Coleção 10 V - Livro 9 - Matemática - Professor

FRENTE

A

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MATEMÁTICA Por falar nisso O termo “geodésica” tem sua origem na Grécia antiga, local onde já se sabia que a Terra (Geo) não era plana. Como determinar o menor caminho entre lugares da superfície terrestre era uma questão bastante importante, essas curvas de menor comprimento entre dois pontos em uma determinada superfície, ganharam notável importância e foram chamadas de geodésicas.

Tais curvas serão elementos fundamentais em uma geometria não euclidiana denominada Geometria Esférica.

A Geometria Esférica começou a ser estudada no século XIX e, atualmente, tem grande aplicação na navegação e astronomia. Ela foi desenvolvida a fim de que estudos geométricos em superfícies fossem possíveis, em situações em que a Geometria euclidiana não possa ser aplicada de forma precisa.

Ao analisarmos certas situações considerando superfícies esféricas, vamos notar curiosas diferenças em relação às superfícies planas. Por exemplo: n É impossível desenhar, em uma mesma superfície esférica,

duas figuras de tamanhos diferentes com a mesma forma (figuras semelhantes). n Não existem segmentos paralelos em superfície esférica, ou

seja, todos eles se cortam em algum ponto dessa superfície. n A soma dos ângulos internos de um triângulo desenhado em

uma superfície esférica é sempre maior que 180°. Observe a figura a seguir.

A 90° 90° 90°

C

B

O triângulo ABC tem o vértice A localizado em um polo e os vértices B e C na linha do Equador. A soma dos seus ângulos será igual a 270°.

Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

A13 A14 A15 A16

Cones – Troncos de cones ............................................................288 Esferas – Área e volume................................................................293 Esferas – Fusos e cunhas esféricas ...............................................297 Princípio de Cavalieri ....................................................................301

FRENTE

A

MATEMÁTICA

MÓDULO A13

ASSUNTOS ABORDADOS n Cones – Troncos e cones n Troncos de cone n Áreas do tronco de cone n Volume do tronco de cone

CONES – TRONCOS E CONES A palavra abajur tem origem no francês abat-jour, que significa “abaixar a luz” ou “quebra-luz”. Esse termo foi concebido pelos franceses para dar nome ao objeto de iluminação coberto por um tipo de capa que suavizava o efeito da luz por ele emitida.

O alemão Friedrich Albert Winsor (1763 – 1830) foi o primeiro a ter a ideia de se industrializar a iluminação por meio da produção de gás em uma fábrica e distribuindo-o através de um gasoduto.

No desenvolvimento desse objeto ao logo do tempo, não se pode deixar de citar os icônicos abajures Tiffany, criados por volta de 1895 pelo designer norte-americano Louis Comfort Tiffany (1848 – 1933).

Tais abajures são feitos em vitrais envolvidos em fitas de cobre estanhadas e soldadas. Não se trata de um objeto decorativo comum. Essas peças são um clássico da decoração, inspiradas em vitrais de igrejas medievais e o estilo estético da Art Nouveau.

A famosa joalheria Tiffany & Co é a responsável por produzir os seis tipos desses abajures: de chão, de escrivaninha, de teto, de mesa, lustre e arandela. Todos eles trabalhados com os mesmos efeitos vitrificados que popularizaram as peças.

Atualmente, existem vários tipos de abajures com diversos formatos. Por exemplo, o abajur da figura abaixo é de tecido com a forma de um tronco de cone circular reto, com bases paralelas, cujas aberturas possuem 25 cm e 50 cm de diâmetro, e a geratriz mede 30 cm.

Após anos de uso o tecido do abajur se rasgou e deseja-se substituí-lo. Assim, quais seriam as medidas dos raios dos arcos que devem ser demarcados sobre um novo tecido para que se possa cortar um revestimento igual àquele que foi danificado?

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Nesta aula, abordaremos os aspectos mais importantes do estudo dos troncos de cones.

Figura 01 - Ilustração mostra um quarto sendo iluminado por um abajur estilo Tiffany.

288

Matemática e suas Tecnologias

Troncos de cone Ao interceptar um cone C1 por um plano α paralelo à sua base, vamos obter outro cone C2 (semelhante ao cone C1) acima do plano α e um tronco de cone abaixo do plano α. Observe as figuras a seguir.

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Cone C2

Cone C1

Tronco de cone

Na figura a seguir, vamos destacar os principais elementos de um tronco de cone. r k

G

R

n n n n

r é a medida do raio de sua base menor.

R é a medida do raio de sua base maior.

G é a medida da sua geratriz. k é a medida da sua altura.

Áreas do tronco de cone A superfície total de um tronco de cone é formada pela superfície da base maior, superfície da base menor e superfície lateral. Na figura a seguir, temos um tronco de cone reto cuja geratriz mede G, o raio da base maior mede R e raio da base menor mede r. r A13  Cones - Troncos e cones

G

R

Para obter as expressões das áreas dessas superfícies, vamos retirar as bases desse tronco, recortar sua superfície lateral e, em seguida, planificar as três regiões obtidas.

Observe a figura a seguir.

289

Matemática

R g = ⇒ Rg – RG = rg ⇒ r g-G

r Base menor G 2 r Super cie lateral

Rg – rg = GR ⇒ g(R – r) = RG ⇒ g =

2 R

RG (2) R -r

Substituindo (2) em (1), temos

R Base maior

AL = πg(R – r) + πrG = π

RG (R – r) + πrG = R -r

πRG + πrG = πG(R + r)

Área da base menor (Ab) A área da base menor (Ab) do tronco de cone é dada pela área do círculo que compõe essa base. Assim, temos que: Ab= πr

2

Área total (AT) A área total de um tronco de pirâmide é a soma das áreas das bases e da área lateral, ou seja, AT = AB+ Ab + AL

Área da base maior (AB) A área da base maior (AB) do tronco de cone é dada pela área do círculo que compõe essa base. Assim, temos que: Ab= πR

2

Volume do tronco de cone O volume (VT) do tronco de cone é obtido por meio da diferença entre os volumes dos cones C1 (raio da base R e altura H) e C2 (raio da base r e altura H – k).

Área lateral (AL) A área lateral (AL) do tronco de cone é dada pela área da superfície lateral. Assim, temos que:

r

H

AL= πG(R + r)

k

Demonstração Prolongando-se as geratrizes do tronco de cone, obteremos um cone de vértice V e geratriz cuja medida é g. Observe a figura a seguir:

R

Um procedimento análogo a esse foi feito para se obter o volume do tronco de pirâmide. Assim, a expressão para se obter o volume do tronco de cone também é dada por

(

r

g

A13  Cones - Troncos e cones

G

R

A área lateral do tronco é dada pela diferença entre as áreas laterais dos cones C1 (raio de base R e geratriz g) e C2 (raio da base r e geratriz g – G). Assim, temos que: AL = πRg – πr(g – G) = πRg – πrg + πrG = πg(R – r) + πrG (1) Como os cones C1 e C2 são semelhantes, temos que: 290

k VT = ⋅ AB + AB ⋅ Ab + Ab 3

)

Fazendo AB = πR2 e Ab = πr2 nessa expressão, temos que

(

)

(

)

k k VT = ⋅ AB + AB ⋅ Ab + Ab = ⋅ πR2 + πR2 ⋅ πr2 + πr2 = 3 3 k ⋅ ( πR2 + πRr + πr2 ) 3 Portanto, temos que

VT =

k ⋅ ( πR2 + πRr + πr2 ) 3

Matemática e suas Tecnologias

EXEMPLOS 01. Calcule a área total de um tronco de cone cujos raios das bases medem 8 cm e 6 cm e a geratriz mede 10 cm.

3 5

RESOLUÇÃO Observe a figura a seguir:

4 6

O volume do tronco de cone é dado por

k 5 2 2 VT = ⋅ ( πR + πRr + πr ) = ⋅ ( π42 + π4 ⋅ 3 + π32 ) 3 3 5 185π = ⋅ (16π + 12π + 9π ) = cm3 3 3

10

8

185π cm3.

3 03. Calcule a medida da geratriz de um tronco de cone tal que os raios das bases medem 15 cm e 10 cm e altura mede 12 cm.

Portanto, a área total desse tronco é

A área da base maior é dada por: AB = πR2 = π82 = 64π cm2 A área da base menor é dada por AB = πr2 = π62 = 36π cm2

RESOLUÇÃO

A área lateral do tronco é dada por Observe a figura a seguir.

AL = πG(R + r) = π10(8 + 6) = 140π cm2 A área total do tronco é dada por

10

AT = AB + Ab + AL = 64π + 36π + 140π = 240π cm

2

12

G

12

Portanto, a área total desse tronco é 240π cm .

2

02. Calcule o volume de um tronco de cone cujos raios das bases medem 4 cm e 3 cm e a altura 5 cm.

RESOLUÇÃO Observe a figura a seguir

5

10

No triângulo retângulo destacado nessa figura, temos que G2 = 122 + 52 ⇒ G = 13 cm Portanto, a medida da geratriz desse tronco é 13 cm.

Exercícios de Fixação a) 62π cm2

b) 2 340π cm3

a) a área total de um tronco de cone reto que tem raios das bases medindo 5 cm e 1 cm e geratriz medindo 6 cm. b) o volume de um tronco de cone reto que tem raios das bases medindo 6 cm e 15 cm e altura medindo 20 cm.

02. Determine o volume de um tronco de cone reto cujas áreas das bases são iguais a 16π dm2 e 81π dm2 e geratriz mede 13 dm.

Determine o volume e a área lateral do sólido obtido pela rotação completa desse trapézio retângulo ABCD em torno do lado AB . 665π cm3 e 600π cm2 04. (UFVMG) Para resolver os constantes problemas com o abastecimento de água em seu bairro, os moradores de um edifício decidiram construir um reservatório de água com capacidade para 21 980 litros, na forma de um tronco de cone, conforme a figura indicada abaixo.

532π dm3

C D

03. Na figura a seguir, temos um trapézio retângulo ABCD de bases medindo 17 cm e 5 cm e altura medindo 5 cm.

A

5 cm

5 cm

17 cm

B

ˆ = 45° e considerando Sabendo-se que AB= 2 ⋅ CD , α = ABD π = 3,14, é correto afirmar que AB, em metros, é igual a a) 2 2 c) 2 3 2 e) 2 3 5 3 b) 2 3 d) 2 3

291

A13  Cones - Troncos e cones

01. Calcule

Matemática

Exercícios C om p l em en t ares 01. (Enem MEC) Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura.

Nela identifica-se a representação de duas figuras geométricas tridimensionais. Essas figuras são: a) um tronco de cone e um cilindro. b) um cone e um cilindro. c) um tronco de pirâmide e um cilindro. d) dois troncos de cone. e) dois cilindros.

02. (Unesp SP) Numa região muito pobre e com escassez de água, uma família usa para tomar banho um chuveiro manual, cujo reservatório de água tem o formato de um cilindro circular reto de 30 cm de altura e base com 12 cm de raio, seguido de um tronco de cone reto cujas bases são círculos paralelos, de raios medindo 12 cm e 6 cm, respectivamente, e altura 10 cm, como mostrado na figura.

12 cm

30 cm

A13  Cones - Troncos e cones

6 cm

10 cm

Por outro lado, numa praça de certa cidade há uma torneira com um gotejamento que provoca um desperdício de 46,44 litros de água por dia. Considerando a aproximação π = 3, determine quantas horas de gotejamento são necessários para que a quantidade de água desperdiçada seja igual à usada para 6 banhos, ou seja, encher completamente 6 vezes aquele chuveiro manual.

Dado: 1 000 cm3 = 1 litro. a) 60 b) 48 c) 24 d) 36 e) 40 03. (Enem MEC) Uma empresa precisa comprar uma tampa para o seu reservatório, que tem a forma de um tronco de cone circular reto, conforme mostrado na figura. Considere

292

que a base do reservatório tenha raio r = 2 lateral faça um ângulo de 60° com o solo.

3 m e que sua

60°

Se altura do reservatório é 12 m, a tampa a ser comprada deverá cobrir uma área de a) 12π m2 b) 108π m2 c) (12 + 2 3 )2π m2 d) 300π m2 e) (24 + 2 3 )2π m2 04. (UFGO) Em um período de festas, pretende-se decorar um poste de uma praça com fios deluzes pisca-piscas. A estrutura da decoração possui o formato de tronco de cone circular reto com 2,4 m de altura e diâmetros de 2 m na base e 0,6 m no topo. Os fios de luzes serão esticados, do aro superior ao inferior, ao longo de geratrizes do tronco de cone e, para distribuí-los de maneira uniforme, marcam-se, na circunferência da base, pontos igualmente espaçados, de modo que o comprimento do arco entre dois pontos consecutivos seja no máximo 10 cm. De acordo com os dados apresentados, determine o número mínimo de fios de luzes necessário para cobrir a superfície lateral do tronco de cone e a soma 157,5 m total de seus comprimentos. Adote: π = 3,14.

05. (UFPA) Um arquiteto planeja uma catedral cuja forma é um tronco de cone reto com altura de 90 m, raio maior 90 m e raio menor 60 m. O tronco de cone é perfurado por um cilindro reto com raio 60 m, cujo eixo é o mesmo do cone.

Calcule o volume do espaço limitado pelo tronco de cone, o cilindro e o piso. 189 000π m3

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A

MATEMÁTICA

MÓDULO A14

ESFERAS – ÁREA E VOLUME

ASSUNTOS ABORDADOS

O boliche é um esporte que tem como objetivo derrubar vários pinos dispostos de forma triangular no fundo da pista com uma bola pesada. As pistas oficiais podem ser feitas de madeira ou material sintético e possuem 18,20 m de comprimento por 1,07 de largura.

Cada partida de boliche é composta de dez jogadas, sendo que o jogador tem direito a, no máximo, dois arremessos. Caso consiga derrubar todos os pinos na primeira jogada, o jogador não deve arremessar a segunda bola e a contagem de pontos varia conforme a quantidade de pinos derrubados.

n Esferas – Área e volume n Definição n Secções n Elementos n Área n Volume

Esse esporte pode ser uma prazerosa forma de entretenimento para pessoas de todas as idades. O mais importante no jogo é a destreza do jogador e não sua força ou resistência física. n n n n n n n n n

n n

O jogo do boliche consiste de 10 lances.

Cada jogador lança a bola 2 vezes em cada lance, a menos que derrube todos os pinos na primeira bola, fazendo um Strike.

Marca-se 1 ponto para cada pino derrubado.

O Strike é assinalado no painel com um X. O Spare é assinalado com uma / (barra) e as jogadas abertas são assinaladas com um traço –.

Marca-se um Strike quando o jogador derruba todos os pinos com a primeira bola do lance.

Um Strike vale 10 pontos, mas dobra os pontos dos dois lances seguintes.

Se um jogador marcar um Strike no seu último lance, tem direito a 2 bolas extras.

Se um jogador fizer um Strike em cada lance e nas duas bolas do lance final, o jogador então alcançará 300 pontos, ou seja, o número máximo do jogo.

Marca-se um Spare quando o jogador derruba os 10 pinos nas duas jogadas do lance. O que inclui a hipótese de derrubar os 10 pinos com a segunda bola desse lance.

Um Spare vale 10 pontos, mais os pontos da próxima jogada e duplica os pontos do primeiro lance da jogada seguinte.

Se um jogador marcar um Spare em seu último lance, tem direito a uma bola extra.

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A seguir, estão detalhadamente listadas as regras desse jogo.

Figura 01 - Ilustração destaca o formato do principal elemento do boliche. A bola com o formato de uma esfera.

293

Matemática

Cabe ainda ressaltar que o primeiro passo para se realizar uma boa partida, é escolher a bola adequada. Essa bola deve ter aproximadamente 10% do peso do jogador e deve ser lançada rente à pista, e não do alto.

Secções A secção de uma esfera é um círculo obtido por meio da intersecção da esfera por um plano α. Observe a figura a seguir.

Analisaremos nesta aula, a bola de boliche, principal elemento desse esporte. Ela é uma figura geométrica espacial denominada esfera.

O’ d

Definição

P

r R

O

Dados um ponto O e um segmento de medida R, denomina-se esfera o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao ponto O é menor ou igual a R. Observe a figura a seguir.

P R

A partir do triângulo retângulo OO’P, podemos estabelecer uma relação entre a distância (d) do plano ao centro da esfera, o raio (r) da seção e o raio da esfera (R) por meio do teorema de Pitágoras. Assim, temos que

O

R2 = r2 + d2 Observação n Denomina-se hemisfério cada uma das duas metades de uma esfera dividida por um plano que passa por seu centro.

Nessa esfera, temos que: n o ponto O é o seu centro; n o medida R é o seu raio; n o ponto P é um ponto de sua superfície.

Observação. n Superfície ou casca esférica é o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro O é igual a R. Observe os exemplos a seguir.

Elementos Na figura a seguir, podemos destacar os elementos de uma esfera de centro O e raio R. Polo Paralelo R

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Meridiano O

Polo Eixo

Figura 02 - A bolinha de gude é um exemplo de esfera; A bolinha de tênis de mesa é um exemplo de casca esférica.

Também podemos obter uma esfera por meio de uma revolução (ou rotação) de 360° de um semicírculo em torno do eixo que contém o seu centro. Assim, podemos dizer que as esferas são sólidos de revolução. Observe as figuras a seguir.

Equador

Polos Os polos de uma esfera são as intersecções da superfície esférica com o eixo da esfera.

A14  Esferas - Área e volume

Equador

R R O

O

O equador de uma esfera é a secção máxima determinada pela intersecção de um plano perpendicular ao eixo passando pelo centro da esfera.

Paralelos Os paralelos de uma esfera são secções determinadas pela intersecção de planos perpendiculares ao eixo que não passam pelo centro da esfera.

294

Matemática e suas Tecnologias

Meridianos Os meridianos são secções máximas determinadas pela intersecção de planos que contêm o eixo da esfera.

Área É possível mostrar que a área da superfície de uma esfera de raio R é dada por A = 4πR2

Volume

É possível mostrar que o volume de uma esfera de raio R é dada por

V=

4 3 πR 3

EXEMPLOS 01. Calcule o volume de uma esfera que tem 108π cm2 de área superficial.

RESOLUÇÃO De acordo com o enunciando, temos:

RESOLUÇÃO A área (A) da superfície de uma esfera de raio R é dada por

A

r

A = 4πR2

6

Assim, temos que:

R

4πR2 = 108π ⇒ R2 = 36 ⇒ R = 6 cm.

O volume (V) de uma esfera de raio R é dado por V= Assim, temos que V=

4 3 πR 3 A área da secção é a área de um círculo. Assim, temos que:

4 3 4 πR = π63 = 288π cm3 3 3

Portanto, o volume da esfera é igual a 288π cm3.

02. Uma esfera foi interceptada por um plano a 6 cm do seu centro, determinando um círculo de 64π cm2 de área. Calcule o raio dessa esfera.

πr2= 64 π ⇒ r=

64= 8cm

Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que: R2 = 62 + 82 = 100 ⇒ R = 10cm

Portanto, o raio da esfera é 10 cm.

Exercícios de Fixação

02. Sabendo-se que um plano intercepta uma esfera de raio 13 cm a 5 cm do seu centro, calcule o comprimento da secção circular obtida na intersecção entre o plano e a esfera. 24π cm

b) e quantos por cento aumentará o volume de uma esfera cujo raio foi aumentado em 20%?

05. Na figura a seguir, temos um sólido composto por um cone e um hemisfério de mesmo raio.

03. Um artista plástico construiu, com certa quantidade de massa modeladora, um cilindro circular reto cujo diâmetro da base mede 24 dm e cuja altura mede 15 dm. Antes que a massa secasse, ele resolveu transformar aquele cilindro em uma esfera. Qual a medida do raio dessa esfera? 6 dm 04. Responda aos itens a seguir:

a) 69%

b) 72,8%

a) e quantos por cento aumentará a área de uma esfera cujo raio foi aumentado em 30%?

Sabendo-se que o volume da semiesfera é igual ao volume do cone, calcule a razão entre a altura e o raio da base do cone. 2/3 295

A14  Esferas - Área e volume

01. Calcule a) 100π m2 b) 972π m3 a) a área da superfície de uma esfera de 5 m de raio. b) o volume de uma esfera de 18 m de diâmetro.

Matemática

Exercícios C om p l em en t ares 01. (Uespi PI) Uma indústria química pretende construir um reservatório esférico, para armazenar certo tipo de gás. Se o reservatório deve ter volume de 113,04 m3, qual deve ser a área de sua superfície? Ignore a espessura do reservatório.

Use a aproximação π = 3,14. a) 113,04 m2 d) 116,07 m2 b) 114,05 m2 e) 117,08 m2 c) 115,06 m2 02. (UEPB) A área de um círculo máximo de uma esfera vale 81π dm2. O volume dessa esfera, em dm3, é igual a a) 972π b) 2916π c) 729π d) 263π e) 324π 03. (Unifor CE) Leia com atenção a tirinha em quadrinhos abaixo.

(QUINO, Toda Mafalda. São Paulo: Martins Fontes, 2008, p. 194)

A14  Esferas - Área e volume

Suponha que Mafalda esteja estudando o Globo Terrestre a partir de um protótipo. O comprimento do equador desse globo terrestre tem medida igual a 60 cm. O volume do Globo Terrestre que Mafalda está estudando é 1800 a) π 18000 b) π2 3600 c) π 36000 d) π2 e) 18 000π 04. (UFU MG) Dispõe-se de um cilindro maciço circular reto, feito de alumínio, cujo raio da base mede 4 cm e a altura 10 cm.

Esse cilindro será derretido e com o material fundido serão fabricadas esferas de aço de raio 2 cm. Supondo que nesse processo não ocorra perda de material, então o número de esferas a ser fabricadas, a partir do cilindro dado, é igual a a) 13 b) 15 c) 14 d) 16

296

05. (Unifesp SP) Um recipiente, contendo água, tem a forma de um cilindro circular reto de altura h = 50 cm e raio r = 15 cm.

Este recipiente contém 1 litro de água a menos que sua capacidade total.

9 a) 34,325 litros b) 3

r

4

dm

h

Água

a) Calcule o volume de água contido no cilindro. (use π = 3,14) b) Qual deve ser o raio R de uma esfera de ferro que, introduzida no cilindro e totalmente submersa, faça transbordarem exatamente 2 litros de água?

06. (UFSM) Um fabricante decidiu produzir luminárias no formato de uma semiesfera com raio de 20 cm. A parte interior, onde será alojada a lâmpada, receberá uma pintura metalizada que custa R$ 40,00 o metro quadrado; já a parte externa da luminária receberá uma pintura convencional que custa R$ 10,00 o metro quadrado. Desconsiderando a espessura da luminária e adotando o valor de π = 3,14 o custo, em reais, da pintura de cada luminária é a) 3,14 d) 18,84 b) 6,28 e) 25,12 c) 12,56 07. (UFJF MG) Um reservatório de água tem a forma de um hemisfério acoplado a um cilindro circular como mostra a figura abaixo.

h

A medida do raio do hemisfério é a mesma do raio da base do cilindro e igual a r = 3 m. Se a altura do reservatório é h = 6 m, a capacidade máxima de água comportada por esse reservatório é, em m3 a) 9π. b) 18π. c) 27π. d) 36π. e) 45π.

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A

MATEMÁTICA

MÓDULO A15

ESFERA – PARTES DA ESFERA Os fusos horários, também denominados zonas horárias, foram estabelecidos por meio de uma reunião composta por representantes de 25 países em Washington, capital estadunidense, em 1884. Nessa ocasião, foi realizada uma divisão do mundo em 24 fusos horários distintos.

ASSUNTOS ABORDADOS n Esfera – Partes da esfera n Fuso horário n Cunha esférica

A metodologia utilizada para essa divisão partiu do princípio de que são gastos, aproximadamente, 24 horas (23 horas, 56 minutos e 4 segundos) para que a Terra realize o movimento de rotação, ou seja, que gire em torno de seu próprio eixo, fazendo um movimento de 360°. Portanto, em uma hora, a Terra se desloca 15°. Esse dado é obtido através da divisão da circunferência terrestre (360°) pelo tempo gasto para que seja realizado o movimento de rotação (24 h).

O fuso referencial para a determinação das horas é o Greenwich, cujo centro é 0°. Esse meridiano, também denominado inicial, atravessa a Grã-Bretanha, além de cortar o extremo oeste da Europa e da África. A hora determinada pelo fuso de Greenwich recebe o nome de GMT. A partir disso, são estabelecidos os outros limites de fusos horários.

A Terra realiza seu movimento de rotação, girando de Oeste para Leste em torno do seu próprio eixo. Por esse motivo, os fusos a leste de Greenwich (marco inicial) têm as horas adiantadas (+); já os fusos situados a oeste do meridiano inicial têm as horas atrasadas (-).

Alguns países de grande extensão territorial no sentido Leste-Oeste apresentam mais de um fuso horário. A Rússia, por exemplo, possui 11 fusos horários distintos, consequência de sua grande área. O Brasil também apresenta mais de um fuso horário, pois o País apresenta extensão territorial 4 319,4 quilômetros no sentido Leste-Oeste, fato que proporciona a existência de quatro fusos horários distintos. No entanto, graças ao Decreto n° 11662, publicado no Diário Oficial de 25 de abril de 2008, o Brasil passou a adotar apenas três.

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A compreensão dos fusos horários é de extrema importância, principalmente para as pessoas que realizam viagens e têm contato com pessoas e relações comerciais com locais de fusos distintos dos seus, proporcionando, portanto, o conhecimento de horários em diferentes partes do Globo.

FRANCISCO, Wagner de Cerqueria e. Fuso Horário; Brasil Escola. Disponível: http://brasilescola.uol.com.br/ geografia/fuso-horario.htm>. Acesso: dezembro de 2017.

Nesta aula, examinaremos os aspectos mais importantes de duas partes de uma esfera denominadas fusos e cunhas esféricas.

Figura 01 - Ilustração mostra o modo que o mundo está dividido em termos dos fusos horários.

Matemática

Fuso horário Fuso esférico é uma superfície obtida por meio de um semicírculo que gira α graus, com 0° < α < 360°, em torno do seu eixo. Observe a figura a seguir.

O

Fuso Esférico Eixo

Note que, para α = 360°, o fuso esférico se transforma na superfície da esfera e que o ângulo α é diretamente proporcional à área do fuso. Assim, a área do fuso esférico de raio R é dada por A fuso Aesfera α ⋅ 4 πR2 = ⇒ A fuso = α 360° 360°

Portanto, temos A fuso =

α ⋅ πR2 90°

Cunha esférica Cunha esférica é um sólido obtido através de uma semicircunferência que gira α graus, com 0° < α < 360°, em torno do seu eixo. Observe a figura a seguir.

O

Cunha Esférica Eixo

Volume

A15  Esferas - Partes da esfera

Note que, para α = 360°, a cunha esférica se transforma na esfera e que o ângulo α é diretamente proporcional ao volume da cunha. Assim, o volume da cunha esférica de raio R é dada por: 4 α ⋅ πR3 Vcunha Vesfera 3 ⇒ Vcunha = = α 360° 360° Portanto, temos:

Vcunha =

298

α ⋅ πR3 270°

Matemática e suas Tecnologias

Área total da cunha A área total (AT) da cunha esférica de raio R é dada pela soma da área do fuso esférico de raio R e as áreas de dois semicírculos também de raio R. AT =

α ⋅ πR2 πR2 + 2⋅ 90° 2

Portanto, temos que:

AT =

α ⋅ πR2 + πR2 90°

EXEMPLOS 01. Calcule a área de um fuso esférico de raio 9 cm e ângulo 120°.

RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO O volume de uma esfera de raio R é dado por

4 3 3 πR= 288π ⇒ R= 216 ⇒= R 6 cm 3

A área de um fuso de raio R e ângulo α, em graus, é dada por = A fuso

α ⋅ πR2 120° ⋅ π92 = = 108π cm2 90° 90°

O volume de uma cunha esférica de raio R e ângulo α, em graus, é dada por

Portanto, a área do fuso é 108π cm2.

02. Calcule o volume de uma cunha esférica de 45° numa esfera de volume 288 m³.

Vcunha=

α ⋅ πR3 45° ⋅ π63 = = 36π cm3 270° 270°

Portanto, o volume da cunha é de 36π m3.

Exercícios de Fixação 01. Calcule a área do fuso esférico a seguir, sendo α = 20° e R = 20 dm. 800π/9 dm2

04. De uma esfera de raio 10 cm, retira-se uma cunha de 30°.

Pretende-se colorir a superfície dessa cunha. Considerando π = 3, calcule o volume, em litros, de tinta necessário, sabendo que se gasta 1 cm³ para pintar 1 cm² dessa superfície.

0,4 L

O

05. Calcule o volume da cunha esférica a seguir, sendo α = 40° e R = 15 dm 100π/3 dm3

Fuso Esférico Eixo

02. Calcule a medida do ângulo, em graus, de uma cunha cujo volume é de 4,5π cm³ contido numa esfera de volume igual a 36π cm³. 45°

R

A15  Esferas - Partes da esfera

O

Cunha Esférica Eixo

03. Uma mexerica com 12 gomos iguais assemelha-se a uma esfera de 12 cm de diâmetro. Qual a área da superfície total de cada gomo? 48π cm2

299

Matemática

bserdas.

Exercícios C om p l em en t ares 01. (Unesp SP) Uma quitanda vende fatias de melancia emba-

a) 20π cm2

ladas em plástico transparente. Uma melancia com forma

b) 24π cm2

esférica de raio de medida R cm foi cortada em 12 fatias

c) 28π cm2

iguais, onde cada fatia tem a forma de uma cunha esférica,

d) 27π cm2

como representado na figura.

e) 25π cm2

a) πR /3 cm 2

2

b) 4πR /3 cm 2

2

04. (FGV SP) Um observador colocado no centro de uma esfera de raio 5 m vê o arco AB sob um ângulo α de 72°, como R

mostra a figura.

Fuso Esférico r B

O A

Sabendo-se que a área de uma superfície esférica de raio R cm é 4πR2 cm2, determine, em função de π e de R: a) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso esférico); b) quantos cm2 de plástico foram necessários para embalar cada fatia (sem nenhuma perda e sem sobrepor camadas de plástico), ou seja, qual é a área da superfície total de cada fatia.

02. (Espcex SP) Considere que uma laranja tem a forma de uma esfera de raio 4 cm, composta de 12 gomos exatamente Iguais. A superfície total de cada gomo mede 43 π 2 a) cm 3 43 π 2 b) cm 9 42 π 2 c) cm 3 42 π 2 d) cm 9

Isso significa que a área do fuso esférico determinado por αé a) 20π m2 b) 15π m2 c) 10π m2 d) 5π m2 e) π m2 05. (UFFRJ) Considere duas superfícies S = ABCD e S’ = E’B’C’ obtidas, respectivamente, pelas interseções de um cilindro circular reto e de uma semiesfera com semiplanos que formam um ângulo diedro de 60°, conforme as figuras a seguir.

E

e) 4 π cm 3

2

E’

D A S

03. (Udesc SC) Uma bola esférica é composta por 24 faixas iguais, como indica a figura a seguir.

S’

O’ C

O B

C’ 60° B’

60°

Tem-se: A15  Esferas - Partes da esfera

O: centro da base do cilindro OE : altura do cilindro OB : raio da base do cilindro O'E' : raio da semiesfera OE = OB = O'E'

Sabendo-se que o volume da bola é 2 304π cm3, então a área da superfície de cada faixa é de

300

Sendo área(S) a área da superfície S e área(S’) a área da superfície S’, calcule o valor de área(S)/área(S’).

S/S’ = 1

FRENTE

A

MATEMÁTICA

MÓDULO A16

PRINCÍPIO DE CAVALIERI O Capitão América, um dos mais conhecidos personagens de super-heróis, foi criado por Joe Simon e Jack Kirby na década de 1940, com o intuito de compor as histórias em quadrinhos da Marvel Comics, à época, conhecida como Timely Comics. A história diz respeito a Steve Rogers, um homem frágil que aceitou se submeter a um projeto experimental, cujo objetivo era ajudar os Estados Unidos durante a Segunda Guerra Mundial, recebendo o soro de super soldado.

O traje característico do personagem faz alusão ao ideal patriótico norte-americano e seu escudo é uma arma quase indestrutível, que pode ser usada tanto para defesa, quanto para o combate. Anteriormente, o instrumento tinha a forma triangular, mas depois foi construído no formato circular que conhecemos na atualidade.

ASSUNTOS ABORDADOS n Princípio de Cavalieri n Princípio de Cavalieri n Volume de esfera n Volume de um segmento esférico de duas bases n Volume de um segmento esférico de uma base n Área de uma calota esférica n Área de uma zona esférica n Teorema da Pappus-Guldin

Nesse sentido, há uma questão relevante quando nos referimos à arma do super-herói: qual é o material usado na fabricação do objeto? A resposta é simples. O escudo é construído com vibranium, um metal fictício encontrado em Wakanda (nação de origem do Pantera Negra, também fictícia), que possui propriedades únicas, capazes de absorver vibrações. Ele foi produzido pelo Dr. Myron MacLain, metalúrgico contratado pelo presidente Franklin Roosevelt.

O escudo do Capitão América tem o formato de uma das partes da esfera denominada calota esférica.

Fonte: Shutterstock

Nesta aula, iremos abordar sobre o cálculo das áreas e volumes dessa e de outras partes da esfera.

Figura 01 - Ilustração mostra o escudo do Capitão América em exposição

301

Matemática

Princípio de Cavalieri Bonaventura Cavalieri (1598 – 1647) foi um jesuíta e matemático italiano que nasceu na cidade de Milão e tornou-se discípulo de Galileu. Uma de suas maiores contribuições para a Matemática foi o princípio que se refere à comparação entre volumes. Para se ter uma noção intuitiva desse princípio, considere a seguinte situação: Sobre uma mesa são colocadas duas pilhas com a mesma quantidade de moedas idênticas, de duas maneiras diferentes. Observe a figura ao lado: Todas as faces das moedas possuem a mesma área, logo todas elas têm o mesmo volume. Assim, independentemente da forma que se apresentam as pilhas de moedas, elas possuem o mesmo volume, já que são formadas pela mesma quantidade de moedas.

Note também que a área da face de uma moeda de uma pilha, que fica a uma altura h da mesa, é igual a área da face da moeda da outra pilha que está à mesma distância h da mesa.

A partir dessa noção intuitiva, vamos enunciar o princípio de Cavalieri: Dados dois sólidos geométricos de mesma altura que tenham suas bases contidas no mesmo plano α, esses sólidos terão o mesmo volume se, e somente se, qualquer plano β, paralelo a α, determinar duas secções transversais com áreas iguais. Observe a figura a seguir:

A partir desse princípio, podemos estabelecer que sólidos completamente diferentes, mas que possuam mesma altura, bases com áreas iguais e que qualquer paralelo a α que intercepte os dois sólidos determine neles seções de mesma área, possuem o mesmo volume.

Assim, pode-se garantir que o volume de todos os prismas e cilindros são iguais ao produto da área da base pela altura e o volume de todas as pirâmides e cones são iguais a um terço do produto da área da base pela altura.

A partir desse princípio, é possível demonstrar as expressões para o volume de uma esfera, da calota esférica e do segmento esférico.

Volume de esfera

A16  Princípio de Cavalieri

Considere um cilindro equilátero de raio da base R e altura 2R e S o ponto médio do eixo desse cilindro. Denomina-se clepsidra o sólido formado por dois cones cujas bases coincidem com as bases do cilindro e vértices no ponto S. Já o sólido que é interior ao cilindro e exterior à clepsidra é chamado de anticlepsidra. Observe as figuras a seguir:

h=2R

S

R Cilindro equilátero

302

S

S

S

r

r

Dois cones interiores

Clepsidra

r

An clepsidra

Matemática e suas Tecnologias

Inicialmente, vamos mostrar que o volume de uma esfera de raio R é igual ao volume da anticlepsidra. Observe as figuras a seguir:

e

r1 d

h

R

r

r2

r

d

d d

R

R

Ao girar de 360° a figura destacada em torno do eixo e que contém um diâmetro da circunferência, obtém-se o seguinte sólido, denominado segmento esférico de duas bases. Observe a figura a seguir:

e

Observando essa figura temos que: O plano β, paralelo ao plano α, intercepta a esfera a uma distância d do seu centro, determinando uma seção cuja área é dada por:

r1 h

A1 = πr2 = π(R2 – d2) r2

O mesmo plano β intercepta a anticlepsidra, determinando uma seção que é uma coroa circular, cujos raios são R e d.

Assim, a área dessa seção é dada por: A2 = πR2 – πd2 = π(R2 – d2) Assim, o plano β, paralelo ao plano α, intercepta os dois sólidos determinando seções de mesma área, logo, pelo princípio de Cavalieri, o volume da esfera é igual ao volume da anticlepsidra.

Demonstra-se por meio do princípio de Cavalieri que o volume V desse sólido é dado por:

V=

πh ⋅ 3 (r12 + r22 ) + h2  6 

Daí, temos que: Vesfera = Vanticlepsidra = Vcilindro – 2⋅Vcone

1 2πR3 Vesfera = πR2⋅2R – 2 ⋅ ⋅ πR2 ⋅ R = 2πR3 – = 3 3 6πR3 - 2πR3 4 πR3 = 3 3

Volume de um segmento esférico de uma base Observe as figuras distintas a seguir: e

e

Portanto, temos que: h

4 πR 3

Volume de um segmento esférico de duas bases

h r

A16  Princípio de Cavalieri

Vesfera =

3

O

O r

Observe a figura a seguir: 303

Matemática

Ao girar de 360° as figuras destacadas em torno do eixo e que contém um diâmetro da circunferência, obtém-se, respectivamente, os seguintes sólidos, denominados segmentos esféricos de uma base. e

e

e

h

R

O h r

h

O

O r

O volume do segmento esférico de uma base é deduzido a partir do segmento esférico de duas bases, fazendo um dos raios r = r e o outro r = 0. Portanto, o volume do segmento esférico de uma base é dado por: 1

2

É possível demonstrar que a área A da calota esférica é dada por: A = 2πRh

Teorema da Pappus-Guldin Já sabemos que um sólido de revolução é um sólido geométrico obtido pela rotação de uma figura plana em torno de um eixo situado no mesmo plano. Por exemplo: n

πh V = ⋅ ( 3r2 + h2 ) 6

n

Área de uma calota esférica Denomina-se calota esférica a superfície obtida por meio da intersecção da superfície de uma esfera de raio R com um segmento esférico de uma base dessa esfera. Observe a figura a seguir: e

n

Um cilindro reto é um sólido de revolução obtido pela rotação completa de um retângulo em torno de um dos seus lados.

Um cone reto é um sólido de revolução obtido pela rotação completa de um triângulo isósceles em torno da altura relativa à base.

Uma esfera é um sólido de revolução obtida pela rotação completa de um semicírculo em torno do seu diâmetro.

Para calcularmos áreas e volumes desses e outros sólidos de revolução, podemos aplicar o teorema de Pappus-Guldin.

Cálculo da área

h

O

Quando um segmento gira 360° em torno de um eixo e, gera uma área A. Observe a figura a seguir:

R

e

g

CG

A16  Princípio de Cavalieri

É possível demonstrar que a área A da calota esférica é dada por: A = 2πRh

d

Essa área A é dada por:

Área de uma zona esférica Denomina-se zona esférica a superfície obtida por meio da intersecção da superfície de uma esfera de raio R com um segmento esférico de duas bases dessa esfera. Observe a figura a seguir: 304

A = 2πdg Sendo: n n

d: a distância do centro de gravidade do segmento (ou geratriz) ao eixo de rotação. g: o comprimento do segmento.

Matemática e suas Tecnologias

Cálculo do volume

e

Quando uma superfície gira 360° em torno de um eixo e, gera um volume V. Observe a figura ao lado: Esse volume V é dado por: S = 2πdS

CG S

Sendo: n n

d

d: a distância do centro de gravidade da superfície ao eixo de rotação.

S: a área da superfície.

EXEMPLOS 01. Calcule a altura de uma calota esférica sabendo que sua área é igual ao triplo da área do círculo máximo da esfera de raio 8 cm na qual está contida.

r

6

RESOLUÇÃO Sendo R o raio da esfera e h a altura da calota esférica, temos que:

6

6

Acalota = 3 ⋅ Acírculo máximo ⇒ 2π ⋅ R ⋅ h = 3π ⋅ R2 ⇒ 2h = 3R ⇒ 2h = 3 ⋅ 8 ⇒ h = 12 cm

6

RESOLUÇÃO

Portanto, a altura é igual a 8 cm.

02. Calcule o volume de um segmento esférico de 5 cm de altura localizado em uma esfera de raio 10 cm.

Observe a figura a seguir: r A

RESOLUÇÃO

6

6

CG

d

Vamos utilizar o princípio de Cavalieri para calcular esse volume. Observe a figura a seguir: B

20 5

10

5 5

5 10

10

Sabemos que o volume do segmento esférico é igual ao volume do sólido interno ao cilindro de raio da base 10 cm e altura 5 cm e externo ao tronco de cone de raios das bases 10 cm e 5 cm e altura 5 cm. Logo, o volume V do segmento esférico é dado por:

5π V =π10 ⋅ 5 - ⋅ (102 + 10 ⋅ 5 + 52 ) 3 2

V = 500π -

875π 1500π - 875π 625π 3 = = cm 3 3 3

Portanto, o volume do segmento é

625π 3 cm .

3

03. Utilizando o teorema de Pappus-Guldin, calcule a área e o volume do sólido gerado pela rotação do triângulo equilátero ABC de lado 6 cm em torno da reta r da figura a seguir:

6

A distância d do centro de gravidade à reta r é dado por 6 + 6/2 = 6 + 3 = 9 cm.

De acordo com o teorema de Pappus-Guldin para o cálculo da área, temos que: A = 2π ⋅ d ⋅ g Sendo: d: a distância do centro de gravidade da figura ao eixo de rotação. g: o comprimento da figura.

Daí, temos que: A = 2π ⋅ 9 ⋅ (6 ⋅ 3) = 324π cm2 De acordo com o teorema de Pappus-Guldin, para o cálculo do volume, temos que: V = 2π ⋅ d ⋅ A Sendo: d: a distância do centro de gravidade da figura ao eixo de rotação.

A: a área da figura.

Assim, temos que: A = 2π ⋅ 9 ⋅

3 62 3 = 162π 3 cm 4

Portanto, a área e o volume são, respectivamente, 324π cm2 e 162π 3 cm3 .

305

A16  Princípio de Cavalieri

20

C

6

Matemática

escoconduas

Exercícios de Fixação 01. Uma calota esférica foi obtida de uma esfera de raio 10 cm.

Qual é a área da superfície dessa calota esférica, sabendo-se que sua altura é igual a 3 cm? 60π cm2

a) 31,4 b) 80

c) 157 d) 208,2

e) 261,66

04. Observe o segmento esférico da figura a seguir:

02. Calcule a área e o volume do sólido gerado pela rotação completa do quadrado sombreado em torno da reta r, sabendo-se que as medidas estão em metros.

384π m2 e 768π m3

O

r 8

h

r

Calcule o volume desse segmento esférico, sabendo-se que r = 4 m e h = 2 m. 52 cm3 3

2

03. (FGV SP) Deseja-se construir um galpão em forma de um hemisfério, para uma exposição. Se, para o revestimento total do piso, utilizaram-se 78,5 m2 de lona, quantos metros quadrados de lona se utilizariam na cobertura completa do galpão? (Considerar π = 3,14).

, adque, s em m vo-

05. (IME) Seja ABC um triângulo equilátero de lado 2 cm, e uma reta r, no mesmo plano, distante de 3 cm do seu baricentro.

Calcule a área da superfície gerada pela rotação desse triângulo em torno de r. a) 8π cm2 c) 12π cm2 e) 36π cm2 2 2 b) 9π cm d) 16π cm

Exercícios C om p l em en t ares 01. Uma zona esférica foi obtida de uma esfera de raio 12 cm.

Qual é a área da superfície dessa calota esférica, sabendo-se que sua altura é igual a 8 cm? 192π cm2

o da

do a

02. Calcule a área e o volume do sólido gerado pela rotação completa do hexágono regular sombreado em torno da reta r, sabendo-se que as medidas estão em metros.

96π 3 m2 e 288π m3

r

Calcule o volume desse segmento esférico, sabendo-se que r = 8 m e h = 12 m. 672π m3 04. (Unicamp SP) Uma esfera de raio 1 é apoiada no plano xy de modo que seu polo sul toque a origem desse plano. Tomando a reta que liga o polo norte dessa esfera a qualquer outro ponto da esfera, chamamos de “projeção estereográfica” desse outro ponto ao ponto em que a reta toca o plano xy. Identifique a projeção estereográfica dos pontos que formam o hemisfério sul da esfera.

Círculo de raio 2 e centro na origem do plano

05. (UFGD MS) A esfera a seguir apresenta duas secções paralelas.

4

R R Planos paralelos

h

A16  Princípio de Cavalieri

03. Observe o segmento esférico da figura a seguir: Sabendo que h = 2 cm e R = 5 cm, determine o volume entre os dois segmentos esféricos.

r O

a)

130π 3 cm 3

c)

142π 3 cm 3

b)

138π 3 cm 3

d)

146π 3 cm 3

h

306

e)

151π 3 cm 3

FRENTE

A

MATEMÁTICA

Exercícios de A p rof u n dam en t o 01. (Uefs BA) Um tronco de cone reto T tem altura h, raio da base menor r e raio da base maior R. Retirando-se de T um cone reto de altura h e base coincidente com a base menor do tronco obtém-se um sólido cujo volume é igual ao volume do sólido retirado. Nessas condições, pode-se afirmar que a) Rr + r2–R2 = 0 b) Rr –r2 + R2 = 0 c) 2Rr –r2+ R2 = 0 d) Rr –2r2+ 2R2= 0 e) 2R2–Rr –2r2 = 0 02. (FGV SP) Um tronco de cone circular reto foi dividido em quatro partes idênticas por planos perpendiculares entre si e perpendiculares ao plano da sua base, como indica a figura.

Desprezando a espessura do material usado para fabricar a 32 cuba, determine: a) 8π cm2 b) cm3 3 2 a) a maior área, em cm , pela qual a bola de gude poderá se deslocar na superfície da mesa; b) o volume, em cm3, da maior esfera que poderia ser colocada embaixo dessa cuba.

05. (Unicamp SP) Uma peça esférica de madeira maciça foi escavada, adquirindo o formato de anel, como mostra a figura a seguir. Observe que, na escavação, retirou-se um cilindro de madeira com duas tampas em formato de calota esférica.

Vista superior de 1/4 do tronco

h 6 cm

4 cm R

Se a altura do tronco é 10 cm, a medida da sua geratriz, em cm, é igual a a) 101 b) 102 c) 103 d) 2 26 e) 105 03. (UFRJ) Um cubo de aresta 10 cm tem os quatro vértices A, B, C e D de uma de suas faces, F, sobre a superfície de uma esfera S de raio r.

P

10 C

D F A

B

Sabendo que a face oposta a F é tangente à esfera S no ponto P, calcule o raio r. Justifique. 7,5 cm 04. (Uerj RJ) Uma cuba de superfície semiesférica, com diâmetro de 8 cm, está fixada sobre uma mesa plana. Uma bola de gude de forma esférica, com raio igual a 1 cm, encontra-se sob essa cuba.

πh2 (3R - h), 3 em que h é a altura da calota e R é o raio da esfera. Além disso, a área da superfície da calota esférica (excluindo a porção plana da base) é dada por Acal = 2πRh. 3 Atenção: não use um valor aproximado para π. a) R b) (2 3) r2 6 a) Supondo que h = R/2, determine o volume do anel de madeira, em função de R. b) Depois de escavada, a peça de madeira receberá uma camada de verniz, tanto na parte externa, como na interna.

Supondo, novamente, que h = R/2, determine a área sobre a qual o verniz será aplicado. = Vcal Sabe-se que uma calota esférica tem volume

06. (ITA SP) Uma esfera de raio r é seccionada por n planos meridianos. Os volumes das respectivas cunhas esféricas contidas em uma semiesfera formam uma progressão aritmética de razão πr3/45. Se o volume da menor cunha for igual a πr3/18, então n é igual a a) 4 c) 6 e) 7 b) 3 d) 5 07. Utilize o teorema de Pappus-Guldin para determinar o centro de gravidade de a) 2R/π do centro b) 4R/3π do centro a) uma semicircunferência de raio R. b) um semicírculo de raio R. 307

FRENTE

B

Fonte: Shutterstock.com

MATEMÁTICA Por falar nisso Podemos definir o som como sendo a propagação de uma onda longitudinal, apenas em meios materiais, de forma tridimensional. Para que essa transmissão ocorra, é necessário que aconteçam compressões e rarefações em propagação do meio.

Por outro lado, a ausência de qualquer tipo de som denominase silêncio.

Para se propagar, o som necessita de um meio material (sólido, líquido ou gasoso) e a velocidade de sua propagação depende desse meio. Normalmente, a velocidade de propagação das ondas sonoras é maior nos sólidos e menor nos gases. Além disso, ela está relacionada à temperatura desse meio de propagação.

O ouvido humano é o nosso receptor sonoro. Ele é capaz de detectar sons com frequências entre 20 Hz e 20 000 Hz, distinguindo-os sob certas características, denominadas qualidades (altura, intensidade e timbre). Já as ondas sonoras com frequência inferior a 20 Hz, chamadas infrassons, e ondas sonoras com frequência superior a 20 000 Hz, chamadas de ultrassons, não são detectadas por nossos ouvidos.

Nesse sentido, na trigonometria, a onda sonora é definida por meio de uma função seno do tipo y = A + B ⋅ sen (Cx + D), sendo B a amplitude da onda (responsável por sua intensidade) e C a frequência de onda (responsável por sua altura).

Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

B13 B14 B15 B16

Inequações trigonométricas .........................................................310 Função seno ..................................................................................314 Função cosseno ............................................................................319 Demais funções trigonométricas..................................................324

FRENTE

B

MATEMÁTICA

MÓDULO B13

ASSUNTOS ABORDADOS n Inequações trigonométricas n Inequações trigonométricas fundamentais n Inequações do tipo sen x > m n Inequações do tipo sen x < m n Inequações do tipo cos x > m n Inequações do tipo cos x < m n Inequações do tipo tg x > m n Inequações do tipo tg x < m

INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS A pintura eletrostática A pintura eletrostática é um processo que utiliza da atração e repulsão de cargas elétricas, cuja finalidade é revestir o ferro, alumínio ou diversos outros metais com uma espécie de tinta em pó (à base de poliéster). Nesse caso, a tinta recebe uma carga elétrica oposta à da peça, o que permite sua fixação. Após esse procedimento, a peça é levada para uma estufa que, quando aquecida, faz com que a tinta se dissolva e, em seguida, endureça, formando uma película de alto acabamento, uniformidade e resistência. Esse método garante a flexibilidade do material, sem comprometer a pintura.

As tintas em pó tiveram origem na década de 1950, a fim de proporcionar melhorias na pintura de produtos manufaturados industriais. Posteriormente, entre os anos de 1965 e 1967, alguns fabricantes de equipamentos do mercado europeu criaram o primeiro revólver para aplicação de tintas em pó sob o efeito de pulverização eletrostática. É justamente, por meio dessa ferramenta, que a tinta recebe a carga elétrica negativa aplicada por um eletrodo. Assim, forma-se um campo elétrico na região frontal à pistola, que descarrega a tinta em pó por meio desse eletrodo.

Composta por resinas e pigmentos, no momento da aplicação, a tinta é soprada no ambiente ao redor da peça, ou mesmo diretamente a ela. Como a terra é um ótimo condutor de eletricidade, deve-se aterrar o objeto a ser pintado, uma vez que, dessa maneira, a tinta será atraída para o referido objeto, formando uma camada aderida eletrostaticamente a ele.

Assim, considere que na estação de trabalho de pintura eletrostática de peças de uma fábrica, a pressão P em um tambor de ar comprimido varia com o tempo, conforme a expressão a seguir:  π P(t) = 50 + 50 ⋅ sen  t -  , t > 0  2 Nessa situação, para se determinar os valores de t para os quais a pressão nesse tambor é maior que 75, temos que resolver a seguinte inequação:  π 50 + 50 ⋅ sen  t -  > 75  2 Nesta aula, abordaremos as resoluções desse tipo de inequação, denominada inequação trigonométrica.

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Figura 01 - Ilustração mostra um profissional dando o acabamento final à pintura de um carro

310

Matemática e suas Tecnologias

Inequações trigonométricas fundamentais Inequações trigonométricas são aquelas em que as incógnitas são as medidas de arcos de razões trigonométricas.

Por exemplo n 2sen x – 1 > 0 n cos2 x +cos x ≤ 0 n tg (x – π) > 1 Sendo x uma variável real e m um número real conhecido, de maneira geral, quase todas as inequações trigonométricas se reduzem a uma das seguintes inequações fundamentais: n n n

sen x > m ou sen x < m, –1 ≤ m ≤ 1 cos x > m ou cos x < m, –1 ≤ m ≤ 1 tg x > m ou tg x < m, ∀ m ∈ IR

Inequações do tipo sen x > m As soluções dessa inequação são os arcos da circunferência trigonométrica cujas extremidades possuem ordenadas maiores que m. Essas extremidades localizam-se na região acima da reta perpendicular ao eixo dos senos no ponto (0, m). Observe a figura a seguir:

Inequações do tipo cos x > m As soluções dessa inequação são os arcos da circunferência trigonométrica cujas extremidades possuem abscissas maiores que m. Essas extremidades localizam-se na região à direita da reta perpendicular ao eixo dos cossenos no ponto (m, 0). Observe a figura a seguir:

m

0

Inequações do tipo cos x < m As soluções dessa inequação são os arcos da circunferência trigonométrica cujas extremidades possuem abscissas menores que m. Essas extremidades localizam-se na região à esquerda da reta perpendicular ao eixo dos cossenos no ponto (0, m). Observe a figura a seguir:

0 m

m

0

As soluções dessa inequação são os arcos da circunferência trigonométrica cujas extremidades possuem ordenadas menores que m. Essas extremidades localizam-se na região abaixo da reta perpendicular ao eixo dos senos no ponto (0, m). Observe a figura a seguir:

As soluções dessa inequação são os arcos da circunferência trigonométrica cujas extremidades possuem, no eixo das tangentes, ordenadas maiores que m. Essas extremidades localizam-se em duas regiões simétricas em relação ao centro da circunferência trigonométrica. Observe a figura a seguir: B13  Inequações trigonométricas

Inequações do tipo sen x < m

Inequações do tipo tg x > m

m m

0

0

311

Matemática

Inequações do tipo tg x < m As soluções dessa inequação são os arcos da circunferência trigonométrica cujas extremidades possuem, no eixo das tangentes, ordenadas menores que m. Essas extremidades localizam-se em duas regiões simétricas em relação ao centro da circunferência trigonométrica. Observe a figura ao lado.

m

0

EXEMPLOS a) Portanto, para todo x ∈ [0, 2π], o conjunto solução dessa equação é dado por:  π 3π  S = x ∈IR ≤ x ≤  4 4 

01. Dada a inequação trigonométrica tg x < 3 , determine: a) seu conjunto para x ∈ [0, 2π]; b) seu conjunto para x ∈ IR. RESOLUÇÃO Os arcos de primeira volta que possuem, no eixo das tangentes, ordeπ 4π nadas iguais a 3 são e . Observe a figura a seguir: 3 3

2

b) Para se obter o conjunto solução dessa inequação para x ∈ IR, basta determinar todos os arcos côngruos aos valores obtidos para x na primeira volta. Portanto, para todo x ∈ IR, o conjunto solução dessa equação é dado por: 

S = x ∈IR 

3

π  3π + 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ ,com k ∈ Z  4 4 

03. Dada a inequação trigonométrica cos x >

3

A

a) Seu conjunto para x ∈ [0, 2π]; b) Seu conjunto para x ∈ IR.

0

RESOLUÇÃO

4 3

3 2 a) Portanto, para todo x ∈ [0, 2π], o conjunto solução dessa equação é dado por:  π π  4π 3π S = x ∈IR 0 < x < ou < x < ou < x < 2π 3 2 3 2  

3 são Os arcos de primeira volta que possuem abscissas iguais a 2 π 11π e . Observe a figura a seguir: 6 6 r

b) Para se obter o conjunto solução dessa inequação para x ∈ IR, basta determinar todos os arcos côngruos aos valores obtidos para x na primeira volta. Portanto, para todo x ∈ IR, o conjunto solução dessa equação é dado por:

6 A

S= x ∈IR 2kπ < x < π + 2kπ ou π + 2kπ < x < 4 π + 2kπ ou 3π + 2kπ < x < +2π 

3

2

3

2

RESOLUÇÃO

2 Os arcos de primeira volta que possuem ordenadas iguais a são 2 3 π π e . Observe a figura a seguir: 4 4

B13  Inequaçõ es trigonométricas

0



Esse conjunto solução também poderia ser expresso por:  π π  S = x ∈IR - + kπ < x < + kπ, k∈ Z  2 3   2 02. Dada a inequação trigonométrica sen x ≥ , determine: 2 a) seu conjunto para x ∈ [0, 2π]; b) seu conjunto para x ∈ IR.

a) Portanto, para todo x ∈ [0, 2π], o conjunto solução dessa equação é dado por: π 11π   < x ≤ 2π  S = x ∈IR 0 ≤ x < ou 6 6   b) Para se obter o conjunto solução dessa inequação para x ∈ IR, basta determinar todos os arcos côngruos aos valores obtidos para x na primeira volta. Portanto, para todo x ∈ IR, o conjunto solução dessa equação é dado por: 

4 2 2 0

π 6



 11π + 2kπ < x ≤ 2π + 2kπ , k ∈ Z  6 

Esse conjunto solução também poderia ser expresso por: 

S = x ∈IR 

312

3 2 11 6

S = x ∈IR 2kπ ≤ x < + 2kπ ou

3 4

3 , determine: 2

π π  + 2kπ < x < + 2kπ , k ∈ Z  6 6 

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Resolva as seguintes inequações trigonométricas para x ∈ [0, 2π]. a) sen x > 0 b) cos x ≤ 0 c) sen x ≥ -1 d) cos x < 1

S = ]0, π[ S = [π/2, 3π/2] S = [0, 2π] S = ]0, 2π[

02. Resolva as seguintes inequações trigonométricas. a) sen x ≤

3

5 , para x ∈ [0, 2π]. S = x IR 0 x ou x 2 6 6

2

b) cos x >

1

, para x ∈ IR. S = x IR + 2k x 2k , k Z 3 3

2

c) tg x ≥

7 3

3 , para x ∈ [0, 2π]. S = x IR 6 x 2 ou 6 x 2

3

03. A altura h (em metros) de uma maré é dada em função do tempo t (em horas) pela expressão seguinte: π  h= 8 + 4sen  t   12 

Determine os valores de t (0 ≤ t ≤ 24) para os quais a altura dessa maré seja maior que 10 metros. Entre 2 horas e 10 horas 04. Resolva as seguintes inequações trigonométricas para x ∈ [0, 2π].

2 S = x IR 3 x 5 a) senx <

4 4

2 1 2 4 5

ou x b) |cos x | ≤ S = x IR x 3 3 3 3

2 c) 1 < tg x ≤ 3

5 4

x S = x IR x ou 4 3 4 3

05. Resolva as seguintes inequações trigonométricas para x ∈ IR.

6

π a) sen x > sen S = x IR 7 + 2k x 7 2k , k Z

7 π

8

b) cos x < cos S = x IR + 2k x 2k , k Z 9 9 9

c) 3 tg2 x ≤ 1

S = x IR + 2k x 2k , k Z 6 6

06. (Unicamp SP) Ache os valores de x, com 0 ≤ x ≤ 360°, tais que 2cos2 x + 5sen x – 4 ≥ 0 {x ∈ IR | 30° ≤ x ≤ 150°}

Exercícios C om p l em en t ares

a) [0, π] b) [π/2, 3π/2] c) [π, 2π] d) [π/2, π] ∪ [3π/2, 2π] e) [0, π/2] ∪ [3π/2, 2π] 02. (UEL PR) Se x ∈ [0, 2π], então cos x > 1/2 se, e somente se, x satisfizer à condição: a) π/3 < x < 5π/3 b) π/3 < x < π/2 c) π < x < 2π d) π/2 < x < 3π/2 ou 5π/3 < x < 2π e) 0 ≤ x < π/3 ou 5π/3 < x ≤ 2π 03. (Unesp SP) O conjunto solução de |cos x| < 1/2, para 0 < x < 2π, é definido por: a) π/3 < x < 2π/3 ou 4π/3 < x < 5π/3 b) π/6 < x < 5π/6 ou 7π/6 < x < 11π/6 c) π/3 < x < 2π/3 e 4π/3 < x < 5π/3 d) π/6 < x < 5π/6 e 7π/6 < x < 11π/6

04. (Mackenzie SP) Quando resolvida no intervalo [0, 2π], o número de quadrantes nos quais a desigualdade 2cos x <

3

apresenta soluções é a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 05. (UFF RJ) Determine o(s) valor(es) de x ∈ IR que satisfaz(em) à desigualdade cos2 x ≥ 2(sen x + 1).

{x ∈ IR | x = -π/2 + 2kπ, k ∈ Z}

06. (Unirio RJ) Resolva a sentença 2cos2 x – 3cos x + 1 ≥ 0, sendo 0 ≤ x < 2π. [0,π/3] ∪ [5π/3, 2π[ 07. (Fei SP) Se 0 < x < 2π e sen x > cos x, então

B13  Inequações trigonométricas

01. (PUC Campinas SP) Seja f a função de IR em IR definida por f(x) = sen x. O conjunto solução da inequação f(x) ≥ 0, no universo U = [0, 2π], é

a) π/4 < x < 5π/4 b) π/4 < x < 7π/4 c) π/8 < x < 7π/8 d) π/2 < x < 3π/2 e) π/4 < x < 3π/2

e) π/6 < x < 2π/3 ou 4π/3 < x < 11π/6

313

FRENTE

B

MATEMÁTICA

MÓDULO B14

ASSUNTOS ABORDADOS n Função seno n Função períodica n Função seno

FUNÇÃO SENO A energia solar origina-se da luz e do calor do Sol, podendo ser utilizada por meio de diversas tecnologias, tais como aquecimento solar, energia solar fotovoltaica, entre outras.

Sua principal característica é que ela é proveniente de uma fonte renovável e sustentável.

Portanto, assim como a eólica e a do mar, a energia solar caracteriza-se como inesgotável. Dessa maneira, considerada uma alternativa energética muito promissora capaz de enfrentar os desafios da expansão da oferta de energia com menor impacto ambiental.

Na prática, as aplicações da energia solar subdividem-se em dois grupos: energia solar fotovoltaica e energia térmica. No primeiro caso, ocorre o aproveitamento da energia solar para conversão direta em energia elétrica, utilizando painéis fotovoltaicos. Já no segundo, a energia está relacionada basicamente aos sistemas de aquecimento de água.

No quesito financeiro, as vantagens também são evidentes quando se comparam os custos ambientais de extração, geração, transmissão, distribuição e uso final de fontes fósseis de energia à geração por fontes renováveis.

Dados publicados no relatório “Um Banho de Sol para o Brasil”, do Instituto Vitae Civilis, revela que, devido à localização e extensão territorial, o País recebe energia solar da ordem de 1 013 MWh (mega Watt hora) por ano, o que equivale a cerca de 50 mil vezes o consumo anual da população. Contudo, há poucos equipamentos destinados à conversão de energia solar em outros tipos de energia. E esses aparelhos poderiam contribuir para reduzir a pressão para a construção de barragens para hidrelétricas, queima de combustíveis fósseis, desmatamentos para a produção de lenha, entre outros.

Assim, suponha que uma empresa especializada em instalação de coletores solares, após analisar a intensidade média de radiação solar (IS) em kWh/m2 dia, percebeu que tal intensidade varia em função do tempo (t) em dias, de acordo com a seguinte lei matemática:  2π  IS = 3 + 2 ⋅ sen  ⋅ (d - 77)  365  Sabendo que d = 1 corresponde ao dia 1º de janeiro, d = 2 corresponde ao dia 2 de janeiro, e assim sucessivamente, pode-se determinar, por exemplo, os dias do ano com maior e menor radiação solar. Essa lei matemática, por utilizar uma razão trigonométrica em sua expressão, é denominada função trigonométrica. Nesta aula, estudaremos a função seno.

Figura 01 - Ilustração mostra um telhado repleto de placas solares “produzindo” energia elétrica.

314

Matemática e suas Tecnologias

Função períodica Dizemos que uma função f de domínio D é periódica se, e somente se, existir um número real p > 0, tal que f(x) = f(x + p) para todo x ∈ D. Nessa situação, o menor valor de p que satisfaz essa igualdade é chamado de período da função f.

1 0.5

Por exemplo

0 A figura ao lado mostra o gráfico de uma função f de domínio IR+ periódica -0.5 de período igual a 1.

-1

Note que f(x) = f(x + 1) para todo x ∈ IR+.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Função seno A cada valor real x, podemos associar apenas um seno. Assim, denomina-se função seno aquela que faz corresponder cada número real x ao número real sen x. Simbolicamente, temos que f: IR → IR, tal que f(x) = sen x.

Para esboçar seu gráfico, vamos atribuir ao arco x todos os valores notáveis, variando no intervalo [0, 2π]. Observe a tabela a seguir: x

0

π 6

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

5π 6

π

7π 6

sen x

0

1 2

2 2

3 2

1

3 2

2 2

1 2

0

-

1 2

5π 4

-

4π 3

2 3 2 2

3π 2 -1

5π 3

-

7π 4

3 2 2 2

11π 6

2π

1 2

0

-

Ligando os pontos obtidos na tabela, temos o seguinte gráfico cartesiano da função: f(x) = sen x, para 0 ≤ x ≤ 2π, denominado senoide. y 1 1 2

7 5 4 3 5 7 11 6 4 3 2 3 4 6 2

0 –1

6 4 3

2 3 5 2 3 4 6

x

2 –1

A partir da análise desse gráfico, podemos destacar as seguintes características da função f(x) = sen x: n n n n n n

Está definida para todo x real, logo seu domínio é Df = IR. Para todo x real, temos que -1 ≤ f(x) ≤ 1, logo sua imagem é Imf = [-1, 1]. É crescente no primeiro e quarto quadrantes. É decrescente no segundo e terceiro quadrantes. É positiva no primeiro e segundo quadrantes. É negativa no terceiro e quarto quadrantes.

Na figura a seguir, temos o esboço do gráfico de f(x) = sen x para outros valores de x.

-4

-2

0 -1

2

4

B14  Função seno

y 1 6 x

Note ainda que n n

sen x = sen (x + 2π) = sen (x + 4π) = ... = sen (x + 2kπ) com k ∈ Z, logo f é uma função periódica de período 2π.

O gráfico é simétrico em relação à origem (0, 0), logo f é uma função ímpar.

315

Matemática

EXEMPLOS 01. Esboce o gráfico da função g(x) = 2sen x. Em seguida, determine sua imagem e seu período.

A partir da análise desse gráfico, temos que: n 1 ≤ g(x) ≤ 3, ou seja, a imagem de g é Img = [1, 3]. n g(x) = g(x + 2π), para todo x ∈ IR, ou seja, o período de g é 2π.

RESOLUÇÃO Para esboçar seu gráfico, vamos atribuir ao arco x os valores notáveis: 0, π/2, π, 3π/2 e 2π. Observe a tabela a seguir: x

0

π/2

π

3π/2

2π

g(x) = 2sen x

0

2

0

-2

0

Ligando os pontos obtidos na tabela, temos o seguinte gráfico cartesiano da função g(x) = 2sen x, para 0 ≤ x ≤ 2π. y

Note também que, para obter o gráfico de g(x) = 2 + sen x a partir do gráfico de f(x) = sen x, basta somar 2 às ordenadas dos pontos de f(x) = sen x. Portanto, de maneira geral, adicionar sen x a um número real causa um deslocamento vertical do gráfico, mudando sua imagem.

03. Esboce o gráfico da função g(x) = sen (x – π/4). Em seguida, determine sua imagem e seu período.

RESOLUÇÃO Para esboçar seu gráfico, vamos atribuir ao arco x – π/4 os valores notáveis: 0, π/2, π, 3π/2 e 2π. Observe a tabela a seguir: x – π/4

0

π/2

π

3π/2

2π

x

π/4

3π/4

5π/4

7π/4

9π/4

g(x) = sen (x – π/4)

0

1

0

-1

0

2 g(x) f(x)

3 2

1

2

2

-1

x

Ligando os pontos obtidos na tabela, temos o seguinte gráfico cartesiano da função g(x) = sen (x – π/4), para 0 ≤ x ≤ 2π

-2

A partir da análise desse gráfico, temos que n -2 ≤ g(x) ≤ 2, ou seja, a imagem de g é Img = [-2, 2]. n g(x) = g(x + 2π), para todo x ∈ IR, ou seja, o período de g é 2π.

Note também que, para se obter o gráfico de g(x) = 2sen x a partir do gráfico de f(x) = sen x, basta multiplicar por 2 as ordenadas dos pontos de f(x) = sen x. Portanto, de maneira geral, multiplicar o sen x por um número real positivo causa uma deformação vertical no gráfico, mudando sua imagem.

y

1

f(x) 0

4

2

5 4

3 4

3 7 2 4

g(x) 9 4

2

x

02. Esboce o gráfico da função g(x) = 2 + sen x. Em seguida, determine sua imagem e seu período.

-1

RESOLUÇÃO Para esboçar seu gráfico, vamos atribuir ao arco x os valores notáveis: 0, π/2, π, 3π/2 e 2π. Observe a tabela a seguir: x

0

π/2

π

3π/2

2π

g(x) = 2 + sen x

2

3

2

1

2

Ligando os pontos obtidos na tabela, temos o seguinte gráfico cartesiano da função g(x) = 2 + sen x, para 0 ≤ x ≤ 2π

A partir da análise desse gráfico, temos que n -1 ≤ g(x) ≤ 1, logo a imagem de g é Img = [-1, 1]. n g(x) = g(x + 2π), para todo x ∈ IR, logo o período de g é 2π.

Note também que, para obter o gráfico de g(x) = sen (x – π/4) a partir do gráfico de f(x) = sen x, basta somar π/4 às abscissas dos pontos de f(x) = sen x. Portanto, de maneira geral, adicionar um número real ao arco x do sen x causa um deslocamento horizontal do gráfico.

04. Esboce o gráfico da função g(x) = sen (x/2). Em seguida, determine sua imagem e seu período.

y

RESOLUÇÃO Para esboçar seu gráfico, vamos atribuir ao arco x/2 os valores notáveis: 0, π/2, π, 3π/2 e 2π. Observe a tabela a seguir:

3 g(x)

2

B14  Função seno

1

-1

f(x)

2

2

3 2

316

x

x/2

0

π/2

π

3π/2

2π

x

0

π

2π

3π

4π

g(x) = sen (x/2)

0

1

0

-1

0

Matemática e suas Tecnologias

Ligando os pontos obtidos na tabela, temos o seguinte gráfico cartesiano da função f(x) = sen (x/2), para 0 ≤ x ≤ 2π. y

1 f(x) g(x) 0

2

2

3 2

5 2

3

x

4

7 2

-1

A partir da análise desse gráfico, temos que n -1 ≤ g(x) ≤ 1, ou seja, a imagem de g é Img = [-1, 1]. n g(x) = g(x + 4π), para todo x ∈ IR, logo o período de g é 4π.

Note também que, para obter o gráfico de g(x) = sen (x/2) a partir do gráfico de f(x) = sen x, basta multiplicar por 2 as abscissas dos pontos de f(x) = sen x. Portanto, de maneira geral, multiplicar por um número Q. 01 a)

y 3 2 1 -1 -2 -3

b)

P=2 rad lm=[-3,3]

3 2

2

2 x

y 4 3 2 1

P=2 rad lm=[2,4]

2

3 2

2 x

c)

Observação Baseando-se nesses exemplos, vamos destacar a influência de cada um dos parâmetros, a, b, c, e d em funções trigonométricas do tipo f(x) = a + b.sen [c(x + d)]. n O parâmetro a desloca o gráfico verticalmente. Se a > 0, o gráfico desloca-se verticalmente as unidades para cima. Se a < 0, o gráfico desloca-se verticalmente as unidades para baixo. n O parâmetro b deforma o gráfico verticalmente. Se |b| > 1 o gráfico dilata-se verticalmente. Se 0 < |b| < 1, o gráfico se comprime verticalmente. Se b < 0, o gráfico sofre uma rotação em torno do eixo das abscissas. O módulo do parâmetro b é chamado de amplitude do gráfico. n O parâmetro c deforma o gráfico horizontalmente. Se |c| > 1, o gráfico se comprime horizontalmente. Se 0 < |c| < 1, o gráfico 2π dilata-se horizontalmente e o novo período é dado por . |c| n O parâmetro d desloca o gráfico horizontalmente. Se d > 0, o gráfico desloca-se horizontalmente das unidades para a esquerda. Se d < 0, o gráfico desloca-se horizontalmente das unidades para a direita.

Q.02 a) y

y 5 4 3 2 1 0 -1 -2

real o arco x do sen x causa uma deformação horizontal no gráfico, mudando seu período.

P=2 rad lm=[-1,5]

P=2 rad lm=[0,2]

2 1

3 2

2

0 2 x

3 2 2

2

x

b)

P=8 rad lm=[-4,2]

y 2 1

c)

4 6 8 2

-1 -2 -3 -4

x

y

P= rad lm=[0,1]

1 0

2

3 2

2 x

Exercícios de Fixação

a) f(x) = 3 ⋅ sen x b) f(x) = 3 + sen x c) f(x) = 2 + 3 ⋅ sen x 02. Esboce o gráfico das seguintes funções trigonométricas, destacando o período e a imagem de cada uma delas.

05. Na figura a seguir, temos o gráfico da função trigonométrica f(x) = a ⋅ sen (bx). y

30

a) f(x) = 1 – sen x x b) f(x) =-1 + 3 ⋅ sen   4 c) f(x) = |sen x|

03. Determine o período de cada uma das funções trigonométricas a seguir a) π/4; b) 2π/3; c) 10π; d) 3π. a) f(x) = sen (8x) b) f(x) = 4 ⋅ sen (3x – π) x c) f(x) = 3 + 4 ⋅ sen   5 2x  - π  3 

d) f(x) = -3 + sen 

04. Calcule os valores numéricos das constantes positivas a, b e c na função f(x) = a + b ⋅ sen (cx), sabendo que seu conjunto imagem é [-4, 8] e o período é π/12. a = 2, b = 6, e c = 24

0

2

1

3

4

x

-30

Determine os valores de a e b.

a = 30 e b = ± π

06. (Vunesp SP) Podemos supor que um atleta, enquanto corre, balança cada um de seus braços ritmicamente (para frente e para trás), segundo a equação π 9

 8π  3    t -   3  4 

⋅ sen  y = f(t) =

onde y é o ângulo compreendido entre a posição do braço e o eixo vertical (-π/9 ≤ y ≤ π/9) e t é o tempo medido em segundos, t ≥ 0. Com base nessa equação, determine quantas oscilações completas (para frente e para trás) o atleta faz com o braço em 6 segundos.

8

317

B14  Função seno

01. Esboce o gráfico das seguintes funções trigonométicas, destacando o período e a imagem de cada uma delas.

Matemática

Exercícios C om p l em en t ares 01. (Unifesp SP) Na procura de uma função y = f(t) para representar um fenômeno físico periódico, cuja variação total de y vai de 9,6 até 14,4, chegou-se a uma função da forma π  f(t) = A + B ⋅ sen  (t - 105) , com o argumento medido em  90  radianos. a) A = 12 e B = ±2,4; b) t = 15

05. (UFU MG) Um engenheiro, ao resolver um problema do movimento ondulatório (periódico) do sistema mola-massa, representado na figura a seguir, obteve a função p(t) = 2 ⋅ sen(3t), t ≥ 0, em que p denota a posição (em metros) da massa, em relação à posição de equilíbrio, no instante (em segundos) t ≥ 0.

a) Encontre os valores de A e B para que a função f satisfaça as condições dadas. b) O número A é chamado valor médio da função. Encontre o menor t positivo no qual f assume seu valor médio.

02. (UFPR) Suponha que a expressão P = 100 + 20 sen(2πt) descreva de maneira aproximada a pressão sanguínea P, em milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa durante um teste. Nessa expressão, t representa o tempo em segundos. A pressão oscila entre 20 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 100 milímetros de mercúrio, indicando que a pressão sanguínea da pessoa é 120 por 80. Como essa função tem um período de 1 segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste. a) Dê o valor da pressão sanguínea dessa pessoa em t = 0 s e t = 0,75 s. b) Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo? a) 100 mm de Hg e 80 mm de Hg; b) 0,75 s

03. (Uerj RJ) O preço dos produtos agrícolas oscila de acordo com a safra de cada um: mais baixo no período da colheita, mais alto na entressafra. Suponha que o preço aproximado P, em reais, do quilograma de tomates seja dado pela função  2π  P(t) = 2,7 + 0,8 ⋅ sen  (t - 101) , na qual t é o número de  360  dias contados de 1º de janeiro até 31 de dezembro de um determinado ano. Para esse período de tempo, calcule: a) o maior e o menor preço do quilograma de tomates; b) os valores t para os quais o preço P seja igual a R$ 3,10.

B14  Função seno

a) R$ 3,50 e R$ 1,90;

0 m

mola distendida m

p

Considerando o movimento de subida e descida do sistema massa-mola, quantos metros, no total, a massa percorreu em 7π/3 segundos, após ter iniciado o movimento em t = 0? a) 28 c) 18 b) 14 d) 12 06. (PUC RS) A figura a seguir representa um esboço do gráfico x de uma função y = A + B sen   , que é muito útil quando 4 se estudam fenômenos periódicos, como, por exemplo, o movimento de uma mola vibrante. y 5

b) 131 ou 251

04. (Unifor CE) As tsunamis são ondas de grande comprimento geradas por deformações bruscas no fundo do mar. Considere que uma equação simplificada desse fenômeno pode ser  tπ  expressa por f(t)= 2 ⋅ sen   em que f(t) é altura da onda, 4 em metros, e t é o tempo, em minutos, t ≥ 0. O nível do mar, em repouso, é tomado como referencial inicial de altura. Ao se aproximar da costa, o período diminui, enquanto sua amplitude aumenta. Qual das alternativas abaixo melhor representa a função da tsunami quando da sua aproximação da costa?  tπ   tπ  a) f(t) = 3 ⋅ sen   d) f(t) = 4 ⋅ sen   6   2

318

Posição de equilíbrio

b) f(t) =

1  tπ  ⋅ sen   2  12 

c) f(t) =

1  tπ  ⋅ sen   3 3

 tπ  e) f(t) = sen   8

4 3 2 1 0

5

10

15

20

-1 -2

Então, o produto das constantes A e B é a) 6 d) 18 b) 10 e) 50 c) 12

25 x

FRENTE

B

MATEMÁTICA

MÓDULO B15

FUNÇÃO COSSENO O Porto de Paranaguá, localizado na cidade de mesmo nome, no estado do Paraná, irá passar por uma obra de dragagem (escavação), expedida pela Secretaria dos Portos (SEP). A obra, contratada pelo Governo Federal, tem prazo de 11 meses para ser realizada, com um custo que supera R$ 300 milhões.

ASSUNTOS ABORDADOS n Função cosseno n Função cosseno

O objetivo é aprofundar o canal de acesso ao porto, permitindo que navios de porte maiores possam atracar em Paranaguá. A previsão é de se retirar mais de 14 milhões de metros cúbicos de sedimentos ao longo do canal e na bacia de evolução.

Com isso, a área externa do canal passará de 15 para 16 metros de profundidade.

Em outro local, o canal passará de 13,5 para 15 metros de profundidade. E a área restante passará de 12 a 13 metros para 14 metros de profundidade. Outro diferencial é que navios com calado de até 12,8 metros poderão ancorar-se no porto (atualmente, o limite é de 12,3 metros).

Essa benfeitoria vai afetar positivamente a produtividade do Porto, já que além de permitir o trânsito e ancoragem de navios maiores, fará com que ele opere com mais agilidade. Em consequência, Paranaguá continuará sendo referência entre os portos do Brasil.

Já as marés são fenômenos periódicos que podem ser descritos, simplificadamente, pela função cosseno. Assim, supondo que para uma maré na região do Porto de Paranaguá, a altura H, medida em metros, acima do nível médio, seja dada, aproximadamente, pela função: π  H(t) = 4 ⋅ cos  ( t - 6 )  , em que t é o tempo medido em horas.  12 

A partir dessa função, podemos, por exemplo, determinar o horário que um navio de 10 m de calado pode permanecer nessa região. Essa lei matemática, por utilizar uma razão trigonométrica em sua expressão, é denominada função trigonométrica.

Nesta aula, discutiremos a função cosseno.

Fonte: Shutterstock

Figura 01 - Ilustração mostra um navio de carga atracado no porto.

319

Matemática

Função cosseno A cada valor real x, podemos associar apenas um cosseno. Assim, denomina-se função cosseno aquela que faz corresponder cada número real x ao número real cos x.

Simbolicamente, temos que f: IR → IR, tal que f(x) = cos x.

Para esboçar seu gráfico, vamos atribuir ao arco x todos os valores notáveis variando no intervalo [0, 2π]. Observe a tabela a seguir:

x

0

π 6

π 4

π 3

π 2

2π 3

cos x

1

3 2

2 2

1 2

0

-

1 2

3π 4 -

5π 6

2 3 2 2

7π 6

π

-1

-

5π 4

3 2 2 2

4π 3

3π 2

5π 3

7π 4

11π 6

2π

1 2

0

1 2

2 2

3 2

1

-

Ligando os pontos obtidos na tabela, temos o seguinte gráfico cartesiano da função f(x) = cos x, para 0 ≤ x ≤ 2π, denominado cossenoide. y 1 2 3 5 7 5 4 3 3 4 6 6 4 3 2 0

6 43

5 7 11 2 x 3 4 6

2

-1

A partir da análise desse gráfico, podemos destacar as seguintes características da função f(x) = cos x. n n n n n n

Está definida para todo x real, logo seu domínio é Df = IR. Para todo x real, temos que -1 ≤ f(x) ≤ 1, logo sua imagem é Imf = [-1, 1]. É crescente no terceiro e quarto quadrantes. É decrescente no primeiro e segundo quadrantes. É positiva no primeiro e quarto quadrantes. É negativa no segundo e terceiro quadrantes.

Na figura a seguir, temos o esboço do gráfico de f(x) = cos x para outros valores de x. y 1

-4

-2

0

-1

2

4

6

x

Note ainda que: B15  Função cosseno

n n

320

cos x = cos (x + 2π) = cos (x + 4π) = ... = cos (x + 2kπ) com k ∈ Z, logo f é uma função periódica de período 2π.

O gráfico é simétrico em relação ao eixo das ordenadas, logo f é uma função par.

Matemática e suas Tecnologias

EXEMPLOS 01. Esboce o gráfico da função g(x) = -3 ⋅ cos x. Em seguida, determine sua imagem e seu período.

A partir da análise desse gráfico, temos que: n -4 ≤ g(x) ≤ -2, ou seja, a imagem de g é Img = [-4, -2]. n g(x) = g(x + 2π), para todo x ∈ IR, ou seja, o período de g é 2π.

RESOLUÇÃO Para esboçar seu gráfico, vamos atribuir ao arco x os valores notáveis: 0, π/2, π, 3π/2 e 2π. Observe a tabela a seguir: x

0

π/2

π

3π/2

2π

g(x) = -3 ⋅ cos x

-3

0

3

0

-3

Note também que, para obter o gráfico de g(x) = -3 + cos x a partir do gráfico de f(x) = cos x, basta somar -3 às ordenadas dos pontos de f(x) = cos x. Portanto, de maneira geral, adicionar ao cos x um número real causa um deslocamento vertical do gráfico, mudando a sua imagem.

03. Esboce o gráfico da função g(x) = cos (x + π/4). Em seguida, determine sua imagem e seu período.

Ligando os pontos obtidos na tabela, temos o seguinte gráfico cartesiano da função g(x) = -3 ⋅ cos x, para 0 ≤ x ≤ 2π. y

RESOLUÇÃO Para esboçar seu gráfico, vamos atribuir ao arco x + π/4 os valores notáveis: 0, π/2, π, 3π/2 e 2π. Observe a tabela a seguir:

3 2 f(x)

1 0 -1

2

2

3 2

x

x + π/4

0

π/2

π

3π/2

2π

x

-π/4

π/4

3π/4

5π/4

7π/4

g(x) = cos (x + π/4)

1

0

-1

0

1

-2

Ligando os pontos obtidos na tabela, temos o seguinte gráfico cartesiano da função g(x) = cos (x + π/4), para 0 ≤ x ≤ 2π

g(x)

-3

A partir da análise desse gráfico, temos que: n -3 ≤ g(x) ≤ 3, ou seja, a imagem de g é Img = [-3, 3].

y

n g(x) = g(x + 2π), para todo x ∈ IR, ou seja, o período de g é 2π.

1

Note também que, para se obter o gráfico de g(x) = -3 ⋅ cos x a partir do gráfico de f(x) = cos x, basta multiplicar por -3 as ordenadas dos pontos de f(x) = cos x. Portanto, de maneira geral, multiplicar o cos x por um número real negativo causa uma deformação vertical e uma reflexão em torno do eixo das abscissas no gráfico, mudando a sua imagem.

02. Esboce o gráfico da função g(x) = -3 + cos x. Em seguida, determine sua imagem e seu período.

RESOLUÇÃO Para esboçar seu gráfico, vamos atribuir ao arco x os valores notáveis: 0, π/2, π, 3π/2 e 2π. Observe a tabela a seguir: x

0

π/2

π

3π/2

2π

g(x) = -3 + cos x

-2

-3

-4

-3

-2

g(x) f(x) 3 2 4

- 4 0

-1

5 4 3 7 2 4

4

2 x

A partir da análise desse gráfico, temos que: n -1 ≤ g(x) ≤ 1, logo a imagem de g é Img = [-1, 1]. n g(x) = g(x + 2π), para todo x ∈ IR, logo o período de g é 2π.

Note também que, para obter o gráfico de g(x) = cos (x + π/4) a partir do gráfico de f(x) = cos x, basta somar -π/4 às abscissas dos pontos de f(x) = cos x. Portanto, de maneira geral, adicionar um número real ao arco x do cos x causa um deslocamento horizontal do gráfico.

04. Esboce o gráfico da função g(x) = cos (2x) e. Em seguida, determine sua imagem e seu período RESOLUÇÃO

Ligando os pontos obtidos na tabela, temos o seguinte gráfico cartesiano da função g(x) = -3 + cos x, para 0 ≤ x ≤ 2π

Para esboçar seu gráfico, vamos atribuir ao arco 2x os valores notáveis: 0, π/2, π, 3π/2 e 2π. Observe a tabela a seguir:

y f(x) 0 -1

2

3 2

2

-2 g(x)

x

2x

0

π/2

π

3π/2

2π

x

0

π/4

π

3π/4

π

g(x) = sen (x/2)

1

0

-1

0

1

-3 -4

Ligando os pontos obtidos na tabela, temos o seguinte gráfico cartesiano da função f(x) = cos 2x, para 0 ≤ x ≤ 2π.

321

B15  Função cosseno

1

Matemática

Observação Baseando-se nesses exemplos, vamos destacar a influência de cada um dos parâmetros, a, b, c, e d em funções trigonométricas do tipo f(x) = a + b ⋅ cos [c(x + d)]. n O parâmetro a desloca o gráfico verticalmente. Se a > 0, o gráfico desloca-se verticalmente as unidades para cima. Se a < 0, o gráfico desloca-se verticalmente as unidades para baixo. n O parâmetro b deforma o gráfico verticalmente. Se |b| > 1 o, gráfico se dilata verticalmente. Se 0 < |b| < 1, o gráfico se comprime verticalmente.

Se b < 0, o gráfico sofre uma rotação em torno do eixo das abscissas.

O módulo do parâmetro b é chamado de amplitude do gráfico.

y f(x)

g(x) 3 4

4

5 4 2 x

3 7 2 4

2

A partir da análise desse gráfico, temos que: n -1 ≤ g(x) ≤ 1, ou seja, a imagem de g é Img = [-1, 1]. n g(x) = g(x + 4π), para todo x ∈ IR, logo o período de g é 4π.

n O parâmetro c deforma o gráfico horizontalmente. Se |c| > 1, o gráfico se comprime horizontalmente. Se 0 < |c| < 1, o gráfico se 2π dilata horizontalmente e o novo período é dado por . |c| n O parâmetro d desloca o gráfico horizontalmente. Se d > 0, o gráfico desloca-se horizontalmente das unidades para a esquerda. Se d < 0, o gráfico desloca-se horizontalmente das unidades para a direita.

Note também que, para obter o gráfico de g(x) = cos (2x) a partir do gráfico de f(x) = cos x, basta multiplicar por 1/2 as abscissas dos pontos de f(x) = cos x. Portanto, de maneira geral, multiplicar por um número real o arco x do cos x causa uma deformação horizontal no gráfico, mudando o seu período.

Exercícios de Fixação 01. Esboce o gráfico das seguintes funções trigonométicas destacando o período e a imagem de cada uma delas. a) f(x) = 2 ⋅ cos (x/3) b) f(x) = cos (x – π/3) c) f(x) = 4 – 2 ⋅ cos (3x) 02. Detemine o período de cada uma das funções trigonométricas a seguir: a) 2π/7; b) 32π/3; c) 3.

a) f(x) = cos (7x – π)

Questão 05. "Letra b" b)

 3x  b) f(x)= 4 + cos   8  2πx  + 4 1 + cos  c) f(x) =  3 

04. Dada a função f(x) = 3a + (4b) ⋅ cos (ax + b), determine: a) a = 3 e b = 2;

05. Estima-se que o número N de clientes em um supermercado é dado, em função da hora t do dia, pela seguinte função: π  N = 800 - 700 ⋅ cos  t  , para 0 ≤ t < 24  12  a) Calcule a diferença entre o número máximo e o número mínimo de clientes no supermercado durante o dia. 1400 b) Construa o gráfico da função f, para x real, tal que x ∈ [0, 12].

F(t) 1500 800 100

3

9

6

b) 2π/3.

a) os valores das constantes positivas a e b de modo que a imagem de f seja [1, 17]; b) qual o período de f(x).

12

t

03. Na figura a seguir, temos o gráfico da função trigonométrica f(x) = a ⋅ cos (bx).

06. (UEPB) Uma função f de R em R tem parte de seu gráfico representado abaixo: y

y 3 2

3

1

2

- 3 4

B15  Função cosseno

4

x

a) y

P=6 rad lm=[-2,2]

-3

b) y 1

2 3 9 6 x 2

3 2

-2 Determine os valores das constantes positivas a e b.

Questão 01. a) y

P=6 rad lm=[-2,2]

b) y

P=2 rad lm=[-1,1]

2

4 3

3

322

3 2

9 6 x 2

-2

c)

P= 2 rad 3 lm=[2,6]

y 6

1

5 3 6

4 11 7 x 6 3

2

-1

6

c)

y 6 4

P= 2 rad 3 lm=[2,6]

a=3eb=2

3

2 2 3

x

-1

- 2

0

Essa função é definida por a) f(x) = 2 + cos(2x) P=2 rad b) f(x)lm=[-1,1] = 2 – cos(2x) c) 4 f(x) = 2 + sen (2x) 3 5 11 7 x 3 d) 3 – cos(2x) 6 f(x)6= 1 e) f(x) = 2 – cosx

4

2

3 4

x

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios C om p l em en t ares 01. (UFPE) A ilustração abaixo representa parte do gráfico de  πx  uma função f(x) = a + b ⋅ cos   com período 8, sendo a,  c  b e c números reais. O gráfico da função passa pelos pontos (0, 12) e (4, 2). y 12 10 8 6 4 2 0

(em °C) no instante t. O período da função, o valor da temperatura máxima e o horário em que ocorreu essa temperatura no primeiro dia de observação valem, respectivamente, a) 6h, 25,5 °C e 10h b) 12h, 27 °C e 10h c) 12h, 27 °C e 15h d) 6h, 25,5 °C e 15h 04. (Anhembi Morumbi SP) Em determinado local, a temperatura ambiente pode ser dada em função da hora do dia pela função

1 2 3 4

5 6 7

Calcule a, b e c e indique abc/10.

8 x

14

02. (Ibmec SP) A figura mostra o gráfico da função f, dada pela lei f(x) = (sen x + cos x)4 – (sen x – cos x)4. f(x)

2

π  π  T ( t ) = 22 - 2 ⋅ cos  ⋅ ( t - 5)  + 2 ⋅ sen  ⋅ ( t - 5)  , 12    12 

x

para 5 ≤ t ≤ 22, sendo T a temperatura, em °C, e t a hora do dia. Considerando 2 = 1,41 , a temperatura aproximada, em °C, às 14h, será a) 23 b) 27 c) 21 d) 29 e) 25 05. (Unifacs BA) Uma sala de um laboratório de pesquisas onde se pretende desenvolver uma cultura de bactérias teve sua temperatura ambiente T, em oC, modelada ao

03. (Acafe SC) Com o objetivo de auxiliar os maricultores a aumentar a produção de ostras e mexilhões, um engenheiro de aquicultura fez um estudo sobre a temperatura da água na região do sul da ilha, em Florianópolis. Para isso, efetuou medições durante três dias consecutivos, em intervalos de 1 hora.

As medições iniciaram às 5 horas da manhã do primeiro dia (t = 0) e os dados foram representados pela função periódica

 πt π  T(t) = 24 + 3cos  +  , em que t indica o tempo (em ho 6 3 ras) decorrido após o início da medição e T(t), a temperatura

longo das 24 horas de determinado dia, pela expressão  h+ 9   T(h) = 18 + 8cos    π  , h∈[0, 24]. Assim, nesse dia, a   12   temperatura foi superior a 22 °C durante um número máximo de horas consecutivas igual a a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7 06. (FGV SP) A previsão mensal da venda de sorvetes para 2012, em uma sorveteria, é dada por P = 6 000 + 50x + 2 000 πx cos   , em que P é o número de unidades vendidas no  6  mês x; x = 0 representa janeiro de 2012, x = 1 representa fevereiro de 2012, x = 2 representa março de 2012 e assim por diante. Se essas previsões se verificarem, em julho, haverá uma queda na quantidade vendida, em relação a março, de aproximadamente a) 39,5% b) 38,5% c) 37,5% d) 36,5% e) 35,5%

323

B15  Função cosseno

O valor de a, indicado no eixo das abscissas, é igual a 5π a) 12 4π b) 9 3π c) 8 5π d) 6 2 e) π 3

FRENTE

B

MATEMÁTICA

MÓDULO B16

ASSUNTOS ABORDADOS n Demais funções trigonométricas n Função tangente n Função cotangente n Função secante n Função cossecante

DEMAIS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS O horário de verão, criado por Benjamin Franklin, em 1784, é o sistema de ajuste do relógio em uma hora, cujo objetivo é economizar energia. A invenção parte da ideia de reduzir a sobrecarga de consumo durante alguns picos diários, já que durante o período inicial da noite ainda se tem claridade. Esses picos ocorrem normalmente no final de tarde, quando a maioria das pessoas chegam em casa e utilizam diversos aparelhos eletrônicos, aumentando o consumo de energia.

Na Europa, o horário de verão foi estabelecido de forma definitiva somente durante a Primeira Guerra Mundial (1914-1918). Posteriormente, foi instituído nos demais países (totalizando 30, atualmente). No Brasil, esse sistema de ajuste temporal foi adotado pela primeira vez em 1o de outubro de 1931. Contudo, as normas que o regem constam no decreto lei n° 6.558, de 8 de setembro de 2008. E segundo esse decreto, o horário de verão deve ter início, todos os anos, à meia noite do terceiro domingo de outubro, com término no terceiro domingo de fevereiro. Mas se este último coincidir com o domingo do carnaval, deve ser encerrado no quarto domingo do mês.

No entanto, nem todos os estados brasileiros aderiram ao horário de verão. Isso porque os solstícios de verão exercem maiores efeitos nas regiões mais afastadas da linha do Equador. Por outro lado, nas zonas equatoriais, há poucas variações durante os dias e as noites, o que torna desnecessária a mudança de horário. Com isso, as regiões Norte e Nordeste não participam da mudança.

Segundo estimativas, durante o horário de verão brasileiro, há uma economia de 4 a 5% no consumo de energia elétrica. Com isso, durante esse período, o País fica com quatro fusos horários diferentes dentro de sua extensão territorial.

T(α) = 12 + 3,21 ⋅ tg α

Figura 01 - Ilustração mostra o momento exato do nascimento do sol

324

Nessas condições, no dia que marca o início do verão, seria possível calcular o tempo T total de horas de sol na cidade de Porto Alegre, cuja latitude é de 30° sul. Essa lei matemática, por utilizar uma razão trigonométrica em sua expressão, é denominada função trigonométrica.

Nesta aula, abordaremos as demais funções trigonométricas.

Fonte: Shutterstock.com

Assim, o horário do nascer e do pôr do sol depende de diversos fatores, especialmente da latitude do observador e do dia do ano. No início do verão do Hemisfério Sul (solstício de verão), o tempo T, em horas, entre o nascer e o pôr do sol, para latitudes entre zero e 40° sul, pode ser calculado aproximadamente, em função da latitude local α mediante a seguinte lei:

Matemática e suas Tecnologias

Função tangente A cada valor real x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z, podemos associar apenas uma tangente. Assim, denomina-se função tangente a função que faz corresponder cada número real x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z ao número real tg x. Simbolicamente, temos que f: D → IR, tal que f(x) = tg x, sendo D = x ∈ IR | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}.

Para esboçar seu gráfico, vamos atribuir ao arco x todos os valores notáveis variando no intervalo [0, 2π]. Observe a tabela a seguir:

x

0

π 6

π 4

π 3

tg x

0

3 3

1

3

π 2

2π 3

3π 4

- 3

-1

5π 6 -

3 3

π

7π 6

5π 4

4π 3

0

3 3

1

3

3π 2

5π 3

7π 4

11π 6

2π

- 3

-1

-

3 3

0

Ligando os pontos obtidos na tabela, temos o seguinte gráfico cartesiano da função f(x) = tg x, para 0 ≤ x ≤ 2π, denominado tangentoide. y 3

1 3

2 3 5 3 4 6

3 0

- 2

- 33

6 4 3

5 7 11 3 4 6 7 5 4 3 6 4 3 2

2

2

5 2

x

-1

-

3

A partir da análise desse gráfico, podemos destacar as seguintes características da função f(x) = tg x. n n n n n

Está definida para x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z, logo seu domínio é Df = {x ∈ IR | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}.

Para todo x real, temos que -∞ < f(x) < ∞, logo sua imagem é Imf = IR. É crescente em todos os quatro quadrantes. É positiva no primeiro e terceiro quadrantes. É negativa no segundo e quarto quadrantes.

B16  Demais funções trigonométricas

Na figura a seguir, temos o esboço do gráfico de f(x) = tg x para outros valores de x. y

-2 -4

-3

- 3 2

-

0

- 2

2

3 2

2

3

4

x

325

Matemática

Note ainda que: n n

tg x = tg (x + π) = tg (x + 2π) = ... = tg (x + kπ) com k ∈ Z, logo f é uma função periódica de período π.

O gráfico é simétrico em relação à origem (0, 0), logo f é uma função ímpar.

Função cotangente A cada valor real x ≠ kπ, k ∈ Z, podemos associar apenas uma cotangente. Assim, denomina-se função cotangente a função que faz corresponder cada número real x ≠ kπ, k ∈ Z ao número real cotg x. Simbolicamente, temos que f: D → IR, tal que f(x) = cotg x, sendo D = {x ∈ IR | x ≠ kπ, k ∈ Z} Para esboçar seu gráfico, vamos atribuir ao arco x todos os valores notáveis variando no intervalo [0, 2π]. Observe a tabela a seguir:

x

cotg x

0

π 6

π 4

π 3

π 2

3

1

3 3

0

2π 3 -

3 3

3π 4

5π 6

-1

- 3

π

7π 6

5π 4

4π 3

3π 2

3

1

3 3

0

5π 3 -

3 3

7π 4

11π 6

-1

- 3

2π

Ligando os pontos obtidos na tabela, temos o seguinte gráfico cartesiano da função f(x) = cotg x, para 0 ≤ x ≤ 2π, denominado cotangentoide. y 3

1 3

2 3 5 5 7 11 3 4 6 3 4 6 0 7 5 4 3 2 - 33 6 4 3 2 643 2 -1 3

-

- 2

5 2

3 x

- 3

A partir da análise desse gráfico, podemos destacar as seguintes características da função f(x) = cotg x. n n n n n B16  Demais funçõ es trigonométricas

n n

Está definida para x ≠ kπ, k ∈ Z, logo seu domínio é Df = {x ∈ IR | x ≠ kπ, k ∈ Z}.

Para todo x real, temos que -∞ < f(x) < ∞, logo sua imagem é Imf = IR. É decrescente em todos os quatro quadrantes. É positiva no primeiro e terceiro quadrantes. É negativa no segundo e quarto quadrantes. cotg x = cotg (x + π) = cotg (x + 2π) = ... = cotg (x + kπ) com k ∈ Z, logo f é uma função periódica de período π.

O gráfico é simétrico em relação à origem (0, 0), logo f é uma função ímpar.

Variação do período da função tangente e cotangente O período p de funções trigonométricas do tipo f(x) = tg (c ⋅ x) e f(x) = cotg (c ⋅ x) é dado por: p=

326

π |c|

Matemática e suas Tecnologias

Por exemplo: π π = |5| 5

n

O período p1 da função f(x) = tg (5x) é dado por p1 =

n

O período p2 da função f(x) = cotg (-3x + π) é dado por p2 =

π π = | -3| 3

Função secante A cada valor real x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z, podemos associar apenas uma secante. Assim, denomina-se função secante a função que faz corresponder cada número real x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z, k ∈ Z ao número real sec x. Simbolicamente, temos que f: D → IR, tal que f(x) = sec x, sendo D = {x ∈ IR | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}.

Podemos construir o gráfico da função secante a partir do gráfico da função cosseno, 1 pois sec x = . Observe a figura a seguir: cos x y

y = sec x

y = cos x

1

- 2

0

2

3 2

2

5 2

3

7 2

x

-1

A partir da análise desse gráfico, podemos destacar as seguintes características da função f(x) = sec x.

n n n n n n n

Está definida para x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z, logo seu domínio é Df = {x ∈ IR |x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}.

Para todo x real, temos que f(x) ≥ 1 ou f(x) ≤ -1, logo sua imagem é Imf = {y ∈ IR | y ≥ 1 ou y ≤ -1}. É crescente no primeiro e segundo quadrantes. É decrescente no terceiro e quarto quadrantes. É positiva no primeiro e quarto quadrantes. É negativa no segundo e terceiro quadrantes. sec x = sec (x + 2π) = sec (x + 4π) = ... = sec (x + 2kπ) com k ∈ Z, logo f é uma função periódica de período 2π.

O gráfico é simétrico em relação ao eixo das ordenadas, logo f é uma função par.

B16  Demais funçõ es trigonométricas

n

Função cossecante A cada valor real x ≠ kπ, k ∈ Z, podemos associar apenas uma cossecante. Assim, denomina-se função cossecante a função que faz corresponder cada número real x ≠ kπ, k ∈ Z ao número real cossec x. Simbolicamente, temos que f: D → IR, tal que f(x) = cossec x, sendo D = {x ∈ IR | x ≠ kπ, k ∈ Z}.

327

Matemática

Podemos construir o gráfico da função cossecante a 1 . partir do gráfico da função seno, pois cossec x = sen x Observe a figura ao lado:

y y = cossec x

Analisando o gráfico, pode-se destacar as seguintes características da função f(x) = sec x.

y = sen x 1 3 2 0

2

7 2

2

-1

Está definida para x ≠ kπ, k ∈ Z, logo seu domínio é Df = {x ∈ IR |x ≠ kπ, k ∈ Z }.

5 3 4 x 2 n Para todo x real, temos que f(x) ≥ 1 ou f(x) ≤ -1, logo sua imagem é Imf = {y ∈ IR | y ≥ 1 ou y ≤ -1}. n É crescente no segundo e terceiro quadrantes. n É decrescente no primeiro e quarto quadrantes. n É positiva no primeiro e segundo quadrantes. n É negativa no terceiro e quarto quadrantes. n cossec x = cossec (x + 2π) = cossec (x + 4π) = ... = cossec (x + 2kπ) com k ∈ Z, logo f é uma função periódica de período 2π. n O gráfico é simétrico em relação à origem (0, 0), logo f é uma função ímpar. n

Variação do período da função secante e cossecante O período p de funções trigonométricas do tipo f(x) = sec (c ⋅ x) e f(x) = cossec (c ⋅ x) é dado por: 2π p= |c| Por exemplo 2π 2π n O período p1 da função f(x) = sec (-2x) é dado por p1 = = = π | -2| 2 2π 2π x n O período p2 da função f(x) = cossec   é dado por p2 = = = 12π |1 / 6| 1 /6 6  

EXEMPLOS 01. Determine o domínio das funções a seguir: π  c) f(x) = sec (4x – π) a) f(x) = tg  x -  2  x b) f(x) = cotg (2x – 60°) d) f(x) = cossec  + 30°  2  RESOLUÇÃO

π π ≠ + kπ ⇒ x ≠ π + kπ ⇒ D = {x ∈IR|x ≠ π + kπ, k ∈ Z} 2 2 b) 2x – 60° ≠ 180° ⋅ k ⇒ 2x ≠ 60° + 180° ⋅ k ⇒ x ≠ 30° + 90° ⋅ k ⇒ D = {x ∈ IR |x ≠ 30° + 90° ⋅ k, k ∈ Z} π 3π 3π kπ + kπ ⇒ 4x ≠ + kπ ⇒ x ≠ + ⇒ c) 4x – π ≠ 2 2 8 4   3π kπ + , k ∈Z D =x ∈IR x ≠ 8 4  

B16  Demais funçõ es trigonométricas

a) x –

d)

x x + 30° ≠ 180° ⋅ k ⇒ ≠ -30° + 180° ⋅ k ⇒ x ≠ -60° + 360° ⋅ k ⇒ 2 2 D = {x ∈ IR |-60° + 360° ⋅ k, k ∈ Z}

02. Determine o conjunto imagem da função f(x) = 4 + 5 ⋅ cossec (2x) RESOLUÇÃO As imagens de f(x) = 4 + 5 ⋅ cossec (2x) serão os valores de y tais que y-4 y = 4 + 5 ⋅ cossec (2x) ⇒ cossec (2x) = 5

328

Como cossec (2x) ≥ 1 ou cossec (2x) ≤ -1, temos que: y-4 y-4 ≥ 1 ⇒ y ≥ 9 ou ≤ -1 ⇒ y ≤ -1 5 5 Portanto, a imagem da função f é Imf= {y ∈ IR | y ≥ 9 ou y ≤ -1}.

03. Determine o período das funções trigonométricas a seguir:

x π a) f(x) = tg  +  3 4 b) f(x) = cotg ( 6x - π )

c) f(x) = sec ( -4 πx + 3)

 πx  d) f(x) = cossec    5  RESOLUÇÃO

π π x π = = 3π a) O período p1 de f(x) = tg  +  é dado por p1 = |1 / 3| 1 / 3 3 4 π π = b) O período p2 de f(x) = cotg ( 6x - π ) é dado por p= 2 |6| 6 c) O período p3 de f(x) = sec ( 4 πx + 3) é dado por p= 3

2π 2π 1 = = | -4 π| 4 π 2

 πx     5 

é dado por

d) O período p4 de f(x) = cossec 2π 2π = = = 10 p4 | π / 5| π / 5

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Esboce o gráfico das funções a seguir, destacando o período e o domínio de cada uma delas: a) f(x) = tg ( 4x )

Gabarito 01

a) f(x) = 4 + 2 ⋅ cossec (4x) b) f(x) = -2 + 3 ⋅ sec (x + π)

x b) f(x) = tg   2

04. Quais equações a seguir não possuem solução?

c) f(x) = tg ( x ) 02. Determine o domínio D e o período P das funções a seguir:

f(x) tg ( 2x - π ) a) = f(x) cotg ( 3x - 60° ) b) = c) f(x) = 1 + 3 ⋅ sec ( 4x + 10° )

x d) f(x) = cossec   2

03. Determine o conjunto imagem das funções trigonométricas a seguir: a) ]-∞, 2] ∪ [6, ∞[; b) ]-∞, -5] ∪ [1, ∞[.

3 k

, k Z e P = a) D x IR x 2 4 2

b) D x IR x 20 60 k, k Z e P = 3

c) D x IR x 20 45 k, k Z e P = 2 d) D x IR x 2k , k Z e P = 4π

a) sen x = 1/3 b) tg x = 20 c) cos x = -2 d) sec x = 4 e) cossec x = 0,2

a) possui solução; b) possui solução; c) não possui solução; d) possui solução; e) não possui solução.

Gabarito 01

Exercícios C om p l em en t ares 01. (UFPR) O sinal da função f(x) = sec x ⋅ tg x é positivo nos intervalos: a) ]0, π/2[ e ]π, 3π/2[ b) ]π/2, π[ e ]3π/2, 2π[ c) ]0, π/2[ e ]3π/2, 2π[ d) ]π/2, π[ e ]π, 3π/2[ e) ]0, π/2[ e ]π/2, π[ 02. Esboce o gráfico da função f(x) = sen x ⋅ cos x ⋅ tg x ⋅ sec x ⋅ cotg x, para 0 < x < 2π.

1 π x 03. (Fatec SP) Se f(x) = ⋅ sec ( x ) + 3 ⋅ sec   , então f   2 2 3   é igual a 5 3 3

d) 2

2 3 b) 3

e) 3

c)

  5π kπ b) x ∈IR x ≠ + , k ∈ Z 12 2     5π kπ c) x ∈IR x = + , k ∈ Z  12 2  

3 2

2

2 x

-1

  π kπ d) x ∈IR x =+ , k ∈ Z  6 2     π kπ e) x ∈IR x ≠ + , k ∈ Z  6 2  

07. (PUC Campinas SP) Na figura a seguir, tem-se o gráfico de uma função f, de A ⊂ IR em IR. y

3 3

04. Verifique se a função f(x) = tg x + cotg x é par, ímpar ou nenhuma delas. função ímpar

1   05. (Unesp SP) Dada a expressão f(x) = log10  , ⋅ sen(x) cossec(x)   com x ∈ IR, pode-se afirmar que a) f(x) = log10 (cotg(x)). b) f(x) = log10 (tg(x)). c) f(x) = 10, qualquer que seja x. d) f(x) = 1, qualquer que seja x. e) f(x) = 0, qualquer que seja x.

0 -7 12

- 3

- 12

6

5 12

2 3

11 12

B16  Demais funções trigonométricas

a)

06. (Integrado RJ) O domínio máximo da função dada por π  f(x) = sec  2x -  é o conjunto: 3  Gabarito 02 y   π a) x ∈IR x ≠ + kπ, k ∈ Z  1 2  

x

É correto afirmar que a) f é crescente para todo x real tal que π/6 < x < 2π/3. b) f é positiva para todo x real tal que 0 < x < 5π/12. c) o conjunto imagem de f é IR – {0}. d) o domínio de f é IR – {(π/2) + kπ, com k ∈ Z} e) o período de f é π/2.

329

FRENTE

B

MATEMÁTICA

Exercícios de A p rof u n dam en t o 01. (UFSCar SP) As coordenadas dos vértices do triângulo ABC, num plano cartesiano, são A (-4, 0), B (5, 0) e C (sen θ, cos θ). Sendo θ um arco do primeiro quadrante da circunferência trigonométrica, e sendo a área do triângulo ABC maior que 9/4, o domínio de validade de θ é o conjunto π π a)  ,  3 2 π π b)  ,  6 3

Questão 03. a) julho e novembro b) 3200 y 3,7 2,9

π c) 0,   6  π d) 0,   4

2,1

0,5 0

 π e) 0,   3

3

1

6

9

12

x

02. (UFTM MG) Na figura, na qual estão representados os gráficos das funções f(x)= x ⋅ sen2x e g(x)= x ⋅ cos2 x , P é um ponto onde os dois gráficos se interceptam.

a) Determine quais são os meses em que a cidade recebe um total de 1 300 turistas. b) Construa o gráfico da função f, para x real, tal que x ∈ [1, 12], e determine a diferença entre o maior e o menor número de turistas da cidade em um ano.

04. (UEPA) Os desfiles de moda parecem impor implicitamente tanto o “vestir-se bem” quanto o “ser bela” definindo, desse modo, padrões de perfeição. Nesses desfiles de moda, a rotação pélvica do andar feminino é exagerada quando comparada ao marchar masculino, em passos de igual amplitude. Esse movimento oscilatório do andar feminino pode ser avaliado a partir da variação do ângulo θ, conforme ilustrado na figura abaixo, ao caminhar uniformemente no decorrer do tempo (t). Um modelo matemático que pode representar esse movimento π  4π  oscilatório do andar feminino é dado por: θ (t) = cos  t  .

10  3 

y

P

0

x

k

Se k é a abscissa do ponto P, então o valor de f(2k) é igual a 5π 2 3π b) 2

a)

c)

d)

3π 8

e) 0

3π 2 4

03. (UFSCar SP) O número de turistas de uma cidade pode ser mo πx  delado pela função f(x) = 2,1 + 1,6 ⋅ sen   , onde x represen 6  ta o mês do ano (1 para janeiro, 2 para fevereiro, 3 para março e assim sucessivamente) e f(x) o número de turistas no mês x (em milhares).

330

(Fonte: http://www.google.com.br/search?hl=PT – Acesso em 9 de setembro de 2011 – Texto adaptado)

3 Nessas condições, o valor de θ   é 2 π π c) a) 8 12 π π b) d) 10 18

e)

π 20

05. (UFJF MG) Considere as funções f, g e h definidas abaixo e os 3 gráficos apresentados. f :IR → IR, f(x) = sen(2x) I. g :IR → IR, g(x) = sen x II. sen(-x) III. h:IR → IR, h(x) =

Matemática e suas Tecnologias

08. (UFRS) No intervalo real [0, π/2], o conjunto solução da desigualdade sen x cos x ≤ 1/4 é a) [0, π/15] c) [0, π/10] e) [0, π/6] b) [0, π/12] d) [0, π/8]

y 2

A 1 -6

-4

2

-2

6

4

x

-1

09. (Unesp SP) A figura mostra a órbita elíptica de um satélite S em torno do planeta Terra. Na elipse, estão assinalados dois pontos: o ponto A (apogeu), que é o ponto da órbita mais afastado do centro da Terra, e o ponto P (perigeu), que é o ponto da órbita mais próximo do centro da Terra. O ponto O indica o centro da Terra e o ângulo PÔS tem medida á, com 0° ≤ α ≤ 360°.

-2

y 2

B

1 -4

-6

2

-2

6

4

x

(satélite) S

-1 -2

(apogeu) A

-6

0

y 2 1

C

-4

-2

4

2

6

(figura fora de escala)

x

-1 -2

A associação que melhor corresponde cada função ao seu respectivo gráfico é a) I – A, II – B e III – C b) I – A, II – C e III – B c) I – B, II – A e III – C d) I – B, II – C e III – A e) I – C, II – A e III – B 06. (Unifesp SP) Com base na figura, que representa o círculo trigonométrico e os eixos da tangente e da cotangente,

P (perigeu)

A altura h, em km, do satélite à superfície da Terra, dependendo do ângulo α (alfa), é dada aproximadamente pela função     2 7 980 trigonométrica h = -64 +    ⋅ 10 .  (100 + 5cos α )    Determine a) a altura h do satélite quando este se encontra no perigeu e também quando se encontra no apogeu. b) os valores de α, quando a altura h do satélite é de 1 580 km. a) 1 200 km e 2 000 km b) 90° ou 270°

10. (Fatec SP) Um determinado objeto de estudo é modelado segundo uma função trigonométrica f, de IR em IR, sendo parte do seu gráfico representado na figura:

y y C 1

A

4 B

1

x

a) calcule a área do triângulo ABC, para α = π/3. b) determine a área do triângulo ABC, em função de α, 1 2 3 π/4 < α < π/2.

1 a) 1 b) sen 2 3 07. (ITA SP) Os valores de α, com 0 < α < π e α ≠ π/2, para os quais a função f: IR → IR, dada por f(x) = 4x2 – 4x – tg2 α, assume seu valor mínimo igual a -4 são a) π/4 e 3π/4 b) π/5 e 2π/5 c) π/3 e 2π/3 d) π/7 e 2π/7 e) 2π/5 e 3π/5

0

2

2

x

Usando as informações dadas nesse gráfico, pode-se afirmar que a) a função f é definida por f(x) = 2 + 3·sen x. b) f é crescente para todo x tal que x ∈ [π, 2π]. c) o conjunto imagem da função f é [2, 4].  19π  d) para y = f   , tem-se 2 < y < 4.  4  e) o período de f é π.

331

FRENTE B  Exercícios de Aprofundamento

2

FRENTE

C

MATEMÁTICA Por falar nisso É notório que ganhar na loteria é um sonho de várias pessoas. Embora pareça ser uma ambição do homem moderno, a história nos mostra que os jogos de azar existem desde as sociedades mais antigas.

O jogo de azar mais antigo de que se tem notícia foi descoberto por arqueólogos no início do século XX, ao pesquisarem os túmulos reais da antiga civilização suméria. A disputa era realizada por meio de um grupo de dados piramidais, constituídos por ossos de animais, com diferentes símbolos moldados nas faces.

Posteriormente, na tumba do faraó egípcio Tutankhamon, foi encontrado um complexo jogo de tabuleiro com dados em forma de hastes, chamado “senet”, demonstrando que os jogos de azar também já estavam presentes na antiga civilização egípcia. As competições envolvendo apostas também eram muito comuns na Roma Antiga. Há relatos de um jogo de dados chamado “ra-zar” que só terminava após um dos participantes apostar suas últimas posses. Não tendo mais o que oferecer, apostava-se no jogo a própria liberdade. Atualmente, os jogos de azar atuam como uma indústria em todo o mundo. Assim, os grandes cassinos tornaramse destino turístico de milhares de pessoas e os mais tradicionais estão localizados na cidade de Las Vegas, no Estado de Nevada, nos Estados Unidos.

No Brasil, esse tipo de disputa está proibida desde 1946, quando foi publicado um decreto do presidente Eurico Gaspar Dutra. Contudo, ainda são permitidos os jogos em loterias, regulamentadas pelo governo federal com o intuito de redistribuir os valores arrecadados em políticas sociais. A mais famosa de nossas loterias é a Mega-Sena.

Em cada uma das apostas, joga-se em seis dezenas escolhidas entre as 60 possíveis. O número total de apostas possíveis é igual ao número de combinações de 60 elementos tomados 6 a 6, cujo resultado é igual ao espantoso número 50 063 860 (cinquenta milhões, sessenta e três mil, oitocentos e ses-senta). Assim, a probabilidade de ganhar na Mega-Sena, com apenas uma aposta é, aproximadamente, igual a 0,00000002, ou seja, é realmente muito pequena. Uma pessoa que fizer dois jogos por semana, durante as 52 semanas de um ano, por 100 anos, faria um total de 10 400 apostas, ainda muito menor que os 50 063 860 jogos possíveis. Nesse caso, a Matemática mostra aos apostadores de plantão uma realidade bem desanimadora.

Porém, para aquelas pessoas que gostam de jogar, o pensamento é o seguinte: “Já que de vez em quando alguém ganha, se eu continuar jogando, esse alguém poderá ser eu”.

Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

C13 C14 C15 C16

Análise combinatória – Arranjos e combinações simples ............334 Análise combinatória – Permutações simples..............................339 Análise combinatória – Permutações com repetição ..................344 Probabilidade – Definição .............................................................348

FRENTE

C

MATEMÁTICA

MÓDULO C13

ASSUNTOS ABORDADOS n Análise combinatória – Arranjos

e combinações simples n Arranjos simples n Combinações simples

ANÁLISE COMBINATÓRIA – ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES O sorvete foi inventado na China há quatro mil anos. Feita à base de leite e farinha de arroz, a sobremesa era congelada na neve, mas só as pessoas ricas podiam saboreá-la, já que a bebida era muito cara nessa época.

Para fazer o sorvete, os chineses adicionavam neve ao leite. E, em 1271, em uma de suas viagens à China, o explorador Marco Polo encantou-se com a sobremesa, levando-a para a Itália, quando a receita foi popularizada na Europa.

Já no século XVI, o cozinheiro Bernardo Buontalenti reinventou a sobremesa, proporcionando um aspecto mais macio e mais próximo ao produto que conhecemos hoje. A primeira sorveteria do mundo foi criada por Francisco Procópio, em Paris, na França, em 1670. Após seis anos, já existiam mais de 250 em todo o mundo.

Em 1834, quando o produto chegou ao Brasil, dois comerciantes imigrantes desembarcaram no Rio de Janeiro, após terem comprado 217 toneladas de gelo que, misturado ao leite e às frutas tropicais, criaram sabores locais. Devido às altas temperaturas, o sorvete não podia ser fabricado muito tempo antes do horário a ser consumido.

Com o tempo e a popularização da receita, diferentes sabores foram surgindo. Os mais comuns eram aqueles à base de frutas, como morango e banana. No entanto, o Japão, os Estados Unidos e a Irlanda inovaram, criando a sobremesa sabor tinta de lula, frango frito com waffles, queijo de cabra com cebola caramelizada, respectivamente, e diversos outros inusitados.

Assim, considere que em uma sorveteria há sorvetes nos sabores morango, chocolate, creme e flocos. Quantas maneiras podemos montar uma casquinha com dois sabores diferentes?

Para determinar quantas maneiras podemos montar essa casquinha, temos que utilizar um princípio de contagem denominado combinação simples.

Fonte: Shutterstock.com

Nesta aula, abordaremos dois métodos de contagem, o arranjo simples e a combinação simples.

334

Matemática e suas Tecnologias

Arranjos simples Com os elementos do conjunto A = {1, 2, 3, 4}, vamos formar todas as sequências possíveis de três elementos distintos: (1, 2, 3) (1, 3, 2) (2, 1, 3) (2, 3, 1) (3, 2, 1) (3, 1, 2) (1, 2, 4) (1, 4, 2) (2, 1, 4) (2, 4, 1) (4, 1, 2) (4, 2, 1) (1, 3, 4) (1, 4, 3) (3, 1, 4) (3, 4, 1) (4, 1, 3) (4, 3, 1) (2, 3, 4) (2, 4, 3) (3, 2, 4) (3, 4, 2) (4, 2, 3) (4, 3, 2) Essas sequências são chamadas de arranjos simples dos quatro elementos do conjunto A, tomados três a três, ou seja, um arranjo simples de três elementos do conjunto A é uma sequência qualquer formada por três elementos distintos de A. Note que dois arranjos simples são distintos pela ordem e pela natureza dos elementos que os compõem.

Por exemplo n n

Os arranjos simples (1, 2, 3) e (1, 3, 2) são distintos pela ordem dos elementos.

Os arranjos simples (1, 2, 3) e (1, 2, 4) são distintos pela natureza dos elementos.

Portanto, de maneira geral, temos: Seja A = {a1, a2, a3, ..., an} um conjunto com n elementos e p um número natural tal que p ≤ n. Denomina-se arranjos simples de p elementos do conjunto A toda sequência formada por p elementos distintos de A. Cálculo do número de arranjos simples O número de arranjos simples de quatro elementos distintos, tomados três a três, é indicado por A4, 3 e pode ser determinado pelo princípio fundamental da contagem. Veja.

1º elemento A4, 3 =

4

2º elemento ⋅

3

3º elemento ⋅

2

= 24

O número de arranjos simples de n elementos distintos, tomados p a p (com n e p números naturais e p ≤ n), pelo princípio fundamental da contagem, é dado por

An, p =n ⋅ (n - 1 ) ⋅ (n - 2 ) ⋅....⋅ n - (p - 1 )     p fatores

C13  Análise combinatória - Arranjos e combinaçõ es

Daí, temos que:

An, p =n ⋅ (n - 1 ) ⋅ (n - 2 ) ⋅....⋅ (n - p + 1 ) Também podemos escrever essa expressão por meio de fatoriais. Para isso, basta multiplicar e dividir a expressão de An, p por (n – p). Observe: n ⋅ (n - 1 ) ⋅ (n - 2) ⋅....⋅ (n - p + 1 ) ⋅ (n - p )!

An, p =n ⋅ (n - 1 ) ⋅ (n - 2 ) ⋅....⋅ (n - p + 1 ) = (n - p )!

Portanto, temos que:

An, p =

n!

(n - p )!

335

Matemática

Combinações simples Com os elementos do conjunto A = {1, 2, 3, 4} vamos formar todos os subconjuntos possíveis de três elementos distintos: {1, 2, 3} {1, 2, 4} {1, 3, 4} {2, 3, 4} Esses subconjuntos são chamados de combinações simples dos quatro elementos do conjunto A, tomados três a três, ou seja, uma combinação simples de três elementos do conjunto A é um subconjunto qualquer, formado por três elementos distintos de A. Note que duas combinações simples são distintas apenas pela natureza dos elementos que os compõem.

Por exemplo n As combinações simples {1, 2, 3} e {1, 3, 2} não são distintas. n As combinações simples {1, 2, 3} e {1, 2, 4} são distintas pela natureza dos elementos.

Portanto, de maneira geral, temos: Seja A = {a1, a2, a3, ..., an} um conjunto com n elementos e p um número natural tal que p ≤ n. Denomina-se combinações simples de p elementos do conjunto A todo subconjunto formado por p elementos de A. Cálculo do número de combinações simples O número de combinações simples de quatro elementos distintos tomados três a três é indicado por C4, 3. Para se determinar esse número, devemos relacionar o número de combinações simples de n elementos tomados p a p, com o número de arranjos simples de n elementos tomados p a p. Para isso, note que: n n n n

Para a combinação {1, 2, 3}, teremos os 6 = 3! arranjos (1, 2, 3) (1, 3, 2) (2, 1, 3) (2, 3, 1) (3, 1, 2) (3, 2, 1).

Para a combinação {1, 2, 4}, teremos os 6 = 3! arranjos (1, 2, 4) (1, 4, 2) (2, 1, 4) (2, 4, 1) (4, 1, 2) (4, 2, 1).

Para a combinação {1, 3, 4}, teremos os 6 = 3! arranjos (1, 3, 4) (1, 4, 3) (3, 1, 4) (3, 4, 2) (4, 1, 3) (4, 3, 1).

Para a combinação {2, 3, 4}, teremos os 6 = 3! arranjos (2, 3, 4) (2, 4, 3) (3, 2, 4) (3, 4, 2) (4, 2, 3) (4, 3, 2).

Assim, para cada uma das possíveis combinações simples, teremos 6 = 3! arranjos simples. Daí, temos que: C13  Análise combinatória - Arranjos e combinaçõ es

C4, 3 ⋅ 3! = A4, 3 ⇒ C4, 3 =

A 4, 3 3!

De maneira geral, o número de combinações simples de n elementos distintos tomados p a p (com n e p números naturais e p ≤ n), é dado por: n!

An, p = C= n, p p!

(n - p )!

= p!

n! (n - p )!⋅ p!

Portanto, temos que:

Cn,p =

336

n! (n - p )!⋅ p!

Matemática e suas Tecnologias

EXEMPLOS 01. Quantas “palavras” com quatro letras distintas podemos formar com as letras da palavra EXCLUSIVO? RESOLUÇÃO Temos que determinar quantas sequências de quatro elementos podemos formar a partir de um conjunto com nove letras. Essa quantidade é dada por: A9,4 =

9!

( 9 - 4 )!

=

9! 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5! = = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 3 024 5!

5!

Portanto, podemos formar 3 024 “palavras”.

02. De quantas maneiras seis pessoas, entre elas Marcelo, podem sentar-se num banco de quatro lugares, sabendo que Marcelo deverá ocupar uma das extremidades desse banco?

RESOLUÇÃO

5!

( 5 - 3)!

=

Como Ana Beatriz, obrigatoriamente, deve participar da comissão, temos que determinar quantos subconjuntos de três elementos podemos formar a partir de um conjunto com dez pessoas. Essa quantidade é dada por: C= 10,3

10!

=

(10 - 3)!⋅ 3!

10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = = = 120 7!⋅ 3! 7!⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 3 ⋅ 2 ⋅1

Portanto, podemos formar 120 comissões.

04. Dos 12 jogadores que irão participar de uma partida de vôlei, apenas 6 entrarão em quadra no início do jogo (time titular). Sabendo que dois são levantadores e dez são atacantes, de quantos modos podemos escolher um levantador e cinco atacantes para iniciar a partida?

RESOLUÇÃO Vamos dividir esse acontecimento em duas etapas:

Vamos dividir esse acontecimento em duas etapas: 1ª etapa: escolha da posição de Marcelo. Para essa etapa, temos 2 possibilidades.

2ª etapa: escolha da posição das demais pessoas. Para essa etapa, temos que determinar o número de sequências de três elementos (demais posições no banco) podemos formar a partir de um conjunto de cinco pessoas. Essa quantidade é dada por: A5,3 =

RESOLUÇÃO

5! 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2! = = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 2!

5!

Pelo princípio fundamental da contagem, temos que: 1ª etapa 2ª etapa 2 ⋅ 60 = 120 Portanto, existem 120 maneiras.

03. De um grupo de 11 pessoas, entre elas Ana Beatriz, deseja-se escolher uma comissão com quatro componentes. Quantas comissões podem ser formadas com a participação de Ana Beatriz?

1ª etapa: escolha do levantador.

Para essa etapa, temos que determinar o número de subconjuntos de um elemento que podemos formar a partir de um conjunto de 2 levantadores. Essa quantidade é dada por: C2,1=

2!

=

(2 - 1 )!⋅ 1!

2! 2 = = 2 1!⋅ 1! 1

2ª etapa: escolha do atacante.

Para essa etapa, temos que determinar o número de subconjuntos de cinco elementos que podemos formar a partir de um conjunto de dez atacantes. Essa quantidade é dada por: C= 10,5

10!

=

(10 - 5)!⋅ 5!

10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = = = 252 5!⋅ 5! 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 5!

5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1

Pelo princípio fundamental da contagem, temos que: 1ª etapa 2ª etapa 2 ⋅ 252 = 504 Portanto, existem 504 modos.

Exercícios de Fixação a) 504

b) 1 320

a) Nove atletas disputam uma corrida. Supondo que todos terminem a prova, quantas são as possibilidades de chegada para os três primeiros lugares? b) Uma empresa possui 12 funcionários. De quantas maneiras três desses funcionários podem ser escolhidos para preencher três cargos distintos de diretoria?

02. (UFES) Três casais devem sentar-se em oito poltronas de uma fileira de um cinema. Calcule de quantas maneiras eles podem sentar-se nas poltronas de modo arbitrário, sem restrições.

Gabarito 20 160

03. Uma empresa é formada por 14 sócios, sendo oito brasileiros e seis estrangeiros. De quantas maneiras diferentes podemos formar uma diretoria de cinco sócios, sendo três brasileiros e dois estrangeiros? Gabarito 840

04. Quantos números de cinco algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 8? Gabarito 2 520 05. Considere duas retas, r e s, paralelas. Sobre a reta r marcam-se cinco pontos distintos e sobre a reta s marcam-se três pontos distintos. a) 45 b) 60 a) Quantos triângulos com vértices nesses pontos podem ser formados? b) Quantos quadriláteros com vértices nesses pontos podem ser formados?

06. Responda aos itens a seguir. a) 4 845 b) 70 a) Quantas comissões de formatura com quatro membros podemos formar com 20 alunos? b) Numa circunferência, são marcados oito pontos distintos. Quantos triângulos podemos obter com vértices nesses pontos?

337

C13  Análise combinatória - Arranjos e combinações

01. Responda aos itens a seguir.

Matemática

Exercícios C om p l em en t ares 01. (UEG) Na cantina “Canto Feliz”, surgiram as seguintes va-

06. (Enem MEC) Considere que um professor de arqueologia

gas de trabalho: duas para serviços de limpeza, cinco para

tenha obtido recursos para visitar cinco museus, sendo três

serviços de balcão, quatro para serviços de entregador e

deles no Brasil e dois fora do País. Ele decidiu restringir sua

uma para serviços gerais. Para preencher essas vagas, can-

escolha aos museus nacionais e internacionais relacionados

didataram-se 23 pessoas: oito para a função de limpeza,

na tabela a seguir.

sete para a de balconista, seis para a de entregador e duas para serviços gerais. Considerando todas as possibilidades

Museus Nacionais

Museus internacionais

de seleção desses candidatos, determine o número total

Masp – São Paulo

Louvre – Paris

MAM – São Paulo

Prado – Madri

Ipiranga – São Paulo

British Museum – Londres

Imperial – Petrópolis

Metropolitan – New York

dessas possibilidades.

Gabarito 17 640

02. (Unesp SP) O setor de emergência de um hospital conta, para os plantões noturnos, com três pediatras, quatro clínicos gerais e cinco enfermeiros. As equipes de plantão deverão ser constituídas por um pediatra, um clínico geral e dois enfermeiros. Determine:

a) 10 b) 120

a) Quantos pares distintos de enfermeiros podem ser formados? b) Quantas equipes de plantão distintas podem ser formadas?

03. (Mackenzie SP) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, quantos números com algarismos distintos e menores que 200 podemos formar? a) 36 b) 24 c) 22 d) 13 e) 10 04. (UFC) Uma comissão de cinco membros será formada escolhendo-se parlamentares de um conjunto com cinco senadores e três deputados. Determine o número de comissões distintas que podem ser formadas obedecendo à regra: a

C13  Análise combinatória - Arranjos e combinações

presidência da comissão deve ser ocupada por um senador e a vice-presidência por um deputado (duas comissões com as mesmas pessoas, mas que a presidência ou a vice-presidência sejam ocupadas por pessoas diferentes).

Gabarito 300

05. (UFMG) Duas das cinquenta cadeiras de uma sala serão ocupadas por dois alunos. O número de maneiras distintas possíveis que esses alunos terão para escolher duas das cinquenta cadeiras, para ocupá-las, é a) 1225 b) 2450 c) 250 d) 40! e) 50!

338

De acordo com os recursos obtidos, de quantas maneiras diferentes esse professor pode escolher os cinco museus para visitar? a) 6 b) 8 c) 20 d) 24 e) 36 07. (Fuvest SP) Uma ONG decidiu preparar sacolas, contendo quatro itens distintos cada, para distribuir entre a população carente. Esses quatro itens devem ser escolhidos entre oito tipos de produtos de limpeza e cinco tipos de alimentos não perecíveis. Em cada sacola, deve haver pelo menos um item que seja alimento não perecível e pelo menos um item que seja produto de limpeza. Quantos tipos de sacolas distintas podem ser feitos? a) 360 b) 420 c) 540 d) 600 e) 640 08. (Uerj RJ) Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem escolher: n um dentre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo; n um dentre os tamanhos: pequeno e grande; n de um até cinco dentre os tipos de recheio.

Calcule: a) 186 b) 20 a) Quantos sanduíches distintos podem ser montados. b) O número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele não gosta de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche.

FRENTE

C

MATEMÁTICA

MÓDULO C14

ANÁLISE COMBINATÓRIA – PERMUTAÇÕES SIMPLES Viajar de carro, seja com os amigos, com a família ou até mesmo sozinho, é uma ótima experiência. Dessa maneira, é possível contemplar todas as paisagens pelas quais se percorre, parar e conhecer diversos lugares pelo caminho, além de poder dar aquela relaxada, renovando as energias.

ASSUNTOS ABORDADOS n Análise combinatória – Permu-

tações simples

n Permutações simples n Permutações circulares

No Brasil, há opções para se viajar de carro para todas as regiões. Se uma pessoa mora no Sudeste e quer conhecer o Nordeste, por exemplo, sem precisar dirigir por longas estradas, ela pode ir de avião e, chegando lá, alugar um carro para explorar o local. Confira abaixo algumas dicas de roteiros turísticos para cada região do País e se jogue nessa aventura.

Região Sul Viajar de carro para esse local é uma ótima oportunidade de experimentar a cultura e o clima europeu. Para os casais românticos, o roteiro inclui cidades como Gramado, Nova Petrópolis, São Leopoldo, Canela e Novo Hamburgo. No geral, as cidades sulistas são repletas de festas típicas e lindas paisagens, com opções para o ecoturismo.

Região Sudeste

339

Fonte: Shutterstock.com

Para os apaixonados por praia, um belo passeio é ir de São Paulo para o Rio de Janeiro, pela estrada Rio-Santos, embora haja outras, com pouco ou muito fluxo. Fazer o trajeto aproveitando cada momento e a paisagem vista é sensacional. Em época de baixa temporada, será fácil chegar à praia que mais chamar sua atenção e encontrar vaga em uma pousada para se hospedar.

Matemática

Região Centro-Oeste Um dos locais mais lindos e visitados pelos turistas no Estado de Goiás é a Chapada dos Veadeiros, localizada a 230 km da capital federal. Quem vai de Brasília até lá tem a chance de apreciar paisagens exuberantes, além de poder se aventurar pelas cachoeiras, piscinas naturais e trilhas do parque.

Região Norte Percorrer as estradas de Belém até a ilha de Mosqueiro (distrito administrativo do município) é uma ótima opção. Situada a 70 km da capital do Pará, a ilha fluvial possui 17 km de praias de água doce, com ondas, correnteza e muita areia.

Região Nordeste Sol, praia e calor contemplam as praias dessa região o ano todo. E, viajando de carro, é possível visitar mais de um estado de uma só vez. Para se ter uma ideia, de João Pessoa (PB) para Natal (RN) há uma estrada ideal para se dirigir, praticamente sem curvas.

O trajeto é feito em três horas, em média. Mas se quiser parar pelo caminho, próximo à capital paraibana, existem praias belas e calmas, como a de Lucena, por exemplo. Já perto da capital norte rio-grandense, você pode parar para conhecer uma das mais belas praias, a da Pipa.

Assim, considere que um grupo de cinco pessoas decida viajar de carro para a região Nordeste, mas apenas duas delas sabem dirigir. De quantas maneiras é possível distribuir essas pessoas no carro durante a viagem?

Para determinarmos de quantas maneiras isso é possível, temos que utilizar um princípio de contagem denominado permutação simples.

Nesta aula, estudaremos dois métodos de contagem, a permutação simples e a permutação circular.

Permutações simples Com os elementos do conjunto A = {3, 4, 5}, vamos formar todas as sequências possíveis de três elementos distintos: (3, 4, 5) (3, 5, 4) (4, 3, 5) (4, 5, 3) (5, 3, 4) (5, 4, 3) Já vimos que essas sequências são chamadas de arranjos simples dos três elementos do conjunto A tomados três a três.

C14  Análise combinatória - Permutaçõ es simples

Note que dois quaisquer desses arranjos são distintos apenas pela ordem dos elementos, pois todas as sequências são formadas pelos mesmos algarismos, 3, 4 e 5. Daí, dizemos que cada uma dessas sequências é uma permutação simples dos algarismos 3, 4 e 5.

Portanto, de maneira geral, seja A = {a1, a2, a3, ..., an} um conjunto com n elementos, denomina-se permutação simples dos n elementos do conjunto A todo arranjo simples desses n elementos tomados n a n.

Cálculo do número de permutações simples O número de permutações simples de três elementos distintos, tomados três a três, é indicado por P3 e pode ser determinado pelo princípio fundamental da contagem. Veja.

340

Matemática e suas Tecnologias

1º elemento P3 =

2º elemento ⋅

3

3º elemento ⋅

2

1

=6

O número de permutações simples de n elementos distintos é igual ao número de arranjos simples de n elementos distintos tomados n a n, ou seja,

n! n! n! = = n n !

0!

1 ( )

P= An,= n n Portanto, temos que

Pn = n!

Permutações circulares De quantas maneiras podemos distribuir seis pessoas em torno de uma mesa circular, considerando que são equivalentes disposições que possam coincidir por rotação?

Estamos diante de um problema de permutação circular. Cada maneira de dispor essas seis pessoas será uma permutação circular e duas permutações circulares são idênticas se coincidirem a partir de uma rotação simples.

Chamando essas seis pessoas de A, B, C, D, E e F, na figura a seguir, temos seis permutações circulares idênticas.

A

B

F

F C

E

D

A

E

E B

D

C

F

D

D A

C

E

C

B

C F

B

A

D

B

B E

A

F

C D

A F

E

Assim, nas permutações circulares, o que realmente importa é apenas a posição relativa entre as pessoas. Analisando essas disposições, note que, por exemplo, em relação à pessoa A, temos que: n n n

A pessoa D sempre está à sua frente.

A pessoa B sempre está imediatamente à sua esquerda.

A pessoa F sempre está imediatamente à sua direita.

Cálculo do número de permutações circulares

C14  Análise combinatória - Permutaçõ es simples

Para determinar o número de permutações circulares de n elementos, vamos partir da ideia de que o que importa numa permutação circular é unicamente a posição relativa das pessoas. Daí, temos que há uma maneira de colocar a 1ª pessoa na mesa circular, pois onde quer que a coloquemos, ela será a única pessoa na mesa.

A partir desse momento, todos os outros lugares ficam marcados em relação à pessoa já posicionada. Assim, basta agora distribuir as demais (n – 1) pessoas nas demais (n – 1) posições possíveis.

Portanto, o número de permutações circulares de n elementos, indicada por (PC)n é dada por (PC)n = (n – 1)!

341

Matemática

EXEMPLOS 01. Quantos são os anagramas da palavra BRASIL?

03. Quantos anagramas da palavra GALETO possuem as vogais juntas?

RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO Anagramas são sequências de letras formadas com as mesmas letras de determinada palavra que não precisam ter significado na linguagem comum. São exemplos de anagramas da palavra BRASIL: RBSLIA e LIABRS. O número de anagramas da palavra BRASIL é igual ao número de sequências que podemos obter com essas seis letras, ou seja, uma permutação de seis elementos. Assim, o número de anagramas dessa palavra, é dado por:

Portanto, são 720 anagramas.

02. Quantos anagramas da palavra MARTELOS começam e terminam com vogal?

RESOLUÇÃO Os anagramas pedidos são do tipo: Vogal

Vamos dividir esse acontecimento em três etapas: n 1ª etapa: escolha da 1ª letra que deve ser uma vogal. Para essa etapa, temos três possibilidades. n 2ª etapa: escolha da 8ª letra que deve ser uma vogal diferente da 1ª já escolhida. Para essa etapa, temos duas possibilidades. n 3ª etapa: escolha das demais letras. Para essa etapa, temos que determinar o número de sequências de seis elementos que podemos formar a partir de um conjunto de seis letras. Essa quantidade é dada por: P6 = 5! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 720 Pelo princípio fundamental da contagem, temos que: 1ª etapa 3

2ª etapa ⋅

2

3ª etapa ⋅

AEO

G

T

L

Vamos dividir esse acontecimento em duas etapas: n 1ª etapa: calcular o número de permutações dos quatro elementos (AEO, G, T e L). Essa quantidade é dada por:

P6 = 6! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 720

Vogal

Como as vogais vão ficar sempre juntas, podemos calcular o número de permutações dos quatro elementos AEO, G, T e L, ou seja, considerar bloco AEO como um único elemento. A seguir, temos o exemplo de um dos possíveis anagramas da palavra GALETO com as vogais juntas:

720 = 4 320

Portanto, existem 4 320 anagramas.

P4 = 4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 Note que, nesses 24 anagramas, as vogais apresentam-se numa determinada sequência. Por exemplo, AEO. n 2ª etapa: calcular o número de permutações das vogais AEO. Essa quantidade é dada por: P3 = 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 Pelo princípio fundamental da contagem, temos que: 1ª etapa 24

2ª etapa ⋅

6

= 144

Portanto, existem 144 anagramas.

04. De quantas maneiras podemos dispor quatro pessoas em uma mesa circular?

RESOLUÇÃO O número de permutações circulares de n elementos é dada por (PC)n = (n – 1)!

Assim, para n = 4, temos que: (PC)6 = (4 – 1)! = 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 Portanto, existem seis maneiras.

C14  Análise combinatória - Permutações simples

Exercícios de Fixação 01. Quantos números de seis algarismos distintos podem ser formados, usando-se os algarismos 2, 4, 6, 7, 8 e 9 de modo que se tenha pelo menos um algarismo par entre os dois algarismos ímpares? 480 02. De quantas maneiras distintas, Ana, Bia, Carla, Débora e Elisa, podem ficar lado a lado para tirar uma foto de modo que a) 24

b) 72

c) 12

a) Ana e Bia fiquem juntas. b) Carla e Débora fiquem separadas. c) Ana e Bia fiquem juntas e Carla e Débora separadas.

342

03. Considere todos os números naturais de cinco algarismos distintos formados por 1, 2, 3, 4 e 5. Escrevendo os números em ordem crescente, qual é a ordem do número 34 512? 65º 04. De quantas maneiras cinco meninas e cinco meninos podem se acomodar em uma mesa circular de modo que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas? 2 880 05. De quantas maneiras três mulheres e quatro homens podem formar uma roda de ciranda de modo que as mulheres permaneçam juntas? 144

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios C om p l em en t ares 01. (UPE) Na comemoração de suas Bodas de Ouro, Sr. Ma-

exemplar de “Descobrindo o Pantanal”. De quantas manei-

nuel e D. Joaquina resolveram registrar o encontro com

ras diferentes eles podem ser alinhados na prateleira, se os

seus familiares através de fotos. Uma delas sugerida pela

de mesmo tamanho devem ficar juntos e “Descobrindo o

família foi dos avós com seus oito netos. Por sugestão

Pantanal” deve ficar em um dos extremos?

do fotógrafo, na organização para a foto, todos os netos deveriam ficar entre os seus avós. De quantos modos distintos Sr. Manuel e D. Joaquina podem posar para essa foto com seus netos?

11 520

06. Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o

a) 100

pai e a mãe fiquem juntos?

b) 800 c) 40.320

48

07. (UEMA) Uma professora de educação física infantil de uma

d) 80.640

escola, durante a recreação de seus seis alunos, organiza-

e) 3.628.800

-os em círculos para brincar. Considere a seguinte forma de

02. (Unicamp SP) Considere o conjunto dos dígitos {1, 2, 3, ..., 9}

organização dos alunos pela professora: são três meninas e

e forme com eles números de nove algarismos distintos.

três meninos e cada menina ficará ao lado de um menino,

Quantos desses números são pares?

de modo alternado.

03. (UFF) Três ingleses, quatro americanos e cinco franceses

As possibilidades de organização dos seus alunos são:

serão dispostos em fila (em linha reta) de modo que as

a) 4

pessoas de mesma nacionalidade estejam sempre juntas.

b) 6

De quantas maneiras distintas a fila poderá ser formada, de

c) 9

modo que o primeiro da fila seja um francês?

d) 12

34 560

04. (Enem MEC) O setor de recursos humanos de uma empre-

e) 16

sa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma

08. Um anagrama (do grego ana = “voltar” ou “repetir” + gra-

vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a

phein = “escrever”) é uma espécie de jogo de palavras, re-

cada candidato um número, colocar a lista de números em

sultado do rearranjo das letras de uma palavra ou frase para

ordem numérica crescente e usá-la para convocar os inte-

produzir outras palavras, utilizando todas as letras originais

ressados. Acontece que, por um defeito do computador,

exatamente uma vez.

foram gerados números com cinco algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares. Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913 é a) 24 b) 31 c) 32 d) 88 e) 89 05. (FGV SP) No estande de vendas da editora, foram selecio-

Com base nessa definição, calcule o número total de anagramas das palavras a seguir:

a) 24

b) 120

c) 720

d) 5 040

a) MEDO b) AMIGO c) ESCOLA d) CABELOS 09. Considere os anagramas da palavra JURADOS para responder aos itens a seguir:

a) 2 160

b) 1 440

c) 120

d) 720

a) Quantos começam com vogal?

nados cinco livros distintos, grandes, de mesmo tamanho,

b) Quantos começam com vogal e terminam com consoante?

e quatro livros distintos, pequenos, de mesmo tamanho.

c) Quantos possuem as vogais juntas em ordem alfabética?

Eles serão expostos em uma prateleira junto com um único

d) Quantos possuem as vogais juntas?

343

C14  Análise combinatória - Permutações simples

161 280

FRENTE

C

MATEMÁTICA

MÓDULO C15

ASSUNTOS ABORDADOS n Análise combinatória - Permu-

tação com repetição

n Permutação com repetição

ANÁLISE COMBINATÓRIA - PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO A robótica educacional ou pedagógica é uma metodologia de ensino, cujo objetivo é despertar no aluno o interesse pela investigação e materialização dos conceitos vistos em sala de aula. Com isso são criados ambientes de aprendizagem que reúnem desde materiais de sucata ou até mesmo kits compostos por diversas peças, motores e sensores controlados por computadores e softwares, que permitem a programação dos modelos montados. Tudo isso proporciona o aprendizado prático, desenvolvendo no aluno a capacidade de pensar e encontrar soluções para os desafios propostos, incentivando, ainda, o trabalho em grupo, a cooperação, o planejamento, a pesquisa, a definição de ações a serem tomadas e o respeito pelas diversas opiniões existentes.

Portanto, a robótica pedagógica representa uma atividade lúdica e desafiadora, unindo o aprendizado à prática. A motivação, construção e reconstrução de maquetes e robôs também são características presentes nesse método de ensino, que leva os alunos a uma vivência interdisciplinar.

Assim, considere que um projeto piloto desenvolvido em um curso de robótica prevê a construção de um robô, cujos movimentos estão limitados apenas a andar para frente e para a direita. Suponha que esse robô esteja inicialmente numa posição A e deseja-se que ele se desloque até chegar a uma posição B localizada numa superfície plana, utilizando apenas os movimentos que lhe são permitidos.

Na figura a seguir, tem-se a ilustração dessa superfície plana com os pontos A e B, bem como uma possível maneira de o robô se deslocar do ponto A ao ponto B com os movimentos permitidos.

B

A

Fonte: Shutterstock.com

Para determinarmos o número total de maneiras distintas de o robô se deslocar de A até B, temos que utilizar um princípio de contagem que abordaremos nessa aula, denominado permutação com repetição.

344

Matemática e suas Tecnologias

Permutação com repetição Já vimos que o número de permutações com n elementos distintos é dada por: Pn = n!

Como, nesta aula, estudaremos o cálculo do número de permutações com elementos repetidos, vamos considerar os anagramas da palavra BANANAS. Se as sete letras dessa palavra fossem distintas entre si, teríamos 7! = 5 040 anagramas. Porém, ao permutar entre si duas ou mais letras iguais o anagrama não se altera, ou seja, a quantidade de anagramas da palavra BANANAS é menor que 5 040.

Para calcular essa quantidade, vamos utilizar o seguinte procedimento: 1º passo: determinar o número de possibilidades de se localizar as letras “A” entre sete posições possíveis. Note que há C7, 3 possibilidades. A seguir, temos uma possível distribuição das letras “A”.

A

A

A

2º passo: determinar o número de possibilidades de se localizar as letras “N” entre quatro posições possíveis que restaram. Note que há C4, 2 possibilidades. A seguir, temos uma possível distribuição para das letras “A” e “N”.

A

A

A

N

N

3º passo: determinar o número de possibilidades de se localizar as letras “B” e “S” entre as duas posições possíveis que restaram. Note que, há P2 possibilidades.

Daí, pelo princípio fundamental da contagem, a quantidade total de anagramas é dada por: 7!

4!

C7, 3 ⋅ C4, 2 ⋅ P2 = ⋅ ⋅ 2!

3!⋅ 4! 2!⋅2!

Simplificando essa expressão, teremos o número de permutações da palavra BANANAS, que é dado por: 7!

3!⋅2!

Para esse caso, temos que: n n

O termo 7! nos indica que iremos permutar um total de sete elementos.

O termo 3! nos indica que temos um elemento (letra A) que se repete três vezes.

O termo 2! nos indica que temos um elemento (letra N) que se repete duas vezes.

C15  Análise combinatória - Permutação com repetição

n

7! por P73,2 , ou seja, uma permutação de sete elementos 3!⋅2! dos quais um deles repete três vezes e outro repete duas vezes.

Indicaremos a expressão

Portanto, temos que:

P73,2 =

7! 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! = = 420 anagramas 3!⋅2!

3!⋅2 ⋅ 1

De maneira geral, se temos n elementos, dos quais a1 se repete p1 vezes, a2 se repete p2 vezes, a3 se repete p3, ... an se repete pn vezes, o número de permutações é dado por: Pnp1 , p2 , ..., pn =

n! p1 !⋅ p2 !⋅... ⋅ pn !

345

Matemática

EXEMPLOS 01. Qual o número total de anagramas da palavra ACADEMIA? RESOLUÇÃO Cada anagrama da palavra ACADEMIA é uma sequência de oito letras, das quais três são iguais a “A”. Assim, o número total de anagramas é dado por: 8!

P83 = 3!

8 ⋅ 7⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! = 6720 3! = anagramas

Portanto, o total de anagramas é 6 720.

02. Quantas soluções naturais tem a equação x + y + z = 7?

RESOLUÇÃO

Solução

Notação especial

(1, 4, 2)

I + IIII + II

(1, 2, 4)

I + II + IIII

(1, 6, 0)

I + IIIIII +

(0, 0, 7)

+ + IIIIIII

Note que toda solução natural dessa equação pode ser escrita como uma notação especial, utilizando sempre os mesmos símbolos, porém em sequências distintas. Assim, o número de soluções é igual ao número de notações especiais obtidas, ou seja, é uma sequência de nove símbolos, dos quais sete são iguais a | e dois são iguais a +. Logo, o número total de sequências é dado por: P97,2 =

Observe alguns conjuntos ordenados que são soluções dessa equação: (1, 4, 2), (1, 2, 4), (1, 6, 0), (0, 0, 7), ...

Podemos representar cada uma dessas soluções por meio das seguintes notações especiais:

9!

9 ⋅ 8 ⋅ 7! = 36 sequências = 7!⋅2 ⋅ 1 7!⋅2!

Portanto, o total de soluções é 36.

Exercícios de Fixação 01. Determine o número de anagramas de cada uma das palavras abaixo: a) 12 b) 10 c) 420 d) 20 160 a) OURO b) ARARA c) SOSSEGO d) ECONOMIA

06. (Unicamp SP) De quantas maneiras é possível distribuir 20 bolas iguais entre três crianças de modo que cada uma delas receba, pelo menos, cinco bolas? 21

02. Determine a quantidade de números distintos que podemos obter, permutando os algarismos dos números: C15  Análise combinatória - Permutação com repetição

a) 60

a) Quantas soluções naturais possui a equação x + y + z = 8? b) Quantas soluções naturais positivas possui a equação x + y + z + w = 10?

b) 30

07. (URFS) No desenho a seguir, as linhas horizontais e verticais representam ruas e os quadrados representam quarteirões.

a) 34 632 b) 96 697

B C

03. Permutando os algarismos 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, quantos números de dez algarismos podemos formar? 12 600 04. Considerando os anagramas da palavra MARROCOS, pera) 10 080 b) 1 260 c) 3 780 gunta-se a) qual é o número total de anagramas? b) qual é o número de anagramas que começam com a letra “A”? c) qual é o número de anagramas que começam com vogal?

05. Responda aos itens a seguir.

346

a) 45

b) 84

A

A quantidade de trajetos de comprimento mínimo ligando A e B que passam por C é a) 12 b) 13 c) 15 d) 24 e) 30

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios C om p l em en t ares 01. (UEL PR) Usando uma vez a letra A, uma vez a letra B e n – 2 vezes a letra C, podemos formar 20 anagramas diferentes com n letras em cada anagrama. O valor de n é a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 02. (UFSC) Calcule o número de anagramas da palavra CLARA em que as letras AR aparecem juntas e nesta ordem.

24

03. (UFSM) De quantas maneiras distintas podem-se alinhar cinco estacas azuis idênticas, uma vermelha e uma branca?

No setor de produção da empresa que fabrica esse brin-

a) 12

quedo, feita a pintura de todos os carrinhos para que o as-

b) 30

pecto do brinquedo fique mais atraente, são utilizadas as

c) 42

cores amarelo, branco, vermelho e verde, sendo que cada

d) 240

carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-ce-

e) 5 040

gonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carri-

04. Um dado é lançado cinco vezes sucessivamente. Determine

nho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança

o número de sequências de resultados em que

de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera

a) três faces são iguais a 3 e duas faces iguais a 2.

um novo modelo de brinquedo. Com base nessas informa-

b) quatro faces são iguais a 5 e uma face igual a 4.

ções, quantos são os modelos distintos do brinquedo que

a) 10

b) 5

essa empresa poderá produzir?

05. (Uerj RJ) Um sistema luminoso, constituído de oito módulos

a) C6, 4

idênticos, foi montado para emitir mensagens em código.

b) C9, 3

Cada módulo possui três lâmpadas de cores diferentes −

c) C10, 4

vermelha, amarela e verde. Observe a figura:

d) 64 e) 46 07. (Fuvest SP) A figura a seguir representa parte do mapa de Maria(B), a escola(C) e um possível caminho que João per-

Considere as seguintes informações: n cada módulo pode acender apenas uma lâmpada por vez; n qualquer mensagem é configurada pelo acendimento simultâneo de três lâmpadas vermelhas, duas verdes e uma amarela, permanecendo dois módulos com as três lâmpadas apagadas; n duas mensagens são diferentes quando pelo menos uma das posições dessas cores acesas é diferente.

Calcule o número de mensagens distintas que esse sistema pode emitir.

corre para, passando pela casa de Maria, chegar à escola.

C

B N L A

1 680

06. (Enem MEC) Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura.

Qual o número total de caminhos distintos que João poderá percorrer, caminhando somente para o Norte ou Leste, para ir de sua casa à escola, passando pela casa de Maria?

150

347

C15  Análise combinatória - Permutação com repetição

uma cidade onde estão assinaladas as casas de João(A), de

FRENTE

C

MATEMÁTICA

MÓDULO C16

ASSUNTOS ABORDADOS n Probabilidade – Definição n Experimentos aleatórios n Espaço amostral n Evento n Definição de probabilidade n Eventos complementares

PROBABILIDADE – DEFINIÇÃO Las Vegas é uma cidade norte-americana fundada em 1905, localizada ao sul do estado de Nevada, no Condado de Clark, nos Estados Unidos. Considerada a “Capital Mundial do Entretenimento”, possuiu uma infinidade de atrações voltadas à diversão, sendo famosa por seus luxuosos cassinos e hotéis.

Os hotéis possuem uma infraestrutura completa com serviços como spa e ingressos para os melhores espetáculos em cartaz na cidade. Tudo isso para o cliente não precisar sair a pé nas ruas, já que o calor de 40 °C e o ar seco dificultam a locomoção. É em Las Vegas Boulevard, mais conhecida como The Strip, que se encontram os cassinos mais imponentes do mundo, como o Bellagio, Caesars Palace, Excalibur, Luxor, entre muitos outros.

Esses locais de jogos sempre foram o forte da cidade, porém a oferta de entretenimento, atualmente, é ilimitada, sofisticada e agrada a todos os públicos. Espetáculos grandiosos, shows de artistas mundialmente famosos, restaurantes comandados por chefes famosos, passeios de helicóptero pelo Grand Canyon e muitas opções de compras são alguns dos atrativos que essa magnífica cidade tem a oferecer para o mundo.

Assim, considere que André, Bernardo e Carlos, em uma visita a Las Vegas, resolveram tentar a sorte lançando dados em um dos melhores cassinos do mundo. Cada um deles jogou dois dados, numerados de um a seis.

André apostou que, após jogar seus dados, a soma dos números das faces voltadas para cima seria igual a seis. Já Bernardo, apostou que, após jogar seus dados, a soma dos números das faces voltadas para cima seria igual a sete. Por fim, Carlos apostou que, após jogar seus dados, a soma dos números das faces voltadas para cima seria igual a oito.

Com essas escolhas, qual dos três tem a maior “chance” de acertar a soma? Para responder a essa e a outras questões envolvendo jogos e apostas, vamos utilizar um ramo da matemática chamado Teoria das Probabilidades.

Nesta aula, abordaremos os aspectos iniciais dessa teoria, à qual se atribui as primeiras considerações aos matemáticos italianos Pacioli, Cardano e Tartaglia (séc. XVI).

Fonte: Shutterstock.com

Figura 01 - Ilustração mostra o quanto é iluminada a cidade de Las Vegas durante a noite

348

Matemática e suas Tecnologias

Experimentos aleatórios Há certos experimentos que, embora sejam repetidos muitas vezes e sob condições idênticas, não apresentam os mesmos resultados. Em experimentos como esses, que dependem exclusivamente do acaso e que não se pode determinar seu resultado antes de sua realização, chamamos de experimentos aleatórios.

Exemplos n n n n

Lançamento de uma moeda perfeita.

Lançamento de um par de dados não viciados.

Retirada de uma carta de um baralho.

Resultado de um jogo da sena.

Pelo fato de não sabermos o resultado exato de um fenômeno aleatório, é que buscamos a chance de um determinado resultado.

Espaço amostral O espaço amostral de um experimento aleatório, indicado pela letra U, é o conjunto formado por todos os resultados possíveis desse experimento.

Por Exemplo: n

No lançamento de uma moeda, o espaço amostral é dado por: U = {cara, coroa} e n(U) = 2

n

No lançamento de um dado comum, o espaço amostral é dado por: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(U) = 6

n

No lançamento simultâneo de uma moeda e dado, o espaço amostral é dado por: U = {(cara, 1), (cara, 2), (cara, 3), (cara, 4), (cara, 5), (cara, 6), (coroa, 1), (coroa, 2), (coroa, 3), (coroa, 4), (coroa, 5), (coroa, 6)}.

No lançamento simultâneo de dois dados distintos, o espaço amostral é dado por: 1

2

3

4

5

6

1

(1, 1)

(2, 1)

(3, 1)

(4, 1)

(5, 1)

(6, 1)

2

(1, 2)

(2, 2)

(3, 2)

(4, 2)

(5, 2)

(6, 2)

3

(1, 3)

(2, 3)

(3, 3)

(4, 3)

(5, 3)

(6, 3)

4

(1, 4)

(2, 4)

(3, 4)

(4, 4)

(5, 4)

(6, 4)

5

(1, 5)

(2, 5)

(3, 5)

(4, 5)

(5, 5)

(6, 5)

6

(1, 6)

(2, 6)

(3, 6)

(4, 6)

(5, 6)

(6, 6)

C16  Probabilidade - Definição

n

Nesse caso, n(U) = 6 ⋅ 6 = 36

349

Matemática

Evento O evento de um experimento aleatório é qualquer subconjunto do espaço amostral desse experimento.

Por Exemplo: n No lançamento de um dado comum, podemos ter o evento A que consiste em obter um número ímpar: A = {1, 3, 5} e n(A) = 3. n

No lançamento simultâneo de uma moeda e um dado, podemos ter o evento B que consiste em obter coroa na moeda e um número primo no dado: B = {(coroa, 2), (coroa, 3), (coroa, 5)} e n(B) = 3.

n

No lançamento simultâneo de dois dados, podemos ter o evento C que consistem em obter números iguais: C = {(1, 2), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} e n(C) = 6.

Definição de probabilidade Sejam U um espaço amostral equiprovável (todo evento elementar tem a mesma chance de ocorrer), finito e não vazio e A um evento de U. A probabilidade de ocorrer algum elemento de A, indicada por P(A), é definida por: P(A) =

n(A) n(U)

Da definição, temos ainda que: n n n

0 ≤ P(A) ≤ 1; Se P(A) = 0, dizemos que o evento A é impossível; Se P(A) = 1, dizemos que o evento A é certo.

Eventos complementares Sejam U o espaço amostral de um experimento aleatório e A um evento de U. Chama-se evento complementar de A, indicado por A , o evento que satisfaz às seguintes condições: A∪ A =UeA∩ A =∅ Da teoria de conjuntos, temos que n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B). Daí, temos que: n(A ∪ A ) = n(A) + n( A ) – n(A ∩ A ) ⇒ n(U) = n(A) + n( A ) – n(∅) ⇒ n(U) = n(A) + n( A ) Dividindo todos os termos dessa igualdade por n(U), temos: n(U) n(A) n(A) ⇒ 1 = P(A) + P( A ) = + n(U) n(U) n(U) C16  Probabilidade - Definição

Portanto, temos que:

P ( A )= 1 - P ( A ) Observação Dizemos que um experimento é não equiprovável se, e somente se, seus eventos elementares do espaço amostral não apresentam a mesma probabilidade de ocorrência. Para resolver problemas envolvendo esse tipo de experimento, basta utilizar o fato de que a soma das probabilidades de todos os eventos elementares é igual a 1.

350

Matemática e suas Tecnologias

EXEMPLOS 01. No lançamento de uma moeda três vezes, qual a probabilidade de se obter um lançamento com exatamente duas faces cara?

Evento: A quantidade de maneiras de se retirar simultaneamente duas bolas azuis, indicada por n(A), dessa urna é dada por:

RESOLUÇÃO Sendo K cara e C coroa, temos que: Espaço amostral:

6⋅5 = 15 2 ⋅1

n(A) = C= 6, 2

U = {(K, C, C), (K, C, K), (K, K, C), (K, K, K), (C, C, C), (C, C, K), (C, K, C), (C, K, K)} e n(U) = 8.

Logo, a probabilidade é dada por:

Evento:

P(A) = A = {(K, C, K), (K, K, C),(C, K, K)} e n(A) = 3.

n(A) 15 1 = = n(U) 45 3

Portanto, a probabilidade é 1/3.

Logo, a probabilidade é dada por:

P(A)=

10 ⋅ 9 = 45 2 ⋅1

n(U) = C= 10, 2

04. Considere um dado viciado de modo que a probabilidade de se obter uma face com um número ímpar é o dobro da probabilidade de se obter um número par. Qual a probabilidade de se obter o número seis no lançamento desse dado?

n(A) 3 = = 37,5% n(U) 8

Portanto, a probabilidade é 3/8 ou 37,5%.

02. No lançamento simultâneo de dois dados comuns, determine a probabilidade de se obter faces voltadas para cima cuja soma seja igual a 7?

RESOLUÇÃO De acordo com o enunciado, temos que: P(2) = P(4) = P(6) = x.

RESOLUÇÃO

P(1) = P(3) = P(5) = 2x.

Espaço amostral:

A soma das probabilidades dos eventos elementares é igual a 1. Daí, temos que:

1

2

3

4

5

6

1

(1, 1)

(2, 1)

(3, 1)

(4, 1)

(5, 1)

(6, 1)

2

(1, 2)

(2, 2)

(3, 2)

(4, 2)

(5, 2)

(6, 2)

2x + x + 2x + x + 2x + x = 1

3

(1, 3)

(2, 3)

(3, 3)

(4, 3)

(5, 3)

(6, 3)

9x = 1 ⇒ x = 1/9

4

(1, 4)

(2, 4)

(3, 4)

(4, 4)

(5, 4)

(6, 4)

5

(1, 5)

(2, 5)

(3, 5)

(4, 5)

(5, 5)

(6, 5)

6

(1, 6)

(2, 6)

(3, 6)

(4, 6)

(5, 6)

(6, 6)

Assim, n(U) = 6 ⋅ 6 = 36

P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1.

Portanto, a probabilidade de se obter o número 6 é 1/9.

05. Um baralho tem 12 cartas, das quais quatro são ases. Retirando-se três cartas simultaneamente ao acaso, qual a probabilidade de obtermos pelo menos um ás entre as cartas retiradas?

RESOLUÇÃO

A = {(6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6)} e n(A) = 6 Logo, a probabilidade é dada por:

P(A) =

n(A) 6 1 = = n(U) 36 6

Portanto, a probabilidade é 1/6.

03. Uma urna contém quatro bolas brancas e seis azuis. Se três bolas são retiradas simultaneamente dessa urna, qual a probabilidade de as bolas retiradas serem azuis?

RESOLUÇÃO Espaço amostral: A quantidade de maneiras de se retirar simultaneamente duas bolas, indicada por n(U), dessa urna é dada por:

Espaço amostral: A quantidade de maneiras de se retirar simultaneamente três cartas, indicada por n(U), é dada por:

= n(U) = C12, 3

12 ⋅ 11 ⋅ 10 = 220 3 ⋅ 2 ⋅1

Evento complementar: A quantidade de maneiras de não termos nenhum ás entre as três cartas retiradas, indicada por n A , é dada por:

( )

( )

n= A C= 8, 3

8 ⋅7⋅6 = 56 3 ⋅ 2 ⋅1

Logo, a probabilidade de se retirar pelo menos um ás é dada por:

( )

P( A ) = 1 -P A = 1-

56 164 41 = = 220 220 55

Portanto, a probabilidade de se retirar pelo menos um ás é 41/55.

351

C16  Probabilidade - Definição

Evento:

Matemática

Exercícios de Fixação 01. De uma urna que contém 30 bolas numeradas de 1 a 30, retiramos, ao acaso, uma bola. Calcule: a) 1/2

b) 3/10

c) 1/3

d) 7/30

a) A probabilidade de ser uma bola com um número ímpar; b) A probabilidade de ser uma bola com um número menor que dez; c) A probabilidade de ser uma bola com um número primo; d) A probabilidade de ser uma bola com um número múltiplo de quatro.

02. De um baralho comum, com 52 cartas, retiramos, ao acaso, uma carta. Calcule: a) 1/4 b) 1/13 c) 1/52 a) A probabilidade de sair uma carta de copas; b) A probabilidade de sair um valete; c) Um dois de espadas.

03. (Ufla SP) Calcule a probabilidade de que no lançamento de dois dados (dado é um cubo com as faces numeradas de um a seis) a soma dos valores obtidos seja oito. 5/36 04. Dentre cinco pessoas, das quais duas delas são João e Maria, serão sorteadas três para formar uma comissão. Calcule: a) 3/5

b) 3/10

a) Qual a probabilidade de João participar da comissão? b) Qual a probabilidade de Maria participar da comissão e João não? c) Qual a probabilidade de João e Maria não participarem da comissão?

05. Uma moeda é viciada de tal forma que os resultados possíveis (cara e coroa) são tais, que a probabilidade de sair cara num lançamento é o quádruplo da de sair coroa. Lançandose uma vez a moeda, calcule a probabilidade de sair coroa.

1/5

06. (UFRN) Em um congresso sobre Matemática, participaram 120 congressistas. Desses, 100 eram licenciados e 60 eram bacharéis em Matemática. Responda, justificando a) 5/6 b) 40 a) qual a probabilidade de, escolhendo-se ao acaso um congressista, ele ser licenciado em Matemática? b) quantos congressistas possuíam as duas formações acadêmicas? c) qual a probabilidade de, escolhendo-se ao acaso um congressista, ele possuir as duas formações acadêmicas?

c) 1/10

Exercícios C om p l em en t ares

C16  Probabilidade - Definição

01. (UFJF) Uma urna contém dez bolas numeradas de um a dez.

Retiram-se duas bolas da urna sucessivamente e com reposição. A probabilidade de o número da segunda bola ser o dobro do número da primeira bola é de a) 1/25 b) 1/20 c) 1/10 d) 1/5 e) 1/4 02. (PUC SP) Uma urna contém apenas cartões marcados com números de três algarismos distintos, escolhidos de um a nove. Se, nessa urna, não há cartões com números repetidos, a probabilidade de ser sorteado um cartão com um número menor que 500 é a) 3/4 b) 1/2 c) 8/21 d) 4/9 e) 1/3 03. (Fuvest SP) Escolhem-se, ao acaso, três vértices distintos de um cubo. A probabilidade de que estes vértices pertençam a uma mesma face é

352

a) 3/14 b) 2/7 c) 5/14 d) 3/7 e) 13/18 04. (UFPE) Escolhendo, aleatoriamente, um número natural no conjunto {1, 2,..., 100} de naturais sucessivos, seja P a probabilidade deste natural ser divisível por 2 ou por 3. Indique 100P. 67 05. (PUC SP) Joel e Jane fazem parte de um grupo de dez atores: quatro mulheres e seis homens. Se duas mulheres e três homens forem escolhidos para compor o elenco de uma peça teatral, a probabilidade de que Joel e Jane, juntos, estejam entre eles é a) 3/4 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/6 e) 1/8 06. (Unirio RJ) Numa máquina caça-níquel, cada resultado é formado por três quaisquer de cinco frutas diferentes, podendo haver repetição. Calcule a probabilidade de um resultado ter duas frutas iguais e uma diferente. 48%

c) 1/3

FRENTE

C

MATEMÁTICA

Exercícios de A p rof u n dam en t o 01. (Fuvest SP) Três empresas devem ser contratadas para realizar

05. (UnB DF) Em um tabuleiro quadrado, de 5 x 5, mostrado na

quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser

figura I, deseja-se ir do quadrado esquerdo superior (ES) ao quadrado direito inferior (DI). Somente são permitidos os mo-

contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos?

vimentos horizontal (H), vertical (V) e diagonal (D), conforme ilustrado na figura II.

a) 12 b) 18 c) 36

(H)

ES

d) 72 e) 108

(V)

02. (Aman) Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 3, 5, 7, 9 e escrevem-se os números assim formados em ordem crescente. A soma de todos os números assim formados é igual a a) 1 000 000 b) 1 111 100 c) 6 000 000 d) 6 666 000 e) 6 666 600 03. (UFRJ) Um grupo constituído por quatro mulheres e quatro homens deve ocupar as oito cadeiras dispostas ao redor de uma mesa circular. O grupo deve ser acomodado de modo que cada homem sente entre duas mulheres. João e Maria estão nesse grupo de pessoas. Entretanto, por ordem estritamente pessoal, não podem sentar-se lado a lado. Duas acomodações das pessoas ao redor da mesa são consideradas diferentes quando pelo menos uma das pessoas não tem o mesmo vizinho à direita, nas duas acomodações. Determine o número de diferentes acomodações possíveis dessas oito pessoas ao redor da mesa circular. 72 04. (FGV SP) Um fundo de investimento disponibiliza números inteiros de cotas aos interessados nessa aplicação financeira. No primeiro dia de negociação desse fundo, verifica-se que cinco investidores compraram cotas, e que foi vendido um total de nove cotas. Em tais condições, o número de maneiras diferentes de alocação das nove cotas entre os cinco investidores é igual a a) 56 b) 70 c) 86 d) 120 e) 126

(D) DI

Figura I

Figura II

Com base nessa situação e com o auxílio dos princípios de análise combinatória, julgue os itens que seguem. V V F ( ) Se forem utilizados somente movimentos horizontais e verticais, então o número de percursos possíveis será igual a 70. ( ) Se forem utilizados movimentos horizontais e verticais e apenas um movimento diagonal, o número de percursos possíveis será igual a 140. ( ) Utilizando movimentos horizontais, verticais e três movimentos diagonais, o número de percursos possíveis é igual a 10.

06. (Unicamp SP) Um dado é jogado três vezes, uma após a outra.

Pergunta-se: a) 120 b) 5/18 a) Quantos são os resultados possíveis em que os três números obtidos são diferentes? b) Qual a probabilidade da soma dos resultados ser maior ou igual a 16?

07. (UFRJ) Uma caixa contém bombons de nozes e bombons de passas. O número de bombons de nozes é superior ao número de bombons de passas em duas unidades. Se retirarmos, ao acaso, dois bombons dessa caixa, a probabilidade de que ambos sejam de nozes é 2/7. a) 22 b) 40/77 a) Determine o número total de bombons. b) Se retirarmos, ao acaso, dois bombons da caixa, determine a probabilidade de que sejam de sabores distintos.

353

Fonte: Shutterstock.com

FRENTE

D Hieróglifos em um templo de Luxor, no Egito.

MATEMÁTICA Por falar nisso Os curiosos polígonos de Reuleaux Um método bastante conhecido desde a Antiguidade para transportar grandes blocos de pedra resume-se em apoiar esses blocos sobre cilindros rolantes. Essa ideia foi muito utilizada pelos antigos egípcios no carregamento de enormes pedras para a construção das pirâmides, baseando-se no fato de que o diâmetro constante de uma circunferência garante o transporte do bloco de forma mais regular possível, já que esse bloco sempre estará a uma distância fixa do chão. Veja a figura abaixo:

Daí vem a pergunta?

Existe outra figura, além da circunferência, que, ao rolar, garanta uma distância fixa do bloco em relação ao solo?

A resposta é sim. Essa propriedade também é observada nos chamados P olí g on os d e R euleaux . Franz Reuleaux (1829-1905) foi um engenheiro alemão que, em 1856, tornou-se professor de Desenho de Máquinas e, posteriormente, ocupou vários cargos em Escolas Técnicas Superiores de Berlim. Em 1875, Reuleaux publicou seu trabalho científico e filosófico sobre Cinemática, Theoretische Kinematik: Grundzge einer Theorie des Machinenwesens, que teve grande relevância para a Engenharia.

Os polígonos que levam seu nome também têm altura constante e são construídos a partir de polígonos regulares com o número ímpar de lados. Dentre os Polígonos de Reuleaux, o mais conhecido é o T riâ n g ulo d e R euleaux . Trata-se de um triângulo curvilíneo, formado a partir de um triângulo equilátero ABC. Seus “lados” são três arcos de circunferências com centro nos pontos A, B e C. Observe as figuras a seguir.

Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

D13 D14 D15 D16

Posições relativas entre ponto e circunferência...........................35 6 Posições relativas entre reta e circunferência ..............................360 Posições relativas entre duas circunferências ..............................364 Problemas de tangência ...............................................................368

FRENTE

D

MATEMÁTICA

MÓDULO D13

ASSUNTOS ABORDADOS n Posições relativas entre ponto e

circunferência

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA O circo é um tipo de arte que remonta à Antiguidade. A magia desse ambiente nos remete a uma sensação incrível, proporcionando-nos momentos de alegria por meio da apresentação dos palhaços, dos animais adestrados, das acrobacias, dos malabares, assim como da beleza das cores.

Segundo a História, foram encontradas, na China, diversas pinturas com quase 5 000 anos mostrando contorcionistas, equilibristas e acrobatas. Nos tempos antigos, os guerreiros chineses realizavam acrobacias como método de treinamento, já que, para praticá-las, é necessário força, flexibilidade e agilidade. Em 108 a.C, em uma festa em homenagem a alguns visitantes estrangeiros, um grupo fez uma apresentação acrobática que encantou o imperador. Desde então, ele determinou que apresentações como aquelas se repetiriam anualmente.

No Egito, as pirâmides também revelam gravuras com malabaristas. Já em Roma, a história do circo foi marcada por uma tragédia. Por volta de 70 a.C, foi criado o Circo Máximo, que foi destruído em um incêndio e, posteriormente, cedeu lugar ao Coliseu.

Suponha que em um circo, no qual o picadeiro tenha, no plano cartesiano, a forma de uma circunferência dada pela equação x2 + y2 – 12x – 16y – 300 = 0, o palhaço se acidentou com o fogo do malabarista e saiu desesperadamente do centro do picadeiro, em linha reta, em direção a um poço com água, localizado no ponto P(24, 32). Qual seria a distância percorrida pelo palhaço, a partir do momento em que sai do picadeiro até o momento em que chega ao poço?

De acordo com o problema, é evidente que o ponto P é um ponto localizado exteriormente em relação à circunferência dada.

Existem três posições relativas entre um ponto P e uma circunferência λ localizados em um mesmo plano. Esse ponto pode ser interior, exterior ou pertencer à circunferência. Essas posições podem ser definidas comparando-se o raio R com a distância dPC entre o ponto P e o centro C da circunferência.

Dados um ponto P (x, y) e uma circunferência λ: (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2, temos que: Fonte: Shutterstock.com

Figura 01 - Tenda de um circo sob o pôr do sol.

356

Matemática e suas Tecnologias

1º caso: Ponto interior à circunferência O ponto P é interior a λ se, e somente se, a distância do ponto P ao centro C da circunferência for menor que o raio R. Observe a figura a seguir:

dPC

P(x,y)

C (x0,y0)

dPC < R

Observação Um ponto P (x, y) é interior a λ se, e somente se, as coordenadas de P satisfizerem à 2 2 desigualdade ( x - x 0 ) + ( y - y 0 ) < R2 que representa a região interior à λ.

2º caso: Ponto exterior à circunferência O ponto P é exterior a λ se, e somente se, a distância do ponto P ao centro C da circunferência for maior que o raio R. Observe a figura a seguir:

dPC

P(x,y)

C (x0,y0)

dPC > R

Observação Um ponto P (x, y) é exterior a λ se, e somente se, as coordenadas de P satisfizerem à 2 2 desigualdade ( x - x 0 ) + ( y - y 0 ) > R2 que representa a região exterior à λ.

3º caso: Ponto pertence à circunferência

D13  Posições relativas entre ponto e circunferência

O ponto P pertence a λ se, e somente se, a distância do ponto P ao centro C da circunferência for igual ao raio R. Observe a figura a seguir:

P(x,y) dPC C (x0,y0)

dPC = R

Observação Um ponto P (x, y) é exterior a λ se, e somente se, as coordenadas de P satisfizerem à 2 2 igualdade ( x - x 0 ) + ( y - y 0 ) = R2 .

357

Matemática

EXEMPLOS 01. Represente graficamente os pontos P (x, y) que satisfazem a cada uma das seguintes inequações:

y 3

a) x2 + y2 < 16 b) x2 + y2 ≥ 9 RESOLUÇÃO -3

3

a) A representação gráfica da desigualdade x2 + y2 < 16 é dada pelos pontos da região interior à circunferência x2 + y2 = 16. Observe a figura a seguir:

x

-3

y 4

02. Verifique se o ponto P (1, 3) é interior, exterior ou pertence à circunferência (x + 1)2 + (y – 2)2 = 16.

RESOLUÇÃO 4

-4

x

O centro e o raio da circunferência (x + 1)2 + (y – 2)2 = 16 são, respectivamente, iguais a C (–1, 2) e R = 4.

-4

dPC=

b) A representação gráfica da desigualdade x + y ≥ 9 é dada pelos pontos da região exterior juntamente com os pontos que pertencem à circunferência x2 + y2 = 9. Observe a figura a seguir: 2

2

1 - ( -1 )  + ( 3 - 2)= 2

2

2 22 + 1=

5

Portanto, P é interior à circunferência, pois dpc < R.

Exercícios de Fixação 01. Verifique se o ponto P (5, 6) é interior, exterior ou pertence à circunferência de equação (x – 3) + (y – 6) = 4.

2

2

Pertence

05. Represente no plano cartesiano a região formada pelos pontos P (x, y) que satisfazem a cada uma das seguintes inequações:

02. Verifique se o ponto P (3, 1) é interior, exterior ou pertence à circunferência de equação (x – 2)2 + (y + 1)2 = 3.

Exterior

D13  Posições relativas entre ponto e circunferência

03. Obtenha os possíveis valores de m para o quais P (2, 1) seja um ponto interior à circunferência x2 + y2 – 6x – 2y + m = 0.

a) x2 + y2 > 1 b) x2 + y2 ≤ 4 c) x2 + y2 ≥ 16 d) x2 + y2 < 64 06. Represente no plano cartesiano a região formada pelos

m < 8 ou m > 10

04. (UEPB) Os valores de k para os quais os ponto (k, –2) seja

pontos P (x, y) que satisfazem a cada um dos sistemas de

exterior à circunferência x + y - 4x + 6y + 8 = 0 são:

inequações:

a) k < 0 ou k > 4

a) 

2

2

-5 -5

x 2 + y2 ≥ 49 b)  2 2 x + y < 81

c) 0 ≤ k ≤ 3 d) k ≥ 3

b)

y

y 9 7

5 3

2 2 x + y > 9 2 2 x + y ≤ 25

b) 0 < k < 4

e) k ≤ 1

a)

5

7

-9 -7

5 x

-3

-7

-5

-9

9

x

07. Represente graficamente os pontos P (x, y) que satisfazem 2 2 x + y ≤ 10 . ao sistema  x - y ≥ 0

Questão 07. y 4

Questão 05.

a) -4

358

b)

4 x

1x

-1

c)

d)

y 2

y 1

2x

-2

y 8

y 4

4x

-4

8x

-8

-4 -1

-2

-4

-8

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios C om p l em en t ares 01. Represente graficamente os pontos P (x, y) que satisfazem a cada uma das seguintes inequações: a) x2 + y2 – 6x – 6y + 9 > 0 b) x2 + y2 – 6x + 6y + 9 ≤ 0 c) x2 + y2 + 6x + 6y + 9 ≥ 0 d) x2 + y2 + 6x – 6y + 9 < 0

y

03. (UFRGS) Construídas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, as inequações x2 + y2 < 4 e y < x + 1 delimitam uma região no plano. O número de pontos que estão no interior dessa região e possuem coordenadas inteiras é a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 04. (Unioeste PR) A área da região do plano formada pelos pontos (x, y) tais que x2 + y2 – 4x ≤ 0 e x – y – 2 ≥ 0, em unidades de área, é igual a a) π/2 b) π c) 2π d) 3π e) 4π 05. (Mackenzie SP) Considere a região do plano dada pelos pontos (x, y) tais que x2 + y2 ≤ 2x e x2 + y2 ≤ 2y. Fazendo π = 3, a área dessa região é a) 1 b) 0,5 c) 2 d) 1,5 e) 2,5 06. (Enem MEC) Considere que os quarteirões de um bairro tenham sido desenhados no sistema cartesiano, sendo a origem o cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas larguras desconsideradas e todos os quarteirões são quadrados de mesma b)

c)

-3

3

x

1 quarteirão

Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, garanta área de cobertura para todo estabelecimento que se encontre num ponto cujas coordenadas satisfaçam à inequação: x2 + y2 – 2x – 4y – 31 ≤ 0. A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar uma futura melhora, a assistência técnica da rádio realizou uma inspeção para saber quais estabelecimentos estavam dentro da área de cobertura, pois estes conseguem ouvir a rádio enquanto os outros não. Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são apenas: a) A e C. b) B e C. c) B e D. d) A, B e C. e) B, C e D. 07. (Fuvest SP) Das regiões hachuradas na sequência, a que melhor representa o conjunto dos pontos (x, y), do plano cartesiano, satisfazendo ao conjunto de desigualdades: x ≥ 0, y ≥ 0, x – y + 1 ≥ 0 e x2 + y2 ≤ 9. a) y

d) y x

x b) y

e) y

x

x

c) y

x

-3 x

3

x D

y

y 3

C B

d)

y

y

A

D13  Posições relativas entre ponto e circunferência

02. (FGV SP) O número de pares ordenados (x, y), com x e y inteiros, que satisfazem à desigualdade x2 + y2 – 8x + 11 ≤ 0 é igual a: a) 24 b) 21 c) 19 d) 18 e) 13

Questão 01. a)

área e a medida de seu lado é a unidade do sistema. A seguir há uma representação dessa situação, em que os pontos A, B, C e D representam estabelecimentos comerciais desse bairro.

x

359

3

-3

-3

x

FRENTE

D

MATEMÁTICA

MÓDULO D14

ASSUNTOS ABORDADOS n Posições relativas entre reta e

circunferência

n Intersecção entre reta e circunferência

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA Podemos definir as praças públicas como espaços destinados a atividades recreativas e de convivência, associados a ambientes de acessibilidade para o público e livre de edificações. Esses espaços são capazes de trazer de volta aspectos físicos e socioeconômicos de áreas degradadas, tornando-as novamente ideais para o convívio das pessoas.

Na concepção de uma bela praça, é necessário muito estudo e planejamento, alinhando, dentre outras coisas, conforto, acessibilidade, iluminação e segurança.

Assim, considere uma praça, em formato retangular, projetada com uma bela fonte luminosa no seu centro. Suponha que as coordenadas dos cantos da praça, com medidas indicadas em metros, sejam A (0, 0), B (60, 0), C (0, 40) e D (60, 40) e que o raio da circunferência da parte iluminada pela fonte seja cinco metros. Em relação a uma pista de caminhada determinada pelos pontos P (45, 40) e Q (0, 10), podemos afirmar que essa fonte vai iluminar toda a pista, parte da pista ou nenhuma parte da pista?

Para responder corretamente a essa questão, temos que verificar a posição relativa entre o segmento PQ e a circunferência que será iluminada pela fonte.

Existem três posições relativas entre uma reta r e uma circunferência λ localizadas em um mesmo plano. Essa reta pode ser secante, tangente ou exterior à circunferência.

Essas posições podem ser definidas comparando-se o raio R com a distância dCr entre a reta r e o centro C da circunferência.

Figura 01 - Praça iluminada por uma fonte no período noturno

360

Fonte: Shutterstock.com

Dadas uma reta r: ax + by + c = 0 e uma circunferência λ: (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2, temos que:

Matemática e suas Tecnologias

1º caso: Reta secante à circunferência A reta r é secante a λ se, e somente se, a distância entre ela e o centro da circunferência for menor que o raio. Observe a figura a seguir:

C dCr r

dCr < R

2º caso: Reta tangente à circunferência A reta r é tangente a λ se, e somente se, a distância entre ela e o centro da circunferência for igual ao raio. Observe a figura a seguir:

C dCr r dCr = R

3º caso: Reta exterior à circunferência A reta r é exterior a λ se, e somente se, a distância entre ela e o centro da circunferência for maior que o raio. Observe a figura a seguir:

C

dCr

D14  Posições relativas entre reta e circunferência

r dCr > R

Intersecção entre reta e circunferência Dadas a circunferência λ: (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2 e a reta r: ax + by + c = 0, obter os pontos de interseção entre λ e r significa determinar os pontos que pertencem a ambos. Para tanto, basta resolver o sistema a seguir, formado por suas equações. (x - x 0 )2 + (y - y 0 )2 = R2  0 ax + by + c =

361

Matemática

Esse sistema pode ser facilmente resolvido isolando-se uma das variáveis na equação da reta e, em seguida, substituindo-se a relação assim obtida na equação da circunferência. A partir daí, iremos obter uma equação polinomial do 2º grau com apenas uma variável.

A análise do seu discriminante (∆) nos dirá o número de soluções desse sistema e, consequentemente, o número de pontos de intersecção entre λ e r.

Teremos as seguintes possíveis situações: n n n

Se ∆ > 0, teremos duas soluções reais distintas, ou seja, dois pontos de intersecção. Nessa situação, a reta r é secante à circunferência λ.

Se ∆ = 0, temos duas soluções reais iguais, ou seja, apenas um ponto de intersecção. Nessa situação, a reta r é tangente à circunferência λ.

Se ∆ < 0, não teremos soluções reais, ou seja, nenhum ponto de intersecção.

Nessa situação, a reta é exterior à circunferência λ.

EXEMPLOS 01. Verifique se a reta r: 4x + 3y – 23 = 0 é secante, tangente ou exterior à circunferência (x + 2)2 + (y – 2)2 = 27.

RESOLUÇÃO

Isolando-se y na equação da reta, temos:

O centro e o raio da circunferência (x + 2)2 + (y – 2)2 = 25 são, respectivamente, iguais a C (–2, 2) e R = 3 3 . dCr =

4 ⋅ (-2) + 3 ⋅ 2 - 23 42 + 32

2 2 25 (x - 1) + (y - 2) =  0 x + y - 4 =

y=4–x Substituindo essa relação na equação da circunferência, temos:

-8 + 6 - 23 -25 25 = = = = 5 16 + 9 25 5

(x – 1)2 + (4 – x – 2)2 = 25 ⇒ (x – 1)2 + (2 – x)2 = 25 ⇒ x2 – 2x + 1 + 4 – 4x + x2 = 25 2x2 – 6x – 20 = 0 ⇒ x2 – 3x – 10 = 0 ⇒ x’ = 5 e x” = –2

Portanto, P é secante à circunferência, pois dCr < R. 02. Obtenha os pontos de interseção entre a reta r: x + y – 4 = 0 e a circunferência λ: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25.

x’ = 5 ⇒ y’ = 4 – 5 = –1 ⇒ A(5, –1) é um ponto de interseção x’ = -2 ⇒ y’ = 4 – (–2) = 6 ⇒ B(–2, 6) é um ponto de interseção

RESOLUÇÃO

D14  Posições relativas entre reta e circunferência

Para obter os pontos de interseção entre λ e r, temos que resolver o sistema a seguir formado por suas equações.

Note que, nesse caso, r é secante a λ, pois temos dois pontos de interseção.

Portanto, os pontos de interseção são A (5, –1) e B (–2, 6).

Exercícios de Fixação 01. Verifique se a reta r: x + y + 3 = 0 é secante, tangente ou exterior à circunferência λ: (x – 2) + (y – 1) = 18.

2

04. Obtenha, caso existam, os pontos de interseção da reta r: x + 2y – 5 = 0 e a circunferência λ: (x – 6)2 + y2 = 10.

2

(3, 1) e (43/5, -9/5)

Tangente

02. Verifique se a reta r: 3x + 2y + 20 = 0 é secante, tangente

05. Determine o comprimento da corda cujas extremidades são

ou exterior à circunferência de equação λ:(x – 2) + y = 36.

os pontos de interseção de r: –x + 2y = 10 e x² + y² – 6x – 8y = 0.

Exterior

4

2

2

03. Obtenha os possíveis valores de m para os quais a reta r: x + y + m = 0 é secante à circunferência λ: x + y = 32.

2

-8 < m < 8

362

2

06. Para quais valores de k, a reta x = k intercepta a circunferência (x – 3)2 + (y – 3)2 = 25 em pontos distintos?

-2 < k < 8

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios C om p l em en t ares 01. (UFSJ) A reta r: y = 3x – 3 e a circunferência λ: x2 + (y – 2)2 = 5 se interceptam nos pontos A e B. O comprimento do segmento AB e as coordenadas do seu ponto médio são, respectivamente:

5 unidades de comprimento e (1, 0).

c)

10 unidades de comprimento e (2, 3).

d)

10 unidades de comprimento e (3/2, 3/2).

de k.

a) |k| < 2 b) 4 2k2

06. (Furg RS) Qual o valor da constante a para que a reta x + y = a

5 unidades de comprimento e (0, -3).

b)

b) Determine o comprimento do segmento P1P2 em função

seja tangente à circunferência x2 + y2 = 1 em algum ponto do primeiro quadrante? a) a = 2 b) a = - 2

02. (Vunesp SP) O comprimento da corda que a reta y = x determina na circunferência de equação (x + 2)2 + (y – 2)2 = 16 é

c) a = 1 d) a = –1 e) a = 2

a) 4

a)

b) 4 2

07. (UFGO) Dado o sistema de equações:

c) 2

x 2 + y2 - 4x - 2y + 4 = 0  = y mx, m ∈IR

d) 2 2 e)

2

3x 03. (PUC Campinas SP) São dadas a reta r, de equação y = , 3 e a circunferência λ, de equação x2 + y2 – 4x = 0 centro de λ e as intersecções de r e λ determinam um triângulo cuja área é: a)

b) 0 < m < 4/3

a) Represente graficamente, no plano cartesiano, o sistema quando a reta y = mx passa pelo centro da circunferência descrita pela primeira equação. b) Determine o conjunto de valores de m para que o sistema admita duas soluções.

3

08. (Unicamp SP) No plano cartesiano, sejam C a circunferên-

b) 3 c) 2 3

cia de centro na origem e raio r > 0 e s a reta de equação

d) 6

x + 3y = 10. A reta s intercepta a circunferência C em dois

e) 3 3

pontos distintos se e somente se:

04. (UEGO) Seja a circunferência C, de equação x 2 + y2 = 25 , e = y a reta r de equação

3(5 - x) . Sejam A e B os pontos de

interseção da reta r com a circunferência C. Determine a) A (5/2, 5 3/2) e (5, 0)

a) os pontos A e B.

b) 60°

b) o menor ângulo entre a reta r e o eixo x.

05. (UFRJ) A reta y = x + k, com k fixo, intercepta a circunferência x2 + y2 = 1 em dois pontos distintos, P1 e P2, como mostra a figura a seguir.

a) r > 2. b) r > 5 . c) r > 3. d) r > 10 .

09. (UECE) o plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, a equação da reta que contém o ponto P(9, 8) e é tangente à curva representada pela equação x2 + y2 – 10x – 10y + 25 = 0 é a) 3x + 4y – 59 = 0. b) 3x – 4y + 5 = 0.

y

c) 4x – 3y – 12 = 0.

P2

d) 4x + 3y – 60 = 0.

x P1

363

D14  Posições relativas entre reta e circunferência

a)

a) Determine os possíveis valores de k.

FRENTE

D

MATEMÁTICA

MÓDULO D15

ASSUNTOS ABORDADOS n Posições relativas entre duas

circunferências

n Interseção entre duas circunferências

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS A vitória-régia é uma das maiores plantas aquáticas do mundo, cuja origem é da região amazônica, pertencente à família das Nynphaeceae. Após um pesquisador inglês levar suas sementes para plantar nos jardins do palácio real, os próprios ingleses denominaram-na Vitória, em homenagem à sua rainha. As folhas desse vegetal são grandes, com formato circular e uma capacidade notável de flutuação, graças aos compartimentos de ar em sua face inferior.

Suponha que em um belo dia, um sapo estava sobre uma folha de vitória-régia, cuja borda obedece à equação dada por x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0, apreciando a paisagem ao seu redor. Percebendo que a folha que flutuava à sua frente era maior e mais bonita, resolveu pular para essa folha, cuja borda é descrita pela equação x2 + y2 – 2x – 3y + 1 = 0. Qual a distância linear mínima que o sapo deve percorrer em um salto para não cair na água?

Nessa situação, as duas circunferências que representam as vitórias-régias não se interceptam e por isso são chamadas de exteriores. Existe uma forma analítica de mostrar se duas circunferências possuem ou não pontos de interseção.

Existem seis posições relativas entre duas circunferências localizadas num mesmo plano. Essas circunferências podem ser exteriores, tangentes exteriores, tangentes interiores, secantes, interiores ou concêntricas. Tais posições podem ser definidas comparando-se somas e subtrações que envolvem os raios dessas circunferências com a distância entre os centros delas.

Fonte: Shutterdtock.com

Dadas as circunferências λ1 e λ2 de centros C1 e C2 e raios R1 e R2, respectivamente, temos que:

Figura 01 - Vitórias-régias em um rio da Amazônia

364

Matemática e suas Tecnologias

1º caso: circunferências exteriores As circunferências λ1 e λ2 são exteriores se, e somente se, a distância entre os centros C1 e C2 for maior que a soma dos raios. Observe a figura a seguir:

Note que essa expressão é a condição de existência do triângulo AC1C2.

5º caso: circunferências interiores 2º caso: circunferências tangentes exteriores As circunferências λ1 e λ2 são exteriores se, e somente se, a distância entre os centros C1 e C2 for igual à soma dos raios.

Observe a figura a seguir:

Note que os dois centros C1 e C2 e o ponto de tangência são colineares.

3º caso: circunferências tangentes interiores

As circunferências λ1 e λ2 são interiores se, e somente se, a distância entre os centros C1 e C2 for menor que o módulo da diferença dos raios e maior que zero. Observe a figura a seguir:

6º caso: circunferências concêntricas As circunferências λ1 e λ2 são concêntricas se, e somente se, a distância entre os centros C1 e C2 for igual a zero. Observe a figura a seguir:

As circunferências λ1 e λ2 são tangentes exteriores se, e somente se, a distância entre os centros C1 e C2 for igual ao módulo da diferença dos raios. Observe a figura a seguir:

dC C = 0

Interseção entre duas circunferências Note que os dois centros C1 e C2 e o ponto de tangência são colineares.

4º caso: circunferências secantes As circunferências λ1 e λ2 são secantes se, e somente se, a distância entre os centros C1 e C2 for menor que a soma e maior que o módulo da diferença dos raios. Observe a figura a seguir:

Dadas as circunferências λ1: (x – x1)2 + (y – y1)2 = (R1)2 e λ2: (x – x2)2 + (y – y2)2 = (R2)2, obter os pontos de interseção entre λ1 e λ2 significa determinar os pontos que pertencem a ambas. Para tanto, basta resolver o sistema a seguir, formado por suas equações.

2 (x - x1 )2 + (y - y1 )2 = (R1 )  2 2 2 (R 2 ) (x - x 2 ) + (y - y2 ) =

365

D15  Posições relativas entre duas circunferência

C1 C2

Matemática

Esse sistema pode ser resolvido facilmente da seguinte maneira: 1) Subtraem-se as duas equações membro, obtendo-se, assim, uma equação do 1º grau.

2) Isola-se uma das incógnitas na equação do 1º grau.

3) Substitui-se a relação assim obtida em uma das equações do sistema.

Observação A equação do 1º grau obtida durante o processo de resolução de um sistema envolvendo duas circunferências é a equação de uma reta denominada eixo radical (conjunto de pontos do plano equipotentes em relação a duas circunferências desse plano).

EXEMPLOS 01. Verifique a posição relativa entre as circunferências λ1: (x – 2)2 + (y – 1)2 = 4 e λ2: x2 + (y + 1)2 = 9.

RESOLUÇÃO O centro e o raio da circunferência (x – 2)2 + (y – 1)2 = 16 são, respectivamente, iguais a C1(2, 1) e R1 = 2.

O centro e o raio da circunferência x2 + (y + 1)2 = 9 são, respectivamente, iguais a C2(0, -1) e R1 = 3. dC1C2=

( 0 - 2) + ( -1 - 1 ) = 2

2

4 + 4=

Essas circunferências são tangentes exteriores se, e somente se, dC1C2 = R1 + R2. Assim, temos que: 13 = R1 + 4 ⇒ R1 = 9 Portanto, a equação é dada por (x – 8)2 + (y + 9)2 = 81.

03. Dadas as circunferências λ1: x2 + y2 – 100 = 0 e λ2: x2 + y2 – 12x – 12y + 68 = 0, obtenha: a) A equação do seu eixo radical. b) Seus pontos de interseção.

RESOLUÇÃO

8= 2 2

R1 + R2 = 2 + 3 = 5 e |R1 – R2| = |2 – 3|= 1 Daí, temos que 1 < dC1C2 < 5 .

Portanto, as circunferências são secantes.

02. Obtenha a equação da circunferência de centro C1(8, –9) que é tangente exterior à circunferência (x – 3)2 + (y – 3)2 = 16.

a) Subtraindo as equações, membro a membro, temos: (x2 + y2 – 100) – (x2 + y2 – 12x – 12y + 68) = 0 ⇒ 12x + 12y – 168 = 0 ⇒ x + y – 14 = 0 Portanto, a equação do eixo radical é x + y – 14 = 0. b) Substituindo y = 14 – x em x2 + y2 – 100 = 0, temos: x2 + (14 – x)2 – 100 = 0 ⇒ x2 + 196 – 28x + x2 – 100 = 0 2x2 – 28x + 96 = 0 ⇒ x2 – 14x + 48 = 0 ⇒ x’ = 6 e x” = 8

RESOLUÇÃO

Para x’ = 6 ⇒ y’ = 14 – 6 = 8 ⇒ (6, 8)

O centro e o raio da circunferência (x – 3)2 + (y – 3)2 = 16 são, respectivamente, iguais a C2(3, 3) e R2 = 4. dC1C= 2

( 8 - 3) + ( -9 - 3)= 2

2

25 + 144=

169 = 13

Para x’ = 8 ⇒ y’ = 14 – 8 = 6 ⇒ (8, 6) Portanto, os pontos de intersecção são (6, 8) e (8, 6).

D15  Posições relativas entre duas circunferência

Exercícios de Fixação 01. Qual a posição relativa entre as circunferências λ1: x2 + y2 = 16 e λ2: (x + 3)2 + (y – 2)2 = 9.

a) A equação do seu eixo radical. b) Seus pontos de interseção.

Secantes

02. Qual a posição relativa entre as circunferências λ1: x2 + y2 = 18 e λ2: (x + 10)2 + (y – 5)2 = 1.

Exteriores

03. Demonstre que as circunferências x2 + y2 – 4x – 6y + 12 = 0 e x2 + y2 + 4x – 12y + 24 = 0 são tangentes exteriores.

Demonstração

04. Demonstre que as circunferências x2 + y2 = 81 e x2 + y2 – 6x + 8y + 9 = 0 são tangentes interiores.

Demonstração

05. Dadas as circunferências λ1: x2 + y2 – 4x – 2y – 11 = 0 e λ2: x2 + y2 + 2y – 7 = 0, obtenha: a) x + y + 1 = 0

366

b) (2, -3) e (-2, 1)

06. (UEFS BA) Se as circunferências descritas pelas equações x2 + y2 – 2x + 4y = 4 e x2 + y2 + mx + ny = 11 forem concêntricas, o raio da maior delas será, em unidades de comprimento, igual a a) 2 b) 6 c) 3 d) 11 e) 4

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios C om p l em en t ares 01. (UEPB) Duas circunferências têm equações x2 + (y – 2)2 = 4 e

a) 6 e –9

(x – 1)2 + y2 = 1. Podemos afirmar que elas são

b) –6 e 9

a) tangentes internas

c) 6/5 e 3/5

b) secantes

d) –6/5 e 3/5

c) tangentes externas

e) 4 e 3

d) interiores não concorrentes

06. (UECE) Se as equações das circunferências M e P, no siste-

e) concêntricas

ma de coordenadas cartesianas usual, são respectivamente

02. (UEFS BA) Para que as circunferências dadas pelas equações

x2 + y2 – 6x – 10y + 18 = 0 e x2 + y2 – 12x – 8y + 36 = 0, pode-

x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 e x2 + y2 – 8x + 2y = k2 – 17, k > 0,

-se afirmar corretamente que

sejam tangentes, a constante k deve valer

a) M e P são concêntricas.

a) 1

b) M e P são tangentes.

b) 2 ou 5

c) M e P possuem raios com medidas diferentes.

c) 3 ou 7

d) M e P possuem exatamente dois pontos na interseção.

d) 4 ou 8

07. (Unicamp SP) A circunferência de centro em (2, 0) e tan-

e) 6

gente ao eixo y é interceptada pela circunferência C, defi-

03. (Ibmec-SP) Considere as circunferências cujas equações carte-

nida pela equação x2 + y2 = 4, e pela semirreta que parte

sianas são: x + y + 2x – 2y – 14 = 0 e x + y – 6x – 8y + k = 0.

da origem e faz ângulo de 30° com o eixo x, conforme a

Para que essas circunferências sejam tangentes externa-

figura a seguir.

2

2

2

2

mente, o valor de k deve ser

y

a) 20

P C

b) 22 c) 24

30°

d) 26

x

e) 28 04. (UFPE) Uma circunferência tem centro no primeiro quadrante, passa pelos pontos com coordenadas (0, 0) e (4, 0) e é tangente, internamente, à circunferência com equação

a) Determine as coordenadas do ponto P.

x2 + y2 = 64. Abaixo, estão ilustradas as duas circunferências.

b) Calcule a área da região sombreada.

y

a) P 3, 3

b)

4 2 3 3

08. Sabendo que as circunferências λ1: (x – 5)2 + (y + 1)2 = 9 e λ2: (x – 4)2 + (y + 2)2 = 4 se interceptam nos pontos A e B, terminada pelos pontos A e B. 2 2

x

4

0

09. (UEGO) A circunferência de centro (8, 4) que tangencia externamente a circunferência x 2 + y2 - 4x + 8y - 16 possui raio igual a Indique o inteiro mais próximo da soma das coordenadas do ponto de interseção das duas circunferências.

Gab. 11

05. (FGV SP) As circunferências λ1: x + y – (2a + b)x + 2ay + 15 = 0 2

2

e λ2: x + y – 3x – (a + 2b)y + 2 = 0 são concêntricas. Então a 2

2

e b, valem, respectivamente:

a) 16 b) 10 c) 8 d) 6 e) 4

367

D15  Posições relativas entre duas circunferência

calcule a distância do centro da circunferência λ1 à reta de-

FRENTE

D

MATEMÁTICA

MÓDULO D16

ASSUNTOS ABORDADOS n Problemas de tangência

PROBLEMAS DE TANGÊNCIA Os discos de vinil voltaram ao mercado e são comercializados nas melhores lojas de música. Eles nos remetem à memória de um tempo ímpar da indústria fonográfica e possuem diversas peculiaridades. Dentre elas, destacam-se as rotações por minutos (rpm), que podem ser classificadas em 33, 45 e 78.

Normalmente, os discos menores, também conhecidos como compactos, funcionam a 45 rpm. Já os grandes, denominados de LPs ou 12 polegadas, são tocados a 33 rpm.

Há, ainda, aqueles mais especiais e raros, executados a 78 rpm, que recebem o nome popular de goma-laca. Esses discos são pesados e frágeis, podendo quebrar facilmente em uma queda, de modo semelhante a um objeto de porcelana.

Nesse sentido, no estudo dos movimentos circulares, em particular, no movimento circular e uniforme, é comum nos depararmos com o termo rpm. Trata-se de uma das unidades de uma grandeza física chamada frequência (número de vezes que um fenômeno ocorre em certa unidade de tempo).

Assim, admita que um objeto de dimensões desprezíveis, preso por um fio inextensível, gira no sentido horário em torno de um ponto O com a mesma frequência de um LP 33 rpm. Esse objeto percorre a trajetória T, cuja equação é x2 + y2 = 25. Observe a figura: y P 0

x

Admita que o fio arrebente no instante em que o objeto se encontra no ponto P (4, 3) e que, a partir desse instante, o objeto segue na direção da reta tangente a T no ponto P. Nessa situação, qual seria a equação dessa reta? Para determinar a equação dessa reta, devemos considerar o fato de que a reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

Já sabemos que uma reta t é tangente a uma circunferência λ de centro C e raio R se, e somente se, t intercepta λ em apenas um ponto P denominado ponto de tangência.

Observe a figura a seguir:

dCt = R t

Figura 01 - Disco de vinil 33 rpm sendo executado.

368

Nessa figura, temos que: n

A reta t é perpendicular ao raio R no ponto de tangência P.

n

A distância dCt entre a reta t e o centro C da circunferência é igual ao raio R.

Fonte: Shutterstock.com

C

Matemática e suas Tecnologias

Existem alguns problemas clássicos de tangência e, dentre eles, podemos destacar os seguintes: 1º caso: obter a tangente a uma circunferência dada, por um ponto dado que pertence a essa circunferência.

2º caso: obter as tangentes a uma circunferência dada, por um ponto dado exterior a essa circunferência.

3º caso: obter as tangentes a uma circunferência dada, paralelas (ou perpendiculares) a uma reta dada.

A seguir, nos exercícios resolvidos, vamos mostrar um exemplo de cada um desses três problemas clássicos.

EXEMPLOS 01. Obtenha a equação da reta tangente à circunferência (x – 3)2 + (y – 1)2 = 65, no ponto P (–5, 0).

Sendo m o coeficiente angular de t1 e t2, podemos obter as equações dessas retas a partir das suas equações fundamentais. Assim, temos que: y – (–2) = m(x – 1) ⇒ y + 2 = mx – m ⇒ mx – y – 2 – m = 0

RESOLUÇÃO O centro e o raio da circunferência (x – 3)2 + (y – 1)2 = 65 são, respectivamente, iguais a C (3, 1) e R = 65 .

Observe a figura a seguir:

A distância entre t1 e t2 e o centro C da circunferência é igual ao raio R. Assim, temos que: m ⋅ 1 + (-1) ⋅ 2 + (-2 - m) m + ( -1 )

2

2

-4 m2 + 1 C (3, 1)

= 8 ⇒

m-2-2-m m2 + 1 4

m2 + 1

= 8 ⇒

= 8

Elevando ao quadrado ambos os membros dessa equação, temos: 2

2   4 16 16 =8 ⇒ 2 =8 ⇒   = 8 ⇒ 2 2 m +1 m +1  m +1  m2 + 1 = 2 ⇒ m2 = 1 ⇒ m = ±1

65

P (-5, 0)

( )

Para m = 1, temos a reta 1 ⋅ x – y – 2 – 1 = 0 ⇒ x – y – 3 = 0 Para m = -1, temos a reta (–1) ⋅ x – y – 2 – (–1) = 0 ⇒ –x – y – 1 = 0 ⇒ x+y+1=0 Portanto, as equações das retas são x – y – 3 = 0 e x + y + 1 = 0.

03. Obtenha as retas tangentes à circunferência (x + 2)2 + (y – 1)2 = 4 que são paralelas à reta r: 4x + 3y – 1 = 0.

1 0 - 1 -1 1 ⇒ mt ⋅ mCP = -1 ⇒ mt ⋅ = -1 ⇒ mt = –8. = = 8 -5 - 3 -8 8

Da reta t conhecemos um ponto P (–5, 0) e o coeficiente angular mt = –8. Daí, temos que a reta t é dada por: y – 0 = 8⋅[x – (–5)] ⇒ y = 8⋅(x + 5) ⇒ y = 8x + 40 ⇒ 8x – y + 40 = 0 Portanto, a equação da reta é 8x – y + 40 = 0.

02. Obtenha as retas tangentes à circunferência (x – 1)2 + (y – 2)2 = 8 que passam pelo ponto P (1, –2).

RESOLUÇÃO O centro e o raio da circunferência (x – 1)2 + (y – 2)2 = 8 são, respectivamente, iguais a C (3, 1) e R = 8 .

Observe a figura a seguir: t1

A

RESOLUÇÃO O centro e o raio da circunferência (x + 2)2 + (y – 1)2 = 4 são, respectivamente, iguais a C (–2, 1) e R = 2.

4 O coeficiente angular da reta r é: 4x + 3y – 1 = 0 é mr = - . Como as 3 retas t1 e t2 são paralelas a r, então seus coeficientes angulares são 4 iguais a - .

3 Sendo n o coeficiente linear de t1 e t2, podemos obter as equações dessas retas a partir das suas equações reduzidas. Assim, temos que: 4 y= - x + n ⇒ 3y = –4x + 3n ⇒ 4x + 3y – 3n = 0 3

A distância entre t1 e t2 e o centro C da circunferência é igual ao raio R. Assim, temos que:

4 ⋅ (-2) + 3 ⋅ 1 + (-3n) 42 + 32

=2 ⇒

-8 + 3 - 3n 16 + 9

=2 ⇒

-5 - 3n =2 ⇒ 5

|–5 – 3n| = 10 8

Resolvendo a equação modular, temos que:

C (1, 2)

P (1,-2)

Para –3n = 15, temos a reta 4x + 3y + 15 = 0 Para –3n = –5, temos a reta 4x + 3y + –5 = 0

8

B

–5 – 3n = 10 ⇒ –3n = 15 ou –5 – 3n = –10 ⇒ –3n = –5

t2

Portanto, as equações das retas são 4x + 3y + 15 = 0 e 4x + 3y – 5 = 0

369

D16  Problemas de tangência

t

 Note que a reta t é perpendicular à reta CP . Assim, temos que: m= CP

= 8 ⇒

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Obtenha a equação da reta tangente à circunferência λ no ponto P nos seguintes casos: a) 3x – 4y + 50 = 0

b) 5x – 12y + 147 = 0

a) λ: x2 + y2 = 100 e P(–6, 8) b) λ: (x – 2)2 + (y + 1)2 = 169 e P(–3, 11) 02. Obtenha as equações das retas tangentes à circunferência (x – 4)2 + (y + 1)2 = 20 que passam pelo ponto P (–1, –1).

2x – y + 1 = 0 e 2x + y + 3 = 0

03. Obtenha as equações das retas tangentes à circunferência (x – 1)2 + (y – 3)2 = 5 que são paralelas à reta r: x + 2y – 3 = 0.

04. Obtenha as equações das retas tangentes à circunferência x2 + y2 – 2x – 2y – 7 = 0, que são perpendiculares à reta x + y – 1 = 0. x–y–3 2=0ex–y+3 2=0

05. (UFR RJ) A circunferência de equação C: x2 – 2x + y2 + 2y = 23 e a reta r: 3x + 4y = 24 são tangentes. a) (4, 3) b) 4x – 3y – 7 = 0 a) Determine o ponto de tangência. b) Ache a equação de uma reta perpendicular à reta r que contém o centro de C.

x + 2y – 2 = 0 e x + 2y – 12 = 0

Exercícios C om p l em en t ares 01. (Fuvest SP) No plano cartesiano, a circunferência C tem centro no ponto A(–5, 1) e é tangente à reta 4x – 3y – 2 = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox . Assim: a) P(–1, –2)

b) (x + 5)2 + (y – 1)2 = 25

c) 25/4

a) Determine as coordenadas do ponto P. b) Escreva uma equação para a circunferência C. c) Calcule a área do triângulo APQ.

02. (FGV SP) No plano cartesiano, uma circunferência tem cen0. A tro C (5,3) e tangencia a reta de equação 3x + 4y - 12 = equação dessa circunferência é 0 a) x 2 + y2 - 10x - 6y + 25 = 0 b) x 2 + y2 - 10x - 6y + 36 = 0 c) x 2 + y2 - 10x - 6y + 49 = 0 d) x 2 + y2 + 10x + 6y + 16 = 0 e) x 2 + y2 + 10x + 6y + 9 = 03. (UFPB) Sejam r e s as retas tangentes à circunferência de equação x2 + y2 = 25, nos pontos A (-3, 4) e B(5, 0), respectivamente. Sendo P o ponto de interseção dessas retas, calcule a área do triângulo ABP. Gab. 40

D16  Problemas de tangência

04. (Unitau SP) Em um plano cartesiano ortogonal, a reta r intercepta o eixo das abscissas em 2, e o eixo das ordenadas em 1. No mesmo plano cartesiano, a circunferência λ , de0 , k ∈ IR ,é finida pela equação 5x 2 + 5y2 - 20x - 10y + k = tangente à reta r. Desse modo, o número k é a) natural par. b) irracional. c) inteiro negativo. d) dízima periódica. e) natural ímpar.

05. (UFSM) Uma luminária foi instalada no ponto C (–5, 10).

Sabe-se que a circunferência iluminada por ela é tangente à reta que passa pelos pontos P (30, 5) e Q (–30, –15). O comprimento da linha central do passeio correspondente

370

ao eixo y, que é iluminado por essa luminária, é a) 10 m b) 20 m c) 30 m d) 40 m e) 50 m 06. (Acafe SC) Considere a circunferências dadas pelas equações C1: x2 + y2 + 12x + 6y + 36 = 0 e C2: x2 + y2 – 4x – 6y + 9 = 0, com AB tangente às circunferências C1 e C2 nos pontos A e B, respectivamente.

A

o’

C1 B

C2

o

O comprimento do segmento AB (em unidades de comprimento) é igual a a) 4 3 b) 5 5 c) 4 5 d) 5 3 07. (Unipê PB) Para que a circunferência C: x2 + y2 = 4y admita tangente, a reta r: y = 2x + b, o valor da constante real b deverá ser a) 5 - 5 3 ou 5 + 5 3 b) 3 - 3 5 ou 3 + 3 5 c) 3 - 3 2 ou 3 + 3 2 d) 2 - 2 3 ou 2 + 2 3 e) 2 - 2 5 ou 2 + 2 5

FRENTE

D

MATEMÁTICA

Exercícios de A p rof u n dam en t o 01. (Uerj RJ) Em cada ponto (x, y) do plano cartesiano, o valor de T

T=

05. (ITA SP) Seja m ∈ IR tal que a reta x – 3y – m = 0 determina, na circunferência (x – 1)2 + (y – 3)2 = 25, um corda de comprimento

é definido pela seguinte equação:

6. O valor de m é:

200 x 2 + y2 - 4x + 8

a) 10 + 4 10

Sabe-se que T assume seu valor máximo, 50, no ponto (2, 0).

Calcule a área da região que corresponde ao conjunto dos pontos do plano cartesiano para os quais T ≥ 20.

6π ua

b) 2 + 3 c) 5 - 2 d) 6 + 10 e) 3

02. (Fuvest SP) Considere a circunferência λ de equação cartesiana

06. (Fuvest SP) Duas circunferências com raios 1 e 2 têm centros

x2 + y2 – 4y = 0 e a parábola α de equação y = 4 – x2.

no primeiro quadrante do plano cartesiano e ambas tangen-

a) Determine os pontos pertencentes à interseção de λ com α.

ciam os dois eixos coordenados. Essas circunferências se in-

b) Desenhe, em um par de eixos coordenados, a circunferência

terceptam em dois pontos distintos de coordenadas (x1, y1) e

λ e a parábola α. Indique, no seu desenho, o conjunto dos

(x2, y2). O valor de (x1 + y1)2 + (x2 + y2)2 é igual a

pontos (x, y) que satisfazem, simultaneamente, às inequa-

a) 5/2

ções x2 + y2 – 4y ≤ 0 e y ≥ 4 – x2.

b) 7/2

03. (Unesp SP) Seja C a circunferência de centro (2, 0) e raio 2, e con sidere O e P os pontos de interseção de C com o eixo Ox . Sejam T e S pontos de C que pertencem, respectivamente, às retas r e s, que se interceptam no ponto M, de forma que os triângulos

c) 9/2 d) 11/2 e) 13/2 07. (UFGO) Considere duas circunferências no plano cartesiano descritas pelas equações x2 + y2 = 10 e (x - x0)2 + (y - y0)2 = 1.

OMT e PMS sejam congruentes, como mostra a figura.

Determine o ponto P (x0, y0) para que as duas circunferências

y

sejam tangentes externas no ponto A (3, 1).

3 10 3 10 1 ;

10 10

08. (UFGO) Dadas as circunferências de equações x2 + y2 – 4y = 0 r

s

cartesianas,

S

T

e x2 + y2 – 4x – 2y + 4 = 0 em um sistema de coordenadas a) esboce os seus gráficos;

M

b) determine as coordenadas do ponto de interseção das retas 0

2

P

x

tangentes comuns às circunferências.

09. Quais os valores que k deve assumir para que a equação da reta 3x – 4y + k = 0 seja tangente à circunferência de equação geral

a) Dê a equação de C e, sabendo que a equação de s é y = x/3, determine as coordenadas de S. b) Calcule as áreas do triângulo OMP e da região sombreada formada pela união dos triângulos OMT e PMS. a) (x – 2)2 + y2 = 4 e S (18/5; 6/5); b) ∆OMT = 4/3 e ∆PMS = 32/15

04. (ITA SP) Seja C a circunferência de centro na origem, passando

x2 + y2 – 4x – 6y + 9 = 0? k = –9 ou k = 11

10. (FGV SP) No plano cartesiano, a equação da reta tangente ao gráfico de x2 + y2 = 25 pelo ponto (3,4) é a) 4x + 3y – 25 = 0. b) 4x + 3y – 5 = 0.

pelo ponto P (3, 4). Se t é a reta tangente a C por P, determine

c) 4x + 5y – 9 = 0.

a circunferência C’ de menor raio, com centro sobre o eixo x e

d) 3x + 4y – 25 = 0.

tangente simultaneamente à reta t e à circunferência C.

e) 3x + 4y – 5 = 0.

(x – 25/4)2 + y2 = 25/16

Q08. a)

b) (4, 0)

Q02. a) ( 3, 1), (0, 4) e ( 3, 1) b)

371

Fonte: Shutterstock.com

FRENTE

E

Girolamo Cardano, um controverso matemático que contribuiu para o desenvolvimento da álgebra.

MATEMÁTICA Por falar nisso Durante muito tempo, os matemáticos buscavam um método eficaz de resolver as equações algébricas do 3º grau. O primeiro método de resolução dessas equações foi criado pelo matemático italiano Scipione del Ferro, em 1505. No entanto, Scipione não a publicou, pois queria utilizá-la em “duelos intelectuais” muito comuns naquela época.

Antônio Maria Fiore, discípulo de Scipione del Ferro, de posse do método de seu mestre, tentou adquirir reconhecimento desafiando o renomado matemático Niccoló Fontanta (Tartaglia) para um duelo intelectual. Fiore propôs vários problemas que envolviam a resolução de equações algébricas do 3º grau. Todas foram resolvidas por Tartaglia, pois ele também havia desenvolvido um método de resolução de tais equações. Logicamente, Fiore perdeu o duelo para Tartaglia.

Esse embate teve grande repercussão e chegou aos ouvidos do também renomado matemático e médico Girolamo Cadano. A partir daí, Cardano passou a persuadir Tartaglia com o intuito de conseguir seu método. Conseguiu, então, com a condição de não publicar a resolução de equações do tipo x3 + px + q = 0.

Contudo, Cardano publicou o método juntamente com as demonstrações em seu livro Ars Magna (Grande Arte). Tartaglia se sentiu traído e o acusou de quebrar um solene juramento ao publicar a estratégia.

A seguir, temos a fórmula demonstrada por Tartaglia para resolver equações do tipo x3 + px + q = 0.

2

3

2

q q  q p  q p x = 3 - +   +  + 3 - -   +  2 2 2 3 2 3

3

Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

E13 E14 E15 E16

Polinômios – Dispositivo prático de Briot-Ruffini .........................374 Polinômios – Teorema do resto ....................................................378 Equações Algébricas – Teorema da decomposição......................381 Equações Algébricas – Multiplicidade e gráficos .........................385

FRENTE

E

MATEMÁTICA

MÓDULO E13

ASSUNTOS ABORDADOS n Polinômios – Dispositivo prático

de Briot-Ruffini n Briot-Ruffini

POLINÔMIOS – DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-RUFFINI Atualmente, vários produtos como leite, polpa de tomate, creme de leite, sucos, água de coco e chá são embalados com recipientes longa vida, o que leva seus fabricantes a desenvolverem vários tamanhos e formatos para as caixinhas.

A embalagem longa vida, também chamada de embalagem cartonada, possui várias camadas que variam suas quantidades de acordo com o tipo de alimento embalado.

Tais camadas passam por um processo de compressão sobre todas as folhas dos diferentes materiais que as constituem. Basicamente, a composição desse tipo de embalagem é assim distribuída: n n

n

Dois papéis cartão unidos sem cola, responsáveis por oferecer suporte mecânico e resistência à embalagem; equivalem a 75% do total.

Filmes polietileno, responsáveis por impedir a umidade e o contato direto do alimento com o alumínio, além de evitar vazamentos; correspondem a 20% do total.

Alumínio, responsável por barrar a entrada de luz e oxigênio; equivale a 5% do total.

Fonte: Shutterstock.com

Figura 01 - Produto italiano em uma embalagem longa vida.

374

Matemática e suas Tecnologias

Devido a essas características, as embalagens confeccionadas com esses materiais tornam-se uma ótima solução para a conservação de alimentos e fácil transporte, sendo a principal escolha dos fabricantes de diversos produtos.

Assim, supondo que o volume V e a altura A de uma dessas embalagens que têm a forma de um prisma sejam expressos pelos polinômios V(x) = x3 – 3x2 + 2x + 6 e A(x) = x + 1, respectivamente, sendo x um número real estritamente positivo, qual seria o menor valor que a área da base desse prisma poderia assumir?

n

2º passo: escrever novamente o coeficiente dominante de P(x) na 2ª linha.

Raiz de x- 2

2

n

Para se determinar esse valor, primeiramente, temos que obter a função H(x) que expressa a altura desse prisma. Já sabemos que o volume V de um prisma é dado pelo produto da área da base A pela altura H. Nesse caso, teríamos:

Coeficientes de P(x)

3 3

0

-2

-1

4

3º passo: multiplicar o coeficiente dominante da 2ª linha pela raiz de B(x), adicionando o resultado ao próximo coeficiente.

Raiz de x- 2

Coeficientes de P(x)

V(x) , A(x) ≠ 0 V(x) = A(x) ⋅ H(x)= ⇒ H(x) A(x) Logo, para se obter a expressão H(x) da altura, temos que fazer a divisão entre os polinômios V(x) e A(x). Note que o polinômio A(x) é um binômio do 1º grau.

2

n

Briot-Ruffini

2

1º caso: divisão de P(x) por um binômio do tipo x – a

Raiz de x- a

Coeficientes Termo independente de x de P(x) de P(x) Coeficientes do quociente Resto

n

0 6

-2

-1

4

4º passo: repetir o procedimento até obter o último termo da 2ª linha. Esse termo será o resto da divisão.

Raiz de x- 2

O dispositivo prático de Briot-Ruffini é um método bastante utilizado para efetuar a operação de divisão de um polinômio P(x) por um binômio do 1º grau que utiliza apenas os coeficientes desses polinômios.

Inicialmente, vamos visualizar tal dispositivo da seguinte maneira:

3 3

Coeficientes de P(x)

3 3

0 6

-2 10

-1 19

4 42

5º passo: todos os termos da 2ª linha, excetuando-se o último, são os coeficientes do quociente e o último termo é o resto.

Raiz de x- 2

Observe a sequência de passos para obtermos o quociente e o resto da divisão de P(x) = 3x4 – 2x2 – x + 4 por P(x) = x – 2, utilizando esse dispositivo. n

1º passo: escrever, da esquerda para a direita, a raiz do binômio x – 2 e todos os coeficientes do polinômio P(x) = 3x4 – 2x2 – x + 4, organizando-os segundo as potências decrescentes de x. Note que o coeficiente do termo em x3 é igual a zero.

Raiz de x- 2

2

Coeficientes de P(x)

3

0

-2

-1

2

3 3

0 6

-2 10

-1 19

4 42

Coeficientes de Q(x) Resto

Note que o polinômio resto R(x) deve ser um polinômio constante, ou seja, R(x) = R. Portanto, o quociente e o resto da divisão são, respectivamente, Q(x) = 3x3 + 6x2 + 10x + 19 e R = 42.

4

375

E13  Polinômios - Dispositivo prático de Briot-Ruffini

Coeficientes de P(x)

Matemática

2º caso: divisão de P(x) por um binômio do tipo ax – b Ao dividir P(x) por ax – b, com a ≠ 0, obteremos um quociente Q(x) e um resto R. Assim, temos que: P(x) = (ax – b) ⋅ Q(x) + R Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:

a a   P(x) =b ⋅  x -  ⋅ Q(x) + R ⇒ P(x) =  x -  ⋅ b ⋅ Q(x) + R b b     a Note que o quociente e o resto da divisão de P(x) por x - são, respectivamente, b iguais a b ⋅ Q(x) e R. Daí, podemos estabelecer que para obter o quociente e o resto da divisão de P(x) por ax – b, temos que: a n 1º passo: dividir P(x) por x - , obtendo o quociente Q’(x) = b ⋅ Q(x) e resto R. b n 2º passo: dividir todos os valores de Q’(x) por b, obtendo assim, os coeficientes de Q(x).

EXEMPLOS 01. Ao dividir o polinômio P(x) por x – a no dispositivo prático de Briot-Ruffini, tem-se:

P(x) = (2x – 2) ⋅ Q(x) + R P(x) = 2 ⋅ (x – 1) ⋅ Q(x) + R

a

-5 1

3 3

1 3

-2 R

E13  Polinômios - Dispositivo prático de Briot-Ruffini

Determine os valores de a e R. RESOLUÇÃO Pelo dispositivo de Briot-Ruffini apresentado, temos que:

P(x) = (x – 1) ⋅ 2Q(x) + R Note que na divisão de P(x) por x – 1, encontraremos o quociente 2Q(x). Logo, para obter Q(x) basta dividir todos os coeficientes obtidos na divisão de A(x) por x – 1 por 2. Daí, temos que:

Raiz de x- 1

3a – 5 = 1 ⇒ 3a = 6 ⇒ a = 2

Coeficientes de P(x)

3a – 2 = R ⇒ 3 ⋅ 2 – 2 = R ⇒ R = 4

1

Portanto, a = 2 e R = 4.

02. Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, obtenha o quociente Q(x) e o resto R da divisão de P(x) = 2x³ + 3x² – x – 2 por B(x) = 2x – 2.

2 2

3 5

-2 2

-1 4

Coeficientes de 2Q(x)

Resto RESOLUÇÃO Incialmente, temos que:

376

Assim, temos que 2Q(x) = 2x2 + 5x + 4 e R = 2.

Portanto Q(x) = x2 + 5x/2 + 2 e R = 2.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Obtenha o quociente Q(x) e o resto R na divisão de P(x) por D(x) nos seguintes casos: a) P(x) = x2 – 3x – 1 e D(x) = x – 4 Q(x) = x + 7 e R = 27 _____________________________________________ b) P(x) = 3x3 – 5x2 + 3x – 2 e D(x) = x + 1 Q(x) = 3x2 – 8x + 11 e R = -13 _____________________________________________ c) P(x) = x4 – 2x3 + 7x2 – x – 8 e D(x) = x – 2 Q(x) = x3 + 7x + 13 e R = 18 _____________________________________________ 02. Obtenha o quociente Q(x) e o resto R na divisão de P(x) por D(x) nos seguintes casos: a) P(x) = x5 – 2x4 + x3 – 6x – 2 e D(x) = –x + 2 Q(x) = –x4 – x2 – 2x + 2 e R = –6 _____________________________________________ b) P(x) = x6 – 1 e D(x) = –x + 1 Q(x) = –x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1 e R = 0 _____________________________________________ c) P(x) = 6x3 + 2x + 2 e D(x) = 2x – 1 Q(x) = 3x2 + 3x + 5/2 e R = 9/2 _____________________________________________ 03. A seguir, temos o dispositivo de Briot-Ruffini referente à divisão de P(x) por x – 1.

-3

2 -1

1 1

4 4

-3 0

Determine os valores P(x), o quociente Q(x) e o resto R. P(x) = x3 + 2x2 – 3x + 4, Q(x) = x2 – x e R = 4

04. A seguir, temos o dispositivo de Briot-Ruffini referente à divisão de P(x) por D(x). a

1 b

2 4

Determine os valores de a, b e c.

c -5 a = 2, b = 1 e c = -7

05. Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, determine o valor de k para que a divisão de P(x) = x3 – kx + 9 por D(x) = x + 3 seja exata.

6

06. (UnB DF) Na divisão do polinômio 5x6 + ... + 8x + 13 por x – 2 encontrou-se o quociente 5x5 + ... + 3. Determine o resto dessa divisão.

9

a)

Exercícios C om p l em en t ares 01. Obtenha o quociente Q(x) e o resto R da divisão de P(x) por

2

a 3

b 1

c 3

d 4

a = 3, b = -5, c = 1 e d = -2

3

a 1

b c -1 -2

d 0

a = 1, b = -4, c = 1 e d = 6

D(x) em cada um dos casos a seguir: a) P(x) = x4 + 2x3 – 5x2 + 10x – 2 e D(x) = x – 3

b)

Q(x) = x3 + 5x2 + 10x + 40 e R = 118 _____________________________________________

b) P(x) = x5 + 2x – 1 e B(x) = x + 2 4

3

2

02. Obtenha o quociente Q(x) e o resto R da divisão de P(x) por D(x) em cada um dos casos a seguir: a) P(x) = x4 – 3x2 + x – 2 e D(x) = 3x + 9 Q(x) = x – 3x + 6x – 17 e R = 49 _____________________________________________ 3

2

b) P(x) = x – x + x + 1 e D(x) = 2x – 3 3

2

Q(x) = x2/2 + x/4 + 7/8 e R = 29/8 _____________________________________________

03. O dispositivo de Briot-Ruffini recebeu este nome em homenagem ao matemático francês Charles A. Briot (1817 – 1882) e ao matemático italiano Paolo Ruffini (1765 – 1822).

Dividindo o polinômio P(x) por um binômio do tipo x – a por meio desse dispositivo, têm-se os seguintes esquemas.

04. (UFSC) Determine o valor de m, para que o resto da divisão de P(x) = x3 + mx2 – 2x + 1 por x + 3 seja igual a 43.

7

05. (UPE) Para que o polinômio 6x 3 - 4x 2 + 2mx - (m + 1) seja divisível por x – 3, o valor da raiz quadrada do módulo de m deve ser igual a a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5 06. Calcule o resto R da divisão de P(x) = kx2 + x – 1 por D(x) = x + 2k. R = 4k3 + 2k – 1

Determine os valores de a, b, c e d.

377

E13  Polinômios - Dispositivo prático de Briot-Ruffini

Q(x) = x – 2x + 4x – 8x + 18 e R = -37 _____________________________________________

FRENTE

E

MATEMÁTICA

MÓDULO E14

ASSUNTOS ABORDADOS n Polinômios – Teorema do resto n Teorema do resto n Teorema de d’Alembert n Divisão de um polinômio pelo produto (x – a)⋅(x – b)

POLINÔMIOS – TEOREMA DO RESTO Leonhard Paul Euler (1707 – 1783) é considerado um dos matemáticos e físicos mais importantes de sua época. Nasceu na Basileia, na Suíça, foi aluno do grande matemático Jean Bernoulli (1667 – 1748). Recebeu ampla instrução em teologia, medicina, astronomia, física, línguas orientais e obviamente, em matemática.

Com o auxílio de Bernoulli, Paul Euler ingressou na Academia de São Petersburgo, na Rússia, ocupando lugar na seção de Medicina e Fisiologia. Posteriormente, aos 26 anos de idade, tornou-se o principal matemático da Academia, dedicando-se profundamente à pesquisa e publicando uma enorme quantidade de artigos.

Em 1735, perdeu a visão do olho direito. Contudo, suas pesquisas continuaram intensas, conquistando reputação internacional e recebendo menção honrosa na Academia das Ciências de Paris, além de vários prêmios em diversos concursos.

Paul Euler ocupou-se de quase todos os ramos da Matemática Pura e Aplicada, e foi considerado o maior responsável pela linguagem e notações que usamos atualmente. Ele também foi o primeiro a empregar a letra e como base do sistema de logaritmos naturais, a letra π para razão entre comprimento e diâmetro da circunferência e o símbolo i para raiz de -1.

Além disso, atribui-se a Paul Euler o uso de letras minúsculas designando lados do triângulo e maiúsculas para seus ângulos opostos. Ele simbolizou, ainda, logaritmo de x por lx, usou a letra sigma (δ) para indicar adição e várias outras notações em Geometria, Álgebra, Trigonometria e Análise.

No que diz respeito ao estudo das funções, Paul Euler foi o primeiro matemático a usar a notação f(x) para uma função de x, em seu livro Introductio in analysin infinitorum, publicado em 1748. Tal notação é usada até hoje.

Assim, considerando a função polinomial de coeficientes reais, f(x) = 2x4 + Ax3 – 5x2 + Bx + 16, sabendo que os restos da divisão de f(x) por x – 1 e x + 2 são, respectivamente, iguais a 15 e zero, quais seriam os valores dos coeficientes A e B?

Fonte: Sh

utterstock .com

Para se determinar rapidamente os valores desses coeficientes, basta utilizar o Teorema do Resto.

Figura 01 - Placa comemorativa localizada em São Petersburgo, na Rússia, homenageando Leonhard Euler.

378

Matemática e suas Tecnologias

Teorema do resto Sendo a uma constante qualquer, o resto da divisão de um polinômio P(x) por x – a é igual a P(a).

Demonstração Sendo Q(x) o quociente e R o resto da divisão de P(x) por x – a, temos que: P(x) = (x – a) ⋅ Q(x) + R Considerando x = a, temos: P(a) = (a – a) ⋅ Q(x) + R ⇒ P(a) = R

Teorema de d’Alembert Sendo a uma constante qualquer, um polinômio P(x) é divisível por x – a se, e somente se, a for raiz de P(x).

Demonstração Sabemos que: n n

a constante a é raiz de P(x) se, e somente se, P(a) = 0; P(a) é o resto da divisão de P(x) por x – a.

Daí, concluímos que a é raiz de P(x) se, e somente se, R = 0, ou seja, a é raiz de P(x) se, e somente se, P(x) for divisível por x – a.

Divisão de um polinômio pelo produto (x – a)⋅(x – b) Sendo a e b constantes quaisquer com a ≠ b, um polinômio P(x) é divisível por x – a e x – b se, e somente se, P(x) for divisível pelo produto (x – a)⋅(x – b).

EXEMPLOS 01. Calcule o resto da divisão de P(x) = x3 – x2 + 3x + 5 por x – 2.

RESOLUÇÃO Pelo teorema do resto, o resto da divisão de P(x) por x – 2 é igual a P(2). Daí, temos que: P(2) = 23 – 22 + 3 ⋅ 2 + 5 P(2) = 8 – 4 + 6 + 5 = 15 Portanto, o resto da divisão de P(x) por x – 2 é 15.

RESOLUÇÃO Pelo teorema do resto, temos que: n O resto da divisão de P(x) por x – 2 é igual a 6, ou seja, P(2) = 6. n O resto da divisão de P(x) por x + 1 é igual a 3, ou seja, P(–1) = 3.

Como D(x) é um polinômio de grau 2, o grau do resto R(x) deve ser menor que 2, ou seja, R(x) = ax + b.

Na divisão de P(x) por D(x), vamos obter um quociente Q(x) e um resto R(x). Assim, temos que: P(x) = D(x) ⋅ Q(x) + R(x) ⇒ P(x) = (x – 2)⋅(x + 1)⋅Q(x) + ax + b.

02. Para qual valor de m o polinômio P(x) = 3x5 – 5x4 + m seja divisível por x – 1?

Considerando x = 2 em P(x) = (x – 2)⋅(x + 1)⋅Q(x) + ax + b, temos:

RESOLUÇÃO

Considerando x = -1 em P(x) = (x – 2)⋅(x + 1)⋅Q(x) + ax + b, temos:

Pelo teorema do resto, o resto da divisão de P(x) por x – 1 é igual a P(1). Como P(x) deve ser divisível por x – 1, devemos ter P(1) = 0. Daí, temos que: P(1) = 3 ⋅ 15 – 5 ⋅ 14 + m = 0 ⇒ 3 – 5 + m = 0 ⇒ m = 2 Portanto, o valor de m é igual a 2.

03. Dividindo-se um polinômio P(x) por x – 2, obtém-se resto 6; dividindo-se P(x) por x + 1, obtém-se resto 3. Determine o resto da divisão de P(x) por D(x) = (x –2)⋅(x + 1).

E14  Polinômios - Teorema do resto

P(2) = 2a + b ⇒ 2a + b = 6

P(–1) = –a + b ⇒ –a + b = 3 Daí, obtemos o seguinte sistema:

6 2a + b =  -a + b =3 Resolvendo o sistema, obtemos a = 1 e b = 4.

Portanto, o resto procurado é R(x) = x + 4.

379

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Obtenha o resto da divisão de P(x) por D(x) nos casos a seguir: a) 40

b) 35

c) 89

a) P(x) = 5x3 – 2x + 4 e D(x) = x – 2. b) P(x) = x4 – 3x2 + 8x + 5 e D(x) = x + 3 c) P(x) = x3 – x2 – 2x – 1 e D(x) = 2x – 10 02. Determine a constante m para que o resto da divisão de P(x) = 2x3 – mx – x + 5 por 2x + 4 seja igual a 3. 7

04. (Fuvest SP) Dividindo-se o polinômio P(x) por 2x2 – 3x + 1, obtém-se quociente 3x2 + 1 e resto -x + 2. Nessas condições, calcule o resto da divisão de P(x) por x – 1. 1 05. (UFF RJ) Um aluno dividiu o polinômio P(x) = ax2 + bx + c, sucessivamente, por (x – 1), (x – 2) e (x – 3) e encontrou, respectivamente, restos 0, 0 e 1. Determine o polinômio P(x).

P(x) =

03. (ESPM SP) O trinômio x2 + ax + b é divisível por x + 2 e por x – 1. O valor de a – b é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

1 ⋅ (x – 1)⋅(x – 2) 2

06. Um polinômio P(x) quando dividido por x – 1 deixa resto 3 e quando dividido por x + 1 deixa resto 5. Determine o resto da divisão de P(x) por x2 – 1. –x + 4 07. Um polinômio P(x) quando dividido por x – 5 deixa resto 8 e quando dividido por x – 3 deixa resto 6. Determine o resto da divisão de P(x) por x2 – 8x + 15. x + 3

Exercícios C om p l em en t ares 01. (IFAL) Seja P(x) = x3 – 2x2 + 3x – 5 um polinômio. O resto da divisão de P(x) pelo binômio B(x) = x – 1/2 é a) um número natural. b) um número inteiro negativo. c) um número racional positivo. d) um número racional negativo. e) um número irracional.

E14  Polinômios - Teorema do resto

02. (UCPEL) Na divisão do polinômio P(x) = 4x3 + mx2 – 3x + 4 por x – 2 o resto é 18. Nessas condições, o valor de m é a) –6 b) 3 c) –3 d) 6 e) –5 03. (UFTM) Dividindo-se o polinômio p(x) = 3x4 – 2x3 + mx + 1 por (x – 1) ou por (x + 1), os restos são iguais. Nesse caso, o valor de m é igual a a) –2 b) –1 c) 1 d) 2 e) 3 04. (Unifesp SP) A divisão de um polinômio p(x) por um polinômio k(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5 como quociente e r(x) = x2 + x + 7 como resto. Sabendo-se que o resto da divisão de k(x) por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é

380

a) 10 b) 12 c) 17 d) 25 e) 70 05. (Unesp SP) O polinômio P(x) = ax3 + 2x + b é divisível por x – 2 e, quando divisível por x + 3, deixa resto -45. Nessas condições, os valores de a e b, respectivamente, são a) 1 e 4 b) 1 e 12 c) –1 e 12 d) 2 e 16 e) 1 e –12 06. (Unesp SP) Se m é raiz do polinômio real P(x)= x6 – (m + 1)x5 + 32, determine o resto da divisão de p(x) por x – 1. 30 07. (Mackenzie SP) Observe as divisões entre polinômios a seguir: P(x)

3x- 2

(x²-1) P(x)

3x- 2

1

Q(x)

1

Q1(x)

Nessas divisões, podemos afirmar que o resto K vale a) 4/9 b) –1/9 c) –4/9 d) –5/9 e) –2/9

FRENTE

E

MATEMÁTICA

MÓDULO E15

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS – TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO O Departamento Nacional de Infraestrutura de Transportes (DNIT), uma autarquia federal vinculada ao Ministério dos Transportes, foi criado pela lei 10.233, em 5 de junho de 2001. Essa legislação tem como função reestruturar o sistema de transportes rodoviário, aquaviário e ferroviário do Brasil, extinguindo o antigo Departamento Nacional de Estradas de Rodagem (DNER). Além disso, o DNIT é o órgão responsável por exercer as atribuições estabelecidas no Art. 21 do Código de Trânsito Brasileiro, ou seja, aplicar multas por excesso de velocidade ou excesso de peso nas rodovias federais.

ASSUNTOS ABORDADOS n Equações algébricas – Teorema

da decomposição n Definição n Raiz

n Conjunto solução n Teorema fundamental da álgebra n Teorema da decomposição

Assim, suponha que o DNIT registre a velocidade do trânsito em determinada saída de uma rodovia federal do estado de Goiás, por meio de barreiras eletrônicas. Os dados indicam que, em um dia normal, entre 13 horas e 18 horas, a velocidade V, em quilômetros por hora, do trânsito é, aproximadamente, V(t) = 2t3 – 21t + 60t + 40, sendo t o número de horas contadas a partir do meio-dia. Logo, para se saber em quais horários o trânsito atingiu a velocidade de 92 km/h, basta substituir V por esse valor, obtendo-se a seguinte equação: 2t3 – 21t + 60t + 40 = 92 ⇒ 2t3 – 21t + 60t – 52 = 0

Figura 01 - Motorista recebendo multa por excesso de velocidade.

381

Fonte: Shutterstock.com

Os valores de t para os quais essa igualdade é verdadeira são soluções dessa equação, denominada equação algébrica ou polinomial.

Matemática

Definição Denomina-se equação polinomial ou equação algébrica na variável complexa x toda equação redutível à forma P(x) = 0, sendo P(x) = an ⋅ xn + an – 1 ⋅ xn – 1 + an – 2 ⋅ xn – 2 + ... + a1 ⋅ x + a0 um polinômio de grau n ≥ 1 e coeficientes complexos.

Exemplo Na equação algébrica 5x3 – 2x2 + 6x + 9i = 0, temos que: n n

Seus coeficientes são 5, –2, 6 e 9i Seu grau é 3.

Raiz Dizemos que o número complexo α é raiz (ou zero) da equação algébrica P(x) = 0 se, e somente se, ao substituir x por α, obtivermos P(α) = 0.

Exemplo: Considerando x = 2 na equação x3 – x2 – 14x + 24 = 0, temos que: 23 – 22 – 14 ⋅ 2 + 24 = 8 – 4 – 28 + 24 = 0.

Portanto, x = 2 é raiz dessa equação.

Conjunto solução O conjunto formado por todas as raízes de uma equação algébrica é chamado de conjunto solução (S) ou conjunto verdade (V). Resolver uma equação algébrica significa determinar suas raízes e, consequentemente, seu conjunto solução.

Por meio do estudo das funções polinomiais de 1º e 2º graus, sabemos resolver as equações algébricas de grau 1 e 2. Neste módulo, vamos resolver equações de grau maior que 2 a partir de alguma particularidade ou informação a respeito dessa equação.

Apesar de existirem, não iremos aqui determinar o conjunto solução das equações algébricas por meio de fórmulas resolutivas, tais como as fórmulas de Cardano (grau 3) e Ferrari (grau 4).

Exemplo Dada a equação algébrica x3 – 6x2 + 5x = 0, é possível determinar seu conjunto solução utilizando fatoração. Veja: x3 – 6x2 + 5x = 0 ⇒ x ⋅ (x2 – 6x + 5) = 0 ⇒ x = 0 ou x2 – 6x + 5 = 0 ⇒ x = 1 ou x = 5 Portanto, o conjunto solução da equação é S = {0, 1, 5}.

E15  Equaçõ es algébricas - Teorema da decomposição

Teorema fundamental da álgebra Toda equação algébrica de grau n ≥ 1 e coeficientes complexos tem pelo menos uma raiz complexa.

Apesar de não ter uma aplicação direta na resolução das equações algébricas, esse teorema é o ponto de partida do desenvolvimento da teoria sobre essas equações. Sua demonstração foi feita, em 1799, por Carl Friedrich Gauss em sua tese de doutorado.

Teorema da decomposição Uma consequência imediata do teorema fundamental da álgebra é o teorema da decomposição. Esse teorema afirma que todo polinômio P(x) = an ⋅ xn + an – 1 ⋅ xn – 1 + an – 2 ⋅ xn – 2 + ... + a1 ⋅ x + a0 de grau n ≥ 1 pode ser decomposto em n fatores do primeiro grau da seguinte forma:

P( x ) = an ⋅ ( x – x1 ) ⋅ ( x – x 2 ) ⋅ ( x – x 3 ) ⋅ .... ⋅ ( x – xn ) 382

Matemática e suas Tecnologias

Sendo: n n

x1, x2, x3, ..., xn as raízes de P(x). an o coeficiente dominante de P(x).

Observações n Diz-se que cada um dos termos (x – x1), (x – x2), (x – x3), ..., (x – xn) é um fator de P(x). n O polinômio P(x) é divisível por cada um desses fatores, individualmente, bem como, por qualquer produto entre eles.

Exemplo: Dado o polinômio P(x) = 3x3 – x2 – 12x + 4 cujas raízes são 1/3, 2 e –2, sua representação na forma fatorada é dada por: P(x) = 3 ⋅ (x – 1/3) ⋅ (x – 2) ⋅ (x + 2) Consequência do teorema da decomposição Como todo polinômio P(x) de grau n ≥ 1 pode ser decomposto em n fatores do primeiro grau, podemos concluir que toda equação de grau n ≥ 1 admite exatamente n raízes complexas.

EXEMPLOS 01. Obtenha o conjunto solução da equação algébrica x3 – 2x2 + 25x – 50 = 0.

RESOLUÇÃO Fatorando essa expressão por agrupamento, temos: x3 – 2x2 – 25x + 50 = 0 ⇒ x2 ⋅ (x – 2) – 25(x – 2) = 0 ⇒ (x – 1)⋅(x2 – 25) = 0 ⇒ x – 1 = 0 ou x2 – 25 = 0 ⇒ x = 1 ou x = ± 5 Portanto, o conjunto solução é S = {1, ±5} 02. Determine a constante m para que -3 seja raiz da equação algébrica x3 + 5x2 + mx – 72 = 0.

Logo, a equação x3 – 3x2 – 10x + 24 = 0 também pode ser escrita na forma (x – 4)⋅(x2 + x – 6) = 0.

Daí, temos que: (x – 4)⋅(x2 + x – 6) = 0 ⇒ x – 4 = 0 ⇒ x = 4 ou x2 + x – 6 = 0 ⇒ x = –3 ou x = 2.

Portanto, o conjunto solução da equação é S = {–3, –2, 4}.

04. Determine o conjunto solução da equação algébrica x4 – 5x3 + 10x2 – 10x + 4 = 0 sabendo-se que 1 e 2 são duas de suas raízes.

RESOLUÇÃO

Como x = –3 é raiz da equação x3 + 5x2 + mx – 72 = 0, temos que: (–3)3 + 5⋅(–3)2 + m⋅(–3) – 72 = 0 ⇒ –27 + 45 – 3m – 72 = 0 ⇒ 3m = 54 ⇒ m = –18 Portanto, m = –18.

Como x = 1 e x = 2 são raízes de P(x) = x4 – 5x3 + 10x2 – 10x + 4, temos que P(x) é divisível por x – 1, x – 2 (teorema de D’Alembert). Logo P(x) também pode ser escrito na forma P(x) = (x – 1)⋅(x – 2)⋅Q(x).

Para determinar Q(x), basta utilizar o dispositivo de Briot-Ruffini a seguir.

1 1 -5 10 -10 4 2 1 -4 6 -4 0 1 -2 2 0

03. Determine o conjunto solução da equação algébrica x3 – 3x2 – 10x + 24 = 0, sabendo que 4 é uma de suas raízes.

RESOLUÇÃO Como x = 4 é raiz de P(x) = x3 – 3x2 – 10x + 24, temos que P(x) é divisível por x – 4 (teorema de D’Alembert). Assim, temos que P(x) também pode ser escrito na forma P(x) = (x – 4)⋅Q(x).

Para determinar Q(x), basta utilizar o dispositivo de Briot-Ruffini a seguir.

4 1 -3 -10 24 1 1 -6 0

Assim, Q(x) = x2 – 2x + 2 e P(x) = (x – 1)⋅(x – 2)⋅(x2 – 2x + 2).

Logo, a equação x4 – 5x3 + 10x2 – 10x + 4 = 0 também pode ser escrita na forma (x – 1)⋅(x – 2)⋅(x2 – 2x + 2) = 0.

Daí, temos que: (x – 1)⋅(x – 2)⋅(x2 – 2x + 2) = 0 ⇒ x – 1 = 0 ⇒ x = 1 ou x – 2 = 0 ⇒ x = 2 ou x2 + x – 6 = 0 ⇒ x = 1 + i ou x = 1 – i.

Portanto, o conjunto solução da equação é S = {1, 2, 1 + i, 1 – i}.

Assim, Q(x) = x2 + x – 6 e P(x) = (x – 4)⋅(x2 + x – 6).

383

E15  Equaçõ es algébricas - Teorema da decomposição

RESOLUÇÃO

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Resolva as seguintes equações algébricas no universo dos números complexos. a) S = {0, 3, 6}

b) S = {1, ±4}

c) S = {2, -1 ± i 3}

d) S = {±2, ±3i}

a) x3 – 9x2 + 18x = 0 b) x3 – x2 – 16x + 16 = 0 c) x3 – 8 = 0 d) x4 + 5x2 – 36 = 0

04. Resolva a equação algébrica x3 + 3x2 – 46x + 72 = 0, sabendo que x = 2 é uma de suas raízes. S = {-9, 2, 4} 05. Resolva a equação algébrica x4 – 3x3 – 3x2 + 7x + 6 = 0, sabendo que x = -1 e x = 2 são suas raízes. S = {-1, 2, 3}

02. (UCMG) A equação do 3º grau cujas raízes são 1, 2 e 3 é: a) x³ – 6x² + 11x – 6 = 0 b) x³ – 4x² + 4x – 1 = 0 c) x³ + x² + 3x – 5 = 0 d) x³ + x² + 2x + 3 = 0 e) x³ + 6x² – 11x + 5 = 0

06. (UFRJ) O polinômio P(x) = x3 – 2x2 – 5x + d, d ∈ IR, é divisível por x – 2. a) 10 b) 2, 5 a) Determine d. b) Calcule as raízes de P(x) = 0.

prisrada crito isma h(x)

1 i 3 Q07. S 2,1,4,

2

07. Sabendo que o polinômio P(x) = x5 – 2x4 – 8x3 – x2 + 2x + 8 é divisível por x3 – 1, resolva a equação P(x) = 0.

03. Dado o polinômio P(x) = x3 – 2x2 – 13x – 10, responda: a) zero

a) Qual o valor de P(5)? b) Quais são as suas raízes?

b) {-1, -2, 5}

Exercícios C om p l em en t ares 01. (UECE) A equação x5 – x = 0 possui

05. (Unesp SP) A altura h de um balão em relação ao solo foi observada durante certo tempo e modelada pela função

a) cinco soluções reais.

h(t) = t3 – 30t2 + 243t + 24 com h(t) em metros e t em minu-

b) três soluções reais e duas complexas não reais.

tos. No instante t = 3 minutos o balão estava a 510 metros

c) uma solução real e quatro complexas não reais.

de altura. Determine em que outros instantes t em que a

d) quatro soluções reais e uma complexa não real.

altura foi também de 510 m.

02. (FGV SP) Se três das raízes da equação polinomial x + mx + 4

nx + p = 0 na incógnita x são 1, 2 e 3, então, m + p é igual a

06. (Uerj RJ) Para fazer uma caixa, foi utilizado um quadrado de papelão de espessura desprezível e 8 dm de lado, do

a) 35

qual foram recortados e retirados seis quadrados menores

b) 24

de lado x. Observe a ilustração. Em seguida, o papelão foi

c) –12

dobrado nas linhas pontilhadas, assumindo a forma de um

d) –61 E15  Equações algébricas - Teorema da decomposição

9 minutos e 18 minutos

2

paralelepípedo retângulo, de altura x, como mostram os

e) –63

esquemas.

03. (UFMA) Sabendo que 1 é raiz do polinômio p(x) = x – ax + 3

2

2x – 1, podemos afirmar que p(x) é igual a a) (x – 1)⋅(x + 1)2

x x

b) (x – 1)2⋅(x + 1)

x

c) (x – 1)⋅(x + x + 1) 2

d) (x – 1)⋅(x2 – x + 1) 8 cm

e) (x – 1)⋅(x2 – x – 1) 04. Considerando o polinômio P(x) = x3 + (m + 1)x2 + (m + 9)x + 9, com m ∈ IR, determine:

a) -10

b) S = {±1, 9}

a) O valor de m para que 1 seja raiz de P(x). b) O conjunto solução da equação P(x) = 0.

384

Quando x = 2 dm, o volume da caixa é igual a 8 dm3. Determine outro valor de x para que a caixa tenha volume igual a 8 dm3.

Gabarito 7 37 3

FRENTE

E

MATEMÁTICA

MÓDULO E16

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS – MULTIPLICIDADE E GRÁFICOS Os estímulos elétricos que comandam os batimentos cardíacos são conduzidos pelos feixes nervosos e pelas próprias células do coração. Caso esses estímulos aconteçam de maneira desorganizada, ocorre a fibrilação. Essa anormalidade é uma arritmia, já que não há a sincronização de contração entre as fibras musculares, fazendo com que o coração execute apenas contrações rápidas e fracas.

ASSUNTOS ABORDADOS n Equações algébricas – Multipli-

cidade e gráficos

n Multiplicidade de uma raiz n Gráficos das funções polinomiais

Como medida de emergência para salvar um paciente com arritmia cardíaca, utiliza-se o desfibrilador. Esse aparelho é bastante eficaz, em muitos casos, uma vez que ele harmoniza novamente as contrações realizadas pelo coração, tão necessárias para manter a vida. Por meio desse instrumento, aplica-se uma corrente elétrica intensa na parede torácica do paciente em um intervalo de tempo da ordem de milissegundos.

O gráfico seguinte representa, de forma genérica, o comportamento da corrente aplicada no tórax dos pacientes em função do tempo. l(A) 80 60 40 20

0

1

4

5

6

t(ms)

-20

De acordo com o gráfico, a contar do instante em que se inicia o pulso elétrico, a corrente elétrica inverte seu sentido após quantos milissegundos?

Para determinar esse tempo, devemos analisar o intervalo de tempo entre o início (t = 0) até o momento em que há uma inversão de sinal da corrente elétrica (t = 4), ou seja, a corrente inverteria seu sentido após 4 – 0 = 4 milissegundos.

385

Fonte: Shutterstock.com

Figura 01 - Desfibrilador - aparelho utilizado para sincronizar os batimentos do coração.

Matemática

Multiplicidade de uma raiz A equação algébrica (x – 3)2 ⋅ (x + 2)3 ⋅ (x – 4) = 0, expressa na forma fatorada, tem grau 2 + 3 + 1 = 6. Logo, pelo teorema da decomposição, essa equação tem exatamente 6 raízes. Observe: (x – 3)2 ⋅ (x + 2)3 ⋅ (x – 4) = 0 ⇒ (x – 3) ⋅ (x – 3) ⋅ (x + 2) ⋅ (x + 2) ⋅ (x + 2) ⋅ (x – 4) = 0 Daí, temos que: n n n

x – 3 = 0 ⇒ x = 3 ocorre duas vezes. Assim, podemos dizer que x = 3 é uma raiz dupla (ou de multiplicidade 2). x + 2 = 0 ⇒ x = –2 ocorre três vezes. Assim, podemos dizer que x = -2 é uma raiz tripla (ou de multiplicidade 3). x – 4 = 0 ⇒ x = 4 ocorre uma vez. Assim, podemos dizer que x = 4 é uma raiz simples (ou de multiplicidade 1).

Portanto, as seis raízes dessa equação são, 3, 3, -2, -2, -2 e 4 e seu conjunto solução é dado por S = {-2, 3, 4}.

De maneira geral, o número complexo α é uma raiz de multiplicidade m (m ∈ IN*) da equação algébrica P(x) = 0 quando sua forma fatorada é dada por P(x)= (x - α) ⋅ (x - α) ⋅ ... ⋅ (x - α) ⋅ Q(x) . Assim:  m vezes

P ( x )=

(x – α)

m

⋅ Q ( x ) , com Q ( α ) ≠ 0

Nessa situação, note que o polinômio P(x) é divisível por (x – α)m e x = α não é raiz de Q(x).

Gráficos das funções polinomiais Iremos analisar o comportamento do gráfico de uma função polinomial observando três dos seus elementos: n n n

As raízes reais e suas respectivas multiplicidades.

O valor do termo independente.

O sinal do coeficiente dominante.

E16  Equaçõ es algébricas - Multiplicidade e gráficos

A seguir, veremos os efeitos que um desses elementos causa nos gráficos das funções polinomiais.

Raízes reais Geometricamente, as raízes reais de uma função polinomial indicam os pontos por onde o gráfico intercepta ou tangencia (dependendo de sua multiplicidade) o eixo das abscissas. Observe a figura a seguir: P(x)

A

386

B

C

x

Matemática e suas Tecnologias

Nessa situação, temos que: n

n n

No ponto A, o gráfico de P(x) tangencia o eixo das abscissas. Isso indica que, nesse ponto, existem raízes de multiplicidade par (raízes duplas, quádruplas e assim sucessivamente).

No ponto B, o gráfico de P(x) intercepta o eixo das abscissas. Isso indica que, nesse ponto, existe raiz de multiplicidade 1 (raiz simples).

No ponto C, o gráfico de P(x) intercepta o eixo das abscissas invertendo sua concavidade. Isso indica que, nesse ponto, existem raízes de multiplicidade ímpar (raízes triplas, quíntuplas e assim sucessivamente).

Observação n As raízes complexas não aparecem no gráfico, pois o eixo das abscissas do sistema cartesiano é constituído apenas por números reais.

Termo independente Geometricamente, o termo independente de uma função polinomial é a ordenada do ponto onde o gráfico intercepta o eixo das ordenadas. Observe a figura a seguir: y

D

P(x)

Nessa situação, temos que n se o ponto D estiver acima do eixo das abscissas, o termo independente de P(x) é positivo. n se o ponto D estiver abaixo do eixo das abscissas, o termo independente de P(x) é negativo.

Sinal do coeficiente dominante Se o sinal do coeficiente dominante for positivo, quando x cresce indefinidamente, P(x) também cresce indefinidamente. Observe a figura a seguir:

E16  Equaçõ es algébricas - Multiplicidade e gráficos

P(x)

x

Se o sinal do coeficiente dominante for negativo, quando x cresce indefinidamente, P(x) decresce indefinidamente. Observe a figura a seguir:

x

P(x)

387

Matemática

EXEMPLOS 01. No plano cartesiano da figura a seguir, temos o gráfico de uma função polinomial P(x) do 3º grau. y

Daí, temos que: P(x) = 1⋅(x + 4)⋅(x – 1)⋅(x – 2) = (x + 4)⋅(x2 – 2x – x + 2) = (x + 4)⋅(x2 – 3x + 2) = x3 – 3x2 + 2x + 4x2 – 12x + 8 Portanto, P(x) = x3 + x2 – 10x + 8.

40

02. Mostre que -1 é uma raiz dupla (multiplicidade 2) da equação x4 – 3x3 – 3x2 + 7x + 6 = 0.

20

RESOLUÇÃO -4

8 -2

1

2

x

4

-20

Como x = -1 é uma raiz dupla do polinômio P(x) = x4 – 3x3 – 3x2 + 7x + 6, então P(x) é divisível por (x + 1)⋅(x + 1) = (x + 1)2 (teorema de D’Alembert).

Assim, P(x) também pode ser escrito na forma P(x) = (x + 1)2⋅Q(x).

Para determinar Q(x), basta utilizar o dispositivo de Briot-Ruffini a seguir.

Determine: a) As raízes de P(x); b) A lei de formação que define P(x).

-1 -1

RESOLUÇÃO a) Como P(x) é do 3º grau, P(x) = 0 tem exatamente 3 raízes. Note que o gráfico de P(x) intercepta o eixo das abscissas nos pontos (-4, 0), (1, 0) e (2, 0).

Portanto, -4, 1 e 2 são as raízes de P(x). b) A forma fatorada de P(x) é dada por: P(x) = a⋅(x + 4)⋅(x – 1)⋅(x – 2), sendo a o coeficiente dominante de P(x).

Pelo gráfico, temos que P(0) = 8. Substituindo na função, teremos:

1 1 1

-3 -4 -5

7 6 0

-3 1 6

6 0

Assim, Q(x) = x2 – 5x + 6 e P(x) = (x + 1)2⋅(x2 – 5x + 6).

Logo, a equação x4 – 3x3 – 3x2 + 7x + 6 = 0 também pode ser escrita na forma (x + 1)2⋅(x2 – 5x + 6) = 0.

Daí, temos que: (x + 1)2⋅(x2 – 5x + 6) = 0 ⇒ x + 1 = 0 ⇒ x = –1 (dupla) ou x2 – 5x + 6 = 0 ⇒ x = 2 (simples) ou x = 3 (simples).

Portanto, –1 é uma raiz de multiplicidade 2 (raiz dupla).

P(0) = a⋅(0 + 4)⋅(0 – 1)⋅(0 – 2) ⇒ 8a = 8 ⇒ a = 1.

Exercícios de Fixação 01. Sendo P(x) = (x + 5)2⋅(x – 6)3⋅(x – 1)4, obtenha: a) 9;

b) -5 (multiplicidade 2), 6 (multiplicidade 3) e 1 (multiplicidade 4).

a) O grau de P(x). b) As raízes de P(x) com suas respectivas multiplicidades.

04. No plano cartesiano da figura a seguir, temos o gráfico de uma função polinomial P(x) do 3º grau. y 4

02. No plano cartesiano da figura a seguir, temos o gráfico de uma função polinomial P(x) do 4º grau.

2 -2,5

y

-2

-1,5 -1 -0,5

0,5

1 x

E16  Equações algébricas - Multiplicidade e gráficos

-2 -4 2 -6 -8

-2

Determine:

-1

a) ±2, ±1

1

2

x

b) P(x) = x4/2 – 5x2/2 + 1/2

a) As raízes de P(x); b) A lei de formação que define P(x).

03. Sabendo que 2 é uma raiz dupla da equação ax3 + bx + 16 = 0, calcule os valores das constantes a e b. a = 1 e b = –10

388

Determine: a) -2 (dupla) e 1 (simples) b) P(x) = 2x3 + 6x2 – 8 a) As raízes de P(x); b) A lei de formação que define P(x).

05. Qual é o grau de uma equação algébrica cujo conjunto solução é S = {–2, 2, 3} sendo –2 uma raiz dupla, 2 uma raiz simples e 3 uma raiz tripla? 6 06. Para x4 – 6x3 + 14x2 – 16x + 8 = 0, determine: a) 2 b) S = {2, ±i a) A multiplicidade da raiz x = 2. b) O seu conjunto solução.

2}

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios C om p l em en t ares 01. (UEL PR) A multiplicidade da raiz 1 na equação algébrica x5 – 8x4 + 24x3 – 34x2 + 23x – 6 = 0 é a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

y 4 3 2 1

02. Obtenha uma equação polinomial do grau 4 cujas raízes são:

-1

x4 – 3x3 – 3x2 + 7x + 6 = 0

x = 2 (raiz simples). x = –1 (raiz dupla). x = 3 (raiz simples).

-0,5

0

-0,5

1

1,5

2 x

-1

03. (Uerj RJ) O gráfico a seguir é a representação cartesiana do polinômio y = x3 – 3x2 – x + 3. y

Assinale a alternativa que apresenta os coeficientes desse polinômio. a) a = 2, b = 4, c = –2, d = –4 b) a = –2, b = –4, c = 2, d = 4 c) a = 1, b = –2, c = –1, d = 2 d) a = 2, b = –4, c = –2, d = 4 e) a = 1, b = –2, c = 1, d = 2

3

06. (Uerj RJ) Um ciclista e um corredor começam, juntos, uma competição. A curva abaixo, cuja equação é e = t3 + at2 + bt + c, representa a posição e, em metros, do ciclista, em função do tempo t, em segundos, em que a, b, e c são números reais fixos.

2 x

B e(m)

a) Determine o valor de B. a) -3 b) {x ∈ IR | -1 < x < 1 ou x > 3} b) Resolva a inequação x3 – 3x2 – x + 3 > 0.

04. (PUC RJ) O retângulo ABCD tem dois vértices no gráfico da função polinomial dada por f(x) = 5x3 – 65x2 + 235x – 155 e dois vértices no eixo x como na figura abaixo. y 0

3

t(s)

D

C

A

a) D (1, 20)

B

b) C (5, 20)

x

c) 80

Sabendo que o vértice A (1,0), faça o que se pede. a) Determine as coordenadas do vértice D. b) Determine as coordenadas do vértice C. c) Calcule a área do retângulo ABCD. 05. (Furg RS) O polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d é de grau 3, tem como raízes x = –1, x = 1 e x = 2, e seu gráfico está indicado na figura abaixo.

No instante em que o ciclista parte da posição zero, o corredor inicia um movimento, descrito pela equação e = 4t, na mesma pista e no mesmo sentido. Determine a posição mais afastada da origem na qual o ciclista e o corredor voltam a se encontrar. 20 m 07. (Fuvest SP) A equação x³ – 8px² + x – q = 0 admite a raiz 1 com multiplicidade 2. Então p vale a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6

389

E16  Equações algébricas - Multiplicidade e gráficos

f

FRENTE

E

MATEMÁTICA

Exercícios de A p rof u n dam en t o 01. (PUC PR) Na divisão do polinômio F(x) pelo binômio f(x), do 1° grau, usando o dispositivo de Briot-Ruffini, encontrou-se o seguinte: 1

a 2a -2a 8 -4 0

Qual o dividendo dessa divisão? a) x4 + 3x3 + 6x2 – 12x + 8 b) x4 – 2x3 + 4x2 – 4x + 8 c) x – 2 d) x4 – 2x3 – 4x2 + 4x – 8 e) x4 – 2x3 – 4x2 + 4x + 8 02. Determine o quociente Q(x) e o resto R da divisão de P(x) = xn + an por D(x) = x – a.

Q(x) = xn – 1 + axn – 2 + a2xn – 3 + ... + an – 1 e R = 2an

Sabendo que f é polinomial de grau 3, então, o valor da função no ponto x = 3 é igual a a) 3 d) 10 b) 5 e) 27 c) 9 07. (UEM PR) Acerca do polinômio 2x3 − 3x2 − 3x + 2, assinale o que for correto. V V F V F 01. Uma das raízes desse polinômio é 1/2.

02. Ele é divisível pelo polinômio x2 – x – 2.

04. A soma de suas raízes é 3.

08. Todas as raízes desse polinômio são reais.

16. Ele não pode ser fatorado como produto de três polinômios de grau 1 com coeficientes racionais.

08. (Fuvest SP) Observe o gráfico a seguir: y

03. (ITA SP) Sejam a, b, c e d constantes reais. Sabendo que a divisão de P1(x) = x4 + ax2 + b por P2(x) = x2 + 2x + 4 é exata, e que a divisão de P3(x) = x3 + cx2 + dx – 3 por P4(x) = x2 – x + 2 tem resto igual a –5, determine o valor de a + b + c + d. 21

f(x) x

04. (Fuvest SP) P(x) é um polinômio de grau n ≥ 2 e tal que P(1) = 2 e P(2) = 1. Sejam D(x) = (x – 2)⋅(x – 1) e Q(x) o quociente da divisão de P(x) por D(x). a) -x + 3 b) 5/2 a) Determine o resto da divisão de P(x) por D(x). b) Sabendo que o termo independente de P(x) é igual a 8, determine o termo independente de Q(x).

05. (UFF RJ) Determine todos os valores possíveis de m ∈ IR, de modo que o polinômio p(x) = x3 + (m – 1)x2 + (4 – m)x – 4 tenha três raízes distintas, sendo x = 1 a única raiz real. {m ∈ IR |-4 < m < 4} 06. (UFGD MS) Seja f a função, cujo gráfico é dado a seguir.

Esse gráfico pode representar a função a) f(x) = x⋅(x – 1) b) f(x) = x²⋅(x² – 1) c) f(x) = x³⋅(x – 1) d) f(x) = x⋅(x² – 1) e) f(x) = x²⋅(x – 1) 09. (Unesp SP) O gráfico representa a função polinomial p(x) = ax3 + bx + c, com a, b e c coeficientes reais, definida em IR2. y

y 6 4 1

2 0

(2, 1) -3

-2

-1

1

2

3

x

-2 1

x

-4 -6 a) a = 1, b = -3 e c = 2

(-1,-2)

390

b) -2 (simples) e 1(dupla)

a) Calcule os valores dos coeficientes a, b e c. b) Quais são as raízes de p(x), com suas respectivas multiplicidades?