Correo del Maestro Núm. 62 - Julio de 2001

El mundo de las plantas VI Rocío Azcárraga y Santos Arbiza

ISSN 1405-3616

Escalas y crecimiento Julieta Fierro Clara Rojas

Matemática y cultura.

Nuestro sistema de numeración Roberto Markarian

Enfoque integral para la enseñanza de la matemática en secundaria Daniel Lira Olivares

Nacimiento del idioma español en la roca cántabra Adolfo Hernández Muñoz

Los americanismos en el DRAE María Isabel Hernández

9!BLF?E@:RUPUOV!

México D. F. Julio 2001. Año 6 Número 62.

¡Es más fácil cantar a voces con un canon!

Forma tu coro, La Magia del Canon te dice cómo Incluye: • 1 disco compacto con: melodías simples y codas, versiones en canon con acompañamiento (Schola Cantorum de México)

• Instructivo • Partituras a color • Partituras en blanco y negro para jugar • Ilustraciones a color

“La Magia del Canon expone una herramienta de uso inmediato para docentes y padres de familia” Patricia Arenas Coordinadora de Iniciación Musical, Escuela Nacional de Música, UNAM UNAM.

Melodías para niños y maestros de todos los niveles escolares (preescolar y primaria) Informes al los tels. 53 62 88 60 y 53 65 08 70 De venta en las librerías: • Casa Juan Pablos: 56 59 02 52. • Don Bosco: 55 65 24 31. • Eureka: 55 24 53 28.

• El Sótano: 55 54 14 11. • La Balanza: 58 06 47 58. • Librería Cuautitlán: 58 72 23 79.

• Librería Romero Herrero y Asociados: 5175 59 90. • Porrúa Hnos. y Compañía: 57 02 45 74.

Revista mensual, Año 6 Núm. 62, Julio 2001.

Directora Virginia Ferrari Asistente de dirección María Jesús Arbiza Consejo editorial Valentina Cantón Arjona María Esther Aguirre Mario Aguirre Beltrán Santos Arbiza Gerardo Cirianni Julieta Fierro Adolfo Hernández Muñoz Ramón Mier María Teresa Yurén Josefina Tomé Méndez María de Lourdes Santiago Colaboradores Alejandra Alvarado Citlalli Álvarez Stella Araújo Nora Brie Verónica Bunge María Isabel Carles Leticia Chávez Luci Cruz Héctor Delgado Consuelo Doddoli Alejandra González Norma Oviedo Jacqueline Rocha Concepción Ruiz Maya Sáenz Ana María Sánchez Editor responsable Nelson Uribe de Barros Administración y finanzas Miguel Echenique Producción editorial Rosa Elena González

CORREO del MAESTRO es una publicación mensual, independiente, cuya finalidad fundamental es abrir un espacio de difusión e intercambio de experiencias docentes y propuestas educativas entre los maestros de educación básica. Así mismo, CORREO del MAESTRO tiene el propósito de ofrecer lecturas y materiales que puedan servir de apoyo a su formación y a su labor diaria en el aula.

Los autores Los autores de CORREO del MAESTRO son los profesores de educación preescolar, primaria y secundaria, interesados en compartir su experiencia docente y sus propuestas educativas con sus colegas.

También se publican textos de profesionales e investigadores cuyo campo de trabajo se relacione directamente con la formación y actualización de los maestros, en las diversas áreas del contenido programático.

Los temas Los temas que se abordan son tan diversos como los múltiples aspectos que abarca la práctica docente en los tres niveles de educación básica.

Los cuentos y poemas que se presenten deben estar relacionados con una actividad de clase.

Los textos Los textos deben ser inéditos (no se aceptan traducciones). No deben exceder las 12 cuartillas.

El autor es el único responsable del contenido de su trabajo.

El Consejo Editorial dictamina los artículos que se publican.

Los originales de los trabajos no publicados se devuelven, únicamente, a solicitud escrita del autor.

En lo posible, los textos deben presentarse a máquina. De ser a mano, deben ser totalmente legibles.

Deben tener título y los datos generales del autor: nombre, dirección, teléfono, centro de adscripción.

En caso de que los trabajos vayan acompañados de fotografías, gráficas o ilustraciones, el autor debe indicar el lugar del texto en el que irán ubicadas e incluir la referencia correspondiente.

Las citas textuales deben acompañarse de la nota bibliográfica.

Se autoriza la reproducción de los artículos siempre que se haga con fines no lucrativos, se mencione la fuente y se solicite permiso por escrito.

Derechos de autor Los autores de los artículos publicados reciben un pago por derecho de autor el cual se acuerda en cada caso.

© CORREO del MAESTRO es una publicación mensual editada por Uribe y Ferrari Editores S.A. de C.V., con domicilio en Av. Reforma No.7, Ofc. 403, Cd. Brisa, Naucalpan, Edo. de México, C.P. 53280. Tel. (0155) 53 64 56 70, 53 64 56 95, lada sin costo al 01 800 31 222 00. Fax (0155) 53 64 56 82, Correo electrónico: correo@correodelmaestro.com. Dirección en internet: www.correodelmaestro.com. Certificado de Licitud de Título Número 9200. Número de Certificado de Licitud de Contenido de la Comisión Calificadora de Publicaciones y Revistas Ilustradas, S.G. 6751 expediente 1/432 “95”/ 12433. Reserva de la Dirección General de Derechos de Autor 04-1995-000000003396-102. Registro No. 2817 de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Registro Postal No. PP15-5040 autorizado por SEPOMEX. RFC: UFE950825-AMA. Editor responsable: Nelson Uribe de Barros. Edición computarizada: Uribe y Ferrari Editores S.A. de C.V. Preprensa e impresión: Editorial Progreso, S.A., Naranjo No. 248, Col. Santa María la Ribera, C.P. 06400, México, D.F. Distribución: Uribe y Ferrari Editores S.A. de C.V. Tercera reimpresión enero 2005: 900 ejemplares Pressur

Corporation, S.A., C. Suiza, R.O.U., 62050103

Circulación certificada por el Instituto Verificador de Medios. Registro No. 282/02.

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

1

Editorial

En este número de Correo concluimos la serie “El mundo de las plantas” con la cual esperamos haber contribuido no sólo al conocimiento del reino vegetal sino también a la toma de conciencia de la importancia de cuidar este maravilloso recurso del cual depende toda forma de vida en nuestro planeta.

Asimismo, damos continuidad a las reflexiones en torno a la permanencia y el cambio en nuestra lengua que iniciáramos en números anteriores.

Abordamos, además, la reflexión en torno a la enseñanza de la matemática. Ésta, como producto cultural, constituye otro lenguaje que, por formal, pareciera muchas veces alejado de lo cotidiano. Sin embargo, su historia muestra su valor y uso diario. La enseñanza de esta ciencia ha de estar impregnada del contexto y circunstancias históricas que dieron origen a los conceptos matemáticos pues esto nos permitirá no sólo establecer relaciones entre sus conceptos sino, también, considerarla fundamental en la formación del hombre y la sociedad a que aspiramos.

Virginia Ferrari

2

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

Entre nosotros

Escalas y crecimiento. Julieta Fierro y Clara Rojas

Pág. 5

Antes del aula

Matemática y cultura. Nuestro sistema de numeración.

Roberto Markarian

Pág. 9

El mundo de las plantas VI. Rocío Azcárraga y Santos I. Arbiza

Pág. 17

Certidumbres e incertidumbres

Enfoque para la enseñanza de la matemática en secundaria.

Daniel Lira Olivares

Pág. 39

Artistas y artesanos

Nacimiento del idioma español en la roca cántabra.

Adolfo Hernández Muñoz

Pág. 45

Sentidos y significados

Los americanismos en el DRAE. Segunda parte. María Isabel Hernández

Pág. 52

Problemas sin número

Una enfermedad en el Pacífico.

Concepción Ruiz Ruiz-Funes y Juan Manuel Ruisánchez Serra

Pág. 57

Abriendo libros

Herbolaria curativa, una tradición mexicana.

María Isabel Garcés Chávez

Pág. 59

Portada: Ana Sofía Agatón, 4 años. Xalapa,Veracruz.

Páginas centrales: El mundo de las plantas VI.

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

3

F o m e n t o

d e

l a

l e c t u r a

Despacho Cultural Río de Letras Lengua Escrita y Diversidad • Alternativa Cultural • Cursos • Talleres • Conferencias • Presentaciones de libros • Festivales de lectura • Uso y cuidado de la biblioteca • Cuentacuentos ¿Quiénes somos?

¿De dónde venimos?

¿Qué proponemos?

Somos promotores y capacitadores especializados en el desarrollo y aprovechamiento de la lengua escrita y la lectura para fines formativos y recreativos, experimentados en el trabajo con maestros, padres y alumnos.

Hemos viajado por todos los estados de la República impartiendo talleres, cursos y conferencias, donde hemos organizado festivales de lectura y participado en las más importantes ferias del libro.

Río de Letras es un proyecto de maestros y profesionales de otras disciplinas que hemos conjuntado esfuerzos con base en la experiencia acumulada en el trabajo que durante años hemos realizado en Promoción de la Lectura, de la Secretaría de Educación Pública.

Nuestro objetivo principal es promover la lectura y la escritura en el ámbito escolar, apoyando a padres, maestros y alumnos con alternativas de uso y disfrute de diversos materiales escritos.

Organizamos y realizamos actividades de interés para todos los niveles educativos, desde preescolar hasta profesional, pasando por primaria, secundaria, bachillerato y normal. Asimismo, somos expertos en el manejo de los Libros del Rincón, acervo de más de 500 títulos que envía la SEP a todos los planteles públicos de primaria y preescolar del país.

Nuestro quehacer ha incluido cursos, talleres, conferencias, presentaciones de libros, festivales de lectura, orientación acerca del uso y cuidado de bibliotecas, cuentacuentos, etcétera.

Mediante esas labores hemos promovido la escritura y la lectura entre un público muy variado y en los ámbitos más diversos, principalmente en instituciones educativas.

Nuestro fin práctico es proporcionar herramientas útiles y divertidas para aprovechar la lectura como medio de recreación y aprendizaje, pues además de posibilitar un mejor entendimiento del mundo, cumple con los objetivos del programa escolar.

Fomentar la lectura en casa es igualmente importante, por lo que ofrecemos talleres para padres, como espacios de reflexión y promoción de la lengua escrita, como apoyo para la escuela y como medio para mejorar las relaciones interpersonales, a fin de que la familia descubra, aprenda, se divierta y encuentre soluciones para su vida cotidiana.

Los talleres y cursos para maestros son piedra angular de la propuesta, porque el magisterio es el principal facilitador de múltiples encuentros con la lengua escrita.

Teléfono: 01-26140125 • México D.F • Correo electrónico: riodeletras@yahoo.com

4

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

Entre nosotros

Escalas y crecimiento Julieta Fierro Clara Rojas Introducción

El aprendizaje de conceptos matemáticos suele ser considerado difícil, sobre todo cuando para su enseñanza se emplean métodos tradicionales. Las dificultades parecen ser mayores cuando los alumnos tienen menos desarrolladas sus capacidades de abstracción que las habilidades manuales y espaciales. En este artículo se proponen actividades que el maestro puede usar para explicar algunos temas relacionados con el crecimiento exponencial y con la construcción e interpretación de mapas. Estos ejercicios pueden ser aplicados en varios niveles de educación primaria adaptándolos de acuerdo con la particularidad de cada grupo.

Crecimiento exponencial

Para la gran mayoría de los niños, sobre todo los de niveles inferiores, observar una gráfica de crecimiento exponencial carece de sentido. Para acercar este tema de una manera más intuitiva, el profesor puede hacer el siguiente ejercicio.

Necesitará entre catorce y veinte bolsas (las de celofán son ideales) y entre 250 y 2000 caramelos. Puede también sustituir estos últimos por granos de frijol, piedras pequeñas, botones o cualquier objeto menudo, aunque son menos atractivos para los niños.

El maestro preguntará a los alumnos qué prefieren, que les den 10 dulces durante 10 días, o bien 1 dulce el primer día, 2 el segundo, 4 el tercero, 8 el cuarto, 16 el quinto y así sucesivamente, doblando la cantidad Figura 1. Bolsas de dulces que muestran un número constante a lo largo de diez días. hasta llegar al décimo día. Si el maestro considera esto muy complejo puede llegar solamente hasta el séptimo día. (Figuras 1 y 2) El profesor solicitará a los niños que preparen, con las bolsas, paquetes de dulces. Rápidamente ellos notarán que les Figura 2. Bolsas de dulces que muestran un crecimiento exponencial.

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

5

Escalas y crecimiento

conviene mucho más el segundo caso, en el que hay un crecimiento exponencial en la cantidad de caramelos, que el primero, en el que la cantidad se mantiene fija cada día.

Si son alumnos de niveles adelantados, quinto o sexto grados, podrán graficar el número de dulces conforme avanzan los días. Incluso, se les podrá mencionar que el área bajo la curva es la suma de los dulces. De esta manera, cuando se enfrenten al concepto de integración, no tendrán dificultad para comprenderlo. (Figura 3)

Dulces

Dulces por día 10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

100

Figura 3a. Gráfica que representa una función constante.

Distribución exponencial

600

1023 512 500

Dulces

400

300 256

200

128

200 64 32 1

2

4

0

8

16

1 2 3 4 5 6 7 8 Días Figura 3b. Gráfica que representa un crecimiento exponencial.

6

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

9

10

Laberintos y mapas

En un artículo aparecido en Correo del Maestro No. 39, de agosto de 1999, se describe la manera de construir un laberinto con distintos ambientes*. Se muestra cómo hacerlo utilizando cajas de refrigerador unidas con pinzas para ropa y conectadas por aberturas que simulan puertas por las que los niños pueden pasar de un ambiente a otro. En este laberinto, los alumnos de preescolar

Figura 4. Laberinto a escala.

Figura 5. Laberinto a escala.

Niños recorriendo el laberinto.

experimentan distintos espacios y aprenden a orientarse.

Hoy retomamos la actividad con el propósito de acercar a los niños los conceptos de escala y de mapa.

Sugerimos que el maestro dé una continuación a la actividad del laberinto elaborando un modelo a escala de éste empleando cartulina dura o cartoncillo. Cada caja que integre el laberinto ‘pequeño’ debe estar ilustrada de igual forma que las que forman el laberinto ‘grande’.

En las figuras 4 y 5 se ejemplifica esta propuesta.

Una vez realizado lo anterior, el profesor dibujará un diagrama de una de las posibles distribuciones del laberinto y pedirá a los niños que lo construyan. Es importante tener en cuenta que las posibles distribuciones están determinadas por los ambientes que proporcionan las ilustraciones de cada caja. También realizará el ejercicio opuesto, o sea, construirá un modelo de laberinto y pedirá a los alumnos que realicen el diagrama.

* Actividad inspirada en la propuesta de Umberto Cattabrini, aparecida en Correo del Maestro No. 18, noviembre de 1997.

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

7

Escalas y crecimiento

Este ejercicio permitirá a los niños enfrentarse a la dificultad que constituye la representación de un espacio de tres dimensiones como en el que vivimos, en un espacio de dos dimensiones que es el de una hoja de papel. Es importante que cada niño haga más ejercicios elaborando diferentes diagramas y modelos de laberinto.

Finalmente, el profesor puede colocar los modelos de laberinto uno sobre otro y pedir a los niños que hagan diagramas de los distintos niveles. Posteriormente, los estudiantes compartirán los dibujos y cada niño pedirá a los otros que construyan laberintos de varios niveles de acuerdo con su diagrama. Esta actividad ayudará a los alumnos a comprender qué es una representación a escala, qué son los mapas y a interpretarlos. En otras palabras, habrán aprendido que un mapa es una interpretación a escala de dos dimensiones de un espacio de tres dimensiones.

9 mm

12 mm

Conclusiones

8

El docente puede explicar algunos conceptos de matemáticas empleando actividades manuales. En este artículo mostramos dos ejemplos en los que esto es posible. Existen muchos otros, por ejemplo es posible utilizar balanzas para explicar ecuaciones. Es relativamente fácil para el estudiante darse cuenta de que es necesario que el peso de dos conjuntos de objetos tiene que ser el mismo para obtener un balance, de manera equivalente a como sucede en una ecuación.

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

Antes del aula

Matemática y cultura.

Nuestro sistema de numeración Roberto Markarian Conceptos que han probado su utilidad para ordenar las cosas fácilmente han adquirido tanta autoridad sobre nosotros que olvidamos su origen terrestre y los aceptamos como hechos inalterables. Entonces pasan a estar etiquetados como ‘necesidades conceptuales’, ‘situaciones a priori’, etc. Tales errores obstruyen frecuentemente y por largos periodos, el camino del progreso científico. Por tanto no es un juego ocioso ejercer nuestras habilidades analizando conceptos familiares y mostrando las condiciones que los justifican y hacen útiles, y el modo como ellos se desarrollaron, poco a poco.

Albert Einstein, 1916

E

sta cita puede parecer exagerada para comenzar un artículo que tiene un objetivo muy sencillo: explicar con un ejemplo de uso diario, y sin mayores complicaciones técnicas, cómo la matemática, sus conceptos y resultados han sido creados por la humanidad, igual que cualquier objeto científico, y cómo evolucionan estos conceptos y resultados de acuerdo con las necesidades de cada sociedad y con los intercambios culturales.

El concepto al que me refiero es el de los sistemas de representación de los números. Obsérvese que no hablo del concepto de número, cuyo surgimiento en la especie humana es muy anterior: seguramente los ‘primeros seres humanos’ venían dotados de algunas formas del pensar cuantitativo directamente relacionable con el concepto de número.

Sin embargo, la cita no es exagerada, porque las formas de escribir los números “han adquirido tanta autoridad sobre nosotros que olvidamos su origen terrestre y los aceptamos como hechos inalterables”. Por lo menos ésa es la actitud que se puede transmitir a los alumnos si no se sabe con alguna precisión que el sistema de numeración que usamos es de reciente data en

la parte del mundo en que vivimos y de cuyas tradiciones científicas nos nutrimos.

Permítanme comenzar con algunas consideraciones generales que me han servido de motivación para escribir esta nota.

En muchos sectores de la sociedad, en particular del cuerpo docente e intelectual, existe la opinión de que nada hay por inventar en matemática y que, por tanto, ésta es una ciencia consolidada que no ha tenido nuevos avances (¿invenciones o descubrimientos?) en los últimos tiempos. El fin de los avances matemáticos es fijado en diferentes épocas dependiendo del grado de desconocimiento de quien eso piensa: puede ir desde los griegos en el siglo V antes de nuestra era hasta fines del siglo XIX (recordándose el nombre de algún matemático alemán: Weierstrass, Cantor). En todo caso, no hay matemática reciente que valga la pena saber ni enseñar. Hay también quienes exageran en esa tesitura y opinan que no sólo no hubo nuevos avances sino que la matemática no merece tenerlos. ¿Para qué? ¿Qué aporta la matemática al bienestar humano que justifique el esfuerzo de algunos señores, que obligue a dedicar alguna cantidad de

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

9

Matemática y cultura

dinero para comprar libros y equipamientos y pagar los salarios de esos señores dedicados a realizar imposibles nuevos descubrimientos en la disciplina? En todo caso, algunas veces los avances de la matemática saltan al conocimiento de la opinión pública porque algún enigma de la antigüedad es resuelto. Éste es el caso de la reciente resolución del problema de Fermat, planteado por este matemático francés hace ya más de tres siglos.1 Contrariamente a lo dicho en los párrafos anteriores, todo parece indicar que la matemática está en medio de una revolución. Gran parte de los resultados en física, ingeniería y computación que están entre los avances más importantes de los últimos 100 años (teorías de la relatividad, del campo unificado, vuelos espaciales, criptografía —para la transmisión secreta de información—, códigos de corrección de errores, invención y desarrollo de discos compactos, nuevas generaciones de programas y de software, inteligencia artificial, etc.) se basan en progresos de la matemática. Incluso muchos de los avances en biología y biotecnología se refieren a buenas formalizaciones matemáticas de sus problemas. La matemática tiene la forma de un lenguaje y se puede decir que sin ese lenguaje los grandes avances de la física o la biología de este siglo hubieran sido inconcebibles. A pesar de que muchas veces parece que las hazañas de la matemática son la solución de algún problema famoso, en realidad, la historia de la matemática muestra que son su lenguaje, sus métodos y conceptos, los que le dan valor y uso diario.

1

Este artículo se refiere, precisamente, al lenguaje más sencillo de la matemática que es la representación de los números naturales, los que permiten contar.

Parece ser que la denominación de los números está asociada con las primeras manifestaciones del lenguaje humano. La uniformidad de las denominaciones y su estabilidad a lo largo de los tiempos es la muestra del esfuerzo de los hombres por expresar la diversidad cuantitativa de la naturaleza, de organizar su vínculo con ella expresando las cantidades de objetos equivalentes, objetos que cumplían alguna función semejante en su vida diaria: animales cazados, días transcurridos, árboles, etc. Expresamente estoy evitando aquí el uso de la palabra ‘iguales’, porque es claro que en general lo que se cuentan no son objetos iguales; por ejemplo, los árboles no son nunca iguales entre sí. Para no extenderme mucho con este asunto de los nombres de los números, destaco solamente que la denominación del número nueve está relacionada en varias lenguas con la palabra nuevo: novem-novus (latín), nine-new (inglés), neun-neu (alemán), nava-navas (sánscrito).

En verdad la enumeración es una de las primeras formas de organización, de descripción de la realidad. Ésta es una manifestación sencilla de que el modo abstracto de definir sus conceptos, organizarlos y relacionarlos no es una invención diabólica de los matemáticos y los profesores de la disciplina sino resultado de necesidades humanas tan valederas como las que dan origen a los conceptos de la física, la astronomía o la historia. Este carácter primitivo

Pierre Fermat vivió entre 1601 y 1665. En 1637 escribió en su copia de un libro de Diofanto de Alejandría (s. III): “He descubierto una prueba verdaderamente extraordinaria de este teorema, que no cabe en el pequeño margen de este libro”. Se trataba de la imposibilidad de resolver con números enteros x, y, z diferentes de cero, la igualdad x^n + y^n=z^n, para n>2. Una prueba de este resultado fue dada hace pocos años, utilizando complicadas herramientas matemáticas. Fermat fue también abogado y magistrado en Toulouse, e hizo importantes aportes en física (óptica) y geometría.

10

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

2

A partir de información recogida en poblados de habla maya actuales, hay quienes relacionan el ciclo de 260 días de las más antiguas culturas mesoamericanas con el tiempo de gestación de un ser humano. Este calendario era usado —y lo sigue siendo, en algunas regiones de Guatemala— con fines adivinatorios, oraculares. La consideración conjunta de ambos calendarios da periodos de 18980 días = 52 años solares = 73 años oraculares. [Recomiendo al lector obtener esas relaciones de la descomposición de 365 y 260 en sus factores primos]. Este ciclo constituía la mayor unidad de tiempo de casi todas las civilizaciones de esta región, aunque los mayas utilizaron otros ciclos de medición. Naturalmente que el ciclo solar tenía una inmensa importancia para la producción agrícola, base de estas sociedades, lo que condujo avances tempranos con respecto a la medición del tiempo. Pero hoy está, también, completamente comprobado el uso religioso, adivinatorio y especulativo de los calendarios y cálculos astronómicos mayas. Las relaciones entre los diversos ciclos, utilizando el mínimo común múltiplo y otros procedimientos de cálculo aritmético abstracto, les ‘permitía’ predecir el futuro y vincular hechos del presente con los del pasado. Justificaban así los sacerdotes —que eran los ‘dueños de estas verdades’— los pedidos de los sectores dominantes y su inmensa influencia sobre la sociedad.

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

11

XXI, 1998.

Wayne M. Senner (comp.). Los orígenes de la escritura. México, Siglo

de la enumeración también se manifiesta de otra manera. Trate usted mismo de recordar la similitud que existe en diversas lenguas entre las palabras que designan las siguientes acciones: a) pasar dándoles números un objeto tras otro (“numerar o computar las cosas como los diccionarios); y b) describir situaciones y acontecimientos, relatar (“referir Signos numéricos y semánticos mesopotámicos, un suceso, sea verdadero o fabuloso”). En español hay una misma palabra para ambos actos: contar. parece que no se conservan restos arqueológicos Por estar muy lejos de las lenguas que habitualque indiquen el uso de los números para repremente hablamos, por aquí les recuerdo que en sentaciones diferentes a la evolución del tiempo, árabe ‘cálculo’ se dice hishab, que está conspara la datación de acontecimientos, reinados, truido a partir de las tres consonantes H, S, B; el etc. y para uso adivinatorio o cabalístico al proverbo contar se dice hasaba; y del cambio de ducirse coincidencias relacionadas con las difealguna vocal de esta palabra resulta hasiba que rentes formas de medir los ciclos (año de 260 = significa imaginar, creer.

20 por 13, o de 365 = 360 + 5 días).2 Todas las La aparición de la escritura trajo, entre otras representaciones numéricas mayas están referimuchas consecuencias, un inmenso avance en das en las inscripciones y textos a fechas o detertodas las cuestiones de numeración y conteo. minaciones calendáricas, al cómputo del tiempo.

En muchas culturas, en particular la maya (y Sin embargo, se conocen tablas de arcilla con quizás antes la olmeca), el origen de la represímbolos numéricos de origen sumerio (Mesosentación de los números está asociada con la potamia, actual Irak) que datan de antes del año medición del tiempo. En el caso de la civili3 000 antes de nuestra era y en las que se escribían zación maya de la época de las grandes ciudades de manera diversa las cifras según se contaran

Jean-Paul Collette. Historia de las matemáticas.Tomo 1, México, Siglo

XXI, 2001.

Matemática y cultura

Sistema de numeración egipcio, hierático (sagrado).

volúmenes (diferentes para los distintos tipos de granos), áreas, longitudes y... ¡el tiempo! Éstas parecen ser las evidencias más antiguas que se conservan de la representación de números.

Aquí, como en casi todas partes, el origen de la numeración y la escritura está relacionado con la actividad de los sectores dominantes, la de los templos en particular.

Hacia 3 200 a.C. se había desarrollado un sistema de escritura de unos 30 signos numéricos y 800 signos no numéricos que se utilizaban para designar objetos numerados, nombres de lugares y títulos oficiales.3

El sistema de representación sumerio era aditivo, al igual que el de los números romanos que todos conocemos. Eso significa que se utilizan

3

James Ritter en El Correo de la UNESCO, noviembre de 1993.

12

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

diversos símbolos para algunas cantidades claves y se van colocando de modo que se suman al colocarlas en un orden preestablecido: de derecha a izquierda en la numeración sumeria, de izquierda a derecha en el sistema romano (obsérvese que en este caso, cuando un número menor está colocado antes que uno mayor, se resta. Ejemplos: 9 = IX, 40 = XL).

Recordemos cómo escribimos ahora los números prácticamente en todas partes del mundo.

El sistema es posicional de base 10. Esto quiere decir lo siguiente: hay 10 símbolos que llamaremos dígitos que representan la unidad hasta nueve veces. Esos símbolos son 1, 2, ..., 9, y luego está el símbolo de ninguna unidad, que es el cero, 0. Cualquier número se escribe poniendo esos símbolos unos detrás de otros, de modo que el número representado es la suma del último (el que está más a la derecha) dígito, más 10 por el anterior, más 100 por el que está antes de ése, etcétera. Así: 3 027 = 7 + 2 por 10 + 0 por 100 + 3 por 1000.

Se dice que es posicional porque el valor de cada símbolo depende de dónde esté ubicado en la sucesión, y de base 10 porque se multiplica por las potencias de 10: 1, 10, 100 = 10 por 10, 1000 = 10 por 10 por 10, etcétera.

Y ya que el cero aparece explícitamente, les trasmito una observación que me ha causado sorpresa. Quienes han descifrado la escritura y sistema de numeración mayas (la fecha de culminación del proceso de interpretación fue alrededor de 1970) consideran que el símbolo interpretado como el del cero tiene un significado diferente al nuestro. No es el símbolo de la nada, sino que sirve para indicar que un ciclo o periodo de tiempo ha culminado; en ese sentido fue interpretado como el cero del periodo siguiente,

El sistema maya se asemeja al que usamos nosotros, y sólo se diferencia de él en algunos aspectos: los números se colocan en sucesión vertical y no horizontal; los signos ocupan los vacíos en los distintos órdenes de unidades y los que vienen a ser nuestros ceros sirven para indicar la cabalidad de las cantidades: normalmente no significan cero, es decir, no son símbolos de la nada; el sistema es vigesimal (la unidad básica de progresión es el veinte), no decimal.4

Puede ser interesante anotar aquí que entre los antiguos aztecas, cuya lengua es el náhuatl,

4

Juan Tonda y Francisco Noreña. Los señores del cero. México, Pangea Editores, 1996.

aunque parecía usarse como fin del anterior, por lo que los arqueólogos lo llaman glifo de cabalidad o de completamiento. Se puede decir que indica un periodo de tiempo acabado, completo o ‘ajustado a la medida’.

En este sentido, admitido que el símbolo de cabalidad oficia como cero, el sistema llamado maya era posicional mixto (vertical) de base 20, pues un mismo símbolo tenía diferente valor según la posición en que estuviera colocado, pero para escribir cada número ‘simple’ usaban un sistema aditivo. El número 6, por ejemplo, se representaba con una raya y un punto (5 + 1) y significaba eso si estaba solo, y 6 por 20 si estaba seguido, en posición vertical descendente, por otro número. Por ejemplo, nuestro actual número 66 se representaba poniendo tres puntos, y debajo, separándolo de alguna manera, un punto y una raya. El sistema podía mover a confusión si la separación no era clara, por no tener símbolos diferentes para cada uno de los números ‘simples’. En el ejemplo, también se podía leer como 4 por 20 y 5, o sea nuestro 85. Eric E. Thomson escribió:

Distintas representaciones mayas del cero.

los números base del sistema (1, 20, 400 = 20 por 20; 8000 = 400 por 20) tenían representaciones diferentes (pequeño círculo o punto, bandera, pluma, bolsa de maíz) lo cual podría ser tomado como un retroceso en relación con el sistema puramente posicional de los mayas, donde sólo hay necesidad de representar los 20 primeros números del 0 al 19.

Los sistemas posicionales tienen la gran ventaja de que utilizan pocos símbolos (la cantidad máxima es el número de la base). Si los símbolos son todos distintos no hay lugar a confusión y, lo que quizás sea más importante, simplifican mucho los cálculos con las operaciones más elementales: la suma y la multiplicación. Como ejercicio difícil, le sugiero al lector que trate de hacer sumas y mutiplicaciones con los números romanos y que analice con cuidado cómo se hacen esas operaciones con nuestro actual sistema; en el último ejercicio verá que se usa de manera crucial el carácter posicional del sistema.

Pero, mantengamos el curso principal de este artículo que trata de mostrar cómo el progreso

Eric E.Thomson, Grandeza y decadencia de los mayas, FCE, 1984. Ver también: M. Ayala Falcón, “El Mensaje Revelado”, Arqueología Mexicana 2, 1993.

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

13

Matemática y cultura

de la matemática está íntimamente vinculado a las etapas del desarrollo cultural de la humanidad, usando como ejemplo el de la representación de los números que es el objeto matemático más sencillo. ¿Desde cuándo nuestra cultura, que se da en llamar occidental, representa los números como ahora lo hacemos? O sea, partiendo de que nuestro sistema es terrestre y humano, ¿cuándo surgió?, ¿cómo se extendió? Les recuerdo el epígrafe del artículo: Conceptos que han probado su utilidad para ordenar las cosas fácilmente han adquirido tanta autoridad sobre nosotros que olvidamos su origen terrestre y los aceptamos como hechos inalterables. Entonces pasan a estar etiquetados como ‘necesidades conceptuales’, ‘situaciones a priori’, etcétera.

Empecemos por lo último, y para no marear mucho las cosas, restrinjámonos a preguntar ¿cuándo se instauró en Europa el sistema que

Mohammed Ibn Musa Al-Jwarizmi (783-850), conocido como padre del álgebra.

5

ahora usamos? La respuesta es sorprendente.

Europa generalizó la escritura y el cálculo con los actuales números en el siglo XIII.5 Leonardo de Pisa (Fibonacci) escribió en ese siglo una obra crucial (Libro del ábaco), de contenido muy extenso, que indujo, casi de inmediato, el uso generalizado del sistema en la actual Italia. La divulgación se generalizó también a través del poema Carmen de algorismo del franciscano francés Alexandre de Villedieu y de la obra Algorismus vulgaris de Juan de Halifax, también conocido como de Sacrobosco. El empleo de muchas de las nuevas palabras (algoritmo, álgebra) indicaba de dónde provenía el nuevo método: el mundo árabe. Es por ello que se dio en llamar números arábigos a los que usamos. Pero esta denominación es confusa, como veremos de inmediato. Para evitar errores que casi cometo yo mismo, recuérdese que no todas las palabras que comienzan con letra ‘a’ son de origen árabe: ábaco y aritmética provienen del latín y el griego.

La aritmética es la vieja ‘ciencia griega de los números’, que poco tiene que ver con lo que estamos analizando. El cero, que era el nuevo símbolo, a veces era llamado zephirum, ‘cifra’ en latín (de sifr, que quiere decir ‘vacío’ en árabe) y otras, circulus, ‘pequeño círculo’.

Pues bien, los matemáticos que ahora llamaríamos italianos, franceses, ingleses, bebían del mundo árabe para aprender la nueva ciencia de esa numeración y sus operaciones. Las obras originariamente escritas en árabe eran traducidas al latín especialmente en España (y aún más especialmente en Toledo), donde los árabes que habían cruzado el Mediterráneo dominaban desde antes del año 1000 (fueron —desgraciadamente— expulsados el mismo año que Colón llegó a nuestras tierras: 1492).

En realidad los números con sus actuales grafías se impusieron en el siglo XV; en el siglo XIII aún habían algunas variantes parecidas a los actuales dígitos, en el mundo europeo, en el mundo árabe y en el hindú.

14

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

Jean-Paul Collette. Historia de las matemáticas.Tomo 1, México, Siglo XXI, 2001.

Cuadro que muestra las correspondencias entre las letras y los números, una vez establecidas en Grecia las minúsculas.

Por tanto, los nombres de muchas de las palabras usadas en este ámbito vienen naturalmente del árabe. Álgebra viene de al- ^yabr, el restablecimiento o la restauración del orden,6 y se refiere a la reducción, al pasaje de un miembro a otro de una igualdad. Algoritmo, procedimiento de cálculo, proviene de al-Jwarizmi, nombre de un célebre matemático de Bagdad que en siglo IX escribió tres obras, una especie de compendio de la matemática árabe: Libro del álgebra y de al-muqabala, Libro sobre la suma y la resta y Libro del cálculo indio.

El título de esta última obra marca el origen de toda la historia. En la época de esplendor del mundo árabe centrado en Bagdad, el califa AlMa’mun fundó la Casa de la Sabiduría, verdadera universidad en que se favorecía el intercambio cultural con la India y la traducción de manuscritos. Y de allí provenía el sistema que salvo detalles de los símbolos era el que ahora usamos.

Este artículo ya está demasiado largo, por lo que nos restingiremos ahora a expresar que la formulación actual de la escritura de los números se ha podido rastrear hasta el siglo VII de nuestra era. En documentos de esos tiempos ya está toda la estructura tal cual: posicional, deci-

6

mal, con un símbolo para el cero. Y yendo más atrás, se remontan al siglo III antes de nuestra era las primeras constancias arqueológicas de escrituras en la India en las que aparecen símbolos para las nueve unidades, un símbolo completamente distinto para cada decena, otro para el 100 y otro para el 1000: el sistema decimal estaba en gestación. En esa época, y quizás antes, el lugar que luego vino a ocupar el símbolo del cero se dejaba vacío. Gûnya, que significa ‘vacío’, era utilizado para indicar el valor nulo en alguna posición. Y más atrás en el tiempo, la escritura bràhmì (siglo III antes de nuestra era) contenía los gérmenes que luego derivarían hacia nuestra notación actual.

Una pregunta puede quedar flotando ¿cómo escribía los números nuestro mundo occidental y cristiano antes de que aprendiéramos los actuales, de los árabes e hindúes? La pregunta tiene respuesta; es interesante, pero escapa al objeto de este artículo.

Existe hoy una generalizada pérdida de apreciación de lo que los matemáticos y la matemática pueden lograr y de la importancia de la disciplina. Una parte de la culpa la llevan los matemáticos y los profesores de matemática, al no explicar su disciplina en un sentido general a

Recuerdo que en el Quijote, algebrista era quien recomponía huesos descoyuntados; lo cual muestra que aún por 1600 el significado original árabe influía en nuestra lengua, no sólo en su acepción matemática.

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

15

Jean-Paul Collette. Historia de las matemáticas.Tomo 1, México, Siglo

XXI, 2001.

Matemática y cultura

Genealogía de nuestro sistema de numeración.

sus estudiantes, al público y a los gobiernos.

Otra parte la lleva la confianza ciega en que las computadoras son una caja negra que puede dar respuesta a todos los problemas matemáticos, sin comprender los procesos involucrados ni los conceptos que se trata de manipular. Así, tanto los alcances como las limitaciones de las computadoras dejan de ser entendidos; la base matemática es olvidada (y quizás deja de ser desarrollada) y las computadoras podrían ser usadas de modo inapropiado, o simplemente limitar el diseño de software. Y hay otros ‘culpables’; sobre esto escribí en otro artículo de esta misma revista (“La Matemática en la escuela”, número 18, noviembre de 1997).

Necesitamos un verdadero entendimiento generalizado de las formas en que la matemática ha jugado y juega un papel en la sociedad en que vivimos. Este trabajo trata de reivindicar el contenido cultural de la matemática y la pre-

16

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

sentación de ésta como la profunda historia y creación humana que en realidad es. El profesor debería saber cómo se han formado las ideas matemáticas para: • Comprender las dificultades que tuvo la humanidad para elaborarlas.

• Relacionar unas ideas con otras, relaciones que muchas veces aparecen oscurecidas o incomprensibles en su formulación actual.

• Utilizar estos conocimientos como referencia en sus formas de enseñar.

El papel de los maestros para lograr impregnar su didáctica de la matemática de este contenido cultural, de la influencia de la matemática en la formación de los valores más ricos de la humanidad, de su profundo carácter histórico y evolutivo, es fundamental. No quepan dudas de que si ese espíritu caracteriza la enseñanza, su aprendizaje se facilitará.

El mundo de las plantas VI Vegetación de México Rocío Azcárraga Rosette Santos I. Arbiza Aguirre Introducción México, en su vasto territorio de aproximadamente dos millones de kilómetros cuadrados, posee una de las diversidades vegetales más valiosas y grandes de la Tierra. El país cuenta con muy variados tipos de vegetación, desde los exuberantes ecosistemas tropicales —que incluyen, por ejemplo, a los manglares y los bosques tropicales— hasta la flora de las altas montañas, pasando por la vegetación desértica y semidesértica y otras asociaciones vegetales que habitan regiones pequeñas. Debido a su posición geográfica, el país es un área de transición entre los grandes bosques del norte del continente y la rica flora de Centroamérica.

Ya en el siglo pasado, diversos investigadores identificaban más de 10 000 especies de plantas vasculares. Según Rzedowski (1976), una composición aproximada de nuestra riqueza vegetal sería: Algas (exceptuando microscópicas) 1 500 Briofitas 2 000 Pterifdofitas (helechos) 1 000 Fanerógamas 20 000

especies especies especies especies

Esta riqueza, según el autor citado, supera a la de Rusia e iguala a la de Estados Unidos y Canadá juntos respecto al número de especies reconocidas.

La flora de nuestro país está lejos de ser descrita completamente a pesar de los esfuerzos y

estupendo trabajo de los estudiosos, entre quienes se puede nombrar a Isaac Ochotorena, José Ramírez, Faustino Miranda, J. Rzedowski, Efraín Hernández X. y José Sarukhan, quienes han contribuido a describir los tipos de vegetación presentes en México.

La variación florística está asociada a la situación geográfica del país, a la forma de su territorio, al complicado y variado relieve en el que podemos encontrar grandes serranías y extensas llanuras, a los múltiples tipos de suelo, a su clima tan variado en temperatura y precipitación y, finalmente, a la influencia del hombre que perturba los sistemas naturales por su necesidad de alimentos y otros satisfactores.

La agricultura ocupa más de 300 000 kilómetros cuadrados del territorio nacional y también es necesario considerar los espacios ocupados por caminos, viviendas, industrias y áreas de recreo.

Tipos de vegetación en México Rzedowzki describe nueve zonas florísticas en nuestro país. La de este autor es una de las clasificaciones más simples y aceptadas en la actualidad, aunque otros autores, como Miranda y Hernández X., describen 32 zonas.

Las regiones, de acuerdo con el tipo de vegetación, propuestas por Rzedowski son:

En páginas centrales, a color, se encuentran fotos e ilustraciones referentes al tema de este artículo.

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

17

El mundo de las plantas VI

Bosque tropical. Cuetzalán, Puebla.

1. Bosque tropical perennifolio.

2. Bosque tropical subcaducifolio.

3. Bosque tropical caducifolio.

4. Matorral xerófilo.

5. Pastizal.

6. Bosque de encinos.

7. Bosque de coníferas.

8. Bosque mesófilo de montaña.

9. Vegetación acuática y subacuática.

Las vegetaciones dominantes en el país son: 1) bosques de pinos y encinos, solos o en asociación, 2) vegetación árida y semiárida (matorrales xerófilos) y 3) pastizales o zacatales.

Estos tres grandes tipos de ecosistema abarcan más del 70% del territorio nacional, más del 20% cada uno.

Bosques tropicales Bosque tropical perennifolio Los bosques tropicales perennifolios están principalmente situados en tierras bajas que rara vez sobrepasan los mil metros sobre el nivel del mar (snm), en los litorales del Atlántico y del

18

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

Pacífico. Son zonas de temperatura promedio superior a los 20°C, sin heladas y de elevada precipitación pluvial.

En el país, los bosques tropicales son frecuentes en algunas zonas de la Huasteca Potosina y de Veracruz, en Tabasco —en aquellas regiones que cuentan con un buen drenaje— y en gran parte de la Península de Yucatán. El bosque tropical más estudiado es la Selva Lacandona de Chiapas, en el límite con Guatemala.

Este tipo de vegetación ocupa entre el 10 y el 11% del territorio nacional. Las principales especies vegetales son grandes árboles con troncos rectos de más de 25 metros de altura, como el ‘sombreretal’ (Terminalia amazonica), hermosa especie que domina en todo el Golfo, el ‘ramón’ u ‘ochote’ (Brosimun alicastrum), el ‘árbol del chicle’ (Manilkara zapota), diversas especies de Ficus sp. y varios árboles de maderas preciosas como la caoba (Swietenia macrophylla) y el cedro rojo (Cedrela mexicana), hoy ya muy devastados por el hombre.

Junto a las grandes masas arbóreas se encuentra una gran cantidad de plantas, muchas de ellas epífitas, como diversas orquídeas y bromelias que almacenan agua en sus hojas, y algunas especies de Ficus, conocidas como ‘matapalos’, que estrangulan y matan a sus hospederos.

El bosque tropical es uno de los biotopos más bellos y que exige más protección en las pocas reservas que todavía se respetan. Árboles como el del chicle, la caoba y los cedros ya han desaparecido de amplias zonas.

Bosque tropical subcaducifolio El bosque subcaducifolio se encuentra principalmente desde Sinaloa hasta Chiapas y parte de la Península de Yucatán. Su límite climático, con respecto a la temperatura, se aproxima a los cero grados y llega hasta zonas de altitud cercana a 1 500 metros.

En él encontramos árboles de elevado valor maderero como la ‘parota’, también conocida como ‘guanacaste’ (Enterolobium cyclocarpum), el ‘granadillo’ (Dalbeergia granadillo), el ‘jocotillo’ (Astronum graveolens), así como otras especies. Este bosque se caracteriza por combinar plantas de hojas perennes, que se encuentran en el bosque anteriormente descrito con otras como varias leguminosas de hojas caducas. En algunas regiones abundan las palmeras, varias plantas epífitas y helechos.

Bosque tropical caducifolio En él habitan especies que pierden sus hojas en la época seca, por lo que también ha sido denominado ‘selva veraniega decidua’. Este tipo de bosque se presenta en toda la costa del Pacífico, desde Chihuahua hasta Chiapas, y se continúa en Centroamérica. También lo podemos encontrar en algunas regiones de la zona del Golfo en Tamaulipas, en el norte y centro de Veracruz y en el norte de la Península de Yucatán.

Prospera en terrenos que se hallan desde el nivel del mar hasta los mil quinientos metros de altitud, con temperaturas calientes, sin heladas. Abarca aproximadamente el 10% del territorio nacional.

Es de fácil determinación por el aspecto de su flora, muy característica. Casi siempre es arbustiva, de poca altura (de ocho a doce metros), con plantas de corteza brillante y flores vistosas. En general, esta vegetación es de poco aprovechamiento en cuanto a madera. A veces, los lugareños utilizan ésta para la elaboración de artesanías y muebles.

La especie de este tipo de vegetación que ha sido más aprovechada por el hombre es el ‘henequén yucateco’ (Agave fourcroydes), de enorme importancia en el devenir histórico de la región por el interés económico que tuvo.

En la actualidad muchos de estos bosques están siendo talados y roturados a fin de sem-

brar forrajes para la alimentación del ganado y, en menor escala, para el cultivo de maíz, frijol y otras especies.

Algunos representantes típicos del bosque caducifolio son el ‘copal’ o ‘cuajiote’ (Bursera sp.), el ‘pochote’ (Ceiba aesculifolia), una gran cantidad de especies epífitas, trepadoras y cactáceas columniformes o candelabriformes.

En varias regiones el bosque está dominado por árboles y arbustos de muy alto valor bromatológico para el ganado, sobre todo por especies de leguminosas ricas en proteínas como el ‘cocuite’ (Gliricidia sepium), el ‘palo dulce’ (Eysennhardtia polystachia), y varias Acacia sp., Prosopis sp., Bahunia sp. (‘pata de vaca’) y Leucaena sp.

Estos bosques siguen siendo arrasados y en algunas zonas ya es difícil hallarlos pues se han transformado en matorrales subtropicales, verdaderos chaparrales donde dominan las especies Ipomoea sp., Acacia sp. Mimosa sp. y Opuntia sp.

Vegetación de las llanuras En estas extensas regiones se asientan distintas asociaciones vegetales dentro de las cuales se destacan: 1) bosque espinoso, 2) pastizal y 3) matorral xerófilo.

Bosque espinoso Es un tipo poco definido, que se integra a veces con el bosque caducifolio y el matorral xerófilo.

Se presenta en altiplanicies de menos de dos mil metros snm donde hay heladas y el clima es de semiárido a seco. Ocupa una importante parte de Sonora y de Sinaloa, llegando hasta el Istmo de Tehuantepec.

Es la flora original de la región de El Bajío y de la Huasteca y se observa, en manchones, en toda la parte central del país. Ocupa aproximadamente el 5% del territorio nacional.

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

19

El mundo de las plantas VI

Pastizal, Chihuahua.

Como su nombre lo indica, está compuesto preferentemente por arbustos espinosos, de cuatro a quince metros de altura, que se encuentran ya sea en forma densa o abierta, como en la mayoría de los mezquitales (Prosopis sp.). Estos arbustos pueden ser caducifolios o siempre verdes, como el ‘palo dulce’. Las variedades de Acacia sp., como A. farnesiana, A. berlandieri, A. gregii, A. schaffneri y A. rigidula, conocidas como ‘huizachales’, son muy comunes en este tipo de vegetación, así como Lysiloma sp. y Cercidium sp.

Los mezquitales constituyen la agrupación más típica y extendida de esta comunidad, aunque en la actualidad se encuentran muy depredados por haber sido erradicados para dedicar el terreno a la producción agrícola. Prosopis laevigata es el mezquite más extendido, combinado con Acacia farnesiana, el ‘huizache’.

Las zonas ocupadas por esta vegetación son importantes para la producción ganadera ya sea bovina, caprina, ovina o de especies combinadas.

Pastizales El pastizal o zacatal es característico de las llanuras y cubre aproximadamente el 12% de la superficie del país. En él dominan diversos tipos de gramíneas y es el tipo de vegetación natural para el desarrollo de la ganadería de rumiantes y de equinos.

20

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

En general, los pastizales son más abundantes en regiones semiáridas y en las de clima templado y fresco, con heladas poco frecuentes y con altitudes de quinientos hasta dos mil quinientos metros. Los pastos se desarrollan en llanuras abiertas, con suelo profundo. La precipitación que requieren es muy variable, de 300 a 600 mm anuales con varios meses secos.

Los suelos de los pastizales, en general, se van degradando por el exceso de pastoreo y el pisoteo, que conducen a cambios en el tapiz, disminuyendo las pasturas apreciadas y apareciendo las malezas y diversidad de plantas venenosas para el ganado. Las sequías frecuentes y el uso del fuego para limpiar el terreno son factores de degradación que llevan a la erosión y desertificación.

Algunas áreas de pastizales se han usado para la agricultura con resultados diversos. En general, en terrenos de temporal son muy pocos los años en los que se obtiene una cosecha satisfactoria, sea de maíz, frijol u otros cultivos.

Los principales pastizales se sitúan en la parte norte y central del país, desde Chihuahua y Durango hasta Jalisco. Todas estas tierras están dominadas por gramíneas con elementos leñosos muy escasos, si es que existen. En casi todo el país tiene gran importancia el género Bouteloa sp., muy buena planta forrajera para todo tipo de ganado. Entre las diversas especies encontramos B. gracilis, B. curtipendula, B. hirsuta y B. radicosa, pastos conocidos vulgarmente como ‘navajita’, ‘pasto bandera’ u otros nombres regionales. Además de este género, según la zona, pueden encontrarse con mayor o menor frecuencia otros como Aristida sp., Andropogon sp.

Erioneriun sp., Mulhebergia sp. (pasto de grandes alturas) e Hilaria sp. En algunas regiones aparecen combinados con arbustos como diversas acacias y el ‘tascate’ (Juniperus monosperma) en Durango, con la Acacia schaffneri en Zacatecas,

con Prosopis sp. en Sonora o con Quercus cordifolia en Zacatecas y Durango. A la pradera acompañan, frecuentemente, arbolitos de poca talla como agaves, yucas, nopales, encinos bajos y mezquites.

Las gramíneas se han adaptado a muchos tipos de suelo y clima, así que no es raro encontrar pastizales en terrenos altos de montaña ya sobrepasada la línea arbórea. En estos casos se trata de pastos gruesos y amacollados que se utilizan para la ganadería. También hay pastizales particulares en suelos inundables con mal drenaje, no salinos o salinos, como los que se encuentran en el lago de Texcoco. Los pastos adaptados a estas condiciones son, por ejemplo, Distichlis spicata y el ‘pasto toboso’ (Hilaria mutica), muy frecuente en la zona norte, en los suelos yesosos de Coahuila y San Luis Potosí. Por último, tienen gran importancia los pastizales de regiones calientes y húmedas, comunes en el sureste. Se caracterizan por la mezcla de gramíneas amacolladas, como Paspalum sp. y Axonopus sp., asociadas a árboles bajos como el ‘tachicón’ (Curatella mexicana) y el ‘jícaro’ (Crescentia sp.).

También son abundantes otras plantas herbáceas, sobre todo leguminosas y ciperáceas.

El área ocupada por zacatales se ha visto incrementada por la acción del hombre, que va talando los bosques para que aparezcan gramíneas, ya sean naturales o cultivadas, para usarlas como forraje. Las gramíneas cultivadas más comunes son, en clima templado, la avena anual, el pasto ‘Rye grass’ (Lolium sp.), el pasto ‘orchard’ (Dactylis glomerata) y el ‘festuca’ (Festuca sp.), cultivados solos o en combinación con leguminosas como tréboles o alfalfa. En clima tropical abundan las gramíneas cultivadas adaptadas al calor, como el ‘pasto guinea’ (Panicum maximum) en sus variedades, el ‘pangola’ (Digitaria decumbens) y, en áreas secas, es común observar el ‘pasto buffel’ (Cenchrus ciliaris).

Matorral xerófilo Por último, como vegetación de grandes llanuras se encuentra el matorral xerófilo de los climas áridos y semiáridos. Ésta es una de las regiones vegetales más extensas del país, que cubre las dos Baja Californias, parte de Sonora y estados interiores como Chihuahua y Coahuila, llegando hasta el sureste de San Luis Potosí, Zacatecas e Hidalgo. Se desarrolla en regiones con temperaturas extremosas, que van desde muy calurosas hasta muy frías, donde se presentan incluso nevadas invernales. Son zonas con radiación luminosa muy intensa, con una precipitación que puede ir desde los 100 a 200 mm, en los climas más secos, hasta los 400 a 500.

El hombre ha utilizado este tipo de vegetación sobre todo para la ganadería, aunque el rendimiento es muy malo por los bajos coeficientes de agostadero (densidad de cabezas ganaderas por hectárea). En algunas zonas hay altas concentraciones de ovinos y cabras y se han establecido cultivos de riego, como es el caso de La Laguna, donde ya no queda nada de la vegetación natural. En otras zonas, como en el altiplano potosino-zacatecano, el tapiz ha ido cambiando como consecuencia del sobrepastoreo y el excesivo pisoteo del suelo por el ganado.

Algunas plantas típicas de este tipo de vegetación tienen aprovechamiento industrial. Tal es el caso de la ‘candelilla’ (Euphorbia antisyphilitica), de la que se extrae cera, el agave ‘lechuguilla’, que produce fibras fuertes y algunas yucas o ‘palmas locas’. También se explota la ‘jojoba’ (Simmondsia chinensis), cuyas semillas se utilizan extensamente con fines terapéuticos e industriales. Desde la época precolombina se utilizan las diversas variedades de Agave sp. para la elaboración de pulque y tequila. En la Segunda Guerra Mundial se utilizó mucho el ‘guayule’ (Parhenium argentatum) como fuente de caucho.

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

21

El mundo de las plantas VI

bajas que van de 0 a 3 000 metros snm de altitud hasta los bosques de pinos y otras coníferas de regiones de 150 a 4 000 metros, así como montes mixtos de ambas especies.

Bosque de pinos, Sierra de Ixtlán, Oaxaca.

La vegetación típica de las zonas áridas tiene en su composición plantas bien adaptadas a condiciones muy difíciles, como la ‘gobernadora’ (Larrea tridentata), una de las más comunes de todo el altiplano mexicano, quizás la planta xerófita siempre verde que puede sobrevivir en las condiciones más extremas. No presenta espinas ni es suculenta, como las cactáceas, y posee hojas perennes. Se presentan, también, abundantes especies de asteráceas como Ambrosia sp., Zinnia sp., Eupatorium sp., Flourensia sp., Artemisia sp., Viguiera sp., junto con leguminosas como Prosopis laevigata y quenopodiáceas como la ‘costilla de vaca’ (Atriplex sp.) y, sobre todo, cactáceas que encuentran aquí su hábitat con las monocotiledóneas de los géneros Agave y Yuca. Las gramíneas son escasas en el tapiz y, en general, de baja calidad para el ganado.

Dominan los géneros Andropogon sp., Paspalum sp., Eragrostris sp. y Bouteloa sp., todos pastos adaptados a estas duras condiciones.

Vegetación de montaña Esta agrupación vegetal incluye desde los montes de Quercus, los encinares, de las zonas más

22

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

Bosque de encinos Los encinares o bosques de Quercus son característicos de áreas montañosas de clima templado y semihúmedo. El género Quercus —al que pertenecen los encinos, robles y alcornoques europeos— está representado en México por cerca de 200 especies de gran diversidad morfológica. Muchas veces se encuentran asociados con coníferas como pinos y abetos, ya que tienen gran afinidad en su hábitat. Los encinos se encuentran en toda la Sierra Madre Oriental y no son raros en la Occidental y en el Eje Volcánico. Se estima que el 5% de la superficie del país está ocupada por este tipo de bosque.

Su valor maderable es mediocre ya que en general son bosques bajos que se aprovechan localmente para construcción, para muebles y, sobre todo, como combustible. La devastación de los encinares es muy grande en todo el país.

Se talan los montes para obtener carbón y tanino de la corteza. Los frutos o bellotas se usan frecuentemente para la alimentación de cerdos.

Los encinos de regiones más secas, de porte muy bajo, constituyen chaparrales extensos que en general son quemados, con lo que se expone a los suelos a fuerte erosión. El mismo resultado se obtiene con la agricultura permanente que generalmente se establece luego del desmonte del bosque. La altura de este tipo de bosque es muy variable y puede ir de los dos a los treinta metros, aunque encinos aislados alcanzan alturas tan grandes como de cincuenta metros. Hay encinos caducifolios y perennifolios.

En general, estas agrupaciones vegetales son ricas en plantas epífitas como líquenes, musgos y una gran variedad de orquidáceas y brome-

liáceas. En el piso abundan las plantas herbáceas, sobre todo asteráceas, gramíneas y leguminosas.

De acuerdo a la región es el tipo de encino dominante. En Chihuahua y Sonora abunda el Q. chihuahuensis y en Durango el Q. cordifolia.

En zonas más altas es común el Q. resinosa (encino roble), en San Luis Potosí el Q. mexicana y el Q. laeta (encino prieto). En el sur, principalmente en Oaxaca, hay encinos de hoja grande, en bosques densos y de distintas alturas. En los encinares del Golfo domina el Q. oleoides, especie que se extiende por toda la costa hasta Centroamérica, ya que es el encino que mejor resiste los incendios.

Bosque de coníferas La segunda agrupación vegetal que priva en las montañas mexicanas son los bosques de coníferas, que poseen una gran diversidad. Ocupan aproximadamente el 5% de los bosques del país.

Su extensión ha ido en rápido descenso desde la Colonia y continúa bajando en virtud de la acelerada depredación que sufren.

De las coníferas, más del 90% corresponden al género Pinus y el resto a pequeñas extensiones de Abies (abetos u oyameles) y Juniperus (sabinos, enebros, tlaxcales o tascates). Hay apariciones muy poco extendidas de otras coníferas como Cupressus, Pseudotsuga y Picea.

México posee una inmensa riqueza de pinos, con cerca de cuarenta especies descritas que ocu-pan grandes extensiones del territorio nacional. Pueden encontrarse solos o combinados con otros árboles, generalmente con encinos o sabinos.

En todo el país se pueden encontrar bosques de pinos, con excepción de la Península de Yucatán. Los hay desde las costas del Caribe hasta las de Guatemala. Pero la mayoría de los pinos se desarrollan y llegan a dominar en terrenos

con altitudes que oscilan entre los 1 500 y los 3 000 metros snm.

En la costa del Caribe, en el sur de Quintana Roo y ya presentes en Belice y parte de Centroamérica, se encuentran grandes extensiones de bosques de Pinus caribaea, adaptado a suelos arenosos y a climas calientes y húmedos. Otro pino de clima caliente es el Pinus oocarpa, común en Chiapas y Oaxaca.

Pero, como ya señalamos, la mayor parte de los bosques de pino se encuentran en la montaña sobrepasando, a veces, alturas de 3 000 metros snm y casi siempre acompañados por pastizales de altura. Las especies más abundantes son, para las zonas más lluviosas, el Pinus patula y sus similares P. estrobus var. chiapensis y P. ayacahuite y, en las áreas más secas, el P. cembroides (piñonero). Los pinos casi siempre progresan mejor en terrenos volcánicos. En general, estos suelos están siempre cubiertos por abundantes hojas que caen de los pinos y que sirven de caldo de cultivo a abundantes especies de hongos, entre ellos las mircorrizas con las que hacen simbiosis.

Otras especies muy comunes y extendidas que se explotan comercialmente son el P. montezumae, P. arizonica, P. pseudostrobus, P. michoacana y P. teocote, que producen más del 75% del valor de la madera que se utiliza en ebanistería, como triplay, puntales y durmientes, así como para la obtención de celulosa y fabricación de papel. Otra explotación importante es la resina, de la que se extraen brea y aguarrás. De los pinos piñoneros, cuyas especies más importantes son P. cembroides, P. edulis y P. pineana, se obtiene el fruto.

Las especies que toleran temperaturas más bajas son los de la especie P. hartwegii, la más común en las zonas de alta montaña ya que resiste nevadas abundantes.

Los bosques más extensos de pinos se encuentran en la Sierra Madre Occidental. En las

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

23

El mundo de las plantas VI

Juniperus.

regiones más secas de Sonora y Chihuahua dominan el P. arizonica y P. engelmanii y en las más húmedas de Durango, P. durangensis y P. cooperi.

En el Eje Volcánico la especie más común es el P. montezumae, que se encuentra generalmente asociado con Quercus arizonica. En los sitios más altos, que superan los 3 000 metros snm, domina el P. montezumae, asociado en ocasiones con enebros, con ailes (Alnus glabrata) y con pastos de Festuca tolucensis.

Como ya habíamos señalado, los bosques de pino están sufriendo una brutal devastación pues son talados, legal o clandestinamente, o quemados a fin de introducir pasturas para bovinos o, más comúnmente, para ovinos.

Otros bosques de coníferas importantes son los de abetos u oyameles, sobre todo de Abies religiosa, especie de gran altura y belleza. Estos bosques se presentan en manchones aislados en el Eje Volcánico Transversal, a alturas de más de 2 500 metros. Igual que los bosques de pinos, están siendo sometidos a fuerte talado y destrucción por fuego en terrenos que se utilizan posteriormente para agricultura o ganadería.

Los bosques de oyameles constituyen una de las formaciones forestales más bellas y que exigen mayor protección por su gran vulnerabilidad. Se encuentran en los sitios de recreo a los

24

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

que concurren millones de capitalinos como El Desierto de los Leones, La Marquesa, las Lagunas de Zempoala y El Chico, visitados cada semana por miles y miles de personas. La protección es imperiosa, pues están siendo depredados con gran rapidez, principalmente en forma clandestina, ya que su madera es apreciada para la obtención de celulosa, la fabricación de papel y como arbolitos de navidad.

Formaciones menores de coníferas son los bosques de Pseudotsuga, Picea, Juniperus y Cupressus.

Los dos primeros géneros son muy parecidos a los abetos y ocupan el mismo tipo de hábitat.

Los sabinos, tlaxcales o tascates (Juniperus sp.) están bastante extendidos y, en general, habitan comunidades abiertas en los pastizales y sirven de sombra al ganado. Las agrupaciones más frecuentes se encuentran en el sur de Durango (J. monosperma), Tlaxcala (J. flaccida) e Hidalgo (J. deppeana). Los Cupressus están poco representados en México, exceptuando la isla de Guadalupe, frente a Ensenada, donde domina el C. guadalupensis.

Bosque mesófilo de montaña Se confunde frecuentemente con los bosques caducifolios. Se conocen también como ‘bosques de selva nublada’. Son bosques de regiones húmedas, con precipitaciones mayores a los 1 000 milímetros anuales y siempre se encuentran en zonas altas. Cubren menos del 1% del territorio.

Son bosques de regiones de transición entre los climas más calientes y los templados con heladas. Se desarrollan en suelos ricos, lo que ha provocado que sus terrenos se dediquen intensamente al cultivo de maíz y frijol o, en algunas zonas, al café, usando los propios árboles naturales del monte como sombra y abrigo del cafeto. La mayor parte de los árboles de este tipo de bosque pertenecen a los géneros Quercus (como el ‘encino escobillo’), Liquidambar (el ‘copa-

Matorral xerófilo, Cactácea, Oaxaca.

Agave lechuguilla.

Mezquite, flor. Valles centrales, Oaxaca.

Cactáceas candilaciformes, Oaxaca.

Cactácea, Nopalxochia, Puebla.

Mamilaria. Matorral xerófilo, Oaxaca.

Caricácea, papaya, Cuetzalan, Puebla.

Lirio acuático (Eichornia sp.).

Bromeliácea, gallito.

Musácea, cultivo de plátano,Veracruz.

Bosque caducifolio.

La vegetación en México

Pinus pineana. Pino piñonero.

Manglar,Tabasco.

Bosque mesófilo de montaña.

Bosque tropical, Cuetzalan Puebla.

Bosque tropical,Tenango de las Flores, Puebla.

Encinar, Fagaceae, Guanajuato.

Encino, Guanajuato.

Bosque. Sierra de Ixtlán, Oaxaca.

Pastizal, Chihuahua.

lillo’ o ‘somerio’), Juglans, Dalbergia, Magnolia, Podocarpus y Chaetoplea, todos ellos poseedores de buenas maderas. Son bosques densos y de altura entre 15 y 35 m, formados en su mayor parte por especies caducifolias. Los helechos arborecentes son huéspedes comunes en estos montes y muchos poseen un estrato herbáceo siempre verde con especies como Paspalum sp. y Axonopus sp.

Vegetación acuática y subacuática Dentro de esta flora existe una grandísima diversidad, ya que incluye la de arrecifes, marismas, zonas lacustres, médanos, manglares, poales de pantanos, tulares y carrizales, vegetación flotante, anfibias, palmares, bosques de galería y algunas vegetaciones de suelos especiales como los halófilos (de alto contenido salino) o los yesosos.

Las comunidades acuáticas son muy variadas y cuando ocurre una desecación desaparecen con gran rapidez. En general están siendo afectadas por la contaminación provocada por los desechos industriales y las aguas negras.

La vegetación acuática está dominada por algas. Los litorales del Golfo y del Pacífico son ricos en algas rodofíceas y en los arrecifes son abundantes las clorofíceas. En las lagunas también abundan las algas, ya sean rodofíceas o cianofíceas. En la costa del Pacífico son dignas de mención las algas cafés gigantes que llegan a tener más de treinta metros de altura y que forman verdaderas junglas marinas.

Los manglares, que sólo se encuentran en clima caliente y están situados, en general, en desembocaduras de ríos o al margen de lagunas, están formados por mangles, plantas leñosas adaptadas a altos niveles de salinidad y a cambios drásticos en la misma. Tienen hojas perennes y raíces que sirven de sostén, además

Mezquite, flor.Valles centrales, Oaxaca.

de nutrir y respirar. En México la especie más común es Rhizophora mangle (mangle colorado), que se ha transformado en el hábitat de variadas formas de vida como ostras y otros muchos organismos acuáticos. Los mangles detienen la erosión al retener el suelo. Su corteza es muy rica en taninos.

La vegetación de los pantanos o ‘popales’ se presenta en tierras de deficiente drenaje de Veracruz, Chiapas y Campeche. Están poblados por hermosas plantas que sobresalen del agua como Calathea sp., Thalia geniculata, Heliconia sp. y otras gramíneas y ciperáceas.

Otras comunidades acuáticas de cierta importancia son los carrizales y tulares de hasta tres metros de altura, que forman masas compactas en las áreas pantanosas y lacustres. Las plantas dominantes son Typha sp. y Cyperus sp., muy utilizadas para la fabricación de diversas artesanías y que sirven como refugio de aves acuáticas.

Por último, dentro de la flora acuática posee gran importancia la vegetación flotante, ya sea fija al fondo o verdaderamente flotante. Especies de rápida proliferación como Lemna sp. (chichicastle), Spirodella sp., Wolffia sp. y otras más pequeñas son causa de un gran disturbio en

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

37

El mundo de las plantas VI

Conclusiones

Tenango de las flores, Puebla.

lagunas y canales. Otras flotantes de mayor tamaño como la Pistia sp. (lechuga de agua) y la Eichornia sp. (lirio acuático) tapizan enormes extensiones de agua con gran rapidez, causan grandes perjuicios en las tomas de agua potable, presas para energía eléctrica y en lagunas de recreo; afectan la navegación y la pesca.

Los palmares se encuentran, solos o asociados con otras comunidades, en llanuras de clima casi siempre cálido y en tierras de baja altitud. Las palmas son plantas que han sido aprovechadas por el hombre de diversas maneras: por sus frutos y semillas comestibles (cocos y dátiles), para la extracción de grasas (de coco y otras), la construcción (principalmente para techos) y el tejido de sombreros, bolsas y adornos varios. El ‘apachite’ (Sabal mexicana) presente en el Golfo, produce el delicioso palmito comestible. La ‘palma real’ (Sabal sp.) es una de las más comunes en algunas regiones de México como Chiapas y Quintana Roo y llega a ser un árbol de más de 25 metros de alto. Otras especies importantes son Brahea sp. (palma de sombrero) en Oaxaca y Michoacán y, un poco más escasas, Washingtonia sp. y Paurotis sp. (tasiste) en Yucatán.

38

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

Con esta contribución finaliza la serie que hemos denominado “El mundo de las plantas”. Deseamos que con ella los maestros hayan podido acercarse al conocimiento de un reino tan diverso y tan importante como es el vegetal, hayan podido conocer, someramente por supuesto, la maravillosa diversidad florística de nuestro país, así como la necesidad urgente de conservación de uno de los recursos naturales más importantes que tenemos.

El hombre dependió y dependerá siempre de la naturaleza, pues de ella recibe alimento, vestido, habitación y todo lo que necesita. El ser humano es capaz de transformar y crear cosas maravillosas, pero eso no lo vuelve independiente de su entorno natural. En particular, la vegetación contribuye a mantener el equilibrio de la atmósfera y del agua, a prevenir inundaciones, así como la erosión y sus terribles consecuencias. No es gratuito que desde los albores de la humanidad el hombre haya adorado a las plantas como fuente de recursos y por su belleza.

Consideramos que todo maestro debe resaltar ante sus alumnos la importancia del recurso florístico, para que ellos sean, a su vez, los defensores de nuestros bosques y praderas, de la grandísima diversidad de plantas y que sepan que no hay organismos inútiles en el universo, aunque el hombre, en su afán antropocéntrico, clasifique todo de acuerdo con la utilidad que le brinda a su propia especie. Es importante que maestros, niños y jóvenes sean soldados en la defensa de toda forma de vegetación, y de vida, que enseñen que no cuidar los recursos llevará indefectiblemente al hombre a ser cada día una población más pobre y marginada.

Certidumbres e incertidumbres

Enfoque integral para la enseñanza de la matemática en secundaria Daniel Lira Olivares

Se propone un enfoque o esquema integral de cuatro ejes para la enseñanza de la matemática en secundaria. La metodología actual de su enseñanza privilegia la solución de problemas. Se considera que la solución de problemas es la etapa más alta del quehacer matemático (Gagné, 1985), tanto en el aula como fuera de ella; sin embargo, son diversas las circunstancias que no permiten llegar a tales niveles. Hay ciertas exigencias cognitivas en el aprendizaje (Anthony Orton, 1996) de la matemática, que quizá se hallan descuidadas, tales como la memorización y la retención, el aprendizaje de algoritmos, el aprendizaje de conceptos del lenguaje matemático y la propia solución de problemas matemáticos. En la presente disertación no se hace una crítica a los contenidos actuales de los planes y programas de matemática, más bien a una forma de abordar o enseñar dichos contenidos.

Situación actual La enseñanza de la matemática en secundaria se enfoca en los estudios que realizó George Polya en 1945 sobre los procesos de resolución, que derivan en cuatro pasos generales para resolver los problemas: comprender el problema, concebir un plan, ejecutar el plan y visión retrospectiva.

La solución de un problema de matemática se debería entender como el generador de un procedimiento mediante el cual el alumno combina sus conocimientos previos, reglas, algoritmos y conceptos para llegar a la solución de una situación nueva.

En los enfoques propuestos por el Libro del Maestro de Matemáticas de Secundaria (1996) se pretende que el alumno adquiera seguridad en el empleo de técnicas y procedimientos básicos

mediante la solución de problemas, que reconozca los aspectos que componen dicho problema, que identifique situaciones análogas y que adopte una estrategia adecuada para llegar a la solución.

La estrategia didáctica que subyace en la solución de problemas en secundaria, aparte de las distintas fases expuestas por Polya, es de corte constructivista y cognitivista pues los textos oficiales suponen que el sujeto que aprende pone en marcha ciertas estructuras mentales o esquemas cognitivos en la solución, a la vez que intervienen experiencias previas y nociones conocidas que al ser utilizadas permiten la asimilación.

La pregunta es: ¿Cómo llega un alumno a resolver un problema matemático y asimilarlo (en términos piagetianos) si carece de ciertos

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

39

Enfoque integral para la enseñanza de la matemática en secundaria

esquemas cognitivos y de experiencias previas?

La respuesta pudiera ser que “la solución de problemas no es un enfoque” (Eduardo Mancera, 1996) de enseñanza de la matemática. Es el centro de la actividad matemática. Pero una mala estrategia didáctica parece pretender que mediante la insistente solución se aprenden nuevos conocimientos, nuevas reglas, algoritmos y conceptos del lenguaje matemático. Parece que dicha estrategia de enseñanza está ‘al revés’, primero se resuelve y luego se aprende, de esta manera lo que más se logra es que el alumno memorice la metodología que le ayude a resolver problemas, sin que se le enseñe que esa metodología es general y aplicable a otros problemas.

Por su parte, Mayer (citado por Echeverría, 1998) menciona que los pasos descritos por George Polya se reducen a dos grandes procesos: la traducción y la solución, donde no sólo es necesaria la puesta en marcha de reglas y pasos más o menos ordenados, sino que el proceso de solución exige que una persona comprenda y traduzca la situación problemática a una serie de expresiones y símbolos matemáticos; es decir, la solución de un problema exige “la utilización de un lenguaje matemático que permita interpretar la realidad circundante” (Mayer, 1986) para posteriormente hacer uso de hechos, técnicas y destrezas.

Luego, entonces, se proponen tres ejes de enseñanza concretos y objetivos previos a la solución de problemas de matemática, que incluyen este último como un eje más, formando así cuatro ejes para la enseñanza de la matemática en secundaria.

Las actividades como la memorización, el aprendizaje de algoritmos y el aprendizaje de conceptos son comúnmente desarrolladas con los alumnos desde el nivel de educación primaria y quizá, incluso, desde el preescolar, mas no se cae en la cuenta de que también son útiles e

40

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

importantes en niveles superiores de enseñanza y, sobre todo, son necesarios para alcanzar los propósitos planteados por los planes y programas oficiales.

Situación deseable Son diversos tanto los autores como los intentos por clasificar las conductas y las actividades mentales inmersas en el aprendizaje de la matemática. Por ejemplo, Richard Skemp (1993) examina los procesos que hay que adoptar al operar con matemática, tales como: la formación de conceptos matemáticos, la idea de un esquema, el comportamiento inteligente, el uso de símbolos y los factores emocionales e interpersonales.

George Polya (1945), por su parte, examina los proceso heurísticos y no axiomáticos de resolución de problemas e influye en el diseño de un esquema general de resolución de cuatro pasos y aplicable a diversas áreas.

M. L. Brown (1979) cita cuatro tipos de aprendizaje matemático, a saber: la memorización simple, el aprendizaje algorítmico, la formación del lenguaje y la resolución de problemas.

Este último esquema es motivo de atención pues señala con toda prontitud las estrategias de enseñanza que bien se pueden aplicar por razones que se exponen a continuación.

Es oportuno señalar que actualmente se adoptan cuatro ejes para la enseñanza de las asignaturas de español y lengua extranjera en secundaria, lo que representa un enfoque integral y equilibrado, pues en experiencias anteriores se privilegiaba el análisis estructural y se descuidaban otros aspectos que fomentan el uso de la lengua. Por esta razón se proponen cuatro ejes en los nuevos planes y programas de educación secundaria (SEP, 1993) para la enseñanza de dichas asignaturas.

Paradójicamente, en la enseñanza de la matemática se han descuidado tres ejes muy importantes: la memorización, el aprendizaje de algoritmos y la formación de conceptos del lenguaje matemático, y se estimula únicamente la solución de situaciones problemáticas.

No necesariamente se deben establecer cuatro ejes para la enseñanza (al igual que en español y lengua extranjera). Por eso se han señalado las conductas y las actividades mentales propuestas por Skemp y Polya; simple y sencillamente se proponen cuatro ejes porque se hallan fuertemente ligados en el proceso de aprendizaje (Orton, 1996) de la matemática.

Retención y memoria Se pretende que los alumnos desde edades muy tempranas sean capaces de memorizar distintas cualidades y características que le son propias a la matemática, por ejemplo: • Palabras (cateto, isósceles, factor, longitud, etcétera).

• Símbolos (+, %, <, _ , √, etcétera).

• Fórmulas.

• Reglas (uso de los símbolos de agrupación, jerarquía de las operaciones, etcétera).

La memorización no se debe entender como poderes que son mejorados con la simple ejercitación de hechos, conceptos o algún material de manera arbitraria y sin sentido. Ahora el valor del ejercicio estriba en la significatividad (Ausubel, citado por Ontoria y Cols., 2000) y relevancia del material por memorizar.

Las investigaciones de varios psicólogos han concluido que poseemos memoria a corto plazo y memoria a largo plazo. Ciertamente, los profesores de matemática necesitamos que nuestros alumnos hagan memorización a largo plazo

junto con una inmediata memorización. La dificultad radica en cómo conseguirlo.

La retención y la memorización son más fáciles si lo que se ha aprendido es significativo en relación con la estructura de conocimientos ya existentes en la mente (Orton, 1996) del que aprende. La pregunta que subyace en esta proposición es: ¿Qué se puede hacer por los alumnos que no tienen ciertas estructuras de conocimiento? Quizá la clave en este cuestionamiento pudiera radicar en la memorización de símbolos y palabras de matemática, en una primera fase.

El caso de las relaciones de orden de los números y la ley tricotómica es interesante pues los símbolos y las palabras —propios del lenguaje matemático— son en cierta forma arbitrarios y por eso deben aprenderse memorísticamente. De igual forma, las demostraciones geométricas de los teoremas contienen muchos signos y palabras que también deben memorizarse.

El significado de las palabras por memorizar se halla en las relaciones del contenido y el objetivo de una unidad temática. Por ejemplo, la relación de orden y las demostraciones geométricas con las palabras y signos que estos temas conlleva. En resumen, la enseñanza de la matemática frecuentemente requiere del lenguaje especial que para ella se ha estructurado y, en ocasiones, se tiene que recurrir a la memorización.

No todo el aprendizaje de los conceptos debe ser por memorización, más bien hay un conjunto de símbolos y palabras que requieren este tratamiento. Otras palabras y expresiones del lenguaje matemático requerirán diverso tratamiento; pero esto se apuntará más adelante.

Otra de las circunstancias del uso de una palabra es que en ocasiones se precisa memorizar, con anterioridad, otra; por ejemplo, la palabra

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

41

Enfoque integral para la enseñanza de la matemática en secundaria

triángulo y la importancia de su significado en las propiedades del mismo requiere de la memorización previa de la palabra ángulo.

Los símbolos matemáticos requieren todavía más del aprendizaje memorístico. Éste se logra por discriminación o mediante contraejemplos (Skemp, 1993).

En general, son diversas las formas de promover el aprendizaje memorístico. Existen recursos iconográficos, como estilos de caracteres, colores distintos, la colocación resaltada de ciertos elementos y las notas resumidas. Además, la frecuencia de los ejercicios, por ejemplo las operaciones aritméticas y la repetición tanto escrita como oral son muy importantes en la memorización.

Durante el aprendizaje de la matemática —y sobre todo en primer año de secundaria— parece inevitable el aprendizaje memorístico (Brown, 1979) o por simple asociación.

Otro problema importante con el uso de algoritmos es que se enseñan demasiado pronto, antes de percatarse de su necesidad. Por ejemplo, enseñamos a resolver una ecuación mediante un algoritmo cuando bien pudo ser resuelta por tanteo.

Como en muchos aspectos del aprendizaje de la matemática, resulta difícil hallar un término medio entre la importancia o no de enseñar algoritmos, pues por un lado se han citado las dificultades que esto trae consigo pero por otro se destaca su importancia, por ejemplo, en la simple resolución de problemas en la escuela y fuera de ella. Podemos ver esto en los casos de la adición (mecánicamente si se quiere señalar así) de los artículos de una tienda, de la resta de los gastos de los ingresos de una familia, del cálculo de una superficie, etc.; y tantos otros casos donde finalmente se emplean algoritmos.

Aprendizaje de algoritmos

Aprendizaje de conceptos

Los profesores interesados en el aprendizaje de la matemática se abocan a enseñar por el empleo de algoritmos; para ejemplificar lo anterior se citan algunos casos:

Resulta amplia la investigación que se ha desarrollado recientemente entre los aspectos de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática y su relación con el manejo del lenguaje propio de esta ciencia.

Los casos de semejanza, simplificación y operaciones de fracciones y su relación con el concepto de fracción común, así como la dificultad de aprender estos temas si no se ha aprendido este concepto, han sido descritos brillantemente por Beyer (1998) en sus estudios con jóvenes de secundaria en Venezuela.

Otra investigación que recientemente se hizo sobre temas de álgebra es la descrita por Sonia Ursini (1994) que demuestra con toda certeza la importancia del concepto de variable para tratar ecuaciones y funciones.

• Multiplicación de enteros con decimales.

• Raíz cuadrada (método tradicional).

• Adición y sustracción de fracciones.

• Ecuaciones lineales.

Ciertamente, el empleo de algoritmos requiere de la memoria, pero aquí los alumnos deben recordar un procedimiento paso a paso (Orton, 1996). Algo preocupante en el empleo de algoritmos es que lo que los profesores esperan que sus alumnos recuerden y usen carece de significado para éstos y a veces resulta sumamente irrelevante.

42

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

Los conceptos describen una regularidad o relación dentro de un grupo de hechos y son designados por un signo o símbolo (Novak, citado por Orton, 1996). Esta definición pudiera entenderse retrospectivamente, es decir, reflexionando sobre el concepto y su empleo implícito. Por ejemplo, para el concepto de paralelismo como dos líneas rectas que no tienen un punto en común o que nunca se cortan, se emplea el símbolo y.

Skemp (1993) ilustra el modo en que aprendemos conceptos con el ejemplo de un adulto nacido ciego y que mediante una operación logra el sentido de la vista; el autor dice que no existe modo alguno de enseñar (y aprender) el concepto de rectángulo por medio de una definición; solamente señalando objetos con esa forma el sujeto aprenderá por sí mismo la propiedad que es común a todos esos objetos.

En esa misma obra Skemp dice que el aprendizaje de conceptos también se logra (citando el mismo ejemplo del hombre ciego) con noejemplos o contraejemplos; así, los objetos, las formas y las figuras que no contrastan con la idea de rectángulo ayudarían a aclarar el concepto.

Como se ha intentado decir, los alumnos no siempre aprenden los conceptos por definiciones, pero es útil hacerse de un buen diccionario de matemática o una enciclopedia de matemática (que por cierto no hay muchas en español), principalmente el profesor, y si es posible también los estudiantes, para entrenar el repertorio de conceptos propios del lenguaje matemático.

Los conceptos de función, variable e identidad en trigonometría son difíciles de aprender y quizá la mejor forma de enseñarlos es por el empleo de funciones (por ejemplo), sin tratar de definir su significado de un modo abstracto (Orton, 1996). Así, mediante la manipulación

constante de éste y otros conceptos, se puede llegar a una definición más formal o abstracta en los casos que mejor ejemplifiquen tal o cual concepto matemático.

Algunas ideas o conceptos pueden ser más abstractos que otros y por lo tanto más difíciles; Skemp (1993) indica al respecto que el concepto de fracción (corrientemente llamada quebrado) es mucho más difícil de lo que se ha creído y el concepto de conjunto es mucho más fácil. Por ello, es importante tener cuidado al tratar sobre ideas matemáticas abstractas.

El principal responsable de una definición en matemática es el profesor, porque él comunica el conocimiento matemático. Por su parte, la investigación va precisando ciertas ideas. Por ejemplo, el número uno se incluía como número primo y hoy se excluye de tal definición.

Resolución de problemas Este eje se propone como la consecución de los tres anteriores y como un eje en sí mismo durante la enseñanza, pero nunca ajeno a los tres ejes vistos con anterioridad (de otro modo no se hubieran escrito estas ideas).

Una situación que implique la resolución de un problema no es la lista de ejercicios que se propone a final de un capítulo o al concluir un tema en algunos de los textos de matemática. Sí son importantes los ejercicios en términos de repetición y como forma de promover la memorización, pero aún no alcanzan ese carácter de problemas.

Las situaciones que requieren que los alumnos apliquen sus conocimientos matemáticos a situaciones reales o que surgen en la vida cotidiana y que por ende conllevan a la solución de problemas, podrían llamarse así: problemas de matemática.

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

43

Enfoque integral para la enseñanza de la matemática en secundaria

Puede afirmarse que el objetivo de la memorización, del aprendizaje de algoritmos y el aprendizaje de conceptos es permitir al alumno operar con la matemática y por lo tanto resolver problemas (Orton, 1996).

Los problemas no son rutinarios; cada uno conforma en mayor o menor grado algo novedoso para el alumno.

La solución eficaz depende de los conocimientos (memoria, algoritmos y conceptos) que posea un alumno y de las redes que pueda establecer entre estos conocimientos, las destrezas de las que nos habló Polya y su utilización.

Se sabe que ‘dar vueltas al problema’ en la mente, probar líneas de investigación y utilizar así toda una gama de herramientas y métodos pueden resultar apropiados para el alumno.

Orton (1996) sostiene que la solución de un problema puede llegar después de un tiempo o de cierto alejamiento de éste, “como si el subconciente, libre ya de los apremios de los intentos conscientes por resolverlo, siguiera experimentando con combinaciones de elementos” de esa base de conocimientos que tanto se ha dicho y que en definitiva se deben atender antes de enfrentar una situación problemática.

Bibliografía BROWN, M.L. Cognitive development and learning of mathematics. London, England: A. Floyd, 1979.

ECHEVERRÍA, P. M. La solución de problemas en matemáticas. En Pozo, J. I. Domínguez, J. Postigo,Y (Comps.), La solución de problemas (pp. 60 – 65). México: Santillana, 1998.

GAGNÉ, R. M. Las condiciones del aprendizaje. México: Interamericana, 1985.

MANCERA, E. Secretaría de Educación Pública (Productor). La enseñanza de las Matemáticas en la escuela primaria. [Audiocinta Vol. 3].

México: SEP., 1996.

MAYER, R. E. Pensamiento, resolución de problemas y cognición. Barcelona: Piadós, 1986.

POLYA, G. How to solve it. (2nd. ed.).Princeton: Princeton University Press, 1945.

ONTORIA y Cols. “Construcción del conocimiento desde el aprendizaje significativo – cognitivo”. En: SEP (comp.) La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria. (pp. 199 – 202) México: SEP, ProNAP, 2000.

ORTON, A. Didáctica de las matemáticas. (2a. ed.). Madrid: Morata, 1996.

SEP, Planes y programas Secundaria. México: Autor, 1993.

SEP. Libro para el Maestro, Matemáticas Educación Secundaria. México: Autor, 1996.

SKEMP, R. Psicología del aprendizaje de las matemáticas. (2a. ed.). Madrid: Morata, 1993.

44

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

Artistas y artesanos

Nacimiento del idioma español en la roca cántabra* Adolfo Hernández Muñoz

E

l español es un idioma heredero del latín, a medias con las fablas celtas e ibéricas, decantado en los roquedales cantábricos hasta hacerse lengua. En su depuración tienen que ver largas estancias en monasterios eruditos como el de San Millán de la Cogolla (escenario —en recientes épocas— de fechas memorables para el idioma), hasta llegar a las inmensas, planas y doradas mesetas castellanas.

Idioma directo, recio, musical, con hallazgo de bellezas por donde roza la grandeza. Es el español, que se vuelve ultramarino y señorea en gran parte de América y después de maridajes con los mayas y aztecas en México y con los incas en Sudamérica, llega hasta Oceanía donde convive con los tagalos filipinos y con los micronesios de Guam.

Esto es, la lengua se vuelve internacional con múltiples ecos en todas las latitudes.

Goza de hegemonía en España, donde lucha por su supremacía con algunos rivales gigantes como el gallego —madre del portugués— que hace siglos fue serio oponente del castellano en la corte de Alfonso, el Sabio. También en los litorales españoles están el éuscaro, que señorea en sus valles vascos, y el catalán, con prolongaciones levantinas y mallorquinas (incluso en la isla italiana de Cerdeña). Pero la importancia de estas lenguas periféricas no disminuye la catadura del castellano, curtido en grandes mesetas, inmensos océanos, ríos y altas y largas cordilleras. Fue un rico caldo de mestizaje, influido por todas las

fronteras, tanto propias como extrañas. En la Península fluían hablas de todo linaje y como en casa propia, el árabe, el hebreo y las irreconocibles —pero que sobrevivían— de dialectos milenarios ya en lucha contra el habla del imperio: el latín. Así, mozárabes y toscos campesinos daban vida a un luminoso castellano que arrebató a todo el centro de la península en incontenibles secuencias, imágenes llenas de música y poesía.

Durante siglos las lenguas se enlazaron a ratos y otras se mantuvieron en rebeldía. En esos lapsos, el castellano fue cobrando brío, colorido y certeza. Ve acrecentada su cosecha: además del románico esencial se nutre de varios vientos, se enriquece. Sabe amar, sabe protestar; en suma, toma su forma original.

Hasta el año 1948 se decía que nuestra literatura comenzaba con el épico Poema del Cid. Investigaciones posteriores han dado, de repente, un rayo de luz sobre la noche y la literatura se ha hecho un siglo más vieja. Dámaso Alonso nos indica: Y ya no empieza épica; ahora comienza encantadoramente lírica, con unas sencillísimas canciones de mujer enamorada. Y la primera lírica conocida ya no es la provenzal, sino estas recién descubiertas jarchas mozárabes españolas. Una serie de felices casualidades ha hecho posible que llegue a nuestras manos el emocionante tesoro.

Cultos poetas hebreos y árabes (los más antiguos

* Este artículo forma parte de la serie titulada El castellano: acerca de sus venturas y desventuras, que dio inicio en los números 59 y 60 y de la que, en números posteriores se publicarán otros ensayos.

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

45

Nacimiento del idioma español en la roca cántabra

ALATORRE, Antonio. Los 1001 años de la lengua española.

Fundación Cultural Bancomer, 1979.

hebreo. La muwassaha concluye con una estrofa de dos o cuatro versos llamada jarcha. Hay muchas mujeres heridas de amor:

Miniatura del Libro de los juegos de Alfonso el Sabio. Biblioteca del Escorial.

del siglo XI) pusieron en cierto tipo de composiciones una jarcha o estrofilla final escrita no en hebreo o en árabe, como el resto del poema, sino en el dialecto español que hablaban los mozárabes.

Tales estrofillas, evidentemente, las tomaban de una tradición oral, cantada y viva. Lo mismo que en el siglo XVIII vemos que varios poetas glosan cada uno de un modo distinto un mismo cantar viejo, estos poetas árabes y judíos toman a veces una misma jarcha, como estrofilla final, cada uno, para su propia poesía; y en ocasiones son poetas que vivieron en épocas muy distintas...

Estos hallazgos, a los que alude Dámaso Alonso, tienen su primicia en un investigador norteamericano, S.M. Stern, que comunicó su hallazgo a través de la revista Al-Andalus en el año 1948. Y, ¿qué es la voz árabe de ‘jarchas’?

Los diccionarios más o menos buenos nos dirán puntualmente que son breves canciones, de dos a cuatro versos fechadas hacia 1040 y compuestas en dialecto mozárabe. Representan la poesía lírica más antigua conservada en lengua románica.

En realidad no son sino el final o estribillo de las muwassahas árabes o hebreas. Su temática amorosa las ha hecho relacionar con las cantigas de amigo. Y, ¿qué es la muwassaha? Es el término con que se conoce una forma poética que integran cinco o seis estrofas en árabe clásico o

46

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

Al alba venid, buen amigo, al alba venid.

Amigo el que yo más quería, Venid al alba del día.

Amigo el que yo más amaba, venid a la luz del alba; venid a la luz del día, no traigáis compañía; venid a la luz del alba, no traigáis gran compañía

Hay visiones bucólicas, música en las ramas: De los álamos vengo, madre, de ver cómo los menea el aire.

De los álamos de Sevilla de ver a mi linda amiga de ver cómo los menea el aire.

De los álamos vengo, madre, de ver cómo los menea el aire.

Algunas de estas delicias datan del siglo XI, pero en el XIII el género se agrandó con composiciones predominantemente narrativas, tradicionales y anónimas con un número variable de versos octosílabos, asonantados los pares y sin rima los impares. Derivaban de los cantares de gesta. Destacan: Don Rodrigo y la pérdida de España, Los siete infantes de Lara, El Cid. Hacia la segunda mitad del siglo XV el romance se pone de moda en los medios cortesanos y los juglares abordan nuevos temas (es el germen de la futura novela): los romances ‘fronterizos’ que relatan incidentes de la guerra de Granada entre moros y cristianos, donde no faltan los moros ‘galantes’; hacia 1580 están en liza los ‘romances nuevos’ de tema bucólico o amoroso. Surgen gigantes como Lope de Vega y Góngora, pero antes está Alfonso el Sabio (reina entre 1221 y 1284). Son 63 años densos en ba-

1) Obras jurídicas: Las siete partidas (1256-1265), precedidas por el Fuero Real (código general y transitorio) en las que colaboraron Jacobo el de las Leyes, Fernando Martínez y Roldán, quienes aportaron un nuevo concepto absolutista (atribución regia de la facultad legislativa) fundándose en el derecho romano justiniano. Constituyen asimismo un tesoro etimológico y semántico. ¿Poder real sin objeciones?

2) Obras históricas: Crónica General de España, intento de historia de España —iniciado en 1270— con inclusión de prosificaciones de varios cantares de gesta y que a la muerte del monarca alcanzaba hasta los últimos tiempos de los visigodos. Mas, no para ahí la cosa: en visión enciclopédica ordena el estudio y el ordenamiento de una General e Grand Estoria, intento de historia universal iniciado hacia 1272, con inclusión de prosificaciones y documentos

enciclopédico. Barcelona, 1994.

SALVAT, Diccionario

tallas, cabildeos y con caminos culturales brillantes. Enumeraremos alguno de ellos. Es una relación que no tiene parangón en la historia europea de la época.

Alfonso X es, ante todo, un estadista que aspira a gobernar Europa por medio del Sacro Imperio Romano, como pretendiente del trono de la Alemania de aquellas épocas y no lo logra a pesar de que no pestañea en imponer gabelas onerosas a sus súbditos. Nos interesa su intensa y no igualada labor cultural en un medio inhóspito, donde finalmente fue depuesto en Valladolid por una junta de nobles y prelados.

Sus fracasos políticos no opacan su brillante desempeño cultural que tiene dos grupos esenciales: la propia Toledo —capital del reino—, Sevilla y Murcia, donde se congregaron numerosos sabios de distintos orígenes religiosos y especialidad. Su labor se concreta en los siguientes apartados:

Alfonso X el Sabio con su esposa e hijo (tumbo de Tojos Ouros).

diversos del mundo conocido hasta esa fecha.

A la par, inicia la publicación de obras científicas, con base en traducciones y adaptaciones, principalmente de fuentes orientales, entre los que cabe destacar: Los libros del Saber de Astronomía, Las Tablas Alfonsíes (según la tradición ptolomaica a través de los astrónomos árabes) y el Lapidario (tratado incompleto con la descripción de gran número de piedras preciosas y cuyo antecedente parece ser una Mineralogía apócrifa de Aristóteles). En el apartado deben incluirse obras de carácter recreativo como el libro de Axedreç (Ajedrez), dados e tablas (1283).

En el capítulo de obras poéticas debe incluirse al propio Alfonso, que es autor de unas treinta poesías insertas en los cancioneros gallego-portugueses (Vaticana, Colección Brancuti) y, sobre todo, las Cantigas de Santa María, colección de 420 composiones en lengua gallega. También se le debe la publicación de una serie de apólogos orientales (fábulas) fechada en 1251 y cuya traducción del árabe —texto de origen indio— se atribuye a la iniciativa personal del rey Alfonso desde antes de su coronación. Es un testimonio de la penetración del cuento oriental en tierras hispanas y del influjo que este fabulario produjo en la posterior elaboración de Don Juan

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

47

Nacimiento del idioma español en la roca cántabra

El doctor Marco A. Botey ha escrito un estudio sobre el lingüista y humanista Elio Antonio de Nebrija del que extraemos algunos datos históricos:

SALVAT, Diccionario

enciclopédico. Barcelona, 1994.

Es la primera gramática de una lengua romance y se adelanta treinta y siete años a la gramática italiana de Trissinio, cincuenta y ocho a la primera francesa de Louis de Meigret y cuarenta y cuatro a la Lingoagen Portuguesa de Fernando de Oliveira.

Detalle de una página de Las Cantigas de Santa María, siglo XIII.

Manuel, el Arcipreste de Hita, en la formación de la prosa didáctica novelesca en la Península.

Como colofón debemos citar el Septenario (recopilación del saber medieval).

Dos siglos más tarde, cuando el romance señorea las tierras ibéricas y las naves colombianas iban camino de cambiar la historia, sucede un hecho trascendental: la aparición de la Gramática Castellana de Elio Antonio de Nebrija, primera completa sobre una lengua derivada del latín. Han transcurrido más de cinco siglos desde la edición príncipe, el 18 de agosto de 1492. El propósito de Nebrija era, según el prólogo que presentó a la reina Isabel la Católica, fijar normas para dar al idioma mayoritario en los dominios de Castilla la consistencia y uniformidad que necesitaba, así como facilitar y unificar su aprendizaje en los dominios de España.

Poco podía imaginar que su Gramática Castellana, que antecedió en varias décadas al primer texto similar editado en Francia, iba a servir como instrumento para el arraigo de esa lengua en un continente aún desconocido.

48

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

El año 1492 es clave. En él ocurre la integración de España y su imperio colonial: cae Granada, Colón descubre el Nuevo Mundo; se consigue la unidad religiosa con base en una mancha intolerante: la expulsión de los judíos, que se llevaron a su salida un dialecto del castellano destinado a perdurar: el sefaradí.

Elio Antonio de Nebrija publicó no tan sólo su Gramática sino el Diccionario Latín-Español, vocabulario que vio la luz en 1492, también en Salamanca. Nebrija sometió su Gramática a la Reina Isabel la Católica y a su consejero, el cardenal Cisneros.

Recordemos [nos dice el acucioso doctor Botey] que esta Gramática ve la luz el 18 de agosto de 1492, cuando Colón, quien había zarpado de Palos de Moguer el 3 de agosto, estaba a punto de llegar a Gomera, en las islas Canarias, y antes del 12 de octubre, día del descubrimiento.

Ante la pregunta de Isabel de que esa Gramática “para qué podía aprovechar”, el obispo de Ávila, compenetrado al igual que Nebrija en la idea de que Alejandro y César habían reencarnado en los Reyes Católicos señala: …que después que Vuestra Alteza metiese debajo de su yugo muchos pueblos bárbaros, ¡naciones de peregrinas lenguas! con el vencimiento, aquellos tendrían necesidad de recibir las leyes que el vencedor pone al vencido, con ellas nuestra lengua.

enciclopédico. Barcelona, 1994.

SALVAT, Diccionario

Elio Antonio de Nebrija (Aelius Antonius Nebrissensis), cuyo verdadero nombre era Antonio Martínez de Cala y Jarava, nació en el sur de España, en Lebrija, entre 1440 y 1445. Fue un prohombre del Renacimiento y el Humanismo Español. De su tierra natal pasó a Salamanca, donde residió cinco años y, a los diecinueve de edad, fue a Bolonia, donde aprendió griego, latín y hebreo con el maestro Guillamate.

En 1492 publicó su Gramática y su Diccionario.

Escribió por encargo del cardenal Cisneros, con otros autores, su Biblia Políglota (1514-1517).

En 1503 fue catedrático de gramática y en 1509 de retórica, en Salamanca. Publicó mucho.

Su Gramática acerca de la “Ciencia de hablar y escribir de hombres doctos”, se ocupa en detalle de las reglas gramaticales y las partes de la oración (“el artículo es esa partecilla que sirve para señalar el género”). Fue de gran provecho para los escritores españoles del siglo XV y XVI: Juan de Mena, Enrique de Villena, Alfonso Martínez de Toledo, Arcipestre de Talavera, Marqués de Santillana, Jorge Manrique, Diego Fernández de San Pedro y Fernando de Rojas.

Y ahora pasemos al Cancionero y reseñemos que las colecciones antiguas más importantes de romances viejos son: el Cancionero de Fernández de Constantina (principios del siglo XVI); el Cancionero General de Hernando del Castillo (1511), Romancero General (1600). Muy importante, la contribución de los eruditos románticos: Herder popularizó el Romancero del Cid (1815) y Agustín Durán su Romancero General (1828-1829) completado luego por Wolf y Menéndez y Pelayo. Menéndez Pidal, maestro de estos estudios, ha emprendido la edición de un vasto romancero español y Rodríguez Moñino ha publicado una cuidada edición del Romancero General del 1600 en 12 volúmenes.

Debemos, indudablemente, referirnos al Mester de clerecía, escuela poética que floreció entre los

Detalle de la portada de una edición del Mio Cid (Medina del Campo,Valladolid, 1552).

siglos XIII y XIV. El término, usado por vez primera en el Libro de Alexandre, significaba ‘ministerio u ocupación de hombres cultos’. Aunque por muchos conceptos contrapuesto al Mester de juglaría, compartía algún rasgo del arte de los juglares. Así, por ejemplo, es frecuente que los autores se denominen a sí mismos —no sin cierta modestia— juglares, y los poemas de clerecía no se destinaban exclusivamente a letrados, sino que eran objeto de recitación pública.

Con todo, el Mester de clerecía posee características claramente distintivas. En primer lugar, su forma métrica (cuaderna vía o cuartetas de alejandrinos monorrimos) manifiesta un propósito culto de regularidad silábica.

La temática es preferentemente religiosa (Berceo), el Libro de Apolonio, el Libro de Alexandre, el Libro de Fernán González, y algún fragmento de la Crónica troyana; en el siglo XIV el Libro de Buen Amor del Arcipreste de Hita, la Vida de San Ildefonso, el Poema de Yucuf y el Rimado de Palacio del canciller de Ayala. Cuando este último componía su poema, a fines de siglo XIV, tal escuela estaba ya anticuada (“versetes de antiguo rimar”) y en vías de desaparición.

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

49

SALVAT, Diccionario

enciclopédico. Barcelona, 1994.

Nacimiento del idioma español en la roca cántabra

Portada del Grammaticae introductiones de Antonio de Nebrija, edición de Granada, 1500.

ALATORRE,Antonio. Los

1001 años de la lengua española. Fundación Cultural Bancomer, 1979.

Por su parte, el Mester de juglaría, que agrupa cantares de gesta castellanos, populares y anónimos (anterior y contrapuesto al Mester de clerecía), era de tradición oral y se recitaban en salones nobles o en plazas públicas. En ocasiones, según el talento de los intérpretes, se ampliaban los textos: Mio Cid, unos cien versos del Cantar de Roncesvalles y el tardío —siglo XIV— Cantar de Rodrigo. Se habla de grandes pérdidas, mencionadas en otros documentos, como: La hija

Portada del Dictionarium de Antonio de Nebrija, Granada, 1544.

50

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

del conde don Julián, Sancho II de Castilla o Cerco de Zamora, Los siete infantes de Lara, Bernardo del Carpio, entre otros. Empero, de alguna manera, fueron rescatados o reconstruidos a través de posteriores prosificaciones en las crónicas medievales o del romancero antiguo. Se habla de influencias francesas, musulmanas e incluso Menéndez Pidal sugiere la germánica. No obstante, se señala que los cantares castellanos acusan un mayor realismo descriptivo y evitan recurrir a los elementos sobrenaturales, como solían otras literaturas de la época.

No podemos dejar de mencionar a dos gigantes de la filología e historia que se han adentrado en el estudio de nuestra rica literatura.

Sus métodos rigurosos daban a luz hallazgos de valía imperecedera. Primero, Marcelino Menéndez Pelayo (1856-1912). En él se aliaban el historiador, siempre documentado, y el crítico, de mayor ecuanimidad que la previsible, si se tiene en cuenta su ideología conservadora. Su empeño ordenador de la cultura hispánica, cuya unidad destacó excesivamente (lo que le llevaría a considerar como integradas en aquélla la hispanolatina y la semítica, la hispanoamericana y la portuguesa), ayudó a la labor posterior de otros gigantes de la lingüística como don Ramón Menéndez Pidal (1869-1968), eminente filólogo e historiador. ¿Qué decir? Director de la Revista de Filología Española, que fundó junto con Américo Castro, Federico de Onís, Navarro Tomás y A.G. Solalinde, en 1914. Surgió a la fama por el profundo estudio de La leyenda de los infantes de Lara, en 1896, y entre 1908 y 1912 acometió la hazaña del Cantar del Mio Cid, texto, gramática y vocabulario, una reconstrucción del viejo romance épico, clasificando pormenores paleográficos y lingüísticos hasta entonces oscuros, y finalmente, en La España del Cid (1929) valoró la significación histórica del héroe con un enfoque castellanista que lo emparenta con el grupo del 98.

enciclopédico. Barcelona, 1994.

SALVAT, Diccionario

A su dedicación por la épica responden también: La epopeya castellana a través de la literatura española (ediciones en francés y castellano en 1910 y 1945), Reliquias de la poesía épica española (1952) y La Chanson de Roland y el neotradicionalismo (1959).

Estudios monumentales lo orientaron a manuales de gramática histórica española, toponimia prerrománica hispana e incluso La lengua de Cristóbal Colón y otros ensayos (1942). Profundizó en Orígenes del Español (1926). Fue director de la Real Academia Española.

En resumen: la aportación a la lingüística e historia española de los dos Menéndez (Pelayo y Pidal) es inmensa y esclarecedora.

De esta guisa, cabe hacer un recorrido —rica veta— por los prohombres que han defendido el idioma con denuedo ejemplar. Así, Juan de Valdés, filólogo eminente allí por el siglo XV, que fue denunciado por motivos de heterodoxia a raíz de la publicación de su Diálogo de la doctrina cristiana (1529), especie de catecismo influido por las doctrinas de Erasmo, y que hubo de abandonar España, trasladándose a Nápoles. Todo en él confluye en un radicalismo místico y en un distanciamiento del catolicismo. En lo que a nosotros concierne, su más importante escrito desde el punto de vista literario es el Diálogo de la Lengua, no publicado hasta el 1737, obra clásica

Ramón Menéndez Pidal.

de la filología española en la cual, con encendida energía proclama: “Harto enemigo es de sí quien estima más la lengua del otro que la suya propia…” Debemos añadir que su buen hermano Alfonso de Valdés es considerado como la máxima figura del erasmismo español en su vertiente política.

Así, en el admirable concierto de lenguas europeas, surgió el castellano desde hace once siglos y sus ecos en mares y océanos le aseguran permanencia para goce y entendimiento de muchos pueblos.

Bibliografía ALONSO, Dámaso. Cancionero y romancero español, Salvat Editores, 1969.

ANÓNIMO. Poema del Mio Cid (Texto Antiguo preparado por Ramón Menéndez Pidal). La prosificación moderna del poema hecha por Alfonso Reyes. Colección Austral Espasa-Calpe, Madrid, 1967.

ARCIPRESTE DE HITA. El libro de buen amor. Diversas ediciones y estudios. Editores Mexicanos Unidos, 1997.

Enciclopedia Salvat.Tomos I, II, VII y Tomo IX, 1971.

BLECUA Alberto. Poesia Medieval Española, Salvat y Alianza, 1972.

BOTEY, Marco A.“Del Instituto Méxicano de Cultura y Sociedad Mexicana de Historia y Filosofía de la Medicina” (artículo de Noemi Atamoros-Excelsior, 17 diciembre, 1992.

Excélsior, México, 17 diciembre, 92.

FOULCHÉ-DELBOSC. Cancionero castellano del siglo XV. Poesía Medieval Española. “Juan del Encina”. Publicado por la Real Academia Española en facsímil, Madrid, 1928. Citado en de Alberto Blecua, Salvat y Alianza, 1972.

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

51

Sentidos y significados

Los americanismos en el DRAE Segunda parte María Isabel Hernández Guerra

E

l surgimiento de los americanismos y los sentimientos que ha generado su tratamiento por parte de los lexicógrafos, no ha seguido un camino en línea recta. A mediados del siglo XX, Vicente García de Diego escribió: El castellano sólo tiene conciencia defensiva frente a los grandes dialectos conservados, como el gallego o el catalán. Sobre los dialectos inconsistentes barridos por él y, en parte, solapadamente subsistentes, el castellano obra sin cautela, aceptando lo que encuentra.

Si llama la atención el uso de ‘degenerar’ y de ‘corrupción’ por parte de Alcedo, mucho más llamativo resulta, un siglo y medio después, que los diálectos subsistan “solapadamente”, que el castellano obre “sin cautela”, no tenga suficiente “conciencia defensiva” y ande “aceptando lo que encuentra”. Significativa prosopopeya. Ya en nuestros días, Manuel Alvar Ezquerra afirma que: …no sería de extrañar que en los próximos años vieran la luz obras lexicográficas con mayor número de regionalismos, en general, y de americanismos, en particular, desfigurando, tal vez, con tan abultada erupción, lo que es la verdadera cara de la lengua española; pero también es posible que se produzcan diccionarios acumulativos en los cuales sólo figuren empleos limitados diatópicamente.

Estas palabras se publicaron en 1993; pero la idea de que la “abultada erupción” de americanismos pudiera desfigurar “la verdadera cara de la lengua española” no parece obedecer a un sentimiento demasiado diferente del que movió a Juan de Valdés a dudar que Antonio de Nebrija entendiera realmente el castellano, por ser Nebrija “…de Andaluzía, donde la lengua no stá muy pura”.

En su Nuevo Diccionario de la lengua castellana (París, 1846), al mencionar el “habanero, chileno, mejicano, peruano…”, Vicente Salvá evitó, en el fragmento citado en la primera parte de esta colaboración —aparecida en el número anterior de esta revista—, el socorrido término de ‘americanismo’, con el cual no se sabe bien qué se está designando. Si fuera la etimología, ‘tomate’, ‘maíz’ o ‘chocolate’ son americanismos, así como ‘tiza’, del náhuatl tízatl; aunque curiosamente, México es el único país hispanohablante que no

52

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

LAROUSSE, Diccionario

enciclopédico. España, 1995.

emplea ese vocablo, pues aquí se usa ‘gis’. Si no está referido a la etimología, ‘americanismo’ debería designar aquellas palabras no generalizadas en otras áreas, pero sí en toda Hispanoamérica. No son muy numerosas.

El DRAE define ‘americanismo’, en la sexta acepción, como: “Vocablo, giro, rasgo fonético, gramatical o semántico peculiar o procedente del español hablado en algún país de América”. Éste ha sido el criterio aplicado al registrar como americanismos palabras de una región cualquiera, aunque sean incomprensibles en el resto de América”. Cuando el DRAE marca ‘frijol’ como americanismo, deja de lado el hecho de que en la mitad del continente esa palabra es desconocida; pero es coherente con la defi- Aguacate. nición que ha dado ya que se trata de un vocablo “del español hablado en algún país de América” (en este caso, en varios países). Puesta a cubierto la coherencia con su definición la Academia ha trabajado, no obstante, en la dirección correcta tratando de precisar el origen y el significado de los regionalismos que incorpora. En este sentido, la vigesimoprimera edición ha introducido numerosos cambios y, en general, acertados.

Tomaré como primer ejemplo la palabra ‘aguacate’. Es dificil de creer, pero fácil de verificar, que desde la primera hasta la decimonovena edición, el DRAE toma y reproduce, poco modificada, la definición de ‘aguacate’ aparecida en 1786 en el Vocabulario de Antonio de Alcedo: AGUACATE.

Laurus persea. Árbol que se manteniene todo el año frondoso y da el fruto dos veces; es parecido en el tamaño y color a la pera donguindo, con la diferencia de tener más prolongado el cuello, la médula es blanda y verde, semejante a la manteca y de sabor insípido, por lo cual se come con sal; la corteza es consistente como la de la naranja cuando está seca, el hueso es grande, de figura elíptica que remata en punta lisa y de color de castaño; restregando con ella un lienzo blanco le da un color acanelado permanente y fino; en el Perú se llama palta.

El DRAE, en ediciones anteriores a la actual, dice en la entrada ‘aguacate’: AGUACATE. Del mejic, ahuacatl 1. Árbol de América, de la familia de las lauráceas,

de 8 a 10 mts. de altura , con hojas alternas, coriáceas, siempre verdes, flores dioicas y fruto parecido a una pera grande, de carne blanda, mantecosa e insípida, por lo que se come con sal. 2. Fruto de este árbol.

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

53

SALVAT, Diccionario

enciclopédico. Barcelona, 1994.

Los americanismos en el DRAE II

Siendo los mexicanos muy aficionados al aguacate, esta definición los dejó sumamente insatisfechos y un periodista fustigó durante años a la Real Academia, especialmente por lo de “parecido a una pera” y el “sabor insípido”.

Por fin, en 1992, la nueva edición corrigió sus antiguos yerros. La actual entrada de ‘aguacate’ empieza por modificar la etimología, que aparece ya no “del mejic”, sino: “AGUACATE. Frutos de aguacate.

Del nahua ahuacatl, fruto del árbol del mismo nombre; testículo”. Además de cambiar la etimología (ahora “del nahua”), la nueva definición ha introducido un cambio importante: al finalizar la descripción del árbol, se dice simplemente que su fruto es comestible, sin calificar su sabor. Esta definición aparece en 1992, pero al publicarse el “Diccionario del español usual en México”, en 1996, Luis Fernando Lara insiste con la reivindicación del aguacate e incluye en la definición que es un “fruto comestible muy apreciado por su sabor, y con él se prepara el guacamole”. Aun cuando la definición de ‘aguacate’ del DRAE seguía a grandes rasgos la del Vocabulario de Alcedo, no se agregaba, ni se agrega ahora, el último dato de aquélla: “en el Perú se llama palta”. No obstante, en la más reciente edición del DRAE, se consigna el origen quechua de ‘palta’, indicando, además, la región que le corresponde: América Meridional.

Es evidente el progreso de la Academia respecto a los americanismos, progreso en el que marca un jalón importante la actual vigesimoprimera edición. Faltan aún precisiones de distinto tipo. En algunos casos se trata de extender la región y/o las acepciones según la región: por ejemplo, ‘cañada’, trae correcta la definición, así como la filiación correspondiente: “Arg., Par. y Urug.”, falta agregar que la misma palabra, en Chile, se aplica a una depresión del terreno por la cual no corre agua; ‘cocalero’ se atribuye sólo a Perú, se usa también en Colombia; ‘gofio’ y ‘entrevero’ aparecen con definiciones correctas, pero en la filiación falta un país: Uruguay, aunque sí figura Argentina. Pudo utilizarse, tal como se hace en ‘quilombo‘, la indicación “Río de la Plata”, con la que se busca designar ambos países. En realidad, las márgenes del río sólo abarcan algunas ciudades, entre ellas las capitales, pero los dos países tienen zonas con variantes lingüísticas de importancia; en el caso de Uruguay, en particular, por el habla de frontera en la franja cercana a Brasil; y en Argentina, por tratarse de un país muy extenso que aún alberga comunidades que conservan su lengua indígena provocando obvios fenómenos de contacto lingüístico. Por eso resulta más exacto mencionar ambos países (como se hace en el caso de ‘achuchar’), si

54

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

bien es un hecho conocido que las fronteras de los Estados no coinciden necesariamente con las áreas lingüísticas.

En ‘entrevero’; en la segunda acepción, el DRAE omite Uruguay, donde el significado es el mismo que en los demás países mencionados. ‘Gurí’ registra una primera acepción totalmente en desuso. Es actual la segunda.

Así como encontramos ejemplos en los que corresponde marcar una mayor extensión al uso, en otros casos le toca al DRAE restringir esa extensión.

‘Alverja’, no es una palabra conocida en toda América; en algunos países como en México se usa en su lugar ‘chícharo’, de la que el DRAE no consigna la región. Si así lo hiciera, con ello completaría las designaciones de lo que en España se llama ‘guisante’ y en América del Sur ‘poroto’, palabra de la que el DRAE se ocupa registrando correctamente su etimología, significado, área de uso, y hasta un fraseologismo: ‘apuntarse un poroto’. Sólo cabría agregar que el ejemplo del juego es en realidad el que origina el sentido figurado de esa expresión, ya que los jugadores marcan puntos ganados tomando porotos que van acumulando junto a su lugar. Y quien se precia de ser chileno, o desea enfatizarlo, dice ser ‘más chileno que los porotos’.

‘Arveja’ se usa alternadamente con ‘alberja’, y sin la nota de “silvestre” que le atribuye el DRAE. Sí existen palabras que son realmente americanismos y que en el DRAE aparecen como tales: ‘corte’, como ‘tribunal de justicia’ y ‘comedir’ o ‘ comedirse’ en la tercera acepción. De ‘ubicar’ aún no se consigna una extensión de sentido surgida y rápidamente difundida en América, la de ‘localizar’.

Siempre en relación con los americanismos, suelen sorprender las etimologías apuntadas en el DRAE: ‘gofio’, de origen guanche, aparece como usual en una serie de países americanos, precedidos de Canarias. No hay aquí incorrección alguna, si bien cabe preguntarse si es adecuado poner Canarias, territorio guanche hasta la llegada de los españoles, en pie de igualdad con los territorios americanos donde fueron los canarios quienes difundieron las voces de sus ancestros; lo cual ocurrió, por ejemplo, en Uruguay (no mencionado en el DRAE), cuya capital fue fundada por un grupo de familias canarias. Existen otras voces como ‘garúa’ y ‘boniato’, difundidas de la misma manera en Uruguay, aunque su etimología sea diversa. Los inmigrantes canarios, agricultores, también introdujeron en Cuba las voces ‘gofio’ y ‘boniato’. A este último vocablo la Academia le atribuye etimología caribeña, aunque Corominas rechaza la hipótesis de que sea una voz taína, reconociendo que no hay certeza sobre esta estimología. Lo cierto es que resulta poco probable que en 1726, año de la fundación de Montevideo, los canarios hubieran recogido esta voz en Cuba para luego difundirla en Uruguay. Los investigadores canarios de etimologías admiten la

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

55

Los americanismos en el DRAE II

dificultad de afirmar en algunos casos en qué sentido se dio el traslado de un vocablo. No puede asegurarse, por ejemplo, si ‘guagua’ es de origen canario y de allí se trasladó a Cuba, o si, inversamente, de Cuba se llevó a Canarias. Cabe señalar que ‘guagua’, con el significado de ‘ómnibus’, no se difundió fuera de dos islas de la órbita cubana: Puerto Rico y Santo Domingo. El DRAE la marca con “etim. disc.” En cuanto a la palabra ‘guagua’, que se usa en Chile con el significado de ‘bebé’, es de origen local y no está registrada en el DRAE. ‘Guarapo’, que aparece como americanismo en ediciones anteriores del DRAE, plantearía las mismas dudas que ‘guagua’, si en la última edición no se añadiera la precisión “quechua” (?). No es fácil de entender cómo una palabra del sustrato de la parte sur de América pudo desaparecer en la zona de la que es originaria y saltar hasta el Caribe y Canarias, únicas regiones donde es conocida, aunque el DRAE vuelva al antiguo y ambiguo “Amér”.

Dentro del gigantesco trabajo que lleva a cabo la Academia, otro punto interesante por conocer sería el criterio con el cual se determina la supresión de una entrada en la macroestructura. No hay duda de que los casos de mortandad léxica, aunque han generado menos estudios que los de neología, pueden ser explicados, a veces, con facilidad. No sucede así con la supresión de ‘gandola’ en las últimas ediciones del DRAE. Esta palabra aparecía como nombre de un arbusto de flores rojizas. En Venezuela, significa lo que en otras regiones de America se designa con el préstamo del inglés ‘tráiler’, el que, como tantos otros, es inútil ya que la lengua tiene recursos que pueden o no tener carácter general, para evitarlos.

Los datos de la parte de ‘Predicciones…’ (Primera parte) fueron tomados de Un millard de latins pour 1´an 2 000, publicado por la UNESCO. Las citas siguientes fueron tomadas de los trabajos de Manuel Alvar Ezquerra reunidos con el título de Lexicografía descriptiva: Antonio de Alcedo, pág. 320;Vicente Salvá, pág. 321; Eduardo Chao, pág. 346;Vicente García de Diego, pág. 313; Manuel Alvar Ezquerra, pág. 53.

56

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

Problemas sin número

Una enfermedad en el Pacífico Concepción Ruiz Ruiz-Funes Juan Manuel Ruisánchez Serra

…¿Qué es lo que hace que un adulto inteligente pueda apasionarse por la matemática hasta un grado de adicción difícil de imaginar y que otro, posiblemente tanto o más inteligente, vaya proclamando constantemente su repugnancia y su inutilidad para ellas?

Una pregunta tal vez más simple, por encontrarse al principio de la historia de cada individuo, es: ¿De qué depende el hecho de que un niño que entra en una escuela llegue a encontrar fascinante el quehacer propio de las matemáticas y otro en cambio se convierta en profundo aborrecedor de ellas para toda su vida? ¿Existen emociones en la matemática? Las actitudes señaladas anteriormente parecen apuntar que, al menos, existe un enorme caudal de afectividad en torno al quehacer matemático y que la toma de posición inicial respecto de las matemáticas es generar actitudes que perduran toda la vida…* Inés María Gómez Chacón **

Esta actividad va dirigida a estudiantes de primero de secundaria en adelante. Sugerimos que se realice en equipos y que después se discutan en el grupo las estrategias que se usaron. Es importante alentar a los estudiantes a explicar su razonamiento.

El ejercicio es semejante a otros que se han publicado en números anteriores de Correo del Maestro (Un problema de verdad, No. 58; Aprendiz de mago, No. 61, por ejemplo) y su resolución favorece al desarrollo del pensamiento lógico, esencial para que los estudiantes se familiaricen con las abstracciones que exigen los planteamientos y problemas matemáticos, tanto en la escuela como fuera de ella.

* Inés María Gómez Chacón, Matemática Emocional. Ed. Narcea, Madrid, 2000. p. 13. ** Inés María Gómez es matemática y filósofa.Trabaja en el departamento de Didáctica de las Matemáticas del Instituto de Estudios Pedagógicos Somosaguas, España. Es una de las pioneras en la investigación del dominio afectivo de la matemática.

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

57

Una enfermedad en el Pacífico

Actividad: Una enfermedad en el Pacífico Hace un par de siglos, vivía en una isla perdida en el Pacífico una tribu muy curiosa: había hombres enfermos y hombres sanos. Los enfermos padecían la enfermedad de ‘la mentira’, siempre mentían y los hombres sanos, por el contrario, siempre decían la verdad. El problema era que a simple vista un visitante de la isla no podía distinguir quién estaba enfermo y quién era un hombre sano.

Un día llegó a la isla una antropóloga que había leído sobre la enfermedad que tenían algunos habitantes de la isla y que quería estudiarla. Se hacía llamar George Sand. Al llegar se encontró con tres habitantes de la isla: Musset, Chopin y Lizst.

George Sand quería saber quién estaba enfermo y quién sano y para ello hizo las siguientes preguntas: A Musset le preguntó: ¿Es Chopin un hombre sano?

Musset contestó: No. Entonces volvió a dirigirse a Musset: ¿Son Chopin y Lizst los dos hombres sanos?

A lo que Musset respondió: Sí.

George Sand supo enseguida quién se había contagiado de la terrible enfermedad de la mentira y quién no. ¿Podrías averiguar tú quiénes son los enfermos y quiénes los sanos?

Solución Las respuestas de Musset son incongruentes porque no es posible que Chopin no sea sano y a la vez sí lo sea. Por lo tanto Musset está mintiendo. De ahí se deduce que Chopin sí es un hombre sano. Si Lizst fuera también un hombre sano, la segunda respuesta de Musset sería verdadera, pero ya sabemos que Musset dice mentiras, por tanto Lizst es un hombre enfermo.

Así la composición ¿musical? del grupo que encontró George Sand al llegar a la isla es la siguiente: Musset está enfermo Chopin está sano Lizst está enfermo.

58

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

Abriendo libros

Herbolaria curativa, una tradición mexicana* María Isabel Garcés Chávez

E

ste libro nos remonta a la herbolaria del centro y sureste de México. Xavier Lozoya empieza por describir detalladamente la importancia de las plantas medicinales en Mesoamérica. Divide el trabajo en cuatro partes: la primera es la historia de los habitantes humanos en el continente americano y sus conocimientos agrícolas; continúa tratando de reconstruir el significado de las representaciones de la flora medicinal en México con las ilustraciones de Ignacio Pérez-Duarte; posteriormente presenta la selección de plantas de acuerdo con los usos prehispánicos; por último, la cuarta parte, cita y comenta tres obras literarias sobre herbolaria medicinal realizadas en la época de la Colonia.

La importancia del trabajo de Lozoya no sólo radica en mostrar los notables avances en materia de etnobótanica que tenían nuestros pueblos ancestrales. Va más allá. Con su forma minuciosa de escribir, transporta al lector como

en una máquina del tiempo, sumergiéndolo en los conocimientos antiguos. En el recorrido muestra que algunos pueblos mesoamericanos tenían, en ciertos ámbitos, conocimientos superiores en relación con los pueblos europeos de esa época.

Proporciona, además, algunos ejemplos de clasificaciones y usos prehispánicos que son empleados actualmente por los biólogos.

Al narrar la organización de los jardines botánicos, la colocación de los vendedores de hierbas en los tianguis o de las señoras parteras que compraban algunas de estas hierbas, traslada al lector a ese México en el que sus habitantes convivían en armonía con la naturaleza, a la que se rendía tributo y cuidaba con el fervor con que se cuida la vida misma.

Durante el trayecto se antoja un baño de temazcal, algún té endulzado con miel o un masaje para el cuerpo cansado.

Las ilustraciones de Ignacio Pérez-Duarte —descifradas por Lozoya— corresponden, principalmente, a la zona central, Teotihuacan —lugar donde se encuentran los frescos más antiguos que representan a la herbolaria— y Texcoco; y al sur, las pertenecientes a la zona de Bonampak.

Los nombres de las plantas ejemplificadas se han transformado al paso del tiempo. Algunas han cambiado totalmente de nombre mientras que otras solamente se han castellanizado, como el tzápotl (fruto dulce), ahora conocido como

* Reseña del libro de Xavier Lozoya, Los señores de las plantas. Herbolaria y medicina en Mesoamérica, (Colección “Los señores...”).

CNCA/ Pangea Editores, México, 1990.

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

59

Herbolaria curativa, una tradición mexicana

La investigación histórica sobre el uso de plantas curativas en épocas prehispánicas se basa sobre todo, en obras escritas en México hacia el final del siglo XVI. (Tomado de Sahagún).

zapote. Algo similar sucedió con los conocimientos de la herbolaria, unos se fusionaron y otros más se perdieron a pesar de que en la época de la Colonia los europeos trataron de aprender sus aplicaciones. Si bien pudieron investigar miles de plantas, su trabajo quedo sin concluir debido a diversos obstáculos. Sin embargo, las investigaciones recientes sobre las plantas de México y Latinoamérica no pasan por las mismas dificultades que en la época colonial y diversos países de los llamados del primer mundo investigan las plantas medicinales de la zona.

Actualmente los médicos alópatas recetan, en ocasiones, algún producto natural derivado de los vegetales además de los medicamentos de patente.

Por otra parte, el Instituto Mexicano del Seguro Social (IMSS) ha incluido en su cuadro de medicamentos básicos algunas plantas medicinales después de que han sido estudiadas por

60

Correo del Maestro. Núm. 62, julio 2001.

especialistas de su herbario (considerado como el más grande de Latinoamérica) y en diversos institutos de investigación. Por consiguiente, hay médicos alópatas que recetan medicamentos (farmacéuticos) combinados con alguna terapia tradicional como inhalar alguna infusión para tratar la sinusitis, beber un licuado con nopal o sábila contra la diabetes o aplicar unos fomentos para bajar inflamaciones.

Para concluir, la lectura de este libro sirve a los adultos para reflexionar sobre los problemas ambientales y valorar los conocimientos ancestrales, que muchas veces no son simple charlatanería sino que han sido comprobados científicamente. Transmitir a los pequeños estos conocimientos expuestos por Lozoya sirve para acrecentar su cultura, para que valoren sus raíces, aprendan a respetar la sabiduría de los ancianos, despertar su imaginación al recrear los paisajes descritos por el autor y promover la investigación sobre botánica.

El Programa Nacional de Bibliotecas Magisteriales tiene como propósito coadyuvar al incremento del patrimonio cultural de los trabajadores pertenecientes al Sindicato Nacional de Trabajadores de la Educación, impulsando la creación de bibliotecas que apoyen sus procesos de formación y actualización permanente, así como el desarrollo educativo familiar.

Desde 1995 el programa ha facilitado la formación de más de 100 mil bibliotecas familiares con un acervo promedio de 35 títulos.

Tan sólo en el año 2001 se otorgarán con ese fin, a profesoras y profesores mexicanos, más de 200 millones de pesos en créditos bajo condiciones preferenciales.

AUTORIDADES DEL SISTEMA NACIONAL DE EDUCACIÓN PARTICIPANTES: INSTITUTO DE EDUCACIÓN DE AGUASCALIENTES • SRÍA. DE EDUCACIÓN Y BIENESTAR SOCIAL, BAJA CALIFORNIA • SRÍA. DE EDUCACIÓN PÚBLICA DE BAJA CALIFORNIA SUR • SRÍA. DE EDUCACIÓN, CULTURA Y DEPORTE, CAMPECHE • GOB. DEL EDO. DE CAMPECHE • SERVICIOS EDUCATIVOS DEL EDO. DE CHIHUAHUA • INSTITUTO DE SERVICIOS EDUCATIVOS EN EL EDO. DE COAHUILA • SRÍA. DE EDUCACIÓN PÚBLICA DE COAHUILA • COORDINACIÓN DE LOS SERVICIOS EDUCATIVOS EN EL EDO. DE COLIMA • GOBIERNO DEL EDO. DE COLIMA • SRÍA. DE EDUCACIÓN, CULTURA Y DEPORTE, DURANGO • GOBIERNO DEL EDO. DE DURANGO • SERVICIOS EDUCATIVOS INTEGRADOS AL ESTADO DE MÉXICO • SRÍA. DE EDUCACIÓN DE GUANAJUATO • SRÍA. DE PLANEACIÓN Y FINANZAS DEL GOBIERNO DEL EDO. DE GUANAJUATO • UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUANAJUATO • INSTITUTO HIDALGUENSE DE EDUCACIÓN • SRÍA. DE EDUCACIÓN DEL EDO. DE JALISCO • SERVICIOS DE EDUCACIÓN PÚBLICA DEL EDO. DE NAYARIT • GOBIERNO DEL EDO. DE NAYARIT • SRÍA. DE EDUCACIÓN Y CULTURA, NAYARIT • GOBIERNO DEL EDO. DE NUEVO LEÓN • UNIDAD DE INTEGRACIÓN EDUCATIVA DEL EDO. DE NUEVO LEÓN • SRÍA. DE EDUCACIÓN PÚBLICA DEL EDO. DE PUEBLA • SRÍA. DE FINANZAS Y DESARROLLO SOCIAL DEL EDO. DE PUEBLA • UNIDAD DE SERVICIOS PARA LA EDUCACIÓN BÁSICA EN EL EDO. DE QUERÉTARO • SRÍA. DE EDUCACIÓN DEL GOBIERNO DEL EDO., SLP. • SERVICIOS DE EDUCACIÓN PÚBLICA DESCENTRALIZADA DEL EDO. DE SINALOA • SRÍA. DE EDUCACIÓN PÚBLICA Y CULTURA, SINALOA • SRÍA. DE EDUCACIÓN Y CULTURA, SONORA • SRÍA. DE FINANZAS DEL GOBIERNO DEL EDO. DE SONORA • SRÍA. DE EDUCACIÓN,TABASCO • SRÍA. DE PLANEACIÓN Y FINANZAS,TABASCO • DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN,TAMAULIPAS • UNIDAD DE SERVICIOS EDUCATIVOS DE TLAXCALA • SRÍA. DE EDUCACIÓN PÚBLICA DEL EDO.,TLAXCALA • SRÍA. DE EDUCACIÓN Y CULTURA,VERACRUZ • SRÍA. DE FINANZAS Y PLANEACIÓN DEL GOBIERNO DEL ESTADO,VERACRUZ • SRÍA. DE HACIENDA Y PLANEACIÓN DEL EDO. DE YUCATÁN • SRÍA. DE EDUCACIÓN DEL GOBIERNO DEL EDO. DE YUCATÁN • SINDICATOS PARTICIPANTES: SNTE SECCIÓN 1,AGUASCALIENTES • SNTE SECCIÓN 3, BAJA CALIFORNIA SUR • SNTE SECCIÓN 4, CAMPECHE • SNTE SECCIÓN 5, COAHUILA • SNTE SECCIÓN 6, COLIMA • SNTE SECCIÓN 8, CHIHUAHUA • SNTE SECCIÓN 12, DURANGO • SNTE SECCIÓN 13, GUANAJUATO • SNTE SECCIÓN 15, HIDALGO • SNTE SECCIÓN 16, JALISCO • SNTE SECCIÓN 17, MÉXICO • SNTE SECCIÓN 20, NAYARIT • SNTE SECCIÓN 21, NUEVO LEÓN • SNTE SECCIÓN 23, PUEBLA • SNTE SECCIÓN 24, QUERÉTARO • SNTE SECCIÓN 26, SAN LUIS POTOSÍ • SNTE SECCIÓN 27, SINALOA • SNTE SECCIÓN 28, SONORA • SNTE SECCIÓN 29,TABASCO • SNTE SECCIÓN 30,TAMAULIPAS • SNTE SECCIÓN 31,TLAXCALA • SNTE SECCIÓN 32,VERACRUZ • SNTE SECCIÓN 33,YUCATÁN • SNTE SECCIÓN 35, COAHUILA • SNTE SECCIÓN 36, MÉXICO • SNTE SECCIÓN 37, BAJA CALIFORNIA • SNTE SECCIÓN 38, COAHUILA • SNTE SECCIÓN 39, COLIMA • SNTE SECCIÓN 44, DURANGO • SNTE SECCIÓN 45, GUANAJUATO • SNTE SECCIÓN 49, NAYARIT • SNTE SECCIÓN 50, NUEVO LEÓN • SNTE SECCIÓN 51, PUEBLA • SNTE SECCIÓN 52, SAN LUIS POTOSÍ • SNTE SECCIÓN 53, SINALOA • SNTE SECCIÓN 54, SONORA • SNTE SECCIÓN 55,TLAXCALA • SNTE SECCIÓN 56,VERACRUZ • SNTE SECCIÓN 57,YUCATÁN • SINDICATO DEMOCRÁTICO DE TRABAJADORES DE LA EDUCACIÓN DE VERACRUZ • GRUPOS EDITORIALES PARTICIPANTES: ACONCAGUA EDICIONES Y PUBLICACIONES, S.A. DE C.V. • BRANDT & SINCLAIR, S.A DE C.V. • COMERCIALIZADORA PLANETA, S.A. DE C.V. • CONSEJO NACIONAL PARA LA CULTURA Y LAS ARTES • DISTRIBUIDORA DE OBRAS PEDAGÓGICAS, S.A. DE C.V. • EDICIONES LAROUSSE, S.A. DE C.V. • EDICIONES Y DISTRIBUCIONES GEO, S.A. DE C.V. • EDILAR, S.A. DE C.V. • EDITORES MEXICANOS UNIDOS, S.A. DE C.V. • EDITORIAL EVEREST MEXICANA, S.A. DE C.V. • EDUCAL S.A. DE C.V. • EUROMÉXICO, S.A. DE C.V. • HACHETTE LATINOAMÉRICA, S.A. DE C.V. • ORGANIZACIÓN CULTURAL, S.A. DE C.V. • OXFORD UNIVERSITY PRESS HARLA MÉXICO, S.A. DE C.V. • PLAZA & JANES • SERI EDITORES Y DISTRIBUIDORES, S.A. DE C.V. • STEVILLE CORPORATION • UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL • URIBE Y FERRARI EDITORES, S.A. DE C.V.

El programa es operado por: