NOVO EM - Manual do Professor

ORIENTAÇões PARA OS volumes VOLUME 1

Linguagem dos conjuntos

Objetivos: Carga horária sugerida 15 horas

• Representar os conjuntos de três modos: enumeração de seus elementos, propriedade e diagrama de Venn.

• Classificar os conjuntos em unitário, vazio, universo, finito e infinito.

• Reconhecer conjuntos iguais.

• Relacionar conjuntos com elementos (relação de pertinência) e relacionar dois conjuntos (relação de inclusão).

• Calcular a quantidade de subconjuntos de um conjunto, sabendo a quantidade de elementos de determinado conjunto.

• Operar com conjuntos (união, intersecção, diferença e complementar).

• Compreender as leis de De Morgan.

• Solucionar problemas que envolvam conjuntos finitos.

• Classificar números de acordo com os conjuntos numéricos.

• Reconhecer as operações matemáticas possíveis dentro do mesmo conjunto numérico.

• Compreender as propriedades dos números racionais.

• Relacionar números racionais e irracionais.

• Obter a fração geratriz de uma dízima periódica simples ou composta.

• Compreender e representar conjunto dos números reais.

• Compreender potenciação e radiciação • Construir e representar números em uma reta real.

• Reconhecer e representar simbólica e graficamente os intervalos reais.

• Demonstrar que todos os números são parte do conjunto dos números complexos.

Planejamento de aulas do capítulo BNCC

(EM13MAT310) (EM13MAT313)

Aula

Descrição

1

• • • •

Abertura Teoria dos conjuntos Pratique: 1 a 6 Aprofunde: 1 a 3

2

• • • • •

Relação de pertinência Relação de inclusão Conjunto das partes Pratique: 7 a 11 Aprofunde: 4 a 6

3

• Operações entre conjuntos • Boxe Investigação Matemática e Arte • Caderno mais: XXX

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BNCC

(EM13MAT310) (EM13MAT313)

Aula

Descrição

4

• Leis de Morgan • Pratique: 12 a 19 • Aprofunde: 7 a 23

5

• • • •

6

• Pratique: 23 a 26 • Aprofunde: 33 a 41 • Caderno mais: XXX

7

• Boxe Desenvolvendo habilidades Congresso Nacional • Caderno mais: XXX

8

• Conjuntos numéricos (conjunto dos números naturais) • Boxe Enem em foco

9

• Conjunto dos números inteiros • Conjunto dos números racionais • Caderno mais: XXX

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• Conjunto dos números irracionais • Pratique: 27 a 33 • Aprofunde: 42 a 63

11

• Função geratriz de uma dízima periódica • Pratique: 34 a 36 • Aprofunde: 64 a 67

12

• Conjunto dos números reais • Caderno mais: XXX

13

• Pratique: 37 a 41 • Aprofunde: 68 a 75

14

• • • •

Operações com números reais Pratique: 42 a 46 Aprofunde: 76 a 80 Boxe Enem em foco

15

• • • • •

Boxe Investigação Grandezas e medidas Conjunto dos números complexos Caderno mais: XXX Orientações para realização da seção Diálogos Orientações para realização da seção Projeto pessoal

Problemas envolvendo conjuntos finitos Pratique: 20 a 22 Aprofunde: 24 a 32 Boxe Investigação Diagrama de Venn

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SOBRE O CONTEÚDO A abertura do capítulo sugere uma pesquisa prévia sobre aves em extinção no Pantanal. É uma ótima oportunidade para explorar conexões entre áreas.

Pode-se conhecer mais sobre animais em extinção no site do Instituto Chico Mendes de Conservação da Biodiversidade, que apresenta levantamentos de dados de diversos tipos de animais:

https://ftd.li/heanz7

Ao realizar essa discussão, pode-se falar da importância das classificações para estudos na área de Biologia e Geografia, além de outras formas de interação entre as áreas, no que diz respeito à conservação da biodiversidade, desde levantamentos estatísticos até em modelagens de ecossistemas.

Pode-se pontuar a existência de uma área de pesquisa bastante proeminente nos últimos anos chamada Biomatemática, que utiliza métodos e modelos matemáticos para análise de problemas biológicos.

Como referência, tem-se o livro Biomatemática: uma introdução para o curso de Medicina da Imprensa da Universidade de Coimbra:

Uma atividade que pode ser realizada neste momento inicial é pedir aos alunos que criem conjuntos e experimentem com diversas representações. Socialize com a classe os conjuntos criados e aproveite questionamentos feitos pelos alunos do tipo “isto é um conjunto?” ou “posso escrever um conjunto desta maneira?” para solidificar os conceitos. Para auxiliar, é possível utilizar representações geométricas como o tangram.

Ao decorrer da teoria inicial, vá retomando os conjuntos feitos por eles e dê atenção especial para conjuntos criados que sejam unitários ou vazios, reforçando que também são conjuntos. Observe também se alguns alunos construíram conjuntos iguais, mostrando-lhes que a ordem ou a repetição de elementos não importa para essa comparação de igualdade. Além disso, discuta sobre a construção de conjuntos finitos, infinitos e do conjunto universo.

A ideia de infinito em conjuntos é um tópico bastante abstrato. Pode-se explorar esse assunto de forma intuitiva, como nos vídeos a seguir, da equipe M3 da Unicamp e do TED-Ed com legendas em língua portuguesa.

Hotel de Hilbert

https://ftd.li/zbwf99

https://ftd.li/xv58ob

Iniciando o volume, observamos que a introdução de novas notações matemáticas é uma questão importante, por isso deve-se dar bastante atenção ao conteúdo de representações, utilizando o máximo de exemplos possível.

Uma sugestão é que, ao longo do volume, os alunos elaborem um glossário com os diversos símbolos que aparecerem. O glossário pode ser construído em uma lista no final do caderno ou em fichas. Caso considere adequado, inclua o glossário na avaliação do capítulo, para que os alunos valorizem essa tarefa.

Qual o tamanho do infinito?

https://ftd.li/a8zvrj

Nos tópicos “Relação de pertinência” e “Relação de inclusão”, é interessante evidenciar a diferença entre os termos “pertence” (relação entre elemento e conjunto) e “contido” (relação entre dois conjuntos). Para facilitar, pode-se usar novamente os conjuntos criados por eles.

Deve-se dar atenção ao tópico “Conjunto das partes”, por se tratar de um conjunto de conjuntos.

Observe se os alunos construíram algum conjunto que tenha como elementos outros conjuntos.

Para introduzir as operações de conjuntos, além do exemplo dado, faça uma pesquisa com os alunos em relação a algum tema que os interesse. A sala Linguagem dos conjuntos | volume 1

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pode ir sendo dividida conforme as respostas, e os alunos podem mudar de grupo ou fazer parte de dois ou mais grupos. Questione sobre essas relações e utilize a disposição da sala para auxiliá-los.

No boxe Investigação – Matemática e Arte, os alunos farão o uso de alguns materiais específicos: papel espelho (vermelho, amarelo e azul), tesoura, papel-cartão A4 (branco), cola em bastão e caneta de ponta porosa (preta). Esses materiais devem ser solicitados com antecedência e seria interessante que, no início do estudo do capítulo, os alunos já sejam informados que vão precisar providenciá-los.

Outra forma de agilizar a atividade é pedir aos alunos que pesquisem antecipadamente os artistas brasileiros e escolham uma de suas obras.

Para auxiliar na atividade e conhecer os artistas recomendados pelo autor, seguem sugestões de links: Hércules Barsotti

Luiz Sacilotto

http://ftd.li/dkwsvy

http://ftd.li/n75cnh

Hélio Oiticica

Aluísio Carvão

http://ftd.li/x5pzxb

http://ftd.li/jgqxyi

Para as leis de Morgan, reforce a necessidade de provar a validade delas. Se os alunos tiverem alguma dificuldade, comece a prova com exemplos numéricos.

No boxe Investigação — Diagramas de Venn, para a construção dos diagramas, observe-se que não é necessário que as construções sejam perfeitas, isto é, não se pede que os círculos desenhados sejam perfeitos, mas apenas esboços para visualizar os esquemas. Por se tratar de um problema difícil, a ideia não é que os alunos resolvam, mas apenas utilizem o momento para praticar os conceitos aprendidos e trabalhar com experimentação matemática.

Os alunos só estudarão diagramas de Venn com três conjuntos. Ao tentarem construir um diagrama com quatro conjuntos, reforce que é necessário que todas as regiões de intersecção possíveis sejam representadas, caso contrário, não construirão um diagrama de Venn.

Auxilie-os posteriormente dizendo que podem utilizar outras formas além do círculo, como nos exemplos a seguir para quatro e cinco conjuntos.

Diagrama de Venn com quatro conjuntos.

Diagrama de Venn com cinco conjuntos.

Desenhe na lousa ou imprima os diagramas e, juntos, identifiquem cada região.

No boxe Desenvolvendo habilidades — Congresso Nacional, sugere-se um texto sobre o funcionamento do Congresso Nacional, com o propósito de relacionar teoria dos conjuntos com conjuntos dos representantes populares apresentados: deputados e senadores. Sendo um conteúdo bastante amplo, podem surgir diversas conexões. Os alunos podem fazer pesquisas sobre o funcionamento dos poderes Executivo, Legislativo e Judiciário nos portais do governo brasileiro. É possível relacionar as composições desses poderes com conjuntos para ampliar o entendimento do conteúdo.

Ao iniciar o tópico “Conjuntos numéricos”, certifique-se de que os alunos compreenderam bem o que são conjuntos e as relações apresentadas.

Para isso, sempre utilize exemplos numéricos e do dia a dia, de forma que as definições dos conjuntos numéricos fiquem claras e contextualizadas.

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No boxe Eu no mundo — A teoria dos conjuntos, espera-se utilizar o tópico de teoria dos conjuntos para relacionar a Matemática com diversas áreas do conhecimento de uma maneira não convencional. O ponto de vista histórico/filosófico pode ser abordado contando-se a história da Matemática moderna. O objetivo dessa perspectiva é compreender que a Matemática foi construída ao longo do tempo e não é, portanto, estática.

Algumas referências são:

https://ftd.li/maxg7m

https://ftd.li/zvodvj

Cardinalidade, da Revista do Professor de Matemática (RPM), com um texto sobre enumerabilidade de conjuntos de forma didática e sobre a história de construções de conjuntos

Primeira parte de um vídeo do canal Isto é Matemática sobre o conhecido paradoxo do barbeiro, que remete à concepção por trás da teoria dos conjuntos.

https://ftd.li/6mygq3

https://ftd.li/hokqr9

Vídeo Os infinitos de Cantor da equipe M3 da Unicamp sobre conjuntos infinitos.

Videoaula do canal Café e Ciência com explicação simbólica do paradoxo de Cantor e Russel.

Reforce a relação de cada conjunto com as necessidades dos seres humanos e com as operações: os naturais surgiram por causa da necessidade de contagem; os inteiros, com a operação de subtração e os racionais, com a operação de divisão. Neste último, dê exemplos de como entre um número racional e outro existem infinitos números racionais.

Para isso, basta tomar dois números racionais, 2 e 3, por exemplo, e acrescentar uma quantidade finita de casas decimais ao final do menor número: 2,1; 2,2; 2,111; 2,02 etc.

No boxe Eu no mundo — Explorando demonstrações, espera-se discutir a importância de boas demonstrações matemáticas, relacionando-se tanto com tópicos das ciências exatas e biológicas quanto humanas.

No campo das ciências exatas e biológicas, pode-se destacar a importância da boa argumentação embasada, feita por meio do método científico. Já em relação às ciências humanas, pode-se falar em como é elaborado um texto argumentativo, como as dissertações ou teses. Nesse contexto, é possível também, se houver interesse, discutir o contexto da carreira acadêmica de um pesquisador, em diversas áreas de conhecimento — humanas, exatas ou biológicas —, pautada na produção de trabalhos argumentativos de defesa de ideias.

Uma referência que pode ser utilizado em aula é:

https://ftd.li/n5zo59

Vídeo Como provar uma teoria matemática, apresentado por Scott Kennedy do portal TED-Ed sobre teoremas matemáticos, com legendas em língua portuguesa.

Sobre o conjunto dos números irracionais, discuta com os alunos a necessidade de representar números que não se encaixam nas definições anteriores, como o π e o número de Euler. Reforce que os conjuntos dos números racionais e dos irracionais são conjuntos disjuntos, ou seja, não têm nenhum elemento em comum. Dessa forma, todos os conjuntos numéricos pertencentes aos racionais também são disjuntos em relação ao conjunto dos irracionais.

Evidencie também que entre um número irracional e outro existem infinitos números irracionais.

Com isso, introduza o conjunto dos números reais como a união dos conjuntos dos números racionais e dos irracionais e comente que ele representa todos os números que os alunos conhecem e usam no dia a dia. Em seguida, ao apresentar a reta real e os intervalos reais, mostre a eles que são duas formas de representar o conjunto dos números reais ou parte dele.

Sugestão Shutter - Código - 341235206 Linguagem dos conjuntos | volume 1

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Quando apresentar frações geratrizes e dízimas periódicas, atente-se ao fato de que a técnica utilizada só é possível porque sabemos que as dízimas representam uma soma de uma série convergente, como observado na referência a seguir.

https://ftd.li/79c73p

Texto da RPM respondendo a um leitor sobre qual o fundamento teórico da transformação de dízimas periódicas em fração.

Posteriormente, seguindo o estudo de progressões geométricas, pode-se retomar o assunto de dízimas periódicas, relacionando-as à soma de séries geométricas.

Ao introduzir potenciação e radiciação, converse com os alunos sobre o que eles recordam. Deixe que deem as ideias e as propriedades e anote-as na lousa para construir um escopo. Depois, utilize as definições corretas. No conteúdo de notação científica é importante discutir a ideia de erros em medidas e ordens de grandeza, como feito no boxe Investigação — Grandezas e medidas.

Sobre esse tema, pode-se explorar os seguintes vídeos do canal TED-Ed:

Ainda há a referência a seguir sobre séries infinitas:

https://ftd.li/wu9kiv

Documento “É possível somar infinitas parcelas?” da professora Martha Monteiro do IME-USP.

https://ftd.li/97egob

https://ftd.li/inyv5z

Vídeo Um jeito inteligente de estimar grandes números, apresentado por Michael Mitchell do canal TED-Ed.

Vídeo Qual a diferença entre exatidão e precisão?, apresentado por Matt Anticole do canal TED-Ed.

Para finalizar, apresente o conjunto dos números complexos e a sua construção por meio da raiz quadrada de −1.

Materiais complementares • Portal da OBMEP, criado pelo IMPA, organizador da OBMEP, com diversos recursos didáticos, vídeo aulas, listas de exercícios, problemas de olimpíadas etc.

• Vídeo Cosmic Voyage clip annotated with powers of 10, com legendas geradas automaticamente e traduzidas em língua portuguesa, para trabalhar a ideia das potências de 10.

https://ftd.li/ov8ey2

https://ftd.li/vt96zw

REFERÊNCIAS • LIMA, Elon Lages. Curso de Análise. v. 1. 14. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2013. (Projeto Euclides.)

• NOVAES, Gilmar Pires. Introdução à teoria dos conjuntos. 1. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2018. (Coleção do Professor de Matemática.)

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VOLUME 2

Conjuntos e funções

Objetivos: Carga horária sugerida 15 horas

• Representar pontos no sistema cartesiano e identificar suas localizações nos quatro quadrantes e nos eixos.

• Compreender o conceito de produto cartesiano e calcular e representar graficamente esse produto entre diferentes tipos de conjuntos (enumeráveis e não enumeráveis, finitos e infinitos).

• Definir relações binárias como subconjuntos de produtos cartesianos.

• Identificar, quando possível, e empregar a lei de formação de uma relação binária em diferentes contextos.

• Identificar o domínio e a imagem de uma relação binária.

• Classificar funções como um tipo de relação binária.

• Identificar o domínio, o contradomínio e a imagem de uma função.

• Identificar o domínio de uma função por meio de sua lei de formação.

• Definir relações binárias como funções por meio do gráfico ou de um diagrama.

• Identificar o sinal (positivo, nulo ou negativo) e a variação (crescente, constante ou decrescente) de uma função em intervalos do domínio.

• Classificar funções como sobrejetora, injetora, bijetora, par ou ímpar.

• Determinar a lei de formação de uma função composta.

• Determinar funções inversas a funções dadas.

• Identificar grandezas diretamente e inversamente proporcionais.

• Identificar a proporcionalidade entre grandezas por meio da lei de uma função.

Planejamento de aulas do capítulo BNCC

EM13MAT101 EM13MAT510 EM13MAT314

Aula

Descrição

1

• Abertura • Plano cartesiano • Exercício resolvido 1

2

• • • • • •

Propriedades dos pares ordenados Igualdade Simetria por reflexão Exercício resolvido 1 Pratique 1 a 4 Aprofunde 1 a 6

3

• • • • • •

Produto cartesiano Representações de um produto cartesiano Propriedades do produto cartesiano Exercícios resolvidos 1 a 3 Pratique 5 a 7 Aprofunde 7 a 13

Conjuntos e funções | volume 2

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BNCC

EM13MAT101 EM13MAT510 EM13MAT314

Aula

Descrição

4

• • • • •

Relações binárias Domínio e imagem Exercício resolvido 1 Pratique 8 a 10 Aprofunde 14 a 21

5

• • • • •

Funções Definição Notação Domínio, contradomínio e imagem de uma função Exercícios resolvidos 1 e 2

6

• Pratique 17 a 15 • Aprofunde 22 a 33

7

• • • •

Domínio de uma função real Exercícios resolvidos 1 e 2 Pratique 16 a 18 Aprofunde 34 a 43

8

• • • • • • •

Gráfico cartesiano de uma função Sinais de uma função Crescimento e decrescimento de uma função Enem em foco 1 e 2 Exercício resolvido 1 Pratique 19 a 22 Aprofunde 44 a 52

9

• • • •

Classificação de função Investigação Paridade de função Exercícios resolvidos 1 a 3

10

• Pratique 23 a 28 • Aprofunde 53 a 58

11

• • • •

Composição de funções Exercícios resolvidos 1 a 3 Pratique 29 a 31 Aprofunde 59 a 66

12

• • • •

Inversão de funções Exercícios resolvidos 1 e 2 Pratique 32 a 34 Aprofunde 67 a 74

13

• • • • • • • •

Funções e proporcionalidade Razão Proporção Proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa Desenvolvendo habilidades Exercícios resolvidos 1 a 3 Pratique 35 a 39 Aprofunde 75 a 82

14

• Análise gráfica da proporcionalidade • Enem em foco 3 • Pratique 40 a 42

15

• Caderno Mais (exercícios referentes ao conteúdo deste capítulo) • Orientações para realização da seção Diálogos* • Orientações para realização da seção Projeto pessoal**

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SOBRE O CONTEÚDO Este capítulo tem como objetivo permitir ao estudante atribuir significados ao trabalho com funções, por meio de exemplos e atividades contextualizadas, além de fornecer alicerces para ele poder definir formalmente relações binárias como subconjuntos de produtos cartesianos e funções como um tipo de função binária, além de associar a proporcionalidade a algumas funções.

A abertura do capítulo propicia uma justificativa inicial do estudo das funções: as funções são estruturas matemáticas que podem ser usadas como ferramenta para modelar fenômenos sociais, naturais, econômicos, entre outros. Assim, é importante que o texto e os questionamentos da abertura sejam um momento para o estudante refletir sobre o que significa “modelar” e sobre a importância da criação de modelos de diferentes fenômenos. Para isso, forneça tempo para que a turma pense e converse entre si sobre os questionamentos.

No primeiro questionamento, o estudante é convidado a identificar regularidades no cotidiano e a tentar encontrar ferramentas matemáticas que podem auxiliá-lo a modelar e, então, analisar essas regularidades.

Depois de os estudantes identificarem essas regularidades, uma possibilidade de prolongamento do trabalho com a abertura é requisitar que, em grupos, compartilhem as regularidades mencionadas por eles e classifiquem-nas em áreas comuns: por exemplo, regularidades sobre preços de compra e venda ou variações do valor de ações no mercado financeiro podem ser classificadas como regularidades econômicas ou financeiras; estudos sobre o crescimento de espécies botânicas ou animais ou sobre análises de dados climáticos podem ser classificados como regularidades naturais.

Já no segundo questionamento, os estudantes são convidados a ampliar o próprio olhar, reconhecendo o papel da Matemática em diferentes profissões. É esperado que esse questionamento seja auxiliado pelo anterior, principalmente se a profissão escolhida se encaixe nas categorias de classificação feitas pelos grupos.

Pode-se finalizar o trabalho com a abertura com uma reflexão conjunta, na qual os estudantes podem ser convidados a refletir como a Matemática tem o potencial de ser usada em diferentes situações do mundo do trabalho, independentemente da classificação da profissão nas categorias clássicas de exatas, humanas ou biológicas. Desse modo, espera-se que eles ganhem uma visão mais realista da Matemática como uma área do saber não restrita

a um conjunto fechado de práticas, mas sim como um alicerce para práticas em diferentes atividades.

A parte teórica do capítulo inicia-se com a definição do plano cartesiano, conceito trabalhado indiretamente durante os anos finais do Ensino Fundamental, uma vez que nessa etapa os estudantes já foram apresentados aos gráficos de funções.

Agora, na etapa do Ensino Médio, eles têm as bases teórica e cognitiva para compreender a definição apresentada de plano cartesiano.

Uma possibilidade para o trabalho com esse conceito é solicitar aos estudantes que, em grupos, representem um plano cartesiano em uma folha milimetrada de tamanho suficiente. Cada membro do grupo pode, então, pedir a outro estudante que, se possível, indique no plano a localização de um ponto, dadas suas coordenadas. Provavelmente, os estudantes darão pontos com coordenadas inteiras, o que é interessante para o início da atividade. Após eles ganharem familiaridade com essa ação, peça que indiquem pontos com coordenadas racionais e até coordenadas irracionais, como o ponto ( π , − 2 ), aumentando assim a complexidade da atividade e retomando o conceito de ordenação dos números reais.

Após a apresentação das simetrias no plano cartesiano, essa atividade pode ser retomada com a identificação dos pontos simétricos aos pontos indicados anteriormente em relação aos eixos ordenados e às bissetrizes dos quadrantes pares e ímpares.

No Exercício resolvido 1, pode-se complementar a atividade usando o software de geometria dinâmica GeoGebra, disponível em: <www. geogebra.org/calculator (acesso em: 18 jun. 2020).

Primeiro, crie um “Controle deslizante” usando a aba “Ferramentas” do aplicativo, nomeando a variável “k” e definindo o intervalo de variação como [–30, 30].

Captura de tela do GeoGebra.

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Em seguida, insira na aba “Álgebra” o ponto P(k – 5, 3k + 6) e peça aos estudantes que usem o controle deslizante para verificar o comportamento do ponto P conforme os valores de k variam. Eles poderão usar essa ferramenta para confirmar as respostas fornecidas nesse exercício resolvido. Pode-se, também, sugerir aos estudantes que observem o comportamento de P conforme k varia e descrevam como é a trajetória desse ponto, que é uma trajetória retilínea.

Após a apresentação do conceito de gráfico de uma função, pode-se voltar a esse aplicativo e, com os conhecimentos adquiridos pelos estudantes, pedir a eles que identifiquem qual é a lei da função f cujo gráfico é a trajetória do ponto P. Para obter a lei, basta lembrar que os pontos do gráfico de f são da forma (x, f(x)), logo (x, f(x)) = (k – 5, 3k + 6). Podemos manipular algebricamente essa igualdade, partindo de x = k – 5 para obter k = x + 5. Substituído esse valor em (k – 5, 3k + 6), temos o ponto (x, 3x + 21); portanto, f(x) = 3x + 21.

Essa resposta pode ser verificada inserindo a função f dada por f(x) = 3x + 21, como mostra a imagem a seguir.

Captura de tela do GeoGebra.

Nas atividades 4 da seção Pratique e 6 da seção Aprofunde, os estudantes podem ser convidados a criar logomarcas poligonais em um plano cartesiano representado em uma folha quadriculada, identificando os vértices desse logo por meio de suas coordenadas ou usando, para isso, o GeoGebra.

No trabalho com o domínio de funções, pode-se propor uma atividade de retomada de funções nas quais há indeterminações. Para isso, proponha aos estudantes que identifiquem para quais valores de x as seguintes expressões algébricas não estão determinadas (ou seja, não podem ser calculadas), e peça que justifiquem a razão dessa indeterminação: 1 a) x Resposta: Essa expressão não está determinada 1 para x = 0, pois y = se, e somente se, xy = 1. Para x x = 0, xy = 0 ≠ 1 para qualquer valor real de y. b) x Resposta: Essa expressão não está determinada

para x ∈ {x ∈  | x < 0}, ou seja, para valores reais negativos de x. Isso ocorre pois, se y = x , então y2 = x. Como o quadrado de qualquer número real é positivo ou nulo, necessariamente y2 ≥ 0, o que implica x ≥ 0. c)

1 x

Resposta: Com base nas respostas anteriores, essa expressão não está determinada para x ∈ {x ∈  | x ≥ 0}.

Com base nessas três indeterminações, os estudantes poderão resolver as atividades propostas sobre domínio de funções.

Após o trabalho com gráficos no boxe Enem em foco, que retratam situações das Ciências da Natureza (modelo predador-presa e velocidade), pode-se complementar esse trabalho interdisciplinar com a área de Ciências da Natureza abordando os gráficos de mudança de fase de substâncias puras, em conjunto com um professor dessa área.

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Resumidamente, a partir do estado sólido, um aumento na temperatura do ambiente acarreta um aumento na temperatura de uma substância pura, até que ela atinja a temperatura de fusão. A partir daí, um aumento na temperatura ambiente não acarreta aumento na temperatura da substância: ela continuará constante, enquanto a substância se encontrar em uma mistura dos estados sólido e líquido. Apenas quando toda a substância estiver no estado líquido, a temperatura da substância pura voltará a aumentar junto à temperatura ambiente.

Esse processo é repetido na transição da fase líquida para a gasosa, como mostra o gráfico a seguir.

Va po r

Temperatura Temperatura de Ebulição

Líq

ui

do

Líquido + Vapor

lid

o

Sólido + Líquido

Só

Temperatura de Fusão

Tempo

Essa proposta interdisciplinar favorece o desenvolvimento da habilidade EM13MAT101 (Interpretar criticamente situações econômicas, sociais e fatos relativos às Ciências da Natureza que envolvam a variação de grandezas, pela análise dos gráficos das funções representadas e das taxas de variação, com ou sem apoio de tecnologias digitais).

No boxe Investigação, os estudantes são convidados a buscar informações sobre pesquisas quantitativas. A ideia é fazê-los descobrir que, se por um lado as funções auxiliam na modelagem de diferentes fenômenos, por outro a modelagem geralmente precisa de dados numéricos para ocorrer – no contexto da estatística e das ciências sociais, a pesquisa quantitativa é uma metodologia para obter esses dados. Para complementar o trabalho proposto nesse boxe, você pode convidar um ou mais profissionais de áreas que usam pesquisa quantitativa, como sociólogos, estatísticos e economistas, para que façam uma palestra explicando como é o dia a dia dessas profissões e como ferramentas matemáticas são usadas para analisar dados reais.

Ao trabalhar o tópico “Inversão de funções”, há uma situação inicial que mostra a criação de um modelo que relaciona a altura de uma árvore à medida do raio da base dessa árvore. Caso haja interesse, essa

situação pode servir como inspiração para uma atividade em grupo: os estudantes podem, por exemplo, plantar um grão de feijão e acompanhar, ao longo de algumas semanas, a altura da muda, anotando-a diariamente. Após um tempo suficiente e previamente determinado, eles terão um conjunto de pares (dia, altura), que pode ser disposto em um gráfico como forma de visualizar o crescimento dessa espécie pelo tempo. Eles podem, então, tentar identificar se o comportamento dessas duas grandezas pode ser aproximado a algum tipo de função que já conhecem, como a função afim, caso o crescimento seja linear.

O tópico “Função e proporcionalidade” retoma o trabalho com razão e proporção e apresenta a associação entre função (principalmente linear) e proporcionalidade. É natural que, durante o trabalho, os estudantes percebam a associação do gráfico da reta com as grandezas diretamente proporcionais como familiar e imediata, contudo eles poderão apresentar dificuldade ao associar o gráfico de uma função com grandezas inversamente proporcionais.

Se achar conveniente, não dispenda muito tempo no gráfico de proporcionalidade inversa.

Materiais complementares • BARDI, J. S. A guerra do cálculo. São Paulo: Record, 2008.

Apesar de tratar de um assunto que não é visto no Ensino Médio, a obra permite reconhecer a Matemática como consequência de uma multiplicidade de indivíduos e teorias, nem sempre condizentes entre si. A leitura traz peculiaridades de dois matemáticos icônicos: Newton e Leibniz.

• GeoGebra. Disponível em: <http://geogebra. org/>. Acesso em: 18 jun. 2020.

Referências • BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC/SEB, 2018.

• SACRINI, M. Leitura e escrita de textos argumentativos. São Paulo: Edusp, 2019.

• SMOLE, K. S. Matemática para compreender o mundo. São Paulo: Saraiva, 2016.

Conjuntos e funções | volume 2

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VOLUME 3

Funções polinomiais

Objetivos: Carga horária sugerida 15 horas

• Revisar conhecimentos construídos nos anos finais do Ensino Fundamental, como produtos notáveis, fatoração algébrica, equações polinomiais do 1o e do 2o graus e de sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas.

• Construir o conceito de função polinomial do 1o grau.

• Interpretar e empregar as notações f(x) = ax + b ou y = ax + b, com a ≠ 0, para representar uma função polinomial do 1o grau ou função afim.

• Calcular o zero da função polinomial do 1o grau.

• Construir, ler e interpretar gráficos de funções polinomiais do 1o grau (reta) para extrair informações significativas a seu respeito.

• Relacionar o coeficiente angular com o crescimento ou decrescimento da função polinomial do 1o grau.

• Reconhecer o coeficiente linear e usá-lo para determinar a ordenada do ponto em que a reta intersecta o eixo das ordenadas.

• Resolver situações-problema em que as funções polinomiais do 1o grau estejam aplicadas a outras áreas do conhecimento.

• Identificar os sinais de uma função polinomial do 1o grau por meio de análise de gráficos e leis.

• Determinar a solução de inequações e sistemas de inequações do 1o grau por meio da análise dos sinais da função polinomial.

• Construir o conceito de função polinomial do 2o grau.

• Interpretar e empregar as notações f(x) = ax2 + bx + c ou y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, para representar uma função do 2o grau ou função quadrática.

• Calcular, se houver, os zeros da função polinomial do 2o grau.

• Reconhecer o gráfico da função polinomial do 2o grau como uma parábola com o eixo de simetria paralelo ao eixo das ordenadas (Oy).

• Relacionar o sinal do coeficiente a, com a ≠ 0, de uma função polinomial do 2o grau com a concavidade da parábola.

• Analisar gráficos para estabelecer domínio e imagem de uma função polinomial do 2o grau.

• Resolver situações-problema envolvendo máximos ou mínimos de uma função quadrática.

• Identificar os sinais de uma função polinomial do 2o grau por meio de análise de gráficos e leis.

• Determinar a solução de inequações e sistemas de inequações do 2o grau por meio da análise dos sinais de funções polinomiais de 2o grau.

Planejamento de aulas do capítulo BNCC EM13MAT301

Aula

1

Descrição • • • •

Abertura Produtos notáveis e fatoração algébrica Pratique 1 a 4 Aprofunde 1 e 2

12

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BNCC

Aula

Descrição • Equações polinomiais • Equação polinomial do 1o grau.

EM13MAT301

2

• Sistemas de equações do 1o grau • Boxe Enem em foco 1 • Pratique 5 e 6 • Aprofunde 3 a 6

EM13MAT301

3

• Equação polinomial do 2o grau • Pratique 7 a 9 • Aprofunde 7 a 9 • Função polinomial do 1o grau

EM13MAT101

4

• Zero da função polinomial do 1o grau • Pratique 10 a 12 • Aprofunde 10 a 14

EM13MAT101 EM13MAT302 EM13MAT401 EM13MAT501

EM13MAT101

EM13MAT301

EM13MAT301

EM13MAT101 EM13MAT302 EM13MAT101 EM13MAT402 EM13MAT502 EM13MAT503

EM13MAT402 EM13MAT502 EM13MAT503

• Gráficos de função polinomial do 1o grau

5

• Boxe Investigação • Boxe Enem em foco 2 • Pratique 13 e 14 • Aprofunde 15 a 17

6

• • • •

Estudo do sinal de uma função polinomial do 1o grau Inequações do 1o grau Pratique 15 Aprofunde 18 a 21

7

• • • •

Sistemas de inequações do 1o grau Inequações simultâneas do 1o grau Pratique 16 e 17 Aprofunde 22

8

• Inequação-produto (envolvendo funções polinomiais do 1o grau) • Inequação-quociente (envolvendo funções polinomiais do 1o grau) • Pratique 18 e 19 • Aprofunde 23 e 24

9

• • • •

Função polinomial do 2o grau Zeros da função polinomial do 2o grau Pratique 20 a 22 Aprofunde 25 e 26

• Gráfico da função polinomial do 2o grau

10

• Boxe Investigação • Boxe Enem em foco 3 • Pratique 23 e 24 • Aprofunde 27 a 30

11

• • • • • •

Coordenadas do vértice da parábola Boxe Desenvolvendo habilidades Crescimento e decrescimento Boxe Enem em foco 4 e 5 Pratique 25 a 29 Aprofunde 31 a 35

Funções polinomiais | volume 3

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BNCC

Aula

Descrição

12

• • • •

Estudo do sinal da função polinomial do 2o grau Inequações do 2o grau Pratique 30 Aprofunde 36

13

• • • •

Sistemas de inequações do 2o grau Inequações simultâneas do 2o grau Pratique 31 e 32 Aprofunde 37 a 39

14

• Inequação-produto (envolvendo funções polinomiais do 2o grau) • Inequação-quociente (envolvendo funções polinomiais do 2o grau) • Pratique 33 e 34 • Aprofunde 40 • Caderno Mais (exercícios referentes ao conteúdo deste capítulo)

15

• Síntese • Orientações para realização da seção Diálogos* • Orientações para realização da seção Projeto pessoal**

EM13MAT301

EM13MAT101 EM13MAT301 EM13MAT302 EM13MAT401 EM13MAT402 EM13MAT503 EM13MAT101

SOBRE O CONTEÚDO Ao iniciar o capítulo, explore o texto inicial e as imagens apresentadas. Trabalhe os questionamentos propostos com a turma dividida em pequenos grupos e peça-lhes que analisem as relações de dependência entre duas variáveis.

Na abertura, podem ser exploradas situações vividas pelos estudantes para averiguar os conhecimentos prévios sobre equações e funções e descobrir se já dominam, por exemplo, o conceito de grandeza e relação entre dois conjuntos numéricos. Há a possibilidade de ligar o assunto ao tema “trabalho”, próprio da área de Ciências Humanas e Sociais Aplicadas, o que pode evidenciar como a Matemática pode servir como ferramenta para estudar assuntos cotidianos.

Uma maneira de iniciar o estudo do capítulo analisando problemas relacionados a transporte urbano é propor aos estudantes que pensem nas variações existentes entre volume e o valor do combustível, buscar a regularidade entre elas e determinar a generalização para o caso.

Acompanhe uma situação-problema, que ilustra este conteúdo:

• Se um posto de combustíveis cobra R$ 3,84 pelo

litro da gasolina, o valor total final (y) em função do número de litros abastecido (x) será definido pela expressão y = 3,84x, que é uma função polinomial do 1o grau. Essa situação pode ser representada por meio do seguinte gráfico: y 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4 x

Como início da teoria, há uma retomada de produtos notáveis, fatoração algébrica e equações do 1o e do 2o graus, que são pré-requisitos para estudo de funções polinomiais e de inequações do 1o e do 2o graus.

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Provoque a participação dos estudantes com exemplos e exercícios propostos a fim de diagnosticar e reforçar os conteúdos de acordo com as necessidades de cada turma. Se julgar necessário, mostre a representação geométrica dos principais produtos notáveis, mas lembre-se de comentar que a representação geométrica trata de casos específicos e que não é possível, por exemplo, mostrar nessas representações valores negativos de a e de b.

Apresente o conceito de função polinomial a partir de situações contextualizadas em que os estudantes se familiarizem e assumam o protagonismo da aula contribuindo com ideias, exemplos e sugestões. Em diversas situações, existem relações de dependências de duas grandezas a serem exploradas inicialmente, como preço e quantidade, valor do serviço e número de horas trabalhadas, entre outras.

Ao apresentar a equação e a expressão que a representa, ax + b = 0, em que a e b são números reais e a é diferente de 0, lembre-se de que, se a = 0, podemos ter uma equação de primeiro grau indeterminada (infinitas soluções) ou impossível (nenhuma solução). Recorde os casos de indeterminação e impossibilidade: I. Equação polinomial do 1o grau possíveis e determinadas admite um número finito de soluções reais, ou seja, uma única solução real.

Exemplo: 2x + 1 = 3 ⇒ x = 1 ∴ S = {1} II. Equação polinomial do 1o grau possível e indeterminada admite infinitas soluções reais.

Exemplo: 5x – 2y = 20 (admite infinitos pares ordenados como solução) III. Equação polinomial do 1o grau impossível não admite soluções.

Exemplo: x – 4 = x + 6 ⇒ x – x = 6 + 4 ⇒ 0 = 10 (Absurdo!) ∴ S =  Essa ampliação do conteúdo auxiliará no trabalho envolvendo sistemas lineares.

Alguns fenômenos reais, do cotidiano dos estudantes, podem ser modelados matematicamente, ou seja, pode-se usar matemática para buscar padrões e regularidades e aplicá-las no dia a dia. É importante que o professor apresente à turma uma situação-problema que possibilite a reflexão. Por exemplo, na escolha de um táxi ou carro por aplicativo, é preciso

considerar os valores da bandeirada inicial, se houver, e do quilômetro rodado se quiser economizar na viagem. Então, considere a seguinte situação: • Um taxista cobra R$ 2,75 por quilômetro rodado, mais R$ 4,50 pela bandeirada, enquanto um motorista de aplicativo cobra R$ 3,00 por quilômetro rodado, sem nenhuma outra taxa.

Esse cenário é uma oportunidade para os estudantes colocarem em prática os conceitos de função polinomial do 1o grau. Assumindo que x é o número de quilômetros rodados e y é o preço cobrado em reais, solicite aos estudantes que determinem a lei de formação que define o valor, em reais, em função da distância, em quilômetros, do táxi e do carro por aplicativo.

A partir disso, é interessante pedir a eles que construam o gráfico dessas funções, em um mesmo plano cartesiano, e façam análises de vantagens e desvantagens. Sugere-se o uso do software dinâmico GeoGebra.

Existem muitos exemplos de relações funcionais no cotidiano — escolha aquela que tenha um contexto significativo e que seja factível dentro do conteúdo abordado no capítulo. De preferência, inicialmente trabalhe com tabelas para que os estudantes possam perceber regularidades na escrita algébrica. A partir dos dados analisados da tabela, estabeleça a lei que forneça a relação entre elas e, em seguida, construa o respectivo gráfico.

A análise e interpretação de gráficos pode facilitar a extração de informações a respeito da função (sempre que possível, use software dinâmico para construção dos gráficos de funções polinomiais). Proponha à turma a execução da atividade complementar a seguir, com o uso do software dinâmico GeoGebra:

Atividade complementar Intersecção do gráfico de duas funções polinomiais do 1o grau • Acesse a calculadora do GeoGebra disponível

em: <http://ftd.li/i36hte>.

• Iremos trabalhar com duas funções polinomiais do 1o grau simultaneamente: f:  →  dada pela lei f(x) = ax + b e g:  →  dada pela lei g(x) = cx + d Funções polinomiais | volume 3

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• Para inserir as funções no GeoGebra, no canto

superior direito da tela:

Resposta: Ponto A(0,6; 2,2). Espera-se que coincida.

• digite a = 2 e tecle enter; • digite b = 1 e tecle enter; • digite “f(x)=ax+b” (sem aspas e sem espaço en-

tre os caracteres) e tecle enter; • digite c = –3 e tecle enter; • digite “g(x)=cx+d” (sem aspas e sem espaço

entre os caracteres) e tecle enter. a) Classifique as funções anteriores quanto a crescimento e decrescimento. Justifique sua resposta.

Resposta: A função f(x) é crescente porque o coeficiente a é positivo. A função g(x) é decrescente porque o coeficiente c é negativo. b) O único ponto de intersecção dessas funções é o ponto em que f(x) = g(x). Sabendo disso, determine algebricamente esse ponto.

Resposta: Ao igualar as funções, obtém-se a abscissa do ponto de intersecção e, substituindo esse valor em qualquer uma das funções, determina-se o valor da ordenada. y = 2x + 1 (I)  y = −3x + 4 (II) Igualando (I) e (II): 2x + 1 = –3x + 4 ⇒ 3 ⇒ 5x = 3 ⇒ x = 5 Substituindo em (II), temos: 6 + 5 11  3 = y = 2  + 1⇒ y =  5 5 5 Portanto, o ponto de intersecção dessas duas 3 11 funções é  ,  . 5 5 • Na barra superior à esquerda, selecione o íco-

ne “Ferramentas” e, na categoria “Ferramentas básicas”, selecione “Ponto”. Em seguida, leve o cursor até o ponto de intersecção dos gráficos das funções f e g e dê um clique. O ponto A aparecerá no plano cartesiano. Volte à janela de “Álgebra”, clicando no ícone da calculadora situado no canto superior esquerdo. c) Quais as coordenadas do ponto A indicadas pelo GeoGebra você obteve? Ele coincide com o ponto cujas coordenadas você calculou no item anterior?

GEOGEBRA 2020

• digite d = 4 e tecle enter;

d) Use os controles deslizantes para alterar os valores dos coeficientes a, b, c e d. Descubra uma combinação de valores que faça com que as retas não se cruzem para nenhum valor de x, isto é, uma combinação de valores que determine retas paralelas não coincidentes. Compartilhe a combinação que encontrar com a turma.

Resposta: Uma possibilidade é a = 4, b = 5, c = 4, d = –5. e) Ao comparar os resultados obtidos no item anterior, levante uma hipótese sobre a relação entre os valores dos coeficientes que tornam retas paralelas.

Resposta: Uma hipótese é a seguinte: Para que as retas sejam paralelas, devem ter a mesma inclinação. Assim, o coeficiente a deve ser igual ao coeficiente c. Para que as retas não tenham nenhum ponto em comum, também não podem ser coincidentes. Por isso, é necessário ter diferentes coeficientes lineares. Neste caso, b ≠ d.

Dando continuidade, aproveite para relembrar os estudantes como determinar o domínio e a imagem de uma função.

Ao abordar valores máximos ou valores mínimos, no estudo da função quadrática, sugere-se apresentar o clássico exemplo de área máxima de retângulos com perímetros constantes: • Considere um retângulo cujo perímetro mede

12 u.c., a largura mede L, o comprimento, C e a área, A. As expressões que definem a largura e a área em função do comprimento são, respectiva12 − 2C mente: L(C) = = 6 − C (função polinomial 2 de 1o grau) e A(C) = C(6 – C)2 = –C2 + 6C (função

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polinomial de 2o grau). Assim, a área máxima des−n te retângulo é dada por: Amáx. (C) = = 9 , em 4a unidades de medida de área.

Nesse momento, aconselha-se que os estudantes construam a tabela e os gráficos dessas funções para fins comparativos.

C

0

1

2

3

4

5

6

L

6

5

4

3

2

1

0

A

0

5

8

9

8

5

0

• José comprou 60 metros de tela para cercar

uma parte do quintal para fazer uma horta. Ele pretende fazer um cercado retangular usando uma das paredes, como mostra a figura a seguir. Para que a área dessa horta seja a maior possível, determine o valor de um dos lados, em metros, desse cercado.

Parede

Horta Largura 7 6 5

Resolução: Chamando de x a medida do lado menor da futura horta, podemos retraçar o esquema:

4 L(C) = 6 · C

3

Parede

2 1 –2

–1

0 –1

1

2

3

4

5

6

7 x

Comprimento

Horta

x

Gráfico da largura em função do comprimento. Área

60 ⋅ 2x

9 8

De acordo com a figura, a lei que relaciona a área A em função da medida do lado x é A(x) = x ⋅ (60 – 2x) ⇒ A(x) = –2x 2 + 60x, ou seja, uma função quadrática que corresponde a uma parábola com concavidade para baixo. O valor de x para que a área desse cercado seja a maior possível é a abscissa do vértice da parábola:

A = C (6 – C)

7 6 5 4 3

−60 = 15 → 15 metros 2 ⋅ ( −2) Veja se eles percebem que a maior área corresponde ao quadrado de lados medindo 15 m.

Havendo possibilidade, se quiser ampliar esse conteúdo, proponha aos estudantes que analisem diferentes figuras geométricas que apresentem o mesmo perímetro (12 unidades de comprimento) e calculem as respectivas áreas. Com isso, eles poderão perceber que, quanto maior o número de lados da figura, maior será a área determinada por ela. xv =

2 1 0

–1 –1

1

2

3

4

5

6

7

8

Comprimento

Gráfico da área em função do comprimento.

Em seguida, contextualize e transforme esse exemplo clássico em uma situação problema como por exemplo:

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Ao iniciar os estudos das inequações, apresente aos estudantes a resolução com base no estudo de sinal das funções polinomiais de 1o e 2o graus porque será importante para solucionarem problemas envolvendo inequação-produto, inequação-quociente e sistemas de inequações tanto de 1º grau quanto de 2o grau.

Neste capítulo é possível criar possibilidades de integração com outra área do conhecimento, como a Física. A função quadrática, por exemplo, está envolvida na análise dos movimentos uniformemente variados (MUV) uma vez que a expressão que relaciona a posição de um móvel em função do tempo a ⋅ t2 é dada por s = s0 + v 0 ⋅ t + , em que s é a posição; s 0 é a posição inicial; v0 é a velocidade inicial; t é o 2 tempo (instante), e a é a aceleração.

Com base nessa equação, pode-se determinar o instante em que um móvel em MUV muda de sentido ou, também, a altura máxima atingida no lançamento de um projétil.

Um recurso interessante, que poderá servir para a realização de uma atividade que envolve este assunto, é o simulador de fenômenos físicos do projeto PhET disponível em: <http://ftd.li/8u86if>.

(Após acessar o simulador, clique no ícone “Lab”.)

PHET INTERACTIVE SIMULATIONS UNIVERSITY OF COLORADO BOULDER HTTPS://PHET.COLORADO.EDU

O emprego de simulador pode desenvolver a competência geral 2 da BNCC: “Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. Essa competência trata do desenvolvimento do raciocínio, que deve ser feito por meio de várias estratégias, privilegiando o questionamento, a análise crítica e a busca por soluções criativas e inovadoras.”

Referências • BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Base Nacional Comum Curricular.

Brasília: MEC/SEB, 2018.

Sites • Unesco: <https://pt.unesco.org/fieldoffice/brasilia> • Grupa Mathema: <www.mathema.com.br> • Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas: <www.obmep.org.br> • Sociedade Brasileira de Educação Matemática: <www.sbembrasil.org.br> • Illuminations (em inglês): <illuminations.nctm.org> Softwares • GeoGebra: <http://ftd.li/i36hte> • Projeto PhET: <http://ftd.li/8u86if>

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VOLUME 4

Funções definidas por mais de uma sentença e função modular

Objetivos: Carga horária sugerida 15 horas

• Reconhecer quando uma função é definida por mais de uma sentença.

• Determinar a expressão matemática que relaciona uma função definida por várias sentenças, e vice-versa.

• Expressar ou relatar como uma função definida por várias sentenças tem relação com situações cotidianas.

• Calcular o módulo de um número real.

• Relacionar as propriedades do módulo de um número real com situações diversas.

• Reconhecer situações em que o módulo de uma função pode ser usado para modelar situações do dia a dia.

• Determinar o gráfico de uma função modular com base em sua expressão, e vice-versa.

Planejamento de aulas do capítulo BNCC

Aula

1 2 3

EM13MAT404

EM13MAT404

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Descrição • Abertura • Funções definidas por mais de uma sentença • Desenvolvendo habilidades − Consumo de água • Eu no mundo − Consumo de energia • Pratique: 1 a 5 • Aprofunde: 1 a 4 • Caderno mais: XXX • Enem em foco • Caderno mais: XXX • Módulo, equações e inequações modulares (até Exercício resolvido) • Pratique: 6 a 14 • Aprofunde: 5 e 6 • Equações modulares • Investigação − Aumento do nível do mar • Investigação − Desvio médio • Pratique: 15 a 22 • Aprofunde: 7 a 10 • Inequações modulares • Caderno mais: XXX • Pratique: 23 a 31 • Aprofunde: 11 a 13 • Função modular • Exercícios resolvidos • Caderno mais: XXX • Investigação − Alterações em gráficos de funções modulares • • • •

Pratique: 32 a 41 Aprofunde: 14 a 18 Orientações para realização da seção Diálogos BNCC Orientações para realização da seção Projeto pessoal

Funções definidas por mais de uma sentença e função modular | volume 4

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SOBRE O CONTEÚDO Alguns assuntos tratados nesse capítulo têm aplicações em outras áreas e podem ser explorados de maneira interdisciplinar, como o caso da primeira questão da abertura, que pode contar com a participação de um professor de História ou Geografia.

Além disso, como o assunto predominante do capítulo é função, é interessante que os estudantes possam fazer uso de recursos digitais para melhor compreensão dos conceitos explorados, por exemplo, o GeoGebra.

Os boxes e as seções deste capítulo foram construídos de modo a dar autonomia e protagonismo aos estudantes. Assim, eles serão incentivados a explorar, experimentar e colocar em prática os conteúdos estudados.

As funções são parte importante no estudo e aprendizagem da Matemática e também para a leitura e interpretação de informações em outras áreas do conhecimento, como Física, Química, Biologia e Geografia. É importante que o estudo das funções seja desenvolvido respeitando o processo de aprendizagem dos estudantes e reforçado com aspectos históricos, de modo que eles compreendam que os conceitos matemáticos foram desenvolvidos gradualmente com o passar do tempo, de maneira não encadeada, sofrendo também a influência das necessidades que surgiam.

A seguir, destacamos um pequeno trecho de um texto que retrata de maneira simples parte do processo de desenvolvimento do conceito de função e pode ser usado para complementar o estudo do tema.

Múltiplos significados para as funções Desenvolvimento histórico [do conceito de função] A noção de função surgiu como o instrumento matemático indispensável para o estudo quantitativo dos fenômenos naturais, iniciado por Galileu (1564-1642) e Kepler (1571-1630). O estudo da natureza pedia uma linguagem matemática apropriada. O estudo do movimento da queda dos corpos, do movimento dos planetas e dos movimentos

curvilíneos impulsionou o desenvolvimento do conhecimento matemático relativo às funções. A noção de função está associada na sua origem à noção de lei natural.

Assim, o conceito de função, historicamente, tem significado de modelo para um fenômeno real, uma relação especial entre as grandezas variáveis que constituem um acontecimento natural ou das ciências experimentais. […]

Em 1837, Dirichlet separou o conceito de função da sua representação analítica, formulando-os em termos de correspondência arbitrária entre conjuntos numéricos. Uma função é uma correspondência entre duas variáveis, tal que a todo valor da variável independente se associa um só valor da variável dependente. O termo “variável”, no entanto, nada tem a ver com grandezas físicas, é apenas um símbolo.

No século XX, com o desenvolvimento da Teoria dos Conjuntos iniciada por Cantor, a noção de função passa a referir correspondências arbitrárias entre quaisquer conjuntos, numéricos ou não. O grupo Bourbaki elaborou em 1939 a definição hoje utilizada nos meios matemáticos, para função: “Uma função é uma tripla ordenada (X, Y, f), onde X e Y são conjuntos e f é um subconjunto de X × Y, tal que se (x, y) ∈ f e (x, y’) ∈ f então y = y’.”

Múltiplos significados para as funções.

Disponível em: <http://mat.ufrgs.br/~vclotilde/ disciplinas/laboratorio/texto_funcoes.pdf>.

Acesso em: 19 jul. 2020.

Os textos, os boxes e as seções deste capítulo tratam de temas do cotidiano, importantes para a formação do estudante como cidadão crítico, preparando-o para a vida universitária e também para alguns aspectos da vida profissional, de modo a buscar uma aprendizagem significativa e o reforço do desenvolvimento do letramento matemático.

Nesse sentido, a abertura trata de um tema muito importante na fase adulta e sobre o qual os estudantes já podem ter ouvido falar, tanto durante

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o Ensino Fundamental, no estudo de funções ou mesmo de porcentagem, ou em outros ambientes, como em casa. Nesse texto, então, busca-se explorar uma perspectiva mais social desse assunto, tratando do “para que serve” o Imposto de Renda.

Além disso, cita-se a taxação de grandes fortunas para a problematização da desigualdade social.

O tema da abertura pode ser explorado de maneira interdisciplinar com a participação dos professores de Sociologia e de Geografia, por exemplo.

Se identificar a possibilidade, pode ser proposto um trabalho sobre a cobrança do poder público sobre o bom emprego do dinheiro gasto com impostos.

Na sequência, o tópico “Funções definidas por mais de uma sentença” e o boxe Desenvolvendo habilidades exploram funções definidas por partes do domínio em duas situações contex­tualizadas diferentes e que podem fazer parte do dia a dia das pessoas. É interessante questionar os estudantes

sobre outras situações que eles possam conhecer que também poderiam ser modeladas desse modo.

Mesmo que os dados apresentados por eles não sejam suficientes para montarem expressões, a identificação de situações similares pode ajudar no desenvolvimento da habilidade relacionada, facilitando a compreensão e a resolução das atividades na sequência. Assim, eles podem mencionar, por exemplo, um restaurante self-service que cobra um valor por quilograma até certa massa de comida no prato e, acima desse limite, cobra um valor fixo. Há também estacionamentos que cobram de maneira similar, de modo que, quanto mais tempo o carro fica estacionado, menor o valor médio por hora.

Ao iniciar o conteúdo sobre o módulo, certifique-se de que os estudantes estejam compreendendo o desenvolvimento dos elementos matemáticos apresentados, pois, por ser um conteúdo mais complexo, qualquer lacuna pode dificultar o aprendizado deles.

Sugestão Shutter - Código - 1655487937 Funções definidas por mais de uma sentença e função modular | volume 4

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SOBRE AS SECÇÕES Eu no mundo – Consumo de energia Com relação à vida adulta, a seção trata de faixas de consumo de energia elétrica, que funciona de maneira diferente dos outros contextos trabalhados até o momento, uma vez que o valor médio do kWh fica mais caro a cada faixa, para desincentivar o consumo descontrolado de energia. Esse assunto também pode ser tratado de modo interdisciplinar com as disciplinas de História, de Geografia e de Física, explorando as crises de apagões que ocorreram no país em diferentes momentos.

Eu no mundo – Inflação Nesta seção, o tema tratado também é importante para o estudante em sua formação cidadã e se relaciona com Educação financeira, com as definições de inflação e deflação e alguns exemplos de impactos causados por esses fenômenos econômicos na sociedade. Incentive-os a buscar maiores informações sobre inflação para levar à sala e compartilhar com a turma. Podem ser usados exemplos mais concretos de como a inflação funciona e impacta a vida da população.

isso pode ser interessante no esporte, por saber o que se esperar do atleta, diferentemente do que ocorre com um atleta de desempenho irregular, que pode ser uma surpresa boa ou ruim para a equipe.

Ainda se houver a oportunidade de levar um paquímetro para a sala de aula, pode ser proposta outra atividade prática envolvendo medições, como dos lápis em uma caixa, da largura ou comprimento dos celulares dos estudantes etc.

Investigação – Alterações em gráficos de funções modulares Nesta seção, os estudantes, com auxílio do GeoGebra, serão incentivados a explorar alterações em gráficos de funções modulares. Esse tipo de atividade é muito importante para retomar e reforçar o trabalho anterior com funções compostas, uma vez que permite que se decomponham funções para o esboço da principal, como feito na proposta de atividade da seção e que também será explorado em outras atividades deste capítulo. Além disso, esse tipo de trabalho pode dar mais confiança ao estudante para a resolução de atividades comuns sobre o tema.

Investigação – Aumento do nível do mar Utilizando o exemplo dado sobre o Mar Morto, a seção discute sobre os problemas oriundos do aquecimento global como forma de incentivar a discussão do tema. A seção pode ser ampliada com os professores de Química, de Biologia, de Física e de Geografia com um projeto que elenque os problemas ambientais atuais, os impactos futuros e as formas de frear o aquecimento global.

Investigação – Desvio médio A seção visa dar significado ao estudo do módulo da diferença entre dois números por meio do desvio médio, uma medida de dispersão também estudada em Estatística. Além da atividade proposta na seção, outras práticas e situações podem ser exploradas com os estudantes, se houver a oportunidade. Pode-se explorar, por exemplo, regularidade de desempenho. Para isso, podem-se usar notas de alguns estudantes, sem que haja constrangimentos, ou dados sobre esportes, como número de pontos convertidos por jogo durante um campeonato para verificar qual time teve o desempenho mais regular (menor desvio médio) e explorar o significado disso. Às vezes, mesmo podendo apresentar um desempenho inferior, quando se tem uma regularidade

Materiais complementares • Sugerimos como ferramenta para resoluções gráficas o GeoGebra, que pode ser instalado no computador ou usado on-line: <https://ftd.li/bet7aq>.

• Para fomentar a conversa sobre taxação de grandes fortunas, da abertura do capítulo, pode ser usado o link a seguir: <https://ftd.li/ircjm2>.

Referências • GIRALDO, Victor; RANGEL, Letícia; RIPOLL, Cydara. Livro do Professor de Matemática da Educação Básica: números naturais.v. 1. Rio de Janeiro: SBM, 2016.

• ______. Livro do Professor de Mate­mática da Educação Básica: números inteiros. v. 1. Rio de Janeiro: SBM, 2016.

• HEFEZ, Abramo. Iniciação à aritmética. Rio de Janeiro: IMPA, 2015.

• LIMA, Elon L. A Matemática do Ensino Médio. v. 1. Rio de Janeiro: SBM, 2011.

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VOLUME 5

Função exponencial

Objetivos: Carga horária sugerida 15 horas

• Reconhecer a aplicação de exponenciais no dia a dia.

• Identificar situações cotidianas relacionadas a exponenciais e as modelar.

• Resolver equações exponenciais.

• Representar situações que podem ser resolvidas com base em equações exponenciais.

• Apresentar a solução de uma inequação exponencial.

• Admitir situações que possam ser relacionadas com inequações exponenciais.

• Construir o conceito de função exponencial.

• Interpretar e empregar as notações f(x) = ax, com a > 0 e a ≠ 1, para representar uma função exponencial.

• Construir, ler e interpretar gráficos de funções exponenciais para extrair informações significativas a seu respeito.

• Relacionar a base com o crescimento ou decrescimento da função exponencial.

• Resolver situações-problema em que as funções exponenciais estejam aplicadas a outras áreas do conhecimento.

Planejamento de aulas do capítulo BNCC

EM13MAT304 EM13MAT313 EM13MAT403

Aula

Descrição

1

• • • •

2

• Pratique 4 a 7 • Aprofunde 5 a 8

3

• Pratique 8 a 11 • Aprofunde 9 a 12

4

• Inequação exponencial • Pratique 12 e 13 • Aprofunde 13

5

• Pratique 14 a 16 • Aprofunde 14 e 15

6

• • • • •

7

• Gráfico da função exponencial • Pratique 20 e 21 • Aprofunde 19 e 20

Abertura Equação exponencial Pratique 1 a 3 Aprofunde 1 a 4

Função exponencial Propriedades da função exponencial Boxe Enem em foco 1 Pratique 17 a 19 Aprofunde 16 a 18

Função exponencial | volume 5

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BNCC

EM13MAT304 EM13MAT313 EM13MAT403

Aula

Descrição

8

• Investigação • Boxe Enem em foco 2

9

• Caderno Mais (exercícios referentes ao conteúdo desta aula) • Pratique 22 a 24 • Aprofunde 21 a 23

10

• Aplicações de função exponencial • Pratique 25 a 27 • Aprofunde 24 a 26

11

• Pratique 28 a 30 • Aprofunde 27 a 29

12

• Boxe Enem em foco 3 • Caderno Mais (exercícios referentes ao conteúdo desta aula)

13

• Investigação • Caderno Mais (exercícios referentes ao conteúdo desta aula)

14

• Desenvolvendo habilidades • Caderno Mais (exercícios referentes ao conteúdo desta aula)

15

• Caderno Mais (exercícios referentes ao conteúdo deste capítulo) • Orientações para realização da seção Diálogos * • Orientações para realização da seção Projeto pessoal **

* A seção pode ser trabalhada por qualquer professor da área do conhecimento ou por todos em conjunto. ** A seção pode ser trabalhada por qualquer professor da área do conhecimento ou por todos em conjunto.

SOBRE O CONTEÚDO O volume trata das funções exponenciais, iniciando com o estudo das equações e inequações exponenciais. Caso seja identificada a necessidade, sugere-se fazer uma breve revisão das propriedades das potências e das raízes de números reais, vistas no capítulo 1 desta coleção para que os estudantes relembrem, principalmente, como efetuar cálculos que envolvem potências e radicais. Esse trabalho possibilita avaliar se algum tópico precisa de uma revisão mais detalhada.

As equações exponenciais são apresentadas com exemplos e exercícios resolvidos. Na sequência, são apresentadas as inequações exponenciais, tema que comumente representa alguma dificuldade para os estudantes, mas de fundamental importância para o estudo das funções exponenciais.

A abertura do capítulo proporciona uma justificativa inicial do estudo das funções exponenciais. Desse modo, é importante que o texto e os

questionamentos da abertura sejam uma oportunidade para os estudantes refletirem sobre crescimento exponencial. Para isso, dê tempo para que a turma pense e converse entre si sobre os questionamentos.

No início do texto de abertura, é dito que “O crescimento do número de contaminados em uma pandemia tem caráter exponencial.” Apesar de comumente o crescimento do número de contaminados em uma pandemia ser considerado exponencial, o correto é dizer que esse tipo de crescimento tem caráter exponencial. Quando se diz que a taxa de infectados é exponencial quer-se evidenciar que o crescimento do número de infectados acontece muito rapidamente. Contudo, não é levado em consideração que a taxa se altera com o tempo.

Ao tratarmos esse crescimento como exponencial, estamos desconsiderando o fato de que a taxa de multiplicação dos primeiros termos não muda ao longo do tempo.

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Para ilustrar, vamos comparar duas situações: a primeira em que se tem 10 infectados inicialmente, e a taxa de dobragem de infectados se mantém a cada 4 dias ao longo de todo o evento; e outra situação em que a taxa de dobragem vai aumentando a cada novo ciclo, sendo que no primeiro ciclo temos uma taxa de dobragem 4, no segundo, 5, no terceiro, 6 e assim por diante, diminuindo a aceleração ao longo do tempo.

Quantidade de infectados 2000 1800 1600 1400 1200 1000

No caso do crescimento em que a dobragem se estende ao longo do tempo, representado pela curva verde no gráfico, temos a seguintes quantidades de infectados: Dia 0: 10 infectados; dia 4: 20 novos infectados; dia 9: 40 novos infectados; dia 15: 80 novos infectados; dia 22: novos 160 infectados; dia 30: 320 novos infectados.

Comparando as duas curvas e os valores, observamos que o número de novos infectados em 20 dias, no crescimento exponencial, é alcançado em 30 dias no outro tipo de crescimento. Essa diferença vai ficando cada vez maior ao longo do tempo, uma vez que, no primeiro, a taxa de dobragem não muda, enquanto no segundo, ela se alonga com o tempo.

Seguindo esse mesmo raciocínio, a primeira projeção chegaria a mil novos infectados em aproximadamente 27 dias enquanto levaria aproximadamente dois meses na segunda projeção.

A partir dessas considerações, pode-se conceituar a função exponencial.

O boxe Eu no mundo apresenta um tema interdisciplinar que pode ser desenvolvido com o professor de Ciências da Natureza e suas tecnologias ou de Biologia. No boxe, é citado o crescimento dos lactobacilos, importantes para a saúde do organismo humano. Uma atividade que pode subsidiar o trabalho interdisciplinar é a observação de outro microrganismo probiótico chamado kefir, que é um leite fermentado na presença grãos ricos em bactérias e leveduras cujo crescimento é semelhante ao dos lactobacilos.

800 600 400 200 5

10

15

20

25

30 Tempo (dias)

No gráfico acima, a curva azul representa o primeiro caso, que é um crescimento exponencial, e temos a seguintes quantidades de infectados: Dia 0: 10 infectados; dia 4: 20 novos infectados; dia 8: 40 novos infectados; dia 12: 80 novos infectados; dia 16: 160 novos infectados; dia 20: novos 320 infectados; dia 24: 640 novos infectados e dia 28: 1 280 novos infectados.

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Grãos de kefir sendo cultivados em leite.

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É possível sugerir uma pesquisa sobre os grãos e pedir aos estudantes que apresentem, como resultado, as propriedades desse alimento (como o equilíbrio da microbiota intestinal), a fermentação e a forma de crescimento dos grãos.

Pode-se, também, desenvolver projetos em que os estudantes cultivem grãos de kefir em casa observando o crescimento deles, anotando e apresentando seus resultados. Para cultivar kefir, antes de tudo é necessário adquirir os grãos de kefir — na internet encontram-se vários fornecedores que enviam para todo o país. Depois, os grãos podem ser cultivados no leite para consumo imediato ou guardados em condições especiais por longos períodos — só não podem ser congelados. Geralmente o que se consome é o leite fermentado. Os grãos podem ser ingeridos, mas usualmente são preservados para a produção de mais kefir.

O primeiro boxe Investigação trata do comportamento do gráfico de funções exponenciais.

Traz as diversas posições dessas curvas no plano

cartesiano e propõe a construção de tabela e de gráfico que possibilita aos estudantes relacionar a base do exponencial com o crescimento ou decrescimento da função a fim de resolver situações-problema em que essas funções estejam aplicadas a diferentes áreas do conhecimento.

O segundo boxe Investigação sobre modelo de função exponencial propõe uma atividade de construção de gráfico.

O boxe Desenvolvendo habilidades apresenta a infecção humana pelo zika vírus e favorece o desenvolvimento da habilidade EM13MAT304, da BNCC: “Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais é necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira e o do crescimento de seres vivos microscópicos, entre outros”. O assunto é interdisciplinar, bastante explorado pelos meios de comunicação e tem grande relevância social. Em razão disso, é motivo de preocupação de governos e comunidades em diversos países.

Referências • BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Base Nacional Comum Curricular.

Brasília: MEC/SEB, 2018. Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_ EF_110518_versaofinal_site.pdf>. Acesso em: 31 jul. 2020.

• IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos da Matemática elementar. v. 1: Conjuntos; Funções. São Paulo: Atual, 2013.

• LIMA, E. L. A Matemática do Ensino Médio. v. 1. Rio de Janeiro: SBM, 2016.

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VOLUME 6

Função Logarítmica

Objetivos: Carga horária sugerida 15 horas

• Introduzir o conceito de logaritmo.

• Definir logaritmo.

• Conhecer e aplicar as propriedades de logaritmo.

• Resolver equações e inequações logarítmicas.

• Introduzir função logarítmica.

• Construir e estudar o gráfico da função logarítmica.

• Trabalhar resolução de problemas envolvendo logaritmos.

Planejamento de aulas do capítulo BNCC

EM13MAT305 EM13MAT403

Aula

Descrição

1

• Abertura • Logaritmo

2

• Logaritmo decimal • Boxe Investigação − Análise numérica • Caderno Mais (exercícios referentes ao conteúdo desta aula)

3

• Propriedades • Propriedades operatórias dos logaritmos • Caderno Mais (exercícios referentes ao conteúdo desta aula)

4

• Mudança de base do logaritmo • Pratique: 1 a 13

5

• Aprofunde: 1 a 13 • Caderno Mais (exercícios referentes ao conteúdo desta aula)

6

• Equação logarítmica • Caderno Mais (exercícios referentes ao conteúdo desta aula)

7

• Pratique: 14 a 16 • Aprofunde: 14 a 20

8

• Inequação logarítmica • Pratique: 17 a 26 • Aprofunde: 21 e 22

9

• Função logarítmica • Boxe Investigação − Poluição sonora

10

• Gráfico da função logarítmica • Caderno Mais (exercícios referentes ao conteúdo desta aula)

11

• Pratique: 27 a 37 • Caderno Mais (exercícios referentes ao conteúdo desta aula)

12 13

• Aprofunde: 23 a 30 • Caderno Mais (exercícios referentes ao conteúdo desta aula) • Enem em foco

14

• Boxe Investigação − Mágica dos cartões • Desenvolvendo habilidades − Poluição sonora prejudica a saúde e preocupa especialistas

15

• Orientações para realização da seção Diálogos • Orientações para realização da seção Projeto pessoal

Função Logarítmica | volume 6

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SOBRE O CONTEÚDO A abertura do capítulo apresenta uma notícia relacionada a tremores no Brasil em decorrência de um terremoto na Bolívia, contrariando a ideia de que terremotos não podem ser sentidos por aqui.

Pode-se utilizar esse momento da abertura para fazer relações entre diversas áreas do conhecimento.

Do ponto de vista das Ciências Humanas, pode-se discutir a questão geográfica, sendo uma possível referência o texto de divulgação “Brasil tem, sim, terremotos – e há registro até de tremor com ‘pequenos tsunamis” da BBC Brasil, disponível em: <https://ftd.li/546w32>.

Além disso, o texto de abertura cita dois observatórios nacionais, o Centro de Sismologia da Universidade de São Paulo (USP) e o Observatório Sismológico da Universidade de Brasília (UnB), de forma que outra discussão que pode ser feita é com relação à pesquisa científica na área da Geofísica, em particular, à pesquisa e aos sistemas de monitoramento brasileiros.

Os portais dos observatórios são: Centro de Sismologia da Universidade de São Paulo: <https://ftd.li/yfnnto>.

Observatório Sismológico: <https://ftd.li/ p7o4d6>.

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Uma breve descrição sobre o campo da Geofísica é apresentada no site do Departamento de Geofísica da Universidade de São Paulo, disponível em: <https://ftd.li/8n6ffm>.

Ainda é possível apresentar um gráfico para a observação das intensidades de alguns terremotos mundiais no GeoGebra, disponível em <https://ftd. li/qp5swy>, para que os estudantes tenham noção das diferenças entre os graus da escala Richter.

Entrando no capítulo, vemos uma contextualização histórica da criação do logaritmo, em que a História da Matemática é uma ferramenta valiosa para despertar interesse nos estudantes, tornando o processo de aprendizagem mais significativo.

Observa-se que: A utilização da História da Matemática em sala de aula também pode ser vista como um elemento importante no processo de atribuição de significados aos conceitos matemáticos. É importante, porém, que esse recurso não fique limitado à descrição de fatos ocorridos no passado ou à apresentação de biografias de matemáticos famosos. A recuperação do processo histórico de construção do conhecimento matemático pode se tornar um importante elemento de contextualização dos objetos de conhecimento que vão entrar na relação didática.

A História da Matemática pode contribuir também para que o próprio professor compreenda algumas dificuldades dos alunos, que, de certa maneira, podem refletir históricas dificuldades presentes também na construção do conhecimento matemático.

(BRASIL, 2006, p. 86)

Uma reflexão que se pode colocar nesse momento de contextualização histórica é a da grande contribuição dos avanços na pesquisa matemática para o desenvolvimento da ciência e a noção de que mesmo na área da Matemática o conhecimento foi construído ao longo dos séculos.

Ao introduzir o conceito do logaritmo e suas propriedades, é importante atentar-se às nomenclaturas “base”, “logaritmo” e “logaritmando”, 28

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que costumam causar grande confusão nos estudantes. Como forma de tornar esse conceito mais claro, pode-se reforçar o fato de que o logaritmo é um expoente.

No Boxe Investigação − Análise numérica, define-se a Análise numérica como a área da matemática que estuda métodos que permitem obter soluções numéricas para problemas matemáticos aplicados, quando é de grande dificuldade ou não é possível utilizar métodos analíticos.

Ainda dentro das definições, têm-se as demonstrações das propriedades operatórias dos logaritmos, que são particularmente interessantes para que os estudantes compreendam como as fórmulas foram elaboradas.

Com relação às equações e inequações logarítmicas, evidencie aos estudantes que as resoluções seguem os mesmos passos aprendidos nos volumes anteriores. A diferença são as condições de existência, que devem ser verificadas para que o logaritmo esteja bem definido. A opção por trocar alguns logaritmos por outra incógnita mostra como o conteúdo pode ser compreendido facilmente tendo-se em mente os algoritmos de resolução já vistos.

O conteúdo de inequações pode ser melhor trabalhado depois que os estudantes conhecerem os gráficos de funções logarítmicas. Assim, caso ache mais interessante, o tópico Funções logarítmicas pode ser apresentado antes do tópico de Inequações logarítmicas.

Ainda em inequações, no começo do tópico, em que são apresentados 2 casos para o 2º passo, é possível apresentar, antes de iniciar o conteúdo, uma tabela com logaritmos fáceis para os alunos resolverem, analisarem e compararem as diferenças quando b > 1 e 0 < b < 1.

Para a função logarítmica, a lógica acima também é verificada. Porém, o conteúdo deve ser tratado de forma mais cuidadosa, já que envolve outros elementos, como os gráficos, que tem crescimentos ou decrescimentos infinitos no eixo y. Reforce a ideia vista em funções exponenciais sobre a aproximação do gráfico no eixo y, com a diferença de que, no caso dos logaritmos, a aproximação relaciona-se com a indefinição da função em um ponto do domínio.

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No tópico sobre gráficos, caso ache pertinente, inicie o assunto com uma atividade, dando algumas funções aos estudantes e deixando-os esboçar os gráficos, comparando os gráficos crescentes e os decrescentes. Para finalizar, peça que escrevam suas conclusões sobre como pensam que os gráficos de funções logarítmicas são.

Recomenda-se como material de apoio os seguintes vídeos do PAPMEM do Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA): Programa de Aperfeiçoamento para Professores de Matemática do Ensino Médio – Janeiro/2010 – Professor Elon – Função Logaritmo. Disponível em: <https://ftd.li/vsxw2a>.

Programa de Aperfeiçoamento para Professores de Matemática do Ensino Médio – Julho/2017 – Professor Ledo – Funções exponenciais e logarítmicas. Disponível em: <https://ftd.li/y8jiav>.

Para construção de gráficos, recomenda-se a utilização de softwares on-line de geometria dinâmica, como o GeoGebra, disponível gratuitamente em: <https://ftd.li/99tt4j>.

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No boxe Investigação − Poluição sonora, auxilie os estudantes a encontrar as leis que regulamentam sobre a poluição sonora na cidade deles e elenque os aspectos a serem discutidos que achar mais pertinente. Se achar conveniente, busque por experimentos sonoros que sejam fáceis de serem replicados em sala para que tenham maior contato com o contexto.

No boxe Investigação − Mágica dos cartões, os cartões podem ser substituídos por um baralho. A demonstração do algoritmo encontra-se na referência citada: BARALHO mágico da plataforma de Recursos Educacionais Multimídia para a Matemática do Ensino Médio do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp-SP). Disponível em: <https:// ftd.li/bodwj4>.

No boxe Desenvolvendo habilidades − Poluição sonora prejudica a saúde e preocupa especialistas, acesse o portal do Senado para ler na íntegra o texto com os estudantes. Depois, sem

que haja constrangimentos, pergunte aos estudantes sobre deficiência auditiva e deixe que algum deles com essa deficiência ou que conheça alguém com ela relatar sua vivência, como forma de trazer maior entendimento sobre a discussão. Converse também sobre a importância da Língua de Sinais Brasileira (LIBRAS), a segunda língua oficial do Brasil.

Ressalta-se que o tema deste capítulo pode ser trabalhado interdisciplinarmente com os professores de Geografia e Física no tratamento das intensidades de terremotos e discussão de seus impactos, e dos níveis sonoros na Ondulatória, tanto na perspectiva da poluição sonora (como apresentado no capítulo) como da Música. Além de possibilitar trabalhos com o professor de Química, quando é estudada a escala de pH. Em todos os casos, certifique-se com os professores dessas matérias se os conteúdos abordados nesse volume já foram desenvolvidos com os alunos.

Caso não, podem desenvolver projetos interdisciplinares que auxiliem os estudantes a compreenderem os assuntos mais facilmente.

Materiais complementares • IMPA. Portal do Saber. Disponível em: <https://ftd.li/ov8ey2>.

Site criado pelo IMPA, organizador da OBMEP, com diversos recursos didáticos, videoaulas, listas de exercícios, problemas de olimpíadas etc.

• BRASIL. Ministério da Educação. Portal do Professor. Disponível em: <http://ftd.li/c6o3vv>.

Site com sugestões de planos de aula, mídias de apoio, notícias sobre educação e iniciativas do MEC. • MIGUEL, A. Três estudos sobre História e Educação Matemática. 1993. [285]f. Tese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Educação, Campinas, SP. Disponível em: <https:// ftd.li/zy75am>.

• VALENTE, W. R. Oito temas sobre História da Educação Matemática. REMATEC. Revista de Matemática, Ensino e Cultura (UFRN), v. 8, p. 22-50, 2013. Disponível em: <https://ftd.li/racafo>.

Referências • BOYER, C. B. História da Matemática. Tradução de Elza Gomide. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.

• BRASIL. Orientações Curriculares do Ensino Médio: Ciências da natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC/SEB, 2006. v. 2.

• EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. Tradução de Hygino H. Domingues. Campinas: Editora da Unicamp, 2004.

• MIGUEL, A.; MIORIM, M. A. História na Educação Matemática: Propostas e desafios. Belo Horizonte: Autêntica, 2019.

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