ficou no caderno. Problema: Augusto comprou 8 quilogramas de arroz ao preço de R$ 7,28 por kg. Quanto ele pagou por essa compra? Resposta: Ele pagou por essa compra R$ 49,04. a) Sem resolver o problema, apenas avaliando a resposta, diga: César respondeu corretamente? Não. b) Como é possível avaliar a resposta dada por César sem resolver a conta de modo exato?

17. Perla Miranda dirigiu por 97,5 km e seu marido dirigiu o triplo disso, quando, então, chegaram ao seu destino. Quantos quilômetros eles percorreram? 390 km.

a) Qual é o valor a ser pago pelo tênis na

compra parcelada? R$ 449,50. b) Qual é a diferença entre o valor total das

cinco parcelas e o valor à vista? R$ 9,51.

19. Soraia gasta na cantina da escola todos os

dias, de segunda a sexta-feira, R$ 9,27. Seu amigo Sebastião gasta, no mesmo período, R$ 11,35 por dia. Quanto ele gasta a mais do que ela na semana? R$ 10,40.

20. Leia e responda:

a) Por qual número natural devo multiplicar

2,25 para obter 9? 4 b) Por qual número natural devo multiplicar

2,125 para obter 17? 8

#Multiplicação de decimal por decimal Os trabalhos dos alunos da escola Unidos do Parque continuam. Eles perceberam que, para cercar uma árvore ainda pequena, são necessárias 6 estruturas modulares da cerca decorativa perfazendo juntas 86,22 polegadas de comprimento. Eles querem saber quanto vale essa medida em centímetros. Descobriram que uma polegada corresponde a, aproximadamente, 2,5 centímetros. Quantos centímetros de cerca, aproximadamente, são necessários para as árvores pequenas?

JAVIER G./ M10

264 | TRAJETÓRIA 4

Atividade 18

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

os valores gastos por Sebastião e Soraia é dado

a) Comprando parcelado, o valor a ser pago será por 56,75 – 46,35 = 10,40. 5 ⋅ 89,90 = 449,50. b) A diferença entre o valor parcelado e a vista é dado por 449,50 – 439,99 = 9,51.

Outro modo é pensar que a diferença de valor diário é 11,35 – 9,27 = 2,08. Como essa diferença é acumulada por 5 dias, 5 ⋅ 2,08 = 10,40.

Atividade 19

Atividade 20

Na s e m a n a , S o ra i a g a s t a n a c a nt i n a a) Usando a operação inversa, 9 ÷ 2,25 = 4. Com isso descobrimos que 4 ⋅ 2,25 = 9. 5 ⋅ 9,27 = 46,35. Já Sebastião, durante a semana, b) Usando a operação inversa, 17 ÷ 2,125 = 8. Com gasta na cantina 5 ⋅ 11,35 = 56,75. A diferença entre isso descobrimos que 8 ⋅ 2,125 = 17.

Vamos realizar a operação 86,22 × 2,5. Começamos transformando 86,22 em 8 622 (86,22 × 100 ou vírgula deslocada duas ordens para a direita) e 2,5 em 25 (2,5 × 10 ou vírgula deslocada uma ordem para a direita). 86,22 3 2,5

× 100 × 10

8622 25 43 1 10 1 172440 4 1000 215550 3

86,22 3 2,5 215,550

Multiplicar o primeiro fator por 100 e, depois, o segundo fator por 10 equivale a multiplicar o resultado por 1000 (100 × 10): (86,22 ! 100) ! (2,5 ! 10) = (86,22 ! 2,5) ! (100 ! 10) = (86,22 ! 2,5) ! 1000 Por isso, ao final, basta dividir o resultado por 1 000. A cerca construída ao redor das árvores pequenas mede, aproximadamente, 215,55 cm. ATIVIDADES

21. Copie cada afirmação e classifique-as como verdadeiras ou falsas. a) 4,18 ⋅ 8,2 é menor do que 32. Falsa.

c) 150,8 ⋅ 3,14 é menor do que 450. Falsa.

b) 6,57 ⋅ 9,1 é maior do que 54. Verdadeira.

d) 121,09 ⋅ 20,35 é maior do que 2 400.

22. Copie e efetue os cálculos para determinar o resultado de:

Verdadeira.

a) 78,24 ⋅ 3,7 = ? 289,488 b) 1509,3 ⋅ 41,2 = ? 62 183,16 c) 149,905 ⋅ 2,1 = ? 314,8005

23. Clarinda viu que no posto Aço o litro da gasolina custa R$ 7,897. No posto Chaun, cada litro sai por R$ 7,816. Quanto Clarinda pode economizar se abastecer seu carro com 53 litros de gasolina no posto mais barato? R$ 4,293.

24. Sabendo que a = 0,35 e b = 0,8, determine o valor de: a) a + b 1,15

d) 3a 1,05

b) a × b 0,28

e) 3a + 2b 2,65

c) b – a 0,45

f) 3a 3 b 0,84

1 5 0 9, 3 4 1, 2 3 0 1 8 6 1 5 0 9 3 0 + 6 0 3 7 2 0 0 6 2 1 8 3, 1 6 ×

25. Nas balanças em equilíbrio, cada cubo pesa 3,6 quilogramas e cada esfera pesa 1,4 quilograma. ARTE/ M10

Descubra quantos quilogramas pesa o pacote em cada balança. A: 8,6 kg; B: 10 kg; C: 13,6 kg.

1 4 9, 9 0 5 2, 1 1 4 9 9 0 5 + 2 9 9 8 1 0 0 3 1 4, 8 0 0 5 ×

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

265 |

Atividade 23

Abastecendo 53 litros no posto Aço, o valor será de 53 ⋅ 7,897 = 418,541 reais. Atividade 21 d) Verdadeira. Por aproximação 121 ⋅ 20 = 2 420. o resultado é maior que 2 400 (121,09 ⋅ 20,35 = 2 464,1 815).Já no posto Chaun, o valor Analise com os estudantes as alternativas usanserá de 53 ⋅ 7,816 = 414,248 reais. (121,09 ⋅ 20,35 = 2 464,1 815). do aproximação dos fatores. A diferença entre os dois postos a) Falsa. Por aproximação 4 ⋅ 8 = 32. como os será de 418,541– 414,248 = 4,293 fatores são maiores que 4 e 8, o resultado será Atividade 22 reais. maior que 32 (4,18 ⋅ 8,2 = 34,276). a) 7 8, 2 4 b) Verdadeira. Por aproximação 6 ⋅ 9 = 54. como × 3, 7 os fatores são maiores que 6 e 9, o resultado 5 4 7 6 8 será maior que 54 (6,57 ⋅ 9,1 = 59,787). + 2 3 4 7 2 0 c) Falsa. Por aproximação 150 ⋅ 3 = 450. Como 2 8 9, 4 8 8 os fatores são maiores que 150 e 3, o resultado será maior que 450. (150,8 ⋅ 3,14 = 473,512).

265 |

Atividade 24

a) a + b = 0,35 + 0,8 = 1,15 b) a × b = 0,35 × 0,8 = 0,28 c) b – a = 0,80 – 0,35 = 0,45 d) 3a = 3 ⋅ 0,35 = 1,05 e) 3a + 2b = 3 ⋅ 0,35 + 2 ⋅ 0,8 = 2,65

#Divisão de números naturais com quociente decimal A família de Carol gostou da ideia de fazer coisas que poderiam tornar melhor o lugar onde eles vivem, por isso, resolveram plantar árvores nos espaços públicos, com a licença da prefeitura. PARINYA/ SHUTTERSTOCK; FLASH VECTOR/ SHUTTERSTOCK

(EF06MA11) Resolver e

JAVIER G./ M10

Habilidade

Eles compraram sementes de jacarandá-mimoso e de ipê-amarelo, árvores nativas do Brasil. Um envelope com 12 sementes de jacarandá custou R$ 39,00. E um envelope com 12 sementes de ipê-amarelo custou R$ 28,00. Quanto custou cada semente de jacarandá? E cada semente de ipê-amarelo? Acompanhe os procedimentos de cálculo de cada conta. Semente de jacarandá I. Não é possível dividir 3 dezenas por 12 e obtermos dezenas. Então vamos dividir 39 unidades por 12. Dividindo 39 unidades por 12, encontramos 3 unidades e sobram 3 unidades.

II. Trocamos as 3 unidades por 30 décimos. Escrevemos, Para descobrir a massa do no quociente, uma vírgula que separa a parte inteira da pacote podemos organizar as decimal. informações do enunciado do seguinte modo: • Balança A: III. Dividindo 30 décimos por 12, encontramos 2 décimos 1 esfera + 2 cubos → 1 ⋅ 1,14 + 2 ⋅ 3,6 = 8,6 kg. e sobram 6 décimos. + 2 cubos → 1 ⋅ 1,14 + 2 ⋅ 3,6 = 8,6 kg. O pacote pesa 8,6 kg. • Balança B: 3 esferas + 2 cubos – 1 esfera → 3 ⋅ 1,4 + 2 ⋅ 3,6 – 1 ⋅ 1,4 = 10 kg. + 2 cubos – 1 esfera → 3 ⋅ 1,4 + 2 ⋅ 3,6 – 1 ⋅ 1,4 = 10 kg. IV. Trocamos os 6 décimos por 60 centésimos. Dividindo 3 ⋅ 1,4 + 2 ⋅ 3,6 – 1 ⋅ 1,4 = 10 kg. O pa60 centésimos por 12, encontramos 5 centésimos e sobra cote pesa 10 kg. zero centésimo. • Balança C: 3 esferas + 4 cubos – 1 esfera – 1 cubo → 3 ⋅ 1,4 + 4 ⋅ 3,6 – 1 ⋅ 1,4 – 1 ⋅ 3,6 = 13,6 kg. + 4 cubos – 1 esfera – 1 cubo → 3 ⋅ 1,4 + 4 ⋅ 3,6 – 1 ⋅ 1,4 – 1 ⋅ 3,6 = 13,6 kg. – 1 cubo → 3 ⋅ 1,4 + 4 ⋅ 3,6 – 1 ⋅ 1,4 – 1 ⋅ 3,6 = 13,6 kg. Logo, o preço de cada semente de jacarandá foi R$ 3,25. 4 ⋅ 3,6 – 1 ⋅ 1,4 – 1 ⋅ 3,6 = 13,6 kg. O pacote pesa 13,6 kg. 266 | TRAJETÓRIA 4

3a + 2b = 3 ⋅ 0,35 + 2 ⋅ 0,8 = 2,65 f) 3a × b = 3 ⋅ 0,35 ⋅ 0,8 = 0,84 3a × b = 3 ⋅ 0,35 ⋅ 0,8 = 0,84 Atividade 25

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL

9 3

3 U

0 6

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

respostas. Promova uma discussão envolvendo toda a turma. Estas orientações dizem respeito a esta página Após essa primeira discussão, proponha a e à 272. seguinte atividade: Observe a quantidade de lixo Reúna a turma em grupos e proponha que resproduzido durante o dia em sua casa e a maneira pondam as seguintes questões: como esse lixo é descartado. • Você já parou para pensar na quantidade de lixo Se possível, distribua um quadro (exemplo a que produzimos desde a hora em que acordamos seguir) para ser preenchido ou peça que os estuaté quando vamos dormir? dantes copiem em uma folha de caderno. • Será que tudo que jogamos fora é lixo? Continue o quadro até o horário de dormir: Após essa primeira etapa, peça que um representante de cada grupo faça a exposição das 266 | MANUAL DO PROFESSOR

Habilidade

Semente de ipê-amarelo I. Não é possível dividir duas dezenas por 12 e obter dezenas inteiras. Então dividimos 28 unidades por 12 e vamos encontrar 2 unidades, com sobra de 4 unidades.

(EF06MA11) Resolver e D

2 U

II. Trocamos as 4 unidades por 40 décimos. Escrevemos, no quociente, uma vírgula que separa a parte inteira da parte decimal.

8 4

IV. Trocamos os 4 décimos por 40 centésimos e os dividimos por 12. Encontramos 3 centésimos e ainda sobram 4 centésimos.

8 4

c 12

2 U

III. Dividindo 40 décimos por 12, encontramos 3 décimos e sobram 4 décimos.

c 12

3...

c 12

0 4

Logo, o preço de cada semente de ipê-amarelo é, aproximadamente, R$ 2,33.

Números decimais exatos e dízimas periódicas O preço da semente de jacarandá é dado por um quociente decimal (obtido de 39 ÷ 12), de modo que, ao continuarmos a divisão após a vírgula, o procedimento de cálculo se encerra quando houver resto zero. Nesse caso, chamamos o quociente 3,25 de número decimal exato. Mas nem sempre um quociente decimal é resultante de um procedimento que se encerra por obtermos resto zero. Há divisões com quociente decimal em que, mesmo que continuemos a dividir os restos obtidos, um após o outro até o infinito, vai sempre sobrar resto diferente de zero. No cálculo do preço da semente de ipê-amarelo, o procedimento foi pausado, pois não haveria fim no processo de divisões sucessivas dos restos obtidos. Observe que o algarismo 3 no quociente e o algarismo 4 no resto estão se repetindo. E isso vai continuar indefinidamente. Nesse caso, chamamos o quociente decimal 2,3333... de dízima periódica. As reticências indicam que o algarismo 3 vai sempre se repetir, ao infinito. Uma dízima periódica também é indicada assim: 2,3. O algarismo 3 é chamado de período da dízima periódica. Veja outros exemplos de dízimas periódicas: 17 • 9 = 17 ÷ 9 = 1,8888 ... ou 1,8 (dízima periódica de período 8); 4 • 33 = 4 ÷ 33 = 0,121212 ... ou 0,12 (dízima periódica de período 12); 61 = 61 4 495 = 0,1232323 ... ou 0,123 • 495 (dízima periódica de período 23). 267 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Dia da semana Lixo produzido no preparo do café da manhã. Lixo produzido após o café da manhã. Lixo produzido no preparo do almoço. ... Local do descarte do lixo Após uma semana de observação, os grupos devem se reunir novamente e construir gráficos e tabelas com os resultados das observações de todo o grupo. Os gráficos e as tabelas devem ser

___/____/___ (S – T – Q – Q – S – S – D)

qual dos períodos se produziu mais lixo? Os resultados dessa pesquisa podem ser uma boa pista para a mudança de atitudes e hábitos dos estudantes e seus familiares. Converse sobre a importância da redução da produção de lixo diário e lance um desafio! Como podemos reduzir a produção do lixo doméstico? Algumas atitudes podem ser tomadas. Proponha que elaborem uma lista de dicas de atitudes que contribuam para essa redução, como, por exemplo: prefira alimentos saudáveis com menos embalagens; caixas de leite, potes de manteiga e margarina, garrafas de vidro, entre outros, podem ser reciclados; reaproveitar talos, folhas e cascas dos alimentos etc. Todas essas dicas podem ser escritas em adesivos e espalhados estrategicamente em locais da residência. Se possível, meses depois, repita a pesquisa e compare os resultados. Espera-se que a quantidade de lixo produzida tenha diminuído. São muitas as vantagens da redução do lixo doméstico: além de diminuir os lixões e aterros sanitários, a maioria dos resíduos não-orgânicos que são gerados em casa pode ser reciclada, favorecendo o meio ambiente!

feitos em tamanho ampliado. Elabore perguntas para analisar os resultados contidos nas tabelas e nos gráficos, como, por exemplo, qual é o tipo de lixo mais produzido no café da manhã? Em 267 |

Atividade 28

Converse com os estudantes sobre alguns materiais com unidades passíveis de ser divididas e expressas em decimais como tecido, fitas, arame, fio, dinheiro e outros não. Com isso, camisetas, canetas e brinquedos não tornariam a situação problema adequada. Os seguintes problemas podem ser usados para inspirá-los a elaborarem os seus próprios enunciados: a) Sr. Alberto comprou cinco livros para dar de presente a seus netos. Sabendo que ele pagou o mesmo valor em cada um dos livros e que o total da compra foi de R$ 136,00, determine quanto custava cada livro. b) Marcos tem R$ 136,00 e gostaria de presentear igualmente seus cinco sobrinhos. Quanto dará a cada um?

268 | MANUAL DO PROFESSOR

ATIVIDADES

26. Calcule e registre no caderno. b) 42 ÷ 8 = ? 5,25 c) 84 ÷ 8 = ? 10,5 d) 96 ÷ 5 = ? 19,2

27. Giuliana comprou um kit contendo 8 cader-

nos pequenos pelo preço de R$ 124,00. Qual foi o valor que ela pagou em cada caderno? R$ 15,50.

28. Utilize a divisão de 136 por 5 e elabore um

problema com esses dados. Dê seu problema para um colega resolver. Depois, corrija a resolução dele. 27,2. Resposta pessoal.

29. Leia o problema: Resposta pessoal.

a 2ª estrela é um número com três algarismos; • a divisão nesse problema dá como resultado um número decimal. Dica: utilize uma calculadora para encontrar dois números que satisfaçam essas condições. •

a) 36 ÷ 8 = ? 4,5

A mercadoria que Venâncio vai colocar em exposição em uma feira é composta por peças idênticas. Juntas, essas peças pesam quilogramas. Quanto pesa cada peça? Para completar o problema com os dados que faltam, siga estes critérios: • os dois números são naturais; • a 1ª estrela é um número com dois algarismos;

Resposta pessoal.

30. Judith pesava 82 kg. Depois que ela mudou

a alimentação e começou a fazer atividade 1 física, ela perdeu 5 de sua massa corporal. Com quantos quilogramas Judith está? 65,6 kg.

31. Para esta atividade você vai precisar de uma calculadora cujo visor mostre no mínimo 9 dígitos. Crie uma planilha com 10 linhas e duas colunas: na primeira coluna escreva Operação e, na segunda coluna, escreva Resultado no visor da calculadora. A primeira operação é 1 : 2. A segunda é 1 : 3; depois 1 : 4; e assim por diante até chegar a 1 : 10. Quais dessas operações representam um decimal exato? E quais você “suspeita” que são dízimas periódicas? Por quê? Para confirmar suas suspeitas, pesquise em livros ou na internet.

Decimais exatos: 1 : 2 = 0,5; 1 : 4 = 0,25; 1 : 5 = 0,2; 1 : 8 = 0,125; 1 : 10 = 0,1 Dízimas periódicas: 1 : 3 = 0,3; 1 : 6 = 0,16; 1 : 7 = 0,142857; 1 : 9 = 0,1.

#Divisão de número decimal por número natural Aurora quer melhorar seus hábitos em favor de manter a “saúde” do nosso planeta. Ela está exercitando melhorias no ato de consumir, repensando e reavaliando a real necessidade de comprar coisas, especialmente aquelas ofertas que atraem consumidores. SHUTTERSTOCK/ ARTE M10

Qual é o preço unitário de cada marca-texto, em cada oferta? 268 | TRAJETÓRIA 4

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 29

Atividade 30

Para completar o enunciado seguindo os critérios estabelecidos, uma possível resposta seria: “A mercadoria que Venâncio vai colocar em exposição em uma feira é composta por 20 peças idênticas. Juntas, essas peças pesam 150 quilogramas. Quanto pesa cada peça?” Resolvendo o problema, a massa de cada peça será 150 ÷ 20 = 7,5 kg.

Para determinar a nova massa de Judith, 1 é necessário saber a quanto corresponde de 5 1 82 = 16,4 kg. 82 kg. Sendo assim, tem-se ⋅ 82 = 5 5 A nova massa será então 82 – 16,4 = 65,6 kg. Na resolução de problemas é fundamental compreenderem o enunciado: verifique se compreenderam que a resposta deve ser a massa atual de Judith e não a quantidade de massa que ela perdeu.

• Pacote com 3

• Pacote com 6

3 1,

Dividindo 3 unidades por 3, encontramos uma unidade e sobra zero unidade. Dividindo 8 décimos por 3, encontramos 2 décimos e sobram 2 décimos, que transformamos em 20 centésimos e juntamos aos 7 centésimos, totalizando 27 centésimos. Dividindo 27 centésimos por 3, encontramos 9 centésimos e resto zero. Logo, o preço de cada marca-texto nessa oferta é R$ 1,29.

Habilidade (EF06MA11) Resolver e 6 0,

Não é possível dividir 5 unidades por 6 e obter unidades. Colocamos zero no quociente. Transformamos 5 unidades em 50 décimos que, junto aos 8 décimos, perfazem 58 décimos. Dividindo 58 décimos por 6, encontramos 9 décimos e restam 4 décimos. Transformamos 4 décimos em 40 centésimos que, junto aos 2 centésimos, totalizam 42 centésimos. Dividindo 42 centésimos por 6, encontramos 7 centésimos e resto zero. Logo, o preço de cada marca-texto nessa oferta é R$ 0,97.

LUPAS E LUNETAS a) Qual das duas ofertas é a mais atraente? Por quê? A com 6 marca-textos. b) Aurora necessita de canetas marca-texto, mas não utiliza muito. Ela é bastante cuidadosa no uso dos materiais e a durabilidade se estende ao máximo. Além disso, mesmo sem uso, as canetas podem ressecar depois de um ano de aquisição, correndo o risco de serem descartadas sem uso. Qual oferta você indica para Aurora, pensando no impacto ambiental? Explique. Respostas pessoais.

ATIVIDADES

32. Calcule o resultado das divisões pelo algoritmo usual da divisão. a) 36,40 ÷ 4 = ? 9,1 b) 264,3 ÷ 6 = ? 44,05 c) 451,53 ÷ 9 = ? 50,17

33. Adriana acabou de receber R$ 4.060,32 por

44 horas de serviço prestado. Quanto ela recebeu por hora? R$ 92,28.

elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora. O decimal exato pode ser representado por uma fração decimal e têm uma quantidade finita de algarismos. As dízimas periódicas são números racionais, podem ser representadas na forma fracionária, mas têm infinitas ordens decimais com partes que se repetem.

LUPAS E LUNETAS Esta atividade pode ser resolvida por estimativa, como 3 ÷ 3 = 1, temos que R$ 3,87 ÷ 3 > 1, temos que R$ 5,82 ÷ 6 < 1.

Atividade 32

Aurora também vem pensando em evitar o desperdício de comida. Toda semana ela acompanha sua mãe à feira. Elas compram somente o necessário para as refeições da semana. Elas sabem, por exemplo, que uma porção de 2,5 kg de batatas é o suficiente para elas. Por essa porção, pagaram R$ 12,25. Qual é o preço do quilograma da batata comprada por elas?

JAVIER G./ M10

#Divisão de decimal por decimal

D U d 3 6, 4 – 3 6 0 4 – 4 0

c 0

4 9, 1 U d

C D U d c 2 6 4, 3 6 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO. 269 | – 2 4 4 4, 0 2 4 D U d – 2 4 0 3 0 Atividade 31 Resultado no visor da – 3 0 Operação calculadora Organizando os dados conforme solicitado, 0 0,125 1:8 tem-se: c) 0,1 1:9 Resultado no visor da C D U d c Operação 0,1 calculadora 1 : 10 4 5 1, 5 3 9 0,5 1:2 – 4 5 5 0, 1 • Decimal exato: 0,3 1:3 0 1 5 D U d 1 : 2 = 0,5; 1 : 4 = 0,25; 1 : 5 = 0,20; 1 : 8 = 0,125; 1 : 10 = 0,1 0,25 – 9 1:4 1 : 5 = 0,20; 1 : 8 = 0,125; 1 : 10 = 0,1 6 3 1 : 51 : 2 = 0,5; 1 : 4 = 0,25;0,20 • Dízima periódica: – 6 3 0,16 1:6 1 : 3 = 0,3; 1 : 6 = 0,16; 1 : 7 = 0,142857; 1 : 9 = 0,1 0 1:7

5 c

7 c

0,142857 1 : 3 = 0,3; 1 : 6 = 0,16; 1 : 7 = 0,142857; 1 : 9 = 0,1

269 |

Habilidade

Para a resolução desse problema, devemos calcular 12,25 ÷ 2,5.

(EF06MA11) Resolver e

Oriente que resolvam as divisões igualando as ordens decimais e cortando as vírgulas, o que equivale a multiplicação dos termos por 10, 100 ou 1 000. a) Transformando a divisão, 20,1 ⋅ 10 201 tem-se = . 0,4 ⋅ 10 4

b) Transformando a divisão, tem-se

M C D U d 1 2 2 5 2 2 5 0 0

31,775 ⋅ 1 000 31 775 = 15,5 ⋅ 1 000 15 500

270 | MANUAL DO PROFESSOR

250 4, 9 U d

M C D U d 1 2 2 5 2 2 5 0 0

250 4, 9 U d

1o modo: multiplicar o dividendo e o divisor por uma mesma potência de base 10 (10, 100, 1 000 etc.), para obter números naturais. Nesse caso, vamos multiplicar por 100, pois um dos números (12,25) tem duas ordens decimais. Sabemos que 12,25 ÷ 2,5 dá o mesmo quociente de 1 225 ÷ 250.

Logo, o preço do quilograma da batata comprada por elas é R$ 4,90.

LUPAS E LUNETAS Que atitudes você tem para evitar desperdício de comida? Como participa do planejamento e do consumo dos alimentos em sua casa? Respostas pessoais.

ATIVIDADES

34. Calcule o resultado das divisões pelo algoritmo usual da divisão. a) 20,1 ÷ 0,4 = ? 50,25

b) 0,256 ÷ 0,4 = ? 0,64

c) 31,775 ÷ 15,5 = ? 2,05

35. Uma grande caixa, pesando 136,80 kg e contendo peças idênticas, acabou de chegar para ser 5,7 kg, em um nicho da estante do depósito. Quantos nichos da estante o gerente vai precisar para distribuir todas as peças dessa caixa? 24 nichos.

36. Copie o texto e substitua cada

por números que sejam possíveis.

Aurora acompanhou a mãe ao supermercado domingo. Elas tomam bastante suco de laranja e, por isso, compraram um pacote com 3 dúzias de laranja pelo preço de R$ , ou seja, R$ 4,55 a dúzia. Elas compraram também um pacote de tomates por R$ , que é um valor próximo do pacote de laranjas. Por essa compra, a mãe deu ao moço do caixa uma cédula de R$

e recebeu

de troco R$ 19,58. Resposta pessoal.

37. Elabore um texto parecido com o da atividade anterior, narrando uma situação de compra que você vivenciou com algum adulto. Utilize números decimais e operações diversas. Depois, apresente a sua resolução: leia para os colegas a sua produção em sala de aula. Respostas pessoais.

270 | TRAJETÓRIA 4

0,256 ⋅ 1 000 256 = . 0,4 ⋅ 1 000 400

2 5 6 0 4 0 0 – 2 4 0 0 0, 6 4 1 6 0 – 1 6 0 0 0 c) Transformando a divisão, tem-se

1 225 : 250

organizada nas prateleiras de um almoxarifado. O gerente vai distribuir cada peça, que pesa

Atividade 34

–

12,25 : 2,50 3 100

cartar as vírgulas e efetuar a divisão.

Possivelmente os estudantes ainda não tenham observado o desperdício de alimentos na própria casa; proponha que observem a cada refeição se há sobras e conversem sobre perda de alimentos por estarem fora da validade com os familiares. Com essas informações poderão refletir criticamente e propor atividades individuais ou coletivas para minimizar essas questões.

0 1 4 0 5 0, 2 0 10 – 8 20 – 20 0

12,25 : 2,5 3 100

2o modo: aplicar um processo prático: “igualar as casas decimais” acrescentando zero, des-

LUPAS E LUNETAS

2 2

Há ao menos duas maneiras de calcular o resultado dessa conta.

3 1 7 7 5 1 5 5 0 0 – 3 1 0 0 0 2, 0 5 7 7 5 0 0 – 7 7 5 0 0 0 0 0 0 0

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 36

Auxilie os estudantes a organizar as informações do enunciado: 3 ∙ 4,55 = valor pago pelas laranjas (R$ 13,65) – (13,65 + ) = 19,58 A cédula escolhida pode ser de 50, 100 ou 200, Atividade 35 proponha que escolham uma das opções. Para determinar a quantidade de nichos ne- • Caso escolham 50 cessários, deve-se dividir a massa das caixas 50 – (13,65 + ) = 19,58 136,80 kg pela massa máxima suportada em cada (R$ 16,77 é o valor do pacote de tomate) prateleira, que é de 5,7 kg. Sendo assim, tem-se • Caso escolham 100 100 – (13,65 + ) = 19,58 (R$ 66,77 é o valor do pacote de tomate) 136,80 ÷ 5,7 = 24 nichos.

Habilidade

#Potenciação com base decimal

(EF06MA11) Resolver e

JAVIER G./ M10

O senhor Jonas está construindo um reservatório de concreto puro em forma de caixa cúbica para recolher a água de reúso da máquina de lavar. Assim, ele e sua família podem economizar recursos naturais.

Ele sabia que o volume de um bloco retangular cúbico é dado por a3, em que a é a medida da aresta do cubo. Sendo assim, para determinar o volume do reservatório que ele construiu, basta calcular: (0,7)3 = 0,7 ⋅ 0,7 ⋅ 0,7 = 0,343 Logo, o volume do reservatório é de 0,343 m3. Mais exemplos de potenciação: 3 ⎛ 15 ⎞ 15 15 15 3 375 3 3 • (1,5) = 1,5 ⋅ 1,5 ⋅ 1,5 = 3,375 ou (1,5) = ⎜⎝ 10 ⎟⎠ = 10 . 10 . 10 = 1000 = 3,375 ⎛ 101 ⎞

101

10 201

• (1,01) = 1,01 ⋅ 1,01 = 1,0201 ou (1,01) = ⎜⎝ 100 ⎟⎠ = 100 . 100 = 10000 = 1,0201 2

Lembrando que: a0 = 1, para todo número a diferente de zero.

Atividade 40

Exemplos: (5 903,49)0 = 1 e (5 903,49)1 = 5 903,49.

38. Represente cada produto por uma potência. Depois, calcule o valor de cada potência. a) 1,3 ⋅ 1,3 (1,3)2 = 1,69 b) 2,1 ⋅ 2,1 ⋅ 2,1 (2,1)3 = 9,261 c) 0,7 ⋅ 0,7 ⋅ 0,7 ⋅ 0,7 (0,7)4 = 0,2401

39. Calcule o valor de cada potência. a) (1,1)3 1,331

c) (2,02)2 4,0804

b) (2,01) 4,0401

d) (3,2)3 32,768

Relembre as situações de potência: • expoente zero (base não nula): a potência é 1; 41. Para responder, calcule mentalmente: qual • expoente 1: a potência é a potência é maior: (0,1)2 ou (0,01)0? (0,01)0 própria base. 42. Calcule o volume de cada empilhamento 0 a) (938,409) + (3,25)1 = 1 + 3,25 = 4,25 de cubinhos. A: 9 cm3 e B: 8,5 cm3. 0 1 (938,409) + (3,25) = 1 + 3,25 = 4,25 b) (4,25)1 + (4,25)1 = 4,25 + 4,25 = 8,5 1 1 (4,25) + (4,25) = 4,25 + 4,25 = 8,5 c) (4,25)0 + (4,25)0 = 1 + 1 = 2

40. Calcule:

Atividade 41

a) (938,409) + (3,25) 4,25 0

b) (4,25) + (4,25) 8,5 1

c) (4,25) + (4,25) 2 0

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

• Caso escolham 200

Atividade 39

Peça aos estudantes que confiram o resultado com uma calculadora após efetuarem com o algoritmo: a) (1,1)3 = 1,1 ⋅ 1,1 ⋅ 1,1 = 1,331 b) (2,01)2 = 2,01 ⋅ 2,01 = 4,0401 c) (2,02)2 = 2,02 ⋅ 2,02 = 4,0804 2 (2,02) = 2,02 ⋅ 2,02 = 4,0804 d) (3,2)3 = 3,2 ⋅ 3,2 ⋅ 3,2 = 32,768 3 (3,2) = 3,2 ⋅ 3,2 ⋅ 3,2 = 32,768

b1 = b, para todo número.

ATIVIDADES

271 |

200 – (13,65 + ) = 19,58 por pessoa, se essa família pagar a conta com uma (R$ 166,77 é o valor do pacote de tomate) nota de 200 reais, de quanto será o troco? Sugira que, para elaborar um problema semelhante, organizem os cálculos que desejam que Atividade 38 Proponha que observem a quantidade de ordens sejam contemplados no problema. decimais nos fatores e no produto, depois façam o Atividade 37 mesmo tipo de observação nas potências: quantas Um problema que pode ser usado como exem- casas decimais têm os fatores? E, considerando o expoente, quantas casas decimais têm o resultado? plo para os estudantes se inspirarem: 2 Uma família vai a um restaurante e solicita ao a) 1,3 ⋅ 1,3 = (1,3) = 1,69 3 garçom três jarras de suco, que custaram R$ 21,50 b) 2,1 ⋅ 2,1 ⋅ 2,1 = (2,1) = 9,261 c) cada uma. Sendo o valor do almoço de R$ 34,99 0,7 ⋅ 0,7 ⋅ 0,7 ⋅ 0,7 = (0,7)4 = 0,2401

Qualquer número maior que 0 e menor que 1, quando calculada sua potência para um expoente natural diferente de zero, terá como resultado um número menor que 1. Portanto, a potência (0,01)0 será maior que a potência (0,1)2. Atividade 42

A figura A tem 18 cubinhos empilhados. Sendo o volume de cada um igual a 0,5 cm3, o volume total representado pela figura é de 9 cm3. Já a figura B tem 17 cubinhos empilhados, o que resulta em um volume de 8,5 cm3.

271 |

#Porcentagem Estes adolescentes resolveram assumir algumas novas atitudes para melhorar o lugar onde vivem. E uma delas foi cuidar do próprio lixo. Acompanhe as duas situações a seguir. Situação 1

JAVIER G./ M10

Atualmente, Luana recicla 75% (lê-se: 75 por cento) do lixo de sua casa. Em sua casa, a produção mensal de lixo é de, aproximadamente, 150 kg. Quantos quilogramas do lixo, aproximadamente, ela tem reciclado por mês?

Resolução

75 O índice de 75% pode ser representado na forma de fração: 100. Para determinar a quantidade de lixo reciclado, precisamos calcular 75% de 150 kg, ou seja: 75 75 ⋅ 150 11 250 ⋅ 150 = = = 112,5 100 100 100 Portanto, a quantidade de lixo reciclado por Luana é de, aproximadamente, 112,5 kg. Situação 2 Os irmãos Tuane e Cauê também alteraram os hábitos e, nos dias de hoje, de cada 20 kg de lixo que eles produzem, 12 kg são reciclados. Qual é o percentual do lixo produzido que eles reciclam? JAVIER G./ M10

Habilidades (EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros. (EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.

272 | TRAJETÓRIA 4

272 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividades 43 a 48

Atividade 43

Com a discussão sobre porcentagem, espera-se que o aluno identifique a diferença entre dois tipos de problemas apresentados: • determinar uma quantidade que corresponde à porcentagem de um total informado; • determinar a porcentagem na relação parte-todo. Converse com os estudantes sobre os enunciados e qual das estratégias é adequada para resolver cada problema.

Escrevendo as porcentagens na forma de fração decimal: 24 24 ÷ 4 6 a) 24% = 100 = 100 ÷ 4 = 25 8 = 0,08 b) 8% = 100 Atividade 44

As porcentagens também podem ser calculadas mentalmente:

Resolução A relação entre a parte reciclada, 12 kg, e o todo de lixo produzido, 20 kg, pode ser represen12 tada pela fração 20, que, por sua vez, pode ser representada na forma decimal. Para isso, vamos dividir 12 por 20: 12 : 20 = 0,6 = 0,60 =

60 = 60% 100

Outra maneira de resolver esse problema é assim: 12 12 ⋅ 5 60 = = = 0,60 ou 60% 20 20 ⋅ 5 100 Portanto, a taxa percentual do lixo reciclado pelos irmãos é de 60%. ATIVIDADES

43. Represente:

a) 24% na forma de fração irredutível (ou seja, uma fração equivalente com os menores termos

possíveis). 25 b) 8% na forma decimal. 0,08

44. Calcule:

a) 45% de 120 54

b) 60% de 350 210

c) 120% de 45 54

45. Leia o problema e resolva-o utilizando uma calculadora, mas sem usar a tecla de porcentagem: %

. João Carlos comprou um skate que custava R$ 420,00. Por pagá-lo à vista, ele ganhou um desconto de 20%. Qual foi o valor que ele pagou pelo skate? Registre as teclas utilizadas ao efetuar esse cálculo, na ordem em que elas foram tecladas. Compare sua solução com a dos colegas. R$ 336,00.

46. Maria Carolina tinha uma dívida de R$ 80,00. Depois de algum tempo, ao pagá-la, teve um acréscimo de 15%. Qual foi o valor pago por Maria Carolina? R$ 92,00.

47. O salário de Juvenal sofreu um reajuste de 30%. Se o salário dele era de R$ 2.300,00, qual é o salário atual? R$ 2.990,00.

48. Em uma escola, a cada 120 jovens, 30 não têm irmãos. Qual é a porcentagem de filhos únicos nessa escola? 25%.

#Experimento aleatório com lançamento de moeda Os irmãos Tuane e Cauê assumiram os cuidados com o lixo de sua casa. Separar o lixo seco do orgânico, fazer a descontaminação e organizar por categorias de materiais o lixo seco trouxeram para os irmãos novas responsabilidades. Então, para ser mais divertido, todos os dias eles usam uma moeda para decidir quem cuida do lixo naquele dia. Se der cara, é a vez de Tuane e, se der coroa, a vez é de Cauê. Ao fim de 30 dias, ou seja, um mês, qual dos dois você acha que cuidou mais vezes do lixo? NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

273 |

Se a dívida de Maria Carolina teve um acréscimo de 15%, ela pagou 115%, ou 1,15, do valor inicial. Sendo assim, tem-se 1,15 ⋅ 80 = 92. O valor pago foi de R$ 92,00. Atividade 47

Se o salário de Juvenal sofreu um reajuste de 30%, isso significa que seu novo salário equivale a 130% ou 1,3 do salário anterior. Sendo assim, seu novo salário será calculado por 1,3 ⋅ 2 300 = 2 990. O salário de Juvenal agora é de R$ 2.990,00. Atividade 48

Se a cada 120 jovens, 30 são filhos únicos, essa razão pode ser expressa na forma percen30 1 25 = = = 25%. tual por: 120 4 100

a) 45% = 50% – (10% ÷ 2)

60 120% de 45 → ⋅ 45 = 254 45% de 120 → 60 – (12 ÷ 2) = 60 – 6 = 54 100 c) b) 60% = 50% + 10% Observe que 45% de 120 resultou o mesmo que 120% de 45. 60% de 350 → 175 + 35 = 210 c) 120% = 100% + 2 ⋅ 10% Atividade 45 120% de 45 → 45 + 2 ⋅ 4,5 = 45 + 9 = 54 Ou utilizando a multiplicação pela fração Se foi aplicado um desconto de 20% sobre o decimal: valor total do skate, isso significa que João Carlos 45 pagou o correspondente a 80% ou 0,8 do valor 45% de 120 → ⋅ 120 = 54 original. Dessa forma, basta realizar a operação 100 a) 0,8 ⋅ 420 = 336. O valor pago foi de R$ 336,00. 60 60% de 350 → ⋅ 350 = 210 100 b) 273 |

a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e percentual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos.

LUPAS E LUNETAS Os estudantes podem levar moedas para a sala de aula e realizar o experimento, reunindo os dados obtidos individualmente. Como a quantidade de “caras” ou “coroas” no experimento tem a razão de resultados para o total de lançamentos dos grupos, caso um grupo de 3 estudantes tenha obtido 42 caras e 54 co42 54 e , roas, as razões são 96 96 ou seja, 0,4375 e 0,5625. Converse sobre como eles imaginam que pode ser o resultado se adicionarem os resultados de todos os colegas da turma. Atividade 49

Espera-se que o estudante identifique um evento aleatório e os resultados possíveis. Ao especificar os possíveis resultados de um experimento, identificamos o espaço amostral ou todas as possibilidades de um evento.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. Faça você mesmo um experimento para responder a essa pergunta. Siga as instruções: • Jogue para o alto uma moeda 30 vezes. Observe a face que ficou voltada para cima: se foi cara (K) ou se foi coroa (C). • Anote o resultado de cada lançamento em uma planilha como esta:

Resultados dos 30 lançamentos 1

a) Quantos resultados foram obtidos com cara? b) Quantos resultados foram obtidos com coroa? c) Que fração dos seus lançamentos deu cara? E que fração dos seus lançamentos deu coroa? Transforme cada uma dessas frações em uma representação decimal. d) O que você observa nesses dois números decimais? • Reúna-se com 3 ou 4 colegas e compare os resultados de sua planilha com os resultados de cada uma das outras planilhas. e) Juntando os lançamentos realizados pelo grupo, faça a contagem do total de caras e do total de coroas. São quantas caras no total? E quantas coroas? f) Que fração dos lançamentos do grupo deu cara? E que fração dos lançamentos do grupo deu coroa? Transforme cada uma dessas frações em uma representação decimal. O que você observa nesses dois números decimais? g) Você acha que se continuasse jogando a moeda um número maior de vezes a fração de caras, 1 por exemplo, tenderia a ficar cada vez mais perto de 2? • E se fossem reunidos os resultados de todos os colegas da sua turma? O que imagina que poderia acontecer?

ATIVIDADES

49. Ao lançar uma moeda e observar o resultado

a) ver qual é seu número. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

da face voltada para cima, há somente dois

ARTE/ M10

(EF06MA30) Calcular

resultados possíveis. O conjunto dos resultados possíveis, nesse caso, é dado por: {cara, coroa}. O sorteio de bolas retiradas ao acaso também é um experimento aleatório. Indique o conjunto de casos possíveis em

b) ver qual é sua cor.

{amarela, azul, vermelha, verde} ARTE/ M10

Habilidade

cada experimento ao sortear uma bola e:

274 | TRAJETÓRIA 4

Sugestão de leitura

Este artigo relata como foi a construção dos dados de quatro atividades investigativas que envolvem fenômenos de natureza aleatória com uma turma de 7o ano. A análise dessas atividades valoriza os registros dos alunos, falas e interações dos estudantes. Esta vivência permitiu aos alunos uma ruptura com a visão determinística.

274 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

SOCHA, Rogério Ramos. O uso de atividades de investigação na aprendizagem probabilística dos alunos. XXIII EBRAPEM. São Paulo, 2019. Disponível em: http://www.sbem.com.br/eventos/index.php/ EBRAPEM/EBRAPEM2019/paper/viewFile/627/683. Acesso em: 29 abr. 2022.

Habilidade

#A probabilidade e a moeda “honesta”

(EF06MA30) Calcular JAVIER G./M10

No mês de julho, férias dos irmãos Tuane e Cauê, ele quis abandonar um pouco a responsabilidade de cuidar do lixo. Por isso, sem que ela soubesse, ele pegou uma moeda muito parecida com aquela usada por eles todos os dias, porém, um pouco amassada em uma face. Tuane não notou. Mas, no decorrer do mês, ela foi ficando desconfiada. No último dia do mês, vendo que Cauê foi sorteado apenas 9 dias naquele mês, ela foi examinar a moeda e descobriu que não era uma moeda “honesta”. Chamamos de moeda honesta ou não viciada (vale também para dado honesto ou dado não viciado) a moeda em que as chances de sorteio para cada uma de suas faces são iguais. Isso significa que a probabilidade (a medida da chance de sorteio de cada resultado) é a mesma ao considerarmos cada resultado possível.

LUPAS E LUNETAS

LUPAS E LUNETAS Você acha que Cauê agiu de boa-fé? Diria que ele tem bons conhecimentos de probabilidade? Ele utilizou os conhecimentos dele em favor da justiça? No mês de julho os dois irmãos tiverem chances iguais de serem sorteados? Que sugestões você daria à Tuane para que, ao conversar com Cauê, ela fosse justa, porém não agressiva? Respostas pessoais.

Evento equiprovável e cálculo da probabilidade Lançar uma moeda e observar o resultado que saiu é um experimento aleatório. O conjunto de todos os resultados possíveis é chamado de espaço amostral. Se todos os resultados possíveis de um espaço amostral tiverem chances iguais de serem sorteados, chamamos esse espaço amostral de equiprovável. Em espaços amostrais equiprováveis, podemos determinar a probabilidade por meio da relação: !ncia do evento = número de resultados favoráveis probabilidade de ocorre número de resultados possíveis

No exemplo do lançamento da moeda, o espaço amostral é o conjunto: {K, C}, com dois elementos. Os elementos desse espaço amostral são equiprováveis. Assim, a probabilidade, por exemplo, de sair cara é dada por: 1:2=

1 = 0,5 = 50% 2

número de resultados favoráveis número de resultados possíveis

Faça um entrelaçamento entre o contexto apresentado pelos irmãos e o TCT Vida Familiar e Social. O objetivo da discussão é o entendimento de que nossas ações podem ser éticas. Uma atitude ética entre pessoas da mesma família ou entre amigos e colegas é tomada pelo senso de justiça e respeito, e torna-se a única aceitável. Para que compreendam isso, faça perguntas colocando-os nos papéis dos dois irmãos, ora tendo vantagem em não trabalhar, ora tendo que trabalhar muito mais do que precisava, em decorrência de uma atitude unilateral, que beneficia uma pessoa, prejudicando outra. Ao discutir a ação reparadora que Tuane pode solicitar do irmão, de modo simples: propor que ele trabalhe os dias a mais até terem quantidades equivalentes dentro do mesmo período, ou seja, no próximo mês, Tuane trabalharia 9 dias e seu irmão os demais.

A probabilidade de ocorrer um evento é sempre um número maior ou igual a zero e menor ou igual a um. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

275 |

Habilidade

ATIVIDADES

(EF06MA30) Calcular

50. Considere as urnas A (com 8 bolas iguais numeradas de 1 a 8) e B (com 12 bolas idênticas exceto pela cor: 4 vermelhas, 3 verdes, 3 amarelas e 2 azuis). Calcule e responda:

ARTE/ M10

52. Uma roleta circular foi dividida em 10 setores

ARTE/ M10

de mesmo tamanho, como mostra a figura:

Atividade 50

Conhecendo as possibilidades de um experimento, conseguimos determinar a probabilidade de um evento, o que pode ser representado por uma fração, decimal ou porcentagem. a) A chance de tirarmos a bola 7 de um total de 8 bolas é 1 em 8. A probabilidade é de 1 ou 0,125 ou 12,5%. 8 b) A chance de tirarmos a bola par é 4 de um total de 8 bolas, ou seja, é 4 em 8. A 4 1 probabilidade é de ou 8 2 ou 0,5 ou 50%. c) A chance de tirarmos uma bola com número maior que zero e menor que 9 é 8 em 8, pois todas as bolas atendem essas características. A probabilidade é de 1 ou 100%. d) A chance de tirarmos uma bola azul da urna B é 2 em 12. A probabilidade é de 2 1 ou ou 0,16 ou 16,6%. 12 6 e) Nessa urna há 12 bolas: 2 azuis, 3 verdes, 3 amarelas e 4 vermelhas. A cor com maior chance ou probabilidade de ser sorteada é a vermelha. 276 | MANUAL DO PROFESSOR

de 20 meninas e 16 meninos. Haverá sorteio do nome de um desses alunos para auxiliar o professor de Matemática na verificação das atividades realizadas do projeto integrador que eles vão começar na semana que vem. Qual é a probabilidade de sortear: a) um menino? 4 9 5 b) uma menina? 9

Atividades 50 a 52

As atividades de probabilidade envolvem a relação entre o número de resultados favoráveis e o total de resultados possíveis. Converse sobre o total de resultados possíveis em cada situação, em especial na atividade 51, em que precisam adicionar a quantidade de meninos e meninas e sugira que apresentem a probabilidade nas três formas: fracionária, decimal e percentual.

51. A turma do 6o ano de uma escola é composta

COLORFUEL STUDIO/SHUTTERSTOCK

a) Qual é a probabilidade de sortear a bola

7 na urna A? 8 b) Qual é a probabilidade de sortear uma 1 bola de número par na urna A? 2 c) Qual é a probabilidade de sortear um 1 ou 100%. número maior que zero e menor que 9? d) Qual é a probabilidade de sortear uma bola azul na urna B? 1 6 e) Qual cor tem a maior probabilidade de sorteio na urna B? Vermelha. f) Quais cores têm iguais probabilidades na urna B? Verde e amarela. g) Qual é a probabilidade de sortear uma bola preta na urna B? Zero.

Ao girar a roleta, qual é a probabilidade (represente na forma fracionária, decimal e de porcentagem) de ela parar no setor com: 1 ou 0,5 ou 50%. a) um número par? 2 b) um número decimal? 0 ou 0%. 4 ou 0,4 ou 40%. c) um número primo? 10 3 ou 0,3 ou 30%. d) um múltiplo 3? 10 1 e) um múltiplo de 3 e par? ou 0,1 ou 10%. 10 10 f) um número natural? = 1 ou 100%.

276 | TRAJETÓRIA 4

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

f) As cores verde e amarela tem três bolas cada a) A probabilidade de sortear um menino será de

3 16 4 = . uma. Com isso ambas têm 12 ou 0,25 ou 25% 36 9 de chance de serem sorteadas. b) A probabilidade de sortear uma menina será de 20 5 g) A urna B não contém bolas pretas, ou seja, a = . 36 9 probabilidade é nula.

Atividade 51

Considerando que a turma tem 36 alunos no total:

Atividade 52

a) Sendo os números pares 2, 4, 6, 8 e 10, a pro5 1 babilidade é de 10 = 2 ou 0,5 ou 50%.

LEVO NA BAGAGEM

LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais. Recupere em sua memória fatos relacionados às suas experiências de estudos sobre os assuntos deste passeio. Tente relembrar aquilo que mais aprendeu e o que você julga necessário estudar um pouco mais. Considere os seguintes aspectos: ▶ Matemática • Você sabe resolver e elaborar problemas com números na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos, com e sem uso de calculadora? • Sabe escrever números utilizando múltiplos de potências de 10? • Você sabe resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, relacionada à ideia de proporcionalidade, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos diversos? • Calcula a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a na forma fracionária, decimal e percentual? • Consegue realizar experimentos sucessivos para determinar a probabilidade de um evento? • Resolve problemas que envolvam a grandeza massa inseridos em contextos diversos? ▶ Outras disciplinas Geografia • Sabe analisar interações com a natureza de diferentes povos ou grupos sociais, observando transformações da biodiversidade local ou do mundo? Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

Neste momento do passeio, organize a leitura coletiva do texto para que, respondendo as questões propostas, os estudantes reflitam sobre seu próprio aprendizado enquanto escutam ativamente as dificuldades encontradas pelos colegas. Com o preenchimento do quadro, os estudantes poderão classificar seu desempenho em Matemática ou nas disciplinas presentes nas atividades interdisciplinares. Diante dessas informações, poderão conversar com professores, familiares ou amigos para compartilharem suas estratégias e repensarem novas atitudes que contribuam para minimizar as dificuldades.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Insuficiente

Parcialmente suficiente

Satisfatório

Plenamente satisfatório

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

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277 |

b) A probabilidade é nula, já que nenhum número e) O único múltiplo de 3 e par é o 6, sendo a pro-

1 está escrito na forma decimal (embora todos babilidade de 10 ou 0,1 ou 10%. possam ser, dado que um número natural tamf) Como todos os números são naturais, a probabém é racional; o item pressupõe que os alunos bilidade é de 100%. associam número decimal com número com vírgula; aproveite para esclarecer a questão). c) Sendo os números primos 1, 3, 5, 7, a probabi4 2 lidade é de 10 = 5 ou 0,4 ou 40%. d) Sendo os múltiplos 3, 6 e 9, a probabilidade é 3 de ou 0,3 ou 30%. 10 277 |

BARCOS E PORTOS

Observando o fluxograma de Arthur, os estudantes poderão acompanhar, pelas atividades que realizaram, o caminho percorrido até o momento do aprendizado de números decimais, porcentagem e probabilidade. Espera-se que os alunos reconheçam que esse mapa mental permite acompanhar os estudos de cada assunto e possibilita conferir o que aprendeu e o que ainda poderá intensificar os estudos para diminuir as dificuldades.

▶ Organize Respostas pessoais. Arthur é um aluno bastante aplicado. Veja o mapa mental que ele criou para este passeio. Adição Subtração Multiplicação

OPERAÇÕES

Divisão Potenciação JAVIER G./ M10

Cálculo mental NÚMEROS DECIMAIS

ESTRATÉGIAS

Estimativa Calculadora Resolução

PROBLEMAS

Elaboração

Cálculo de porcentagem Resolução de problemas

PORCENTAGEM

Elaboração de problemas Realizar experimento PROBABILIDADE Calcular probabilidades

a) Ele organizou o estudo deste passeio em três partes: quais são elas?

b) Olhando o mapa mental de Arhur, o que você poderia afirmar sobre a utilidade desse

mapa? Como ele pode utilizar esse mapa em favor do controle de sua aprendizagem?

c) Copie o mapa de Arthur. Se julgar necessário, faça ajustes conforme sua própria

criatividade. Depois, pinte de verde o que você aprendeu bem, de amarelo aquilo que aprendeu parcialmente e de vermelho o que não aprendeu. d) Revise os conteúdos sinalizados em amarelo. Busque estratégias de aprendizagem criativas e diversificadas para os conteúdos sinalizados em vermelho. Converse com os colegas e ouça quais estratégias eles estão testando. a) Números decimais, porcentagem e probabilidade.

278 | BARCOS E PORTOS

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Elabore

Os estudantes precisam organizar como registrar os resultados obtidos jogando os dados. Podem usar alguns símbolos como X ou / para cada número sorteado ou para facilitar a contagem. Sugira a construção de um quadro e permita o uso de calculadora. Este quadro é uma possibilidade de resultados: 278 | MANUAL DO PROFESSOR

Probabilidade Número Resultado

Fração

Decimal Porcentagem (%)

10 1 = 60 6

0,16

16,6

9 3 = 60 20

0,15

12 1 = 60 5

0,20

VECTOR TRADITION/ SHUTTERSTOCK

▶ Elabore Forme dupla ou trio com os colegas. Façam um experimento aleatório de lançamentos sucessivos de um dado, não viciado, de seis faces.

Lancem o dado sobre a mesa por 60 vezes. Anotem, em uma planilha, cada um dos resultados. Para cada resultado indiquem, na forma de fração, na forma decimal e na forma percentual, a probabilidade de cada resultado. Considerando essa situação, elaborem uma pergunta e deem para outro grupo responder. ▶ Proponha A pergunta inicial deste passeio é: O que podemos fazer para melhorar o lugar onde vivemos? Junte-se com alguns colegas e leia esta lista de atitudes feitas pelos alunos do 6o ano de uma escola: 1. Plantar pelo menos uma árvore. 2. Evitar a poluição sonora. 3. Cuidar do próprio lixo. 4. Evitar desperdício de comida. 5. Avaliar a real necessidade antes de comprar. 6. Viajar para lugares divertidos. 7. Cuidar dos animais e das plantas. 8. Economizar água e energia. 9. Cuidar das pessoas do seu entorno. 10. Aplicar o dinheiro em poupanças. 11. Usar meios de transporte sustentáveis. 12. Espalhar boas ideias para o meio ambiente. • • • •

Proponha

Inicie relembrando as discussões sobre a preservação ambiental decorrente da questão: O que podemos fazer para melhorar o lugar onde vivemos? Com isso, a lista de atitudes sugeridas é o ponto de partida para refletirem sobre as atitudes reais que os estudantes desejam concretizar.

Vocês concordam com todos os itens dessa lista como sendo boas sugestões de melhorias para o local onde as pessoas vivem? Expliquem. Há algum ou alguns itens que julguem irrelevantes? Qual(is)? Por quê? Que itens vocês criariam e que não estão nessa lista? Proponha em seu grupo uma campanha para espalhar boas atitudes a fim de melhorar o local próximo onde as pessoas vivem. Divulgue a sua proposta para toda a escola.

ALEKSANDRA KHOLODOVA/SHUTTERSTOCK

•

Encontro com outras disciplinas (EF06GE11) Analisar distintas interações das sociedades com a natureza, com base na distribuição dos componentes físico-naturais, incluindo as transformações da biodiversidade local e do mundo.

279 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Probabilidade Número Resultado

Fração

Decimal Porcentagem (%)

9 3 = 60 20

0,15

12 1 = 60 5

0,20

8 2 = 60 15

0,13

13,3

279 |

Aproveite este momento e converse com os estudantes sobre o Jogo da onça ou adugo (onça, na língua dos Bororo) um jogo de origem indígena brasileiro. Para saber mais consulte os links: https://baiadoconhecimento.com/biblioteca/conhecimento/read/335056-qual-a-origem-e-objetivo-do-jogo-da-onca, http://portal.mec.gov.br/ultimas-noticias/222-537011943/ 19235-jogo-de-tabuleiro-criado-por-indigenas-empolga-estudantes e https:// ludosofia.com.br/arqueologia/ post-2/ (acessos em: 1o ago. 2022). Neles, você encontrará os moldes para a construção do tabuleiro e das peças, bem como as regras e dicas de como jogar. Inicialmente, junto com os estudantes, construa o tabuleiro e as peças para o jogo. Conte um pouco da história de origem do jogo da onça e inicie a discussão sobre as regras. Aproveite esse momento para falar do objetivo do jogo. Em duplas, os estudantes iniciarão as jogadas. Esse é um jogo de estratégias que vai além do aspecto lúdico, favorece o convívio social e estimula as habilidades cognitivas. Convide o professor de História para, juntos, realizarem esse trabalho em que é possível desenvolver parte da habilidade EF06HI08. Que tal organizarem um campeonato ou uma olimpíada do Jogo da Onça?

CHECK-IN A discussão em torno destas questões pode envolver o TCT Vida Familiar e Social, pois o espaço que habitamos nos cerca de pessoas da família ou outros 280 | MANUAL DO PROFESSOR

PASSEIO 3 – GRANDEZAS E MEDIDAS E ESTATÍSTICA QUAIS SÃO AS DIFERENTES FORMAS DE HABITAR O MUNDO? BW PRESS/SHUTTERSTOCK

Encontro com outras disciplinas (EF06HI08) Identificar os espaços territoriais ocupados e os aportes culturais, científicos, sociais e econômicos dos astecas, maias e incas e dos povos indígenas de diversas regiões brasileiras.

Indígenas brasileiros que vivem na fronteira do Brasil com a Colômbia, em pequenas comunidades na Floresta Amazônica, da etnia Hupda. Amazonas, Brasil, março de 2021.

Todo povo tem seu espaço de habitação. O espaço habitado não é somente a moradia. A habitação é resultante de uma ação no tempo capaz de transformar um espaço, impregnando-o de sentido e de afetos, seja ele público ou privado.

CHECK-IN a) Nas comunidades dos povos originários do Brasil, as experiências do cotidiano

são repetições de ações praticadas por antepassados, por heróis ou deuses. Os acontecimentos têm relação com um todo que envolve as pessoas, a natureza, o rio, a chuva; tudo faz parte da moradia. Entretanto, muitos povos já entraram em contato com outras culturas. Observe essa foto e indique quais características você identifica como sendo da tradição indígena e quais como sendo influências de culturas que vieram de fora. Da tradição indígena: o tipo de moradia. Influência externa: os tecidos das roupas. b) Nessa foto, procure descrever as condições do clima (seco, úmido ou chuvoso), da temperatura (calor ou frio), de tempo (manhã ou tarde) e associe essas condições com as ações das pessoas (o que elas estão fazendo, o que acabaram de fazer, o que vão fazer etc.). Parece estar um clima ameno, úmido, nublado e pode ser de manhã, por causa das roupas estendidas.

280 | TRAJETÓRIA 4

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ambientes. Com isso, poderão perceber o modo portuguesa; conhecê-las faz com que os estudantes como organizam e utilizam os espaços individual reconheçam as diferenças culturais com respeito, ou coletivamente. sem desenvolver preconceito. Percebemos as mudanças que aconteceram nas comunidades indígenas, que hoje têm internet, carro, roupas etc. Há também um grande número de crianças na foto. Aborde o TCT Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras: nosso país tem pessoas de culturas e etnias diferentes desde a colonização

ARREDORES Variáveis

Intervalo de tempo

Temperatura

Tabelas

Formulário

GRANDEZAS E MEDIDAS

Medições e problematizações

Relatório de pesquisa

ESTATÍSTICA

Problematização e pesquisa

Instrumentos de medidas

EF06MA24, EF06MA31, EF06MA32, EF06MA33, EF06MA34

Representações gráficas

Gráficos de barras e de colunas

Gráficos de setores

Planilha eletrônica

EF06HI08 EF06GE13

BÚSSOLA BÚSSOL A Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: • • •

•

• •

•

Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas tempo e temperatura em contextos diversos. Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráficos e tabelas. Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos diversos, em diferentes tipos de gráficos, e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. Coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto. Interpretar e desenvolver fluxogramas simples. Identificar, por meio da observação dos espaços, características culturais, científicas e sociais próprias – ou recebidas por influências externas – de povos indígenas de diversas regiões brasileiras. Identificar consequências das práticas humanas na dinâmica climática.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

281 |

ATMOSFERA ATMOSFER A A criança em diversas culturas: condições de tempo e de espaço

CAMILA_ALMEIDA/SHUTTERSTOCK

Observe as imagens, leia as legendas e o trecho de texto. MARIANOBLANCO/SHUTTERSTOCK

RAFAPRESS/SHUTTERSTOCK

Observando as imagens das crianças de diversos países proponha discutir sobre a Diversidade Cultural, um TCT, para que promovam relações de respeito, acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais. Utilize essas imagens para introduzir o próximo assunto: temperatura. Aponte que há crianças mais agasalhadas, com poncho e manga comprida, enquanto há outras com roupas frescas, indicando lugares com menor e maior temperatura. Com a discussão proposta na atividade perceberão que todas têm hábitos, modos, vestimentas, brincadeiras diferentes.

BERZINA/SHUTTERSTOCK

Atividades 1 a 3

Crianças pelo mundo: tuaregues no deserto do Mali (país africano); indígenas Krahô da aldeia Pé de Coco (áreas do norte do Cerrado, em Itacajá, Tocantins, Brasil); peruanas em roupas tradicionais com lhamas em rua de Cuzco (Peru); menino jogando basquete na rua, em Glória de Dourados (Mato Grosso do Sul, Brasil).

Criança que faz história e produz cultura A criança é um ser humano também do hoje que não pode ser limitado ao amanhã, precisa ser compreendida a partir de si mesma e do seu pró-

prio contexto. Representa um sujeito social, que não está passivo em seu processo de socialização, faz história e produz cultura.

LIMA, José Milton de; MOREIRA, Tony Aparecido; LIMA, Marcia Regina Canhoto de. A Sociologia da infância e a Educação Infantil: outro olhar para as crianças e suas culturas. Revista Contrapontos Eletrônica, v. 14, n. 1, p. 95-110, jan./abr. 2014.

ATIVIDADES

1. 2.

Com quais crianças das fotos você mais se identifica? Por quê? Respostas pessoais. Pela observação de cada uma das imagens, como você vê a relação das crianças com o espaço e o tempo em que elas estão inseridas? O que elas estão fazendo ou o que acabaram de fazer? O que imagina que elas podem fazer depois disso? Respostas pessoais. Em qual dessas imagens o local parece estar mais quente? E em qual está mais frio? Explique. A criança com bola de basquete parece estar no local mais quente,

282 | TRAJETÓRIA 4

pois ao fundo há muita luminosidade solar. As crianças peruanas parecem estar no local mais frio, pois estão com ponchos de lã.

Sugestão de leitura

Sobre as questões climáticas e com possibilidade de desenvolver projeto em parceria com o componente curricular Ciências, conheça o desenho animado que aborda conceitos relacionados ao meio ambiente. Disponível em: https://iei-brasil.org/. Acesso em: 28 abr. 2022.

282 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

#Temperatura

(EF06MA24) Resolver e

elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento. Encontro com outras disciplinas (EF06GE13) Analisar consequências, vantagens e desvantagens das práticas humanas na dinâmica climática (ilha de calor etc.).

Um dos elementos que compõem o espaço habitado pelos humanos em diversas culturas é o seu clima. E um dos atributos do clima é a variação de temperatura. A temperatura é a grandeza que está associada às sensações de quente ou frio. É possível medir com precisão a temperatura do ambiente, do corpo humano ou de um objeto utilizando termômetros diversos. Nos dias de hoje, há aplicativos que indicam a variação da temperatura local no decorrer de um período (dia, mês, ano etc.).

LUPAS E LUNETAS Você sabe quais outros elementos, além da temperatura, compõem o clima? Pesquise e compartilhe com os colegas. Respostas pessoais.

Escala Celsius A unidade de medida de temperatura usada no Brasil e na maioria dos países do mundo é o grau Celsius (oC). Nessa escala, ao nível do mar, quando a água congela, a temperatura é 0 oC e quando ela

MASMAS/SHUTTERSTOCK

ferve, é 100 oC. A temperatura normal do corpo humano varia entre 36,5 oC e 37 oC.

Acima de zero, as temperaturas são positivas. Abaixo de zero, as temperaturas são negativas.

• O que deve e pode ser feito

para conter as mudanças climáticas? Para essa última abordagem, organize com os estudantes, um modo de divulgação desse trabalho. Podem ser cartazes, folders, divulgação nas redes sociais etc.

LUPAS E LUNETAS ATIVIDADES

4. Considere a imagem anterior: quais das temperaturas mostradas está mais próxima da temperatura no local onde você está agora? Resposta pessoal.

5. Qual é a época do ano mais fria no lugar onde você vive? Qual medida de temperatura costuma ser registrada nessa época? E qual é a época de maior calor? Que medida de temperatura costuma ser registrada nessa época? Respostas pessoais. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Convide o professor de Geografia e, juntos, organizem uma atividade interdisciplinar. Sugerimos a série “Nosso Planeta”, lançada em 2019, que é um excelente documentário sobre a vida selvagem ao redor do mundo. O episódio 2 “Mundos congelados” mostra ursos-polares, leões-marinhos, focas e pinguins vivendo em seus paraísos de gelo que vêm sofrendo em consequência das mudanças climáticas. Com esse trabalho os estudantes poderão entender melhor o que são mudanças climáticas e como elas afetam a nossa vida e a dos outros seres vivos do planeta. Por se tratar de uma atividade

283 |

interdisciplinar a habilidade EF06GE13 também será trabalhada. Assista antes o episódio e organize um roteiro de observações. Após a exibição proponha uma roda de conversa para uma discussão que envolva os temas sugeridos a seguir: • O que é mudança climática e quais as suas consequências? • Quando e por que o clima começou a mudar? • Quais os impactos ambientes relacionados às mudanças de temperatura?

Os principais fatores climáticos são: altitude, latitude, maritimidade, continentalidade, massas de ar, vegetação, correntes marítimas e relevo. Atividades 4 e 5

P a ra i nt ro d u z i r o TC T Educação Ambiental, peça que utilizem seus smartphones ou computadores para acessar sites e aplicativos que indiquem a temperatura local neste exato momento, de modo que o estudante possa correlacionar com aquelas mencionadas.

283 |

(EF06MA24) Resolver e

As temperaturas podem variar de acordo com o clima e localização e cada estudante pode expressar sua opinião sobre as temperaturas mais elevadas. Na pesquisa sobre os impactos da elevação de temperatura podem mencionar: contribui para o aumento do nível do oceano; diminuição de produção agrícola; secas severas que colocam em risco os mananciais de água doce.

6. Leia o trecho de um texto.

Mudanças climáticas e aquecimento global Entre os cientistas existe um consenso de que o resultado mais direto das mudanças climáticas seja o aumento da temperatura do planeta entre 1,5 oC e 5,8 oC. Levantamentos comprovam que

anos, foram todos a partir de 1980.

Verifique qual é a temperatura local nesse instante. A cada uma das temperaturas 1,5 oC e 5,8 oC adicione a temperatura registrada naquele instante. Essas duas temperaturas resultantes lhe parecem agradáveis? O que você sabe a respeito dos impactos da elevação da temperatura da Terra para a vida no planeta? Comente. Respostas pessoais.

#Intervalos de tempo Leia este trecho de texto que narra a rotina de algumas crianças ribeirinhas brasileiras: [...] Acordar antes do sol nascer, caminhar até a beira de um rio agitado, entrar em um bote ou em uma lancha de pequeno porte para, em meio à chuva característica da Região Norte, ir à escola. Essa é a rotina de muitas crianças ribeirinhas. [...]

Crianças da comunidade de São Francisco do Mainã, no Amazonas, vão de lancha para a escola Tomaz Silva. PEDUZZI, Pedro. Para chegar à escola, muitas crianças enfrentam embarcações. Agência Brasil, 17 abr. 2014. Disponível em: https://agenciabrasil.ebc.com.br/geral/noticia/2014-04/para-chegar-escola-criancas-enfrentam-embarcacoes-precarias-e-rios#:~:text=Publicado%20em%2017%2F04%2F2014,Pedro%20Peduzzi%20%E2%80%93%20 Enviado%20Especial%20%2D%20Manaus&text=Acordar%20antes%20do%20sol%20nascer,rotina%20de%20muitas%20crian%C3%A7as%20ribeirinhas. Acesso em: 12 jul. 2022.

LUPAS E LUNETAS Você se identifica com a rotina dessas crianças? Compare e comente com os colegas como essas crianças habitam o espaço delas comparando com o modo de você habitar e conviver no seu espaço. Em sua comparação, contemple as questões: • A que horas você acorda? • O que você faz em seguida? • Quanto tempo se passa da hora em que acorda até a hora em que chega à escola? • Você vê vantagem ou desvantagem em sua rotina comparada à dessas crianças? Respostas pessoais.

284 | TRAJETÓRIA 4

Atividade 7

a) Para determinar o intervalo de tempo entre

a saída de sua casa até a chegada na escola, Silene faz uma comparação entre as partes relacionadas aos minutos e as horas. Como não é possível retirar 55min de 10min, a menina transforma 1h em 60 minutos, ficando o tempo de chegada igual a 6h70min (10 min + 60 min), ou seja, 6h70min – 5h55min; deixe que os estudantes percebam que essa diferença é de

284 | MANUAL DO PROFESSOR

se começou a fazer tais registros, há mais de 130

SÃO PAULO (estado). Companhia Ambiental do Estado de São Paulo (CETESB). Aquecimento do planeta. Proclima, abr. 2022. Disponível em: https://cetesb.sp.gov.br/proclima. Acesso em: 12 jul. 2022.

LUPAS E LUNETAS Esta discussão se relaciona ao TCT Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras; promova a discussão para que conheçam a realidade de outras crianças, nesse caso as crianças ribeirinhas. As crianças ribeirinhas acordam antes do sol nascer, caminham até um rio e seguem de barco para a escola, incentive-os a verbalizar a própria rotina e comparar com a delas.

os dez anos mais quentes da história, desde que

AGÊNCIA BRASIL

Habilidade

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

1h15, se necessário faça intervenções para que efetuem esse cálculo. b) Há muitas possibilidades de horário para a saída de casa e chegada na escola. Um cálculo que pode ser usado como exemplo é o seguinte: a saída de casa acontece as 6h50 e a entrada na escola as 7h15. O cálculo pode ser: 7h15min – 6h50min = 6h75min – 6h50min = 25min.

Habilidade

ATIVIDADES

7. Silene é uma criança dessa comunidade ribeirinha. Veja o cálculo que a professora pediu para ela

KAROL MORAES/SHUTTERSTOCK

fazer sobre o intervalo de tempo da hora em que ela sai de casa até a hora em que começam as aulas dela. Respostas pessoais.

Garota de comunidade ribeirinha localizada à margem esquerda do rio Amazonas. a) Descreva como você compreendeu o raciocínio de Silene. b) Registre uma operação que represente o intervalo de tempo desde quando você sai de casa

até a hora em que iniciam suas aulas. c) A unidade de medida de tempo que prevalece no intervalo da saída de casa até o início das

aulas de Silene é a hora. No seu caso, é essa unidade de medida de tempo que prevalece?

ARTE/ M10

8. Observe os relógios que mostram o horário no mesmo instante em diversas cidades.

(EF06MA24) Resolver e

elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento. Encontro com outras disciplinas (EF06HI08) Identificar os espaços territoriais ocupados e os aportes culturais, científicos, sociais e econômicos dos astecas, maias e incas e dos povos indígenas de diversas regiões brasileiras.

a) Compare com Brasília e responda: quantas horas a mais ou a menos registram os relógios

em cada cidade? Los Angeles: 4 h a menos; Pequim: 11 h a mais; Lima: 2 h a menos; Lisboa: 3 h a mais.

b) Depois disso, passaram-se 6h25min no relógio de Brasília. Que dia da semana e que horas

são em cada uma das cidades?

Brasília: 20h10min de terça-feira; Los Angeles: 16h10min de terça-feira; Pequim: 7h10min de quarta-feira; Lima: 18h10min de terça-feira; Lisboa: 23h10min de terça-feira.

#Medições e problematizações O ato de realizar medições é, muitas vezes, motivado por uma dúvida, uma questão, uma problematização. Para isso, são necessários instrumentos de medida adequados, conforme cada situação. Por exemplo: uma chef de cozinha pode perguntar qual é a temperatura ideal para o cozimento perfeito de um bife. Ou uma mãe quer tirar uma dúvida: será que meu bebê está com febre? Ou, ainda, um treinador que monitora o desempenho de seu atleta: será que ele atinge a meta de hoje? NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 8

285 |

b) Passando-se 06 h e 25 min, os horários e dias

serão: as cidades, como todos os relógios marcam 45 • Brasília (Brasil): 13h45min + 06h25min = 20h10min da terça-feira. minutos, a diferença pode ser realizada usando apenas o valor das horas. Los Angeles (EUA) • Los Angeles (EUA): 09h45min + 06h25min = 16h10min registra 4 horas a menos que Brasília. Já Pequim = 16h10min da terça-feira. 09h45min + 06h25min (China) registra 11 horas a mais que Brasília, sen- • Pequim (China): 0h45min + 06h25min = 07h10min da quarta-feira. do que devido a esse fuso horário, lá já é quarta-feira. Lima (Peru) registra 2 horas e menos • Lima (Peru): 11h45min + 06h25min = 18h10min da terça-feira. que Brasília e Lisboa (Portugal) registra 3 horas a mais do que Brasília. • Lisboa (Portugal): 16h45min + 06h25min = 23h10min 16h45min + 06h25min = 23h10min da terça-feira.

a) Para calcular a diferença de fuso horário entre

285 |

Atividade 9

WEITWINKEL/SHUTTERSTOCK

ADRIATICFOTO/SHUTTERSTOCK

SUTEREN/SHUTTERSTOCK

Os instrumentos de medida auxiliam na busca de soluções em algumas problematizações cotidianas como: qual é a temperatura ideal do filé? O bebê está com febre? O atleta conseguiu alcançar sua melhor marca?

A problematização construída considerando a realidade gera a busca de dados que apontem soluções ou eliminem dúvidas. Se na problematização é necessário realizar medições, então o meio eficiente é o uso adequado dos instrumentos de medição. ATIVIDADES

9. Observe as informações de tempo e temperatura no esquema:

20 – 5 = 15, ou seja, 15 oC.

a) Qual é a temperatura máxima mais eleva-

da? E qual é a temperatura mínima mais baixa? Agora, calcule a diferença de tem-

VECTOR TRADITION/SHUTTERSTOCK/ ARTE M10

Habilidades (EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento. (EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.

peratura entre elas. b) Considere a hora dada no esquema. Que

horas será depois de decorridos 3h48min? 16h25min.

10. Escolha uma das três fotos do topo da página e elabore uma situação-problema envolvendo cálculo com medida de tempo ou temperatura.

a) A maior temperatura regis-

Dê seu problema para um colega resolver. Respostas pessoais. trada é de 20 oC, enquanto a menor temperatura registrada é de 5 oC. A diferen#A problematização e as pesquisas em Estatística ça entre a maior e a menor temperatura registrada é de Dependendo da pergunta, da dúvida, da problematização, não será por meio de um instru20 – 5 = 15, ou seja, 15 oC. mento de medida “comum” que virão as possibilidades de solução. Até porque muitas vezes as b) Dada o horário inicial como perguntas são abrangentes e demandam outras estratégias de solução que vão além do uso de sendo 12h37min, após deum relógio, um termômetro, uma fita métrica, uma balança etc. corridos 3 horas e 48 minuUm exemplo claro do que estamos falando é a pergunta norteadora deste passeio: quais tos o horário será dado por: são as diferentes formas de habitar o mundo? Impossível obter uma resposta utilizando um 12h37min + 3h48min = 15h85min = 16h25min. instrumento de medida, no sentido literal. Existem sim técnicas, processos e recursos estatís+ 3h48min = 15h85min = 16h25min. ticos de caráter investigativo que vão conduzir a possíveis respostas dessa pergunta e, em um sentido mais amplo, esses recursos podem ser entendidos como “instrumentos”. Dados fictícios.

286 | TRAJETÓRIA 4

Atividade 10

O problema a seguir pode ser usado como um exemplo ou inspiração para os estudantes: Uma chefe de cozinha começa o preparo de um prato exatamente às 11h05min. Sabendo que o tempo de cozimento desse alimento é de 1 hora e 55 minutos, a que horas o alimento estará pronto? Como 11h05min + 1h55min = 11h + 1h + (5 + 55)min = 11h + 2h = 13h. 11h05min + 1h55min = 11h + 1h + (5 + 55)min = 11h + 2h = 13h.

286 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Um “instrumento” muito usado em Estatística é o formulário ou questionário. Veja parte de um questionário criado por Amara, aluna de uma escola de Sergipe que deseja saber os diferentes modos de habitar e produzir conhecimento pelas crianças de diversos povos e culturas.

Habilidade (EF06MA33) Planejar e

coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto. Atividade 11

ATIVIDADES

c) Grupo I: perguntas objetivas. Grupo II: perguntas opinativas ou subjetivas.

11. Observe parte do formulário criado por Amara.

a) Qual é a pergunta ampla da pesquisa que Amara deseja fazer?

Quais são as diferentes formas de a criança habitar o mundo?

b) As seis perguntas mostradas podem ser divididas em dois grupos: o grupo I, que descreve e

situa de modo geral o entrevistado, e o grupo II, que qualifica diretamente a pergunta principal. Separe as perguntas nesses dois grupos. Grupo I: perguntas 1, 2 e 3. Grupo II: perguntas 4, 5 e 6. c) Qual desses dois grupos é de perguntas objetivas? E qual é de perguntas opinativas? d) Como você acha que Amara pode fazer esse formulário chegar a crianças de diferentes lu-

gares? Dê sua opinião. Respostas pessoais. e) O espaço habitado é uma construção social, emocional, intelectual. Refere-se a uma relação

ampla que temos com o espaço local e o mundo em geral. Não se limita à noção de moradia física, mas diz respeito a qualquer espaço que possa ser habitado, produzido, distribuído e transformado. Ele pode ser público ou privado, pode ser melhorado ou destruído, utilizado por habitantes fixos ou indivíduos apenas de passagem. Levando em consideração essas informações, dê continuidade ao formulário de Amara. Junte-se a um colega e elabore duas novas questões para serem incluídas no formulário dela, de caráter opinativo, que têm relação direta com a pergunta principal. Respostas pessoais. •

Depois, compartilhem as suas perguntas com a sala toda.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

287 |

Amara está fazendo uma pesquisa de opinião para saber: Quais são as diferentes formas de a criança habitar o mundo? Ela organizou as perguntas em 2 grupos: as perguntas 1, 2 e 3 pertencem ao grupo I, pois descrevem, de modo geral, o entrevistado. Já as perguntas 4, 5 e 6 pertencem ao grupo II, pois qualificam diretamente a pergunta principal. As perguntas do grupo I são objetivas, enquanto as perguntas do grupo II são opinativas ou subjetivas. Crianças que estão distantes podem receber esse formulário por carta ou por meios eletrônicos como e-mail, redes sociais etc. Algumas perguntas para complementar o questionário podem ser: • Há outras crianças da sua idade que moram próximo a você? • Onde você mora, as pessoas têm espaços coletivos para brincar ou praticar esportes? • Em que tipo de espaço você se sente mais confortável: público ou privado? • O que costuma fazer para melhorar o espaço em que habita? Os estudantes, em grupos, podem organizar os resultados e, com as informações obtidas com os questionários dispostas em tabelas e gráficos, redigir um relatório que resuma as principais informações obtidas com essa pesquisa.

287 |

as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico.

A Educação Estatística engloba o desenvolvimento do raciocínio estatístico e probabilístico por meio da coleta de dados, organização e análise das informações, elaboração de tabelas, construção e interpretação de gráficos, além de desenvolver a ideia de probabilidade. Com esse estudo, é importante que os estudantes consigam interpretar os dados: sugira que coletem informações dentre eles mesmos como características físicas (cor de pele, dos olhos, altura), número de irmãos ou animais de estimação, organizem tabelas com essas informações e as frequências absoluta e relativa para que ao analisar as informações ou no estudo sobre os gráficos, utilizem dados que sejam significativos para eles. Atividade 12

Ao diferenciar as variáveis quantitativas discretas das contínuas, especifique que a idade está considerando apenas os anos completos (discreta), então as possibilidades estão no conjunto dos números naturais; enquanto massa e altura podem ter seus valores no conjunto dos números racionais. A frequência absoluta é a quantidade em que uma determinada resposta foi verificada; a frequência relativa é essa quantidade comparada com o total e, nesse caso, pode ser expressa como porcentagem ou decimal. a) A variável quantitativa discreta é a idade, em anos. Já as variáveis quantitativas contínuas são a altura e a massa. b) As variáveis qualitativas nominais são o nome e o sexo. As variáveis qualitativas ordinais são pratica de atividade física e alguém na família pratica atividade física. 288 | MANUAL DO PROFESSOR

As variáveis e os elementos das tabelas Cada um dos itens do formulário, após respondidos, vai gerar um conjunto de valores (ou resultados possíveis) que chamamos de variável. Ao se envolver com o tratamento dos dados, será importante que Amara compreenda a natureza de cada variável. Saber de que tipo são as variáveis vão ajudá-la a definir como os dados deverão ser analisados. Veja a classificação das variáveis tomando o formulário parcial de Amara como exemplo.

Dados organizados em tabelas Amara utilizou seus contatos e os seguidores de suas redes sociais e, além disso, publicou uma versão em inglês do formulário para que pudesse ter um alcance internacional. Depois de algumas semanas, Amara recebeu 240 formulários respondidos. Ela começou a organizar os dados. Para situar, de modo amplo, a localização dos entrevistados, ela classificou os dados da pergunta 3 levando em conta os cinco continentes de origem das respostas recebidas, criando a tabela simples 1. Para entender a relação entre idade e sexo, ao mesmo tempo, ela utilizou os dados das perguntas 1 e 2. Assim, ela criou a tabela de dupla entrada 2.

Título

TABELA 1 Continente de origem das crianças entrevistadas

Cabeçalho

Corpo

Continente

TABELA 2 Idade por sexo das crianças entrevistadas

Quantidade

América

117

África

Europa

Ásia

Oceania

Total

240

IDADE

Cabeçalho

Fonte Fonte: dados coletados por Amara.

Frequência

SEXO

Título

Total

138

102

Total

156

240

Corpo

(EF06MA31) Identificar

Frequência

Habilidade

Fonte Fonte: dados coletados por Amara.

As tabelas facilitam a síntese das informações e a apresentação visual dos dados. 288 | TRAJETÓRIA 4

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

c) Exemplo de resposta: A pergunta “Qual seu c) A variável idade tem os valores possíveis como esporte favorito?” é uma variável qualitativa nominal.

sendo 9, 10, 11 e 12, enquanto a variável sexo tem como valor possível masculino ou feminino. d) As frequências da variável F são 7, 15, 18 e 98. Atividade 13 Enquanto as frequências da variável M são 5, 16, 23 e 58. Observando as informações da atividade, temos: a) As variáveis são os continentes América, África, e) As tabelas 1 e 2 possuem como elementos: Título, cabeçalho, corpo, frequência e fonte. Europa, Ásia e Oceania. b) As frequências dispostas na tabela são 117, 73, 20, 22 e 8.

ATIVIDADES

12. Observe o formulário a ser preenchido com os dados de futuros membros de uma associação de moradores do bairro.

b) Variáveis qualitativas nominais: nome, sexo. Variáveis qualitativas ordinais: pratica atividade física, alguém na família pratica atividade física.

Considere esse formulário e responda: a) Variáveis quantitativas discretas: idade, em anos.

Variáveis quantitativas contínuas: altura e massa corporal.

a) Quais variáveis são quantitativas discretas e quais são quantitativas contínuas? b) Quais variáveis são qualitativas nominais e quais são qualitativas ordinais?

c) Elabore, para esse formulário, um item 8 que represente uma variável qualitativa nominal.

Compare sua resposta com a de um colega. Respostas pessoais.

13. Observe as tabelas 1 e 2 criadas por Amara. a) Na tabela simples 1, os valores associados à categoria Continente são suas variáveis. Quais

são essas variáveis? América, África, Europa, Ásia, Oceania. b) Ainda na tabela 1, os valores dispostos na coluna à direita são também conhecidos como

frequência. Quais são eles? 117, 73, 20, 22, 8. c) A tabela 2, por ser de dupla entrada, tem duas categorias de variáveis, que são idade e sexo.

Quais são os valores das variáveis de idade e quais são as de sexo? Idade: 9, 10, 11, 12. Sexo: F, M. d) Ainda na tabela 2, qual é a frequência da variável F? E da variável M? F: 7, 15, 18, 98. M: 5, 16, 23, 58. e) Ouça o que o professor vai dizer sobre os nomes dos elementos das tabelas. Depois, com

um colega, indique oralmente o nome de cada elemento das tabelas.

14. d) Hipótese possível: o perfil predominante é menina de 12 anos que vive na América. a) De qual continente são a maioria dos entrevistados de Amara? Continente americano. Respostas indicadas nas tabelas.

14. Junto com um colega, faça a análise dos dados das duas tabelas.

b) Em quais idades o sexo masculino teve maior frequência do que o feminino? 10 e 11 anos. c) A maior frequência ocorreu em qual sexo e com que idade? 12 anos, feminino. d) Considere as duas tabelas ao mesmo tempo para formular uma hipótese sobre o perfil pre-

Habilidades (EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento. (EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico. (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.

dominante quanto à procedência de qual continente, de qual sexo e de que idade. e) Qual é o índice porcentual de meninas entre os entrevistados de Amara? E o de meninos? f) Qual é o índice porcentual dos entrevistados que vivem na América? 48,75. g) Quais são os dois continentes que, juntos, perfazem 17,5% dos entrevistados?

Europa e Ásia.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

14. e) Meninas: 57,5%; meninos: 42,5%.

289 |

Atividade 14

f) Se na América vivem 117 crianças de um total de 240, o índice percentual será de Veja alguns comentários relativos aos seguin117 tes itens: = 0,4875 = 48,75%. 240 e) A quantidade de meninas entrevistadas por ⎛ 20 ⎞ Amara é igual a 138 (7 + 15 + 18 + 98) e a quanti- g) Os continentes são Europa ⎜⎝ 240 = 8,33%⎟⎠ e dade de meninos é igual a 102 (5 + 16 + 23 + 58), ⎛ 22 = 9,17%⎞ , ⎟⎠ , que adicionados resultam resultando em um total de 240 entrevisÁsia ⎜⎝ 240 tados. O índice percentual de meninas é em 17,5%. 138 57,5 = 0,575 = = 57,5% e o de meninos 240 100 102 42,5 = 0,425 = = 42,5%. é 240 100 289 |

Habilidades (EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico. (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.

#Representações gráficas Os dados estatísticos podem ser representados de muitas maneiras – basta observar a diversidade de gráficos que permeiam os veículos de comunicação (jornais, sites, blogs, vlogs etc.). A escolha do tipo mais apropriado de gráfico cabe ao pesquisador; no entanto, o critério de escolha deve ser pautado pela simplicidade, clareza e veracidade da apresentação dos dados.

Gráfico de colunas Para que as informações pudessem ser lidas ainda mais rapidamente e facilitasse a análise dos dados, Amara utilizou os dados das duas tabelas e transformou cada uma delas em um gráfico de colunas.

Idade por sexo das crianças entrevistadas

Continente de origem das crianças entrevistadas

Sugestão de leitura

Este artigo aborda um experimento realizado por alunos de 7o ano no lançamento de aviões de papel para usarem os dados no estudo de medidas de tendência central e na construção do gráfico ramo-e-folhas. Garcia, Sandra R. A ., Scarlassari, Nathália T. Educação estatística no lançamento de aviões de papel. VI SHIAM. 2017. Campinas: Unicamp. Disponível em: https://www.cempem.fe.unicamp.br/pf-cempem/sandra_ regina_aguiar_garcia_-_nathalia_tornisiello_scarlassari.pdf. Acesso em: 17 jul 2022.

Fonte: dados coletados por Amara.

Quando uma das variáveis é qualitativa (como no 1 gráfico, a categoria Continente; e, no 2o gráfico, a categoria Sexo), os gráficos de colunas são uma boa escolha de apresentação dos dados. O primeiro é um gráfico de colunas simples; o outro é um gráfico de colunas duplas. o

ATIVIDADES

15. Do total das 117 crianças da América, 68 são

Atividade 15

SEXO

IDADE 9

TOTAL

Fonte: dados coletados por Amara.

290 | TRAJETÓRIA 4

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

CRIANÇAS BRASILEIRAS IDADE (em anos) 9 10 11 12 TOTAL F 3 10 9 18 40 SEXO M 2 8 12 6 28 TOTAL 5 18 21 24 68 Fonte: dados coletados por Amara.

Crianças brasileiras 25 Quantidade

Introduzir a leitura dos gráficos pelos exemplos anteriores: mostre o título, os nomes dos eixos e a fonte. A escala é importante para que o estudante compreenda a interpretação de um gráfico. Combine uma escala para construírem esse primeiro gráfico. O preenchimento da tabela é o seguinte:

CRIANÇAS BRASILEIRAS

brasileiras. Observe os dados das crianças brasileiras na tabela: a) Copie e complete a tabela com os dados. b) Represente os dados dessa tabela em um gráfico de colunas duplas, utilizando uma malha quadriculada.

15 10

10 5 0

12 6

3 2 9

F M

10 11 Idade (em anos)

Fonte: dados coletados por Amara. 290 | MANUAL DO PROFESSOR

Gráfico de setores ou gráfico de pizza O gráfico de setores, ou gráfico de pizza, tem a forma de um círculo dividido em setores. É utilizado quando se pretende comparar valores de uma categoria de dados com sua totalidade, ou seja, favorece a comparação da parte em relação ao todo. Sua construção leva em conta divisões do círculo em setores com áreas proporcionais aos valores a serem discriminados. Veja a tabela e o gráfico de setores que Amara construiu utilizando compasso e transferidor.

Como você se vê produzindo história na comunidade em que vive?

Fonte: dados coletados por Amara.

Amara desenhou um círculo e, para saber a medida da abertura de cada setor e a porcentagem correspondente, ela utilizou dois cálculos, descritos a seguir. I. Para o cálculo das medidas dos ângulos dos setores, ela usou um raciocínio de proporcionalidade: ela sabe que o valor absoluto do todo é 240 entrevistados. E sabe que o círculo corresponde a um giro de uma volta completa de 360o, ou seja, essas duas grandezas estão 240 em uma razão de . Essa razão diz que: ao total de entrevistados (240) corresponde o 360 giro de uma volta completa (360o). Seguindo esse raciocínio, qual seria então o ângulo que corresponderia ao valor de 80 entrevistados? Amara vai utilizar as frações equivalentes: 240 80 = 360 ! 240 O sinal é o valor que ela quer descobrir. Observando a razão , ela sabe que pode dividir 360 o numerador e o denominador por um mesmo número e obter uma fração equivalente. Ela se pergunta: por qual número devo dividir 240 para obter 80? A resposta é fácil: 3. Logo, para obter , basta dividir 360 por 3. Portanto, vale 120, ou seja, 80 entrevistados correspondem a um setor com abertura de 120o. 80 II. Para o cálculo das porcentagens, ela também usou a razão entre a parte e o todo: 240,, que, na forma decimal, equivale a aproximadamente 0,333, que, por sua vez, na forma de porcentagem é: 33,3%. ATIVIDADES

16. Calcule os ângulos dos setores correspondentes aos valores de 140 e 20 da tabela anterior.

210o; 30o.

17. Considerando apenas o total por idade das crianças brasileiras, construa, com compasso e transferidor, um gráfico de setores.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 16

Atividade 17

Para calcularem o ângulo correspondente a cada idade precisam retomar os resultados dos totais por idade e verificar a porcentagem ou frequência relativa para calcular cada ângulo:

CRIANÇAS BRASILEIRAS Idade Ângulo F Fr (anos) (em graus) 0,074 ⋅ 360 = 26,6

5 0,074 0,074⋅ 360 = 26,6

18 0,265

21 0,309 0,309⋅ 360 = 111

24 0,353 0,353⋅ 360 = 127

0,265 ⋅ 360 = 95,4 0,265 ⋅ 360 = 95,4 0,309 ⋅ 360 = 111 0,353 ⋅ 360 = 127

Total 68 291 |

à 1,5o no gráfico de setores, proporcionalmente o o Para calcular o ângulo há algumas possibilidades 140 pessoas corresponde à 210o (140 ⋅ 1,5 = 210 ). de pensamento proporcional, uma delas é a relaSendo a quantidade igual a 20 entrevistados ção parte-todo relacionada à volta completa, 360o. de um total de 240, o ângulo central do setor será Considerando 140 entrevistados, pode relacionar calculado por: 140 20 ⋅ 360o = 210o . ⋅ 360o = 30o 240 240 Outra estratégia seria calcular o ângulo corOs ângulos são 210o e 30o. respondente para cada pessoa: dividimos a volta completa (360o) pelo total de entrevistados (240), o o como 360 : 240 = 1,5 , cada pessoa corresponde

360

Fonte: dados coletados por Amara.

Representando em um gráfico de setores, tem-se: CRIANÇAS BRASILEIRAS 75%

Como você se vê produzindo história na comunidade em que vive?

35%

26%

9 anos 10 anos 11 anos

31%

12 anos

Fonte: dados coletados por Amara.

291 |

Habilidades (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. (EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exemplo, posição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.). Converse sobre o uso de planilhas eletrônicas para a construção de tabelas e gráficos; verifique o conhecimento prévio do estudante e, se possível, proponha realizar as próximas atividades na sala de informática.

NUVENS Planilha eletrônica Você construiu gráficos manualmente, utilizando instrumentos como régua, compasso e transferidor. Mas pode construir gráficos utilizando planilhas eletrônicas. Considere os dados da tabela “Como você se vê produzindo história na comunidade em que vive?” para gerar gráficos utilizando uma planilha eletrônica. Proceda conforme descrito no dispositivo de tarefas ou fluxograma.

Em uma planilha, selecione toda a região da tabela com os dados.

Clique em “Inserir” no menu superior e, em seguida, selecione a opção “Gráfico”. Vai surgir um gráfico de pizza.

18. Com os formulários dos brasileiros, Amara organizou esta tabela: Respostas pessoais.

Crianças brasileiras entrevistadas Regiões

Norte

Nordeste

Centro-Oeste

Sudeste

Sul

Quantidade

Fonte: dados coletados por Amara.

a) Represente esses dados por meio de gráficos diversos, utilizando uma planilha

eletrônica.

b) Do item anterior, compare duas representações: o gráfico de setores e o gráfico de

barras. Que relação você observa entre a medida de áreas dos setores e as medidas de alturas das barras do gráfico de barras? Respostas pessoais.

19. Nem todos os dados podem ser representados em gráficos de pizza ou de barras.

Observe as tabelas com dados de pesquisas feitas pelos alunos do 6º ano do Colégio Arujá:

a) Com o uso de planilhas

Quais são seus jogos eletrônicos preferidos?

eletrônicas, os estudantes podem fazer gráficos como estes:

JOGO

AÇÃO

ESTRATÉGIA ESPORTE

Crianças brasileiras

Regiões

Teste os diversos formatos na opção “Tipo de gráfico”: pizza, barras, colunas. Também procure pelo formato rosca.

ATIVIDADES

Atividade 18

Quantidade

Sul Sudeste Centro-oeste Nordeste Norte

Utilize a aba “Editor de gráficos” no canto direito para ajustar as configurações e personalizar seu gráfico.

Quantas horas do dia você passa jogando?

JOGO ON-LINE 15

TEMPO

ATÉ 2h

Quantidade

Fonte: alunos do Colégio Arujá.

5 10 15 20 Quantidade

DE 2h

MAIS

A 4h

DE 4h

Fonte: alunos do Colégio Arujá.

Indique qual tabela deve ser representada em gráfico de pizza e qual em gráfico de colunas. Explique por quê. Depois, com uma planilha eletrônica, construa os gráficos. Respostas pessoais.

25 30

292 | TRAJETÓRIA 4

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Fonte: dados coletados por Amara.

das colunas) e das áreas dos setores são proporcionais aos dados representados.

Crianças brasileiras 7% 19%

22%

15%

Norte Nordeste Centro-oeste

37%

Sudeste Sul

Fonte: dados coletados por Amara.

b) As medidas dos comprimentos das barras (ou alturas

292 | MANUAL DO PROFESSOR

Atividade 19

Quando deseja-se comparar diferentes classes com o todo, o gráfico de pizza torna-se um melhor instrumento, devido ao seu aspecto comparativo visual.

Quais são seus jogos eletrônicos preferidos? 27%

36%

Ação Estratégia

18%

Esporte

18%

Jogo online

Fonte: alunos do Colégio Arujá.

Quando se deseja relacionar diferentes quantias

Habilidade

#Relatório de pesquisa Ao final de uma pesquisa, que sempre começa com uma problematização, é preciso compor o relatório, que é a reunião de todo o material produzido e de todos os registros textuais, esquemáticos ou gráficos resultantes da pesquisa.

PORTRAIT IMAGE ASIA/SHUTTERSTOCK

O relatório de uma investigação precisa ser organizado. Por meio dele podemos identificar as questões investigadas, quais dados foram coletados, como a pesquisa foi executada, quais análises foram elaboradas, entre outros aspectos de interesse para a pesquisa. Essencialmente, o relatório precisa apresentar a interpretação do que foi descoberto por meio da análise dos dados.

(EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.

NATEE K JINDAKUM/SHUTTERSTOCK

O relatório de pesquisa é a conclusão de todas as etapas da pesquisa de opinião. Diante das informações das tabelas e gráficos, faça algumas perguntas para que os estudantes direcionem a elaboração do texto: • Quantas pessoas foram entrevistadas? • Que informações caracterizam essas pessoas? • Que perguntas foram respondidas? • Com esses dados, quais i nfo r m a ç õ e s p o d e m o s observar? • Quais conclusões podemos formular diante desses resultados?

Todas as etapas do processo de pesquisa cumpridas, vamos ao relatório!

A análise do relatório pode reforçar etapas do processo de pesquisa no âmbito geral ou em algum detalhe à parte. As conclusões nele propostas podem ser reavaliadas, ajustadas ou podem abrir espaço para novas pesquisas. Também serve para comunicar resultados e processos e, além disso, favorece as tomadas de decisões sempre que sua leitura atenta é realizada. A apresentação de propostas críticas e criativas pode ser mais bem conduzida a partir da análise do relatório. 293 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

de diferentes intervalos, o gráfico de colunas ou o de barras torna-se um instrumento de exposição melhor. 30 25 20 15 10 5 0

Quantas horas do dia você passa jogando?

ATÉ 2h

DE 2h A 4h

MAIS DE 4h

Fonte: alunos do Colégio Arujá.

293 |

Habilidade e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.

ATIVIDADES

20. Uma pesquisa feita em junho de 2018, com pessoas de 16 anos ou mais, de diferentes classes sociais, desejava saber o que o brasileiro pensa sobre o meio ambiente.

Qual é a maior ameaça para a natureza? DESMATAMENTO E POLUIÇÃO DAS ÁGUAS PERMANECEM NO TOPO DA LISTA ARTE M10

(EF06MA32) Interpretar

Atividade 20

a) As principais informações do gráfico são:

• Título: Qual é a maior ameaça para a natureza?

• Variáveis: Desmatamento

das florestas, poluição das águas, caça e pesca em períodos proibidos, mudança climáticas/aquecimento global e grandes obras como hidrelétricas, rodovias e portos. • Fo n t e : W W F B R A S I L ; INSTITUTO BRASILEIRO DE OPINIÃO PÚBLICA E ESTATÍSTICA (IBOPE). Unidade de conservação 2018. Pesquisa Ibope/WWF Brasil. Disponível em: www.wwf.org. br/?67242/Pesquisa-WWFBrasil-e-Ibope-Brasileiroquer-ficar-mais-perto-danatureza-mas-acha-queela-no-est-sendo-protegida. • Data: Acesso em: 12 jul. 2022. b) As duas variáveis são desmatamento das florestas (27%) e poluição das águas (26%) e correspondem a 53% do total. e) Uma possível resposta é: Através da análise do gráfico, é possível concluir que a maioria dos brasileiros acredita que o desmatamento das florestas e a poluição das águas são as maiores ameaças para a natureza. Atividade 21

O objetivo desta atividade é que conheçam como se inicia a organização e a construção de uma pesquisa de opinião: • escolher o tema que motivou a pesquisa; 294 | MANUAL DO PROFESSOR

UNIDADE de conservação 2018. Pesquisa Ibope/WWF Brasil. Disponível em: www.wwf.org.br/?67242/Pesquisa-WWF-Brasil-e-Ibope-Brasileiro-quer-ficar-mais-perto-da-natureza-mas-acha-que-ela-no-est-sendo-protegida.

Acesso em: 12 jul. 2022. 20. a) Título: Qual é a maior ameaça para a natureza? Variáveis: Desmatamento das florestas; Poluição das águas; Caça e pesca em períodos proibidos; Mudanças climáticas/Aquecimento global; Grandes obras como hidrelétricas, rodovias e portos.

a) Identifique todos os elementos do gráfico: título, variáveis, fonte e datas.

b) As duas variáveis que estão no topo da lista juntas perfazem que índice porcentual? 53%. c) Quanto dá a soma de todas as porcentagens nesse gráfico? 100%.

Gráfico de pizza, pois a soma das frequências totaliza 100%. e) Escreva uma conclusão conforme a análise desse gráfico. Resposta pessoal. d) Que outro formato esse gráfico poderia ter? Por quê?

21. Faça esta atividade em dupla ou trio. Levando em conta a temática da pesquisa de Amara – As

diferentes formas de as crianças habitarem o mundo –, elaborem duas questões para fazer entrevistas com pelo menos 30 crianças. Respostas pessoais. a) Organize um passo a passo de como vocês vão entrevistar, coletar, registrar os dados coletados, representar os dados em gráficos, fazer análises desses dados e tirar conclusões. Represente esse passo a passo em um fluxograma. b) Utilize uma planilha eletrônica e represente os resultados de sua pesquisa em gráficos. c) Ao final, escreva um pequeno texto contendo as conclusões a que vocês chegaram quanto ao que foi pesquisado.

Fonte: Unidade de conservação 2018. Pesquisa Ibope/WWF Brasil. Disponível em: www.wwf.org. br/?67242/Pesquisa-WWF-Brasil-e-Ibope-Brasileiro-quer-ficar-mais-perto-da-natureza-mas-achaque-ela-no-est-sendo-protegida. Acesso em: 12 jul. 2022. 294 | TRAJETÓRIA 4

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

• elaborar o formulário ou questionário; tem preferência pelo esporte A, enquanto outro • entregar o formulário ou entrevistar as grupo social prefere B. pessoas. Os estudantes podem escolher um tema e elaborar as perguntas que consideram relevantes para conhecer a opinião das pessoas que pretendem entrevistar. Os entrevistados podem ser colegas de outras turmas, os familiares ou a comunidade. As perguntas objetivas podem auxiliar na compreensão do resultado da pesquisa de acordo com o gênero, faixa etária, religião, nacionalidade etc. Por exemplo: os meninos brasileiros, de 10 a 15 anos

As questões subjetivas expressam a opinião dos entrevistados e podem ser abertas ou fechadas. Questione-os: • Quais possíveis perguntas gostariam de fazer como entrevistadores? • Usando perguntas abertas, como organizariam as informações para fazer um relatório? • Conseguiriam gerar um gráfico ou tabela a partir dele?

LEVO NA BAGAGEM

Respostas pessoais.

Recupere em sua memória fatos relacionados às suas experiências de estudos sobre os assuntos deste passeio. Tente relembrar aquilo que mais aprendeu e o que você julga necessário estudar um pouco mais. Considere os seguintes aspectos: ▶ Matemática • Você sabe resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas tempo e temperatura em contextos diversos? • Identifica as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráficos e tabelas? • Interpreta e resolve situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos diversos, em diferentes tipos de gráficos, e sabe redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões? • Coleta dados de pesquisa referente a práticas sociais e faz uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações em tabelas, vários tipos de gráficos e textos? • Interpreta e desenvolve fluxogramas simples? ▶ Outras disciplinas História • Identifica, por meio da observação dos espaços, características culturais, científicas e sociais próprias – ou recebidas por influências externas – de povos indígenas de diversas regiões brasileiras? Geografia • Identifica consequências das práticas humanas na dinâmica climática? Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

Neste momento do passeio, organize a leitura coletiva do texto para que, respondendo as questões propostas, os estudantes reflitam sobre seu próprio aprendizado enquanto escutam ativamente as dificuldades encontradas pelos colegas. Com o preenchimento do quadro, poderão classificar seu desempenho em Matemática ou nas disciplinas que estavam presentes nas atividades interdisciplinares. Diante dessas informações poderão conversar com professores, familiares ou amigos para compartilhar suas estratégias e repensar novas atitudes que contribuam para minimizar as dificuldades.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Insuficiente

Parcialmente suficiente

Satisfatório

Plenamente satisfatório

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Com as entrevistas realizadas, em grupos, os estudantes organizam as informações da pesquisa para elaborar gráficos e tabelas e um texto – relatório – que resuma as descobertas com os dados da pesquisa de opinião. Sugestão de leitura

295 |

os objetivos para se ensinar e aprender Estatística e Probabilidade na Educação básica. LOPES, C. O ensino da estatística e da probabilidade na educação básica e a formação dos professores. Cad. Cedes, Campinas, v. 28, n. 74, p. 58, jan./abr. 2008. Disponível em http://www.cedes. unicamp.br. Acesso em: 29 abr. 2022.

Esta leitura contribui para reflexões críticas quando há intenção de colocar o estudante como protagonista no processo de ensino e aprendizagem de Estatística. O artigo trata sobre a relevância e 295 |

Habilidade (EF06MA34) Interpretar e

desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exemplo, posição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.). BARCOS E PORTOS

BARCOS E PORTOS

▶ Organize

Respostas pessoais.

O passeio sobre Grandezas, Medidas e Estatística chegou ao fim. Angélica, que gosta muito de organizar tudo o que aprende, fez o fluxograma para representar as etapas das problematizações que ela estudou neste passeio. Coletar dados.

INÍCIO Elaborar a problematização.

Organize

O fluxograma apresentado para indicar como resolver problemas é um modo de desenvolver o pensamento computacional. Uma das utilidades é listar as etapas mínimas necessárias para chegar a um resultado correto, seguro, sem falhas no percurso. Espera-se que os estudantes reconheçam que o fluxograma auxilia a estruturar as tarefas de modo encadeado, para não deixar nenhuma etapa para trás. Elabore

Esta organização do tempo das atividades da rotina dos estudantes pode ser produzida como uma lista ou um quadro. Questione sobre o tempo que dedicam à limpeza e organização do quarto ou casa, aos estudos e tarefas e à prática de esportes. Converse sobre a importância das tarefas que realizam para a sua formação, saúde e bem-estar.

Apresentar as informações.

Realizar análises

ESTATÍSTICA O problema é de qual campo da Matemática?

Sintetizar conclusões.

GRANDEZAS E MEDIDAS Identificar a grandeza e a unidade de medida adequadas.

FIM Utilizar o instrumento de medida adequado.

a) Observando o fluxograma feito por Angélica, o que você poderia afirmar sobre a sua

utilidade? O que chama sua atenção nesse fluxograma?

b) Realizar medições ou pesquisas estatísticas são duas atividades cheias de etapas.

Se alguma etapa for ignorada, você acha que é possível chegar ao fim do processo com sucesso?

▶ Elabore Pense nos 5 dias da semana, de segunda a sexta-feira. Elabore sua agenda que contemple esses cinco dias, desde as 7h da manhã até quando finda a tarde, às 18h. Liste todas as atividades de cada dia (indique inclusive cada aula do dia com seus horários de início e de término). Para cada dia, circule a atividade que tem o maior intervalo de tempo. Para essas atividades de longa duração, escreva uma estratégia que você utiliza para tirar o melhor proveito delas. Compartilhe suas frases com os colegas. ▶ Proponha A pergunta inicial deste passeio é: Quais são as diferentes formas de habitar o mundo? Junte-se com alguns colegas e, em comum acordo, escolham estudar um grupo de crianças bem diferentes de vocês, de um local do Brasil distante do seu ou de outro lugar no mundo. a) Coletem fotos dessas crianças, pesquisem sobre o modo de elas interagirem com

o meio e de se sentirem fazendo parte do local onde vivem, propondo sugestões, melhorias, produzindo conhecimento útil para si e para todos do entorno.

296 | BARCOS E PORTOS

296 | MANUAL DO PROFESSOR

Tratar os dados.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

NOWACZYK/SHUTTERSTOCK DISTINCTIVE IMAGES/SHUTTERSTOCK

BORIS-B/SHUTTERSTOCK RICCARDO MAYER/SHUTTERSTOCK

Crianças pelo mundo: judias ultraortodoxas diante do Mar Mediterrâneo, celebrando o Dia da Independência de Israel (em Tel Aviv); família indígena da Terra Indígena Vale do Javari (oeste do estado do Amazonas, Brasil); africanas na sacada de uma casa em Mali (África ocidental); muçulmanas em escola islâmica (Indonésia). b) Sigam as etapas indicadas:

Passo 1. Formulem uma pergunta que explore o modo de elas viverem. Essa será a principal pergunta que vai orientar o que vocês gostariam de saber sobre essas crianças. Passo 2. Listem perguntas secundárias, mas que têm relação direta com a pergunta principal. Passo 3. Pesquisem em fontes diversas (livros, internet, entrevistem pessoas etc.) a fim de responder às questões que vocês elaboraram. Se necessário, procurem uma forma de entrar em contato com algumas delas pelos meios virtuais (acompanhados de um adulto). Passo 4. Registrem tudo o que descobriram sobre essas crianças: como elas pensam, o que elas estudam, como vivem etc. Se possível, descubram que Matemática elas aprendem e o que elas fazem com o que aprendem. Passo 5. Organizem um relatório contendo todas as pesquisas, relatos, fotos, mapas e gráficos que vocês produziram. Passo 6. Agende um dia para apresentarem o relatório para a turma. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Antes deste momento, faça uma pesquisa sobre entidades como creches, hospital infantil ou orfanato da sua cidade que aceitariam receber os alunos para realizar a atividade. Converse com os estudantes sobre a proposta inicial deste passeio: Quais as diferentes formas de habitar o mundo? Com os estudantes, organize as perguntas para a entrevista e converse com eles sobre como irão registrar as respostas das crianças entrevistadas. Organize com a gestão escolar uma visita a uma entidade que atenda crianças. Com o responsável pela entidade, estabeleça o tempo de permanência para que façam as entrevistas e também interajam conversando ou brincando com elas.

297 |

Habilidades de Matemática EF06MA01, EF06MA02, EF06MA08, EF06MA11, EF06MA13, EF06MA24, EF06MA30, EF06MA31, EF06MA32, EF06MA33, EF06MA34

Atividade 1

Para esta atividade é esperado que o aluno faça a distinção entre os números inteiros e os racionais não inteiros apresentados nos anúncios.

VISTORIAS Você chegou ao final desta Trajetória. Reflita sobre tudo o que aprendeu e verifique a qualidade da sua aprendizagem. Resolva todos os exercícios no caderno.

CHECK-OUT 3. 3,5; 98,39;

1. Observe os anúncios.

No domingo, comprei um pote com ■ kg amigos comemos ■ do pote com ■ pacote

R$ 2,25

de granola. Quando minha irmã chegou com as amigas, elas comeram banana com ■

5 picolés por R$ 19,99

de granola que ainda havia. Minha irmã e as amigas não quiseram o açaí! Então, no dia seguinte comi ■ do pote de açaí que restava.

Atividade 2

81,5 cm É possível separar os númeLeve 3, ros em escrita decimal e fraciopague 2! nária (com os decimais orga41,6 cm nizados em ordem crescente): 47,8 cm • 0,17; 0,25; 0,5; 1,2; 1,25; 1,7; 2,5. 5; 19,99; 2,25; 3; 2; 47,8; 41,6; 81,5. 1 5 17 17 1 125 6 a) Copie todos os números que aparecem • ; ; ; ; ; ; . 4 2 100 10 2 100 5 nesses anúncios. para só então transformar em b) Agora, anote somente os números não frações equivalentes com deinteiros. 19,99; 2,25; 47,8; 41,6; 81,5. nominador 100: 2. Observe a relação entre a representação fra25 250 17 170 50 125 120 ; ; ; ; ; ; . cionária e a decimal de um mesmo número. 100 100 100 10 100 100 100 125 120 1 5 . ; ; = = 0,5 0 100 100 2 10 Basta agora buscar a regulaAgora, forme pares, dispondo lado a lado o ridade apresentada no exemplo mesmo número em duas representações: e ligar os pares: a fracionária e a decimal. 6 125 17 5 17 1 1 5 0,17 e ; 0,25 e ; 0,5 e ; 1,2 e ; 1,25 e ; 1,7 e ; 2,5 e .1 0,17 1,7 5 100 10 1,25 2 4 100 4 2 2 1 1 17 5 6 125 17 1 17 e ; 0,5 e ; 1,2 e ; 1,25 e ; 1,7 e ; 2,5 e . 2,5 1,2 4 2 10 2 5 100 100 2 10 6 125 17 5 125 6 ; 1,25 e ; 1,7 e ; 2,5 e . 0,5 0,25 5 100 10 2 100 5

Atividade 3

Associam-se os números na forma decimal com as grandezas massa e valor monetário (quilograma e reais). Já as frações são associadas com os trechos do texto com significado de partes do todo. Atividade 4

Elaborar um problema envolvendo uma ou duas operações com números racionais exige do aluno maior apropriação do conteúdo e uma habilidade mais avançada e se, ao resolver o problema, ele verifica que a formulação está coerente.

298 | MANUAL DO PROFESSOR

3 1 1 1 ; ; ; . 4 2 2 4

de açaí que custou R$ ■. Eu e mais dois

SHUTTERSTOCK/ ARTE M10

VISTORIAS

3. Copie o texto substituindo o ■ pelos nú-

meros mais adequados dentre os que estão no quadro.

298 | VISTORIAS

98,39

3 4

1 1 3,5 2 2

4. Utilize alguns dados do texto anterior e elabore um problema envolvendo uma ou duas operações com números decimais. Resolva seu problema. Respostas pessoais.

5. Represente na reta numérica os números que aparecem na atividade 3. Despreze apenas o número 98,39.

6. Proceda como os exemplos: 3 000 = 3 ⋅ 103 1 0,003 = 3 ⋅ 103 2 a) 300 300 = 3 ! 10 b) 30 30 = 3 ⋅ 10

1 c) 0,3 0,3 = 3 ⋅ 101 d) 0,006 0,006 = 6 ⋅ 2 e) 600 600 = 6 ⋅ 10

1 103

7. Componha os números decimais.

234,402

a) 2⋅ 100 + 3 ⋅ 10 + 4 ⋅ 1 + 4 ⋅0,1 + 2⋅0,001 b) 5 ⋅ 100 + 9 ⋅ 1 + 9 ⋅ 0,1 509,9 c) 9 ⋅ 10 + 3 ⋅ 100 + 9 ⋅ 0,01 390,09

1 1 5 125 6 17 17 2. 2 e 0,5; 4 e 0,25; 2 e 2,5; 100 e 1,25; 5 e 1,2; 100 e 0,17; 10 e 1,7.

Atividade 5

1 4

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

É esperado que, seguindo a regularidade apre-

Para representar os números na reta numérica, sentada nos exemplos, resolvam todos os itens. é esperado que reconheçam que a menor fração Atividade 7 1 a ser representada é , assim é válido considerar 4 a) 200 + 30 + 4 + 0,4 + 0,002 = 234 + 0,402 = 234,402. essa fração como unidade de medida para a reta 200 + 30 + 4 + 0,4 + 0,002 = 234 + 0,402 = 234,402. numérica. b) 500 + 9 + 0,9 = 509 + 0,9 = 509,9 x c) 90 + 300 + 0,09 = 390 + 0,09 = 390,09 0 1 1 3 1 4 2 4

Atividade 6

3,5

8. Copie as igualdades e substitua cada ■ por

um dos sinais +, –, ×, ÷ para que elas sejam verdadeiras. a) 5 0,25 = 4,75 – e) 5 0,25 = 5,25 + f) 5 2,5 = 7,5 + b) 5 2,5 = 12,5 × g) 5 0,25 = 20 ÷ c) 5 2,5 = 2,5 – d) 5

h) 5

2,5 = 2 ÷

0,25 = 1,25×

9. Observe o gráfico e responda às questões. Dica: use uma calculadora.

Usos da água no Brasil 67,2%

10. O salário de Haroldo sofreu um reajuste de 0,3% 8,7% 0,8%

2,4%

a irrigação, o abastecimento animal e o rural juntos? 80,7%. b) Calcule o consumo total associado ao índice obtido no item anterior. 894,963 m3/s. c) Determine agora o consumo total devido ao abastecimento urbano. 96,483 m3/s. d) Quantas vezes, aproximadamente, o abastecimento urbano cabe dentro do consumo gerado pelos três maiores consumos (irrigação + abastecimento animal Aproximadamente + abastecimento rural)? 9,27 vezes. e) Escreva um texto apontando as suas conclusões a respeito desse gráfico. Respostas pessoais.

Consumo total: 1 109 m3/s

11,1%

a) Qual é o índice percentual que representa

9,5%

Irrigação Abastecimento animal Abastecimento rural Indústria Mineração Abastecimento urbano Termelétricas

25%. Antes do aumento, o salário dele era R$ 1.600,00. Qual foi o valor do aumento? Qual é o salário dele agora? R$ 400,00. R$ 2.000,00.

11. Elabore um problema semelhante ao an-

terior, de modo que o valor do salário seja maior do que R$ 1.990,00 e menor do que R$ 9.990,00. O índice percentual deve estar entre 18% e 30%. Respostas pessoais.

12. Observe o dado tetraédrico. Você sabe como brincar com ele? Em um lançamento desse dado, deve ser observado o número estampado no vértice superior.

O_Professor

101

Responda às questões (represente cada resposta na forma fracionária, decimal e de porcentagem): a) Qual é a probabilidade de sortear o nú1 ou 0,25 ou 25%. mero 1? 4 b) Qual é a probabilidade de sortear um 1 número par? ou 0,5 ou 50%. 2 c) Qual é a probabilidade de sortear o número zero? 0 ou 0%. d) Qual é a probabilidade de sortear um divisor de 4? 3 ou 0,75 ou 75%. 4

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 8

Atividade 10

Cálculo do aumento: 25% de 1 1 600 → de 1 600 = 400. 4 Assim, 1 600 + 400 = 2 000. Esta atividade avalia a capacidade de resolver problemas envolvendo porcentagens e matemática financeira. Atividade 11

Esta questão avalia se o estudante é capaz de criar uma situação semelhante à do problema anterior, ajustando os valores aos solicitados no enunciado, mas mantendo o contexto de aumento de salário.

a) São quatro vértices assim,

@matemúltiplo

Você sabe o que significa um metro cúbico por segundo (1 m3/s)? Imagine uma caixa cúbica de 1 m de aresta, cheia de água. Agora imagine uma caixa dessa de água sendo consumida a cada segundo. Imaginou? Pense, então, em 1 109 caixas sendo consumidas em um segundo...

que a maior parte do consumo de água no Brasil é feito pelo setor agropecuário. Além disso, é esperado que notem que o setor industrial consome mais água que o abastecimento urbano, sendo esses dois setores responsáveis por mais de 90% do consumo de água no país.

Atividade 12

ARTE/ M10

Disponível em: www12.senado.leg.br/noticias/ imagens/infobolas2.jpg/view. Acesso em: 13 jul. 2022.

e) É esperado que concluam

299 |

807 894 963 80,7% de 1 109 → ⋅ 1 109 = = 894,963 m3/s 1 000 1 000 Este exercício exige do aluno807 a capacidade de 894 963 80,7%para de 1 que 109 → ⋅ 1 109 =sejam = 894,963 m3/s testar as operações os resultados 1 000 1 000 87 96 483 verdadeiros, avaliando a apropriação do trabalho c) 8,7% de 1 109 → ⋅ 1 109 = = 96,483 m3/s 1 000 1 000 87 96 483 com as operações com racionais, a capacidade de 8,7% de 1 109 → ⋅ 1 109 = = 96,483 m3/s fazer estimativas e as propriedades da igualdade. 1 000 1 000 87 96 483 8,7% de 1 109 → ⋅ 1 109 = = 96,483 m3/s 1 000 1 000 Atividade 9 d) Solicite que realizem esse cálculo utilizando a calculadora: a) 67,2% + 11,1% + 2,4% = 80,7% 807 894 963 894,963 b) 80,7% de 1 109 → ⋅ 1 109 = = 894,963 m3/s ≅ 9,27 1 000 1 000 96,483

podem ser sorteados os números 1, 2, 3 e 4, totalizando 4 possibilidades. Então, a chance de sortear o número um é 1 em 4. b) Os números pares possíveis de serem sorteados são o 2 e o 4. Assim, a chance de sortear um número par é 2 em 4. c) Não há possibilidade de sortear o zero. Assim, a chance de sortear o número zero é 0. d) Os divisores de quatro são 1, 2 e 4, todos presentes nas possibilidades de sorteio. Assim, a chance de sortear um divisor de quatro é 3 em 4.

299 |

Atividade 14

De 14h45min até 16h45min se passaram 2 h ou 120 min. De 16h45min até 17h10min se passaram 25 min. Assim, 120 + 25 = 145 minutos. Atividades 15 e 16

Essas duas atividades devem ser solicitadas com antecedência, como um trabalho avaliativo, pois demandam tempo e planejamento; como maneira de avaliar o processo de pesquisa deles, determine datas específicas para cada passo destacado na atividade 15, para mitigar a não realização da tarefa no prazo estipulado.

(Inmet) e encontrou as temperaturas máximas e mínimas que ocorreram em um período de março de 2022. Com os dados do site, ela usou uma planilha eletrônica, fez a tabela e gerou um gráfico de colunas duplas.

Temperaturas mínima e máxima de São Paulo – SP

30 20 10

20 3/

/0 16

Dias

Temperatura mínima

20 3/

/0 13

/0 12

/0 11

/0 10

3/ /0

Estação: São Paulo – Interlagos (A771) – 03/2022. Disponível em: https://tempo. inmet.gov.br/Graficos/A001. Acesso em: 13 jul. 2022.

Temperatura máxima

a) Qual é a maior temperatura mínima? E a menor temperatura mínima? E qual é a diferença

entre essas duas temperaturas mínimas? 20,4 oC; 19,1 oC; 20,4 – 19,1 = 1,3 oC. b) Qual é a maior temperatura máxima? E a menor temperatura máxima? E qual é a diferença o o o entre essas duas temperaturas máximas? 33,3 C; 26,1 C; 33,3 – 26,1 = 7,2 C. c) Compare os resultados obtidos nos itens a e b: qual dos dois tipos de temperatura teve a maior diferença? Esse fato é mais bem observado na tabela ou no gráfico? A temperatura máxima. No gráfico. d) Elabore um problema, envolvendo qualquer das quatro operações, utilizando dados da tabela ou do gráfico anteriores. Respostas pessoais.

14. Selma foi assistir a um filme que começou às

14h45min e terminou às 17h10min. Quantos minutos, ao todo, durou o filme? 145 minutos.

15. Nesta atividade você fará uma pequena pes-

quisa de opinião. Antes de fazer a pesquisa, leia o passo a passo e faça um planejamento, preparando os materiais e recursos que forem necessários. Feito isso, proceda conforme indicado no passo a passo: Passo 1. Elabore uma questão de seu interesse. Pode ser de contexto ambiental, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros. Envie essa questão para seus contatos. Passo 2. Colete as respostas de, no mínimo, 20 respondentes. Passo 3. Disponha os dados em uma tabela. Utilize uma planilha eletrônica para construir o gráfico com esses dados.

300 | VISTORIAS

300 | MANUAL DO PROFESSOR

Temperatura (em oC)

PERÍODO OBSERVADO DE 7 A 17 DE MARÇO DE 2022

çam que só é possível determinar com precisão as temperaturas observando a tabela. 20,4 oC; 19,1 oC; 20,4 – 19,1 = 1,3 oC. b) 33,3 oC; 26,1 oC; 33,3 – 26,1 = 7,2 oC. 33,3 – 26,1 = 7,2 oC. c) A temperatura máxima teve a maior diferença, o que pode ser visto mais facilmente no gráfico. d) É esperado que concluam que a subtração é a operação mais adequada ao contexto apresentado.

13. Naomi é uma estudante de São Paulo. Ela consultou o site do Instituto Nacional de Meteorologia

a) É esperado que reconhe-

Atividade 13

Passo 4. Poste seu gráfico para todos os seus respondentes. Passo 5. Faça algumas análises considerando os dados do gráfico ou da tabela. Por exemplo, características envolvendo a maior frequência e a menor frequência. Passo 6. Elabore um parágrafo sinalizando suas conclusões e apontando a necessidade de novas pesquisas e novas descobertas que julgar de seu interesse ou do interesse dos respondentes. Respostas pessoais.

16. Avalie se, ao realizar sua pesquisa, você se-

guiu, de fato, cada um dos passos indicados. Ajuste esses passos para o que realmente aconteceu com sua experiência e represente essa nova versão ajustada em forma de fluxograma. Depois, publique para que seus respondentes saibam como você pensou e como procedeu para fazer essa pesquisa. Respostas pessoais.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

DE OLHO NA BÚSSOLA Após resolver os exercícios da seção Check-out, verifique se você aprendeu a: OBJETIVOS

EXERCÍCIOS

Reconhecer números decimais em situações cotidianas.

Reconhecer a correspondência entre a representação decimal e fracionária de um mesmo número, estabelecer relações entre elas, passando de uma representação para outra.

2, 3, 5

Compreender os números decimais segundo o sistema de numeração decimal.

Compor e decompor números decimais.

6, 7

Comparar e ordenar números decimais inclusive representando-os na reta numérica.

4, 8, 9

Transformar números para múltiplos da potência de 10.

Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, relacionadas à ideia de proporcionalidade, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos diversos.

9, 10, 11

Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a na forma fracionária, decimal e percentual.

Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas tempo e temperatura em contextos diversos.

13, 14

Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, 13, 15 fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico e tabelas.

O quadro desta subseção “De olho na bússola” apresenta o objetivo de cada questão: utilize-o para avaliar os estudantes individualmente e coletivamente, para redirecionar as práticas que forem necessárias e para ampliar o conhecimento de todos. Caso ocorra um grande número de alunos com dificuldades em um ponto específico, proponha algumas atividades complementares com recursos materiais diversos e em diferentes formações (individual, pequenos grupos, coletivamente). Também aproveite para pedir que observem suas respostas e, usando a relação com o quadro de objetivos, façam uma autoavaliação e identifiquem dificuldades e as habilidades desenvolvidas nesta Trajetória.

Resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos diversos em diferentes 13, 15 tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. Coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráfico e texto.

13, 15

Interpretar e desenvolver fluxogramas simples.

Considerando os exercícios que resolveu, como você julga seu desempenho: insuficiente, parcialmente suficiente, satisfatório ou plenamente satisfatório? Respostas pessoais.

Prossiga ▶ Continue estudando! Retome esta Trajetória buscando, com professores e colegas, alternativas para superar os obstáculos de sua aprendizagem. Estude a seção Retornos e resolva novos exercícios referentes à Trajetória 4 que estão na seção Suplemente sua aprendizagem, ao final do livro.

DICAS DE ESTUDO Aprenda com os erros! Não olhe para os erros cometidos como se fossem simples não acertos. Cada erro cometido tem potencial de transmitir uma “mensagem” inteligível a você. Verifique qual foi a causa do seu erro, o que compreendia e o que não compreendia naquele momento. Essas informações são uma fonte útil para você buscar recursos de superação desses obstáculos em novas oportunidades envolvendo tais atividades. Use os erros em favor da sua aprendizagem! NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

301 |

RETORNOS Incentive os estudantes a desenvolver rotinas de estudos e, para isso, sempre que eles julgarem necessário, podem recorrer a esta seção de sínteses dos principais conteúdos estudados como ferramenta de estudos individuais ou em pequenos grupos. Sempre que possível, converse com eles sobre os diferentes usos que podem fazer desta seção. Por exemplo, podem utilizar parte desta síntese que tenha relação direta com os conteúdos envolvidos no dever de casa, ou seja, antes de realizarem as atividades para casa, podem ler e absorver as principais ideias envolvidas nos conteúdos que o professor encaminhou como dever. Uma segunda maneira é elaborar resumos dos conteúdos explorados a cada fim de aula e, após a produção do resumo, recorrer a esta seção para incrementar, comparar ou ajustar o que produziram, reforçando, assim, a rede de significados e assimilando cada vez mais o conteúdo explorado. Ou, ainda, uma terceira maneira é confrontar esta síntese com as notas de aula que o aluno tem em seu caderno. Para além dessas possibilidades, os estudantes podem fazer outros usos em diferentes momentos ou mesclar ao longo do ano letivo diversos desses usos.

RETORNOS

Adicionando 1 a um número natural qualquer, obtemos o seu sucessor. Subtraindo 1 de um número natural, diferente de 0, obtemos o seu antecessor. Operações com números naturais A operação de adição está relacionada a diversas ações: juntar, acrescentar, adicionar, totalizar etc. • Propriedades da adição

I. Pela propriedade comutativa, é possível alterar a ordem das parcelas sem que isso altere o resultado. II. Pela propriedade associativa, em uma adição com três ou mais parcelas, é possível associar parcelas para decidir a ordem em que serão realizadas as adições. 302 | RETORNOS

302 | MANUAL DO PROFESSOR

III. Pela propriedade do elemento neutro, todo número adicionado a zero resulta nele mesmo. A operação de subtração está relacionada a diversas ações: tirar, subtrair, descontar, perder, completar etc. A adição e a subtração são operações inversas. Por exemplo, se 3 + 5 = 8, então 8 – 5 = 3 e 8 – 3 = 5. A operação de multiplicação está relacionada a significados como contagem, adição de parcelas iguais, proporcionalidade, configuração retangular etc. • Propriedades da multiplicação I. Pela propriedade comutativa, a ordem dos fatores não altera o produto da multiplicação. II. A propriedade associativa possibilita associar os fatores de uma multiplicação para realizar os cálculos em uma ordem conveniente. III. Pela propriedade do elemento neutro, o produto da multiplicação de um número natural por um 1 é sempre ele mesmo. IV. Pela propriedade distributiva, podemos relacionar a operação de multiplicação com as operações de adição e subtração. Por exemplo: 3 ⋅ (2 + 5) = 3 ⋅ 2 + 3 ⋅ 5 = 6 + 15 = 21 A operação de divisão está relacionada a significados como repartir, agrupar, separar, partilhar etc. Podemos escrever a divisão como: Dividendo

Divisor

Resto

Quociente

E a relação fundamental da divisão é: Dividendo = Quociente × Divisor + Resto NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

mesmo:

a = a. 1

Sólidos geométricos Sólidos geométricos podem ser classificados em corpos redondos e poliedros. Os corpos redondos são sólidos geométricos com superfícies curvas, mas podem ter superfícies planas. Os poliedros são sólidos geométricos formados somente por superfícies planas. A superfície dos poliedros é composta de porções de planos. Cada uma dessas porções de superfícies planas é chamada de face do poliedro.

Vértice

Aresta

As pirâmides têm somente uma base e, externo ao polígono da base, há um único vértice, que é comum a todas as faces laterais triangulares.

Um metro cúbico (1 m3) corresponde ao volume ocupado por um cubo de arestas com medida 1 m.

Veja exemplos:

A superfície do cubo é composta somente por superfícies planas.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

A superfície da esfera é composta por uma superfície curva.

A superfície do cilindro é composta por duas superfícies planas e uma superfície curva. 303 |

303 |

TRAJETÓRIA 2 Fluxogramas e outros esquemas visuais O esquema indica o fluxograma do final das aulas do dia: Fluxograma "esperar fim das aulas do dia" INÍCIO

Aguardar o sinal tocar.

O sinal tocou?

SIM

Guardar os materiais.

Sair da sala calmamente.

FIM

NÃO

Para elaborar um bom fluxograma, escreva antes o algoritmo, ou seja, um texto que estabelece uma sequência de instruções claras e objetivas que permitem a uma pessoa ou programa realizar uma série de tarefas até que atinja o objetivo, depois de um número finito de etapas. • Significados dos símbolos de um fluxograma: Símbolo de início/fim

Linhas conectoras

Símbolo de decisão

Símbolo de processo

Múltiplos e divisores Os números pares são números que, ao serem divididos por 2, têm resto zero e os números ímpares são os que, ao serem divididos por 2, deixam resto diferente de zero. Um número natural é múltiplo de outro se existir um terceiro número natural que, ao ser multiplicado pelo segundo, vai resultar no primeiro. Um número natural é divisor de outro se, dividindo o segundo pelo primeiro, obtivermos resto zero, ou seja, se a divisão for exata. As operações de multiplicação e divisão são inversas. Por exemplo: 1 × 12 = 12 2 × 6 = 12 3 × 4 = 12 4 × 3 = 12 6 × 2 = 12 12 × 1 = 12 !

12 ÷ 12 = 1 12 ÷ 6 = 2 12 ÷ 4 = 3 12 ÷ 3 = 4 12 ÷ 2 = 6 12 ÷ 1 = 12 Os números 1, 2, 3, 4, 6 e 12 são divisores naturais de 12 ou, ainda, são fatores de 12. Uma divisão é exata se deixa resto 0. Uma divisão é não exata se deixa resto diferente de 0. Apresentamos, a seguir, os critérios de divisibilidade para números naturais que são divisíveis por: • 2: se o último algarismo, o das unidades,

é divisível por 2.

• 3: se a soma dos algarismos é divisível

por 3.

• 4: se os algarismos da dezena e da uni-

dade são 00 ou formam um número divisível por 4.

• 5: se o algarismo das unidades é 0 ou 5. • 6: se é divisível, ao mesmo tempo, por

2 e 3.

• 8: se os algarismos da centena, dezena e

unidade são 000 ou formam um número

304 | RETORNOS

304 | MANUAL DO PROFESSOR

que é divisível por 8. • 9: se a soma dos algarismos é divisível

por 9. • 10: se o algarismo das unidades é 0. • 100: se os dois últimos algarismos – da

dezena e da unidade – são 00. • 1 000: se os três últimos algarismos – da

centena, da dezena e da unidade – são 000. • 12: se é divisível, ao mesmo tempo, por

4 e 3. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Número primo é todo número natural maior do que 1 que tem somente 2 divisores

Lado

distintos: o 1 e ele mesmo. Os números primos de 1 até 100 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97. Números compostos são os números naturais maiores do que 1 que têm mais de 2 divisores distintos. É possível escrever qualquer número composto como um produto de nú-

Vértice

de múltiplos comuns os números que são, ao mesmo tempo, múltiplos dos dois (ou mais) números dados. Dados dois (ou mais) números, chamamos de divisores comuns os números que são, ao mesmo tempo, divisores dos dois (ou mais) números dados.

Lado

Ao traçarmos um círculo qualquer de centro O e dividi-lo em 360 partes iguais, sendo que os pontos A e B são as extremidades de uma dessas 360 partes, dizemos que a medida ! B é 1 grau e denotamos por: de AO ! B) = 1o m (AO

meros primos de forma única. Dados dois (ou mais) números, chamamos

Sabendo que um ângulo de 1o corresponde 1 a um arco que mede do círculo, obtemos 360 então que o círculo completo corresponde a 360o. ! é, por Se o comprimento de um arco AB 1 do comprimento da circunferência, 6 !B é então a medida de AO exemplo,

Retas e ângulos Em Geometria, não são definidos ponto, reta e plano. Apenas imaginamos em nossa

60o

mente. Mesmo assim, é possível discutir suas

características e relações entre si e com o plano e o espaço. Dois pontos A e B determinam uma única reta r. Essa reta também pode ser nomeada !#" como AB.

O segmento de reta AB é a porção da reta !#" AB delimitada pelos pontos A e B.

! B) ! 1 " 360# ! 60# m(AO 6 Um ângulo reto mede 90o. Um ângulo agudo tem medida menor do que a do ângulo reto (90o) e maior do que a do ângulo nulo (0o). Um ângulo obtuso tem medida maior do que a do ângulo reto (90o) e menor do que a do ângulo raso (180o).

Uma figura geométrica que reúne duas semirretas de mesma origem e a região limitada por elas é chamada de ângulo. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Ângulo reto

Ângulo agudo

Ângulo obtuso 305 |

305 |

Se as retas r e s, em um plano, não têm pontos em comum, dizemos que elas são retas paralelas. Se as retas r e s, em um plano, têm um único ponto em comum, dizemos que r e s são retas concorrentes. Retas concorrentes que formam um ângulo reto (90o) são perpendiculares. Álgebra e números A relação de igualdade não se altera se adicionamos um mesmo número a seus dois membros. Ela também não se altera se subtraímos um mesmo número de seus dois membros. A relação de igualdade não se altera se multiplicamos por um mesmo número os seus dois membros. Ela também não se altera se dividimos por um mesmo número (diferente de zero) os seus dois membros. Podemos calcular a soma 5198 + 3996 de modo aproximado. Se observamos os três últimos algarismos em cada parcela, podemos considerar um múltiplo da potência de 10 mais próxima.

• 198 está próximo de 2 ⋅ 100 = 200, ou

seja, aproximamos 5 198 por 5 200.

• 996 está próximo de 1 ⋅ 1000 = 1000, ou

seja, aproximamos 3 996 por 4 000.

• 5200 + 4000 = 9200 é o valor aproximado

de 5198 + 3996.

Polígonos Triângulo (ou trilátero) é uma figura geométrica limitada no plano por três segmentos de reta consecutivos e não colineares. • Quanto às medidas dos ângulos, os triângulos podem ser classificados em: retângulos, acutângulos ou obtusângulos. • Quanto às medidas dos lados, os triângulos podem ser classificados em: equiláteros, isósceles ou escalenos. Quadrilátero (ou quadrângulo) é uma figura geométrica limitada no plano por quatro segmentos de reta consecutivos e não colineares. • Os quadriláteros convexos podem ser classificados em: quadriláteros convexos quaisquer, trapézios e paralelogramos. Polígono é uma figura geométrica limitada no plano por segmentos de reta que são, dois a dois, consecutivos e não colineares.

TRAJETÓRIA 3 Frações Frações podem ser interpretadas em di-

res iguais, basta comparar seus numeradores.

ferentes contextos e situações: relação entre

Caso os denominadores sejam diferentes, de-

parte e todo, fração de uma quantidade, como

vem-se obter frações equivalentes que tenham

resultado de uma divisão, como medida e como razão. Frações próprias têm numerador menor que o denominador. Frações impróprias têm o numerador maior ou igual ao denominador. Frações aparentes são as frações impróprias que representam números naturais. Frações equivalentes são aquelas que

um denominador comum. A representação de porcentagens considera frações equivalentes cujo denominador seja 100. Um plano cartesiano é constituído de eixos orientados perpendiculares que se cruzam na origem, o ponto (0, 0). Cada ponto desse plano

representam o mesmo valor em relação a certa

é representado por um par ordenado (x, y)

unidade, inteiro ou todo.

composto das coordenadas x e y.

306 | RETORNOS

306 | MANUAL DO PROFESSOR

Para comparar frações com denominado-

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

y 6

Para ampliar ou reduzir uma figura, todas as medidas de seus lados devem ser multiplicadas ou divididas por um mesmo número. As medidas de seus ângulos se mantêm. A área é a medida de uma superfície. O metro quadrado (m2) é uma unidade de medida padronizada definida como a área ocupada por um quadrado de 1 m de lado. O perímetro é a soma das medidas dos lados de uma figura poligonal.

6 x

5 é a abscissa e 6 é a ordenada do ponto (5, 6).

TRAJETÓRIA 4 Números decimais O décimo, o centésimo e o milésimo podem ser assim representados, considerando o cubo maior como unidade (1):

O número decimal 2,345, por exemplo, pode ser assim decomposto: 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 0,1 + 4 ⋅ 0,01 + 5 ⋅ 0,001 1 ou 0,1 10

1 ou 0,01 100

1 ou 0,001 1000

O sistema de numeração decimal é posicional, ou seja, o valor do algarismo depende da posição que ele ocupa na escrita do número. Assim, podemos afirmar que: • 1 décimo equivale a 10 centésimos. • 1 décimo equivale a 100 milésimos. • 1 centésimo equivale 10 milésimos.

1 10 100 1 10 = = e = 10 100 1000 100 1000 ou 0,1 = 0,10 = 0,100 e 0,01 = 0,010 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

O número 2,09, por exemplo, é menor do que 2,9. Vamos fazer aproximações para o múltiplo da potência de 10 mais próxima: • 2,09 = 2 + 0,09. O número 0,09 está próximo de 0,1. Logo, o número 2,09 pode ser aproximado para 2 + 0,1 = 2,1. • 2,9 = 2 + 0,9. O número 0,9 está próximo

de 1. Logo, o número 2,9 pode ser aproximado para 2 + 1 = 3. Como 2,1 é menor do que 3, então, 2,09 < 2,9. Operações com decimais

No algoritmo da adição de dois números decimais, a vírgula de um deve ficar abaixo da 307 |

307 |

vírgula do outro. As ordens correspondentes

Uma entrevista realizada por meio de um

devem estar uma abaixo da outra, como no

formulário é uma maneira de coletar dados

algoritmo da adição de números naturais. 1⎞ ⎛ Ao calcular o quociente de 1 ÷ 3 ⎝ ou 3 ⎠ , o resultado é um número decimal com infinitas casas decimais após a vírgula: 1 = 0,333333333... = 0,3 (as reticências • 3 ou o traço indicam que o algarismo 3 – o período – vai sempre se repetir, ao infinito). 1 , na forma decimal • O número 3 0,33333... = 0,3, é representado por uma dízima periódica. Observe o resultado das potências de base 0,1:

para uma pesquisa estatística. Cada item do formulário, ao final da pesquisa, gera um conjunto de valores (ou resultados possíveis) que é chamado de variável. Uma variável pode ser do tipo: • quantitativa e, nesse caso, pode ser

discreta ou contínua. • qualitativa e, nesse caso, pode ser no-

minal ou ordinal. As tabelas podem ser simples ou de dupla entrada. Os dados de uma pesquisa estatística podem ser representados em gráficos como

• (0,1)1 = 0,1

estes:

• (0,1) = 0,01 2

• (0,1) = 0,001 3

• (0,1) = 0,0001 4

... A quantidade de casas decimais é igual ao expoente na potência de base 0,1.

Gráfico de colunas simples

Gráfico de barras simples

O índice percentual 12%, por exemplo, pode ser assim representado: 12 12 3⎞ ou 0,12 ⎛ lembrando que = ⎝ 100 100 25 ⎠ Probabilidade e Estatística No lançamento de uma moeda, o espaço amostral é um conjunto com dois elementos:

Gráfico de linhas

As planilhas eletrônicas são programas

{cara, coroa}. A probabilidade de sair um desses

de computador que facilitam a realização de

dois resultados é dada por:

cálculos e a apresentação de dados. Também

número de resultados

1:2=

favoráveis 1 = 0,5 = 50% 2

número de resultados

possíveis

A probabilidade p de ocorrer um evento

são uma excelente ferramenta na construção de gráficos. A finalidade do relatório de pesquisa estatística é comunicar os processos desenvolvidos e os resultados obtidos em uma investigação

é sempre um número maior ou igual a zero e

para informar o leitor ou público-alvo para o

menor ou igual a um: 0 ≤ p ≤ 1.

qual a pesquisa foi desenvolvida.

308 | RETORNOS

308 | MANUAL DO PROFESSOR

Gráfico de setores ou pizza

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

QUADRO DE HABILIDADES DO 6 O ANO

Matemática NÚMEROS (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação r decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. 2

ÁLGEBRA

(EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas. (EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo. C

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

309 |

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

310 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Outras disciplinas

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NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

311 |

Suplemente sua aprendizagem

ANTONOV MAXIM/ SHUTTERSTOCK

(EF06HI14) Identificar e analisar diferentes formas de contato, adaptação ou exclusão entre populações em diferentes tempos e espaços.

CIÊNCIAS (EF06CI04) Associar a produção de medicamentos e outros materiais sintéticos ao desenvolvimento científico e tecnológico, reconhecendo benefícios e avaliando impactos socioambientais.

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(EF06CI13) Selecionar argumentos e evidências que demonstrem a esfericidade da Terra.

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(EF67EF09) Construir, coletivamente, procedimentos e normas de convívio que viabilizem a participação de todos na prática de exercícios físicos, com o objetivo de promover a saúde.

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As seções Retornos e Suplemente sua aprendizagem têm o objetivo de contribuir com o aprendizado e a autonomia do estudante. Esta obra foi organizada em quatro Trajetórias, mas, nesta etapa, os estudantes são convidados a percorrerem uma outra trilha diante das atividades exploradas nas aulas. A proposta inicial – em Retornos – é revisitar os conteúdos principais discutidos em cada Trajetória com a leitura de um novo texto explicativo, mais enxuto, visto que ocorreu uma abordagem aprofundada anteriormente. Diante dessa leitura, o estudante pode usar diferentes estratégias para retomar os conteúdos em que percebeu a necessidade de aprimoramento ou aprofundamento, tais como: observar seus registros, elencar possíveis dúvidas, selecionar outros materiais de estudo. Com a expectativa de verificação de seu próprio desempenho, os estudantes podem responder às questões selecionadas – em Suplemente sua aprendizagem – e fazer uma autoavaliação conforme o resultado alcançado. Essa trilha pode ser percorrida ao final de cada Trajetória ou ao final do conjunto das quatro Trajetórias. Ambas as propostas enriquecem e contribuem com o processo de ensino e aprendizagem de Matemática.

312 | QUADRO DE HABILIDADES

312 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Trajetória 1

SUPLEMENTE SUA APRENDIZAGEM

1. Há 3 bolinhas na ordem do

Trajetória 1 1. (Enem) Os incas desenvolveram uma maneira

ARTE/ M10

3. (OBMEP) Cinco dados foram lançados e a

4. (Enem) Maria quer inovar sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas, estão as planificações dessas caixas.

Disponível em: www.culturaperuana.com.br. Acesso em: 13 dez. 2012.

O número da representação do quipus da Figura 2, em base decimal, é a) 364. c) 3 064. e) 4 603. b) 463. d) 3 640.

2. (Enem) João decidiu contratar os serviços de

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

milhar, nenhuma na ordem das centenas, 6 na ordem das dezenas e 4 na ordem das unidades. Logo, temos o número 3 064. Alternativa C. 2. O algarismo das unidades é o 7, das dezenas é o 0, das centenas é o 2, das unidades de milhar é o 8, das dezenas de milhar, o 9. Assim, o espaço vazio representa as centenas de milhar. Alternativa C. 3. A soma dos pontos nas faces de cima é 19. A soma dos pontos nas faces de cima com os das faces de baixo é 7 × 5 = 35. Fazendo a diferença entre essas duas somas, é obtida a soma dos pontos nas faces de baixo, 35 – 19 = 16. Alternativa C. 4. Para a 1a figura, temos duas bases circulares e uma única face retangular, caracterizando a planificação da superfície do cilindro. A 2a figura tem bases pentagonais e cinco faces laterais retangulares, caracterizando um prisma pentagonal. A 3a figura é formada somente por 4 triângulos; tomando um por base e os outros três por faces laterais, caracterizamos a planificação da superfície de uma pirâmide de base triangular. Alternativa A.

313 |

Trajetória 2 5. (OBMEP) Para montar um cubo, Guilherme

recortou um pedaço de cartolina branca e pintou de cinza algumas partes, como na figura.

Qual das figuras abaixo representa o cubo construído por Guilherme?

a) 2

d) 41

b) 6

e) 62

c) 20

8. (Enem) A rosa dos ventos é uma figura que a)

representa oito sentidos, que dividem o cír-

culo em partes iguais. b)

6. (FATEC-SP) A figura mostra a planificação

de um cubo, que apresenta imagens em suas faces.

Uma câmera de vigilância está fixada no teto de um shopping e sua lente pode ser direcionada remotamente, através de um controlador, para qualquer sentido. A lente O cubo montado a partir dessa planificação é: ARTE/ M10

dispõem as faces em uma organização que não é possível a partir da planificação indicada. Note que, por exemplo, a faceAlternativa completab. As outras mente pintada deve sealternaopor tivas dispõem à face repartida em duas as faces numa sem pintar. organização que Alternativa C. não é possível a partir 6. Nas alternativas A, da B, planifiC e cação indicada. D, há contato entre faces que não podem acontecer a partir da planificação apresentada. Alternativa E. 7. As pessoas que apareceram duas vezes na lista têm números múltiplos de 2 (pares) e 3 simultaneamente, ou seja, números múltiplos de 6. Como 6 × 20 = 120 e 6 × 21 = 126, há 20 pessoas que apareceram duas vezes na lista. Alternativa C. 8. Inicia-se na posição relativa a 180o (Oeste). Após o primeiro movimento, obtém-se 315o. Alternativa e. Nas Após o segundo, obtém-se outras alterna255o. Após o terceiro, tivas háobtémcontaentre faces -se 300o. Para to chegar a 135o que não podem (Noroeste), realiza-se um acontecer a partir giro, no sentido de da horário, planificação o apresentada. 300o – 135o = 165 . Alternativa E.

ARTE/ M10

5. As alternativas A, B, D e E

ARTE/ M10

Trajetória 2

da câmera está apontada inicialmente no sentido Oeste e o seu controlador efetua três mudanças consecutivas, a saber: •

1ª mudança: 135o no sentido anti-horário;

•

2ª mudança: 60o no sentido horário;

•

3ª mudança: 45o no sentido anti-horário.

Após a 3ª mudança, ele é orientado a reposicionar a câmera, com a menor amplitude possível, no sentido Noroeste (NO) devido

314 | REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

314 | MANUAL DO PROFESSOR

a um movimento suspeito de um cliente. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Qual mudança de sentido o controlador deve efetuar para reposicionar a câmera? a) 75o no sentido horário. b) 105o no sentido anti-horário. c) 120o no sentido anti-horário. d) 135o no sentido anti-horário. e) 165o no sentido horário.

10. (OBMEP) A figura mostra os três retângulos diferentes que podem ser construídos com 12 quadradinhos iguais.

9. (CMB-GO) Maria teve duas filhas. Cada uma das filhas de Maria teve duas filhas. Cada uma das netas de Maria teve também duas filhas e, finalmente, cada uma das bisnetas de Maria lhe deu duas tataranetas. Quantas tataranetas teve Maria? a) 16 b) 64 c) 32 d) 10 e) 8

Quantos retângulos diferentes podem ser construídos com 60 quadradinhos iguais? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

tas. 4 netas geram 8 bisnetas e 8 bisnetas geram 16 tataranetas. Alternativa A. 10.Para resolver o problema, determinamos todos os divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. As possíveis organizações que resultam em retângulos são os dois termos dentre os divisores a. 2 filhas geramre4 netas. deAlternativa 60 que multiplicados 4 netas em geram 8 bisnetas sultam 60.8 bisnetas Assim, esão geram 16 tataranetas. seis pares, totalizando 6 retângulos possíveis de serem construídos. Alternativa D.

Alternativa d. Para resolver o prob determinamos todos os divisores

e) 7

Trajetória 1, 2,33, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60

possíveis organizações que resulta 11. A 1 a p essoa receberá

Trajetória 3

retângulos são os dois termos dos

turário) Andreia colheu, ao todo, 100 laranjas e quer distribuí-las para 3 pessoas, sendo que uma delas receberá a quinta parte do total de laranjas colhidas, a outra pessoa receberá a quarta parte do total de laranjas colhidas, e a última pessoa receberá o que restou. Sendo assim, o número de laranjas que a última pessoa receberá é a) 40.

c) 50.

b) 45.

d) 55.

e) 60.

a alternativa que apresenta que fração do salário de Alicia sobrou. 1 3 4 6 a) 10 b) 10 c) 10 d) 10

14. (Enem) Em um certo teatro, as poltronas

são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas. ARTE/ M10

11. (Vunesp – Prefeitura de Taubaté – SP – Escri-

12. (OBMEP) Ângela tem uma caneca com capa-

2 L de água. Que fração dessa 3 1 caneca ela encherá com L de água? 2 7 3 4 a) 12 c) 4 e) 3 2 5 b) 3 d) 6 cidade para

13. (IBFC – MGS – Agente de Campo) Alicia guar-

3 dou 10 de seu salário na poupança e com 1 10 do salário ela pagou o aluguel. Assinale

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

9. Duas filhas geram 4 ne-

A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor é 17 53 70 e) c) 70 a) 70 17 53 17 b) d) 17 53 315 |

1 res de 60 que multiplicados result laranjas, 60, ou seja: são ou seisseja, pares possíve 5 de 100 retângulos possíveis de 100 ÷ lizando 5 = 206laranjas. construídos. 1 A 2 a pessoa receberá 4 de 100 laranjas, ou seja, 100 ÷ 4 = 25 laranjas. A 3a pessoa receberá o restante: 100 – (20 + 25) = 55 laran 100 – (20 + 25) = 55 laranjas. Alternativa D. 12.Podemos considerar a fração como a relação entre a parte observada e o todo. Assim, parte temos: e, como o todo todo 2 da caneca corresponde a 3 de litro, temos: 1 2 = 1 ⋅ 3 = 3 2 2 2 4 3 Alternativa C. 13.A poupança e o aluguel cor3 1 4 respondem a 10 + 10 = 10 do salário de Alicia. Com isso, a diferença entre o salário total e esses gastos é: 4 10 4 6 1– = – = 10 10 10 10 Alternativa D. 14.Q u a n t i d a d e d e c a d e i ras no setor 3 é igual a 10 ⋅ 7 = 70 cadeiras. Quantidade de cadeiras reservadas: 17 cadeiras. A razão entre a quantidade de cadeiras reservadas no setor 3 e o total de cadeiras 17 é: 70.. Alternativa A. 315 |

ção é calcular as diferenças: • 3,10 – 3,0 = 0,1 • 3,021 – 3,0 = 0,021 (menor diferença) • 3,0 – 2,96 = 0,04 • 3,0 – 2,099 = 0,901 • 3,07 – 3,0 = 0,07 Alternativa C. 16.As últimas páginas de cada volume estão separadas como indicado: 5 + 0,25 5 = 10,5 cm ! + 0,25 ! + ! ! Espessura do miolo do vol. I

+ 0,25 ! +

Capa da frente do vol. I

Capa da frente do vol. II

Espessura do miolo do vol. II

5 = 10,5 cm ! Alternativa D. 17. Quando João vai e volta de ônibus, ele gasta 30 minutos, ou seja, são 15 minutos na ida e 15 minutos na volta. Quando vai a pé e volta de ônibus gasta 1h15min, são 15 minutos de ônibus e o restante do tempo, 1 h, se refere ao trecho a pé. Com isso, podemos concluir que serão 2 h para ir e voltar a pé da escola. Alternativa C. 18.Pelo gráfico percebemos que 90 alunos leem até 20 min, 60 leem de 20 a 40 min e 30 alunos leem mais de 40 min por dia. Com essas informações temos que o total de alunos pesquisad o s é 90 + 60 + 30 = 180 alunos. A quantidade dos que leem até 40 min é 90 + 60 = 150 alunos. Assim, a razão no gráfico de setores 150 15 5 = = . é 180 18 6 Alternativa E.

Capa da frente do vol. II

Espessura do miolo do vol. II

Trajetória 4 15. (Enem) Deseja-se comprar lentes para óculos.

As lentes devem ter espessuras mais próximas possíveis da medida 3 mm. No estoque de uma loja, há lentes de espessuras: 3,10 mm; 3,021 mm; 2,96 mm; 2,099 mm e 3,07 mm. Se as lentes forem adquiridas nessa loja, a espessura escolhida será, em milímetros, de a) 2,099. b) 2,96. c) 3,021. d) 3,07. e) 3,10.

buição dos alunos de uma escola conforme o tempo diário dedicado à leitura.

Número de alunos

16. (OBMEP) Dois livros estão em uma prateleira.

O Volume I está na posição correta, mas o Volume II está de cabeça para baixo. Cada capa tem espessura de 0,25 centímetros, e cada livro, sem as capas, tem espessura de 5 centímetros. Nessa disposição, qual é a distância entre a última página do Volume I e a última página do Volume II?

Qual é o gráfico de setores que melhor representa, em azul, a fração de alunos que dedicam à leitura no máximo 40 minutos por dia?

a) 0,5 cm b) 5 cm

c) 6,5 cm

d) 10,5 cm

e) 11 cm

17. (OBMEP) Quando João vai para a escola a pé e volta de ônibus, ele gasta uma hora e quinze minutos; quando vai e volta de ônibus, ele gasta meia hora. Para cada meio de transporte, o tempo gasto na ida é igual ao tempo gasto na volta. Quanto tempo ele gasta quando vai e volta a pé? a) uma hora e meia. b) uma hora e quarenta e cinco minutos. c) duas horas. d) duas horas e quinze minutos. e) duas horas e meia.

316 | REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

316 | MANUAL DO PROFESSOR

18. (OBMEP) O gráfico de barras mostra a distri-

ARTE/ M10

15.Uma estratégia de compara-

GABARITO: 1. C; 2. C; 3. C; 4. A; 5. C; 6. E; 7. C; 8. E; 9. A; 10. D; 11. D; 12. C; 13. D; 14. A; 15. C; 16. D; 17. C; 18. E.

Trajetória 4

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Leituras para o aluno Problemas boborildos, de Eva Furnari

Os boborildos são personagens engraçados e curiosos que se envolvem em variadas encrencas no cotidiano. Você consegue ajudá-los a resolver algumas delas?

Diário de Pilar em Machu Pichu, de Flávia Lins e Silva

Pilar é uma menina que se envolve em uma aventura mágica e fantástica em Machu Pichu, no Peru. A história apresenta variados elementos da cultura inca, além de mapas e referências visuais.

Meu planeta, minha casa, de Shirley Souza e Jan Limpens

Uma grande empresa pode gerar muitos empregos e desenvolvimentos para uma pequena cidade, certo? Há quem não concorde, pois essa mesma empresa pode agredir o meio ambiente. E agora, como resolver essa dúvida? Blá e Cadu estão em lados opostos nessa dúvida. Será que existe um modo de solucionar esse problema?

Monstromática, de Jon Scieszka e Lane Smith

“Se eu acordo às 7h15, levo 10 minutos para me vestir, 15 minutos para tomar o café da manhã e 1 minuto para escovar os dentes, conseguirei pegar o ônibus escolar que passa às 8h?” Essa é uma pergunta que a professora faz para a heroína desse livro, que vê a Matemática como um pesadelo, como um monstro. Será que é mesmo um monstro?

Alice no país dos números, de Carlo Frabetti

Alice não está nada contente porque tem de estudar Matemática. Bem na hora da tarefa apareceu Lewis Carol, o autor de Alice no País das Maravilhas. O que será que Alice vai descobrir? Será que essa aventura vai fazer Alice mudar de humor?

O grande livro de Matemática do Manual do Mundo, de Mariana Fulfaro e Iberê Thenório

Um livro supercolorido, com muitas ilustrações divertidas para envolver você e quem você chamar para fazer companhia, com a arte da Matemática. São desafios envolvendo números, máximo divisor comum, frações, números decimais, razões, porcentagens, equações, geometria, probabilidade, plano cartesiano e muito mais.

Um proporção ecológica, de Luzia Faraco Ramos

QVASIMODO ART/SHUTTERSTOCK

Um grupo de jovens quer conscientizar uma cidade do interior sobre a importância da coleta seletiva. Usando a Matemática, eles controlam o lixo coletado. A cidade se contagia com o projeto e todos querem participar. Ou, melhor dizendo, quase todos! Esse grupo de amigos não contava com um vilão por perto...

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

317 |

Referências bibliográficas BECK, Alexandre. Tiras Armandinho. Disponível em: https://tirasarmandinho.tumblr.com/post/115869048829/tirinha-original. Acesso em: 18 jul. 2022. Tirinha do personagem Armandinho. BRASIL. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). Indicadores de desenvolvimento sustentável – Brasil 2015. Col. Estudos & Pesquisas. Vol. 10. Brasília: IBGE, 2016. Disponível em: https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/ liv94254.pdf. Acesso em: 18 jul. 2022. Livro sobre o Indicadores de Desenvolvimento Sustentável de 2015. BRASIL. Instituto Nacional de Meteorologia (Inmet). Estação: São Paulo – Interlagos (A771) – março/2022. Disponível em: https://tempo.inmet.gov.br/Graficos. Acesso em: 18 jul. 2022. Site do Instituto Nacional de Meteorologia que fornece dados do clima em diversas datas, em diferentes locais. BRASIL. Ministério do Meio Ambiente (MMA). Contas econômicas ambientais: o que são? Brasília: GIZ Agência Brasília/Projeto TEEB regional-local, 2019. Disponível em: www.giz.de/en/downloads_els/Cartilha%20Contas%20Econ%C3%B4micas%20 Ambientais_09_05_2019.pdf. Acesso em: 18 jul. 2022. Livro sobre as Contas Econômicas Ambientais de 2019. BRASIL. Ministério Público Federal. Direito à vida e à saúde: toda criança tem. Turminha do MPF. Disponível em: https:// turminha.mpf.mp.br/explore/direitos-das-criancas/saude/direito-a-saude. Acesso em: 18 jul. 2022. Artigo da página educativa do Ministério Público Federal sobre saúde e direitos das crianças. BRASIL. Senado Federal. Infográfico: usos da água no Brasil. Agência Senado Notícias. Disponível em: www12.senado.leg.br/ noticias/imagens/infobolas2.jpg/view. Acesso em: 18 jul. 2022. Site do Senado mostrando infográfico sobre os usos da água. DENCK, Diego. 9 curiosidades fascinantes sobre o cubo mágico. Megacurioso, 7 mar. 2017. Disponível em: www.megacurioso. com.br/brinquedos/102057-9-curiosidades-fascinantes-sobre-o-cubo-magico.htm. Acesso em: 19 abr. 2022. Artigo de revista on-line sobre a história e algumas curiosidades sobre o cubo mágico ou cubo de Rubik. DESPERDÍCIO de alimentos chega a 121 kg por pessoa. O Especialista, 14 mar. 2021. Disponível em: https://oespecialista.com.br/desperdicio-de-alimentos-mundo-por-pessoa/#:~:text=Uma%20pesquisa%20liderada%20pela%20 Organiza%C3%A7%C3%A3o,para%20o%20lixo%20em%202019. Acesso em: 19 abr. 2022. Artigo sobre desperdício de comida no mundo, segundo pesquisas da ONU. DIA mundial da água. WWF Brasil. Disponível em: www.wwf.org.br/natureza_brasileira/areas_prioritarias/pantanal/dia_da_ agua/#:~:text=Do%20total%20de%20%C3%A1gua%20dispon%C3%ADvel,1%25%20est%C3%A1%20dispon%C3%ADvel%20 para%20consumo. Acesso em: 18 jul. 2022. Artigo sobre a importância da água. DISTRIBUIÇÃO da água na Terra. Khan Academy. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/science/5-ano/matria-e-energia-a-gua-na-terra/a-agua-na-terra/a/distribuicao-da-agua-na-terra. Acesso em: 18 jul. 2022. Conteúdo que discorre sobre a distribuição da água no planeta Terra. FRANÇA, Allan. Os animais sabem contar? Megacurioso, 17 fev. 2018. Disponível em: www.megacurioso.com.br/ciencia/ 105864-os-animais-sabem-contar.htm. Acesso em: 19 abr. 2022. Artigo de revista on-line sobre a capacidade dos animais em identificar e comparar quantidades. GESISKY, Jaime. Brasileiro quer ficar mais perto da natureza, diz pesquisa. WWF Brasil. Disponível em: www.wwf.org. br/?67242/Pesquisa-WWF-Brasil-e-Ibope-Brasileiro-quer-ficar-mais-perto-da-natureza-mas-acha-que-ela-no-estsendo-protegida. Acesso em: 18 jul. 2022. Matéria que comenta sobre uma pesquisa feita pelo IBOPE a respeito do comportamento do brasileiro com o meio ambiente; a conclusão é que o brasileiro quer se fixar mais perto da natureza. GOMES, Vinicius da Costa. Princípio da igualdade: uma compreensão democrática da igualdade aristotélica. In: Direito Constitucional e Teoria da Constituição. Disponível em: http://conpedi.danilolr.info/publicacoes/7j4p413w/e0r9x884/ 37YesKh07uG7qPRM. Acesso em: 26 jul. 2022. Artigo explicando o contexto da igualdade geométrica e aritmética na sociedade aristotélica. O tema é relevante visto que discorre sobre um dos fundamentos da democracia brasileira viabilizando a aplicação da igualdade. 318 | REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

318 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

IFRAH, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. 4. ed. São Paulo: Globo, 1994. Livro que conta a história dos números no contexto da Matemática. LIMA, José Milton de; MOREIRA, Tony Aparecido; LIMA, Marcia Regina Canhoto de. A Sociologia da infância e a Educação Infantil: outro olhar para as crianças e suas culturas. Revista Contrapontos Eletrônica, v. 14, n. 1, p. 95-110, jan./abr. 2014. Revista eletrônica sobre os diferentes modos de ver a criança nos dias de hoje. O JOVEM e a cidade. Instituto Fazendo História, 19 dez. 2017. Disponível em: www.fazendohistoria.org.br/blog-geral/2017/12/19/o-jovem-e-a-cidade. Acesso em: 18 jul. 2022. Artigo de revista on-line sobre a relação dos jovens com a cidade. OS PAÍSES que geram mais e menos lixo eletrônico (infográfico). Iberdrola. Disponível em: www.iberdrola.com/documents/20125/40465/Infografico_lixo_electronico_paises.pdf/fd6d2a51-8d95-b6e7-40dc-383f88b8625e?t=1627375840533. Acesso em: 18 jul. 2022. Infográfico mostrando os países que geram mais e os que geram menos lixo eletrônico. PEDUZZI, Pedro. Para chegar à escola, muitas crianças enfrentam embarcações. Agência Brasil, 17 abr. 2014. Disponível em: https://abre.ai/d9Z1. Acesso em: 18 jul. 2022 Noticiário da Agência Brasil, mostrando como é a vida de estudantes que moram e estudam às margens do rio Amazonas. SANTANA, Esther. Grupo de pessoas que se unem por identificação. Educa Mais Brasil, 16 fev. 2021. Disponível em: www. educamaisbrasil.com.br/enem/sociologia/tribos-urbanas. Acesso em: 18 jul. 2022. Esse conteúdo é a respeito de pessoas que se unem por uma identificação. SÃO PAULO (estado). Companhia Ambiental do Estado de São Paulo (Cetesb). Mudanças climáticas. Proclima. Disponível em: https://cetesb.sp.gov.br/proclima/aquecimento-do-planeta/#:~:text=Entre%20os%20cientistas%20existe%20 um,todos%20a%20partir%20de%201980. Acesso em: 18 jul. 2022. Texto que trata de mudanças climáticas e o aquecimento global. Conteúdo publicado no site do governo de São Paulo. SILVA, Marcio Sousa da; SILVA, Lucila Maria dos Santos. Fenômeno das marés. Instituto de Pesquisas Científicas e Tecnológicas do Estado do Amapá (IEPA). Disponível em: www.iepa.ap.gov.br/pnopg/pnopg/Oficinas/Fenomenos%20de%20Mare/ Fenomeno_Mares.htm#:~:text=Mar%C3%A9%20%C3%A9%20o%20movimento%20peri%C3%B3dico,que%20ele%20 causa%20maior%20influ%C3%AAncia. Acesso em: 18 jul. 2022. Texto que trata dos fenômenos das marés, com diversos esquemas visuais.

QVASIMODO ART/SHUTTERSTOCK

TRIBOS digitais: como elas escolhem seus influenciadores? Air Influencers, 21 out. 2017. Disponível em: https://blog.airfluencers.com/blog/tribos-digitais-como-elas-escolhem-seus-influenciadores. Acesso em: 18 jul. 2022. Artigo que trata das tribos digitais e seus influenciadores.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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320 | MANUAL DO PROFESSOR