Matemática com Aplicações Tecnológicas – Vol. 5

Capa_matemática_vol_5_P5.pdf 1 24/02/2023 23:58:47

MATRIZES

2 DETERMINANTES

3 4

Resultados e teorias milenares se mantêm válidos e úteis e, ainda assim, a

MY

concebida e organizada por experientes professores da Faculdade de Tecnologia

6

de São Paulo (FATEC-SP) em cinco volumes, respectivamente: Matemática Básica,

BASE E SISTEMA DE REFERÊNCIA

Calculo I, Cálculo II, Matemática Financeira e Geometria Analítica.

7 PRODUTO ESCALAR

8

CY

CMY

K

Apresentaremos a coleção Matemática com aplicações tecnológicas, que foi

COMBINAÇÃO E DEPENDÊNCIA LINEAR

Y

CM

matemática continua a se desenvolver permanentemente.

PRODUTO VETORIAL

Este livro, quinto volume da coleção, apresenta a Geometria analítica de forma simples e objetiva com textos, ilustrações, exemplos resolvidos e propostos com os respectivos resultados. A proposta do livro visa conduzir o aprendizado de modo prático e objetivo e, também, o desenvolvimento do raciocínio lógico.

9 PRODUTO MISTO

10 RETA

11 PLANO

Destina-se a alunos e professores de cursos superiores de Tecnologia, Engenharia, bacharelado em Matemática e em Física, Ciência da computação e áreas afins.

Matemática com aplicações tecnológicas

conhecimento, como engenharia, medicina, física, química, biologia e sociais.

5

M

ciências. É usada como ferramenta essencial em praticamente todas as áreas do

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

VETORES

C

A matemática é considerada a ciência do raciocínio e do abstrato, base de todas as

Barboni | Paulette

1

12 DISTÂNCIA

13 SEÇÕES CÔNICAS

BIBLIOGRAFIA APÊNDICES

V. 5

Autores AYRTON BARBONI Licenciado em Matemática pela FFCL de Santo André. Mestre em Matemática pela PUC-SP. Professor coordenador da área de matemática da Faculdade de Tecnologia de São Paulo – FATEC-SP.

WALTER PAULETTE

Matemática

com Aplicações Tecnológicas Geometria Analítica | Volume 5 Ayrton Barboni Walter Paulette Dirceu D'Alkmin Telles, Seizen Yamashiro, Suzana Abreu de Oliveira Souza (organizadores)

Licenciado em Matemática pela PUC-SP. Mestre em Matemática pela PUC-SP. Doutor em Educação Matemática pela UNESP de Rio Claro. Professor de Matemática da Faculdade de Tecnologia de São Paulo – FATEC-SP. Professor Titular da Escola Superior de Administração de Empresas de Santo André.

Organizadores DIRCEU D’ALKMIN TELLES Professor e diretor da FATEC-SP, coordenador de irrigação do Departamento de Águas e Energia Elétrica (DAEE) e professor do Programa de Pós-Graduação da EPUSP.

SEIZEN YAMASHIRO Professor pleno na FATEC-SP, onde leciona Cálculo e Estatística desde 1980.

SUZANA ABREU DE OLIVEIRA SOUZA Professora na FATEC-SP e no Centro Universitário da Fundação Educacional Inaciana “Padre Sabóia de Medeiros” (FEI).

DIRCEU D’ALKMIN TELLES Organizador

AYRTON BARBONI WALTER PAULETTE Autores

MATEMÁTICA

com Aplicações Tecnológicas Geometria Analítica | Volume 5

Geometria_Book.indb 3

02/01/2023 19:44:29

Matemática com Aplicações Tecnológicas, Volume 5: Geometria analítica © 2023 Dirceu D’Alkmin Telles (org.) e Ayrton Barboni, Walter Paulette Publisher Edgard Blücher Editor Eduardo Blücher Coordenação editorial Jonatas Eliakim Produção editorial Lidiane Pedroso Gonçalves Preparação de texto Ana Maria Fiorini Diagramação Claudia Fatel Lino Revisão de texto Maurício Katayama Capa Leandro Cunha Imagem da capa Roberto Barboni

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Angélica Ilacqua CRB-8/7057 Rua Pedroso Alvarenga, 1245, 4o andar 04531-012 – São Paulo – SP – Brasil Tel.: 55 11 3078-5366 contato@blucher.com.br www.blucher.com.br

Barboni, Ayrton Matemática com aplicações tecnológicas: geometria analítica / Ayrton Barboni, Walter Paulette ; organização de Dirceu D’alkmin Telles. - São Paulo: Blucher, 2023.

474 p. (vol. 5)

Segundo o Novo Acordo Ortográfico, conforme 6. ed. do Vocabulário Ortográfico da Língua Portuguesa, Academia Brasileira de Letras, julho de 2021.

Bibliografia ISBN 978-65-5506-103-1

É proibida a reprodução total ou parcial por quaisquer meios sem autorização escrita da editora.

1. Matemática - matrizes, determinantes, sistemas lineares. Geometria analítica I. Título II. Paulette, Walter III. Telles, Dirceu D’alkmin 21-5320 CDD 516.3

Todos os direitos reservados pela Editora Edgard Blücher Ltda.

Índice para catálogo sistemático: 1. Matemática - Problemas, questões, exercícios.

Geometria_Book.indb 4

02/01/2023 19:44:29

CONTEÚDO

Capítulo 1 MATRIZES 1.1

Introdução 1.1.1

1.2

19

19

Representação de matrizes

Tipos de matrizes

20

21

1.2.1

Matriz identidade e matriz nula 21

1.2.2

Matriz transposta 21

1.3

Igualdade de matrizes

1.4

Operações com matrizes 1.4.1

22 23

Adição de matrizes 23 1.4.1.1

Propriedades da adição

24

1.4.2

Subtração

27

1.4.3

Multiplicação de matriz por número real

1.4.4

Multiplicação de matrizes 28 1.4.4.1 Propriedades da multiplicação

1.4.5

Inversão de matriz 1.4.5.1

2.2

Geometria_Book.indb 13

Introdução

30

35

Procedimento para obter a inversa de uma matriz

Capítulo 2 DETERMINANTES 2.1

28

37

41

41

2.1.1

Regra de Sarrus (válida somente para determinantes de ordem 2 e 3)

43

2.1.2

Cálculo de um determinante de ordem 2

2.1.3

Teorema de Laplace (válido para matrizes quadradas de ordem n, n ≥ 2 )

44 45

Propriedades dos determinantes 49

02/01/2023 19:44:30

14

Matemática com aplicações tecnológicas – Geometria analítica – Volume 5

2.2.1

Propriedade 1 – Matriz transposta

50

2.2.2

Propriedade 2 – Todos os elementos de uma fila iguais a zero

2.2.3

Propriedade 3 – Permuta de filas paralelas

2.2.4

Propriedade 4 – Determinante possui duas filas iguais

2.2.5

Propriedade 5 – Multiplicação de uma fila por número real

2.2.6

Propriedade 6 – Filas proporcionais

2.2.7

Propriedade 7 – Teorema da adição de filas

2.2.8

Propriedade 8 – Teorema de Jacobi

50 52 52

55 55

56

2.2.8.1 Aplicações do teorema de Jacobi 2.2.9

50

57

Propriedade 9 – Produto de matriz por sua transposta de matriz dos cofatores 59

2.2.10 Propriedade 10 – Inversão de matrizes utilizando matriz dos cofatores 60 Capítulo 3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 3.1

Introdução

3.2

Sistemas de equações lineares 67

65

65

3.2.1

Sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas

3.2.2

Sistemas lineares de n equações e n incógnitas

3.2.3

Sistemas indeterminados 74

3.2.4

Sistemas impossíveis

3.2.5

Resolução de sistemas lineares por inversão de matriz

3.2.6

Resolução de sistemas lineares por escalonamento

70

77 82

87

3.2.6.1

Sistemas equivalentes 88

3.2.6.2

Sistemas escalonados

3.2.6.3

Resolução de sistemas lineares por escalonamento

3.2.6.4

Classificação dos sistemas lineares escalonados

Capítulo 4 VETORES

89 89

93

97

4.1

Introdução

4.2

Espaço vetorial 99

4.3

Espaço vetorial formado de segmentos de reta

97

4.3.1

Construção do conjunto V 100

4.3.2

Representação geométrica de V

4.3.3

Adição de vetores de V 106 4.3.3.1

Geometria_Book.indb 14

67

Propriedades da adição

100

104 107

02/01/2023 19:44:30

15

Conteúdo 

4.3.4

Multiplicação de número real por um vetor de V 4.3.4.1

Propriedades da multiplicação de escalar por um vetor

4.4

Vetor nulo e vetor unitário

4.5

Vetores paralelos

4.6

Versor de um vetor não nulo 112

4.7

Vetores coplanares

4.8

Ângulo entre dois vetores

4.9

Vetor diferença

111 113 113

114 125

Combinação linear e dependência linear de vetores 5.1.1

Combinação linear de vetores 125

5.1.2

Dependência linear 5.1.2.1

Conjunto de vetores linearmente dependente (LD)

128

5.1.2.2

Conjunto de vetores linearmente independente (LI)

128

137

6.1

Introdução

6.2

Base e sistema de referência de um espaço vetorial

137

6.2.1

Espaço vetorial de dimensão 1

137

6.2.2

Espaço vetorial de dimensão 2

138

6.2.2.1

 

141

Proposições

6.4

Bases ortonormais 147

  

143

144

Condição de ortogonalidade de vetores

149

6.5

Como obter um vetor a partir de dois pontos dados

6.6

Mudança de base 159

Capítulo 7 PRODUTO ESCALAR 7.1

Introdução

7.2

Produto escalar

Geometria_Book.indb 15

140

Operações com vetores de V3 em relação a (0, u , v , w )

6.3

7.2.1

137

Operações com vetores V2 em relação a (0, u , v )

Espaço vetorial de dimensão 3 6.2.3.1

6.4.1

125

127

Capítulo 6 BASE E SISTEMA DE REFERÊNCIA

6.2.3

110

111

Capítulo 5 COMBINAÇÃO E DEPENDÊNCIA LINEAR 5.1

109

150

167

167 167

Propriedades do produto escalar

168

02/01/2023 19:44:30

16 7.3 7.4

Matemática com aplicações tecnológicas – Geometria analítica – Volume 5







Projeção ortogonal de um vetor u na direção de v ≠ 0

  Cossenos diretores de um vetor v ≠ 0

Capítulo 8 PRODUTO VETORIAL 8.1

Introdução

8.2

Produto vetorial

175

179

179 179

8.2.1

Propriedades do produto vetorial

8.2.2

Direção e sentido do produto vetorial

8.2.3

180 182

      u ∧ v = u v senθ (sendo θ o ângulo formado por u ≠ 0 e v ≠ 0 ) 183

Capítulo 9 PRODUTO MISTO 9.1

Introdução

9.2

Produto misto

191

191 191

9.2.1

Propriedades do produto misto

9.2.2

Interpretação geométrica do produto misto

Capítulo 10 RETA

192

Introdução

10.2

Equação vetorial da reta 203

10.3

Equações paramétricas da reta

10.4

Equação simétrica da reta 205

10.5

Posição relativa entre duas retas 211

203 205

Critério para determinar se as retas são concorrentes, paralelas ou reversas 211

10.6

Intersecção de retas 213

10.7

Perpendicularismo entre retas

10.8

Ângulo entre retas

Capítulo 11 PLANO

215

216 221

11.1

Introdução

11.2

Equação vetorial do plano 221

11.3

Equações paramétricas do plano

11.4

Equação geral e linear do plano 223

11.5

Formas particulares da equação do plano 226

Geometria_Book.indb 16

194

203

10.1

10.5.1

171

221 223

02/01/2023 19:44:30

17

Conteúdo 

11.6

Posição relativa entre reta e plano 231

11.7

Intersecção entre reta e plano 232

11.8

Posição relativa entre plano e plano 233

11.9

Projeção ortogonal de uma reta num plano

Capítulo 12 DISTÂNCIA

239

12.1

Distância entre dois pontos 239

12.2

Distância entre ponto e reta 239

12.3

Distância entre ponto e plano 240

12.4

Distância entre reta e plano 242

12.5

Distância entre dois planos 243

12.6

Distância entre duas retas 244

Capítulo 13 SEÇÕES CÔNICAS 13.1

Introdução

13.2

Parábola

235

251

251 253

13.2.1 Reta tangente a um ponto da parábola 254 13.2.2 Equações reduzidas da parábola

13.2.2.1 Eixo da parábola coincidente com o eixo y

256

13.2.2.2 Eixo da parábola coincidente com o eixo x

258

13.2.3 Translação de eixos

261

13.2.3.1 Equações de parábolas 13.3

Elipse

256

261

267

13.3.1 Reta tangente a um ponto da elipse 13.3.2 Equações reduzidas da elipse

269

13.3.2.1 Elipse com focos sobre o eixo x

269

13.3.2.2 Elipse com focos sobre o eixo y

270

13.3.3 Equação geral da elipse 13.4

268

Hipérbole

273

274

13.4.1 Reta tangente a um ponto da hipérbole 13.4.2 Equações reduzidas da hipérbole

Geometria_Book.indb 17

276

279

13.4.2.1 Hipérbole com focos sobre o eixo x

279

13.4.2.2 Hipérbole com focos sobre o eixo y

281

02/01/2023 19:44:30

18

Matemática com aplicações tecnológicas – Geometria analítica – Volume 5

13.4.3 Assíntotas da hipérbole 283 13.4.4 Equação geral da hipérbole 285 13.5

Circunferência

286

13.5.1 Equação reduzida da circunferência 287 13.5.2 Equação geral da circunferência

288

13.5.3 Discussão sobre a equação geral da circunferência

289

13.5.4 Posição relativa entre uma circunferência e uma reta 13.6

Equações gerais das cônicas 13.6.1 Circunferência 13.6.2 Elipse

291

296

296

299

13.6.3 Hipérbole

302

13.6.4 Parábola

305

13.6.5 Retas 306 13.6.6 Classificação das cônicas

308

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO BIBLIOGRAFIA

311

327

APÊNDICE 1 329 APÊNDICE 2 341 APÊNDICE 3 343 APÊNDICE 4 345 APÊNDICE 5 347 BIOGRAFIAS

349

RESOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO

Geometria_Book.indb 18

353

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1

S E Z I R T MA

` Identificar e classificar matrizes. ` Contextualizar as operações com matrizes. ` Determinar a matriz inversa.

1.1 INTRODUÇÃO Uma editora produz revistas de esportes (E), científica (C) e religiosa (R) para público adolescente e adulto. Verificou-se que a produção realizada num determinado dia foi descrita pela tabela: Revistas

E

Público

C

R

Adolescente

200

30

40

Adulto

300

150

80

Os dados da tabela costumam ser apresentados na forma simplificada:

 200 30 40  300 150 80   

ou

200 30 40 300 150 80

 200 30 40  ou    300 150 80 

Essas formas de dispor os dados são conhecidas como matriz.

O problema apresenta uma matriz com duas linhas (público) e três colunas (revistas).

colunas a

1

linhas

Geometria_Book.indb 19

2a

3a

1ª  200

30 40  2ª  300 150 80 

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20

Matemática com aplicações tecnológicas – Geometria analítica – Volume 5

Outras matrizes: Identificamos as matrizes por letras maiúsculas do alfabeto latino.

A = [ 2 3 4 5]

2 3 4 B=   3 15 8 

a E = c b

2  3  F=   7    2 

b a c

c b  a 

2 C=  3

1 − 2  G = 3 0  0 0 

3 8 

D = [ 2]

2 1  3 − 2   H=  7 3    2 0 

Os números apresentados na matriz são denominados elementos da matriz.

Entendemos, pela disposição dos elementos, que as matrizes têm forma retangular.

Contudo, as que possuem apenas uma linha são denominadas matriz linha, as que possuem apenas uma coluna são denominadas matriz coluna e aquelas em que o número de linhas é igual ao de colunas são denominadas matriz quadrada.

Vê-se, nos exemplos, que A e D são matrizes linha, D e F são matrizes coluna e as matrizes C, D e E são quadradas.

1.1.1 REPRESENTAÇÃO DE MATRIZES Uma matriz é, em geral, representada por letra maiúscula do alfabeto latino, e os seus elementos são indicados por letras minúsculas indexadas: a i , j , sendo que i informa a linha e j a coluna de sua localização na matriz.  a 11 a 12 a 13 ... a 1 j ..... a 1m     a 21 a 22 a 23 ... a2 j ..... a 2 m    ...........................................................  A =  a a i 2 a i 3 ... a i j ..... a i m   i1  ...........................................................     a n1 a n 2 a n3 ... a n j ..... an m 

Entende-se que o elemento a23 está posicionado na 2ª linha e 3ª coluna da matriz A, que possui n linhas e m colunas.

Notação: A =

( a i j )n x m , com 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ m .

A ordem de uma matriz se refere ao seu número de linhas e colunas. Assim, a matriz A é de ordem n x m (lemos: ordem n por m). Diz-se, caso m = n, que a matriz é quadrada e de ordem n e pode ser representada por A n .

Geometria_Book.indb 20

02/01/2023 19:44:31

21

Matrizes

Nota: Podemos deixar de indicar a ordem de uma matriz se não houver dúvidas sobre tal fato.

1.2 TIPOS DE MATRIZES Apresentaremos, agora, algumas matrizes importantes para nosso estudo.

1.2.1 MATRIZ IDENTIDADE E MATRIZ NULA Uma matriz quadrada é denominada matriz identidade de ordem n se possuir os elementos da diagonal principal: a11 , a 22 , a 33 , ... , a n n todos iguais a 1 e os demais elementos iguais a zero.

Seguem algumas matrizes identidade:

1 0  I2 =   , 0 1

1 0 0  I 3 = 0 1 0  0 0 1

1 0 e I4 =  0  0

0 1 0 0

diagonal secundária diagonal secundária

0 0 1 0

0 0  0  1

diagonal principal diagonal principal

Se todos os elementos de uma matriz forem iguais a zero ela é denominada matriz nula. Nesse caso, não é necessário que a matriz seja quadrada.

0 02 =  0

0 0 , 0 3 = 0   0 2x 2 0

0 0 0

0 0 0 e 02 x 4 =   0 0 3x 3

0 0

0 0

0 0  2 x 4

1.2.2 MATRIZ TRANSPOSTA Considere as matrizes:

2 7  A =  3 15  4 8  3 x 2

e

2 3 4 B=   7 15 8  2x3

Vemos que os elementos da primeira coluna de A coincidem com os da primeira linha de B e, também, que os da segunda coluna de A coincidem com os da segunda linha de B e, certamente, o mesmo ocorre ao consideramos as colunas de B e linhas de A. Nesse caso, dizemos que B é matriz transposta de A (notação: B = At ) ou que A é a transposta de B (notação: A = B t ).

Geometria_Book.indb 21

02/01/2023 19:44:32

2

D

S E T N A N I M R E T E

` Conceituar determinante. ` Calcular o determinante de matriz quadrada de ordem 2 e ordem 3. ` Calcular o determinante de matriz quadrada de ordem superior a 3.

2.1 INTRODUÇÃO Queremos associar a cada matriz quadrada um número real, que será denominado determinante da matriz.

Tomemos, para ilustrar nossa apresentação, uma matriz quadrada de terceira ordem.

 a 11  A =  a 21   a 31

a 12

a 13 

a 22

a 23 

a 32

a 33 

  3x3

Consideremos: a) Todos os produtos formados por três elementos distintos da matriz, de modo que em cada um desses produtos haja um único elemento de cada linha e de cada coluna.

Forma de estabelecer os produtos dos três elementos distintos em A: 1º) Considerar os indexadores do produto dos elementos da diagonal principal como referência e permutar apenas os seus índices referentes às colunas para se obter novos produtos:

a11 a 22 a 33 Portanto, temos os produtos:

a 11 a 22 a 33 , a 11 a 23 a 32 , a 12 a 21 a 33 , a 12 a 23 a 31 , a 13 a 21 a 32 e a 13 a 22 a 31

Geometria_Book.indb 41

02/01/2023 19:44:40

42

Matemática com aplicações tecnológicas – Geometria analítica – Volume 5

Dizemos que os elementos dos produtos formados possuem inversões sempre que a sequência dos números das colunas não estiver em ordem numérica natural.

Veja que no produto ( a 11 a 23 a 32 ) os elementos das colunas são 1, 3 e 2, e há uma só inversão (permuta índices 3 e 2), e no produto ( a 12 a 23 a 31 ) os elementos das colunas são 2, 3 e 1, e há duas inversões (permutam índices 2 e 1 e, também, 3 e 1).

Diz-se que as inversões são de classes pares ou classes ímpares conforme o número de inversões seja em quantidade par ou ímpar: Logo, ( a 11 a 23 a 32 ) é de classe ímpar e ( a 12 a 23 a 31 ) é de classe par.

2º) Obter as duas classes pares e ímpares de produtos com três elementos distintos em A: Os produtos ( a 11 a 22 a 33 ) , ( a 12 a 23 a 31 ) e ( a 13 a 21 a 32 ) são de classe par e os produtos ( a 13 a 22 a 31 ), ( a 11 a 23 a 32 ) e ( a 12 a 21 a 33 ) são de classe ímpar. b) os produtos de classe par serão multiplicados por (+1) e os de classe ímpar por (–1).

A soma algébrica dos produtos acima formados será denominada determinante da matriz A. Logo, o determinante da matriz A quadrada de terceira ordem é dado por:

[a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32]–[a13a22a31+a11a23a32+a12a21a33]

Notação usual para o determinante da matriz A:

a 11 a 12 a 13 det A , ∆ , A ou a a 23 21 a 22 a 31 a 32 a 33

(1)

Dizemos que a ordem de um determinante é igual à de sua matriz. O exemplo acima apresentado é um determinante de terceira ordem: det A = [a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32]–[a11a23a32+a12a21a33+a13a22a31] (2) O procedimento para se obter o determinante de uma matriz de ordem n, n ≥ 2, é o mesmo que foi descrito acima. Os cálculos demandam muito trabalho e atenção!

Uma forma prática de se obter o determinante de uma matriz quadrada de terceira ordem é dada pela regra de Sarrus:

Geometria_Book.indb 42

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Determinantes

PIERRE FRÉDÉRIC SARRUS

43

Nascido em Saint-Affrique em 10 de março de 1798 e falecido em 20 de novembro de 1861, foi um matemático francês, membro da Académie des Sciences, em Paris. É autor de vários tratados, incluindo uma solução de equações numéricas com múltiplas incógnitas, outra com múltiplas integrais e suas condições integrantes. Ele também descobriu uma regra mnemônica para solucionar o determinante de uma matriz 3×3, chamada regra de Sarrus, um método fácil para a resolução de uma matriz 3×3.

2.1.1 REGRA DE SARRUS (VÁLIDA SOMENTE PARA DETERMINANTES DE ORDEM 2 E 3) Procedimento para obter determinantes de ordem 3:

a11 a12 a21 a22 a31 a32 classe ímpar

a13 a23 a33

a11 a12 a21 a22 a31 a32 classe par

a) dispor as duas primeiras colunas do determinante (1) ao lado da terceira coluna; b) somar os produtos dos três elementos de cada uma das transversais paralelas à diagonal principal: [a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32]; c) somar os produtos dos três elementos de cada uma das transversais paralelas à diagonal secundária: [a13a22a31+a11a23a32+a12a21a33]; e d) subtrair o valor obtido em (c) do obtido em (b), resultando o determinante da matriz A, isto é, det A = [a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32]–[a13a22a31+a11a23a32+a12a21a33]

Comparando este resultado com (2), vemos confirmado que o determinante da matriz A é a diferença entre a soma dos produtos de classe par e a soma dos produtos de classe ímpar.

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E D S A SISTEM ES EQUAÇÕ S E LINEAR

` Apresentar sistemas lineares ilustrados por situações-problema. ` Reconhecer e classificar sistemas lineares. ` Resolver sistemas lineares pela regra de Cramer, inversão de matrizes e método de escalonamento.

3.1 INTRODUÇÃO Chama-se equação linear a toda sentença da forma:

a 1 x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ... + a n x n = b, sendo reais as incógnitas

x 1, x 2 , x 3 , ... , x n , os coeficientes das incógnitas

a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n e o termo b independente de variável.

Caso b = 0, a equação é denominada de equação linear homogênea.

Exemplo 3.1: São equações lineares: 2 x + 5 y − 2 z= 7 , x − y + = 3z 4 e 5 x + 3= y 0 ... , pois os expoentes das incógitas são iguais a 1.

4 3 +1 0 , ex − x = − 3 0 e ln(2 x) + sen = x 0 ... .

Não são lineares: x − 2 x − x=

Dizemos que um conjunto de equações lineares forma um sistema linear. Portanto, um sistema linear de m equações e de n incógnitas tem a forma:

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Matemática com aplicações tecnológicas – Geometria analítica – Volume 5

b1  a 11 x1 + a 12 x2 + a 13 x3 + ... + a 1n x n =  b2  a 21 x1 + a 22 x2 + a 23 x3 + ... + a 2 n x n =   ........................................................................................ a x + a x + a x + ... + a x bm mn n = m2 2 m3 3  m1 1 A solução de um sistema linear é uma n-upla de reais ordenados ( s1, s2 , s3 , ... , s n ) que, simultaneamente, é solução de todas as equações do sistema.

Se b1 , b2 , b3 , ..., b m forem todos zeros, o sistema é denominado de homogêneo.

Queremos resolver sistemas de n equações lineares com n incógnitas e, para isto, vamos iniciar com exemplos de sistemas lineares de 2 equações e 2 incógnitas.

Considere o seguinte problema: Pedro e Ana Beatriz foram a uma padaria tomar o café da manhã. Pedro pediu 1 xícara de café e 2 pães de queijo e Ana pediu 2 cafés e 3 pães de queijo. Pedro pagou R$ 8,00, e Ana Beatriz, R$ 13,00 pelos produtos consumidos. Qual é o preço do café e do pão de queijo cobrados pela padaria?

Solução: Sejam as matrizes A do consumo dos produtos e X dos preços dos produtos, sendo que x é o preço do café, y do pão de queijo e B a matriz dos gastos efetuados por Pedro e Ana Beatriz:

1 A= 2

2 8  x  e B = X =  13  . y  3  ,    

Consideremos a equação matricial A x X = B , isto é, o produto da matriz consumo pela matriz dos preços praticados, resultando na matriz dos gastos:

1 2 

2 x  8  x  =  .   3 y   13 

Efetuando o produto indicado e comparando os elementos da matriz obtida com os correspondentes valores da matriz B, obtemos o sistema de equações lineares:

8  1x + 2 y =  13  2x + 3y =

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Sistemas de equações lineares

e, daí, x = 2 e y = 3 é a solução do sistema.

O gráfico cartesiano (Figura 3.1) apresenta as retas obtidas a partir das equações do sistema:

Figura 3.1

Vemos que as retas se interceptam num só ponto e, por isso, o sistema é denominado de possível e determinado. Se as duas retas fossem coincidentes, o sistema possuiria infinitas soluções e seria denominado de sistema possível e indeterminado.

Se as retas fossem paralelas, não teriam ponto comum e, nesse caso, o sistema seria denominado de sistema impossível.

3.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Apresentaremos procedimentos para resolver sistemas com duas equações e duas incógnitas e, também, de n equações e n incógnitas.

3.2.1 SISTEMAS LINEARES DE DUAS EQUAÇÕES E DUAS INCÓGNITAS Considere uma equação matricial semelhante ao problema de Pedro e Ana Beatriz:

 a 11   a 21

a 12 

 b1  x   x   =  . a 22   y   b 2 

A partir dela, obtemos o sistema linear de duas equações e duas incógnitas:

a 11 x + a 12 y = b1  b2  a 21 x + a 22 y =

(1) (2)

Multiplicando a equação (1) por a 22 e a equação (2) por ( −a 12 ), segue

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S E R O T VE

` Conceituar vetor. ` Apresentar propriedades dos vetores. ` Definir ângulo entre vetores.

4.1 INTRODUÇÃO O conceito de vetor é formalmente conhecido quando se estudam as Estruturas Algébricas apresentadas nos cursos de Álgebra no ensino superior.

Pretendemos, nesta oportunidade, apresentá-lo de modo prático.

Consideremos um conjunto V não vazio (podendo ser conjunto de matrizes, polinômios, números complexos, funções lineares etc.) e sobre ele definimos uma: a) operação interna, denominada de adição (opera dois elementos de V e tem resultado em V) com as propriedades: associativa, comutativa, elemento neutro, elemento inverso aditivo (oposto); e uma b) operação externa, denominada de multiplicação por escalar, que opera um elemento de V com outro de um conjunto K não vazio e com resultado em V (ver Exemplo 4.1(2)).

O conjunto V, munido das operações de adição e de multiplicação por escalar, terá uma estrutura algébrica de espaço vetorial, sendo os elementos de V denominados vetores e os elementos de K escalares.

Utilizaremos exemplos com matrizes para nos ajudar a entender o conceito de vetor.

Exemplo 4.1: Seja V o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 e K o conjunto de números reais.

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Matemática com aplicações tecnológicas – Geometria analítica – Volume 5

 c 1 c2   b 1 b2   a1 a2  0 0  Sejam as matrizes A =  , 0= , C = , B=  , e as ope0 0   c 3 c 4   b3 b 4   a 3 a 4  rações habituais de adição de matrizes (operação interna) e multiplicação do número real k por uma matriz (operação externa):  a1 A:= A+ B   a 3

a 2   b 1 b2   + = a 4   b 3 b 4 

 k a1 M: k . A =   k a 3

k a2 

 a 1 + b1   a 3 + b 3

a 2 + b2  

a 4 + b 4 

 , k ∈ℝ K= �

k a 4 

Apresentaremos, utilizando exemplos (sem demonstração formal), as propriedades das operações de adição de matrizes e multiplicação de uma matriz por um escalar.

1. Adição (A) Verificando as propriedades:

1 0  2 4  0 5 , B= e C=    apenas para 3 2  0 1   1 3

Consideraremos as matrizes A =  ilustrar as propriedades.

• A1: Associativa A + ( B + C ) = ( A + B) + C , ∀ A, B, C ∈ V (“ ∀ ” lê-se: todo ou qualquer) 1 0    2 4   0 5  1 0   2 9  3 9   A + (B + C) =   +   +   =  + = 3 2    0 1  1 3  3 2   1 4   4 6   1 0   2 4    0 5 3 4   0 5 3 9  ( A + B) + C =    + = +   +   = 3 3 1 3 3 2 0 1 1 3     4 6         • A2: Elemento neutro: 0 ∈ V, pois A + 0 = 0 + A = A , ∀A ∈ V 1 0   0 0  1 0   0 0  1 0  A += 0  + =   =A =  + = 0+ A 3 2   0 0  3 2   0 0  3 2 

• A3: Elemento inverso aditivo (oposto)

0 ∀ A ∈ V existe (− A) ∈ V tal que A + (− A) =(− A) + A =

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Vetores

1 0   −1 0  0 0   −1 0  1 0  0 0  + =  = e (− A) + A = A + (− A) =      −3 − 2  + 3 2  = 0 0  = 0 3 2   −3 − 2  0 0        • A4: Comutativa: A + B = B + A , ∀ A, B ∈ V 1 0   2 4  3 4   2 4  1 0  A+ B =  = + =B+ A + =  3 2   0 1 3 3   0 1 3 2  2. Multiplicação por escalar (M) Verificando as propriedades: • M1: ∀A ∈ V e α , β ∈� , tem-se α .( β . A) = (αβ ) . A  1 0   0   (α β ) 0  β 1 0  = α .( β . A) α= . β .  .   α=    = (α β ) .   = (α β ) .A 3 β 2 β  3(α β ) 2(α β )  3 2   3 2   • M2: ∀ A ∈ V e α , β ∈� , tem-se (α + β ) . A =α . A + β . A :

0  (α + β )  α 1 0  (α + β ). A = (α + β ) .  =   = 3 2  3(α + β ) 2 (α + β )  3α

0  β + 2 α  3 β

1 0  1 0  = α. α .A + β A  + β . = 3 2  3 2 

0  = 2 β 

• M3: ∀ A, B ∈ V e α ∈� , tem-se α .( A + B) = α . A + α .B  1 0   2 4   3 4  3α 4α  =  +   = α .  3 3  3α 3α   3 2   0 1 

α .  α .( A + B) = α α .A + α B =  3α

0  2α + 2α   0

α + 2α 0 + 4α  3α 4α    =  = α  3α + 0 2α + α  3α 3α  .

4α 

• M4: ∀ A ∈ V , 1. A = A , sendo 1 o elemento unidade de

4.2 ESPAÇO VETORIAL O conjunto V, munido das operações A de adição e M de multiplicação por escalar, valendo as propriedades A1, A2, A3, A4 e M1, M2, M3, M4, tem a estrutura algébrica de espaço vetorial sobre K (no Exemplo 4.1 - K= ℝ � ).

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O Ã Ç A N COMBI ÊNCIA D N E P E ED LINEAR

` Conceituar dependência linear de vetores. ` Exemplificar conjuntos de vetores linearmente dependentes e independentes.

Vimos que o espaço vetorial (V, +, . ) dos segmentos orientados dispõe de duas operações, a interna, de adição e, a externa, de multiplicação por escalar. Pretendemos estudar as condições para que um vetor de V possa ser escrito a partir de outros vetores de V, relacionando-os, de modo conveniente, utilizando as operações definidas de adição e multiplicação por escalar.

5.1 COMBINAÇÃO LINEAR E DEPENDÊNCIA LINEAR DE VETORES Acreditamos que os conceitos de combinação linear (CL) e de dependência linear serão melhor entendidos se forem apresentados a partir de dois vetores e, depois, generalizados para uma quantidade qualquer finita de vetores.

5.1.1 COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES   Sejam u e v dois vetores não nulos e não paralelos de V. Considerando dois núme  ros reais α 1 e α 2 quaisquer, teremos os vetores α 1 u e α 2 v que deverão ser, respec  tivamente, paralelos a u e v .     O vetor α 1 u + α 2 v representa todas as somas obtidas com base em u e v .    Chamamos a cada vetor= w α 1 u + α 2 v de uma combinação linear (CL) dos veto  res u e v .

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Matemática com aplicações tecnológicas – Geometria analítica – Volume 5

Exemplo 5.1:

Dados os vetores:

Tem-se:

(a)

(b) Figura 5.1



Portanto, a cada par de números reais α 1 e α 2 estará associado um vetor w . Nes   sas condições, imagina-se uma infinidade de vetores que são gerados por u e v .

Definição 5.1. Generalizando:

 

 



Sejam v1 , v2 , v3 , v4 , ... , vn , (n ≥ 1), vetores distintos de um conjunto V e escalares  (números reais) α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , ... , α n , (n ≥ 1). O vetor w tal que:

      w= α 1.v1 + α 2 .v 2 + α 3 .v 3 + α 4 .v 4 + ... + α n .vn

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Combinação e dependência linear











é uma combinação linear dos vetores v1 , v 2 , v 3 , v 4 , ... vn , com coeficientes α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , ... , α n .

5.1.2 DEPENDÊNCIA LINEAR   Queremos discutir w = 0 como combinação linear de um conjunto finito com n vetores de V, isto é,

      0= α 1.v1 + α 2 .v 2 + α 3 .v 3 + α 4 .v 4 + ... + α n .vn .  A pergunta que se faz é: a única maneira de se obter o vetor 0 é tornando todos os

coeficientes da soma de vetores iguais a zero?



Afirmamos que existe a possibilidade em certos casos de obtermos o resultado 0 sem que todos os coeficientes dos vetores sejam zero. Exemplificaremos as situações utilizando dois vetores.

 





a) Seja o conjunto { u , v } de vetores de V, com u e v paralelos e não nulos.









Se u é paralelo a v , então existe um número real (escalar) k ≠ 0 tal que v = k . u . Nesse     caso, o módulo de v é | k | vezes o módulo de u . Vê-se que 0 = -1. v + k. u .





Note, no exemplo, que os coeficientes dos vetores u e v não são todos zeros.







A outra possibilidade de se escrever o vetor nulo é o caso óbvio 0 = 0. v + 0. u .

 





b) Seja o conjunto { u , v }, com u e v não nulos e não paralelos.



Neste caso, a única maneira de escrever o vetor nulo é com os coeficientes de u e    de v ambos iguais a zero: 0 = 0. v + 0. u . Vejamos:







Imaginem a possibilidade de se obter = 0 r. u + s.v , sendo: 1º) apenas um dos coeficientes r ou a zero. Se, por  s igual  exemplo, r = 0, então      teríamos 0 = 0. u + s. v e, daí, 0 = s . v e, assim, v = 0 . Esse fato contradiz a hipótese de que os vetores não seriam nulos. Isso ocorreu por termos admitido que apenas um dos coeficientes fosse igual a zero.







2º) os coeficientes r e s não são iguais a zero. Assim, de 0 = r. u + s. v , temos que   s . v = - r. u e, daí, v = (−r / s ). u , evidenciando que u e v sejam paralelos, mas   isso é uma contradição, pois supomos que u não seria paralelo a v . A contradição ocorreu porque admitimos que r e s eram diferentes de zero.

Logo, r e s são ambos iguais a zero.

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BASE E E D A M E SIST A I C N Ê REFER

` Conceituar base e sistema de referência de um espaço vetorial. ` Conhecer bases ortogonais. ` Exemplificar mudança de base.

6.1 INTRODUÇÃO Vamos entender as condições para que um número mínimo de vetores de um dado espaço vetorial nos permita escrever todos os vetores desse espaço como combinação linear desses vetores e, assim, constituir um sistema de referência.

6.2 BASE E SISTEMA DE REFERÊNCIA DE UM ESPAÇO VETORIAL Consideremos um conjunto de vetores linearmente independentes de um espaço vetorial V. Diz-se que esse conjunto de vetores constitui uma base E de V se todo vetor de V for uma combinação linear dos vetores de E. O fato de E ser uma base de V equivale a dizer que E gera V e que a dimensão de V, indicada por dimV, é igual ao número de vetores de E. Os conceitos acima motivam o que segue.

6.2.1 ESPAÇO VETORIAL DE DIMENSÃO 1 Suponha que V1 seja o espaço vetorial sobre ℝ, cujos vetores são classes de equivalência de segmentos equipolentes considerados numa reta.

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Matemática com aplicações tecnológicas – Geometria analítica – Volume 5

Figura 6.1(a)

Os vetores de V1 têm a direção da reta r, portanto, são paralelos.

• Sistema de referência - V1





Se O é um ponto fixo de r e v ≠ 0 um vetor que tem a direção de r, torna-se possível imaginar uma correspondência biunívoca (de um para um) entre os vetores de V1 com origem em O e os pontos de r, pois a extremidade de cada representante dos vetores de V1 estará associado a um ponto P de r.





O conjunto { v } formará uma base E de V1, isto é, a cada vetor w de V1 existirá λ   real tal que w = λ v . O valor λ será a abscissa de P em r em relação à origem O.

Figura 6.1(b)



A base E será denotada por E = ( v ). Toda base de V1 deverá possuir exatamente um vetor não nulo com direção de r e, por isso, dizemos que V1 tem dimensão 1 (no  tação: dimV1= 1). Entendemos que (O, v ), em que O é ponto fixo de r e v não nulo formando uma base E, constitui um referencial em V1.

6.2.2 ESPAÇO VETORIAL DE DIMENSÃO 2 Suponha que V2 seja o espaço vetorial sobre ℝ, cujos vetores são classes de equivalência de segmentos equipolentes consideradas num plano.

Imaginemos os vetores de V2 representados num plano π .

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Base e sistema de referência

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Figura 6.2

Vimos, no Exemplo (b) do item 5.1.2, que dois vetores não nulos e não paralelos formam um conjunto LI e, no caso 1 do Exemplo 5.2, que três vetores não nulos e copla  nares formam um conjunto LD. Assim, se considerarmos os vetores u e v não nulos e  não paralelos, então qualquer outro vetor w de V2 é escrito como combinação linear de   u e v . Isto é, existem α 1 , α 2 e α 3 reais não todos iguais a zero, tais que:









α 1u +α 2 v + α 3 w = 0. 

 −α 1    −α 2   u + v.  α 3   α 3     

Supondo α 3 ≠ 0 , tem-se w = 





Entende-se que os vetores u e v formam um conjunto LI e constituem uma base E   para V2, e que os demais vetores de V2 são escritos como combinação linear de u e v .   A base E é denotada por E = ( u , v ).

• Sistema de referência – V2 Observe a construção no plano π :

Figura 6.3

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O T U D O PR R A L A C S E

` Conceituar produto escalar e apresentar propriedades. ` Obter ângulos entre vetores e projeção de um vetor na direção de outro vetor. ` Calcular altura e área de triângulos.

7.1 INTRODUÇÃO A operação produto escalar será definida para vetores de V3 em relação à base or   tonormal E = ( i , j , k ).

7.2 PRODUTO ESCALAR 



Sejam os vetores u = (u 1 , u 2 , u 3 ) e v = (v1 , v 2 , v 3 ) . O produto escalar dos veto  res u e v é o número real

r r u • v u 1. v 1 u 2 . v 2 u 3 . v 3

r r         v ou u x v ou < u , v > ou u | v (lê-se: produto escalar de u por v ).

Notações: u

Exemplo 7.1:   r r a) Se u = (2,1,3) e v = (5,3, 2) , então u v 2.5 1.3 3.2 = 10 + 3 + 6 = 19 

r r



b) Se u = (−2, 1, 4) e = v (5, −3, 1) , então u v ( 2).5 1.( 3) 4.1 = −9





r r i 1.1 0.0 0.0 = 1

c) Se i = (1,0,0) e i = (1,0,0) , então i

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Matemática com aplicações tecnológicas – Geometria analítica – Volume 5





r r





  r r j 1.0 0.1 0.0 = 0 (observe: i ⊥ j ).

d) Se j = (0,1,0) e j = (0,1,0) , então j j 0.0 1.1 0.0 = 1 e) Se i = (1,0,0) e j = (0,1,0) , então i

7.2.1 PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR    Sejam u = (u 1 , u 2 , u 3 ) , v = (v1 , v 2 , v 3 ) e w = ( w1 , w 2 , w 3 ) vetores de V3 em rela   ção à base ortonormal E = ( i , j , k ) e ℝ.

r r r r v=v u

1. Comutativa: u

r r

r r u v=

= u 1.v1 + u 2 .v 2 + u 3 .v 3 = v1. u 1 + v 2 . u 2 + v 3 . u 3 = v u

r r r r r r 2. Produto de um real por produto escalar ( u ) v = u ( v ) = (u v ) r

r

( u ) v = ( (u 1 , u 2 , u 3 )) (v1 , v 2 , v 3 ) = ( u 1 , u 2 , u 3 ) (v1 , v 2 , v 3 ) = α u 1.v1 + α u 2 .v 2 + α u 3 .v 3 = α (u1.v1 + u2 .v2 + u3 .v3 )

r r

= (u v )

r r u ( v ) = (u 1 , u 2 , u 3 ) ( (v1 , v 2 , v 3 )) = (u 1 , u 2 , u 3 ) ( v1 , v 2 , v 3 )

r r

= u 1.α v1 + u 2 .α v 2 + u 3 .α v 3 = α (u 1.v1 + u 2 .v 2 + u 3 .v 3 ) = (u v )

r

r

r

r r

r r

3. Distributiva: u (v w) u v u w

r r r u (v w) (u 1 , u 2 , u 3 ) ((v1 , v 2 , v 3 ) (( w1 , w 2 , w3 )) = = (u 1 , u 2 , u 3 ) (v1 w1 , v 2 w 2 , v 3 w 3 ) =

= u 1 (v1 + w1 ) + u 2 (v 2 + w 2 ) + u 3 (v 3 + w 3 ) = = u 1 v1 + u 1 w1 + u 2 v 2 + u 2 w 2 + u 3 v 3 + u 3 w 3 = = (u 1 v1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 ) + (u 1 w1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 ) =

r r

r r

= u v u w.

4. Produto escalar de um mesmo vetor:

r r r 2 r r r u u u ou, equivalentemente, u u u a) Sabemos do item 6.4, “Bases Ortonormais”, que

 2 u = u 12 + u 22 + u 23 .

Geometria_Book.indb 168

 u =

u12 + u 22 + u 23 ou

02/01/2023 19:46:40

169

Produto escalar

r r

b) u u (u 1 , u 2 , u 3 ) (u 1 , u 2 , u 3 ) = u 1. u 1 + u 2 . u 2 + u 3 . u 3 = u 1 + u 2 + u 3 2

r r

2

2

r 2

Comparando (a) e (b), temos que u u u .

Observação 7.1

r r u= u= 0. u= 0 , segue que u= 1 2 3

r r

Vê-se que u u 0. Caso u 5. Lei dos cossenos:

 r r       u v = u . v . cos α , supondo-se u ≠ 0 , v ≠ 0 e α o ângulo entre u e v .

r

r

r

r

r r

r

Seja OA = u , OB =v e BA = u − v .

Considerando a lei dos cossenos no triângulo OAB, tem-se:

r r2

r2

r2

r r

| u - v | = | u | + | v | -2 | u || v | cos α (1)

Figura 7.1

Aplicando as propriedades 7.2.1(4), 7.2.1(3) e 7.2.1(1) ao primeiro membro de (1), segue:

r r2

rr

rr

r r r r r r r r

| u - v | = (u -v ) ( u -v ) = u u - u v - v u + v v

r r2 r2

r2 r r

| u - v | = | u | + | v | -2 u v

(2)

r r   v = u v cos α

Comparando (1) e (2), teremos: u

Portanto, se desejarmos obter o valor α , em radianos ou graus, do ângulo interno do triângulo OAB em O, basta interpretar o resultado da relação:

r r     u v cos r r , sendo u ≠ 0 , v ≠ 0 u v

Geometria_Book.indb 169

(ver Observação 7.2)

02/01/2023 19:46:45

8

O T U D O PR AL I R O T E V

` Definir produto vetorial e apresentar propriedades. ` Obter a direção e sentido do produto vetorial de dois vetores. ` Calcular altura e áreas de triângulos e quadriláteros.

8.1 INTRODUÇÃO A operação produto vetorial será definida para vetores de V3 em relação à base or   tonormal positiva E = ( i , j , k ).

8.2 PRODUTO VETORIAL 



Sejam os vetores u = (u 1 , u 2 , u 3 ) e v = (v1 , v 2 , v 3 ) . O produto vetorial dos vetores u e v é o vetor

  u2 u ∧v = v2 





u 3  u 3 u1  u1 u 2  i+ j+ k v3 v 3 v1 v1 v 2 .







Notações: u ∧ v ou u x v (lê-se: produto vetorial de u e v ).

Exemplo 8.1:









Dados os vetores u = (2,0,1) e v = (3,1,2), pede u ∧ v .

Solução:

     0 1 1 2 2 0    u ∧v = i+ j+ k = −1 i − 1 j + 2 k ou u ∧ v =(−1, −1, 2).

1 2 2 3 3 1

Geometria_Book.indb 179

02/01/2023 19:47:07

180

Matemática com aplicações tecnológicas – Geometria analítica – Volume 5

Observação 8.1





Uma forma mais fácil de obter o produto vetorial u ∧ v é imaginá-lo “como se fosse” a expansão do determinante

 j

 k

u1 u 2

u3

v1

v3

 i

v2

pela regra de Laplace, aplicada a sua primeira linha.

Veja a coincidência do resultado desse procedimento quando comparado com o do Exemplo 8.1 acima, no qual a definição foi aplicada:

 i

  j k

   0 1 2 1  2 0    i− j+ k = −1 i − 1 j + 2k = (−1, − 1, 2) . u ∧v = 2 0 1 = 1 2 3 2 3 1

3 1 2

Note que a ordem dos vetores no interior do determinante simbólico para obter     u ∧ v segue a ordem da indicação do produto vetorial, primeiro u e depois v .

Observe também que a mudança de ordem dos vetores no interior do determinante implica resultados distintos:

      i j k i j k     u ∧ v = 2 0 1 = (−1, − 1, 2) e v ∧ u = 3 1 = (1, 1, − 2) .

2 3 1 2 2 0 1     O exemplo mostra que os vetores u ∧ v e v ∧ u são opostos. Esse fato ocorre por-

que a segunda e terceira linhas dos “determinantes” estão permutadas!

Veja que os módulos dos vetores são iguais:

    u ∧ v = (−1) 2 + (−1) 2 + 22 = 6 e v ∧ u=

12 + 12 + (−2)2=

6

Entendemos que a igualdade do produto vetorial com a obtida pela expansão do determinante é apenas formal!

8.2.1 PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL A correspondência estabelecida entre o produto vetorial e a expansão do determinante por Laplace, aplicado a sua primeira linha, nos permitirá memorizar as propriedades do

Geometria_Book.indb 180

02/01/2023 19:47:08

181

Produto vetorial

produto vetorial, simplesmente considerando as propriedades dos determinantes, estudadas no Capítulo 2.







Sejam u = (u 1 , u 2 , u 3 ) , v = (v1 , v 2 , v 3 ) e w = ( w1 , w 2 , w 3 ) vetores de V3 em rela   ção à base ortonormal positiva E = ( i , j , k ) e α ∈ � .









1. Não comutativa: u ∧ v = –( v ∧ u )

      i j k i j k     u ∧v = u1 u 2 u 3 = − v1 v 2 v 3 = − (v ∧ u ) . v1

v2

v3

u1 u 2

u3

O determinante troca o sinal quando se permutam duas de suas linhas (ver item 2.2.3). 















2. Produto de um real por produto vetorial: ( α u ) ∧ v = α (u ∧ v ) ou u ∧ (α v ) = α (u ∧ v ).

      i j k i j k     u 1 u 2 u 3 α (v ∧ u ) . = (α u ) ∧ v α u 1= α u 2 α u 3 α= v1

v2

v3

v1

v2

v3

Se multiplicarmos uma linha do determinante por um número α real, o determinante fica multiplicado por α . Isto é, o produto vetorial será multiplicado por α se apenas um dos vetores que participa da operação for multiplicado por α .













A confirmação da relação u ∧ ( α v ) = α (u ∧ v ) é análoga.























  k i u 3 + u1

 j u2

 k     u= (u ∧ v ) + (u ∧ w) 3

v3

w2

w3



3. Distributiva: u ∧ (v + w= ) (u ∧ v ) + (u ∧ w) ou (u + v ) ∧ w = (u ∧ w) + (v ∧ w) .    u ∧ (v + w =)

 i u1

 j u2

v1 + w1

v 2 + w2

   k i j u 3 = u1 u 2 v 3 + w3

v1

v2

w1

Se os elementos de uma linha do determinante são somas de n parcelas (cada elemento da terceira linha possui duas parcelas), o determinante pode ser decomposto numa soma de n determinantes (no caso, dois determinantes), sendo que cada um deles tem os elementos da linha correspondente formada com uma das parcelas das somas inicialmente indicadas, isto é, vale a propriedade distributiva do produto vetorial à esquerda (ou à direita) em relação à soma de vetores. Cuidado: lembre-se de que o produto vetorial não é comutativo!















O fato de que (u + v ) ∧ w = (u ∧ w) + (v ∧ w) tem justificativa análoga.

Geometria_Book.indb 181

02/01/2023 19:47:10

9

O T U D O PR MISTO

` Conceituar produto misto e apresentar suas propriedades. ` Calcular altura e volume de paralelepípedos, prismas e tetraedros.

9.1 INTRODUÇÃO A operação produto misto será definida para vetores de V3 em relação à base orto   normal positiva E = ( i , j , k ).

9.2 PRODUTO MISTO 





Sejam os vetores u = (u 1 , u 2 , u 3 ) , v = (v1 , v 2 , v 3 ) e w = ( w1 , w 2 , w 3 ) . O produto    misto dos vetores u , v e w é o número real

.

r

  

r r

 



Notações: u ∧ v • w ou [u , v , w] (lê-se: produto misto de u , v e w ).

Exemplo 9.1:

 r r r   Dados os vetores u = (2,0,1), v = (3,1,2) e w = (2,3,0) , pede-se u ∧ v • w.

Solução:

2 0 1

r r r uu∧∧vv•�ww = 3 1 2 = (0 + 0 + 9) – (2 + 12 + 0) = –5 .

2

Geometria_Book.indb 191

3 0

02/01/2023 19:47:25

192

Matemática com aplicações tecnológicas – Geometria analítica – Volume 5

Observação 9.1

r

r r

a) O produto misto, indicado por u ∧ v • w , sugere que seja obtido pelo produ   to escalar dos vetores ( u ∧ v ) e w . Essa percepção ganha credibilidade quando se    compara o produto escalar dos vetores ( u ∧ v ) e w com o produto misto obtido no Exemplo 9.1:

   i j k 0 1 1 2 2 0     u ∧v = 2 0 1 = i+ j+ k =(−1, −1, 2) e w = (2,3,0) , 1 2 2 3 3 1 3 1 2

r r r

isto é,(u ∧ vv)•�w w =− ( 1, −1, 2).(2,5,0) =−5 , mesmo resultado do produto misto.

Generalizando a operação para três vetores quaisquer, verificaremos que tal pressentimento está correto. Veja que:

  u2 u ∧v = v2

 u 3  u 3 u1  u1 u 2     i+ j+ k e w = w1 i + w 2 j + w3 k . v3 v 3 v1 v1 v 2



 u2

Logo,



 v2

 u 3 r u 3 u1 r u1 u 2 r    i+ j+ k  ( w1 i + w 2 j + w3 k ) = v3 v 3 v1 v1 v 2 

u2

u3

v2

v3

u1

u2

u3

= v1

v2

v3 .

w1 w 2

w3



(u ∧ v ) •�w =  =

w1 +

u 3 u1 v3

v1

w2 +

u1 u 2 v1

v2

w3 e, pela regra de Laplace,





b) Não é necessário utilizar parênteses para indicar o produto vetorial u ∧ v r r r    quando se apresenta u ∧ v • w ou w • u ∧ v , pois ele (produto vetorial) é realizado em primeiro lugar.

r r r r c) r A expressão u ∧ (v • w) não representa produto misto de vetores, pois (v • w) não é vetor e, nesse caso, não é possível realizar o produto indicado.

9.2.1 PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTO    Sejam u = (u 1 , u 2 , u 3 ) , v = (v1 , v 2 , v 3 ) e w = ( w1 , w 2 , w 3 ) vetores de V3 em rela   ção à base ortonormal positiva E = ( i , j , k ) e α ∈ �ℝ.

Geometria_Book.indb 192

02/01/2023 19:47:27

193

Produto misto

  

  

  

1. [u , v , w] = [ v , w, u ] = [ w, u , v ] O produto misto é um determinante, e o seu valor se mantém inalterado quando as suas linhas são permutadas em número par de vezes.

Observe que o segundo produto misto, indicado acima, tem em sua terceira linha  as coordenadas do vetor u e o seu valor é igual ao do primeiro produto misto que tem  as coordenadas de u na primeira linha. O terceiro produto misto tem em sua primeira  linha as coordenadas de w e essas (coordenadas) aparecem na terceira linha do primeiro produto misto. Houve, nos dois casos, dupla permutação das linhas em relação ao primeiro determinante e, por isso, todos são iguais.

O determinante troca o sinal quando se permutam suas linhas em número ímpar de

  

  

vezes. Assim, [u , v , w] = – [ v , u , w] . Houve permutação da primeira linha com a segunda,  portanto, uma só mudança de posição. As coordenadas de u passaram para a segunda linha do determinante.

O exposto acima nos permite entender que:

  

  

  

[v , u , w] = [u , w, v ] = [ w, v , u ]

Figura 9.1

Observação 9.2

O ciclo nos ajuda a memorizar os produtos mistos de mesmo valor. Basta considerar os produtos que têm os seus vetores seguindo a ordem horária ou a anti-horária. Os produtos mistos de vetores em ordem horária têm sinais contrários aos produtos mistos dos mesmos vetores em ordem anti-horária.



 









Uma consequência dessa propriedade é que: (u ∧(vu) ∧ •�wv )=�w •= (u ∧ v ) ,�w visto = que o produto vetorial é realizado em primeiro lugar e, depois, o produto escalar       ) �w .= que é comutativo. Temos, também, que (u ∧ v ) •�w = – ((u v ∧ uv )•

  

  

2. [α . u , v , w] = α [u , v , w] A propriedade é provada utilizando-se o fato: “Um determinante fica multiplicado por α real se apenas uma de suas linhas for multiplicada por α .”

Geometria_Book.indb 193

02/01/2023 19:47:28

10

RETA

` Apresentar as formas vetorial, paramétrica e simétrica das retas. ` Discutir a posição relativa entre duas retas: intersecção, perpendicularismo e ângulos entre elas.

10.1 INTRODUÇÃO   

  

Consideremos em V3 o sistema de referência (O, i , j , k ), sendo E = ( i , j , k ) a base ortonormal positiva e O(0,0,0) a origem.

Apresentaremos três tipos de equações de retas: vetorial, paramétrica e simétrica.

10.2 EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA Podemos associar cada ponto P(x, y, z) do espaço a um vetor cujo representante     tem origem em O e extremidade no ponto P, indicado por = x + y + z ou, k i j OP  também, por OP = ( x, y, z ) .

Sabemos que por dois pontos A e B distintos, existe uma só reta r que “passa” por eles. Os pontos A e B definem a direção da reta.

Uma equação da reta é obtida quando se conhecem as coordenadas de dois pontos fixos distintos ou, então, as coordenadas de um ponto fixo e a sua direção. A direção de   uma reta é dada pela direção de um vetor v ≠ 0 paralelo a ela.

Geometria_Book.indb 203

02/01/2023 19:47:42

204

Matemática com aplicações tecnológicas – Geometria analítica – Volume 5

Figura 10.1



Seja A o ponto fixo de uma reta r e P um ponto qualquer de r. O vetor OP é a soma







dos vetores OA e u = AP . Isto é,

   OP = OA + u . 

O sentido e o comprimento de u variam conforme a localização de P em r.









Se v tem a direção de r, então v // u . Assim, existe λ real tal que u = λ v , que, substituído na sentença acima, resulta em:

   OP = OA + λ v , λ ∈ �ℝ,

denominada equação vetorial da reta r.

Vemos, pela equação vetorial, que a cada valor do parâmetro λ corresponde um só ponto P de r.     Sendo OP = (x, y, z), OA = ( x A , y A , z A ) e v = (a, b, c) ≠ 0 , então a equação vetorial de r é descrita por

Observação 10.1

r : ( x, y, z ) = ( x A , y A , z A ) + λ (a,b,c), λ ∈ ℝ �.

(1)

Se forem dados dois pontos distintos da reta r : A ( x A , y A , z A ) e B ( x B , y B , z B ) ,    AB = ( x B − x A , y B − y A , z B − z A ) , visto que podemos tomar o vetor v como v = a equação da reta não depende do módulo ou sentido de v e que λ percorre os valores em ℝ.

Geometria_Book.indb 204

02/01/2023 19:47:44

205

Reta

Exemplo 10.1: Obtenha a equação vetorial da reta r, conhecendo-se os seus pontos A(2,1,0) e B(5,0,1).

Solução:

  Temos que v = AB = (3,–1,1). Utilizando o ponto fixo A, segue de (1) que

�. r: (x, y, z) = (2,1,0) + λ (3,–1,1), λ ∈ℝ

10.3 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA Partindo da equação vetorial (1), temos que:

r: (x, y, z) = (xA + λa, yA + λb, zA + λc), Estabelecendo a igualdade das respectivas coordenadas, teremos as equações:

= x xA + λa  � y A + λb , λ ∈ℝ, r:  y =  z z A + λc =

(2)

denominadas de equações paramétricas de r.

Exemplo 10.2: Partindo da solução do Exemplo 10.1 , dê as equações paramétricas da reta r.

Solução:

 x= 2 + 3λ  1 − 1λ , λ ∈ℝ. � r:  y =  z= 0 + 1λ 

10.4 EQUAÇÃO SIMÉTRICA DA RETA  Suponha conhecidos apenas o ponto A e o vetor v de r . A Figura 10.1 mostra que     u = OP – OA = (x, y, z) – ( x A , y A , z A ) e, daí, u =− ( x x A , y − y A , z − z A ) . O vetor   u é paralelo ao vetor direção  da reta v = (a, b, c) . Se a, b e c não forem zeros, as razões u entre as componentes de e v são tais que:

Geometria_Book.indb 205

02/01/2023 19:47:45

11

PLANO

` Apresentar as equações vetorial, paramétrica e geral dos planos. ` Discutir a posição relativa entre retas e planos e suas possíveis intersecções. ` Obter a projeção ortogonal de uma reta em um plano.

11.1 INTRODUÇÃO   

  

Consideremos em V3 o sistema de referência (O, i , j , k ), sendo E = ( i , j , k ) a base ortonormal positiva e O(0,0,0) a origem.

Apresentaremos as equações do plano: equação vetorial, equações paramétricas, equação geral e linear do plano.

11.2 EQUAÇÃO VETORIAL DO PLANO Sabe-se que existe um só plano que contém um conjunto de três pontos distintos A, B e C, não pertencentes a uma mesma reta. Entendemos que os três pontos determinam a posição do plano no espaço euclidiano.

Um plano β é identificado, de modo único, se forem conhecidos A, um de seus   pontos, e dois vetores u e não nulos e não paralelos entre si, mas paralelos ao plano   β . Veja representantes u e v do plano β na Figura 11.1.





Os vetores u e v indicam uma família de planos paralelos a eles, e o ponto A define qual deles é o plano β . O comprimento e o sentido desses vetores são irrelevantes.

Os pontos A, B e C, distintos e não colineares, também definem o plano que os contém, de modo análogo ao de um ponto e dois vetores não nulos e não paralelos, pois se     podem considerar o ponto A e os vetores u = AB e v = AC .

Geometria_Book.indb 221

02/01/2023 19:48:08

222

Matemática com aplicações tecnológicas – Geometria analítica – Volume 5

Figura 11.1

Temos, na Figura 11.1, os pontos A ( x A , y A , z A ) , B ( x B , y B , z B ) e C ( x C , y C , z C ) , não colineares e P(x,y,z) um ponto qualquer do plano β .





Os vetores u = AB = ( x B − x A , y B − y A , z B − z A ) = (u 1 , u 2 , u 3 )

e

  v = AC = ( x C − x A , y C − y A , z C − z A ) = (v1 , v 2 , v 3 ) dão a orientação de β .    Vemos que: OP = OA + AP .    Sabemos que a cada posição de P existem λ e γ reais tais que AP = λ u + γ v .

Portanto, tem-se:









β : OP = OA + λ u + γ v

(1)

Essa equação denomina-se equação vetorial do plano β .

Vemos, pela equação vetorial, que a cada par de valores dos parâmetros λ e γ corresponde um só ponto P de β .     Sendo OP = (x,y,z), OA = ( x A , y A , z A ) , u = (u 1 , u 2 , u 3 ) e v = (v1 , v 2 , v 3 ) , então a equação vetorial é dada por:

β : (x,y,z) = ( x A , y A , z A ) + λ (u 1 , u 2 , u 3 ) + γ ( v1 , v 2 , v 3 ) , , .

(2)

Exemplo 11.1: 1. Obtenha a equação vetorial do plano β , sabendo-se que A(2,1,0) pertence a β   e que β tem a orientação dos vetores u = (2, 1, 3) e v = (4, 3, 1) .

Solução:





Os vetores u e v são não nulos (os seus módulos são diferentes de zero) e não paralelos (as correspondentes coordenadas não são proporcionais). Utilizando o ponto A fixo de β , segue de (2), que:

β : (x,y,z) = (2,1,0) + λ (2,1,3) + γ (4,3,1), , .

Geometria_Book.indb 222

02/01/2023 19:48:11

223

Plano

2. Obtenha a equação vetorial do plano β , conhecendo-se os seus pontos A(2,1,0) e B(5,0,1) e C(3,2,5).

Solução:









Tomemos u = AB = (3,–1,1) e v = AC = (1,1,5) que não são nulos ou paralelos.

Utilizando o ponto fixo A, segue de (2) que:

β : (x, y, z) = (2, 1, 0) + λ (3, –1, 1) + γ (1, 1, 5), , .

11.3 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO Partindo da equação vetorial do plano

β : (x,y,z) = ( x A , y A , z A ) + λ (u 1 , u 2 , u 3 ) + γ (v1 , v 2 , v 3 ) , , , temos que:

β : (x,y,z) = ( x A + λu 1 + γ v1 , y A + λu 2 + γ v 2 , z A + λu 3 + γ v 3 ) , , .

Estabelecendo a igualdade das respectivas coordenadas, obtêm-se as equações:

x x A u 1 v1

: y y A u 2 v 2 , ,

z z A u 3 v 3 Essas equações denominam-se equações paramétricas de β .

Exemplo 11.2: As equações paramétricas dos planos apresentados no Exemplo 11.1 são: 1.

x 2 2 4

: y 1 3 , , z 0 3

2.

x 2 3

: y 1 , , z 0 5

11.4 EQUAÇÃO GERAL E LINEAR DO PLANO 







Vemos na Figura 11.1 os vetores u = (u 1 , u 2 , u 3 ) ≠ 0 e v = (v1 , v 2 , v 3 ) ≠ 0 , não paralelos, o ponto fixo A ( x A , y A , z A ) e um ponto qualquer P(x,y,z) do plano β , sendo



o vetor genérico AP = ( x − x A , y − y A , z − z A ) .

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12

A I C N Â DIST

` Calcular distâncias entre pontos, ponto e reta e ponto e plano. ` Calcular distância entre reta e plano, plano e plano e reta e reta.

  

  

Consideremos em V3 o sistema de referência (O, i , j , k ), sendo E = ( i , j , k ) a base ortonormal positiva e O(0,0,0) a origem.

12.1 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS A distância entre  dois pontos A ( x A , y A , z A ) e B( x B , y B , z B ) de V3 é dada pelo módulo do vetor AB e indicada por d(A,B) (ver Capítulo 6, “Base e sistema de referência”, item 6.4, “Bases ortonormais”).

A

B



Temos que AB = ( x B − x A , y B − y A , z B − z A ) .

Então, d(A,B) =

( x B − x A )2 + ( y B − y A )2 + ( z B − z A )2 (1)

Exemplo 12.1: Obtenha a distância entre os pontos A(1,3,5) e B(2,3,2).

Solução:





Temos que AB = (2-1) i + (3-3) Então, d(A,B) =





+ (2-5) k .

(2 − 1)2 + (3 − 3)2 + (2 − 5)2 = 1 + 0 + 9 = 10 .

12.2 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA Dados um ponto P ( x 0 , y 0 , z 0 ) e uma reta= r : ( x, y, z ) ( x A , y A , z A ) + λ(u 1 , u 2 , v 3 ), , queremos obter a distância de P a r, que será denotada por d(P,r). Entendemos

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240

Matemática com aplicações tecnológicas – Geometria analítica – Volume 5

que a distância procurada é a menor medida dos segmentos de reta com origem em P e extremidade num ponto de r.



Tomemos um ponto A ( x A , y A , z A ) da reta r que tem direção u = (u 1 , u 2 , u 3 ).

A d(P,r) é igual à altura h do paralelogramo imaginário de  base igual a u , construído a partir do ponto A escolhido em r Figura 12.1

Sabemos que a área do paralelogramo (Figura 12.1) é dada pelo produto da base

   u pela altura h e também é dada pelo módulo do produto vetorial AP ∧ u , visto no

Capítulo 8, “Produto vetorial”, item 8.2.3.

    AP ∧u   Assim, h. u = AP ∧ u , isto é, d(P,r) = h = (2)  u Exemplo 12.2: Obtenha a distância do ponto P(2,3,1) à reta r: (x,y,z) = (1,2,3) + λ (3,2,0),

.

Solução: Vamos escolher um ponto qualquer da reta r, por exemplo A(1,2,3), e construir o    vetor AP . Então, AP = (1,1,–2) e u = (3,2,0) é o vetor direção da reta.

   i j k     Temos que AP ∧ u = 1 1 −2 = (4, –6, –1) e AP ∧ u = 16 + 36 + 1 = 53 e, 3 2 0   também, que = (3, 2, 0) e u = 9 + 4 + 0 = 13 .

Portanto, pela relação (2), segue que h = d(P,r) =

  AP ∧ u

 u

=

53 = 13

53 .

13

12.3 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E PLANO Dados um ponto P ( x 0 , y 0 , z 0 ) e um plano β : a x + b y + c z + d = 0 na forma linear, queremos obter a distância de P a β , que será denotada por d(P, β ). A distância procurada é a menor medida dos segmentos de reta de origem em P e extremidade em β .

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241

Distância



Seja A ( x A , y A , z A ) um ponto escolhido ao acaso em β e o vetor η = (a, b, c) normal a β .

Atribuindo valores para duas das variáveis na equação do plano β , por exemplo: x = x A e y = y A, obteremos z A . Assim, A ( x A , y A , z A ) ∈ β , isto é, a. xA + b. y A + c. z A + d = 0.



Temos, também, que AP = ( x 0 − x A , y 0 − y A , z 0 − z A ) .

Figura 12.2



A distância de P ao plano é igual ao módulo da projeção de AP na direção de   7, “Produto escalar”, item 7.3, “Projeção ortogonal de um vetor u na η (ver Capítulo   direção de v ≠ 0”). Portanto,

uuur

uuur

uuur r

uuur r

.

r r AP   AP

AP  r AP

 d(P, β ) = projη AP = r r = r r η = r r η = r . (3) 



Substituindo as componentes dos vetores AP e η em (3), segue que: d(P, β ) =

=

=

( x 0 x A , y 0 y A , z 0 z A ) (a, b, c) a 2 b2 c 2

(x0 − xA ) a + ( y0 − y A ) b + (z 0 − z A ) c a 2 + b2 + c 2

x 0 a + y 0 b + z 0 c − ( x A a + y A b + z A c) a 2 + b2 + c 2

=

=

.

Entendendo que d = −( x A a + y A b + z A c) , temos: d(P, β ) =

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x0 a + y0 b + z 0 c + d a 2 + b2 + c 2

. (4)

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13

SEÇÕES S A C I N Ô C

` Reconhecer as superfícies cônicas. ` Identificar as cônicas: elipse, hipérbole, parábola e circunferência. ` Obter as equações das cônicas.

13.1 INTRODUÇÃO Consideremos duas retas distintas e e g, concorrentes num ponto V e não perpendiculares. Se girarmos g em torno de e, teremos uma superfície de forma cônica com duas partes, que se estendem infinitamente em ambas as direções de e a partir de V. Chamaremos a superfície formada de cone de duas folhas.

Figura 13.1

O ponto V é chamado de vértice, a reta e de eixo de simetria e a reta g de geratriz do cone.

Entendemos que toda reta do cone contém o ponto V e pode ser considerada uma geratriz.

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Matemática com aplicações tecnológicas – Geometria analítica – Volume 5

Uma secção cônica ou, simplesmente, cônica é uma curva obtida pela interseção de um plano com o cone de duas folhas.

Se o plano π que intercepta o cone não contém V, então teremos:

Figura 13.2

• Elipse, se π não for paralelo a qualquer das geratrizes e interceptar apenas uma das folhas do cone (Figura 13.2(a)). Caso π seja perpendicular a e, teremos uma circunferência.

• Hipérbole, se π for paralelo a duas geratrizes e, neste caso, interceptar as duas folhas do cone, conforme ilustra a Figura 13.2(b).

• Parábola, se π for paralelo a uma só das geratrizes (Figura 13.2(c)).

A hipérbole, tal como o cone de duas folhas, possui dois ramos e deve ser entendida como uma só curva.

Se o plano π que intercepta o cone contém V, teremos, correspondentemente aos casos a), b) e c) da Figura 13.2, cônicas degeneradas: um ponto, duas retas concorrentes em V e uma só reta contendo V, conforme ilustra a Figura 13.3.

Figura 13.3

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253

Seções cônicas

As secções cônicas estão presentes em estudos de astronomia, arquitetura, indústrias, balística etc.

Podemos citar, como exemplo de cônicas, as órbitas elípticas dos planetas do nosso Sistema Solar, arcos de forma parabólica em alguns portais e viadutos, o modelo hiperbólico do sistema LORAN que, utilizando pulsos sincronizados transmitidos por estações suficientemente distantes, orientam a navegação aérea, marítima, etc.

Definiremos as cônicas como sendo o lugar geométrico dos pontos de um plano satisfazendo propriedades geométricas as quais são caracterizadas por:

13.2 PARÁBOLA Sejam dados um ponto F e uma reta d num plano, de modo que F não pertença à reta d. Chama-se parábola o conjunto dos pontos do plano que são equidistantes de d e F. O ponto F chama-se foco e d a diretriz da parábola.

Dizemos que um ponto P está na parábola se, e somente se, a distância de P a F é a mesma de P a d. Notação: d(P, F) = d(P, d).

e

P

F V

d

Figura 13.4

A Figura 13.4 nos faz entender que os pontos do gráfico da parábola são simétricos em relação à reta e que é perpendicular a diretriz d contendo o foco F. A reta e é denominada de eixo de simetria da parábola e o ponto V, intersecção da parábola com e é o vértice da parábola. É natural que, neste instante, façamos a seguinte pergunta: conhecidos a reta d e o ponto F, não pertencente a ela, como poderemos obter um ponto P da parábola?

Vamos responder a essa pergunta fazendo a seguinte construção:1 • escolher, arbitrariamente, um ponto D em d; 1

Para a construção prática, ver Apêndice 3.

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Capa_matemática_vol_5_P5.pdf 1 24/02/2023 23:58:47

MATRIZES

2 DETERMINANTES

3 4

Resultados e teorias milenares se mantêm válidos e úteis e, ainda assim, a

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6

de São Paulo (FATEC-SP) em cinco volumes, respectivamente: Matemática Básica,

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7 PRODUTO ESCALAR

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Apresentaremos a coleção Matemática com aplicações tecnológicas, que foi

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ciências. É usada como ferramenta essencial em praticamente todas as áreas do

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

VETORES

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A matemática é considerada a ciência do raciocínio e do abstrato, base de todas as

Barboni | Paulette

1

12 DISTÂNCIA

13 SEÇÕES CÔNICAS

BIBLIOGRAFIA APÊNDICES

V. 5

Autores AYRTON BARBONI Licenciado em Matemática pela FFCL de Santo André. Mestre em Matemática pela PUC-SP. Professor coordenador da área de matemática da Faculdade de Tecnologia de São Paulo – FATEC-SP.

WALTER PAULETTE

Matemática

com Aplicações Tecnológicas Geometria Analítica | Volume 5 Ayrton Barboni Walter Paulette Dirceu D'Alkmin Telles, Seizen Yamashiro, Suzana Abreu de Oliveira Souza (organizadores)

Licenciado em Matemática pela PUC-SP. Mestre em Matemática pela PUC-SP. Doutor em Educação Matemática pela UNESP de Rio Claro. Professor de Matemática da Faculdade de Tecnologia de São Paulo – FATEC-SP. Professor Titular da Escola Superior de Administração de Empresas de Santo André.

Organizadores DIRCEU D’ALKMIN TELLES Professor e diretor da FATEC-SP, coordenador de irrigação do Departamento de Águas e Energia Elétrica (DAEE) e professor do Programa de Pós-Graduação da EPUSP.

SEIZEN YAMASHIRO Professor pleno na FATEC-SP, onde leciona Cálculo e Estatística desde 1980.

SUZANA ABREU DE OLIVEIRA SOUZA Professora na FATEC-SP e no Centro Universitário da Fundação Educacional Inaciana “Padre Sabóia de Medeiros” (FEI).