Tomadas de decisão com ferramentas da lógica paraconsistente anotada

tente anotada como uma moderna ferramenta para

Uma das grandes realizações de nossa época foi a edificação das lógicas não clássicas, que são ou complementares ou rivais da lógica clássica, cuja origem remonta a Aristóteles.

resolver problemas que desafiam o raciocínio lógico tradicional.

Em particular, como integrante do Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção da Universidade Paulista, UNIP, posso constatar na instituição o desenvolvimento de inúmeros trabalhos utilizando essa abordagem. Entre eles destacam-se artigos apresentados em congressos e periódicos, dissertações de mestrado e teses de doutorado, culminando agora com o lançamento do do assunto no ambiente universitário de que participo. Externo, pois, minha alegria pelo surgimento desta publicação, que, certamente, será de grande utilidade a todos os interessados nesta metodologia, indiscutivelmente útil e atual.

Pedro Luiz de Oliveira Costa Neto

A lógica paraconsistente nasceu motivada por questões de índole teórica, de interesse principalmente filosófico e matemático, bem como por problemas originados pelas ciências experimentais, por exemplo a física. Não obstante, ela acabou encontrando as mais variadas aplicações em áreas tais como computação, robótica, tráfego aéreo e de trens, distribuição de energia em grandes usinas, programação, redes neurais, pesquisa operacional etc.

Convém notar que uma lógica pode ser encarada como um mecanismo de inferência e de sistematização teórica, ou como formalismo de natureza técnica e informática. É sobretudo sob este prisma que os autores deste livro desenvolvem suas aplicações. Ademais, a obra tem basicamente em mira duas metas: 1) expor as ideias centrais de uma categoria de lógica paraconsistente, a saber, a lógica anotada; 2) tratar de aplicações desta última em tomadas de decisão, particularmente em Engenharia de Produção.

Não há dúvida de que esta obra será de enorme utilidade para uma vasta gama de leitores, desde pessoas interessadas em conhecer a lógica paraconsistente anotada, até engenheiros, cientistas e filósofos que desejarem ter uma noção tanto do domínio da paraconsistência, quanto das correspondentes aplicações técnicas.

Este excelente texto é o resultado, acima de tudo, da grande capacidade didática dos autores, bem como da experiência que possuem no domínio da paraconsistência.

Newton C. A. da Costa

www.blucher.com.br

FÁBIO ROMEU DE CARVALHO

Grau de evidência favorável

TOMADAS DE DECISÃO

presente livro, obra dos dois principais estudiosos

Diversas são as lógicas complementares da clássica, tais como a lógica temporal, a lógica modal e a lógica deôntica. Dentre as lógicas rivais, destacam-se a intuicionista, a fuzzy e a paraconsistente. Convém lembrar que uma lógica não clássica pode, muitas vezes, funcionar, de acordo com as circunstâncias, ora como lógica rival, ora como lógica complementar da clássica.

Grau de evidência contrária

acompanhado o crescimento da lógica paraconsis-

CARVALHO | ABE

Não sou especialista no assunto, mas tenho

Algoritmo para-analisador

TOMADAS DE DECISÃO COM FERRAMENTAS DA LÓGICA PARACONSISTENTE ANOTADA FÁBIO ROMEU DE CARVALHO JAIR MINORO ABE

É Doutor em Engenharia pelo Departamento de Engenharia de Produção da Poli/USP; Mestre em Filosofia (na área de Lógica) pela FFLCH/USP; Especialista em Avaliação no Ensino Superior pela Faculdade de Educação da UnB; Graduado em Engenharia Elétrica pela Poli/USP; Bacharel e Licenciado em Matemática pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras Oswaldo Cruz, e Pedagogo, com as habilitações Administração e Supervisão Escolar, pelas Faculdades Integradas Princesa Isabel.

JAIR MINORO ABE É Bacharel e Mestre em Matemática Pura pelo Instituto de Matemática e Estatística da USP; Doutor em Filosofia (na área de Lógica) pela FFLCH/USP; e Livre-Docente pelo Departamento de Informática Médica da Faculdade de Medicina da mesma Universidade.

Tomadas de decisรฃo com ferramentas da lรณgica paraconsistente anotada Fรกbio Romeu de Carvalho Jair Minoro Abe

Lanรงamento 2011 ISBN: 9788521206071 Formato: 17x24 cm Pรกginas: 214

tente anotada como uma moderna ferramenta para

Uma das grandes realizações de nossa época foi a edificação das lógicas não clássicas, que são ou complementares ou rivais da lógica clássica, cuja origem remonta a Aristóteles.

resolver problemas que desafiam o raciocínio lógico tradicional.

Em particular, como integrante do Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção da Universidade Paulista, UNIP, posso constatar na instituição o desenvolvimento de inúmeros trabalhos utilizando essa abordagem. Entre eles destacam-se artigos apresentados em congressos e periódicos, dissertações de mestrado e teses de doutorado, culminando agora com o lançamento do do assunto no ambiente universitário de que participo. Externo, pois, minha alegria pelo surgimento desta publicação, que, certamente, será de grande utilidade a todos os interessados nesta metodologia, indiscutivelmente útil e atual.

Pedro Luiz de Oliveira Costa Neto

A lógica paraconsistente nasceu motivada por questões de índole teórica, de interesse principalmente filosófico e matemático, bem como por problemas originados pelas ciências experimentais, por exemplo a física. Não obstante, ela acabou encontrando as mais variadas aplicações em áreas tais como computação, robótica, tráfego aéreo e de trens, distribuição de energia em grandes usinas, programação, redes neurais, pesquisa operacional etc.

Convém notar que uma lógica pode ser encarada como um mecanismo de inferência e de sistematização teórica, ou como formalismo de natureza técnica e informática. É sobretudo sob este prisma que os autores deste livro desenvolvem suas aplicações. Ademais, a obra tem basicamente em mira duas metas: 1) expor as ideias centrais de uma categoria de lógica paraconsistente, a saber, a lógica anotada; 2) tratar de aplicações desta última em tomadas de decisão, particularmente em Engenharia de Produção.

Não há dúvida de que esta obra será de enorme utilidade para uma vasta gama de leitores, desde pessoas interessadas em conhecer a lógica paraconsistente anotada, até engenheiros, cientistas e filósofos que desejarem ter uma noção tanto do domínio da paraconsistência, quanto das correspondentes aplicações técnicas.

Este excelente texto é o resultado, acima de tudo, da grande capacidade didática dos autores, bem como da experiência que possuem no domínio da paraconsistência.

Newton C. A. da Costa

www.blucher.com.br

FÁBIO ROMEU DE CARVALHO

Grau de evidência favorável

TOMADAS DE DECISÃO

presente livro, obra dos dois principais estudiosos

Diversas são as lógicas complementares da clássica, tais como a lógica temporal, a lógica modal e a lógica deôntica. Dentre as lógicas rivais, destacam-se a intuicionista, a fuzzy e a paraconsistente. Convém lembrar que uma lógica não clássica pode, muitas vezes, funcionar, de acordo com as circunstâncias, ora como lógica rival, ora como lógica complementar da clássica.

Grau de evidência contrária

acompanhado o crescimento da lógica paraconsis-

CARVALHO | ABE

Não sou especialista no assunto, mas tenho

Algoritmo para-analisador

TOMADAS DE DECISÃO COM FERRAMENTAS DA LÓGICA PARACONSISTENTE ANOTADA FÁBIO ROMEU DE CARVALHO JAIR MINORO ABE

É Doutor em Engenharia pelo Departamento de Engenharia de Produção da Poli/USP; Mestre em Filosofia (na área de Lógica) pela FFLCH/USP; Especialista em Avaliação no Ensino Superior pela Faculdade de Educação da UnB; Graduado em Engenharia Elétrica pela Poli/USP; Bacharel e Licenciado em Matemática pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras Oswaldo Cruz, e Pedagogo, com as habilitações Administração e Supervisão Escolar, pelas Faculdades Integradas Princesa Isabel.

JAIR MINORO ABE É Bacharel e Mestre em Matemática Pura pelo Instituto de Matemática e Estatística da USP; Doutor em Filosofia (na área de Lógica) pela FFLCH/USP; e Livre-Docente pelo Departamento de Informática Médica da Faculdade de Medicina da mesma Universidade.

CONTEÚDO

INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

CAPÍTULO 1

A LÓGICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.1

Conceitos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.2

A Lógica Clássica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.3

As Lógicas Não Clássicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.4

A Lógica Paraconsistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.5

Lógica Paraconsistente Anotada (LPA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.6

Reticulado associado à Lógica Paraconsistente Anotada . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.7

Axiomatização da Lógica Paraconsistente Anotada Q 



CAPÍTULO 2

A LÓGICA PARACONSISTENTE ANOTADA EVIDENCIAL E . . .

37

2.1

Aspectos gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2

O reticulado das constantes de anotações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.3

O conectivo da negação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.4

Os conectivos da conjunção, disjunção e implicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.5

Quadrado unitário do plano cartesiano (QUPC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.6

O reticulado τ e os estados de decisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.7

Operadores da lógica Eτ (NOT, MÁX e MÍN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

CAPÍTULO 3 3.1 3.2

REGRA DE DECISÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

Considerações gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O nível de exigência e a regra de decisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 57

CAPÍTULO 4

O PROCESSO DE TOMADA DE DECISÃO: Método Paraconsistente de Decisão (MPD) . . . . . . . . . . . . . . .

59

4.1

Considerações iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

4.2

Etapas do Método Paraconsistente de Decisão (MPD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

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14

Tomadas de Decisão com Ferramentas da Lógica Paraconsistente Anotada

4.2.1

Fixação do nível de exigência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

4.2.2

Escolha dos fatores de influência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

4.2.3

Estabelecimento das seções para cada fator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

4.2.4

Construção da base de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

4.2.5

Pesquisa de campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.2.6

Cálculo das anotações resultantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

4.2.7

Determinação do baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

4.2.8

Tomada de decisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

PROGRAMA DE CÁLCULOS PARA O MÉTODO PARACONSISTENTE DE DECISÃO (PC DO MPD) . . . . . . . . . .

75

Busca das opiniões dos especialistas na base de dados, uma vez conhecido o resultado da pesquisa (etapa 5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

Obtenção dos valores resultantes da evidência favorável e da evidência contrária para cada um dos fatores (etapa 6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

Cálculo dos valores dos graus de evidência, favorável e contrária, do baricentro (etapa 7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

5.4

A tomada de decisão (etapa 8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

5.5

A construção do algoritmo para-analisador (gráfico) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

CAPÍTULO 5 5.1 5.2 5.3

CAPÍTULO 6 6.1

6.2

EXEMPLOS DE APLICAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

Decisão sobre a abertura de um novo curso superior por uma instituição de ensino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

6.1.1

Fixação do nível de exigência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

6.1.2

Seleção dos fatores de influência e estabelecimento das seções . . . . . .

94

6.1.3

Construção da base de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

6.1.4

Pesquisa de campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

6.1.5

Obtenção dos graus de evidências favorável e contrária resultantes para os fatores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

6.1.6

Obtenção dos graus de evidências favorável e contrária do baricentro. .

100

6.1.7

Análise dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

6.1.8

Análise da viabilidade do curso X na região Y, em outro cenário. . . . .

101

Análise da viabilidade do lançamento de um produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

6.2.1

Fixação do nível de exigência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

6.2.2

Escolha dos fatores de influência e o estabelecimento das seções . . . .

104

6.2.3

Construção da base de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

6.2.4

Pesquisa de campo e cálculo dos graus de evidência favorável e de evidência contrária resultantes para os fatores e os do baricentro. .

108

Análise dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

6.2.5

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Conteúdo

6.3

6.4

6.5

Avaliação do projeto de uma fábrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.1 Fixação do nível de exigência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.2 Escolha dos fatores e estabelecimento das seções . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.3 Construção da base de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.4 Pesquisa de campo e obtenção dos resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.5 Análise dos resultados e decisão final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.6 Fidedignidade do MPD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.7 Influência do nível de exigência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Análise de viabilidade da implantação de um sistema de manufatura que utiliza tecnologias avançadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.1 Coeficiente de desempenho de um novo sistema de manufatura comparado com o antigo, para um determinado fator de influência . . .

6.4.2 Fixando o nível de exigência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.3 Identificando os fatores de influência (atributos ou indicadores) . . . . .

6.4.4 Estabelecendo as seções para os fatores de influência . . . . . . . . . . . . .

6.4.5 Construção da base de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.6 Análise de viabilidade da implantação de um Sistema Flexível de Manufatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.7 Análise dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Previsão de diagnósticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5.1 Construção da base de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5.2 Cálculo do grau de certeza resultante para cada doença em decorrência dos sintomas apresentados pelo paciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5.3 A obtenção do diagnóstico previsto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5.4 Restrição para aceitar o diagnóstico previsto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPÍTULO 7

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

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118 118 119 121 122 124 125 129 129 131 132 133 134 134 137 140 143 144 146 151 153

COMPARAÇÃO ENTRE O MÉTODO PARACONSISTENTE DE DECISÃO (MPD) E O MÉTODO ESTATÍSTICO DE DECISÃO (MED) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163

Um exemplo para consubstanciar a comparação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Uma breve revisão do método estatístico de decisão (MED) . . . . . . . . . . . . . .

Comparação entre MPD e MED: a distribuição do grau de certeza (H) . . . . . .

Comparação entre MPD e MED: a curva normal aderente (CNA) . . . . . . . . . .

A comparação entre MPD e MED: comparando as decisões . . . . . . . . . . . . . .

Uma outra visão da aplicação da estatística. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163 165 167 170 173 175

CAPÍTULO 8

8.1

15

UMA VERSÃO SIMPLIFICADA DO MÉTODO FUZZY DE DECISÃO E SUA COMPARAÇÃO COM O MÉTODO PARACONSISTENTE DE DECISÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

179

Versão Simplificada do Método Fuzzy de Decisão (VSMFD) . . . . . . . . . . . . .

179

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16

8.2

8.3

Tomadas de Decisão com Ferramentas da Lógica Paraconsistente Anotada

8.1.1

Fundamento teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

179

8.1.2

Aplicação da Lógica Fuzzy em tomadas de decisão . . . . . . . . . . . . . . .

183

8.1.3

Uma aplicação simples da VSMFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

184

8.1.4

Outra aplicação da VSMFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

185

Um exemplo mais elaborado para a comparação dos dois métodos . . . . . . . . .

186

8.2.1

Solução pelo Método Paraconsistente de Decisão – MPD . . . . . . . . . .

187

8.2.2

Solução pela Versão Simplificada do Método Fuzzy (VSMFD). . . . . .

191

Comparação entre os dois métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

194

CAPÍTULO 9

LEITURA COMPLEMENTAR: um exemplo do cotidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

199

BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

205

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c a p í t u l o

1

A Lógica

1.1 Conceitos preliminares Neste capítulo será feito um apanhado da lógica, desde a clássica até paraconsistente anotada, para dar ao leitor uma visão geral dessa ciência. Entretanto, a ferramenta básica para o sistema de apoio à decisão que será analisado está no Capítulo 2, lógica paraconsistente anotada evidencial Eτ. Sendo assim, o leitor mais informado poderá, com pouco prejuízo para o entendimento do método de decisão, passar diretamente para o Capítulo 2.

Considerando que este é um trabalho de aplicação da lógica em Engenharia, permitir-se-ão alguns abusos de linguagem e algumas imprecisões que não condizem com essa ciência (lógica). Isto será feito para torná-lo mais intuitivo e assimilável pelo leitor não familiarizado com a lógica, permitindo-lhe apreender com mais facilidade alguns conceitos elementares. É evidente que o assunto não será esgotado.

Para as proposições lógicas normalmente atribui-se a qualidade de falsa ou verdadeira, associando-lhe um valor-verdade “falso” (F ou 0) ou “verdadeiro” (V ou 1).

Para relacionar as sentenças entre si, são usados os conectivos. Os quatro mais comuns são: negação (¬), conjunção (), disjunção (), implicação (→) e bi-implicação (↔).

O conectivo da negação (¬) faz a negação de uma sentença. Por exemplo, sendo p a sentença “João é mortal”, sua negação ¬p significa “João não é mortal”.

Chama-se de valoração a função V: F → {1; 0}, ou seja, a função definida no conjunto de sentenças F sobre o conjunto de valores-verdade {1; 0} ou {V; F}.

Assim, se p ∈ F é verdadeira, V (p) = 1 e se p é falsa, V (p) = 0. Considerando o princípio clássico da negação “Se uma sentença é verdadeira, a sua negação é falsa e vice-versa”, temos: V (p) = 1 ‹=› V (¬p) = 0 (‹=› significa “se, e somente se,”).

O conectivo da conjunção () permite traduzir dois predicados do mesmo ser. Por exemplo, a sentença A ≡ “João é aposentado e viúvo”, que tem o mesmo significado lógico

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A Lógica

23

Observe que: V (p  q) = mín {V (p), V (q)} e V (p  q) = máx {V (p), V (q)}.

As sentenças simples do tipo p ou q são chamadas de fórmulas atômicas; as compostas do tipo A = ¬p, B = p  q, C = p  q, D = p → q e E = p ↔ q são chamadas fórmulas da linguagem formal.

1.2 A Lógica Clássica Neste parágrafo serão apresentados, sem preocupação com excesso de rigor e com riqueza de detalhes, alguns conceitos importantes relativos à parte dedutiva da lógica clássica.

I) O primeiro conceito diz respeito à regra (de inferência) de modus ponens, que permite, a partir das fórmulas A e A → B, inferir B, ou seja, se A e A → B, então B. Essa regra de inferência é de extrema importância no estudo da lógica e é A, A → B . representada da seguinte maneira: B Se A e A → B forem verdadeiras, B também o será.

II) Outro conceito que se destaca é o de demonstração (ou prova), definido como sendo uma sequência finita de fórmulas (A1, A2, ..., An) (n ≥ 1), tal que, qualquer que seja k, 1 ≤ k ≤ n: a) ou Ak é um axioma; b) ou Ak foi obtido de Ai e Aj, com i < k e j < k, pela aplicação da regra de modus ponens.

Ai , A j Ak

ou

Ai , Ai → A k , onde Ai → Ak é Aj Ak

III) Diz-se que uma fórmula A da linguagem é um teorema, se existir uma demonstração (A1, A2, ..., An) (n ≥ 1), tal que An = A. A sequência (A1, A2, ..., An) chama-se demonstração de A. Representa-se: A. IV) Seja G um conjunto de fórmulas (G = {B1, B2, ..., Bm}, por exemplo). Uma dedução, a partir de G, é qualquer sequência finita de fórmulas (A1, A2, ..., An) (n ≥ 1), tal que, para todo k, 1 ≤ k ≤ n: a) ou Ak é um axioma; b) ou Ak é um elemento de G; c) ou Ak foi obtido de Ai e Aj, com i < k e j < k, pela aplicação da regra de modus ponens.

Ai , A j Ai , Ai → A , onde, evidentemente, Ai → Ak é Aj.

ou Ak A Os elementos de G são chamados de hipóteses (ou premissas). k

k

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2

A Lógica Paraconsistente Anotada Evidencial Et

Neste capítulo detalha-se o embasamento teórico necessário para o modelo proposto (ao qual se fará referência algumas vezes como “modelo paraconsistente”) para as investigações, bem como para as aplicações apresentadas nesta obra.

2.1 Aspectos gerais Apresenta-se a Lógica Paraconsistente Anotada Evidencial Et, que é a base teórica para o modelo a ser discutido. Tal escolha se deve ao fato de essa lógica permitir, como já se mencionado, manipular dados imprecisos, inconsistentes e paracompletos.

Na lógica Et associa-se a cada proposição p, no sentido comum, uma constante de anotação constituída de um par (a; b), representando da seguinte forma: p(a; b). a e b variam no intervalo fechado real [0, 1]. Portanto, o par (a; b) pertence ao produto cartesiano [0, 1] × [0, 1]. Intuitivamente, a representa o grau de evidência favorável (ou grau de crença) expresso em p, e b, o grau de evidência contrária (ou grau de descrença) expresso em p. O par (a; b) é chamado de constante de anotação ou, simplesmente, anotação e pode ser representado por μ. Assim, escreve-se: μ = (a; b). As proposições atômicas da lógica Et são do tipo pμ ou p(a; b).

Desse modo, podem ser destacadas algumas situações extremas, que correspondem aos chamados estados extremos (ou cardeais). p(1; 0) representa evidência favorável máxima e nenhuma evidência contrária em p; diz-se que a proposição p é verdadeira (V) e que o par (1; 0) traduz o estado de verdade (V). p(0; 1) representa nenhuma evidência favorável e evidência contrária máxima em p; diz-se que a proposição p é falsa (F) e que o par (0; 1) traduz o estado de falsidade (F). p(1; 1) representa evidência favorável máxima e evidência contrária máxima em p; diz-se que a proposição p é inconsistente ( ) e que o par (1; 1) traduz o estado de inconsistência ( ).

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A Lógica Paraconsistente Anotada Evidencial Et

43

2.5 Quadrado unitário do plano cartesiano (QUPC) O conjunto das constantes de anotação (a; b) pode ser representado no sistema de coordenadas cartesianas pelo quadrado unitário [0, 1] × [0, 1], chamado de quadrado unitário de plano cartesiano (QUPC), que representa o reticulado τ. Um ponto X = (a; b), deste quadrado representa a proposição genérica p(a; b). b 1

D

B

A = (0; 0) = Paracompleteza (⊥) B = (1; 1) = Inconsistência ( ) C = (1; 0) = Verdade (V) D = (0; 1) = Falsidade (F) ⊥

AB = Linha perfeitamente indefinida CD = Linha perfeitamente definida C 0

A 0

1 a

FIGURA 2.3 Quadrado unitário do plano cartesiano (QUPC).

Para que se possa lidar mecanicamente com os conceitos de imprecisão, inconsistência e paracompleteza, bem como com os de verdade e de falsidade, serão introduzidas algumas definições.

Observe-se que as extremidades do segmento de reta CD (Figura 2.3) são pontos que traduzem situações de perfeita definição (verdade ou falsidade). Por isso, o segmento CD é chamado de linha (ou segmento) perfeitamente definida (LPD). A equação desta linha é a + b – 1 = 0. À medida que se afasta da linha CD no sentido do ponto A ou do ponto B, as incertezas vão aumentando. Quando se desloca no sentido da LPD para B, ambas as evidências, favorável e contrária, aumentam, tendendo a 1. Portanto, tende-se a evidências, favorável e contrária, grandes (próximas de 1), o que representa uma situação de incerteza chamada de inconsistência (ou de contradição). Da mesma forma, quando se desloca no sentido de LPD para A, as evidências, favorável e contrária, diminuem, tendendo para 0. Nesse caso, tende-se a graus de evidências, favorável e contrária, pequenos (próximos de 0), o que representa uma situação de incerteza chamada de paracompleteza.

Diante do exposto, é bastante razoável definir grau de incerteza da anotação (a; b) como sendo G (a; b) = a + b – 1,

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C A P Í TUL O

3

REGRA DE DECISÃO

3.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS Uma divisão conveniente do reticulado  é vista na Figura 3.1, na qual o quadrado unitário é dividido em doze regiões. Destas destacam-se as quatro regiões, denominadas regiões extremas, que serão objeto de análise mais detalhada.

Nessa divisão de , são destacados os segmentos AB, chamado de linha perfeitamente indefinida (LPI), e CD, chamado de linha perfeitamente definida (LPD).

Para uma dada constante de anotação (a; b), são definidos o • grau de incerteza, pela expressão G(a; b) = a + b – 1 (proporcional à distância do ponto que a representa à LPD); e, também, o • grau de certeza, pela expressão H(a; b) = a – b (proporcional à distância do ponto que a representa à LPI).

Algoritmo para-analisador

Grau de evidência contrária

1,00

B

D U

H

L

S

TU = Linha-limite de falsidade

F

MN = Linha-limite de paracompleteza

0,80 0,60

PQ = Linha-limite de verdade

T

R

I

J

0,40

RS = Linha-limite de inconsistência CPQ = Região de verdade ou de decisão favorável DTU = Região de falsidade ou de decisão

Q

N 0,20

desfavorável AMN = Região de paracompleteza

A 0,00 0,00

E 0,20

M

K 0,40

0,60

G

P 0,80

BRS = Região de inconsistência C 1,00

MNTUSRQP = Região de baixa definição

Grau de evidência favorável

FIGURA 3.1

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Regiões extremas com graus de contradição e de certeza, em módulo, iguais ou maiores que 0,70.

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Regra de Decisão

57

evidência favorável e alto grau de evidência contrária. Isto resulta em baixo grau de certeza (próximo de –1), que leva a decisão desfavorável, traduzindo a inviabilidade do empreendimento.

Região MNTUSRQP: |G | < 0,70 =› – 0,70 < G < 0,70

e

|H | < 0,70 =› – 0,70 < H < 0,70

Esta é uma região que não permite conclusões destacadas, ou seja, quando o ponto que traduz o resultado da análise pertence a essa região, não se pode dizer que o resultado tem alto grau de certeza ou de incerteza. Essa região traduz apenas a tendência da situação analisada, conforme os estados de decisão considerados (ver seção 2.6, Tabela 2.1).

Sendo assim, a decisão favorável (viabilidade) é tomada quando o ponto que traduz o resultado da análise pertence à região de verdade (CPQ); e a decisão desfavorável (inviabilidade), quando o resultado pertence à região de falsidade (DTU).

3.2 O NÍVEL DE EXIGÊNCIA E A REGRA DE DECISÃO Em decorrência das considerações feitas na seção anterior, para a configuração da Figura 3.1, pode-se enunciar a seguinte regra de decisão [45]: H  0,70 =› decisão favorável (o empreendimento é viável); H  – 0,70 =› decisão desfavorável (o empreendimento é inviável); – 0,70 < H < 0,70 =› análise não conclusiva.

Observe-se que, para essa configuração, a decisão (favorável ou desfavorável) somente é tomada quando |H|  0,70, ou seja, quando k2 = 0,70. Portanto, este valor (k2 = 0,70) representa o menor valor do módulo do grau de certeza para o qual uma decisão é tomada. Por isso, ele está sendo denominado de nível de exigência (NE) da decisão. Com isso, a regra de decisão, representada de forma mais genérica, fica assim: H  NE =› decisão favorável (o empreendimento é viável); H  – NE =› decisão desfavorável (o empreendimento é inviável); – NE < H < NE =› análise não conclusiva.

É oportuno salientar que o nível de exigência depende da segurança, da confiança que se quer ter na decisão, que, por sua vez, depende da responsabilidade que ela implica, do investimento que está em jogo, do envolvimento ou não de risco para vidas humanas etc.

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O Processo de Tomada de Decisão Método Paraconsistente de Decisão (MPD)

4.1 Considerações iniciais Toda decisão sensata deve ser baseada em grande série de fatores que podem influenciar no empreendimento em análise. Destes, cada um vai influenciar de uma maneira, dando indicação pela viabilidade (decisão favorável) ou pela inviabilidade (decisão desfavorável) do empreendimento, ou, ainda, o fator pode se mostrar não conclusivo, não dando indicação, nem favorável e nem contraria. Isso fica bem perceptível quando se utiliza o algoritmo para-analisador, ou seja, quando os valores da evidência favorável (graus de crença) (ai,R) e da evidência contrária (graus de descrença) (bi,R), resultantes para cada fator, são plotados, de modo que cada fator fique representado por um ponto X = (a; b) do reticulado t.

Entretanto, trabalhar com um número muito grande de fatores não é razoável, pois tornaria o método exaustivo e dispendioso. Assim, o que se propõe é escolher e utilizar apenas os mais importantes, os de maior influência na decisão, dentro do limite da racionalidade limitada preconizada por Simon, “que trabalha com um modelo simplificado da realidade, considerando que muitos aspectos da realidade são substancialmente irrelevantes em dado instante; ele efetua sua escolha de alternativa baseado no padrão satisfatório da situação real considerando apenas alguns dos fatores mais relevantes e cruciais” [94].

Normalmente, saber como é a influência isolada de cada fator não apresenta interesse relevante. O que realmente interessa na análise da viabilidade de um empreendimento é a influência conjunta de todos os fatores escolhidos, que é traduzida por um estado lógico final que se denominou baricentro (W). Este é representado por um ponto W do reticulado t, cujas coordenadas (aW e bW) são determinadas pela média ponderada das coordenadas do pontos Xi = (ai,R, bi,R) de t, que traduzem a influência resultante de cada um dos fatores.

Assim: aW =

∑P × a ∑P

i,R

i

i

e

bW =

∑ P ×b ∑P

i,R

i

(4.1)

i

onde Pi são os pesos dos fatores na análise da viabilidade do empreendimento.

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Tomadas de Decisão com Ferramentas da Lógica Paraconsistente Anotada

base de dados as opiniões dos especialistas sobre a viabilidade do empreendimento nas condições em que os fatores se encontram. Essas opiniões são traduzidas pelos valores das evidências favorável e contrária por eles atribuídos aos fatores nas condições das seções obtidas na pesquisa.

Dessa forma, da matriz MA da base de dados, pode ser destacada outra matriz, subconjunto dela, que será chamada de matriz dos dados pesquisados, MDpq = [li,k], de n linhas e m colunas, constituída pelas linhas de MA correspondentes às seções Spi obtidas na pesquisa.

Tabela 4.2 Matrizes dos pesos, MPi, pesquisada, Mpq, e dos dados pesquisados, MDpq. E1

E2

E3

E4

Fator F1

P1

Sp1

λ1,1

λ1,2

λ1,3

λ1,4

Fator F2

P2

Sp2

λ2,1

λ2,2

λ2,3

λ2,4

Fator F3

P3

Sp3

λ3,1

λ3,2

λ3,3

λ3,4

Fator F4

P4

Sp4

λ4,1

λ4,2

λ4,3

λ4,4

Fator F5

P5

Sp5

λ5,1

λ5,2

λ5,3

λ5,4

4.2.6 Cálculo das anotações resultantes Além do resultado obtido na pesquisa (matriz dos dados pesquisados, MDpq), para a aplicação das técnicas da lógica Et, uma providência deve ser tomada pelo EC: dividir os especialistas em grupos segundo critérios que ele mesmo deverá definir. Ou seja, como serão constituídos os grupos de especialistas?

Na constituição dos grupos de especialista para aplicação dos operadores MÁX e MÍN em estudo de casos reais de auxílio às tomadas de decisão, alguns detalhes devem ser observados.

Como foi visto na seção 2.7, o operador MÁX tem o sentido de fazer a maximização do grau de certeza dentro de um conjunto de anotações, escolhendo o maior grau de evidência favorável e o menor grau de evidência contrária. Portanto, deve ser aplicado em situações em que as opiniões de dois ou mais especialistas (ou itens pesquisados) não são todas determinantes, bastando a opinião favorável de apenas um deles para se considerar o resultado do grupo satisfatório. Assim, se entre os especialistas houver um que mereça especial destaque no assunto, ele deve ficar sozinho em um grupo, para que sua opinião seja necessariamente considerada. Mas, se houver dois especialistas de mesmo nível e atuantes na mesma área ou em áreas correlatas, os dois podem ser colocados no mesmo grupo, pois, se a opinião de um for satisfatória, já é suficiente para se considerar a opinião desse grupo como favorável ao empreendimento.

O operador MÍN, que tem o sentido de fazer a minimização do grau de certeza dentro de um conjunto de anotações, escolhendo o menor grau de evidência favorável

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Programa de Cálculos para o Método Paraconsistente de Decisão (PC do MPD)

O PC do MPD nada mais é do que uma aplicação da planilha Excel. Dessa forma, com a intenção de ajudar aqueles menos familiarizados com essa planilha, tomou-se a liberdade de mostrar como, com o auxílio do Excel, são feitos os cálculos necessários para aplicação do MPD. De antemão, pede-se a compreensão dos experts em Excel, para que não reparem se alguma coisa não foi feita da melhor forma e solicita-se deles a gentileza de apresentarem as sugestões de melhorias que julgarem pertinentes. É claro que esses cálculos poderiam ser feitos sem os recursos da computação, mas eles se tornariam tão demorados e enfadonhos, que inviabilizariam o método.

Para que esta exposição fique afinada com o texto da apresentação do método (Capítulo 4), ela seguirá a sequência das etapas do MPD, que são executadas pelo programa de cálculos. Usaremos a planilha Excel do Office 2003; para a versão 2007, algumas pequenas adaptações serão necessárias.

5.1 Busca das opiniões dos especialistas na base de dados, uma vez conhecido o resultado da pesquisa (etapa 5) Para que a explicação fique mais acessível, ela será acompanhada de um exemplo numérico. Para isso, será considerada a base de dados a seguir.

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Exemplos de Aplicação

Neste capítulo serão analisadas com detalhes várias aplicações do MPD, tentando-se em cada uma introduzir uma nova nuance do método. Devido a esse acumular de derivativos do método, as aplicações irão se tornando, gradativamente, mais difíceis e exigindo mais do leitor.

Na primeira aplicação (6.1) é abordada a utilização do MPD em um problema real ligado à administração escolar [44]. Nessa aplicação, procurou-se utilizar uma situação mais simples. Um pequeno número de fatores de influência, todos com pesos iguais, apenas três seções para traduzir as condições desses fatores e quatro es­pecialistas. Procurou-se ainda analisar a fidedignidade do método e usá-lo para que o leitor treine a montagem do programa de cálculos do método paraconsistente de decisão (PC do MPD). Alguns exercícios são propostos, com as respectivas respostas.

Na aplicação seguinte (6.2), o MPD é utilizado para analisar a viabilidade de lançamento de um novo produto no mercado [45]. Portanto, é uma aplicação do método na área de Marketing e constitui um problema com o qual os profissionais dessa área se deparam constantemente, além de ser de extrema importância. Aqui alguns aspectos adicionais são abordados. O número de fatores de influência utilizados é dez, estabeleceram-se cinco seções para traduzir as condições desses fatores, mas o número de especialistas continuou sendo quatro. Nesta aplicação, ao final, procurou-se mostrar a sensibilidade da análise em relação ao nível de exigência, verificando de que forma a decisão varia para diferentes valores desse parâmetro.

A aplicação 6.3 é estreitamente ligada à Engenharia de Produção, pois trata-se de um problema típico desta área da Engenharia. Essa aplicação mostra como se pode analisar a implantação do projeto de uma fábrica; faz a análise, utilizando fatores o mais próximos possível da realidade desse tipo de projeto e atribuindo pesos diferentes aos fatores [46]. Ao final, é feita uma análise da sensibilidade da decisão em relação às seções e ao nível de exigência.

Na aplicação 6.4, o MPD é utilizado para analisar um problema discutido por Chalos, em 1992 [22], que procura verificar se há ou não vantagem em substituir o antigo sistema de manufatura com a tecnologia tradicional por um moderno sistema de manufatura, dotado de tecnologias avançadas [48]. São discutidos os seguintes sistemas modernos de manufatura: CAD/CAM – Projeto e Manufatura Automatizados por Computador; GT/CM – Tecnologia de Grupo e Manufatura Celular; RE – Equipamentos de Robótica; FMS – Sistemas Flexíveis de Manufatura; AA – Montagem Automatizada;

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7

COMPARAÇÃO ENTRE O MÉTODO PARACONSISTENTE DE DECISÃO (MPD) E O MÉTODO ESTATÍSTICO DE DECISÃO (MED)

7.1 UM EXEMPLO PARA CONSUBSTANCIAR A COMPARAÇÃO A ideia básica deste capítulo é fazer uma comparação entre os métodos paraconsistente e estatístico de decisões.

Para a comparação, a título de exemplo, será considerado um empreendimento  em que apenas dez fatores (F01 a F10) têm influência considerável. Admitir-se-á que foram pesquisadas as opiniões de quatro especialistas (Ek) e que, para a aplicação das regras de maximização (MÁX) e de minimização (MÍN), eles foram agrupados da seguinte forma: Grupo A: (E1 com E2) e Grupo B: (E3 com E4).

Assim, o esquema de aplicação dos operadores MÁX e MÍN é o seguinte: MÍN {MÁX [(E1), (E2)], MÁX [(E3), (E4)]} Para as tomadas de decisão, será admitido que o nível de exigência igual a 0,70.

Isto significa que tomaremos decisão se |H|  0,70. Dessa forma, a regra de decisão é a seguinte: H  0,70 =› decisão favorável (empreendimento viável); H  – 0,70 =› decisão desfavorável (empreendimento inviável); – 0,70 < H < 0,70 =› análise não conclusiva.

A Tabela 7.1 mostra, nas colunas de 2 a 9, os graus de evidência favorável e evidência contrária que os especialistas atribuíram aos fatores em suas condições reais; nas colunas de 10 a 13, os resultados da aplicação da regra de maximização (MÁX) intragrupos; nas colunas 14 e 15, os graus de evidência favorável (ai,R) e de evidência contrária (bi,R) resultantes da aplicação da regra de minimização (MÍN) entre grupos; e nas colunas 16 a 18, a análise dos resultados.

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Tomadas de Decisão com Ferramentas da Lógica Paraconsistente Anotada

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

-1 ,1 -1 0 , -0 00 ,9 -0 0 ,8 -0 0 ,7 -0 0 ,6 -0 0 , -0 50 ,4 -0 0 ,3 -0 0 ,2 -0 0 ,1 0, 0 0 0, 0 1 0, 0 2 0, 0 30 0, 40 0, 5 0, 0 60 0, 7 0, 0 80 0, 9 1, 0 0 1, 0 10

0,0

CNA MPD Grau de certeza (H)

FIGURA 7.7

Cauda da curva normal aderente (CNA) à curva de H (MPD).

Como foi visto, para tomar a decisão pelo MPD, calcula-se o grau de certeza do baricentro (HW) e o compara com o nível de exigência. No exemplo, obtivemos HW = 0,84, que é comparado com o nível de exigência NE = 0,70. Como HW  NE, conclui-se que a decisão é favorável (o empreendimento é viável) ao nível de exigência 0,70. Ou seja, podemos afirmar que o empreendimento é viável com nível de incerteza máximo de 2β = 2  4,50% = 9,0% (ver Tabela 7.3).

Para fazer a tomada de decisão pelo processo estatístico: a) Calcula-se o valor crítico da variável padronizada da curva normal aderente CNA (*z c) que corresponde ao nível de exigência adotado (0,70, no exemplo). Para isso, verifica-se quantos desvios padrões da CNA (0,444) o nível de exigência está acima da média (zero), da seguinte forma: *z c = (0,70 – 0)/0,444 = 1,58 b) Calcula-se o valor observado da variável padronizada da CNA (*zo) que corresponde ao valor do grau de certeza do baricentro (0,840, no exemplo). Para isso, verifica-se para quantos desvios padrões da CNA (0,444) o grau de certeza do baricentro está acima da média (zero), da seguinte forma: *zo = (0,840 – 0)/0,444 = 1,89 c) Como *zo  *z c, conclui-se que o valor Hw é significativamente maior que a média zero, permitindo dizer que a conclusão da análise feita é favorável (o empreendimento é viável) ao nível de significância α = 2λ = 2  5,71% = 11,42% (ver Tabela 7.3).

Observação: Pela Tabela 7.3, notamos que, para testes monocaudais, se o nível de exigência adotado pelo MPD for 0,60, o nível de incerteza do MPD será 8,00% e

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UMA VERSÃO SIMPLIFICADA DO MÉTODO FUZZY DE DECISÃO E SUA COMPARAÇÃO COM O MÉTODO PARACONSISTENTE DE DECISÃO

8.1 VERSÃO SIMPLIFICADA DO MÉTODO FUZZY DE DECISÃO (VSMFD) 8.1.1 Fundamento teórico O inventor da Lógica Fuzzy, em 1965, foi o iraniano radicado nos Estados Unidos, Lotfi Asker Zadeh. Numa linguagem menos rigorosa, pode-se dizer que essa lógica busca uma sistematização do estudo do conhecimento, procurando, principalmente, estudar o conhecimento vago (difuso, nebuloso) (não sabe bem o que significa) e distingui-lo do que é conhecimento impreciso (sabe o que significa, mas não sabe o valor exato).

Seja X um conjunto (no sentido habitual). Diz-se que A é um subconjunto Fuzzy de X, se A é identificado por uma função f(x) que, a cada elemento de X, associa um número do intervalo [0, 1].

Se Y = f(x)  [0, 1], para  x  X, denota-se: x f (x) A ou x Y A. Tem-se: x pertence a A com grau de pertinência f(x) = Y; Y = f(x) é o grau de pertinência de x em A; x Y A significa que x pertence a A com grau de pertinência Y; x 0 A significa que x não pertence absolutamente a A (é o caso em que o grau de pertinência é Y = 0); x 1 A significa que x pertence absolutamente a A (é o caso em que o grau de pertinência é Y = 1); x 0,7 A significa que x pertence a A com grau de pertinência 0,7 (neste caso Y = 0,7).

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Uma Versão Simplificada do Método Fuzzy de Decisão...

Homem “baixo ou alto”

1,2 Grau de pertinência

181

1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 1,4

FIGURA 8.1

1,5

1,6

1,8 1,7 Altura (m)

1,9

2,0

2,1

Representação clássica do conjunto dos homens (X) e seu subconjunto (A) dos homens altos.

Entretanto, para 1,80 m  h  1,90 m, o valor de f(x) vai variar de 0 a 1, por exemplo, da seguinte forma: f(x) = 10hx – 18 (foi colocado por exemplo, porque a função não precisa, necessariamente, ser linear). Portanto, para um homem x de altura hx = 1,84 m, teremos f(x) = 0,4 e poderemos dizer que ele pertence ao subconjunto fuzzy A (dos homens altos) do conjunto X (dos homens), com grau de pertinência 0,4 (x 0,4 A). A Figura 8.2 representa a variação do grau de pertinência.

Homem “alto”

Grau de pertinência

1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

2,1

2,2

Altura (m)

FIGURA 8.2

Representação fuzzy do conjunto dos homens (X) e seu subconjunto (A) dos homens altos.

Sintetizando, neste caso, a função de pertinência é: f(x) = 0, para h < 1,80 m; f(x) = 1, para h ≥ 1,90 m; e f(x) = 10h – 18, para 1,80 m  h  1,90 m.

Por outro lado, pode-se analisar o que vem a ser um homem “baixo”. Como foi visto acima, segundo a lógica clássica, o homem baixo (ou não alto) seria o de

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LEITURA COMPLEMENTAR: Um exemplo do cotidiano

Como se viu no Prefácio, a regra de maximização pode ser aplicada para maximizar os valores dos graus de evidência, favorável e contrária, dentro de cada grupo (operador OR); a de minimização pode ser aplicada entre os grupos para minimizar os valores máximos dos graus de evidência, favorável e contrária, obtidos pela aplicação da primeira dentro de cada grupo (operador AND).

Entretanto, optou-se por outra interpretação possível para essas regras: aplicá-las para fazer a maximização do grau de certeza dentro de cada grupo (operador MÁX) e a minimização do grau de certeza entre os grupos (operador MÍN). Isso é conseguido, primeiro, maximizando os graus de evidência favorável e minimizando os graus de evidência contrária dentro dos grupos e, depois, minimizando os graus de evidência favorável e maximizando os graus de evidência contrária entre os grupos, utilizando-se dos resultados obtidos pela aplicação da primeira. Ou seja, nada mais é do que a regra do mín-máx aplicada ao grau de certeza.

Esta interpretação tem a vantagem de tornar o resultado mais previsível e coerente, mas, por outro lado, tem a desvantagem de não captar com a mesma facilidade as contradições da base de dados.

Para que o leitor faça a comparação entre as duas maneiras de se aplicarem as regras de maximização e de minimização, será analisado com detalhes o exemplo a seguir. Para aqueles que ainda não captaram bem o critério para a formação dos grupos para a aplicação das regras da Lógica Eτ, este exemplo, acredita-se, tornará mais clara a ideia.

Imagine os quatro setores de um time de futebol: A – o goleiro (um jogador com o número 1); B – a defesa (quatro jogadores numerados de 2 a 5); C – o meio de campo (três jogadores numerados de 6 a 8) e D – o ataque (três jogadores numerados de 9 a 11). É o que os futebolistas chamam de esquema 4-3-3.

Cada jogador, cada setor do time ou, também, o time todo pode ser classificado em categorias de acordo com a seguinte escala ordinal decrescente: Ótimo, Bom, Médio, Regular e Fraco. A cada jogador pode ser atribuído um grau de evidência favorável (a) e um grau de evidência contrária (b), que traduzem a expectativa de seu

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