Le théorème de Pythagore
1 2 3 4 5 6 7
“NE DIS PAS PEU DE CHOSES EN BEAUCOUP DE MOTS, MAIS DIS BEAUCOUP DE CHOSES EN PEU DE MOTS.” Pythagore Mathématicien et philosophe grec, né env. 580 av. J.-C.
8 9 10
Tu as déjà appris à 1 2 3 4 5
reconnaître les différents types de triangles reconnaître des solides dans l'espace reconnaître des droites parallèles, perpendiculaires, sécantes et gauches dessiner à l'échelle développer des produits remarquables (a + b)2, (a – b)2, (a + b) · (a – b).
Teste-toi •
1
Complète ou entoure la solution correcte.
Sous chaque triangle, indique le nom le plus approprié Choisis parmi : équilatéral, rectangle ou isocèle.
A
B
C
En réalité, [HF] et [ST] sont
En réalité, [BC] et [HF] sont
En réalité, [RS] et [ST] sont
6,3 sur 8,1 mm
7,1 sur 9,1 mm
a2 – b 2
a2 + b2
a2 – 2ab + b2
2
Nomme les solides suivants.
3 Complète à l'aide de parallèles, perpendiculaires ou gauches. H G R P E F Q D C S A T B R, S, T milieux respectifs de [EH], [AD], [AB] 4 Les dimensions réelles de l'iPad sont de 190 mm sur 243 mm. Indique l'échelle utilisée pour les trois images. 5 (a – b)2 =
19 sur 24,3 mm
De quoi as-tu besoin ? • •
livre de l’élève tome A p. 9 – 54 calculatrice, surligneur, équerre, compas, feutres de couleur
Sommaire · Le théorème de Pythagore L1 Un triangle rectangle … trois côtés particuliers 11 L2 Histoire d’être d’équerre 19 L3 Pythagore dans l'espace 23 L4 Résoudre un problème à l'aide de Pythagore 27 L5 Pythagore et les repères cartésiens 31 Guide d’étude 36 Exercices 37
10
Chapitre 1 • Le théorème de Pythagore
LEÇON
Un triangle rectangle … trois côtés particuliers
1
Exploration a Aigu, droit ou obtus ? Dans un parc de vacances, tous les bungalows sont construits sur des terrains carrés et regroupés par trois comme le montrent les dessins ci-dessous, pour former une cour intérieure triangulaire. Afin de poser la dalle en béton sur chaque terrain, l'entrepreneur doit connaître l'aire de chaque terrain.
Complète le tableau suivant si un petit carré mesure 1 unité de longueur de côté. CHAPITRE
1
aigle condor
Type aigle Longueur a = d'un côté de chaque terrain Aire de chaque terrain
c
aigle
a
condor c
a
b
b
busard
busard
Type busard
Type condor
Type aigle
aigle condor c
a
b
busard
Type busard
Type condor
Type aigle
Type busard
Type condor
b=
c=
a=
b=
c=
a=
b=
c=
a2 =
b2 =
c2 =
a2 =
b2 =
c2 =
a2 =
b2 =
c2 =
a2 =
b2 + c2 =
a2 =
b2 + c2 =
a2 =
b2 + c2 =
Quel est le lien entre ces trois aires ? Choisis parmi <, =, > · a2 b2 + c2
a2 b2 + c2
a2 b2 + c2
En fonction des amplitudes des angles, quel type de triangle forme chaque cour intérieure ?
Conclusion Le triangle ABC dont les côtés mesurent |AB|, |BC| et |AC|, |AB| est la mesure du plus long côté, est : – acutangle si |AB|2 < |BC|2 + |AC|2 – rectangle si |AB| = |BC| + |AC|
2
– obtusangle si |AB| > |BC| + |AC|
2
2 2
2 2
Le triangle ABC dont |AB| = 13, |BC| = 6 et |AC| = 8 est obtusangle car
LE SAVAIS-TU... ?
6, 8 et 10 forment un trip2let 2 2 . pythagoricien, car 6 + 8 = 10
|AB|2 = 132 = 169, |BC|2 + |AC|2 = 62 + 82 = 100 et |AB|2 > |BC|2 + |AC|2.
LEÇON 1 Un triangle rectangle … trois côtés particuliers
11
CONTRÔLE 1
Le triangle dont les côtés mesurent 7 cm, 5 cm et 11 cm est-il acutangle, rectangle ou obtusangle ?
a Entoure la mesure du plus grand côté. b Calcule le carré de la mesure de ce côté.
c
Calcule la somme des carrés des mesures des deux autres côtés.
d Compare les deux résultats.
e En fonction des amplitudes des angles, de quel type est le triangle ?
b Pythagore et les aires Observe de plus près la cour intérieure de la figure du milieu du tableau de la page précédente. a
c b
CHAPITRE
1
•
De quelle figure s'agit-il ?
•
Nomme le côté dont la mesure est a.
•
Comment s’appellent les côtés de mesure b et c ?
•
Quel angle a la plus grande amplitude dans le triangle ?
•
Caractérise la longueur du côté opposé à l’angle droit.
•
Comment nomme-t-on le plus grand côté d’un triangle rectangle ?
Notion – vocabulaire du triangle rectangle L'hypoténuse d'un triangle rectangle est le côté opposé à l'angle droit. b et c sont les mesures des côtés de l'angle droit du triangle rectangle. Les côtés de l'angle droit sont également appelés « cathètes ». Chaque angle aigu est opposé à une cathète et est adjacent à l'autre cathète. c est la mesure de la cathète opposée à l'angle aigu α . ou C b est la mesure de la cathète adjacente à l'angle aigu α . ou C
B
hypoténuse
a
c
α A
b
C côtés de l’angle droit ou cathètes
Observe de plus près la cour intérieure. Le triangle est rectangle, comme l'indique le signe placé à l'angle droit. La longueur de chaque côté du triangle a également été indiquée. Calcule l'aire de chaque carré et indique-la à l'intérieur de ceux-ci.
12
L'aire du carré de côté 6
=
L'aire du carré de côté 8
=
L'aire du carré de côté 10
=
Chapitre 1 • Le théorème de Pythagore
6
10 8
•
Établis une relation mathématique entre ces trois nombres. Choisis parmi les symboles <, >, = et +. 100
......
64
......
36
L'aire du carré construit sur l'hypoténuse
......
L'aire du carré construit sur un côté de l'angle droit
......
L'aire du carré construit sur l'autre côté de l'angle droit
Tu peux à présent formuler le théorème de Pythagore dans sa forme géométrique. Propriété – théorème de Pythagore Dans un triangle rectangle, l'aire du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les côtés de l'angle droit.
ΔABC est rectangle en A. ⇓ a2 = b 2 + c 2
a2
B c2 A
b2
C
CHAPITRE
CONTRÔLE 2
Situation 1
Situation 2
.......
.......
a
7 c
25
Situation 2
b
a
8 c b
a
Situation 3
27
c .......
b a
30
b
8 c
1
Dans chaque situation, on donne l'aire de deux des trois carrés. Détermine l'aire du troisième carré.
43
Situation 3
27
c .......
b a
30
43
LEÇON 1 Un triangle rectangle … trois côtés particuliers
13
c
Pythagore et les mesures des côtés fig. 2 c
fig. 3
a
fig. 1
a
c
fig. 4 b c
c
b
a
a
b fig. 5 b
a
c
CHAPITRE
1
b •
Pour chaque figure, mesure les longueurs a, b et c des côtés, exprime ta réponse en mm.
•
Reporte les valeurs des longueurs mesurées dans le tableau ci-dessous et complète les dernières colonnes du tableau.
Figure
a (en mm) b (en mm) c (en mm) a2 (en mm2)
b2 (en mm2)
c2 (en mm2)
b2 + c2 (en mm2)
1 2 3 4 5
•
Compare la colonne a2 avec la colonne b2 + c2. Que peux-tu en conclure ?
•
Complète la thèse suivante : dans un triangle rectangle, le carré de la mesure de l'hypoténuse est égal à
Propriété – théorème de Pythagore Dans un triangle rectangle, le carré de la mesure de l'hypoténuse est égale à la somme des carrés des mesures des côtés de l'angle droit.
14
Chapitre 1 • Le théorème de Pythagore
ΔABC est rectangle en A. ⇓ a2 = b 2 + c 2
B c
a
A
b
C
d Démonstration du théorème de Pythagore Complète le raisonnement suivant. • Soit un carré construit sur un côté de longueur (a + b)
a
b
a
et un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit b
a
b c
mesurent a et b. • Combien de ces triangles rectangles peux-tu inscrire dans le carré en
superposant les segments de même mesure sur les côtés du carré de
b a
a b
départ ? Dessine-les tous. • Nomme la figure centrale formée par les côtés de longueur c des
différents triangles : •
Justifie ta réponse. CHAPITRE
1
•
Détermine de deux manières différentes l’aire totale du carré de côté (a + b).
Écris l’aire sous la forme d’un produit. Développe ce produit et réduis les termes semblables.
Écris l’aire totale sous la forme d’une somme des aires des figures qui composent le carré. Détermine le type et le nombre de figures planes qui constituent la figure de départ : et
Détermine l’aire de chaque figure :
L’aire totale vaut
L’aire totale vaut
Ces deux expressions différentes désignent l’aire du même carré de côté (a + b). Écris cette égalité en langage mathématique.
Applique les règles de simplification d’une égalité pour isoler c2. Tu conclus :
LEÇON 1 Un triangle rectangle … trois côtés particuliers
15
Démonstration – le théorème de Pythagore Hypothèse : – Carré ABCD de côté (a + b)
A
– Triangles rectangles identiques PAM, MBN, NCO et ODP inscrits dans le carré, respectivement en A, B, C, D
M
b c
a P
B
a c b
– X est le centre de rotation du polygône régulier ABCD
X b c
N
a D
Thèse :
c =a +b 2
2
O
c b
a C
2
Démonstration : – Justifions que MNOP est un carré :
CHAPITRE
1
• rX,90°(ΔPAM) = ΔODP, rX,180°(ΔPAM) = ΔNCO et rX,270°(ΔPAM) = ΔMBN ⇒ |PM| = |MN| = |NO| = |OP| (les rotations sont des isométries) ⇒ MNOP est un losange de côté c.
• |XM| = |XN| = |XO| = |XP|
(par définition de la rotation)
• M, X et O sont alignés, de même P, X et N (suite de deux rotations de 90°)
• , et ⇒ MNOP est un carré (losange dont les diagonales sont isométriques) – Déterminons de deux manières différentes l’aire totale du carré ABCD de côté (a + b).
• Acarré ABCD = (a + b)2 • Somme des aires de chacune des figures planes qui forment le carré ABCD. ab – 4 triangles de base a et de hauteur b soit 4 ∙ __ 2 2 – 1 carré central de côté c soit c ab __ – L’aire totale du carré ABCD vaut 4 ∙ + c2. 2
• Les expressions et désignent la même aire ⇒ = __ + c2 (a + b)2 = 4 ∙ ab 2 ⇔ a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 (produit remarquable et simplification d'un produit de fractions)
⇔ a2 + b2 = c2
(règle de simplification d’une égalité)
Variante : démonstration dynamique du théorème de Pythagore En appliquant une transformation du plan aux différents triangles à l’intérieur du carré ABCD, on obtient la formule de Pythagore sous la forme : c2 = a2 + b2. a
b c
a
a
c b
c b
b2
b c
c2 b c
16
a
c b
Chapitre 1 • Le théorème de Pythagore
a
a
b c
a c b
a
a2
Application 1 Repasse en rouge l'hypoténuse des triangles rectangles ci-dessous. 25 – 28 29 – 33
2 Vrai ou faux ? Si la phrase est fausse, corrige-la. 34 – 38
a Dans un triangle, le carré de la mesure du plus grand côté est égal à la somme des carrés des mesures des deux autres côtés.
39 – 40
b Dans un triangle rectangle, le carré de la mesure de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des côtés de l'angle droit. c
Dans un triangle rectangle, le carré de la mesure du plus grand côté est égal au carré de la somme des mesures des deux autres côtés.
d Dans un triangle rectangle, le carré de la somme des mesures des côtés de l’angle droit est égal au carré de la mesure de l'hypoténuse.
CHAPITRE
1
Travail de recherche 1 Le triangle ABC est inscrit dans un cercle. [BC] est un diamètre et A est un point du cercle. A
M
B
41 – 42 43
a Ce triangle est-il rectangle ?
C
b Quel est le rapport entre la longueur de la médiane relative à l'hypoténuse et la longueur de l'hypoténuse elle-même ?
3 Le tableau suivant donne les mesures des côtés de plusieurs triangles. Sont-ils acutangles, rectangles ou obtusangles ? Justifie. a
b
c
6
5
4
13
12
5
10
8
7
9
5
6
16
10
11
a2
<, > ou = b2 + c2
Acutangle, rectangle ou obtusangle
LEÇON 1 Un triangle rectangle … trois côtés particuliers
17
44 – 45 46
4 Le tableau suivant donne les mesures des côtés de plusieurs triangles. Sont-ils acutangles, rectangles ou obtusangles ? Justifie. c1
c2
c3
Acutangle, rectangle ou obtusangle
justification
1,6
2,3
1,8
acutangle
5,29 < 2,56 + 3,24 5,29 < 5,8
5,5
2,5
7,5
42
33,6
25,2
26
32,5
19,5
5 Les nombres suivants forment-ils des triplets pythagoriciens ? Justifie. 47 CHAPITRE
1
48
a 15 17 8 OUI/NON car
e
13
6
12
OUI/NON car
b
23 11 34 OUI/NON car
f
37,6
47
28,2
OUI/NON car
c
6
12
16
OUI/NON car
g
6,4 2,4 3,7 OUI/NON car
d
250
88
234
OUI/NON car
6 Sur les triangles rectangles repasse l'hypoténuse en rouge et les côtés de l'angle droit en vert. 49
a b
f
c
e d
g
7 Détermine l'aire du 3e carré dans les cas où le théorème de Pythagore s'applique. 50 13
51
a
…
15
…
14
b
c
29 16
…
…
4
1
e
f 14
8
d 48 10
18
Chapitre 1 • Le théorème de Pythagore
…
9
…
LEÇON
Histoire d’être d’équerre
2
Exploration Jonathan rentre de l'école. Arrivé chez lui, il cherche la clé de la maison, puis se souvient soudain l'avoir laissée sur sa table de nuit ce matin-là. Heureusement, la fenêtre de sa chambre est entrouverte et il sait qu'il peut utiliser l'échelle de la cabane du jardin pour y grimper. L'appui de fenêtre de sa chambre se trouve à 3,50 m du sol. Mais au sol, la maison est bordée sur une largeur de 1,2 m par des plantes sur lesquelles il ne peut pas marcher. Quelle longueur l'échelle doit-elle avoir au minimum pour pouvoir atteindre l'appui de fenêtre ? •
Quel type de triangle forment le mur (m), le parterre de fleurs (b) et l'échelle (ℓ) ? Fais un croquis.
•
À quelle hauteur du sol l'appui de fenêtre se trouve-t-il ?
•
À quelle distance du mur les pieds de l'échelle se trouvent-ils ? b =
•
Complète : dans le triangle rectangle, m et b sont
m =
CHAPITRE
1
et ℓ est
.
•
Écris la relation entre les mesures de ces côtés sous la forme d'une formule.
•
Remplace les lettres par leur valeur respective.
•
Calcule la longueur de l'échelle à 0,01 m près.
•
Quelle longueur l'échelle doit-elle avoir au minimum ?
a Déterminer les mesures des côtés d’un triangle rectangle à l’aide de Pythagore Données : ΔABC rectangle en A. a = 29 m et c = 20 m On cherche la longueur du côté [AC].
B a
c
Démarche :
Les côtés donnés ont-ils la même unité de longueur ?
Quelle est l'unité de longueur des côtés connus ?
Le triangle est-il rectangle ?
Quelle est la mesure de l'hypoténuse ?
Quelles sont les mesures des côtés de l'angle droit ?
Écris la formule de Pythagore adaptée à la situation :
Utilise les données dans la formule et calcule la valeur numérique de b :
A
b
C
= b2 +
b2 + = b2 =
b =
Ajoute l'unité de longueur à ta réponse.
Réponse :
Le côté [AC] de l'angle droit mesure
.
LEÇON 2 Histoire d’être d’équerre
19
Notion – définition a et b sont des nombres positifs. Déterminer la racine _ carrée d'un nombre est √ a = b ⇒ b2 = a l'opération réciproque de l'élévation à la 2e puissance. b est la racine carrée d'un nombre a si le carré de b vaut a.
_
√ 81 = 9 car 92 = 81
_
Dans l'écriture √81 , 81 est appelé le radicande et _
le symbole √8 le radical. _
√81 se lit la racine carrée de 81. Remarques : • • •
Les nombres négatifs n'ont pas de racine carrée, car le carré de n'importe quel nombre est toujours positif. _ 2 __ Le symbole √3 8 __ est la notation par défaut du symbole √ 8 . Dans le prochain chapitre, tu aborderas l'expression √ 8 . Tout nombre positif est le carré de deux nombres opposés. 25 = 52 et 25 = (–5)2 Ce chapitre traite des mesures des côtés d'un triangle rectangle. Un côté ne pouvant_ pas avoir une mesure négative, nous prendrons la racine carrée positive des différents nombres. √ 25 = 5
CHAPITRE
1
Règle de calcul – déterminer les mesures des côtés d'un triangle rectangle _ _ ΔABC rectangle b = 3 et c = 4 ⇒ a = √ 32 + 42 =√ 25 = 5 en A. _ _ a = 26 et c = 10 ⇒ b = √ 262 – 102 =√ 576 = 24 _ _ B a = 15 et b = 12 ⇒ c = √152 – 122 = √81 = 9 a c A
b
C
B c A
b Vérifier si un triangle est rectangle
Le ΔABC est rectangle en A. a = | BC |, b = | AC |, c = | AB |
}
_
a = √b2 + c2 _
a2 = b2 + c2 ⇒ b = √a2 – c2
a
_
c = √a2 – b2
a est la mesure de l'hypoténuse.
b
C
Salle de séjour Cuisine SDB wc 310
20
1400 100
100 1500 6720
Chapitre 1 • Le théorème de Pythagore
310 3000
310
Chambre
1200 2000 2100 100 6120 100
310
Pour construire un bungalow, l'entrepreneur doit commencer par placer les sommets des angles formés à la base par les façades (les « chaises » du bâtiment).
Les façades doivent être parfaitement d'équerre, c'est-à-dire qu'elles doivent être perpendiculaires l'une par rapport à l'autre. Pour une construction simple, on peut utiliser une équerre de maçon, que l'on appelle aussi « équerre 3-4-5 ». On construit une équerre dont les côtés mesurent 3n, 4n et 5n. (n est le même nombre naturel) Exemple : si n = 20 cm, l'équerre mesure : 3 x 20 cm, 4 x 20 cm et 5 x 20 cm.
1000 mm
800 mm
600 mm
LE SAVAIS-TU... ?
Pour les grands bâtiments, on utilise des instruments de me sure très précis comme le théodolite, le télémètre laser et la techno logie GPS.
CHAPITRE
1
L'utilisation de l'équerre de maçon repose sur la réciproque du théorème de Pythagore. Si la relation entre les mesures a, b et c des côtés d'un triangle respecte l'égalité : a2 = b2 + c2, alors le triangle est rectangle et les côtés dont les mesures sont b et c forment un angle droit. Propriété – réciproque du théorème de Pythagore Dans un triangle, si le carré de la mesure du plus grand côté est égal à la somme des carrés des mesures des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle. B
a
c A
b
152 = 122 + 92 225 = 144 + 81 225 = 225 Ce triangle est rectangle et la mesure de l'hypoténuse est a.
C
Le plus grand côté est l'hypoténuse. CONTRÔLE 3
a2 = b 2 + c 2 Le ∆ABC est rectangle en A et a est la mesure de l'hypoténuse.
a = 15, b = 12 et c = 9
Le triangle dont les côtés mesurent 6 cm, 5 cm et 8 cm est-il rectangle ?
•
Quelle est la longueur du plus grand côté ?
•
Calcule le carré de cette longueur.
•
Calcule la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Vérifie si le triangle est rectangle en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore.
Ce triangle est-il rectangle ?
• •
Application 8 Calcule mentalement. 52 53
_
a √9 = … _
_
g √192 = … h √400 = …
_
b
√ 100 = …
e √ –9 = …
c
√1 = …
f
_
_
d √121 = … _
√ 0 = …
_
i
_
√ 64 = …
LEÇON 2 Histoire d’être d’équerre
21
54 – 56
9 Calcule la longueur manquante du côté à 0,01 près dans le triangle DEF, rectangle en D, et si d = |EF|, e = |DF| et f = |DE|. d
57 – 59
1 2
65
e
f
12
35
d
f
63
3
58
4
E
27
154
D
86
e
F
Détermine si les triangles suivants sont rectangles. Justifie. 10 60 – 64
6
65 – 67
A
10 8
25
7
8
C
5
CHAPITRE
1
8
2
B
D
17
15
24
D étermine la longueur de la corde qui sert à suspendre le cadre si 11 tu sais que la distance entre les trous dans le cadre est de 40 cm et 68 – 70 que la distance du clou de suspension au segment joignant les deux trous est de 15 cm. 71 – 75
Le triangle ABD est rectangle en A et le triangle BCD est rectangle en B. Détermine x et y. 12 * B 76 6 A y x 77 – 87 8 D
26
C
Les faces de la grande pyramide de verre de la cour du Louvre, à Paris, sont des triangles 13 * équilatéraux dont les côtés mesurent 35 m. 88 – 89 Combien de mètres carrés de verre ont été nécessaires à sa construction ? Calcule à 0,01 m² près. 90 – 95
22
Chapitre 1 • Le théorème de Pythagore
LEÇON
Pythagore dans l'espace
3
Exploration Louis organise une fête pour l’anniversaire de sa sœur et il a reçu d’un ami une magnifique tonnelle en forme de pyramide mais le mât central est cassé. Il doit donc déterminer la longueur de mât nécessaire pour pouvoir la dresser. La base de la tonnelle est un hexagone régulier dont un côté mesure 3,50 m. La distance qui sépare un piquet d’ancrage du sommet de la tonnelle est de 5,30 m. Aide Louis à calculer la longueur de mât à acheter en sachant qu’il doit être enfoncé dans le sol à 1 m de profondeur. Le mât est enfoncé au point B. •
Quelle est la forme de la base ?
•
Selon les mesures des côtés, de quel type est le triangle ABC ?
Quelle est la longueur de [AB] ?
Selon les amplitudes des angles, de quel type est le triangle TAB ?
•
Calcule la longueur de [TB].
•
Détermine la longueur du mât que Louis doit acheter.
•
•
CHAPITRE
1
a Exemple 1 Pour Noël, tu as acheté pour ton père un magnifique stylo à bille. Celui-ci mesure 16 cm de long. Comme ton père ne doit pas deviner le cadeau que tu lui offres, tu souhaites emballer le stylo à bille dans une autre boîte. Peux-tu emballer ce stylo-bille dans une boîte en forme de parallélépipède rectangle de 15 cm x 5 cm x 5 cm ? Représente la boîte sous la forme d'un parallélépipède rectangle de base ABCD et de face supérieure EFGH. H E A
G 5 cm C
F
D 15 cm
B
(
)
EFGH Convention de notation : le parallélépipède rectangle ABCD
5 cm
La base est un rectangle. Tu essaies de poser le stylo à bille en suivant la diagonale [BD]. •
Détermine la mesure de cette diagonale [BD].
•
Est-il possible de poser le stylo à bille dans le fond de la boîte ?
Essaie alors de ranger le stylo à bille en suivant la diagonale [HB]. •
Selon les amplitudes des angles, de quel type est le triangle ΔDHB ?
•
Calcule la longueur de [HB].
•
Peux-tu utiliser la boîte comme emballage de Noël ?
LEÇON 3 Pythagore dans l'espace
23
b Exemple 2
(
)
T La base de la pyramide ci-dessous est un rectangle de 8 cm sur 6 cm. ABCD La hauteur h abaissée du sommet T est perpendiculaire à l’intersection des diagonales de la base. •
Réponds aux questions ci-dessous, puis dessine le triangle TMC à l'échelle 1/2. Reproduction à l’échelle 1/2 du ∆TMC
T
r = 13 cm h D
C
CHAPITRE
1
b = 6 cm
M A
•
a = 8 cm
B
Selon les amplitudes des angles, de quel type est le triangle TMC ?
•
De combien de côtés du ΔTMC connais-tu la longueur ?
Lesquels ?
•
Quelle est la forme de la base de la pyramide ?
•
Selon les amplitudes des angles, de quel type est le triangle ABC ?
•
•
Lesquels ?
Calcule |AC| dans le ΔABC.
|MC| correspond à la moitié de |AC|. Justifie cette affirmation.
•
Quelle est la longueur de [MC] ?
•
De combien de côtés du ΔTMC connais-tu la longueur à présent ?
24
De combien de côtés du ΔABC connais-tu la longueur ?
•
Lesquels ?
•
Tu peux en déduire la longueur h dans ΔTMC.
•
Les longueurs réelles des côtés du ΔTMC sont
;
•
À quelle échelle dois-tu dessiner ce triangle ?
•
Les longueurs des côtés du triangle à dessiner sont ; et .
Chapitre 1 • Le théorème de Pythagore
et .
Exemple 3 L'Atomium représente la structure cristalline du fer agrandie 165 milliards de fois. Les centres de chacune des sphères qui font 18 m de diamètre, se trouvent sur les sommets d'un cube dont l'arête mesure 47 m. Quelle est la mesure de la hauteur de l'Atomium ? Les schémas ci-dessous représentent le cube de l'Atomium dessiné de manière classique, puis orienté comme sur la photo. G F
G H
E
h
A •
C
B
A
D
|AG| + diamètre d’une des sphères
c
CHAPITRE
1
Quels sont tous les segments formés dans le cube qui ont la même mesure que la hauteur de l'Atomium ?
; ;
et
•
Observe la figure ci-dessous. Quelle est la forme géométrique de la base ABCD ?
•
Quelle est la longueur des côtés [AD] et [DC] ? | AD | = et | DC | =
•
Calcule au centième près la longueur du segment [AC]. | AC |= E
F
B A
G
H
C D
•
Selon les amplitudes des angles, de quel type est le triangle ACG ?
•
Quelle est la longueur des côtés [CG] et [AC] ? | CG | = et | AC | ≅
•
Calcule au centième près la longueur du segment [AG]. | AG |=
Oriente le cube de telle sorte que la diagonale [AG] soit verticale. Complète : la hauteur h de l'Atomium vaut :
h=
•
Calcule la mesure de cette hauteur.
h=
•
Complète : l'Atomium mesure environ de haut.
•
En réalité, la hauteur mesurée s'élève à 102,705 m. Peux-tu l'expliquer ?
LEÇON 3 Pythagore dans l'espace
25
Application
(
)
EFGH est un cube dont l'arête mesure 80 cm. 14 ABCD Calcule la longueur du segment [AG] au centième près. 96 – 99
F
G H
E
C
B
100 – 106
A
107 – 108 CHAPITRE
1
109
D
Le diamètre de la base du cône est de 10 cm. 15 L'arête oblique mesure 17 cm. a Calcule la mesure de la hauteur h du cône au centième près.
17 cm
b Calcule le volume V du cône au centième près.
10 cm
(
110
)
EFGH Ce cube a une arête de 3 cm. 16 ABCD * P est le point d'intersection des diagonales [EG] et [FH].
F E
a Dessine le triangle DBP à l'échelle réelle, sans faire de calcul. Utilise exclusivement le compas et la règle.
P
G H C
B
b Ensuite, calcule l'aire du triangle DBP au centième près. A
26
Chapitre 1 • Le théorème de Pythagore
D