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financière

Le cahier d’apprentissage 5 de la collection Point de mire mathématique, séquence Culture, société et technique (CST), couvre l’ensemble des concepts à étudier en 5e secondaire selon la dernière mise à jour du Programme de formation de l’école québécoise, en plus de respecter la Progression des apprentissages (PDA). Le cahier utilise une approche notionnelle par chapitre, rendant ceux-ci indépendants les uns des autres. Ainsi, ce matériel peut être utilisé seul, avec son propre matériel maison, ou encore avec n’importe quel manuel de mathématique de 5e secondaire.

Claude Boivin Dominique Boivin Richard Cadieux Dominic Paul Vincent Roy François Pomerleau

NOUVEAUTÉ

Mathématique

Mathématique 5e secondaire

NOUVEAU PROGRAMME CULTURE, SOCIÉTÉ ET TECHNIQUE (CST)

STRUCTURE DU CAHIER • Un Test diagnostique ;

• Une Révision de 20 pages ; • Une section Annexes ; • Un index facilitant le repérage des notions abordées dans le cahier. STRUCTURE DU GUIDE-CORRIGÉ • Le guide-corrigé contient des ressources pour les enseignants, notamment : – le corrigé complet du cahier d’apprentissage, page par page et en couleurs, mais également en vrac et en format reproductible ; – des tableaux d’adéquation avec le Programme de formation ; – des notes pédagogiques ; – plus de 170 fiches reproductibles et leur corrigé (fiches Renforcement, fiches Enrichissement, tests, situations-problèmes (SP), situations de raisonnement (SR), encadrés théoriques, bilans) ; – deux versions d’examen de fin d’année pour préparer les élèves à l’examen de fin d’année. VERSIONS NUMÉRIQUES

Pour l’enseignant

Pour l’élève

• Pour l’animation en classe et la correction collective, • La version numérique la version numérique du cahier vous permet : du cahier permet à l’élève : – de projeter, d’annoter et de feuilleter le cahier en entier ; – de feuilleter et d’annoter – d’afficher le corrigé du cahier, question par question ; chaque page ; – d’accéder à tout le matériel reproductible ; – d’écrire ses réponses dans – de partager des notes et des documents avec vos élèves ; son cahier ; – de corriger leurs réponses directement dans la version – de travailler dans son cahier sans connexion Internet. numérique de leur cahier ; – d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic ; – et de travailler dans votre matériel même sans connexion Internet.

Notions Exercices Problèmes

Cahier d’apprentissage

• Une Banque de problèmes de 30 pages se terminant par des problèmes de type CD 1 et CD 2 ;

Cahier d’apprentissage Mathématique 5e secondaire NOUVEAU PROGRAMME CULTURE, SOCIÉTÉ ET TECHNIQUE (CST)

• Cinq chapitres comprenant chacun : – un Rappel de deux à neuf pages, – trois à cinq sections comportant chacune un encadré théorique, des exercices et des problèmes en contexte, – un Méli-mélo comportant des exercices et des problèmes en contexte, deux situations-problèmes (CD 1) et une situation de raisonnement (CD 2) ;

CONFORME À LA MISE À JOUR DU PROGRAMME CST 2016

Claude Boivin Dominique Boivin Richard Cadieux Dominic Paul Vincent Roy François Pomerleau

PRÉSENTATION DU CAHIER................... IV TEST DIAGNOSTIQUE.................................... 1

Chapitre 1

Chapitre 4

LOGARITHME ET MATHÉMATIQUE FINANCIÈRE......... 147 Rappel : Exposants, fonction exponentielle et réciproque.............................................................. 147

OPTIMISATION.................................................9

4.1 Logarithme........................................................... 155

Rappel : Inéquation, système d’équations et géométrie analytique ................................................. 9

4.2 Intérêts simples.................................................... 163

1.1 Inéquation du premier degré à deux variables....... 15

4.4 Autres contextes monétaires................................ 183

1.2 Système d’inéquations........................................... 21

Méli-mélo.................................................................... 189

4.3 Intérêts composés................................................ 171

1.3 Polygone de contraintes........................................ 29 1.4 Résolution de problèmes....................................... 33 Méli-mélo...................................................................... 45

Chapitre 5

PROBABILITÉS......................................... 203

Chapitre 2

GÉOMÉTRIE................................................... 59

Rappel : Diagrammes et probabilités......................... 203 5.1 Types de probabilité, chances pour et chances contre................................................. 212

Rappel : Relations métriques, rapports trigonométriques, loi des sinus et aire d’un triangle quelconque ............................................. 59

5.2 Espérance mathématique.................................... 217

2.1 Loi des cosinus...................................................... 65

5.4 Procédures de vote.............................................. 235

2.2 Lignes, figures et solides équivalents.................... 70

Méli-mélo.................................................................... 245

2.3 Propriétés des figures et des solides équivalents...................................... 75

BANQUE DE PROBLÈMES.................. 259

5.3 Types d’événements et probabilité conditionnelle....................................................... 225

Méli-mélo...................................................................... 83

RÉVISION........................................................ 289

Chapitre 3

ANNEXES........................................................ 309

GRAPHES.........................................................97 Rappel : Diagramme en arbre et réseau ...................... 97

INDEX................................................................. 313

3.1 Caractéristiques des graphes et vocabulaire utilisé............................................... 99 3.2 Chaînes et cycles................................................. 107 3.3 Types de graphes................................................. 115 3.4 Valeur minimale et maximale et nombre chromatique........................................ 123 3.5 Chemin critique.................................................... 129 Méli-mélo.................................................................... 133

TABLE DES MATIÈRES

III

Le cahier Point de mire mathématique 5, séquence Culture, société et technique (CST), est divisé en cinq chapitres, chacun correspondant à un champ mathématique. Tout au début du cahier, une rubrique Test diagnostique permet de vérifier les connaissances acquises des élèves. À la fin du cahier, on trouve une r ubrique Banque de problèmes, une rubrique Révision, des annexes ainsi qu’un index pratique.

TEST DIAGNOSTIQUE

Le Test diagnostique permet de vérifier l’acquisition des connaissances en mathématique chez les élèves à leur arrivée en 5e secondaire. Il comprend huit pages comportant des questions à choix multiple et des questions à réponse courte.

CHAPITRES

Chaque chapitre commence par un Rappel de deux à neuf pages qui vise à réactiver les connaissances préalables à l’acquisition des concepts abordés dans le chapitre. On y trouve un encadré théorique suivi de quelques exercices et problèmes. Chaque chapitre est divisé en trois à cinq sections de quatre à douze pages chacune. Au début de chaque section, un encadré théorique explique les notions à l’étude. Le plus souvent possible, des exemples illustrent les notions. Lorsque cela est pertinent, on présente une démarche en lien avec la notion expliquée. Des exercices et des problèmes permettent ensuite aux élèves de vérifier et de consolider leur compréhension des notions fraîchement acquises.

PRÉSENTATION DU CAHIER

Puis, une récapitulation en 14 pages, le Méli-mélo, vient clore le chapitre. Les huit premières pages fournissent des exercices et des problèmes, tandis que les six dernières pages proposent deux situations-problèmes (SP) et une situation de raisonnement (SR).

BANQUE DE PROBLÈMES

Après le dernier chapitre du cahier se trouve une rubrique Banque de problèmes de 30 pages qui présente des problèmes en contexte. Ces problèmes portent sur l’ensemble des notions couvertes dans le cahier. De plus, les dix derniers numéros permettent d’évaluer des composantes des compétences disciplinaires 1 (CD 1) et 2 (CD 2).

RÉVISION

Après la rubrique Banque de problèmes, une rubrique Révision de 20 pages permet aux élèves de faire un survol de l’ensemble des notions vues au cours de la 5e secondaire pour la séquence CST. On y trouve des questions à choix multiple, des questions à réponse courte ainsi que des questions à développement.

PRÉSENTATION DU CAHIER

ANNEXES

À la suite de la rubrique Révision sont proposées les Annexes, des fiches utiles aux élèves dans leur apprentissage des mathématiques.

INDEX

Un index simple et facilitant le repérage des différents concepts étudiés se trouve à la fin du cahier.

PICTOGRAMMES SP Indique la présence d’une situation-problème (SP), qui permet de vérifier

le développement de la compétence disciplinaire 1 (CD 1). SR Indique la présence d’une situation de raisonnement (SR), qui permet

de vérifier le développement de la compétence disciplinaire 2 (CD 2). CD 1 Indique qu’un problème permet de vérifier le développement

de la compétence disciplinaire 1 (CD 1).

CD 2 Indique qu’un problème permet de vérifier le développement

de la compétence disciplinaire 2 (CD 2).

PRÉSENTATION DU CAHIER

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

Questions à choix multiple

1 Quel est le couple-solution du système d’équations a) (3, 27)

b) (12, 3)

y 5 2x 1 6 ? y 5 23x 1 21 c) (12, 27)

d) (3, 12)

c) 8

d) 16

2 Quelle valeur de x vérifie l’équation x 4 5 2 ? a) 2

b) 4

3 Quelle ou quelles situations décrivent un tirage sans remise ? a) On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6 à quatre reprises. On s’intéresse à la somme des résultats obtenus. b) On tire simultanément trois noms d’une urne contenant les noms de toutes les personnes inscrites à un tirage afin de déterminer les trois gagnants. c) On tire une boule d’une urne qui contient une boule rouge, une boule jaune et deux boules vertes, on note sa couleur, puis on la remet dans l’urne. On tire ensuite une autre boule, on note sa couleur, puis on la remet dans l’urne. d) On choisit 10 personnes au hasard dans un groupe de 25 personnes. On s’intéresse au sexe des personnes choisies.

4 Dans le plan cartésien, quelles sont les coordonnées du point d’intersection des droites représentant le système d’équations a) (21, 3)

b) (1, 5)

y 5 3x 1 6 ? y 5 22x 1 1

c) (21, 25)

d) (21, 5)

5 Quelle représentation graphique correspond à une fonction exponentielle ? b)

10 x

d) 10

10 x

TEST DIAGNOSTIQUE

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

6 Quel rapport relatif au triangle rectangle ABC représente : a) le sinus de l’angle B ? 1)

3 4

3 5

4 5

4 3

4 5

4 3

b) le cosinus de l’angle C ? 1)

3 4

3 5

3 cm

c) la tangente de l’angle B ? 3 1) 4

3 2) 5

4 3) 5

4 cm

4 4) 3

7 Quelle est la probabilité d’obtenir trois fois le côté pile à la suite de trois lancers successifs d’une pièce de monnaie ? a)

1 8

1 6

1 4

1 2

8 Quel système d’équations peut être représenté dans le plan cartésien par deux droites parallèles distinctes ? a) y 5 7x 2 3 y 5 27x 1 12

b) 4x 2 y 1 5 5 0 3y 1 4x 5 1

c) y 5 22x 1 1 y 5 5x 1 1

d) y 5 3x 1 8 y 5 3x 2 5

( a ) ? 6

9 Quelle expression algébrique est équivalente à l’expression a) a

b) a

1 c) 2 a

d) a

10 Quelle représentation graphique correspond à la réciproque d’une fonction exponentielle ? a)

f(x)

b) f(x )

c) 4

0 2

f(x)

f(x ) 10

11 À quelle droite appartient le point dont les coordonnées sont (2100, 501) ? a) y 5 2x 2 3

TEST DIAGNOSTIQUE

b) y 5 25x 1 1

c) 2y 1 3x 5 9

d) 4y 2 5x 1 11 5 0

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

Questions à réponse courte

29 Déterminez la règle de chacune des fonctions représentées. a)

f(x) 10 8 6 4 2 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

2 4 6 8 10 x

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4

30 Déterminez le volume de chacun des solides. a) Boule

b) Cylindre circulaire droit

Prisme régulier

6,4 mm 15 m

13 cm 11 mm

19,05 m

22 m

31 Déterminez algébriquement le couple-solution de chacun des systèmes d’équations. a) y 5 7x 2 3 y 5 3x 1 8

b) y 5 2x 2 3 3y 2 3x 5 27

c) 2y 2 x 5 28 2y 2 2x 5 12

TEST DIAGNOSTIQUE

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

32 Représentez graphiquement chacun des systèmes d’équations. a) y 5 2x 1 7 y 5 3x 1 1

b) 2y 2 x 5 6 4y 2 10x 1 4 5 0 10

2 0 2

10 x

2 0 2

10 x

33 Déterminez la règle de la fonction exponentielle associée à chacune des tables de valeurs. a)

f(x)

2 3

g(x)

0,5

0,25

h(x)

0,3125

1,25

34 Déterminez la mesure manquante de chacun des solides représentés. a)

b) Prisme droit à base rectangulaire

Cube

c) Cône circulaire droit

? 108 mm

V 5 10 648 cm3

9 dm 13,1 dm

V 5 1473,75 dm3

V 5 199 503,7 mm3

TEST DIAGNOSTIQUE

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

Exposants, fonction exponentielle et réciproque

Logarithme et mathématique financière RAPPEL Exposants, fonction exponentielle et réciproque.... 147

SECTION 4.1

PUISSANCE L’égalité an 5 p signifie que an est la ne puissance de a et que cette puissance est égale à p. an 5 a 3 a 3 … 3 a si n Œ N et n  2 n fois Voici quelques cas particuliers de puissances.

a0 5 1 si a  0

60 5 1

a1 5 a

41 5 4

Logarithme ............................. 155

SECTION 4.2 Intérêts simples...................... 163

SECTION 4.3 Intérêts composés.................. 171

SECTION 4.4 Autres contextes monétaires ............................. 183

MÉLI-MÉLO.............. 189

Exemple

Cas particulier

a2m 5 1

an 5

1 si a  0 am n

322 5 1

a si a  0 et n  0

83 5

1 1 5 32 9 3

852

LOIS DES EXPOSANTS Les lois des exposants permettent d’effectuer des opérations sur des expressions écrites sous la forme exponentielle.

Exemple

Loi Produit de puissances de même base

43 3 45 5 43 1 5 5 48 5 65 536

am 3 an 5 am 1 n si a  0 Quotient de puissances de même base am 5 am 2 n si a  0 an

56 5 56 2 2 5 54 5 625 52

Puissance d’un produit (ab)m 5 ambm si a  0 et b  0

(3 3 7)2 5 32 3 72 5 9 3 49 5 441

Puissance d’une puissance (am)n 5 amn si a  0 Puissance d’un quotient

() a b

am 5 m si a  0 et b  0 b

(42)3 5 42 3 3 5 46 5 4096

b 5 l 5 52 5 25 5 0,36 3

CHAPITRE 4

RAPPEL

147

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

FONCTION EXPONENTIELLE • Une fonction exponentielle est une fonction définie par une règle dans laquelle la variable indépendante est un exposant. • Graphiquement, la courbe associée à une fonction exponentielle se rapproche de plus en plus d’une asymptote horizontale. • La règle d’une fonction exponentielle de base peut s’écrire sous la forme f(x) 5 cx, où c  0 et c  1. Graphiquement, la courbe qui lui est associée passe par le point de coordonnées (0, 1). Exemple : f(x) 5 2x Table de valeurs

Graphique

Propriétés

f(x)

f(x )

Domaine : R

0,25

Codomaine : ]0, 1[

0,5

2 2

Abscisse à l’origine : Aucune.

Ordonnée à l’origine : 1

Asymptote

2 4

Signe : Positive sur R. Variation : Croissante sur R. Extremum : Aucun.

• La règle d’une fonction exponentielle transformée peut s’écrire sous la forme f(x) 5 acx, où a  0, c  0 et c  1. Graphiquement, la courbe qui lui est associée passe par le point de coordonnées (0, a). Exemple : f(x) 5 25(2)x Table de valeurs x 2

f(x) 1,25

Graphique 4

2,5

Domaine : R

f(x )

10 20

Codomaine : ]2, 0[

Abscisse à l’origine : Aucune.

Ordonnée à l’origine : 25

Asymptote

Propriétés

Signe : Négative sur R.

Variation : Décroissante sur R.

Extremum : Aucun.

RÉCIPROQUE • Une réciproque s’obtient en intervertissant les valeurs de chacun des couples d’une relation entre deux variables.

Exemple : f(x) 5 x2 et sa réciproque. f (x) x 2 6 4

• Les courbes d’une relation et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la droite d’équation y 5 x. • La réciproque peut être ou non une fonction. Si la réciproque de la fonction f est une fonction, alors on la note f 21.

148

CHAPITRE 4

RAPPEL

Axe de symétrie

2 4

2 0 2

x Réciproque

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

1 Évaluez chacune des expressions. a) 522

b) 70

e) b l 4

f) b l 5

c) 05

d) 2,83

g) 122

h) b l 8 1

2 Déterminez si chacun des énoncés est vrai ou faux. c6 5 c3, où c  0 c2

a) c4 3 c3 5 c12

c) (c5)5 5 c25

d) (c4c7)2 5 c22

e) b l 5 3 , où d  0 d d

f) (c8)0 5 c8

3 Récrivez chacune des expressions sous la forme d’une base affectée d’un exposant positif. a) 42 3 45

1126(11)8 1127(11)0

g) b l 4 7

b) 50 3 53 3 521

c) (35)2 3 (34)21

e) b 2 l 7

f) b l b l 3 3

h) b 5 l 6

i ) 4b

423 22 l 41

CHAPITRE 4

RAPPEL

149

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

4 Simplifiez chacune des expressions algébriques. Exprimez votre réponse à l’aide d’exposants positifs. a) a3 3 a2 3 a

b) (b3)4 3 b0

d) (c2d3)4

g) b 2 l d c5

m7 m0 3 3 2 m m

c) 23m 1 1 3 2m 1 2

f) b l b a

b2 3 b1 3 b3 b2 3 b7 3 b0

i )

b l

2 26

c3 1

5 Récrivez chaque expression sous la forme d’une puissance de la plus petite base possible.

150

a) 812

b) 163 3 23 3 42

d) 363n 1 4 3 2165n 2 1

CHAPITRE 4

RAPPEL

1252 252

c) 272 3 93 3 35

493 24012 3 76 75

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

6 Dans chaque cas : 1) représentez la réciproque de la fonction ; 2) indiquez si cette réciproque est une fonction.

10 8

2 0 2

8 10 x

10 8

2 0 2

8 10 x

10 8

2 0 2

8 10 x

10 8

2 0 2

8 10 x

7 Soit la fonction exponentielle dont la règle est f(x) 5 3x. a) Représentez : 1) la fonction f ; 2) la réciproque de la fonction f.

b) La réciproque est-elle une fonction ? Expliquez votre réponse.

CHAPITRE 4

RAPPEL

151

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

8 Dans chaque cas : 1) représentez la fonction ; 2) déterminez les propriétés de la fonction.

a) f(x) 5 2b l 3 1

b) g(x) 5 25,2(1,5)x

f(x)

g(x)

2) Domaine :

Codomaine :

Abscisse à l’origine :

Ordonnée à l’origine :

Signe :

Variation :

Extremum :

c) h(x) 5 22,5(0,4)x 1)

d) i(x) 5 2(1,25)x 1)

h(x)

i(x)

2) Domaine :

152

2) Domaine :

Codomaine :

Abscisse à l’origine :

Ordonnée à l’origine :

Signe :

Variation :

Extremum :

CHAPITRE 4

RAPPEL

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

9 Dans chaque cas, déterminez la règle de la fonction exponentielle associée à la table de valeurs. a)

x 1

g(x)

9 32

4,5

147

1152

0 2

3 7

f(x)

2 2 2

h(x)

14 3

6 7

18 49

10 Dans chaque cas, déterminez la règle de la fonction exponentielle. a)

f(x)

g(x )

(0, 2)

(1, 22)

h(x) 0 (0, 8)

( 2, 72) (2, 98)

(0, 4,4) 0

11 Une ville compte 75 000 habitants en 2000. De 2000 à 2010, la population diminue de 3 % par année. Depuis 2010, à la suite de l’implantation d’une grande entreprise, la population augmente de 2 % par année. Quelle est la population de cette ville en 2015 ?

CHAPITRE 4

RAPPEL

153

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

12 Voici des renseignements concernant trois modèles de bateaux. Modèle A

Modèle B

Modèle C

• Coût d’achat : 28 000 $

• Coût d’achat : 34 000 $

• Coût d’achat : 23 000 $

• Taux de dépréciation annuel moyen : 10 %

• Taux de dépréciation annuel moyen : 15 %

• Taux de dépréciation annuel moyen : 8 %

Lequel de ces modèles aura la meilleure valeur de revente 10 ans après son achat ?

Réponse :

13 La plupart des balles utilisées dans les sports ont la capacité de rebondir grâce à leur élasticité. Voici des renseignements concernant trois types de balles dont la capacité de rebondir peut être modélisée à l’aide d’un modèle exponentiel. Balle de type A On laisse tomber cette balle d’une hauteur de 30 m. Elle a la capacité de rebondir 3 aux de la hauteur 5 du rebond précédent.

Balle de type B Nombre de rebonds

Hauteur du rebond (m)

18,75

 14,06

 10,55

Hauteur du rebond (m) 30 20

Balle de type C

(0, 20) (2, 10,368)

10 0

6 Nombre de rebonds

Le 7e rebond de laquelle de ces balles est-il le plus haut ?

Réponse :

154

CHAPITRE 4

RAPPEL

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

Logarithme FONCTION LOGARITHMIQUE La réciproque d’une fonction exponentielle f dont la règle est f(x) 5 cx correspond à une fonction logarithmique dont la règle est f 21(x) 5 logc x, où c  0 et c  1.

Exemple : Soit la fonction exponentielle dont la règle est f(x) 5 2x, et sa réciproque, dont la règle est f 21(x) 5 log2 x.

f(x) 2x

(1, 2) (0, 1) 1

1 b 1, 2 l

f 1(x) log2x (2, 1)

(1, 0) 1

0 Asymptote de f

1 b 2 , 1l

Axe de symétrie Asymptote de f 1

LOGARITHME Un logarithme est un exposant. Ainsi, dans l’expression n 5 logc m, n correspond à l’exposant qu’il faut attribuer à c pour obtenir m. L’expression « logc m » se lit « logarithme de m en base c », où m  0, c  0 et c  1. Exemple : Dans l’expression 2 5 log416, 2 est l’exposant qu’il faut attribuer à 4 pour obtenir 16. En effet, 42 5 16. On dit alors que 2 est le logarithme de 16 en base 4. ÉQUIVALENCE ENTRE FORME EXPONENTIELLE ET FORME LOGARITHMIQUE L’équivalence suivante permet de passer d’une forme d’écriture exponentielle à une forme d’écriture logarithmique et vice versa, où m  0, c  0 et c  1. Forme exponentielle Puissance

Base

Exposant

103 5 1000 3 est l’exposant qu’il faut attribuer à 10 pour obtenir 1000.

Base

4 5 log381

3 5 log101000 3 est le logarithme de 1000 en base 10.

Argument (puissance)

n 5 logc m

4 est le logarithme de 81 en base 3.

4 est l’exposant qu’il faut attribuer à 3 pour obtenir 81. 3)

Logarithme (exposant)

m 5 cn

Exemples : 1) 81 5 34

Forme logarithmique

32 5 25

5 est le logarithme de 32 en base 2.

5 est l’exposant qu’il faut attribuer à 2 pour obtenir 32. 4)

322 5

1 9

22 est l’exposant qu’il faut attribuer

1 à 3 pour obtenir . 9

5 5 log232

2 5 log3

1 9

2 est le logarithme

1 en base 3. 9

CHAPITRE 4

Logarithme

155

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

LOGARITHMES PARTICULIERS Voici certaines relations particulières en lien avec les logarithmes, pour lesquelles c  0 et c  1. – logc1 5 0 , car 0 est l’exposant qu’il faut attribuer à c pour obtenir 1. – logcc 5 1 , car 1 est l’exposant qu’il faut attribuer à c pour obtenir c. – logcct 5 t , car t est l’exposant qu’il faut attribuer à c pour obtenir ct. – Si m  0, la valeur du logarithme qu’il faut attribuer à l’expression logc m n’existe pas. Exemples : 1) log81 5 0, car 80 5 1 2) log77 5 1, car 71 5 7

log422 n’existe pas. 3) log553 5 3, car 53 5 53 4)

LOGARITHME DÉCIMAL, LOGARITHME NATUREL ET CHANGEMENT DE BASE • Le logarithme en base 10, appelé logarithme décimal, ainsi que le logarithme en base e, appelé logarithme naturel (ou népérien), peuvent s’écrire sans la base. log10 m 5 log m, où m  0. loge m 5 ln m, où m  0. • On peut effectuer un changement de base à l’aide de l’équivalence suivante, ce qui permet de calculer le logarithme d’un nombre dans n’importe quelle base. Généralement, on choisira 10 ou e, qui vaut environ 2,7183, comme valeur de d afin de pouvoir calculer la valeur d’un logarithme à l’aide d’une calculatrice. On utilise alors la touche LOG pour la base 10 et la touche LN pour la base e. logc m 5

Exemples : 1) log1001000 5

logd m , où m  0, c  0, c  1, d  0 et d  1. logd c

log101000 log 1000 3 5 5 5 1,5 log10100 log 100 2

loge8 ln 8 5 , soit  1,8928. loge3 ln 3

2) log38 5

RÉSOLUTION D’UNE ÉQUATION EXPONENTIELLE OU LOGARITHMIQUE Il est possible de résoudre une équation exponentielle ou logarithmique en passant d’une expression écrite sous la forme exponentielle à une expression écrite sous la forme logarithmique et vice versa. Exemples : On veut résoudre les équations exponentielles ou logarithmiques suivantes. 1) 7(1,06)n 5 1400 2) 4,5(3)5t 5 100,35 1,06n 5 200 35t 5 22,3 n 5 log1,06200 5t 5 log322,3 5

log 200 log 1,06

 90,9287

CHAPITRE 4

log 22,3 log 3

5t  2,8259 t  0,5652 4) 8 log5250s log 5250s 250s 250s

3) 5 log64x 5 20 log64x 5 4 4x 5 64 4x 5 1296 x 5 324

156

5t 5

5 24 5 3 5 53 5 125

s 5

L ogarithme

1 2

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

1 Dans chaque cas, déterminez la règle de la réciproque de la fonction exponentielle. a) f(x) 5 5x

b) g(x) 5 4,8x

c) h(x) 5 b l 5

d) i(x) 5 10x

e) j(x) 5 b l 8

f) k(x) 5 px

2 Déterminez quelle ou quelles expressions sont fausses. A

log77 5 7

log 10 5 1

log381 5 27

log 1 5 0

1 log12111 5 2

log292 5 9

3 Déterminez quelle ou quelles expressions sont vraies. A

2 5 32 ¤ 5 5 log322

1 1 4 5 ¤ 4 5 log23 64 64

1 1 7 5 ¤ 22 5 log7 49 49

4 Dans chaque cas, récrivez l’expression sous la forme logarithmique. a) 32 5 9

b) 53 5 125

c) 103 5 1000

d) 80 5 1

e) b l 5 3 27

f) 144 2 5 12

g) 256 5 b l 4

h) 6x 5 216

i ) t 5 2,5s

j) y 5 b l 7

k) 10v 5 w

l) b 5 b l c

5 Dans chaque cas, récrivez l’expression sous la forme exponentielle. a) log636 5 2

b) log71 5 0

c) log381 5 4

d) log 0,001 5 23

e) log5 5 21

1 5

f) log 10 5 1

g) log443 5 3

h) log232 5 5

i ) log 100 5 p

j) log0,75 y 5 x

k) logt s 5 r

l) logd

CHAPITRE 4

1 1 5 c e

Logarithme

157

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

6 Sans utiliser de calculatrice, déterminez la valeur de chacun des logarithmes. a) log749

e) log3

1 9

i ) log 1 1

b) log464

c) log232

d) log 1000

f) log164

g) log77

h) log11112

k) log 100

l) log 0,01

o) logp p3

p) logx

j) log2

m) logc1

1 8

n) logt t

1 x

7 Sans utiliser de calculatrice, déterminez la valeur de chacune des expressions. a) log24 2 log381 1 log55

b) log39 2 log81 1 log7723 2 log2

c) log 1000 1 log525 2 log 1 3

1 1 log61 9

1 4

d) logx x 1 logvv3 2 logw1 1 log 10

8 À l’aide d’une calculatrice, déterminez la valeur de chacune des expressions. a) log78

1 3

d) log8

b) log526

c) log 60

e) log 0,001 2 log254

f) log240 3 log 2 3

7 8

9 Récrivez chacune des expressions à l’aide d’un seul logarithme. a)

158

log 5 log 2

CHAPITRE 4

L ogarithme

log 16 log 3

log 27 log 8

log s log t

log u2 log v

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

10 Résolvez chacune des équations exponentielles. a) 2x 5 120

b) 5x 5 100

c) 3x 5 75

d) 2(7)x 5 36

e) 4(0,9)x 5 82

f) 100(1,05)x 5 3832

g) 43x 5 28

h) 64x 5 512

i ) 7 2 5 80

11 Résolvez chacune des équations logarithmiques. 1 3

a) log3 x 5 2

b) log7 x 5 3

c) log8 x 5

d) 2 log 5x 5 4

e) 3 log62x 5 12

f) 6 log48x 5 30

12 Louka achète une voiture. Celle-ci perd 6 % de sa valeur à chaque année. Après combien d’années la voiture de Louka vaudra-t-elle la moitié de sa valeur initiale ?

CHAPITRE 4

Logarithme

159

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

13 En 2014-2015, une importante épidémie de maladie à virus Ebola a sévi en Afrique de l’Ouest. Au total, près de 30 000 personnes ont été infectées. De mars 2014 à mars 2015, le nombre N(t) de personnes infectées a suivi un modèle exponentiel dont la règle est N(t) 5 180(1,63)t, où t est le temps écoulé (en mois) depuis mars 2014. a) Combien y avait-il de personnes infectées en septembre 2014 ?

Réponse : b) À quel moment y a-t-il eu 25 000 personnes infectées ?

Réponse :

14 Certaines espèces de bactéries ont une reproduction fulgurante. Dans des conditions favorables, l’une de ces espèces de bactéries se reproduit de telle sorte que le nombre de bactéries triple toutes les heures. a) Sachant qu’une culture contient au départ 500 bactéries, quel sera le nombre de bactéries 10 h après le début de la reproduction ?

Réponse : b) À quel moment y aura-t-il 1 000 000 de bactéries ?

Réponse :

160

CHAPITRE 4

L ogarithme

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

15 Le carbone 14, noté 14C, est un élément radioactif qui se désintègre très lentement et qui se trouve dans tous les organismes vivants. Un organisme contient 2 mg de 14C à sa mort. La quantité Q(t) de 14C restant (en mg) dans cet organisme est donnée par une fonction exponentielle dont la règle est Q(t)  2(0,999 876)t, où t est le temps écoulé (en années) depuis la mort de l’organisme. a) Quelle sera la quantité de 14C contenue dans cet organisme dans 1000 ans ?

Réponse : b) À quel moment cet organisme contiendra-t-il 1 mg de 14C ?

Réponse :

16 Au cours d’une canicule, la quantité d’eau dans une piscine diminue de 2 % par jour en raison de l’évaporation. Si, au début d’une canicule, une piscine contient 50 000 L d’eau : a) combien de litres d’eau restera-t-il dans la piscine après 4,5 jours de canicule ?

Réponse : b) après combien de jours de canicule la quantité d’eau dans la piscine aura-t-elle diminué de 6000 L ?

CHAPITRE 4

Logarithme

161

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

17 Une ville comptait 48 000 habitants en 2000. Depuis ce temps, la population a augmenté de 1,5 % par année à la suite de l’implantation d’entreprises œuvrant dans le domaine de l’aérospatiale et dans celui des jeux vidéo. a) Combien y avait-il d’habitants dans cette ville en 2010 ?

Réponse : b) En quelle année y avait-il 58 500 habitants dans cette ville ?

Réponse :

18 Généralement, la quantité d’air dans un ballon gonflé à l’hélium diminue de 7 % chaque heure. Si un ballon contient 1500 cm3 d’hélium : a) quelle quantité d’hélium y aura-t-il dans le ballon dans 12 h ?

Réponse : b) à quel moment, la quantité d’hélium dans le ballon sera-t-elle de 400 cm3 ?

Réponse :

162

CHAPITRE 4

L ogarithme

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

Intérêts simples VOCABULAIRE FINANCIER Voici la signification de quelques termes propres aux mathématiques financières. – Intérêts : Somme d’argent calculée sur un capital. – Taux d’intérêt ( i ) : Pourcentage utilisé pour calculer de l’intérêt sur un capital. – Capital initial (C0 ) : Somme d’argent placée ou empruntée initialement. – Capital accumulé (Cn ) : Somme d’argent placée ou empruntée, durant une durée n, qui comprend le capital initial auquel s’ajoutent les intérêts.

– Période d’intérêt : Intervalle de temps entre deux calculs consécutifs des intérêts. – Semestre : Période de six mois consécutifs. Dans une année, il y a deux semestres. – Trimestre : Période de trois mois consécutifs. Dans une année, il y a quatre trimestres.

INTÉRÊTS SIMPLES Un capital produit des intérêts simples si les intérêts sont calculés uniquement sur le capital initial, et ce, durant toute la durée d’un placement, d’un prêt ou d’un emprunt. Cela signifie qu’à la fin de chaque période, les intérêts générés pendant celle-ci ne sont pas ajoutés au capital pour le prochain calcul des intérêts. CAPITALISATION À INTÉRÊTS SIMPLES • La capitalisation est une opération qui permet de déterminer la valeur future d’un capital. Elle consiste à intégrer des intérêts au capital afin d’obtenir un capital accumulé après un certain temps. • La capitalisation à intérêts simples peut être calculée à l’aide de la formule suivante. – Cn est le capital accumulé ; – C0 est le capital initial ; Cn 5 C0(1 1 n 3 i ) , où :

– n est la durée (c’est-à-dire le nombre de périodes) ; – i est le taux d’intérêt simple. Note : Au besoin, on transforme la durée n de façon à obtenir la même unité de temps que le taux d’intérêt i.

Exemples : 1) On place un capital initial de 100 $ à un taux d’intérêt simple annuel de 4 %. On veut déterminer à combien s’élèvera le capital accumulé dans 8 ans. Ici, C0 5 100 $, n 5 8 ans et i 5 4 %. Cn 5 C0(1 1 n 3 i ) C8 5 100(1 1 8 3 4 %) 5 100(1,32) 5 132 Donc, 132 $. Dans 8 ans, le capital accumulé sera de 132 $.

On emprunte 1000 $ à un taux d’intérêt simple mensuel de 2 %. On veut déterminer à combien s’élèvera le capital accumulé dans 2 ans et 9 mois. Ici, C0 5 1000 $ et i 5 2 %. n 5 2 3 12 1 9 5 24 1 9 5 33 mois Cn 5 C0(1 1 n 3 i ) C33 5 1000(1 1 33 3 2 %) 5 1000(1,66) 5 1660 Donc, 1660 $. Dans 2 ans et 9 mois, le capital accumulé sera de 1660 $.

CHAPITRE 4

Intérêts simples

163

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

ACTUALISATION À INTÉRÊTS SIMPLES • L’actualisation est une opération qui permet de déterminer la valeur initiale d’un capital connaissant sa valeur accumulée après un certain temps. Elle est l’opération inverse de la capitalisation. • L’actualisation à intérêts simples peut être calculée à l’aide de la formule suivante. – C0 est le capital initial ; – Cn est le capital accumulé ; C0 5 Cn(1 1 n 3 i )21 , où :

Exemples : 1) Un capital accumulé de 1248 $ est obtenu après un placement de 7 ans à un taux d’intérêt simple semestriel de 4 %. On veut déterminer à combien s’élevait le capital initial placé. Ici, Cn 5 1248 $ et i 5 4 %.

On a remboursé une dette en payant 6162,50 $ après 4,5 ans. Sachant que le taux d’intérêt simple trimestriel était de 2,5 %, on veut déterminer à combien s’élevait le capital initial emprunté. Ici, Cn 5 6162,50 $ et i 5 2,5 %.

n 5 7 3 2 5 14 semestres

n 5 4,5 3 4 5 18 trimestres

C0 5 Cn(1 1 n 3 i ) C0 5 1248(1 1 14 3 4 %)21 5 1248(1,56)21 5 800 Donc, 800 $.

C0 5 Cn(1 1 n 3 i )21 C0 5 6162,50(1 1 18 3 2,5 %)21 5 6162,50(1,45)21 5 4250 Donc, 4250 $.

Le capital initial était de 800 $.

Le capital initial était de 4250 $.

DURÉE D’UN PLACEMENT, D’UN PRÊT OU D’UN EMPRUNT À INTÉRÊTS SIMPLES Il est possible de déterminer la durée d’un placement, d’un prêt ou d’un emprunt à intérêts simples en isolant la variable n dans la formule de capitalisation à intérêts simples. Exemple : On a placé 2500 $ à un taux d’intérêt simple annuel de 7 %. On veut déterminer dans combien d’années le capital accumulé sera de 3900 $. Ici, Cn 5 3900 $, C0 5 2500 $ et i 5 7 %. Cn 5 C0(1 1 n 3 i ) 3900 5 2500(1 1 n 3 7 %) 3900 5 1 1 0,07n 2500

1,56 2 1 5 0,07n n 5

0,56 0,07

On peut valider ce résultat de la façon suivante. Cn 5 C0(1 1 n 3 i ) C8 5 2500(1 1 8 3 7 %) 5 2500(1,56) 5 3900 Donc, 3900 $. Dans 8 ans, le capital accumulé sera de 3900 $.

5 8 Donc, 8 ans. Le capital accumulé sera de 3900 $ dans 8 ans.

164

CHAPITRE 4

I ntérêts simples

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

TAUX D’INTÉRÊT SIMPLE Il est possible de déterminer le taux d’intérêt simple d’un placement, d’un prêt ou d’un emprunt en isolant la variable i dans la formule de capitalisation à intérêts simples. Exemple : On a emprunté 4300 $ et, après 5 ans, le capital accumulé s’élève à 8170 $. On veut déterminer à quel taux d’intérêt simple mensuel cet emprunt a été contracté. Ici, Cn 5 8170 $ et C0 5 4300 $.

On peut valider ce résultat de la façon suivante.

n 5 5 3 12 5 60 mois Cn 5 C0(1 1 n 3 i ) 8170 5 4300(1 1 60 3 i )

Cn 5 C0(1 1 n 3 i ) C60 5 4300(1 1 60 3 1,5 %) 5 4300(1,9) 5 8170 Donc, 8170 $.

8170 5 1 1 60i 4300

1,9 2 1 5 60i i 5

0,9 60

À un taux d’intérêt simple mensuel de 1,5 %, l’emprunt de 4300 $ s’élève à 8170 $ après 5 ans.

5 0,015 Donc, 1,5 %. Le taux d’intérêt simple mensuel était de 1,5 %.

1 Dans chaque cas, déterminez le capital accumulé. a) On investit 3000 $ pendant 8 ans à un taux d’intérêt simple annuel de 2 %.

Réponse : c) On emprunte 8000 $ pendant 3,25 ans à un taux d’intérêt simple de 0,1 % par semaine.

b) On place un capital initial de 5500 $ pendant 5 ans à un taux d’intérêt simple annuel de 6 %.

Réponse : d) On emprunte 2000 $ pour une période de 6 ans et 6 mois à un taux d’intérêt simple de 5 % par semestre.

Réponse : CHAPITRE 4

Intérêts simples

165

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

2 Dans chaque cas, déterminez le capital initial. a) À un taux d’intérêt simple trimestriel de 2 %, le capital accumulé d’un prêt atteindra 13 650 $ dans 3 ans et 9 mois.

b) Dans 7 ans, le capital accumulé d’un placement aura une valeur de 3448,50 $. Le taux d’intérêt simple est de 8 % par année.

Réponse :

Réponse : c) À un taux d’intérêt simple de 5,25 % par semestre, l’emprunt coûtera 9144,63 $ après 8,25 ans.

d) Dans 9,5 ans, le remboursement d’une dette sera de 10 420,75 $ à un taux d’intérêt simple annuel de 4,5 %.

Réponse :

3 Dans chaque cas, déterminez la durée du placement ou de l’emprunt. a) Un placement de 2300 $ rapporte 3059 $ à un taux d’intérêt simple mensuel de 1,5 %.

Réponse :

166

CHAPITRE 4

b) Un capital initial de 6100 $ génère un capital accumulé de 7701,25 $ à un taux d’intérêt simple annuel de 3,5 %.

I ntérêts simples

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

1 Selon le cas, récrivez l’expression sous la forme logarithmique ou sous la forme exponentielle. a) 73 5 343

b) 84 5 4096

c) log67776 5 5

d) log

1 5 23 1000

2 Sans utiliser de calculatrice, déterminez la valeur de chacune des expressions. a) log39 1 2 log71 1 3 log216 2 log5125

b) 2 log464 1 log 105 2 6 log28 1 log 1 3

1 9

3 Selon le cas, résolvez l’équation exponentielle ou l’équation logarithmique. a) 2(6)x 5 26

b) 4 log4256x 5 20

4 Dans chaque cas, déterminez le capital accumulé. a) On place 7000 $ pendant 5,75 ans à un taux d’intérêt simple annuel de 8 %.

Réponse :

b) On emprunte 4800 $ pendant 3 ans à un taux d’intérêt simple mensuel de 1,35 %.

Réponse :

5 Dans chaque cas, déterminez le capital initial. a) Dans 7 ans, le capital accumulé d’un b) Dans 2 ans, le remboursement d’une dette placement à un taux d’intérêt simple semestriel sera de 9409,84 $ à un taux d’intérêt simple de 4,3 % aura une valeur de 3764,70 $. hebdomadaire de 0,15 %.

Réponse : CHAPITRE 4

MÉLI-MÉLO

189

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

6 Dans chaque cas, calculez le capital accumulé. a) On place pendant 6 ans une somme de 9250 $ à un taux d’intérêt composé annuel de 7,3 %.

b) On emprunte une somme de 4100 $ pour 7 ans à un taux d’intérêt composé mensuel de 1,25 %.

Réponse :

7 Dans chaque cas, calculez le capital initial. a) Dans 4,5 ans, le capital accumulé d’un b) Dans 8 ans, le remboursement d’une dette placement vaudra 9907,35 $. Le taux d’intérêt sera de 32 910,57 $ à un taux d’intérêt composé trimestriel est de 1,75 % par année. composé semestriel de 5,9 %.

Réponse :

8 Une personne publie sa photo sur les réseaux sociaux. La première journée, 43 personnes voient cette photo. Puis, ce nombre augmente de 18 % par jour. a) Combien de personnes verront cette photo la 10e journée ?

Réponse :

190

CHAPITRE 4

b) À quel moment 2283 personnes verront cette photo ?

Réponse :

M ÉLI-MÉLO

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

21 Marie-Pier veut placer 2000 $ à la banque pendant 5 ans. La banque lui offre le choix entre trois placements. Lequel doit-elle choisir pour obtenir le capital accumulé le plus élevé ? Placement A

Placement B

Placement C

Taux d’intérêt simple trimestriel de 1 %

Taux d’intérêt composé annuel de 4 %

Taux d’intérêt composé mensuel de 0,3 %

Réponse :

22 En 1975 a eu lieu la commercialisation au grand public des premiers fours à micro-ondes. En 2015, plus de 80 % des ménages possédaient un four à micro-ondes dont le prix de vente moyen était de 150 $. Ce prix a diminué, en moyenne, de 5,2 % par an depuis 1975. Quel était le prix de vente moyen d’un four à micro-ondes en 1975 ?

Réponse :

23 Le prix des actions d’une entreprise a fluctué au cours des dernières années. En 2002, le prix d’une action était de 63 $ et il a augmenté en moyenne de 7,1 % par an jusqu’en 2008. De 2008 à 2012, la valeur de l’action a chuté en moyenne de 4,3 % par an. Quelle était la valeur de l’action en 2012 ?

CHAPITRE 4

MÉLI-MÉLO

195

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

24 En 1980, on estime qu’une famille québécoise pouvait subvenir à ses besoins avec 8000 $ par an. Depuis ce temps, le coût de la vie a augmenté en moyenne de 4 % par an. En quelle année, une famille québécoise pouvait-elle subvenir à ses besoins avec 26 000 $ ?

Réponse :

25 Dans un quartier résidentiel, la valeur des maisons augmente chaque année. En 1990, la valeur moyenne d’une maison était de 145 860 $ et en 2015, de 344 703 $. Quel est le pourcentage d’augmentation annuel moyen de la valeur de ces maisons de 1990 à 2015 ?

Réponse :

26 Au cours des 15 années suivant l’achat d’une voiture, sa valeur diminue en moyenne de 14 % par an. Ensuite, sa valeur reste stable durant 10 ans. Par la suite, si elle est entretenue minutieusement, la voiture reprend de la valeur au rythme de 5,5 % par an en moyenne. Combien d’années après son achat une voiture de 40 000 $ retrouvera-t-elle sa valeur d’achat ?

Réponse :

196

CHAPITRE 4

M ÉLI-MÉLO

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

La fabrication du fromage Lorsqu’il est prêt à consommer, un fromage de 1 kg contient 30 millions de bactéries. Lors de sa fabrication, 100 000 bactéries sont injectées dans le mélange de lait et ce nombre augmente de 60,852 % par semaine dans des conditions bien précises, jusqu’à ce que le fromage soit prêt à consommer. Louisa se lance dans la fabrication du fromage. Afin de se procurer les équipements nécessaires, elle emprunte 34 300 $ à un taux d’intérêt composé quotidien de 0,2 %. Elle prévoit fabriquer 500 meules de fromage de 1 kg chacune, qu’elle vendra 120 $ l’unité dans les 2 semaines qui suivent la fin de la préparation du fromage. Elle remboursera ensuite son prêt avec l’argent de la vente du fromage. Le profit de la vente sera quant à lui placé pendant 5 ans à un taux d’intérêt composé de 4,3 % par semestre. Déterminez le montant généré par le placement.

Démarche et calculs

CHAPITRE 4

MÉLI-MÉLO

199

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

Réponse

200

CHAPITRE 4

M ÉLI-MÉLO

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

Taux d’intérêt composé ou simple ? Lors d’une discussion entre amis, Colin affirme que, pour faire un placement, il est toujours plus avantageux d’avoir un taux d’intérêt composé i durant une certaine période au lieu d’un taux d’intérêt simple i pendant la même période. Pour expliquer cela, Colin rappelle que, dans le cas des intérêts composés, les intérêts générés pendant une période sont ajoutés au capital pour un prochain calcul d’intérêts, contrairement aux intérêts simples, qui ne sont calculés que sur le capital initial. Déterminez si Colin a raison de faire cette affirmation. Expliquez votre réponse.

Démarche et calculs

CHAPITRE 4

MÉLI-MÉLO

201

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

Réponse

202

CHAPITRE 4

M ÉLI-MÉLO

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

DATE ________________

1 La valeur d’un placement à un taux d’intérêt simple annuel de 6 % est de 8800 $ à l’échéance d’un terme de 10 ans. Quel serait le capital accumulé de ce placement s’il avait été effectué à un taux d’intérêt composé mensuel de 0,5 % ?

Réponse :

2 On a représenté une vue de côté du barrage BCDE. Les prolongements des côtés BC et ED permettent de former les triangles ACD et ABE. Sachant que les segments EB et DC sont parallèles, déterminez la hauteur du barrage. A 56° 200 m

300 m

375 m

Banque de problèmes

259

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

11 Ces deux lingots d’or sont équivalents.

Groupe ________________

Lingot A

DATE ________________

Lingot B

Le lingot A a la forme d’un prisme droit à base rectangulaire et le lingot B a la forme d’une pyramide droite à base rectangulaire. Calculez la hauteur de chacun des lingots.

(x 7,5) cm

(x 3) cm

5 cm 6 cm

6 cm

8 cm

Réponse :

12 Durant une course, trois participants d’une même équipe doivent quitter la station A pour se rendre à la station F. Selon le règlement, au moins deux personnes doivent se trouver en même temps à une station avant d’effectuer un déplacement dont le temps sera comptabilisé. De plus, chaque station doit être visitée par au moins deux personnes en même temps. Chaque sommet du graphe orienté représente une station et chaque arête, le temps (en min) séparant deux stations. Trajet de course 10

D 11

4 5

2 3 E C

Établissez une stratégie permettant aux membres de l’équipe de minimiser le temps nécessaire pour parcourir le trajet.

Réponse :

264

Banque de problèmes

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

CD 2

Groupe ________________

DATE ________________

La modification d’un solide

L’aire totale de ce cube est la même que celle de cette boule. On désire modifier l’un ou l’autre des solides afin de les rendre équivalents et de façon à ce que la variation de l’aire du solide modifié soit minimale. Selon Pier-Alexis, il est plus avantageux de modifier le rayon de la boule afin qu’elle ait le même volume que le cube. Indiquez s’il a raison ou non et justifiez votre réponse.

20 cm

c cm

Réponse :

Banque de problèmes

279

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

CD 1

Groupe ________________

Les frais de déneigement

Voici le réseau routier d’une petite municipalité dans lequel chaque sommet correspond à une intersection et chaque arête, à la distance (en km) qui sépare deux intersections. À la suite d’une tempête, en partant du garage municipal, on doit déneiger les routes en passant dans chaque sens au moins une fois et revenir au garage municipal. Le déneigement de ce réseau coûte 50 $ pour chaque kilomètre parcouru. La municipalité doit emprunter la somme d’argent nécessaire au déneigement durant 2 ans à un taux d’intérêt composé annuel de 5 %. Calculez le coût minimal à rembourser à échéance.

DATE ________________

Réseau routier 3 A B C 0,5 1 1 0,5 E D

0,5 F

1 Garage municipal

0,2 G

1 0,8 I

0,2 H

Réponse :

280

Banque de problèmes

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

CD 2

Groupe ________________

DATE ________________

La collection de cartes

Un collectionneur désire acheter des cartes de joueurs de baseball et de hockey, retraités et actifs, afin de les revendre plus tard. Il achètera au moins 500 cartes au total, mais pas plus de 750. Selon ses estimations, il achètera au moins 150 cartes de hockey et au moins 125 cartes de baseball. Le coût d’une carte de hockey est de 2 $ et celui d’une carte de baseball, de 1,75 $. Parmi les cartes achetées, il y aura exactement 100 cartes de joueurs de hockey retraités et 40 cartes de joueurs de baseball retraités. Selon les tendances du marché, la valeur des cartes de hockey augmentera de 2,5 % par an pendant 10 ans et celle des cartes de baseball, de 1,8 % par an pendant 15 ans. Ensuite, la valeur des cartes restera stable. Après 15 ans, le collectionneur vend une carte au hasard en visant le plus grand bénéfice. Démontrez que la probabilité de vendre une carte d’un joueur retraité sachant qu’on vend une carte de baseball est supérieure à 30 %.

Banque de problèmes

281

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

CD 1

Groupe ________________

DATE ________________

Le financement d’activités

Pour financer les activités soulignant le 250e anniversaire d’une ville, on organise une loterie auprès des citoyens. Avant de procéder à la vente des billets, les responsables s’interrogent sur trois différentes propositions de tirage. Propositions de tirage Proposition A

Proposition B

Proposition C

Coût du billet

100 $

80 $

50 $

Lot 1

2000 $

1500 $

1000 $

Lot 2

6000 $

5000 $

4000 $

Lot 3

80 000 $

72 000 $

50 000 $

Les organisateurs s’entendent sur les probabilités de gain suivantes. P(lot 1) 5

1 50

P(lot 2) 5

1 200

P(lot 3) 5

1 5000

Quelle proposition de tirage les organisateurs devraient-ils retenir s’ils désirent un jeu qui avantage le plus possible le financement des activités ?

Réponse :

288

Banque de problèmes

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

DATE ________________

Questions à choix multiple

1 Quels couples sont des solutions de l’inéquation 2x 2 5y  40 ? a) (0, 28) et (210, 4)

b) (210, 28) et (220, 0)

c) (0, 8) et (210, 24)

d) (0, 210) et (20, 26)

2 Quelle est la mesure du segment AB dans le triangle ABC ? a) < 1795,5 cm

b) < 42,37 cm

c) < 22,28 cm

d) < 36,73 cm

B ? 18,9 cm

112°

31,5 cm

3 Quel graphe n’est pas un graphe complet ? a)

c) b

d a

4 Quelle est la forme logarithmique de l’expression exponentielle 24 5 16 ? a) 16 5 log24

b) 4 5 log216

c) 2 5 log416

d) 2 5 log164

5 Un sac contient 120 billes dont certaines sont jaunes et d’autres bleues. Si on tire au hasard une bille de ce sac, les chances pour qu’elle soit bleue sont de 5 : 3. Combien y a-t-il de billes jaunes dans le sac ? a) 15

b) 75

c) 72

d) 45

6 Quels couples sont des solutions de ce système d’inéquations ? a) (1, 3), (0, 4) et (0, 3)

b) (0, 22), (0, 11) et (2, 4)

c) (0, 0), (1, 5) et (22, 6)

d) (0, 1), (22, 2) et (21, 2)

x$0 y$0 4x 1 2y $ 22 22x 1 y $ 1

7 Quelle expression est fausse ? a) 4 5 log381

b) 2 5 log864

1 5 log82 3

d) 7 5 log249

8 Une somme de 4700 $ est placée à un taux d’intérêt simple annuel de 6 %. Quel est le capital accumulé après 5 ans ? a) 6289,66 $

b) 3615,38 $

c) 6110 $

d) 4841 $

9 Quel est le nombre chromatique du graphe suivant ? a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

E Révision

289

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

22 Ce tableau indique le nombre d’enfants

13 14

Âge

[0, 1[

[1, 2[

[2, 3[

[3, 4[

[4, 5[

[5, 6[

Total

Fille

Garçon

Total

Sexe

13 20

23 Les candidats A, B et C se présentent à l’élection

13 27

Nombre de parents

c) C

d) Aucun

13 38

1er choix

2e choix

3e choix

Préférence

Quel candidat ou quelle candidate remportera l’élection selon le principe de Condorcet ? b) B

Élection à la présidence du club de natation

à la présidence du club de natation Les poissons rouges. Les parents ordonnent les trois candidats selon leur préférence et remettent leur bulletin de vote. Les résultats du vote sont présentés dans le tableau.

a) A

DATE ________________

Garderie Beau soleil

dans une garderie selon leur âge. On choisit au hasard un enfant de cette garderie. Quelle est la probabilité que cet enfant ait moins de 4 ans sachant qu’il est une fille ?

Groupe ________________

24 Quelle représentation graphique correspond à l’ensemble-solution de l’inéquation 2x 2 5y  10 ? a)

2 0 2

b) < 90,57°

c) < 89,43°

d) < 86,27°

2 0 2

25 Quelle est la mesure de l’angle C dans le triangle illustré ? a) < 93,73°

44,27 cm A 39,56 cm

22,61 cm

? C

26 Pendant une journée dans un camp de vacances, 150 enfants ont la possibilité de faire du canot, de la tyrolienne et de l’escalade. Le diagramme de Venn représente la répartition des enfants selon les activités pratiquées. Si on choisit au hasard un de ces enfants, quelle est la probabilité qu’il ait fait du canot sachant qu’il a aussi fait de l’escalade ? 2 5 38 c) 45

292

Révision

38 75 6 d) 25

Répartition des enfants selon les activités pratiquées Tyrolienne

Canot 30

22 38

14 16

Escalade

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

DATE ________________

Questions à réponse courte

37 Déterminez la mesure de la hauteur de ce cylindre sachant

Prisme droit à base carrée

qu’elle est le double de celle du rayon et que ces deux solides sont équivalents.

Cylindre circulaire droit r

16,2 cm

9,4 cm

38 Dans le triangle ABC, quelle est la mesure du segment BC ?

B ?

119,9 cm

48°

268,6 cm

39 L’ordre d’un graphe est 5 et le degré de chaque sommet est A : 5, B : 2, C : 1, D : 0 et E : 0. Ce graphe est-il connexe ? Sinon, quel nombre minimal d’arêtes faut-il ajouter pour le rendre connexe ?

40 Quelle est la solution de l’équation 2(5)x 5 36 ?

41 Représentez graphiquement l’ensemble-solution du système

d’inéquations. y # 5

2x 1 y  10

x # 7

yx

6 4 2

2 0 2

8 10 12 x

Révision

295

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

DATE ________________

55 Dans une bijouterie, on vend les colliers Impératrice et Déesse. Pour éviter d’avoir un trop gros stock, on ne peut garder en boutique plus de 55 colliers. Cependant, pour en garder l’exclusivité, la bijouterie doit en posséder au moins 35. Le collier Impératrice est au moins trois fois plus populaire que le collier Déesse. Le profit est de 80 $ sur la vente d’un collier Impératrice et de 105 $ sur la vente d’un collier Déesse. Sachant que x correspond au nombre de colliers Impératrice, que y correspond au nombre de colliers Déesse et que l’objectif est de maximiser le profit P (en $) : a) traduisez les contraintes de cette situation par un système d’inéquations ;

b) établissez la règle de la fonction à optimiser.

56 Dans une école, on procède à l’installation d’un nouveau système d’interphone. Dans le graphe, chaque sommet représente un haut-parleur et la valeur associée à une arête représente la longueur (en m) de câble nécessaire pour relier deux haut-parleurs. Chaque haut-parleur doit être relié, directement ou non, au centre de contrôle.

Système d’interphone A 18

35 21

Centre de contrôle

15 D

C 22

Sachant que le coût d’installation minimal du câblage de ce système est de 1856,25 $, déterminez le coût d’installation de 1 m de câble.

Réponse :

57 Au cours des élections municipales, les quatre candidats à la mairie ont obtenu les votes suivants. Résultats aux élections municipales Candidat ou candidate Nombre de votes

22 643

27 804

17 029

12 529

Quel candidat ou quelle candidate remportera ces élections si on applique : a) la règle de la pluralité ?

b) la règle de la majorité ?

300

Révision

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

DATE ________________

Questions à développement

58 Dans un magasin à grande surface, une boîte contient 96 barres tendres mesurant chacune 12 cm de longueur, 6 cm de largeur et 2 cm d’épaisseur. Quelle est l’aire totale de cette boîte sachant qu’on a utilisé le moins possible de carton pour la fabriquer ?

Réponse :

59 Afin de réduire les gaz à effet de serre, le gouvernement offre une aide financière aux Québécois dans le but de les encourager à acheter des véhicules électriques. On vise ainsi à passer de 8000 voitures électriques en circulation en 2016 à 100 000 en 2020. Si cet objectif est atteint, quel sera le taux d’augmentation annuel moyen du nombre de véhicules électriques ?

Réponse :

60 Juan collectionne les chandails rouges ou bleus d’équipes professionnelles de soccer et de baseball. Voici certaines informations concernant cette collection. • Juan possède 36 chandails de soccer et 46 chandails bleus. • Si un chandail est choisi au hasard dans sa collection, la probabilité qu’il soit rouge sachant 2 qu’il s’agit d’un chandail de soccer est de . 9

• Si un chandail est choisi au hasard dans sa collection, la probabilité qu’il soit bleu sachant qu’il s’agit d’un chandail de baseball est de 60 %. Quelle est la probabilité de choisir au hasard un chandail de baseball rouge dans la collection de Juan ?

Révision

301

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

DATE ________________

71 En 2013, les consommateurs canadiens ont fait pour 5,649 milliards de dollars d’achats sur Internet. En 2015, les achats sur Internet ont atteint 8 milliards de dollars. Si cette tendance exponentielle se maintient, quelle sera la valeur des achats sur Internet en 2020 ?

Réponse :

72 Alexanne et ses amis veulent amasser des fonds pour les familles pauvres du quartier. Ils demandent à tous les élèves de 5e secondaire d’indiquer ce qui les intéresse le plus comme activité de financement entre une vente de chocolat (V), un lavothon (L), un défilé de mode (D) et un spectacle musical (S). Le tableau indique les résultats obtenus auprès des 280 élèves de 5e secondaire. Activités de financement préférées Nombre d’élèves

1er choix

2e choix

3e choix

4e choix

Préférence

Si Alexanne et ses amis choisissent la vente de chocolat comme activité de financement, nommez deux procédures de vote qu’ils ont pu appliquer.

Réponse :

308

Révision

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

NOTATIONS ET SYMBOLES MATHÉMATIQUES Notation et symbole

Signification

Notation et symbole

Signification

Deuxième puissance de a ou a au carré

Troisième puissance de a ou a au cube

m AB

Mesure du segment AB

n puissance de a ou a exposant n

–A

Angle A

a 5 a

1 2 1 3

Radical a ou racine carrée positive de a

m–A

Segment AB

Mesure de l’angle A

Ensemble des nombres naturels

Ensemble des nombres entiers

Ensemble des nombres rationnels

Logarithme de a en base c

Ensemble des nombres irrationnels

log a

Logarithme de a en base 10

Ensemble des nombres réels

ln a

Logarithme de a en base e

Variation ou accroissement en x

d(A, B )

Distance entre les points A et B

sin A

Sinus de l’angle A

Union d’ensembles. Se lit « union » ou « réunion ».

cos A

Cosinus de l’angle A

Intersection d’ensembles. Se lit « intersection ».

tan A

Tangente de l’angle A

… est inclus dans…

sin x

Arc sinus de x

… n’est pas inclus dans…

cos x

Arc cosinus de x

,/ ,

… est semblable à…

tan x

Arc tangente de x



… n’est pas égal à…



… est approximativement égal à…



… est isométrique à…

[

… appartient à…

[ /

… n’appartient pas à…

a 5 a

a 5 a n

Racine n e de a ou racine n e positive de a si n est pair

logca

Racine cubique de a

D ABC

Triangle ABC

(a, b )

Couple de valeurs a et b

Degré

Infini

… est parallèle à… … est perpendiculaire à… Désigne un angle droit.

P (A) P (A | B)

Probabilité de l’événement A Probabilité que l’événement A se produise sachant que l’événement B s’est déjà produit.

Pourcentage. Se lit « pour cent ».

Univers des résultats possibles d’une expérience aléatoire. Se lit « oméga ».

[a, b]

Intervalle incluant a et b

[a, b[

Intervalle incluant a et excluant b

Ensemble vide

]a, b]

Intervalle excluant a et incluant b

Accolades. Utilisées pour énumérer les éléments faisant partie d’un ensemble.

]a, b[

Intervalle excluant a et b

a:b

Rapport de a à b

[ ou { } {} 1 21 a ou a

Inverse de a

Opposé de a

En géométrie, image du point A. En probabilité, événement complémentaire de l’événement A. Se lit « A prime ».

Nombre irrationnel approximativement égal à 3,14. Se lit « pi ».

f (x )

Image de x par la fonction f. Se lit « f de x ».

x  f (x ) f

x a pour image f (x ). Réciproque de la fonction f

ANNEXES

309

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

AIRE DE FIGURES PLANES Voici les principales formules d’aire de figures planes. Aire d’un carré

Aire d’un losange

Aire d’un parallélogramme d

A 5 c2

Aire d’un rectangle

D3d 2

A5b3h

Aire d’un trapèze

Aire d’un triangle

b h

A5b3h

(B 1 b ) 3 h A5 2

Aire d’un polygone régulier à n côtés

b3h 2

Aire d’un disque

r a

P3a n3c3a 5 2 2

A 5 pr 2

VOLUME DE SOLIDES Voici les principales formules de volume de solides. Volume d’une pyramide droite

Volume d’un prisme droit

Volume d’un cylindre circulaire droit r

h h

V 5 aire de la base 3 hauteur 5 A B 3 h

aire de la base hauteur 3 AB 3 h 5 3

V 5

Volume d’un cône circulaire droit

310

ANNEXES

V 5 aire de la base 3 hauteur 5 A B 3 h 5 pr 2h Volume d’une boule

V 5 aire de la base hauteur 3 5 A B 3 h 3 2 5 pr h 3

4pr 3 3

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

RÈGLES DE TRANSFORMATION DES INÉQUATIONS Les règles de transformation des inéquations permettent d’obtenir des inéquations équivalentes, c’est-à-dire des inéquations ayant le même ensemble-solution. Voici ces règles. 1. L’addition ou la soustraction d’un même nombre aux deux membres de l’inéquation conserve le sens de cette inéquation. Exemples : 1)

14x 2 9 # 5 14x 1 2 # 16

2) 8x 1 2 . 13

14x 2 9 1 11 # 5 1 11

8x 2 3 . 8

8x 1 2 2 5 . 13 2 5

2. La multiplication ou la division des deux membres de l’inéquation par un même nombre strictement positif conserve le sens de cette inéquation. Exemples : 1)

2x 1 1 $ 23 8x 1 4 $ 212

2) 27 1 21x , 6

(2x 1 1) 3 4 $ 23 3 4

(27 1 21x) 4 3 , 6 4 3

9 1 7x , 2

3. La multiplication ou la division des deux membres de l’inéquation par un même nombre strictement négatif inverse le sens de cette inéquation. Exemples : 3x 2 1 , 4

6x 1 2 . -8

2) 18x 2 6 $ 12

(3x 2 1) 3 22 . 4 3 22

(18x 2 6) 4 26 # 12 4 26

3x 1 1 # 22

DISTANCE ENTRE DEUX POINTS • La distance entre un point A et un point B, notée d(A, B), correspond à la longueur du segment qui relie ces deux points. • Une distance s’exprime toujours par un nombre positif. • On peut déterminer la distance entre un point A(x1, y1) et un point B(x2, y2) à l’aide de la formule suivante. d(A, B)

( x2 x1 )2 ( y 2 y1 )2

Exemple : Dans le plan cartésien représenté, on a :

A(2, 4) et B(9, 2). 2

d(A, B)

( x2 x1 )2 ( y 2 y1 )2

d(A, B)

( 9 2 )2 ( 2 4 )2

7 2 ( 6 )2

49 36

9, 22 u

4 2

d(A, B)

6 0

7 4

ANNEXES

311

financière

Claude Boivin Dominique Boivin Richard Cadieux Dominic Paul Vincent Roy François Pomerleau

NOUVEAUTÉ

Mathématique

STRUCTURE DU CAHIER • Un Test diagnostique ;

Pour l’enseignant

Pour l’élève

• Pour l’animation en classe et la correction collective, la version numérique du cahier vous permet : – de projeter, d’annoter et de feuilleter le cahier en entier ; – d’afficher le corrigé du cahier, question par question ; – d’accéder à tout le matériel reproductible ; – de partager des notes et des documents avec vos élèves ; – de corriger leurs réponses directement dans la version numérique de leur cahier ; – d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic ; – et de travailler dans votre matériel même sans connexion Internet.

• La version numérique du cahier permet à l’élève : – de feuilleter et d’annoter chaque page ; – d’écrire ses réponses dans son cahier ; – de travailler dans son cahier sans connexion Internet.

NOUVEAU PROGRAMME CULTURE, SOCIÉTÉ ET TECHNIQUE (CST)

Cahier d’apprentissage Notions Exercices Problèmes

Cahier d’apprentissage

• Une Banque de problèmes de 30 pages se terminant par des problèmes de type CD 1 et CD 2 ;

Mathématique 5e secondaire NOUVEAU PROGRAMME CULTURE, SOCIÉTÉ ET TECHNIQUE (CST)

Mathématique 5e secondaire

CONFORME À LA MISE À JOUR DU PROGRAMME CST 2016

Claude Boivin Dominique Boivin Richard Cadieux Dominic Paul Vincent Roy François Pomerleau