Coleção 10 V - Livro 6 - Matemática - Aluno

shuttnerstock.com/PornAndreanDantin

FRENTE

A

MATEMÁTICA Por falar nisso Den maneiran geral,n asn fingurasn geométricasn espaciaisn sãon divididasn emn doisn grupos:n osn poliedrosn (compostosn apenasn porn superfínciesn planas)n en osn corposn redondosn (compostosn porn superfínciesncurvas).nÉnmuitonfácilnpercebernasninúmerasnformasn denpoliedrosnexistentesnemnnossonmundo.nElasnsenencontramnemn construçõesndenedifínciosnencasas,nemnreservatóriosndenágua,nemn caixasn den sapatos,n emn cubosn mágicos,n en atén nasn pirâmidesn don Egito.n Pratincamenten emn todosn osn lugaresn porn onden passamosn deparamo-nosn comn formasn poliédricas.n Outran aplicaçãon muiton interessanten nosn poliedrosn están nan estruturan dan moléculan den fulerenon (C60),n imagemn den aberturan destan página,n quen én umn poliedrondenátomosndencarbononnosnseusn60nvértinces,nformadon somenten porn facesn pentagonaisn en hexagonais.n Osn fulerenos,n descobertosn porn Haroldn Waltern Kroton en Richardn Erretn Smalley,n emn 1985,n constintuemn uman forman alotrópican don carbono,n quen apresentanpropriedadesnespeciais,ndevidonaonseuntamanho,nànsuan estruturan en àn suan geometria.n Suan utinlizaçãon temn sidon propostan emnváriasnáreasntaisncomo:nmedicina,nbioquímicanenfínsica,ndevidon ànsuangrandenestabilidade.n Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

A01 A02 A03 A04

Poliedros:nDefinniçõesnenrelaçãondenEulern...................................... 332 Poliedros:nPoliedrosndenPlatãon...................................................... 336 Prismas:nÁreasnenvolumen............................................................... 340 Prismas:nParalelepípedosn.............................................................. 344

FRENTE

A

MATEMÁTICA

MÓDULO A01

ASSUNTOS ABORDADOS n Poliedros: definições e relações

POLIEDROS: DEFINIÇÕES E RELAÇÕES DE EULER

de Euler

nn Definiçãonenelementos nn Poliedrosnconvexos nn Nomenclaturandosnpoliedros nn RelaçãondenEuler

Fonte:nshutterstock.com/PornAlvaronGermannVilela

nn Somandosnângulosndasnfaces

Figura 01 - A casa da Música é um espaço com uma estrutura em formato de poliedro

AnCasandanMúsica,nlocalizadannancidadendonPortoneninauguradanemnabrilnden2005,nén uman dasn principaisn salasn den concertosn den Portugal.n Taln espaçon foin projetadon pelon arquitetonholandêsnRemment Lucas Koolhaas comonpartendoneventonocorridonemn2001,n “PortonCapitalnEuropeiandanCultura”.n Onconceitonaplicadonanessenmagníficonedifícionfoinaclamadonporncríticosndenarquiteturan donmundontodo.nNicolai Ouroussoff,ncríticondenarquiteturandonNew York Times,nclassificounonprojetoncomononmaisnatraentenquenonholandêsnjáncriou.nSegundonele,nanalisandon apenasnonaspectonoriginalndonedifício,njánoncredencianansernumandasnmaisnimportantesn salasndenespetáculosnconstruídannosnúltimosn100nanos,ncomparando-onànsalandenespetáculosndenWalt Disney,nemnLosnAngelesnenaonauditóriondanBerlim Philharmonic,nemnBerlim.

An Casan dan Músican possuin doisn auditóriosn principaisn en outrasn áreasn quen podemn sern adaptadasnparanconcertos,noficinasnenoutrasnatividadesneducacionais.nSeunformatonénon denumnsólidonespacialnformadonapenasnpornváriasnfacesnplanas,ndenominadonpoliedro.n Nestanaula,nabordaremosnasncaracterísticasngeraisndosnpoliedros.

Definição e elementos Poliedronénumnsólidonlimitadonpornquatronounmaisnpolígonosnplanosnquenpertencemn anplanosndiferentesnenquenpossuem,ndoisnandois,nexatamentenumnladoncomum.nObserven asnfigurasnanseguir:

332

MatemáticanensuasnTecnologias

Emngeral,nparanosnpoliedros,ntemosnque: nn Osnpolígonosnsãonchamadosndenfacesndonpoliedro. nn Osnladosndosnpolígonosnsãonchamadosndenarestasndon

cesnenfacesndenqualquernpoliedronconvexo.nAssim,ndadonumn poliedronconvexonquenpossuinVnvértices,nFnfacesnenAnarestas,n temosnanseguintenrelação:

poliedro.

Vn–nAn+nFn=n2

nn Osnvérticesndosnpolígonosnsãonchamadosndenvérticesn

dosnpoliedros.

Poliedros convexos Dizemosnquenumnpoliedronénconvexonse,nensomentense,nonsegmentondenretanquenligandoisndenseusnpontosnestiverntotalmenten contidonnonpoliedro.nCasoncontrário,nonpoliedronénchamadonden côncavon(ounnãonconvexo).nObservenasnfigurasnanseguir:

Nantabelananseguir,nnotenanvalidadendanrelaçãondenEulernemn cadanumndosncasos.

Poliedro

Número de vértices (V)

Número de Faces (F)

Número de Arestas (A)

4

4

6

6

5

9

8

6

12

6

8

12

Nomenclatura dos poliedros Osnpoliedrosnrecebemnseusnnomesndenacordoncomnonnúmerondenfacesnquenpossuem.nObservenantabelananseguir: Faces

Nome

4

Tetraedro

5

Pentaedro

6

Hexaedro

Soma dos ângulos das faces

7

Heptaedro

8

Octaedro

DadonumnpoliedronconvexonquenpossuinVnvértices,nansoman (S)ndosnângulosndentodasnasnfacesndessenpoliedronéndadanpor:

9

Eneaedro

10

Decaedro

11

Undecaedro

12

Dodecaedro

15

Pentadecaedro

20

Icosaedro

Relação de Euler ÉnumanexpressãoncriadanpelonmatemáticonsuíçonLeonhard Euler (1707-1783)nquenrelacionanonnúmerondenarestas,nvérti-

Sn=n(Vn–n2)n⋅ 360°

Demonstração: Considerenumnpoliedronconvexontalnque: nn V,nAnenFnsão,nnessanordem,nanquantidadendenvértices,n

arestasnenfaces. nn n1,nn2,nn3,n...,nnFnsãonasnquantidadesndenladosndasnfacesn

1,n2,n3,n...nF.

Ansomandosnângulosninternosndenumnpolígonondennnladosnén dadanporn(nn–n2)n⋅ 180°.nAssim,nansomanSndosnângulosndentodasn asnfacesnéndadanpor: Sn=n(n1n–n2)n⋅ 180°n+n(n2n–n2)n⋅ 180°n+n(n3n–n2)n⋅ 180°n+n...n+ (nFn–n2)n⋅ 180° 333

A01  Poliedros:nDefiniçõesnenrelaçõesndenEuler

n

Matemática

Substituindonemn(1),ntemosnque:

Daí,ntemosnque: Sn=n180° ⋅ n1n–n360°n+n180° ⋅ n2n–n360° +n180° ⋅ n3n–n360° +n...n+n 180° ⋅ nFn–n360° S=n(n1n+nn2n+nn3n+n...n+nnF)⋅180°n–n 360 ° + 360° + 360° + ... + 360  ° n(1) F vezes

Aonsomarnonnúmerondenladosndentodosnosnpolígonos,ncadan arestandonpoliedronfoincontadanduasnvezes.nAssim,ntemosnque: n1n+nn2n+nn3n+n...n+nnFn=n2An

Sn=n2A⋅180°n–nF⋅360°n=nA⋅360°n–nF⋅360° ⇒nS =n(An–nF)⋅360°n(2) PelanrelaçãondenEuler,ntemosnque: Vn–nAn+nFn=n2n⇒nAn–nFn=nVn–n2 Substituindonemn(2),ntemosnque: Sn=n(An–nF)n⋅ 360° ⇒nSn=n(Vn–n2)n⋅ 360°

EXEMPLOS 01. Umnpoliedronconvexonénformadonpornn4nfacesntriangulares,n2nfacesnquadrangularesnen1nfacenhexagonal.nParanessenpoliedro,ncalcule:n

02. Umnpoliedronconvexonpossuin8nfaces,ntodasntriangulares.nCalculenonnúmerondenarestasnenonnúmerondenvérticesndessenpoliedro.n

a)n Onnúmerondenfaces. b)n Onnúmerondenarestas. c)n Onnúmerondenvértices.

RESOLUÇÃO a)nOnnúmeronFndenfacesnéndadonpor: Fn=n4n+n2n+n1n=n7nfaces. b)nOnnúmeronAndenarestasnéndadonpor:

A=

4.3 + 2.4 + 1.6 12 + 8 + 6 = = 13 arestas .

2 2

c)nOnnúmeronVndenvérticesnéndadonpor: Vn–nAn+nFn=n2n⇒nVn–n13n+n7n=n2n⇒nVn=n8nvértices.

RESOLUÇÃO Cadanumandasn8nfacesntriangularesnpossuin3narestas.nAssim,nonnúmeron Andenarestasnéndadonpor:

= A

8 ⋅3 = 12 arestas.

2

PelanrelaçãondenEuler,ntemosnque: Vn–n12n+n8n=n2n⇒nVn=n6nvértices Portanto,nonpoliedrontemn12narestasnen6nvértices.

Exercícios de Fixação 01. Emnumnnpoliedronconvexo,nonnúmerondenvérticesnén8nenonnúmerondenarestasnén12.nCalculenonnúmerondenfaces.n6nfaces

06. (Uerj RJ)nDoisndados,ncomndozenfacesnpentagonaisncadanum,ntêmn an forman den dodecaedrosn regulares.n Sen osn dodecaedrosn estãon justapostosnpornumandensuasnfaces,nquencoincidemnperfeitamen-

02. Umnpoliedronconvexontemn10nfaces,ntodasnquadrangulares.n

te,nformamnumnpoliedroncôncavo,nconformenilustrananfigura.

Calculenonnúmerondenvérticesndessenpoliedro.n12nvértices 03. Umnheptaedronconvexontemnumanfacenquadrangular,n2nfacesn

A01  Poliedros:nDefiniçõesnenrelaçõesndenEuler

pentagonaisnen4nfacesntriangulares.nDeterminenonseunnúmeron denarestasnenonseunnúmerondenvértices.n13narestasnen8nvértices 04. Umnpoliedronconvexonpossuinfacesntriangularesnenquadrangulares.nSabendonquenelentemn12narestasnenquenansomandosnângulosn dasnfacesnén1n800°,nquantasnfacesndencadantiponnexistem?n7nfaces 05. Umn poliedron convexon temn 14n vértices.n Emn 6n dessesn vérticesnconcorremn4narestas,nemn4ndessesnvérticesnconcorremn3n arestasne,nnosndemaisnvértices,nconcorremn5narestas.nQualnén onnúmerondenfacesndessenpoliedro?n16nfaces

334

ConsiderenonnúmerondenvérticesnVndenfacesnFnendenarestasnAn dessenpoliedroncôncavo.nAnsomanVn+nFn+nAnénigualna:n a)n 102nnn b)n106nn c)n 110nnn d)n112nnn

MatemáticanensuasnTecnologias

Exercícios C om p l em en t ares 01. Ansomandosnângulosndasnfacesndenumnpoliedronconvexonvalen 720°.nSabendo-senquenonnúmerondenfacesnvalen2/3ndonnúmerondenarestas,ncalculenonseunnúmerondenarestas.n6narestas 02. (FEI SP) Umnpoliedronconvexoncomnfacesnquadrangularesnenpentagonaisntemn15narestas.nCalcularnonnúmerondenfacesnquadrangularesnenonnúmerondenfacesnpentagonais,nsabendo-senquenan somandentodosnosnângulosndosnpolígonosndasnfacesnén32nretos.

5nfacesnquadrangularesnen2nfacesnpentagonais.

03. (Integrado RJ) Umngeólogonencontrou,nnumandensuasnexplo-

Onplanonquendefiniuncadancortenfeitonparanretirarnosntetrae-

rações,numncristalndenrochannonformatondenumnpoliedro,nquen

drosnpassanpelosnpontosnmédiosndasntrêsnarestasnquencon-

satisfaznanrelaçãondenEuler,nden60nfacesntriangulares.nOnnúme-

corremnnumnmesmonvérticendonprisma.nOnnúmerondenfacesn

rondenvérticesndestencristalnénigualna:

donpoliedronobtidondepoisndenteremnsidonretiradosntodosnosn

a)n35 b)n34 c)n33 d)n32 e)n31

tetraedrosné:

04. (UFJF MG)nAnfigurananseguirnrepresentananplanificaçãondenumn poliedronconvexo.

a)n 24 b)n20 c)n 18 d)n16 e)n12 06. (Uerj RJ) Considerenanestruturandanfiguranabaixoncomonumn poliedrondenfacesnquadradasnformadasnporn4ncubosndenarestasniguais,nsendonVnonnúmerondenvérticesndistintos,nFnonnú-

Onnúmerondenvérticesndessenpoliedroné:n

a)n12 b)n14 c)n 16 d)n20 e)n22 05. (Insper SP)nDencadanvérticendenumnprismanhexagonalnregularn foinretiradonumntetraedro,ncomonexemplificadonparanumndosn vérticesndonprismandesenhadonanseguir.

SenV,nFnenAnsão,nrespectivamente,nosnnúmerosndenvértices,n facesnenarestasndessen“poliedro”,ntemosnquenVn+nFnénigualna: a)n An–n4 b)nAn+n4 c)n An–n2 d)nAn+n2 e)nA

335

A01  Poliedros:nDefiniçõesnenrelaçõesndenEuler

merondenfacesndistintasnenAnonnúmerondenarestasndistintas.

FRENTE

A

MATEMÁTICA

MÓDULO A02

ASSUNTOS ABORDADOS

POLIEDROS: POLIEDROS DE PLATÃO

n Poliedros: Poliedros de Platão

Onhexaflnuoretondenenxofren(SF6),nnormalmentenfornecidonpornmeiondencilindrosnoun tambores,nénutinlizadonemndiversasnáreasnpelasnindústrias,ntaisncomo:

nn PoliedrosndenPlatão nn Poliedrosnregulares

nn meionisolantenemnváriosnequipamentosnelétricosneneletrônicosndenaltantensão; nn nonisolamentondenjanelas,ncomnreduçãondentransmissãondensomnentransferêncian

dencalor;

nn nancirurgianocularnencomonagentendencontraste; nn nanproduçãondenmagnésio,nalumínionfundidonenemnprocessosndenpurificação.

Onhexaflnuoretondenenxofrenénaproximadamentenseisnvezesnmaisndensonquenonar.nAssim,naoninalarnessengás,nasnondasnsonorasnviajamndenformanmaisnlentanfazendoncomnquen anvoznsoenmaisngraven(efeitoncontrárionaondongásnhélio).n Anrepresentaçãontridimensionalndanmoléculandonhexaflnuoretondenenxofrentemnumanforman bipiramidalnquadrada,nnanqualnonátomoncentralndenenxofren(S)nestáncercadonpornseisnátomosn denflnúorn(F),nsituadosnnosnseisnvértincesndenumnoctaedronregular.nObservenanfingurananseguir:

Nestanaula,nabordaremosnosnpoliedrosnque,nassimncomononoctógononregular,nsãonclassifincadosncomonpoliedrosndenPlatão.

Fonte:nshuttnerstock.com/Pornakekoksomshuttner

Figura 01 - Ilustração de uma tubulação de gás e seus componentes utilizado por uma industria na produção do hexafluoreto de enxofre.

336

MatemáticanensuasnTecnologias

Poliedros de Platão Platãonfoinumnfilósofongrego,nquenviveunentrenosnséculosnVnenIVna.C.,nenestabeleceu,n dentrenváriosnoutrosnlegados,nimportantesnpropriedadesnemnalgunsnpoliedros.nUmnpoliedronconvexonéndenPlatãonse,nensomentense: nn todasnasnsuasnfacesntiveremnonmesmonnúmerondenarestas; nn emntodosnosnseusnvérticesnconcorreremnexatamentenonmesmonnúmerondenarestas; nn valernanrelaçãondenEuler.

Existemnexatamenten5npoliedrosndenPlatão.nObservenantabelananseguir: Poliedro

Tetraedro

Hexaedro

Planificação

Elementos 4 faces triangulares 4 vér ces 6 arestas

4 faces quadrangulares 8 vér ces 12 arestas

8 faces triangulares 6 vér ces 12 arestas Octaedro

12 faces pentagonais 20 vér ces 30 arestas Dodecaedro

A02  P o l i e d r o s : P o l i e d r o s d e P l a t ã o

20 faces Triangulares 12 vér ces 30 arestas Icosaedro

Poliedros regulares DizemosnquenumnpoliedronPnénregularnse,nensomentense: nn P énconvexo. nn P énpoliedrondenPlatão.n nn AsnfacesndenPnsãonpolígonosnregularesnencongruentesnentrensi.

Notenquentodonpoliedro regularnénumnpoliedro de Platão,nmasnexistemnpoliedrosnden Platãonquennãonsãonregulares.n 337

Matemática

EXEMPLOS 01. Emnqualndasnalternativas,nnnãontemosnumnpoliedrondenPlatão. a)n Tetraedro b)n Heptaedro c)n Octaedro d)n Dodecaedro e)n Icosaedro

02. Senansomandosnângulosndasnfacesndenumnpoliedronregularnén1440°,ncalculenonnúmerondenarestasndessenpoliedro.

RESOLUÇÃO Ansomandosnângulosndasnfacesnéndadanpor:n

RESOLUÇÃO Existemn exatamenten 5n poliedrosn den Platão.n Sãon eles:n on tetraedro,n on hexaedro,nonoctaedro,nondodecaedronenonicosaedro.nPortanto,nonheptaedronnãonénpoliedrondenPlatão.

Sn=n(Vn–n2)n⋅ 360° ⇒n1440n=n360Vn–n720n⇒nVn=n6nvértices Onpoliedronregularncomn6nvérticesnénonoctaedronregular,nquenpossuin8n faces.nAssim,ntemosnque: Vn–nAn+nFn=n2n⇒nAn+n2n=n6n+n8n⇒ An=n12 Portanto,nquenonpoliedronpossuin12narestas.

Exercícios de Fixação 01. (Unirv GO)nAssinalenVn(verdadeiro)nounFn(falso)nparanasnalternativas.nV-F-V-V a)n Umnpoliedronquentemn8nfacesntriangularesnpodensernumn poliedrondenPlatão. b)nUmnpoliedronregularnpodentern10nvértices. c)n Asnfacesndenumnpoliedronregularnounsãontriângulosnequiláteros,nounquadradosnounpentágonosnregulares. d)nExistemnsomenten3ntiposndenpoliedrosnregularesnquentêmn facesntriangulares.

02. Calculenansomandosnângulosninternosndasnfacesndentodosnosn poliedrosndenPlatão. Tetraedro:n 720°,n Hexaedro:n 2n 160°,n Octaedro:n 1n440°,nDodecaedro:n6n480°nenIcosaedro:n3n600°

06. (UFAM)nAnáreandansuperfíciendenumnpoliedrondenPlatãoncomn 12nvérticesnen30narestas,ncadanumanmedindon1cmndencomprimentonénigualna: a)n 2 3cm2 b)n 5 3cm2 c)n 6 3cm2 d)n 10 3cm2 e)n 20 3cm2 07. (UFRGS RS)nAsnfigurasnabaixonrepresentamnumnoctaedronregularnenumandensuasnplanificações.n

03. RespondanaosnitensnanseguirnanrespeitondosnpoliedrosndenPlatão. a)n Quantasnarestasnpossuinumndodecaedro?n30 b)nQuantosnvérticesnpossuinumnicosaedro?n12

A02  P o l i e d r o s : P o l i e d r o s d e P l a t ã o

04. (Puc Campinas SP)nSobrenasnsentenças: I.n Umnoctaedronregularntemn8nfacesnquadradas.

II.n Umndodecaedronregularntemn12nfacesnpentagonais.

III.n Umnicosaedronregularntemn20nfacesntriangulares. Éncorretonafirmarnquenapenas: a)n Inénverdadeira. b)nIInénverdadeira. c)n IIInénverdadeira. d)nInenIIInsãonverdadeiras. e)nIInenIIInsãonverdadeiras.

05. (UFPE)n Unindo-sen on centron den cadan facen den umn cubo,n porn segmentosn den reta,n aosn centrosn dasn facesn adjacentes,n obtêm-senasnarestasndenumnpoliedronregular.nQuantasnfacesntemn essenpoliedro?n8

338

AosnvérticesnA,nB,nE,nFndonoctaedroncorrespondem,nrespectivamente,nosnpontosna,nb,ne,nfndanplanificação.nAonvérticenDndon octaedroncorrespondem,nnanplanificação,nosnpontosn a)n m,nn,npn b)nn,np,nq c)n p,nq,nr d)nq,nr,ns e)nr,ns,nm

MatemáticanensuasnTecnologias

Exercícios C om p l em en t ares 01. (UEL PR)nTodonpoliedronconvexonsatisfaznonteoremandenEuler,n cujanexpressãonénVn+nFn–nAn=n2,nondenV,nFnenAnrepresentam,n respectivamente,nonnúmerondenvértices,ndenfacesnendenarestasndonpoliedro.nEntão,néncorretonafirmar: a)n TodonpoliedronquensatisfaznonteoremandenEulernénregular. b)nTodonpoliedronquensatisfaznonteoremandenEulernénpoliedron denPlatão. c)n TodonpoliedronquensatisfaznonteoremandenEulernénconvexo. d)nTodonpoliedronregularnsatisfaznonteoremandenEuler. e)nTodonpoliedronconvexonquensatisfaznonteoremandenEulernén regular.

05. (UEL PR) Leianontextonanseguir.

Originalmentenosndadosneramnfeitosndenosso,nmarfimnounargila.n HánevidênciasndanexistênciandelesnnonPaquistão,nAfeganistãonen noroestendanÍndia,ndatandonden3500na.C.nOsndadosncúbicosnden argilancontinhamnden1nan6npontos,ndispostosndentalnmaneiranquen ansomandosnpontosndencadanparndenfacesnopostasnénsete.

Adaptado de: Museu Arqueológico do Red Fort. Delhi, India.

Atualmente,nalémndosndadosnemnformandencubon(hexaedro),n encontram-sen dadosn emn váriosn formatos,n inclusiven esféricos,ncomonmostramnasnfigurasnanseguir.

02. (UFPE) Emn relaçãon aosn poliedrosn regulares,n podemosn afirmarnque:nF-F-V-F-V 01.n Sãonsemprenpoliedrosnestrelados.n n ⋅ (n - 3) n diagonais,n sendon nn on númeron den 2 arestasndonpoliedro.n 03.n PossuemnFn+nVn–n2narestas,nsendon(F)nonnúmerondenfaces,n en(V)nonnúmerondenvértices.n 05.n Temnpornfaces:ntriângulosnequiláteros,nquadrados,npentágonosnenhexágonosnregulares.n 06.n Sãonsuperfíciesnlimitadasnpelonmesmontipondenpolígonon regular.

02.n Possuemn

03. (UFRGS RS)nAnfiguranabaixonrepresentananplanificaçãondenumn cuboncujasnfacesnforamnnumeradasnden1nan6.n

Apesarndonformatonesférico,naonsernlançado,nondadonmostran pontosndenumnanseis,ncomonsenfossenumndadoncúbico.nIsson acontecenporquennoninteriorndanesferanexistenumancavidaden emnformandenoctaedro,nnanqualnexistenumnpeson(umnchumbinho)nquensenalojanemnumndosnvérticesndonoctaedro.

04. (Unifesp SP) Considerenonpoliedroncujosnvérticesnsãonosnpontosnmédiosndasnarestasndenumncubo.n

Onnúmerondenfacesntriangularesnenonnúmerondenfacesnquadradasndessenpoliedronsão,nrespectivamente: a)n 8nen8n c)n6nen8n e)n6nen6 b)n8nen6n d)n8nen4

Assinalenanalternativanquenapresenta,ncorretamente,nanpropriedaden dosn poliedrosn regularesn quen justifican on faton den an cavidadennoninteriorndanesferansernoctaédrica.n a)n Onnúmerondenvérticesndonoctaedronénigualnaonnúmeronden facesndonhexaedro.n b)nOnnúmerondenvérticesndonoctaedronéndiferentendonnúmeron denfacesndonhexaedro.n c)n Onnúmerondenarestasndonoctaedronénigualnaonnúmeronden arestasndonhexaedro.n d)nOn númeron den facesn don octaedron én igualn aon númeron den vérticesndonhexaedro.n e)nOnnúmerondenfacesndonoctaedronéndiferentendonnúmeron denvérticesndonhexaedro.

339

A02  Poliedros:nPoliedrosndenPlatão

On produton dosn númerosn quenestãon nasn facesn adjacentesn àn facendennúmeron1né:n a)n 120nn c)n180n e)n360 b)n144nn d)n240n

FRENTE

A

MATEMÁTICA

MÓDULO A03

ASSUNTOS ABORDADOS n Prismas: áreas e volume nn Definição nn Elementos nn Nomenclatura nn Classificação nn Prismanregular nn Áreas nn Volume

PRISMAS: ÁREAS E VOLUME Colmeianénonnomendadonaonlocalnquenabelhasnutinlizamnparanabrigarnseusndescendentesnenestocarnonmel,nounseja,nénancasandasnabelhas.nExistenumnsurpreendentennívelnden organizaçãonemnumancolmeia.nOntrabalhonénfeitonpornabelhasnfêmeasnestéreis,nchamadasn denoperárias.nAnabelhanrainhanénanúnicanfêmeanfértinlndancolmeia.nIssonacontecenvistonque,n pornsernalimentadanpelangeleianreal,nanabelhancrescenendesenvolvenonaparelhonreprodutinvo,nonquensignifincanquenasndemaisnsãonestéreisnpornatrofina.nAnrainhanpõencercandenmilnovosn porndianenvivendencinconandeznanos.nJánosnzangões,nquensãonosnmachos,npossuemnumann únicanfunção:nfecundaçãondanrainha.nDepoisndisso,nelesnnmorrem.

Anrespeitondonarmazenamentondenmelnnasncolmeias,npodemosnassociarncadanumndosn seusnalvéolosnansólidosngeométricosnquenpossuemnduasnfacesnpoligonaisnopostas,nparalelasnencongruentesnenasndemaisnfacesnnanformandenparalelogramos.nNestanaula,abordaremosnonestudondessesntinposndensólidosngeométricosndenominadosnprismas.

Definição

Figura 01 - Abelhas armazenando mel em alvéolos hexagonais.

340

Fonte:nshuttnerstock.com/PornStudioSmart

Dadosndoisnplanosnαnenβnparalelos,numansuperfíncienpoligonalnPn⊂nαnenumanretanrnsecantenanessesndoisnplanos,ndenomina-senprisma,nonsólidongeométriconobtindonpelanuniãon dentodosnosnsegmentosnparalelosnanrncomnumanextremidadenemnPnenoutranemnβ.nObserven anfingurananseguir:

MatemátincanensuasnTecnologias

Elementos

Observenasnfingurasnanseguir:

Osnprismasnsãonsólidosndelimitadosnapenasnpornfacesnplanas,nounseja,nénumntinpondenpoliedro.nObservenanfingurananseguir:

Notenque,nonprismanretontemnasnseguintesncaracterístincas: Nessenprisma,npodemosndestacarnosnseguintesnelementos. nn OsnpolígonosncongruentesnenparalelosnABCDEFnenGHIJKLn sãonasnbasesndonprisma. nn Osndemaisnpolígonosnsãonasnfacesnlateraisndonprisma. nn Osnladosndosnpolígonosndasnbasesnsãonasnarestasndasn basesndonprisma. nn Osnladosndosndemaisnpolígonosnsãonasnarestasnlateraisn donprisma. nn Osnvérticesndentodosnosnpolígonosnsãonosnvérticesndon prisma.

nn Anarestanlateralnenanalturanpossuemnanmesmanmedida. nn Asnfacesnlateraisnsãonretângulos.

Prisma regular Denomina-senprismanregularntodonprismanretoncujasnbasesn sãonpolígonosnregulares.nObservenanfingurananseguir:

nn Andistâncianhnentrenasnbasesnénanalturandonprisma.

Observações: nn Todasn asn facesn lateraisn den umn prisman sãon paralelo-

gramos.

nn Todonsegmentondenextremosnemnvérticesndenfacesndi-

ferentesnénchamadondendiagonalndonprisma.

Nomenclatura Osnnomesnquenosnprismasnrecebemnestãondenacordoncomn osnpolígonosnquenconstintuemnasnsuasnbases.nObservenasnfingurasnanseguir:n

Áreas Asn áreasn dasn superfínciesn den umn prisman sãon divididasn den acordoncomnasnposiçõesnquenocupam.n Área da base (AB) Anáreandanbasenéndadanpelanáreandelimitadanpelonpolígonon quencompõenessanbase. Área lateral (AL) Anáreanlateralnéndadanpelansomandasnáreasndentodasnasnsuasn facesnlaterais.

Classificação Denacordoncomnaninclinaçãondensuasnarestasnlaterais,numn prismanpodensernretonounoblíquo.n nn Umnprismanseránretonquandonsuasnarestasnlateraisnforemn

perpendicularesnàsnbases.n nn Umnprismanseránoblíquonquandonsuasnarestasnlateraisn foremnoblíquasnàsnbases.

Anáreantotalnéndadanpelansomandasnáreasndentodasnasnsuasn faces,nounseja,nénansomandasnáreasndasnduasnbasesncomnanárean lateral,nounseja: ATn=n2ABn+nAL

n

n

Volume Onvolumen(V)ndenumnprismanéndadonpelonprodutondanárean danbasen(AB)npelanalturanh: nVn=nABn⋅nhnn 341

A03  Prismas:náreasnenvolume

Área total (AT)

Matemática

EXEMPLOS 01. Considerandonumnprismantriangularnregularntalnquenanarestandanbasen tenhan6ncmnenanalturan10ncm,ncalcule:

RESOLUÇÃO Vamosndeterminarnanalturanhndessenprismanpornmeiondontriângulonretângulondanfigurananseguir.

a)n anáreandanbase. b)n anáreanlateral. c)n anáreantotal. d)n anvolume.

RESOLUÇÃO

senn60°n=n

Nanfigurananseguir,ntemosnanplanificaçãondasnsuperfíciesndessenprisma.

h 3 h n⇒ = n⇒nhn=n 3 3 cm 6 2 6

Onvolumenéndadonpor: Vn=nABn⋅nhn=n 5 ⋅ 4 ⋅ 3 3⋅ =60 3 cm3 03. Considerenumnprismanhexagonalnregularntalnque: nn anáreandanbasensejan 96 3 ncm². nn onapótemandanbasensejanigualnansuanaltura.

Calculenanáreanlateralnenonvolumendessenprisma.

RESOLUÇÃO a)n Comon an basen én umn triângulonequiláteron den ladon 6n cm,n an árean dan basenéndadanpor:

Nanfigurananseguir,ntemosnanplanificaçãondasnsuperfíciesndessenprisma.

62 3 36 3 ABn=n = = 9 3 cm2 4 4 b)n Comonasnfacesnlateraisnsãonretângulosndenladosn6ncmnen10ncm,nanárean lateralndadanpor: ALn=n3n⋅n6n⋅n10n=n180ncm2 c)n Anáreantotalnéndadanpor: ATn=n2ABn+nAL ATn=n 2 ⋅ 9 3 + 180 = 18 3 + 180 = 18

(

)

3 + 10 cm2

d)n Onvolumenéndadonpor: Vn=nABn⋅nh 90 3 cm3 Vn=n 9 3 ⋅ 10 = 02. Nan figuran an seguir,n temosn umn prisman oblíquon emn quen asn basesn sãon retângulosndenladosn5ncmnen4ncm,nsuasnarestasnlateraisnmedemn6ncmnen fazemnumnângulonden60°ncomnanhorizontal.

ComonanbasenénumnhexágononregularndenladonL,náreandanbasenéndadanpor: ABn=n 6 ⋅

L2 3 3L2 L2 3 n⇒ 96 = n⇒nL2n=n64n⇒nLn=n8ncm n⇒ 96 3= 6 ⋅ 2 4 4

OnapótemanaPndenumnhexágononregularndenladon8ncmnéndadonpor: L 3 8 3 aPn=n = = 4 3 cm 2 2

A03  P r i s m a s : á r e a s e v o l u m e

Assim,nanalturandonprismantambémnén 4 3 cm .

Comonasnfacesnlateraisnsãonretângulosndenladosn8ncmnen 4 3 ncm,nanárean lateralndadanpor: ALn=n6n⋅n8n⋅ 4 3 = 192 3 cm2 Onvolumenéndadonpor: Calculenonvolumendessenprisma.

342

Vn=nABn⋅nhn=n 96 3 ⋅ 4 3 = 1n152ncm3

MatemáticanensuasnTecnologias

Exercícios de Fixação 01. Considerandon umn prisman triangularn regularn den arestan dan basenigualnan8ncmnenalturanigualnan5ncm,ncalcule:

a)nanáreandanbase.n16

3 cm2

04. Nanfigurananseguir,ntemosnonprojetondenumndepósitoncomnumn telhadonformadonporndoisnretângulosncongruentesncomninclinaçãonden45ngrausnemnrelaçãonànhorizontal.n

b)nanáreanlateral.n120ncm c)n anáreantotal.n8 4 3 15 cm2 d)nonvolume.n80 3 cm2 2

02. Nanfigurananseguir,ntemosnumnprismanoblíquondenbasenquadradancomnmedidasnindicadasnemncm.

Qualnonvolumendessendepósito?n1n650nm3

Calculenonvolumendessenprisma.n1 500

3 cm3

03. Considerandon umn prisman hexagonaln regularn den arestan dan basen12ndmnenalturanigualnan20ndm,ncalcule: a)n anáreantotal.n144 3 3 10 cm2 b)nonvolume.n4 320 3 cm3

05. Suponhanquenumanfábricanproduzanencomercializenumnrecipiente,nsemntampa,nnonformatondenumnprismanretondenalturan 6m,n cujan basensejanumn hexágonon regularnden ladon 2n m.n Sabendonquenoncustondenproduçãondencadanm²ndessenrecipienten éndenR$n2,00nenquenanindústriandesejanternumnlucronden10%n nanvendandencadanunidade,nqualnénonvalorndenvendandencadan recipiente?n(Use 3 = 1,7 )nR$n180,84

Exercícios C om p l em en t ares

02. (Unioeste PR)n Considere-sen uman lixeiran semn tampa,n comn asn quatronlateraisnsemelhantes.nAsnlateraisndanlixeirantêmnformaton dentrapézionisóscelesncomnanbasenmenornvoltadanparanbaixo.nAn basenmaiornmeden40ncmnenestantemnondobrondanmedidandanbasen menor.nEmncadantrapézionanalturanmeden15ncm.nDesprezando-sen anespessurandasnplacasnefetivamentenutilizadasnparanconstruirnan lixeira,npode-senafirmarnquenanáreandansuperfícienexternanénde: a)n 1n800ncm2n c)n2n600ncm2n e)n2n200ncm2 2n 2 b)n2n000ncm d)n1n500ncm 03. (UFG GO) Anfiguranabaixonrepresentanumnprismanreto,ndenalturan10ncm,nencujanbasenénonpentágononABCDE.n

Sabendo-senquenABn=n3ncmnenBCn=nCDn=nDEn=nEAn=n2ncm,ncalculenonvolumendonprisma.n10 3 7 6 cm3 2

04. (UFTM MG) Umnrótulondenformanretangularn(figuran1)nseráncoladonemntodanansuperfícienlateralndenumnrecipientencomnanformanden umnprismanhexagonalnregularn(figuran2),nsemnhavernsuperposição.

Considerandon 3 = 1,73 ,néncorretonafirmarnquenancapacidadendessenrecipientené,nemnmL,naproximadamente: a)n 934n c)n650n e)n1n350 b)n1n150n d)n865 05. (UEM PR) Considerenumnprismanretoncujanbasenénumnpentágonon nãonregularnABCDE,nemnquenosnladosnABnenEAnmedemn 10 2 cm,n onladonCDnmeden20ncmnenosnladosnBCnenDEnsãonperpendicularesn aonladonCDnentêmnmetadendansuanmedida.nSabendonquenanalturan dessenprismanénden10ncm,nassinalenonquenforncorreto.

01.n Anáreanlateralndessenprismanmeden 600 2cm ncm22.

3 02.n Onvolumendonprismanén3n000ncm .

03.n Onprismantemn7nfacesnretangulares.

04.n Anáreantotalndonprismanén1n200ncm2.

05.n Onprismantemn10nvértices.nF-V-F-F-V 343

A03  Prismas:náreasnenvolume

01. Anbasendenumnprismanretonénumnlosangoncujasnmedidasndasn diagonaisnsãon3nmnen2nm.nSabendonquenessenprismanénuman caixa-d’águanden4nmndenaltura,ndesprezenanespessurandensuasn paredesnparancalcularnansuancapacidadenemnlitros.n12n000nL

FRENTE

A

MATEMÁTICA

MÓDULO A04

ASSUNTOS ABORDADOS n Prismas: Paralelepípedos nn Paralelepípedo nn Relaçõesn importantesn non paralelepípedonreto-retângulon

PRISMAS: PARALELEPÍPEDOS Nanpiscicultura,nexistemnváriasnmodalidadesndencriaçãonintensivandenpeixes,nmasnnenhumandelasnéntãondemocrátincanquantonancriaçãonintensivandenpeixesnemntanques-redenoun gaiolas.nApesarndennãonsernandenmenorninvestinmento,nelanpossibilitanaonprodutorniniciarnan suanoperaçãoncomnpequenoncapital,nampliandonmodularmentenonseuninvestinmento.n NonCeará,nanpisciculturanemntanques-redenestánsendondesenvolvidannonAçudenCastanhãon(MunicípiondenJaguaribara),ncontribuindonparanangeraçãondenrendandencomunidadesnruraisncearenses.nNonAçudenCastanhão,numangrandenquantindadendenpeixesnéncultinvadanemntanques-rede,ncomnaltandensidadenpopulacionalnenalimentaçãonànbasendenração.n Osntanques-redentêmnanformandenumnprismanretondenbasenretangularnensãonrevestindosncomn umanredenquenimpedenanfugandosnpeixes,nmasnquenpermitenanpassagemndanágua.n Suponhanque,nparanumandeterminadanespécie,nandensidadenmáximandenumntanque-redensejanden400npeixesnadultosnpornmetroncúbiconenquenontanquenpossuanlarguranigualn aoncomprimentonenalturanigualnan2nm.

Nessasncondições,nquaisndevemnsernasndimensõesndoncomprimentonendanlargurandon tanquenparanquenelencomporten7n200npeixesnadultosndanespécienconsiderada?

Fonte: Vestitular UNIFOR-2016.

Acesso: Agosto de 2017

Fonte:nshuttnerstock.com/PornRichnCarey

Nestan aula,n abordaremosn osn prismasn retosn den basesn retangularesn (forman dosn tanques-redendescritosnnontexto)nquentambémnsãondenominadosnparalelepípedosnreto-retângulos.nTaisnsólidosnpossuemninúmerasnaplicaçõesnnonnossoncotindiano.

344

MatemátincanensuasnTecnologias

Paralelepípedos Osnparalelepípedosnsãonprismasncujasnbasesnsãonparalelogramos.nOsnparalelepípedosn podemnser: Paralelepípedo oblíquo Én umn prisman cujan basen én umn paralelogramon en asn arestasn lateraisn sãon oblíquasn emn relaçãonàsnbases.nObservenanfinguranaonlado: Paralelepípedo reto Énumnprismancujanbasenénumnparalelogramonenasnarestasnlateraisnsãonperpendicularesn emnrelaçãonàsnbases.nObservenanfingurananseguir:

Paralelepípedo reto retângulo Énumnprismancujanbasenénumnretângulonenasnarestasnlateraisnsãonperpendicularesnemn relaçãonàsnbases.nObservenanfingurananseguir:

Relações importantes no paralelepípedo reto-retângulo Nanfingurananseguir,ntemosnparalelepípedonreto-retângulondendimensõesna,nbnencnensuan respectinvanplanifincação.

P

b.c D

c

Q S

d

a

R

b

Paralelepípedo reto-retângulo

Áreas das faces c

a.b

c b.c

b

a.c

c

a.b

b

a

A04  Prismas:nParalelepípedos

a.c

c

Planificação do paralelepípedo

Vamosndeterminarnasnexpressõesnparanoncálculondensuanáreantotal,ndiagonalndanbase,n diagonalndonparalelepípedonenvolume.

345

Matemática

Área total (AT) Anáreantotaln(AT)ndonparalelipípedonreto-retângulonénigualnànsomandasnáreasndensuasn seisnfacesnretangulares,nounseja,ndoisnretângulosndenáreanab,ndoisnretângulosndenáreanacn endoisnretângulosndenáreanbc,nounseja: Daí,ntemosnque:

ATn=n2abn+n2acn+n2bc ATn=n2(abn+nacn+nbc)

Diagonal da base Anmedidandiagonaln(d)ndanbasendonparalelepípedonreto-retângulonénobtidanaplicandon onteoremandenPitágorasnnontriângulonQRS,nounseja: d2n=na2n+nb2 Daí,ntemosnque: = d

a2 + b2

Diagonal do paralelepípedo An medidan dan diagonaln (D)n don paralelepípedon reto-retângulon én obtidan aplicandon on teoremandenPitágorasnnontriângulonPQR,nounseja: D²n=nd²n+nc²n⇒nD²n=na²n+nb²n+nc² Daí,ntemosnque: D=

a2 + b2 + c2

Volume Onvolumen(V)ndonparalelepípedonreto-retângulonéndadonpelonprodutondanáreandanbasen pelanaltura,nounseja: Daí,ntemosnque:

Vn=nABn⋅nhn=n(an⋅nb)n⋅c Vn=nan⋅nbn⋅ c

EXEMPLOS 01. Considerandonquenumancaixandenpapelãonemnformandenparalelepípedon retângulontenhanasndimensõesniguaisnan20nm,n5nmnen2nm,ncalcule: a)n ansuanáreantotal. b)n onseunvolume.

RESOLUÇÃO

Vn=nan⋅nbn⋅ncn=n6n⋅n6n⋅n0,08n=n2,88nm³ Portanto,nonvolumendenargamassanén2,88nm³.nnn 03. Asndimensõesndenumnparalelepípedonreto-retângulonestãonnanproporçãon 9:12:20.nSabendonquenandiagonalndessenparalelepípedonmeden100ncm,n calculenessasndimensões.

a)n Ansuanáreantotalnéndadanpor:

A T= 2( ab + bc + ac )= 2(20.5 + 20.2 + 5.2) = 300 m2 b)n Onseunvolumenéndadonpor:

A04  P r i s m a s : P a r a l e l e p í p e d o s

Vn=nan⋅nbn⋅ncn=n20n⋅n5n⋅n2n=n200nm3 02. Deseja-senconcretarnumanlajennonformatondenumnquadrado,ncomnladosn medindon6nmnen8ncmndenespessura.nQualnénonvolumennecessárionden concretonparanconcretarnessanlaje?

RESOLUÇÃO An camadan den concreton temn an forman den umn paralelepípedon reton retângulondenbasenquadrada,ncomn6nmndenarestanenalturanden8ncm.nEssen volumenéndadonpor:

346

RESOLUÇÃO Asndimensõesndonparalelepípedonpodemnsernexpressasnpor:n9x,n12xnen20x.nn Andiagonalndonparalelepípedonretângulonéndadanpor: D=

a2 + b2 + c2 ⇒ 100 =

( 9x ) + (12x ) + (20x ) 2

2

2

Elevandonaonquadradonambosnosnmembrosndanequação,ntemos:n 10n000n=n81x2n+n144x2n+n400x2n⇒n10n000n=n625x2n⇒nxn=n4.

Assim,nasndimensõesndonparalelepípedonsão: nn 9xn=n36ncmn nn 12xn=n48ncm nn 20xn=n80ncm Portanto,nsuasndimensõesnsão:n36ncm,n48ncmnen80ncm.

MatemáticanensuasnTecnologias

Exercícios de Fixação 01. Consideren umn paralelepípedon reto-retângulon cujasn dimensõesnsãon3ncm,n4ncmnen5ncmnparancalcular: a)n ansuanáreantotal.n94ncm2 b)nonseunvolume.n60ncm3 c)n ansuandiagonal.n5 2 cm 02. Asnarestasndenumnparalelepípedonreto-retângulontêmnmedidasnproporcionaisnan3,n4nen12nensuandiagonalnmeden260ncm.n Calculenasnsuasndimensões.n6ncm,n8ncmnen24ncm 03. Umnaquárionemnformandenparalelepípedontemnbasenretangularndenladosn80ncmnen120ncm.nUmnpeixe,naonserncolocadonnon aquário,nfaznonnívelndanáguansubirn1,5ncm.nCalculenonvolumen dessenpeixenemndm3.n14,4ndm3 04. (Puc RJ)nDenumanfolhandenpapelãondenladosndenmedidasn23n en14nforamnretirados,ndosnquatroncantos,nquadradosndenladon denmedidan3nparanconstruirnumancaixan(semntampa)ndobrandononpapelãonnasnlinhasnpontilhadas.

a)n Determinenonperímetrondanfolhandenpapelãonapósnanretiradandosnquatroncantos.n74nuc b)nDeterminenanáreandanfolhandenpapelãonapósnanretiradandosn quatroncantos.n286nua c)n Determinenonvolumendancaixanformada.n408nuv 05. (Uerj RJ)nParantransportarnareia,numanlojandispõendenumncaminhãoncujancaçambantemn1nmndenalturanenanformandenumn paralelepípedonretângulondenbasenquadrada.nAnmaiorndistâncianentrendoisnpontosndessenparalelepípedonénigualnan3nm.

Determinenancapacidadenmáxima,nemnmetrosncúbicos,ndessan caçamba.n4m3

Exercícios C om p l em en t ares 01. (UFG GO) Emnumanaulandengeometrianespacialnfoinconstruídon umnparalelepípedonretangularnutilizando-sencomonarestasncanudosninteirosndenrefrigerantes,nsendonoitoncanudosnden12ncmn enquatroncanudosnden16ncm.nParangarantirnquenonparalelepípedonficassen“firme”ndeveriamnserncolocadosnsuportesnnasndiagonaisndonparalelepípedo.nTendonemnvistanessesndados,nqualnon comprimentondandiagonalndonparalelepípedo?n4 34cm

04. (Puc RJ) Pretende-senfabricarnumancaixancomnfacesnretangularesnenângulosnretos,nabertanemncima,ncomnumnvolumenden 10nm3n(conformenfigurananseguir).nOncomprimentondenumndosn ladosndanbasendevensernondobrondoncomprimentondonoutron lado.n On materialn paran construirn an basen custan R$n 10,00n porn metronquadrado,naonpassonquenonmaterialnparanconstruirnasn lateraisncustanR$n6,00npornmetronquadrado.

02. Anáreantotalndenumnparalelepípedonretângulonén376nm²nensuan diagonalnmeden10nm.nCalculenasnmedidasndensuasnarestas,nsabendonquenelasestãonemnprogressãonaritmética.n6nm,n8nmnen10nm

a)n Senonladonpnmeden2nmetros,nquantonvalenn?n1,25nm b)nComnosnvaloresndonitemn(a),ncalculenoncustondenconstruçãon dancaixa.nR$n170,00nnnnnnnnnnnnnnn n nnnc)n20p2n+n180/p c)n Encontrenoncustondenconstruçãondancaixanemnfunçãondenp.nn 05. (Unisc RS) Uman barran den chocolate,n nan forman den paralelepípedonretângulo,ndendimensõesn60ncm,n40ncmnen5ncm,nén derretidanparanfazernchocolatencomncrocante.nParanisso,naon chocolatenderretidonénacrescentadon25%ndonseunvolumenemn castanhas,nnozesnenaçúcarncaramelizado.nComnessanmistura,n quantasnbarrinhasnnanformandenprismasnhexagonais,ndenarestandanbasenmedindon2ncmnenalturan10ncm,npodemnsernfeitasn aproximadamente?(Consideren 3 n=n1,73) a)n 144nn c)n114n e)n864 b)n115nn d)n867

347

A04  Prismas:nParalelepípedos

03. (Enem MEC) Emnumnterreno,ndeseja-seninstalarnumanpiscinan comnformatondenumnbloconretangularndenalturan1nmnenbasenden dimensõesn20nmnxn10nm.nNasnfacesnlateraisnennonfundondessan piscinan serán aplicadon umn líquidon paran an impermeabilização.n Essenlíquidondevensernaplicadonnanrazãonden1nLnparancadan1nm2n denáreanansernimpermeabilizada.nOnfornecedornAnvendencadan latandenimpermeabilizantenden10nLnpornR$n100,00,nenonBnvenden cadanlatanden15nLnpornR$n145,00.nDeterminenanquantidadenden latasndenimpermeabilizantenquendevenserncompradanenonfornecedornansernescolhido,ndenmodonansenobternonmenorncusto.n a)n FabricantenA,n26nlatas.nn b)nFabricantenA,n46nlatas.nn c)n FabricantenB,n17nlatas.nn d)nFabricantenB,n18nlatas.nn e)nFabricantenB,n31nlatas.n

FRENTE

A

MATEMÁTICA

Exercícios de A p rof u n dam en t o 01. (UFPR)nTodasnasnfacesndenumncubonsólidondenarestan9ncmnforamn pintadasndenverde.nEmnseguida,npornmeiondencortesnparalelosnan cadanumandasnfaces,nessencubonfoindivididonemncubosnmenores,n todosncomnarestan3ncm.nComnrelaçãonanessesncubos,nconsideren asnseguintesnafirmativas:

03. (IF SP) An figuran mostran uman peçan feitan emn 1587n porn Stefanon Buonsignori,nenestánexpostannonMuseunGalileo,nemnFlorença,nnan Itália.nEsteninstrumentontemnanformandenumndodecaedronregularn e,nemncadanumandensuasnfacesnpentagonais,nhánangravaçãonden umntipondiferentendenrelógio.

1.n Seisn dessesn cubosn menoresn terãon exatamenten uman facen pintadandenverde.

2.n Vinten en quatron dessesn cubosn menoresn terãon exatamenten duasnfacesnpintadasndenverde.

3.n Oiton dessesn cubosn menoresn terãon exatamenten trêsn facesn pintadasndenverde.

4.n Umn dessesn cubosn menoresn nãon terán nenhuman dasn facesn pintadandenverde.

Assinalenanalternativancorreta.n a)n Somentenasnafirmativasn1,n2nen4nsãonverdadeiras.nnn b)nSomentenasnafirmativasn1nen4nsãonverdadeiras.nnn c)n Somentenasnafirmativasn1,n3nen4nsãonverdadeiras.nnn d)nSomentenasnafirmativasn2nen3nsãonverdadeiras.nnn e)nAsnafirmativasn1,n2,n3nen4nsãonverdadeiras.nnn 02. (Uerj RJ) Considerenonicosaedronanseguirn(Fig.1),nconstruídonemn plásticon inflável,n cujosn vérticesn en pontosn médiosn den todasn asn arestasnestãonmarcados.n An partirn dosn pontosn médios,n quatron triângulosn equiláterosn congruentesnforamnformadosnemncadanfacendonicosaedro.nAdmitanquen onicosaedronsejaninfladonaténquentodosnosnpontosnmarcadosnfiquemn sobrenansuperfíciendenumanesfera,nenosnladosndosntriângulosntornem-senarcosndencircunferências,ncomonilustradonnanfiguran2.

Observenagoranque,nsubstituindo-senessesnarcosnpornsegmentosn denreta,nobtém-senumannovanestruturanpoliédricandenfacesntriangulares,ndenominadangeodésica.n(Fig.n3)

Onnúmerondenarestasndessanestruturanénigualna:n a)n 90nnn b)n120nnn c)n 150nnn d)n180nnn 348

Emn1758,nonmatemáticonLeonardnEulern(1707-1783)ndescobriunon teoremanconhecidonpornrelaçãondenEuler:nemntodonpoliedronconvexoncomnVnvértices,nAnarestasnenFnfaces,nvalenanrelaçãonVn–nAn+nFn=n2.n AonsenaplicarnanrelaçãondenEulernnonpoliedrondanfigura,nonnúmeronden arestasnnãonvisíveisné: a)n 10nnn b)n12nnn c)n 15nnn d)n16nnn e)n18nnn 04. (Unifor CE) Umanbolandenfutebolnénumnpoliedronconvexonformadonporn20nfacesnhexagonaisnen12npentagonais,ntodasncomnladosn congruentesn entren si.n Umn torcedorn fanáticon den umn dosn clubesn cearensesn den futeboln encomendoun an umn artesãon uman bolan den futebolncosturadananmãonquencontenhanonsímbolondenseuntimen costuradonemncadanvérticendanbola.nParancosturarnessasnfacesnladon anlado,nformandonansuperfíciendonpoliedronconvexo,nonartesãongastan15ncmndenlinhanemncadanarestandonpoliedro,nenparancosturarnon símbolondontimennumnvértice,nelengastarán60ncmndenlinha.n

MatemáticanensuasnTecnologias

07. (UnB DF)nParanedificaçãondenumancasanfoinnecessárionnivelarn on terreno,n inicialmenten planon en inclinando,n fazendo-sen umn aterro.nDepoisndenaterradonennivelado,nobteve-senumnterrenon denformanplananenquadrada,ncomn144nm2ndenárea.nAsnalturasn donaterronemncadanumndosnvérticesndonterrenonoriginalnestãon apresentadasnnanfigurananseguir.n

Quantosn metrosn den linhan sãon necessáriosn paran quen on artesãon concluananencomenda? a)n 48,3nm b)n49,5nm c)n 53,4nm d)n56,8nm e)n59,2nm 05. (UFJF MG) Umanempresandensorvetenutilizancomonembalagemn umn prisman reto,n cujan alturan meden 10n cmn en cujan basen én dadan conformen descriçãon an seguir:n den umn retângulon den dimensõesnn 20ncmnporn10ncm,nextrai-senemncadanumndosnquatronvérticesnumn triângulonretângulonisóscelesndencatetosndenmedidan1ncm.

Calcule,nemnmetrosncúbicos,nonvolumendenterranutilizadannessen aterro,ndesprezandonanpartenfracionáriandenseunresultado,ncason exista.n72nm3 08. (Unesp SP) Prevenindo-sencontranonperíodonanualndenseca,numn agricultorn pretenden construirn uman cisternan fechada,n quen acumulentodananáguanprovenientendanchuvanquencainsobrenontelhadon densuancasa,naonlongondenumnperíodondenumnano.nAsnfigurasnenon gráficonrepresentamnasndimensõesndontelhadondancasa,nanforman dancisternanansernconstruídanenanquantidadenmédianmensalnden chuvannanregiãonondenonagricultornpossuinsuancasa.

a)n Calculenonvolumendanembalagem.n1n980nm3 b)nSabendonquenonvolumenocupadonpornessensorvetenaumentan emn1/5nquandonpassandonestadonlíquidonparanonestadonsólido,n qualndevensernonvolumenmáximonocupadonpornessensorveten nonestadonlíquido,nnessanembalagem,nparanque,naoncongelar,n onsorvetennãontransborde?n1n650nm3

Considerandonquenonicebergnénformadonsomentenpornáguanpotávelnenque,napósnondeslocamento,n10%ndonvolumendonbloconfoin perdido,ndeterminenqualnanquantidadendenáguanobtidantransportando-senumnicebergncomnasndimensões,nemnmetros,nindicadasn nanfiguranapresentada.n24n105,6nm3

Sabendonquen100nmilímetrosndenchuvanequivalemnaonacúmulon den 100n litrosn den águan emn uman superfícien planan horizontaln den 1n metron quadrado,n determinen an profundidaden (h)n dan cisternan paranquenelancomportentodononvolumendenáguandanchuvanarmazenadandurantenumnano,nacrescidonden10%ndessenvolume.n7,7nm 349

FRENTE A  ExercíciosndenAprofundamento

06. (UFG GO)nOnprojetonIcedreamnénumaniniciativanquentemncomon metan levarn umn icebergn dasn regiõesn geladasn paran abastecern an sedendenpaísesnáridos.nAnideiandonprojetonénamarrarnanumnicebergn tabularnuman cintan en rebocá-lon comn umn navio.n An figuran an seguirnrepresentananformanquenonicebergntemnnonmomentonemn quenénamarradanàncintanparanrebocá-lo.

FRENTE

B

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MATEMÁTICA Por falar nisso AssimncomonemntodananMatemática,noniníciondantrigonometrian sen deun porn meion den estudosn dosn povosn antigosn taisn comon osn egípciosn en osn babilônios.n Essen conhecimenton matemáticon eran usadoncomonferramentanparananAstronomia,nparananAgrimensuran en paran an Navegação.n Non Papiro de Rhind,n antigon documenton egípcio,nforamnencontradosnalgunsnproblemasnrelacionadosnàsn razõesntrigonométricas.n Nan célebren obran Os elementos, den Euclidesn den Alexandria,n ján havian algunsnconceitosntrigonométricosnaplicadosnàsnfingurasngeométricas.n Posteriormente,n foin on matemátincon gregon Hiparcon den Nicéian (190n a.Cn–n120na.C),nchamadonden“Onpaindantrigonometria”,ndurantenan segundanmetadendonséculonIIna.C.,nquenapresentounumntratadoncomn cercan den dozen volumes,n totalmenten dedicadosn àn trigonometria.n Elen tambémn foin responsáveln pelan elaboraçãon dan primeiran tábuan trigonométricanquensentemnregistro.n Posteriormente,n on matemátincon Ptolomeun den Alexandrian (100n d.Cn-168n d.C.)n apresentoun an suan tábuan den cordasn contendon on cálculon don senon dosn ângulosn den 0°n an 90°n quen seriamn utinlizadosn emn seusn estudosn astronômicos.n Uman dasn obrasn maisn inflnuentesn danantinguidade,nescritanpornPtolomeu,nénanSyntaxis Mathematica,n constintuídandentrezenlivrosnrelacionadosnàntrigonometria.

Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

B01 B02 B03 B04

Arcosnenângulosnnancircunferêncian................................................ 352 Circunferênciantrigonométrican...................................................... 358 Senonencossenondenumnarcontrigonométricon................................ 364 Tangentendenumnarcontrigonométricon........................................... 368

FRENTE

B

MATEMÁTICA

MÓDULO B01

ASSUNTOS ABORDADOS n Arcos e ângulos na circunferência nn Arcondencircunferência nn Ânguloncentral nn Definiçãondengrau nn Definiçãondenradiano nn Relaçãonentrengrausnenradianos nn Comprimentondenumnarco

ARCOS E ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA AnLondon Eye énumanroda-gigantenlocalizadanemnLondresnàsnmargensndonrionTâmisa,n nonReinonUnido.nElantambémnénconhecidancomonMillennium Wheel enénumandasnatraçõesn maisnvisitadasndancapitalnbritânica.

Essanfantásticanestruturanfoinconstruídanemn1999nparanancelebraçãondanviradandon milênion en tinhan umn tempon den existêncian pré-programadon den cincon anos.n Porém,n assimn comon an Torren Eiffel,n den Paris,n quen tambémn serian desmontadan maisn tarde,n an LondonnEyentornou-senumnmarconenjánfaznpartendanhistóriancomonumngrandenmonumentondanpaisagemndenLondres.n Elanpossuin135nmetrosndenalturanen32ncabinesnquenpodemncomportarnatén800nvisitantesndenumansónvez,n25npessoasnporncabine.nSuanvoltancompletantemnduraçãonden30n minutosn proporcionandon umn passeion agradáveln en uman vistan deslumbranten dan capitaln britânica.nAnrodanmantémnumanrotaçãonconstantenenosnpassageirosnentramnensaemnnan cabinencomnanroda-gigantengirando,npoisncomonanrotaçãonénlenta,nhántemponsufincienten paranosnpassageirosnsaíremnenentrarem.

Figura 01 - Roda-gigante London Eye e do rio Tâmisa à noite em Londres, Inglaterra.

352

Fonte:nshuttnerstock.com/nPornLukasznPajor

NumerandonasncabinesndanLondon Eye den1nan32,nénpossívelndeterminarnanalturanden cadanumandelasnemnrelaçãonaonsolo,nemndeterminadonmomento,npornmeiondenfórmulasn matemátincas,nenvolvendonrazõesntrigonométricasndenarcosndencircunferêncianmarcadosn emnumnsistemanchamadoncircunferêncianounciclo trigonométrico.

MatemáticanensuasnTecnologias

Arco de circunferência Dadan uman circunferêncian den centron On en doisn pontosn An en Bn quen pertencemn an essan  n on conjunton den pontosn circunferência,n denomina-sen arcon AB,n oun simbolicamenten AB, compreendidosnentrenAnenB,nincluindonAnenB.nObservenasnfigurasnanseguir:

Nessansituação,nosnpontosnAnenBnsãonchamadosndenextremidadesndessesnarcos.

Notenque,nexistemndoisnarcosncomnextremidadesnnosnpontosnAnenB.nAssim,nparandeixarnclaronqualnarconestánsenreferindo,nbastanutilizarnumnterceironpontonC.nObservenasnfigurasnanseguir:

 énonarconaonqualnonpontonCnnãonpertencen ACB  énonarconaonqualnonpontonCnpertence AB

SenosnpontosnAnenBncoincidem,numndosnarcosnficanreduzidonanumnponton(arconnulo)nen onoutronarconénanprópriancircunferêncian(arcondenumanvolta).nObservenanfigurananseguir:

Ângulo central B01  A r c o s e â n g u l o s n a c i r c u n f e r ê n c i a

Dadan uman circunferêncian den centron On en doisn pontosn An en Bn quen pertencemn an essan circunferência,nligando-senosnpontosnAnenBnaonpontonO,nobteremosnumnângulonAÔBnden medidanα,ndenominadonânguloncentral.nObservenanfigurananseguir:

 nsãoniguaisnanα.n Nessanfigura,ntemosnquenasnmedidasndonângulonAÔBnendonarcon AB 353

Matemática

Definição de grau On graun (°)n én uman unidaden den medidan den arcosn en ângulos.n Define-sen umn graun (1°)n comonsendonanmedidandenumnarconquencorrespondenan1/360ndancircunferêncianquencontémnessenarco.nnObservenanfigurananseguir:

Nessanfigura,ntemosnonconhecidontransferidor,ninstrumentonutilizadonparanmedirnângulos.nNoten quen an circunferêncian don transferidorn foin divididanemn 360n partesn iguais.nAn distâncianentrenduasndensuasnmarcasnconsecutivasncorrespondenanumngrau.n Observações: nn Comonconsequênciandandefiniçãondengrau,numanvoltancompletannancircunferêncian (arcondenumanvolta)nmeden360°. nn Umnminuton(1’)nénumnarconquencorrespondenan1/60ndongrau.nDaí,ntemosnquen1° =n60’. nn Umnsegundon(1”)nénumnarconquencorrespondenan1/60ndonminuto.nDaí,ntemosn quen1’n=n60”.

Definição de radiano B01  A r c o s e â n g u l o s n a c i r c u n f e r ê n c i a

Onradianon(rad)nénumanunidadendenmedidandenarcosnenângulos.nDefine-senumnradianon (1nrad)ncomonsendonanmedidandonarcondencomprimentonigualnaonraiondancircunferêncian quencontémnessenarco.nObservenanfiguranaonlado:  nfornigualnaonraionR,nentãonanmedidanαn Nessanfigura,nsenoncomprimentonLndonarcon AB  donângulonAÔBnenonarcon AB nénigualnanumnradianon(1nrad).n Dangeometria,nsabemosnque:n nn Oncomprimentonenanmedidandenumnarconsãonproporcionais. nn OncomprimentonCndenumancircunferênciandenraionRnéndadonpornCn=n2πR.

Assim,nparansendeterminarnanmedidandonarconcorrespondentenanumanvoltancompleta,n emnradianos,nbastanestabelecernanseguintenregrandentrês: 354

MatemáticanensuasnTecnologias

Medida

Comprimento

1nrad

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

R

α

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

2πR

2πR = 2π. Portanto,numanvoltancompletannancircunferêncian(arcon R n umanvolta)nmeden2πnrad.

Daí,ntemosnquen α =

Relação entre graus e radianos Comonanmedidandonarconcorrespondentenanumanvoltannancircunferêncianén360°nounn 2πnrad,npodemosnestabelecernasnseguintesnrelaçõesnentrenessasnunidadesndenmedida.

Arco

Grau

Radiano

90°

π/2nrad

180°

πnrad

270°

3nπn/2nrad

360°

2nπnrad

Comprimento de um arco

Medida

B01  A r c o s e â n g u l o s n a c i r c u n f e r ê n c i a

Jánsabemosnquenoncomprimentonenanmedidandenumnarconsãonproporcionais.nAssim,n paransenobternoncomprimentonLndenumnarcondencircunferêncianquenmedenαnrad,nbastan estabelecernanseguintenregrandentrês: Comprimento

1nrad

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

R

α

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

L

Ln= α ⋅nR

355

Matemática

EXEMPLOS 01. Determine:

RESOLUÇÃO

a)n oncomprimentondenumancircunferênciandenraion10ncm. b)n onraiondenumancircunferêncianden60πncm.

RESOLUÇÃO a)nCn=n2πRn⇒nCn=n2π10n⇒nCn=n20πncm b)nCn=n2πRn⇒n60πn=n2πRn⇒nRn=n30ncmn 02. Senondiâmetrondonpneundenumncarronmeden40ncm,ncalculenanquantidaden denvoltasncompletasnquenessenpneunprecisandarnparanquenoncarronpercorranumandistâncianden10n048nmetros.nAdotenπ =n3,14.

RESOLUÇÃO Supondon nãon havern deslizamenton entren on pneun en on chão,n emn cadan voltancompletandadanpelonpneu,noncarronpercorrenumandistâncianigualnann 2πRn=n2n⋅n3,14n⋅n0,2n=n1,256nm.nAssim,ntemosnque: 1nvoltannnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn1,256nm nnvoltasnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn10n048nm 1,256n⋅nnn=n10n048n⇒nnn=n8n000nvoltas.

Portanto,nonpneunprecisandarn8n000nvoltasncompletas.

03. Considerandonumancircunferênciandenraion6ncm,ncalcule:n

a)n Ln=nαRn⇒nLn=n4,2 ⋅n6n⇒nLn=n25,2ncm b)n Ln=nαRn⇒n34,2n=nα ⋅n6n⇒nαn=n5,7nrad 04. Converta:n a)n 210°nemnradianos.

4π b)n rad nemngraus.

5 RESOLUÇÃO a)n n 180°nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnπnrad n 210°nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnx 210π 7π = x = rad 180 6 n

b) n 180°nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnπnrad 4π n nnnxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn rad 5 4π ⋅ 180 4 ⋅ 180 n = x 5 = = 144° π 5

a)n oncomprimentondenumnarconden4,2nrad. b)n anmedida,nemnradianos,ndenumnarconquenmeden34,2ncm.

Exercícios de Fixação 01. Nanfigurananseguir,ntemosnduasnrodasndenraiosniguaisnan20ncmn cujosncentrosnestãon90ncmndendistâncianacopladasnpornuman correianesticada.n

04. Expressenemngraus: 4π a)n rad n144° 5 b)n

5π rad n150° 6

c)n

7π rad n84° 15

d)n

13π nradn130° 18

05. (Unifor CE)n An figuran abaixon mostran trêsn circunferênciasn den centrosnA,nBnenCnentangentesnduasnanduas.n

B01  Arcosnenângulosnnancircunferência

Qualnénoncomprimentondessancorreia?nAdotenπ =n3,14.n305,6ncm 02. Determine,nemngraus,nonmenornângulonformadonpelosnponteirosndonrelógionquenmarca: a)n 3nhorasnen30nminutosn75° b)n10nhorasnen25nminutosn132,5° c)n 5nhorasnen55nminutosn152,5° 03. Expressenemnradianos: a)n 30° π/6 b)n135° 3π/4 c)n 240° 4π/3 d)n330°n11π/6

356

T

A

C

B

P

Q

SenasnretasnquenligamnosnpontosnCnanQnenPnanTnsãonperpendicularesnensenonraiondancircunferêncianmaiornén6nm,nquantosn metrosn deven uman pessoan percorrern paran irn don ponton Pn aon pontonQnseguindonantrajetóriandadanpelanfigura? a)n 6nπ c)n8nπ e)n10nπ b)n7nπ d)n9nπ

MatemáticanensuasnTecnologias

Exercícios C om p l em en t ares 01. (UFCE)nAnfigurananseguirnmostranquatronrodasncirculares,ntan-

londenaberturanmeden1nradiano.n

gentesnduasnanduas,ntodasndenmesmonraionrnencircundadasn pornumancorreianajustada.n

Determinenoncomprimentondancorreia,nemntermosndenr.n2r(πn+n4) 02. Considerenumanantiganbicicletanemnquenrodantraseirantenhanraionigualnan50ncmnenanrodandianteirantenhanraionigualnan 40ncm.nSe,naonpercorrerndeterminadonpercurso,nnotou-sen quensuanrodanmaiorndeun600nvoltasncompletas,nrespondan aosnitensnanseguir: a)n Qualn an distância,n emn metros,n percorridan pelan bicicleta?n Adotenπ =n3,14.n188,4nm b)nQuantasnvoltasndeunanrodanmenornnessenpercurso?n750nvoltas

Onperímetrondon“monstro”,nemncm,né:n a)n πn–n1n b)nπn+n1 c)n 2πn–n1 d)n2π e)n2πn+n1 06. (UFG GO)nOnconjuntonroda/pneundanfiguranabaixontemnmedidan300/75-R22.nOnnúmeron300nindicananlarguranL,nemnmm,ndan bandandenrodagem,n75nrefere-senànporcentagemnquenanalturan Hndonpneunrepresentandanbandandenrodagemnen22nrefere-sen aondiâmetronD,nemnpolegadas,ndanroda.

03. (Unicamp SP)nUmnrelógionfoinacertadonexatamentenaonmeio-dia.nDeterminenasnhorasnenosnminutosnquenestaránmarcandon essenrelógionapósnonponteironmenornternpercorridonumnângulonden42°.n13nhorasnen24nminutos 04. Nan figuran an seguir,n temosn duasn circunferênciasn concêntricasn dencentronO.nOnraiondanmenornén15ncm,nondanmaiornén20ncmnenon  nén6ncm.nNessasncondições,ncalcule: comprimentondonarcon AC

 .n0,4nrad a)n anmedida,nemnradianos,ndonângulon BOD  .n8ncm b)noncomprimento,nemncentímetros,ndonarcon BD

05. (Unesp SP)nEmnumnjogoneletrônico,non“monstro”ntemnanformandenumnsetorncircularndenraion1ncm,ncomonmostrananfigura.n Anpartenquenfaltannoncírculonénanbocandon“monstro”,nenonângu-

07. (UEG GO)nDuasnimportantesncidadesnestãonlocalizadasnsobren anlinhandonEquador:numanénancapitalndonAmapánenanoutranénan capitalndonEquador,nambasnnanAméricandonSul.nSuasnlongitudesnsão,nrespectivamente,n78°nOestenen52° Oeste.nConsiderandonquenanTerranénumanesferandenraion6n400nkm,nqualnénan distâncianentrenessasnduasncidades?n(Considerenπ =n3) aproximadamenten2n773nkm

08. Considerandonumancircunferênciandenraion90ncm,nresponda: a)n Qualnénoncomprimentondenumnarconquenmeden120°?n60πncm b)nQualn én an medida,n emn radianos,n den umn arcon den comprimenton216ncm?n2,4nrad

357

B01  Arcosnenângulosnnancircunferência

Nessasncondições,ndeterminenonnúmerondenvoltasnnecessáriasnparanquenonconjuntonroda/pneundescritonacimanpercorra,n semnderrapagem,n3,14nkm.n1n000nvoltas

FRENTE

B

MATEMÁTICA

MÓDULO B02

ASSUNTOS ABORDADOS n Circunferência trigonométrica nn Circunferênciantrigonométrica nn Arcosntrigonométricos nn Arcosncôngruos

CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA Denmaneirangeral,nosncofresnsãoncompartinmentosnfabricadosnparanseremninvioláveisnen possuemnumnsistemandenengrenagensnquenpermitensuanabertura,nquandonacionadanuman corretancombinação,nounseja,nanchavendensegurançandoncofre.

Oncofrenmecâniconénonmaisnpopularnenmaisncomum.nNãonprecisandenbaterias,nenergian ounqualquernrecursonquenalimentendispositinvosneletrônicos.nSeun“segredo”npodensernuman sequênciandennúmerosnounletrasndispostasnemnumanroletangiratória.

Nanfingurananseguir,ntemosnondispositinvondensegurançandenumncofre,nemnquenasn12nletrasnA,nB,nC,nD,nE,nF,nG,nH,nI,nJ,nK,nLnestãonigualmentenespaçadas.nAnposiçãoninicialndanseta,n quandononcofrensenencontranfechado,nénanquenestánsendonindicada.nParanabrirnoncofre,nsãon necessáriasnquatronoperações,ngirandonondisconmenornonqualnansetanestángravada.nApósn essasnoperaçõesnoncofrenseránaberto.

Fonte:nshuttnerstock.com/nPornVTTnStudio

Figura 01 - Cofre para guardar pequenas coisas de valor.

358

MatemáticanensuasnTecnologias

n

1ª operação:nGirar,nanpartirndanposiçãoninicial,n60°nnon sentidonanti-horário.

n

2ª operação:nGirar,nanpartirndanposiçãonobtidannanoperaçãonanterior,n90°nnonsentidonhorário.

n

3ª operação:nGirar,nanpartirndanposiçãonobtidannanoperaçãonanterior,n120°nnonsentidonanti-horário.

n

4ª operação:nGirar,nanpartirndanposiçãonobtidannanoperaçãonanterior,n210°nnonsentidonanti-horário.

Assim,noncofrenseránabertonquandonansetanestivernapontadan paranqualnletra?

Emncadanumandasnoperaçõesndescritasnpodemosnassociarn arcosnorientadosnemnumnsistemanquenutilizanumancircunferênciandenraionunitárionjuntamentencomnumnparndeneixosndenominadon circunferêncian trigonométrica.n Assunton quen iremosn abordarnnestanaula.

Circunferência trigonométrica Podemosnestendernasndefiniçõesndenseno,ncossenonentangentenparanângulosnquennãonsãonagudosnpornmeiondenumnsistemandenominadoncircunferência trigonométrica.n Ancircunferênciantrigonométricanéndenraionunitário,ncentron (O)nnanorigemn(0,n0)ndonsistemancartesianonassociadonanelanen orientadanpositivamentennonsentidonanti-horário.nObservenan figurananseguir:

Nessanfigura,ntemosnque:n nn on1ºnquadrantenénformadonpelosnpontosndancircunferêncian

quenestãonentrenAnenB. nn on2ºnquadrantenénformadonpelosnpontosndancircunferêncian

quenestãonentrenBnenC. nn on3ºnquadrantenénformadonpelosnpontosndancircunferêncian

quenestãonentrenCnenD. nn on4ºnquadrantenénformadonpelosnpontosndancircunferêncian

quenestãonentrenDnenA.

Arcos trigonométricos An cadan ponton Pn dan circunferêncian trigonométrican pode ,ncomnorigemnnonpontonAn mosnassociarnumnarconorientadon AP enextremidadennonpontonP,ndenominadonarco trigonométrico.nObservenanfigurananseguir:

nn onpontonPnéndenominadonimagemndonarcondenmedidan

Nessanfigura,nonpontonAn(1,n0)nénanorigemndentodosnosnarcosn quenserãonmarcadosnnancircunferênciantrigonométrica.n Osn eixosn coordenadosn dividemn an circunferêncian trigonométricanemnquatronregiõesnchamadasndenquadrantesnquensãon numeradosnanpartirndonpontonAnnonsentidonanti-horário.nObservenanfigurananseguir:

αnnancircunferênciantrigonométrica. nn aosnarcosntrigonométricosnmarcadosnnonsentidonanti-

-horárionserãonassociadosnvaloresnpositivosnenosnarcosn marcadosnnonsentidonhorárionserãonassociadosnvaloresn negativos. nn ancadanarcontrigonométrico,npodemosnassociarnumnúnicon

pontondancircunferênciantrigonométricanenvice-versa.

359

B02  Circunferênciantrigonométrica

Comnbasennessanfigura,nvamosndefinirnque:

Matemática

Exemplos: Anpartirndanorigemndosnarcosn(A)nengirandonumanvoltancompletannonsentidonanti-horário,npodemosnassociarnaosnpontosnA,nB,nCnenDnasnseguintesnmedidas,nemnradianos:n

B02  C i r c u n f e r ê n c i a t r i g o n o m é t r i c a

Anpartirndanorigemndosnarcosn(A)nengirandonumanvoltancompletannonsentidonhorário,n podemosnassociarnaosnpontosnA,nB,nCnenDnasnseguintesnmedidas,nemnradianos:n

Dividindonancircunferênciantrigonométricanemnoitonpartesniguaisnengirandonumanvoltan nonsentidonanti-horário,npodemosnassociarnaosnpontosndestacados,nanpartirndonpontonA,n asnseguintesnmedidas,nemngraus:

360

MatemáticanensuasnTecnologias

nn Onsegundonarcontrigonométriconpositivonassociadonaon

pontonBnénobtidongirando,nnonsentidonanti-horário,n60°n +n1nvoltancompletananpartirndonpontonA.nSuanmedidanén 7π π dadanporn60°n+n360°n=n420°noun + 2π = rad.nEssen 3 3 arconénchamadonden2ªndeterminaçãonpositivandosnarcosn comnextremidadenemnB. nn Onterceironarcontrigonométriconpositivonassociadonaon

Nessanfigura,ntemosnque: nn onarcondenmedidan45°npertencenaon1ºnquadrante. nn onarcondenmedidan135°npertencenaon2ºnquadrante. nn onarcondenmedidan225°npertencenaon3ºnquadrante. nn onarcondenmedidan315°npertencenaon4ºnquadrante. nn osnarcosndenmedidasn0°,n90°,n180°,n270°nen360°nnãon

pertencemnanqualquerndosnquatronquadrantes.

Arcos côngruos Doisnounmaisnarcosnpodemnpossuirnanmesmanextremidade,n tambémn chamadan den determinação,n en medidasn diferentes.nIssonocorre,npois,nanpartirndonpontonA,npode-sengirarnmaisndenumanvoltannosnsentidosnanti-horárionenhorário.n Arcosn quen possuemn an mesman extremidaden en sen diferemn pornumnnúmeroninteirondenvoltasnsãonchamadosndenarcos côngruosn(ou congruentes).n

ponton Bn én obtidon girando,n non sentidon anti-horário,nn 60°n+n2nvoltasncompletasnanpartirndonpontonA.nSuanmedidan π 13π éndadanporn60°n+n2n⋅n360°n= 780°noun + 2 ⋅ 2π = 3 3 rad.nEssenarconénchamadonden3ªndeterminaçãonpositivan dosnarcosncomnextremidadenemnB. Daí,ndizemosnquenosnarcosndenmedidasnπ/3,n7π/3,n13π/3,n...n sãonarcosncôngruosnque,npodemnsernexpressosnpelasnseguintesnexpressões: π n em radianos:n + k ⋅ 2π ,nsendonknumnnúmeroninteiro.

3 n em graus:n60°n+nkn⋅n360°,nsendonknumnnúmeroninteiro.

Anmesmananálisenpoderianternsidonfeitancomnarcosndenmedidasnnegativas.nObservenanfigurananseguir:

Por exemplo: Nanfigurananseguir,nobservenquenonpontonBnpodensernassociadonanváriosnarcosntrigonométricos.n

aon ponton Bn én obtidon girando,n non sentidon horário,nn 60°n–n1nvoltancompletananpartirndonpontonA.nSuanmedidan π 5π éndadanporn60°n–n360°n= -300°noun - 2π = rad.n 3 3 Essen arcon én chamadon den 1ªn determinaçãon negativan dosnarcosncomnextremidadenemnB. nn Onsegundonarcontrigonométriconnegativonassociadonaon nn On primeiron arcon trigonométricon positivon associadon

aonpontonBnénobtidongirando,nnonsentidonanti-horário,n π 60°nanpartirndonpontonA.nSuanmedidanén60°noun rad.n 3 Essenarconénchamadonden1ªndeterminaçãonpositivandosn arcosncomnextremidadenemnB.

pontonBnénobtidongirando,nnonsentidonhorárion60°n–n2n voltasncompletasnanpartirndonpontonA.nSuanmedidanéndadan π 11π porn60°n–n2n⋅n360°n= -660°noun - 2 ⋅ 2π = rad.nEssen 3 3 arconénchamadonden2ªndeterminaçãonnegativandosnarcosn comnextremidadenemnB.

361

B02  Circunferênciantrigonométrica

nn On primeiron arcon trigonométricon negativon associadon

Matemática

Denmaneirangeral,nexistemninfinitosnarcosncôngruosnassociadosn an cadan ponton dan circunferêncian trigonométrica.n Daí,n dadon umn arcon den medidan αn com,n 0n ≤ αn <n 2π,n osn arcosn den medidasnαn+n2π,nαn+n4π,nαn+n6π,n...,nαn+nkn⋅ 2π,ncomnkn∈nZnsãon todosncôngruos.

Asnexpressõesnquennosnpermitemnexprimirntodosnessesnarcosnsãondadasnpor:

Por exemplo: Anexpressãongeralndentodosnosnarcosnxncôngruosnan100°nén dadanpornxn=n100° +nkn⋅n360°,ncomnkn∈nZ. π An expressãon geraln den todosn osn arcosn xn côngruosn an én 7 π + k ⋅ 2π, comnkn∈nZ. dadanporn x = 7

Emnradianos:nαn+nkn⋅n2π,nsendonknumnnúmeroninteiro.

Emngraus:nαn+nkn⋅n360°,nsendonknumnnúmeroninteiro.

EXEMPLOS 01. Nanfigurananseguir,ntemosnumnciclontrigonométriconnonqualnforamndestacadosnosnpontosnB,nC,nD,nEnenF.n

03. Considerenumnmóvel,npartindondanorigemndosnarcosndancircunferênciantri19π nnonsentidonanti-hogonométrica,nquenpercorrenumnarcondenmedidan 3 rário.nQuantasnvoltasncompletasnelendeu?nEmnqualnquadrantenelenparou?

RESOLUÇÃO 19 π ncomonumanadiçãondenduasn 3 parcelasnsendonumandelasnumnmúltiplonden2π.

Vamosnescrevernonarcondenmedidan

19 π 18π π π = + = 6π + 3 3 3 3 π 19π = 3 ⋅ 2π + .

3 3 Portanto,nonmóvelnelendeun3nvoltasncompletasnnonsentidonanti-horárion π maisn nparandonnon1ºnquadrante.z 3

Daí,ntemosnquen

Determinenanmedidandan1ªndeterminaçãonpositiva,nemngrausnenradianos,ndosnarcosncujasnextremidadesnsãonessesnpontos.

RESOLUÇÃO A:n 25° =

RESOLUÇÃO

5π rad 36

Dividindon1n950°npor,ntemos:

2π B:n 180° - 60= ° 120= ° rad 3

C:n 270° - 15= ° 255= °

1n950°

51π rad 36

5

Daí,ntemosnquen1n950°n=n5n⋅n360°n+n150°.n Portanto,nsuanprimeirandeterminaçãonpositivanén150°nenanexpressãongeralndosnarcosnxncôngruosnan1n950°nénxn=n150° +nkn⋅ 360°,nparantodonkn∈nZ.nn

02. Considerenumnmóvel,npartindondanorigemndosnarcosndancircunferêncian trigonométrica,n quen percorren umn arcon den medidan 1740°n non sentidon anti-horário.nQuantasnvoltasncompletasnelendeu?nEmnqualnquadranten elenparou?

B02  Circunferênciantrigonométrica

360°

150°

17π D:n 270° + 70= ° 340= ° rad 9

RESOLUÇÃO Dividindon1740°nporn360°,ntemos:

362

04. Calculenanprimeirandeterminaçãonpositivane,nemnseguida,nescrevananexpressãongeralndosnarcosncôngruosnanumnarconquenmeden1n950°.

1740°

360°

n300°

4

05. Calculenanprimeirandeterminaçãonpositivane,nemnseguida,nescrevananex53π . pressãongeralndosnarcosncôngruosnanumnarcondenmedidan 5 RESOLUÇÃO 53π n comon uman adiçãon den duasn 5 parcelasnsendonumandelasnumnmúltiplonden2π.

Vamosn escrevern on arcon den medidan

53π 50π 3π 3π 3π = + = 10π + = 5 ⋅ 2π + 5 5 5 5 5

Daí,ntemosnquen1740° =n4n⋅n360° +n300°.

Portanto,n suan primeiran determinaçãon positivan én

Portanto,nonmóvelndeun4nvoltasncompletasnnonsentidonanti-horárionmaisn 300°nparandonnon4ºnquadrante.

geralndosnarcosnxncôngruosnan

3π n en an expressãon 5

53π 3π nén x= + k ⋅ 2π, nparantodonkn∈nZ. 5 5

MatemáticanensuasnTecnologias

Exercícios de Fixação 01. Nanfigurananseguir,ntemosnumancircunferênciantrigonométrican nan qualn foramn marcadosn osn pontosn A,n B,n Cn en D.n Determinen anmedidanα,n0n≤ αn<n2π,ndosnarcosncujasnextremidadesnsãon essesnpontos.nAn= π/6,nBn=n3π/4,nCn=n7π/6nenDn=n5π/3

03. Verifiquensenosnseguintesnparesndenarcosntrigonométricosnsãon côngruos. a)n 2n560°nen1n480° Sãoncôngruos 31 π 21π b)n rad nen rad nSãoncôngruos 5 5 04. Umnmóvel,npartindondanorigemndosnarcosndancircunferêncian trigonométrica,npercorreunumnarcondenmedidanα.nDeterminen onnúmerondenvoltasncompletas,nonquadrantenquenessenmóveln paroun en an expressãon dosn arcosn côngruosn paran osn seguintesn valoresndenα. a)n 1n860°n5nvoltas,n1ºnquadrantenenα =nπ/3n+nkn⋅ 2π,nkn∈nZ 19π b)n n2nvoltas,n2ºnquadrantenenα = 3π/4n+nkn⋅ 2π,nkn∈nZ 4

02. Encontrenanprimeirandeterminaçãonpositivandosnarcosnanseguir: a)n 1n500° 60° 33π b)n nπ/8 8 c)n -2n300°n220°

c)n -

59π rad n4nvoltas,n4ºnquadrantenenα =n11π/7n+nkn⋅ 2π,nkn∈nZ 7

Exercícios C om p l em en t ares 01. (Cefet MG)nObservenancircunferêncianabaixo:

c)n 40° d)n80° e)nnda 04. Obtenhananexpressãonquendescrevenasnmedidas,nemnradianos,ndentodosnosnarcosncomnextremidadesnnosnpontosndestacadosnnasncircunferênciasntrigonométricasnanseguir.

B02  Circunferênciantrigonométrica

Nessan circunferência,n on ponton Mn representan an imagemn den umnarcondenmedida,nemnradianos,nigualna: 56π 7π 5π 21π a)n nn b)n nn c)n nn d)n 3 4 6 5 02. (Puc SP)nQualndosnparesndenângulosnéncôngruonan120°? a)n -240° en1n920°

c)n 200°nen600°

b)n300°nen1n560°n

d)n-100°nen0°

03. (Mackenzie SP)nAnprimeirandeterminaçãonpositivanden-4n900°n é: a)n 100° b)n140°

a)nα =n4π/5n+nkn⋅ 2π,nkn∈nZ;nb)nα =n5π/36n+nkn⋅ π,nkn∈nZ;nc)nα = 4π/9n+nkn⋅ π/2,nkn∈nZ d)nα = π/6n+nkn⋅ 2π/3,nkn∈nZ

363

FRENTE

B

MATEMÁTICA

MÓDULO B03

ASSUNTOS ABORDADOS n Seno e Cosseno de um arco tri-

gonométrico

nn SenonenCossenondenumnarcontrigonométrico nn SenonenCossenondenarcosncôngruosn (ouncongruentes) nn ValoresnnotáveisndonSenonenCosseno

SENO E COSSENO DE UM ARCO TRIGONOMÉTRICO Anhipertensão,ncomumentenchamadanden“pressãonalta”,nénumndosnprincipaisnproblemasndensaúdenquenafetamnanpopulaçãondendiversosnlugaresndonmundo.nDevidonànimportânciandoncombatenàndoença,nnondian17ndenmaionéncelebradononDianMundialndanHipertensão.nEnparaninstingarnoninteressendasnpessoasnemnaferirnanpressãonarterial,nentrenosnanosnden 2015nen2018,nontemanabordadonparanancampanhanén“Conheçanseusnnúmeros”.

Conformen divulgaçãon dan Organizaçãon Mundialn dan Saúden (OMS),n maisn den 1n bilhãon denpessoasnnonmundonsãonhipertensas.nEssandoençancardiovascularnéndefinnidancomonan pressãonsistólicansistematincamentenmaiornquen140nmmHgnounpressãondiastólicanigualnoun maiornan90nmmHg,nounseja,n14nporn9.n Pornsentratarndonprincipalnfatorndenrisconparanondesenvolvimentondenproblemasncardiovasculares,npodendonocasionar,npornexemplo,nataquesncardíacosnenacidentenvascularn cerebraln(AVC,ntambémnconhecidoncomonderrame),nanhipertensãonfoinapontadancomon on teman don Dian Mundialn dan Saúden emn 2013.n Paran sen tern ideia,n anualmente,n ocorremn 1,6n milhõesn den mortesn causadasn porn doençasn relacionadasn aon coraçãon oun aosn vasosn sanguíneos.nDessentotal,ncercandenmeionmilhãonocorrenemnpessoasnden70nanosndenidaden (mortesnconsideradasnprematurasnenevitáveis).

Fonte:nshuttnerstock.com/nPornDragonnImages

Comnonintuitondenprevenirnandoença,npodem-senadotarndiversasnmedidas,ntaisncomo:n reduçãondonconsumondensalnnosnalimentos;nadoçãondenumandietanricanemnfrutasnenlegumes;nprátincandenexercíciosnfínsicos,nonquenevita,nconsequentemente,nanobesidade;nentren outras.nSomadonanisso,nanOMSnpromovenpolítincasnpúblicas,nbemncomonprojetosnquentêmn comonobjetinvonfacilitarnonacessonanmedicamentosndencombatenànhipertensão.

364

MatemáticanensuasnTecnologias

Assim,nsuponhanquenanpressãonsanguíneanP,nemnmilímetrosn den mercúrio,n den uman certan pessoan duranten umn teste,n sejan aproximadamentendada,nemnfunçãondontempontnemnsegundos,npelanexpressãonPn=n100n+n20nsen(2πt).nNessanexpressão,n temosnanpresençandanrazãontrigonométricanseno.n Váriosnfenômenosnperiódicosnpodemnserndescritosnpornmeion denexpressõesnmatemáticasncontendononsenonenoncossenonpois,n quandonessasnrazõesnsãontratadasnnancircunferêncian trigonométrica,nelasnapresentamnperiodicidade.nNestanaula,nabordaremosnonsenonenoncossenonnancircunferênciantrigonométrica.

xpn=ncosnα ypn=nsennα Nessasncondições,npodemosnchamarnoneixonhorizontalnden eixondosncossenos,noneixonverticalndeneixondosnsenos.nObserven anfigurananseguir:

Seno e Cosseno de um arco trigonométrico Nan figuran an seguir,n temosn umn ponton Pn dan circunferêncian trigonométricanquenénanextremidadendenumnarcontrigonomé ndenmedidanα.nAnessenarconcorrespondenumnângulon tricon AP AOPntambémndenmedidanα.

Anpartirndessasndefinições,npodemosndeterminarnonsenonen oncossenondenqualquernarcontrigonométriconennãonapenasnden umnângulonagudondontriângulonretângulo.

Por exemplo: Analisandon on senon en cossenon nosn pontosn A,nB,nCnenDndancircunferênciantrigonométricananseguir,ntemos:

ProjetandonortogonalmentenonpontonPnsobrenosneixosnhorizontalnenvertical,nobtemosnosnpontosnMnenN,nrespectivamente.nObservenanfigurananseguir:

= 0°.nLogo,nemnA(1,n0)n conclui-senquencosn0° = 1nensenn0°n=n0.

nn OnpontonAnénanextremidadendenα

conclui-senquencosn90° =n0nensenn90° =n1. α = 180°.n Logo,n emn C(-1,n0)nconclui-senquencosn180°n= -1nensenn180° =n0.

nn On ponton Cn én an extremidaden de

NontriângulonOMP,ntemosnque:

PM ON α = ⇒ sen= α ON ,nounseja,nonsenondenαnén nn sen= OP 1 anordenadandonpontonP. nn

OM OM = ⇒ cos= α OM ,nounseja,noncossenonden OP 1 αnénanabscissandonpontonP. cos= α

Assim,ndadonumnarcontrigonométricondenextremidadenP(xP,nyP)n enmedidanα,ntemosnque:

nn On ponton Dn én an extremidaden den α

= 270°.n Logo,n emn D(0,n-1)nconclui-senquencosn270° = 0nensenn270° = -1.

Notenque,ncomononraiondancircunferênciantrigonométrican énunitário,ntemosnquenosnvaloresndonsenonenondoncossenonden qualquernarcontrigonométriconénnonmínimon-1nennonmáximon 1.nPortanto,nparantodonα,ntalnquen0n≤ α ≤n2π.n -1n≤nsennαn≤n1 -1n≤ncosnα ≤n1 365

B03  SenonenCossenondenumnarcontrigonométrico

nn OnpontonBnénanextremidadendenα =n90°.nLogo,nemnB(0,n1)n

Matemática

Asnfigurasnanseguirnmostramnoncomportamentondosnsinaisn  ncomnextremidadennosn donsenonendoncossenondenumnarcon AP quadrantesndancircunferênciantrigonométrica.n Paranα ∈n1ºnquadrante,nsennα >n0nencosnα > 0.

Seno e Cosseno de arcos côngruos (ou congruentes) Sabendon quen doisn arcosn trigonométricosn congruentesn possuemn an mesman extremidaden nan circunferêncian trigonométrica,n entãon elesn têmn cossenosn iguaisn en senosn tambémn iguais.nObservenanfigurananseguir:

Paranα ∈n2ºnquadrante,nsennα >n0nencosnα <n0.

Assim,nparantodoninteironk,ntemosnque: sennα = senn(α +n2kπ) cosnα =ncosn(α +n2kπ)

Valores notáveis do seno e cosseno

B03  SenonenCossenondenumnarcontrigonométrico

Paranα ∈n3ºnquadrante,nsennα < 0nencosnα < 0.

Paranα ∈ 4ºnquadrante,nsennα <n0nencosnα >n0.

366

Utilizandonosnvaloresnjánconhecidosndonsenonencossenonden π/6,nπ/4nenπ/3nenutilizandonansimetriandancircunferênciantrigonométrican emn relaçãon aosn eixosn coordenados,n podemosn obternsenosnencossenosndenarcosntrigonométricosnnosndemaisn quadrantes.nObservenanfigurananseguir:n

MatemáticanensuasnTecnologias

EXEMPLOS 01. Calculenonsenonenoncossenonden750°.

14 π 12π + 2π 12π 2π 2π 2π = = + = 4 π + = 2 ⋅ 2π + 3 3 3 3 3 3

RESOLUÇÃO

14 π 2π n en n possuemn an mesman extremidaden nan 3 3 circunferênciantrigonométrica,ntemosnque: Comon osn arcosn den

Obtendonan1ªndeterminaçãonpositivanden750°,ntemosnque: 750°n=n2n⋅n360° + 30°

14 π 2π π sen= sen = sen = 3 3 3

Comonosnarcosnden750°nen30°npossuemnanmesmanextremidadennancircunferênciantrigonométrica,ntemosnque:

1 senn750° = senn30° =n .

2 cosn750° = cosn30° =n

cos

3 .

2

3 2

π 14 π 2π 1 = - cos = cos = 3 3 3 2

03. Obtenhanosnvaloresnreaisndenknquentornamnanigualdadensennα =n2kn–n5n possívelnparantodonα ∈nIR.

14 π 02. Calculenonsenonencossenonden .

3

RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO Obtendonan1ªndeterminaçãonpositivanden

Comon-1n≤nsennα ≤n1,temosnque:n

14 π ,ntemosnque: 3

-1 ≤n2kn–n5n≤n1n⇒ -1n+n5n≤n2kn≤n1n+ 5n⇒n4n≤n2kn≤n6n⇒n2n≤nkn≤n3.

Portanto,nosnvaloresndenknpertencemnaonintervalon[2,n3].

Exercícios de Fixação

a)n senn2π 0n b)ncosn3π-1n

b)nsenn

5π n1 c)n senn 2 9π d)ncosn n0 2

02. Calculenonvalornde: a)n cosn405° b)nsenn840°

2 2 3 n 2

c)n cosn-1n200°

1 2

d)ncosn900°-1

03. Calculenonvalornde: a)n cosn

25π n 6

3 n 2

c)n cosn

15π n 4

2 2

17π n 3

3 n 2

d)nsenn -

5π 1 n 6 2

04. Determinenonvalorndenx,ndenmodonquennasnigualdadesnsenverifiquemnparantodonα ∈nIR. a)n sennα =n4xn–n11n{xn∈nIRn|n5/2n≤nxn≤n3} 3x - 2 b)ncosnαn=n n{xn∈nIRn|n-1/3n≤nxn≤n5/3} 3 05. Emn determinadan cidade,n an concentraçãon diárian C,n emn gramas,n den partículasn den certan substâncian nan atmosferan poden sern medidan pelan expressãon Cn =n 5n +n 3n ⋅n cosn (πt/6),n sendonn tn (0n ≤n tn ≤n 24)n on horárion emn quen an mediçãon én feita.n Nessasn condições,nquaisnasnconcentraçõesnmáximanenmínimandessan substânciannanatmosfera?nn8ngnénanmáximanen2ngnénanmínima.

Exercícios C om p l em en t ares 01. Utilizandon an circunferêncian trigonométrica,n determinen on maiornvalornemncadanumndosncasos: a)n senn25°nensenn55°nsenn55° b)ncosn110°nencosn130° cosn110° c)n senn235°nensenn245°nsenn235° d)ncosn310°nencosn315°ncosn315° 02. (USS RJ)nCertonnavionencontra-senatracadonnumnporto.nAndistâncianhndenumnpontondoncascondonnavionaonfundondonmarn variancomnanmaré.nAdmitindo-senquenhnsejandada,nemnfunçãon dontempont,npornh(t)n=n10n–n3n⋅ cos(2t),néncorretonafirmarnque,n nanmarénalta,nonvalorndenhnserá:

a)n 16n

b)n14n

c)n13n

d)n12n

e)n10

03. (UFR RJ)nDeterminenosnvaloresnreaisndenk,ndenmodonquenan equaçãon2n–n3n⋅ cosnxn=nkn–n4nadmitansolução.n{kn∈nIRn|n3n≤nkn≤n9} 04. (FGV SP)n An previsãon den vendasn mensaisn den uman empresan paran 2011,n emn toneladasn den umn produto,n én dadan porn f(x)n=n100n+n0,5xn+n3n⋅ senn(πx/6),nemnquenxn=n1ncorrespondenan janeironden2011,nxn=n2ncorrespondenanfevereironden2011nenassimn porndiante.nAnprevisãondenvendasn(emntoneladas)nparanonprimeirontrimestrenden2011né:n(Usenanaproximaçãondecimaln 3 n=n1,7) a)n 308,55n c)n309,55n e)n310,55 b)n309,05n d)n310,05 367

B03  SenonenCossenondenumnarcontrigonométrico

01. Calculenonvalornde:

FRENTE

B

MATEMÁTICA

MÓDULO B04

ASSUNTOS ABORDADOS n Tangente de um arco trigono-

métrico

nn Tangentendenumnarcontrigonométrico nn Arcosnsimétricosnemnrelaçãonaoncentrondancircunferênciantrigonométrica nn Valoresnnotáveisndantangente

TANGENTE DE UM ARCO TRIGONOMÉTRICO AonpassearnpelasnladeirasndenOlinda,nemnPernambuco,numndosnassuntosnquenosnguiasn turístincosn fazemn questãon den abordarn én an origemn dan expressãon “sem eira nem beira”.n Umanpessoannãonterneirannemnbeiransignifincanquenelanénpobre,nsemnrecursos.nEssenditadon popularnsendevenaonfatondenque,nantingamente,nnanépocandonBrasilncolonial,nasncasasneramn construídasn comn telhadosn quen possuíamn doisn detalhesn an eiran en an beira.n Taisn detalhesn conferiamnstatusnaondonondonimóvel.nPossuirneiranenbeiraneransinalndenriqueza.

Denomina-sentelhadonqualquerntinpondencoberturandenumanedifincação.nPorém,nanrigor,n ontelhadonénapenasnumntinpondencobertura,nemngeralncaracterizadonpornpossuirnumnoun maisnplanosninclinadosnemnrelaçãonànlinhanhorizontal.nAncadanumndessesnplanosninclinados,ndá-senonnomendenágua.

Parancadantinponespecífincondentelhanusadonemnumancoberturanexistenumaninclinaçãon adequada.nEnessaninclinação,ndadanemnporcentagem,nnadanmaisnéndonquenonvalorndantangentendonângulonformadonpelontelhadonenpelanlinhanhorizontal.nNanfingurananseguir,ntemosn asninclinaçõesnrecomendadasnpelonfabricantendenumntinpondentelhancerâmica.

Én possíveln estendern on conceiton don seno,n cossenon en tangenten paran todosn osn arcosn trigonométricosnanalisandonessasnrazõesnnancircunferênciantrigonométrica.nNestanaula,n abordaremosnantangentendenarcosntrigonométricos.

Fonte:nshuttnerstock.com/nPornCPnDCnPress

Figura 01 - Igreja do Carmo, situada no Centro Histórico de Olinda, PE.

368

MatemátincanensuasnTecnologias

Tangente de um arco trigonométrico Nan finguran an seguirn temosn umn ponton Pn dan circunferêncian trigonométricanquenénanextremidadendenumnarcontrigonomé ndenmedidanα.nAnessenarconcorrespondenumnângulon tricon AP AOPntambémndenmedidanα.n

Anpartinrndessandefinnição,npodemosndeterminarnantangenten denarcosntrigonométricosnnosndemaisnquadrantesnennãonapenasndenângulosnagudosndontriângulonretângulo.

Por exemplo: AnalisandonantangentennosnpontosnA,nB,nCnen Dndancircunferênciantrigonométricananseguir,ntemos:

Paransenestabelecernantangentendessenarcontrigonométrico,n vamosnacrescentarnumnterceironeixontangentenàncircunferênciantrigonométricannonpontonA(1,n0).nEsseneixonéndenominadon eixo das tangentes,nsendononpontonAnénanorigemndesseneixo.n Observenanfingurananseguir:

nn OnpontonAnénanextremidadendenα =n0°.nLigandonosnpontosn

OnenA,nanretanOAninterceptanoneixondasntangentesnemn suanorigem.nLogo,ntgn0° =n0. nn On ponton Bn én an extremidaden den α

Ligando-senosnpontosnOnenP,nanretanOPninterceptanoneixondasn tangentesn non ponton T.n An ordenadan don ponton Tn non eixon dasn tangentesnénantangentendonarcontrigonométricondenextremidadenPnenmedidanα.nObservenanfingurananseguir:

=n 90°.n Ligandon osn pontosn On en B,n an retan OBn nãon interceptan on eixon dasn tangentes,npoisnosneixosndonsenonendantangentensãon paralelos.nLogo,nnãonsendefinentgn90°. =n180°.nLigandonosn pontosnOnenC,nanretanOCninterceptanoneixondasntangentesn emnsuanorigem.nLogo,ntgn180° =n0.

nn OnpontonCnénanextremidadendenα

=n270°.nLigandonosn pontosn On en D,n an retan ODn nãon interceptan on eixon dasn tangentes,npoisnosneixosndonsenonendantangentensãon paralelos.nLogo,nnãonsendefinentgn270°.

nn OnpontonDnénanextremidadendenα

π 3π 5π 7π ± , ± , ± , ± ,... .

2 2 2 2

NontriângulonretângulonAOT,ntemos: nn

α tg =

AT AT n⇒ tg α =AT = OA 1

Assim,ndadonumnarcontrigonométricondenextremidadenPnen medidanα,ntemosnque: yTn=ntgnα

Essesn arcosn podemn sern escritos,n den maneiran geral,n nan forman

(2k + 1 ) π = 2

2kπ + π π = + kπ, sendon kn umn númeron 2 2 n

inteiro.n Portanto,n temosn quen tgn αn existen se,n en somenten se,n

α≠

π + kπ, k ∈ Z. 2

369

B04  Tangentendenumnarcontrigonométrico

AsntangentesndosntodosnosnarcosntrigonométricosncomnextremidadesnemnBnenDnnãonexistem,nounseja,nnãonsendefinnenan tangentendosnarcosncomnextremidadesnem:n

Matemática

Notenque: nn Anmedidandosnarcosnsenaproximanindefinidamentenden90°npornmeiondenvaloresn

menoresnquen90°,nsuasntangentesncrescemnindefinidamente.nAssim,npodemosn dizernquentgnα ∈n[0,n∞[.n nn Anmedidandosnarcosnsenaproximanindefinidamentenden90°npornmeiondenvaloresn

maioresnquen90°,nsuasntangentesndecrescemnindefinidamente.nAssim,npodemosn dizernquentgnα ∈n]-∞,n0]. nn Portanto,ntgnα

∈n]-∞,n∞[nparantodonα,ntalnquen α ≠

π + kπ, k ∈ Z. 2

a r c o t r ig o n o m é t r ic o

n Asnfigurasnanseguirnmostramnoncomportamentondosnsinaisndantangentendenumnarcon AP comnextremidadennosnquadrantesndancircunferênciantrigonométrica.n Paranα ∈ 1ºnquadrante,ntgnα > 0.n

Paranα ∈ 2ºnquadrante,ntgnα < 0.

Paranα ∈n3ºnquadrante,ntgnα > 0.

Paranα ∈ 4ºnquadrante,ntgnα < 0.

B04  T a n g e n t e d e u m

Arcos simétricos em relação ao centro da circunferência trigonométrica DoisnarcosnsimétricosnemnrelaçãonaonpontonO(0,n0)nsãonaquelesncujasnextremidadesn estãondiametralmentenopostas.nObservenanfigurananseguir:

370

MatemáticanensuasnTecnologias

ObservenquenosnarcosncomnextremidadesnnosnpontosnPnenQn (simétricosnemnrelaçãonaonpontonO)npossuemnanmesmantangente.nAssim,nparantodoninteironk,ntemosnque: tgnα = tgn(α +nkπ)

Valores notáveis da tangente Utilizandonosnvaloresnjánconhecidosndantangentendenπ/6,n π/4nenπ/3nenutilizandonansimetriandancircunferênciantrigonométricanemnrelaçãonaosneixosncoordenadosnpodemosnobtern tangentesn den arcosn trigonométricosn nosn demaisn quadrantes.nObservenanfiguranaonlado:

EXEMPLOS 01. Calculenantangentenden1n225°.

29π 5π π tg = tg = tg= 6 6 6

RESOLUÇÃO

03. Obtenhanosnvaloresnreaisndenknquentornamnanigualdadentgnα =n2kn–n16n possívelnparantodonα ∈ [0,nπ/2[.

1n225° =n3n⋅n360° +n45° Comonosnarcosnden1n125°nen45°npossuemnanmesmanextremidadennan circunferênciantrigonométrica,ntemosnque: tgn1n225° =nsenn45° =n1.

02. Calculenantangenten

29π .

6

RESOLUÇÃO Sabendonquense α ∈ [0,nπ/2[nentãontgnα ≥n0,ntemosnquen:n 2kn–n16n≥n0n⇒n2kn≥n16n⇒nkn≥n8.

Portanto,nosnvaloresndenknpertencemnaonintervalon[8,n∞[.

04. Paranquaisnvaloresndenxnexistenonnúmeronrealntgn(2xn–nπ)?

RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO Obtendonan1ªndeterminaçãonpositivanden

29π ,ntemosnque: 6

29π 24 π + 5π 24 π 5π 5π 5π = = + = 4 π + = 2 ⋅ 2π + 6 6 6 6 6 6 29π 5π n en n possuemn an mesman extremidaden nan 6 6 circunferênciantrigonométrica,ntemosnque: Comon osn arcosn den

Onnúmeronrealntgn(2xn–nπ)nexistense,nensomentense,n 2x - π ≠ Assim,ntemosnque:

2x - π ≠

π + kπ, k ∈ Z. 2

π π 3π 3π kπ + kπ ⇒ 2x ≠ π + + kπ ⇒ 2x ≠ + kπ ⇒ x ≠ + 2 2 2 4 2

 3π kπ  Portantontgn(2xn–nπ)nexistenparanIRn–n  + , k ∈ Z  . 4 2 

371

B04  Tangentendenumnarcontrigonométrico

Obtendonan1ªndeterminaçãonpositivanden1n225°,ntemosnque:

3 3

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Calculenantangentende: a)n 480° b)n930°

03. Calculenonvalornnuméricondanexpressãonanseguir:n-2/3

3

 5π   3π  2cos   - sen   6    2  E=  3π  3tg    4 

3 3

c)n -1n035° 1 d)n1n170° nãonexiste 02. Calculenantangentende: a)n

19π n 6

b)n

17π n 3

c)n

41π n 6

d)n -

04. (Udesc SC)nSentgn20° =na,nonvalornden

3 3

ntgn160°n + ntgn340° né: ntgn200°

a)n 2 b)n-a c)n 0 d)na e)n-2

3

3 3

05. Obtenhan osn valoresn reaisn den kn quen tornamn an igualdadenn tgnα =nk2n–n9npossívelnparantodonα ∈ ]π/2,nπ[.n]-3,n3[

23π n1 4

Exercícios C om p l em en t ares 01. Paranquaisnvaloresndenxnexistenonnúmeronrealntgn(3x + π/2)? k

IR , k Z 6

02. (IF AL)Onvalorndanexpressãon a)n 1

sen 30° + tg 225° nén π cos - sen(-60°) 2

b)n1/2 c)n - 3 d)n 3 e)n-1/2

B04  Tangentendenumnarcontrigonométrico

03. (UFPel RS)Considerandon an circunferêncian trigonométrica,n identifiquenasnsentençasnanseguirncomonverdadeirasnounfalsas.

I.n Non quadranten onden sen localizan on arcon den -4330°,n an funçãonsenonéncrescente.

II.n Nonquadrantenondensenlocalizanonarconden34nπ/5nrad,nan funçãoncossenonéndescrente.

III.n nOnvalorndantangentendonarconden1n000°nénpositivo.

Está(ão)ncorreta(s)na(s)nafirmativa(s):n a)n InenIInsomente.n b)nIInenIIInsomente. c)n I,nII,nenIII. d)nIIInsomente. e)nIInsomente.

04. (Fatec SP)nSobrenasnsentenças I.n senn40° <nsenn50° II.n cosn190° >ncosn200° III.n tgn60°n=ntgn240°

372

éncorretonafirmarnquensomente: a)n Inénverdadeira. b)nIInénverdadeira. c)n IIInénverdadeira. d)nInenIInsãonverdadeiras.n e)nInenIIInsãonverdadeiras.

05. (Fuvest SP)nQualndasnafirmaçõesnabaixonénverdadeira? a)n senn210° <ncosn210° < tgn210° b)ncosn210° <nsenn210° < tgn210° c)n tgn210° <nsenn210° < cosn210° d)ntgn210° <ncosn210° < senn210° e)nsenn210° <ntgn210° < cosn210° 06. (Furg RS)nParanquenanequaçãonemnx,ntgnxn=n10n–nm2ntenhansoluçõesnnonintervalon[π/4,nπ/2[,nancondiçãonsobrenonvalornrealnmné: a)n mn=n 10 b)n-3n≤nmn≤n3 c)n mn< -3 d)nmn>n3 e)nnda 07. (Fuvest SP)nAnequaçãonf(x)n= -10ntemnsoluçãonrealnsenf(x)né:n a)n 2x b)nlog10(│nxn│n+n1)n c)n sennxn d)ntgnxn e)nx2n+n2xn-n4n

FRENTE

B

MATEMÁTICA

Exercícios de A p rof u n dam en t o 01. (Unicamp SP)nOsnpontosnAnenBnestão,nambos,nlocalizadosnnansuperfícienterrestrenan60°ndenlatitudennorte;nonpontonAnestánan15°45’n denlongitudenlestenenonpontonBnan56°15’ndenlongitudenoeste. a)n DadonquenonraiondanTerra,nconsideradanperfeitamentenesférica,nmeden6n400nkm,nqualnénonraiondonparalelonden60°?n3n200nkm b)nQualnénanmenorndistâncianentrenosnpontosnAnenB,nmedidanaon longondonparalelonden60°?n4n023nkm 02. (FGV SP)nObservenonrelógiondanfigurananseguir:

Essenrelógionmarcan6nhorasne 7 a)n 55 nminutos.n 13 5 b)n 55 nminutos.n 11 5 c)n 55 nminutos.

13

3 nminutos.

11 2 e)n 54 nminutos.

11

d)n 54

03. Nanfigurananseguir,nABCDEFGHInénumneneágononregularninscriton nancircunferênciantrigonométrica.nαn= πn+nkn⋅ 2π/9,nkn∈nZ

Obtenhananexpressãonquendescrevenasnmedidas,nemngraus,nden todosnosnarcosncomnextremidadesnnosnvérticesndesseneneágono.

04. (UEM PR)nUmnbrinquedoneletrônicontemnumndisconden10ncmnden raio,nenessendisconpossuin5npontosnigualmentendistribuídosnemn seunbordonennumeradosnden1nan5nnonsentidonhorário.nUmanesferan magnéticanmovimenta-sennanbordandessendisco.nQuandonposi-

cionadan emn umn ponton den númeron ímpar,n movimenta-sen paran on próximon número,n emn sentidon horário;n en quandon posicionadanemnumnpontondennúmeronpar,nmovimenta-sendoisnnúmerosn tambémnemnsentidonhorário.nEmnrelaçãonaonexposto,njulguenosn itensnanseguirnemnverdadeironounfalso.nF-V-F-V-V a)n Senanesferanéninicialmentencolocadannonpontondennúmeron5,ncomn 1n000nmovimentos,nanesferaniránpararnnonpontondennúmeron2. b)n Senanesferancomeçannanposiçãon1,ncomndoisnmovimentos,nonângulondonmaiornarconcompreendidonentrenanposiçãon1nenanposiçãon final,nemnrelaçãonaoncentrondondisco,nemnradianos,nmeden6π/5.nn c)n Senanesferancomeçannanposiçãon2,ncomn3nmovimentos,noncaminhontotalnquenanesferanpercorrenmeden10πncm. d)nSenanesferannãoniniciannanposiçãon5,nentãonelannuncanpassarán pornessanposição.nnn e)nQualquernquensejananposiçãonemnquenanesferansejaninicialmentencolocada,nelansemprenpassaránpelanposiçãon4.nnn 05. (UEL PR)nConsiderenumancircunferênciandencentronnanorigemnenraion igualnan1.nUmnpontonPnpercorrenestancircunferência,nduasnvezesnemn umnsegundo,nnonsentidonanti-horário,nanpartirndonponton(1,n0).nSupondonsuanvelocidadenconstante,nanfunçãonquenrepresentananvariaçãondansuanordenadanynemnfunçãondontempont,nemnsegundos,né: a)n f(x)n=nsenn(4πt)n d)nf(x)n=ncosn(2t) b)nf(x)n=ncosn(4πt)n e)nf(x)n=nsenn(2πt) c)n f(x)n=nsenn(2t) 06. (Furg RS)nNanfiguranabaixonestánsombreadananregiãoncompreendidanentrenonsegmentonOP,nancircunferênciandenraion1,ncentradan nanorigem,nenonquadradoncircunscritonanessancircunferência.nOsn ladosndonquadradonsãonparalelosnaosneixosnOxnenOy.nConsideren quenonsegmentonOPnformanumnângulonθncomnoneixonOx.n

Quandon0n≤nθn≤ π/4nanáreanAn(θ)nestánrepresentadannanfiguranan seguir.nAnáreanA(θ)ndanregiãonsombreadanemnfunçãondonângulon θnéndadanpor: a)n A(θ)n=n(tgθ)/2n–nθ/2n d)nA(θ)n=n(2θ/π).(1n–nθ/2) b)nA(θ)n=n1n–nθ/2n e)nA(θ)n=nθ.(4n–nπ) c)n A(θ)n=n(tgθ)/2n–nθn 373

FRENTE

C

shuttnerstock.com/PornKODAKovic

MATEMÁTICA Por falar nisso Hán poucon maisn den 150n anos,n asn teoriasn an respeiton den matrizesn obtinveramnnotávelnimportâncianensendesvincularamndanteoriandosn determinantes.nOnprimeironmatemátinconanlhesndarnumnnomenfoinon francêsnAugustinn-LouisnCauchyn(1789-1857)nemn1826,nchamandon den tabelan (tableau).n On nomen matrizn són veion comn on matemátincon inglêsn Jamesn Josephn Sylvestern (1814-1897)n emn 1850.n Porém,n foin comn matemátincon tambémn britânicon Arthurn Cayleyn (1821-1895),n comn suan famosan obran Memoir on the Theory of Matrices,n 1858,nn foindivulgadonessennomenenevidenciandonansuangrandenutinlidade.

Asnmatrizesnpodemnsernamplamentenutinlizadasnemndiversasnáreas.n Exemplo:n •n Naninformátincantemosnváriosnsoftwaresnquenutinlizamnasnmatrizesn paranexecutarncálculos;n •n Nan economia,n muitosn gráfincosn sãon elaboradosn comn basen emn tabelasnassociadasnanmatrizes;n •n Nan engenharia,n tabelasn associadasn an matrizesn auxiliamn nan elaboraçãon den composiçõesn den custon den váriosn serviçosn an seremnexecutadosnemnumanobra;n •n Nanmatemátinca,nnanresoluçãondosnsistemasnlineares.n

C01 C02 C03 C04

Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas Matrizes:ndefinniçãonenclassifincaçãon............................................... 376 Matrizes:noperaçõesn..................................................................... 380 Matrizes:nmultinplicaçãondenmatrizesn............................................. 384 Matrizes:nmatrizninversan................................................................ 388

FRENTE

C

MATEMÁTICA

MÓDULO C01

ASSUNTOS ABORDADOS n Matrizes: definição e classificação nn Definição nn Representaçãongenérica nn Tiposndenmatrizes nn Igualdade

MATRIZES: DEFINIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO Onvalorndancestanbásicanaumentounemn2013nnasndezoitoncapitaisnpesquisadasnpelonDepartamentonIntersindicalndenEstatísticanenEstudosnSocioeconômicosn(Dieese).nDenacordon comn an Pesquisan Nacionaln dan Cestan Básica,n divulgadan mensalmente,n noven localidadesn tiveramn oscilaçãon aciman den 10%,n comn asn maioresn elevaçõesn registradasn emn Salvadorn (16,74%),nNataln(14,07%)nenCamponGranden(12,38%).

Denacordoncomnanpesquisa,nnonmêsndendezembro,nancestanbásicanaumentounemnquinzen cidades,nsendonquenasnmaioresnaltasnforamnregistradasnemnGoiânian(7,95%),nFlorianópolisn(7,86%),nnonRecifen(2,37%),nemnSalvadorn(2%)nenCamponGranden(1,84%).nNonsentidon contrário,naparecemnAracajun(-0,88%)nenRiondenJaneiron(-0,43%),nasnduasnúnicasncidadesn ondenfoinregistradanvariaçãonnegativa.

Disponível em: http://memoria.ebc.com.br/agenciabrasil/noti cia. Acesso: 09/01/2 014

Assim,nsuponhanque,nnantabelananseguir,ntemosnosnpreços,nemnreais,ndonquilondonarroz,n feijãonenaçúcarn(trêsnitensndancestanbásica)nnosnmesesndenjaneiro,nfevereiro,nmarçonenabriln den2013.

Figura 01 - Pessoa conferindo o preço de mercadorias em um supermercado.

Janeiro

Fevereiro

Março

Abril

Arroz

1,82

1,85

1,90

2,20

Feijão

2,75

2,89

3,43

3,58

Açúcar

2,86

3,55

3,67

4,09

Podemosn escrevern essan tabelanden forman maisn simplesnrepresentandon apenasn seusn valoresnnuméricos.nAnessanrepresentaçãondá-senonnomendenmatriz.nDaí,npodemosnrepresentarnosnelementosndessantabelanpornmeiondenumanmatrizncomn3nlinhasnen4ncolunas.n Observenanrepresentaçãonanseguir:

Fonte:nshutterstock.com/PornSydanProductions

1,82 1,85 1,90 2,20  2,75 2,89 3,43 3,58    2,86 3,55 3,67 4,09 

376

MatemáticanensuasnTecnologias

Tipos de matrizes

Denomina-senmatrizndontiponmnxnnn(mn∈nIN*nennn∈nIN*)n todantabelancompostanden(mn⋅nn)nelementosndispostosnemnmn linhasnennncolunas.n Observenosnexemplosnanseguir: nn

 2 -3    A =  1 2  nénumanmatrizndontipon3nxn2ncomn6nele0 5   3×2 mentosndistribuídosnemn3nlinhasnen2ncolunas.

nn

0 8  B=  nénumanmatrizndontipon2nxn2ncomn4nelemen4 -1  2×2 tosndistribuídosnemn2nlinhasnen2ncolunas.

nn C = 5 2 -7 10 1×4 nénumanmatrizndontipon1nxn4ncomn4n elementosndistribuídosnemn1nlinhanen4ncolunas.

Representação genérica CadanelementondenumanmatriznAnénindicadonpornaij.nOníndiceninindicananposiçãondontermonnanlinhanenoníndicenjnindicanan posiçãondontermonnancoluna.nObservenanmatriznanseguir:

1 5 2  A=  4 0 -1  2×3 Paranessanmatriz,ntemosnque: nn a11n= 1nénumnelementonquenocupananlinhan1nenancolunan1. nn a12n=n5nénumnelementonquenocupananlinhan1nenancolunan2. nn a13n=n2nénumnelementonquenocupananlinhan1nenancolunan3. nn a21n=n4nénumnelementonquenocupananlinhan2nenancolunan1. nn a22n=n0nénumnelementonquenocupananlinhan2nenancolunan2. nn a23n=

-1nénumnelementonquenocupananlinhan2nenancolunan3.

Den maneiran geral,n podemosn representarn genericamenten umanmatriznAndontiponmnxnnndanseguintenmaneira:  a11 a12 ... a13... a1n   na a ... a a  23... 2n  A =  21 22         am1 nnnnam2 nnnnnam3 nnamn mxn

Tambémn podemosn representarn genericamenten uman matriznAnquenpossuinmnlinhasnennncolunasnpornmeiondenumanformanmaisnresumidandadanpornAn=n[aij]mxn.

Asnmatrizesnpodemnsernclassificadasnem: Matriz retangular Umanmatriznénretangularnquandononnúmerondenlinhasnéndiferentendonnúmerondencolunas.nObservenonexemplonanseguir: nn A =

 1 2 -1 11     0 7 0 -4  nénumanmatriznretangularnquenpossuin 4 9 2 9   

3nlinhasnen4ncolunas.

Matriz quadrada Umanmatriznénquadradanquandononnúmerondenlinhasnénigualn aonnúmerondencolunas.nObservenonexemplonanseguir:n

7 0 4    = B nn  5 1 8  nénumanmatriznquadradanden3nlinhasnen3n  9 2 16    colunas.

DadanumanmatriznAn=n[aij]nnxnn,ndefine-senque: nn Dizemosnquenumanmatriznquadradanquenpossuinnnlinhasn

ennncolunasnénumanmatriznquadradandenordemnn. nn Todon elementon dan diagonaln principaln én dan forman a ijn

comninn=nj.

nn Todon elementon dan diagonaln principaln én dan forman a ijn

comnin+njn=n1n+nn.

Por exemplo:

 11 0 9    Nanmatriznquadrada A =  7 2 0  temosnque:  12 20 -3    n nn Osn elementosn dan diagonaln principaln são:n a 11n =n 11,nn a22n=n2nena33n=n-3. nn Osn elementosn dan diagonaln secundárian são:n a 13n =n 9,nn

a22n=n2nena31n=n12.

Matriz linha Umanmatriznénlinhanquandonpossuinapenasnumanlinha.nObservenonexemplonanseguir: nn Cn=n(4nnnn-8nnnn12)nénumanmatriznlinhanden1nlinhanen3ncolunas.n

Matriz coluna Umanmatriznéncolunanquandonpossuinapenasnumancoluna.n Observenonexemplonanseguir:

9   nn D = 15 nénumanmatrizncolunanden3nlinhasnen1ncoluna.n   0   377

C01  Matrizes:ndefiniçãonenclassificação

Definição

Matemática

Matriz diagonal

Observação:

Uman matrizn quadradan én diagonaln quandon todosn osn elementosnquennãonestãonnandiagonalnprincipalnsãoniguaisnanzero.

Observenonexemplonanseguir:

6 0 0    nn E =  0 1 0  nénumanmatrizndiagonalnden3nlinhasnen3n  0 0 -2    colunas.n Matriz triangular superior Uman matrizn én triangularn superiorn quandon osn elementosn abaixon dan diagonaln principaln sãon iguaisn an zero.n Observen on exemplonanseguir: nn

6 3 7   F =  0 1 4  n én uman matrizn triangularn superiorn den 3n 0 0 2   linhasnen3ncolunas.

Matriz triangular inferior Umanmatriznéntriangularninferiornquandonosnelementosnacimandandiagonalnprincipalnsãoniguaisnanzero.nObservenonexemplonanseguir: nn

6 0 0   G =  4 1 0  n én uman matrizn triangularn superiorn den 3n 6 3 7   linhasnen3ncolunas.

Matriz oposta AnmatriznopostandenumanmatriznAnénanmatrizn-A,nquensenobtémntrocandononsinalndentodosnosnseusnelementos.nObservenon exemplonanseguir:  1 -2 0  nn An matrizn opostan den A =   n én an matrizn  -9 7 5   -1 2 0  n -A =  .  9 -7 -5 Matriz transposta An matrizn transpostan den uman matrizn An én an matrizn Atn quen senobtémntrocandonordenadamentensuasnlinhasnporncolunas.n Observenonexemplonanseguir: 3 1 -2 nn An matrizn transpostan den A =   én an matrizn 8 2 0  n  3 8 n A t =  1 2  .  -2 0  Matriz nula Umanmatriznénnulanse,nensomentense,ntodosnosnseusnelementosnforemniguaisnanzero.nObservenonexemplonanseguir:

0 0 0   nénumanmatriznnula. 0 0 0 

nn Anmatrizn 

Observação: nn Indica-senanmatriznnulandenmnlinhasnennncolunasnporn0mnxnn.

Matriz identidade Umanmatrizndiagonalnénchamadandenmatriznidentidadense,n ensomentense,ntodosnosnelementosndandiagonalnprincipalnsãon iguaisnan1.nObservenonexemplonanseguir: 1  0 nn I4 =  0  0

0 0 0  1 0 0 n én uman matrizn identidadenden 4n linhasn 0 1 0  0 0 1 en4ncolunas.

C01  Matrizes:ndefiniçãonenclassificação

nn Indica-senumanmatriznidentidadendenordemnnnpornIn.

Igualdade Duasn matrizesn don mesmon tipon sãon iguaisn se,n en somenten se,npossuíremnelementosnordenadamenteniguais.nObservenon exemplonanseguir:

a b  e f  A =   n en B =   n sãon iguaisn se,n en c d    g h somentense,nan=ne,nbn=nf,ncn=ngnendn=nh.

nn Asn matrizesn

EXEMPLO 01. EscrevananmatriznAn=n[aij]3nxn2ntalnquenaijn=n2in+n3j.

RESOLUÇÃO  a11 a12    Genericamente,nanmatriznpedidanéndadanporn A =  a21 a22  . a a   31 32  Cadanumndosnelementosndessanmatriznéndadanpornaijn=n2in+n3j.nAssim,n temosnque:

378

a11n=n2n⋅n1n+n3n⋅n1n=n2n+n3n=n5 a12n=n2 ⋅n1n+n3n⋅n2n=n2n+n6n=n8 a21n=n2n⋅n2n+n3n⋅n1n=n4n+n3n=n7 a22n=n2n⋅n2n+n3n⋅n2n=n4n+n6n=n10 a31n=n2n⋅n3n+n3n⋅n1n=n6n+n3n=n9 a32n=n2n⋅n3n+n3n⋅n2n=n6n+n6n=n12

5 8    Portanto,nanmatriznpedidanén A =  7 10  .  9 12   

MatemáticanensuasnTecnologias

Exercícios de Fixação 01. Escrevanasnmatrizes:n a)n An=n[aij]2x2ntalnque:naijn=n2in–nj.n b)nBn=n[bij]3x2ntalnque:nbijn=ni2n–nj2.n c)n Cn=n[cij]2x3ntalnque:ncijn=n2in–njn+n2.n

0 3 1 0

a)nA ;nb)nB 3 0 ; 3 2 8 5

3 2 1 c)nC

5 4 3

i + 2j, se i > j  aij = 3i, se i j . = 02. DadananmatriznAn=n[aij]3x3ntalnquen 2i - j, se i < j 3 0 1  6 1 5 7 9

Determine: a)n oninstantenenondianemnquenonpacientenapresentounanmaiorn temperatura;n4ºndianen2ºninstante b)nantemperaturanmédiandonpacientennonterceirondiandenobservação.nn37,3°nC 04. Determinenosnvaloresndenx,nynenznnasnigualdadesnanseguir:

x + y z  7 2  =  nxn=n4,nyn=n3nenzn=n2 2  z x - y   4 z -1

a)n EscrevananmatriznA.nA 4

a)n 

b)n Sabendo-senquenontraçondenumanmatriznquadradanénansoman dosnelementosndensuandiagonalnprincipal,ndeterminenontraçon danmatriznA.n18

b)n 

03. (Uerj RJ) Antemperaturancorporalndenumnpacientenfoinmedida,nemngrausnCelsius,ntrêsnvezesnaondia,ndurantencincondias.n Cadanelementonaijndanmatriznabaixoncorrespondenàntemperaturanobservadannoninstantenindondianj.

35,6  36,1  35,5

36,4

38,6

38,0

37,0

37,2

40,5

35,7

36,1

37,0

36,0   40,4   39,2 

 y2 7   4 7  = x  nxn=n1nenyn=n-2 x  3 -2   3 y 

05. Dizemosn quen uman matrizn An én simétrican se,n en somenten sen

 4 x y  

Atn =n A.n Assim,n sabendon quen an matrizn A =  3 9 8  n én

 -1 z3 0   

simétrica,ndeterminenonvalorndenxn+nyn+nz.n4

Exercícios C om p l em en t ares

 x 1,8 3,0  B =  a y 2,0  d c z  Calcule,nparanessendia,nonvalor,nemnreais:na)nR$n1.200,00 a)n arrecadadonanmaisnpelanbarracanB3nemnrelaçãonànbarracanB2; b)narrecadadonemnconjuntonpelasntrêsnbarracas.nb)nR$n3.400,00 02. (FGV SP) Asnmeninasn1n=nAdriana;n2n=nBrunanen3n=nCarlanfalamn muitonaontelefonenentrensi.nAnmatriznMnmostrancadanelementonaijnrepresentandononnúmerondentelefonemasnquen“i”ndeun  0 13 10  paran“j”nnonmêsndensetembro:n M = 18 0 6  .nQuemnmaisn  9 12 0  telefonounenquemnmaisnrecebeunligações?

BrunantelefonounmaisnenAdriananrecebeunmaisnligações.

03. (Unicamp SP) Emnumanmatriz,nchamam-senelementosninternosn aquelesn quen nãon pertencemn àn primeiran nemn àn últiman linhanouncoluna.nOnnúmerondenelementosninternosnemnuman matrizncomn5nlinhasnen6ncolunasnénigualna: a)n 12n b)n15n c)n16n d)n20

04. (Puc RS) Emn umn jogo,n foramn sorteadosn 6n númerosn paran compornumanmatriznMn=n[mij]ndenordemn2x3.nApósnonsorteio,n notou-senquenessesnnúmerosnobedeceramnànregranmijn=n4in–nj.n Assim,nanmatriznMnénigualna: 3 7 1 2 3  3 2 1  2 6  nn a)n  nnnn c)n nnn e)n  7 6 5   5 6 7    1 5

1 2 3  b)n   nnnn 4 5 6 

3 2 d)n  7 6  nnn 11 10 

05. (UEL PR) UmanmatriznquadradanAnsendiznantissimétricanse,nen somentense,nAtn= -A.nn

x y z = A  2 0 -3  -1 3 0  Nessasncondições,nsenanmatriznAnénumanmatriznantissimétrica,n entãonxn+nyn+nznénigualna: a)n 3 b)n1 c)n 0 d)n-1 e)n-3 379

C01  Matrizes:ndefiniçãonenclassificação

01. (Uerj RJ) Trêsnbarracasndenfrutas,nB1,nB2nenB3,nsãonpropriedaden denumanmesmanempresa.nSuasnvendasnsãoncontroladasnporn meiondenumanmatriz,nnanqualncadanelementonbijnrepresentan ansomandosnvaloresnarrecadadosnpelasnbarracasnBinenBj,nemn milharesndenreais,naonfinalndenumndeterminadondiandenfeira.

FRENTE

C

MATEMÁTICA

MÓDULO C02

ASSUNTOS ABORDADOS n Matrizes: Operações nn Operaçõesncomnmatrizes

MATRIZES: OPERAÇÕES OnlevantamentonsobrenandenguennonBrasilntemncomonobjetivonorientarnasnaçõesnden controle,nquenpossibilitamnaosngestoresnlocaisndensaúdenanteciparnasnprevençõesnanfimn denminimizarnoncaosngeradonpornumanepidemia.nOnMinistériondanSaúdenregistroun87nmiln notificaçõesndencasosndendenguenentrenjaneironenfevereironden2014,ncontran427nmilnnon mesmonperíodonemn2013.

Apesarndonresultadonexpressivondendiminuiçãondandoença,nonMinistériondanSaúdenressaltananimportânciandenseremnmantidosnonalertanenancontinuidadendasnaçõesnpreventivas.n Osnprincipaisncriadourosnemn2014nsãonapresentadosnnantabelananseguir:

Região

Armazenamento de água (%)

Depósitos domiciliares (%)

Lixo (%)

Norte

20,2

27,4

52,4

Nordeste

75,3

18,2

6,5

Sudeste

15,7

55,7

28,6

Centro-Oeste

28,9

27,3

43,8

Sul

12,9

37,0

50,1

Fonte: www.brasil.gov.br/saude/2014. Acesso em: Abril de 2015

Fonte:nshutterstock.com/Pornkhlungcenter

Anseguir,ntemosnumanmatriznAnformadanpelosnelementosnapresentadosnnestantabela:  20,2   75,3 A =  15,7   28,9  12,9 

27,4 18,2 55,7 27,3 37,0

52,4   6,5  28,6   43,8  50,1 

Figura 01 - Mosquito Aedes Aegypti responsável pela transmissão da dengue.

380

MatemáticanensuasnTecnologias

Supondonquencadanregiãontenhanseusntiposndencriadourosn aumentadosnemn20%,ndevidonanumndesequilíbrionambiental,n anmatriznBnformadanpelosnelementosndanmatriznAnaumentadosn emn20%nseriandadanpor: 1,2 ⋅ 27,4 1,2 ⋅ 18,2 1,2 ⋅ 55,7 1,2 ⋅ 27,3 1,2 ⋅ 37,0

1,2 ⋅ 52,4   20,2   1,2 ⋅ 6,5   75,3 1,2 ⋅ 28,6  = 1,2 ⋅  15,7   1,2 ⋅ 43,8   28,9  12,9  1,2 ⋅ 50,1  

27,4 18,2 55,7 27,3 37,0

52,4   6,5  28,6   43,8  50,1 

Aon multiplicarn todosn osn elementosn dan matrizn An porn 1,2n paran obtern an matrizn B,n estamosn fazendon an multiplicaçãon dan matriznAnpornumnnúmero.nEssanseránumandasnoperaçõesnentren matrizesnquenabordaremosnnestanaula.

Operações com matrizes An seguir,n temosn duasn tabelasn mostrandon asn quantidadesn denimóveisnvendidosnpornduasnimobiliáriasnnosnmesesndenjaneiro,nfevereironenmarçonden2017.n Número de imóveis vendidos pela Imobiliária A Janeiro

Fevereiro

Março

Lotes

21

17

32

Casas

15

12

9

Apartamentos

29

23

16

Número de imóveis vendidos pela Imobiliária B Janeiro

Fevereiro

Março

Lotes

23

20

35

Casas

16

19

15

Apartamentos

34

28

18

Cadanumandessasntabelasnpodensernexpressanpelasnseguintesnmatrizes.

21 17 32 Anmatriz 15 12 9  representanasnvendasndanImobiliárianA. 29 23 16  23 20 35 Anmatriz 16 19 15  representanasnvendasndanImobiliárianB. 34 28 18  Adição Parandeterminarnanquantidadentotalndenimóveisnvendidosn pelasn duasn imobiliárias,n bastan adicionarn ordenadamenten osn termosndessasnduasnmatrizes.nObserve:

Aon adicionarn ordenadamenten osn elementosn dessasn duasn matrizes,nestamosnfazendonumanadiçãondenmatrizes.n Denmaneirangeral,ndadasnduasnmatrizesnAnenBndenmesmon tiponmnxnn,nanadiçãondessasnmatrizesnénumanmatriznCn=nAn+nBntaln que,ncadanumndenseusnelementosncijnénobtidonpelansomandosn elementosnaijndanmatriznAnenbijndanmatriznB.n Propriedade da adição de matrizes DadasnasnmatrizesnA,nBnenCndonmesmontiponmnxnn,ntemosnasn seguintesnpropriedades:n n

Propriedade comutativa:nAn+nBn=nBn+nA.

n

Propriedade associativa:nAn+n(Bn+nC)n=n(An+nB)n+nC.

n

Existência do elemento oposto:nAn+n(-A)n=n0n(matriznnula).

n

Existência do elemento neutro:nBn+n0n(matriznnula)n=nB.

n

Transposta da soma: (An+nB)tn=nAtn+nBt.

Subtração Parandeterminarnanquantidadendenimóveisnquenforamnvendidosn an maisn pelan Imobiliárian An emn relaçãon àn imobiliárian Bn bastansubtrairnordenadamentenosntermosndessasnduasnmatrizes.nObserve:

23 - 21 20 - 17 35 - 32 2 3 3 16 - 15 19 - 12 15 - 9  1 7 6    =   34 - 29 28 - 23 18 - 16  5 5 2 Aon subtrairn ordenadamenten osn elementosn dessasn duasn matrizesnestamosnfazendonumansubtraçãondenmatrizes.n Den maneiran geral,n dadasn duasn matrizesn An en Bn den mesmon tipon mn xn n,n an subtraçãon dessasn matrizesn én uman matriznn Cn=nAn–nBntalnque,ncadanumndenseusnelementosncijnénobtidonpelan diferençandosnelementosnaijndanmatriznAnenbijndanmatriznB.n Multiplicação por um número real Parandeterminarnondobrondanquantidadendenimóveisnquen foramnvendidosnpelanImobiliárianAnbastanmultiplicarnporn2ntodosntermosndanmatrizndenvendasndanAPnimobiliária.nObserve:

2 ⋅ 21 2 ⋅ 17 2 ⋅ 32  42 34 64  2 ⋅ 15 2 ⋅ 12 2 ⋅ 9  =    30 24 18   2 ⋅ 29 2 ⋅ 23 2 ⋅ 16  58 46 32  Aonmultiplicarnporn2nosnelementosndessanmatriznestamosn fazendonanmultiplicaçãondenumanmatriznpornumnnúmeronreal.

381

C02 nMatrizes:noperações

 1,2 ⋅ 20,2   1,2 ⋅ 75,3  1,2 ⋅ 15,7 B=   1,2 ⋅ 28,9  1,2 ⋅ 12,9 

21 + 23 17 + 20 32 + 35 44 37 67  15 + 16 12 + 19 9 + 15  31 31 24     n=n  29 + 34 23 + 28 16 + 18   63 51 34 

Matemática

Denmaneirangeral,ndadananmatriznAndontiponmnxnn,nanmultiplicaçãondessanmatriznporn umnnúmeronrealnknénanmatriznCn=nkn⋅ Antalnque,ncadanumndenseusnelementosncijnénobtidon multiplicandonosnelementosnaijndanmatriznAnpornnúmeronrealnk.

Propriedades da multiplicação de uma matriz por um número DadasnasnmatrizesnAnenBnenosnnúmerosnreaisnαnenβ,ntemosnasnseguintesnpropriedades: nn α⋅n(β

⋅ A)n=n(α ⋅ β)n⋅nA. ⋅nAn+nα ⋅nB. nn (αn+ β)n⋅nBn=nα ⋅nBn+nnβ ⋅nB. nn (α ⋅nA)tn= α ⋅nAt nn α⋅n(An+nB)n=nα

EXEMPLOS  4 5 -2   -1 3 9  01. Dadasnasnmatrizesn A =   nen B =   , nobtenha: 0 2 6    6 -2 8  a)n An+nB b)n An–nB c)n 3A

 4 5 -2   -1 3 9   4 - 1 5 + 3 -2 + 9   3 8 7  = + =       0 2 6   6 -2 8   0 + 6 2 - 2 6 + 8   6 0 14 

a)n An+nBn=n

4 5 -2   -1 3 9   4 + 1 5 - 3 -2 - 9   5 = - =      0 2 6   6 -2 8   0 - 6 2 + 2 6 - 8   -6

 1 5 6   4 -2 6  Bn–n2An=n   n–n   11 -2 -7  -4 0 8   1 - 4 5 - (-2) 6 - 6   -3 7 0  Bn–n2An=n    n=n  11 - (-4) -2 - 0 -7 - 8  15 -2 -15  -3 15    (Bn–n2A)tn=n  7 -2   0 -15

Bn

Exercícios de Fixação 01. Considerandon asn matrizesn An =n (aij)3x2,n taln quen aijn =n 2in +n j,n enn Bn=n(bij)3x2,ntalnquenaijn=nin–n2jn+n1,nobtenhanasnseguintesnmatrizes: a)n Cn=n(An+nB)t b)nDn=n3An–n2Bna)

9 16 3 6 9 C ; b) D 13 20

2 5 8 17 24

 2 3  10 -1   4 -6  02.= Sejamn A = , B   e C=  ,nobtenhanasn 1 5 5 0      10 8  seguintesnmatrizes: 18 7 4 12 ; b) D

5

8 11

a)n Dn= -An+n2Btna) C 1 1 b)n = E 3A - C 2

C02  M a t r i z e s : o p e r a ç õ e s

0 1

2 -11   4 -2 

 4 5 -2   12 15 -6  c)n 3n⋅ An=n 3 ⋅  =    0 2 6   0 6 18 

enhan

RESOLUÇÃO

1 5 6   2 -1 3  Bn–n2An=n   n–n2n⋅  -2 0 4  11 -2 -7  

RESOLUÇÃO

b)n An–nBn=n 

 2 -1 3  1 5 6  02. DadasnasnmatrizesnAn=n   nenBn=n 11 -2 -7 ,nobtenhananma2 0 4 t     triznCn=n(Bn–n2A) .

0 3 1 2 03. (Unifei MG)n Dadasn asn matrizesn A =   ,n B =   n en 2 3   1 4   -1 0  C=  ,nconsiderenasnseguintesnafirmativas:  2 -1 2 5  X = A +B - C =  I.n  1 8  II.n

382

 0 1 Y =B - A - C =    -3 2 

III.n

3 4  Z = 2A - C =   2 7 

Pode-senafirmarnque: a)n apenasnasnafirmativasnInenIInsãonverdadeiras. b)ntodasnasnafirmativasnsãonverdadeiras. c)n apenasnasnafirmativasnIInenIIInsãonverdadeiras. d)ntodasnasnafirmativasnsãonfalsas. a2 1  -1 2a nen B =  04. (Uncisal AL)nSejamnasnmatrizesn A =   ,n  3 b  0 a 8 7  t sen A + B = 3 8  ,nentãonA (matrizntranspostandenA)né:  

0 3 a)n   n 2 1 

 -6 d)n  1

1 b)n  6 6 c)n  1

 -1 3 e)n    6 5

5 n 3 3 n 5

3 5

MatemáticanensuasnTecnologias

Exercícios C om p l em en t ares

2 0 -3  nen B = A 5 -1 2 =  1 0 4 

1 1 0  7 2 -1   5 -2 3 

SendonCnanmatriznresultadondansomandanmatrizntranspostanden AncomnanmatriznopostandenB,néncorretonafirmarnque:  1 -4 1  a)n C = -7 -3 1  n  -8 4 -7  1 4 1   b)n C = -7 -2 0  n  2 4 1 

 1 4 1 c)n C =  -7 1 0   -2 4 1   1 4 1 d)n C = -7 -3 1  -8 4 1

 a 2 02. (Unioeste PR)n Consideren asn matrizesn A =   n en  -1 3   1 -1   .nOsnvaloresndenanenbndenformanquenAn+n2Bn=nI,n B=1  b  2  ondenInénanmatriznidentidadendenordemn2×2,nsão: a)n an=n–1nenbn=n–1. b)nan=n–1nenbn=n3/2. c)n an=n1nenbn=n3. d)nan=n2nenbn=n1/2. e)nan=n2nenbn=n3/2. 3 0  4 -3     03. SendonAn=n  2 -5 nenBn=n  -2 1  ,nobtenhananmatriznX,ntaln  -1 4   0 -1 1 / 2 3 / 2

quen2Xn–nAn+nBn=n0.

X 2 3 1 / 2 5 / 2

04. (Cefet MG)nSendonasnmatrizesnAn=n(aij)nenBn=n(bij),nquadradasn denordemn2ncomnaijn=ni2n–nj2nenbijn= -i2n+nj2,nonvalorndenAn–nBné:

0 a)n  0

0 n 0 

0 -6  b)n  n 6 0 

0 -6  c)n   0 0  0 d)n   -6

6 0 

0 1   2 -1  05. (UEPB)nSejamnA,nBnmatrizesndadasnporn A =  n  B= 2 1   0 1  A X + Y = enX,nYnmatrizesnsatisfazendonàsncondiçõesn  ,nansoman 2B X - Y = dosnelementosndandiagonalnprincipalndenXné: a)n 2n d)n3/2 b)n1/2n e)n5 c)n5/2

06. (Fatec SP) Umantelandencomputadornpodensernrepresentadan pornumanmatrizndencores,ndenformanquencadanelementondan matrizn correspondan an umn pixel(menorn elementon emn uman telanaonqualnénpossívelnatribuir-senumancornnantela).n Numantelanemnescalandencinza,npornexemplo,npodemosnatribuirn256ncoresndiferentesnparancadanpixel,ndonpretonabsoluton (códigondancor:n0)npassandonpeloncinzanintermediárion(códigon dancor:n127)naonbranconabsoluton(códigondancor:n255).

Suponhanquennanfiguranestejamnrepresentadosn25npixelsnden umantela.

Anmatriznnuméricancorrespondentenàsncoresndanfiguranapresentadanéndadanpor: 255  0  127   0 255 

0 127 0 255 127 0 255 0  0 255 0 127   255 0 127 0  0 127 0 255

UmanmatriznMn=n(aij),nquadradandenordemn5,nemnqueninrepresentanonnúmerondanlinhanenjnrepresentanonnúmerondancoluna,n éndefinidandanseguintenforma: 0,nnsenni = j  = aij 127,nnsenni > j 255,nnsenni < j 

AnmatriznMncorrespondenanumanmatrizndencoresnemnescalanden cinza,ndescritanpelontexto,nemnumantela.nSobrenessanmatriznden cores,npode-senafirmarnquenela:

C02 nMatrizes:noperações

01. (UERN)nConsiderenasnmatrizesnAnenB,nrepresentadasnanseguir.

a)n teránonmesmonnúmerondenpixelsnbrancosnencinzas. b)nteránonmesmonnúmerondenpixelsnbrancosnenpretos. c)n teránonmesmonnúmerondenpixelsnpretosnencinzas. d)nteránumandiagonalncomncinconpixelsnbrancos. e)nteránumandiagonalncomncinconpixelsncinzas.

383

FRENTE

C

MATEMÁTICA

MÓDULO C03

ASSUNTOS ABORDADOS n Produto de matrizes nn Produtondenmatrizes nn Propriedadesndonprodutondenmatrizes

PRODUTO DE MATRIZES Den acordon comn an Associaçãon Brasileiran dan Indústrian den Produtosn paran Animaisn den Estimaçãon(ABINPET),nonmercadondenprodutosnenserviçosnparananimaisndenestimaçãonnãon sofreungrandesnretraçõesndiantendanrecessãoneconômicannosnúltimosnanosnnonPaís,ncomon ocorreuncomnosnoutrosnsetores.nEmn2016,nonsetornfaturounR$n19nbilhõesnnonBrasiln–ncrescimentonden5,7%nemnrelaçãonan2015,nquandonfechounemnR$n18nbilhões.

Aindan den acordon comn an ABINPETn emn 2016,n osn paísesn quen maisn faturamn non setorn foram:n osn Estadosn Unidosn comn 42%n don faturamenton total,n seguidon pelon Reinon Unidon (6,7%),nBrasiln(5,3%),nAlemanhan(5,1%),nFrançanenJapãon(ambosn4,6%),nItálian(3,1%),nAustrálian(2,6%),nCanadán(2,5%)nenRússian(2,1%).

Assim,nsuponhanquenumncriadorndencãesnobservounquenasnraçõesndasnmarcasnA,nB,n CnenDncontêmndiferentesnquantidadesndentrêsnnutrientes,nmedidosnemnmiligramasnporn quilograma,ncomonindicadonnanprimeiranmatriznanseguir.n

A

B

C

D

nutriente 1 210 370 450 290  nutriente 2 340 520 305 485 nutriente 3 145 225 190 260 

percentuais da mistura A B C D

384

35%  25%    30%    10% 

Fonte:nshutterstock.com/nPornKimrawicz

Daí,nelendecidiunmisturarnosnquatrontiposndenraçãonparanproporcionarnumnalimenton adequadonparanseusncães.nAnmatriznabaixondánosnpercentuaisndencadantipondenraçãon nessanmistura.

MatemáticanensuasnTecnologias

Assim,n paran determinar,n porn exemplo,n quantosn miligramasndonnutrienten1nestãonpresentesnemnumnquilogramandan misturandenrações,ndevemosnmultiplicarnordenadamentenan primeiran linhan dan primeiran matrizn pelosn elementosn dan segundanmatriz.nAonmultiplicarnordenadamentenosnelementosn dasnlinhasndenumanmatriznpelosnelementosndasncolunasnden outranmatriznestamosnmultiplicandonessasnmatrizes,nassunton quenabordaremosnnestanaula.

Produto de matrizes An seguir,n temosn duasn tabelasn mostrandon asn quantidadesn denprodutosndenbelezanquentrêsngarotasncompraramnemnuman lojanenosnpreçosnpagos,nindividualmente,npelosnprodutos.

Daí,n temosn quen Anan gastoun R$n 220,00,n Beatrizn gastounn R$n225,00nenCarlangastounR$n190,00.

Aon multiplicarn ordenadamenten osn elementosn dasn linhasn danprimeiranmatriznpelosnelementosndasncolunasndansegundan matrizne,nemnseguida,nsomarnessesnprodutosnestamosnfazendonumnprodutondenmatrizes.

Denmaneirangeral,ndadasnduasnmatrizesnAmn×nnnenBnn×np,nonprodutondessasnmatrizesnénumanmatriznCmn×npn=nAn⋅nB,ntalnquencadan umndenseusnelementosncijnénobtidonpelansomandosnprodutosn dosntermosndanlinhanindanmatriznAnpelosntermosndancolunanjndan matriznB,nordenadamente.n Observações: nn ParanquenexistanonprodutondasnmatrizesnAnenB,nnessanordem,n

Hidratante

Batom

Corretivo

Ana

2

6

3

Beatriz

3

3

4

Carla

5

4

1

onnúmerondencolunasndenAndevensernigualnaonnúmeronden linhasndenB. nn AnmatriznobtidanpelonprodutondasnmatrizesnAnenB,nnes-

sanordem,npossuinonnúmerondenlinhasndanmatriznAnenon númerondencolunasndanmatriznB.

Propriedades do produto de matrizes Valor (R$)

Hidratante

20,00

Batom

15,00

Corretivo

30,00

Cadanumandessasntabelasnpodensernexpressanpelasnseguintesnmatrizes.

2 6 3  Anmatrizn 3 3 4  representanasnquantidadesndenprodutosn 5 4 1  compradas.n

20  Anmatrizn 15  representanosnpreçosnpagosnpornessesnpro30  dutos.

Paran determinarn on valorn totaln pago,n individualmente,n pelasn meninas,n bastan multiplicarn ordenadamenten osn elementosndasnlinhasndanprimeiranmatriznpelosnelementosndan colunandansegundanmatrizne,nemnseguida,nsomarnessesnprodutos.nObserve:

2 ⋅ 20 + 6 ⋅ 15 + 3 ⋅ 30  220      3 ⋅ 20 + 3 ⋅ 15 + 4 ⋅ 30  =225  5 ⋅ 20 + 4 ⋅ 15 + 1 ⋅ 30  190 

DadasnasnmatrizesnA,nBnenCntemosnasnseguintesnpropriedades,nsupondonsernpossívelnefetuarnasnoperaçõesndenmultiplicaçãonenadiçãonentrenelas:n n

Propriedade associativa:nAn⋅n(Bn⋅nC)n=n(An⋅nB)n⋅nC.

n

Propriedade distributiva a esquerda: An⋅n(Bn+nC)n=nAn⋅nBn+nAn⋅nC.

n

Propriedade distributiva a direita: (An+nB)n⋅nCn=nAn⋅nCn+nBn⋅nC.

n

Elemento neutro:nAn⋅nIn=nIn⋅nAn=nA,nsendonInanmatrizn identidade.

n

Multiplicação por um número real α: α ⋅n(An⋅nB)n=nAn⋅n(α ⋅nB)n=n(An⋅nB)n⋅ α.

n

Transposta do produto: (An⋅nB)t=nBt ⋅nAt.

ParanonprodutondenmatrizesnA,nBnenCnnãonvalemnasnseguintesnpropriedades: n

Propriedade comutativa:nEmngeral,nAn⋅ Bn≠nBn⋅ A.nNosn casosnemnquenAn⋅ Bn=nBn⋅ A,ndizemosnquenasnmatrizesn AnenBncomutam.

n

Lei do anulamento:nAn⋅ Bn=n0n(matriznnula)nnãonimplican emnAn=n0nounBn=n0.

n

Lei do cancelamento: An⋅ Bn=nBn⋅ CnnãonimplicanemnAn=nC.

385

C03  Produtondenmatrizes

Produto

Matemática

EXEMPLOS  -6 1   -6 1  4 ⋅ 1 + 7 ⋅ 4 + 3 ⋅ 0   21 32  4 7 3  4 7 3      4 ⋅ (-6) + 7 ⋅ 3 + 3 ⋅ 8 01. Dadasnasnmatrizesn A =  3 4  nenB =  B⋅A  =  ,nobtenha:  ⋅= =   3 4   -1 -4 2   -1 -4 2   8 0   -1 ⋅ (-6) + (-4) ⋅ 3 + 2 ⋅ 8 -1 ⋅ 1 + (-4) ⋅ 4 + 2 ⋅ 0   10 -17   8 0     a)n An⋅nB b)n Bn⋅nA NotenquenAn⋅nBn≠nBn⋅nA. RESOLUÇÃO

2 2 02. SendonAn=n   ,nobtenhananmatriznA2n+n4An-n5l2. 1 2

a)

 -6 1   (-6) ⋅ 4 + 1 ⋅ (-1) (-6) ⋅ 7 + 1 ⋅ (-4) (-6) ⋅ 3 + 1 ⋅ 2   -25 -46 -16  RESOLUÇÃO   4 7 3     A ⋅ B=  3 4  ⋅ =  3 ⋅ 4 + 4 ⋅ (-1) 3 ⋅ 7 + 4 ⋅ (-4) 3 ⋅ 3 + 4 ⋅ 2 =  8 5 17  1 4 2   8 ⋅ 4 + 0 ⋅ (-1) 8 ⋅ 7 + 0 ⋅ (-4) 8 ⋅ 3 + 0 ⋅ 2   32 56 24   8 0     2 2   2 2   2 2  1 0 A2 + 4A - 5I2 =  ⋅  + 4 ⋅  - 5⋅  1 2 1 2 1 2      0 1  -6 1   (-6) ⋅ 4 + 1 ⋅ (-1) (-6) ⋅ 7 + 1 ⋅ (-4) (-6) ⋅ 3 + 1 ⋅ 2   -25 -46 -16    4 7 3      2 ⋅ 2 + 2 ⋅1 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2  4 ⋅ 2 4 ⋅ 2  5 ⋅1 5 ⋅ 0  ⋅ B=  3 4  ⋅ =  3 ⋅ 4 + 4 ⋅ (-1) 3 ⋅ 7 + 4 ⋅ (-4) 3 ⋅ 3 + 4 ⋅ 2 =  8 5 17  A2 + 4A - 5I2 = + -    8 0   -1 -4 2   8 ⋅ 4 + 0 ⋅ (-1) 8 ⋅ 7 + 0 ⋅ (-4) 8 ⋅ 3 + 0 ⋅ 2   32 56 24  1 ⋅ 2 + 2 ⋅1 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2   4 ⋅1 4 ⋅ 2  5 ⋅ 0 5 ⋅1        6 8 8 8 5 0 A2 + 4A - 5I=  + -  2 b)  4 6  4 8 0 5  -6 1  + 8 -32 5 8 + 3-⋅ 05I = 4 ⋅ 1 +A72 ⋅+44A  4 7 3    6 21  + 8 - 0  =  9 16    4 ⋅ (-6) + 7 ⋅ 3 + 3 ⋅ 8 2 B⋅A  = ⋅ =   3 4   =4 + 4 - 0 6 + 8 - 5   8 9   -1 -4 2   8 0   -1 ⋅ (-6) + (-4) ⋅ 3 + 2 ⋅ 8 -1 ⋅ 1 + (-4) ⋅ 4 + 2 ⋅ 0   10 -17   

Exercícios de Fixação  1 -3   7 -1  01. Dadasnasnmatrizesn = A = , B   ,nobtenha: 2 2   2 3  a)n An⋅nB 1 10 5 19 11 5 a) ; b) ; c)

b)nBn⋅nAnnnn 10 8 8 12 25 3 c)n Atn⋅n(-B)

 -1 2   x  4   5 -2 ⋅  y  =       4 

4 0  1 2 -2    = e B 02. Dadasnasnmatrizesn A =    1 -2  ,nobtenha: 3 4 0   -3 -1    a)n An⋅nB 4 8 8 12 2 24 4

a) ; b) 5 6 2 ; c)

b)nBn⋅nAnnn 16 8 32 16 6 10 6

c)n (-A)n⋅n(2B)

An multiplicaçãon dosn númerosn reaisn xn en y,n quen satisfazn essan equaçãonénigualna: a)n 6 b)n8 c)n 10 d)n12 e)n14

03. SendonMnumanmatriznquadrada,ntemosnquenM2n=nMn⋅nM.nAssim,nobtenha:

06. (Unicamp SP) Sendonanumnnúmeronreal,nconsiderenanmatrizn

1 3  a)n A2nsendon A =  n  0 -4 

C03  P r o d u t o d e m a t r i z e s

05. (Unitau SP) Considerenanseguintenequaçãonmatricial:

 1 3 -1    B  0 -1 4  nn b)nB2nsendon= 3 2 0   

2 1 11 1 9

a) ; b) 12 9 4 0 16

3 7 5

04. (UEL PR) SejamnasnmatrizesnAnenB,nrespectivamente,n3nxn4nenn pnxnq.nSenanmatriznAn⋅ Bnén3nxn5,nentãonénverdadenque: a)n pn=n5nenqn=n5n b)npn=n4nenqn=n5n c)n pn=n3nenqn=n5

386

d)npn=n3nenqn=n4 e)npn=n3nenqn=n3

1 a  2017 A=  .nEntão,nA nénigualna:  0 -1  1 0 a)   0 1 1 a  b)n    0 -1  1 c)n  1

1  1

 1 a2017  d)n    0 -1 

MatemáticanensuasnTecnologias

Exercícios C om p l em en t ares

0 0  0  x 0  ⋅ 0   

x   x - y 0  z - 4 0  = + 0   x z   y - z 0 

02. (Puc Campinas SP)nOsnnúmerosnreaisnx,nynenznquensatisfazemn anequaçãonmatricialn  x - 1 y + 2  1  z x + y + z  ⋅ 0   

1  3 0  = 1  -2 5

03. (UERN) Considerenanseguintenoperaçãonentrenmatrizes:n

2  -6   ⋅K =   3 1

AnsomandentodosnosnelementosndanmatriznKné: a)n 1 b)n3 c)n 4 d)n7 04. (UFMG) Milho,nsojanenfeijãonforamnplantadosnnasnregiõesnPn enQ,ncomnajudandosnfertilizantesnX,nYnenZ.nAnmatriznAnindican anáreanplantadandencadancultura,nemnhectares,npornregião.nAn matriznBnindicananmassanusadandencadanfertilizante,nemnkg,n pornhectare,nemncadancultura.

X

milho soja feijão 50 A=  40

20 10

20  ← P 30  ← Q

Y

Z

10 20 15  ← milho B = 15 20 20  ← soja 30 20 30  ← feijão 1400 1800 1750

a)n CalculenanmatriznCn=nAn⋅ B.n 1450 1600 1700 b)nExpliquenonsignificadondenc23,nonelementondansegundanli1n 700n kgn don fertilizanten Zn nhanenterceirancolunandanmatriznC. foramnutilizadosnnanregiãonQ

 nxnnnnny  1 2 05. (UECE) Senasnmatrizesn M =  nen N =   nsãontaisnquen  2 1   - ynnnx  M ⋅ N = N ⋅ M ,nentão,nsobrenosnnúmerosnreaisnxneny,nénpossíveln afirmar,ncorretamente,nque:

06. (Ibmec SP) Trêsnamigosnforamnanumanpapelarianparancomprarn materialnescolar.nAsnquantidadesnadquiridasndencadanproduton enontotalnpagonporncadanumndelesnsãonmostradosnnantabela.

Quantidades compradas de Cadernos

Canetas

Lápis

Total pago

Júlia

5

5

3

96,00

Bruno

6

3

3

105,00

Felipe

4

5

2

79,00

Amigo

sãontaisnquensuansomanénigualna: a)n -3 b)n-2 c)n -1 d)n2 e)n3

6  4

a)n xnénumnnúmeronqualquernenynpodenassumirnsomentenumn valor. b)nynénumnnúmeronqualquernenxnpodenassumirnsomentenumn valor. c)n xnenynpodemnsernquaisquernnúmerosnreais.n d)nxnpodenassumirnsomentenumnvalor,nonmesmonacontecendoncomny.

Osnpreçosnunitários,nemnreais,ndenumncaderno,ndenumancanetanendenumnlápis,nsão,nrespectivamente,nx,nynenz.nDessanforma,n dasn igualdadesn envolvendon matrizesn fornecidasn an seguir,n an únican quen relacionan corretamenten essesn preçosn unitáriosn comnosndadosndantabelané:

 5 5 3 a)n [ x y z] ⋅ 6 3 3 = [96 105 79] n 4 5 2  x   5 5 3  96  105 b)n  y  ⋅ 6 3 3 =    z  4 5 2  79   5 5 3 c)n 6 3 3 ⋅ [ x y z] = [96 105 79] 4 5 2  5 5 3  x   96  105 d)n 6 3 3 ⋅  y  =   4 5 2  z   79   x   96   5 5 3  6 3 3 e)n  y  ⋅ 105 =    z   79  4 5 2

07. (Unesp SP)nSenA,nBnenCnforemnmatrizesnquadradasnquaisquern denordemnn,nassinalenanúnicanalternativanverdadeira. a)n ABn=nBA. b)nSenABn=nAC,nentãonBn=nC. c)n SenA2n=n0n(matriznnula),nentãonAn=n0. d)n(AB)Cn=nA(BC). e)n(An+nB)2n=nA2n+n2ABn+nB2.

387

C03  Produtondenmatrizes

01. (Unesp SP)nDeterminenosnvaloresndenx,nynenznnanigualdadenan seguir,nenvolvendonmatrizesnreaisn2nxn2:nxn=n2,nyn=n2nenzn=n4

FRENTE

C

MATEMÁTICA

MÓDULO C04

ASSUNTOS ABORDADOS n Matrizes - matriz inversa nn Matrizninversa nn Propriedadesndanmatrizninversa nn Equaçõesnmatriciais

MATRIZES - MATRIZ INVERSA Den maneiran geral,n criptografian én on nomen quen sen dán àsn técnicasn quen transformamn informaçãoninteligívelnemnalgonquenumnagentenexternonsejanincapazndencompreender.n Semnela,nqualquernpessoa,nminimamentenhabilitada,npodenserncapazndeninterceptarnnossasnsenhasndenacessonansites, e-mails,nbancos,ndurantenonlogin.nComnancriptografia,nsen anpessoanquenninterceptanumansenhannãontemnanchavencorreta,nveránapenasnumanlistan desordenadanenaparentementenconfusandencaracteres. Énumantécnicantãonantiganquantonannecessidadendonhomemnemnesconderninformações.nJánacabouncomnguerrasnenatualmentendesempenhanfundamentalnpapelnparangarantirnansegurançandasninformaçõesnquentrafegamnpelaninternet.

Umantécnicanparancriptografarnmensagensnutilizanonconceitondenmatrizninversa.nUmn codificadorntransformansuanmensagemnemnumanmatriznM,ncomnduasnlinhas,nsubstituindon cadanletranpelonnúmeroncorrespondentenànsuanordemnnonalfabeto,nconformenmodelon apresentadonanseguir.

Letra

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

Número

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Letra

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

_

Número

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

Figura 01 - Antigo instrumento de criptografia.

388

Fonte:nshutterstock.com/nPornVictornMoussa

 A M I  1 14 9  Pornexemplo,nanpalavranAMIGOSnficarianassimnMn=n   n=n   G O S  7 15 19 

MatemáticanensuasnTecnologias

Parancodificarnessanmensagem,numanmatriznAndenordemn2,ndevensernmultiplicadanporn M,nresultandonnanmatriznEn=nAn⋅nM,nquenénanmensagemncodificadanansernenviada.nAonrecebernanmensagem,nondecodificadornprecisanreobternMnparandescobrirnanmensagemnoriginal.nParanisso,nutilizanumanoutranmatriznA-1ndenominadaninversandenA.nAssim,npodemosn reobternanmatriznMnpornmeiondonprodutonA-1n⋅nE.

Matriz inversa DizemosnquenumanmatriznAnquadradandenordemnnnéninversíveln(ouninvertível)nse,nen somentense,nexistirnumanmatriznBndenmesmanordemntalnque: An⋅nBn= Bn⋅nAn=nIn SendonInnanmatriznidentidadendenordemnn.nNessencaso,ndizemosnquenanmatriznBnénan matrizninversandanmatriznAne,nsimbolicamententemosnBn=nA-1.

Por exemplo

 3 11  Vamosnobternaninversandanmatrizn A =  . 1 4 

AninversandanmatriznAnquadradandenordemn2nénanmatriznA-1ntambémndenordemn2ntalnquenn a An⋅nA-1n=nI2.nSendon A -1 =  b

c 1 0  nen I =   , temosnque: d 1  0 1 

 3a + 11c 3b + 11d   1 0   3 11   a b   1 0  An⋅ A-1n=nI2n⇒  ⋅ =   ⇒  =  1 4 c d 0 1      n  a + 4c b + 4d   0 1  1 3a + 11c = Anpartirndanigualdadenentrenmatrizes,ntemos:n  a 4c 0 + =  1 3a + 11c = Multiplicandonansegundanequaçãonporn-3,ntemos:  0 -3a - 12c =

Adicionandonasnequaçõesnmembronanmembro,ntemos: 3an–n3an+ 11cn–n12cn=n1n+n0 ⇒ -cn= 1 ∴ cn= -1nenan= 4 0 3b + 11d = Anpartirndanigualdadenentrenmatrizes,ntemos:n  1 b + 4d = 0 3b + 11d = Multiplicandonansegundanequaçãonporn-3,ntemos:  -3 -3b - 12d =

Adicionandonasnequaçõesnmembronanmembro,ntemos: C04  M a t r i z e s - m a t r i z i n v e r s a

3bn–n3bn+n11dn–n12dn=n0n–n3n⇒ -dn=n-3n∴ndn=n3nenbn= -11  4 -11  Portanto,ntemosnquen A -1 =    -1 3 

Observações: nn SennãonexistirnessanmatriznB,ndizemosnquenAnénumanmatriznnãoninversívelnounmatrizn

singular. nn Todanmatriznquenpossuininversa,npossuinapenasnumanmatrizninversa.n

389

Matemática

Propriedades da matriz inversa Dadasn asn matrizesn inversíveisn An en B,n temosn asn seguintesn propriedades: n

Inversa da inversa:n(A-1)-1n=nA.

n

Inversa da transposta:n(At)-1n=n(A-1)t.

n

Inversa do produto:n(An⋅nB)-1n=nB-1n⋅nA-1.

Por exemplo: VamosnresolvernanequaçãonmatricialnAn⋅nXn=nBnsendonA,nBnen Xnmatrizesninversíveisndenmesmanordem.nnn MultiplicandonpornA-1npelanesquerdanemnambosnosnmembrosndanequação,ntemos: An⋅nXn=nBn⇒nA-1n⋅n(An⋅nX)n=nA-1n⋅nB Danpropriedadenassociativandanmultiplicação,ntemos:

Equações matriciais

A-1n⋅n(A.X)n=nA-1n⋅nBn⇒n(A-1n⋅nA)n⋅nXn=nA-1n⋅nB

Existemnsituaçõesnemnquendevemosndeterminarnmatrizesn sujeitasn an determinadasn condições.n Daí,n podemosn tratá-lasn comonvariáveisnemnequações.nEssasnequaçõesnsãonchamadasn denequaçõesnmatriciaisne,nparanresolvê-las,ndevemosnutilizarn asnoperaçõesnentrenmatrizes.n

Dandefiniçãondenmatrizninversa,ntemos: (A-1n⋅nA)n⋅nXn=nA-1n⋅nB ⇒ In⋅nXn=nA-1n⋅nB Danpropriedadendonelementonneutrondanmultiplicação,ntemos: In⋅nXn=nA-1n⋅nBn∴nXn=nA-1n⋅nB

EXEMPLOS 3 -7 5 -7 -1 01. Dadasnasnmatrizesn A =   nen B = 2 -3 nmostrenquenBn=nA .

2 5    

RESOLUÇÃO SubtraindonBnemnambosnosnmembrosndanequação,ntemos: An⋅ Xn+nBn=nCn⇒nAn⋅ Xn+nBn–nBn=nCn–nBn⇒nAn⋅ Xn=nCn–nB

RESOLUÇÃO ParanmostrarnquenBn=nA-1,nbastanmostrarnanigualdadenAn⋅ Bn=nI.

3 -7 5 -7 15 - 14 -21 + 21 1 0  A ⋅B  = =  ⋅ =   2 -5 2 -3 10 - 10 -14 + 15 0 1 

MultiplicandonpornA-1npelanesquerdanemnambosnosnmembrosndanequação,ntemos: An⋅ Xn=nCn–nBn⇒nA-1n⋅n(An⋅ X)n=nA-1n⋅ (Cn–nB) Aplicandonanpropriedadenassociativandanmultiplicação,ntemos: A-1n⋅n(An⋅ X)n=nA-1n⋅ (Cn–nB)n⇒n(A-1n⋅ A)n⋅ Xn=nA-1n⋅ (Cn–nB) Pelandefiniçãondenmatrizninversa,ntemos: (A-1n⋅ A)n⋅ Xn=nA-1n⋅ (Cn–nB) ⇒nIn⋅ Xn=nA-1n⋅ (Cn–nB)

Portanto,nBn=nA .n -1

02. SendonA,nBnenCnmatrizesnquadradas,ninversíveisnendenmesmanordem,n determinenanmatriznXntalnquenA.Xn+nBn=nC.n

Pelanpropriedadendonelementonneutrondanmultiplicação,ntemos: In⋅ Xn=nA-1n⋅n(Cn–nB)n⇒nXn=nA-1n⋅ (Cn–nB)

Exercícios de Fixação 1 / 2 0  2 0 01. Verifiquensen B =   .nSim  néninversandenAn=n   2 / 3 -1 / 3   4 -3  02. Obtenha,n cason exista,n an inversan den cadan uman dasn matrizesn anseguir:

C04  M a t r i z e s - m a t r i z i n v e r s a

2 3  1 / 2 a)n An=n   A 1 0 0 4  n

3 / 8

1/4

1 0 0  1

b)n Bn=n 1 2 0  B 1 1 / 2 1 / 2 1 3 1  n 2 3  C c)n Cn=   2 -1 n

1

0 1/2 3 / 2

0 0 1

1 3 8 8 =

1 5 8 8

 -1 2  03. Determinar,nsenexistir,naninversandanmatriznMn=n  .  5 -10  -1 NãonexistenM .

390

a b  04. (Unifor CE)n An matrizn inversan dan matrizn   n én an matrizn  c d 0  1 2c - 3 -1 .nCalculenonvalorndenan+nbn+ncn+nd.   a)n 1 b)n2 c)n 3 d)n4 e)n5 05. SendonA,nBnenCnmatrizesnquadradas,ninversíveisnendenmesman ordem,ndetermine,ncitandonasnpropriedadesnutilizadas,nanmatriznXntalnque: a)n Xn⋅ An–nBn+nCn=n0nXn=n(Bn–nC)n⋅ A-1 b)nB-1n⋅ An⋅ Xn=nCnXn=nA-1n⋅nBn⋅nC

MatemáticanensuasnTecnologias

Exercícios C om p l em en t ares  nn1 1 3 2  01. (Faap SP)nDadasnasnmatrizesn A =   nen B =   ,ncalcu7 5  -1 1  6 3 larnAn⋅nBn+nA-1.n 5 15

Pornexemplo,nanpalavranSENHASnficarianassim:

3 1  1 3 p  02. (Puc MG)n Sejamn asn matrizesn A =   n en B = 0 q ,n    0 1 4 ondenpnenqnsãonnúmerosnreaisnenBnénanmatrizninversandenA.n Entãononvalorndenqn–n12pné: a)n 2 b)n3 c)n 4 d)n5

Paran codificar,n uman matrizn 2n ×n 2,n A,n én multiplicadan pelan matriznM,nresultandonnanmatriznEn=nAn⋅nM,nquenénanmensagemncodificadanansernenviada.

Aon recebern an mensagem,n on decodificadorn precisan reobtern Mn parandescobrirnanmensagemnoriginal.nParanisso,nutilizanumanmatrizn2×2,nB,ntalnquenBn⋅nAn=nI,nondenInénanmatriznidentidaden(2×2).n Assim,nmultiplicandonBnpornE,nobtém-senB⋅En=nBn⋅nAn⋅nMn=nM.

 S E N 19 5 14  Mn=n    n=n  H A S   8 1 19 

 -2 -3  2 0 03. (Unifor CE) Dadasnasnmatrizesn A =   ,n B =  1 2  nen 1 1     x y  –1 C =   ,nsenAn⋅nB n=nC,nentãonxn+nyn+nzn+ntnénigualna:nA z t  2 3

04. (Fuvest SP)na)nA-1n=n 1 2

 -2 a)n DadananmatriznAn=n   -1

a 1 a b)nTodanmatrizndontipon n a a 1 comnan∈nIRnénanigualnansuaninversa.n

3 ,ncalculenansuaninversanA-1.

2

b)nAnrelaçãonespecialnquenvocêndeventernobservadonentrenAnen A-1,nseriantambémnencontradansencalculássemosnasnmatri -3 4   -5 6   -1 2 zesninversasndenBn=n   ,nCn=n  -4 5 nenDn=n  0 1  .n  -2 3      Generalizenendemonstrenonresultadonobservado.n 05. (Santa Casa SP) SãondadasnasnmatrizesnAnenB,nquadradas,nden ordemnnneninversíveis.nAnsoluçãondanequaçãonAn⋅ X-1n⋅ B-1n=nI,n énanmatriznXntalnque:nn a)n Xn=nA-1n⋅nBn d)nXn=nAn⋅nB-1 -1n b)nXn=nBn⋅nA e)nXn=nA-1n⋅ B-1 c)n Xn=nB-1n⋅nA 06. (UFG GO) Umantécnicanparancriptografarnmensagensnutilizan anmultiplicaçãondenmatrizes.nUmncodificadorntransformansuan mensagemnnumanmatriznM,ncomnduasnlinhas,nsubstituindon cadanletranpelonnúmeroncorrespondentenànsuanordemnnonalfabeto,nconformenmodelonapresentadonanseguir.

Letra A B C D E F G H I J K Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Umanpalavrancodificada,nsegundonessenprocesso,npornumanma-

2 1 47 30 29 triznAn=n   resultounnanmatriznEn=n   .nCalculenan 1 1  n 28 21 22 matriznB,ndecodifiquenanmensagemnenidentifiquenanpalavranori 1 1 19 9 7 S I G BE

nAnpalavranoriginalnénSIGILO. 2 9 12 15 I L O

ginal.nB 1

07. (UFV MG) Considerenosnseguintesncomandosnquenpodemnsern aplicadosnanumanmatriznquadradaninvertívelnAndenordemn2: 1º:ntrocarnentrensinosnelementosndandiagonalnprincipal; 2º:ntrocarnosnsinaisndosnelementosndandiagonalnsecundária; 3º:ndividirncadanelementonpelondeterminantendanmatriz.

AninversanA–1ndanmatriznAnpodensernobtidanpelanexecuçãondessesncomandos,nconformenonseguintenesquemandenmatrizes: 1º 2º 3º A  → A1  → A2  → A -1

sendoncadanmatriznobtidandananteriornpelanaplicaçãondoncomandonindicado.

Nonesquemanabaixo,

 -5 ....  1º  2 ....  2º  .... -4  3º  .... ....  → → →          .... ....   .... ....   .... ....   -1 ....  osn trêsn comandosn foramn executadosn nan transformaçãon den umanmatriznnansuaninversa.nAnobservaçãonenanálisendasnmatrizes,nantesnendepoisndanexecuçãondencadancomando,ncontribuemnparandeterminarnosnelementosnquenestãonfaltandon nasnmatrizes.nAssim,néncorretonafirmarnquenosnelementosndan primeiranlinhandanmatrizninversansão:

L M N O P Q R S T U

a)n -1nen2

Número 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

b)n-2nen1

Letra

c)n -5nen2

Letra V W X Y Z _ Número 22 23 24 25 26 27

d)n-2nen4

391

C04  Matrizesn-nmatrizninversa

FRENTE

C

MATEMÁTICA

Exercícios de A p rof u n dam en t o 01. (Unesp SP) Considerentrêsnlojas,nL1,nL2nenL3,nentrêsntiposndenprodutos,nP1,nP2nenP3.nAnmatriznanseguirndescrevenanquantidadenden cadan produton vendidon porn cadan lojan nan primeiran semanan den dezembro.nCadanelementonaijndanmatriznindicananquantidadendon produtonPinvendidonpelanlojanLj,ni,njn=n1,n2,n3.

L1 L 2 L 3 P1 30 19 20  P2 15 10 8  P3 12 16 11  Analisandonanmatriz,npodemosnafirmarnque a)n anquantidadendenprodutosndontiponP2nvendidosnpelanlojanL2nén11. b)n anquantidadendenprodutosndontiponP1nvendidosnpelanlojanL3nén30. c)n ansomandasnquantidadesndenprodutosndontiponP3nvendidosnpelasntrêsnlojasnén40. d)nansomandasnquantidadesndenprodutosndontiponPinvendidosnpelasnlojasnLi,nin=n1,n2,n3,nén52. e)nansomandasnquantidadesndosnprodutosndosntiposnP1nenP2nvendidosnpelanlojanL1nén45.  a 1 1   02. (Unicamp SP) Considerenanmatrizn A =  -1 0 b  , nondena,nbnen  c -2 0    cnsãonnúmerosnreais.nEncontrenosnvaloresndena,nbnencndenmodon quenAtn=n-A.nan=n0,nbn=n2nencn= -1 03. (UEPB) DadasnAtn=n[10nn6nn5],nnBtn=n[8nn2nn2]nnennCtn=n[−6nn0nn−4],nntaln quen2An−nBn+n2Mn+nCn=n0,nnanmatriznMtnénigualna: a)n [–n3nnnn5nnnn2] b)n[–n3n–n5n–n2] c)n [–n3n–n5nnnn2] d)n[nnn3n–n5n–n2] e)n[nnn3nnnn5n–n2] 04. (Udesc

SC)n Consideren asn matrizesn

9 a 0  A=  ,n y  4 16 -1 x

13 -6  3x b 1  27 nen C =  .nAnsomandosnquaB= 2y -1 -1  2y -1 b 2 10 c  1 4 2    dradosndasnconstantesnx,ny,na,nbnencnquensatisfazemnanequaçãon matricialnAn–n6Bn=nCné: a)n 26 b)n4 c)n 41 d)n34 e)n16

392

Gabaritonquestãon07 130000 95000 135000 a)n a13indicanoncustondentrans 100000 70000 100000 n portarnaosndoisnpaísesnonprodutonCncomnan1ªnempresa b)na21n=nR$n100n000,00 c)nAn2ªnempresa,npoisntemnumncustonmenor

05. (UESC BA) Onfluxondenveículosnquencirculamnpelasnruasndenmãon duplan1,n2nen3néncontroladonpornumnsemáforo,ndentalnmodonque,n cadan vezn quen sinalizan an passagemn den veículos,n én possíveln quen passemnatén12ncarros,npornminuto,ndenumanruanparanoutra.nNan  0 90 36    matrizn S =  90 0 75  ,ncadantermonsijnindicanontempo,nemnse 36 75 0    gundos,nquenonsemáforonficanaberto,nnumnperíodonden2nminutos,nparanquenhajanonfluxondanruaninparananruanj.nEntão,nonnúmeron máximondenautomóveisnquenpodemnpassarndanruan2nparananruan 3,ndasn8hnàsn10hndenumnmesmondia,né: a)n 1n100 b)n1n080 c)n 900 d)n576 e)n432

1   3nnnn0  2X - Yn=n A 06. (Cefet PR)nNonsistemanmatricialn  3 ,nonden A =  n  3nn-3  nB Xn+nYn=  5nnn-3  en B =   ,nosndeterminantesndasnmatrizesnXnenYnserão,nres 8nnn-5  pectivamente,niguaisna: a)n -1nen-1 b)n-1nen1 c)n 1nen-1 d)n1nen0 e)n0nen1

07. (FGV SP) Umanfábricandecidendistribuirnosnexcedentesndentrêsnprodutosn alimentíciosnA,nBnenCnandoisnpaísesndanAméricanCentral,nP1nenP2.nAsnquantidades,nemntoneladas,nsãondescritasnmediantenanmatriznQ:

A

B

C

↓

↓

↓

200 100 150  ← P1 Q=  100 150 200  ← P2 Paranontransportenaosnpaísesndendestino,nanfábricanrecebeunorçamentosndenduasnempresas,nemnreaisnporntonelada,ncomonindican anmatriznP:

500 300  ← 1a empresa P=  a 400 200  ← 2 empresa a)n Efetuenonprodutondasnduasnmatrizes,nnanordemnquenfornpossível.nQuenrepresentanonelementona13ndanmatriznproduto?

MatemáticanensuasnTecnologias Gabaritonquestãon08 0, se n ‫ י‬par ;nb)nnn=n11 a)n 1, se n ‫ י‬impar

b)nQuenelementondanmatriznprodutonindicanoncustondentransportarnonprodutonA,ncomnansegundanempresa,naosndoisnpaíses? c)n Parantransportarnosntrêsnprodutosnaosndoisnpaíses,nqualnempresandeveriansernescolhida,nconsiderandonquenasnduasnapresentamnexatamentenasnmesmasncondiçõesntécnicas?nPornquê?n 08. (Uerj RJ) ConsiderenasnmatrizesnAnenB:

 1,senninnénnpar . -1,senninnénímparnn

nn An=n(aij)nénquadradandenordemnnnemnquenaij =n  nn Bn=n(bij)néndenordemnnnxnpnemnquenbijn=nji.

a)n CalculenansomandosnelementosndandiagonalnprincipalndanmatriznA. b)n OnelementondanquartanlinhanendansegundancolunandanmatriznprodutonAn⋅nBnénigualnan4n094.nCalculenonnúmerondenlinhasndanmatriznB. 09. (UFU MG) Sejan An uman matrizn den ordemn 3n inversíveln taln quenn

01.n Onnúmerondenpopulaçõesndeninsetosndessanregiãonén150.

02.n Anquantidadendenpopulaçõesndencupinsndessanregiãonén53.

04.n Nessanregião,nonnúmerondenpopulaçõesndeninsetosnpertencentesnànordemnHymenopteranén97.

08.n Asn populaçõesn den abelhas,n den formigasn en den cupinsn sãon exemplosndenespéciesncoloniais.

16.n Asnpopulaçõesndenabelhas,ndenformigasnendencupinsnconstituemnpartendancomunidadendessanregião. 1 1 0  1 0 0  0 0 12. (Mackenzie SP) Sen A = 0 1 0  ,n B = 0 1 0  ,n C = 0 0 0 0 1  0 0 1  0 0 2 osninteirosnxnenynsãontaisnquenA n+nxn⋅ An+nyn⋅ Bn=nC,nentão

a)n xn=n0 b)nxn=n1

(An–n2I)2n=n0,nemnquenInen0nsãonrespectivamentenanmatriznidenti-

c)n xn= -2

dadenenanmatriznnulandenordemn3.nAssim,npode-senafirmarnquenan

d)nxn= -1

matrizninversanA nénigualna: 1 a)n In– A 4 b)n2An c)n 4In–nA 1 d)n I 2

e)nxn=n2

–1

10. (FGV SP) OnmontantenaplicadondenR$n50.000,00nfoindivididonemn duasnpartes,nxneny,numantendonrendidon1%nemnumnmês,nenanoutran 10%nnonmesmonperíodo.nOntotalndosnrendimentosndessanaplicaçãonfoindenR$n4.000,00.nSendonM,nPnenQnasnmatrizes:

50  x  1 0,01 M =   ,n P =   nen Q =   4 y  1 0,1  AnmatriznMnpodensernobtidanpelonproduto: a)n 1000n⋅ (PTn⋅ Q)–1 b)nPTn⋅nQn⋅1000 c)nQ–1n⋅ Pn⋅ 1000

0 0  nen 0 

 e2x 0  nensejanBnumanmatrizn 13. (UEG GO) Dadananmatrizn A =   0 |y + x|   identidadendenordemn2,nosnvaloresndenxnenynnãonnegativos,ntaln quenasnmatrizesnAnenBnsejamniguais,nsãonrespectivamente 2

a)n 0nen1 b)n1nen1 c)n 0nen d)n

2 2

2 2 nen 1 2 2

 a 2a + 1 14. (Fuvest SP) Considerenanmatrizn A =   ,nemnquenanén a - 1 a + 1  umnnúmeronreal.nSabendonquenAnadmiteninversanA–1ncujanprimei2a - 1 rancolunanén   ,ansomandosnelementosndandiagonalnprinci -1  palndenA–1nénigualna: a)n 5

d)n1000n⋅ (Qt)–1n⋅ P

b)n6

e)n(Q–1)tn⋅ PT.1000 11. (UEM PR) Emnumanregião,npopulaçõesndenespéciesndeninsetosn

d)n8

pertencentesnàsnordensnHymenopteran(abelhas,nE1,nenformigas,n

e)n9

E2)nenIsopteran(cupins,nE3)nvivemnemntrêsnlocaisndiferentesn(1,n2n en3),ncomnosnorganismosndencadanpopulaçãonmantendonalgumn graundencooperaçãonendendivisãondentrabalho.nConsiderenanmatrizn quen representan on númeron den populaçõesn dessesn insetos,n

15. (FGV RJ)nAsnmatrizesnIn(matriznidentidade),nA,nBnenCnsãondenordemn3.nAsnmatrizesnAnen(An–nI)nadmitemninversa.nAnmatriznXnquen satisfaznanequaçãonmatricialnAXn–nXn+nBn=nCné:

emnquenanentradanaijndessanmatriznénanpopulaçãondanespécienEjn

a)n A-1 ⋅ (Cn–nB)n+nI

nonlocalni,nenassinalenonquenforncorreto.nV-V-V-F-V

b)n(Cn–nB)n⋅n(An–nI)n-1

24 19 21 15 11 18    12 16 14 

c)n (Cn–nB)n⋅ A-1n+nI d)n(An–nI)–1 ⋅ (Cn–nB) C -B e)n A -1

393

FRENTE C  ExercíciosndenAprofundamento

c)n 7

FRENTE

D

MATEMÁTICA Por falar nisso Renén Descartesn (1596n –n 1650),n porn vezesn chamadon den fundadorn dan Filosofinan Modernan en pain dan Matemátincan Modernan (incluindon an Geometrian Analítinca),n én consideradon umn dosn pensadoresn maisn inflnuentesndanhistória.nnÉnautorndancélebrenfrase:n“Penso, logo existo.”

Nonanonden1637,nonfinlósofonmostrounemnsuanobranLa géométriencomon asnformasngeométricasnpodemnsernanalisadasnpornmeiondanálgebra.n EssentrabalhondenDescartesninflnuenciounanevoluçãondangeometrian analítinca,npartendanmatemátincanquentrabalhancomnanrepresentaçãon denfingurasngeométricasnemnumnsistemandencoordenadasnquensãon analisadasnsegundonosnconceitosndanálgebra.n Essan obran den Descartesn apontan comon resolvern problemasn matemátincos,ndiscutenanrepresentaçãondenpontosndenumnplanonporn meion don uson den númerosn reais,n bemn comon an representaçãon en an classifincaçãondencurvasnpornmeiondonusondenequações.nEssanobran tratancomnanmesmanforçanenatençãontantonanrepresentaçãonalgébrican emn formasn geométricasn quanton an interpretaçãon geométrican porn meiondenprocessosnalgébricos.n Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

D01 D02 D03 D04

Sistemancartesianonortogonaln....................................................... 396 Distâncianentrendoisnpontosn.......................................................... 400 Coordenadasndonpontonmédionenbaricentrondenumntriângulon...... 403 Condiçãondenalinhamentondentrêsnpontosnenáreandenumntriângulon....407

FRENTE

D

MATEMÁTICA

MÓDULO D01

ASSUNTOS ABORDADOS n Sistema cartesiano ortogonal nn Sistemancartesianonortogonal nn Bissetrizesndosnquadrantes

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Águanpotávelnénaquelanquenreúnencaracterísticasnquenancolocannancondiçãonpróprian paranonconsumondonsernhumano.nEmnoutrasnpalavras,néntodanáguandisponívelnnannaturezan quenpossuincaracterísticasnensubstânciasnquennãonoferecemnriscosnaosnseresnvivosnquenan consomem.nEssanáguandevensernincolor,ninodoraneninsípida.

Assim,nantesndenchegarnàsntorneirasndosnconsumidoresndasngrandesncidades,nanáguan passanpornalgunsnprocessosnparansentornarnpotável.nEssentratamento,ngeralmentenoferecidonpelonpodernpúblico,nénfeitonnasnchamadasnEstaçõesndenTratamentondenÁguan(ETA).nOn processondentratamentondenáguantemnanfinalidadendenprevenirnqualquerntipondencontaminação,nevitandonantransmissãondendoenças.nEmnumanETA,nonprocessonocorrenemnetapas: Coagulação: anáguannansuanformannaturaln(bruta)nentrannanETAnenrecebe,nnosn tanques,numandeterminadanquantidadendensulfatondenalumínio.nEssansubstâncian servenparanaglomerarnpartículasnsólidasnquensenencontramnnanágua.

n

Floculação: anágua,nemntanquesndenconcreto,nentranemnmovimentonparanquenasn partículasnsólidasnsenaglutinemnemnflocosnmaiores.

n

Decantação: anáguanentranemnoutrosntanquesne,npornaçãondangravidade,nosnflocosn comnasnimpurezasnenpartículasnficamndepositadosnemnseunfundo,nseparando-sen danágua.

n

Filtração: anáguanpassanpornfiltrosnformadosnporncarvão,nareianenpedrasndendiversosntamanhos.

n

Desinfecção: énaplicadonnanáguancloronounozônionparaneliminarnmicro-organismosn causadoresndendoenças.

n

Fluoretação: énaplicadonflúornnanáguanparanprevenirnanformaçãondencáriendentárian emncrianças.

n

Correção de pH: én aplicadan nan águan certan quantidaden den caln hidratadan oun carbonatondensódionparancorrigirnonpHndanáguanenpreservarnanredendenencanamentosndendistribuição.

Fonte:nshutterstock.com/nPornhxdyl

n

396

MatemáticanensuasnTecnologias

Suponhan quen uman regiãon don estadon den Goiásn necessiten implantarnumanETAnparanatendernàsncidadesnA,nBnenC.nPornmotivosneconômicos,nessanestaçãondevenficarnànmesmandistâncian dessasntrêsncidades.nNessencaso,nénpossívelnassociarnumnsistemandencoordenadasnanessanregiãonfazendoncorrespondernan cadanumandasncidadesnumnpontondessensistemane,nanpartirndaí,n determinarn an posiçãon exatan dan estaçãon utilizandon conhecimentosngeométricosnenalgébricosnaplicadosnaonsistemanassociado?nNestanaula,nestudaremosnumnelementonfundamentaln dangeometriananalíticandenominadonponto.

Sistema cartesiano ortogonal CriadonpornRenénDescartes,nonsistemancartesianonortogonalnénconstituídonpornumnparndeneixosnnumeradosnenperpendiculares.nEssesneixosnseninterceptamnemnumnpontonO,nchamadondenorigemndonsistema,nendividemnonplanonemnquatron regiõesnchamadasndenquadrantes.n Observenanfigurananseguir:

DadonumnpontonP(xp,nyp)ndonsistemancartesianonortogonal,n podemosnternasnseguintesnsituações: nn Senxpn>n0nenypn>n0,nentãonPnpertencenaon1ºnquadrante. nn Senxpn<n0nenypn>n0,nentãonPnpertencenaon2ºnquadrante. nn Senxpn<n0nenypn<n0,nentãonPnpertencenaon3ºnquadrante. nn Senxpn>n0nenypn<n0,nentãonPnpertencenaon4ºnquadrante. nn Senxpn=n0nenypn∈nIR,nentãonPnpertencenaoneixondasnor-

denadas.

nn Sen x pn ∈n IRn en y pn =n 0,n entãon Pn pertencen aon eixon dasn

abscissas.

nn Senxpn=nypn=n0,nentãonPnénanorigem.

Observação: nn Dadosnosnparesnordenadosn(a,nb)nen(c,nd),ntemosnquen

(a,nb)n=n(c,nd)nse,nensomentense,nan=ncnenbn=nd.

Bissetrizes dos quadrantes Anretanquencontémnasnbissetrizesndon1ºnen3ºnquadrantes,n indicadanpornb13,nénchamadandenbissetrizndosnquadrantesnímpares.n Todon ponton Pn quen pertencen an essan retan én dan formann P(a,na),nounseja,nsuasncoordenadasnsãoniguais.

Nessasncondições,ntemosnque: →

nn OneixonhorizontalnOxnnénchamadondeneixondasnabscissas.n →

nn OneixonverticalnOynnénchamadondeneixondasnordenadas. nn OnpontonOndenintersecçãondosndoisneixosnrepresentanon

Anretanquencontémnasnbissetrizesndon2ºnen4ºnquadrantes,n indicadan porn b24,n én chamadan den bissetrizn dosn quadrantesn pares.n Todon ponton Pn quen pertencen an essan retan én dan formann P(-b,nb),nounseja,nsuasncoordenadasnsãonopostas.

Observenanfigurananseguir:

Observenanfigurananseguir: nn Anequaçãondanbissetrizndosnquadrantesnímparesnényn=nx. nn Anequaçãondanbissetrizndosnquadrantesnparesnényn=

-x.

397

D01  Sistemancartesianonortogonal

zeronnosndoisneixos. nn Non eixon dasn abscissas,n osn pontosn àn direitan den On representamnosnnúmerosnreaisnpositivosnenosnpontosnàn esquerdandenOnrepresentamnosnnúmerosnnegativos. nn Noneixondasnordenadas,nosnpontosnacimandenOnrepresentamnosnnúmerosnreaisnpositivosnenosnpontosnabaixon denOnrepresentamnosnnúmerosnnegativos. nn AncadanpontonPndonsistemancartesianonpodemosnassociarn umanabscissanxpnenumanordenadanyp,nounseja,numnparnden númerosnreaisnescritosnnessanordemncomonP(xp,nyp).nEssen parndenvaloresnénchamadondenparnordenadonenrepresentan asncoordenadasndonpontonPnnonsistemancartesiano.n

atem tica

EXEMPLOS 01. Represente os pares ordenados A(1, 3), B(-2, 1), C(-3, -2), D(3, -4), E(4, 0) e F(0, -1) em um mesmo sistema cartesiano.

RESOLUÇÃO

Portanto, para P ser um ponto do 2º quadrante, m ∈ ]-5, 3[.

03. Dado o ponto A(4, 6), determine as coordenadas dos pontos simétricos de A em relação aos eixos coordenados .

RESOLUÇÃO Dois pontos são simétricos em relação ao eixo das ordenadas se, e somente se, possuírem a mesma ordenada e abscissas opostas. Portanto, o ponto simétrico a A(4, 6) em relação ao eixo das abscissas é o ponto A’(-4, 6).

Dois pontos são simétricos em relação ao eixo das abscissas se, e somente se, possuírem a mesma abscissa e ordenadas opostas. Portanto, o ponto simétrico a A(4, 6) em relação ao eixo das abscissas é o ponto A”(4, -6).

Observe a figura a seguir:

02. Para quais valores de m, o ponto P(2m + 10, m – 3) pertence ao 2º quadrante?

RESOLUÇÃO Para um ponto pertencer ao 2º quadrante, ele deve ter abscissa negativa e ordenada positiva. Assim, para P(m – 3, 2m + 10), temos que: m - 3 < 0 m < 3 ⇒  2m + 10 > 0 m > -3

Exercícios de Fixação 01. Dados os pontos A(1, 2), B(5, -1),C(-1, 7), D(-3, 0), E(-6, -2), F(8, 1), G(3, -2) verifique quais pertencem aos quadrantes ímpares. A e F pertencem ao 1º quadrante; E pertence ao 3º quadrante

D01  istema cartesiano ortogonal

02. Responda aos itens a seguir: a) Para quais valores de m o ponto A(m2 – 4, m + 1) pertence ao 4º quadrante? {m ∈ IR | -2 < m < -1} b) Para quais valores de m o ponto B(m2 – 3, 2m + 5) pertence a bissetriz dos quadrantes ímpares? {-2, 4} 03. (UEG GO) Considere no plano cartesiano o triângulo ABC com vértices nos pontos A(1,3), B(4, 4) e C(3,1). O triângulo A’B’C’ simétrico ao triângulo ABC em relação ao eixo das ordenadas tem vértices nos pontos: a) A’(-1, -3),B’(-4, -4),C’(-3, -1) b) A’(-1, 3), B’(-4, 4), C’(-3,1)

398

c) A’(1, -3), B’(4, -4), C’(3, -1) d) A’(3, 1), B’(4, 4), C’(3, 1) 04. Localize em um mesmo sistema de eixos cartesianos os pontos A(3, 4), B(1, -3), C(2, -2),D(-3, -2), E(1, 0) e F(0, 2).

05. (Unifesp SP) Um ponto do plano cartesiano é representado pelas coordenadas (x + 3y,-x – y) e também por (4 + y, 2x + y), em relação a um mesmo sistema de coordenadas. Nessas condiGabarito questão 04 ções, xy é igual a: a) -8 b) -6 c) 1 d) 8 e) 9

MatemáticanensuasnTecnologias

Exercícios C om p l em en t ares 01. (Ufop MG) OnpontonA(-a,nb),ncomnan≠n0nenbn≠n0,npertencenaon 4ºnquadrante.nSejamnosnpontosnBn(a,n-b)nenC(-a,n-b).nEntão,n necessariamente:n a)n anretanBCnpassanpelon2ºnen1ºnquadrantes.n b)nanretanABnpassanpelon4ºnen3ºnquadrantes.n c)n anretanACnpassanpelon4ºnen2ºnquadrantes.n d)nanretanBAnpassanpelon3ºnen1ºnquadrantes.n 02. (Fuvest SP) Sen(mn+n2n,nmn–n4)nen(2n–nm,n2n)nrepresentamnon mesmonpontondonplanoncartesiano,nentãonmnnénigualna: a)n -2n c)n2n e)n1/2 b)n0n d)n1 03. (Uerj RJ) EmnumanfolhandenfórmicanretangularnABCD,ncomn15ndmn dencomprimentonABnporn10ndmndenlarguranAD,numnmarceneiron traçandoisnsegmentosndenreta,nAEnenBD.nNonpontonF,nnonqualnon marceneironpretendenfixarnumnprego,nocorrenaninterseçãondessesnsegmentos.nAnfiguranabaixonrepresentananfolhandenfórmican nonprimeironquadrantendenumnsistemandeneixosncoordenados.

Dosnpaísesncomnnotasnabaixondanmédiannessenexame,naquelen quenapresentanmaiornquantidadendenhorasndenestudoné: a)n Finlândia.n b)nHolanda.n c)n Israel. d)nMéxico.n e)nRússia.

05. (UEPA) Parananinstalaçãondenumancercanelétricanénnecessárion quensencoloquenhastesnemnalumínionanfimndenevitarnanoxidação.nNonplanoncartesianonindicadonabaixo,ntem-senanrepresentaçãondasnhastesnconsecutivasnh1nenh2ndancerca.n

Nessasncondições,nandistâncianentrenh1nenh2nénde: a)n 2nmetros b)n 2 2 nmetros ConsiderandonanmedidandonsegmentonECnigualnan5ndm,ndeterminenasncoordenadasndonpontonF.n(6,n6) 04. (Enem MEC) Uma falsa relação On cruzamenton dan quantidaden den horasn estudadasn comn on desempenhon non Programan Internacionaln den Avaliaçãon den Estudantesn(Pisa)nmostranquenmaisntemponnanescolannãonén garantiandennotanacimandanmédia.

c)n 4nmetros d)n 4 2 nmetros e)n8nmetros 06. (UFMG) SejanP(a,nb)numnpontonnonplanoncartesianontalnquen 0n<nan<n1nen0n<nbn<n1.nAsnretasnparalelasnaosneixosncoordenadosnquenpassamnpornPndividemnonquadradondenvérticesn (0,n0),n(2,n0),n(0,n2)nen(2,n2)nnasnregiõesnI,nII,nIIInenIV,ncomon mostradonnestanfigura:

Notas no pisa e carga horária (países selecionados)* Nota do pisa 600 Coreia do Sul Japão 4.500 5.000 5.500

550 Holanda Austrália

Horas de estudo (dos 7 aos 14 anos)

6.000 6.500 7.000 7.500 8.000 8.500 9.000

Rússia

Portugal 450 400

Itália Israel

México

350

*ConsiderandonasnmédiasndencadanpaísnnonexamendenMatemática.n Nova Escola, SãonPaulo,ndez.n2010n(adaptado)

Consideren on ponton Q

(

)

a2 + b2 , ab .n Então,n én correton afir-

marnquenonpontonQnestánnanregião: a)n I b)nII c)n III d)nIV

399

D01  Sistemancartesianonortogonal

Finlândia

FRENTE

D

MATEMÁTICA

MÓDULO D02

ASSUNTOS ABORDADOS n Distância entre dois pontos nn Distâncianentrendoisnpontos

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS DenacordoncomnosnresponsáveisnpeloncanalndenTVnHistory Channel,nexistemnmuitosntesourosnescondidosnpelonmundo.nSegundonessesnespecialistas,nosncinconmaisnimportantesn tesourosndonmundonquenaindannãonforamnencontradosnsão: lugar: Tesouro do fundo do lago Guatavita:nLongendonmar,nemnplenonleiton denáguandocenenpacífica,nesconde-senumntesouronquennãonsaiundennavionalgum.n Trata-sendenumanenormenquantidadendenouro,nlançadanpornmuitosnséculosnpelosn antigosnnativosndonlugarnnasnprofundidadesndonlagonGuatavita,nnanColômbia,n comonumanoferendanaonespíritondanágua. n n 4º lugar: Carregamento perdido do Nuestra Señora de Atocha:nAnembarcaçãon Nuestra Señora de Atocha,numnnavionespanholnquentransportavantesourosndan AméricanaténanEuropa,nnaufragounemn6ndensetembronden1622,nquandoncruzoun umn furacão,n nasn imediaçõesn don arquipélagon Floridan Keys,n quandon voltavan paranannEspanha.n nn 3º lugar: Relíquias familiares da Virgínia:nEmn1863,noncoronelndonExércitondosn EstadosnConfederadosndanAmérica,nJohnnSingletonnMosby,nsaqueounosnquartéisn generaisn denEdwinn Stoughton,nobtendononmonumentaln tesourondasnrelíquiasn dasnfamíliasndanVirgínia.nMosby,ncomnmedondenquenanfortunancaíssenemnmãosn inimigas,nentregountudonaonsargentondensuanmaiornconfiança,ncomnonpedidonden quenanescondessentãonbemnquantonpossível.n nn 2º lugar: O tesouro de Lima:nAcredita-senquenan560nkmndanCostanRica,naproximadamente,nnasnilhasnCoco,nestánescondidonumntesouronformadonpornmoedasn denouro,nestátuas,njoias,ncoroas,npedrasnpreciosasnenbarrasndenouronenprata,nquen valeriamnhojencercanden270nmilhõesndendólares.nOntesouronterianchegadonatén alinpelasnmãosndoncapitãoninglêsnWilliamnThompson,nquenterianrecebidoncomon missãontomarnasnriquezasndenLima,nnonPeru,nenlevá-lasnparanonMéxico.n n n 1º lugar: O tesouro da Noite Triste:nContananhistórianque,nnonfinalnden1520,n osnastecasndancidadendenTenochtitlan,narrasadosnpelanopressãondonconquistadornHernánnCortés,ndecidiramnescondernanmaiornpartendenseusntesourosnnan baciansecanquencercavanancapital.nApósnanbatalhandanNoitenTriste,nontesouron jamaisnfoinencontrado.

Figura 01 - Imagem de um mapa e de uma bússola, instrumentos muito utilizados antigamente pelos historiadores.

400

Fonte: https://seuhistory.com/noticias/conheca-os-cincotesouros-mais-procurados-do-mundo.

Acesso: Setembro de 2017

Fonte:nshutterstock.com/PornWilliamnPotter

nn 5º

MatemáticanensuasnTecnologias

Assim,nconsiderenquenumncaçadorndentesourosnencontrounumnmapanquenindicavanan localizaçãonexatandenumntesouroncomnasnseguintesninstruções: “Partindo da pedra grande e seguindo 750 passos na direção norte, 500 passos na direção leste e 625 passos na direção nordeste, um tesouro será encontrado.”

Paranlocalizarnontesouro,nelenutilizounumnplanoncartesianonnanescalan1:n100,nrepresentadonpelanfigurananseguir.nNessenplano,nasnmedidasnsãondadasnemncentímetrosnenonponton Anrepresentananpedrangrandenindicadannasninstruções.

Considerandonquenonpassondenumanpessoanmeden80ncm,nénpossívelnencontrarnnessen planoncartesianonasncoordenadasndenumnpontonBnondensenencontranontesourone,nconsequentemente,ncalcularnandistâncianentrenosnpontosnAnenBn(distâncianansernpercorridanpelon caçadorndenriquezasnparanencontrarnontesouro).Nestanaula,nabordaremosnoncálculondan distâncianentrendoisnpontosnnonsistemancartesiano.

Distância entre dois pontos DadosndoisnpontosnA(xA,yA)nenB(xB,yB)ndonplanoncartesiano,nandistâncianentreneles,nindicadanporndAB,nénamedidandonsegmenton AB .nObservenanfigurananseguir:

= ( dAB ) 2

( xB – nx A )

2

D02  D i s t â n c i a e n t r e d o i s p o n t o s

Notenquenonsegmenton AB nénanhipotenusandontriângulonretângulonABCnenanmedidan den AB ncorrespondenandistâncianentrenosnpontosnAnenB.nAssim,npornmeiondonteoremanden Pitágoras,ntemosnque: + n ( yB – ny A )

2

Daí,ntemosnque: dAB =

(xB - x A )2 + (yB - y A )2 401

Matemática

EXEMPLOS 01. Calculenandistâncianentrenosnpontosn a)n A(-1,n4)nenB(6,n-5). b)n C(3,n1)nenD(0,n-2).

02. OsnpontosnA(0,0),nB(3,7)nenC(5,n-1)nsãonvérticesndenumntriângulo.nCalculen onperímetrondessentriângulo.

RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO a) dAB =

ABn = dAB =

(xB - x A )2 + (yB - y A )2 =

(3 - 0)2 + (7 - 0)2 =

32 + 72 =

58

n

2 [6 - (-1)]2 + (-5 - 4)=

2 72 + (-9)=

130

b) dCD =

(xB - x A )2 + (yB - y A )2 =

(xD - x C )2 + (yD - y C )2 =n

(0 - 3)2 + (-2 - 1)2 =

n

(-3)2 + (-3)2 =

18 = 3 2

BC = dBC=

2 (x c - xB )2 + (y C - yB )=

AC = dAC=

2 (5 - 3)2 + (-1 - 7)=

2 (x C - x A )2 + (y C - y A )=

2 22 + (-8)=

2 (5 - 0)2 + (-1 - 0)=

68= 2 17

2 52 + (-1)=

26

Portanto,nonperímetrondontriângulonABCnén 58 + 2 17 + 26 .

Exercícios de Fixação 01. Respondanaosnitensnanseguir: a)n QualnandistâncianentrenosnpontosnA(-1,n9)nenB(4,n-3)?n13 b)nQualnandistâncianentrenosnpontosnC(7,n3)nenD(-1,n-3)?n10

04. (UFF RJ) ConsiderenosnpontosnA(3n,2)nenB(8,n6).nDeterminenasn coordenadasndonpontonP,npertencentenaoneixonx,ndenmodonquenosn segmentosn PA nen PB ntenhamnonmesmoncomprimento.nP(87/10,n0)

02. Sendon AC n umandiagonalndonquadradonABCD,ncomnA(-2,n3)n enC(0,n5),ncalcule:n a)n Asncoordenadasndoncentrondessenquadrado.n(-1,n4) b)nAnáreandenABCD.n4nu.a.

05. (Unesp SP)nOntriângulonPQR,nnonplanoncartesiano,ndenvérticesnP(0,n0),nQ(6,n0)nenR(3,n5),né: a)n equilátero. b)nisósceles,nmasnnãonequilátero. c)n escaleno. d)nretângulo. e)nobtusângulo.

03. Ansomandasncoordenadasndonpontondanretanyn=nxn(bissetrizndosn quadrantesnímpares)nequidistantendosnpontosnA(1,n2)nenB(-2,n3)né: a)n 4nn c)n-10n e)n0 b)n-4nn d)n10n

Exercícios C om p l em en t ares 01. (Vunesp SP) Osnvérticesndanbasendenumntriângulonisóscelesn sãonosnpontosn(1,n-1)nen(-3,n4)ndenumnsistemandencoordenadasncartesianasnretangulares.nQualnanordenadandonterceiron

D02  Distâncianentrendoisnpontos

vértice,nsenelenpertencenaoneixondasnordenadas?n2,3 02. (Unirio RJ) Consideren an funçãon realn f(x)n =n 1n + 18 - 2x 2 n en umnpontonA(2,n1).nSabe-senquenandistânciandenumnpontonPndon gráficondenfnaonpontonAnén 10 .nOnpontonPnencontra-senno: a)n 1ºnquadrante b)n2ºnquadrante c)n 3ºnquadrante d)n4ºnquadrante e)n(0,n0)

402

03. (Unirio RJ) ConsiderenumntriânguloncujosnvérticesnsãonA(0,0)n B(3,n4)nenC(6,n0)nenrespondanàsnperguntasnanseguir: a)n Qualn an soman dasn medidasn dosn ladosn comn an medidan dan alturanrelativanaonvérticenB?n20 b)nQualn an classificaçãon desten triângulon quanton àsn medidasn denseusnângulosninternos?nacutângulo 04. (UFMG) OsnpontosnA(0,n3),nB(4,n0)nenC(a,nb)nsãonvérticesnden umntriângulonequiláteronnonplanoncartesiano.nConsiderando-senessansituação,néncorretonafirmarnque a)n bn=n4a/3n b)nbn=n4a/3n–n7/6nnnn c)n bn=n4a/3n+n3nnnnn d)nbn=n4a/3n–n3/2

FRENTE

D

MATEMÁTICA

MÓDULO D03

COORDENADAS DO PONTO MÉDIO E BARICENTRO Anarquiteturanexistendesdenquenonhomemnsentinunannecessidadendenternumntetonparan senabrigarnensenproteger.nAnformaçãondenumnprofinssionalndenarquiteturanexigenquenelen sejanmuitonhábilnnanartendenintegrarnosnaspectosnartínstincosnenhumanosnaosnaspectosnmaisn técnicosncomonanEngenharianenanMatemátinca.

Onprincipalnobjetivondonarquitetonénplanejar,nprojetarnendesenharnosnespaçosnurbanosnvisandonànmelhoriandanqualidadendenvidandasnpessoasnquennelesnvivem.nParan isso,n essen profissionaln levan emn contan osn aspectosn técnicos,n históricos,n culturaisn en estéticosndonmeionambiente.

ASSUNTOS ABORDADOS n Coordenadas do ponto médio e

baricentro

nn Coordenadasndonpontonmédionden umnsegmento nn Coordenadasndonbaricentrondenumn triângulo

AnMatemátincanénusadannanArquiteturanantodononmomento.nAsnGeometriasnsão,nespecialmente,nnecessáriasnnondesenhondenprojetos,najudandonandefinnirnanformandosnespaços,nusandonasnpropriedadesndenfingurasnplanasnenespaciais,nbemncomondefinnindonasn medidasndessesnespaços.n Assim,nsuponhanquenumanarquitetanéncontratadanparanfazernonjardimndenumanresidência,nnonformatontriangular.nAnalisandonanplantanbaixa,nverifinca-senquenosnvértincesnpossuemncoordenadasnA(8,n4),nB(4,n6)nenC(2,n4).nNonpontonmédiondonladonformadonpelosn pontosnAnenC,nelandefinnenumnpontonMnondenseráncolocadonumnsuportenparanluminárias.n

Fonte:nshuttnerstock.com/nPornqoppi

UtinlizandonconhecimentosndasngeometriasnnPlananenAnalítinca,nconseguimosndeterminarnasncoordenadasndessenpontone,nconsequentemente,ncalcularnandistâncianentrenBnen M.n Nestan aula,n abordaremosn asn coordenadasn don ponton médion den umn segmenton en asn coordenadasndonbaricentrondenumntriângulo.

403

Matemática

Coordenadas do ponto médio de um segmento Dadosn doisn pontosn distintosn A(xA,n yA)n en B(xB,n yB)n don planon cartesiano,n on ponton M(xM,nyM)nseránchamadondenpontonmédiondonsegmenton AB nse,nsomentense,nMndividirn AB nemndoisnsegmentosncongruentes,nounseja,nasnmedidasndosnsegmentosn AM nen BM n sãoniguaisnànmetadendanmedidandonsegmenton AB .nObservenanfigurananseguir:

UtilizandononTeoremandenTalesnnoneixondasnabscissas,ntemosnque:

x -x x +x xM - x A AM ⇒ M A = 1 ⇒nxMn–nxAn=nxBn–nxMn⇒n2xMn=nxAn+nxBn⇒ xM = A B = xB - xM 2 xB - xM MB n n UtilizandononTeoremandenTalesnnoneixondasnabscissas,ntemosnque:

y -y y +y yM - y A AM ⇒ M A = 1 ⇒nyMn–nyAn= yBn–nyMn⇒n2yMn=nyAn+nyBn⇒ yM = A B = yB - yM 2 yB - yM MB n n Portanto,nonpontonM,nmédiondonsegmenton AB ,néndadonpor:

x +x y +y  M A B , A B  2   2

Coordenadas do baricentro de um triângulo

D03  C o o r d e n a d a s d o p o n t o m é d i o e b a r i c e n t r o

Denomina-senmedianandenumntriângulononsegmentondenretancujasnextremidadesnformamn umn vérticen don triângulon en on ponton médion don ladon oposton an essen vértice.n Todon triângulonpossuintrêsnmedianasnquenseninterceptamnemnumnúniconponto,nindicadonpornG,n denominadonbaricentro.nObservenanfigurananseguir:

NotenquenA(xA,nyA),nB(xB,nyB)nenC(xC,nyC)nsãonosnvérticesndenumntriângulonABC;nMnonponton médiondonladon BC ;nNnonpontonmédiondonladon AC nenPnonpontonmédiondonladon AB .n 404

MatemáticanensuasnTecnologias

DanGeometrianPlana,nsabemosnquenonbaricentrondividenasnmedianasnnanproporçãon2:n1.n Assim,ntomandonanmedianan BN ,ntemosnquenNnénonpontonmédiondonladon AC ,nounseja,n

x +x y +y  N(xN ,yN ) = N  A c , A c  .nObservenanfigurananseguir: 2   2

UtilizandononTeoremandenTalesnnoneixondasnabscissas,ntemosnque:

x -x 2 x G - xB BG ⇒ G B = ⇒nxGn–nxBn=n2xNn–n2xG⇒n3xGn=n2xNn+nxBn⇒ = xN - x G 1 xN - x G GN n n x +x +x ⇒n3xGn=nxAn+nxcn+nxB⇒ x G = A B C 3 UtilizandononTeoremandenTalesnnoneixondasnabscissas,ntemosnque:

y -y 2 y G - yB BG ⇒ G B = ⇒nyGn–nyBn=n2yNn–n2yGn⇒n3yGn=n2yNn+nyBn⇒ = yN - y G 1 yN - y G GN n n y +y +y ⇒n3yGn=nyAn+nycn+nyBn⇒ y G = A B C 3 Portanto,nonpontonG,nbaricentrondontriângulonABC,néndadonpor:

x +x +x y +y +y  G A B c , A B c  3 3  

EXEMPLOS 02. DeterminenosnvaloresndenxnenynparanquenonpontonM(2n,n3)nsejanonponton médiondonsegmentondenextremosnA(xn,n7)nenB(3n,ny).

a)n asncoordenadasndonpontonMnmédiondonladon BC .

RESOLUÇÃO

b)n anmedidandanmedianan AM . c)n asncoordenadasndonbaricentrondontriângulonABC.

x +x y +y  M  A B , A B  .nAssim,ntemosnque: 2   2

RESOLUÇÃO a)n Asn coordenadasn don ponton M,n médion don ladon BC sãon dadasn porn x +x y +y   -4 + 0 2 + 8  , M  B C , B C  =n M   = M(-2,n5).

2  2   2  2 b)n Anmedidandanmedianan AM néndadanporn dAM = =n (-2 - 2)2 + (5 - 2)2 =

(-4)2 + 32 =

Asn coordenadasn don ponton M,n médion don ladon AB sãon dadasn porn D03  C o o r d e n a d a s d o p o n t o m é d i o e b a r i c e n t r o

01. Considerandon umn triângulon ABCn don planon cartesianon cujosn vérticesn sãonosnpontosnA(2,n2),nB(-4,n2)nenC(0,n8),ndetermine:

(xM - x A )2 + (yM - y A )2

25 = 5.

xMn=n

x A + xB x +3 ⇒n2n=n ⇒nxn+n3n=n4n⇒nxn=n1 2 n 2 n

y A + yB 7+y ⇒n3n= ⇒n7n+nyn=n6n⇒nyn= -1 2 n 2 n Portanto,nxn=n1nenyn= -1. yMn=n

c)n AsncoordenadasndonbaricentrondenABCnsãondadasnporn x +x +x y +y +y   2 + (-4) + 0 2 + 2 + 8   2  G A B c , A B c =G , =  G  - ,4  .

3 3 3 3    3   

405

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Respondanaosnitensnanseguir: a)n Quaisnasncoordenadasndonpontonmédiondonsegmentonden extremidadesnA(3,n4)nenB(-5,n6)?n(-1,n5) b)nQuaisnasncoordenadasndonpontonmédiondonsegmentonden extremidadesnA(1/2,n3)nenB(-1,n3/2)?n(-1/4,n9/4) 02. Dadon on umn triângulon ABCn den vérticesn A(5,n -2),n B(-2,n 7)n enn C(3,n4),ndetermine: a)n asncoordenadasndonseunbaricentro.n(2,n3) b)nanmedidandonmaiornlado.n 130 03. Considerandonumnsegmenton AB denextremidadesnemnA(1,n-1)n enB(-3,n7),ndeterminenasncoordenadasndosnpontosnC,nDnenEnquen dividemnessensegmentonemnquatronpartesndenmesmoncomprimento.nC(0,n1);nD(-1,n3)nenE(-2,n5) 04. (UEPB) Umanchapanmetálicantriangularnénsuspensanpornumn fiondenaço,nfixadonemnumnpontonPndensuansuperfície,ndensorten

quenanmesmanfiquenemnequilíbrionnonplanonhorizontalndeterminadonpelonsistemandeneixosncartesianonXY.nSenosnvérticesn danchapanestãonnosnpontosnA(1,1),nB(1,5),nC(4,3),nentãonasn coordenadasnx,yndonpontonPnsão,nrespectivamente: a)n 2nen5 b)n2nen3 c)n 3nen3 d)n2nen4 e)n4nen3 05. (Puc Campinas SP) Sabe-senquenosnpontosnA(0;n0),nB(1;n4)nen C(3;n 6)n sãon vérticesn consecutivosn don paralelogramon ABCD.n Nessasncondições,noncomprimentondandiagonalnBDné: a)n 2 b)n 3 c)n 2 2 d)n 5 e)n5

Exercícios C om p l em en t ares

D03  Coordenadasndonpontonmédionenbaricentro

01. (Ufop MG) Onbaricentrondenumntriângulonénonpontondenencontrondensuasnmedianas.nSendonassim,nasncoordenadasncartesianasndonbaricentrondontriângulondenvérticesn(2,2),n(-4,-2)n en(2,-4)nsão: a)n (0,n-4/3)n c)n (0,n-3/4) b)n(0,n-5/4)n d)n(1/2,n-3/2)n 02. (UEM PR) OsncatetosnACnenABndenumntriângulonretângulonestãonsobrenosneixosndenumnsistemancartesiano.nSenM(-1,n3)nfornon pontonmédiondanhipotenusanBC,néncorretonafirmarnquenansoman dasncoordenadasndosnvérticesndessentriângulonénigualna: a)n -4 b)n-1 c)n 1 d)n4

04. (Mackenzie SP) UmnsegmentondenextremosnA(3;n1)nenB(1;n2)n énprolongado,nnonsentidondenAnparanB,naténumnpontonMnenden modonquenseuncomprimentontriplique.nOnpontonMné: a)n (3;n4) b)n(-2,n-7/2) c)n (-5;n-5) d)n(-3;n0) e)n(-3;n4) 05. (Unesp SP) Dadosn doisn pontos,n An en B,n comn coordenadasn cartesianasn(-2,n1)nen(1, -2),nrespectivamente,nconformenan figurananseguir:

03. (Uem PR) Emnumnsistemandencoordenadasncartesianasnortogonais,n diz-sen quen doisn pontosn Xn en X’n sãon simétricosn emn relaçãonanumnpontonP,nsenPnénonpontonmédiondonsegmenton denretanquenunenXnenX’.nSobrenonexposto,néncorretonafirmarn quenonsimétricondenumnpontonX(a,nb)nqualquerndonplano,nemn relaçãonaonpontonP(1,n1),nénonponto:  a+1 b +1  a)n  ,  2 n  2 b)n(2n–na,n2n–b)n  a -1 b -1  , c)n   2   2

406

d)n(an+n1,nbn+n1) e)n(2an–n1,n2bn–n1)

a)n CalculenandistâncianentrenAnenB.nABn=n3√2 b)nSabendo-sen quen asn coordenadasn cartesianasn don baricentrondontriângulonABCnsãon(xG,nyG)n=n(2/3,n1),ncalculen asncoordenadasn(xc,nyc)ndonvérticenCndontriângulo.nC(3;n4)

FRENTE

D

MATEMÁTICA

MÓDULO D04

CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS E ÁREAS Semndúvida,nquandonsenfalanemnimportâncianendiversidadeneconômica,nanregiãonSudestenénanmaisnricandonBrasil.nCercanden54%ndonPIBnNacionaln(ProdutonInternonBruto)nén danregiãonSudeste.

ASSUNTOS ABORDADOS n Condição de alinhamento de três

pontos e áreas

nn Condiçãondenalinhamentondentrêsn pontos nn Áreandenumntriângulo

Dentrenasncaracterísticasndaneconomiandessanregião,npodemosndestacar: nn Umnfortendesenvolvimentonindustrialnnasnáreasndenproduçãondenautomóveis,n máquinas,nmetalurgia,nprodutosneletroeletrônicosnentecnologia.n nn AgriculturanbastantendesenvolvidannoninteriorndosnestadosndenMinasnGeraisnen

SãonPaulonondensendestacananproduçãondencana-de-açúcar,ncafé,nalgodão,nmilhon enlaranja. nn Váriasnatividadesnvoltadasnànextraçãondenrecursosnminerais,ncomonpornexemplo:n

exploraçãondenpetróleonnanBaciandenCamposn(RJ)nenexploraçãondenminérionden ferronenmanganêsnnanSerrandonEspinhaçon(MG). nn Grandenconcentraçãondenatividadesnligadasnaoncomércionenprestaçãondenserviços. nn VastanexploraçãondonturismonemncidadesncomonRiondenJaneiron(turismondenlazer)n

Figura 01 - Museu do Amanhã, um dos pontos turísticos da cidade do Rio de Janeiro.

Fonte:nR.M.nNunesn/nShutterstock.com

enSãonPaulon(turismondennegócios).

407

Matemática

Observenonmapanaonladondanregiãonsudeste.

ConsiderandononTrópicondenCapricórnioncomononeixondasnabscissasnenon meridianonden45°ncomononeixondasnordenadas,nvamosnsupornque,nnessen sistemancartesiano,ncoordenadasndasncidadesndenSãonPaulo,nRiondenJaneiro,nBelonHorizontenenVitóriansão,nrespectivamente,n(-3,n0);n(4,n1);n(3,n8)nen (10,n7)ncomntodasnmedidasnemncentímetros.

Assim,nestandonessenmapanemnumandeterminadanescala,nénpossívelncalcularnanárea,nemnquilômetrosnquadrados,ndonquadriláteroncujosnvérticesn estãonrepresentadosnpornessasnquatroncidades.nNestanaula,nabordaremosn ancondiçãondenalinhamentondentrêsnpontosnenanáreandentriângulos.

Condição de alinhamento de três pontos Dizemosnquentrêsnpontosnestãonalinhadosnse,nensomentense,nexistirnumanretanquenpassanpornessesntrêsnpontos.nObservenanfigurananseguir:

OsnpontosnA(xA,yA),nB(xB,yB)nenC(xC,yC)ndonplanoncartesianonpertencemnanumanmesman reta.nLogo,nosntriângulosnABDnenBCEnsãonsemelhantes.nAnpartirndanproporcionalidaden denseusnlados,ntemosnque: y -y x -x CE BE ⇒ C E = E B ⇒n(yCn–nyE)n⋅ (xDn–nxA)n=n(yBn–nyD)n⋅n(xEn–nxB) = BD AD n yB - yD xD - x A n Daí,ntemosnque: xDyC–nxAyCn–nxDyE+nxAyEn=nxEyB–nxByBn–nxEyD+nxByD D04  C o n d i ç ã o d e a l i n ha m e n t o d e t r ê s p o n t o s e á r e a s

ComonxDn=nxB;nyDn=nyA;nxEn=nxCnenyE=nyB,ntemosnque: xDyC–nxAyCn–nxDyE+nxAyEn=nxEyB–nxByB–nxEyD+nxByDn⇒ ⇒ xByCn–nxAyCn–nxByBn+nxAyBn=nxCyB–nxByBn–nxCyAn+nxByA xAyBn+nxByCn+nxCyAn–nxByAn–nxCyB–nxAyCn=n0 Noten quen an expressãon xAyBn +n xByCn +n xCyAn –n xByAn n –n xCyBn –n xAyCn =n 0n én on resultadon don determinantenDnanseguir:

xA yA 1 = D x= 0 B yB 1 xC yC 1

408

MatemáticanensuasnTecnologias

Área de um triângulo Jánvimosnquenénpossívelnverificarnsentrêsnpontosndenumnsistemandencoordenadasncartesianasnestãonounnãonalinhadosncalculandon umndeterminantenDnobtidonpornsuasncoordenadas.nEssendeterminantentambémncalculananáreandontriângulonformadonpelosntrêsn pontos,ncasonelesnnãonestejamnalinhados.n

xA yA 1 |D| Assim,nanáreanSndenumntriângulondenvérticesnA(xA,yA),nB(xB,yB)nenC(xC,yC)néndadanpornSn=n ,nsendonDn=n xB yB 1 = 0 .

2 xC yC 1 Observação: nn Parancalcularnanáreandenqualquernpolígononconvexo,nbastandecompornessenpolígononemntriângulos,ncalcularnanáreanden cadanumndelesnseparadamentene,nemnseguida,nsomarnosnresultadosnobtidos.

EXEMPLOS 01. VerifiquensenosnpontosnA(1,n-2),nB(4,n-11)nenC(-2,n7)nsãoncolineares.

RESOLUÇÃO ParanquenA,nBnenCnestejamnalinhados,nondeterminantenobtidonpornsuasn coordenadasndevensernigualnanzero.

1 -2 1 D = 4 -11 1 = -11 + 28 + 4 – 22 – 7 + 8 = 0 -2 7 1 Portanto,nosntrêsnpontosnestãonalinhados.

02. CalculenanáreandontriângulondenvérticesnA(1,n2),nB(2,n4)nenC(0,n7).

RESOLUÇÃO Vamosninicialmente,ncalcularnondeterminantenobtidonpornsuasncoordenadas.

1 21

D = 2 4 1 =4 + 14 + 0 – 0 – 7 – 4 =7 0 71

AnáreanSndontriângulonABCnéndadanporn= S

|D| |7| = = 3,5 .

2 2

Portanto,nanáreandontriângulonABCnén3,5nunidadesndenárea.

03. DeterminenonvalorndenmndenmodonquenA(-2,n7),nB(m,n-11)nenC(1,n-2)nestejamnalinhados.

RESOLUÇÃO ParanquenA,nBnenCnestejamnalinhados,nondeterminantenobtidonpornsuasn coordenadasndevensernigualnanzero.

-2 7 1 D = m -11 1 =0 ⇒ 22 + 7 – 2m + 11 – 4= – 7m 0= ⇒ 9m 36 ⇒ m = 4 1 -2 1 Portanto,nmn=n4.

Exercícios de Fixação

a)n A(0,n2),nB(1,n3)nenC(-1,n1)nsãoncolineares b)nA(-1,n2),nB(2,n1/2)nenC(3,n-3)nnãonsãoncolineares c)n A(2,n1),nB(3,n2)nenC(0,n-1)nsãoncolineares d)nA(0,n0),nB(1,n1)nenC(2,n-2)nnãonsãoncolineares 02. (Puc RJ)nOsnpontosn(0,8),n(3,1)nen(1,y)ndonplanonsãoncolineares.nOnvalorndenynénigualna:n a)n 5nn d)n11/2 b)n6nn e)n5,3 c)n 17/3n 03. (Unesp SP) UmntriângulontemnvérticesnP(2,1),nQ(2,n5)nenR(x0,n4),n comnx0n>n0.nSabendo-senquenanáreandontriângulonén20,nanabscissan x0ndonpontonRné:n

a)n 8n b)n9n c)n 10

d)n11 e)n12

04. (UFG GO) Paranmedirnanáreandenumanfazendandenformantriangular,n umn agrimensor,n utilizandon umn sisteman den localizaçãon pornsatélite,nencontrouncomonvérticesndessentriângulonosnpontosn A(2,1),nB(3,5)nenC(7,4)ndon planoncartesiano,ncomn asnmedidasnemnquilômetros.nAnáreandessanfazenda,nemnkm2,nénde: a)n 17/2 b)n17n c)n 2 17 d)n4 17 e)n 17 /2 05. Calculen an árean don triângulon cujosn vérticesn sãon A(1,n 2);nn B(3,n4)nenC(4,n-1).n6nunidadesndenárea

409

D04  C o n d i ç ã o d e a l i n ha m e n t o d e t r ê s p o n t o s e á r e a s

01. VerifiquensenosnpontosnA,nBnenCnsãoncolinearesnnosnseguintesn casos:

Matemática

Exercícios C om p l em en t ares 01. (Unesp SP) SejamnP(a,nb),nQ(1,n3)nenR(-1,n-1)npontosndonplano.nSenan+nbn=n7,ndeterminenPndenmodonquenP,nQnenRnsejamn colineares.n(2,n5) 02. (Unesp SP) UmntriângulontemnvérticesnP(2,1),nQ(2,n5)nenR(x0,n4),n comnx0n>n0.nSabendo-senquenanáreandontriângulonén20,nanabscissan x0ndonpontonRné:n a)n 8 b)n9 c)n 10 d)n11 e)n12 03. (UFU MG) UmnpolígonontemnvérticesnconsecutivosnA(0,n0),n B(5,n0),nC(5,1),nD(3,n4),nE(3,n2)nenF(1,1).nAnsuanáreané:n a)n 9,0n d)n7,5 b)n6,0n e)n8,0 c)n 8,5 04. (Fuvest SP) Duasn irmãsn receberamn comon herançan umn terrenonnanformandonquadriláteronABCD,nrepresentadonabaixon emnumnsistemandencoordenadas.nElasnpretendemndividi-lo,n construindonumancercanretanperpendicularnaonladonABnenpassandonpelonpontonP(a,n0).n

Sabendo-senquenanáreandontriângulondenvérticesnnosnpontosn (0,n5),n(0,nb)nen(a,nb)nénigualnan4nunidadesndenárea,ncalcule,nemn unidadesndenárea,nanáreandonretângulonsombreado.n12 06. (Unisa SP) OntriângulonretângulonABCndanfigurantemnonângulon retonnonpontonA(3,n–2),numnvérticennonpontonB(6,n1)nenonvérticenC,ncomnordenadan2,nnonsegundonquadrante. y

(6, 1) x

(3,-2)

Sendon12nanáreandessentriângulo,nanabscissandonvérticenCnvale a)n -1,0. b)n-1,2. c)n -1,4. d)n-1,6. e)n-1,8.

07. (Unemat MT) JoãonénumnprofessorndenMatemáticanendesejan comprarnumanpequenanáreanemnfrentenànsuancasa.nOnpreçon don m2n destan árean én R$n 1.000,00.n Paran determinarn on preçon quen irian pagarn pelan área,n Joãon projetou-an sobren umn planon cartesiano,nconformenanfiguranabaixo.

D (-4, 4)

y (m)

D04  C o n d i ç ã o d e a l i n ha m e n t o d e t r ê s p o n t o s e á r e a s

On valorn den an paran quen sen obtenhamn doisn lotesn den mesman áreané: a)n 5 - 1 n

d)n 2 + 5

b)n 5 - 2 2 n c)n 5 - 2

e)n 5 + 2 2

05. (UFMS) Non 1ºn quadranten den umn sisteman den coordenadasn ortogonaisnxOy,nconsiderenumanretanpassandonpelosnpontosn (0,n5)nen(10,n0)nenonponton(a,nb)npertencentenanessanreta,nconformenanfiguranabaixo.

C (0, 1) x (m) B (7,-1) A (-1,-2)

Sabendonquenasnmedidasnemn“x”nen“y”nsãondadasnemnmetros,n qualnseránonpreçondanárea? a)n R$n18.000,00 b)nR$n20.000,00 c)n R$n19.000,00 d)nR$n21.000,00 e)nR$n25.000,00

410

FRENTE

D

MATEMÁTICA

Exercícios de A p rof u n dam en t o 01. (Fatec SP) Nonplanoncartesianondanfigura,nconsiderenquenasnescalasnnosndoisneixosncoordenadosnsãoniguaisnenquenanunidadenden medidan linearn én 1n cm.n Nele,n están representadan parten den uman linhanpoligonalnquencomeçannonpontonP(0,n3)ne,nmantendo-senon mesmonpadrão,nterminanemnumnpontonQ.

Nanfigura,nanlinhanpoligonalnénformadanpornsegmentosndenreta: •n quensãonparalelosnaosneixosncoordenadosne •n cujasnextremidadesntêmncoordenadasninteirasnnãonnegativas.

Sabendonquenoncomprimentondanlinhanpoligonal,ndonpontonPnatén onpontonQ,nénigualnan94ncm,nasncoordenadasndonpontonQnsão: a)n (25,n2) b)n(28,n1) c)n (32,n1) d)n(33,n1) e)n(34,n2) 02. (Enem MEC) Anfigurananseguirnénanrepresentaçãondenumanregiãon pornmeiondencurvasndennível,nquensãoncurvasnfechadasnrepresentandonanaltitudendanregião,ncomnrelaçãonaonnívelndonmar.nAsncoordenadasnestãonexpressasnemngrausndenacordoncomnanlongitude,n noneixonhorizontal,nenanlatitude,nnoneixonvertical.nAnescalandesenhadanabaixonestánassociadanànaltitudendanregião.

Den acordon comn asn orientações,n on helicópteron pousoun emn umn localncujanaltitudené: a)n menornounigualnan200nm. b)nmaiornquen200nmnenmenornounigualnan400nm. c)n maiornquen400nmnenmenornounigualnan600nm. d)nmaiornquen600nmnenmenornounigualnan800nm. e)nmaiornquen800nm.

03. (FGV RJ) Umnfuncionáriondonsetorndenplanejamentondenumaneditoranverificounquenasnlivrariasndosntrêsnclientesnmaisnimportantesn estãonlocalizadasnnosnpontosnA(0,n0),nB(1,n7)nenC(8,6),nsendonquen asnunidadesnestãonemnquilômetros. a)n EmnquenpontonP(x,ny)ndevenserninstaladonumndepósitonparan quenasndistânciasndondepósitonàsntrêsnlivrariasnsejamniguais? b)nualnénanáreandonquadradoninscritonnancircunferêncianquencontémnosnpontosnA,nBnenC?na)nP(4,n3)nnnnb)n50nkm2 04. (FGV RJ) Nonplanoncartesiano,nontriângulondenvérticesnA(1,n-2),n B(m,n4)nenC(0,n6)nénretângulonemnA.nOnvalorndenmnénigualna: a)n 47 b)n48 c)n 49 d)n50 e)n51 05. (UFCE) ABCn én on triângulo,n non planon cartesiano,n comn vérticesnn A(0,n0),nB(2,n1)nenC(1,n5).nDeterminenasncoordenadasndonpontonPn donplano,ntalnquenansomandosnquadradosndasndistânciasndenPnaosn vérticesndenABCnsejananmenornpossível,nencalculenonvalornmínimon correspondentendansoma.n16

(

)

06. (UFRJ)nSejamnA(1,n0)nen B 5, 4 3 ndoisnvérticesndenumntriângulon equiláteron ABC.n On vérticen Cn están non 2on quadrante.n Determinen suasncoordenadas.nB 3, 4, 3 07. (Puc Campinas SP) OnpontonB(-4,n1)nestánsituadonan3/5ndandistâncianquenvaindenA(2,n-2)nanC(x,ny).nDeterminarnonpontonC.nC(-8,n3) 08. (Unicid SP) Observen on quen segue:n on menorn caminhon paran sen irndonpontonA(1,n3)naténonpontonC(9,n1)npassannecessariamenten pelonpontonBnsobrenoneixonx,ntalncomonanfigura.n

Umn pequenon helicópteron usadon paran reconhecimenton sobrevoananregiãonanpartirndonpontonX(20;n60).nOnhelicópteronseguen onpercurso: 0,8°Ln“n0,5°Nn“n0,2°nOn“n0,1°nSn“n0,4°nNn“n0,3n°L 411

Matemática

Sabendo-senquenCDn=nDEnenquenA,nBnenEnsãoncolineares,nentãonon comprimentondonmenorncaminhondenAnaténC,npassandonpornB,né: a)n 4 b)n5 c)n 6 d)n7 e)n8

5 5 5 5 5

09. (UFRJ) SejamnM1(1,n2),nM2(3,n4)nenM3(1,n-1)nosnpontosnmédiosn dosnladosndenumntriângulo.nDeterminenasncoordenadasndosnvérticesndessentriângulo.n(3,n7);n(-1,n-3)nen(3,n1)

Paran quen an árean don triângulon T1sejan on dobron dan árean den T2,n on valorndenxné: a)n 2n–n 2 b)n4n–n2n 2 c)n 4n–n 2 d)n8n–n2n 2 e)n8n–n4n 2 14. (USF SP) Pornmeiondenumanradiografia,nidentificou-senumntumorn nonpulmãondenumnpaciente.nParanestimarnontamanhondessentumor,n tomou-senumnpolígonondenformanaproximadanencalculou-senanárea.n Onpolígononestánrepresentadonnonplanoncartesianonanseguir.

10. (ITA SP) Trêsnpontosndencoordenadas,nrespectivamente,n(0,n0);n (b,n2b)nen(5b,n0),ncomnbn>n0,nsãonvérticesndenumnretângulo.nAsn coordenadasndonquartonvérticensãondadasnpor: a)n (-b,n-b) b)n(2b,n-b) c)n (4b,n-2b) d)n(3b,n-2b) e)n(2b,n-2b) 11. (Fuvest SP) NanfiguranabaixonA,nBnenDnsãoncolinearesnenonvalorndan abscissanmndonpontonCnénpositivo.n

Sabendo-nsenquenanáreandontriângulonretângulonABCnén5/2,ndeterminenonvalorndenm.n2n+n5√2/2

FRENTE D  ExercíciosndenAprofundamento

x 2y + xy2 = 30 12. (ESPM SP) AsnsoluçõesnemnIRnxnIRndonsisteman  n 11 x + xy + y = determinam,nnonplanoncartesiano,nosnvérticesndenumnpolígonon cujanáreanvale: a)n 2,5n d)n0,5 b)n3,0n e)n2,0 c)n 1,5

Qualnanáreanocupadanpornessentumor? a)n 4,0nunidadesndenárea. b)n5,5nunidadesndenárea. c)n 7,5nunidadesndenárea. d)n9,0nunidadesndenárea. e)n11,0nunidadesndenárea.

15. (IF PE) VemosnabaixonumnmomentondonjogonTeianCartesiana.n Abelha presa na teia

Abelha carregando o par ordenado Abelha carregadora de insetos

13. (UFG GO)nEmnumnsistemandencoordenadasncartesianasnsãondadosn osnpontosnA(0,n0),nB(0,n2),nC(4,n2),nD(4,n0)nenE(x,n0),nonden0n<nxn<n4.n ConsiderandonosnsegmentosnBDne,nCEnobtêm-senosntriângulosnT1en T2,ndestacadosnnanfigura.

Armadilha colocada por nossa aranha Aranha controlada pelo aluno Pontos e chances

Disponível em: http:<//matematicagames.blogspot.com.br/p/jogos-teia-cartesiana-baixar-este.html>. Acesso em: junho de 2017

412

MatemáticanensuasnTecnologias

Andistâncianentrenanabelhanpresannanteia,nquensenencontrannon ponton(–7,3),nenanarmadilhancolocadanpornnossanaranha,nquen estánnonponton(4,n–1),nnonplanoncartesianonreferênciandessen jogo,né: a)n 5 b)n 31 c)n 125 d)n 105 e)n 137 16. (Unicastelo SP) Umanempresantemnumnterrenonnanformandenumn trapézionABCD,ndenbasesnABnenDC,nconformenmostrananfigura.

Sendonanáreandonquadradonigualnan36,nanáreandontriângulonPQRnvale: a)n 18 b)n17 c)n 15 d)n14 e)n16 19. (FGV SP) NoninteriornennonexteriorndontriângulonABC,ncomndadosn indicadosn nan figura,n serãon marcadosn osn pontosn distintosn P’n en P”.nLigando-senconvenientementencadanumndessesnpontosncomn osnvérticesndontriângulonABC,nosnpolígonosnobtidosnserãonpipasn côncavasndenárean16.

y s 10 A

B

C

8

20

r

d

6 0

D 2

x

17. (UFT TO) OnprofessornPitágorasnpediunanumnalunonparandeterminarnanáreandenumnlocalnparandespensasnansernconstruídonnan escola.nOnlocalndeveránternanformandenumnquadriláteronirregularn fechado,nondenosnvérticesnsãonidentificadosnnangeometriananalíticancomonsendonosnpontosnA(2,n0),nB(3,n-1),nC(4,n2)nenD(0,n5).n Qualnseránanmedidanemnunidadesnquadradasndoninteriorndonlocaln ansernconstruídonparandespensas? a)n 7,5 b)n8,0 c)n 8,5 d)n9,0 e)n15,0 18. (Unifev SP) An figuran mostran umn quadradon den ladosn paralelosn aosneixosncoordenadosnenumntriângulonPQRnquenpossuindoisnvérticesnsobrenosnladosndonquadradonenonvérticenRncoincidindoncomn umnvérticendonquadrado. y R

P(-2, 2) x

An soman dasn abscissasn dosn paresn ordenadosn quen representamn corretamentenP’nenP”nénigualna: a)n 8 b)n9 c)n 10 d)n11 e)n12 20. (ESPM SP) Osn pontosn O(0,n 0),n P(x,n 2)n en Q(1,n xn +n 1)n don planon cartesianon sãon distintosn en colineares.n An árean don quadradon den diagonalnPQnvale: a)n 12 b)n16 c)n 25 d)n4 e)n9

Q(1,-2)

413

FRENTE D  ExercíciosndenAprofundamento

AnáreandontrapézionABCD,nemnunidadesndenárea,né a)n 70 b)n72 c)n 74 d)n76 e)n78

FRENTE

E

shuttnerstock.com/PornScanrail1

MATEMÁTICA Por falar nisso Anorigemndanpalavranestatínstincanestánassociadanànpalavranstatus,nquen emnlatinmnsignifincanestado.nHánfortesnindíciosndenque,npornvoltandon anon3n000na.C.,njánsenfaziamncensosnnanBabilônia,nChinanenEgito.

NonquartonlivrondonVelho Testamento,nhánumanreferênciansobrenan instruçãon dadanan Moisés,n paran quen elen finzessen umn levantamenton dosnhomensnaptosnparananguerranemnIsrael.

Ján an palavran censon vemn dan palavran censere,n quen emn latinmn signifincan taxar.n Normalmente,n asn informaçõesn levantadasn nosn censosn eramn utinlizadasnparanantaxaçãondenimpostosnounparanonalistamentonmilitar.

Emboran an prátincan den coletarn dadosn sobren an composiçãon dan população,n bens,n poderion militarn en impostosn ján fossen conhecidan pelosnegípcios,nhebreus,ncaldeusnengregos,napenasnnonséculonXVIIn anEstatínstincanpassounansernconsideradandisciplinanautônoma,ntendon comonobjetinvonbásiconandescriçãondosnbensndonEstado.

Atualmente,n asn pessoasn utinlizamn an Estatínstincan paran compreendern dadosn coletadosn en tomarn decisõesn emn váriasn áreasn don conhecimentontaisncomo:nnasnciênciasnnaturaisnensociais,nnanmedicina,nnasn engenharias,nnosnnegócios,ndentrenoutras.

Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

E01 E02 E03 E04

Estatínstinca:ntabelasndenfrequênciasn................................................ 416 Estatínstinca:nanálisendengráfincosn...................................................... 423 Estatínstinca:nmedidasndentendênciancentraln.................................... 430 Estatínstinca:nmedidasndendispersãon................................................. 435

FRENTE

E

MATEMÁTICA

MÓDULO E01

ASSUNTOS ABORDADOS n Estatística: tabelas de frequências nn Onquenénestatística? nn Variáveisnestatísticas nn Populaçãonenamostra nn Amplitudendenumanamostra nn Dadosnbrutosnenrol n n Tabelasn den distribuiçãon den frequências

ESTATÍSTICA: TABELAS DE FREQUÊNCIAS Osnchamadosnprodutosnorgânicosnsãonaquelesnalimentosnsadios,nlimpos,ncultinvadosnsemn agrotóxicosnensemnfertinlizantesnquímicos.nTaisnprodutosnsãonobtindosnpornmeiondensistemasn agrícolasnbaseadosnemnprocessosnnaturais,nquennãonagridemnannaturezanenmantêmnanvidan donsolonintacta.nDentrenasntécnicasnempregadasnparansenobternessesnprodutos,ntemosnon empregondencompostagem,nanadubaçãonverde,nonmanejonorgânicondonsolonenandiversidaden denculturas.nEssasntécnicasngarantemnaltanqualidadenbiológicandosnalimentos.

Essesnprodutosnsãontotalmentendiferentesndaquelesnoriundosndanagriculturanconvencional,nquenutinlizangrandesndosesndeninsetincidas,nfungicidas,nherbicidasnenadubosnquímicosn altamentensolúveis,nfazendoncomnquenosnalimentosntenhamnbaixonvalornnutricional,nalton graundentoxicidaden(causandonmuitasndoençasnàsnpessoas)nencontaminandononambiente,n poluindonanágua,nonar,nanterra,nanflnoranenanfauna.n Dessenmodo,nanAgriculturanOrgânicanénonmodonverdadeiramentencientínfinconenrespeitosondenproduzirnalimentosnsaudáveisnenassegurarnanintegridadendonmeionambiente.

Assim,n consideren quen uman pesquisan tenhan sidon feitan comn asn pessoasn emn algumasn feirasnlivresndonBrasilncomnonobjetinvondensabernosnmotinvosnpelosnquaisnpoucasnpessoasn consomemnprodutosnorgânicos.nAncoleta,nanorganização,nanapresentação,nananálisenenan interpretaçãondosndadosnobtindosnsenbaseiamnemnmetodologiasnestudadasnemnumnramon danMatemátincanchamadanEstatística.n

O que é Estatística?

AnEstatínstincanénumnramondanMatemátincanquenpossuinumnconjuntondenmétodosnquen visamncoletar,norganizar,napresentar,nanalisarneninterpretarndadosnrelacionadosnanalgumn fato,ncomnobjetinvondencompreendernanrealidadenespecífincandessesndadosnparanumanfuturantomadandandecisão.n

Fonte:nWikimediancommons

Figura 01 - Vários alimentos orgânicos que foram produzidos de forma sustentável.

416

MatemáticanensuasnTecnologias

An parten dan Estatístican quen cuidan dan coleta,n dan organizaçãon en dan apresentaçãon dosn dadosnobservadosnénchamadandenEstatística Descritiva.nPartendanEstatísticanquentratandan análisenendaninterpretaçãondosndadosnobservadosnénchamadandenEstatística Inferencial.

SaberninterpretarnasnferramentasndanEstatísticanénmuitonimportante,npoisndiariamenten nosnmeiosndencomunicaçãondeparamo-nosncomndadosndenpesquisas,nexpressosnemntabelasnengráficos,nquensenreferemnànsociedade,nàneconomia,nànpolíticanetc.

Por exemplo: nn Ongráficonanseguir,nmostranonfluxoncomercialn(importaçõesnmaisnexportações)ndon

Brasilncomnoutrasnregiõesndonmundo,nemnbilhõesndendólaresnnosnanosnden2003,n 2008,n2009nen2010n(denjaneironanoutubro).

92,4 84,6

79,7

76,4

58,4

62,9

25,9

23,3

20,6

17,1 16,9 6,2

ÁSIA 2003

AMÉRICA LATINA E CARIBE 2008

2009

4,4 ÁFRICA

14,3 10,7 12,3

ORIENTE MÉDIO

2010

Gráfico 01 - Fluxo comercial de alguns países no ano de 2003. nn Ongráficonanseguirnmostrananporcentagemndasnreclamaçõesndenconsumidoresn

juntonaonPROCON-SP,npornsetorndenatividadenaonlongondonanonden2012.

Disponível em: http://www.procon.sp.gov.br

Variáveis estatísticas E01  Estatística:ntabelasndenfrequências

On IBGEn (Instituton Brasileiron den Geografian en Estatística),n quandon realizan osn chamadosn censos,nbuscanobterninformaçõesnanrespeitondonperfilndanpopulaçãonbrasileira.nSãonanalisadosndadosncomo:nidade,nsexo,ngraundeninstrução,nfaixandenrendanetc.nNanEstatística,nessesn itensnsãonchamadosndenvariáveis.nEssasnvariáveisnpodemnsernqualitativasnounquantitativas.n Variáveis qualitativas Sãonaquelasnquennãonsãonexpressasnpornnúmeros,nounseja,nsãonexpressasnpornseusn atributosn(ounqualidades).

Por exemplo: nn Osnestudantesndenumandeterminadanescolanpodemnsernclassificados,nsegundonan corndanpele,nem:nbranco,nmulatonclaro,nmulatonmédio,nmulatonescuronennegro.

417

Matemática

Variáveis quantitativas Sãonaquelasnquensãonexpressasnpornnúmeros.n Por exemplo: nn Osn saláriosn mensais,n emn reais,n dosn trêsn funcioná-

riosn den uman multinacionaln comn seden non Brasiln são:nn R$n30.000,00;nR$n35.000,00nenR$n40.000,00.

Asnvariáveisnquantitativasnpodemnsernclassificadasnemndiscretasnouncontínuas.n Variáveis discretas Sãon aquelasn quen normalmenten sãon resultadon den contagens,nportantonpodemnassumirnsomentenvaloresninteirosnnãon negativos.n Por exemplo: nn Onnúmerondenfilhosndasnfamíliasndanzonanruralndenuman

cidadendoninteriorndenBrasilnvarianentrenquatronennove.n Assim,nessanvariávelnquantitativanpodenassumirnosnvaloresn4,n5,n6,n7,n8nen9.

Variáveis contínuas Sãon aquelasn quen normalmenten sãon resultadon den medições,nportantonpodemnassumirnqualquernvalornreal.

Por exemplo: nn Asnalturas,nemnmetros,ndasnpessoasncadastradasnemn

umnsistemandensaúdenvariamnden1,53nan1,87.nAssim,n essanvariávelnquantitativanpodenassumirnosnvaloresndan retanrealnanseguir:

População e amostra An populaçãon (oun universon estatístico)n én on conjunton formadonporntodosnosnelementosnquenpossamnoferecerndadosn importantesnumandeterminadanpesquisa.nCadanelementondan populaçãonestudadanénchamadonunidade estatística.

Por exemplo: E01  Estatística:ntabelasndenfrequências

nn População:nAlunosnquenforamnaprovadosnnanUniversi-

dadenFederalndenGoiásnpelonEnem2017. nn Unidadenestatística:nCadanalunonaprovadonnanUniver-

sidadenFederalndenGoiásnpelonEnem2017.

Quandon an populaçãon én muiton granden oun quandon nãon én possívelncoletarnosndadosndentodosnosnseusnelementos,nretira-sendessenuniversonumnsubconjunto,nchamadonamostranen delansãoncoletadosntodosnosndados.

On tamanhon den uman amostran én importante,n porémn maisn importantenquenissonénansuanrepresentatividade,nounseja,non graundensimilaridadencomnanpopulaçãonemnestudo.n 418

Por exemplo: nn Paransenrealizarnumanpesquisansobrenintençãondenvoton

parangovernadorndenSãonPaulo,nénnecessárioncoletarn umanamostrancomntodosnosngruposnsociaisnenasnregiõesngeográficasnemnumanproporçãonmuitonpróximandan populaçãonpaulista.

Amplitude de uma amostra Anamplitudendenumanamostranéndadanpelandiferençanentren onmaiornenmenornnúmerondessanamostra.

Por exemplo: nn Asn massas,n emn gramas,n den dezn pacotesn den bolachan

sãondadasnpor: 201,n198,n203,n188,n205,n202,n193,n200,n201,n203 Anmaiornenanmenornmedidandanamostransão,nrespectivamente,n205ngnen188ng.nAssim,nanamplitudendessanamostranéndadanpor: 205ngn–n188ngn=n17ng

Dados brutos e rol Dados brutos sãonumansequênciannuméricandendadosnobtidan an partirn den umn levantamenton estatísticon semn qualquern preocupaçãonquantonànsuanordenação.nOrdenandonosndadosn brutosn(expressando-osnemnordemncrescentenoundecrescente)nobtemosnumnrol.

Por exemplo: nn Osnconsumosnmensais,nemnquilowatts-hora,ndenener-

gianelétrica,ndendeznfamíliasndenumnbairronpopularnsãon dadosnpor: 58,n62,n70,n52,n48,n77,n58,n81,n55,n66 Notenquenessesndadosnestãondispostosndenformandesordenadan(dadosnbrutos).nVamosndeterminarnonrolndessesndados.

Paranisso,ntemosnduasnopções: nn Rolndosndadosnemnordemncrescente:n 48,n52,n55,n58,n

58,n62,n66,n70,n77,n81. nn Rolndendadosnemnordemndecrescente:n81,n77,n70,n66,n

62,n58,n58,n55,n52,n48.

Tabelas de distribuição de frequências Apósnanobtençãondosndadosndenumnlevantamentonestatístico,nconvémnorganizá-losnparanfacilitarnanvisualizaçãone,nconsequentemente,nfazernosncálculosndasnmedidasnestatísticas.nParan isso,npodemosnutilizarnasntabelasndendistribuição de frequências comnelementosnseparadosnemnclasses.nNessasntabelas,nasn colunasnsãonconstituídasnpornfrequênciasnabsolutasnenfrequênciasnrelativasndencadanumndosnelementosnobservados.

MatemáticanensuasnTecnologias

Frequência absoluta (F) Anfrequêncianabsolutan(F)ndenumnelementonénanquantidadendenvezesnquensenobservan essenelemento.

Frequência absoluta acumulada (FAC): Énansomandencadanfrequêncianabsolutancomnasnfrequênciasnabsolutasnanteriores.

Frequência relativa (f): Anfrequêncianrelativan(f)ndenumnelementonénanrazãonentrensuanfrequêncianabsolutanenan frequêncianabsolutantotal.

Frequência relativa acumulada (fAC): Énansomandencadanfrequêncianrelativancomnasnfrequênciasnabsolutasnanteriores.

Exemplo 01 Considerenquenosn25nalunosndan2ansériendenumanescolantiraramnasnseguintesnnotasnemn umanprovandenFísica.

50

40

60

80

30

50

70

60

80

40

60

90

50

70

50

60

80

70

90

40

60

60

80

70

70

Nessasncondições,ntemosnque: n n Populaçãonestatística:nosn25nalunosndan2ªnsérie. n n Unidadenestatística:ncadanumndosn25nalunosndan2ªnsérie. n n Variávelnestatística:nasnnotasndanprovandenFísica.

Asnnotasnquenessesn25nalunosntiraramnnanprovandenFísicanpodemnsernagrupadasnemn classesnrepresentadasnpornumnúniconvalornreferentenàsnnotas.nDaí,nasnclassesndessantabelansãonrepresentadasnpelosnnúmeros:n30,n40,n50,n60,n70,n80nen90.n Observenantabelananseguir: Classes (Notas)

Frequência absoluta (F) (Número de alunos)

Frequência absoluta acumulada (FAC)

Frequência relativa (f)

Frequência relativa acumulada (fAC)

30

1

1

1 = 0,04 =n4% 25

4%n

40

3

1n+n3n=n4

50

4

4n+n4n=n8

60

6

8n+n6n=n14

70

5

14n+n5n=n19

80

4

19n+n4n=n23

4 = 0,16 = 16% 25

76%n+n16%n=n92%

90

2

23n+n2n=n25

2 = 0,08 =n8% 25

92%n=n8%n=n100%

4%n+n12%n=n16% 16%n+n16%n=n32%

E01  Estatística:ntabelasndenfrequências

3 = 0,12 =n12% 25 4 = 0,16 =n16% 25 6 = 0,24 =n24% 25 5 = 0,20 =n20% 25

32%n+n24%n=n56% 56%n+n20%n=n76%

419

Matemática

Observação: nn Umanclassenrepresentadanpornumnúniconelementonénchamadandenclassenunitária.

Exemplo 02 Considerenquenosn25nfuncionáriosndenumanempresanrecebemnosnseguintesnsalários,n emnreais.

950

800

820

880

950

1n020

1n300

1n240

850

990

1n270n

1n410n

1n380n

1n160

1n240

910

800

960

1n150

1n220

890

810

990

1n340

1n460

Nessasncondições,ntemosnque: nn Populaçãonestatística:nosn25nfuncionáriosndanempresa. nn Unidadenestatística:ncadanumndosn25nfuncionáriosndanempresa. nn Variávelnestatística:nosnsaláriosndosnfuncionáriosndanempresa.

Osnsaláriosndessesn25nfuncionáriosnpodemnsernagrupadosnemnclassesnrepresentadasn pornintervalosnreais,nreferentesnaosnsalários.nDaí,nasnclassesndessantabelanpodemnsernrepresentadasn por:n [800,n 900[,n [900,n 1000[,n [1000,n 1100[,n [1100,n 1200[,n [1200,n 1300[,n [1300,n1400[nen[1400,n1500].n

E01  Estatística:ntabelasndenfrequências

Observenantabelananseguir:n

420

Classes (Salários)

Frequência absoluta (F) (N°de funcionários)

Frequência absoluta acumulada (FAC)

Frequência relativa (f)

Frequência relativa acumulada (fAC)

[800,n900[

7

7

7 = 0,28 = 28% 25

28%

[900,n1.000[

6

7n+n6n=n13

6 = 0,24 = 24% 25

28%n+n24%n=n52%

[1000,n1100[

1

13n+n1n=n14

1 = 0,04 = 4% 25

52%n+n4%n=n56%

[1100,n1200[

2

14n+n1n=n16

2 = 0,08 = 8% 25

56%n+n8%n=n64%

[1n200,n1n300[

4

16n+n4n=n20

4 = 0,16 = 16% 25

64%n+n16%n=n80%

[1n300,n1n400[

3

20n+n3n=n23

3 = 0,12 = 12% 25

80%n+n12%n=n92%

[1n400,n1n500]

2

23n+n2n=n25

2 = 0,08 = 8% 25

92%n+n8%n=n100%

MatemáticanensuasnTecnologias

Observações: nn Énconvenientenutilizarnumantabelandendadosnagrupadosnemnintervalosnquandonhán

umangrandenquantidadendendados,nounquandonanamplitudendosndadosnénmuiton grandenounquandonanvariávelnanalisadanéncontínua. nn Apesarndenexistiremnfórmulasnparansendeterminarnanquantidadenenanamplituden

dessesn intervalos,n essan escolhan poden sern feitan utilizando-sen valoresn convenientesnparancadansituação.nNessencaso,nforamnescolhidosnsetenintervalosncomn amplituden100. nn Anamplitudendonintervalon(ounclasse)[a,nb[noun[a,nb]néndadonpornbn–na. nn Porn convenção,ntodosn osnintervalos,n comn exceçãon don último,n sãon fechadosnàn

esquerdanenabertosnàndireita.nOnúltimonénfechadonànesquerdanenàndireita.n nn Tambémnpodemosnrepresentarnonintervalon[a,nb[npornannbnquenincluinonextremon anenexcluinonextremonbnenonintervalon[a,nb]npornannbnquenincluinosnextremosnanenb.

EXEMPLOS 01. Osn dadosn seguintesn sen referemn an 20n observaçõesn dosn índicesn pluviométricos,nemnmm,ndenumancidadenbrasileira.

02. Osndadosnanseguirnmostramnonnúmerondendiasndenpermanêncianemndeterminadonhospital,ndenpacientesnvítimasndenacidentesnocorridosnnontrabalho.n

144

147

142

144

142

147

142

141

146

147

7

8

1

7

13

6

12

12

3

17

141

141

142

146

142

145

141

144

143

144

4

2

4

15

2

14

3

5

10

8

9

8

5

3

2

7

14

12

10

8

1

6

4

7

7

11

8

11

18

9

Construanumantabelandenclassesnunitáriasncomandistribuiçãondasnfrequênciasnabsolutasnenrelativas.n RESOLUÇÃO

Frequências absolutas (F)

Frequências relativas acumuladas (fAC)

Frequências absolutas acumuladas (FAC)

Frequências relativas (f)

20%

RESOLUÇÃO Vamosnutilizarn6nintervalosndenclassesncomnamplituden3nanpartirnden1.

Classes (N° de dias)

Frequências absolutas (F)

Frequências absolutas acumuladas (FAC)

Frequências Relativas (f)

Frequências relativas acumuladas (fAC)

141

4

4n

4 = 20% 20

142

5

4n+n5n=n9

5 = 25% 20

20%n+n25%n =n45%

[1,n4[

8

8

8 = 20% 40

20%n

143

1

9n+n1n=n10

1 = 5% 20

45%n+n5%n =n50%

[4,n7[

7

8n+n7n=n15

7 = 17,5% 40

20%n+n17,5%n =n37,5%

144

4

10n+n4n=n14

4 = 20% 20

50%n+n20%n =n70%

[7,n10[

12

15n+n12n=n27

12 = 30% 40

37,5%n+n30%n =n67,5%

145

1

14n+n1n=n15

1 = 5% 20

70%n+n5%n =n75%

[10,n13[

7

27n+n7n=n34

7 = 17,5% 40

67,5%n+n 17,5%n=n85%

146

2

15n+n2n=n17

2 = 10% 20

75%n+n10%n =n85%

[13,n16[

4

34n+n4n=n38

4 = 10% 40

85%n+n10%n=n 95%

147

3

17n+n3n=n20

3 = 15% 20

85%n+n15%n =n100%

[16,n19[

2

38n+n2n=n40

2 = 5% 40

95%n+n5%n=n 100%

E01  Estatística:ntabelasndenfrequências

Classes (Índices Pluviométricos)

Construanumantabelancomnandistribuiçãondasnfrequênciasnabsolutasnen relativasncomnosndadosnagrupadosnemnclasses.

421

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Classifiquenasnvariáveisnanseguirnemnqualitativasnounquantitativasn(discretasnouncontínuas): a)n Onnúmerondenfilhosndencasaisnresidentesnnoncentrondancidade.nquantitativandiscreta b)nAncorndosnolhosndosnalunosndenumanescola.nqualitativa c)n Oncomprimentondosnparafusosnproduzidosnpornumanmáquina.nquantitativancontínua d)nAn nacionalidaden dasn pessoasn quen vivemn nan cidaden den NovanIorque.nqualitativa e)n Anescolaridadendosnfuncionáriosndenumanempresa.nqualitativa

02. Asnmassas,nemnkg,nden20nfuncionáriosndenumanempresanestãon registradasnanseguir: 65

52

73

80

65

50

70

75

80

65

70

77

82

91

75

52

68

80

70

80

Respondanaosnitensnanseguir: a)n Qualnénanamplitudendanamostra?n39nkg b)nQualnanfrequêncianabsolutanden65nkg?n3 c)n Qualnanfrequêncianrelativanden80nkg?n20%

Exercícios C om p l em en t ares 01. (Enem MEC) Cincon empresasn den gênerosn alimentíciosn encontram-senànvenda.nUmnempresário,nalmejandonampliarnosn seusninvestimentos,ndesejancomprarnumandessasnempresas.n Paranescolhernqualndelasniráncomprar,nanalisanonlucron(emnmilhõesndenreais)ndencadanumandelas,nemnfunçãondenseusntemposn(emnanos)ndenexistência,ndecidindoncomprarnanempresan quenapresentenonmaiornlucronmédionanual.nOnquadronapresentanonlucron(emnmilhõesndenreais)nacumuladonaonlongondon tempon(emnanos)ndenexistênciandencadanempresa.

Espessura (mm)

Quantidade de peças

[55,n65[

4

Lucro

Tempo (em anos)

[65,n75[

5

F

24

3,0

[75,n85[

8

G

24

2,0

[85,n95[

13

H

25

2,5

[95,n105[

9

M

15

1,5

[105,n115]

11

P

9

1,5

e)nP

02. (Enem MEC) UmanpesquisanrealizadanpornestudantesndanFaculdadendenEstatísticanmostra,nemnhorasnporndia,ncomonosnjovensn entren12nen18nanosngastamnseuntempo,ntantondurantenansemanan (densegunda-feiranansexta-feira),ncomonnonfimndensemanan(sábadon endomingo).nAnseguintentabelanilustranosnresultadosndanpesquisa.

E01  Estatística:ntabelasndenfrequências

03. Antabelandendadosnagrupadosnemnclassesnanseguirnmostranosn resultadosnobtidosnemnobservaçõesndanespessura,nemnmilímetros,ndendeterminadanpeçanfabricada.n

Empresa

Onempresáriondecidiuncomprarnanempresa a)n Fn b)nGn c)nHn d)nMn

Comnbasennessantabela,nrespondanaosnitensnanseguir: a)n Quantasnpeçasntêmnespessuranmenornquen95nmm?n30npeças b)nQualnanporcentagemndenpeçasncomnespessuranmaiornoun igualnan75nmm?n82% 04. Carlosnlançoun50nvezesnumndadoncomn8nfacesnnumeradasnden 1nan8.nAntabelananseguirnmostranasnfrequênciasnabsolutasnden cadanumndosnresultadosnobtidos: Resultados obtidos

Frequências absolutas (F)

Rotina Juvenil

Durante a semana

No fim de semana

1

5

2

7

Assistirnàntelevisão

3

3

3

9

Atividadesndomésticas

1

1

4

8

Atividadesnescolares

5

1

5

5

Atividadesndenlazer

2

4

6

9

Descanso,nhigienenenalimentação

10

12

7

3

Outrasnatividades

3

3

8

4

Denacordoncomnestanpesquisa,nquantasnhorasndenseuntempon gastanumnjovemnentren12nen18nanos,nnansemananinteiran(den 422

segunda-feiranandomingo),nnasnatividadesnescolares?n a)n 20nn b)n21nn c)n24nn d)n25nn e)n27n

Assim,nqualnanfrequêncianrelativa,nemnporcentagem,ndenumn resultadonpar?n56%

FRENTE

E

MATEMÁTICA

MÓDULO E02

ESTATÍSTICA: ANÁLISE DE GRÁFICOS

ASSUNTOS ABORDADOS

OnBrasilnconseguiunmudarndenformansignifincatinvanonseuncomércionexterior,nfatonocorridonnasnúltinmasndécadas.nAténosnanosn1960,nonpaísntinhanproduçãonrestritanànexportaçãon denprodutosnprimários,ntaisncomononcafé,nque,nnoniníciondonséculo,neranresponsávelnporn 70%ndentodananexportaçãondonpaís.nPosteriormentenoutrosnprodutosnganharamndestaque,ncomoncacau,nalgodão,nfumo,naçúcar,nmadeiras,ncarnes,nminériosn(principalmenten denferronendenmanganês).

Hojenaneconomianénmaisncomplexanendiversifincada,napresentandonexportaçõesndenprodutosn industrializadosn en processadosn (semimanufaturados),n calçados,n sucon den laranja,n tecidos,ncombustínveis,nbebidas,nalimentosnindustrializados,ncaldeiras,narmamentos,nprodutosnquímicos,nveículosndentodontamanhonensuasnrespectinvasnpeçasndenreposiçãonenaviões.

n Estatística: análise de gráficos nn Gráficosndenlinhas nn Gráficosndenbarras nn Gráficosndensetores nn Gráficosnpictóricos nn Histogramas nn Polígonosndenfrequência

Fonte: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/geografia/comercio-externo-brasileiro.htm.

Acesso: Setembro de 2017

Denpossendosndadosndenumnlevantamentonestatínstinco,nénpossívelnorganizá-losnemnváriosntinposndengráfincosnparanfacilitarnanvisualização,ncompreensãonenananálisendasnvariáveisn envolvidasnnanpesquisa.nNanfinguranabaixonestãonnosnprincipaisnparceirosncomerciaisnenosn principaisnprodutosnimportadosnenexportadosnpelonBrasil.nOsnnúmerosn(emnbilhõesnden dólares)nsenreferemnaon1ºnsemestrenden2009.

O QUE O BRASIL COMPRA E VENDE Os principais parceiros e produtos do comércio internacional do país (números do primeiro semestre, em bilhões de dólares)

EXPORTAÇÕES 70

56

Principais produtos

16,8

TOTAL

10,5

Principais produtos

Principais países

7,9

Máquinas e Produtos Combus veis equipamentos químicos e lubrificantes

9,8 Estados Unidos

6,8

5

China

Argen na

10,2 TOTAL

Soja

Principais países

7

5,4

Minérios

Carros e autopeças

10,5 China

7,3

5

Estados Unidos

Argen na

Figura 01 - Vista aérea do Porto de Santos – SP, responsável por cerca de um terço do comércio exterior brasileiro.

Fonte:nshuttnerstock.com/PornPaulonVilela

IMPORTAÇÕES

423

Matemática

Ancorretanleiturandessengráficonleva-nosnnanconcluirnque:n nn Osnretângulosnvermelhosnsenreferemnàsnimportaçõesnenosnalaranjadosnsenreferemn

àsnexportações. nn OsnmaioresnparceirosncomerciaisndonBrasilnsãonEstadosnUnidos,nChinanenArgentina. nn OsnEstadosnUnidosnsãonosnnossosnmaioresnfornecedoresnenanChinanannossanmaiorn compradora. nn Nossonprincipalnprodutondenexportaçãonénansoja.

Gráficos de linhas Nessentipondengráfico,nosndadosnsãoncolocadosnemnumnsistemandencoordenadasncartesianasnenasnlinhasn(segmentosndenretas)ndesenhadasnmostramnon comportamentondasnvariáveisnenvolvidasndurantenumndeterminadontempo.n Por exemplo: nn Ongráficonaonlado,nnosnmostrananquantidadendenalunosndenintercâmbion

estudandonnanUniversidadendenSãonPaulon(USP)nnonperíodonden2003nan2012.

Disponível em: http://www.fea.usp.br

Gráficos de barras Nessentipondengráfico,nosndadosnsãondispostosnemnretângulosncomnbasesn denmesmanmedidanenseparadosnporndistânciasniguais.nAsnfrequênciasn(absolutasnounrelativas)nserãonproporcionaisnàsnalturasndosnretângulosnanotadasnnoneixondasn abscissasnounnoneixondasnordenadas.

Por exemplo:

E02  Estatística:nanálisendengráficos

Ongráficonanseguir,nnosnmostranasnprofissõesnden24n900ncandidatosnnasneleiçõesnden2014.

Gráficos de setores Nessentipondengráfico,nosndadosnsãoncolocadosnemnsetoresncircularesncomnáreasnproporcionaisnànsuasnfrequênciasn(absolutasnounrelativas).nParandeterminarnonânguloncentraln dencadanumndosnsetoresnbasta,npornmeiodenumanregrandentrêsnsimples,nfazernanfrequêncian totaln(absolutanounrelativa)ncorrespondernan360°.

424

MatemáticanensuasnTecnologias

Por exemplo: nn Ongráficonanseguirnnosnmostranasnpreferênciasndenumn

grupondentorcedoresnbrasileirosnquantonaosntimesnitalianosndenfutebol.

Gráficos pictóricos

Pesos (em kg)

Frequências absolutas

[40,n50[

6

[50,n60[

10

[60,n70[

18

[70,n80[

12

[80,n90]

4

Paranessantabelandendistribuiçãondenfrequências,npodemosn esboçarnonseguintenhistograma:

Nessen tipon den gráfico,n osn dadosn sãon representadosn porn meiondensímbolosnquenremetemnànvariávelnprincipalndanpesquisa,ncausandonassimnumngrandenimpactonvisual.

Por exemplo: nn Ongráficonanseguirnmostranonconsumonanualndensorveten

pornpessoanemnváriosnpaísesndonmundo.

Polígonos de frequência Énumngráficonutilizadonparannrepresentarnumandistribuiçãon denfrequênciasndendadosnagrupadosnemnintervalos,nobtidonan partirndonhistograma,nsendonque: nn Parancadanumndenseusnpontos,nasnabscissasnsãonosnpontosn

Histogramas Histograman én umn gráficon utilizadon paran sen representarn uman distribuiçãon den frequênciasn den dadosn agrupadosn emn intervalosnformadosnpornretângulosnjustapostos,nsendonque: nn Anquantidadendenretângulosnénigualnaonnúmerondenin-

tervalosndenclasse. nn An larguranden cadan retângulonén igualnàn amplitudendon

médiosndosnintervalosndenclassenenasnordenadasnsãonasn respectivasnfrequênciasndonintervalo. nn Paransenobternonprimeironenonúltimondenseusnpontosn

(marcadosnsobrenoneixondasnabscissas),nconsidera-sen umanclassenanteriornanprimeiranenposteriornànúltima. nn Onpolígonondenfrequênciasnseránobtidonligando-senes-

sesnpontos.

Por exemplo: nn Paranonhistogramandansituaçãonanterior,ntemos: E02  Estatística:nanálisendengráficos

Notenquenessengráficonsenassemelhanaongráficondenbarras.

Contudo,nansubstituiçãondosnretângulosnpornpazinhasndensorvete,nontornanmaisnatraentenvisualmente.

intervalondenclasse. nn Analturandencadanretângulonénigualnànfrequêncian(abso-

lutanounrelativa)ndonintervalondenclasse. nn Anáreandonhistogramanénproporcionalnànsomandasnfre-

quências.

Por exemplo: nn Antabelananseguirnmostranasnmassasnden40npessoasnquen trabalhamnemnumandeterminadanempresa.

425

atem tica abarito quest o 03 - Fixação Gabarito questão 02 - Fixação

S omente com o polígono de f requê ncias, temos:

Ob ser v a ç ã o : n O h istograma e o polígono de f requê ncias possuem a mesma á rea.

EXEMPLOS 01. O gr fico a seguir mostra as causas da mortalidade de ovem e n o ovem em ( ) no Brasil em 200 .

RESOLUÇÃO a) A porcentagem de mul eres que possuem fil os é dada por: 100 – (

+ 20 + 30 + 20 + 1

)

Assim, a quantidade dessas mul eres é dada por:

100

1200

mul eres

b) O ângulo , em graus, correspondente ao setor que inf orma o nú mero de mul eres com 3 fil os é dado por meio da seguinte regra de trê s simples: 100 3 0 20 100 3 0 20 ⇒ 2 upondo que e istissem mil es de ovens no Brasil em 200 , de acordo com a pesquisa, quantos deles morreram por meio de h omicídios?

03. As a es de uma empresa variaram semanalmente con orme os dados da figura a seguir.

3,26

RESOLUÇÃO 3,24

e acordo com o gr fico 3, dos ovens do ano de 2 00 cometeram suic dio. ogo, essa quantidade é dada por:

Portanto, 3 1

000000 3 1

000

000 ovens morreram por meio de omic dios.

02. Uma pesquisa em um segmento populacional registrou o nú mero de fil os por mul er. m uma comunidade, época da pesquisa, oram consultadas 1 200 mul eres, revelando uma distribui o con orme mostra o gr fico abai o.

3,22

Preço

3 , 100

3,20 3,18 3,16 3,14

1

2

3

4

5

6

Semana

E02  sta stica: an lise de gr ficos

e acordo com os dados apresentados, o per odo de maior varia o ocorreu entre quais semanas?

RESOLUÇÃO endo 0,02 a distância entre duas lin as ori ontais, as varia es em cada um dos intervalos s o dadas por: Observe que o gr fico in orma o n mero de fil os por mul er e a porcentagem correspondente de mul eres com esse n mero de fil os, e ceto na ai a correspondente a fil os. Com essas in orma es, determine: a) o n mero de mul eres entrevistadas com fil os. b) o ângulo correspondente ao setor que in orma o n mero de mul eres com 3 fil os.

426

ntre 1 e 2: –0,02. ntre 2 e 3: +0,04. ntre 3 e 4: +0,02. ntre 4 e : menor que 0,02. ntre e : menor que –0,02 e maior que –0,04.

Portanto, a maior varia o ocorreu entre as semanas 2 e 3.

atem tica e suas ecnologias

Exercícios de Fixação 01. O gr fico a seguir mostra a produ o de leite em uma a enda no primeiro semestre de 2012.

Construa um gr fico de setores para essa tabela, e pressando os setores em porcentagens e destacando o ângulo central correspondente a cada setor.

04. (UEM PR ) A distribui o de notas na prova de matem tica em uma turma de alunos da scola Pitag rica é dada pelo h istograma abaixo.

Com base nos dados desse gr fico, responda aos itens a seguir: a)

uantos litros de leite oram produ idos somente no primeiro trimestre de 2012

2 404, litros

b) uantos litros a mais de leite oram produ idos no mê s 41, litros

R 0, 0, qual o lucro, em reais,obtido no m s de mar o R

2,1

02. A tabela a seguir, mostra a rea da super cie dos cinco oceanos do planeta T erra.

Oc ea no

Á r ea d a su per fí c ie (k m

Pac fico

1 0

Atlântico

10

Í ndico

3

rtico

12

Ant rtico

20

)

2

Construa um gr fico de barras verticais para essa tabela.

03. A tabela a seguir, mostra o resultado de uma pesquisa sobre as pre er ncias culturais eita com os 1 000 alunos de uma escola.

Atividades

Quantidade de alunos

Cinemas (C)

400

useus ( )

250

posi es ( )

200

Palestras (P)

50

Outras (O)

100

o ei o das abscissas, é mostrada a nota na prova (0 a 10) e no das ordenadas, a quantidade de alunos que tirou aquela nota. poss vel ver, por e emplo, que 3 alunos tiraram nota 0. Considerando essa turma e a distribui o das notas dada no h istograma, assinale o que f or correto. V -V -F-V -F 01. A turma tem 3 alunos.

02. etade dos alunos tiraram uma nota menor do que .

04. A média das notas oi igual a .

0 . A quantidade de alunos que tiraram notas 4 e é a mesma dos que tiraram e 2.

1 . A soma das cinco maiores notas é 40.

05. A tabela mostra as massas de 40 pessoas que trabal am em um escrit rio.

Peso s (k g )

Frequências absolutas

40 ⊢ 50 50 ⊢ 0

10

0⊢ 0

1

0⊢ 0

12

0⊢ 0

4

a) Represente graficamente esses dados por meio de um h istograma. b) Represente graficamente esses dados por meio de um polígono de f requê ncias.

427

E02  sta stica: an lise de gr ficos

de abril em rela o ao m s de un o

c) abendo que o lucro por litro do leite nesse per odo oi de

Matemática

Exercícios C om p l em en t ares 01. (Enem MEC) Anonapósnano,nmuitosnbrasileirosnsãonvítimasn denhomicídionnonBrasil.nOngráficonapresentananquantidadenden homicídiosnregistradosnnonBrasil,nentrenosnanosn2000nen2009.

03. (Enem MEC) Umanempresanregistrounseundesempenhonemn determinadonanonpornmeiondongráfico,ncomndadosnmensaisn dontotalndenvendasnendespesas.

WAISELFISZ,nJ.nJ.nMapa da violência 012: os novos padrões da violência homicida no Brasil. SãonPaulo:nInstitutonSangari,n2011n(adaptado).

Onlucronmensalnénobtidonpelansubtraçãonentrenontotalndenvendasnendespesas,nnestanordem.nQuaisnosntrêsnmesesndonanon emnquenforamnregistradosnosnmaioresnlucros?

Sen on maiorn crescimenton anualn absoluton observadon nessan sériensenrepetissenden2009nparan2010,nentãononnúmeronden homicídiosnnonBrasilnaonfinalndessenperíodonserianigualna: a)n 48n839n c)n53n840n e)n54n103 b)n52n755n d)n54n017

E02  Estatística:nanálisendengráficos

02. (Enem MEC) Andiretoriandenumanempresandenalimentosnresolven apresentarnparanseusnacionistasnumanpropostandennovonproduto.nNessanreunião,nforamnapresentadasnasnnotasnmédiasndadasn pornumngrupondenconsumidoresnquenexperimentaramnonnovon produtonendoisnprodutosnsimilaresnconcorrentesn(AnenB).

An característican quen dán an maiorn vantagemn relativan aon produton proposton en quen poden sern usada,n pelan diretoria,n paran incentivarnansuanproduçãonéna: a)n texturan d)nsabor b)ncorn e)nodor c)n tamanho

428

a)n Julho,nsetembronendezembro. b)nJulho,nsetembronennovembro. c)n Abril,nsetembronennovembro. d)nJaneiro,nsetembronendezembro. e)nJaneiro,nabrilnenjunho.

04. (UEG GO) Nanfigurananseguir,nvê-senongráficoncomparativonentrenanquantidadendenchuvanesperadanenanquantidadendenchuvanregistradannonsistemandenCaptaçãondenÁguanCantareira.

Den acordon comn on gráfico,n on mêsn emn quen ocorreun an maiorn diferençanentrenonvolumendenchuvanesperadanenonvolumenden chuvanregistradanfoinnonmêsnde: a)n dezembronden2013n b)njaneironden2014n c)n marçonden2014n d)njaneironden2015n

MatemáticanensuasnTecnologias

05. Osn resultadosn den uman pesquisan den opiniãon foramn divulgadosn utilizandonumngráficondensetoresncirculares,ncomononrepresentadonnanfigurananseguir.

07. (Unesp SP) Emnumandissertaçãondenmestrado,nanautoraninvestigoun anpossívelninfluênciandondescartendenóleondencozinhannanágua.nDiariamente,nonnívelndenoxigêniondissolvidonnanáguanden4naquários,n quencontinhamnplantasnaquáticasnsubmersas,nfoinmonitorado.

Cadanaquárioncontinhandiferentesncomposiçõesndonvolumenocupadonpelanáguanenpelonóleondencozinha,nconformenconstannantabela.

Aonsetornanestãonassociadasn35%ndasnrespostas,naonsetornb,n270n respostasne,naosnsetoresncnend,numnmesmonnúmerondenrespostas.n Sabendonquen AC nénumndiâmetrondessancircunferência,nessennúmeroné: a)n 45 b)n90n c)n 180n d)n450n e)n900n

percentual I donvolume óleo água

II III IV

0 10 20 30 100 90 80 70

Comonresultadondanpesquisa,nfoinobtidonongráfico,nquenregistranon nívelndenconcentraçãondenoxigêniondissolvidonnanáguan(C),nemnpartesnpornmilhãon(ppm),naonlongondosnoitondiasndenexperimenton(T).

06. (Enem MEC) Ongráficonapresentanasntaxasndendesempregondurantenonanonden2011nenonprimeironsemestrenden2012nnanregiãon metropolitanan den Sãon Paulo.n An taxan den desempregon totaln én an

Suponhanquenantaxandendesempregonocultondonmêsndendezembronden2012ntenhansidonanmetadendanmesmantaxanemnjunhonden 2012nenquenantaxandendesempregontotalnemndezembronden2012n sejanigualnanessantaxanemndezembronden2011.

Disponível em: www.dieese.org.br.

Acesso em: 1 ago. 2012 (fragmento).

Nessen caso,n an taxan den desempregon aberton den dezembron den 2012nteriansido,nemntermosnpercentuais,nde: a)n 1,1 b)n3,5 c)n 4,5 d)n6,8 e)n7,9

Tomandonpornbasenosndadosnenresultadosnapresentados,néncorretonafirmarnque,nnonperíodonennasncondiçõesndonexperimento, a)n nãonhándadosnsuficientesnparansenestabelecernonnívelndeninfluênciandanquantidadendenóleonnanáguansobrenonnívelndenconcentraçãondenoxigênionnelandissolvido. b)nquanton maiorn an quantidaden den óleon nan água,n maiorn an suan influêncian sobren on níveln den concentraçãon den oxigênion nelan dissolvido. c)n quanton menorn anquantidadenden óleon nan água,nmaiorn an suan influêncian sobren on níveln den concentraçãon den oxigênion nelan dissolvido. d)nquanton maiorn an quantidadenden óleon nan água,nmenorn an suan influêncian sobren on níveln den concentraçãon den oxigênion nelan dissolvido. e)nnãonhouveninfluênciandanquantidadendenóleonnanáguansobrenon nívelndenconcentraçãondenoxigênionnelandissolvido.

429

E02  Estatística:nanálisendengráficos

somandasntaxasndendesempregonabertonenoculto.

FRENTE

E

MATEMÁTICA

MÓDULO E03

ASSUNTOS ABORDADOS n Estatística: medidas de tendên-

cia central

nn Médiandenumnconjuntondenvalores nn Médianaritméticansimples nn Médianaritméticanponderada nn Mediana nn Moda

ESTATÍSTICA: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Nonmêsndenfevereironden2017,nantempestadenStellanlançounrajadasndenventongelado,n nevenengranizonnonnordestendosnEstadosnUnidos.nNessesnlocais,nescolasnfincaramnfechadasn enmilharesndenvoosnforamncancelados.

AncidadendenNovanYork,nlocalnondenonfenômenonfoinmenosnseverondonqueninicialmenten previsto,nparecianumancidadenfantasmancomnvisibilidadenbastantenreduzidanenruasnbrancasnenquasendesertas.

Denacordoncomnanprevisãoninicial,nonfenômenonprovocarianden300nan600nmmndenneven emnNovanYork,nonquenfelizmente,nnãonsenconcretinzou.

Assim,nquandononapresentadorndenumnnotinciáriondanTVnafinrmanquenamanhãnantemperaturanmédiannancidadendenNovanIorquenvainsernden10° F,nsignifincandizernquentodonon conjuntondentemperaturasnprevistasnparanamanhãnestánrepresentadonpornumnúniconvalorn que,nnessencaso,nénanmédianaritmétincandessasntemperaturas.

Anmédia aritmética,njuntamentencomnanmediananenanmodansãonchamadasndenmedidasn dentendênciancentral.nEssandenominaçãonestánnonfatondenquenessenvalorntenderánanestarn nonmeiondosnvaloresnanalisados.

Média de um conjunto de valores Anmédiandenumnconjuntondenvaloresnénumnnúmeroncapazndenrepresentarntodononconjuntonemnoperaçõesnmatemátincasncomnresultadosnsatinsfatórios.n

Figura 01 - A famosa 5ª Avenida na cidade de Nova Iorque debaixo da neve durante uma severa nevasca.

430

MatemátincanensuasnTecnologias

Média aritmética simples Dadosn osn valoresn x1,n x2,x3,n ...n xn,n an suan médian aritmétincan simples,nindicadanporn x ,néndadanpor:

x + x + x + ... + xn x= 1 2 3 n Utinlizandon on somatório,n an médian aritmétincan simplesn dosn valoresnx1,nx2,n...nxnnéndadanpor: xi n

n

x=∑ i =1

pornumanconstantenk,nentãonanmédiandessenconjuntonden valoresntambémnficaránmultiplicadanpelanconstantenk.

Mediana Dadosnvaloresnordenadosnx1,nx2,nx3,n...nxnn(rol),nanmedianan dessesnvalores,nindicadanpornMd,néndada: nn Pelontermoncentralndessesnvalores,nounseja,nénontermon

n+1 , senanquantidadennndessesnvaloresnor2 denadosnfornímpar.

xincomn i =

nn Pelanmédianaritméticansimplesndosndoisntermosncentraisn

Por exemplo: nn Anmédianaritméticandosnnúmerosn15,n17,n19,n20nen25n

dessesnvalores,nounseja,nanmédianentrenosntermosnxinenxin+n1,n n comn i = , senonnúmeronnndessesnvaloresnordenadosnfornpar.

2 Por exemplo:

15 + 17 + 19 + 20 + 25 = 19,2.

5

Média aritmética ponderada Dadosnosnvaloresnx1,nx2,x3,n...nxn,ncomnpesosnp1,np2,np3,n...,npn,n respectinvamente,nansuanmédianaritmétincanponderada,nindicadanporn x ,néndadanpor:

x ⋅ p + x ⋅ p + x ⋅ p + ... + xn ⋅ pn x= 1 1 2 2 3 3 p1 + p2 + p3 + ... + pn Utinlizandon on somatório,n an médian aritmétincan ponderadan dosnvaloresnx1,nx2,n...nxn,ncomnpesosnp1,np2,np3,n...pn,nrespectinvamente,néndadanpor: n

x=

∑ x ⋅p i

i =1

i

n

∑p

nn Anseguir,ntemosnumnrolncomnquantidadenímparndentermos.

2,n5,n6,n8,n9,n12,n13 Nessencaso,nanmedianandessesnnúmerosnénontermoncentraln 8,nounseja,nMdn=n8. nn Anseguir,ntemosnumnrolncomnquantidadenparndentermos.

10,n11,n12,n14,n15,n18,n20,n23 Nessencaso,nanmedianandessesnnúmerosnénanmédianaritmétincandosndoisntermosncentraisn14nen15,nounseja,n

Md =

14 + 15 = 14,5.

2

Moda Dadosnosnvaloresnx1,nx2,x3,n...nxn,nanmodandessesnvalores,n indicadanpornMo,nénontermon(ounosntermos)ndenmaiornfrequêncian(absolutanounrelatinva).

nn Anmédiandenumanconstantenénigualnànpróprianconstante.

Por exemplo: nn Paranosnvaloresn2,n2,n3,n3,n3,n4,n4,n5,n5,n6,n7,n8,nonvalorn comnanmaiornfrequêncianénon3.nPortanto,nanmodandessesn valoresnén3ne,nnessencaso,ndizemosnquenessesnvaloresn possuemnumanmodan(unimodal).n nn Paranosnvaloresn1,n1,n1,n1,n2,n2,n3,n4,n4,n4,n4,n5,n5,n5,n6,nosn valoresncomnanmaiornfrequênciansãonon1nenon4.nPortanto,n asnmodasndessesnvaloresnsãon1nen4ne,nnessencaso,ndizemosnquenessesnvaloresnpossuemnduasnmodasn(bimodal). nn Paranosnvaloresn1,n3,n5,n5,n7,n7,n8,n8,nosnnúmerosncomn anmaiornfrequênciansãonon3,n7nen8.nPortanto,nasnmodasn dessesnvaloresnsãon3,n7nen8ne,nnessencaso,ndizemosnquen essesnvaloresnpossuemnmaisndenduasnmodasn(multimodal).

nn Sentodosnosnvaloresndenumnconjuntonforemnacrescidosn

nn Paranosnvaloresn10,n11,n12,n13,n15,n18,ntodosnvaloresn

i =1

i

Por exemplo: nn Anmédianaritméticanponderadandosnnúmerosn5,n7,n8nen 9ncomnpesosn1,n2,n3nen4,nrespectivamente,néndadanpor:

x=

5 ⋅ 1 + 7 ⋅ 2 + 8 ⋅ 3 + 9 ⋅ 4 5 + 14 + 24 + 36 = = 7,9.

1+2+3+4 10

Propriedades

denumanconstantenk,nentãonanmédiandessenconjunton denvaloresntambémnficaránacrescidandanconstantenk.

possuemnanmesmanfrequência.nPortanto,ndizemosnquen essesnvaloresnnãonpossuemnmodan(amodal).

431

E03  Estatínstinca:nmedidasndentendênciancentral

éndadanpor:

x=

nn Sentodosnosnvaloresndenumnconjuntonforemnmultiplicadosn

Matemática

EXEMPLOS 01. Qualnén an médiandenidadenden umngruponemn quenhán6npessoasnden14n anos,n9npessoasnden20nen5npessoasnden16nanos?

RESOLUÇÃO Anmédiandenidadendongruponéndadanpelanmédianaritméticanden14nanos,n 20nanosnen16nanosncomnpesosn6,n9nen5,nrespectivamente.nDaí,ntemosnque:

x=

14 ⋅ 6 + 9 ⋅ 20 + 5 ⋅ 16 344 = = 17 6+9+5 20

Notas

Nº de alunos

[0,n2[

3

[2,n4[

5

[4,n6[

18

[6,n8[

14

[8,n10]

10

Determine: a)n Annotanmédia. b)n Annotanmediana.

Portanto,nanmédiandongruponénden17nanos.

02. An tabelan an seguirn mostran osn saláriosn dosn funcionários,n emn reais,n den umanempresa:

Salários (R$)

Nº de funcionários

1.000,00

15

1.200,00

10

1.500,00

11

1.800,00

8

2.000,00

6

RESOLUÇÃO a)n Quandonasnclassesnsãonintervalos,ncalculamosnanmédiandosnpontosn médiosn(médianaritméticandosnextremos)ndencadanumandasnclasses.n Daí,ntemos:

Determine: a)n Onsalárionmédio. b)n Onsalárionmediano. c)n Onsalárionmodal.

n

Classe

Ponto médio da classe

Nº de alunos

[0,n2[

1

3

[2,n4[

3

5

[4,n6[

5

18

[6,n8[

7

14

[8,n10]

9

10

Daí,nannotanmédia,nindicadanporn x ,néndadanpor:

x= RESOLUÇÃO a)n Onsalárionmédionéndadonpelanmédianponderadandosnvaloresndantabela,nounseja:

E03  Estatística:nmedidasndentendênciancentral

x=

1.3 + 3.5 + 5.18 + 7.14 + 9.10 = 5,92 3 + 5 + 18 + 14 + 10

b)n Quandonasnclassesnnãonsãonunitárias,ncalculamosnanmediananpornmeion donhistograma.nAnmediananseránanabscissanxndonvalornquendividenonhistogramanemnduasnregiõesndenmesmanárea.nObservenanfigurananseguir:

15 ⋅ 1000 + 10 ⋅ 1200 + 11 ⋅ 1500 + 8 ⋅ 1800 + 6 ⋅ 2000 65400 = = 1308 15 + 10 + 11 + 8 + 6 50

b)n Onsalárionmedianonéndadonpelontermoncentralndosnsaláriosndispostosn emnordemncrescentenoundecrescente.n n Anquantidadentotalndenfuncionáriosnén15n+n10n+n11n+n8n+n6n=n50.n n Comonanquantidadendentermosnénpar,nonsalárionmedianonénanmédian aritmétican dosn doisn termosn centraisn don roln dosn salários,n oun seja,n entrenon25°nenon26°nsalários.n n Colocandonosnsaláriosnemnordemncrescente,ntemos: 1.000,...,1.000,1.200,...,1.200,1.500,...,1.500,1.800,...,1.800,2.000,...,2.000           15

n

10

11

8

6

Logo,nonsalárionmedianonéndadonpor:

Somandonasnáreasndosncinconretângulos,ntemos:n 2n⋅ 3n+n2n⋅ 5n+n2n⋅ 18n+n2n⋅ 14n+n2n⋅ 10n=n100

1.200 + 1.500 = 1.350 2

Somandonasnáreasndosndoisnprimeirosnretângulos,ntemos:n

c)n nOnsalárionmodalnénaquelenquensenapresentancomnanmaiornfrequência.nLogononsalárionmodalnénMon=n1.000.n

Somandonasnáreasndosntrêsnprimeirosnretângulos,ntemos:n

Md =

03. Nantabelananseguir,ntemosnasnnotasnagrupadasnemnclassesnquenosnalunosn50nalunosndon1ansérientiramnnanprovandenMatemática.n

2n⋅ 3n+n2n⋅ 5n=n16

2n⋅ 3n+n2n⋅ 5n+n2n⋅ 18n=n52 Comonessenvalornsuperounanmetadendontotal,nanmediananénumnvalornxn entren4nen6.nDaí,ntemosnque: 2n⋅ 3n+n2n⋅ 5n+n(xn–n4)n⋅ 18n=n50 ⇒ 18xn=n88n⇒nxn≈n4,89

432

MatemáticanensuasnTecnologias

Exercícios de Fixação

02. Uman companhian aérean registroun osn temposn totaisn den dezn voosnentrenasncidadesndenSãonPaulonenRiondenJaneiro.nOsntemposnobtidos,nemnminutos,nsãonosnseguintes: 46

51

49

51

50

50

56

52

48

50

Nessasncondições,ndetermine: a)n Ontemponmédiondenvoo.n50,6nminutos b)nOntemponmedianondenvoo.n50nminutos c)n Ontemponmodalndenvoo.n50nminutos 03. Apósnmedirnasnalturasnden20nalunosndenumanturmandon3ansérien donEnsinonMédio,nonprofessorndenmatemáticanelaborounonseguintenhistograma:

Comnbasennosndadosndessengráfico,ncalcule: a)n Anmédia,nemncentímetros,ndasnalturas.n183,5ncm b)nAnmediana,nemncentímetros,ndasnalturas.n182,80cm 04. (UEFS BA) Conhecidosn osn percentuaisn den aprovação,n porn parten danpopulação,n den10nprojetosn viáveisnparan desenvolvimentonsustentávelnemndezncidadesndencertanregião,ncomon 15%,n12%,n15%,n8%,n86%,n13%,n13%,n83%,n11%nen13%,nquantonaosnvaloresnpercentuaisndanmediana(Me)nendanmoda(Mo),n éncorretonafirmarnque: a)n Men<nMo. b)nMen≤nMo. c)n elasnsãonequivalentes. d)nMen>nMo. e)nMen≥nMo.

05. Aon pesquisarn on preçon den umn determinadon produton emn 20n postosn den vendas,n foramn encontradosn trêsn preçosn diferentes,nsendonandistribuiçãonrepresentadanpelongráficonabaixo.

Considerandonessesn20npostosndenvendas,ndeterminenosnpreçosn médio,nmedianonenmodalndessenproduto.nR$n13,80;nR$n14,00nenR$n15,00 06. (UFG GO)nNantabelanapresentadananseguirnestãonlistadosnosn deznpaísesncomnmaiorncapacidadeninstaladandenenergianrenovávelnnonmundo.

Líderes mundiais em energia renovável instalada País

Capacidade total instalada (Gigawatts)

China

133

EstadosnUnidos

93

Alemanha

61

Espanha

32

Itália

28

Japão

25

Índia

22

França

18

Brasil

15

ReinonUnido

11

Fonte: PEW ENVIROMENT GROUP (2011). Disponível em: http://exame. abril.com.br/economia/noticias>. Acesso em: 1º abr. 2014. (Adaptado).

Tomandonpornbasenosndadosnapresentadosnnantabela,nconclui-senquenanmédianaritméticandancapacidadentotalninstaladandosnpaísesnsituadosnnoncontinenteneuropeunrepresenta,n aproximadamente, a)n 36,86%ndanmédianaritméticandosnpaísesnsituadosnforandon continentenasiático. b)n37,97%ndanmédianaritméticandosnpaísesnsituadosnnoncontinentenasiático. c)n 44,44%ndanmédianaritméticandosnpaísesnsituadosnnoncontinentenamericano. d)n60,24%ndanmédianaritméticandosnpaísesnsituadosnforandon continenteneuropeu. e)n68,49%ndanmédianaritméticandosndeznpaíses.

433

E03  Estatística:nmedidasndentendênciancentral

01. Respondanaosnitensnanseguir: a)n Marianancomproun3ncanetasnpornR$n20,00ncadanumanen2n canetasnpornR$n15,00ncadanuma.nQuantonelenpagou,nemn média,nporncaneta?nR$n25,75 b)nNessensemestre,nKarinanteránquenfazernquatronavaliaçõesn entrentrabalhosnenprovasnemnseuncursondenmestrado.nElan precisangarantirnumanmédianmaiornounigualnan8,0nparansern aprovada.nKarinanjánfeznumntrabalhoncujannotanfoin9,5nenduasn provasncujasnnotasnforamn8,0nen7,5.nAssim,nfaltanapenasnumn trabalhonparansernfeito.nSabendonquenasnprovasntêmnpesonn 3nenosntrabalhosnpeson2,nqualndevensernannotanmínimanquen deverántirarnnessentrabalhonparansernaprovada?n7,25

Matemática

Exercícios C om p l em en t ares 01. (UEG GO) Umanagênciandenviagemnentrevistoun50nidososnperguntando-lhesnquantasnviagensnelesntinhamnfeitonparanonexterior.nOn gráficonanseguirnapresentanosnresultadosndessasnentrevistas.

Sabendonquenanmédiandasnidadesndessesnseisnestagiáriosnén21,5n anos,nanmodanenanmedianandessasnidadesnsão,nrespectivamente, a)n 22nen22. b)n22nen20. c)n 21nen22. d)n20nen21. e)n20nen20.

05. (IF PE) Anpartirnden2003,nonCampeonatonBrasileirondansérienAn

Baseando-sennaninformaçãondongráfico,nanmedianandonnúmerondenvezesnquenessesnidososnviajaramnparanonexteriornénde: a)n 0,5. b)n0,0. c)n 2,0. d)n1,0. e)n1,5.

02. (UEG GO) UmnartesãonfabricancertontipondenpeçasnanumncustondenR$n10,00ncadanenasnvendennonmercadondenartesanaton comnpreçonvariávelnquendependendannegociaçãoncomnonfreguês.n Emn umn certon dia,n elen vendeun 2n peçasn porn R$n 25,00n cada,n4npeçasnpornR$n22,50ncadanenmaisn4npeçasnpornR$n20,00n cada.nOnlucronmédiondonartesãonnessendianfoinde a)n R$n22,50. b)nR$n22,00. c)n R$n19,20. d)nR$n12,50. e)nR$n12,00.

E03  Estatística:nmedidasndentendênciancentral

03. (UEAM) Anlistananseguirnidentificanasnidades,nemnordemncrescente,ndosn11nprofessoresndenMatemáticandenumandeterminadan escola:n 22,n 23,n 25,n 27,n 29,n 33,n 35,n 35,n 41,n 43,n 45.n An medianandasnidadesndessengrupondenprofessoresné: a)n 35nanos. b)n33nanos. c)n 29nanos. d)n27nanos. e)n25nanos.

04. (Unifacef SP)n Uman empresan contratou,n emn umn mesmon mês,n6nestagiáriosnenantabelanregistranasnidades,nemnanos,n dencincondeles.

434

Estagiários

A

B

C

D

E

F

Idades

25

20

22

22

20

?

passounanserndisputadonnonsistemandenpontosncorridosn(sistemannonqualncadanumandasnequipesnenfrentantodasnasndemais,n aonfinal,naquelanquenobtivernmaisnpontosnénancampeã).nAntabelanapresentananquantidadendengolsnmarcadosnpelosnartilheirosn dosnCampeonatosnBrasileirosnnanerandosnpontosncorridos.

Ano

N° de gols

Ano

N° de gols

2003

31

2010

23

2004

34

2011

23

2005

22

2012

20

2006

17

2013

21

2007

20

2014

18

2008

21

2015

20

2009

19

2016

14

Anpartirndosndadosnapresentados,nonvalorndanmodanendanmedianan dasn quantidadesn den golsn marcadosn pelosn artilheirosn dosn Campeonatosn Brasileiros,n den 2003n atén 2016,n respectivamente,né: a)n 23nen22. b)n20nen23. c)n 23nen21. d)n23nen20,5. e)n20nen20,5.

06. (FGV RJ)nRemovendonumnnúmerondonconjunton{11,n12,n17,n 18,n23,n29,n30}nformamosnumnnovonconjuntoncomnmédianaritméticandosnelementosnigualnan18,5.nAnmedianandosnelementosndessennovonconjuntonénigualna: a)n 26,5. b)n26,0. c)n 20,5. d)n17,5. e)n14,5.

FRENTE

E

MATEMÁTICA

MÓDULO E04

ESTATÍSTICA: MEDIDAS DE DISPERSÃO MichaelnJeffnreynJordan,nnascidonemn17ndenfevereironden1963nnancidadendenNovanIorque,nénconsideradononmelhornjogadorndenbasquetendentodosnosntemposnenseusnnúmerosn dificilmentenserãonsuperados.

FelizesnaquelesnquentinveramnoportunidadendenassistinrnanumnjogondenbasquetendanNBAn (NatinonalnBasketballnAssociatinon)ncomnanpartincipaçãondessengêniondonesporte.nSemndúvida,nJordannerandiferentendosndemaisnjogadores,neranumnatletancompleto.nSeunapelidon Airn Jordann deve-sen aon faton den suan incríveln impulsãon aon saltarn non inícion don garrafãon en conseguirnenterrarnanbolannancesta.

ASSUNTOS ABORDADOS n Estatística: medidas de dispersão nn Variância nn Desvionpadrão nn Desvionmédio

Anseguir,nestãonalgunsnnúmerosnquencomprovamnsuperioridadendenMichaelnJordann perantenumanlegiãondenfantástincosnoutrosnjogadoresndenbasquete: nn 6nvezesncampeãondanNBAncomnChicagonBulls; nn 5nvezesneleitonMVPn(jogadornmnaisnvalioso); nn Cestinhan(jogadornquenmaisnpontuou)nemn10ntemporadas; nn 2nmedalhasndenouroncomnanseleçãonamericananemnOlimpíadas; nn 3ºnmaiornmarcadorndentodosnosntemposndanNBA.

Emn1994,nnonaugendancarreira,nJordannanuncianansuanaposentadorianenvainjogarnbeisebol,n retornandonaonChicagonBullsnapósnumnanonenobtendonmaisndoisntíntulosndanNBA.nEmn1999,n anunciounnovamentensuanaposentarianensentornounexecutinvondnonWashington Wizards.

Voltounanjogarnemn2001,npelonpróprionWashington Wizards enfinnalmentensenaposentoundefinnitinvamentenemn2003.nAtualmente,nelenénproprietáriondonCharlotte Hornets.

Fonte:nshuttnerstock.com/Pornmrvirgin

Figura 01 - Uniforme de Michael Jordan exposto em um Museu de Nova Iorque.

435

Matemática

Osn jogadoresn An en Bn jogamn emn umn timen den basqueten den UniversidadendosnEstadosnUnidosn(principalnacessondenjogadoresnànNBA)nenontécniconpretendenescalarnapenasnumndelesn comontitularnnonúltimonjogondanprimeiranfase.nParanisso,nontécniconanalisounondesempenhondosndoisnatletasnnnosncinconjogosn quenparticiparam.nOsnresultadosnestãonnasntabelasnanseguir:n

medianan en moda)n én importanten tambémn avaliarn on quanton essesndadosnsenencontramnespalhadosnounpróximos.nIssonsignificanquendevemosnlevarnemncontanongraundendispersãon(oun variabilidade)n dessesn dadosn emn relaçãon an umn determinadon valorndentendênciancentral,nounseja,nemnrelaçãonànmédia.n

Jagador A

Anvariâncianénumanmedidanquenindicanandispersãon(ounafastamento)ndosnelementosndenumnconjuntondendadosnemnrelaçãonànmédia.nÉndefinidancomonsendonanmédianaritméticandosn quadradosndosndesviosn(diferenças)ndencadanumndosnelementosnemnrelaçãonànmédia.nAssim,nanvariânciandosnnnnúmerosnx1,n x2,x3,n...nxn,nindicadanpornσ2,néndadanpor:

Jogo

Número de pontos

1

20

2

18

3

20

4

20

5

22

Variância

( x1 - x ) + ( x 2 - x ) + ( x 3 - x ) 2

σ2 =

2

2

+ ... + ( xn - x )

2

n

Por exemplo: Jogador B Jogo

Número de pontos

1

30

2

20

3

14

4

24

5

12

Anmédiandosnpontos,npornjogo,ndencadanumndessesnjogadoresnéndadanpor: nn ParanonjogadornA,ntemos:

x=

20 + 18 + 20 + 20 + 22 = 20 10

nn ParanonjogadornB,ntemos:

E04  Estatística:nmedidasndendispersão

x=

30 + 20 + 14 + 24 + 12 = 20 10

Noten quen somenten an médian nãon foin capazn den diferenciarn essesn doisn jogadores.n Agoran observen quen asn quantidadesn den pontosndonjogadornAnestãonmaisnpróximasndanmédia,ntornando-onmaisnregularne,nportanto,nmaisnconfiávelnquenonjogadornB. Asnmedidasnutilizadasnparancaracterizarnongraundendispersãon(ounvariabilidade)nemntornondanmédiansãonchamadasnden medidas de dispersão.

Den maneiran geral,n paran melhorn interpretaçãon dosn dadosn estatísticos,nalémndasnmedidasndentendênciancentraln(média,n 436

Vamosncalcularnasnvariânciasndasnquantidadesndenpontosn dosndoisnjogadoresndonexemplonanteriornparancomprovarnquen onjogadornAnénmaisnregularnquenonjogadornB. nn ParanonjogadornA,ntemos:

(20 - 20 ) + (18 - 20 ) + (20 - 20 ) + (20 - 20 ) + (22 - 20 )

σ2 =

2

2

2

2

2

5

= 1,6

nn ParanonjogadornB,ntemos:

(30 - 20 ) + (20 - 20 ) + (14 - 20 ) + (24 - 20 ) + (12 - 20 )

σ2 =

2

2

2

5

2

2

= 43,2

Assim,nemnmuitonmaisnjogosnonjogadornAnestevenmaisnpróximon dan médian den pontos,n portanton én comprovadamentenn maisnregularnquenonjogadornB.

Desvio padrão Comonanvariânciandenumnconjuntondendadosnéncalculadanan partirndosnquadradosndosndesviosndencadanumndosnelementosn emnrelaçãonànmédia,nelanénumnnúmeronemnunidadenquadradan emnrelaçãonànvariávelnanalisada,nonque,ndonpontondenvistanpráticonénumninconveniente.nDaí,ndefinimosnque: Ondesvionpadrão,nindicadonpornσ,ncomonsendonanraiznn quadradandanvariância.

Por exemplo: SendonσAnondesvionpadrãondanquantidadendenpontosnmarcadosn pelon jogadorn An en σBn on desvion padrãon don númeron den pontosnmarcadosnpelonjogadornB,ntemosnque: nn σ An=n

1,6 ≈ 1,26

nn σ Bn=n

43,2 ≈ 6,57

MatemáticanensuasnTecnologias

Portanto,ncomonσAn<nσB,ntemosnquenonjogadornAnmaisnregularnquenonjogadornB.

dm

Propriedades nn An variâncian en on desvion padrãon den uman constanten én

igualnanzero. nn Sentodosnosnvaloresndenumnconjuntonforemnacrescidosn

denumanconstantenk,nentãonanvariâncianenondesvionpadrãonnãonsenalteram.

=

x1 - x + x 2 - x + x 3 - x + ... + xn - x n

Por exemplo: Sabendonquenasnidadesnatuaisndosncinconfilhosndenumncasaln sãoniguaisnan7,n10,n12,n16nen20,nvamosndeterminarnondesvion médiondessasnidades.

Anmédiandasnidadesnéndadanpor:n

nn Sentodosnosnvaloresndenumnconjuntonforemnmultipli-

cadosnpornumanconstantenk,nentãonanvariâncianficarán multiplicadanpelanconstantenk2nenondesvionpadrãonficarán multiplicadonpelanconstantenk.

Desvio médio On desvion médio,n outran medidan den dispersão,n én dadon pelan médianaritméticandosnmódulosndosndesviosn(diferenças)ndencadan umndosnelementosnemnrelaçãonànmédia.nAssim,nondesvionmédion dosnnnnúmerosnx1,nx2,x3,n...nxn,nindicadanporndm,néndadanpor:

x=

7 + 10 + 12 + 16 + 20 65 = = 13 5 5

Ondesvionmédiondasnidadesnéndadonpor: dm

=

7 - 13 + 10 - 13 + 12 - 13 + 16 - 13 + 20 - 13 5 =

n=

6 +3+1 +3+ 7 =4 5

EXEMPLOS 01. AsnalunasnMarianenCarlansencandidataramnparanliderarnancomissãonden Calculandonanvariânciandonnúmerondenvotosndencadanumandelas,ntemos: n • ParanMaria: formaturandan3ªnsériendonEnsinonMédio,ndanescolanondenestudam.nAn tabelananseguirnmostranonnúmerondenvotosnquenelasnobtiveramnemncadan 2 2 2 2 2 2 (12 - 14 ) + (15 - 14 ) + (12 - 14 ) + (16 - 14 ) + (14 - 14 ) + (15 - 14 )= 14= 7 umandasnseisnturmasnden3ªnsérie. σM2 = 6 6 3

(12 - 14 ) + (15 - 14 ) + (12 - 14 ) + (16 - 14 ) + (14 - 14 ) + (15 - 14 )= 14= 7 σM2 = Turmas 6 6 3 2

2

2

Alunas

3ª A

3ª B

3ª C

3ª D

3ª E

3ªF

Maria

12

15

12

16

14

15

Carla

12

11

2

n

2

• ParanCarla:

(12 - 14 ) + (11 - 14 ) + (18 - 14 ) + ( 9 - 14 ) + (19 - 14 ) + (15 - 14 )= 80 40 σ2C = = 6 6 3 2

• ParanMaria:

12 + 15 + 12 + 16 + 14 + 15 84 = = 14 6 6

• ParanCarla:

x=

2

2

2

n

• ParanMaria:

12 + 11 + 18 + 9 + 19 + 15 84 = = 14 6 6

n

σM=

7 ≈ 1,53 3

σ= C

40 ≈ 3,65 3

• ParanCarla:

b)n ComonondesvionpadrãondanquantidadendenvotosnrecebidosnpornMarianénmenornquenondesvionpadrãondanquantidadendenvotosnrecebidosn pornCarla,npodemosnconcluirnquenMarianénmaisnregularnquantonaon númerondenvotosnrecebidos.

437

E04  Estatística:nmedidasndendispersão

a)n Calculandonanmédiandosnvotosndencadanumandelas,ntemos:

n

2

Calculandonondesvionpadrãondonnúmerondenvotosndencadanumandelas,n temos:

RESOLUÇÃO

x=

2

2 2 2 2 18 (12 - 14 9 )2 + (1119- 14 )2 +15 (18 - 14 ) + ( 9 - 14 ) + (19 - 14 ) + (15 - 14 )= 80 40 = σ2C = 6 6 3

Nessasncondições, a)n calculenanvariâncianenondesvionpadrãondonnúmerondenvotosndencadan umandasnalunas. b)n qualndasnduasnalunasnénmaisnregularnquantonaonnúmerondenvotosn recebidos?

n

2

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Asnvelocidadesnmédiasndencinconvoltasndadasnemnumntestendan Fórmulan3nforam,nemnKm/h,190,n198,n196,n204nen202.nNessasn condições,ndetermine: a)n anmédiandasnvelocidades.n198nkm/h b)nanvariânciandasnvelocidades.n24nkm2/h2 c)n ondesvionpadrãondasnvelocidades.n4,90nkm/h 02. Antabelananseguirnmostranasnáreas,nemnhectare,ndenterrasncultivadasndosnsítiosnenfazendasndenumandeterminadanregiãondonBrasil.

Classes

Frequência

[1;7[

2

[7;13[

6

[13;19[

6

[19;25[

2

[25;31[

4

Nessasncondições,ndetermine: a)n anáreanmédia.n16nha b)nanáreanmedianananpartirndonhistograma.15nha c)n anvariânciandessasnáreas.n57,6nha2 03. Sabendonquenasnidadesndasnjogadorasndontimendenvoleibolnden umncolégionsão:n15,n16,n14,n17nen18,ncalcule: a)n anmédiandessasnidades.n16nanos b)nondesvionmédiondessasnidades.n1,2nanos

II

III

IV

1ª pesagem (Kg)

78

83

75

80

2ª pesagem (Kg)

72

65

70

77

3ª pesagem (Kg)

66

65

65

62

4ª pesagem (Kg)

72

71

70

73

5ª pesagem (Kg)

72

65

70

77

6ª pesagem (Kg)

4,90

8,49

4,08

7,87

Apósnasntrêsn“pesagens”,nosnorganizadoresndontorneioninformaramnaosnatletasnquaisndelesnsenenfrentariamnnanprimeiran luta.nAnprimeiranlutanfoinentrenosnatletas: a)n InenIII. b)nInenIV. c)n IInenIII. d)nIInenIV. e)nIIInenIV. 06. (Fuvest SP) An distribuiçãon dosn saláriosn den uman empresan én dadannantabelananseguir: N° de funcionários

500.000,00

10

1.000.000,00

5

1.500.000,00

1

2.000.000,00

10

d)n 57

5.000.000,00

4

19 e)n 3

10.500.000,00

1

TOTAL

31

a)n 59 b)n 62 c)n

E04  Estatística:nmedidasndendispersão

I

Salário ($)

04. (Udesc SC)nSejamnanenbn ∈ n IR.nOnvalorndondesvionpadrão,nden modonquenonconjuntondendadosnordenadosn{14,n17,n22,na,nb,n 37}ntenhanmédianenmediananiguaisnan24,né:

58

05. (Enem MEC) On procedimenton den perdan rápidan den “peso”n én comumn entren osn atletasn dosn esportesn den combate.n Paran participarn den umn torneio,n quatron atletasn dan categorian aténn 66nkg,nPeso-Pena,nforamnsubmetidosnandietasnbalanceadasnen atividadesnfísicas.nRealizaramntrêsn“pesagens”nantesndoninícion dontorneio.nPelonregulamentondontorneio,nanprimeiranlutandeveránocorrernentrenonatletanmaisnregularnenonmenosnregularn quantonaosn“pesos”.nAsninformaçõesncomnbasennasnpesagensn dosnatletasnestãonnonquadro.

438

Atleta

a)n Qualn én an médian en qualn én an medianan dosn saláriosn dessan empresa?nmédia:n$n2.000.000,00nenmediana:n$n1.500.000,00 b)nSuponhanquensejamncontratadosndoisnnovosnfuncionáriosn comnsaláriosnden$n2.000.000,00ncada.nAnvariânciandannovan distribuiçãondensaláriosnficaránmenor,nigualnounmaiornquen ananterior?nvariânciandiminui

MatemáticanensuasnTecnologias

Exercícios C om p l em en t ares 01. (Uncisal AL) Antabelanapresentanasnnotasndosnseisnalunosnquen melhornsensaíramnemnumandisciplinandenumaninstituiçãonden ensinonsuperiorndenMaceió.

Nota

A

10,0

B

9,0

C

9,0

D

9,0

E

8,0

F

6,0

Qualnondesvionmédiondessasnnotas? a)n 0,0n c)n1,4n b)n1,0n d)n8,5

Número de gols em 2010

Número de gols em 2011

Número de gols em 2012

Número de gols em 2013

I

21

21

24

21

II

20

21

22

22

III

26

21

20

21

IV

23

23

19

18

V

16

21

16

16

Onpresidentendontimendevencontratarnonjogador: a)n I.n d)nIV. b)nII.n e)nV. c)n III. e)n9,0

02. (UEG GO) Osn númerosn den casosn registradosn den acidentesn domésticosnemnumandeterminadancidadennosnúltimosncincon anosnforam:n100,n88,n112,n94nen106.nOndesvionpadrãondessesn valoresnénaproximadamente: a)n 3,6 b)n7,2 c)n 8,5 d)n9,0 e)n10,0 03. (Enem MEC) Umnprodutorndencaféncontratounumanempresan den consultorian paran avaliarn asn produçõesn den suasn diversasn fazendas.nNonrelatórionentreguenconstanquenanvariânciandasn produtividadesndasnfazendasnfoinigualnan9n216nkg2/ha2.nEssen produtornprecisanapresentarnessaninformação,nmasnemnoutran unidadendenprodutividade:nsacas/ha.nElensabenquenansacanden caféntemn60nkg,nmasntemndúvidasnemndeterminarnonvalorndan variâncianemnsacas2/ha2.Anvariânciandasnprodutividadesndasn fazendasndencafénexpressanemnsacas2/ha2né: a)n 153,60 b)n12,39 c)n 6,55 d)n2,56 e)n1,60 04. (Enem MEC) Onpresidentendenumntimendenfutebolnquerncontratarn umn atacanten paran seun elencon en umn empresárion lhen ofereceuncinconjogadores.nElendesejancontratarnonjogadornquen obtevenanmaiornmédiandengolsnnosnanosnden2010nan2013.nOn quadronapresentanonnúmerondengolsnmarcadosnnosnanosnden 2010nan2013nporncadanumndosncinconjogadores:nI,nII,nIII,nIVnenV.

05. (Uncisal AL) Antabelanabaixonapresentanosnnúmerosndengolsndasn quatronprimeirasnrodadasndoncampeonatonbrasileironden2014.

Rodada

Gols

1

16

2

22

3

25

4

26

Qualnanvariânciandosnnúmerosndengolsnfeitosnnessasnquatron rodadas? a)n 0,00n d)n15,19 b)n3,25n e)n22,25 c)n 3,90 06. (Uncisal AL) Depoisndendivulgarnosnresultadosnencalcularnalgumasn medidasn dan sérien dasn notasn dan provan realizadan non mêsndennovembron(média,n4,8;nmediana,n5,0;ndesvionpadrão,n 3,0),n on professorn dan disciplinan Métodosn Numéricosn Aplicadosn àn Saúde,n atendendon an insistentesn pedidosn dosn alunos,n apósnrevisão,nanulounumanquestãone,nconsiderandonquennenhumnalunonhavianobtidonqualquernpontuaçãonnessenitem,n acrescentounumnpontonemntodasnasnnotas.nDadasnasnafirmativasnanrespeitondasnmedidasndannovansériendennotas, I.n Anmédiandasnnotasnpassounansern5,8.

II.n Annotanmediananmanteve-senigualnan5,0.

III.n Ondesvionpadrãonpassounansern4,0. verifica-senquenestá(ão)ncorreta(s) a)n I,napenas. b)nII,napenas. c)n InenIII,napenas. d)nIInenIII,napenas. e)nI,nIInenIII.

439

E04  Estatística:nmedidasndendispersão

Aluno

Jogador

FRENTE

E

MATEMÁTICA

Exercícios de A p rof u n dam en t o 01. Antabelananseguirnrefere-senanumanpesquisa,nrealizadancomn600n alunosndenumanescola,nanrespeitondonesportenpreferido: Esporte preferido

Frequência absoluta (F)

Frequência relativa (f)

Futebol

270

D

Vôlei

A

21%

Basquete

B

E

Natação

30

F

Outros

C

12%

Total

600

G

QuaisnosnvaloresnnuméricosndenA,nB,nC,nD,nE,nFnenG? An=n126;nBn=n102;nCn=n72;nDn=n45;nEn=n17;nFn=n5nenGn=n100

02. Emnumanáreandenpreservaçãonambiental,npesquisadoresnestudaramnumanpopulaçãondenmacacos-prego.nAnáreanemnquestãonénden 84nhan(1nhan=n10n000nm2).nConsiderenontamanhoninicialndanpopulaçãoncomon750nindivíduosn(noninícionden2006)nenosndadosndencincon anosnapósnessenperíodo,nquenestãonregistradosnnantabelananseguir.

Comnbasennasninformaçõesndengráfico,nonfloricultornverificounquen poderianplantarnessanflornrara.nOnmêsnescolhidonparanonplantionfoi: a)n janeiro. b)nfevereiro. c)n agosto. d)nnovembro. e)ndezembro.

04. (UFG GO) Osngráficosnanseguirnapresentamnosndadosnreferentesn aoncomércioneletrôniconnonBrasilnemn2013.

Os produtos mais vendidos no primeiro semestre de 2013 13,7 12,3 12,2 9 8,9

ANO

Determinantes populacionais

2006

2007

2008

2009

2010

Nacionalidade

200

250

320

450

510

Mortalidade

70

93

57

108

122

Imigração

7

28

65

70

48

Emigração

10

15

32

83

139

Roupas e Utensílios Cosmé cos Eletrônicos Livros e acessórios domés cos revistas Evolução das vendas, em R$ bilhões 28 22,5 18,7 R$ 12,74 bilhões foi o total vendido no primeiro semestre de 2013 2011

Nessasncondições,ncalculenandensidadendanpopulaçãondenmacacos-prego,nnonfinalndonanonden2n010.n Aproximadamenten23,44nmacacos-prego/há

03. (Enem MEC) Oncultivondenumanflornraransónénviávelnsendonmêsn donplantionparanonmêsnsubsequentenonclimandanregiãonpossuirnasn seguintesnpeculiaridades: nn anvariaçãondonnívelndenchuvasn(pluviosidade),nnessesnmeses,n nãonfornsuperiornan50nmm; nn antemperaturanmínima,nnessesnmeses,nfornsuperiornan15n°C; nn ocorrer,nnessenperíodo,numnlevenaumentonnãonsuperiornan5n°Cn

nantemperaturanmáxima.

Umn floricultor,n pretendendon investirn non plantion dessan florn emn suanregião,nfeznumanconsultananumnmeteorologistanquenlhenapresentounongráficoncomnasncondiçõesnprevistasnparanosn12nmesesn seguintesnnessanregião.

440

2012

2013*

* Projeção FOLHA DE S. PAULO,nSãonPaulo,n21nset.n2013,np.n1.n(Adaptado).

Den acordon comn osn dadosn apresentadosn nessesn gráficos,n considerandonquenosnprodutosnmaisnvendidosnnonsegundonsemestren mantenhamnonmesmonporcentualndenvendasndonprimeironsemestrenden2013,ncalculenonvalorncorrespondentenàsnvendasndenprodutosneletrônicosnnonsegundonsemestrenden2013.n1,37nbilhãondenreais 05. (EBMSP BA) Visandonavaliarnongraundensatisfaçãondenseusnalunosn emnrelaçãonaoncursonescolhido,numanUniversidadenconsultoun30n delesnpornmeiondenumnquestionárionemnque,nnonfinal,ncadanumn deverianatribuirnumannotanden0nan5.nOnresultadondessanavaliação,n emnrelaçãonàsnnotasndadas,nestánexpressonnantabelananseguir

MatemáticanensuasnTecnologias

Notas

0

1

2

3

4

5

Número de alunos

0

6

3

5

2

14

09. (UFPR) On Centron den Estudos,n Respostan en Tratamenton den IncidentesndenSegurançannonBrasiln(CERT.br)nénresponsávelnporntratarnincidentesndensegurançanemncomputadoresnenredesnconectadasnànInternetnnonBrasil.nAntabelanaonladonapresentanonnúmeron

Comnbasennessesndadosnenadmitindo-senquensenmaisnxnalunosn respondessemnaonquestionário,nannotanmédiandentodonongrupon aumentarian0,5,néncorretonafirmarnquenonvalorndenxndeverianser,n nonmínimo,nigualna a)n 30. b)n25. c)n 20. d)n15. e)n10.

06. (IF BA) Emnumanescola,nanturmanBncompostanporn20nalunos,nteven anmédianden7,6nnandisciplinanMatemática,njánanturmanDntevenanmédianden7,5.nSenfossenretiradanannotandonalunonPrudêncio,nquenéndan turmanB,nanmédiandansuanturmanserianidênticanànmédiandanTurman D.nComnbasennessasninformações,npode-senafirmarnquenannotandon alunonPrudêncionfoinonvalornXncompreendidonnonintervalo: a)n 5n ≤ nXn<n6n d)n7n ≤ nXn<n8 b)n6n ≤ nXn<n7n e)n8n ≤ nXn<n9 c)n 9n ≤ nXn<n10

den mensagensn nãon solicitadasn (spams)n notificadasn aon CERT.brn nonanonden2015,nporntrimestre.n

08. (Unifacs BA) Observenongráficonanseguir:

Notificações

4°T

135.335

3°T

171.523

2°T

154.866

1°T

249.743

Qualndosngráficosnabaixonrepresentanosndadosndessantabela? a)

d) 4°T 3°T 2°T 1°T

13%

4°T 3°T 2°T 1°T

13%

4°T 3°T 2°T 1°T

25% 22% 40%

b)

07. (Unimontes MG) Asnafirmaçõesnabaixonsãonfalsas,nexceto: a)n Quandonandistribuiçãondosnvaloresndanvariávelnénmaisnheterogênea,nondesvionpadrãonénmaisnpróximondenzero. b)nQuandontodosnosnvaloresndanvariávelnsãoniguais,nondesvionpadrãonéndiferentendenzero. c)n Anvariânciannãonénsuficientenparandiferenciarnandispersão,nsomentenondesvionpadrãonénsuficiente. d)nQuandonandistribuiçãondosnvaloresndanvariávelnénmaisnhomogênea,nondesvionpadrãonénmaisnpróximondenzero.

Trimestre

19% 24% 22% 35%

e) 22% 20% 45%

4°T 3°T 2°T 1°T

11% 24% 23% 42%

c) 4°T 3°T 2°T 1°T

17% 27% 23% 33%

10. (Uncisal AL) Anfiguranrepresentanumnpainelndenumnaeroportonindicativondasnpartidasnque,nestimativamente,niriamnocorrernentren 13h40minnen14h50minnndenumncertondiandoncorrentenano.

Considerenalgunsnequipamentosntransportadosnpornumnmédicon emnsuanvalisendentrabalho,ncujanmassanpodensernindicadannessen gráfico.nSabe-senque,nsenforemnacrescentadosnanessesnequipamentosn xn objetosn den massan 4kg,n an médian dasn massasn nãon sen altera,nmasnanmassantotalnpassaránansernonquádruplondonquenera.n Nessasncondições,ntem-senquenonvalorndenxné a)n 12. b)n15. c)n 18. d)n21. e)n24.

Des no/escala Brasília Foz do Iguaçu Maceió Belo Horizonte RJ - S. Dumont RJ - S. Dumont Curi­ba Aracaju Joinville RJ- S. Dumont Fortaleza Cuiabá Navegantes Porto Seguro Porto Alegre Recife

Voo 1630 3216 1481 3220 6020 3932 3011 6880 1586 1030 6890 3497 3994 2085 2768 5385

Portão Es mado 09 13:40 01 13:40 19 04 06 13:55 16 03 10 17 17 07 14 13 09 21 14:45 11 -

Observação Confirmado Embarque Próximo Previsto Previsto Confirmado Previsto Previsto Previsto Previsto Previsto Previsto Previsto Previsto Previsto Confirmado Previsto

Supondonquenasnprevisõesnsejamnconfirmadas,ndadasnasnafirmativas, I.n Onnúmerondendecolagensnpornminutonquenocorreránnonintervalondentemponreferidonénde,naproximadamente,n0,2.

441

FRENTE E  ExercíciosndenAprofundamento

PARTIDAS Hora 13:40 13:40 13:50 13:50 13:55 14:00 14:10 14:10 14:15 14:20 14:25 14:30 14:30 14:45 14:45 14:50

Matemática

II.n III.n

Onintervalondentemponmédionentrenduasndecolagensnserán de,naproximadamente,n4,4nmin.

Ansériendosnhoráriosndasnpartidasnénunimodal.

a)n múltiplonden4. b)nquadradonperfeito. c)n primo. d)ndivisívelnporn6.

verifica-senquenestá(ão)ncorreta(s) a)n I,napenas. b)nIII,napenas. c)n InenII,napenas. d)nIInenIII,napenas. e)nI,nIInenIII. 11. (Insper SP) Noniníciondonano,nosnadministradoresndenumanempresandeterminaramncomonmetanque,naonlongondosn12nmesesn donano,nanmédianaritméticandosnfaturamentosnmensaisndeverian serndenR$n420.000,00.nOngráficonseguintenmostranonfaturamenton dessanempresannosnmesesndenjaneironanoutubrondessenano.

R$ 600 000,00 R$ 500 000,00 R$ 400 000,00

13. (FGV SP) Umn professorn den matemátican aplican trêsn provasn emn seun curson (P1,n P2,n P3),n cadan uman valendon den 0n an 10n pontos.n An notan finaln don alunon én an médian aritmétican ponderadan dasn trêsn provas,nsendonquenonpesondanprovanPnnénigualnann2.nParansernaprovadonnanmatéria,nonalunontemnquenternnotanfinalnmaiornounigualnan 5,4.nDenacordoncomnessencritério,numnalunonseránaprovadonnessan disciplina,nindependentementendasnnotasntiradasnnasnduasnprimeirasnprovas,nsentirarnnanP3,nnonmínimo,nnota a)n7,6. b)n7,9. c)n 8,2. d)n8,4. e)n8,6.

14. (UEAM) Nancorreçãonden20nprovasnforamnatribuídosnvaloresninteirosnden0natén4,nconformenregistradonnantabela.

R$ 300 000,00 R$ 200 000,00

Set

Out

Jul

Ago

Mai

Jun

Mar

Jan

Fev

0

Abr

R$ 100 000,00

Meta es pulada Média do faturamento de janeiro a outubro

FRENTE E  ExercíciosndenAprofundamento

Dadonquenanmédiandonfaturamentondenjaneironanoutubronfoinden R$n390.000,00,nparanatingirnanmetanestipuladannoniníciondonano,n énnecessárionquenonfaturamentondosnmesesndennovembronendezembronatinja,nemnmédia: a)n R$n570.000,00. b)nR$n480.000,00. c)n R$n450.000,00. d)nR$n510.000,00. e)nR$n540.000,00.

Notas

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

No de provas

1

5

x

y

1

Sabendonquenanmédiandasnnotasndasnprovasnfoin2,0,néncorreton afirmarnque,napósnanexclusãondannotanmaisnaltanendannotanmaisn baixa,nanmédiandasnnotasndasnprovasnrestantesnpassounanser a)n 1,5. b)n1,8. c)n 2,0. d)n2,3. e)n2,7.

15. (UCB DF) AnempresanAlfantemncinconvaloresndensaláriosnparanosn respectivosnempregados.nOngráficonanseguirnmostranessesnvaloresnenonrespectivonpercentualndenempregadosnquenosnrecebe.

12. (FMABC SP) On Sumário Eudemiano dizn quen nan épocan den Pitágorasnhaviantrêsntiposndenmédias:nanmédianaritmétican(A),nan médiangeométrican(G)nenanmédianharmônican(H),ndefinidasnparan doisnnúmerosnanenb,nestritamentenpositivosnendistintos,ndanseguintenforma: a+b A= 2

G= a⋅b

2 ⋅ a⋅b H= a+b

Fonte: Introdução à História da Matemática.

Howard Eves. Ed. UNICAMP. Adaptado.

Considerendoisnnúmerosninteiros,nanenb,ncomnan<nb,ntaisnquenan médian geométrican en an médian harmônican entren essesn doisn númerosn sejam,n respectivamente,n 9n en 5,4.n On valorn den N,n sendonn Nn=nbn–na2,né: 442

Nessasncondições,nqualnénanmédiandensaláriosndosnempregadosn danempresanAlfa,nemnreais? a)n 3n455 b)n3n780 c)n 3n820 d)n3n840 e)n4n000