Correo del Maestro Núm. 49 - Julio de 2000

De giros, ángulos y grados Virginia Ferrari

ISSN 1405-3616

Nuevos enfoques, viejos problemas Fernando Ayala, Domingo Clemente, José Luis Favila y Efraín López

La calculadora y los sistemas semióticos de representación

La Internet: un medio con posibilidades educativas Víctor Larios Osorio

Adrián de la Rosa

¿Qué saben los niños y jóvenes sobre ciencia?

No me ves, ahora sí me ves...

Alejandra González

Préstamos... ¿o abusos?

Julio César Ramírez

9!BLF?E@:RUPUOV!

Ma. Isabel Hernández Luis Enrique Prieto

México D. F. Junio 2000. Año 5 Número 49.

EDITORIAL EVEREST MEXICANA CALIDAD Y EXCELENCIA EN: • DICCIONARIOS • ENCICLOPEDIAS • LITERATURA INFANTIL Y JUVENIL

Ofrece material de apoyo para maestros y estudiantes: Prácticos manuales de bolsillo.

Calz. Ermita Iztapalapa 1681, Col. Barrio de San Miguel México, D.F. 09360. Tels: 5685-1989, Fax: 5685-3433 e-mail: editevem@df1.telmex.net.mx

Revista mensual, Año 5 Núm. 49, Junio 2000.

Directora Virginia Ferrari Asistente de dirección María Jesús Arbiza Consejo editorial Valentina Cantón Arjona María Esther Aguirre Mario Aguirre Beltrán Santos Arbiza Gerardo Cirianni Julieta Fierro Adolfo Hernández Muñoz Ramón Mier María Teresa Yurén Josefina Tomé Méndez María de Lourdes Santiago Colaboradores Alejandra Alvarado Citlalli Alvarez Stella Araújo Nora Brie Verónica Bunge María Isabel Carles Leticia Chávez Luci Cruz Héctor Delgado Consuelo Doddoli Alejandra González Norma Oviedo Jacqueline Rocha Concepción Ruiz Maya Sáenz Ana María Sánchez Editor responsable Nelson Uribe de Barros Administración y finanzas Miguel Echenique Producción editorial Rosa Elena González para Uribe y Ferrari Editores, S.A. de C.V.

CORREO del MAESTRO es una publicación mensual, independiente, cuya finalidad fundamental es abrir un espacio de difusión e intercambio de experiencias docentes y propuestas educativas entre los maestros de educación básica. Así mismo, CORREO del MAESTRO tiene el propósito de ofrecer lecturas y materiales que puedan servir de apoyo a su formación y a su labor diaria en el aula.

Los autores Los autores de CORREO del MAESTRO son los profesores de educación preescolar, primaria y secundaria, interesados en compartir su experiencia docente y sus propuestas educativas con sus colegas.

También se publican textos de profesionales e investigadores cuyo campo de trabajo se relacione directamente con la formación y actualización de los maestros, en las diversas áreas del contenido programático.

Los temas Los temas que se abordan son tan diversos como los múltiples aspectos que abarca la práctica docente en los tres niveles de educación básica.

Los cuentos y poemas que se presenten deben estar relacionados con una actividad de clase.

Los textos Los textos deben ser inéditos (no se aceptan traducciones). No deben exceder las 12 cuartillas.

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© CORREO del MAESTRO es una publicación mensual editada por Uribe y Ferrari Editores S.A. de C.V., con domicilio en Av. Reforma No.7, Oficina 403, Cd. Brisa, Naucalpan, Edo. de México, C.P. 53280. Tel. (0155) 53 64 56 70, 53 64 56 95, lada sin costo al 01 800 31 222 00. Fax (0155) 53 64 56 82, Correo electrónico: correo@correodelmaestro.com. Dirección en internet: www.correodelmaestro.com. Certificado de Licitud de Título Número 9200.

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Circulación certificada por el Instituto Verificador de Medios. Registro No. 282/04.

Correo del Maestro. Núm. 49, junio 2000.

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Editorial

Una idea clásica de educación es la que atribuye a este quehacer la función de conservar y transmitir a las generaciones jóvenes los bienes y valores culturales de la sociedad. Otra concepción, a veces reñida con la anterior aunque igualmente cierta, la considera como la herramienta idónea para lograr el urgente y necesario cambio y transformación de cada uno de los hombres y del conjunto de la sociedad en un mundo en el que la revolución científica y tecnológica parece no dar tregua.

Tocada por ambas concepciones y siempre carente del tiempo que cualquiera de ellas requiere, la práctica cotidiana de los maestros parece oscilar entre lo viejo y lo nuevo, la permanencia y el cambio, la conservación y la transformación inclinándose, según las circunstancias, hacia uno u otro extremo.

En este número de Correo del Maestro esta dificultad se ve traducida en propuestas de trabajo al interior del aula que, reconociendo la mencionada tensión, introducen la reflexión en torno al lenguaje cotidiano y al lenguaje matemático, así como formas de pensar la práctica docente tendientes a lograr los matices y el equilibrio.

Virginia Ferrari

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Correo del Maestro. Núm. 49, junio 2000.

REVISTA PARA PROFESORES DE EDUCACIÓN BÁSICA

Entre nosotros

Nuevos enfoques, viejos problemas Fernando Ayala, Domingo Clemente, José Luis Favila y Efraín López

Pág. 5

De giros, ángulos y grados. Virginia Ferrari

Pág. 11

Antes del aula

La calculadora y los sistemas semióticos de representación.

Hacia un aprendizaje de los conceptos matemáticos. Adrián de la Rosa Nolasco

Pág. 23

La Internet: un medio con posibilidades educativas. Víctor Larios Osorio

Pág. 35

Certidumbres e incertidumbres

¿Qué saben los niños y jóvenes sobre ciencia? Alejandra González Dávila

Pág. 46

Artistas y artesanos

No me ves, ahora sí me ves... Retoque digital de la fotografía.

Julio César Ramírez Alcántara

Pág. 52

Sentidos y significados

Préstamos... ¿o abusos? Ma. Isabel Hernández Guerra y Luis Enrique Prieto Marín

Pág. 54

Problemas sin número

Un poco de todo. Concepción Ruiz Ruiz-Funes y Juan Manuel Ruisánchez

Pág. 56

Abriendo libros

Descubre y aprende matemáticas Ma. de la Paz Álvarez, Luis Briseño, Pilar Martínez, Oscar Palmas, Julieta Verdugo y Francisco Struck

Pág. 58

Portada: Diego Ferrari Vacca, 5 años.

Páginas centrales: Material didáctico a color, de apoyo al tema De giros, ángulos y grados.

Correo del Maestro. Núm. 49, junio 2000.

3

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Correo del Maestro. Núm. 49, junio 2000.

Entre nosotros

Nuevos enfoques, viejos problemas Fernando Ayala García Domingo Clemente Garduño José Luis Favila Jardón Efraín López Estrada

P

ara obtener múltiplos de un número natural es necesario multiplicarlo por cualquiera de los números naturales que se desee, por ejemplo: 4 x (por)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0

4

8

12

16

20

24

28

32

Los múltiplos de 4 son: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40…

Encuentra los múltiplos de 6: 0, 6,___ , ___ , ___,…

Observa que el 12 y 24 son múltiplos comunes, pero como 12 es el menor múltiplo común de 4 y 6, se dice que el mínimo común múltiplo (mcm) es 12; o bien, mcm (4,6)= 12 A continuación, a manera de propuesta didáctica, exponemos cómo es posible utilizar este concepto en las operaciones de suma y resta con fracciones de diferente denominador.

Ejemplos: a) 1 b) 1 3 3 – + 2 7 2 7 Al sumar o restar fracciones de distinto denominador, lo primero que se hace es buscar el mínimo común múltiplo, en este caso de 2 y 7 (denominadores).

Los múltiplos de 2 y 7 son: 2= 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18…

7= 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56…

Observa que el 2 y 7 son números primos1, por lo tanto para obtener el mcm (2, 7) se multiplican 2 y 7 (2) (7)= 2 (7) = 2 x 7 = 14 Por lo tanto el mcm (2, 7) = 14 Cuando se tiene el mcm de las fracciones 1 + 3 se procede a sumar: 2 7 1) Se escribe el mcm (en este caso 14) de ambas fracciones 1 3 + = 2 7 1

14

Número primo. Un número natural es primo cuando tiene exactamente dos divisores: él mismo y la unidad.

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Nuevos enfoques, viejos problemas

2) Se divide 14 entre 2 y 7 (denominadores de las dos fracciones) 7 2 7 14 2 14 0 0 3) El resultado de 14 ÷ 2 se multiplica por 1 y de 14 ÷ 7 se multiplica por 3 1 3 7(1) + 2(3) + = 2 7 14 4) Al final se efectúa la suma 1 + 3 = 7 + 6 = 13 2 7 14 14 Es recomendable presentar al estudiante, la transformación de equivalencia de fracciones y preguntarle qué sentido tiene determinar el mcm de los denominadores. El procedimiento que se hizo para sumar 12 + 37 se puede utilizar para restar 12 – 37 , sólo hay que hacer notar la diferencia que existe entre ambas operaciones.

1 3 7 6 7 6 1 3 – – + = + = = 2 7 14 14 14 14 2 7 En otras ocasiones, un modelo didáctico que se puede emplear para trabajar el mcm es utilizar figuras geométricas para representar las fracciones:

1 4

2 5

4 10

ó

2 5

Estos modelos, generalmente, se usan para hacer objetiva la comparación entre dos fracciones. Por ejemplo, colocar el signo >,< ó = entre las siguientes fracciones: 2 3

1 4

Se pueden establecer relaciones de orden entre fracciones, mediante la comparación geométrica, para ver claramente que una fracción equivalente2 de 2 es 8 , y una fracción 3 12 3 equivalente de 14 es 12 .

se representan

2 3

se representa

2

Fracciones equivalentes. Para obtener fracciones equivalentes a una misma fracción se procede a multiplicar por 1 a dicha fracción, de la siguiente forma: 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 = ..., por tanto, una fracción 2 3 4 5 6 7 8 9 equivalente a

6

1 4

2 3

es

10 porque 23 15

x

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5 10 5 = 15

otra sería

18 27

porque

2 x 9 = 18 3 9 27

.

Al comparar 8 y 3 tenemos: 8 > 3 o bien, 3 < 8 .

12 12 12 12 12 12 Como 8 y 3 son las fracciones equivalentes de 2 y 1 respectivamente, deducimos que

2 3

>

12 12 1 .

4

3

4

Otro procedimiento para obtener fracciones equivalentes es el siguiente: Se obtienen las fracciones equivalentes de 23 y 14 : 2 4 8 x = 3 4 12

1 3 3 x = 4 3 12

8 3 Y como 12 es equivalente a 23 y 12 es equivalente a 14 entonces 23 > 14 .

Este procedimiento se puede representar esquemáticamente así: 2 3

;

1 4

2 x 4 = 8 3 4 12

1 x 3 = 3 4 3 12

8 3 > 12 12

Algunos otros procedimientos que se utilizan para hacer llegar el conocimiento matemático a los alumnos se apoyan en el redescubrimiento de los saberes previos de manera intuitiva.

François Pluvinage en su artículo “Los objetos matemáticos en la adquisición del razonamiento” publicado en el libro Didáctica propone el siguiente análisis didáctico:

De los objetos comunes a los objetos matemáticos3 Tres “objetos” típicos nos van a ayudar para tener una idea, quizás un poco esquemática, de las diferencias ontológicas que separan los objetos físicos, culturales y matemáticos.

cos (x) Conejo 3

Cuadrado

Coseno

Espinosa, Fernando. Didáctica. Investigaciones en Matemática Educativa II. Editor. CINVESTAV, IPN, Grupo Editorial Iberoamericana 1. México, 1998.

HITT

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Nuevos enfoques, viejos problemas

Objetos usuales o físicos Un animal simpático, como un conejo, es un buen ejemplo de un “objeto” de la vida real.

Desde el punto de vista semántico, este ejemplo corresponde al clásico triángulo significante-significado-referente: cada conejo encontrado es un representante perfecto del “objeto”.

Objetos culturales En el caso del cuadrado nos enfrentamos a una situación más compleja, ya que ningún objeto real se puede considerar como un representante perfecto del cuadrado; sin embargo, existen objetos que se acercan al cuadrado perfecto, así, un conjunto de triángulos semánticos relativos a varios objetos (azulejos, casillas de un juego de ajedrez, papel cuadriculado, etc.) produce el cuadrado, como resultado de un acercamiento que sólo selecciona las características consideradas relevantes y elimina las demás. En la enseñanza primaria se educa la percepción para alcanzar en todos los estudiantes una identificación inmediata como la anterior. Pero en la experiencia relatada antes, vimos una consecuencia negativa del buen reconocimiento de las formas que, por otro lado, es prueba de un aprendizaje perceptivo exitoso. Eso implica también que el sentido que tiene un objeto cultural para un individuo se desarrolla mediante un proceso evolutivo, relacionado con las situaciones en las que lo encuentra.

Objetos matemáticos Para tener una idea de lo que significa cos (x) para el matemático, necesitamos recurrir al cambio de registros de expresión. Se utilizan generalmente en este caso tres registros, además de la lengua natural: el figural-geométrico, el algebraico y el funcional-gráfico. Por ejemplo, se escribe que, en un triángulo ABC rectángulo en A, se tiene B

cos B

BA = BC

A

C

Se relaciona así el registro de la escritura algebraica con el de las figuras geométricas.

Tenemos por tanto que, en vez del triángulo semántico clásico, los ladrillos que constituyen el sentido son los intercambios entre los registros: círculo trigonométrico y escritura algebraica del coseno; ángulos agudos de un triángulo rectángulo y escritura algebraica; escritura algebraica y representación gráfica de la función. ¿Cómo puede el aprendizaje lograr que el estudiante no confunda un objeto matemático con alguna de sus representaciones y construya el “edificio” objeto-representaciones? En la obra de Raymond Duval, Sémiosis et pensée humaine (1995), así como en su artículo de 1993, se encuentran elementos de respuesta precisos. Hacemos enseguida una

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Correo del Maestro. Núm. 49, junio 2000.

propuesta que estructura los elementos presentados por Duval, basándonos en una idea semejante a la que tienen los físicos respecto al concepto de sistema.

François Pluvinage, matemático e investigador francés y colaborador del Departamento de Matemática Educativa del CINVESTAV-IPN, recomienda que el conocimiento matemático debe comunicarse con el auxilio, y mediante el análisis por parte del que recibe los saberes, a través de un andamiaje que se establece entre los objetos visuales o físicos, los objetos culturales y los objetos matemáticos.

Hasta el momento se ha tratado el mcm con los números naturales y con las fracciones, después se vio el tratamiento de los objetos físicos, culturales y matemáticos de François Pluvinage; cerramos esta propuesta didáctica con el tratamiento de ecuaciones de primer grado de la forma ax = b y ecuaciones de primer grado con fracciones utilizando el mcm.

A las expresiones algebraicas de la forma ax= b, ax+b=c, ax+b=cx+d se les llama ecuaciones lineales de primer grado. Una ecuación tiene dos valores, uno conocido y otro desconocido, ambos se relacionan entre sí con los signos de las operaciones matemáticas.

Para resolver una ecuación, puede seguirse un procedimiento de trasposición de términos semejantes4 de uno a otro miembro de la igualdad. Se espera que en la práctica de resolución de ecuaciones se llegue a un procedimiento de esta naturaleza, toda vez que en dicha práctica quede comprendido implícitamente el uso de las propiedades de la igualdad.

De la ecuación tenemos: 9 – 5x = x – 3 –5x – x = –9 – 3 –6x = –12 –12 x = –6 x = 2 Para comprobar si el resultado que se le da a x satisface la ecuación, se efectúa el proceso de sustitución: 9 – 5x = x – 3 9 – 5 (2) = (2) – 3 9 –10 = 2 – 3 –1 = –1 De esta forma nos damos cuenta que el valor que se tiene de x, en caso 2, cumple para hacer válida la ecuación.

Algunos ejercicios que se sugieren para que el maestro compruebe hasta qué punto los alumnos han comprendido la resolución de ecuaciones, son como el siguiente ejemplo: Demuestre que el número dado a la derecha de la ecuación, es la raíz o resultado correcto de la misma.

7x – 9 = 10x + 6 7 (–5) – 9 = 10 (–5) + 6 –35 – 9 = –50 + 6 –44 = –44 4

Términos semejantes. Se dice que dos términos son semejantes cuando tienen las mismas variables y exponentes. Por ejemplo: 3x2 es término semejante con -5x2; misma variable x, mismo exponente 2.

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Nuevos enfoques, viejos problemas

Cuando en una ecuación de primer grado aparecen fracciones, lo que se recomienda es multiplicar ambos miembros de la ecuación por el mcm de los denominadores y con ello transformar la ecuación con sólo números enteros.

Por ejemplo, dada la ecuación: 2x– 4 3x – 6 –1 – = 2 4 2

mcm (2,4) = 4

Se multiplican los miembros de la ecuación por el mcm que es 4: 4 2x – 4 – 3x – 6 = 4 –1 2 4 2

(

)

( )

Es importante que durante la práctica, los estudiantes distingan que en este caso operan con la multiplicación de un entero por una fracción y que recuerden la regla para efectuar dicha operación.

Ahora se obtiene una ecuación equivalente, cuyas fracciones son aparentes, ya que al hacer las divisiones respectivas, se simplifica la ecuación a una expresión de términos enteros.

2 (2x – 4) – (3x – 6) = – 4 2 Al simplificar resulta la ecuación 4x – 8 – 3x – 6 = –2, y al resolverla tenemos: 4x – 8 – (3x – 6) 4x – 8 – 3x+6 x–2 x x

= = = = =

–2 –2 –2 –2+2 0

Sugerimos a todos los maestros que en el desarrollo de estos contenidos, integren el conocimiento del mcm en la resolución de ecuaciones de primer grado, cuando éstas tengan fracciones; este procedimiento puede abrir más el campo de comprensión entre los alumnos para solucionar problemas.

Bibliografía FILLOY YAGÜE, Eugenio. Aspectos Teóricos del Álgebra Educativa. CINVESTAV, IPN. Grupo Editorial Iberoaméricana, México, 1999.

HITT Espinosa, Fernando. Didáctica. Investigaciones en Matemática Educativa II. Editor. CINVESTAV, IPN, Grupo Editorial Iberoamericana 1. México, 1998.

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Correo del Maestro. Núm. 49, junio 2000.

De giros, ángulos y grados* Virginia Ferrari

El objeto de estudio de la geometría es el espacio, las nociones, relaciones y transformaciones espaciales, por ello nos es indispensable señalar una primera afirmación básica si queremos abordar el tema del aprendizaje geométrico: el concepto de espacio no es innato, debe ser elaborado, construido a través de la acción interiorizada por cada individuo y en forma paulatina.

Para comenzar

Una de las nociones cuya adquisición suele ofrecer dificultad a los niños de primaria es la de ángulo. Por lo general, la dificultad radica en que se confunde al ángulo con el o los posibles arcos que pueden considerarse en el mismo. De esta forma, cuanto más cercano esté el arco en cuestión al vértice, el niño considerará que más pequeño es el ángulo, y viceversa.

Esta confusión es, en buena medida, explicable, ya que para M.Riveros y P. Zanocco, Geometría: aprendizaje y juego, Santiacuando introducimos el trabajo con ángulos en tercero o cuargo, Ed. Universidad Católica de Chile, 1992, p. 22. to grado de primaria, nuestros alumnos están habituados al uso de la regla y al trabajo de medición con unidades de longitud, por lo que tenderán a medir no sólo el arco sino también la longitud de los lados del ángulo.

Así, en la figura 1a, es probable que muchos niños digan que el ángulo A es menor que el B porque el arco más alejado del centro es más grande que el que se encuentra más cerca, o porque aquél parece estar más abierto que éste o, en la figura 1b, porque tiene los lados más largos. Incluso, en niños de Figura 1 cuarto y quinto grado que ya tienen nociones de superficie y área, encontraremos el argumento de que B es mayor que A a porque tiene mayor superficie. ¿Cómo, pues, ayudarlos a superar este error?

A B La propuesta que presentan los libros de texto gratuitos de matemáticas para cuarto y quinto ayudan a superar, en gran medida, esta dificultad, ya que se parte del trabajo con giros en los que se toma como unidad de medida del giro una parte b del círculo. Esto resulta ser un acierto ya que se trabaja aquí, a A B la vez, en dos nociones: ángulo y medición de ángulos. El hecho de que los niños lleguen a determinar que lo que importa es qué parte del círculo se gira en un sentido u otro, independientemente del tamaño del arco de circunferencia o del largo de los lados, ayuda a superar las dificultades que anteriormente planteábamos, a la vez que facilita el camino para la adquisición de la noción de grado como una de las unidades para medir ángulos. * Material didáctico a color, de apoyo para este tema, se encuentra en las páginas 13, 14, 47, 48 y en el cartel central.

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De giros, ángulos y grados

Preparemos el terreno Antes de realizar los ejercicios propuestos en el libro de texto gratuito, podemos hacer una especie de preparación a la noción que éstos presentan que es la de ángulo —como amplitud de un giro— y su medición. Para ello, proponemos hacer múltiples experiencias de giros en las que se involucren movimientos de todo el cuerpo trasladándose en torno a un punto establecido o imaginario, y movimientos del cuerpo en los que ya no Para realizar las actividades 1-8 es necehaya traslado pero sí giro (o rotación, pues matemáticasario tener en cuenta que: mente son sinónimos), que los niños deberán realizar in• Nos mantenemos en la misma direcdividualmente o en equipo antes de entrar propiamente a ción cuando al trasladarnos tenemos hablar de las nociones que nos interesa presentar . siempre, frente a nosotros, un punto He aquí algunos de ellos: de referencia fijo que permanece Podemos proponer a los niños el siguiente juego a realisiempre delante. En este caso, el camizar en el patio de la escuela o en el salón de clases, el cual no sobre el que nos movemos, o que permite afianzar la noción de giro y vuelta completa. trazamos al desplazarnos, es recto.

• En el momento en que cambiamos de punto de referencia y nuestro camino se tuerce, realizamos un giro.

• Cuando luego de cierto número de giros en el mismo sentido —hacia la derecha o hacia la izquierda, en el sentido de las agujas del reloj o a la inversa— llegamos al punto de partida, decimos que hemos dado (o recorrido) una vuelta completa.

Figura 2

12

Actividad 1 A. Se establece y fija un punto aproximadamente en el centro del patio. Este punto puede ser un niño, una marca (x) en el piso o un poste, y será el mismo para todo el grupo.

B. Cada equipo escoge su lugar de base en el que establecerá su punto de partida.

C. Se dan, una por vez, las siguientes instrucciones: a. Construye o recorre un camino en el que des una vuelta completa en relación al centro efectuando el menor número de giros posibles siempre en el mismo sentido. (No es necesario que los caminos recorridos antes de cada giro sean iguales). Ahora piensa: ¿Cuál fue el menor número de giros necesarios para recorrer una vuelta completa? b. Recorre un camino en el que des una vuelta completa efectuando únicamente 4 giros. Otra vuelta completa en 5 giros, 8, 12, 18, 35. Pídele a un compañero que, en cada caso, marque con un gis el camino que recorres. Observa bien: ¿Qué sucede a medida que aumenta el número de giros?

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Actividad 2 ¿Qué sucedería si en nuestro recorrido estuviéramos cambiando siempre de dirección y manteniendo siempre una misma distancia del centro? Descúbrelo con la siguiente experiencia.

En un equipo de tres niños, uno se mantiene quieto, de pie en un lugar, sosteniendo un extremo de una cuerda en tanto otro camina alrededor sosteniendo el otro extremo de la cuerda, manteniendo ésta tirante para que esté en línea recta constantemente. Si un tercer niño va marcando en el piso con un gis el camino recorrido por el anterior ¿qué figura habrá quedado trazada al dar una vuelta completa?

Figura 3

a

b c d

Actividad 3 El ejercicio anterior se repite ahora sobre un papel o una madera a la que se sujeta, mediante una tachuela, un hilo. En el otro extremo del cordel se amarra un lápiz al que se le hace dar una vuelta completa alrededor de la tachuela. Al igual que en el caso anterior, la figura que quedará marcada sobre la hoja será una circunferencia.

Una vez trazada la circunferencia, recorta y dobla el círculo a la mitad y luego a la otra mitad, tal como se ve en la figura 3.

Repasa en el color que más te guste las líneas del plegado ¿En cuántas partes quedó dividida la vuelta completa? ¿Cómo son esas partes entre sí?¿Qué parte de vuelta completa es cada una?¿Cómo podemos expresar, en fracciones, la vuelta completa?

Actividad 4 Cada uno de estos giros de una cuarto de vuelta completa recibe en geometría un nombre especial, se llama ángulo recto y las líneas que lo forman (que tú resaltaste en color) se llaman líneas perpendiculares. La amplitud de giro, o amplitud del cambio de dirección, se llama ángulo.

Piensa: ¿Qué parte del círculo barremos con un ángulo recto? ¿Cuántos ángulos rectos caben en un círculo?

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De giros, ángulos y grados

Actividad 5 Consigue un pedazo de una tabla de madera en la que quepa holgadamente la circunferencia obtenida en el ejercicio anterior y sujétala mediante un clavo en el centro. Pon un clavo en el extremo de cada una de las líneas del plegado y marca, con un lápiz, la circunferencia. Quita el papel. ¡Has comenzado a fabricar tu propio “geoplano circular”! En él podrás trabajar con mayor facilidad que sobre el papel. Toma dos ligas del mismo color (por ejemplo, rojo) y colócalas estiradas de un clavo al opuesto, pasando por el centro. ¿A qué se parece lo que ves en el geoplano? Así es, a la figura que habíamos obtenido en el papel. ¿En cuántas partes quedó dividida la circunferencia? ¿Cómo son esas partes entre sí? ¿Qué parte es cada una de la circunferencia? ¿Con cuántas formamos una vuelta completa? ¿Cómo lo escribimos?

Figura 4

a

b

c

Actividad 6 ¿Qué podemos hacer con el geoplano?

Podemos, por ejemplo, jugar a dar giros de una vuelta completa, media vuelta o un cuarto de vuelta. Para ello mantendremos las ligas rojas que ya pusimos y superponiendo una liga de otro color, del centro a uno de los extremos —éste será nuestro punto de partida— la haremos girar siempre en el mismo sentido (como las agujas del reloj o al revés).

Figura 5

Actividad 7 Volvemos a tomar la circunferencia de papel y plegamos cada uno de los ángulos rectos a la mitad. Repasamos las nuevas líneas obtenidas en un color diferente al inicial. ¿En cuántas partes quedó ahora dividida la circunferencia? ¿Cómo son esas partes entre sí? ¿Cómo se llama cada una de las partes? ¿Cómo se escribe? ¿Cuántos octavos hay en total en la circunferencia? ¿Cómo se expresa esto en números?

Actividad 8 Esta nueva circunferencia dividida en 8 partes iguales la volvemos a poner sobre el geoplano y por ella nos guiamos para clavar 4 clavitos más, de tal manera que la circunferencia nos quede dividida en 8 partes iguales. Nuestro geoplano circular reproduce ahora los dibujos de las páginas 78, 112 y 132 del libro de texto.

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Un giro muy pequeñito

u ap ka

Po raq uin Sa oma s o Lu is

k Pu

Accra

m

Taveuni

Dacca

Bi

én

rd u

Ad

Actividad 9 Un día se integró a nuestro grupo de 4º grado un alumno extranjero. Al preguntarle de dónde venía contestó: De Poraquinomas. Muy intrigados y llenos de curiosidad le preguntamos dónde quedaba ese lugar, que por favor lo localizara en nuestro plano. En la siguiente figura podrás ver dónde lo localizó. ¿Cuántos octavos de vuelta hay que girar para llegar de Accra a Poraquinomas? ¿Cuánto más lejos queda San Salvador de Poraquinomas?

San Salvador

Una vez trabajada la lección La vuelta al mundo de la página 78 del libro de texto gratuito de matemáticas de cuarto grado, y antes de abordar la lección La vuelta al mundo en 360 grados (p. 112), podemos entonces proponer la siguiente actividad que pensamos ayudará en la adquisición de la noción de grado.

Podemos plantear, a partir del juego La vuelta al mundo, la necesidad de recurrir a una unidad de medida de giros distinta de la que hemos usado hasta ahora, esto es, de partes de vuelta completa.

Figura 6

Para responder con mayor precisión a las preguntas anteriores es necesario que recurramos a otra unidad de medida más pequeña que el octavo de vuelta.

Podemos ahora introducir el origen del grado parafraseando el relato que acerca del mismo hace Emma Castelnuovo.

Surge espontáneamente la pregunta de cómo se habrá pensado en dividir el ángulo completo en 360° precisamente, y de por qué los submúltiplos del grado vienen siempre referidos a la base 60, dividiendo el grado en 60 partes iguales, y el minuto, a su vez, en otras 60 partes.

Estas medidas de base sexagesimal fueron introducidas en tiempos remotísimos por los babilonios (siglos VII-VI a.C.), y fueron sugeridas por las observaciones astronómicas. Los babilonios —pueblo contemplativo—, se habían dado cuenta de que las constelaciones se movían en la bóveda celeste, y pensaron que describirían órbitas circulares. Al cabo de un cierto tiempo, una estrella volvía a ocupar en el cielo su antigua posición. Este periodo fue tomado como medida del tiempo, y se llamó año; la alternancia de los días y las noches sugirió después la elección del día como submúltiplo del año. De sus cálculos resultaba que un año —es decir, en el periodo necesario para que una estrella recobrase su posición sobre la bóveda celeste— se componía de unos 360 días. Así, parece que debieron ser estas observaciones de carácter astronómico las que los indujeron a dividir el círculo (la órbita circular) en 360 partes (grados); se cree asimismo que el submúltiplo 60 lo sugirió el hecho de que la división más sencilla del círculo en partes iguales es la división en 6 partes, que da origen, precisamente, a ángulos de 60° (360: 6 = 60). Ésta es la división que lleva al hexágono regular, o sea, al polígono que más abunda en las construcciones babilónicas.

Las medidas de los ángulos están, pues, estrechamente ligadas a las medidas del tiempo, y el número 360 ocupa un lugar privilegiado en la historia de la numeración.

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De giros, ángulos y grados

El maestro puede tomar de esta historia únicamente aquello que tiene que ver con las observaciones de los babilonios ya que, independientemente de la certeza o no de de la misma, lo que sí es cierto es que ella da una imagen muy clara de lo que es una vuelta completa y, verdadera o no, hace sentido si disculpamos los errores de observación y de cálculo debidos a la época. En definitiva, con las salvedades del caso, resulta ser didáctica. Una vez narrada , proponemos realizar la siguiente actividad.

Actividad 10 Antes de comenzar, debe aclararse a los alumnos que la actividad consta de momentos en los que se trabaja individualmente y momentos en los que se trabaja en equipo. Es muy importante que cada uno realice aquello que se le indica pues el resultado individual ha de influir en las conclusiones y resultados colectivos. Otra indicación que se debe hacer es que la actividad está dividida en fichas de trabajo que deben ser realizadas una por vez, por lo que únicamente cuando está concluida una, se puede pasar a la siguiente. Sugerimos, en primer lugar, fotocopiar la figura 7 y entregar una a cada uno de sus alumnos.

Figura 7

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Ficha 1 Te proponemos aquí reproducir la experiencia de los babilonios y dividir un círculo en 360 partes iguales. ¡360 partes iguales! Parece difícil, pero no lo es tanto si trabajamos en equipo, poco a poco, considerando los siguientes pasos.

Figura 8 1. En primer lugar, formemos equipos de 4 integrantes.

2. Para simplificar la tarea, cada uno trabajará con un cuarto de círculo. Para ello, y para que el resultado final sea de mayor tamaño, cada uno trabajará con una figura en la que ya se encuentra trazado un ángulo recto (este material te lo dará tu maestro).

3. Repasa en color rojo los lados del ángulo y recórtalo tal como indica el dibujo.

4. Divide el cuarto de círculo o ángulo recto, por plegado, en tres partes iguales, tal como lo muestran las figuras 8b y 8c. Repasa en color azul cada una de las líneas del plegado. Tu figura se parecerá a la figura 8d.

5. Piensa: a. ¿En cuántas partes quedó dividido el ángulo recto? b. ¿Qué parte es cada una del ángulo recto?

Entre todos los integrantes del equipo contesten: c. ¿Qué parte es cada una del círculo?

6. Pasa a la siguiente ficha.

Ficha 2 7. Ahora divide por plegado, cada una de las partes obtenidas en el ejercicio anterior en tres partes iguales, tal como se muestra en la figura 9a. Repasa las líneas del plegado en color verde.

Tu figura terminada se parecerá a la figura 9b.

8. Reúnete con tus compañeros de equipo y respondan las siguientes preguntas: a. ¿En cuántas partes está dividido ahora el ángulo recto? b. ¿Qué parte es cada una de ellas del ángulo recto? c. ¿Qué parte es cada una de ellas del círculo completo?

9. Pasa a la siguiente ficha.

a

b

c

d

Figura 9

a

b

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De giros, ángulos y grados

Figura 10

a

b

Ficha 3 10. Dado que las partes obtenidas son cada vez más pequeñas, la siguiente división no podrá ser por plegado sino que tendrás que trabajar con regla y un lápiz con buena punta.

11. Trata de dividir cada noveno de ángulo recto en 10 partes iguales, tal como lo muestra la figura 10a.

No te preocupes si éstas no quedan perfectas, esto lo lograrás más adelante cuando cuentes con instrumentos de mayor precisión. Si no quieres repetir la operación en todos los novenos, basta con que dividas sólo uno y luego calcules cuántas de estas partes serían en total en el ángulo recto.

12. Reúnan y peguen por el lado de atrás con cinta adhesiva los 4 ángulos rectos del equipo, formando un círculo. Éste se parecerá a la figura 10c.

13. Ahora contesten en equipo las siguientes preguntas: a. ¿En cuántas partes quedó dividido el ángulo recto? b. Escribe en fracciones qué parte del ángulo recto es cada una de ellas. c. ¿Cuántas de estas partes hay en el círculo? d. ¿Qué parte del círculo es cada una de ellas?

14. Pasa a la siguiente ficha y léela con mucha atención.

c

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Ficha 4 Cada una de las partes que obtuviste 1 en la ficha 3 es de círculo y recibe 360 un nombre especial, se llama grado.

1 grado =

1 de círculo 360

El grado es una unidad de medida de ángulos.

La palabra “grado” se representa mediante el signo º, a la derecha y arriba del número que indica la medida, por ejemplo, 360º, 90º, 33º.

Existe un instrumento especial para trazar y medir ángulos de manera más precisa. Este instrumento se llama transportador.

Para redondear A manera de reafirmación y ejercitación de las nociones recién adquiridas proponemos la siguiente actividad.

Actividad 11 Otro geoplano circular.

Como ejercicio que ayuda mucho a los niños a trazar rápidamente ángulos rectos, llanos y completos (o perigonales) así como a visualizar ángulos de diversas medidas, sugerimos la construcción de un geoplano circular con una doble hilera de clavos de acuerdo a como se ve en la siguiente figura que el maestro puede fotocopiar y entregar a sus alumnos para facilitarles la construcción de este geoplano. (Se puede usar el reverso de la tabla del anterior geoplano).

Figura 11

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De giros, ángulos y grados Los ángulos se clasifican según su medida:* Nombre

Medida

Agudo

Menor que 90º

Recto

90º

Obtuso Llano

En la circunferencia interior, los clavos están separados cada 15 grados, en la exterior cada 10. De esta manera, los niños pueden jugar a formar ángulos cuya medida sea múltiplo de 5. Se pueden proponer ejercicios de trazar ángulos de medidas determinadas tales como 55º, 95º, 160º, 255º, etc. o también ejercicios que impliquen la ejercitación en la lectura de la medida de un ángulo, es decir, ante un ángulo que forme un equipo en su geoplano, alguien de otro equipo debe decir cuánto mide.

Figura

Entre 90º y 180º 180º

Entrante

Entre 180º y 360º

Perigonal

360º

El grado y algo más

Múltiplos y submúltiplos del grado Lo mismo que para la unidad de longitud, también para la unidad de ángulos hay múltiplos y submúltiplos.

Múltiplos del grado Los múltiplos de grado son: Ángulo recto = 90º Ángulo llano = 180º Ángulo completo = 360º

Submúltiplos del grado Si se divide el grado en 60 partes iguales, se tiene el ángulo de un minuto: 1‘ =

1 de grado 60

Si se divide el minuto en 60 partes iguales, se tiene, a su vez, el ángulo de un segundo: 1 de grado 1 de minuto = 3600 60 (Castelnuovo)

1‘‘ =

Referencias bibliográficas BRISEÑO Luis A., et al. Descubre y aprende matemáticas, México, Pearson Educación, 2000.

CASTELNUOVO E. Didáctica de la matemática moderna, México,Trillas, 1987.

CRUIKSHANK & SHEFFIELD, Teaching and learning elementary

and middle school mathematics, Macmillan Publishing Company, 1992.

DIENES Y GOLDING. La geometría a través de las transformaciones, Barcelona,Teide, 1976.

RIVEROS M. y ZANOCCO P, Geometría: aprendizaje y juego, Santiago, Ed. Universidad Católica de Chile, 1992.

* Este cuadro fue tomado del libro de Luis A. Briseño Aguirre et al. Descubre y aprende matemáticas,Vol. 1, México, Pearson Educación, 2000, p. 86.

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Antes del aula

La calculadora y los sistemas semióticos de representación Hacia un aprendizaje de los conceptos matemáticos Adrián de la Rosa Nolasco En este texto trataré un problema presente en educación secundaria que afecta tanto a los alumnos como a los maestros del sistema educativo en nuestro país: me refiero al uso de la calculadora en el aula. Su utilización como recurso en clase, para el aprendizaje de conceptos matemáticos es inexistente y el principal motivo es la falta de una cultura hacia los medios computacionales. De esta forma se está negando al alumno el acceso a una tecnología que en el futuro debería estar integrada a sus esquemas referenciales en el aprendizaje de las matemáticas. El propósito de este trabajo es compartir con los maestros algunas ideas que ayuden a formar una cultura computacional, en esta ocasión de la calculadora, en la búsqueda de un aprendizaje integrador.

El problema Una de mis grandes preocupaciones como docente del nivel medio básico ha sido el uso de la tecnología, entre otras de la calculadora, la computadora y la educación a distancia, particularmente telesecundaria. Esta última debido a que pertenezco a ella y he visto que la información sobre el modelo pedagógico no es suficiente para desarrollar una práctica educativa de calidad en las diversas asignaturas, particularmente en la enseñanza de las matemáticas.1 Me interesa mostrar en este trabajo diversas ideas sobre el uso de la calculadora en las aulas, así como resultados de investigaciones sobre su repercusión en el aprendizaje y la relación con algunas teorías —dos en este texto— que nos ayuden a fundamentar las ideas expuestas.

Es importante encaminar a los alumnos en un

*

1

aprendizaje que incluya las nuevas tecnologías, algunas de las cuales ya se están poniendo en práctica en el nivel medio superior; esto obedece a la transformación inevitable de la sociedad, a nivel mundial, a causa de la tecnología.

El atraso en el uso de la tecnología para la enseñanza de las matemáticas es un problema reiterado en nuestro sistema educativo. Las causas que obstaculizan su utilización son de diferente índole: por un lado, las concepciones de los profesores y padres de familia, que en general tienen un gran desconocimiento de la potencialidad psicopedagógica que ofrecen estos instrumentos; por otro, la concepción respecto a las matemáticas y las viejas prácticas docentes y, por último, el temor al cambio, a lo nuevo.

Este artículo forma parte de una investigación realizada por el autor, de la que más reflexiones se publicarán posteriormente.

Por ejemplo, el sustento pedagógico basado en el constructivismo y en la resolución de problemas es desconocido por gran parte de los profesores, tanto del nivel básico como medio superior.

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La calculadora y los sistemas semióticos ...

Es evidente que la calculadora no se ha explotado en ninguno de sus diferentes usos, ni como herramienta de amplificación ni de reorganización cognitiva.2 Para darse cuenta de ello basta entrar a cualquier salón de clase de secundaria donde se imparta la asignatura de matemáticas —en cualquiera de las tres vertientes: telesecundarias, secundarias generales y secundarias técnicas— y preguntar a un alumno sobre el tiempo que le dedican al aprendizaje de las nociones matemáticas utilizando la calculadora. Los profesores tienen una gran apatía hacia su uso; argumentan que con ella no se hace matemática,3 es más, que se adquieren conductas inadecuadas.

Algunos maestros señalan que en la aritmética de números naturales o enteros la calculadora obstaculiza el dominio de los algoritmos correspondientes, que en el concepto de función y para las funciones trigonométricas no existe ninguna actividad que ayude a fortalecer su aprendizaje; otros, simplemente se mantienen indiferentes.

Todas las actividades anteriores que se puedan hacer con la calculadora se encuentran, de acuerdo a Moreno (1999, p. 4), en la fase de amplificación cognitiva “hacer las cosas, mejor”.

Como vemos, el primer obstáculo se encuentra en los maestros, pero también los padres de familia se oponen a que sus hijos usen la calculadora en favor del aprendizaje matemático; y ellos, junto con los primeros, comparten la misma justificación que evidencia la falta de una cultura hacia la calculadora.

Estas conductas, en el caso de los maestros, reflejan la falta de conocimiento respecto a la didáctica de las matemáticas entorno a las nuevas tecnologías —es indudable la falta de actualización, de cursos de capacitación en este sentido. En nuestros días existe una gran cantidad de información al respecto proveniente de países que han adoptado una enseñanza en la

2 3

que se considera a los medios computacionales como la calculadora (por ejemplo: Francia, Alemania, Escocia, Austria, Suecia, Dinamarca, Holanda, Australia, Portugal y Canadá), y también han proliferado teorías sobre psicología de la didáctica de las matemáticas —como las de “Instrumentos de mediación”, “Sistemas semióticos de representación”, “Teoría de las situaciones Didácticas” y “Resolución de problemas”,entre otras—; y no sólo eso, existen organismos nacionales e internacionales con objetivos muy claros sobre la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas —como el Seminario Nacional de Calculadoras y Micro computadoras en Educación Matemática, el PME-NA (North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education), el RELME (Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa), el ICME (International Congress on Mathematical Education) y T3 (Teachers Teaching with Technology), por mencionar algunos.

Poco o nada ha servido en nuestro país este cúmulo de información para que forme parte de los argumentos del maestro para enfrentar los obstáculos (tanto didácticos como aquéllos originados por concepciones erróneas) hacia el uso de la calculadora. Es necesario un mayor conocimiento de estos avances para lograr, así, una mayor cultura sobre el uso de las tecnologías, en particular, de la calculadora.

Parte del problema es el tipo de información establecida en los Planes y programas de estudio, 1993 y en el Libro para el maestro. Matemática de educación secundaria, materiales rectores del modelo actual en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Veamos la siguiente información sobre la calculadora, en el área de aritmética, en lo que respecta al Plan y programa de estudios (1993. p. 38), que menciona: “En particular, el trabajo en clase favorecerá la comprensión de no-

En el sentido de Moreno y Rojano (1990, p.331), bajo la teoría de “Instrumentos de mediación”.

Este pensamiento está basado en la concepción de la educación matemática, se sigue pensando en una matemática basada en la manipulación algorítmica.

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ciones aritméticas a partir de la solución de problemas muy diversos…y el uso inteligente de la calculadora”. Como se puede observar, la información básicamente es una invitación muy general que pasa desapercibida a los maestros de secundaria y que no les proporciona una base sólida para el uso de esta herramienta, cuya potencialidad permite llegar más allá de esto.

En conclusión, el uso de la calculadora es casi nulo en las escuelas secundarias, incluyendo telesecundarias; se puede decir que prácticamente los alumnos no la utilizan en su aprendizaje.

De lo expuesto hasta aquí surge la pregunta: ¿Cómo justificar el uso de la tecnología, en particular de la calculadora, en secundaria?; más aún , ¿cómo emplear la calculadora en el aprendizaje de conceptos matemáticos?, ya que como podemos ver el sustento que aparece en los documentos oficiales antes mencionados es somero y da pie a ser ignorado ya que no proporciona un fundamento sólido.

Justificación El papel de las calculadoras, computadoras y, en general, de las nuevas tecnologías va más allá de ser una simple herramienta que ayude al ser humano a realizar sus actividades con economía de tiempo y dinero, así como de esfuerzo cognitivo; ellas modifican el pensamiento de quien las usa. Algunos autores las han llamado instrumentos de mediación, medios donde se puede efectuar el pensamiento y desarrollar aprendizaje de conceptos matemáticos.

En este punto desarrollaré algunas ideas que creo impor tantes para explicar los fracasos señalados anteriormente, hablaré sobre el potencial que tienen estas herramientas con respecto al aprendizaje y sobre algunas teorías que comparto y creo que proporcionan los elementos necesarios para tratar este tipo de problemas, como son la de “Instrumentos de mediación” y “Sistemas Semióticos de Representación”, que

no se contraponen a otras existentes con respecto al aprendizaje.

Indudablemente, el uso de la calculadora requiere una reflexión profunda que lleve al maestro a su empleo adecuado y eficiente. Comenzaré por exponer lo relacionado con el marco institucional, posteriormente incluiré una clasificación que permita diferenciar las características técnicas (electrónicas) con las que las calculadoras están construidas —ya que las bondades educativas que nos proporcionan se basan en ellas— y finalizaré con algunas ideas que nos permitan entender que las tecnologías son instrumentos de mediación.

A) Marco institucional Como ya señalé, el documento oficial y rector de la enseñanza es el Plan y programas de estudio 1993. Educación Básica Secundaria, el cual menciona en varias de sus páginas el uso de la calculadora. Para primer grado, en el subtema “Los decimales y sus operaciones” dice: “Uso de una tabla de cuadrados y de la calculadora para obtener la parte entera de una raíz cuadrada de un número”... “Cálculos con números truncados y redondeados para aproximar o estimar un resultado o para controlar el resultado obtenido en una calculadora” (p. 41). Para “Fracciones”: “Comparación de fracciones previa reducción a un común denominador o realizando la división a mano o con calculadora” (p. 42). En “Proporcionalidad”señala: “Cálculos con porcentajes…Elaboración de tabla de aumentos y descuentos en un porcentaje dado (multiplicación por un factor constante en la calculadora)” (p.42), y para “ Números con signo”: Suma y resta de números con signo. Uso de la calculadora (teclas +/ -, M+ y M-)” (p. 42). En el caso de segundo grado indica: “Potencia de 10 y notación científica y exponencial, su uso en la calculadora y en las ciencias” (p. 45) y: “Uso de la calculadora para construir tablas de valores de polinomios sencillos” (p.46). Para el tercer grado encontramos algunas actividades. En el área de “Álgebra”: “Funciones dadas por fórmulas, por tablas, por grá-

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La calculadora y los sistemas semióticos ...

ficas, por teclas de calculadoras”(p.48), en “Elementos de trigonometría”: Valores del seno, el coseno y la tangente para los ángulos de 30o, 45o y 60o.

Uso de tablas (ejercicios de interpolación) y calculadora para los otros ángulos agudos” (p. 51).

Los párrafos anteriores son los únicos que explícitamente mencionan el uso de la calculadora en el aprendizaje de las matemáticas y corresponden a subtemas de las áreas de “Aritmética” y “Álgebra”, excepto una actividad para “Geometría” en tercer grado. Como puede observarse han quedado fuera “Geometría”, “Presentación y tratamiento de la información” y “Nociones de probabilidad”. En ningún caso hay sugerencia de actividades, por lo que corresponde al maestro plantear y diseñar éstas y, ante la ausencia de fundamentación, debe formarse una serie de argumentos válidos para rebatir las opiniones de los padres de familia. Pero debo decir que estas actividades aún no se realizan en las aulas de clase de las tres vertientes de matemáticas en secundaria, haciéndose esto aún más crítico en el sistema de telesecundaria, lo que hace evidente que la información presentada por el material oficial no es suficiente y que el maestro no tiene otra vía para acceder a nueva información (no hay cursos de capacitación que incluyan las nuevas tecnologías y su didáctica). El lado positivo de este material es el esfuerzo por incluir oficialmente el uso de estos instrumentos en el aula, dando pauta a que el maestro incursione en esta nueva práctica educativa4 y éste es el primer argumento que el profesor de grupo tiene a favor.

B) Distintas calculadoras Respecto a la clasificación de las calculadoras, se pueden encontrar varias diferentes; sin embargo, la importancia no radica en el nombre da-

4

26

do sino en la potencialidad del instrumento. A manera de explicar ésta retomaré la siguiente clasificación. Una calculadora puede ser: a) sencilla, también llamada de bolsillo, que maneja sólo la representación numérica, y b) científica, que realiza funciones comunes (sen, cos, ln, etc.) y algunas cuentan con funciones de graficación.

Para el nivel de educación secundaria, el conocimiento técnico sobre las calculadoras tiene gran importancia ya que de ello depende su adecuada utilización en el grado correspondiente.

Quiero decir que algunas actividades se efectúan de diferente manera según el tipo de calculadora y de ello depende su empleo de acuerdo al programa de estudios. Con el objeto de poner un ejemplo, para calcular la potencia 45=, la actividad con una calculadora sencilla se muestra en la tabla 1 y con una calculadora científica en la tabla 2.

Es clara la diferencia existente para realizar esta operación en ambos tipos de calculadora.

Es importante mencionar que las calculadoras científicas varían mucho en su tecnología debido a la gran cantidad de marcas que existen en el mercado (Sharp, Cassio, Texas Instrument, etc), por lo que el lenguaje que ocupan para su escritura también varía, modificándose la forma en que manejan las reglas algebraicas así como las propiedades de graficación. Son todas estas caTecla

4

x

=

=

=

=

Display

4

4

16

64

256

1024

42

43

44

45

Tabla 1. Calculadora sencilla.

Tecla

4

Yx

Display

4

Y

Tabla 2. Calculadora científica.

Veinticinco años de uso de la calculadora en Estados Unidos. Ver Waits B. K. & Demana F. (1999, p.1).

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x

5 y

x

= 5

1024

Figura 1. Calculadora algebraica (T1-92).

5

La calculadora simbólica puede realizar cálculos como factorizar un polinomio —la variedad de trinomios vistos en secundaria—, operaciones aritméticas con expresiones algebraicas, desarrollo de expresiones algebraicas, solución de ecuaciones lineales y no lineales, etc. (con el menú “F2 Álgebra”), derivada de una función, integrales, etc. (con el menú “F3 Cale”), (figura 1). La entrada de las órdenes se muestra en la tabla 3 y aparecen en la “línea de entrada”. Esta calculadora maneja estrictamente álgebra simbólica y numérica.

4

Línea de entrada

4

4

5

Enter

4 5

>

Tecla

> >

racterísticas las que dan la potencialidad didáctica. Se observa, evidentemente, la demanda de una diferente capacidad cognitiva del usuario para realizar una misma operación matemática con dos calculadoras distintas.

Con la aparición de calculadoras más sofisticadas se ha agregado, de acuerdo a Moreno y Rojano (1999. p. 331), una categoría más: las calculadoras c) algebraicas5. Esta nueva categoría obedece a que este tipo de instrumentos maneja representaciones numérica, gráfica y simbólica. Uno pensaría que las diferencias son insignificantes ya que sólo se anexa el manejo de la representación simbólica; sin embargo, la trascendencia va más allá de una simple diferencia, hace imprescindible el conocimiento técnico y la teoría que gira en torno a ella.

Un ejemplo de este tipo de calculadora es la T1-92 —y algunas antecesoras— de Texas Instrument. Para tener una idea más clara de su funcionamiento debo decir que contiene una versión del software DERIVE que se encarga del cálculo simbólico y del manejo de la representación numérica, algebraica y gráfica; además, contiene una versión del software Cabri-Geometry II (geometría dinámica), útil para la enseñanza de la geometría. Esta calculadora tiene la bondad de poder abarcar las cinco áreas del currículum de enseñanza secundaria. Para terminar con el ejemplo, en la T1-92 tenemos que diferenciar las cuatro partes del display, en orden descendente (figura 1): Barra de herramientas, Área de historia, Línea de entrada y Línea de estado.

Área de historia

45

1024

Tabla 3. Calculadora algebraica (TI-192).

Cabri-Geometry II es un software que ha dado una gran cantidad de frutos en su utilización en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, específicamente en geometría. El término “geometría dinámica”— que quizá es nuevo para muchos colegas del nivel básico— consiste en poder obtener movimiento de las figuras geométricas (como si estuvieran vivas) donde el invariante es el cumplimiento de las propiedades geométricas; en él hay un tópico muy discutido: el dibujo y la figura geométrica.

C) Instrumentos de mediación Ahora bien, si compartimos la idea de Moreno (1999. p. 327) que dice: “Toda acción cognitiva es una acción mediada por instrumentos materiales o simbólicos”, la acción cognitiva necesita un medio para expresarse, de otra manera sería imposible. Por ejemplo, la lengua hablada es un instrumento de mediación, así mismo la lengua escrita (símbolos); asi, también, tenemos herramientas como el lápiz y el cuaderno, la compu-

Otros autores las han llamado “calculadoras simbólicas”.

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La calculadora y los sistemas semióticos ...

tadora, la calculadora, etc., y todas ellas permiten realizar una acción cognitiva. Con la calculadora algebraica es posible trabajar concepciones matemáticas en evolución en el estudiante; es decir, se van adquiriendo niveles de abstracción de los conceptos matemáticos y el profesor puede ver el desarrollo. También es posible contextualizar los objetos matemáticos de tal manera que el medio proporcione recursos que estimulen la construcción de significados. Esta herramienta es un medio que funciona como soporte para el anclaje entre los conocimientos previos del alumno y los nuevos, es un instrumento de mediación en el cual se pueden abstraer ideas y conceptos; hablando en términos más precisos, la calculadora es un dominio de abstracción.

Es importante no dejar de lado que en estos dominios de abstracción se pueden expresar relaciones matemáticas más generales pero que dependen del medio —llamadas abstracciones situadas—y que son las que dan la potencialidad a las calculadoras.

Las ideas anteriores, que ponen en énfasis la relevancia de las calculadoras, deberían ser conocidas por los profesores de grupo con mayor profundidad para, entonces, modificar sus conceptos y pasar a ser el segundo argumento en favor del uso de la calculadora hacia la comunidad que lo objeta; así, vislumbraríamos una nueva cultura de los sistemas computacionales.

Las calculadoras algebraicas permiten manipular los sistemas semióticos de representación —como ya dijimos, son instrumentos de mediación. Con esto quiero decir que existe una relación estrecha con dicha teoría, la que se da en términos como: registros de representación, visualización, congruencia o no entre registros, etcétera.

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En el sentido de Duval (1999, p.10).

Traducción del inglés.

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Uno de los grandes obstáculos del aprendizaje de conceptos matemáticos —entre ellos el de función— es la falta de una conversión congruente entre registros6 de representación. Esto es frecuente cuando el aprendizaje de los conceptos matemáticos sigue una didáctica tradicional, la que, en la actualidad, en la mayoría de las escuelas, se sigue practicando. La teoría de “Sistemas semióticos de representación” sostiene que la aprehensión de un objeto matemático es una aprehensión conceptual y la actividad sobre los objetos matemáticos es sólo por medio de las representaciones semióticas.

De aquí que Duval (1993. p. 176) diga: “Si se llama semiosis a la aprehensión o a la producción de una representación semiótica, y noesis a la aprehensión conceptual de un objeto, es necesario afirmar que la noesis es inseparable de la semiosis”. He aquí la importancia de la coordinación entre registros de representación. Duval (1999, p.

12)7 menciona: “Estas conexiones entre registros constituyen la estructura cognitiva por la que los estudiantes pueden reconocer el mismo objeto a través de sus diferentes representaciones…”.

El eje central para la adquisición de un concepto matemático radica en la actividad que se pueda realizar en las diferentes representaciones; esto implica actividad en un registro, “tratamiento” y posterior coordinación entre los diferentes registros y “conversión” —el único obstáculo es la no congruencia entre registros— encaminada a construir la estructura cognitiva, hasta lograr reconocer al objeto matemático en sus diferentes representaciones.

Por ejemplo, no se puede acceder al concepto de función por medio de una definición, es necesario tener actividad con las diferentes representaciones, con las expresiones algebraicas, tablas, gráficas y lenguaje natural; tal actividad implica creación, tratamiento y conversión en-

Conclusiones La relación que he tenido tanto con alumnos como con maestros ha motivado un interés hacia

la búsqueda de una práctica docente de mayor calidad que, por lo menos, justifique mis actitudes docentes y me permita no tener una práctica educativa que vaya a la deriva, hacia donde el viento de la ignorancia, la apatía y el conformismo la lleven, viendo sólo pasar a las generaciones de alumnos. Estoy plenamente seguro que un gran número de compañeros maestros comparten mis preocupaciones y anhelos.

Las investigaciones sobre la repercusión de la calculadora en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas y las posiciones respecto a ellas serán motivo de otra reflexión, en las que se profundizará sobre actividades particulares del uso de la calculadora. Sin embargo, adelanto que existen verdaderos avances en el aprendizaje de las diferentes áreas de las matemáticas cuando se emplea esta herramienta.

Espero que las ideas aquí planteadas sean solamente el principio de una reflexión más amplia y que sirvan para desarrollar una cultura más profunda del uso de medios computacionales en educación matemática.

tre representaciones. Como he mencionado, las calculadoras algebraicas tienen este potencial: manipular las representaciones.

Si conjugamos las ideas anteriores, se pueden lograr actividades didácticas con los recursos de la calculadora como instrumento de mediación cognitiva —proporcionando diferentes sistemas de representación— en la cual los alumnos puedan desarrollar conjeturas y generalizaciones matemáticas logrando, así, la adquisición del concepto matemático. Ante todo lo expuesto debemos considerar que estamos ante la posibilidad de poner en práctica actividades utilizando la calculadora algebraica para lograr el aprendizaje de conceptos matemáticos integrados en alumnos de secundaria y, específicamente, en el modelo de telesecundaria.

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La Internet: un medio con posibilidades educativas Víctor Larios Osorio

La tecnología de las comunicaciones se ha expandido vertiginosamente en las últimas décadas. Una de éstas fue iniciada hace casi medio siglo como un experimento militar y se ha desarrollado como una posibilidad académica y de información sobre investigación y educación. Este trabajo contiene algunas reflexiones sobre el impacto que podría tener la Internet en el ámbito educativo, tanto para los niveles básicos de educación como para la formación y actualización del magisterio, como un medio de comunicación con amplias posibilidades. Pero también se plantean algunas de sus dificultades actuales y se advierte de las desventajas de no tomarla en cuenta en la educación desde un punto de vista institucional y personal. Al final, como anexo, se incluyen algunas direcciones en la Internet con contenido educativo o relacionadas con la educación y el uso de esta tecnología.

Antecedentes e historia de la Internet Las computadoras electrónicas son aparatos que en las últimas dos décadas se han introducido masivamente en casi todos los ámbitos de la vida. Es posible encontrarlas en las oficinas, en los bancos, en los negocios, en los hogares, donde las usan incluso niños pequeños y, por qué no, en las instituciones educativas. Íntimamente relacionados se encuentran los avances en comunicaciones que también han tenido un gran desarrollo.

Por diversas razones se ha buscado que las denominadas computadoras personales se puedan comunicar entre sí, principalmente para compartir recursos, es decir, información. Esta búsqueda ha llevado a crear enormes comunicaciones entre computadoras, al grado de realizarse estudios formales sobre sus posibilidades, tamaños y topologías. Hasta ahora, la red

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que ha tenido mayor influencia a nivel mundial es la llamada “red de redes”: la Internet.

A finales de la década de los sesenta se buscó en los Estados Unidos la creación de un sistema militar de comunicación entre computadoras que permitiera enviar y recibir información desde cualquier punto de dicho sistema, con la enorme y ventajosa posibilidad de que pudiera seguir funcionando a pesar de que uno o varios de sus nodos fuesen destruidos. A partir de la tecnología que tenían los militares, y con la colaboración de algunas universidades, se creó una red que unía a cuatro computadoras (servidores o hosts) y tomó el nombre de Arpanet, que constituía “un diseño de red descentralizada, sin un nodo central estratégico, y un conjunto de protocolos que permiten una comunicación fiable utilizando medios diversos (red telefónica, satélites, líneas dedicadas, etc.) y poco seguros” (Adell, 1995b). A principios de los ochenta

ya existían un centenar de servidores conectados, número que fue aumentando paulatinamente, especialmente cuando en 1983 se unieron a la Arpanet la Csnet (Computer Science Network) y la Milnet (la red militar estadounidense), y cuando en 1986 se crea la Nsfnet ( de la National Science Fundation de los Estados Unidos). El resultado: la Internet, que de los 100 000 servidores que conectaba en 1988 ha crecido exponencialmente hasta pasar a 43 millones alrededor de todo el planeta a inicios de 1999 (ISC, 1999).

Para tomar en cuenta a la Internet Esta red se ha convertido en un recurso para la investigación y la educación, a cuyo alrededor se ha creado una enorme cantidad de mitos que hablan incluso sobre la obtención de cualquier tipo de datos. Sin embargo, se puede considerar que la Internet es, básicamente, un medio de comunicación con ciertas posibilidades: Se trata de un recurso para la comunicación entre las personas. La Internet nos permite a los investigadores compartir información, conseguir documentos técnicos, difundir nuestro trabajo, buscar información en bases de datos conectadas a la red, etc. Es una herramienta de primera magnitud, especialmente para aquellos países que importan información científica o que tienen menos desarrollados los canales tradicionales. (Adell, 1994).

A pesar de algunas dificultades que entraña, como el hecho de que la información no está ordenada o que casi el 80% de ésta se encuentra en un solo idioma diferente al español: el inglés (UNDP, 1999), este medio de comunicación presenta posibilidades muy amplias en la cuestión educativa. Pensemos en el intercambio de información entre colegas que se puede realizar en cuestión de minutos a pesar de hallarse éstos separados por centenas o miles de kilómetros, abriendo posibilidades como la de realizar consultas con especialistas, llevar a cabo cursos

a distancia, permitir a los alumnos establecer contacto con personas de otras culturas y otras naciones.

Algunos países industrializados ya ven estas posibilidades a gran escala. Por ejemplo, en los Estados Unidos, donde se calcula que poco más de un cuarto de su población utiliza la red, se estimaba que en 1994 alrededor de 250 000 usuarios estaban relacionados con la educación básica; además, se calculaba a inicios de 1999 que el 81% de sus escuelas y el 51% de sus aulas tenían conexión. La estimación es que a fines de este año los porcentajes sean del 99% y el 88%, respectivamente; y, según la iniciativa NII (National Information Infraestructure) de la administración federal de ese país, para este año el porcentaje de escuelas y bibliotecas conectadas a la red llegará al 100% (véanse Adell, 1995b; NCES, 1999).

En el caso de México, los datos muestran que aún no existe un impulso tan fuerte. Por ejemplo, de 1995 a 1998 el porcentaje de usuarios en el país con respecto al total mundial pasó del 0.5% a poco más del 1%; pero de éstos, el 24% estaba relacionado con la educación (en general) en 1997 y para 1999 el porcentaje era del 17%. Es decir, aunque han aumentado los usuarios de la Internet en México relacionados con la educación, su proporción ha disminuido con respecto al total. Por otro lado, sólo el 5% de las computadoras personales en México estaban dedicadas a la educación entre 1997 y 1999; y de las que estaban conectadas a la Internet, sólo el 13% estaban destinadas a la educación en 1997, y para 1999 sólo el 7%. De hecho, a nivel general, México a inicios de 1999 poseía sólo el 0.26% de los servidores web de todo el mundo. Sin embargo, ya existen instituciones que han comenzado a usar la Internet para llevar a cabo programas de estudios a distancia, entre los que destacan la UNAM y el ITESM, pero las posibilidades aún pueden desarrollarse más (véanse Farrell, 1999; ISC, 1999).

Actualmente, ya se hacen llamados a los docentes para que vean la necesidad que existe de

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conocer este medio y reflexionar sobre su posible impacto en la educación. En 1999, en la ciudad estadounidense de Atlantic City, se reunieron más de 7,000 profesores para la realización de la NECC´99 (National Educational Computing Conference, 1999) y se planteó como urgente la necesidad de capacitar a los docentes en los temas relacionados con la Internet ante la situación de considerar que este recurso cambiará la educación al plantear, entre otras cosas, información actualizada al alcance de los alumnos y la posibilidad de que éstos aprendan a buscar y manejar información eficazmente.

Servicios con posibilidades educativas en la Internet Al observar más detenidamente a la Internet se descubre que no se le puede considerar únicamente “un medio de comunicación”, sino más bien “un paquete de medios de comunicación”, aunque lo común es referirse a los servicios de comunicación que ofrece la Internet. Estos servicios pueden ser usados de una u otra manera en la educación, por lo que están esbozados a continuación: Correo electrónico: Es uno de los más populares usos que tiene la Internet y es el envío de mensajes electrónicos a través de la red. La entrega se realiza en cuestión de minutos y las respuestas, cuando los destinatarios están disponibles, se pueden recibir casi inmediatamente, sin importar las distancias. Pero también es posible contestar después de un tiempo, sin importar la distribución geográfica o los husos horarios. Es posible incluir no sólo el texto del mensaje, sino también darle formato o enviar archivos.

En términos de colaboración, éste es un medio que permite llevar a cabo intercambio de información entre investigadores que colaboran entre sí, entre docentes que compar-

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ten sus experiencias o entre alumnos que buscan información o realizan proyectos en equipo.

Además, tiene la ventaja de que es posible enviar un mismo mensaje, y de una sola vez, a varios destinatarios simultáneamente.

Listas de discusión: Como se acaba de mencionar, el correo electrónico permite el envío de mensajes a varios destinatarios simultáneamente. Una lista de discusión es un conjunto de personas interesadas en un tema que envían sus mensajes a una sola dirección de correo electrónico para que, desde ahí y en forma automática, esos mensajes sean reenviados a todos los usuarios que se han inscrito en la lista. En ocasiones las listas tienen un moderador que filtra los mensajes y elimina aquellos que no tienen que ver con la temática de la lista o grupo antes de que se envíen a los participantes, y en otras ocasiones son “abiertas”, permitiendo el envío de cualquier mensaje sin ningún tipo de limitación.

FTP anónimos El FTP (File Transfer Protocol) es un protocolo que permite el envío de archivos a través de la red. Éstos deben encontrarse en algún servidor y el usuario debe tener acceso permitido. Los FTP anónimos permiten acceder a los archivos que se encuentran en dicho servidor sin necesidad de saber alguna palabra clave y así copiarlos a su computadora personal. Por lo general, estos archivos contienen información de divulgación o que se tiene el interés de que circule gratuitamente o a un costo muy bajo.

IRC (Internet Realy Chat): Es un medio para establecer contacto directo con otros usuarios y, en tiempo real, llevar a cabo una “plática”. Se ha convertido en un medio muy popular para pasar el tiempo “conversando” con personas en otras partes del mundo, pero también ofrece la oportunidad de pro-

porcionar apoyo o asesoría en-línea, de realizar reuniones entre colaboradores que se encuentran separados pero que coinciden en algún proyecto y en el horario, o de llevar a cabo “conferencias”.

Actualmente, dos de los programas que más comúnmente se utilizan son el mIRC y el ICQ, distribuyéndose incluso materiales sobre cómo usarlos a fin de que se puedan explotar sus posibilidades.

Gopher: Es un sistema de entrega de información distribuido, que permite acceder a información local o remota a través de menús y en formato texto.

Este medio combina las características de los BBS (Bulletin Board Service) y las bases de datos, permitiendo establecer una jerarquía de documentos y la búsqueda en ellos por palabras o frases clave.

La WWW (World Wide Web): Es la más potente de las herramientas que posee la Internet y consiste en un sistema de hipertextos e hipermedios distribuidos en toda la red.

Aunque tiene la capacidad de usar otros servicios como el correo electrónico, el FTP, el telnet y el gopher, sus posibilidades como sistema hipermedia la han llevado a ser probablemente el servicio más difundido.

La WWW se sustenta en cuatro elementos fundamentales: un protocolo de comunicaciones propio (HTTP), un lenguaje para escribir documentos hipermedia (HTML), un sistema notacional para designar objetos en la Internet (URL) y un conjunto de software cliente/servidor (los navegadores o browser que se han ido popularizando). Estos cuatro elementos aparecen al “navegar” en la WWW, de manera evidente o no para el usuario, y deben ser tomados en cuenta en diferentes maneras por aquél que haga sitios ahí (Adell, 1995a).

Por sus posibilidades ahondaremos un poco más al respecto.

Hipertextos e hipermedios El sistema hipertextual fue desarrollado por Tim Berners-Lee en el CERN de Ginebra, Suiza, en 1990 e implementado en la Internet en 1991 con la finalidad de proporcionar a la comunidad internacional de físicos un acceso eficiente a la información.

Esta eficiencia se obtiene al cambiar la estructura de la información de una forma lineal, como un texto impreso, a una no lineal. Lo cual se logra al unir nodos por medio de ligas (nexos, enlaces o links) que forman una red (o “telaraña”) que puede ser recorrida por muchos caminos y con mucha más libertad, de acuerdo a las necesidades o intereses del lector. Para muchos, esta estructura de la información “posibilita nuevas estrategias de aprendizaje, es decir, organiza el pensamiento como una red semántica en la cual los conceptos son enlazados unos con otros a través de un proceso asociativo”. (De Benito y Morlá, 1998).

Para la Internet se ha desarrollado el HyperText Markup Language (HTML) y los archivos creados con este lenguaje se les denomina “documentos HTML”, que son documentos con estructura hipertextual. En general, en este tipo de documentos se establecen los nodos en los puntos de la información que pueden relacionarse con otros y las ligas o enlaces que los unirán. Así, de esta manera, las posibilidades de enlace entre nodos son varias (figura 1): • ligas que lleven de un nodo a otro que se encuentren en el mismo documento; • ligas que lleven de un nodo en un documento a un nodo en otro documento; • ligas que lleven de un nodo en un documento a otro documento; o • ligas que lleven de un nodo en un documento a un elemento (nodo) que no esté expresamente contenido en un documento HTML , como por ejemplo un gráfico o un dibujo.

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vés de la red de ligas en un hipermedio, entraña algunos peligros que deben ser tomados en cuenta por el diseñador. La expresión “perdidos en el hiperespacio” se refiere a una situación muy real y muy posible en la que puede caer un lector cuando:

Figura 1. Esquema de las posibilidades de ligas (líneas con flecha) entre nodos (bolitas negras) que están en documentos HTML (círculos grises).

Si a un documento hipertextual se le añaden algunos otros rasgos como es información visual, sonido, animaciones y otras formas de información, entonces se obtiene un material hipermedia, es decir, este concepto se extiende y engloba al de hipertexto. Pero además, se considera que su estructura ya no es únicamente lineal, sino que es hiperdimensional.

Hasta hace poco, la posibilidad de interacción entre el usuario de la WWW y la información disponible era muy poca. Afortunadamente, ahora es posible incluir formularios desarrollados en scripts (por ejemplo, con JavaScript o usando CGI´s) que le permiten al usuario enviar información y así contestar encuestas, realizar algunas operaciones o afectar al proceso mismo de navegación. También es posible incluir applets en lenguaje Java, que son pequeños programas que se insertan en los documentos HTML y se ejecutan para crear efectos visuales o sonoros, y que, además, pueden permitir al usuario establecer contacto con otros usuarios (como si fuese un chat), jugar, realizar operaciones y un largo etcétera. El papel del usuario de la WWW ya no es solamente el de ser un lector que “navega”, sino que además puede responder y realizar actividades más complejas en y a través de la red.

Sin embargo, la misma amplitud de posibilidades de “navegación” que se ofrece al lector y todas las rutas que se pueden establecer a tra-

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a) No sabe dónde se encuentra. b) No sabe cómo volver a algún lugar conocido c) No sabe cómo buscar la información que necesita o desea. d) Tiene la sensación de que, a pesar de sus esfuerzos, se está perdiendo algo importante.

(De Benito y Morlá, 1998).

La WWW tiene características que facilitan a los usuarios “perderse en el hiperespacio”, pero es posible reducir los riesgos a través de un diseño adecuado y claro del material, que permita ayudar al lector a determinar su localización, que se haga una idea de dónde están otros materiales y de cómo puede regresar a su punto de partida.

Conclusión Se puede decir que la combinación de la WWW y los hipermedios (incluyendo los hipertextos) representan una opción útil para el ámbito educativo, pues al combinar tanto las características de manejo de la información por medio de ligas con la de comunicación se obtiene un material que puede proporcionar un soporte educativo y que puede ser utilizado aun en los lugares más remotos del planeta (claro está, la exigencia es que sea posible conectarse a la Internet).

Existe la enorme ventaja de poder actualizar la información continuamente, añadiendo nuevos rasgos, corrigiendo o introduciendo temas, y no teniendo que esperar a que exista la posibilidad de otra edición impresa.

Pero además, y explotando el sistema hipertextual, es posible unir documentos que, común-

mente en el ámbito escolar, se trabajan de manera aislada, pues es tradicional que conceptos o personajes sean tomados en diferentes materias —o asignaturas— como diferentes conceptos o personajes, de tal suerte que, por ejemplo, una ecuación, en matemáticas, es una “cosa” diferente que una fórmula, en física, requiriendo incluso de tratamientos “diferentes”: una se resuelve, la otra se despeja. Para llevar a cabo esta unión sería necesario hallar los conceptos y los personajes comunes a varias disciplinas (las que se deseen) y comenzar a trabajar de una manera multidisciplinaria y en equipo. El resultado podría ser un enorme sitio web constituido por una gran cantidad de documentos, unidos entre sí por una gran telaraña de ligas. Este sitio, que contendría información sobre una gran variedad de materias y estaría destinado a una población interesada en diversos temas, no residiría necesariamente en un solo servidor y brindaría algo que se pide de manera recurrente: la posibilidad de eliminar la fragmentación del conocimiento y establecer sus aspectos multidisciplinarios, que no se tratan regularmente en las escuelas.

Claro está, hay que considerar el aspecto del diseño, pues un material mal estructurado, o pobre en información, sería inútil. El valor de un material de esta naturaleza no se mide en términos de la cantidad de los efectos sonoros o visuales que contenga, sino en su contenido y, en un grado no desdeñable, en su diseño y estructura.

Entonces, para un proyecto de este tipo se necesitaría el trabajo de un equipo que incluya no sólo a profesionales de las materias, sino también a conocedores del diseño y de la programación de hipertextos. Las posibilidades al respecto se detienen cuando el hardware lo impide, cuando los docentes lo permiten y cuando el trabajo en equipo no existe.

Además, algo importante a ser considerado es el hecho de que, inevitablemente, habrá cambios en la forma de enseñar e incluso en la es-

tructura misma de las escuelas en aquellos lugares que se opte por medios de este tipo, aunque sea de manera parcial.

Julio Cabero (1995) considera tres elementos básicos en el proceso educativo que deberán cambiar: el docente, el alumno y la estructura organizativa escolar.

El papel del docente dentro de la cultura escolar cambiaría, eliminándose el esquema unidireccional de la información, pues le tocará a este personaje propiciar el aprendizaje, diseñando situaciones para que se produzca y desarrollando sus capacidades para realizar un diagnóstico del alumno, auxiliándolo a través del asesoramiento.

Es importante que el profesor sea capaz de llevar a cabo este cambio, incorporando a su cultura los elementos necesarios para manejar y controlar estos medios de comunicación, pues un posible riesgo que se corre es que el mismo material se lo “coma”, llegándose a sentir que éste es lo importante y no la presencia y la actividad del profesor.

Por estas razones se puede considerar que el perfil del docente debe incorporar no sólo la parte de conocimientos y habilidades de los aspectos técnicos, sino también los conocimientos en aspectos didácticos y de comunicación relacionados con las tecnologías y su uso en educación. Debe asumir como una necesidad el estar perfeccionando y actualizando constantemente sus técnicas docentes, involucrándose en un proceso de revisión y evaluación continua de su práctica a través de una reflexión y una investigación personal de su propio quehacer.

Los alumnos deberán abandonar el papel de receptores pasivos, lo que de hecho se ha vuelto una situación cómoda para ellos que les ha eliminado las exigencias que les plantearían actividades que les llevaran a buscar información y conocimientos por su parte. La interpretación y el intercambio de la información son dos aspectos fundamentales a desarrollar, cosa que no ocurre en un ambiente que propicie actitu-

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des pasivas. Es recomendable que los alumnos posean buenas bases de lectura y escritura, así como cierta aceptación del uso de la tecnología.

En general, podemos hablar de un cambio en los papeles de ambas partes que se podría facilitar no sólo por medio de una capacitación, sino, más que nada, a través de una educación que permita el uso adecuado de estos medios de acuerdo a los fines educativos que se persiguen.

La estructura organizativa de una institución que pudiera tomar en cuenta una iniciativa de este tipo tendría que modificarse, pues generalmente está basada en características muy particulares, tanto de lugar y de tiempo como del equipo humano que labora. La Internet, con sus características como medio de comunicación, tiene otros rasgos y, por tanto, habría que modi-

ficar la estructura escolar para que se adaptase, aunque fuera parcialmente, a éstos.

Los cambios ya se están comenzando a dar y el docente tiene la responsabilidad, junto con las instituciones educativas, de estar al tanto y prepararse para ellos. Es posible realizar una labor multidisciplinaria que eliminaría en parte el carácter fragmentado que comúnmente se le ha otorgado al saber en las escuelas, impulsando, además, a que los alumnos sean buscadores y constructores activos de sus propios conocimientos.

Es muy posible que la única manera que tiene un docente para poder aprender el manejo racional de un medio de comunicación tan amplio como es la Internet sea a través de una capacitación y una reflexión, personal e institucional, sobre sus posibilidades, usos y limitaciones.

Algunos sitios en Internet con contenido educativo y relacionado Conferencias Internacionales de la WWW: http://www1.cern.ch/WWW94/ http://www.ncsa.uiuc.edu/SDG/IT94/IT94Info.html http://www.igd.fhg.de/www/www95/ http://www.w3.org/Conferences/WWW4/ http://www5conf.inria.fr/

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NTI Group (Universitat Jaume I, España): http://nti.uji.es/ Museos virtuales (de arte o de ciencia):

Revista Electrónica de Investigación y Evaluación Educativa “RELIEVE”: http://www2.uca.es/RELIEVE/ Revista Tarbiya de investigación e innovación educativa: http://www.oei.es/na70334.htm Revista electrónica The Labyrinth/Forum. http://www.mcli.dist.maricopa.edu/labyforum/

Revista electrónica Netdidáctica. Internet en el Aula: http://www.cip.es/netdidactica/ Revista electrónica de historia de los siglos XVIII y XIX Contemporanea (Italia): http:// www.spbo.unibo.it/bologna/dipartim/dist/biblioteca/contemporanea/

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Revista Electrónica de Invetigación Educativa REDIE (Univ. de Baja California): http://redie.ens.uabc.mx/

Biblioteca Virtual Miguel de Cervantes:

Lista de correo electrónico “Computo en Docencia” de la UNAM: http://itzamana.dgsca.unam.mx/cod/

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Catálogo de revistas electrónicas: http://biblioweb.dgsca.unam.mx/revistas/

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Sitio “Cut the Knot” con atracciones matemáticas: http://www.cut-the-knot.com/

Tabla periódica de los elementos: http://www-tech.mit.edu/Chemicool/

Hipertexto “MendelWeb”: un recurso para biología: http://www.netspace.org/MendelWeb/

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Certidumbres e incertidumbres

¿Qué saben los niños y jóvenes sobre ciencia?

Alejandra González Dávila

E

l análisis sobre lo que dicen los estudiantes en sus clases de ciencias de primaria y secundaria es de gran ayuda para la docencia.

En la enseñanza de las ciencias encontramos problemas viejos que siempre son nuevos dado que en cada grupo escolar tenemos alumnos diferentes que si bien parecen preguntar lo mismo o tener las mismas dificultades que otros, en realidad elaboran sentidos muy particulares sobre la noción de naturaleza.

Dado que la única posibildad de acercarnos a lo que el otro piensa es a través de sus manifestaciones, las argumentaciones de maestros e investigadores con respecto a la lógica de razonamiento de un individuo y específicamente de un alumno, no son sino interpretaciones construidas para otorgar significados y posibles respuestas a su desempeño escolar. Tener esto en cuenta es importante para dejar de lado la suposición de que la investigación proporciona respuestas absolutas aplicables a cualquier situación.

Si pretendemos conocer cómo los jóvenes están entendiendo los conceptos científicos que pretendemos enseñarles, es conveniente abrir espacios de comunicación para que ellos se manifiestan en formas verbales y no verbales dentro de situaciones determinadas.

Los gestos, los movimientos en el salón, el modo de sentarse, la conversación entre compañeros de banca, las preguntas que nos hacen, los apuntes que realizan, la manera en que siguen instrucciones, la manipulación de materiales, la forma de seguir procedimientos, y hasta los silencios tienen algún significado.

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Pero el lenguaje es sumamente importante porque para llegar a aprender ciencia, es necesario hablar ciencia. Los alumnos necesitan describir con palabras la experiencia del conocimiento científico (Lemke, 1997), utilizando los mecanismos propios de la interacción entre maestro y alumnos, y entre alumnos entre sí. Cuando un maestro elabora un discurso-monólogo, si bien puede ser legítimo de acuerdo con los cánones del lenguaje científico no está desarrollando el pensamiento requerido para hacer ciencia. De hecho, una de las las habilidades requeridas en la actividad científica es precisamente la argumentación y el pensamiento hipotético.

¿Qué tanto saben los alumnos sobre ciencia?

Al igual que cualquier ser humano en toda época de la historia, los alumnos tienen ideas sobre varios fenómenos de la naturaleza, no solamente porque los hayan presenciado físicamente, sino porque viven en una sociedad en la que su familia y su entorno comunitario transmiten sentidos y valores culturales sobre las manifestaciones naturales. En la actualidad los medios de comunicación juegan un papel relevante en la formación de concepciones sobre el mundo que tienen niños y jóvenes.

Competir con esas preconcepciones es un reto para el docente porque puede provocar rechazo del alumno hacia el tema cuando se trata de imponer una verdad que no parece tener lógica en el pensamiento de los estudiantes. Cada uno

de ellos se ha formado una idea sobre el átomo, las estrellas o los seres vivos, que es una combinación de sus propias experiencias vivenciales con sus procesos mentales. Y todo esto ocurre dentro de un marco de interacción social.

La observación en el aula Algunos investigadores han señalado la importancia de analizar lo que dicen los estudiantes en sus clases de ciencias de primaria y secundaria. De acuerdo con Driver (1992) es necesario dejar de lado el escritorio desde el cual se pretende elaborar la teoría sobre la construcción de conceptos en la ciencia, para ir en busca de las ideas previas de los niños, que son definitivas en esa labor.

Para averiguar qué ideas tienen los jóvenes es necesario estimular su participación y expresión cuando, por ejemplo, realizan un experimento o relatan algún fenómeno significativo para ellos en clase.

En la incorporación de nuevas ideas se requiere de un contraste, un modelo o un punto de partida que sea familiar con las nociones que ellos tienen. Si sus ideas no se toman en cuenta para explicar conceptos científicos pensarán que la ciencia es algo inaccesible para ellos porque los excluye de la posibilidad de comprenderla. Lo importante no es competir con sus preconceptos, sino mostrarles lógicas distintas que amplíen sus posibilidades de comprensión y de elaboración conceptual.

Investigación cualitativa en la enseñanza Si bien las entrevistas con los alumnos son muy importantes para conocer qué es lo que piensan en relación a un tema o concepto, la informa-

ción que podemos obtener está descontextualizada de lo que ellos pueden ser capaces de argumentar en el interior de un salón de clases.

De esta manera, el análisis de sus conversaciones, intervenciones en clase y acciones concretas en situación, puede ser de gran ayuda para comprender cómo los estudiantes van construyendo conceptos socialmente a través de la interacción en el habla y las secuencias de turno (Cazden, 1990).

La obtención de registros a partir de la videograbación de clases de ciencia permitiría analizar cuál es el sentido que tanto los alumnos como el maestro van otorgando a los conceptos en las interacciones discursivas, y si el significado otorgado a los conceptos en la estructura del habla es semejante, contradictoria o producto de una negociación entre alumnos y maestro.

La comunicación en el aula es una fuente de información importante para conocer a través del lenguaje cuáles son los esquemas que manejan los alumnos para construir un concepto.

¿Errores o lógicas distintas?

La actitud abierta del investigador es indispensable para ampliar la visión de lo que ocurre con el razonamiento de los niños. Dado que los seres humanos tenemos una forma muy particular para interiorizar significados, los entrevistadores, etnógrafos y analistas del discurso en el aula también están influidos por estructuras teóricas, expectativas e ideas personales (Candela, 1998).

Esto no es malo ni va en detrimento de la investigación, simplemente hay que hacer explícitos todos estos elementos en un reporte de investigación y dar cuenta de las posibilidades de interpretación, lo cual otorga una gran riqueza al trabajo porque deja abierta la puerta para otro

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punto de vista sobre el mismo hecho, de manera que pueden confrontarse puntos de vista.

Un ejemplo de esto es expuesto por Driver. Se trata del caso de Tim, un alumno entrevistado que muestra un ejemplo de razonamiento que podría haber pasado simplemente por incorrecto e incoherente si el investigador hubiese tomado rígidamente el concepto de peso. Tim intuye la noción de energía potencial cuando piensa que los objetos pesan más conforme aumenta la distancia a la superficie de la tierra porque un objeto que se deja caer “golpea más fuerte” que uno que está cerca.

Esto demuestra cómo los supuestos errores de niños y adolescentes, que son vistos así por sus profesores, no obedecen a incoherencias sino a una elaboración de sentido dentro de la lógica del alumno. Encontrar esta lógica tiene mayor relevancia para el conocimiento humano en general porque es una fuente de datos para la epistemología, para las ciencias de la educación, para las ciencias del lenguaje y para la ciencias de la naturaleza, por lo menos.

Rastrear los errores de los niños es una labor científica en sí misma. Driver y sus colegas consideran que las interpretaciones que parecen incoherentes en los niños precisamente carecen de estructuras teóricas elaboradas como las que un científico posee. Por lo tanto no pueden ser las mismas. Un niño posee un bagaje cultural pleno de sentido común y explicaciones sencillas que se va desarrollando conforme aumenta la socialización, esto es, en la adolescencia. Así, lo que los niños son capaces de aprender depende de lo que tienen en la cabeza y del contexto de aprendizaje; depende de sus esquemas que no son sino relaciones entre hechos, entre personas, ambientes físicos y emocionales.

Quizá valdría la pena tomar la idea de Edwards-Mercer sobre el conocimiento compartido, a su vez derivada de Vygotsky, en la que se

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cuestiona la visión evolutiva individual piagetiana sobre el aprendizaje. Los esquemas también son construidos socialmente y no sólo a partir de ciertas etapas evolutivas específicas.

Sobre este asunto Driver y colaboradores realizan una analogía a modo de ejemplo entre la incorporación de conceptos a los esquemas del individuo, con la incorporación de un alumno de nuevo ingreso en un grupo de alumnos ya formado. El grado de aceptación y de integración al grupo depende de qué tanto afecta la inserción de este alumno en los grupos de amigos internos. Lo mismo ocurre con los conceptos.

Su incorporación depende de los esquemas mentales que ya están dentro del sujeto, pero que han sido construidos mediante la interacción social.

¿Qué ganamos al comprender las ideas de los estudiantes?

El equipo de Rosalind Driver nos propone lo siguiente : 1. Al conocer sus ideas podemos elegir los conceptos que se enseñarán. Algunas cosas aparentemente obvias y sabidas no lo son tanto y hay que considerarlas en un curso escolar.

2. Elegir experiencias de aprendizaje que entren en conflicto con las expectativas de aprendizaje de los alumnos. Existen ciertos experimentos clásicos cuya obviedad no causa el efecto deseado en los alumnos, es decir, los aburren y no los motivan a pensar. Por ejemplo, en lugar de reflejar la luz en un espejo, se puede hacer en una hoja blanca con la luz apagada.

3. Involucrarlos en la presentación de objetivos de las actividades de aprendizaje, para que tengan presente la intención y puedan eva-

cepto tiene para cada alumno. Dado que muchos conceptos científicos se encuentran inmersos en el lenguaje cotidiano y son manejados de acuerdo a un sentido común que puede estar en conflicto teórico con la visión legitimada por la ciencia, aprender ciencia no es precisamente comprender algo nuevo, sino darle el sentido apropiado.

luar hasta qué punto han elaborado un concepto.

4. Mejorar la comunicación interna de la clase.

La comunicación de un conocimiento cuyo objetivo es que el interlocutor aprenda requiere de un contexto de aprendizaje en el que los actores principales se sientan involucrados en el parlamento para poder dar un sentido que sea manifestado en el lenguaje, verbal o no verbal.

Conclusión La interacción social en el aula es el marco discursivo que puede inhibir o desarrollar el razonamiento sobre un concepto de acuerdo a los esquemas individuales, que tienen su origen en la interacción social, de acuerdo con Vygotsky.

Saber cómo piensan los jóvenes es de gran ayuda para saber cuál es el sentido que un con-

Bibliografía CANDELA, A. Evidencia social y hechos. La construcción social del conocimiento científico en el aula. Ponencia inédita presentada en el Museo de la Ciencia de Barcelona, 1998.

DRIVER, R.; GUESNE, E. & THIBERGIEN,A. Ideas científicas en la infancia y la adolescencia. 2a. de. Madrid, Morata, 1992.

EDWARS, N. & MERCER, N. El conocimiento compartido: El desarrollo de la comprensión en el aula.Temas de educación. Barcelona, Paidós, 1988.

LEMKE, J. Aprender a hablar ciencia. Barcelona, Paidós, 1997.

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Artistas y artesanos

No me ves, ahora sí me ves...

Retoque digital de la fotografía Julio César Ramírez Alcántara

D

esde sus inicios, la fotografía ha jugado un papel importante en nuestras vidas. Su poder de detener el tiempo (¿indefinidamente?) nos permite remontarnos a la época en que se efectuó un registro, lo que nos provoca una serie de ideas y emociones.

Las imágenes se han plasmado en una gran diversidad de soportes de acuerdo a los distintos periodos de evolución que ha tenido la fotografía. Soportes como el vidrio, las placas metálicas, el papel, las telas, etc., permiten que podamos visualizar personajes y acontecimientos importantes de la vida política, científica, social y cultural, no sólo de nuestro país sino de todo el mundo. No es menor la importancia de la fotografía para la memoria histórica de la familia. Ahí están los álbumes en donde encontramos a los bisabuelos en sus bicicletas, a los abuelos tomando el sol en un día de campo, a nuestros padres cuando eran jóvenes y se encontraban en su laboratorio escolar trabajando o acaso sólo tomando un café, y también a nosotros mismos cuando éramos niños..., ¡ah, esos tiempos!

Y como en esta vida nada es eterno, las imágenes también se borran, no sólo de nuestra mente sino también del soporte en el que se encuentran, es por esto que requiere de cuidados muy especiales para poder sobrevivir.

En la actualidad, la tecnología digital nos ofrece una alternativa más para poder recuperar esos espacios de tiempo y mantenerlos en buen estado, ya sea en nuestras computadoras personales o en algún otro medio, para ser vistas posteriormente. Es pues así que la tecnología nos da algunas herramientas que nos permiten “viajar” a alguna fecha especial y refrescar nuestra memoria.

Pero, ¿qué podemos hacer con aquellas imágenes que ya se encuentran deterioradas y que tienen un gran valor para nosotros? Bueno, una de las respuestas podría ser mandarlas a un laboratorio fotográfico especializado en donde nos puedan sacar un duplicado y entonces sí comenzar a cuidar nuestras imágenes. Pero, ¿qué pasa si una fotografía se encuentra rota o rasgada? La respuesta parecería ser, entonces, mandarla con un buen restaurador para que hiciera un trabajo acorde al estado de conservación en que se encuentra la imagen y posteriormente al laboratorio fotográfico para, nuevamente, obtener un duplicado.

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Si contamos con una computadora apropiada, software que tenga las herramientas para realizar esta actividad y un escáner podemos, nosotros mismos, retocar retratos digitalmente. Éste es un trabajo en el que la paciencia juega un papel determinante y hasta podríamos considerar que es una buena terapia para esos días en los que el estrés forma parte de nuestra vida. Una vez concluido el trabajo podemos guardar la imagen en el disco duro, en un CD o bien en un disco flexible.

Dependiendo del estado de deterioro que presente la fotografía, será o no necesario efectuar un procedimiento de restauración previo al trabajo de digitalización y retoque. El trabajo que presentamos a continuación es solamente una de las muchas formas que existen para realizar una “restauración” de las imágenes deterioradas. En él se usó una fotografía que presenta un estado de deterioro considerable, por lo que previo al retoque sería recomendable realizar un procedimiento de restauración. Para el trabajo se pueden emplear los programas Adobe Photo Shop y Corel Photo Paint.

En general, se comienza a trabajar el fondo, para lo cual existen dos opciones: eliminar el original y sustituirlo por otro, o dejarlo y “restaurarlo”. En este caso se respetó el fondo original que se retocó. Para las zonas estropeadas necesitamos de algunas herramientas específicas que cualquier software de tratamiento de imágenes trae integradas: la herramienta de pincel y la de clonación. Si trabajamos con el pincel debemos tomar en cuenta que el color con el que se vaya a pintar sea igual o lo más semejante posible al de la zona afectada. Es importante, también, elegir un tamaño de pincel adecuado.

Si usamos la herramienta de clonación el trabajo se nos facilita ya que no tendremos que estar tomando el color para pintar en cada momento. La clonación está basada en la copia de una zona definida por nosotros, que generalmente se encuentra en perfecto estado, contiene los colores que nos interesan y se ubica en alguna parte adyacente a la que queremos retocar. A la zona fuente se le llama ‘zona original’ y a la zona en la que plasmamos esta información se le da el nombre de ‘zona final’ y, generalmente, corresponde a las partes más deterioradas de la imagen. Esta operación se repite en todas las zonas estropeadas de la fotografía. Una vez terminado este proceso es conveniente hacer un difuminado para dar un aspecto de continuidad en los tonos de color; también se debe realizar un ajuste de tonos, brillo y contraste.

Al terminar con el trabajo de retoque se debe guardar la imagen en un archivo.

Para obtener una reproducción de buena calidad es recomendable guardar el trabajo final en un formato JPG que no comprime demasiado la información, por lo que las pérdidas de ésta serán mínimas.

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Sentidos y significados

Préstamos... ¿o abusos?

Ma. Isabel Hernández Guerra Luis Enrique Prieto Marín

C

uando aparece una palabra de origen extranjero en cualquier idioma, ello refleja un fenómeno de doble faz: la receptividad de la lengua que la incorpora en relación al idioma extranjero, y la creatividad que manifiesta, en un ámbito dado, la comunidad donde la palabra se originó. Creatividad que va acompañada de cierto poder de difusión.

La gastronomía francesa difundió el gusto por un panecillo al que en México llamamos ‘cuernitos’. Como los países de habla hispana ocupan en el mundo una vastísima extensión, aunque en todos se consuman ‘cuernitos’, se les llama de diferentes maneras, según la región. La más común de esas denominaciones está registrada en el Diccionario de la Real Academia Española (DRAE) como ‘cruasán’, adaptación fonéticamente aproximada al vocablo francés croissant, de donde proviene. Al introducir la cosa se introdujo su nombre. Lo mismo sucedió con innumerables designaciones de modas y adminículos que se difundieron a favor del prestigio de algunas sociedades europeas. Así, Francia impuso el ‘frac’; Gran Bretaña el ‘esmoquin’ (del inglés smoking), y también la costumbre, en muchos países, de tomar té a las cinco de la tarde: el five o’clock tea.

El ascenso, particularmente económico, de Estados Unidos, cambió la región fuente de anglicismos. Ya, por ejemplo, existía una nutrida lista de términos del deporte proveniente de Gran Bretaña; EEUU añadió vocablos de muchos ámbitos, entre ellos el de las drogas. La prensa estadouidense anunció la muerte de una cantante por over dose, expresión que los medios de difusión de lengua hispana tomaron en préstamo desde antes de traducirla literalmente: sobredosis. Se comenzó igualmente a mencionar el crack y otras sustancias tóxicas empleadas como drogas.

La lingüística llama ‘préstamo’ a todas las voces que deben su empleo a una expresión extranjera. Existen de tres tipos, según se tome la expresión extranjera literalmente, se la traduzca o se la hispanice. Todas estas formas encuentran ejemplos múltiples en las nuevas tecnologías, entre ellas la informática, vasto terreno de sembradío de anglicismos provenientes de Estados Unidos.

El lenguaje siempre busca economizar, y con frecuencia evita crear nuevas palabras atribuyendo sentidos nuevos a significantes ya existentes.‘Menú’ era, hasta hace algunos años, sólo una lista de comidas disponibles; ahora, también los es de opciones en la pantalla de una computadora. Como vemos, se ha ampliado el terreno de aplicación de un vocablo que ya estaba incorporado al idioma.

Existe una pieza, en algunas computadoras, cuyo tamaño, forma y movilidad, así como su prolongación con un cable que semeja una cola, determinó que en

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inglés se llamara mouse. En español, el calco léxico ‘ratón’ no implica simplemente haber traducido la palabra, sino haber asimilado la catacresis de que se valió el idioma inglés. En lugar de crear una palabra nueva para designar el dispositivo, se utilizó una metáfora subyacente, basada en la similitud del mouse de la computadora con la imagen de un ratón. Ya hemos mencionado otro caso de catacresis al designar en francés croissant al bizcocho cuya forma recuerda la de la Luna en creciente; imagen emparentada con la de la ‘medialuna’ y la de los ‘cuernitos’, pero que no puede visualizarse en el calco fonético ‘cruasán’.

Si continuamos viendo los préstamos que aparecen en la pantalla de la computadora, encontraremos ese mismo recurso cuando se habla de ‘navegar’ por la Internet. El Canal Once de la televisión mexicana revierte esta imagen figurada dándole el sentido propio, al mostrar un velero que se desplaza en el mar, al tiempo que se oyen palabras en las que se mantiene el sentido figurado: ‘Cuando navegues por Internet…’; el propio nombre Internet, y el faro que sirve de ícono al programa Navigator, hilvanan metáforas, creando así un campo alegórico que mantiene su pleno sentido en español. Sin embargo, hay casos que no se prestan en absoluto para encontrar equivalentes en nuestro idioma. E-mail se toma como préstamo léxico sin que se proponga traducción alguna. Situación curiosa, si tenemos en cuenta que mail viene de una lengua romance, hermana del español: malle se llamó en francés a la maleta donde se transportaba el correo. A primera vista, nada denota ese parentesco lingüístico.

Otra expresión que se toma como préstamo léxico sin traducción, es chat. Su significado podría asociarse a ‘charla’, pero esta aproximación no se ha realizado en nuestro medio, tal vez porque ‘charla’ no es tan usual como ‘plática’. De chat suele emplearse un derivado verbal, un híbrido hispanizado: ‘chatear’. ¿Usted ya ‘chatea’?

Otros dos derivados verbales hispanizados se han generalizado en nuestro léxico informático: si se quiere incluir imágenes en los documentos escritos en computadora, una buena forma de hacerlo es ‘escanear’ las fotos o dibujos (del inglés scan, que significa registrar o recorrer), es decir, registrarlos dentro de la computadora. Y si la navegación lo lleva a un atolladero sin salida, no tendrá más remedio que ‘resetear’ la computadora (del inglés reset, volver a colocar), es decir, apagarla y arrancarla de nuevo.

Muchos de los términos informáticos han sido adoptados literalmente: aunque en el diccionario de la Real Academia aparezca la onomatopeya ‘clic’, en nuestras computadoras nosotros hacemos ‘click’. Recientemente, se ha hablado en los medios de la piratería de ‘software’ (programas informáticos), y también se habla, aunque con menos frecuencia, de los últimos desarrollos en ‘software’ educativo o de negocios. El término se ha generalizado tanto, que ahora se utiliza en sentido figurado, y descubrimos que hay ‘software’ (fuera ya del campo informático, para designar aquello que no es objeto físico, como las ideas y la gente) en sitios donde no lo sospechábamos: en las empresas, en las escuelas, en el gobierno, se puede hablar del ‘software’ incluso si no hay computadoras.

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Préstamos... ¿o abusos?

Por otra parte, el acceso a Internet se ha vuelto tan común, que ahora cualquiera puede poner sus ‘links’ favoritos en su propia página ‘web’, y presumir de que ya tiene su ‘site’. La palabra inglesa web significa red, telaraña, malla, imagen que ilustra la estructura de las comunicaciones en Internet. Decir ‘web’ es más fácil que decir la expresión completa World Wide Web, de donde vienen las modernísimas siglas ‘WWW’ en las direcciones como www.fulanito.com. La palabra link significa vínculo, aunque en ocasiones de traduce como liga y se refiere a las comunicaciones que se pueden establecer a través de Internet. Por último, site en inglés significa simplemente un sitio. De allí que un ‘site’ en Interet sea un lugar desde donde se distribuyen páginas ‘Web’.

Cabría agregar que los sectores sociales que hace algunas décadas usaban ropa de corte extranjero y se reunían para el té de las cinco, en proporción a la sociedad global de su época, eran probablemente menos numerosos que aquellos sectores que actualmente tienen acceso al campo de la computación. Pero hay que agregar que también proporcionalmente, son hoy más numerosos los sectores que no tienen acceso ni a lo uno ni a lo otro.

Ante esta avalancha que está afectando tan severamente a nuestro idioma, ¿no cabría pensar —sin fanatismos fuera de lugar— en la defensa de nuestra hermosa lengua? La palabra ‘defensa’, como tal, tiene auténtica carta de ciudadanía en español, pero rotular como ‘defensa’ los gastos del armamentismo cuando nadie agrede, constituye un préstamo ideológico apegado a una política ajena a los países de habla hispana. El préstamo no es entonces de orden lingüístico sino conceptual.

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Problemas sin números

Un poco de todo Concepción Ruiz Ruiz-Funes Juan Manuel Ruisánchez Serra

…Los pasatiempos y las paradojas fueron ya populares en la antigüedad; los juegos con los que se entretuvieron los hombres de todas las épocas, despertaron su inteligencia y agudizaron su ingenio. Y no fue sólo por pasar el rato por lo que Kepler, Pascal, Fermat, Leibniz, Eucler, Lagrange, Hamilton, Cayley y muchos otros dedicaron tanto tiempo a solucionar rompecabezas. Las investigaciones en el campo de los pasatiempos matemáticos surgían de la misma curiosidad, estaban guiadas por los mismos principios y requerían las mismas facultades que las investigaciones directamente relacionadas con los descubrimientos más profundos de las matemáticas…Pues no existe entre las ramas de la actividad intelectual ninguna vía más apropiada al diálogo y la discusión que los rompecabezas y las paradojas. El campo abierto es enorme. La historia de los rompecabezas se inicia en los tiempos del esplendor de Egipto y quizás antes. Desde las obscuras palabras del oráculo de Delfos hasta la edad dorada de los crucigramas, pasando por los tiempos de Carlomagno, los rompecabezas y las paradojas, como criaturas vivas de la tierra, han adoptado mil formas diversas y se han multiplicado…* En este número de Correo del Maestro presentamos diversas actividades adecuadas para diferentes grados de educación primaria. Todas ellas tienen en común procurar, de una forma ágil y divertida para los niños, el desarrollo de

las habilidades del pensamiento lógico matemático. En todos los casos es muy importante analizar con los niños los procedimientos utilizados para arribar a las soluciones y discutir la conveniencia o no de dichos procesos.

Actividades: un poco de todo 1) El hombre que vendía agua de jamaica En la plaza del pueblo hay un señor que vende agua de jamaica. Además de su olla llena de agua y un gran cucharón, solamente tiene dos jarras, una de 3 litros y otra de 5 litros. ¿Cómo podría medir exactamente un litro de agua?

Esta actividad puede realizarse a partir de tercero de primaria. Quizás para los más pequeños sería conveniente hacerla físicamente con jarras de tres y cinco litros con marcas en cada litro.

*

KASNER, Edward

y NEWMAN, James. Pasatiempos del pasado y del presente en SIGMA. El mundo de las matemáticas. De Grijalbo. Barcelona, 1994. pp. 354-355.

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Un poco de todo

2) Otro juego con cerillos Esta figura está hecha con 16 cerillos. El juego consiste en quitar 4 cerillos sin mover los demás, de manera que queden cuatro triángulos equiláteros.

Esta actividad puede realizarse a partir de quinto de primaria. Sugerimos que se haga directamente con cerillos o con cualquier otro material como palillos, palos de paleta, etc., para que la búsqueda de la solución sea en forma experimental.

3) Una arañita atlética Por accidente, una arañita cayó en un pozo de 30 metros de profundidad. Cada día lograba trepar por la pared y subir 3 metros pero, como las paredes estaban resbaladizas, cada noche la arañita caía 2 metros. ¿Cuántos días tardó en salir del pozo?

Esta actividad puede ser realizada a partir de cuarto de primaria ya sea por equipos o individualmente. Una posibilidad es que los estudiantes midan 30 metros en el patio de su escuela y representen lo que la arañita fue haciendo día por día.

Soluciones 1) El hombre que vendía agua de jamaica: Una posible solución es la siguiente: Llena primero la jarra de 3 litros y vacíala en la de 5 litros. Vuelve a llenar la jarra de 3 litros y vuelve a vaciarla en la de 5 litros. Como a ésta únicamente le caben ya 2 litros lo que quede en la jarra pequeña será 1 litro de agua de jamaica.

Se quitan Se quitan

2) Otro juego con cerillos

3) Una arañita atlética Sube

Baja

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Total

Día

Sube

Baja

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

15º 16º 17º 18º 19º 20º 21º 22º 23º 24º 25º 26º 27º 28º

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0

Total 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 30

La arañita sale del pozo después de 28 días.

Día

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Abriendo libros

Descubre y aprende matemáticas Los autores*

El equipo de autores de los libros Descubre y Aprende Matemáticas I, II y III** quisiera dirigirse a ustedes, maestros y maestras, para hablarles sobre la propuesta de libros de texto que hemos diseñado.

Siendo nosotros mismos maestros desde hace muchos años, nos sentimos sus compañeros. Con este espíritu escribimos los textos y nos encantaría recibir sus críticas, sugerencias, comentarios, dudas, etc. buscando establecer un diálogo con ustedes.

Estamos convencidos de que el gran reto del proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas (tanto para los profesores como para los estudiantes de todos los niveles educativos) es que los alumnos aprendan matemáticas, entendidas éstas no como una serie de procedimientos, reglas y algoritmos que nadie sabe bien a bien de dónde salen y que sólo se utilizan de forma mecánica sino como una forma a través de la cual, el alumno aprende a razonar, a analizar situaciones, a generalizar, a hacer conjeturas, a confrontarlas y discutirlas con sus compañeros y, en ese proceso, aprender a disfrutarlas y convertirlas en una herramienta útil para plantear, abordar y resolver problemas. Ése fue también nuestro reto al escribir estos libros.

Quisiéramos cambiar la idea que tiene mucha gente de que las matemáticas son secas, frías y aburridas, tratando de mostrar que lo pueden interesar, que le pueden dar elementos para abordar problemas aún no matemáticos, que lo pueden involucrar en el proceso de descubrimiento del conocimiento, que están vivas.

Por lo anterior es que hemos intentado, pensando en el alumno:

* Ma. de la Paz Álvarez, Luis Briseño, Pilar Martínez, Oscar Palmas, Julieta Verdugo, Francisco Struck.

** El libro III está actualmente en proceso de aprobación por parte de la SEP. Correo del Maestro. Núm. 49, junio 2000.

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Descubre y aprende matemáticas

• Que vivan el descubrimiento de situaciones para las cuáles hay que desarrollar más matemáticas.

• Que propongan hipótesis, que las discutan, las argumenten y refuten. Que descubran lo enriquecedor de la discusión colectiva.

• Que se acerquen al placer de enfrentar un reto, de preguntar, de preguntarse, de descubrir.

El maestro es fundamental en esta propuesta: • Éstos no son libros para que el alumno los recorra solo. Lo que intentamos es proponerles ideas, materiales, juegos, actividades, etc.

• A lo largo de ellos, los invitamos a explorar junto con sus alumnos y a convertir un “no sé” o una respuesta no acertada en un motivo de discusión y, por tanto, en una de las mejores herramientas de su trabajo.

• Creemos que nada es tan estimulante para un maestro como el dejar a sus alumnos pensando, discutiendo, imaginando, platicando en su casa emocionados que han aprendido algo nuevo. Hemos tratado de contribuir a que ustedes logren esto.

A lo largo de los libros se entremezclan diferentes estilos: cuentos, diálogos, clases simuladas, teoría, uso de diferentes materiales, juegos, problemas y retos que buscan caminar hacia los objetivos anteriores.

Hemos tratado de ser cuidadosos no sólo del contenido teórico sino también en el lenguaje utilizado y en las figuras. Cada lección culmina con una serie de ejercicios de distintos tipos, desde los rutinarios hasta aquellos que exigen una mayor reflexión por parte de los alumnos. Esperamos haber logrado libros agradables.

Al final de cada unidad hay una serie de actividades sugeridas que buscan desarrollar algunos aspectos interesantes de los temas abordados y que son adicionales a los desarrollados en la unidad.

Nos ponemos a sus órdenes en el Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la UNAM.

Ma. de la Paz Álvarez, Luis Briseño, Pilar Martínez, Oscar Palmas, Julieta Verdugo y Francisco Struck Tel. 56-22-48-58 y 56-22-48-68 Fax. 56-22-48-59 y 56-22-48-69

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