Coleção 10 V - Livro 10 - Matemática - Aluno

FRENTE

A Monumento em homenagem a Nicolai Lobachevsky na Universidade de Kazan, Rússia.

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MATEMÁTICA Por falar nisso Nicolai Lobachevsky (1792 – 1856) foi um matemático russo, nascido na cidade de Níjni Novgorod. Aos 14 anos de idade, ele ingressou na Universidade de Kazan, onde teve contato com grandes mestres vindos da Alemanha. Sete anos depois, tornou-se professor na mesma instituição de ensino em que estudou, ocupando, posteriormente, o cargo de reitor até os últimos dias de sua vida.

Em 1829, Lobachevsky publicou o artigo Os princípios da geometria, que assinalou o nascimento das geometrias não euclidianas.

No referido artigo, o matemático defendeu que o quinto postulado de Euclides não pode ser provado com base nos outros quatro.

Já em 1838, publicou Novos Fundamentos da Geometria. Dois anos depois, escreveu o artigo Investigações geométricas sobre a teoria das paralelas e, em 1855, lançou o livro Pangeometria. Em 1842, Lobachevsky foi eleito para a Sociedade Cientifica de Gottingen.

Contudo, suas descobertas só foram reconhecidas tardiamente.

O mais importante legado deixado por Lobachevsky foi a criação de uma nova geometria totalmente fundamentada na hipótese, contrária à de Euclides, afirmando que “Por um ponto P fora de uma reta r, pode-se traçar mais de uma reta no plano que não encontra r”. Tal afirmação parecia tão contraditória ao senso comum que o próprio matemático a chamou “Geometria imaginária”.

A partir de então, Lobachevsky deduziu uma série de teoremas bem diferentes dos conhecidos da antiga geometria euclidiana, fundamentando uma geometria alternativa à geometria euclidiana sem contradições internas e de resultados surpreendentes, conhecida como Geometria Hiperbólica. Nessa geometria, por exemplo, a soma dos ângulos internos de um triângulo vale menos que 180°.

Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

A17 A18 A19 A20

Inscrição de sólidos – Parte I ........................................................308 Inscrição de sólidos – Parte II .......................................................314 Noções de geometria espacial de posição – Parte I.....................319 Noções de geometria espacial de posição – Parte II....................326

FRENTE

A

MATEMÁTICA

MÓDULO A17

ASSUNTOS ABORDADOS n Inscrição de sólidos – Parte I –

Inscrição e circunscrição de uma esfera n Esfera inscrita e circunscrita a um poliedro n Esfera inscrita em um cubo n Esfera circunscrita a um cubo n Esfera inscrita em um tetraedro regular

INSCRIÇÃO DE SÓLIDOS – PARTE I – INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE UMA ESFERA Johannes Kepler (1571 – 1630) foi um astrólogo, matemático e astrônomo alemão, considerado de extrema importância na revolução científica do século XVII. Sua maior contribuição refere-se à criação das três leis fundamentais da mecânica celeste, denominadas como Leis de Kepler, que forneceram uma das bases para a teoria da gravitação universal de Isaac Newton.

n Esfera circunscrita a um tetraedro regular

As Leis de Kepler são importantes não só para o estudo do movimento dos planetas ao redor do Sol, como também para o movimento de satélites naturais e artificiais ao redor dos planetas. Resumidamente, as três leis de Kepler podem ser assim enunciadas:

n Esfera inscrita em um octaedro regular

Lei das órbitas

n Esfera circunscrita a um octaedro regular n Esfera inscrita em um cone circular reto

Conhecida também como a 1ª Lei de Kepler, a Lei das órbitas diz que o movimento dos planetas ao redor do Sol ou a trajetória dos satélites ao redor dos planetas possui formato elíptico e o corpo orbitado ocupa um dos focos da elipse.

n Esfera circunscrita a um cone circular reto

Lei das áreas

n Esfera inscrita em um cilindro equilátero

De acordo com a Lei das áreas, também denominada como 2ª Lei de Kepler, a linha que liga o centro do Sol ao centro dos planetas “varre” áreas iguais em intervalos de tempo iguais. Com isso, é possível compreender que a taxa de variação da área em função do tempo é constante para todos os planetas.

n Esfera circunscrita a um cilindro equilátero

Lei dos períodos

Figura 01 - Estação espacial em órbita em torno da Terra.

308

Fonte: Shutterstock.com

A Lei dos períodos ou 3ª Lei de Kepler defende que o quadrado do período de revolução (T) dos planetas é diretamente proporcional ao cubo dos raios médios (R) de suas T2 órbitas, ou seja, 3 = constante.

R

Matemática e suas Tecnologias

Na figura a abaixo, temos o modelo do sistema solar idealizado por Johannes Kepler. Neste estudo, ele utiliza inscrição e circunscrição de alguns sólidos geométricos.

Esfera inscrita em um cubo Na figura abaixo, temos uma esfera de raio r inscrita em um cubo de aresta a.

a r

O

Note que, a aresta do cubo é igual ao diâmetro da esfera.

Portanto, temos a seguinte relação: Nesta aula, estudaremos os principais casos envolvendo a inscrição e a circunscrição de uma esfera em outro sólido.

Esfera inscrita e circunscrita a um poliedro

r = a/2

Esfera circunscrita a um cubo Na figura a seguir, temos uma esfera de raio R circunscrita a um cubo de aresta a.

Uma esfera está inscrita em um poliedro se, e somente se, ela tangenciar todas as faces do poliedro. Nesse caso, dizemos que o poliedro está circunscrito à esfera. Na figura a seguir, temos uma esfera inscrita em um cubo.

R

Note que, a diagonal do cubo é igual ao diâmetro da esfera. Portanto, temos a seguinte relação:

Uma esfera está circunscrita a um poliedro se, e somente se, todos os vértices do poliedro pertencerem à superfície da esfera. Nesse caso, dizemos que o poliedro está inscrito na esfera. Na figura a seguir, temos uma esfera circunscrita em um octaedro regular.

R=

a 3 2

Esfera inscrita em um tetraedro regular Na figura a seguir, temos uma esfera de raio r inscrita em um tetraedro regular de altura H. D

A seguir, abordaremos alguns casos nos quais teremos uma esfera inscrita ou circunscrita a um outro sólido. Esses casos são particularmente importantes no estudo da geometria espacial.

H

E rO

A

C

r

M

F B

309

A17  Inscrição de sólidos − Parte I − Inscrição e circunscrição de uma esfera

a

Matemática

Note que, os triângulos DFM e DOE são semelhantes. Portanto, temos a seguinte relação:

H 4

r=

R=

Esfera circunscrita a um tetraedro regular Para obter o raio R da esfera circunscrita no tetraedro regular de altura H, basta notar que a soma dos raios das esferas inscrita e circunscrita nesse tetraedro é igual à sua altura.

Portanto, temos a seguinte relação: R=

Note que o triângulo OEH é retângulo. Portanto, utilizando o teorema de Pitágoras nesse triângulo, temos a seguinte relação a 2 2

Esfera inscrita em um cone circular reto Na figura a seguir, temos uma esfera de raio r inscrita em um cone circular reto de raio da base R, altura h e geratriz g.

V

3H 4

Esfera inscrita em um octaedro regular Na figura a seguir, temos uma esfera de raio r inscrita em um octaedro regular de aresta a.

g

h B

r O

E C

R

A

a G r

D

C O

H B

A

A17  Inscrição de sólidos − Parte I − Inscrição e circunscrição de uma esfera

F

Note que o triângulo OEH é retângulo. Portanto, utilizando as relações métricas nesse triângulo, temos a seguinte relação:

r=

Note que, os triângulos VCA e VOB são semelhantes. Portanto, temos a seguinte relação

a 6 6

r=

Rh R+g

Esfera circunscrita a um cone circular reto Na figura a seguir, temos uma esfera de raio R circunscrita a um cone circular reto de raio da base r e altura h.

V

Esfera circunscrita a um octaedro regular

R O

Na figura a seguir, temos uma esfera de raio R circunscrita a um octaedro regular de aresta a.

C

h R r

A

A

R

a

Note que o triângulo OCA é retângulo. Portanto, utilizando o teorema de Pitágoras nesse triângulo, temos a seguinte relação

O B

310

R2= r2 + (h – R)2

Matemática e suas Tecnologias

Esfera inscrita em um cilindro equilátero r

Na figura ao lado, temos uma esfera de raio r inscrita em um cilindro equilátero de raio da base R.

2R r

Note que a seção meridiana desse cilindro é um quadrado. Portanto, temos a seguinte relação

R

r =R

Esfera circunscrita a um cilindro equilátero Na figura a seguir, temos uma esfera de raio R circunscrita a um cilindro equilátero de raio da base r.

B

A R 2r R r

C

r

D

Note que a seção meridiana desse cilindro é um quadrado. Portanto, temos a seguinte relação

R =r 2

EXEMPLOS 01. Calcule a área total de um cubo inscrito em uma esfera de raio 12 cm.

RESOLUÇÃO A geratriz g desse cone é dada por

RESOLUÇÃO

Observe a figura a seguir

A

a 12

10 a

8-r O

a

r

Nessa figura, a diagonal do cubo de aresta a é igual ao diâmetro 2R da esfera. Portanto, temos a seguinte relação a 3 a 3 ⇒ R= = 24 ⇒ a = 16 3 cm 2 2

A área total (AT) de um cubo de aresta a é dada por

(

)

4 608 cm2 AT = 6a2 = 6 ⋅ 16 3 2 = Portanto, a área total do cubo é 4 608 cm2.

02. Calcule o volume de uma esfera inscrita em um cone reto de raio da base 6 cm e altura 8 cm.

8

D

r

B

6

C

Nessa figura, os triângulos ABC e AOD são semelhantes. Portanto, temos a seguinte relação

r 8 −r = ⇒ 10r = 48 – 6r ⇒ 16r = 48 ⇒ r = 3 cm 6 10 O volume de uma esfera de raio r é dado por

V=

4 3 4 πr ⇒ V = π33 = 36π cm3 3 3

Portanto, o volume dessa esfera é 36π cm3.

311

A17  Inscrição de sólidos − Parte I − Inscrição e circunscrição de uma esfera

g2 = 62 + 82 = 100 ⇒ g = 10 cm

Observe a figura a seguir

a m a de es de lano mais a se-

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Calcule

03. Na figura a seguir, temos uma esfera inscrita em um tetrae-

a) 288π cm3 b) 36π cm2

a) O volume da esfera inscrita no cubo de aresta 12 cm da figura a seguir:

dro regular de aresta 15 cm. Calcule:

a) 5 6 cm

b)

5 6 cm 4

15 12

O r

r

b) A área total da esfera circunscrita ao cubo de aresta 2 3 cm da figura a seguir:

a) A altura do tetraedro regular. b) O raio da esfera inscrita no tetraedro regular.

04. (Unicamp SP) Uma esfera de 4 cm de raio cai numa cavidade cônica de 12 cm de profundidade, cuja abertura tem 5 cm de raio.

5 cm

R

2 3

02. Calcule

12 cm

a) 32π/3 cm2 b) 256π/3 cm2

a) A área total da esfera inscrita no octaedro regular de aresta 4 cm da figura a seguir:

Determine a distância do vértice da cavidade à esfera.

6,4 cm

05. (UFRGS) Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um cilindro circular reto com altura 4r, raio da base r e es-

A17  Inscrição de sólidos − Parte I − Inscrição e circunscrição de uma esfera

4

pessura desprezível, como na figura a seguir.

r O

b) O volume de uma esfera circunscrita ao octaedro regular de aresta 4 2 cm da figura a seguir:

Nessas condições, a razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o volume das esferas é

4 2

R O

a) 1/5 b) 1/4 c) 1/3 d) 1/2 e) 2/3

312

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. (UEPB) Uma esfera de raio 1 cm é inscrita em um cubo. O volume delimitado pela superfície esférica e pelas faces do cubo, em cm3, é 2 a) (6 − π) 3 1 b) (6 − π) 3 4 c) (6 − π) 3 5 d) (6 − π) 3 4 e) (6 + π) 3

a) b) c) d) e)

36 32 24 18 12

2 2 2 2 2

05. (Unifor CE) Uma esfera está inscrita em um cilindro circular reto. Se o volume da esfera é igual a 36π cm³, o volume do cilindro, em centímetros cúbicos, é igual a a) 48π b) 50π c) 54π d) 57π e) 60π 06. (UFRJ) Um cone circular reto de altura H circunscreve duas esferas tangentes, como mostra a figura a seguir. A esfera maior tem raio de 10 cm e seu volume é oito vezes o volume da menor.

e) 8π 03. (Efoa MG) Um paralelepípedo retângulo, inscrito em uma esfera de raio r, tem área igual a 992 cm2. Sabendo-se que suas três arestas são proporcionais a 2, 3 e 5, o valor de r, em cm, é a) 4 38 b) 2 39 c) 3 38 d) 2 38 e) 4 39

H

Determine H.

40 cm

07. (Fatec SP) A interseção de um plano α com uma esfera de raio R é a base comum de dois cones circulares retos, como mostra a região sombreada da figura a seguir

04. (Puc SP) De um cristal de rocha, com o formato de uma esfera, foi lapidada uma joia na forma de um octaedro regular, como mostra a figura a seguir

O

Se o volume de um dos cones é o dobro do volume do outro, a distância do plano α ao centro O é igual a a) R/5 b) R/4 Se tal joia tem 9 2 cm3 de volume, quantos centímetros cúbicos de rocha foram retirados do cristal original para lapidá-la? Use: π = 3

c) R/3 d) 2R/5 e) 2R/3

313

A17  Inscrição de sólidos − Parte I − Inscrição e circunscrição de uma esfera

02. (Mackenzie SP) Um cubo está inscrito numa esfera. Se a área total do cubo é 8, o volume da esfera é 8π a) 3 4π b) 3 16π c) 3 d) 12π

FRENTE

A

MATEMÁTICA

MÓDULO A18

ASSUNTOS ABORDADOS n Inscrição de sólidos – Parte II n Octaedro regular inscrito em um cubo n Tetraedro regular inscrito em um cubo n Pirâmide inscrita em um cubo n Prisma inscrito em um cilindro n Cilindro inscrito em um prisma n Pirâmide inscrita em um cone n Cone inscrito em uma pirâmide n Prisma inscrito em uma pirâmide

INSCRIÇÃO DE SÓLIDOS – PARTE II Pela primeira vez na história, um drone foi utilizado para fazer entrega de uma compra, em substituição ao famoso office boy, funcionário contratado para realizar “serviços de rua” em empresas de diversos segmentos. A inovadora nesse tipo de entrega foi a fast food Domino’s, empresa neozelandesa, do ramo alimentício. O fato ocorreu em novembro de 2016.

A Domino’s utilizou o veículo aéreo não tripulado para entregar pizza a um cliente na Península de Whangaparaoa, ao norte da cidade de Auckland, na Nova Zelândia. De acordo com o diretor da empresa, Don Meij, os drones já estavam prontos para se tornarem peças fundamentais nesse tipo de serviço. “Eles podem evitar engarrafamentos, semáforos e reduzir com segurança a distância e o tempo de entrega, viajando diretamente para as casas dos clientes. Este é o futuro”, afirmou.

Assim, considere que em uma dessas entregas foram utilizadas embalagens na forma de prismas octogonais regulares e que cada um deles contém uma pizza circular que tangencia todas as faces desses prismas. Observe as figuras a seguir:

Pizza Desprezando-se a espessura da pizza e do material usado na embalagem, qual seria a razão entre a medida do raio da pizza e a medida da aresta da base da embalagem?

O raio dessa pizza é o raio da base de um cilindro reto inscrito em um prisma regular de base octogonal.

Nesta aula, abordaremos os principais casos de inscrição entre os sólidos geométricos.

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Figura 01 - Drone fazendo a entrega de uma caixa.

314

Matemática e suas Tecnologias

Octaedro regular inscrito em um cubo Na figura a seguir, temos um octaedro regular de aresta x inscrito em um cubo de aresta a.

Prisma inscrito em um cilindro Na figura a seguir, temos um prisma inscrito em um cilindro.

h

r

Note que os vértices do octaedro regular são centros das seis faces do cubo. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo DFG, temos:

x=

a 2 2

Tetraedro regular inscrito em um cubo

Note que h é a altura do prisma e do cilindro e que o raio r da base do cilindro é o raio da circunferência circunscrita à base do prisma.

Cilindro inscrito em um prisma Na figura a seguir, temos um cilindro inscrito em um prisma.

Na figura a seguir, temos um tetraedro regular de aresta x inscrito em um cubo de aresta a.

Note que as arestas do tetraedro regular são as diagonais das faces do cubo. Assim, temos que:

x=a 2

Pirâmide inscrita em um cubo

Note que h é a altura do prisma e do cilindro e que o raio r da base do cilindro é o raio da circunferência inscrita na base do prisma.

Pirâmide inscrita em um cone Na figura a seguir, temos uma pirâmide inscrita em um cone.

Note que a base da pirâmide é a base do cubo e a altura da pirâmide é a aresta do cubo.

Note que a geratriz g do cone é igual à aresta lateral da pirâmide e que o raio r da base do cone é o raio da circunferência circunscrita à base da pirâmide.

315

A18  Inscrição de sólidos − Parte II

Na figura a seguir, temos uma pirâmide inscrita em um cubo de aresta a.

Matemática

Cone inscrito em uma pirâmide Na figura a seguir, temos um cone inscrito em uma pirâmide.

Prisma inscrito em uma pirâmide Na figura a seguir, temos um prisma inscrito em uma pirâmide.

g H E

G F

D

C

L

K

r A

Note que a geratriz g do cone é igual à aresta lateral da pirâmide e que o raio r da base do cone é o raio da circunferência inscrita à base da pirâmide.

J

I

B

Note que as pirâmides VABCD e VEFGH são semelhantes.

A partir dessa semelhança, podemos relacionar os elementos da pirâmide VABCD e do prisma EFGHLIJK.

EXEMPLOS 01. Na figura a seguir, temos um cone reto inscrito em um cubo de aresta 6 cm.

r

h/2

h

Calcule a razão entre o volume do cilindro e o volume de um dos cones.

RESOLUÇÃO Calcule o volume desse cone.

RESOLUÇÃO

A18  Inscrição de sólidos − Parte II

A base do cone é um círculo de raio R inscrito em um quadrado de lado 6 cm. Assim, temos que: 2R = 6 ⇒ R = 3 cm A altura H do cone é igual à aresta do cubo. Daí, temos que o volume V do cone é dada por:

V=

1 1 ⋅ πR2H= ⋅ π ⋅ 32 ⋅ 6= 18π cm3 3 3

Portanto, o volume do cone é 18π cm3.

02. Uma ampulheta pode ser considerada como formada por 2 cones retos idênticos, unidos pelo vértice, inscritos em um cilindro reto. Observe a figura a seguir:

316

As bases do cone e do cilindro coincidem e possuem o mesmo raio r e a altura de um dos cones é igual à metade da altura do cilindro.

Assim, temos que: O volume V1 do cilindro é dado por:

V1 = πr2h O Volume V2 do cone é dado por: V2 =

1 h πr2h ⋅ πr2 ⋅ = 3 2 6

Logo, a razão é dada por:

V1 πr2h 6πr2h = = = 6 V2 πr2h πr2h 6 Portanto, a razão entre o volume do cilindro e o volume de um dos cones é 6.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Na figura a seguir, temos o tetraedro regular ABCD inscrito em um cubo de aresta 3 dm.

05. (FGV SP) Um octaedro regular está inscrito num cubo de aresta com 4 cm de comprimento, isto é, seus vértices coincidem com o centro de cada face do cubo, como mostra a figura.

A

C

D

B

Para o tetraedro, determine: a) a medida de sua aresta; b) sua área total; c) seu volume.

Gabarito a) 3 2 dm

b) 18 3 dm2

02. Considere um cilindro inscrito em um prisma regular de altura 30 cm, cuja base é um quadrado de lado 8 cm. Calcule a diferença entre os volumes do prisma e do cilindro.

Adote π = 3,14 103,2 cm2 03. Dado um cone reto cuja área total é 96π m2 e raio da base 6 m, calcule o volume da pirâmide de base quadrada inscrita no cone. 192 m3 04. Na figura a seguir, temos um cubo de aresta a inscrito em uma pirâmide quadrangular regular de 6 cm de altura e 3 cm de aresta da base.

c) 9 dm3

O volume do octaedro é a) 64/3 cm3 b) 32/3 cm3 c) 16/3 cm3 d) 8/3 cm3 e) 4/3 cm3 06. Considere um cilindro equilátero inscrito em um cone reto de altura 24 cm e o raio da base 12 cm. Qual o volume desse cilindro? 432π cm3 07. (Ufop MG) Uma pirâmide reta de base quadrada está inscrita num cone reto de raio da base 2 cm.

3 cm

Calcule a área total desse cubo.

24 cm2

A relação entre os volumes do cone e da pirâmide, nesta ordem, é a) π/6 b) π/3 c) π/2 d) 3π/2

317

A18  Inscrição de sólidos − Parte II

6 cm

eo que

Matemática

Exercícios Complementares 01. (UEMG) Observe as figuras.

S3 S1

r = 2 2 cm

S2

g1 = 8cm

g3= 16 cm

30°

Nas figuras acima, tem-se um cilindro circular equilátero (S1), circunscrevendo um cone (S2), e um cilindro circular oblíquo (S3). A razão determinada pelo volume de S3 com a superfície total de S2 é: a)

5 −1 cm 4

c)

5 + 16 cm 4

b)

5 − 1 cm

d)

5 + 16 cm

04. (Acafe SC) Uma pirâmide de base triangular regular reta e um cone reto estão inscritos num cilindro reto, cujo raio da base é r e altura h. A relação entre a altura e o raio do cilindro, para que a diferença entre o volume do cone e da  4π − 3 3  pirâmide seja equivalente a   unidades, é:  12  π− 3 a) r2h = 1 c) rh = 12 π− 3 b) h = d) rh = 1 r 05. (Puc RS) Um cone está inscrito em um paralelepípedo, como na figura. A altura do paralelepípedo é o dobro do lado da base quadrada, de área 400 cm2.

02. (UFRGS) Considere um cubo de aresta a. Os pontos I, J, K, L, M e N são os centros das faces ABCD, BCGF, DCGH, ADHE, ABFE e EFGH, respectivamente, conforme representado na figura abaixo.

H G N E

Então, a razão entre o volume do cone e o do paralelepípedo é a) 16 000 c) 12/π e) π/36 b) 4 000/3π d) π/12

F K L J

M D

C I A B

O octaedro regular, cujos vértices são os pontos I, J, K, L, M e N, tem aresta medindo

A18  Inscrição de sólidos − Parte II

a) a 3

b) a 2

c)

a 3 2

d)

a 5 2

e)

a 2 2

03. (Udesc SC) A base de um cone reto está inscrita em uma face de um cubo e seu vértice está no centro da face oposta.

2π Se o volume do cone é metros cúbicos, a área do cubo 3 (em metros quadrados) é igual a: a) 8 b) 24 c) 16 d) 20 e) 4

318

06. (Unesp SP) Um porta-canetas tem a forma de um cilindro circular reto de 12 cm de altura e 5 cm de raio. Sua parte interna é um prisma regular de base triangular, como ilustrado na figura, onde o triângulo é equilátero e está inscrito na circunferência.

A região entre o prisma e o cilindro é fechada e não aproveitável. Determine o volume dessa região. Para os cálculos finais, considere as aproximações π =3 e 3 = 1,7 . 517,5 cm3

FRENTE

A

MATEMÁTICA

MÓDULO A19

NOÇÕES DE GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO – PARTE I Leia atentamente a tirinha a seguir:

ASSUNTOS ABORDADOS n Noções de geometria espacial de

posição – Parte I

n Noções primitivas n Postulados n Posições relativas entre duas retas no espaço n Posições relativas entre uma reta e um plano n Posições relativas entre dois planos

Disponível em: <https://catiaosorio.files.wordpress.com/2010/05/calvim.jpg>. Acesso em: 12 nov. 2016.

O que está dito na tira sobre Matemática é verdade. Algumas afirmações estudadas pela Matemática são aceitas como verdadeiras, sem nenhum questionamento. Taís afirmações são denominadas postulados (ou axiomas).

A Geometria, juntamente com outras teorias matemáticas, foi organizada de maneira lógica e sequencial pelo matemático grego Euclides de Alexandria. Os fundamentos da Geometria, por exemplo, foram estruturados a partir de elementos que não possuem definição, chamados de entes primitivos e proposições que não possuem demonstração, conhecidos como postulados (ou axiomas).

Nesta aula, abordaremos esses elementos juntamente com alguns conceitos muito importantes de uma parte da Geometria Espacial, denominada Geometria de Posição.

Figura 01 - Fragmento do livro Os Elementos de Euclides.

319

Matemática

Noções primitivas

D E

As noções de ponto, reta e plano são primitivas, isto é, esses elementos não possuem definição. Portanto, sabemos intuitivamente o que eles são e, por isso, são chamados de entes primitivos da Geometria. Nas figuras a seguir, temos a representação usual desses elementos.

C

A

B

r P

Observação

Reta r

Ponto P

Plano

Geralmente, para dar nome a pontos, usamos letras maiúsculas do nosso alfabeto. Para classificar as retas, usamos letras minúsculas. E para nomear os planos, usamos letras gregas.

Os pontos A, B e C pertencem ao plano α. Portanto, eles são coplanares.

Postulados da determinação Dois pontos distintos determinam uma única reta. Observe a figura a seguir:

Vamos considerar plano e reta como conjunto de pontos.

r

B A

Espaço O universo da Geometria de Posição é o espaço. Assim, temos a seguinte definição: “Espaço é o conjunto de todos os pontos”.

Três pontos não colineares determinam um único plano.

Observe a figura a seguir: C

A

Postulados A demonstração de uma lei matemática, normalmente, é feita com base em outras propriedades já demonstradas anteriormente. As primeiras propriedades de uma teoria não possuem propriedades que as justificam. Logo, são aceitas como verdades inspiradas na experiência e observação. Essas propriedades são chamadas de postulados.

A seguir, vamos apresentar os postulados da Geometria Euclidiana.

B

Postulado da inclusão Uma reta que possui dois pontos distintos em um plano está contida nesse plano. Observe a figura a seguir: B

A19  Noções de geometria espacial de posição − Parte I

Postulados da existência Em uma reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos. Observe a figura a seguir:

A

E r C B A

Postulados da divisão Um ponto de uma reta divide-a em duas semirretas opostas, sendo esse ponto a origem das semirretas. Observe a figura a seguir:

D A

Observação Os pontos A, B e C pertencem à reta r. Portanto, eles são colineares.

Em um plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos. Observe a figura a seguir: 320

0

B

  Nesse caso, OA e OB são duas semirretas opostas de origem O.

Uma reta de um plano divide-o em dois semiplanos opostos, sendo essa reta a origem dos semiplanos. Observe a figura a seguir:

Matemática e suas Tecnologias

Retas paralelas r

Dizemos que duas retas r e s são paralelas se, e somente se, existir um plano α que contenha r e s e r ∩ s = ∅. Observe a figura a seguir:

Um plano divide o espaço em dois semiespaços opostos, sendo esse plano a origem dos semiespaços. Observe a figura a seguir:

s//r r

Retas coincidentes Dizemos que duas retas r e s são coincidentes se, e somente se, r ∩ s = r. Observe a figura a seguir:

r s

Postulado da interseção

Retas concorrentes

Se dois pontos planos distintos têm um ponto em comum, então há uma única reta em comum passando por esse ponto. Observe a figura a seguir:

Dizemos que duas retas r e s são concorrentes se, e somente se, r ∩ s = {P}. Observe a figura a seguir:

r r

P s

A

Observação

Por um ponto P, fora de uma reta r, passa uma única reta s paralela à r. Observe a figura a seguir:

Retas reversas Dizemos que duas retas r e s são reversas se, e somente se, não existir um plano α que contenha r e s. Observe a figura a seguir: s

Posições relativas entre duas retas no espaço Considerando as retas r e s e o plano α, podemos ter as seguintes posições relativas entre retas no espaço.

r

321

A19  Noções de geometria espacial de posição − Parte I

Postulado de Euclides

Quando duas retas r e s concorrentes formam entre si um ângulo de 90°, dizemos que elas são perpendiculares. Assim, indicamos por r ⊥ s.

Matemática

Observações

r

Duas retas r e s são denominadas coplanares quando existe um plano α que contenha r e s. Portanto, retas paralelas, coincidentes e concorrentes são coplanares.

Duas retas r e s não coplanares são sempre reversas.

Ângulo entre duas retas reversas Para determinar o ângulo formado pelas retas reversas r e s, procedemos da seguinte maneira: Por um ponto P da reta s, traçamos uma reta r’ paralela à reta r. O ângulo formado pelas retas r e s é, por definição, o ângulo formado pelas retas reversas r e s. Observe a figura a seguir:

Reta secante ao plano Dizemos que uma reta r é secante a um plano α se, e somente se, r ∩ α = {P}. Observe a figura a seguir: r

P s P

r’//r r

Observações

Observação Se o ângulo formado por duas retas r e s reversas for igual a 90°, as retas r e s são chamadas de ortogonais.

Uma reta r é perpendicular a um plano α se, e somente se, a reta r for secante ao plano α em P e for perpendicular a todas as retas de α que passam por P. Observe a figura a seguir: r

Posições relativas entre uma reta e um plano Considerando a reta r e o plano α, podemos ter as seguintes posições relativas entre retas no espaço.

A19  Noções de geometria espacial de posição − Parte I

Reta contida no plano Dizemos que uma reta r está contida em um plano α se, e somente se, r ∩ α = r. Observe a figura a seguir:

P

Se uma reta r é secante a um plano α e não é perpendicular a α, dizemos que a reta r e o plano α são oblíquos.

Posições relativas entre dois planos Considerando os planos α e β, podemos ter as seguintes posições relativas entre planos no espaço.

r

Planos paralelos Dizemos que dois planos α e β são paralelos se, e somente se, α ∩ β = ∅. Observe a figura a seguir:

Reta paralela ao plano Dizemos que uma reta r é paralela a um plano α se, e somente se, r ∩ α = ∅. Observe a figura a seguir:

322

Matemática e suas Tecnologias

Observação

Planos coincidentes Dizemos que dois planos α e β são coincidentes se, e somente se, α ∩ β = α. Observe a figura a seguir:

Dois planos α e β são perpendiculares se, e somente se, um deles contiver uma reta perpendicular ao outro. Observe a figura a seguir:

r

Planos secantes Dizemos que dois planos α e β são secantes se, e somente se, α ∩ β = r. Observe a figura a seguir:

Note que o plano α contém a reta r que é perpendicular ao plano β.

r

EXEMPLOS 01. Julgue os itens a seguir certo (C) ou errado (E).

Dois pontos determinam uma reta.

Três pontos distintos determinam um plano.

Três pontos são sempre coplanares Se um ponto P de uma reta r pertence a um plano α, então r está contida em α.

RESOLUÇÃO a) Errado; dois pontos distintos determinam uma reta. b) Errado; três pontos não colineares determinam um plano. c) Certo; dados três pontos colineares ou não, sempre existe pelo menos um plano que os contém. d) Errado, pois P poderia ser o ponto de intersecção de uma reta r secante ao plano α.

02. Julgue os itens a seguir certo (C) ou errado (E). a) Se duas retas r e s do espaço são perpendiculares a uma reta t, então r e s são paralelas entre si. b) Se α e β são planos secantes, então α e β possuem infinitos pontos comuns. c) Se uma reta r é paralela a um plano α, então r é paralela a toda reta contida em α. d) Se o ângulo formado por duas retas reversas for 90°, então essas retas são ortogonais.

RESOLUÇÃO a) Errado, pois r e s podem ser reversas entre si. b) Certo; se α e β são secantes, então eles se interceptam segundo uma reta, ou seja, possuem infinitos pontos comuns. c) Errado; se r paralela a um plano α ela pode ser reversa a várias retas contidas em α. d) Certo; duas retas reversas são ortogonais quando formam um ângulo de 90°.

03. Responda aos itens a seguir: a) b) c) d) e)

Quais são as posições relativas entre duas retas no espaço?

Qual a condição para que duas retas sejam reversas?

Quais são as posições relativas entre dois planos?

Qual é a condição para que uma reta seja paralela a um plano?

Qual é a condição para que uma reta seja perpendicular a um plano?

RESOLUÇÃO

a) b) c) d) e)

Paralelas, coincidentes, concorrentes e reversas.

Não exista plano que as contenha.

Paralelos, coincidentes e secantes.

Não tenham pontos em comum.

Ser perpendicular a duas retas concorrentes do plano.

323

A19  Noções de geometria espacial de posição − Parte I

a) b) c) d)

Matemática Questão 03. Três pontos não colineares determinam um único plano. Em uma mesa de quatro pernas, pode acontecer de uma delas não estar apoiada no mesmo plano em que as outras estão apoiadas. Isso faz a mesa balançar.

Exercícios de Fixação 06. (UEPB) Sejam as afirmativas.

I. Duas retas que não se interceptam são paralelas entre si.

01. Observe a figura a seguir: D

II. III.

t

Duas retas que não se interceptam são reversas entre si.

Se uma reta é perpendicular a uma reta do plano, então ela é perpendicular a esse plano.

IV.

B s r

A

Podemos concluir que

a) apenas I é verdadeira.

a) ∈ b) ∉ c) ⊂ d) ∉ e) ⊄ f) ∈ g) ∈ h) ∈

Complete os espaços com os símbolos ∈, ∉, ⊂, ⊄. a) A ___ r b) B ___ r c) r ____ α d) C ___ α e) t ____ α f) D ____ t g) A ____ s h) B ____ α 02. Responda os itens abaixo. a) Dois pontos distintos

Uma reta e um plano são paralelos. Toda reta perpendicular à reta dada é perpendicular ao plano.

b) Três pontos não colineares

b) apenas II é verdadeira. c) todas são falsas. d) apenas III é verdadeira. e) apenas IV é verdadeira.

07. (Unimontes MG) Observe que, abaixo, temos o desenho de uma gangorra.

D C B

c) Infinitas

F

a) Quantos pontos determinam uma reta? b) Quantos pontos determinam um plano? c) Quantas retas podemos passar por um ponto?

A19  Noções de geometria espacial de posição − Parte I

03. (Unicamp SP) É comum encontrarmos mesas com quatro pernas que, mesmo apoiadas em um piso plano, balançam e nos obrigam a colocar um calço em uma das pernas se a quisermos firme. Explique, usando argumentos de geometria, por que isso não ocorre com uma mesa de 3 pernas?

04. (UniRV GO) Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para as alternativas. F V V V a) Dadas duas retas distintas, existe um plano que contém uma delas e é paralelo à outra reta. b) Se duas retas são reversas, existe um plano que contém uma delas e é paralelo à outra reta. c) Se uma reta é perpendicular a duas retas paralelas distintas de um plano, então, ela está contida nesse plano. d) Se dois planos são perpendiculares a uma reta, então, esses planos são paralelos.

05. (Unimontes MG) Todas as afirmativas abaixo são verdadeiras, exceto. a) Todo plano é um conjunto de pontos.

324

A

E

      Os pares de retas CD e AB , EF e BD , CD e DF são, respectivamente, a) paralelas, reversas e ortogonais. b) perpendiculares, ortogonais e reversas. c) paralelas, reversas e perpendiculares. d) ortogonais, reversas e paralelas.

08. (UFMS) A seguir foram feitas afirmações sobre geometria espacial, assinale a(s) correta(s).

VVVFF

01. Toda reta paralela a dois planos, não paralelos, é paralela à interseção deles.

02. Toda reta que contém dois pontos de um plano pertence a esse plano.

04. A partir de quatro pontos não coplanares, são definidos exatamente quatro planos distintos.

08. Três retas concorrentes num único ponto definem um único plano.

b) Toda reta é um conjunto de pontos.

16. Toda reta perpendicular a duas retas não paralelas

c) Todo plano é um conjunto de retas.

pertence ao plano definido por essas duas retas não

d) Três pontos colineares são coplanares.

paralelas.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. (CFT MG) A figura a seguir representa uma cadeira onde o assento é um paralelogramo perpendicular ao encosto.

B

A

II.

Um plano pode ser determinado por duas retas concorrentes.

III.

Duas retas distintas são paralelas se, e somente se, são coplanares.

IV.

perpendiculares a essa reta.

D

C

Por um ponto de uma reta existem infinitos planos

V.

Se um plano intercepta dois planos paralelos então as interseções destes planos são duas retas paralelas.

E

H

F G

Pode-se afirmar que a) somente as afirmativas I, II e V são verdadeiras.

J

I

b) somente as afirmativas I, IV e V são verdadeiras.

02. (Unirv GO) Em cada afirmação, abaixo, marcar (V) se verdadeira ou (F) se falsa. F V F F a) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela a todas às retas do plano. b) Três retas paralelas e distintas podem ser coplanares ou podem formar três planos. c) Duas retas que possuem um ponto em comum são concorrentes. d) Uma reta e um plano são paralelos. Podemos afirmar que toda reta perpendicular a essa reta é perpendicular ao plano.

03. (Unirv GO) Observe a figura que representa a perspectiva de um cubo ABCDEFGH. A

D

c) somente as afirmativas I, III e V são verdadeiras. d) somente as afirmativas I, II e IV são falsas. e) somente as afirmativas I, III e IV são falsas.

05. (UEM PR) Sobre as posições relativas entre pontos, retas e planos no espaço, assinale o que for correto. ambas.

02. Dados dois planos não paralelos, existe uma reta perpendicular a ambos.

04. Três pontos não colineares determinam um único plano.

08. Se uma reta r é perpendicular a um plano π, então qualquer reta perpendicular a r ou é paralela ao plano π, ou está inteiramente contida nele.

16. Dados uma reta r e um ponto P fora de r, existe um único plano que é perpendicular a r e que contém o ponto P. 06. (Unitau SP) Considere as afirmativas abaixo: I. II. III.

H

F

perpendicular ao outro plano.

G

Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para as alternativas. F V V V a) A intersecção dos planos ADC e BFG é a aresta BC . b) Os vértices A, E, F, G e H são cinco pontos não coplanares. c) O ponto K pertence ao plano da face BFGC. d) Os pontos F, G e K são colineares.

04. (UFAM) Considere as afirmativas a seguir: I. Três pontos distintos não colineares determinam um plano.

Se dois planos são perpendiculares e uma reta de um deles é perpendicular à intersecção, então esta reta é

K

Se dois planos são perpendiculares, então eles são secantes.

C J

Se dois planos são secantes, então eles são perpendiculares.

B

E

FFVVV

01. Dadas duas retas, existe um único plano que contém

IV.

Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles é perpendicular ao outro.

É correto afirmar que a) as afirmativas I e II são corretas. b) as afirmativas III e IV são corretas. c) as afirmativas I e IV são incorretas. d) as afirmativas II e III são incorretas. e) as afirmativas I e III são incorretas.

325

A19  Noções de geometria espacial de posição − Parte I

A partir dos pontos dados, é correto afirmar que os segmentos de retas a) CD e EF são paralelos. b) BD e FJ são concorrentes. c) AC e CD são coincidentes. d) AB e EI são perpendiculares.

FRENTE

A

MATEMÁTICA

MÓDULO A20

ASSUNTOS ABORDADOS n Noções de geometria espacial de

posição – Parte II

n Projeção ortogonal n Distâncias n Ângulo entre uma reta e um plano

NOÇÕES DE GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO – PARTE II Emanoel Alves de Araújo, artista de diversos segmentos, nasceu na cidade de Santo Amaro da Purificação, na Bahia, em 1940. Destacou-se como escultor, figurinista, ilustrador, desenhista, gravador, cenógrafo, pintor, curador e museólogo.

Emanuel foi homenageado diversas vezes pelo trabalho realizado. Em 1972, recebeu medalha de ouro na 3ª Bienal Gráfica de Florença, na Itália. No ano seguinte, foi premiado como melhor gravador e, em 1983, como melhor escultor da Associação Paulista de Críticos de Arte (APCA). Cinco anos depois, passou a lecionar artes gráficas e escultura no Arts College, na The City University of New York. Emanuel é, portanto, um artista de extrema importância para a Arte.

Suponha que na escultura de Emanoel Araújo, mostrada na figura a seguir, todos os prismas numerados em algarismos romanos são retos, com bases triangulares. Além disso, considere que as faces laterais do poliedro II são perpendiculares à sua própria face superior, que, por sua vez, é um triângulo congruente ao triângulo base dos prismas.

Considere ainda que os prismas I e III são perpendiculares ao prisma IV e ao poliedro II.

Fonte: Wikimedia commons

Disponível em: www.escritosriodearte.com.br. Acesso em: julho de 2009

Figura 01 - Mona Lisa, de Leonardo da Vinci. Arte e Matemática se misturando.

326

Assim como no quadro Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, podemos encontrar muita matemática nessa obra de Emanoel Araújo. Imagine um plano paralelo à face α do prisma I, mas que passe pelo ponto P pertencente à aresta do poliedro II, indicado na figura.

Quais figuras planas estão contidas na intersecção desse plano imaginário com a escultura?

Matemática e suas Tecnologias

Para visualizar essas figuras, é necessário ter uma boa visão espacial. Assim, um dos grandes desafios impostos ao bom aprendizado da Geometria Espacial, é fazer com que o aluno desenvolva sua capacidade de “enxergar”, de forma correta, figuras espaciais representadas no plano.

Nesta aula, estudaremos as projeções ortogonais, assunto que irá contribuir de forma significativa no desenvolvimento dessa habilidade.

A B

B’

A’

3º caso: perpendicular ao plano α (plano de projeção) A projeção ortogonal é um único ponto A’ ≡ B’. Observe a figura a seguir:

Projeção ortogonal Considerando um ponto P, um segmento AB , uma figura F e um plano α do espaço, vamos destacar as seguintes projeções ortogonais.

A

Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano

B

Denomina-se projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano α a intersecção do plano α com uma reta r que passa por P e é perpendicular a α. Observe a figura a seguir:

B’

P

Projeção ortogonal de uma figura geométrica sobre um plano P’

Denomina-se projeção ortogonal de uma figura F sobre um plano α o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos da figura sobre esse plano. Observe a figura a seguir:

r

F

Nessa figura, P’ é a projeção ortogonal do ponto P sobre o plano α.

F’

Projeção ortogonal de um segmento sobre um plano

1º caso: paralelo ao plano α (plano de projeção) A projeção ortogonal é um segmento A'B' que tem a mesma medida do segmento AB . Observe a figura a seguir: A

A’

B

B’

Nessa figura, F’ é a projeção ortogonal da figura F sobre o plano α.

Distâncias Considerando um ponto P, as retas r e s e os planos α e β do espaço, temos que: Distância entre um plano e um ponto fora desse plano A distância entre um plano α e um ponto P fora desse plano é a medida do segmento cujos extremos são o ponto e sua projeção ortogonal sobre esse plano. Observe a figura a seguir: P

2º caso: oblíquo ao plano α (plano de projeção) A projeção ortogonal é um segmento A'B' que tem medida menor que a medida do segmento AB . Observe a figura a seguir:

P’

dP, α = PP'

327

A20  Noções de geometria espacial de posição − Parte II

Denomina-se projeção ortogonal de um segmento AB sobre um plano α o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos do segmento sobre esse plano. Para o segmento AB , teremos os seguintes casos:

Matemática

Distância entre um plano e uma reta paralela a esse plano

Distância entre duas retas reversas

A distância entre um plano α e uma reta r paralela a esse plano é a distância entre um ponto qualquer da reta e o plano. Observe a figura a seguir:

A distância entre as retas reversas r e s é a distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira. Observe a figura a seguir: r

P r

P

P’

P’

dr, α = PP'

r’ s

dr,s = PP'

Distância entre dois planos paralelos

Ângulo entre uma reta e um plano

A distância entre dois planos paralelos α e β é a distância entre um ponto qualquer de um deles e o outro. Observe a figura a seguir:

O ângulo entre uma reta r e um plano α é o ângulo agudo formado pela reta e sua projeção ortogonal r’ sobre o plano.

Observe a figura a seguir: P r

P

r’

P’

P’

dα ,β = PP'

EXEMPLOS

A20  Noções de geometria espacial de posição − Parte II

01. Julgue os itens a seguir certo (C) ou errado (E). a) A projeção ortogonal de um segmento de reta sobre um plano é sempre um segmento de reta. b) A projeção ortogonal de um quadrado sobre um plano nem sempre é um quadrado. c) A distância entre dois planos é igual à distância entre uma reta contida em um deles e o outro plano. d) A distância entre um ponto e um plano é igual à distância desse ponto a uma reta qualquer contida nesse plano.

RESOLUÇÃO Observe a figura a seguir: B 10 cm x B’

RESOLUÇÃO a) Errado, pois se o segmento for perpendicular ao plano de projeção, a projeção ortogonal será um ponto. b) Certo, pois se esse quadrado estiver contido num plano perpendicular ao plano de projeção, a projeção ortogonal será um segmento. c) Certo, pois basta tomar um ponto da reta considerada e calcular sua distância ao outro plano. d) Errado, pois essa distância é dada por um segmento cujos extremos são o ponto e a projeção ortogonal desse ponto.

02. Dados os pontos B, C e um plano α, tais que C ∈ α, BC = 10 cm e a projeção ortogonal de BC em α mede 6 cm. Qual a distância entre o ponto B e o plano α?

328

C 6 cm

Sendo B’ a projeção ortogonal do ponto B, e x a distância entre B e α, teremos o triângulo retângulo BB’C. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que: x2 + 62 = 102 ⇒ x2 = 100 – 36 = 64 ⇒ x = 8 cm Portanto, distância entre o ponto B e o plano α é igual a 8 cm.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação  01. (Cescem) Uma reta AB forma um ângulo de 30° com um plano α. Se A ∈ α e AB mede 12 cm, então a distância do ponto B ao plano α é

04. (Fatec SP) O ponto A pertence à reta r, contida no plano α. A reta s, perpendicular a α, o intercepta no ponto B. O ponto C pertence a s e dista 2 5 cm de B. Se a projeção ortogonal de AB em r mede 5 cm e o ponto B dista 6 cm de r, então a

a) 12 cm

distância de A a C, em centímetros, é igual a:

b) 10 cm

a) 9 5

c) 5 cm

b) 9

d) 8 cm

c) 7

e) 6 cm

d) 4

02. (Fuvest SP) Se as projeções ortogonais de um conjunto de retas sobre um plano α são paralelas entre si, então necessariamente as retas do conjunto

e) 3 5 05. (Enem MEC) O acesso entre os dois andares de uma casa é feito através de uma escada circular (escada caracol), repre-

a) são paralelas entre si.

sentada na figura. Os cinco pontos A, B, C, D, E sobre

b) são paralelas ao plano α.

o corrimão estão igualmente espaçados, e os pontos P, A

c) estão contidas em um mesmo plano.

e E estão em uma mesma reta. Nessa escada, uma pessoa

d) estão contidas em planos paralelos.

caminha deslizando a mão sobre o corrimão do ponto A

e) nenhuma das afirmações anteriores é verdadeira.

até o ponto D.

03. (UEAM) O plano β , contendo um triângulo ABC, intersecta

C

E

o plano α , em uma reta r, que contém o lado AB do triângulo, conforme mostra a figura.

B

D

r

B

C A

A P

A figura que melhor representa a projeção ortogonal, so-

si, é correto concluir que a projeção ortogonal dos lados do

bre o piso da casa (plano), do caminho percorrido pela mão

triângulo ABC sobre o plano α está representada em

dessa pessoa é

r

a)

r

d)

a)

d)

b)

e)

A20  Noções de geometria espacial de posição − Parte II

Sabendo que os planos α e β não são perpendiculares entre

B’ B’ C’

C’

A’

A’

r

b)

r

e)

B’ A’

c)

B’ C’

C’

A’

r C’

c)

329

Matemática

Exercícios Complementares 01. (Espcex SP) Considere um plano α e os pontos A, B, C e D tais que – O segmento AB tem 6 cm de comprimento e está contido em α.

– O segmento BC tem 24 cm de comprimento, está contido em α e é perpendicular ao segmento AB. – O segmento AD tem 8 cm de comprimento e é perpendicular a α.

04. (Enem MEC) Um grupo de escoteiros mirins, numa atividade no parque da cidade onde moram, montou uma barraca conforme a foto da Figura 1. A Figura 2 mostra o esquema da estrutura dessa barraca, em forma de um prisma reto, em que foram usadas hastes metálicas.

Nessas condições, a medida do segmento CD é a) 26 cm b) 28 cm c) 30 cm d) 32 cm e) 34 cm

D A

Após a armação das hastes, um dos escoteiros observou um inseto deslocar-se sobre elas, partindo do vértice A em direção ao vértice B, deste em direção ao vértice E e, finalmente, fez o trajeto do vértice E ao C. Considere que todos esses deslocamentos foram feitos pelo caminho de menor distância entre os pontos. A projeção do deslocamento do inseto no plano que contém a base ABCD é dada por: a)

d)

b)

e)

P c)

A20  Noções de geometria espacial de posição − Parte II

Figura 2

Figura 1

03. (UEAM) Considere dois planos paralelos, α e β , um segmento AB e um ponto P, ambos no plano α , com P não pertencente a AB , conforme mostra a figura.

A

C

B

02. (Esc. Naval) Um quadrado ABCD, de lado 4 cm, tem os vértices num plano α. Pelos vértices A e C são traçados dois segmentos, AP e CQ, perpendiculares a α, medindo respectivamente, 3 cm e 7 cm. A distância PQ tem medida, em cm, igual a a) 2 2 b) 2 3 c) 3 2 d) 3 3 e) 4 3

B

E

F

A projeção A'B' do segmento AB e a projeção P’ do ponto P, no plano β , é corretamente representada por a)

d) B’

05. (UECE) Sejam α e β dois planos paralelos, cuja distância entre eles é 4 m, e r uma reta que os intercepta nos pontos A e

P’

A’

P’

A’

B’

B, com A α ∈ e B ∈ β, determinando um segmento AB, cuja medida é 5 m. Nestas condições, a medida, em metro, da b)

e)

B’

A’

P’

B’ A’

P’

projeção ortogonal do segmento AB sobre o plano β é a) 4,5 b) 4,0 c) 3,5

c)

B’

A’

330

P’

d) 3,0

FRENTE

A

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (Uerj RJ) Uma esfera de centro A e raio igual a 3 dm é tangente ao plano α n de uma mesa em um ponto T. Uma fonte de luz encontra-se em um ponto F de modo que F, A e T são colineares. Observe a ilustração F

04. (Uerj RJ) Duas esferas metálicas maciças de raios iguais a 8 cm e 5 cm são colocadas, simultaneamente, no interior de um recipiente de vidro com forma cilíndrica e diâmetro da base medindo 18 cm. Nesse recipiente, despeja-se a menor quantidade possível de água para que as esferas fiquem totalmente submersas, como mostra a figura.

A T

Considere o cone de vértice F cuja base é o círculo de centro T definido pela sombra da esfera projetada sobre a mesa. Se esse círculo tem área igual à da superfície esférica, então, qual é a distância FT ? 8 dm 02. (Uerj RJ) Um cristal com a forma de um prisma hexagonal regular, após ser cortado e polido, deu origem a um sólido de 12 faces triangulares congruentes. Os vértices desse poliedro são os centros das faces do prisma, conforme representado na figura.

Posteriormente, as esferas são retiradas do recipiente. A altura da água, em cm, após a retirada das esferas, corresponde, aproximadamente, a a) 10,6 c) 14,5 b) 12,4 d) 25,0 05. (Unimontes MG) O número de pares de retas reversas que se pode formar, a partir das retas suportes das arestas de um hexaedro, é a) 16 c) 24 b) 8 d) 32

Calcule a razão entre os volumes do sólido e do prisma.

1/4

6 03. (ITA SP) Um cilindro reto de altura cm está inscrito num te3 traedro regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro.

Se as arestas do tetraedro medem 3 cm, o volume do cilindro, em cm3, é igual a π 3 a) 4 π 3 b) 6 π 6 c) 6 π 6 d) 9 π e) 3

06. (Insper SP) A cobertura de uma barraca de praia, feita de lona, é constituída de dois triângulos equiláteros ABC e BCD, com o lado comum BC medindo 4 m. Estando a barraca montada, como representado na figura, os vértices A e D ficam a 1 m do chão, enquanto os vértices B e C ficam a 2 m do chão.

C

B A

D

Nessas condições, quando os raios solares incidirem perpendicularmente ao plano do chão, a área da sombra da barraca projetada no chão, em m2, será a) 4 3 b) 4 11 c) 4 15 d) 8 3 e) 8 11 331

FRENTE

B Moléculas de DNA em cromossomos

MATEMÁTICA Por falar nisso De acordo com os fundamentos da genética, a cor da pele humana é resultado da concentração de um pigmento marrom, chamado melanina, determinado por, no mínimo, dois pares de genes, que indicaremos pelas letras Nn e Bb. Sabe-se que N e B determinam uma grande quantidade de melanina (são os alelos efetivos) e, n e b, uma pequena quantidade (alelos não efetivos).

Nesse sentido, é fácil perceber que as pessoas NNBB serão negras e as nnbb serão brancas e, entre esses dois extremos, teremos os mulatos com suas nuances: escuro, médio e claro. Fazendo todos os cruzamentos possíveis entre um casal de mulatos médios (Nn Bb), teremos os resultados expressos na tabela a seguir: Pai NB Mãe NB

NNBB (negro)

Pai Nb

Pai nB

Pai nb

NNBb NnBB NnBb (mulato escuro) (mulato escuro) (mulato médio)

Mãe NNBb NNbb NnBb Nnbb Nb (mulato escuro) (mulato médio) (mulato escuro) (mulato claro) Mãe NnBB NnBb nnBB nnBb nB (mulato escuro) (mulato médio) (mulato escuro) (mulato claro) Mãe NNBb Nnbb nnBb Nnbb (branco) nb (mulato médio) (mulato claro) (mulato escuro) Note que a proporção entre os fenótipos é a seguinte: n Negro: 1/16 n Mulato escuro: 4/16 n Mulato médio: 6/16 n Mulato claro: 4/16 n Branco: 1/16

Os elementos dessa proporção fenotípica: (1: 4: 6: 4: 1) são os termos localizados na quarta linha de uma tabela chamada triângulo aritmético (ou triângulo de Pascal), constituído de números chamados de binomiais.

Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

B17 B18 B19 B20

Números binomiais ..............................................................................334 Triângulo de Pascal ..............................................................................338 Desenvolvimento do binômio de Newton ..........................................343 Termo geral do binômio de Newton ...................................................347

FRENTE

B

MATEMÁTICA

MÓDULO B17

ASSUNTOS ABORDADOS n Números binomiais n Definição n Binomiais complementares n Igualdade de dois números binomiais n Relação de Stiffel

NÚMEROS BINOMIAIS O Congresso Nacional do Brasil é um órgão federal que tem por objetivos elaborar e/ ou aprovar leis, além de fiscalizar o poder Executivo. Nosso Congresso é bicameral, ou seja, é composto por duas Casas: o Senado Federal - constituído por 81 senadores, que representam as 27 unidades federativas, e a Câmara dos Deputados – formada por 513 deputados federais, que representam o povo. Esse formato bicameral busca equilibrar o peso político das unidades federativas.

No Senado Federal, todas as unidades federativas (Estados e Distrito Federal) possuem o mesmo número de representantes (três senadores), independentemente do tamanho de suas populações. Já na Câmara dos Deputados, o número de representantes de cada unidade federativa varia conforme o tamanho da sua população.

As Comissões Parlamentares de Inquérito (CPIs) atuam como uma das formas de o Poder Legislativo cumprir sua função fiscalizadora. Esse meio de investigação é criado por Ato presidencial para apurar fato determinado, mediante requerimento de pelo menos um terço dos parlamentares. Nesse sentido, de quantas maneiras poderíamos escolher, livremente, oito deputados para compor uma CPI? O número de maneiras de se escolher oito deputados entre os 513 é igual ao número de subconjuntos de oito elementos que podemos formar a partir de um conjunto com 513 elementos, ou seja, é o número de combinações de 513 elementos, tomados 8 a 8. Simbolicamente, temos C513,8 .

Também poderíamos escrever essa e todas as demais combinações simples, utilizando outra notação, denominada números binomiais.

Nesta aula, abordaremos os aspectos iniciais desses importantes números.

Figura 01 - Congresso Nacional, em Brasília (DF).

334

Matemática e suas Tecnologias

Definição

Binomiais complementares

Dados dois números naturais n e p, com n ≥ p, define-se n como número binomial de n sobre p, indicado por   , o p número:

Dois números binomiais de mesmo numerador são complementares se, e somente se, a soma dos seus denominadores for igual ao numerador, ou seja:

n n   e   são complementares se, e somente se, p   q p+q=n

n n!  =  p  p! (n − p )!

n n

O número n é o numerador do número binomial.

O número p é o denominador do número binomial

Note que o número total de combinações de n elementos, tomados p a p, também pode ser representado na forma do número binomial n sobre p, ou seja:

n n!

C= =  n,p  p  p! (n − p )!

Exemplo n

n

8 8 Os binomiais   e   são complementares, pois 3  5 3 + 5 = 8.

9  9 Os binomiais   e   são complementares, pois  5  4  5 + 4 = 9.

Propriedade de dois binomiais iguais Dois binomiais complementares são iguais, ou seja:

Exemplo 7 7!

7! 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4! = = = 35 n =  3 − 3!

7 3 !

3!4!

3 ⋅ 2 ⋅ 1.4! ( )   n

9 9!

9! 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6! = = = 84 =   6  6!( 9 − 6 )! 6!3! 6!⋅ 3 ⋅ 2.1

n  n   =  p n − p Demonstração

 n  n! =  =  n − p  (n − p )! n − (n − p ) !

Casos particulares n

n

Para p = 0, temos: n n! n! = = 1 , para todo n ∈ IN =   0  0! (n − 0 )! 0! n!

Para p = 1, temos:

n ⋅ (n − 1 )! n n! =   = = n , para todo n ∈ IN 1 − 1! n 1 !

1! (n− 1 )! ( )   n

Igualdade de dois números binomiais Dois números binomiais são iguais se, e somente se, possuírem numeradores e denominadores respectivamente iguais, ou quando forem complementares, ou seja:

n n  =   ⇔ p= q ou p + q= n p   q

Para n = p, temos: n n! n! = = n , para todo n ∈ IN =   n  n!(n − n)! n! 0!

Exemplo n

4 4!

4! = = 1 =  0 0!

4 − 0 !

0!

4! ( )  

n

 5 5!

5!

5 ⋅ 4! = = = 5 =  1 − 1!

5 1 !

1!

4!

1!

4! ( )  

n

6 6!

6! = = 1 =   6  6! ( 6 − 6 )! 6! 0!

n n! =   (n − p )! p!  p 

Sendo n ∈ IN, p ∈ IN, q ∈ IN, p ≤ n e q ≤ n.

Exemplo n

8 8   =   ⇔ p = 3 ou p + 3 = 8 ⇒ p = 5, ou seja, p 3 B17  Número binomiais

Sendo:

p = 3 ou p = 5.

335

Matemática

Relação de Stiffel Sendo n ∈ IN, p ∈ IN e p + 1 ≤ n, temos a seguinte relação entre números binomiais, denominada relação de Stiffel.

n  n  n + 1   + =   p p + 1 p + 1 Demonstração n  n  n! n! = +  + =  p   p + 1  p! (n − p )! (p + 1 )! (n − p − 1 )!

n! n! + p! (n − p ) ⋅ (n − p − 1 )! (p + 1 ) ⋅ p! (n − p − 1 )! n! (p + 1 + n − p ) n  n  (p + 1 ) ⋅ n! + (n − p ) ⋅ n! =  + = p p + 1 p! n − p − 1 ! n − p ⋅ p + 1 p! n − ( p − 1 )! (n − p ) ⋅ (p + 1 ) ( )( )( )     n! (1 + n) n  n  (n + 1 ) ⋅ n! =  + = + p p 1 + ⋅ − − − ⋅ + p! n p 1 ! n p p 1 p 1 p! ( ) ( ) ( ) ( ) (n − p ) ⋅ (n − p − 1 )!     n  n    + =  p  p + 1

(n + 1 )! = (p + 1 )! (n − p )!

n +1   p + 1

Exemplo n

9!  8  8 9  + =   = 5! 4! = 126 4 5 5      

EXEMPLOS  5  7  4   9 01. Calcule o valor de S =   +   +   +   . 2 7  0  1  RESOLUÇÃO

5!

7!

4!

9!

5 ⋅ 4 ⋅ 3! 7!

4! 9 ⋅ 8! + + + + + + = S= 2 ⋅ 1 ⋅ 3! 7! 0! 0! 4! 1! 8!

2! 3! 7! 0! 0! 4! 1! 8!

Daí, temos que:

x + 8 = 5x ⇒ −4x = −8 ⇒ x = 2 x + 8 + 5x = 14 ⇒ 6x = 6 ⇒ x = 1

Portanto, x = 1 ou x = 2.

 x −1  x −1 6.

03. Calcule o(s) valor(es) de x na igualdade  + =  1   2  RESOLUÇÃO

S = 10 + 1 + 1 + 9 = 21

B17  Número binomiais

Portanto, S = 21.

 14   14  02. Determine o(s) valor(es) de x na igualdade  =  .  x + 8   5x  RESOLUÇÃO

 14   14    =   ⇔ x + 8 = 5x ou x + 8 + 5x = 14  x + 8   5x 

336

 x −1  x −1 6 , temos: Aplicando a relação de Stiffel em  + =  1   2  x ⋅ ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2)! x x! =6 =6 ⇒  =6 ⇒ 2 ⋅( x − 2)!

2! ( x − 2)! 2 x2 – x = 12 ⇒ x2 – x – 12 = 0 ⇒ x’ = 4 e x” = –3 Portanto, x = 4.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Calcule o valor de cada um dos números binomiais a seguir:  10  a)   3 a) 120

b) 56

8 b)    5 c) 9

9 c)   1 

7 d)   6

d) 7

 100  02. (Unitau SP) O valor do número binomial   é  99  a) 110 c) 99 e) 97 b) 100 d) 98

03. Determine o conjunto solução das equações a seguir: a) S = {3} b) S = {2, 5} c) S = ∅  14   14  a)  =  + + 2x 1 x 4      11   11 

b)  =   x − 1   2x − 3   10   10 

c)  =   2x − 8   x + 9  04. Calcule os valores de x que tornam as igualdades, a seguir, verdadeiras: a) S = {4, 6} b) S = {3}

 9   9   10  a)   +   =   3  4   x  7  7   8  b)   +  =    x   x +1  4 

05. (Vunesp SP) Dados os números m ∈ IN e n ∈ IN: a) 8 b) 135 (n + 1 )! = 9. a) Calcule o valor de n de modo a satisfazer n! m + 1 )! ( 2 b) Sabendo-se que b= ⋅ (m − 4 ) , calcule b137. m (m + 2)! n + 2 06. (FCC SP) A sentença   = 10 é verdadeira se, e somenn  te se, n! for igual a  a) 1 b) 6 c) 18 d) 720 e) 6 ou 720

Exercícios Complementares

 11   x + 3y  03. (ESPM) Os binomiais   e   são complementares  4x   y  e, por isso, são iguais. Seu valor é a) 165 b) 330 c) 55 d) 462 e) 11 n −1  n  n −1 04. (Puc SP) Se   é  = 10 e   = 10, então  p − 1 n − p      p  igual a

a) 40 b) 45 c) 50 d) 55 e) 60 05. (UERN) Considere a seguinte equação:  x + 2   3x + 1   =   2   1 

A partir dessa equação, conclui-se que o número binomial  2x − 1    equivale a  2  a) 3 b) 10 c) 21 d) 60  10   10   11  06. (Unesp SP) Seja n natural tal que   +  =  ,  4  n + 1  4  então

a) n = 5 b) n = 4 c) n = 3 d) n = 2 e) nda

337

B17  Número binomiais

01. (Mackenzie SP) O número de valores de x, para os quais os 6 6 coeficientes binomiais   e  2  sejam iguais, é  2x   x  a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 n + 1   4  7 02. (UEL PR) A solução n da equação  = é um número n −1 2 inteiro múltiplo de    2  a) 11 b) 9 c) 7 d) 5 e) 3

FRENTE

B

MATEMÁTICA

MÓDULO B18

ASSUNTOS ABORDADOS n Triângulo de Pascal n Triângulo de Pascal n Propriedades do Triângulo de Pascal

TRIÂNGULO DE PASCAL A feira, palavra derivada do latim “feria”, que significa dia santo, feriado ou dia de descanso, funciona como um centro de comercialização, representando também um fenômeno sociocultural e econômico. Ela é formada por um aglomerado de pessoas (entre clientes e feirantes) e barracas, oferecendo produtos de diversos tipos, como roupas, sapatos, acessórios, alimentícios, artesanatos etc.

Para alguns historiadores, as feiras surgiram em 500 a.C., em civilizações antigas, como a fenícia, a grega, a romana e a árabe. Contudo, não se sabe, ao certo, quando realmente esse fenômeno social passou a existir. Posteriormente, no fim da Idade Média (entre os séculos XI e XIV), as feiras começaram a ser realizadas, de fato, nas cidades medievais amuralhadas (conhecidas como burgos) e foram se desenvolvendo conforme a intensificação do comércio e, mais adiante, com o surgimento da classe burguesa e do crescimento demográfico. Na era contemporânea, as feiras ainda funcionam de forma satisfatória, mesmo com a existência dos shoppings, lojas em geral e supermercados.

Considere que na barraca de frutas do Sr. João, localizada em determinada feira livre de São Paulo (SP), as laranjas são arrumadas em camadas retangulares, obedecendo à seguinte disposição: uma camada de duas laranjas encaixa-se sobre uma camada de seis; essa camada de seis encaixa-se sobre outra de doze; e assim por diante, conforme a ilustração a seguir.

Figura 01 - Feira livre na cidade de São Paulo (SP).

Qual seria o número total de laranjas em uma pilha composta de quinze camadas?

Para determinar o total de laranjas nessas quinze camadas, devemos utilizar um padrão numérico encontrado por certos números binomiais dispostos em uma tabela, chamada Triângulo de Pascal.

Nesta aula, abordaremos esse triângulo e suas respectivas propriedades.

338

Matemática e suas Tecnologias

Triângulo de Pascal

2ª propriedade

Dentre as várias contribuições que o matemático francês Blaise Pascal (1623 – 1662) deu para a Matemática, na Análise Combinatória, ele deixou um triângulo constituído de números binomiais que leva seu nome.

Observe a linha 7 do triângulo de Pascal a seguir:

(07)(17)(37)(47)(47) (57) (67) (77) 1

7

21

35

35

21

7

1

Linha 0 Linha 1 Linha 2 Linha 3

3ª propriedade O número binomial da linha n e da coluna p é obtido pela soma do binomial da linha n – 1 e coluna p – 1, com o binomial da linha n – 1 e coluna p, ou seja:

n −1  n −1 n  + =   p − 1  p  p

Linha 4

Linha n

Substituindo cada número binomial pelo respectivo valor, teremos: 1 1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

1

6

15

20

15

6

Note que essa propriedade já foi apresentada como relação de Stiffel. Observe o triângulo a seguir: 1 1 1

1 2

1

1 1 1 1

3 4 5 6

3 6 10 15

(13)+(23)=(24) 1 (35)+(45)=(46) 4 1 10 20

5 1 15 6 1

4ª propriedade 1

Propriedades do Triângulo de Pascal A seguir, apresentamos algumas propriedades que podem ser facilmente visualizadas no triângulo de Pascal.

A soma de todos os números binomiais da linha n é uma potência de base 2 e expoente igual a n. Observe o triângulo a seguir: Linha 0 ⇒ 1 ------------------------------------------------- 20 = 1 Linha 1 ⇒ 1 + 1 ----------------------------------------- 21 = 2 Linha 2 ⇒ 1 + 2 + 1 --------------------------------- 22 = 4

1ª propriedade

Linha 3 ⇒ 1 + 3 + 3 + 1 ------------------------- 23 = 8

O primeiro e o último termos de cada linha do triângulo são sempre iguais a 1, pois:

Linha 4 ⇒ 1 + 4 + 6 + 4 + 1 --------------------- 24 = 16

n n   =1 e   =1 0   n

Linha 5 ⇒ 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 ------- - - - - - - 25 = 32 Assim, temos que:

 n  n n  n  n n 2   +   +   +   + ... +   = 0 2 3 4         n 339

B18  Triângulo de Pascal

(00) (01)(11) (02)(12)(22) (03 )(13)(23)(33) (04)(14)(24)(34)(44) (0n)(1n)(2n)(3n)(4n) (nn)

n  n   =  p n − p

...

...

Coluna n

Coluna 2

Coluna 3

Coluna 0 Coluna 1

n Segundo Pascal, cada número binomial   está localizap do na linha n e na coluna p. Observe a figura a seguir:

Dois números binomiais equidistantes dos extremos são iguais, pois trata-se de números binomiais complementares, ou seja:

Matemática

5ª propriedade

6ª propriedade

A soma dos n primeiros termos da coluna p é igual ao termo localizado na linha n + 1 e coluna p + 1. Observe o triângulo de Pascal a seguir:

A soma dos n primeiros termos das diagonais de ordem p é igual ao termo localizado na linha n + p + 1 e coluna p.

Observe o triângulo de Pascal a seguir:

1

1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

1

6

15

20

15

6

1

1

7

21

35

35

21

7

1

Nesse triângulo, note que: n n

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 1 + 4 + 10 + 20 = 35

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

1

6

15

20

15

6

1

7

21

35

35

1

21

7

1

Nesse triângulo, note que: n

1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35

Daí, temos que:

Assim, temos que:

p p + 1 p + 2 p + 3 n n + 1   + + +  + ... +   =   p  p   p   p  p p + 1

 n n + 1 n + 2 n + 3 n + p n + p + 1  + + +  + ... +  =   0  1   2   3   p   p 

EXEMPLOS 8 8 8 8 8 01. Calcule o valor de S =   +   +   +   + ... +  . 0 1  2 3 8 RESOLUÇÃO Observando as parcelas, note que se trata da soma de todos os binomiais da linha 8 do triângulo de Pascal. Daí, temos que: S = 28 = 256

 10  10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7! = 120 S= =  =  3  3! 7! 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 7!

Portanto, S = 120.

 4   5 6   7 9 03. Calcule o valor de S =   +   +   +   + ... +  .

0 1 2 3          5

B18  Triângulo de Pascal

Portanto, S = 256.

RESOLUÇÃO

2 3  4   5 9 02. Calcule o valor de S =   +   +   +   + ... +  .

2 2 2 2         2 RESOLUÇÃO Observando as parcelas, note que se trata da soma dos 8 primeiros binomiais da coluna 2 do triângulo de Pascal. Daí, temos que:

340

Observando as parcelas, note que se trata da soma dos 6 primeiros binomiais da diagonal 4 do triângulo de Pascal. Daí, temos que:

 10  10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5! = 252 S= =  =  5  5! 5! 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 5!

Portanto, S = 252.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação

a) 511

b) 1 024

c) zero

 11   11   11   11  b)   +   +   + ... +   0 2 4  10   10   10   10   10   10  c)   −   +   −   + ... +   0 1 2 3          10 

03. (Unimontes MG) A soma dos elementos de uma linha do triângulo de Pascal, de numerador n, é 256. O valor de n é a) 8 b) 9 c) 7 d) 6 04. (FGV SP) As saladas de frutas de um restaurante são feitas misturando pelo menos duas frutas escolhidas entre: banana, laranja, maçã, abacaxi e melão. Quantos tipos diferentes de saladas de frutas podem ser feitos, considerando apenas os tipos de frutas e não as quantidades? a) 26 b) 24 c) 22 d) 30 e) 28 05. (Unifor CE) Sobre as sentenças I. II. III.

 50   50   =   32   18   20   20   20   20  20 2   +   +   + ... +   = 0 1 2  20   12   13   14   32   33    +   +   + ... +   =    12   12   12   12   13 

é correto afirmar que a) somente I é verdadeira. b) somente II é verdadeira. c) somente III é verdadeira. d) somente I e II são verdadeiras. e) I, II e III são verdadeiras.

Linha 0

1

Linha 1

1

1

Linha 2

1

2

1

Linha 3

1

3

3

1

Linha 4

1

4

6

4

1

Linha 5

1

5

10

10

5

1

Linha 6

1

6

15

20

15

6

1

Linha 7

1

7

21

35

35

21

7

1

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Coluna 7

Coluna 6

Coluna 5

Coluna 4

Coluna 3

06. (UFRGS) Considere a configuração dos números dispostos nas colunas e linhas abaixo.

Coluna 2

c) 252

Coluna 0

b) 495

O número localizado na linha 15 e na coluna 13 é: a) 15 b) 91 c) 105 d) 120 e) 455 07. (Enem MEC) Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.

1

1

1

2

1

1

2

3

2

1

2

3

4

3

2

1

...

Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas. A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo? a) 9 b) 45 c) 64 d) 81 e) 285

341

B18  Triângulo de Pascal

02. Calcule o valor das somas a seguir: 9 9 9 9 a)   +   +   + ... +   1  2 3 9

a) 128

Coluna 1

01. Calcule o valor das somas a seguir:  7 7 7 7 a)   +   +   + ... +   0 1  2 7 3  4   5  11  b)   +   +   + ... +   3  3  3 3  5 6 7  10  c)   +   +   + ... +   0 1 2       5

Matemática

Exercícios Complementares 01. (UEG GO) O triângulo de Pascal é uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como segue:

7 7  7 7 04. (Mackenzie SP) O valor de   +   +   + ... +   é: 2 3  4  7

a) 128 b) 124 c) 120 d) 116 e) 112 05. (Mackenzie SP) O “Triângulo Aritmético de Pascal” é uma tabela, onde estão dispostos, ordenadamente, os coeficienn tes binomiais   , conforme representado abaixo. p

linha 1

Um elemento desse triângulo é dado pela combinação de n elementos tomados p a p. Por exemplo: C4, 2 = 6 (linha 4 e coluna 2). Marque a alternativa incorreta: a) C7, 3 = C7, 4 b) C2, 2 + C5, 3 = C4, 2 + C6 ,1 c) C6, 2 + C6, 3 = C7, 3 d) C6, 0 + C6, 1 + … + C6, 6 = 26 e) C0, 0 + C1, 0 + C2, 0 + … + Cn, 0 = n + 1 02. (UECE) O quadro numérico a seguir é conhecido como o triângulo de Pascal-Tartaglia: 1a linha 2a linha 3a linha 4 a linha: 5a linha:

1 1 1 1 1

1 2

3 4

1 3

6

1 4

1

6a linha: 1 5 10 10 5 1 .........................................................................................

e assim sucessivamente.

B18  Triângulo de Pascal

Observando a lógica construtiva do quadro anterior, podemos concluir que a soma do segundo elemento da 2009ª linha com o penúltimo elemento da linha imediatamente anterior é a) 4 015 b) 4 017 c) 4 019 d) 4 021 03. (FGV SP) O total de maneiras de distribuirmos n objetos diferentes em duas caixas diferentes de forma que nenhuma delas fique vazia é igual a a) 2n – 1 d) 2n – 2 n–2 b) 2 e) 2n c) 2n – 1

342

linha 2

0   0  1  1       0  1 

 2  2 2        0  1   2  3  3 3 3 linha 4          0  1   2  3

linha 3

..........

.........................

Sendo Si a soma dos elementos de uma linha i qualquer, consideradas n linhas, a soma S1 + S2 +… + Sn é igual a a) 2n – 1 b) 2n – 1 c) 2n d) 2n + 1 e) 2n + 1 06. (UFSE) O quinto termo da sequência n + 1 n + 1 n + 1 n + 1  ,  ,   , ...,   é igual a 126, então o  0   1   2  n + 1 número n é a) ímpar. b) menor que 6. c) um cubo perfeito. d) divisível por 5. e) múltiplo de 3.

07. (IME RJ) O valor da soma abaixo é:  2016   2017   2018   2019   2020   2016   + + + + +   5   5   5   5   5   6   2020 

a)    6   2020 

b)    7 

 2021 

c)    5   2021 

d)    6 

 2022 

e)    5 

FRENTE

B

MATEMÁTICA

MÓDULO B19

DESENVOLVIMENTO DO BINÔMIO DE NEWTON No terceiro trimestre de 2017, as vendas de aparelhos celulares no Brasil registraram queda de 2%, se comparado ao mesmo período do ano anterior. De acordo com a IDC, empresa de pesquisa de mercado, isso ocorreu, em parte, devido ao fim dos saques de contas inativas do FGTS – Fundo de Garantia do Tempo de Serviço, assim como ao adiamento de compras dos consumidores. As vendas de telefone móvel somaram 12,4 milhões de unidades, entre julho e setembro, ante 12,8 milhões no segundo trimestre de 2017, ainda conforme divulgação da IDC.

ASSUNTOS ABORDADOS n Desenvolvimento do binômio de

Newton

n Somatório n Desenvolvimento do binômio de Newton

Assim, suponha que Marcelo, na sua imensa vontade de comprar seu primeiro celular, investiu R$ 1.000,00 em uma aplicação bancária que rendeu juros compostos de 1% ao mês, por 100 meses seguidos. Decorrido esse prazo, ele resgatou integralmente a aplicação. O montante resgatado por ele é suficiente para comprar um celular que custa R$ 2.490,00 à vista?

Já sabemos que o montante M a juros compostos gerado por essa aplicação é dada por: 100 1   M = 1 000  1 +   100  É possível avaliar se esse valor é maior que R$ 2.490,00 sem o uso de máquinas de calcular. Para isso, basta desenvolvermos (três termos apenas) da expressão numérica 100 1   + 1   , denominada binômio de Newton.  100 

Figura 01 - O uso do celular é bastante comum até mesmo durante o trabalho.

343

Matemática

Somatório O somatório é um operador matemático que nos permite representar facilmente somas de grandes quantidades de termos, ou até de infinitos termos. É representado com a letra grega sigma Σ, sendo definido por: k

∑ f(n) =

f(i) + f(i + 1) + ... + f(k − 1) + f(k)

n=i

Nessa expressão, a variável n é o índice do somatório que indica o valor inicial i, chamado de limite inferior e percorre todos os números naturais até alcançar o valor final k, chamado de limite superior.

Exemplo n

A representação da soma dos oito primeiros números naturais é dada por: 7

∑n =0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

n=0

n

A representação da soma dos quadrados dos cinco primeiros números naturais positivos é dada por: 5

∑n

2

=12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55

n =1

Desenvolvimento do binômio de Newton Denomina-se binômio de Newton a todo binômio escrito na forma (a + b)n, com o expoente n ∈ IN, tratando-se de uma aplicação importante dos números binomiais. Na tabela a seguir, vamos apresentar o desenvolvimento dos binômios de Newton, tais que 0 ≤ n ≤ 6.

B19  Desenvolvimento do binômio de Newton

Binômio de Newton

344

Desenvolvimento

Coeficientes de cada termo

(a + b)0

1

0   0

(a + b)1

1.a + 1.b

 1  1      0  1 

(a + b)2

1.a2 + 2.a.b + 1.b2

 2  2  2       0  1  2 

(a + b)3

1.a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + 1.b3

 3  3  3  3        0  1  2  3 

(a + b)4

1.a4 + 4.a3.b + 6.a2.b2 + 4.a.b3 + 1.b4

 4  4  4  4  4         0  1  2  3  4 

(a + b)5

1.a5 + 5.a4.b + 10.a3.b2 + 10.a2.b3 + 5.a.b4 + 1.b5

 5  5  5  5  5  5          0  1  2  3  4  5 

(a + b)6

1.a6 + 6.a5.b + 15.a4.b2 + 20.a3.b3 + 15.a2.b4 + 6.a.b5 + 1.b6

 6  6  6  6  6  6  6           0  1  2  3  4  5  6 

Matemática e suas Tecnologias

De acordo com essa tabela, é possível concluir que no desenvolvimento de (a + b)n, com n ∈ IN: n n n n

teremos n + 1 termos; as potências de a decrescem, da esquerda para a direita, de n até zero, e as potências de b crescem, da esquerda para a direita, de 0 até n; em qualquer termo, a soma dos expoentes de a e b é igual a n; os coeficientes de cada um dos n + 1 termos são os elementos da linha n do triângulo de Pascal e, consequentemente, são chamados de coeficientes binomiais.

De maneira geral, portanto, o desenvolvimento do binômio (a + b)n é dado por:

(a + b)

n

n  n  n  n  1 n−1  n  0 n =   ⋅ an ⋅ b0 +   ⋅ an − 1 ⋅ b1 +   ⋅ an − 2 ⋅ b2 + ... +   ⋅ a ⋅b +   ⋅ a ⋅b 0 1 2       n − 1 n

Também podemos expressar esse desenvolvimento, mais resumidamente, por meio de um somatório, ou seja: n

n

p=0

 

( a + b )= ∑   ⋅ an − p ⋅ bp p n

Para o desenvolvimento de (a – b)n, com a > 0, teremos:

( a − b ) = [a + (−b)]

n

n

n  n  n  n  1 n 0 0 1 2 n−1 n =   ⋅ an ⋅ ( −b ) +   ⋅ an−1 ⋅ ( −b ) +   ⋅ an−2 ⋅ ( −b ) + ... +   ⋅ a ⋅ ( −b ) +   ⋅ a ⋅ ( −b ) 0  1 2 n − 1 n

Exemplo n

(2x + 3y )

4

n

(2x + 3y )

4

n

(2x + 3y )

4

4 4  4 4 4 4 0 3 1 2 2 1 3 0 4 =   ⋅ ( 2x ) ⋅ ( 3y ) +   ⋅ ( 2x ) ⋅ ( 3y ) +   ⋅ ( 2x ) ⋅ ( 3y ) +   ⋅ ( 2x ) ⋅ ( 3y ) +   ⋅ ( 2x ) ⋅ ( 3y ) 0 1 2 3 4           = 1 ⋅ 16x 4 ⋅ 1 + 4 ⋅ 8x 3 ⋅ 3y + 6 ⋅ 4x 2 ⋅ 9y2 + 4 ⋅ 2x ⋅ 27y3 + 1 ⋅ 1 ⋅ 81y 4

= 16x 4 + 96x 3 y + 216x 2 y2 + 216xy3 + 81y 4

EXEMPLOS 01. Calcule cada uma das somas a seguir:

∑(2n + 1)

A expressão dada é o desenvolvimento do binômio (a + b)5. Daí, temos que: 5 1 024 ⇒ a + b = 4 (a + b)5 = 1 024 ⇒ a + b =

n =1

b)

6

6

i= 0

 

Daí, temos que:

∑ n 

(a + b)

3

RESOLUÇÃO a)

5

∑(2n + 1) =(2 ⋅ 1 + 1) + (2 ⋅ 2 + 1) + (2 ⋅ 3 + 1) + (2 ⋅ 4 + 1) + (2 ⋅ 5 + n =1

1) = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35 6 6 6  6 6 6 6  6 6 26 = 64 b) ∑   =   +   +   +   +   +   +   = i= 0  n  0  1  2 3  4   5 6  02. Sabendo que  5  5  5 5 a5 +   ⋅ a4b +   ⋅ a3b2 +   ⋅ a2b3 +   ⋅ ab4 + b5 = 1 024, calcule o 1 2 3       4 3 valor de (a + b) .

RESOLUÇÃO

=43 =64

Portanto, (a + b)3 = 64.

B19  Desenvolvimento do binômio de Newton

a)

5

03. Represente os binômios a seguir na forma de somatório: a) (x + 2y)5 b) (x2 – 5)6 RESOLUÇÃO

+ b) Sabemos que ( a= n

a) b)

5

 5

p=0

 

n

n

p=0

 

∑ p  a

n−p

⋅ bp . Assim, temos que:

( x + 2y ) = ∑   ⋅ x 5 − p ⋅ (2y ) p 5

(x

2

p

− 5)=  x 2 + ( −5)  = 6

6

6

6

p=0

 

∑ p  ⋅ ( x )

2 6−p

⋅ ( −5)

p

345

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Calcule o valor de cada um dos somatórios a seguir: a)

6

∑ n ⋅ (n + 1 )

b)

n=3

8

8

n =1

 

a) 104

∑0

b) 257

02. Desenvolva os seguintes binômios: a) 16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x + 1 b) x5 – 10x4y + 40x3y2 – 80x2y3 + 80xy4 – 32y5

a) (2x + 1)4 b) (x – 2y)5 03. Calcule o valor de:

(

a) 1 + 2

a) 7 5 2

(

3

06. (UFU MG) O valor de m tal que

 m m! , é igual a  =  p  p! (m − p)!

b) 28 16 3

)

a) 1014 b) 1012 c) 1010 d) 108 e) 106

b) 1 − 3

)

4

04. Qual é a soma de todos os coeficientes numéricos do desenvolvimento de (3x – y)9? 512 05. (PUC PR) O valor da expressão 1034 – 4 ⋅ 1033 ⋅ 3 + 6 ⋅ 1032 ⋅ 32 – 4 ⋅ 103 ⋅ 33 + 34 é igual a

m

 m

p=0

 

∑p  ⋅2

p

729 onde =

a) 14 b) 6 c) 9 d) 7 e) 8 07. Calcule o valor dos seguintes somatórios: a)

8

8

p=0

 

∑p  ⋅2

8 −p

⋅ 3p

b)

9

9

p=0

 

a) 58

∑p  ⋅5

9−p

b) 39

⋅ (−2)p

Exercícios Complementares 01. Calcule o valor de cada um dos somatórios a seguir: ∞ 1 a) ∑ n 2 n =1 b)

7

a) 1

∑ log10

n

n=3

02. Desenvolva os seguintes binômios: 3 3 1 a) x3 + 3 + 3 6 1  x x a)  x + 2  x  

1  b)  x 2 −  x 

b) x8 – 4x5 + 6x2 –

4

(

) ( 5

B19  Desenvolvimento do binômio de Newton

03. (Cefet PR) A expressão 5 − 5 − 5 + 5 a) 0 b) −2 5 c) −800 5 d) −8800 5 e) −8 ⋅ 511 5 04. (FGV SP)

10

346

 10 

∑ k  ⋅3 k =0

a) 59 b) 510 c) 610 d) 69 e) 105

4 1

x x4





10 − k

⋅ 2k vale:

)

5

equivale a

b) 25

05. (FEI SP) A soma de todos os coeficientes do desenvolvimento de (14x – 13y)237 é a) 0 b) 1 c) –1 d) 331 237 e) 1 973 747 06. (UEL PR) Para que o polinômio f(x) = x3 – 6x2 + mx + n seja um cubo perfeito, ou seja, tenha a forma f(x) = (x + b)3, os valores de m e n devem ser, respectivamente a) 3 e –1 b) –6 e 8 c) –4 e 27 d) 12 e –8 e) 10 e –27 07. (FEI SP) Sendo  20   20   20   20   20  S =   +   ⋅ 21 +   ⋅ 22 + ... +   ⋅ 219 +   ⋅ 220 0 1 2  19   20  tem-se a) S = 240 b) S = 910 c) S = 2022 d) S = 2020 e) S = 20!

FRENTE

B

MATEMÁTICA

MÓDULO B20

TERMO GERAL DO BINÔMIO DE NEWTON Segundo os historiadores, o “cara ou coroa” teria surgido na Roma Antiga e era conhecido como “navio ou cara”, em referência às moedas mais antigas do período. De um lado, elas traziam a imagem de um deus e, do outro, havia desenhos de embarcações. Embora as regras desse jogo sejam as mesmas em qualquer parte do mundo, cada país batizou-o conforme suas tradições. Na Espanha, por exemplo, o nome é “cara ou cruz”. No México, por sua vez, é “águia ou sol”.

ASSUNTOS ABORDADOS n Termo geral do binômio de

Newton

n Definição

Assim, considere que uma moeda não viciada (quando a probabilidade de ocorrer cara é igual à probabilidade de ocorrer coroa) será lançada cinco vezes, sendo que, em cada um dos lançamentos, é possível ocorrer, exclusivamente, cara ou coroa. É possível fazer um estudo detalhado das probabilidades de cada um dos possíveis resultados a partir do desenvolvimento do binômio de Newton (K + C)5, sendo K a probabilidade de se obter cara, em qualquer lançamento, e C a probabilidade de se obter coroa, em qualquer lançamento. O expoente 5 do binômio se deve ao fato de serem feitos cinco lançamentos. Desenvolvendo esse binômio, teremos: (K + C)5 = K5 + 5K4C + 10K3C2 + 10K2C3 + 5KC4 + K5 Cada uma das parcelas do desenvolvimento nos indica uma possível situação obtida por meio desses cinco lançamentos.

Fazendo K = C = 1/2, temos que: n

A parcela K5 indica que há uma maneira se obter exatamente cinco caras e nenhuma coroa em cinco lançamentos. Portanto, essa probabilidade seria: 1 1⋅  2

5

0

1 1 ⋅  =  2  32

Figura 01 - Moedas antigas.

347

Matemática

n

A parcela 5K4C indica que há cinco maneiras se obter exatamente quatro caras e uma coroa em cinco lançamentos. Portanto, essa probabilidade seria: 1 5⋅  2

n

4

A parcela 10K3C2 indica que há dez maneiras se obter exatamente três caras e duas coroas em cinco lançamentos. Portanto, essa probabilidade seria: 1 10 ⋅   2

n

1

5 1 ⋅  =  2  32

3

2

5 1 ⋅  =  2  16

A parcela 10K2C3 indica que há dez maneiras se obter exatamente duas caras e três coroas em cinco lançamentos. Portanto, essa probabilidade seria: 2

3

5 1 1 10 ⋅   ⋅   =  2   2  16 n

A parcela 5KC4 indica que há cinco maneiras se obter exatamente uma cara e quatro coroas em cinco lançamentos. Portanto, essa probabilidade seria: 1

1 5⋅  2 n

4

5 1 ⋅  =  2  32

A parcela C5 indica que há uma maneira se obter exatamente nenhuma cara e cinco coroas em cinco lançamentos. Portanto, essa probabilidade seria: 1 1⋅  2

0

5

1 1 ⋅  = 2 32  

Se quiséssemos obter especificamente uma dessas probabilidades, bastaria obter uma das parcelas desse desenvolvimento.

Definição O termo geral do binômio de Newton é uma expressão que nos permite obter um determinado termo do seu desenvolvimento. Desenvolvendo o binômio (a + b)n, temos:

(a + b)

n

n  n  n n n =   ⋅ an ⋅ b0 +   ⋅ an − 1 ⋅ b1 +   ⋅ an − 2 ⋅ b2 +   ⋅ an − 3 ⋅ b3 + ... +   ⋅ a0 ⋅ bn 0 1 2 3 n              T1

T2

T3

T4

B20  Termo geral do binômio de Newton

Para esse desenvolvimento, note que: n  n 0 n O primeiro termo é T1 = T0 + 1 =   ⋅ a ⋅ b 0 n

n

n

n

348

n O segundo termo é T2 = T1 + 1 =   ⋅ an−1 ⋅ b1 1  n O terceiro termo é T3 = T2 + 1 =   ⋅ an−2 ⋅ b2 2 n O quarto termo é T4 = T3 + 1 =   ⋅ an−3 ⋅ b3 3  n O último termo, ou seja, o (n + 1) ésimo termo é Tn + 1 =   ⋅ a0 ⋅ bn n

Tn+1

Matemática e suas Tecnologias

Note também que todas as parcelas desse desenvolvimento são da forma  n  n−p p   ⋅ a ⋅ b , com n ∈ IN e p ∈ IN e p ≤ n. Portanto, o (p + 1) ésimo termo será dado p pela seguinte expressão, denominada termo geral do binômio de Newton: n Tp + 1 =   ⋅ an−p ⋅ bp p

EXEMPLOS 01. Desenvolvendo o binômio (x2 + 2)8, segundo as potências decrescentes de x, determine o sexto termo.

03. Obtenha o termo médio no desenvolvimento do binômio (2x + y)10.

RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO

O termo geral desse binômio é dado por:

O termo geral desse binômio é dado por: 8−p 8 8 Tp + 1 =   ⋅ ( x 2 ) ⋅ 2p ⇒ Tp + 1 =   ⋅ x16 − 2p ⋅ 2p p  p  Para determinar o sexto termo desse binômio, temos que:

 10   10  10 − p ⋅ yp ⇒ Tp + 1 =   ⋅ 210 − p ⋅ x10 − p ⋅ yp Tp + 1 =   ⋅ ( 2x ) p p O desenvolvimento desse binômio apresenta 11 termos, assim o termo médio é o 6º termo. Assim, temos que:

p+1=6⇒p=5

p+1=6⇒p=5

Substituindo no seu termo geral, teremos:

Substituindo no seu termo geral, teremos:  10   10  T5 + 1 =   ⋅ 210 − 5 ⋅ x10 − 5 ⋅ y 5 =   ⋅ 25 ⋅ x 5 ⋅ y 5 5    5

8 8 T5 + 1 =   ⋅ x16 − 2⋅5 ⋅ 25 =   ⋅ x 6 ⋅ 25 5 5

Daí, temos que: Daí, temos que:

T6 = 252 ⋅ 32 ⋅ x5 ⋅ y5 = 8.064x5y5

T6 = 56 ⋅ x6 ⋅ 32 = 1.792x6 Portanto, o sexto termo do desenvolvimento desse binômio segundo as potências decrescentes de x é 1.792x6.

02. Desenvolvendo o binômio (1 – 2x2)5, segundo as potências crescentes de x, determine o coeficiente do termo em x8.

Portanto, o termo médio do desenvolvimento desse binômio é 8.064x5y5.

04. Obtenha o termo independente de x no desenvolvimento do binômio 6

1  x +  . x  RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO

p p  5  5 p Tp + 1 =   ⋅ 15−p ⋅ ( −2x 2 ) =   ⋅ ( −2) ⋅ ( x 2 ) ⇒ Tp + 1 = p p    

 5 p 2p   ⋅ ( −2) ⋅ x p

Para determinar o termo em x8 desse binômio, temos que: 2p = 8 ⇒ p = 4 Substituindo no seu termo geral, teremos: 5  5  4 ⋅4 8 T4 + 1 =   ⋅ ( −2) ⋅ x 2=   ⋅ 16 ⋅ x 4 4 Daí, temos que: T5 = 5 ⋅ 16 ⋅ x8 = 80x8 Portanto, o coeficiente do termo em x8 do desenvolvimento desse binômio é 80.

p 6 6 6 1 Tp + 1 =   ⋅ x 6 −p ⋅   =   ⋅ x 6 − p ⋅ x −p ⇒ Tp + 1 =   ⋅ x 6 − 2p x p  p  p 

Para determinar o termo em x0 (termo independente de x) desse binômio, temos que: 6 – 2p = 0 ⇒ p = 3 Substituindo no seu termo geral, teremos:

Daí, temos que:

6 6 T3 + 1 =   ⋅ x 6 − 2 ⋅ 3 =   ⋅ x 0 3 3 T4 = 20

Portanto, o termo independente de x do desenvolvimento desse binômio é 20.

349

B20  Termo geral do binômio de Newton

O termo geral desse binômio é dado por:

O termo geral desse binômio é dado por:

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Obtenha o coeficiente de x12 no desenvolvimento do binômio (2y + x)15. 3 640 10

1  02. No desenvolvimento de  x 2 +  , determine: x a) 120x-4 b) 252x5  a) o oitavo termo. b) o termo central.

6

(

45x

4

)

10

modo que o termo independente de x, no desenvolvi6 k  mento de  x +  , seja 160. 2 x  06. (UFPE) Encontre o inteiro positivo n para o qual o quinto tern 1  mo da expansão binomial de  3 x +  seja independente x  de x na expansão em potências decrescentes de x. 16

1  03. No desenvolvimento de  2x −  , determine: x  a) −192x4 b) −160 a) o termo e x4 b) o termo independente de x.

04. No desenvolvimento de 1 + x

05. (UFGO) Determine o valor que deve ser atribuído a k de

10

, determine o termo em x4.

 1 07. (UFPE) No desenvolvimento binomial de  1 +  , quantas  3 parcelas são números inteiros? 2 parcela

Exercícios Complementares 01. (PUC SP) O termo no desenvolvimento de (2x² – y³)8 que contém x10 é o a) segundo b) terceiro c) quarto d) quinto

n

e) sexto 8

1  02. (UCS BA) No desenvolvimento do binômio  2x 2 +  , x  segundo as potências decrescentes de x o coeficiente do quinto termo é a) 1 b) 448 d) 1 440 e) 1 792 03. (UFPA) Qual o valor do termo médio do desenvolvimento B20  Termo geral do binômio de Newton

1  05. (UFU MG) No desenvolvimento de  x 4 +  , sendo n x  um número natural positivo, temos um termo independente de x a) se n é par. b) se n ímpar. c) para qualquer n ≠ 0. d) se n é divisível por 5. e) se n é múltiplo de 8.

10

c) 1 120

de (2x + 3y)8? a) 70 ⋅ x4 ⋅ y4 b) 70 ⋅ 16 ⋅ 81 ⋅ x4 ⋅ y4 c) 70 ⋅ 16 ⋅ 81 ⋅ x5 ⋅ y4 d) 70 ⋅ 16 ⋅ 81 ⋅ x ⋅ y 4

5

e) 70 04. (FGV SP) O termo independente de x no desenvolvimento 6

1  de  2x + 2  é x  

350

a) 240 b) 60 c) 215 d) 30 e) inexistente

k  06. (FGV SP) No desenvolvimento de  x +  , para que o coex  ficiente do termo em x4 seja 15, k deve ser igual a a) 1/2 b) 2 c) 1/3 d) 3 e) 4 07. (UEPB) No desenvolvimento de

(

3

x+5y

)

30

, seja n o nú-

mero de termos que não contenham radicais, então n é a) 0 b) 2 c) 1 d) 30 e) 3

FRENTE

B

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (UFMG) Determine o número inteiro m que satisfaz a equação envolvendo números combinatórios: 550

a) 0 b) −1 c) −5

 1999   1999   2000   + =    2m − 1   1999 − 2m   2m − 200  02. (ITA SP) Para os inteiros positivos k e n, com k ≤ n, sabe-se n + 1 n n + 1  que ⋅  =   (relação de Fermat). Então, o valor de k +1 k  k +1

d) −25 e) −125 07. (UFC) Sejam α e β números reais. Suponha que ao desenvolvermos (αx + βy)5, os coeficientes dos monômios x4y e x3y2 sejam iguais a 240 e 720, respectivamente. Nestas condições, assinale a opção que contém o valor de α/β.

 n  1 n 1  n 1 n ⋅   é igual a   + ⋅   + ⋅   + ... + 0 1 2 2 3 n + 1 n      

a) 1/2 b) 3/2

a) 2n + 1 b) 2n + 1 + 1 2n+1 + 1 c) n d)

c) 1/3 d) 3 e) 2/3

2n+1 − 1 n+1

08. (FGV SP) O coeficiente de x12 na expansão de (1 + x4 + x5)10 é igual a

2n − 1 e) n

a) 120 b) 90

03. (ITA SP) Considere o conjunto S = {(a, b) ∈ IN x IN | a + b = 18}. A 18! , ∀(a, b) ∈ S, é soma de todos os números da forma a! b! a) 86 b) 9! c) 96 d) 126 e) 12!

c) 81 d) 60 e) 54 09. (UECE) Para n e k inteiros positivos com n > k, defina

n n! , onde n! = 1.2.3...n. Se n e k satisfazem a rela = k k! n − k )! (    n  n ção  = 3 ⋅   , então tem-se k + 1   k 

04. Sendo n ∈ IN, calcule o valor das somas a seguir: a) S = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + (n – 1) ⋅ n b) S = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 ⋅ 5 + ... + (n – 2) ⋅ (n – 1) ⋅ n 05. (PUC SP) O valor mais próximo de 1,001 é a) 1,30000 b) 1,03000 c) 1,00300 d) 1,00030 e) 1,00003

a) n = 4k + 1 b) n = 4k + 2 c) n = 4k + 3

3

n 06. (UFC CE) O símbolo   indica a combinação de n objek  k 20 20   3 420 ⋅ ∑   ⋅   e tos k a k. O valor de x2 – y2 quando x = k =0  k   4  k 20 20   2 20 y= 5 ⋅ ∑   ⋅   é igual a k =0  k   5  Questão 04 a) S

n 1 n n 1 3

b) S

n 1 n n 1 n 2 4

d) n = 4k + 4 10. Efetue as operações a seguir utilizando a relação de Stiffel.  12   12  a)   +   4 5  x + 5  x + 5 b)  +   x +1  x + 2  17   17   18  c)   +   +   6 7 8 Questão 10

13

5

a)

x 6

x 2

b)

19

8

c)

351

Fonte: Shutterstock.com

FRENTE

C

MATEMÁTICA Por falar nisso O desenvolvimento da teoria das probabilidades teve início por volta do século XVII, devido à curiosidade de Antoine Gombaud (1607 – 1684), amigo de Blaise Pascal (1623 – 1662), que gostava muito de jogos. Em certa ocasião, Gombaud solicitou ajuda a Pascal, dizendo: “Em oito lances de um dado, um jogador deve obter 1, mas após três tentativas sem sucesso, o jogo é interrompido. Como se deveria indenizar o jogador?”

Depois desse episódio, Pascal escreveu uma carta para o amigo e matemático Pierre de Fermat (1601 – 1665). Nessa carta, Pascal descrevia o problema de Chevalier. Mas, para Fermat, o assunto era algo novo e depois de ter lido a carta de Pascal, ele começou a estudar uma forma de descrever, matematicamente, as leis do acaso com maior precisão.

Os pilares da teoria das probabilidades e da análise combinatória foram estabelecidos por Pascal e Fermat. Além disso, as apostas no jogo de dados possibilitaram-nos levantar uma série de hipóteses, que envolvem possíveis resultados, marcando o início da teoria das probabilidades como uma ciência independente.

Contudo, quem mais contribuiu para o avanço da teoria das probabilidades foi o matemático Pierre Simon Laplace (1749 – 1827) que começou a escrever artigos sobre o assunto, em 1774, reunindo-os em sua obra intitulada “Teoria analítica das probabilidades”, de 1812. Já em 1814, publicou outro livro, cujo título é Ensaios filosóficos sobre probabilidades, em que afirmou que “a teoria das probabilidades é apenas o senso comum expresso em números”.

Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

C17 C18 C19 C20

Probabilidade da união ........................................................................354 Probabilidade condicional ...................................................................357 Multiplicação de probabilidades .........................................................361 Lei binominal das probabilidades ........................................................366

FRENTE

C

MATEMÁTICA

MÓDULO C17

ASSUNTOS ABORDADOS n Probabilidade da união n Probabilidade de união (adição de probabilidades)

PROBABILIDADE DA UNIÃO O Levantamento Rápido de Índices de Infestação pelo Aedes aegypti (LIRAa), divulgado em dezembro de 2017, revela a situação de risco de surto de dengue, zika e chikungunya no Brasil. No total, 3 946 cidades participaram da pesquisa e 9% delas possuíam altos índices de larvas do mosquito.

O LIRAa também identificou 1 139 municípios em estado de alerta em relação às doenças, com índice de infestação entre 1% a 3,9%. Entre eles, destacam-se: Maceió (AL), Manaus (AM), Salvador (BA), Vitória (ES), Recife (PE), Natal (RN), Porto Velho (RO), Aracaju (SE) e São Luís (MA). Por outro lado, 2 450 municípios apresentaram índices satisfatórios, com menos de 1% de larvas do mosquito. São eles: Macapá (AP), Fortaleza (CE), Goiânia (GO), Belo Horizonte (MG), João Pessoa (PB), Teresina (PI), Curitiba (PR), Rio de Janeiro (RJ) e Palmas (TO). Já as capitais Belém (PA), Boa Vista (RR), Porto Alegre (RS), Florianópolis (SC), São Paulo (SP), Campo Grande (MS), Cuiabá (MT), Brasília (DF) e Rio Branco (AC) não informaram os dados ao Ministério da Saúde.

Nesse contexto, a tabela a seguir apresenta o número de casos notificados ou prováveis de dengue, chikungunya e Zika vírus registrados nos estados do Sul do Brasil até a 23ª semana de 2016, conforme boletim epidemiológico do Ministério da Saúde.

Dengue

Zika

Chikungunya

Paraná

71114

1935

1459

Santa Catarina

5344

360

324

Rio Grande do Sul

3961

97

233

Escolhendo-se aleatoriamente um paciente do Sul do Brasil, qual seria a probabilidade dessa pessoa representar um dos casos de chikungunya ou de ter sido no Paraná?

Essa probabilidade é obtida por meio da probabilidade da união (ou adição de probabilidades) de dois eventos.

Fonte: Shutterstock.com

Figura 01 - Mosquito Aedes aegypti, transmissor da dengue, chikungunya e Zika vírus

Estado

354

Matemática e suas Tecnologias

Probabilidade de união (adição de probabilidades) Sendo A e B eventos do mesmo espaço amostral U equiprovável, finito e não vazio, a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, indicada por P(A ∪ B), é dada por:

P(A ∪ B=) P ( A ) + P (B ) – P(A ∩ B) Demonstração

Da definição de probabilidade, temos que: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Eventos mutuamente exclusivos

P(A ∪

Dizemos que dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral U são mutuamente exclusivos se, e somente se, A ∩ B = ∅. Observe a figura a seguir: U

Da teoria de conjuntos:

A

B

Dados os conjuntos A e B, subconjuntos de U, temos que: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) Observe a figura a seguir: U A

B

Nesse caso, temos que P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) e P(A ∩ B) = 0 Daí, temos que:

P(A ∪ B=) P ( A ) + P (B ) Dividindo todos os termos dessa igualdade por n(U), temos que:

n(A ∪ B) n(A) n(B) n(A ∩ B) = + − n(U) n(U) n(U) n(U)

Podemos estender essa situação para três ou mais eventos. Assim, se A1, A2, A3, ..., An são eventos mutuamente exclusivos de um mesmo espaço amostral U, temos que: P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An)

EXEMPLOS

RESOLUÇÃO O espaço amostral U é um conjunto formado pelos 40 alunos, ou seja, n(U) = 40.

O evento A é um conjunto formado pelos alunos que jogam futebol, ou seja, n(A) = 20.

O evento B é um conjunto formado pelos alunos que jogam basquete, ou seja, n(B) = 15.

O evento A ∩ B é o conjunto formado pelos alunos que jogam futebol e basquete, ou seja, n(A ∩ B) = 10.

Daí, temos que: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) P(A ∪ B) =

20 15 10 25 5 + − = = 40 40 40 40 8

Portanto, a probabilidade de o aluno escolhido jogar futebol ou basquete é 5/8.

02. No lançamento simultâneo de um dado e uma moeda, qual a probabilidade de ocorrer um número ímpar no dado ou uma coroa na moeda?

RESOLUÇÃO Inicialmente, vamos determinar o espaço amostral U desse experimento. Para tanto, seja K a ocorrência de cara e C a ocorrência de coroa na moeda.

U = {(1, K), (2, K), (3, K), (4, K), (5, K), (6, K), (1, C), (2, C), (3, C), (4, C), (5, C), (6, C)}, ou seja, n(U) = 12.

Sendo A o evento ocorrer número ímpar no dado, temos que: A = {(1, K), (3, K), (5, K), (1, C), (3, C), (5, C)} e n(A) = 6.

Sendo B o evento ocorrer coroa na moeda, temos que: B = {(1, C), (2, C), (3, C), (4, C), (5, C), (6, C)} e n(B) = 6.

Sendo A ∩ B o evento ocorrer número ímpar no dado e ocorrer coroa na moeda, temos que: A ∩ B = {(1, C), (3, C), (5, C)} e n(A ∩ B) = 3.

Daí, temos que: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) P(A ∪ B) =

6 6 3 9 3 + − = = 12 12 12 12 4

Portanto, a probabilidade de ocorrer número ímpar no dado ou coroa na moeda é 3/4.

355

C17  Probabilidade da união

01. Em um grupo de 40 alunos, 20 jogam futebol, 15 jogam basquete e 10 jogam futebol e basquete. Escolhendo ao acaso um dos alunos, qual a probabilidade desse aluno jogar futebol ou basquete?

nião A, B ntrensocone C, mem o um obansu-

Matemática Questão 03. a) U = {(1, C), (2, C), (3,C), (4, C), (5, C), (6, C), (1, K), (2, K), (3, K), (4, K), (5, K), (6, K)} b) P(A) = 1/4 e P(B) = 1/3

Exercícios de Fixação 01. Resolva os itens a seguir:

a) 2/3

b) 17/36

a) Sendo A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral U, calcule P(A), sabendo que P(B) = 1/6, P(A ∪ B) = 13/30 e P(A ∩ B) = 2/5. b) Sendo A e B dois eventos mutuamente exclusivos de um mesmo espaço amostral U, calcule P(A ∩ B), sabendo que P(A) = 1/4, e P(B) = 2/9.

02. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de que o número obtido na face superior seja: a) 5/6 b) 1/2 a) um número par ou um número primo? b) um número ímpar ou um número primo?

03. (UFSCar SP) Um espaço amostral é um conjunto cujos elementos representam todos os resultados possíveis de algum experimento. Chamamos de evento ao conjunto de resultados do experimento correspondente a algum subconjunto de um espaço amostral. a) Descreva o espaço amostral correspondente ao lançamento simultâneo de um dado e de uma moeda.

b) Determine a probabilidade que no experimento descrito ocorram os eventos: n Evento A: resulte cara na moeda e um número par no dado. n Evento B: resulte 1 ou 5 no dado.

04. De um baralho comum, com 52 cartas, retiramos, ao acaso, uma carta. Qual a probabilidade de obtermos uma dama ou uma carta de ouros? 4/13 05. Em uma urna contém, exatamente, 30 bolas numeradas de 1 a 30. Retirando-se, ao acaso, uma bola dessa urna, qual a probabilidade de se retirar uma bola numerada com um número múltiplo de 3 ou 5? 7/15 06. Em um grupo de 60 pessoas, 10 são torcedoras do Fluminense, 15 são torcedoras do Vasco e as demais são torcedoras do Flamengo. Escolhendo-se, aleatoriamente, uma pessoa desse grupo, qual a probabilidade dessa pessoa ser torcedora do Vasco ou do Flamengo? 5/6

Exercícios Complementares 01. Um número será sorteado dentre os números naturais de 1 a 1 000. Qual a probabilidade desse número ser par ou possuir dois algarismos? 54,5%

C17  Probabilidade da união

02. (Unesp SP) Lançando-se simultaneamente dois dados não viciados, a probabilidade de que suas faces superiores exibam soma igual a 7 ou 9 é a) 1/6 b) 4/9 c) 2/11 d) 5/18 e) 3/7

n x + 1 delas são azuis e numeradas sequencialmente com

os números naturais de 1 a x + 1. n x + 2 delas são amarelas e numeradas sequencialmente

com os números naturais de 1 a x + 2. n x + 3 delas são verdes e numeradas sequencialmente

de 1 a x + 3. a) Qual é o valor numérico de x? b) Qual a probabilidade de ser retirada, ao acaso, uma bola azul ou uma bola com o número 12?

03. (Cesgranrio RJ) Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda, qual é a probabilidade de se obter a face cara na moeda ou face 6 no dado? a) 7/12 b) 2/3 c) 4/5 d) 5/12 e) 1/4

05. (FEI SP) Numa urna foram colocadas 30 bolas: 10 bolas azuis numeradas de 1 a 10, 15 bolas brancas numeradas de 1 a 15 e 5 bolas cinzas numeradas de 1 a 5. Ao retirar-se aleatoriamente uma bola, a probabilidade de obter-se uma bola par ou branca é: a) 29/30 b) 7/15 c) 1/2 d) 11/15 e) 13/15

04. (Unicamp SP) Uma urna contém 50 bolas que se distinguem apenas pelas seguintes características: a) 11 b) 7/25 n x delas são brancas e numeradas sequencialmente com os números naturais de 1 a x.

06. (Fuvest SP) A probabilidade de que a população atual de um país seja de 110 milhões ou mais é 95%. A probabilidade de ela ser 110 milhões ou menos é 8%. Calcule a probabilidade de essa população ser de 110 milhões. 3%

356

FRENTE

C

MATEMÁTICA

MÓDULO C18

PROBABILIDADE CONDICIONAL

ASSUNTOS ABORDADOS

A pesquisa TIC Domicílios 2015 revelou que 58% da população brasileira utilizam a internet, o que corresponde a 102 milhões de internautas. De acordo com a análise, a proporção é 5% superior à registrada no levantamento de 2014. O estudo foi realizado pelo Comitê Gestor da Internet no Brasil (CGI.br), pelo Centro Regional de Estudos para o Desenvolvimento da Sociedade da Informação (Cetic.br) e pelo Núcleo de Informação e Coordenação do Ponto BR (NIC.br).

n Probabilidade condicional n Probabilidade condicional

De acordo com o levantamento, 95% dos entrevistados da classe A haviam utilizado a rede menos de três meses antes da pesquisa. A proporção cai para 82% em relação à classe B, 57% quanto à classe C e 28% em relação às classes D e E. Contudo, as classes menos favorecidas apresentaram maior crescimento proporcional em relação à pesquisa anterior: as classes D e E aumentaram sete pontos percentuais (de 21% para 28%); a C, três pontos percentuais; a B, dois pontos e a classe A caiu um ponto.

Atenta a essa tendência, uma universidade realizou uma pesquisa on-line envolvendo jovens do Ensino Médio para saber quais os meios de comunicação esses jovens utilizam para se informar dos acontecimentos diários. Para incentivá-los a preencher os dados referentes ao estudo, cujas respostas estão registradas no quadro abaixo, a universidade sorteou um tablet entre os participantes.

Mulheres Homens

Ouvem apenas rádio

350

Assistem à televisão e consultam a internet

150

Assistem à televisão e consultam a internet

375

Utilizam apenas a internet

125

Total de jovens entrevistados

1 000

Figura 01 - O laptop e o smartphone são comumente utilizados para acessar a internet.

Fonte: Shutterstock.com

Sabendo-se que o aluno sorteado consulta a internet para se manter informado diariamente, qual a probabilidade desse aluno sorteado ser um homem? No cálculo dessa probabilidade, temos que levar em conta a informação adicional que torna o universo dos alunos sorteados mais restrito.

357

Matemática

Probabilidade condicional Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Retirando-se uma dessas bolas ao acaso e observando-se que o número da bola retirada é par, qual é a probabilidade de que essa bola contenha um número menor que 8?

Apesar de o espaço amostral desse experimento ser U = {1, 2, 3, 4, 5, ..., 18, 19, 20} com 20 elementos, já sabemos que a bola retirada é par. Assim, podemos adotar como novo espaço amostral o conjunto A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} com 10 elementos. Tomando o evento B (bola com um número menor que 8) no novo espaço amostral, temos que A ∩ B = {2, 4, 6} com 3 elementos.

Logo, denotando-se por P(B/A) a probabilidade de ocorrer o evento B, dado que o evento A já ocorreu, temos que:

P (B/A ) =

n( A ∩ B ) n( A )

=

3 10

Note que o fato de sabermos que ocorreu o evento “bola retirada com número par” faz com que o espaço amostral fique reduzido a esse evento.

Na figura a seguir, temos que A e B são eventos do mesmo espaço amostral U equiprovável, finito e não vazio.

U A

B

Como sabemos que o evento A já ocorreu, o novo espaço amostral fica reduzido a esse evento. O evento B, por sua vez, só poderá ocorrer na intersecção de A e B. Assim, temos que a probabilidade de ocorrer o evento B, dado que o evento A já ocorreu, indicada por P(B| A) é dada por:

P (B/A ) =

n( A ∩ B ) n( A )

C18  Probabilidade condicional

Também podemos calcular P(B/A) por meio da seguinte expressão:

P (B/A ) =

P( A ∩ B) P( A )

Para tanto, basta dividir o numerador e o denominador de P (B/A ) = por n(U).

358

n( A ∩ B ) n( A )

Matemática e suas Tecnologias

EXEMPLOS 01. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de que o número obtido na face superior seja primo, sabendo-se que o número obtido é par?

02. Uma letra do nosso alfabeto é escolhida ao acaso. Sabendo-se que essa letra é uma das oito primeiras, qual a probabilidade de que ela seja uma consoante?

RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO

Como já sabemos que ocorreu um número primo, o novo espaço amostral é dado por A = {2, 3, 5}.

O evento B é a ocorrência de um número par, ou seja, B = {2, 4, 6}.

Como o evento A já ocorreu, o evento B só pode ocorrer na intersecção de A e B. Daí, temos que A ∩ B = {2}.

A probabilidade pedida é dada por: P(B/A) =

Como já sabemos que a letra escolhida é uma das oito primeiras, o novo espaço amostral seja o evento A = {a, b, c, d, e, f, g, h}.

O evento B é a ocorrência de uma consoante, ou seja, B = {b, c, d, f, g, h, j, k, l, ..., z}.

Daí, temos que A ∩ B = {b, c, d, f, g, h}.

A probabilidade pedida é dada por:

n(A ∩ B) 1 = n(A) 3

P(B/A) =

n(A ∩ B) 5 = n(A) 8

Portanto, a probabilidade pedida é 5/8.

Portanto, a probabilidade pedida é 1/3.

Exercícios de Fixação 04. Uma pesquisa realizada entre os alunos de uma escola, a respeito da leitura de dois jornais A e B, revelou que: exatamente 48% dos alunos leem o jornal A, 56% dos alunos leem o jornal B e que 20% não leem nenhum dos jornais. a) 32%

02. Um grupo de 104 crianças é classificado de acordo com o sexo e com a cor dos olhos, de acordo com a tabela a seguir: Olhos azuis

Olhos castanhos

Total

Meninos

24

20

44

Meninas

13

47

60

Total

37

67

104

a) 11/26

b) 67/104

c) 13/37

d) 13/60

Escolhendo-se uma dessas crianças ao acaso, calcule: a) A probabilidade de essa criança ser menino. b) A probabilidade de essa criança ter olhos castanhos. c) A probabilidade de essa criança ser menina sabendo que ela tem olhos azuis. d) A probabilidade de essa criança ter olhos azuis sabendo que ela é menina.

03. Escolhendo-se ao acaso uma das cartas de um baralho de 52 cartas, considere os seguintes eventos: Evento A: obter uma carta com um três.

Evento B: obter uma carta de copas.

Calcule as seguintes probabilidades: a) P(A) e P(B). b) P(A/B) e P(B/A). a) P(A) = 1/13 e P(B) = 1/4

b) 24%

c) 1/2

d) 3/7

Escolhendo-se um desses alunos ao acaso, calcule: a) A probabilidade de esse aluno ler apenas o jornal B. b) A probabilidade de esse aluno ler os jornais A e B. c) A probabilidade de esse aluno ler o jornal B sabendo que ela lê o jornal A. d) A probabilidade de esse aluno ler o jornal A sabendo que ela lê o jornal B. 05. (Unicamp SP) Num grupo de 400 homens e 600 mulheres, a probabilidade de um homem estar com tuberculose é de 0,05 e de uma mulher estar com tuberculose é 0,10. a) 8% a) Qual a probabilidade de uma pessoa do grupo estar com tuberculose? b) Se uma pessoa é retirada ao acaso e está com tuberculose, qual a probabilidade de que seja homem?

b) 25%

06. (FPS PE) Em uma pequena cidade, onde são consumidas muitas comidas gordurosas, 56% das pessoas são do sexo masculino, 60% das pessoas são obesas e 55% das mulheres não são obesas. Escolhendo ao acaso uma pessoa dessa cidade, qual a probabilidade percentual de ela ser do sexo masculino, sabendo que ela é obesa? a) 63% b) 64% c) 65% d) 66% e) 67%

b) P(A/B) = 1/13 e P(B/A) = 1/4

359

C18  Probabilidade condicional

01. No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de que números obtidos nas faces voltadas para cima sejam iguais, sabendo-se que a soma desses números é igual a seis. 1/5

200 a soduas spau-se 0 faqualndocaso nglês alu-

Matemática

Exercícios Complementares 01. (Unesp SP) Dois jogadores A e B vão lançar um par de dados. Eles combinam que se a soma dos números dos dados for 5, A ganha e se a soma for 8, B é quem ganha. Os dados são lançados. Sabe-se que A não ganhou. Qual a probabilidade de B ter ganho? a) 10/36 b) 5/32 c) 5/36 d) 5/35 e) nda 02. (Enem MEC) Um experimento foi conduzido com o objetivo de avaliar o poder germinativo de duas culturas de cebola, conforme a tabela.

Germinação de sementes de duas culturas de cebola Culturas

Germinação

Total

Germinaram

Não germinaram

A

392

8

400

B

381

19

400

Total

773

27

800

Desejando-se fazer uma avaliação do poder germinativo de uma das culturas de cebola, uma amostra foi retirada ao acaso. Sabendo-se que a amostra escolhida germinou, a probabilidade de essa amostra pertencer à Cultura A é de a) 8/27 b) 19/27 c) 381/773 d) 392/773 e) 392/800

C18  Probabilidade condicional

03. (Enem MEC) O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam aumentando. Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir:

04. (Unicamp SP) Uma moeda balanceada é lançada quatro vezes, obtendo-se cara exatamente três vezes. A probabilidade de que as caras tenham saído consecutivamente é igual a: a) 1/4 c) 1/2 b) 3/8 d) 3/4 05. Uma comissão de três pessoas é formada, escolhendo-se ao acaso entre cinco pessoas, dentre elas Ana e Bia. Se Ana não pertence à comissão, qual a probabilidade de Bia pertencer? 3/4 06. Um casal e mais quatro pessoas estão dispostos em uma fila indiana. Qual é a probabilidade de o casal ocupar as extremidades da fila sabendo-se que eles não estão juntos? 1/10 07. (Enem MEC) Para analisar o desempenho de um método diagnóstico, realizam-se estudos em populações contendo pacientes sadios e doentes. Quatro situações distintas podem acontecer nesse contexto de teste: 1. Paciente TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO. 2. Paciente TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO. 3. Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO. 4. Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO. Um índice de desempenho para avaliação de um teste diagnóstico é a sensibilidade, definida como a probabilidade de o resultado do teste ser POSITIVO se o paciente estiver com a doença.

O quadro refere-se a um teste diagnóstico para a doença A, aplicado em uma amostra composta por duzentos indivíduos.

Resultado do Teste

Doença A Presente

Ausente

Tamanho dos calçados

Número de funcionárias

Positivo

95

15

39,0

1

Negativo

5

85

38,0

10

37,0

3

36,0

5

35,0

6

Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36,0, a probabilidade de ela calçar 38,0 é

360

a) 1/3 b) 1/5 c) 2/5 d) 5/7 e) 5/14

BENSEÑOR, I. M.; LOTUFO, P. A. Epidemiologia: abordagem prática.

São Paulo: Sarvier, 2011 (adaptado).

Conforme o quadro do teste proposto, a sensibilidade dele é de: a) 47,5% b) 85,0% c) 86,3% d) 94,4% e) 95,0%

FRENTE

C

MATEMÁTICA

MÓDULO C19

MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES O ano de 1998 foi marcado pelos famosos anticoncepcionais de “farinha”. Na ocasião, lotes da pílula Microvilar, que não apresentavam o princípio ativo do remédio, chegaram ao mercado.

ASSUNTOS ABORDADOS n Multiplicação de probabilidades

De acordo com o laboratório Schering do Brasil, fabricante da pílula, a farinha foi utilizada na composição do medicamento em testes de um novo equipamento de embalagem. Algumas unidades do anticoncepcional foram furtadas e disponibilizadas para as consumidoras. Após esse fato, o Ministério da Saúde ordenou a retirada do produto do mercado, assim como a paralisação da produção, interditando, posteriormente, a fábrica. Além disso, a empresa teve como punição o pagamento de indenizações às famílias envolvidas. Isso porque muitas mulheres tinham problemas de saúde que foram agravados com a gestação e outras não tinham condições socioeconômicas para ter mais um filho.

Atualmente, o método contraceptivo oral é o mais utilizado para a prevenção da gravidez. Além da contracepção, a pílula anticoncepcional é utilizada no tratamento de algumas doenças que acometem a população feminina.

Fonte: Shutterstock.com

Nesse contexto, observe a tirinha a seguir, que apresenta uma sátira sobre esse triste episódio.

Figura 01 - Cerca de 250 casos de gravidez inesperada foram registrados.

361

Matemática

Supondo-se haver, naquela época, uma probabilidade de 20% para uma caixa de Microvlar ser falsificada, entre duas caixas, qual seria a probabilidade de que pelo menos uma delas fosse falsificada? Essa probabilidade é obtida por meio de um produto de probabilidades de dois eventos chamados independentes.

Sendo A e B eventos do mesmo espaço amostral U equiprovável, finito e não vazio, já sabemos que a probabilidade de ocorrer o evento B, sabendo que o evento A já ocorP(A ∩ B) reu, é dado por P(B/A) = . Portanto, temos que: P(A)

P ( A ∩ B )= P ( A ) ⋅ P (B/A ) Assim, a probabilidade de ocorrer, simultaneamente, os eventos A e B, indicada por P(A ∩ B), é dada pelo produto da probabilidade de ocorrer um deles (A, por exemplo), pela probabilidade de ocorrer o outro (B), sabendo que A já ocorreu, ou seja P(B/A).

Exemplo Em uma urna, há 30 bolas, sendo 10 brancas e 20 pretas. Retirando-se duas bolas, sucessivamente e sem reposição, calcule as seguintes probabilidades: I) Probabilidade de a primeira bola retirada ser branca e a segunda bola retirada ser preta.

II) Probabilidade de as duas bolas retiradas terem cores diferentes.

Probabilidade I Seja B a retirada de uma bola branca e P a retirada de uma bola preta. Queremos que a 1ª bola retirada seja branca e a 2ª bola retirada seja preta.

10 A probabilidade da 1ª bola retirada ser branca é P(B) = .

30 A probabilidade da 2ª bola retirada ser preta, sabendo que a 1ª bola retirada é branca, é P(P/B) = 20/29 (diminui-se uma unidade no denominador, pois já havíamos retirado uma bola branca).

10 20 20 Portanto, a probabilidade pedida é P(B ∩ P) = P(B) ⋅ P(P/B) = ⋅ =.

30 29 57 Probabilidade II Seja B a retirada de uma bola branca e P a retirada de uma bola preta. Queremos que as duas bolas retiradas tenham cores diferentes. Assim, teremos duas possibilidades: n

A probabilidade da 1ª bola retirada ser branca e a 2ª bola retirada ser preta.

Assim, temos que:

C19  Multiplicação de probabilidades

P1 = P(B ∩ P) = P(B) ⋅ P(P/B) = n

A probabilidade da 1ª bola retirada ser preta e a 2ª bola retirada ser branca.

Assim, temos que: P2 = P(P ∩ B) = P(P) ⋅ P(B/P) =

Portanto, a probabilidade pedida é P = P1 + P2 =

362

10 20 20 ⋅ =.

30 29 57

20 10 20 ⋅ =.

30 29 57

20 20 40 + =.

57 57 57

Matemática e suas Tecnologias

Eventos independentes Sendo A e B eventos do mesmo espaço amostral U equiprovável, finito e não vazio, dizemos que os eventos A e B são independentes se, e somente se:

O espaço amostral é U = {(1, K), (2, K), (3, K), (4, K), (5, K), (6, K), (1, C), (2, C), (3, C), (4, C), (5, C), (6, C)} e n(U) = 12.

O evento que queremos é A = {(1, K), (2, K), (3, K), (4, K), (5, K), (6, K)} e n(A) = 6.

n(A) 6 1 = = . n(U) 12 2

P (B/A ) = P (B ) e P ( A/B ) = P ( A )

Logo, P(A) =

Observe que se A e B são eventos independentes, temos que:

Probabilidade II

P ( A ∩ B )= P ( A ) ⋅ P (B ) Exemplo No lançamento simultâneo de uma moeda e um dado, vamos calcular as seguintes probabilidades: I) Probabilidade de ocorrer cara na moeda em um dos lançamentos.

II) Probabilidade de ocorrer cara na moeda em um dos lançamentos, sabendo-se que ocorreu 5 no dado.

Probabilidade I Sendo C e K as ocorrências coroa e cara, respectivamente, na moeda teremos:

O evento que queremos é A = {(1, K), (2, K), (3, K), (4, K), (5, K), (6, K)} e n(A) = Como já sabemos que ocorreu a face 5 no dado, o novo espaço amostral é dado por B = {(5, K), (5, C)} e n(B) = 2.

Como o evento B já ocorreu, o evento A só pode ocorrer na intersecção de A e B. Assim, temos que A ∩ B = {(5, K)}.

Logo, P(A/B) =

n(A ∩ B) 1 = n(B) 2

Como P(A) = P(A/B), dizemos que os eventos A e B são independentes, ou seja, o fato do evento B ocorrer antes não altera em nada a probabilidade do evento A.

EXEMPLOS

RESOLUÇÃO Sendo C a indicação de um tiro certo e E a indicação de um tiro errado, temos que: P(C) = 2/5 e P(E) = 3/5.

Note que, nessa situação, os eventos sucessivos são independentes e que queremos que exatamente dois tiros sejam certos. Assim, teremos três possibilidades: n O 1ª tiro certo, o 2ª tiro errado e o 3º tiro errado. Daí, temos que: P1 = P(C ∩ E ∩ E) = P(C) ⋅ P(E) ⋅ P(E) =

2 3 3 18 ⋅ ⋅ = .

5 5 5 125

n O 1ª tiro errado, o 2ª tiro certo e o 3º tiro errado. Daí, temos que:

3 2 3 18 P2 = P(E ∩ C ∩ E) = P(E) ⋅ P(C) ⋅ P(E) = ⋅ ⋅ = .

5 5 5 125 n O 1ª tiro errado, o 2ª tiro errado e o 3º tiro certo. Daí, temos que:

3 3 2 18 P3 = P(E ∩ E ∩ C) = P(E) ⋅ P(E) ⋅ P(C) = ⋅ ⋅ = .

5 5 5 125 Portanto, a probabilidade pedida é 18 18 18 54 + + =.

P = P1 + P2 + P3 = 125 125 125 125 02. Em uma urna A, temos uma bola preta e outra branca e, na urna B, duas bolas brancas e uma preta. Se escolhermos, aleatoriamente, uma urna e dela retirarmos, também aleatoriamente, uma bola, qual seria a probabilidade de retirarmos uma bola branca da urna B?

RESOLUÇÃO Para facilitar a visualização, vamos utilizar um esquema chamado de árvore de possibilidades. Em cada um de seus “galhos”, estão associadas as probabilidades de escolha de cada um de seus componentes.

Observe a figura a seguir:

1 2

1 2

Bola branca

1 2

Bola preta

2 3

Bola branca

1 3

Bola preta

Urna A

1 2 Urna B

Vamos considerar os seguintes eventos: Evento A: Escolher aleatoriamente uma urna.

Evento B: Escolher aleatoriamente uma bola.

Note que, a segunda escolha depende da primeira, ou seja, o evento B depende do evento A. Logo, para os dois eventos simultaneamente, temos que: P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B/A) =

1 2 1 ⋅ = 2 3 3

Portanto, a probabilidade pedida é 1/3.

363

C19  Multiplicação de probabilidades

01. Baseado na sua experiência, um instrutor de tiro sabe que a probabilidade de um dos seus alunos acertar o alvo em cada tiro é 2/5. Se esse aluno der três tiros, qual a probabilidade de acertar exatamente dois tiros?

Matemática

Exercícios de Fixação 01. No lançamento simultâneo de um dado e de uma moeda, determine a probabilidade de obtermos coroa na moeda e um número ímpar no dado. 1/4

a) 1/5 b) 1/15 c) 1/45 d) 3/10

02. Em uma caixa, são colocadas 8 bolas, sendo 5 brancas e 3 pretas. Retirando-se, aleatoriamente, três bolas dessa caixa, uma após a outra, calcule a probabilidade de se obter: a) 5/28

b) 1/6

c) 15/28

-se da gaveta um pé de meia por vez, ao acaso, a probabilidade de se retirarem dois pés de meia do mesmo par, não rasgados, é

03. A probabilidade de que João resolva um problema é de 1/3 e a probabilidade de que José resolva esse mesmo problema é de 1/4. a) 1/4 b) 1/6 c) 1/2 Se ambos tentarem, independentemente, resolver, responda: a) qual a probabilidade de apenas João resolver o problema? b) qual a probabilidade de apenas José resolver o problema? c) qual a probabilidade de que o problema seja resolvido?

C19  Multiplicação de probabilidades

Número de compradores

04. (Enem MEC) Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B, durante os meses de janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve este gráfico:

a) 56/90 b) 8/90 c) 81/90 d) 9/10 07. (UFSCar) Gustavo e sua irmã Caroline viajaram de férias para cidades distintas. Os pais recomendam que ambos telefonem quando chegarem ao destino. A experiência em férias anteriores mostra que nem sempre Gustavo e Caroline cumprem esse desejo dos pais. A probabilidade de Gustavo telefonar é 0,6 e a probabilidade de Caroline telefonar é 0,8.

A probabilidade de pelo menos um dos filhos contatar os

80

pais é a) 0,20

60

b) 0,48 c) 0,64

30 20

A B

20

10 Janeiro

Fevereiro

Março

A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde entre os compradores do produto B. Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012? a) 1/20 b) 3/242 c) 5/22 d) 6/25 e) 7/15 05. (UPE) Em uma turma de um curso de espanhol, três pessoas pretendem fazer intercâmbio no Chile, e sete na Espanha.

Dentre essas dez pessoas, foram escolhidas duas para uma entrevista que sorteará bolsas de estudo no exterior. A probabilidade de essas duas pessoas escolhidas pertencerem ao grupo das que pretendem fazer intercâmbio no Chile é

364

06. (UFSI) Em uma gaveta, há cinco pares distintos de meias, mas os dois pés de um dos pares estão rasgados. Tirando-

a) Três bolas brancas. b) Três bolas pretas. c) Exatamente duas bolas brancas.

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

e) 3/7

d) 0,86 e) 0,92 08. (UEGO) Um rapaz esqueceu o último algarismo do número do telefone da namorada e resolveu tentar falar com ela escolhendo ao acaso o último algarismo. Considere as seguintes proposições: I.

A probabilidade de que ele acerte o número na primeira tentativa é de 1/10.

II.

A probabilidade de que ele acerte o número na segunda tentativa é de 1/10.

III.

A probabilidade de que ele acerte o número na terceira tentativa é de 1/10.

Marque a alternativa correta. a) Apenas a proposição I é verdadeira. b) Apenas as proposições I e II são verdadeiras. c) Apenas as proposições I e III são verdadeiras. d) Apenas as proposições II e III são verdadeiras. e) Todas as proposições são verdadeiras.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. (Unesp SP) Um piloto de Fórmula 1 estima que suas chan-

38/1 000 dos parafusos produzidos no mesmo mês pela

ces de subir ao pódio numa dada prova são de 60% se cho-

máquina II eram defeituosos. O desempenho conjunto das

ver no dia da prova e de 20% se não chover. O Serviço de

duas máquinas é classificado conforme o quadro, em que

Meteorologia prevê que a probabilidade de chover durante

P indica a probabilidade de um parafuso escolhido ao aca-

a prova é de 75%. Nessas condições, calcule a probabilidade

so ser defeituoso.

50%

02. (PUC RJ) Em uma amostra de vinte peças, existem exatamente 4 defeituosas.

a) 64

b) 120

c) 8/19

a) Calcule o número de maneiras diferentes de escolher, sem reposição, uma peça perfeita e uma defeituosa.

0 ≤ P < 2/100

Excelente

2/100 ≤ P < 4/100

Bom

4/100 ≤ P < 6/100

Regular

6/100 ≤ P < 8/100

Ruim

8/100 ≤ P ≤ 1

Péssimo

b) Calcule o número de maneiras diferentes de escolher, sem reposição, duas peças perfeitas. c) Retirando-se, ao acaso, sem reposição, três peças, calcule a probabilidade de exatamente duas serem perfeitas.

Escreva a resposta em forma de fração.

03. (Unesp SP) A eficácia de um teste de laboratório para checar certa doença nas pessoas que comprovadamente têm essa doença é de 90%. Esse mesmo teste, porém, produz um falso positivo (acusa positivo em quem não tem comprovadamente a doença) da ordem de 1%. Em um grupo populacional em que a incidência dessa doença é de 0,5%, seleciona-se uma pessoa ao acaso para fazer o teste.

1,445%

04. (FGV SP) Num certo país, 10% das declarações de imposto de renda são suspeitas e submetidas a uma análise detalhada; entre estas verificou-se que 20% são fraudulentas. Entre as não suspeitas, 2% são fraudulentas.

a) 2%

b) 52%

O desempenho conjunto dessas máquinas, em setembro, pode ser classificado como: a) excelente b) bom c) regular d) ruim e) péssimo 07. (Enem MEC) A figura I abaixo mostra um esquema das principais vias que interligam a cidade A com a cidade B. Cada número indicado na figura II representa a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via indicada.

Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao o ponto B, passando pela estrada E4, e de 50%, quando se passa por E3. Essas probabilidades são independentes umas das outras.

a) Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual a probabili-

C E3

dade de ela ser suspeita e fraudulenta? b) Se uma declaração é fraudulenta, qual a probabilidade de ela ter sido suspeita?

C 0,5

E1

0,8

E4

0,3 A

B

05. (Uerj RJ) Uma pesquisa realizada em um hospital indicou

A

B 0,6

E6 E2

E5

0,7

0,4

que a probabilidade de um paciente morrer no prazo de um

D

D

mês, após determinada operação de câncer, é igual a 20%.

Figura I

Figura II

Se três pacientes são submetidos a essa operação, calcule a probabilidade de, nesse prazo:

a) 51,2% b) 38,4%

a) todos sobreviverem. b) apenas dois sobreviverem.

06. (Enem MEC) Uma fábrica de parafusos possui duas máqui-

Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das vias indicadas, percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento possível. O melhor trajeto para Paula é a) E1E3

nas, I e II, para a produção de certo tipo de parafuso. Em

b) E1E4

setembro, a máquina I produziu 54/100 do total de para-

c) E2E4

fusos produzidos pela fábrica. Dos parafusos produzidos

d) E2E5

por essa máquina, 25/1 000 eram defeituosos. Por sua vez,

e) E2E6

365

C19  Multiplicação de probabilidades

de que o piloto venha a subir ao pódio.

FRENTE

C

MATEMÁTICA

MÓDULO C20

ASSUNTOS ABORDADOS n Lei binominal das probabilidades

LEI BINOMINAL DAS PROBABILIDADES Foi na Pré-História, há cerca de 35 000 anos, que o primeiro dardo foi lançado pelo homem. Uma lança feita com o chifre de veado foi amarrada a um corpo de madeira, permitindo, assim, que os caçadores acertassem um animal à distância. Posteriormente, a história conta que Henrique VIII e Carlos VI, reis da Inglaterra e da França, respectivamente, eram grandes entusiastas dos jogos de dardos.

O modelo atual do jogo foi desenvolvido durante o século XIX nos bares ingleses, denominados pubs. Nessa época, utilizava-se, como alvo, uma tampa de barril com uma rolha localizada no centro. O termo “cork” (rolha) ainda é usado, ocasionalmente, nos dias de hoje, quando se refere ao Bullseye (centro do alvo).

Assim, considere que José Carlos pratica o jogo de dardos há alguns meses. De acordo com os resultados obtidos em seus últimos treinos, seu instrutor estima que a probabilidade de ele acertar o alvo com um tiro é de 2/5. Portanto, em uma sequência de cinco tentativas, qual seria a probabilidade de José acertar o alvo exatamente três vezes?

No cálculo dessa probabilidade, temos que levar em conta todas as sequências de acertos e erros das cinco tentativas.

De maneira geral, utiliza-se a lei binomial das probabilidades para se calcular a probabilidade de um experimento com as seguintes características: n n

Fonte: Shutterstock.com

n

O experimento se repete, nas mesmas condições, em n etapas distintas e independentes.

Em cada etapa, são admitidos apenas dois resultados chamados de sucesso (obter o resultado esperado) e fracasso (não obter o resultado esperado).

No decorrer do experimento, as probabilidades p de sucesso e q de fracasso, tal que p + q = 1, em cada uma das n etapas devem se manter constantes.

Assim, se um desses experimentos for realizado em n etapas sucessivas e independentes, a probabilidade de ocorrer um evento A exatamente k vezes é dada por:

n P(A) =   ⋅ pn ⋅ qn−k k  Sendo: n n n

P(A) a probabilidade de que o evento A ocorra exatamente k vezes nas n etapas. p a probabilidade de sucesso. q a probabilidade de fracasso.

Essa expressão é denominada Lei Binomial das probabilidades.

Figura 01 - Jogo moderno de dardos.

366

Matemática e suas Tecnologias

Demonstração Dados dois eventos complementares A e A , temos que o evento A deve ocorrer em exatamente k das n etapas e o evento A vai ocorrer nas n – k etapas restantes. Assim, temos que:

Desse esquema, temos que a probabilidade P de ocorrer o evento A nas k primeiras etapas e o evento A nas n – k etapas restantes é dada por: P’ = pn ⋅ qn – k O evento A não ocorre, necessariamente, nas primeiras k etapas, ou seja, A ocorre k vezes em qualquer uma das n etapas possíveis. Portanto, todos os casos possíveis são n n dados por Cn, k =   e P’ = pn ⋅ qn – k ocorre   vezes. Portanto: k   k 

n P(A) =   ⋅ pn ⋅ qn−k k 

EXEMPLOS

RESOLUÇÃO Se um experimento aleatório é repetido n vezes, em condições idênticas, com repetições independentes entre si, a probabilidade do evento A ocorrer k vezes é dada por:

n P(A) =   ⋅ pk .qn −k k  Sendo p = 1/2 a probabilidade de ocorrer cara em qualquer um dos lançamentos, a probabilidade q de não ocorrer cara em qualquer um dos lançamentos é dada por: q = 1 – p ⇒ q = 1 – 1/2 = 1/2 Assim, a probabilidade de ocorrer exatamente duas caras (k = 2) em sete lançamentos (n = 7) é dada por: 2

7  1   1  P(A) =   ⋅   ⋅   2  2   2 

7−2

1 1 21 = 21 ⋅ ⋅ = 4 32 128

Portanto, a probabilidade de ocorrerem exatamente duas caras é 21/128.

02. Uma prova é composta de 6 questões com 4 alternativas cada uma, com 1 única resposta correta. Se um aluno responder aleatoriamente às 6 questões, qual a probabilidade de ele acertar exatamente 3 das 6?

RESOLUÇÃO Se um experimento aleatório é repetido n vezes, em condições idênticas, com repetições independentes entre si, a probabilidade do evento A ocorrer k vezes é dada por:

n P(A) =   ⋅ pk .qn −k k  Sendo p = 1/4 a probabilidade de o aluno acertar uma questão qualquer, a probabilidade q dele não acertar uma questão qualquer é dada por: q = 1 – p ⇒ q = 1 – 1/4 = 3/4 Assim, a probabilidade dele acertar exatamente três (k = 3) das seis questões (n = 6) é dada por: 2

6  1   3  P(A) =   ⋅   ⋅   3  4   4 

6−3

= 20 ⋅

1 27 105 ⋅ = 16 64 256

Portanto, a probabilidade de o aluno acertar três questões é 105/256.

367

C20  Lei binominal das probabilidades

01. Uma moeda é lançada sete vezes. Qual a probabilidade de ocorrerem exatamente duas caras?

eterproo da dois obado é

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Uma moeda não viciada é lançada seis vezes. Qual a probabilidade de ocorrerem exatamente: a) 5/16 b) 5/64

aluno marcar aleatoriamente todas as questões, calcule a probabilidade de que ele a) 210 ⋅ 0,254 ⋅ 0,756 b) 0,2510

a) 3 caras e 3 coroas? b) 4 caras e 2 coroas?

02. A probabilidade de ocorrer defeito no teste de um componente eletrônico é de 2%. Analisando-se 15 desses componentes, qual a probabilidade de que a) 105 ⋅ 0,022 ⋅ 0,9813

b) 3 003 ⋅ 0,025 ⋅ 0,9810

a) acerte quatro questões. b) acerte todas as questões.

04. A probabilidade de um atirador acertar o alvo com um tiro é de 70%. Ao fazer cinco tentativas, qual a probabilidade de ele acertar o alvo 1 4 3 2 a) 5 ⋅ 0,7 ⋅ 0,3

a) exatamente dois apresentem defeito? b) exatamente cinco apresentem defeito?

03. Uma prova de matemática possui 10 questões com 4 alternativas de reposta, das quais apenas uma é correta. Se um

b) 10 ⋅ 0,7 ⋅ 0,3

a) uma vez. b) três vezes.

05. Um casal planeja ter 4 filhos. Qual a probabilidade de nascerem pelo menos duas meninas? 11/16

Exercícios Complementares 01. (FGV SP) Uma moeda é viciada de tal forma que os resultados possíveis, cara e coroa são tais, que a probabilidade de sair cara num lançamento é o triplo da de sair coroa. a) 3/4 a) Lançando-se uma vez a moeda qual a probabilidade de sair cara? b) Lançando-se três vezes a moeda, qual a probabilidade de sair exatamente uma cara?

C20  Lei binominal das probabilidades

02. (IFAL) Um casal planeja ter 4 crianças. A probabilidade de que o casal tenha exatamente 3 meninos, dado que a primeira criança que nasceu é menina é a) 1/4 b) 1/8 c) 1/3 d) 1/2 e) 1/5 03. (Enem MEC) O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos? a) 2 ⋅ (0,2%)4 b) 4 ⋅ (0,2%)2 c) 6 ⋅ (0,2%)2 ⋅ (99,8%)2 d) 4 ⋅ (0,2%) e) 6 ⋅ (0,2%) ⋅ (99,8%) 04. (Uerj RJ) Uma prova é composta por 6 questões com 4 alternativas de resposta cada uma, das quais apenas uma delas é correta. Cada resposta correta corresponde a 3 pontos ganhos; cada erro ou questão não respondida, a 1 ponto

368

b) 9/64

perdido. Calcule a probabilidade de um aluno que tenha respondido aleatoriamente a todas as questões obter um total de pontos exatamente igual a 10. 135/4096

05. (UFPE) Um casal planeja ter 4 filhos. Supondo igual a chance de um filho nascer do sexo masculino ou do sexo feminino, qual a probabilidade de o casal vir a ter, no mínimo, dois filhos do sexo masculino? a) 0,6871 b) 0,6872 c) 0,6873 d) 0,6874 e) 0,6875 06. (Fuvest SP) São efetuados lançamentos sucessivos e independentes de uma moeda perfeita (as probabilidades de cara e coroa são iguais) até que apareça cara pela segunda vez. a) 7/256 b) 1/7 a) Qual é a probabilidade de que a segunda cara apareça no oitavo lançamento? b) Sabendo-se que a segunda cara apareceu no oitavo lançamento qual é a probabilidade condicional de que a primeira cara tenha aparecido no terceiro?

07. (ITA SP) Considere os seguintes resultados relativamente ao lançamento de uma moeda: I. Ocorrência de duas caras em dois lançamentos. II. Ocorrência de três caras e uma coroa em quatro lançamentos. III. Ocorrência de cinco caras e três coroas em oito lançamentos. Pode-se afirmar que: a) dos três resultados, I é o mais provável. b) dos três resultados, II é o mais provável. c) dos três resultados, III é o mais provável. d) os resultados I e II são igualmente prováveis. e) os resultados II e III são igualmente prováveis.

FRENTE

C

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (Uni-FaceF SP) Em uma urna foram colocadas 20 bolas verdes, numeradas de 11 a 30, e 16 bolas brancas, numeradas de 15 a 30. Retirando- se aleatoriamente uma bola dessa urna, a probabilidade de que o número dela seja par e de que a soma de seus algarismos seja maior ou igual a 8 é: a) 1/9 b) 1/6 c) 2/9 d) 1/3 e) 5/6 02. (Acafe SC) Analise o caso e responda: Escolhendo ao acaso um desses pacientes, qual a probabilidade de que seja um homem que sofra de osteoporose ou uma mulher que não sofra dessa doença?

A osteoporose é uma doença óssea sistêmica, caracterizada por alterações da resistência óssea, o que aumenta a fragilidade dos ossos e consequentemente aumenta o risco de fraturas.

Sabe-se que a probabilidade de um homem com mais de 50 anos ter desenvolvido essa doença ao longo da vida é de 15%, por outro lado, em mulheres na pós-menopausa a chance de ter desenvolvido essa doença é de 25%. Num determinado grupo de pacientes existe 25 homens com mais de 50 anos e 40 mulheres na pós menopausa. a) 3/52 b) 27/52 c) 6/13 d) 3/91 03. (UnB DF) Observe a tabela a seguir: Idade

Probabilidade de morte %

0 – 10

3,23

10 – 20

0,65

20 – 30

1,21

30 – 40

1,84

40 – 50

4,31

50 – 60

9,69

60 – 70

18,21

70 – 80

27,28

80 em diante

33,58

Total

100,00

Com base nessa tabela, em que estão representadas as probabilidades de morte nas diferentes faixas etárias, nos Estados Unidos da América, calcule, em porcentagem, a probabilidade de um indivíduo que tem, hoje, 60 anos morrer antes de atingir o seu septuagésimo aniversário. Despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista. 23% 04. (UFRJ) Um novo exame para detectar certa doença foi testado em trezentas pessoas, sendo duzentas sadias e cem portadoras da tal doença. Após o teste verificou-se que, dos laudos referentes a pessoas sadias, cento e setenta resultaram negativos e, dos laudos referentes a pessoas portadoras da doença, noventa resultaram positivos. a) 2/5 b) 3/4 a) Sorteando ao acaso um desses trezentos laudos, calcule a probabilidade de que ele seja positivo. b) Sorteado um dos trezentos laudos, verificou-se que ele era positivo. Determine a probabilidade de que a pessoa correspondente ao laudo sorteado tenha realmente a doença.

05. (Fuvest SP) Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas.

Três bolas são retiradas ao acaso, sucessivamente, sem reposição. Determine: a) 15/56 b) 1/3 a) A probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca. b) A probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca, sabendo- se que as três bolas retiradas não são da mesma cor.

06. (Uerj RJ) Em uma sala, encontram-se dez halteres, distribuídos em cinco pares de cores diferentes. Os halteres de mesma massa são da mesma cor. Seu armazenamento é denominado “perfeito” quando os halteres de mesma cor são colocados juntos. Nas figuras abaixo, podem-se observar dois exemplos de armazenamento perfeito

Arrumando-se ao acaso os dez halteres, a probabilidade de que eles formem um armazenamento perfeito equivale a a) 1/5 040 b) 1/945 c) 1/252 d) 1/120 369

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FRENTE

D

O Arco de Apolônio no meio de uma antiga rua na cidade de Antalya, Turquia.

MATEMÁTICA Por falar nisso Apolônio de Perga, também conhecido como “O grande Geômetra”, foi um matemático grego que viveu entre os séculos III a.C. e II a.C. Acredita-se que ele estudou e tenha vivido muito tempo em Alexandria, na época em que foram construídos o Museu e a Biblioteca, centro do saber ocidental. Apolônio foi também um grande astrônomo e destacou-se por criar o modelo matemático favorito da Antiguidade para representação do movimento dos planetas.

Apolônio foi o autor de uma das principais obras científicas da Antiguidade, chamada As Cônicas, que consistia em oito livros com 387 proposições. Assim, mostrou-se pela primeira vez que, a partir de um cone duplo, é possível obter as três espécies de secções cônicas, apenas variando a inclinação do plano de secção.

Portanto, dados cones retos cujos vértices são coincidentes (cone circular reto de folha dupla) e um plano secante que não passa pelo vértice desse cone, denomina-se seção cônica ou, simplesmente, cônica, a curva obtida através do corte do cone por esse plano. Dependendo de onde ocorre o corte, a cônica poderá ser classificada como elipse, hipérbole ou parábola. Observe as figuras a seguir:

Elipse

Parábola

Hipérbole

Note que, quando o plano que corta o cone duplo for: n oblíquo à sua base, a seção obtida é uma elipse; n paralelo a uma de suas geratrizes, a seção obtida é uma parábola; n paralelo ao seu eixo, a seção obtida é uma hipérbole.

Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

D17 D18 D19 D20

Elipse ....................................................................................................372 Hipérbole .............................................................................................377 Parábola ...............................................................................................383 Lugares geométricos ............................................................................388

FRENTE

D

MATEMÁTICA

MÓDULO D17

ASSUNTOS ABORDADOS n Elipse n Definição n Elementos n Relação fundamental n Excentricidade n Equações reduzidas n Elipse com centro diferente da origem

ELIPSE O geocentrismo ou modelo geocêntrico é o mais antigo modelo de configuração do Sistema Solar. De acordo com esse molde, a Terra era o centro do Universo e todos os planetas, assim como o Sol, giravam ao seu redor. Essa teoria surgiu durante um período em que se discutia amplamente os aspectos da natureza. Nesse sentido, os filósofos da época elegeram quatro elementos fundamentais: água, terra, fogo e ar.

O matemático e astrônomo grego Cláudio Ptolomeu(78 - 161 d.C.) foi um dos responsáveis por trabalhar essa teoria de forma definitiva, ao escrever o tratado Almagesto. Nesta obra, ele se baseava na hipótese de que a Terra estaria parada no centro do Universo e tudo o mais girava ao seu redor, embora a teoria heliocêntrica (que coloca o Sol no centro do Universo) já tivesse sido postulada pelo grego Aristarco Samos (310 - 230 a. C.), sendo resgatada por Nicolau Copérnico (1473 - 1543).

Posteriormente, com o estudo dos astros e dos planetas, nos quais Kepler foi um dos grandes responsáveis, determinou-se que o movimento de translação descreve uma elipse, em que o Sol é um dos focos. Esse estudo concluiu que a maior distância entre a Terra e o Sol (afélio) é de aproximadamente 152 106 km e a menor distância é de 147 106 km. Observe a ilustração a seguir: Tal situação, pode ser descrita matematicamente da seguinte forma

SOL Periélio

Afélio

152.106 km

Com isso, podemos concluir que a maior distância D, aproximada, entre dois pontos da órbita terrestre, será dada por: D = 152 ⋅ 106 + 147 ⋅ 106 = 299 ⋅ 106 km Figura 01 - Movimento da Terra em torno do Sol.

372

O estudo da elipse se faz importante não só no âmbito da Matemática, mas também para a determinação de estações climáticas, assim como de rota de planetas, cometas etc.

Fonte: Shutterstock.com

6

147.10 km

Matemática e suas Tecnologias

Definição Considere dois pontos distintos: F1 e F2, pertencentes a um plano α, cuja distância entre eles é 2c. Denomina-se elipse, o conjunto de pontos de α, tais que a soma das distâncias aos pontos F1 e F2 é constante e igual a 2a, sendo 2a > 2c.

Observe a figura a seguir

Os pontos A1, A2, B1 e B2 são os vértices;

n

O segmento F1F2 , de medida 2c, é a distância focal;

n

O segmento A1 A2 , de medida 2a, é o seu eixo maior;

n

O segmento B1B2 , de medida 2b, é o eixo menor.

Relação fundamental Observando a figura anterior e aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OF2B2, temos a seguinte relação:

Q

P

n

a2 = b2 + c2 F2

F1

A1

A2

Assim, temos que o quadrado da medida do semieixo maior é igual à soma dos quadrados das medidas do semieixo menor e da semidistância focal.

R

Excentricidade

S 2c 2a

Sendo P, Q, R, S, F1, F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < 2a, temos que 2a dPF1 + dPF2 =  2a dQF1 + dQF2 =  + = d d 2a RF2  RF1 d + d = 2a SF2  SF1

A excentricidade (e) é um número dado pela razão entre a medida da semidistância focal e a medida do semieixo maior, ou seja e=

c a

Observações: n Como 2a > 2c, então temos que a excentricidade “e” é um número tal que 0 < e < 1. n A excentricidade é um número que indica o quanto os pontos de uma elipse estão próximos de uma circunferência ou de um segmento de reta. Assim, observa-se que quanto mais “achatada” é a elipse, maior é a sua excentricidade e, consequentemente, quanto menos “achatada” é a elipse, menor é a sua excentricidade.

Observe as figuras a seguir:

Note que a medida de A1 A2 também é 2a, pois dA1F1 + dA1F2 = 2a  2a dA2F1 + dA2F2 =

Elementos Na figura a seguir, temos uma elipse na qual destacam-se os seguintes elementos:

F2

F1

F1

F2

B2

A1

Elipse e1

a

b F1

F2 0 c

n

A2

2b

Elipse e2

Como a elipse e1 é mais “achatada” do que a elipse e2, dizemos que a excentricidade da elipse e1 é maior do que a excentricidade da elipse e2.

Equações reduzidas

n n

2c

1º caso: Elipse com centro (0, 0) e eixo maior sobre o eixo

2a

das abscissas

O ponto O é o centro; Os pontos F1 e F2 são os focos;

Na figura a seguir, temos uma elipse de centro O (0, 0) e focos F1 e F2 localizados no eixo das abscissas.

373

D17  Eclipse

B1

Matemática

2º caso: Elipse com centro (0, 0) e eixo maior sobre o eixo

y

das ordenadas

B2 P(x, y)

A1

F1

F2

Na figura a seguir, temos uma elipse de centro O (0, 0) e focos F1 e F2 localizados no eixo das ordenadas.

A2

0

x

y A2 F2

P(x, y)

B1

Nessa elipse, temos que n n

As coordenadas dos focos são F1(-c, 0) e F2(c, 0).

As coordenadas dos vértices são A 1(-a, 0), A 2(a, 0), B1(0, -b) e B2(0, b).

B2

B1

x

0

A equação reduzida dessa elipse é dada por x 2 y2 + = 1 a2 b2 Demonstração Sendo P(x, y) um ponto qualquer dessa elipse, temos que a soma das distâncias de P aos focos F1 e F2 é igual a 2a. Assim, temos que dPF1 + dPF2 = 2a ⇒ (x − c)2 + (y − 0)2 + [x − (−c)]2 + (y − 0)2 = 2a

F1 A1

Nessa elipse, temos que n n

As coordenadas dos focos são F1(0, -c) e F2(0, c).

As coordenadas dos vértices são A 1(0, -a), A 2(0, a), B1(-b, 0) e B2(b, 0).

A equação reduzida dessa elipse é dada por: x 2 y2 + = 1 b2 a2

Portanto, temos que (x − c)2 + y2 + (x + c)2 + y2 = 2a ⇒ (x + c)2 + y2 = 2a − (x − c)2 + y2

A demonstração dessa equação é análoga à demonstração já feita para a equação do 1º caso.

Elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade, temos que

Elipse com centro diferente da origem

x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 – 4a (x − c)2 + y2 + x2 – 2cx + c2 + y2 Isolando o termo que contém a raiz, temos que 4a (x − c)2 + y2 = 4a2 – 4cx ⇒ a (x − c)2 + y2 = a2 – cx Elevando novamente ao quadrado ambos os membros da igualdade, temos que a2(x2 – 2cx + c2 + y2) = a4 – 2a2cx + c2x2 ⇒ a2x2 – 2a2cx + a2c2 + a2y2 = a4 – 2a2cx + c2x2 Reduzindo os termos semelhantes, temos que

D17  Eclipse

a2x2 – c2x2 + a2y2 = a4 – a2c2 ⇒ (a2 – c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2) ⇒ b2x2 + a2y2 = a2b2 Dividindo todos os termos dessa igualdade por a2b2, temos que b2 x 2 a2 y2 a2b2 x 2 y2 1 + 2 2 = ⇒ 2+ 2 = 2 2 2 2 ab ab ab a b 374

Caso o centro da elipse seja o ponto (x0, y0) ≠ (0, 0), então suas equações apresentam-se da seguinte forma 1º caso - Elipse de centro O(x0, y0) e eixo maior paralelo ao eixo das abscissas.

Nesse caso, a equação da elipse é dada por

( x − x0 )

2

a2

( y − y0 )

2

+

b2

= 1

2º caso - Elipse de centro O(x0, y0) e eixo maior paralelo ao eixo das ordenadas.

Nesse caso, a equação da elipse é dada por:

( x − x0 )

2

b2

( y − y0 )

2

+

a2

= 1

Matemática e suas Tecnologias

EXEMPLOS 01. Obtenha a equação da elipse em que os vértices do eixo maior são A1(-5, 0) e A2(5, 0) e focos são F1(-4, 0) e F2(4, 0).

RESOLUÇÃO

x2 y2 x2 y2 1 ⇒ 1 + 2= + = 2 b a 64 100 Portanto, a equação é

O centro de uma elipse é o ponto médio do segmento cujos extremos são os vértices ou os focos. Assim, temos que as coordenadas do centro O(x0, y0) é dado por −5 + 5 0+0 = 0 e= y0 = 0 2 2 Logo, o centro dessa elipse é O(0, 0).

Nessa elipse, temos que = x0

x2 y2 1. + = 64 100

03. Considerando a elipse 9x² + 16y² – 36x – 32y – 92 = 0, com eixos paralelos aos eixos coordenados, obtenha: a) as coordenadas do seu centro; b) a sua distância focal; c) a sua excentricidade.

RESOLUÇÃO

OF1 = OF2 = c= 4 OA1 = OA2 = a= 5

A equação apresentada está na forma desenvolvida. Vamos, a partir dela, obter a equação reduzida.

Pela relação fundamental da elipse, temos a2 = b2 + c2 ⇒ 52 = b2 + 42 ⇒ b2 = 9 ⇒ b = 3

9x² + 16y² – 36x – 32y – 92 = 0 ⇒ 9x² – 36x + 16y² – 32y = 92

Substituindo na equação reduzida, temos

Completando os dois quadrados perfeitos do 1º membro da equação, temos 9(x² – 4x + ...) + 16(y² – 2y + ...) = 92 ⇒ 9(x² – 4x + 4) + 16(y² – 2y + 1) = 92 + 36 + 16 9(x – 2)2 + 16(y – 1)2 = 144

x2 y2 x2 y2 1 ⇒ 1 + 2= + = 2 a b 25 9 Portanto, a equação é

x2 y2 1. + = 25 9

Dividindo toda a expressão por 144, teremos

02. Obtenha a equação da elipse centrada na origem, com focos no eixo das ordenadas, cuja distância focal é 12 e o eixo maior é 20.

RESOLUÇÃO Para essa elipse, temos que Distância focal: 2c = 12 ⇒ c = 6 Eixo maior: 2a = 20 ⇒ a = 10 Pela relação fundamental da elipse, temos

9 ( x − 2) 16 ( y − 1 ) 144 ( x − 2) + ( y − 1 ) = ⇒ + = 1 16 9 144 144 144 Pela equação reduzida que foi obtida, temos que a2 = 16 ⇒ a = 4 b2 = 9 ⇒ b = 3 Pela relação fundamental da elipse, temos 2

2

2

2

a2 = b2 + c2 ⇒ 16 = 9 + c2 ⇒ c2 = 7 ⇒ c =

7

Daí, temos que a) O centro dessa elipse é o ponto O(2, 1).

a2 = b2 + c2 ⇒ 102 = b2 + 62 ⇒ b2 = 64 ⇒ b = 8

b) A distância focal dessa elipse é 2c = 2 7 .

Substituindo na equação reduzida da elipse com focos no eixo das ordenadas, temos

c = a

c) A excentricidade dessa elipse é e=

7 .

4

Exercícios de Fixação 01. Obtenha as equações reduzidas das elipses das figuras a seguir: b)

y 3

F1 -4

y

4

3 F2 F2 4

0

0

2

x

02. Obtenha a equação de uma elipse tal que a) seus focos são F1(0, –3) e F2(0, 3) e seu eixo maior tem comprimento igual a 6. b) sua excentricidade é 2/3 e seu eixo maior tem comprimento igual a 12. x 2 y2 1 25 9

b)

x 2 y2 1 4 13

3

04. Dada a elipse de equação 3x2 + 4y2 = 48, obtenha: x

-3 F1

Q1. a)

03. Qual é a equação reduzida da elipse, cujos focos são os pon2 2 tos F1(–1, 0) e F2(1, 0) e que passa pelo ponto P(2, 0). x y 1

a) as medidas dos eixos maior e menor; b) a excentricidade.

a) 8 e 4 3 b) 1/2

05. Obtenha as coordenadas do centro da elipse 25x2 + 16y2 + 300x – 64y + 186 = 0. (−6, 2)

D17  Eclipse

a)

c) sua excentricidade é 4/5 e seus focos são F1(–8, 5) e F2(0, 5).

06. Obtenha a distância focal da elipse x2 + 9y2 – 10x + 72y + 160 = 0. 4 2 2 2 Q2. a) x y 1 9 18

2 2 b) x y 1 36 20

c) x 4 y 5 1 25 9 2

2

375

Matemática

Exercícios Complementares 01. (UFF RJ) Haroldo, ao construir uma piscina, amarra as extremidades de uma corda de 6,0 m de comprimento nas estadas E1 e E2. Com o riscador R, estica a corda, de modo a obter o triângulo E1RE2. Deslizando o riscador R de forma que a corda fique sempre esticada e rente ao chão, obtém o contorno da piscina desenhado na figura a seguir.

05. (Cesgranrio RJ) A equação 9x² + 4y² – 18x – 27 = 0 representa, no plano cartesiano, uma curva fechada. A área do retângulo circunscrito a essa curva, em unidades apropriadas, vale: a) 36 b) 24 c) 18 d) 16

R

e) 12 2,0 m

06. (UEL PR) Existem pessoas que nascem com problemas de E1

M

saúde relacionados ao consumo de leite de vaca. A pequena

E2 2,0 m

Laura, filha do Sr. Antônio, nasceu com este problema. Para solucioná-lo, o Sr. Antônio adquiriu uma cabra que pasta em um campo retangular medindo 20 m de comprimento e 16 m de largura. Acontece que as cabras comem tudo o que aparece

Se M é o ponto médio do segmento E1E2 , a distância entre as estacas, em metros, é a) 5 b) 5 c) 2 5 d) 2 6 e) 6 2

à sua frente, invadindo hortas, jardins e chácaras vizinhas.

O Sr. Antônio resolveu amarrar a cabra em uma corda presa pelas extremidades nos pontos A e B que estão 12 m afastados um do outro. A cabra tem uma argola na coleira por onde é passada a corda, de tal modo que ela possa deslizar livremente por toda a extensão da corda. Observe a figura e responda a questão à seguir.

x 2 y2 + = 02. (PUC SP) As coordenadas dos focos da elipse 1 são 9 25 a) (4, 4) e (4, -4) b) (0, 4) e (0, -4) c) (4, 0) e (-4, 0) d) (4, 4) e (-4, -4) e) nda x 2 y2 + = 1 e seja 49 36 P um ponto dessa elipse. A soma das distâncias de P aos focos vale a) 7 b) 6

16m

6m

4m A

03. (FGV SP) Considere a elipse de equação

D17  Eclipse

c) 2 13 d) 12 e) 14 04. (Mackenzie SP) Uma elipse tem o eixo maior igual a 12 e o eixo menor igual a 8. A excentricidade dessa elipse é igual a a) 20 / 3 b) 3/2 c) 2/3 d) 5 / 3 e) 3 5 / 3

376

B

20 m

Qual deve ser o comprimento da corda para que a cabra possa pastar na maior área possível, dentro do campo retangular? a) 10 m b) 15 m c) 20 m d) 25 m e) 30 m 07. (UFPB) Sejam k um número real positivo e F1(3, 0) e F2(−3, 0) os focos da elipse de equação 16x2 + ky2 = 16k.

Sabendo-se que P é um ponto dessa elipse, cuja distância ao foco F1 mede 4 unidades de comprimento, calcule a distância de P ao foco F2.

Gabarito. 6

FRENTE

D

MATEMÁTICA

MÓDULO D18

HIPÉRBOLE

ASSUNTOS ABORDADOS

Uma transformação isotérmica ocorre quando um gás, em condições ideais, sofre variação na sua pressão e no seu volume, mantendo a temperatura constante. A palavra “isotérmica” deriva do grego. A sigla iso significa igual, e thermo significa calor, ou seja, “calor igual”, remetendo a uma temperatura que não muda.

O cientista, físico e naturalista inglês Robert Boyle (1627-1691) foi o primeiro a estudar esse tipo de transformação gasosa, em 1662. Posteriormente, em 1676, o físico francês Edme Mariotte (1620-1684) repetiu os experimentos de Boyle e os divulgou na França, dando crédito também a Boyle.

n Hipérbole n Definição n Elementos n Relação fundamental n Excentricidade n Equações reduzidas n Hipérbole com centro diferente da origem n Assíntotas da hipérbole

A lei de Boyle-Mariotte pode ser assim enunciada: “Em um sistema fechado em que a temperatura é mantida constante, os volumes de uma mesma massa de gás estão na razão inversa das pressões que produzem”.

Nessa situação, dizemos que o volume e a pressão do gás são grandezas inversamente proporcionais, ou seja, o produto da pressão P e do volume V é constante. O gráfico desse tipo de transformação é conhecido por isoterma e a curva característica é uma hipérbole. Observe a figura a seguir V Figura 01 - Tanque de cilindro de gás acetileno com reguladores de medição de pressão

V1 isoterma V2 V3 0

P1

P2

P3

P

377

Matemática

Definição

S P

F2

A2

0

A1

F1

Considere dois pontos distintos F1 e F2, pertencentes a um plano α, cuja distância entre eles é 2c. Denomina-se hipérbole o conjunto de pontos de α, tais que o módulo da diferença das distâncias aos pontos F1 e F2 é constante e igual a 2a, sendo 2a < 2c.

Observe a figura ao lado Sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 > 2a, temos que

Q

 dPF − dPF 2  1  dQF − dQF  1 2   dRF1 − dRF2   dSF1 − dSF2

R 2a 2c

= 2a = 2a = 2a = 2a

Note que a medida de A1 A2 também é 2a, pois  dA F − dA F = 2a  11 1 2  2a  dA2F1 − dA2F2 =

Elementos Na figura a seguir, temos uma hipérbole em que podemos destacar os seguintes elementos:

B2 b F2

A2

c

0 a

2b A1

F1

B1 2a 2c

n

O ponto O é o centro; Os pontos F1 e F2 são os focos; Os pontos A1 e A2 são os vértices;

n

O segmento F1F2 , de medida 2c, é a distância focal;

n

O segmento A1 A2 , de medida 2a, é o eixo real;

n

O segmento B1B2 , de medida 2b, é o eixo imaginário.

n n

D18  Hipérbole

Observação n Uma hipérbole é equilátera se, e somente se, as medidas dos eixos real e imaginário forem iguais.

378

Matemática e suas Tecnologias

Relação fundamental

dPF1 − dPF2 = 2a ⇒

Observando a figura anterior e aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OA1B2, temos a seguinte relação c2 = a 2 + b 2

[x − (−c)]2 + (y − 0)2 − (x − c)2 + (y − 0)2 = ±2a

Portanto, temos que

Assim, temos que o quadrado da semidistância focal é igual à soma dos quadrados das medidas do semieixo real e do eixo imaginário.

Excentricidade A excentricidade “e” é um número dado pela razão entre a medida da semidistância focal e a medida do semieixo real, ou seja c a

e=

(x + c)2 + y2 − (x − c)2 + y2 = ±2a ⇒ (x + c)2 + y2 = ±2a + (x − c)2 + y2

Elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade, temos que x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 ± 4a (x − c)2 + y2 + x2 – 2cx + c2 + y2 Isolando o termo que contém a raiz, temos que ±4a (x − c)2 + y2 = −4a2 + 4cx ⇒ ±a (x − c)2 + y2 = −a2 + cx

Observação n Como 2c > 2a, então temos que a excentricidade “e” é um número tal que e > 1.

Equações reduzidas

Elevando novamente ao quadrado ambos os membros da igualdade, temos que a2(x2 – 2cx + c2 + y2) = a4 – 2a2cx + c2x2 ⇒ a2x2 – 2a2cx + a2c2 + a2y2 = a4 – 2a2cx + c2y2 Reduzindo os termos semelhantes, temos que

1º caso - Hipérbole com centro (0, 0) e eixo real sobre o eixo das abscissas Na figura a seguir, temos uma hipérbole de centro O(0, 0) e focos F1 e F2 localizados no eixo das abscissas.

a2x2 – c2x2 + a2y2 = a4 – a2c2 ⇒ (a2 – c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2) ⇒ −b2x2 + a2y2 = −a2b2 Dividindo todos os termos dessa igualdade por −a2b2, temos que

x2 y2 −b2 x 2 a2 y2 −a2b2 1 + = − = ⇒ −a2b2 −a2b2 −a2b2 a2 b2

y P(x,y)

2º caso - Hipérbole com centro (0, 0) e eixo real sobre o eixo das ordenadas

F1

0

A1

A2

F2

x

Na figura a seguir, temos uma hipérbole de centro O(0, 0) e focos F1 e F2 localizados no eixo das ordenadas. y F2

Nessa hipérbole, temos que as coordenadas dos focos são F1(−c, 0) e F2(c, 0). as coordenadas dos vértices são A1(−a, 0) e A2(a, 0).

0

A equação reduzida dessa elipse é dada por 2

x

A1

2

x y − = 1 a2 b2 Demonstração Sendo P(x, y) um ponto qualquer dessa hipérbole, temos que o módulo da diferença das distâncias de P aos focos F1 e F2 é igual a 2a. Assim, temos que

F1

Nessa hipérbole, temos que n n

as coordenadas dos focos são F1(0, −c) e F2(0, c). as coordenadas dos vértices são A1(0, −a) e A2(0, a).

379

D18  Hipérbole

n n

P(x,y) A2

Matemática

A equação reduzida dessa hipérbole é dada por

y2 x2 − = 1 a2 b2 A demonstração dessa equação é análoga à demonstração já feita para a equação do 1º caso.

Hipérbole com centro diferente da origem Caso o centro da hipérbole seja o ponto (x0, y0) ≠ (0, 0), então suas equações se apresentam da seguinte forma: 1º caso - Hipérbole de centro O(x0, y0) e eixo real paralelo ao eixo das abscissas.

Nesse caso, a equação da hipérbole é dada por

( x − x0 )

2

a2

( y − y0 )

2

−

= 1

b2

2º caso - Hipérbole de centro O(x0, y0) e eixo maior paralelo ao eixo das ordenadas.

Nesse caso, a equação da hipérbole é dada por

( y − y0 )

2

a2

( x − x0 )

2

−

= 1

b2

Assíntotas da hipérbole Na figura a seguir, temos uma hipérbole de centro O(0, 0) e eixo real no eixo das abscissas. r1

y

F1

Q

B2

A1

C

A2

B1

N

M

P

F2

x

r2

Nessa figura, temos ainda um retângulo MNPQ, de lados medindo 2a e 2b, e as retas r1 e r2 que contêm as diagonais desse retângulo. Essas retas são denominadas assíntotas da hipérbole.

D18  Hipérbole

Para determinar as equações das assíntotas, basta utilizar as coordenadas dos vértices do retângulo MNPQ. Observações n Os ramos da hipérbole se aproximam cada vez mais das assíntotas, porém sem tocá-las. n A hipérbole equilátera MNPQ é um quadrado e, nesse caso, suas assíntotas são perpendiculares.

380

Matemática e suas Tecnologias

EXEMPLOS 01. Obtenha a equação da hipérbole que possui vértices A1(−4, 0) e A2(4, 0) e distância focal igual a 10.

RESOLUÇÃO O centro de uma hipérbole é o ponto médio do segmento cujos extremos são os vértices ou os focos. Assim, temos que as coordenadas do centro O(x0, y0) é dado por

−4 + 4 0+0 = x 0 = 0 e= y0 = 0 2 2 Logo, o centro dessa hipérbole é O(0, 0).

Nessa hipérbole, temos que

16y² – 9x² – 32y + 36x – 164 = 0 ⇒ 16y2 – 32y – 9x² + 36x = 164 Completando os dois quadrados perfeitos do 1º membro da equação, temos 16(y² – 2y + ...) – 9(x² + 4x + ...) = 164 ⇒ 16(y² – 2y + 1) – 9(x² – 4x + 4) = 164 + 16 – 36 16(y – 1)2 – 9(x – 2)2 = 144 Dividindo toda a expressão por 144, teremos

16 ( y − 1 ) 9 ( x − 2) 144 ( y − 1 ) − ( x − 2) = 1 − = ⇒ 9 16 144 144 144 2

2

Pela relação fundamental da hipérbole, temos c2 = a2 + b2 ⇒ 52 = 42 + b2 ⇒ b2 = 9 ⇒ b = 3 Substituindo na equação reduzida, temos x2 y2 x2 y2 1 ⇒ 1 − = − 2= 2 a b 16 9 x2 y2 1. − = 16 9 02. Obtenha a equação da hipérbole de excentricidade 5/3 e focos F1(0, −10) e F2(0, 10).

Portanto, a equação é

RESOLUÇÃO O centro de uma hipérbole é o ponto médio do segmento cujos extremos são os vértices ou os focos. Assim, temos que as coordenadas do centro O(x0, y0) é dado por

= x0

a2 = 9 ⇒ a = 3 b2 = 16 ⇒ b = 5 Pela relação fundamental da hipérbole, temos c2 = a2 + b2 ⇒ c = 32 + 52 ⇒ c2 = 34 ⇒ c =

34

Daí, temos que a) o centro dessa elipse é o ponto O(2, 1); b) a distância focal dessa elipse é 2c = 2 34 c 2 34 . = a 3

c) a excentricidade dessa elipse é e=

04. Obtenha as equações das assíntotas da hipérbole

x2 y2 1. − = 64 36

RESOLUÇÃO Da equação reduzida, temos que a2 = 64 ⇒ a = 8 b2 = 36 ⇒ b = 6 Observe a figura a seguir

−10 + 10 0+0 == 0 e y0 = 0 2 2

Logo, o centro dessa hipérbole é O(0, 0).

Nessa hipérbole, temos que

2

Pela equação reduzida que foi obtida, temos que

OA1 = OA2 = a= 4 F1F2 = 2c = 10 ⇒ c = 5

2

y Q

r1 P

F1F2 = 2c = 20 ⇒ c = 10

e=

c 5 10 ⇒ = ⇒a= 6 a 3 a

x

Pela relação fundamental da hipérbole, temos

Substituindo na equação reduzida da hipérbole com focos no eixo das ordenadas, temos: y2 x 2 y2 x 2 1 ⇒ 1 − 2= − = 2 a b 36 64 y2 x 2 Portanto, a equação é 1. − = 36 64

03. Considerando-se a elipse 16y² – 9x² – 32y + 36x – 164 = 0, com eixos paralelos aos eixos coordenados, obtenha: a) as coordenadas do seu centro; b) a sua distância focal; c) a sua excentricidade.

RESOLUÇÃO A equação apresentada está na forma desenvolvida. Vamos, a partir dela, obter a equação reduzida.

N

M

r2

Nessa figura, temos que as retas r1 e r2 são as assíntotas da hipérbole dada.

A assíntota r1 passa pelos pontos M(−8, −6) e P(8, 6). Assim, r1 é dada por

x

y 1

−8 −6 1 = 0 8 6 1 Desenvolvendo, teremos r1: 3x – 4y = 0 A assíntota r2 passa pelos pontos N(8, −6) e Q(−8, 6). Assim, r2 é dada por

x y 1 8 −6 1 = 0

D18  Hipérbole

c2 = a2 + b2 ⇒ 102 = 62 + b2 ⇒ b2 = 64 ⇒ b = 8

−8 6 1 Desenvolvendo, teremos r1: 3x + 4y = 0 Portanto, as assíntotas são 3x – 4y = 0 e 3x + 4y = 0.

381

Matemática Questão 01 a)

x 2 y2 1 9 16

b)

x 12

2

y2 x 2 1 4 12

Questão 02. a)

25

y 10 39

y 18

2

2

1

b)

49

x 15

2

72

1

Questão 03. a)

x 2 y2 1 9 16

b)

y2 x 2 1 16 20

Exercícios de Fixação 01. Obtenha as equações reduzidas das hipérboles das figuras a seguir a)

3 F

A F

A

2

1

x

8

B1

b) seus focos são F1(0, −6) e F2(0, 6) e sua excentricidade é 3/2.

A2

04. Qual é a equação reduzida da hipérbole cujos focos são os

B2 x

A1

a) seus focos são F1(−5, 0) e F2(5, 0) e seus vértices são A1(−3, 0) e A2(3, 0).

y F2

b)

y

03. Obtenha a equação de uma hipérbole tal que

2 3

pontos F1(−3, 0) e F2(3, 0) e que passa pelo ponto P( 5 , 2).

x 2 y2 1 3 6

5

05. Dada a hipérbole de equação 4x2 – 25y2 = 100, obtenha

F1

a) 10 e 4 b) 29/5

c) 4x – 25y = 0 e 4x + 25y = 0

a) as medidas dos eixos real e imaginário.

02. Obtenha as equações reduzidas das hipérboles das figuras a seguir a) y

F1

F2

F1(−8, 0) e F2(8, 0).

0

4 7

12

20 x

0

x 2 y2 1 32 32

07. Qual a distância focal da hipérbole 9x2 – y2 – 36x – 8y + 11 = 0?

18 11 7

c) as equações de suas assíntotas.

06. Obtenha a equação da hipérbole equilátera cujos focos são

b) y F2

10

b) a excentricidade.

F1 15

x

Exercícios Complementares 01. (Mackenzie SP) A distância entre os focos da cônica 3x2 – y2 – 9 = 0 é a) b) c) d) e)

2 4 6 8

3 3 3 3 3

D18  Hipérbole

02. (FESP PE) Em relação à hipérbole de equação x2 – 3y2 = 12, assinale a alternativa falsa. a) Seu eixo real mede 4 3 . b) Seu eixo imaginário mede 4. c) Sua distância focal mede 8. d) Sua excentricidade é 3 . e) Suas assíntotas são ± 3 – 3y = 0.

03. Obtenha a equação desenvolvida de uma hipérbole cuja ex14x2 – 2y2 = 63 centricidade é 2 2 e a distância focal é 12.

04. (Fuvest SP) A equação de uma das assíntotas à hipérbole de x 2 y2 1 é − = equação 16 64 382

a) y = 2x – 1 b) y = 4 c) y = x d) y = 2x + 1 e) y = 2x 05. (UFPI) O gráfico da equação x2 – y2 = 4 representa uma hipérbole. Os focos dessa hipérbole são a) (1/2, 0) e (−1/2, 0) b) (2, 0) e (−2, 0) c) (2 2 , 0) e (−2 2 , 0) d) (0, 2 ) e (0, − 2 ) e) (0, 1/2) e (0, −1/2) 06. (UAM) As coordenadas do centro da hipérbole de equação 9x2 – 18x – 4y2 – 16y = 43 são a) (2, 1) b) (−1, 2) c) (1, 2) d) (−1, −2) e) (1, −2)

2 10

FRENTE

D

MATEMÁTICA

MÓDULO D19

PARÁBOLA

ASSUNTOS ABORDADOS

A antena parabólica é um aparelho utilizado na transmissão e recepção de dados estabelecidos via satélite, praticamente em tempo real. Em uma estação de TV, portanto, o sinal é gerado e enviado para o satélite, que o retransmite, simultaneamente, para as antenas parabólicas posicionadas em sua área de cobertura. Com isso, a transmissão de uma emissora de TV pode chegar às áreas mais remotas, alcançando repetidoras locais e residências.

n Parábola n Definição n Elementos n Equações reduzidas n Parábola com vértice diferente da origem

Essas antenas refletem o sinal que chega em todas as direções para o centro da antena, onde o captador (chamado LNB) concentra todo o sinal em um único ponto para que se obtenha uma recepção aceitável.

A forma geométrica da antena é um paraboloide de revolução construído de forma que feixes paralelos de radiação eletromagnética reflitam em sua superfície e se concentrem em seu foco. Um paraboloide de revolução é um sólido obtido pela rotação de um conjunto de pontos muito importante da geometria analítica, que é a parábola.

Definição Dados um ponto F e uma reta d, pertencentes a um plano α, com F ∉ d, denomina-se parábola ao conjunto de pontos pertencentes ao plano α, equidistantes do ponto F e da reta d. Observe a figura a seguir Figura 01 - Antenas de transmissão no formato parabólico

T S

P F Q V

d

Fonte: Shutterstock.com

R

383

Matemática

Sendo P, Q, R, S e F pontos e d uma reta, todos de um mesmo plano, temos que dPF = dPd d = d  QF Qd  d = d SF Sd  dTF = dTd

Elementos Na figura a seguir, temos uma parábola em que podemos destacar os seguintes elementos S

F p V

p d

R

n n n n n

O ponto F é o foco; O ponto V é o vértice; A reta d é sua diretriz; A reta s é o eixo de simetria; p é a distância do vértice ao foco e do vértice à reta diretriz.

Note que n n

o eixo de simetria da parábola é perpendicular à sua reta diretriz. o vértice da parábola é o ponto médio do segmento RF , ou seja, VR = VF = p.

Equações reduzidas 1º caso - Parábola com vértice (0, 0), eixo de simetria sobre o eixo das ordenadas e concavidade voltada para cima.

Na figura a seguir, temos uma parábola de vértice O(0, 0), foco F e reta diretriz d. y

P(x, y)

D19  Parábola

F(0, p) F V

384

x d

Matemática e suas Tecnologias

Elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade, temos que

Nessa parábola, temos que n n

as coordenadas do foco é F(0, p). a equação da reta diretriz é d: y = −p.

x2 + y2 + 2py + p2 = y2 – 2py + p2 ⇒ x2 = -4py

A equação reduzida dessa elipse é dada por

3º caso - Parábola com vértice (0, 0), eixo de simetria sobre o eixo das abscissas e concavidade voltada para a direita.

x = 4py 2

Na figura a seguir, temos uma parábola de vértice O(0, 0), foco F e reta diretriz d.

Demonstração Sendo P(x, y) um ponto qualquer dessa parábola, temos que a distância de P ao foco F é igual à distância de P à reta diretriz d. Assim, temos que dPF = dPd ⇒

( x − 0) + ( y − p) 2

2

d

y P(x, y)

= y +p

Elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade, temos que

V

2

2

2

2

x

F(p, 0)

x + y – 2py + p = y + 2py + p ⇒ x = 4py 2

2

2º caso - Parábola com vértice (0, 0), eixo de simetria sobre o eixo das ordenadas e concavidade voltada para baixo.

Na figura a seguir, temos uma parábola de vértice O(0, 0), foco F e reta diretriz d.

Nessa parábola, temos que

y

n

as coordenadas do foco é F(p, 0). a equação da reta diretriz é d: x = −p.

d

n

x

A equação reduzida dessa elipse é dada por

V F(0,-p)

y2 = 4px P(x, y)

Nessa parábola, temos que n n

as coordenadas do foco é F(0, −p). a equação da reta diretriz é d: y = p.

A equação reduzida dessa elipse é dada por x 2 = −4py

Demonstração Sendo P(x, y) um ponto qualquer dessa parábola, temos que a distância de P ao foco F é igual à distância de P à reta diretriz d. Assim, temos que dPF = dPd ⇒

( x − p) + ( y − 0) 2

2

= x +p

Elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade, temos que x2 – 2px + p2 + y2 = x2 + 2px + p2 ⇒ y2 = 4px

Demonstração

dPF = dPd ⇒

( x − 0) + ( y + p) 2

2

= −y + p

4º caso - Parábola com vértice (0, 0), eixo de simetria sobre o eixo das abscissas e concavidade voltada para a esquerda.

Na figura a seguir, temos uma parábola de vértice O(0, 0), foco F e reta diretriz d.

385

D19  Parábola

Sendo P(x, y) um ponto qualquer dessa parábola, temos que a distância de P ao foco F é igual à distância de P à reta diretriz d. Assim, temos que

Matemática

y

d

dPF = dPd ⇒

P(x, y)

( x + p) + ( y − 0) 2

2

= −x + p

Elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade, temos que x2 + 2px + p2 + y2 = x2 – 2px + p2 ⇒ y2 = −4px V

Parábola com vértice diferente da origem

x

F(-p, 0)

Caso o vértice da parábola seja o ponto (x0, y0) ≠ (0, 0), então suas equações se apresentam da seguinte forma.

1º caso - Parábola com vértice (x0, y0) e eixo de simetria

Nessa parábola, temos que n n

paralelo ao eixo das ordenadas

as coordenadas do foco é F(−p, 0). a equação da reta diretriz é d: x = p.

Nesse caso, a equação da parábola é dada por

( x – x0 )

2

A equação reduzida dessa parábola é dada por y2 = −4px

= ±4p ( y – y 0 )

2º caso - Parábola com vértice (x0, y0) e eixo de simetria paralelo ao eixo das abscissas

Demonstração Sendo P(x, y) um ponto qualquer dessa parábola, temos que a distância de P ao foco F é igual à distância de P à reta diretriz d. Assim, temos que

Nesse caso, a equação da parábola é dada por

( y – y0 )

2

= ±4p ( x – x 0 )

Exercícios de Fixação 01. Obtenha as equações reduzidas das parábolas das figuras a seguir. a) x2 = 8y b) x2 = 20y c) y2 = 32x d) y2 = −4x a)

c)

y

y

03. Obtenha as coordenadas do foco F da parábola y2 = 5x.

F(0,2)

F(5/4, 0)

0 0

b)

F(8,0)

D19  Parábola

04. Dada a parábola de equação x2 + 2x + 4y – 15 = 0, obtenha a) V(−1, 4)

d)

05. Dada a parábola de equação y2 – 6y – x + 8 = 0, obtenha a) V(−1, 3)

x

-5

d

c) d: y = 5

y d

0

b) F(−1, 3)

a) as coordenadas do vértice V. b) as coordenadas do foco F. c) a equação da reta diretriz d.

F

F

02. Obtenha a equação de uma parábola tal que:

386

x

x

y

a) x2 = −20y

a) seu foco é F(0, −5) e sua diretriz é d: y = 5; b) seu foco é F(2, −2) e sua diretriz é d: y = 6; c) seu foco é F(−4, −3) e sua diretriz é d: x = −8.

b) (x – 2)2 = 8(y + 4) c) (y + 3)2 = 8(x + 6)

0

1

x

b) F(−3/4, 3)

c) d: y =−5/4

a) as coordenadas do vértice V. b) as coordenadas do foco F. c) a equação da reta diretriz d.

06. Obtenha a equação de uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo das ordenadas, vértice V(0, 4) e que passa pelo ponto P(2, 1). 3x2 = −4(y – 4)

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. (UFU MG) A equação da parábola cujos pontos de coorde-

uma reta r, chamada diretriz da parábola, e de um ponto F,

nadas P(x, y) são equidistantes da reta y = −1 e do ponto

chamado foco da parábola. Encontre a equação da parábo-

(1, 0) é

la cuja diretriz é a reta y = 1/2 e cujo foco é o ponto (1, 1)

a) y = x2 b) y = x2 – 1 c) y = 1 – x2 2

x 2

− − d) y = x2 −x 2

e) = y

y = x2 – 2x +

05. (UFRN) O conjunto dos pontos P(x, y), que estão a uma

7 4

mesma distância do ponto F(0, 2) e do eixo Ox, no plano 1 2

cartesiano xy é a) a parábola de equação y = x2/2 + 4. b) a parábola de equação y = x2/2 + 1. c) a parábola de equação y = 4x2 +1.

02. (FGV SP) Num sistema cartesiano ortogonal, a equação do

d) a parábola de equação y = 2x2 +1.

lugar geométrico dos pontos que equidistam do eixo Oy e

06. (PUC SP) As coordenadas do vértice da parábola de equação

do ponto (4, 0) é

2x2 + 4x + 3y – 4 = 0 são

a) y2 = 8(x – 1)

a) (1, –2)

b) y2 = 4(x – 2)

b) (–1, 0)

c) y2 = 4x – 2

c) (–1, 2)

d) y2 = 8(x – 2)

d) (0, –1)

e) y2 = 2x – 1

e) (1, 1)

03. (Uerj RJ) A superfície de uma antena parabólica pode ser gerada pela rotação completa de uma parábola ao

07. (ITA SP) São dadas as parábolas p1: y = −x2 – 4x – 1 e 11 cujos vértices são denotados, respecti4

redor do seu eixo. A interseção dessa superfície com

p2: y = x2 – 3x +

qualquer plano perpendicular ao eixo é um círculo. Ob-

vamente, por V1 e V2. Sabendo que r é a reta que contém V1 e V2, então a distância de r até a origem é

serve a figura a seguir.

a)

5 26

b)

7 26

c)

7 50

d)

17 50

e)

1 74

B onda

E C

D

A

Considere um círculo de centro (E) e diâmetro (CD) de 4 metros de comprimento, cuja medida da distância do centro (E) ao vértice (A) do paraboloide é 0,5 metro.

a) y

08. Obtenha as equações reduzidas das parábolas das figuras a seguir.

2

x 8

b) 2

a) Escreva a equação cartesiana da parábola de foco (B)

a)

a) (x – 4)2 = 24(y – 8)

b)

y

contida no plano CAD, sendo o vértice (A) a origem do

b) (y – 6)2 = 24(x – 4)

d y

F(4,14)

sistema cartesiano e o eixo das abscissas paralelo ao b) Calcule a distância do vértice (A) ao foco (B).

04. (UFGO) Uma parábola é definida como sendo o lugar ge-

6 8

F

d

2 0

V

V

D19  Parábola

diâmetro CD.

4

x

-2 0

4

10

x

ométrico dos pontos do plano que distam igualmente de

387

FRENTE

D

MATEMÁTICA

MÓDULO D20

ASSUNTOS ABORDADOS n Lugares geométricos n Definição n Equação de um lugar geométrico

LUGARES GEOMÉTRICOS A cartografia é a ciência da representação gráfica da superfície terrestre, cujo produto final é o mapa. Ela é, portanto, a ciência que trata da concepção, produção, difusão, utilização e estudo dos mapas. Além disso, a cartografia é fundamental para o ensino da Geografia, tornando-se, dessa maneira, extremamente importante para a educação contemporânea, já que, por meio dela, as pessoas podem estudar o ambiente em que vivem, bem como terem suas necessidades do cotidiano atendidas.

Nos dias atuais, a cartografia utiliza instrumentos e ferramentas modernas, como as fotografias aéreas (realizadas por aviões ou drones), o sensoriamento remoto via satélite etc. Com os recursos tecnológicos, como os computadores, por exemplo, pode-se obter maior precisão nos cálculos, criando mapas com precisão de até 1 metro.

Além disso, as fotos aéreas são feitas de modo que, sobrepondo-se duas imagens do mesmo lugar, obtém-se a impressão de uma só imagem em relevo. Com isso, é possível representar bem os detalhes da superfície do solo. Em seguida, o topógrafo finaliza o trabalho sobre o terreno, destacando detalhes pouco visíveis nas fotos.

Assim, considere que durante uma aula de Geografia sobre mapas, o professor solicitou aos seus alunos que determinassem, em um mapa na escala 1: 100 000, a posição de uma cidade D com as seguintes características: n n n

Fonte: Shutterstock.com

Figura 01 - Casal consultando um mapa durante sua viagem de férias.

388

D localiza-se à mesma distância das cidades A e B; D localiza-se a 10 km da cidade C; As cidades A, B e C não estão alinhadas.

Matemática e suas Tecnologias

Para obter tal posição, os estudantes poderiam utilizar um lápis, uma régua não graduada e um compasso. Passados alguns minutos, um dos alunos, utilizando seus conhecimentos de matemática, obteve corretamente o ponto D por meio da intersecção de dois conjuntos de pontos, a mediatriz do segmento AB e a circunferência de cento C e raio 10 cm. Esses conjuntos são chamados de lugares geométricos.

Definição Dizemos que uma figura do plano ou do espaço é um lugar geométrico quando todos os seus pontos, e apenas eles, possuem certa propriedade. Observe alguns exemplos a seguir.

Circunferência Considere um ponto O, pertencente a um plano α, e uma distância R ≠ 0. O lugar geométrico dos pontos do plano que estão à distância R do ponto O é denominado circunferência. Observe a figura a seguir.

R 0

P

Dizemos ainda que, todo ponto P de α que está à distância R de O, pertence necessariamente à circunferência λ.

Mediatriz Considere um segmento de reta AB contido em um plano α. O lugar geométrico dos pontos do plano que distam igualmente dos pontos A e B é denominado mediatriz.

Essa reta é perpendicular ao segmento AB e passa pelo seu ponto médio M. Observe a figura a seguir.

P

A

B M r

D20  Lugares geométricos

Dizemos ainda que todo ponto P de α, que dista igualmente de A e B, pertence necessariamente à mediatriz r.

Par de retas paralelas Considere uma reta r contida em um plano α e uma distância d ≠ 0. O lugar geométrico dos pontos do plano que estão à distância d da reta r é denominado par de retas paralelas. Observe a figura a seguir.

389

Matemática

d r d

Dizemos ainda que todos os pontos de α, que distam igualmente de r, pertencem necessariamente ao par de retas paralelas.

Equação de um lugar geométrico Na geometria analítica, obter um lugar geométrico significa obter uma equação cartesiana que represente esse lugar geométrico. Para tanto, vamos seguir os seguintes passos: n n n n

1º passo: tomar um ponto P(x, y) que pertence ao lugar geométrico; 2º passo: impor para o ponto P as condições que definem o lugar geométrico; 3º passo: obter uma equação em que figuram apenas as variáveis x e y, juntamente com alguns parâmetros numéricos; 4º passo: interpretar analiticamente a equação obtida.

EXEMPLOS 01. Obtenha o lugar geométrico dos pontos P(x, y) do plano cuja distância ao ponto O(−1, 2) é menor ou igual a 5.

02. Obtenha o lugar geométrico dos pontos P(x, y) do plano cuja distância à reta r: 3x + 4y – 3 = 0 é o dobro da distância à reta s: 4x – 3y + 2 = 0.

RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO

P pertence ao lugar geométrico procurado se, e somente se, dPO ≤ 0.

Daí, temos que

( x + 1 ) + ( y − 2) 2

2

P pertence ao lugar geométrico procurado se, e somente se, dPr = 2dPs. Daí, temos que: 3x + 4y − 3

≤5

3 +4 2

Elevando ao quadrado ambos os membros da desigualdade, teremos

(

( x + 1 ) + ( y − 2) 2

2

) ≤5 2

2

⇒ (x + 1)2 + (y – 2)2 ≤ 25

D20  Lugares geométricos

A inequação obtida representa um conjunto de pontos do plano cartesiano que pertencem à região interior de uma circunferência juntamente com os pontos da circunferência. Observe a figura a seguir.

P(x,y) 5 0(-1,2)

390

2

= 2⋅

4x − 3y + 2 42 + ( −3)

2

Assim, temos que 3x + 4y − 3 4x − 3y + 2 = 2⋅ ⇒ |3x + 4y – 3| = 2⋅|4x – 3y + 2| 5 5 3x + 4y – 3 = 2(4x – 3y + 2) (I) ou 3x + 4y – 3 = 2(−4x + 3y – 2) (II) (I) 3x + 4y – 3 = 8x – 6y + 4 ⇒ −5x + 10y – 7 = 0 (II) 3x + 4y – 3 = −8x + 6y – 4 ⇒ 11x – 2y + 1 = 0 Portanto, esse lugar geométrico é dado pelas retas −5x + 10y – 7 = 0 ou 11x – 2y + 1 = 0.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Obtenha o lugar geométrico dos pontos P(x, y) do plano cartesiano a) x + y – 3 = 0 b) x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0

a) 0 e 2 b) ± 2 c) ±3

a) equidistantes dos pontos A(1, 4) e B(−1, 2). b) que distam 4 unidades do ponto A(2, 3).

d) ± 5

02. Obtenha o lugar geométrico dos pontos P(x, y) do plano cartesiano que distam 6 unidades da reta r: 4x + 3y – 12 = 0.

4x + 3y – 42 = 0 e 4x + 3y + 18 = 0

03. Obtenha o lugar geométrico dos pontos P(x, y) do plano cartesiano equidistantes das retas r: 2x + 3y – 1 = 0 e x+y=0ex–y+2=0 s: 3x + 2y + 1 = 0.

04. (Fuvest SP) O lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias aos pontos fixos (−1, 0) e (1, 0) é constante e igual a 4, intercepta o eixo Oy em pontos de ordenadas

e) ± 3 05. Obtenha o lugar geométrico dos pontos P(x, y) do plano cartesiano, tais que a soma dos quadrados das distâncias aos pontos A(r, 0) e B(−r, 0) é 4r2.

x2 + y2 = r2.

06. Dados os pontos A(1, 3) e B(4, 6), obtenha o lugar geométrico dos pontos P(x, y), tais que a razão entre as distâncias de P aos pontos A e B, nessa ordem, é igual a

2.

x2 + y2 – 14x – 18y + 94 = 0

Exercícios Complementares

a) circunferência. b) parábola. c) reta. d) elipse. e) hipérbole 02. (UFC) No plano cartesiano, x2 – y2 + 5x – 5y = 0 é uma equação de a) um conjunto vazio. b) um conjunto unitário. c) uma hipérbole. d) duas retas paralelas. e) duas retas concorrentes.

03. (Mackenzie SP) As retas dadas pela equação 2x2 – 2y2 + 3xy = 0 a) são paralelas. b) fazem um ângulo de 45°. c) são perpendiculares.

04. (Unirio RJ) As equações x – 9y – 6x – 18y – 9 = 0, x + y – 2x + 4y + 1 = 0 e x2 – 4x – 4y + 8 = 0, representam, respectivamente, uma 2

2

05. (UFF RJ) Considere a equação (m + n – 1)x2 + (m – n + 1)y2 + 2x + 2y – 2 = 0. Pode-se afirmar que a) Se m = 0 e n = 2 então a equação representa uma elipse. b) Se m = n = 0 então a equação representa uma reta. c) Se m = 0 e n = 1 então a equação representa uma parábola. d) Se m = 1 e n = 2 então a equação representa uma hipérbole. e) Se m = n = 1 então a equação representa uma circunferência.

x = 2cos t 06. (FGV SP) A curva de equações paramétricas  , y = 3sent com t ∈ IR é a) uma circunferência. b) uma hipérbole. c) uma elipse. d) um arco de parábola. e) um arco de circunferência.

07. (PUC SP) A equação 3x2 – 4y2 + 8y – 16 = 0 representa um conjunto de pontos chamado

d) determinam com os eixos um triângulo de área 4. e) nda 2

a) hipérbole, uma elipse e uma parábola. b) hipérbole, uma circunferência e uma reta. c) hipérbole, uma circunferência e uma parábola. d) elipse, uma circunferência e uma parábola. e) elipse, uma circunferência e uma reta.

2

a) parábola. b) hipérbole. c) elipse. d) circunferência.

391

D20  Lugares geométricos

01. (UFC) Um segmento de reta desloca-se no plano cartesiano de tal forma que uma de suas extremidades permanece sempre no eixo y e o seu ponto médio permanece sempre no eixo x. Então, a sua outra extremidade desloca-se ao longo de uma

FRENTE

D

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (Unicamp SP) Dada a elipse de semieixos a e b, calcule, em ter-

c) 18

mos destes parâmetros, a área do quadrado nela inscrito, com

d) 20

os eixos paralelos aos eixos da elipse.

e) 22

4a2b2 a2 b2

02. (ITA-SP) Seja k > 1 tal que a equação (x2 – x) + k(y2 – y) = 0 define

06. (UFES) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais,

uma elipse com distância focal igual a 2. Se (p, q) são as coordep − p2 é: nadas de um ponto da elipse, com q² – q ≠ 0, então 2 q −q a) 2 + 5

considere a parábola que passa pelo ponto P(18, 12), tem foco no ponto F(2, 0) e cuja diretriz é paralela ao eixo Oy e está contida no semiplano x < 0. Determine a equação da parábola.

y2 = 8x

b) 2 –

5

07. (ITA SP) Considere a família de circunferências com centros no

c) 2 +

3

segundo quadrante e tangentes ao eixo Oy. Cada uma destas

d) 2 –

3

circunferências corta o eixo Ox em dois pontos, distantes entre si de 4 cm. Então, o lugar geométrico dos centros destas circun-

e) 2 03. (UFBA) Considere uma elipse e uma hipérbole no plano cartesiano, ambas com centro na origem e eixos de simetria coincidindo com os eixos coordenados. Sabendo que os pontos  15  (3, 0) e  ,1  pertencem à elipse de eixo maior em Ox e  2  que ( 2 , 0) e (2, 1) pertencem à hipérbole, determine os

pontos de interseção dessas cônicas.

6, 2 ; 6, 2 ; 6, 2 e

6, 2

ferências é parte a) de uma elipse. b) de uma parábola. c) de uma hipérbole. d) de duas retas concorrentes. e) da reta y = - x.

08. Obtenha as equações reduzidas das elipses das figuras a seguir:

04. (UFG) Determine o menor ângulo entre as diagonais do retân-

a) y

c) y

gulo cujos vértices são os pontos de intersecção da elipse dada

4,5

3

por x² + 3y² = 12k² e a hipérbole dada por x² – 3y² = 6k², onde

3

k ≠ 0 é um número real qualquer.

arc tg(3/4)

C

0

C

12 x

1,5 -3 0

4

1

7

x

11

x

05. (Fuvest SP) Suponha que um fio suspenso entre duas colunas de mesma altura h, situadas à distância d (ver figura), assuma a

b) y

forma de uma parábola.

15

9 h

d

3

Suponha também que (i)

a altura mínima do fio ao solo seja igual a 2;

(ii)

a altura do fio sobre um ponto no solo que dista d/4 de uma das colunas seja igual a h/2.

Se h = 3d/8, então d vale a) 14 b) 16

392

C

h

0

3

7

09. (Unifor CE) Em 1911, o físico Ernest Rutherford (1871-1937) descobriu que quando partículas alfa são atiradas para o núcleo de um átomo, elas são eventualmente repelidas do núcleo segundo uma trajetória hiperbólica. A figura ilustra a trajetória de uma partícula que se encaminha para a origem ao longo da x reta y = e chega a 2 unidades do núcleo.

4 Q08. a)

x 4

2

9

4 y 3 1 9

x 7

2

2

b)

16

y 9 36

x 6

2

2

1

c)

36

y2 1 9

Matemática e suas Tecnologias

Anotações

y y= 1 x 4

2

x

A equação da trajetória é a) 20x2 – 80y2 = 80 b) 20x2 – 100y2 = 80 c) 25x2 – 200y2 = 100 d) 25x2 – 400y2 = 100 e) 100x2 – 400y2 = 400 10. (Unesp SP) O conjunto de pontos P(x, y) do plano, com y ≠ 0,  y  para os quais x e y satisfazem a equação sen  2  = 0 é uma  x +1  a) família de parábolas. b) família de circunferências centradas na origem. c) família de retas. d) parábola passando pelo ponto Q(0, 1).

FRENTE D  Exercícios de Aprofundamento

e) circunferência centrada na origem.

393

FRENTE

E Armas utilizadas em antigos duelos como aquele que vitimou Galois.

Fonte: Shutterstock.com

MATEMÁTICA Por falar nisso Évariste Galois (1811-1832) foi um matemático francês que nasceu em Bourg la-Reine (próximo a Paris) onde seu pai era prefeito. A vida do genial Galois foi breve e bastante conturbada. Até os 12 anos de idade, sua mãe foi sua única professora e, aos 16 anos, ele se inscreveu na renomada Escola Politécnica, mas foi recusado por falta de preparo. Esse fato marcou seu primeiro fracasso.

Aos 17 anos Galois escreveu um artigo, expondo suas descobertas ao matemático francês Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) para que o apresentasse na Academia. Mas Cauchy perdeu o trabalho. Esse foi o segundo fracasso marcante de Galois. Posteriormente, ele perdeu o pai, que se suicidou devido a intrigas clericais. Mais tarde, Galois inscreveu-se na Escola Normal Superior Francesa. Em 1830, escreveu um artigo para o concurso de Matemática da Academia, entregando-o ao matemático francês Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), que morreu logo depois. E assim o artigo foi perdido. Com todas essas frustrações, Galois acabou aderindo às causas da revolução de 1830, sendo expulso da Escola Normal. Em seguida, ele entrou para a guarda nacional.

Como contribuição significativa ao estudo das equações algébricas, Galois mostrou ser impossível resolver equações algébricas de grau n ≥ 5 por meio de fórmulas resolutivas envolvendo radicais. Para isso, teve que desenvolver uma nova teoria. Na época, ele entregou um artigo contendo essa teoria ao matemático Siméon Denis Poisson (17811840). Poisson chamou-a de incompreensível. Hoje nós a chamamos de Matemática Moderna.

Em 1832, envolveu-se com uma mulher e, em nome de sua honra, não pôde evitar um duelo. Na noite anterior ao conflito, Galois passou horas rascunhando notas para a posteridade em uma carta destinada a um amigo. Na manhã de 30 de maio, encontrou seu adversário e recebeu um tiro na barriga, que causou sua morte, no dia seguinte, aos 20 anos de idade.

Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

E17 E18 E19 E20

Equações Algébricas – Relações de Girard ..........................................396 Equações Algébricas – Raízes imaginárias e racionais ........................401 Equações Algébricas – Teorema de Bolzano e equações recíprocas...405 Princípio da indução finita ...................................................................409

FRENTE

E

MATEMÁTICA

MÓDULO E17

ASSUNTOS ABORDADOS n Equações algébricas – Relações

de Girard

n Relações entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS – RELAÇÕES DE GIRARD O Atomium é um monumento que mede 102 metros de altura, símbolo da cidade de Bruxelas, na Bélgica, construído em 1958 para a feira mundial Expo ’58. O que ninguém imaginava é que a estrutura duraria tantos anos e que sua popularidade seria notória em toda a Europa.

O monumento significa um misto entre escultura e arquitetura e, embora seja uma obra do passado, possui uma característica futurista. Ele é formado por esferas de 18 metros de diâmetro e tubos de 3,5 metros de diâmetro por 26 metros de largura.

O Atomium não fica no centro da cidade, mas o acesso para chegar até ele é bastante fácil, pois a estrutura fica próximo à estação de Heizel, a poucos metros da praça Atomium. Além disso, o monumento representa um cristal elementar de ferro ampliado 165 milhões de vezes.

Ao chegar no local, vê-se rapidamente a mensagem de “Boas-vindas” logo abaixo do grande átomo. O valor para visitar a obra é de €11 (adulto), €8 (entre 12 e 18 anos e maiores de 60 anos) e €6 (crianças de 6 a 11 anos); abaixo de 6 anos a entrada é gratuita.

Fonte: Wikimedia commons

Figura 01 - Monumento Atomium em Bruxelas, Bélgica.

396

Matemática e suas Tecnologias

Após comentar com seus alunos a respeito dessa grandiosa obra, com o objetivo de tornar mais interessante o estudo das equações algébricas, um professor de matemática propôs aos seus alunos o seguinte problema: “Sabendo-se que o número de esferas que compõem o monumento Atomium é igual à soma das raízes da equação algébrica x3 – 9x2 + 26x – 24 = 0, calcule esse número.”

Para determinar esse número, não é necessário resolver essa equação. Bastaria os alunos relacionarem a soma das raízes dessa equação com os seus coeficientes.

Relações entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica Também conhecidas por relações de Girard, em homenagem ao matemático francês Albert Girard (1590-1633), essas expressões relacionam as raízes e os coeficientes para todas as equações algébricas de grau n > 1. Vamos, incialmente, abordar essas relações para equações de 2º e 3º graus para, em seguida, generalizar os resultados obtidos.

Equação algébrica do 2º grau Dada a equação ax2 + bx + c, com a ≠ 0, cujas raízes são x1 e x2, temos que:

b − (soma das duas raízes) x1 + x 2 = a c x1 ⋅ x 2 =(produto das duas raízes) a Demonstração Seja P(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, um polinômio do 2º grau cujas raízes são x1 e x2.

Pelo teorema da decomposição, temos que: ax2 + bx + c = a(x – x1) ⋅ (x – x2), com a ≠ 0 Dividindo toda a expressão por a, temos:

b c x 2 + x + = ( x − x1 ) ⋅ ( x − x 2 ) a a Desenvolvendo o 2º membro dessa equação, temos:

E17  Equações algébricas − Relações de Girard

b c b c x2 + x + = x2 – x2x – x1x + x1x2 ⇒ x 2 + x + = x2 – (x1 + x2)x + x1x2 a a a a Igualando os coeficientes, obteremos: b  − x1 + x 2 = a  c x ⋅ x =  1 2 a

397

Matemática

Equação algébrica do 3º grau Dada a equação ax3 + bx2 + cx + d = 0, com a ≠ 0, cujas raízes são x1, x2 e x3, temos que:

b − (soma das três raízes) x1 + x 2 + x 3 = a c x1 ⋅ x 2 + x1 ⋅ x 3 + x 2 ⋅ x 3 =(soma dos produtos das raízes duas a duas) a d − (produto das três raízes) x1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 = a Demonstração Seja P(x) = ax3 + bx2 + cx + d, com a ≠ 0, um polinômio do 3º grau cujas raízes são x1, x2 e x3. Pelo teorema da decomposição, temos que: ax3 + bx2 + cx + d = a(x – x1) ⋅ (x – x2) ⋅ (x – x3), com a ≠ 0 Dividindo toda a expressão por a, temos:

b c d x 3 + x 2 + x + = ( x − x1 ) ⋅ ( x − x 2 ) ⋅ ( x − x 3 ) a a a Desenvolvendo o 2º membro dessa equação, temos:

b c x2 + x + = (x – x1) ⋅ (x2 – x3x – x2x + x2x3) = a a x3 – x3x2 – x2x2 + x2x3x – x1x2 + x1x3x + x1x2x – x1x2x3 Assim, temos que:

b c 3 x2 + x + = x – (x1+ x2x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3 +x2x3)x – x1x2x3 a a Igualando os coeficientes, obteremos: b  −  x1 + x 2 + x 3 = a  c   x1 ⋅ x 2 + x1 ⋅ x 3 + x 2 ⋅ x 3 = a  d  −  x1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 = a 

E17  Equações algébricas − Relações de Girard

Equação algébrica do 4º grau Dada a equação ax4 + bx3 + cx² + dx + e = 0, com a ≠ 0, cujas raízes são x1, x2, x3 e x4, a partir dos dois resultados anteriores, temos que:

b − (soma das quatro raízes) x1 + x 2 + x 3 + x 4 = a c x1 ⋅ x 2 + x1 ⋅ x 3 + x1 ⋅ x 4 + x 2 ⋅ x 3 + x 2 ⋅ x 4 + x 3 ⋅ x 4 =(soma dos produtos das raízes duas a duas) a d − (soma dos produtos das raízes três a três) x1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 + x1 ⋅ x 2 ⋅ x 4 + x1 ⋅ x 3 ⋅ x 4 + x 2 ⋅ x 3 ⋅ x 4 = a e x1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 ⋅ x 4 =(produto das quatro raízes) a 398

Matemática e suas Tecnologias

Assim, dada a equação algébrica anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ... + a1x + a0, com an ≠ 0, cujas raízes são x1, x2, x3, ..., xn, temos que:

a x1 + x 2 + x 3 + ... + xn = − n−1 an a x1 ⋅ x 2 + x1 ⋅ x 3 + x1 ⋅ x 4 + ... + xn−1 ⋅ xn =n−2 an x1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 + x1 ⋅ x 2 ⋅ x 4 + x1 ⋅ x 2 ⋅ x 5 + ... + xn−2 ⋅ xn−1 ⋅ xn = −

an−3 an

 (−1)n ⋅ a0 x1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 ⋅ ... ⋅ xn = an

EXEMPLOS 01. Sendo x1, x2 e x3 as raízes da equação algébrica 2x3 – 6x2 – 10x – 5 = 0, calcule:

03. Calcule a soma dos inversos das raízes da equação x3 – 4x2 + 5x + 9 = 0.

RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO a) A soma das três raízes dessa equação é dada por: −6 3 x1 + x2 + x3 = − = 2 b) A soma dos produtos das raízes duas a duas é dada por: −10 = −5 x1x2 + x1x3 + x2x3 = 2 c) O produto das três raízes é dado por: −5 5 x1x2x3 = − = 2 2 02. Calcule a soma dos quadrados das raízes da equação x3 – 2x2 + 5x + 3 = 0.

RESOLUÇÃO Sendo a, b e c as raízes da equação, utilizando as relações de Girard, temos que: −2 2 a+b+c= − = 1 5 a ⋅ b + a ⋅ c + b ⋅ c = =5 1

3 a ⋅ b ⋅ c = − =−3 1 Elevando ao quadrado ambos os lados da igualdade a + b + c = 2, temos que: (a + b + c)2 = 22 ⇒ a2 + b2 + c2 + 2(a ⋅ b + a ⋅ c + b ⋅ c) = 4 ⇒ a2 + b2 + c2 + 2 ⋅ 5 = 4 ⇒ a2 + b2 + c2 = 4 – 10 ⇒ a2 + b2 + c2 = –6.

Portanto, a soma dos quadrados das raízes da equação x3 – 2x2 + 5x + 3 = 0 é –6.

Sendo a, b e c as raízes da equação, utilizando as relações de Girard, temos que: a⋅b+a⋅c+b⋅c=

5 =5 1

9 −9 a⋅b⋅c= − = 1 A soma dos inversos das raízes é dada por: 1 1 1 b ⋅ c + a⋅ c + a⋅b 5 5 + + = = =− −9 a b c a⋅b ⋅ c 9 Portanto, a soma dos inversos das raízes da equação x3 – 4x2 + 5x + 9 = 0 é –5/9.

04. Obtenha o conjunto solução da equação x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0, sabendo-se que suas raízes são termos consecutivos de uma progressão aritmética.

RESOLUÇÃO Sendo α – r, α e α + r as raízes da equação, utilizando a relação de Girard para a soma das raízes, temos que: α–r+α+α+r= −

−9 9 ⇒ 3α = 9 ⇒ α = 3 = 1

Assim, as raízes são 3 – r, 3 e 3 + r.

Utilizando a relação de Girard para o produto das raízes, temos que: (3 – r) ⋅ 3 ⋅ (3 + r) = −

−15 9 ⇒ 3 ⋅ (9 – r2) = 15 ⇒ 9 – r2 = 5 ⇒ = 1 r = ±2

Substituindo r = ±2, em 3 – r e 3 + r, temos que as raízes são 1, 3 e 5.

Portanto, o conjunto solução da equação é S = {1, 3, 5}.

399

E17  Equações algébricas − Relações de Girard

a) x1 + x2 + x3 b) x1x2 + x1x3 + x2x3 c) x1x2x3

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Sendo a, b e c as raízes da equação 2x3 – 5x2 + 12x – 8 = 0, calcule: a) 5/2 b) 6 c) 4 a) a + b + c b) ab + ac + bc c) abc 02. Sendo a, b, c e d as raízes da equação 2x4 + 6x2 – 12x – 15 = 0, calcule: a) –3/2 b) 0 c) 6 d) –15/2 a) a + b + c + d b) ab + ac + ad + bc + bd + cd c) abc + abd + acd + bcd d) abcd 03. Dada a equação algébrica x3 – 6x2 + 5x – 3 = 0, calcule : a) 26

b) 5/3

a) a soma dos quadrados de suas raízes. b) a soma dos inversos de suas raízes.

04. Calcule o valor de k na equação –x³ + 6x² – 2x + k = 0 para que as suas raízes sejam números naturais consecutivos. –12

05. Sabendo-se que a equação x3 – bx2 – x + 2 = 0, com b ∈ IR, admite duas raízes reais opostas, determine: a) 2 b) S = {±1, 2} a) o valor de b. b) o seu conjunto solução.

06. As medidas, em metros, das três arestas de um paralelepípedo retângulo concorrentes em um mesmo vértice são as raízes do polinômio P(x) = x³ – 14x² + 56x − 64. Nessas condições, calcule: a) 64 b) 112 a) o volume do paralelepípedo. b) a área total do paralelepípedo.

07. (UFAL) Sabe-se que as raízes da equação 2x3 + x2 – 7x – 6 = 0 são diretamente proporcionais aos números 3, 2 e –4. Nessas condições, a menor das raízes é a) –3 b) –2 c) –3/2 d) –1 e) –1/2

Exercícios Complementares

E17  Equações algébricas − Relações de Girard

01. (FGV SP) Sabe-se que o produto de duas das raízes do polinômio P(x) = 2x3 – x2 + kx + 4 é igual a 1. O valor do coeficiente k é a) –12 b) –10 c) –8 d) –4 e) –2 02. (Petrópolis RJ) Seja o polinômio F(x) = x4 – x3 – 16 x2 + 4 x + 48.

A soma e o produto de suas raízes são, respectivamente, a) 1 e 48 b) 1 e 16 c) 1 e 4 d) –1 e 48 e) –1 e –16 03. (UECE) Se m, p e q são as raízes da equação 6x3 – 11x2 + 6x – 1 = 0, então o resultado da divisão da soma m + p + q pelo produto m⋅p⋅q é a) 13 b) 11 c) 17 d) 15 04. (Fuvest SP) Sabe-se que o produto de duas raízes da equação algébrica 2x3 – x2 + kx + 4 = 0 é igual a 1. Então o valor de k é

400

a) –8 b) –4 c) 0 d) 4 e) 8 05. (FGV SP) Considere a equação x3 – 6x2 + mx + 10 = 0 de incógnita x e sendo m um coeficiente real. Sabendo que as raízes da equação formam uma progressão aritmética, o valor de m é a) –5 b) –3 c) 3 d) 4 e) 5 06. (Unesp SP) Sabe-se que, na equação x3 + 4x2 + x – 6 = 0, uma das raízes é igual à soma das outras duas. O conjunto solução (S) desta equação é a) S = {–3, –2, –1} b) S = {–3, –2, 1} c) S = {1, 2, 3} d) S = {–1, 2, 3} e) S = {–2, 1, 3} 07. (Fuvest SP) O produto de duas das raízes do polinômio p(x) = 2x3 – mx2 + 4x + 3 é igual a –1. Determinar a) m = 7 b) 3/2, 1 + 2, 1 – 2 a) o valor de m. b) as raízes de p.

FRENTE

E

MATEMÁTICA

MÓDULO E18

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS – RAÍZES IMAGINÁRIAS E RACIONAIS Com o desenvolvimento do comércio, das cidades e a expansão marítima, uma série de mudanças ocorreram na Europa e foram acompanhadas por um forte movimento cultural. Entre os séculos XIV e XVI, portanto, em diversos países europeus surgiram escritores e artistas que buscavam expressar os valores daquela “nova” sociedade.

ASSUNTOS ABORDADOS n Equações algébricas – Raízes

imaginárias e racionais n Raízes imaginárias n Raízes racionais

Em seguida, as relações comerciais com o oriente permitiram que muitos comerciantes, especialmente das cidades italianas de Veneza e Florença, acumulassem grandes fortunas. Embora o movimento tenha começado na Península Itálica, alastrou-se, posteriormente, por todo o continente. Com isso, a produção artística e literária foi tão intensa e variada que os europeus acreditavam viver em um novo tempo, diferente da Idade Média, e presenciar o verdadeiro Renascimento ou Renascença.

Pode-se afirmar com toda a certeza que a Europa renascentista foi rica em todos os sentidos: na literatura, na arte e na ciência. Na Matemática, por exemplo, houve grandes avanços, principalmente na Álgebra. As equações algébricas do tipo x3 + 6x – 20 = 0 tiveram grande destaque por conta dos matemáticos italianos Niccolo Fontana (Tartaglia) e Girolamo Cardano. É possível verificar se essa equação possui uma raiz inteira para que, de posse dessa raiz, possamos determinar as demais.

Raízes imaginárias Se o número complexo z = a + bi, com a ∈ IR e b ∈ IR*, é raiz de uma equação algébrica P(x) = 0 de coeficientes reais, então seu conjugado z = a – bi também é raiz dessa equação.

Demonstração Seja P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x + a0 um polinômio com coeficientes reais tal que o número imaginário z = a + bi, com a ∈ IR e b ∈ IR*, seja raiz da equação P(x) = 0. Assim, temos que P(z) = 0, ou seja: Figura 01 - A última ceia, quadro renascentista de Leonardo da Vinci.

Fonte: Shutterstock.com

anzn + an – 1zn – 1 + ... + a1z + a0 = 0

401

Matemática

Dois números complexos são iguais se, e somente se, seus conjugados forem iguais. Assim, temos que:

anzn + an −1 zn – 1 + ... + a1 z + a0 = 0

Portanto, temos que:

O conjugado da soma de dois ou mais números complexos é igual à soma dos seus conjugados. Assim, temos que:

an

anz + an −1 z n

n–1

anz + an −1 z n

n–1

+ ... + a1 z + a0 = 0 ⇒ + ... + a1 z + a0 = 0

O conjugado do produto de dois ou mais números complexos é igual ao produto dos seus conjugados. Assim, temos que:

anzn + an −1 zn – 1 + ... + a1 z + a0 = 0⇒ an z + an −1 z n

n–1

+ ... + a1 z + a0 = 0

Qualquer número real é igual ao seu conjugado. Assim, temos que:

an zn + an −1 zn – 1 + ... + a1 z + a0 = 0 ⇒ an z + an −1 z n

n–1

+ ... + a1 z + a0 = 0

Portanto, temos que P(z) = 0 , ou seja, z é raiz de P(x).

Observações n

n n

E18  Equações algébricas − Raízes imaginárias e racionais

n

Se o número imaginário é raiz de multiplicidade m de uma equação algébrica de coeficientes reais, então seu conjugado também é raiz de multiplicidade m dessa equação.

A quantidade de raízes imaginárias de equação algébrica de coeficientes reais é sempre par.

Se uma equação algébrica de coeficientes reais tem grau ímpar, então essa equação admite pelo menos uma raiz real.

Raízes racionais p , com p e q inteiros primos enq tre si e q ≠ 0, é raiz de uma equação algébrica P(x) = 0 de Se o número racional

coeficientes inteiros, então p é divisor do termo independente (a0) e q é divisor do coeficiente dominante (an).

Demonstração Seja P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x + a0 um polinômio p com coeficientes inteiros, tal que o número racional , com q p e q inteiros primos entre si e q ≠ 0, seja raiz da equação

p P(x) = 0. Assim, temos que P   = 0 , ou seja:  q 402

n−1

p p an   + an – 1   q   q

p + ... + a1   + a0 = 0 q

pn pn−1 p + an – 1 n−1 + ... + a1 + a0 = 0 n q q q

Multiplicando todos os termos dessa equação por qn, temos que: anpn + an – 1pn – 1q + ... + a1pqn – 1 + a0qn = 0 (I) Transpondo o termo a0qn para o 2º membro da equação (I), temos que: anpn + an – 1pn – 1q + ... + a1pqn – 1 = –a0qn Colocando p em evidência no 1º membro da equação, temos que: p(anpn – 1 + an – 1pn – 2q + ... + a1qn – 1) = –a0qn Assim, temos que:

−a0 qn = anpn – 1 + an – 1pn – 2q + ... + a1 qn – 1 p O 2º membro dessa última igualdade é um número inteiro, pois p, q, an, an – 1, a1 e a0 são inteiros. Daí, segue que o 1º membro dessa igualdade também deve ser um número inteiro. −a0 qn Como p e q são primos entre si na expressão ,p p deve ser divisor de a0.

Transpondo agora o termo anqn para o 2º membro da equação (I), temos que: an – 1pn – 1q + ... + a1pqn – 1 + a0qn = -anpn Colocando q em evidência no 1º membro da equação, temos que: q(an – 1pn – 1 + ... + a1pqn – 2 + a0qn – 1) = -anpn Assim, temos que:

−anpn = an – 1pn – 1 + ... + a1pqn – 2 + a0 qn – 1 q O 2º membro dessa última igualdade é um número inteiro, pois p, q, an – 1, a1 e a0 são inteiros. Daí segue que o 1º membro dessa igualdade também deve ser um número inteiro. −anpn Como p e q são primos entre si na expressão ,q q deve ser divisor de an.

Matemática e suas Tecnologias

Observações n O teorema das raízes racionais não garante a existência de raízes racionais, mas mostra como obtê-las, caso existam p por meio de um conjunto de possíveis raízes racionais na forma , sendo p ∈ {divisores de a0} e q ∈ {divisores de an}. q p n Se nenhum dos possíveis valores de for raiz de uma equação de coeficientes inteiros, então essa equação não q admitirá raízes racionais. Essas raízes serão irracionais ou imaginárias. n Se an = ±1 e os demais coeficientes são inteiros, então a equação não admite raízes fracionárias, podendo admitir raízes inteiras que serão divisores de a0.

EXEMPLOS 01. Resolva a equação 3x3 – 7x2 + 8x – 2 = 0 sabendo-se que 1 + i é uma de suas raízes.

04. Quais são as possíveis raízes racionais da equação algébrica de coeficientes inteiros 3x4 – x3 +5x2 – 2x – 2 = 0?

RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO

Pelo teorema das raízes imaginárias, temos que se 1 + i é raiz de uma equação algébrica de coeficientes reais, então seu conjugado 1 – i também o é.

Assim, podemos afirmar que as raízes da equação 3x3 – 7x2 + 8x – 2 = 0 são 1 + i, 1 – i e r.

Utilizando a relação de Girard para a soma das raízes, temos: −7 7 1 ⇒r+2= ⇒r= 1+i+1–i+r=− 3 3 3 Portanto, o conjunto solução da equação é S = {1 + i, 1 – i, 1/3}.

02. Resolva a equação x4 – 3x3 + 3x2 – 3x + 2 = 0 sabendo-se que x = i é uma de suas raízes.

As possíveis raízes racionais de uma equação algébrica de coeficientes

p sendo p um divisor de a0 = –2 (termo indeq pendente) e q um divisor de an (coeficiente dominante). Assim, temos que p ∈ {±1, ±2} e q ∈ {±1, ±3}.

inteiros são da forma

Portanto, as possíveis raízes racionais da equação pertencem ao conjunto {±1, ±1/3, ±2, ±2/3}.

05. Resolva a equação 6x4 – 11x3 – 6x2 + 9x – 2 = 0.

RESOLUÇÃO

Pelo teorema das raízes imaginárias, temos que se i é raiz de uma equação algébrica de coeficientes reais, então seu conjugado –i também o é.

Como a equação possui apenas coeficientes inteiros, vamos inicialmente verificar se a mesma possui raízes inteiras.

As possíveis raízes inteiras da equação são divisoras de a0 = –2 (termo independente), ou seja, pertencem ao conjunto {±1, ±2}.

Assim, podemos afirmar que as raízes da equação x4 – 3x3 + 3x2 – 3x + 2 = 0 são i, –i, r1 e r2.

Sendo P(x) = 6x4 – 11x3 – 6x2 + 9x – 2, substituindo cada um dos valores do conjunto {±1, ±2} no polinômio, temos:

Utilizando as relações de Girard para a soma e o produto das raízes, temos: −3 ⇒ r1 + r2 = 3 i + (–i) + r1 + r2 = − 1

P(1) = –4, logo x = 1 não é raiz.

P(−1) = 0, logo x = –1 é raiz.

P(2) = 0, logo x = 2 é raiz.

P(−2) = 140, logo x = –2 não é raiz.

i ⋅ (–i) ⋅ r1 ⋅ r2 =

2 ⇒ r1 ⋅ r2 = 2 1

3 r1 + r2 = Resolvendo o sistema de equações  , temos que r1 = 1 e r2 = 2 2 r1 ⋅ r2 = ou r1 = 2 e r2 = 1. Logo, temos que as raízes são 1, 2, ±i.

Portanto, o conjunto solução da equação S = {1, 2 i, –i}.

03. Quais são as possíveis raízes inteiras da equação algébrica de coeficientes inteiros x3 – 3x2 –3x – 4 = 0?

RESOLUÇÃO As possíveis raízes inteiras de uma equação algébrica de coeficientes inteiros com an = ±1 (coeficiente dominante) pertencem ao conjunto dos divisores de a0 = 4 (termo independente).

Portanto, as possíveis raízes da equação pertencem ao conjunto {±1, ±2, ±4}.

Como x = –1 e x = 2 são raízes de P(x) = 6x4 – 11x3 – 6x2 + 9x – 2, temos que, pelo teorema de D’Alambert, P(x) é divisível por x + 1 e x – 2. Assim, P(x) também pode ser escrito na forma P(x) = (x + 1)⋅(x – 2)⋅Q(x).

Vamos determinar Q(x), utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini a seguir.

-1 6 -11 -6 9 -2 2

6 -17 11 -2 0 6 -5 1

0

Assim, Q(x) = 6x2 – 5x + 1 e P(x) = (x + 1) ⋅ (x – 2) ⋅ (6x2 – 5x + 1).

Logo, a equação 6x4 – 11x3 – 6x2 + 9x – 2 = 0 também pode ser escrita na forma (x + 1) ⋅ (x – 2) ⋅ (6x2 – 5x + 1) = 0.

As demais raízes da equação são raízes de 6x2 – 5x + 1 = 0, ou seja, x = 1/2 ou x = 1/3.

Portanto, o conjunto solução da equação é S = {−1, 2, 1/2, 1/3}.

403

E18  Equações algébricas − Raízes imaginárias e racionais

RESOLUÇÃO

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Resolva a equação x4 – 3x3 – 3x + 2 = 0 sabendo-se que x = i é uma de suas raízes.

a) x3 – 6x2 – x + 30 = 0 b) 2x3 – x2 – 2x + 1 = 0

S = {±i, ±2}

c) x4 – 3x3 + 4x2 – 2x = 0 02. Uma equação de coeficientes reais admite como raízes os números 1, 3, −6, 2 + i e 4 – 3i. Qual o menor grau que essa equação deverá ter?

Grau 7

03. Sabendo-se que 2 – i é uma das raízes da equação 3x3 – 14x2 + kx – 10 = 0, determine:

a) 23 b) 2/3

b) S = {−1, 1, 1/2}

S = {1/3, 1, 3}

06. (FGV SP) Considere a equação polinomial x4 + 2x3 + x2 – x – 6 = 0.

a) −2

b) demonstração

b) Mostre essa equação tem raiz irracional.

b) sua raiz real. a) S = {−2, 3, 5}

3x3 – 13x2 + 13x – 3 = 0.

a) Mostre essa equação tem raiz racional e encontre essa raiz.

a) o valor de k.

04. Resolva as equações a seguir:

05. (PUC SP) Determine as raízes da equação

07. (UFPE) Sabendo-se que 1 + i é raiz da equação c) S = {0, 1, 1 + i, 1 – i}

x3 + ax2 + bx – 12 = 0 com a e b reais, qual o valor6 de a + b?

E18  Equações algébricas − Raízes imaginárias e racionais

Exercícios Complementares 01. (UEBA) Sabe-se que o número complexo 2 – i é raiz da equa-

04. (UFC) O polinômio P(x) = 2x3 – x2 + ax + b, em que a e b são

ção x³ – 8x² + 21x – 20 = 0. A raiz real dessa equação é um

números reais, possui o número complexo i como uma de

número

suas raízes. Então o produto a⋅b é igual a

a) primo

a) −2

b) múltiplo de 3

b) −1

c) divisível por 5

c) 0

d) múltiplo de 2

d) 1

e) divisível por 6

e) 2

02. (PUC Campinas SP) Sabe-se que a equação 2x3 + x2 – 6x – 3 = 0

05. (UFMS) Sabendo-se que a equação x3 + 2x2 – ax + b = 0, com

admite uma única raiz racional e não inteira. As demais raí-

coeficientes reais, admite o número complexo 1 – i como

zes dessa equação são

raiz, calcule o valor de a + b.

a) inteiras e positivas. b) inteiras e de sinais contrários. c) não reais. d) irracionais e positivas. e) irracionais e de sinais contrários.

03. (FGV SP) Dada a equação polinomial x3 – 5x2 + 8x – m = 0, onde m é um parâmetro real, a) mostre que tal equação tem ao menos uma raiz real. b) obtenha m de modo que 3 seja raiz, e encontre as outras raízes.

404

a) como o grau da equação é ímpar, pelo menos uma de suas raízes é real. b) m = 6, 1 + i e 1 – i

14

06. (Vunesp SP) Os coeficientes do polinômio f(x) = x3 + ax2 bx + 3 são números inteiros. Supondo que f(x) tenha duas raízes racionais positivas distintas,

a) {±1, 3} b) a = −3 e b = −1

a) encontre todas as raízes desse polinômio; b) determine os valores de a e b.

07. (Vunesp SP) Considere o polinômio p(x) = x3 – mx2 + m2x – m3, em que m ∈ R. Sabendo-se que 2i é raiz de p(x), determine: a) os valores que m pode assumir;

a) −2 ou 2

b) m = 2

b) dentre os valores de m encontrados em a, o valor de m tal que o resto da divisão de p(x) por (x – 1) seja –5.

FRENTE

E

MATEMÁTICA

MÓDULO E19

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - TEOREMA DE BOLZANO E EQUAÇÕES RECÍPROCAS O princípio da reciprocidade consiste em autorizar a aplicação de efeitos jurídicos em determinadas relações de Direito, quando tais efeitos são aceitos por países estrangeiros. De acordo com o Direito Internacional, conjunto de normas que regula as relações externas entre os países, a reciprocidade implica o direito de igualdade e de respeito mútuo entre os Estados. Além disso, o Direito Internacional tem servido de base para atenuar a aplicação do princípio de territorialidade das leis.

ASSUNTOS ABORDADOS n Equações algébricas - Teorema de

Bolzano e equações recíprocas n Teorema de Bolzano n Equações recíprocas

Em relação à extradição, por exemplo, que consiste em um dos mecanismos de cooperação judicial internacional, a doutrina determina que, na ausência de um Tratado, existe um dever moral de assistência que deriva da obrigação que incumbe as nações de entregar os delinquentes ao seu juízo natural para que sejam julgados e castigados, caso seja necessário.

Em alguns países, entretanto, a extradição é baseada na reciprocidade. São os casos, por exemplo, do Código Processual Penal da República da Argentina e da Espanha.

Contudo, é preciso determinar que a necessidade dos Estados de proporcionar e assegurar-se de um tratamento idêntico deve ser resguardada pelos acordos internacionais. Estes acordos garantem a cada Estado que, em condições similares, o outro país agiria da mesma maneira. Por isso, têm razão aqueles que veem os Tratados bilaterais e multilaterais como uma expressão autêntica do princípio de reciprocidade.

Figura 01 - Símbolo do direito, juntamente com as bandeiras de vários países.

Fonte: Shutterstock.com

Na matemática, dizemos que dois números são recíprocos se, e somente se, eles forem inversos multiplicativos, ou seja, se o produto deles for igual a 1. As equações algébricas cujas raízes são números recíprocos são denominadas equações algébricas recíprocas.

405

Matemática

Teorema de Bolzano

Assim, para obter as raízes desse tipo de equação, vamos primeiramente dividi-las em dois tipos denominados espécies. Observe:

Dada uma equação algébrica P(x) = 0 de coeficientes reais e [a, b] um intervalo real, temos que: Se P(a) e P(b) têm sinais contrários, ou seja, P(a) ⋅ P(b) < 0, então existe um número ímpar de raízes entre a e b. Observe as figuras a seguir - gráficos da função P(x): y P(a)

Equações recíprocas de 1ª espécie São equações algébricas que possuem coeficientes equidistantes dos extremos iguais.

Exemplo n 3x3 – 5x2 – 5x + 3 = 0 é uma equação recíproca de 1ª espécie e grau ímpar. n x4 – 2x3 + 4x2 – 2x + 1 = 0 é uma equação recíproca de 1ª espécie e grau par.

y P(b) a

r1

x

b

P(b)

a r1 r2 r3

bx

P(a)

Equações recíprocas de 2ª espécie

Nessas figuras, temos que: n n

São equações algébricas que possuem coeficientes equidistantes dos extremos simétricos.

No 1º gráfico, r1 é a única raiz de P(x).

No 2º gráfico, r1, r2 e r3 são as raízes reais de P(x).

Exemplo n 2x 3 + x 2 – x + 2 = 0 é uma equação recíproca de 2ª espécie e grau ímpar. n 2x4 + 5x3 – 5x – 2 = 0 é uma equação recíproca de 2ª espécie e grau par.

Note que, nesses casos, a quantidade de raízes reais de P(x) é sempre ímpar.

Se P(a) e P(b) têm o mesmo sinal, ou seja, P(a) ⋅ P(b) > 0, então existe um número par de raízes entre a e b ou não existe raiz entre a e b. Observe as figuras a seguir - gráficos da função P(x): y

y

P(a) P(b)

P(b) P(a)

0

0

E19  Equações algébricas − Teorema de Bolzano e equações recíprocas

y P(b) P(a)

a r1-r2 b x

a

bx

P(a)

0

a r1-r2 b x y

P(a)

P(a)

a a r1 r2

bx

0

r2 b r1 r3 r4 x

P(b)

Nessas figuras, temos que: n n n n

No 1º gráfico, P(x) não tem raízes reais.

No 2º gráfico, r1 = r2 são as raízes reais de P(x).

No 3º gráfico, r1 ≠ r2 são as raízes reais de P(x).

No 4º gráfico, r1, r2, r3 e r4 são as raízes reais P(x).

Note que, nesses casos, a quantidade de raízes reais de P(x) é sempre par ou P(x) não tem raiz real.

Equações recíprocas Dizemos que uma equação algébrica P(x) = 0 é recíproca se, e somente se, os coeficientes de dois termos equidistantes dos extremos forem iguais ou simétricos.

406

Se uma equação P(x) = 0 é recíproca de 1ª espécie e grau ímpar, então uma de suas raízes é o número -1. Assim, diy x + 1 por meio do dispositivo prático de vidindo P(x) por b uma equação recíproca de 1ª a r2 em Briot-Ruffini, recairemos r1 r3 r4 x P(a) espécie e grau par.

y P(b)

y P(b)

0

Resolução das equações recíprocas

a r1 r2

bx

P(b)

Se uma equação P(x) = 0 é recíproca de 2ª espécie e grau ímpar, então uma de suas raízes é o número 1. Assim, dividindo P(x) por x – 1 por meio do dispositivo prático de Briot-Ruffini, recairemos em uma equação recíproca de 1ª espécie e grau par.

Se uma equação P(x) = 0 é recíproca de 2ª espécie e grau par, então duas de suas raízes são os números 1 e -1. Assim, dividindo sucessivamente P(x) por x – 1 e x + 1 por meio do dispositivo prático de Briot-Ruffini, recairemos em uma equação recíproca de 1ª espécie e grau par.

Note que, todas as equações recíprocas acabam recaindo em uma equação de 1ª espécie e grau par.

Se uma equação P(x) é recíproca de 1ª espécie e grau par, sua resolução requer a seguinte mudança de variável:

x+

1 1 =t ⇔ x 2 + 2 =t2 − 2 x x

Matemática e suas Tecnologias

Demonstração

1 t , então Se x + = x

2

1  t2 x +  = x  

Portanto, temos que:

1 1 1 1 t2 ⇒ x 2 + 2 =t2 − 2 x 2 + 2 ⋅ x ⋅ + 2 =t2 ⇒ x 2 + 2 + 2 = x x x x Observação n

Se α ≠ 0 é raiz de uma equação recíproca, então

1 também será raiz. α

EXEMPLOS

RESOLUÇÃO Sendo P(x) = 2x4 – 3x3 + x – 1, temos que: P(1) = 2 ⋅ 14 – 3 ⋅ 13 + 1 – 1 = 2 – 3 + 1 – 1= –1 P(2) = 2 ⋅ 24 – 3 ⋅ 23 + 2 – 1 = 32 – 24 + 2 – 1 = 9 Como a equação tem coeficientes reais, é de grau 4 e P(1) ⋅ P(2) < 0, dizemos que essa equação pode possuir uma ou três raízes entre 1 e 2.

02. Determine as possíveis quantidades de raízes da equação x6 – 4x – 2 = 0 no intervalo ]–1, 2[.

RESOLUÇÃO Sendo P(x) = x6 – 4x – 2, temos que: P(–1) = (–1)6 – 4⋅(–1) – 2 = 1 + 4 – 2 = 3 P(2) = 26 – 4⋅2 – 2 = 64 – 8 – 2 = 54 Como a equação tem coeficientes reais, é de grau 6 e P(–1) ⋅ P(2) > 0, dizemos que essa equação pode não possuir raiz entre -1 e 2 ou pode possuir duas, quatro ou seis raízes entre –1 e 2.

03. Resolva a equação 2x3 – 7x2 + 7x – 2 = 0.

RESOLUÇÃO Note que os coeficientes equidistantes dos extremos dessa equação são simétricos. Assim, estamos diante de uma equação recíproca de 2ª espécie e grau ímpar. Logo, uma de raízes é x = 1. Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini para dividir o polinômio 2x3 – 7x2 + 7x – 2 = 0 por x – 1, teremos: 1 2 -7 7 -2 2 -5 2 0

Como o quociente é o polinômio 2x2 – 5x + 2, as demais raízes são obtidas da equação 2x2 – 5x + 2 = 0, logo x1 = 2 e x2 = 1/2. Portanto, S = {–1, 2, 1/2}.

04. Resolva a equação 6x4 + 5x3 – 38x2 + 5x + 6 = 0.

RESOLUÇÃO Note que os coeficientes equidistantes dos extremos são iguais. Assim, estamos diante de uma equação recíproca de 1ª espécie e grau par. Como x = 0 não é raiz dessa equação, vamos dividir todos os seus termos por x2.

6x4 + 5x3 – 38x2 + 5x + 6 = 0 ⇒ 6x2 + 5x – 38 + Agrupando os termos, teremos:

5 6 0 + = x x2 E19  Equações algébricas − Teorema de Bolzano e equações recíprocas

01. Determine as possíveis quantidades de raízes da equação 2x4 – 3x3 + x – 1 = 0 no intervalo ]1, 2[.

1  1  6  x 2 + 2  + 5 x +  − 38 = 0 x   x 

1 1 t , temos que x 2 + 2 =t2 − 2 . Assim, temos que: Fazendo x + = x x 6(t2 – 2) + 5t – 38 = 0 ⇒ 6t2 – 12 + 5t – 38 = 0 ⇒ 6t2 + 5t – 50 = 0 Resolvendo essa equação, teremos: t1 = 5/2 e t2 = –10/3 Voltando à variável x, teremos:

1 5 x + = ⇒ 2x2 – 5x + 2 = 0 ⇒ x1 = 2 ou x2 = 1/2 x 2 ou

1 10 x+ = − ⇒ 3x2 + 10x + 3 = 0 ⇒ x3 = –3 ou x4 = –1/3 x 3 Portanto, S = {2, 1/2, −3, −1/3}.

407

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Obtenha o possível número de raízes reais da equação 2x4 – 3x2 – 1 = 0 no intervalo ]1, 2[.

05. Resolva a equação recíproca de 2ª espécie e grau ímpar x3 + 5x2 – 5x – 1 = 0.

Uma raiz real ou três raízes reais

02. Para quais valores de m a equação 3x3 – 2x2 + x + m = 0 não admite raízes reais ou admite duas raízes reais no intervalo ]0, 1[?

S = {1, −3 + 2 2 , −3 − 2 2 }

06. Resolva a equação recíproca de 2ª espécie e grau par 3x4 – 10x3 – 10x – 3 = 0.

S = {±1, 3, 1/3}

m <−2 ou m > 0

07. Resolva as seguintes equações recíprocas de 1ª espécie e 03. Mostre que a equação x3 + 7x2 + 6x – 20 = 0 possui pelo menos uma raiz real entre 0 e 2.

Demonstração

04. Resolva a equação recíproca de 1ª espécie e grau ímpar 2x3 – 3x2 – 3x + 2 = 0.

grau par:

a) S = {2, 1/2, 3, 1/3}

b) S = {2, 1/2, 4, 1/4}

a) 6x4 – 35x3 + 62x2 – 35x + 6 = 0 b) 8x4 – 54x3 + 101x2 – 54x + 8 = 0

S = {−1, 2, 1/2}

Exercícios Complementares 01. (Unicamp SP) O valor de k, k ∈ IR, tal que a função

b) –5/3 ou –1

a) k < 6 ou k > 18

c) 5/3 ou 1

b) k > 0

d) –5/3 ou 1

c) k < 0

e) 3/5 ou –1

d) k < 6

05. (ITA SP) O conjunto dos valores de k, para os quais a função

e) 6 < k < 18

polinomial f(x) = x3 − 2x2 + 3x − k tem um ou três zeros reais

E19  Equações algébricas − Teorema de Bolzano e equações recíprocas

02. (ITA SP) Seja P um polinômio de grau 5, com coeficientes re-

entre 1 e 2, é

ais, admitindo 2 e i como raízes. Se P(1)⋅P(–1) < 0, então o nú-

a) k < 2

mero de raízes reais de P pertencentes ao intervalo ]–1, 1[ é

b) 1 < k < 2

a) 0

c) k < 2 ou k > 6

b) 1

d) k > 7

c) 2

e) 2 < k < 6

d) 3 e) 4 03. (UFGO) Sabe-se que todo polinômio de grau ímpar com coe-

b  a − x 0  06. (Unicamp SP)= Seja p(x) det  0 2 − x c  onde a, b, c 0 d − x   b e d são números reais.

ficientes reais admite pelo menos uma raiz real. Dado o poli-

a) Mostre que x = 2 é uma raiz do polinômio p(x).

nômio p(x) = [(m – 1)(m + 1)]x + x + kx + 1, com m, k ∈ IR, as

b) Mostre que as outras duas raízes de p(x) também são reais.

condições sobre m e k, para que o polinômio p(x) não admita

c) Quais as condições sobre a, b, c e d para que p(x) tenha

2

5

2

raiz real, são a) m = 0 e k < –2 b) m = 1 e k < –2 c) m = 0 e k > 2 d) m = –1 e –2 < k < 2 e) m = 1 e –2 < k < 2 04. (UFAL) Se x é uma raiz da equação 3x4 – 2x3 + x2 – 2x + 3 = 0, 1 quais os possíveis valores de x + ? x 408

a) 5/3 ou –1

y = x3 – 2x2 + 3x – k tenha uma única raiz entre 2 e 3 é

uma raiz dupla, x ≠ 2? a) demonstração

b) demonstração

c) a ≠ 2, b = 0, c ∈ IR e d = a

07. (ITA SP) Sejam a e b constantes reais. Sobre a equação x4 – (a + b)x3 + (ab + 2)x2 – (a + b)x + 1 = 0, podemos afirmar que a) não possui raiz real se a < b < -3. b) não possui raiz real se a > b > 3. c) todas as raízes são reais se |a| ≥ 2 e |b| ≥ 2. d) possui pelo menos uma raiz real se −1 < a ≤ b < 1. e) nda

FRENTE

E

MATEMÁTICA

MÓDULO E20

PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA

ASSUNTOS ABORDADOS

No Brasil, o clima é predominantemente tropical. No entanto, devido às dimensões continentais de nosso país, diversas regiões apresentam variações climáticas muito particulares.

n Princípio da indução finita

Quanto ao regime de chuvas, há localidades em que chove mais e também existem aquelas em que se verifica escassez hídrica severa, como é o caso do Nordeste. O tipo de vegetação é um dos fatores que influenciam o regime de chuvas. A Floresta Amazônica, por exemplo, é capaz de influenciar o clima em todos os Estados, por meio do processo de evapotranspiração, umidade liberada para a atmosfera pela floresta, causando as chuvas.

n Princípio da indução finita

n Indução vulgar n Axiomas de Peano

Outros fatores que podem exercer controle em relação ao clima e à ocorrência de chuvas são as massas de ar e os fenômenos climáticos. Nesse contexto, o El Niño provoca diminuição das chuvas no Nordeste, aumento da temperatura no Sudeste e intensifica o período chuvoso no Sul. Por sua vez, o La Niña intensifica a ocorrência de chuvas nas regiões Norte e Nordeste.

Por outro lado, o desmatamento da Floresta Amazônica prejudica o regime de chuvas no Brasil. Para se ter ideia, essa prática foi apontada como uma das causas para o maior período de seca no Estado de São Paulo em 2015.

Chamamos de indução vulgar uma conjectura em que se toma uma tese como verdade simplesmente a partir de alguns casos particulares. Assim, durante o período chuvoso, temos que: n n n

na segunda-feira, choveu em Goiânia. na terça-feira, também choveu em Goiânia. na quarta-feira, também choveu em Goiânia.

Assim, a partir desses dados, conclui-se que todos os dias chove em Goiânia. É óbvio que essa conclusão é inconsistente, tanto do ponto de vista climático quanto do ponto de vista lógico, ou seja, o fato de chover em dias isolados não garante que irá chover todos os dias.

Figura 01 - Pessoas se abrigando por conta de uma forte chuva.

Fonte: Shutterstock.com

Na matemática, existe um método denominado Princípio da Indução Finita que garante a validade de determinadas afirmações para determinados valores.

409

Matemática

Indução vulgar A indução vulgar é a generalização de uma propriedade por meio de alguns casos particulares. Esse tipo de indução pode nos conduzir a graves erros. O matemático francês Pierre de Fermat (1607 -1665), por meio desse tipo de indução, acreditou ter encontrado uma fórmula para os números primos, simplesmente testando alguns casos. n

Segundo ele, na fórmula = y 22 + 1, y é um número primo para todo n natural, pois testando para alguns valores de n, ele obteve os seguintes resultados. Observe: n n n n n

Para n = 0, temos y = 21 + 1 = 3 Para n = 1, temos y = 22 + 1 = 5 Para n = 2, temos y = 24 + 1 = 17 Para n = 3, temos y = 28 + 1 = 257 Para n = 4, temos y = 216 + 1 = 65 537

Princípio da indução finita Dentre esses cinco axiomas, o quinto é conhecido por “Axioma de Indução Completa”. Com base nele, o Princípio da Indução Finita pode ser assim enunciado: Uma propriedade P(k) referente ao natural k, é verdadeira para todo k ∈ IN, k ≥ k0, quando:

Realmente, esses valores obtidos para y são todos primos. A partir daí, Fermat achou que, com essa expressão, iria obter-se somente números primos. Tal afirmação é falsa, pois o matemático inglês Leonhard Euler (1707-1783) observou que: n

4) Números naturais distintos possuem sucessores naturais distintos.

5) Se uma propriedade vale para o número natural zero e se provarmos que vale um número natural n qualquer, de maneira tal que seja válida para o seu sucessor n + 1, essa propriedade vale para todos os números naturais.

Para n = 5, temos y = 232 + 1 = 4 294 967 297 = 641 ⋅6 700 414, que é divisível por 641. Logo, não é primo.

1) P(k0) é verdadeira, isto é, a propriedade P é válida para k = k0.

2) Se k ∈ IN, k ≥ k0 e P(k) é verdadeira, então P(k + 1) também é verdadeira.

Exemplo Vamos demonstrar pelo Princípio da Indução Finita (PFI) que 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2, para todo n ∈ IN*.

1º) Verificamos que P(1) é verdadeira.

Axiomas de Peano

n

Em seu livro Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita, de 1889, o matemático italiano Giusepe Peano (18581932) estabelece nove axiomas para a aritmética. Quatro desses axiomas são verdades acerca da igualdade e outros cinco (citados logo a seguir) servem para introduzir uma fundamentação ao número natural.

1) Zero é um número natural.

2) Todo número natural tem um sucessor que é um número natural.

3) Zero não é sucessor de nenhum número natural.

Para n = 1, temos 1 = 12.

2º) Hipótese: P(k) é verdadeira: n

1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k2

3º) Tese: Provar que P(k + 1) é verdadeira, ou seja: n

1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1)2

Demonstração n n

1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (2k + 1) = k2 + 2k + 1 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1)2

Portanto, P(n) é válida para todo n ∈ IN*.

Exercícios de Fixação 01. Considerando a progressão aritmética (a1, a2, a3, ...., an) de

E20  Princípio da indução finita

razão r, utilize o Princípio da Indução Finita para mostrar que, para todo n ∈ IN*, temos que an = a1 + (n – 1)r.

Demostração

02. Considerando a progressão geométrica (a1, a2, a3, ...., an) de razão q, utilize o Princípio da Indução Finita para mostrar que, para todo n ∈ IN*, temos que an = a1 ⋅ qn – 1.

05. Se n é um número natural, prove, por Indução Finita, que 7n – 1 é divisível por 6. Demostração

Demostração

03. Utilizando o Princípio da Indução Finita, mostre que: n.(n + 1).(2n + 1) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = , ∀ n ∈ IN*. Demostração 6 410

04. Utilizando o Princípio da Indução Finita, mostre que: 2  n.(n + 1)  Demostração 13 + 23 + 33 + ... + n3 =  , ∀ n ∈ IN*.   2 

06. Demonstre, usando o Princípio da Indução Finita, que: 2n ≥ n, ∀ n ∈ IN

Demostração

Matemática e suas Tecnologias

EXEMPLOS 01. Demonstre, usando o Princípio da Indução Finita (PIF), que 1 + 2 + 3 + ... + n =

1º) Verificamos que P(1) é verdadeira: n = 1 ⇒ 2⋅1 ≥ 1 + 1.

n(n + 1) , ∀ n ∈ IN*.

2

2º) Hipótese: P(k) é verdadeira, ou seja: 2k ≥ k + 1

RESOLUÇÃO

3º) Tese: Provar que P(k + 1) é verdadeira, ou seja:

1º) Verificamos que P(1) é verdadeira:

2(k + 1) ≥ (k + 1) + 1 Demonstração

1(1 + 1) .

2 2º) Hipótese: P(k) é verdadeira, ou seja: n=1⇒1=

k(k + 1) .

2 3º) Tese: Provar que P(k + 1) é verdadeira, ou seja:

Portanto, P(n) é válida para todo n ∈ IN*.

1 + 2 + 3 + ... + k =

1 + 2 + 3 + ... + (k +1) = Demonstração

2k ≥ k + 1 2k + 2 ≥ k + 1 + 2 2(k + 1) ≥ (k + 1) + 2 2(k + 1) ≥ (k + 1) + 1

03. Se n é um número natural e n ≥ 2, prove, por Indução Finita, que n3 – n é divisível por 3.

(k + 1)(k + 2) .

2

RESOLUÇÃO 1º) Verificamos que P(2) é verdadeira:

k(k + 1) + (k + 1).

1 + 3 + ... + k + (k + 1) = 2 1 + 3 + ... + k + (k + 1) =

n = 2 ⇒ 23 – 2 = 6 2º) Hipótese: P(k) é verdadeira, ou seja: k3 – k = 3m1, m1 ∈ Z

k(k + 1) + 2(k + 1) .

2

3º) Tese: Provar que P(k + 1) é verdadeira, ou seja: (k + 1)3 – (k + 1) = 3m2, m2 ∈ Z

(k + 1)(k + 2) .

1 + 3 + ... + k + (k + 1) = 2 Portanto, P(n) é válida para todo n ∈ IN*.

Demonstração

02. Demonstre, usando o Princípio da Indução Finita (PIF), que 2n ≥ n + 1, ∀ n ∈ IN*.

RESOLUÇÃO

(k + 1)3 – (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 – k – 1 (k + 1)3 – (k + 1) = k3 – k + 3k2 + 3k (k + 1)3 – (k + 1) = 3m1 + 3(k2 + k) (k + 1)3 – (k + 1) = 3(m1 + k2 + k) (k + 1)3 – (k + 1) = 3m2 Portanto, P(n) é válida para todo n ∈ IN e n ≥ 2.

Exercícios Complementares

a) Para cada n ∈ IN, mostre an + 1 = an + 8⋅32n.

Demostração

b) Demonstre, pelo Princípio da Indução Finita sobre n, que an é divisível por 8, para todo n ∈ IN. 02. Utilizando o Princípio da Indução Finita, mostre que:

n 1 1 1 1 , ∀ n ∈ IN*. = + + + ... + 1 ⋅ 4 4 ⋅ 7 7 ⋅ 10 (3n − 2) ⋅ (3n + 1) 3n + 1 Demostração

03. Se n é um número natural e n ≥ 1, provar por Indução Finita que 23n – 1 é divisível por 7. Demostração 04. Demonstre, usando o Princípio da Indução Finita, que: 2n > n2, ∀ n ∈ IN e n ≥ 5

Demostração

05. Utilizando o Princípio da Indução Finita, mostre que: Demostração n 1 1 1 1 = , ∀ n ∈ IN*. + + + ... + 1 ⋅2 2⋅3 3⋅ 4 n ⋅ (n + 1) n + 1

411

E20  Princípio da indução finita

01. (Unesp SP) Considere a sequência (an) = (32n – 1), n ∈ IN.

FRENTE

E

MATEMÁTICA

Questão 04. Para m = 0, temos as raízes: 1,

1 21 1 3 e para m = −3, temos as raízes: −2, 2 2

Exercícios de Aprofundamento 01. (IME RJ) Seja p(x) = x5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f um polinômio com coeficientes inteiros. Sabe-se que as cinco raízes de p(x) são números inteiros positivos, sendo quatro deles pares e um ímpar. O número de coeficientes pares de p(x) é

07. Seja f uma função definida no conjunto dos números naturais, tais que f(n + 1) = 2f(n) + 3 para todo n natural. a) f(n) = 3⋅(2n – 1) b) Demostração

a) Supondo f(0) = 0, calcule f(1), f(2), f(3), f(4), ... e obtenha uma fórmula geral para f(n).

a) 0

b) Verifique, por indução finita, a validade dessa fórmula.

b) 1

08. Prove, por Indução Finita, que quaisquer que sejam os núme-

c) 2 d) 3

ros a1, a2, ..., an é verdade que:

e) 4

|a1 + a2 + ... + an| ≤ + |a1| + |a2| + ... + |an|

02. (Unicamp SP) Sabendo-se que a equação x – 2x + 7x – 4 = 0 3

2

tem raízes a, b e c, escreva, com seus coeficientes numéricos, uma equação cúbica que tenha como raízes a + 1, b + 1 e c + 1. x3 – 5x2 + 14x – 14 = 0

03. (Unicamp SP) Considere a equação:

1   1  2  x2 + 2  + 7  x +  + 4 = 0 x   x  a) demonstração

a) Mostre que x = i é raiz dessa equação.

inteira. Para cada um desses valores de m, ache as 3 raízes das

05. (Fuvest SP) Seja f(x) = ax2 + (1 – a)x + 1, onde a é um número real diferente de zero. Determine os valores de a para os quais as raízes da equação f(x) = 0 são reais e o número x = 3 pertence ao intervalo fechado compreendido entre as raízes.

−2/3 ≤ a < 0

06. (ITA SP) A equação polinomial p(x) = 0 de coeficientes reais e grau 6 é recíproca de 2ª espécie e admite i como raiz. Sabendo-se que p(2) = –105/8 e p(–2) = 255/8, então a soma de todas

d) 2 e) 1

412

n Se P(n) for verdadeira, então P(n + 1) também será verda-

01. P(3) é verdadeira.

02. P(4) pode ser verdadeira.

04. P(n) é verdadeira para todo número natural.

05. P(n + 5) é verdadeira para todo número natural n ≥ 1.

06. P(n) é falsa para todo número natural n ≤ 6.

10. (PUC SP) Supondo que uma certa propriedade P é verdadeira

equações (do terceiro grau) correspondentes.

c) 6

n P(6) é verdadeira;

03. P(8) é verdadeira.

a equação x3 – mx2 + mx – m2 = 1 tem pelo menos uma raiz

b) 8

FVVFVF

Julgue os itens a seguir em verdadeiro (V) ou falso (F): 7 33 7 33 , b) i, 2 2

04. (Unicamp SP) Encontre os valores inteiros de m para os quais

as raízes de p(x) é igual a

09. Seja P uma proposição em IN = {0, 1, 2, 3, ...} tal que:

deira, qualquer que seja o natural n.

b) Encontre as outras raízes da mesma equação.

a) 10

Demostração

para um número n ∈ IN, consegue-se provar que ela é verdadeira para o número 3n. Se P é verdadeira para n = 2, então pode-se garantir que ela é verdadeira para n igual a a) 216. b) 162. c) 512. d) 261. e) 270.