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capa_Alonso_fisica um curso universitario_vol 2.pdf 1 27/01/2016 14:00:09

Alonso & Finn

CAMPOS E ONDAS

Alonso & Finn

CMY

um curso universitário

um curso universitário VOLUME II – CAMPOS E ONDAS 2a edição brasileira

Difração

23.1 Introdução Outro tipo de fenômeno característico do movimento ondulatório é conhecido pelo nome genérico de difração. A difração é observável quando uma onda é deformada por um obstáculo que tem dimensões comparáveis ao comprimento de sua. O obstáculo pode ser um anteparo com uma pequena abertura, ou fenda, que permite a passagem de somente uma pequena fração da frente de onda. O obstáculo pode também ser um pequeno objeto, tal como um fio ou um disco, que bloqueia a passagem de uma pequena parte da frente de onda. Se um feixe de partículas incide sobre um anteparo que possui uma pequena abertura, somente as partículas incidentes na abertura serão transmitidas e poderão continuar seu movimento sem nenhuma perturbação (Fig. 23.1). As outras serão interrompidas pelo anteparo e pararão, ou voltarão, em sentido contrário. Por outro lado, se um objeto for colocado em um feixe de partículas, as partículas incidentes sobre ele serão interrompidas, mas as partículas restantes continuarão seu movimento sem serem perturbadas. Contudo, de nossa experiência diária, sabemos que as ondas, especialmente no caso de ondas de som e ondas superficiais na água, comportam-se de forma diferente, estendendo-se em volta dos obstáculos interpostos em seu caminho, como ilustra a Fig. 23.2. Esse efeito se torna mais e mais evidente à medida que as dimensões das fendas ou o tamanho dos obstáculos aproximam-se do comprimento de onda das ondas. Não se pode, em geral, observar a difração da luz a olho nu, pois a maioria dos objetos interpostos em um feixe de luz é muito maior do que o comprimento de onda das ondas de luz, cuja ordem de grandeza é de 5 × 10 –7 m*.

Figura 23.1 Comportamento de uma corrente de partículas incidindo sobre um anteparo com uma pequena abertura. *

Figura 23.2 Comportamento de uma onda incidindo sobre um anteparo com uma pequena abertura.

Sugerimos que você, antes de continuar, leia novamente a Seç. 20.2.

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Difração

485

Neste capítulo, discutiremos a difração produzida por certas fendas e anteparos de geometria simples, sob duas condições especiais. Na difração de Fraunhofer, supomos que os raios incidentes são paralelos e que observamos a figura de difração a uma distância suficientemente grande, de forma que os raios que chegam ao anteparo são efetivamente paralelos. Isso pode ser realizado usando-se uma lente que focaliza os raios difratados numa mesma direção em uma mesma posição sobre uma tela. Na difração de Fresnel, os raios incidentes originam-se de uma fonte pontual ou os raios difratados são observados em um determinado ponto do espaço, ou ambos. Outro fenômeno intimamente relacionado com a difração é o espalhamento, que existe quando os obstáculos interpostos no caminho das ondas se tornam, eles mesmos, fontes de novas ondas. Já discutimos o espalhamento de ondas eletromagnéticas por elétrons individuais no Cap. 19. Neste capítulo, consideraremos, de maneira breve, o espalhamento sob um ponto de vista mais geral.

23.2 Difração de Fraunhofer por uma fenda retangular Como nosso primeiro exemplo de análise da difração, vamos considerar uma fenda retangular, bastante estreita e comprida, de forma que, a princípio, podemos ignorar os efeitos das extremidades. Também supomos que as ondas incidentes sejam normais ao plano da fenda. Isso simplifica a matemática, sem mudar o problema físico. De acordo com o princípio de Huygens, quando a onda incidente chega à fenda, todos os pontos de seu plano tornam-se fontes de ondas secundárias, emitindo novas ondas, chamadas, em nosso caso, ondas difratadas, cuja amplitude resultante é calculada usando-se a Eq. (20.2). Observando as ondas difratadas em diferentes ângulos q, com respeito à direção de incidência (Fig. 23.3), chegamos à conclusão de que, para certas direções, sua intensidade é nula. Essas direções são dadas pela relação b sen q = nl n ≠ 0,

(23.1)

onde n é um inteiro positivo ou negativo, b é a largura da fenda, e l o comprimento de onda das ondas incidentes. O valor n = 0 está excluído, porque corresponde à observação na direção de incidência, a qual, obviamente, implica um máximo de iluminação. b

B G

q q

(a)

(b)

Figura 23.3 Difração por uma fenda estreita e longa.

Da Eq. (23.1), temos sen q = nl/b,

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(23.2)

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Física – um curso universitário

de forma que a intensidade é nula para sen q = ±l /b, ±2l /b, ±3l /b,... Para justificar a Eq. (23.1), recordemos, da Eq. (22.8), que, quando a diferença de caminho de dois raios é r1 – r 2 = inteiro ímpar × (l /2), temos interferência destrutiva. Da Fig. 23.3, vemos que, para raios que se originam em A e no ponto médio C, temos r1 – r 2 = CF = = (b/2) sen q = n(l /2). Então, para n = 1, 3, 5,..., esses dois raios, assim como todos os outros pares de raios que se originam em pontos separados por b/2, interferem destrutivamente, e nenhuma onda é observada na direção q. Para n par, vamos considerar pontos A e B separados por b/4. Então r1 − r2 = BG = 41 b sen q = ( n / 2)( l / 2) . De forma que, para um inteiro n/2 ímpar, ou n = 2, 6, 10,..., esses dois raios, assim como todos os outros pares de raios que se originam em pontos separados por b/4, interferem destrutivamente e, de novo, nenhuma onda é observada na direção que corresponde ao ângulo q. O procedimento pode ser estendido até que todos os inteiros sejam incluídos. Para q = 0, contudo, não existe nenhuma diferença de fase para raios que se originam de pontos diferentes, e a interferência é construtiva, resultando em um máximo de grande intensidade. Entre cada zero de intensidade, dado pela Eq. (23.1), existe um máximo; porém tais máximos decrescem gradualmente em intensidade, situação essa diferente em relação à interferência. A intensidade das ondas difratadas em função de q é representada na Fig. 23.4. Observe que o máximo central tem o dobro da largura dos outros. A Fig. 23.5 mostra uma figura real de difração por uma fenda retangular. I

–4

–3

–2

–1

b sen q l

Figura 23.4 Distribuição de intensidade da figura de difração de uma fenda estreita e longa.

Figura 23.5 Figura de difração de Fraunhofer produzida por uma fenda estreita e longa.

É fácil, bem como instrutivo, calcular a distribuição de intensidade mostrada na Fig. 23.4. Se dividirmos a fenda em fatias estreitas de largura dx, como é mostrado na Fig. 23.6(a), poderemos considerar cada fatia como uma fonte secundária de ondas de amplitude muito pequena dx0. Quando consideramos os raios emitidos na direção correspondente ao ângulo q (Fig. 23.6b), a diferença de fase entre os raios CC e AA′, tomando este como referência, é

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Difração

2p 2p x sen q CD = , l l

487 (23.3)

e, portanto, aumenta gradualmente com x. Para obter a amplitude na direção correspondente ao ângulo q, devemos fazer um gráfico dos vetores girantes correspondentes às ondas de todas as fatias de A a B. Como todas são de amplitude infinitesimal e como o ângulo de fase d aumenta proporcionalmente com x, os vetores formam um arco de circunferência OP cujo centro é C e cujo raio é r (Fig. 23.7). A amplitude resultante A é a corda OP. O coeficiente angular em qualquer ponto do arco de O a P é exatamente o ângulo d dado pela Eq. (23.3). Em P, que corresponde a x = b, a inclinação da tangente é o ângulo a=

2p b sen q . l

(23.4)

x C

A A

B dx

B D

q E

b C′

A′ (a)

B′ (b)

Figura 23.6

C a

1 a 2

a P

A Q

Figura 23.7

d dx0

Esse é também o ângulo formado pelos dois raios CO e CP. Portanto a amplitude resultante é A = corda OP = 2QP. = 2r sen a /2 = 2r sen (pb sen q /l).

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(23.5)

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Física – um curso universitário

Para observação na direção da normal, todos os vetores dx0 são paralelos, e sua resultante é justamente a soma de seus comprimentos (módulos) o que é igual ao comprimento do arco de O a P. Designando a amplitude resultante para a observação na direção da normal (q = 0) por A0, temos então A0 = arc OP = ra = r (2pb sen q /l).

(23.6)

Dividindo a Eq. (23.5) pela Eq. (23.6), obtemos  sen (p b sen q / l )  A = A0  ,  p b sen q / l 

(23.7)

e, como as intensidades são proporcionais aos quadrados das amplitudes, obtemos 2  sen (p b sen q / l )   sen u  , I = I0  I =  0  u   p b sen q / l  2

(23.8)

onde u = pb sen q /l. Verificamos então que os zeros da intensidade ocorrem quando u = np, ou b sen q = nl, de acordo com a Eq. (23.1), exceto para n = 0, porque então (sen u/u) u = 0 = 1. Para obter a intensidade máxima, determinamos os valores de u que satisfazem dI/du = 0 (veja o Ex. 23.1). Mas, como esses máximos de intensidade correspondem sucessivamente a maiores valores de u, eles se tornam cada vez menores, resultando na figura que foi mostrada (Fig. 23.4). Para l muito pequeno, comparado com b, os primeiros zeros de intensidade de cada lado do máximo central correspondem a um ângulo q ≈ sen q = ±

l , b

(23.9)

obtido fazendo-se n = ± 1 na Eq. (23.1). Isso é mostrado na Fig. 23.8. Um conceito útil é o poder resolutivo de uma fenda, definido pelo físico inglês Lord Rayleigh como o menor ângulo subtendido por duas ondas incidentes vindas de duas fontes pontuais distantes de forma a permitir que suas figuras de difração sejam distinguidas. Quando ondas vindas de duas fontes distantes S1 e S2 passam pela mesma fenda em duas direções, fazendo um ângulo q (Fig. 23.9), as figuras de difração correspondentes aos dois conjuntos de ondas são superpostas. Essas figuras começam a ser distinguidas somente quando o máximo central de uma cai sobre o primeiro mínimo da outra, de um ou de outro lado de seu máximo central, como está indicado no lado direito da Fig. 23.9. Mas, em vista da Eq. (23.9), o ângulo q deve ser, então, q = l /b,

(23.10)

que nos dá o poder resolutivo da fenda, de acordo com a definição de Rayleigh. Supondo que S1 e S2 sejam dois pontos sobre um objeto distante, a Eq. (23.10) dá a separação angular mínima entre elas, a fim de que os dois pontos possam ser reconhecidos como diferentes quando o objeto é observado através da fenda. Por exemplo, se a luz que passa através da fenda formar uma imagem sobre uma tela, e essa imagem for observada num microscópio, não será possível – não importa o aumento transversal do microscópio – observar mais detalhes na imagem do que os permitidos pelo poder resolutivo da fenda. Essas considerações devem ser levadas em conta no desenho de instrumentos ópticos.

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Difração

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Anteparo

Da fonte

q = l/b q = l/b

Figura 23.8 Ângulo subtendido pelo pico central de intensidade da figura de difração de uma fenda única.

Anteparo Figura de difração de S1

Da fonte S2 q=l b

q b Da fonte S1

Figura de difração de S2

Figura 23.9 Regra de Rayleigh para o poder resolutivo de uma fenda.

Se a fenda é retangular com os lados a e b de dimensões comparáveis (Fig. 23.10), a figura de difração é a combinação das duas figuras devidas a cada par de lados. Em vez de uma série de bandas (Fig. 23.5), obtemos uma série de retângulos dispostos de forma entrelaçada, como na fotografia da Fig. 23.11.

Figura 23.10 Fenda retangular.

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Figura 23.11 Figura de difração de Fraunhofer de uma fenda retangular cuja altura é o dobro de sua largura.

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Física – um curso universitário

Em nosso cálculo, não tomamos em consideração o fator de direcionalidade, g = = (1/2)(1 + cos q), que mencionamos na Eq. (20.2), quando discutíamos o princípio de Huygens. Esse fator tende a decrescer ainda mais a amplitude dos máximos de ordem superior.  Exemplo 23.1 Avaliar a amplitude dos máximos sucessivos em uma figura de difração de uma fenda. Solução: Máximos sucessivos ocorrem para o máximo da fração sen u/u, de acordo com a Eq. (23.8). Portanto devemos determinar d  sen u  =0 du  u 

tg u = u.

Essa é uma equação transcendental de um tipo semelhante àquele que apareceu anteriormente no Ex. 22.6. Suas soluções são encontradas fazendo-se um gráfico de y = tg u e y = u e encontrando-se os pontos de interseção das curvas; deixamos isso a seu cargo. Entretanto podemos fazer uma avaliação supondo que o máximo de sen u/u ocorra muito próximo do máximo de sen u, isto é, quando u = n + 12 p. Os valores reais de u são sempre ligeiramente menores do que os avaliados. Desprezando essa pequena diferença, verificamos que os valores de sen u/u para o máximo são 1/ n + 12 p, e as intensidades correspondentes são

(

)

(

( n + 12 ) p 2 2

= 0, 045 I 0 ,

0, 016 I 0 ,

)

0, 008 I 0 .

23.3 Difração de Fraunhofer por uma abertura circular A figura de difração produzida por uma abertura circular exibe muitas das características já vistas no caso de uma fenda retangular. Mas, em vez de uma figura retangular como a que é vista na Fig. 23.11, a figura de difração consiste em um disco brilhante circundado por anéis alternadamente escuros e brilhantes, como mostra a Fig. 23.12. O raio do disco central e anéis sucessivos não seguem uma sequência simples. Vamos omitir a análise matemática do problema, que é muito mais complicada do que no caso de uma fenda retangular, por causa do arranjo geométrico. Supondo que R seja o raio da abertura (Fig. 23.13), o ângulo correspondente ao primeiro anel escuro é dado pela condição 2p R sen q = 3, 8317, l

(23.11)

ou q ≈ sen q = 1, 22

l l = 1, 22 , 2R D

(23.12)

onde D = 2R é o diâmetro da abertura, e q é expresso em radianos. Essa expressão também dá o poder resolutivo para uma abertura circular, definido (novamente, de acordo com Rayleigh) como o menor ângulo entre as direções de incidência de duas ondas planas vindas de duas fontes pontuais distantes que permite serem as suas figuras de difração distinguidas. Isso acontece quando o centro do disco brilhante da figura de difração de uma fonte cai sobre o primeiro disco escuro da figura de difração da segunda (Fig. 23.14).

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Difração

491

A separação angular é dada pela Eq. (23.12), isto é, q = 1,22 l/D. Essa expressão apareceu na Seç. 21.5, quando discutíamos o aumento transversal de um telescópio.

Anteparo D = 2R q

Figura 23.12 Figura de difração de Fraunhofer de uma abertura circular.

Figura 23.13

Anteparo Figura de difração de S1

Da fonte S2 q Da fonte S1

q = 1, 22

l D

Figura de difração de S2 (a)

(b)

Figura 23.14 Regra de Rayleigh para o poder resolutivo de uma abertura circular. A parte (b) mostra a imagem

de duas fontes pontuais distantes, formada por uma lente e no limite de resolução.

Na realidade, uma lente é uma abertura circular e, portanto, a imagem de um ponto. No Cap. 21, o que se supunha ser um ponto é, de fato, uma figura de difração. Contudo o raio de uma lente é, em geral, comparado com o comprimento de onda da luz, tão grande que, para a maioria das finalidades práticas, efeitos de difração podem ser ignorados.  Exemplo 23.2 Uma lente com um diâmetro de 2 cm tem uma distância focal de 40 cm. É iluminada com um feixe paralelo de luz monocromática de comprimento de onda de 5,9 × 10 –7 m. Determinar o raio do disco central da figura de difração observada em um plano no foco. Determinar também o poder resolutivo da lente para esse comprimento de onda. Solução: Quando usamos a Eq. (23.12), o ângulo subtendido pelo disco central na figura de difração é q = 1, 22 ×

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5, 9 × 10 −7 m 4 × 10 −2 m

= 1, 80 × 10 −5 rad = 3, 71′′ .

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Física – um curso universitário

Esse é também o poder resolutivo da lente. O raio do disco central, usando a Eq. (2.4), é r = fq = 40 cm × 1,80 × 10 –5 rad = 7,2 × 10 –4 cm, e, então, para finalidades práticas, podemos dizer que a imagem no plano focal é um ponto.

23.4 Difração de Fraunhofer por duas fendas iguais e paralelas Vamos agora considerar duas fendas, cada uma com largura b, deslocadas de uma distância a (Fig. 23.15). Para uma direção correspondente a um ângulo q, temos agora dois conjuntos de ondas difratadas vindas de cada fenda, e o que se observa é, na realidade, o resultado da interferência dessas ondas. Em outras palavras, temos agora uma combinação de difração e interferência. Para determinar a intensidade das ondas resultantes em função do ângulo q, devemos calcular a amplitude resultante para cada fenda e combinar as duas amplitudes para obter o resultado final. Isso é mostrado na Fig. 23.16, onde os diferentes vetores girantes são representados. O ângulo a tem o valor dado pela Eq. (23.4). O vetor OP nos dá a amplitude resultante A1 da fenda 1. O valor dessa amplitude, dado pela Eq. (23.7), é A1 = A0

sen (p b sen q / l ) p b sen q / l

(23.13)

Fenda 1

Fenda 2

a A

b E

C′

A′ (a)

(b)

Figura 23.15 Vista de frente e seção transversal de duas fendas estreitas paralelas e longas.

Como as duas fendas têm a mesma largura, a amplitude resultante para a fenda 2 tem o mesmo valor, A1, mas sua fase é diferente. Da Fig. 23.15 notamos que, entre raios correspondentes das fendas 1 e 2, tais como AA′ e CC′, existe uma diferença de fase constante dada por b=

2p 2p a sen q CE = . l l

(23.14)

Portanto as amplitudes correspondentes, ou vetores, das duas fendas fazem um ângulo igual a b. Da mesma forma, na Fig. 23.16, a linha OQ = A2 para a fenda 2 é obtida por rotação da linha OP = A1, para a fenda 1, de um ângulo b. Sua amplitude resultante A é então

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Difração

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A12 + A22 + 2 A1 A2 cos b .

R a A Q A2

Fenda 2 A1

b b

Figura 23.16

a P

Fenda 1

Fazendo A1 = A2, podemos escrever, usando a Eq. (M.14), A = A1 2 (1 + cos b ) = 2 A1 cos 12 b. Portanto, usando as Eqs. (23.13) e (23.14), obtemos A = 2 A0

sen (p b sen q / l ) p b sen q / l

cos

p a sen q . l

A distribuição de intensidade, que sabemos ser proporcional ao quadrado da amplitude, é então  sen (p b sen q / l )  2 p a sen q I = I0  .  cos p sen q l / l b   2

(23.15)

Quando comparamos essa equação com a Eq. (23.8) para uma única fenda, verificamos que agora temos o fator adicional cos2 (pa sen q)/l. Mas, se lembrarmos de que a Eq. (22.10) nos dá a distribuição de intensidade para a figura de interferência de duas fontes síncronas, veremos que a Eq. (22.10) e a Eq. (23.15) coincidem no que concerne ao fator de interferência, pois, na Eq. (23.15), a é a separação das duas fendas e, na Eq. (22.10), a é a separação das duas fontes. Portanto a equação que descreve a figura geral de difração para duas fendas é a equação que descreve a figura de interferência de duas fontes síncronas, modulada pela expressão para a figura de difração de uma fenda única. Isso é mostrado na Fig. 23.17 e na fotografia da Fig. 23.18. Observe que o máximo da figura de interferência ocorre para pa sen q /l = np, ou sen q = n(l /a), enquanto os zeros da figura de difração são dados pela Eq. (23.2), ou sen q = n′(l /b). Como a > b, os zeros da figura de difração são mais espaçados do que os máximos da figura de interferência. Portanto, quando existem duas fendas, as franjas brilhantes são muito mais estreitas e menos espaçadas do que as produzidas por uma única fenda.

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Física – um curso universitário Figura de interferência Figura de difração

–2

–7

–1

–6

–5

–4

–3

–2

–1

Figura 23.17 Distribuição de intensidade (ao longo de um plano colocado perpendicularmente à luz incidente) resultante de duas fendas estreitas compridas e paralelas.

Figura 23.18 Figura de difração de Fraunhofer devida a duas fendas estreitas compridas e paralelas.

23.5 Redes de difração Em continuação, o passo lógico é considerar a figura de difração produzida por diversas fendas paralelas, de igual largura b, igualmente espaçadas por uma distância a. Seja N o número de fendas. Da Fig. 23.19, vemos, por semelhança com o problema de fenda dupla, que, na direção correspondente a um ângulo q, devemos observar a interferência devida a N fontes síncronas (uma por fenda) moduladas pela figura de difração de uma fenda. Como a separação entre fontes sucessivas é a, o fator de interferência para a intensidade é o mesmo encontrado na Eq. (22.14), isto é,  sen (N p a sen q / l )    ,  sen (p a sen q / l )  2

enquanto o fator de difração, de acordo com a Eq. (23.8), é  sen (p b sen q / l )    .  p b sen q / l  2

A distribuição de intensidade é, então,  sen (p b sen q / l )   sen ( N p b sen q / l )  I = I0   .    p b sen q / l   sen (p a sen q / l )  2

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(23.16)

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Difração

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b q

(a)

(b)

Figura 23.19 Vista frontal e seção transversal de uma rede de difração.

Se o número de fendas N for grande, a figura consistirá em séries de franjas estreitas e brilhantes, correspondendo ao máximo principal da figura de interferência, as quais, pela Eq. (22.13), são dadas por a sen q = nl ou sen q = n(l/a),

(23.17)

onde n = 0, ±1, ±2,..., mas suas intensidades são moduladas pela figura de difração. A Fig. 23.20 mostra o caso para oito fendas (N = 8). Conforme o valor de n, temos o que se chama de ordem de difração e os máximos principais são chamados de primeiro, segundo, terceiro etc. Interferência Difração

–2

–5

–1

–4

–3

–2

–1

Figura 23.20 Distribuição de intensidade produzida por uma rede de difração num plano normal à luz incidente e paralelo à rede.

Um sistema tal como o que acabamos de discutir é chamado de rede de difração por transmissão. Para a análise do infravermelho próximo, do visível ou da luz ultravioleta, as redes de difração por transmissão consistem de milhares de fendas por centímetro, obtidas gravando-se uma série de linhas paralelas em um filme transparente. As linhas atuam então como os espaços opacos entre as fendas. Uma rede de difração pode também funcionar por reflexão: uma série de linhas paralelas é gravada em uma superfície metálica. As faixas estreitas entre as linhas gravadas refletem a luz, produzindo uma figura de difração (veja o Prob. 23.31). Algumas vezes, a superfície é côncava para melhorar a focalização (veja o Prob. 23.32).

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496

Física – um curso universitário

Quando uma luz de diversos comprimentos de onda incide sobre uma rede, os diferentes comprimentos de onda produzem máximos de difração em ângulos diferentes, exceto para a ordem zero, cujo ângulo é o mesmo para todos. O conjunto dos máximos de uma determinada ordem, para todos os comprimentos de onda, constitui o espectro. Dessa maneira, temos espectros de primeira, segunda, terceira etc. ordens. Observe que para um espectro de determinada ordem quanto maior o comprimento de onda, maior o desvio. Portanto o vermelho é mais desviado do que o violeta, o que é o oposto do que acontece quando a luz é dispersada por um prisma. A dispersão de uma rede é definida por D = dq /dl. A partir da Eq. (23.17), temos cos q dq/dl = n/a, de forma que D=

dq n = , dl a cos q

(23.18)

indicando que, quanto maior a ordem de difração, maior a dispersão. Redes de difração são de grande importância na análise de espectros em amplas regiões do espectro eletromagnético e apresentam diversas vantagens em relação aos prismas. Uma delas é que as redes de difração não dependem das propriedades dispersivas do material, mas somente da geometria da rede. A Fig. 23.21 mostra os elementos básicos de um espectroscópio de rede de difração. Segunda ordem

Primeira ordem Ordem zero

Rede

Primeira ordem Segunda ordem

Telescópio Colimador

Fonte

Figura 23.21 Espectroscópio de rede. A fonte é colocada em frente à fenda do colimador. A rede de difração

é colocada perpendicularmente ao eixo do colimador e os espectros de diferentes ordens são investigados movendo-se o telescópio.

 Exemplo 23.3 Uma rede com 20.000 linhas tem um comprimento de 4 cm. Determinar a separação angular entre os extremos do espectro visível para a primeira e a segunda ordens. Suponha que o comprimento de onda vai de 3,90 × 10 –7 m até 7,70 × 10 –7 m, como foi mencionado na Seç. 19.15. Solução: Temos que a = 4 × 10 –2 m/20.000 = 2 × 10 –6 m. Portanto, usando a Eq. (23.17), temos para n = 1, sen q vermelho = sen q violeta =

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7, 70 × 10 −7

2 × 10 −6 3, 90 × 10 −7 2 × 10 −6

= 0, 335

= 0,195

ou ou

q vermelho = 19 o 34 ′, q violeta = 11o15 ′.

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Difração

497

Portanto o espectro de primeira ordem cobre um ângulo de 8o 19′. Da mesma forma, para um espectro de segunda ordem, o ângulo é 22° 27′, conforme você mesmo poderá calcular. O espectro de terceira ordem será completo?  Exemplo 23.4 Discutir a posição dos máximos quando o ângulo de incidência de ondas planas monocromáticas incidentes sobre uma rede de difração não é zero. Na Fig. 23.22, o ângulo de incidência é i e o ângulo de difração é q. Solução: Os máximos principais são determinados pela figura de interferência e esta, por sua vez, é determinada pela diferença de fase entre raios correspondentes em fendas sucessivas. A Fig. 23.22 mostra que essa diferença de fase é dada por d=

2p a (sen i + sen q ) 2p AB + BC ) = . ( l l

–

+ i

a A B C

Figura 23.22 Rede de difração com incidên-

cia oblíqua.

q +

–

A fim de que essa expressão tenha validade geral, os ângulos i e q devem ter os sinais indicados na figura. A condição de máximo torna-se, então, a(sen i + sen q) = nl ou sen q = nl /a – sen i. Para n = 0, temos sen q = –sen i ou q = –i, o que corresponde à continuação do raio incidente. Se transformarmos a condição de máximo, em um produto, por meio da Eq. (M.7), temos 2a sen 12 ( i + q ) cos 12 ( i − q ) = nl. Portanto o desvio D = i + q para o máximo de ordem n pode ser determinado a partir de sen 12 D =

nl sec 12 ( i − q ) , 2a

e então o desvio é um mínimo quando q = i, e o ângulo de incidência para o menor desvio na ordem n é determinado a partir de sen i = nl/2a.  Exemplo 23.5 Discutir o poder resolutivo de uma rede de difração. Solução: Quando duas ondas planas, de comprimentos de onda ligeiramente diferentes, incidem sobre uma rede de difração, os máximos principais da mesma ordem para cada comprimento de onda podem ficar tão próximos um do outro que se torna impossível

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Física – um curso universitário

distinguir se o feixe original era monocromático ou não. A fim de que os dois comprimentos de onda possam ser distinguidos (ou resolvidos) em uma determinada ordem, é necessário que o máximo principal para um dos comprimentos de onda se forme sobre o primeiro mínimo de um lado ou de outro do máximo principal do outro comprimento de onda. Supondo que ∆l seja a menor diferença em comprimento de onda para a qual a condição apresentada aqui seja satisfeita, o poder resolutivo de uma rede de difração é R = l/∆l Consideremos, como exemplo, um comprimento de onda l tal que a Eq. (23.17) seja válida. O máximo de intensidade corresponde ao ângulo dado por sen q = nl /a. Então cos q ∆q = n∆l/a. Mas os mínimos de cada lado do máximo de ordem n, de acordo com a Eq. (23.16), são dados por N p a sen q = ( Nn ± 1) p l

sen q =

Nn ± 1 l . N a

Chamando de q′ e q″ os dois ângulos dados por essa equação, temos que sen q′ – sen q″ = 2l/Na, ou, usando a Eq. (M.7), sen 12 (q ′ − q ′′ ) cos 12 (q ′ + q ′′ ) = l / Na. Como q′ é quase igual a q″, podemos substituir sen 12 (q ′ − q ′′ ) por 12 (q ′ − q ′′ ) e cos 12 (q ′ − q ′′ ) por cos q e escrever 12 (q ′ − q ′′ ) cos q = ∆q cos q = l /Na. Mas, das equações apresentadas aqui, cos q ∆q = n ∆l /a. Portanto temos, finalmente, l /N = n∆l ou R = l /∆l = Nn Portanto, quanto maior o número de linhas da rede e quanto mais alta a ordem do espectro, tanto menor é ∆l e, por conseguinte, maior o poder resolutivo da rede. Por outro lado, o poder resolutivo é independente do tamanho e do espaçamento das linhas da rede.  Exemplo 23.6 Verificar se a rede do Ex. 23.3 pode resolver as duas linhas amarelas do sódio, cujos comprimentos de onda são 5,890 × 10 –7 m e 5,896 × 10 –7 m. Solução: O comprimento de onda médio das duas linhas é 5,893 × 10 –7 m, e sua separação é de 6 × 10 –10 m. Pelos resultados do Ex. 23.5, temos que o poder resolutivo da rede é R = Nn = 2 × 104 n. Para um dado comprimento de onda, no espectro de primeira ordem, a menor diferença de comprimentos de onda que pode ser observada é ∆l =

l 5, 893 × 10 −7 = = 2, 947 × 10 −11 m, R 2 × 10 4 × 1

o que é um vigésimo da separação entre as duas linhas do sódio. Pode-se, portanto, distinguir com facilidade as duas linhas D do sódio, no espectro de primeira ordem produzido pela rede.

23.6 Difração de Fresnel Como foi explicado na Seç. 23.1, a difração de Fresnel ocorre quando ou a fonte pontual das ondas incidentes, ou o ponto de observação dos quais são vistas, ou ambos, estão a uma distância finita da fenda ou do obstáculo. Os cálculos matemáticos para a difração

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Difração

de Fresnel são muito mais complicados do que os cálculos para a difração de Fraunhofer, mas as ideias físicas permanecem as mesmas. Portanto discutiremos somente os aspectos fundamentais e suporemos que a fonte das ondas está a uma distância tão grande da tela que as ondas incidentes são planas, propagando-se perpendicularmente à tela. Vamos supor que queremos calcular o movimento ondulatório no ponto P a partir do conhecimento do movimento ondulatório em certa frente de ondas planas S (Fig. 23.23). De acordo com o princípio de Huygens-Kirchhoff, formulado na Seç. 20.2, podemos dividir a frente de ondas em elementos de superfície. Por razões de simetria, esses elementos devem ser escolhidos como anéis circulares concêntricos, tendo como centro o ponto Q, o qual é a projeção de P sobre o plano S. Então a contribuição do elemento de área dS para o movimento ondulatório em P, de acordo com a Eq. (20.2), tem amplitude proporcional a dS g (q ) , r

(23.19)

onde dS é a área do anel. A fase inicial em P da onda produzida por dS será d=

2p r l

(23.20)

Adicionando-se os vetores girantes dos anéis sucessivos caracterizados pelas Eqs. (23.19) e (23.20), podemos obter a amplitude resultante em P. Em virtude dos fatores 1/r e g(q), os vetores se tornam cada vez menores em módulo, resultando em uma espiral em vez de um círculo, como mostra a Fig. 23.24. A C

O′ q

CD = x03

⋅ ⋅ ⋅

OO′ = x0

Figura 23.23

AB = x 01 BC = x 02

OA = x00

Figura 23.24

Para simplificar o cálculo, e tendo em vista que l é muito menor do que r0, vamos dividir a superfície em anéis chamados zonas de Fresnel (Fig. 23.25), cujas distâncias de P diferem sucessivamente por l/2, isto é, r1 = r0 + l/2, r2 = r1 + l/2, r3 = r2 + l/2 etc. Este arranjo tem a propriedade de as ondas de zonas sucessivas que chegam a P terem uma diferença de fase de p e interferindo destrutivamente, isto é, d n +1 − d n =

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2p 2p l ( r − r ) = l  2  = p , l n +1 n

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Física – um curso universitário Frente de onda

r4 r1

Figura 23.25 Zonas de Fresnel sucessivas.

r0 P

o que corresponde à interferência destrutiva [lembre-se da Eq. (12.21)]. Se x0n é a amplitude produzida em P pela n-ésima zona, e que é proporcional ao valor dado na Eq. (23.19), a amplitude resultante em P é x0 = x00 – x01 + x02 – x03 + ···,

(23.21)

que também pode ser escrita sob a forma

(

) (

)

x 0 = 12 x 00 + 12 x 00 − x 01 + 12 x 02 + 12 x 02 − x 03 + 12 x 04 +  As amplitudes das zonas adjacentes são quase iguais em magnitude, embora de cresçam quando n aumenta, isto é, x00 > x01 > x02 > ... Dessa forma, podemos escrever, com boa aproximação, que 12 x 00 − x 01 + 12 x 02 ≈ 0 e, em geral, 12 x 0( n −1) − x 0 n + 12 x 0( n +1) ≈ 0 . Portanto a soma na Eq. (23.21) para um plano infinito reduz-se efetivamente a x 0 = 12 x 00 ,

(23.22)

e o movimento ondulatório em P provém da parte da frente de onda diretamente em linha com P, sendo igual a somente metade da primeira zona de Fresnel. Note que cada zona de Fresnel é composta de muitos elementos circulares de superfície, ilustrados na Fig. 23.23. Para entender o problema em termos de um diagrama de vetores amplitude tal como na Fig. 23.24, observe que, para a primeira zona, a distância vai de r0 a r0 + l/2, ou a fase de 2p r0 /l a (2pr0 /l) + p. Isso significa que, quando representamos todos os vetores amplitude para todas as fontes secundárias dentro desta zona, suas diferenças de fase mudam gradualmente de zero a p. Esses vetores constituem o arco de O a A na Fig. 23.24, e a amplitude x00 da primeira zona é o vetor OA. Para a segunda zona, as distâncias vão de r0 + l/2 a r0 + l, ou as fases de 2pr0/l + p a (2pr0/l) + + 2p, resultando novamente em uma diferença de fase de p entre os extremos, de forma que a segunda zona corresponde ao arco que vai de A a B, com sua amplitude x01 igual ao vetor AB. Esse procedimento é repetido até que todas as zonas estejam cobertas. A es-

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Difração

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piral converge para um ponto O′, de forma que a amplitude resultante OO′ é a qual é aproximadamente 12 OA, como na Eq. (23.22). Neste ponto, notemos que, como rn = r0 + 12 nl, o raio da zona n, da Fig. 23.25, é

(

)

Rn2 = rn2 − r02 = r0 + 12 nl − r02 = nlr0 + 41 n 2 l 2 . Se n não for muito grande, o último termo poderá ser desprezado (se l  r0), de forma que R2n = nlr0.

(23.23)

Essa relação mostra também que todas as zonas de Fresnel têm a mesma área, a qual tem o valor plr0. Quando uma frente de onda é bloqueada por uma tela, a situação é completamente diferente da Eq. (23.22), porque então algumas zonas contribuem somente de modo parcial (ou não contribuem em nada) para o movimento ondulatório em P. Suponhamos agora que uma onda incide normalmente sobre um anteparo que tem um orifício circular de raio a. O ponto de observação está sobre uma linha perpendicular ao anteparo e passa pelo centro do orifício, de forma que as zonas de Fresnel são concêntricas com o orifício. Quando o ponto está a uma distância r0 tal que a2 = lr0, somente uma zona passa pelo orifício, produzindo em P uma amplitude x00, a qual é duas vezes o valor obtido na Eq. (23.22) para toda a frente de onda, o que resulta em uma iluminação em P quatro vezes maior do que quando o anteparo não está presente e exposto à frente de onda inteira! Se o orifício é grande, ou o ponto mais próximo, de forma que a2 = 2lr0, as duas primeiras zonas passam pelo orifício, resultando em uma amplitude de x00 – x01, que é praticamente nula e resulta em escurecimento em P! Em geral, enquanto nossa aproximação permanecer válida, teremos brilhância máxima ou escurecimento no centro da figura de difração, dependendo de n ser ímpar ou par, sendo n o número de zonas de Fresnel que caem dentro do orifício em relação ao ponto onde a difração é observada. A situação para valores diferentes de n é mostrada na Fig. 23.26. Uma zona, centro brilhante

Duas zonas, centro escuro

Três zonas, centro brilhante

Quatro zonas, centro escuro

n=1 a2 = lr0

n=2 a2 = 2lr0

n=3 a2 = 3lr0

n=4 a2 = 4lr0

Figura 23.26 Variação nas zonas de Fresnel para um ponto fixo, resultante de uma variação no tamanho da

abertura.

Usando o diagrama da Fig. 23.24, vemos que, quando somente uma zona está exposta, a amplitude resultante é OA = x 00. Quando duas zonas estão expostas, a amplitude resultante é OB = OA + AB = x 00 − x 01. Para três zonas, temos OC = OA + AB + BC = x 00 − x 01 + x 02 ≈ 12 (x 00 + x 02 ) , e assim por diante. Em geral, quando certo número de zonas completas de Fresnel, mais uma fração, estão expostas, pode-se obter a amplitude resultante traçando em um

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Física – um curso universitário

diagrama, como o da Fig. 23.24, o vetor OE que vai de O ao ponto e, que corresponde ao número exato de zonas mais uma fração da última. No caso mostrado na Fig. 23.24, e corresponde a quatro zonas mais uma fração da quinta. Quando o ponto de observação se move para o lado, paralelamente ao anteparo, as zonas de Fresnel se movem com ele, mas não são mais simétricas com respeito ao orifício, conforme mostra a Fig. 23.27. Naquela figura, cada caso corresponde a diferentes posições P, P′, P″, P′″ do ponto de observação, como mostra a Fig. 23.28, com zonas centradas em Q, Q′, Q″, Q′″, respectivamente. O resultado é que as diferentes zonas ativas contribuem diferentemente para o movimento ondulatório resultante, dando origem a uma figura de difração composta de uma série de anéis os quais são concêntricos com P e que se alternam em brilhância, como mostra a Fig. 23.29. A Fig. 23.30 mostra a distribuição de intensidade em função da distância do eixo do orifício para um orifício circular de raio a, compreendendo diversas zonas.

Q′

Q″

Q′″

Figura 23.27 Variação nas zonas de Fresnel resultante do deslocamento de um ponto paralelamente ao plano da abertura, como mostra a Fig. 23.28.

Q′ Q″

Q′″

P′

P″′ P″

Figura 23.28

Figura 23.29 Figura de difração de Fresnel de aberturas circulares de raios diferentes.

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Difração

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Se, em vez de um orifício circular, tivermos um disco circular, a figura de difração será semelhante, exceto que no centro existe sempre brilhância. Isso acontece porque, no centro, a primeira zona de Fresnel não exposta sempre dá uma contribuição positiva, pela mesma razão que o faz no caso de uma frente de onda plana completamente exposta (Fig. 23.31).

Figura 23.30 Distribuição da intensidade na di-

fração de Fresnel por uma abertura circular.

Figura 23.31 Difração de Fresnel por um disco circular suportado por uma haste fina.

Para uma fenda retangular, a situação é muito semelhante à de um orifício circular, exceto que, em vez de anéis, as zonas de Fresnel são faixas paralelas à fenda. À medida que nos afastamos da fenda, a figura de difração muda gradualmente de uma figura de Fresnel para uma figura de Fraunhofer, como indica a Fig. 23.32. Difração de Fresnel

Difração de Fraunhofer

Ondas incidentes

r0 pequeno r0 intermediário

r0 grande

Figura 23.32 Variação na figura de difração com a variação da distância do ponto à abertura.

Em uma borda, a figura de difração tem a distribuição de intensidade indicada na Fig. 23.33, com a intensidade caindo gradualmente até ser nula dentro da sombra geométrica, e flutuando para distâncias correspondentes alguns comprimentos de onda dentro da região geométrica de iluminação.

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Física – um curso universitário

I I0

(a)

1 I 2 0

(b)

Figura 23.33 (a) Distribuição de intensidade para a difração de Fresnel por uma borda reta. (b) Fotografia da difração de Fresnel produzida por uma borda reta.

 Exemplo 23.7 Uma tela com um pequeno orifício de 1 mm de diâmetro é iluminada com luz de comprimento de onda igual a 5,9 × 10 –7 m. Calcular a distância ao longo da perpendicular, entre a tela e o ponto mais distante de escurecimento. Solução: Neste caso, o raio do orifício é a = 0,5 mm = 5 × 10 –4 m e o comprimento de onda é l = 5,9 × 10 –7 m. O ponto de escurecimento mais distante é o ponto para o qual somente duas zonas de Fresnel estão dentro do orifício. Então, de acordo com a Eq. (23.23), com n = 2 e Rn substituído por a, temos a2 = 2lr0 ou r0 = a2 /2l = 0,212 m, o que significa que o ponto escurecido mais distante está cerca de 21,2 cm da tela. Em geral, pontos sucessivos de escurecimento estão a distâncias de a2 /2nl (onde n é um inteiro) da tela.

23.7 Espalhamento Até agora, em nossa discussão de difração, supusemos, implicitamente, que os objetos interpostos no caminho da onda desempenhavam um papel passivo, isto é, admitimos que seus únicos papéis eram interromper uma parte da frente de onda, sem adicionarem por si mesmos nenhuma nova onda. Com tal hipótese, os efeitos de difração observados são devidos, exclusivamente, à distorção do movimento ondulatório incidente. Contudo, em muitos casos, esse não é um quadro realístico. Suponhamos, por exemplo, que uma esfera de material elástico seja suspensa no ar e que uma onda acústica ou de compressão seja produzida nas proximidades. Quando a onda passa ao redor da esfera, sofre, antes de tudo, uma difração do tipo discutido anteriormente. Mas, além disso, em virtude das flutuações de pressão que acompanham a onda, a esfera elástica sofre deformações oscilatórias. As oscilações da superfície da esfera, por sua vez, produzem

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Difração

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novas perturbações ou ondas no ar circundante; essas ondas superpõem-se às ondas iniciais. As novas ondas produzidas pela esfera oscilante são as ondas espalhadas, e o processo é chamado de espalhamento. Da mesma forma, se uma esfera condutora é colocada no caminho de uma onda eletromagnética, os campos elétrico e magnético da onda induzem oscilações nas cargas livres da esfera, e essas cargas oscilantes, de acordo com a teoria desenvolvida no Cap. 19 para a radiação eletromagnética, produzem uma onda eletromagnética nova ou espalhada. No Cap. 19, discutimos o espalhamento por um único elétron, que é um problema puramente dinâmico na ordem de grandeza atômica. O espalhamento que estamos descrevendo aqui tem uma natureza mais macroscópica, pois envolve corpos compostos de muitos átomos ou contendo muitos elétrons. Podemos calcular a magnitude desse espalhamento macroscópico aplicando certas condições de contorno na superfície do corpo, condições essas que determinam a natureza da onda espalhada. Por exemplo, no caso de uma esfera perfeitamente condutora, devemos impor que, na superfície da esfera, a componente tangencial do campo elétrico resultante (isto é, a soma do campo da onda incidente e da onda espalhada) seja nula. Os processos de espalhamento são extremamente importantes em todos os fenômenos ondulatórios. Contudo uma discussão mais completa sobre o espalhamento requer um tratamento matemático que está fora das finalidades deste texto.

23.8 Espalhamento de raios X por cristais Ondas eletromagnéticas com comprimentos de onda menores do que o ultravioleta, tais como raios X e raios g, não são difratadas apreciavelmente por objetos usados para tal fim na região óptica. Contudo, uma rede cristalina, com átomos ou moléculas espaçados regularmente a distâncias da ordem de 10 –10 m, proporciona um meio excelente para a produção de difração de raios X. Este problema é um pouco mais complicado do que os discutidos anteriormente neste capítulo, por duas razões. Em primeiro lugar, como um cristal é um arranjo tridimensional, os centros de difração estão distribuídos no espaço, em vez de estarem em uma só direção, como indica a Fig. 23.34, que é um diagrama de um cristal de NaCl. (As esferas escuras e claras correspondem aos íons de Na+ e Cl–.) E em segundo lugar, sob a ação do campo elétrico de uma onda eletromagnética, os átomos ou moléculas em um cristal tornam-se fontes secundárias de radiação, como foi explicado anteriormente na Seç. 19.9. Portanto, na realidade, temos um efeito que é mais espalhamento do que difração.

Figura 23.34 Representação simplificada de um cristal de cloreto de sódio, mostrando a disposição regular dos átomos formando um retículo cúbico.

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Física – um curso universitário

Quando raios X passam através de um cristal, a intensidade dos raios espalhados ou difratados é o resultado da interferência (ao longo da direção de observação) das ondas emitidas por cada átomo ou molécula. Quando o cristal é composto por mais do que uma classe de átomos, cada espécie de átomo contribui de um modo diferente para o espalhamento dos raios X. Então, para simplificar nosso cálculo, devemos supor que temos somente uma classe de átomos e somente um átomo por célula unitária nos cristais. Os resultados são de validade geral. O cálculo da correção, quando mais de uma classe de átomos está presente, é muito simples e direto, mas não será discutido aqui. Vamos considerar dois átomos A e B, separados pela distância r (Fig. 23.35). Seja ui um vetor unitário ao longo da direção de propagação das ondas incidentes e u s um vetor unitário análogo ao longo da direção das ondas espalhadas. A diferença de caminho para as ondas incidentes e espalhadas para aqueles dois átomos é AD – BC e a diferença de fase é dada por d=

us ui E ui

2p ( AD − BC ) . l

q v

B P2

Figura 23.35 Espalhamento de raios X por dois átomos A e B.

r v A

D P1

Mas AD = us · r e BC = ui · r. Portanto d=

2p 2p (u − u i ) ⋅ r = l v ⋅ r , l s

(23.24)

onde v = us – ui. Designando o ângulo entre us e ui por 2q, vemos, no detalhe da Fig. 23.35, que v = 2 sen q.

(23.25)

A condição para interferência construtiva na direção us é d = 2np ou, tendo em vista a Eq. (23.24), v · r = nl,

(23.26)

onde, como antes, n é um inteiro positivo ou negativo. A Eq. (23.26) representa um plano perpendicular ao vetor v (veja o Ex. 3.11). Portanto, para um dado comprimento de onda l e uma dada direção de incidência, a Eq. (23.26) dá uma série de planos paralelos, um para cada valor de n. A Fig. 23.35 mostra dois desses planos, P1 e P2 . Para todos os átomos localizados sobre esses planos, a condição (23.26) é válida e todos contribuem para um máximo de intensidade na direção us. Na Eq. (23.26), n = 0 corresponde ao plano

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Difração

que passa por A, n = ±1 para o próximo plano mais próximo de cada lado, n = ±2 para o próximo par de planos, e assim por diante. Usando a Eq. (23.25), vemos, da Fig. 23.35, que v · r = vr cos a = 2d sen q, onde d = AE = r cos a é a distância entre os planos P1 e P2 . Então a Eq. (23.26) se torna 2d sen q = nl,

(23.27)

expressão conhecida como equação de Bragg. Os valores de n são limitados pela condição de que sen q deve ser menor do que um. A geometria envolvida nessa equação é mostrada na Fig. 23.36. Para raios como 1 e 2, os quais são espalhados por átomos no mesmo plano, a diferença de fase é nula (n = 0) e interferem construtivamente. Contudo isso acontece para qualquer ângulo de incidência. O fato importante, implícito na condição de Bragg, é que raios, tais como 3, 4, 5,..., vindos de planos sucessivos, interferem construtivamente, dando origem a um máximo muito intenso. Portanto a condição de Bragg expressa um tipo de efeito coletivo, no qual os raios espalhados por todos os átomos em certos planos paralelos interferem construtivamente. Para planos fixos (ou d fixo) e comprimento de onda l, a mudança do ângulo q produz alternadamente posições de intensidade máxima e mínima, correspondendo à interferência construtiva (condição dada pela Eq. 23.27), ou destrutiva. Observe que a Eq. (23.27) pode ser usada para medir a separação d entre os planos, se o comprimento de onda l for conhecido e vice-versa. Um diagrama esquemático do arranjo experimental para a observação do espalhamento de raios X de Bragg, um instrumento chamado espectrômetro de cristal, é mostrado na Fig. 23.37. 2

1 3

4 5

Figura 23.36 Planos paralelos de espalhamento em um cristal.

Tubo de raios X

Detector

2q q

Fenda Cristal

Figura 23.37 Espectrômetro de cristal para difração de raios X. Os raios X produzidos pelo tubo à esquerda e colimados pela fenda no bloco de chumbo são difratados pelo cristal. Os raios X difratados são observados por meio de um detector móvel, geralmente uma câmara de ionização.

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Física – um curso universitário

Para uma dada direção de incidência ui, a Eq. (23.26) define uma série de possíveis famílias de planos paralelos, produzindo um máximo para espalhamento nas direções us características de cada família. A intensidade depende do número de átomos em cada família de planos. Algumas das possíveis famílias de planos são mostradas na Fig. 23.38. Cada plano corresponde a uma densidade diferente de centros de espalhamento e a um espaçamento diferente. Se o anteparo é interposto no caminho dos raios espalhados difratados por um único cristal (veja a Fig. 23.39), aparece uma figura regular, que é característica da estrutura cristalina. É a chamada figura de Laue. Cada ponto cheio na figura corresponde à direção de us relacionada às diferentes famílias de planos ilustradas na Fig. 23.38. A fotografia da Fig. 23.40 mostra uma dessas figuras de Laue. b

c a a

b c

c c

Figura 23.38 Diversos planos de espalhamento possíveis em um cristal.

Se o espalhador, em vez de ser um único cristal, é um pó contendo um grande número de pequenos cristais, todos orientados ao acaso, os vetores correspondentes us são distribuídos sobre superfícies cônicas em relação à direção de incidência (Fig. 23. 41). Sobre um filme fotográfico, cada superfície cônica produz um anel brilhante (Fig. 23.42), resultando nas chamadas figuras de Debye-Scherrer. Analisando filmes como os das Figs. 23.40 e 23.42, pode-se deduzir a estrutura interna do cristal ou, inversamente, pode-se determinar o comprimento de onda dos raios X.

Anteparo

us ui

Raios X espalhados Raio X incidente Monocristal

Figura 23.39 Difração de raios X de Laue por um monocristal.

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Figura 23.40 Figura de difração de Laue para um cris-

tal de quartzo. Tentou-se mascarar o efeito do feixe incidente não desviado.

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Difração

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Cristal em pó f

Figura 23.41 Difração de raios X por um pó.

Figura 23.42 Figura de difração de raios X para alu-

mínio em pó.

É interessante notar que, quando Roentgen observou os raios X pela primeira vez, em fins do século XIX, houve uma grande controvérsia em relação à sua natureza. Seriam ondas ou partículas? Para responder a esta questão, os físicos realizaram experiências de interferência e espalhamento, usando equipamento semelhante ao usado nas experiências com luz. Contudo os resultados ou eram negativos, ou não convenciam. A tendência era desprezar qualquer interpretação ondulatória até que von Laue, Bragg e outros estudaram a passagem de raios X através de cristais, e obtiveram os resultados discutidos aqui, os quais oferecem uma prova conclusiva do caráter ondulatório da radiação X.  Exemplo 23.8 Um feixe de raios X é difratado por um cristal de sal de cozinha (NaCl). O espectro de primeira ordem corresponde a um ângulo de 6o 50′ e a distância entre os planos é 2,81 × 10 –10 m. Determinar o comprimento de onda dos raios X e a posição do espectro de segunda ordem. Solução: Usando a relação de Bragg (23.27) com d = 2,81 × 10 –10 m, q = 6o 50′, e n = 1, achamos que l = 2d sen q = 6,69 × 10 –11 m. Para achar a posição do espectro de segunda ordem, fazemos n = 2. Então sen q = nl/2d = = 0,238 ou q = 13° 46′. Observe que a difração de ordem máxima é limitada pela condição nl/2d < 1, o que, nesse caso, significa que n < 8,4 ou nmax = 8.

REFERÊNCIAS BISER, R. Undergraduate research project: photon diffraction. Am. J. Phys., v. 31, p. 29, 1963. FEYNMAN, R.; LEIGHTON, R.; SANDS, M. The Feynman lectures on Physics. v. I. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1963. HOLTON, G.; ROLLER, D. H. D. Foundations of modern physical science. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1958. HULL, A.; BURDICK, C. Early studies in X-ray crystallography. Physics Today, p. 18, Oct. 1958. MAGIE, W. F. Source book in Physics. Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1963. MONK, G. Light: principles and experiments. New York: Dover, 1963. ROSSI. B. Optics. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1957. SHAMOS, M. (ed.) Great experiments in physics, New York: Holt, Rinehart & Winston, 1959. WOOD, E. Crystals. The Physics Teacher, v. 3, p. 7, 1965. YOUNG, P. A Student experiment in Fresnel diffraction. Am. J. Phys., v. 32, p. 367, 1964.

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PROBLEMAS 23.1 Raios paralelos de luz verde de mercúrio, de comprimento de onda 5,6 × 10 –7 m, passam por uma fenda de 0,4 mm de largura que cobre uma lente cuja distância focal é 40 cm. Qual é a distância entre o máximo central e o primeiro mínimo em um anteparo situado no plano focal da lente? 23.2 A figura de difração de Fraunhofer de uma fenda simples, reproduzida ao dobro de seu tamanho na Fig. 23.5, foi formada sobre um filme fotográfico no plano focal de uma lente com distância focal de 0,60 m. O comprimento de onda da luz usada foi 5,9 × 10 –7 m. Calcule a largura da fenda. [Sugestão: meça (na fotografia) a distância entre mínimos correspondentes à direita e à esquerda do máximo central.] 23.3 Um telescópio é usado para observar duas longínquas fontes pontuais, separadas por uma distância de 0,305 m. A objetiva do telescópio é coberta com um anteparo no qual existe uma fenda cuja largura é de 1 mm. Qual é a distância máxima para a qual as duas fontes poderão ser distinguidas? Suponha l = 5,0 × 10 –7 m. 23.4 A figura de difração de Fraunhofer de uma fenda simples é observada no plano focal de uma lente com 1 m de distância focal. A largura da fenda é 0,4 mm. A luz incidente contém dois comprimentos de onda, l1 e l2. O quarto mínimo correspondente a l1 e o quinto mínimo correspondente a l2 ocorrem no mesmo ponto, a 5 mm do máximo central. Calcule l1 e l2. 23.5 Uma onda monocromática plana de comprimento de onda l incide, com um ângulo de 30°, sobre um anteparo opaco, plano, que possui uma fenda comprida de largura a (Fig. 23.43). Atrás do anteparo existe uma lente convergente cujo eixo principal é perpendicular ao plano da tela. Descreva a figura de difração observada no plano focal dessa lente.

30o

Figura 23.43

23.6 Discuta a distribuição de intensidade da difração de Fraunhofer por três fendas idênticas igualmente espaçadas. Suponha incidência normal sobre as fendas. 23.7 Uma onda monocromática plana, cujo comprimento de onda é 6,0 × 10 –7 m, incide perpendicularmente sobre um anteparo opaco que tem uma abertura retangular de 0,5 mm × 1,0 mm. (a) Descreva a figura de difração observada no plano focal de uma lente convergente, de distância focal de 2 m, colocada logo atrás da abertura. (b) Calcule os lados do retângulo formado pelas linhas escuras nas imediações do máximo central. 23.8 Em uma figura de difração de uma fenda dupla, o terceiro máximo principal está faltando pois esse máximo de interferência coincide com o primeiro mínimo de difração. (a) Determine a razão a/b. (b) Faça um gráfico da distribuição de intensidade para vários máximos de cada lado do máximo central. (c) Faça um esboço ligeiro das franjas como apareceriam no anteparo.

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Difração

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23.9 Calcule o raio do disco central da figura de difração de Fraunhofer da imagem de uma estrela formada por (a) uma lente de câmara fotográfica de 2,5 cm de diâmetro e distância focal de 7,5 cm, (b) uma objetiva de telescópio de 15 cm de diâmetro, com uma distância focal de 1,5 m. Considere o comprimento de onda da luz como sendo 5,6 × 10 –7 m. 23.10 Um anteparo possui dois orifícios de pequeno diâmetro situados a uma distância de 1,5 mm um do outro. Atrás do anteparo, é colocada uma fonte intensa de luz e os dois orifícios são observados por meio de uma lente coberta por um anteparo que tem uma abertura circular de 4 mm. Qual é a distância máxima para a qual se pode observar os orifícios distintamente, isto é, resolvidos? Suponha que o comprimento de onda seja de 5,5 × 10 –7 m. 23.11 A difração de Fraunhofer de uma fenda dupla é observada no plano focal de uma lente de distância focal de 50 cm. A luz monocromática incidente tem um comprimento de onda de 5,0 × 10 –7 m. Sabe-se que a distância entre os dois mínimos adjacentes ao máximo de ordem zero é 0,5 cm e que o máximo da quarta ordem está faltando. Calcule a largura das fendas e a distância entre seus centros. 23.12 Os faróis de um automóvel aproximando-se estão separados por uma distância de 1,30 m. Avalie a distância para a qual os dois faróis podem ser resolvidos a olho nu, considerando que a resolução do olho é determinada somente pela difração. Tome um comprimento de onda médio de 5,5 × 10 –7 m e suponha que o diâmetro da pupila do olho seja de 5 mm. Compare com o resultado obtido para o poder resolutivo do olho dado na Seç. 21.5. 23.13 Na Fig. 23.44, duas fontes pontuais de luz, S1 e S2, a uma distância de 50 m da lente L e separadas por uma distância de 6 mm, produzem imagens resolvidas de acordo com o critério de Rayleigh. A distância focal da lente é de 20 cm. Qual é o diâmetro do primeiro círculo de difração?

X L

Figura 23.44

S1 S2

23.14 Duas estrelas igualmente brilhantes subtendem um ângulo de um segundo. Supondo um comprimento de onda de 5,5 × 10 –7 m: (a) Qual é o menor diâmetro da objetiva de um telescópio que permitirá resolver essas duas estrelas? (b) Qual deve ser o aumento do telescópio? (c) Calcule a distância focal da ocular a ser usada, se a distância focal da objetiva é de 1,80 m. 23.15 Pode-se mostrar que, no caso da difração de Fraunhofer, a amplitude das ondas difratadas por uma abertura circular de raio R é proporcional à função de Bessel J1(x) (veja, por exemplo, Chemical Rubber Company’s Standard Mathematical Tables, vigésima edição, p. 317), onde para incidência normal x = (2pR/l) sen q, e q é o ângulo que os raios difratados fazem com o eixo da abertura (Fig. 23.45). (a) Mostre que as direções para as quais as ondas difratadas têm amplitude nula correspondem às raízes da equação J1(x) = 0. (b) Olhando uma tabela de raízes de J1(x) = 0 (ibidem, p. 318), obtenha os valores de sen q para as primeiras três direções de amplitude nula, verificando a Eq. (23.11).

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(c) Supondo os raios difratados focalizados por uma lente convergente de distância focal f sobre um anteparo situado no plano focal da lente, expresse os raios dos primeiros três anéis escuros formados. (Note que, neste problema, sen q pode ser substituído por q.) (d) Obtenha os valores de q e os raios dos anéis, dados R = 0,1 min, l = 5,9 × 10 –7 m, e f = 20 cm.

Figura 23.45

23.16 Luz monocromática de comprimento de onda 6,0 × 10 –7 m, originária de uma fonte pontual distante, atravessa um orifício circular. A figura de difração de Fresnel é observada sobre um anteparo a 1 m do orifício. Determine o diâmetro do orifício circular se ele expõe (a) somente a zona central de Fresnel, (b) as primeiras quatro zonas de Fresnel. 23.17 Um ponto é colocado a 1 cm de um orifício circular iluminado por luz de comprimento de onda de 5,0 × 10 –7 m. Sendo que o orifício corresponde a dez zonas de Fresnel, determine seu raio. 23.18 Uma luz com 5,0 × 10 –7 m de comprimento de onda incide sobre uma abertura circular de 0,1 mm de raio. A que distância da abertura deve um ponto ser localizado de forma que a abertura corresponda a (a) três zonas de Fresnel, (b) quatro zonas de Fresnel? Avalie, em cada caso, se haverá iluminação ou escurecimento naquele ponto. 23.19 Uma onda plana de luz monocromática, de comprimento de onda l = 5,0 × 10 –7 m, incide perpendicularmente sobre um anteparo opaco que tem uma abertura da forma mostrada na Fig. 23.46. O raio do círculo interno é 1 mm e o do círculo externo é de 1,41 mm. (a) Calcule a amplitude e a intensidade da perturbação óptica no ponto P sobre o eixo dos círculos, a 2 m do anteparo, em relação aos valores que se obteriam na ausência do anteparo. (b) Determine a fase dessa perturbação em relação à perturbação que se obteria caso se observasse P sem o anteparo.

Figura 23.46 1 mm 1,41 mm

23.20 Ondas paralelas de luz, com 5,6 × 10 –7 m de comprimento de onda passam por uma abertura circular de 2,60 mm de diâmetro. A figura de difração de Fresnel é observada sobre um anteparo a 1 m da abertura. (a) O centro da figura de difração aparecerá claro

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Difração

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ou escuro? (b) Qual o menor deslocamento que se deve dar ao anteparo a fim de inverter a condição encontrada para (a)? 23.21 Uma onda plana de luz monocromática de comprimento de onda l = 5,0 × 10 –7 m incide perpendicularmente sobre um anteparo que tem uma abertura circular de 0,4 cm de diâmetro. (a) Determine as posições dos pontos de intensidade mínima e máxima ao longo do eixo do anteparo. (b) A que distância do anteparo vai ocorrer o último mínimo? 23.22 Um anteparo, com uma abertura circular cujo raio é 0,4 cm, é iluminado com ondas planas de luz incidindo perpendicularmente. Suponha que a luz incidente seja uma mistura de dois feixes de luz monocromática com comprimentos de onda de l1 = 6,0 × 10 –7 m e l2 = 4,0 × 10 –7 m, respectivamente. Determine os pontos sobre a linha perpendicular à abertura e passando pelo seu centro, onde somente um dos comprimentos de onda é observado. 23.23 Ondas planas monocromáticas, com 6,0 × 10 –7 m de comprimento de onda, incidem normalmente sobre uma rede de difração por transmissão que possui 500 linhas por mm. Determine os ângulos de desvio para o espectro de primeira, segunda e terceira ordem. 23.24 Uma rede de transmissão é riscada com 4.000 linhas por cm. Calcule a separação angular em graus, no espectro de segunda ordem, entre as linhas a e b do hidrogênio atômico, cujos comprimentos de onda são, respectivamente, 6,56 × 10 –7 m e 4,10 × 10 –7 m. Suponha incidência normal. 23.25 (a) Qual é o comprimento de onda de uma luz cujo desvio é de 20° no espectro de primeira ordem em uma rede de difração por transmissão que possui 6.000 linhas por cm? (b) Qual é o desvio desse comprimento de onda na segunda ordem? Suponha incidência normal. 23.26 Qual é o comprimento de onda mais longo que pode ser observado na quarta ordem para uma rede de transmissão que possui 5.000 linhas por cm? Considere incidência normal. 23.27 Considere os limites do espectro visível nos comprimentos de onda de 4 × 10 –7 m e 7 × 10 –7 m, e determine os ângulos subtendidos pelos espectros de primeira e segunda ordem produzidos por uma rede plana que possui 6.000 linhas por cm. Suponha incidência normal. 23.28 Mostre que, em uma rede que tem um grande número de linhas, a intensidade do primeiro máximo secundário de cada lado do primeiro máximo principal é igual a cerca de 4% da intensidade do máximo principal. 23.29 Uma rede de transmissão de 4 cm de largura tem 4.000 linhas por cm. Calcule o poder resolutivo da rede para um comprimento de onda de 5,9 × 10 –7 m no espectro de primeira ordem. Seria essa rede capaz de separar as duas linhas de comprimentos 5,890 × × 10 –7 m e 5,896 × 10 –7 m que constituem o dubleto amarelo do sódio? Calcule também o menor desvio e a dispersão correspondente para o comprimento de onda considerado. 23.30 Mostre que, qualquer que seja o espaçamento da rede, o violeta do espectro de terceira ordem sobrepõe-se ao vermelho do espectro de segunda ordem. Considere incidência normal.

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23.31 Uma rede de reflexão é feita riscando-se, com uma ponta de diamante, linhas muito finas sobre uma superfície metálica polida (Fig. 23.47). Os espaços polidos situados entre linhas adjacentes são equivalentes às fendas na rede de transmissão. Mostre que os máximos principais são obtidos usando-se a condição a (sen i – sen q) = nl, onde a é a separação entre linhas consecutivas. 23.32 Para assegurar uma focalização conveniente por uma rede de difração, o físico norte-americano H. A. Rowland construiu uma rede côncava de grande raio. Suponha que C, na Fig. 23.48, seja o centro de curvatura da rede e que o círculo tracejado tenha um diâmetro igual ao raio da rede. Mostre que, para qualquer fonte S colocada sobre o círculo, (a) todos os raios incidem sobre a rede com o mesmo ângulo de incidência, (b) todos os raios difratados pela rede, segundo um mesmo ângulo, convergem para o mesmo ponto O sobre a circunferência tracejada. Então, se uma chapa fotográfica for colocada em O, tangente ao círculo, o espectro de difração correspondente àquele ângulo de difração pode ser detectado. Esse arranjo é chamado montagem de Rowland e é muito usado nos laboratórios de física para pesquisa em espectroscopia. [Sugestão: observe que a normal à rede no ponto de incidência de um raio passa por C e que a superfície da rede se afasta muito pouco do círculo tracejado.]

O Luz incidente

i i

Q P

Luz difratada

Figura 23.47

Figura 23.48

23.33 O espaçamento entre os planos principais em um cristal de NaCl é 2,82 × 10 –10 m. Verifica-se que uma reflexão de Bragg de primeira ordem de um feixe de raios X monocromáticos ocorre a um ângulo de 10°. (a) Calcule o comprimento de onda dos raios X. (b) Qual o ângulo correspondente no espectro de segunda ordem? 23.34 Iodeto de potássio, KI, é um cristal cúbico que tem uma densidade de 3,13 g · cm–3. Determine a menor distância interplanar, isto é, o comprimento de uma célula unitária. Determine os ângulos correspondentes às duas primeiras reflexões de Bragg para raios X de comprimento de onda de 3,0 × 10 –10 m. 23.35 Um tubo de raios X acelera elétrons por meio de uma diferença de potencial de 105 V. Os raios X produzidos são examinados por meio do cristal descrito no Prob. 23.33. Determine o ângulo para o espectro de primeira ordem correspondente ao comprimento de onda mais curto produzido pelo tubo. 23.36 Um feixe de raios X com 5 × 10 –11 m de comprimento de onda, incide sobre um pó composto de cristais microscópicos de KCl orientados ao acaso. O espaçamento do retículo no cristal é de 3,14 × 10 –10 m. Um filme fotográfico é colocado a 0,1 m do alvo de pó.

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Difração

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(a) Determine os raios dos círculos correspondentes aos espectros de primeira e segunda ordem, provenientes de planos que têm o mesmo espaçamento que o retículo. (b) Determine os raios dos círculos resultantes de planos que fazem um ângulo de 45° com os referidos no item (a). 23.37 Uma rede cristalina pode ser caracterizada por três vetores fundamentais, a1, a2, a3, de forma que a estrutura do cristal é periódica para deslocamentos que são combinações lineares de múltiplos inteiros dos três vetores (Fig. 23.49). (a) Mostre que os vetores posição relativos a dois pontos que ocupam posições semelhantes em duas células diferentes são dados por r = g1a1 + g 2 a2 + g 3 a3, onde g l, g 2 e g 3 são inteiros positivos ou negativos. (b) Mostre que os átomos que participam do espectro de difração de ordem n são dados pelos inteiros que satisfazem a equação v · (g1a1 + g 2 a2 + g 3 a3) = nl onde v é definido como na Eq. (23.24). (c) Mostre que a intensidade da radiação espalhada na direção associada com v é proporcional a (A1 A2 A3) 2, onde Ai = sen (Ni pv · ai /l)/sen pv · ai /l, onde Ni é o número de células do cristal na direção de ai. (d) A partir do resultado deduzido em (c), mostre que o máximo principal ocorre em uma direção que satisfaz as relações v · a1 = n1l, v · a2 = n2l, v· a3 = n3l, onde n1, n2 e n3 são inteiros. São as chamadas equações de Laue. (e) Usando os vetores recíprocos a1, a2, a3 (veja o Prob. 3.29), mostre que us = ui + (n1a1 + n2 a2 + n3 a3)l. Essa equação determina a posição dos pontos brilhantes em uma figura de Laue, como mostra a Fig. 23.40.

Figura 23.49 a3

a2 a1

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Fenômenos de transporte

24.1 Introdução Nos Caps. 18 a 23, discutimos certo número de fenômenos importantes que podem ser classificados, de maneira geral, com o título de movimento ondulatório. Embora tais ondas correspondam a um largo espectro de fenômenos físicos, desde ondas elásticas em um meio material até ondas eletromagnéticas no vácuo, todas têm uma característica comum, ou seja, os campos a elas associados satisfazem a equação de onda (18.11), ∂ 2x

∂ 2x

∂t

∂x 2

= v2 2

(24.1)

Esse fato torna possível uma descrição comum para muitas de suas propriedades, independentemente de sua natureza física específica. Uma dessas propriedades é a propagação da perturbação física sem distorção, pois, em todos os casos, a forma da onda permanece a mesma e pode ser expressa, particularmente para uma onda em um meio não dispersivo, por f(x ± vt). Uma equação como a Eq. (24.1) descreve a distribuição no espaço e a evolução com o tempo de um campo x. Mas existem ainda outros campos que podem ser descritos por equações diferentes e que têm dependências diferentes em relação ao espaço e ao tempo. A propagação desses campos pode ser acompanhada de distorção ou atenuação e não pode ser expressa por uma função da forma f(x ± vt). Em alguns casos, ainda se pode falar de velocidade de propagação. Consideraremos aqui somente um tipo especial desses outros campos, os quais correspondem a um grupo de problemas físicos importantes com certas características comuns, sob o título geral de fenômenos de transporte. Fenômenos de transporte são os processos em que existe uma transferência (ou transporte) de matéria, de energia ou de quantidade de movimento, em quantidades macroscópicas. As características comuns desses fenômenos podem ser descritas por técnicas semelhantes e são caracterizadas por uma equação de propagação de primeira ordem em relação ao tempo, que (nos casos mais simples) é da forma ∂x ∂ 2x = a2 2 , ∂t ∂x

(24.2)

onde a é uma constante característica de cada situação e x é o campo correspondente ao fenômeno de transporte considerado. Deve-se notar que muitos fenômenos de transporte obedecem a equações mais complicadas do que a Eq. (24.2), que deve ser considerada somente como uma primeira (porém satisfatória) aproximação. Neste capítulo, vamos discutir brevemente três espécies de problemas de transporte: (a) difusão molecular e de nêutrons, (b) condução térmica e (c) viscosidade.

24.2 Difusão molecular; lei de Fick Sabemos que, quando abrimos um vidro de perfume, ou de qualquer outro líquido que tenha um odor característico, tal como amônia, podemos sentir seu cheiro muito rapidamente

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Fenômenos de transporte

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em lugares afastados em uma sala fechada. Podemos dizer que as moléculas do líquido, depois da evaporação, difundem-se pelo ar, espalhando-se através do espaço circundante. O mesmo acontece se colocamos um cubo de açúcar em um copo de água. O açúcar se dissolve gradualmente, mas, ao mesmo tempo, as moléculas de açúcar dissolvidas difundem-se através da água e, finalmente, distribuem-se por toda a água. Como ilustração final do fenômeno da difusão, consideremos um vaso, separado em duas partes por uma parede e contendo gases, como mostra a Fig. 24.1. Se removermos a parede, verificaremos que os dois gases se difundem um dentro do outro até que, depois de certo tempo, constatamos que temos uma mistura homogênea. Gás 1

Parede

(a)

Gás 2

(b)

(c)

Figura 24.1 Difusão gasosa. (a) Os dois gases são mantidos separados pela parede. (b) Logo após a remoção

da parede, algumas moléculas de cada gás são encontradas na região do outro. (c) Depois de certo tempo, a mistura dos dois gases é homogênea e não mais ocorre difusão.

Esses e muitos outros exemplos familiares ilustram uma característica fundamental do processo de difusão: para haver difusão, a distribuição espacial das moléculas da substância deve ser não homogênea.

Vamos chamar de n o número de moléculas da substância que se difunde, por unidade de volume (que chamaremos de concentração da substância). De acordo com o que dissemos aqui, esse número deve variar de lugar para lugar a fim de que haja difusão. Uma segunda característica é que a difusão se dá na direção em que a concentração decresce.

e, portanto, tende a igualar, em todo o espaço, a distribuição molecular da substância que se difunde. Portanto, existe uma tendência bem definida para a ocorrência da difusão. Essa tendência, contudo, deve ser considerada de uma maneira estatística ou macroscópica, em virtude das flutuações locais que podem ocorrer, pois, para pequenos intervalos de tempo, poderá haver inversão do fluxo molecular em certos pontos. A difusão é, em geral, o resultado do fato de a agitação molecular produzir colisões frequentes entre as moléculas que, como consequência, são espalhadas. Vamos supor que tenhamos um gás ocupando uma região dividida em duas seções por uma separação (Fig. 24.2), de forma que sua densidade seja diferente de cada lado, mas a temperatura e, portanto, também as velocidades moleculares, são as mesmas em ambos os lados. Se removermos a separação, teremos duas correntes de moléculas na interface, indicadas pelas setas horizontais, resultantes de colisões e espalhamentos que ocorrem em ambos os lados. Mas a corrente da esquerda para a direita é a maior, pois a frequência das colisões é maior do lado esquerdo, onde a concentração é maior. Portanto existe uma corrente

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resultante para a direita, resultando em uma difusão da esquerda para a direita, ou da região de maior concentração para a de menor concentração. P

Figura 24.2 A corrente de difusão é diferente nas duas direções.

Concentração maior

Concentração menor

No que se segue, consideraremos somente a difusão de uma substância em si mesma ou através de outro meio (gás, líquido, ou sólido) que seja homogêneo e cujas moléculas são essencialmente fixas. Não discutiremos o caso de duas substâncias que se difundem uma na outra, pois isso implica um tratamento ligeiramente diferente. Ignoraremos, também, os efeitos das forças intermoleculares. Suponhamos que a concentração da substância varie em certa direção, que será designada como o eixo X (Fig. 24.3), mas que, por outro lado, a concentração é a mesma em todos os planos perpendiculares àquela direção. Então, o número de átomos ou moléculas por unidade de volume (ou a concentração) é uma função da coordenada x somente, isto é, n(x) é expressa em m–3. A difusão ocorre então na direção do eixo X. Vamos chamar de j a densidade de corrente de partículas, isto é, o número líquido de partículas que cruzam, por unidade de tempo, uma área unitária perpendicular à direção de difusão. Essa densidade de corrente de partículas é expressa em m–2 · s–1. Quando a substância é homogênea (isto é, quando n é constante), a densidade de corrente j é nula porque o mesmo número de partículas passa tanto em uma direção como na outra, não resultando nenhum transporte de massa. Mas, quando a substância não é homogênea e n varia de ponto para ponto, aparece uma corrente resultante, ou transporte de massa. A intuição física, confirmada pela experiência, sugere que a densidade de corrente será maior quanto maior for a variação da concentração n(x) por unidade de comprimento, ou seja, quanto maior o gradiente de concentração (isto é, quanto maior ∂n/∂x). Verifica-se, experimentalmente, que existe também uma relação de proporcionalidade entre a densidade de corrente j e a variação na concentração por unidade de comprimento, ∂n/∂x, isto é, j = −D

∂n , ∂x

(24.3)

onde a constante de proporcionalidade D é um coeficiente que depende da substância e é chamado de coeficiente de difusão. O sinal menos indica que o fluxo resultante é na direção em que n decresce. Muitos processos de difusão satisfazem bastante bem a relação (24.3), exceto quando a concentração n é extremamente baixa, muito alta, ou varia abruptamente em pequenas distâncias, de forma que um raciocínio puramente estatístico não é mais aplicável. A Eq. (24.3), que é chamada lei de Fick, foi sugerida em 1855 pelo fisiologista alemão Adolf

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Fenômenos de transporte

Fick (1829-1901). O coeficiente de difusão D está relacionado com o estado das moléculas da substância que se difunde (como mostraremos, para gases, na Seç. 24.7) e é expresso em m 2 · s–1, de forma que as unidades, na Eq. (24.3), são consistentes. Suporemos D independente da concentração, aproximação essa válida para uma grande variedade de condições. A lei de Fick estabelece uma relação entre a densidade de corrente e a variação por unidade de comprimento (ou gradiente) da concentração da substância. Y Y

S=1 O

O X

Direção de difusão Z

Direção em que a concentração decresce

Figura 24.3

j′

Figura 24.4 Difusão através de um elemento de volume.

Combinando-se a lei de Fick com o princípio da conservação das moléculas (isto é, que o número de moléculas deve permanecer constante), obtemos uma relação em que somente aparece a concentração. Para nossa finalidade, vamos considerar um elemento de volume orientado paralelamente à direção de difusão, como mostra a Fig. 24.4, com um comprimento dx e uma seção de área S. Seu volume é dV= área da seção × comprimento = S dx. O número de partículas dentro do volume em um dado instante é ndV= nSdx. O fluxo que entra (isto é, o número de partículas que penetra no elemento de volume pela face esquerda por unidade de tempo) é jS, e o fluxo que sai pelo lado direito é j′S. A lei da conservação do número de moléculas impõe que a taxa de acumulação seja igual à diferença entre o fluxo que entra e o que sai, isto é, taxa de acumulação = fluxo que entra – fluxo que sai. Portanto temos taxa de acumulação = jS − j ′S = − ( j ′ − j ) S = − (dj ) S = −

∂j S dx, ∂x

onde dj = j′ – j é a diferença entre as densidades de corrente em uma e outra extremidades. Mas a taxa de acumulação é igual ao aumento por unidade de tempo do número de partículas por unidade de volume (∂n/∂t), multiplicado pelo volume (S dx), isto é, taxa de acumulação =

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∂n S dx. ∂x

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Física – um curso universitário

Igualando os dois resultados para a taxa de acumulação e cancelando o fator comum S dx, temos ∂n ∂j =− . ∂t ∂x Usando a lei de Fick, isto é, j = –D (∂n/∂x), para eliminar j, temos ∂n ∂2n =D 2. ∂t ∂x

(24.4)

Essa é a equação da difusão, do tipo já indicado pela Eq. (24.2). Algumas vezes, essa equação, também chamada segunda lei de Fick, expressa a conservação do número de partículas. Essa equação contém a segunda derivada com respeito ao espaço, como acontece com a equação de onda, mas contém somente a primeira derivada com respeito ao tempo. Esse fato reflete uma importante diferença dos processos de difusão, tanto no aspecto físico como no matemático, quando comparados com a propagação ondulatória a qual obedece à Eq. (18.11). Vamos considerar um caso especial: o estado estacionário, isto é, um estado em que a concentração permanece constante com o tempo. Então ∂n/∂t = 0, e, como D é diferente de zero, a Eq. (24.4) fica ∂2 n/∂x2 = 0

(24.5)

∂n/∂x = const.

(24.6)

Integrando, temos Mas, quando ∂n/∂x = const. a Eq. (24.3) nos dá j = const. Portanto, em condições estacionárias, a densidade de corrente é a mesma através de qualquer seção, o que é óbvio fisicamente. Uma densidade de corrente constante significa que através de qualquer elemento de volume, tal como o que é visto na Fig. 24.4, o número de partículas difundidas que entram por unidade de tempo através de uma extremidade é o mesmo que o número de partículas que saem por unidade de tempo pela outra extremidade, isto é, não há acumulação ou variação na concentração em qualquer ponto do meio, fato que está de acordo com o conceito de condições estacionárias ou invariáveis. Da Eq. (24.3), temos que ∂n/∂x = –j/D Integrando essa expressão, temos

∫

n n0

dn =

∫ − D dx, 0

onde n0 é a concentração de partículas para x = 0. Então, como aqui j/D é constante, temos n=−

j x + n0 D

(24.7)

resultado que indica que a concentração de partículas decresce linearmente com a distância ao longo da direção de difusão, como mostra a Fig. 24.5. A Eq. (24.7) pode também ser escrita sob a forma j=D

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n0 − n . x

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Fenômenos de transporte

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Essa expressão equivale à lei de Fick, dada pela Eq. (24.3), mas é válida somente para corrente constante. Por outro lado, a equação acima dá a corrente média entre dois pontos separados por uma distância x. Observe que, sob condições estacionárias, é necessário introduzir partículas a uma taxa constante em um lado e retirá-las à mesma taxa do outro lado. Isso significa que, quando a concentração é mantida constante em ambos os lados do tubo de comprimento L, mostrado na Fig. 24.5, o mesmo número de partículas que entra por unidade de tempo em x = 0 deve ser retirado por unidade de tempo em x = L. Se a concentração para x = L é n1, então a equação anterior nos dá j=D

n0 − n1 . L

(24.8)

Vamos supor, por exemplo, que temos um tubo vertical aberto em ambas as extremidades. Uma extremidade do tubo está imersa em um líquido, que evapora, de forma que as moléculas do líquido difundem-se através do ar no tubo (Fig. 24.6). Uma corrente de ar do outro lado remove as moléculas que ali chegam, resultando em uma condição estacionária: o número de moléculas que entra no fundo, por causa da evaporação, é igual ao número de moléculas removido em cima pela corrente de ar. Na realidade, esse é um método para a medida do coeficiente de difusão D. Podemos determinar o valor de j medindo a quantidade de líquido que se evapora em um dado intervalo de tempo. Podemos determinar experimentalmente a concentração n0 no fundo e n1 em cima. Em seguida, aplicamos a Eq. (24.8) para calcular D. n

Corrente de ar

n0 Ventilador

n1 Tubo

x j

Figura 24.5 Variação na concentração devida a uma difusão estacionária ao longo de um tubo.

Figura 24.6 Difusão de vapor d’água ao longo de uma coluna.

A situação, que acabamos de considerar implica admitir que o estado estacionário já tenha sido alcançado. Outro problema importante é determinar como esse estado estacionário é alcançado. Vamos considerar novamente o tubo mostrado na Fig. 24.5. Supomos que, inicialmente, não existam moléculas de gás difundindo-se no tubo. Em um dado instante, t = 0, uma extremidade está conectada à fonte do gás a uma concentração constante n0 ; as moléculas são retiradas a certa taxa do outro lado. Se medirmos a concentração das moléculas ao longo do tubo em tempos diferentes depois de fazer a conexão, obtemos as várias curvas mostradas na Fig. 24.7. Somente depois de um longo tempo a condição estacionária é alcançada, quando as moléculas são retiradas em x = L à mesma

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Física – um curso universitário

taxa com que são introduzidas em x = 0, então a concentração ao longo do tubo é dada pela Eq. (24.7). Se a outra extremidade do tubo for fechada, a variação na concentração será a indicada na Fig. 24.8, com o estado estacionário correspondendo a uma concentração uniforme ao longo de todo o tubo. Todos esses resultados podem ser deduzidos resolvendo-se a equação dependente do tempo, Eq. (24.4). A discussão matemática é mais difícil do que a do estado estacionário e, por isso, não a faremos aqui. n

n n0

t muito grande

n0 t muito grande n1

t muito pequeno

Extremidade aberta

Figura 24.7 Variação na concentração com o tempo para difusão ao longo de um tubo com uma extremidade aberta. A concentração em cada ponto varia até que um estado estacionário é alcançado (a linha reta).

t muito pequeno

Extremidade fechada

Figura 24.8 Variação da concentração com o tempo para difusão ao longo de um tubo com uma extremidade aberta. O estado estacionário é alcançado quando a concentração é uniforme.

 Exemplo 24.1 Quando vapor d’água difunde-se pelo ar, o coeficiente de difusão é 2,19 × 10 –5 m 2 ·s –1 em condições normais de pressão e à temperatura de 20 °C. Em uma experiência como a da Fig. 24.6, o tubo tem um comprimento de 1,0 m e uma seção de 20 cm 2. Determinar a quantidade de água evaporada por segundo através do tubo. Solução: Devemos, primeiramente, determinar a densidade de corrente dada pela Eq. (24.8). Supondo o processo bastante lento, de forma que a região do fundo do tubo possa ser considerada como saturada em qualquer instante de tempo, verificamos que a densidade de vapor d’água a 20 °C é 1,73 × 10 –2 kg · m–3 e, se m é a massa de uma molécula, o número de moléculas na base do tubo por unidade de volume é n0 = (1,73 × 10 –2 /m)m–3. Também podemos supor que a concentração na extremidade superior do tubo seja tão pequena que podemos fazer n1 = 0. Então j = Dn0 /L. Portanto

(2,19 × 10 ) (1,73 × 10 / m ) = 3,78 × 10 m ⋅ s −5

−2

1, 0

−7

−2

−1

A massa evaporada por segundo através do tubo é M = jSm = (3,78 × 10 –7)(2 × 10 –3) = 7,56 × 10 –10 kg · s–1. Em uma hora, a massa evaporada é 2,73 × 10 –6 kg, ou cerca de 2,73 mg. Como a massa de uma molécula de água é 2,98 × 10 –26 kg, o número de moléculas evaporado por segundo é 2,54 × 1016, ou 1,27 × 1015 moléculas por cm 2 por segundo.

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Fenômenos de transporte

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24.3 Condução térmica; lei de Fourier A condução térmica é outro fenômeno de transporte, em que a energia devida à agitação molecular é transferida de um lugar a outro, com uma variação correspondente de temperatura. Ocorre condução térmica sempre que a temperatura varia de ponto para ponto na substância; isto é, quando a energia média da molécula é diferente em diferentes partes da substância. Essa diferença de temperatura dá origem a um fluxo líquido de energia e, então, podemos definir a condução térmica como uma transferência de energia pela diferença de temperatura. Existe condução térmica na direção em que a temperatura decresce,

e, portanto, a condução térmica tende a igualar a temperatura ao longo de toda a substância. O mecanismo da condução térmica é diferente em sólidos, líquidos, e gases, em virtude do fato de a mobilidade molecular diferir nesses três estados. Em gases e, até certo ponto, em líquidos, podemos dizer que a condução térmica é o resultado de colisões entre moléculas rápidas e moléculas lentas, colisões das quais resulta uma transferência de energia cinética das moléculas mais rápidas para as mais lentas. Em sólidos, o mecanismo da condução térmica é mais complexo. Vamos considerar uma câmara cheia de gás com um gradiente de temperatura através de seu volume. Em regiões onde a temperatura é maior, as moléculas têm, em média, velocidades maiores do que em regiões onde a temperatura é menor. Suponhamos, por exemplo, na Fig. 24.9, que o gás a esquerda seja mais quente do que o gás a direita. Em virtude das colisões entre as moléculas na interface, e da difusão das moléculas “quentes” da esquerda para a direita e das moléculas “frias” da direita para a esquerda, existe uma transferência líquida de energia da esquerda para a direita, transferência essa que chamamos de calor. (Lembre-se de nossa discussão sobre o conceito de calor, na Seç. 9.10 e nas Notas Suplementares S. I e S. II do Vol. I.)

Figura 24.9

Gás quente

Gás frio

Nos sólidos não existe transferência de energia pelo movimento molecular, pois o único movimento das moléculas em um sólido é a vibração em torno de suas posições de equilíbrio e o processo envolvido é, na realidade, o transporte dessa energia vibracional ao longo da rede cristalina do sólido. Nos metais, contudo, existe um efeito adicional, pois os elétrons de condução (que estão em equilíbrio térmico com os íons positivos no metal) são livres para mover-se através do volume do metal. Os elétrons de condução comportam-se de maneira semelhante à das moléculas em um gás e tendem a difundir-se

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Física – um curso universitário

através do metal, a partir da região quente para a região fria, transferindo energia por colisão com outros elétrons e com os íons da rede na região mais fria. Em gases e líquidos, também pode haver uma grande transferência de material, em virtude de diferenças de densidade, criadas por diferenças de temperatura. Esse processo, chamado convecção, não se enquadra na mesma categoria daqueles aqui discutidos, pois não é essencialmente decorrente da agitação molecular, mas sim a uma condição macroscópica de instabilidade. Vamos chamar de jE a densidade de corrente de energia, em virtude da diferença de temperatura, isto é, a energia que, por unidade de tempo, atravessa uma superfície unitária, colocada perpendicularmente à direção em que o fluxo de energia se processa. Vamos supor que essa direção seja o eixo dos X. Esse fluxo de energia, como podemos recordar de nossas discussões anteriores, se processa em uma direção bem definida, que é a direção em que a temperatura decresce. Designamos a temperatura por T. Então a variação da temperatura por unidade de comprimento (ou o gradiente de temperatura) do material é ∂T/∂x. Verificou-se experimentalmente que, a menos que a temperatura varie rapidamente sobre uma distância pequena, jE é proporcional a ∂T/∂x, isto é, jE = − K

∂T , ∂x

(24.9)

onde K é um coeficiente característico de cada material sendo chamado condutividade térmica. O sinal negativo indica que a energia flui na direção em que a temperatura decresce. Essa afirmação, conhecida como lei de Fourier, foi proposta por volta de 1815 pelo cientista francês Joseph Fourier (1768-1830). Observe que jE é expresso em J·m–2 · s –1 e que ∂T/∂x é expresso em °C · m –1. Portanto, K é expresso em J · m –1 · s –1 · °C –1, ou em m · kg · s –3 · °C –1. Às vezes, contudo, K é expresso em cal · m –1 · s –1 · °C –1. A lei de Fourier para a condutividade térmica é muito semelhante à lei de Fick para a difusão. De fato, existe uma relação entre a condutividade térmica K e o coeficiente de difusão D: falaremos sobre isso na Seç. 24.7. Embora o mecanismo para a condução de calor seja diferente em gases, líquidos e sólidos, a lei de Fourier se aplica a esses três estados da matéria. Nosso próximo passo é obter uma relação pela qual somente a temperatura apareça. Podemos fazer isso aplicando o princípio da conservação da energia. Vamos considerar um elemento de volume orientado paralelamente à direção do fluxo de energia, como mostra a Fig. 24.10, com um comprimento dx e uma seção de área S. Seu volume é dV= Sdx. Como r é a densidade do material, a massa do elemento de volume dV é dm = rdV= r S dx. A energia que entra no elemento de volume pelo lado esquerdo por unidade de tempo (chamada de fluxo de energia que entra) é jE S, e a energia que deixa o volume pelo lado direito (chamada de fluxo de energia que sai), também por unidade de tempo, é j′E S. Então o ganho de energia por unidade de tempo dentro do volume é taxa de ganho de energia = fluxo que entra − fluxo que sai = j E S − j E′ S = − ( j E′ − j E ) S

∂j E S dx, ∂x onde djE = j′E – jE é a diferença entre a densidade de corrente de energia nas extremidades do elemento de volume. Mas, se nenhum outro processo ocorre, um ganho de energia significa um aumento na energia das moléculas dentro do volume, e isso significa um aumento de temperatura. = −dj E S = −

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Fenômenos de transporte Y

jE O

S dx

Figura 24.10 Condução térmica através de um elemento de volume.

j′E

Direção do fluxo de energia

O calor específico c de uma substância é definido como a energia absorvida pela substância por unidade de massa a fim de aumentar sua temperatura de um grau. É expresso em J · kg–1 · °C –1 (ou em cal · kg–1 · °C –1). Portanto, se a temperatura da substância é aumentada por dT, a energia absorvida por unidade de massa é cdT. Se o aumento de temperatura ocorre no tempo dt, a energia absorvida por unidade de massa e por unidade de tempo é c(∂T/∂t). Como a massa em nosso elemento de volume é r S dx, podemos escrever, para seu ganho de energia por unidade de tempo, ∂T  ∂T  taxa de ganho de energia = ( r S dx )  c  = r cS dx.  ∂t  ∂t Igualando os resultados para a taxa de ganho de energia e cancelando o fator comum Sdx, obtemos rc

∂j ∂T =− E. ∂t ∂x

Ou, se usamos a lei de Fourier, Eq. (24.9) (e se supusermos a condutividade térmica K constante), a equação se tornará, então, ∂T K ∂ 2 T = ∂t r c ∂x 2 ou ∂T ∂ 2T = a2 2 , ∂t ∂x

(24.10)

a2 = K/rc.

(24.11)

onde A Eq. (24.10) para a condução térmica é, portanto, do mesmo tipo que a Eq. (24.4) para a difusão molecular, mas expressa a conservação da energia em vez da conservação do número de partículas. Suas soluções são matematicamente idênticas às da Eq. (24.4), mas referem-se à distribuição de temperatura em vez da distribuição de concentração. Para o estado estacionário, ∂T/∂t = 0, e, portanto, ∂j E =0 ∂x

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j E = const.

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Física – um curso universitário

Em outras palavras, a densidade de corrente de energia, através de qualquer seção da substância, é constante. Por exemplo, suponhamos que temos uma barra circundada por um material isolante de forma que nenhuma energia é perdida pelas superfícies laterais (Fig. 24.11). O estado estacionário requer que a quantidade de energia que entra por unidade de tempo pelo lado esquerdo a uma temperatura maior seja igual à quantidade que sai por unidade de tempo do lado esquerdo a uma temperatura menor. Se jE = const., temos, integrando a Eq. (24.9), que T=−

jE x + T0 , K

(24.12)

onde T0 é a temperatura para x = 0. O gráfico de T em função de x dado pela Eq. (24.12) é mostrado na parte superior da Fig. 24.11. A Eq. (24.12) pode ser escrita sob a forma alternativa jE = K

T0 − T . x

(24.13)

T T0 T

jE Material isolante T 0

Figura 24.11 Distribuição estacionária de

L jE

jE L

temperatura ao longo de uma barra termicamente isolada com extremidades a temperaturas fixas.

Observe que, se T = T1 para x = L, então, da Eq. (24.13), verificamos que jE = K

T0 − T1 , L

(24.14)

o que dá a densidade de corrente de energia ao longo da barra isolada em termos da temperatura nas duas extremidades.  Exemplo 24.2 Duas paredes de espessura L1 e L2 e condutividades térmicas K1 e K2 estão em contato (Fig. 24.12). As temperaturas nas superfícies exteriores são T1 e T2 . Calcular a temperatura na parede comum. Suponha condições estacionárias. Solução: Como o fluxo de energia é o mesmo para ambas as paredes, temos da Eq. (24.23), que je = K1(T1 – T)/L1 e jE = K2(T – T2)/L2, de forma que K1(T1 – T)/L1 = K2(T – T2)/L2, ou T=

K 1T1 L2 + K 2T2 L1 , K 1 L2 + K 2 L1

(24.15)

que é a temperatura da parede comum.

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Fenômenos de transporte

Figura 24.12 Fluxo de calor através de duas camadas de materiais diferentes em contato.

jE T1

(1)

(2)

 Exemplo 24.3 Um tubo tem um raio interno r1 e temperatura T1 e um raio externo r2 e temperatura T2 . Obter a distribuição de temperatura em uma seção qualquer, assim como o fluxo de calor para um comprimento L do tubo (Fig. 24.13). Suponha que T1 > T2. Solução: A lei de Fourier, expressa sob a forma da Eq. (24.9), permite-nos escrever o fluxo de energia em qualquer direção. Em nosso problema, como o tubo tem uma simetria cilíndrica, o fluxo de energia é radial e devemos escrever, para a Eq. (24.9), jE = –K(∂T/∂r).

Figura 24.13 Fluxo radial de calor através de um tubo espesso.

r1 r

A energia que passa através de qualquer camada do tubo, de raio r e área (2pr)L, é então ΦE = fluxo radial de energia = jE × área = –2pLKr(∂T/∂r). Em condições estacionárias, esse fluxo de energia deve ser o mesmo através de qualquer camada, isto é, deve ser independente de r. Portanto ΦE = const., de forma que temos r ∂T/∂r = C, onde C indica a constante, ou dT = C dr/r. Integrando, temos

∫

dT = C

∫ r

T − T1 = C ln

r . r1

Para r = r2 temos T = T2, de forma que r T2 − T1 = C ln 2 r1

T2 − T1 , ln ( r2 / r1 )

o que nos dá, para a temperatura a uma distância r, T = T1 + (T2 − T1 )

ln r / r1 , ln r2 / r1

(24.16)

e, para o fluxo de energia, ΦE =

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2p LK (T1 − T2 ) ln r2 / r1

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Física – um curso universitário

 Exemplo 24.4 A temperatura na superfície de certo corpo varia periodicamente. Essa temperatura é dada por T = T0 sen wt,

(24.17)

onde T0 é a amplitude das flutuações de temperatura na superfície. Calcular a distribuição de temperatura dentro do corpo. (Esse problema pode ser aplicado, por exemplo, para analisar variações de temperatura abaixo da superfície da Terra. A superfície da Terra fica submetida a uma flutuação de temperatura mais ou menos regular no período de um dia, com uma flutuação anual superposta a esse ciclo diário.) Solução: A condição na superfície do corpo é semelhante à existente em uma das extremidades de uma corda que é forçada a oscilar, resultando em uma onda que se propaga ao longo da corda. Portanto podemos supor inicialmente que nosso problema também tenha uma solução da forma T = T0 sen (wt – kx).

(24.18)

Se tal solução fosse a correta, a expressão anterior representaria então uma “onda térmica”. Para x = 0 ela se reduziria à Eq. (24.17), satisfazendo então nossa condição de contorno. Contudo a Eq. (24.18) não pode ser a solução de nossa equação de propagação (24.10), porque ∂T/∂t = wT0 cos (wt – kx) e ∂2T/∂x2 = –k2 T0 sen (wt – kx)e qualquer que seja o valor que atribuamos a k não podemos satisfazer a Eq. (24.10), porque, em um lado, temos cos (wt – kx) e, do outro, sen (wt – kx). Mas, se lembrarmos de nossa discussão sobre propagação de uma onda eletromagnética em um condutor (Seç. 20.12), em que um termo de primeira ordem em t também aparece resultando em uma onda atenuada, podemos esperar que nosso problema aqui possa ser descrito supondo uma solução da forma de uma onda atenuada. Você pode verificar, por substituição direta na Eq. (24.10), que T = T0 e

−

( w / 2 / a) x sen  w t − w / 2 x  

 

(24.19)

é uma solução. Reduz-se à Eq. (24.17) para x = 0, satisfazendo então a condição de contorno do problema. Portanto a Eq. (24.19) descreve uma “onda térmica atenuada” propagando-se dentro do meio, como ilustra a Fig. 24.14. Observando que, na Eq. (24.19), k = w / 2 / a, a velocidade de fase da onda térmica é v = w / k = a 2w , que aumenta com a frequência. O amortecimento também aumenta com a frequência. T +T0 T0 e O

−

( w /2/ a )x X

Figura 24.14 Onda de temperatura.

–T0

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Fenômenos de transporte

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Superfície

28 26

25 m 24 C

75 m

50 m

22 20

100 m 18

Jan.

Mar.

Maio

Jul. (a)

Set.

Nov.

Superfície 26,4 5m

C 26,2

10 m 20 m

26,0

25,8 Meia-noite

10 Meio-dia 15

Meia-noite

Horas (b)

Figura 24.15 (a) Variação anual de temperatura a várias profundidades no Oceano Atlântico (médio). (b) Variação diurna de temperatura a várias profundidades no Oceano Atlântico durante o verão.

Este problema sugere que a temperatura, a uma grande profundidade na crosta terrestre, ou nos oceanos, permanece praticamente a mesma durante todo o ano, fato que é verificado experimentalmente. As variações anual e diurna da temperatura para um ponto no Oceano Atlântico, em várias profundidades, são mostradas na Fig. 24.15(a) e (b). Observe que a amplitude da onda térmica decresce com a profundidade, e que há um atraso de fase devido à velocidade finita de propagação da onda da superfície para dentro da água.

24.4 Transporte com produção e absorção Quando falávamos sobre o processo de difusão, na Seç. 24.2, chegamos à Eq. (24.4), que expressa a conservação do número de partículas. Essa conservação requer que a diferença entre o fluxo que entra e o que sai por unidade de tempo, pelos lados do elemento de volume, sejam iguais à acumulação por unidade de tempo no elemento de volume.

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Física – um curso universitário

O problema torna-se mais geral quando – além da difusão simples, que se origina do movimento molecular – outros processos são possíveis. Suponhamos, por exemplo, que um gás, ao mesmo tempo em que se difunde em outro gás, fica sujeito a algum processo, tal como uma reação química, pelo qual várias de suas moléculas desaparecem da fase gasosa. Então, quando escrevemos a equação de balanceamento para o número total de moléculas em um dado volume, devemos levar em conta o número de moléculas que desaparece como resultado desse processo adicional. O caso contrário pode também ocorrer; moléculas podem ser produzidas em virtude de algum processo que ocorre no elemento de volume em questão onde a difusão está ocorrendo. A expressão para o balanceamento do número de partículas, quando existe produção e absorção, deve agora ser da forma acumulação = ganho por difusão + produção – absorção, onde todos os termos são por unidade de volume e por unidade de tempo. A acumulação é ∂n/∂t. O ganho por difusão é D(∂2 n/∂x2), de acordo com a lógica usada para obter a Eq. (24.4). Se designarmos a produção por P e a absorção por A, a equação de balanceamento será, então, ∂n ∂2n = D 2 + P − A. ∂t ∂x

(24.20)

Para resolver essa equação, devemos conhecer, em cada caso, a natureza da produção P e a absorção A. Vamos ilustrar a aplicação dessa equação ao caso dos nêutrons em um reator nuclear térmico. Em um reator nuclear térmico, os nêutrons são produzidos pela fissão (ou divisão) de átomos de urânio, que constituem o que é chamado de combustível. Os átomos de urânio estão distribuídos pelo volume do reator. Quando um átomo de urânio é fissionado, ou separado, em dois fragmentos, como resultado da captura de um nêutron, são também produzidos outros nêutrons, os quais são muito rápidos. Em um reator térmico, existe uma substância chamada moderador. Quando os nêutrons rápidos produzidos pela fissão do urânio colidem com os átomos do moderador, perdem energia (veja Ex. 9.13) e, finalmente, chegam a um equilíbrio energético com os átomos do moderador. Os nêutrons são então chamados nêutrons lentos ou térmicos. Esses nêutrons são usados para produzir novas fissões de átomos de urânio. Os nêutrons térmicos vagueiam ou se difundem através do reator até que ou são absorvidos (ou capturados) por átomos dos diferentes materiais que compõem o reator, principalmente o combustível de urânio, ou escapam pelas paredes do reator. Então, um reator térmico nuclear opera baseado no processo de difusão de nêutrons, combinado com a produção e absorção de nêutrons. Em um reator homogêneo, o urânio combustível e o moderador são uniformemente misturados em todo o volume do reator. Nesse caso, pode ser mostrado que a diferença P – A entre produção e absorção é proporcional a n, isto é, P – A = Cn, onde C é uma constante relacionada com os parâmetros envolvidos no projeto do reator. Então a Eq. (24.20) se torna ∂n ∂2n = D 2 + Cn. ∂t ∂x

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(24.21)

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Fenômenos de transporte

No estado estacionário, ∂n/∂t = 0 e a Eq. (24.21) se reduz a D

∂2n ∂x 2

+ Cn = 0,

ou ∂2n ∂x 2

+ B 2 n = 0,

(24.22)

onde B2 = C/D é chamado buckling. A solução da Eq. (24.22) é da forma n = n0 sen Bx + n1 cos Bx,

(24.23)

como pode ser verificado por substituição direta, onde n0 e n1 são duas constantes a serem determinadas a partir das condições de contorno. Dado um reator com a forma de uma camada de espessura a, a intuição física nos diz que, embora os nêutrons sejam produzidos em todo o volume, eles escapam através das duas superfícies limitadoras da camada. Portanto a densidade de nêutrons é máxima no centro da camada e decresce para os lados, produzindo duas correntes de difusão, como sugere a Fig. 24.16. Podemos então impor que n = 0 para x = 0 e x = a. Colocando x = 0 na Eq. (24.23), obtemos n1 = 0, de forma que a Eq. (24.23) se reduz a n = n0 sen Bx. Colocando x = a, obtemos sen Ba = 0, ou Ba = (inteiro) × p. Mas n não pode ser negativo, pois representa o número de nêutrons por unidade de volume. Portanto reconhecemos, finalmente, que o único resultado possível no estado estacionário é Ba = p, dando, para o buckling, o resultado B = p/a.

(24.24)

Essa equação estabelece uma relação entre o tamanho do reator e a produção–absorção de nêutrons, expressas por B. Dessa forma, a equação é usada pelos projetistas de reatores para determinar a composição correta do reator para assegurar que possam operar em condições estacionárias. Para outras geometrias de reator, são obtidos resultados correspondentes.

Reator

Figura 24.16 Distribuição de nêutrons em um reator nuclear.

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Uma situação semelhante pode ocorrer para a condução térmica na qual fontes de energia são distribuídas pelo volume da substância, ou as perdas de energia podem ocorrer em sua superfície. Vamos considerar, por exemplo, a distribuição de temperatura sob condições estacionárias para uma barra cuja superfície não é termicamente isolada, de forma que energia é perdida sob a forma de calor através de sua superfície para o meio circundante. A taxa de perda de energia é proporcional à área da superfície e pode ser considerada como proporcional à diferença de temperatura entre a barra e o meio circundante, desde que essa diferença não seja muito grande. Essa afirmação, chamada lei de Newton de resfriamento, só é válida aproximadamente. Supondo que a temperatura do meio circundante seja zero, temos então que a perda de energia, em cada ponto da superfície, é proporcional a T. Mesmo que a barra seja circundada por um material isolante, um pouco de calor é perdido através de sua superfície, pois nenhum isolamento é perfeito e, do resultado do Ex. 24.3, podemos ver que a energia perdida é também proporcional á diferença de temperatura entre as superfícies interna e externa do isolante. O resultado dessa perda de energia pela superfície é tal que, no estado estacionário, a temperatura diminui exponencialmente ao longo da barra, como mostra a Fig. 24.17, em vez de diminuir linearmente, como no caso de uma barra em isolamento perfeito. T0

Figura 24.17 Distribuição de temperatura ao longo de uma barra não isolada cujas extremidades são mantidas em temperaturas fixas.

Barra isolada

Barra não isolada O

24.5 Viscosidade Como mencionamos no começo deste capítulo, existe um terceiro fenômeno de transporte, válido para gases (e para fluidos em geral), que está intimamente ligado tanto à difusão molecular como à condução térmica: trata-se da viscosidade. Na Seç. 7.10, quando estávamos tratando do movimento de um corpo através de um fluido, introduzimos um coeficiente de viscosidade h, mas não o definimos em termos precisos. Vamos considerar um fluido no qual existe, além da agitação térmica das moléculas, um movimento de massa ou corrente de convecção do fluido inteiro. Constituem exemplos uma corrente de ar em um túnel de vento ou água circulando em um canal ou cano. Vamos supor que o fluido se mova conforme mostra a Fig. 24.18, no qual a velocidade de convecção vy tem a direção do eixo Y, mas seu valor é uma função da distância ao longo do eixo X, como indica a Fig. 24.18(b). Considere o plano P perpendicular ao eixo X, e, portanto, paralelo à direção do movimento de convecção do fluido. As moléculas, contudo, não se movem somente paralelamente ao eixo Y, pois possuem movimento térmico e também colidirão entre si. Como resultado, moléculas atravessam continuamente o plano P, tanto da esquerda para a direita como da direita para a esquerda. Cada molécula carrega consigo seu momento de convecção (paralelo ao eixo Y ). Na situação ilustrada

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Fenômenos de transporte

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na Fig. 24.18, moléculas atravessando da esquerda para a direita carregam um momento de convecção maior do que o das que atravessam da direita para a esquerda. Essa diferença de momento acarreta um aumento no momento de convecção à direita de P e um decréscimo no momento de convecção à esquerda. Convecção rápida

Convecção lenta

Direção de escoamento do fluido

X X

O (a)

(b)

Figura 24.18 Fluido no qual existe um movimento de massa superposto à agitação térmica de moléculas.

A densidade de corrente de momento, jp é a quantidade de momento de convecção (paralelo ao eixo Y) transferido por unidade de tempo através da unidade de área perpendicular à direção em que a velocidade de convecção varia; em nosso caso, é essa a direção definida pelo eixo X. A experiência mostra que jp é proporcional à variação da velocidade de convecção vy por unidade de comprimento ao longo do eixo X, ou ao gradiente de velocidade de convecção (isto é, ∂vy /∂x), de forma que podemos escrever a expressão j p = −h

∂vy ∂x

(24.25)

que é muito semelhante à lei de Fick para difusão molecular e lei de Fourier para condução térmica. O sinal negativo na Eq. (24.25) é devido ao fato de que a transferência de momento tem lugar na direção em que a velocidade de convecção diminui. O fator de proporcionalidade h é o coeficiente de viscosidade para o fluido. Note que jp é expresso em (m · kg · s –1) · m –2 · s –1 ou m –1 · kg · s –2, e ∂vy /∂x é expresso em s –1. Dessa forma, o coeficiente de viscosidade é expresso em m–1 · kg · s–1. A décima parte dessa unidade é chamada de poise, abreviadamente, P (veja a Tab. 7.2). Podemos tratar esse assunto de um ponto de vista diferente. Em nossa ilustração, como o fluido à direita do plano P ganha momento de convecção (paralelo ao eixo Y) e o fluido à esquerda de P perde momento de convecção (paralelo ao eixo Y), podemos dizer que o fluido à direita de P fica sujeito a uma força paralela à direção do fluxo e que o fluido à esquerda de P fica sujeito a uma força oposta e igual. O valor dessa força, por unidade de área, é chamado de tensão de cisalhamento e é designado por t. Como força é igual à taxa de variação do momento em relação ao tempo, concluímos que t = jp. Podemos ver que as unidades dessa relação são consistentes, pois t (sendo uma força por unidade de área) é expresso em N · m–2 ou m–1 · kg · s –2, que são as mesmas unidades encontradas anteriormente para jp. A Eq. (24.25) pode, portanto, ser escrita sob a forma alternativa t = h ∂vy /∂x.

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Devemos, agora, aplicar ao fluido o princípio da conservação da quantidade de movimento (momento). Vamos considerar um elemento de volume de comprimento dx e uma área de seção S (Fig. 24.19). O elemento de volume tem uma velocidade de convecção vy. Moléculas que entram no elemento de volume pela esquerda produzem um ganho de quantidade de movimento por unidade de tempo (chamado fluxo de quantidade de movimento que entra), paralelo ao eixo Y e igual a jpS. As moléculas que saem pelo lado direito produzem uma perda de quantidade de movimento por unidade de tempo (chamada fluxo de quantidade de movimento que sai), paralelo ao eixo Y e igual a j′pS . Então o ganho líquido de quantidade de movimento por unidade de tempo do elemento de volume é taxa de ganho momento = fluxo que entra − fluxo que sai

(

)

= j p S − j ′p S = − j ′p − j p S =−

∂j p ∂x

S dx.

Direção de escoamento do fluido

O dx Z

Figura 24.19 Transferência de quantidade de movimento através de um elemento de volume.

j′p

Direção da transferência de quantidade de movimento

Se a quantidade de movimento de convecção, por unidade de volume do fluido é designada por py, o ganho de quantidade de movimento, por unidade de tempo do fluido dentro do elemento de volume pode também ser escrito sob a forma taxa de ganho momento =

∂py ∂t

S dx.

Portanto, igualando ambos os resultados e cancelando o fator comum S dx, obtemos ∂py ∂t

=−

∂j p ∂x

Note que o lado esquerdo dessa equação representa uma força por unidade de volume e, portanto, o lado direito pode ser chamado de força viscosa, por unidade de volume, que atua sobre o fluido. Podem existir outras forças atuando sobre o fluido ao longo do eixo Y. Por exemplo, um fluido que se move ao longo de um canal ou tubo inclinado está também sujeito ao seu próprio peso. Vamos designar essas forças adicionais por unidade de volume por f. Então f representa um ganho adicional em quantidade de movimento por unidade de volume e por unidade de tempo, e a equação acima pode ser escrita

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Fenômenos de transporte

∂py

=−

∂t

∂j p

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+ f.

∂x

Combinando esse resultado com a Eq. (24.25), e levando em conta o fato de que py = rvy, onde r é a densidade do fluido, temos ∂vy ∂t

h ∂ vy 1 + f, r ∂x 2 r

(24.26)

que é a equação do movimento do fluido viscoso e que expressa a conservação da quantidade de movimento do fluido. Podemos ver também que essa equação será semelhante à Eq. (24.2) se acrescentarmos nesta o termo f/r, que desempenha o mesmo papel que P – A na Eq. (24.20), e que pode ser interpretado como um aumento (ou diminuição) de quantidade de movimento por unidade de massa e por unidade de tempo (isto é, produção ou absorção de quantidade de movimento) em virtude de interações externas sobre o fluido. Na ausência de forças externas, a Eq. (24.26) reduz-se a ∂vy ∂t

h ∂ vy , r ∂x 2

que é idêntica à equação da difusão, Eq. (24.4), com D substituído por h /r e n substi tuído por vy. É importante notar que a Eq. (24.26) é válida somente para fluidos incompressíveis com uma velocidade de convecção pequena; para fluidos que não satisfazem esses critérios, outros termos entram na equação.  Exemplo 24.5 Determinar a distribuição de velocidades em um fluido viscoso movendo-se entre duas paredes planas paralelas tal como, por exemplo, um canal. Suponha uma força constante por unidade de volume e condições estacionárias. Solução: Como as condições são estacionárias, temos que ∂vy /∂t = 0, e a Eq. (24.26) reduz-se a ∂ 2 vy ∂x

=−

f . h

Como neste problema f/h é constante, temos (integrando, com respeito a x), ∂vy ∂x

=−

f x + c1 , h

onde c1 é a constante de integração. Integrando novamente, obtemos vy = −

f 2 x + c1 x + c2 . 2h

Para determinar as constantes de integração c1 e c2, devemos usar as condições de contorno. Como um fluido viscoso tende a aderir nas paredes, o fluido em contato com as duas paredes deve ter uma velocidade muito pequena, que podemos supor igual a zero. Então, tendo como base a Fig. 24.20, devemos ter vy = 0 para x = 0 e x = a como condições de contorno. Essas condições nos dão c1 = fa/2h e c2 = 0, resultando em

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vy = X

(

)

f ax − x 2 . 2h

x=a

Figura 24.20 Distribuição de velocidade

para o escoamento de um fluido viscoso entre dois planos paralelos.

x=0

Velocidade do fluido Movimento do fluido

Essa expressão nos dá a velocidade de convecção ou escoamento do fluido em função da distância ao plano x = 0. Representa uma parábola, como indica a Fig. 24.20. A velocidade é máxima no plano médio. Se o fluido se move na direção vertical, f pode ser o peso por unidade de volume do fluido e, então, igual a rg. Quando o fluido se move entre dois planos horizontais, a força f é produzida aplicando-se uma gradiente de pressão ao longo da direção do movimento. Nesse caso, de acordo com a Seç. 9.14, f = –∂p/∂x; se p1 e p2 são as pressões em dois pontos separados pela distância l, temos então que f = (p1 – p2)/l e vy =

p1 − p2 ax − x 2 . 2hl

(

)

24.6 Caminho livre médio, frequência de colisão, e seção de choque de colisão Vamos agora discutir alguns conceitos importantes para descrever o fenômeno de transporte em gases sob o ponto de vista molecular*. Como as moléculas em um gás estão em movimento, elas colidem frequentemente e, como resultado, seus caminhos são em zigue-zague (Fig. 24.21). Para descrever o movimento dessas moléculas, três conceitos úteis devem agora ser introduzidos: o caminho livre médio de colisão, a frequência de colisão e a seção de choque de colisão.

Figura 24.21 Caminhos moleculares livres.

Veja as Notas Suplementares S. I e S. II no Volume I.

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Fenômenos de transporte

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O caminho livre médio de colisão, designado por l, é a distância média que uma molécula de um gás percorre entre colisões. Pode ser calculado seguindo-se a molécula durante um tempo suficientemente longo e determinando-se o comprimento médio dos percursos entre colisões sucessivas. Pode ser calculado, também, olhando-se em um determinado instante para um grande número de moléculas que acabou de sofrer uma colisão, e achando-se a distância média percorrida pelas moléculas até suas próximas colisões. Os dois métodos são estatisticamente equivalentes. A frequência de colisão, designada por Γ, é o número de colisões que uma molécula sofre por unidade de tempo. O caminho livre médio e a frequência de colisão estão intimamente relacionados, pois, sendo vmed a velocidade média de uma molécula, o tempo médio entre duas colisões é t = l/vmed e então o número de colisões por unidade de tempo, ou a frequência de colisão Γ, pode ser expressa por 1/t ou Γ = vmed /l

(24.27)

A frequência de colisão Γ é expressa em s–1. Obviamente, se temos N moléculas em um dado volume, o número total de colisões por unidade de tempo de todas as moléculas nesse volume é NΓ. Outro conceito útil é a seção de choque macroscópica de colisão Σ, definida como o número de colisões de uma molécula por unidade de comprimento e, portanto, dada por Σ = 1/l.

(24.28)

É expressa em m–1. O caminho livre médio l está relacionado com as dimensões da molécula da maneira que segue. Vamos chamar de n o número de moléculas por unidade de volume e de r o “raio” de cada molécula. Quando usamos a palavra “raio”, não queremos dizer que as moléculas sejam esferas. Contudo, em virtude de seu rápido movimento rotacional, elas se comportam efetivamente como esferas. Desprezando forças intermoleculares e supondo que as moléculas atuem como bolas de bilhar, temos que, para duas moléculas colidirem, a distância entre seus dois centros, projetada sobre um plano perpendicular à direção do movimento relativo, deve ser menor do que 2r (Fig. 24.22). Então, se supomos que a molécula 1 se mova para a direita, a região efetiva em volta de 1, dentro da qual o centro de outra molécula tem de estar para que ocorra uma colisão, é um cilindro de raio 2r. Se a separação entre os centros é menor do que 2r, como é para as moléculas 2 e 3, então a colisão realmente ocorre. Sendo maior do que 2r, como é o caso para a molécula 4, não ocorre colisão. 4

2 (a)

(b)

Figura 24.22 Cilindro de colisão varrido por uma molécula. As moléculas cujos centros estão dentro do cilindro sofrerão colisões com a molécula 1. (a) Vista lateral, (b) vista frontal do volume excluído.

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Consideremos agora uma camada de espessura dx e área S (Fig. 24.23). O número total de moléculas de gás na camada é nS dx. Cada molécula varre certa área de um círculo cujo raio é 2r, isto é, impede a passagem livre de uma molécula M. Essa área é expressa por s = p (2r)2 = 4pr2 .

(24.29)

Figura 24.23

É isso o que se denomina de seção de choque microscópica de colisão. A área total varrida por todas as moléculas da camada (supondo que não haja superposição, o que será correto se a concentração molecular não for muito grande e se dx for muito pequeno) é (nS dx)s. Então a probabilidade de M sofrer uma colisão ao passar através da camada é

( nS dx )s = ns dx. S

Então o número de colisões de M por unidade de comprimento é ns. É o que definimos anteriormente como a seção de choque macroscópica de colisão. Então Σ = ns

(24.30)

e o caminho livre médio de colisão da molécula é l=

1 1 . = Σ ns

(24.31)

O fato de o caminho livre médio l estar relacionado com o raio molecular torna possível avaliar as dimensões moleculares medindo-se l. Quando levamos em conta as forças intermoleculares, as moléculas são espalhadas ou “colidem”, tendo como resultado uma variação na direção de seu movimento, mesmo quando estão separadas por uma distância maior do que seus diâmetros, como foi discutido no Ex. 7.16 para espalhamento sob a ação de uma força que varia com o inverso do quadrado da distância. Nesse caso, ainda mais geral, s está ainda relacionado com Σ e l pelas Eqs. (24.30) e (24.31) que, na realidade, são suas definições, mas a Eq. (24.29) não é mais aplicável. Observe que a Eq. (24.31) é correta enquanto considerarmos as moléculas na camada da Fig. 24.23 como fixas. Contudo, se estão em movimento, como na realidade estão em um gás, a probabilidade de colisão pode ser maior, e então o caminho livre médio

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Fenômenos de transporte

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diminui. Por exemplo, uma dedução que leva em conta a distribuição de velocidades em um gás nos dá l=

1 2 ns

onde s é dado pela Eq. (24.29). Isso equivale Σ = 2 ns sendo o mesmo que dizer que a seção de choque efetiva por molécula é 2 s em vez de s. Os conceitos de seção de choque e caminho livre médio podem ser estendidos a outros processos, além das colisões, tal como absorção ou captura. Por exemplo, se uma molécula, enquanto se difunde, pode ser capturada por outra molécula, o caminho livre médio de absorção, la nos dá a distância média que uma molécula percorre antes que seja capturada (ou absorvida). Da mesma forma, a seção de choque macroscópica de absorção Σa é definida como Σa = 1/la, dando-nos a probabilidade, por unidade de comprimento, de que a molécula seja absorvida.  Exemplo 24.6 Discutir a difusão de nêutrons em um meio não multiplicativo, isto é, um meio tal como água ou grafita no qual os nêutrons são absorvidos, mas não são produzidos. Essa é a situação, por exemplo, em uma coluna térmica de um reator nuclear, uma coluna que consiste de uma massa de água ou grafita colocada adjacente a um dos lados de um reator. Os nêutrons produzidos dentro do reator podem se difundir ao longo da coluna térmica, e podem ser usados para inúmeras experiências. A coluna é chamada de térmica porque os nêutrons que dela emergem estão em equilíbrio com os átomos do material que compõe a coluna.

Caroço do reator

Coluna térmica

Blindagem do reator n0 n(x)

Figura 24.24 Concentração de nêutrons ao longo de uma coluna térmica em um reator nuclear.

Solução: O arranjo físico está ilustrado na Fig. 24.24. Os nêutrons penetram na coluna térmica a partir da esquerda, procedendo do caroço do reator, e difundem-se através da

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coluna. Durante o processo de difusão, os nêutrons colidem com os átomos do material que compõe a coluna. Em alguns casos, a colisão resulta na captura do nêutron pelos átomos do material. Vamos chamar de la o caminho livre médio de absorção, isto é, a distância média que um nêutron percorre antes de ser capturado. Então a seção de choque macroscópica de absorção do material é Σa = 1/la. Para nêutrons térmicos na água, Σa é cerca de 22 m–1, e na grafita 0,037 m–1, o que mostra que nêutrons lentos são mais facilmente capturados pela água do que pela grafita. Vamos agora considerar a camada de espessura dx e seção de área S mostrada na Fig. 24.24. O número total de nêutrons dentro dessa camada é nS dx. A distância total por eles percorrida, por unidade de tempo, é (nS dx)vmed, onde vmed é a velocidade média dos nêutrons. O número de nêutrons absorvidos por unidade de tempo pelo material é, portanto, (nS dx)vmed Σa, e por unidade de volume é vmedΣan. Usando esse valor, a Eq. (24.20) fica, eliminando o fator de produção, ∂n ∂2n = D 2 − vmed Σ a n. ∂t ∂x Em condições estacionárias, ∂n/∂t = 0, e D

∂2n ∂x

− vmed Σ a n = 0

∂2n ∂x

− a 2 n = 0,

onde a = vmedΣa /D. A solução dessa equação diferencial é n = n0 e–ax + n1e ax, onde n0 e n1 são determinados pelas condições de contorno em ambas as extremidades da coluna térmica. Como, para nêutrons térmicos na água e na grafita, D/vmed é igual a 0,0084 m e 0,0092 m, respectivamente, temos que a = 51,18 m–1 para a água e 2,005 m–1 para a grafita. Muitas vezes, a quantidade L = 1/a, chamada comprimento de difusão, é usada. Os valores de L para nêutrons térmicos na água e na grafita são, dessa forma, 1,95 × 10 –2 m e 0,50 m, respectivamente. Quando a coluna térmica é muito longa em comparação com L, devemos ter n = 0 para x muito grande. Isso implica que n1 = 0 e n = n0 e–ax, resultando numa diminuição exponencial do número de nêutrons térmicos à medida que se movem ao longo da coluna térmica. Dessa forma, o comprimento de difusão L = 1/a dá a distância em que o número de nêutrons decresce de um fator 1/e, ou seja, 36%, em relação ao seu valor inicial. 2

24.7 Teoria molecular dos fenômenos de transporte Na primeira parte deste capítulo, discutimos o fenômeno de transporte de um ponto de vista geral ou macroscópico, sem levar em conta o comportamento molecular responsável por esses fenômenos. Nossa apresentação foi baseada na lei de Fick para a difusão, j = −D

∂n , ∂x

(24.32)

∂T , ∂x

(24.33)

lei de Fourier para a condução térmica, jE = − K e a lei do fluxo viscoso,

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Fenômenos de transporte

j p = −h

∂vy ∂x

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(24.34)

Todas essas leis têm uma base experimental, e são válidas dentro de certos limites indicados em cada caso. Pretendemos, agora, correlacionar as quantidades D, K, e h com as propriedades moleculares. Limitar-nos-emos apenas aos gases. Como mencionamos anteriormente, os três processos de transporte discutidos são devidos à agitação molecular. A difusão molecular é devida à transferência de moléculas de uma região em que estão mais concentradas para uma região em que estão menos concentradas. A condução térmica é devida à transferência de energia de uma região onde as moléculas movem-se rapidamente, e então a temperatura é alta, para outra onde se movem mais lentamente, e então a temperatura é mais baixa. Da mesma forma, a viscosidade é devida à transferência de quantidade de movimento associado com o movimento convectivo, de um lugar onde a convecção é rápida para outro onde é lenta. Nosso próximo passo será obter essas leis em termos de nosso modelo molecular. A dedução é muito instrutiva como ilustração do raciocínio físico. Matematicamente, contudo, tal dedução é complicada e apresentaremos somente uma descrição do procedimento. A lógica a ser usada é a seguinte: consideremos a difusão em primeiro lugar. Com referência à Fig. 24.25, o problema consiste em achar o número líquido de moléculas que atravessam (por unidade de tempo) uma área dS colocada perpendicularmente à direção em que a difusão ocorre. Essa direção é designada como eixo X. Y dV

r dS O

Figura 24.25 q

Consideremos então um volume dV a uma distância r de dS. O número de moléculas nesse volume é ndV e o número de colisões que sofrem por unidade de tempo é ΓndV. Certo número dessas moléculas dirige-se para dS depois da colisão. Mas nem todas chegam a dS, pois podem sofrer uma nova colisão, o que provoca uma deflexão em relação ao caminho original. Devemos determinar, então, quantas dessas moléculas, depois de colidirem dentro do elemento de volume dV, atravessam a área dS por unidade de tempo. Quando integramos sobre o espaço para levar em conta todas as regiões da substância, obtemos a corrente resultante em dS. Obviamente, a fim de que haja uma corrente resultante, é necessário que n varie com x de uma maneira tal que o número de partículas que atravessa dS a partir da direita seja diferente do número que a atravessa a partir da esquerda. Caso contrário, a simetria indicaria a corrente resultante como nula. Comparamos a expressão resultante para a densidade de corrente em dS com a lei de Fick para a difusão, Eq. (24.32). Desse resultado, podemos então obter o valor do coeficiente de difusão D em função das constantes moleculares. Para a condução térmica, devemos levar em

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conta a energia que cada molécula transporta ao atravessar dS. Para a viscosidade, devemos levar em conta a quantidade de movimento convectiva transportada pelas moléculas. O resultado de todos esses cálculos é que verificamos que o coeficiente de difusão molecular está relacionado com a dinâmica molecular por meio da expressão D = 13 vmed l,

(24.35)

onde vmed é a velocidade média e l é o caminho livre médio de colisão das moléculas. Para o coeficiente de condução térmica, temos a relação

(

)

K = D 32 kn = 12 nk vmed l.

(24.36)

Finalmente, o coeficiente de viscosidade é expresso por h = D ( nm ) = 13 nm vmed l.

(24.37)

As expressões (24.35), (24.36) e (24.37) mostram a íntima relação existente entre os três fenômenos de transporte. A teoria dos fenômenos de transporte que delineamos é o que se pode chamar de aproximação da difusão. Uma teoria mais refinada deve levar em conta certos fatores adicionais, o que resulta em equações mais complexas. Quando levamos em conta o efeito de forças intermoleculares, os valores medidos de D, K e h nos permitem obter os parâmetros que definem o potencial intermolecular. Um resultado imediato é que podemos avaliar as dimensões moleculares. Medindo qualquer desses coeficientes, podemos calcular o caminho livre médio e então podemos obter a seção de choque s e o raio molecular. Devemos considerar, contudo, que os valores calculados do caminho livre médio e do raio molecular indicam somente ordens de grandeza. A Tab. 24.1 fornece valores experimentais para alguns gases monoatômicos, diatômicos e poliatômicos; fornece também seus raios moleculares, calculados a partir de dados de viscosidade. Tabela 24.1 Valores experimentais para o coeficiente de difusão D, condutividade térmica K e viscosidade h, todos em TPN Substância

D × 10 5, m 2 · s –1

K × 10 2 , m · kg · s –3 · K–1

r × 10 10 *, m

14,3

h × 10 5, m · kg · s –1 1,86

4,52

4,60

2,97

1,06

1,57

1,63

2,10

1,50

–1

0,90

0,58

0,52

2,10

2,02

12,8

16,8

0,84

1,12

1,81

2,42

1,89

1,51

1,78

2,37

1,66

1,54

co 2

0,97

1,49

1,39

1,89

NH 3

2,12

2,60

0,92

1,83

ch 4

2,06

3,04

1,03

1,70

* Os raios moleculares foram calculados a partir dos dados experimentais sobre a viscosidade.

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 Exemplo 24.7 Avaliar os coeficientes D e K para o hidrogênio em TPN. Compare com os resultados experimentais. Solução: Devemos determinar as quantidades vmed, l, n, e m para o hidrogênio em tais condições. A massa de uma molécula é 3,33 × 10 –27 kg. O número de moléculas por unidade de volume para T = 273 K e p = 1,01 × 105 N · m–2 é, usando a lei dos gases perfeitos pV = NkT, a Eq. (9.62), n = V/N = p/kT = 2,68 × 1025 m–3. Pode ser mostrado que a velocidade média de uma molécula é dada por vmed = 8kT /p m . Em nosso caso, então, vmed = 1,69 × 103 m · s–1. Finalmente, se tomamos o raio de uma molécula de hidrogênio como r = 1,12 × 10 –10 m, temos, para o caminho livre médio, l = 1/ 2 ns = 1, 68 × 10 −7 m . Com os valores apresentados aqui, usando as Eqs. (24.35) e (24.36), verificamos que D = 9,42 × 10 –5 m 2 · s –1, K = 5,25 × 10 –2 m · kg · s –3 · K–1. Os valores experimentais correspondentes são D = 12,8 × 10 –5 e K = 16,8 × 10 –2. Dessa forma, ao menos as ordens de grandeza corretas podem ser obtidas a partir de nossa teoria simplificada, a qual é baseada em um gás ideal monoatômico. Um aprofundamento da teoria que leve em conta a energia correspondente a movimentos internos, tais como rotação e vibração, melhora o acordo entre os valores experimentais e teóricos. Em particular, a condutividade térmica de um gás diatômico será aumentada de um fator 3,3.

24.8 Conclusão Os fenômenos físicos descritos neste capítulo podem parecer sem muita conexão com os descritos anteriormente na Parte 3 e, dessa forma, um pouco fora da linha de raciocínio seguida até aqui. Isso é verdade dentro de certos limites. Mas, por outro lado, à parte a importância intrínseca dos fenômenos de transporte, nossa discussão sobre eles, sob o ponto de vista da agitação molecular, serviu para uma finalidade bastante útil, ou seja, a de demonstrar que nem todos os campos se propagam necessariamente com uma forma de onda típica f(x ± vt), obedecendo à equação de onda (18.11), e que a natureza apresenta outros tipos de propagação.

REFERÊNCIAS BRUSH, S. Development of the kinetic theory of gases. VI. Viscosity. Am. J. Phys., v. 30, p. 269, 1962. BRYANT, H. Heat waves and Angström’s method. Am. J. Phys., v. 31, p. 325, 1963. CRONIN, D. Temperature and pressure dependence of the viscosity of gases. Am. J. Phys., v. 33, p. 835, 1965. DESLOGE, E. Transport properties of a gas mixture. Am. J. Phys., v. 32, p. 733; 742, 1964. FEYNMAN, R.; LEIGHTON, R.; SANDS, M. The Feynman lectures on Physics. v. I. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1963. HOLTON, G.; ROLLER, D. H. D. Foundations of modern physical science. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1958. MAGIE, W. F. Source book in Physics. Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1963. McLNALLY, M. Variation of air viscosity with temperature. Am. J. Phys., v. 31, p. 732, 1963. OSTER, G. Density gradients. Sci. Am., p. 70, Aug. 1965. SPROULL, R. The conduction of heat in solids. Sci. Am., p. 92, Dec. 1962. WARNER, R. Measurement of molecular diameters and average velocities. Am. J. Phys., v. 29, p. 736, 1961.

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PROBLEMAS 24.1 Se o coeficiente de difusão D dependesse da concentração e, portanto, de x, como deveria ser modificada a Eq. (24.4)? 24.2 Mostre que, em três dimensões, a equação que expressa a conservação do número de partículas se torna ∂n/∂t = –div j. Nesse caso, como deveria ser escrita a Eq. (24.4)? 24.3 O gradiente de temperatura de uma barra isolada de cobre é –2,5 °C por cm. (a) Calcule a diferença de temperatura entre dois pontos separados por 5 cm. (b) Determine a quantidade de calor que atravessa (por segundo) uma unidade de área perpendicular à barra. A condutividade térmica do cobre é 3,84 × 102 m · kg · s –3 · °C –1. 24.4 A condutividade térmica da prata é cerca de 1,0 cal · cm–1 · s–1 · °C –1. Calcule o fluxo de calor por segundo através de um disco de 0,1 cm de espessura e que tem uma área de 2 cm 2 se a diferença de temperatura entre os dois lados do disco é 10 °C. 24.5 Uma sala tem três janelas com uma área total de 3 m 2. A espessura do vidro é 0,4 cm. A temperatura dentro da sala é 20 °C e a temperatura do lado de fora é 10 °C. Calcule a quantidade de calor que passa pelas janelas por segundo e por hora. A condutividade térmica do vidro é 5,85 × 10 –1 m · kg · s –3 · °C –1. 24.6 Duas barras, uma de cobre e a outra de aço, ambas de 1 m de comprimento e com seções iguais a 1 cm 2, são soldadas em uma de suas extremidades. A extremidade livre da barra de cobre é mantida a 100 °C e a extremidade livre da barra de aço é mantida a 0 °C. Calcule (a) a temperatura na extremidade comum, (b) o gradiente de temperatura na barra de cobre e na barra de aço, (c) a quantidade de calor que atravessa qualquer seção da barra por unidade de tempo. (d) Faça um gráfico da temperatura ao longo da barra. A condutividade térmica do cobre e do aço é 3,84 × 102 e 0,46 × 102 m · kg · s–3 · ºC –1, respectivamente. 24.7 Uma barra de 2 m de comprimento tem um núcleo sólido de aço de 1 cm de diâmetro circundado por um revestimento de cobre cujo diâmetro externo é 2 cm. A superfície externa da barra é termicamente isolada e uma das extremidades é mantida a 100 °C, e a outra a 0 °C. (a) Calcule a corrente total de calor na barra, no estado estacionário final, (b) Qual a fração que é transmitida em cada material? As condutividades térmicas são dadas no Prob. 24.6. 24.8 Um bastão termicamente isolado tem uma temperatura inicial T1. Uma extremidade é subitamente colocada a uma temperatura maior T0 enquanto a outra extremidade é mantida à temperatura T1. Mostre, por meio de uma série de curvas, a variação de temperatura ao longo do bastão até que o estado estacionário final representado na Fig. 24.11 seja alcançado. 24.9 Ambas as extremidades de um bastão de metal isolado de comprimento L são mantidas a 0 °C, embora a temperatura inicial do bastão seja T = 50 sen px/L, onde T é dado em °C. (a) Por meio de um diagrama, mostre a temperatura inicial de um bastão, assim como diversas curvas que representam a distribuição de temperatura em tempos sucessivos. Qual é a distribuição de temperatura depois de um tempo bastante longo? (b) Mostre a direção do fluxo de calor em diferentes posições no bastão. (c) Faça um gráfico

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Fenômenos de transporte

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da densidade de corrente inicial de calor e compare com o resultado obtido em (b). Indique também a corrente de calor para tempos sucessivos. 24.10 Um tubo de vapor com um raio de 2 cm é circundado por uma jaqueta cilíndrica de material isolante de 2 cm de espessura. A temperatura do cano de vapor é 100 °C e a temperatura externa da jaqueta é 20 °C. A condutividade térmica do material isolante é 8,4 × 10 –2 m · kg · s–3 · °C –1. (a) Calcule o gradiente de temperatura dT/dr, nas superfícies interna e externa da jaqueta, (b) Esboce o gráfico de T versus r. (c) Calcule a perda de calor através da jaqueta isolante por unidade de tempo e por metro de comprimento do tubo. 24.11 Uma esfera oca tem um raio interno R1 e temperatura T1 e um raio externo R2 e temperatura T2. Mostre que a quantidade de calor que atravessa qualquer superfície esférica concêntrica com a esfera e que tem um raio entre R1 e R2 é ΦQ =

4p K (T1 − T2 ) R1 R2 R2 − R1

Mostre também que a temperatura dentro da esfera, em função da distância ao centro, é T = C/r + C′, onde C=

(T1 − T2 ) R1 R2 R2 − R1

e C′ =

2T1 R2 − T1 R1 − T2 R2 . R2 − R1

24.12 A lei de Newton para resfriamento (veja a Seç. 24.4) pode ser expressa como jE = = h(T – Tm), onde T é a temperatura do corpo, Tm a do meio circundante, h um coeficiente chamado coeficiente de transferência térmica, e jE a energia que passa do corpo para o meio circundante. (a) Obtenha as unidades de h. (b) Escreva uma equação expressando a taxa de variação da energia interna de um corpo de área S como resultado do resfriamento. 24.13 Considere um pequeno corpo de área S, massa M, e calor específico c, inicialmente à temperatura T0 e circundado por um meio à temperatura Tm. Mostre que a temperatura do corpo, em função do tempo, é T = Tm + (T0 – Tm) e–At onde A = hS/Mc e h é o coeficiente de transferência térmica (veja o Prob. 24.12). Faça um gráfico de T versus t para T0 maior, igual ou menor que Tm . 24.14 Um cano cilíndrico de metal de raio interno R1, raio externo R2 e condutividade térmica K é circundado por uma jaqueta que tem um raio externo R3 e uma condutividade térmica K′. Se a temperatura na superfície interna da barra for mantida no valor T1, e a temperatura externa for T3, mostre que a temperatura T2 na superfície comum do cano e da jaqueta será T1 K ln ( R3 / R2 ) + T3 K ′ ln ( R2 / R1 ) K ln ( R3 / R2 ) + K ′ ln ( R2 / R1 )

24.15 Mostre que a velocidade de grupo da onda térmica discutida no Ex. 24.4 é o dobro da velocidade de fase.

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24.16 Uma embarcação flutuante de área A se move com movimento uniforme de velocidade v em águas cuja profundidade é h. Mostre que, uma força F = hAv/h é necessária para puxá-la, sendo h a viscosidade da água. (Veja a Fig. 24.26.) F A

Figura 24.26

24.17 Mostre que a quantidade de fluido que passa por unidade de tempo através de uma superfície perpendicular aos planos da Fig. 24.20 e de largura unitária ao longo do eixo Z é (p1 – p2)a3 /12hl. 24.18 Um fluido viscoso (de viscosidade h) se move uniformemente através de um cano horizontal de raio R e comprimento L (Fig. 24.27). A pressão nas extremidades é p1 e p2, com p1 maior que p2 . Mostre que (a) a velocidade do fluido à distância r do eixo é v = = (p1 – p2)(R2 – r2)/4hl, (b) o volume de fluido que atravessa qualquer seção do tubo por unidade de tempo é V = (pR4 /8h)(p1 – p2)/L, resultado conhecido como fórmula de Poiseuille. [Sugestão: considere as forças que atuam sobre uma camada cilíndrica de raio r e r + dr; suponha também que a velocidade do fluido para r = R é nula.]

p1 p2

Figura 24.27

24.19 Uma extremidade de um tubo capilar de 10 cm de comprimento e 1 mm de diâmetro está ligada a um reservatório de água no qual a pressão é de 2 atm. A outra extremidade do tubo capilar está à pressão de 1 atm. O coeficiente de viscosidade da água é 0,01 poise. Qual a quantidade de água que o tubo fornece em 1 segundo? (1 atm ≈ 105 N · m–2.) [Sugestão: use o resultado do Prob. 24.18.] 24.20 Considere o fluxo de um fluido através de uma camada cilíndrica de raio interno R1 e raio externo R2 . A pressão nas extremidades é p1 e p2, com p1 maior do que p2. Determine a velocidade do fluido a uma distância r do eixo e o volume do fluido que atravessa qualquer seção do tubo por unidade de tempo. Compare com o resultado do Prob. 24.18 se R1 = 0 e R2 = R. [Sugestão: observe que a velocidade do fluido é zero para r = R1 e r = R2.] 24.21 Um viscosímetro típico é ilustrado na Fig. 24.28. Consta de um vaso B que continua em um tubo capilar C. Enche-se o vaso com um líquido e mede-se o tempo gasto pela superfície do líquido para passar da marca a para a marca b. Para líquidos de densidades r1 e r2, os tempos são t1 e t2; mostre que a razão entre suas viscosidades é h1/h2 = r1t1/r2t2 .

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Fenômenos de transporte

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a B b

Figura 24.28

C Tubo capilar

24.22 As densidades da acetona e da água a 20 °C são 0,792 e 0,9982 g · cm–3, respectivamente. A viscosidade da água é 1,0050 × 10 –2 poise a 20 °C. Se a água necessita de 120,5 s para se deslocar entre uma marca e outra de um viscosímetro, e a acetona necessita de 49,5 s, qual é a viscosidade da acetona? [Sugestão: veja o Prob. 24.21.] 24.23 A viscosidade da acetona em algumas temperaturas é dada na tabela: Temp., °C

–60

–30

h × 10 2 , poise

0,932

0,575

0,399

0,295

Fazendo um gráfico de ln h versus 1/T, onde T é a temperatura absoluta da acetona, mostre que ln h = a + b/T representa a variação de h com T. Determine as constantes a e b. 24.24 Determine, a partir da Eq. (24.31), o caminho livre médio de moléculas de um gás ideal em função da temperatura e pressão. Calcule o caminho livre médio das moléculas de hidrogênio a 100 °C e 10 –6 atm. Qual é o valor para o oxigênio? Repita para ambos os gases em TPN. 24.25 Dado que o diâmetro molecular do H2 é 2,2 × 10 –10 m, calcule o número de colisões que uma molécula de hidrogênio sofre em 1 s se (a) T = 300 K e p = 1 atm, (b) T = 500 K e p = 1 atm, (c) T = 300 K e p = 10 –4 atm. (d) Calcule o número total de colisões que ocorre por segundo em 1 cm3 para cada um dos casos (a), (b) e (c). 24.26 O diâmetro molecular do N2 (nitrogênio) é cerca de 3,0 × 10 –10 m. (a) Calcule o caminho livre médio do N2 a 300 K e 1 atm e a 0,01 atm. (b) Um sistema de vácuo razoavelmente bom chega a uma pressão de 10 –9 atm. Qual é o caminho livre médio do N2 nessa pressão? (c) Se o diâmetro do tubo evacuado a uma pressão de 10 –9 atm é 5 cm, quantas vezes uma molécula de N2 colide com as paredes entre duas colisões sucessivas com outras moléculas do gás N2? 24.27 Pode ser mostrado que, das N0 moléculas de um gás que sofrem uma colisão em um dado instante, somente o número N = N0 e–x/l terá se movido em uma distância x sem sofrer outra colisão (l é o caminho livre médio). Determine a porcentagem de moléculas que sofrerão sua próxima colisão para x = 0,5 l, l, 2 l, e 10 l. Determine qual deve ser o valor de x, se N é igual a 50% de N0 . 24.28 Um grupo de moléculas de oxigênio começa seu caminho livre médio no mesmo instante, à temperatura de 300 K e uma pressão tal que o caminho livre médio é 2,0 cm.

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Física – um curso universitário

Depois de certo intervalo de tempo, metade das moléculas já sofreu uma segunda colisão e a outra metade ainda não sofreu. Determine esse intervalo de tempo. Suponha que todas as moléculas movam-se com a velocidade média vmed. [Veja o Ex. 24.7 para o valor de vmed.] 24.29 Como variam com a temperatura e pressão os coeficientes D e K para um gás ideal? 24.30 Por simples inspeção da Eq. (24.37), prove que o coeficiente de viscosidade de um gás ideal depende somente da temperatura. Determine, se possível, a extensão e a natureza dessa dependência. 24.31 A viscosidade do dióxido de carbono, em certo intervalo de temperaturas, é dada na tabela a seguir. Faça um gráfico de h versus T , onde T é a temperatura absoluta. Calcule a razão h/ T . Em vista do Prob. 24.30, qual a sua conclusão? Temp., °C

–21

100

182

302

h × 10 6, poise

12,9

13,9

18,6

22,2

26,8

24.32 Calcule os coeficientes D, K e h para o hélio e o oxigênio, em TPN, e compare com os resultados experimentais. 24.33 Obtenha os valores teóricos da razão K/D e h /D para um gás ideal. Compare essas razões com os resultados experimentais para gases reais, os quais são dados na Tab. 24.1. 24.34 Duas placas paralelas, distanciadas em 0,5 cm, são mantidas a 298 K e 301 K. O espaço entre as duas placas é cheio com H2. Calcule o fluxo de calor entre as duas placas, em J · m–2 · s –1. 24.35 O coeficiente de viscosidade da amônia a 0 °C é 9,2 × 10 –5 poise. Calcule o caminho livre médio e a frequência de colisão para uma molécula de hidrogênio, em TPN. Avalie também seu raio. 24.36 O coeficiente de viscosidade do metano a 0 °C é 10,3 × 10 –5 poise. Calcule o diâmetro molecular. 24.37 A 25 °C, o H2 tem uma viscosidade de 8,2 × 10 –5 poise. Se um tubo de 1 m de comprimento permite o fluxo de 1 litro/min sob uma diferença de pressão de 0,3 atm, qual é o diâmetro do tubo? [Sugestão: use a fórmula de Poiseuille dada no Prob. 24.18.] 24.38 Compare as condutividades térmicas do O2 e H2; ignore a diferença nos diâmetros moleculares.

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Apêndice: Relações matemáticas Este apêndice, no qual apresentamos algumas relações matemáticas que são frequentemente usadas no texto, tem a intenção de ser uma referência rapidamente disponível. Em alguns casos foram introduzidas algumas notas matemáticas no próprio texto. Demonstrações e uma discussão da maioria das fórmulas podem ser encontradas em qualquer texto de cálculo, como, por exemplo, Calculus and analytic geometry, 3ª edição (Addison-Wesley, 1963), de G. B. Thomas, ou Curso de cálculo diferencial e integral, W. A. Maurer (Editora Edgard Blücher), ou, ainda, Cálculo – um curso universitário, E. E. Moise (Editora Edgard Blücher). Uma curta introdução aos conceitos básicos do cálculo, em forma programada, pode ser encontrada em Quick calculus: a short manual of self instruction, por D. Kelpner e N. Ramsey (John Wiley & Sons, New York, 1963). Você deverá também consultar algumas tabelas publicadas em forma de livros. Entre essas tabelas estão C. R. C. Standard mathematical tables (Chemical Rubber Company, Cleveland, Ohio, 1963), e Tables of integrais and other mathematical data, 4ª edição, por H. B. Dwight (Macmillan Company, New York, 1961). Recomendamos, ainda, ter à disposição o Handbook of chemistry and physics, cujas edições anuais são publicadas por Chemical Rubber Company (CRC Press)*. Esse manual contém grande quantidade de informações e dados referentes à física, química e matemática.

Relações trigonométricas

Com referência à Fig. M.1, podemos definir as seguintes relações: sen a = y/r, cos a = x/r, tg a = y/x; cosec a = r/y, sec a = r/x, cotg a = x/y; tg a = sen a /cos a ; sen2 a + cos2 a = 1, sec2 a – 1 = tg2 a ; sen (a ± b) = sen a cos b ± cos a sen b ; cos (a ± b) = sen a cos b  cos a sen b ; 1 1 sen a ± sen b = 2 sen 2 (a ± b) cos 2 (a  b); 1 1 cos a + cos b = 2 cos 2 (a + b) cos 2 (a – b); 1 1 cos a – cos b = – 2 sen 2 (a + b) sen 2 (a – b); 1 sen a sen b = 2 [cos(a – b) – cos (a + b)]; 1 cos a cos b = 2 [cos(a – b) + cos (a + b)]; 1 sen a cos b = 2 [sen(a – b) + sen (a + b)]; sen 2a = 2 sen a cos a, cos 2a = cos2 a – sen 2 a ; 1 1 1 1 sen 2 2 a = 2 [1 – cos a), cos2 2 a = 2 (1 + cos a).

(M.1) (M.2) (M.3) (M.4) (M.5) (M.6) (M.7) (M.8) (M.9) (M.10) (M.11) (M.12) (M.13) (M.14)

CRC Press. Disponível em: <http://www.crcpress.com/search/results/1/?kw=Handbook+of+chem istry+and+physics&category=all&x=15&y=12>. Acesso em: 5 maio 2014.

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Física – um curso universitário

Com referência à Fig. M.2, podemos escrever, para qualquer triângulo arbitrário: (M.15) Lei dos senos: a = b = c ; sen A sen B sen C (M.16) Lei dos cossenos: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A. Y r a O

r a

y X

a X

x y

X y

Figura M.1 C

Figura M.2

2. Logaritmos (i) Definição de e: n

1  e = lim  1 +  = 2, 7182818 n →∞  n

(M.17)

As funções exponenciais y = ex e y = e –x estão representadas em forma de gráfico na Fig. M.3. Y

Y 7

7 6

–2

–1

y = ex

y = e–x

–2

–1

Figura M.3

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Apêndice: Relações matemáticas

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(ii) Logaritmos naturais, base e (veja Fig. M.4): y = ln x se x = ey.

(M.18)

y = log x se x = 10y.

(M.19)

Logaritmos comuns base 10:

Os logaritmos naturais e comuns estão relacionados por ln x = 2,303 log x, log x = 0,434 ln x.

(M.20)

Y 2

y = ln x

1 0

Figura M.4

–1 –2

3. Expansão em série de potências (i) A expansão binomial:

(a + b)n = a n + na n −1b + + +

n ( n − 1)

n ( n − 1) ( n − 2)

a n − 3 b3 +  3! n ( n − 1) ( n − 2) ( n − p + 1) p!

a n − 2 b2 (M.21)

a n − pb p + 

Quando n é um inteiro positivo, a expansão tem n + 1 termos. Em todos os outros casos, a expansão tem um número infinito de termos. O caso em que a vale 1 e b é igual a x é frequentemente usado no texto. Assim, a expansão binomial de (1 + x) n é escrita

(1 + x )n = 1 + nx +

n ( n − 1) 2!

x2 +

n ( n − 1) ( n − 2) 3!

x3 + 

(M.22)

(ii) Outras expansões em série são: ex = 1 + x +

1 2 1 3 x + x + 2! 3!

(M.23)

x2 x3 + − 2 3

(M.24)

1 3 1 5 x + x − 3! 5!

(M.25)

ln (1 + x ) = x − sen x = x −

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Física – um curso universitário

cos x = 1 −

1 2 1 4 x + x − 2! 4!

(M.26)

tg x = x +

1 3 2 5 x + x + 3 15

(M.27)

Para x  1, as seguintes aproximação são satisfatórias: (1 + x) n ≈ 1 + nx,

(M.28)

ex ≈ 1 + x, ln (1 + x) ≈ x,

(M.29)

sen x ≈ x, cos x ≈ 1, tg x ≈ x.

(M.30)

Note que, nas Eqs. (M.25), (M.26), (M.27) e (M.30), x deve ser expresso em radianos. (iii) Expansão em série de Taylor: 2 1 2d f   df  f ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 )   + ( x − x0 )  2   dx  0 2 !  dx 

1 nd f  + … + ( x − x0 )  n  + … n!  dx  0 n

(M.31)

Se x – x0  1, uma aproximação útil é  df  f ( x ) ≈ f ( x0 ) + ( x − x0 )   .  dx  0

(M.32)

4. Números complexos Com a definição i2 = – 1 ou i = −1 , eiq = cos q + i sen q,

(M.33)

cos q = 12 e iq + e − iq ,

(

(M.34)

(

(M.35)

sen q =

)

1 iq e − e − iq . 2i

5. Funções hiperbólicas Para visualizar as relações seguintes, veja a Fig. M.5.

( ) senh q = ( e − e ) ,

(M.37)

cosh 2 q – senh 2 q = 1,

(M.38)

senh q = – i sen (iq), cosh q = cos (iq),

(M.39)

sen q = – i senh (iq), cos q = cosh (iq).

(M.40)

cosh q = 12 eq + e −q , 1 2

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−q

(M.36)

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Apêndice: Relações matemáticas

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Y 15

y = cosh x

10 5

–3

–2

Figura M.5

–5 –10

y = senh x

–15

6. Derivadas e integrais básicas ∫ f(u) du

f(u)

df/dx

nu du/dx

u–1

–(1/u2) du/dx

/(n + 1) + C(n ≠ –1) ln u + C

ln u

(1/u) du/dx

u ln u – u + C

eudu/dx

eu + C

sen u

cos u du/dx

–cos u + C

cos u

–sen u du/dx

sen u + C –ln cos u + C

n–1

n+1

tg u

sec u du/dx

cotg u

–cosec2 u du/dx

ln sen u + C

arcsen u

(du dx ) / 1 − u

u sen−1 u + 1 − u 2 + C

senh u

cosh u du/dx

cosh u + C

cosh u

senh u du/dx

senh u + C

Uma regra útil para integração, chamada integração por partes, é

∫ u dv = uv −∫ v du.

(M.41)

Esse método é mais frequentemente usado para calcular a integral da direita, usando a integral da esquerda.

Valor médio de uma função

O valor médio de uma função y = f(x) no intervalo (a, b) é definido por ymed =

b 1 y dx. b−a a

∫

(M.42)

De forma semelhante, o valor médio de y2 é definido por

(y ) 2

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med

b 1 y 2 dx. b−a a

∫

(M.43)

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554

Física – um curso universitário

( )

O termo y 2 é chamado de raiz quadrada do valor quadrático médio ou, med simplesmente, raiz quadrática média de y = f(x) no intervalo (a, b) e, em geral, difere de ymed. É designada yrqm.

8. Relações relativísticas básicas No que segue, v é a velocidade do referencial S′ em relação ao referencial S, e os eixos X e X′ são ambos tomados paralelos a v. Também k = 1/ 1 − v2 / c 2 . (a) Transformação de Lorentz para posição e tempo: x′ = k(x – vt), x = k(x′ + vt′), y′ = y, y = y′, z′ = z, z = z′, (M.44) 2 2 t′ = k(t – vx/c ), t = k(t′ + vx′/c ). (b) Transformação de Lorentz para momento e energia: p′x = k(px – vE/c2), px = k(p′x + vE′/c2), p′y =py, py = p′, p′z = pz, pz = p′, E′ = k(E – vpx), E = k(E′ + vp′x).

(M.45)

(c) Transformação de Lorentz para força (a partícula está momentaneamente em repouso em relação a S′): F′x = Fx, F′y = kFy, F′z = kFz.

(M.46)

(d) Definição de momento: p = m0 v / 1 − v2 / c 2 = km0 v. (e) Relação entre momento e energia: E = c m02 c 2 + p2 .

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Apêndice: Relações matemáticas FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NATURAIS Ângulo Graus Radianos Seno Cosseno Tangente 0° 0,000 0,000 1,000 0,000 1° 0,017 0,017 1,000 0,017 2° 0,035 0,035 0,999 0,035 3° 0,052 0,052 0,999 0,052 4° 0,070 0,070 0,998 0,070 5° 0,087 0,087 0,996 0,088 6° 0,105 0,104 0,994 0,105 7° 0,122 0,122 0,992 0,123 8° 0,140 0,139 0,990 0,140 9° 0,157 0,156 0,988 0,158 10° 0,174 0,174 0,985 0,176 11° 0,192 0,191 0,982 0,194 12° 0,209 0,208 0,978 0,212 13° 0,227 0,225 0,974 0,231 14° 0,244 0,242 0,970 0,249 15° 0,262 0,259 0,966 0,268 16° 0,279 0,276 0,961 0,287 17° 0,297 0,292 0,956 0,306 18° 0,314 0,309 0,951 0,325 19° 0,332 0,326 0,946 0,344 20° 0,349 0,342 0,940 0,364 21° 0,366 0,358 0,934 0,384 22° 0,384 0,375 0,927 0,404 23° 0,401 0,391 0,920 0,424 24° 0,419 0,407 0,914 0,445 25° 0,436 0,423 0,906 0,466 26° 0,454 0,438 0,899 0,488 27° 0,471 0,454 0,891 0,510 28° 0,489 0,470 0,883 0,532 29° 0,506 0,485 0,875 0,554 30° 0,524 0,500 0,866 0,577 31° 0,541 0,515 0,857 0,601 32° 0,558 0,530 0,848 0,625 33° 0,576 0,545 0,839 0,649 34° 0,593 0,559 0,829 0,674 35° 0,611 0,574 0,819 0,700 36° 0,628 0,588 0,809 0,726 37° 0,646 0,602 0,799 0,754 38° 0,663 0,616 0,788 0,781 0,629 0,777 0,810 39° 0,681 40° 0,698 0,643 0,766 0,839 41° 0,716 0,656 0,755 0,869 42° 0,733 0,669 0,743 0,900 43° 0,750 0,682 0,731 0,932 44° 0,768 0,695 0,719 0,966 45° 0,785 0,707 0,707 1,000

25 Cap.apendice 25_Fisica_v.2.indd 555

555

Ângulo Graus Radianos

Seno

Cosseno Tangente

46° 47° 48° 49° 50° 51° 52° 53° 54° 55° 56° 57° 58° 59° 60° 61° 62° 63° 64° 65° 66° 67° 68° 69° 70° 71° 72° 73° 74° 75° 76° 77° 78° 79° 80° 81° 82° 83° 84° 85° 86° 87° 88° 89° 90°

0,719 0,731 0,743 0,755 0,766 0,777 0,788 0,799 0,809 0,819 0,829 0,839 0,848 0,857 0,866 0,875 0,883 0,891 0,899 0,906 0,914 0,920 0,927 0,934 0,940 0,946 0,951 0,956 0,961 0,966 0,970 0,974 0,978 0,982 0,985 0,988 0,990 0,992 0,994 0,996 0,998 0,999 0,999 1,000 1,000

0,695 0,682 0,669 0,656 0,643 0,629 0,616 0,602 0,588 0,574 0,559 0,545 0,530 0,515 0,500 0,485 0,470 0,454 0,438 0,423 0,407 0,391 0,375 0,358 0,342 0,326 0,309 0,292 0,276 0,259 0,242 0,225 0,208 0,191 0,174 0,156 0,139 0,122 0,104 0,087 0,070 0,052 0,035 0,018 0,000

0,803 0,820 0,838 0,855 0,873 0,890 0,908 0,925 0,942 0,960 0,977 0,995 1,012 1,030 1,047 1,065 1,082 1,100 1,117 1,134 1,152 1,169 1,187 1,204 1,222 1,239 1,257 1,274 1,292 1,309 1,326 1,344 1,361 1,379 1,396 1,414 1,431 1,449 1,466 1,484 1,501 1,518 1,536 1,553 1,571

1,036 1,072 1,111 1,150 1,192 1,235 1,280 1,327 1,376 1,428 1,483 1,540 1,600 1,664 1,732 1,804 1,881 1,963 2,050 2,144 2,246 2,356 2,475 2,605 2,748 2,904 3,078 3,271 3,487 3,732 4,011 4,332 4,705 5,145 5,671 6,314 7,155 8,144 9,514 11,430 14,301 19,081 28,636 57,290 ∞

16/01/2015 11:15:34

556

Física – um curso universitário

LOGARITMOS COMUNS N 0 1 0 0000 1 0000 0414 2 3010 3222 3 4771 4914 4 6021 6128 5 6990 7076 6 7782 7853 7 8451 8513 8 9031 9085 9 9542 9590 10 0000 0043 11 0414 0453 12 0792 0828 13 1139 1173 14 1461 1492 15 1761 1790 16 2041 2068 17 2304 2330 18 2553 2577 19 2788 2810 20 3010 3032 21 3222 3243 22 3424 3444 23 3617 3636 24 3802 3820 25 3979 3997 26 4150 4166 27 4314 4330 28 4472 4487 29 4624 4639 30 4771 4786 31 4914 4928 32 5051 5065 33 5185 5198 34 5315 5328 35 5441 5453 36 5563 5575 37 5682 5694 38 5798 5809 39 5911 5922 40 6021 6031 41 6128 6138 42 6232 6243 43 6335 6345 44 6435 6444 45 6532 6542 46 6628 6637 47 6721 6730 48 6812 6821 49 6902 6911

2 3010 0792 3424 5051 6232 7160 7924 8573 9138 9638 0086 0492 0864 1206 1523 1818 2095 2355 2601 2833 3054 3263 3464 3655 3838 4014 4183 4346 4502 4654 4800 4942 5079 5211 5340 5465 5587 5705 5821 5933 6042 6149 6253 6355 6454 6551 6646 6739 6830 6920

3 4771 1139 3617 5185 6335 7243 7993 8633 9191 9685 0128 0531 0899 1239 1553 1847 2122 2380 2625 2856 3075 3284 3483 3674 3856 4031 4200 4362 4518 4669 4814 4955 5092 5224 5353 5478 5599 5717 5832 5944 6053 6160 6263 6365 6464 6561 6656 6749 6839 6928

4 6021 1461 3802 5315 6435 7324 8062 8692 9243 9731 0170 0569 0934 1271 1584 1875 2148 2405 2648 2878 3096 3304 3502 3692 3874 4048 4216 4378 4533 4683 4829 4969 5105 5237 5366 5490 5611 5729 5843 5955 6064 6170 6274 6375 6474 6571 6665 6758 6848 6937

5 6990 1761 3979 5441 6532 7404 8129 8751 9294 9777 0212 0607 0969 1303 1614 1903 2175 2430 2672 2900 3118 3324 3522 3711 3892 4065 4232 . 4393 4548 4698 4843 4983 5119 5250 5378 5502 5623 5740 5855 5966 6075 6180 6284 6385 6484 6580 6675 6767 6857 6946

6 7782 2041 4150 5563 6628 7482 8195 8808 9345 9823 0253 0645 1004 1335 1644 1931 2201 2455 2695 2923 3139 3345 3541 3729 3909 4082 4249 4409 4564 4713 4857 4997 5132 5263 5391 5514 5635 5752 5866 5977 6085 6191 6294 6395 6493 6590 6684 6776 6866 6955

7 8451 2304 4314 5682 6721 7559 8261 8865 9395 9868 0294 0682 1038 1367 1673 1959 2227 2480 2718 2945 3160 3365 3560 3747 3927 4099 4265 4425 4579 4728 4871 5011 5145 5276 5403 5527 5647 5763 5877 5988 6096 6201 6304 6405 6503 6599 6693 6785 6875 6964

8 9031 2553 4472 5798 6812 7634 8325 8921 9445 9912 0334 0719 1072 1399 1703 1987 2253 2504 2742 2967 3181 3385 3579 3766 3945 4116 4281 4440 4594 4742 4886 5024 5159 5289 5416 5539 5658 5775 5888 5999 6107 6212 6314 6415 6513 6609 6702 6794 6884 6972

9 9542 2788 4624 5911 6902 7709 8388 8976 9494 9956 0374 0755 1106 1430 1732 2014 2279 2529 2765 2989 3201 3404 3598 3784 3962 4133 4298 4456 4609 4757 4900 5038 5172 5302 5428 5551 5670 5786 5899 6010 6117 6222 6325 6425 6522 6618 6712 6803 6893 6981 continua

25 Cap.apendice 25_Fisica_v.2.indd 556

16/01/2015 11:15:34

Apêndice: Relações matemáticas

557

continuação

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

6990 7076 7160 7243 7324 7404 7482 7559 7634 7709 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 8388 8451 8513 8573 8633 8692 8751 8808 8865 8921 8976 9031 9085 9138 9191 9243 9294 9345 9395 9445 9494 9542 9590 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956 0000

25 Cap.apendice 25_Fisica_v.2.indd 557

6998 7084 7168 7251 7332 7412 7490 7566 7642 7716 7789 7860 7931 8000 8069 8136 8202 8267 8331 8395 8457 8519 8579 8639 8698 8756 8814 8871 8927 8982 9036 9090 9143 9196 9248 9299 9350 9400 9450 9499 9547 9595 9643 8689 9736 9782 9827 9872 9917 9961 0004

7007 7093 7177 7259 7340 7419 7497 7574 7649 7723 7796 7868 7938 8007 8075 8142 8209 8274 8338 8401 8463 8525 8585 8645 8704 8762 8820 8876 8932 8987 9042 9096 9149 9201 9253 9304 9355 9405 9455 9504 9552 9600 9647 9694 9741 9786 9832 9877 99219965 0009

7016 7101 7185 7267 7348 7427 7505 7582 7657 7731 7803 7875 7945 8014 8082 8149 8215 8280 8344 8407 8470 8531 8591 8651 8710 8768 8825 8882 8938 8993 9047 9101 9154 9206 9258 9309 9360 9410 9460 9509 9557 9605 9652 9699 9745 9791 9836 9881 9926 9969 0013

7024 7110 7193 7275 7356 7435 7513 7589 7664 7738 7810 7882 7952 8021 8089 8156 8222 8287 8351 8414 8476 8537 8597 8657 8716 8774 8831 8887 8943 8998 9053 9106 9159 9212 9263 9315 9365 9415 9465 9513 9562 9609 9657 9703 9750 9795 9841 9886 9930 9974 0017

7033 7118 7202 7284 7364 7443 7520 7597 7672 7745 7818 7889 7959 8028 8096 8162 8228 8293 8357 8420 8482 8543 8603 8663 8722 8779 8837 8893 8949 9004 9058 9112 9165 9217 9269 9320 9370 9420 9469 9518 9566 9614 9661 9708 9754 9800 9845 9890 9934 9978 0022

7042 7126 72ro 7292 7372 7451 7528 7604 7679 7752 7825 7896 7966 8035 8102 8169 8235 8299 8363 8426 8488 8549 8609 8669 8727 8785 8842 8899 8954 9009 9063 9117 9170 9222 9274 9325 9375 9425 9474 9523 9571 9619 9666 9713 9759 9805 9850 9894 9939 9983 0026

7050 7135 7218 7300 7380 7459 7536 7612 7686 7760 7832 7903 7973 8041 8109 8176 8241 8306 8370 8432 8494 8555 8615 8675 8733 8791 8848 8904 8960 9015 9069 9122 9175 9227 9279 9330 9380 9430 9479 9528 9576 9624 9671 9717 9763 9809 9854 9899 9943 9987 0030

7059 7143 7226 7308 7388 7466 7543 7619 7694 7767 7839 7910 7980 8048 8116 8182 8248 8312 8376 8439 8500 8561 8621 8681 8739 8797 8854 8910 8965 9020 9074 9128 9180 9232 9284 9335 9385 9435 9484 9533 9581 9628 9675 9722 9768 9814 9859 9903 9948 9991 0035

7067 7152 7235 7316 7396 7474 7551 7627 7701 7774 7846 7917 7987 8055 8122 8189 8254 8319 8382 8445 8506 8567 8627 8686 8745 8802 8859 8915 8971 9025 9079 9133 9186 9238 9289 9340 9390 944a 9489 9538 9586 9633 9680 9727 9773 9818 9863 9908 9952 9996 0039

16/01/2015 11:15:34

558

Física – um curso universitário

FUNÇÕES EXPONENCIAIS x

e–x

0,00

1,0000

2,5

12,182

0,0821

0,05

1,0513

0,9512

2,6

13,464

0,0743

0,10

1,1052

0,9048

2,7

14,880

0,0672

0,15

1,1618

0,8607

2,8

16,445

0,0608

0,20

1,2214

0,8187

2,9

18,174

0,0550

0,25

1,2840

0,7788

3,0

20,086

0,0498

0,30

1,3499

0,7408

3,1

22,198

0,0450

0,35

1,4191

0,7047

3,2

24,533

0,0408

0,40

1,4918

0,6703

3,3

27,113

0,0369

0,45

1,5683

0,6376

3,4

29,964

0,0334

0,50

1,6487

0,6065

3,5

33,115

0,0302

0,55

1,7333

0,5769

3,6

36,598

0,0273

0,60

1,8221

0,5488

3,7

40,447

0,0247

0,65

1,9155

0,5220

3,8

44,701

0,0224

0,70

2,0138

0,4966

3,9

49,402

0,0202

0,75

2,1170

0,4724

4,0

54,598

0,0183

0,80

2,2255

0,4493

4,1

60,340

0,0166

0,85

2,3396

0,4274

4,2

66,686

0,0150

0,90

2,4596

0,4066

4,3

73,700

0,0136

0,95

2,5857

0,3867

4,4

81,451

0,0123

1,0

2,7183

0,3679

4,5

90,017

0,0111

1,1

3,0042

0,3329

4,6

99,484

0,0101

1,2

3,3201

0,3012

4,7

109,95

0,0091

1,3

3,6693

0,2725

4,8

121,51

0,0082

1,4

4,0552

0,2466

4,9

134,29

0,0074

1,5

4,4817

0,2231

148,41

0,0067

1,6

4,9530

0,2019

403,43

0,0025

1,7

5,4739

0,1827

1096,6

0,0009

1,8

6,0496

0,1653

2981,0

0,0003

1,9

6,6859

0,1496

8103,1

0,0001

2,0

7,3891

0,1353

22026

0,00005

2,1

8,1662

0,1225

2,2

9,0250

0,1108

2,3

9,9742

0,1003

2,4

11,023

0,0907

25 Cap.apendice 25_Fisica_v.2.indd 558

16/01/2015 11:15:35

Respostas a alguns dos problemas ímpares

Capítulo 14 14.1

4,21 × 10 –8 N; 1,16 × 1036

14.3

4,14 × 1044; 1,16 × 1036

14.5

(d + 21 sen q)2 tg q = 9 × 109(q2 /mg)

14.7

(a) 4,8 × 10 –15 N; (b) 5,28 × 1015 m · s –2 = 5,38 × 1014 g

14.9

(a) 1,011 × 103 N · C –1; (b) 2,67 × 105 m · s –1

14.11

(a) 5,69 × 10 –9 s; (b) 1,42 × 10 –2 m; (c) 9,86 × 10 –2 m

14.13

14.15

(a) 2,5 × 10 –4 m · s –1;

(b) 0,984 × 10 –4, 1,571 × 10 –4, 2,159 × 10 –4, 3,333 × 10 –4, 5,095 × 10 –4 m · s –1; (c) 3,484 × 10 –4, 4,071 × 10 –4, 4,659 × 10 –4, 5,833 × 10 –4, 7,595 × 10 –4 m · s –1; (d) a constante é 0,587 × 10–4 e o excesso de carga é 6, 7, 8, 10, e 13, respectivamente, (e) 1,6017 × 10 –19 C 14.17

951 V

14.19

(a) –4,5 × 10 –3 N (atrativa), 9 × 10 –3 N (em direção à carga de 3 × 10 –7 C),

–13,5 × 10 –3 N (atrativa); (b) 9 × 10 –4 J, –45 × 10 –4J, 0 J; (c) –18 × 10 –4 J, que é a metade do valor da soma dos resultados de (b) porque cada par foi considerado duas vezes em (b) 14.21

8,59 × 1028 m · s –2, 4,88 × 10 –12 J; (b) 3,82 × 107 m · s –1

14.23

2 × 10 –7 C, 3 m

14.25

2,88 × 103 V

14.27

(a) –1,8 × 104 V, –3,6 × 105 V; (b) 4,22 × 105 V, 1,123 × 108 N ·C –1;

(c) 1,04 × 106 V, 1,125 × 108 N · C –1; (d) –9 × 103 V, 2,38 × 105 N · C –1, formando um ângulo de 19,1° com a reta que passa pelas duas cargas; (e) na reta que passa pelas duas cargas, em um ponto a 0,445 m da primeira, mas fora delas 14.29

(b) 2q/4pe0 ; (e) x = ± 4 − a 2 ; (f) 2q/4pe0 x(a2 + x2) 3/2

14.33

(a) ux50 N · C –1; (b) ux10,8 N · C –1

14.37

(a) –4,358 × 10 –18 J; (b) 2,179 × 10 –18 J; (c) –2,179 × 10 –18 J;

(d) 6,56 × 1015 Hz 14.39

(a) (e2 /4pe0)(–8/r + 1/R); (b) (e2 /4pe0)(–4/r + 1/R + 1/R0), onde r é a distância entre o núcleo e o elétron, R é a distância entre os elétrons, e R0 é a distância entre os núcleos.

26 respostas 26_Fisica_v.2.indd 559

16/01/2015 11:15:58

560

Física – um curso universitário

14.41 Não relativístico: 4 −1 ve = 5, 931 × 10 5 V m ⋅ s −1 e v p = 1, 384 × 10 V m ⋅ s , onde V é dado em volts 14.43 Para o elétron: (a) 4,662 × 104 V; (b) 2,945 × 105 V; (c) 7,86 × 105 V; para o próton: (a) 8,56 × 107 V; (b) 5,407 × 108 V; (c) 1,443 × 109 V. 14.45 0,215c −1/ 2 14.47 (b) (1/ v ) ( 2e / m ) V0 ; (c) neV0 ; (d) L1 n 1 + nv 2 L12 / 2c 2    14.49 1,44 MeV 14.51 16,02 MeV, 1,001 MeV/próton; 80,09 MeV, 2,002 MeV/próton; 250,0 MeV, 2,747 MeV/ /próton; 486,8 MeV, 3,380 MeV/próton; 779,0 MeV, 3,895 MeV/próton; 973,7 MeV, 4,091 MeV/próton 14.53 (a) 11,5 × 10 –14 m; (b) aproximadamente 11,5 vezes o raio nuclear 14.55 (a) 3,52 × 106 m · s –1, 3,52 × 10 –3 m; (b) 17,9 cm 14.57 (b) 2,52 × 106 m · s –1; (c) 2,29 × 106 m · s –1; (d) 6,0 × 103 N · C –1, 1,0 × 103 N · C –1; (e) 1,056 × 1018 m · s –2, 1,76 × 1017 m · s –2 14.59 (a) 1,22 × 107 m · s–1, 3,783 × 107 m · s–1; (b) 3,975 × 107 m · s–1, aprox. 18° com o sentido do campo; (c) 6,10 × 10 –1 m, 7,695 × 10 –1 m; (d) 7,195 × 10 –16 J ou 4,49 × 103 eV 14.61 5,57 × 10 –16, 1,02 × 10 –15 14.63 qs /2me0 ; 2az ; 2 z / a 14.65 (a) Uma parábola; (b) (v0 sena)2 /2a = zmax; (c) 2v0 cos a 2 zmax a , onde a é ângulo inicial acima da horizontal e a = s /2me0 ∞ n −1   1 −1n − i   2 2 − q / p e a ln 2 − 2 + 14.67     ≈ 0, 56 − q / p e 0 a 0 2 2 2 n + i    n =1 i =1  8 n

(

14.69

)

(

∑∑

)

(s / 2e 0 ) ( R 2 + r 2 − r ) ; (a/4e ) ln (R /r + 1) 2

(b) E⊥ = (2/4pe0 R) sen q ; E  = 0 s /2e0 ; − 12 (s / e 0 ) z Em relação ao eixo dos Y: Q = –3qa2, V = –Q/12pe0y3, E = –Q/3pe0y4; em relação ao eixo dos Z, o mesmo do eixo dos Y, com exceção de que são todos positivos e de que os y devem ser substituídos por z. 14.79 sen–1 (e2 /4pe0) (1/aEk), onde Ek é a energia cinética do próton. 14.83 (b) 4,8 × 10 –10 stC; (c) Ke = 1 dyn · cm 2 · stC –2, e 0 = 41 p stC 2 ⋅ dyn −1 ⋅ cm −2 ; (d) 13 × 10 −4 dyn ⋅ stC −1 = 1 N ⋅ C −1 −20 −1 −2 14.85 Ke = 9 × 1020 dyn · cm 2 · abcoulomb –2; e 0 = 41 p 91 × 10 dyn ⋅ cm · abcou2 10 lomb ; 1 abcoulomb = 3 × 10 stC 14.87 V = 9 × 109 q/r; E = 9 × 109 q/r2 14.89 Para o hidrogênio: –13,598 eV, –3,3995 eV, –1,511 eV, –0,8499 eV; 10,2 eV; para o íon de hélio: –54,392 eV, –13,598 eV, –6,039 eV, –3,3995 eV; 40,794 eV 14.71 14.73 14.77

( )

( )( )

Capítulo 15 15.1 15.3

5,68 × 10 –5 T; 107 s –1 (a) 3,48 × 10 –2 m; (b) 3,79 × 10 –1 m; (c) 1,44 × 108 s –1

26 respostas 26_Fisica_v.2.indd 560

16/01/2015 11:15:59

Respostas a alguns dos problemas ímpares

561

15.5 (a) 0,528 m, 43,7 × 10 –8 s; (b) 1,74 m, 1,43 × 10 –6 s 15.7 2,13 × 10 –2 m 15.9 (a) 3,2 × 10 –3 m; (b) 6,4 × 10 –3 m 15.11 F1 = uzqvB; F2 = 0; F3 = u z qvB/ 2 ; F4 = −u x qvB/ 2; F5 = –uxqvB; F6 = −u z qvB / 3 + u x qvB / 3 15.13 2 × 10 –1 T no sentido negativo dos Y 15.15 (a) 1,7 × 107 m · s –1; (c) 4,83 × 10 –2 m 15.17 (a) 1,0206 R; (b) 960 V 15.21 1,24 × 103 m 15.25 Para o dêuteron: (a) 2,087 × 10 –1 T; (b) 4 × 106 m · s–1; (c) 0,17 MeV; (d) 9 (8,5). Para a partícula alfa: (a) 2,074 × 10 –1 T; (b) 4 × 106 m · s–1; (c) 0,33 MeV; (d) 8 (8,2) 15.27 (a) 0,209 T; (b) 0,136 MeV, 3,2 × 106 m · s –1 15.29 1,57 m 15.33 (a) d2r/dt2 = (q/m)(E + v × B); (c) x = (v0 m/qB) sen (qB/m)t, y = 12 ( qE/ m ) t 2, z = –(m/qB) cos (qB/m)t; (e) aceleração retilínea constante 15.39 3,78 × 108 A · m–2 15.41 (a) 4,5 × 10 –3 N · m; (b) 4 × 10 –2 A · m 2; (c) 8,07 × 10 –2 N · m 15.43 (a) uy (1,32 × 10 –2) T; (b) o momento de dipolo magnético e o campo têm o mesmo sentido; portanto não existe conjugado. 15.45 0,3 rad 15.47 (a) –uz (10 –2)N; (b) ux (–5 × 10 –4) + uy (10 –3)N · m 15.49 (a) 8,804 × 1010 s –1; (b) 1,337 × 108 s –1 15.51 1 15.59 2,403 × 10 –20 N 15.63 (a) m0 I/pa; (b) m0 I/3pa; (c) 0,2m0 I/3pa 15.65 (b) ux (m0 Ia/pr2) onde r2 = a2 + x2 ; (d) x = 0. Para pontos do eixo dos Y. (b) uy (m0 Ia/pr2) onde r2 = a2 – y2; (d) y = ±a 15.67 15 15.69 (a) (m0 j/p) arc tg(w/2d); (b) 12 m 0 j 15.71 15.73 15.75

1,02 × 10 –2 m 46,26 A F′1 = F1, F′2 = –F′1 quando as cargas estão nos eixos dos X; quando as cargas

15.77 15.79

estão no eixo dos Y′, F1 = 1 − v 2 / c 2 F1′ . 1; 1,005; 1,15; 2,29 (a) 2,31 × 10 –20 N repulsão, 2,57 × 10 –25 N atração: (b) 2,31 × 10 –20 N repulsão; (c) 3,85 × 10 –20 N, 2,46 × 10 –20 N

Capítulo 16 16.1

(a) Para o campo elétrico: q / 4pe 0 r 2 ,

26 respostas 26_Fisica_v.2.indd 561

3 2 3 2

(q / 4pe r ) Rr −− RR , 0

3 1

16/01/2015 11:16:00

562

Física – um curso universitário

para o potencial elétrico

( q / 8pe 0 r )

q / 4pe 0 r,

3 R22 r − r 3 − 2 R23 R13 − R23

16.3 (a) –e/pa30 ; (b) –0,424e; (c) (–e/4pe 0r2)[1 + e–2r/a0 – 2(1 + r/a0)2 e–2r/a0 ]; (d) x2 + 4x + 2 = 2 × 10 –2 ex, logo x = r/a0 = 4,48 16.5 (a) ca3, e0 ca3, 2e0 cx; (b) 0, 0, 0 16.7 (a) (10/13) × 10 –9 C e (3/13) × 10 –9 C; (b) 4,5 × 10 –9 J; (c) 3,46 × 10 –9 J 16.9 (c) 4pe0 E 0 a3 (d) E 0 cos q (1 + 2a3 /r3); –E 0 sen q (1 – a3 /r3); (g) –(6E 0e0 /a) cos q 16.11 (a) 16,5; (b) 15,5 16.15 (a) 0,484 m 2; (b) 103 V 16.17 (a) 380 nF; (b) 7,6 × 103 V; (c) 1,443 × 10 –3J; (d) 1,37 × 10 –3J 16.21 Em série: (a) 32 mF ; (b) 43 × 10 −5 F , 80/9, 60/9, e 40/9 V; (c) 43 × 10 −4 J ; em paralelo: (a) 6,5 mF; (b) 3 × 10 –5, 4 × 10 –5, e 6 × 10 –5 F, 20 V; (c) 13 × 10 –4 J 16.23 (a) C1 : 6 × 10 –4 C, 200 V; C2 : 2 × 10 –4 C, 100 V; C3 : 4 × 10 –4 C, 100 V; (b) 9 × 10 –2 J

(

)

) constante: (a) como o anterior; (b) (e SV / x ) dx; (c) (e SV / x ) 16.27

(

(a) ×(e0 S/x2)dx; (b) 12 Q /e 0 S dx ; (c) 12 Q 2 /e 0 S . Quando o potencial é mantido 1 2

16.31 16.33

16.35 16.37 16.41 16.43 16.47 16.49 16.51 16.55 16.59 16.67

1 2

2,06 × 10 –14 s (a) 9Ω; 3Ω: 48 A, 144 V; 12Ω: 8 A, 96 V; 6Ω: 16 A, 96 V; 4Ω: 24 A, 96 V; 20Ω: 12 A, 240 V; 5Ω: 60 A 300 V; (b) 10Ω; 7Ω: 24 A, 168 V; 12Ω: 6 A, 72 V; 3Ω: 4 A, 12 V; 6Ω: 2 A, 12 V; 10Ω: 6 A, 60 V; 18Ω: 4 A, 72 V; 9Ω: 8 A, 72 V; (c) 7,5Ω; 4Ω: 9 A, 36 V; 9Ω: 6 A, 54 V; 16Ω: 3 A, 48 V; 3Ω: 2 A, 6V; 30Ω: 3 A, 90 V; (d) a corrente em cada resistor é de 10 A, com exceção do resistor do centro, pois não há diferença de potencial entre suas extremidades (a) 32Ω; (b) 20 V 90 W (a) é dobrada; (b) cai pela metade; (c) é reduzida a um quarto (a) não; (b) 1,48Ω; (c) 1,24Ω (a) 2,8286 V; (b) 1,33 V (a) 1 A; (b) 8 V; (c) 12Ω: 181 A; 6Ω: 91 A; 4Ω: 61 A ; 22Ω: 13 A; 8Ω: 32 A; 5Ω: 158 A; 20Ω: 152 A (a) – − 92 V ; (b) 13 A 28 (a) 5 × 10 –5 Ω; (b) 2,5 × 105Ω Para r < R1, (m0 /2p) (Ir/R21); para R1 < r < R2, (m0 /2p) I/r; para R2 < r < R3, (m0 I/2pr) (R23 – r2)/(R23 – R22); para r > R3, 0 (a) –0,24 Wb; (b) 0; (c) 0,24 Wb

Capítulo 17 17.1 (a) –16p V; (b) + 16p V; (c) + 32p V; (d) 16p V; (e) 32p V 17.5 (a) Círculos concêntricos, sentido horário; (b) 5 × 10 –3 N · C –1, p × 10 –3 V; (c) 1,57 × 10 –3 A; (d) 0; (e) o conceito de diferença de potencial é utilizável apenas para condições estacionárias; (f) 3,14 × 10 –3 V

26 respostas 26_Fisica_v.2.indd 562

16/01/2015 11:16:02

Respostas a alguns dos problemas ímpares

17.7 17.9 17.13 17.19 17.23 17.27 17.31 17.33 17.35 17.39 17.41

563

17.43

(a) 2 V; (b) 2t V; (c) 0,0; (d) 1 A, t A 3 V; a extremidade a está no potencial mais alto (a) 7,2 × 10 –2 Wb · A–1; (b) 2,9 × 10 –1 Wb; (c) 4,8 × 10 –1 V m0 N A/ 2pR, onde A é a área da seção reta das bobinas e R é o raio do toroide m0 Iabv/2p (r + vt) (r + a + vt) (b) q = (B/A)(eAt/R – 1), I = (B/R) eAt/R, onde A = (C2 – C1)/ C1C2 e B = q0 /C2 (a) I = Cw f VE0 cos w f t (a) 5 × 10 –4 A; (b) 5 × 10 –2 A; (c) 5 A (a) 5 × 10 –2 A; (b) 5 × 10 –3 A; (c) 5 × 10 –4 A (a) 0,38p sen 20p t V; (b) 0,19 p sen (20p t – p × 10 –2) A (a) 98,21 A, 10,9º; (b) 98,21 sen (120p t – 10,9º) V, 35,35p sen (120p t – 79,1º)V, (409,2/p) sen (120p t – 100,9º) V (a) 0A; (b) 1 A; (c) 9,804 A; (d) 50 A; (e) 9,804 A; (f) 1 A

17.45

2 2 2 Circuito: 1: 1/ Z = 1/ R + w f / C , arc tg (–w f R/C);

(

circuito 2: 1/Z = (1/w f L) – w f /C, 90º; circuito 3: 1/ Z = 1/ R 2 + 1/ w f L − w f / C arc tg (R/w f LC)(C – w 2f L) 17.47 (c) Impedância infinita 17.53 q/e0

) , 2

Capítulo 18 18.3 18.9

(a) 10 m; (b) 0,5 m; (c) 100 Hz; (d) 50 m · s–1 (a) 8,86 × 10 –3 m, 1,69 × 10 –2 m, 2,35 × 10 –2 m; (b) 8,86 × 10 –3 m, 2,99 × 10 –3 m, – 2,99 × 10 –3 m; (c) – 0,06 cos (3x – 2t), 6 × 10 –2 m · s –1; (d) 0,667 m · s–1 18.11 (a) x = 10 –4 sen 2p (1,98 × 10 –3 x – 10t); (b) 1,56p2 × 10 –2 J · m–2; (c) 3.16p3 × 10 –5 W; (d) cerca de 1 mW 18.13 15,6 m · s –1 18.15 3,20 × 103 m · s –1 18.17 (a) aumenta de 2 ; (b) diminui de 1/ 2 ; (c) 4 vezes; (d) vezes 41 18.19 99 m · s–1 18.21 (a) 12,8 m · s–1; (b) 0,268 m · s –1; (c) x = 10 −3 sen 2p 13 x − 4, 3t ; (d) 5,5 × 10 –2 W 18.23 (a) 1,25 × 10 –2 m; (b) 6,25 × 10 –3 m, 4,9 × 102 N; (c) 5,06 × 103 m · s –1, 1,60 × 105 m · s –1 18.27 0,579 m · s –1 · K–1 18.29 (a) r = r0 [1 + (P 0 /k) sen 2p (x/l – t/P)]; x = (P 0l/k 2p) cos 2p (x/l – t/P) 18.31 Para o som mais fraco: 4,49 × 10 –13 W · m–2, – 3,5 db, 1,43 × 10 –11 m; para o som mais alto: 0,881 W · m–2, 119 db, 2,00 × 10 –5 m 18.33 (a) Ela é aumentada por um fator 4; (b) ela é aumentada por um fator de 10 18.35 (a) 57,9; (b) 2,98 × 10 –2 18.37 (a) 1,869 × 102 m · s –1; (b) 18,75 m · s –1; (c) 7,342 m · s –1; (d) 7,089 m · s –1

(

18.41

{

)

}

x = x 0 2 cos 12 (k − k′ ) x − (w − w ′ ) t  + 1 sen (kx − w t )

26 respostas 26_Fisica_v.2.indd 563

16/01/2015 11:16:02

564

Física – um curso universitário

18.43 18.47

3vp − 2 Y / r ; Y / r (a) 529,2 Hz; (b) 470,4 Hz

18.49

(a) 1,088 × 103 Hz; (b) 9,117 × 102 Hz

18.55

s = 12 (1 − Y / 3k )

18.57

0,2902, 2,54 × 1010 N · m–2; –0,1007, 1,44 × 1010 N · m–2

18.59

(a) v = k − a (w é imaginário); (b) não; (c) não

Capítulo 19 19.1

(a) 3 m, linearmente polarizada no plano XY, propaga-se na direção +X;

19.3

(a) E x = 0, E y = E z = E 0 sen (kx – wt), B x = 0, B y = – E z /c, B z = E z /c;

(b) B x = B y = 0, B z = 61 × 10 −8 cos  2p × 10 8 (t − x / c) ; (c) 3,316 × 10 –4 W · m–2 (b) E x = 0, E y = − 12 E 0 sen (kx − w t ), E z =

( 3 / 2 )E sen (kx − w t) , B = 0, 0

B y = – E z /c, B z = E y /c; (c) E x = 0, E y = E 0 cos (kx – wt), E z = E 0 sen (kx – wt), B x = 0, B y = –E z /c, B z = E y /c; (d) E x = 0, E y = E 0 cos (kx – wt), E z = 12 E 0 sen (kx − w t ), B x = 0, B y = –E z /c, B z = E y /c 19.5

19.7 19.9 19.11 19.13

(a) Circularmente polarizada a direita; (b) linearmente polarizada, a 315º com o plano XY; (c) elipticamente polarizada a direita, com o eixo maior a 315º com o plano XY; (d) elipticamente polarizada a esquerda, com o eixo maior a 45º com o plano XY; em cada caso B y = – E z /c e B z = E y /c E y = 24p cos 4p × 10 6 ( x − ct ) N ⋅ C −1 ; B z = (E y /c) T 1,15 × 103 N · C –1, 3,84 × 10 –6 T 1 × 10 −7 T , 133 W 3 (a) 13 × 10 −9 T ; (b) 1,33 × 10 –6 W · m–2; (c) 4,42 × 10 –15 J · m–3; (d) 167 W

19.21

(a) 796 W · m–2; (b) 7,75 × 102 N · C –1, 2,58 × 10 –6 T; (c) 2,652 × 10 –6 J · m–3, 8,84 × × 10 –15 m–2 · kg · s–1

19.23

(a) 2,02 × 10 –12 W; (b) 4,95 × 1011 moléculas (cerca de 8 × 10 –11% de um mol)

19.27

(a) 4,01 × 1011 eV · s –1, 0,563 eV por revolução; (classicamente, então, a órbita do elétron somente duraria 10 –11 s ou dessa ordem); (b) 1,10 × 10 –2 eV · s –1, 5,22 × × 10 –10 eV · rev–1; (c) 3,26 × 10 –9 eV · s –1, 6,63 × 10 –15 eV · rev –1

19.31

2,11 × 1016 · s –1; 3,80 × 1025, comparando com aproximadamente 1025 por m3.

19.33

1,82 × 1016 · s –1; n = 1 + 6,05 × 1028 /(3,29 × 1032 – w 2); 1,00019; 1,00018

19.35

(a) 1,24 × 10 –9 m; (b) 1,24 × 10 –6 m; (c) 1,24 × 10 –4 m

19.37

(a) 274 MeV; (b) 40 MeV

19.39

Para o létron: 5,402 × 10 –23 kg · m · s–1, 104 eV; para o próton: 4,868 × 10 –23 kg · m · s –1 (na direção oposta), 2,8 eV

19.41

(a) 4,555 × 1014 Hz; (b) 1,88 eV; (c) 4,1274 × 10 –15 J · s · C –1

19.43

(a) 1,704 × 1010 elétrons m–2 · s –1; (b) 3,0 × 10 –9 W · m–2

19.45

(a) 98,81 eV, 2,39 × 1016 Hz, 1,21 × 10 –12 m; (b) 98,81 eV, 5,37 × 10 –24 kg · m · s–1, 60,5°

19.47

(a) 1,012 × 10 –10 m, 59°; (b) 143,2 eV

26 respostas 26_Fisica_v.2.indd 564

16/01/2015 11:16:03

Respostas a alguns dos problemas ímpares

565

Capítulo 20 Do cobre para o aço: 1,0327 e 0,3269; xi = 2 sen 20p (t – x/42,31) cm, xr = 2,0654 sen 20p (t – x/45,17) cm, xr′ = 0,6538 sen 20p (t – x/42,31) cm, do aço para o cobre: 0,9673 e –0,3269, xi = 2 sen 20p (t – x/45,17) cm, xr = 1,9346 sen 20p (t – – x/42,31) cm, xr′ = –0,6538 sen 20 (t – x/45,17) cm 20.5 (a) –0,0791 e 0,7194; (b) –0,3033 e 0,6966 20.7 (a) R p = R s = –0,2, Tp = Ts = 0,2; (b) R p = R s = 0,2, Tp = Ts = 0,3; (c) a única mudança de fase se dá na reflexão, na superfície de vidro, quando a onda procede do ar 20.9 56,4°, 33,6° 20.11 (a) 36,9°; (b) perpendicular ao plano de incidência 20.15 Primeiro caso: R p = –0,1289, R s = 0; Tp = 0,8468, Ts = 0; segundo caso: R p = 0, R s = –0,1567; Tp = 0, Ts = 0,8433; terceiro caso: R p = 0,3311, R s = 0; Tp = 0,4980, Ts = 0; quarto caso: R p = 0, R s = –0,5604; Tp = 0, Ts = 0,4395 20.17 Para o feixe refletido, R p = –0,1033, R s = –0,3046; o feixe é elipticamente polarizado com o sentido de rotação oposto ao feixe incidente; para o feixe refratado, Tp = 0,7259, Ts = 0,7050; o feixe é elipticamente polarizado no mesmo sentido que o feixe incidente 20.21 3,82 × 10 –7 m, 3,80 × 10 –7 m, 5,085 × 1014 Hz 20.23 (a) 8,726 × 10 –7 m; (b) 1,7452 × 10 –6 m; (c) 3,490 × 10 –6 m 20.27 Em (2) a luz é plano-polarizada na direção do eixo de transmissão de A; em (3) a luz é, em geral, elipticamente polarizada, como foi discutido no Ex. 20.4; em (4) a luz é plano-polarizada na direção do eixo de transmissão de C 20.29 (a) 45° no sentido anti-horário, em relação ao eixo Y; (b) 45° no sentido horário, em relação ao eixo Y; (c) 5,828:1 20.31 (a) Sim; (b) brilhante; (c) escuro 20.33 1,194 g 20.35 (a) ∆q = 2,4 × 10 –4(pT/p0T0) tg q, onde p0 e T0 em TPN; (b) 1 minuto de arco 20.3

20.37

(

n ( y) = n0  B 2 + A 2 cos 2 ( y / B) / B 2 + A 2

)

Capítulo 21 (a) 0,778 m, –0,556; (b) 1 m, –1,0; (c) 1,33 m, –1,67; (d) ∞, ∞; para um objeto virtual, 0,270 m, –0,901 21.5 (a) 0,48 m, convergente; (b) 1,92 m, convergente; (c) 1,2 m, divergente; (d) 0,80 m, convergente; (e) 2,4 m, convergente; (f) 0,3 m, convergente; (g) 0,60 m, divergente 21.7 8 cm, 2,1 21.9 Ou 40 cm ou 37,5 cm 21.11 3,2 cm, comparado com a distância focai de 5 cm 21.19 A partir do lado mais próximo: 0,4 cm da superfície, 0,8; a partir do lado mais afastado: 2 cm da superfície, 1,33 21.3

26 respostas 26_Fisica_v.2.indd 565

16/01/2015 11:16:03

566

Física – um curso universitário

21.21

(a) 43,8 cm, para a esquerda da face plana; (b) 1,71

21.23

(a) 20 cm; (b) virtual e direita; (c) 1 mm

21.25

20 cm dentro da lente, medido a partir do lado de 20 cm; 5 cm fora da lente, do lado de 10 cm

21.27

21.35

(a) 0,24 m; (b) –1,2 m, 6; (b) 0,15 m, 0,375; (d) 0,109 m, 0,545

21.37

5,38 cm

21.39

(a) 1,07 m, real; (b) 0,67 m, real; (c) 0,8 m, real; (d) 0,27 m, virtual;

(e) –0,1 m, real 21.41

(a) 0,48 m, convergente; (b) 1,92 m, convergente; (c) 1,2 m, divergente;

(d) 0,8 m, convergente; (e) 2,4 m, convergente; (f) 0,3 m, convergente; (g) 0,6 m, divergente 21.43

–18 cm, –60 cm; (a) 10 cm; (b) 11,7 cm

21.47

4,84 cm; 5,16 cm; –4,84 cm; –5,16 cm

21.51

1,521, 40°

21.55

54°; o raio sofre reflexão total; 63,2°, raio desviado de 24,4°

21.57

1,19 × 10 –2 rad = 41′

21.59

Fi = 4,17 cm; F0 = –1,67 cm

21.61

21,1°

Capítulo 22 22.1

(a) 0,64 mm: (b) 1,62 mm, 3,25 mm

22.3

0,286 mm

22.5

9 × 10 –5 m = 0,09 mm

22.7

(a) Partindo do ponto a meia distância entre as fontes, o primeiro mínimo fica a 0,25 m de cada lado, e então a cada 0,5 m; (b) ao longo das hipérboles: r1 – r2 = ± n/4 m; (c) novamente hipérboles, mesma equação; (d) não

22.9

1,122 × 10 –7 rad = 0,024 segundo de arco

22.11

Aproximadamente 4 segundos de arco

22.13

–12 db

22.19

2,95 × 10 –4 rad

22.21

(a) 5,6; (b) 0,2p ; para luz incidente em 30°: (a) 6,0; (b) p

22.23

Para a luz refletida: (a) 20,3°; (b) 37,7°; para a luz transmitida: (a) 37,7°; (b) 20,3°

22.27

(a) 2,19 N × 10 −3 m; (b) 182

22.29

(a) 299,2 Hz, 598,4 Hz, 899,6 Hz; (b) 2 m, 1 m, 0,67 m;

(d) x1 = 2 x0 sen px cos 600 p t, x2 = 2x0 sen 2px cos 1.200p t, x3 = 2x0 sen 3px cos 1.800p t 22.31

(a) 289,6 Hz, 579,2 Hz; (b) 145,8 Hz, 437,4 Hz

22.33

24,43 Hz

26 respostas 26_Fisica_v.2.indd 566

16/01/2015 11:16:04

Respostas a alguns dos problemas ímpares

22.37

22.41

567

Para a fundamental: 1, 0 e 0, 1; duplamente degenerada; para o primeiro sobretom: 1, 1; para o segundo sobretom: 2, 0 e 0, 2; duplamente degenerado; para o terceiro: 2, 1 e 1, 2; para o quarto: 2, 2; para o quinto: 3, 0 e 0, 3; para o sexto 3, 1 e 1, 3; para o sétimo: 3, 2 e 2, 3. Note que o duodécimo sobretom, v = 5v0, é quatro vezes degenerado de 4, 3 e 3, 4 assim como 5, 0 e 0, 5 k2 = k21 + k22

Capítulo 23 23.1 23.3 23.7 23.9 23.11 23.13 23.15 23.17 23.19 23.21 23.23 23.25 23.27 23.29 23.33 23.35

0,56 mm 2 × 103 ft; 610 m (b) 0,48 mm × 0,24 mm (a) 2,05 × 10 –6 m; (b) 7,03 × 10 –6 m 1,25 × 10 –5 m, 5 × 10 –5 m 2,4 × 10 –5 m (b) 1,22l/D, 2,233l/D, 3,239l/D; (c) (1,22l/D)f, (2,233l/D)f, 3,239l/D)f 2,24 × 10 –4 m (a) 1,5 vezes a amplitude não bloqueada e 2,25 vezes a intensidade não bloqueada; (b) 54 p (a) (800/n) m; (b) 400 m 17,5°, 36,9°, 64,2° (a) 5,70 × 10 –7 m; (b) 43,1° 12,0°, 28,5° 16.000; sim; aproximadamente 7°; 4,11 × 105 m–1 (a) 9,791 × 10 –11 m; (b) 20,3° 1,3°

Capítulo 24 24.1 24.3 24.5 24.7 24.19 24.23 24.25 24.27 24.29 24.31 24.33 24.35 24.37

Adicionando-se o termo (∂D/∂n)(∂n/∂x)2 ao lado direito da Eq. (24.4) (a) –12,5 °C; (b) 9,6 × 102 J · m–2 · s –1 4,38 × 103 J · s –1 (4,38 kW) ou 15,8 × 106 J · h–1 (a) 1,5p J · s –1 ou 1,125 cal · s –1; (b) 96% no cobre, 4% no aço 2,45 × 10 –5 m3 · s –1 a = –8,520; b = 815 (a) 6,00 × 109 ; (b) 4,65 × 109 ; (c) 6,00 × 105; 1,46 × 1029, 6,80 × 1028, 1,46 × 1021 60,6%, 36,8%, 13,5%, 4,5 × 10 –3 %; x = l ln 2 D ∞ T/p; K ∞ T 1,76 × 10 –6 P · K–1/2 K / D = 32 p / T = 555 em TPN; h /D = pm/kT = 4,45 × 10 –2 m em TPN (m em u) 6,25 × 10 –8 m, 9,321 × 109 s –1; 1,83 × 10 –10 m 0,654 mm

26 respostas 26_Fisica_v.2.indd 567

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27 Cap.tabelas 27_Fisica_v.2.indd 568

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Classificação periódica dos elementos

30 Zn 65,37

** Série dos actinídeos

57 La 138,91 89 Ac [227]

39 Y 88,905

21 Sc 44,956

49 In 114,82

31 Ga 69,72

5B 10,811 13 Al 26,9815

III

58 Ce 140,12 90Th 232,038

59 Pr 140,907 91 Pa [231]

60 Nd 144,24 92 U 238,03

89 – Série dos actinídeos**

57-71 Série dos lantanídeos* 80 Hg 81 TI 200,59 204,37

48 Cd 112,40

56 Ba 137,34

38 Sr 87,62

4 Be 9,0122 12 Mg 24,312 20 Ca 40,08

79 Au 196,967 87 Fr 88 Ra [223] [226,05]

55 Cs 132,905

1H 1,00797 3 Li 6,939 11 Na 22,9898 19 K 39,102 29 Cu 63,54 37 Rb 85,47 47 Ag 107,870

*Série dos lantanídeos

Série 1

Período 1

Grupo →

61 Pm [147] 93 Np [237]

7N 14,0067 15 P 30,9738

63 Eu 151,96 95 Am [243]

83 Bi 208,980

73 Ta 180,948

23 V 50,942 33 As 74,9216 41 Nb 92,906 51 Sb 121,75

62 Sm 150,35 94 Pu [242]

82 Pb 207,19

72 Hf 178,49

6C 12,01115 14 Si 28,086 22 Ti 47,90 32 Ge 72,59 40 Zr 91,22 50 Sn 118,69

75 Re 186,2

67 Ho 164,930 99 Es [253]

76 Os 190,2

4 4 Ru 101,07

26 Fe 55,847

66 Dy 162,50 98 Cf [249]

85 At [210]

9F 18,9984 17 Cl 35,453 25 Mn 54,9380 35 Br 79,909 43 Tc [99] 53I 126,9044

VII

65 Tb 158,924 97 Bk [249]

84 Po [210]

64 Gd 157,25 96 Cm [245]

74 W 183,85

8O 15,9994 16 S 32,064 24 Cr 51,996 34 Se 78,96 42 Mo 95,94 52 Te 127,60

68 Er 167,26 100 Fm [255]

77 Ir 192,2

45 Rh 102,905

27 Co 58,9332

VIII

69 Tm 168,934 101Md [256]

78 Pt 195,09

4 6 Pd 106,4

28 Ni 58,71

71 Lu 174,97 103

70 Yb 173,04 102 No

86 Rn [222]

54 Xe 131,30

36 Kr 83,80

2 He 4,0026 10 Ne 20,183 18 Ar 39,948

Massas atômicas, baseadas na atribuição do número exato 12,00000 à massa atômica do isótopo principal do carbono, 12C. São os valores adotados em (1961) pela União Internacional de Química Pura e Aplicada. A unidade de massa usada nesta tabela é chamada unidade de massa atômica (u): 1 u = 1,6604 × 10 –27 kg. A massa atômica do carbono, nesta escala, é 12,01115, pois é o valor médio para os isótopos presentes no carbono natural. (Para elementos produzidos artificialmente, a massa atômica do isótopo mais estável é dada entre colchetes.)

Tabela A-1

27 Cap.tabelas 27_Fisica_v.2.indd 569

16/01/2015 11:16:28

c e me mp mn h

Velocidade da luz

Carga elementar

Massa de repouso do elétron

Massa de repouso do próton

Massa de repouso do nêutron

Constante de Planck

h/e a0

Razão constante de Planck/carga

Raio de Bohr

e = 2,7183;

Constante da Rydberg

p = 3,1416;

lC,p

do próton

Constantes numéricas:

lC,e

do elétron

Comprimentos de onda Compton:

e/me

Razão carga/massa para o elétron

ℏ = h/2p

Símbolo

F Ke e0

Constante de Faraday Constante de Coulomb Permissividade do vácuo

J·s

1,0545 × 10 –34 J · s 1,7588 × 10 11 kg –1 · C

6,6256 × 10

2 = 1, 4142 ;

3 = 1, 7320

1,0974 × 10 7 m –1

1,3214 × 10 –15

2,4262 × 10 –12 m

5,2917 × 10 –11 m

Aceleração da gravidade ao nível do mar no equador

Constante da gravitação

Volume normal do gás ideal (TPN)

–34

1,6748 × 10 –27 kg

Permeabilidade do vácuo

Constante dos gases

–27

Constante de Boltzman

9,1091 × 10 –31 kg

Constante magnética

Constante de Avogadro

1,6021 × 10 C 1,6725 × 10

Magneton de Bohr

2,9979 × 10 8 m · s –1 –19

Símbolo

Constante

Valor

4,1356 × 10 –15 J · s · C –1

Constantes fundamentais

Constante

Tabela A-2

9,7805 m · s –2

6,670 × 10 –11 N · m 2 · kg –2

1,2566 × 10 –6 m · kg · C –2

1,0000 × 10 –7 m· kg · C –2

8,8544 × 10 –12 N –1 · m –2 · C 2

8,9874 × 10 9 N · m 2 · C –2

9,6487 × 10 4 C · mol –1

2,2414 × 10 –2 m 3 · mol –1

8,3143 J · K–1 · mol –1

1,3805 × 10 –23 J · K–1

6,0225 × 10 23 mol –1

9,2732 × 10 –24 J · T–1

Valor

27 Cap.tabelas 27_Fisica_v.2.indd 570

16/01/2015 11:16:29

w v p F L t W

Velocidade angular

Frequência angular ou pulsação

Quantidade de movimento ou momento linear

Força

Momento angular

Torque, conjugado ou momento de força

K h Y k G I

Coeficiente de condutividade térmica

Coeficiente de viscosidade

Módulo de elasticidade volumétrica

Módulo de rigidez ou de cisalhamento

Momento de inércia

Carga elétrica ou quantidade de eletricidade

q, Q

m 2 · s –2

Potencial gravitacional

m 2 · kg

m –1 · kg · s –2

m –1 · kg · s –1

m · kg · s –3 · K–1

m2 · s –1

m 2 · kg · s –2 /partícula

m 2 · kg · s –3 m 2 · kg · s –2

m 2 · kg · s –2

m 2 · kg · s –1

m · kg · s –2

m · kg · s –1

s –1

m · s –1 m · s –2

MKSC

A·s

MKSA

Relação com as grandezas fundamentais

m · s –2 coulomb

kelvin (K)

watt (W) joule (J)

joule (J)

newton (N)

hertz (Hz)

segundo

quilograma

metro

Nome da Unidade

Campo gravitacional V

Coeficiente de difusão

Módulo de Young

Temperatura

Potência Energia

Trabalho P Ek, Ep, U, E

Velocidade Aceleração

Frequência

t v a

Tempo

Massa

Símbolo l, s

Grandeza

Símbolos e unidades

Comprimento

Tabela A-3

27 Cap.tabelas 27_Fisica_v.2.indd 571

16/01/2015 11:16:29

R L e0 P D B m0 M H ΦB

Resistência elétrica

Indutância

Permissividade elétrica

Polarização

Deslocamento elétrico

Indução magnética

Permeabilidade magnética

Magnetização

Intensidade de campo magnético p Q M Q C

Momento de dipolo elétrico

Momento de quadrupolo elétrico

Momento de dipolo magnético

Momento de quadrupolo magnético

Capacitância

Fluxo magnético

farad (F)

weber (Wb)

tesla (T)

henry (H)

ohm (Ω)

kg · s –2 · A –1

kg · s –1 · C –1

m · kg · s –2 · A –1

m · kg · s · C

m·s·A m2 · s · A m2 · A m3 · A m –2 · kg –1 · s 4 · A 2

m·C m2 · C m 2 · s –1 · C m 3 · s –1 · C m –2 · kg –1 · s 2 · C 2

m –1 · A –1

m –1 · s –1 · C 2

m –1 · A –1

m ·s ·C –1

m · kg · C

m · kg · s –2 · A –2

m –2 · s · A

m ·C –2

m –2 · s · A

–2

m ·C –2

–1

m –3 · kg –1 · s · A 2

m · kg · s · C 2

m 2 · kg · s –2 · A –2

–1

m 2 · kg · C –2 –3

m · kg · s –3 · A –2 2

m · kg · s · C –2

m –2 · A

–1

m ·s ·C 2

–1

m 2 · kg · s –3 · A –1

Densidade de corrente –2

m · kg · s · C

volt (V)

V –2

–1

Diferença de potencial elétrico ou tensão elétrica 2

m · kg · s –3 · A –1

–1

m · kg · s · C –2

Intensidade de campo elétrico

ampère

s –1 · C

Intensidade de corrente

Tabela A-4

Fatores de conversão

Tempo 1 s (segundo *) = 1,667 × 10 –2 min = 2,778 × 10 –4 h 1 min (minuto) = 60 s 1 h (hora) = 60 min = 3.600 s 1 ano = 3,156 × 10 7 s

Força 1 N (newton) = 10 5 dyn = 0,2248 lbf = 0,102 kgf 1 kgf (quilograma força) = 1 kp (quiloponde) = 9,80665 N 1 dyn (dina) = 10 –5 N 1 lbf (libra força) = 4,448 N

Comprimento 1 m (metro) = 10 2 cm = 39,37 pol = 3,281 pés 1 (milha terrestre) = 5.280 pés = 1.609 m 1 (milha marítima) = 1.852 m 1 pol (polegada) = 2,540 cm = 2,54 × 10 –2 m 1Å (angstrom) = 10 –4 m = 10 –10 m 1 m (mícron) = 10 –6 m 1 A.u. (unidade astronômica) = 1,496 × 10 11 m 1 ano-luz = 9,46 × 10 15 m 1 ps (parsec) = 3,084 × 10 16 m

Pressão 1 N · m –2 = 1 Pa (pascal) = 9,265 atm = 1,450 lbf · pol –2 1 bar = 10 5 N · m –2 1 atm (atmosfera) = 101.325 N · m –2 1 mH 2 0 (metro de água) = 9.806,65 N · m –2 1 mmHg (milímetro de mercúrio) = 133,322 N · m –2

Ângulo 1 rad (radiano) = 57,3° 1o (grau) = 1,74 × 10 –2 rad 1’ (minuto) = 2,91 × 10 –4 rad 1” (segundo) = 4,85 × 10 –6 rad Área 1 m 2 = 10 4 cm 2 = 1,55 × 10 –5 pol 2 = 10,76 pés 2 1 pol 2 = 6,452 × 10 –4 m 2 1 pé2 = 9,29 × 10 –2 m 2 lb (barn) = 10 –28 m 2 1 ha (hectare) = 10 2 a (are) = 10 4 m 2 Volume 1 m 3 = 10 6 cm 3 = 10 3 litros 1 pé 3 = 2,83 × 10 –2 m 3 1 pol 3 = 16,39 × 10 –6 m 3 Velocidade 1 m · s –1 = 10 2 cm · s –1 = 3,281 pés · s –1 1 nó (milha marítima por hora) = 0,514 m · s –1 Aceleração 1 m · s –2 = 10 2 cm · s –2 = 3,281 pés · s –2 1 Gal (gal) = 1 cm · s –2 = 10 –2 m · s –2 Massa 1 kg (quilograma) = 10 3 g (grama) = 2,205 lb 1 quilate = 2 × 10 –4 kg 1 t (tonelada) = 10 3 kg 1 u (unidade unificada de massa atômica) = 1,6604 × × 10 –27 kg 1 lb (libra avoirdupois) = 0,4536 kg *

Energia 1 J (joule) = 10 7 erg = 0,239 cal = 6,242 × 10 18 eV 1 eV (elétron-volt) = 1,60 × 10 –19 J = 1,07 × 10 –9 u 1 cal (caloria) = 4,186 J = 2,613 × 10 19 eV = 2,807 × 10 10 u 1 u = 1,492 × 10 –10 J = 3,564 × 10 –11 cal = 931,0 MeV Temperatura K (kelvin) = 273,1 + °C 5 °C (grau Celsius) = 9 (°F – 32) 9 °F (grau Farenheit) = 5 °C + 32 Potência 1 W (watt) = 1,341 × 10 –3 hp = 1,359 × 10 –3 cv 1 cv (cavalo-vapor) = 735,5 W 1 hp (horse-power) = 745,7 W Carga elétrica** 1 C (coulomb) = 3 × 10 9 stC (statcoulomb) Intensidade de corrente** 1 A (ampère) = 3 × 10 9 st A (statampère) Intensidade de campo elétrico** 1 IN · CT–1 = 1 V · m –1 = 3 × 10 –4 stV · cm –1 Diferença de potencial elétrico** 1 1V (volt) = 3 10 –2 stV (statvolt) Resistência elétrica** 1 1 (ohm) = 9 10 –11 st Ω (statohm) Capacitância** 1 F (farad) = 9 × 10 11 stF (statfarad) Indução magnética 1 T (tesla) = 10 4 × G (gauss) Fluxo magnético 1 Wb (weber) = 10 8 maxwell Intensidade de campo magnético 1 A · m –1 (ampère-espira por metro) = 4p × 10 –3 oersted

As unidades em grifo são unidades legais brasileiras. Suas combinações, bem como seus múltiplos e submúltiplos decimais (ver Tabela 2.1), são também legais. Em todos os casos, 3 representa 2,998 e 9 representa 8,987.

27 Cap.tabelas 27_Fisica_v.2.indd 572

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Índice alfabético A Abcoulomb, 78 Aberração, 351 cromática, 426 esférica, 405, 406, 434, 439 longitudinal, 428 transversal, 428 Aberto, tubo, 458 Aberto-fechado, tubo, 458 Absorção, 530 caminho livre médio, 539 seção de choque macroscópica, 538 Aceleradores eletrostáticos, 51 linear, 73 Van de Graaff, 52 Acromático, sistema, 428 Acústica, 298 Adiabático, 274 Alfa, partícula, 41 Ampère, 57 Ampère, A. M. (1775-1836), 57 Ampère-Laplace, lei de, 105 Ampère, lei de, 186 Ampère-Maxwell, lei de, 242 Analisador, 388 de energia, 35 Anastigmático, 407 Anderson, Carl D. (1905-1991), 86 Ânions, 39 Anisotrópico, 288 Ânodo, 38 Antena, 448 Antiferromagnética, 198 Antinodais, superfícies, 443 Antirrefletor, revestimento, 481

28 indice 28_Fisica_v.2.indd 573

Antirressonância, 255 Atenuada, onda, 299 Atômica, estrutura, 41 Atômico, efeito fotoelétrico, 343 Atômico, modelo, 41 Atômico, número, 41 Audição, 299 Aumento, 408 angular, 421 de lente, 416 Autoindução, 223 Autoindutância, 223 Avogadro, constante de, 39 B Babinet, compensador de, 399 Balmer, fórmula de, 340 Balmer, J. (1825-1898), 34 Bastonetes, 353 Bateria, 182 Bessel, função de, 511 Beta, raio, 35 Bétatron, 215 Biot-Savart, fórmula de, 106 Birrefringentes, substância, 386 Bohr, fórmula de, 339 Bohr, Niels (1885-1962), 339 Bragg, equação de, 507 Brewster, lei de, 378 Buckling, 531 Buraco de elétron, 83 C Calor, 524 Câmara de orifício, 403

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574

Física – um curso universitário

Campo elétrico, 29 magnético, 80 uniforme, 34 Capacitor, 168 Capilaridade, onda de, 281 Característica, frequência, 164 Carga, elétrica, 26 elementar, 37 princípio de conservação da, 27 Cátions, 39 Catódicos, raios, 91 Cátodo, 38 Cauchy, fórmula de, 425 Cáustica, 371 de reflexão, 406 de refração, 415 Cavendish, balança de torção de, 28 Cavidade ressonante, 468 Cerenkov, detector de, 346 Cerenkov, radiação de, 346 Choque, onda de, 298 Cíclotron, 92 Cíclotron, frequência de, 84 Cilíndrica, onda, 288 Circulação, 180 Cisalhamento, módulo de, 279 Cisalhamento, onde de, 279 Cisalhamento, tensão de, 534 Coeficiente de transferência térmica, 546 Coeficiente de viscosidade, 533 Coerência, 444 Colisão, caminho livre médio de, 537 Colisão frequência de, 537 Colisão, seção de choque de, 537 macroscópica, 537 microscópica, 538 Comprimento de onda Compton, 335 Compton, A. H. (1892-1962), 335 Concentração, 518 Condutividade térmica, 525 Condutor, 158

28 indice 28_Fisica_v.2.indd 574

Cones, 353 Cônica, onda, 298 Conservação da carga, princípio da, 27, 239 Contorno, condições de, 363 Convergente, sistema, 410 Cor, 353 Corpo negro, radiação de, 337 Corrente, densidade de, 97 de energia, 525 de momento, 533 de partículas, 518 Corrente elétrica, 56 Cósmicos, raios, 87 Cotton-Mouton, efeito, 383 Coulomb, 27 Coulomb, C. de (1736-1806), 27 Coulomb, lei de, 27 Cristais biaxiais, 382 cúbicos, 380 uniaxial, 380 Crítico, ângulo, 369 Curie, temperatura de, 197 D Debye-Scherrer, figuras de, 508 Decibel, 286 Deformação, lateral, 304 de cisalhamento, 278 linear, 305 normal, 269 volumétrica, 305 Degeneração do modo, 483 Dente de serra, curva, 305 Derivada de função, 267 Descartes, fórmula de, para reflexão, 404 para lentes delgadas, 413 para refração, 409 Deslocamento, corrente de, 245 Deutério, 45 Diamagnetismo, 196 Dicroísmo, 384

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Índice alfabético

Dielétrica, constante, 161 Dielétrico, 158 difração, de Fraunhofer, 485 de Fresnel, 485 de raios X, 505 redes de, 494 Difração, rede de, reflexão, 514 transmissão, 495 Difusão, 516 aproximação de, 542 coeficiente de, 524 comprimento de, 541 de nêutrons, 539 equação de, 520 estado estacionário, 520 tabela de, 543 Dipolo elétrico, 58 Dipolo, interação de, 63 Dipolo, linhas de força de um, 78 Dipolo, momento de, elétrico, 58 magnético, 99 Dirac, Paul (1902 – 1984), 86 Dispersão, 281, 423 anômala, 345 de uma rede, 496 em um prisma, 425 normal, 345 Dispersão, poder de, 428 Dissociação, 39 Divergente, 153 Divergente, sistema, 410 Domínio magnético, 198 Doppler, C. J. (1803-1853), 295 Doppler, efeito, 295, 347 Dupla refração, 380, 385 E Efeito Compton, 335 Elementar, carga, 37 Elétrica capacidade, 168

28 indice 28_Fisica_v.2.indd 575

575

carga, 26 condutividade, 174 corrente, 56 massa, 26 Eletricidade, 25 Elétrico, campo, 29 intensidade do, 30 Elétrico, deslocamento, 159 Elétrico, dipolo, 58 Elétrico, geradores, 181 Elétrico, momentos de dipolo, tabela, 61 radiação de, 315 Elétricos, multipolos, 65 Elétrico, potencial, 47 Elétrico, quadrupolo, 65 Eletrização, negativa, 26 positiva, 26 Elétrodo, 38 Eletrólise, 38 Eletromagnética, indução, 212 Eletromagnética, interação, 80 Eletromagnético, espectro, 354 Eletrômetro, 205 Eletromotriz, força, 180 Elétron, 38, 92 Elétron, autoenergia do, 230 Elétron, buraco de, 83 Elétron, carga do, 38 Elétron, massa do, 38 Elétron, raio do, 173 Elétron-volt, 52 Eletroóptico, efeito, 383 Eletrostática, 27 Eletrostático, acelerador, 52 Emissão, espectro de, 319 Enantiomorfismo, 392 Energia, analisador de, 35 Energia, densidade de, elétrica, 172 eletromagnética, 312 magnética, 229

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576

Física – um curso universitário

Energia de ionização, 54 correção relativística, 55 Energia, níveis de, 339 Energia, onda de, 285 Energia, ressonância de, 234 Equipotencial, superfície, 31, 49 Escalar, potencial, 221 Escotópica, 353 Esférica, aberração, 407, 415 Esférica, onda, 289 Espacial, quantização, 44 Espalhada, onda, 333 Espalhamento, 333, 485, 505 de coulomb, 45 de Rutherford, 43 Específico, calor, 525 Espectro, 424, 496 Espectrômetro de cristal, 507 Espectroscópio, de prisma, 423 de rede, 496 Estacionária, onda, 455 Estado excitado, 332 fundamental, 44 Estados estacionários, 44 Estereoisomerismo, 392 Excitado, estado, 332 Extraordinária, onda, 381 F Farad, 168 Faraday, constante de, 39 Faraday, efeito, 393 Faraday-Henry, dei de, 213 Fase, velocidade de, 261, 293 Fem de movimento, 220 Fermat, P. de (1601-1665), 429 Fermat, princípio de, 429 Ferrimagnetismo, 198 Ferroelétricas, 166 Ferromagnetismo, 197 Feynman, diagramas de, 340

28 indice 28_Fisica_v.2.indd 576

Fick, A. (1829-1901), 519 Fick, lei de, 519 Filme fino, interferência em, 450 Fissão, 530 Flexão, ondas de, 304 Fluorescência, 333 Fluxo, 145 de um campo vetorial, 145 Focal, distância, 404 imagem, 410 objeto, 410, 414 Focal, primeiro ponto, 410 segundo, 410 Focalização, 419 Foco, imagem, 410, 414 objeto, 410, 414 Forças, nucleares, 43 Fosforescência, 333 Fotoelasticidade, 389 Fotoelétrico, efeito, 341 Fotoelétrons, 341 Fóton, 338 Fotonuclear, efeito, 343 Fotópica, 353 Fourier, J. (1768-1830), 524 Fourier, lei de, 524 Fourier, teorema de, 265 Freamento, radiação de, 326 Fresnel, biprisma de, 444 Fresnel, elipsoide, 380 Fresnel, zonas de, 499 Função de função, derivada de, 267 Fundamental, estado, 44 Fundamental, frequência, 454 Fundamental, partícula, 37 G Galvanômetro, 100 das tangentes, 112 Gama, raios, 354

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Índice alfabético

Gauss, 139 Gauss, lei de, 149 Geométrica, óptica, 402 Giromagnético, fator, 102 Gravitacionais, ondas, 281 Grupo, velocidade de, 293, 345 H Hall, E. C. (1855-1929), 82 Hall, efeito, 82 Harmônicas, frequências, 454 Helmholtz, bobinas de, 142 Helmholtz, lei de, para a refração, 437 Henry, 223 Henry, J., 223 Hertz, H. (1857-1894), 307 Hertz, oscilador de, 462 Hooke, lei de, 269 Huygens, C. (1629-1695), 362 Huygens, construção de, 363 I Imã, 79 Imagem, 274, 405 Imagem, foco, 410, 414 Impacto, parâmetro de, 42 Impedância, 233 Incoerência, 446 Índice de refração, absoluto, 344 relativo, 368 Indução magnética, 80 Infravermelho, 352 Intensidade, 286 de uma corrente elétrica, 57 do campo elétrico, 30 eletromagnética, 312 em um onda esférica, 293 Intensidade, nível de, do som, 286 Interação eletromagnética, 80 spin-órbita, 125

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Interferência, construtiva, 442 destrutiva, 442 em um filme fino, 450 Íon, 27 Iônica, ligação, 40 Ionização, energia de, 54 Ionosfera, 354, 394 Irrotacionais, ondas, 293 Isótopo, 44, 91 Isotrópico, 288 J Joule, efeito, 177 K Kerr, efeito, eletroóptico de, 383 Kirchhoff, leis de, 183 L Langevin, fórmula de, 165 Laplace, equação de, 154 Laplaciano, 154 Larmor, fórmula de, 326 Larmor, frequência de, 199 Laue, equações de, 515 Laue, figuras de, 508 Lawrence, E. O. (1901-1958), 92 Lente, 413 convergente, 415 divergente, 415 Lentes, equação dos fabricantes de, 414 Lienard, fórmula de, 330 Limiar, frequência, 343 de audibilidade, 286 de dor, 286 Linear, acelerador, 73 Linha, integral de, 179 Linhas de força, elétricas, 31 Lloyd, espelho de, 477 Longitudinais, ondas, 272 Lorentz, força de, 81

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M Mach, onda de, 346 Magnética, focalização, 134 Magnética, indução, 80 Magnética, lente, 135 Magnética, permeabilidade, 105 Magnético, dipolo, 111 Magnético, intensidade do campo, 80 Magnético, espelho, 87 Magnético, momento de dipolo, 99 orbital e de spin, 102 Magnético, número quântico, 104 Magnético, potencial, 115 Magnético, radiação de dipolo, 322 Magnetismo, 79 Magnetização, 191 Magnetizante, campo, 192 Magnetoóptico, efeito, 383 Malus, lei de, 388 Malus, teorema de, 364 Massa, espectrômetro de, 91 Bainbridge, 133 Dempster, 91 Massa, número de, 44 Maxwell, 248 Maxwell, equações de, 246 Maxwell, J. C. (1831-1879), 242 Médio, caminho livre, 537 absorção, 539 Meia onda, lâmina de, 384 Membrana circular, modos de vibração, 466 retangular, 466 Micro-ondas, 352 Microscópio, 418 composto, 419 Millikan, experimento da gota de óleo, 36 Millikan, R. A. (1869-1953), 36 Modelo nuclear, 42 de plasma, 42 Moderador, 530 Modo, degeneração do, 483

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Módulo de elasticidade volumétrica, 273 Momento angular da radiação, 313 número quântico, 104 Monocromática, onda, 353 Mútua, indutância, 237 N Nêutron, 38 Newton, anéis de, 452 Newton, equação de, 434 Newton, lei de, de resfriamento, 532 Nicol, prisma de, 387 Nodal, superfície, 443 Nodos, 453 Nucleares, forças, 43 Núcleo, 41 O Objetiva, 419 Objeto, 405 Objeto, foco, 410, 414 Ocular, 440 Oersted, 210 Oersted, Hans (1777-1851), 105 Ohm, 176 Ohm, Georg (1787-1854), 175 Ohm, lei de, 174 Onda, atenuada, 299 cilíndrica, 288 cônica, 298 de capilaridade, 281 de choque, 298 de cisalhamento, 279 de energia, 285 de flexão, 304 de Mach, 298 de pressão, 274 de torção, 279 esférica, 291 espalhada, 333 estacionária, 457 extraordinária, 381

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gravitacionais, 281 irrotacional, 293 longitudinal, 271 ordinária, 381 plana, 287 secundária, 363 solenoidal, 293 térmica, 528 transversal, 277 Onda, comprimento de, 262 Onda, frente de, 287 Onda, guia de acústicos, 473 eletromagnética, 472 Onda, número de, 262 Onda, pacote de, 266 Onda, superfície de, 308 Ondulatório, movimento, 260 Óptica, 352 geométrica, 402 Óptica, atividade, 390 Óptica, fibra, 473 Óptico, centro, 413 Óptico, eixo, 380 Ordem de difração, 496 Ordinária, onda, 381 Órgão, tubo de, 456 Oscilador, intensidades de, 163 Osciloscópio, 36 P Paramagnetismo, 196 Partícula fundamental, 37 Permeabilidade, 195 magnética, 105 relativa, 195 Permissividade, 161 de vácuo, 29 relativa, 161 Plana, onda, 287 Planck, constante de, 54, 337

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Planck, Max (1858-1947), 337 Pohl, interferômetro de, 477 Poise, 534 Poiseuille, fórmula de, 546 Poisson, coeficiente de, 304 Poisson, equação de, 154 Polar, molécula, 60 Polarizabilidade, 162 Polarização, 30, 62, 157, 362 circular, 341 cromática, 389 linear, 277 Polarização, ângulo de, 378 Polaroid, 385 Polo magnético, 79 Pósitron, 86 Potencial elétrico, 47 Potenciômetro, 208 Poynting, vetor de, 312 Pressão, onda de, 274 Principal, eixo, 403 Principal, raio, 404 Princípio da conservação da carga, 239 Prisma, 422 de Nicol, 387 de Wollaston, 400 Produção, 530 Propagação, 261 Propagação, vetor, 288 Próton, 38 Próton-síncroton, 95 Pulso, 266, 295 Q Quadrupolo elétrico, 65 magnético, 114 Quadrupolo elétrico, momento de, 65 Quântica, eletrodinâmica, 247 Quântica, mecânica, 339 Quântico, número do momento angular, 104 de spin, 104 magnético, 104

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Quantização da energia, 44, 54 da frequência, 454 do comprimento de onda, 454 do espaço, 44 Quarto de onda, lâmina de, 384 R Radiação, absorção de, 331 Radiação de freamento, 326 Radiação, pressão da, 314 Radiação, resistência de, 320 Radiofrequência, 352 Radiointerferômetro, 480 Radiotelescópio, 406 Raio, 365 Raios X, 354 difração de, 505 Rayleigh, regra de, 489 Real, 405 Reatância, 233 Receptor, 238 Rede de difração, 495 Reflexão, 376 coeficiente de, 376 de onda, esférica, 370 eletromagnética, 376 total, 369 Reflexão, cáustica de, 406 Refração, 370 coeficiente, de, 376 de onda, esférica, 370 eletromagnética, Refração, cáustica de, 415 Relaxação, tempo de, 177, 226 Resistor, 177 Resolutivo, poder, 419, 488 de uma abertura circular, 491 de uma fenda, 488 de uma rede, 497 do olho, 420 Ressonante, cavidade, 468

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Retardada, 127 Retina, 353 Roentgen, W. (1845-1923), 354 Rotacional, 190 Rowland, montagem de, 514 Rutherford, E. (1871-1937), 43 Rutherford, espalhamento de, 41 Rydberg, constante de, 78, 339 S Seção de choque, 45 de colisão, 536 diferencial, 45 macroscópica de absorção, 539 Secundária, onda, 363 Sincrocíclotron, 95 Síncrotron, 95 Síncrotron, radiação de, 327 Snell, lei de, 366 Solenoidal, campo, 112 Solenoidal, onda, 293 Solenoide, 188 Som, 298 Spin, 102, 313 Spin, número quântico, 104 Spin-órbita, interação, 126 Statampère, 210 Statcoulomb, 78 Statfarad, 203 Statvolt, 78 Stokes, relação de, 399 Superfície equipotencial, 49 Superfície, integral de, 145 Suscetibilidade elétrica, 157 magnética, 195 paramagnética, 196 T Tabela, de coeficientes de difusão, 543 de condutividade térmica, 543 de condutividades elétricas, 176

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Índice alfabético

de constantes elásticas, 270 de convenções de sinais, para espelhos esféricos, 410 de equações de Maxwell, 246 de fatore giromagnético, 102 de índices de refração, médios, 379 de índices de refração e poder de dis persão, 427 de momentos de dipolo elétrico, 61 de região visível, 353 de suscetibilidades elétricas, 163 de suscetibilidades magnéticas, 196 de velocidade do som, 299 de viscosidade, 543 Taylor, expansão de, 273 TE, modo, 474 Telescópio, de reflexão, 421 de refração, 420 Tensão, normal, 268 de cisalhamento, 278, 534 Térmica, condução, 525 estado estacionário, 526 Térmica, condutividade, 527 tabela de, 543 Térmica, onda, 528 Térmico, nêutron, 531 Termoelétron, 342 Termiônica, emissão, 38 Tesla, 81 Tesla, N. (1856-1943), 81 Thomson, J. J. (1856-1940), 92 TM, modo, 475 Torção, balança de Cavendish de, 28 Torção, onda de, 279 Toroidal, 187 Total, reflexão, 369 Trabalho, função de, 342 Transformador, 238 Transmissor, 238 Transporte, fenômenos de, 516 Transversal, elétrica, 474

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Transversal, magnética, 476 Transversal, onda, 277 Trítio, 45 Troca, integral de, 197 Turmalina, 384 Tyndall, efeito, 334 U UHF, 352 Ultrassônico, 299 Ultravioleta, 353 V Vácuo, permissividade de, 29 Valência química, 39 Van Allen, cinturões de radiação, 89 Van de Graaff, acelerador, 52 Ventrais, superfícies, 443 Ventres, 454 Vermelho, deslocamento para o, 350 Vetorial, potencial, 211, 221 Vidro de aumento, 418 Virtual, 405 Viscosidade, 532 tabela de, 543 Viscosímetro, 547 Visível, espectro, 352 Volt, 47 Volta, A. (1745-1827), 47 W Weber, 190 Weber, W. (1804-1891), 190 Wellaston, prisma de, 400 Wheatstone, ponte de, 207 Wilson, câmara de, 85 Y Young, experiência das duas fendas de, 444 Young, módulo de, 269 Young, T. (1773-1829), 444

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