De paseo por el triángulo

problemas SIN NÚMERO

Claudia Hernández García

Von Neumann, aun afirmando la autonomía de las mate-

máticas y aceptando la existencia de criterios internos o puramente estéticos que podían guiar la investigación, creía en la necesidad de no romper la relación entre las matemáticas y la realidad. Según él, las matemáticas presentaban una característica tensión entre exigencia de pureza estética y exigencia de relación con la realidad empírica que describía en estos términos:

Pienso que es una aproximación relativamente buena a la verdad –que es demasiado complicada y no permite nada más que aproximaciones– afirmar que el origen de las ideas matemáticas reside en lo empírico, aunque la genealogía sea en ocasiones larga y oscura. No obstante, una vez así concebido, el tema inicia una vida propia John von Neumann. peculiar, y es oportuno parangonarlo con un tema creativo, que es guiado casi completamente por motivaciones estéticas, más que con cualquier otra cosa, y en particular más que compararlo con la ciencia empírica. Existe, sin embargo, una cuestión que creo que necesita ser subrayada. Cuando una disciplina matemática se aleja de su fuente empírica. O más todavía si se está en una segunda o tercera generación inspirada sólo indirectamente por ideas procedentes de la realidad, corre graves riesgos. Se vuelve cada vez más estetizante, cada vez más puramente l’art pour l’art. Esto no tiene por qué ser necesariamente un mal, si la disciplina está rodeada por otras relacionadas con ella que mantienen conexiones empíricas más estrechas, o si está bajo la influencia de personas de una sensibilidad excepcionalmente desarrollada. Pero existe el peligro grave de que se desarrolle según la idea de resistencia mínima, de que la corriente, separada de su fuente, se esparza en una multitud de ramas insignificantes y de que la disciplina se convierta en una masa desorganizada de detalles y complejidades.

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GIORGIO ISRAEL Y ANA MILLÁN

Tomado de El mundo como un juego matemático, John von Neumann, un científico del siglo XX de Giorgio Israel y Ana Millán Gasca, Nivola Ediciones, España, 2001, p. 79-80.

Giorgio Israel (n. 1945) es profesor de historia de las matemáticas en la Universidad de Roma “La Sapienza”; mientras que Ana Millán (n. 1964) es profesora de la Universidad de Roma “Tor Vergata”.

Actividad

En esta edición de Correo del Maestro les proponemos una actividad para alumnos de tercero de primaria en adelante. Les sugerimos que comiencen tratando de resolverla en equipos de dos o tres y luego compartan las soluciones e intercambien ideas con el resto de los equipos.

El reto de esta ocasión consiste en encontrar caminos para unir puntos en un tablero triangular como éste:

Los caminos sólo son válidos si todos sus segmentos pasan por las líneas del tablero. Por ejemplo, el verde es un camino válido, pero el café no lo es.

Para que un camino sea válido, no ha de pasar por el mismo punto o el mismo segmento más de una vez. Los siguientes son ejemplos de caminos que no son válidos.

La longitud del camino corresponde al número de segmentos de dicho camino. En el siguiente ejemplo, el camino verde es de longitud 1; el naranja, de longitud 2; y el azul, de longitud 3.

Ahora sí, comencemos con los retos.

1. Traza un camino de logitud 4 entre los dos puntos marcados en rojo.

2. Traza, entre los puntos rojos, un camino de longitud 7.

3. Para unir este par de puntos rojos, traza dos caminos diferentes de longitud 6.

4. Por último, hay que encontrar 14 caminos de 14 longitudes diferentes para unir los dos puntos rojos, partiendo desde un camino de longitud 1, luego uno de longitud 2, uno de longitud 3 y así secuencialmente.

¿Será posible encontrar un camino de longitud 15 o mayor? ¿Por qué?

pasen por puntos o segmentos específicos para aumentar la dificultad. pedimos que lo completen. A los alumnos mayores se les puede pedir, además, que los caminos comparar caminos para identificar aquél que sea más corto o si trazamos parte del camino y les Retos como éstos se pueden adaptar para alumnos más pequeños si, por ejemplo, les pedimos debería, forzosamente, ir a un punto que ya ha sido utilizado por otro tramo. No es posible encontrar un camino de longitud 15 o mayor, pues un tramo más de camino

4.

3. 2. 1.

Cada uno de estos retos tiene múltiples soluciones; aquí proporcionamos solamente una por reto.

Soluciones: