capa_Alonso_fisica um curso universitario_vol 1.pdf 1 10/02/2015 15:56:45
Alonso & Finn
I
MECÂNICA
Alonso & Finn
C
M
Y
CM
MY
um curso universitário
CY
CMY
K
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um curso universitário VOLUME I – MECÂNICA 2a edição brasileira
Apêndice: Relações matemáticas Este apêndice, no qual apresentamos algumas relações matemáticas que são frequentemente usadas no texto, tem a intenção de ser uma referência rapidamente disponível. Em alguns casos foram introduzidas algumas notas matemáticas no próprio texto. Demonstrações e uma discussão da maioria das fórmulas podem ser encontradas em qualquer texto de cálculo, como, por exemplo, Calculus and analytic geometry, 3ª edição (Addison-Wesley, 1963), de G. B. Thomas, ou Curso de cálculo diferencial e integral, W. A. Maurer (Editora Edgard Blücher), ou, ainda, Cálculo – um curso universitário, E. E. Moise (Editora Edgard Blücher). Uma curta introdução aos conceitos básicos do cálculo, em forma programada, pode ser encontrada em Quick calculus: a short manual of self instruction, por D. Kelpner e N. Ramsey (John Wiley & Sons, New York, 1963). Você deverá também consultar algumas tabelas publicadas em forma de livros. Entre essas tabelas estão C. R. C. Standard mathematical tables (Chemical Rubber Company, Cleveland, Ohio, 1963), e Tables of integrais and other mathematical data, 4ª edição, por H. B. Dwight (Macmillan Company, New York, 1961). Recomendamos, ainda, ter à disposição o Handbook of chemistry and physics, cujas edições anuais são publicadas por Chemical Rubber Company (CRC Press)*. Esse manual contém grande quantidade de informações e dados referentes à física, química e matemática.
1.
Relações trigonométricas
Com referência à Fig. M.1, podemos definir as seguintes relações: sen a = y/r, cos a = x/r, tg a = y/x; cosec a = r/y, sec a = r/x, cotg a = x/y; tg a = sen a /cos a ; sen2 a + cos2 a = 1, sec2 a – 1 = tg2 a ; sen (a ± b) = sen a cos b ± cos a sen b ; cos (a ± b) = sen a cos b cos a sen b ; 1 1 sen a ± sen b = 2 sen 2 (a ± b) cos 2 (a b); 1 1 cos a + cos b = 2 cos 2 (a + b) cos 2 (a – b); 1 1 cos a – cos b = – 2 sen 2 (a + b) sen 2 (a – b); 1 sen a sen b = 2 [cos(a – b) – cos (a + b)]; 1 cos a cos b = 2 [cos(a – b) + cos (a + b)]; 1 sen a cos b = 2 [sen(a – b) + sen (a + b)]; sen 2a = 2 sen a cos a, cos 2a = cos2 a – sen 2 a ; 1 1 1 1 sen 2 2 a = 2 [1 – cos a), cos2 2 a = 2 (1 + cos a).
*
(M.1) (M.2) (M.3) (M.4) (M.5) (M.6) (M.7) (M.8) (M.9) (M.10) (M.11) (M.12) (M.13) (M.14)
CRC Press. Disponível em: <http://www.crcpress.com/search/results/1/?kw=Handbook+of+chem istry+and+physics&category=all&x=15&y=12>. Acesso em: 5 maio 2014.
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476
Física – um curso universitário
Com referência à Fig. M.2, podemos escrever, para qualquer triângulo arbitrário: (M.15) Lei dos senos: a = b = c ; sen A sen B sen C (M.16) Lei dos cossenos: a2 =b2 + c2 –2bc cos A. Y r a O
Y
P
P
Y
Y
r a
y
y X
x
x
a X
O
a
x y
X
O
x
O
X y
r
r
P
P
Figura M.1 C
b
A
Figura M.2
a
c
B
2. Logaritmos (i) Definição de e: n
1 e = lim 1 + = 2, 7182818 n →∞ n
(M.17)
As funções exponenciais y = ex e y = e –x estão representadas em forma de gráfico na Fig. M.3. Y
Y 7
7 6
–2
–1
y = ex
6
y = e–x
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
1
2
X
–2
–1
–1
0
1
2
X
–1
Figura M.3
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Apêndice: Relações matemáticas
477
(ii) Logaritmos naturais, base e (veja Fig. M.4): y = ln x se x = ey.
(M.18)
y = log x se x = 10y.
(M.19)
Logaritmos comuns base 10:
Os logaritmos naturais e comuns estão relacionados por ln x = 2,303 log x, log x = 0,434 ln x.
(M.20)
Y 2
y = ln x
1 0
1
2
3
4
5
Figura M.4
X
–1 –2
3. Expansão em série de potências (i) A expansão binomial:
(a + b)n = a n + na n −1b + + +
n ( n − 1)
n ( n − 1) ( n − 2)
2!
a n − 3 b3 + 3! n ( n − 1) ( n − 2) ( n − p + 1) p!
a n − 2 b2 (M.21)
a n − pb p +
Quando n é um inteiro positivo, a expansão tem n + 1 termos. Em todos os outros casos, a expansão tem um número infinito de termos. O caso em que a vale 1 e b é igual a x é frequentemente usado no texto. Assim, a expansão binomial de (1 + x) n é escrita
(1 + x )n = 1 + nx +
n ( n − 1) 2!
x2 +
n ( n − 1) ( n − 2) 3!
x3 +
(M.22)
(ii) Outras expansões em série são: ex = 1 + x +
1 2 1 3 x + x + 2! 3!
(M.23)
x2 x3 + − 2 3
(M.24)
1 3 1 5 x + x − 3! 5!
(M.25)
ln (1 + x ) = x − sen x = x −
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Física – um curso universitário
cos x = 1 −
1 2 1 4 x + x − 2! 4!
(M.26)
tg x = x +
1 3 2 5 x + x + 3 15
(M.27)
Para x 1, as seguintes aproximação são satisfatórias: (1 + x) n ≈ 1 + nx,
(M.28)
ex ≈ 1 + x, ln (1 + x) ≈ x,
(M.29)
sen x ≈ x, cos x ≈ 1, tg x ≈ x.
(M.30)
Note que, nas Eqs. (M.25), (M.26), (M.27) e (M.30), x deve ser expresso em radianos. (iii) Expansão em série de Taylor: 2 1 2d f df f ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + ( x − x0 ) 2 dx 0 2 ! dx
1 nd f + … + ( x − x0 ) n + … n! dx 0 n
0
(M.31)
Se x – x0 1, uma aproximação útil é df f ( x ) ≈ f ( x0 ) + ( x − x0 ) . dx 0
(M.32)
4. Números complexos Com a definição i2 = – 1 ou i = −1 , eiq = cos q + i sen q,
(M.33)
cos q = 12 e iq + e − iq ,
(
(M.34)
(
(M.35)
sen q =
)
)
1 iq e − e − iq . 2i
5. Funções hiperbólicas Para visualizar as relações seguintes, veja a Fig. M.5.
( ) senh q = ( e − e ) ,
(M.37)
cosh 2 q – senh 2 q = 1,
(M.38)
senh q = – i sen (iq), cosh q = cos (iq),
(M.39)
sen q = – i senh (iq), cos q = cosh (iq).
(M.40)
cosh q = 12 eq + e −q , 1 2
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q
−q
(M.36)
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Apêndice: Relações matemáticas
479
Y 15
y = cosh x
10 5
–3
–2
1
2
3
Figura M.5
X
–5 –10
y = senh x
–15
6. Derivadas e integrais básicas ∫ f(u) du
f(u)
df/dx
u
n
nu du/dx
u–1
–(1/u2) du/dx
/(n+ 1) + C(n ≠ –1) ln u + C
ln u
(1/u) du/dx
u ln u – u + C
eu
eudu/dx
eu + C
sen u
cos u du/dx
–cos u + C
cos u
–sen u du/dx
sen u + C –ln cos u + C
u
n–1
n+1
tg u
sec u du/dx
cotg u
–cosec2 u du/dx
ln sen u + C
arcsen u
(du dx ) / 1 − u
u sen−1 u + 1 − u 2 + C
senh u
cosh u du/dx
cosh u + C
cosh u
senh u du/dx
senh u + C
2
2
Uma regra útil para integração, chamada integração por partes, é
∫ u dv = uv −∫ v du.
(M.41)
Esse método é mais frequentemente usado para calcular a integral da direita, usando a integral da esquerda.
7.
Valor médio de uma função
O valor médio de uma função y = f(x) no intervalo (a, b) é definido por ymed =
b 1 y dx. b−a a
∫
(M.42)
De forma semelhante, o valor médio de y2 é definido por
(y ) 2
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med
=
b 1 y 2 dx. b−a a
∫
(M.43)
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480
Física – um curso universitário
( )
O termo y 2 é chamado de raiz quadrada do valor quadrático médio ou, med simplesmente, raiz quadrática média de y = f(x) no intervalo (a, b) e, em geral, difere de ymed. É designada yrqm.
8. Relações relativísticas básicas No que segue, v é a velocidade do referencial S′ em relação ao referencial S, e os eixos X e X′ são ambos tomados paralelos a v. Também k = 1/ 1 − v2 / c 2 . (a) Transformação de Lorentz para posição e tempo: x′ = k(x – vt), x = k(x′ + vt′), y′ = y, y = y′, z′ = z, z = z′, (M.44) 2 2 t′ = k(t – vx/c ), t = k(t′ + vx′/c ). (b) Transformação de Lorentz para momento e energia: p′x = k(px – vE/c2), px = k(p′x + vE′/c2), p′y =py, py = p′, p′z = pz, pz = p′, E′ = k(E – vpx), E = k(E′ + vp′x).
(M.45)
(c) Transformação de Lorentz para força (a partícula está momentaneamente em repouso em relação a S′): F′x = Fx, F′y = kFy, F′z = kFz.
(M.46)
(d) Definição de momento: p = m0 v / 1 − v2 / c 2 = km0 v. (e) Relação entre momento e energia: E = c m02 c 2 + p2 .
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Apêndice: Relações matemáticas FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NATURAIS Ângulo Graus Radianos Seno Cosseno Tangente 0° 0,000 0,000 1,000 0,000 1° 0,017 0,017 1,000 0,017 2° 0,035 0,035 0,999 0,035 3° 0,052 0,052 0,999 0,052 4° 0,070 0,070 0,998 0,070 5° 0,087 0,087 0,996 0,088 6° 0,105 0,104 0,994 0,105 7° 0,122 0,122 0,992 0,123 8° 0,140 0,139 0,990 0,140 9° 0,157 0,156 0,988 0,158 10° 0,174 0,174 0,985 0,176 11° 0,192 0,191 0,982 0,194 12° 0,209 0,208 0,978 0,212 13° 0,227 0,225 0,974 0,231 14° 0,244 0,242 0,970 0,249 15° 0,262 0,259 0,966 0,268 16° 0,279 0,276 0,961 0,287 17° 0,297 0,292 0,956 0,306 18° 0,314 0,309 0,951 0,325 19° 0,332 0,326 0,946 0,344 20° 0,349 0,342 0,940 0,364 21° 0,366 0,358 0,934 0,384 22° 0,384 0,375 0,927 0,404 23° 0,401 0,391 0,920 0,424 24° 0,419 0,407 0,914 0,445 25° 0,436 0,423 0,906 0,466 26° 0,454 0,438 0,899 0,488 27° 0,471 0,454 0,891 0,510 28° 0,489 0,470 0,883 0,532 29° 0,506 0,485 0,875 0,554 30° 0,524 0,500 0,866 0,577 31° 0,541 0,515 0,857 0,601 32° 0,558 0,530 0,848 0,625 33° 0,576 0,545 0,839 0,649 34° 0,593 0,559 0,829 0,674 35° 0,611 0,574 0,819 0,700 36° 0,628 0,588 0,809 0,726 37° 0,646 0,602 0,799 0,754 38° 0,663 0,616 0,788 0,781 0,629 0,777 0,810 39° 0,681 40° 0,698 0,643 0,766 0,839 41° 0,716 0,656 0,755 0,869 42° 0,733 0,669 0,743 0,900 43° 0,750 0,682 0,731 0,932 44° 0,768 0,695 0,719 0,966 45° 0,785 0,707 0,707 1,000
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Ângulo Graus Radianos
Seno
Cosseno Tangente
46° 47° 48° 49° 50° 51° 52° 53° 54° 55° 56° 57° 58° 59° 60° 61° 62° 63° 64° 65° 66° 67° 68° 69° 70° 71° 72° 73° 74° 75° 76° 77° 78° 79° 80° 81° 82° 83° 84° 85° 86° 87° 88° 89° 90°
0,719 0,731 0,743 0,755 0,766 0,777 0,788 0,799 0,809 0,819 0,829 0,839 0,848 0,857 0,866 0,875 0,883 0,891 0,899 0,906 0,914 0,920 0,927 0,934 0,940 0,946 0,951 0,956 0,961 0,966 0,970 0,974 0,978 0,982 0,985 0,988 0,990 0,992 0,994 0,996 0,998 0,999 0,999 1,000 1,000
0,695 0,682 0,669 0,656 0,643 0,629 0,616 0,602 0,588 0,574 0,559 0,545 0,530 0,515 0,500 0,485 0,470 0,454 0,438 0,423 0,407 0,391 0,375 0,358 0,342 0,326 0,309 0,292 0,276 0,259 0,242 0,225 0,208 0,191 0,174 0,156 0,139 0,122 0,104 0,087 0,070 0,052 0,035 0,018 0,000
0,803 0,820 0,838 0,855 0,873 0,890 0,908 0,925 0,942 0,960 0,977 0,995 1,012 1,030 1,047 1,065 1,082 1,100 1,117 1,134 1,152 1,169 1,187 1,204 1,222 1,239 1,257 1,274 1,292 1,309 1,326 1,344 1,361 1,379 1,396 1,414 1,431 1,449 1,466 1,484 1,501 1,518 1,536 1,553 1,571
1,036 1,072 1,111 1,150 1,192 1,235 1,280 1,327 1,376 1,428 1,483 1,540 1,600 1,664 1,732 1,804 1,881 1,963 2,050 2,144 2,246 2,356 2,475 2,605 2,748 2,904 3,078 3,271 3,487 3,732 4,011 4,332 4,705 5,145 5,671 6,314 7,155 8,144 9,514 11,430 14,301 19,081 28,636 57,290 ∞
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Física – um curso universitário
LOGARITMOS COMUNS N 0 1 0 0000 1 0000 0414 2 3010 3222 3 4771 4914 4 6021 6128 5 6990 7076 6 7782 7853 7 8451 8513 8 9031 9085 9 9542 9590 10 0000 0043 11 0414 0453 12 0792 0828 13 1139 1173 14 1461 1492 15 1761 1790 16 2041 2068 17 2304 2330 18 2553 2577 19 2788 2810 20 3010 3032 21 3222 3243 22 3424 3444 23 3617 3636 24 3802 3820 25 3979 3997 26 4150 4166 27 4314 4330 28 4472 4487 29 4624 4639 30 4771 4786 31 4914 4928 32 5051 5065 33 5185 5198 34 5315 5328 35 5441 5453 36 5563 5575 37 5682 5694 38 5798 5809 39 5911 5922 40 6021 6031 41 6128 6138 42 6232 6243 43 6335 6345 44 6435 6444 45 6532 6542 46 6628 6637 47 6721 6730 48 6812 6821 49 6902 6911
2 3010 0792 3424 5051 6232 7160 7924 8573 9138 9638 0086 0492 0864 1206 1523 1818 2095 2355 2601 2833 3054 3263 3464 3655 3838 4014 4183 4346 4502 4654 4800 4942 5079 5211 5340 5465 5587 5705 5821 5933 6042 6149 6253 6355 6454 6551 6646 6739 6830 6920
3 4771 1139 3617 5185 6335 7243 7993 8633 9191 9685 0128 0531 0899 1239 1553 1847 2122 2380 2625 2856 3075 3284 3483 3674 3856 4031 4200 4362 4518 4669 4814 4955 5092 5224 5353 5478 5599 5717 5832 5944 6053 6160 6263 6365 6464 6561 6656 6749 6839 6928
4 6021 1461 3802 5315 6435 7324 8062 8692 9243 9731 0170 0569 0934 1271 1584 1875 2148 2405 2648 2878 3096 3304 3502 3692 3874 4048 4216 4378 4533 4683 4829 4969 5105 5237 5366 5490 5611 5729 5843 5955 6064 6170 6274 6375 6474 6571 6665 6758 6848 6937
5 6990 1761 3979 5441 6532 7404 8129 8751 9294 9777 0212 0607 0969 1303 1614 1903 2175 2430 2672 2900 3118 3324 3522 3711 3892 4065 4232 . 4393 4548 4698 4843 4983 5119 5250 5378 5502 5623 5740 5855 5966 6075 6180 6284 6385 6484 6580 6675 6767 6857 6946
6 7782 2041 4150 5563 6628 7482 8195 8808 9345 9823 0253 0645 1004 1335 1644 1931 2201 2455 2695 2923 3139 3345 3541 3729 3909 4082 4249 4409 4564 4713 4857 4997 5132 5263 5391 5514 5635 5752 5866 5977 6085 6191 6294 6395 6493 6590 6684 6776 6866 6955
7 8451 2304 4314 5682 6721 7559 8261 8865 9395 9868 0294 0682 1038 1367 1673 1959 2227 2480 2718 2945 3160 3365 3560 3747 3927 4099 4265 4425 4579 4728 4871 5011 5145 5276 5403 5527 5647 5763 5877 5988 6096 6201 6304 6405 6503 6599 6693 6785 6875 6964
8 9031 2553 4472 5798 6812 7634 8325 8921 9445 9912 0334 0719 1072 1399 1703 1987 2253 2504 2742 2967 3181 3385 3579 3766 3945 4116 4281 4440 4594 4742 4886 5024 5159 5289 5416 5539 5658 5775 5888 5999 6107 6212 6314 6415 6513 6609 6702 6794 6884 6972
9 9542 2788 4624 5911 6902 7709 8388 8976 9494 9956 0374 0755 1106 1430 1732 2014 2279 2529 2765 2989 3201 3404 3598 3784 3962 4133 4298 4456 4609 4757 4900 5038 5172 5302 5428 5551 5670 5786 5899 6010 6117 6222 6325 6425 6522 6618 6712 6803 6893 6981 continua
15 Cap.apendice 15_Fisica_v.1.indd 482
14/01/2015 15:39:24
Apêndice: Relações matemáticas
483
continuação
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
6990 7076 7160 7243 7324 7404 7482 7559 7634 7709 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 8388 8451 8513 8573 8633 8692 8751 8808 8865 8921 8976 9031 9085 9138 9191 9243 9294 9345 9395 9445 9494 9542 9590 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956 0000
15 Cap.apendice 15_Fisica_v.1.indd 483
6998 7084 7168 7251 7332 7412 7490 7566 7642 7716 7789 7860 7931 8000 8069 8136 8202 8267 8331 8395 8457 8519 8579 8639 8698 8756 8814 8871 8927 8982 9036 9090 9143 9196 9248 9299 9350 9400 9450 9499 9547 9595 9643 8689 9736 9782 9827 9872 9917 9961 0004
7007 7093 7177 7259 7340 7419 7497 7574 7649 7723 7796 7868 7938 8007 8075 8142 8209 8274 8338 8401 8463 8525 8585 8645 8704 8762 8820 8876 8932 8987 9042 9096 9149 9201 9253 9304 9355 9405 9455 9504 9552 9600 9647 9694 9741 9786 9832 9877 99219965 0009
7016 7101 7185 7267 7348 7427 7505 7582 7657 7731 7803 7875 7945 8014 8082 8149 8215 8280 8344 8407 8470 8531 8591 8651 8710 8768 8825 8882 8938 8993 9047 9101 9154 9206 9258 9309 9360 9410 9460 9509 9557 9605 9652 9699 9745 9791 9836 9881 9926 9969 0013
7024 7110 7193 7275 7356 7435 7513 7589 7664 7738 7810 7882 7952 8021 8089 8156 8222 8287 8351 8414 8476 8537 8597 8657 8716 8774 8831 8887 8943 8998 9053 9106 9159 9212 9263 9315 9365 9415 9465 9513 9562 9609 9657 9703 9750 9795 9841 9886 9930 9974 0017
7033 7118 7202 7284 7364 7443 7520 7597 7672 7745 7818 7889 7959 8028 8096 8162 8228 8293 8357 8420 8482 8543 8603 8663 8722 8779 8837 8893 8949 9004 9058 9112 9165 9217 9269 9320 9370 9420 9469 9518 9566 9614 9661 9708 9754 9800 9845 9890 9934 9978 0022
7042 7126 72ro 7292 7372 7451 7528 7604 7679 7752 7825 7896 7966 8035 8102 8169 8235 8299 8363 8426 8488 8549 8609 8669 8727 8785 8842 8899 8954 9009 9063 9117 9170 9222 9274 9325 9375 9425 9474 9523 9571 9619 9666 9713 9759 9805 9850 9894 9939 9983 0026
7050 7135 7218 7300 7380 7459 7536 7612 7686 7760 7832 7903 7973 8041 8109 8176 8241 8306 8370 8432 8494 8555 8615 8675 8733 8791 8848 8904 8960 9015 9069 9122 9175 9227 9279 9330 9380 9430 9479 9528 9576 9624 9671 9717 9763 9809 9854 9899 9943 9987 0030
7059 7143 7226 7308 7388 7466 7543 7619 7694 7767 7839 7910 7980 8048 8116 8182 8248 8312 8376 8439 8500 8561 8621 8681 8739 8797 8854 8910 8965 9020 9074 9128 9180 9232 9284 9335 9385 9435 9484 9533 9581 9628 9675 9722 9768 9814 9859 9903 9948 9991 0035
7067 7152 7235 7316 7396 7474 7551 7627 7701 7774 7846 7917 7987 8055 8122 8189 8254 8319 8382 8445 8506 8567 8627 8686 8745 8802 8859 8915 8971 9025 9079 9133 9186 9238 9289 9340 9390 944a 9489 9538 9586 9633 9680 9727 9773 9818 9863 9908 9952 9996 0039
14/01/2015 15:39:24
484
Física – um curso universitário
FUNÇÕES EXPONENCIAIS x
ex
e–x
x
ex
e–x
0,00
1,0000
1,0000
2,5
12,182
0,0821
0,05
1,0513
0,9512
2,6
13,464
0,0743
0,10
1,1052
0,9048
2,7
14,880
0,0672
0,15
1,1618
0,8607
2,8
16,445
0,0608
0,20
1,2214
0,8187
2,9
18,174
0,0550
0,25
1,2840
0,7788
3,0
20,086
0,0498
0,30
1,3499
0,7408
3,1
22,198
0,0450
0,35
1,4191
0,7047
3,2
24,533
0,0408
0,40
1,4918
0,6703
3,3
27,113
0,0369
0,45
1,5683
0,6376
3,4
29,964
0,0334
0,50
1,6487
0,6065
3,5
33,115
0,0302
0,55
1,7333
0,5769
3,6
36,598
0,0273
0,60
1,8221
0,5488
3,7
40,447
0,0247
0,65
1,9155
0,5220
3,8
44,701
0,0224
0,70
2,0138
0,4966
3,9
49,402
0,0202
0,75
2,1170
0,4724
4,0
54,598
0,0183
0,80
2,2255
0,4493
4,1
60,340
0,0166
0,85
2,3396
0,4274
4,2
66,686
0,0150
0,90
2,4596
0,4066
4,3
73,700
0,0136
0,95
2,5857
0,3867
4,4
81,451
0,0123
1,0
2,7183
0,3679
4,5
90,017
0,0111
1,1
3,0042
0,3329
4,6
99,484
0,0101
1,2
3,3201
0,3012
4,7
109,95
0,0091
1,3
3,6693
0,2725
4,8
121,51
0,0082
1,4
4,0552
0,2466
4,9
134,29
0,0074
1,5
4,4817
0,2231
5
148,41
0,0067
1,6
4,9530
0,2019
6
403,43
0,0025
1,7
5,4739
0,1827
7
1096,6
0,0009
1,8
6,0496
0,1653
8
2981,0
0,0003
1,9
6,6859
0,1496
9
8103,1
0,0001
2,0
7,3891
0,1353
10
22026
0,00005
2,1
8,1662
0,1225
2,2
9,0250
0,1108
2,3
9,9742
0,1003
2,4
11,023
0,0907
15 Cap.apendice 15_Fisica_v.1.indd 484
14/01/2015 15:39:24
Respostas a alguns dos problemas ímpares
Capítulo 2 2.1 (a) 1,6736 × 10 –27 kg; (b) 26,565 × 10 –27 kg 2.5 28,8 u = 4,788 × 10 –26 kg; 2,70 × 1019 moléculas cm–3; 5,4 × 1018 moléculas cm–3; 2,16 × 1019 moléculas cm–3 2.7 0,628g h–1; 4,64 × 1017 moléculas cm–2 ∙ s –1 2.9 Para um modelo cúbico: 3,34 × 10 –9 m; 3,10 × 10 –10 m; 2,28 × 10 –10 m. Para um modelo esférico: 2,07 × 10 –9 m; 1,92 × 10 –10 m; 1,41 × 10 –10 m. 2.11 5,5 × 103 kg ∙ m–3; 1,4 × 103 kg ∙ m–3 2.15 4,05 × 1016 m, 4,3 anos-luz, 2,72 × 105A.u. 2.17 37,2° 2.19 (a) ~26°, ~45°, ~30°; (b) ~10°, 15°, 9,8°; (c) ~4°, 5,4°, 3,2°
Capítulo 3 3.1 3.3 3.5 3.7 3.9 3.17 3.21 3.25 3.37
(a) 15 unidades, 0o; (b) 13,1 unidades, 36° 27′; (c) 10,8 unidades, 56° 6′; (d) 4,9 unidades, 112° 18′; (e) 3 unidades, 180° 13,7 unidades; 20 unidades 124° 48′; 8,67 unidades (a) 9,2 unidades, –49°; (b) 12,8 unidades, –38° 40′; (c) 17,4 unidades, 13°5′ 9,92 unidades, 45° 45′ R = ux (6) + uy (6) + uz (0); R = 8,48, a = 45°, b = 45°, g = 90° 20,3 unidades (x – 4)/–5 = (y – 5)/5 = (z + 7)/5; (x – 6)/–5 = y/5 = (z + 8/5)/5 (a) Usando ciclicamente os pontos dados para definir os planos: S1 = uz (–2), S2 = ux (1) + uy (1), S3 = ux (–1) + uz (1), S4 = uy (–1) + uz (1); (b) S = 0; (c) 6,24
3.39
60°;
( 5 / 3)a
Capítulo 4 4.1 287 kgf, 410 kgf 4.3 (a) 9,16 kgf; (b) 4 kgf 4.5 84,6 N, 75° 45′ 4.7 t1 = ux (0) + uy (7.500) + uz (1.500) kgf ∙ m; t2 = ux (2.700) + uy (–400) + uz (–800) kgf ∙ m; t3 = ux (450) + uy (100) + uz (–100) kgf ∙ m
16 Cap.respostas_Fisica_v.1.indd 485
14/01/2015 15:39:49
486 4.9 4.11
Física – um curso universitário
24 5 N ⋅ m; y = 12 x + 5
Com a origem em A, R = ux (2,33) + uy (3,17) N; tA = uz (–1,4) N ∙ m; tB = uz (–0,47) N ∙ m; t c = uz (–1,9) N ∙ m 4.13 2 m 4.15 Num ponto da diagonal a 1,77 m do vértice próximo; 2 kgf 4.17 25,7 kgf, a linha de ação forma um ângulo de 61° 40′ com o eixo horizontal 4.19 Zero; mas, como o conjugado, em relação à origem, é t = 30 kgf ∙ cm, o sistema é substituído por um par de forças cujo conjugado é 30 kgf ∙ cm 4.21 6.600 dyn (6,7 gmf), 77,3 cm 4.23 R A = 1.143N, RB = 1.797N 4.25 30 kgf, 50 kgf 4.27 (a) 30 kgf; (b) 34,5 kgf 4.29 73,3 kgf; 156,3 kgf 4.31 25,9 kgf; 36,7 kgf 4.33 W sec a ; W tg a 4.35 (a) 70,7 kgf, 50 kgf, 10 kgf; (b) 86,1 kgf, 43 kgf, 15 kgf; (c) 38,9 kgf, 29,8 kgf, 15kgf 4.39 4.170N a 196 cm à direita de A 4.41 6.690 kgf, 7.010 kgf 4.43 Fa = 110 – 12,5x kgf (x medido a partir de A); FB = 10 + 12,5x kgf 4.45 58,6 kgf; 81,5 kgf 4.47 W cos a, W sen a ; tg f = cotg 2a 4.49 F1 = F3 = 9,84 kgf, F2 = 37,05 kgf 4.51 (a) Do centro do quadrado xc = 2,07 pol, yc = 0; (b) xc = 0,565 pol, yc = –0,251 pol; (c) no eixo de simetria, 5,89 pol acima da base 4.53 xc = 1,77 cm, yc = 4,23 cm 4.55 6 / 12 a a altura acima da base
(
)
Capítulo 5 5.1 5.3 5.5 5.9 5.13 5.15 5.17 5.19
1,125 × 1014 m ∙ s –2 288 km ∙ h–1; 5,33 m ∙ s –2 296 m 18 s; 180 m (a) 10 m; (b) 0,2,7s; (c) 4m ∙ s –1; (d) 16 –12t0 – 6∆t; (e) 16 –12t; (f) 16 m ∙ s –1; (g) 1,33s, 10,7 m; (h) –12m ∙ s –2; (i) –12 m ∙ s –2; (j) nunca (l) o movimento é retardado até t = 1,33 s, o movimento é acelerado daí em diante v = 4t – t3/3 – 1; x = 2t2 – t4 /12 – t + 43 v = v0 13 + Kv0 t ; x = x0 + (1/K)ln(1 + Kv0 t); v = v0 e–K(x – x) (a) O movimento tem sentido positivo exceto no intervalo 2,2 s < t < 2,8 s; (b) O corpo é retardado instantaneamente em t igual a 0,8 s e 2,2 s; é acelerado instanta neamente em t igual a 1,8 s e 2,8 s; (c) 0,28 s, 2,65 s e 3,0 s; (d) entre 0,8 s e 1,8 s. Do gráfico, as velocidades médias são: (a) –2,75 m ∙ s –1; (b) 1,25 m ∙ s –1; (c) 0
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Respostas a alguns dos problemas ímpares
5.21 5.27 5.31 5.33 5.35 5.37 5.39 5.41 5.43 5.45 5.47 5.49 5.51 5.53 5.55
487
1,43 s; 2,65 s; 18,6 m 12,2 s (a) 6,2 s; (b) 34,3 s 2,6 × 10 –6 rad ∙ s –1; 998 m ∙ s–1; 2,6 × 10 –3 m ∙ s –2 2,4 × 105 m ∙ s –1; 2,4 × 10 –10 m ∙ s –2 2 rad ∙ s –2; 125 rad 5,33 × 1010 m ∙ s –2 25 m 15,6 min 20t rad ∙ s –1; 20 rad ∙ s –2 10 s 20 m 38,4 pés ∙ s –1, 48 pés 2 2 v = Aw cos wt; a = –Aw 2 sen wt = –w 2 x; v = ω A − x (a) x1/2 – y1/2 = 1; (b) é uma parábola; (c) t = 0,5 s;
(d) (16,9), (9,16); (e) aT = (4t − 2)
2t 2 − 2t + 1 m ⋅ s −2 ,
a N = 2 2t 2 − 2t + 1 m ⋅ s −2 ; (f) aT = 2 m ∙ s –2, a N = 2 m ∙ s –2 5.57 (a) x2 + y2 = 4; (b) 2w cm ∙ s –1; (c) aT = 0, a N = 2cm ∙ s–2 5.59 y2 = 4x 5.61 (a) 31,8 km; (b) 27,5 km; (c) 375 m ∙ s–1, 11,2 km; (d) 405 m ∙ s–1, 25 s, 79 s 5.63 (a) 204 m ∙ s–1; (b) 23,9 s; (c) 700 m; (d) 171 m ∙ s–1 5.65 (2v20 /g) cos a sec2 f sen (a – f)
Capítulo 6 6.1 6.3 6.5 6.7 6.9 6.11 6.13
20 km ∙ h–1; 160 km ∙ h–1 15:11, 318 km; 20:40, 867 km 100 km ∙ h–1, N 53° 8′O; 100 km ∙ h–1, N 53° 8′E (a) S41° 19′ E; (b) 1 h 34 min Homem no barco, 40 min; homem caminhando, 30 min Atravessar, ida e volta 34,64 min; rio acima e volta, 40 min (a) Velocidade horizontal constante de 50 m ∙ s –1, aceleração vertical constante g; (b) como em (a), mas velocidade horizontal é 250 m ∙ s –1; (c) 37° acima ou abaixo da horizontal 6.15 (a) 15 m ∙ s –1; (b) 45m ∙ s–1; (c) 36,6m ∙ s –1 6.17 3,27 cm 6.19 6,56 × 10 –2 m ∙ s –2 6.23 Para origens não coincidentes V = v00′ + w × r′ + V′, a = a00′ + w × (w × r′) + a × r′ + 2w × V′ + a′ 6.25 0,866c 6.27 (a) 1,6 s; (b) 2,3 × 108 m; (c) 0,96 s
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488 6.29 6.31 6.33 6.35 6.43
Física – um curso universitário
(a) 4,588 × 10 –6s; (b) 4.305 m 7,5 anos; 6,25 anos; 1,25 anos 3 × 1010 m; 0,84c 8,04 h 0,82 m, 59° 5′, na direção do movimento
Capítulo 7 (a) 14,4 m ∙ s–1, O 0° 47′ S; (b) p = uoeste(19,2) + unorte(8) kg ∙ m ∙ s–1; (c) ∆p1 = = uoeste (–24) + unorte (8,4 kg ∙ m ∙ s –1, ∆p2 = uoeste (24) + unorte (–8,4) kg ∙ m ∙ s –1; (d) ∆v1 = uoeste(–7,5) + unorte(2,6) m ∙ S –1, ∆v2 = uoeste(15) + unorte(–5,2) m ∙ s –1 (e) ∆v1 = 7,9 m ∙ s –1, ∆v2 = 15,9 m ∙ s –1 7.3 3,33 × 104 m ∙ s –1, 82° 30′ em relação à direção original do átomo de H 7.5 (a) 0,186 m ∙ s–1, 27° 30′ abaixo do eixo dos X; (b) ∆p1 = ∆p2 = ux (–0,049) + uy (0,026) kg ∙ m ∙ s –1, ∆v1 = ux (–0,0247) + uy (0,0128) m ∙ s –1, ∆v2 = ux (0,164) + uy (–0,0857) m ∙ s –1 7.7 m A = 1 kg, m B = 2 kg 7.9 (a) bt; (b) – p0 + bt 7.11 9 km ∙ s –1 7.13 (a) –0,3kg ∙ m ∙ s1, –3N; (b) –0,45 kg ∙ m ∙ s –1, –4,5 N; o momento do carro não é conservado porque age uma força externa 7.15 347 N 7.17 103 g dyn 7.19 (a) 14° para frente; (b) 20° para trás 7.21 116,3 kgf (1.139 N) 7.23 75 kgf (735 N) 7.25 (a) 882 N; (b) 882 N; (c) 1.152 N; (d) 612 N; (e) 0 N 7.27 F = –mw 2 x; (a) no sentido negativo do eixo dos X; (b) no sentido positivo o eixo dos X 7.31 (a) Uma força freante de 3.350 N; (b) uma força freante de 3.150 N 7.33 (a) ∆p = uN (–9,87 × 103) + uE (14,1 × 103) kg ∙ m ∙ s–1; (b) 8,6 × 102 N, S 55° E 7.35 (a) a = (F – m2 g)/(m1 + m2), T = m2(a + g); 166 cm ∙ s–2, 9,17 × 104 dyn; (b) a = [F + (m1 – m2)g′]/(m1 + m2), T = m2(a + g); 543 cm ∙ s –2, 1,22 × 105 dyn 7.37 (a) a = g(m1 sen a – m2)/(m1 + m2), T = m2(a + g); – 2,06 m ∙ s –2, 1,39 × 105 dyn; (b) a = g(m1 sen a – m2 sen b)/(m1 + m2), T = m2(a + g sen b); –144 cm ∙ s–2, 1,50 × × 105 dyn 7.39 (b) [m1(m2 + m3) + 4m2 m3]g/(m2 + m3) 7.43 15 kg, g/5 7.45 0,27 m, 1 3 7.49 (a) 1,6 kgf (15,7 N); (b) 0,2g; (c) em relação ao bloco inferior, o bloco superior terá uma aceleração de 0,1g para trás no primeiro caso e para frente no segundo 7.51 ( v0 g ) 1 − 13 × 10 −3 ≅ 6,1 s , (v20 /2g)(1 – 2,7 × 10 –4) 183,6 m 7.1
(
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Respostas a alguns dos problemas ímpares
7.53 7.55 7.57 7.63 7.67 7.69 7.71
7.75 7.77
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t ln 2 = 8,66 s; t = 12,5 s; 138 m 8,81 × 10 –8 N (a) 13,9 N; (b) 33,5 N; (c) 23,7 N; (d) 2,42 m ∙ s–1 125,2 N, 20° 10′ (a) uy 15kg ∙ m ∙ s–1; (b) uz (105)kg ∙ m 2 ∙ s –1 A tangente do ângulo da direção do movimento com o eixo dos X é Ft/mv0 em qualquer instante t; FL2 /2mv20 (a) ux (36) + uy (–144t), N; (b) ux (432t2 + 288t) + uy (108t + 72) + uz (–288t3 + + 864t2)N ∙ m; (c) ux (36t – 36) + uy (–72t2) + uz (18) kg ∙ m ∙ s–1, ux (144t3 + 144t2) + + uy (54t2 + 72t – 72) + uz (–72t4 + 288t3) kg ∙ m 2 ∙ s –1 3,03 × 104 m ∙ s –1; 1,93 × 10 –7 rad s –1 no afélio e 2,06 × 10 –7 rad ∙ s –1 no periélio 3,37 × 103 m ∙ s –1, 14,8 km
Capítulo 8 8.1 8.3 8.5 8.7 8.9 8.11 8.13 8.15 8.17 8.19 8.21 8.23 8.25 8.27 8.29 8.35 8.37 8.39 8.41 8.47 8.49 8.55
(a) 250 m ∙ kg ∙ s–1; (b) 25 N 2.927,75 J, 24,4 W 3.300 J, 2.000 J, 1.500 J, –200 J 98 N 23,54 W 10,258,6 W, 1,03 × 105 J Não há velocidade máxima se a resistência do ar permanece constante. (a) 2,592 × 104 erg; (b) 4,392 × 104 erg; (c) 2.160 erg ∙ s –1; (d) 2,592 × 104 erg 7.200 J; 19,6 J, 0,8 rad ∙ s –1 2,84 eV; 5,22 KeV 7,61 × 106 m ∙ s –1 (a) ux (56) m ∙ kg ∙ s –1; (b) 10 s. Os resultados são os mesmos em ambos os casos (a) ux (4.800) N ∙ s; (b) ux (4.860) m ∙ kg ∙ s–1; (d) 5,904 × 105J; (e) 5,905 × 105 J (a) 45,3 J; (b) 29,3 J; (c) 40 J; (d) 42,2 J (a) –45 J; (b) 75 W, 0,1 hp; (c) –45 J (a) 7,2 J; (b) 470,40 J; (c) 477,60 J; (d) 48,8 m ∙ s–1 81,2 m ∙ s–1; 13,9 m h = 0,6 R 7,2 × 10 –2 m 1.360 J F = W/200, W = peso do trem x = 2, estável; x = 0
Capítulo 9 9.1 9.3 9.5
3,417 m ∙ s –1, 215° 55′ (a) x = 1,50 + 0,25t2 m, y = 1,87 + 0,19t2 m; (b) P = ux (8t) + uy (6t) N ∙ s p = pv2 cos2q
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Física – um curso universitário
(a) v1 = ux 10 m ∙ s –1, v2 = ux (–4,00) + uy (6,96) m ∙ s –1; (b) vCM = ux (1,6) + uy (4,17) m ∙ s –1; (c) v′1 = ux (8,4) + uy (–4,17) m ∙ s–1, v′2 = ux (–5,60) + uy (2,79) m ∙ s –1; (d) p′1 = – p′2 = ux (16,8) + uy (–8,34) m ∙ kg ∙ s–1; (e) v12 = ux (14) + uy (–6,96) m ∙ s –1; (f) 1,2 kg 9.9 (a) (–0,6, 0,4, 1,6) m; (b) ux (–8,35) + uy (–16,8) + uz (25,15) m 2 ∙ kg ∙ s–1; (c) ux (–13,92) + uy (28) + uz (–26,96) m 2 ∙ kg ∙ s –1 9.11 (a) 4,11 MeV, 0,07 MeV; (b) 9,35 × 10 –23 m ∙ kg ∙ s –1; (c) 1,41 × 104 m ∙ s –1, 2,41 × 102 m ∙ s –1 9.15 x = 2 v0 v02 + 2 gh − v02 g de cada lado 9.17 (a) 0,54m ∙ s–1, 1,13 m ∙ s –1, (b)–2,64 kg ∙ m ∙ s–1, + 2,65 kg ∙ m ∙ s –1 9.19 (a) 0,866 m ∙ s–1, 0,2 m ∙ s –1; (b) ±1,333 kg ∙ m ∙ s–1, ±4,0 kg ∙ m ∙ s –1 9.23 (a) 0,46 m ∙ s –1, 1,54 m ∙ s –1; (b) 1,57 m ∙ s –1 e 0,979 m ∙ s –1 a –50° 33′ 9.25 (c) e = 1 9.27 Quando m1 é erguida: (a) 0,022 m, 0,089 m; (b) 0,0142 m, 0,0802 m; (c) 0,022 m. Quando m2 é erguida: (a) 0,022 m, 0,355 m; (b) 0,025 m, 0,321 m; (c) 0,022 m. 9.7
9.29 9.33 9.35 9.37 9.39 9.41 9.49 9.51 9.53 9.59 9.61
(
)
v′1 = –ev1v′2 = 0, Q = − 12 1 − e 2 m1 v12 , h′ = e2 h (a) 8; (b) 52; carbono n/2 Aproximadamente 4 (a) 48 m 2 ∙ kg ∙ s–1, 14,4 m 2 ∙ kg ∙ s–1; (b) 35 J, 15,6 J ux (0,167) + uy (–0,083) m ∙ s –1 6,17 × 10 –21 J ou 3,8 × 10 –2 eV; (a) 2,73 × 103 m ∙ s –1; (b) 0,482 × 103 m ∙ s –1; (c) 0,515 × 103 m ∙ s –1; He: 1,37 × 103 m ∙ s –1; CO2 :0,413 × 103 m ∙ s –1 12,95 × 102 J 8,31 × 102 J; 21,26 × 102 J 45 J ou 188,3 cal (a) 10 m ∙ s –1, 2,37 × 105 N ∙ m–2; (b) 0,3 m3 ∙ min–1; (c) 2,5 × 102 J ∙ kg–1
Capítulo 10 10.1 10.3 10.7 10.9 10.11 10.13 10.15 10.17 10.19 10.21
(a) 1,875 m 2 ∙ kg, 0,61 m; (b) 0,9375 m 2 ∙ kg, 0,434 m; (c) 0,625 m 2 ∙ kg, 0,354 m (a) 0,040 m2 ∙ kg, 0,028 m; (b) 0,025 m2 ∙ kg, 0,0204 m; (c) 0,020 m2 ∙ kg ∙ s–1, 0,0183 m 6,80 × 10 –46 m 2 ∙ kg Os momentos em relação a X0 e Y0 são iguais entre si e valem 1,00510 – 46 m 2 ∙ kg; em relação a Z0 o momento é 4,434 × 10 –47 m 2 ∙ kg 1,34 rad ∙ s –2 325 s; 452 rev (a) 0,436 rad ∙ s –2; (b) 21,80 rad; (c) 176,58 m 2 ∙ kg ∙ s–1; (d) 192,49J 3,34 × 104 N ∙ m; 6,31 × 107 J 63,6 m 2 ∙ kg ∙ s–1, 5.997 J; 12,72 N ∙ m; 1.199,4 W h = 2,1 R 226.551 J
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Respostas a alguns dos problemas ímpares
491
(a) 3g sen a /2L; (b) 3g cos a / L ; (c) 52 Mg cos a paralelo ao raio e − 41 Mg cos a perpendicular ao raio 10.25 (a) ax = − 83 L cos a × (acel. ang.) , ay − 58 L sen a × (acel. ang.) ; (b) (acel. ang.) = –15g cos a /L(4 + 6 cos2 a) 10.27 (a) mva; (b) mv, antes, mv(1 + ML/2ma)/(1 + ML2 /3ma2) depois, (d) − 12 mv2 ML2 / ML2 + 3 ma 2 10.23
(
10.29 10.31 10.33 10.35 10.37 10.43
(
)
(
(
)
)
(a) 8,702 rad ∙ s ; (b) 4,351 m ∙ s ; (c) 54,49 N a = 2F(1 – r/R)/3 m 2 α = m − m ′ ( r R) g / 12 M + m + m ′ ( r R) R, a = Rα, a ′ = rα (a) 120,05 J; (b) 35,32 N à esquerda e 32,37 N à direita 7,84 rad ∙ s –1 (a) 1,40 × 10 – 2 × (4p)2 N ∙ m; (b) p /2 –2
Capítulo 11 11.3 11.5 11.7 11.9 11.13 11.15 11.19 11.21 11.23 11.25 11.27 11.33 11.35
)
(
–2
)
c 2 ; 2m0 c 2 ; 2 − 1 m0 c 2 (a) m 0 /0,916; (b) m 0 /0,60; rclass /rrel = 0,36 1,65 × 10 –17 m ∙ kg ∙ s –1; 0,99945c c/1.386; c/37,2 ∆E/m 0 c2 = 0,153, 1,141, 0,891, 3,807 0,115c; 3,40 keV, 6,28 MeV 5,34 × 10 –22 m ∙ kg ∙ s –1; 4,97 MeV/c; 2 × 103 MeV/c 1014 m ∙ s –2, 0,512 × 1014 m ∙ s –2 (a) 1014 m ∙ s –2, 0,512 × 1014 ms –2; (b) 1,25 × 1014 m ∙ s –2, 0,8 × 1014 m ∙ s –2 (a) 0,918c; (b) 11,876 × 109 eV, 10,898 × 109eV/c; (d) 1,31 × 109 eV (a) 56GeV; (b) 1780GeV (a) c2p1(E1 + m2 c2); (b) Q = 0 (a) E4 = (E′2 – m23 c4)/2E′, onde E′ é dado pela Eq. (11.47). (b) No referencial L a energia depende da direção do movimento das partículas resultantes.
Capítulo 12 12.1 12.3
12.5 12.7 12.9 12.11 12.13 12.15
(a) 2 s; (b) 0,5 Hz; (c) 0,30 m; (d) x = 0,3sen(p t)m (a) 4m, 20 p s, 0,05/pHz, 0,5rad; (b) v = 0,4 cos (0,1t + 0,5) m ∙ s–1, a = –0,04 sen (0,1t + 0,5) m ∙ s–2; (c) 1,85 m, 0,18 m ∙ s–1, –0,02 m ∙ s–2; (d) 3,36 m, 0,34 m ∙ s–1, –0,03 m ∙ s –2 103 /pHz, 4 m ∙ s –1, 3,2 m ∙ s–1; F = –4 × 103 x N, F = 8 sen (2 × 103 t + a)N 2 × 102p Hz; (a) 2,6 × 102p m ∙ s –1; (b) 3 × 104p 2 m ∙ s –2; (c) 30° 2,8p × 10 –2 m ∙ s –1 e 1,47p 2 × 10 –2 m ∙ s –2, ambos dirigidos para o centro 20p 2 m ∙ s –2, 10p 2 N, 41 p 2 J, 43 p 2 J 0,37 2p a / g
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Física – um curso universitário
12.17 0, 12 A2, onde A é a amplitude 12.19 3,80 s; 1,90 s 12.21 3,6 min; 0,988 m 12.23 32° 10′ 12.25 5, 88 y −1 + 2 / y N, 9,8 y −1 + 2 / y m ⋅ s −2 , 4, 43 4 × 10 −2 − y m ⋅ s −1 , arcos (1 – y), onde y é a altura da massa em m; 1,68 N, 2,8 m ∙ s–2, 0 m ∙ s–1, 16° 15′; 0 N, 0 m ∙ s–2, 0,886 m ∙ s –1, 0°; 16° 15′ 12.27 (a) 1,9 × 10 –3, 8,12 × 10 –6 ; (b) 1,68 × 10 –2, 6,31 × 10 –4 12.29 1, 71 s, 32 m ; 1,71 s 12.31 12.33 12.37 12.39 12.45 12.47 12.49 12.53 12.57
(
)
1/ 2
(a) 4p h 2 + 13 L2 / g ( 2h + L) ; (b) não 3,565 × 103 N ∙ m (por rad) 14 sen 2t; 10 cos 2t; –2 sen 2t y = 43 x; x 2 / 16 + y 2 / 9 = 1; y = − 43 x ; A = x0 /sen a ; a = arctg [wx0 /(v0 + x0g)]; se v0 = 0, A = x0w 0 /w e a = arctg (w /g) w = 0; A = x0, B = g x0 1,44 s –1 n (b) aprox. 0,6 da amplitude original; (c) 1,386t ; (d) 12 A0 , onde n é um inteiro e A0 é a amplitude original d2 x/dt2 + w 20 x = (F0 /m) cos w f t
()
12.59
(a) (4 / sen a ) 2h / g ; (b) sim, não
12.61
w ≅ w0
( 3 x / 2l ); d x/dt + (k/l )x – (k/2ml )x = 0 0
2
0
2
(
2 0
3
4 0
5
)
12.63 (a) d 2 x / dt 2 = F / m = ( 4 F0 / p m ) sen w t + 13 sen 3w t + ; (b) A = –4F0 /p mw 2, B = A/27, C = A/125 12.67 (a) Não; afasta-se do ponto de equilíbrio; não; (b) F = –kx + ax2 12.69 (a) Sim; não se move; sim; (b) F = –kx + ax3 12.71 x1, 12 A2 + B 2 ; 0, 12 A2 + B 2
(
)
(
)
Capítulo 13 13.1 13.3 13.5 13.7 13.9 13.11 13.13 13.15 13.17 13.19 13.21
(a) 3,557 × 1022 N; (b) 1,985 × 1020 N; 1,79 × 102 3,62 × 10 –47 N Aprox. 2 × 10 –10 m (veja o Prob. 2.9); 1,49 × 10 –42 N (a) 2,96 × 105:1; (b) 1,65 × 103 :1 (a) 17,5 kgf; (b) 140 kgf 3,06 × 104 N; 18,8 kgf; 110 kg (1,976 ± 0,012) × 1030 kg 32,1 km; 64,1 km (a) 7,73 × 103 m ∙ s –1; (b) 3,42 × 103 s; (c) 8,965 m ∙ s–2 3,5 dias; 2:1 (c) r = 6,37 × 10 6 cos (1,24 × 10 –3 t) m; v = 7,90 × 10 3 sen (1,24 × 10 –3 t) m ∙ s –1; a = –9,80 cos (1,24 × 10 –3 t) m ∙ s –2
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Respostas a alguns dos problemas ímpares
493
13.23 (a) 2g me / h + Re ; (b) não; (c) sim 13.31 (a) 4,31 × 104 m ∙ s –1; (b) 1,23 × 104 m ∙ s –1 13.35 − 4g m 2 / a 3 1 + 1/ 2 + 1/ 3 ; –4,74 × 1035 J 13.37 –1,09 × 1048 J, baseado numa densidade de 1,6 × 10 –32 kg ∙ m–3 13.29 1,02 × 104 m ∙ s –1 13.41 (a) 3,45 × 108 m da Terra; (b) quase velocidade de escape; (c) 2,37 × 103 m ∙ s –1 13.43 2,82 × 1014 m 2 ∙ kg ∙ s–1; 1,25 × 1011 J; –2,50 × 1011 J; –1,25 × 1011 J 13.45 (a) 1,78 × 108 N ∙ m, 4,16 dias; (b) 0,112 MW, 7,5 dias; (c) 30 revoluções 13.47 2,16 × 10 –14 rad ∙ s –1; 3,70 × 1053 m 2 ∙ kg ∙ s–1; –4,0 × 1039J 13.51 Mercúrio: (a) 4,59 × 1010 m; (b) 6,98 × 1010 m; (c) –3,74 × 1031 J; (d) 9,955 × 1038 m 2 ∙ kg ∙ s–1; (e) 7,60 × 106s; (f) 4,35 × 104 m ∙ s –1; 6,61 × 104 m ∙ s –1 Terra: (a) 1,47 × 1011 m; (b) 1,52 × 1011 m; (c) –2,64 × 1032 J; (d) 2,718 × 1040 m2 ∙ kg ∙ s–1; (e) 3,16 × 107 s; (f) 2,92 × 104 ∙ m ∙ s–1; 3,02 × 104 m ∙ s –1 Marte: (a) 2,07 × 10l2 m; (b) 2,49 × 1012 m; (c) –1,85 × 1031 J; (d) 3,445 × 1039 m 2 ∙ kg ∙ s–1; (e) 5,94 × 107 s; (f) 2,19 × 103 m ∙ s –1; 2,64 × 103 m ∙ s –1 13.53 (a) 3,21 × 1012 m2 ∙ kg ∙ s–1; (b) –9,31 × 108 J; (c) 0,191; (d) 6,37 × 106 m, 2,29 × 106 m; (e) 1,071 × 107 m; (f) 1,10 × 104 s 13.55 (a) 8,69 × 106 m; (b) 0,193; (c) 8,36 × 106/r = 1 + 0,193 cos q ; (d) 1,62 × 103 m ∙ s –1, 1,10 × 103 m ∙ s –1; (e) 8,06 × 103 s; (f) –2,295 × 109 J 13.57 (a) m(1,06 × 107) J, m(3,65 × 1015) m 2 ∙ kg ∙ s –1; (b) 1,009 × 1011 /r = 1 + 24,5 cos q ; (c) 5,0 × 1010 m 13.63 r = R/(1 + cos q); r = 2R/(1 + cos q) 13.65 r2 = 13 r1 , ou r1 = 32 r1 , ou r1 = 12 ou 0 13.67 9,8 m ∙ s–2, 6,26 × 107 m 2 ∙ s –2 13.69 Para o Sol: 5,9 × 10 –3 m ∙ s –2, 8,79 × 108 m 2 ∙ s –2 ; para a Lua: 3,32 × 10 –5 m ∙ s –2, 1,28 × 104 m 2 ∙ s –2 13.71 –3,01 × 10 –12 m/a2; 3,0 × 10 –11 m/a
(
13.75
) (
)
(
)
2 2 2 (a) v = ( 2g m / R) 1 − 1/ 1 + h / R ; (b) –h; (c) sim; quando o valor de h é
pequeno comparado com R; 2p g m / R 3
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Classificação periódica dos elementos
3
3
10
9
8
7
6
5
I
30 Zn 65,37
** Série dos actinídeos
57 La 138,91 89 Ac [227]
39 Y 88,905
21 Sc 44,956
49 In 114,82
31 Ga 69,72
5B 10,811 13 Al 26,9815
III
58 Ce 140,12 90Th 232,038
59 Pr 140,907 91 Pa [231]
60 Nd 144,24 92 U 238,03
89 – Série dos actinídeos**
57-71 Série dos lantanídeos* 80 Hg 81 TI 200,59 204,37
48 Cd 112,40
56 Ba 137,34
38 Sr 87,62
4 Be 9,0122 12 Mg 24,312 20 Ca 40,08
II
79 Au 196,967 87 Fr 88 Ra [223] [226,05]
55 Cs 132,905
1H 1,00797 3 Li 6,939 11 Na 22,9898 19 K 39,102 29 Cu 63,54 37 Rb 85,47 47 Ag 107,870
*Série dos lantanídeos
7
6
5
4
2
2
4
Série 1
Período 1
Grupo →
61 Pm [147] 93 Np [237]
7N 14,0067 15 P 30,9738
V
63 Eu 151,96 95 Am [243]
83 Bi 208,980
73 Ta 180,948
23 V 50,942 33 As 74,9216 41 Nb 92,906 51 Sb 121,75
62 Sm 150,35 94 Pu [242]
82 Pb 207,19
72 Hf 178,49
6C 12,01115 14 Si 28,086 22 Ti 47,90 32 Ge 72,59 40 Zr 91,22 50 Sn 118,69
IV
75 Re 186,2
67 Ho 164,930 99 Es [253]
76 Os 190,2
4 4 Ru 101,07
26 Fe 55,847
66 Dy 162,50 98 Cf [249]
85 At [210]
9F 18,9984 17 Cl 35,453 25 Mn 54,9380 35 Br 79,909 43 Tc [99] 53I 126,9044
VII
65 Tb 158,924 97 Bk [249]
84 Po [210]
64 Gd 157,25 96 Cm [245]
74 W 183,85
8O 15,9994 16 S 32,064 24 Cr 51,996 34 Se 78,96 42 Mo 95,94 52 Te 127,60
VI
68 Er 167,26 100 Fm [255]
77 Ir 192,2
45 Rh 102,905
27 Co 58,9332
VIII
69 Tm 168,934 101Md [256]
78 Pt 195,09
4 6 Pd 106,4
28 Ni 58,71
71 Lu 174,97 103
70 Yb 173,04 102 No
86 Rn [222]
54 Xe 131,30
36 Kr 83,80
2 He 4,0026 10 Ne 20,183 18 Ar 39,948
0
Massas atômicas, baseadas na atribuição do número exato 12,00000 à massa atômica do isótopo principal do carbono, 12C. São os valores adotados em (1961) pela União Internacional de Química Pura e Aplicada. A unidade de massa usada nesta tabela é chamada unidade de massa atômica (u): 1 u = 1,6604 × 10 –27 kg. A massa atômica do carbono, nesta escala, é 12,01115, pois é o valor médio para os isótopos presentes no carbono natural. (Para elementos produzidos artificialmente, a massa atômica do isótopo mais estável é dada entre colchetes.)
Tabela A-1
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c e me mp mn h
Velocidade da luz
Carga elementar
Massa de repouso do elétron
Massa de repouso do próton
Massa de repouso do nêutron
Constante de Planck
h/e a0
Razão constante de Planck/carga
Raio de Bohr
e = 2,7183;
R
Constante da Rydberg
p = 3,1416;
lC,p
do próton
Constantes numéricas:
lC,e
do elétron
Comprimentos de onda Compton:
e/me
Razão carga/massa para o elétron
ℏ = h/2p
Símbolo
R V0 F Ke e0
Constante dos gases Volume normal do gás ideal (TPN) Constante de Faraday Constante de Coulomb Permissividade do vácuo
kg
J·s
1,0545 × 10 –34 J · s 1,7588 × 10 11 kg –1 · C
6,6256 × 10 –34
1,6748 × 10 –27 kg
1,6725 × 10 –27
m
2 = 1, 4142 ;
3 = 1, 7320
1,0974 × 10 7 m –1
1,3214 × 10 –15 m
2,4262 × 10 –12 m
5,2917 × 10 –11
Aceleração da gravidade ao nível do mar no equador
Constante da gravitação
g
g
m0
k
Constante de Boltzman
9,1091 × 10 –31 kg
Permeabilidade do vácuo
NA
Constante de Avogadro
1,6021 × 10 –19 C
Km
mB
Magneton de Bohr
2,9979 × 10 m · s
Constante magnética
Símbolo
–1
Constante
8
Valor
4,1356 × 10 –15 J · s · C –1
Constantes fundamentais
Constante
Tabela A-2
9,7805 m · s –2
6,670 × 10 –11 N · m 2 · kg –2
1,2566 × 10 –6 m · kg · C –2
1,0000 × 10 –7 m· kg · C –2
8,8544 × 10 –12 N –1 · m –2 · C 2
8,9874 × 10 9 N · m 2 · C –2
9,6487 × 10 4 C · mol –1
2,2414 × 10 –2 m 3 · mol –1
8,3143 J · K–1 · mol –1
1,3805 × 10 –23 J · K–1
6,0225 × 10 23 mol –1
9,2732 × 10 –24 J · T–1
Valor
17 Cap.tabelas 17_Fisica_v.1.indd 496
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w v p F L t W
Velocidade angular
Frequência angular ou pulsação
Quantidade de movimento ou momento linear
Força
Momento angular
Torque, conjugado ou momento de força
K h Y k G I
Coeficiente de condutividade térmica
Coeficiente de viscosidade
Módulo de elasticidade volumétrica
Módulo de rigidez ou de cisalhamento
Momento de inércia
Carga elétrica ou quantidade de eletricidade
q, Q
C
m 2 · s –2
Potencial gravitacional
m 2 · kg
m –1 · kg · s –2
m –1 · kg · s –2
m –1 · kg · s –2
m –1 · kg · s –1
m · kg · s –3 · K–1
m2 · s –1
m 2 · kg · s –2 /partícula
m 2 · kg · s –3 m 2 · kg · s –2
m 2 · kg · s –2
m 2 · kg · s –2
m 2 · kg · s –1
m · kg · s –2
m · kg · s –1
s –1
s –1
s –1
m · s –1 m · s –2
s
kg
m
MKSC
A·s
MKSA
Relação com as grandezas fundamentais
m · s –2 coulomb
kelvin (K)
watt (W) joule (J)
joule (J)
newton (N)
hertz (Hz)
segundo
quilograma
metro
Nome da Unidade
Campo gravitacional V
D
Coeficiente de difusão
Módulo de Young
T
Temperatura
Potência Energia
Trabalho P Ek , Ep , U, E
w
Velocidade Aceleração
Frequência
t v a
Tempo
m
Massa
Símbolo l, s
Grandeza
Símbolos e unidades
Comprimento
Tabela A-3
17 Cap.tabelas 17_Fisica_v.1.indd 497
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R L e0 P D B m0 M H ΦB
Resistência elétrica
Indutância
Permissividade elétrica
Polarização
Deslocamento elétrico
Indução magnética
Permeabilidade magnética
Magnetização
Intensidade de campo magnético p Q M Q C
Momento de dipolo elétrico
Momento de quadrupolo elétrico
Momento de dipolo magnético
Momento de quadrupolo magnético
Capacitância
Fluxo magnético
j
farad (F)
weber (Wb)
tesla (T)
henry (H)
ohm (Ω)
kg · s –2 · A –1
kg · s –1 · C –1
m · kg · s –2 · A –1
m · kg · s · C
m·s·A m2 · s · A m2 · A m3 · A m –2 · kg –1 · s 4 · A 2
m·C m2 · C m 2 · s –1 · C m 3 · s –1 · C m –2 · kg –1 · s 2 · C 2
2
m –1 · A –1
m –1 · s –1 · C 2
m –1 · A –1
m ·s ·C –1
m · kg · C
m · kg · s –2 · A –2
m –2 · s · A
m ·C –2
m –2 · s · A
–2
m ·C –2
–1
m –3 · kg –1 · s · A 2
m · kg · s · C 2
m 2 · kg · s –2 · A –2
–1
m 2 · kg · C –2 –3
2
m · kg · s –3 · A –2 2
m · kg · s · C –2
m –2 · A
–1
m ·s ·C 2
–1
m 2 · kg · s –3 · A –1
Densidade de corrente –2
m · kg · s · C
volt (V)
V –2
–1
Diferença de potencial elétrico ou tensão elétrica 2
m · kg · s –3 · A –1
–1
m · kg · s · C –2
Intensidade de campo elétrico
ampère
A
I
s –1 · C
Intensidade de corrente
Tabela A-4
Fatores de conversão
Tempo 1 s (segundo *) = 1,667 × 10 –2 min = 2,778 × 10 –4 h 1 min (minuto) = 60 s 1 h (hora) = 60 min = 3.600 s 1 ano = 3,156 × 10 7 s
Força 1 N (newton) = 10 5 dyn = 0,2248 lbf = 0,102 kgf 1 kgf (quilograma força) = 1 kp (quiloponde) = 9,80665 N 1 dyn (dina) = 10 –5 N 1 lbf (libra força) = 4,448 N
Comprimento 1 m (metro) = 10 2 cm = 39,37 pol = 3,281 pés 1 (milha terrestre) = 5.280 pés = 1.609 m 1 (milha marítima) = 1.852 m 1 pol (polegada) = 2,540 cm = 2,54 × 10 –2 m 1Å (angstrom) = 10 –4 m = 10 –10 m 1 m (mícron) = 10 –6 m 1 A.u. (unidade astronômica) = 1,496 × 10 11 m 1 ano-luz = 9,46 × 10 15 m 1 ps (parsec) = 3,084 × 10 16 m
Pressão 1 N · m –2 = 1 Pa (pascal) = 9,265 atm = 1,450 lbf · pol –2 1 bar = 10 5 N · m –2 1 atm (atmosfera) = 101.325 N · m –2 1 mH 2 0 (metro de água) = 9.806,65 N · m –2 1 mmHg (milímetro de mercúrio) = 133,322 N · m –2
Ângulo 1 rad (radiano) = 57,3° 1o (grau) = 1,74 × 10 –2 rad 1’ (minuto) = 2,91 × 10 –4 rad 1” (segundo) = 4,85 × 10 –6 rad Área 1 m 2 = 10 4 cm 2 = 1,55 × 10 –5 pol 2 = 10,76 pés 2 1 pol 2 = 6,452 × 10 –4 m 2 1 pé2 = 9,29 × 10 –2 m 2 lb (barn) = 10 –28 m 2 1 ha (hectare) = 10 2 a (are) = 10 4 m 2 Volume 1 m 3 = 10 6 cm 3 = 10 3 litros 1 pé 3 = 2,83 × 10 –2 m 3 1 pol 3 = 16,39 × 10 –6 m 3 Velocidade 1 m · s –1 = 10 2 cm · s –1 = 3,281 pés · s –1 1 nó (milha marítima por hora) = 0,514 m · s –1 Aceleração 1 m · s –2 = 10 2 cm · s –2 = 3,281 pés · s –2 1 Gal (gal) = 1 cm · s –2 = 10 –2 m · s –2 Massa 1 kg (quilograma) = 10 3 g (grama) = 2,205 lb 1 quilate = 2 × 10 –4 kg 1 t (tonelada) = 10 3 kg 1 u (unidade unificada de massa atômica) = 1,6604 × × 10 –27 kg 1 lb (libra avoirdupois) = 0,4536 kg *
**
Energia 1 J (joule) = 10 7 erg = 0,239 cal = 6,242 × 10 18 eV 1 eV (elétron-volt) = 1,60 × 10 –19 J = 1,07 × 10 –9 u 1 cal (caloria) = 4,186 J = 2,613 × 10 19 eV = 2,807 × 10 10 u 1 u = 1,492 × 10 –10 J = 3,564 × 10 –11 cal = 931,0 MeV Temperatura K (kelvin) = 273,1 + °C 5 °C (grau Celsius) = 9 (°F – 32) 9 °F (grau Farenheit) = 5 °C + 32 Potência 1 W (watt) = 1,341 × 10 –3 hp = 1,359 × 10 –3 cv 1 cv (cavalo-vapor) = 735,5 W 1 hp (horse-power) = 745,7 W Carga elétrica** 1 C (coulomb) = 3 × 10 9 stC (statcoulomb) Intensidade de corrente** 1 A (ampère) = 3 × 10 9 st A (statampère) Intensidade de campo elétrico** 1 IN · CT–1 = 1 V · m –1 = 3 × 10 –4 stV · cm –1 Diferença de potencial elétrico** 1 1V (volt) = 3 10 –2 stV (statvolt) Resistência elétrica** 1 1 (ohm) = 9 10 –11 st Ω (statohm) Capacitância** 1 F (farad) = 9 × 10 11 stF (statfarad) Indução magnética 1 T (tesla) = 10 4 × G (gauss) Fluxo magnético 1 Wb (weber) = 10 8 maxwell Intensidade de campo magnético 1 A · m –1 (ampère-espira por metro) = 4p × 10 –3 oersted
As unidades em grifo são unidades legais brasileiras. Suas combinações, bem como seus múltiplos e submúltiplos decimais (ver Tabela 2.1), são também legais. Em todos os casos, 3 representa 2,998 e 9 representa 8,987.
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14/01/2015 15:40:15
Índice alfabético A Absoluta, temperatura, 284, 286 Aceleração angular, 122 centrífuga, 143 centrípeta, 123, 140 da gravidade, 83, 114 efetiva, 141 tabela, 143 de Coriolis, 140 instantânea, 103, 113 média, 103, 112 normal, 117 tangencial, 117 transformação relativística da, 164 Acelerado, movimento retilíneo uniforme mente, 104 Acoplados, osciladores, 386 Acoplamento, energia de, 389 Acoplamento, termo de, 387 Adesão, 179 ADN, 25 Afélio, 209 Água pesada, 275 Alavanca, braço de, 74 Alcance, 115 Alfa, colisão de partícula, 172, 272 Amortecido, movimento oscilatório, 393, 408 Ampère, 35 Amplitude, 366 ressonância, 396 Anarmônico, movimento oscilatório, 391 Anarmônicos, termos, 392 Andrômeda, 26
18 indice 18_Fisica_v.1.indd 499
Angstrom, 23 Angular, aceleração, 122 Angular, frequência, 366 Angular, momento, 192 de um corpo rígido, 304 interno, 261 lei de conservação do, 259 Angular, velocidade, 119 da Terra, 121 Ângulo sólido, 38 Ano-luz, 44 trópico, 34 Antipróton, 356 Apogeu, 452 Área, representação vetorial, 66 Aristarco, 416 Aristóteles, 27 Arquimedes, princípio de, 183, 301 Astronômica, unidade, 44 Atmosfera, 279 Atômica, unidade unificada de massa, 43 Atômico, relógio, 34 Átomos, 24 Atrito, coeficiente de, 179 fluido, 182 de escorregamento, 179 Atwood, máquina de, 178 Avanço do periélio, 429 Avogadro, número de, 43, 299 Axial, força, 195 B Balístico, equação do projétil, 453 Balístico, pêndulo, 295 Barométrica, equação, 301
14/01/2015 15:40:34
500
Física – um curso universitário
Barreira de potencial, 234 Batimentos, 382 Bernuilli, teorema de, 289 Boltzmann, constante de, 284 Brahe, Tycho (1546-1601), 416 C Calor, 279 Caloria, 280 Campo, 413 gravitacional, 432 gravitacional, intensidade do, 432 Captura, reação de, 271 Carga, 32 Cavendish, balança de torção de, 418 Celsius, temperatura, 277 Centígrada, temperatura, 277 Central, força, 195 Centrífuga, aceleração, 141 Centrífugo, potencial, 236 Centrípeta, aceleração, 123, 140 Centrípeta, força, 188 Centro, de curvatura, 118 de forças paralelas, 82 de gravidade, 83 de percussão, 331 de simetria, 84 de massa, 83, 249 referencial do, 249 velocidade do, 248 Centros de massa (tabela), 84 cgs, sistema, 35 Charles, lei de, 301 Cicloidal, pêndulo, 374 Cicloide, 374 Cinética, energia, 218 de rotação, 318 de translação, 267 do MHS, 370 interna, 266 relativística, 344
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Circulação, 223 Circular, movimento, 119 CO2, vibrações normais, 390 Coeficiente, de atrito, 180 dinâmico, 180 estático, 180 Coeficiente de restituição, 296 de viscosidade, 182 Coeficientes de atrito (tabela), 180 de viscosidade (tabela), 182 Coesão, 179 Colisão, 172, 269 em alta energia, 354 plástica, 296 Q de uma, 270 Componentes, contravariantes, 72 covariantes, 72 de um vetor, 52 retangulares, 124 Composto, pêndulo, 376 Comprimento, 32 Comprimentos, contração dos, 154 Cônicas, seções, 429 Conjugado, 74, 258 Conservação do momento angular, 259 da energia, 265 no um fluido, 289 de uma partícula, 228 Conservativa, força, 222 Continuidade, equação da, 291 Contravariantes, componentes, 72 Copérnico, Nicolau, (1473-1543), 415 Coriolis, aceleração de, 140 Coulomb, 35 Covariantes, componentes, 72 Criticamente amortecimento, 408 Curvilíneo, movimento, 110, 124, 187
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D Dalitz, diagrama de, 302 Deferente, 415 Definição operacional, 32 Densidade, 36 relativa, 37 Densidades relativas à água (tabela), 37 Derivada direcional, 224 Deslocamento, 49, 110 Desvio, 41 Determinantes, 64 Dêuteron, massa reduzida, 256 Dia solar médio, 34 sideral, 121 Diferencial, equação do MHS, 371 Dina, 176 Dinâmica, 166 Dinâmico, coeficiente de atrito, 180 Dinamômetro, 217 Dipolo, momento de, 455 Direção, 46 Direção de referência, 47 Direcional, derivada, 224 Direita, parafuso, 63 Diretores, cossenos, 54 Diretriz, 429 Dissociação, 273 Distância, 48 E Eclítica, 325 Einstein, Albert (1879-1955), 337 Eixo, 46 de simetria, 84 Elástica, colisão, 271 Elástica, constante, 370 Elétron-volt, 219 Elipse, área da, 430 Elíptica, órbita, 424 Empuxo, 301 Endoergética, 270
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Energia, 99 acoplamento, 389 cinética, 218 de rotação, 318 do MHS, 370 relativística, 344 cinética de translação, 267 conservação da, 265 de uma partícula, 227 em um fluido, 289 crítica do conceito de, 241 de repouso, 344 interação, 389 interna, 266 interna, cinética, 266 interna, potencial, 266 lei de conservação da, 281 limiar, 356 Lorentz, transformação de, 348, 362 momento, transformação de, 348 não mecânica, 280 potencial, 222 gravitacional, 421 própria, 264 química, 280 ressonância da, 397 total, 228, 266, 344 Epiciclo, 415 Epicicloide, 415 Equação barométrica, 301 da continuidade, 291 de estado de um gás, 283 Equilíbrio, 85 de um corpo rígido, 87 de uma partícula, 85 e repouso, 198 estável, 233 térmico, 277, 280 Equipotencial, superfície, 435 Equivalência, princípio da, 443
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Erg, 216 Escalar, 48 Escalar, produto, 60 Escape, velocidade de, 425 Escorregamento, atrito de, 179 Espalhamento, 197, 269 Especial, princípio de relatividade, 337 Estacionário, movimento, 289 regime, 239 Estados da matéria, 24 Estático, coeficiente de atrito, 180 Estatística, mecânica, 276 Estável, equilíbrio, 233 Estelar, paralaxe, 44 Esterorradiano, 38 Éter, 133 Evento, 154 Excentricidade, 429 Exoérgica, 270 Expansão, razão de, 279 Experiência de Michelson-Morley, 157 Experimentação, 28 Experimental, erro, 31 método, 28 Externa, força, 250 F Fase, 366 Física, 21 Físico, pêndulo, 376 Fissão, 273 Fluido, 287 Fluidos, movimento dos, 287 Foco, 429 Foguete, movimento de um, 186 Força, 173 axial, 195 central, 194 centrípeta, 189 componente radial da, 225 componente transversal da, 225
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concorrente, 73 conservativa, 222 coplanar, 80 crítica do conceito de, 175 externa, 250 inercial, 337 interna, 250 linha de, 433 não conservativa, 237 normal, 187 própria, 350 relativística, 352 tangencial, 188 transformação de Lorentz de, 362 unidades de, 177 Forçado, movimento oscilatório, 396 Foucault, pêndulo de, 146 Fourier, coeficientes de, 401 Fourier, série de, 401 Fourier, teorema de, 401 Fourier, transformada de, 402 Frequência, 121, 366 angular, 366 G Galáxia, 24, 167 Galileu, transformação de, 136 Gás, equação de estado de um, 283 ideal, 285 Gás, termômetro de, 286 Gases, constante dos, 299 Gaussiana, distribuição, 42 Gay-Lussac, Lei de, 301 Geral, princípio da relatividade, 445 Girante, vetor, para deslocamento, 367 para MHS, 367 Giroscópico, bússola, 325 Giroscópio, 321 Gradiente, 226 Grama, 35 Gravidade, aceleração da, 114
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aceleração efetiva da, 141 centro de, 83 tabela, 143 Gravitacional, campo, 433 intensidade de campo, 432 massa, 33, 420 potencial, 434 energia, 422 H Harmônicos, 401 Hertz, H. R. (1857-1894), 120 Hidrogênio, massa reduzida do átomo de, 256 Hiparco, 325 Histograma, 42 I Ideal, gás, 285 Impacto, parâmetro de, 197 Impedância, 398 Impulso, 211 Inelástica, colisão, 270 Inércia, lei da, 166 Inercial, força, 337 Inercial, massa, 33 Inercial, observador, 167 Inercial, referencial, 167 Instantânea, aceleração, 103, 113 Instantânea, potência, 215 Instantânea, velocidade, 101, 111 Instável, equilíbrio, 246 Integral de linha, 213 Interação, 27, 99, 166, 413 Interação, energia de, 389 Interferência, 378 Interferômetro, 157 Interna, energia, 266 Interna, energia cinética, 266 Interna, energia potencial, 265 Interna, força, 251
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Internacional, sistema de unidades, 35 Invariante, 137 Isótopos, 23 J Joule, James P. (1816-1869), 215 K Kelvin, 277 Kepler, Johannes (1571-1630), 416 Kepler, Lei de, 416 L Laboratório, referencial do, 249 Láctea, via, 24 Lee, T. D, 27 Lei das áreas, 416 Lei da gravitação universal, 416 Lei da inércia, 166 Lei do movimento, primeira de Newton, 167 segunda de Newton, 173 terceira de Newton, 174 Lei da termodinâmica, primeira, 281 Lennard-Jones, potencial, de, 236 Libra, pé, 242 Ligada, órbita, 423 Limiar, energia, 356 Limite, velocidade, 183 Linear, quantidade de movimento, 168 Linha dos equinócios, 325 Linha, integral de, 213 Linhas de corrente, 289 Linhas de força, 433 Lissajous, figuras de, 384 Livre, partícula, 166 Lorentz e Fitsgerald, hipótese de, 159 Lorentz, H., 150, 152 Lorentz, transformação de, 149, inversa, 150 Loschmidt, número de, 299 Luz, ano, 44
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M Macroscópico, 27 Massa, 32, 168 centro de, 83 definição dinâmica de, 172 de repouso, 168, 339 gravitacional, 33, 420 inercial, 420 reduzida, 254 Matéria, estados da, 24 Mecânica, 99 estatística, 276 Mecânica, energia, 280 Média, potência, 215 de um oscilador, 399 Média, velocidade, 101, 111 Medida, 331 Médio, desvio, 41 Médio, dia solar, 34 Médio, valor, 41 Métrico, sistema, 35 Metro, 33 MHS, 366 em fase, 380 em oposição, 380 em quadratura, 380 energia cinética do, 370 energia potencial, 370 Michelson e Morley, experiência de, 157 MKSA, sistema, 35 MKSC, sistema, 33 Modelo, 29 Moderação, 274 Moderador, 274 Modulada, 381 Mol, 42 Moléculas, 23 Momento, veja Quantidade de movimento Momento, angular, 192 de um corpo rígido, 304 transformação de Lorentz, 362
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Momento de inércia, 305 Morse, potencial de, 408 Movimento, 100 fluido, 287 estacionário, 289 N Nabla, 227 Não conservativas, forças, 237 Não inercial, observador, 337 Não mecânica, energia, 280 Newton, 73, 176 Newton, primeira lei do movimento de, 167 segunda, 173 terceira, 173 Newton, Sir Isaac (1642-1727), 167, 416 NH3, ângulo da Ligação, 327 comprimento da ligação NH, 327 Normal, aceleração, 117 Normal, distribuição, 42 Normal, força, 187 Normal, modo, 387 Núcleo, 23 Nulo, vetor, 68 Nutação, 324 O Observação, 28 Observador inercial, 167 não inercial, 337 Operacional, definição, 32 Órbitas, elípticas ou ligadas, 423 Oscilação, modos normais de uma, 387 Osciladores acoplados, 387 Oscilátorio, movimento anarmônico, 391 amortecido, 393, 408 forçado, 396 harmônico, simples, 366 P Parafuso, à direita, 62 Paralaxe, 44
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Paralelas, forças, 81 Parsec, 44 Partícula livre, 166 Pêndulo, balístico, 295 amortecimento viscoso no, 393 cicloidal, 374 composto, 376 cônico, 189 de Foucault, 146 de torção, 378 relações de energia no, 22 simples, 373 Periélio, 209 avanço do, 429 Perigeu, 452 Período, 41, 120, 366 Peso, 83, 174 Pião, 323 Planck, constante de, 196 Plasma, 24 Plástica, colisão, 296 Poise, 182 Polarização circular, 383 elíptica, 383 linear, 383 Poloide, 317 Posição, vetor, 54 Potência, média, 215 dissipação de, 409 do oscilador, forçado, 399 instantânea, 215 rotacional, 333 unidades de, 215 Potencial, barreira de, 234 curvas, 233 do MHS, 371 energia, 222 gravitacional, 422 interna, 264 Potencial centrífugo, 231 de Lennard-Jones, 236
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de Morse, 408 de Yukawa, 247 gravitacional, 434 Precessão, 323 dos equinócios, 324 Precisão, 39 Pressão, 254 unidades de, 278 Principais, eixos de inércia, 305 Principais, momentos de inércia, 305 Princípio de equivalência, 443 Princípio da relatividade, 148 clássica, 335 especial, 337 geral, 445 Produtos de inércia, 334 Própria, energia, 264 Própria, força, 350 Próton, antipróton, par, energia do limiar, 356 Ptolomeu de Alexandria, 415 Pulso, 403 Q Q de uma colisão, 270 Q, equação do, para uma colisão, 270 Quadrivetor, 349 Quadrupolo, momento de, 455 Quantidade de movimento, 168 Quilograma, 33 Quilograma-força, 73 Quilowatt-hora, 216 Química, energia, 280 R Radial, velocidade, 125 Radiano, 38 Raio de curvatura, 118 Raio de giração, 309 Raios de giração (tabela), 310 Raiz quadrática média, velocidade, 276 Reatância, 399
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Recíproco, vetor, 71 Reduzida, massa, 255 Referência, sistema absoluto de, 133 sistema de, 100 Referencial C, 249 Referencial L, 249 Relativa, velocidade, 133 Relatividade, princípio da, 148 clássica, 335 especial, 337 geral, 445 Relativística, mecânica, 335 Relativo, movimento de translação unifor me, 137 Relaxação, tempo de, 184 Relógio, atômico, 34 Renormalização, 437 Repouso, 100 e equilíbrio, 198 Repouso, energia de, 344 Repouso, massa de, 168, 339 Repulsiva, força, com o inverso do qua drado, 197 Resistência, 399 Ressonância de amplitude, 396 de energia, 397 Restituição, coeficiente de, 296 Retardado, movimento, 105 Retilíneo, movimento, 101 uniforme, 106 uniformemente acelerado, 106 Rígido, corpo, 303 Rotação, 78, 303 Rotacional, potência, 333 rqm, desvio, 41 S Segundo, 34 Semieixo maior, 430 Semieixo menor, 430 Sideral, dia, 121
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Significativos, algarismos, 40 Simples, movimento harmônico, 366 Simples, pêndulo, 373 Simultaneidade, 164 Sistema de referência, 100 do centro de massa (C), 249 inercial, 167 do laboratório, (L), 249 Sistema, velocidade de um, 249 relativístico, 352 Slug, 177 Solar, sistema, dados básicos do, 416 Spin, 261 Steiner, teorema de, 308 Stokes, lei de, 182 Superposição de dois MHS, 378 T Tabelas, aceleração da gravidade, 143 centros de massa, 84 coeficientes de atrito, 180 coeficientes de viscosidade, 182 dados básicos a respeito do sistema so lar, 416 densidades, relativas à água, 37 prefixos para potências de dez, 36 raios de giração, 310 relações para sistemas de partículas, 268 Tangencial, aceleração, 117, 123 Tangencial, força, 187 Taylor, teorema de, 391 Temperatura, 276 absoluta, 277, 284 Celsius, 277 centígrada, 277 medida de, 286 Tempo, 32 de trânsito, 116 Tempo, dilatação do, 154 Tempo, intervalo de, 154
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Tempo, média, 240 Tensores, 349 Teórica, física, 29 Térmico, equilíbrio, 277, 280 Termodinâmica, 276 primeira lei da, 281 Termômetro, 287 de gás, 287 Timbre de sons, 402 Torção, pêndulo de, 378 Total, energia, 228, 266, 344 TPN, condições, 37 Trabalho, 212 total externo, 281 unidades de, 215 Transformação de Galileu, 136 de Lorentz, 150, 163 Transitório, termo, 396 Translação, 78, 303 Translação, movimento relativo uniforme de, 137 Translacional, energia cinética, 267 Transversa, velocidade, 125 Trópico, ano, 34 U Unidade, 31 Uniforme, movimento, 103 Uniforme, movimento circular, 120 Universal, lei da gravitação, 417 V Velocidade, 102 Velocidade, angular, 119 da luz, 338 de aproximação, 423
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de escape, 425 do centro de massa, 249 instantânea, 101, 110 limite, 183 média, 101, 110 radial, 125 raiz quadrática média, 425 relativa, 133 transformação de Lorentz para, 150 transversal, 125 Venturi, medidor de, 291 Vertical, 141 Vetor, 48 girante, 379 nulo, 68 posição, 54 unidade, 48 Vetor, componentes de um, 52 Vetores, diferença entre dois, 50 soma de dois, 52 Vetorial, produto, 62 Virial, de uma partícula, 239 de um sistema, 283 Virial, teorema do, 239, 283 Viscosidade, 182 coeficiente de, 182 W Watt, 216 Watt, James, (1736-1819), 216 Y Yukawa, potencial de, 247 Z Zero, massa de repouso, 346 Zero, referencial de momento, 249
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