Correo del Maestro Núm. 161 - Octubre de 2009

Enfermedades inesperadas: A H1N1 Irene Romero

ISSN 1405-3616

El uso didáctico de modelos en la Educación Matemática Realista: ejemplo de una trayectoria longitudinal sobre porcentaje

Física en el billar José M. Posada de la Concha

SEGUNDA PARTE

Marja van den Heuvel-Panhuizen

Notas para una aproximación a la educación patrimonial como creadora de identidad y promotora de la calidad educativa

Técnicas de motivación a la lectura y escritura II

Valentina Cantón Orlando José González

Carmen Gamiño

Los nombres de los elementos

A propósito del 12 de octubre… Antecedentes del nombre carabela

SEGUNDA PARTE

Luis Ignacio de la Peña

9!BLF?E@:RUPUOV!

Arrigo Coen Anitúa (†) MÉXICO

Q

OCTUBRE 2009

Q

AÑO 14

Q

NÚMERO 161

Año 14, Núm. 161, octubre 2009.

Directora Virginia Ferrari Subdirección María Jesús Arbiza Coordinación editorial Sara Giambruno Consejo editorial Valentina Cantón Arjona María Esther Aguirre Mario Aguirre Beltrán Santos Arbiza Gerardo Cirianni Julieta Fierro Adolfo Hernández Muñoz (†) Roberto Markarian Ramón Mier María Teresa Yurén Josefina Tomé Méndez María de Lourdes Santiago Colaboradores Alejandra Alvarado Citlalli Álvarez Stella Araújo Nora Brie Verónica Bunge María Isabel Carles Leticia Chávez Luci Cruz Consuelo Doddoli Alejandra González Norma Oviedo Jacqueline Rocha Pilar Rodríguez Concepción Ruiz Ana María Sánchez Editor responsable Nelson Uribe de Barros Administración y finanzas Ana Lilia Estrella Producción editorial Nora Brie Diseño gráfico y formación digital Sandra Lilia Díaz Hurtado

CORREO del MAESTRO es una publicación mensual, independiente, cuya finalidad fundamental es abrir un espacio de difusión e intercambio de experiencias docentes y propuestas educativas entre los maestros de educación básica. Asimismo, CORREO del MAESTRO tiene el propósito de ofrecer lecturas y materiales que puedan servir de apoyo a su formación y a su labor diaria en el aula.

Los autores Los autores de CORREO del MAESTRO son los profesores de educación preescolar, primaria y secundaria, interesados en compartir su experiencia docente y sus propuestas educativas con sus colegas.

También se publican textos de profesionales e investigadores cuyo campo de trabajo se relacione directamente con la formación y actualización de los maestros, en las diversas áreas del contenido programático.

Los temas Los temas que se abordan son tan diversos como los múltiples aspectos que abarca la práctica docente en los tres niveles de educación básica.

Los cuentos y poemas que se presenten deben estar relacionados con una actividad de clase.

Los textos • Los textos deben ser inéditos (no se aceptan traducciones). No deben exceder las 12 cuartillas.

• El autor es el único responsable del contenido de su trabajo.

• El Consejo Editorial dictamina los artículos que se publican.

• Los originales de los trabajos no publicados se devuelven, únicamente, a solicitud escrita del autor.

• En lo posible, los textos deben presentarse, preferentemente, en formato digital.

• Deben tener título y los datos generales del autor: nombre, dirección, teléfono, centro de adscripción.

• En caso de que los trabajos vayan acompañados de fotografías, gráficas o ilustraciones, el autor debe indicar el lugar del texto en el que irán ubicadas e incluir la referencia correspondiente.

• Las citas textuales deben acompañarse de la nota bibliográfica.

• Se autoriza la reproducción de los artículos siempre que se haga con fines no lucrativos, se mencione la fuente y se solicite permiso por escrito.

Derechos de autor Los autores de los artículos publicados reciben un pago por derecho de autor el cual se acuerda en cada caso.

© CORREO del MAESTRO es una publicación mensual editada por Correo del Maestro S.A. de C.V., con domicilio en Av. Reforma No.7, Ofc. 403, Cd. Brisa, Naucalpan, Edo. de México, C.P. 53280. Tel. (0155) 53 64 56 70, 53 64 56 95, lada sin costo al 01 800 31 222 00. Correo electrónico: correo@correodelmaestro.com. Dirección en internet: www.correodelmaestro.com.

ISSN 1405-3616. Certificado de Licitud de Título Número 9200. Número de Certificado de Licitud de Contenido de la Comisión Calificadora de Publicaciones y Revistas Ilustradas, S.G. 6751 expediente 1/432 “95”/12433. Reserva de la Dirección General de Derechos de Autor 04-1995-000000003396-102. Registro No. 2817 de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.

RFC: UFE950825AMA. Editor responsable: Nelson Uribe de Barros. Edición computarizada: Correo del Maestro S.A. de C.V. Preprensa e impresión: Pressur Corporation, SA, C. Suiza, ROU. Distribución: Correo del Maestro S.A. de C.V. Precio al público $60.00.

editorial

l

as preocupaciones generadas por la contingencia sanitaria de abril pasado no han

terminado, y el invierno que se acerca, por desgracia, puede profundizarlas. Por ello, para este número de Correo del Maestro la maestra Irene Romero Nájera escribió “Enfermedades inesperadas: A H1N1”, artículo en el que describe las características del virus de la influenza y las medidas que debemos tomar para prevenir su contagio.

Quienes saben jugar billar estarán encantados con el artículo “Física en el billar”, del maestro José Manuel Posada de la Concha, quien reivindica la práctica de este juego.

Y para los que no saben, la Física proporciona elementos muy concretos que les permitirán lucirse con sus amigos. A jugar billar, pues, pero con bases científicas, que es como debe hacerse.

En “El uso didáctico de modelos en la Educación Matemática Realista: ejemplo de una trayectoria longitudinal sobre porcentaje. Segunda parte”, de Marja van den HeuvelPanhuizen, se explica cómo surge y evoluciona el modelo de barra, en el aprendizaje de porcentaje. Se insiste, a lo largo de las diferentes presentaciones, en que no hay una estrategia fija para resolver los problemas de porcentaje que se presentan. Se trata de hacer un uso práctico y flexible de redes de números y propiedades de relaciones y operaciones.

Finalmente, hay que destacar que no son los modelos en sí los que hacen posible la comprensión matemática, sino las actividades de modelización de los estudiantes, algo que se ilustra con abundantes ejemplos.

El tema del patrimonio se aborda nuevamente en “Notas para una aproximación a la educación patrimonial como creadora de identidad y promotora de la calidad educativa”, de Valentina Cantón Arjona y Orlando José González Sáez. La identidad es pasado, presente y futuro, y reafirmar los conceptos relacionados con ella implica hablar del conjunto de creencias y valores, así como de todas las manifiestaciones de la vida cotidiana. Tomar conciencia de la necesidad de conservar y transmitir los bienes –tanto materiales como culturales– que forman parte de nuestro patrimonio es una tarea ligada, sin duda, a la educación de calidad.

Carmen Gamiño asegura que la escritura no es fácil, pero en su precioso artículo “Jugando al como, al parece, al si yo”, de su serie “Técnicas de motivación a la lectura”, la hace ver como una actividad no sólo lúdica, sino sencilla. Los maestros interesados en motivar la creatividad de sus niños encontrarán ejemplos que, sin duda, serán inspiradores.

Invasión, conquista, encuentro de dos mundos, genocidio, no importa, guste o no guste el descubrimiento de América siempre será una fecha clave para los americanos, así que en “A propósito del 12 de octubre… Antecedentes del nombre carabela”, el maestro Arrigo Coen explica el origen de esta palabra.

Por último, en “Los nombres de los elementos.

Segunda parte”, de Luis Ignacio de la Peña, se continúa la historia de la denominación de los elementos de la tabla periódica.

Correo del Maestro

Dibujo de portada: David Morales Arroyo.

índice entre NOSOTROS

antes DEL AULA

certidumbres E INCERTIDUMBRES

Física en el billar José Manuel Posada de la Concha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Enfermedades inesperadas: A H1N1 Irene Romero Nájera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

El uso didáctico de modelos en la Educación Matemática Realista: ejemplo de una trayectoria longitudinal sobre porcentaje SEGUNDA PARTE

Marja van den Heuvel-Panhuizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Notas para una aproximación a la educación patrimonial como creadora de identidad y promotora de la calidad educativa Valentina Cantón Arjona y Orlando José González Sáez . . . 39

artistas Y ARTESANOS

sentidos Y SIGNIFICADOS

Técnicas de motivación a la lectura II JUGANDO AL COMO, AL PARECE, AL SI YO…

Carmen Gamiño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

A propósito del 12 de octubre…

ANTECEDENTES DEL NOMBRE CARABELA

Arrigo Coen Anitúa (†) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Los nombres de los elementos SEGUNDA PARTE

Luis Ignacio de la Peña . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

problemas SIN NÚMERO

abriendo LIBROS

Caminos de números Claudia Hernández García . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

COLECCIÓN

“Materiales para apoyar la práctica educativa”, del INEE Ana Pi i Murugó. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

4

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

entre NOSOTROS

Física en EL BILLAR José Manuel Posada de la Concha

Paco llegó a casa, pero como mi papá también se encontraba en la sala, titubeó. Solamente logró decir con voz vacilante: – Vamos al Centro Recreativo Chiapas.

Sonreí, me levanté del asiento y salí con él.

En la noche, cuando regresé, mi papá me preguntó: –¿Qué es el Centro Recreativo Chiapas?

–El billar –contesté.

Ambos soltamos la carcajada.

www.riversideca.gov

Acuarela de una mesa de billar.

Wallace J. Miller.

p

aco ignoraba que mi familia posee una larga historia de buenos jugadores con las “esferas de marfil” y aunque yo soy la excepción en la práctica, en teoría me defiendo bien. Pero a decir verdad, dominar solamente esto último casi nunca sirve de mucho. Paco suponía que mi papá no vería con buenos ojos que su vástago fuera a jugar billar.

Es muy curioso el comportamiento social que tenemos hacia este juego: poseer una mesa de billar en casa es reflejo de un aceptable estatus social, pero ir a un establecimiento a jugar en muchas ocasiones es indicativo de lo contrario.

La imagen que se tiene de los lugares donde se practica billar no es muy favorable. Muchas veces los billares son sitios donde se apuesta aunque esté prohibido, se fuma en exceso, se vende licor.Y aunque no debemos negar que en ciertos locales de las grandes ciudades y en muchos pueblos del país sí llegamos a encontrar establecimientos con estos ambientes extremos, también es cierto que existen muchos sitios para la práctica de este juego con un buen ambiente. Hay tantos de un tipo como de otro.

Es una lástima que un juego tan hermoso, con historia, con jugadores de leyenda, con partidas memorables y para el cual se requiere una habilidad

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

5

Entre NOSOTROS

muy especial porque se aplican ciertas reglas de física y de matemáticas, sea visto por algunas personas como algo vulgar, cuando puede ser tan sana esta práctica como ir al cine o salir al parque a jugar futbol. No nos neguemos la posibilidad de practicarlo nosotros. Busquemos las opciones en dónde jugarlo.

Y para que el interés crezca, deseo compartir con ustedes algunos “trucos” que se necesitan para dominarlo, aunque debemos estar conscientes, como dije, que la práctica hace al maestro.

Algunas reglas y definiciones

• Se llama taco al palo con el que se golpean las bolas.

• La punta del taco que hace contacto con la bola se denomina botana.

• La tiza es un gis comprimido de tono azulado que se unta en la botana antes de efectuar cualquier tiro. El propósito es que la bola siempre se dirija en la dirección que coloquemos lo largo del taco. De lo contrario, la bola se puede ir “chueca”. En términos físicos decimos que la tiza aumenta la fricción entre la bola y la botana. Todos los tiros que se explican en este artículo deben realizarse con tiza en la botana.

• Existen dos formas clásicas para el juego del billar: una con 6 hoyos en la mesa, denominados buchacas. La finalidad de esta forma es pegarle con el taco a una bola para que golpee a las demás, que pueden ser hasta 15, para introducirlas en las buchacas. Este estilo se denomina pull. La otra modalidad es con la mesa lisa, sin hoyos. Aquí el propósito es golpear forzosamente con una bola a otras dos. A esta modalidad se le denomina carambola.

• En ambos estilos de juego, las bolas deben poseer el mismo tamaño y la misma masa; no puede haber ni siquiera una diferente.

• Se le denomina paño a la tela que cubre la mesa del billar donde se desplazan las bolas (ver ilustración: Elementos para jugar billar).

• Las bandas son los lados de la mesa rectangular de billar. No consisten en paredes verticales, sino que tienen cierta inclinación hacia dentro. (ver fig. 1.)

Sobre las características de las bolas de billar

Las bolas de billar son de un material que permite, cuando chocan, un buen rebote entre ellas. Este tipo de colisiones se denominan elásticas. Ejemplo de

6

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

Física en EL BILLAR

Elementos para jugar billar

Taco Tiza

Botana

Paño Bolas

Buchacas

Figura 1. Corte transversal de una bola de billar junto a la banda.

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

7

Entre NOSOTROS

A

B

C Figura 2. La bola blanca (A), inicialmente con una cierta velocidad, se impacta contra la bola roja en reposo. Después del impacto, por ser un choque elástico de cuerpos con la misma masa, intercambian estados: la bola blanca se queda en reposo y la bola roja sale con la velocidad que llevaba la blanca. Si la bola que se mueve es de mayor masa (B) ambas seguirán de frente después del impacto. Pero si la que se impacta es de menor masa (C), rebotará.

una colisión inelástica serían dos bolas de plastilina que al encontrarse se mantendrían unidas después del impacto.

En un choque elástico de frente de dos cuerpos idénticos (donde el centro del primero se dirige exactamente hacia el centro del otro) se intercambian los estados en los que se encuentran antes de la colisión. Es decir, si un cuerpo A en movimiento choca de frente contra un cuerpo B en reposo, después del choque, el cuerpo A permanecerá en reposo y el B en movimiento (ver fig. 2).

Caso muy diferente si uno de mayor masa choca contra uno de menor en reposo, porque ambos se moverán en la misma dirección; contrario que cuando se impacta uno de menor masa contra uno de mayor en reposo, porque el primero rebotará.

Deberíamos deducir, por lo anterior, que las bolas de billar, al chocar, intercambian estados, pues se trata de cuerpos con la misma masa (caso A de la fig.

2). Pero por muy extraño que parezca, pueden suceder cosas diferentes gracias a los “efectos” que se le apliquen a la bola que pongamos en movimiento inicialmente con el taco. Por comodidad le llamaremos siempre bola blanca.

8

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

Física en EL BILLAR

Una bola puede ser golpeada con el taco en muchos lugares diferentes: en el centro, arriba, abajo, a la derecha o a la izquierda de este punto.

Cuando la bola blanca es golpeada en el centro, sólo le imprimimos un movimiento hacia delante en la misma dirección en que coloquemos lo largo del taco, pero no le proporcionamos giro. Se desplazará algunos centímetros sin girar y posteriormente girará por la fricción con el paño, por el contacto con él. Esto es, alrededor de 15 o 20 centímetros –depende de la fuerza del golpe con el taco– se moverá sin rodar. Pasando esta distancia, tendrá dos movimientos, el del desplazamiento hacia delante y el del giro, como lo tienen las llantas de las bicicletas al andar. Si antes de obtener el giro, la bola blanca choca de frente contra una bola roja que se encuentra en reposo, ya sabemos que intercambian estados.

Pero si ahora golpeamos la bola blanca debajo del centro, no sólo se desplazará hacia delante, sino que lo hará también con giro, pero contrario al que llevaría si estuviera rodando libremente con el paño. Observemos la figura 3.

Figura 3. Al golpear una bola de billar por debajo del centro, conseguimos un doble movimiento: hacia delante y con giro en contra.

Si para este caso hacemos que la bola blanca choque contra la bola roja en reposo, la roja seguirá con la velocidad de la blanca, lo sabemos. La bola blanca tenderá a quedarse en el sitio de la roja, pero debido al giro en contra que no perderá, regresará. Es decir, si hacemos colisionar una bola de billar con giro en contra con otra en reposo, la primera se comportará como si tuviera menos masa que la segunda, y rebota.

En el caso contrario, si la bola blanca es golpeada por arriba del centro, haremos que se desplace hacia delante pero con giro a favor, como si desde el principio la fricción con el paño hiciera lo suyo. Al chocar contra una bola roja en reposo, la roja seguirá con la velocidad de la blanca, y esta última, por

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

9

Entre NOSOTROS

Figura 4. Al golpear una bola de billar por arriba del centro, conseguimos un doble movimiento: hacia delante y con giro a favor.

el giro a favor, no se quedará en el sitio de la roja, sino que la seguirá. Ahora se comportan como el choque de un cuerpo masivo contra uno liviano (ver fig. 4).

De lo anterior concluimos que si queremos que nuestra bola blanca regrese, se quede en el mismo lugar o siga hacia delante después de golpear a una bola roja en reposo, debemos golpearla con el taco en el lugar apropiado.

Ya sabemos que una bola, al rodar libremente, lleva dos movimientos: un desplazamiento hacia delante y un giro a favor, como el caso de la figura 4, es decir, ha sido golpeada con el taco en la parte de arriba. Por lo tanto, al colisionar una bola blanca contra una roja, se comportarán como si la blanca tuviera más masa y “seguirá” a la roja. Esto sucede en tiros cuando dos bolas se encuentran muy separadas, ya que la fricción con el paño siempre le proporcionará, tarde o temprano, giro a favor a la bola blanca. Este hecho es importante para el juego de pull, ya que si la bola blanca cae en una buchaca siguiendo el mismo camino que la que acaba de golpear, el tiro se invalida.

Imaginemos tres bolas que vamos a golpear con la misma fuerza pero en tres puntos diferentes: la primera por abajo del centro, la segunda en el centro y la tercera arriba. ¿Cuál se desplazará mayor distancia por la mesa? Analicemos los casos: • La primera recorrerá un primer tramo, de unos cuantos centímetros, con giro en contra. Por la fricción con el paño, tendrá que tomar giro a favor, y por este cambio perderá un poco de la energía que el taco le imprimió.

• La segunda bola no lleva giro inicialmente, y por la fricción con el paño deberá tomar giro a favor después de un pequeño tramo recorrido y también perderá algo de energía, aunque no tanto como la primera.

• A la tercera ya le imprimimos el giro a favor como si estuviera desde el inicio en contacto con el paño; será la única de las tres que no pierda energía y, por lo tanto, recorrerá la mayor distancia posible.

10

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

Física en EL BILLAR

Los jugadores de billar aprovechan este hecho para golpear a las bolas por arriba si desean que el desplazamiento de la bola blanca sea lo más largo posible. Pero, ¿cuán arriba?

Todos los puntos que se encuentran entre el ecuador de una bola hasta su polo norte son “arriba”. ¿Cuál es el punto preciso donde hay que golpear para que el giro de una bola sea el mismo que llevará por el contacto con el paño?

Si le pegamos muy arriba, cerca del polo norte, el giro a favor será demasiado rápido; si le pegamos cerca del ecuador, el giro a favor será muy lento.

Con un fácil cálculo se deduce que la altura ideal donde hay que pegarle es a 7/10 de la altura total de la bola. Al golpearla ahí, el giro que adquiere la bola es exactamente el mismo que tendría por el contacto con el paño. Sabiendo lo anterior, ¿qué altura creen que tienen las bandas de la mesa donde rebotan las bolas? (ver fig. 1). Imaginaron bien: justamente 7/10 de la altura de la bola.

De esta manera, cuando una bola choca con la banda, es empujada en el rebote a la altura ideal para que se desplace la mayor distancia posible por la mesa. Con cualquier otra altura de la banda, se perderá energía y no recorrerá tanta distancia.

Hemos hablado de los efectos por golpear las bolas por arriba y por abajo, ¿qué sucederá si las golpeamos por la derecha o por la izquierda? En estos casos, le imprimiríamos a la bola blanca, además del desplazamiento hacia delante, un giro en contra de las manecillas del reloj. Estos efectos son muy socorridos cuando las bolas rebotan en las bandas. Si no le proporcionáramos efecto derecho o izquierdo a una bola blanca que rebota en forma perpendicular contra una banda, regresaría exactamente por la misma trayectoria de partida. Pero si le proporcionamos efecto derecho, aunque la bola blanca llegue perpendicular a la banda, debido a la fricción, el rebote será hacia la derecha. En el caso contrario, hacia la izquierda (ver fig. 5).

Figura 5. La línea punteada representa la trayectoria de una bola que es golpeada con efecto derecho y choca perpendicularmente contra una banda.

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

11

Entre NOSOTROS

Figura 6. La trayectoria de ida y de regreso de una bola que es golpeada con efecto derecho puede ser la misma. Línea punteada negra, de ida, línea punteada roja, de regreso.

Figura 7. Las flechas indican la trayectoria de la bola blanca que seguiría si golpea a otra bola en su lado derecho y además posee efecto en contra.

12

Un hermoso tiro donde se puede magnificar este fenómeno es el siguiente: coloquemos la bola blanca cerca de la banda larga derecha (ver fig. 6).

Golpeémosla con efecto derecho hacia esa banda. Si el efecto y la dirección son apropiados, en el primer rebote, la bola blanca no perderá todo su efecto y se dirigirá hacia la banda de enfrente. En ese segundo rebote, debido al efecto, la bola tenderá a volver hacia la banda derecha y prácticamente conseguiremos que regrese por el mismo camino en que se fue.

Podemos lograr así diferentes trayectorias que la bola puede tomar aunque rebote en la misma parte de una banda.

Todos los tiros que hemos simulado en este escrito se efectúan con una bola blanca que se dirige hacia el centro de una segunda bola. Pero desde luego los choques entre dos bolas también pueden ser de otra manera. Si la bola blanca apenas roza a una bola roja, la blanca prácticamente seguirá su trayectoria y la roja apenas se moverá. Cabe mencionar que existen todos los estados intermedios entre golpear en el centro a la bola roja y apenas rozarla.

Golpeando con cierta “inclinación” a la bola roja, conseguimos que ésta se mueva hacia la izquierda y la blanca hacia la derecha. Si realizamos una combinación de este último tiro con un efecto por abajo a la bola blanca, esta última se moverá hacia la derecha y en retroceso (ver fig. 7).

Hemos dado algunos tips para los que deseen iniciar la práctica en este juego. Podríamos hablar también un poco sobre la geometría de la mesa, pero creemos conveniente dejarlo para una siguiente ocasión. ¡Con lo que tenemos hasta ahora es suficiente como para entretenernos un buen rato!

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

antes DEL AULA

Enfermedades INESPERADAS: A H1N1 www.wikipedia.org

Irene Romero Nájera

En esta época que estamos viviendo, nos encontramos constantemente con mayores riesgos que atentan contra la vida humana y la salud. No es extraño que aparezcan nuevas enfermedades asociadas a virus o bacterias. Sobre todo si tomamos en cuenta la evolución natural de las especies y, en particular, la situación de deterioro ambiental que estamos experimentando en todo el planeta.

Imagen de microscopía electrónica del virus A H1N1.

e

n la actualidad existe en nuestro país la manifestación de un virus que ha puesto al mundo de cabeza: entre vuelos cancelados y extranjeros en cuarentena, tanto la economía mundial como el sentimiento de rechazo en otros países han propiciado un ambiente de malestar y resentimiento. A lo largo de la historia, el ser humano ha luchado batallas extenuantes contra la selección natural que opera en todas las especies, en todos los continentes y en todos los ambientes. Con la tecnología y los avances científicos hemos sido capaces de salir adelante ante la presencia de algunos desastres naturales, entre los que se encuentran inundaciones, huracanes, erupciones volcánicas, terremotos, etc., y el surgimiento de enfermedades no es la excepción. Recordemos, por ejemplo, un caso que provocó grandes pérdidas humanas: la peste bubónica o peste negra que se extendió

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

por Europa en la Edad Media entre los años 1348 y 1361. Esta enfermedad la transmitía el piquete de pulgas, y las ratas eran las principales portadoras de este insecto. La infección, que atacaba tanto a humanos como a ratas, era causada por una bacteria que circulaba en el torrente sanguíneo. Ésta ocasionaba altas temperaturas y muerte por envenenamiento en la sangre o septicemia. Debido a la cercanía que tenemos con las ratas, se favoreció el transporte de pulgas entre estos roedores y los humanos, lo que llevó a la rápida propagación de la peste en todo el continente. La enfermedad en los humanos ocasionó en promedio la muerte de 60% de los casos reportados y, en algunas regiones, se alcanzaron cifras de hasta 90% de mortandad. En la actualidad, esta plaga se considera extinta, debido a las vacunas y a los antibióticos que se crearon para combatirla.

13

Antes DEL AULA

www.wikipedia.org

Ilustración de la peste negra en la Biblia de Toggenburg (1411).

Con los antecedentes que tenemos de otras epidemias, cuando apareció el nuevo virus de influenza A H1N1, en algunos estados de la República Mexicana se aplicaron varias medidas que se denominaron de contingencia sanitaria, para proteger a la población.

¿Qué es una contingencia sanitaria?

Empecemos por definir cada una de las palabras que forman esta frase; según el DRAE, contingencia es la posibilidad o riesgo de que suceda una cosa. Por ejemplo, que el parto se adelante es una contingencia que debemos tener en cuenta.

También se considera un hecho o problema que se plantea de forma imprevista. Por ejemplo, hay que estar preparados ante cualquier contingencia.

En cuanto a sanitaria, se refiere a la sanidad y sus prácticas, al aseo e higiene personal como la desinfección de baños públicos, por ejemplo.

14

Juntando los significados de ambas palabras, podemos concluir que contingencia sanitaria es la implementación de medidas higiénicas preventivas para reducir el riesgo de que se presente una situación peligrosa en materia de salud y que ésta se salga fuera de control.

En este caso, se trata de evitar que la influenza A H1N1 se siga esparciendo en la población humana de manera descontrolada ya que, al ser un virus nuevo, apenas se están llevando a cabo las investigaciones pertinentes para conocer sus mecanismos de operación, su procedencia y la manera de combatirlo. Si existiera una vacuna preventiva, los riesgos de una epidemia serían menores. Al no contar con dicha vacuna, no sólo se produjo una epidemia, sino que estamos presenciando lo que se conoce como “pandemia”.

La diferencia entre epidemia y pandemia es que la primera ataca a los habitantes de un mismo territorio, mientras que la segunda se extiende a otros países. A fin de evaluar el riesgo de una epidemia a nivel mundial, la Organización Mun-

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

Enfermedades INESPERADAS: A H1N1

dial de la Salud (OMS) ha establecido ciertos criterios para clasificar las fases de alerta de acuerdo con el nivel de contagio de la enfermedad.

¿Qué significan las fases de alerta?

La fase de alerta mundial en la que nos encontramos para la influenza mencionada es el nivel seis, según la clasificación de la OMS. Estas fases van cambiando conforme pasa el tiempo en que dicho agente está presente y circulando dentro de la población. Tomando en cuenta que los virus y bacterias circulan de manera natural en todas las especies, es común que un organismo sea el vector o transportador de éstos. De esa manera, se mueven y esparcen a diferentes lugares y a otros seres vivos. Debido a la mayor movilidad que tienen las aves, éstas han sido los principales transportadores de enfermedades desde tiempos remotos. Sin embargo, no sólo ellas son transmisoras, también lo son otros organismos como los mosquitos, las ratas, las garrapatas y muchos más.

En cuanto al virus de la influenza, se sabe que circula constantemente entre animales, en especial en las aves. A partir de este hecho, se analizaron y elaboraron las siguientes fases de contagio: • Fase 1: La infección sucede entre animales y no se transmite a humanos.

• Fase 2: La infección se transmite entre animales domésticos y animales silvestres, aunque se pueden reportar algunos casos de transmisión a humanos.

• Fase 3: La infección se transmite de animales a humanos, pero no es lo suficientemente poderosa como para transmitirse entre humanos, aunque pueden reportarse casos aislados de contagio entre los miembros de una

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

misma familia. Sin embargo, los datos de infección no indican un riesgo potencial de convertirse en pandemia.

• Fase 4: La infección se transmite entre humanos y suele provenir de contagios con animales o de humanos que se infectaron previamente con animales. La alerta en este caso es a nivel de comunidad.

• Fase 5: La infección se esparce entre humanos de al menos dos países en una sola región.

En esta fase, la señal de que se produzca una pandemia es inminente y se deben llevar a cabo las medidas de sanidad correspondientes para frenarla hasta donde sea posible.

• Fase 6: La infección está en fase de pandemia en la que se manifiestan brotes a nivel comunidad en varios países de diferentes regiones.

El ciclo de las epidemias y pandemias suele presentarse por oleadas en las que habrá un pico máximo de contagios; éstos irán disminuyendo hasta convertirse en infecciones estacionales, como ya sucede con la influenza tipo A y B, que normalmente se presentan en invierno. Cuando se haya reducido el contagio de la influenza porcina, se espera que ya exista una vacuna y medicamentos al alcance de todos. De esta manera, se controlará una enfermedad más de las varias que han existido a lo largo de nuestra historia.

¿Cómo pasó el virus de los animales a los humanos?

Uno de los mecanismos que tienen los organismos para cambiar y adaptarse a su entorno es la mutación. Una mutación es la modificación de la información genética. La nueva modificación se transmite a la descendencia de generación en generación y, por lo general, suele tardar varios

15

Antes DEL AULA

años hasta que logra fijarse de manera definitiva en una población.

En algunas ocasiones, esta modificación puede ser perjudicial, como en el caso de enfermedades y síndromes que se presentan en los humanos, por ejemplo, el síndrome de Down.

Sin embargo, en otras resulta beneficiosa, como ha sucedido en varias especies a lo largo de su historia evolutiva, donde han tenido que cambiar ciertas características para sobrevivir, por ejemplo, a las inclemencias del tiempo en entornos hostiles como los polos norte y sur o los desiertos. Así, el pelaje de los osos polares fue cambiando hasta hacerse muy abundante y grasoso para resistir el frío; o el color de piel en la raza negra, que fue cambiando de tonalidad hasta hacerse oscuro para tolerar exposiciones solares intensas.

Cada mutación suele hacer a los virus más fuertes y resistentes a las condiciones adversas que se puedan presentar, como un medicamento que lograra aniquilarlo. Además, el tiempo en que tarda en fijarse la mutación suele ser muy rápido: en dos o tres generaciones del virus ya estará codificada la información para replicarla con dicho cambio en una nueva cepa.

En el caso del virus de influenza A H1N1, el humano se lo transmitió al cerdo, en el cerdo mutó y lo devolvió a los humanos como una nueva cepa. La afinidad genética que tenemos con los cerdos propició que el virus pasara rápidamente a los humanos de nueva cuenta. Adicionalmente, el contacto directo que tenemos con estos animales desde que fueron domesticados (alrededor del año 7000 a.C.) facilitó aún más la transmisión.

¿Estamos ante una amenaza mortal?

Hasta donde han informado las autoridades correspondientes, el virus tiene cura. Sólo hay

16

que estar pendientes de sus primeros síntomas para acudir al servicio médico e iniciar el tratamiento. Así que aunque se presenten los síntomas no hay que tener miedo, simplemente no debemos esperar hasta que se compliquen más.

La manera en la que han muerto personas es por una complicación en los pulmones conocida como neumonía. La neumonía es una inflamación de los pulmones o parte de éstos ocasionada por virus o bacterias. La presencia de algún agente infeccioso estimula la producción de mucosas que se van acumulando y obstruyendo las vías respiratorias hasta ocasionar una asfixia paulatina en la que no llega el oxígeno suficiente al cerebro y entonces éste deja de funcionar.

El mayor riesgo está entre las personas de bajos recursos y comunidades rurales marginadas y que, por ello, no tienen acceso a servicios médicos y a la información de manera oportuna.

No sólo eso, sino que además son personas que debido a su pobre alimentación, usualmente están desnutridas y con un sistema inmunológico deficiente. Los agentes infecciosos suelen atacar a los organismos más débiles; en este caso, este grupo de individuos son su principal blanco ya que su organismo no podrá defenderse ante dicho ataque.

¿Cuáles son los síntomas de la enfermedad?

Los síntomas que se presentan con mayor frecuencia son los siguientes: • • • • • • • •

Fiebre alta Tos Dolor de garganta Flujo nasal Dolores en el cuerpo Dolor de cabeza Escalofríos Fatiga

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

Enfermedades INESPERADAS: A H1N1

Foto: Sarihuella. www.flickr.com

También se han reportado casos esporádicos de la presencia de vómito y diarrea.

Datos científicos Según un artículo publicado en la revista Science, se tiene un panorama aproximado acerca de la situación actual del virus A H1N1. En mayo de 2009 se reportaron en México 11 357 casos probables de infectados con el virus, de los cuales 822 fueron confirmados. Posiblemente estos datos estén subestimados debido a que las autoridades de salud se enfocaron nada más en los incidentes más graves. Asimismo, los casos graves en adultos mayores de 60 años pueden ser difíciles de diagnosticar por la alta tasa de enfermedades respiratorias que se presenta en este grupo de individuos. Por otro lado, también hubo muertes de individuos que potencialmente se debieron al virus, pero no se analizaron; o por el contrario, casos que murieron antes de saber el diagnóstico y que fueron contabilizados como parte del grupo de muertes causadas por el virus.

En general, los primeros resultados de las investigaciones muestran que: • Varias muestras biológicas que se tomaron estaban incompletas.

• La cadena del nuevo virus de influenza es similar a las cadenas del virus estacional.

• Los datos obtenidos en la población La Gloria, Veracruz, indican que 616 individuos de una población de 1575 habitantes tuvieron una infección respiratoria aguda entre el 15 de febrero y el 14 de abril. En este mismo poblado se pudo observar que el ataque del virus variaba según la edad: 61% de los afectados tenían menos de 15 años de edad, mientras que 29% fueron mayores de esta edad. La

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

Contingencia sanitaria en la ciudad de México.

tasa de ataques en La Gloria es comparable con la tasa observada en otras pandemias.

• Es necesario evaluar los costos económicos y sociales que las medidas de contingencia sanitaria conllevan, como el cierre de clases contra el número de vidas salvadas por esta medida precautoria.

• Es importante resaltar que los antivirales necesarios para combatir el virus están disponibles; sin embargo, también hay que monitorear su uso debido a que el virus puede desarrollar cierta resistencia ante estos medicamentos.

• Se tiene que optimizar el estudio, diseño y protocolo de vigilancia. Es necesario que aporten una mejor información para estimar los factores desconocidos que se presentan ante la manifestación de una epidemia.

• Los organismos responsables de la salud pública tendrán que proveer información científica detallada en cuanto a la transmisión del

17

Antes DEL AULA

Fuente: World Health Organization. www.who.int

virus en casa y en las escuelas para evitar ataques de histeria entre la población.

• Los datos obtenidos de México y de otros países han permitido entender el origen, la extensión, la transmisibilidad y la gravedad de la actual pandemia. Sin embargo, aún no se conocen otros aspectos, como los periodos de incubación y los periodos infecciosos.

• En tanto que la epidemia se siga esparciendo, la gravedad podrá variar en cada país dependiendo de los recursos que se tengan en el cuidado de la salud y de las medidas que adopte cada institución de salud pública para mitigar el impacto. Adicionalmente, lo peligroso del ataque puede variar de acuerdo con la susceptibilidad de la gente en cada región.

• La evolución del virus en cuanto a transmisibilidad, antigenicidad, virulencia y resistencia antiviral de éste o cualquier otro virus de influenza es difícil de predecir. En la medida en que las instituciones de salud pública obtengan una mayor cantidad de datos epidemiológicos, se podrán elaborar modelos con

18

diferentes escenarios y contextos para guiar los esfuerzos y las medidas preventivas que deberán ponerse en práctica en cada región o país.

¿Qué podemos hacer desde la escuela para evitar el contagio?

Hay varias medidas de prevención que incluso se han anunciado repetidamente en la televisión.

Lo importante es saber que la transmisión se produce por contacto humano, no se trata de que el virus esté en el ambiente, sino que el contagio se produce por medio de la saliva, el sudor o los restos de piel.

A continuación se presenta una lista con las recomendaciones más relevantes que se pueden llevar a cabo dentro de la escuela, la mayoría de ellas propuestas por la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM): 1. Limpieza exhaustiva y desinfección con agua, cloro y jabón de aulas, cubículos, sanitarios, pasillos, auditorios, cafeterías y es-

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

Enfermedades INESPERADAS: A H1N1

pacios comunes de todos y cada uno de los planteles.

2. Elaboración de diversas guías informativas que orienten a alumnos, académicos, profesores, trabajadores, usuarios y visitantes.

3. Mantenerse permanentemente informado del curso de la situación y de las acciones por emprender.

4. No saludar de mano o de beso a otras personas.

5. Cubrirse la boca al toser o estornudar, ya sea sobre el ángulo interno del codo, o sobre un pañuelo desechable que deberá tirarse dentro de un contenedor de basura que tenga bolsa de plástico.

6. Evitar escupir.

9. Evitar actividades grupales distintas de las clases. Regresar a casa en cuanto se terminen las actividades escolares del día.

10. Evitar compartir útiles y equipo escolar, así como artículos personales como el teléfono celular, plumas, lápices, unidades USB, audífonos, entre otros.

11. Evitar el contacto con gente enferma de influenza A. Si se presentan síntomas de la enfermedad, no asistir a clases, informar a alguno de los profesores o autoridades del plantel y consultar al médico.

12. En caso de que algún compañero –alumno, profesor o trabajador– presente signos o síntomas de enfermedad respiratoria, recomendarle que asista al médico y avisar a las autoridades de la escuela para monitorear y dar seguimiento a posibles casos de influenza A.

7. Lavarse las manos con jabón tan frecuentemente como sea posible. Después de utilizar transporte público, lavarse las manos al llegar a la escuela y a la casa.

13. Evitar traer mascotas a las instalaciones de trabajo.

8. Evitar tocarse la cara (nariz, ojos y boca) para impedir la transmisión de gérmenes.

14. Evitar comer dentro de las aulas, salones de usos múltiples y laboratorios.

Se recomienda consultar el portal influenza.unam.mx unam mx para contar con la información actualizada sobre la situación del virus. Asimismo, se sugiere estar pendiente de programas especiales como “La influenza: las respuestas de la ciencia” que se transmitió por Radio UNAM y TV UNAM, o atender las recomendaciones de las autoridades correspondientes.

Información adicional y páginas consultadas: • • • • • •

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

www.wordreference.com/definicion/ www.who.int/csr/disease/avian_influenza/phase/en/index.html www.sciencemag.org/cgi/rapidpdf/1176062.pdf www.terra.com/mujer/articulo/html/hof1106.htm www.cdc.gov/h1n1flu/espanol/sintomas-similares.htm www.portalplanetasedna.com.ar/malas01.htm

19

certidumbres E INCERTIDUMBRES

El uso didáctico de modelos en la Educación Matemática Realista: EJEMPLO DE UNA TRAYECTORIA LONGITUDINAL SOBRE PORCENTAJE* Segunda parte Marja van den Heuvel-Panhuizen1

En esta parte,2

el artículo se centra más bien en cómo los estudiantes pueden aprender el porcentaje y en cómo los modelos se usan didácticamente para llevar a cabo este proceso de aprendizaje. En términos más precisos, no son los modelos en sí lo que hacen posible el crecimiento de la comprensión matemática, sino las actividades de modelización de los estudiantes. Dentro de la EMR no se entrega a los estudiantes modelos ya hechos que plasman determinados conceptos matemáticos, sino que se les plantean problemas en contexto presentados de modo tal que susciten actividades de modelización, la que a su vez dan lugar al surgimiento de modelos.

El modelo de barra como un ejemplo para aprender porcentaje En el texto que sigue se ilustra el uso didáctico de modelos en la EMR mediante el empleo del modelo de barra en una trayectoria longitudinal de enseñanzaaprendizaje sobre porcentaje que fue diseñada para el currículum Matemáticas * Traducido del inglés por Héctor Escalona en colaboración con Correo del Maestro.

1 Referencia bibliográfica: artículo de Marja van den Heuvel-Panhuizen en Educational Studies in Mathematics, Springer, 2003. Se cuenta con la debida autorización de la autora y de Springer para su traducción al español y su publicación en la revista Correo del Maestro.

2 La primera parte de este artículo se encuentra en: Correo del Maestro, núm. 160, año 14, septiembre de 2009, pp. 36-44.

20

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

El uso didáctico de modelos EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA REALISTA…

en contexto. En términos sencillos, este modelo de barra se refiere a una tira sobre la cual se representan, al mismo tiempo, escalas diferentes, lo que permite expresar un monto o cantidad mediante otro monto o cantidad. Por medio de esto, el modelo de barra llega a la esencia de un número racional, como es el porcentaje.

La parte principal de la trayectoria de porcentaje se extiende a lo largo de tres unidades de enseñanza de este currículum: • Porcentaje (Van den Heuvel-Panhuizen et al., 1997): va dirigida al 5° grado y se propone ser una unidad de partida sobre el porcentaje; • Diario de fracciones (Keizjer et al., 1998b): va dirigida al 6° grado y cubre el contenido de número racional de modo más amplio; además, proporciona material sobre porcentajes, fracciones, decimales y razones; • Más o menos (Keijzer et al., 1998a): va dirigida al 6° grado y se centra en porcentajes, fracciones y decimales.

Debido a que el propósito principal en este artículo es ofrecer una visión de la trayectoria longitudinal y las relaciones que ésta contiene, me limitaré al aprendizaje del porcentaje. Sin embargo, no se debe concluir que, dentro de Matemáticas en contexto, la enseñanza del porcentaje se considera un eje de enseñanza aparte. Por el contrario, el aprendizaje del porcentaje está incluido dentro de la totalidad del dominio de los números racionales, y se halla fuertemente interconectado con el aprendizaje de fracciones, decimales y razones con el modelo de barra que relaciona entre sí estos conceptos de número racional (ver Middleton, Van den Heuvel-Panhuizen y Shew, 1998). Sin embargo, el modelo de barra no es el único modelo de apoyo para este contenido. Aparte de la barra, que más adelante se transforma en una línea numérica doble, la tabla de razones y el diagrama circular también desempeñan un papel importante en la trayectoria sobre porcentaje de Matemáticas en contexto (ver Wijers y Van Galen, 1995; Middleton y Van den Heuvel-Panhuizen, 1995). Para mayor claridad, este artículo evitará describir la complejidad típica de este proceso de aprendizaje.

Tampoco se prestará atención a cómo se desarrolló la trayectoria sobre porcentaje ni a cómo el modelo de barra encontró su lugar dentro de la trayectoria. Respecto a la unidad Porcentaje, puede encontrarse información sobre este proceso de diseño en Van den Heuvel-Panhuizen y Streefland (1993). La evaluación que fue desarrollada para esta unidad se presenta en Van den Heuvel-Panhuizen (1994, 1996).

El propósito de este artículo es describir cómo surge y evoluciona el modelo de barra, y cómo apoya el aprendizaje de los estudiantes, dentro de una serie de unidades de enseñanza como la diseñada para el currículum Matemáticas en contexto. La descripción se basa en instantáneas tomadas de las versiones

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

21

Certidumbres E INCERTIDUMBRES

preliminares de estas unidades,3 incluido un trabajo de los estudiantes que muestra hasta qué grado concuerda el proceso propuesto de construcción de modelos con sus formas de trabajar y pensar. Esto último es importante porque les permite reinventar el modelo por su cuenta o, al menos, participar activamente en el proceso de construir modelos.

Breve reseña de la trayectoria de enseñanza-aprendizaje del porcentaje En las tres unidades de Matemáticas en contexto, la trayectoria de enseñanzaaprendizaje sobre el porcentaje comienza con una forma cualitativa de trabajar, con porcentajes como descriptores de situaciones de tantos-de-tantos, y concluye con una forma más cuantitativa: su utilización como operadores. Durante este proceso de comprensión creciente del porcentaje, la barra cambia gradualmente, de una representación concreta conectada al contexto, a un modelo de representación más abstracto que, además, funcionará como modelo de estimación, y a un modelo que guía a los estudiantes en la elección de los cálculos que es preciso realizar. Esto significa que el modelo se convierte luego en un modelo de cálculo. Al final de la trayectoria, cuando los problemas se tornan más complejos, el modelo puede utilizarse también como modelo de pensamiento para entender situaciones problema. Sin embargo, lo anterior no significa que sea posible distinguir etapas separadas en el uso del modelo de barra, ni que exista un orden estricto en el que se aprenden estas diferentes aplicaciones; no es éste el caso. De hecho, aunque se establece una especie de secuencia en las unidades de enseñanza, las diferentes interpretaciones del modelo de barra son accesibles en todas las etapas del proceso de aprendizaje. Todo depende de cómo los estudiantes vean y utilicen el modelo.

Otro cambio a la barra tiene que ver con su forma. Junto con el cambio de función, la apariencia del modelo cambia. Finalmente, la barra se reduce a una línea numérica doble. Aunque no hay una gran diferencia entre estos dos modelos –ambos pueden verse como una tira en la que en uno u otro lado se utilizan diferentes unidades de medida–, este cambio tiene la ventaja de que el modelo de barra se hace más simple y, por tanto, más fácil de usar, y de que se torna más flexible. Entre otras cosas, este cambio hace al modelo más apropiado para ir más allá del cien por ciento (100%).

Primeras actividades exploratorias Teniendo en mente el punto de partida de que la educación debe construirse sobre los conocimientos informales preescolares y extraescolares de los

3

22

La versión preliminar de Per Sense (Porcentaje) fue elaborada por Marja van den Heuvel-Panhuizen y Leen Streefland. Esto tuvo lugar de 1991 a 1993. La versión preliminar de Fraction Times (Diario de fracciones) fue elaborada por Keijzer, Van Galen y Gravemeijer. More or Less (Más o menos) fue diseñada en versión preliminar por Keijzer, Van den Heuvel-Panhuizen y Wijers.

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

El uso didáctico de modelos EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA REALISTA…

a. Un concierto de Escenario

música pop

b. Una obra histórica Escenario

Escenario

c. Un desfile de modas

Figura 1. Porcentaje de asientos ocupados en el teatro de la escuela.

estudiantes, la unidad Porcentaje –cuyo objetivo es que los estudiantes tengan sentido del porcentaje– comienza con un capítulo introductorio en el que los alumnos se enfrentan con algunos relatos de la vida diaria donde los porcentajes desempeñan determinado papel. En Streefland y Van den Heuvel-Panhuizen (1992) se hallará una descripción más extensa de lo que estas historias cuentan respecto al conocimiento informal de los estudiantes sobre porcentajes.

Uno de los relatos es acerca de un niño que cuenta a su madre que hay una probabilidad de 95% de que la práctica de futbol siga siendo los miércoles.

Además de comentar el significado cualitativo de esto (“95% significa que es casi seguro que…”), también se pide a los estudiantes que utilicen dibujos para explicar este significado. De esta forma, el primer capítulo incluye algunas actividades exploratorias que preparan la construcción de modelos. Se reserva un papel especial en relación con esto a varias tareas basadas en el teatro de la escuela. Se pide a los estudiantes indicar, respecto a diferentes espectáculos, qué ocupación tendrá el teatro. Pueden hacer esto coloreando la parte de la sala que estará ocupada y luego escribiendo el porcentaje de asientos ocupados (ver fig. 1).

Fue notable la facilidad con que los niños se pusieron a trabajar en esta tarea.

Prácticamente no hubo preguntas. Todo sucedió de modo muy natural y fue

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

23

Certidumbres E INCERTIDUMBRES

El 25 por ciento de las flores son rojas.

Figura 2. Uso de dibujos para expresar porcentajes.

evidente, por la forma en que ellos comentaron los diferentes espectáculos, que sabían lo que los porcentajes representaban. En el caso de la obra histórica, “el teatro estaba lleno a menos de la mitad” y “podías elegir fácilmente dónde querías sentarte”.

De igual modo que en la tarea del teatro, en una actividad de resumen al final del primer capítulo se pide a los estudiantes utilizar dibujos para expresar lo que se dice en enunciados específicos que incluyen porcentajes. Como se muestra en la figura 2, los estudiantes propusieron espontáneamente toda clase de modelos, desde dibujos de imágenes hasta diagramas circulares e incluso de barras.

Las observaciones durante las pruebas de la unidad de enseñanza mostraron que el dispositivo sí funciona en la propuesta del uso de barras con la actividad del teatro escolar. Para los estudiantes, esta actividad de colorear salas de teatro se convirtió también en una forma de expresar otros tipos de situaciones de tantos-de-tantos. En otras palabras, aquí se hace un primer cambio de un “modelo de” a un “modelo para”. Otra conclusión interesante fue que los estudiantes también utilizaron espontáneamente fracciones para “explicar” el porcentaje de ocupación. Esto significa que la conciencia de esta conexión entre diferentes números racionales, que en efecto es uno de los objetivos finales por alcanzar en el nivel formal general, ya está presente en esencia en el nivel de comprensión informal, relacionado con contextos.

El capítulo siguiente de la unidad Porcentaje incluye un conjunto de problemas en el contexto del estacionamiento. Se pide a los estudiantes comparar estacionamientos respecto a su ocupación. Una vez más, se solicita que indiquen el grado de ocupación de cada estacionamiento coloreando el marco rectangular que lo representa. A continuación, puede determinarse cuál estacionamiento es el que está más lleno (ver fig. 3).

24

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

El uso didáctico de modelos EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA REALISTA…

Figura 3. Comparación de la ocupación de estacionamientos.

Surgimiento del modelo de barra La etapa que sigue es la sustitución del marco rectangular que representa el estacionamiento “real” por un “medidor de ocupación”. Este medidor se asemeja, por ejemplo, a un dispositivo para comprobar la cantidad de polvo en una aspiradora o a un indicador de carga para baterías. Como éstos, el medidor de ocupación ofrece a los estudiantes una forma de representar la ocupación del estacionamiento. También en este caso los alumnos pueden colorear la parte ocupada (ver fig. 4).

Por otra parte, después de hacer esto, el “medidor de ocupación” representa visualmente para los estudiantes el porcentaje de espacios ocupados. Si el medidor está coloreado en su totalidad, ello significa que el estacionamiento está

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

25

Certidumbres E INCERTIDUMBRES

completo al cien por ciento. Si están ocupados 24 espacios de 40, el estacionamiento tiene una ocupación, digamos como una primera respuesta preliminar, de poco más de 50%. Pero después de indicar 75% como el punto medio entre 50% y 100%, y utilizándolo como referencia, 60% podría surgir como “una buena conjetura” (ver fig. 5).

Figura 4. El “medidor de ocupación” muestra la ocupación del estacionamiento.

Figura 5. El “medidor de ocupación” indica el porcentaje de ocupación del estacionamiento.

Según los números reales que se empleen en estos problemas de estacionamiento, se puede utilizar el medidor de ocupación de diversas formas para hallar el porcentaje de ocupación (ver fig. 6). Si están ocupados 60 espacios de 80 (a), los estudiantes recurrirán a una fracción fácil. En el caso de 50 espacios de 85 (b), se aproxima el porcentaje de ocupación mediante una estrategia basada en dividir a la mitad varias veces. Por último, cuando los números son 36 de 40 (c), los estudiantes hacen uso de un porcentaje conocido: 10% de 40 es 4, por tanto… (ver fig. 6).

26

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

El uso didáctico de modelos EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA REALISTA…

Figura 6. Formas de utilizar el “medidor de ocupación” para hallar el porcentaje de ocupación.

En otras palabras, no hay una estrategia fija para resolver estos problemas de porcentaje, y el medidor de ocupación permite esta flexibilidad en las formas de abordarlos. Este tipo de enfoque tiene otra gran ventaja además de la didáctica: es capaz de conectar flexiblemente las diferencias en el conocimiento de los estudiantes respecto a los números: los puntos de referencia y las relaciones numéricas que los alumnos tienen a la mano. El uso de esta propuesta hace posible que el objetivo en el nivel más alto –hacer un uso práctico y flexible de redes de números y propiedades de relaciones y operaciones– se logre en el nivel más bajo.

La barra como un modelo de estimación Más adelante, en el capítulo tres de la unidad Porcentaje, el “medidor de ocupación” se transforma gradualmente en un modelo de barra simple. En otras palabras, una vez más se hace un cambio de un “modelo de” a un “modelo para”; es decir, desde la perspectiva de la enseñanza: el cambio real, por supuesto, se efectúa en el pensamiento de los estudiantes. El cambio significa que el modelo ya no está conectado exclusivamente con el contexto del estacionamiento, sino que ayuda a los estudiantes, por ejemplo, a comparar la preferencia de los aficionados por determinados recuerdos de béisbol. Por otra parte, el cambio

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

27

Certidumbres E INCERTIDUMBRES

Figura 7. Uso de la barra como modelo de estimación.

Figura 8. Introducción de 1% como porcentaje de referencia.

brinda acceso a un nivel más alto de comprensión, en el que se utiliza la barra para razonar acerca de situaciones de tantos-de-tantos. En especial en casos en los que los problemas se refieren a números que no pueden convertirse a una fracción o porcentaje fácil, la barra proporciona un buen soporte para estimar un porcentaje aproximado. En la figura 7 se muestra un ejemplo de esto. El problema se refiere a dos grupos de admiradores: los de los Gigantes y los de los Dodgers, a quienes se ha entrevistado respecto a su recuerdo favorito de béisbol. Se entrevistó a 310 aficionados de los Gigantes, y 123 de ellos eligieron la gorra como su recuerdo favorito. En el caso de los Dodgers, 119 de 198 eligieron la gorra. Se pregunta a los estudiantes: ¿a cuáles aficionados les gusta más la gorra?

A fin de ofrecer a los estudiantes una estrategia más precisa, en este capítulo se dirige también su atención al porcentaje de referencia de 1%. Esto se hace de modo más o menos informal mediante un titular en el diario, referido a una muy baja asistencia de aficionados de los Tigres (ver fig. 8).

28

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

El uso didáctico de modelos EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA REALISTA…

La barra como un modelo de cálculo Este porcentaje de referencia de 1% se introduce para allanar el camino al cálculo de porcentajes, pero el enfoque elegido en esta trayectoria es diferente de la forma habitual de hacer un cálculo preciso con 1%: se utiliza para calcular porcentajes de modo aproximado. No se debe confundir con el cálculo preciso mediante una calculadora, el cual viene más tarde. En contraste con esto, aquí el uso de 1% como porcentaje de referencia sigue siendo una forma de estimar. La diferencia con la forma de estimación que se trató en el párrafo anterior es que ahora la barra misma no se utiliza para operar sobre ella, sino que se emplea sólo para guiar a los estudiantes en el cálculo del porcentaje. La barra les dice, de forma comprensible, qué cálculo han de llevar a cabo para hallar la respuesta (ver fig. 9).

Figura 9. Uso de la barra como modelo de cálculo con 1% como porcentaje de referencia.

No obstante, la barra también es pertinente para lo inverso, porque también ayuda a comprender los resultados de los cálculos, lo que puede ser importante para entender la relación entre porcentajes y números decimales. Esto es relevante cuando se trabaja con porcentajes como operadores.

Un primer paso hacia la siguiente etapa en el aprendizaje del porcentaje se da en la unidad de 6° grado (Diario de fracciones),4 donde los estudiantes aprenden a convertir situaciones de tantos-de-tantos “directamente” en un porcentaje.

En vez de dividir la parte entre 1% del número total, ahora se divide la parte directamente entre el número total. Esta última estrategia da evidentemente un resultado diferente del primero, pero no afecta la razón entre la parte y el todo, como los estudiantes lo han experimentado en su trabajo con la tabla de razones, que desempeña un papel medular en esta unidad de enseñanza. Como resultado de su trabajo con la tabla de razones, los alumnos aprenden poco a poco 4

La versión preliminar de esta unidad se llamó Travail Times.

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

29

Certidumbres E INCERTIDUMBRES

Figura 10. Situación de tantos-de-tantos convertida en (un) porcentaje mediante un decimal.

a interpretar la razón de forma flexible; pueden trabajar hacia una situación de tantos-de-cien y descubrir que también es posible sustituir esta situación de tantos-de-cien por una de tantos-de-mil, tantos-de-diez o tanto-de-uno. Las experiencias de este tipo, a su vez, ayudan a interpretar la respuesta decimal de la división, donde se divide la parte directamente entre el número total, cuya respuesta es sinónimo de una expresión de tantos de diez, cien, mil, etc., y que se puede representar sobre una barra. Según el grado de exactitud que se necesite, cualquier barra es apropiada para esto, pero en el caso de expresar la razón como un porcentaje, la barra de 100 segmentos es la más idónea, como se hace, por ejemplo, en el problema sobre los resultados de una elección (ver fig. 10).

El porcentaje de votos que Jiménez obtuvo en la elección se halla dividiendo su número de votos entre el número total de encuestados. El decimal que aparece en la pantalla de la calculadora indica cuántos segmentos, de los cien, tienen que ser coloreados. Al mismo tiempo, aún es posible hacer una estimación: 121 de 600 es aproximadamente un quinto del total, o alrededor de 20%.

Más adelante, en la unidad Más o menos, se plantean a los estudiantes situaciones de cambio. Ellos aprenden entonces a expresar –tanto de forma aditiva (+25% o -25%) como multiplicativa (×1.25 o ×0.75)– situaciones nuevas como un porcentaje de las antiguas. Esta parte de la trayectoria comienza con una situación de reducción de precios. El ejemplo que se muestra en la figura 11 trata de un supermercado que introdujo nuevas etiquetas de precio. Se pide a los estudiantes que verifiquen el precio de venta haciendo una sola multiplicación en su calculadora.

Después de esta breve introducción relacionada con precios, se exploran más a fondo los porcentajes como operadores en el capítulo final de la unidad Más o menos. El capítulo inicia con el contexto de una fotocopiadora capaz de reducir y ampliar. La opción máxima de reducción de la copiadora es de 80%. Entre otras

30

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

El uso didáctico de modelos EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA REALISTA…

Figura 11. Comprobar el precio de venta mediante una multiplicación.

Figura 12. Uso de una tira elástica para hallar el resultado de una doble reducción de 80%.

cosas, se plantea a los estudiantes una situación en la que una reducción de 80% no es suficiente, y se necesitan varias reducciones de 80%. Conectado con el cálculo del efecto de una doble reducción en las dimensiones de una imagen, se utiliza una tira elástica5 para hacer una estimación del resultado de la doble reducción (ver fig. 12).

5

Esta tira elástica fue idea de Abels (1991).

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

31

Certidumbres E INCERTIDUMBRES

Figura 13. Gráfica de barras que muestra cómo aumenta el dinero en una cuenta de ahorros con interés.

Más adelante, se tratan aumentos exponenciales –aunque no se hace referencia a ellos como tales ante los estudiantes– en el contexto de una cuenta de ahorros con interés. También en este caso la barra permite visualizar cómo funciona esto y qué cálculo debe hacerse para hallar la cantidad total de dinero al cabo de un año, dos años, tres años, etcétera (ver fig. 13).

La barra como un modelo mental Como se muestra en el ejemplo anterior, la barra también puede ser útil para entender situaciones complejas. Lo mismo se aplica a situaciones que demandan un razonamiento inverso, como en el caso del problema siguiente. Aquí se da el precio de venta y el porcentaje de descuento, y los estudiantes deben averiguar el precio original (ver fig. 14).

En el trabajo de un estudiante que se muestra en la figura 14, en vez de la barra se utiliza una simple línea numérica doble para apoyar el razonamiento inverso. Esto confirma de cierto modo el cambio natural de una versión del modelo a otra. Algo crucial respecto a ambas versiones es que ayudan a los estudiantes a entender que el precio de venta es igual a 75% del precio original, y que deben dividir el precio de venta entre 3 y en seguida multiplicarlo por 4.

Sin embargo, en un nivel más elevado, se puede hallar el precio original mediante una división en un solo paso, dividiendo el precio de venta entre tres cuartos o entre setenta y cinco centésimos, que es lo opuesto de hallar el precio de venta cuando se ha dado el precio original y el porcentaje de descuento (ver fig. 15). De hecho, esta última solución es un ejemplo de matematización vertical. Se basa en un atajo dentro del sistema matemático.

32

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

El uso didáctico de modelos EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA REALISTA…

Figura 14. La línea numérica doble como soporte para el razonamiento inverso.

Figura 15. Hallar el precio original como la inversa de hallar el precio de venta.

Para concluir: una reflexión sobre el uso didáctico de modelos Las instantáneas precedentes de una trayectoria de enseñanza-aprendizaje sobre porcentaje ilustran la manera en que dentro de la EMR se utilizan modelos como herramientas didácticas para enseñar matemáticas. La perspectiva didáctica adoptada en este artículo supone que el centro de atención no estuvo en la modelización como meta de la educación matemática, si bien se trata, por supuesto, de una característica importante de la EMR que, al mismo tiempo, caracteriza el pensamiento reciente sobre la educación matemática. Un buen ejemplo de esto último es el trabajo de Lesh y Doerr (2000). La modelización, en su interpretación, se relaciona con el proceso de desarrollo de modelos, gracias al cual los estudiantes comprenden una situación problema rica y significativa, describiéndola y analizándola con medios cada vez más avanzados, y pasando

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

33

Certidumbres E INCERTIDUMBRES

por una serie de ciclos de modelización desarrollan finalmente un modelo eficaz con el cual abordar también otras situaciones problema complejas similares.

En este artículo, no obstante, la atención no se centra en cómo enseñar a los estudiantes a resolver problemas construyendo modelos por matematización progresiva, sino en cómo enseñar conceptos matemáticos como el número racional y, en particular, la comprensión del porcentaje. Aunque ambos procesos de aprendizaje son necesarios, tienen mucho en común y se apoyan mutuamente; trabajar sobre la actitud de construcción de modelos de los estudiantes no será suficiente para enseñarles porcentaje.

Este artículo se centra más bien en cómo pueden aprender el porcentaje y en cómo los modelos se usan didácticamente para llevar a cabo este proceso de aprendizaje.

En términos más precisos, no son los modelos en sí los que hacen posible el crecimiento de la comprensión matemática, sino las actividades de modelización de los estudiantes. Dentro de la EMR no se entrega a los estudiantes modelos ya hechos que plasman determinados conceptos matemáticos, sino que se les plantean problemas en contexto presentados de modo tal que susciten actividades de modelización, las que a su vez dan lugar al surgimiento de modelos. Por otra parte, la perspectiva longitudinal de la trayectoria de porcentaje demuestra claramente que el modelo que surge en este caso, el modelo de barra, se desarrolla más y más a lo largo de la trayectoria. Las actividades iniciales de modelización, ejecutadas sobre problemas en contexto vinculados con la realidad de los estudiantes, consiguen que estos últimos lleguen a realidades nuevas las que, a su vez, vuelven a ser objeto de nuevas actividades de modelización. Este cambio da como resultado que el modelo de barra manifieste su función de distintas formas en puntos diferentes de la trayectoria: de una imagen de una situación de tantos-de-tantos hasta un medidor de ocupación y a una línea numérica doble. De hecho, las actividades de modelización no producen un modelo único, sino una cadena de modelos. Evocadas por una serie de problemas que se presentan en un ambiente de aprendizaje que estimula la reflexión y la interacción en el aula, siguen apareciendo nuevas manifestaciones del modelo que dan acceso a nuevas perspectivas, nuevas posibilidades de resolución de problemas y niveles más altos de comprensión, y que, al mismo tiempo, abarcan manifestaciones previas del modelo. Todo esto implica que el modelo ofrece a los estudiantes oportunidades de progreso, sin obstruir el camino de vuelta a las fuentes en las que se cimienta la comprensión. Lo anterior significa también que el modelo de barra funciona en diferentes niveles de comprensión, y que puede seguir el ritmo del proceso de aprendizaje de largo plazo por el que los estudiantes han de pasar. Es esta cualidad de perdurabilidad en particular lo que hace tan poderoso al modelo de barra. Su carácter flexible y general expone las diversas apariencias de los números racionales y sus relaciones mutuas; en consecuencia, los estudiantes dominarán mejor el concepto subyacente de

34

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

El uso didáctico de modelos EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA REALISTA…

Figura 16. Niveles de comprensión y cambios de “modelo de” a “modelo para”.

número racional, lo que a su vez se combina con la aplicación del modelo en un nivel cada vez más alto: de representar una situación de parte-todo, a estimar y calcular localmente, y al razonamiento matemático basado en comprensiones logradas en cuanto a relaciones de números (racionales).

Así como no se trata de un modelo de barra, sino de una cadena de modelos que juntos forman el modelo conceptual que incorpora los aspectos importantes del concepto de número racional, tampoco se trata únicamente de un cambio de modelo de a modelo para. De hecho, hay una serie de cambios locales continuos, lo cual implica que un modelo, que en un nivel conectado al contexto simbolizaba una solución informal, al final se transforma en un modelo para soluciones formales en un nivel más general (ver fig. 16).

Un cambio local de este tipo ocurre, por ejemplo, cuando los estudiantes se dan cuenta de que la forma de simbolizar la ocupación del teatro sirve también para expresar que 25% de las flores son rojas. Este cambio de contexto suele ser el primer paso que confiere al modelo un carácter más general. Otro cambio local tiene que ver con un cambio de (sub)dominios, el cual abre la relación entre diferentes (sub)dominios. Esta transición exige que los estudiantes comprendan que una misma barra se puede utilizar para porcentajes y también para fracciones. Aunque la relación entre estos números racionales basados en fracciones y porcentajes muy conocidos es un importante pilar del programa, este cambio se produce sólo cuando los niños comienzan a utilizarla conscientemente. Otro cambio local más ocurre cuando los diferentes modos en que puede funcionar el modelo se relacionan unos con otros y los estudiantes son capaces de usarlo: lo que al principio era sólo para representar, más tarde se utiliza para estimar un porcentaje, o para calcular a la inversa el precio original a partir del nuevo precio rebajado. A la larga, este cambio de función conduce a que los alumnos hagan un uso flexible del modelo y lo manipulen. En ese punto ellos han alcanzado, en efecto, el nivel general y formal de comprensión.

Aunque puede encontrarse cierto grado de ordenamiento en los diversos tipos de cambios locales –los cambios de contexto, por ejemplo, suelen ocurrir primero–, éstos no deben considerarse secuenciales. Dentro del proceso de

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

35

Certidumbres E INCERTIDUMBRES

aprendizaje los diferentes cambios locales están estrechamente vinculados. En conjunto, forman los bloques que sirven de base para alcanzar el nivel más alto de comprensión.

Al repasar las etapas de la trayectoria que se muestran en este artículo, parece que hemos hallado una buena estrategia para enseñar porcentaje a los estudiantes. Esto adicionalmente se confirmó en las clases de ensayo mediante la experiencia, de que las perspectivas de los diseñadores, los profesores y los estudiantes parecieron coincidir casi siempre. Los docentes se identificaron sin dificultad con la trayectoria propuesta. Fue reconocible para ellos antes de que la hubiesen llevado a la práctica por su cuenta. Esta capacidad inherente para convencer ya es reveladora en sí. Aún más importante, sin embargo, es la experiencia de que los estudiantes llegaron a soluciones que se asemejaban a las pronosticadas en la trayectoria. Esta experiencia proporcionó verdaderamente la sensación de ser capaces de lograr lo que Streefland (1985b, p. 285) llamó: “prever dónde y cómo puede uno anticipar lo que apenas comienza a ser visible a la distancia”.

Sin embargo, estas experiencias no deben llevar a la conclusión de que esta trayectoria basada en el modelo de barra es la respuesta última a la pregunta de cuál es la mejor forma de que los estudiantes aprendan porcentaje. Es sólo una respuesta. La trayectoria representada en este artículo, por consiguiente, no debe considerarse una receta fija, ni un embudo en el cual los alumnos tienen muy pocas opciones de escape para buscar otra forma de alcanzar ciertas comprensiones, sino como un modelo para enseñar y aprender porcentaje, en el que el uso didáctico de modelos desempeña un papel fundamental.

Referencias ABELS,

M, “Procenten in W12-16”, Nieuwe Wiskrant 10(3), 1991, pp. 20-25.

DE LANGE,

J., Mathematics, Insight and Meaning, OW&OC, Universidad de Utrecht, Utrecht, Países Bajos, 1987.

op de Basisschool. Leerplanpublikatie 2, IOWO, Utrecht, Países Bajos, 1975. , “Antwoord door Prof. Dr H. Freudenthal na het verlenen van het eredoctoraat’” [Respuesta del doctor H. Freudenthal al serle otorgado un doctorado honorario], Euclides 52, 1977, pp. 336-338.

H. “Why to teach mathematics so as to be useful?”, Educational Studies in Mathematics 1, 1968, pp. 3-8.

, Weeding and Sowing. Preface to a Science of Mathematical Education, Reidel Publishing Company, Dordrecht, Países Bajos, 1978.

, “Geometry between the devil and the deep sea”, Educational Studies in Mathematics 3, 1971, pp.

413-435.

, Didactical Phenomenology of Mathematical Structures, Riedel Publishing Company, Dordrecht, Países Bajos, 1983.

, Mathematics as an Educational Task, Riedel Publishing Company, Dordrecht, Países Bajos, 1973.

, “Mathematics starting and staying in reality”, en I. Wirszup y R. Street (eds.), Proceedings of the USCMP Conference on Mathematics Education on Development in School Mathematics around the World, NCTM, Reston, VA, 1987.

FREUDENTHAL,

, “Voorwoord”, en R. de Jong, A. Treffers y E. Wijdeveld (eds.), Overzicht van Wiskundeonderwijs

36

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

El uso didáctico de modelos EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA REALISTA…

, Revisiting Mathematics Education. China Lectures, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Países Bajos, 1991.

GRAVEMEIJER,

K., “Het gebruik van contexten”, Willem Bartjens 1(4), 1982, pp. 192-197.

, Developing Realistic Mathematics Education, Press / Instituto Freudenthal, Utrecht, Países Bajos, 1994a.

CD-ß

, “Educational development and developmental research in mathematics education”, Journal for Research in Mathematics Education 25(5), 1994b, pp.

443-471. , “Mediating between concrete and abstract”, en T. Nunes y P. Bryant (eds.), Learning and Teaching Mathematics: An International Perspective, Lawrence Erlbaum, Hove, Sussex, Reino Unido, 1997, pp.

315-343. , “How emergent models may foster the constitution of formal mathematics”, Mathematical Thinking and Learning 1(2), 1999, pp.155-177. , y D. Doorman, “Context problems in Realistic Mathematics Education: A calculus course as an example”, Educational Studies in Mathematics 39, 1999, pp. 111-129.

KEIJZER,

R., M. van den Heuvel-Panhuizen, M. Wijers, J. Shew, L. J. Brinker, M. A. Pligge, M. C. Shafer y J. Brendefur: “More or Less”, en T. A. Romberg (ed.), Mathematics in Contexts: A Connected Curriculum for Grade 5-8, Encyclopaedia Britannica Educational Corporation, Chicago, IL, 1998a. , “Fraction Times”, en T. A. Romberg (ed.), Mathematics in Contexts: A Connected Curriculum for Grade 5-8, Encyclopaedia Britannica Educational Corporation, Chicago, IL, 1998b.

LESH,

R. y H. M. Doerr:, “Symbolizing, communication and mathematizing: Key components of models and modeling”, en P. Cobb, E. Yackel y K. McClain (eds.), Symbolizing and Communicating in Mathematics Classrooms, Lawrence Erlbaum Associates, Mahwah, NJ, 2000, pp. 361-383.

NATIONAL Council of Teachers of Mathematics,

Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics, NCTM, Reston VA, 1989.

MIDDLETON,

J. A., M. van den Heuvel-Panhuizen, y J. A. Shew, “Using bar representations as a model for connecting concepts of rational number”,

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

Mathematics Teaching in the Middle School 3(4), 1998, pp. 302-311.

MIDDLETON,

J. A. y M. van den Heuvel-Panhuizen, “The ratio table”, Mathematics Teaching in the Middle School 1(4), 1995, pp. 282-288.

ROMBERG,

T. A. (ed.), Mathematics in Contexts: A Connected Curriculum for Grade 5-8, Encyclopaedia Britannica Educational Corporation, Chicago, IL, 1997-1998.

STREEFLAND, L., “Wiskunde als activiteit en de realiteit

als bron”, Nieuwe Wiskrant 5(1), 1985a, pp. 60-67. , “Vorgreifendes Lernen zum Steuern Langfristiger Lernprozesse”, en W. Dörfler y R. Fischer (eds.), Empirische Untersuchungen zum Lehren und Lernen von Mathematik. Beiträge zum 4. Internationalen Symposium für Didaktik der Mathematik in Klagenfurt in 1984, Hölder-Pichler-Tempsky, Viena 1985b, pp. 271-285. , “Reconstructive learning”, en Proceedings of the Conference, Veszprein, Hungría, Vol. I, 1988 pp. 75-91.

XII PME

, Fractions in Realistic Mathematics Education. A Paradigm of Developmental Research, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, Países Bajos, 1991 , “Het ontwerpen van een wiskundeleergang”, Tijdschrift voor Nascholing en Onderzoek van het RekenWiskundeonderwijs 10(4), 1992, pp. 3-14. y M. van den Heuvel-Panhuizen, “Evoking pupils” informal knowledge on percents, Proceedings of the Sixteenth PME Conference, University of New Hampshire, Durham, NH, Vol. III, 1992, pp.

51-57. , “The design of a mathematics course. A theoretical reflection”, Educational Studies in Mathematics 25(1-2), 1993, pp. 109-135. , Learning from History for Teaching in the Future, Utrecht, Instituto Freudenthal, Universidad de Utrecht, Países Bajos, 1996. (Conferencia normal pronunciada en la ICME-8 en Sevilla, España) TREFFERS,

A. y F. Goffree:, “Rational analysis of realistic mathematics education – the Wiskobas program”, en L. Streefland (ed.), Proceedings of the Ninth International Conference for the Psychology of Mathematics Education, OW&OC, Universidad de Utrecht, Utrecht, Países Bajos, Vol. II, 1985, pp. 97-121.

37

Certidumbres E INCERTIDUMBRES

, Wiskobas Doelgericht, IOWO, Utrecht, Países Bajos, 1978. , Three Dimensions. A Model of Goal and Theory Description in Mathematics Instruction – The Wiskobas Project, Reidel Publishing Company, Dordrecht, Países Bajos, 1987. , “Didactical background of a mathematics programm for primary education”, en L. Streefland (ed.), Realistic Mathematics Education in Primary School, CD-ß Press / Instituto Freudenthal, Universidad de Utrecht, Utrecht, Países Bajos, 1991, pp. 21-56.

VAN AMEROM,

B., Reinvention Early Algebra. Developmental Research on the Transition from Arithmetic to Algebra, CD-ß Press / Instituto Freudenthal, Utrecht, Países Bajos, 2002.

VAN DEN BRINK,

J., “Bijna noemen”, Wiskobasbulletin 3, 1973, pp. 129-131. , “Numbers in contextual frameworks”, Educational Studies in Mathematics 15, 1984, pp. 239-257.

VAN DEN HEUVEL-PANHUIZEN,

M. L. y Streefland,: “Per Sense – Een onderwijspakketje over procenten”, en M. Dolk y W. Uittenbogaard (eds.), Procenten – Op de grens van basisschool en basisvorming, Panamá / HMN e Instituto Freudenthal, Utrecht, Países Bajos, 1993, pp. 25-48. , “Improvement of (didactical) assessment by improvement of the problems: An attempt with respect to percentage”, Educational Studies in Mathematics 27(4), 1994, pp. 341-372. , “A representational model in a long tEMR learning process – the didactical use of models in Realistic Mathematics Education”, trabajo presentado en la conferencia AERA, San Francisco, CA, 1995. , Assessment and Realistic Mathematics Education, CD-ß Press, Universidad de Utrecht, Utrecht, Países Bajos, 1996.

38

, M., L. Streefland, M. Meyer, J. A Middleton y J. Browne, “Per Sense”, en T. A. Romberg (ed.), Mathematics in Contexts: A Connected Curriculum for Grade 5-8, Encyclopaedia Britannica Educational Corporation, Chicago, IL, 1997. , “Realistic Mathematics Education in the Netherlands”, en J. Anghileri (ed.), Principles and Practices in Arithmetic Teaching. Innovative Approaches for the Primary Classroom, Open University Press, Buckingham, Reino Unido, 2001, pp. 49-63. , “Realistic Mathematics Education as work in progress”, en F. L. Lin (ed.), Common Sense in Mathematics Education. Proceedings of 2001 The Netherlands and Taiwan Conference on Mathematics Education, Taipei, Taiwán, Universidad Normal Nacional de Taiwán, Taipei, Taiwán, 2002, pp. 1-42.

VYGOTSKY,

L. S., Mind in Society: The Development of Higher Psychological Processes, Harvard University Press, Cambridge, MA, 1978.

WIJDEVELD, E., “Zich realiseren”, en IOWO, De Achterkant

van de Möbiusband, 1980, pp. 23-26.

IOWO,

Utrecht, Países Bajos,

WIJERS,

M. y F.Van Galen, “Breuken, procenten en kommagetallen in het Middle School Project’, en C. van den Boer y M. Dolk (eds.), Rekenen in de Bovenbouw van de Basisschool, Panamá / HvU e Instituto Freudenthal, Universidad de Utrecht, Utrecht, Países Bajos, 1995, pp. 65-74.

YACKEL, E., D. Underwood, , M. Stephan, y Ch. Rasmu-

ssen, “Didactising: Continuing the work of Leen Streefland”, en M. van den Heuvel-Panhuizen (ed.), Proceedings of the 25th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Instituto Freudenthal, Universidad de Utrecht, Utrecht, Países Bajos, Vol. 1, 2001, pp. 239249 y 251-253.

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

Notas para una aproximación a la educación patrimonial como CREADORA DE IDENTIDAD Y PROMOTORA DE LA CALIDAD EDUCATIVA Valentina Cantón Arjona (México)

Orlando José González Sáez (Cuba) La memoria es la base de la personalidad individual, así como la tradición es la base de la personalidad colectiva de un pueblo. Vivimos en y por el recuerdo, y nuestra vida espiritual no es en el fondo sino el esfuerzo que hacemos para que nuestros recuerdos se perpetúen y se vuelvan esperanza, para que nuestro pasado se vuelva futuro.

MIGUEL DE UNAMUNO1

proyecto de Patrimonio de la Red de Escuelas Asociadas de la UNESCO (RedPEA/UNESCO), los autores abordan el tema de la identidad como elemento central de la educación patrimonial y como detonador del sentido de pertenencia y de las competencias relacionadas con la apropiación cultural. Considerar estos elementos y estas competencias es indispensable para elevar la calidad educativa.

www.artesdellibro.com

En este texto, elaborado en colaboración en el marco del

Los incunables americanos forman parte de la Memoria del Mundo.

La identidad como horizonte por alcanzar Identidad es aquello que puede afirmarse de un objeto o sujeto para definir lo que es, lo que no es y lo que lo diferencia de otros objetos o suje1

Citado por Federico Mayor, “El Patrimonio, memoria del porvenir”, Correo de la UNESCO, septiembre de 1997, pp. 42-43.

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

tos. La identidad de un objeto o sujeto se define, pues, a partir del conjunto de sus atributos.

Al mismo tiempo que un objeto o sujeto es algo dado, es también objeto o sujeto en construcción permanente. Para saber lo que un objeto o sujeto es debemos apelar a su historia y entender tanto su momento presente como las causas que lo determinaron. Entonces, podremos

39

Certidumbres E INCERTIDUMBRES

colegiodefilosofia.unam.mx

El campus central de Ciudad Universitaria de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) fue nombrado por la UNESCO Patrimonio Cultural de la Humanidad.

prever cuáles serán las circunstancias en las que ese objeto o sujeto puede seguir siendo lo que es, y aquellas en las que puede cambiar.

La identidad denota, pues, pasado, presente y futuro, y dinamiza las posibilidades de realización de la condición humana al movilizar a cada individuo y a cada pueblo a nutrirse de su pasado, acoger los aportes externos compatibles con su idiosincrasia y continuar el proceso de su propia creación.

En sentido psicológico, la identidad se refiere a lo que cada individuo reconoce de sí mismo como propio, como idéntico a sí, es decir, lo que hablando de sí, lo hace diferente y diferenciable de los demás. En este sentido, la identidad es indispensable para el reconocimiento de la alteridad y el autorreconocimiento del sujeto como un ser individual entre los otros.

La identidad psicológica (características emocionales, afectivas, cognitivas y psicosociales de un individuo) se construye a partir de la relación con los otros, y podemos definirla como el con-

40

junto de imágenes y significados que un sujeto posee y le permiten ser y estar en el mundo con los demás. Es, a diferencia de la identidad física (características físicas y genéticas), resultado de un proceso en permanente construcción desde el nacimiento hasta la muerte.

A partir de la identidad podemos reconocer que lo individual y lo colectivo son intrínsecamente lo mismo, y que no son sino presentaciones diferentes de una misma cosa. Y justamente en la diferencia de estas presentaciones se expresa la particularidad del individuo y su diferencia respecto a los otros.

Identidad y sentido de pertenencia En sentido sociológico, el concepto identidad apela, de manera general, al conjunto de características que definen a un grupo o a una sociedad, y a partir de ellas ese grupo o sociedad se reconoce como diferente de otros grupos o sociedades.

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

Este concepto se amplía cuando el conjunto de características de ese grupo o sociedad se refiere a sus creencias, valores, costumbres, tradiciones y formas de relación entre sus miembros, así como a sus producciones materiales e inmateriales. Esta acepción de identidad es identidad cultural.

La identidad cultural se expresa en todas las manifestaciones de la vida cotidiana, como las prácticas culinarias, los mobiliarios domésticos o la vestimenta; así como en las variantes lingüísticas, la idiosincrasia o las relaciones intrafamiliares y sociales. Se consolida en las costumbres, las tradiciones, las leyendas y el folklore, y se renueva y enriquece a través de las producciones filosóficas, artísticas, científicas, técnicas, educativas, espirituales, ideológicas y políticas.

Al ser un elemento indispensable para alcanzar niveles superiores en la formación de la nacionalidad, la identidad se traduce como un sistema de valores que parte del autorreconocimiento de las aspiraciones y los horizontes de la sociedad que la sustenta. De lo anterior, se infiere que la identidad actúa también como factor de eticidad capaz de poner en consonancia al individuo con el medio social en el que se desenvuelve, favoreciendo tanto la formación de importantes rasgos de su personalidad como de sus competencias éticas y ciudadanas.

La identidad nos habla del sujeto en su tiempo, espacio y circunstancia histórica. Nos refiere a su trama básica, a la red de significaciones en las que se constituye y que lo constituyen. De ahí que de la noción de identidad se derive la de sentido de pertenencia.

La especificidad de la constitución identitaria de cada sujeto sólo se expresa a plenitud a través de sus actos libres, soberanos y ajenos a cualquier dictado o mandato proveniente de cualquier tipo de dominación (sea ésta ideológica, religiosa o política). Por eso, si bien la iden-

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

Foto: Juan Gonzalez. www.flickr.com

Notas para una aproximación a la EDUCACIÓN PATRIMONIAL…

Las construcciones de la Vieja Habana, en Cuba, son Patrimonio de la Humanidad.

tidad nos habla de los atributos, las capacidades y habilidades de un sujeto y de las características del grupo, sociedad o cultura a la que pertenece, también nos dice cómo, a través de su acción, dicho sujeto reconoce, acepta y se apropia de lo que le rodea para enriquecerlo y transformarlo.

La identidad es, pues, la expresión de una praxis mediante la cual se realiza la pertenencia.

Identidad cultural y patrimonio Uno de los pilares que sustenta la identidad de un país o región es la relación que las personas mantienen con su patrimonio local. Esto posibilita la formación de ciudadanos conscientes de los valores de su patria chica y afianza el sentido de pertenencia a la comunidad. Hay, pues, consenso respecto a que, en principio, la identidad cultural se produce a través del patrimonio y como una consecuencia de él. Veamos.

41

www.ymipollo.com

Certidumbres E INCERTIDUMBRES

Fiesta del Día de Muertos en México, Patrimonio Cultural Intangible de la Humanidad.

Patrimonio proviene del latín patrimonium (de pater: padre, y patrius: paternal, del padre) que significa “bienes que se poseen de los padres”. Es, en estricto sentido, lo que los hijos heredan de sus padres.

El patrimonio cultural es el conjunto de bienes históricos y culturales, materiales e inmateriales, que se reconocen como propios y que son susceptibles de ser heredados o transmitidos de una generación a otra.

Siendo el patrimonio herencia, legado, se requiere, para que se realice como tal, la aceptación consciente y voluntaria de quien lo recibe.

Sin dicha aceptación, el legatario es incapaz de reconocer su herencia como un cuerpo integrado de bienes que le pertenece. Mientras que, al aceptarlo, reconoce en dichos bienes elementos constitutivos, signos y señas, de su identidad.

La acción patrimonial depende entonces de dos acciones conscientes y voluntarias, soberanas: dar y recibir. “Patrimoniar” es, en su significación plena: saber dar y saber recibir.

42

Si bien la acción de legar nos parece más cercana y ha sido más estudiada por ser el modo a partir del cual se produce la cultura, la acción de recibir ha sido menos interrogada.

Interrogantes útiles pueden ser: ¿Cómo un sujeto recibe y acepta un legado que contiene elementos constitutivos de su identidad cultural? ¿Cómo y en qué condiciones, un sujeto es capaz de relacionarse con lo que proviene de su cultura, “del padre”? ¿Qué hace que un sujeto desarrolle hacia su legado sentido de pertenencia y compromiso de conservación, enriquecimiento y, de nuevo, transmisión?

Es evidente que una acción tan compleja como la de recibir no es sólo resultado del instinto de supervivencia y preservación de la especie; para ser autónoma y consciente debe ser, necesariamente, resultado de una intención educativa. Debemos ir al campo de la educación para encontrar –y en su defecto construir– respuestas para esas preguntas.

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

La educación patrimonial y sus finalidades La educación es el proceso mediante el cual una generación transmite a otra más joven su riqueza material, cultural y espiritual, y sus formas de relación con los bienes de la naturaleza. Al educar cumplimos nuestro compromiso activo con la memoria y con la historia La escuela –espacio de socialización de los saberes y agente que dinamiza la formación de valores en las nuevas generaciones– es la institución idónea para conformar la identidad a partir del conocimiento y aprecio del patrimonio de cada comunidad.

La educación patrimonial es un campo de la educación cuyo objeto de estudio es el patrimonio. Es una acción educativa organizada y sistemática dirigida a la formación de sujetos a partir del reconocimiento y la apropiación de su patrimonio cultural, histórico y éticoespiritual. Es decir, a partir del reconocimiento de su particularidad como individuos y como comunidad, y de la comprensión plena, subjetiva y emancipatoria de su cultura –entendida ésta como un complejo sistema de valores, creencias, tradiciones, costumbres y horizontes utópicos constitutivo y constituyente de bienes materiales y espirituales únicos, irrepetibles e históricamente determinados.2 La educación patrimonial no se ocupa sólo del conocimiento de los bienes patrimoniales, sino también, y principalmente, de la formación de los individuos y las sociedades buscando desarrollar la capacidad y el disfrute de reflejarse en dichos bienes.

Mediante la educación patrimonial se promueven y desarrollan competencias como el sentido de identidad y de pertenencia; el respeto 2

Valentina Cantón Arjona, “La educación patrimonial como estrategia para la formación ciudadana”, Correo del Maestro, núm. 154, año 13, marzo de 2009, pp. 31-38.

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

www.wikipedia.org

Notas para una aproximación a la EDUCACIÓN PATRIMONIAL…

La Gran Muralla China, antigua fortificación ordenada por el emperador Qin, es Patrimonio de la Humanidad.

por la legalidad; el aprecio por la diversidad, la participación y la democracia, y la resolución pacífica de conflictos. De estas competencias se derivan las competencias patrimoniales que son las siguientes: a) Aceptación y apropiación subjetiva y objetiva de los bienes patrimoniales recibidos. b) Conocimiento, comprensión histórica y disfrute de los bienes patrimoniales. Y, c) Conservación, preservación, atesoramiento y difusión –con vías a la transmisión generacional– de los bienes patrimoniales.

La educación patrimonial promueve la calidad educativa Reconocemos que aprender no es recibir información, sino elaborar conocimientos. Y para que

43

Certidumbres E INCERTIDUMBRES

los aprendizajes sean significativos tienen que ser culturalmente pertinentes. El desarrollo cognitivo de las personas se define a partir del contexto sociocultural en que se desenvuelven, de modo que si se busca mayor eficiencia y calidad en la educación, no queda más que considerar al patrimonio como un punto de partida de los aprendizajes escolares.

Al propiciar el desarrollo de conocimientos, habilidades y actitudes socialmente pertinentes (competencias), la educación patrimonial coadyuva a la calidad educativa, lo que justifica su reivindicación como campo de lo educativo no sólo en lo que se refiere al objeto y conceptos derivados, sino y esencialmente, en lo que se refiere a la práctica.

La educación patrimonial apunta hacia la elevación de la calidad educativa pues promueve: • El desarrollo de competencias éticas y ciudadanas –como el autoconocimiento, la identidad y el sentido de pertenencia– que facilitan la integración y promueven el compromiso con la comunidad, pues son indispensables para aprender a ser, conocer, convivir y hacer.

• El desarrollo de acciones a partir de las cuales se genera tanto un acercamiento entre la escuela y la comunidad, como entre el pasado, el presente y/o el futuro compartido por sus miembros.

• La definición, el diseño y la implantación de estrategias curriculares longitudinales y transversales y, consecuentemente, la búsqueda de soluciones que articulen la práctica docente de los distintos grados y niveles educativos.

• El diseño y desarrollo de estrategias didácticas novedosas que, apoyadas en el reconocimiento de la realidad circundante, pueden ser punto de partida para la generación de

44

proyectos orientados al conocimiento, conservación, atesoramiento y transmisión de los bienes patrimoniales. Por último, • El desarrollo de la creatividad y la innovación en la organización escolar y en las formas de convivencia entre alumnos, maestros y padres para el cabal logro de los proyectos mencionados.

Lo anterior se resume en el esquema de la página siguiente.

Conclusiones La noción de patrimonio es universal, compartida por toda la humanidad en distintos momentos de su evolución y está presente en todas las culturas. Es una idea que atraviesa la historia y todas las formaciones sociales. Si bien la naturaleza de los bienes o las formas de transmisión puede variar, no ha variado ni variará la necesidad característicamente humana de trascender en los otros, necesidad última en la que se funda –es su inspirador ético– la educación patrimonial.

Tomar conciencia de esta necesidad de trascendencia, y de su concreción en la creación, conservación y transmisión de nuestros bienes, tanto materiales como culturales, es una tarea educativa aún en ciernes; por lo que se requiere un gran esfuerzo de creatividad e imaginación y una política educativa afirmativa e intencionada que la proteja. De ahí que espacios escolares como las escuelas de la Red de Escuelas Asociadas a la UNESCO (Red PEA) sean llamados a su realización. En ellas, se demuestra en la práctica la necesidad y el compromiso de los directivos y maestros de conocer y estudiar el rico patrimonio tangible e intangible que poseen nuestras comunidades. Todos somos conscientes

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

Notas para una aproximación a la EDUCACIÓN PATRIMONIAL…

Identidad y patrimonio

Educación patrimonial

Potencialidades educativas Enseñar a partir del patrimonio facilita la formación de un pensamiento lógico, genera gusto estético, propicia la valoración de significados, estrecha las relaciones educando-comunidad, que incluye, a su vez, la interacción con el medio ambiente y su contexto sociocultural, propicia placer y el desarrollo de capacidades cognitivas, la solidaridad grupal, dignidad personal, la autorregulación y la identidad cultural; todo lo que lleva a la formación de hombres y mujeres dignos de la nueva época, cuyo centro es la cultura.

Calidad educativa Promover la formación básica e integral del alumno, sobre la base de una cultura general, que le permita estar plenamente identificado con su nacionalidad, su historia e identidad. Conocer y entender su pasado le permitirá enfrentar los retos del presente y los desafíos del futuro.

de que sólo así se podrán transmitir los saberes y valores más profundos y definitorios de la comunidad, la nación y la humanidad. Y debemos articular coherentemente estos saberes y valores para forjar y preservar nuestra identidad.

Por eso, insistimos, conscientes de que “nadie ama lo que no conoce” y “nadie defiende lo que no ama”, concebimos la escuela como fuente de conocimiento y amor hacia lo propio y sus raíces; como agente promotor de identidad den-

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

tro de la diversidad, y facilitador de las herramientas básicas para vivir, amar y transformar el mundo en que nos ha tocado existir. Así se promueven de abajo arriba, desde la escuela hacia la sociedad, las competencias que cada ser humano debe poseer para enfrentar los desafíos de los momentos actuales.

En esta ruta, si lugar a dudas, el patrimonio y la educación patrimonial desempeñan un papel protagónico.

45

artistas Y ARTESANOS

Técnicas de motivación a la lectura y escritura II JUGANDO AL COMO, AL PARECE, AL SI YO… Carmen Gamiño

Cuando deseamos que los niños nos cuenten –haciendo uso de la palabra escrita–, ya sea en un cuento o en un poema algo de sí mismos, de lo que les rodea, real o ficticio, no es suficiente con colocarlos frente a la hoja en blanco y pedírselo. Aun los de mayor facilidad y gusto en expresarse por este medio podrán tener dificultades. La hoja en blanco atemoriza, dicen quienes tienen ya bien dominado el oficio de escritor, porque la tentación es llenarla con infinidad de ideas y situaciones, y decidir todo en el momento, sin ningún tipo de ayuda, resulta complicado. Así, es importante proporcionar dinámicas o herramientas que hagan más sencillo el proceso creativo para la escritura o cualquier otra área artística.

a finalidad de “Jugando al como, al parece, al si yo…” es proporcionar la mitad de una idea, de una frase, para provocar situaciones, mover el cuerpo, sacudir la creatividad y facilitar la construcción de poemas. Se trata de una dinámica sencilla, pero que les gusta mucho realizar a los niños. Consiste en primero decir una frase y luego formarlos en hilera, hombro con hombro, sobre un pequeño escalón o barda de la que puedan ir brincando al momento que

46

la completan. Uno por uno irán saltando y contestando. La frase, vuelta pregunta, debe repetirse varias veces hasta que todos pasen. Es importante aclararles que no se vale repetir lo que han dicho los niños anteriores, por lo que deben estar muy atentos. Una vez que todos participaron, se suben otra vez y se alistan para volver a brincar en una segunda, tercera, cuarta ronda o más, de acuerdo con el ánimo del grupo.

Es necesario esperar a quienes requieren más

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

Técnicas de motivación A LA LECTURA Y ESCRITURA II

tiempo para responder y decidir entre todos si se vale ayudar a quien no sabe qué decir. En esta dinámica escuché frases como las siguientes: Cuando me enojo parezco: …un cantante de rock! …un dragón! …chilaquil!

Mi sonrisa es como: …una Áor! …un plátano! …una lluvia!

Si yo tuviera alas iría a: …un planeta donde hubiera músicos bien chidos! …un lugar con cascadas! …a Yautepec a ver a mi abuelita!

Tengo ojos como: …guayabas! …un hombre bien sexy! …dos trompos!

En el ejemplo anterior utilizamos el como, el parece y el si yo. En el siguiente agregaremos el con y el cuándo, pero podemos recurrir a tantas palabras como se nos ocurran (en vez de manos tendría…, si tuviera seis leones yo…). Así, obtuve: El sol juega con: …el cuerpo de todos! …los piojos! …las olas!

Esta dinámica es muy divertida, ya que después de las primeras participaciones, al no poder repetir lo que ya dijeron los primeros niños, los que les siguen van agregando otras cada vez más variadas y ocurrentes. Puede alternarse el extremo de inicio de las rondas o cambiar todos de lugar para aumentar el ritmo y el orden de participación. O hacer una lista de las frases con las que deseemos trabajar enfocadas a algún tema o ir improvisando al momento. Los niños también pueden sugerir algunas.

La escritura Después de este juego, viene la parte de escritura. Se le pide a los niños que escriban un poema utilizando el como, el si yo, el parece…, etc., haciendo hincapié en que ya no se pueden utilizar las respuestas escuchadas a menos que sea muy indispensable para ellos. De la indicación anterior obtuve poemas como el siguiente.

Las frutas La sandía es como una Áor El mango es como la luna El limón es como dos pajaritos La manzana es como una pelota muy grande Y yo como una uva, como una estrella fugaz María Alfonsina Yánez Flores 8 años

Las lágrimas cuando me río saben a: …mermelada! …felicidad! …mi mamá!

CORREO del MAESTRO

Es importante acompañar al niño en la construcción de los poemas y trabajar cada uno con ellos para obtener una mayor calidad literaria.

núm. 161 octubre 2009

47

Artistas Y ARTESANOS

En la parte plástica los niños pintan lo que han escrito.

Sin interferir en la estructura o esencia del mismo y dejando la decisión final al autor, debe sugerirse tanto el cambio de palabras que se repiten, como el de alguna que rompa el ritmo del poema, o de aquella que no tiene la suficiente fuerza dentro de la construcción. De esta manera, la primera idea escrita sería la siguiente:

Sin título Cuando estoy triste parezco Áor seca Cuando lloro mis ojos parecen ciruela pasa Tengo panza de llanta Mi pelo parece gotas de lluvia Mis cachetes parecen jitomates Las plantillas de mis pies parecen nubes Mis pies parecen escobas Mis manos parecen salchichas asadas Mi boca parece sandía Mi espalda parece madera Mi cabeza parece pelota Mis cejas parecen gotas negras Mis pestañas parecen escobetas Mis orejas parecen lunas Araí Monserrat Campos Arenas 10 años

48

El poema ya trabajado quedaría así: Sin título Cuando estoy triste parezco Áor seca Cuando lloro mis ojos parecen ciruela pasa Tengo panza de llanta Mi pelo cae en gotas de lluvia Mis cachetes parecen jitomates Las plantillas de mis pies nubes Y mis pies escobas Mis manos parecen salchichas asadas Sandía mi boca Madera mi espalda Tengo una pelota por cabeza Gotas negras como cejas Mis pestañas parecen escobetas Y mis orejas lunas

Luego, también se puede pasar a la parte plástica. Los niños pintarán aquello que han escrito. Puede haber dos expresiones artísticas, o una sola, como ejemplificamos en esta ocasión.

Cabe recordar que las actividades propuestas se llevarán a cabo en un ambiente lúdico, amable, de respeto, diálogo y escucha, y los resultados se compartirán al finalizar cada una de ellas.

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

sentidos Y SIGNIFICADOS

A propósito del 12 de octubre…

ANTECEDENTES DEL NOMBRE CARABELA Arrigo Coen Anitúa (†)

La primera documentación que en castellano se tiene de la voz carabela es del Fuero de las leyes, más conocido como las Siete Partidas (por el número de libros que compone la obra), realizado por orden de Alfonso X de Castilla, a quien se nombró el Sabio.

El español toma el término del portugués carabela, derivado de un diminutivo del latín tardío carabus, “embarcación hecha de mimbres, forrada de cuero”, y éste a su vez proviene del griego karábos, ‘escarabajo’, ‘langosta (de mar)’, ‘bogavante’.

En las antiguas fuentes latinas del medievo se habla de cárabos, que son “chalupas al servicio de naves grandes”, o “pequeñas embarcaciones de dos cueros y medio, usadas en los mares de Irlanda”.

San Isidoro, en sus Etimologías, describe el carabus como “parva scapha, ex vimine facta, quae contecta crudo corio, genes navigii praebet, ‘pequeña barca, de mimbre hecha, que, forrada de crudo cuero, una especie de nave ofrece’ (nótese que se respetó el orden de las palabras según la sintaxis del latín tardío).

Tal descripción explica por qué se les dio el nombre de cárabos, es decir, ‘escarabajos’, a estas barcas: los forros de cuero seguían la forma de la armazón del mimbre, no en el sentido de la eslora (longitud del bote), sino del calado (de los bordes hacia la quilla); por lo que, vuelta quilla arriba, con la costura del acabado a todo lo largo de la quilla misma, la barca parecía un “escarabajo”.

Ya en el siglo XII un cronista de las Cruzadas (en 1177) cita los cárabos antes que las naves de carga. En los anales de España y Portugal, de los siglos XIV y XV, se habla de cárabos que transportaban 30 moros y hasta 60 caballos. Con todo, en las modernas hablas árabes, qarib sigue designando una embarcación pequeña.

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

49

Sentidos Y SIGNIFICADOS

El paso decisivo para significar ya la nave de porte considerable se dio al crear las formas femeninas cáraba y cárava que figuran en textos castellanos del siglo XV como “navío grande usado en Levante”. (Este Levante es el Oriente, o sea el extremo asiático del Mediterráneo.)

De ahí los portugueses y los gallegos formaron el diminutivo carabela, para significar la nave del tipo que hoy conocemos como tal.

Este nombre, carabela, se documenta por primera vez en un escrito portugués de 1255, referido a una embarcación pesquera, y ya dijimos que en castellano el Rey Sabio, que reunía su rudimentaria armada en las costas de Galicia, catalogó las carabelas entre varios tipos de naves mayores.

Excepción hecha de esta cita alfonsina y otro par de menciones aisladas, toda la documentación que se tiene sobre carabela, anterior al primer viaje de Cristóbal Colón, se refiere a Portugal; todavía a fines del siglo XV y en el XVI se le conocía en todo el mundo náutico como embarcación típicamente portuguesa.

Durante su larga estancia en Portugal, el descubridor de América se había familiarizado con este tipo de navíos; dominaba sus maniobras y por eso lo escogió para su primer e histórico viaje. En efecto, la carabela ofrecía excelentes condiciones marineras.

Fue así como la carabela cobró fama en todo el mundo, aun en la posteridad, pues el vocablo se difundió a los varios idiomas romances y a los germánicos, además del mozárabe carrabila y carrabilla, ‘navío para pasar caballos’. Pero que el punto de irradiación fueron tierras lusogalaicas o gallegoportuguesas lo confirma el hecho de que en Portugal y en Galicia es donde el vocablo ha adquirido acepciones traslaticias más próximas al significado primitivo de ‘armazón de mimbres’. En gallego, caravela o caravel nombran unas “cestas grandes para comestibles, que se llevan en la cabeza” y también “cestillo en que se llevan alimentos a los estudiantes pobres”.

Por lo demás, en griego kárabos, uno de lo numerosos casos que se dan en esta lengua de usar nombres de animales en la denominación de embarcaciones, sobrevive en Grecia, pues todavía se da como nombre de nave en el diminutivo karábi.

www.quia.com

50

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

Los nombres DE LOS ELEMENTOS Segunda parte Luis Ignacio de la Peña

En la entrega anterior1 se pudo saborear una probada de los múltiples motivos que llevaron a la adopción de un cierto nombre para los elementos químicos: astronomía, mitología, lugares, detalles específicos, tributo a científicos destacados…

Berzelius estableció en el siglo XIX las reglas para los símbolos y la nomenclatura de los compuestos. En la primera mitad del siglo XX la International Union of Pure and Applied Chemistry unificó la nomenclatura y, en las llamadas reglas de Lieja, estableció criterios para dar nombres en el futuro, de donde se derivan las normas que consideran el número atómico y las raíces numéricas.

Pero mejor entremos en materia o, quizá mejor, hundámonos en nuestro elemento…

Cloro Éste, como otros elementos, debe el nombre a su color. En griego chloros significa “verde claro”. Fue bautizado por Davy, quien usó la palabra chlorine. Más tarde, Gay-Lussac propuso clore, y de ahí se formó el nombre en español. La historia del descubrimiento de este elemento es muy interesante pero larga para estas notas. No siempre se le reconoció como elemento y se creía que era un ácido, debido a que picaba y hacía lagrimear.

Argón Todos los interesados en la materia saben que el argón es un gas inerte y que entre otros usos se emplea en la creación de ambientes en los que se tratan de evitar las reacciones químicas. A esa cualidad debe el argón su nombre, pues en griego significa “inactivo, perezoso, vago”. Así sea entonces, aunque su presencia excesiva en un ambiente pueda provocar asfixia o desde 1968 resulte utilísimo en un láser para curaciones oftalmológicas u odontológicas.

* Véase: Luis Ignacio de la Peña, “Los nombres de los elementos. Primera parte”, Correo del Maestro, núm. 159, año 14, agosto de 2009.

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

51

Sentidos Y SIGNIFICADOS

ww w

A pesar de conocerse compuestos de potasio desde tiempos muy remotos, el nombre en español de este elemento no muestra rastros griegos, mos en el latinos o de otra cultura antigua. El origen del nombre lo hallamos ceniza de alemán pottache, que pasó al inglés como pot ash, literalmente “ceniza vy olla” en ambos casos, y se trasformó en potasa. Por esa razón Davy os lo bautizó como potassium, propuesta que sólo tuvo éxito en unos cuantos países, entre los que estaban Inglaterra y España. Ésa es la razón por la que el símbolo químico del elemento es K, pues proviene del latín kalium, a su vez tomado del árabe kali, nombre de una planta que se quemaba para aprovechar las cenizas. De ahí también provienen derivados como álcali o alcaPotasio. izas. lino. Con todo, el asunto queda en cenizas que vuelven a las cenizas.

Calcio Se trata de otro elemento conocido desde muy antiguo. Su nombre proviene del latín clax-calcis, nombre de la cal, a su vez proveniente del griego kalix, cuyo sentido es “guijarro”. La identificación del elemento la iniciaron Jöns Jacob Berzelius y M. M. Pontin, pero a partir del trabajo de éstos la concluyó Davy, quien lo bautizó como calcium, tomando como referencia el compuesto que había utilizado para obtenerlo, que por supuesto era la cal.

www.wikipedia.org

Escandio

Lars Fredrik Nilson.

52

w

iki pe d

.

Potasio

Poco se oye hablar de este elemento que se usa en la elaboración de fuentes luminosas de alta potencia. Su designación no encierra ningún misterio, pues se deriva del nombre de la zona donde Lars Fredrik Nilson lo descubrió en 1879: Escandinavia. La historia de este elemento es curiosa en el sentido de que Mendeleiev, el creador de la tabla periódica, predijo su existencia en 1871 (él lo llamó ekaboro). Per Theodor Cleve confirmó su existencia poco después y Nilson finalmente lo obtuvo en forma de óxido. Sin embargo, no logró aislarse sino hasta 1937 y apenas en 1960 se obtuvo una libra con 99% de pureza.

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

ia.

or g

Los nombres DE LOS ELEMENTOS

Titanio Tita

ww w.w ikip edia .o

rg

Si S revisamos la mitología griega nos enteramos de que Gea (la Tierra) y Urano (el cielo) tuvieron varios hijos llamados, genéricamente, titanes. De ahí proviene el nombre del titanio, elemento descubierto por segunda vez y bautizado como titanium por Martin Heinrich Klaproth en 1795. Y si fue por segunda vez se debe a que cuatro años antes William Gregor, párroco de Menacham, en Cornualles, Inglaterra, había estudiado unas tierras en las que detectó un elemento desconocido, al que llamó menachita, te en honor al pueblo donde vivía. Se trataba del titanio, Martin Heinrich Klaproth. pero como Gregor no estaba vinculado con el mundo científico, su descubrimiento no fue registrado entonces. En 1825 logró aislarlo Berzelius y en 1910 se obtuvo en estado puro.

Vanadio

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

www.kjemi.uio.no

Una de las características del vanadio es que sus compuestos adquieren colores muy llamativos. Por esa razón, en 1830 el sueco Nils Gabriel Sefström, su descubridor en Europa, lo llamó vanadium a partir del nombre de la diosa nórdica de la belleza: Vanadis.

Aquí estamos ante otro caso de segundo descubrimiento, pues en 1801 Andrés Manuel del Río, al analizar un compuesto de plomo hallado en una mina del estado de Hidalgo, México, creyó haber encontrado un nuevo elemento al que llamó pancromio (“de muchos colores”) y posteriormente eritronio, por el coNils Gabriel Sefström.

Sefström lor rojo de algunas de sus sales al calentarlas. Del Río mandó revisar sus resultados a París, donde Hippolyte Victor Collet-Descotils determinó, desde luego erróneamente, que era una forma impura de cromo.

Sefström era discípulo y colaborador de Berzelius, lo mismo que Friedrich Wöhler, quien al ver los resultados de su colega los comparó con una muestra llevada por Humboldt a Berlín y concluyó que se trataba del mismo elemento.

53

Sentidos Y SIGNIFICADOS

Cromo

www.w

g r edia.o .wikip www

Óxido de manganeso.

54

Ya se habló del magnesio, el pariente de pronunciación de este metal. No proviene como su pariente sonoro de las inmediaciones de la ciudad griega de Magnesia. Su nombre deriva de la palabra griega magnes, no para referirse al fundador de la ciudad mencionada, sino a la piedra imán. Pero esto era sólo por similitud de apariencias, pues eel manganeso no tiene propiedades magnéticas, por lo que p pasó a ser pseudomagnes. Ya hemos visto que se convirtió más tarde en magnesia nigra (o, para los alquimistas, “hombre”). Cuando logró aislarlo en 1808, Martin Heinrich Klaproth lo llamó mangano para evitar confusiones.

En español, en un principio fue manganio. Ya sabemos en qué terminó: a veces la buena fe no rinde frutos.

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

rg

Manganeso

.o edia ikip

Aquí hay otra historia novelesca (o, si quiere, de película). Aunque antes ya habían llamado la atención por sus coloraciones varias muestras encontradas en Rusia, la acción sustancial se desarrolla en París y el protagonista principal es Nicolas Louis Vauquelin. En un primer intento, Vauquelin y uno de sus colegas analizaron una muestra y llegaron a la conclusión de que se trataba de un compuesto de plomo, aluminio y hierro, lo cual no aportaba nada nuevo. Sin embargo, Bindheim expresó un fuerte desacuerdo con el resultado, ealizó un por lo que en 1797 Vauquelin retomó el trabajo y realizó análisis más detallado. Un año más tarde, logró la obtención de un metal hasta entonces desconocido. Contra lo que pudiera esperarse, no fue él quien bautizó el elemento, sino dos de sus colegas: Antoine François de Fourcroy y René Just Haüy. A partir de la observación de las diversas tonalidades que adoptan los compuestos del metal recién descubierto, decidieron llamarlo r”. chromium, que en latín significa, precisamente, “color”.

Cromo.

Los nombres DE LOS ELEMENTOS

www.wikipedia.org

Hierro

Hierro.

Tratar de rascar en el origen de su nombre es como querer realizar tareas duras sin herramientas hechas de hierro. Lo único que sabemos es que se utiliza desde tiempos remotísimos y que su nombre en latín era ferrum. Tratándose del hierro, lo demás no puede ser silencio, pero tampoco se ha detectado otra cosa respecto al nombre.

Cobalto

www.wikipedia.o rg

bre Los mineros alemanes del Renacimiento buscaban sobre todo plomo y plata. Recolectaban todo lo que tuviera a aspecto de contenerlo y lo sometían a los procesos acostumostumbrados. Si no aparecía lo que deseaban decían que allgún kobold los había engañado, es decir, algún duendeecillo maligno que habitaba en las minas y transformaba la plata en escoria. Basilio Valentino, un supuesto monje benedictino y alquimista del siglo XV, so, señalado por el padre Feijoo como maestro de Paracelso, es el primero que menciona a los kobold. El problema es que entonces se llamaba kobold a cualquier cosa que los mineros consideraran inútil o perjudicial, como el bismuto, el cinc o el arsénico, por ejemDibujo que representa plo. Entre 1730 y 1740 Georg Brandt logró identificar un kobold. uno de esos productos como un nuevo elemento. Ya que se obtenía de los residuos del tratamiento de otros metales, resultó lógico recurrir a los duendecillos chocarreros para nombrarlo.

Níquel Los mineros alemanes no sólo tenían que lidiar con el cobalto, como se acaba de ver. También se enfrentaban a minerales que parecerían contener cobre, pero que al ser sometidos al proceso de obtención, no rendían el resultado previsto, con las pérdidas de tiempo y dinero que eran de esperarse. Desde luego eso

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

55

Sentidos Y SIGNIFICADOS

causaba enojos, por lo que bautizaron a ese producto como “cobre del diablo”, lo que en alemán nos da Kupfernickel. Mucho se discutió en el siglo XVIII sobre este falso cobre, pues unos decían que estaba compuesto de hierro y arsénico, mientras otros afirmaban que era el recién descubierto cobalto con otros elementos asociados. En 1754, Axel Fredrik Cronstedt estableció que se trataba de un nuevo elemento y se le llamó “nickel de Cronstedt”. Sin embargo, su propuesta no fue bien recibida y apenas a principios del siglo XIX finalmente se confirmó.

Cobre

19

0.5

2/

public/Apuntes

14

6.8

3.

Cobre.

www.geocities.com

Cinc

Basilio Valentino.

56

c do

CC

Si bien a primera vista no lo parece, para nombrar estee elemento se aprovechó el nombre de un lugar donde se explotaba: la isla de Chipre, que en griego se llamaba Kupros. Los romanos lo llamaron cuprum, que provenía de aes cyprium, es decir, “metal de Chipre”. Es tan remoto el uso del cobre que por ello una de las épocas prehistóricas se llama “edad del cobre”, seguida por la “edad del bronce”, que se refiere a una aleación de cobre re y estaño. Fue muy importante para los alquimistas debido a que simbolizaba el principio femenino, desde luego también asociado con el planeta Venus.

Aunque conocido desde la Antigüedad y con muchos otros nombres, la palabra que dio origen a la actual aparece en los escritos de Basilio Valentino, el monje y alquimista del siglo XV. Menciona Valentino unos residuos metálicos en forma de dientes, y que por ello en alemán se llaman Zinken, es decir, “dientes” o “púas”. En el siglo XVI Paracelso habla de zinkium, probablemente refiriéndose al mismo metal. Al igual que otros metales, el cinc no fue reconocido como elemento por la creencia de que sólo existían siete metales (oro, plata, cobre, estaño, hierro, plomo y mercurio), lo mismo que siete planetas (incluida la Luna) y se llamó “estaño índico”. En español existe una doble ortografía, pues también puede escribirse zinc, forma más cercana al origen etimológico.

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

Los nombres DE LOS ELEMENTOS

www.chemeddl.org

Galio Estamos ante un elemento que era desconocido en la época en la que Mendeleiev elaboró la tabla periódica (1871). Por lo tanto, también ante la predicción exacta de su existencia. Se descubrió por métodos espectográficos en 1875. El descubridor fue el francés Paul Emile Lecoq de Boisbaudran, quien también lo bautizó.

Desde luego su denominación se deriva del nombre antiguo de Francia, que era Galia. Sin embargo, también parece haber un juego de palabras, ya que en latín gallus significa “gallo”, mientras que en francés le coq (el apellido del descubridor) quiere decir “el gallo”.

Paul Emile Lecoq de Boisbaudran.

Germanio Se trata de otro más de los elementos cuyas características ya estaban asentadas desde antes de su descubrimiento por Mendeleiev. Lo descubrió Clemens Winkler en 1886. Su nombre se tomó de Germania, es decir, Alemania. No hay ningún misterio ni juego de palabras extra. ¡Lástima!

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

www.w

Tan larga es la historia de la palabra arsénico que hay que remontarse hasta los orígenes de la rama lingüística indoeuropea, es decir, prácticamente hasta la lengua que dio origen a las demás. Parece provenir del griego arsenikos, a su vez de arsen y arren, como indicación del principio viril en contraposición con el femenino. Las dos últimas palabras se originan en el avéstico aresan y en el indoiranio arasan. Hay otra hipótesis que parte de su mención en la alquimia hebrea como zarnikh, un derivado de la palabra persa para dorado.

Arsénico de Como haya sido, en Paracelso aparece como arsenicum fixum. origen natural. ¿Y el principio masculino? La filosofía hermética y la alquimia son responsables en buena medida en su obsesión por ligar principios opuestos (ya se ha mencionado la relación del cobre con lo femenino). Se dice que Alberto Magno fue el primero en aislarlo, pero se trata de una leyenda.

ikipedia.org

Arsénico

57

www.wikipedia.org

Sentidos Y SIGNIFICADOS

Selenio

Jöns Jacob Berzelius.

Sabido es que Selene es el nombre que toma en la mitología griega la personificación de la Luna. Por lo tanto, el nombre del elemento se refiere por supuesto a la Luna. Evidente, claro; pero, ¿por qué? Muy sencillo, Berzelius, al examinar en 1817 una forma impura de ácido sulfúrico, encontró una sustancia que creyó que era un elemento que él había descubierto antes: el telurio, cuyo nombre se relaciona con la tierra. El análisis hizo evidente que se trataba de un nuevo elemento, al que por su relación y parecido con el anterior llamó selenio.

Bromo www.wikipedia.org

Unos diez años después del descubrimiento del yodo, se realizaron investigaciones para hallar otras formas de obtenerlo. Con ese fin Antoine J. Balard trabajó en 1826 con aguas pantanosas y, tras varios procesos, obtuvo un líquido rojizo y de muy mal olor. Era algo nuevo y lo llamó múride, pues lo relacionó con el múrex, el molusco del que se extrae el tinte púrpura. El nombre propuesto por Balard no se impuso porque en aquel entonces no era un personaje influyente y la AcadeBromo. mia Francesa tenía una comisión para dar nombre a los nuevos elementos. Estaba formada por Vauquelin, Thenard y Gay-Lussac, quienes lo bautizaron, a partir del su mal olor, como bromo, palabra derivada del griego bromos, que significa “fetidez, hedor”.

Kriptón El kriptón es un gas incoloro, inodoro e insípido que integra apenas una millonésima parte de la atmósfera de la Tierra. Lo obtuvieron por primera vez los ingleses William Ramsey y Morris Travers en 1898. Dado que les resultó muy laborioso aislarlo, lo nombraron a partir de la palabra griegas kryptos, que quiere decir “oculto”. La Real Academia Española también acepta la variante ortográfica criptón.

58

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

problemas SIN NÚMERO

Caminos DE NÚMEROS Claudia Hernández García

El primer día de clases, uno de los niños trajo de regalo un ramo de girasoles que había sacado de su jardín. Eran hermosos. Los puso sobre la mesa de dibujo. De ahí salió todo.

La mayoría de los colegios trabajan temas escogidos por los profesores.

Nuestro currículo sale de las ideas de los niños. Tratamos de escoger un tema que ofrezca abundantes posibilidades de aprendizaje y lo trabajamos durante mucho tiempo, de manera que los niños puedan explorarlo con calma, absorberlo, revisarlo, y así descubrir ideas nuevas. O motivarlos a pensar un poco más allá del tema. Tomamos muchas fotos y grabamos conversaciones para que los niños puedan escucharse y así no olviden sus descubrimientos, no olviden lo inteligentes que son.

Como estudiábamos los girasoles, los niños preguntaban dónde están las semillas. Uno se siente con la tentación de contestar: “Están aquí en la flor. ¿Las ven?” Pero cuando ellos se ponen a estudiar la flor y empiezan a desarmarla, ¡descubrir las semillas dentro del girasol les parece simplemente mágico! La mayoría de los adultos se limitaría a contestar la pregunta del niño; pero, al hacerlo, le roba la oportunidad de descubrir, de anticipar la respuesta. La tendencia a decir está demasiado difundida. Lo que hay que explorar es el poder no decir.

Ello implica confiar en que el niño aprenderá lo que realmente le interesa. Una buena profesora puede lograr los objetivos del aprendizaje escolar, lo que queremos que los niños aprendan, a través de muchas y diferentes ideas curriculares. Si se quiere ayudar a los niños a enriquecer su vocabulario, hay muchas cosas para hacer con los girasoles; si se trata de aprender matemáticas, pueden hacerlo con las flores: contando pétalos, comparando distintos tipos de girasoles. Queremos que los niños aprendan a ver su mundo de manera más profunda, no sólo como “matemáticas” o “vocabulario”.

ROBERT L. FRIED

Tomado de La pasión de aprender: que los niños recobren el goce de descubrir, de Robert L. Fried, Editorial Cuatro Vientos, Santiago de Chile, 2004, pp. 31-32.

Robert L. Fried es profesor de educación en la Universidad Northeastern de Boston. Uno de sus temas de estudio más importantes es la relación entre alumnos y profesores, y cómo ésta determina el proceso de enseñanza-aprendizaje desde el preescolar hasta la educación superior.

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

59

Problemas SIN NÚMERO

Actividad En esta edición de Correo del Maestro les proponemos una serie de actividades para alumnos de primero de primaria en adelante.

Les sugerimos que permitan que los niños las resuelvan de manera individual y luego compartan la solución a la que llegaron con sus compañeros.

1. Encuentra un camino de 9 números: • que empiece en el cuadro superior derecho, • que termine en el cuadro inferior izquierdo.

5

4

3

2

6

7

8

9 10

1

15 14 13 12 11

Luego dibuja el camino y escribe los números por los que pasa.

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

2. Encuentra un camino de 8 números: 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16

• que empiece en el número 3, • que termine en el número 15, • que pase por el número 9.

Luego dibuja el camino y escribe los números por los que pasa.

3. Encuentra un camino que empiece en el número 9:

30 9 11 26 7 13 19 22

• que termine en el número 25, • que pase por el número 4.

12 5 20 18

Luego dibuja el camino y escribe los números por los que pasa.

60

21 37 4 23 10 16 25 2

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

61 Soluciones:

Estas actividades tienen muchas posibles soluciones. Lo importante no es encontrarlas todas, sino darse cuenta de que, mientras cumplan con las condiciones planteadas en el problema, todas ellas son igual de válidas.

1. Algunas de las posibles soluciones son las siguientes:

15 14 13 12 11

15 14 13 12 11

9 10

6

9 10

8

7

6

5

1

3

4

5

2

4 7

3 8

2

1

21 22 23 24 25

21 22 23 24 25

16 17 18 19 20

16 17 18 19 20

a) 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 15 - 16 - 21

b) 1 - 2 - 9 - 12 - 19 - 18 - 17 - 16 - 21

2. Algunas soluciones posibles son:

9 10 11 12

9 10 11 12

5

6

5

2

1

3

4

7

1

8

2

3

6

4

7

8

b) 3 - 2 - 1 - 5 - 9 - 10 - 11 - 15

a) 3 - 7 - 11 - 10 - 9 - 13 - 14 - 15

13 14 15 16

13 14 15 16

3/4. Como la solución del cuarto reto depende de la solución del tercero, les proponemos algunas comparaciones de caminos cortos / caminos largos:

10 16 25 2

10 16 25 2

21 37 4 23

21 37 4 23

12 5 20 18

12 5 20 18

7 13 19 22

7 13 19 22

30 9 11 26

30 9 11 26

a) 9 - 13 - 5 - 20 - 4 - 25 corto 9 - 30 - 7 - 13 - 5 - 12 - 21 - 37 - 4 - 25 largo

b) 9 - 11 - 19 - 13 - 5 - 20 - 4 - 25 corto 9 - 11 - 19 - 13 - 5 - 20 - 4 - 23 - 2 - 25 largo

También dibuja el camino y escribe los números por los que pasa.

10 16 25 2 21 37 4 23

• que también empiece en el número 9, • que también termine en el número 25, • que también pase por el número 4, • pero que sea más largo que el anterior.

12 5 20 18 7 13 19 22 30 9 11 26

4. Ahora, encuentra un camino: Caminos DE NÚMEROS

abriendo LIBROS

COLECCIÓN

“Materiales para apoyar la práctica educativa”, DEL INEE Ana Pi i Murugó

Estos cuatro títulos que presentamos conforman

Dibujo en La expresión escrita en alumnos de primaria, p. 116.

v

la colección “Materiales para apoyar la práctica educativa” que publicó el Instituto Nacional de Evaluación Educativa (INEE) en 2008. Desde su creación, en 2002, el Instituto, según se detalla en su página web: “Tiene como tarea ofrecer a las autoridades educativas y al sector privado herramientas idóneas para la evaluación de los sistemas educativos, en lo que se refiere a educación básica (preescolar, primaria y secundaria) y media superior”.1

arias de estas evaluaciones del INEE, como las pruebas EXCALE o de preescolar, se han reseñado en esta revista y en otros medios de comunicación de manera amplia, ya que aportan información a los maestros y especialistas sobre los problemas que muestran los alumnos en su aprendizaje en la mayoría de las escuelas del país; estos materiales pueden consultarse electrónicamente.

A lo largo de sus seis años de vida, el INEE ha publicado muchas obras cuyo objetivo es dar a conocer los resultados de sus evaluaciones a

1

Ver www.inee.edu.mx.

62

públicos diversos; pero a mediados de 2007 se propuso elaborar materiales expresamente dirigidos a profesores y directivos escolares. Para ello buscó la colaboración de especialistas con un adecuado dominio de su disciplina y que, al mismo tiempo, tuvieran conocimiento cercano del quehacer docente en escuelas de educación básica. Ellos elaboraron estos cuatro textos dedicados a algunos de los problemas identificados por las evaluaciones del Instituto, a la vez que ofrecen a los maestros formas novedosas de atenderlos y reflexionar sobre ellos. Los libros, además, fueron revisados por un Comité Técnico conformado por expertos reconocidos a nivel

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

“Materiales para apoyar la práctica educativa”, DEL INEE

nacional y por un Comité Didáctico integrado por profesores de primaria y secundaria que laboran en escuelas urbanas, rurales e indígenas. Éstos probaron los materiales en las aulas y, con base en la experiencia, incluyeron observaciones respecto a las fortalezas y debilidades de las propuestas, así como sugerencias para enriquecer los textos. Es por este motivo que celebramos estos materiales que comprometen

e integran la vertiente teórica con la práctica de la enseñanza y se refieren a temáticas que preocupan a los profesionales de la enseñanza.

Los cuatro textos abordan temas diversos; dos tratan sobre la promoción y el desarrollo de las habilidades de escritura, y los otros dos tocan temas puntuales de matemáticas, que muchas veces no son comprendidos ni expresados por los alumnos ni por los propios maestros.

La revisión de textos en el aula.

Una guía para el maestro Trata ciertos problemas de redacción típicos en el nivel secundaria, dentro del contexto escolar. Es una guía para el maestro que proporciona herramientas para revisar los textos de sus alumnos y facilitar la tarea de corrección, respecto a la organización de párrafos y la ortografía. El docente encontrará sugerencias prácticas para trabajar la ortografía y la segmentación de palabras, así como referencias a nociones metalingüísticas y pautas de revisión para apoyar el trabajo de sus alumnos, además de una amplia y accesible bibliografía a la que remitirse para adquirir conocimiento sobre la temática y otros ejemplos prácticos. Cabe decir que si bien las prácticas propuestas son reducidas, tal vez se conviertan en el inicio y acicate a otras que los propios maestros desarrollarán durante el ciclo escolar correspondiente, ya que todos los textos constituyen un referente a partir del cual a los maestros les será posible profundizar en su invaluable creatividad para favorecer la construcción de conocimientos y el desarrollo de habilidades en los alumnos.

La expresión escrita en alumnos de primaria Ofrece elementos para que el docente oriente a sus alumnos hacia la escritura de textos con función y sentido para ellos, así como con coherencia y cohesión, además de ricos en léxico y recursos expresivos. Con ello se pretende dar a los estudiantes una herramienta para desenvolverse en el mundo social, académico y laboral. Y todo a través de la creación, por parte de los niños, con el apoyo de guía del maestro, de un periódico que los alumnos deberán confeccionar y dar a conocer en su contexto inmediato (familiar, escolar, comunitario, etc.). En síntesis, se trata de una propuesta práctica para la elaboración de un periódico que permite desarrollar la expresión escrita y lectora de los alumnos, así como introducirlos en la lectura cotidiana, crítica y comparativa de los medios escritos.

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009

63

Abriendo LIBROS

La enseñanza de la Geometría Tiene como propósito introducir a maestros de primaria y secundaria en la problemática de la enseñanza de esa materia y pretende cambiar sus prácticas, con el objeto de que sus alumnos desarrollen habilidades propias del razonamiento geométrico y encuentren el sentido a lo que aprenden. En este texto se ofrece una forma diferente de enseñar Geometría, con múltiples actividades de dibujos de figuras que permitan a los alumnos buscar relaciones y propiedades geométricas, y convertir la construcción de figuras en un medio para desarrollar el razonamiento geométrico. Se trata, pues, de evitar los ya repetitivos problemas por resolver y de aportar ideas más generales, que de seguro atraparán la atención de los alumnos pues se insertan en ejemplos cotidianos.

Los decimales: más que una escritura.

Reflexiones sobre su aprendizaje y enseñanza Aquí se consideran tanto los aspectos matemáticos, como reflexiones sobre el aprendizaje y la enseñanza de los decimales. Éstos son importantes por la gran cantidad de aplicaciones en las actividades humanas y porque permiten solucionar problemas que no pueden resolverse con números naturales. Este material busca proporcionar al profesor más herramientas para trabajar los decimales de manera provechosa con sus alumnos; es decir, podrá tomar decisiones en la clase que contribuyen al mejor aprendizaje del tema, pues las evaluaciones muestran que el conocimiento y manejo de los decimales por parte de los alumnos es muy limitado y, al contrario de lo que sucede con las fracciones, es de uso extendido en las estadísticas, las documentaciones –oficiales y periodísticas– y las calculadoras. Por este motivo es importante analizar y utilizar las propuestas que el texto muestra.

Una característica de la colección que vale la pena comentar es que estos títulos se pueden solicitar en las oficinas del INEE, o bien, consultar en las páginas del Instituto, y la bibliografía

que ellos remiten es también de fácil acceso y consulta para los maestros, hecho que permite plantear temas difíciles de asimilación del currículum de una manera más didáctica.

Reseña de la colección “Materiales para apoyar la práctica educativa”, que incluye los títulos: Los decimales: más que una escritura. Reflexiones sobre su aprendizaje y enseñanza, de Alicia Ávila y Silvia García; La revisión de textos en el aula. Una guía para el maestro, de Celia Zamudio Mesa; La enseñanza de la Geometría, de Silvia García Peña y Olga Leticia López Escudero; La expresión escrita en alumnos de primaria, de Sylvia Rojas-Drummond, Cecilia Kissy Guzmán Tinajero, Valentina Jiménez Franco, Mariana Zúñiga García, Flora Beatriz Hernández Carrillo y César Daniel Albarrán Díaz, México, INEE, 2008 (Textos de Divulgación).

64

CORREO del MAESTRO

núm. 161 octubre 2009