Table des matières Test diagnostique
1
Chapitre 3 : Les ĂŠquations et les inĂŠquations
101
Rappel : Les ĂŠquations et les inĂŠgalitĂŠs
102
Section 3.1 : Les systèmes d’Êquations et leur rÊsolution
105
Chapitre 1 : Les nombres
7
Rappel : La notation exponentielle et la racine carrĂŠe
8
Section 3.2 : La rÊsolution algÊbrique de systèmes
Section 1.1 : La racine cubique, la notation exponentielle et les lois des exposants
d’Êquations
11
Section 1.2 : La notation scientifique
19
Section 1.3 : Les ensembles de nombres
26
MĂŠli-mĂŠlo
31
112
Section 3.3 : La rÊsolution d’inÊquations
119
MĂŠli-mĂŠlo
126
Chapitre 4 : L’aire des solides
141
Rappel : L’aire de figures et les solides
142
Section 4.1 : Le sens spatial
146
Section 4.2 : La relation de Pythagore
153
Section 4.3 : Les solides : l’aire latÊrale et l’aire totale
160
MĂŠli-mĂŠlo
167
Chapitre 2 : Les relations et les fonctions
46
Rappel : Les modes de reprĂŠsentation
47
Section 2.1 : Les relations, les rĂŠciproques et les fonctions
50
Section 2.2 : Les propriĂŠtĂŠs des fonctions
57
Section 2.3 : Les fonctions polynomiales de degrĂŠ 0 ou 1
64
Section 2.4 : La fonction de variation inverse
71
Section 2.5 : La modĂŠlisation
78
MĂŠli-mĂŠlo
86
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
TABLE DES MATIĂˆRES
III
Chapitre 5 :
Chapitre 8 :
La manipulation algĂŠbrique
183
La probabilitĂŠ
Rappel : Les expressions algĂŠbriques
184
Rappel : Les expĂŠriences alĂŠatoires, les ĂŠvĂŠnements,
Section 5.1 : Les opĂŠrations sur les monĂ´mes
187
Section 5.2 : Les opĂŠrations sur les polynĂ´mes
194
Section 5.3 : Le dĂŠveloppement et la factorisation
201
MĂŠli-mĂŠlo
208
308
les expÊriences alÊatoires avec ou sans remise et avec ou sans ordre Section 8.1 : Les permutations, les arrangements et les combinaisons
frÊquentielle et la probabilitÊ d’un ou de plusieurs ÊvÊnements
224
313
Section 8.2 : La probabilitĂŠ thĂŠorique, la probabilitĂŠ
Chapitre 6 : Le volume des solides
309
321
Section 8.3 : Les variables alÊatoires discrètes, les variables alÊatoires continues
Rappel : Les unitĂŠs de longueur et les figures semblables
et la probabilitĂŠ gĂŠomĂŠtrique
329
225 MĂŠli-mĂŠlo
337
Section 6.1 : Les unitĂŠs de mesure pour les volumes
229
Section 6.2 : Le calcul de volumes
236
RĂŠinvestissement
351
Section 6.3 : Les solides semblables
243
RĂŠvision
385
MĂŠli-mĂŠlo
250
Outils
399
Index
407
Chapitre 7 : La statistique
265
Rappel : L’Êtude statistique et les diagrammes
266
Section 7.1 : Les mÊthodes d’Êchantillonnage et les sources de biais
270
Section 7.2 : L’histogramme, les mesures de tendance centrale et les mesures de dispersion
277
Section 7.3 : Les quartiles et le diagramme de quartiles
285
MĂŠli-mĂŠlo
293
IV
XX TABLE DES MATIĂˆRES
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
PrÊsentation du cahier Le cahier Point de mire mathÊmatique est divisÊ en huit chapitres. Tout au dÊbut du cahier, une rubrique Test diagnostique permet de vÊrifier les connaissances acquises des Êlèves. À la fin du cahier, on trouve une rubrique RÊinvestissement, une rubrique RÊvision, une rubrique Outils ainsi qu’un index pratique. DATE
GROUPE NOM
Test
diagnostique NOM GROUPE
DATE
Questions Ă choix multiple Questions Ă rĂŠponse courte
, encercle la bonne rĂŠponse.
Test diagnostique Le Test diagnostique permet de vÊrifier l’acquisition des connaissances en mathÊmatique chez les Êlèves à leur arrivÊe en 3e secondaire. Il comprend 6 pages comportant des questions à choix multiple et des questions à rÊponse courte.
Pour chacune des questions
sur l’addition ? itÊ de la multiplication
laquelle illustre la distributiv Parmi les ĂŠgalitĂŠs suivantes, 3 b) 3 2 4 4 2 4 a) 3 2 4 (3 2) 2 3 4 d) 3 (2 4) 3 4 3 2 c) 3 2 3 4 3
1
2
3
19
lequel est vrai ? Parmi les ÊnoncÊs suivants, dÊnominateur est la plus r, celle qui a le plus grand qui ont le même numÊrateu a) De deux fractions obtient grande. d’une fraction, alors on r et au dÊnominateur nombre au numÊrateu b) Si on ajoute un même e. une fraction Êquivalent le dÊnominateur. sant le numÊrateur et d’une fraction en intervertis es ayant c) On obtient l’inverse r en fractions Êquivalent transforme les de fractions, il est nÊcessaire d) Pour multiplier deux le même dÊnominateur. un de ses côtÊs ? près, combien mesure 115 cm2. Au centième L’aire d’un carrÊ est de d) 28,75 cm c) 10,72 cm b) 11,5 cm a) 115 cm
20
5
6
3 5
b)
72 8
f)
a)
e)
7 9
c) 18 35
45 3
4 5 23 6 3
b) (3 7) (5 11)2 1
RĂŠponse :
Effectue chacun des calculs suivants. b) Les 4 de 35. 5
a) 15 % de 430.
22
4 : 5 60 : 75. faux concernant la proportion dĂŠtermine celui qui est Parmi les ĂŠnoncĂŠs suivants, les moyens. nombres 60 et 75 sont sont les extrĂŞmes et les a) Les nombres 4 et 5 5. sant les nombres 60 et intervertis en proportion b) On obtient une autre 75. sant les nombres 4 et proportion en intervertis c) On obtient une autre rs et en en additionnant les numĂŠrateu ĂŠquivalant aux deux autres d) On obtient un rapport teurs. additionnant les dĂŠnomina termes semblables ? des sont ent ce que lequel dĂŠcrit adĂŠquatem Parmi les ĂŠnoncĂŠs suivants, coefficients. mĂŞmes des variables affectĂŠes qui contiennent les mĂŞmes a) Ce sont des termes mĂŞmes exposants. variables affectĂŠes des qui contiennent les mĂŞmes b) Ce sont des termes mĂŞmes exposants. coefficients affectĂŠs des qui contiennent les mĂŞmes c) Ce sont des termes mĂŞmes variables. et qui contiennent les identique degrĂŠ de d) Ce sont des termes
c) Les 2 de 1233. 3
0,3
0,165
1,125
5,75
0,09
t
0,8
t
22,8
t
0,32
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
8 25
9 100
9 8
3 10
114 5
4 5
Complète les ÊnoncÊs suivants à l’aide 2 3
a)
24
e) Les 3 de 5 . 8 4
d) 0,54 % de 76.
Associe chaque nombre dÊcimal de la ligne supÊrieure à la fraction de la ligne infÊrieure qui lui correspond.
t
23
h) ( 3)2
suivantes.
RĂŠponse :
21
11 13
d)
3
2
g)
Effectue chacune des chaÎnes d’opÊrations a)
indique celui qui est faux. Parmi les ÊnoncÊs suivants, est toujours positif. nombres de même signe a) Le produit de deux est toujours nÊgatif. nombres de signes opposÊs b) Le quotient de deux est toujours positive. nombres de même signe c) La somme de deux pair est toujours positif. affectÊ d’un exposant d) Un nombre nÊgatif
4
Effectue chacune des opĂŠrations suivantes.
4 6
b)
11 20
13 22
4 2 5 3 4 2 5 3
e)
33 45
c)
Effectue chacune des opĂŠrations suivantes. a)
b)
5 7 11 9
f)
5 7 11 9
23 4
33 200
du symbole qui convient ( , , ). 75 %
303 132
d) 2,45
e) 46 %
Écris ta rÊponse sous la forme d’une 31 16 10 5
c)
g)
2 1 3 2
0,5
fraction irrĂŠductible.
d)
7 3 4 6
h)
15 3 4 5
251Dans chaque cas, dĂŠtermine le terme manquant dans la proportion.
TEST DIAGNOSTIQUE D t Reproduction interdite
4 5
a)
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JO
8
b)
e) 5 : 9
4
: 135
f)
5 11
16 4
99
c)
: 264 11 : 12
g) 30 : 100
8
3
d)
75 100
: 48 h) 17 :
34 : 70
TEST DIAGNOSTIQUE ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction
Les chapitres
DATE
GROUPE NOM
6.3
Chaque chapitre commence par un Rappel de 3 à 4 pages qui vise à rÊactiver les connaissances prÊalables à l’acquisition des concepts abordÊs dans le chapitre. On y trouve un encadrÊ thÊorique suivi de quelques exercices. R
PPEL
Les solides semblables
rÊduction ou la reproduction si l’un est un agrandissement, une t Deux solides sont semblables à l’Êchelle produisent des solides homothÊties et les reproductions exacte de l’autre. Par exemple, les semblables. t Dans deux solides semblables : ; – les angles homologues sont isomÊtriques sont proportionnelles. – les mesures des arêtes homologues est appelÊ rapport homologues de deux solides semblables t Le rapport des mesures des arêtes suivante. de similitude et s’exprime de la façon mesure d’une arête du solide image
Rapport de similitude k mesure de l’arête homologue du solide initial
NOM
Chaque chapitre est divisÊ en quelques sections d’environ 7 pages chacune. Au dÊbut de chaque section, un encadrÊ thÊorique explique les notions à l’Êtude. Le plus souvent possible, des exemples illustrent les notions. Lorsque cela est pertinent, on prÊsente une dÊmarche en lien avec la notion expliquÊe.
interdite
GROUPE
DATE
Les unitĂŠs de longueur et les figures semblables
t Dans deux solides semblables : 2) ; carrÊ du rapport de similitude (k – le rapport des aires est Êgal au (k3). au cube du rapport de similitude – le rapport des volumes est Êgal
Exemple : Les prismes rectangulaires
A et A' sont semblables. Solide image A'
Solide initial A
Les unitĂŠs de longueur
6 cm
t Il existe diverses unitÊs de longueur. Le tableau ci-dessous prÊsente les unitÊs de longueur du système international d’unitÊs (SI) dont le mètre est l’unitÊ de longueur de base. Nom de l’unitÊ de longueur
18 cm 5 cm 4 cm
Exemple de contexte d’utilisation
Symbole
Millimètre
mm
15 cm
Épaisseur d’un ongle
Centimètre
cm
DÊcimètre
dm
Largeur d’un ordinateur
Mètre
m
Hauteur d’un rÊfrigÊrateur
12 cm
Largeur d’un doigt
aire totale du solide image t Rapport des aires aire totale du solide initial
DÊcamètre
dam
Largeur d’une autoroute
Hectomètre
hm
Hauteur d’un immeuble de 50 Êtages
Kilomètre
km
Largeur d’un lac
6
18 3
mesure d’une arête du solide image
t Rapport de similitude mesure de l’arête homologue du solide initial
6
2 2(12 15 12 18 15 18 ) 1332 9 3 148 2( 4 5 4 6 5 6 )
15 18 3240 27 33 volume du solide image 12 120 4 5 6 volume du solide initial
t Rapport des volumes
t Dans la reprÊsentation ci-dessous, chaque unitÊ de longueur a une valeur qui est 10 fois plus ÊlevÊe que la valeur de l’unitÊ placÊe immÊdiatement à sa droite et 10 fois plus petite que la valeur de l’unitÊ placÊe immÊdiatement à sa gauche. 10 km
10 hm
10
Exemples :
10 dam
10
10
10 m 10
10 dm
10 cm
10
mm
10
10 1) 714 mm 71,4 cm, car 1 mm 0,1 cm. 1000 2) 62 km 62 000 m, car 1 km 1000 m.
CHAPITRE 6
tion interdite
Les solides semblables
243
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduc
Les figures semblables
6
t Deux figures sont semblables lorsque l’une est un agrandissement, une rĂŠduction ou la reproduction exacte de l’autre. t Le symbole ÂŤ âŹƒ Âť signifie ÂŤ est semblable Ă Âť.
Exemple : Si le triangle ABC est semblable au triangle DEF, on ĂŠcrit : 6 ABCÂ âŹƒÂ 6 DEF.
Des exercices et quelques problèmes permettent ensuite aux Êlèves de vÊrifier et de consolider leur comprÊhension des diffÊrentes notions fraÎchement acquises.
t Dans deux figures semblables : – les angles homologues sont isomÊtriques ; – les mesures des côtÊs homologues sont proportionnelles. t Le rapport des mesures des côtÊs homologues de deux figures semblables est appelÊ rapport de similitude et s’exprime de la façon suivante. Rapport de similitude k
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
Chapitre
mesure d’un côtÊ de la figure image mesure du côtÊ homologue de la figure initiale
CHAPITRE 6
Rappel
Le volume des solides
225
Rappel
et les figures Les unitĂŠs de longueur 225 ....................................... semblables ........................................
Section 6.1 Les unitĂŠs de mesure
pour les volumes ..................
Section 6.2 Le calcul des volumes
Section 6.3
Les solides semblables
MĂŠli-mĂŠlo
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
229
.............. 236
........................................
............ 243
........................................
....................................
........................................
250
PRÉSENTATION DU CAHIER
V
NOM
GROUPE
1
Puis une rÊcapitulation en 14 à 16 pages, appelÊe MÊli-mÊlo, vient clore le chapitre. Les 8 à 10 premières pages fournissent des exercices et des problèmes, tandis que les 6 dernières pages proposent, quant à elles, deux situations-problèmes et une situation de raisonnement. De plus, les 4 derniers problèmes du MÊli-mÊlo permettent d’Êvaluer des composantes des compÊtences disciplinaires 1 et 2.
DATE
mĂŠl mĂŠ ĂŠlo lo
ĂŠli
1
Dans chaque cas, dĂŠtermine la ou les valeurs de b. a) 34 9b
b) 125 4 b12
RĂŠponse : b 2
RĂŠponse : b 5
1 6b 216 5
c)
d) 81b 316
tif t objec ns ce st da 27 km ble. C’e laire de s possi tube circu r le plu de  km/s la casse l en forme 0 000 rei il faut appa tière, t les 30 un lan ma tifiques la frô (LHC), pÊ esse x scien lyse ture de llider et au une vit Les ex la struc Hadron Co s l’ana s perm erse à rendre llision vÊ, plu rge ns inv comp en se ces co est Êle it le La t s de tru Pour len e ion ns cu lys llis ÊtÊ co ules cir utre. L’ana de co ce. qu’a partic mbre nfÊren ec l’a ets de s le no l’un av paqu de circo re. Plu e, deux en collision e la matiè C: r ce tub le LH t formÊ r entre Dans dans nce 2 ent es sent pa lisÊes ExpÊrie POUJFOU et finis rendre comm es rÊa VMFT D mp pÊrienc ex QBSUJD de co FU EF deux ilitÊe. QBRV ts sur est fac BRVF emen $I ign t se FUT ules. QBRV des ren partic nce 1 EFVY rie OU ? Voici FT pÊ UJF Ex ond à F E PO rresp DPOUS VMFT D s F SFO ions co particule QBSUJD IBRV collis FU EF de t Ž D re de QBRV mbre BRVF . le nomb 5 % du no 4 fois/s t $I 11 rticules. FUT 10 4 % QBRV 10 8,9 10 pa quet. EFVY OU à 10 un pa F EFT POUSF spond dans DPOUS SFOD NJO s corre un paquet. F SFO VFUT TF BOU llision IBRV BR ns OE co Ž D T Q da QF t re de ules t -F isent DUJPOOF . produ le nomb re de partic $ GPO es 4 fois/s nc -) rie mb t -F 10 expÊ du no OU deux POUSF e les SFOD ur qu U I NOM 2 po VFUT TF OEBO T QBR ence OF QF t -F l’expÊri PODUJPO nte de -)$ G nqua t -F leur ma e la va llisions ? êtr it do de co Quelle mbre me no le mê
NOM
1
RĂŠponse : b 15 1
1
1
g) 729 3 b 2
f ) 64 3 b2
e) ĺ…šb 492
RĂŠponse : b 4
h)
1
1
2
RĂŠponse : b 494 ou b 5 764 801.
RĂŠponse : b 2 ou b 2.
i) b4 ĺ…š256
j) 5 b
RĂŠponse : b 2 ou b 2.
RĂŠponse : b 25
1 2
1
RĂŠponse : b 81
RĂŠponse : b 27
k) 11b 1216
l) bb 28
RĂŠponse : b 12
RĂŠponse : b 4
RÊcris chacune des expressions suivantes sous la forme d’une puissance de la base donnÊe. 11 3 a) 610 613
345 35 36 3 21 3 13
b)
6 6
c)
冢12
12 9 125
18
冣
es rienc
SP 30
3
3 ĺ…šb
1 2
E DAT UPE
GRO
GROUPE
DATE
culs
cal rche et
DĂŠma
RĂŠponse : 611
RĂŠponse : 342
4 7 78 d) 7 72 3
e)
RĂŠponse : 713
RĂŠponse : 517
(7 )
冢 55 冣 4
5
5
RĂŠponse : 122
冢 55 冣 2
4
f) ĺ…š(54)7 (512)3
5
RĂŠponse : 532 CHAPITRE 1
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
31
MĂŠli-mĂŠlo
1
e
rdit n inte
oductio t Repr
&$ JOD
JUJPOT $
-FT ²E
ÂŞ
CHAPIT
RE 1
MĂŠli-m
ĂŠlo
42
RĂŠponse
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reprodu
ction interdite
RĂŠinvestissement
CHAPITRE 1
MĂŠli-mĂŠlo
43
NOM GROUPE
DATE
RÉINVESTISSEMENT 1
Après le dernier chapitre du cahier, on trouve une rubrique RÊinvestissement de 34 pages qui prÊsente des problèmes en contexte. Ces problèmes portent sur l’ensemble des notions couvertes dans le cahier et, bien souvent, dans plus d’un chapitre à la fois.
La vitesse de transmission de donnĂŠes sur Internet se mesure en octets par seconde (o/s). Voici des renseignements sur la connexion Internet de deux personnes : Connexion de Louis t 7JUFTTF NBYJNBMF 105 o/s t 'PODUJPOOF FO NPZFOOF Ă‹ de sa vitesse maximale.
Connexion de GĂŠrald t 7JUFTTF NBYJNBMF LP T t 'PODUJPOOF FO NPZFOOF Ă‹ de sa vitesse maximale.
Louis et GĂŠrald tĂŠlĂŠchargent un fi lm sur Internet. La taille du fichier associĂŠ au film est de 1,35 Go pour Louis et de 110 Mo pour GĂŠrald. Si Louis et GĂŠrald ont commencĂŠ le tĂŠlĂŠchargement au mĂŞme moment, lequel aura terminĂŠ en premier ?
RĂŠponse :
2
Une fonction f a les caractĂŠristique
s suivantes.
t -B GPODUJPO FTU DSPJTTBOUF TVS M JOUFSWBMMF > , > < > t -B GPODUJPO FTU E�DSPJTTBOUF TVS M JOUFSWBMMF < > t -FT [�SPT EF MB GPODUJPO TPOU FU FU MB WBMFVS JOJUJBMF FTU t -F NBYJNVN EF MB GPODUJPO FTU Après avoir reprÊsentÊ graphiquemen t une fonction qui a ces caractÊristiques, dÊtermine son domaine, son codomaine et son signe. y
1 0
1
x
DATE GROUPE
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reprod
uction interdite
NOM
RĂŠvisio Questions Ă
iple valente Ă
longueurs
m 3,5 10 9
2 3
est ĂŠqui s, laquelle ci-dessou 108 m b) 3,5
35 nm ?
10 c) 3,5
9
10 d) 3,5
m
8
m
2 carrÊ ? un mètre d) 10 cm 2 y a-t-il dans res carrÊs c) 100 cm de centimèt 2 Combien la notation b) 1000 cm à l’aide de cm2 000 000 Êcrit a) 10 000 nombre 145 spond au corre el s, lequ 107 ci-dessou d) 14,5 nombres 106 Parmi les c) 1,45 ? 8 scientifique 10 b) 1,45 3 10 6 10 ? 3,2 a) 145 bre nom 32 d) 0,000 spond au s, lequel corre ci-dessou c) 0,0032 nombres Parmi les b) 320 3 a) 3200 12 e cube ? d) 10 mm dans un mètr 9 mm3 cubes y a-t-il 10 ètres c) de millim 3 6 Combien b) 10 mm 3 3? 3 a) 10 mm de 43 cm est cl e 0,43 d) le volum enant dont d’un cont c) 43 cl la capacitÊ Quelle est b) 43 ml ? 3 a) 0,43 L de liquide enir 50 L d) 0,05 m peut cont 3 enant qui e d’un cont c) 0,5 m volum le 3 Quel est b) 5 m 3 l? a) 50 m irrationne d) un nombre est el s, lequ ci-dessou c) nombres Parmi les b) a) rationnel ? bre est-il ition un nom mal infini. ement dÊci À quelle cond lopp entiers. ait un dÊve nombres ition qu’il uit de deux a) À la cond de au prod correspon ition qu’il mal fini. ement dÊci b) À la cond entiers. dÊvelopp nombres qu’il ait un deux ition de cond ient c) À la de au quot semblables, correspon solides sont ition qu’il . Si les deux d) À la cond solide A celles du le triple de e B sont d) 12 s du solid nsion ? dime aires Les leurs c) 9 rapport de quel est le 385 6 b) RÉVISION a) 3
a)
351
choix mult
Parmi les
1
RÉINVESTISSEMENT
n
RĂŠvision
4
5
6
7
8
9
Après la rubrique RÊinvestissement, une rubrique RÊvision de 14 pages permet aux Êlèves de faire un survol de l’ensemble des notions vues au cours de la 1re annÊe du 2e cycle du secondaire. On y trouve des questions à choix multiple, des questions à rÊponse courte ainsi que des questions à dÊveloppement.
10
VI
roduction
$ JOD t Rep
²EJUJPOT $&
ÂŞ -FT
interdite
PRÉSENTATION DU CAHIER
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
Outils À la suite de la RÊvision sont proposÊs les Outils, des fiches utiles aux Êlèves dans leur apprentissage des mathÊmatiques.
Outils Outil 1 Notations et symboles mathĂŠmatiques............................ 400
INDEX A abscisse à l’origine 57 addition 187, 194 agrandissement 225, 226, 243 aire 330 de figures 142, 404 de solides 142, 160, 161, 403 d’un cône circulaire droit 160, 161, 403 d’un cylindre circulaire droit 161, 403 d’un disque 142, 404 d’un parallÊlogramme 404 d’un polygone rÊgulier 142, 404 d’un prisme droit 161, 403 d’un quadrilatère 142 d’un trapèze 142, 404 d’un triangle 142, 404 d’une base 160, 161, 236, 403 d’une boule 160, 161, 403 d’une pyramide droite 161, 403 latÊrale 160, 161, 403 totale 160, 161, 403 amplitude 277 angle homologue 225, 243 isomÊtrique 225, 243 apex 143, 160 apothème 160 arête 142, 147 homologue 243 arrangement 313, 314 axe 71, 147, 405 des abscisses 50, 57, 64 des ordonnÊes 50, 57, 64
B base 8, 143, 160, 161, 236 borne infĂŠrieure 277 supĂŠrieure 277 boule 160, 161, 236
C capacitÊ 230 caractère 266 qualitatif 266, 267 quantitatif continu 266 quantitatif discret 266, 267 cathète 153 centre 160 classe 277, 278 mÊdiane 278 modale 278 codomaine 57 coefficient 184 combinaison 314 comparaison 112 concentration 278 cône circulaire droit 160, 161, 236 constance 57 coordonnÊe 57 à l’origine 57 corps rond 142 côtÊ homologue 225 courbe 47, 57, 71, 78 croissance 57 cylindre circulaire droit 143, 161, 236
Outil 2 Principaux ĂŠnoncĂŠs de gĂŠomĂŠtrie....................................... 402
D dÊcroissance 57 degrÊ d’un monôme 184 description verbale 47 dÊveloppement 201 diagramme 267 à bandes 267 à ligne brisÊe 267 circulaire 267 de quartiles 285 dimension 147 dispersion 278, 285 disposition non ordonnÊe 314 ordonnÊe 313 disque 142, 143, 160 distribution 277, 278, 279, 285 division 187, 194 domaine 57 donnÊe 266, 267, 277, 278, 285 donnÊes condensÊes 277, 278 groupÊes en classes 277, 278 droite numÊrique 119 droites parallèles confondues 106 parallèles distinctes 106 sÊcantes 106
E ĂŠchantillon 266, 270 effectif 267, 277, 278 ĂŠgalitĂŠ 102, 112, 113 ĂŠlĂŠment 313, 314 ĂŠnoncĂŠ de gĂŠomĂŠtrie 402 ensemble de nombres 26, 400 ensemble-solution 119, 120 ĂŠquation 47, 102, 105 du 1er degrĂŠ Ă deux variables 105, 106, 112, 113 ĂŠquations ĂŠquivalentes 102 ĂŠtalement 278 ĂŠtendue 278, 279 interquartile 285 ĂŠtude statistique 266, 270 ĂŠvĂŠnement 309, 321 dĂŠpendant 310 ĂŠlĂŠmentaire 309 indĂŠpendant 310 intermĂŠdiaire 309, 310 expĂŠrience alĂŠatoire 309, 321, 329 Ă plusieurs ĂŠtapes 309, 310 avec ordre 310 avec remise 310 sans ordre 310 sans remise 310 exponentiation 8 exposant 8, 11 expression algĂŠbrique 184, 187, 194, 201 extremum 57
F face 142, 143, 146, 147 latĂŠrale 143 facteur 19, 201 factorisation 201
figure image 225, 226 initiale 225, 226 figures semblables 225, 226 fonction 50, 57, 64, 78 constante 57
Outil 3 Aire et volume ................................................................................. 403
Outil 4
croissante 57 de variation directe 65 de variation inverse 71, 79 de variation nulle 64 de variation partielle 65 dÊcroissante 57 nÊgative 57 polynomiale de degrÊ 0 64, 78 polynomiale de degrÊ 1 64, 65, 78 positive 57 strictement croissante 57 strictement dÊcroissante 57 forme dÊveloppÊe 201 factorisÊe 201 formule d’aire de figures planes 142, 404 d’aire de solides 161, 403 de volumes 236, 403
Constructions gĂŠomĂŠtriques .................................................. 405
G graphique 47, 64, 65, 71
H hasard 309 hauteur 147, 160, 161, 236 histogramme 278 hypotĂŠnuse 153
Index
I image 57 inĂŠgalitĂŠ 102 inĂŠquation 119, 120 du 1er degrĂŠ Ă une variable 119, 120 inĂŠquations ĂŠquivalentes 119 intervalle 57, 119, 277
Un index simple et facilitant le repĂŠrage des diffĂŠrents concepts ĂŠtudiĂŠs se trouve Ă la fin du cahier.
L ligne d’horizon 146, 147, 406 fuyante 406 litre 230 loi des exposants 11, 401
M maximum 57 mÊdiane 278, 279, 285 mesure de dispersion 278 de tendance centrale 278 mÊthode d’Êchantillonnage 270 d’Êchantillonnage alÊatoire simple 270 d’Êchantillonnage par grappes 270 d’Êchantillonnage stratifiÊ 270 d’Êchantillonnage systÊmatique 270 de comparaison 112 mètre 225 cube 229 minimum 57
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INDEX
407
Pictogrammes SP La situation-problème (SP) permet de vÊrifier le dÊveloppement de la compÊtence disciplinaire 1 (CD 1).
SR La situation de raisonnement (SR) permet de vĂŠrifier le dĂŠveloppement de la compĂŠtence disciplinaire 2 (CD 2).
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PRÉSENTATION DU CAHIER
VII
NOM
GROUPE
Test
DATE
diagnostique
Questions Ă choix multiple Pour chacune des questions, encercle la bonne rĂŠponse.
1
2
Parmi les ÊgalitÊs suivantes, laquelle illustre la distributivitÊ de la multiplication sur l’addition ? a) 3 2 4 (3 2) 4
b) 3 2 4 4 2 3
c) 3 2 3 4 3 4 3 2
d) 3 (2 4) 3 2 3 4
Parmi les ÊnoncÊs suivants, lequel est vrai ? a) De deux fractions qui ont le même numÊrateur, celle qui a le plus grand dÊnominateur est la plus grande. b) Si on ajoute un même nombre au numÊrateur et au dÊnominateur d’une fraction, alors on obtient une fraction Êquivalente. c) On obtient l’inverse d’une fraction en intervertissant le numÊrateur et le dÊnominateur. d) Pour multiplier deux fractions, il est nÊcessaire de les transformer en fractions Êquivalentes ayant le même dÊnominateur.
3
L’aire d’un carrÊ est de 115 cm2. Au centième près, combien mesure un de ses côtÊs ? a) 115 cm
4
b) 11,5 cm
c) 10,72 cm
d) 28,75 cm
Parmi les ÊnoncÊs suivants, indique celui qui est faux. a) Le produit de deux nombres de même signe est toujours positif. b) Le quotient de deux nombres de signes opposÊs est toujours nÊgatif. c) La somme de deux nombres de même signe est toujours positive. d) Un nombre nÊgatif affectÊ d’un exposant pair est toujours positif.
5
Parmi les ĂŠnoncĂŠs suivants, dĂŠtermine celui qui est faux concernant la proportion 4 : 5 60 : 75. a) Les nombres 4 et 5 sont les extrĂŞmes et les nombres 60 et 75 sont les moyens. b) On obtient une autre proportion en intervertissant les nombres 60 et 5. c) On obtient une autre proportion en intervertissant les nombres 4 et 75. d) On obtient un rapport ĂŠquivalant aux deux autres en additionnant les numĂŠrateurs et en additionnant les dĂŠnominateurs.
6
Parmi les ĂŠnoncĂŠs suivants, lequel dĂŠcrit adĂŠquatement ce que sont des termes semblables ? a) Ce sont des termes qui contiennent les mĂŞmes variables affectĂŠes des mĂŞmes coefficients. b) Ce sont des termes qui contiennent les mĂŞmes variables affectĂŠes des mĂŞmes exposants. c) Ce sont des termes qui contiennent les mĂŞmes coefficients affectĂŠs des mĂŞmes exposants. d) Ce sont des termes de degrĂŠ identique et qui contiennent les mĂŞmes variables.
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TEST DIAGNOSTIQUE
1
NOM
7
GROUPE
Parmi les graphiques suivants, lequel peut ĂŞtre associĂŠ Ă une situation de proportionnalitĂŠ ? a)
b)
c)
d)
y
y
y
y
0
8
DATE
0
x
x
0
x
0
x
Parmi les ÊnoncÊs suivants, lequel dÊcrit correctement une situation de proportionnalitÊ inverse ? a) Lorsqu’une des quantitÊs augmente de deux unitÊs, l’autre quantitÊ augmente Êgalement de deux unitÊs. b) Lorsqu’une des quantitÊs augmente de deux unitÊs, l’autre quantitÊ diminue de deux unitÊs. c) Lorsqu’une des quantitÊs double, l’autre quantitÊ double Êgalement. d) Lorsqu’une des quantitÊs double, l’autre quantitÊ diminue de moitiÊ.
9
10
11
Parmi les ÊnoncÊs suivants, indique celui qui est faux concernant l’expression algÊbrique 4x 2 7y 3. a) L’expression contient deux termes.
b) Les nombres 4 et 7 sont des coefficients.
c) Le degrĂŠ du monĂ´me 7y3 est 7.
d) L’expression ne contient aucun terme constant.
Parmi les ĂŠnoncĂŠs ci-dessous, lequel est une ĂŠquation ? a) 3 2 4 11
b) 3x 2y 2 z
c) 3x 4 17
d) (( 2 )3 3 15)2 7 2
Parmi les expressions algĂŠbriques suivantes, laquelle est un polynĂ´me ? a)
12
b) x 1
3xy
c)
7ab2c5de9
d) x8
Quel est le degrĂŠ du terme : a) 5xyz 4 ? 1)
1
2)
4
3)
5
4)
6
2)
3
3)
4
4)
7
b) 7a1b 3 ? 1)
13
1
Parmi les ÊnoncÊs suivants, dÊtermine celui qui est vrai. a) Deux polygones ayant tous leurs côtÊs homologues isomÊtriques sont nÊcessairement isomÊtriques. b) Deux polygones ayant tous leurs angles homologues isomÊtriques sont nÊcessairement semblables. c) Deux polygones sont semblables si leurs angles homologues sont isomÊtriques et les mesures de leurs côtÊs homologues sont proportionnelles. d) Tous les losanges sont nÊcessairement semblables.
2
TEST DIAGNOSTIQUE
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NOM
14
GROUPE
Dans le triangle ABC illustrĂŠ ci-contre, quel segment constitue :
DATE
B
J
a) une hauteur ?
C
1)
BI
2)
BH
3)
AJ
4)
AB
H I
b) une mĂŠdiane ?
A
1)
BI
2)
BH
3)
AJ
4)
AB E
15
Dans le polygone rÊgulier illustrÊ ci-contre, quel segment constitue un apothème ? a) DG
b) JK
c) OI
d) OL
F
J O
D
K I
16
a) Si 132 personnes ont rÊpondu qu’elles prÊfÊraient l’automne, quelle est la taille de l’Êchantillon ? 360
2)
1056
3)
H
L
RĂŠsultats
Lors d’un sondage, on a demandÊ à un Êchantillon de personnes quelle Êtait leur saison prÊfÊrÊe. Le diagramme circulaire ci-contre illustre les rÊsultats obtenus.
1)
G
40°
1188
b) De quel type est le caractère ÊtudiÊ ?
17
1)
Quantitatif continu.
2)
Qualitatif.
3)
Quantitatif discret.
LĂŠgende: Automne Hiver
Printemps ÉtÊ
Parmi les ÊnoncÊs suivants, lequel dÊcrit adÊquatement un recensement ? a) Pour connaÎtre les prÊfÊrences alimentaires des Êlèves d’une polyvalente, on interroge un groupe de chaque niveau. b) Pour connaÎtre les intentions de vote des Êlecteurs, on interroge 5000 personnes choisies au hasard dans le bottin. c) Pour connaÎtre le moment le plus propice pour effectuer des travaux dans une rue, on interroge tous les habitants de cette rue. d) Pour Êvaluer le degrÊ de satisfaction de la clientèle d’un restaurant, on interroge un client ou une cliente sur trois.
18
Une expÊrience alÊatoire consiste à tirer successivement et sans remise deux billes d’une boÎte contenant 4 billes rouges (R), 5 billes bleues (B) et 3 billes vertes (V). Quelle est la probabilitÊ d’obtenir :
a) 2 billes de la mĂŞme couleur ? 1)
1 3
2)
1 6
3)
25 66
4)
19 66
5 33
4)
10 33
b) 1 bille rouge suivie d’une bille bleue ? 1)
1 3
2)
1 6
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3)
TEST DIAGNOSTIQUE
3
NOM
GROUPE
DATE
Questions Ă rĂŠponse courte
19
20
Effectue chacune des opĂŠrations suivantes. 7 9
c) 18 35
72 8
f)
45 3
g)
e)
b)
3 5
a)
4 5 23 6 3
RĂŠponse :
Effectue chacun des calculs suivants. 4
a) 15 % de 430.
23
3
d) 0,54 % de 76.
5
e) Les 8 de 4 .
0,165
1,125
5,75
0,09
0,8
22,8
0,32
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
9 8
3 10
114 5
4 5
23 4
33 200
8 25
9 100
Complète les ÊnoncÊs suivants à l’aide du symbole qui convient ( , , ). 4 6
11
13 22
b) 20
33
c) 45
75 %
d) 2,45
303 132
e) 46 %
0,5
Effectue chacune des opÊrations suivantes. Écris ta rÊponse sous la forme d’une fraction irrÊductible. 4
2
b) 11 9
4
2
f) 11 9
a) 5 3 e) 5 3
5
7
5
7
c)
31 16 5 10
2
1
3
7
d) 4 6 15
g) 3 2
3
h) 4 5
Dans chaque cas, dĂŠtermine le terme manquant dans la proportion. 4
a) 5 e) 5 : 9
4
c) Les 3 de 1233.
0,3
2
25
2
b) Les 5 de 35.
Associe chaque nombre dÊcimal de la ligne supÊrieure à la fraction de la ligne infÊrieure qui lui correspond.
a) 3
24
h) ( 3)2
2
b) (3 7) (5 11)2 1
RĂŠponse :
22
3
11 13
Effectue chacune des chaÎnes d’opÊrations suivantes. a)
21
d)
5
8
: 135
TEST DIAGNOSTIQUE
b) 11
99
f)
: 264 11 : 12
c)
16
8
4
g) 30 : 100
d)
3
: 48 h) 17 :
75
100 34 : 70
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Chapitre Les équations et les inéquations Rappel Les équations et les inégalités .............................................. 102
Section 3.1 Les systèmes d’équations et leur résolution ................. 105
Section 3.2 La résolution algébrique de systèmes d’équations ..... 112
Section 3.3 La résolution d’inéquations .......................................................... 119
Méli-mélo
.................................................................................... 126
NOM
GROUPE
R
PPEL
DATE
Les ĂŠquations et les inĂŠgalitĂŠs
Les Êquations Une Êquation est une relation mathÊmatique qui fait intervenir le symbole d’ÊgalitÊ et au moins une variable. 1) 3x 4 13
Exemples :
2) 6 2a 3b 7
3) y 4x 11
Les règles de transformation des Êquations t Les règles de transformation des Êquations permettent d’obtenir des Êquations Êquivalentes, c’est-à -dire des Êquations qui ont la ou les mêmes solutions. t On conserve la ou les solutions d’une Êquation :
3
Exemples d’Êquations Êquivalentes 1) 3x 2 4
– en additionnant ou en soustrayant le même nombre aux deux membres de l’Êquation ;
3x 4 10 2) 4x 9 3
4x 2 4 – en multipliant ou en divisant les deux membres de l’Êquation par un même nombre diffÊrent de 0.
3) 5 7x 8
10 14x 16 4) 10x 15 30
2x 3 6
3x 2 6 4 6 4x 9 7 3 7 2 (5 7x) 2 8 (10x 15) 5 30 5
La rÊsolution d’Êquations t RÊsoudre une Êquation à une variable, c’est dÊterminer la ou les valeurs de la variable qui vÊrifient l’Êquation. t Il est possible de rÊsoudre une Êquation à une variable en utilisant les règles de transformation des Êquations afin d’obtenir une Êquation Êquivalente dans laquelle la variable est isolÊe.
Exemple : On veut rÊsoudre l’Êquation 4x 3 6x 2. 4x 3 6x 6x 2 6x
2x 3 3 2 3
2x 5 2 2
x 2,5
On retranche 6x de chaque membre de l’Êquation. On ajoute 3 à chaque membre de l’Êquation. On divise par 2 chaque membre de l’Êquation. La solution de l’Êquation est 2,5.
Les inÊgalitÊs Une inÊgalitÊ est une relation mathÊmatique qui fait intervenir un symbole d’inÊgalitÊ ( , , , ) et qui permet de comparer les valeurs de deux expressions numÊriques.
102
Symbole
Signification
Exemple
ÂŤ est infĂŠrieur Ă Âť ou ÂŤ est plus petit que Âť
3 7
ÂŤ est supĂŠrieur Ă Âť ou ÂŤ est plus grand que Âť
42 4 2
ÂŤ est infĂŠrieur ou ĂŠgal Ă Âť ou ÂŤ est plus petit ou ĂŠgal Ă Âť
ÂŤ est supĂŠrieur ou ĂŠgal Ă Âť ou ÂŤ est plus grand ou ĂŠgal Ă Âť
CHAPITRE 3
Rappel
5 3 2 4
13 6 2 20
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NOM
1
GROUPE
Associe chacune des Êquations de la colonne de gauche à l’Êquation de la colonne de droite qui lui est Êquivalente. 4x 6 8x 4
t
t
2x 3 36x 18
2x 8x 7
t
t
2x 3 8x 4
2x 3 12x 6 3
t
t
2x 3 8x 4
2x 3 6 12x
t
t
2x 3 4x 2
t
t
2x 3 12x 6
3 6x 4
2
DATE
RĂŠsous chacune des ĂŠquations suivantes. a) 2a 4 15
b) 3x 5 5x 7
c)
RĂŠponse :
RĂŠponse :
RĂŠponse :
d) 2(y 6) 8y
e)
RĂŠponse :
RĂŠponse :
g) 3(t 2) 4( 2t 1)
h) 2 4 3 2 6
i)
RĂŠponse :
RĂŠponse :
RĂŠponse :
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14w 11w 5 2 2 5
(3p
2b 6 3b 9
3
f) 4(x 3) 3(3x 6) 17
RĂŠponse : 1
)
p
5
(g
) 3 (2g
2 5 1 5 3 10
CHAPITRE 3
)
Rappel
103
NOM
3
4
GROUPE
DATE
DĂŠtermine si chacune des inĂŠgalitĂŠs ci-dessous est vraie ou fausse. 4( 3 6) 6( 4 3)
b) (4,6 2,7)2 4,62 2,72
2(3 4) 6 3( 2 11)
d) 4(52 2) 35 1,5
4(4,1 3) (7 13)2 7 6
f) 5(4 7) 7( 8 23)
a)
c) e)
3
2
Voici une ÊgalitÊ : 4(5 7) 50 2 On apporte des modifications aux deux membres de cette ÊgalitÊ. Dans chaque cas : 1) dÊtermine si l’expression rÊsultante est une ÊgalitÊ ou une inÊgalitÊ ; 2) si l’expression rÊsultante est une inÊgalitÊ, Êcris le symbole d’inÊgalitÊ appropriÊ ( ou ).
3
5
a) On ajoute 3 au membre de gauche et on ajoute 3 au membre de droite.
b) On ajoute 5 au membre de gauche et on ajoute 3 au membre de droite.
1)
1)
2)
2)
c) On divise le membre de gauche par 2 et on multiplie le membre de droite par 3.
d) On retranche 5 du membre de gauche et on retranche 5 du membre de droite.
1)
1)
2)
2)
e) On multiplie le membre de gauche par 2 et on multiplie le membre de droite par 2.
f) On divise le membre de gauche par 7 1 et on multiplie le membre de droite par 7 .
1)
1)
2)
2)
La somme de 3 multiples de 8 consĂŠcutifs ĂŠquivaut au double du dernier de ces multiples. DĂŠtermine quels sont ces 3 nombres.
RĂŠponse :
104
CHAPITRE 3
Rappel
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NOM
GROUPE
3.1
DATE
Les systèmes d’Êquations et leur rÊsolution
Les systèmes d’Êquations Un système d’Êquations est un ensemble d’au moins deux Êquations.
Exemple : Voici un système d’Êquations du 1er degrÊ à deux variables : y 3x 4 y 5x 2
La rÊsolution d’un système d’Êquations t RÊsoudre un système d’Êquations du 1er degrÊ à deux variables revient à trouver, s’ils existent, le ou les couples de nombres qui vÊrifient simultanÊment les Êquations du système.
3
Exemple : Soit le système d’Êquations : y 4x 6 y 2x 2
t -F DPVQMF O FTU QBT MB TPMVUJPO DBS JM W�SJý F VOJRVFNFOU MB QSFNJÒSF �RVBUJPO du système.
t -F DPVQMF (4, 10) est la solution, car il vÊrifie simultanÊment les 2 Êquations du système. En effet : 10 4 4 6 10 16 6 10 10
et
10 2 4 2 10 8 2 10 10
t Il existe diffÊrentes mÊthodes qui permettent de rÊsoudre un système d’Êquations du 1er degrÊ à  deux variables. Par exemple : 1. La reprÊsentation graphique Puisque la reprÊsentation graphique d’un système d’Êquations du 1er degrÊ à deux variables correspond à deux droites, la solution du système correspond aux coordonnÊes du point d’intersection de ces deux droites.
Exemple : y x 4 y 2x 1
y y 2x 1
y x 4
Point d’intersection
1 0
x
1
Cette mÊthode ne donne souvent qu’une approximation de la solution. 2. La table de valeurs Après avoir construit la table de valeurs associÊe à un système d’Êquations, il est possible de rÊsoudre ce système en cherchant la valeur de la variable indÊpendante pour laquelle les valeurs de la variable dÊpendante sont identiques. Dans certains cas, il est nÊcessaire de diminuer le pas de variation de la variable indÊpendante pour trouver la solution. Cette mÊthode ne donne souvent qu’une approximation de la solution.
La solution est (1, 3).
Exemple : y 3x 2 y 4x 4
x
y
y
1 5 8
0
1
2
3
1
4
7
0
4
8
2 4
La solution est (2, 4).
3. La mĂŠthode algĂŠbrique (Voir la section 3.2.)
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CHAPITRE 3
Les systèmes d’Êquations et leur rÊsolution
105
NOM
GROUPE
DATE
Le nombre de solutions d’un système d’Êquations Il est possible de dÊterminer graphiquement le nombre de solutions possibles d’un système d’Êquations du 1er degrÊ à deux variables à partir de la position relative des droites. Nombre de solutions
Exemple
Position relative des deux droites y y 2x 3
y 2x 1
Aucune solution
Droites parallèles distinctes
1 0
x
1
y
3
y 3x 1
Une solution
Droites sĂŠcantes y x 5 1 0
x
1
y
y = 2x 1
Une infinitĂŠ de solutions
y = 2(x 0,5)
Droites parallèles confondues
1 0
1
1
x
Voici plusieurs systèmes d’Êquations : 1 y 5x 5 y x 2
2 y 2x 7 y x 4
3 y x 4 y x 2
4 y 3x 6 y 3x 7
5 y 4x 13 y 3x 8
6 y 2x 5 y 0,5x 2
a) Parmi ces systèmes, lesquels ont le couple (3, 1) pour solution ?
RÊponse : b) Explique pourquoi le couple ( 2, 0) n’est pas la solution du système 4 .
106
CHAPITRE 3
Les systèmes d’Êquations et leur rÊsolution
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NOM
2
GROUPE
DATE
Dans chaque cas : 1) reprÊsente graphiquement le système d’Êquations ; 2) dÊtermine la solution de ce système.
a) y 1,5x y 4x
b) y x 4 y 2x 5 y
1)
1 0 1
c) y 0,5x 1,5 y 3x 6
y
1)
1 0 1
x
y
1)
1 0 1
x
3
2)
2)
2)
d) y 3x 3 y x 5
e) y 3x 13 y x 1
f) y x 5 3 3
1)
y
1)
x
5
y 2 2
y
y
1)
1 0 1
x
1
1 0
1
x
0
x
1
2)
2)
2)
g) y 3x 240 y x 40
h) y 0,25x 20 y 4x 190
i) y 6x 10 y 2x 50
1)
x
y
1)
y
1)
10 0 10
x
10 0 10
y
10 x
2)
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
0 10 2)
x
2)
CHAPITRE 3
Les systèmes d’Êquations et leur rÊsolution
107
NOM
3
GROUPE
À l’aide d’une table de valeurs, dÊtermine la solution de chacun des systèmes d’Êquations ci-dessous. a) y 2x 6 y 4x 8 x
9
b) y 3x 9 y 6x 18
8
7
6
5
4
y
y
y
y
x
0
3
2
0
1
1
2
RĂŠponse :
c) y 5x 30 y 25x 60
3
x
RĂŠponse :
d) y 60x 10 y 50x 20 1
2
3
4
x
5
y
y
y
y
RĂŠponse :
4
DATE
5
4
3
2
1
0
RĂŠponse :
Le produit intÊrieur brut (PIB) d’un pays est de 21 G$ et augmente annuellement de 0,5 G$. Le PIB d’un autre pays est de 15 G$ et augmente annuellement de 0,65 G$. a) Parmi les systèmes ci-dessous, lequel peut être associÊ à cette situation si x reprÊsente le temps (en annÊes) et y, le PIB (en G$) ? 1 y 21x 0,5 y 15x 0,65
2 y 15x 0,5 y 21x 0,65
3 y 0,5x 21 y 0,65x 15
4 y 0,5x 15 y 0,65x 21
b) Parmi les graphiques ci-dessous, lequel reprĂŠsente adĂŠquatement cette situation ? 1
PIB (G$)
PIB (G$)
2
6 0
3
6 6
PIB (G$)
4
6 0
108
CHAPITRE 3
0
Temps (annĂŠes)
Temps (annĂŠes)
6
PIB (G$)
6 6
Temps (annĂŠes)
Les systèmes d’Êquations et leur rÊsolution
0
6
Temps (annĂŠes)
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
NOM
5
GROUPE
DATE
Pour chacune des situations suivantes : 1) identifie les variables qui sont utilisÊes ; 2) construis le système d’Êquations appropriÊ ; 3) reprÊsente graphiquement ce système ; 4) dÊtermine la solution. Si celle-ci n’est pas exacte, estime-la au dixième près.
a) Il en coÝte 10 $ pour s’abonner à un club vidÊo A . La location d’un film coÝte ensuite 3 $. L’abonnement à un club vidÊo B est gratuit. Cependant, la location d’un film coÝte 4 $. Pour combien de locations les deux clubs vidÊo offrent-ils un prix Êquivalent ? 1)
3)
2)
3 4)
RÊponse : b) Un guÊpard A se lance à la poursuite d’une gazelle B . Celle-ci court à une vitesse de 21 m/s, tandis que le guÊpard A court à une vitesse de 25 m/s. La gazelle B a 200 m d’avance sur le guÊpard A . Combien de temps après le dÊbut de la poursuite le guÊpard aura-t-il rattrapÊ la gazelle ? 1)
3)
2)
4)
RÊponse : c) Un rÊservoir A qui contient 75 kl d’eau se vide dans un rÊservoir B initialement vide au rythme de 2 kl/min. À quel moment les deux rÊservoirs contiendront-ils la même quantitÊ d’eau ? 1)
3)
2)
4)
RÊponse : ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
CHAPITRE 3
Les systèmes d’Êquations et leur rÊsolution
109
NOM
6
GROUPE
DATE
Parmi les graphiques dÊcrits ci-dessous, lequel peut être associÊ à un système d’Êquations qui n’a aucune solution ? a) Le graphique reprÊsente deux droites qui se croisent au point de coordonnÊes (0, 0). b) Le graphique reprÊsente deux droites perpendiculaires. c) Le graphique reprÊsente deux droites parallèles non confondues. d) Le graphique reprÊsente deux droites parallèles confondues.
7
La population initiale d’une rÊgion donnÊe est de 1 500 000 habitants. Annuellement, environ 3000 habitants quittent cette rÊgion pour se rendre dans une rÊgion voisine comptant initialement 1 000 000 de personnes. Si la tendance se maintient, après combien de temps les deux rÊgions auront-elles la même population ? Au besoin, cherche un nombre au dixième près.
3
RĂŠponse :
110
CHAPITRE 3
Les systèmes d’Êquations et leur rÊsolution
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
NOM
8
GROUPE
DATE
Le 1er janvier 2012, une maison situÊe à Joliville se vendait 175 000 $. Sa valeur augmente de façon continue au rythme de 2000 $ par annÊe. Au même moment, une maison identique situÊe à Belleville se vendait 150 000 $ et sa valeur augmente de 4000 $ par annÊe. À quelle date les deux maisons auront-elles la même valeur ?
3
RĂŠponse :
9
Jean-Marc est vendeur dans un magasin d’Êlectronique. Son salaire hebdomadaire lui sera versÊ selon l’option qu’il choisira parmi les deux options suivantes. Option 1 Salaire de base de 150 $ augmentÊ de 10 % des ventes effectuÊes.
Option 2 Salaire de base de 200 $ augmentĂŠ de 8 % des ventes effectuĂŠes.
Quelle option est la plus avantageuse ? Explique ta rĂŠponse.
RĂŠponse :
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
CHAPITRE 3
Les systèmes d’Êquations et leur rÊsolution
111
NOM
GROUPE
3.2
DATE
La rÊsolution algÊbrique de systèmes d’Êquations
La mÊthode de comparaison t La mÊthode de comparaison permet de rÊsoudre algÊbriquement des systèmes d’Êquations du 1er degrÊ à deux variables qui se ramènent à la forme : y1 a1x b1 y2 a2x b2 en comparant les expressions associÊes aux variables dÊpendantes. t Cette mÊthode permet de trouver la solution exacte d’un système d’Êquations.
Exemples : Pour rÊsoudre un système d’Êquations du 1er degrÊ à deux variables, tu peux utiliser la dÊmarche suivante.
3
Exemple : RÊsous, à l’aide de la mÊthode de comparaison, le système d’Êquations suivant.
1)
DĂŠmarche
y1 4x 8 y2 x 2
1. Forme une ĂŠquation avec les deux expressions associĂŠes aux variables dĂŠpendantes.
On cherche la valeur de x pour laquelle y1 y2 .
2. RÊsous l’Êquation obtenue.
4x 8 x 2 5x 10 x 2
3. Remplace la valeur de x obtenue dans une des ĂŠquations de dĂŠpart afin de dĂŠterminer la valeur correspondante de y.
y1 4 2 8 y1 0
4. Valide la solution en substituant 2 Ă x et 0 Ă y dans une des deux ĂŠquations.
0 4 2 8 0 0
4x 8 x 2
La solution est donc ( 2, 0). 0 ( 2) 2 0 0
Puisque ces ĂŠgalitĂŠs sont vraies, la solution est valide. 2) Un bateau A quitte le port et se dĂŠplace Ă une vitesse de 20 km/h. Il tente de rejoindre
un bateau B distant de 5 km et qui se dÊplace à une vitesse de 15 km/h. On cherche combien de temps après son dÊpart le bateau A rattrapera le bateau B et à quelle distance du port les deux bateaux seront situÊs. Le système d’Êquations est :
d A 20t , d B 15t 5
oĂš d reprĂŠsente la distance (en km) parcourue par chaque bateau et t, le temps (en h) ĂŠcoulĂŠ depuis le dĂŠpart du bateau A . dA dB 20t 15t 5 5t 5 t 1h
En substituant 1 à t dans l’Êquation d A 20t, on obtient : d A 20 1 20 km
Après 1 h, le bateau A rattrapera le bateau B . Les deux bateaux seront alors situÊs à 20 km du port.
112
CHAPITRE 3
La rÊsolution algÊbrique de systèmes d’Êquations
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
NOM
GROUPE
DATE
Le nombre de solutions d’un système d’Êquations Lors de la rÊsolution algÊbrique d’un système d’Êquations du 1er degrÊ à deux variables, on peut dÊterminer le nombre de solutions possibles du système d’Êquations : t en observant le taux de variation a et la valeur initiale b de la forme y ax b, oÚ a 0, des Êquations du système ; t en observant la forme rÊduite de l’Êquation obtenue. Nombre de solutions
y1 a1x b1 y2 a2x b2 (a 1 0 et a 2 0)
Exemples Système d’Êquations
Forme rÊduite de l’Êquation obtenue
a1 a2 et Aucune solution
b1 b2
y1 4x 3
Les taux de variation sont ĂŠgaux, mais les valeurs initiales sont diffĂŠrentes.
y2 4x 7
a1 a2 Une solution
Les taux de variation sont diffĂŠrents.
y1 x 1
y1 y2 4x 3 4x 7 0x 4
Aucun nombre rÊel ne rend cette ÊgalitÊ vraie.
3
y1 y2 x 1 3x 4x 1
y2 3x
x
1 4
1
Seule la valeur 4 rend cette ÊgalitÊ vraie. a1 a2 et Une infinitÊ de solutions
b1 b2
y1 3x 3
Les taux de variation sont ĂŠgaux et les valeurs initiales sont ĂŠgales.
y2 3(x 1)
y1 3x 3 3x 3 0x
y2 3(x 1) 3x 3 0
Tous les nombres rÊels rendent cette ÊgalitÊ vraie.
La validation Pour valider la solution d’un système d’Êquations, tu peux utiliser la dÊmarche suivante. Exemple : Valide la solution (1, 4) du système d’Êquations suivant. DÊmarche
y1 x 5 y2 3x 1
1. Remplace chacune des variables de la première Êquation par le couple de points qui reprÊsente la solution. VÊrifie l’exactitude de l’ÊgalitÊ.
y1 x 5 4 1 5 4 4 L’ÊgalitÊ est vÊrifiÊe.
2. RÊpète l’Êtape 1 pour la deuxième Êquation.
y2 3x 1 4 3 1 1 4 3 1 4 4 L’ÊgalitÊ est vÊrifiÊe. Le couple (1, 4) est bien une solution du système d’Êquations donnÊ.
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CHAPITRE 3
La rÊsolution algÊbrique de systèmes d’Êquations
113
NOM
1
GROUPE
Parmi les systèmes ci-dessous, lequel n’a aucune solution ? a)
2
DATE
y x 2 y x 3
b)
y 54x 20 y 32x 20
c)
y 3x 19 y 3x 10
d)
y 4x 19 1
y 4 x 10
Dans chaque cas : 1) rÊcris le système d’Êquations sous la forme y a1 x b1
y a 2 x b2 ;
2) dĂŠtermine la solution.
y 12x 7 2 x 3y 5 2
a) 3y 9x 6 x y 3
b) 5x 2y 18 5y 8 15x 6
c)
1)
1)
1)
2)
2)
2)
RĂŠponse :
RĂŠponse :
RĂŠponse :
3
3
114
RÊsous chacun des systèmes d’Êquations suivants en utilisant la mÊthode de comparaison. a) y x 5 y 2x 4
b) y 3x 35 y 4x 22
c) y 5x 21 y 3x 95
RĂŠponse :
RĂŠponse :
RĂŠponse :
d) y 13 6x y 2x 4
e) y 3 3
RĂŠponse :
RĂŠponse :
CHAPITRE 3
x
3x
2 5
y 2 2
La rÊsolution algÊbrique de systèmes d’Êquations
f) y 1,5x 6 y 3x 2
RÊponse : ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
NOM
4
GROUPE
DATE
RÊsous chacun des systèmes d’Êquations reprÊsentÊs ci-dessous. y
a)
y
b)
0
y x 7
y x 12
x
y
c)
0
x y 2x 3
0
x y x 2
y 7x 5
y 3x 4
3 RĂŠponse : d)
RĂŠponse :
RĂŠponse : y
y 11,9x 30
e)
y y 0,2x 8
y 0,1x 18 0
RĂŠponse :
5
6
y
f)
y 3x 7
x
0
y 0,5x 3
RĂŠponse :
x
x
0
y 3x 4
RĂŠponse :
Les deux Êquations d’un système sont y ax et y bx, oÚ a b. Parmi les ÊnoncÊs ci-dessous, lequel est vrai ? a) Ce système n’a aucune solution.
b) Ce système a une infinitÊ de solutions.
c) La solution de ce système est (a, b).
d) La solution de ce système est (0, 0).
Les deux Êquations d’un système sont y a 1 x b et y a 2 x b, oÚ a1 a 2 . Parmi les ÊnoncÊs ci-dessous, lequel est vrai ? a) Ce système n’a aucune solution.
b) Ce système a une infinitÊ de solutions.
c) La solution de ce système est (0, b).
d) La solution de ce système est (b, 0).
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CHAPITRE 3
La rÊsolution algÊbrique de systèmes d’Êquations
115
NOM
7
GROUPE
Jasmin estime au centième près la solution du système d’Êquations
DATE
y1 13x 3 . y2 2x 2
Les Êcrans suivants illustrent la façon dont il procède. Écrans 1 et 2
Écran 3
Écran 4
Le couple-solution est (⏇ 0,45, ⏇ 2,91). a) À l’aide de la mÊthode de comparaison, dÊtermine la solution exacte de ce système d’Êquations.
3
RÊponse : b) Pour chacun des systèmes d’Êquations ci-dessous : 1) estime la solution au centième près ;
116
2) dĂŠtermine la solution exacte.
a)
b)
c)
1)
1)
1)
2)
2)
2)
RĂŠponse :
RĂŠponse :
RĂŠponse :
CHAPITRE 3
La rÊsolution algÊbrique de systèmes d’Êquations
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
NOM
8
GROUPE
DATE
Le solde du compte d’Êpargne de Sarah est de 570 $. Celui-ci augmente de 0,02 $/jour. Le solde du compte d’Êpargne de Malik est de 450 $ et augmente de façon continue au rythme de 0,06 $/jour. a) Identifie deux variables associÊes à cette situation.
b) Écris le système d’Êquations associÊ à cette situation.
c) DĂŠtermine : 1)
après combien de temps le solde du compte d’Êpargne de Sarah et celui du compte de Malik seront les mêmes ;
RĂŠponse :
9
2)
le solde de chaque compte d’Êpargne à ce moment.
3
RĂŠponse :
Pour visiter un musÊe d’histoire naturelle, il en coÝte 100 $ pour un groupe de 5 enfants et 7 adultes. Il en coÝte Êgalement 92 $ pour un groupe de 7 enfants et 5 adultes. DÊtermine le prix d’un billet pour enfant et celui d’un billet pour adulte.
RÊponse : ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
CHAPITRE 3
La rÊsolution algÊbrique de systèmes d’Êquations
117
NOM
10
GROUPE
DATE
Une rÊserve faunique abrite initialement 29 ours et 12 renards. Le nombre d’ours augmente de 2 individus/annÊe, tandis que le nombre de renards augmente de 6 individus/annÊe. Existe-t-il un moment oÚ la population de renards sera formÊe d’autant d’individus que la population d’ours ? Explique ta rÊponse.
RĂŠponse :
3
11
Le graphique ci-contre illustre comment un fournisseur d’accès Internet (FAI) calcule la facture mensuelle de ses clients selon deux forfaits.
Forfaits offerts par un FAI
Montant de la facture ($)
(0, 20)
a) Si u reprÊsente l’utilisation de la bande passante (en Go) par un internaute et m, le montant de la facture (en $), Êcris le système d’Êquations associÊ à cette situation.
(70, 30)
Forfait Avantage Forfait TĂŠlĂŠcharge
(50, 25)
5 0
(0, 10) 10
Utilisation de la bande passante (Go)
RĂŠponse :
b) À partir de quelle utilisation de bande passante le forfait TÊlÊcharge devient-il plus avantageux que le forfait Avantage ? Explique ta rÊponse.
RĂŠponse :
118
CHAPITRE 3
La rÊsolution algÊbrique de systèmes d’Êquations
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
NOM
GROUPE
3.3
DATE
La rÊsolution d’inÊquations
Les inÊquations t Une inÊquation est une relation mathÊmatique qui fait intervenir un symbole d’inÊgalitÊ et au moins une variable.
Exemples :
1) 3x 4 13
2) 6 2a 3b 7
3) y 4x 11
t L’ensemble des valeurs qui vÊrifient une inÊquation est appelÊ l’ensemble-solution. t L’ensemble-solution d’une inÊquation du 1er degrÊ à une variable peut être exprimÊ à l’aide : Exemples Dans l’ensemble R (valeurs continues)
Description 1. d’un intervalle ou d’un
a)
Dans l’ensemble Z (valeurs discrètes)
] , 6[
3
b) {‌, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
ensemble de nombres ;
2. d’une droite numÊrique sur laquelle on a indiquÊ les valeurs que peut prendre la variable.
a)
b) 4 2 0 2 4 6 8
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Un point vide est associÊ à une valeur qui n’appartient pas à l’ensemble-solution.
Un point plein est associÊ à une valeur qui appartient à l’ensemble-solution.
t L’ensemble-solution d’une inÊquation du 1er degrÊ à une variable peut Êgalement être exprimÊ à l’aide d’une inÊquation dans laquelle la variable est isolÊe.
Exemples :
1) x 6
2) m
1 2
Les règles de transformation des inÊquations Les règles de transformation des inÊquations permettent d’obtenir des inÊquations Êquivalentes, c’est-à -dire des inÊquations qui ont le même ensemble-solution. Exemples
Règles de transformation des inÊquations 1. Additionner ou soustraire un même nombre
a)
2a 5 6 2a 5 3 6 3
aux deux membres d’une inÊquation conserve le sens de cette inÊquation.
2a 8 9 b)
5a 6 16 5a 6 4 16 4 5a 2 12
2. Multiplier ou diviser les deux membres
a)
3a 2 16 5 (3a 2) 5 16
d’une inÊquation par un même nombre strictement positif conserve le sens de cette inÊquation.
15a 10 80 b)
4 14a 3 (4 14a) 2 3 2 2 7a 1,5
3. Multiplier ou diviser les deux membres
3a 20
a)
5 3a 5 20
d’une inÊquation par un même nombre strictement nÊgatif inverse le sens de cette inÊquation.
15a 100
b)
2a 4 12
( 2a 4) 2 12 2 a 2 6
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
CHAPITRE 3
La rÊsolution d’inÊquations
119
NOM
GROUPE
DATE
La rÊsolution d’une inÊquation t RÊsoudre une inÊquation à une variable, c’est dÊterminer les valeurs de la variable qui vÊrifient l’inÊquation, c’est-à -dire son ensemble-solution. t Pour rÊsoudre une inÊquation du 1er degrÊ à une variable, tu peux utiliser la dÊmarche suivante. Exemple : RÊsous l’inÊquation 5x 6 9x 22.
DĂŠmarche
5x 6 9x 9x 22 9x
1. Utilise les règles de transformation
On retranche 9x de chaque membre de l’inÊquation.
des inÊquations afin d’obtenir une inÊquation Êquivalente dans
4x 6 6 22 6
On ajoute 6 à chaque membre de l’inÊquation.
laquelle la variable est isolÊe.
On divise par 4 chaque membre de l’inÊquation.
16 4x 4 4
x 4
3
L’ensemble-solution est x 4 ou ] , 4[.
2. DÊduis l’ensemble-solution.
1
2
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
Associe chacune des inĂŠquations de la colonne de gauche Ă la description de la colonne de droite qui lui correspond. x 5
t
t
x vaut moins de 5.
x 5
t
t
x vaut plus de 5.
x 5
t
t
x vaut au plus 5.
x 5
t
t
x vaut au moins 5.
Dans chaque cas, reprÊsente graphiquement l’ensemble-solution de l’inÊquation donnÊe sachant que x D r. a) x 0
10
8
b) x 4
6
4
2
0
2
4
6
8
10
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
e) x 4
10
8
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
d) x 2
c) x 3
120
10
8
6
4
2
f) x 6
CHAPITRE 3
6
4
2
0
2
4
6
La rÊsolution d’inÊquations
8
10
10
8
6
4
2
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
NOM
3
GROUPE
Dans chaque cas, reprÊsente graphiquement l’ensemble-solution de l’inÊquation sachant que x ‘ z. a) x 2 c) x 1 e) x 0
4
DATE
b) x 3
10 8 6 4 2 0
2
4
6
8 10
10 8 6 4 2 0
2
4
6
8 10
10 8 6 4 2
2
4
6
8
d) x 2 f) x 0
0
10
10 8 6 4 2 0
2
4
6
8 10
10 8 6 4 2 0
2
4
6
8 10
10 8 6 4 2 0
2
4
6
8 10
Associe chaque inĂŠquation Ă son ensemble-solution sachant que x reprĂŠsente un nombre rĂŠel. x 2 t
x 2 t
x 2 t
x 2 t
x 2 t
x 2 t
x 2 t
x 2 t
3 t ] 2, [
5
6
t ] , 2[
t ] , 2[
t ]2, [
t [2, [
t ] , 2]
t ] , 2]
t [ 2, [
Associe chacune des inÊquations de la première ligne à l’inÊquation de la seconde ligne qui lui est Êquivalente. 2x 3 1
3x 5 7
3x 4 12
t
t
t
t 2x 4
t 3x 12
t 3x 12
3xx 6 2
2xx 4
3 3
3x 15 7
t
t
t
t 2x 4
t 3x 8
t 3x 8
Dans chaque cas : 1) transforme chaque inÊquation en une inÊquation Êquivalente dans laquelle la variable est isolÊe ; 2) reprÊsente graphiquement l’ensemble-solution sachant que x ‘ r.
a) x 5 1
b) x 2 4
1)
1)
2)
2)
c)
10 8
6
4
2
0
2
4
6
8 10
2x 8
d)
1)
10 8
6
4
2
0
2
4
6
8 10
4
2
0
2
4
6
8 10
x 1 3
1)
2)
2)
10 8
6
4
2
0
2
4
6
8 10
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
10 8
6
CHAPITRE 3
La rÊsolution d’inÊquations
121
NOM
7
GROUPE
DATE
Dans chaque cas : 1) transforme chaque inÊquation en une inÊquation Êquivalente dans laquelle la variable est isolÊe ; 2) Êcris l’ensemble-solution sous la forme d’un intervalle sachant que chaque variable reprÊsente
un nombre rÊel. 3a 4 a 5 15
b) 3x 5 5x 7
c)
1)
1)
1)
RĂŠponse :
RĂŠponse :
RĂŠponse :
2)
2)
2)
d) 2(y 4) 7y
e)
1)
1)
1)
RĂŠponse :
RĂŠponse :
RĂŠponse :
2)
2)
2)
a)
3
g)
8
3(h 5) 4(2h 1)
3p 4
f) 4(x 3) 2(3x 5) 13
p 2 6 3 2 5
i)
2
g 3
1)
1)
1)
RĂŠponse :
RĂŠponse :
RĂŠponse :
2)
2)
2)
4
3 2g 8 5
1 2
La mesure b de la base d’un rectangle est d’au moins 5 cm et est infÊrieure à 10 cm. Parmi les ensembles-solutions ci-dessous, lequel reprÊsente adÊquatement les valeurs possibles de b ? a) ]5, 10]
122
h)
15 w 13 w 2 14 5 7
2b 6 5b 9
CHAPITRE 3
b) {5, 6, 7, 8, 9} La rÊsolution d’inÊquations
c) [5, 10[
d) {6, 7, 8, 9, 10}
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
NOM
9
GROUPE
Le nombre n de personnes qui participent Ă une partie de quilles est supĂŠrieur Ă 5, mais ne dĂŠpasse pas 10. Parmi les ensembles-solutions ci-dessous, lequel reprĂŠsente adĂŠquatement les valeurs possibles de n ? a) ]5, 10]
10
DATE
b) [5, 10[
c) {5, 6, 7, 8, 9}
d) {6, 7, 8, 9, 10}
Pour chacun des problèmes suivants : 1) identifie les inconnues et reprÊsente-les par des expressions algÊbriques qui font intervenir
la même variable ; 2) forme et rÊsous l’inÊquation associÊe à la situation ; 3) trouve deux solutions possibles du problème. a) La somme de 3 nombres pairs consÊcutifs est infÊrieure à 96. Quels peuvent être ces 3 nombres ? 1)
2)
3
3)
b) Le lecteur numĂŠrique de Cynthia compte 15 fichiers audio de plus que le double de fichiers vidĂŠo. Au total, son lecteur contient au moins 360 fichiers. Combien de fichiers de chaque type son lecteur peut-il contenir ? 1)
2)
3)
c) Le salaire horaire de Martin est de 7 $ de plus que le salaire horaire de Franck. Toutefois, si Franck travaille 15 h et Martin, 10 h, Franck aura gagnÊ plus d’argent que Martin. Quel peut être le salaire horaire minimal de Martin sachant qu’il s’agit d’un nombre entier ? 1)
2)
3)
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
CHAPITRE 3
La rÊsolution d’inÊquations
123
NOM
11
GROUPE
DATE
Des ouvriers font des travaux d’asphaltage sur un tronçon de route. Le compactage de l’asphalte nÊcessite 3 h de plus que le tiers du temps nÊcessaire pour l’application de l’asphalte. La durÊe totale des travaux est d’au moins 75 h. a) Identifie les inconnues dans cette situation et reprÊsente-les par des expressions algÊbriques qui font intervenir la même variable.
b) Forme l’inÊquation associÊe à cette situation.
3 c) RÊsous l’inÊquation formÊe et reprÊsente graphiquement son ensemble-solution.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
d) Est-il possible que le compactage de l’asphalte dure 18 h ? Explique ta rÊponse.
12
La base d’un rectangle mesure 5 cm de plus que le double de sa hauteur. Son pÊrimètre est supÊrieur à 34 cm, mais ne dÊpasse pas 52 cm. Quelles sont les mesures possibles de sa hauteur ?
RĂŠponse :
124
CHAPITRE 3
La rÊsolution d’inÊquations
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
NOM
13
GROUPE
DATE
Un ascenseur affiche les inscriptions ci-dessous. Charge maximale : 850 kg
Nombre maximal de personnes : 15
Un livreur se prÊsente devant cet ascenseur, portant 12 boÎtes qui pèsent chacune au moins 10 kg et au plus 15 kg. Ce livreur entre dans l’ascenseur, suivi d’un certain nombre d’autres personnes. a) Si chaque personne pèse en moyenne 50 kg et que chaque boÎte a la masse maximale, combien de personnes au maximum peuvent entrer dans cet ascenseur ?
3
RÊponse : b) Si l’ascenseur compte le maximum autorisÊ de personnes et que chaque boÎte a la masse minimale, quelle est la masse moyenne maximale de chaque personne ?
RĂŠponse :
14
Au cours d’un jeu vidÊo d’aventures, une internaute doit rÊsoudre l’Ênigme suivante pour avancer au prochain niveau. Je suis un nombre pair. Si on ajoute 4 au double de ma valeur, on obtient un nombre infÊrieur au triple de ma valeur, diminuÊe de 8. Par contre, si on retranche 4 du double de ma valeur, on obtient un nombre infÊrieur à ma valeur augmentÊe de 11. Quel nombre suis-je ? RÊsous cette Ênigme.
RÊponse : ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
CHAPITRE 3
La rÊsolution d’inÊquations
125
NOM
GROUPE
DATE
ĂŠli 1
Associe chaque système d’Êquations au graphique qui le reprÊsente. 1
2
3
t
t
t
3
2
t
t
A
4
t
t
t
C
B
D
Chacune des tables de valeurs ci-dessous est associÊe à un système d’Êquations du 1er degrÊ à deux variables. Dans chaque cas : 1) dÊtermine ce système ; 2) indique entre quelles valeurs se situe la valeur de x associÊe à la solution de ce système.
126
a)
b)
c)
1)
1)
1)
2)
2)
2)
d)
e)
f)
1)
1)
1)
2)
2)
2)
CHAPITRE 3
MĂŠli-mĂŠlo
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
NOM
3
GROUPE
DATE
Voici plusieurs systèmes d’Êquations : 1
2
3
y 3,5x 5 y 1,5x 5
y 2x 2 y 2(x 2)
y 3x 4
4
5
y 3x 6 y 3x 7
2
3
y 2x 2
3
6 2
2
y 5x 5 y
3
y 7x 8
3x 2 5
y
2x 2 7
Parmi ces systèmes, lequel ou lesquels : a) ont une seule solution ?
b) n’ont aucune solution ?
3
c) ont une infinitĂŠ de solutions ?
4
Dans chaque cas : 1) reprÊsente graphiquement le système d’Êquations ; 2) estime le couple-solution ; 3) dÊtermine la solution exacte.
a) y 2x 5 y 1,5x 1,5
b) y 3x 1 y x 2
c) y 4x 3 y 2x 4
1)
1)
1)
y
1 0 1
y
1 0 1
x
y
1 0 1
x
2)
2)
2)
3)
3)
3)
RĂŠponse :
RĂŠponse :
RĂŠponse :
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
CHAPITRE 3
MĂŠli-mĂŠlo
x
127
NOM
5
3
6
GROUPE
DATE
RÊsous chacun des systèmes d’Êquations suivants. a) y 3x 6 y 2x 5
b) y 0,4x 2,1 y x
c) y 24x 32 y 36x 16
RĂŠponse :
RĂŠponse :
RĂŠponse :
DÊtermine l’expression algÊbrique associÊe à l’abscisse du couple-solution du système
y ax b . y cx d
RĂŠponse :
7
y
Le graphique ci-contre reprÊsente un système d’Êquations. Lequel des ÊnoncÊs ci-dessous est vrai à propos des variables utilisÊes dans ce système ? a) yA yB, si x 5.
b) yA yB, si x 5.
c) yA yB, si x 5.
d) yA yB, si x 5.
yA
0
5
x
yB
8
Le nombre 7 augmentÊ du triple d’un nombre pair est : t QMVT HSBOE RVF M PQQPT� EF DF OPNCSF BVHNFOU� EF t BV NPJOT �HBM BV RVBESVQMF EF DF OPNCSF Quel est ce nombre ?
RĂŠponse :
128
CHAPITRE 3
MĂŠli-mĂŠlo
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
NOM
9
GROUPE
DATE
Parmi les ensembles-solutions reprÊsentÊs ci-dessous, dÊtermine celui qui est associÊ à chacune des inÊquations suivantes. 1
2
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
3
10
10
10
8
4
6
4
6
4
6
2
0
2
4
6
8
10
2
0
2
4
6
8
10
2
0
2
4
6
8
10
4
5
8
8
6
2
a) 5 (x 3) 6 1,2x
b)
3(x 4) 3 4
c)
5x 6 4 5,5 2x 2
3
10
RĂŠponse :
RĂŠponse :
RĂŠponse :
d) 2x 7 3(x 4) 10 2x
e) 2(x 5) x 10 x
f)
RĂŠponse :
RĂŠponse :
RĂŠponse :
11x 15 6 4x 3
Le rectangle illustrÊ ci-contre a un pÊrimètre maximal de 50 m et une aire minimale de 96 m2. 2x
a) Quelle est sa hauteur maximale ? 1) 5 m
2) 10 m
3) 15 m
4) 20 m
3x
b) Quelle est la longueur minimale de sa base ? 1) 4 m
2) 8 m
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
3) 12 m
4) 16 m
CHAPITRE 3
MĂŠli-mĂŠlo
129
NOM
11
GROUPE
DATE
Dannik magasine un forfait de tÊlÊphone cellulaire. Deux choix s’offrent à lui. Forfait 1 : 11,96 $/mois et 0,12 $/min.
Forfait 2 : 0,25 $/min
a) Pendant combien de minutes doit parler Dannik pour que le montant facturÊ soit le même qu’il choisisse l’un ou l’autre des forfaits ? Quel est ce montant ?
RĂŠponse :
3
b) Conseille Dannik sur le forfait à choisir selon le nombre de minutes qu’il prÊvoit parler au tÊlÊphone.
RĂŠponse :
12
Lors d’une collecte de sang, on espère recueillir plus de 90 L de sang. Quelques heures après le dÊbut de la collecte, 45 personnes ont dÊjà fait don de leur sang. Si chaque personne donne en moyenne 450 ml de sang, combien de donneurs additionnels, au minimum, doivent participer à la collecte pour que l’objectif soit atteint ?
RĂŠponse :
13
La valeur d’une voiture dÊcroÎt en moyenne de 1650 $/annÊe. Si une voiture vaut 24 500 $ à l’achat, après combien d’annÊes vaudra-t-elle 3875 $ ?
RĂŠponse :
130
CHAPITRE 3
MĂŠli-mĂŠlo
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
NOM
14
GROUPE
DATE
Au dÊbut de l’annÊe scolaire, une enseignante commande des dictionnaires et des manuels de français. Elle commande en tout 36 articles, pour un total de 1788,20 $. Si le prix d’un dictionnaire est de 35,95 $ et le prix d’un manuel, de 54,95 $, combien de dictionnaires et de manuels l’enseignante a-t-elle commandÊs ?
RĂŠponse :
15
3
Un ĂŠbĂŠniste se spĂŠcialise dans la fabrication de chaises. Voici certaines informations sur sa production : t t t t
- Ă?CĂ?OJTUF USBWBJMMF VO NBYJNVN EF I NPJT -B GBCSJDBUJPO E VOF DIBJTF OĂ?DFTTJUF FO NPZFOOF I EF USBWBJM 4FT DPĂ&#x;UT EF QSPEVDUJPO NFOTVFMT TPOU EF BVHNFOUĂ?T EF QBS DIBJTF GBCSJRVĂ?F 4FT DPĂ&#x;UT EF QSPEVDUJPO OF EPJWFOU QBT EĂ?QBTTFS NPJT
a) Si cet ÊbÊniste veut faire un profit d’au moins 3500 $ en vendant le nombre de chaises associÊ à sa production maximale, à quel prix doit-il vendre chaque chaise ?
RÊponse : b) Si cet ÊbÊniste vend chaque chaise 250 $, combien de chaises doit-il fabriquer pour faire un profit d’au moins 2000 $ ?
RÊponse : ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
CHAPITRE 3
MĂŠli-mĂŠlo
131
NOM
16
GROUPE
DATE
Une ingÊnieure doit concevoir un camion qui peut transporter un chargement dont la masse m (en tonnes) respecte l’ensemble des contraintes exprimÊes ci-dessous. Contrainte 1
Contrainte 2
Contrainte 3
m D [5, 10[
m 7,5
2m 5 3m 9
Sur une droite numÊrique, reprÊsente l’ensemble des masses permises pour les chargements de ce camion.
3
0
17
1
2
3
4
5
6
7
8
Le graphique ci-contre illustre l’Êvolution de l’intensitÊ I (en dB) des signaux sonores Êmis par chaque Êcouteur d’un casque d’Êcoute en fonction du temps t (en min) lors d’un test d’audition. La durÊe maximale de ce test correspond au moment oÚ l’intensitÊ d’un des deux signaux atteint 80 % du seuil de douleur Êtabli à 80 dB.
9
10
IntensitĂŠ des signaux sonores IntensitĂŠ (dB)
(4, 52) Écouteur gauche
(4, 50)
Écouteur droit 20 10
a) Est-il possible que les deux signaux aient simultanĂŠment la mĂŞme intensitĂŠ lors de ce test ? Explique ta rĂŠponse.
0
Temps (min)
RĂŠponse :
b) DÊtermine la durÊe maximale de ce test d’audition.
RĂŠponse :
132
CHAPITRE 3
MĂŠli-mĂŠlo
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
NOM
18
GROUPE
DATE
Trois amis participent à une course de voitures tÊlÊguidÊes. La longueur du parcours est de 150 m. La voiture A commence la course à la ligne de dÊpart, tandis que la voiture B commence la course avec 10 m d’avance. La voiture C , quant à elle, commence la course avec 25 m d’avance. La voiture A roule à une vitesse de 1,4 m/s, la voiture B , à une vitesse de 1,2 m/s, et la voiture C , à une vitesse de 1,1 m/s. Chacun des amis Êmet une conjecture avant la course. Voici ces 3 conjectures : Conjecture 1 Il y aura un seul dÊpassement au cours de cette course.
Conjecture 2 Il y aura deux dĂŠpassements au cours de cette course.
Conjecture 3 Il y aura trois dĂŠpassements au cours de cette course.
Quelle conjecture est vraie ? Explique ta rĂŠponse. Course de voitures tĂŠlĂŠguidĂŠes Distance par rapport Ă la ligne de dĂŠpart (m)
3
20 0
20
Temps (s)
RĂŠponse :
19
Joey et Ramzi participent à un concours de lecture qui consiste à lire le plus rapidement possible une trilogie de 2500 pages. Au moment de commencer le concours : t +PFZ B UFSNJO� MB MFDUVSF EF QBHFT FU MJU EF Ë QBHFT KPVS t 3BN[J B UFSNJO� MB MFDUVSF EF QBHFT FU MJU EF Ë QBHFT KPVS À l’aide d’un graphique, montre qu’il est possible pour Ramzi de remporter ce concours. Explique ta rÊponse. Concours de lecture Nombre de pages lues
250 0
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
1
Temps (jours) CHAPITRE 3
MĂŠli-mĂŠlo
133
NOM
20
GROUPE
DATE
Un nouveau parc de jeux pour enfants comportera, entre autres, trois bacs Ă sable ayant les formes illustrĂŠes ci-dessous. Bac 1
Bac 2
Bac 3
Voici d’autres renseignements sur ce parc : t t t t
-B MPOHVFVS EV CBD 1 mesure 2 m de plus que sa largeur. 6O DÙU� EV CBD 2 mesure 1 m de moins que le double de la largeur du bac 1 . -F SBZPO EV CBD 3 mesure 2 m de moins que la largeur du bac 1 . -F Q�SJNÒUSF EV CBD 1 est plus petit que celui du bac 2 , mais plus grand que celui du bac 3 .
DĂŠtermine les circonfĂŠrences possibles pour le bac 3 .
3
RĂŠponse :
21
Une mÊtÊorite situÊe à 130 000 km de la Terre se dirige vers cette dernière à une vitesse de 8000 km/h. Pour l’intercepter, un vaisseau spatial situÊ derrière elle lance un missile qui se dÊplace à 11 000 km/h. Pour sauver la Terre, le missile doit atteindre la mÊtÊorite avant que celle-ci ne soit trop près de la Terre. Cette distance critique est de 50 000 km. À l’aide d’un système d’Êquations, montre algÊbriquement que le vaisseau est situÊ à moins de 160 000 km de la Terre.
RĂŠponse :
134
CHAPITRE 3
MĂŠli-mĂŠlo
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
NOM
GROUPE
DATE
SP 22 La plongÊe sous-marine Lors d’une expÊdition scientifique, deux plongeurs planifient une plongÊe d’observation. Pour être sÊcuritaire, leur plongÊe doit respecter tous les critères suivants. 1 Avant d’atteindre la surface lors de la remontÊe, les plongeurs doivent se rencontrer à une altitude a (en m) supÊrieure à 20 m. 2 Au moment de cette rencontre, la quantitÊ q (en L) d’air comprimÊ qui reste dans leur bouteille de plongÊe doit être d’au moins 0,8 L. 3 Chaque bouteille de plongÊe doit se vider à un rythme minimal de 0,7 L/min et maximal de 1 L/min. Les graphiques ci-dessous fournissent des renseignements sur la planification de cette plongÊe. Évolution de la quantitÊ d’air comprimÊ dans chaque bouteille
Phases de la plongĂŠe Altitude (m) 0 10
3 (22, 0)
(24, 0)
Temps (min)
3
QuantitÊ d’air comprimÊ (L) 18
(6, 50) (14, 50) (6, 70)
(16, 70) Plongeur 1 Plongeur 2
0
Temps (min)
La plongĂŠe planifiĂŠe est-elle sĂŠcuritaire ? Explique ta rĂŠponse.
DĂŠmarche et calculs
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
CHAPITRE 3
MĂŠli-mĂŠlo
135
NOM
GROUPE
DATE
3
RĂŠponse
136
CHAPITRE 3
MĂŠli-mĂŠlo
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
NOM
GROUPE
DATE
SP 23 Les bassins d’eau On doit vider deux bassins d’eau. Dans le bassin 1 , qui contient 50 650 L d’eau, on installe une pompe A dont le dÊbit est de 213,5 L /min et dans le bassin 2 , qui contient 36 500 L d’eau, on installe une pompe B dont le dÊbit est de 88,5 L /min. Durant le processus d’Êvacuation de l’eau, au moment oÚ les deux bassins contiennent la même quantitÊ d’eau, la pompe B brise. Un technicien la rÊpare, puis la remet en marche. Il ajoute en même temps une pompe supplÊmentaire C dans le bassin 2 , afin d’accÊlÊrer le processus d’Êvacuation de l’eau. La nouvelle pompe a un dÊbit de 176,318 L /min. Si l’Êvacuation complète de l’eau du bassin 2 prend 62,76 min de plus que l’Êvacuation complète de l’eau du bassin 1 , combien de temps a durÊ la rÊparation de la pompe B ?
DĂŠmarche et calculs
3
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
CHAPITRE 3
MĂŠli-mĂŠlo
137
NOM
GROUPE
DATE
3
RĂŠponse
138
CHAPITRE 3
MĂŠli-mĂŠlo
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
NOM
GROUPE
DATE
SR 24 Les voitures tÊlÊguidÊes Deux amis participent à une course de voitures tÊlÊguidÊes. La voiture A commence la course à la ligne de dÊpart, tandis que la voiture B commence la course avec une certaine avance. La voiture B roule à 1 m/s. La voiture A roule à une vitesse de 1,5 m/s et finira par rattraper la voiture B à une certaine distance de la ligne de dÊpart. Voici une conjecture sur cette situation : La reprÊsentation graphique de la relation entre l’avance de la voiture B et la distance oÚ a lieu le dÊpassement sera une droite dont le taux de variation est positif. Cette conjecture est-elle vraie ?
DĂŠmarche et calculs
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
3
CHAPITRE 3
MĂŠli-mĂŠlo
139
NOM
GROUPE
DATE
3
RĂŠponse
140
CHAPITRE 3
MĂŠli-mĂŠlo
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
NOM
GROUPE
DATE
RÉINVESTISSEMENT 1
La vitesse de transmission de donnĂŠes sur Internet se mesure en octets par seconde (o/s). Voici des renseignements sur la connexion Internet de deux personnes : Connexion de Louis
Connexion de GĂŠrald
t 7JUFTTF NBYJNBMF 105 o/s t 'PODUJPOOF FO NPZFOOF Ă‹ de sa vitesse maximale.
t 7JUFTTF NBYJNBMF LP T t 'PODUJPOOF FO NPZFOOF Ă‹ de sa vitesse maximale.
Louis et GĂŠrald tĂŠlĂŠchargent un film sur Internet. La taille du fichier associĂŠ au film est de 1,35 Go pour Louis et de 110 Mo pour GĂŠrald. Si Louis et GĂŠrald ont commencĂŠ le tĂŠlĂŠchargement au mĂŞme moment, lequel aura terminĂŠ en premier ?
RĂŠponse :
2
Une fonction f a les caractĂŠristiques suivantes. t t t t
-B GPODUJPO FTU DSPJTTBOUF TVS M JOUFSWBMMF > , > < > -B GPODUJPO FTU EĂ?DSPJTTBOUF TVS M JOUFSWBMMF < > -FT [Ă?SPT EF MB GPODUJPO TPOU FU FU MB WBMFVS JOJUJBMF FTU -F NBYJNVN EF MB GPODUJPO FTU
Après avoir reprÊsentÊ graphiquement une fonction qui a ces caractÊristiques, dÊtermine son domaine, son codomaine et son signe. y
1 0
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
1
RÉINVESTISSEMENT
x
351
NOM
12
GROUPE
DATE
Les dimensions du prisme droit illustrÊ ci-contre sont en centimètres. La fonction qui permet de calculer l’aire totale A de ce prisme est une fonction de x. Après avoir dÊterminÊ la règle de cette fonction, reprÊsente-la graphiquement.
4x 6
3x 2 2x 1
13
Une calotte sphÊrique est le solide obtenu par la section d’une sphère par un plan, comme le montre l’illustration ci-contre. Le volume Vc d’une calotte sphÊrique de hauteur h et de rayon a obtenue à partir d’une sphère de rayon r est donnÊ par la formule Vc
h
a r
h2 (3r h). 3
Montre algÊbriquement que le volume d’une calotte sphÊrique dont la hauteur 5
mesure la moitiÊ du rayon correspond aux 32 du volume de la sphère.
358
RÉINVESTISSEMENT
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
NOM
GROUPE
DATE
RĂŠvision Questions Ă choix multiple Pour chacune des questions, encercle la bonne rĂŠponse.
1
Parmi les longueurs ci-dessous, laquelle est ĂŠquivalente Ă 35 nm ? a) 3,5 109 m
2
b) 1,45 108
c) 1,45 106
d) 14,5 107
b) 320
c) 0,0032
d) 0,000 32
b) 106 mm3
c) 109 mm3
d) 1012 mm3
b) 43 ml
c) 43 cl
d) 0,43 cl
Quel est le volume d’un contenant qui peut contenir 50 L de liquide ? b) 5 m3
c) 0,5 m3
d) 0,05 m3
Parmi les nombres ci-dessous, lequel est un nombre irrationnel ? a)
9
d) 10 cm2
Quelle est la capacitÊ d’un contenant dont le volume est de 43 cm3 ?
a) 50 m3
8
c) 100 cm2
Combien de millimètres cubes y a-t-il dans un mètre cube ?
a) 0,43 L
7
b) 1000 cm2
a) 103 mm3
6
Parmi les nombres ci-dessous, lequel correspond au nombre 3,2 10 3 ? a) 3200
5
d) 3,5 10 8 m
Parmi les nombres ci-dessous, lequel correspond au nombre 145 000 000 Êcrit à l’aide de la notation scientifique ? a) 145 10 6
4
c) 3,5 10 9 m
Combien de centimètres carrÊs y a-t-il dans un mètre carrÊ ? a) 10 000 cm2
3
b) 3,5 108 m
b)
c)
d)
À quelle condition un nombre est-il rationnel ? a) À la condition qu’il ait un dÊveloppement dÊcimal infini. b) À la condition qu’il corresponde au produit de deux nombres entiers. c) À la condition qu’il ait un dÊveloppement dÊcimal fini. d) À la condition qu’il corresponde au quotient de deux nombres entiers.
10
Les dimensions du solide B sont le triple de celles du solide A . Si les deux solides sont semblables, quel est le rapport de leurs aires ? a) 3
b) 6
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c) 9
d) 12 RÉVISION
385
NOM
GROUPE
DATE
Questions Ă rĂŠponse courte
RÊcris chaque expression sous la forme d’une puissance de la base.
2
25 210
RĂŠponse :
39
40
41
390
b) (311 3)4
3 39
RĂŠponse :
c)
(
73 7 5
(
2 a) 2 3
5
(
72 7 5
(
38
RĂŠponse :
2
d)
RĂŠponse :
RĂŠduis chacune des expressions algĂŠbriques suivantes. a) (4m3n2 n4)(5m2n3 2m3)
b) ( 3x2 2x2y)( 4xy 7xy2)
RĂŠponse :
RĂŠponse :
Factorise chacune des expressions algĂŠbriques suivantes. a) 9xy2 3x 2y
b) 15 a4b4 6 a4b3 9 a3b4
RĂŠponse :
RĂŠponse :
17
17
17
Dans l’encadrÊ ci-contre, illustre un prisme droit à  base rectangulaire en utilisant la perspective axonomÊtrique.
RÉVISION
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
NOM
GROUPE
DATE
Questions Ă dĂŠveloppement
59
Une microtige d’acier A mesure 1,5 10 3 mm à 25 °C. Sa longueur l varie de façon constante en fonction de la tempÊrature t (en °C) avec un taux de variation de 1,2 10 5 mm/°C.
Une microtige de bronze B mesure 1,2 m à 25 °C. Sa longueur l varie de façon constante en fonction de la tempÊrature t (en °C) avec un taux de variation de 17 nm/°C. DÊtermine à quelle tempÊrature ces deux microtiges auront la même longueur ainsi que cette longueur.
RĂŠponse :
60
Un cylindre 1 dont le rayon mesure 4 cm contient initialement 1 L de liquide. On immerge progressivement dans ce liquide un cylindre 2 de 2 cm de rayon et de 15 cm de hauteur. Le liquide se comporte comme si son volume augmentait d’un volume Êgal à la partie immergÊe du cylindre 2 .
Cylindre 2
h2
Dans cette situation :
h1 Cylindre 1
t h1 reprĂŠsente la hauteur du liquide dans le cylindre 1 ; t h2 reprĂŠsente la hauteur de la partie immergĂŠe du cylindre 2 .
On s’intÊresse à la fonction f telle que h1 f(h2). Après avoir dÊterminÊ la règle de la fonction f, reprÊsente-la graphiquement. Hauteurs du liquide dans le cylindre 1 h1
1
RÊponse : 0 ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
h2
1,5 RÉVISION
395
NOM
61
GROUPE
DATE
Les diagrammes de quartiles ci-dessous ont ÊtÊ construits à partir de tous les rÊsultats (en %) en mathÊmatiques obtenus par deux Êlèves au cours d’une annÊe scolaire. RÊsultats en mathÊmatiques pour une annÊe scolaire Marc-AndrÊ Marianne 0 70
75
80
85
90
95
100 RĂŠsultat (%)
Qui a connu la meilleure annĂŠe ? Explique ta rĂŠponse.
62
On choisit au hasard un point de la figure reprĂŠsentĂŠe ci-contre. Voici deux ĂŠvĂŠnements associĂŠs Ă cette situation :
4x 3
A : Le point est situÊ dans la rÊgion verte. B : Le point est situÊ dans la rÊgion mauve. Montre algÊbriquement que la probabilitÊ de l’ÊvÊnement A sera toujours plus petite que celle de l’ÊvÊnement B.
3x 1 2x
RĂŠponse :
396
RÉVISION
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
Outils Outil 1 Notations et symboles mathématiques............................ 400
Outil 2 Principaux énoncés de géométrie....................................... 402
Outil 3 Aire et volume ................................................................................. 403
Outil 4 Constructions géométriques .................................................. 405
Outil 1 Notations et symboles mathĂŠmatiques Les notations et les symboles mathĂŠmatiques Notation et symbole
Notation et symbole
Signification
Signification
a2
Deuxième puissance de a ou a au carrÊ
m⏔A
a3
Troisième puissance de a ou a au cube
 °
DegrĂŠ
an
n e puissance de a ou a exposant n
Infini
a
Radical a ou racine carrĂŠe de a
//
‌ est parallèle à ‌
a
Racine cubique de a
‌ est perpendiculaire à ‌
Union d’ensembles. Se lit  union  ou  rÊunion .
DĂŠsigne un angle droit.
Intersection d’ensembles. Se lit  intersection .
P(A)
ProbabilitÊ de l’ÊvÊnement A
âŹƒ
‌ est semblable à ‌
a :b
Rapport de a Ă b
⏾
‌ est isomÊtrique à ‌
Nombre irrationnel approximativement ĂŠgal Ă 3,14. Se lit ÂŤ pi Âť.
%
Pourcentage. Se lit ÂŤ pour cent Âť.
AB
Arc de cercle AB
Univers des rÊsultats possibles d’une expÊrience alÊatoire. Se lit  omÊga .
3
ou ! #
Mesure de l’angle A
Mesure de l’arc de cercle AB
m AB
Ensemble vide
Triangle
OpposĂŠ de a
[a, b]
Intervalle incluant a et b
Inverse de a
[a, b[
Intervalle incluant a et excluant b
A'
En gÊomÊtrie, image du point A. En statistique, ÊvÊnement complÊmentaire de l’ÊvÊnement A. Se lit  A prime .
]a, b]
Intervalle excluant a et incluant b
AB
Segment AB
]a, b[
Intervalle excluant a et b
a
1 1 a ou a
m AB ⏔A
Mesure du segment AB
f (x )
Image de x par la fonction f. Se lit ÂŤ f de x Âť.
Angle A
f
RĂŠciproque de la fonction f
1
Les ensembles de nombres Symbole
Ensemble de nombres
Exemple
Description
N
Nombres naturels
Nombres qui appartiennent à l’ensemble {0, 1, 2, 3, 4, ‌}.
z
Nombres entiers
Nombres qui appartiennent à l’ensemble {‌, 2, 1, 0, 1, 2, ‌}.
q
Nombres rationnels
Nombres qui peuvent s’Êcrire sous la forme b , oÚ a et b sont des entiers, b Êtant diffÊrent de 0. Le dÊveloppement dÊcimal d’un nombre rationnel est fini ou infini et pÊriodique.
q'
Nombres irrationnels
Nombres qui ne peuvent pas être exprimÊs comme un quotient d’entiers. Le dÊveloppement dÊcimal d’un nombre irrationnel est infini et non pÊriodique.
r
Nombres rĂŠels
Nombres qui appartiennent à l’ensemble des nombres rationnels ou à l’ensemble des nombres irrationnels.
5, 99, 101, 1298
218, 403, 43, 734
a
400
OUTILS
6 , 冪36 , 0,567, 6,998, 0,124 11
, 冪5, 2冪2, 3
38, 冪101, 9 , 9,1267 4
ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite
Outil 4 Constructions gÊomÊtriques /D SHUVSHFWLYH FDYDOLqUH Exemple : Dessine un cube de 2 cm d’arête en utilisant la perspective cavalière. 1. Trace deux axes perpendiculaires dans le plan frontal et un axe ayant un angle de fuite de 30° ou 45°.
2. Trace une face dans le plan frontal sans la dĂŠformer.
2 cm
2 cm 30°
30°
3. Trace les arêtes fuyantes en respectant l’angle de fuite et en rÊduisant leur longueur de moitiÊ.
1 cm 30°
1 cm 30°
30°
1 cm 30°
4. Complète le solide.
La perspective axonomÊtrique Exemple : Dessine un cube de 2 cm d’arête en utilisant la perspective axonomÊtrique. 1. Trace 3 axes qui se rencontrent en un même point.
2. Choisis un facteur pour chacun des axes, puis reporte les mesures sur les axes.
1,4 cm 1,5 cm
1,6 cm
2 0,7 1,4 cm 2 0,75 1,5 cm 2 0,8 1,6 cm 3. À partir des extrÊmitÊs des 3 arêtes de rÊfÊrence, trace les arêtes parallèles à chacun des axes en respectant les mesures calculÊes à l’Êtape 2.
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4. Complète le solide.
OUTILS
405