Point de mire_Secondaire 3

Table des matières Test diagnostique

1

Chapitre 3 : Les ĂŠquations et les inĂŠquations

101

Rappel : Les ĂŠquations et les inĂŠgalitĂŠs

102

Section 3.1 : Les systèmes d’Êquations et leur rÊsolution

105

Chapitre 1 : Les nombres

7

Rappel : La notation exponentielle et la racine carrĂŠe

8

Section 3.2 : La rÊsolution algÊbrique de systèmes

Section 1.1 : La racine cubique, la notation exponentielle et les lois des exposants

d’Êquations

11

Section 1.2 : La notation scientifique

19

Section 1.3 : Les ensembles de nombres

26

MĂŠli-mĂŠlo

31

112

Section 3.3 : La rÊsolution d’inÊquations

119

MĂŠli-mĂŠlo

126

Chapitre 4 : L’aire des solides

141

Rappel : L’aire de figures et les solides

142

Section 4.1 : Le sens spatial

146

Section 4.2 : La relation de Pythagore

153

Section 4.3 : Les solides : l’aire latÊrale et l’aire totale

160

MĂŠli-mĂŠlo

167

Chapitre 2 : Les relations et les fonctions

46

Rappel : Les modes de reprĂŠsentation

47

Section 2.1 : Les relations, les rĂŠciproques et les fonctions

50

Section 2.2 : Les propriĂŠtĂŠs des fonctions

57

Section 2.3 : Les fonctions polynomiales de degrĂŠ 0 ou 1

64

Section 2.4 : La fonction de variation inverse

71

Section 2.5 : La modĂŠlisation

78

MĂŠli-mĂŠlo

86

ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite

TABLE DES MATIĂˆRES

III

Chapitre 5 :

Chapitre 8 :

La manipulation algĂŠbrique

183

La probabilitĂŠ

Rappel : Les expressions algĂŠbriques

184

Rappel : Les expĂŠriences alĂŠatoires, les ĂŠvĂŠnements,

Section 5.1 : Les opĂŠrations sur les monĂ´mes

187

Section 5.2 : Les opĂŠrations sur les polynĂ´mes

194

Section 5.3 : Le dĂŠveloppement et la factorisation

201

MĂŠli-mĂŠlo

208

308

les expÊriences alÊatoires avec ou sans remise et avec ou sans ordre Section 8.1 : Les permutations, les arrangements et les combinaisons

frÊquentielle et la probabilitÊ d’un ou de plusieurs ÊvÊnements

224

313

Section 8.2 : La probabilitĂŠ thĂŠorique, la probabilitĂŠ

Chapitre 6 : Le volume des solides

309

321

Section 8.3 : Les variables alÊatoires discrètes, les variables alÊatoires continues

Rappel : Les unitĂŠs de longueur et les figures semblables

et la probabilitĂŠ gĂŠomĂŠtrique

329

225 MĂŠli-mĂŠlo

337

Section 6.1 : Les unitĂŠs de mesure pour les volumes

229

Section 6.2 : Le calcul de volumes

236

RĂŠinvestissement

351

Section 6.3 : Les solides semblables

243

RĂŠvision

385

MĂŠli-mĂŠlo

250

Outils

399

Index

407

Chapitre 7 : La statistique

265

Rappel : L’Êtude statistique et les diagrammes

266

Section 7.1 : Les mÊthodes d’Êchantillonnage et les sources de biais

270

Section 7.2 : L’histogramme, les mesures de tendance centrale et les mesures de dispersion

277

Section 7.3 : Les quartiles et le diagramme de quartiles

285

MĂŠli-mĂŠlo

293

IV

XX TABLE DES MATIĂˆRES

ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite

PrÊsentation du cahier Le cahier Point de mire mathÊmatique est divisÊ en huit chapitres. Tout au dÊbut du cahier, une rubrique Test diagnostique permet de vÊrifier les connaissances acquises des Êlèves. À la fin du cahier, on trouve une rubrique RÊinvestissement, une rubrique RÊvision, une rubrique Outils ainsi qu’un index pratique.

DATE

GROUPE NOM

Test

diagnostique NOM GROUPE

DATE

Questions Ă choix multiple Questions Ă rĂŠponse courte

, encercle la bonne rĂŠponse.

Test diagnostique Le Test diagnostique permet de vÊrifier l’acquisition des connaissances en mathÊmatique chez les Êlèves à leur arrivÊe en 3e secondaire.

Il comprend 6 pages comportant des questions Ă choix multiple et des questions Ă rĂŠponse courte.

Pour chacune des questions

sur l’addition ? itÊ de la multiplication

laquelle illustre la distributiv Parmi les ĂŠgalitĂŠs suivantes, 3 b) 3 2 4 4 2 4 a) 3 2 4 (3 2) 2 3 4 d) 3 (2 4) 3 4 3 2 c) 3 2 3 4 3

1

2

3

19

lequel est vrai ?

Parmi les ÊnoncÊs suivants, dÊnominateur est la plus r, celle qui a le plus grand qui ont le même numÊrateu a) De deux fractions obtient grande. d’une fraction, alors on r et au dÊnominateur nombre au numÊrateu b) Si on ajoute un même e. une fraction Êquivalent le dÊnominateur. sant le numÊrateur et d’une fraction en intervertis es ayant c) On obtient l’inverse r en fractions Êquivalent transforme les de fractions, il est nÊcessaire d) Pour multiplier deux le même dÊnominateur. un de ses côtÊs ? près, combien mesure 115 cm2. Au centième L’aire d’un carrÊ est de d) 28,75 cm c) 10,72 cm b) 11,5 cm a) 115 cm

20

5

6

3 5

b)

72 8

f)

a)

e)

7 9

c) 18 35

45 3

4 5 23 6 3

b) (3 7) (5 11)2 1

RĂŠponse :

Effectue chacun des calculs suivants. b) Les 4 de 35.

5

a) 15 % de 430.

22

4 : 5 60 : 75. faux concernant la proportion dĂŠtermine celui qui est Parmi les ĂŠnoncĂŠs suivants, les moyens. nombres 60 et 75 sont sont les extrĂŞmes et les a) Les nombres 4 et 5 5. sant les nombres 60 et intervertis en proportion b) On obtient une autre 75. sant les nombres 4 et proportion en intervertis c) On obtient une autre rs et en en additionnant les numĂŠrateu ĂŠquivalant aux deux autres d) On obtient un rapport teurs. additionnant les dĂŠnomina termes semblables ? des sont ent ce que lequel dĂŠcrit adĂŠquatem Parmi les ĂŠnoncĂŠs suivants, coefficients. mĂŞmes des variables affectĂŠes qui contiennent les mĂŞmes a) Ce sont des termes mĂŞmes exposants. variables affectĂŠes des qui contiennent les mĂŞmes b) Ce sont des termes mĂŞmes exposants. coefficients affectĂŠs des qui contiennent les mĂŞmes c) Ce sont des termes mĂŞmes variables. et qui contiennent les identique degrĂŠ de d) Ce sont des termes

c) Les 2 de 1233.

3

0,3

0,165

1,125

5,75

0,09

t

0,8

t

22,8

t

0,32

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

8 25

9 100

9 8

3 10

114 5

4 5

Complète les ÊnoncÊs suivants à l’aide 2 3

a)

24

e) Les 3 de 5 .

8 4

d) 0,54 % de 76.

Associe chaque nombre dÊcimal de la ligne supÊrieure à la fraction de la ligne infÊrieure qui lui correspond.

t

23

h) ( 3)2

suivantes.

RĂŠponse :

21

11 13

d)

3

2

g)

Effectue chacune des chaÎnes d’opÊrations a)

indique celui qui est faux.

Parmi les ÊnoncÊs suivants, est toujours positif. nombres de même signe a) Le produit de deux est toujours nÊgatif. nombres de signes opposÊs b) Le quotient de deux est toujours positive. nombres de même signe c) La somme de deux pair est toujours positif. affectÊ d’un exposant d) Un nombre nÊgatif

4

Effectue chacune des opĂŠrations suivantes.

4 6

b)

11 20

13 22

4 2

5 3 4 2

5 3

e)

33 45

c)

Effectue chacune des opĂŠrations suivantes. a)

b)

5 7

11 9

f)

5 7

11 9

23 4

33 200

du symbole qui convient ( , , ).

75 %

303 132

d) 2,45

e) 46 %

Écris ta rÊponse sous la forme d’une 31 16

10 5

c)

g)

2 1

3 2

0,5

fraction irrĂŠductible.

d)

7 3

4 6

h)

15 3

4 5

251Dans chaque cas, dĂŠtermine le terme manquant dans la proportion.

TEST DIAGNOSTIQUE D t Reproduction interdite

4

5

a)

ª -FT ²EJUJPOT $&$ JO

8

b)

e) 5 : 9

4

: 135

f)

5

11

16 4

99

c)

: 264 11 : 12

g) 30 : 100

8

3

d)

75 100

: 48 h) 17 :

34 : 70

TEST DIAGNOSTIQUE ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction

Les chapitres

DATE

GROUPE NOM

6.3

Chaque chapitre commence par un Rappel de 3 à 4 pages qui vise à rÊactiver les connaissances prÊalables à l’acquisition des concepts abordÊs dans le chapitre. On y trouve un encadrÊ thÊorique suivi de quelques exercices.

R

PPEL

Les solides semblables

rÊduction ou la reproduction si l’un est un agrandissement, une t Deux solides sont semblables à l’Êchelle produisent des solides homothÊties et les reproductions exacte de l’autre. Par exemple, les semblables. t Dans deux solides semblables : ; – les angles homologues sont isomÊtriques sont proportionnelles. – les mesures des arêtes homologues est appelÊ rapport homologues de deux solides semblables t Le rapport des mesures des arêtes suivante. de similitude et s’exprime de la façon mesure d’une arête du solide image

Rapport de similitude k mesure de l’arête homologue du solide initial

NOM

Chaque chapitre est divisÊ en quelques sections d’environ 7 pages chacune.

Au dÊbut de chaque section, un encadrÊ thÊorique explique les notions à l’Êtude.

Le plus souvent possible, des exemples illustrent les notions. Lorsque cela est pertinent, on prĂŠsente une dĂŠmarche en lien avec la notion expliquĂŠe.

interdite

GROUPE

DATE

Les unitĂŠs de longueur et les figures semblables

t Dans deux solides semblables : 2) ; carrÊ du rapport de similitude (k – le rapport des aires est Êgal au (k3). au cube du rapport de similitude – le rapport des volumes est Êgal

Exemple : Les prismes rectangulaires

A et A' sont semblables.

Solide image A'

Solide initial A

Les unitĂŠs de longueur

6 cm

t Il existe diverses unitÊs de longueur. Le tableau ci-dessous prÊsente les unitÊs de longueur du système international d’unitÊs (SI) dont le mètre est l’unitÊ de longueur de base.

Nom de l’unitÊ de longueur

18 cm 5 cm 4 cm

Exemple de contexte d’utilisation

Symbole

Millimètre

mm

15 cm

Épaisseur d’un ongle

Centimètre

cm

DÊcimètre

dm

Largeur d’un ordinateur

Mètre

m

Hauteur d’un rÊfrigÊrateur

12 cm

Largeur d’un doigt

aire totale du solide image t Rapport des aires aire totale du solide initial

DÊcamètre

dam

Largeur d’une autoroute

Hectomètre

hm

Hauteur d’un immeuble de 50 Êtages

Kilomètre

km

Largeur d’un lac

6

18 3

mesure d’une arête du solide image

t Rapport de similitude mesure de l’arête homologue du solide initial

6

2 2(12 15 12 18 15 18 ) 1332 9 3 148 2( 4 5 4 6 5 6 )

15 18 3240 27 33 volume du solide image 12 120 4 5 6 volume du solide initial

t Rapport des volumes

t Dans la reprÊsentation ci-dessous, chaque unitÊ de longueur a une valeur qui est 10 fois plus ÊlevÊe que la valeur de l’unitÊ placÊe immÊdiatement à sa droite et 10 fois plus petite que la valeur de l’unitÊ placÊe immÊdiatement à sa gauche.

10 km

10 hm

10

Exemples :

10 dam

10

10

10 m 10

10 dm

10 cm

10

mm

10

10 1) 714 mm 71,4 cm, car 1 mm 0,1 cm.

1000 2) 62 km 62 000 m, car 1 km 1000 m.

CHAPITRE 6

tion interdite

Les solides semblables

243

ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduc

Les figures semblables

6

t Deux figures sont semblables lorsque l’une est un agrandissement, une rĂŠduction ou la reproduction exacte de l’autre. t Le symbole ÂŤ âŹƒ Âť signifie ÂŤ est semblable Ă Âť.

Exemple : Si le triangle ABC est semblable au triangle DEF, on ĂŠcrit : 6 ABCÂ âŹƒÂ 6 DEF.

Des exercices et quelques problèmes permettent ensuite aux Êlèves de vÊrifier et de consolider leur comprÊhension des diffÊrentes notions fraÎchement acquises.

t Dans deux figures semblables : – les angles homologues sont isomÊtriques ; – les mesures des côtÊs homologues sont proportionnelles. t Le rapport des mesures des côtÊs homologues de deux figures semblables est appelÊ rapport de similitude et s’exprime de la façon suivante.

Rapport de similitude k

ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite

Chapitre

mesure d’un côtÊ de la figure image mesure du côtÊ homologue de la figure initiale

CHAPITRE 6

Rappel

Le volume des solides

225

Rappel

et les figures Les unitĂŠs de longueur 225 ....................................... semblables ........................................

Section 6.1 Les unitĂŠs de mesure

pour les volumes ..................

Section 6.2 Le calcul des volumes

Section 6.3

Les solides semblables

MĂŠli-mĂŠlo

ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite

229

.............. 236

........................................

............ 243

........................................

....................................

........................................

250

PRÉSENTATION DU CAHIER

V

NOM

GROUPE

1

Puis une rĂŠcapitulation en 14 Ă 16 pages, appelĂŠe MĂŠli-mĂŠlo, vient clore le chapitre.

Les 8 à 10 premières pages fournissent des exercices et des problèmes, tandis que les 6 dernières pages proposent, quant à elles, deux situations-problèmes et une situation de raisonnement.

De plus, les 4 derniers problèmes du MÊli-mÊlo permettent d’Êvaluer des composantes des compÊtences disciplinaires 1 et 2.

DATE

mĂŠl mĂŠ ĂŠlo lo

ĂŠli

1

Dans chaque cas, dĂŠtermine la ou les valeurs de b. a) 34 9b

b) 125 4 b12

RĂŠponse : b 2

RĂŠponse : b 5

1 6b 216 5

c)

d) 81b 316

tif t objec ns ce st da 27 km ble. C’e laire de s possi tube circu r le plu de  km/s la casse l en forme 0 000 rei il faut appa tière, t les 30 un lan ma tifiques la frô (LHC), pÊ esse x scien lyse ture de llider et au une vit Les ex la struc Hadron Co s l’ana s perm erse à rendre llision vÊ, plu rge ns inv comp en se ces co est Êle it le La t s de tru Pour len e ion ns cu lys llis ÊtÊ co ules cir utre. L’ana de co ce. qu’a partic mbre nfÊren ec l’a ets de s le no l’un av paqu de circo re. Plu e, deux en collision e la matiè C: r ce tub le LH t formÊ r entre Dans dans nce 2 ent es sent pa lisÊes ExpÊrie POUJFOU et finis rendre comm es rÊa VMFT D mp pÊrienc ex QBSUJD de co FU EF deux ilitÊe.

QBRV ts sur est fac BRVF emen $I ign t se FUT ules.

QBRV des ren partic nce 1 EFVY rie OU ?

Voici FT pĂŠ UJF Ex ond Ă F E PO rresp DPOUS VMFT D s F SFO ions co particule QBSUJD IBRV collis FU EF de t ÂŽ D re de QBRV mbre BRVF . le nomb 5 % du no

4 fois/s t $I 11 rticules.

FUT 10 4 % QBRV 10 8,9 10 pa quet.

EFVY OU Ă 10 un pa F EFT POUSF spond dans DPOUS SFOD NJO s corre un paquet.

F SFO VFUT TF BOU llision IBRV BR ns OE co Ž D T Q da QF t re de ules t -F isent DUJPOOF . produ le nomb re de partic $ GPO es 4 fois/s nc -) rie mb t -F 10 expÊ du no OU deux POUSF e les SFOD ur qu U I NOM 2 po VFUT TF OEBO T QBR ence OF QF t -F l’expÊri PODUJPO nte de -)$ G nqua t -F leur ma e la va llisions ? êtr it do de co Quelle mbre me no le mê

NOM

1

RĂŠponse : b 15 1

1

1

g) 729 3 b 2

f ) 64 3 b2

e) ĺ…šb 492

RĂŠponse : b 4

h)

1

1

2

RĂŠponse : b 494 ou b 5 764 801.

RĂŠponse : b 2 ou b 2.

i) b4 ĺ…š256

j) 5 b

RĂŠponse : b 2 ou b 2.

RĂŠponse : b 25

1 2

1

RĂŠponse : b 81

RĂŠponse : b 27

k) 11b 1216

l) bb 28

RĂŠponse : b 12

RĂŠponse : b 4

RÊcris chacune des expressions suivantes sous la forme d’une puissance de la base donnÊe.

11 3 a) 610 613

345 35 36

3 21 3 13

b)

6 6

c)

冢12

12 9 125

18

冣

es rienc

SP 30

3

3 ĺ…šb

1 2

E DAT UPE

GRO

GROUPE

DATE

culs

cal rche et

DĂŠma

RĂŠponse : 611

RĂŠponse : 342

4 7 78 d) 7 72 3

e)

RĂŠponse : 713

RĂŠponse : 517

(7 )

冢 55 冣 4

5

5

RĂŠponse : 122

冢 55 冣 2

4

f) ĺ…š(54)7 (512)3

5

RĂŠponse : 532 CHAPITRE 1

ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite

31

MĂŠli-mĂŠlo

1

e

rdit n inte

oductio t Repr

&$ JOD

JUJPOT $

-FT ²E

ÂŞ

CHAPIT

RE 1

MĂŠli-m

ĂŠlo

42

RĂŠponse

ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reprodu

ction interdite

RĂŠinvestissement

CHAPITRE 1

MĂŠli-mĂŠlo

43

NOM GROUPE

DATE

RÉINVESTISSEMENT 1

Après le dernier chapitre du cahier, on trouve une rubrique RÊinvestissement de 34 pages qui prÊsente des problèmes en contexte. Ces problèmes portent sur l’ensemble des notions couvertes dans le cahier et, bien souvent, dans plus d’un chapitre à la fois.

La vitesse de transmission de donnĂŠes sur Internet se mesure en octets par seconde (o/s).

Voici des renseignements sur la connexion Internet de deux personnes : Connexion de Louis t 7JUFTTF NBYJNBMF 105 o/s t 'PODUJPOOF FO NPZFOOF Ă‹ de sa vitesse maximale.

Connexion de GĂŠrald t 7JUFTTF NBYJNBMF LP T t 'PODUJPOOF FO NPZFOOF Ă‹ de sa vitesse maximale.

Louis et GĂŠrald tĂŠlĂŠchargent un fi lm sur Internet. La taille du fichier associĂŠ au film est de 1,35 Go pour Louis et de 110 Mo pour GĂŠrald.

Si Louis et GĂŠrald ont commencĂŠ le tĂŠlĂŠchargement au mĂŞme moment, lequel aura terminĂŠ en premier ?

RĂŠponse :

2

Une fonction f a les caractĂŠristique

s suivantes.

t -B GPODUJPO FTU DSPJTTBOUF TVS M JOUFSWBMMF > , > < > t -B GPODUJPO FTU E�DSPJTTBOUF TVS M JOUFSWBMMF < > t -FT [�SPT EF MB GPODUJPO TPOU FU FU MB WBMFVS JOJUJBMF FTU t -F NBYJNVN EF MB GPODUJPO FTU Après avoir reprÊsentÊ graphiquemen t une fonction qui a ces caractÊristiques, dÊtermine son domaine, son codomaine et son signe. y

1 0

1

x

DATE GROUPE

ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reprod

uction interdite

NOM

RĂŠvisio Questions Ă

iple valente Ă

longueurs

m 3,5 10 9

2 3

est ĂŠqui s, laquelle ci-dessou 108 m b) 3,5

35 nm ?

10 c) 3,5

9

10 d) 3,5

m

8

m

2 carrĂŠ ? un mètre d) 10 cm 2 y a-t-il dans res carrĂŠs c) 100 cm de centimèt 2 Combien la notation b) 1000 cm Ă lâ&#x20AC;&#x2122;aide de cm2 000 000 ĂŠcrit a) 10 000 nombre 145 spond au corre el s, lequ 107 ci-dessou d) 14,5 nombres 106 Parmi les c) 1,45 ?

8 scientifique 10

b) 1,45 3 10 6 10 ?

3,2 a) 145 bre nom 32 d) 0,000 spond au s, lequel corre ci-dessou c) 0,0032 nombres Parmi les b) 320 3 a) 3200 12 e cube ? d) 10 mm dans un mètr 9 mm3 cubes y a-t-il 10 ètres c) de millim 3 6 Combien b) 10 mm 3 3?

3 a) 10 mm de 43 cm est cl e 0,43 d) le volum enant dont dâ&#x20AC;&#x2122;un cont c) 43 cl la capacitĂŠ Quelle est b) 43 ml ?

3 a) 0,43 L de liquide enir 50 L d) 0,05 m peut cont 3 enant qui e dâ&#x20AC;&#x2122;un cont c) 0,5 m volum le 3 Quel est b) 5 m 3 l? a) 50 m irrationne d) un nombre est el s, lequ ci-dessou c) nombres Parmi les b) a) rationnel ? bre est-il ition un nom mal infini. ement dĂŠci Ă&#x20AC; quelle cond lopp entiers. ait un dĂŠve nombres ition quâ&#x20AC;&#x2122;il uit de deux a) Ă&#x20AC; la cond de au prod correspon ition quâ&#x20AC;&#x2122;il mal fini. ement dĂŠci b) Ă&#x20AC; la cond entiers. dĂŠvelopp nombres quâ&#x20AC;&#x2122;il ait un deux ition de cond ient c) Ă&#x20AC; la de au quot semblables, correspon solides sont ition quâ&#x20AC;&#x2122;il . Si les deux d) Ă&#x20AC; la cond solide A celles du le triple de e B sont d) 12 s du solid nsion ? dime aires Les leurs c) 9 rapport de quel est le 385 6 b) RĂ&#x2030;VISION a) 3

a)

351

choix mult

Parmi les

1

RĂ&#x2030;INVESTISSEMENT

n

RĂŠvision

4

5

6

7

8

9

Après la rubrique RĂŠinvestissement, une rubrique RĂŠvision de 14 pages permet aux ĂŠlèves de faire un survol de lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des notions vues au cours de la 1re annĂŠe du 2e cycle du secondaire. On y trouve des questions Ă choix multiple, des questions Ă rĂŠponse courte ainsi que des questions Ă dĂŠveloppement.

10

VI

roduction

$ JOD t Rep

²EJUJPOT $&

ÂŞ -FT

interdite

PRĂ&#x2030;SENTATION DU CAHIER

ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite

Outils Ă&#x20AC; la suite de la RĂŠvision sont proposĂŠs les Outils, des fiches utiles aux ĂŠlèves dans leur apprentissage des mathĂŠmatiques.

Outils Outil 1 Notations et symboles mathĂŠmatiques............................ 400

INDEX A abscisse Ă lâ&#x20AC;&#x2122;origine 57 addition 187, 194 agrandissement 225, 226, 243 aire 330 de figures 142, 404 de solides 142, 160, 161, 403 dâ&#x20AC;&#x2122;un cĂ´ne circulaire droit 160, 161, 403 dâ&#x20AC;&#x2122;un cylindre circulaire droit 161, 403 dâ&#x20AC;&#x2122;un disque 142, 404 dâ&#x20AC;&#x2122;un parallĂŠlogramme 404 dâ&#x20AC;&#x2122;un polygone rĂŠgulier 142, 404 dâ&#x20AC;&#x2122;un prisme droit 161, 403 dâ&#x20AC;&#x2122;un quadrilatère 142 dâ&#x20AC;&#x2122;un trapèze 142, 404 dâ&#x20AC;&#x2122;un triangle 142, 404 dâ&#x20AC;&#x2122;une base 160, 161, 236, 403 dâ&#x20AC;&#x2122;une boule 160, 161, 403 dâ&#x20AC;&#x2122;une pyramide droite 161, 403 latĂŠrale 160, 161, 403 totale 160, 161, 403 amplitude 277 angle homologue 225, 243 isomĂŠtrique 225, 243 apex 143, 160 apothème 160 arĂŞte 142, 147 homologue 243 arrangement 313, 314 axe 71, 147, 405 des abscisses 50, 57, 64 des ordonnĂŠes 50, 57, 64

B base 8, 143, 160, 161, 236 borne infĂŠrieure 277 supĂŠrieure 277 boule 160, 161, 236

C capacitĂŠ 230 caractère 266 qualitatif 266, 267 quantitatif continu 266 quantitatif discret 266, 267 cathète 153 centre 160 classe 277, 278 mĂŠdiane 278 modale 278 codomaine 57 coefficient 184 combinaison 314 comparaison 112 concentration 278 cĂ´ne circulaire droit 160, 161, 236 constance 57 coordonnĂŠe 57 Ă lâ&#x20AC;&#x2122;origine 57 corps rond 142 cĂ´tĂŠ homologue 225 courbe 47, 57, 71, 78 croissance 57 cylindre circulaire droit 143, 161, 236

Outil 2 Principaux ĂŠnoncĂŠs de gĂŠomĂŠtrie....................................... 402

D dĂŠcroissance 57 degrĂŠ dâ&#x20AC;&#x2122;un monĂ´me 184 description verbale 47 dĂŠveloppement 201 diagramme 267 Ă bandes 267 Ă ligne brisĂŠe 267 circulaire 267 de quartiles 285 dimension 147 dispersion 278, 285 disposition non ordonnĂŠe 314 ordonnĂŠe 313 disque 142, 143, 160 distribution 277, 278, 279, 285 division 187, 194 domaine 57 donnĂŠe 266, 267, 277, 278, 285 donnĂŠes condensĂŠes 277, 278 groupĂŠes en classes 277, 278 droite numĂŠrique 119 droites parallèles confondues 106 parallèles distinctes 106 sĂŠcantes 106

E ĂŠchantillon 266, 270 effectif 267, 277, 278 ĂŠgalitĂŠ 102, 112, 113 ĂŠlĂŠment 313, 314 ĂŠnoncĂŠ de gĂŠomĂŠtrie 402 ensemble de nombres 26, 400 ensemble-solution 119, 120 ĂŠquation 47, 102, 105 du 1er degrĂŠ Ă deux variables 105, 106, 112, 113 ĂŠquations ĂŠquivalentes 102 ĂŠtalement 278 ĂŠtendue 278, 279 interquartile 285 ĂŠtude statistique 266, 270 ĂŠvĂŠnement 309, 321 dĂŠpendant 310 ĂŠlĂŠmentaire 309 indĂŠpendant 310 intermĂŠdiaire 309, 310 expĂŠrience alĂŠatoire 309, 321, 329 Ă plusieurs ĂŠtapes 309, 310 avec ordre 310 avec remise 310 sans ordre 310 sans remise 310 exponentiation 8 exposant 8, 11 expression algĂŠbrique 184, 187, 194, 201 extremum 57

F face 142, 143, 146, 147 latĂŠrale 143 facteur 19, 201 factorisation 201

figure image 225, 226 initiale 225, 226 figures semblables 225, 226 fonction 50, 57, 64, 78 constante 57

Outil 3 Aire et volume ................................................................................. 403

Outil 4

croissante 57 de variation directe 65 de variation inverse 71, 79 de variation nulle 64 de variation partielle 65 dĂŠcroissante 57 nĂŠgative 57 polynomiale de degrĂŠ 0 64, 78 polynomiale de degrĂŠ 1 64, 65, 78 positive 57 strictement croissante 57 strictement dĂŠcroissante 57 forme dĂŠveloppĂŠe 201 factorisĂŠe 201 formule dâ&#x20AC;&#x2122;aire de figures planes 142, 404 dâ&#x20AC;&#x2122;aire de solides 161, 403 de volumes 236, 403

Constructions gĂŠomĂŠtriques .................................................. 405

G graphique 47, 64, 65, 71

H hasard 309 hauteur 147, 160, 161, 236 histogramme 278 hypotĂŠnuse 153

Index

I image 57 inĂŠgalitĂŠ 102 inĂŠquation 119, 120 du 1er degrĂŠ Ă une variable 119, 120 inĂŠquations ĂŠquivalentes 119 intervalle 57, 119, 277

Un index simple et facilitant le repĂŠrage des diffĂŠrents concepts ĂŠtudiĂŠs se trouve Ă la fin du cahier.

L ligne dâ&#x20AC;&#x2122;horizon 146, 147, 406 fuyante 406 litre 230 loi des exposants 11, 401

M maximum 57 mĂŠdiane 278, 279, 285 mesure de dispersion 278 de tendance centrale 278 mĂŠthode dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠchantillonnage 270 dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠchantillonnage alĂŠatoire simple 270 dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠchantillonnage par grappes 270 dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠchantillonnage stratifiĂŠ 270 dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠchantillonnage systĂŠmatique 270 de comparaison 112 mètre 225 cube 229 minimum 57

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INDEX

407

Pictogrammes SP La situation-problème (SP) permet de vÊrifier le dÊveloppement de la compÊtence disciplinaire 1 (CD 1).

SR La situation de raisonnement (SR) permet de vĂŠrifier le dĂŠveloppement de la compĂŠtence disciplinaire 2 (CD 2).

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PRĂ&#x2030;SENTATION DU CAHIER

VII

NOM

GROUPE

Test

DATE

diagnostique

Questions Ă choix multiple Pour chacune des questions, encercle la bonne rĂŠponse.

1

2

Parmi les ĂŠgalitĂŠs suivantes, laquelle illustre la distributivitĂŠ de la multiplication sur lâ&#x20AC;&#x2122;addition ? a) 3 2 4 (3 2) 4

b) 3 2 4 4 2 3

c) 3 2 3 4 3 4 3 2

d) 3 (2 4) 3 2 3 4

Parmi les ĂŠnoncĂŠs suivants, lequel est vrai ? a) De deux fractions qui ont le mĂŞme numĂŠrateur, celle qui a le plus grand dĂŠnominateur est la plus grande. b) Si on ajoute un mĂŞme nombre au numĂŠrateur et au dĂŠnominateur dâ&#x20AC;&#x2122;une fraction, alors on obtient une fraction ĂŠquivalente. c) On obtient lâ&#x20AC;&#x2122;inverse dâ&#x20AC;&#x2122;une fraction en intervertissant le numĂŠrateur et le dĂŠnominateur. d) Pour multiplier deux fractions, il est nĂŠcessaire de les transformer en fractions ĂŠquivalentes ayant le mĂŞme dĂŠnominateur.

3

Lâ&#x20AC;&#x2122;aire dâ&#x20AC;&#x2122;un carrĂŠ est de 115 cm2. Au centième près, combien mesure un de ses cĂ´tĂŠs ? a) 115 cm

4

b) 11,5 cm

c) 10,72 cm

d) 28,75 cm

Parmi les ĂŠnoncĂŠs suivants, indique celui qui est faux. a) Le produit de deux nombres de mĂŞme signe est toujours positif. b) Le quotient de deux nombres de signes opposĂŠs est toujours nĂŠgatif. c) La somme de deux nombres de mĂŞme signe est toujours positive. d) Un nombre nĂŠgatif affectĂŠ dâ&#x20AC;&#x2122;un exposant pair est toujours positif.

5

Parmi les ĂŠnoncĂŠs suivants, dĂŠtermine celui qui est faux concernant la proportion 4 : 5 60 : 75. a) Les nombres 4 et 5 sont les extrĂŞmes et les nombres 60 et 75 sont les moyens. b) On obtient une autre proportion en intervertissant les nombres 60 et 5. c) On obtient une autre proportion en intervertissant les nombres 4 et 75. d) On obtient un rapport ĂŠquivalant aux deux autres en additionnant les numĂŠrateurs et en additionnant les dĂŠnominateurs.

6

Parmi les ĂŠnoncĂŠs suivants, lequel dĂŠcrit adĂŠquatement ce que sont des termes semblables ? a) Ce sont des termes qui contiennent les mĂŞmes variables affectĂŠes des mĂŞmes coefficients. b) Ce sont des termes qui contiennent les mĂŞmes variables affectĂŠes des mĂŞmes exposants. c) Ce sont des termes qui contiennent les mĂŞmes coefficients affectĂŠs des mĂŞmes exposants. d) Ce sont des termes de degrĂŠ identique et qui contiennent les mĂŞmes variables.

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TEST DIAGNOSTIQUE

1

NOM

7

GROUPE

Parmi les graphiques suivants, lequel peut ĂŞtre associĂŠ Ă une situation de proportionnalitĂŠ ? a)

b)

c)

d)

y

y

y

y

0

8

DATE

0

x

x

0

x

0

x

Parmi les ĂŠnoncĂŠs suivants, lequel dĂŠcrit correctement une situation de proportionnalitĂŠ inverse ? a) Lorsquâ&#x20AC;&#x2122;une des quantitĂŠs augmente de deux unitĂŠs, lâ&#x20AC;&#x2122;autre quantitĂŠ augmente ĂŠgalement de deux unitĂŠs. b) Lorsquâ&#x20AC;&#x2122;une des quantitĂŠs augmente de deux unitĂŠs, lâ&#x20AC;&#x2122;autre quantitĂŠ diminue de deux unitĂŠs. c) Lorsquâ&#x20AC;&#x2122;une des quantitĂŠs double, lâ&#x20AC;&#x2122;autre quantitĂŠ double ĂŠgalement. d) Lorsquâ&#x20AC;&#x2122;une des quantitĂŠs double, lâ&#x20AC;&#x2122;autre quantitĂŠ diminue de moitiĂŠ.

9

10

11

Parmi les ĂŠnoncĂŠs suivants, indique celui qui est faux concernant lâ&#x20AC;&#x2122;expression algĂŠbrique 4x 2 7y 3. a) Lâ&#x20AC;&#x2122;expression contient deux termes.

b) Les nombres 4 et 7 sont des coefficients.

c) Le degrĂŠ du monĂ´me 7y3 est 7.

d) Lâ&#x20AC;&#x2122;expression ne contient aucun terme constant.

Parmi les ĂŠnoncĂŠs ci-dessous, lequel est une ĂŠquation ? a) 3 2 4 11

b) 3x 2y 2 z

c) 3x 4 17

d) (( 2 )3 3 15)2 7 2

Parmi les expressions algĂŠbriques suivantes, laquelle est un polynĂ´me ? a)

12

b) x 1

3xy

c)

7ab2c5de9

d) x8

Quel est le degrĂŠ du terme : a) 5xyz 4 ?

1)

1

2)

4

3)

5

4)

6

2)

3

3)

4

4)

7

b) 7a1b 3 ?

1)

13

1

Parmi les ÊnoncÊs suivants, dÊtermine celui qui est vrai. a) Deux polygones ayant tous leurs côtÊs homologues isomÊtriques sont nÊcessairement isomÊtriques. b) Deux polygones ayant tous leurs angles homologues isomÊtriques sont nÊcessairement semblables. c) Deux polygones sont semblables si leurs angles homologues sont isomÊtriques et les mesures de leurs côtÊs homologues sont proportionnelles. d) Tous les losanges sont nÊcessairement semblables.

2

TEST DIAGNOSTIQUE

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NOM

14

GROUPE

Dans le triangle ABC illustrĂŠ ci-contre, quel segment constitue :

DATE

B

J

a) une hauteur ?

C

1)

BI

2)

BH

3)

AJ

4)

AB

H I

b) une mĂŠdiane ?

A

1)

BI

2)

BH

3)

AJ

4)

AB E

15

Dans le polygone rÊgulier illustrÊ ci-contre, quel segment constitue un apothème ? a) DG

b) JK

c) OI

d) OL

F

J O

D

K I

16

a) Si 132 personnes ont rĂŠpondu quâ&#x20AC;&#x2122;elles prĂŠfĂŠraient lâ&#x20AC;&#x2122;automne, quelle est la taille de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠchantillon ?

360

2)

1056

3)

H

L

RĂŠsultats

Lors dâ&#x20AC;&#x2122;un sondage, on a demandĂŠ Ă un ĂŠchantillon de personnes quelle ĂŠtait leur saison prĂŠfĂŠrĂŠe. Le diagramme circulaire ci-contre illustre les rĂŠsultats obtenus.

1)

G

40°

1188

b) De quel type est le caractère ÊtudiÊ ?

17

1)

Quantitatif continu.

2)

Qualitatif.

3)

Quantitatif discret.

LĂŠgende: Automne Hiver

Printemps Ă&#x2030;tĂŠ

Parmi les ĂŠnoncĂŠs suivants, lequel dĂŠcrit adĂŠquatement un recensement ? a) Pour connaĂŽtre les prĂŠfĂŠrences alimentaires des ĂŠlèves dâ&#x20AC;&#x2122;une polyvalente, on interroge un groupe de chaque niveau. b) Pour connaĂŽtre les intentions de vote des ĂŠlecteurs, on interroge 5000 personnes choisies au hasard dans le bottin. c) Pour connaĂŽtre le moment le plus propice pour effectuer des travaux dans une rue, on interroge tous les habitants de cette rue. d) Pour ĂŠvaluer le degrĂŠ de satisfaction de la clientèle dâ&#x20AC;&#x2122;un restaurant, on interroge un client ou une cliente sur trois.

18

Une expĂŠrience alĂŠatoire consiste Ă tirer successivement et sans remise deux billes dâ&#x20AC;&#x2122;une boĂŽte contenant 4 billes rouges (R), 5 billes bleues (B) et 3 billes vertes (V).

Quelle est la probabilitĂŠ dâ&#x20AC;&#x2122;obtenir :

a) 2 billes de la mĂŞme couleur ?

1)

1 3

2)

1 6

3)

25 66

4)

19 66

5 33

4)

10 33

b) 1 bille rouge suivie dâ&#x20AC;&#x2122;une bille bleue ?

1)

1 3

2)

1 6

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3)

TEST DIAGNOSTIQUE

3

NOM

GROUPE

DATE

Questions Ă rĂŠponse courte

19

20

Effectue chacune des opĂŠrations suivantes.

7 9

c) 18 35

72 8

f)

45 3

g)

e)

b)

3 5

a)

4 5 23 6 3

RĂŠponse :

Effectue chacun des calculs suivants.

4

a) 15 % de 430.

23

3

d) 0,54 % de 76.

5

e) Les 8 de 4 .

0,165

1,125

5,75

0,09

0,8

22,8

0,32

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

9 8

3 10

114 5

4 5

23 4

33 200

8 25

9 100

Complète les ĂŠnoncĂŠs suivants Ă lâ&#x20AC;&#x2122;aide du symbole qui convient ( , , ).

4 6

11

13 22

b) 20

33

c) 45

75 %

d) 2,45

303 132

e) 46 %

0,5

Effectue chacune des opĂŠrations suivantes. Ă&#x2030;cris ta rĂŠponse sous la forme dâ&#x20AC;&#x2122;une fraction irrĂŠductible.

4

2

b) 11 9

4

2

f) 11 9

a) 5 3 e) 5 3

5

7

5

7

c)

31 16 5 10

2

1

3

7

d) 4 6 15

g) 3 2

3

h) 4 5

Dans chaque cas, dĂŠtermine le terme manquant dans la proportion.

4

a) 5 e) 5 : 9

4

c) Les 3 de 1233.

0,3

2

25

2

b) Les 5 de 35.

Associe chaque nombre dÊcimal de la ligne supÊrieure à la fraction de la ligne infÊrieure qui lui correspond.

a) 3

24

h) ( 3)2

2

b) (3 7) (5 11)2 1

RĂŠponse :

22

3

11 13

Effectue chacune des chaĂŽnes dâ&#x20AC;&#x2122;opĂŠrations suivantes. a)

21

d)

5

8

: 135

TEST DIAGNOSTIQUE

b) 11

99

f)

: 264 11 : 12

c)

16

8

4

g) 30 : 100

d)

3

: 48 h) 17 :

75

100 34 : 70

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Chapitre Les équations et les inéquations Rappel Les équations et les inégalités .............................................. 102

Section 3.1 Les systèmes d’équations et leur résolution ................. 105

Section 3.2 La résolution algébrique de systèmes d’équations ..... 112

Section 3.3 La résolution d’inéquations .......................................................... 119

Méli-mélo

.................................................................................... 126

NOM

GROUPE

R

PPEL

DATE

Les ĂŠquations et les inĂŠgalitĂŠs

Les ĂŠquations Une ĂŠquation est une relation mathĂŠmatique qui fait intervenir le symbole dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠgalitĂŠ et au moins une variable.

1) 3x 4 13

Exemples :

2) 6 2a 3b 7

3) y 4x 11

Les règles de transformation des ĂŠquations t Les règles de transformation des ĂŠquations permettent dâ&#x20AC;&#x2122;obtenir des ĂŠquations ĂŠquivalentes, câ&#x20AC;&#x2122;est-Ă -dire des ĂŠquations qui ont la ou les mĂŞmes solutions. t On conserve la ou les solutions dâ&#x20AC;&#x2122;une ĂŠquation :

3

Exemples dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations ĂŠquivalentes 1) 3x 2 4

â&#x20AC;&#x201C; en additionnant ou en soustrayant le mĂŞme nombre aux deux membres de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation ;

3x 4 10 2) 4x 9 3

4x 2 4 â&#x20AC;&#x201C; en multipliant ou en divisant les deux membres de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation par un mĂŞme nombre diffĂŠrent de 0.

3) 5 7x 8

10 14x 16 4) 10x 15 30

2x 3 6

3x 2 6 4 6 4x 9 7 3 7 2 (5 7x) 2 8 (10x 15) 5 30 5

La rĂŠsolution dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations t RĂŠsoudre une ĂŠquation Ă une variable, câ&#x20AC;&#x2122;est dĂŠterminer la ou les valeurs de la variable qui vĂŠrifient lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation. t Il est possible de rĂŠsoudre une ĂŠquation Ă une variable en utilisant les règles de transformation des Êquations afin dâ&#x20AC;&#x2122;obtenir une ĂŠquation ĂŠquivalente dans laquelle la variable est isolĂŠe.

Exemple : On veut rĂŠsoudre lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation 4x 3 6x 2.

4x 3 6x 6x 2 6x

2x 3 3 2 3

2x 5 2 2

x 2,5

On retranche 6x de chaque membre de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation.

On ajoute 3 Ă chaque membre de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation.

On divise par 2 chaque membre de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation.

La solution de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation est 2,5.

Les inĂŠgalitĂŠs Une inĂŠgalitĂŠ est une relation mathĂŠmatique qui fait intervenir un symbole dâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠgalitĂŠ ( , , , ) et qui permet de comparer les valeurs de deux expressions numĂŠriques.

102

Symbole

Signification

Exemple

ÂŤ est infĂŠrieur Ă Âť ou ÂŤ est plus petit que Âť

3 7

ÂŤ est supĂŠrieur Ă Âť ou ÂŤ est plus grand que Âť

42 4 2

ÂŤ est infĂŠrieur ou ĂŠgal Ă Âť ou ÂŤ est plus petit ou ĂŠgal Ă Âť

ÂŤ est supĂŠrieur ou ĂŠgal Ă Âť ou ÂŤ est plus grand ou ĂŠgal Ă Âť

CHAPITRE 3

Rappel

5 3 2 4

13 6 2 20

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NOM

1

GROUPE

Associe chacune des ĂŠquations de la colonne de gauche Ă lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation de la colonne de droite qui lui est ĂŠquivalente.

4x 6 8x 4

t

t

2x 3 36x 18

2x 8x 7

t

t

2x 3 8x 4

2x 3 12x 6 3

t

t

2x 3 8x 4

2x 3 6 12x

t

t

2x 3 4x 2

t

t

2x 3 12x 6

3 6x 4

2

DATE

RĂŠsous chacune des ĂŠquations suivantes. a) 2a 4 15

b) 3x 5 5x 7

c)

RĂŠponse :

RĂŠponse :

RĂŠponse :

d) 2(y 6) 8y

e)

RĂŠponse :

RĂŠponse :

g) 3(t 2) 4( 2t 1)

h) 2 4 3 2 6

i)

RĂŠponse :

RĂŠponse :

RĂŠponse :

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14w 11w 5 2 2 5

(3p

2b 6 3b 9

3

f) 4(x 3) 3(3x 6) 17

RĂŠponse : 1

)

p

5

(g

) 3 (2g

2 5 1 5 3 10

CHAPITRE 3

)

Rappel

103

NOM

3

4

GROUPE

DATE

DĂŠtermine si chacune des inĂŠgalitĂŠs ci-dessous est vraie ou fausse.

4( 3 6) 6( 4 3)

b) (4,6 2,7)2 4,62 2,72

2(3 4) 6 3( 2 11)

d) 4(52 2) 35 1,5

4(4,1 3) (7 13)2

7 6

f) 5(4 7) 7( 8 23)

a)

c) e)

3

2

Voici une ĂŠgalitĂŠ : 4(5 7) 50 2 On apporte des modifications aux deux membres de cette ĂŠgalitĂŠ. Dans chaque cas : 1) dĂŠtermine si lâ&#x20AC;&#x2122;expression rĂŠsultante est une ĂŠgalitĂŠ ou une inĂŠgalitĂŠ ; 2) si lâ&#x20AC;&#x2122;expression rĂŠsultante est une inĂŠgalitĂŠ, ĂŠcris le symbole dâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠgalitĂŠ appropriĂŠ ( ou ).

3

5

a) On ajoute 3 au membre de gauche et on ajoute 3 au membre de droite.

b) On ajoute 5 au membre de gauche et on ajoute 3 au membre de droite.

1)

1)

2)

2)

c) On divise le membre de gauche par 2 et on multiplie le membre de droite par 3.

d) On retranche 5 du membre de gauche et on retranche 5 du membre de droite.

1)

1)

2)

2)

e) On multiplie le membre de gauche par 2 et on multiplie le membre de droite par 2.

f) On divise le membre de gauche par 7 1 et on multiplie le membre de droite par 7 .

1)

1)

2)

2)

La somme de 3 multiples de 8 consĂŠcutifs ĂŠquivaut au double du dernier de ces multiples.

DĂŠtermine quels sont ces 3 nombres.

RĂŠponse :

104

CHAPITRE 3

Rappel

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NOM

GROUPE

3.1

DATE

Les systèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations et leur rĂŠsolution

Les systèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations Un système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations est un ensemble dâ&#x20AC;&#x2122;au moins deux ĂŠquations.

Exemple : Voici un système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations du 1er degrĂŠ Ă deux variables : y 3x 4 y 5x 2

La rĂŠsolution dâ&#x20AC;&#x2122;un système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations t RĂŠsoudre un système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations du 1er degrĂŠ Ă deux variables revient Ă trouver, sâ&#x20AC;&#x2122;ils existent, le ou les couples de nombres qui vĂŠrifient simultanĂŠment les ĂŠquations du système.

3

Exemple : Soit le système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations : y 4x 6 y 2x 2

t -F DPVQMF O FTU QBT MB TPMVUJPO DBS JM WĂ?SJĂ˝ F VOJRVFNFOU MB QSFNJĂ&#x2019;SF Ă?RVBUJPO du système.

t -F DPVQMF (4, 10) est la solution, car il vÊrifie simultanÊment les 2 Êquations du système. En effet : 10 4 4 6 10 16 6 10 10

et

10 2 4 2 10 8 2 10 10

t Il existe diffĂŠrentes mĂŠthodes qui permettent de rĂŠsoudre un système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations du 1er degrĂŠ Ă Â deux variables. Par exemple : 1. La reprĂŠsentation graphique Puisque la reprĂŠsentation graphique dâ&#x20AC;&#x2122;un système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations du 1er degrĂŠ Ă deux variables correspond Ă deux droites, la solution du système correspond aux coordonnĂŠes du point dâ&#x20AC;&#x2122;intersection de ces deux droites.

Exemple : y x 4 y 2x 1

y y 2x 1

y x 4

Point dâ&#x20AC;&#x2122;intersection

1 0

x

1

Cette mĂŠthode ne donne souvent quâ&#x20AC;&#x2122;une approximation de la solution.

2. La table de valeurs Après avoir construit la table de valeurs associĂŠe Ă un système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations, il est possible de rĂŠsoudre ce système en cherchant la valeur de la variable indĂŠpendante pour laquelle les valeurs de la variable dĂŠpendante sont identiques.

Dans certains cas, il est nĂŠcessaire de diminuer le pas de variation de la variable indĂŠpendante pour trouver la solution.

Cette mĂŠthode ne donne souvent quâ&#x20AC;&#x2122;une approximation de la solution.

La solution est (1, 3).

Exemple : y 3x 2 y 4x 4

x

y

y

1 5 8

0

1

2

3

1

4

7

0

4

8

2 4

La solution est (2, 4).

3. La mĂŠthode algĂŠbrique (Voir la section 3.2.)

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CHAPITRE 3

Les systèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations et leur rĂŠsolution

105

NOM

GROUPE

DATE

Le nombre de solutions dâ&#x20AC;&#x2122;un système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations Il est possible de dĂŠterminer graphiquement le nombre de solutions possibles dâ&#x20AC;&#x2122;un système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations du 1er degrĂŠ Ă deux variables Ă partir de la position relative des droites.

Nombre de solutions

Exemple

Position relative des deux droites y y 2x 3

y 2x 1

Aucune solution

Droites parallèles distinctes

1 0

x

1

y

3

y 3x 1

Une solution

Droites sĂŠcantes y x 5 1 0

x

1

y

y = 2x 1

Une infinitĂŠ de solutions

y = 2(x 0,5)

Droites parallèles confondues

1 0

1

1

x

Voici plusieurs systèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations : 1 y 5x 5 y x 2

2 y 2x 7 y x 4

3 y x 4 y x 2

4 y 3x 6 y 3x 7

5 y 4x 13 y 3x 8

6 y 2x 5 y 0,5x 2

a) Parmi ces systèmes, lesquels ont le couple (3, 1) pour solution ?

RĂŠponse : b) Explique pourquoi le couple ( 2, 0) nâ&#x20AC;&#x2122;est pas la solution du système 4 .

106

CHAPITRE 3

Les systèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations et leur rĂŠsolution

ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite

NOM

2

GROUPE

DATE

Dans chaque cas : 1) reprĂŠsente graphiquement le système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations ; 2) dĂŠtermine la solution de ce système.

a) y 1,5x y 4x

b) y x 4 y 2x 5 y

1)

1 0 1

c) y 0,5x 1,5 y 3x 6

y

1)

1 0 1

x

y

1)

1 0 1

x

3

2)

2)

2)

d) y 3x 3 y x 5

e) y 3x 13 y x 1

f) y x 5 3 3

1)

y

1)

x

5

y 2 2

y

y

1)

1 0 1

x

1

1 0

1

x

0

x

1

2)

2)

2)

g) y 3x 240 y x 40

h) y 0,25x 20 y 4x 190

i) y 6x 10 y 2x 50

1)

x

y

1)

y

1)

10 0 10

x

10 0 10

y

10 x

2)

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0 10 2)

x

2)

CHAPITRE 3

Les systèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations et leur rĂŠsolution

107

NOM

3

GROUPE

Ă&#x20AC; lâ&#x20AC;&#x2122;aide dâ&#x20AC;&#x2122;une table de valeurs, dĂŠtermine la solution de chacun des systèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations ci-dessous. a) y 2x 6 y 4x 8 x

9

b) y 3x 9 y 6x 18

8

7

6

5

4

y

y

y

y

x

0

3

2

0

1

1

2

RĂŠponse :

c) y 5x 30 y 25x 60

3

x

RĂŠponse :

d) y 60x 10 y 50x 20 1

2

3

4

x

5

y

y

y

y

RĂŠponse :

4

DATE

5

4

3

2

1

0

RĂŠponse :

Le produit intĂŠrieur brut (PIB) dâ&#x20AC;&#x2122;un pays est de 21 G$ et augmente annuellement de 0,5 G$. Le PIB dâ&#x20AC;&#x2122;un autre pays est de 15 G$ et augmente annuellement de 0,65 G$. a) Parmi les systèmes ci-dessous, lequel peut ĂŞtre associĂŠ Ă cette situation si x reprĂŠsente le temps (en annĂŠes) et y, le PIB (en G$) ?

1 y 21x 0,5 y 15x 0,65

2 y 15x 0,5 y 21x 0,65

3 y 0,5x 21 y 0,65x 15

4 y 0,5x 15 y 0,65x 21

b) Parmi les graphiques ci-dessous, lequel reprĂŠsente adĂŠquatement cette situation ?

1

PIB (G$)

PIB (G$)

2

6 0

3

6 6

PIB (G$)

4

6 0

108

CHAPITRE 3

0

Temps (annĂŠes)

Temps (annĂŠes)

6

PIB (G$)

6 6

Temps (annĂŠes)

Les systèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations et leur rĂŠsolution

0

6

Temps (annĂŠes)

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NOM

5

GROUPE

DATE

Pour chacune des situations suivantes : 1) identifie les variables qui sont utilisĂŠes ; 2) construis le système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations appropriĂŠ ; 3) reprĂŠsente graphiquement ce système ; 4) dĂŠtermine la solution. Si celle-ci nâ&#x20AC;&#x2122;est pas exacte, estime-la au dixième près.

a) Il en coĂťte 10 $ pour sâ&#x20AC;&#x2122;abonner Ă un club vidĂŠo A . La location dâ&#x20AC;&#x2122;un film coĂťte ensuite 3 $.

Lâ&#x20AC;&#x2122;abonnement Ă un club vidĂŠo B est gratuit. Cependant, la location dâ&#x20AC;&#x2122;un film coĂťte 4 $.

Pour combien de locations les deux clubs vidÊo offrent-ils un prix Êquivalent ?

1)

3)

2)

3 4)

RĂŠponse : b) Un guĂŠpard A se lance Ă la poursuite dâ&#x20AC;&#x2122;une gazelle B . Celle-ci court Ă une vitesse de 21 m/s, tandis que le guĂŠpard A court Ă une vitesse de 25 m/s. La gazelle B a 200 m dâ&#x20AC;&#x2122;avance sur le guĂŠpard A . Combien de temps après le dĂŠbut de la poursuite le guĂŠpard aura-t-il rattrapĂŠ la gazelle ?

1)

3)

2)

4)

RĂŠponse : c) Un rĂŠservoir A qui contient 75 kl dâ&#x20AC;&#x2122;eau se vide dans un rĂŠservoir B initialement vide au rythme de 2 kl/min. Ă&#x20AC; quel moment les deux rĂŠservoirs contiendront-ils la mĂŞme quantitĂŠ dâ&#x20AC;&#x2122;eau ?

1)

3)

2)

4)

RÊponse : ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite

CHAPITRE 3

Les systèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations et leur rĂŠsolution

109

NOM

6

GROUPE

DATE

Parmi les graphiques dĂŠcrits ci-dessous, lequel peut ĂŞtre associĂŠ Ă un système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations qui nâ&#x20AC;&#x2122;a aucune solution ? a) Le graphique reprĂŠsente deux droites qui se croisent au point de coordonnĂŠes (0, 0). b) Le graphique reprĂŠsente deux droites perpendiculaires. c) Le graphique reprĂŠsente deux droites parallèles non confondues. d) Le graphique reprĂŠsente deux droites parallèles confondues.

7

La population initiale dâ&#x20AC;&#x2122;une rĂŠgion donnĂŠe est de 1 500 000 habitants. Annuellement, environ 3000 habitants quittent cette rĂŠgion pour se rendre dans une rĂŠgion voisine comptant initialement 1 000 000 de personnes. Si la tendance se maintient, après combien de temps les deux rĂŠgions auront-elles la mĂŞme population ? Au besoin, cherche un nombre au dixième près.

3

RĂŠponse :

110

CHAPITRE 3

Les systèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations et leur rĂŠsolution

ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite

NOM

8

GROUPE

DATE

Le 1er janvier 2012, une maison situĂŠe Ă Joliville se vendait 175 000 $. Sa valeur augmente de façon continue au rythme de 2000 $ par annĂŠe. Au mĂŞme moment, une maison identique situĂŠe Ă Belleville se vendait 150 000 $ et sa valeur augmente de 4000 $ par annĂŠe. Ă&#x20AC; quelle date les deux maisons auront-elles la mĂŞme valeur ?

3

RĂŠponse :

9

Jean-Marc est vendeur dans un magasin dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠlectronique. Son salaire hebdomadaire lui sera versĂŠ selon lâ&#x20AC;&#x2122;option quâ&#x20AC;&#x2122;il choisira parmi les deux options suivantes.

Option 1 Salaire de base de 150 $ augmentĂŠ de 10 % des ventes effectuĂŠes.

Option 2 Salaire de base de 200 $ augmentĂŠ de 8 % des ventes effectuĂŠes.

Quelle option est la plus avantageuse ? Explique ta rĂŠponse.

RĂŠponse :

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CHAPITRE 3

Les systèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations et leur rĂŠsolution

111

NOM

GROUPE

3.2

DATE

La rĂŠsolution algĂŠbrique de systèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations

La mĂŠthode de comparaison t La mĂŠthode de comparaison permet de rĂŠsoudre algĂŠbriquement des systèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations du 1er degrĂŠ Ă deux variables qui se ramènent Ă la forme : y1 a1x b1 y2 a2x b2 en comparant les expressions associĂŠes aux variables dĂŠpendantes. t Cette mĂŠthode permet de trouver la solution exacte dâ&#x20AC;&#x2122;un système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations.

Exemples : Pour rĂŠsoudre un système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations du 1er degrĂŠ Ă deux variables, tu peux utiliser la dĂŠmarche suivante.

3

Exemple : RĂŠsous, Ă lâ&#x20AC;&#x2122;aide de la mĂŠthode de comparaison, le système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations suivant.

1)

DĂŠmarche

y1 4x 8 y2 x 2

1. Forme une ĂŠquation avec les deux expressions associĂŠes aux variables dĂŠpendantes.

On cherche la valeur de x pour laquelle y1 y2 .

2. RĂŠsous lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation obtenue.

4x 8 x 2 5x 10 x 2

3. Remplace la valeur de x obtenue dans une des ĂŠquations de dĂŠpart afin de dĂŠterminer la valeur correspondante de y.

y1 4 2 8 y1 0

4. Valide la solution en substituant 2 Ă x et 0 Ă y dans une des deux ĂŠquations.

0 4 2 8 0 0

4x 8 x 2

La solution est donc ( 2, 0).

0 ( 2) 2 0 0

Puisque ces ĂŠgalitĂŠs sont vraies, la solution est valide.

2) Un bateau A quitte le port et se dĂŠplace Ă une vitesse de 20 km/h. Il tente de rejoindre

un bateau B distant de 5 km et qui se dÊplace à une vitesse de 15 km/h. On cherche combien de temps après son dÊpart le bateau A rattrapera le bateau B et à quelle distance du port les deux bateaux seront situÊs.

Le système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations est :

d A 20t , d B 15t 5

oĂš d reprĂŠsente la distance (en km) parcourue par chaque bateau et t, le temps (en h) ĂŠcoulĂŠ depuis le dĂŠpart du bateau A . dA dB 20t 15t 5 5t 5 t 1h

En substituant 1 Ă t dans lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation d A 20t, on obtient : d A 20 1 20 km

Après 1 h, le bateau A rattrapera le bateau B . Les deux bateaux seront alors situÊs à 20 km du port.

112

CHAPITRE 3

La rĂŠsolution algĂŠbrique de systèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations

ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite

NOM

GROUPE

DATE

Le nombre de solutions dâ&#x20AC;&#x2122;un système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations Lors de la rĂŠsolution algĂŠbrique dâ&#x20AC;&#x2122;un système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations du 1er degrĂŠ Ă deux variables, on peut dĂŠterminer le nombre de solutions possibles du système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations : t en observant le taux de variation a et la valeur initiale b de la forme y ax b, oĂš a 0, des ĂŠquations du système ; t en observant la forme rĂŠduite de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation obtenue.

Nombre de solutions

y1 a1x b1 y2 a2x b2 (a 1 0 et a 2 0)

Exemples Système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations

Forme rĂŠduite de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation obtenue

a1 a2 et Aucune solution

b1 b2

y1 4x 3

Les taux de variation sont ĂŠgaux, mais les valeurs initiales sont diffĂŠrentes.

y2 4x 7

a1 a2 Une solution

Les taux de variation sont diffĂŠrents.

y1 x 1

y1 y2 4x 3 4x 7 0x 4

Aucun nombre rÊel ne rend cette ÊgalitÊ vraie.

3

y1 y2 x 1 3x 4x 1

y2 3x

x

1 4

1

Seule la valeur 4 rend cette ÊgalitÊ vraie. a1 a2 et Une infinitÊ de solutions

b1 b2

y1 3x 3

Les taux de variation sont ĂŠgaux et les valeurs initiales sont ĂŠgales.

y2 3(x 1)

y1 3x 3 3x 3 0x

y2 3(x 1) 3x 3 0

Tous les nombres rÊels rendent cette ÊgalitÊ vraie.

La validation Pour valider la solution dâ&#x20AC;&#x2122;un système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations, tu peux utiliser la dĂŠmarche suivante.

Exemple : Valide la solution (1, 4) du système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations suivant.

DĂŠmarche

y1 x 5 y2 3x 1

1. Remplace chacune des variables de la première ĂŠquation par le couple de points qui reprĂŠsente la solution. VĂŠrifie lâ&#x20AC;&#x2122;exactitude de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠgalitĂŠ.

y1 x 5 4 1 5 4 4 Lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠgalitĂŠ est vĂŠrifiĂŠe.

2. RĂŠpète lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠtape 1 pour la deuxième ĂŠquation.

y2 3x 1 4 3 1 1 4 3 1 4 4 Lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠgalitĂŠ est vĂŠrifiĂŠe. Le couple (1, 4) est bien une solution du système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations donnĂŠ.

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CHAPITRE 3

La rĂŠsolution algĂŠbrique de systèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations

113

NOM

1

GROUPE

Parmi les systèmes ci-dessous, lequel nâ&#x20AC;&#x2122;a aucune solution ? a)

2

DATE

y x 2 y x 3

b)

y 54x 20 y 32x 20

c)

y 3x 19 y 3x 10

d)

y 4x 19 1

y 4 x 10

Dans chaque cas : 1) rĂŠcris le système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations sous la forme y a1 x b1

y a 2 x b2 ;

2) dĂŠtermine la solution.

y 12x 7 2 x 3y 5 2

a) 3y 9x 6 x y 3

b) 5x 2y 18 5y 8 15x 6

c)

1)

1)

1)

2)

2)

2)

RĂŠponse :

RĂŠponse :

RĂŠponse :

3

3

114

RĂŠsous chacun des systèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations suivants en utilisant la mĂŠthode de comparaison. a) y x 5 y 2x 4

b) y 3x 35 y 4x 22

c) y 5x 21 y 3x 95

RĂŠponse :

RĂŠponse :

RĂŠponse :

d) y 13 6x y 2x 4

e) y 3 3

RĂŠponse :

RĂŠponse :

CHAPITRE 3

x

3x

2 5

y 2 2

La rĂŠsolution algĂŠbrique de systèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations

f) y 1,5x 6 y 3x 2

RÊponse : ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite

NOM

4

GROUPE

DATE

RĂŠsous chacun des systèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations reprĂŠsentĂŠs ci-dessous. y

a)

y

b)

0

y x 7

y x 12

x

y

c)

0

x y 2x 3

0

x y x 2

y 7x 5

y 3x 4

3 RĂŠponse : d)

RĂŠponse :

RĂŠponse : y

y 11,9x 30

e)

y y 0,2x 8

y 0,1x 18 0

RĂŠponse :

5

6

y

f)

y 3x 7

x

0

y 0,5x 3

RĂŠponse :

x

x

0

y 3x 4

RĂŠponse :

Les deux ĂŠquations dâ&#x20AC;&#x2122;un système sont y ax et y bx, oĂš a b. Parmi les ĂŠnoncĂŠs ci-dessous, lequel est vrai ? a) Ce système nâ&#x20AC;&#x2122;a aucune solution.

b) Ce système a une infinitÊ de solutions.

c) La solution de ce système est (a, b).

d) La solution de ce système est (0, 0).

Les deux ĂŠquations dâ&#x20AC;&#x2122;un système sont y a 1 x b et y a 2 x b, oĂš a1 a 2 . Parmi les ĂŠnoncĂŠs ci-dessous, lequel est vrai ? a) Ce système nâ&#x20AC;&#x2122;a aucune solution.

b) Ce système a une infinitÊ de solutions.

c) La solution de ce système est (0, b).

d) La solution de ce système est (b, 0).

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CHAPITRE 3

La rĂŠsolution algĂŠbrique de systèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations

115

NOM

7

GROUPE

Jasmin estime au centième près la solution du système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations

DATE

y1 13x 3 . y2 2x 2

Les ĂŠcrans suivants illustrent la façon dont il procède. Ă&#x2030;crans 1 et 2

Ă&#x2030;cran 3

Ă&#x2030;cran 4

Le couple-solution est (âŹ&#x2021; 0,45, âŹ&#x2021; 2,91). a) Ă&#x20AC; lâ&#x20AC;&#x2122;aide de la mĂŠthode de comparaison, dĂŠtermine la solution exacte de ce système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations.

3

RĂŠponse : b) Pour chacun des systèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations ci-dessous : 1) estime la solution au centième près ;

116

2) dĂŠtermine la solution exacte.

a)

b)

c)

1)

1)

1)

2)

2)

2)

RĂŠponse :

RĂŠponse :

RĂŠponse :

CHAPITRE 3

La rĂŠsolution algĂŠbrique de systèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations

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NOM

8

GROUPE

DATE

Le solde du compte dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠpargne de Sarah est de 570 $. Celui-ci augmente de 0,02 $/jour. Le solde du compte dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠpargne de Malik est de 450 $ et augmente de façon continue au rythme de 0,06 $/jour. a) Identifie deux variables associĂŠes Ă cette situation.

b) Ă&#x2030;cris le système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations associĂŠ Ă cette situation.

c) DĂŠtermine : 1)

après combien de temps le solde du compte dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠpargne de Sarah et celui du compte de Malik seront les mĂŞmes ;

RĂŠponse :

9

2)

le solde de chaque compte dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠpargne Ă ce moment.

3

RĂŠponse :

Pour visiter un musĂŠe dâ&#x20AC;&#x2122;histoire naturelle, il en coĂťte 100 $ pour un groupe de 5 enfants et 7 adultes.

Il en coĂťte ĂŠgalement 92 $ pour un groupe de 7 enfants et 5 adultes. DĂŠtermine le prix dâ&#x20AC;&#x2122;un billet pour enfant et celui dâ&#x20AC;&#x2122;un billet pour adulte.

RÊponse : ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite

CHAPITRE 3

La rĂŠsolution algĂŠbrique de systèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations

117

NOM

10

GROUPE

DATE

Une rĂŠserve faunique abrite initialement 29 ours et 12 renards. Le nombre dâ&#x20AC;&#x2122;ours augmente de 2Â individus/annĂŠe, tandis que le nombre de renards augmente de 6 individus/annĂŠe.

Existe-t-il un moment oĂš la population de renards sera formĂŠe dâ&#x20AC;&#x2122;autant dâ&#x20AC;&#x2122;individus que la population dâ&#x20AC;&#x2122;ours ? Explique ta rĂŠponse.

RĂŠponse :

3

11

Le graphique ci-contre illustre comment un fournisseur dâ&#x20AC;&#x2122;accès Internet (FAI) calcule la facture mensuelle de ses clients selon deux forfaits.

Forfaits offerts par un FAI

Montant de la facture ($)

(0, 20)

a) Si u reprĂŠsente lâ&#x20AC;&#x2122;utilisation de la bande passante (en Go) par un internaute et m, le montant de la facture (en $), ĂŠcris le système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations associĂŠ Ă cette situation.

(70, 30)

Forfait Avantage Forfait TĂŠlĂŠcharge

(50, 25)

5 0

(0, 10) 10

Utilisation de la bande passante (Go)

RĂŠponse :

b) Ă&#x20AC; partir de quelle utilisation de bande passante le forfait TĂŠlĂŠcharge devient-il plus avantageux que le forfait Avantage ? Explique ta rĂŠponse.

RĂŠponse :

118

CHAPITRE 3

La rĂŠsolution algĂŠbrique de systèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations

ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite

NOM

GROUPE

3.3

DATE

La rĂŠsolution dâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠquations

Les inĂŠquations t Une inĂŠquation est une relation mathĂŠmatique qui fait intervenir un symbole dâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠgalitĂŠ et au moins une variable.

Exemples :

1) 3x 4 13

2) 6 2a 3b 7

3) y 4x 11

t Lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des valeurs qui vĂŠrifient une inĂŠquation est appelĂŠ lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble-solution. t Lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble-solution dâ&#x20AC;&#x2122;une inĂŠquation du 1er degrĂŠ Ă une variable peut ĂŞtre exprimĂŠ Ă lâ&#x20AC;&#x2122;aide : Exemples Dans lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble R (valeurs continues)

Description 1. dâ&#x20AC;&#x2122;un intervalle ou dâ&#x20AC;&#x2122;un

a)

Dans lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble Z (valeurs discrètes)

] , 6[

3

b) {â&#x20AC;Ś, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

ensemble de nombres ;

2. dâ&#x20AC;&#x2122;une droite numĂŠrique sur laquelle on a indiquĂŠ les valeurs que peut prendre la variable.

a)

b) 4 2 0 2 4 6 8

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Un point vide est associĂŠ Ă une valeur qui nâ&#x20AC;&#x2122;appartient pas Ă lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble-solution.

Un point plein est associĂŠ Ă une valeur qui appartient Ă lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble-solution.

t Lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble-solution dâ&#x20AC;&#x2122;une inĂŠquation du 1er degrĂŠ Ă une variable peut ĂŠgalement ĂŞtre exprimĂŠ Ă lâ&#x20AC;&#x2122;aide dâ&#x20AC;&#x2122;une inĂŠquation dans laquelle la variable est isolĂŠe.

Exemples :

1) x 6

2) m

1 2

Les règles de transformation des inĂŠquations Les règles de transformation des inĂŠquations permettent dâ&#x20AC;&#x2122;obtenir des inĂŠquations ĂŠquivalentes, câ&#x20AC;&#x2122;est-Ă -dire des inĂŠquations qui ont le mĂŞme ensemble-solution.

Exemples

Règles de transformation des inÊquations 1. Additionner ou soustraire un même nombre

a)

2a 5 6 2a 5 3 6 3

aux deux membres dâ&#x20AC;&#x2122;une inĂŠquation conserve le sens de cette inĂŠquation.

2a 8 9 b)

5a 6 16 5a 6 4 16 4 5a 2 12

2. Multiplier ou diviser les deux membres

a)

3a 2 16 5 (3a 2) 5 16

dâ&#x20AC;&#x2122;une inĂŠquation par un mĂŞme nombre strictement positif conserve le sens de cette inĂŠquation.

15a 10 80 b)

4 14a 3 (4 14a) 2 3 2 2 7a 1,5

3. Multiplier ou diviser les deux membres

3a 20

a)

5 3a 5 20

dâ&#x20AC;&#x2122;une inĂŠquation par un mĂŞme nombre strictement nĂŠgatif inverse le sens de cette inĂŠquation.

15a 100

b)

2a 4 12

( 2a 4) 2 12 2 a 2 6

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CHAPITRE 3

La rĂŠsolution dâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠquations

119

NOM

GROUPE

DATE

La rĂŠsolution dâ&#x20AC;&#x2122;une inĂŠquation t RĂŠsoudre une inĂŠquation Ă une variable, câ&#x20AC;&#x2122;est dĂŠterminer les valeurs de la variable qui vĂŠrifient lâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠquation, câ&#x20AC;&#x2122;est-Ă -dire son ensemble-solution. t Pour rĂŠsoudre une inĂŠquation du 1er degrĂŠ Ă une variable, tu peux utiliser la dĂŠmarche suivante.

Exemple : RĂŠsous lâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠquation 5x 6 9x 22.

DĂŠmarche

5x 6 9x 9x 22 9x

1. Utilise les règles de transformation

On retranche 9x de chaque membre de lâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠquation.

des inĂŠquations afin dâ&#x20AC;&#x2122;obtenir une inĂŠquation ĂŠquivalente dans

4x 6 6 22 6

On ajoute 6 Ă chaque membre de lâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠquation.

laquelle la variable est isolÊe.

On divise par 4 chaque membre de lâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠquation.

16 4x 4 4

x 4

3

Lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble-solution est x 4 ou ] , 4[.

2. DĂŠduis lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble-solution.

1

2

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

Associe chacune des inĂŠquations de la colonne de gauche Ă la description de la colonne de droite qui lui correspond. x 5

t

t

x vaut moins de 5.

x 5

t

t

x vaut plus de 5.

x 5

t

t

x vaut au plus 5.

x 5

t

t

x vaut au moins 5.

Dans chaque cas, reprĂŠsente graphiquement lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble-solution de lâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠquation donnĂŠe sachant que x D r. a) x 0

10

8

b) x 4

6

4

2

0

2

4

6

8

10

10

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

e) x 4

10

8

10

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

0

2

4

6

8

10

0

2

4

6

8

10

d) x 2

c) x 3

120

10

8

6

4

2

f) x 6

CHAPITRE 3

6

4

2

0

2

4

6

La rĂŠsolution dâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠquations

8

10

10

8

6

4

2

ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite

NOM

3

GROUPE

Dans chaque cas, reprĂŠsente graphiquement lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble-solution de lâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠquation sachant que x Â&#x2018; z. a) x 2 c) x 1 e) x 0

4

DATE

b) x 3

10 8 6 4 2 0

2

4

6

8 10

10 8 6 4 2 0

2

4

6

8 10

10 8 6 4 2

2

4

6

8

d) x 2 f) x 0

0

10

10 8 6 4 2 0

2

4

6

8 10

10 8 6 4 2 0

2

4

6

8 10

10 8 6 4 2 0

2

4

6

8 10

Associe chaque inĂŠquation Ă son ensemble-solution sachant que x reprĂŠsente un nombre rĂŠel. x 2 t

x 2 t

x 2 t

x 2 t

x 2 t

x 2 t

x 2 t

x 2 t

3 t ] 2, [

5

6

t ] , 2[

t ] , 2[

t ]2, [

t [2, [

t ] , 2]

t ] , 2]

t [ 2, [

Associe chacune des inĂŠquations de la première ligne Ă lâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠquation de la seconde ligne qui lui est ĂŠquivalente.

2x 3 1

3x 5 7

3x 4 12

t

t

t

t 2x 4

t 3x 12

t 3x 12

3xx 6 2

2xx 4

3 3

3x 15 7

t

t

t

t 2x 4

t 3x 8

t 3x 8

Dans chaque cas : 1) transforme chaque inĂŠquation en une inĂŠquation ĂŠquivalente dans laquelle la variable est isolĂŠe ; 2) reprĂŠsente graphiquement lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble-solution sachant que x Â&#x2018; r.

a) x 5 1

b) x 2 4

1)

1)

2)

2)

c)

10 8

6

4

2

0

2

4

6

8 10

2x 8

d)

1)

10 8

6

4

2

0

2

4

6

8 10

4

2

0

2

4

6

8 10

x 1 3

1)

2)

2)

10 8

6

4

2

0

2

4

6

8 10

ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite

10 8

6

CHAPITRE 3

La rĂŠsolution dâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠquations

121

NOM

7

GROUPE

DATE

Dans chaque cas : 1) transforme chaque inĂŠquation en une inĂŠquation ĂŠquivalente dans laquelle la variable est isolĂŠe ; 2) ĂŠcris lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble-solution sous la forme dâ&#x20AC;&#x2122;un intervalle sachant que chaque variable reprĂŠsente

un nombre rÊel.

3a 4 a 5 15

b) 3x 5 5x 7

c)

1)

1)

1)

RĂŠponse :

RĂŠponse :

RĂŠponse :

2)

2)

2)

d) 2(y 4) 7y

e)

1)

1)

1)

RĂŠponse :

RĂŠponse :

RĂŠponse :

2)

2)

2)

a)

3

g)

8

3(h 5) 4(2h 1)

3p 4

f) 4(x 3) 2(3x 5) 13

p 2 6 3 2 5

i)

2

g 3

1)

1)

1)

RĂŠponse :

RĂŠponse :

RĂŠponse :

2)

2)

2)

4

3 2g 8 5

1 2

La mesure b de la base dâ&#x20AC;&#x2122;un rectangle est dâ&#x20AC;&#x2122;au moins 5 cm et est infĂŠrieure Ă 10 cm. Parmi les ensembles-solutions ci-dessous, lequel reprĂŠsente adĂŠquatement les valeurs possibles de b ? a) ]5, 10]

122

h)

15 w 13 w 2 14 5 7

2b 6 5b 9

CHAPITRE 3

b) {5, 6, 7, 8, 9} La rĂŠsolution dâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠquations

c) [5, 10[

d) {6, 7, 8, 9, 10}

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NOM

9

GROUPE

Le nombre n de personnes qui participent Ă une partie de quilles est supĂŠrieur Ă 5, mais ne dĂŠpasse pas 10. Parmi les ensembles-solutions ci-dessous, lequel reprĂŠsente adĂŠquatement les valeurs possibles de n ? a) ]5, 10]

10

DATE

b) [5, 10[

c) {5, 6, 7, 8, 9}

d) {6, 7, 8, 9, 10}

Pour chacun des problèmes suivants : 1) identifie les inconnues et reprÊsente-les par des expressions algÊbriques qui font intervenir

la mĂŞme variable ; 2) forme et rĂŠsous lâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠquation associĂŠe Ă la situation ; 3) trouve deux solutions possibles du problème. a) La somme de 3 nombres pairs consĂŠcutifs est infĂŠrieure Ă 96. Quels peuvent ĂŞtre ces 3 nombres ?

1)

2)

3

3)

b) Le lecteur numĂŠrique de Cynthia compte 15 fichiers audio de plus que le double de fichiers vidĂŠo.

Au total, son lecteur contient au moins 360 fichiers. Combien de fichiers de chaque type son lecteur peut-il contenir ?

1)

2)

3)

c) Le salaire horaire de Martin est de 7 $ de plus que le salaire horaire de Franck. Toutefois, si Franck travaille 15 h et Martin, 10 h, Franck aura gagnĂŠ plus dâ&#x20AC;&#x2122;argent que Martin. Quel peut ĂŞtre le salaire horaire minimal de Martin sachant quâ&#x20AC;&#x2122;il sâ&#x20AC;&#x2122;agit dâ&#x20AC;&#x2122;un nombre entier ?

1)

2)

3)

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CHAPITRE 3

La rĂŠsolution dâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠquations

123

NOM

11

GROUPE

DATE

Des ouvriers font des travaux dâ&#x20AC;&#x2122;asphaltage sur un tronçon de route. Le compactage de lâ&#x20AC;&#x2122;asphalte nĂŠcessite 3 h de plus que le tiers du temps nĂŠcessaire pour lâ&#x20AC;&#x2122;application de lâ&#x20AC;&#x2122;asphalte. La durĂŠe totale des travaux est dâ&#x20AC;&#x2122;au moins 75 h. a) Identifie les inconnues dans cette situation et reprĂŠsente-les par des expressions algĂŠbriques qui font intervenir la mĂŞme variable.

b) Forme lâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠquation associĂŠe Ă cette situation.

3 c) RĂŠsous lâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠquation formĂŠe et reprĂŠsente graphiquement son ensemble-solution.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

d) Est-il possible que le compactage de lâ&#x20AC;&#x2122;asphalte dure 18 h ? Explique ta rĂŠponse.

12

La base dâ&#x20AC;&#x2122;un rectangle mesure 5 cm de plus que le double de sa hauteur. Son pĂŠrimètre est supĂŠrieur Ă 34 cm, mais ne dĂŠpasse pas 52 cm. Quelles sont les mesures possibles de sa hauteur ?

RĂŠponse :

124

CHAPITRE 3

La rĂŠsolution dâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠquations

ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite

NOM

13

GROUPE

DATE

Un ascenseur affiche les inscriptions ci-dessous.

Charge maximale : 850 kg

Nombre maximal de personnes : 15

Un livreur se prĂŠsente devant cet ascenseur, portant 12 boĂŽtes qui pèsent chacune au moins 10 kg et au plus 15 kg. Ce livreur entre dans lâ&#x20AC;&#x2122;ascenseur, suivi dâ&#x20AC;&#x2122;un certain nombre dâ&#x20AC;&#x2122;autres personnes. a) Si chaque personne pèse en moyenne 50 kg et que chaque boĂŽte a la masse maximale, combien de personnes au maximum peuvent entrer dans cet ascenseur ?

3

RĂŠponse : b) Si lâ&#x20AC;&#x2122;ascenseur compte le maximum autorisĂŠ de personnes et que chaque boĂŽte a la masse minimale, quelle est la masse moyenne maximale de chaque personne ?

RĂŠponse :

14

Au cours dâ&#x20AC;&#x2122;un jeu vidĂŠo dâ&#x20AC;&#x2122;aventures, une internaute doit rĂŠsoudre lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠnigme suivante pour avancer au prochain niveau.

Je suis un nombre pair. Si on ajoute 4 au double de ma valeur, on obtient un nombre infĂŠrieur au triple de ma valeur, diminuĂŠe de 8. Par contre, si on retranche 4 du double de ma valeur, on obtient un nombre infĂŠrieur Ă ma valeur augmentĂŠe de 11. Quel nombre suis-je ?

RĂŠsous cette ĂŠnigme.

RÊponse : ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite

CHAPITRE 3

La rĂŠsolution dâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠquations

125

NOM

GROUPE

DATE

ĂŠli 1

Associe chaque système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations au graphique qui le reprĂŠsente.

1

2

3

t

t

t

3

2

t

t

A

4

t

t

t

C

B

D

Chacune des tables de valeurs ci-dessous est associĂŠe Ă un système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations du 1er degrĂŠ Ă deux variables. Dans chaque cas : 1) dĂŠtermine ce système ; 2) indique entre quelles valeurs se situe la valeur de x associĂŠe Ă la solution de ce système.

126

a)

b)

c)

1)

1)

1)

2)

2)

2)

d)

e)

f)

1)

1)

1)

2)

2)

2)

CHAPITRE 3

MĂŠli-mĂŠlo

ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite

NOM

3

GROUPE

DATE

Voici plusieurs systèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations : 1

2

3

y 3,5x 5 y 1,5x 5

y 2x 2 y 2(x 2)

y 3x 4

4

5

y 3x 6 y 3x 7

2

3

y 2x 2

3

6 2

2

y 5x 5 y

3

y 7x 8

3x 2 5

y

2x 2 7

Parmi ces systèmes, lequel ou lesquels : a) ont une seule solution ?

b) nâ&#x20AC;&#x2122;ont aucune solution ?

3

c) ont une infinitĂŠ de solutions ?

4

Dans chaque cas : 1) reprĂŠsente graphiquement le système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations ; 2) estime le couple-solution ; 3) dĂŠtermine la solution exacte.

a) y 2x 5 y 1,5x 1,5

b) y 3x 1 y x 2

c) y 4x 3 y 2x 4

1)

1)

1)

y

1 0 1

y

1 0 1

x

y

1 0 1

x

2)

2)

2)

3)

3)

3)

RĂŠponse :

RĂŠponse :

RĂŠponse :

ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite

CHAPITRE 3

MĂŠli-mĂŠlo

x

127

NOM

5

3

6

GROUPE

DATE

RĂŠsous chacun des systèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations suivants. a) y 3x 6 y 2x 5

b) y 0,4x 2,1 y x

c) y 24x 32 y 36x 16

RĂŠponse :

RĂŠponse :

RĂŠponse :

DĂŠtermine lâ&#x20AC;&#x2122;expression algĂŠbrique associĂŠe Ă lâ&#x20AC;&#x2122;abscisse du couple-solution du système

y ax b . y cx d

RĂŠponse :

7

y

Le graphique ci-contre reprĂŠsente un système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations.

Lequel des ÊnoncÊs ci-dessous est vrai à propos des variables utilisÊes dans ce système ? a) yA yB, si x 5.

b) yA yB, si x 5.

c) yA yB, si x 5.

d) yA yB, si x 5.

yA

0

5

x

yB

8

Le nombre 7 augmentĂŠ du triple dâ&#x20AC;&#x2122;un nombre pair est : t QMVT HSBOE RVF M PQQPTĂ? EF DF OPNCSF BVHNFOUĂ? EF t BV NPJOT Ă?HBM BV RVBESVQMF EF DF OPNCSF Quel est ce nombre ?

RĂŠponse :

128

CHAPITRE 3

MĂŠli-mĂŠlo

ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite

NOM

9

GROUPE

DATE

Parmi les ensembles-solutions reprÊsentÊs ci-dessous, dÊtermine celui qui est associÊ à chacune des inÊquations suivantes.

1

2

10

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

10

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

10

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

3

10

10

10

8

4

6

4

6

4

6

2

0

2

4

6

8

10

2

0

2

4

6

8

10

2

0

2

4

6

8

10

4

5

8

8

6

2

a) 5 (x 3) 6 1,2x

b)

3(x 4) 3 4

c)

5x 6 4 5,5 2x 2

3

10

RĂŠponse :

RĂŠponse :

RĂŠponse :

d) 2x 7 3(x 4) 10 2x

e) 2(x 5) x 10 x

f)

RĂŠponse :

RĂŠponse :

RĂŠponse :

11x 15 6 4x 3

Le rectangle illustrÊ ci-contre a un pÊrimètre maximal de 50 m et une aire minimale de 96 m2.

2x

a) Quelle est sa hauteur maximale ?

1) 5 m

2) 10 m

3) 15 m

4) 20 m

3x

b) Quelle est la longueur minimale de sa base ?

1) 4 m

2) 8 m

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3) 12 m

4) 16 m

CHAPITRE 3

MĂŠli-mĂŠlo

129

NOM

11

GROUPE

DATE

Dannik magasine un forfait de tĂŠlĂŠphone cellulaire. Deux choix sâ&#x20AC;&#x2122;offrent Ă lui.

Forfait 1 : 11,96 $/mois et 0,12 $/min.

Forfait 2 : 0,25 $/min

a) Pendant combien de minutes doit parler Dannik pour que le montant facturĂŠ soit le mĂŞme quâ&#x20AC;&#x2122;il choisisse lâ&#x20AC;&#x2122;un ou lâ&#x20AC;&#x2122;autre des forfaits ? Quel est ce montant ?

RĂŠponse :

3

b) Conseille Dannik sur le forfait Ă choisir selon le nombre de minutes quâ&#x20AC;&#x2122;il prĂŠvoit parler au tĂŠlĂŠphone.

RĂŠponse :

12

Lors dâ&#x20AC;&#x2122;une collecte de sang, on espère recueillir plus de 90 L de sang. Quelques heures après le dĂŠbut de la collecte, 45 personnes ont dĂŠjĂ fait don de leur sang. Si chaque personne donne en moyenne 450 ml de sang, combien de donneurs additionnels, au minimum, doivent participer Ă la collecte pour que lâ&#x20AC;&#x2122;objectif soit atteint ?

RĂŠponse :

13

La valeur dâ&#x20AC;&#x2122;une voiture dĂŠcroĂŽt en moyenne de 1650 $/annĂŠe. Si une voiture vaut 24 500 $ Ă lâ&#x20AC;&#x2122;achat, après combien dâ&#x20AC;&#x2122;annĂŠes vaudra-t-elle 3875 $ ?

RĂŠponse :

130

CHAPITRE 3

MĂŠli-mĂŠlo

ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite

NOM

14

GROUPE

DATE

Au dĂŠbut de lâ&#x20AC;&#x2122;annĂŠe scolaire, une enseignante commande des dictionnaires et des manuels de français. Elle commande en tout 36 articles, pour un total de 1788,20 $. Si le prix dâ&#x20AC;&#x2122;un dictionnaire est de 35,95 $ et le prix dâ&#x20AC;&#x2122;un manuel, de 54,95 $, combien de dictionnaires et de manuels lâ&#x20AC;&#x2122;enseignante a-t-elle commandĂŠs ?

RĂŠponse :

15

3

Un ĂŠbĂŠniste se spĂŠcialise dans la fabrication de chaises. Voici certaines informations sur sa production : t t t t

- Ă?CĂ?OJTUF USBWBJMMF VO NBYJNVN EF I NPJT -B GBCSJDBUJPO E VOF DIBJTF OĂ?DFTTJUF FO NPZFOOF I EF USBWBJM 4FT DPĂ&#x;UT EF QSPEVDUJPO NFOTVFMT TPOU EF BVHNFOUĂ?T EF QBS DIBJTF GBCSJRVĂ?F 4FT DPĂ&#x;UT EF QSPEVDUJPO OF EPJWFOU QBT EĂ?QBTTFS NPJT

a) Si cet ĂŠbĂŠniste veut faire un profit dâ&#x20AC;&#x2122;au moins 3500 $ en vendant le nombre de chaises associĂŠ Ă sa production maximale, Ă quel prix doit-il vendre chaque chaise ?

RĂŠponse : b) Si cet ĂŠbĂŠniste vend chaque chaise 250 $, combien de chaises doit-il fabriquer pour faire un profit dâ&#x20AC;&#x2122;au moins 2000 $ ?

RÊponse : ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite

CHAPITRE 3

MĂŠli-mĂŠlo

131

NOM

16

GROUPE

DATE

Une ingĂŠnieure doit concevoir un camion qui peut transporter un chargement dont la masse m (en tonnes) respecte lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des contraintes exprimĂŠes ci-dessous.

Contrainte 1

Contrainte 2

Contrainte 3

m D [5, 10[

m 7,5

2m 5 3m 9

Sur une droite numĂŠrique, reprĂŠsente lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des masses permises pour les chargements de ce camion.

3

0

17

1

2

3

4

5

6

7

8

Le graphique ci-contre illustre lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠvolution de lâ&#x20AC;&#x2122;intensitĂŠ I (en dB) des signaux sonores ĂŠmis par chaque ĂŠcouteur dâ&#x20AC;&#x2122;un casque dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠcoute en fonction du temps t (en min) lors dâ&#x20AC;&#x2122;un test dâ&#x20AC;&#x2122;audition. La durĂŠe maximale de ce test correspond au moment oĂš lâ&#x20AC;&#x2122;intensitĂŠ dâ&#x20AC;&#x2122;un des deux signaux atteint 80 % du seuil de douleur ĂŠtabli Ă 80 dB.

9

10

IntensitĂŠ des signaux sonores IntensitĂŠ (dB)

(4, 52) Ă&#x2030;couteur gauche

(4, 50)

Ă&#x2030;couteur droit 20 10

a) Est-il possible que les deux signaux aient simultanĂŠment la mĂŞme intensitĂŠ lors de ce test ? Explique ta rĂŠponse.

0

Temps (min)

RĂŠponse :

b) DĂŠtermine la durĂŠe maximale de ce test dâ&#x20AC;&#x2122;audition.

RĂŠponse :

132

CHAPITRE 3

MĂŠli-mĂŠlo

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NOM

18

GROUPE

DATE

Trois amis participent Ă une course de voitures tĂŠlĂŠguidĂŠes. La longueur du parcours est de 150 m.

La voiture A commence la course Ă la ligne de dĂŠpart, tandis que la voiture B commence la course avec 10 m dâ&#x20AC;&#x2122;avance. La voiture C , quant Ă elle, commence la course avec 25 m dâ&#x20AC;&#x2122;avance. La voiture A roule Ă une vitesse de 1,4 m/s, la voiture B , Ă une vitesse de 1,2 m/s, et la voiture C , Ă une vitesse de 1,1 m/s.

Chacun des amis ĂŠmet une conjecture avant la course. Voici ces 3 conjectures : Conjecture 1 Il y aura un seul dĂŠpassement au cours de cette course.

Conjecture 2 Il y aura deux dĂŠpassements au cours de cette course.

Conjecture 3 Il y aura trois dĂŠpassements au cours de cette course.

Quelle conjecture est vraie ? Explique ta rĂŠponse.

Course de voitures tĂŠlĂŠguidĂŠes Distance par rapport Ă la ligne de dĂŠpart (m)

3

20 0

20

Temps (s)

RĂŠponse :

19

Joey et Ramzi participent Ă un concours de lecture qui consiste Ă lire le plus rapidement possible une trilogie de 2500 pages. Au moment de commencer le concours : t +PFZ B UFSNJOĂ? MB MFDUVSF EF QBHFT FU MJU EF Ă&#x2039; QBHFT KPVS t 3BN[J B UFSNJOĂ? MB MFDUVSF EF QBHFT FU MJU EF Ă&#x2039; QBHFT KPVS Ă&#x20AC; lâ&#x20AC;&#x2122;aide dâ&#x20AC;&#x2122;un graphique, montre quâ&#x20AC;&#x2122;il est possible pour Ramzi de remporter ce concours.

Explique ta rĂŠponse.

Concours de lecture Nombre de pages lues

250 0

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1

Temps (jours) CHAPITRE 3

MĂŠli-mĂŠlo

133

NOM

20

GROUPE

DATE

Un nouveau parc de jeux pour enfants comportera, entre autres, trois bacs Ă sable ayant les formes illustrĂŠes ci-dessous.

Bac 1

Bac 2

Bac 3

Voici dâ&#x20AC;&#x2122;autres renseignements sur ce parc : t t t t

-B MPOHVFVS EV CBD 1 mesure 2 m de plus que sa largeur.

6O DĂ&#x2122;UĂ? EV CBD 2 mesure 1 m de moins que le double de la largeur du bac 1 .

-F SBZPO EV CBD 3 mesure 2 m de moins que la largeur du bac 1 .

-F QĂ?SJNĂ&#x2019;USF EV CBD 1 est plus petit que celui du bac 2 , mais plus grand que celui du bac 3 .

DĂŠtermine les circonfĂŠrences possibles pour le bac 3 .

3

RĂŠponse :

21

Une mÊtÊorite situÊe à 130 000 km de la Terre se dirige vers cette dernière à une vitesse de 8000 km/h.

Pour lâ&#x20AC;&#x2122;intercepter, un vaisseau spatial situĂŠ derrière elle lance un missile qui se dĂŠplace Ă 11 000 km/h.

Pour sauver la Terre, le missile doit atteindre la mÊtÊorite avant que celle-ci ne soit trop près de la Terre.

Cette distance critique est de 50 000 km. Ă&#x20AC; lâ&#x20AC;&#x2122;aide dâ&#x20AC;&#x2122;un système dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations, montre algĂŠbriquement que le vaisseau est situĂŠ Ă moins de 160 000 km de la Terre.

RĂŠponse :

134

CHAPITRE 3

MĂŠli-mĂŠlo

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NOM

GROUPE

DATE

SP 22 La plongĂŠe sous-marine Lors dâ&#x20AC;&#x2122;une expĂŠdition scientifique, deux plongeurs planifient une plongĂŠe dâ&#x20AC;&#x2122;observation. Pour ĂŞtre sĂŠcuritaire, leur plongĂŠe doit respecter tous les critères suivants.

1 Avant dâ&#x20AC;&#x2122;atteindre la surface lors de la remontĂŠe, les plongeurs doivent se rencontrer Ă une altitude a (en m) supĂŠrieure Ă 20 m.

2 Au moment de cette rencontre, la quantitĂŠ q (en L) dâ&#x20AC;&#x2122;air comprimĂŠ qui reste dans leur bouteille de plongĂŠe doit ĂŞtre dâ&#x20AC;&#x2122;au moins 0,8 L. 3 Chaque bouteille de plongĂŠe doit se vider Ă un rythme minimal de 0,7 L/min et maximal de 1 L/min.

Les graphiques ci-dessous fournissent des renseignements sur la planification de cette plongĂŠe. Ă&#x2030;volution de la quantitĂŠ dâ&#x20AC;&#x2122;air comprimĂŠ dans chaque bouteille

Phases de la plongĂŠe Altitude (m) 0 10

3 (22, 0)

(24, 0)

Temps (min)

3

QuantitĂŠ dâ&#x20AC;&#x2122;air comprimĂŠ (L) 18

(6, 50) (14, 50) (6, 70)

(16, 70) Plongeur 1 Plongeur 2

0

Temps (min)

La plongĂŠe planifiĂŠe est-elle sĂŠcuritaire ? Explique ta rĂŠponse.

DĂŠmarche et calculs

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CHAPITRE 3

MĂŠli-mĂŠlo

135

NOM

GROUPE

DATE

3

RĂŠponse

136

CHAPITRE 3

MĂŠli-mĂŠlo

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NOM

GROUPE

DATE

SP 23 Les bassins dâ&#x20AC;&#x2122;eau On doit vider deux bassins dâ&#x20AC;&#x2122;eau. Dans le bassin 1 , qui contient 50 650 L dâ&#x20AC;&#x2122;eau, on installe une pompe A dont le dĂŠbit est de 213,5 L /min et dans le bassin 2 , qui contient 36 500 L dâ&#x20AC;&#x2122;eau, on installe une pompe B dont le dĂŠbit est de 88,5 L /min.

Durant le processus dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠvacuation de lâ&#x20AC;&#x2122;eau, au moment oĂš les deux bassins contiennent la mĂŞme quantitĂŠ dâ&#x20AC;&#x2122;eau, la pompe B brise. Un technicien la rĂŠpare, puis la remet en marche. Il ajoute en mĂŞme temps une pompe supplĂŠmentaire C dans le bassin 2 , afin dâ&#x20AC;&#x2122;accĂŠlĂŠrer le processus dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠvacuation de lâ&#x20AC;&#x2122;eau. La nouvelle pompe a un dĂŠbit de 176,318 L /min.

Si lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠvacuation complète de lâ&#x20AC;&#x2122;eau du bassin 2 prend 62,76 min de plus que lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠvacuation complète de lâ&#x20AC;&#x2122;eau du bassin 1 , combien de temps a durĂŠ la rĂŠparation de la pompe B ?

DĂŠmarche et calculs

3

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CHAPITRE 3

MĂŠli-mĂŠlo

137

NOM

GROUPE

DATE

3

RĂŠponse

138

CHAPITRE 3

MĂŠli-mĂŠlo

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NOM

GROUPE

DATE

SR 24 Les voitures tĂŠlĂŠguidĂŠes Deux amis participent Ă une course de voitures tĂŠlĂŠguidĂŠes. La voiture A commence la course Ă la ligne de dĂŠpart, tandis que la voiture B commence la course avec une certaine avance.

La voiture B roule Ă 1Â m/s. La voiture A roule Ă une vitesse de 1,5 m/s et finira par rattraper la voiture B Ă une certaine distance de la ligne de dĂŠpart.

Voici une conjecture sur cette situation : La reprĂŠsentation graphique de la relation entre lâ&#x20AC;&#x2122;avance de la voiture B et la distance oĂš a lieu le dĂŠpassement sera une droite dont le taux de variation est positif.

Cette conjecture est-elle vraie ?

DĂŠmarche et calculs

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3

CHAPITRE 3

MĂŠli-mĂŠlo

139

NOM

GROUPE

DATE

3

RĂŠponse

140

CHAPITRE 3

MĂŠli-mĂŠlo

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NOM

GROUPE

DATE

RĂ&#x2030;INVESTISSEMENT 1

La vitesse de transmission de donnĂŠes sur Internet se mesure en octets par seconde (o/s).

Voici des renseignements sur la connexion Internet de deux personnes : Connexion de Louis

Connexion de GĂŠrald

t 7JUFTTF NBYJNBMF 105 o/s t 'PODUJPOOF FO NPZFOOF Ă&#x2039; de sa vitesse maximale.

t 7JUFTTF NBYJNBMF LP T t 'PODUJPOOF FO NPZFOOF Ă&#x2039; de sa vitesse maximale.

Louis et GĂŠrald tĂŠlĂŠchargent un film sur Internet. La taille du fichier associĂŠ au film est de 1,35 Go pour Louis et de 110 Mo pour GĂŠrald. Si Louis et GĂŠrald ont commencĂŠ le tĂŠlĂŠchargement au mĂŞme moment, lequel aura terminĂŠ en premier ?

RĂŠponse :

2

Une fonction f a les caractĂŠristiques suivantes. t t t t

-B GPODUJPO FTU DSPJTTBOUF TVS M JOUFSWBMMF > , > < > -B GPODUJPO FTU EĂ?DSPJTTBOUF TVS M JOUFSWBMMF < > -FT [Ă?SPT EF MB GPODUJPO TPOU FU FU MB WBMFVS JOJUJBMF FTU -F NBYJNVN EF MB GPODUJPO FTU

Après avoir reprÊsentÊ graphiquement une fonction qui a ces caractÊristiques, dÊtermine son domaine, son codomaine et son signe. y

1 0

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1

RĂ&#x2030;INVESTISSEMENT

x

351

NOM

12

GROUPE

DATE

Les dimensions du prisme droit illustrÊ ci-contre sont en centimètres.

La fonction qui permet de calculer lâ&#x20AC;&#x2122;aire totale A de ce prisme est une fonction de x. Après avoir dĂŠterminĂŠ la règle de cette fonction, reprĂŠsente-la graphiquement.

4x 6

3x 2 2x 1

13

Une calotte sphĂŠrique est le solide obtenu par la section dâ&#x20AC;&#x2122;une sphère par un plan, comme le montre lâ&#x20AC;&#x2122;illustration ci-contre.

Le volume Vc dâ&#x20AC;&#x2122;une calotte sphĂŠrique de hauteur h et de rayon a obtenue Ă partir dâ&#x20AC;&#x2122;une sphère de rayon r est donnĂŠ par la formule Vc

h

a r

h2 (3r h).

3

Montre algĂŠbriquement que le volume dâ&#x20AC;&#x2122;une calotte sphĂŠrique dont la hauteur 5

mesure la moitiÊ du rayon correspond aux 32 du volume de la sphère.

358

RĂ&#x2030;INVESTISSEMENT

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NOM

GROUPE

DATE

RĂŠvision Questions Ă choix multiple Pour chacune des questions, encercle la bonne rĂŠponse.

1

Parmi les longueurs ci-dessous, laquelle est ĂŠquivalente Ă 35 nm ? a) 3,5 109 m

2

b) 1,45 108

c) 1,45 106

d) 14,5 107

b) 320

c) 0,0032

d) 0,000 32

b) 106 mm3

c) 109 mm3

d) 1012 mm3

b) 43 ml

c) 43 cl

d) 0,43 cl

Quel est le volume dâ&#x20AC;&#x2122;un contenant qui peut contenir 50 L de liquide ? b) 5 m3

c) 0,5 m3

d) 0,05 m3

Parmi les nombres ci-dessous, lequel est un nombre irrationnel ? a)

9

d) 10 cm2

Quelle est la capacitĂŠ dâ&#x20AC;&#x2122;un contenant dont le volume est de 43 cm3 ?

a) 50 m3

8

c) 100 cm2

Combien de millimètres cubes y a-t-il dans un mètre cube ?

a) 0,43 L

7

b) 1000 cm2

a) 103 mm3

6

Parmi les nombres ci-dessous, lequel correspond au nombre 3,2 10 3 ? a) 3200

5

d) 3,5 10 8 m

Parmi les nombres ci-dessous, lequel correspond au nombre 145 000 000 ĂŠcrit Ă lâ&#x20AC;&#x2122;aide de la notation scientifique ? a) 145 10 6

4

c) 3,5 10 9 m

Combien de centimètres carrÊs y a-t-il dans un mètre carrÊ ? a) 10 000 cm2

3

b) 3,5 108 m

b)

c)

d)

Ă&#x20AC; quelle condition un nombre est-il rationnel ? a) Ă&#x20AC; la condition quâ&#x20AC;&#x2122;il ait un dĂŠveloppement dĂŠcimal infini. b) Ă&#x20AC; la condition quâ&#x20AC;&#x2122;il corresponde au produit de deux nombres entiers. c) Ă&#x20AC; la condition quâ&#x20AC;&#x2122;il ait un dĂŠveloppement dĂŠcimal fini. d) Ă&#x20AC; la condition quâ&#x20AC;&#x2122;il corresponde au quotient de deux nombres entiers.

10

Les dimensions du solide B sont le triple de celles du solide A . Si les deux solides sont semblables, quel est le rapport de leurs aires ? a) 3

b) 6

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c) 9

d) 12 RĂ&#x2030;VISION

385

NOM

GROUPE

DATE

Questions Ă rĂŠponse courte

RĂŠcris chaque expression sous la forme dâ&#x20AC;&#x2122;une puissance de la base.

2

25 210

RĂŠponse :

39

40

41

390

b) (311 3)4

3 39

RĂŠponse :

c)

(

73 7 5

(

2 a) 2 3

5

(

72 7 5

(

38

RĂŠponse :

2

d)

RĂŠponse :

RĂŠduis chacune des expressions algĂŠbriques suivantes. a) (4m3n2 n4)(5m2n3 2m3)

b) ( 3x2 2x2y)( 4xy 7xy2)

RĂŠponse :

RĂŠponse :

Factorise chacune des expressions algĂŠbriques suivantes. a) 9xy2 3x 2y

b) 15 a4b4 6 a4b3 9 a3b4

RĂŠponse :

RĂŠponse :

17

17

17

Dans lâ&#x20AC;&#x2122;encadrĂŠ ci-contre, illustre un prisme droit Ă Â base rectangulaire en utilisant la perspective axonomĂŠtrique.

RĂ&#x2030;VISION

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NOM

GROUPE

DATE

Questions Ă dĂŠveloppement

59

Une microtige dâ&#x20AC;&#x2122;acier A mesure 1,5 10 3 mm Ă 25 °C. Sa longueur l varie de façon constante en fonction de la tempĂŠrature t (en °C) avec un taux de variation de 1,2 10 5 mm/°C.

Une microtige de bronze B mesure 1,2 m à 25 °C. Sa longueur l varie de façon constante en fonction de la tempÊrature t (en °C) avec un taux de variation de 17 nm/°C. DÊtermine à quelle tempÊrature ces deux microtiges auront la même longueur ainsi que cette longueur.

RĂŠponse :

60

Un cylindre 1 dont le rayon mesure 4 cm contient initialement 1 L de liquide. On immerge progressivement dans ce liquide un cylindre 2 de 2 cm de rayon et de 15 cm de hauteur. Le liquide se comporte comme si son volume augmentait dâ&#x20AC;&#x2122;un volume ĂŠgal Ă la partie immergĂŠe du cylindre 2 .

Cylindre 2

h2

Dans cette situation :

h1 Cylindre 1

t h1 reprĂŠsente la hauteur du liquide dans le cylindre 1 ; t h2 reprĂŠsente la hauteur de la partie immergĂŠe du cylindre 2 .

On sâ&#x20AC;&#x2122;intĂŠresse Ă la fonction f telle que h1 f(h2). Après avoir dĂŠterminĂŠ la règle de la fonction f, reprĂŠsente-la graphiquement.

Hauteurs du liquide dans le cylindre 1 h1

1

RÊponse : 0 ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite

h2

1,5 RĂ&#x2030;VISION

395

NOM

61

GROUPE

DATE

Les diagrammes de quartiles ci-dessous ont ĂŠtĂŠ construits Ă partir de tous les rĂŠsultats (en %) en mathĂŠmatiques obtenus par deux ĂŠlèves au cours dâ&#x20AC;&#x2122;une annĂŠe scolaire.

RĂŠsultats en mathĂŠmatiques pour une annĂŠe scolaire Marc-AndrĂŠ Marianne 0 70

75

80

85

90

95

100 RĂŠsultat (%)

Qui a connu la meilleure annĂŠe ? Explique ta rĂŠponse.

62

On choisit au hasard un point de la figure reprĂŠsentĂŠe ci-contre.

Voici deux ĂŠvĂŠnements associĂŠs Ă cette situation :

4x 3

A : Le point est situĂŠ dans la rĂŠgion verte.

B : Le point est situĂŠ dans la rĂŠgion mauve.

Montre algĂŠbriquement que la probabilitĂŠ de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠvĂŠnement A sera toujours plus petite que celle de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠvĂŠnement B.

3x 1 2x

RĂŠponse :

396

RĂ&#x2030;VISION

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Outils Outil 1 Notations et symboles mathématiques............................ 400

Outil 2 Principaux énoncés de géométrie....................................... 402

Outil 3 Aire et volume ................................................................................. 403

Outil 4 Constructions géométriques .................................................. 405

Outil 1 Notations et symboles mathĂŠmatiques Les notations et les symboles mathĂŠmatiques Notation et symbole

Notation et symbole

Signification

Signification

a2

Deuxième puissance de a ou a au carrÊ

mâŹ&#x201D;A

a3

Troisième puissance de a ou a au cube

 °

DegrĂŠ

an

n e puissance de a ou a exposant n

Infini

a

Radical a ou racine carrĂŠe de a

//

â&#x20AC;Ś est parallèle Ă â&#x20AC;Ś

a

Racine cubique de a

â&#x20AC;Ś est perpendiculaire Ă â&#x20AC;Ś

Union dâ&#x20AC;&#x2122;ensembles. Se lit ÂŤ union Âť ou ÂŤ rĂŠunion Âť.

DĂŠsigne un angle droit.

Intersection dâ&#x20AC;&#x2122;ensembles. Se lit ÂŤ intersection Âť.

P(A)

ProbabilitĂŠ de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠvĂŠnement A

âŹ&#x192;

â&#x20AC;Ś est semblable Ă â&#x20AC;Ś

a :b

Rapport de a Ă b

⏾

â&#x20AC;Ś est isomĂŠtrique Ă â&#x20AC;Ś

Nombre irrationnel approximativement ĂŠgal Ă 3,14. Se lit ÂŤ pi Âť.

%

Pourcentage. Se lit ÂŤ pour cent Âť.

AB

Arc de cercle AB

Univers des rĂŠsultats possibles dâ&#x20AC;&#x2122;une expĂŠrience alĂŠatoire. Se lit ÂŤ omĂŠga Âť.

3

ou ! #

Mesure de lâ&#x20AC;&#x2122;angle A

Mesure de lâ&#x20AC;&#x2122;arc de cercle AB

m AB

Ensemble vide

Triangle

OpposĂŠ de a

[a, b]

Intervalle incluant a et b

Inverse de a

[a, b[

Intervalle incluant a et excluant b

A'

En gĂŠomĂŠtrie, image du point A. En statistique, ĂŠvĂŠnement complĂŠmentaire de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠvĂŠnement A. Se lit ÂŤ A prime Âť.

]a, b]

Intervalle excluant a et incluant b

AB

Segment AB

]a, b[

Intervalle excluant a et b

a

1 1 a ou a

m AB âŹ&#x201D;A

Mesure du segment AB

f (x )

Image de x par la fonction f. Se lit ÂŤ f de x Âť.

Angle A

f

RĂŠciproque de la fonction f

1

Les ensembles de nombres Symbole

Ensemble de nombres

Exemple

Description

N

Nombres naturels

Nombres qui appartiennent Ă lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble {0, 1, 2, 3, 4, â&#x20AC;Ś}.

z

Nombres entiers

Nombres qui appartiennent Ă lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble {â&#x20AC;Ś, 2, 1, 0, 1, 2, â&#x20AC;Ś}.

q

Nombres rationnels

Nombres qui peuvent sâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠcrire sous la forme b , oĂš a et b sont des entiers, b ĂŠtant diffĂŠrent de 0.

Le dĂŠveloppement dĂŠcimal dâ&#x20AC;&#x2122;un nombre rationnel est fini ou infini et pĂŠriodique.

q'

Nombres irrationnels

Nombres qui ne peuvent pas ĂŞtre exprimĂŠs comme un quotient dâ&#x20AC;&#x2122;entiers. Le dĂŠveloppement dĂŠcimal dâ&#x20AC;&#x2122;un nombre irrationnel est infini et non pĂŠriodique.

r

Nombres rĂŠels

Nombres qui appartiennent Ă lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des nombres rationnels ou Ă lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des nombres irrationnels.

5, 99, 101, 1298

218, 403, 43, 734

a

400

OUTILS

6 , ĺ&#x2020;Ş36 , 0,567, 6,998, 0,124 11

, ĺ&#x2020;Ş5, 2ĺ&#x2020;Ş2, 3

38, ĺ&#x2020;Ş101, 9 , 9,1267 4

ª -FT ²EJUJPOT $&$ JOD t Reproduction interdite

Outil 4 Constructions gĂŠomĂŠtriques /D SHUVSHFWLYH FDYDOLqUH Exemple : Dessine un cube de 2 cm dâ&#x20AC;&#x2122;arĂŞte en utilisant la perspective cavalière.

1. Trace deux axes perpendiculaires dans le plan frontal et un axe ayant un angle de fuite de 30° ou 45°.

2. Trace une face dans le plan frontal sans la dĂŠformer.

2 cm

2 cm 30°

30°

3. Trace les arĂŞtes fuyantes en respectant lâ&#x20AC;&#x2122;angle de fuite et en rĂŠduisant leur longueur de moitiĂŠ.

1 cm 30°

1 cm 30°

30°

1 cm 30°

4. Complète le solide.

La perspective axonomĂŠtrique Exemple : Dessine un cube de 2 cm dâ&#x20AC;&#x2122;arĂŞte en utilisant la perspective axonomĂŠtrique.

1. Trace 3 axes qui se rencontrent en un mĂŞme point.

2. Choisis un facteur pour chacun des axes, puis reporte les mesures sur les axes.

1,4 cm 1,5 cm

1,6 cm

2 0,7 1,4 cm 2 0,75 1,5 cm 2 0,8 1,6 cm 3. Ă&#x20AC; partir des extrĂŠmitĂŠs des 3 arĂŞtes de rĂŠfĂŠrence, trace les arĂŞtes parallèles Ă chacun des axes en respectant les mesures calculĂŠes Ă lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠtape 2.

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4. Complète le solide.

OUTILS

405