འཛིན་གྲྭ་དགུ་པའི་རྩིས་རིག་སློབ་དེབ།

འཛི​ིན་རི​ིམ་དགུ་པའི​ི་སློ​ོབ་དེ​ེབ།

རྩི​ིས་རི​ིག

ཤེ​ེས་རི​ིག་ལས་ཁུངས་ནས་དཔར་འགྲེ​ེམས་ཞུས།

བསྐྱར་ཞི​ིབ་ཐེ​ེངས་དང་པོ​ོ།

ཕྱི​ི་ལོ​ོ་ ༢༠༢༥ ཟླ་བ་གསུམ་པ།

First Review

Printed and Distributed by:

March 2025

Sherig Parkhang R-27 & 28, Ramesh Park

དཔར་ཐེ​ེངས་དང་པོ​ོ།

First Printing

དཔར་གྲངས། ༡༠༠

100 Copies

སྤྱི​ི་ཁྱབ་འགན་འཛི​ིན། རྩོ​ོམ་སྒྲི​ིག་འགན་འཁུར། ཞུ་དག་པ།

རྩོ​ོམ་སྒྲི​ིག་དང་ཇུས་འགོ​ོད།

Laxmi Nagar, New Delhi- 110092 Phone: 2245-3672

བསྟན་འཛི​ིན་པདྨ། དགེ​ེ་འདུན་དོ​ོན་ཡོ​ོད།

པདྨ་རྒྱལ་མཚན། འཇམ་དབྱངས་རྒྱ་མཚོ​ོ། བསྟན་འཛི​ིན་ཚེ​ེ་འཕེ​ེལ། བློ​ོ་བཟང་བསྟན་འཛི​ིན།

བསྐྱར་ཞི​ིབ་དང་གཏན་འབེ​ེབས་ཚོ​ོགས་མི​ི།

པདྨ་རྒྱལ་མཚན།

སམ་བྷོ​ོ་ཊ་སི​ིམ་ལའི​ི་རྩི​ིས་དགེ​ེ་ཟུར་པ།

ཟླ་བ།

བོ​ོད་ཁྱི​ིམ་གྷོ​ོ་པལ་པུར་གྱི​ི་རྩི​ིས་དགེ​ེ་ཟུར་པ།

བསོ​ོད་ནམས་རྒྱལ་པོ​ོ།

ཚེ​ེ་རི​ིང་མཚམས་གཅོ​ོད། དགེ​ེ་འདུན་དོ​ོན་ཡོ​ོད།

བསྟན་འཛི​ིན་ཚེ​ེ་འཕེ​ེལ། བློ​ོ་བཟང་བསྟན་འཛི​ིན།

བོ​ོད་ཁྱི​ིམ་ཨང་རྩི​ིས་རྒྱུས་སྟོ​ོན་པ།

སམ་བྷོ​ོ་ཊ་དཔེ​ེ་སྟོ​ོན་སློ​ོབ་གྲྭའི​ི་རྩི​ིས་དགེ​ེ། བོ​ོད་ཡི​ིག་སློ​ོབ་དེ​ེབ་རྩོ​ོམ་སྒྲི​ིག་པ།

ཨང་རྩི​ིས་སློ​ོབ་དེ​ེབ་རྩོ​ོམ་སྒྲི​ིག་པ།

ཨང་རྩི​ིས་སློ​ོབ་དེ​ེབ་རྩོ​ོམ་སྒྲི​ིག་པ་ཟུར་པ།

© Department of Education, CTA

སློ​ོབ་དེ​ེབ་འདི​ི་བོ​ོད་ཡི​ིག་སློ​ོབ་སྦྱོ​ོང་དྲ་ཚི​ིག་ www.bodyiglobjong.com ནས་ཕབ་ལེ​ེན་བྱ་ཐུབ།

Special Ackowledgement Funded by DANIDA through CICED

ཤེ​ེས་རི​ིག་ལས་ཁུངས།

Department of Education Central Tibetan Administration

༄༅། ལྟར།

Phone : 01892-222572 : 01892-222721 Email : education@tibet.net Web : www.sherig.org : bodyiglobjong.com

ཆེ​ེད་བརྗོ​ོད།

།སྤྱི​ི་ནོ​ོར་༸གོ​ོང་ས་༸སྐྱབས་མགོ​ོན་ཆེ​ེན་པོ​ོ་མཆོ​ོག་གི​ི་བཀའ་སློ​ོབ་ལམ་སྟོ​ོན་རི​ིམ་ཕེ​ེབས་ཀྱི​ི་དགོ​ོངས་དོ​ོན་

བཙན་བྱོ​ོལ་བོ​ོད་མི​ིའི​ི་སློ​ོབ་གྲྭ་ཁག་ཏུ་སློ​ོབ་ཚན་བརྒྱུད་ལམ་རང་སྐད་ཐོ​ོག་སློ​ོབ་ཁྲི​ིད་བྱེ​ེད་པའི​ི་ལས་གཞི​ི་

དེ​ེ་བཞི​ིན་བཙན་བྱོ​ོལ་བོ​ོད་མི​ིའི​ི་བཅའ་ཁྲི​ིམས་ཀྱི​ི་དགོ​ོངས་དོ​ོན་ལྟར་ ༡༩༨༦ ལོ​ོ་ནས་བཟུང་འགོ​ོ་བཙུགས། ༡༩༩༩ ལོ​ོ་ནས་བཟུང་ད་བར་འཛི​ིན་རི​ིམ་ལྔ་པ་བར་གྱི​ི་སློ​ོབ་དེ​ེབ་བསྐྱར་ཞི​ིབ་ཐེ​ེངས་བཞི​ི་བྱས། ཕྱི​ི་ལོ​ོ་ ༢༠༠༢ ནས་

བཟུང་རྒྱ་གར་རྒྱལ་ཡོ​ོངས་ཤེ​ེས་ཡོ​ོན་ཉམས་ཞི​ིབ་དང་སྦྱོ​ོང་བརྡར་ལྟེ​ེ་གནས་ཁང་ (NCERT) གི​ིས་རྩོ​ོམ་སྒྲི​ིག་ དང་འགྲེ​ེམས་སྤེ​ེལ་ཞུས་པའི​ི་འཛི​ིན་རི​ིམ་དྲུག་པ་ནས་བརྒྱད་པ་བར་གྱི​ི་རྩི​ིས་རི​ིག་སློ​ོབ་དེ​ེབ་ཁག་འདི​ི་ག་ལས་ ཁུངས་ནས་རྩོ​ོམ་སྒྱུར་ཚོ​ོགས་ཆུང་ཆེ​ེད་བཙུགས་ཀྱི​ིས་བོ​ོད་སྒྱུར་འགྲེ​ེམས་སྤེ​ེལ་ཞུས་ཡོ​ོད།

ཐེ​ེངས་འདི​ིའི​ི་རྩི​ིས་རི​ིག་སློ​ོབ་དེ​ེབ་ནི​ི་ ༢༠༠༤ ལོ​ོར་གཏན་ལ་ཕབ་པའི​ི་བཙན་བྱོ​ོལ་བོ​ོད་མི​ིའི​ི་གཞི​ི་རི​ིམ་

ཤོ​ོས་ཡོ​ོན་སྲི​ིད་བྱུས་ཀྱི​ི་དགོ​ོངས་དོ​ོན་འོ​ོག་ ༢༠༡༧ ལོ​ོར་བཀའ་ཤག་གི​ིས་གཏན་ལ་ཕབ་པའི​ི་གཞི​ི་རི​ིམ་གོ​ོང་མའི​ི་ རྩི​ིས་རི​ིག་བསླབ་གཞི​ིའི​ི་རྩ་འཛི​ིན་གྱི​ི་འབྲུ་དོ​ོན་གཞི​ི་རྩར་བཟུང་སྟེ​ེ་རྩོ​ོམ་སྒྲི​ིག་བྱས་པ་ཡི​ིན།

རྩི​ིས་རི​ིག་སློ​ོབ་དེ​ེབ་འདི​ི་སློ​ོབ་ཚན་བཅོ​ོ་ལྔ་རུ་བགོ​ོས་ཡོ​ོད། སློ​ོབ་ཚན་དེ​ེ་དག་ནང་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་

དང་། དངོ​ོས་གྲངས་ཀྱི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་དང་རྩི​ིས་ཐབས། རྒྱུ་གཅི​ིག་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར། བགོ​ོས་ ལྷག་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ཚན་མང་ཚུལ་རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོ​ོལ་བ། ཚབ་རྩི​ིས་གཏན་མཚུངས། ཀཱ་ཊི​ི་ཤཱན་ལམ་ལུགས། གནས་

ཚད་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཐོ​ོག་འགོ​ོད་ཚུལ། ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱ་འགྲོ​ོལ་བ། རྒྱུ་གཉི​ིས་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་ ཐི​ིག་རི​ིས། ཡུག་ལི​ིཌི​ིས་བཏོ​ོད་པའི​ི་གོ​ོ་དོ​ོན་དང་། སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ། བདེ​ེན་གྲུབ། སྣོ​ོལ་ཐི​ིག་དང་མི​ི་སྣོ​ོལ་བའི​ི་ཐི​ིག ཆ་ ཟུར། མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་དང་གསེ​ེག་ཐི​ིག ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ནང་ཟུར་བསྡོ​ོམས་གྲངས་ཁྱད་ཆོ​ོས། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་

ཡོ​ོངས་མཚུངས། ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཆ་རྐྱེ​ེན་འགའ། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མི​ི་མཚུངས་ཚུལ། དབྱི​ིབས་ མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ནང་ཟུར་བསྡོ​ོམས་གྲངས། དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་རི​ིགས་དང་དེ​ེ་དག་གི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས། དཀྱི​ིལ་

གནས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་ནང་འཕྲད་ཞབས་མཚུངས་དབྱི​ིབས། སྒོ​ོར་མཐའི​ི་གནས་གང་རུང་ཞི​ིག་

ལ་རྒྱུད་ཐི​ིག་གི​ིས་གྲུབ་པའི​ི་ཟུར། གནས་གསུམ་བརྒྱུད་པའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས། སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ནང་འབྲེ​ེལ་མཐའ་བཞི​ི་ མ། ཟུར་གསུམ་མ་ཁག་གཅི​ིག་འགོ​ོད་པ། ཧི​ི་རོ​ོན་ཆོ​ོ་ག་སྤྱད་དེ​ེ་ཟུར་གསུམ་མ་དང་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་རྒྱ་ ཁྱོ​ོན་འཚོ​ོལ་བ། གྲུ་ནར་གཟུགས་དང་ཁ་གང་གཟུགས། ཀ་ཟླུམ་དྲང་པོ​ོ། སྙུང་གཟུགས་དྲང་པོ​ོ། ཟླུམ་གཟུགས་

བཅས་ཀྱི​ི་ངོ​ོས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་དང་བོ​ོངས་ཚད། གྲངས་ཐོ​ོ་བསྡུ་རུབ་དང་སྤྱན་བསྟར། དཔེ​ེ་རི​ིས་ཀྱི​ིས་གྲངས་ཐོ​ོ་མཚོ​ོན་ ཚུལ། གཅི​ིག་བསྡུས་འཁོ​ོར་ཕྱོ​ོགས་ཀྱི​ི་ཚད་འཇལ། སྲི​ིད་ཕྱོ​ོད་བཅས་ཡོ​ོད། སློ​ོབ་དེ​ེབ་འདི​ིའི​ི་མཐའ་མཇུག་ལ་

སྦྱོ​ོང་ཚན་ཁག་གི​ི་ལན་ཡོ​ོད།

དཀར་ཆག ༡༽ གྲངས་ཀྱི​ི་ལམ་ལུགས། .................................................................................... 1 ༡་༡

ངོ​ོ་སྤྲོ​ོད།.....................................................................................................................

1 ༡་༢ ལུགས་མེ​ེད་གྲངས།........................................................................................ 3 ༡་༣ དངོ​ོས་གྲངས་དང་དེ​ེའི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད།................................................................... 6 ༡་༤ གྲངས་ཐི​ིག་སྟེ​ེང་དངོ​ོས་གྲངས་མཚོ​ོན་པ།.........................................................................11 ༡་༥ དངོ​ོས་གྲངས་ཀྱི​ི་རྩི​ིས་ཐབས།....................................................................................... 14 ༡་༦ དངོ​ོས་གྲངས་ཀྱི​ི་སྟོ​ོན་གྲངས་ཀྱི​ི་ཁྲི​ིམས།...................................................................... 20 ༡་༧ སྙི​ིང་བསྡུས།............................................................................................................. 22

༢༽ ཚན་མང་ཚུལ།............................................................................................23 ༢་༡

ངོ​ོ་སྤྲོ​ོད།..................................................................................................................

23 ༢་༢ རྒྱུ་གཅི​ིག་ཚན་མང་ཚུལ།..................................................................................... 23 ༢་༣ ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར།.................................................................................. 27 ༢་༤ བགོ​ོས་ལྷག་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ།......................................................................................... 30 ༢་༥ ཚན་མང་ཚུལ་རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོ​ོལ་བ།................................................................ 35 ༢་༦ ཚབ་རྩི​ིས་གཏན་མཚུངས།............................................................................. 39 ༢་༧ སྙི​ིང་བསྡུས།............................................................................................................ 45

༣༽ གནས་ཚད་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པ།..................................................................... 46 ༣་༡

ངོ​ོ་སྤྲོ​ོད།..................................................................................................................

46 ༣་༢ ཀཱ་ཊི​ི་ཤཱན་ལམ་ལུགས།........................................................................................ 49 ༣་༣ གནས་ཚད་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཐོ​ོག་འགོ​ོད་ཚུལ།...................................................................... 56 ༣་༤ སྙི​ིང་བསྡུས།............................................................................................................ 60

༤༽ རྒྱུ་གཉི​ིས་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱ།.................................................................. 61 ༤་༡

ངོ​ོ་སྤྲོ​ོད།..................................................................................................................

61

༤་༢

ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱ།.....................................................................................

61 ༤་༣ ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱ་འགྲོ​ོལ་བ།........................................................................ 63 ༤་༤ རྒྱུ་གཉི​ིས་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་ཐི​ིག་རི​ིས།.......................................................... 65 ༤་༥ x-མདའ་དང་ y- མདའ་ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱ།..................................... 70 ༤་༦ སྙི​ིང་བསྡུས།............................................................................................................ 72

༥༽ ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ི་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་ངོ​ོ་སྤྲོ​ོད།...........................................................73 ༥་༡

ངོ​ོ་སྤྲོ​ོད།..................................................................................................................

73 ༥་༢ ཡུག་ལི​ིཌི​ིས་བཏོ​ོད་པའི​ི་གོ​ོ་དོ​ོན་དང་། སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ། བདེ​ེན་གྲུབ།.......................................... 75 ༥་༣ ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ི་བདེ​ེན་གྲུབ་ལྔ་པའི​ི་འདྲ་མཚུངས་རྣམ་པ།................................................... 82 ༥་༤ སྙི​ིང་བསྡུས།............................................................................................................83

༦༽ ཐི​ིག་དང་ཟུར།.............................................................................................. 85 ༦་༡

ངོ​ོ་སྤྲོ​ོད།..................................................................................................................

85 ༦་༢ རྨང་གཞི​ིའི​ི་ཐ་སྙད་དང་གོ​ོ་དོ​ོན།................................................................................... 86 ༦་༣ སྣོ​ོལ་ཐི​ིག་དང་མི​ི་སྣོ​ོལ་བའི​ི་ཐི​ིག........................................................................ 88 ༦་༤ ཆ་ཟུར།.................................................................................................. 88 ༦་༥ མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་དང་གསེ​ེག་ཐི​ིག...................................................................... 94 ༦་༦ སྤྲད་ཟི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག.......................................................... 97 ༦་༧ ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ནང་ཟུར་བསྡོ​ོམས་གྲངས་ཁྱད་ཆོ​ོས།.................................................... 101 ༦་༨ སྙི​ིང་བསྡུས།.......................................................................................................... 104

༧༽ ཟུར་གསུམ་མ།........................................................................................... 105 ༧་༡

ངོ​ོ་སྤྲོ​ོད།................................................................................................................

105 ༧་༢ ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཡོ​ོངས་མཚུངས།................................................................... 105 ༧་༣ ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མར་ཚད་འཛི​ིན་ཆ་རྐྱེ​ེན།.................................................. 108 ༧་༤ ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་འགའ།............................................................................. 116 ༧་༥ ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཆ་རྐྱེ​ེན་འགའ།............................................................ 121 ༧་༦ ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མི​ི་མཚུངས་ཚུལ།......................................................................... 125

༧་༧

སྙི​ིང་བསྡུས།..........................................................................................................

༨་༡

ངོ​ོ་སྤྲོ​ོད།................................................................................................................

129

༨༽ དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ།................................................................................ 130

130 ༨་༢ དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ནང་ཟུར་བསྡོ​ོམས་གྲངས།.....................................................131 ༨་༣ དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་རི​ིགས།................................................................................132 ༨་༤ དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས།........................................................................ 134 ༨་༥ མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཡི​ིན་པའི​ི་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ཆ་རྐྱེ​ེན་གཞན་ཞི​ིག................. 140 ༨་༦ དཀྱི​ིལ་གནས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ།..................................................................................... 143 ༨་༧ སྙི​ིང་བསྡུས།.................................................................................................... 146

༩༽ མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་དང་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན།....................................... 148 ༩་༡

ངོ​ོ་སྤྲོ​ོད།................................................................................................................

148 ༩་༢ མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་ནང་འཕྲད་ཞབས་མཚུངས་དབྱི​ིབས།.................................................. 150 ༩་༣ མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་ནང་འཕྲད་ཞབས་མཚུངས་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ།......................... 152 ༩་༤ མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་ནང་འཕྲད་ཞབས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ།....................................... 156 ༩་༥ སྙི​ིང་བསྡུས།.................................................................................................... 160

༡༠༽ སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས།........................................................................................... 162 ༡༠་༡

ངོ​ོ་སྤྲོ​ོད།...............................................................................................

162 ༡༠་༢ སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་དང་དེ​ེ་འབྲེ​ེལ་ཐ་སྙད་ཀྱི​ི་བསྐྱར་སྦྱོ​ོང་།.............................................. 162 ༡༠་༣ སྒོ​ོར་མཐའི​ི་གནས་གང་རུང་ཞི​ིག་ལ་རྒྱུད་ཐི​ིག་གི​ིས་གྲུབ་པའི​ི་ཟུར།.............................. 165 ༡༠་༤ སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ནས་རྒྱུད་ཐི​ིག་ལ་དྲང་འཕྱང་།.................................................................... 167 ༡༠་༥ གནས་གསུམ་བརྒྱུད་པའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས།................................................................. 168 ༡༠་༦ རྒྱུད་ཐི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས་དང་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ནས་དེ​ེ་དག་དབར་གྱི​ི་བར་ཐག............................. 170 ༡༠་༧ སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་གཞུ་ཐི​ིག་གི​ིས་གྲུབ་པའི​ི་ཟུར།......................................................... 173 ༡༠་༨ སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ནང་འབྲེ​ེལ་མཐའ་བཞི​ི་མ།................................................................ 176 ༡༠་༩ སྙི​ིང་བསྡུས།.................................................................................................. 180

༡༡༽ བཀོ​ོད་པ།................................................................................................. 182 ༡༡་༡

ངོ​ོ་སྤྲོ​ོད།...............................................................................................

182 ༡༡་༢ གཞི​ི་རྩའི​ི་བཀོ​ོད་རི​ིས།............................................................................... 182 ༡༡་༣ ཟུར་གསུམ་མ་ཁག་གཅི​ིག་འགོ​ོད་པ།............................................................... 185 ༡༡་༤ སྙི​ིང་བསྡུས།................................................................................................... 190

༡༢༽ ཧི​ི་རོ​ོན་ཆོ​ོ་ག............................................................................................ 191 ༡༢་༡

ངོ​ོ་སྤྲོ​ོད།..............................................................................................................

191 ༡༢་༢ ཟུར་གསུམ་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན། - ཧི​ི་རོ​ོན་ཆོ​ོ་ག་ལས།................................................... 193 ༡༢་༣ དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་བཙལ་བར་ཧི​ི་རོ​ོན་ཆོ​ོ་གའི​ི་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད།......................... 197 ༡༢་༤ སྙི​ིང་བསྡུས།.................................................................................................. 201

༡༣༽ ངོ​ོས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་དང་བོ​ོངས་ཚད།...................................................................202 ༡༣་༡

ངོ​ོ་སྤྲོ​ོད།.............................................................................................................

202 ༡༣་༢ གྲུ་ནར་གཟུགས་དང་ཤོ​ོ་གཟུགས་ཀྱི​ི་ངོ​ོས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན།.............................................. 202 ༡༣་༣ ཀ་ཟླུམ་དྲང་པོ​ོའི་ི ངོ​ོས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན།........................................................................ 208 ༡༣་༤ སྙུང་གཟུགས་དྲང་པོ​ོའི་ི ངོ​ོས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན།.................................................................. 211 ༡༣་༥ ཟླུམ་གཟུགས་ཀྱི​ི་ངོ​ོས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན།......................................................................... 216 ༡༣་༦ གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི​ི་བོ​ོངས་ཚད།.......................................................................... 220 ༡༣་༧ ཀ་ཟླུམ་གྱི​ི་བོ​ོངས་ཚད།..................................................................................... 223 ༡༣་༨ སྙུང་གཟུགས་དྲང་པོ​ོའི་ི བོ​ོངས་ཚད། ....................................................................... 225 ༡༣་༩ ཟླུམ་གཟུགས་ཀྱི​ི་བོ​ོངས་ཚད།............................................................................. 228 ༡༣་༡༠ སྙི​ིང་བསྡུས།.................................................................................................. 231

༡༤༽ སྡོ​ོམ་རྩི​ིས་རི​ིག་པ།......................................................................................232 ༡༤་༡

ངོ​ོ་སྤྲོ​ོད།.............................................................................................................

232 ༡༤་༢ གྲངས་ཐོ​ོ་བསྡུ་རུབ།.........................................................................................233

༡༤་༣

གྲངས་ཐོ​ོ་སྤྱན་བསྟར།......................................................................................

234 ༡༤་༤ དཔེ​ེ་རི​ིས་ཀྱི​ིས་གྲངས་ཐོ​ོ་མཚོ​ོན་ཚུལ།.................................................................... 241 ༡༤་༥ གཅི​ིག་བསྡུས་འཁོ​ོར་ཕྱོ​ོགས་ཀྱི​ི་ཚད་འཇལ།............................................................ 255 ༡༤་༦ སྙི​ིང་བསྡུས།....................................................................................................... 264

༡༥༽ སྲི​ིད་ཕྱོ​ོད།................................................................................................265 ༡༥་༡

ངོ​ོ་སྤྲོ​ོད།.............................................................................................................

265 ༡༥་༢ སྲི​ིད་ཕྱོ​ོད། དེ​ེ་ཚོ​ོད་ལྟའི​ི་བྱེ​ེད་ཐབས་ཤི​ིག.................................................................. 265 ༡༥་༣ སྙི​ིང་བསྡུས།.................................................................................................. 279

ལྷན་ཐབས་དང་པོ​ོ། རྩི​ིས་རི​ིག་གི​ི་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ།........................................................... 280 ངོ​ོ་སྤྲོ​ོད།...........................................................................................................

280 A1.2 རྩི​ིས་རི​ིག་གི​ི་ངོ​ོས་ལེ​ེན་རུང་བའི​ི་བརྗོ​ོད་པ།................................................................ 281 A1.3 རྣམ་འབྱེ​ེད་རི​ིགས་འདེ​ེད།.................................................................................... 285 A1.4 ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་དང། འདེ​ེད་དཔག སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ།................................................................... 287 A1.5 རྩི​ིས་རི​ིག་གི​ི་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ།.................................................................................... 293 A1.6 སྙི​ིང་བསྡུས།..................................................................................................... 299 A1.1

ལྷན་ཐབས་གཉི​ིས་པ། རྩི​ིས་རི​ིག་གི​ི་དཔེ​ེ་གཞི​ིའི​ི་བྱ་གཞག་ངོ​ོ་སྤྲོ​ོད།...................................300 ངོ​ོ་སྤྲོ​ོད།...........................................................................................................

300 A2.2 ཡི​ིག་ཐོ​ོག་རྩི​ིས་གཞི​ི་ལ་བསྐྱར་ཞི​ིབ།.........................................................................301 A2.3 རྩི​ིས་རི​ིག་གི​ི་དཔེ​ེ་གཞི​ི་འགའ།............................................................................... 306 A2.4 དཔེ​ེ་གཞི​ིའི​ི་བྱ་གཞག་གི​ི་བརྒྱུད་རི​ིམ་དང་། དེ​ེའི​ི་ལེ​ེགས་ཆ་དང་སྐྱོ​ོན་ཆ།........................... 313 A2.5 སྙི​ིང་བསྡུས།......................................................................................................317 A2.1

སྦྱོ​ོང་ཚན་ཁག་གི​ི་ལན། ...................................................................................... 318

༡

གྲངས་ཀྱི་ལམ་ལུགས། Number Systems ༡་༡ ངོ་སྤྲོད།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འཛི​ིན་གྲྭ་སྔ་མར་གྲངས་ཐི​ིག་དང་དེ​ེའི​ི་སྟེ​ེང་གྲངས་ཀྱི​ི་རི​ིགས་འདྲ་མི​ིན་མཚོ​ོན་སྟངས་སྦྱངས་ཡོ​ོད། ཁྱེ​ེད་ རང་གྲངས་ཐི​ིག་སྟེ​ེང་ཀླད་ཀོ​ོར་ནས་འགོ​ོ་བཙུགས་ཏེ​ེ་གཡས་ཕྱོ​ོགས་སུ་འགྲོ​ོ་ཡི​ི་ཡོ​ོད་པ་ཆ་ཞོ​ོག (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡་༡)

−3

−2 3 − 4

−1

−1 0 3

དཔེ་རིས་ ༡་༡

111 42

2

3

གྲངས་ཐི​ིག་སྟེ​ེང་དུ་འགྲོ​ོ་སྐབས་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གྲངས་འགའ་ཤས་བསྡུ་རུབ་ཀྱི​ིས་ཁུག་མའི​ི་ ནང་བླུགས། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གྲངས་ 1, 2, 3 ལ་སོ​ོགས་པའི​ི་རང་བྱུང་གྲངས་ཁོ​ོ་ན་བསྒྲུགས་ ནས་འགོ​ོ་བཙུགས་པ་རེ​ེད། དེ​ེས་ན། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཁུག་མའི​ི་ནང་རང་བྱུང་གྲངས་ཚད་མེ​ེད་ ཡོ​ོད། ང་ཚོ​ོས་རང་བྱུང་གྲངས་ནི​ི་ N ཡི​ིས་མཚོ​ོན།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འགོ​ོ་བཙུགས་སའི​ི་གནས་ 0 ཁུག་མའི​ི་ནང་བླུགས་ན། ད་ལྟའི​ི་བསྡུ་རུབ་བྱས་ པའི​ི་གྲངས་ནི​ི་ཧྲི​ིལ་གྲངས་ཡི​ིན་པ་དང་། དེ​ེ་ W ཡི​ིས་མཚོ​ོན།

N 58 1 5 16 0 31 0 71 9 359 2 40 10 74

0 16 3 40 5 74 2 9 601 58 2

W

ད་ཁྱེ​ེད་རང་གི​ི་མདུན་ཕྱོ​ོགས་སུ་རི​ིལ་གྲངས་མོ​ོ་མང་པོ​ོ་མཐོ​ོང་རྒྱུ་ཡོ​ོད་པས། དེ​ེ་དག་ཚང་མ་ཁུག་མའི​ི་ནང་བླུགས་ན། ཁྱེ​ེད་རང་གི​ི་ད་ལྟའི​ི་བསྡུ་རུབ་བྱས་པའི​ི་གྲངས་ནི​ི་རི​ིལ་གྲངས་རེ​ེད། དེ​ེ་ Z ཡི​ིས་མཚོ​ོན། 40 −757 −−66 − 21 −3 16 71 58 3 5 0 422 601 29 40 74 2

Z 58 0 − −40 1 3 22 52 −7 166 74 40

གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་ད་དུང་གྲངས་རི​ིགས་གཅི​ིག་ལྷག་ཡོ​ོད།

ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར་ Z

Z ནི​ི་ཇར་མན་གྱི​ི་མི​ིང་

ཚི​ིག་ལས་བྱུང་བ་དང་། དེ​ེའི​ི་གོ​ོ་ དོ​ོན་ནི​ི་བགྲང་བ་རེ​ེད།

རྩིས་རིག

16

དཔེ​ེར་ན། 1 , 1 , − 1 , − 3 ལྟ་བུ། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གྲངས་ 3

17 5 −1 981 0 0 2 −2 006 13 2 9 14 − 6 71 3 8 7 16 2 5 9 0 99 89 3 −66

4

དེ​ེ་རི​ིགས་ཚང་མ་ཁུག་མའི​ི་ནང་བླུགས་ན། ད་ལྟའི​ི་བསྡུ་

རུབ་བྱས་པའི​ི་གྲངས་ནི​ི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེ​ེད། དེ​ེ་ Q ཡི​ིས་མཚོ​ོན།

Q −6

9

4

1 5 7 58 999 62 −6 0 19 −1 60 9 27 −12 5 13 −65 −6721 0 0 −2 06 12 20 −8 81 16 23 89

25 27 29 4 40 8 − 60 −5 41

1 4

2 4

p

གྲངས་ ‘r’ ལ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ (rational numbers) ཟེ​ེར་ཞི​ིང་། གལ་ཏེ​ེ་དེ​ེ་ q ཡི​ི་རྣམ་པར་འབྲི​ི་ཐུབ་པ་དང་། p

དེ​ེའི​ི་ནང་ p དང་ q ནི​ི་རི​ིལ་གྲངས་ཡི​ིན་པ་དང་། q ≠ 0 ཡི​ིན། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཁུག་མའི​ི་ནང་གི​ི་གྲངས་ཚང་མ་ q ཡི​ི་ རྣམ་པར་འབྲི​ི་ཐུབ། དཔེ​ེར་ན། −10 ནི​ི་ −

10 ལྟར་འབྲི​ི་ཆོ​ོག འདི​ིར་ p = −10 དང་ q = 1 རེ​ེད། 1

དེ​ེས་ན། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ནང་རང་བྱུང་གྲངས་དང་། ཧྲི​ིལ་གྲངས། རི​ིལ་གྲངས་བཅས་ཚུད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། གྲངས་ཐི​ིག་ ཐོ​ོག་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི​ི་རྣམ་པར་མཚོ​ོན་སྐབས། q ≠ 0 དང་། p དང་ q ལ་ 1 མི​ིན་པའི​ི་སྤྱི​ིའི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་ གཞན་མེ​ེད་པ་ངེ​ེས། [དེ​ེ་ནི​ི་ p དང་ q ཕན་ཚུན་རྒྱུ་གྲངས་ (co-prime) རེ​ེད།]

ང་ཚོ​ོས་འཛི​ིན་གྲྭ་སྔ་མར་སྦྱངས་ཟི​ིན་པའི​ི་གྲངས་ཀྱི​ི་རི​ིགས་འདྲ་མི​ིན་གྱི​ི་རྩི​ིས་དཔེ​ེ་འགའ་ལ་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན། རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡ གཤམ་གསལ་རྩི​ིས་བརྗོ​ོད་ཁག་འགྲི​ིག་མི​ིན་བལྟས་ཏེ​ེ། རྒྱུ་མཚན་ཤོ​ོད། (ཀ) ཧྲི​ིལ་གྲངས་ཚང་མ་རང་བྱུང་གྲངས་རེ​ེད།

(ཁ) རི​ིལ་གྲངས་ཚང་མ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེ​ེད། ལན།

(ག) ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཚང་མ་རི​ིལ་གྲངས་རེ​ེད།

(ཀ) ནོ​ོར། རྒྱུ་མཚན་ནི​ི་ 0 ཧྲི​ིལ་གྲངས་ཡི​ིན་ཡང་རང་བྱུང་གྲངས་མི​ིན།

(ཁ) འགྲི​ིག རི​ིལ་གྲངས་ m ནི​ི་ m ཡི​ི་རྣམ་པར་མཚོ​ོན་ཐུབ་པས། དེ​ེ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེ​ེད། 1

(ག) ནོ​ོར། རྒྱུ་མཚན་ནི​ི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ 3 ལྟ་བུ་ནི​ི་རི​ིལ་གྲངས་མི​ིན། 5

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༢ 1 དང་ 2 དབར་གྱི​ི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ལྔ་ཚོ​ོལ། ལན།

ཐབས་ལམ། ༡

དྲན་གསོ​ོ་གྱི​ིས་དང་། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ r དང་ s དབར་གྱི​ི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་བཚོ​ོལ་བར་ r དང་ s ཡི​ི་ བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་ལ་ 2 ཀྱི​ིས་བགོ​ོ་དགོ​ོས། དེ​ེ་ནི​ི་ r དང་ s དབར་ r + s ཡོ​ོད། 2

དེ​ེས་ན། 3 ནི​ི་ 1 དང་ 2 དབར་གྱི​ི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཤི​ིག་ཡི​ིན། འདི​ི་ལྟར་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ 1 དང་ 2 2

དབར་ལུགས་ལྡན་གྲངས་མང་པོ​ོ་འཚོ​ོལ་ཐུབ། 1 དང་ 2 དབར་གྱི​ི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཞན་ནི​ི་ 5 དང་ 11 , 13 , 7 སོ​ོགས་ཡི​ིན། 8

4

8 4

2

གྲངས་ཀྱི་ལམ་ལུག

ཐབས་ལམ། ༢

འདི​ིར་ང་ཚོ​ོར་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ལྔ་དགོ​ོས་པས། མ་ཆ་ 5 + 1 ཡི​ིན་པའི​ི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ 1 དང་ 2 བྲི​ིས། དེ​ེ་ནི​ི། 1 = 7

6 12 དང་ 2 = 6 6

8 , 9 , 10 , 11 བཅས་ནི​ི་ 1 དང་ 2 དབར་གྱི​ི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེ​ེད། 6 6 6 6 3 5 11 དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ལྔ་ནི​ི་ 7 དང་ 4 , , , རེ​ེད། 6 3 2 3 6

དེ​ེས་ན། 6 དང་

མཆན། ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པའི​ི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་དབར་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཚད་མེ​ེད་ཡོ​ོད། ང་ཚོ​ོས་ཡང་བསྐྱར་གོ​ོང་གི​ི་གྲངས་ཐི​ིག་ལ་བལྟས་ན།

གྲངས་ཐི​ིག་སྟེ​ེང་གི​ི་གྲངས་ལྷག་མ་རྣམས་ལ་གང་ཟེ​ེར།

ད་དུང་དེ​ེའི​ི་ཐོ​ོག་གྲངས་ཚད་མེ​ེད་ལྷག་ཡོ​ོད་པ་མཐོ​ོང་ཐུབ།

འབྱེ​ེད་ཐུབ་བམ། ང་ཚོ​ོས་དེ​ེ་ལེ​ེ་ཚན་རྗེ​ེས་མར་སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན།

གྲངས་དེ​ེ་དག་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ནས་དབྱེ​ེ་བ་གང་འདྲ་

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༡་༡

p

༡། 0 ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡི​ིན་ནམ། དེ​ེ་རི​ིལ་གྲངས་ p དང་ q ལས་ q ≠ 0 ཡི​ིན་པའི​ི་ q ཡི​ི་རྣམ་པར་འབྲི​ི་ཐུབ་བམ། ༢། 3 དང་ 4 དབར་གྱི​ི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་དྲུག་ཚོ​ོལ། ༣།

3 4 དང་ དབར་གྱི​ི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ལྔ་ཚོ​ོལ། 5 5

༤། གཤམ་གསལ་རྩི​ིས་བརྗོ​ོད་ཁག་འགྲི​ིག་མི​ིན་བལྟས་ཏེ​ེ་རྒྱུ་མཚན་ཤོ​ོད། (ཀ) རང་བྱུང་གྲངས་ཚང་མ་ཧྲི​ིལ་གྲངས་ཡི​ིན། (ཁ) རི​ིལ་གྲངས་ཚང་མ་ཧྲི​ིལ་གྲངས་ཡི​ིན།

(ག) ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཚང་མ་ཧྲི​ིལ་གྲངས་ཡི​ིན།

༡་༢ ལུགས་མེ​ེད་གྲངས། Irrational Numbers

ལེ​ེ་ཚན་སྔ་མའི​ི་ནང་ང་ཚོ​ོས་གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་ལུགས་ལྡན་མི​ིན་པའི​ི་གྲངས་ཡོ​ོད་པ་མཐོ​ོང་ཡོ​ོད། འདི​ིར་ང་ཚོ​ོས་གྲངས་ p

དེ​ེ་ཚོ​ོའི​ི་སྐོ​ོར་སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན། ད་བར་ཁྱེ​ེད་ལ་འཕྲད་པའི​ི་གྲངས་ཚང་མ་ q ཡི​ི་རྣམ་པར་ཡི​ིན་པ་དང་དེ​ེའི​ི་ནང་ p དང་ p q རི​ིལ་གྲངས་ཡི​ིན་པ་དང་ q ≠ 0 དེ​ེས་ན། q ཡི​ི་རྣམ་པར་མི​ིན་པའི​ི་གྲངས་ལ་ཅི​ི་ཟེ​ེར། p གྲངས་ ‘s’ ལ་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ (irrational numbers) ཟེ​ེར་ཞི​ིང་། གལ་ཏེ​ེ་དེ​ེ་ q ཡི​ི་རྣམ་པར་འབྲི​ི་མ་ཐུབ་པ་དང་། དེ​ེའི​ི་ནང་ p དང་ q ནི​ི་རི​ིལ་གྲངས་ཡི​ིན་པ་དང་། q ≠ 0 ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཚད་མེ​ེད་ཡོ​ོད་པ་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་

ཡོ​ོད། དེ​ེ་ལྟར་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཀྱང་ཚད་མེ​ེད་ཡི​ིན། དཔེ​ེར་ན། 2 , 5 , 17 , π , 0.10110111011110...

3

རྩིས་རིག ཕྱི​ི་ལོ​ོ་སྔོ​ོན་གྱི​ི་ལོ​ོ་ ༤༠༠ ཙམ་ལ་གྷི​ི་རི​ིའ་སི​ིའི​ི་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་དང་ལྟ་གྲུབ་སྨྲ་བ་པཡེ​ེ་ཐ་

གྷོ​ོ་རཱས་ (Pythagoras) ཡི​ི་རྗེ​ེས་འབྲང་བས་ལུགས་ལྡན་མི​ིན་པའི​ི་གྲངས་གསར་དུ་

རྙེ​ེད་ཡོ​ོད། གྲངས་དེ​ེ་དག་རི​ིལ་གྲངས་ཀྱི​ི་སྡུར་ཚད་ཀྱི​ི་རྣམ་པར་འབྲི​ི་ཐུབ་ཀྱི​ི་མེ​ེད་

པས་འདི​ི་དག་ལ་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཟེ​ེར། པཡེ​ེ་ཐ་གྷོ​ོ་རཱས་ཡི​ི་རྗེ​ེས་འབྲང་བ་ཧི​ི་པེ​ེ་ སཱས་

(Hippacus)

ཡི​ིས་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་གསར་དུ་རྙེ​ེད་པའི​ི་གནའ་སྒྲུང་མང་

པོ​ོ་ཡོ​ོད། ཧི​ི་པེ​ེ་སཱས་ཡི​ིས་

2 ནི​ི་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཡི​ིན་པ་གསར་རྙེ​ེད་བྱུང་བ་

འམ་ཡང་ན། 2 ཡི​ི་གསང་བ་དེ​ེ་ཕྱི​ི་ལ་བསྒྲགས་པའི​ི་རྐྱེ​ེན་གྱི​ིས་ཁོ​ོང་གི​ི་ཚེ​ེ་མཇུག་ ལ་སྟབས་མ་ལེ​ེགས་པའི​ི་ལོ​ོ་རྒྱུས་གནའ་སྒྲུང་ཚང་མའི​ི་ནང་གསལ་ཡོ​ོད།

མཆན། ང་ཚོ​ོས་རྟགས་

པཡེ​ེ་ཐ་གྷོ​ོ་རཱས།

(ཕྱི​ི་ལོ​ོ་སྔོ​ོན་གྱི​ི་ལོ​ོ་ ༥༦༩ - ༤༧༩) དཔེ་རིས་ ༡་༢

འབྲི​ི་སྐབས་གྲངས་དེ​ེའི​ི་ཉི​ིས་སྒྱུར་གཞི​ི་ངེ​ེས་པར་དུ་ཕོ​ོ་གྲངས་ཡི​ིན་དགོ​ོས། 2 དང་ −2

གཉི​ིས་ནི​ི་ 4 ཡི​ི་ཉི​ིས་སྒྱུར་གཞི​ི་ཡི​ིན་ནའང་། 4 = 2 རེ​ེད།

གོ​ོང་གི​ི་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་ནང་སྤྲད་པའི​ི་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་འགའ་ཤས་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འཛི​ིན་གྲྭ་སྔ་མར་མཐོ​ོང་མྱོ​ོང་ཡོ​ོད། དཔེ​ེར་ན།

2 དང་ π ལྟ་བུའོ​ོ། །

པཡེ​ེ་ཐ་གྷོ​ོ་རཱས་ཡི​ི་རྗེ​ེས་འབྲང་བས་

2 ནི​ི་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཡི​ིན་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱས་ཡོ​ོད། དེ​ེ་རྗེ​ེས་ཕྱི​ི་ལོ​ོ་སྔོ​ོན་

གྱི​ི་ལོ​ོ་ ༤༢༥ ཙམ་ལ་ཐེ​ེའུ་ཌོ​ོར་ས་ (Theodorus) ཡི​ིས་ 3 དང་ 5 , 6 , 7 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 ,

17 བཅས་ཀྱང་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཡི​ིན་པ་བསྟན་ཡོ​ོད།

2 དང་

3,

5 སོ​ོགས་ལུགས་

མེ​ེད་གྲངས་ཡི​ིན་པའི​ི་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་འཛི​ིན་རི​ིམ་བཅུ་པར་སྦྱང་རྒྱུ་ཡི​ིན། ཕྱི​ི་ལོ​ོ་ ༡༧༠༠ ཡི​ི་ལོ​ོ་མཇུག་ལ་ལམ་བཱཊ་དང་ ལི​ི་ཇི​ིན་ཌཱ་ (Lambert and Legendre) ཡི​ིས་ π ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཡི​ིན་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱས་ཡོ​ོད། ལེ​ེ་ཚན་རྗེ​ེས་མར་ ང་ཚོ​ོས་ 0.10110111011110... དང་ π ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཡི​ིན་པའི​ི་རྒྱུ་མཚན་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ལེ​ེ་ཚན་སྔོ​ོན་མའི​ི་ཁུག་མའི​ི་ནང་གི​ི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ལ་དྲན་གསོ​ོ་གྱི​ིས་དང་། གལ་ཏེ​ེ་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ལུགས་

མེ​ེད་གྲངས་ཚང་མ་ཁུག་མའི​ི་ནང་བླུགས་ན། གྲངས་ཐི​ིག་སྟེ​ེང་གྲངས་གཅི​ིག་ཀྱང་ལྷག་མེ​ེད། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ དང་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་བསྡུ་རུབ་བྱས་པའི​ི་གྲངས་རྣམས་ལ་དངོ​ོས་གྲངས་ (real numbers) ཟེ​ེར། ང་ ཚོ​ོས་དེ​ེ་ R ཡི​ིས་མཚོ​ོན།

དངོ​ོས་གྲངས་ནི​ི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་སམ་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་རེ​ེད། དེ​ེས་ན། དངོ​ོས་གྲངས་ཡོ​ོད་ཚད་གྲངས་ཐི​ིག་ ཐོ​ོག་གི​ི་གནས་ཤི​ིག་གི​ིས་མཚོ​ོན་པ་དང་།

གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་གི​ི་གནས་ཚང་མས་དངོ​ོས་གྲངས་ཤི​ིག་མཚོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད།

དེ​ེར་བརྟེ​ེན་ང་ཚོ​ོས་གྲངས་ཐི​ིག་ལ་དངོ​ོས་གྲངས་ཐི​ིག་ཀྱང་ཟེ​ེར།

ང་ཚོ​ོས་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་འགའ་ཤས་གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་མཚོ​ོན་སྟངས་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན།

4

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༣ གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་ ལན།

གྲངས་ཀྱི་ལམ་ལུག

2 མཚོ​ོན།

མཐའི​ི་རི​ིང་ཚད་ཚད་གཞི​ི་ 1 ཡི​ིན་པའི​ི་གྲུ་བཞི​ི་ཁ་གང་མ་ OABC ལ་ཆ་ཞོ​ོག

C

ང་ཚོ​ོས་གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་

O

(དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡་༣) པཡེ​ེ་ཐ་གྷོ​ོ་རཱས་ཡི​ི་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ལས།

OB = 12 + 12 = 2

2 ཇི​ི་ལྟར་མཚོ​ོན་དགོ​ོས། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡་༣ གྱི​ི་ཟུར་

ཚེ​ེག་ O གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་ 0 ལ་མཉམ་གནས་ཞོ​ོག (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡་༤ ལ་ལྟོ​ོས་) C

B 2

1

1 A

དཔེ་རིས་ ༡་༣

B

2

2

1

1 −3

−2

−1 −1 0

2

OB =

A P

2

3

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡་༤

2 ཡི​ིན་པ་ང་ཚོ​ོས་མཐོ​ོང་ཡོ​ོད། སྒོ​ོར་ཆས་སྤྱད་དེ​ེ་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ O དང་ཚངས་ཕྱེ​ེད་ OB ཡི​ིན་

པའི​ི་གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་གནས་ P ལ་འཕྲད་པའི​ི་གཞུ་ཐི​ིག་ཅི​ིག་བྲི​ིས། དེ​ེས་ན། གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་ P ཡི​ིས་ 2 མཚོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༤ གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་ ལན།

3 མཚོ​ོན།

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡་༤ ལ་བསྐྱར་དུ་ལྟོ​ོས་དང་།

D 1 3

2

B 3

1

1 −3

−2

−1 −1 O

2

A P Q2

3

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡་༥

OB ལ་དྲང་འཕྱང་ཡི​ིན་པའི​ི་རི​ིང་ཚད་ཚད་གཞི​ི་ 1 ཅན་གྱི​ི་ཐི​ིག་ BD བྲི​ིས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡་༥ ལ་ལྟོ​ོས་)

པཡེ​ེ་ཐ་གྷོ​ོ་རཱས་ཡི​ི་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ལས། OD =

2

2 + 12 = 3

སྒོ​ོར་ཆས་སྤྱད་དེ​ེ་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ O དང་ཚངས་ཕྱེ​ེད་ OD ཡི​ིན་པའི​ི་གཞུ་ཐི​ིག་ཅི​ིག་གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་ གནས་ Q ལ་འཕྲད་པ་བྲི​ིས། Q ཡི​ིས་ 3 མཚོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད།

ཐབས་ལམ་འདི​ི་ལྟར་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་རི​ིལ་གྲངས་ཕོ​ོ་གང་རུང་ n ཡི​ི་ བཙལ་རྗེ​ེས་འཚོ​ོལ་ཐུབ།

5

n ནི​ི་

n − 1 ཡི​ི་གནས་ས་

རྩིས་རིག

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༡་༢

༡། གཤམ་གསལ་རྩི​ིས་བརྗོ​ོད་ཁག་འགྲི​ིག་མི​ིན་བལྟས་ཏེ​ེ་རྒྱུ་མཚན་བྲི​ིས། (ཀ) ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཚང་མ་དངོ​ོས་གྲངས་ཡི​ིན།

(ཁ) རང་བྱུང་གྲངས་ m ལས་གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་གི​ི་གནས་ཚང་མ་ m ཡི​ི་རྣམ་པར་ཡོ​ོད། (ག) དངོ​ོས་གྲངས་ཚང་མ་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཡི​ིན།

༢། རི​ིལ་གྲངས་ཕོ​ོའི་ི ཉི​ིས་སྒྱུར་གཞི​ི་ཚང་མ་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཡི​ིན་ནམ། གལ་ཏེ​ེ་མི​ིན་ན། གྲངས་ཤི​ིག་གི​ི་ཉི​ིས་སྒྱུར་ གཞི​ི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡི​ིན་པའི​ི་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་ཞི​ིག་བྲི​ིས།

༣། གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་ 5 མཚོ​ོན།

༡་༣ དངོ​ོས་གྲངས་དང་དེ​ེའི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད། Real Numbers and their Decimal Expansions

ལེ​ེ་ཚན་འདི​ིར་ང་ཚོ​ོས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་དང་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ལ་ཕྱོ​ོགས་གཞན་ནས་ལྟ་རྒྱུ་དང་། དངོ​ོས་གྲངས་

ཀྱི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད། སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་སྤྱད་དེ​ེ་གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་མཚོ​ོན་ཚུལ་བཅས་སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན། ང་ཚོ​ོས་ ལུགས་ལྡན་གྲངས་ནས་འགོ​ོ་འཛུགས་ཀྱི​ི་ཡི​ིན།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༥ 10 དང་ 7 , 1 གི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་ཚོ​ོལ། ལན།

3

8

7

3.333... 3 10 9 10 9 10 9 10 9 1

བགོ​ོས་ལྷག 1, 1, 1, 1, 1... བགོ​ོ་བྱེ​ེད། 3

0.875 8 7.0 64 60 56 40 40 0

0.142857... 7 1.0 7 30 28 20 14 60 56 40 35 50 49 1

བགོ​ོས་ལྷག 6, 4, 0 བགོ​ོ་བྱེ​ེད།

8

6

བགོ​ོས་ལྷག 3, 2, 6, 4, 5, 1,

3, 2, 6, 4, 5, 1...

བགོ​ོ་བྱེ​ེད།

7

གོ​ོང་གི​ི་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་ལས། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཉུང་མཐར་གནད་དོ​ོན་གསུམ་དོ​ོ་སྣང་བྱུང་ཡོ​ོད་ཀྱི​ི་རེ​ེད།

གྲངས་ཀྱི་ལམ་ལུག

(ཀ) གོ​ོམ་པ་ངེ​ེས་ཅན་ཞི​ིག་གི​ི་རྗེ​ེས་བགོ​ོས་ལྷག་ 0 ཆགས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་ཡང་ན། དེ​ེ་དག་བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། (ཁ)

(ག)

བགོ​ོས་ལྷག་གི​ི་བསྟར་པའི​ི་ནང་གི​ི་གྲངས་ནི​ི་བགོ​ོ་བྱེ​ེད་ལས་ཉུང་བ་ཡོ​ོད། ( 10 ནང་གྲངས་གཅི​ིག་རང་

བསྐྱར་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་དང་བགོ​ོ་བྱེ​ེད་ 3 རེ​ེད།

3 1 གི​ི་བགོ​ོས་ལྷག་གི​ི་བསྟར་པའི​ི་ནང་བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱས་པའི​ི་ 7

གྲངས་དྲུག་ 326451 ཡི​ིན་པ་དང་བགོ​ོ་བྱེ​ེད་ 7 རེ​ེད།)

གལ་ཏེ​ེ་བགོ​ོས་ལྷག་བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་ན། བགོ​ོས་ཐོ​ོབ་ནང་བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱེ​ེད་པའི​ི་གྲངས་གནས་ཀྱི​ི་སྡེ​ེ་

ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། ( 10 ཡི​ི་བགོ​ོས་ཐོ​ོབ་ནང་ 3 བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་དང་། 1 གི​ི་བགོ​ོས་ཐོ​ོབ་ནང་གྲངས་ 3

གནས་ཀྱི​ི་སྡེ​ེ་ 142857 བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།)

7

p

གོ​ོང་གི​ི་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་ནང་སྤྱོ​ོད་པའི​ི་དཔེ​ེ་འགྲོ​ོས་ནི​ི་ q (q ≠ 0) ཡི​ི་རྣམ་པར་ཡི​ིན་པའི​ི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཚང་མར་

ཁྱབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། p ལ་ q ཡི​ིས་བགོ​ོད་སྐབས་གནས་སྟངས་གཉི​ིས་འབྱུང་སྲི​ིད། བགོ​ོས་ལྷག་ 0 ཡི​ིན་པའམ། ཡང་ན། 0 མི​ིན་ཡང་བགོ​ོས་ལྷག་བསྐྱར་ཟློ​ོས་ཀྱི​ི་ཚན་པ་ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། ང་ཚོ​ོས་གནས་སྟངས་རེ​ེ་རེ​ེར་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན། གནས་སྟངས། ༡ བགོ​ོས་ལྷག་ 0

དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་ 7 ནང་གོ​ོམ་པ་ངེ​ེས་ཅན་ཞི​ིག་གི​ི་རྗེ​ེས་བགོ​ོས་ལྷག་ 0 ཆགས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་དང་། 7 གྱི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་ 8 8 1 639 སྐྱེ​ེད་ནི​ི་ 0.875 རེ​ེད། དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་གཞན་ནི​ི་ = 0.5, = 2.556 ཡི​ིན། གནས་སྟངས་འདི​ི་དག་ཚང་མའི​ི་ 2 250

ནང་། སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་མཚམས་འཇོ​ོག་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པའམ། ཡང་ན། གོ​ོམ་པ་ཚད་ཡོ​ོད་ཞི​ིག་གི​ི་རྗེ​ེས་རྫོ​ོགས་ཀྱི​ི་ ཡོ​ོད། ང་ཚོ​ོས་གྲངས་འདི​ི་དག་གི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་ལ་ཚད་ཡོ​ོད་ (terminating) ཟེ​ེར། གནས་སྟངས། ༢ བགོ​ོས་ལྷག་ 0 མི​ིན་པ།

དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་ 1 དང་ 1 ནང་། གོ​ོམ་པ་ངེ​ེས་ཅན་ཞི​ིག་གི​ི་རྗེ​ེས་བགོ​ོས་ལྷག་བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱས་ནས་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་ 3

7

སྐྱེ​ེད་ཚད་མེ​ེད་པར་འགྲོ​ོ་ཡི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེ་ནི​ི། བགོ​ོས་ཐོ​ོབ་ནང་གྲངས་གནས་བསྐྱར་ཟློ​ོས་ཀྱི​ི་སྡེ​ེ་ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། ང་ཚོ​ོས་རྒྱ་ སྐྱེ​ེད་འདི​ི་ལ་ཚད་མེ​ེད་རེ​ེས་འཁོ​ོར་ (non-terminating recurring) ཟེ​ེར།

དཔེ​ེར་ན། 1 = 0.3333... དང་ 1 = 0.142857142857142857...

3 7 1 གི​ི་བགོ​ོས་ཐོ​ོབ་ནང་ 3 བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱེ​ེད་པ་མཚོ​ོན་སྟངས་ནི​ི་ 1 0.3 ལྟར་ཡི​ིན། དེ​ེ་མཚུངས་ གི​ི་བགོ​ོས་ཐོ​ོབ་ནང་ 3 7 1 གྲངས་གནས་ཀྱི​ི་སྡེ​ེ་ 142857 བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པས། ང་ཚོ​ོས་ ནི​ི་ 0.142857 ལྟར་བྲི​ིས། འདི​ིར་གྲངས་ 7 གནས་སྟེ​ེང་གི​ི་ཐི​ིག་དུམ་གྱི​ིས་བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱེ​ེད་པའི​ི་གྲངས་གནས་ཀྱི​ི་སྡེ​ེ་སྟོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེ་བཞི​ིན། 3.57272... ནི​ི་ 3.572 ལྟར་འབྲི​ི་ཆོ​ོག དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་འདི​ི་དག་གི​ིས་ཚད་མེ​ེད་རེ​ེས་འཁོ​ོར་ཡི​ིན་པའི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་སྟོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད།

7

རྩིས་རིག

དེ​ེས་ན། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་ལ་གནས་སྟངས་གཉི​ིས་ཏེ​ེ། ཚད་ཡོ​ོད་དམ་ཡང་ན་ཚད་མེ​ེད་ རེ​ེས་འཁོ​ོར་ཡི​ིན་པ་མཐོ​ོང་ཐུབ།

དཔེ​ེར་ན། 3.142678 ཀྱི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་ནི​ི་ཚད་ཡོ​ོད་ཡི​ིན་པ་དང་། 1.272727... དེ​ེ་ནི​ི་ 1.27 ཡི​ི་སི​ིལ་ གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་ནི​ི་ཚད་མེ​ེད་རེ​ེས་འཁོ​ོར་རེ​ེད།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གྲངས་དེ​ེ་གཉི​ིས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡི​ིན་པ་མཇུག་སྡོ​ོམ་

བྱེ​ེད་ཐུབ་བམ། ཐུབ། ང་ཚོ​ོས་དེ​ེ་རྩི​ིས་དཔེ​ེ་འགའ་བརྒྱུད་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན།

p

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༦ 3.142678 ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན། ཚི​ིག་གཞན་ནང་། 3.142678 དེ​ེ་ q ཡི​ི་རྣམ་པར་ ལན།

སྟོ​ོན། དེ​ེའི​ི་ནང་ p དང་ q ནི​ི་རི​ིལ་གྲངས་ཡི​ིན་པ་དང་། q ≠ 0 ཡི​ིན།

ང་ཚོ​ོས་ 3.142678 = 3142678 ལྟར་འབྲི​ི་ཐུབ་པས། དེ​ེ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡི​ིན། 1000000 p

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༧ 0.3333... = 0.3 དེ​ེ་ q ཡི​ི་རྣམ་པར་མཚོ​ོན། འདི​ིར་ p དང་ q ནི​ི་རི​ིལ་གྲངས་དང་། q ≠ 0 ལན།

ང་ཚོ​ོས་ 0.3 ནི​ི་ x ཡི​ིས་མཚོ​ོན། དེ​ེས་ན།

x = 0.3333...

10 x = 10 × (0.3333...) = 3.3333... (x = 0.3333... ཡི​ིན་པས།)

3.3333... = 3 + x

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

10 x = 3 + x

x འགྲོ​ོལ་སྐབས་ང་ཚོ​ོར་ 9x = 3 ཐོ​ོབ། དེ​ེ་ནི​ི།   x = 1 3 p

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༨ 1.272727... = 1.27 དེ​ེ་ q ཡི​ི་རྣམ་པར་མཚོ​ོན། འདི​ིར་ p དང་ q ནི​ི་རི​ིལ་གྲངས་དང་། q ≠ 0 ལན།

x = 1.272727... ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག འདི​ིར་གྲངས་གནས་གཉི​ིས་བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཡོ​ོད་པས།

ང་ཚོ​ོས་ x ལ་ 100 ཡི​ིས་བསྒྱུར་རྗེ​ེས།

100 x = 127.2727... 100 x = 126 + 1.272727... = 126 + x

དེ​ེས་ན།

100 x − x = 126

བཤེ​ེར་རྩི​ིས།

99 x = 126 126 14 x= = 99 11    14 = 1.27 11

8

གྲངས་ཀྱི་ལམ་ལུག

p

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༩ 0.2353535... = 0.235 དེ​ེ་ q ཡི​ི་རྣམ་པར་མཚོ​ོན། འདི​ིར་ p དང་ q ནི​ི་རི​ིལ་གྲངས་དང་། q ≠ 0 ལན།

x = 0.235 ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག འདི​ིར། 2 བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་མེ​ེད། ཡི​ིན་ནའང་། གྲངས་གནས་ཀྱི​ི་

སྡེ​ེ་ 35 བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། གྲངས་གནས་གཉི​ིས་བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པས་ x ལ་ 100 ཡི​ིས་བསྒྱུར་རྗེ​ེས།

100 x = 23.53535... 100 x = 23.3 + 0.23535... = 23.3 + x

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

བཤེ​ེར་རྩི​ིས།

99 x = 23.3 233 99 x = 10 233 x= 990 233 0.235    = 990

p

དེ​ེས་ན། ཚད་མེ​ེད་རེ​ེས་འཁོ​ོར་ཡི​ིན་པའི​ི་གྲངས་ཤི​ིག་གི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་ནི​ི་ q (q ≠ 0) ཡི​ི་རྣམ་པར་མཚོ​ོན་ ཐུབ། དེ​ེའི​ི་ནང་ p དང་ q རི​ིལ་གྲངས་ཡི​ིན། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་ནི​ི་ཚད་ཡོ​ོད་དམ། ཡང་

ན་ཚད་མེ​ེད་རེ​ེས་འཁོ​ོར་གང་རུང་ཡི​ིན། གྲངས་ཤི​ིག་གི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་ནི​ི་ཚད་ཡོ​ོད་དམ། ཡང་ན་ཚད་མེ​ེད་ རེ​ེས་འཁོ​ོར་ཡི​ིན་ན། དེ​ེ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡི​ིན།

གོ​ོང་གི​ི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་ལས་ང་ཚོ​ོས་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཀྱི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་གཤམ་གསལ་ལྟར་སྤྲོ​ོད་ཐུབ།

ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཀྱི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་ནི​ི་ཚད་མེ​ེད་རེ​ེས་འཁོ​ོར་མི​ིན། མེ​ེད་རེ​ེས་འཁོ​ོར་མི​ིན་ན་དེ​ེ་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཡི​ིན།

གྲངས་ཤི​ིག་གི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་ཚད་

སི​ིལ་གྲངས་ 0.10110111011110... ནི​ི་ཚད་མེ​ེད་རེ​ེས་འཁོ​ོར་མི​ིན། དེ​ེར་བརྟེ​ེན། གོ​ོང་གི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་ལས་དེ​ེ་ ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཡི​ིན། ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ 2 དང་ π ཡི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་རི​ིམ་པ་ངེ​ེས་ཅན་བར་ནི​ི། 2 = 1.4142135623730950488016887242096...

π = 3.14159265358979323846264338327950...

མཆན། ང་ཚོ​ོས་རྒྱུན་དུ་ π ཡི​ི་ཉེ​ེ་མཚུངས་ཐང་ 22 ལེ​ེན་གྱི​ི་ཡོ​ོད་ནའང་། π ≠ 22 7

7

ལོ​ོ་ཤས་རི​ིང་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་ཚོ​ོས་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཀྱི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་ནང་གྲངས་གནས་གང་མང་ཐོ​ོན་པར་ ཐབས་ལམ་འདྲ་མི​ིན་བཙལ་ཡོ​ོད། དཔེ​ེར་ན། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་བགོ​ོད་རྩི​ིས་ཐབས་ལམ་ལས་

2 ཡི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་

ནང་གྲངས་གནས་འཚོ​ོལ་སྟངས་སྦྱངས་ཡོ​ོད་ངེ​ེས། ཝེ​ེ་ཌི​ིཀ་ (Vedic) དུས་ཡུན་ (ཕྱི​ི་ལོ​ོ་སྔོ​ོན་གྱི​ི་ལོ​ོ་ ༨༠༠-༥༠༠) སྐབས་ཀྱི​ི་ རྩི​ིས་རི​ིག་ཆེ​ེད་རྩོ​ོམ་ Sulbasutras ནང་ 2 ཡི​ི་ཉེ​ེ་མཚུངས་ཐང་ནི​ི་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡི​ིན།

9

རྩིས་རིག

2 =1+

དེ​ེ་ནི​ི་གོ​ོང་དུ་སྤྲད་པའི​ི་

1 1 1 1 1 1 × × × + − = 1.4142156 4 3 34 4 3 3

2 ཡི​ི་ཐང་གི​ི་སི​ིལ་གྲངས་གནས་དང་པོ​ོ་ལྔ་བར་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པ་དོ​ོ་སྣང་གྱི​ིས་དང་།

π ཡི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་ནང་གྲངས་གནས་འཚོ​ོལ་ཞི​ིབ་ཀྱི​ི་ལོ​ོ་རྒྱུས་ངོ​ོ་མཚར་ཅན་མང་དག་ཅི​ིག་ཡོ​ོད། གྷི​ི་རི​ིག་ཡི​ི་རི​ིག་རྩལ་བ་ཨར་ཀི​ི་མེ​ེ་ཌི​ིས་

(Archimedes)

ནི​ི་ π ཡི​ི་སི​ིལ་

གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་ནང་གྲངས་གནས་འཚོ​ོལ་མཁན་དང་པོ​ོ་དེ​ེ་རེ​ེད། ཁོ​ོང་གི​ིས་ 3.140845 < π < 3.142857

བསྟན་ཡོ​ོད།

རྒྱ་གར་གི​ི་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་

དང་གནམ་རི​ིག་སྐར་དཔྱད་པ་ཨརྱ་བྷ་ཊ་ (Aryabhatta ཕྱི​ི་ལོ​ོ་ ༤༧༦-༥༥༠) ཡི​ིས་ π ཡི​ི་ཐང་ལ་སི​ིལ་གྲངས་གནས་བཞི​ི་བར་བསྟན་ཡོ​ོད། མགྱོ​ོགས་ཚད་ལྡན་

པའི​ི་ཀམ་པུ་ཊར་དང་ཡར་ཐོ​ོན་ཅན་གྱི​ི་འཕྲུལ་ཆས་རྩི​ིས་ལུགས་སྤྱད་དེ​ེ་ π

ཡི​ི་ཐང་ནི​ི་གྲངས་གནས་ཁྲག་ཁྲི​ིག་ 1.24 བར་བརྩི​ིས་ཡོ​ོད།

ཨར་ཀི​ི་མེ​ེ་ཌི​ིས། (ཕྱི​ི་ལོ​ོ་སྔོ​ོན་གྱི​ི་ལོ​ོ་ ༢༨༧-༢༡༢) དཔེ་རིས་ ༡་༦

ང་ཚོ​ོས་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་འཚོ​ོལ་སྟངས་སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡༠ 1 དང་ 2 དབར་གྱི​ི་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཤི​ིག་ཚོ​ོལ།

7 7 1 0.142857 དང་ 2 0.285714 = = 7 7 1 དང་ 2 དབར་གྱི​ི་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་འཚོ​ོལ་བར། ང་ཚོ​ོས་དེ​ེ་དག་དབར་ཚད་མེ​ེད་རེ​ེས་འཁོ​ོར་ 7 7

ལན།

མི​ིན་པའི​ི་གྲངས་ཤི​ིག་འཚོ​ོལ་དགོ​ོས། དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་གཅི​ིག་ནི​ི་ 0.150150015000150000... ཡི​ིན། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དེ​ེ་འདྲའི​ི་གྲངས་ཚད་མེ​ེད་འཚོ​ོལ་ཐུབ།

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༡་༣

༡། གཤམ་གསལ་རྣམས་སི​ིལ་གྲངས་ཀྱི​ི་རྣམ་པར་བསྟན་རྗེ​ེས། དེ​ེ་དག་གི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་ཀྱི​ི་རི​ིགས་བྲི​ིས། (ཀ) 36 100

(ང) 3 13

(ཁ) 1 11

(ཅ) 2 11

(ག) 4 1 8

(ཆ) 329 400

༢། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ 1 = 0.142857 ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གཞུང་སྒྲི​ིག་བགོ​ོད་རྩི​ིས་མ་སྤྱད་པར་ 2 , 3 , 4 , 5 , 7 6 བཅས་ཀྱི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་འཚོ​ོལ་ཐུབ་བམ། གལ་ཏེ​ེ་ཐུབ་ན་ཚོ​ོལ། 7

10

7

7

7

7

གྲངས་ཀྱི་ལམ་ལུག

p

༣། གཤམ་གསལ་ཁག་ q ཡི​ི་རྣམ་པར་བྲི​ིས། དེ​ེའི​ི་ནང་ p དང་ q ནི​ི་རི​ིལ་གྲངས་དང་། q ≠ 0 (ཀ) 0.6

(ཁ) 0.47 (ག) 0.001 p ༤། 0.99999... དེ​ེ་ q ཡི​ི་རྣམ་པར་བྲི​ིས། ༥། 1 གི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་ཀྱི​ི་གྲངས་གནས་བསྐྱར་ཟློ​ོས་ཀྱི​ི་སྡེ​ེའི​ི་ནང་གྲངས་གནས་ག་ཚོ​ོད་འདུག་གམ། 17 བགོ​ོད་རྩི​ིས་རྒྱོ​ོབ།

༦། ཚད་མེ​ེད་རེ​ེས་འཁོ​ོར་མི​ིན་པའི​ི་གྲངས་མི​ི་འདྲ་བ་གསུམ་བྲི​ིས།

༧། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ 5 དང་ 9 དབར་གྱི​ི་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་གསུམ་ཚོ​ོལ། 7

11

༨། གཤམ་གསལ་ལས་ལུགས་ལྡན་དང་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ངོ​ོས་ཟུངས། (ཀ) 23

(ཁ) 225

(ང) 7.478478...

(ག) 0.3796

(ཅ) 1.101001000100001...

༡་༤ གྲངས་ཐི​ིག་སྟེ​ེང་དངོ​ོས་གྲངས་མཚོ​ོན་པ།

ལེ​ེ་ཚན་སྔ་མར་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ི་དངོ​ོས་གྲངས་ཚང་མར་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་ཡོ​ོད་པ་མཐོ​ོང་ཡོ​ོད། ང་ཚོ​ོས་དེ​ེ་གྲངས་ཐི​ིག་སྟེ​ེང་ མཚོ​ོན་སྟངས་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན། 2.665

གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་མཚོ​ོན་དགོ​ོས་ན། ང་

-4

-3

ཚོ​ོས་དེ​ེ་ 2 དང་ 3 དབར་ལ་ཡོ​ོད་པ་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་

-1

0

1

2

3

4

(ཀ)

ཡོ​ོད། གྲངས་ཐི​ིག་སྟེ​ེང་ 2 དང་ 3 དབར་གྱི​ི་ཆ་ ཤས་ལ་ཉེ​ེ་འགྲམ་ནས་ལྟོ​ོས་དང་།

-2

ང་ཚོ​ོས་དེ​ེ་ཆ་

2

སྙོ​ོམས་དུམ་བུ་ 10 ལ་བགོ​ོས་ནས་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡་༧ (ཀ) ལྟར་གནས་སོ​ོ་སོ​ོར་རྟགས་རྒྱོ​ོབ། 2 ཀྱི​ི་གཡས་

(ཁ)

ཕྱོ​ོགས་ནས་རྟགས་དང་པོ​ོས་ 2.1 དང་རྟགས་ གཉི​ིས་པས་ 2.2 སོ​ོགས་མཚོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད།

3

2.5 2.1 2.2 2.3 2.4

2.6 2.7 2.8 2.9

དཔེ་རིས་ ༡་༧

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡་༧ (ཀ) ནང་ 2 དང་ 3 དབར་གྱི​ི་གནས་རྣམས་ལ་དོ​ོ་སྣང་བྱེ​ེད་ཁག་པོ​ོ་ཡོ​ོད་ཀྱི​ི་རེ​ེད། དེ​ེ་ གསལ་པོ​ོར་མཐོ​ོང་བར་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཆེ​ེ་ཤེ​ེལ་སྤྱད་ནས་ 2 དང་ 3 དབར་གྱི​ི་ཆ་ཤས་ལ་ལྟོ​ོས་དང་། དེ​ེ་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡་ ༧ (ཁ) ལྟར་མཐོ​ོང་གི​ི་རེ​ེད། 2.665 ནི​ི་ 2.6 དང་ 2.7 དབར་ལ་ཡོ​ོད་པས་ 2.6 དང་ 2.7 དབར་གྱི​ི་ཆ་ཤས་ལ་

ལྟ་དགོ​ོས། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡་༨ (ཀ)་ལ་ལྟོ​ོས་] ང་ཚོ​ོས་དེ​ེ་ཡང་བསྐྱར་ཆ་ཤས་གཅི​ིག་མཚུངས་བཅུ་ལ་བགོ​ོས་ན། རྟགས་དང་

པོ​ོས་ 2.61 དང་རྗེ​ེས་མས་ 2.62 སོ​ོགས་མཚོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེ་གསལ་པོ​ོར་མཐོ​ོང་བར་ང་ཚོ​ོས་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡་༨ (ཁ) ནང་བསྟན་པ་བཞི​ིན་ཆེ​ེ་རུ་གཏོ​ོང་གི​ི་ཡི​ིན།

11

རྩིས་རིག

2

3

2.5 2.1 2.2 2.3 2.4

2.6 2.7 2.8 2.9

(ཀ)

2.6

2.7

2.65

2.61 2.62 2.63 2.64 (ཁ)

2.66 2.67 2.68 2.69

དཔེ་རིས་ ༡་༨

ཡང་ 2.665 ནི​ི་ 2.66 དང་ 2.67 དབར་ལ་ཡོ​ོད། དེ​ེས་ན། ང་ཚོ​ོས་གྲངས་ཐི​ིག་གི​ི་ཆ་ཤས་འདི​ི་ལ་དོ​ོ་སྣང་བྱེ​ེད་ དགོ​ོས་པ་དང་། དེ​ེ་ཆ་ཤས་གཅི​ིག་མཚུངས་བཅུ་ལ་བགོ​ོས། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡་༩ (ཀ) ལ་ལྟོ​ོས་] ང་ཚོ​ོས་དེ​ེ་གསལ་པོ​ོར་མཐོ​ོང་

བར་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡་༩ (ཁ) ལྟར་ཆེ​ེ་རུ་གཏོ​ོང་གི​ི་ཡི​ིན། རྟགས་དང་པོ​ོས་ 2.661 དང་རྗེ​ེས་མས་ 2.662 སོ​ོགས་

མཚོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེས་ན། 2.665 ནི​ི་ཆ་ཤས་ལྔ་པ་དེ​ེ་རེ​ེད།

2.6

2.7

2.65

2.61 2.62 2.63 2.64

2.66 2.67 2.68 2.69

(ཀ)

2.66

2.67

2.665

2.666 2.667 2.668 2.669

2.661 2.662 2.663 2.664 (ཁ)

དཔེ་རིས་ ༡་༩

ང་ཚོ​ོས་ཆེ​ེ་ཤེ​ེལ་སྤྱད་དེ​ེ་གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་གྲངས་མཚོ​ོན་སྟངས་ཀྱི​ི་མངོ​ོན་ཚུལ་གྱི​ི་བརྒྱུད་རི​ིམ་འདི​ི་ལ་རི​ིམ་པར་ཇེ​ེ་

ཆེ​ེར་གཏོ​ོང་བའི​ི་བརྒྱུད་རི​ིམ་ཟེ​ེར། དེ​ེས་ན། ང་ཚོ​ོས་རི​ིམ་པས་ཇེ​ེ་ཆེ​ེར་བཏང་ནས་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་ཚད་ཡོ​ོད་ ཡི​ིན་པའི​ི་དངོ​ོས་གྲངས་ཤི​ིག་གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་མངོ​ོན་ཐུབ།

ང་ཚོ​ོས་གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་རི​ིམ་པར་ཇེ​ེ་ཆེ​ེར་གཏོ​ོང་བའི​ི་

བརྒྱུད་རི​ིམ་སྤྱད་དེ​ེ་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་ཚད་མེ​ེད་རེ​ེས་འཁོ​ོར་ཡི​ིན་པའི​ི་དངོ​ོས་གྲངས་ཀྱི​ི་མངོ​ོན་ཚུལ་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡༡ གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་ 5.37 གྱི​ི་སི​ིལ་གྲངས་གྲངས་གནས་ 5 དེ​ེ་ནི​ི་ 5.37777 བར་གྱི​ི་མངོ​ོན་ཚུལ་སྟོ​ོན།

ལན།

འདི​ིར་ང་ཚོ​ོས་རི​ིམ་པས་ཇེ​ེ་ཆེ​ེར་གཏང་བ་དང་། གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་ 5.37 གནས་སའི​ི་ཆ་ཤས་ཀྱི​ི་རི​ིང་ཚད་

12

གྲངས་ཀྱི་ལམ་ལུག

རི​ིམ་པས་ཇེ​ེ་ཆུང་གཏོ​ོང་དགོ​ོས། ཐོ​ོག་མར་ང་ཚོ​ོས་ 5.37 ནི​ི་ 5 དང་ 6 དབར་ལ་ཡོ​ོད་པ་མཐོ​ོང་ཐུབ།

རི​ིམ་པ་རྗེ​ེས་མ་ནི​ི་ང་ཚོ​ོས་ 5.37 དེ​ེ་ 5.3 དང་ 5.4 དབར་ལ་འཚོ​ོལ་དགོ​ོས། དེ​ེ་གསལ་པོ​ོར་མཐོ​ོང་

བར་ང་ཚོ​ོས་ཆ་ཤས་དེ​ེ་ཆ་སྙོ​ོམས་དུམ་བུ་ 10 ལ་བགོ​ོས་པ་དང་ཆེ​ེ་ཤེ​ེལ་སྤྱད་དེ​ེ་ 5.37 ནི​ི་ 5.37 དང་ 5.38 དབར་ལ་ཡོ​ོད་པ་མངོ​ོན། 5.37 གསལ་པོ​ོར་མཐོ​ོང་བར་ང་ཚོ​ོས་ཡང་བསྐྱར་ 5.37 དང་ 5.38

དབར་གྱི​ི་ཆ་ཤས་དེ​ེ་ཆ་སྙོ​ོམས་དུམ་བུ་ 10 ལ་བགོ​ོས་རྗེ​ེས་ཆེ​ེ་ཤེ​ེལ་སྤྱད་ནས་ 5.377 དང་ 5.378

དབར་ལ་ 5.37 ཚོ​ོལ། ད་ 5.37 གསལ་པོ​ོར་མཐོ​ོང་བར་ 5.377 དང་ 5.378 དབར་གྱི​ི་ཆ་ཤས་དེ​ེ་ ཆ་སྙོ​ོམས་དུམ་བུ་ 10 ལ་བགོ​ོས་ནས་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡་༡༠(ང) ནང་བསྟན་པ་བཞི​ིན་ 5.37 ཡི​ི་མཚོ​ོན་ སྟངས་གསལ་པོ​ོ་མཐོ​ོང་བ་བྱོ​ོས། 5.37 ནི​ི་ 5.3777 ལས་ 5.3778 ཀྱི​ི་ཕྱོ​ོགས་ལ་ཉེ​ེ་བར་ཡོ​ོད་པ་དོ​ོ་ སྣང་གྱི​ིས། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡་༡༠(ང) ལ་ལྟོ​ོས་]

5

6

5.5 5.1 5.2 5.3 5.4

5.6 5.7 5.8 5.9

(ཀ)

5.3

5.4

5.35 5.31

5.32

5.33

5.34

5.36

5.37

5.38

5.39

(ཁ)

5.37

5.38

5.375

5.371 5.372 5.373 5.374

5.376 5.377 5.378 5.379

(ག)

5.377

5.378

5.3775

5.3771 5.3772 5.3773 5.3774

5.3776 5.3777 5.3778 5.3779

དཔེ་རིས་ ༡་༡༠

13

5.37

(ང)

རྩིས་རིག

མཆན།

གོ​ོང་གི​ི་བྱེ​ེད་སྟངས་ལྟར་ང་ཚོ​ོས་རི​ིམ་པས་ཆེ​ེ་ཤེ​ེལ་བརྒྱུད་ནས་ལྟ་བ་དང་ཆབས་ཅི​ིག་གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་

5.37 གནས་སའི​ི་ཆ་ཤས་ཀྱི​ི་རི​ིང་ཚད་ཆུང་དུ་འགྲོ​ོ་ཡི​ི་ཡོ​ོད་པ་ཡི​ིད་ལ་འཆར་ཐུབ།

ཁྱེ​ེད ་ཀྱི​ིས ་གོ​ོ ང ་བཞི​ིན ་གྲངས་ཐི​ིག ་ཐོ​ོ ག ་སི​ིལ ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད ་ཚད་ཡོ​ོ ད ་རེ​ེས ་འཁོ​ོ ར ་མི​ིན ་པའི​ི་ དངོ​ོ ས ་གྲངས་ཤི​ིག ་ མངོ​ོན་ཐུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་ཤེ​ེས་ཡོ​ོད། གོ​ོང་གི​ི་གྲོ​ོས་བསྡུར་དང་མངོ​ོན་ཚུལ་ལས། ང་ཚོ​ོས་དངོ​ོས་གྲངས་ཚང་མ་གྲངས་ ཐི​ིག་ཐོ​ོག་གནས་སོ​ོ་སོ​ོས་མཚོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་ཤོ​ོད་ཐུབ། དེ​ེར་མ་ཟད། གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་གི​ི་གནས་ཚང་མས་དངོ​ོས་ གྲངས་སོ​ོ་སོ​ོར་མཚོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད།

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༡་༤

༡། རི​ིམ་པར་ཇེ​ེ་ཆུང་གཏོ​ོང་བའི​ི་བརྒྱུད་རི​ིམ་སྤྱད་ནས་གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་ 3.765 སྟོ​ོན། ༢། གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་ 4.26 གི​ི་སི​ིལ་གྲངས་གྲངས་གནས་ 4 བར་སྟོ​ོན།

༡་༥ དངོ​ོས་གྲངས་ཀྱི​ི་རྩི​ིས་ཐབས། Operations on Real Numbers

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འཛི​ིན་གྲྭ་སྔ་མར་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི​ི་སྡོ​ོམ་རྩི​ིས་དང་སྒྱུར་རྩི​ིས་སྐབས་བརྗེ​ེ་སྲོ​ོལ་དང་། སྡེ​ེབ་སྲོ​ོལ། བགོ​ོ་ སྲོ​ོལ་བཅས་གནས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་སྦྱངས་ཡོ​ོད། དེ​ེར་མ་ཟད། ང་ཚོ​ོས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉི​ིས་བསྡོ​ོམས་པའམ་ཡང་

ན། འཐེ​ེན་པ། བསྒྱུར་བ། བགོ​ོས་པ་ (ཀླད་ཀོ​ོར་ཕུད་པའི​ི་) ཡི​ིན་ན་ཐོ​ོབ་གྲངས་སུ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། (དེ​ེ་ནི​ི། ལུགས་ལྡན་གྲངས་སྐབས་སྡོ​ོམ་རྩི​ིས་དང་། འཐེ​ེན་རྩི​ིས། སྒྱུར་རྩི​ིས། བགོ​ོད་རྩི​ིས་བཅས་བསྡུས་ཡོ​ོད།)

ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཀྱི​ི་སྡོ​ོམ་རྩི​ིས་དང་སྒྱུར་རྩི​ིས་སྐབས་སུའང་བརྗེ​ེ་སྲོ​ོལ་དང་། སྡེ​ེབ་སྲོ​ོལ། བགོ​ོ་སྲོ​ོལ་བཅས་བསྡུས་ ཡོ​ོད། ཡི​ིན་ནའང་། ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་དང་འཐེ​ེན་ཐོ​ོབ། བགོ​ོས་ཐོ​ོབ། བསྒྱུར་ཐོ​ོབ་ནི​ི་ ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཡི​ིན་པའི​ི་ངེ​ེས་པ་མེ​ེད།

དཔེ​ེར་ན། ( 6) + (− 6) དང་། ( 2) − ( 2), ( 3).( 3), 17 ནི​ི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡི​ིན། 17

ང་ཚོ​ོས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཤི​ིག་ལ་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཀྱི​ིས་སྡོ​ོམ་པ་དང་སྒྱུར་སྐབས་གང་འབྱུང་གི​ི་ཡོ​ོད་པ་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན། དཔེ​ེར་ན། 3 ནི​ི་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཡི​ིན། 2 + 3 དང་ 2 3 གང་ཡི​ིན་ནམ། 3 ལ་ཚད་མེ​ེད་རེ​ེས་འཁོ​ོར་མི​ིན་ པའི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་ཡོ​ོད་པས། 2 + 3 དང་ 2 3 ཡང་ཚད་མེ​ེད་རེ​ེས་འཁོ​ོར་ཡི​ིན། དེ​ེར་བརྟེ​ེན། 2 + 3 དང་ 2 3 ནི​ི་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཡི​ིན།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡༢ π − 2 དང་ 2 + 21, 7 5, 7 བཅས་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཡི​ིན་མི​ིན་ལྟོ​ོས། 5

ལན།

དེ​ེ་ནས།

π = 3.1415...,

π − 2 = 1.1415...,

2 = 1.4142...,

5 = 2.236...

2 + 21 = 22.4142...

14

7 5 = 15.652...,

7 7 5 7 5 = = = 3.1304... 5 5 5 5

གྲངས་ཀྱི་ལམ་ལུག

གྲངས་འདི​ི་དག་ཚད་མེ​ེད་རེ​ེས་འཁོ​ོར་མི​ིན་པའི​ི་སི​ིལ་གྲངས་ཡི​ིན། དེ​ེས་ན། འདི​ི་དག་ཚང་མ་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་

ཡི​ིན། ང་ཚོ​ོས་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་འདི​ི་དག་གི​ི་སྡོ​ོམ་འཐེ​ེན་སྒྱུར་བགོ​ོད་དང་། ཉི​ིས་སྒྱུར་གཞི​ི་འཚོ​ོལ་སྐབས་གང་ འབྱུང་གི​ི་ཡོ​ོད་པ་རྩི​ིས་དཔེ​ེ་འགའ་བརྒྱུད་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡༣ 2 2 + 5 3 དང་ 2 − 3 3 སྡོ​ོམས། ལན།

(2 2 + 5 3 ) + ( 2 − 3 3 ) = (2 2 + 2 ) + (5 3 − 3 3 )

= (2 + 1) 2 + (5 − 3) 3

=3 2+2 3

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡༤ 6 5 ལ་ 2 5 ཡི​ིས་སྒྱུར། ལན།

6 5 × 2 5 = 6 × 2 × 5 × 5 = 12 × 5 = 60

ལན།

8 15 ÷ 2 3 =

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡༥ 8 15 ལ་ 2 3 ཡི​ིས་བགོ​ོས།

8 3× 5 =4 5 2 3

རྩི​ིས་དཔེ​ེ་འདི​ི་དག་ལས་ང་ཚོ​ོས་གཤམ་གསལ་བརྗོ​ོད་པ་རྣམས་བདེ​ེན་པ་ཡི​ིན་པ་ཤེ​ེས་ཐུབ།

༡། ལུགས་ལྡན་གྲངས་དང་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཀྱི​ི་བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་བམ་འཐེ​ེན་ཐོ​ོབ་ནི​ི་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཡི​ིན། ༢།

ཀླད་ཀོ​ོར་མི​ིན་པའི​ི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཤི​ིག་དང་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་བསྒྱུར་ཐོ​ོབ་བམ་བགོ​ོས་ཐོ​ོབ་ནི​ི་

༣།

གལ་ཏེ​ེ་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་གཉི​ིས་བསྡོ​ོམས་པའམ། འཐེ​ེན་པ། བསྒྱུར་པ། བགོ​ོས་པ་ཡི​ིན་ན། ཐོ​ོབ་གྲངས་སུ་

ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཡི​ིན།

ལུགས་ལྡན་ནམ་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་གང་ཡང་ཡི​ིན་སྲི​ིད།

ང་ཚོ​ོས་དངོ​ོས་གྲངས་ཀྱི​ི་ཉི​ིས་སྒྱུར་གཞི​ི་འཚོ​ོལ་སྟངས་ཀྱི​ི་རྩི​ིས་ཐབས་ལ་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན། དྲན་གསོ​ོ་གྱི​ིས་དང་། གལ་ཏེ​ེ་ a རང་བྱུང་གྲངས་ཤི​ིག་ཡི​ིན་ན། a = b དེ​ེ་ནི​ི། b2 = a དང་ b > 0 གོ​ོ་དོ​ོན་དེ​ེ་དངོ​ོས་གྲངས་ཕོ​ོ་ལའང་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་བྱེ​ེད་ ཐུབ། a > 0 ནི​ི་དངོ​ོས་གྲངས་ཤི​ིག་ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག དེ​ེས་ན། a = b དེ​ེ་ནི​ི། b2 = a དང་ b > 0

ལེ​ེ་ཚན་ ༡་༢ ནང་ང་ཚོ​ོས་གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་རི​ིལ་གྲངས་ཕོ​ོ་ n ཡི​ི་ n མཚོ​ོན་སྟངས་སྦྱངས་ཟི​ིན། འདི​ིར་ང་ཚོ​ོ་དངོ​ོས་ གྲངས་ x ཡི​ི་ x དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རྣམ་པ་མཚོ​ོན་སྟངས་སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན།

དཔེ​ེར་ན། ང་ཚོ​ོས་ x = 3.5 ལ་འཚོ​ོལ་རྒྱུ་ཡི​ིན། དེ​ེ་ནི​ི། 3.5 དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རྣམ་པ་ཐོ​ོག་འཚོ​ོལ་དགོ​ོས།

15

རྩིས་རིག

D 3.5 O 3.5

A

B 1 C

དཔེ་རིས་ ༡་༡༡

སྤྲད་ཟི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་གི​ི་སྟེ​ེང་གནས་ A ནས་བར་ཐག་ཚད་གཞི​ི་ 3.5 ཐོ​ོག་གནས་ B རྟགས་རྒྱོ​ོབ། དེ​ེ་ནི​ི། AB =

ཚད་གཞི​ི་ 3.5 (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡་༡༡ ལ་ལྟོ​ོས་) B ནས་བར་ཐག་ཚད་གཞི​ི་ 1 ཐོ​ོག་གནས་གསར་པ་ C བྲི​ིས། AC ཡི​ི་ དཀྱི​ིལ་གནས་བཙལ་ཏེ​ེ་དེ​ེར་གནས་ O བྲི​ིས། སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ O དང་ཚངས་ཕྱེ​ེད་ OC ཡི​ིན་པའི​ི་ཕྱེ​ེད་སྒོ​ོར་ཞི​ིག་བྲི​ིས། གནས་ B

བརྒྱུད་པའི​ི་ AC ལ་དྲང་འཕྱང་ཡི​ིན་པ་དང་ཕྱེ​ེད་སྒོ​ོར་སྟེ​ེང་གནས་ D ལ་འཕྲད་པའི​ི་ཐི​ིག་ཅི​ིག་

བྲི​ིས། དེ​ེས་ན། BD = 3.5 དངོ​ོས་གྲངས་ཕོ​ོ་གང་ཞི​ིག་ x ཡི​ི་ x བཙལ་བར། ང་ཚོ​ོས་ AB

D

= ཚད་གཞི​ི་ x ཡི​ིན་པ་ B རྟགས་རྒྱག་པ་དང་། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡་

༡༢ ནང་ཡོ​ོད་པ་བཞི​ིན་ BC = ཚད་གཞི​ི་ 1 ཡི​ིན་པ་ C རྟགས་ རྒྱོ​ོབ། དེ​ེ་ནས། ང་ཚོ​ོས་ x = 3.5 ཡི​ི་གནས་སྟངས་ལྟར་ BD = x འཚོ​ོལ་དགོ​ོས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡་༡༢ ལ་ལྟོ​ོས་) ང་ཚོ​ོས་དེ​ེ་པཡེ​ེ་ཐ་གྷོ​ོ་

x O x

A

B 1 C

དཔེ་རིས་ ༡་༡༢

རཱས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་སྤྱད་དེ​ེ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་ཐུབ།

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡་༡༢ ནང་། ∆OBD ནི​ི་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་རེ​ེད། འདི​ིར་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཚངས་ཕྱེ​ེད་ནི​ི་ཚད་གཞི​ི་ x + 1 ཡི​ིན། 2

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

དང་།

OC = OD = OA = ཚད་གཞི​ི་ x + 1 2 x + 1 x − 1 OB = x − = 2 2

(

དེ​ེས་ན། པཡེ​ེ་ཐ་གྷོ​ོ་རཱས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ལས།

)

BD2 = OD2 − OB2 =

དེ​ེ་ནི​ི།

x+1 x−1 − 2 2 2

2

=

4x =x 4

BD = x

གོ​ོང་གི​ི་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་ལས། ང་ཚོ​ོས་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་བརྒྱུད་དངོ​ོས་གྲངས་ x > 0 ཚང་མར་ x ཡོ​ོད་པ་ཤེ​ེས་ཐུབ།

གལ་ཏེ​ེ་ང་ཚོ​ོས་གྲངས་ཐི​ིག་སྟེ​ེང་ x ཡི​ི་གནས་ས་ཤེ​ེས་འདོ​ོད་ན། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ BC གྲངས་ཐི​ིག་དང་། B ཡི​ིས་ཀླད་ཀོ​ོར།

C ཡི​ིས་ 1 སོ​ོགས་མཚོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་ངོ​ོས་འཛི​ིན་གྱི​ིས། སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ B དང་ཚངས་ཕྱེ​ེད་ BD ཡི​ིན་པའི​ི་གྲངས་ཐི​ིག་

སྟེ​ེང་ E ལ་འཕྲད་པའི​ི་གཞུ་ཐི​ིག་ཅི​ིག་བྲི​ིས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡་༡༣ ལ་ལྟོ​ོས་) དེ​ེས་ན། E ཡི​ིས་ x མཚོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད།

16

གྲངས་ཀྱི་ལམ་ལུག

D x −x

x B

C

E

དཔེ་རིས་ ༡་༡༣

ང་ཚོ​ོ་ཉི​ིས་སྒྱུར་གཞི​ི་ནས་སུམ་སྒྱུར་གཞི​ི་དང་། བཞི​ི་སྒྱུར་གཞི​ི། རི​ིལ་གྲངས་ཕོ​ོ་ n ཡི​ི་གཞི​ི་བཅས་ལ་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ ཡི​ིན། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འཛི​ིན་གྲྭ་སྔ་མར་སྦྱངས་ཟི​ིན་པའི​ི་ཉི​ིས་སྒྱུར་གཞི​ི་དང་སུམ་སྒྱུར་གཞི​ི་དྲན་གསོ​ོ་གྱི​ིས་དང་།

8 གང་རེ​ེད། ང་ཚོ​ོས་དེ​ེ་སུམ་སྒྱུར་ 8 ཡི​ིན་པའི​ི་ཕོ​ོ་གྲངས་ཤི​ིག་ཡི​ིན་པ་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། 2 = 8 ཡི​ིན་པས། 3 8 = 2 3

3

5

243 ཡི​ི་ཐང་གང་རེ​ེད། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ b5 = 243 ཡི​ིན་པའི​ི་གྲངས་ b ཞི​ིག་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་དམ། ལན་ནི​ི་ 3 ཡི​ིན། དེ​ེར་

བརྟེ​ེན། 5 243 = 3

དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་འདི​ི་དག་ལས། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དངོ​ོས་གྲངས་ a > 0 དང་རི​ིལ་གྲངས་ཕོ​ོ་ n ལ་ n a ཡི​ི་གོ​ོ་དོ​ོན་ཤེ​ེས་སམ། གལ་ཏེ​ེ་ bn = a དང་ b > 0 ཡི​ིན་ན། n a = b ཡི​ིན། 2 དང་ 3 8 , n a སོ​ོགས་ཀྱི​ི་ནང་སྤྱད་པའི​ི་ རྟགས་ (radical sign) ཟེ​ེར།

ལ་གཞི​ི་

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འཛི​ིན་གྲྭ་སྔ་མར་གཏན་མཚུངས་འགའ་སྦྱངས་ཡོ​ོད། འདི​ིར་ང་ཚོ​ོས་ཉི​ིས་སྒྱུར་གཞི​ིའི​ི་གཏན་མཚུངས་ འགའ་སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན།

a དང་ b རི​ིལ་གྲངས་ཕོ​ོ་ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག དེ​ེས་ན།

(༡) ab = a b (༢)

a a = b b

(༣) ( a + b ) ( a − b ) = a − b (༤) ( a + b ) ( a − b ) = a2 − b

(༥) ( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd (༦) ( a + b ) = a + 2 ab + b 2

ང་ཚོ​ོས་གཏན་མཚུངས་འདི​ི་དག་གི​ི་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་རྩི​ིས་དཔེ​ེ་འགའ་བརྒྱུད་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན།

17

རྩིས་རིག

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡༦ སྟབས་བསྡུས་བཟོ​ོས།

(ཀ) (5 + 7 ) ( 2 + 5 )

(ཁ) ( 5 + 5 ) ( 5 − 5 )

(ག) ( 3 + 7 )2

ལན།

(ང) ( 11 − 7 ) ( 11 + 7 )

(ཀ) ( 5 + 7 ) ( 2 + 5 ) = 10 + 5 5 + 2 7 + 35

(ཁ) ( 5 + 5 ) ( 5 − 5 ) = 52 − ( 5 )2 = 25 − 5 = 20

(ག) ( 3 + 7 )2 = ( 3 )2+ 2 3 7 + ( 7 )2 = 3 + 2 21 + 7 = 10 + 2 21 མཆན།

(ང) ( 11 − 7 ) ( 11 + 7 ) = ( 11)2 − ( 7 )2 = 11 − 7 = 4

སྟབས་བསྡུས་བཟོ​ོས་ཞེ​ེས་པ་ནི​ི་ཚུལ་རྣམས་ལུགས་ལྡན་དང་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཀྱི​ི་བསྡོ​ོམས་གྲངས་ཐོ​ོག་

མཚོ​ོན་པ་ལ་ཟེ​ེར།

1 གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་མཚོ​ོན་སྟངས་ཤེ​ེས་སམ། གྲངས་དེ​ེ་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཡི​ིན་པ་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། གལ་ཏེ​ེ་མ་ 2 1 ཆ་ལུགས་ལྡན་ཡི​ིན་ན་དེ​ེའི་ི མཚོ​ོན་སྟངས་ལས་སླ་པོ​ོ་རེ​ེད། གི​ི་མ་ཆ་ནི​ི་ལུགས་མེ​ེད་ཡི​ིན་པས། དེ​ེའི་ི མ་ཆ་ལུགས་ 2

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་

ལྡན་གྲངས་བཟོ​ོ་བར་གོ​ོང་གི​ི་ཉི​ིས་སྒྱུར་གཞི​ི་ཡི​ི་གཏན་མཚུངས་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་བྱེ​ེད་དགོ​ོས། རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡༧ 1 གི​ི་མ་ཆ་ལུགས་ལྡན་བཟོ​ོས། ལན།

2

1 གི​ི་འདྲ་མཚུངས་ཚུལ་འབྲི​ི་དགོ​ོས། 2 2 1 = 1 ཡི​ིན་པས། ལ་ 2 ཡི​ིས་བསྒྱུར་ན་ང་ཚོ​ོར་འདྲ་མཚུངས་ 2 2 2

ང་ཚོ​ོས་མ་ཆ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡི​ིན་པའི​ི་ 2. . 2 ནི​ི་ལུགས་ལྡན་རེ​ེད།

ཚུལ་ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེས་ན།

2 1 1 2 = × = 2 2 2 2

མཆན། རྣམ་པ་འདི​ིའི​ི་ནང་མ་ཆ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡི​ིན་པས། མཚོ​ོན་ཐུབ། དེ​ེ་ 0 དང་ 2 ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་ལ་ཡོ​ོད། རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡༨ ལན།

1 གི​ི་མ་ཆ་ལུགས་ལྡན་ལ་སྒྱུར། 2+ 3

1 གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་ལས་སླ་པོ​ོར་ 2

འདི​ིར་ང་ཚོ​ོས་གཏན་མཚུངས་ (a + b ) ( a − b ) = a2 − b བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན།

1 ལ་ 2 − 3 ཡི​ིས་བསྒྱུར་བ་དང་བགོ​ོས་ན། ང་ཚོ​ོར། 2+ 3 2− 3 2− 3 1 × = =2− 3 2+ 3 2− 3 4−3

18

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡༩ ལན།

དེ​ེས་ན།

5 ཡི​ི་མ་ཆ་ལུགས་ལྡན་བཟོ​ོས། 3− 5

འདི​ིར་ང་ཚོ​ོས་གཏན་མཚུངས་ ( a + b ) ( a − b ) = a − b བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན། 5 = 3− 5

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༢༠ ལན།

གྲངས་ཀྱི་ལམ་ལུག

5 3+ 5 3+ 5 5 × = 3−5 3− 5 3+ 5

=

−5 2

3+ 5

1 གི​ི་མ་ཆ་ལུགས་ལྡན་ལ་སྒྱུར། 7+3 2

7−3 2 1 1 7−3 2 7−3 2 = × = = 49 − 18 31 7−3 2 7+3 2 7+3 2

དེ​ེས་ན། ཚུལ་ཞི​ིག་གི​ི་མ་ཆ་ཉི​ིས་སྒྱུར་གཞི​ི་ (གཞི​ི་རྟགས་ནང་ཡོ​ོད་པའི​ི་གྲངས་) ཡོ​ོད་པའི​ི་ཚན་པ་ཡི​ིན་སྐབས། དེ​ེ་མ་ཆ་ ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡི​ིན་པའི​ི་འདྲ་མཚུངས་ཚུལ་དུ་བསྒྱུར་བའི​ི་བརྒྱུད་ལམ་ལ་མ་ཆ་ལུགས་ལྡན་བཟོ​ོ་བ་ཟེ​ེར།

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༡་༥

༡། ལུགས་ལྡན་དང་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་གང་ཡི​ིན་དབྱེ​ེ་བ་ཕྱེ​ེས། (ཀ) 2 − 5

(ཁ) ( 3 + 23 ) − 23

7 (ག) 2

(ང) 1

(ཀ) ( 3 + 3 ) ( 2 + 2 )

(ཁ) ( 3 + 3 ) ( 3 − 3 )

7 7

2

༢། ཚུལ་རྣམས་སྟབས་བསྡུས་བཟོ​ོས།

(ག) ( 5 + 2 )2

(ཅ) 2π

(ང) ( 5 − 2 ) ( 5 + 2 )

༣། π ཡི​ི་མཚན་ཉི​ིད་ནི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཤི​ིག་གི​ི་སྒོ​ོར་མཐའི​ི་རི​ིང་ཚད་ (c) དང་། དེ​ེའི​ི་ཚངས་ཐི​ིག་ (d) གི​ི་སྡུར་ཚད་ ཡི​ིན་པ་དྲན་གསོ​ོ་གྱི​ིས་དང་། དེ​ེ་ནི​ི། π = c འདི​ི་ཡི​ིས་ π ནི​ི་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཡི​ིན་པའི​ི་དངོ​ོས་བདེ​ེན་དང་ d

འགལ་གྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་འདྲ། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འགལ་བ་འདི​ི་ཐག་གཅོ​ོད་ཇི​ི་ལྟར་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན་ནམ།

༤། གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་

9.3 སྟོ​ོན།

(ཀ) 1

(ཁ)

༥། གཤམ་གསལ་ཁག་གི​ི་མ་ཆ་ལུགས་ལྡན་བཟོ​ོས། 7

1

(ག)

7− 6

19

1

5+ 2

(ང)

1 7−2

རྩིས་རིག

༡་༦ དངོ​ོས་གྲངས་ཀྱི​ི་སྟོ​ོན་གྲངས་ཀྱི​ི་ཁྲི​ིམས། Laws of Exponents for Real Numbers ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གཤམ་གསལ་ཁག་སྟབས་བསྡུས་བཟོ​ོ་སྟངས་དྲན་གསོ​ོ་གྱི​ིས་དང་། (ཀ) 172 . 175 = 177 (ག)

(ཁ) (52)7 = 514

2310 = 233 237

(ང) 73. 93 = 633

ལན་འདི​ི་དག་འཚོ​ོལ་སྐབས་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འཛི​ིན་གྲྭ་སྔ་མར་སྦྱངས་པའི​ི་གཤམ་གསལ་སྟོ​ོན་གྲངས་ཀྱི​ི་ཁྲི​ིམས་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་ བྱས་ཡོ​ོད། (འདི​ིར། a དང་ n, m རང་བྱུང་གྲངས་ཡི​ིན། a ལ་ཞབས་གྲངས་དང་། n དང་ m ལ་སྟོ​ོན་གྲངས་ཟེ​ེར།) (༡) am. an = am + n (༣)

(༢) (am)n = amn

am = am − n, m > n an

(༤) ambm = (ab)m

ང་ཚོ​ོས་ (a)0 = 1 ཡི​ིན་པ་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། གོ​ོང་གི​ི་ཁྲི​ིམས་ (༣) བེ​ེད་སྤྱད་དེ​ེ་ང་ཚོ​ོར་

ཁྲི​ིམས་འདི​ི་དག་སྟོ​ོན་གྲངས་མོ​ོ་ལ་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་བྱེ​ེད་ཐུབ། དཔེ​ེར་ན། (ཀ) 172 . 17−5 = 17−3 =

1 173

(ཁ) (52 )−7 = 5−14

−10

(ག) 23 7 = 23−17 23

ང་ཚོ​ོས་གཤམ་གསལ་ཁག་ཇི​ི་ལྟར་བརྩི​ིས་དགོ​ོས་སམ། 3 (ཀ) 2 . 23 2

1

1

5 (ག) 7

7

1 = a−n ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། ང་ཚོ​ོས་ an

(ང) (7)−3. (9)−3 = (63)−3 (ཁ) 3 5

1 4

1

1

(ང) 135. 17 5

1 3

ང་ཚོ​ོས་ཚན་པ་ ༡་༥ ནང་དངོ​ོས་གྲངས་ a > 0 ཡི​ི་ n a གཤམ་གསལ་ལྟར་སྦྱངས་ཡོ​ོད།

a > 0 ནི​ི་དངོ​ོས་གྲངས་དང་ n ནི​ི་རི​ིལ་གྲངས་ཕོ​ོ་ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག དེ​ེས་ན། bn= a དང་ b > 0 ཡི​ིན་ན། n a = b

སྟོ​ོན་གྲངས་ནང་ n a = a n རེ​ེད། དེ​ེས་ན། 3 2 = 2 3 1

1

ཡང་ 4 2 ལ་དཔེ​ེ་བཞག་ན། དེ​ེར་ལྟ་ཚུལ་གཉི​ིས་ཡོ​ོད། 3

3

1 3

4 2 = 4 2 = 23 = 8 1 3 2

3

42 = 4

1 2

= 64 = 8

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། a > 0 ནི​ི་དངོ​ོས་གྲངས་ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག m དང་ n ནི​ི་རི​ིལ་གྲངས་ཡི​ིན་པ་དང་ m དང་ n ལ་ 1 མི​ིན་པའི​ི་སྤྱི​ིའི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་གཞན་མེ​ེད་པ་དང་ n > 0 ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག དེ​ེས་ན། m

an =

n

m

a = n am

20

གྲངས་ཀྱི་ལམ་ལུག

གོ​ོང་གསལ་འགྲེ​ེལ་བརྗོ​ོད་ལས་སྟོ​ོན་གྲངས་ལ་གཤམ་གསལ་ཁྲི​ིམས་དག་ཡོ​ོད།

a > 0 ནི​ི་དངོ​ོས་གྲངས་དང་། p དང་ q ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡི​ིན་ན། ང་ཚོ​ོར།

(༡) a p. a q = a p+q (༢) (a p ) q = a p q (༣) a q = a p−q p

a

(༤) a p b p = (ab) p རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༢༡ སྟབས་བསྡུས་བཟོ​ོས།

1

(ཀ) 2 .2 2 3

ལན།

2

1

5 (ག) 7

(ཁ) 3 1 4 5

1 3

7

1 3

(ང) 135. 17 5 1

1

3

2+1

(ཀ) 2 3 . 2 3 = 2 3 3 = 2 3 = 21 = 2 4

(ཁ) 3 5 = 3 5 1 4

1

3−5

1−1

5 (ག) 7

−2

5 3 = 7 15 = 7 15 1 = 7

73

1

1

1

1

(ང) 135. 17 5 = (13 × 17)5 = 2215

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༡་༦

༡། ཚོ​ོལ།

(ཀ) 64 2

(ཁ) 32 5

(ག) 125 3

(ཀ) 9 2

(ཁ) 32 5

(ག) 16 4 (ང) 125 3

1 7 (ཁ) 33

2 (ག) 11 1 114

༢། ཚོ​ོལ། ༣། ཚོ​ོལ།

1

1

3

1

2

−1

3

1

(ཀ) 2 . 2 2 3

1 5

21

(ང) 7 2 . 8 2 1

1

རྩིས་རིག

༡་༧ སྙི​ིང་བསྡུས།

སློ​ོབ་ཚན་འདི​ིར་གཤམ་གསལ་གནད་དོ​ོན་ཁག་སྦྱངས་ཡོ​ོད།

p

༡། གྲངས་ r ལ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ (rational numbers) ཟེ​ེར་ཞི​ིང་། གལ་ཏེ​ེ་གྲངས་དེ​ེ་ q ཡི​ི་རྣམ་པར་འབྲི​ི་ཐུབ་པ་ དང་། p དང་ q ནི​ི་རི​ིལ་གྲངས་དང་། q ≠ 0 p

༢། q ཡི​ི་རྣམ་པར་འབྲི​ི་མ་ཐུབ་པའི​ི་གྲངས་གང་ཞི​ིག་གི​ི་ p དང་ q ནི​ི་རི​ིལ་གྲངས་དང་ q ≠ 0 གྲངས་དེ​ེ་ལ་ ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ (irrational numbers) ཟེ​ེར།

༣། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་ནི​ི་ཚད་ཡོ​ོད་དང་། ཡང་ན་ཚད་མེ​ེད་རེ​ེས་འཁོ​ོར་གང་རུང་ཡི​ིན། གྲངས་ ཤི​ིག་གི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་ཚད་ཡོ​ོད་དང་། ཡང་ན་ཚད་མེ​ེད་རེ​ེས་འཁོ​ོར་ཡི​ིན་ན་དེ​ེ་ནི​ི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡི​ིན།

༤། ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཀྱི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་ནི​ི་ཚད་མེ​ེད་རེ​ེས་འཁོ​ོར་མི​ིན། གྲངས་ཤི​ིག་གི​ི་སི​ིལ་གྲངས་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་ ཚད་མེ​ེད་རེ​ེས་འཁོ​ོར་མི​ིན་ན་དེ​ེ་ནི​ི་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཡི​ིན།

༥། ལུགས་ལྡན་དང་ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཡོ​ོད་ཚད་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་བསྡུ་རུབ་ཀྱི​ིས་དངོ​ོས་གྲངས་འགྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། ༦།

གྲངས་ཐི​ིག་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་རེ​ེར་མཚུངས་པའི​ི་དངོ​ོས་གྲངས་རེ​ེ་ཡོ​ོད་པ་དང་། དངོ​ོས་གྲངས་རེ​ེར་མཚུངས་པའི​ི་

གྲངས་ཐི​ིག་སྟེ​ེང་གནས་རེ​ེ་ཡོ​ོད།

༧། གལ་ཏེ​ེ་ r ནི​ི་ལུགས་ལྡན་དང་ s ནི​ི་ལུགས་མེ​ེད་ཡི​ིན་ན། r + s དང་ r − s ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཡི​ིན་པ་དང་། r ≠ 0 ཡི​ིན་ན་ rs དང་ r ལུགས་མེ​ེད་གྲངས་ཡི​ིན། s ༨། དངོ​ོས་གྲངས་ཕོ​ོ་ a དང་ b ལ་གཤམ་གསལ་གཏན་མཚུངས་རྣམས་བསྡུས་ཡོ​ོད།

(ཀ) ab = a b

(ཁ)

(ག) ( a + b ) ( a − b ) = a − b 2

1 གི​ི་མ་ཆ་ལུགས་ལྡན་བཟོ​ོ་བར། ང་ཚོ​ོས་དེ​ེར་ a+b

༡༠། a > 0 ནི​ི་དངོ​ོས་གྲངས་དང་ p དང་ q ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡི​ིན་ན། (ཀ) a p . a q = a p + q

(ག) a q = a p − q p

a

a b

(ང) ( a + b ) ( a − b ) = a2 − b

(ཅ) ( a + b ) = a + 2 ab + b

༩། རི​ིལ་གྲངས་ a དང་ b ལ།

a = b

(ཁ) (a p ) q = a p q

(ང) a p b p = (ab) p

22

a−b ཡི​ིས་སྒྱུར་དགོ​ོས། a−b

༢

ཚན་མང་ཚུལ།

Polynomials

༢་༡ ངོ་སྤྲོད།

འཛི​ིན་གྲྭ་སྔ་མར་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཚབ་རྩི​ིས་ཀྱི​ི་ཚུལ་དང་། དེ​ེ་དག་གི​ི་སྡོ​ོམ་རྩི​ིས་དང་། འཐེ​ེན་རྩི​ིས། སྒྱུར་རྩི​ིས། བགོ​ོད་

རྩི​ིས་བཅས་སྦྱངས་ཡོ​ོད། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཚབ་རྩི​ིས་ཀྱི​ི་ཚུལ་འགའ་ཤས་བགོ​ོད་གྲངས་ལ་འགྲོ​ོལ་སྟངས་ཀྱང་སྦྱངས་ཡོ​ོད། གཤམ་གསལ་ཚབ་རྩི​ིས་གཏན་མཚུངས་འགའ་དང་བགོ​ོད་གྲངས་ལ་འགྲོ​ོལ་སྐབས་དེ​ེ་དག་གི​ི་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་ལ་དྲན་ གསོ​ོ་གྱི​ིས་དང་།

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (x − y)2 = x2 − 2xy + y2 x2 − y2 = (x + y) (x − y)

སློ​ོབ་ཚན་འདི​ིར་ང་ཚོ​ོས་ཚན་མང་ཚུལ་དང་དེ​ེ་དང་འབྲེ​ེལ་བའི​ི་ཐ་སྙད་སྐོ​ོར་སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན། ང་ཚོ​ོས་བགོ​ོས་ལྷག་ངེ​ེས་

སྲོ​ོལ་ (remainder theorem) དང་བགོ​ོད་གྲངས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ (factor theorem) དང་ཚན་མང་ཚུལ་བགོ​ོད་གྲངས་ལ་

འགྲོ​ོལ་སྐབས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་དེ​ེ་དག་གི​ི་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་སྐོ​ོར་སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན། ང་ཚོ​ོས་ཚབ་རྩི​ིས་གཏན་མཚུངས་མང་ཙམ་དང་དེ​ེ་ དག་གི​ི་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་ཡང་སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན།

༢་༢ རྒྱུ་གཅི​ིག་ཚན་མང་ཚུལ། Polynomials in One Variable

ང་ཚོ​ོས་རྒྱུ་ནི​ི་མཚོ​ོན་རྟགས་ཤི​ིག་གི​ིས་མཚོ​ོན་པར་བྱེ​ེད་པ་དང་དེ​ེས་ཐང་གང་རུང་ཞི​ིག་ལེ​ེན་པ་དྲན་གསོ​ོ་བྱོ​ོས་དང་། ང་ཚོ​ོས་རྒྱུ་མཚོ​ོན་བྱེ​ེད་ཡི​ིག་འབྲུ་ x, y, z སོ​ོགས་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། 2x, 3x, −x, − 1 x ནི​ི་ཚབ་རྩི​ིས་ཀྱི​ི་ཚུལ་ 5

རེ​ེད། ཚུལ་འདི​ི་དག་ཚང་མ་ (རྟག་གྲངས་) × x ཡི​ི་རྣམ་པར་ཡོ​ོད། ང་ཚོ​ོས་ (རྟག་གྲངས་) × (རྒྱུ་) ཡི​ི་རྣམ་པར་ཡི​ིན་ པའི​ི་ཚུལ་ཞི​ིག་འབྲི​ི་འདོ​ོད་ཡོ​ོད་པ་ཆ་ཞོ​ོག ཡི​ིན་ནའང་། ང་ཚོ​ོས་རྟག་གྲངས་གང་ཡི​ིན་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་མེ​ེད། དེ​ེ་འདྲའི​ི་གནས་ སྟངས་སྐབས་ང་ཚོ​ོས་རྟག་གྲངས་སུ་ a, b, c སོ​ོགས་འབྲི​ི་ཡི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེས་ན། ཚུལ་ ax འགྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

གང་ལྟར་ཡང་། རྟག་གྲངས་མཚོ​ོན་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིག་འབྲུ་དང་རྒྱུ་མཚོ​ོན་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིག་འབྲུ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་དབར་ལ་ཁྱད་པར་

ཡོ​ོད། སྤྲད་ཟི​ིན་པའི​ི་གནས་སྟངས་ཤི​ིག་གི​ི་ནང་རྟག་གྲངས་ཀྱི​ི་ཐང་འགྱུར་བ་འགྲོ​ོ་ཡི​ི་མེ​ེད། ཡི​ིན་ནའང་། རྒྱུའི​ི་ཐང་ འགྱུར་བ་འགྲོ​ོ་ཡི​ི་ཡོ​ོད།

རྩིས་རིག

མཐའ་ཚད་གཞི​ི་ 3 ཡི​ིན་པའི​ི་གྲུ་བཞི​ི་ཁ་གང་མ་ལ་ཆ་ཞོ​ོག (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༢་༡ ལ་ལྟོ​ོས་) དེ​ེའི​ི་

3

མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་གང་རེ​ེད་དམ། གྲུ་བཞི​ི་ཁ་གང་མའི​ི་མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་

3

ནི​ི་དེ​ེའི​ི་མཐའ་བཞི​ིའི​ི་རི​ིང་ཚད་ཀྱི​ི་བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་ཡི​ིན། འདི​ིར། མཐའ་རེ​ེ་རེ​ེར་ཚད་ གཞི​ི་ 3 ཡོ​ོད། དེ​ེས་ན། དེ​ེའི​ི་མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་ནི​ི་ 4 × 3 རེ​ེད། དེ​ེ་ནི​ི། ཚད་ གཞི​ི་ 12 ཡི​ིན། གལ་ཏེ​ེ་གྲུ་བཞི​ི་ཁ་གང་མའི​ི་མཐའ་རེ​ེ་རེ​ེའི​ི་ཚད་གཞི​ི་ 10 ཡི​ིན་ན།

དེ​ེའི​ི་མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་གང་རེ​ེད་དམ། མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་ནི​ི་ 4 × 10 རེ​ེད། དེ​ེ་ནི​ི། ཚད་གཞི​ི་ 40 རེ​ེད། གལ་ཏེ​ེ་མཐའ་རེ​ེ་རེ​ེའི​ི་ཚད་གཞི​ི་ x ཡི​ིན་ན། དེ​ེའི​ི་མཐའ་ འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་ནི​ི་ཚད་གཞི​ི་ 4x རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༢་༢ ལ་ལྟོ​ོས་) དེ​ེས་ན། ཇི​ི་ལྟར་མཐའི​ི་

3 3

P

དཔེ་རིས་ ༢་༡

x

x Q

རི​ིང་ཚད་འགྱུར་བ་འགྲོ​ོ་སྐབས་མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་ཀྱང་འགྱུར་གྱི​ི་ཡོ​ོད།

S x

x

R

དཔེ་རིས་ ༢་༢

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གྲུ་བཞི​ི་ཁ་གང་མ་ PQRS ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་འཚོ​ོལ་ཐུབ་བམ། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༢་༢ ལ་ལྟོ​ོས་) དེ​ེ་ཚད་གཞི​ི་ x × x = x2 རེ​ེད། x2 ནི​ི་ཚབ་རྩི​ིས་ཀྱི​ི་ཚུལ་ཡི​ིན། 2x, x2 + 2x, x3 − x2 + 4x + 7 ལྟ་བུ་ནི​ི་ཚབ་རྩི​ིས་ཀྱི​ི་ཚུལ་གྱི​ི་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་

མི​ི་འདྲ་བ་ཡི​ིན། ད་བར་ང་ཚོ​ོས་རྒྱུའི​ི་སྟོ​ོན་གྲངས་ཧྲི​ིལ་གྲངས་ཁོ​ོ་ན་ཡི​ིན་པའི​ི་ཚབ་རྩི​ིས་ཀྱི​ི་ཚུལ་སྦྱངས་ཡོ​ོད། རྣམ་པ་ འདི​ིའི​ི་ཐོ​ོག་ཡོ​ོད་པའི​ི་ཚུལ་ལ་རྒྱུ་གཅི​ིག་ཚན་མང་ཚུལ་ (polynomials in one variable) ཟེ​ེར། གོ​ོང་གི​ི་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་

ཚང་མའི​ི་ནང་རྒྱུ་ x ཡོ​ོད། དཔེ​ེར་ན། x3 − x2 + 4x + 7 ནི​ི་རྒྱུ་ x ཡོ​ོད་པའི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ཡི​ིན། དེ​ེ་མཚུངས། 3y2 + 5y ནི​ི་རྒྱུ་ y ཡོ​ོད་པའི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་དང་ t2 + 4 ནི​ི་རྒྱུ་ t ཡོ​ོད་པའི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ཡི​ིན།

ཚན་མང་ཚུལ་ x2 + 2x ནང་། ཚུལ་ x2 དང་ 2x ལ་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་ཚན་པ་ (terms) ཟེ​ེར། དེ​ེ་བཞི​ིན། ཚན་ མང་ཚུལ་ 3y2 + 5y + 7 ལ་ཚན་པ་གསུམ་ཡོ​ོད་ཅི​ིང་ 3y2 དང་ 5y, 7 ཡི​ིན། ཚན་མང་ཚུལ་ −x3 + 4x2 + 7x − 2 ལ་ཚན་པ་བཞི​ི་སྟེ​ེ་ −x3 དང་ 4x2, 7x, −2 ཡི​ིན།

ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་ཚན་པ་རེ​ེ་རེ​ེར་བཏགས་གྲངས་ (coefficient) ཡོ​ོད། དེ​ེས་ན། −x3 + 4x2 + 7x − 2 ནང་ x3 ཡི​ི་བཏགས་གྲངས་ནི​ི་ −1 དང་ x2 ཡི​ི་བཏགས་གྲངས་ནི​ི་ 4, x ཡི​ི་བཏགས་གྲངས་ནི​ི་ 7, −2 ནི​ི་རྟག་གྲངས་ཚན་

པ་རེ​ེད། ཚུལ་ x2 − x + 7 ནང་ x ཡི​ི་བཏགས་གྲངས་ནི​ི་ −1 ཡི​ིན།

ཚུལ་ 2 ཀྱང་ཚན་མང་ཚུལ་ཡི​ིན། དོ​ོན་དངོ​ོས་ཐོ​ོག་ 2, −5, 7 སོ​ོགས་ནི​ི་རྟག་གྲངས་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་

(constant polynomials) ཡི​ིན། རྟག་གྲངས་ཚན་མང་ཚུལ་ 0 ལ་ཀླད་ཀོ​ོར་ཚན་མང་ཚུལ་ (zero polynomial)

ཟེ​ེར། ང་ཚོ​ོས་དེ​ེའི​ི་སྐོ​ོར་མང་ཙམ་ལེ​ེ་ཚན་རྗེ​ེས་མར་སྦྱོ​ོང་གི​ི་ཡི​ིན། ཚབ་རྩི​ིས་ཀྱི​ི་ཚུལ་ x +

1 1 དང་ x + 3, 3 y + y2 ལ་ཆ་ཞོ​ོག ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ x + = x + x−1 ལྟར་སྟོ​ོན་གྲངས་ x x

ཐོ​ོག་འབྲི​ི་ཐུབ། འདི​ིར་ཚན་པ་གཉི​ིས་པ་ x−1 གི​ི་སྟོ​ོན་གྲངས་ནི​ི་ −1 དང་། སྟོ​ོན་གྲངས་ −1 ནི​ི་ཧྲི​ིལ་གྲངས་མི​ིན་ 1

1

པས། ཚུལ་འདི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་མི​ིན། ཡང་ x + 3 ནི​ི་ x 2 + 3 ལྟར་འབྲི​ི་ཐུབ། འདི​ིར་ x ཡི​ི་སྟོ​ོན་གྲངས་ དེ​ེ་ 2 ཧྲི​ིལ་གྲངས་མི​ིན་པས། x + 3 ནི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་མི​ིན། 3 y + y2 ཚན་མང་ཚུལ་ཡི​ིན་ནམ།

24

ཚན་མང་ཚུལ

གལ་ཏེ​ེ་ཚན་མང་ཚུལ་ཞི​ིག་གི​ི་ནང་རྒྱུ་ x ཡོ​ོད་ན། ང་ཚོ​ོས་ཚན་མང་ཚུལ་དེ​ེ་ p(x) ཡང་ན་ q(x) ཡང་ན་ r(x) སོ​ོགས་ལྟར་འབྲི​ི་ཆོ​ོག དཔེ​ེར་ན།

p(x) = 2x2 + 5x − 3 q(y) = y2 − 1 r(u) = u3 + u + 4

s(z) = 2 − z − z2 + 6z5

ཚན་མང་ཚུལ་ལ་ཚན་པ་གྲངས་གང་རུང་ (ཚད་ཡོ​ོད་) ཡོ​ོད་སྲི​ིད། དཔེ​ེར་ན། x150 + x149 + ... + x2 + x + 1 ནི​ི་ ཚན་པ་ 151 ཡོ​ོད་པའི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ཡི​ིན།

ཚན་མང་ཚུལ་ 2x, 3, 5x3, −7x2, y, u4 ལ་ཆ་ཞོ​ོག འདི​ིར་ཚན་མང་ཚུལ་རེ​ེ་རེ​ེའི​ི་ནང་ཚན་པ་གཅི​ིག་ལས་མེ​ེད་

པ་དོ​ོ་སྣང་བྱུང་ངམ། ཚན་པ་གཅི​ིག་ལས་མེ​ེད་པའི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ལ་ཚན་རྐྱང་ཚུལ་ (monomial) ཟེ​ེར། (mono ནི​ི་ གཅི​ིག་གི​ི་དོ​ོན་རེ​ེད།)

གཤམ་གྱི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ལ་ལྟོ​ོས་དང་། p(x) = x + 1,

q(x) = x2 − x,

r(y) = y30 + 1,

t(u) = u43 − u2

ཚུལ་འདི​ི་དག་རེ​ེ་རེ​ེའི​ི་ནང་ཚན་པ་ག་ཚོ​ོད་འདུག་གམ། ཚན་པ་གཉི​ིས་རེ​ེ་ཡོ​ོད། ཚན་པ་གཉི​ིས་ཅན་གྱི​ི་ཚན་མང་ ཚུལ་ལ་ཉི​ིས་ཚན་ཚུལ་ (binomial) ཟེ​ེར། (bi ནི​ི་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་དོ​ོན་རེ​ེད།)

དེ​ེ་མཚུངས། ཚན་པ་གསུམ་ཅན་གྱི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ལ་སུམ་ཚན་ཚུལ་ (trinomial) ཟེ​ེར། (tri ནི​ི་གསུམ་གྱི​ི་དོ​ོན་རེ​ེད་) སུམ་ཚན་ཚུལ་གྱི​ི་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་འགའ་ནི​ི། p(x) = x + x2 + π,

q(x) = 2 + x − x2,

r(y) = y + y2 − 6,

t(u) = u4 + u + 5

ཚན་མང་ཚུལ་ p(x) = 3x7 − 4x6 + x + 9 ལ་ལྟོ​ོས་དང་། x ཡི​ི་སྟོ​ོན་གྲངས་མཐོ​ོ་ཤོས ོ ་ཡོ​ོད་པའི​ི་ཚན་པ་དེ​ེ་གང་ ཡི​ིན་ནམ། ཚན་པ་དེ​ེ་ 3x7 ཡི​ིན། ཚན་པ་འདི​ིའི་ི ནང་ x ཡི​ི་སྟོ​ོན་གྲངས་ནི​ི་ 7 ཡི​ིན། དེ​ེ་བཞི​ིན། ཚན་མང་ཚུལ་ q(y)

= 5y6 − 4y2 − 6 ནང་ y ཡི​ི་སྟོ​ོན་གྲངས་མཐོ​ོ་ཤོས ོ ་ཡོ​ོད་པའི​ི་ཚན་པ་ནི​ི་ 5y6 ཡི​ིན་པ་དང་ཚན་པ་འདི​ིའི་ི ནང་ y

ཡི​ི་སྟོ​ོན་གྲངས་ནི​ི་ 6 ཡི​ིན། ང་ཚོ​ོས་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་ནང་རྒྱུའི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་མཐོ​ོ་ཤོས ོ ་ལ་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་ཐེ​ེངས་ གྲངས་ (degree of the Polynomial) ཟེ​ེར། དེ​ེས་ན། ཚན་མང་ཚུལ་ 3x7 − 4x6 + x + 9 ཡི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་ནི​ི་ 7 དང་ཚན་མང་ཚུལ་ 5y6 − 4y2 − 6 གི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་ནི​ི་ 6 ཡི​ིན། ཀླད་ཀོ​ོར་མི​ིན་པའི​ི་རྟག་གྲངས་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་ ཐེ​ེངས་གྲངས་ནི​ི་ 0 རེ​ེད།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡ གཤམ་གསལ་ཚན་མང་ཚུལ་སོ​ོ་སོ​ོའི་ི ཐེ​ེངས་གྲངས་ཚོ​ོལ། ལན།

(ཀ) x5 − x4 + 3

(ཁ) 2 − y2 − y3 + 2y8

(ག) 2

(ཀ) རྒྱུའི​ི་སྟོ​ོན་གྲངས་མཐོ​ོ་ཤོ​ོས་ནི​ི་ 5 ཡི​ིན་པས། ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་ 5 ཡི​ིན།

25

རྩིས་རིག

(ཁ) རྒྱུའི​ི་སྟོ​ོན་གྲངས་མཐོ​ོ་ཤོ​ོས་ནི​ི་ 8 ཡི​ིན་པས། ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་ 8 ཡི​ིན།

(ག) འདི​ིར་ 2 ནི​ི་ཚན་པ་རྐྱང་པ་ཡི​ིན་པ་དང་དེ​ེ་ 2x0 ལྟར་འབྲི​ི་ཆོ​ོག དེ​ེས་ན། x ཡི​ི་སྟོ​ོན་གྲངས་ནི​ི་ 0 ཡི​ིན། དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་ 0 ཡི​ིན།

ཚན་མང་ཚུལ་ p(x) = 4x + 5 དང་ q(y) = 2y, r(t) = t + 2, s(u) = 3 − u བཅས་ལ་དོ​ོ་སྣང་བྱོ​ོས་

དང་། དེ​ེ་དག་ཚང་མའི​ི་ནང་ཐུན་མོ​ོང་གང་འདུག་གམ། འདི​ིར་ཚན་མང་ཚུལ་ཚང་མའི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་གཅི​ིག་

ཡི​ིན། ཐེ​ེངས་གྲངས་གཅི​ིག་ཡོ​ོད་པའི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ལ་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་ཚན་མང་ཚུལ་ (linear polynomial) ཟེ​ེར། རྒྱུ་གཅི​ིག་ཡི​ིད་པའི​ི་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་འགའ་ནི​ི་ 2x − 1 དང་ 2 y + 1, 2 − u

ཡི​ིན། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ x ཡོ​ོད་པའི​ི་ཚན་པ་ 3 ཅན་གྱི​ི་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་ཚན་མང་ཚུལ་ཞི​ིག་འབྲི​ི་ཐུབ་བམ། འབྲི​ི་ཐུབ་ཀྱི​ི་མ་ རེ​ེད། རྒྱུ་མཚན་ནི​ི་ x ཡོ​ོད་པའི​ི་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་ཚན་མང་ཚུལ་ནང་མང་མཐར་ཚན་པ་གཉི​ིས་འབྲི​ི་ཐུབ། དེ​ེས་ན། x ཡོ​ོད་པའི​ི་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་ཚན་མང་ཚུལ་ནི​ི་ ax + b ཡི​ི་རྣམ་པར་ཡོ​ོད། འདི​ིར། a དང་ b ནི​ི་རྟག་གྲངས་དང་ a ≠ 0 དེ​ེ་མཚུངས་ ay + b ནི​ི་ y ཡི​ིན་པའི​ི་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་ཚན་མང་ཚུལ་ཡི​ིན།

ཚན་མང་ཚུལ་འདི​ི་དག་ལ་ཆ་ཞོ​ོག 2x2 + 5 དང་ 5x2 + 3x + π, x2, x2 + 2 x 5

ཚུལ་འདི​ི་དག་ཚང་མའི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་གཉི​ིས་རེ​ེད། ཐེ​ེངས་གྲངས་གཉི​ིས་ཡོ​ོད་པའི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ལ་ཐེ​ེངས་གཉི​ིས་ ཚན་མང་ཚུལ་ (quadratic polynomial) ཟེ​ེར། ཐེ​ེངས་གཉི​ིས་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་འགའ་ནི​ི་ 5 − y2 དང་ 4y + 5y2, 6 − y − y2 ཡི​ིན། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་རྒྱུ་གཅི​ིག་ཡོ​ོད་པའི​ི་ཚན་པ་ 4 ཅན་གྱི​ི་ཐེ​ེངས་གཉི​ིས་ཚན་མང་ཚུལ་ཞི​ིག་

འབྲི​ི་ཐུབ་བམ། རྒྱུ་གཅི​ིག་ཡོ​ོད་པའི​ི་ཐེ​ེངས་གཉི​ིས་ཚན་མང་ཚུལ་ནང་མང་མཐར་ཚན་པ་གསུམ་འབྲི​ི་ཐུབ། དེ​ེས་ན།

x ཡོ​ོད་པའི​ི་ཐེ​ེངས་གཉི​ིས་ཚན་མང་ཚུལ་ནི​ི་ ax2 + bx + c ཡི​ི་རྣམ་པར་ཡོ​ོད། འདི​ིར། a ≠ 0 དང་ a, b, c ནི​ི་

རྟག་གྲངས་ཡི​ིན། དེ​ེ་མཚུངས་ a ≠ 0 དང་ a, b, c ནི​ི་རྟག་གྲངས་ཡི​ིན་ན། y ཡོ​ོད་པའི​ི་ཐེ​ེངས་གཉི​ིས་ཚན་མང་ཚུལ་ གྱི​ི་རྣམ་པ་ནི​ི་ ay2 + by + c ཡི​ིན།

ཐེ​ེངས་གྲངས་གསུམ་ཡོ​ོད་པའི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ལ་ཐེ​ེངས་གསུམ་ཚན་མང་ཚུལ་ (cubic polynomial) ཟེ​ེར། x ཡོ​ོད་

པའི​ི་ཐེ​ེངས་གསུམ་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་འགའ་ནི​ི་ 4x3, 2x3 + 1, 5x3 + x2, 6x3 − x, 6 − x3, 2x3 + 4x2 + 6x + 7 ཡི​ིན། རྒྱུ་གཅི​ིག་ཡོ​ོད་པའི​ི་ཐེ​ེངས་གསུམ་ཚན་མང་ཚུལ་ནང་ཚན་པ་ག་ཚོ​ོད་ཡོ​ོད་དམ། མང་

མཐར་ཚན་པ་ 4 ཡོ​ོད། དེ​ེས་ན། a ≠ 0 དང་ a, b, c, d ནི​ི་རྟག་གྲངས་ཡི​ིན་ན། x ཡོ​ོད་པའི​ི་ཐེ​ེངས་གསུམ་ཚན་ མང་ཚུལ་ནི​ི་ ax3 + bx2 + cx + d ཡི​ི་རྣམ་པར་ཡོ​ོད།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཐེ​ེངས་གྲངས་ 1 དང་ཐེ​ེངས་གྲངས་ 2, ཐེ​ེངས་གྲངས་ 3 ཡོ​ོད་པའི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་སྐོ​ོར་སྦྱངས་ཟི​ིན། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་རང་བྱུང་གྲངས་ n ལ་རྒྱུ་གཅི​ིག་ཡོ​ོད་པའི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་ n ཡི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་འབྲི​ི་ཐུབ་བམ། རྒྱུ་ x ཡོ​ོད་

པའི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་ n ཡི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ནི​ི་ anxn + an −1 x n −1 + ... + a1x + a0 ཡི​ི་རྣམ་པར་ཡོ​ོད། འདི​ིར། a0 , a1 , a2 , ... an ནི​ི་རྟག་གྲངས་ཡི​ིན་པ་དང་ an ≠ 0

26

ཚན་མང་ཚུལ

གལ་ཏེ​ེ་ a0 = a1 = a2 = a3 = ... = an = 0 (རྟག་གྲངས་ཚང་མ་ཀླད་ཀོ​ོར་) ཡི​ིན་ན། ང་ཚོ​ོར་ཀླད་ཀོ​ོར་ཚན་མང་ཚུལ་

ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེ་རྟགས་ 0 ཡི​ིས་མཚོ​ོན། ཀླད་ཀོ​ོར་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་གང་ཡི​ིན་ནམ། ཀླད་ཀོ​ོར་ཚན་ མང་ཚུལ་གྱི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་ལ་གོ​ོ་དོ​ོན་མེ​ེད།

ད་བར་ང་ཚོ​ོས་རྒྱུ་གཅི​ིག་ཡོ​ོད་པའི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་སྦྱངས་ཡོ​ོད། རྒྱུ་གཅི​ིག་ལས་མང་བ་ཡོ​ོད་པའི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ཡང་ ཡོ​ོད། དཔེ​ེར་ན། x2 + y2 + xyz (རྒྱུ་ x དང་ y, z) ནི​ི་རྒྱུ་གསུམ་ཡོ​ོད་པའི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ཡི​ིན།

དེ​ེ་མཚུངས། p2 + q10 + r (རྒྱུ་ p དང་ q, r) དང་ u3 + v2 (རྒྱུ་ u དང་ v) ནི​ི་གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་རྒྱུ་གསུམ་དང་ རྒྱུ་གཉི​ིས་ཡོ​ོད་པའི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ཡི​ིན།

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༢་༡

༡། གཤམ་གསལ་ཚུལ་ལས་གང་དག་རྒྱུ་གཅི​ིག་ཚན་མང་ཚུལ་ཡི​ིན་པ་དང་། གང་དག་མི​ིན། རྒྱུ་མཚན་བྲི​ིས། (ཀ) 4x2 − 3x + 7 (ཅ) x10 + y3 + t50

(ཁ) y2 + 2

༢། ཚུལ་སོ​ོ་སོ​ོའི་ི ནང་ x2 ཡི​ི་བཏགས་གྲངས་ཚོ​ོལ། (ཀ) 2 + x2 + x

(ཁ)2 − x2 + x3

(ག) 3 t + t 2

(ང) y + 2y

(ག) π     x2 + x

(ང) 2 x − 1

2

༣། ཚན་རྐྱང་ཚུལ་གྱི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་ 100 དང་ཉི​ིས་ཚན་ཚུལ་གྱི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་ 35 ཡི​ིན་པའི​ི་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་རེ​ེ་རེ​ེ་བྲི​ིས། ༤། གཤམ་གསལ་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་བྲི​ིས། (ཀ) 5x3 + 4x2 + 7x

(ཁ) 4 − y2

(ག) 5t − 7

(ང) 3

(ཀ) x2 + x

(ཁ) x − x3

(ག) y + y2 + 4

(ང) 1 + x

༥། གཤམ་གསལ་ལས་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་དང་ཐེ​ེངས་གཉི​ིས། ཐེ​ེངས་གསུམ་ཚན་མང་ཚུལ་ངོ​ོས་ཟུངས། (ཅ) 3t

(ཆ) r2 (ཇ) 7x3

༢་༣ ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར། Zeroes of a Polynomial ཚན་མང་ཚུལ་ p(x) = 5x3 − 2x2 + 3x − 2 ལ་ཆ་ཞོ​ོག p(x) ནང་ x ཡི​ི་ཚབ་ཏུ་ 1 བརྗེ​ེས་ན། ང་ཚོ​ོར།

p(1) = 5 × (1)3 − 2 × (1)2 + 3 × (1) − 2 =5−2+3−2 =4

དེ​ེས་ན། x = 1 སྐབས་ p(x) ཡི​ི་ཐང་ནི​ི་ 4 ཡི​ིན།

27

རྩིས་རིག

དེ​ེ་མཚུངས།

p(0) = 5 × (0)3 − 2 × (0)2 + 3 × (0) − 2 = − 2

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ p(−1) ཚོ​ོལ།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༢ གཤམ་གསལ་ཚན་མང་ཚུལ་སོ​ོ་སོ​ོའི་ི ཐང་ཚོ​ོལ།

(ཀ) p(x) = 5x2 − 3x + 7 དེ​ེ་ x = 1 སྐབས།

(ཁ) q(y) = 3y3 − 4y + 11 དེ​ེ་ y = 2 སྐབས། ལན།

(ག) p(t) = 4t4 + 5t3 − t2 + 6 དེ​ེ་ t = a སྐབས། (ཀ) p(x) = 5x2 − 3x + 7

x = 1 སྐབས། ཚན་མང་ཚུལ་ p(x) ཡི​ི་ཐང་ནི​ི། p(1) = 5(1)2 − 3(1) + 7

=5−3+7=9

(ཁ) q(y) = 3y3 − 4y + 11

y = 2 སྐབས། ཚན་མང་ཚུལ་ q(y) ཡི​ི་ཐང་ནི​ི།

q(2) = 3(2)3 − 4(2) + 11 = 24 − 8 + 11 = 16 + 11

(ག) p(t) = 4t4 + 5t3 − t2 + 6

t = a སྐབས། ཚན་མང་ཚུལ་ p(t) ཡི​ི་ཐང་ནི​ི། p(a) = 4a4 + 5a3 − a2 + 6

ཚན་མང་ཚུལ་ p(x) = x − 1 ལ་ཆ་བཞག་ན། p(1) = 1 − 1 = 0

p(1) = 0 ཡི​ིན་པས། ང་ཚོ​ོས་ 1 ལ་ཚན་མང་ཚུལ་ p(x) ཡི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་ཟེ​ེར།

དེ​ེ་མཚུངས། q(x) = x − 2 སྐབས་ 2 ནི​ི་ q(x) ཡི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་ཡི​ིན་པ་བཤེ​ེར་རྩི​ིས་རྒྱོ​ོབ། དེ​ེས་ན། ཚན་མང་ཚུལ་ p(x) ཡི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་ནི​ི་གྲངས་ c ཡི​ིན་པ་དང་ p(c) = 0

ཚན་མང་ཚུལ་ x − 1 གི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་ནི​ི་ཚུལ་དེ​ེ་ 0 བཟོ​ོས་ཏེ​ེ་ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེ་ནི​ི། x − 1 = 0 དང་ x = 1

p(x) = 0 ནི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་མཉམ་བྱ་ཡི​ིན་པ་དང་། 1 ནི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་མཉམ་བྱ་ p(x) = 0 གྱི​ི་གཞི​ི་ཡི​ིན།

དེ​ེས་ན། ང་ཚོ​ོས་ 1 ལ་ཚན་མང་ཚུལ་ x − 1 གི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་རམ་ཡང་ན་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་མཉམ་བྱ་ x − 1 = 0 གྱི​ི་གཞི​ི་ (root) ཟེ​ེར།

རྟག་གྲངས་ཚན་མང་ཚུལ་ 5 ལ་ཆ་ཞོ​ོག དེ​ེའི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་གང་རེ​ེད་དམ། དེ​ེ་ལ་ཀླད་ཀོ​ོར་མེ​ེད། རྒྱུ་མཚན་ནི​ི་ 5x0 ནང་ x ཡི​ི་ཚབ་ཏུ་གྲངས་གང་ཞི​ིག་བཞག་ཀྱང་ལན་དུ་ 5 ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། ཀླད་ཀོ​ོར་མི​ིན་པའི​ི་རྟག་གྲངས་ཚན་མང་ ཚུལ་ལ་ཀླད་ཀོ​ོར་མེ​ེད། འགྲོ​ོ་སྟངས་ལྟར་ན། དངོ​ོས་གྲངས་ཚང་མ་ཀླད་ཀོ​ོར་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་ཡི​ིན།

28

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༣ −2 དང་ 2 ནི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ x + 2 ཀྱི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་ཡི​ིན་མི​ིན་ལྟོ​ོས། ལན།

དེ​ེས་ན།

ཚན་མང་ཚུལ

p(x) = x + 2 ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག

p(2) = 2 + 2 = 4, p(−2) = −2 + 2 = 0

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ཚན་མང་ཚུལ་ x + 2 ཀྱི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་ནི​ི་ −2 ཡི​ིན་པ་དང་ 2 མི​ིན། རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༤ ཚན་མང་ཚུལ་ p(x) = 2x + 1 གི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་ཚོ​ོལ། ལན།

p(x) ཡི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་འཚོ​ོལ་སྟངས་ནི​ི་མཉམ་བྱ་ p(x) = 0 འགྲོ​ོལ་སྟངས་དང་གཅི​ིག་པ་རེ​ེད།

p(x) = 0

2x + 1 = 0

1 x = −    2 1 དེ​ེས་ན། −    ནི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ 2x + 1 གི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་ཡི​ིན། 2 p(x) = ax + b, a ≠ 0 ནི​ི་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་ཚན་མང་ཚུལ་ཡི​ིན་ན། ང་ཚོ​ོས་ p(x) ཡི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་ཇི​ི་ལྟར་འཚོ​ོལ་

ཐུབ་བམ། p(x) ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་འཚོ​ོལ་སྟངས་དང་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་མཉམ་བྱ་ p(x) = 0 འགྲོ​ོལ་ སྟངས་གཉི​ིས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན། p(x) = 0 ཡི​ི་དོ​ོན་ནི​ི་

དེ​ེས་ན།

དེ​ེ་ནི​ི།

ax + b = 0, a ≠ 0 ax = − b b    x = − a

b ནི​ི་ p(x) ཡི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་ཁོ​ོ་ན་དེ​ེ་ཡི​ིན། དེ​ེ་ནི​ི། ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་ཚན་མང་ཚུལ་ལ་ཀླད་ཀོ​ོར་གཅི​ིག་ a རང་ལས་མེ​ེད། ང་ཚོ​ོས་ 1 ནི​ི་ x − 1 གི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་དང་ − 2 ནི​ི་ x + 2 ཀྱི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་རེ​ེད་ཅེ​ེས་བཤད་ཐུབ།

དེ​ེས་ན། x = −

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༥ 2 དང་ 0 ནི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ x2 − 2x ཡི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་ཡི​ིན་མི​ིན་ལྟོ​ོས།

ལན།

དེ​ེས་ན། དང་།

མཆན།

p(x) = x2 − 2x ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག

p(2) = 22 − 4 = 4 − 4 = 0 p(0) = 0 − 0 = 0

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། 2 དང་ 0 ནི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ x2 − 2x ཡི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་ཡི​ིན།

༡། ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་ནི​ི་ 0 ཡི​ིན་མི​ི་དགོ​ོས། ༢། 0 ནི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་ཡི​ིན་ཆོ​ོག

༣། ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་ཚན་མང་ཚུལ་ལ་ཀླད་ཀོ​ོར་གཅི​ིག་རང་ལས་མེ​ེད། ༤། ཚན་མང་ཚུལ་ཞི​ིག་ལ་ཀླད་ཀོ​ོར་གཅི​ིག་ལས་མང་བ་ཡོ​ོད་སྲི​ིད།

29

རྩིས་རིག

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༢་༢

༡། གཤམ་གསལ་སྐབས་ཚན་མང་ཚུལ་ 5x − 4x2 + 3 གྱི​ི་ཐང་ཚོ​ོལ། (ཀ) x = 0

(ཁ) x = − 1

(ག) x = 2

༢། གཤམ་གསལ་ཚན་མང་ཚུལ་སོ​ོ་སོ​ོའི་ི p(0) དང་ p(1), p(2) ཚོ​ོལ། (ཀ) p(y) = y2 − y + 1

(ཁ) p(t) = 2 + t + 2t2 − t3

(ག) p(x) = x3 (ང) p(x) = (x − 1) (x + 1)

༣། གཤམ་གསལ་སྤྲད་ཟི​ིན་པའི​ི་ཐང་རྣམས་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་ཡི​ིན་མི​ིན་ཞི​ིབ་བཤེ​ེར་བྱོ​ོས། 4 5

1 3

(ཀ) p(x) = 3x + 1, x = −

(ཁ) p(x) = 5x − π, x =

(ག) p(x) = x2 − 1, x = 1, −1

(ང) p(x) = (x + 1) (x − 2), x = −1, 2 m l 1 2 (ཉ) p(x) = 3x2 − 1, x = − , 3 3

(ཅ) p(x) = x2, x = 0

(ཆ) p(x) = lx + m, x = −

1 2

(ཇ) p(x) = 2x + 1, x =

༤། ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་ཚོ​ོལ། (ཀ) p(x) = x + 5

(ང) p(x) = 3x − 2

(ཁ) p(x) = x − 5

(ཅ) p(x) = 3x

(ཇ) p(x) = cx + d, c ≠ 0, c དང་ d དངོ​ོས་གྲངས་ཡི​ིན།

(ག) p(x) = 2x + 5

(ཆ) p(x) = ax, a ≠ 0

༢་༤ བགོ​ོས་ལྷག་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། Remainder Theorem

གྲངས་ 15 དང་ 6 ལ་ཆ་ཞོ​ོག། 15 ལ་ 6 གི​ིས་བགོ​ོད་སྐབས་ང་ཚོ​ོར་བགོ​ོས་ཐོ​ོབ་ 2 དང་བགོ​ོས་ལྷག་ 3 ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ ཡོ​ོད། དེ​ེ་གཤམ་གསལ་ལྟར་འབྲི​ི་ཡི​ི་ཡོ​ོད།

15 = (6 × 2) + 3

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དོ​ོ་སྣང་བྱོ​ོས་དང་། བགོ​ོས་ལྷག་ 3 ནི​ི་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་གྲངས་ 6 ལས་ཉུང་བ་ཡོ​ོད། དེ​ེ་བཞི​ིན། ང་ཚོ​ོས་ 12 ལ་ 6 གི​ིས་བགོ​ོས་ན། ང་ཚོ​ོར་ཐོ​ོབ་པ་ནི​ི།

12 = (6 × 2) + 0

འདི​ིར་བགོ​ོས་ལྷག་ནི​ི་ 0 ཡི​ིན་པ་དང་། 6 ནི​ི་ 12 ཀྱི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་སམ་ཡང་ན་ 12 ནི​ི་ 6 གི​ི་ལྡབ་གྲངས་ཡི​ིན། ང་ཚོ​ོས་ཚན་མང་ཚུལ་གཅི​ིག་གི​ིས་གཞན་ལ་བགོ​ོ་ཐུབ་བམ།

དེ​ེ་ལྟ་བར་ང་ཚོ​ོས་བགོ​ོ་བྱེ​ེད་གྲངས་ཚན་རྐྱང་ཚུལ་

ནས་འགོ​ོ་འཛུགས་ཀྱི​ི་ཡི​ིན། དེ​ེས་ན། ང་ཚོ​ོས་ཚན་མང་ཚུལ་ 2x3 + x2 + x ལ་ཚན་རྐྱང་ཚུལ་ x ཡི​ིས་བགོ​ོད་ ཀྱི​ི་ཡི​ིན། ང་ཚོ​ོར།

(2x3 + x2 + x) ÷ x =

2x3 x2 x + + = 2x2 + x + 1 x x x

30

ཚན་མང་ཚུལ

འདི​ིར་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ 2x3 + x2 + x ཡི​ི་ཚན་པ་ཚང་མའི​ི་ནང་ x ཐུན་མོ​ོང་དུ་ཡོ​ོད་པ་དོ​ོ་སྣང་བྱུང་ཡོ​ོད་ཀྱི​ི་རེ​ེད།

དེ​ེས་ན། ང་ཚོ​ོས་ 2x3 + x2 + x ནི​ི་ x (2x2 + x + 1) ལྟར་འབྲི​ི་ཆོ​ོག དེ​ེར་བརྟེ​ེན། x དང་ 2x2 + x + 1 ནི​ི་ 2x3

+ x2 + x ཡི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་ཡི​ིན་པ་དང་། 2x3 + x2 + x ནི​ི་ x དང་ 2x2 + x + 1 གཉི​ིས་ཀྱི​ི་ལྡབ་གྲངས་ཡི​ིན།

ཡང་ཚན་མང་ཚུལ་ 3x2 + x + 1 དང་ x ལ་དཔེ​ེ་བཞག་ན། འདི​ིར།

(3x2 + x + 1) ÷ x = (3x2 ÷ x) + (x ÷ x) + (1 ÷ x)

ང་ཚོ​ོས་ 1 ལ་ x ཡི​ིས་བགོ​ོས་ཏེ​ེ་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་ཚན་པ་ཞི​ིག་བཟོ​ོ་མི​ི་ཐུབ། དེ​ེས་ན། འདི​ིར་ང་ཚོ​ོས་བགོ​ོད་ མཚམས་བཞག་པས་བགོ​ོས་ལྷག་ནི​ི་ 1 ཡི​ིན། དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ང་ཚོ​ོར་ཐོ​ོབ་པ་ནི​ི།

(3x2 + x + 1) = {x × (3x + 1)} + 1

འདི​ིར་ 3x + 1 ནི​ི་བགོ​ོས་ཐོ​ོབ་དང་ 1 ནི​ི་བགོ​ོས་ལྷག་ཡི​ིན། x ནི​ི་ 3x2 + x + 1 གི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་ཡི​ིན་ནམ།

འདི​ིར་བགོ​ོས་ལྷག་ 0 མི​ིན་པས་དེ​ེ་བགོ​ོད་གྲངས་མི​ིན། ང་ཚོ​ོས་རྩི​ིས་དཔེ​ེ་འགའ་བརྒྱུད་ཚན་མང་ཚུལ་ལ་ཀླད་ཀོ​ོར་ མི​ིན་པའི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ིས་བགོ​ོད་སྟངས་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༦ p(x) ལ་ g(x) ཡི​ིས་བགོ​ོས། འདི​ིར་ p(x) = x + 3x2 − 1 དང་ g(x) = 1 + x ལན།

ང་ཚོ​ོས་གཤམ་གསལ་ལྟར་བགོ​ོད་རྩི​ིས་ཀྱི​ི་བརྒྱུད་རི​ིམ་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན།

གོ​ོམ་པ། ༡ ཐོ​ོག་མར་ང་ཚོ​ོས་བགོ​ོ་བྱའི​ི་ཚུལ་ x + 3x2 − 1 དང་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཚུལ་ 1 + x གཉི​ིས་ཚད་ལྡན་གྱི​ི་རྣམ་ པར་འབྲི​ི་དགོ​ོས།

དེ​ེ་ནི​ི། ཚན་པ་རྣམས་དེ​ེ་དག་སོ​ོ་སོ​ོའི་ི སྟོ​ོན་གྲངས་ཆག་རི​ིམ་བཞི​ིན་སྒྲི​ིག་དགོ​ོས། དེ​ེས་ན། བགོ​ོ་

བྱའི​ི་ཚུལ་ནི​ི་ 3x2 + x − 1 དང་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཚུལ་ནི​ི་ x + 1 ཡི​ིན། གོ​ོམ་པ། ༢

ང་ཚོ​ོས་བགོ​ོ་བྱའི​ི་ཚུལ་གྱི​ི་ཚན་པ་དང་པོ​ོ་ལ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཚུལ་

གྱི​ི་ཚན་པ་དང་པོ​ོས་བགོ​ོད་དགོ​ོས། དེ​ེ་ནི​ི། 3x2 ལ་ x ཡི​ིས་བགོ​ོས་ན་བགོ​ོས་ ཐོ​ོབ་ 3x བྱུང་། དེ​ེ་ནི​ི་བགོ​ོས་ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཚན་པ་དང་པོ​ོ་ཡི​ིན། གོ​ོམ་པ། ༣

ང་ཚོ​ོས་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཚུལ་ལ་བགོ​ོས་ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཚན་པ་དང་

པོ​ོས་བསྒྱུར་རྗེ​ེས། བགོ​ོ་བྱའི​ི་ཚུལ་ནས་བསྒྱུར་ཐོ​ོབ་དེ​ེ་འཐེ​ེན་དགོ​ོས། དེ​ེ་ ནི​ི། x + 1 ལ་ 3x ཡི​ིས་བསྒྱུར་རྗེ​ེས་བསྒྱུར་ཐོ​ོབ་ 3x2 + 3x དེ​ེ་བགོ​ོ་བྱེ​ེའི​ི་

གྲངས་ 3x2 + x − 1 ནས་འཐེ​ེན་དགོ​ོས། དེ​ེ་ནས་ང་ཚོ​ོར་བགོ​ོས་ལྷག་ −2x − 1 ཐོ​ོབ།

གོ​ོམ་པ། ༤

ང་ཚོ​ོས་བགོ​ོས་ལྷག་ −2x − 1 དེ​ེ་བགོ​ོ་བྱའི​ི་ཚུལ་དུ་བྱེ​ེད་

དགོ​ོས། བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཚུལ་ནི​ི་རང་འཇགས་རེ​ེད། ང་ཚོ​ོས་བགོ​ོས་ལྷག་གི​ི་ ཚན་པ་རྗེ​ེས་མ་འཐོ​ོབ་ཆེ​ེད་གོ​ོམ་པ་ ༢ བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱེ​ེད་དགོ​ོས།

31

3x2 x = 3x (བགོས་ཐོབ་ཀྱི་ཚན་པ་དང་པོ།) x+1

3x 3x2 + x − 1 3x2 + 3x − − − 2x − 1

−2x x = −2 = བགོས་ཐོབ་ཀྱི་ཚན་ པ་གཉིས་པ། བགོ​ོས་ཐོ​ོབ་གསར་པ་ = 3x − 2

རྩིས་རིག

དེ​ེ་ནི​ི། བགོ​ོ་བྱའི​ི་ཚུལ་ (གསར་པ་) གྱི​ི་ཚན་པ་དང་པོ​ོ་ −2x ལ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཚུལ་གྱི​ི་ཚན་པ་དང་པོ​ོ་ x ཡི​ིས་བགོ​ོས་ ནས་ −2 བྱུང་། དེ​ེས་ན། −2 ནི​ི་བགོ​ོས་ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཚན་པ་གཉི​ིས་པ་ཡི​ིན། གོ​ོམ་པ། ༥

ང་ཚོ​ོས་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཚུལ་ལ་བགོ​ོས་ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཚན་པ་གཉི​ིས་

པས་བསྒྱུར་རྗེ​ེས་བསྒྱུར་ཐོ​ོབ་དེ​ེ་བགོ​ོ་བྱའི​ི་ཚུལ་ནས་འཐེ​ེན་དགོ​ོས། དེ​ེ་ནི​ི། x + 1 ལ་ −2 ཀྱི​ིས་བསྒྱུར་ནས་བསྒྱུར་ཐོ​ོབ་ −2x − 2 བགོ​ོ་བྱའི​ི་ཚུལ་

(x + 1) (−2)

−2x − 1

= −2x − 2

−2x − 2 + + +1

−2x − 1 ནས་འཐེ​ེན་པས་བགོ​ོས་ལྷག་ 1 ཐོ​ོབ།

བརྒྱུད་རི​ིམ་འདི​ི་བགོ​ོས་ལྷག་ 0 མ་ཆགས་བར་དུའམ་ཡང་ན་བགོ​ོ་བྱའི​ི་ཚུལ་གསར་པའི​ི་སྟོ​ོན་གྲངས་ནི​ི་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ གྲངས་ཀྱི​ི་སྟོ​ོན་གྲངས་ལས་ཉུང་བ་མ་ཆགས་བར་དུ་མུ་མཐུད་བྱེ​ེད་དགོ​ོས།

འདི​ིར་བགོ​ོ་བྱའི​ི་ཚུལ་གསར་པ་ནི​ི་

བགོ​ོས་ལྷག་དང་བགོ​ོས་ཐོ​ོབ་ཚན་པ་ཁྱོ​ོན་བསྡོ​ོམས་ཀྱི​ིས་བགོ​ོས་ཐོ​ོབ་ཆགས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། གོ​ོམ་པ། ༦

དེ​ེས་ན། བགོ​ོས་ཐོ​ོབ་ཆ་ཚང་ནི​ི་ 3x − 2 ཡི​ིན་པ་དང་བགོ​ོས་ལྷག་ 1 རེ​ེད། ང་ཚོ​ོས་གོ​ོང་གི​ི་བརྒྱུད་

རི​ིམ་ཆ་ཚང་ནང་གང་བྱས་ཡོ​ོད་པ་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན།

3x − 2 x + 1 3x2 + x − 1 3x2 + 3x − − − 2x − 1 − 2x − 2 + + 1

དོ​ོ་སྣང་བྱོ​ོས་དང་། 3x2 + x − 1 = (x + 1) (3x − 2) + 1 དེ​ེ་ནི​ི།

བགོ​ོ་བྱའི​ི་ཚུལ། = (བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཚུལ། × བགོ​ོས་ཐོ​ོབ།) + བགོ​ོས་ལྷག

རྒྱུན་དུ་ p(x) དང་ g(x) གཉི​ིས་ནི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་དང་ p(x) ཡི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་ ≥ g(x) ཡི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་ཡི​ིན་ ན། ང་ཚོ​ོས་ཚན་མང་ཚུལ་ q(x) དང་ r(x) གཤམ་གསལ་ལྟར་འཚོ​ོལ་ཐུབ། p(x) = g(x)q(x) + r(x)

འདི​ིར། r(x) = 0 ཡང་ན་ r(x) ཡི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་ < g(x) ཡི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས། དེ​ེ་ནི​ི། p(x) ལ་ g(x) ཡི​ིས་བགོ​ོས་ ན། བགོ​ོས་ཐོ​ོབ་ q(x) དང་བགོ​ོས་ལྷག་ r(x) ཡི​ིན།

གོ​ོང་གི​ི་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་ནང་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ནི​ི་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་ཚན་མང་ཚུལ་རེ​ེད། གནས་སྟངས་དེ​ེ་འདྲའི​ི་སྐབས་ང་ཚོ​ོས་ བགོ​ོས་ལྷག་དང་བགོ​ོ་བྱའི​ི་ཚུལ་གྱི​ི་ཐང་དབར་འབྲེ​ེལ་བ་ཡོ​ོད་མེ​ེད་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན།

p(x) = 3x2 + x − 1 ནང་། x ལ་ −1 གི​ིས་བརྗེ​ེས་ན། ང་ཚོ​ོར་ཐོ​ོབ་པ་ནི​ི།

p(−1) = 3(−1)2 + (−1) − 1 = 1

32

ཚན་མང་ཚུལ

དེ​ེས་ན། p(x) = 3x2 + x − 1 ལ་ x + 1 གི​ིས་བགོ​ོས་པས། བགོ​ོས་ལྷག་ནི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ x + 1 གི​ི་ཀླད་ ཀོ​ོར་དེ​ེ་ p(x) ལ་ x = −1 སྐབས་ཀྱི​ི་ཐང་རེ​ེད།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༧ ཚན་མང་ཚུལ་ 3x4 − 4x3 − 3x − 1 ལ་ x − 1 གི​ིས་བགོ​ོས། ལན།

གཞུང་སྒྲི​ིག་བགོ​ོད་རྩི​ིས་ལས།

3x3 − x2 − x − 4 x − 1 3x4 − 4x3 − 3x − 1 3x4 − 3x3 − + − x3 − 3x − 1 3 2 − x + x + − − x2 − 3x − 1 − x2 + x + − − 4x − 1 − 4x + 4 + − − 5 འདི​ིར། བགོ​ོས་ལྷག་ནི​ི་ −5 དང་། x − 1 གི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་ནི​ི་ 1 རེ​ེད།

དེ​ེས་ན། p(x) ནང་ x = 1 བཅུག་པས།

p(1) = 3(1)4 − 4(1)3 − 3(1) − 1

= 3 − 4 − 3 −1

= −5 ནི​ི་བགོ​ོས་ལྷག་རེ​ེད།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༨ p(x) = x3 + 1 ལ་ x + 1 གི​ིས་བགོ​ོས་ནས་བགོ​ོས་ལྷག་ཚོ​ོལ། ལན།

གཞུང་སྒྲི​ིག་བགོ​ོད་རྩི​ིས་ལས།

x2 − x + 1 x + 1 x3 + 1 x3 + x2 − − − x2 + 1 2 − x − x + + x + 1 x + 1 − − 0

33

རྩིས་རིག

དེ​ེས་ན། བགོ​ོས་ལྷག་ནི​ི་ 0 རེ​ེད།

འདི​ིར། p(x) = x3 + 1 དང་ x + 1 = 0 གྱི​ི་གཞི​ི་ནི​ི་ x = −1 རེ​ེད།

དེ​ེས་ན། p(−1) = (−1)3 + 1 = −1 + 1 = 0 ནི​ི་བགོ​ོས་ནས་ཐོ​ོབ་པའི​ི་བགོ​ོས་ལྷག་དང་གཅི​ིག་པ་རེ​ེད། ཐེ​ེངས་ གཅི​ིག་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ིས་ཚན་མང་ཚུལ་ལ་བགོ​ོས་ནས་བགོ​ོས་ལྷག་འཚོ​ོལ་སྟངས་འདི​ི་ནི​ི་ཐབས་ལམ་སྟབས་ བདེ​ེ་ཞི​ིག་མ་རེ​ེད་དམ།

གཤམ་དུ་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་བརྒྱུད་ནས་དེ​ེ་དངོ​ོས་འབྲེ​ེལ་ཡི​ིན་པ་གསལ་པོ​ོར་བཟོ​ོ་རྒྱུ་ཡི​ིན་པ་མ་

ཟད། ང་ཚོ​ོས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་འདི​ི་བདེ​ེན་པ་ཡི​ིན་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་རྒྱུ་ཡི​ིན།

བགོ​ོས་ལྷག་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། Remainder Theorem p(x) ནི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་གཅི​ིག་ལས་ཆེ​ེ་བའམ་ཡང་ན་མཉམ་

པའི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ཡི​ིན་པ་དང་། a ནི​ི་དངོ​ོས་གྲངས་གང་ཞི​ིག་ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག གལ་ཏེ​ེ་ p(x) ལ་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་ ཚན་མང་ཚུལ་ x − a ཡི​ིས་བགོ​ོས་ན། བགོ​ོས་ལྷག་ནི​ི་ p(a) ཡི​ིན།

ཁུངས་སྐྱེ​ེལ། p(x) ནི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་ 1 ལས་ཆེ​ེ་བའམ་ཡང་ན་མཉམ་པའི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ཞི​ིག་ཡི​ིན་པ་དང་། p(x) ལ་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་ཚན་མང་ཚུལ་ x − a ཡི​ིས་བགོ​ོས་ན། བགོ​ོས་ཐོ​ོབ་ནི​ི་ q(x) དང་བགོ​ོས་ལྷག་ནི​ི་ r(x) ཡི​ིན་ པ་ཆ་འཇོ​ོག་བྱོ​ོས། དེ​ེ་ནི​ི།

p(x) = (x − a) q(x) + r(x)

x − a ཡི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་ནི​ི་ 1 ཡི​ིན་པ་དང་ r(x) ཡི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་ནི​ི་ x − a ཡི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་ལས་ཉུང་བ་ཡི​ིན་

པས། r(x) ཡི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་ནི​ི་ 0 ཡི​ིན། དེ​ེ་ནི​ི། r(x) ནི​ི་རྟག་གྲངས་ r རེ​ེད། དེ​ེས་ན། x ཡི​ི་ཐང་ཚང་མའི​ི་སྐབས་ r(x) = r རེ​ེད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

p(x) = (x − a) q(x) + r

p(a) = (a − a) q(a) + r

གལ་ཏེ​ེ་ x = a ཡི​ིན་ན། མཉམ་བྱ་འདི​ིས་ང་ཚོ​ོར།

=r

ཡི​ིས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་དེ​ེ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། ང་ཚོ​ོས་འདི​ི་རྩི​ིས་དཔེ​ེ་འགར་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་བྱེ​ེད་རྒྱུ་ཡི​ིན། རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༩ x4 + x3 − 2x2 + x + 1 ལ་ x − 1 གི​ིས་བགོ​ོས་ན་བགོ​ོས་ལྷག་གང་ཐོ​ོབ་བམ། ལན།

འདི​ིར།

p(x) = x4 + x3 − 2x2 + x + 1 དང་ x − 1 གི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་ནི​ི་ 1 རེ​ེད།

དེ​ེས་ན།   p(1) = (1)4 + (1)3 − 2(1)2 + 1 + 1 =2

བགོ​ོས་ལྷག་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ལས། x4 + x3 − 2x2 + x + 1 ལ་ x − 1 གི​ིས་བགོ​ོས་ན། བགོ​ོས་ལྷག་ནི​ི་ 2 རེ​ེད།

34

ཚན་མང་ཚུལ

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡༠ ཚན་མང་ཚུལ་ q(t) = 4t3 + 4t2 − t − 1 ནི​ི་ 2t + 1 གི​ི་ལྡབ་གྲངས་ཡི​ིན་མི​ིན་ལྟོ​ོས། ལན།

གལ་ཏེ​ེ་ 2t + 1 གི​ིས་ q(t) ལ་བགོ​ོས་ལྷག་མེ​ེད་པར་བགོ​ོད་ཐུབ་ན། q(t) ནི​ི་ 2t + 1 གི​ི་ལྡབ་གྲངས་

ཡང་། q −

1 1 =4 − 2 2

ཡི​ིན། 2t + 1 = 0 ལས་ང་ཚོ​ོར་ t = − 3

( ( ( (

1 ཐོ​ོབ། 2 2

( ( ( − 12−( 1 = − 12 + 1 + 12 − 1 = 0

1 + 4 −− 2

དེ​ེས་ན། q(t) ལ་ 2t + 1 གི​ིས་བགོ​ོས་པས་བགོ​ོས་ལྷག་ནི​ི་ 0 རེ​ེད།

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། 2t + 1 ནི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ q(t) ཡི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་ཡི​ིན་པས། q(t) ནི​ི་ 2t + 1 གི​ི་ལྡབ་གྲངས་ཡི​ིན།

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༢་༣

༡། x3 + 3x2 + 3x + 1 ལ་གཤམ་གསལ་ཚུལ་གྱི​ིས་བགོ​ོས་ན་བགོ​ོས་ལྷག་ཚོ​ོལ། (ཀ) x + 1

(ཁ) x − 1

(ག) x (ང) x + π 2 ༢། x3 − ax2 + 6x − a ལ་ x − a ཡི​ིས་བགོ​ོས་ན་བགོ​ོས་ལྷག་ཚོ​ོལ།

(ཅ) 5 + 2x

༣། 7 + 3x ནི​ི་ 3x3 + 7x ཡི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་ཡི​ིན་མི​ིན་ལྟོ​ོས།

༢་༥ ཚན་མང་ཚུལ་རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོ​ོལ་བ། Factorization of Polynomials

( 12 ( = 0 ཡི​ིན་པས། 2t + 1

རྩི​ིས་དཔེ​ེ་ ༡༠ པའི​ི་གནས་སྟངས་ལ་ཞི​ིབ་ཚགས་པོ​ོ་ལྟོ​ོས་དང་། བགོ​ོས་ལྷག་ནི​ི་ q −

ནི​ི་ q(t) ཡི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་ཡི​ིན། དེ​ེ་ནི​ི། ཚན་མང་ཚུལ་ g(t) ལ་ q(t) = (2t + 1) g(t) འདི​ི་ནི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་ ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་གྱི​ི་གནས་སྟངས་དམི​ིགས་བསལ་ཞི​ིག་ཡི​ིན།

བགོ​ོད་གྲངས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། Factor Theorem གལ་ཏེ​ེ་ p(x) ནི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་ n ≥ 1 ཡི​ིན་པའི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ ཞི​ིག་ཡི​ིན་པ་དང་ a ནི​ི་དངོ​ོས་གྲངས་གང་ཞི​ིག་ཡི​ིན་ཚེ​ེ།

(ཀ) p(a) = 0 ཡི​ིན་ན། x − a ནི​ི་ p(x) ཡི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་ཡི​ིན་པ་དང་། (ཁ) x − a ནི​ི་ p(x) ཡི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་ཡི​ིན་ན། p(a) = 0

ཁུངས་སྐྱེ​ེལ། བགོ​ོས་ལྷག་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ལས། p(x) = (x − a) q(x) + p(a)

(ཀ) p(a) = 0 ཡི​ིན་ན། p(x) = (x − a) q(x) ཡི​ིས་ x − a ནི​ི་ p(x) ཡི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད།

(ཁ) x − a ནི​ི་ p(x) ཡི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་ཡི​ིན་པས། ཚན་མང་ཚུལ་ g(x) ལ་ p(x) = (x − a) g(x) འདི​ིར། p(a) = (a − a) g(a) = 0

35

རྩིས་རིག

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡༡ x + 2 ནི​ི་ x3 + 3x2 + 5x + 6 དང་ 2x + 4 ཡི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་ཡི​ིན་མི​ིན་ལྟོ​ོས། ལན།

x + 2 ཀྱི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་ནི​ི་ −2 རེ​ེད། p(x) = x3 + 3x2 + 5x + 6 དང་ s(x) = 2x + 4 ཡི​ིན་ན།

p(−2) = (−2)3 + 3(−2)2 + 5(−2) + 6 = −8 + 12 − 10 + 6 = 0

དེ​ེས་ན། བགོ​ོད་གྲངས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ལས། x + 2 ནི​ི་ x3 + 3x2 + 5x + 6 གི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་ཡི​ིན། ཡང་།

s(−2) = 2(−2) + 4 = 0

དེ​ེས་ན། x + 2 ནི​ི་ 2x + 4 ཡི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་ཡི​ིན།

2x + 4 = 2(x + 2) ཡི​ིན་པས། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འདི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་མ་སྤྱད་ཀྱང་ཞི​ིབ་བཤེ​ེར་

བྱེ​ེད་ཐུབ།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡༢ གལ་ཏེ​ེ་ x − 1 ནི​ི་ 4x3 + 3x2 − 4x + k ཡི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་ཡི​ིན་ན། k ཡི​ི་ཐང་ཚོ​ོལ། ལན།

x − 1 ནི​ི་ p(x) = 4x3 + 3x2 − 4x + k ཡི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་ཡི​ིན་པས། p(1) = 0

p(1) = 4(1)3 + 3(1)2 − 4(1) + k

དེ​ེས་ན། དེ​ེ་ནི​ི།

4+3−4+k=0 k = −3

ང་ཚོ​ོས་བགོ​ོད་གྲངས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ཐེ​ེངས་གྲངས་ 2 དང་ 3 ཅན་གྱི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོ​ོལ་བར་སྤྱོ​ོད་རྒྱུ་ ཡི​ིན། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཐེ​ེངས་གཉི​ིས་ཚན་མང་ཚུལ་རྒྱུ་གྲངས་ལ་འགྲོ​ོལ་སྟངས་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། དཔེ​ེར་ན། x2 + lx + m

ནང་དཀྱི​ིལ་ཚན་ lx དེ​ེ་ ax + bx ལ་ཁ་ཕྲལ་ནས་རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོ​ོལ་ན། ང་ཚོ​ོར་ ab = m ཐོ​ོབ། དེ​ེ་ནས་ x2 + lx + m = (x + a) (x + b) ང་ཚོ​ོས་ཐེ​ེངས་གཉི​ིས་ཚན་མང་ཚུལ་ ax2 + bx + c རྒྱུ་གྲངས་ལ་འགྲོ​ོལ་སྟངས་

སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན། དེ​ེའི​ི་ནང། a ≠ 0 དང་ a, b, c ནི​ི་རྟག་གྲངས་ཡི​ིན། ཚན་མང་ཚུལ་ ax2 + bx + c ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་ ཚན་ཁ་ཕྲལ་ནས་རྒྱུ་གྲངས་ལ་འགྲོ​ོལ་སྟངས་གཤམ་གསལ། གལ་ཏེ​ེ་བགོ​ོད་གྲངས་ནི​ི་ (px + q) (rx + s) ཡི​ིན་ན།

ax2 + bx + c = (px + q) (rx + s) = pr x2 + (ps + qr)x + qs

x2 ཡི​ི་བཏགས་གྲངས་དང་བསྡུར་ན། ང་ཚོ​ོར་ a = pr ཐོ​ོབ།

དེ​ེ་མཚུངས་། x ཡི​ི་བཏགས་གྲངས་དང་བསྡུར་ན། ང་ཚོ​ོར་ b = ps + qr ཐོ​ོབ་པ་དང་། རྟག་གྲངས་རྣམས་བསྡུར་ན། ང་ཚོ​ོར་ c = qs ཐོ​ོབ།

འདི​ིས་ b ནི​ི་གྲངས་ ps དང་ qr གཉི​ིས་ཀྱི​ི་བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་ཡི​ིན་པ་དང་། འདི​ི་དག་གི​ི་བསྒྱུར་ཐོ​ོབ་ནི​ི་ (ps)(qr) =

(pr)(qs) = ac ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ax2 + bx + c རྒྱུ་གྲངས་ལ་འགྲོ​ོལ་བར། ང་ཚོ​ོས་ b ནི​ི་གྲངས་

གཉི​ིས་ཀྱི​ི་བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་དང་། གྲངས་དེ​ེ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་བསྒྱུར་ཐོ​ོབ་ ac ཡི​ིན་དགོ​ོས།

36

ཚན་མང་ཚུལ

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡༣ བགོ​ོད་གྲངས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་དང་དཀྱི​ིལ་ཚན་ཁ་ཕྲལ་ནས་ 6x2 + 17x + 5 རྒྱུ་གྲངས་ལ་ཁྲོ​ོལ། ལན། ༡

(ཁ་ཕྲལ་བའི​ི་ཐབས་ལམ་) གལ་ཏེ​ེ་ང་ཚོ​ོས་ p + q = 17 དང་ pq = 6 × 5 = 30 ཡི​ིན་པའི​ི་

གྲངས་ p དང་ q གཉི​ིས་འཚོ​ོལ་ཐུབ་ན། ང་ཚོ​ོས་བགོ​ོད་གྲངས་འཚོ​ོལ་ཐུབ།

དེ​ེས་ན། ང་ཚོ​ོས་ 30 ཡི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་གཉི​ིས་རེ​ེ་འཚོ​ོལ་དགོ​ོས། དཔེ​ེར་ན། 1 དང་ 30, 2 དང་ 15, 3 དང་ 10, 5 དང་ 6 ལྟ་བུ། ཆ་གྲངས་འདི​ི་དག་ལས་ 2 དང་ 15 ཡི​ིས་ p + q = 17 ཐོ​ོབ།

དེ​ེས་ན།

ལན། ༢

6x2 + 17x + 5 = 6x2 + (2 + 15) x + 5

= 6x2 + 2x + 15x + 5

= 2x(3x + 1) + 5(3x + 1)

= (3x + 1) (2x + 5)

(བགོ​ོད་གྲངས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་)

(

6x2 + 17x + 5 = 6 x2 +

5 17 x+ 6 6

) = 6p(x) གལ་ཏེ​ེ་ a དང་ b ནི​ི་ p(x) ཡི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་

ཡི​ིན་ན། 6x2 + 17x + 5 = 6(x − a) (x − b)

དེ​ེས་ན། ab =

5 6

ང་ཚོ​ོས་ a དང་ b ལ་གང་འོ​ོས་པ་འཚོ​ོལ་རྒྱུ་ཡི​ིན། དེ​ེ་དག་ནི​ི་ ± 1 , ± 1 , ± 5 , ± 5 , ± 1 2

ཡི​ིན་སྲི​ིད། འདི​ིར། p

3

3

2

( 12 ( = 14 + 176 ( 12 ( + 56 ≠ 0 ཡི​ིན་ནའང་། p ( −13 ( = 0

1 ནི​ི་ p(x) ཡི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་རེ​ེད། 3 5 དེ​ེ་མཚུངས། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཚོ​ོད་ལྟ་བྱས་ནས་ x + ནི​ི་ p(x) ཡི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་ཡི​ིན་པ་ཤེ​ེས་ཐུབ། 2 1 5 དེ​ེར་བརྟེ​ེན། 6x2 + 17x + 5 = 6 x + x+ 3 2 3x + 1 2x + 5 =6 3 2 = (3x + 1) (2x + 5)

(

དེ​ེས་ན། x +

)

(

( (

)

)( ((

)

(

གོ​ོང་གི​ི་ཐབས་ལམ་གཉི​ིས་ལས་ཁ་ཕྲལ་བའི​ི་ཐབས་ལམ་སྟབས་བདེ​ེ་བ་ཡོ​ོད། ང་ཚོ​ོས་རྩི​ིས་དཔེ​ེ་འགར་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན། རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡༤ བགོ​ོད་གྲངས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་སྤྱད་དེ​ེ་ y2 − 5y + 6 རྒྱུ་གྲངས་ལ་ཁྲོ​ོལ། ལན།

p(y) = y2 − 5y + 6 ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག p(y) = (y − a) (y − b) ཡི​ིན་ན། ab ནི​ི་རྟག་གྲངས་ཡི​ིན།

དེ​ེས་ན། ab = 6 ང་ཚོ​ོས་ p(y) ཡི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་འཚོ​ོལ་བར་ 6 གི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་ལ་ལྟ་དགོ​ོས། 6 གི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་ནི​ི་ 1 དང་ 2, 3, 6 བཅས་རེ​ེད། p(2) = 22 − (5 × 2) + 6 = 0

37

རྩིས་རིག

དེ​ེས་ན།

y − 2 ནི​ི་ p(y) ཡི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་རེ​ེད།

དེ​ེས་ན།

y − 3 ཡང་ y2 − 5y + 6 གི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་རེ​ེད།

དེ​ེ་བཞི​ིན། p(3) = 32 − (5 × 3) + 6 = 0

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། y2 − 5y + 6 = (y − 2) (y − 3)

མཆན། y2 − 5y + 6 ནི​ི་དཀྱི​ིལ་ཚན་ −5y ཁ་ཕྲལ་ནས་ཀྱང་རྒྱུ་གྲངས་ལ་འགྲོ​ོལ་ཐུབ།

ང་ཚོ​ོས་ཐེ​ེངས་གསུམ་ཚན་མང་ཚུལ་རྒྱུ་གྲངས་ལ་འགྲོ​ོལ་སྟངས་སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན། འདི​ིར་ཁ་ཕྲལ་བའི​ི་ཐབས་ལམ་ནས་ འགོ​ོ་མ་འཛུགས་པར་ང་ཚོ​ོས་ཉུང་མཐར་བགོ​ོད་གྲངས་གཅི​ིག་འཚོ​ོལ་དགོ​ོས། དེ​ེ་རྩི​ིས་དཔེ​ེ་འགའ་བརྒྱུད་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན། རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡༥ x3 − 23x2 + 142x − 120 རྒྱུ་གྲངས་ལ་ཁྲོ​ོལ། ལན།

p(x) = x3 − 23x3 + 142x − 120 ཡི​ིན་ན།

ང་ཚོ​ོས་ − 120 ཡི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་འཚོ​ོལ་དགོ​ོས། བགོ​ོད་གྲངས་འགའ་ཤས་ནི​ི་ ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±8, ±10, ±12, ±15, ±20, ±24, ±30, ±60 རེ​ེད།

ང་ཚོ​ོས་ཚོ​ོད་ལྟ་བྱས་ནས་ p(1) = 0 ཐོ​ོབ་ཡོ​ོད། དེ​ེས་ན། x − 1 ནི​ི་ p(x) ཡི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་རེ​ེད། ང་ཚོ​ོར། x3 − 23x3 + 142x − 120 = x3 − x2 − 22x2 + 22x + 120x − 120

= x2(x − 1) − 22x(x − 1) + 120(x − 1)

= (x − 1)(x2 − 22x + 120) [x − 1 ཐུན་མོ​ོང་ལེ​ེན་པ་]

ང་ཚོ​ོས་ p(x) ལ་ x − 1 གི​ིས་བགོ​ོས་ན་ཡང་འདི​ི་ཐོ​ོབ།

x2 − 22x + 120 ནི​ི་དཀྱི​ིལ་ཚན་ཁ་ཕྲལ་བའམ་ཡང་ན་བགོ​ོད་གྲངས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་སྤྱད་དེ​ེ་འགྲོ​ོལ་

ཐུབ། དཀྱི​ིལ་ཚན་ཁ་ཕྲལ་ན། ང་ཚོ​ོར།

x2 − 22x + 120 = x2 − 12x − 10x + 120

= x(x − 12) − 10(x − 12)

= (x − 12) (x − 10)

དེ​ེས་ན།   x3 − 23x2 − 142x − 120 = (x − 1) (x − 10) (x − 12)

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༢་༤

༡། གཤམ་གསལ་ཚན་མང་ཚུལ་གང་གི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་ (x + 1) ཡི​ིན་ནམ། (ཀ) x3 + x2 + x + 1 (ག) x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1

(ཁ) x4 + x3 + x2 + x + 1

(ང) x3 − x2 − (2 + 2 ) x + 2

38

༢། བགོ​ོད་གྲངས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་སྤྱད་དེ​ེ་ g(x) ནི​ི་ p(x) ཡི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་ཡི​ིན་མི​ིན་ལྟོ​ོས།

ཚན་མང་ཚུལ

(ཀ) p(x) = 2x3 + x2 − 2x − 1, g(x) = x + 1

(ཁ) p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1, g(x) = x + 2 (ག) p(x) = x3 − 4x2 + x + 6, g(x) = x − 3

༣། གལ་ཏེ​ེ་ x − 1 ནི​ི་ p(x) ཡི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་ཡི​ིན་ན་ k ཚོ​ོལ། (ཀ) p(x) = x2 + x + k

(ག) p(x) = kx2 − 2 x + 1

༤། རྒྱུ་གྲངས་ལ་ཁྲོ​ོལ།

(ཀ) 12x2 − 7x + 1

(ག) 6x2 + 5x − 6

༥། རྒྱུ་གྲངས་ལ་ཁྲོ​ོལ།

(ཀ) x3 − 2x2 − x + 2

(ག) x3 + 13x2 + 32x + 20

(ཁ) p(x) = 2x2 + kx + 2 (ང) p(x) = kx2 − 3x + k (ཁ) 2x2 + 7x + 3 (ང) 3x2 − x − 4

(ཁ) x3 − 3x2 − 9x − 5 (ང) 2y3 + y2 − 2y − 1

༢་༦ ཚབ་རྩི​ིས་གཏན་མཚུངས། Algebraic Identities

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ི་འཛི​ིན་གྲྭ་སྔ་མ་ལས་ཚབ་རྩི​ིས་གཏན་མཚུངས་ནི​ི་ཚབ་རྩི​ིས་ཀྱི​ི་ཚུལ་ཡི​ིན་པ་དང་དེ​ེ་དེ​ེའི​ི་ནང་དུ་འབྱུང་

བའི​ི་རྒྱུའི​ི་ཐང་ཚང་མར་བདེ​ེན་པ་ཡི​ིན་པ་དྲན་ཐུབ། གཤམ་གསལ་ཚབ་རྩི​ིས་གཏན་མཚུངས་ཁག་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ འཛི​ིན་གྲྭ་སྔ་མར་སྦྱངས་ཡོ​ོད། གཏན་མཚུངས་ I

གཏན་མཚུངས་ II

(x + y)2 = x2 + 2xy 2xy + y2 (x − y)2 = x2 − 2xy 2xy + y2

གཏན་མཚུངས་ III x2 − y2 = (x (x + y) (x (x − y)

གཏན་མཚུངས་ IV (x + a) (x (x + b) = x2 + (a (a + b)x + ab

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འདི​ི་དག་ལས་གཏན་མཚུངས་འགའ་ཤས་ཚབ་རྩི​ིས་ཀྱི​ི་ཚུལ་རྒྱུ་གྲངས་ལ་འགྲོ​ོལ་སྐབས་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་བྱས་ ཡོ​ོད། དེ​ེ་དག་གི​ི་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་རྩི​ིས་དཔེ​ེ་འགའ་བརྒྱུད་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡༦ གཏན་མཚུངས་རན་པོ​ོ་སྤྱད་དེ​ེ་བསྒྱུར་ཐོ​ོབ་ཚོ​ོལ། ལན།

(ཀ) (x + 3) (x + 3)

(ཁ) (x − 3) (x + 5)

(ཀ) འདི​ིར་ང་ཚོ​ོས་གཏན་མཚུངས་ I (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་བྱེ​ེད་ཐུབ། དེ​ེའི​ི་ ནང་ y = 3 བཅུག་ན་ང་ཚོ​ོར་གཤམ་གསལ་ཐོ​ོབ།

39

རྩིས་རིག

(x + 3) (x + 3) = (x + 3)2 = x2 + 2(x)(3) + 32

= x2 + 6x + 9

(ཁ) གཏན་མཚུངས་ IV བེ​ེད་སྤྱད་ན། དེ​ེ་ནི​ི་ (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab ང་ཚོ​ོར། (x − 3) (x + 5) = x2 + (−3 + 5)x + (−3)(5)

= x2 + 2x − 15

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡༧ སྒྱུར་རྩི​ིས་མ་བརྒྱབ་པར་ 105 × 106 གི​ི་བསྒྱུར་ཐོ​ོབ་ཐད་ཀར་ཚོ​ོལ།

ལན།

105 × 106 = (100 + 5) × (100 + 6)

= 1002 + (5 + 6)100 + (5 × 6)

= 10000 + 1100 + 30

= 11130

(གཏན་མཚུངས་ IV ལས་)

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གོ​ོང་དུ་ཐོ​ོ་འགོ​ོད་བྱས་པའི​ི་གཏན་མཚུངས་རྣམས་སྤྲད་ཟི​ིན་པའི​ི་ཚུལ་གྱི​ི་བསྒྱུར་ཐོ​ོབ་བཙལ་བར་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་ ཡོ​ོད་པ་ཤེ​ེས་ཡོ​ོད། གཏན་མཚུངས་འདི​ི་དག་ཚབ་རྩི​ིས་ཀྱི​ི་ཚུལ་རྒྱུ་གྲངས་ལ་འགྲོ​ོལ་སྐབས་སུའང་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་ཡོ​ོད། དེ​ེ་རྩི​ིས་དཔེ​ེ་འགའ་བརྒྱུད་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན། རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡༨ རྒྱུ་གྲངས་ལ་ཁྲོ​ོལ། ལན།

2 (ཀ) 49a2 + 70ab + 25b2 (ཁ) 25 x2 − y

4

(ཀ) འདི​ིར། 49a2 = (7a)2,

2

2

25b = (5b) ,

9

70ab = 2(7a)(5b)

སྤྲད་ཟི​ིན་པའི​ི་ཚུལ་དེ​ེ་ x + 2xy + y དང་བསྡུར་ན། x = 7a དང་ y = 5b 2

2

གཏན་མཚུངས་ I ལས།

49a2 + 70ab + 25b2 = (7a + 5b)2 = (7a + 5b) (7a + 5b)

(ཁ) ང་ཚོ​ོར།

y2 25 x2 − = 4 9

5x 2− y 2 2 3

( ( ((

ཚུལ་འདི​ི་གཏན་མཚུངས་ III དང་བསྡུར་ན།

2 25 2 y2 y2 x − = 5x − 4 9 2 3 y 5 y x− = 5x + 2 3 3 2

( ( (( (( (

(

ང་ཚོ​ོས་ད་བར་སྦྱངས་པའི​ི་གཏན་མཚུངས་ཚང་མ་ཉི​ིས་ཚན་ཚུལ་གྱི​ི་བསྒྱུར་ཐོ​ོབ་རེ​ེད། ང་ཚོ​ོས་གཏན་མཚུངས་ I དེ​ེ་

སུམ་ཚན་ཚུལ་ x + y + z ལ་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན། ང་ཚོ​ོས་གཏན་མཚུངས་ I བེ​ེད་སྤྱད་དེ​ེ་ (x + y + z)2 རྩི​ིས་

40

ཚན་མང་ཚུལ

རྒྱག་གི​ི་ཡི​ིན།

x + y = t ཡི​ིན་ན།

(x + y + z)2 = (t + z)2

(གཏན་མཚུངས་ I ལས་)

= t2 + 2tz + z2

= (x + y)2 + 2(x + y)z + z2

= x2 + 2xy + y2 + 2xz + 2yz + z2

= x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx (ཚན་པ་བསྐྱར་སྒྲི​ིག་བྱེ​ེད་པ་)

(t ཡི​ི་ཐང་བརྗེ​ེ་ལེ​ེན་བྱེ​ེད་པ་) (གཏན་མཚུངས་ I ལས་)

དེ​ེས་ན། ང་ཚོ​ོར་གཤམ་གྱི​ི་གཏན་མཚུངས་ཐོ​ོབ།

གཏན་མཚུངས་ V (x + y + z) z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy 2xy + 2yz 2yz + 2zx 2zx

མཆན། ང་ཚོ​ོས་གཡས་ཕྱོ​ོགས་ཀྱི​ི་ཚུལ་ལ་གཡོ​ོན་ཕྱོ​ོགས་ཀྱི​ི་ཚུལ་གྱི​ི་བཀྲལ་བའི​ི་རྣམ་པ་ཟེ​ེར། དེ​ེའི​ི་ནང་ཉི​ིས་སྒྱུར་ ཚན་པ་གསུམ་དང་བསྒྱུར་ཐོ​ོབ་ཚན་པ་གསུམ་ཡོ​ོད།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡༩ (3a + 4b + 5c)2 བཀྲལ་བའི​ི་རྣམ་པར་བྲི​ིས། ལན།

སྤྲད་ཟི​ིན་པའི​ི་ཚུལ་དང་ (x + y + z)2 བསྡུར་ན།

x = 3a དང་ y = 4b, z = 5c

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། གཏན་མཚུངས་ V ལས།

(3a + 4b + 5c)2 = (3a)2 + (4b)2 + (5c)2 + 2(3a)(4b) + 2(4b)(5c) + 2(5c)(3a)

= 9a2 + 16b2 + 25c2 + 24ab + 40bc + 30ac

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༢༠ (4a − 2b − 3c)2 ཁ་ཁྲོ​ོལ། ལན།

གཏན་མཚུངས་ V ལས།

(4a − 2b − 3c)2 = [4a + (−2b) + (−3c)]2 = (4a)2 + (−2b)2 + (−3c)2 + 2(4a)(−2b) + 2(−2b)(−3c) + 2(−3c)(4a) = 16a2 + 4b2 + 9c2 − 16ab + 12bc − 24ac

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༢༡ 4x2 + y2 + z2 − 4xy − 2yz + 4xz རྒྱུ་གྲངས་ལ་ཁྲོ​ོལ། ལན།

4x2 + y2 + z2 − 4xy − 2yz + 4xz = (2x)2 + (−y)2 + (z)2 + 2(2x)(−y) + 2(−y)(z) + 2(2x)(z)

= [2x + (−y) + z]2

41

(གཏན་མཚུངས་ V ལས་)

རྩིས་རིག

= (2x − y + z)2

= (2x − y + z) (2x − y + z)

ད་བར་ང་ཚོ​ོས་ཐེ​ེངས་གྲངས་གཉི​ིས་ཅན་གྱི​ི་གཏན་མཚུངས་སྦྱངས་ཡོ​ོད། (x + y)3 རྩི​ིས་རྒྱག་ཆེ​ེད་གཏན་ མཚུངས་ I རྒྱ་སྐྱེ​ེད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན།

(x + y)3 = (x + y) (x + y)2 = (x + y) (x2 + 2xy + y2) = x(x2 + 2xy + y2) + y(x2 + 2xy + y2) = x3 + 2x2 y + xy2 + x2y + 2xy2 + y3 = x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 = x3 + y3 + 3xy (x + y)

དེ​ེས་ན། ང་ཚོ​ོར་གཤམ་གྱི​ི་གཏན་མཚུངས་ཐོ​ོབ།

གཏན་མཚུངས་ VI (x + y) y)3 = x3 + y3 + 3xy 3xy (x + y) y)

གལ་ཏེ​ེ་གཏན་མཚུངས་ VI ནང་ y ཡི​ི་ཚབ་དུ་ −y བཞག་ན། ང་ཚོ​ོར།

གཏན་མཚུངས་ VII (x − yy))3 = x3 − y3 − 3xy 3xy (x − yy)) = x3 − 3x 3x2y + 3xy2 − y3 རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༢༢ གཤམ་གསལ་སུམ་སྒྱུར་རྣམས་བཀྲལ་བའི​ི་རྣམ་པར་བྲི​ིས། ལན།

(ཀ) (3a + 4b)3

(ཁ) (5p − 3q)3

(ཀ) སྤྲད་ཟི​ིན་པའི​ི་ཚུལ་ (3a + 4b)3 དང་ (x + y)3 བསྡུར་ན། x = 3a དང་ y = 4b གཏན་མཚུངས་ VI ལས།

(3a + 4b)3 = (3a)3 + (4b)3 + 3(3a)(4b)(3a + 4b)

= 27a3 + 64b3 + 108a2b + 144ab2

(ཁ) སྤྲད་ཟི​ིན་པའི​ི་ཚུལ་ (5p − 3q)3 དང་ (x − y)3 བསྡུར་ན། x = 5p དང་ y = 3q གཏན་མཚུངས་ VII ལས།

(5p − 3q)3 = (5p)3 − (3q)3 − 3(5p)(3q)(5p − 3q)

= 125p3 − 27q3 − 225p2q + 135pq2

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༢༣ གཏན་མཚུངས་གང་འོ​ོས་པ་སྤྱད་དེ​ེ་ཐང་ཚོ​ོལ། ལན།

(ཀ) (104)3

(ཀ) (104)3 = (100 + 4)3

(ཁ) (999)3

= (100)3 + (4)3 + 3(100)(4)(100 + 4)

42

(གཏན་མཚུངས་ VI ལས།)

ཚན་མང་ཚུལ

= 1000000 + 64 + 124800 = 1124864

(ཁ) (999)3 = (1000 − 1)3

(གཏན་མཚུངས་ VII ལས་)

= (1000)3 − (1)3 − 3(1000)(1)(1000 − 1)

= 1000000000 − 1 − 2997000 = 997002999

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༢༤ 8x3 + 27y3 + 36x2 y + 54xy2 རྒྱུ་གྲངས་ལ་ཁྲོ​ོལ། ལན།

སྤྲད་ཟི​ིན་པའི​ི་ཚུལ་འདི​ི་གཤམ་གསལ་ལྟར་འབྲི​ི་ཐུབ།

(2x)3 + (3y)3 + 3(4x2)(3y) + 3(2x)(9y2)

= (2x)3 + (3y)3 + 3(2x)2(3y) + 3(2x)(3y)2

= (2x + 3y)3

= (2x + 3y) (2x + 3y) (2x + 3y)

(གཏན་མཚུངས་ VI ལས་)

(x + y + z)(x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx) ལ་ཆ་ཞོ​ོག

དེ​ེ་ཁ་བཀྲལ་ན། ང་ཚོ​ོར་བསྒྱུར་ཐོ​ོབ་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཐོ​ོབ།

x(x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx) + y(x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx) + z(x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx) = x3 + xy2 + xz2 − x2y − xyz − x2z + x2y + y3 + yz2 − xy2 − y2z − xyz + x2z + y2z + z3 − xyz − yz2 − xz2

= x3 + y3 + z3 − 3xyz

(སྟབས་བདེ​ེ་བཟོ​ོ་བ་)

དེ​ེས་ན། ང་ཚོ​ོར་གཤམ་གྱི​ི་གཏན་མཚུངས་ཐོ​ོབ།

གཏན་མཚུངས་ VIII x3 + y3 + z3 − 3xyz 3xyz = (x (x + y + z)( z)(xx2 + y2 + z2 − xy − yz − zx zx)) རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༢༥ 8x3 + y3 + 27z3 − 18xyz རྒྱུ་གྲངས་ལ་ཁྲོ​ོལ། ལན།

འདི​ིར། 8x3 + y3 + 27z3 − 18xyz

= (2x)3 + y3 + (3z)3 − 3(2x)(y)(3z)

= (2x + y + 3z)[(2x)2 + y2 + (3z)2 − (2x)(y) − (y)(3z) − (2x)(3z)]

= (2x + y + 3z)(4x2 + y2 + 9z2 − 2xy − 3yz − 6xz)

སྦྱོང་ཚན། ༢་༥

༡། གཏན་མཚུངས་གང་འོ​ོས་སྤྱད་དེ​ེ་བསྒྱུར་ཐོ​ོབ་ཚོ​ོལ། (ཀ) (x + 4)(x + 10)

(ང) (3x + 4)(3x − 5)

(ཁ) (x + 8)(x − 10)

(ཅ) (3 − 2x)(3 + 2x)

43

(ག) y2 + 3

(

2

( ( y − 32 ( 2

རྩིས་རིག

༢། ཐད་ཀར་སྒྱུར་རྩི​ིས་མ་བརྒྱབ་པར་བསྒྱུར་ཐོ​ོབ་ཚོ​ོལ། (ཀ) 103 × 107

(ཁ) 95 × 96

(ག) 104 × 96

(ཀ) 9x2 + 6xy + y2

(ཁ) 4y2 − 4y + 1

(ག) x2 −

(ཀ) (x + 2y + 4z)2

(ཁ) (2x − y + z)2

(ག) (−2x + 3y + 2z)2

༣། གཏན་མཚུངས་གང་འོ​ོས་སྤྱད་དེ​ེ་རྒྱུ་གྲངས་ལ་ཁྲོ​ོལ།

༤། གཏན་མཚུངས་གང་འོ​ོས་སྤྱད་དེ​ེ་བཀྲལ་བའི​ི་རྣམ་པར་བྲི​ིས། (ང) (3a − 7b − c)2

༥། རྒྱུ་གྲངས་ལ་ཁྲོ​ོལ།

(ཅ) (−2x + 5y − 3z)2

y2 100

(ཆ) 1 a − 1 b + 1

[4

2

2

]

(ཀ) 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy − 24yz − 16xz (ཁ) 2x2 + y2 + 8z2 − 2 2 xy + 4 2 yz − 8xz

༦། བཀྲལ་བའི​ི་རྣམ་པར་བྲི​ིས། (ཀ) (2x + 1)3

(ཁ) (2a − 3b)3

(ཀ) (99)3

(ཁ) (102)3 (ག) (998)3

༧། གཏན་མཚུངས་གང་འོ​ོས་སྤྱད་དེ​ེ་ཚོ​ོལ། ༨། རྒྱུ་གྲངས་ལ་ཁྲོ​ོལ།

(ཀ) 8a3 + b3 + 12a2b + 6ab2

(ག) 3 x + 1

[2

(ང) x − 2 y

[

3 ]

3

(ང) 27p3 − 1− 9 p2 + 1 p 216 2

༩། བཤེ​ེར་རྩི​ིས་རྒྱོ​ོབ། (ཀ) x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2) (ཀ) 27y3 + 125z3

3

(ཁ) 64a3 − 27b3 − 144a2b + 108ab2

(ག) 27 − 125a3 − 135a + 225a2

༡༠། རྒྱུ་གྲངས་ལ་ཁྲོ​ོལ།

]

(ཁ) 64m3 − 343n3

4

(ཁ) x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2) (བརྡ་སྟོ​ོ བརྡ་སྟོ​ོན། དྲི​ི་བ་ ༩ ལ་ལྟོ​ོས་)

༡༡། 27x3 + y3 + z3 − 9xyz རྒྱུ་གྲངས་ལ་ཁྲོ​ོལ།

༡༢། x3 + y3 + z3 − 3xyz = 1 (x + y + z)[(x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2] བཤེ​ེར་རྩི​ིས་རྒྱོ​ོབ། 2

༡༣། གལ་ཏེ​ེ་ x + y + z = 0 ཡི​ིན་ན། x3 + y3 + z3 = 3xyz སྟོ​ོན། ༡༤། གཏན་མཚུངས་གང་འོ​ོས་སྤྱད་དེ​ེ་ཐང་ཚོ​ོལ།

(ཀ) (−12)3 + (7)3 + (5)3

(ཁ) (28)3 + (−15)3 + (−13)3

༡༥། རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ཤེ​ེས་པའི​ི་གྲུ་ནར་སོ​ོ་སོ​ོའི་ི དཀྱུས་དང་ཞེ​ེང་ལ་འོ​ོས་པའི​ི་ཚུལ་བྲི​ིས། (ཀ) རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ = 25a2 − 35a + 12

(ཁ)

44

རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ = 35y2 + 13y − 12

༡༦། བོ​ོངས་ཚད་ཤེ​ེས་པའི​ི་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི​ི་ཆ་ཚད་ལ་འོ​ོས་པའི​ི་ཚུལ་བྲི​ིས། (ཀ) བོ​ོངས་ཚད་ = 3x2 − 12x

ཚན་མང་ཚུལ

(ཁ) བོ​ོངས་ཚད་ = 12ky2 + 8ky − 20k

༢་༧ སྙི​ིང་བསྡུས།

སློ​ོབ་ཚན་འདི​ིར་གཤམ་གསལ་གནད་དོ​ོན་ཁག་སྦྱངས་ཡོ​ོད།

༡། རྒྱུ་གཅི​ིག་ x ཡོ​ོད་པའི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ p(x) ནི​ི་ x ཡོ​ོད་པའི​ི་ཚབ་རྩི​ིས་ཀྱི​ི་ཚུལ་དང་། p(x) = anxn + an −1 x n −1 + ... + a2x2 + a1x + a0 ཡི​ི་རྣམ་པར་ཡོ​ོད། འདི​ིར་ a0 , a1 , a2 ,...,an ནི​ི་རྟག་གྲངས་དང་ an ≠ 0

a0 , a1 , a2 ,..., an ནི​ི་ x0 , x , x2 ,..., xn སོ​ོ་སོ​ོའི་ི བཏགས་གྲངས་ཡི​ིན་པ་དང་། n ལ་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་ཐེ​ེངས་

གྲངས་ཟེ​ེར། anxn, an −1 x n −1,..., a0 བཅས་ལ་ཚན་མང་ཚུལ་ p(x) ཡི​ི་ཚན་པ་ཟེ​ེར།

༢། ཚན་པ་གཅི​ིག་ཅན་གྱི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ལ་ཚན་རྐྱང་ཚུལ་ཟེ​ེར། ༣། ཚན་པ་གཉི​ིས་ཅན་གྱི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ལ་ཉི​ིས་ཚན་ཚུལ་ཟེ​ེར།

༤། ཚན་པ་གསུམ་ཅན་གྱི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ལ་སུམ་ཚན་ཚུལ་ཟེ​ེར།

༥། ཐེ​ེངས་གྲངས་གཅི​ིག་ཡོ​ོད་པའི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ལ་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་ཚན་མང་ཚུལ་ཟེ​ེར། ༦། ཐེ​ེངས་གྲངས་གཉི​ིས་ཡོ​ོད་པའི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ལ་ཐེ​ེངས་གཉི​ིས་ཚན་མང་ཚུལ་ཟེ​ེར།

༧། ཐེ​ེངས་གྲངས་གསུམ་ཡོ​ོད་པའི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ལ་ཐེ​ེངས་གསུམ་ཚན་མང་ཚུལ་ཟེ​ེར།

༨། གལ་ཏེ​ེ་ p(a) = 0 ཡི​ིན་ན། དངོ​ོས་གྲངས་ a ནི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ p(x) ཡི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་རེ​ེད། འདི​ིར་ a ལ་མཉམ་ བྱ་ p(x) = 0 གྱི​ི་གཞི​ི་ཡང་ཟེ​ེར།

༩། རྒྱུ་གཅི​ིག་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་ཚན་མང་ཚུལ་ལ་ཀླད་ཀོ​ོར་གཅི​ིག་རང་ཡོ​ོད་པ་དང་། ཀླད་ཀོ​ོར་མི​ིན་པའི​ི་རྟག་གྲངས་ ཚན་མང་ཚུལ་ལ་ཀླད་ཀོ​ོར་མེ​ེད། དངོ​ོས་གྲངས་ཚང་མ་ཀླད་ཀོ​ོར་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་རེ​ེད།

༡༠། བགོ​ོས་ལྷག་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། p(x) ནི​ི་ཐེ​ེངས་གྲངས་གཅི​ིག་ལས་ཆེ​ེ་བའམ་ཡང་ན་མཉམ་པ་ཡི​ིན་པའི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ ཡི​ིན་པ་དང་། p(x) ལ་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་ཚན་མང་ཚུལ་ x − a ཡི​ིས་བགོ​ོས་ན། བགོ​ོས་ལྷག་ནི​ི་ p(a) རེ​ེད།

༡༡། བགོ​ོད་གྲངས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། གལ་ཏེ​ེ་ p(a) = 0 ཡི​ིན་ན། x − a ནི​ི་ཚན་མང་ཚུལ་ p(x) ཡི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་རེ​ེད། དེ​ེ་ བཞི​ིན། གལ་ཏེ​ེ་ x − a ནི​ི་ p(x) ཡི​ི་བགོ​ོད་གྲངས་ཡི​ིན་ན། p(a) = 0

༡༢། (x + y + z) z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy 2xy + 2yz 2yz + 2zx 2zx ༡༣། (x + y) y)3 = x3 + y3 + 3xy 3xy (x + y) y) ༡༤། (x − yy))3 = x3 − y3 − 3xy 3xy (x − yy))

༡༥། x3 + y3 + z3 − 3xyz 3xyz = (x (x + y + z)( z)(xx2 + y2 + z2 − xy − yz − zx zx))

45

༣

གནས་ཚད་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པ། Coordinate Geometry ༣་༡ ངོ་སྤྲོད།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་གནས་ཤི​ིག་རྟགས་རྒྱག་སྟངས་སྦྱངས་ཡོ​ོད་ལ། འགྲེ​ེལ་བཤད་རྒྱག་སྟངས་ཀྱང་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

ཐི​ིག་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་ཤི​ིག་གི​ི་གནས་སའི​ི་

ཡང་གནས་སྟངས་གཞན་མང་པོ​ོའི་ི ནང་གནས་ཤི​ིག་བཙལ་བར་ང་

ཚོ​ོས་ཐི​ིག་གཅི​ིག་ལས་མང་བ་ལ་བསྟུན་ནས་དེ​ེའི་ི གནས་ས་འགྲེ​ེལ་བཤད་བྱེ​ེད་དགོ​ོས། དཔེ​ེར་ན། གཤམ་གྱི​ི་གནས་སྟངས་ལ་ལྟོ​ོས་དང་།

བམ། འདི​ིར་ང་ཚོ​ོས་ཁང་པའི​ི་སྐོ​ོར་གནས་ཚུལ་གཉི​ིས་ ཏེ​ེ་སྲང་ལམ་གྱི​ི་ཨང་དང་ཁང་ཨང་ཤེ​ེས་པ་ཡི​ིན་ན་ལས་

སླ་པོ​ོར་འཚོ​ོལ་ཐུབ། གལ་ཏེ​ེ་ང་ཚོ​ོས་སྲང་ལམ་ 2 པའི​ི་

ཁང་ཨང་ 5 པ་འཚོ​ོལ་འདོ​ོད་ན། ཐོ​ོག་མར་ང་ཚོ​ོས་སྲང་ ལམ་ 2 པ་དང་། དེ​ེ་ནས་ཁང་ཨང་ 5 པ་ངོ​ོས་འཛི​ིན་

4

P 4

3

3

3

3

2 1

ནུབ།

1

1

1

1

2 1

2 1

2 1

ཤར།

སྲང་ལམ་ 8

ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་ན། ཁོ​ོ་མོ​ོའི་ི ཁང་པ་ལས་སླ་པོ​ོར་འཚོ​ོལ་ཐུབ་

4

སྲང་ལམ་ 6

ཚོ​ོས་ཁོ​ོ་མོ​ོ་སྲང་ལམ་ 2 པར་སྡོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་གཅི​ིག་པོ​ོ་

4

སྲང་ལམ་ 4

གལ་ཏེ​ེ་ང་

5

སྲང་ལམ་ 2

གནས་གཅི​ིག་ཤེ​ེས་ན་འགྲི​ིག་གི​ི་ཡོ​ོད་དམ།

5

སྲང་ལམ་ 7

གི​ི་ཁང་པར་ཨང་གྲངས་བརྒྱབ་ཡོ​ོད།

འདི​ིར ་ཁྱེ​ེད ་རང་གི​ི་ གྲོ​ོ ག ས་མོ​ོ འི ་ི ཁང་པ་བཙལ་བར་

5

སྲང་ལམ་ 1

སྲང་ལམ་ཨང་རི​ིམ་བཞི​ིན་ཡོ​ོད། སྲང་ལམ་རེ​ེ་རེ​ེའི་ི ནང་

5

སྲང་ལམ་ 5

གཞུང་ལམ་ཞི​ིག་ཡོ​ོད་པ་དང་། ནུབ་ནས་ཤར་ཕྱོ​ོགས་སུ་

སྲང་ལམ་ 3

གནས་སྟངས། I དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༣་༡ ནང་ཤར་ནུབ་ཕྱོ​ོགས་སུ་

4

4

4

4

H 5

5

5

5

2 3

2 3

2 3

2 3

དཔེ་རིས་ ༣་༡

བྱེ​ེད་དགོ​ོས། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༣་༡ ནང་ H ཡི​ིས་གྲོ​ོགས་མོ​ོའི་ི ཁང་པ་སྟོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེ་མཚུངས། P ཡི​ིས་སྲང་ལམ་ 7 པ་ དང་། ཁང་ཨང་ 4 པའི​ི་གནས་སྟོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད།

གནས་སྟངས་ II ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཤོ​ོག་བུའི​ི་སྟེ​ེང་ཚེ​ེག་ཅི​ིག་བྲི​ིས། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༣་༢(ཀ) ལ་ལྟོ​ོས་] གལ་ཏེ​ེ་ཁྱེ​ེད་ལ་ཤོ​ོག་བུའི​ི་སྟེ​ེང་

གི​ི་ཚེ​ེག་གི​ི་གནས་ཤོ​ོད་དགོ​ོས་ན། ཕལ་ཆེ​ེར་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གཤམ་གསལ་ལྟར་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་རེ​ེད། ཚེ​ེག་དེ​ེ་ཤོ​ོག་བུ་ཡི​ི་རྩེ​ེ་མོ​ོར་

ཡོ​ོད། དེ​ེ་ཤོ​ོག་བུའི​ི་གཡོ​ོན་མཐར་ཡོ​ོད། དེ​ེ་ཤོ​ོག་བུའི​ི་གཞོ​ོགས་གཡོ​ོན་ཕྱོ​ོགས་ཀྱི​ི་ཉེ​ེ་འགྲམ་ལ་ཡོ​ོད། ཅེ​ེས་པའི​ི་བརྗོ​ོད་

གནས་ཚད་དབྱིབས་རྩིས་རིག་

པ་འདི​ི་དག་གི​ིས་ཚེ​ེག་གི​ི་གནས་ས་ཏག་ཏག་སྟོ​ོན་ཐུབ་བམ། མི​ི་ཐུབ། ཡི​ིན་ནའང་། གལ་ཏེ​ེ་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཚེ​ེག་དེ​ེ་ཤོ​ོག་ བུའི​ི་གཞོ​ོགས་གཡོ​ོན་ནས་བར་ཐག་ 5 cm སར་ཡོ​ོད་ཅེ​ེས་བཤད་ན། དེ​ེས་གོ​ོ་བརྡ་ཏོ​ོག་ཙམ་འཕྲོ​ོད་ནའང་། དེ​ེས་

ཚེ​ེག་གི​ི་གནས་ས་ཏག་ཏག་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་མེ​ེད། ཁྱེ​ེད་ལ་ཚེ​ེག་དེ​ེ་ཞབས་ཐི​ིག་ནས་བར་ཐག་ 9 cm ལ་ཡོ​ོད་པའི​ི་གནས་ ཚུལ་འཕར་མ་ཞི​ིག་ཡོ​ོད་ན། ཚེ​ེག་དེ​ེའི​ི་གནས་ས་ཏག་ཏག་ཤེ​ེས་ཐུབ།

5 cm 9 cm

(ཀ)

དཔེ་རིས་ ༣་༢

(ཁ)

འདི​ིའི​ི་ཆེ​ེད། ང་ཚོ​ོས་ཐི​ིག་ངེ​ེས་ཅན་གཉི​ིས་ཏེ​ེ་ཤོ​ོག་བུའི​ི་གཡོ​ོན་མཐའ་དང་ཤོ​ོག་བུའི​ི་ཞབས་ཐི​ིག་ནས་ཚེ​ེག་གི​ི་བར་ ཐག་ཁ་གསལ་བཟོ​ོས་ནས་གནས་ས་ཐག་གཅོ​ོད་བྱས་ཡོ​ོད། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༣་༢ (ཁ) ལ་ལྟོ​ོས་] ཚི​ིག་གཞན་ནས། ཚེ​ེག་གི​ི་གནས་ ས་བཙལ་བར་ང་ཚོ​ོས་གནས་ཚུལ་གཉི​ིས་ཤེ​ེས་དགོ​ོས།

གཤམ་གསལ་བཞུགས་གྲལ་འཆར་འགོ​ོད་བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་འདི​ི་འཛི​ིན་གྲྭའི​ི་ནང་སྤེ​ེལ་དགོ​ོས། བྱེ​ེད་སྒོ​ོ། ༡ (བཞུགས་གྲལ་འཆར་འགོ​ོད།)

ཁྱེ​ེད་རང་གི​ི་འཛི​ིན་གྲྭའི​ི་ནང་ཅོ​ོག་ཙེ​ེ་མཉམ་དུ་བསྒྲི​ིགས་ནས་བཞུགས་གྲལ་གྱི​ི་འཆར་གཞི​ི་བཟོ​ོས། གྲུ་བཞི​ི་མ་རེ​ེ་མཚོ​ོན་པར་གྱི​ིས།

ཅོ​ོག་ཙེ​ེ་རེ​ེས་

གྲུ་བཞི​ི་མའི​ི་ནང་ཅོ​ོག་ཙེ​ེའི​ི་སྟེ​ེང་སྡོ​ོད་མཁན་གྱི​ི་སློ​ོབ་ཕྲུག་གི​ི་མི​ིང་བྲི​ིས་ཏེ​ེ་གྲུ་བཞི​ི་

མ་སོ​ོ་སོ​ོར་མཚོ​ོན། འཛི​ིན་གྲྭའི​ི་ནང་སློ​ོབ་ཕྲུག་སོ​ོ་སོ​ོའི་ི གནས་ས་ནི​ི་གནས་ཚུལ་གཉི​ིས་ལས་འགྲེ​ེལ་བཤད་གསལ་ པོ​ོ་རྒྱག་ཐུབ། དེ​ེ་ནི​ི།

(ཀ) སློ​ོབ་ཕྲུག་དེ​ེ་སྡོ​ོད་སའི​ི་གཞུང་བསྟར། (ཁ) སློ​ོབ་ཕྲུག་དེ​ེ་སྡོ​ོད་སའི​ི་འཕྲེ​ེད་བསྟར།

གལ་ཏེ​ེ་ཁྱེ​ེད་རང་གཞུང་བསྟར་ 5 པ་དང་འཕྲེ​ེད་བསྟར་ 3 པའི​ི་ཐོ​ོག་བསྡད་ཡོ​ོད་ན། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༣་༣ ནང་ནག་

འགྲི​ིབ་བཏང་བའི​ི་གྲུ་བཞི​ི་མས་མཚོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད།) ཁྱེ​ེད་རང་གི​ི་གནས་ས་ནི​ི་ (5, 3) ལྟར་འབྲི​ི་ཆོ​ོག འདི​ིར། ང་ཚོ​ོས་ དང་པོ​ོ་གཞུང་ཨང་དང་དེ​ེ་ནས་འཕྲེ​ེད་ཨང་བྲི​ིས་ཡོ​ོད། འདི​ི་ (3, 5) དང་གཅི​ིག་པ་ཡི​ིན་ནམ། མི​ིན། ཁྱེ​ེད་རང་གི​ི་ འཛི​ིན་གྲྭའི​ི་ནང་སློ​ོབ་ཕྲུག་གཞན་ལྔའི​ི་མི​ིང་དང་གནས་ས་བྲི​ིས།

དཔེ​ེར་ན། གལ་ཏེ​ེ་བློ​ོ་བཟང་གཞུང་བསྟར་ 4 པ་དང་འཕྲེ​ེད་བསྟར་ 1 པོ​ོར་བསྡད་ཡོ​ོད་ན། L (4, 1) ལྟར་འབྲི​ི་དགོ​ོས།

47

རྩིས་རིག 6 5

གཞུང་།

4

L ཡི​ིས་བློ​ོ་བཟང་གི​ི་ཅོ​ོག་ཙེ​ེ་སྟོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད།

3 2

L

1 1

2

3

4

5

6

འཕྲེ​ེད།

7

8

9

10

དཔེ་རིས་ ༣་༣

གོ​ོང་གི​ི་གྲོ​ོས་བསྡུར་ནང་། སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཐོ​ོག་དྲང་འཕྱང་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ལ་བརྟེ​ེན་ནས་དངོ​ོས་པོ​ོ་ཞི​ིག་གི​ི་གནས་ས་མཚོ​ོན་

ཐུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་ཁྱེ​ེད་ལ་དོ​ོ་སྣང་བྱུང་ཡོ​ོད་ངེ​ེས། ཚེ​ེག་གི​ི་གནས་ས་ཤེ​ེས་པར་ཤོ​ོག་བུའི​ི་ཞབས་ཐི​ིག་དང་གཡོ​ོན་མཐའ་ གཉི​ིས་ནས་ཚེ​ེག་བར་གྱི​ི་བར་ཐག་ཤེ​ེས་དགོ​ོས། བཞུགས་གྲལ་གྱི​ི་གནས་སྟངས་ནང་ང་ཚོ​ོར་གཞུང་ཨང་དང་འཕྲེ​ེད་ ཨང་ཤེ​ེས་དགོ​ོས། རི​ིག་པ་འདི​ིས་རྩི​ིས་རི​ིག་གི​ི་ཡན་ལག་གལ་ཆེ​ེན་པོ​ོ་ཞི​ིག་མདུན་སྐྱོ​ོད་བྱས་ཡོ​ོད། དེ​ེ་ལ་གནས་ཚད་

དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་ (coordinate geometry) ཟེ​ེར། སློ​ོབ་ཚན་འདི​ིར་ང་ཚོ​ོས་གནས་ཚད་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པའི​ི་ རྨང་གཞི​ི་སྦྱོ​ོང་གི​ི་ཡི​ིན། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དེ​ེའི་ི སྐོ​ོར་འཛི​ིན་གྲྭ་གོ​ོང་མར་མང་ཙམ་སྦྱང་གི​ི་རེ​ེད། རི​ིག་པ་འདི​ི་ཐོ​ོག་མར་ཕ་རཱན་ སི​ི་ཡི​ི་ལྟ་གྲུབ་སྨྲ་བ་དང་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་རཱེ​ེ་ནི​ི་ཌི​ི་ཁར་ཊི​ིས་ (Rene Descartes) ཡི​ིས་འཕེ​ེལ་རྒྱས་བཏང་བ་རེ​ེད། དུས་རབས་བཅུ་བདུན་པའི​ི་རྩི​ིས་རི​ིག་མཁས་པ་རཱེ​ེ་ནི​ི་ཌི​ི་ཁར་ཊི​ི་ནི​ི་འཕྲེ​ེད་ ཉལ་བརྒྱབ་ནས་བསམ་བློ​ོ་གཏང་རྒྱུ་དགའ་པོ​ོ་ཡོ​ོད། ཉི​ིན་གཅི​ིག་ཉལ་སའི​ི་ ནང་ངལ་གསོ​ོ ་ རྒྱག་སྐབས་ཁོ​ོ ང ་གི​ིས ་སྙོ​ོ མ ས་ངོ​ོ ས ་ཐོ​ོ ག ་གནས་ཤི​ིག ་གི​ི་ ཁ་

ཕྱོ​ོགས་འགྲེ​ེལ་བཤེ​ེད་བྱེ​ེད་ཆེ​ེད་ཀྱི​ི་དཀའ་རྙོ​ོག་བསལ་བ་རེ​ེད། ཁོ​ོང་གི​ི་ཐབས་ ལམ་འདི​ི་འཕྲེ​ེད་ཐི​ིག་དང་གཞུང་ཐི​ིག་གི​ི་རི​ིག་པ་རྙི​ིང་པའི​ི་རྒྱ་བསྐྱེ​ེད་རེ​ེད། སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཐོ​ོག་གི​ི་གནས་ཤི​ིག་གི​ི་གནས་སའི​ི་འགྲེ​ེལ་བཤེ​ེད་བྱེ​ེད་ཆེ​ེད་དུ་

སྤྱད་པའི​ི་ལམ་ལུགས་ལ་ཀཱ་ཊི​ི་ཤཱན་ལམ་ལུགས་ (Cartesian sys tem) ཞི​ིས་ ཁོ​ོང་ལ་ཆེ​ེ་བསྟོ​ོད་དུ་མི​ིང་དེ​ེ་ལྟར་བཏགས།

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༣་༡

རཱེ​ེ་ནི​ི་ཌི​ི་ཁར་ཊི​ི། (༡༥༩༦-༡༦༥༠) དཔེ་རིས་ ༣་༤

༡། རང་ཉི​ིད་ཀྱི​ི་སློ​ོབ་སྦྱོ​ོང་བྱེ​ེད་སའི​ི་ཅོ​ོག་ཙེ​ེ་སྟེ​ེང་གི​ི་གློ​ོག་བཞུའི​ི་གནས་ས་གཞན་ལ་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འགྲེ​ེལ་བཤད་ཇི​ི་ལྟར་ རྒྱག་གི​ི་ཡི​ིན་ནམ།

48

གནས་ཚད་དབྱིབས་རྩིས་རིག་

༢། (སྲང་ལམ་འཆར་འགོ​ོད་) གྲོ​ོང་ཁྱེ​ེར་ཞི​ིག་གི​ི་ནང་གཞུང་ལམ་གཉི​ིས་ཡོ​ོད་པ་དང་། གྲོ​ོང་ཁྱེ​ེར་གྱི​ི་དཀྱི​ིལ་ལ་དེ​ེ་

གཉི​ིས་ཕན་ཚུན་འཕྲད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། ལམ་འདི​ི་གཉི​ིས་ལྷོ​ོ་བྱང་ཕྱོ​ོགས་དང་ཤར་ནུབ་ཕྱོ​ོགས་ནས་བརྒྱུད་ཡོ​ོད། གྲོ​ོང་ཁྱེ​ེར་ དེ​ེའི​ི་སྲང་ལམ་གཞན་ཚང་མ་གཞུང་ལམ་འདི​ི་དག་ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པ་དང་དེ​ེ་དག་དབར་བར་ཐག་ 200 m ཡོ​ོད། ཕྱོ​ོགས་གཉི​ིས་ཀར་སྲང་ལམ་ 5 ཙམ་ཡོ​ོད། ཐི​ིག་ཚད་ 1 cm = 200 m བླངས་ནས་འབྲི​ི་དེ​ེབ་ནང་གྲོ​ོང་

ཁྱེ​ེར་དེ​ེའི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་བྲི​ིས། ལམ་རྣམས་ཐི​ིག་རྐྱང་པས་མཚོ​ོན། ཁྱེ​ེད་རང་གི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ནང་ལམ་མདོ​ོ་མང་པོ​ོ་ཡོ​ོད། ལམ་མདོ​ོ་བྱེ​ེ་བྲག་ནི​ི་སྲང་ལམ་གཉི​ིས་ (ལྷོ​ོ་བྱང་ཕྱོ​ོགས་དང་ཤར་ནུབ་ཕྱོ​ོགས་ནས་བརྒྱུད་པའི​ི་སྲང་ལམ་) ལས་གྲུབ་པ་ཡི​ིན། ལམ་

མདོ​ོ་སོ​ོ་སོ​ོར་གཤམ་གསལ་ལྟར་འགྲེ​ེལ་ཐུབ། གལ་ཏེ​ེ་ལྷོ​ོ་བྱང་ཕྱོ​ོགས་བརྒྱུད་པའི​ི་སྲང་ལམ་ 2 པ་དང་ཤར་ནུབ་ ཕྱོ​ོགས་བརྒྱུད་པའི​ི་སྲང་ལམ་ 5 པ་གཉི​ིས་ཕན་ཚུན་འཕྲད་ན། དེ​ེ་ལ་ལམ་མདོ​ོ་ (2, 5) ཟེ​ེར། དེ​ེ་བཞི​ིན་ (4, 3) དང་ (3, 4) ཇི​ི་ལྟར་འགྲེ​ེལ་ཐུབ།

༣་༢ ཀཱ་ཊི​ི་ཤཱན་ལམ་ལུགས། Cartesian System

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གྲངས་ཐི​ིག་སྐོ​ོར་སྦྱངས་ཡོ​ོད། གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་གནས་བརྟན་པོ​ོ་ཞི​ིག་ནས་ཚད་གཞི​ི་མཉམ་པའི​ི་བར་ཐག་ ཏུ་ཕོ​ོ་གྲངས་རྣམས་ཕྱོ​ོགས་གཅི​ིག་དང་མོ​ོ་གྲངས་རྣམས་ཕྱོ​ོགས་གཞན་ལ་བཀོ​ོད་ཡོ​ོད། བར་ཐག་སོ​ོ་སོ​ོ་བཀོ​ོད་པའི​ི་འགོ​ོ་

འཛུགས་སའི​ི་གནས་ལ་སྣེ​ེ་གནས་གཞི​ི་ (origin) ཟེ​ེར། ང་ཚོ​ོས་གྲངས་ཐི​ིག་ནི​ི་ཐི​ིག་གི​ི་སྟེ​ེང་། བར་ཐག་མཉམ་པའི​ི་

ཐོ​ོག་ཡོ​ོད་པའི​ི་གྲངས་རྣམས་མཚོ​ོན་ཆེ​ེད་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། གལ་ཏེ​ེ་ཚད་གཞི​ི་གཅི​ིག་གི​ིས་གྲངས་ 1 མཚོ​ོན་གྱི​ི་ ཡོ​ོད་ན། བར་ཐག་ཚད་གཞི​ི་ 3 གྱི​ིས་གྲངས་ 3 མཚོ​ོན་པ་དང་། 0 ནི​ི་སྣེ​ེ་གནས་གཞི​ི་ཐོ​ོག་ཡོ​ོད། སྣེ​ེ་གནས་གཞི​ི་ནས་ ཕོ​ོ་གྲངས་ཕྱོ​ོགས་སུ་བར་ཐག་ r ཐོ​ོག་གི​ི་གནས་ཀྱི​ིས་གྲངས་ r མཚོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད། སྣེ​ེ་གནས་གཞི​ི་ནས་མོ​ོ་གྲངས་ཕྱོ​ོགས་ སུ་བར་ཐག་ r ཐོ​ོག་གི​ི་གནས་ཀྱི​ིས་གྲངས་ −r མཚོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༣་༥ ནང་གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་གྲངས་མི​ི་འདྲ་ བའི​ི་གནས་ས་བསྟན་ཡོ​ོད།

བར་ཐག་ཚད་གཞི་གཅིག

−6 −5 −4 −3 −2 −1

འགོ་གནས།

0

བར་ཐག་ཚད་གཞི་གཅིག

1

2

3

4

5

6

དཔེ་རིས་ ༣་༥

ཌི​ི་ཁར་ཊི​ི་ཡི​ིས་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཐོ​ོག་གྲངས་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ཕན་ཚུན་དྲང་འཕྱང་དུ་བཞག་པ་ལ་བརྟེ​ེན་ནས་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཐོ​ོག་

གི​ི་གནས་རྣམས་སྟོ​ོན་པའི​ི་རི​ིག་པ་འདི​ི་གསར་གཏོ​ོད་བྱས་པ་རེ​ེད། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༣་༦ ནང་བསྟན་པ་བཞི​ིན་དྲང་འཕྱང་ ཐི​ིག་རྣམས་ཁ་ཕྱོ​ོགས་གང་རུང་དུ་ཡོ​ོད། ཡི​ིན་ནའང་། སློ​ོབ་ཚན་འདི​ིར་ང་ཚོ​ོས་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཐོ​ོག་གི​ི་གནས་ཤི​ིག་གི​ི་ གནས་ས་རྟོ​ོགས་པར་ཐི​ིག་འདི​ི་གཉི​ིས་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༣་༦ (ག) ལྟར་ཐི​ིག་གཅི​ིག་འཕྲེ​ེད་ལ་ཡི​ིན་པ་དང་གཞན་དེ​ེ་གཞུང་ ལ་ཡོ​ོད་འདེ​ེམ་གྱི​ི་ཡི​ིན།

49

རྩིས་རིག Y

དཔེ་རིས་ ༣་༦

4

(ག)

3

(ཁ)

2

(ཀ)

1

ཐི​ིག་འདི​ི་གཉི​ིས་གཤམ་གསལ་ལྟར་གྲུབ་ཡོ​ོད། ཐི​ིག་གཉི​ིས་བླངས་ནས་དེ​ེ་དག་ལ་ XʹX

འགོ་གནས།

དང་ YʹY བཅས་མི​ིང་ཐོ​ོགས། XʹX འཕྲེ​ེད་ལ་བཞག་ནས་ [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༣་༧ (ཀ) ལ་ལྟོ​ོས་]

0

གྲངས་ཐི​ིག་ལྟར་དེ​ེའི་ི སྟེ​ེང་གྲངས་བྲི​ིས། དེ​ེ་བཞི​ིན་ང་ཚོ​ོས་ YʹY གཞུང་ལ་བཞག་ནས་དེ​ེའི་ི

−4

−3

−2

−1

སྟེ​ེང་གྲངས་བྲི​ིས། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༣་༧ (ཁ) ལ་ལྟོ​ོས་]

Xʹ

−4

−3

−2

−1

འགོ་གནས།

0

(ཀ)

X 1

2

3

4

Yʹ (ཁ)

དཔེ་རིས་ ༣་༧ Y

གྲངས་ཐི​ིག ་དེ​ེ་ གཉི​ིས ་ཕན་ཚུན་སོ​ོ ་ སོ​ོ འི ་ི ཀླད་

y - མདའ་ཕོ།

ཀོ​ོར་རམ། ཡང་ན་སྣེ​ེ་གནས་གཞི​ི་ལ་འཕྲད་པར་

གྱི​ིས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༣་༨ ལ་ལྟོ​ོས་) འཕྲེ​ེད་ཐི​ིག་ XʹX ལ་ x - མདའ་དང་། གཞུང་ཐི​ིག་ YʹY ལ་ y -

མདའ་ཟེ​ེར། XʹX དང་ YʹY འཕྲད་སའི​ི་ སྣེ​ེ་གནས་གཞི​ི་དེ​ེ་ O ཡི​ིས་མཚོ​ོན། ཕོ​ོ་གྲངས་

5 4 3 2

Xʹ

x - མདའ་མོ།

1

−5 −4 −3 −2 −1 O

རྣམས་ OX དང་ OY ཡི​ི་ཕྱོ​ོགས་ལ་ཡོ​ོད་པས་

1 −1 −2

OX དང་ OY ལ་ x - མདའ་དང་ y - མདའ་

−3 −4

སོ​ོ་སོ​ོའི་ི ཕོ​ོ་ཕྱོ​ོགས་ཟེ​ེ ས་ ར།

y - མདའ་མོ།

དེ​ེ་མཚུངས། OXʹ དང་ OYʹ ལ་ x - མདའ་ དང་ y - མདའ་སོ​ོ་སོ​ོའི་ི མོ​ོ་ཕྱོ​ོགས་ཟེ​ེ ས་ ར།

50

−5

Yʹ དཔེ་རིས་ ༣་༨

2

3

x - མདའ་ཕོ། 4

5

X

གནས་ཚད་དབྱིབས་རྩིས་རིག་

མདའ་དེ​ེ་གཉི​ིས་ཀྱི​ིས་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་དེ​ེ་ཆ་ཤས་བཞི​ི་ལ་བགོ​ོད་

Y

ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། ཆ་ཤས་འདི​ི་དག་བཞི​ི་ལ་བཞི​ི་ཟུར་ (བཞི​ི་ཟུར་གཅི​ིག་) ཟེ​ེར། དེ​ེ་དག་ OX ནས་གཡོ​ོན་སྐོ​ོར་དུ་གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་ I

དང་ II, III, IV བཅས་རྟགས་བརྒྱབ་ཡོ​ོད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༣་༩ ལ་ལྟོ​ོས་) དེ​ེས་ན།

དག་ཡོ​ོད།

སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ནང་མདའ་དང་བཞི​ི་ཟུར་འདི​ི་

བཞི་ཟུར་ II

Xʹ

O

བཞི་ཟུར་ III

ང་ཚོ​ོས་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་དེ​ེར་ཀཱ་ཊི​ི་ཤཱན་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་

སམ་གནས་ཚད་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་། ཡང་ན་ xy - སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ ཟེ​ེར། མདའ་རྣམས་ལ་གནས་ཚད་ཀྱི​ི་མདའ་ཟེ​ེར།

བཞི་ཟུར་ I

X བཞི་ཟུར་ IV

Yʹ

དཔེ་རིས་ ༣་༩

ང་ཚོ​ོས་ལམ་ལུགས་འདི​ི་ཇི​ི་ལྟར་རྩི​ིས་རི​ིག་གི​ི་རྨང་གཞི​ི་ཡི​ིན་པ་དང་དེ​ེའི​ི་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་ལ་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན།

ཐི​ིག་རི​ིས་ཐོ​ོག་

མདའ་རྣམས་བཀོ​ོད་པའི​ི་གཤམ་གྱི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ལ་ལྟོ​ོས་དང་། མདའ་ནས་གནས་ P དང་ Q དབར་གྱི​ི་བར་ཐག་ ཤེ​ེས་པར། ང་ཚོ​ོས་ x - མདའ་ཐོ​ོག་ PM དྲང་འཕྱང་དང་ y - མདའ་ཐོ​ོག་ PN དྲང་འཕྱང་ཡི​ིན་པ་འབྲི​ི་དགོ​ོས། དེ​ེ་ མཚུངས། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༣་༡༠ ནང་བསྟན་པ་བཞི​ིན་ང་ཚོ​ོས་དྲང་འཕྱང་ཐི​ིག་ QR དང་ QS བྲི​ིས། Y

N X́

4 3 2 1

P

R −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 O 1 2 3 4 5 6 7 −1 M −2 S Q −3 −4

X

Ý

གོ​ོང་གི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ལས།

དཔེ་རིས་ ༣་༡༠

(ཀ) y - མདའ་ནས་གནས་ P བར་གྱི​ི་དྲང་འཕྱང་བར་ཐག་ནི​ི་ x - མདའི​ི་ཕོ​ོ་ཕྱོ​ོགས་ལ་ཚད་བཅལ་བས། PN = OM = ཚད་གཞི​ི་ 4

(ཁ) x - མདའ་ནས་གནས་ P བར་གྱི​ི་དྲང་འཕྱང་བར་ཐག་ནི​ི་ y - མདའི​ི་ཕོ​ོ་ཕྱོ​ོགས་ལ་ཚད་བཅལ་བས། PM = ON = ཚད་གཞི​ི་ 3

51

རྩིས་རིག

(ག) y - མདའ་ནས་གནས་ Q བར་གྱི​ི་དྲང་འཕྱང་བར་ཐག་ནི​ི་ x - མདའི​ི་མོ​ོ་ཕྱོ​ོགས་ལ་ཚད་བཅལ་བས། OR = SQ = ཚད་གཞི​ི་ 6

(ང) x - མདའ་ནས་གནས་ Q བར་གྱི​ི་དྲང་འཕྱང་བར་ཐག་ནི​ི་ y - མདའི​ི་མོ​ོ་ཕྱོ​ོགས་ལ་ཚད་བཅལ་བས། OS = RQ = ཚད་གཞི​ི་ 2

བར་ཐག་འདི​ི་དག་སྤྱད་དེ​ེ་གནས་རྣམས་འགྲེ​ེལ་བརྗོ​ོད་ཇི​ི་ལྟར་བྱེ​ེད་ཐུབ་བམ།

ང་ཚོ​ོས་གཤམ་གསལ་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་

སྤྱད་དེ​ེ་གནས་ཤི​ིག་གི​ི་གནས་ཚད་འབྲི​ི་རྒྱུ་ཡི​ིན།

(ཀ) གནས་ཤི​ིག་གི​ི་ x - གནས་ཚད་ནི​ི་ y - མདའ་ནས་གནས་དེ​ེའི​ི་བར་གྱི​ི་དྲང་འཕྱང་བར་ཐག་ཡི​ིན་པ་དང་དེ​ེ་

x - མདའ་བརྒྱུད་དེ​ེ་ཚད་བཅལ་ཡོ​ོད། (x - མདའི​ི་ཕོ​ོ་ཕྱོ​ོགས་ལ་བརྒྱུད་པའི​ི་ཕོ​ོ་དང་ x - མདའི​ི་མོ​ོ་ཕྱོ​ོགས་

ལ་བརྒྱུད་པའི​ི་མོ​ོ་) གནས་ P ཡི​ི་ x - གནས་ཚད་ནི​ི་ + 4 དང་ Q ཡི​ི་ x - གནས་ཚད་ནི​ི་ − 6 རེ​ེད། x - གནས་ཚད་ལ་འཕྲེ​ེད་མདའི​ི་གནས་ཚད་ཀྱང་ (abscissa) ཟེ​ེར།

(ཁ) གནས་ཤི​ིག་གི​ི་ y - གནས་ཚད་ནི​ི་ x - མདའ་ནས་གནས་དེ​ེའི​ི་བར་གྱི​ི་དྲང་འཕྱང་བར་ཐག་ཡི​ིན་པ་དང་

དེ​ེ་ y - མདའ་བརྒྱུད་དེ​ེ་བཅལ་ཡོ​ོད། (y - མདའི​ི་ཕོ​ོ་ཕྱོ​ོགས་ལ་བརྒྱུད་པའི​ི་ཕོ​ོ་དང་ y - མདའི​ི་མོ​ོ་ཕྱོ​ོགས་ ལ་བརྒྱུད་པའི​ི་མོ​ོ་) གནས་ P ཡི​ི་ y - གནས་ཚད་ནི​ི་ + 3 དང་ Q ཡི​ི་ y - གནས་ཚད་ནི​ི་ − 2 རེ​ེད། y - གནས་ཚད་ལ་གཞུང་མདའི​ི་གནས་ཚད་ཀྱང་ (ordinate) ཟེ​ེར།

(ག) སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཐོ​ོག་གི​ི་གནས་ཚད་འབྲི​ི་སྐབས། x - གནས་ཚད་ཐོ​ོག་མར་བྲི​ིས་པ་དང་། དེ​ེ་རྗེ​ེས་ y - གནས་ ཚད་འབྲི​ི་དགོ​ོས། གནས་ཚད་དག་གུག་རྟགས་ནང་འཇུག་གི​ི་ཡོ​ོད།

དེ​ེས་ན། P ཡི​ི་གནས་ཚད་ནི​ི་ (4, 3) དང་། Q ཡི​ི་གནས་ཚད་ནི​ི་ (−6, −2) རེ​ེད། གནས་ཚད་དག་གི​ིས་སྙོ​ོམས་ ངོ​ོས་ཐོ​ོག་གི​ི་གནས་སོ​ོ་སོ​ོར་སྟོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེས་ན། (3, 4) ནི​ི་ (4, 3) དང་གཅི​ིག་པ་མི​ིན། རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡ དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༣་༡༡ ལ་བལྟས་ནས་བར་སྟོ​ོང་སྐོ​ོངས།

(ཀ) གནས་ B ཡི​ི་འཕྲེ​ེད་མདའི​ི་གནས་ཚད་དང་གཞུང་མདའི​ི་གནས་ཚད་ནི​ི་

དང་

(ཁ) གནས་ M ཡི​ི་ x - གནས་ཚད་དང་ y - གནས་ཚད་ནི​ི་

དང་

སོ​ོ་སོ​ོར་རེ​ེད། དེ​ེས་ན།

དང་

སོ​ོ་སོ​ོར་རེ​ེད། དེ​ེས་ན།

དང་

སོ​ོ་སོ​ོར་རེ​ེད། དེ​ེས་

སོ​ོར་རེ​ེད། དེ​ེས་ན། B ཡི​ི་གནས་ཚད་ནི​ི་ (

,

M ཡི​ི་གནས་ཚད་ནི​ི་ (

) རེ​ེད། , (ག) གནས་ L ཡི​ི་ x - གནས་ཚད་དང་ y - གནས་ཚད་ནི​ི་ L ཡི​ི་གནས་ཚད་ནི​ི་ (

) རེ​ེད།

,

(ང) གནས་ S ཡི​ི་ x - གནས་ཚད་དང་ y - གནས་ཚད་ནི​ི་ ན། S ཡི​ི་གནས་ཚད་ནི​ི་ (

,

) རེ​ེད།

52

) རེ​ེད།

སོ​ོ་

གནས་ཚད་དབྱིབས་རྩིས་རིག་ Y

5 M

4 3

B

2 1 X́

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 O

1 −1

2 3

4

5

6

7

X

−2 −3 −4

L

S

−5

Ý དཔེ་རིས་ ༣་༡༡

ལན།

(ཀ) y - མདའ་ནས་གནས་ B བར་གྱི​ི་བར་ཐག་ནི​ི་ཚད་གཞི​ི་ 4 ཡི​ིན་པས། གནས་ B ཡི​ི་ x - གནས་ཚད་དམ་

ཡང་ན་འཕྲེ​ེད་མདའི​ི་གནས་ཚད་ནི​ི་ 4 རེ​ེད། x - མདའ་ནས་གནས་ B བར་གྱི​ི་བར་ཐག་ནི​ི་ཚད་གཞི​ི་

3 ཡི​ིན་པས། གནས་ B ཡི​ི་ y - གནས་ཚད་དམ་ཡང་ན་གཞུང་མདའི​ི་གནས་ཚད་ནི​ི་ 3 རེ​ེད། དེ​ེས་ན།

གནས་ B ཡི​ི་གནས་ཚད་ནི​ི་ (4, 3) རེ​ེད།

ལན་ཀ་པ་ལྟར།

(ཁ) གནས་ M ཡི​ི་ x - གནས་ཚད་དང་ y - གནས་ཚད་ནི​ི་ −3 དང་ 4 སོ​ོ་སོ​ོར་རེ​ེད། དེ​ེས་ན། གནས་ M ཡི​ི་ གནས་ཚད་ནི​ི་ (−3, 4) རེ​ེད།

(ག) གནས་ L ཡི​ི་ x - གནས་ཚད་དང་ y - གནས་ཚད་ནི​ི་ −5 དང་ −4 སོ​ོ་སོ​ོར་རེ​ེད། དེ​ེས་ན། གནས་ L ཡི​ི་ གནས་ཚད་ནི​ི་ (−5, −4) རེ​ེད།

(ང) གནས་ S ཡི​ི་ x - གནས་ཚད་དང་ y - གནས་ཚད་ནི​ི་ 3 དང་ −4 སོ​ོ་སོ​ོར་རེ​ེད། དེ​ེས་ན། གནས་ S ཡི​ི་ གནས་ཚད་ནི​ི་ (3, −4) རེ​ེད།

53

རྩིས་རིག

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༢ དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༣་༡༢ ནང་མདའི​ི་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་རྣམས་ཀྱི​ི་གནས་ཚད་བྲི​ིས། ལན།

དཔེ​ེ་རི​ིས་ལས།

(ཀ) གནས་ A ནི​ི་ y - མདའ་ནས་བར་ཐག་ཚད་གཞི​ི་

Y

4 ཐོ​ོག་ཡོ​ོད་པ་དང་ x - མདའ་ནས་བར་ཐག་ཀླད་

5

ཀོ​ོར་ལ་ཡོ​ོད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན། A ཡི​ི་ x - གནས་ཚད་

ནི​ི་ 4 དང་ y - གནས་ཚད་ནི​ི་ 0 རེ​ེད། དེ​ེས་ན། A ཡི​ི་གནས་ཚད་ནི​ི་ (4, 0) རེ​ེད།

4

B Xʹ

ལན་ཀ་པ་ལྟར།

C

A

E

21 2 3

3

4

5

6

X

−2 −3

D

(ག) C ཡི​ི་གནས་ཚད་ནི​ི་ (−5, 0) རེ​ེད།

−4 −5

Yʹ

(ང) D ཡི​ི་གནས་ཚད་ནི​ི་ (0, −4) རེ​ེད།

(3 (

2 1

−6 −5 −4 −3 −2 −1 O −1

(ཁ) B ཡི​ི་གནས་ཚད་ནི​ི་ (0, 3) རེ​ེད། (ཅ) E ཡི​ི་གནས་ཚད་ནི​ི་ 2 , 0

3

དཔེ་རིས་ ༣་༡༢

རེ​ེད།

x - མདའི​ི་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་ཚང་མ་ x - མདའ་ནས་བར་ཐག་མེ​ེད་པའམ་ཡང་ན་ཀླད་ཀོ​ོར་ཡི​ིན་པས། x - མདའི​ི་སྟེ​ེང་

གི​ི་གནས་ཚང་མའི​ི་ y - གནས་ཚད་ནི​ི་རྟག་ཏུ་ཀླད་ཀོ​ོར་རེ​ེད། དེ​ེས་ན། x - མདའི​ི་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་གང་རུང་ཞི​ིག་གི​ི་

གནས་ཚད་ནི​ི་ (x, 0) ཡི​ི་རྣམ་པར་ཡོ​ོད་པ་དང་། x ནི​ི་ y - མདའ་ནས་གནས་བར་གྱི​ི་བར་ཐག་རེ​ེད། དེ​ེ་མཚུངས། y - མདའི​ི་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་གང་རུང་ཞི​ིག་གི​ི་གནས་ཚད་ནི​ི་ (0, y) ཡི​ི་རྣམ་པར་ཡོ​ོད་པ་དང་། y ནི​ི་ x - མདའ་ནས་

གནས་བར་གྱི​ི་བར་ཐག་རེ​ེད། སྣེ​ེ་གནས་གཞི​ི་ O ཡི​ི་གནས་ཚད་གང་རེ​ེད་དམ། མདའ་གཉི​ིས་པོ​ོ་ནས་བར་ཐག་ཀླད་

ཀོ​ོར་ལ་ཡོ​ོད་པས། དེ​ེའི​ི་འཕྲེ​ེད་མདའི​ི་གནས་ཚད་དང་གཞུང་མདའི​ི་གནས་ཚད་གཉི​ིས་ཀ་ཀླད་ཀོ​ོར་རེ​ེད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན། སྣེ​ེ་གནས་གཞི​ི་ O ཡི​ི་གནས་ཚད་ (0, 0) རེ​ེད།

གོ​ོང་གོ​ོ་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་ལས། གནས་ཤི​ིག་གི​ི་གནས་ཚད་ཀྱི​ི་རྟགས་དང་གནས་དེ​ེ་ཆགས་སའི​ི་བཞི​ི་ཆ་བཅས་དབར་གྱི​ི་ འབྲེ​ེལ་བ་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡོ​ོད།

གོ​ོང་གི​ི་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་ལས། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གནས་ཤི​ིག་གི​ི་གནས་ཚད་ཀྱི​ི་རྟགས་དང་གནས་སའི​ི་བཞི​ི་ཟུར་དབར་གྱི​ི་འབྲེ​ེལ་ བ་གཤམ་གསལ་དོ​ོ་སྣང་བྱུང་ཡོ​ོད་ཀྱི​ི་རེ​ེད།

(ཀ) གལ་ཏེ​ེ་གནས་ཤི​ིག་བཞི​ི་ཟུར་དང་པོ​ོའི་ི ནང་ཡོ​ོད་ན། གནས་དེ​ེ་ (+, +) ཡི​ི་རྣམ་པར་ཡོ​ོད། དེ​ེ་ནི​ི་བཞི​ི་ཟུར་ དང་པོ​ོའི་ི ནང་ x - མདའ་ཕོ​ོ་དང་ y - མདའ་ཕོ​ོ་ཡི​ི་ནང་ཚུད་པས་སོ​ོ། །

(ཁ) གལ་ཏེ​ེ་གནས་ཤི​ིག་བཞི​ི་ཟུར་གཉི​ིས་པའི​ི་ནང་ཡོ​ོད་ན། གནས་དེ​ེ་ (−, +) ཡི​ི་རྣམ་པར་ཡོ​ོད། དེ​ེ་ནི​ི་བཞི​ི་ཟུར་ གཉི​ིས་པའི​ི་ནང་ x - མདའ་མོ​ོ་དང་ y - མདའ་ཕོ​ོ་ཡི​ི་ནང་ཚུད་པས་སོ​ོ། །

(ག) གལ་ཏེ​ེ་གནས་ཤི​ིག་བཞི​ི་ཟུར་གསུམ་པའི​ི་ནང་ཡོ​ོད་ན། གནས་དེ​ེ་ (−, −) ཡི​ི་རྣམ་པར་ཡོ​ོད། དེ​ེ་ནི​ི་བཞི​ི་ཟུར་

54

གནས་ཚད་དབྱིབས་རྩིས་རིག་

གསུམ་པའི​ི་ནང་ x - མདའ་མོ​ོ་དང་ y - མདའ་མོ​ོ་ཡི​ི་ནང་ཚུད་པས་སོ​ོ། །

(ང) གལ་ཏེ​ེ་གནས་ཤི​ིག་བཞི​ི་ཟུར་བཞི​ི་པའི​ི་ནང་ཡོ​ོད་ན། གནས་དེ​ེ་ (+, −) ཡི​ི་རྣམ་པར་ཡོ​ོད། དེ​ེ་ནི​ི་བཞི​ི་ཟུར་ བཞི​ི་པའི​ི་ནང་ x - མདའ་ཕོ​ོ་དང་ y - མདའ་མོ​ོ་ཡི​ི་ནང་ཚུད་པས་སོ​ོ། ། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༣་༡༣ ལ་ལྟོ​ོས་) Y

5 4

II (−, +)

I (+, +)

3 2 1

Xʹ

−5 −4 −3 −2 −1 O

X 1 −1

2

3

4

5

−2 −3

III (−, −)

−4

IV (+, −)

−5

Yʹ དཔེ་རིས་ ༣་༡༣

མཆན། ང་ཚོ​ོས་གོ​ོང་གི​ི་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཐོ​ོག་གི​ི་གནས་འགྲེ​ེལ་བཤད་བྱེ​ེད་པའི​ི་ལམ་ལུགས་ནི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ཞི​ིག་ཡི​ིན་པ་དང་།

དེ​ེ་འཛམ་གླི​ིང་ཡོ​ོངས་ཀྱི​ིས་ངོ​ོས་ལེ​ེན་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་འདི​ི་གཞུང་མདའི​ི་གནས་ཚད་དང་པོ​ོ་དང་འཕྲེ​ེད་མདའི​ི་

གནས་ཚད་གཉི​ིས་པ་བཅས་ཀྱི​ི་སྐབས་ཀྱང་ཡི​ིན་ཆོ​ོག ཡི​ིན་ནའང་། མགོ​ོ་རྙོ​ོག་སེ​ེལ་བར་གོ​ོང་གི​ི་ལམ་ལུགས་འདི​ི་ ཡོ​ོངས་གྲགས་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

༡། དྲི​ི་བ་ཁག་ལ་ལན་བྲི​ིས།

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༣་༢

(ཀ) ཀཱ་ཊི​ི་ཤཱན་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཐོ​ོག་གནས་ཤི​ིག་གི​ི་གནས་ས་ཐག་གཅོ​ོད་བྱེ​ེད་པའི​ི་འཕྲེ​ེད་ཐི​ིག་དང་གཞུང་ཐི​ིག་གི​ི་ མི​ིང་གང་རེ​ེད་དམ།

(ཁ) ཐི​ིག་འདི​ི་གཉི​ིས་ལས་གྲུབ་པའི​ི་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཀྱི​ི་ཆ་ཤས་རེ​ེའི​ི་མི​ིང་བྲི​ིས། (ག) ཐི​ིག་འདི​ི་གཉི​ིས་འཕྲད་སའི​ི་གནས་ཀྱི​ི་མི​ིང་བྲི​ིས།

55

རྩིས་རིག

༢། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༣་༡༤ ལ་བལྟས་ནས་ལན་བྲི​ིས།

(ཀ) B ཡི​ི་གནས་ཚད།

(ཁ) C ཡི​ི་གནས་ཚད།

(ཅ) གནས་ D ཡི​ི་འཕྲེ​ེད་མདའི​ི་གནས་ཚད།

(ཆ) གནས་ H ཡི​ི་གཞུང་མདའི​ི་གནས་ཚད།

(ག) གནས་ཚད་ (−3, −5) ཡི​ི་གནས་ངོ​ོས་ཟུངས།

(ང) གནས་ཚད་ (2, −4) ཡི​ི་གནས་ངོ​ོས་ཟུངས།

(ཇ) གནས་ L ཡི​ི་གནས་ཚད།

(ཉ) གནས་ M ཡི​ི་གནས་ཚད། Y

6

L

5 4 3

B Xʹ

1

M −7

D

2

−6 −5

−4 −3

−2 −1 O

1 −1

2 3

4

5

6

7

X

−2 −3

H

−4

G

−5

E

−6

C

Yʹ དཔེ་རིས་ ༣་༡༤

༣་༣ གནས་ཚད་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཐོ​ོག་འགོ​ོད་ཚུལ།

ད་བར་ང་ཚོ​ོས་གནས་ཀྱི​ི་གནས་ཚད་འཚོ​ོལ་སྟངསྦྱངས་ཡོ​ོད། ད་ང་ཚོ​ོས་གནས་ཚད་ཤེ​ེས་པའི​ི་གནས་འགོ​ོད་སྟངས་ ལ་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན། བྱེ​ེད་ལུགས་འདི​ི་ལ་གནས་འགོ​ོད་པ་ (plotting the point) ཟེ​ེར།

གནས་ཤི​ིག་གི​ི་གནས་ཚད་ (3, 5) ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག ང་ཚོ​ོས་གནས་ཚད་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཐོ​ོག་གནས་འགོ​ོད་སྐབས། ཐོ​ོག་ མར་ཚད་གཞི​ི་བདམས་ནས་གནས་ཚད་མདའ་རྣམས་འབྲི​ི་དགོ​ོས།

དཔེ​ེར་ན། མདའ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་སྟེ​ེང་ 1cm = ཚད་གཞི​ི་ 1 མཚོ​ོན་པ་ལྟ་བུ། གནས་ (3, 5) ཡི​ི་གནས་ཚད་ཀྱི​ིས་གནས་

དེ​ེ་ x - མདའ་ཕོ​ོ་བརྒྱུད་དེ​ེ་ y - མདའ་ནས་བར་ཐག་ཚད་གཞི​ི་ 3 ལ་ཡོ​ོད་པ་དང་། y - མདའ་ཕོ​ོ་བརྒྱུད་དེ​ེ་

56

གནས་ཚད་དབྱིབས་རྩིས་རིག་

x - མདའ་ནས་བར་ཐག་ཚད་གཞི​ི་ 5 ལ་ཡོ​ོད་པ་སྟོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད།

སྣེ​ེ་གནས་གཞི​ི་ O ནས་ x - མདའ་ཕོ​ོའི་ི ཚད་གཞི​ི་ 3 གྱི​ི་གནས་དེ​ེར་ A བྲི​ིས། A ནས་ y - མདའི​ི་ཕོ​ོ་ཕྱོ​ོགས་སུ་

ཚད་གཞི​ི་ 5 པའི​ི་གནས་དེ​ེར་ P བྲི​ིས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༣་༡༥ ལ་ལྟོ​ོས་) ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ P ནི​ི་ y - མདའ་ནས་བར་ཐག་ཚད་གཞི​ི་ 3 དང་ x - མདའ་ནས་བར་ཐག་ཚད་གཞི​ི་ 5 ཐོ​ོག་ཡོ​ོད་པ་མཐོ​ོང་ཐུབ། དེ​ེས་ན། P ཡི​ི་གནས་ཚད་གཉི​ིས་ཀ་ཕོ​ོ་ཡི​ིན་ པས་ P ནི​ི་བཞི​ི་ཟུར་དང་པོ​ོའི་ི ནང་ཡོ​ོད།

དེ​ེ་བཞི​ིན། ང་ཚོ​ོས་གནས་ཚད་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་སྟེ​ེང་གནས་ Q (5, −4) འགོ​ོད་ཐུབ། Q ནི​ི་ y - མདའ་མོ​ོ་བརྒྱུད་དེ​ེ་ x - མདའ་ནས་བར་ཐག་ཚད་གཞི​ི་ 4 ཐོ​ོག་ཡོ​ོད་པས། དེ​ེའི​ི་ y - གནས་ཚད་ནི​ི་ −4 རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༣་༡༥ ལ་ལྟོ​ོས་) Q ནི​ི་བཞི​ི་ཟུར་བཞི​ི་པའི​ི་ནང་ཡོ​ོད། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་རྒྱུ་མཚན་བཤད་ཐུབ་བམ། Y

6

P(3, 5)

5 4 3 2 1

Xʹ

A −7

−6 −5 −4 −3 −2 −1 O

1 −1

2

3

B 4

5 6

7

X

−2 −3 −4

Q(5, −4)

−5 −6

Yʹ དཔེ་རིས་ ༣་༡༥

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༣ ཀཱ་ཊི​ི་ཤཱན་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཐོ​ོག་གནས་ (5, 0) དང་ (0, 5), (2, 5), (5, 2), (−3, 5), (−3, −5), ལན།

(5, −3), (6, 1) བཅས་ཁོ​ོད།

ང་ཚོ​ོས་ 1 cm = ཚད་གཞི​ི་ 1 བླངས་ནས་ x - མདའ་དང་ y - མདའ་འབྲི​ི་དགོ​ོས། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༣་

༡༦ ནང་གནས་འདི​ི་དག་བསྟན་ཡོ​ོད།

57

རྩིས་རིག

Y (−3, 5)

(0, 5)

(2, 5)

5 4 3

(5, 2) (6, 1) (5, 0)

2 1

Xʹ

−6 −5 −4 −3 −2 −1 O

1 −1

2

3

4

5

6

X

−2

(5, −3)

−3 −4

(−3, −5)

−5

Yʹ དཔེ་རིས་ ༣་༡༦

མཆན། གོ​ོང་གི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ནང་། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ (5, 0) དང་ (0, 5) གཉི​ིས་གནས་གཅི​ིག་ཐོ​ོག་མེ​ེད་པ་མཐོ​ོང་ཐུབ། དེ​ེ་ མཚུངས། (5, 2) དང་ (2, 5) གཉི​ིས་ནི​ི་གནས་མི​ི་འདྲ་བ་རེ​ེད། (−3, 5) དང་ (5, −3) གཉི​ིས་ཀྱང་དེ​ེ་ལྟར་རེ​ེད།

གོ​ོང་གི​ི་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་ལས། གལ་ཏེ​ེ་ x ≠ y ཡི​ིན་ན། ཀཱ་ཊི​ི་ཤཱན་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཐོ​ོག་གནས་ (x, y) ནི​ི་གནས་ (y, x) དང་མི​ི་འདྲ་བ་རེ​ེད། དེ​ེས་ན། x གནས་ཚད་དང་ y གནས་ཚད་ཕན་ཚུན་བརྗེ​ེས་ན། (y, x) ཡི​ི་གནས་ས་དང་ (x, y) ཡི​ི་གནས་ས་འགྱུར་གྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེས་ན་ (x, y) ནང་ x དང་ y ཡི​ི་གོ​ོ་རི​ིམ་གལ་གནད་ཡི​ིན། དེ​ེར་བརྟེ​ེན། (x, y)

ལ་གོ​ོ་རི​ིམ་ཆ་འགྲི​ིག་ (ordered pair) ཟེ​ེར། གལ་ཏེ​ེ་ x ≠ y ཡི​ིན་ན། གོ​ོ་རི​ིམ་ཆ་འགྲི​ིག་ (x, y) ≠ གོ​ོ་རི​ིམ་ཆ་འགྲི​ིག་ (y, x) ཡང་གལ་ཏེ​ེ་ x = y ཡི​ིན་ན། (x, y) = (y, x)

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༤ ཀཱ་ཊི​ི་ཤཱན་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཐོ​ོག་ 1 cm = ཚད་གཞི​ི་ 1 བླངས་ནས་གཤམ་གསལ་གོ​ོ་རི​ིམ་ཆ་འགྲི​ིག་ (x, y) རྣམས་གནས་ལྟར་ཁོ​ོད།

ལན།

x

−3

0

−1

4

2

y

7

−3.5

−3

4

−3

རེ​ེའུ་མི​ིག་ནང་སྤྲད་པའི​ི་གོ​ོ་རི​ིམ་ཆ་འགྲི​ིག་རྣམས་གནས་ (−3, 7) དང་ (0, −3.5), (−1, −3),

(4, 4), (2, −3) ལྟར་མཚོ​ོན་ཐུབ། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༣་༡༧ ནང་གནས་འདི​ི་དག་གི​ི་གནས་ཚད་ཚེ​ེག་

གི​ིས་བསྟན་ཡོ​ོད།

58

གནས་ཚད་དབྱིབས་རྩིས་རིག་

Y (−3, 7)

7 6 5

(4, 4)

4 3 2 1

Xʹ

−7

−6 −5 −4 −3 −2 −1 O

1 −1

(−1, −3) (0, −3.5)

−3

2

3

4

5

6

7

X

−2

(2, −3)

−4 −5

Yʹ དཔེ་རིས་ ༣་༡༧

བྱེ​ེད་སྒོ​ོ། ༢ མི​ི་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་རྩེ​ེད་མོ​ོ། (དགོ​ོས་མཁོ​ོ། རྡེ​ེའུ་འམ་ལྕགས་སྒོ​ོར་གཉི​ིས། ཐི​ིག་རི​ིས་ཤོ​ོག་བུ། ཚོ​ོན་མདོ​ོག་མི​ི་ འདྲ་བའི​ི་ཤོ​ོ་གཉི​ིས། དམར་པོ​ོ་དང་ལྗང་ཁུ་ལྟ་བུ།)

རྡེ​ེའུ་སོ​ོ་སོ​ོར་ (0, 0) ཐོ​ོག་ཞོ​ོག ཤོ​ོ་དམར་པོ​ོས་ x - གནས་ཚད་དང་ཤོ​ོ་ལྗང་ཁུས་ y - གནས་ཚད་མཚོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་

ཆ་ཞོ​ོག རྩེ​ེད་མོ​ོ་བ་རེ​ེ་རེ​ེས་ཤོ​ོ་གཉི​ིས་ཀ་དུས་གཅི​ིག་ཏུ་འཕང་དགོ​ོས། དཔེ​ེར་ན། རྩེ​ེད་མོ​ོ་བ་དང་པོ​ོས་འཕེ​ེན་སྐབས་ཤོ​ོ་ དམར་པོ​ོར་ཤོ​ོ་མི​ིག་ 3 པ་དང་། ཤོ​ོ་ལྗང་ཁུར་ཤོ​ོ་མི​ིག་ 1 བབས་ན། ཁོ​ོ་མོ​ོས་རང་གི​ི་རྡེ​ེའུ་གནས་ (3, 1) ལ་སྤོ​ོ་དགོ​ོས།

དེ​ེ་མཚུངས། རྩེ​ེད་མོ​ོ་བ་གཉི​ིས་པས་ཤོ​ོ་འཕངས་ཏེ​ེ་ཤོ​ོ་དམར་པོ​ོར་ཤོ​ོ་མི​ིག་ 2 པ་དང་ཤོ​ོ་ལྗང་ཁུར་ཤོ​ོ་མི​ིག་ 4 པ་བབས་ན། ཁོ​ོ་བོ​ོས་རང་གི​ི་རྡེ​ེའུ་གནས་ (2, 4) ལ་འཇོ​ོག་དགོ​ོས། འཕེ​ེན་ཐེ​ེངས་གཉི​ིས་པའི​ི་སྐབས། གལ་ཏེ​ེ་རྩེ​ེད་མོ​ོ་བ་དང་པོ​ོས་

ཤོ​ོ་དམར་པོ​ོར་ཤོ​ོ་མི​ིག་ 1 པོ​ོ་དང་། ཤོ​ོ་ལྗང་ཁུར་ཤོ​ོ་མི​ིག་ 4 པ་བབས་ན། ཁོ​ོ་མོ​ོས་རང་གི​ི་རྡེ​ེའུ་གནས་ (3, 1) ནས་ (3 + 1, 1 + 4) ལ་སྤོ​ོ་དགོ​ོས། དེ​ེ་ནི​ི་ x - གནས་ཚད་ལ་ 1 སྡོ​ོམ་པ་དང་ y - གནས་ཚད་ལ་ 4 སྡོ​ོམ་པ་རེ​ེད།

རྩེ​ེད་མོ​ོ་དེ​ེའི​ི་དགོ​ོས་པ་ནི​ི་ (10, 10) ལས་མ་བརྒལ་བ་དགོ​ོས་པ་དང་། (10, 10) ལ་ཐོ​ོག་མ་སླེ​ེབས་མཁན་དེ​ེ་ཐོ​ོབ་ པ་ཡི​ིན། དེ​ེ་ནི​ི་རྩེ​ེད་མོ​ོའི་ི སྐབས་འཕྲེ​ེད་མདའི​ི་གནས་ཚད་དང་གཞུང་མདའི​ི་གནས་ཚད་གཉི​ིས་ཀ་ 10 མ་བརྒལ་བ་

དགོ​ོས། ཡང་རྡེ​ེའུ་ཞི​ིག་རྡེ​ེའུ་གཞན་ཞི​ིག་གི​ི་ཟི​ིན་པའི​ི་གནས་ཐོ​ོག་མཉམ་དུ་བཞག་མི​ི་ཆོ​ོག དཔེ​ེར་ན། རྩེ​ེད་མོ​ོ་བ་དང་ པོ​ོའི་ི རྡེ​ེའུ་དེ​ེ་རྩེ​ེད་མོ​ོ་བ་གཉི​ིས་པའི​ི་རྡེ​ེའུ་ཡི​ིས་ཟི​ིན་པའི​ི་གནས་ཐོ​ོག་སྤོ​ོས་ན། རྩེ​ེད་མོ​ོ་བ་གཉི​ིས་པའི​ི་རྡེ​ེའུ་ནི​ི་ (0, 0) ལ་

སྤོ​ོ་དགོ​ོས། གལ་ཏེ​ེ་ (10, 10) ལས་བརྒལ་ན། རྩེ​ེ་ཐེ​ེངས་དེ​ེ་རྩི​ིས་མེ​ེད་རེ​ེད། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་རྩེ​ེད་མོ​ོ་འདི​ི་འཛི​ིན་གྲོ​ོགས་ མང་པོ​ོའི་ི མཉམ་དུ་རྩེ​ེ་ཆོ​ོག

59

རྩིས་རིག

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༣་༣

༡། གནས་ (−2, 4) དང་ (3, −1), (−1, 0), (1, 2), (−3, −5) བཅས་བཞི​ི་ཟུར་རམ། ཡང་ན་མདའ་གང་གི​ི་ སྟེ​ེང་གནས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་དམ། དེ​ེ་ཀཱ་ཊི​ི་ཤཱན་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཐོ​ོག་བཀོ​ོད་དེ​ེ་ཞི​ིབ་བཤེ​ེར་གྱི​ིས།

༢། མདའ་ཡི​ི་སྟེ​ེང་ཚད་གཞི​ིའི​ི་བར་ཐག་འོ​ོས་འཚམས་བདམས་ནས། སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་སྟེ​ེང་གཤམ་གསལ་རེ​ེའུ་མི​ིག་ནང་ གི​ི་གནས་ (x, y) རྣམས་ཁོ​ོད། x

−2

−1

0

1

3

y

8

7

−1.25

3

−1

༣་༤ སྙི​ིང་བསྡུས།

སློ​ོབ་ཚན་འདི​ིར་གཤམ་གསལ་གནད་དོ​ོན་ཁག་སྦྱངས་ཡོ​ོད།

༡། དངོ​ོས་པོ​ོ་ཞི​ིག་གི​ི་ཆགས་ཡུལ་ལམ་ཡང་ན་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཐོ​ོག་གནས་ཤི​ིག་གི​ི་གནས་ས་འཚོ​ོལ་བར། ང་ཚོ​ོར་དྲང་ འཕྱང་ཐི​ིག་གཉི​ིས་དགོ​ོས། དྲང་འཕྱང་ཐི​ིག་གཅི​ིག་འཕྲེ​ེད་དང་གཞན་དེ​ེ་གཞུང་ལ་ཡོ​ོད།

༢། སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ལ་ཀཱ་ཊི​ི་ཤཱན་ནམ་ཡང་ན་གནས་ཚད་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཟེ​ེར་བ་དང་། ཐི​ིག་དེ​ེ་དག་ལ་གནས་ཚད་མདའ་ ཟེ​ེར།

༣། འཕྲེ​ེད་ཐི​ིག་ལ་ x - མདའ་དང་གཞུང་ཐི​ིག་ལ་ y - མདའ་ཟེ​ེར།

༤། གནས་ཚད་མདའ་ཡི​ིས་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཆ་ཤས་བཞི​ི་ལ་བགོ​ོ་བ་དང་ཆ་ཤས་རེ​ེར་བཞི​ི་ཟུར་ཟེ​ེར། ༥། མདའ་ཕན་ཚུན་འཕྲེ​ེད་སྣོ​ོལ་བྱེ​ེད་སའི​ི་གནས་ལ་སྣེ​ེ་གནས་གཞི​ི་ཟེ​ེར།

༦། y - མདའ་ནས་གནས་བར་གྱི​ི་བར་ཐག་ལ་དེ​ེའི་ི x - གནས་ཚད་དམ་ཡང་ན་འཕྲེ​ེད་མདའི​ི་གནས་ཚད་དང་། x - མདའ་ནས་གནས་བར་གྱི​ི་བར་ཐག་ལ་དེ​ེའི་ི y - གནས་ཚད་དམ་ཡང་ན་གཞུང་མདའི​ི་གནས་ཚད་ཟེ​ེར།

༧། གནས་ཤི​ིག་གི​ི་འཕྲེ​ེད་མདའི​ི་གནས་ཚད་ནི​ི་ x དང་གཞུང་མདའི​ི་གནས་ཚད་ནི​ི་ y ཡི​ིན་ན། (x, y) ལ་གནས་ དེ​ེའི་ི གནས་ཚད་ཟེ​ེར།

༨། x - མདའི​ི་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་ཀྱི​ི་གནས་ཚད་ནི​ི་ (x, 0) དང་ y - མདའི​ི་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་ཀྱི​ི་གནས་ཚད་ནི​ི་ (0, y ) ཡི​ི་རྣམ་པར་ཡོ​ོད།

༩། སྣེ​ེ་གནས་གཞི​ིའི་ི གནས་ཚད་ནི​ི་ (0, 0) རེ​ེད།

༡༠། གནས་ཤི​ིག་གི​ི་གནས་ཚད་ནི​ི་གཤམ་གསལ་གྱི​ི་རྣམ་པར་ཡོ​ོད།

བཞི​ི་ཟུར་དང་པོ​ོར་ (+, +) དང་། བཞི​ི་ཟུར་གཉི​ིས་པར་ (−, +), བཞི​ི་ཟུར་གསུམ་པར་ (−, −), བཞི​ི་ཟུར་བཞི​ི་ པར་ (+, −) བཅས་ཡི​ིན། འདི​ིར། + ཡི​ིས་དངོ​ོས་གྲངས་ཕོ​ོ་དང་ − ཡི​ིས་དངོ​ོས་གྲངས་མོ​ོ་མཚོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད།

༡༡། གལ་ཏེ​ེ་ x ≠ y ཡི​ིན་ན། (x, y) ≠ (y, x) དང་། x = y ཡི​ིན་ན། (x, y) = (y, x)

60

༤

རྒྱུ་གཉིས་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ།

Linear Equations in Two Variables ༤་༡ ངོ་སྤྲོད།

འཛི​ིན་གྲྭ་སྔ་མར་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་རྒྱུ་གཅི​ིག་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱ་སྦྱངས་ཡོ​ོད།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་རྒྱུ་གཅི​ིག་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་

གི​ི་མཉམ་བྱ་ཞི​ིག་འབྲི​ི་ཐུབ་བམ། x + 1 = 0 དང་ x + 2 = 0, 2 y + 3 = 0 བཅས་ནི​ི་རྒྱུ་གཅི​ིག་ཐེ​ེངས་

གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་རེ​ེད། དེ​ེ་འདྲའི​ི་མཉམ་བྱར་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་དམི​ིགས་བསལ་ཡོ​ོད། དེ​ེ་ནི​ི། འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ གཅི​ིག་ཁོ​ོ་ན་ཡི​ིན་པ་དང་། ང་ཚོ​ོས་དེ​ེ་གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་མཚོ​ོན་སྟངས་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

སློ​ོབ་ཚན་འདི​ིར། ང་ཚོ​ོས་རྒྱུ་གཅི​ིག་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱ་དྲན་གསོ​ོ་བྱས་ནས། དེ​ེ་རྒྱུ་གཉི​ིས་ལ་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་བྱེ​ེད་ རྒྱུ་ཡི​ིན། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གཤམ་གསལ་དྲི​ི་བ་དག་ལ་བསམ་གཞི​ིགས་བྱོ​ོས་དང་། རྒྱུ་གཉི​ིས་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱར་ འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ཡོ​ོད་དམ། གལ་ཏེ​ེ་ཡོ​ོད་ན། དེ​ེ་དམི​ིགས་བསལ་ཡི​ིན་ནམ། འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་དེ​ེ་ཀཱ་ཊི​ི་ཤཱན་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཐོ​ོག་གང་

འདྲ་མཐོ​ོང་གི​ི་ཡོ​ོད་དམ། དྲི​ི་བ་འདི​ི་དག་ལ་ལན་འདེ​ེབས་པར་ང་ཚོ​ོས་སློ​ོབ་ཚན་གསུམ་པའི​ི་ནང་སྦྱངས་པའི​ི་གོ​ོ་དོ​ོན་ ཁག་སྤྱད་ཆོ​ོག

༤་༢ ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱ། Linear Equations

ཐོ​ོག་མར་ང་ཚོ​ོས་ད་བར་སྦྱངས་པའི​ི་རྒྱུ་གཅི​ིག་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱ་ལ་དྲན་གསོ​ོ་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན། མཉམ་བྱ་ 2x + 5 = 0 ལ་ཆ་ཞོ​ོག

མཉམ་བྱ་འདི​ིའི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་བམ་གཞི​ི་ནི​ི་ − 5 རེ​ེད། འདི​ི་གྲངས་ཐི​ིག་གི​ི་ཐོ​ོག་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༤་༡ ལྟར་མཚོ​ོན་ཐུབ། −5

−4

2

གཞི།

−3 −5 −2 2

−1

0

1

2

3

4

5

དཔེ་རིས་ ༤་༡

མཉམ་བྱ་ཞི​ིག་འགྲོ​ོལ་སྐབས། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་རྟག་ཏུ་གཤམ་གསལ་གནད་དོ​ོན་ཁག་སེ​ེམས་ལ་འཇོ​ོག་དགོ​ོས། ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་གཤམ་གསལ་རྩི​ིས་ཐབས་སྐབས་འགྱུར་བ་འགྲོ​ོ་ཡི​ི་མེ​ེད། (ཀ) མཉམ་བྱའི​ི་ཕྱོ​ོགས་གཉི​ིས་ཀར་གྲངས་གཅི​ིག་པ་སྡོ​ོམ་པའམ་ཡང་ན་འཐེ​ེན་པ།

(ཁ) མཉམ་བྱའི​ི་ཕྱོ​ོགས་གཉི​ིས་ཀར་ཀླད་ཀོ​ོར་མི​ིན་པའི​ི་གྲངས་གཅི​ིག་པས་སྒྱུར་བའམ་ཡང་ན་བགོ​ོད་པ།

རྩིས་རིག

ང་ཚོ​ོ་གཤམ་གྱི​ི་གནས་སྟངས་ལ་ཆ་བཞག་ན།

ཁྱེ​ེད་རང་གི​ི་འཛི​ིན་གྲྭའི​ི་ནང་སློ​ོབ་ཕྲུག་བུ་དང་བུ་མོ​ོ་ཁྱོ​ོན་བསྡོ​ོམས་ 26 ཡོ​ོད། གནས་ཚུལ་འདི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་ཐོ​ོག་བྲི​ིས། འདི​ིར་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་བུ་དང་བུ་མོ​ོ་གཉི​ིས་ཀའི​ི་གྲངས་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་མེ​ེད། དེ​ེ་ནི​ི་མི​ི་ཤེ​ེས་པའི​ི་གྲངས་འབོ​ོར་གཉི​ིས་ཡོ​ོད། ང་ཚོ​ོས་དེ​ེ་ དག་མཚོ​ོན་བྱེ​ེད་ x དང་ y སྤྱོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན། དེ​ེས་ན། བུའི​ི་གྲངས་ནི​ི་ x དང་བུ་མོ​ོའི་ི གྲངས་ནི​ི་ y ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག x + y = 26

ནི​ི་དགོ​ོས་མཁོ​ོའི་ི མཉམ་བྱ་ཡི​ིན། འདི​ི་ནི​ི་རྒྱུ་གཉི​ིས་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱ་ཡི​ིན། ང་ཚོ​ོས་དེ​ེ་འདྲ་བའི​ི་མཉམ་ བྱའི​ི་ནང་རྒྱུ་མཚོ​ོན་བྱེ​ེད་དུ་འཆར་ཅན་ x དང་ y སྤྱོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་ནའང་། ཡི​ིག་འབྲུ་གཞན་ཡང་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་བྱེ​ེད་ཆོ​ོག རྒྱུ་གཉི​ིས་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་གཞན་འགའ་ནི​ི།

5s + 1.2t = 5 དང་ p + 4q = 7, πu + 5v = 9, 4 = 2 x − 7y

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་མཉམ་བྱ་འདི​ི་དག་ 5s + 1.2t − 5 = 0 དང་། p + 4q − 7 = 0, πu + 5v − 9 = 0, 2 x − 7y − 4 = 0 བཅས་ལྟར་སོ​ོ་སོ​ོར་འབྲི​ི་ཐུབ།

དེ​ེས་ན། a དང་ b, c དངོ​ོས་གྲངས་དང་། a དང་ b གཉི​ིས་ཀླད་ཀོ​ོར་མི​ིན་ན། ax + by + c = 0 གྱི​ི་རྣམ་པར་

བྲི​ིས་པའི​ི་མཉམ་བྱ་ཞི​ིག་ལ་རྒྱུ་གཉི​ིས་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་ཚད་ལྡན་མཉམ་བྱ་ (standard form of linear equation in two variables) ཟེ​ེར།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡ གཤམ་གསལ་མཉམ་བྱ་ཁག་ ax + by + c = 0 གྱི​ི་རྣམ་པར་བྲི​ིས་ནས། a དང་ b, c ཡི​ི་ཐང་བྲི​ིས། ལན།

(ཀ) 2x + 3y = 4.5

(ཁ) x − 6 = 3 y

(ག) 4 = 5x − 3y

(ཀ) 2x + 3y = 4.5 ནི​ི་ 2x + 3y − 4.5 = 0 ལྟར་བྲི​ིས་པས།

(ང) 2x = y

a = 2 དང་ b = 3, c = − 4.5

(ཁ) མཉམ་བྱ་ x − 6 = 3 y ནི​ི་ x − 3 y − 6 = 0 ལྟར་བྲི​ིས་པས། a = 1 དང་ b = − 3, c = − 6

(ག) མཉམ་བྱ་ 4 = 5x − 3y ནི​ི་ 5x − 3y − 4 = 0 ལྟར་བྲི​ིས་པས། a = 5 དང་ b = − 3, c = − 4

ང་ཚོ​ོས་མཉམ་བྱ་དེ​ེ་ −5x + 3y + 4 = 0 ལྟར་ཡང་འབྲི​ི་ཐུབ།

དེ​ེས་ན། a = − 5 དང་ b = 3, c = 4

(ང) མཉམ་བྱ་ 2x = y ནི​ི་ 2x − y + 0 = 0 ལྟར་བྲི​ིས་པས། a = 2 དང་ b = − 1, c = 0

མཉམ་བྱ་ ax + b = 0 ལྟ་བུའང་རྒྱུ་གཉི​ིས་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱ་རེ​ེད། རྒྱུ་མཚན་ནི​ི་དེ​ེ​ེ་ ax + 0.y + b = 0 ལྟར་འབྲི​ི་ཐུབ། དཔེ​ེར་ན། 4 − 3x = 0 ནི​ི་ −3x + 0.y + 4 = 0 ལྟར་འབྲི​ི་ཐུབ།

62

རྒྱུ་གཉིས་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༢ གཤམ་གསལ་ཁག་རྒྱུ་གཉི​ིས་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་ནང་བྲི​ིས། ལན།

(ཀ) x = −5

(ཁ) y = 2

(ག) 2x = 3

(ང) 5y = 2

(ཀ) x = − 5 ནི​ི་ 1.x + 0.y = −5 ཡང་ན། 1.x + 0.y + 5 = 0 ལྟར་འབྲི​ི་ཐུབ། (ཁ) y = 2 ནི​ི་ 0.x + 1.y = 2 ཡང་ན། 0.x + 1.y − 2 = 0 ལྟར་འབྲི​ི་ཐུབ། (ག) 2x = 3 ནི​ི་ 2x + 0.y − 3 = 0 ལྟར་འབྲི​ི་ཐུབ། (ང) 5y = 2 ནི​ི་ 0.x + 5y − 2 = 0 ལྟར་འབྲི​ི་ཐུབ།

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༤་༡

༡། འབྲི​ི་དེ​ེབ་ཅི​ིག་གི​ི་རི​ིན་གོ​ོང་ནི​ི་སྨྱུ་གུ་ཞི​ིག་གི​ི་རི​ིན་གོ​ོང་གི​ི་ལྡབ་གཉི​ིས་རེ​ེད། བརྗོ​ོད་པ་འདི​ི་མཚོ​ོན་པའི​ི་རྒྱུ་གཉི​ིས་ ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱ་བྲི​ིས། (འབྲི​ི་དེ​ེབ་ཀྱི​ི་རི​ིན་གོ​ོང་ལ་ ` x དང་སྨྱུ་གུའི​ི་རི​ིན་གོ​ོང་ལ་ ` y བླངས།)

༢། གཤམ་གསལ་མཉམ་བྱ་ཁག་ ax + by + c = 0 གྱི​ི་རྣམ་པར་བྲི​ིས་ནས། a དང་ b, c ཡི​ི་ཐང་བྲི​ིས། (ཀ) 2x + 3y = 9.35

(ཁ) x − y − 10 = 0

(ཇ) y − 2 = 0

(ཉ) 5 = 2x

(ང) x = 3y

5

(ཅ) 2x = −5y

(ག) −2x + 3y = 6 (ཆ) 3x + 2 = 0

༤་༣ ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱ་འགྲོ​ོལ་བ། Solution of a Linear Equation

ང་ཚོ​ོས་རྒྱུ་གཅི​ིག་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱར་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་དམི​ིགས་བསལ་ཡོ​ོད་པ་ཤེ​ེས་ཡོ​ོད།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་རྒྱུ་གཉི​ིས་

ཡོ​ོད་པའི​ི་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་སྐོ​ོར་གང་ཤེ​ེས་སམ། མཉམ་བྱའི​ི་ནང་རྒྱུ་གཉི​ིས་ཡོ​ོད་པས་འགྲོ​ོལ་ ཐོ​ོབ་ལའང་ཐང་གཉི​ིས་ཡོ​ོད། འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ x དང་ y ཡི​ིས་སྤྲད་ཟི​ིན་པའི​ི་མཉམ་བྱ་ཚི​ིམ་པར་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

ང་ཚོ​ོས་མཉམ་བྱ་ 2x + 3y = 12 ལ་ཆ་བཞག་ན། མཉམ་བྱའི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་གཅི​ིག་ནི​ི་ x = 3 དང་ y = 2 རེ​ེད། རྒྱུ་མཚན་ནི​ི། གོ​ོང་གི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་ནང་ x = 3 དང་ y = 2 ཚབ་འཇུག་བྱས་ན།

2x + 3y = (2 × 3) + (3 × 2) = 12

འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ x = 3 དང་ y = 2 ནི​ི་གོ​ོ་རི​ིམ་ཆ་འགྲི​ིག་ (3, 2) ལྟར་འབྲི​ི་དགོ​ོས། དེ​ེ་ནི​ི། དང་པོ​ོ་ x ཡི​ི་ཐང་བྲི​ིས་རྗེ​ེས་

y ཡི​ི་ཐང་འབྲི​ི་དགོ​ོས། དེ​ེ་མཚུངས། (0, 4) ཡང་གོ​ོང་གི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ཅི​ིག་རེ​ེད། ཡི​ིན་ནའང་། (1, 4) ནི​ི་ 2x + 3y = 12 ཀྱི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་མི​ིན། རྒྱུ་མཚན་ནི​ི། x = 1 དང་ y = 4 ཚབ་འཇུག་བྱེ​ེད་སྐབས་ 2x + 3y = 14

ཡི​ིན་པ་དང་ 12 མི​ིན།

དོ​ོ་སྣང་བྱེ​ེད་དགོ​ོས་པ་ཞི​ིག་ནི​ི་ (0, 4) འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ཡི​ིན་ནའང་། (4, 0) འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་མི​ིན།

63

རྩིས་རིག

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ 2x + 3y = 12 ལ་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ཉུང་མཐར་གཉི​ིས་མཐོ​ོང་ཡོ​ོད། དེ​ེ་ནི​ི་ (3, 2) དང་ (0, 4) ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་གཞན་འཚོ​ོལ་ཐུབ་བམ། (6, 0) ནི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་གཞན་ཞི​ིག་ཡི​ིན་ནམ། དེ​ེ་བཤེ​ེར་རྩི​ིས་རྒྱོ​ོབ།

གཤམ་གྱི​ི་ཐབས་ལམ་སྤྱད་དེ​ེ་མཉམ་བྱ་དེ​ེ་ལ་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ཚད་མེ​ེད་འཚོ​ོལ་ཐུབ། 2x + 3y = 12 ནང་ x ཚབ་ ཏུ་གྲངས་གང་རུང་ཞི​ིག་ (དཔེ​ེར་ན་ x = 2) བླངས་ན། མཉམ་བྱ་དེ​ེ་ 4 + 3y = 12 ཆགས་པ་དང་། དེ​ེ་ནི​ི་རྒྱུ་ གཅི​ིག་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱ་རེ​ེད། དེ​ེའི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ y = འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་གཞན་ཞི​ིག་རེ​ེད།

8 རེ​ེད། དེ​ེས་ན། 2, 8 3 3

( ( ནི​ི་ 2x + 3y = 12 ཀྱི​ི་

དེ​ེ་མཚུངས། x = −5 བླངས་ན། མཉམ་བྱ་དེ​ེ་ −10 + 3y = 12 ཆགས་པ་དང་། དེ​ེའི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ y =

22 རེ​ེད། 3

དེ​ེས་ན། −5, 22 ནི​ི་ 2x + 3y = 12 ཀྱི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་གཞན་ཞི​ིག་རེ​ེད། དེ​ེས་ན། རྒྱུ་གཉི​ིས་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་

(

3

(

བྱར་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ཚད་མེ​ེད་ཡོ​ོད།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༣ མཉམ་བྱ་ x + 2y = 6 གི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་མི​ི་འདྲ་བ་བཞི​ི་ཚོ​ོལ། ལན།

ཞི​ིབ་འཇུག་ལས། x = 2, y = 2 འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་རེ​ེད།

རྒྱུ་མཚན་ནི​ི། x = 2, y = 2 སྐབས། x + 2y = 2 + 4 = 6

ང་ཚོ​ོས་ x = 0 བླངས་ན། ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པའི​ི་མཉམ་བྱ་དེ​ེ་ 2y = 6 ཆགས་པ་དང་། འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ནི​ི་ y =

3 རེ​ེད། དེ​ེས་ན། x = 0, y = 3 ཡང་ x + 2y = 6 གི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་རེ​ེད། དེ​ེ་མཚུངས། y = 0 བླངས་

ན། ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པའི​ི་མཉམ་བྱ་དེ​ེ་ x = 6 ཆགས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེས་ན། x = 6, y = 0 ཡང་ x + 2y = 6 གི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་རེ​ེད། ང་ཚོ​ོས་ y = 1 བླངས་ན། ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པའི​ི་མཉམ་བྱ་དེ​ེ་ x + 2 = 6 ཆགས་པ་ དང་། འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ x = 4 རེ​ེད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན། (4, 1) ཀྱང་ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པའི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་རེ​ེད། དེ​ེས་ན། x + 2y = 6 གི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་བཞི​ི་ནི​ི་ (2, 2) དང་ (0, 3), (6, 0), (4, 1) རེ​ེད།

མཆན། འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་འཚོ​ོལ་བར་ཐབས་ལམ་སླ་ཤོ​ོས་ནི​ི་ x = 0 བླངས་ནས་ y ཡི​ི་གནས་མཐུན་ཐང་འཚོ​ོལ་དགོ​ོས། དེ​ེ་མཚུངས། y = 0 བླངས་ནས་ x ཡི​ི་གནས་མཐུན་ཐང་འཚོ​ོལ་དགོ​ོས། རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༤ གཤམ་གསལ་མཉམ་བྱ་ལ་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་གཉི​ིས་རེ​ེ་ཚོ​ོལ། (ཀ) 4x + 3y = 12 (ཁ) 2x + 5y = 0 ལན།

(ག) 3y + 4 = 0

(ཀ) x = 0 བླངས་ན་ 3y = 12 ཐོ​ོབ། དེ​ེ་ནི​ི། y = 4 དེ​ེས་ན། (0, 4) ནི​ི་ 4x + 3y = 12 ཀྱི​ི་འགྲོ​ོལ་ ཐོ​ོབ་རེ​ེད། དེ​ེ་མཚུངས། y = 0 བླངས་ན་ x = 3 ཐོ​ོབ། དེ​ེས་ན། (3, 0) ཡང་གྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་རེ​ེད།

64

རྒྱུ་གཉིས་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ

(ཁ) x = 0 བླངས་ན་ 5y = 0 ཐོ​ོབ། དེ​ེ་ནི​ི། y = 0 དེ​ེས་ན། (0, 0) ནི​ི་ 2x + 5y = 0 གྱི​ི་འགྲོ​ོལ་

ཐོ​ོབ་རེ​ེད། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ y = 0 བླངས་ན། འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ཏུ་ (0, 0) ཐོ​ོབ། དེ​ེ་ནི​ི་སྔ་མའི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ དང་མཉམ་པ་རེ​ེད།

འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་གཞན་པ་འཚོ​ོལ་བར། x = 1 བླངས་ན། y ཡི​ི་གནས་མཐུན་ཐང་ནི​ི་ − 2 དེ​ེས་ན། 1, − ནི​ི་ 2x + 5y = 0 གྱི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་གཞན་ཞི​ིག་རེ​ེད།

(

(

2 རེ​ེད། 5

5 (ག) མཉམ་བྱ་ 3y + 4 = 0 ནི​ི་ 0.x + 3y + 4 = 0 ལྟར་བྲི​ིས་ན། x ཡི​ི་ཐང་གང་ཞི​ིག་བླངས་ཀྱང་ y=−

4 ཐོ​ོབ། དེ​ེས་ན། འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་གཉི​ིས་ནི​ི་ 0, − 4 དང་ 1, − 4 རེ​ེད། 3 3 3

(

(

(

(

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༤་༢

༡། གཤམ་གསལ་གདམ་ག་ལས་གང་འགྲི​ིག་པ་ཡི​ིན། རྒྱུ་མཚན་ཤོ​ོད། y = 3x + 5 ལ།

(ཀ) འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་གཅི​ིག་ཡོ​ོད།

(ཁ) འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་གཉི​ིས་ཡོ​ོད།

(ག) འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ཚད་མེ​ེད་ཡོ​ོད།

(ཀ) 2x + y = 7

(ཁ) πx + y = 9

(ག) x = 4y

(ཁ) (2, 0)

(ག) (4, 0)

༢། མཉམ་བྱའི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་བཞི​ི་རེ​ེ་ཚོ​ོལ།

༣། མཉམ་བྱ་ x − 2y = 4 ཡི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ཡི​ིན་མི​ིན་ལྟོ​ོས། (ཀ) (0, 2)

(ང) ( 2 , 4 2 )

(ཅ) (1, 1)

༤། གལ་ཏེ​ེ་ x = 2, y = 1 ནི​ི་མཉམ་བྱ་ 2x + 3y = k ཡི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ཡི​ིན་ན། k ཡི​ི་ཐང་ཚོ​ོལ།

༤་༤ རྒྱུ་གཉི​ིས་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་ཐི​ིག་རི​ིས། Graph of a Linear Equation in Two Variables ད་བར་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་རྒྱུ་གཉི​ིས་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ཚབ་རྩི​ིས་ཀྱི​ི་ལམ་ནས་བཙལ་ཡོ​ོད། འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་སྤྱད་དེ​ེ་མཚོ​ོན་རྒྱུ་ཡི​ིན།

ང་ཚོ​ོས་

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་མཉམ་བྱ་རེ​ེར་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ཚད་མེ​ེད་ཡོ​ོད་པ་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་

ཡོ​ོད། ང་ཚོ​ོས་དེ​ེ་དག་གནས་ཚད་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཐོ​ོག་ཇི​ི་ལྟར་སྟོ​ོན་ཐུབ་བམ། དཔེ​ེར་ན། རྩི​ིས་དཔེ​ེ་ ༣ པའི​ི་མཉམ་བྱ་

(༡) གི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ནི​ི་ x ཡི​ི་ཐང་གི​ི་འོ​ོག་ཏུ་ y ཡི​ི་གནས་མཐུན་ཐང་བྲི​ིས་ནས་གཤམ་གསལ་རེ​ེའུ་མི​ིག་ ༤་༡ བཞི​ིན་ x + 2y = 6

མཚོ​ོན།

x y

0 3

རེའུ་མིག ༤་༡

2 2

65

4 1

6 0

... ...

རྩིས་རིག

སློ​ོབ་ཚན་སྔ་མར་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཐི​ིག་རི​ིས་སྟེ​ེང་གནས་

Y

འབྲི​ི་སྟངས་སྦྱངས་ཡོ​ོད། གཡས་ཀྱི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ལྟར་

5 4

གནས་ (0, 3) དང་ (2, 2), (4, 1), (6, 0) བཅས་ཐི​ིག་རི​ིས་ཀྱི​ི་སྟེ​ེང་བཀོ​ོད་རྗེ​ེས། གནས་གང་ རུང་གཉི​ིས་མཐུད་ནས་ཐི​ིག་ཅི​ིག་འཐོ​ོབ་པར་གྱི​ིས།

A

(0, 3)

3

(2, 2)

2

(4, 1)

1

Xʹ

དེ​ེའི​ི་མི​ིང་ AB ཐོ​ོགས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༤་༢ ལ་ལྟོ​ོས་)

(6, 0)

−3 −2 −1 O −1

1

2

3

4

5

6

7

X

8

B

−2 −3

ཐི​ིག་ AB སྟེ​ེང་ད་དུང་གནས་གཞན་གཉི​ིས་ཡོ​ོད་པ་

Yʹ

མཐོ​ོང་གི​ི་འདུག་གམ། ཐི​ིག་འདི​ིའི​ི་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་

དཔེ་རིས་ ༤་༢

གཞན་ (8, −1) ལྟ་བུ་ཞི​ིག་ལོ​ོངས། འདི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་རེ​ེད་དམ། 8 + 2(−1) = 6 ཡི​ིན་པས། (8, −1) ནི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ རེ​ེད། ཡང་ཐི​ིག་ AB སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་གཞན་ཞི​ིག་བླངས་ནས་དེ​ེའི​ི་གནས་ཚད་ཀྱི​ིས་མཉམ་བྱ་ཚི​ིམ་གྱི​ི་ཡོ​ོད་མེ​ེད་ལྟོ​ོས། ཐི​ིག་ AB སྟེ​ེང་མེ​ེད་པའི​ི་གནས་ (2, 0) ལྟ་བུ་ལོ​ོངས། གནས་ཚད་དེ​ེས་མཉམ་བྱ་ཚི​ིམ་གྱི​ི་འདུག་གམ། ང་ཚོ​ོས་དོ​ོ་སྣང་བྱེ​ེད་དགོ​ོས་པའི​ི་གནད་དོ​ོན་འགའ།

༡། མཉམ་བྱ་ (༡) ཚི​ིམ་པའི​ི་གནས་ཚང་མ་ཐི​ིག་ AB སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད།

༢། ཐི​ིག་ AB སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་གང་རུང་ (a, b) ཡི​ིས་མཉམ་བྱ་ (༡) གི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ x = a, y = b སྤྲོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

༣། ཐི​ིག་ AB སྟེ​ེང་མེ​ེད་པའི​ི་གནས་རྣམས་མཉམ་བྱ་ (༡) གི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་མི​ིན།

དེ​ེས་ན། ཐི​ིག་སྟེ​ེང་ཡོ​ོད་པའི​ི་གནས་ཚང་མས་ཐི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱ་ཚི​ིམ་གྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་དང་། མཉམ་བྱ་དེ​ེའི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ ཚང་མ་ཐི​ིག་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་ཡི​ིན་པ་མཐའ་སྡོ​ོམ་རྒྱག་ཐུབ།

རྒྱུ་གཉི​ིས་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱ་ནི​ི་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་ནང་ཐི​ིག་གི​ིས་མཚོ​ོན་པ་དང་། ཐི​ིག་དེ​ེའི​ི་གནས་རྣམས་ཀྱི​ིས་ མཉམ་བྱའི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཚོ​ོགས་འགྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། འདི​ི་ལ་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་ཐི​ིག་རི​ིས་ཟེ​ེར།

རྒྱུ་གཉི​ིས་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་ཐི​ིག་རི​ིས་འཐོ​ོབ་པར་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་གནས་མཐུན་གནས་གཉི​ིས་ འགོ​ོད་པ་དང་། དེ​ེ་དག་ཐི​ིག་གཅི​ིག་བརྒྱུད་ནས་མཐུད་དགོ​ོས། ཡི​ིན་ནའང་། གནས་གཉི​ིས་ལས་མང་བ་བཀོ​ོད་ན། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འཕྲལ་དུ་ཐི​ིག་རི​ིས་དེ​ེ་འགྲི​ིག་མི​ིན་ལྟ་ཞི​ིབ་བྱེ​ེད་ཐུབ།

མཆན། ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི​ི་མཉམ་བྱ་ ax + by + c = 0 ལ་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱ་ཟེ​ེར་དགོ​ོས་ དོ​ོན་ནི​ི། མཉམ་བྱ་དེ​ེའི​ི་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་ཀྱི​ི་རྣམ་པ་ནི​ི་དྲང་ཐི​ིག་ཡི​ིན་པས་སོ​ོ། །

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༥ གནས་ (1, 2) བརྒྱུད་པའི​ི་ཐི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱ་ཚོ​ོལ། མཉམ་བྱ་དེ​ེ་འདྲ་ག་ཚོ​ོད་ཡོ​ོད་དམ། ལན།

འདི​ིར། (1, 2) ནི​ི་དགོ​ོས་མཁོ​ོའི་ི ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་རེ​ེད། དེ​ེས་ན། གནས་ (1, 2)

66

རྒྱུ་གཉིས་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ

བརྒྱུད་པའི​ི་ཐི​ིག་གང་རུང་ཞི​ིག་འཚོ​ོལ་དགོ​ོས། དེ​ེ་འདྲའི​ི་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་ གཅི​ིག་ནི​ི་ x + y = 3 རེ​ེད། མཉམ་བྱ་གཞན་འགའ་ནི​ི་ y − x = 1, y = 2x རེ​ེད། གནས་ (1, 2) ཀྱི​ིས་མཉམ་བྱ་དེ​ེ་དག་ཀྱང་ཚི​ིམ་གྱི​ི་ཡོ​ོད། དངོ​ོས་འབྲེ​ེལ་དུ། གནས་ (1, 2) ཀྱི​ིས་ཚི​ིམ་པའི​ི་ཐེ​ེངས་

གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱ་ཚད་མེ​ེད་ཡོ​ོད།

Y

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༦ x + y = 7 གྱི​ི་ཐི​ིག་རི​ིས་བྲི​ིས། ལན།

8

ཐི​ིག་རི​ིས་འབྲི​ི་བར་ང་ཚོ​ོར་ཉུང་མཐར་མཉམ་

བྱའི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་གཉི​ིས་ཤེ​ེས་དགོ​ོས།

6 5

x = 0, y = 7 དང་ x = 7, y = 0 ནི​ི་ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པའི​ི་

0 7

3

7

x y

རེའུ་མིག ༤་༢

y=

གི​ི་རེ​ེའུ་མི​ིག་སྤྱད་དེ​ེ་ཐི​ིག་རི​ིས་འབྲི​ི་ཐུབ།

4

x+

མཉམ་བྱའི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་རེ​ེད། དེ​ེས་ན། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འོ​ོག་

(0, 7)

7

2 1

Xʹ

(7, 0)

−2 −1 O −1

1

2

3

4

5

6

7

8

X

−2

7 0

Yʹ

དཔེ་རིས་ ༤་༣

རེ​ེའུ་མི​ིག་ ༤་༢ ནང་གི​ི་གནས་གཉི​ིས་བྲི​ིས་ཏེ​ེ་དེ​ེ་དག་མཐུད་ནས་ཐི​ིག་རི​ིས་བྲི​ིས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༤་༣ ལ་ལྟོ​ོས་)

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༧ ཕུང་གཟུགས་ཤི​ིག་གི​ི་སྟེ​ེང་དུ་འབབ་པའི​ི་ཤུགས་ནི​ི་ཕུང་གཟུགས་དེ​ེའི་ི མྱུར་ཚད་འཕར་ཆ་དང་མཐུན་ འགྱུར་རེ​ེད། གནས་སྟངས་འདི​ི་མཉམ་བྱས་མཚོ​ོན་ཏེ​ེ་ཐི​ིག་རི​ིས་བྲི​ིས།

Y

ལན། འདི​ིར་རྒྱུ་གཉི​ིས་ནི​ི་ཤུགས་དང་མྱུར་ཚད་འཕར་ཆ་རེ​ེད།

8

ཕུང་གཟུགས་སྟེ​ེང་དུ་འབབ་པའི​ི་ཤུགས་ནི​ི་ཚད་གཞི​ི་ y དང་དེ​ེའི​ི་

7

མྱུར་ཚད་འཕར་ཆ་ནི​ི་ཚད་གཞི​ི་ x ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག སྡུར་ཚད་དང་

4

རྟག་གྲངས་རེ​ེད། (ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཚན་རི​ིག་གི​ི་སློ​ོབ་ཚན་ལས་ k ནི​ི་ཕུང་གཟུགས་ཀྱི​ི་གདོ​ོས་

ང་ཚོ​ོས་ k ཡི​ི་ཐང་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་མེ​ེད་པས། y = kx ཡི​ི་ཐི​ིག་རི​ིས་འབྲི​ི་མི​ི་ ཐུབ། ཡི​ིན་ནའང་། གལ་ཏེ​ེ་ k ཐང་ངེ​ེས་ཅན་ཞི​ིག་ལ་ཆ་བཞག་ན་

ཐི​ིག་རི​ིས་འབྲི​ི་ཐུབ། ང་ཚོ​ོས་ k = 3 བླངས་ན། དེ​ེ་ནི​ི། y = 3x མཚོ​ོན་ པའི​ི་ཐི​ིག་ཅི​ིག་འབྲི​ི་དགོ​ོས།

དེ​ེའི​ི་ཆེ​ེད་མཉམ་བྱ་དེ​ེའི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་

67

y=3 x

5

སྡུར་ཕྲེ​ེང་ལས། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ y = kx ལྟར་མཚོ​ོན་ཐུབ་པ་དང་། k ནི​ི་ ཚད་ཡི​ིན་པ་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།)

(2, 6)

6

3 2

Xʹ

1 O −2 −1

(0, 0) −1

1

2

3

4

−2

Yʹ

དཔེ་རིས་ ༤་༤

X

རྩིས་རིག

གཉི​ིས་ (0, 0) དང་ (2, 6) ལྟ་བུ་བཙལ་དགོ​ོས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༤་༤ ལ་ལྟོ​ོས་)

གོ​ོང་གི​ི་ཐི​ིག་རི​ིས་ལས། གལ་ཏེ​ེ་ཤུགས་ནི​ི་ཚད་གཞི​ི་ 3 ཡི​ིན་ན། དེ​ེའི​ི་མྱུར་ཚད་འཕར་ཆ་ནི​ི་ཚད་གཞི​ི་ 1 རེ​ེད། དེ​ེ་ བཞི​ིན། ཐི​ིག་རི​ིས་སྟེ​ེང་ (0, 0) གྱི​ི་གོ​ོ་དོ​ོན་ནི​ི། ཤུགས་ཚད་གཞི​ི་ 0 ཡི​ིན་སྐབས་དེ​ེའི​ི་མྱུར་ཚད་འཕར་ཆ་ཚད་གཞི​ི་ 0 རེ​ེད།

མཆན། y = kx ཡི​ི་རྣམ་པར་ཡོ​ོད་པའི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་ཐི​ིག་རི​ིས་ནི​ི་རྟག་ཏུ་སྣེ​ེ་གནས་གཞི​ི་བརྒྱུད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༨ དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༤་༥ ནང་གི​ི་ཐི​ིག་རི​ིས་མཚོ​ོན་པའི​ི་མཉམ་བྱ་འདོ​ོམས། (༡) དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༤་༥ (ཀ) (ཀ) x + y = 0

(ཁ) y = 2x

(ག) y = x

(ཀ) x + y = 0

(ཁ) y = 2x

(ག) y = 2x + 4 (ང) y = x − 4

(ཀ) x + y = 0

(ཁ) y = 2x

(ག) y = 2x + 1 (ང) y = 2x − 4

(༢) དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༤་༥ (ཁ) (༣) དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༤་༥ (ག)

(ང) y = 2x + 1

Y

Xʹ

2

(1, 2)

1

(0, 0)

−3 −2 −1 O

(−1, −2) Y

1

2

3

4

X

−2

Y

−3

(1, 6)

6

2

Yʹ

5

(ཀ)

(0, 4)

4

−1

3

−3 −2 −1 O −1

(−2, 0)

2

3

4

X

(1, −2)

−3

1

−3 −2 −1 O −1

1

2

3

4

−4

X

(−1, −6)

Yʹ

(ཁ)

(0, −4)

−5

−2

ལན།

1

−2

2

Xʹ

(2, 0)

1

Xʹ

−6

Yʹ

དཔེ་རིས་ ༤་༥

(ག)

(ཀ) དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༤་༥ (ཀ) ནང་། ཐི​ིག་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་ནི​ི་ (−1, −2), (0, 0), (1, 2) རེ​ེད། ཞི​ིབ་འཇུག་ལས།

68

རྒྱུ་གཉིས་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ

ཐི​ིག་རི​ིས་འདི​ིའི​ི་མཉམ་བྱ་ནི​ི་ y = 2x རེ​ེད། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གནས་ཚང་མའི​ི་ནང་ y- གནས་ཚད་ནི​ི་ xགནས་ཚད་ཀྱི​ི་ཉི​ིས་ལྡབ་ཡི​ིན་པ་མཐོ​ོང་ཐུབ།

(ཁ) དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༤་༥ (ཁ) ནང་། ཐི​ིག་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་ནི​ི་ (−2, 0), (0, 4), (1, 6) རེ​ེད། ཐི​ིག་རི​ིས་(ཐི​ིག་)སྟེ​ེང་ གི​ི་གནས་ཀྱི​ིས་མཉམ་བྱ་ y = 2x + 4 ཚི​ིམ་གྱི​ི་ཡོ​ོད་པས། y = 2x + 4 ནི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༤་༥ (ཁ) པའི​ི་ཐི​ིག་ རི​ིས་ཀྱི​ི་མཉམ་བྱ་རེ​ེད།

(ག) དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༤་༥ (ག) ནང་། ཐི​ིག་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་ནི​ི་ (−1, −6), (0, −4), (1, −2), (2, 0) རེ​ེད། ཞི​ིབ་ འཇུག་ལས། y = 2x − 4 ནི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༤་༥ (ག) པའི​ི་མཉམ་བྱ་རེ​ེད།

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༤་༣

༡། རྒྱུ་གཉི​ིས་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་ཐི​ིག་རི​ིས་བྲི​ིས། (ཀ) x + y = 4

(ཁ) x − y = 2

(ག) y = 3x

(ང) 3 = 2x + y

༢། (2, 14) བརྒྱུད་པའི​ི་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་མཉམ་བྱ་བྲི​ིས། ཐི​ིག་དེ​ེ་འདྲ་ད་དུང་ག་ཚོ​ོད་ཡོ​ོད། ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།

༣། གལ་ཏེ​ེ་གནས་ (3, 4) ནི​ི་མཉམ་བྱ་ 3y = ax + 7 གྱི​ི་ཐི​ིག་རི​ིས་སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད་ན། a ཡི​ི་ཐང་ཚོ​ོལ།

༤། གྲོ​ོང་ཁྱེ​ེར་ཞི​ིག་གི​ི་གླ་འཁོ​ོར་གྱི​ི་གླ་གཤམ་གསལ་ལྟར་རེ​ེད། ཐོ​ོག་མར་ཀི​ི་ལོ​ོ་མི​ི་ཊར་གཅི​ིག་གི​ི་འཁོ​ོར་གླ་ནི​ི་ ` 50

དང་དེ​ེ་རྗེ​ེས་ཀྱི​ི་བར་ཐག་ཀི​ི་ལོ​ོ་མི​ི་ཊར་རེ​ེར་ ` 20 རེ​ེད། བསྐྱོ​ོད་པའི​ི་བར་ཐག་ x km དང་ཁྱོ​ོན་བསྡོ​ོམས་འཁོ​ོར་ གླ་ ` y བླངས་ནས་གནས་ཚུལ་འདི​ི་མཚོ​ོན་པའི​ི་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱ་བྲི​ིས། དེ​ེའི་ི ཐི​ིག་རི​ིས་བྲི​ིས།

༥། གཤམ་གསལ་ལས་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༤་༦ དང་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༤་༧ ནང་གི​ི་ཐི​ིག་རི​ིས་ཀྱི​ི་མཉམ་བྱ་ངོ​ོས་ཟུངས།

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༤་༦ ཆེ​ེད།

(ཀ) y = x (ཁ) x + y = 0 (ག) y = 2x (ང) 2 + 3y = 7x

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༤་༧ ཆེ​ེད། (ཀ) y = x + 2 (ཁ) y = x − 2 (ག) y = −x + 2 (ང) x + 2y = 6

Y

Y

4

(−1, 3)

2

Xʹ

(−1, 1)

3

(0, 2)

2

1

(0, 0)

−3 −2 −1 O −1

1

2

3

X

(1, −1)

−2

(2, 0)

−3 −2 −1 O −1

1

−2

Yʹ

དཔེ་རིས་ ༤་༦

1

Xʹ

Yʹ

69

དཔེ་རིས་ ༤་༧

2

3

X

རྩིས་རིག

༦། ཕུང་གཟུགས་ཤི​ིག་གི​ི་སྟེ​ེང་དུ་འགྱུར་མེ​ེད་ཤུགས་ཀྱི​ིས་བྱ་བ་གྲུབ་པ་ནི​ི་ཕུང་གཟུགས་དེ​ེས་བསྐྱོ​ོད་པའི​ི་བར་ཐག་ལ་

མཐུན་འགྱུར་ཡི​ིན་ཞེ​ེས་བརྗོ​ོད་པ་འདི​ི་རྒྱུ་གཉི​ིས་ཅན་གྱི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་རྣམ་པར་མཚོ​ོན་རྗེ​ེས། ཤུགས་ཚད་གཞི​ི་ 5

བླངས་ཏེ​ེ་དེ​ེའི་ི ཐི​ིག་རི​ིས་བྲི​ིས། ཐི​ིག་རི​ིས་ལས་ཕུང་གཟུགས་ཀྱི​ིས་བར་ཐག་གཤམ་གསལ་ལྟར་བསྐྱོ​ོད་སྐབས་བྱ་བ་ གྲུབ་པ་ཚོ​ོལ།

(ཀ) ཚད་གཞི​ི་ 2

(ཁ) ཚད་གཞི​ི་ 0

༧། འཛི​ིན་རི​ིམ་དགུ་པའི​ི་སློ​ོབ་ཕྲུག་དཔལ་སྒྲོ​ོན་དང་ཆོ​ོས་དབྱངས་གཉི​ིས་ཀྱི​ིས་ལྷན་དུ་ཉེ​ེ་ཆར་ས་ཡོ​ོམ་གྱི​ིས་གོ​ོད་ཆག་

ཕོ​ོག་ཡུལ་རྣམས་ལ་རོ​ོགས་རམ་ཆེ​ེད་སྲི​ིད་བློ​ོན་ངལ་སེ​ེལ་ཐེ​ེབས་རྩར་ ` 100 ཞལ་འདེ​ེབས་ཕུལ་བ་རེ​ེད། གནས་ ཚུལ་འདི​ི་ཚི​ིམ་པའི​ི་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱ་བྲི​ིས། (སློ​ོབ་ཕྲུག་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་བསྡུ་བྱ་ ` x དང་ ` y ལོ​ོངས།) མཉམ་བྱ་དེ​ེའི་ི ཐི​ིག་རི​ིས་བྲི​ིས།

༨། ཨ་རི​ི་དང་ཁེ​ེ་ན་ཌ་སོ​ོགས་རྒྱལ་ཁབ་འགའི​ི་ནང་གཟུགས་པོ​ོའི་ི དྲོ​ོད་ཚད་ནི​ི་ཕ་རན་ཧེ​ེཊ་

(Fahrenheit)

ནང་

འཇལ་གྱི​ི་ཡོ​ོད་ནའང་། རྒྱ་གར་ནང་དྲོ​ོད་ཚད་སེ​ེལ་ཤུསི​ི་ (Celsius) ནང་འཇལ་གྱི​ི་ཡོ​ོད། གཤམ་གསལ་ནི​ི་ཕ་ རན་ཧེ​ེཊ་ནས་སེ​ེལ་ཤུསི​ི་ལ་ཕབ་སྒྱུར་བྱེ​ེད་པའི​ི་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱ་རེ​ེད། F = 9 C + 32 5

( (

(ཀ) x-མདའ་ལ་སེ​ེལ་ཤུསི​ི་དང་ y-མདའ་ལ་ཕ་རན་ཧེ​ེཊ་མཚོ​ོན་ཏེ​ེ་གོ​ོང་གི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་ཐི​ིག་རི​ིས་བྲི​ིས། (ཁ) གལ་ཏེ​ེ་དྲོ​ོད་ཚད་ 30oC ཡི​ིན་ན། ཕ་རན་ཧེ​ེཊ་ནང་དྲོ​ོད་ཚད་ག་ཚོ​ོད་རེ​ེད་དམ། (ག) གལ་ཏེ​ེ་དྲོ​ོད་ཚད་ 95oF ཡི​ིན་ན། སེ​ེལ་ཤུསི​ི་ནང་དྲོ​ོད་ཚད་ག་ཚོ​ོད་རེ​ེད་དམ།

(ང) གལ་ཏེ​ེ་དྲོ​ོད་ཚད་ 0oC ཡི​ིན་ན། ཕ་རན་ཧེ​ེཊ་ནང་དྲོ​ོད་ཚད་ག་ཚོ​ོད་ཡི​ིན་པ་དང་། གལ་ཏེ​ེ་དྲོ​ོད་ཚད་ 0oF ཡི​ིན་ན། སེ​ེལ་ཤུསི​ི་ནང་དྲོ​ོད་ཚད་ག་ཚོ​ོད་ཡི​ིན།

(ཅ) ཕ་རན་ཧེ​ེཊ་དང་སེ​ེལ་ཤུསི​ི་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་ནང་ལ་དྲོ​ོད་ཚད་ཨང་གཅི​ིག་པ་ཡི​ིན་པ་ཞི​ིག་ཡོ​ོད་དམ། གལ་ཏེ​ེ་ཡོ​ོད་ ན་དེ​ེ་ཚོ​ོལ།

༤་༥ x-མདའ་དང་ y- མདའ་ལ་མཉམ་འགྲོ་ཡིན་པའི་ཐིག་གི་མཉམ་བྱ།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཀཱ་ཊི​ི་ཤཱན་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཤི​ིག་གི​ི་ཐོ​ོག་ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པའི​ི་གནས་འགོ​ོད་སྟངས་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། གནས་ (2, 0) དང་ (−3, 0), (4, 0), དངོ​ོས་གྲངས་གང་ཞི​ིག་ n ལ་ (n, 0) བཅས་ཀཱ་ཊི​ི་ཤཱན་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ནང་གང་དུ་ཡོ​ོད། དེ​ེ་དག་ x- མདའི​ི་སྟེ​ེང་ཡོ​ོད། རྒྱུ་མཚན་ནི​ི། x- མདའི​ི་སྟེ​ེང་གནས་སོ​ོ་སོ​ོའི་ི y- གནས་ཚད་ནི​ི་ 0 རེ​ེད།

དངོ​ོས་ཡོ​ོད་ནི​ི། x- མདའི​ི་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་ཚང་མ་ (x, 0) ཡི​ི་རྣམ་པར་ཡོ​ོད། x- མདའི​ི་མཉམ་བྱ་ནི​ི་ y = 0 རེ​ེད། y = 0 ནི​ི་ 0.x + 1.y = 0 ལྟར་འབྲི​ི་ཆོ​ོག

དེ​ེ་མཚུངས། y- མདའི​ི་མཉམ་བྱ་ནི​ི་ x = 0 རེ​ེད།

70

རྒྱུ་གཉིས་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ

མཉམ་བྱ་ x − 2 = 0 ལ་ཆ་ཞོ​ོག

Y

གལ་ཏེ​ེ་འདི​ི་རྒྱུ་གཅི​ིག་ x ཁོ​ོ་ན་ཡི​ིན་པའི​ི་མཉམ་བྱ་ཡི​ིན་ཚུལ་

བྱས་ན། དེ​ེར་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ x = 2 ཁོ​ོ་ན་ཡི​ིན། དེ​ེ་རྒྱུ་གཉི​ིས་

A

4

(2, 3) (2, 2) (2, 1) (2, 0)

3

ཅན་གྱི​ི་མཉམ་བྱ་ཡི​ིན་ཚུལ་བྱས་ན། x + 0.y − 2 = 0 ལྟར་

2

མཚོ​ོན་ཐུབ། འདི​ི་ལ་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ཚད་མེ​ེད་ཡོ​ོད། དངོ​ོས་ཡོ​ོད་ནི​ི།

1

Xʹ

དེ​ེ་དག་ཚང་མ་ (2, r) ཡི​ི་རྣམ་པར་ཡོ​ོད་པ་དང་། r ནི​ི་དངོ​ོས་ གྲངས་རེ​ེད། དེ​ེར་མ་ཟད། (2, r) ཡི​ི་རྣམ་པ་ཡི​ིན་པའི​ི་གནས་

−3 −2 −1 O −1

1 2

−2

B

ཚང་མ་མཉམ་བྱ་འདི​ིའི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་རེ​ེད། དེ​ེས་ན། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༤་

3

X

4

(2, −1)

Yʹ

༨ ནང་ཐི​ིག་ AB ཡི​ིས་ x − 2 = 0 གྱི​ི་རྒྱུ་གཉི​ིས་ཅན་གྱི​ི་མཉམ་

དཔེ་རིས་ ༤་༨

བྱའི​ི་ཐི​ིག་རི​ིས་ཡི​ིན་པ་མཚོ​ོན།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༩ མཉམ་བྱ་ 2x + 1 = x − 3 བཀྲོ​ོལ་ནས། འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་གཤམ་གསལ་ཐོ​ོག་མཚོ​ོན། (ཀ) གྲངས་ཐི​ིག

ལན།

2x + 1 = x − 3 འགྲོ​ོལ་སྐབས།

(ཁ) ཀཱ་ཊི​ི་ཤཱན་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས།

2x − x = − 3 − 1 x=−4

(ཀ) གྲངས་ཐི​ིག་ཐོ​ོག་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་མཚོ​ོན་སྟངས་ནི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༤་༩ ནང་བསྟན་ཡོ​ོད། འདི​ིར་ x = − 4 ནི​ི་རྒྱུ་གཅི​ིག་ གི​ི་མཉམ་བྱ་རེ​ེད།

x=−4 −4

−3

−2

−1

0

1

2

དཔེ་རིས་ ༤་༩

འདི​ི་ནི​ི་ཐི​ིག་གཅི​ིག་གི​ིས་མཚོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད། 0.y ནི​ི་རྟག་ཏུ་ 0

ཡི​ིན། y ཡི​ི་ཐང་དུ་གྲངས་གང་རུང་བླངས་ནས། y ཡི​ིས་ མཉམ་བྱ་ x = − 4 ཚི​ིམ་དགོ​ོས། དེ​ེས་ན། ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པའི​ི་

མཉམ་བྱའི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་གཉི​ིས་ནི​ི་ x = −4, y = 0 དང་ x = −4, y = 2 རེ​ེད།

71

4

5 Y

(ཁ) ང་ཚོ​ོས་ x = − 4 ནི​ི་ x + 0.y = − 4 ལྟར་འབྲི​ི་ཐུབ། འདི​ི་

ནི​ི་རྒྱུ་ x དང་ y ཡི​ིན་པའི​ི་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱ་རེ​ེད།

3

Xʹ

4

A

4

(x = −4)

−5

(−4, 2)

2

(−4, 0)

1

−5 −4

3

−3 −2 −1 O −1 −2 −3

B

དཔེ་རིས་ ༤་༡༠

−4

Yʹ

1

2

X

རྩིས་རིག

ཐི​ིག་རི​ིས་ AB ནི​ི་ y- མདའ་ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་ཅི​ིག་ཡི​ིན་པ་དང་། དེ​ེ་ y-མདའི​ི་གཡོ​ོན་ཕྱོ​ོགས་སུ་བར་ ཐག་ཚད་གཞི​ི་ 4 སར་ཡོ​ོད་པ་དོ​ོ་སྣང་བྱོ​ོས་དང་། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༤་༡༠ ལ་ལྟོ​ོས་)

དེ​ེ་མཚུངས། y = 3 ཡང་ན་ 0.x + 1.y = 3 འདྲ་བའི​ི་མཉམ་བྱ་ཡི​ིས་ x- མདའ་ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་ མཚོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད།

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༤་༤

༡། གཤམ་གསལ་སྐབས་ y = 3 གྱི​ི་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་ཀྱི​ི་རྣམ་པ་སྟོ​ོན། (ཀ) རྒྱུ་གཅི​ིག་ཅན་གྱི​ི་མཉམ་བྱ། (ཁ) རྒྱུ་གཉི​ིས་ཅན་གྱི​ི་མཉམ་བྱ།

༢། གཤམ་གསལ་སྐབས་ 2x + 9 = 0 གྱི​ི་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་ཀྱི​ི་རྣམ་པ་སྟོ​ོན། (ཀ) རྒྱུ་གཅི​ིག་ཅན་གྱི​ི་མཉམ་བྱ། (ཁ) རྒྱུ་གཉི​ིས་ཅན་གྱི​ི་མཉམ་བྱ།

༤་༦ སྙི​ིང་བསྡུས།

སློ​ོབ་ཚན་འདི​ིར་གཤམ་གསལ་གནད་དོ​ོན་ཁག་སྦྱངས་ཡོ​ོད།

༡། གལ་སྲི​ིད་ a དང་ b, c ནི​ི་དངོ​ོས་གྲངས་དང་། a དང་ b གཉི​ིས་ནི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་མི​ིན་ན། ax + by + c = 0 གྱི​ི་རྣམ་པར་ཡི​ིན་པའི​ི་མཉམ་བྱ་ལ་རྒྱུ་གཉི​ིས་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱ་ཟེ​ེར།

༢། རྒྱུ་གཉི​ིས་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱ་ལ་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ཚད་མེ​ེད་ཡོ​ོད། ༣། རྒྱུ་གཉི​ིས་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་ཐི​ིག་རི​ིས་ནི​ི་དྲང་ཐི​ིག་ཡི​ིན།

༤། x = 0 ནི​ི་ y- མདའི​ི་མཉམ་བྱ་ཡི​ིན་པ་དང་། y = 0 ནི​ི་ x- མདའི​ི་མཉམ་བྱ་རེ​ེད། ༥། x = a ཡི​ི་ཐི​ིག་རི​ིས་ནི​ི་ y- མདའ་ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པའི​ི་དྲང་ཐི​ིག་རེ​ེད། ༦། y = a ཡི​ི་ཐི​ིག་རི​ིས་ནི​ི་ x- མདའ་ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པའི​ི་དྲང་ཐི​ིག་རེ​ེད། ༧། y = mx ལྟ་བུའི​ི་མཉམ་བྱ་ཡི​ིས་སྣེ​ེ་གནས་གཞི​ི་བརྒྱུད་པའི​ི་ཐི​ིག་མཚོ​ོན།

༨། རྒྱུ་གཉི​ིས་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་ཐི​ིག་རི​ིས་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་ཚང་མ་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ ཡི​ིན་པ་དང་། ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་འགྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ཚང་མ་ཐེ​ེངས་གཅི​ིག་གི​ི་མཉམ་བྱའི​ི་ཐི​ིག་རི​ིས་སྟེ​ེང་གི​ི་ གནས་ཤི​ིག་རེ​ེད།

72

ཡུག་ལིཌི་ཡི་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པ་ངོ་སྤྲོད།

༥

Introduction to Euclid's Geometry ༥་༡ ངོ་སྤྲོད།

མི​ིང་ཚི​ིག་ 'geometry' ནི​ི་གྷི​ི་རི​ིག་གི​ི་མི​ིང་ཚི​ིག་ 'geo' ཡི​ི་གོ​ོ་དོ​ོན་ 'ས་གཞི​ི་' དང་ 'metrein' ཡི​ི་གོ​ོ་དོ​ོན་ 'འཇལ་ བ་'

བཅས་ནས་བྱུང་ཡོ​ོད།

དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་ནི​ི་ས་ཆ་འཇལ་ཚད་ཀྱི​ི་དགོ​ོས་མཁོ​ོ་རྐྱེ​ེན་པས་གསར་གཏོ​ོད་

བྱས་པ་མཐོ​ོང་ཐུབ། ཨི​ི་ཇི​ིབྚ་དང་། བྷ་བེ​ེ་ལོ​ོ་ནི​ིཡ། རྒྱ་ནག རྒྱ་གར། གྷི​ི་རི​ིས་ལ་སོ​ོགས་པའི​ི་གནའ་རབས་ཀྱི​ི་སྲི​ིད་པའི​ི་

དཔལ་ཡོ​ོན་ཚང་མའི​ི་ནང་རྩི​ིས་རི​ིག་གི​ི་ཡན་ལག་འདི​ི་རྣམ་པ་འདྲ་མི​ིན་ཐོ​ོག་སྦྱངས་ཡོ​ོད། སྐབས་དེ​ེའི​ི་མི​ི་མང་གི​ི་ དཀའ་ངལ་སེ​ེལ་བའི​ི་ཐབས་ལམ་དུ་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་གོ​ོང་སྤེ​ེལ་གཏོ​ོང་དགོ​ོས་ངེ​ེས་བྱུང་།

དཔེ​ེར་ན། རྒྱུག་ཆུ་ནཱལ་ (Nile) ཆུ་ལོ​ོག་རྒྱུག་སྐབས། དེ​ེས་ཉེ​ེ་འདབས་ཀྱི​ི་ས་ཞི​ིང་མི​ི་འདྲ་བའི​ི་དབར་གྱི​ི་ས་མཚམས་ ཤུལ་མེ​ེད་བཟོ​ོས་ཀྱི​ིས་ཡོ​ོད། དགོ​ོས་དོ​ོན་འདི​ིའི​ི་ཆེ​ེད་དུ་ཨི​ི་ཇི​ིབྚ་པ་ཚོ​ོས་རྨང་གཞི​ིའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་རྩི​ིས་རྒྱག་ཆེ​ེད་དང་། རྨང་གཞི​ིའི​ི་ཨར་ལས་ཀྱི​ི་བྱ་གཞག་ཆེ​ེད་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པའི​ི་ཐབས་ལམ་མང་པོ​ོ་གོ​ོང་སྤེ​ེལ་བཏང་ཡོ​ོད། ཁོ​ོ་ཚོ​ོས་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པའི​ི་ཤེ​ེས་བྱ་ནི​ི་འབྲུ་ཁང་གི​ི་བོ​ོངས་ཚད་རྩི​ིས་

b

རྒྱག་དང་། ཡུར་བ་དང་གྲུ་སྙུང་བཟོ​ོ་ཆེ​ེད་དུའང་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་བྱས་ཡོ​ོད། ཁོ​ོ་ ཚོ​ོར་གྲུ་སྙུང་རྩེ​ེ་རྡུམ་གྱི​ི་བོ​ོངས་ཚད་འཚོ​ོལ་ཆེ​ེད་ཀྱི​ི་ཆོ​ོ་ག་ཏག་ཏག་ཤེ​ེས་

h

རྟོ​ོགས་ཡོ​ོད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༥་༡ ལ་ལྟོ​ོས་) གྲུ་སྙུང་ནི​ི་ཞབས་ཟུར་གསུམ་མའམ།

གྲུ་བཞི​ི་ཁ་གང་མ། ཡང་ན་དབྱི​ིབས་མཐའ་མང་ཡི​ིན་པའི​ི་སྲ་གཟུགས་ ཤི​ིག་ཡི​ིན་པ་དང་། དེ​ེའི​ི་ལོ​ོགས་ངོ​ོས་ཟུར་གསུམ་མ་རྣམས་ཀྱི​ི་ཟུར་ཚེ​ེག་ ཚང་མ་སྤྱི​ི་གནས་ཐོ​ོག་འཕྲད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

a

དཔེ་རིས་ ༥་༡ གྲུ་སྙུང་རྩེ་རྡུམ།

རྒྱ་གར་དང་ཉེ​ེ་བའི​ི་གླི​ིང་ཆེ​ེན་ནང་། ཧ་ར་པཱ་ (Harappa) དང་། མོ​ོ་ཧན་ཅོ​ོ་ཌ་རོ​ོ་ (Mohenjo-Daro) སོ​ོགས་སྔོ​ོག་ འདོ​ོན་སྐབས་ཧི​ིན་དུ་ལུང་གཤོ​ོངས་ཀྱི​ི་སྲི​ིད་པའི​ི་དཔལ་ཡོ​ོན་ (Indus Valley Civilisation 3000 BCE ཙམ) གྱི​ིས་ དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་རྒྱ་ཆེ​ེན་པོ​ོ་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་བྱས་ཡོ​ོད།

དེ​ེ་ནི​ི་གོ​ོ་རི​ིམ་ལྡན་པའི​ི་སྤྱི​ི་ཚོ​ོགས་ཤི​ིག་ཡི​ིན།

གྲོ​ོང་ཁྱེ​ེར་དེ​ེ་

དག་ཡར་རྒྱས་ཚད་མཐོ​ོ་པོ​ོ་ཡོ​ོད་པ་དང་འཆར་གཞི​ི་ལྡན་པ་ཡོ​ོད། དཔེ​ེར་ན། འགྲོ​ོ་ལམ་རྣམས་ཕན་ཚུན་མཉམ་

འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པ་དང་ས་འོ​ོག་ཏུ་ཆུ་འགྲོ​ོའི་ི ཡུར་བ་ཡོ​ོད། ཁང་པའི​ི་ནང་ཁང་མི​ིག་རི​ིགས་མི​ི་འདྲ་བ་མང་པོ​ོ་ཡོ​ོད། འདི​ིས་ གྲོ​ོང་སྡེ​ེའི​ི་ཡུལ་མི​ི་རྣམས་འཇལ་ཚད་དང་ཨང་རྩི​ིས་རྩི​ིས་རྒྱག་གི​ི་སྒྱུ་རྩལ་ཡོ​ོད་པ་སྟོ​ོན་གྱི​ིས་ཡོ​ོད།

རྩིས་རིག

ཨར་ལས་ཆེ​ེད་སྤྱོ​ོད་པའི​ི་སོ​ོ་ཕག་རྣམས་སྲེ​ེག་སྦྱོ​ོར་བྱེ​ེད་པ་དང་སོ​ོ་ཕག་གི​ི་དཀྱུས་ : ཞེ​ེང་ : མཐུག་ཚད་བཅས་ཀྱི​ི་སྡུར་

ཚད་ནི​ི་ 4 : 2 : 1 ནང་ཡོ​ོད། གནའ་རབས་རྒྱ་གར་གྱི​ི་ནང་ Sulbasutras (800 BCE ནས་ 500 BCE) ནི​ི་དབྱི​ིབས་

རྩི​ིས་རི​ིག་པའི​ི་ཐི​ིག་འགོ​ོད་ཀྱི​ི་ལག་དེ​ེབ་ལྟར་ངོ​ོས་འཛི​ིན་བྱས་ཡོ​ོད། Vedic དུས་སྐབས་ཀྱི​ི་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་ནི​ི་

མཆོ​ོད་གཤོ​ོམ་དང་ Vedic ཡི​ི་ཆོ​ོ་ག་སྒྲུབ་ཆེ​ེད་མེ​ེ་ཐབ་བཟོ​ོས་ཏེ​ེ་འགོ​ོ་བཙུགས་པ་ཞི​ིག་རེ​ེད། མཆོ​ོད་གཤོ​ོམ་གྲུ་བཞི​ི་

ཁ་གང་དང་སྒོ​ོར་མོ​ོ་རྣམས་ནང་ཁྱི​ིམ་གྱི​ི་ཆོ​ོ་ག་དང་། དབྱི​ིབས་གྲུ་ནར་དང་ཟུར་གསུམ་མ། སྐས་དབྱི​ིབས་བཅས་མཉམ་ སྡེ​ེབ་ཀྱི​ིས་གྲུབ་པའི​ི་མཆོ​ོད་ཤོ​ོམ་རྣམས་མི​ི་མང་གི​ིས་ཕྱག་མཆོ​ོད་ཆེ​ེད་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་བྱས་ཡོ​ོད། Sriyantra (Atharvaveda ལས་)

ནང་ལྷས་མ་བསླས་པའི​ི་སྐེ​ེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་དགུ་ཡོ​ོད། ཟུར་གསུམ་མ་འདི​ི་དག་གི​ིས་ཁ་གསབ་ཟུར་

གསུམ་མ་ 43 འགྲུབ་པར་བསྒྲི​ིག་དགོ​ོས། མཆོ​ོད་ཤོ​ོམ་བཟོ​ོ་སྐྲུན་ཆེ​ེད་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པའི​ི་ཐབས་ལམ་ཏག་ཏག་ སྤྱད་ཡོ​ོད་ཀྱང་དེ​ེའི​ི་རྒྱབ་ལྗོ​ོངས་རྩ་འཛི​ིན་ཁ་གསལ་བཀོ​ོད་མེ​ེད།

དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་འདི​ི་དག་གི​ིས་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་ནི​ི་འཛམ་གླི​ིང་གང་སར་གོ​ོང་འཕེ​ེལ་དང་ལག་བསྟར་བྱས་ཡོ​ོད་ པ་བསྟན་ཡོ​ོད། ཡི​ིན་ནའང་། འདི​ི་གོ​ོ་རི​ིམ་མེ​ེད་པའི​ི་བྱེ​ེད་ལུགས་ལྟར་སྤྱད་ཡོ​ོད། སྔ་རབས་འཛམ་གླི​ིང་སྐབས་ཀྱི​ི་

དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པའི​ི་གོ​ོང་འཕེ​ེལ་དེ​ེ་དག་མི​ི་རབས་གཅི​ིག་ནས་མི​ི་རབས་རྗེ​ེས་མར་ངག་ཐོ​ོག་གམ། ཏ་ལའི​ི་ལོ​ོ་མའི​ི་

འཕྲི​ིན། ཡང་ན་ཐབས་ལམ་གཞན་ལ་བརྟེ​ེན་ནས་བརྒྱུད་སྤྲོ​ོད་བྱེ​ེད་སྲོ​ོལ་ཡོ​ོད། བྷ་བེ​ེ་ལོ​ོ་ནི​ི་ཡཱ་ (Babylonia) དང་།

རྒྱ་གར། རོ​ོམ་བཅས་ཀྱི​ི་ནང་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་ནི​ི་ལག་ལེ​ེན་ལྡན་པའི​ི་སྒྲི​ིག་ཁྲི​ིམས་ལྟར་རང་སོ​ོར་གནས་ཡོ​ོད། ཨི​ི་ ཇི​ིབྚ་པས་གོ​ོང་སྤེ​ེལ་བྱས་པའི​ི་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པའི​ི་ནང་གཙོ​ོ་ཆེ​ེར་གྲུབ་འབྲས་ཀྱི​ི་རྩི​ིས་བརྗོ​ོད་ཡོ​ོད་པ་ལས་བྱེ​ེད་

ལུགས་ཀྱི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་མེ​ེད། དོ​ོན་དངོ​ོས་སུ་བྷ་བེ​ེ་ལོ​ོ་ནི​ི་ཡཱ་བ་ (Babylonians) དང་། ཨི​ི་ཇི​ིབྚ་པ་ཚོ​ོས་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་ ནི​ི་མང་ཆེ​ེ་བ་དངོ​ོས་ཡོ​ོད་ལག་ལེ​ེན་ཆེ​ེད་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་བྱས་པ་དང་།

དེ​ེ་ཚན་རི​ིག་གི​ི་ལམ་ལུགས་ལྟར་གོ​ོང་སྤེ​ེལ་བྱ་བར་

འབད་རྩོ​ོལ་ཉུང་ཤོས ོ ་བསྟེ​ེན་ཡོ​ོད། འོ​ོན་ཀྱང་། གྷི​ི་རི​ིས་སྲི​ིད་པའི​ི་དཔལ་ཡོ​ོན་ལྟ་བུའི​ི་ནང་བཟོ​ོ་སྐྲུན་ངེ​ེས་ཅན་ཞི​ིག་བསྒྲུབ་

པར་དེ​ེའི་ི རྒྱབ་ཀྱི​ི་རྒྱུ་མཚན་གལ་གནད་གཙོ​ོ་བོ​ོར་འཛི​ིན་གྱི​ི་ཡོ​ོད། གྷི​ི་རི​ིག་པ་ཚོ​ོས་རྣམ་འབྱེ​ེད་རི​ིགས་འདེ​ེད་སྤྱད་དེ​ེ་ཁོ​ོང་ ཚོ​ོར་གསར་རྙེ​ེད་བྱུང་བའི​ི་བདེ​ེན་པ་ཁག་གཏན་འབེ​ེབས་བྱ་བར་དོ​ོ་སྣང་ཆེ​ེན་པོ​ོ་བྱས་ཡོ​ོད། གྷི​ི་རི​ིག་གི​ི་རྩི​ིས་རི​ིག་མཁས་པ་ཐེ​ེལ་སེ​ེ་ (Thales) ཡི​ིས་རྩི​ིས་རི​ིག་གི​ི་ཁུངས་འདྲེ​ེན་ཐོ​ོག་

མ་བྱས་པ་ནི​ི་ཡོ​ོངས་གྲགས་རེ​ེད། དེ​ེ་ནི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཤི​ིག་དེ​ེའི​ི་ཚངས་ཐི​ིག་གི​ིས་མཉམ་

བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་ཅེ​ེས་པའི​ི་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་ཡི​ིན། ཐེ​ེལ་སེ​ེའི​ི་སློ​ོབ་མ་གྲགས་ཅན་གཅི​ིག་ ནི​ི་པཡེ​ེ་ཐ་གྷོ​ོ་རཱས་ (572 BCE) རེ​ེད། པཡེ​ེ་ཐ་གྷོ​ོ་རཱས་དང་ཁོ​ོང་གི​ི་ཚོ​ོགས་པས་དབྱི​ིབས་

རྩི​ིས་རི​ིག་པའི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་མང་པོ​ོ་གསར་རྙེ​ེད་བྱུང་བ་དང་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པའི​ི་ངེ​ེས་ སྲོ​ོལ་གོ​ོང་འཕེ​ེལ་ཆེ​ེས་ཆེ​ེར་བཏང་ཡོ​ོད།

བྱ་རི​ིམ་འདི​ི་ 300 BCE བར་རྒྱུན་པར་གནས་ཡོ​ོད། སྐབས་དེ​ེར་ཨི​ི་ཇི​ིབྚ་ཡི​ི་ ཨ་ལེ​ེག་ཛན་ཌར་ (Alexandria) ནང་རྩི​ིས་རི​ིག་གི​ི་དགེ​ེ་རྒན་ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ིས་ངོ​ོ་

74

ཐེ​ེལ་སེ​ེ། Thales

(640 BC - 546 BC) དཔེ་རིས་ ༥་༢

ཡུག་ལིཌི་ཡི་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པ་ངོ་ས

འཕྲོ​ོད་པའི​ི་གྲུབ་འབྲས་རྣམས་བསྡུ་རུབ་ཀྱི​ིས་ཁོ​ོང་གི​ི་དཔྱད་རྩོ​ོམ་སྙན་གྲགས་ ཅན་ ‘Elements’ ཞེ​ེས་པ་དེ​ེའི​ི་ནང་བསྒྲི​ིགས་པ་རེ​ེད། ཁོ​ོས་དཔྱད་རྩོ​ོམ་དེ​ེ་ལེ​ེའུ་

བཅུ་གསུམ་ནང་བགོ​ོས་པ་དང་། ལེ​ེའུ་རེ​ེར་དེ​ེབ་ཟེ​ེར། འབྱུང་འགྱུར་གྱི​ི་མི​ི་རབས་ ནང་དེ​ེབ་འདི​ི་དག་གི​ིས་འཛམ་གླི​ིང་ཡོ​ོངས་ཀྱི​ི་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པའི​ི་གོ​ོ་རྟོ​ོགས་ ལ་ཤུགས་རྐྱེ​ེན་སྤྲད་ཡོ​ོད།

སློ​ོབ་ཚན་འདི​ིར། ང་ཚོ​ོས་ཡུག་ལི​ིཌི་ི ཡི​ི་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པའི​ི་བསམ་བློ​ོ་འཁྱེ​ེར་སོ​ོ་ ལ་གོ​ོ་བསྡུར་བྱེ​ེད་རྒྱུ་དང་། དེ​ེ་དེ​ེང་སང་གི​ི་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་ལྷན་དུ་འབྲེ​ེལ་བ་ མཐུད་ཐབས་བྱེ​ེད་རྒྱུ་ཡི​ིན།

ཡུག་ལི​ིཌི​ི། (325 BC - 265 BC) དཔེ་རིས་ ༥་༣

༥་༢ ཡུག་ལི​ིཌི​ིས་བཏོ​ོད་པའི​ི་གོ​ོ་དོ​ོན་དང་། སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ། བདེ​ེན་གྲུབ། Euclid's Definitions, Axioms

and Postulates ཡུག་ལི​ིཌི​ི་སྐབས་ཀྱི​ི་གྷི​ི་རི​ིག་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་ཚོ​ོས་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་ནི​ི་ཁོ​ོ་ཚོ​ོ་གནས་སའི​ི་འཛམ་གླི​ིང་གི​ི་འཆར་སྣང་ དཔེ​ེ་གཟུགས་ལྟར་ངོ​ོས་འཛི​ིན་བྱས་ཡོ​ོད། གནས་དང་། ཐི​ིག སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་སོ​ོགས་ཀྱི​ི་འཆར་སྣང་ནི​ི་ཁོ​ོ་ཚོ​ོའི​ི་མཐའ་ འཁོ​ོར་ལས་གང་མཐོ​ོང་བ་ནས་བྱུང་བ་རེ​ེད། ཁོ​ོ་ཚོ​ོའི​ི་མཐའ་འཁོ​ོར་གྱི​ི་སྲ་གཟུགས་དང་བར་སྣང་གི​ི་ཤེ​ེས་བྱ་ལས། སྲ་ གཟུགས་ཀྱི​ི་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པའི​ི་འཆར་སྣང་གོ​ོང་སྤེ​ེལ་བྱུང་ཡོ​ོད།

སྲ་གཟུགས་ལ་དབྱི​ིབས་དང་། ཆ་ཚད། གནས་ས་ཡོ​ོད་པ་དང་། དེ​ེ་དག་གནས་གཅི​ིག་ནས་གཞན་ལ་སྤོ​ོ་ཐུབ། དེ​ེའི​ི་མཐའ་མཚམས་ལ་ངོ​ོ ངོ​ོས་ཟེ​ེ ་ ར།

ངོ​ོས་དེ​ེ་དག་གི​ིས་བར་སྣང་གི​ི་ཆ་ཤས་གཅི​ིག་གཞན་ནས་ལོ​ོགས་སུ་འབྱེ​ེད་ཀྱི​ི་

ཡོ​ོད་པ་དང་དེ​ེར་སྲབ་མཐུག་མེ​ེད། ངོ​ོས་དེ​ེ་དག་གི​ི་མཐའ་མཚམས་ནི​ི་འཁྱོ​ོག་ཐི​ིག་གམ་དྲང་ཐི​ི ་ ག་རེ​ེད། ཐི​ིག་འདི​ི ་ ་ དག་གི​ི་རྫོ​ོགས་མཚམས་ནི​ི་སྣེ​ེ་ཚེ​ེག་རེ​ེ ་ ད།

སྲ་གཟུགས་ནས་གནས་བར་རི​ིམ་པ་གསུམ་ལ་ཆ་ཞོ​ོག (སྲ་གཟུགས། ངོ​ོས། ཐི​ིག གནས།) རི​ིམ་པ་རེ​ེའི​ི་ནང་མཐུད་ མཚམས་སམ། ཡང་ན་ཕྱོ​ོ ཕྱོ​ོགས་ཚད་གཅི​ི ས་ཚད་ ག་མེ​ེད་པར་ཆགས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེས་ན། སྲ་གཟུགས་ལ་ཕྱོ​ོགས་ཚད་གསུམ་

དང་། ངོ​ོས་ལ་ཕྱོ​ོགས་ཚད་གཉི​ིས། ཐི​ིག་ལ་ཕྱོ​ོགས་ཚད་གཅི​ིག་ཡོ​ོད་པ་དང་། གནས་ལ་ཕྱོ​ོགས་ཚད་མེ​ེད། ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ ཡི​ིས་བརྗོ​ོད་པ་འདི​ི་དག་གོ​ོ་དོ​ོན་ལྟར་སྡོ​ོམ་བརྒྱབ་ཡོ​ོད།

ཁོ​ོང་གི​ིས་གསར་གཏོ​ོད་བྱས་པའི​ི་ ‘Elements’ དཔེ​ེ་དེ​ེབ་དང་པོ​ོའི་ི ནང་གོ​ོ་དོ​ོན་ ༢༣ བཀོ​ོད་དེ​ེ་འགྲེ​ེལ་བཤད་ འགོ​ོ་བཙུགས་ཡོ​ོད། དེ​ེ་དག་ལས་འགའ་ཤས་ནི​ི་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡི​ིན། ༡། ཆ་ཤས་མེ​ེད་པ་དེ​ེ་གནས་ གནས་ཡི​ིན།

༢། ཐི​ིག་ནི​ི ་ ་ཞེ​ེང་མེ​ེད་པའི​ི་དཀྱུས་རེ​ེད།

༣། ཐི​ིག་གི​ི་རྫོ​ོགས་མཚམས་ནི​ི་སྣེ​ེ་ཚེ​ེག་རེ​ེད།

༤། ཐི​ིག་གནས་སྙོ​ོམས་པོ​ོར་ཡོ​ོད་པ་དེ​ེ་ལ་དྲང་ཐི​ི དྲང་ཐི​ིག་ཟེ​ེ ་ ར།

75

རྩིས་རིག

༥། དཀྱུས་དང་ཞེ​ེང་ཁོ​ོ་ན་ཡོ​ོད་པ་དེ​ེ་ལ་ངོ​ོ ངོ​ོས་ཟེ​ེ ་ ར། ༦། ངོ​ོས་ཀྱི​ི་མཐའ་རྣམས་ཐི​ིག་རེ​ེད།

༧། དྲང་ཐི​ིག་སྟེ​ེང་ངོ​ོས་སྙོ​ོམས་པོ​ོར་ཡོ​ོད་པས་ངོ​ོས་ལ་སྙོ​ོ སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཟེ​ེ ་ ར།

གོ​ོ་དོ​ོན་འདི​ི་དག་ལ་གཟབ་ནན་གྱི​ིས་སྦྱངས་ན། ཆ་ཤས་དང་། ཞེ​ེང་། དཀྱུས། སྙོ​ོམས་པོ​ོ་ལ་སོ​ོགས་པའི​ི་ཐ་སྙད་འགར་

འགྲེ​ེལ་བཤད་ད་དུང་གསལ་པོ​ོ་དགོ​ོས་ངེ​ེས་མཐོ​ོང་ཐུབ། དཔེ​ེར་ན། ཁོ​ོང་གི​ི་གནས་ཀྱི​ི་འགྲེ​ེལ་བཤད་ལ་ཆ་ཞོ​ོག གོ​ོ་དོ​ོན་ འདི​ིའི་ི ནང་། 'ཆ་ཤས་' ལ་འགྲེ​ེལ་བཤད་བྱེ​ེད་དགོ​ོས། གལ་ཏེ​ེ་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ 'ཆ་ཤས་' ནི​ི་གང་ཞི​ིག་གི​ིས་ 'རྒྱ་ཁྱོ​ོན་' འཛི​ིན་

པར་འགྲེ​ེལ་བརྗོ​ོད་བྱས་ན། ཡང་བསྐྱར་ 'རྒྱ་ཁྱོ​ོན་' ལ་འགྲེ​ེལ་བཤད་དགོ​ོས། དེ​ེས་ན། གང་ཞི​ིག་གི​ི་འགྲེ​ེལ་བཤད་བྱེ​ེད་ པར། སླར་ཡང་འགྲེ​ེལ་བཤད་བྱེ​ེད་དགོ​ོས་པས། འགྲེ​ེལ་བཤད་རྫོ​ོགས་མཐའ་མེ​ེད་པ་རྒྱག་དགོ​ོས་འཁེ​ེལ་གྱི​ི་རེ​ེད། རྒྱུ་

མཚན་དེ​ེ་ལ་བརྟེ​ེན་ནས། རྩི​ིས་རི​ིག་པ་ཚོ​ོས་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པའི​ི་ཐ་སྙད་འགའ་འགྲེ​ེལ་བརྗོ​ོད་མ་བྱས་པར་བཞག་ ཡོ​ོད།

གོ​ོང་དུ་སྤྲད་པའི​ི་གནས་ཀྱི​ི་གོ​ོ་དོ​ོན་ལས་གཞན་པའི​ི་རང་གི​ི་འཆར་སྣང་ཞི​ིག་ཡོ​ོང་གི​ི་ཡོ​ོད། ཕྱོ​ོགས་ཚད་ཅུང་ཟད་ཡོ​ོད་ཀྱང་གནས་ནི​ི་ཚེ​ེག་གི​ིས་མཚོ​ོན་ཡོ​ོད།

དེ​ེས་ན།

གནས་ལ་

དེ​ེ་འདྲ་བའི​ི་དཀའ་རྙོ​ོག་གོ​ོང་གི​ི་གོ​ོ་དོ​ོན་ ༢ ནང་ཤར་གྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེས་ཞེ​ེང་དང་དཀྱུས་ལ་འབྲེ​ེལ་སྦྱོ​ོར་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་ཀྱང་།

དེ​ེ་གཉི​ིས་ཀའི​ི་གོ​ོ་དོ​ོན་བཀྲལ་མེ​ེད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན་ཐ་སྙད་འགའ་འགྲེ​ེལ་བརྗོ​ོད་མེ​ེད་པར་བཞག་ཡོ​ོད། དེ​ེས་ན། དབྱི​ིབས་ རྩི​ིས་རི​ིག་པའི​ི་ནང་། ང་ཚོ​ོས་གནས་དང་། ཐི​ིག ངོ​ོས་(ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ི་མི​ིང་ཚི​ིག་ནང་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་) བཅས་འགྲེ​ེལ་མེ​ེད་ཐ་སྙད་རྩི​ིས་

ཡོ​ོད། དེ​ེ་དག་ལྷན་སྐྱེ​ེས་ཀྱི​ི་རི​ིགས་པའི​ི་ལམ་ནས་མཚོ​ོན་ཐུབ་པའམ། ཡང་ན། དཔེ​ེ་གཟུགས་སྤྱད་དེ​ེ་འགྲེ​ེལ་བཤད་ བྱེ​ེད་ཐུབ།

ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ིས་གོ​ོ་དོ​ོན་ནས་འགོ​ོ་བཙུགས་ཏེ​ེ། ཁྱད་ཆོ​ོས་འགའ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་མེ​ེད་པར་བདེ​ེན་པར་བཟུང་ཡོ​ོད། དོ​ོན་

དངོ​ོས་སུ་བདེ​ེན་འཛི​ིན་འདི​ི་དག་ནི​ི་ 'ཡོ​ོངས་ཁྱབ་བདེ​ེན་པ' རེ​ེད། ཁོ​ོང་གི​ིས་དེ​ེ་དག་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ (axioms) དང་བདེ​ེན་

གྲུབ་ (postulates) བཅས་རི​ིགས་གཉི​ིས་སུ་ཕྱེ​ེ་ཡོ​ོད། ཁོ​ོང་གི​ིས་ཐ་སྙད་ 'བདེ​ེན་གྲུབ་' ནི​ི་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པར་ དམི​ིགས་པའི​ི་བདེ​ེན་འཛི​ིན་ཆེ​ེད་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་བྱས་ཡོ​ོད། སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ནི​ི་རྩི​ིས་རི​ིག་ཡོ​ོངས་ཁྱབ་ཀྱི​ི་བདེ​ེན་འཛི​ིན་ཆེ​ེད་བེ​ེད་ སྤྱོ​ོད་བྱས་པ་ལས་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་ཁོ​ོ་ནར་དམི​ིགས་པ་མི​ིན། ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་འགའ་ནི​ི ་ ་གཤམ་གསལ་ཡི​ིན།

(༡) དངོ​ོས་པོ​ོ་གང་རུང་གཉི​ིས་གཅི​ིག་པ་ཡི​ིན་ན་དེ​ེ་དག་ཕན་ཚུན་མཚུངས།

(༢) གཅི​ིག་པ་གཉི​ིས་ལ་གཅི​ིག་པ་བསྡོ​ོམས་ན། གང་ཚང་གཉི​ིས་ཀྱང་གཅི​ིག་པ་རེ​ེད། (༣) གཅི​ིག་པ་གཉི​ིས་ནས་གཅི​ིག་པ་འཐེ​ེན་ན། ལྷག་མ་གཉི​ིས་ཀྱང་གཅི​ིག་པ་རེ​ེད། (༤) དངོ​ོས་པོ​ོ་གཉི​ིས་ཕན་ཚུན་མཚུངས་ན་དེ​ེ་གཉི​ིས་གཅི​ིག་མཚུངས་རེ​ེད།

76

ཡུག་ལིཌི་ཡི་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པ་ངོ་ས

(༥) གང་ཚང་ནི​ི་དེ​ེའི​ི་ཆ་ཤས་ལས་ཆེ​ེ།

(༦) དངོ​ོས་པོ​ོ་གཅི​ིག་པའི​ི་ཉི​ིས་སྒྱུར་གཉི​ིས་པོ​ོ་ཕན་ཚུན་གཅི​ིག་མཚུངས་རེ​ེད། (༧) དངོ​ོས་པོ​ོ་གཅི​ིག་པའི​ི་ཕྱེ​ེད་ཀ་གཉི​ིས་ནི​ི་ཕན་ཚུན་གཅི​ིག་མཚུངས་རེ​ེད།

'སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་' འདི​ི་དག་ནི​ི་འབོ​ོར་ཞི​ིག་ལ་གོ​ོ་དགོ​ོས། སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་དང་པོ​ོ་ནི​ི་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་དཔེ​ེ་རི​ིས་ལ་སྦྱོ​ོར་ཐུབ།

དཔེ​ེར་ན། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་དང་གྲུ་ནར་གྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གཅི​ིག་པ་ཡི​ིན་པ་དང་། གྲུ་ནར་གྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ནི​ི་གྲུ་བཞི​ི་ཁ་ གང་གི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་དང་གཅི​ིག་པ་ཡི​ིན་ན། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་དང་གྲུ་བཞི​ི་ཁ་གང་གི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གཅི​ིག་པ་རེ​ེད།

གྲངས་འབོ​ོར་རི​ིགས་མཐུན་པ་རྣམས་བསྡུར་ཐུབ་པ་དང་སྡོ​ོམ་ཡང་ཐུབ། རི​ིགས་མི​ི་མཐུན་པའི​ི་གྲངས་འབོ​ོར་རྣམས་

བསྡུར་མི​ི་ཐུབ། དཔེ​ེར་ན། གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོའི་ི སྟེ​ེང་ལ་ཐི​ིག་སྡོ​ོམ་མི​ི་ཐུབ་པ་དང་། ཟུར་དང་དབྱི​ིབས་མཐའ་ལྔ་མ་གཉི​ིས་ བསྡུར་མི​ི་ཐུབ།

གོ​ོང་གི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ (༤) པ་ལས་གལ་ཏེ​ེ་དངོ​ོས་པོ​ོ་གཉི​ིས་གཅི​ིག་མཚུངས་ (དེ​ེ་ནི​ི་གཅི​ིག་པ་) ཡི​ིན་ན། དེ​ེ་གཉི​ིས་ཕན་ ཚུན་མཚུངས་ཞེ​ེས་ཟེ​ེར། ཚི​ིག་གཞན་ནང་། དངོ​ོས་པོ​ོ་ཚང་མ་རང་ཉི​ིད་དང་གཅི​ིག་པ་རེ​ེད། དེ​ེ་སྣོ​ོལ་བརྩེ​ེགས་རྣམ་ གཞག་གི​ི་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་ར་སྤྲོ​ོད་རེ​ེད།

སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ (༥) པས་ང་ཚོ​ོར་ཆེ​ེ་བའམ་མང་བའི​ི་གོ​ོ་དོ​ོན་བསྟན་ཡོ​ོད། དཔེ​ེར་ན། གྲངས་འབོ​ོར་ B ནི​ི་གྲངས་འབོ​ོར་ A ཡི​ི་ཆ་ཤས་ཡི​ིན་ན། A ནི​ི་ B དང་གྲངས་འབོ​ོར་གསུམ་པ་ C གཉི​ིས་ཀྱི​ི་བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་ལྟར་འབྲི​ི་ཐུབ། དེ​ེ་ནི​ི། A > B ཡི​ི་དོ​ོན་ནི​ི་ C ཞི​ིག་ཡོ​ོད་པ་དང་། A = B + C

ང་ཚོ​ོས་ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ི་བདེ​ེན་གྲུབ་ལྔ་ལ་གྲོ​ོས་བསྡུར་བྱེ​ེད་རྒྱུ་ཡི​ིན། དེ​ེ་དག་ནི​ི།

བདེ​ེན་གྲུབ། ༡ གནས་གང་རུང་གཉི​ིས་བརྒྱུད་པའི​ི་དྲང་ཐི​ིག་གཅི​ིག་རང་འབྲི​ི་ཐུབ།

བདེ​ེན་གྲུབ་འདི​ིས་ང་ཚོ​ོར་གནས་ཐ་དད་གཉི​ིས་བརྒྱུད་པའི​ི་ཉུང་མཐར་དྲང་ཐི​ིག་གཅི​ིག་ཡོ​ོད་པ་ལས། དེ​ེས་དྲང་ཐི​ིག་

གཅི​ིག་ལས་མང་བ་ཡོ​ོང་མི​ི་ཆོ​ོག་པ་ཤོ​ོད་ཀྱི​ི་མེ​ེད། ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ི་དཔེ​ེ་དེ​ེབ་ནང་གསལ་ཁ་མེ​ེད་ཀྱང་ཁོ​ོང་གི​ིས་གནས་ཐ་ དད་གཉི​ིས་བརྒྱུད་པའི​ི་ཐི​ིག་ཁྱད་པར་བ་ཞི​ིག་ཡོ​ོད་པ་བདེ​ེན་པར་བཟུང་ཡོ​ོད། ང་ཚོ​ོས་མཐའ་སྡོ​ོམ་འདི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་གྱི​ི་ རྣམ་པར་གཤམ་གསལ་ལྟར་འབྲི​ི་ཡི​ི་ཡོ​ོད།

སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ། ༥་༡ ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པའི​ི་གནས་ཐ་དད་གཉི​ིས་བརྒྱུད་པའི​ི་ཐི​ིག་ཁྱད་པར་བ་ཞི​ིག་ཡོ​ོད།

P བརྒྱུད་པའི​ི་ཐི​ིག་ག་ཚོ​ོད་ Q བརྒྱུད་དེ​ེ་འགྲོ​ོ་ཡི​ི་འདུག་གམ། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༥་༤) གཅི​ིག་ཁོ​ོ་ན་སྟེ​ེ། ཐི​ིག་ PQ རེ​ེད། Q

བརྒྱུད་པའི​ི་ཐི​ིག་ག་ཚོ​ོད་ P བརྒྱུད་དེ​ེ་འགྲོ​ོ་ཡི​ི་འདུག་གམ། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༥་༤) གཅི​ིག་ཁོ​ོ་ན་སྟེ​ེ། ཐི​ིག་ PQ རེ​ེད། དེ​ེས་ན། གོ​ོང་གི​ི་བརྗོ​ོད་པ་ནི​ི་རང་ངོ​ོས་ནས་མངོ​ོན་གསལ་དོ​ོད་པོ​ོ་ཡི​ིན་པས། དེ​ེ་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ལ་ངོ​ོས་འཛི​ིན་བྱས་ཡོ​ོད།

77

རྩིས་རིག Q

P

དཔེ་རིས་ ༥་༤

བདེ​ེན་གྲུབ། ༢ ཐི​ིག་དུམ་ཞི​ིག་ཚད་མེ​ེད་པར་བསྲི​ིང་ཐུབ།

ང་ཚོ​ོས་དེ​ེང་སང་ཐི​ིག་དུམ་ཟེ​ེར་བ་དེ​ེར་ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ིས་ཚད་ཡོ​ོད་ཐི​ིག་ཅེ​ེས་ཟེ​ེར།

དེ​ེས་ན།

དེ​ེང་དུས་ཀྱི​ི་ཐ་སྙད་

གཞི​ིར་བཟུང་བདེ​ེན་གྲུབ་ ༢ པ་ལས་ཐི​ིག་དུམ་ཞི​ིག་ཕྱོ​ོགས་གཉི​ིས་ཀར་ཚད་མེ​ེད་པར་བསྲི​ིངས་ན་ཐི​ིག་འགྲུབ། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༥་༥ ལ་ལྟོ​ོས་)

B A

དཔེ་རིས་ ༥་༥

བདེ​ེན་གྲུབ། ༣ སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་དང་ཚངས་ཕྱེ​ེད་ངེ​ེས་པའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཤི​ིག་འབྲི​ི་ཐུབ། བདེ​ེན་གྲུབ། ༤ དྲང་ཟུར་ཚང་མ་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཡི​ིན། བདེ​ེན་གྲུབ། ༥

གལ་སྲི​ིད་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ལ་ཐི​ིག་གཞན་ཞི​ིག་གི​ིས་འཕྲེ​ེད་བཅད་བྱེ​ེད་སྐབས། མུ་འབྲེ​ེལ་ནང་ཟུར་གཉི​ིས་

ཀྱི​ི་བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་ནི​ི་དྲང་ཟུར་གཉི​ིས་ལས་ཆུང་བ་ཡོ​ོད་ན། ཐི​ིག་དེ​ེ་གཉི​ིས་སྲི​ིང་སྐབས་ཕྱོ​ོགས་དེ​ེར་འཕྲད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། དཔེ​ེར་ན། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༥་༦ ནང་གི​ི་ཐི​ིག་ PQ ནི​ི་ཐི​ིག་ AB དང་ CD

སྟེ​ེང་ལ་འཕྲད་སྐབས་ PQ ཡི​ི་གཡོ​ོན་ཕྱོ​ོགས་སུ་མུ་འབྲེ​ེལ་ནང་ཟུར་ 1

དང་ 2 ཀྱི​ི་བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་ནི​ི་ 180o ལས་ཆུང་བ་ཡི​ིན། དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ཐི​ིག་ AB དང་ CD གཉི​ིས་ PQ ཡི​ི་གཡོ​ོན་ཕྱོ​ོགས་ལ་འཕྲད་ངེ​ེས་ རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༥་༦ ལ་ལྟོ​ོས་)

B

P

A

1 2

C

Q

D

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༥་༦

བདེ​ེན་གྲུབ་ལྔ་ལས་ ༥ དེ​ེ་རྙོ​ོག་འཛི​ིངས་ཆེ​ེ་བ་ཡོ​ོད། ཕྱོ​ོགས་གཞན་ནས། བདེ​ེན་གྲུབ་ ༡ ནས་ ༤ བར་ཆ་ཚང་ལས་

སླ་པོ​ོ་དང་མངོ​ོན་གསལ་ཡི​ིན་པས་འདི​ི་དག་རང་ངོ​ོས་ནས་བདེ​ེན་པར་གྲུབ། ཡི​ིན་ན་ཡང་། དེ​ེ་དག་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་

བྱེ​ེད་མི​ི་ཐུབ་པས། ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་མེ​ེད་ཀྱང་བརྗོ​ོད་པ་འདི​ི་དག་བདེ​ེན་པར་བཟུང་ཡོ​ོད། རྙོ​ོག་འཛི​ིངས་ཀྱི​ི་རྐྱེ​ེན་པས་ལེ​ེ་ ཚན་རྗེ​ེས་མའི​ི་ནང་བདེ​ེན་གྲུབ་ ༥ ལ་དོ​ོ་སྣང་མང་ཙམ་བྱ་རྒྱུ་ཡི​ིན།

དེ​ེང་དུས་བདེ​ེན་གྲུབ་དང་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་བཅས་ཐ་སྙད་གཉི​ིས་ཕན་ཚུན་བརྗེ​ེ་རེ​ེས་བྱེ​ེད་པ་དང་གོ​ོ་དོ​ོན་ཡང་གཅི​ིག་པ་

རེ​ེད། བདེ​ེན་གྲུབ་ནི​ི་བྱ་ཚི​ིག་ཡི​ིན། ''ང་ཚོ​ོས་བདེ​ེན་པ་སྒྲུབ་རྒྱུ་ཡི​ིན།'' ཟེ​ེར་སྐབས། ''འཇི​ིག་རྟེ​ེན་གྱི​ི་མངོ​ོན་ཚུལ་ལ་

78

ཡུག་ལིཌི་ཡི་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པ་ངོ་ས

གཞི​ིར་བཟུང་ནས་བརྗོ​ོད་པ་བདེ​ེན་པར་སྒྲུབ་རྒྱུ་ཡི​ིན་ཞེ​ེས་ཟེ​ེར་གྱི​ི་ཡོ​ོད།'' དེ​ེའི་ི བདེ​ེན་པ་/ཁུངས་ཐུབ་ཀྱི​ི་རང་བཞི​ིན་ ནི​ི་རྗེ​ེས་སུ་བལྟ་རྒྱུ་རེ​ེད། གལ་སྲི​ིད་དེ​ེ་བདེ​ེན་པ་ཡི​ིན་ན། དེ​ེ་བདེ​ེན་གྲུབ་ཡི​ིན་པ་ཁས་ལེ​ེན་གྱི​ི་ཡོ​ོད། ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ིས་རང་གི​ི་བདེ​ེན་གྲུབ་དང་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་བཀོ​ོད་རྗེ​ེས།

དེ​ེ་དག་གྲུབ་འབྲས་གཞན་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་ཆེ​ེད་དུ་

བེ​ེད་སྤྱད་ཡོ​ོད། དེ​ེ་ནས་ཁོ​ོང་གི​ིས་གྲུབ་འབྲས་འདི​ི་དག་སྤྱད་དེ​ེ་རྣམ་འབྱེ​ེད་རི​ིགས་འདེ​ེད་ཀྱི​ིས་གྲུབ་འབྲས་མང་ཙམ་ ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱས་ཡོ​ོད། ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱས་པའི​ི་བརྗོ​ོད་པ་འདི​ི་དག་ལ་རྩི​ིས་བརྗོ​ོད་དམ་ཡང་ན་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ (thoerems) ཟེ​ེར།

ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ིས་རང་གི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་དང་། བདེ​ེན་གྲུབ། གོ​ོ་དོ​ོན། ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་བཅས་སྤྱད་དེ​ེ་རྩི​ིས་བརྗོ​ོད་ ༤༦༥ རི​ིགས་ འདེ​ེད་ཀྱི​ིས་རྣམ་པར་འབྱེ​ེད་ཡོ​ོད།

ང་ཚོ​ོས་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་ཀྱི​ི་སློ​ོབ་ཚན་རྗེ​ེས་མའི​ི་ནང་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་འདི​ི་དག་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་

བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན།

གཤམ་གསལ་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་ནང་ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ིས་རང་གི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་དང་བདེ​ེན་གྲུབ་སྤྱད་དེ​ེ་གྲུབ་འབྲས་འགའ་ཇི​ི་ལྟར་ ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱས་པ་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་འགའ་བརྒྱུད་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡ གལ་ཏེ​ེ་ A དང་ B, C བཅས་ཐི​ིག་ཅི​ིག་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་དང་། B ནི​ི་ A དང་ C དབར་ལ་ཡོ​ོད་ན། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༥་༧ ལ་ལྟོ​ོས་) AB + BC = AC ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

A

ལན།

B

C

དཔེ་རིས་ ༥་༧

གོ​ོང་གི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ནང་། AC དང་ AB + BC མཉམ་མཚུངས་རེ​ེད། ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ (༤) ལས།

AB + BC = AC

རྣམ་པར་འབྱེ​ེད་ཐུབ།

མཆན། ལན་འདི​ིའི​ི་ནང་། གནས་གཉི​ིས་བརྒྱུད་པའི​ི་ཐི​ིག་ཁྱད་པར་བ་ཞི​ིག་ཡོ​ོད་པ་ཚོ​ོད་དཔག་བྱས་ཡོ​ོད། རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༢ སྤྲད་ཟི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་དུམ་ཞི​ིག་གི​ི་སྟེ​ེང་མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་འགོ​ོད་ཐུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་ཁུངས་ ལན།

སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

གོ​ོང་གི​ི་བརྗོ​ོད་པ་ལས། རི​ིང་ཚད་གང་རུང་གི​ི་ཐི​ིག་དུམ་ AB སྤྲད་ཡོ​ོད།

[དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༥་༨(ཀ) ལ་ལྟོ​ོས་]

79

རྩིས་རིག

A

C

(ཀ)

B

A

(ཁ)

C

B

A

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༥་༨

(ག)

B

འདི​ིར་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་བཀོ​ོད་པ་འགའ་བྱེ​ེད་དགོ​ོས། ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ི་བདེ​ེན་གྲུབ་ ༣ སྤྱད་དེ​ེ། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གནས་ A ནི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་

དང་ཚངས་ཕྱེ​ེད་ AB ཡི​ིན་པའི​ི་གཞུ་ཐི​ིག་ཅི​ིག་བྲི​ིས། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༥་༨(ཁ) ལ་ལྟོ​ོས་] དེ​ེ་བཞི​ིན། སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ B དང་ཚངས་ཕྱེ​ེད་

BA ཡི​ིན་པའི​ི་གཞུ་ཐི​ིག་གཞན་ཞི​ིག་བྲི​ིས། གཞུ་ཐི​ིག་གཉི​ིས་འཕྲད་སའི​ི་གནས་ལ་ C བྲི​ིས། ཐི​ིག་དུམ་ AC དང་ BC བྲི​ིས་ནས་ ∆ABC འགྲུབ་པར་གྱི​ིས། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༥་༨(ག) ལ་ལྟོ​ོས་]

དེ​ེས་ན། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཟུར་གསུམ་མ་འདི​ི་མཐའ་མཉམ་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན་དགོ​ོས། དེ​ེ་ནི​ི། AB = AC = BC AB = AC (སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་གཅི​ིག་པའི​ི་ཚངས་ཕྱེ​ེད་ཡི​ིན་པས།)

དེ​ེ་བཞི​ིན། AB = BC (སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་གཅི​ིག་པའི​ི་ཚངས་ཕྱེ​ེད་)

དངོ​ོ ས ་བདེ​ེན ་འདི​ི་ གཉི​ིས ་དང་ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ ཡི​ི་ སྤྱི​ི་ སྲོ​ོ ལ ་དངོ​ོ ས ་པོ​ོ ་ གཉི​ིས ་ཕན་ཚུན་མཚུངས་ན་དེ​ེ་ གཉི​ིས ་གཅི​ིག ་ མཚུངས་ཡི​ིན་པ་གཉི​ིས་ལས། ང་ཚོ​ོས་ AB = BC = AC ཡི​ིན་པ་མཐའ་སྡོ​ོམ་བྱེ​ེད་ཐུབ། དེ​ེ​ེས་ན། ∆ABC ནི​ི་མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་རེ​ེད།

མཆན། འདི​ིར་ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ིས་གསལ་ཁ་མ་བཏོ​ོན་བར། སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ A དང་ B ལས་བྲི​ིས་པའི​ི་གཞུ་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ཕན་ ཚུན་གནས་ཤི​ིག་ལ་འཕྲད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་བདེ​ེན་པར་བཟུང་ཡོ​ོད།

ང་ཚོ​ོས་གྲུབ་འབྲས་མང་པོ​ོའི་ི ནང་ཡང་ཡང་སྤྱོ​ོད་པའི​ི་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ཞི​ིག་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན། ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༥་༡ ཐི​ིག་ཐ་དད་གཉི​ིས་ལ་སྤྱི​ི་གནས་གཅི​ིག་ལས་མང་བ་ཡོ​ོང་མི​ི་སྲི​ིད།

ཁུངས་སྐྱེ​ེལ། འདི​ིར་ང་ཚོ​ོར་ཐི​ིག་ l དང་ m བཅས་གཉི​ིས་ཡོ​ོད། དེ​ེ་དག་ལ་སྤྱི​ི་གནས་གཅི​ིག་ལས་མེ​ེད་པ་ཁུངས་ སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་དགོ​ོས།

འདི​ིར་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ཕན་ཚུན་གནས་ཐ་དད་ P དང་ Q ལ་སྣོ​ོལ་གྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་ཆ་བཞག་ན། ཁྱེ​ེད་ལ་གནས་ཐ་དད་

P དང་ Q བརྒྱུད་པའི​ི་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ཡོ​ོད་པ་བདེ​ེན་པ་འཛི​ིན་དགོ​ོས། ཡི​ིན་ནའང་། ཆ་འཇོ​ོག་འདི​ི་གནས་ཐ་དད་

གཉི​ིས་བརྒྱུད་པའི​ི་ཐི​ིག་གཅི​ིག་རང་ལས་མེ​ེད་པའི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་དང་ཁ་གཏད་ཡི​ིན།

འཛི​ིན་པའི​ི་གནས་ཐ་དད་གཉི​ིས་བརྒྱུད་པའི​ི་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ཡོ​ོད་པ་ནི​ི་བདེ​ེན་པ་མི​ིན།

དེ​ེས་ན།

ང་ཚོ​ོས་བདེ​ེན་པར་

འདི​ི་ལས། ང་ཚོ​ོས་ཐི​ིག་ཐ་དད་གཉི​ིས་ལ་སྤྱི​ི་གནས་གཅི​ིག་ལས་མང་བ་མེ​ེད་པ་སྡོ​ོམ་ཚི​ིག་རྒྱག་དགོ​ོས་བྱུང།

80

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༥་༡

ཡུག་ལིཌི་ཡི་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པ་ངོ་ས

༡། གཤམ་གྱི​ི་བརྗོ​ོད་པ་ཁག་བདེ​ེན་པ་ཡི​ིན་མི​ིན་བལྟས་ཏེ​ེ་རྒྱུ་མཚན་བྲི​ིས། (ཀ) གནས་ཤི​ིག་བརྒྱུད་པའི​ི་ཐི​ིག་གཅི​ིག་ལས་མེ​ེད།

(ཁ) གནས་ཐ་དད་གཉི​ིས་བརྒྱུད་པའི​ི་ཐི​ིག་ཚད་མེ​ེད་ཡོ​ོད།

(ག) ཐི​ིག་དུམ་ནི​ི་ཕྱོ​ོགས་གཉི​ིས་ཀར་ཚད་མེ​ེད་པར་བསྲི​ིང་ཐུབ།

(ང) སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་གཉི​ིས་གཅི​ིག་པ་ཡི​ིན་ན། ཚངས་ཕྱེ​ེད་གཉི​ིས་གཅི​ིག་པ་རེ​ེད།

(ཅ) དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༥་༩ ནང་། AB = PQ དང་། PQ = XY ཡི​ིན་ན། AB = XY B

༢།

Q

P

A

གཤམ་གྱི​ི་ཐ་སྙད་རྣམས་ལ་གོ​ོ་དོ​ོན་བྲི​ིས།

དཔེ་རིས་ ༥་༩

དེ​ེ་མ་བྱས་གོ​ོང་ཐ་སྙད་གཞན་ལ་འགྲེ​ེལ་བཤད་དགོ​ོས་སམ། གལ་

སྲི​ིད་དགོ​ོས་ན། དེ​ེ་དག་ཇི​ི་ལྟར་བྱེ​ེད་རྒྱུ་ཡི​ིན་ནམ། (ཀ) མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག

(ང) སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཚངས་ཕྱེ​ེད།

Y

X

(ཁ) དྲང་འཕྱང་ཐི​ིག

(ཅ) གྲུ་བཞི​ི་ཁ་གང་མ།

(ག) ཐི​ིག་དུམ།

༣། གཤམ་གསལ་ནི​ི་བདེ​ེན་གྲུབ་གཉི​ིས་ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག

(ཀ) སྤྲད་ཟི​ིན་པའི​ི་གནས་ A དང་ B གཉི​ིས་དབར་ལ་གནས་གསུམ་པ་ C ཞི​ིག་ཡོ​ོད། (ཁ) ཐི​ིག་གཅི​ིག་སྟེ​ེང་མེ​ེད་པའི​ི་གནས་ཉུང་མཐར་གསུམ་ཡོ​ོད།

བདེ​ེན་གྲུབ་འདི​ི་དག་ནང་གོ​ོ་དོ​ོན་མི​ི་གསལ་བའི​ི་ཐ་སྙད་འདུག་གམ། བདེ​ེན་གྲུབ་འདི​ི་དག་བརྟན་པོ​ོ་ཡོ​ོད་དམ། དེ​ེ་དག་ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ི་བདེ​ེན་གྲུབ་ལས་བྱུང་ཡོ​ོད་དམ། གསལ་བཤད་བྱོ​ོས།

༤། གལ་ཏེ​ེ་གནས་ A དང་ B དབར་ལ་གནས་ C ཞི​ིག་ཡོ​ོད་པ་དང་། AC = BC ཡི​ིན་ན། AC = ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས། དཔེ​ེ་རི​ིས་བྲི​ིས་ནས་འགྲེ​ེལ་བཤད་བྱོ​ོས།

1 AB 2

༥། དྲི​ི་བ་ ༤ ནང་། གནས་ C ལ་ཐི​ིག་དུམ་ AB ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་ཟེ​ེར། ཐི​ིག་དུམ་ཚང་མར་དཀྱི​ིལ་གནས་གཅི​ིག་ ལས་མེ​ེད་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

༦། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༥་༡༠ ནང་། AC = BD ཡི​ིན་ན། AB = CD ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས། C

B A

དཔེ་རིས་ ༥་༡༠

D

༧། ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ནང་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ ༥ པ་ནི​ི་ 'ཡོ​ོངས་ཁྱབ་བདེ​ེན་པ་' རྩི​ི་དགོ​ོས་དོ​ོན་གང་ཡི​ིན་ནམ།

81

རྩིས་རིག

༥་༣ ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ི་བདེ​ེན་གྲུབ་ལྔ་པའི​ི་འདྲ་མཚུངས་རྣམ་པ། Equivalent Versions of Euclid's Fifth Postulate ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ི་བདེ​ེན་གྲུབ་ལྔ་པ་ནི​ི་རྩི​ིས་རི​ིག་གི​ི་ལོ​ོ་རྒྱུས་ནང་གལ་གནད་ཅི​ིག་ཡི​ིན། དེ​ེ་ལེ​ེ་ཚན་ ༥་༢ ནས་དྲན་གསོ​ོ་

གྱི​ིས་དང་། ཐི​ིག་གི​ི་ཕྱོ​ོགས་གཅི​ིག་པའི​ི་སྟེ​ེང་གི​ི་མུ་འབྲེ​ེལ་ནང་ཟུར་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་བསྡོ​ོམས་གྲངས་ 180o ཡི​ིན་སྐབས།

ཐི​ིག་ཕན་ཚུན་སྣོ​ོལ་གྱི​ི་མེ​ེད་པ་ནི​ི་ཤུགས་ཀྱི​ིས་བསྟན་ཡོ​ོད། བདེ​ེན་གྲུབ་འདི​ི་ལ་འདྲ་མཚུངས་རྣམ་པ་མང་པོ​ོ་ཡོ​ོད། དེ​ེ་ དག་ལས་གཅི​ིག་ནི​ི་ 'Playfair ཡི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་' (ཕྱི​ི་ལོ​ོ་ ༡༧༢༩ ནང་སི​ི་ཀོ​ོཊ་ཤཱི​ི་རྩི​ིས་རི​ིག་མཁས་པ་ John Playfair ཡི​ིས་གཏན་འབེ​ེབས་ བྱས།) གཤམ་གསལ་ལྟར།

'ཐི​ིག་གང་རུང་ l དང་། l སྟེ​ེང་མེ​ེད་པའི​ི་གནས་གང་རུང་ P ཞི​ིག་ཡོ​ོད་ན། གནས་ P བརྒྱུད་པའི​ི་ཐི​ིག་ཁྱད་པར་

བ་ m ཞི​ིག་ཡོ​ོད་པ་དང་། དེ​ེ་ l ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་རེ​ེད།'

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༥་༡༡ ནང་གནས་ P བརྒྱུད་པའི​ི་ཐི​ིག་འགའ་ལས་ཐི​ིག་ m ཁོ​ོ་ན་ l དང་མཉམ་འགྲོ​ོ་རེ​ེད། m l

གྲུབ་འབྲས་འདི​ི་གཤམ་གསལ་རྣམ་པ་ལྟར་འབྲི​ི་ཐུབ།

P

དཔེ་རིས་ ༥་༡༡

སྣོ​ོལ་ཐི​ིག་ཐ་དད་ཕན་ཚུན་མཉམ་འགྲོ​ོ་མི​ིན།

ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ལ་རང་གི​ི་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ཐོ​ོག་མ་ ༢༨ ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་པར་བདེ​ེན་གྲུབ་ ༥ དེ​ེ་

N

མི​ི་དགོ​ོས། ཡུག་ལི​ིཌི​ི་དང་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་གཞན་མང་པོ​ོར་བདེ​ེན་གྲུབ་ ༥ ནི​ི་བདེ​ེན་གྲུབ་

ཐོ​ོག་མ་བཞི​ི་དང་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་གཞན་སྤྱད་དེ​ེ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་ཐུབ་པའི​ི་ངེ​ེས་སྲོ​ོ​ོལ་ཞི​ིག་ ཡི​ིན་པར་ཡི​ིད་ཆེ​ེས་ཡོ​ོད། བདེ​ེན་གྲུབ་ ༥ ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ལྟར་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་གྱི​ི་ཐབས་ཤེ​ེས་ ཆ་ཚང་མཐར་སོ​ོན་མེ​ེད། ཡི​ིན་ནའང་། ཐབས་ཤེ​ེས་དེ​ེ་དག་ལས་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་ གཞན་མང་པོ​ོ་གསར་གཏོ​ོད་ཀྱི​ིས་གྲུབ་འབྲས་ཆེ​ེན་པོ​ོ་བྱུང་ཡོ​ོད། འདི​ི་དག་ཡུག་ལི​ིཌི​ི་

A

B

དཔེ་རིས་ ༥་༡༢

ཡི​ི་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་དང་གཅི​ིག་པ་མི​ིན། དེ​ེ་དག་ལ་ཡུག་ལི​ིཌི​ི་མི​ིན་པའི​ི་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་ཟེ​ེར། ཁོ​ོང་ ཚོ​ོའི​ི་གསར་གཏོ​ོད་ནི​ི་ལོ​ོ་རྒྱུས་ནང་འཕོ​ོ་འགྱུར་གྱི​ི་དུས་མཚམས་ཤི​ིག་ལ་ངོ​ོས་འཛི​ིན་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། རྒྱུ་མཚན་ ནི​ི་དེ​ེ་མ་བྱུང་བར་དུ་ཚང་མས་ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ི་རི​ིག་པ་དེ​ེ་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་ཁོ​ོ་ན་ཡི​ིན་པ་བདེ​ེན་འཛི​ིན་བྱས་ ཡོ​ོད།

ང་ཚོ​ོ་གནས་བཞི​ིན་པའི​ི་འཇི​ིག་རྟེ​ེན་གྱི​ི་ཁམས་ཀྱི​ི་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་འདི​ི་ནི​ི་ཡུག་ལི​ིཌི​ི་མི​ིན་པའི​ི་

དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་རེ​ེད། དེ​ེ་ལ་ཟླུམ་གཟུགས་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་ (spherical geometry) ཟེ​ེར།

82

ཡུག་ལིཌི་ཡི་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པ་ངོ་ས

ཟླུམ་གཟུགས་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པའི​ི་ནང་ཐི​ིག་རྣམས་དྲང་པོ​ོ་མེ​ེད་པ་དང་། དེ​ེ་དག་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཆེ​ེ་བའི​ི་ཆ་ཤས་ ཡི​ིན། (དེ​ེ་ནི​ི་ཟླུམ་གཟུགས་དང་དེ​ེའི་ི ལྟེ​ེ་བ་བརྒྱུད་པའི​ི་ངོ​ོས་གཉི​ིས་ཕན་ཚུན་བསྣོ​ོལ་ཏེ​ེ་གྲུབ་པའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་) དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༥་༡༢ ནང་ཐི​ིག་ AN

དང་ BN (སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཆེ​ེ་བའི​ི་ཆ་ཤས་) གཉི​ིས་ཐི​ིག་ AB དང་དྲང་འཕྱང་ཡི​ིན། ཐི​ིག་ AB ཡི​ི་ཕྱོ​ོགས་གཅི​ིག་པའི​ི་སྟེ​ེང་ གི​ི་ཟུར་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་ནི​ི་དྲང་ཟུར་གཉི​ིས་ལས་ཉུང་བ་མེ​ེད། ཡང་

A+

B = 180o ཡི​ིན་པས།

ཟུར་གསུམ་མ་ NAB ཡི​ི་ཟུར་གྱི​ི་བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་ནི​ི་ 180o ལས་མང་བ་ཡི​ིན། དེ​ེས་ན། ཡུག་ལི​ིཌི་ི ཡི​ི་དབྱི​ིབས་ རྩི​ིས་རི​ིག་པ་ནི​ི་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་སྟེ​ེང་གི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ལ་བདེ​ེན་ཡང་འབུར་ངོ​ོས་སྟེ​ེང་གི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ལ་མི​ི་བདེ​ེན།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༣ གཤམ་གྱི​ི་བརྗོ​ོད་པ་ལ་ཆ་ཞོ​ོག། དྲང་ཐི​ིག་ཆ་གཅི​ིག་ཡོ​ོད་པ་དང་དེ​ེ་དག་ཕན་ཚུན་གནས་ཐམས་ཅད་ དུ་བར་ཐག་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན། བརྗོ​ོད་པ་འདི​ི་ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ི་བདེ​ེན་གྲུབ་ ༥ རྗེ​ེས་འབྲས་ཡི​ིན་ནམ།

ལན།

འགྲེ​ེལ་བཤད་བྱོ​ོས།

ཐི​ིག་གང་རུང་ l ཞི​ིག་དང་དེ​ེའི​ི་སྟེ​ེང་གནས་ P ཞི​ིག་ཡོ​ོད་པ་ཆ་ཞོ​ོག Playfair ཡི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ལས། ང་

ཚོ​ོས་ P བརྒྱུད་ཐི​ིག་ l དང་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་ m ཞི​ིག་ཡོ​ོད་པ་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེ་ནི​ི་བདེ​ེན་ གྲུབ་ ༥ དང་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན།

ཐི​ིག ་ཅི​ིག ་ནས་གནས་བར་གྱི​ི་ བར་ཐག་ནི​ི་ གནས་ནས་ཐི​ིག ་བར་གྱི​ི་ དྲང་འཕྱང་གི​ི་ རི​ིང ་ཚད་དེ​ེ་ རེ​ེད། བར་ཐག་འདི​ི་ m སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་གང་རུང་ནས་ l བར་དང་། l སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་གང་རུང་

ནས་ m བར་གཅི​ིག་པ་རེ​ེད། དེ​ེས་ན། ཐི​ིག་འདི​ི་གཉི​ིས་ཕན་ཚུན་གནས་ཐམས་ཅད་དུ་བར་ཐག་ མཆན།

འདྲ་མཚུངས་རེ​ེད།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་སློ​ོབ་ཚན་རྗེ​ེས་མའི​ི་ནང་ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ི་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་རེ​ེད། ང་ཚོ​ོས་སྤྱོ​ོད་པའི​ི་སྤྱི​ི་

སྲོ​ོལ་དང་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་རྣམས་ཡུག་ལི​ིཌི​ིའི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་དང་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ལ་མི​ི་འདྲ་བ་ཡོ​ོང་སྲི​ིད།

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༥་༢

༡། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གོ​ོ་སླ་བའི​ི་ཆེ​ེད་ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ི་བདེ​ེན་གྲུབ་ ༥ དེ​ེ་བསྐྱར་འབྲི​ི་ཇི​ི་ལྟར་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན།

༢། ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ི་བདེ​ེན་གྲུབ་ ༥ ཡི​ིས་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ཡོ​ོད་ཚུལ་སྟོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད་དམ། འགྲེ​ེལ་བཤད་བྱོ​ོས།

༥་༤ སྙི​ིང་བསྡུས།

སློ​ོབ་ཚན་འདི​ིར་གཤམ་གསལ་གནད་དོ​ོན་ཁག་སྦྱངས་ཡོ​ོད།

༡། ཡུག་ལི​ིཌི་ི ཡི​ིས་གནས་དང་ཐི​ིག སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་བཅས་ཀྱི​ི་གོ​ོ་དོ​ོན་འགྲེ​ེལ་བརྗོ​ོད་བྱས་ཀྱང་། རྩི​ིས་རི​ིག་པ་ཚོ​ོས་འགྲེ​ེལ་ བརྗོ​ོད་འདི​ི་དག་ངོ​ོས་ལེ​ེན་བྱས་མེ​ེད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ད་ལྟ་ཐ་སྙད་འདི​ི་དག་གོ​ོ་དོ​ོན་མེ​ེད་པར་ངོ​ོས་འཛི​ིན་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

83

རྩིས་རིག

༢། སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ཡང་ན་བདེ​ེན་གྲུབ་རྣམས་ཡོ​ོངས་ཁྱབ་བདེ​ེན་པ་མངོ​ོན་གསལ་ཅན་ཡི​ིན་པའི​ི་བདེ​ེན་འཛི​ིན་རེ​ེད། དེ​ེ་དག་ ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱས་མེ​ེད།

༣། ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ནི​ི་གོ​ོ་དོ​ོན་དང་། སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ། གོ​ོང་དུ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱས་པའི​ི་བརྗོ​ོད་པ། རྣམ་འབྱེ​ེད་རི​ིགས་འདེ​ེད་སྤྱད་དེ​ེ་ ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱས་པའི​ི་བརྗོ​ོད་པ་ཞི​ིག་ལ་ཟེ​ེར།

༤། ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་འགའ་ནི​ི།

(༡) དངོ​ོས་པོ​ོ་གང་རུང་གཉི​ིས་གཅི​ིག་པ་ཡི​ིན་ན་དེ​ེ་དག་ཕན་ཚུན་མཚུངས།

(༢) གཅི​ིག་པ་གཉི​ིས་ལ་གཅི​ིག་པ་བསྡོ​ོམས་ན། གང་ཚང་གཉི​ིས་ཀྱང་གཅི​ིག་པ་རེ​ེད། (༣) གཅི​ིག་པ་གཉི​ིས་ནས་གཅི​ིག་པ་འཐེ​ེན་ན། ལྷག་མ་གཉི​ིས་ཀྱང་གཅི​ིག་པ་རེ​ེད། (༤) དངོ​ོས་པོ​ོ་གཉི​ིས་ཕན་ཚུན་མཚུངས་ན་དེ​ེ་གཉི​ིས་གཅི​ིག་མཚུངས་རེ​ེད། (༥) གང་ཚང་ནི​ི་དེ​ེའི​ི་ཆ་ཤས་ལས་ཆེ​ེ།

(༦) དངོ​ོས་པོ​ོ་གཅི​ིག་པའི​ི་ཉི​ིས་སྒྱུར་གཉི​ིས་པོ​ོ་ཕན་ཚུན་གཅི​ིག་མཚུངས་རེ​ེད། (༧) དངོ​ོས་པོ​ོ་གཅི​ིག་པའི​ི་ཕྱེ​ེད་ཀ་གཉི​ིས་ནི​ི་ཕན་ཚུན་གཅི​ིག་མཚུངས་རེ​ེད།

༥། ཡུག་ལི​ིཌི​ི་བདེ​ེན་གྲུབ་ནི​ི།

བདེ​ེན་གྲུབ། ༡ གནས་གང་རུང་གཉི​ིས་བརྒྱུད་པའི​ི་ཐི​ིག་གཅི​ིག་རང་འབྲི​ི་ཐུབ། བདེ​ེན་གྲུབ། ༢ ཐི​ིག་དུམ་ཞི​ིག་ཚད་མེ​ེད་པར་བསྲི​ིང་ཐུབ།

བདེ​ེན་གྲུབ། ༣ སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་དང་ཚངས་ཕྱེ​ེད་ངེ​ེས་པའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཤི​ིག་འབྲི​ི་ཐུབ། བདེ​ེན་གྲུབ། ༤ དྲང་ཟུར་ཚང་མ་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཡི​ིན། བདེ​ེན་གྲུབ། ༥

གལ་སྲི​ིད་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ལ་ཐི​ིག་གཞན་ཞི​ིག་གི​ིས་འཕྲེ​ེད་བཅད་བྱེ​ེད་སྐབས། མུ་འབྲེ​ེལ་ནང་ཟུར་

གཉི​ིས་ཀྱི​ི་བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་ནི​ི་དྲང་ཟུར་གཉི​ིས་ལས་ཆུང་བ་ཡོ​ོད་ན། ཐི​ིག་དེ​ེ་གཉི​ིས་སྲི​ིང་སྐབས་ཕྱོ​ོགས་དེ​ེར་འཕྲད་ ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

༦། ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ི་བདེ​ེན་གྲུབ་ལྔ་པའི​ི་འདྲ་མཚུངས་རྣམ་པ་གཉི​ིས་ནི​ི།

(ཀ) 'ཐི​ིག་གང་རུང་ l དང་ l སྟེ​ེང་མེ​ེད་པའི​ི་གནས་གང་རུང་ P ཞི​ིག་ཡོ​ོད་ན། གནས་ P བརྒྱུད་པའི​ི་ཐི​ིག་ ཁྱད་པར་བ་ m ཞི​ིག་ཡོ​ོད་པ་དང་། དེ​ེ་ l ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་རེ​ེད།'

(ཁ) སྣོ​ོལ་ཐི​ིག་ཐ་དད་ཕན་ཚུན་མཉམ་འགྲོ​ོ་མི​ིན།

༧། ཡུག་ལི​ིཌི​ི་ཡི​ི་བདེ​ེན་གྲུབ་ཐོ​ོག་མ་བཞི​ི་སྤྱད་དེ​ེ་བདེ​ེན་གྲུབ་ལྔ་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་ཐབས་ཚང་མ་མཐར་སོ​ོན་མེ​ེད།

ཡི​ིན་ནའང་། ཐབས་ཤེ​ེས་དེ​ེ་དག་ལས་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་གཞན་མང་པོ​ོ་གསར་གཏོ​ོད་ཀྱི​ིས་གྲུབ་འབྲས་ཆེ​ེན་པོ​ོ་ བྱུང་ཡོ​ོད། དེ​ེ་དག་ལ་ཡུག་ལི​ིཌི​ི་མི​ིན་པའི​ི་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པ་ཟེ​ེར།

84

ཐིག་དང་ཟུར།

༦

Lines and Angles ༦་༡ ངོ་སྤྲོད།

སློ​ོབ་ཚན་ལྔ་པའི​ི་ནང་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཐི​ིག་ཅི​ིག་འབྲི​ི་བར་ཉུང་མཐའ་ལ་གནས་གཉི​ིས་དགོ​ོས་པ་ཤེ​ེས་ཡོ​ོད། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་སྤྱི​ི་ སྲོ​ོལ་འགའ་ཡང་སྦྱངས་ཡོ​ོད་པ་དང་དེ​ེ་དག་སྤྱད་དེ​ེ་བརྗོ​ོད་པ་འགའ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱས་ཡོ​ོད།

སློ​ོབ་ཚན་འདི​ིར། ཐི​ིག་གཉི​ིས་ཕན་ཚུན་སྣོ​ོལ་སྐབས་འགྲུབ་པའི​ི་ཟུར་གྱི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་དང་། ཐི​ིག་གཅི​ིག་གི​ིས་མཉམ་

འགྲོ​ོ ་ ཐི​ིག ་གཉི​ིས ་སམ་དུ་མར་གནས་ཐ་དད་སྟེ​ེང ་སྣོ​ོ ལ ་སྐབས་འགྲུབ་པའི​ི་ ཟུར་གྱི​ི་ ཁྱད་ཆོ​ོ ས ་བཅས་ལ་སྦྱོ​ོ ང ་རྒྱུ་ ཡི​ིན། དེ​ེར་མ་ཟད་ཁྱད་ཆོ​ོས་འདི​ི་དག་སྤྱད་དེ​ེ་རྣམ་འབྱེ​ེད་རི​ིགས་འདེ​ེད་ཀྱི​ིས་བརྗོ​ོད་པ་འགའ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་རྒྱུ་ ཡི​ིན། (ཟུར་སྦྱར་ ༡ ལ་ལྟོ​ོས་)

ཁྱེ​ེད ་ཀྱི​ིས ་ཉི​ིན ་ལྟར་འཚོ​ོ་ བའི​ི་ ནང་སྙོ​ོ མ ས་ངོ​ོ ས ་ཀྱི​ི་ གྲུ་གཉི​ིས ་དབར་གྲུབ་པའི​ི་ ཟུར་གྱི​ི་ རི​ིག ས་མི​ི་ འདྲ་བ་མཐོ​ོ ང ་ ཐུབ། ན།

སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་སྤྱད་དེ​ེ་དཔེ​ེ་གཟུགས་འདྲ་མཚུངས་ཤི​ིག་བཟོ​ོ་བར་ཟུར་གྱི​ི་སྐོ​ོར་ཡག་པོ​ོ་ཤེ​ེས་དགོ​ོས།

དཔེ​ེར་

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་སློ​ོབ་གྲྭའི​ི་འགྲེ​ེམས་སྟོ​ོན་ཆེ​ེད་སྨྱུག་མས་ཁང་ཆུང་ཞི​ིག་བཟོ​ོ་འདོ​ོད་ཡོ​ོད་ན་དེ​ེ་ཇི​ི་ལྟར་བཟོ​ོ་ཡི​ི་ཡི​ིན།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་སྨྱུག་མ་འགའ་ཤས་ཕན་ཚུན་མཉམ་འགྲོ​ོ་དང་འགའ་ཤས་གསེ​ེག་ཏུ་འཇོ​ོག་གི​ི་རེ​ེད།

ཁང་བཟོ​ོ་འཆར་

འགོ​ོད་པ་ཞི​ིག་གི​ིས་ཐོ​ོག་རྩེ​ེག་མང་བའི​ི་ཁང་རྩེ​ེག་གི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་འབྲི​ི་སྐབས། ཁོ​ོང་གི​ིས་ཟུར་འདྲ་མི​ིན་ལ་སྣོ​ོལ་ཐི​ིག་ དང་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་འབྲི​ི་ཡི​ི་རེ​ེད། ཟུར་དང་ཐི​ིག་དེ​ེ་དག་གི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་མ་ཤེ​ེས་ན། འཆར་འགོ​ོད་པས་ཁང་པའི​ི་ བཟོ​ོ་བཀོ​ོད་ཀྱི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་འབྲི​ི་ཐུབ་བམ།

ང་ཚོ​ོས་ཚན་རི​ིག་ནང་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་གི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་བྲི​ིས་ཏེ​ེ་འོ​ོད་ཀྱི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་སྦྱངས་ཡོ​ོད།

དཔེ​ེར་ན།

བརྒྱུད་ལམ་གཅི​ིག་ནས་གཞན་དུ་རྒྱུ་སྐབས་སུ་འོ​ོད་ཀྱི​ི་འཁྱོ​ོག་འཕྲོ​ོའི་ི ཁྱད་ཆོ​ོས་ཤེ​ེས་པར།

འོ​ོད་ཀྱི​ི་རླབས་

སྣོ​ོལ་ཐི​ིག་དང་མཉམ་

འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་གི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་སྤྱོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། ཤུགས་གཉི​ིས་སམ་དུ་མ་ཕུང་གཟུགས་སྟེ​ེང་འཕྲད་སྐབས་ཕུང་གཟུགས་དེ​ེར་ བབས་པའི​ི་ཤུགས་ནི​ི་ཁ་ཕྱོ​ོགས་སྟོ​ོན་པའི​ི་ཐི​ིག་དུམ་བྲི​ིས་ཏེ​ེ་སྟོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད།

འདི​ིར་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་གམ་ཐི​ིག་དུམ་མཉམ་

འགྲོ​ོའམ་ཕན་ཚུན་བསྣོ​ོལ་ནས་གྲུབ་པའི​ི་ཟུར་དབར་གྱི​ི་འབྲེ​ེལ་བ་ཤེ​ེས་དགོ​ོས། ཤི​ིང་སྡོ​ོང་ཅི​ིག་གི​ི་རི​ིང་ཚད་བཙལ་ བའམ།

སྒྲོ​ོན་མཁར་ནས་གྲུ་གཟི​ིངས་བར་གྱི​ི་བར་ཐག་བཙལ་བར་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འཕྲེ​ེད་ཐི​ིག་དང་མཐོ​ོང་ཐི​ིག་དབར་

ལ་གྲུབ་པའི​ི་ཟུར་ཤེ​ེས་དགོ​ོས།

དེ​ེ་བཞི​ིན་ཐི​ིག་དང་ཟུར་སྤྱོ​ོད་པའི​ི་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་གཞན་མང་པོ​ོ་ཡོ​ོད།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་

དབྱི​ིབ ས་རྩི​ིས ་རི​ིག ་པའི​ི་ སློ​ོ བ ་ཚན་རྗེ​ེས ་མའི​ི་ ནང་ཐི​ིག ་དང་ཟུར་གྱི​ི་ ཁྱད་ཆོ​ོ ས ་འདི​ི་ དག་སྤྱད་དེ​ེ་ ཁྱད་ཆོ​ོ ས ་གལ་ ཆེ​ེན་པོ​ོ་གཞན་ཁུངས་འདྲེ​ེན་བྱེ​ེད་ཐུབ།

རྩིས་རིག

ཐོ​ོ ག ་མར་ང་ཚོ​ོས ་འཛི​ིན ་གྲྭ་སྔ་མར་སྦྱངས་ཟི​ིན ་པའི​ི་ ཐི​ིག ་དང་ཟུར་ལ་འབྲེ​ེལ ་བ་ཡོ​ོ ད ་པའི​ི་ ཐ་སྙད་དང་འགྲེ​ེལ ་ བརྗོ​ོད་ཁག་དྲན་གསོ​ོ་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན།

༦་༢ རྨང་གཞི​ིའི​ི་ཐ་སྙད་དང་གོ​ོ་དོ​ོན།

སྣེ​ེ་གནས་གཉི​ིས་ཡོ​ོད་པའི​ི་ཐི​ིག་གི​ི་ཆ་ཤས་ (དུམ་བུ་) ལ་ཐི​ིག་དུམ་ཟེ​ེར་བ་དང་། སྣེ​ེ་གནས་གཅི​ིག་ཡོ​ོད་པའི​ི་ཐི​ིག་གི​ི་ ཆ་ཤས་ལ་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ཟེ​ེར་བ་དྲན་གསོ​ོ་གྱི​ིས་དང་། ཐི​ིག་དུམ་ AB ནི​ི་ AB ཡི​ིས་མཚོ​ོན་པ་དང་དེ​ེའི​ི་རི​ིང་ཚད་ནི​ི་ AB ཡི​ིས་མཚོ​ོན། འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ AB ནི​ི་ AB ཡི​ིས་མཚོ​ོན་པ་དང་། ཐི​ིག་ AB ནི​ི་ AB ཡི​ིས་མཚོ​ོན། ཡི​ིན་ནའང་།

མཚོ​ོན་རྟགས་འདི​ི་དག་མ་སྤྱད་པར་ཐི​ིག་དུམ་ AB དང་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ AB ཐི​ིག་ AB བཅས་ནི​ི་ AB ཡི​ིས་མཚོ​ོན་ གྱི​ི་ཡི​ིན། དེ​ེའི​ི་གོ​ོ་དོ​ོན་ནི​ི་སྐབས་བབ་ཀྱི​ི་འབྲེ​ེལ་བ་ནས་གསལ་པོ​ོ་ཆགས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། སྐབས་རེ​ེར་ཡི​ིག་འབྲུ་ l, m, n སོ​ོགས་ཀྱི​ིས་ཐི​ིག་མཚོ​ོན་གྱི​ི་ཡི​ིན།

གལ་ཏེ​ེ་ཐི​ིག་གཅི​ིག་གི​ི་སྟེ​ེང་གནས་གསུམ་མམ་དེ​ེ་ལས་མང་བ་ཡོ​ོད་ན། དེ​ེ་དག་ལ་ཐི​ིག་གཅི​ིག་སྟེ​ེང་གནས་ཟེ​ེར། དེ​ེ་ མི​ིན་པའི​ི་གནས་དེ​ེ་དག་ལ་ཐི​ིག་གཅི​ིག་སྟེ​ེང་གནས་མི​ིན་པ་ཟེ​ེར།

འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་གཉི​ིས་སྣེ​ེ་གནས་གཅི​ིག་ནས་འགོ​ོ་འཛུགས་སྐབས་ཟུར་འགྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་དྲན་གསོ​ོ་གྱི​ིས་དང་། ཟུར་འགྲུབ་ པར་བྱེ​ེད་པའི​ི་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་ཟུར་གྱི​ི་དཔུང་པ་དང་སྣེ​ེ་གནས་ལ་ཟུར་གྱི​ི་ཟུར་ཚེ​ེག་ཟེ​ེར།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འཛི​ིན་གྲྭ་སྔ་མར་

ཟུར་གྱི​ི་རི​ིགས་སྣ་ཚོ​ོགས་སྦྱངས་ཡོ​ོད། དཔེ​ེར་ན། རྣོ​ོ་ཟུར་དང། དྲང་ཟུར། རྟུལ་ཟུར། སྙོ​ོམས་ཟུར། ལྡོ​ོག་འཕྲོ​ོ་ཟུར་ལྟ་ བུ། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༡ ལ་ལྟོ​ོས་)

y

x

(ཀ)

z

(ག)

(ཁ) དྲང་ཟུར། y = 90o

རྣོ​ོ་ཟུར། 0o < x < 90o

རྟུལ་ཟུར། 90o < z < 180o

s t

(ང) སྙོ​ོམས་ཟུར། s = 180o

(ཅ)

ལྡོ​ོག་འཕྲོ​ོ་ཟུར། 180o < t < 360o

དཔེ་རིས་ ༦་༡ ཟུར་གྱི་རིགས།

86

ཐིག་དང་ཟུར

རྣོ​ོ་ཟུར་ནི​ི་ཟུར་ཚད་ 0o དང་ 90o དབར་ལ་ཡོ​ོད་པ་དང་། དྲང་ཟུར་ནི​ི་ 90o རེ​ེད། ཟུར་ཚད་ 90o ལས་ཆེ​ེ་ཞི​ིང་

180o ལས་ཆུང་བའི​ི་ཟུར་ལ་རྟུལ་ཟུར་ཟེ​ེར་ཞི​ིང་། སྙོ​ོམས་ཟུར་ལ་ 180o ཡོ​ོད། ཟུར་ཚད་ 180o ལས་ཆེ​ེ་བ་དང་ 360o ལས་ཆུང་བའི​ི་ཟུར་ལ་ལྡོ​ོག་འཕྲོ​ོ་ཟུར་ཟེ​ེར། དེ​ེར་མ་ཟད། བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་ཏུ་ 90o ཡོ​ོད་པའི​ི་ཟུར་གཉི​ིས་ལ་

གྲོ​ོགས་ཟུར་དང་བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་ཏུ་ 180o ཡོ​ོད་པའི​ི་ཟུར་གཉི​ིས་ལ་གསབ་ཟུར་ཟེ​ེར། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཉེ​ེ་ཟུར་སྐོ​ོར་ཡང་འཛི​ིན་གྲྭ་སྔ་མར་སྦྱངས་ཡོ​ོད། རི​ིས་ ༦་༢ ལ་ལྟོ​ོས་)

(དཔེ​ེ་

སྤྱི​ིའི་ི ཟུར་ཚེ​ེག་དང་སྤྱི​ིའི་ི དཔུང་པ་ཡོ​ོད་པ་དང་།

དཔུང་པ་གཞན་གཉི​ིས ་སྤྱི​ིའི​ི་ དཔུང་པའི​ི་ ལྡོ​ོ ག ་ཕྱོ​ོ ག ས་སུ་ཡོ​ོ ད ་ པའི​ི་ཟུར་གཉི​ིས་ལ་ཉེ​ེ་ཟུར་ཟེ​ེར། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༢ ནང་།

དང་

ABD

A D

DBC གཉི​ིས་ཉེ​ེ་ཟུར་རེ​ེད། འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ BD ནི​ི་སྤྱི​ིའི​ི་

དཔུང་པ་དང་། གནས་ B ནི​ི་སྤྱི​ིའི​ི་ཟུར་ཚེ​ེག་རེ​ེད། འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་

BA དང་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ BC གཉི​ིས་ནི​ི་ཐུན་མོ​ོང་གི​ི་དཔུང་པ་མི​ིན།

ཟུར་གཉི​ིས་ཉེ​ེ་ཟུར་ཡི​ིན་ན།

B

དེ​ེ་དག་གི​ི་བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་ནི​ི་ཐུན་

དཔེ་རིས་ ༦་༢ ཉེ་ཟུར།

མོ​ོ ང ་མ་ཡི​ི ན ་པའི​ི ་ དཔུང་པ་གཉི​ི ས ་ལས་གྲུབ་པའི​ི ་ ཟུར་དང་ གཅི​ིག་པ་རེ​ེད། དེ​ེས་ན།

ABC =

ABC དང་

ABD +

C

DBC

ABD གཉི​ིས་ཉེ​ེ་ཟུར་མ་རེ​ེད། རྒྱུ་མཚན་ནི​ི།

D

དེ​ེ་དག་གི​ི་ཐུན་མོ​ོང་མ་ཡི​ིན་པའི​ི་མཐའ་ BD དང་ BC ནི​ི་སྤྱི​ིའི​ི་ དཔུང་པ་ BD ཡི​ི་ཕྱོ​ོགས་གཅི​ིག་ཏུ་ཡོ​ོད།

གལ་ཏེ​ེ་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༢ ནང་གི​ི་ཐུན་མོ​ོང་མ་ཡི​ིན་པའི​ི་དཔུང་པ་ BA དང་ BC གཉི​ིས་ཀྱི​ིས་ཐི​ིག་གྲུབ་པ་ཡི​ིན་ན། དེ​ེ་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་

༣ ལྟར་ཡོ​ོད། འདི​ིར། ཟེ​ེར།

ABD དང་

DBC ལ་ཉེ​ེ་གསབ་ཟུར་

ཡང་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ AB དང་ CD ལྟ་བུ་གནས་ O ལ་

A

B དཔེ་རིས་ ༦་༣ ཉེ་གསབ་ཟུར།

A

སྣོ​ོལ་སྐབས་ལྡོ​ོག་འཕྲད་ཟུར་གྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་དྲན་གསོ​ོ་གྱི​ིས་དང་། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༤ ལ་ལྟོ​ོས་) འདི​ིར་ལྡོ​ོག་འཕྲད་ཟུར་ཆ་གཉི​ིས་ཡོ​ོད།

གཅི​ིག་ནི​ི་

AOD དང་

དེ​ེ་འཚོ​ོལ་ཐུབ་བམ།

ཆ་

BOC རེ​ེད། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཆ་གཞན་

87

C

D O

C

B

དཔེ་རིས་ ༦་༤ ལྡོག་འཕྲད་ཟུར།

རྩིས་རིག

༦་༣ སྣོ​ོལ་ཐི​ིག་དང་མི​ི་སྣོ​ོལ་བའི​ི་ཐི​ིག Intersecting and Non-intersecting Lines

ཤོ​ོག་བུ་ཞི​ིག་གི​ི་སྟེ​ེང་ཐི​ིག་མི​ི་འདྲ་བ་གཉི​ིས་ PQ དང་ RS བྲི​ིས། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དེ​ེ་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༥ (ཀ) པ་དང་དཔེ​ེ་ རི​ིས་ ༦་༥ (ཁ) པ་ལྟར་ཐབས་ལམ་མི​ི་འདྲ་བ་གཉི​ིས་ནང་འབྲི​ི་ཐུབ། P

R

S

P

Q

Q

R

S

(ཀ) སྣོལ་ཐིག

(ཁ) མི་སྣོལ་བའི་ཐིག (མཉམ་འགྲོ།)

དཔེ་རིས་ ༦་༥ ཐིག་གཉིས་འབྲི་སྟངས་མི་འདྲ་བ།

ང་ཚོ​ོས་ཐི​ིག་ནི​ི་ཕྱོ​ོགས་གཉི​ིས་ཀར་མུ་མཐའ་མེ​ེད་པར་བསྲི​ིང་གི​ི་ཡོ​ོད་པ་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༥ (ཀ) པའི​ི་ ཐི​ིག་ PQ དང་ RS ནི​ི་སྣོ​ོལ་ཐི​ིག་ཡི​ིན་པ་དང་། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༥ (ཁ) པའི​ི་ཐི​ིག་ PQ དང་ RS ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་ རེ​ེད།

མཉམ་འགྲོ​ོ་འདི​ི་དག་སྟེ​ེང་གནས་མི​ི་འདྲ་བའི​ི་ཐོ​ོག་ཡོ​ོད་པའི​ི་ཐུན་མོ​ོང་གི​ི་དྲང་འཕྱང་ཐི​ིག་རྣམས་ཀྱི​ི་རི​ིང་

ཚད་གཅི​ིག་མཚུངས་རེ​ེད། རི​ིང་ཚད་གཅི​ིག་མཚུངས་འདི​ི་ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་གཉི​ིས་དབར་གྱི​ི་བར་ཐག་ཟེ​ེར།

༦་༤ ཆ་ཟུར། Pair of Angles

ལེ​ེ་ཚན་ ༦་༢ ནང་། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཆ་ཟུར་འགའི​ི་འགྲེ​ེལ་བརྗོ​ོད་

སྦྱངས་ཟི​ིན། དཔེ​ེར་ན། གྲོ​ོགས་ཟུར་དང་། གསབ་ཟུར། ཉེ​ེ་ཟུར།

C

ཉེ​ེ་གསབ་ཟུར་ལྟ་བུ། ཐི​ིག་གཅི​ིག་གི​ི་སྟེ​ེང་དུ་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་འཕྲད་དེ​ེ་

གྲུབ་པའི​ི་ཟུར་དབར་གྱི​ི་འབྲེ​ེལ་བ་ལ་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༦ ལྟར་ཐི​ིག་ AB སྟེ​ེང་དུ་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ OC འཕྲད་པ་བྲི​ིས། གནས་ O ཐོ​ོག་ཟུར་གང་གྲུབ་བམ། ཟུར་དེ​ེ་དག་ནི​ི་ BOC,

ང་ཚོ​ོས་

AOB བཅས་རེ​ེད།

AOC དང་

A

O

B

དཔེ་རིས་ ༦་༦ ཉེ་གསབ་ཟུར།

AOB འབྲི​ི་ཐུབ་བམ།

(༡)

AOB ཡི​ི་ཟུར་ཚད་གང་རེ​ེད་དམ། 180o རེ​ེད། (ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

(༢)

AOC +

BOC =

དེ​ེ་འབྲི​ི་ཐུབ། (ལེ​ེ་ཚན་ ༦་༢ ནང་གི​ི་ཉེ​ེ་ཟུར་ལ་ལྟོ​ོས་) (༡) དང་ (༢) ལས། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་

AOC +

BOC = 180o ཅེ​ེས་ཤོ​ོད་ཐུབ་བམ། ཐུབ། (ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

གོ​ོང་གི​ི་གོ​ོ་བསྡུར་ལས། ང་ཚོ​ོས་གཤམ་གསལ་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ཁག་འགྲེ​ེལ་བརྗོ​ོད་བྱེ​ེད་ཐུབ།

88

ཐིག་དང་ཟུར

སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ། ༦་༡ ཐི​ིག་ཅི​ིག་གི​ི་སྟེ​ེང་དུ་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་གནས་སྐབས། དེ​ེ་ལས་གྲུབ་པའི​ི་ཉེ​ེ་ཟུར་གྱི​ི་བསྡོ​ོམས་གྲངས་ནི​ི་ 180o

རེ​ེད།

གལ་ཏེ​ེ་ཉེ​ེ་ཟུར་གྱི​ི་བསྡོ​ོམས་གྲངས་ 180o ཡི​ིན་ན། དེ​ེ་དག་ལ་ཉེ​ེ་གསབ་ཟུར་ཟེ​ེར། སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ ༦་༡ ནང་ཐི​ིག་གཅི​ིག་

གི​ི་སྟེ​ེང་དུ་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ཡོ​ོད་པ་ཤེ​ེས་ཟི​ིན། 'ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པ་' འདི​ི་ལས་ང་ཚོ​ོས་ཉེ​ེ་ཟུར་གྱི​ི་བསྡོ​ོམས་གྲངས་ 180o ཡི​ིན་ པ་མཐའ་སྡོ​ོམ་བྱས་ཡོ​ོད། སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ ༦་༡ དེ​ེ་ཐབས་ལམ་གཞན་ནང་འབྲི​ི་ཐུབ་བམ། དེ​ེ་ནི​ི། སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ ༦་༡ གི​ི་ 'མཐའ་ སྡོ​ོམ་' ནི​ི་ 'ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པ་' ལྟར་དང་ ' ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པ་' ནི​ི་ 'མཐའ་སྡོ​ོམ་' ལྟར་བླངས་ན། ང་ཚོ​ོར།

(ཀ) གལ་ཏེ​ེ་ཉེ​ེ་ཟུར་གྱི​ི་བསྡོ​ོམས་གྲངས་ 180o ཡི​ིན་ན། ཐི​ིག་ཅི​ིག་གི​ི་སྟེ​ེང་དུ་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་གནས་ཡོ​ོད། (དེ​ེ་ནི​ི། ཐུན་མོ​ོང་ མ་ཡི​ིན་པའི​ི་དཔུང་པས་ཐི​ིག་འགྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།)

སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ ༦་༡ དང་བརྗོ​ོད་པ་ (ཀ) པ་གཉི​ིས་ཕན་ཚུན་མགོ​ོ་མཇུག་ལྡོ​ོག་པ་རེ​ེད། དེ​ེར་ཕན་ཚུན་གྱི​ི་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་ ཟེ​ེར། ང་ཚོ​ོས་བརྗོ​ོད་པ་ (ཀ) པ་བདེ​ེན་པ་ཡི​ིན་མི​ིན་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་མེ​ེད། དེ​ེ་ཞི​ིབ་བཤེ​ེར་བྱེ​ེད་དགོ​ོས། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༧

ནང་བསྟན་པ་བཞི​ིན་ཟུར་ཚད་འདྲ་མི​ིན་གྱི​ི་ཉེ​ེ་ཟུར་བྲི​ིས། གནས་སྟངས་རེ​ེ་རེ​ེའི​ི་ནང་ཐུན་མོ​ོང་མ་ཡི​ིན་པའི​ི་དཔུང་ པ་གཅི​ིག་བརྒྱུད་དེ​ེ་ཐི​ིག་ཤི​ིང་ཞོ​ོག ཐུན་མོ​ོང་མ་ཡི​ིན་པའི​ི་དཔུང་པ་གཞན་དེ​ེའང་ཐི​ིག་ཤི​ིང་བརྒྱུད་ཀྱི​ི་འདུག་གམ། A

C A

C

60o

60o

80o

30o O

(ཀ)

O

B

C

C

A

125o O

55o

B

(ཁ)

150o

B

70o O

(ག)

A

དཔེ་རིས་ ༦་༧ ཟུར་ཚད་མི་འདྲ་བའི་ཉེ་ཟུར།

89

(ང)

B

རྩིས་རིག

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༧ (ག) པ་ཁོ​ོ་ནའི​ི་སྐབས་ཐུན་མོ​ོང་མ་ཡི​ིན་པའི​ི་དཔུང་པ་གཉི​ིས་ཀ་ཐི​ིག་ཤི​ིང་བརྒྱུད་ཡོ​ོད་པ་ མཐོ​ོང་ཐུབ། དེ​ེ་ནི​ི་གནས་ A དང་ O, B ཐི​ིག་གཅི​ིག་སྟེ​ེང་ཡོ​ོད་པ་དང་། ཐི​ིག་དེ​ེའི​ི་སྟེ​ེང་དུ་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ OC ཡོ​ོད། COB = 125 + 55 = 180 འདི​ི་ལས། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་བརྗོ​ོད་པ་ (ཀ) པ་བདེ​ེན་པ་ཡི​ིན་པ་མཐའ་

AOC +

o

o

o

སྡོ​ོམ་བྱེ​ེད་ཐུབ། དེ​ེས་ན། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གཤམ་གསལ་ལྟར་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ཀྱི​ི་རྣམ་པར་འབྲི​ི་ཐུབ།

སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ། ༦་༢ གལ་སྲི​ིད་ཉེ​ེ་ཟུར་གྱི​ི་བསྡོ​ོམས་གྲངས་ 180o ཡི​ིན་ན། ཟུར་གྱི​ི་ཐུན་མོ​ོང་མ་ཡི​ིན་པའི​ི་དཔུང་པ་གཉི​ིས་

ཀྱི​ིས་ཐི​ིག་གྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

གོ​ོང་གི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་གཉི​ིས་མཉམ་དུ་ཉེ​ེ་གསབ་ཟུར་གྱི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ཟེ​ེར།

ང་ཚོ​ོས་ཐི​ིག་གཉི​ིས་སྣོ​ོལ་སྐབས་གནས་སྟངས་གང་བྱུང་བར་ལྟ་ཞི​ིབ་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན།

ཐི​ིག་གཉི​ིས་སྣོ​ོལ་སྐབས་ལྡོ​ོག་འཕྲད་ཟུར་རྣམས་མཚུངས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་དྲན་གསོ​ོ་གྱི​ིས་དང་། སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན།

གྲུབ་འབྲས་འདི​ི་ཁུངས་

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༦་༡ གལ་སྲི​ིད་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ཕན་ཚུན་སྣོ​ོལ་ན། ལྡོ​ོག་འཕྲད་ཟུར་རྣམས་མཚུངས། ཁུངས་སྐྱེ​ེལ། གོ​ོང་གི​ི་བརྗོ​ོད་པའི​ི་ནང་། 'ཐི​ིག་གཉི​ིས་ཕན་ཚུན་སྣོ​ོལ་

ཡོ​ོད་པ་' སྤྲད་ཡོ​ོད། དེ​ེས་ན། ཐི​ིག་ AB དང་ CD གཉི​ིས་གནས་

A

O ཐོ​ོག་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༨ ལྟར་སྣོ​ོལ་གྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་ཆ་ཞོ​ོག དེ​ེས་ལྡོ​ོག་

O

འཕྲད་ཟུར་གཉི​ིས་གྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེ་དག་ནི​ི། (ཀ)

(ཁ)

ང་ཚོ​ོས་

AOC དང་

BOD དང་།

AOC =

BOD དང་།

AOD དང་

D

C

BOC རེ​ེད།

AOD =

B

དཔེ་རིས་ ༦་༨ ལྡོག་འཕྲད་ཟུར།

BOC

ཡི​ིན་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་དགོ​ོས།

འདི​ིར། ཐི​ིག་ CD སྟེ​ེང་དུ་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ OA ཡོ​ོད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ང་ཚོ​ོས་

AOC +

AOD +

AOD = 180

o

BOD = 180 འབྲི​ི་ཐུབ་བམ། ཐུབ། (ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།) o

(༡) དང་ (༢) ལས། ང་ཚོ​ོས་གཤམ་གསལ་ལྟར་འབྲི​ི་ཐུབ། AOC +

དེ​ེས་ན།

དེ​ེ་མཚུངས།

AOC = AOD =

BOD

AOD =

AOD +

(ཉེ​ེ་གསབ་ཟུར་གྱི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ།)

BOD

(ལེ​ེ་ཚན་ ༥་༢ ནང་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ ༣ ལ་ལྟོ​ོས་)

BOC ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་ཐུབ།

ང་ཚོ​ོས་ཉེ​ེ་གསབ་ཟུར་གྱི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་དང་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༦་༡ ལ་གཞི​ིར་བཞག་སྟེ​ེ་རྩི​ིས་དཔེ​ེ་འགའ་སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན།

90

(༡)

(༢)

ཐིག་དང་ཟུར

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡ དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༩ ནང་། ཐི​ིག་ PQ དང་ RS གཉི​ིས་ཕན་ ཚུན་གནས་ O ཐོ​ོག་སྣོ​ོལ་གྱི​ི་ཡོ​ོད། གལ་ཏེ​ེ་ :

ལན།

ཡི​ིན་ནའང་།

ROQ = 5 : 7 ཡི​ིན་ན། ཟུར་ཚང་མ་ཚོ​ོལ།

(ཉེ​ེ་གསབ་ཟུར།)

POR +

ROQ = 180

POR :

ROQ = 5 : 7 (སྤྲད་ཟི​ིན་པ།)

o

P

POR

R དཔེ་རིས་ ༦་༩

5 o o POR = 12 × 180 = 75

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

S

O

Q

7 o o ROQ = 12 × 180 = 105

དེ​ེ་མཚུངས། དང་།

POS =

ROQ = 105

SOQ =

POR = 75

(ལྡོ​ོག་འཕྲད་ཟུར།)

o

(ལྡོ​ོག་འཕྲད་ཟུར།)

o

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༢ དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༡༠ ནང་། འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ OS ནི​ི་ཐི​ིག་ POQ སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད། འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ OR དང་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ OT ནི​ི་

ལན།

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

x ཡི​ིན་ན།

POS +

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ OR ཡི​ིས་ དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

དེ​ེ་མཚུངས།

ROT ཚོ​ོལ།

SOQ སོ​ོ་སོ​ོའི་ི ཟུར་གྱི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་རེ​ེད། གལ་ཏེ​ེ་

འཕྲི​ི་ཐི​ིག་ OS ནི​ི་ཐི​ིག་ POQ སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད།

ཡི​ིན་ནའང་། དེ​ེས་ན།

POS དང་

R

SOQ = 180

o

S T

POS = x x+

SOQ = 180

o

P

SOQ = 180 − x o

POS མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། 1 ROS = 2 ×

POS

1 x =2×x=2 1 SOT = 2 ×

SOQ

1 o = 2 × (180 − x) x o = 90 − 2

ROT =

POS =

ROS +

SOT

91

O

དཔེ་རིས་ ༦་༡༠

Q

རྩིས་རིག

x x o = 2 + 90 − 2 = 90

o

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༣ དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༡༡ ནང་། OP དང་ OQ, OR, OS བཅས་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་བཞི​ི་རེ​ེད། POQ +

QOR +

SOR +

POS = 360

o

ཡི​ིན་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

ལན།

P

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༡༡ ནང་། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ OP དང་ OQ,

Q O

OR, OS གང་རུང་ལས་གཅི​ིག་ལྡོ​ོག་ཕྱོ​ོགས་སུ་བསྲི​ིང་

R

དགོ​ོས། འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ OQ ལྡོ​ོག་ཕྱོ​ོགས་སུ་གནས་ T བར་

S

བསྲི​ིངས་ནས་ཐི​ིག་ TOQ འགྲུབ་པར་གྱི​ིས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༡༢ ལ་ལྟོ​ོས་)

འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ OP ནི​ི་ཐི​ིག་ TOQ སྟེ​ེང་དུ་ཡོ​ོད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

TOP +

POQ = 180

P Q

(༡)

o

(ཉེ​ེ་གསབ་ཟུར་གྱི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ།)

ཡི​ིན་ནའང་།

དེ​ེས་ན། (༢) ནི​ི་

TOS +

SOQ = 180

SOQ =

SOR +

TOS +

SOR +

R S

o

ཡི​ིན་ནའང་།

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། (༤) ནི​ི་

POQ +

TOP +

POQ +

(༢)

QOR = 180 ཆགས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

(༣)

o

TOS +

TOS =

དཔེ་རིས་ ༦་༡༢

QOR

(༡) དང་ (༣) བསྡོ​ོམས་ན། ཁྱེ​ེད་ལ་གཤམ་གསལ་ཐོ​ོབ། TOP +

O

T

དེ​ེ་མཚུངས། འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ OS ནི​ི་ཐི​ིག་ TOQ སྟེ​ེང་དུ་ཡོ​ོད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

དཔེ་རིས་ ༦་༡༡

SOR +

(༤)

QOR = 360

o

POS

QOR +

POS = 360 ཆགས། o

SOR +

སྦྱོང་ཚན། ༦་༡

༡། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༡༣ ནང་ཐི​ིག་ AB དང་ CD གཉི​ིས་ O ལ་སྣོ​ོལ་གྱི​ི་ ཡོ​ོད། གལ་ཏེ​ེ་

= 40 ཡི​ིན་ན། o

AOC +

BOE = 70 དང་

BOE དང་ལྡོ​ོག་འཕྲོ​ོ་

o

BOD

COE ཚོ​ོལ།

92

C A

E O དཔེ་རིས་ ༦་༡༣

B D

༢། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༡༤ ནང་། ཐི​ིག་ XY དང་ MN གནས་ O ལ་ སྣོ​ོལ་གྱི​ི་ཡོ​ོད། གལ་ཏེ​ེ་ ཡི​ིན་ན། c ཚོ​ོལ།

POY = 90 དང་ a : b = 2 : 3

ཐིག་དང་ཟུར

P M

o

b

X

a O

c

Y N

དཔེ་རིས་ ༦་༡༤

P

༣། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༡༥ ནང་ PQS =

PQR =

PRQ རེ​ེད།

PRT ཡི​ིན་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

S Q

R T དཔེ་རིས་ ༦་༡༥

C

༤། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༡༦ ནང་། གལ་ཏེ​ེ་ x + y = w + z ཡི​ིན་ན། AOB ནི​ི་ཐི​ིག་ཡི​ིན་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

B

x

y z

O w

D

A དཔེ་རིས་ ༦་༡༦

༥། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༡༧ ནང་། POQ ནི​ི་ཐི​ིག་རེ​ེད། འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ OR ནི​ི་

ཐི​ིག་ PQ དང་དྲང་འཕྱང་རེ​ེད། OS ནི​ི་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ OP དང་ OR དབར་གྱི​ི་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་གཞན་ཞི​ིག་ཡི​ིན། 1 ROS = ( QOS − POS) ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས། 2

༦།

R

S P

O

Q

དཔེ་རིས་ ༦་༡༧

XYZ = 64 དང་ XY ནི​ི་གནས་ P བར་བསྲི​ིངས་ཡོ​ོད། སྤྲད་ཟི​ིན་པའི​ི་གནས་ཚུལ་ལས་དཔེ​ེ་རི​ིས་ o

ཤི​ིག་བྲི​ིས། གལ་ཏེ​ེ་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ YQ ཡི​ིས་ QYP ཚོ​ོལ།

ZYP མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་ན།

93

XYQ དང་ལྡོ​ོག་འཕྲོ​ོ་

རྩིས་རིག

༦་༥ མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་དང་གསེ​ེག་ཐི​ིག Parallel Lines and a Transversal ཐི​ིག་གཅི​ིག་གི​ིས་ཐི​ིག་གཉི​ིས་སམ་དུ་མར་གནས་ཐ་དད་ཐོ​ོག་བསྣོ​ོལ་ཡོ​ོད་ པ་ལ་གསེ​ེག་ཐི​ིག་ཟེ​ེར། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༡༨ ལ་ལྟོ​ོས་) ཐི​ིག་ l ཡི​ིས་ཐི​ིག་ m དང་ n གཉི​ིས་གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་གནས་ P དང་ Q ལ་བསྣོ​ོལ་ཡོ​ོད། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༡༨ ནང་བསྟན་པ་བཞི​ིན་ཟུར་འདི​ི་དག་ལ་ 8 བཅས་མི​ིང་འདོ​ོགས་ཀྱི​ི་ཡི​ིན།

ལ་ཕྱི​ི་ཟུར་དང་།

3 དང་

4,

1 དང་

5,

2,

1, 7,

2

1 m

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ཐི​ིག་ l ནི​ི་ཐི​ིག་ m དང་ n ཡི​ི་གསེ​ེག་ཐི​ིག་རེ​ེད། གནས་ P དང་ Q སོ​ོ་སོ​ོའི་ི ཐོ​ོག་ཟུར་བཞི​ི་རེ​ེ་གྲུབ་ཡོ​ོད།

l

4 n

P 3 5

6 Q

8

2, ..., 8 བཅས་

7

དཔེ་རིས་ ༦་༡༨

6 བཅས་ལ་ནང་ཟུར་ཟེ​ེར།

གསེ​ེག ་ཐི​ིག ་གཅི​ིག ་གི​ིས ་ཐི​ིག ་གཉི​ིས ་འཕྲེ​ེད ་གཅོ​ོ ད ་བྱེ​ེད ་སྐབས་ཆ་ཟུར་མང་པོ​ོ ་ གྲུབ་ཀྱི​ི་ ཡོ​ོ ད ་པ་དེ​ེ་ དག་གི​ི་ མི​ིང ་ དྲན་གསོ​ོ་གྱི​ིས་དང་།

དེ​ེ་དག་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡི​ིན།

(ཀ) གནས་མཐུན་ཟུར། Corresponding angles (༡)

(༣)

1 དང་

4 དང་

5 (༢) 8 (༢)

(ཁ) ནང་སྣོ​ོལ་ཟུར། Alternate interior angles

2 དང་

6

3 དང་

7

(༡)

4 དང་

6 (༢)

3 དང་

5

(༡)

1 དང་

7 (༢)

2 དང་

8

(༡)

4 དང་

5 (༢)

3 དང་

6

(ག) ཕྱི​ི་སྣོ​ོལ་ཟུར། Alternate exterior angles

(ང) གསེ​ེག་ཐི​ིག་གི​ི་ཕྱོ​ོགས་མཚུངས་ཐོ​ོག་གི​ི་ནང་ཟུར། Interior angles on the same side of the transversal ང་ཚོ​ོས་རྒྱུན་དུ་ནང་སྣོ​ོལ་ཟུར་ལ་སྣོ​ོལ་ཟུར་ཁོ​ོ་ན་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

ཐི​ིག་ m དང་ཐི​ིག་ l མཉམ་འགྲོ​ོ་སྐབས་ཟུར་དེ​ེ་དག་དབར་གྱི​ི་འབྲེ​ེལ་བ་ m ལ་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན། ཁྱེ​ེད་རང་གི​ི་འབྲི​ི་དེ​ེབ་སྟེ​ེང་གི​ི་ཐི​ིག་རི​ིས་ནི​ི་ཕན་ཚུན་མཉམ་ འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པ་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེས་ན། ཐི​ིག་ཤི​ིང་དང་ཞ་སྨྱུག་སྤྱད་དེ​ེ་ཐི​ིག་རི​ིས་ n བརྒྱུད་པའི​ི་ མཉམ་འགྲོ​ོ ་ ཐི​ིག ་གཉི​ིས ་དང་དེ​ེ་ ཡི​ི་ གསེ​ེག ་ཐི​ིག ་གཅི​ིག ་དཔེ​ེ་ རི​ིས་ ༦་༡༩ ལྟར་བྲི​ིས།

l 1 4 5

6

8

7

3

དཔེ་རིས་ ༦་༡༩

དེ​ེ་ནས། གནས་མཐུན་ཆ་ཟུར་གང་རུང་གི​ི་ཟུར་ཚད་བཅལ་ནས་དེ​ེ་དག་དབར་གྱི​ི་འབྲེ​ེལ་བ་ཚོ​ོལ།

94

2

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་

1=

5 དང་

2=

6,

4=

8,

3=

གྱི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་མཐའ་སྡོ​ོམ་བྱེ​ེད་ཐུབ།

ཐིག་དང་ཟུར

7 ཤེ​ེས་ཐུབ། འདི​ི་ལས་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གཤམ་

སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ། ༦་༣ གལ་ཏེ​ེ་གསེ​ེག་ཐི​ིག་གི​ིས་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ལ་འཕྲད་ན། གནས་མཐུན་ཆ་ཟུར་རྣམས་མཚུངས། སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ ༦་༣ ལ་གནས་མཐུན་ཟུར་གྱི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ཡང་ཟེ​ེར། ང་ཚོ​ོས་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་འདི​ི་ཡི​ི་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན། གསེ​ེག་ཐི​ིག་གི​ིས་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ལ་འཕྲད་སྐབས་གནས་མཐུན་ཆ་ཟུར་རྣམས་མཚུངས་ན།

ཐི​ིག་དེ​ེ་གཉི​ིས་མཉམ་

འགྲོ​ོ་རེ​ེད།

བརྗོ​ོད་པ་འདི​ི་བདེ​ེན་པ་ཡི​ིན་ནམ། དེ​ེ་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཞི​ིབ་བཤེ​ེར་བྱེ​ེད་ཐུབ། ཐི​ིག་ AD བྲི​ིས་ཏེ​ེ་དེ​ེའི​ི་སྟེ​ེང་ གནས་ B དང་ C བྲི​ིས། B དང་ C ཐོ​ོག་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༢༠ (ཀ) པར་བསྟན་པ་བཞི​ིན་ འདྲ་མཚུངས་བྲི​ིས།

A

Q

S

B

C

A

D

P

(ཀ)

ABQ དང་

Q

S

B

C

BCS

D

R (ཁ)

དཔེ་རིས་ ༦་༢༠

AD ཡི​ི་ཕྱོ​ོགས་གཞན་ནས་ QB དང་ SC བསྲི​ིངས་ཏེ​ེ་ཐི​ིག་ PQ དང་ RS གཉི​ིས་འགྲུབ་པར་བྱོ​ོས། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༢༠ (ཁ) ལ་ལྟོ​ོས་] ཐི​ིག་གཉི​ིས་ཕན་ཚུན་སྣོ​ོལ་གྱི​ི་མེ​ེད་པ་མཐོ​ོང་ཐུབ། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གནས་འདྲ་མི​ིན་ཐོ​ོག་ཐི​ིག་ PQ དང་ RS

གཉི​ིས་ཀྱི​ི་སྤྱི​ིའི​ི་དྲང་འཕྱང་བྲི​ིས་ནས་དེ​ེ་དག་གི​ི་རི​ིང་ཚད་བཅལ་ན། དེ​ེ་དག་ཚང་མའི​ི་རི​ིང་ཚད་གཅི​ིག་པ་ཡི​ིན་པས། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཐི​ིག་རྣམས་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པ་མཐའ་སྡོ​ོམ་བྱེ​ེད་ཐུབ།

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། གནས་མཐུན་ཟུར་གྱི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་ཡང་བདེ​ེན་པ་ཡི​ིན། དེ​ེས་ན། ང་ཚོ​ོར་གཤམ་གྱི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ཡོ​ོད། སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ། ༦་༤

གལ་ཏེ​ེ་གསེ​ེག་ཐི​ིག་གི​ིས་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ལ་འཕྲད་སྐབས་གནས་མཐུན་ཆ་ཟུར་རྣམས་མཚུངས་ན།

ཐི​ིག་གཉི​ིས་ཕན་ཚུན་མཉམ་འགྲོ​ོ་རེ​ེད།

གསེ​ེག་ཐི​ིག་གི​ིས་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་འཕྲད་སྐབས་ང་ཚོ​ོས་ནང་སྣོ​ོལ་

P Q

ཟུར་དབར་གྱི​ི་འབྲེ​ེལ་བ་འཚོ​ོལ་བར་གནས་མཐུན་ཟུར་གྱི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་

A

འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ AB དང་ CD གཉི​ིས་ཐོ​ོག་གནས་ Q དང་ R སོ​ོ་སོ​ོར་

C

སྤྱོ​ོད་ཐུབ་བམ། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༢༡ ནང་གསེ​ེག་ཐི​ིག་ PS ཡི​ིས་མཉམ་

བསྣོ​ོལ་ཡོ​ོད།

BQR =

QRC དང་

AQR=

QRD ཡི​ིན་ནམ།

95

B R

D S

དཔེ་རིས་ ༦་༢༡

རྩིས་རིག

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་

PQA = PQA =

QRC ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

BQR རེ​ེད་དམ། རེ​ེད།

དེ​ེས་ན། (༡) དང་ (༢) ལས་ང་ཚོ​ོར། དེ​ེ་མཚུངས།

(གནས་མཐུན་ཟུར་གྱི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ།)

(༡)

(ཅི​ི་ཕྱི​ིར།)

BQR =

QRC

AQR =

QRD

(༢)

གྲུབ་འབྲས་འདི​ི་འོ​ོག་གི​ི་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ལྟར་མཚོ​ོན་ཐུབ།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༦་༢ གལ་ཏེ​ེ་གསེ​ེག་ཐི​ིག་གི​ིས་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ཐོ​ོག་བསྣོ​ོལ་ན། ནང་སྣོ​ོལ་ཆ་ཟུར་ཚང་མ་གཅི​ིག་

མཚུངས་རེ​ེད།

གལ་སྲི​ིད་ནང་སྣོ​ོལ་ཆ་ཟུར་ཞི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་ན། གནས་མཐུན་ཟུར་གྱི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་སྤྱད་དེ​ེ་ཐི​ིག་ གཉི​ིས་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན་ཐུབ་བམ། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༢༢ ནང་། གསེ​ེག་ཐི​ིག་ PS ཡི​ིས་ཐི​ིག་ AB དང་ CD སྟེ​ེང་གནས་ Q དང་ R སོ​ོ་སོ​ོའི་ི ཐོ​ོག་བསྣོ​ོལ་ཏེ​ེ་ AB || CD རེ​ེད་དམ།

ཡི​ིན་ནའང་།

BQR =

PQA

BQR =

QRC

BQR =

QRC

P

(ཅི​ི་ཕྱི​ིར།)

(༡)

(ཤེ​ེས་ཟི​ིན།)

དེ​ེས་ན། (༡) དང་ (༢) ལས་ང་ཚོ​ོས་གཤམ་གསལ་མཐའ་སྡོ​ོམ་བྱེ​ེད་ཐུབ། PQA =

QRC

ཡི​ིན་ནའང་། དེ​ེ་དག་གནས་མཐུན་ཟུར་ཡི​ིན་པས། AB || CD གྲུབ་འབྲས་འདི​ི་འོ​ོག་གི​ི་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ལྟར་མཚོ​ོན་ཐུབ།

(༢)

Q

A C

R

B D

S དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༢༢

(གནས་མཐུན་ཟུར་གྱི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན།)

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༦་༣ གལ་ཏེ​ེ་གསེ​ེག་ཐི​ིག་གི​ིས་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ཐོ​ོག་བསྣོ​ོལ་ཏེ​ེ། ནང་སྣོ​ོལ་ཆ་ཟུར་ཞི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་

ན། ཐི​ིག་དེ​ེ་གཉི​ིས་མཉམ་འགྲོ​ོ་རེ​ེད། ཐབས་ལམ་འདི​ི་ལྟར།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གསེ​ེག་ཐི​ིག་གི​ི་ཕྱོ​ོགས་གཅི​ིག་ན་ཡོ​ོད་པའི​ི་ནང་ཟུར་དང་འབྲེ​ེལ་བའི​ི་གཤམ་

གསལ་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་གཉི​ིས་རྙེ​ེད་ཐུབ།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༦་༤ གལ་ཏེ​ེ་གསེ​ེག་ཐི​ིག་གི​ིས་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ཐོ​ོག་བསྣོ​ོལ་ན། གསེ​ེག་ཐི​ིག་གི​ི་ཕྱོ​ོགས་གཅི​ིག་ན་

ཡོ​ོད་པའི​ི་ནང་ཟུར་ཆ་རྣམས་གསབ་ཟུར་རེ​ེད། ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༦་༥

གལ་ཏེ​ེ་གསེ​ེག་ཐི​ིག་གི​ིས་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ཐོ​ོག་བསྣོ​ོལ་ཏེ​ེ། གསེ​ེག་ཐི​ིག་གི​ི་ཕྱོ​ོགས་གཅི​ིག་ན་ཡོ​ོད་པའི​ི་

ནང་ཟུར་ཆ་རྣམས་གསབ་ཟུར་ཡི​ིན་ན། ཐི​ིག་དེ​ེ་གཉི​ིས་མཉམ་འགྲོ​ོ་རེ​ེད།

གོ​ོང་གི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་དང་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ཚང་མ་འཛི​ིན་གྲྭ་སྔ་མར་བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་བརྒྱུད་ཞི​ིབ་བཤེ​ེར་བྱས་ཡོ​ོད་པ་དྲན་གསོ​ོ་བྱོ​ོས་དང་།

96

༦་༦ སྤྲད་ཟི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག Lines Parallel to the same Line

ཐིག་དང་ཟུར

གལ་ཏེ​ེ་སྤྲད་ཟི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་ལ་ཐི​ིག་གཞན་གཉི​ིས་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་ན། དེ​ེ་དག་ཕན་ཚུན་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་ནམ། དཔེ​ེ་ རི​ིས་ ༦་༢༣ ནང་ཐི​ིག་ m || ཐི​ིག་ l དང་ཐི​ིག་ n || ཐི​ིག་ l རེ​ེད།

ང་ཚོ​ོས་ཐི​ིག་ l དང་ m, n ལ་བསྣོ​ོལ་ཡོ​ོད་པའི​ི་གསེ​ེག་ཐི​ིག་ t ཞི​ིག་འབྲི​ི་ཡི​ི་ཡི​ིན། m || l དང་ n || l ཡི​ིན་པ་ཤེ​ེས་ ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། དེ​ེས་ན།

1=

2=

2 དང་

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

2 དང་

1=

3

(གནས་མཐུན་ཟུར་གྱི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ།)

(ཅི​ིའི་ི ཕྱི​ིར།)

3

1

l

2

m

3 ནི​ི་གནས་མཐུན་ཟུར་ཡི​ིན་པས་དེ​ེ་དག་མཚུངས།

3

n

ཐི​ིག་ m || ཐི​ིག་ n

(གནས་མཐུན་ཟུར་གྱི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན།)

དཔེ་རིས་ ༦་༢༣

གྲུབ་འབྲས་འདི​ི་གཤམ་གསལ་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ལྟར་མཚོ​ོན་ཐུབ།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༦་༦ སྤྲད་ཟི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་དེ​ེ་དག་ཕན་ཚུན་མཉམ་འགྲོ​ོ་རེ​ེད།

མཆན། གོ​ོང་གི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་འདི​ི་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ལས་མང་བ་ལའང་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་བྱེ​ེད་ཐུབ། ང་ཚོ​ོས་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་དང་འབྲེ​ེལ་བའི​ི་རྩི​ིས་དཔེ​ེ་འགའ་སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན། རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༤ དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༢༤ ནང་། PQ || RS དང་ ཚོ​ོལ།

X

P

MXQ = 135 , o

Q

135

B o

Y

R

S

དཔེ་རིས་ ༦་༢༤

o

M 40

Y

Q

135

o

R

ལན།

X

o

A

XMY

o

P

M 40

MYR = 40 ཡི​ིན་ན།

དཔེ་རིས་ ༦་༢༥

S

འདི​ིར། ང་ཚོ​ོས་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༢༥ ནང་བསྟན་པ་བཞི​ིན་གནས་ M བརྒྱུད་པའི​ི་ཐི​ིག་ AB ཞི​ིག་ཐི​ིག་

PQ ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པ་འབྲི​ི་དགོ​ོས། དེ​ེས་ན། AB || PQ དང་ PQ || RS

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

AB || RS

97

(ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

རྩིས་རིག དང་།

XMB = 180o

QXM +

(AB || PQ གསེ​ེག་ཐི​ིག་ XM ཡི​ི་ཕྱོ​ོགས་གཅི​ིག་ན་ཡོ​ོད་པའི​ི་ནང་ཟུར།)

ཡི​ིན་ནའང་།

QXM = 135o

དེ​ེས་ན།

135o +

XMB = 180o

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

XMB = 45o

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

BMY = 40o

ཡང་།

BMY =

(༡) དང་ (༢) བསྡོ​ོམས་པས།

MYR

(༡)

(AB || RS སྣོ​ོལ་ཟུར།)

(༢)

BMY = 45o + 40o

XMB +

དེ​ེ་ནི​ི།

XMY = 85o

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༥

གསེ​ེག་ཐི​ིག་གི​ིས་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ལ་འཕྲད་དེ​ེ་གྲུབ་པའི​ི་གནས་མཐུན་ཟུར་གྱི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་ནི​ི་

མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་ན། ཐི​ིག་གཉི​ིས་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས། ལན།

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༢༦ ནང་། གསེ​ེག་ཐི​ིག་ AD ཡི​ིས་ཐི​ིག་ PQ དང་ RS གཉི​ིས་ཐོ​ོག་གནས་ B དང་

C སོ​ོ་སོ​ོར་སྣོ​ོལ་གྱི​ི་ཡོ​ོད། འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ BE ནི​ི་

ABQ ཡི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་དང་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ CG ནི​ི་

BCS

ཡི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་ཡི​ིན་པ་དང་། BE || CG རེ​ེད། ང་ཚོ​ོས་ PQ || RS ཡི​ིན་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་དགོ​ོས། འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ BE ནི​ི་

ABQ ཡི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་ཡི​ིན་པས།

1 ABE = 2

དེ​ེ་མཚུངས། འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ CG ནི​ི་ BCG =

1 2

ABQ

ABE =

(༡)

BCS ཡི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་ཡི​ིན་པས།

(༢)

BCS

BE || CG དང་ AD ནི​ི་གསེ​ེག་ཐི​ིག་རེ​ེད།

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

A

BCG

(གནས་མཐུན་ཟུར་གྱི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ།)

(༣)

(༡) དང་ (༢) ནི​ི་ (༣) ནང་བརྗེ​ེ་ལེ​ེན་བྱེ​ེད་སྐབས། ང་ཚོ​ོར་ཐོ​ོབ་པ་ནི​ི། 1 2

དེ​ེ་ནི​ི།

1 2

BCS

ABQ =

BCS

ABQ =

98

P

E

B

Q G

R

C

S D

དཔེ་རིས་ ༦་༢༦

ཐིག་དང་ཟུར

དང་། ཟུར་དེ​ེ་གཉི​ིས་གསེ​ེག་ཐི​ིག་ AD དང་ཐི​ིག་ PQ དང་ RS ལས་གྲུབ་པའི​ི་གནས་མཐུན་ཟུར་ཡི​ིན་པས་ གཅི​ིག་པ་རེ​ེད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

(གནས་མཐུན་ཟུར་གྱི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན།)

PQ || RS

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༦ དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༢༧ ནང་། AB || CD དང་ CD || EF རེ​ེད། ཡང་ EA གལ་ཏེ​ེ་ ལན།

AB

BEF = 55 ཡི​ིན་ན། x དང་ y, z བཅས་ཀྱི​ི་ཐང་ཚོ​ོལ། o

y + 55o = 180o

(གསེ​ེག་ཐི​ིག་ ED ཡི​ི་ཕྱོ​ོགས་གཅི​ིག་ན་ཡོ​ོད་ དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ཡང་།

A

པའི​ི་ནང་ཟུར།)

y = 180o − 55o = 125o

D

x=y

(AB || CD གནས་མཐུན་ཟུར་གྱི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ།)

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

y

F

x = 125o

EAB +

དཔེ་རིས་ ༦་༢༧

FEA = 180

o

(གསེ​ེག་ཐི​ིག་ EA ཡི​ི་ཕྱོ​ོགས་གཅི​ིག་ན་ཡོ​ོད་

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

E z o 55

B x

AB || CD དང་ CD || EF ཡི​ིན་པས། AB || EF

དེ​ེས་ན།

C

པའི​ི་ནང་ཟུར།)

o

o

o

90 + z + 55 = 180

དེ​ེས་ན།

o

z = 35

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༦་༢

༡། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༢༨ ནང་། x དང་ y ཡི​ི་ཐང་བཙལ་ནས་ AB || CD ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན། 50

A

o

B

x y

C

130

o

དཔེ་རིས་ ༦་༢༨

99

D

རྩིས་རིག

༢། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༢༩ ནང་། AB || CD དང་ CD || EF, y : z = 3 : 7 ཡི​ིན་ན། x ཚོ​ོལ།

x

A

B

y

C

D

z

E

F དཔེ་རིས་ ༦་༢༩

༣། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༣༠ ནང་། AB || CD དང་ EF CD,

GEF,

o GED = 126 ཡི​ིན་ན།

AGE དང་

FGE ཚོ​ོལ།

༤། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༣༡ ནང་། PQ || ST དང་། PQR = 110 , o

QRS ཚོ​ོལ།

AG

C

E

D

T

S

RST = 130 ཡི​ིན་ན།

Q

o

130

o

110

R

[བརྡ་སྟོ​ོ བརྡ་སྟོ​ོན། R བརྒྱུད་པའི​ི་ ST ཡི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་བྲི​ིས།]

= 50o,

B

དཔེ་རིས་ ༦་༣༠

P

o

༥། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༣༢ ནང་། AB || CD དང་

F

APQ

PRD = 127 ཡི​ིན་ན། x དང་ y ཚོ​ོལ།

A

C Q

P

PQ སྟེ​ེང་གནས་ B ལ་འཕྲོ​ོ་སྐབས། ལྡོ​ོག་འཕྲོ​ོ་དེ​ེ་ BC

A

C ལ་འཕྲོ​ོ་བ་དང་། བསྐྱར་དུ་ CD བརྒྱུད་ལྡོ​ོག་འཕྲོ​ོ་

བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། AB || CD ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

100

y o

127

x

༦། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༣༣ ནང་། མེ​ེ་ལོ​ོང་ PQ དང་ RS གཉི​ིས་ བརྒྱུད་ནས་འགྲོ​ོ་བ་དང་། དེ​ེ་མེ​ེ་ལོ​ོང་ RS སྟེ​ེང་གནས་

B

P o

50

o

མཉམ་འགྲོ​ོར་བཞག་ཡོ​ོད། འོ​ོད་འཕྲོ​ོ་ AB ཡི​ིས་མེ​ེ་ལོ​ོང་

དཔེ་རིས་ ༦་༣༡

དཔེ་རིས་ ༦་༣༢

R D

Q

B

D

R

C

དཔེ་རིས་ ༦་༣༣

S

ཐིག་དང་ཟུར

༦་༧ ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ནང་ཟུར་བསྡོ​ོམས་གྲངས་ཁྱད་ཆོ​ོས། Angle Sum Property of a Triangle

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཟུར་ཚང་མའི​ི་བསྡོ​ོམས་གྲངས་ནི​ི་ 180o ཡི​ིན་པ་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། ང་ཚོ​ོས་བརྗོ​ོད་པ་འདི​ི་ མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་དང་འབྲེ​ེལ་བའི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་དང་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་སྤྱད་དེ​ེ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་ཐུབ། ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༦་༧ ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཟུར་གྱི​ི་བསྡོ​ོམས་གྲངས་ནི​ི་ 180o རེ​ེད། ཁུངས་སྐྱེ​ེལ། འདི​ིར་ཟུར་གསུམ་མ་ PQR ཡོ​ོད་པ་དང་། རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༣༤ ལ་ལྟོ​ོས་) ང་ཚོ​ོས་

1+

2+

1 དང་

2,

P

3 = 180o ཡི​ིན་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་

1

དགོ​ོས། ཟུར་ཚེ​ེག་ P བརྒྱུད་ QR ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་ XPY ཞི​ིག་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༣༥ ནང་བསྟན་པ་བཞི​ིན་བྲི​ིས་པས།

ང་ཚོ​ོས་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་གི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་བྱེ​ེད་ཐུབ། XPY ནི​ི་ཐི​ིག་ཅི​ིག་རེ​ེད།

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

4+

1+

Q

(༡)

5 = 180

o

ཡི​ིན་ནའང་། XPY || QR དང་ PQ, PR གཉི​ིས་གསེ​ེག་ཐི​ིག་རེ​ེད། དེ​ེས་ན།

4=

(༡) ནང་

4 དང་

དེ​ེ་ནི​ི།

3 བཅས་ནི​ི་ ∆ PQR ཡི​ི་ཟུར་

2 དང་

5=

2+

1+

3 = 180

1+

2+

5 བརྗེ​ེ་ལེ​ེན་བྱས་ན།

དཔེ་རིས་ ༦་༣༤

X

o

Q

5

1

3

2 དཔེ་རིས་ ༦་༣༥

3 = 180

o

R

Y

P 4

(ནང་སྣོ​ོལ་ཆ་ཟུར།)

3

3

2

R

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འཛི​ིན་གྲྭ་སྔ་མར་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཕྱི​ི་ཟུར་འགྲུབ་སྟངས་སྐོ​ོར་ལ་སྦྱངས་ཡོ​ོད། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༣༦ ནང་ མཐའ་ QR གནས་ S ལ་བསྲི​ིངས་པ་དང་། ཡང་།

1+

PRS ལ་ ∆ PQR ཡི​ི་ཕྱི​ི་ཟུར་ཟེ​ེར།

3+

o 4 = 180 (ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

2+

3 = 180

(༡) དང་ (༢) ལས།

o

4=

1+

(ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

(༡)

1

(༢)

2 Q

2

གྲུབ་འབྲས་འདི​ི་གཤམ་གསལ་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་གྱི​ི་རྣམ་པར་འབྲི​ི་ཐུབ། ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༦་༨

P

4

3 དཔེ་རིས་ ༦་༣༦

R

S

གལ་ཏེ​ེ་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མཐའ་ཞི​ིག་བསྲི​ིངས་ན། ཕྱི​ི་ཟུར་གྲུབ་པ་དེ​ེ་ནང་གཏད་ཟུར་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་

བསྡོ​ོམས་གྲངས་དང་མཚུངས།

101

རྩིས་རིག

གོ​ོང་གི​ི་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ལས་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཕྱི​ི་ཟུར་ནི​ི་དེ​ེའི​ི་ནང་གཏད་ཟུར་གཉི​ིས་ཀ་ལས་ཆེ​ེ་བ་ཡི​ིན་པ་གསལ་པོ​ོ་ རེ​ེད། ང་ཚོ​ོས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་འདི​ི་སྤྱད་ནས་རྩི​ིས་དཔེ​ེ་འགའ་སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན། རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༧ དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༣༧ ནང་། QT ལན།

PR དང་

P

TQR = 40o,

SPR = 30o ཡི​ིན་ན་། x དང་ y ཚོ​ོལ།

o

30

∆TQR ནང་། 90 + 40 + x = 180 o

o

o

T

(ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ནང་ཟུར་བསྡོ​ོམས་གྲངས་ཁྱད་ཆོ​ོས།) དེ​ེར་བརྟེ​ེན། དང་།

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

x = 50o

y=

SPR + x (ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༦་༨) o

o

40

o

y = 30 +50

Q

AC གཉི​ིས་གནས་ E དང་ D གོ​ོ་རི​ིམ་ལྟར་བསྲི​ིངས་ཡོ​ོད། གལ་ཏེ​ེ་

ལན།

A

BCD ཡི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་ BO

BOC = 90o − 1 2

འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ BO ནི​ི་ དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

CBE ཡི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་རེ​ེད།

CBO = 1 CBE 2 = 1 (180o − y) 2 y = 90o − 2

དེ​ེ་མཚུངས། འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ CO ནི​ི་ བགོ​ོད་ཐི​ིག་རེ​ེད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

∆BOC ནང་།

BCD ཡི​ི་མཉམ་

x

B

BAC ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

y

z

E

C D

O

(༡)

BCO = 1 BCD 2 = 1 (180o − z) 2 z = 90o − 2 BOC + BCO + CBO = 180o

102

R

དཔེ་རིས་ ༦་༣༧

= 80o

དང་ CO གཉི​ིས་གནས་ O ལ་འཕྲད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་ན།

x S

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༨ དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༣༨ ནང་། ∆ABC ཡི​ི་མཐའ་ AB དང་ CBE དང་

y

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༣༨

(༢) (༣)

ཐིག་དང་ཟུར

(༣) ནང་ (༡) དང་ (༢) བརྗེ​ེ་ལེ​ེན་བྱས་ན།

BOC + 90o − z + 90o − y = 180o 2 2 BOC = z + y 2 2 1 BOC = (y + z) 2

དེ​ེས་ན།

ཡང་ན།

ཡི​ིན་ནའང་།

(ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ནང་ཟུར་བསྡོ​ོམས་གྲངས་ཁྱད་ཆོ​ོས།)

x + y + z = 180o

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

(༤)

y + z = 180 − x o

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། (༤) ནི​ི་

BOC = 1 (180o − x) 2 = 90o − x 2 1 BAC o = 90 − 2

སྦྱོང་ཚན། ༦་༣

༡། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༣༩ ནང་། ∆PQR ཡི​ི་མཐའ་ QP དང་ RQ གཉི​ིས་གནས་ S དང་ T གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་བསྲི​ིངས་ ཡོ​ོད། གལ་ཏེ​ེ་

SPR = 135o དང་

༢། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༤༠ ནང་། XYZ དང་

X = 62o དང་

PQT = 110o ཡི​ིན་ན།

XYZ = 54o གལ་ཏེ​ེ་ YO དང་ ZO གཉི​ིས་ ∆XYZ ཡི​ི་

XZY ཡི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་ཡི​ིན་ན།

༣། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༤༡ ནང་། AB || DE དང་

BAC = 35o,

X

S P 135o

A

R

B o

C

O o

53

Y

དཔེ་རིས་ ༦་༣༩

Z དཔེ་རིས་ ༦་༤༠

D

༤། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༤༢ ནང་། ཐི​ིག་ PQ དང་ RS གཉི​ིས་གནས་ T ཐོ​ོག་བསྣོ​ོལ་པས། RPT = 95o,

TSQ = 75o ཡི​ིན་ན།

DCE ཚོ​ོལ།

35

54

110

YOZ ཚོ​ོལ།

CDE = 53o ཡི​ིན་ན།

o

o

Q

OZY དང་

62

o

T

PRQ ཚོ​ོལ།

SQT ཚོ​ོལ།

103

E དཔེ་རིས་ ༦་༤༡

PRT = 40o དང་།

རྩིས་རིག

༥། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༤༣ ནང་། PQ y ཡི​ི་ཐང་ཚོ​ོལ།

PS དང་ PQ || SR,

P

QRT = 65o ཡི​ིན་ན། x དང་

SQR = 28o, P

Q

x

o

95

o

28

o

R

40

o

T

75

S

y

o

65

R

S དཔེ་རིས་ ༦་༤༢

Q

༦། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༦་༤༤ ནང་། ∆ PQR ཡི​ི་མཐའ་ QR ནི​ི་གནས་ S བར་བསྲི​ིངས་ ཡོ​ོད། གལ་ཏེ​ེ་

T ལ་འཕྲད་ན།

PQR དང་

QTR =

༦་༨ སྙི​ིང་བསྡུས།

1 2

དཔེ་རིས་ ༦་༤༣

T

P

PRS ཡི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་གཉི​ིས་གནས་ QPR ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

T

Q

སློ​ོབ་ཚན་འདི​ིར་གཤམ་གསལ་གནད་དོ​ོན་ཁག་སྦྱངས་ཡོ​ོད།

R

S

དཔེ་རིས་ ༦་༤༤

༡། གལ་ཏེ​ེ་ཐི​ིག་གི​ི་སྟེ​ེང་ལ་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་གི​ིས་འཕྲད་ན། དེ​ེ་ལས་གྲུབ་པའི​ི་ཉེ​ེ་ཟུར་གྱི​ི་བསྡོ​ོམས་གྲངས་ནི​ི་ 180o ཡི​ིན། ཁྱད་ཚོ​ོས་འདི​ི་ལ་ཉེ​ེ་གསབ་ཟུར་གྱི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ཟེ​ེར།

༢། ཐི​ིག་གཉི​ིས་ཕན་ཚུན་བསྣོ​ོལ་གྱི​ི་ཡོ​ོད་ན། ལྡོ​ོག་འཕྲད་ཟུར་གཉི​ིས་གཅི​ིག་པ་རེ​ེད། ༣། གསེ​ེག་ཐི​ིག་གི​ིས་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་འཕྲད་སྐབས། (ཀ) གནས་མཐུན་ཆ་ཟུར་གཅི​ིག་པ་རེ​ེད། (ཁ) ནང་སྣོ​ོལ་ཆ་ཟུར་གཅི​ིག་པ་རེ​ེད།

(ག) གསེ​ེག་ཐི​ིག་གི​ི་ཕྱོ​ོགས་གཅི​ིག་ན་ཡོ​ོད་པའི​ི་ནང་ཟུར་ཆ་ནི​ི་གསབ་ཟུར་རེ​ེད།

༤། གསེ​ེག་ཐི​ིག་གི​ིས་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ལ་འཕྲད་སྐབས།

(ཀ) གནས་མཐུན་ཆ་ཟུར་གཅི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པའམ། ཡང་ན། (ཁ) ནང་སྣོ​ོལ་ཆ་ཟུར་གཅི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པའམ། ཡང་ན།

(ག) གསེ​ེག་ཐི​ིག་གི​ི་ཕྱོ​ོགས་གཅི​ིག་ན་ཡོ​ོད་པའི​ི་ནང་ཟུར་ཆ་ཞི​ིག་གསབ་ཟུར་ཡི​ིན་ན། ཐི​ིག་དེ​ེ་དག་མཉམ་འགྲོ​ོ་རེ​ེད།

༥། སྤྲད་ཟི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་དེ​ེ་དག་ཕན་ཚུན་མཉམ་འགྲོ​ོ་རེ​ེད། ༦། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ནང་ཟུར་གྱི​ི་བསྡོ​ོམས་གྲངས་ནི​ི་ 180o རེ​ེད།

༧། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མཐའ་ཞི​ིག་བསྲི​ིངས་ནས་གྲུབ་པའི​ི་ཕྱི​ི་ཟུར་དེ​ེ་ནང་གཏད་ཟུར་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་བསྡོ​ོམས་གྲངས་དང་ མཚུངས།

104

ཟུར་གསུམ་མ།

༧

Triangles ༧་༡ ངོ་སྤྲོད།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འཛི​ིན་གྲྭ་སྔ་མར་ཟུར་གསུམ་མ་དང་དེ​ེའི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་འགའ་སྦྱངས་ཡོ​ོད། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་སྣོ​ོལ་ཐི​ིག་གསུམ་གྱི​ིས་

གྲུབ་པའི​ི་ཁ་ཟུམ་པའི​ི་དབྱི​ིབས་ལ་ཟུར་གསུམ་མ་ཟེ​ེར་གྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། ('Tri' ནི​ི་གསུམ་གྱི​ི་དོ​ོན) ཟུར་གསུམ་ མ་ལ་མཐའ་གསུམ་དང་ཟུར་གསུམ། ཟུར་ཚེ​ེག་གསུམ་ཡོ​ོད། དཔེ​ེར་ན། ∆ABC ནང་། AB, BC, CA ནི​ི་མཐའ་ གསུམ་དང་།

A,

B,

C ནི​ི་ཟུར་གསུམ། A, B, C ནི​ི་ཟུར་

ཚེ​ེག་གསུམ་རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༡ ལ་ལྟོ​ོས་) སློ​ོབ་ཚན་དྲུག་པའི​ི་ནང་ཁྱེ​ེད་

A

ཀྱི​ིས་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་འགའ་སྦྱངས་ཡོ​ོད།

སློ​ོབ་ཚན་འདི​ིར། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཡོ​ོངས་མཚུངས་དང་།

ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཀྱི​ི་ཚད་འཛི​ིན་ཆ་རྐྱེ​ེན། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་

ཁག་ཅི​ིག ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མི​ི་མཚུངས་ཚུལ་བཅས་ཀྱི​ི་སྐོ​ོར་ལ་ཞི​ིབ་ ཕྲ་སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འཛི​ིན་གྲྭ་སྔ་མར་ཁྱད་ཆོ​ོས་འདི​ི་དག་

B

མང་ཆེ​ེ་བ་ཞི​ིབ་བཤེ​ེར་བྱས་ཟི​ིན། འདི​ིར་ང་ཚོ​ོས་ཁྱད་ཆོ​ོས་ཁག་ཅི​ིག་

C དཔེ་རིས་ ༧་༡

ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན།

༧་༢ ཟུར་གསུམ་མའི་ཡོངས་མཚུངས། Congruence of Triangles

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཆ་ཚད་མཉམ་པའི​ི་འདྲ་པར་གཅི​ིག་པ་གཉི​ིས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པ་དོ​ོ་སྣང་བྱུང་ཡོ​ོད་ཀྱི​ི་རེ​ེད། དེ​ེ་བཞི​ིན། ཆ་ཚད་མཉམ་པའི​ི་ལག་གདུབ་གཉི​ིས་དང་།

དངུལ་ཁང་གཅི​ིག་ནས་སྤྲད་པའི​ི་ཨེ​ེ་ཊི​ི་ཨེ​ེམ་བྱང་བུ་གཉི​ིས་གཅི​ིག་

མཚུངས་རེ​ེད། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ལྕགས་སྒོ​ོར་གཅི​ིག་པ་གཉི​ིས་གཅི​ིག་གི​ི་ཐོ​ོག་གཞན་རྩེ​ེག་སྐབས་དེ​ེ་དག་ཕན་ཚུན་ཆ་ཚང་ ཁེ​ེབས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

དེ​ེ་འདྲའི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ལ་ཅི​ི་ཟེ​ེར་རམ། དེ​ེ་དག་ལ་ཡོ​ོངས་མཚུངས་དཔེ​ེ་རི​ིས་ཟེ​ེར། (ཡོ​ོངས་མཚུངས་ནི​ི་དབྱི​ིབས་དང་ཆེ​ེ་ཆུང་ཡོ​ོངས་ སུ་མཚུངས་པ་ཞི​ིག་ལ་ཟེ​ེར།)

ཚངས་ཕྱེ​ེད་མཉམ་པའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་གཉི​ིས་བྲི​ིས་ཏེ​ེ་གཅི​ིག་གི​ི་ཐོ​ོག་ལ་གཞན་དེ​ེ་ཞོ​ོག ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གང་དོ​ོ་སྣང་བྱུང་ངམ། དེ​ེ་དག་གི​ིས་ཕན་ཚུན་ཆ་ཚང་ཁེ​ེབས་པས་དེ​ེ་དག་ཡོ​ོངས་མཚུངས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་རེ​ེད།

རྩིས་རིག

མཐའི​ི་རི​ིང་ཚད་མཉམ་པའི​ི་གྲུ་བཞི​ི་ཁ་གང་གཉི​ིས་གཅི​ིག་གི​ི་ཐོ​ོག་

གཞན་རྩེ​ེག་པའམ་ (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༢ ལ་ལྟོ​ོས་) ཡང་ན། མཐའ་གཅི​ིག་པའི​ི་

མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས ་ཕན་ཚུན་གཅི​ིག ་གི​ི་ ཐོ​ོ ག ་

དཔེ་རིས་ ༧་༢

གཞན་བརྩེ​ེགས་ཏེ​ེ་བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་འདི​ི་བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱོ​ོས།

ང་ཚོ​ོས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་སྐོ​ོར་སྦྱང་དགོ​ོས་དོ​ོན་གང་ཡི​ིན་ནམ། ཁྱེ​ེད་ཚོ​ོས་འཁྱག་སྒམ་ནང་འཁྱགས་པ་བཟོ​ོ་སའི​ི་སྣོ​ོད་ མཐོ​ོང་ཡོ​ོད་ཀྱི​ི་རེ​ེད། འཁྱགས་པ་བཟོ​ོ་སའི​ི་སྣོ​ོད་ཀོ​ོང་ཀོ​ོང་ཚང་མ་ཡོ​ོངས་མཚུངས་རེ​ེད། དེ​ེ་དག་གྲུ་ནར་དབྱི​ིབས་དང་།

སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས། ཟུར་གསུམ་དབྱི​ིབས་སོ​ོགས་ནང་ཡོ​ོད། དེ​ེས་ན། གཅི​ིག་མཚུངས་དངོ​ོས་པོ​ོ་བཟོ​ོ་བར་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཀྱི​ི་ གོ​ོ་དོ​ོན་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་ཡོ​ོད།

སྐབས་རེ​ེར་ཁྱེ​ེད་རང་གི​ི་སྨྱུ་གུའི​ི་སྣག་ཚ་བསྐྱར་གསབ་བྱེ​ེད་ཁག་པོ​ོ་བྱུང་ཡོ​ོད་ཀྱི​ི་རེ​ེད། དེ​ེ་ནི​ི་བསྐྱར་གསབ་གསར་རྙི​ིང་

གཉི​ིས་ཀྱི​ི་ཆ་ཚད་གཅི​ིག་པ་མི​ིན་པས་ཡི​ིན་སྲི​ིད། བསྐྱར་གསབ་གཉི​ིས་ཀ་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡང་ན་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ ཡི​ིན་ན་བསྐྱར་གསབ་སྨྱུ་གུའི​ི་ནང་ཏག་ཏག་རན་གྱི​ི་རེ​ེད།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཉི​ིན་རེ​ེའི་ི འཚོ​ོ་བའི​ི་ནང་སྤྱོ​ོད་པའི​ི་ཡོ​ོངས་མཚུངས་དངོ​ོས་པོ​ོའི་ི དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་མང་པོ​ོ་མཐོ​ོང་མྱོ​ོང་ངམ། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་དཔེ​ེ་རི​ིས་ཀྱི​ི་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་གཞན་འགའ་དྲན་གྱི​ི་འདུག་གམ།

གཤམ་གསལ་ལས་དཔེ​ེ་རི​ིས་གང་དག་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༣ (ཀ) པའི​ི་གྲུ་བཞི​ི་ཁ་གང་དང་ཡོ​ོངས་མཚུངས་མི​ིན་ནམ།

(ཀ)

(ཁ)

དཔེ་རིས་ ༧་༣

(ག)

(ང)

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༣ (ཁ) པ་དང་ (ག) པའི​ི་གྲུ་བཞི​ི་ཁ་གང་ཆེ​ེན་པོ​ོ་གཉི​ིས་ནི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༣ (ཀ) པའི​ི་གྲུ་བཞི​ི་ཁ་གང་དང་

ཡོ​ོངས་མཚུངས་མི​ིན་པ་གསལ་པོ​ོ་རེ​ེད། ཡི​ིན་ནའང་། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༣ (ང) པའི​ི་གྲུ་བཞི​ི་ཁ་གང་ནི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༣ (ཀ) པའི​ི་གྲུ་བཞི​ི་ཁ་གང་དང་ཡོ​ོངས་མཚུངས་རེ​ེད།

ང་ཚོ​ོས་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོངས་མཚུངས་སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན།

ཟུར་གསུམ་མ་གཅི​ིག ་གི​ི་ མཐའ་དང་ཟུར་ནི​ི་ ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་ཞི​ིག ་གི​ི་ གནས་མཐུན་མཐའ་དང་ཟུར་ལ་ མཚུངས་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ​ེ་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཡི​ིན་པ་ཤེས ེ ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

106

ཟུར་གསུམ་

གཤམ་གསལ་ལས་ཟུར་གསུམ་མ་གང་དག་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༤ (ཀ) པའི​ི་ ∆ABC དང་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཡི​ིན་ནམ། A

(ཀ)

M

P (ཁ)

cm U

m 3c

3 cm

T (ང)

(ག)

3

2.5 cm

E

S

2 cm N

R

2 cm

C

3 cm

cm

m

m

B

F 3c

m

2c

2c

2.5

2.5 cm

D

Q

3 cm

m

c 2.5

3 cm

R

(ཅ)

དཔེ་རིས་ ༧་༤

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༤ (ཁ) ནས་ (ཅ) བར་གྱི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་རེ​ེ་རེ​ེ་དྲེ​ེས་ནས་ ∆ ABC སྟེ​ེང་དུ་ཞོ​ོག

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༤ (ཁ) དང་ (ག) (ང) པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་ནི​ི་ ∆ ABC དང་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཡི​ིན་པ་དང་། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༤ (ཅ) པ་ ∆ TSU ནི​ི་ ∆ ABC དང་ཡོ​ོངས་མཚུངས་མི​ིན།

གལ་ཏེ​ེ་ ∆ PQR ནི​ི་ ∆ ABC དང་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཡི​ིན་ན། ∆ PQR

∆ PQR

∆ ABC ལྟར་འབྲི​ི་ཡི​ི་ཡོ​ོད།

∆ ABC ཡི​ིན་སྐབས། ∆ PQR ཡི​ི་མཐའ་རྣམས་ ∆ ABC ཡི​ི་གནས་མཐུན་མཐའི​ི་སྟེ​ེང་འཁེ​ེལ་བ་

དང་དེ​ེ་ཟུར་གྱི​ི་སྐབས་སུའང་གཅི​ིག་པ་རེ​ེད།

དེ​ེ་ནི​ི། PQ ཡི​ིས་ AB བཀབ་པ་དང་། QR ཡི​ིས་ BC བཀབ་པ། RP ཡི​ིས་ CA བཀབ་ཡོ​ོད་པ་དང་། A བཀབ་པ།

Q ཡི​ིས་

B བཀབ་པ།

R ཡི​ིས་

C བཀབ་ཡོ​ོད།

P ཡི​ིས་

དེ​ེར་མ་ཟད། དེ​ེ་དག་གི​ི་གནས་མཐུན་ཟུར་ཚེ​ེག་ཀྱང་མཚུངས། P ནི​ི་ A དང་། Q ནི​ི་ B, R ནི​ི་ C བཅས་གནས་ མཐུན་རེ​ེད། ང་ཚོ​ོས་དེ​ེ་ P ↔ A, Q ↔ B, R ↔ C ལྟར་འབྲི​ི་ཡི​ི་ཡོ​ོད། མཆན། གནས་མཐུན་འདི​ིའི​ི་ནང་། ∆ PQR འགྲི​ིག་གི​ི་མེ​ེད།

∆ ABC ཡི​ིན་ནའང་། ∆ QRP

དེ​ེ་མཚུངས། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༤ (ག) ནང་། དང་

FD ↔ AB དང་ DE ↔ BC, EF ↔ CA F ↔ A, D ↔ B, E ↔ C

107

∆ ABC ལྟར་བྲི​ིས་ན་

རྩིས་རིག

དེ​ེས་ན། ∆ FDE

∆ ABC ཡི​ིན་ནའང་། ∆ DEF

∆ ABC ལྟར་བྲི​ིས་ན་མི​ི་འགྲི​ིག

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༤ (ང) པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་དང་ ∆ ABC གཉི​ིས་དབར་གྱི​ི་གནས་མཐུན་བྲི​ིས།

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཡོ​ོངས་མཚུངས་མཚོ​ོན་རྟགས་ཀྱི​ི་རྣམ་པར་འབྲི​ི་བར་ཟུར་ཚེ​ེག་གི​ི་གནས་མཐུན་ཏག་ ཏག་འབྲི​ི་དགོ​ོས།

མཆན། ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ནང་གནས་མཐུན་རྒྱུ་རྣམས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པ་དང་ང་ཚོ​ོས་ཡོ​ོངས་ མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་ལ་བསྡུས་ནས་ 'CPCT' ཟེ​ེར།

༧་༣ ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མར་ཚད་འཛི​ིན་ཆ་རྐྱེ​ེན། Criteria for Congruence of Triangles

འཛི​ིན་གྲྭ་སྔ་མར་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཚད་འཛི​ིན་ཆ་རྐྱེ​ེན་བཞི​ི་སྦྱངས་ཟི​ིན། ང་ཚོ​ོས་དེ​ེ་དྲན་ གསོ​ོ་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན།

མཐའ་གཅི​ིག་ 3 cm ཡི​ིན་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིེ​ེ�ས་བྲི​ིས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༥ ལ་ལྟོ​ོས་) ཟུར་གསུམ་འདི​ི་དག་ཡོ​ོངས་ མཚུངས་ཡི​ིན་ནམ། དེ​ེ་དག་ཡོ​ོངས་མཚུངས་མི​ིན།

D

A

3 cm

1.8 cm B

2.4 cm

C

(ཀ)

E

F

3 cm (ཁ)

དཔེ་རིས་ ༧་༥

མཐའ་གཅི​ིག་ 4 cm དང་ཟུར་གཅི​ིག་ 50o ཡི​ིན་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིེ​ེ�ས་བྲི​ིས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༦ ལ་ལྟོ​ོས་) དེ​ེ་དག་ ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཡི​ིན་ནམ།

P

A

o

B

50

4 cm

C

Q དཔེ་རིས་ ༧་༦

ཟུར་གསུམ་མ་འདི​ི་དག་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་མི​ིན་པ་གསལ་པོ​ོ་རེ​ེད།

108

50

o

4 cm

R

ཟུར་གསུམ་

གོ​ོང་གི​ི་བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་འདི​ི་ལྟ་བུ་མང་ཙམ་སྤེ​ེལ་དགོ​ོས།

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། གནས་མཐུན་མཐའ་གཅི​ིག་གམ། ཡང་ན་གནས་མཐུན་ཟུར་གཅི​ིག་འདྲ་མཚུངས་ཡི​ིན་ནའང་ཟུར་ གསུམ་མ་དེ​ེ་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཡི​ིན་པའི​ི་ཆ་རྐྱེ​ེན་འདང་གི​ི་མེ​ེད།

གལ་སྲི​ིད་འདྲ་མཚུངས་ཟུར་གྱི​ི་གནས་མཐུན་དཔུང་པ་ (མཐའ་) གཞན་རྣམས་གཅི​ིག་མཚུངས་་ཡི​ིན་ན་གང་འབྱུང་ ངམ། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༧ ནང་། BC = QR དང་

B=

Q, AB = PQ

འདི​ིར་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ ∆ ABC དང་ ∆ PQR ཡི​ི་ཡོ​ོངས་མཚུངས་སྐོ​ོར་གང་ཤོ​ོད་ཐུབ་བམ། གནས་སྟངས་འདི​ིའི​ི་ སྐབས་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཡི​ིན། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༧ ནང་གི​ི་ ∆ ABC དང་ ∆ PQR ལ་ཞི​ིབ་ བཤེ​ེར་གྱི​ིས། བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་འདི​ི་ལྟར་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་རེ​ེ་བླངས་ཏེ​ེ་བསྐྱར་བཟློ​ོས་བྱོ​ོས།

དེ​ེས་ན། གནས་མཐུན་མཐའ་གཉི​ིས་དང་དེ​ེའི​ི་ཚུད་ཟུར་འདྲ་མཚུངས་ཡི​ིན་ན། ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་ འགྲུབ་བམ། འགྲུབ།

2c

2c

m

P

m

A

50o B

50o 4.5 cm

C

Q

4.5 cm

R

དཔེ་རིས་ ༧་༧

འདི​ི་ནི​ི་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཚད་འཛི​ིན་ཆ་རྐྱེ​ེན་དང་པོ​ོ་རེ​ེད།

སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ། ༧་༡ (SAS ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེ​ེན།) གལ་སྲི​ིད་ཟུར་གསུམ་མ་གཅི​ིག་གི​ི་མཐའ་གཉི​ིས་དང་དེ​ེའི​ི་ཚུད་

ཟུར་ནི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་ཞི​ིག་གི​ི་མཐའ་གཉི​ིས་དང་དེ​ེའི​ི་ཚུད་ཟུར་ལ་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་ན། ཟུར་གསུམ་མ་ དེ​ེ་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་རེ​ེད།

གྲུབ་འབྲས་འདི​ི་སྔར་སྦྱངས་ཟི​ིན་པའི​ི་གྲུབ་འབྲས་སྤྱད་དེ​ེ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་མི​ི་ཐུབ་པས། བདེ​ེན་པར་འཛི​ིན་གྱི​ི་ཡོ​ོད།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡ དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༨ ནང་། OA = OB དང་ OD = OC (ཀ) ∆ AOD

ལན།

C

∆ BOC དང་

(ཁ) AD || BC ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས། OD = OC

B

O

(ཀ) ∆ AOD དང་ ∆ BOC ནང་། OA = OB

འདི​ི་ནི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ་ལྟར་

(སྤྲད་ཟིན་པ།)

A

109

དཔེ་རིས་ ༧་༨

D

རྩིས་རིག

AOD དང་

BOC ཡི​ིས་ལྡོ​ོག་འཕྲད་ཟུར་གྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པས། AOD =

དེ​ེས་ན།

∆ AOD

BOC

(SAS ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེ​ེན་ལས།)

∆ BOC

(ཁ) ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་ AOD དང་ BOC ནང་། གནས་མཐུན་ཆ་ཤས་གཞན་རྣམས་ ཀྱང་གཅི​ིག་མཚུངས་རེ​ེད། དེ​ེས་ན།

OAD =

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

OBC དང་འདི​ིས་ཐི​ིག་དུམ་ AD དང་ BC ལ་སྣོ​ོལ་ཟུར་ཆ་འགྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། AD || BC

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༢ ཐི​ིག་ l ནི​ི་ཐི​ིག་དུམ་ AB ཡི​ི་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་རེ​ེད། གལ་སྲི​ིད་ l སྟེ​ེང་ལ་གནས་ P ལན།

ཞི​ིག་ཡོ​ོད་ན། P ནི​ི་ A དང་ B གཉི​ིས་ནས་བར་ཐག་མཉམ་པའི​ི་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས། ཐི​ིག་ l

AB དང་ C བརྒྱུད་ནས་འགྲོ​ོ་ཡི​ི་ཡོ​ོད།

དེ​ེ་ནི​ི་ AB ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་ཐི​ིག་རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༩ ལ་ལྟོ​ོས་)

l P

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ PA = PB ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་དགོ​ོས། ∆ PCA དང་ ∆ PCB ལ་ཆ་ཞོ​ོག

འདི​ིར། AC = BC (C ནི​ི་ AB ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་ཐི​ིག་རེ​ེད།) PCB = 90o

PCA =

PC = PC

དེ​ེས་ན། དང་།

∆ PCA

∆ PCB

(སྤྲད་ཟི​ིན་པ།)

A

(སྤྱི​ི་མཐའ།)

C

དཔེ་རིས་ ༧་༩

(SAS ཆ་རྐྱེ​ེན།)

(ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་གནས་མཐུན་མཐའ།)

PA = PB

B

མཐའ་ 4 cm དང་ 5 cm ཅན་དང་། དེ​ེ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་ཚུད་ཟུར་མི​ིན་པའི​ི་ཟུར་གཅི​ིག་ 50o ཡི​ིན་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་ གཉི​ིས་བྲི​ིས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༡༠ ལ་ལྟོ​ོས་) ཟུར་གསུམ་མ་དེ​ེ་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཡི​ིན་ནམ།

50o 5 cm

5 cm

50o 4 cm

དཔེ་རིས་ ༧་༡༠

110

4 cm

ཟུར་གསུམ་

ཟུར་གསུམ་མ་དེ​ེ་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་མི​ིན་པ་དོ​ོ་སྣང་གྱི​ིས་དང་།

བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་འདི​ི་ལྟར་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་རེ​ེ་བླངས་ཏེ​ེ་བསྐྱར་བཟློ​ོས་བྱོ​ོས།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དོ​ོ་སྣང་བྱ་དགོ​ོས་པ་ཞི​ིག་ནི​ི། ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་འགྲུབ་པར་གནས་མཐུན་མཐའ་མཉམ་དབར་ ལ་གནས་མཐུན་ཟུར་མཉམ་པ་ཚུད་དགོ​ོས།

དེ​ེས་ན། SAS ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེ​ེན་བདེ​ེན་ནའང་། ASS ཡང་ན་ SSA སྐབས་མི​ི་བདེ​ེན།

ཟུར་ 60o དང་ 45o བཅས་ཟུར་གཉི​ིས་དང་དེ​ེའི​ི་དབར་གྱི​ི་ཚུད་མཐའ་ 4 cm ཅན་གྱི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་འབྲི​ི་ ཐབས་བྱོ​ོས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༡༡ ལ་ལྟོ​ོས་)

60o

60o

45o 4 cm

45o 4 cm

དཔེ་རིས་ ༧་༡༡

ཟུར་གསུམ་མ་འདི​ི་གཉི​ིས་དྲས་ཏེ​ེ་ཟུར་གསུམ་མ་གཅི​ིག་གི​ི་སྟེ​ེང་ལ་གཞན་དེ​ེ་ཞོ​ོག ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དོ​ོ་སྣང་གང་བྱུང་ངམ། ཟུར་གསུམ་མ་ཕན་ཚུན་ཁེ​ེབས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པས། དེ​ེ་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་རེ​ེད། བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་འདི​ི་ལྟར་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་རེ​ེ་བླངས་ཏེ​ེ་བསྐྱར་བཟློ​ོས་བྱོ​ོས།

གནས་མཐུན་ཟུར་གཉི​ིས་དང་དེ​ེའི​ི་ཚུད་

མཐའ་འདྲ་མཚུངས་ཡི​ིན་ན། ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་འགྲུབ་པའི​ི་ཆ་རྐྱེ​ེན་ཚང་ཡོ​ོད།

གྲུབ་འབྲས་འདི​ི་ནི​ི་ཟུར་མཐའ་ཟུར་ ཟུར་མཐའ་ཟུར་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེ​ེན་ཡི​ིན་པ་དང་། དེ​ེ་ ASA ལྟར་བྲི​ིས་ཡོ​ོད། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཆ་ རྐྱེ​ེན་འདི​ི་འཛི​ིན་གྲྭ་སྔ་མའི​ི་ནང་ཞི​ིབ་བཤེ​ེར་བྱས་ཡོ​ོད། འདི​ིར་ང་ཚོ​ོས་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན། གྲུབ་འབྲས་འདི​ི་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་ཐུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པས་དེ​ེར་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ཟེ​ེར་བ་དང་། SAS ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེ​ེན་སྤྱོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༧་༡ (ASA ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེ​ེན།)

དེ​ེ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱ་བར་ང་ཚོ​ོས་

གལ་སྲི​ིད་ཟུར་གསུམ་མ་གཅི​ིག་གི​ི་ཟུར་གཉི​ིས་དང་དེ​ེའི​ི་ཚུད་

མཐའ་ནི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་ཞི​ིག་གི​ི་ཟུར་གཉི​ིས་དང་དེ​ེའི​ི་ཚུད་མཐའ་ལ་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་ན། ཟུར་གསུམ་ མ་དེ​ེ་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་རེ​ེད།

ཁུངས་སྐྱེ​ེལ། ང་ཚོ​ོར་སྤྲད་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC དང་ DEF བཅས་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་ནང་། B=

དང་།

ང་ཚོ​ོས་ ∆ ABC

E,

C=

BC = EF

∆ DEF ཡི​ིན་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་དགོ​ོས།

111

F

རྩིས་རིག

ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་སྐབས་གནས་སྟངས་གསུམ་འབྱུང་གི​ི་ཡོ​ོད། གནས་སྟངས། ༡ AB = DE ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༡༢ ལ་ལྟོ​ོས་) A

B

C

D

E

F

དཔེ་རིས་ ༧་༡༢

ང་ཚོ​ོར།

E

(ཚོ​ོད་དཔག)

∆ DEF

(ཤེ​ེས་ཟི​ིན།)

AB = DE B=

(ཤེ​ེས་ཟི​ིན།)

BC = EF

དེ​ེས་ན།

∆ ABC

(SAS ཆ་རྐྱེ​ེན་ལས།)

གནས་སྟངས། ༢ AB > DE ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག དེ​ེས་ན། ང་ཚོ​ོས་ AB སྟེ​ེང་ལ་གནས་ P ཞི​ིག་ PB = DE ལྟར་ བླངས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༡༣ ལ་ལྟོ​ོས་)

A D

P

B

∆ PBC དང་ ∆ DEF ནང་།

C

E

F

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༡༣

PB = DE B=

E

BC = EF

དེ​ེས་ན། ང་ཚོ​ོས་གཤམ་གསལ་མཐའ་སྡོ​ོམ་བྱེ​ེད་ཐུབ། SAS ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེ​ེན་ལས། ∆ PBC

∆ DEF

112

(བཀོ​ོད་པ་ལས།)

(ཤེ​ེས་ཟི​ིན།)

(ཤེ​ེས་ཟི​ིན།)

ཟུར་གསུམ་

ཟུར་གསུམ་མ་རྣམས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཡི​ིན་པས། དེ​ེ་དག་གི​ི་གནས་མཐུན་ཆ་ཤས་གཅི​ིག་མཚུངས་རེ​ེ​ེད། དེ​ེས་ན།

PCB =

ACB =

DFE

ACB =

PCB འདི​ི་ལྟར་ཡོ​ོང་སྲི​ིད་དམ།

ཡི​ིན་ནའང་།

དེ​ེས་ན།

DFE

འདི​ི་ནི​ི་ P དང་ A མཉམ་གནས་ཡི​ིན་པ་དང་། BA = ED ཡི​ིན་ན་མ་གཏོ​ོགས་ཡོ​ོང་མི​ི་སྲི​ིད། དེ​ེས་ན།

∆ ABC

∆ DEF

(SAS ཆ་རྐྱེ​ེན་ལས།)

གནས་སྟངས། ༣ AB < DE ཡི​ིན་ན། ང་ཚོ​ོས་ DE སྟེ​ེང་གནས་ M ཞི​ིག་ ME = AB ལྟར་བླངས། གནས་ སྟངས་ (༢) ལྟར་བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱས་ཏེ​ེ། ང་ཚོ​ོས་ AB = DE ཡི​ིན་པ་མཐའ་སྡོ​ོམ་བྱེ​ེད་ཐུབ། དེ​ེས་ན། ∆ ABC

∆ DEF

ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་གནས་མཐུན་ཟུར་གཉི​ིས་དང་གནས་མཐུན་མཐའ་གཅི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པ་དང་། མཐའ་དེ​ེ་གནས་མཐུན་ཟུར་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་དབར་ལ་ཚུད་མེ​ེད་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ​ེ་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཡི​ིན་ནམ། དེ​ེ་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཡི​ིན། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་རྒྱུ་མཚན་ཤོ​ོད་ཐུབ་བམ།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ནང་ཟུར་གྱི​ི་བསྡོ​ོམས་གྲངས་ནི​ི་ 180o ཡི​ིན་པ་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེས་ན་ཆ་ཟུར་གཉི​ིས་ གཅི​ིག་པ་ཡི​ིན་ན། ཆ་ཟུར་གསུམ་པ་དེ​ེའང་གཅི​ིག་པ་རེ​ེད། (180o − ཟུར་མཉམ་པ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་བསྡོ​ོམས་གྲངས།) དེ​ེས་ན།

ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་གནས་མཐུན་ཆ་ཟུར་གང་རུང་གཉི​ིས་དང་གནས་མཐུན་མཐའ་གཅི​ིག་གཅི​ིག་

མཚུངས་ཡི​ིན་ན། དེ​ེ་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་རེ​ེད། དེ​ེར་ AAS ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེ​ེན་ཟེ​ེ ་ ར། ང་ཚོ​ོས་གཤམ་གསལ་བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་སྤེ​ེལ་གྱི​ི་ཡི​ིན།

ཟུར་ཚད་ 40o དང་ 50o, 90o ཅན་གྱི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་བྲི​ིས། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཟུར་གསུམ་མ་དེ​ེ་འདྲ་ག་ཚོ​ོད་འབྲི​ི་ཐུབ་ བམ། མཐའི​ི་རི​ིང་ཚད་མི​ི་འདྲ་བའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་གང་མང་འབྲི​ི་ཐུབ། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༡༤ ལ་ལྟོ​ོས་)

དཔེ་རིས་ ༧་༡༤

113

རྩིས་རིག

གོ​ོང་གི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ནང་ཟུར་གསུམ་མ་རྣམས་ཕན་ཚུན་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཡི​ིན་མི​ིན་གཉི​ིས་ཀ་ཡོ​ོད་པ་མཐོ​ོང་ཐུབ།

དེ​ེས་ན། གནས་མཐུན་ཟུར་གསུམ་པོ​ོ་འདྲ་མཚུངས་ཡི​ིན་ནའང། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཀྱི​ི་ཆ་རྐྱེ​ེན་ ཚང་གི​ི་མེ​ེད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཆེ​ེད་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་གནས་མཐུན་གཅི​ིག་ནི​ི་གནས་ མཐུན་མཐའ་ཡི​ིན་དགོ​ོས། ང་ཚོ​ོས་རྩི​ིས་དཔེ​ེ་གཞན་འགའ་ལེ​ེན་རྒྱུ་ཡི​ིན།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༣ དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༡༥ ནང་ཐི​ིག་དུམ་ AB ནི​ི་ཐི​ིག་དུམ་ CD ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་རེ​ེད། O ནི​ི་ AD ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་ གནས་རེ​ེད། (ཀ) ∆ AOB

ལན།

∆ DOC དང་། (ཁ) O ནི​ི་ BC ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་ཡི​ིན་པ་ཁུངས་

སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

(ཀ) ∆ AOB དང་ ∆ DOC ལ། ABO =

C

DCO

O

(AB || CD དང་ BC གསེ​ེག་ཐི​ིག་ཡི​ིན་པས་ AOB =

སྣོ​ོལ་ཟུར་ཡི​ིན།)

(ལྡོ​ོག་འཕྲད་ཟུར།)

DOC

OA = OD

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

D

∆ AOB

(ཤེ​ེས་ཟི​ིན།)

∆ DOC

(ཁ) OB = OC

B

A དཔེ་རིས་ ༧་༡༥

(AAS ཆ་རྐྱེ​ེན།)

(CPCT)

དེ​ེས་ན། O ནི​ི་ BC ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་རེ​ེད།

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༧་༡

༡། དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ACBD ནང་། AC = AD དང་ AB ཡི​ིས་

A མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་

ཡོ​ོད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༡༦) ∆ ABC

∆ ABD ཁུངས་

སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ BC དང་ BD སྐོ​ོར་ལ་གང་ཤོ​ོད་ ཐུབ་བམ།

C

A

B

D དཔེ་རིས་ ༧་༡༦

114

༢། དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD ནང་། AD = BC དང་

DAB =

A

CBA (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༡༧ ལ་ལྟོ​ོས་)

གཤམ་གསལ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས། (ཀ) ∆ ABD

D

B

∆ BAC

(ཁ) BD = AC (ག)

ཟུར་གསུམ་

ABD =

BAC

C དཔེ་རིས་ ༧་༡༧

B

༣། AD དང་ BC གཉི​ིས་ཐི​ིག་དུམ་ AB ལ་དྲང་འཕྱང་

མཉམ་པ་རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༡༨ ལ་ལྟོ​ོས་) CD ཡི​ིས་ AB མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་པ་སྟོ​ོན།

C

O A

D

དཔེ་རིས་ ༧་༡༨

༤། l དང་ m ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་གཉི​ིས་དང་དེ​ེ་དག་ལ་

p

མཉམ་འགྲོ​ོ་ཆ་ཐི​ིག་ p དང་ q ཡི​ིས་བསྣོ​ོལ་གྱི​ི་ཡོ​ོད། (དཔེ​ེ་ རི​ིས་ ༧་༡༩ ལ་ལྟོ​ོས་) ∆ ABC

ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

∆ CDA ཡི​ིན་པ་

q

A

D

B

C

l m

དཔེ་རིས་ ༧་༡༩

༥། ཐི​ིག་ l ནི​ི་

A ཡི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་དང་། B ནི​ི་ l

སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་ཤི​ིག་རེ​ེད། BP དང་ BQ ནི​ི་ B ནས་ A ཡི​ི་དཔུང་པ་གཉི​ིས་ལ་དྲང་འཕྱང་རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་

༧་༢༠ ལ་ལྟོ​ོས་) གཤམ་གསལ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

(ཀ) ∆ APB

B

∆ AQB

(ཁ) BP = BQ ཡང་ན་ B ནི​ི་

ནས་བར་ཐག་མཉམ་པར་ཡོ​ོད།

l

Q

A ཡི​ི་དཔུང་པ་

115

A

P དཔེ་རིས་ ༧་༢༠

རྩིས་རིག

༦། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༢༡ ནང་། AC = AE དང་ AB = AD,

E

EAC རེ​ེད། BC = DE ཡི​ིན་པ་

BAD =

སྟོ​ོན།

A

B

D

C

དཔེ་རིས་ ༧་༢༡

༧།

AB ནི​ི་ཐི​ིག་དུམ་དང་ P ནི​ི་དེ​ེའི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་

རེ​ེད། D དང་ E ནི​ི་ AB ཡི​ི་ཕྱོ​ོགས་གཅི​ིག་ན་ཡོ​ོད་ པའི​ི་གནས་ཡི​ིན་པས།

BAD =

ABE དང་

DPB ཡི​ིན་ན། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༢༢ ལ་ལྟོ​ོས་)

EPA =

(ཀ) ∆ DAP

∆ EBP དང་།

E

A

དང་ M ནི​ི་གསེ​ེག་མཐའ་ AB ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་རེ​ེད།

D

C དང་ M མཐུད་ནས་ DM = CM ལྟར་ D བར་

བསྲི​ིངས། གནས་ D དང་གནས་ B མཐུད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་ ༢༣ ལ་ལྟོ​ོས་) གཤམ་གསལ་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

(ཀ) ∆ AMC

∆ BMD

(ག) ∆ DBC

∆ ACB

(ཁ)

P

B

དཔེ་རིས་ ༧་༢༢

(ཁ) AD = BE ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

༨། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ནང་། C ནི​ི་དྲང་ཟུར་

D

A

M B

C དཔེ་རིས་ ༧་༢༣

DBC ནི​ི་དྲང་ཟུར་རེ​ེད།

(ང) CM = 1 AB 2

༧་༤ ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་འགའ།

ལེ​ེ་ཚན་སྔ་མའི​ི་ནང་། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཀྱི​ི་ཚད་འཛི​ིན་ཆ་རྐྱེ​ེན་གཉི​ིས་སྦྱངས་ཡོ​ོད། གྲུབ་འབྲས་ འདི​ི་དག་མཐའ་གཉི​ིས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་འགའ་སྦྱོ​ོང་བར་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ ཡི​ིན།

116

ཟུར་གསུམ་

གཤམ་གྱི​ི་བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་སྤེ​ེལ།

A

མཐའ་གཉི​ིས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་བྲི​ིས། མཐའ་གཅི​ིག་པ་གཉི​ིས་ 2.5 cm དང་མཐའ་གསུམ་པ་དེ​ེ་ 4 cm ལྟ་བུ་ལོ​ོངས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༢༤ ལ་ལྟོ​ོས་) ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་བཀོ​ོད་རི​ིས་འདི​ི་འདྲ་ འཛི​ིན་གྲྭ་སྔ་མར་སྦྱངས་ཡོ​ོད།

2.5

B

2.5

cm

4 cm

cm C

དཔེ་རིས་ ༧་༢༤

དེ​ེ་འདྲ་བའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་ལ་གང་ཟེ​ེར་རམ། དྲན་གསོ​ོ་གྱི​ིས་དང་།

མཐའ་གཉི​ིས་མཚུངས་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་ལ་སྐེ​ེ སྐེ​ེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཟེ​ེ ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ ར།

དེ​ེས་ན། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༢༤ ནང་ AB = AC ཡི​ིན་པས། ∆ ABC ནི​ི་སྐེ​ེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་རེ​ེད། B དང་

C ཡི​ི་ཟུར་ཚད་འཇོ​ོལ། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ག་རེ​ེ་དོ​ོ་སྣང་གང་བྱུང་ངམ།

བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་འདི​ི་སྐེ​ེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་ལ་བསྐྱར་བཟློ​ོས་བྱོ​ོས།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དེ​ེ་འདྲ་བའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་ཚང་མའི​ི་ནང་། མཐའ་མཉམ་གྱི​ི་གཏད་ཟུར་རྣམས་མཚུངས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་མཐོ​ོང་ ཐུབ།

འདི​ི་ནི​ི་གྲུབ་འབྲས་གལ་ཆེ​ེ་ཞི​ིག་ཡི​ིན་པ་དང་དེ​ེ་སྐེ​ེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཚང་མ་ལ་བདེ​ེན།

དེ​ེ་ནི​ི་གཤམ་གསལ་

ལྟར་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་ཐུབ།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༧་༢ སྐེ​ེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་གི​ི་མཐའ་མཉམ་གྱི​ི་གཏད་ཟུར་རྣམས་མཚུངས། གྲུབ་འབྲས་འདི​ི་ཐབས་ལམ་མང་པོ​ོ་བརྒྱུད་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་ཐུབ། དེ​ེ་དག་ལས་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་གཅི​ིག་ནི​ི།

A

ཁུངས་སྐྱེ​ེལ། སྐེ​ེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ནང་ AB = AC སྤྲད་ཡོ​ོད། ང་ཚོ​ོས་

B=

C ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་དགོ​ོས།

A ཡི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་བྲི​ིས་ཏེ​ེ།

A ཡི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་

དང་ BC ཡི​ི་སྣོ​ོལ་གནས་ལ་ D བྲི​ིས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༢༥ ལ་ལྟོ​ོས་) ∆ BAD དང་ ∆ CAD ནང་།

AB = AC BAD =

CAD

AD = AD

དེ​ེས་ན། དེ​ེས་ན། དེ​ེས་ན།

∆ BAD ABD =

ACD B=

∆ CAD

B

D

C

དཔེ་རིས་ ༧་༢༥

(ཤེ​ེས་ཟི​ིན།)

(བཀོ​ོད་པ་ལས།) (སྤྱི​ི་མཐའ།)

(SAS ཆ་རྐྱེ​ེན་ལས།)

(ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་གནས་མཐུན་ཟུར་ཡི​ིན་པས།) C

117

རྩིས་རིག

དེ​ེའི​ི་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་ཀྱང་བདེ​ེན་པ་ཡི​ིན་ནམ། དེ​ེ་ནི​ི།

གལ་ཏེ​ེ་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཟུར་གཉི​ིས་མཚུངས་ན། དེ​ེའི་ི གཏད་མཐའ་ཡང་མཚུངས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་མཐའ་སྡོ​ོམ་བྱེ​ེད་ཐུབ་བམ། གཤམ་གསལ་བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་སྤེ​ེལ་དགོ​ོས།

BC ནི​ི་རི​ིང་ཚད་གང་རུང་ཞི​ིག་དང་

C = 50o ཡི​ིན་པའི​ི་ ∆ABC ཞི​ིག་བཀོ​ོད།

B=

A ཡི​ི་མཉམ་

བགོ​ོད་ཐི​ིག་བྲི​ིས་ཏེ​ེ། དེ​ེ་ BC སྟེ​ེང་གནས་ D ལ་འཕྲད་པར་གྱི​ིས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༢༦ ལ་ལྟོ​ོས་)

ཤོ​ོག་ལྷེ​ེ་ནས་ཟུར་གསུམ་མ་དེ​ེ་དྲས་ཏེ​ེ། AD བརྒྱུད་ལྟེ​ེབ་རྩེ​ེག་རྒྱག་སྐབས་ཟུར་ཚེ​ེག་ C ཐོ​ོག་ཟུར་ཚེ​ེག་ B འཁེ​ེལ་ བར་གྱི​ིས།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་མཐའ་ AC དང་ AB སྐོ​ོར་ལ་གང་ཤོ​ོད་ཐུབ་བམ།

A

AC དང་ AB ཕན་ཚུན་ཁེ​ེབས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

དེ​ེས་ན། AC = AB

བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་འདི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་ལ་བསྐྱར་བཟློ​ོས་བྱོ​ོས།

ཁྱེ​ེད ་ཀྱི​ིས ་རྟག་ཏུ་ཟུར་མཉམ་པའི​ི་ གཏད་མཐའ་རྣམས་གཅི​ིག ་ མཚུངས་ཡི​ིན་པ་མཐོ​ོང་ཐུབ། དེ​ེས་ན། ང་ཚོ​ོར་གཤམ་གསལ་ཐོ​ོབ།

50o

50o

B

D

C

དཔེ་རིས་ ༧་༢༦

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༧་༣ ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་གི​ི་ཟུར་མཉམ་པའི​ི་གཏད་མཐའ་རྣམས་མཚུངས། འདི​ི་ནི​ི་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༧་༢ ཀྱི​ི་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་རེ​ེད།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་འདི​ི་ ASA ཆ་རྐྱེ​ེན་ལས་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་ཐུབ། གྲུབ་འབྲས་འདི​ི་སྤྱད་པའི​ི་རྩི​ིས་དཔེ​ེ་འགའ་ལ་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན། རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༤ ∆ ABC ནང་། ལན།

༢༧ ལ་ལྟོ​ོས་)

A ཡི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་ AD ནི​ི་མཐའ་ BC ལ་དྲང་འཕྱང་རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་

AB = AC དང་ ∆ ABC ནི​ི་སྐེ​ེད་མཉམ་ཡི​ིན་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

∆ ABD དང་ ∆ ACD ནང་། BAD =

(སྤྱི​ི་མཐའ།)

AD = AD ADB =

དེ​ེས་ན།

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

∆ ABD

ADC = 90o

∆ ACD

AB = AC

A

(ཤེ​ེས་ཟི​ིན།)

CAD

(ཤེ​ེས་ཟི​ིན།)

(ASA ཆ་རྐྱེ​ེན།)

དང་། ∆ ABC ནི​ི་སྐེ​ེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་རེ​ེད།

(CPCT)

B

D དཔེ་རིས་ ༧་༢༧

118

C

ཟུར་གསུམ་

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༥ E དང་ F ནི​ི་ ∆ ABC ཡི​ི་མཐའ་མཉམ་ AB དང་ AC ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༢༨ ལན།

ལ་ལྟོ​ོས་) BF = CE ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན། ∆ ABF དང་ ∆ ACE ནང་།

AB = AC A=

(ཤེ​ེས་ཟི​ིན།)

(སྤྱི​ི་ཟུར།)

A

(མཐའ་མཉམ་གྱི​ི་ཕྱེ​ེད་ཀ)

AF = AE

དེ​ེས་ན། ∆ ABF

A

(SAS ཆ་རྐྱེ​ེན།)

∆ ACE

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། BF = CE

E

B

F

C

དཔེ་རིས་ ༧་༢༨

(CPCT)

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༦ སྐེ​ེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ནང་། AB = AC དང་། D དང་ E ནི​ི་ BC སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་ ལན།

ཡི​ིན་པ་དང་། BE = CD རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༢༩ ལ་ལྟོ​ོས་) AD = AE ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན། ∆ ABD དང་ ∆ ACE ནང་།

AB = AC B=

དེ​ེ་ནི​ི།

དེ​ེས་ན།

(ཤེ​ེས་ཟི​ིན།) (༡)

(མཐའ་མཉམ་ལ་གཏད་ཟུར།) (༢)

C

BE = CD

དེ​ེས་ན།

BE − DE = CD − DE

B

∆ ACE

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། AD = AE

C

དཔེ་རིས་ ༧་༢༩

(CPCT)

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༧་༢

ཕན་ཚུན་ O ལ་འཕྲད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། གཤམ་གསལ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས། (ཁ) AO ཡི​ིས་

E

[(༡) དང་ (༢), (༣), SAS ཆ་རྐྱེ​ེན་སྤྱོ​ོད་པ།]

༡། སྐེ​ེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ནང་། AB = AC དང་། (ཀ) OB = OC

D

(༣)

BD = CE

∆ ABD

A

B དང་

C ཡི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་གཉི​ིས་

A མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

A

༢། ∆ ABC ནང་། AD ནི​ི་ BC ཡི​ི་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༣༠ ལ་ལྟོ​ོས་) AB = AC ཡི​ིན་པའི​ི་ ∆ ABC ནི​ི་སྐེ​ེད་མཉམ་

ཟུར་གསུམ་མ་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

B

D དཔེ་རིས་ ༧་༣༠

119

C

རྩིས་རིག

༣། ABC ནི​ི་སྐེ​ེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་ཡི​ིན་པ་དང་དེ​ེའི་ི དཔངས་

A

BE དང་ CF གཉི​ིས་ནི​ི་མཐའ་མཉམ་ AC དང་ AB ལ་གོ​ོ་རི​ིམ་

F

བཞི​ིན་བྲི​ིས་ཡོ​ོད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༣༡ ལ་ལྟོ​ོས་) དཔངས་འདི​ི་གཉི​ིས་གཅི​ིག་ མཚུངས་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

B

༤། ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ནང་མཐའ་ AC དང་ AB ལ་དཔངས་ (ཀ) ∆ ABE

C

དཔེ་རིས་ ༧་༣༡

A

BE དང་ CF གཅི​ིག་མཚུངས་རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༣༢ ལ་ལྟོ​ོས་) གཤམ་

གསལ་སྟོ​ོན།

E

F

E

∆ ACF

(ཁ) AB = AC དེ​ེས་ན། ABC ནི​ི་སྐེ​ེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་རེ​ེད།

B

C

དཔེ་རིས་ ༧་༣༢

A

༥། ཞབས་ BC གཅི​ིག་པ་ཡི​ིན་པའི​ི་ ∆ABC དང་ ∆DBC ནི​ི་སྐེ​ེད་ མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༣༣ ལ་ལྟོ​ོས་) ACD ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

ABD =

B

C

D དཔེ་རིས་ ༧་༣༣

༦། AB = AC ཡི​ིན་པའི​ི་ ∆ABC ནི​ི་སྐེ​ེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་རེ​ེད།

D

AD = AB འགྲུབ་པར་མཐའ་ BA ནི​ི་ D ལ་བསྲི​ིངས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་

༧།

༣༤ ལ་ལྟོ​ོས་)

BCD ནི​ི་དྲང་ཟུར་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

A

A = 90 ཡི​ིན་པའི​ི་ ∆ABC ནི​ི་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ཡི​ིན་ o

པ་དང་། AB = AC རེ​ེད།

B དང་

C ཚོ​ོལ།

༨། མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཟུར་ཚང་མ་ 60o ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

120

B

དཔེ་རིས་ ༧་༣༤

C

ཟུར་གསུམ་

༧་༥ ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཆ་རྐྱེ​ེན་འགའ།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ལེ​ེ་ཚན་སྔ་མའི​ི་ནང་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་གནས་མཐུན་ཟུར་གསུམ་འདྲ་མཚུངས་ཡི​ིན་ནའང་། དེ​ེ་ ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཆ་རྐྱེ​ེན་འདང་གི​ི་མེ​ེད་པ་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

ཁྱེ​ེད་ལ་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་གནས་

མཐུན་མཐའ་གསུམ་འདྲ་མཚུངས་ཡི​ིན་ན། དེ​ེ་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཆ་རྐྱེ​ེན་འདང་མི​ིན་གྱི​ི་དོ​ོགས་པ་ ཡོ​ོང་སྲི​ིད། ལེ​ེ་ཚན་སྔ་མའི​ི་ནང་ང་ཚོ​ོས་དེ​ེ་བདེ​ེན་པ་ཡི​ིན་པའི​ི་ཞི​ིབ་བཤེ​ེར་བྱས་ཟི​ིན། གཤམ་གསལ་བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་ལ་ལྟོ​ོས་དང་།

མཐའ་ 4 cm དང་ 3.5 cm, 4.5 cm ཅན་གྱི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་བྲི​ིས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༣༥ ལ་ལྟོ​ོས་) ཟུར་གསུམ་མ་དེ​ེ་ དག་དྲས་ཏེ​ེ་གཅི​ིག་གི​ི་སྟེ​ེང་ལ་གཞན་དེ​ེ་ཞོ​ོག

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དོ​ོ་སྣང་གང་བྱུང་ངམ།

གལ་ཏེ​ེ་མཐའ་མཉམ་པ་རྣམས་

གཅི​ིག་གི​ི་སྟེ​ེང་གཅི​ིག་བརྩེ​ེགས་ན་ཕན་ཚུན་ཁེ​ེབས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པས། ཟུར་གསུམ་མ་དེ​ེ་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་རེ​ེད། 4 cm

4.5 cm

3.5 cm

4.5 cm

3.5 cm

4 cm

བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་འདི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་ལ་བསྐྱར་བཟློ​ོས་བྱོ​ོས།

དཔེ་རིས་ ༧་༣༥

ང་ཚོ​ོར་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཀྱི​ི་ཆ་རྐྱེ​ེན་གཞན་ཞི​ིག་ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༧་༤ (SSS ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེ​ེན།) གལ་ཏེ​ེ་ཟུར་གསུམ་མ་གཅི​ིག་གི​ི་མཐའ་གསུམ་པོ​ོ་ཟུར་གསུམ་ མ་གཞན་ཞི​ིག་གི​ི་མཐའ་གསུམ་དང་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ​ེ་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་རེ​ེད། ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་འདི​ི་བཀོ​ོད་པ་འོ​ོས་མཚམས་སྤྱད་དེ​ེ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་ཐུབ།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ SAS ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེ​ེན་ནང་ཟུར་མཉམ་པའི​ི་ཆ་ནི​ི་གནས་མཐུན་མཐའ་མཉམ་གྱི​ི་ཆའི​ི་དབར་གྱི​ི་ ཚུད་ཟུར་ཡི​ིན་དགོ​ོས་པ་ཤེ​ེས་ཡོ​ོད། དེ​ེ་མི​ིན་ཟུར་གསུམ་མ་དེ​ེ་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་འགྲུབ་མི​ི་སྲི​ིད། བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་འདི​ི་སྤེ​ེལ།

གསེ​ེག་མཐའ་ 4 cm དང་མཐའ་གཅི​ིག་ 3 cm ཡི​ིན་པའི​ི་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་ཁོ​ོད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༣༦ ལ་ ལྟོ​ོས་)

121

རྩིས་རིག 4 cm

4 cm

3 cm

3 cm དཔེ་རིས་ ༧་༣༦

དེ​ེ་དག་དྲས་ཏེ​ེ་ཕན་ཚུན་སྟེ​ེང་ལ་མཐའ་མཉམ་པར་ཞོ​ོག ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དོ​ོ་སྣང་གང་བྱུང་ངམ།

ཟུར་གསུམ་མ་དེ​ེ་གཉི​ིས་ཕན་ཚུན་ཁེ​ེབས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་རེ​ེད། བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་འདི​ི་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ གཞན་ལ་བསྐྱར་བཟློ​ོས་བྱོ​ོས། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དོ​ོ་སྣང་གང་བྱུང་ངམ།

གལ་ཏེ​ེ་གསེ​ེག་མཐའ་གཉི​ིས་དང་མཐའ་ཆ་གཅི​ིག་འདྲ་མཚུངས་ཡི​ིན་ན། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་དེ​ེ་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་ མཚུངས་ཡི​ིན་པ་ཤེ​ེས་ཐུབ། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འདི​ི་འཛི​ིན་གྲྭ་སྔ་མའི​ི་ནང་ཞི​ིབ་བཤེ​ེར་བྱས་ཡོ​ོད། མཆན། འདི​ིར་དྲང་ཟུར་ནི​ི་ཚུད་ཟུར་མི​ིན།

དེ​ེས་ན། ཁྱེ​ེད་ལ་གཤམ་གསལ་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེ​ེན་ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༧་༥ (RHS ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེ​ེན།) དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་ནང་ཟུར་གསུམ་མ་གཅི​ིག་ གི​ི་གསེ​ེག་མཐའ་དང་མཐའ་གཅི​ིག་ནི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་ཞི​ིག་གི​ི་གསེ​ེག་མཐའ་དང་མཐའ་གཅི​ིག་དང་གཅི​ིག་ མཚུངས་ཡི​ིན་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ​ེ་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་རེ​ེད། མཆན། RHS ཡི​ིས་དྲང་ཟུར་-གསེ​ེ དྲང་ཟུར་-གསེ​ེག་མཐའ་-མཐའ་མཚོ​ོ ་མཐའ་-མཐའ་ ན།

P

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༧ AB ནི​ི་ཐི​ིག་དུམ་ཞི​ིག་རེ​ེད། P དང་ Q ནི​ི་ AB ཡི​ི་ལྡོ​ོག་

ཕྱོ​ོགས་ན་ཡོ​ོད་པའི​ི་གནས་ཡི​ིན་པ་དང་། དེ​ེ་དག་གནས་

A

A དང་ B ནས་བར་ཐག་མཉམ་པར་ཡོ​ོད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༣༧

ལ་ལྟོ​ོས་) ཐི​ིག་ PQ ནི​ི་ AB ཡི​ི་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོ​ོད་

ལན།

ཐི​ིག་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

ཁྱེ​ེད་ལ་ PA = PB དང་ QA = QB སྤྲད་ཡོ​ོད། PQ

AB

དང་ PQ ཡི​ིས་ AB མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་སྟོ​ོན་དགོ​ོས། PQ ཡི​ིས་ C ཐོ​ོག་ AB མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་ཆ་ཞོ​ོག

C

Q དཔེ་རིས་ ༧་༣༧

དཔེ​ེ་རི​ིས་འདི​ིའི​ི་ནང་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་མཐོ​ོང་ཐུབ་བམ། དེ​ེ་ནི​ི། ∆ PAQ དང་ ∆ PBQ གཉི​ིས་ནང་།

122

B

ཟུར་གསུམ་ (ཤེ​ེས་ཟི​ིན།)

AP = BP

(ཤེ​ེས་ཟི​ིན།)

AQ = BQ

(སྤྱི​ི་མཐའ།)

PQ = PQ

དེ​ེས་ན།

∆ PAQ

BPQ

(SSS ཆ་རྐྱེ​ེན།)

BPC

(ཤེ​ེས་ཟི​ིན།)

∆ PBQ

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

APQ =

ང་ཚོ​ོར།

AP = BP

∆ PAC དང་ ∆ PBC ནང།

APC =

(CPCT)

(

PC = PC

དེ​ེས་ན།

∆ PAC

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། དང་།

(སྤྱི​ི་མཐའ།)

(SAS ཆ་རྐྱེ​ེན།)

∆ PBC

ACP =

ACP +

BPQ གོ​ོང་དུ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་ཟི​ིན།) (CPCT) (༡)

AC = BC

ཡང་། དེ​ེས་ན།

APQ =

BCP

(CPCT)

ACP = 180o

(ཉེ​ེ་གསབ་ཟུར།)

ACP = 90o

(༢)

AP = BP

(ཤེ​ེས་ཟི​ིན།)

2

BCP = 180

o

(༡) དང་ (༢) ལས། PQ ནི​ི་ AB ཡི​ི་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་ཡི​ིན་པ་མཐའ་སྡོ​ོམ་བྱེ​ེད་ཐུབ། [མཆན། དང་།

PC = PC

PAC =

PBC

(སྤྱི​ི་མཐའ།)

(∆ APB ཡི​ི་མཐའ་མཉམ་གྱི​ི་ཁ་གཏད་ཟུར།)

བཅས་ཤེས ེ ་ཀྱང་། ∆ PAQ དང་ ∆ PBQ ཡི​ི་ཡོ​ོངས་མཚུངས་མ་བསྟན་བར་དུ་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ ∆ PAC

∆ PBC

ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན་མི​ི་ཐུབ། དེ​ེ་ནི​ི། གྲུབ་འབྲས་འདི​ིས་ SSA ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེ​ེན་སྤྲོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་ཀྱང་། དེ​ེ་རྟག་ཏུ་ཟུར་ གསུམ་མའི​ི་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ལ་བདེ​ེན་པའི​ི་ངེ​ེས་པ་མེ​ེད། མ་ཟད་ཟུར་ནི​ི་མཐའ་མཉམ་པའི​ི་ཆའི​ི་དབར་ལ་མེ​ེད།]

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༨ གནས་ P ནི​ི་ཐི​ིག་ l དང་ m གཉི​ིས་ནས་བར་ཐག་མཉམ་པར་ཡོ​ོད་པ་དང་ཐི​ིག་དེ​ེ་གཉི​ིས་གནས་ A ལ་འཕྲད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༣༨ ལ་ལྟོ​ོས་) ཐི​ིག་ AP ཡི​ིས་དེ​ེ་དག་དབར་གྱི​ི་ཟུར་མཉམ་བགོ​ོད་

ལན།

བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་སྟོ​ོན།

ཐི​ིག་ l དང་ m གཉི​ིས་གནས་ A ལ་ཕན་ཚུན་འཕྲད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་སྤྲད་ཡོ​ོད།

PB

l དང་ PC

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་

PAB =

m ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག PB = PC ཡི​ིན་པ་ཤེ​ེས་ཟི​ིན། PAC ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན་དགོ​ོས།

123

རྩིས་རིག

∆ PAB དང་ ∆ PAC ལ་ཆ་བཞག་ན། དེ​ེ་གཉི​ིས་ནང་།

PB = PC

PBA =

དེ​ེས་ན།

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

∆ PAC

PAB =

PAC

(ཤེ​ེས་ཟི​ིན།)

B

(ཤེ​ེས་ཟི​ིན།)

PCA = 90

o

P

(སྤྱི​ི་མཐའ།)

PA = PA

∆ PAB

l

A C

(RHS ཆ་རྐྱེ​ེན།)

m

དཔེ་རིས་ ༧་༣༨

(CPCT)

མཆན། གྲུབ་འབྲས་འདི​ི་སྦྱོ​ོང་ཚན་ ༧་༡ གི​ི་དྲི​ི་བ་ ༥ པའི​ི་ནང་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱས་པའི​ི་གྲུབ་འབྲས་ཀྱི​ི་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་རེ​ེད།

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༧་༣

༡། ∆ ABC དང་ ∆ DBC ནི​ི་ཞབས་གཅི​ིག་པ་ BC སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད་པའི​ི་སྐེ​ེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་ཡི​ིན་ པ་དང་། ཟུར་ཚེ​ེག་ A དང་ D ནི​ི་ BC ཡི​ི་ཕྱོ​ོགས་གཅི​ིག་ལ་ཡོ​ོད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༣༩ ལ་ལྟོ​ོས་) གལ་ཏེ​ེ་ AD བསྲི​ིངས་ཏེ​ེ་ BC ཐོ​ོག་གནས་ P ལ་འཕྲད་ན། གཤམ་གསལ་ཁག་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན། (ཀ) ∆ ABD

∆ ACP

(ག) AP ཡི​ིས་

A དང་

(ཁ) ∆ ABP

A

∆ ACD

D D མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

B

C

P

(ང) AP ནི​ི་ BC ཡི​ི་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་རེ​ེད།

དཔེ་རིས་ ༧་༣༩

པ་སྟོ​ོན། (ཀ) AD ཡི​ིས་ BC མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། (ཁ) AD ཡི​ིས་

A མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

༢། AD ནི​ི་སྐེ​ེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཡི​ི་དཔངས་ཡི​ིན་པ་དང་། AB = AC རེ​ེད། གཤམ་གསལ་ཡི​ིན་ ༣། ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཡི​ི་མཐའ་ AB, BC དང་། དཀྱི​ིལ་ཐི​ིག་ AM ནི​ི་ ∆ PQR ཡི​ི་མཐའ་ PQ, QR དང་།   དཀྱི​ིལ་ཐི​ིག་ PN བཅས་གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་གཅི​ིག་ མཚུངས་རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༤༠ ལ་ལྟོ​ོས་) གཤམ་གསལ་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན། (ཀ) ∆ ABM (ཁ) ∆ ABC

∆ PQN

A

B

∆ PQR

M

P

C

Q

N

R

དཔེ་རིས་ ༧་༤༠

༤། BE དང་ CF ནི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཡི​ི་དཔངས་གཅི​ིག་མཚུངས་གཉི​ིས་རེ​ེད། RHS ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཆ་ རྐྱེ​ེན་སྤྱད་དེ​ེ་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ནི​ི་སྐེ​ེད་མཉམ་ཡི​ིན་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

༥། ABC ནི​ི་སྐེ​ེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཡི​ིན་པ་དང་། AB = AC རེ​ེད། AP ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

124

BC བྲི​ིས་ཏེ​ེ་

B=

C

ཟུར་གསུམ་

༧་༦ ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མི​ི་མཚུངས་ཚུལ། Inequalities in a Triangle

ད་བར་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཟུར་གསུམ་མའམ། ཟུར་གསུམ་མ་རྣམས་ཀྱི​ི་མཐའ་དང་ཟུར་གྱི​ི་འདྲ་མཚུངས་སྦྱངས་ཡོ​ོད། སྐབས་ རེ​ེར་ང་ཚོ​ོར་མི​ི་མཚུངས་པའི​ི་དངོ​ོས་པོ​ོ་དང་འཕྲད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེ་དག་བསྡུར་དགོ​ོས་པའང་ཡོ​ོང་གི​ི་ཡོ​ོད།

དཔེ​ེར་ན། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༤༡ (ཀ) པའི​ི་ནང་ཐི​ིག་དུམ་ AB ནི​ི་ཐི​ིག་དུམ་ CD ལས་རི​ིང་བ་ཡོ​ོད་པ་དང་། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༤༡ (ཁ) པའི​ི་ནང་ C

A ནི​ི་

B ལས་ཆེ​ེ་བ་ཡོ​ོད།

D A

A

(ཀ)

B དཔེ་རིས་ ༧་༤༡

B (ཁ)

ང་ཚོ​ོས་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མཐའ་མི​ི་མཚུངས་པ་དང་ཟུར་མི​ི་མཚུངས་པའི​ི་དབར་ལ་འབྲེ​ེལ་བ་ཡོ​ོད་མེ​ེད་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན། དེ​ེའི​ི་ཆེ​ེད་དུ་གཤམ་གྱི​ི་བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་སྤེ​ེལ་རྒྱུ་ཡི​ིན།

བྱེ​ེད་སྒོ​ོ། འབྲི​ི་པང་སྟེ​ེང་ཁབ་གཟེ​ེར་གཉི​ིས་གནས་ B དང་ C ཐོ​ོག་བཙུགས་ཏེ​ེ། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མཐའ་ BC མཚོ​ོན་པར་སྐུད་པས་ཆི​ིངས།

སྐུད་པ་གཞན་པ་ཞི​ིག་གི​ི་སྣེ​ེ་མོ​ོ་གཅི​ིག་ C ཐོ​ོག་འཆི​ིང་བ་དང་སྣེ​ེ་མོ​ོ་གཞན་

A''

ལ་ཞ་སྨྱུག་སྡོ​ོམས། ཞ་སྨྱུག་གི​ིས་གནས་ A རྟགས་བརྒྱབ་སྟེ​ེ་ ∆ ABC

A'

བྲི​ིས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༤༢ ལ་ལྟོ​ོས་) ཞ་སྨྱུག་གི​ི་གནས་ས་བརྗེ​ེས་ཏེ​ེ་ CA སྟེ​ེང་དུ་ A ཡི​ི་རྒྱབ་ཏུ་ A' (A ཡི​ི་གནས་ས་གསར་པ་) བྲི​ིས།

A

དེ​ེས་ན། A'C > AC (རི​ིང་ཚད་སྡུར་བས།)

A' དང་ B མཐུད་དེ​ེ་ཟུར་གསུམ་མ་ A'BC འགྲུབ་པར་བྱོ​ོས། A'BC དང་

ABC སྐོ​ོར་ལ་གང་ཤོ​ོད་ཐུབ་བམ།

དེ​ེ་དག་བསྡུར་ན་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དོ​ོ་སྣང་གང་བྱུང་ངམ། A'BC >

ABC གསལ་པོ​ོ་རེ​ེད།

B

དཔེ་རིས་ ༧་༤༢

C

CA སྟེ​ེང་མུ་མཐུད་ནས་གནས་མང་ཙམ་འབྲི​ི་བ་ (བསྲི​ིངས་པ་) དང་། མཐའ་ BC དང་རྟགས་བརྒྱབ་པའི​ི་གནས་

བཅས་ཀྱི​ིས་གྲུབ་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་བྲི​ིས།

མཆན། ཇི​ི་ལྟར་མཐའ་ AC ཡི​ི་རི​ིང་ཚད་ (A ཡི​ི་གནས་ས་འདྲ་མི​ིན་ལེ​ེན་པ་) ཆེ​ེ་རུ་འགྲོ​ོ་བ་བཞི​ིན་དེ​ེའི​ི་གཏད་ཟུར་ ཡང་ཆེ​ེ་རུ་འགྲོ​ོ་ཡི​ི་ཡོ​ོད།

ང་ཚོ​ོས་བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་གཞན་ཞི​ིག་སྤེ​ེལ་རྒྱུ་ཡི​ིན།

125

B

རྩིས་རིག

བྱེ​ེད་སྒོ​ོ། མཐའ་མི​ི་མཉམ་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་བྲི​ིས། དེ​ེའི​ི་མཐའ་ཚང་མའི​ི་རི​ིང་ཚད་འཇོ​ོལ། ཟུར་ཚང་མའི​ི་ཟུར་ཚད་འཇོ​ོལ། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དོ​ོ་སྣང་གང་བྱུང་ངམ།

C

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༤༣ གྱི​ི་ ∆ ABC ནང་། BC ནི​ི་མཐའ་རི​ིང་ཤོ​ོས་ དང་ AC ནི​ི་མཐའ་ཐུང་ཤོ​ོས་རེ​ེད། མ་ཟད།

A ནི​ི་ཟུར་ཆེ​ེ་ཤོ​ོས་དང་

B ནི​ི་ཟུར་ཆུང་ཤོ​ོས་རེ​ེད།

A

བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་འདི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་ལ་བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱོ​ོས།

ང་ཚོ​ོར་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མི​ི་མཚུངས་ཚུལ་གྱི​ི་གྲུབ་འབྲས་གལ་ཆེ​ེན་ཞི​ིག་ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། ཀྱི​ི་རྣམ་པར་བསྟན་ཡོ​ོད།

B

དཔེ་རིས་ ༧་༤༣

དེ​ེ་གཤམ་གསལ་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༧་༦ གལ་ཏེ​ེ་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མཐའ་གཉི​ིས་མི​ི་མཉམ་ན། མཐའ་རི​ིང་བའི​ི་གཏད་ཟུར་དེ​ེ་ཆེ​ེ་བ་ཡོ​ོད། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༤༣ ནང་ BC སྟེ​ེང་གནས་ P ཞི​ིག་ CA = CP ལྟར་བླངས་ནས་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་འདི​ི་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་ཐུབ། ང་ཚོ​ོས་བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་གཞན་ཞི​ིག་སྤེ​ེལ་རྒྱུ་ཡི​ིན།

S

R

Q

P

T

བྱེ​ེད་སྒོ​ོ། ཐི​ིག་དུམ་ AB ཞི​ིག་བྲི​ིས། སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ A དང་ཚངས་ཕྱེ​ེད་ གང་རུང་གི​ི་གཞུ་ཐི​ིག་ཅི​ིག་བྲི​ིས་ཏེ​ེ། དེ​ེའི་ི སྟེ​ེང་གནས་འདྲ་མི​ིན་ P,

A

B

དཔེ་རིས་ ༧་༤༤

Q, R, S, T སོ​ོགས་བྲི​ིས།

གནས་ཚང་མ་ A དང་ B ལ་མཐུད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༤༤ ལ་ལྟོ​ོས་) ང་ཚོ​ོས་ P ནས་ T ལ་གོ​ོམ་པ་སྤོ​ོ་སྐབས་

འགྲོ​ོ་ཡི​ི་ཡོ​ོད་པ་མཐོ​ོང་ཐུབ།

A ཆེ​ེ་རུ་

A ཡི​ི་གཏད་མཐའི​ི་རི​ིང་ཚད་ལ་འགྱུར་བ་འགྲོ​ོ་ཡི​ི་འདུག་གམ། གཏད་མཐའི​ི་རི​ིང་

ཚད་ཀྱང་ཆེ​ེ་རུ་འགྲོ​ོ་ཡི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེ་ནི​ི།

TAB >

SAB >

RAB >

QAB >

SB > RB > QB > PB

ཟུར་མི​ི་མཉམ་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་བྲི​ིས། དེ​ེའི​ི་མཐའ་ཚང་མའི​ི་རི​ིང་

PAB དང་། TB >

A

ཚད་འཇོ​ོལ། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༤༥ ལ་ལྟོ​ོས་)

ཟུར་ཆེ​ེ་ཤོ​ོ ས ་ཡི​ིན ་པའི​ི་ གཏད་མཐའ་དེ​ེ་ རི​ིང ་ཤོ​ོ ས ་ཡི​ིན ་པ་དོ​ོ ་ སྣང་བྱོ​ོ ས ། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༤༥ ནང་། ཤོ​ོས་རེ​ེད།

B ནི​ི་ཟུར་ཆེ​ེ་ཤོ​ོས་དང་ AC ནི​ི་མཐའ་རི​ིང་

བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་འདི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་ལ་བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱས་ན་ང་ཚོ​ོས་ངེ​ེས་ སྲོ​ོལ་ ༧་༦ གི​ི་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་བདེ​ེན་པ་ཡི​ིན་པ་མཐོ​ོང་ཐུབ། འདི​ི་ལས་ང་ཚོ​ོར་གཤམ་གྱི​ི་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

126

B

དཔེ་རིས་ ༧་༤༥

C

ཟུར་གསུམ་

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༧་༧ ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་གི​ི་ཟུར་ཆེ​ེ་བའི​ི་གཏད་མཐའ་རི​ིང་བ་ཡོ​ོད། ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་འདི​ི་འགལ་ཟླ་ལམ་ནས་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་ཐུབ།

ཟུར་གསུམ་མ་ ABC བླངས་ཏེ​ེ། དེ​ེའི​ི་ནང་ AB + BC དང་ BC + AC, AC + AB ཚོ​ོལ། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དོ​ོ་སྣང་ གང་བྱུང་ངམ། འདི​ིར།

AB + BC > AC དང་། BC + AC > AB, AC + AB > BC

བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་འདི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་ལ་བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱས་ཏེ​ེ། ཁྱེ​ེད་ལ་གཤམ་གྱི​ི་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༧་༨ ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མཐའ་གང་རུང་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་ནི​ི་མཐའ་གསུམ་པ་ལས་ཆེ​ེ་བ་ཡོ​ོད། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༤༦ ནང་། ∆ ABC ཡི​ི་མཐའ་ BA ནི​ི་ AD = AC ལྟར་ D བར་དུ་བསྲི​ིངས་ཡོ​ོད། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་

BCD >

D

BDC དང་ BA

+ AC > BC ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན་ཐུབ་བམ། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གོ​ོང་གི​ི་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ཀྱི​ི་

ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱུང་སོ​ོང་ངམ།

ང་ཚོ​ོ་གྲུབ་འབྲས་འདི​ི་དག་སྤྱད་དེ​ེ་རྩི​ིས་དཔེ​ེ་འགའ་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན།

A

B

C དཔེ་རིས་ ༧་༤༦

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༩ D ནི​ི་ ∆ ABC ཡི​ི་མཐའ་ BC སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་ཤི​ིག་ཡི​ིན་པ་དང་ AD = AC (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༤༧ ལ་ ལན།

ལྟོ​ོས་) AB > AD ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

∆ DAC ནང་།

AD = AC

A

(ཤེ​ེས་ཟི​ིན།)

དེ​ེས་ན།

ADC =

དང་།

ADC ནི​ི་ ∆ ABD ཡི​ི་ཕྱི​ི་ཟུར་རེ​ེད། ADC >

ABD

དང་།

ACD >

ABD

ཡང་ན།

ACB >

ABC

དེ​ེས་ན།

AB > AC

ཡང་ན།

AB > AD

དེ​ེས་ན།

ACD

(མཐའ་མཉམ་པའི​ི་གཏད་ཟུར།) B

D དཔེ་རིས་ ༧་༤༧

(∆ ABC ཡི​ི་ཟུར་ཆེ​ེ་བའི​ི་གཏད་མཐའ།) (AD = AC)

127

C

རྩིས་རིག

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༧་༤

༡། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་གསེ​ེག་མཐའ་ནི​ི་མཐའ་རི​ིང་ཤོ​ོས་

A

ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

༢། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༤༨ ནང་། ∆ ABC ཡི​ི་མཐའ་ AB དང་

B

AC ནི​ི་གནས་ P དང་ Q གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་བསྲི​ིངས་ཡོ​ོད།

མ་ཟད།

PBC <

པ་སྟོ​ོན།

P

QCB རེ​ེད། AC > AB ཡི​ིན་

C Q

དཔེ་རིས་ ༧་༤༨

B

D O

༣། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༤༩ ནང་།

B<

D རེ​ེད། AD < BC ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

A དང་

C<

A དཔེ་རིས་ ༧་༤༩

C D

༤། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༥༠ ནང་། AB དང་ CD ནི​ི་གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་ དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD ཡི​ི་མཐའ་ཐུང་ཤོ​ོས་དང་

A

པ་སྟོ​ོན།

B

རི​ིང་ཤོ​ོས་རེ​ེད།

A>

C དང་

B>

D ཡི​ིན་

དཔེ་རིས་ ༧་༥༠

C

P

༥། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༧་༥༡ ནང་། PR > PQ དང་ PS ཡི​ིས་ མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

PSR >

QPR

PSQ ཁུངས་ Q

S དཔེ་རིས་ ༧་༥༡

R

༦། ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པའི​ི་གནས་ཤི​ིག་ནས་ཐི​ིག་གཅི​ིག་སྟེ​ེང་ཐི​ིག་དུམ་དུ་མ་བྲི​ིས་པ་ལས། དྲང་འཕྱང་ཐི​ིག་དུམ་དེ​ེ་ཐུང་ཤོ​ོས་ ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

128

ཟུར་གསུམ་

༧་༧ སྙི​ིང་བསྡུས།

སློ​ོབ་ཚན་འདི​ིར་གཤམ་གསལ་གནད་དོ​ོན་ཁག་སྦྱངས་ཡོ​ོད།

༡། གལ་སྲི​ིད་དཔེ​ེ་རི​ིས་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་དབྱི​ིབས་དང་ཆེ​ེ་ཆུང་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་ན། དེ​ེ་དག་ཡོ​ོངས་མཚུངས་རེ​ེད། ༢། ཚངས་ཕྱེ​ེད་མཉམ་པའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་རེ​ེད། ༣། མཐའ་མཉམ་པའི​ི་གྲུ་བཞི​ི་ཁ་གང་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་རེ​ེད།

༤། གལ་སྲི​ིད་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC དང་ PQR གཉི​ིས་གནས་མཐུན་རྒྱུ་ A ↔ P དང་ B ↔ Q, C ↔ R འོ​ོག་ ཏུ་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཡི​ིན་ན། མཚོ​ོན་རྟགས་ཀྱི​ི་རྣམ་པར་དེ​ེ་ ∆ ABC

∆ PQR ལྟར་བྲི​ིས་ཡོ​ོད།

༥། གལ་སྲི​ིད་ཟུར་གསུམ་མ་གཅི​ིག་གི​ི་མཐའ་གཉི​ིས་དང་དེ​ེའི་ི ཚུད་ཟུར་ནི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་ཞི​ིག་གི​ི་མཐའ་གཉི​ིས་ དང་དེ​ེའི་ི ཚུད་ཟུར་ལ་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ​ེ་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་རེ​ེད། (SAS ཡོ​ོངས་མཚུངས་ ཆ་རྐྱེ​ེན།)

༦། གལ་སྲི​ིད་ཟུར་གསུམ་མ་གཅི​ིག་གི​ི་ཟུར་གཉི​ིས་དང་དེ​ེའི་ི ཚུད་མཐའ་ནི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་ཞི​ིག་གི​ི་ཟུར་གཉི​ིས་

དང་དེ​ེའི​ི་ཚུད་མཐའ་ལ་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ​ེ་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་རེ​ེད། (ASA ཡོ​ོངས་ མཚུངས་ཆ་རྐྱེ​ེན།)

༧། ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་གནས་མཐུན་ཆ་ཟུར་གང་རུང་གཉི​ིས་དང་གནས་མཐུན་མཐའ་གཅི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས་ ཡི​ིན་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ​ེ་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་རེ​ེད། (AAS ཡོ​ོངས་མཚུངས་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ།)

༨། ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་གི​ི་མཐའ་མཉམ་གྱི​ི་གཏད་ཟུར་རྣམས་མཚུངས།

༩། ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་གི​ི་ཟུར་མཉམ་པའི​ི་གཏད་མཐའ་རྣམས་མཚུངས། ༡༠། མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཟུར་ཚང་མ་ 60o རེ​ེད།

༡༡། གལ་ཏེ​ེ་ཟུར་གསུམ་མ་གཅི​ིག་གི​ི་མཐའ་གསུམ་པོ​ོ་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་ཞི​ིག་གི​ི་མཐའ་གསུམ་དང་གཅི​ིག་མཚུངས་ ཡི​ིན་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ​ེ་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་རེ​ེད། (SSS ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེ​ེན།)

༡༢། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་ནང་། ཟུར་གསུམ་མ་གཅི​ིག་གི​ི་གསེ​ེག་མཐའ་དང་མཐའ་གཅི​ིག་ནི​ི་ཟུར་གསུམ་ མ་གཞན་ཞི​ིག་གི​ི་གསེ​ེག་མཐའ་དང་མཐའ་གཅི​ིག་ལ་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ​ེ་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་ མཚུངས་རེ​ེད། (RHS ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེ​ེན།)

༡༣། ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་གི​ི་ནང་། མཐའ་རི​ིང་བའི​ི་གཏད་ཟུར་དེ​ེ་ཆེ​ེ་བ་ཡི​ིན། ༡༤། ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་གི​ི་ནང་། ཟུར་ཆེ​ེ་བའི​ི་གཏད་མཐའ་ནི​ི་རི​ིང་བ་ཡོ​ོད།

༡༥། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མཐའ་གང་རུང་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་ནི​ི་མཐའ་གསུམ་པ་ལས་ཆེ​ེ་བ་ཡོ​ོད།

129

༨

དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ། Quadrilaterals ༨་༡ ངོ་སྤྲོད།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་སློ​ོབ་ཚན་ ༦ དང་ ༧ ནང་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་མང་པོ​ོ་སྦྱངས་ཟི​ིན་པ་དང་། ཐི​ིག་གཅི​ིག་སྟེ​ེང་གནས་ མི​ིན་པའི​ི་གནས་གསུམ་མཐུད་དེ​ེ་དཔེ​ེ་རི​ིས་གྲུབ་པ་དེ​ེ་ཟུར་གསུམ་མ་ཡི​ིན་པ་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

ང་ཚོ​ོས་གནས་བཞི​ི་རྟགས་རྒྱག་པ་དང་དེ​ེ་དག་གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་མཐུད་སྐབས་ང་ཚོ​ོར་གང་འཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་ལྟ་རྒྱུ་ ཡི​ིན།

(ཀ)

(ཁ)

(ག)

(ང)

དཔེ་རིས་ ༨་༡

དོ​ོ་སྣང་གྱི​ིས་དང་། གལ་ཏེ​ེ་གནས་ཚང་མ་ཐི​ིག་གཅི​ིག་སྟེ​ེང་གནས་ཡི​ིན་ན་ཐི​ིག་དུམ་ཐོ​ོབ་པ་དང་། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༡ (ཀ) པ་

ལ་ལྟོ​ོས་] གལ་ཏེ​ེ་གནས་བཞི​ི་ལས་གསུམ་ཐི​ིག་གཅི​ིག་སྟེ​ེང་གནས་ཡི​ིན་ན་ཟུར་གསུམ་མ་ཐོ​ོབ། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༡ (ཁ) པ་ལ་ལྟོ​ོས་]

གལ་ཏེ​ེ་གནས་བཞི​ི་ལས་གསུམ་ཐི​ིག་གཅི​ིག་སྟེ​ེང་གནས་མི​ིན་ན་མཐའ་བཞི​ི་ཅན་གྱི​ི་ཁ་ཟུམ་པའི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ཐོ​ོབ། [དཔེ​ེ་ རི​ིས་ ༨་༡ (ག) པ་དང་ (ང) པ་ལ་ལྟོ​ོས་]

གནས་བཞི​ི་གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་མཐུད་དེ​ེ་གྲུབ་པའི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ལ་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཟེ​ེར།

སློ​ོབ་ཚན་འདི​ིར་ང་ཚོ​ོས་

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༡ (ག) པ་ལྟར་གྱི​ི་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་རི​ིགས་ཁོ​ོ་ན་སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན།

དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ལ་མཐའ་བཞི​ི་དང་། ཟུར་བཞི​ི། ཟུར་ཚེ​ེག་བཞི​ི་ཡོ​ོད། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༢ (ཀ) པ་ལ་ལྟོ​ོས་] D

A

D

C

(ཀ)

B

A དཔེ་རིས་ ༨་༢

C

(ཁ)

B

དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ

དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD ནང་། AB དང་ BC, CD, DA ནི​ི་མཐའ་བཞི​ི་དང་། A དང་ B, C, D ནི​ི་ ཟུར་ཚེ​ེག་བཞི​ི།

A དང་

B,

C,

D ནི​ི་ཟུར་བཞི​ི་རེ​ེད།

ཁ་གཏད་ཟུར་ཚེ​ེག་ A ལ་ C དང་། B ལ་ D མཐུད། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༢ (ཁ) པ་ལ་ལྟོ​ོས་] AC དང་ BD ནི​ི་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD ཡི​ི་གཏད་ཐི​ིག་གཉི​ིས་རེ​ེད།

སློ​ོབ་ཚན་འདི​ིར། ང་ཚོ​ོས་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་རི​ིགས་མི​ི་འདྲ་བ་དང་། དེ​ེ་དག་གི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་དང་ལྷག་པར་དུ་ མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་སྐོ​ོར་མང་ཙམ་སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ང་ཚོ​ོས་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་

སྲི​ིད།

ཁྱེ​ེད་རང་གི​ི་ཉེ​ེ་འཁོ​ོར་ལ་བལྟས་ན།

(ཡང་ན་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་)

སྐོ​ོར་སྦྱང་དགོ​ོས་དོ​ོན་གང་ཡི​ིན་བསམ་

ཅ་དངོ​ོས་མང་པོ​ོ་ཞི​ིག་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་བཟོ​ོ་དབྱི​ིབས་ནང་

མཐོ​ོང་ཐུབ། དཔེ​ེར་ན། ཞ་ལ། གྱང་། ཐོ​ོག སྒེ​ེའུ་ཁུང་། ནག་པང་། ཕྱི​ིས་རས་ཀྱི​ི་ངོ​ོས་ཚང་མ། དེ​ེབ་ཀྱི​ི་ཤོ​ོག་ངོ​ོས། ཅོ​ོག་ ཙེ​ེའི​ི་སྟེ​ེང་ངོ​ོས་སོ​ོགས། དེ​ེ་དག་ལས་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་འགའི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ནི​ི་གཤམ་གསལ། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༣ ལ་ལྟོ​ོས་) རྩི​ིས ་རི​ིག ནག་པང་།

དེ​ེབ།

ཅོ​ོག་ཙེ​ེ།

དཔེ་རིས་ ༨་༣

ང་ཚོ​ོའི​ི་ཉེ​ེ་འཁོ​ོར་གྱི​ི་ཅ་དངོ​ོས་མང་ཆེ​ེ་བའི​ི་བཟོ​ོ་དབྱི​ིབས་ནི​ི་གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་ཡི​ིན་ན་ཡང་། འདི​ིར་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་ བཞི​ི་མའི​ི་སྐོ​ོར་ལ་མང་ཙམ་སྦྱོ​ོང་གི​ི་ཡི​ིན། རྒྱུ་མཚན་ནི​ི་གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཞི​ིག་ཡི​ིན་པ་ དང་། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་ཚང་མ་གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་ལ་བདེ​ེན།

༨་༢ དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ནང་ཟུར་བསྡོ​ོམས་གྲངས། Angle Sum Property of a Quadrilateral ང་ཚོ​ོ་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ནང་ཟུར་བསྡོ​ོམས་གྲངས་ཀྱི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་དྲན་གསོ​ོ་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན། དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ནང་ཟུར་བཞི​ིའི​ི་བསྡོ​ོམས་གྲངས་ནི​ི་ 360o རེ​ེད།

C

D

གཏད་ཐི​ིག ་གཅི​ིག ་བྲི​ིས ་ནས་དབྱི​ིབ ས་མཐའ་བཞི​ི་ མ་དེ​ེ་ ཟུར་གསུམ་མ་ གཉི​ིས་ལ་བགོ​ོས་ཏེ​ེ་ཁྱད་ཆོ​ོས་དེ​ེ་ཞི​ིབ་བཤེ​ེར་བྱེ​ེད་ཐུབ།

ABCD ནི​ི་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་དང་ AC ནི​ི་གཏད་ཐི​ིག་ཡི​ིན་པ་ཆ་

འཇོ​ོག་བྱོ​ོས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༤ ལ་ལྟོ​ོས་)

∆ ADC ཡི​ི་ཟུར་གྱི​ི་བསྡོ​ོམས་གྲངས་གང་ཡི​ིན་ནམ།

131

B

A དཔེ་རིས་ ༨་༤

རྩིས་རིག

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གཤམ་གསལ་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

ACD +

D = 180o

དེ​ེ་མཚུངས། ∆ ABC ནང་།

(༡)

ACB +

B = 180o

(༡) དང་ (༢) བསྡོ​ོམས་ན།

(༢)

DAC + CAB +

DAC +

ACD +

D+

དེ​ེ་མཚུངས།

DAC +

CAB =

དེ​ེས་ན།

A+

B+

CAB +

ACB +

A དང་

C+

B = 180o + 180o = 360o

ACD +

ACB =

C

D = 360o

དེ​ེ་ནི​ི། དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ནང་ཟུར་བསྡོ​ོམས་གྲངས་ནི​ི་ 360o རེ​ེད།

༨་༣ དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་རི​ིགས།

གཤམ་གྱི​ི་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་མི​ི་འདྲ་བ་ལ་ལྟོ​ོས། D

C

S A

B

(ཀ)

G

P

(ང)

གཤམ་གསལ་ལ་དོ​ོ་སྣང་བྱོ​ོས།

Q

P

O

M

C A

E

A

N

(ག)

D

D

F

D

(ཁ)

R

(ཅ)

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༥

B

C

B

(ཆ)

•

དཔེ་རིས་ ༨་༥ (ཀ) ཡི་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD ཡི་གཏད་མཐའ་ཆ་གཅིག་ AB དང་ CD

•

དཔེ་རིས་ ༨་༥ (ཁ) ཡི་ནང་སྤྲད་པའི་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་གཏད་མཐའ་ཆ་གཉིས་ཀ་མཉམ་འགྲོ་རེད།

མཉམ་འགྲོ་རེད། དེ་ལ་སྐས་དབྱིབས་ (trapezium) ཟེར།

དེ་ལྟ་བུའི་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ལ་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ (parallelogram) ཟེར། དེ་བཞིན་དཔེ་རིས་ ༨་༥ (ག) (ང) (ཅ) ནང་སྤྲད་པའི་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ཡང་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་རེད།

132

དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ

•

དཔེ་རིས་ ༨་༥ (ག) ཡི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ MNOP ཡི་

•

དཔེ་རིས་ ༨་༥ (ང) ཡི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ DEFG ནང་མཐའ་ཚང་མའི་རིང་ཚད་གཅིག་མཚུངས་

• •

M ནི་དྲང་ཟུར་ཡིན་པས་མཉམ་འགྲོ་

མཐའ་བཞི་མ་དེ་ལ་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཟེར། ཡིན། དེར་གཟེ་དབྱིབས་ཟེར།

དཔེ་རིས་ ༨་༥ (ཅ) ཡི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD ཡི་

A = 90o དང་། མཐའ་ཚང་མ་གཅིག་

པ་རེད། དེར་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཟེར།

དཔེ་རིས་ ༨་༥ (ཆ) ཡི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD ནང་། AD = CD དང་ AB = CB དེ་ནི། ཉེ་ མཐའ་ཆ་གཉིས་གཅིག་མཚུངས་རེད། དེ་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་མིན། དེར་ཤོག་བྱ་ཟེར།

གྲུ་བཞི​ི་ཁ་གང་མ་དང་། གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ། གཟེ​ེ་དབྱི​ིབས་བཅས་ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཡི​ིན་པ་ངེ​ེས་པར་གྱི​ིས། •

གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ནི་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་དང་གཟེ་དབྱིབས་ཀྱང་རེད།

•

ཤོག་བྱ་ནི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་མ་རེད།

• • •

མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ནི་སྐས་དབྱིབས་རེད།

སྐས་དབྱིབས་ནི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་མ་རེད། (སྐས་དབྱིབས་ནང་གཏད་མཐའ་ཆ་གཅིག་ཁོ་ན་མཉམ་འགྲོ་ཡིན་པ་དང་། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་ནང་གཏད་མཐའ་ཆ་གཉིས་ཀ་མཉམ་འགྲོ་ཡིན་དགོས།)

གྲུ་བཞི་ནར་མོའམ་ཡང་ན་གཟེ་དབྱིབས་ནི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་མིན།

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༦ ནང་མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་ 14 cm ཡི​ིན་པའི​ི་གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་ཞི​ིག་དང་། དེ​ེ་དང་མཐའ་འཁོ​ོར་ རི​ིང་ཚད་མཉམ་པའི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཞི​ིག་ཡོ​ོད། D

C D

4 cm A

C

4 cm 3 cm (ཀ)

B

A དཔེ་རིས་ ༨་༦

3 cm P

B

(ཁ)

འདི​ིར་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ནི​ི་ DP × AB ཡི​ིན་པ་དང་། དེ​ེ་གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོའི་ི རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ AB × AD

ལས་ཉུང་བ་ཡོ​ོད། (DP < AD ཡི​ིན་པས།) སྤྱི​ིར་བཏང་མངར་ཟས་ཚོ​ོང་པས་མངར་ཟས་ (burfis) ཀྱི​ི་བཟོ​ོ་ལྟ་ མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ནང་བཟོ​ོ་ཡི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེ་ནི​ི་ཤོ​ོག་སྒམ་ནང་མང་བ་ཤོ​ོངས་པའི​ི་ཆེ​ེད་དུ་ཡི​ིན།

འཛི​ིན་གྲྭ་སྔ་མར་སྦྱངས་ཟི​ིན་པའི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་འགའ་བསྐྱར་ཞི​ིབ་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན།

133

རྩིས་རིག

༨་༤ དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས། Properties of a Parallelogram ང་ཚོ​ོས་བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་ཞི​ིག་སྤེ​ེལ་གྱི​ི་ཡི​ིན།

ཤོ​ོག་བུ་ཞི​ིག་ནས་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཞི​ིག་དྲས་རྗེ​ེས།

དེ​ེ་གཏད་

D

C

ཐི​ིག་བརྒྱུད་བསྐྱར་དུ་གཏུབས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༧ ལ་ལྟོ​ོས་) ཁྱེ​ེད་ལ་ཟུར་གསུམ་ མ་གཉི​ིས་ཐོ​ོབ། ཟུར་གསུམ་མ་དེ​ེ་གཉི​ིས་སྐོ​ོར་གང་ཤོ​ོད་ཐུབ་བམ།

ཟུར་གསུམ་མ་གཅི​ིག་དེ​ེ་གཞན་གྱི​ི་སྟེ​ེང་ལ་ཕན་ཚུན་ཁེ​ེབས་པར་ཞོ​ོག ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དོ​ོ་སྣང་གང་བྱུང་ངམ།

A

B དཔེ་རིས་ ༨་༧

ཟུར་གསུམ་མ་དེ​ེ་གཉི​ིས་ཕན་ཚུན་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཡི​ིན་པ་ཤེ​ེས་ཐུབ།

བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་འདི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་གཞན་ལ་བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱོ​ོས། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གཏད་ཐི​ིག་གི​ིས་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་ བཞི​ི་མ་དེ​ེ་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་སུ་བགོ​ོད་པ་མཐོ​ོང་ཐུབ། ང་ཚོ​ོས་གྲུབ་འབྲས་འདི​ི་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན། ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༨་༡

ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་གཏད་ཐི​ིག་གི​ིས་དེ​ེ་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་སུ་བགོ​ོད་

ཁུངས་སྐྱེ​ེལ། ABCD ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཞི​ིག་ཡི​ིན་པ་དང་ AC ནི​ི་དེ​ེའི་ི གཏད་ཐི​ིག་ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག (དཔེ​ེ་ རི​ིས་ ༨་༨ ལ་ལྟོ​ོས་) གཏད་ཐི​ིག་ AC ཡི​ིས་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD ནི​ི་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་ ∆

ABC དང་ ∆ CDA བཅས་གཉི​ིས་སུ་བགོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། ང་ཚོ​ོས་ཟུར་གསུམ་མ་འདི​ི་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཡི​ིན་པ་

ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་དགོ​ོས།

∆ ABC དང་ ∆ CDA ནང་། BC || AD དང་ AC ནི​ི་གསེ​ེག་ཐི​ིག་རེ​ེད། དེ​ེས་ན། ཡང་།

དེ​ེས་ན། དང་།

BCA =

DAC

(སྣོ​ོལ་ཟུར་ཆ།)

AB || DC དང་ AC ནི​ི་གསེ​ེག་ཐི​ིག་རེ​ེད། BAC =

DCA

AC = CA

དེ​ེས་ན། ∆ ABC

∆ CDA

(སྣོ​ོལ་ཟུར་ཆ།) (སྤྱི​ི་མཐའ།)

(ASA ཆ་རྐྱེ​ེན།)

A

D

C

དཔེ་རིས་ ༨་༨

B

གཏད་ཐི​ིག་ AC ཡི​ིས་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC དང་ CDA གཉི​ིས་སུ་བགོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD ཡི​ི་གཏད་མཐའ་རྣམས་འཇོ​ོལ། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དོ​ོ་སྣང་གང་བྱུང་ངམ། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ AB = DC དང་ AD = BC ཡི​ིན་པ་ཤེ​ེས་ཐུབ།

འདི​ི་ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་གཞན་ཞི​ིག་ཡི​ིན་པ་གཤམ་གསལ་ལྟར་འགྲེ​ེལ་ཐུབ།

134

དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༨་༢ མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ནང་། གཏད་མཐའ་རྣམས་མཚུངས།

ང་ཚོ​ོས་གཏད་ཐི​ིག་གི​ིས་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་སུ་བགོ​ོད་པའི​ི་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་

བྱས་ཟི​ིན། དེ​ེས་ན། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དེ​ེའི​ི་གནས་མཐུན་ཆ་ཤས་དཔེ​ེར་ན། གནས་མཐུན་མཐའི​ི་སྐོ​ོར་གང་ཤོ​ོད་ཐུབ་བམ། དེ​ེ་ དག་གཅི​ིག་མཚུངས་རེ​ེད། དེ​ེས་ན། AB = DC དང་ AD = BC གྲུབ་འབྲས་འདི​ིའི​ི་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་གང་ཡི​ིན་ནམ།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ནང་ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པ་དེ​ེ་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་ནང་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་

དགོ​ོས་པ་དང་། ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ནང་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་དགོ​ོས་པ་དེ​ེ་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་ནང་ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པ་རེ​ེད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ངེ​ེས་ སྲོ​ོལ་ ༨་༢ ནི​ི་གཤམ་གསལ་ལྟར་འགྲེ​ེལ་ཐུབ།

གལ་སྲི​ིད་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཞི​ིག་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཡི​ིན་ན། དེ​ེས་ན། དེ​ེའི​ི་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་ནི​ི།

དེ​ེའི​ི་གཏད་མཐའི​ི་ཆ་རྣམས་མཚུངས།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༨་༣ གལ་སྲི​ིད་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་གཏད་མཐའི​ི་ཆ་རྣམས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་ན། དེ​ེ་མཉམ་

འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་རེ​ེད།

D

C

དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD ནང་ AB = CD དང་མཐའ་

AD = BC ཆ་ཞོ​ོག (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༩ ལ་ལྟོ​ོས་) གཏད་ཐི​ིག་ AC བྲི​ིས།

འདི​ིར། དེ​ེས་ན།

དང་།

∆ ABC

∆ CDA

BAC =

DCA

BCA =

DAC

(ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

A

(ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

དཔེ་རིས་ ༨་༩

B

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ ABCD ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཞི​ིག་ཡི​ིན་པ་ཤོ​ོད་ཐུབ་བམ། ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་གཏད་མཐའི​ི་ཆ་རྣམས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པ་དང་། དེ​ེའི​ི་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་དུ་ དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་གཏད་མཐའི​ི་ཆ་རྣམས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་ན།

དེ​ེ་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཡི​ིན་པ་

ཤེ​ེས་ཡོ​ོད། གྲུབ་འབྲས་འདི​ིས་གཏད་ཟུར་ཆ་རྣམས་ལའང་མཐའ་སྡོ​ོམ་བྱེ​ེད་ཐུབ་བམ།

མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཞི​ིག་བྲི​ིས་ཏེ​ེ་དེ​ེའི​ི་ཟུར་རྣམས་འཇོ​ོལ། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དོ​ོ་སྣང་གང་བྱུང་ངམ། གཏད་ཟུར་ཆ་རྣམས་གཅི​ིག་མཚུངས་རེ​ེད།

བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་འདི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་གཞན་ལ་བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱོ​ོས། གཞན་ཞི​ིག་བྱུང་ཡོ​ོད།

ང་ཚོ​ོར་བསྐྱར་དུ་གཤམ་གསལ་གྲུབ་འབྲས་

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༨་༤ མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ནང་། གཏད་ཟུར་རྣམས་གཅི​ིག་མཚུངས་རེ​ེད།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་འདི​ིའི​ི་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་བདེ​ེན་པ་རེ​ེད་དམ། རེ​ེད། དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ནང་ཟུར་བསྡོ​ོམས་གྲངས་ཀྱི​ི་ཁྱད་

ཆོ​ོས་དང་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་གསེ​ེག་ཐི​ིག་གི​ིས་འཕྲད་པའི​ི་གྲུབ་འབྲས་སྤྱད་ནས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་དེ​ེའི​ི་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་ཡང་ བདེ​ེན་པ་ཡི​ིན་པ་མཐོ​ོང་ཐུབ། དེ​ེས་ན། ང་ཚོ​ོར་གཤམ་གསལ་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ཐོ​ོབ།

135

རྩིས་རིག

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༨་༥

བཞི​ི་མ་རེ​ེད།

དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་གཏད་ཟུར་ཆ་རྣམས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་ན། དེ​ེ་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་

ང་ཚོ​ོས་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་གཞན་ཞི​ིག་སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD བྲི​ིས་ ཏེ​ེ། དེ​ེའི​ི་གཏད་ཐི​ིག་གཉི​ིས་གནས་ O ལ་སྣོ​ོལ་བ་བྲི​ིས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༡༠ ལ་ལྟོ​ོས་) OA དང་ OB, OC, OD ཡི​ི་རི​ིང་ཚད་འཇོ​ོལ།

ཁྱེ​ེད་ལ་ OA = OC དང་ OB = OD ཐོ​ོབ།

ཡང་ན། O ནི​ི་གཏད་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ཀའི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་རེ​ེད།

བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་འདི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་གཞན་ལ་བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱོ​ོས།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་རྟག་ཏུ་ O ནི​ི་གཏད་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ཀའི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་ཡི​ིན་པ་ཤེ​ེས་ཐུབ། དེ​ེས་ན། ང་ཚོ​ོར་གཤམ་གསལ་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ཡོ​ོད།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༨་༦ མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་གཏད་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ཕན་ཚུན་

D

མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་གཏད་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ཕན་ཚུན་མཉམ་བགོ​ོད་བྱས་ ན་གང་འབྱུང་ངམ། དེ​ེ་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་རེ​ེད་དམ། རེ​ེད། གྲུབ་འབྲས་འདི​ི་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༨་༦ ཡི​ི་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་རེ​ེད།

O A

ཚུན་མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་ན། དེ​ེ་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་རེ​ེད།

D

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གྲུབ་འབྲས་འདི​ི་གཤམ་གསལ་ལྟར་འགྲེ​ེལ་བཤད་བྱེ​ེད་ཐུབ། དེ​ེས་ན།

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

∆ AOB

∆ COD

ABO =

CDO

འདི​ི་ལས་ང་ཚོ​ོར་ AB || CD ཐོ​ོབ། དེ​ེ་མཚུངས།

(ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།) (ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

B དཔེ་རིས་ ༨་༡༠

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༨་༧ གལ་སྲི​ིད་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་གཏད་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ཕན་ དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༡༡ ནང་། OA = OC དང་ OB = OD སྤྲད་ཡོ​ོད།

C

C O

A

B དཔེ་རིས་ ༨་༡༡

BC || AD

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ABCD ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་རེ​ེད། རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡ གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོའི་ི ཟུར་ཚང་མ་དྲང་ཟུར་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན། ལན།

ང་ཚོ​ོ་གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་གང་ཡི​ིན་པ་དྲན་གསོ​ོ་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན།

གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་ནི​ི་ཟུར་གཅི​ིག་དྲང་ཟུར་ཡི​ིན་པའི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཞི​ིག་རེ​ེད།

136

དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ

A = 90o ཡི​ིན་པའི​ི་གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་ ABCD ལ་ཆ་ཞོ​ོག

ང་ཚོ​ོས་

B=

C=

D = 90o ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན་དགོ​ོས།

D

C

ང་ཚོ​ོར། AD || BC དང་ AB ནི​ི་གསེ​ེག་ཐི​ིག་རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༡༢ ལ་ལྟོ​ོས་) དེ​ེས་ན།

A+

ཡི​ིན་ནའང་།

o B = 180 (གསེ​ེག་ཐི​ིག་གི​ི་ཕྱོ​ོགས་གཅི​ིག་ན་ཡོ​ོད་

པའི​ི་ནང་ཟུར།)

o

A = 90

དེ​ེས་ན།

B = 180o −

དེ​ེས་ན།

C = 90o

དང་།

B དཔེ་རིས་ ༨་༡༢

A = 180o − 90o = 90o

A དང་

C=

A

དང་

D=

(མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་གཏད་ཟུར།)

B

D = 90o

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོའི་ི ཟུར་ཚང་མ་དྲང་ཟུར་རེ​ེད།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༢ གཟེ​ེ་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་གཏད་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ཕན་ཚུན་དྲང་འཕྱང་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན། ལན།

གཟེ​ེ་དབྱི​ིབས་ ABCD ལ་ཆ་ཞོ​ོག (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༡༣ ལ་ལྟོ​ོས་)

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ AB = BC = CD = DA ཡི​ིན་པ་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། ∆ AOD དང་ ∆ COD ནང་།

(ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

D

OA = OC (མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་གཏད་ཐི​ིག་

ཕན་ཚུན་མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།)

OD = OD

AD = CD

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

∆ AOD

དེ​ེས་ན།

ཡི​ིན་ནའང་། དེ​ེས་ན།

2

∆ COD

(སྤྱི​ི་མཐའ།)

(ཤེ​ེས་ཟི​ིན།)

COD

AOD +

COD = 180

A

B དཔེ་རིས་ ༨་༡༣

(CPCT)

(ཉེ​ེ་གསབ་ཟུར།)

o

AOD = 180

O

(SSS ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེ​ེན།)

AOD =

C

o

AOD = 90

o

དེ​ེས་ན། གཟེ​ེ་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་གཏད་ཐི​ིག་རྣམས་ཕན་ཚུན་དྲང་འཕྱང་རེ​ེད། རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༣ སྐེ​ེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ནང་ AB = AC རེ​ེད། AD ཡི​ིས་ཕྱི​ི་ཟུར་ PAC མཉམ་བགོ​ོད་ བྱེ​ེད་པ་དང་ CD || AB རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༡༤ ལ་ལྟོ​ོས་) གཤམ་གསལ་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

(ཀ)

DAC =

BCA དང་ (ཁ) ABCD ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་རེ​ེད།

137

རྩིས་རིག ལན།

དེ​ེས་ན།

(ཀ) ∆ ABC ནི​ི་སྐེ​ེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཡི​ིན་པ་དང་ AB = AC (ཤེ​ེས་ཟི​ིན།)

ཡང་།

ཡང་ན།

ACB

PAC =

ABC +

PAC = 2

ACB

AD ཡི​ིས་

ACB (ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཕྱི​ི་ཟུར།)

PAC མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

དེ​ེས་ན། PAC = 2 (༡) དང་ (༢) ལས།

DAC

DAC = 2

2

(མཐའ་མཉམ་གྱི​ི་གཏད་ཟུར།)

ABC =

DAC =

ACB

(༡)

P A

(༢)

D O

B

ACB

C དཔེ་རིས་ ༨་༡༤

(ཁ) ཐི​ིག་དུམ་ BC དང་ AD ལ་གསེ​ེག་ཐི​ིག་ AC ཡི​ིས་འཕྲད་སྐབས། ཟུར་འདི​ི་དག་གི​ིས་སྣོ​ོལ་ཟུར་ཆ་འགྲུབ་ ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེས་ན།

BC || AD

ཡང་།

(ཤེ​ེས་ཟི​ིན།)

BA || CD

དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD ཡི​ི་གཏད་མཐའ་ཆ་གཉི​ིས་ཀ་མཉམ་འགྲོ​ོ་རེ​ེད། དེ​ེས་ན། ABCD ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་རེ​ེད།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༤ མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ l དང་ m ལ་གསེ​ེག་ཐི​ིག་ AC ཡི​ིས་འཕྲད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༡༥ ལ་ལྟོ​ོས་) ནང་ཟུར་ གྱི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་ལས་གྲུབ་པའི​ི་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ནི​ི་གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

ལན། ཤེ​ེས་ཟི​ིན། PS || QR དང་གསེ​ེག་ཐི​ིག་ p ཡི​ིས་གནས་ A དང་ C ཐོ​ོག་གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་འཕྲད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། PAC དང་

ACR དང་

ACQ ཡི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་ནི​ི་གནས་ B ཐོ​ོག་སྣོ​ོལ་བ་དང་།

SAC ཡི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་ནི​ི་གནས་ D ཐོ​ོག་སྣོ​ོལ་གྱི​ི་ཡོ​ོད།

ང་ཚོ​ོས་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD ནི​ི་གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན་དགོ​ོས། PAC =

ACR

(l || m དང་ p གསེ​ེག་མཐའ་ཡི​ིན་པས་སྣོ​ོལ་ཟུར།)

དེ​ེས་ན། དེ​ེ་ནི​ི།

1 2

PAC =

BAC =

1 2

P

l

ACR

S

A

B

D

ACD m

Q C

R དཔེ་རིས་ ༨་༡༥

138

དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ

འདི​ིས་ཐི​ིག་ AB དང་ DC ཡི​ི་གསེ​ེག་ཐི​ིག་ AC ལ་སྣོ​ོལ་བ་དང་། སྣོ​ོལ་ཟུར་གྲུབ་པ་དེ​ེ་དག་ཀྱང་གཅི​ིག་མཚུངས་ རེ​ེད། དེ​ེས་ན།

AB || DC

དེ​ེ་མཚུངས།

(

BC || AD

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ABCD ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་རེ​ེད། ཡང་།

PAC +

དེ​ེས་ན།

1 2

PAC + 1 2 BAC +

ཡང་ན།

ACB དང་

CAS = 180o

CAD སྐབས།)

(ཉེ​ེ་གསབ་ཟུར།)

CAS = 1 × 180o = 90o 2

CAD = 90o BAD = 90o

དེ​ེས་ན། ABCD ནི​ི་ཟུར་གཅི​ིག་ 90o ཡི​ིན་པའི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་རེ​ེད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ABCD ནི​ི་གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་རེ​ེད།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༥ མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ཟུར་གྱི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་གི​ིས་གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་འགྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་སྟོ​ོན། ལན། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD ནང་ P དང་ Q, R, S ནི​ི་ གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་ D,

D དང་

A དང་

B དང་།

∆ ASD ནང་། DS ཡི​ིས་

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

C,

D དང་ AS ཡི​ིས་

DAS +

A མཉམ་བགོ​ོད་

ཡང་ན།

དེ​ེས་ན།

དེ​ེ་མཚུངས།

DAS +

Q S R

A

= 90o

ADS +

DSA = 180o

DSA = 180o

90o +

C

P

ADS = 1 A + 1 D 2 2 = 1 ( A + D) 2 ( A དང་ = 1 × 180o 2

ཡང་།

D

C དང་

A བཅས་ཀྱི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་གི​ི་སྣོ​ོལ་གནས་ཡི​ིན་

པ་ཆ་ཞོ​ོག (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༡༦ ལ་ལྟོ​ོས་) བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

B དང་

དཔེ་རིས་ ༨་༡༦

B

D ནི​ི་གསེ​ེག་ཐི​ིག་གི​ི་ཕྱོ​ོགས་

གཅི​ིག་ན་ཡོ​ོད་པའི​ི་ནང་ཟུར།)

(ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ནང་ཟུར་བསྡོ​ོམས་གྲངས།)

DSA = 90o

PSR = 90o

APB = 90o ཡང་ན་

(

SPQ = 90o ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན་ཐུབ།

139

DSA ལ་ལྡོ​ོག་འཕྲད་ཟུར་ཡི​ིན་པས།)

(

DSA ལ་བསྟན་པ་བཞི​ིན།)

རྩིས་རིག

དེ​ེ་བཞི​ིན།

PQR = 90o དང་

SRQ = 90o

དེ​ེས་ན། PQRS ནི​ི་ཟུར་ཚང་མ་དྲང་ཟུར་ཡི​ིན་པས་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཞི​ིག་རེ​ེད། ང་ཚོ​ོས་དེ​ེ་གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་ཡི​ིན་པ་མཐའ་སྡོ​ོམ་བྱེ​ེད་ཐུབ་བམ། དེ​ེ་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན། ང་ཚོ​ོས་ དང་

SPQ =

PQR = 90o

PSR =

SRQ = 90o ཡི​ིན་པ་བསྟན་ཡོ​ོད། དེ​ེས་ན་གཏད་ཟུར་ཆ་གཉི​ིས་ཀ་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན།

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། PQRS ནི​ི་ཟུར་གཅི​ིག་ 90o (དོ​ོན་དངོ​ོས་ཐོ​ོག་ཟུར་ཚང་མ་ 90o) ཡོ​ོད་པའི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཞི​ིག་ ཡི​ིན་པས། དེ​ེ་གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་རེ​ེད།

༨་༥ མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཡི​ིན་པའི​ི་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ཆ་རྐྱེ​ེན་གཞན་ཞི​ིག

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་སློ​ོབ་ཚན་འདི​ིའི་ི ནང་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་མང་པོ​ོ་སྦྱངས་ཡོ​ོད་པ་དང་། དབྱི​ིབས་མཐའ་ བཞི​ི་མའི​ི་ནང་ཁྱད་ཆོ​ོས་དེ​ེ་དག་ལས་གང་རུང་གཅི​ིག་ཚི​ིམ་ན།

དེ​ེ་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཡི​ིན་པ་སྦྱངས་ཡོ​ོད།

ང་ཚོ​ོས་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཡི​ིན་པའི​ི་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ཆ་རྐྱེ​ེན་གཞན་ཞི​ིག་སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན། དེ​ེ་གཤམ་ གསལ་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་གྱི​ི་རྣམ་པར་བསྟན་ཡོ​ོད།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༨་༨ གལ་སྲི​ིད་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་གཏད་མཐའ་ཆ་གཅི​ིག་མཉམ་འགྲོ​ོ་དང་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་

ན། དེ​ེ་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་རེ​ེད།

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༡༧ ནང་ AB = CD དང་ AB || CD རེ​ེད། གཏད་ཐི​ིག་ AC ཞི​ིག་བྲི​ིས།

SAS ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེ​ེན་ལས་ ∆ ABC

དེ​ེས་ན།

BC || AD

D

C

∆ CDA སྟོ​ོན་ཐུབ། (ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

མཉམ་འགྲོ​ོ ་ མཐའ་བཞི​ི་ མའི​ི་ ཁྱད་ཆོ​ོ ས ་འདི​ི་ སྤྱད་དེ​ེ་ རྩི​ིས ་དཔེ​ེ་ ཞི​ིག ་ལ་

A

B དཔེ་རིས་ ༨་༡༧

སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༦ མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD ནང་ P དང་ Q ནི​ི་

D

Q

གནས་རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༡༨ ལ་ལྟོ​ོས་) AQ ཡི​ིས་ DP ལ་ S

S

R

P

B

གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་གཏད་མཐའ་ AB དང་ CD ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་

ཐོ​ོག་སྣོ​ོལ་བ་དང་ BQ ཡི​ིས་ CP ལ་ R ཐོ​ོག་སྣོ​ོལ་གྱི​ི་ ཡོ​ོད་ན། གཤམ་གསལ་ཁག་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

(ཀ) APCQ ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་རེ​ེད།

(ཁ) DPBQ ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་རེ​ེད། (ག) PSQR ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་རེ​ེད།

140

A

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༡༨

C

ལན།

དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ

(ཀ) དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ APCQ ནང་།

AP || QC (AB || CD ཡི​ིན་པས།) 1 1 (ཤེ​ེས་ཟི​ིན།) AP = AB, CQ = CD 2 2 ཡང་། AB = CD (ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

དེ​ེས་ན། དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

AP = QC

APCQ ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཞི​ིག་རེ​ེད།

(༡) (༢)

[(༡) དང་ (༢) དང་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༨་༨ ལས།]

(ཁ) དེ​ེ་མཚུངས། དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ DPBQ ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་རེ​ེད། རྒྱུ་མཚན་ནི​ི།

DQ || PB དང་ DQ = PB

(ག) དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ PSQR ནང་།

SP || QR

དེ​ེ་མཚུངས།

SQ || PR

(SP ནི​ི་ DP ཡི​ི་ཆ་ཤས་དང་ QR ནི​ི་ QB ཡི​ི་ཆ་ཤས་རེ​ེད།)

དེ​ེས་ན། PSQR ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་རེ​ེད།

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༨་༡

༡། དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ཟུར་གྱི​ི་སྡུར་ཚད་ནི​ི་ 3 : 5 : 9 : 13 རེ​ེད། དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ཟུར་རྣམས་ཚོ​ོལ། ༢། གལ་ཏེ​ེ་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་གཏད་ཐི​ིག་རྣམས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་ན། དེ​ེ་གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

༣། གལ་ཏེ​ེ་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་གཏད་ཐི​ིག་ཕན་ཚུན་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་ན། དེ​ེ་གཟེ​ེ་དབྱི​ིབས་ ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

༤། གྲུ་བཞི​ི་ཁ་གང་མའི​ི་གཏད་ཐི​ིག་རྣམས་གཅི​ིག་མཚུངས་དང་ཕན་ཚུན་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་སྟོ​ོན།

༥། གལ་ཏེ​ེ་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་གཏད་ཐི​ིག་རྣམས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པ་དང་ཕན་ཚུན་དྲང་འཕྱང་མཉམ་ བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་ན། དེ​ེ་གྲུ་བཞི​ི་ཁ་གང་མ་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

༦། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD ཡི​ི་གཏད་ཐི​ིག་ AC ཡི​ིས་

D

A

C

མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༡༩ ལ་ལྟོ​ོས་) གཤམ་གསལ་ཡི​ིན་ པ་སྟོ​ོན།

(ཀ) AC ཡི​ིས་

C མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

A

(ཁ) ABCD ནི​ི་གཟེ​ེ་དབྱི​ིབས་རེ​ེད།

༧། ABCD ནི​ི་གཟེ​ེ་དབྱི​ིབས་རེ​ེད། གཏད་ཐི​ིག་ AC ཡི​ིས་ ཐི​ིག་ BD ཡི​ིས་

B དང་

A དང་

D མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་སྟོ​ོན།

141

དཔེ་རིས་ ༨་༡༩

B

C མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་པ་དང་། གཏད་

རྩིས་རིག

༨། གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་ ABCD ནང་གཏད་ཐི​ིག་ AC ཡི​ིས་ (ཀ) ABCD ནི​ི་གྲུ་བཞི​ི་ཁ་གང་མ་ཡི​ིན་པ་དང་། (ཁ) གཏད་ཐི​ིག་ BD ཡི​ིས་

B དང་

A དང་

C མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

D མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་སྟོ​ོན།

༩། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD ནང་གཏད་ཐི​ིག་ BD

A

D

ཡི​ི་སྟེ​ེང་དུ་ DP = BQ ལྟར་གནས་ P དང་ Q བླངས་ཏེ​ེ།

P

(དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༢༠ ལ་ལྟོ​ོས་) གཤམ་གསལ་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

(ཀ) ∆ APD

(ག) ∆ AQB

∆ CQB

∆ CPD

(ཁ) AP = CQ

Q

(ང) AQ = CP

B

(ཅ) APCQ ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་རེ​ེད།

༡༠། ABCD ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཞི​ིག་ཡི​ིན་པ་དང་།

D

དཔེ་རིས་ ༨་༢༠

ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

(ཀ) ∆ APB

∆ CQD

C

P

AP དང་ CQ ནི​ི་ཟུར་ཚེ​ེག་ A དང་ C ནས་གཏད་ཐི​ིག་ BD ལ་དྲང་འཕྱང་རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༢༡ ལ་ལྟོ​ོས་) གཤམ་གསལ་

C

Q A

B

དཔེ་རིས་ ༨་༢༡

(ཁ) AP = CQ

༡༡། ∆ ABC དང་ ∆ DEF ནང་། AB = DE དང་ AB || DE, BC = EF, BC || EF རེ​ེད། ཟུར་ཚེ​ེག་ D དང་ E, F ལ་ཟུར་ཚེ​ེག་ A དང་ B, C གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་མཐུད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༢༢ ལ་ལྟོ​ོས་) གཤམ་གསལ་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན། (ཀ) ABED ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་རེ​ེད།

A

(ཁ) BEFC ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་རེ​ེད།

D

(ག) AD || CF དང་ AD = CF

C B

(ང) ACFD ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་རེ​ེད། (ཅ) AC = DF (ཆ) ∆ ABC

F E དཔེ་རིས་ ༨་༢༢

∆ DEF

༡༢། སྐས་དབྱི​ིབས་ ABCD ནང་ AB || CD དང་།

A

B

AD = BC (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༢༣ ལ་ལྟོ​ོས་) གཤམ་གསལ་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

(ཀ)

A=

(ག) ∆ ABC

B

∆ BAD

(ཁ)

C=

E

D

D

(ང) གཏད་ཐི​ིག་ AC = གཏད་ཐི​ིག་ BD

དཔེ་རིས་ ༨་༢༣

C

[བརྡ་སྟོ​ོ བརྡ་སྟོ​ོན། AB བསྲི​ིངས་ནས་ C བརྒྱུད་ DA ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་དང་། AB བསྲི​ིངས་པས་ E ལ་སྣོ​ོལ་བའི​ི་ཐི​ིག་ཅི​ིག་ བྲི​ིས།]

142

དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ

༨་༦ དཀྱི​ིལ་གནས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། The Mid-point Theorem

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཟུར་གསུམ་མ་དང་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་མང་པོ​ོ་སྦྱངས་ཡོ​ོད། ང་ཚོ​ོས་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མཐའི​ི་ དཀྱི​ིལ་གནས་དང་འབྲེ​ེལ་བའི​ི་གྲུབ་འབྲས་གཞན་ཞི​ིག་སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན། གཤམ་གསལ་བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་སྤེ​ེལ།

ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་བྲི​ིས་ཏེ​ེ། དེ​ེའི​ི་མཐའ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་ E དང་ F བྲི​ིས། E དང་ F མཐུད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་ ༢༤ ལ་ལྟོ​ོས་)

EF དང་ BC ཡི​ི་རི​ིང་ཚད་འཇོ​ོལ།

AEF དང་

ABC

འདི​ིར།

AEF =

ABC

ཡི​ི་ཟུར་ཚད་འཇོ​ོལ། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དོ​ོ་སྣང་གང་བྱུང་ངམ། དེ​ེས་ན།

EF = 1 BC དང་ 2

A

F

E

EF || BC

བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་འདི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་ལ་བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱོ​ོས།

B

C

དཔེ་རིས་ ༨་༢༤

དེ​ེས་ན། ཁྱེ​ེད་ལ་གཤམ་གྱི​ི་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་འབྱུང་གི​ི་ཡོ​ོད།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༨་༩ ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མཐའ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་མཐུད་པའི​ི་ཐི​ིག་དུམ་དེ​ེ་མཐའ་གསུམ་པ་དང་

མཉམ་འགྲོ​ོ་རེ​ེད།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་འདི​ི་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་ཐུབ།

A

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༢༥ ནང་ E དང་ F ནི​ི་གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་ AB དང་ AC ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་ཡི​ིན་པ་དང་། CD || BA རེ​ེད། ∆ AEF

དེ​ེས་ན།

∆ CDF

EF = DF དང་ BE = AE = DC

(ASA ཆ་རྐྱེ​ེན།)

(ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

B

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། BCDE ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་རེ​ེད། (ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།) དེ​ེས་ན། EF || BC འདི​ིར།

F

E

D C

དཔེ་རིས་ ༨་༢༥

1 ED 2 1 = BC 2

EF =

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༨་༩ ཡི​ི་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་འབྲི​ི་ཐུབ་བམ། ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་བདེ​ེན་པ་ཡི​ིན་ནམ།

གོ​ོང་གི​ི་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་གྱི​ི་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་ནི​ི་བདེ​ེན་པ་ཡི​ིན་པ་དང་དེ​ེ་གཤམ་གསལ་ལྟར་འགྲེ​ེལ་ཐུབ།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༨་༡༠ ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མཐའ་གཅི​ིག་གི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་བརྒྱུད་པའི​ི་ཐི​ིག་དེ​ེ་མཐའ་གཞན་ཞི​ིག་ལ་མཉམ་

འགྲོ​ོ་དང་མཐའ་གསུམ་པར་མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

143

རྩིས་རིག

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༢༦ ནང་། E ནི​ི་ AB ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་ཡི​ིན་པ་དང་།

A

ཐི​ིག་ l ནི​ི་ E བརྒྱུད་ BC ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པ་དང་ CM || BA ∆ AEF དང་ ∆ CDF ཡི​ི་ཡོ​ོངས་མཚུངས་སྤྱད་དེ​ེ་ AF = CF ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

E

l

B

C དཔེ་རིས་ ༨་༢༦

A

མཐའ་ AB དང་ BC, CA ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༢༧

ལ་ལྟོ​ོས་) D དང་ E, F མཐུད་པས་ ∆ ABC ནི​ི་ཡོ​ོངས་མཚུངས་

ཟུར་གསུམ་མ་བཞི​ི་རུ་བགོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་སྟོ​ོན།

ལན། ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༨་༩ ལས། ∆ ABC ནང་ D དང་ E ནི​ི་གོ​ོ་རི​ིམ་

F

D

B

E

བཞི​ིན་མཐའ་ AB དང་ BC ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་ཡི​ིན་པས། དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

D

F

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༧ ∆ ABC ནང་ D དང་ E, F ནི​ི་གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་

དེ​ེ་མཚུངས།

M

C

དཔེ་རིས་ ༨་༢༧

DE || AC

DF || BC དང་ EF || AB

ADEF དང་ BDFE, DFCE བཅས་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཡི​ིན།

DE ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ BDFE ཡི​ི་གཏད་ཐི​ིག་ཡི​ིན།

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

∆ BDE

∆ FED

∆ DAF

∆ FED

དང་།

∆ EFC

∆ FED

དེ​ེ་མཚུངས།

དེ​ེས་ན། ཟུར་གསུམ་མ་བཞི​ི་པོ​ོ་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཡི​ིན།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༨ མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ l དང་ m, n བཅས་གསུམ་ལ་

p

གསེ​ེག་ཐི​ིག་ p དང་ q ཡི​ིས་སྣོ​ོལ་བ་དང་། l དང་ m, n ཡི​ིས་ p

A

ཐོ​ོག་བཅད་ཐི​ིག་མཉམ་པ་ AB དང་ BC གཅོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་

༨་༢༨ ལ་ལྟོ​ོས་) l དང་ m, n ཡི​ིས་ q ཐོ​ོག་བཅད་ཐི​ིག་མཉམ་པ་ DE

དང་ EF གཅོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་སྟོ​ོན།

ལན། ང་ཚོ​ོར་ AB = BC སྤྲད་ཡོ​ོད་པ་དང་། DE = EF ཁུངས་ སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་དགོ​ོས།

A དང་ F མཐུད་དེ​ེ་ G ཐོ​ོག་ m ལ་འཕྲད་པར་གྱི​ིས།

144

q D

l

E

B

m

G C

F

དཔེ་རིས་ ༨་༢༨

n

དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ

སྐས་དབྱི​ིབས་ ACFD ནི​ི་ ∆ ACF དང་ ∆ AFD གཉི​ིས་སུ་བགོ​ོས་ཡོ​ོད། ∆ ACF ནང་། B ནི​ི་ AC (AB = BC) ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་ཡི​ིན་པ་དང་།

(m || n ཡི​ིན་པས།)

BG || CF

དེ​ེས་ན། G ནི​ི་ AF ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་རེ​ེད།

(ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༨་༡༠ ལས།)

G ནི​ི་ AF ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་དང་ GE || AD ཡི​ིན་པས། ∆ AFD ནང་དུའང་ང་ཚོ​ོས་རི​ིག་པ་དེ​ེ་སྤྱད་དགོ​ོས།

དེ​ེས་ན། ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༨་༡༠ ལས་ E ནི​ི་ DF ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་རེ​ེད། དེ​ེ་ནི​ི།

DE = EF

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། q ལའང་ l དང་ m, n ཡི​ིས་བཅད་ཐི​ིག་མཉམ་པ་གཅོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༨་༢

༡། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༢༩ ནང་གི​ི་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD ནང་

D R

P དང་ Q, R, S ནི​ི་གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་མཐའ་ AB དང་ BC,

C

CD, DA ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་རེ​ེད། AC ནི​ི་གཏད་ཐི​ིག་རེ​ེད།

གཤམ་གསལ་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

S Q

(ཀ) SR || AC དང་ SR = 1 AC (ཁ) PQ = SR

2

A

P

B

དཔེ་རིས་ ༨་༢༩

(ག) PQRS ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་རེ​ེད།

༢། ABCD ནི​ི་གཟེ​ེ་དབྱི​ིབས་དང་ P དང་ Q, R, S ནི​ི་གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་མཐའ་ AB དང་ BC, CD, DA ཡི​ི་ དཀྱི​ིལ་གནས་རེ​ེད། དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ PQRS ནི​ི་གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

༣། ABCD ནི​ི་གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་ཞི​ིག་ཡི​ིན་པ་དང་། P དང་ Q, R, S ནི​ི་གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་མཐའ་ AB དང་ BC, CD, DA ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་རེ​ེད། དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ PQRS ནི​ི་གཟེ​ེ་དབྱི​ིབས་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

༤། སྐས་དབྱི​ིབས་ ABCD ནང་ AB || DC དང་

D

BD ནི​ི་གཏད་ཐི​ིག་རེ​ེད། E ནི​ི་ AD ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་

གནས་རེ​ེད། E བརྒྱུད་དེ​ེ་ཐི​ིག་གཅི​ིག་ AB ལ་

E

མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པ་དང་ BC ཐོ​ོག་ F ལ་སྣོ​ོལ་ བ་བྲི​ིས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༣༠ ལ་ལྟོ​ོས་) F ནི​ི་ BC ཡི​ི་ དཀྱི​ིལ་གནས་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

145

C

A

F

དཔེ་རིས་ ༨་༣༠

B

རྩིས་རིག

༥། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD ནང་། E དང་ F ནི​ི་གོ​ོ་རི​ིམ་

D

བཞི​ིན་མཐའ་ AB དང་ CD ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༨་༣༡ ལ་ལྟོ​ོས་) ཐི​ིག་དུམ་ AF དང་ EC ཡི​ིས་ཐི​ིག་དུམ་ BD ཆ་སྙོ​ོམས་

དུམ་བུ་གསུམ་ལ་བགོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་སྟོ​ོན།

F

C

P Q A

E

B

དཔེ་རིས་ ༨་༣༡

༦། དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་གཏད་མཐའི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་ལ་མཐུད་པའི​ི་ཐི​ིག་དུམ་གཉི​ིས་ཕན་ཚུན་མཉམ་བགོ​ོད་ བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་སྟོ​ོན།

༧། ABC ནི​ི་ C ལ་དྲང་ཟུར་ཡོ​ོད་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་ཡི​ིན། གསེ​ེག་ཐི​ིག་ AB ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་ M བརྒྱུད་ པ་དང་ BC ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་དེ​ེ་ D བརྒྱུད་ AC ལ་སྣོ​ོལ་གྱི​ི་ཡོ​ོད། གཤམ་གསལ་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན། (ཀ) D ནི​ི་ AC ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་རེ​ེད། (ཁ) MD

AC

(ག) CM = MA = 1 AB 2

༨་༧ སྙི​ིང་བསྡུས།

སློ​ོབ་ཚན་འདི​ིར་གཤམ་གསལ་གནད་དོ​ོན་ཁག་སྦྱངས་ཡོ​ོད།

༡། དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ནང་ཟུར་གྱི​ི་བསྡོ​ོམས་གྲངས་ནི​ི་ 360o རེ​ེད།

༢། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་གཏད་ཐི​ིག་གི​ིས་དེ​ེ་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་སུ་བགོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། ༣། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ནང་།

(ཀ) གཏད་མཐའ་རྣམས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན། (ཁ) གཏད་ཟུར་རྣམས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན།

(ག) གཏད་ཐི​ིག་ཕན་ཚུན་མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

༤། དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་རེ​ེད། གལ་ཏེ​ེ། (ཀ) གཏད་མཐའ་རྣམས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པ། ཡང་ན། (ཁ) གཏད་ཟུར་རྣམས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པ། ཡང་ན།

(ག) གཏད་ཐི​ིག་ཕན་ཚུན་མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ། ཡང་ན།

(ང) གཏད་མཐའ་ཆ་གཅི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས་དང་མཉམ་འགྲོ​ོ་རེ​ེད།

༥། གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོའི་ི གཏད་ཐི​ིག་གཉི​ིས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པ་དང་ཕན་ཚུན་མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་དང་། དེ​ེ་གོ​ོ་རི​ིམ་ལྡོ​ོག་པའང་རེ​ེད།

146

དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ

༦། གཟེ​ེ་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་གཏད་ཐི​ིག་གཉི​ིས་ཕན་ཚུན་དྲང་ཟུར་ཐོ​ོག་མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་དང་། དེ​ེ་གོ​ོ་རི​ིམ་ལྡོ​ོག་ པའང་རེ​ེད།

༧། གྲུ་བཞི​ི་ཁ་གང་མའི​ི་གཏད་ཐི​ིག་གཉི​ིས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པ་དང་ཕན་ཚུན་དྲང་ཟུར་ཐོ​ོག་མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་དང་། དེ​ེ་གོ​ོ་རི​ིམ་ལྡོ​ོག་པའང་རེ​ེད།

༨། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མཐའ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་མཐུད་པའི​ི་ཐི​ིག་དུམ་དེ​ེ་མཐའ་གསུམ་པ་དང་མཉམ་འགྲོ​ོ་རེ​ེད།

༩། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མཐའ་གཅི​ིག་གི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་བརྒྱུད་པའི​ི་ཐི​ིག་དེ​ེ་མཐའ་གཞན་ཞི​ིག་ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་དང་མཐའ་ གསུམ་པར་མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

༡༠། དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་མཐའི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་རྣམས་གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་མཐུད་དེ​ེ་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་གྲུབ་ཀྱི​ི་ ཡོ​ོད།

147

༩

མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་དང་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན། Areas of Parallelograms and Triangles ༩་༡ ངོ་སྤྲོད།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་སློ​ོབ་ཚན་ལྔ་པའི​ི་ནང་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པའི​ི་ཞི​ིབ་འཇུག་དེ​ེ་ས་ཞི​ིང་གི​ི་ས་མཚམས་བསྐྱར་བཟོ​ོ་བྱེ​ེད་ པའི​ི་བྱ་རི​ིམ་ནང་ས་གཞི​ིའི​ི་ཚད་འཇལ་ནས་འབྱུང་བ་མཐོ​ོང་ཡོ​ོད།

དཔེ​ེར་ན། ཞི​ིང་པ་ཞི​ིག་ལ་ས་ཞི​ིང་ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་ཡོ​ོད་པ་དེ​ེ། ཁོ​ོ་མོ​ོའི་ི བུ་མོ​ོ་གཉི​ིས་དང་བུ་གཅི​ིག་ལ་བགོ​ོ་དགོ​ོས། རྒྱ་ཁྱོ​ོན་མ་སྤྱད་པར་ཁོ​ོ་མོ​ོས་ས་ཞི​ིང་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཕྱོ​ོགས་གཅི​ིག་དུམ་བུ་གསུམ་ལ་ཆ་སྙོ​ོམས་བགོ​ོས་པ་དང་། ཆ་ བགོ​ོས་ཀྱི​ི་གནས་གཉི​ིས་ཁ་གཏད་ཀྱི​ི་ཟུར་ཚེ​ེག་ལ་མཐུད་པ་རེ​ེད། ཐབས་ལམ་འདི​ིའི​ི་ནང་ས་ཞི​ིང་དེ​ེ་དུམ་བུ་གསུམ་ ནང་བགོ​ོས་པ་དང་། ཕྲུ་གུ་རེ​ེ་ལ་དུམ་བུ་རེ​ེ་སྤྲད་པ་རེ​ེད། འདི​ིར་ས་ཞི​ིང་དུམ་བུ་གསུམ་གྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གཅི​ིག་མཚུངས་ ཡི​ིན་ནམ། དྲི​ི་བ་འདི​ི་རི​ིགས་དང་འབྲེ​ེལ་བའི​ི་དཀའ་རྙོ​ོག་གཞན་ལ་ལན་འདེ​ེབས་ཆེ​ེད། འཛི​ིན་གྲྭ་སྔ་མར་སྦྱངས་ཟི​ིན་ པའི​ི་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་དཔེ​ེ་རི​ིས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ལ་བསྐྱར་ཞི​ིབ་བྱེ​ེད་དགོ​ོས།

སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་སྟེ​ེང་ཟུམ་དབྱི​ིབས་དཀྱུས་མས་འཐུམ་པའི​ི་ཁུལ་ལ་གནས་མཐུན་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཁུལ་ (planar region) ཟེ​ེར། སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཁུལ་འདི​ིའི​ི་ཆ་ཚད་དམ་ཡང་ན་འཇལ་ཚད་ལ་དེ​ེའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ཟེ​ེར། ཆ་ཚད་དམ་ཡང་ན་

འཇལ་ཚད་ནི​ི་གྲངས་ (ཚད་གཞི​ི་ཞི​ིག་གི​ི་ནང་) ཤི​ིག་སྤྱད་དེ​ེ་མཚོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད། དཔེ​ེར་ན། 5 cm2, 8 m2, ཧེ​ེག་ཊར་ 3 སོ​ོགས།

དེ​ེས་ན།

དབྱི​ིབས་ཤི​ིག་གི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ནི​ི་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་སྟེ​ེང་དཔེ​ེ་རི​ིས་ཀྱི​ི་འཐུམ་པའི​ི་ཆ་ཤས་དང་འབྲེ​ེལ་བའི​ི་

གྲངས་ (ཚད་གཞི​ི་ཞི​ིག་གི​ི་ནང་) ཤི​ིག་རེ​ེད།

ང་ཚོ​ོས་སློ​ོབ་ཚན་བདུན་པ་དང་འཛི​ིན་གྲྭ་སྔ་མའི​ི་

A

B

ནང་ཡོ​ོངས་མཚུངས་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་གོ​ོ་དོ​ོན་སྦྱངས་ཟི​ིན།

དཔེ​ེ་རི​ིས་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་དབྱི​ིབས་དང་ཆེ​ེ་ཆུང་མཚུངས་ ན་དེ​ེ་གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་རེ​ེད།

ཚི​ིག་གཞན་

ནང་། གལ་སྲི​ིད་དཔེ​ེ་རི​ིས་ A དང་ B གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་

དཔེ་རིས་ ༩་༡

མཚུངས་ (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༡ ལ་ལྟོ​ོས་) ཡི​ིན་ན། རྩེ​ེག་ཤོ​ོག་སྤྱད་དེ​ེ་དཔེ​ེ་རི​ིས་གཅི​ིག་གཞན་གྱི​ི་ཐོ​ོག་ལ་བརྩེ​ེགས་ན་ཕན་ཚུན་ཆ་ ཚང་ཁེ​ེབས་ཀྱི​ི་རེ​ེད། དཔེ​ེ་རི​ིས་ A དང་ B གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཡི​ིན་པས། དེ​ེ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་མཚུངས་དགོ​ོས།

ཡི​ིན་ནའང་། བརྗོ​ོད་པ་འདི​ིའི་ི ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་ནི​ི་མི​ི་བདེ​ེན། ཚི​ིག་གཞན་ནང་། རྒྱ་ཁྱོ​ོན་མཚུངས་པའི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ནི​ི་ཡོ​ོ​ོངས་ མཚུངས་ཡི​ིན་པའི​ི་ངེ​ེས་པ་མེ​ེད།

མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་དང་ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ

དཔེ​ེར་ན། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༢ ནང་གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་ ABCD དང་ EFGH ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ (9 × 4 cm2 དང་ 6 × 6 cm2) མཚུངས་ཀྱང་། དེ​ེ་དག་ཡོ​ོངས་མཚུངས་མི​ིན་པ་གསལ་པོ​ོ་རེ​ེད། A

9 cm

E

B

4 cm

6 cm

F

6 cm

D

C

H

G

དཔེ་རིས་ ༩་༢

འོ​ོག་གི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༣ ལ་ལྟོ​ོས།

T Q

P དཔེ་རིས་ ༩་༣

འདི​ིར་དཔེ​ེ་རི​ིས་ T ལས་གྲུབ་པའི​ི་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཁུལ་ནི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ P དང་ Q ཡི​ི་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཁུལ་གཉི​ིས་ལས་གྲུབ་པ་ ཡི​ིན། དེ​ེས་ན། དཔེ​ེ་རི​ིས་ T ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ = དཔེ​ེ་རི​ིས་ P ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ + དཔེ​ེ་རི​ིས་ Q ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན།

དཔེ​ེ་རི​ིས་ A ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ནི​ི་ ar(A) དང་། དཔེ​ེ་རི​ིས་ B ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ནི​ི་ ar(B) དཔེ​ེ་རི​ིས་ T ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ནི​ི་ ar(T) བཅས་ལྟར་མཚོ​ོན། དཔེ​ེ་རི​ིས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ནི​ི་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་སྟེ​ེང་དཔེ​ེ་རི​ིས་ཀྱི​ིས་ཟི​ིན་པའི​ི་ཁུལ་དང་འབྲེ​ེལ་བའི​ི་གྲངས་ (ཚད་གཞི​ི་ཞི​ིག་གི​ི་ནང་) ཤི​ིག་རེ​ེད།

གཤམ་གསལ་ནི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་དང་འབྲེ​ེལ་བའི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་གཉི​ིས་ཡི​ིན།

(༡) གལ་སྲི​ིད་ A དང་ B ནི​ི་ཡོ​ོངས་མཚུངས་དཔེ​ེ་རི​ིས་གཉི​ིས་ཡི​ིན་ན། ar(A) = ar(B) དང་།

(༢) གལ་སྲི​ིད་དཔེ​ེ་རི​ིས་ T ལས་གྲུབ་པའི​ི་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཁུལ་ནི​ི་སྣོ​ོལ་ལྟེ​ེབ་མ་བརྒྱབ་པའི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ P དང་ Q ཡི​ི་

སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཁུལ་གཉི​ིས་ལས་གྲུབ་པ་ཡི​ིན་ན། ar(T) = ar(P) + ar(Q)

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འཛི​ིན་གྲྭ་སྔ་མ་ནས་གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་དང་། གྲུ་བཞི​ི་ཁ་གང་མ། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ། ཟུར་གསུམ་མ་ སོ​ོགས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གྱི​ི་ཆོ​ོ་ག་སྦྱངས་ཡོ​ོད། སློ​ོབ་ཚན་འདི​ིར་དཔེ​ེ་རི​ིས་འདི​ི་དག་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་ནང་འཕྲད་ཞབས་

མཚུངས་ཡོ​ོད་པའི​ི་གནས་སྟངས་འོ​ོག རྒྱ་ཁྱོ​ོན་དབར་གྱི​ི་འབྲེ​ེལ་བ་འགའ་སྦྱངས་ནས་དེ​ེ་དག་གི​ི་ཆོ​ོ་གའི​ི་ཤེ​ེས་བྱ་ལ་

ཕྱོ​ོགས་སྡོ​ོམ་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན། དཔྱད་ཞི​ིབ་འདི​ི་ནི​ི་འདྲ་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མཇུག་འབྲས་ལ་གོ​ོ་བ་ལེ​ེན་པར་བེ​ེད་ སྤྱོ​ོད་ཡོ​ོད།

149

རྩིས་རིག

༩་༢ མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་ནང་འཕྲད་ཞབས་མཚུངས་དབྱི​ིབས།

Figures on the same Base and Between the same Parallels གཤམ་གསལ་དཔེ​ེ་རི​ིས་ལ་ལྟོ​ོས་དང་། A

A

D

BE

(ཀ)

P

F

C

M S

D

Q

(ཁ)

A

B P

N B

R

C

(ག)

དཔེ་རིས་ ༩་༤

D

(ང)

C

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༤(ཀ) པའི​ི་ནང་། སྐས་དབྱི​ིབས་ ABCD དང་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ EFCD ལ་སྤྱི​ི་མཐའ་ DC ཡོ​ོད། སྐས་དབྱི​ིབས་ ABCD དང་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ EFCD ནི​ི་ཞབས་ཚུངས་ DC ཐོ​ོག་ཡོ​ོད། དེ​ེ་

མཚུངས། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༤(ཁ) པའི​ི་ནང་། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ PQRS དང་ MNRS ནི​ི་ཞབས་ཚུངས་ SR

དང་། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༤(ག) པའི​ི་ནང་། ཟུར་གསུམ་མ་ ABC དང་ DBC ནི​ི་ཞབས་ཚུངས་ BC དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༤(ང)

པའི​ི་ནང་། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD དང་ཟུར་གསུམ་མ་ PDC ནི​ི་ཞབས་ཚུངས་ DC སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད། གཤམ་གསལ་དཔེ​ེ་རི​ིས་ལ་ལྟོ​ོས་དང་། A

D

B E

(ཀ)

A

F

C

P M

S

(ཁ)

D A

Q N

B

R

དཔེ་རིས་ ༩་༥

(ག)

C

D

B

(ང)

P

C

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༥(ཀ) པའི​ི་ནང་། སྐས་དབྱི​ིབས་ ABCD དང་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ EFCD ནི​ི་སྤྱི​ི་མཐའ་ DC

སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད་པ་གསལ་པོ​ོ་རེ​ེད། གཞན་ཡང་། ཞབས་ DC ཡི​ི་ཁ་གཏད་ཟུར་ཚེ​ེག་ A དང་ B (སྐས་དབྱི​ིབས་ ABCD ཡི​ི་) དང་ཞབས་ DC ཡི​ི་ཁ་གཏད་ཟུར་ཚེ​ེག་ E དང་ F (མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD ཡི​ི་) ནི​ི་ཐི​ིག་ AF སྟེ​ེང་ལ་

ཡོ​ོད་པ་དེ​ེ་ DC དང་མཉམ་འགྲོ​ོ་རེ​ེད། སྐས་དབྱི​ིབས་ ABCD དང་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ EFCD ནི​ི་ཞབས་

མཚུངས་ DC དང་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ AF དང་ DC ལ་ནང་འཕྲད་རེ​ེད། དེ​ེ་མཚུངས། PQRS ཡི​ི་ཟུར་ཚེ​ེག་ P དང་ Q དང་ MNRS ཡི​ི་ཟུར་ཚེ​ེག་ M དང་ N ནི​ི་ཐི​ིག་ PN སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད་པ་དེ​ེ་ཞབས་ RS དང་མཉམ་འགྲོ​ོ་

ཡི​ིན་པས། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ PQRS དང་ MNRS ནི​ི་ཞབས་མཚུངས་ SR དང་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ PN དང་ SR ལ་ནང་འཕྲད་རེ​ེད། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༥(ཁ)] འདི​ི་ལྟར། ཟུར་གསུམ་མ་ ABC དང་ DBC ནི​ི་ཞབས་མཚུངས་

BC དང་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ AD དང་ BC ལ་ནང་འཕྲད་ཡི​ིན་པ་ [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༥(ག)] དང་། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་

བཞི​ི་མ་ ABCD དང་ཟུར་གསུམ་མ་ PCD ནི​ི་ཞབས་མཚུངས་ DC དང་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ AP དང་ DC ལ་ ནང་འཕྲད་རེ​ེད། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༥(ང)]

དེ​ེས་ན། དཔེ​ེ་རི​ིས་གཉི​ིས་ལ་ཐུན་མོ​ོང་གི​ི་ཞབས་(མཐའ་)དང་དཔེ​ེ་རི​ིས་རེ​ེའི་ི ཐུན་མོ​ོང་གི​ི་ཞབས་ཀྱི​ི་ཁ་གཏད་ཟུར་ཚེ​ེག་

150

མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་དང་ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ

རྣམས་ཞབས་ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་ཅི​ིག་གི​ི་སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད་ན། འཕྲད་ཞབས་མཚུངས་རེ​ེད།

དཔེ​ེ་རི​ིས་དེ​ེ་གཉི​ིས་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་ནང་

P

l

E

D

Q

R

(ཀ)

H

A E D

F

M

N G

(ཁ)

དཔེ་རིས་ ༩་༦

(ག)

B F C

གོ​ོང་གི​ི་བརྗོ​ོད་པ་ལས། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༦(ཀ) པའི​ི་ ∆PQR དང་ ∆DQR ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་ l དང་ QR ལ་ ནང་འཕྲད་ཡི​ིན་པ་ཤོ​ོད་མི​ི་ཐུབ། དེ​ེ་མཚུངས། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༦(ཁ) པའི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ EFGH དང་

MNGH ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་ EF དང་ HG ལ་ནང་འཕྲད་ཡི​ིན་པ་དང་། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༦(ག) པའི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་ བཞི​ི་མ་ ABCD དང་ EFCD ནི​ི་མཉམ་ འགྲོ​ོ་ AB དང་ DC ལ་ནང་འཕྲད་ཡི​ིན་པ་

m

ཤོ​ོད་མི​ི་ཐུབ། (དེ​ེ་དག་ཐུན་མོ​ོང་གི​ི་ཞབས་ DC དང་མཉམ་ འགྲོ​ོ་ AD དང་ BC ཡི​ི་དབར་ལ་གནས་མེ​ེད་པས) དེ​ེས་

ན།

B

མཉམ་འགྲོ​ོ་གཉི​ིས་ལས་གཅི​ིག་ཐུན་མོ​ོང་

AD

(ཀ)

གི​ི་ཞབས་ཐི​ིག་ཡི​ིན་པ་དོ​ོ་སྣང་བྱེ​ེད་དགོ​ོས།

E

C དཔེ་རིས་ ༩་༧

P C B S (ཁ)

Q A R

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༧(ཀ) པའི​ི་ ∆ABC དང་ ∆DBE ལ་ཐུན་མོ​ོང་གི​ི་ཞབས་མེ​ེད་པ་དོ​ོ་སྣང་བྱོ​ོས། དེ​ེ་མཚུངས། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༧(ཁ) པའི​ི་ ∆ABC དང་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ PQRS ལ་ཐུན་མོ​ོང་གི​ི་ཞབས་མེ​ེད།

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༩་༡

༡། གཤམ་གསལ་དཔེ​ེ་རི​ིས་ལས་གང་དག་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་ནང་འཕྲད་ཞབས་མཚུངས་ཡི​ིན་ནམ། དེ​ེ་དག་གི​ི་ཐུན་ མོ​ོང་གི​ི་ཞབས་དང་མཉམ་འགྲོ​ོ་གཉི​ིས་བྲི​ིས། A

D

P

(ཀ)

A R D

(ང)

B

C B P Q C

P S A

M (ཁ)

D (ཅ)

དཔེ་རིས་ ༩་༨

151

Q

N R

B P C Q

P T S

Q (ག)

R

P A B Q

S D C R (ཆ)

རྩིས་རིག

༩་༣ མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་ནང་འཕྲད་ཞབས་མཚུངས་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ།

Quadrilaterals on the same Base and Between the same Parallels ང་ཚོ​ོས་མཉམ་འགྲོ​ོ ་ ཐི​ིག ་ལ་ནང་འཕྲད་ཡི​ིན ་པའི​ི་ ཞབས་མཚུངས་མཉམ་འགྲོ​ོ ་ མཐའ་བཞི​ི་ མ་གཉི​ིས ་ཀྱི​ི་ དབར་ འབྲེ​ེལ་བ་ཡོ​ོད་ན་དེ​ེ་འཚོ​ོལ་རྒྱུ་ཡི​ིན། འདི​ིའི​ི་ཆེ​ེད་ང་ཚོ​ོས་གཤམ་གསལ་བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་སྒྲུབ་ཀྱི​ི་ཡི​ིན།

བྱེ​ེད་སྒོ​ོ། ༡ དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༩ ནང་བསྟན་པ་བཞི​ིན་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD དང་ PQCD གཉི​ིས་ཐི​ིག་རི​ིས་ སྟེ​ེང་བྲི​ིས།

འདི​ིར་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་གཉི​ིས་

མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ PB དང་ DC ལ་ནང་འཕྲད་དང་

P

ཞབས་མཚུངས་ DC སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གྲུ་བཞི​ི་མ་ བགྲངས་ནས་མཉམ་འགྲོ​ོ ་ མཐའ་བཞི​ི་ མ་འདི​ི་ གཉི​ིས ་

A

Q

D

B

C

ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་འཚོ​ོལ་ཐབས་དྲན་གསོ​ོ་གྱི​ིས་དང་།

དཔེ་རིས་ ༩་༩

ཐབས་ལམ་འདི​ིར། རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ནི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ཀྱི​ིས་ཁེ​ེབས་པའི​ི་གྲུ་བཞི​ི་མ་གང་ཚང་གི​ི་གྲངས་དང་། དཔེ​ེ་རི​ིས་ནང་གྲུ་བཞི​ི་ མའི​ི་ཆ་ཤས་ཕྱེ​ེད་ཀ་ལས་ཆེ​ེ་བ་ཁེ​ེབས་པའི​ི་གྲངས།

དཔེ​ེ་རི​ིས་ནང་གྲུ་བཞི​ི་མའི​ི་ཆ་ཤས་ཕྱེ​ེད་ཀ་ཁེ​ེབས་པའི​ི་གྲངས་

བཅས་བགྲངས་ནས་བཙལ་ཐུབ། དཔེ​ེ་རི​ིས་ནང་ཆ་ཤས་ཕྱེ​ེད་ཀ་ལས་ཉུང་བ་ཁེ​ེབས་པའི​ི་གྲུ་བཞི​ི་མ་རྣམས་བརྩི​ི་མི​ི་

དགོ​ོས། ཁྱེ​ེད་ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་གཉི​ིས་ཀའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ 21 cm2 (ཉེ​ེ་མཚུངས་) ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་རེ​ེད། ཐི​ིག་རི​ིས་ཤོ​ོག་ བུའི​ི་སྟེ​ེང་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ཆ་གཞན་བྲི​ིས་ཏེ​ེ་བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་འདི​ི་བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱོ​ོས། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དོ​ོ་སྣང་གང་བྱུང་

ངམ། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གཅི​ིག་མཚུངས་རེ​ེད་དམ། རེ​ེད། དེ​ེས་ན། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་མཉམ་འགྲོ​ོ་

ཐི​ིག་ལ་ནང་འཕྲད་དང་ཞབས་མཚུངས་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པ་མཐའ་ སྡོ​ོམ་བྱེ​ེད་ཐུབ། འདི​ི་ནི​ི་བཤེ​ེར་རྩི​ིས་ཙམ་ཞི​ིག་ཡི​ིན་པ་ཤེ​ེས་དགོ​ོས། བྱེ​ེད་སྒོ​ོ། ༢

ཤོ​ོག་བུ་མཐུག་པོ​ོ་ཞི​ིག་གི​ི་སྟེ​ེང་དུ་མཉམ་འགྲོ​ོ་

A

E

B

མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD བྲི​ིས། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༡༠ ནང་བསྟན་

པ་བཞི​ིན་ཐི​ིག་དུམ་ DE བྲི​ིས། དེ​ེ་ནས་རྩེ​ེག་ཤོ​ོག་སྤྱད་དེ​ེ་

D

ཤོ​ོག་བུ་གཞན་ཞི​ིག་ནས་ཟུར་གསུམ་མ་ ADE ཡི​ི་ཡོ​ོངས་

མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་ A'D'E' དྲས་ཏེ​ེ། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༡༡ ནང་བསྟན་པ་བཞི​ིན་ ∆ A'D'E' ཡི​ི་ A'D' ནི​ི་ BC ཐོ​ོག་

དཔེ་རིས་ ༩་༡༠

A

E

C

(A') B

འཁེ​ེལ་བ་ཞོ​ོག མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ AE' དང་ DC ལ་ནང་

འཕྲད་དང་ཞབས་མཚུངས་ DC ཐོ​ོག་ཡི​ིན་པའི​ི་མཉམ་ འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD དང་ EE'CD བཅས་གཉི​ིས་ ཡོ​ོད། དེ​ེ་དག་གི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་སྐོ​ོར་གང་བཤད་ཐུབ་བམ།

152

D

དཔེ་རིས་ ༩་༡༡

(D') C

E'

ཡི​ིན་པས།

དང་།

མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་དང་ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ

∆ ADE

∆ A'D'E'

ar (ADE) = ar (A'D'E') ar (ABCD) = ar (ADE) + ar (EBCD)

= ar (A'D'E') + ar (EBCD)

= ar (EE'CD)

དེ​ེས་ན། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གཅི​ིག་མཚུངས་རེ​ེད།

ང་ཚོ​ོས་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་གཉི​ིས་དབར་གྱི​ི་འབྲེ​ེལ་བ་འདི​ི་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༩་༡ མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་ནང་འཕྲད་དང་ཞབས་མཚུངས་ཡི​ིན་པའི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་རྣམས་ཀྱི​ི་

རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གཅི​ིག་མཚུངས་རེ​ེད།

ཁུངས་སྐྱེ​ེལ། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD དང་ EFCD

A

E

B

F

གཉི​ིས་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ AF དང་ DC ལ་ནང་འཕྲད་དང་ཞབས་ མཚུངས་ DC སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད་པ་སྤྲད་ཡོ​ོད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༡༢ ལ་ལྟོ​ོས་)

ང་ཚོ​ོས་ ar (ABCD) = ar (EFCD) ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་དགོ​ོས། ∆ ADE དང་ ∆ BCF ནང་། DAE = AED =

C

(༡)

BFC (ED || FC ལས་གནས་མཐུན་ཟུར་དང་གསེ​ེག་ཐི​ིག་ AF)

(༢)

AD = BC (མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD ཡི​ི་གཏད་མཐའ།)

(༤)

ADE =

དེ​ེས་ན།

∆ ADE

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

དཔེ་རིས་ ༩་༡༢

CBF (AD || BC ལས་གནས་མཐུན་ཟུར་དང་གསེ​ེག་ཐི​ིག་ AF)

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། དང་།

D

BCF

(ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ནང་ཟུར་བསྡོ​ོམས་གྲངས།)

∆ BCF

(༣)

[ASA ཆ་རྐྱེ​ེན་དང་ (༡), (༣), (༤) ལས། ]

ar (ADE) = ar (BCF) (ཡོ​ོངས་མཚུངས་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་མཚུངས།)

ar (ABCD) = ar (ADE) + ar (EDCB)

= ar (BCF) + ar (EDCB)

= ar (EFCD)

(༥)

[(༥) ལས།]

དེ​ེས་ན། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD དང་ EFCD ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གཅི​ིག་མཚུངས་རེ​ེད། གོ​ོང་གི​ི་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་སྤྱད་པའི​ི་རྩི​ིས་དཔེ​ེ་འགའ་ལ་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡ དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༡༣ ནང་། ABCD ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་དང་ EFCD ནི​ི་གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་ཡི​ིན་ པ་དང་། AL

DC གཤམ་གསལ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

153

རྩིས་རིག

(ཀ) ar (ABCD) = ar (EFCD)

E A

F

B

(ཁ) ar (ABCD) = DC × AL

ལན། (ཀ) གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོའང་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཡི​ིན་པས། ar (ABCD) = ar (EFCD)

(ཁ) གོ​ོང་གི​ི་གྲུབ་འབྲས་ལས།

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

D L

C དཔེ་རིས་ ༩་༡༣

ar (ABCD) = DC × FC (གྲུ་ནར་གྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན། = དཀྱུས། × ཞེ​ེང་།)

(༡)

AL = FC

(༢)

AL

དེ​ེས་ན།

(ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༩་༡)

DC ཡི​ིན་པས། AFCL གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་རེ​ེད།

[(༡) དང་ (༢) ལས།]

ar (ABCD) = DC × AL

གོ​ོ ང ་གི​ི་ རྩི​ིས ་དཔེ​ེ་ ལས་ མཉམ་འགྲོ​ོ ་ མཐའ་བཞི​ི་ མའི​ི་ རྒྱ་ཁྱོ​ོ ན ་ནི​ི་ དེ​ེའི​ི་ མཐའ་གང་རུང་ཞི​ིག ་དང་གནས་མཐུན་

དཔངས་ཀྱི​ི་བསྒྱུར་ཐོ​ོབ་ཡི​ིན་པ་མཐོ​ོང་ཐུབ། དྲན་གསོ​ོ་བྱོ​ོས་དང་། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ཆོ​ོ་ག་འདི​ི་ འཛི​ིན་རི​ིམ་བདུན་པར་སྦྱངས་ཡོ​ོད། ཆོ​ོ་ག་འདི​ི་ལ་གཞི​ིགས་པས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༩་༡ ནི​ི་གཤམ་གསལ་ལྟར་བསྐྱར་ འབྲི​ི་བྱེ​ེད་ཐུབ།

མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་ནང་འཕྲད་ཞབས་མཚུངས་སམ་ཡང་ན་ཞབས་མཉམ་པའི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་རྒྱ་ ཁྱོ​ོན་གཅི​ིག་མཚུངས་རེ​ེད།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གོ​ོང་གི​ི་བརྗོ​ོད་པའི​ི་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་འབྲི​ི་ཐུབ་བམ། དེ​ེ་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡི​ིན། ཞབས་མཚུངས་ (ཡང་ན་ཞབས་ མཉམ་པ་) དང་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་མཚུངས་པའི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་ནང་འཕྲད་རེ​ེད།

ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་འདི​ི་བདེ​ེན་པ་རེ​ེད་དམ། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གྱི​ི་ཆོ​ོ་ག་སྤྱད་དེ​ེ་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་འདི​ི་ཁུངས་ སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༢

གལ་སྲི​ིད་ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་དང་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་བཅས་གཉི​ིས་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་

ནང་འཕྲད་དང་ཞབས་མཚུངས་ཡི​ིན་ན། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གྱི​ི་ཕྱེ​ེད་ ཀ་ཡི​ིན་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

ལན། ∆ ABP དང་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD ནི​ི་མཉམ་ འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ AB དང་ PC ལ་ནང་འཕྲད་དང་ཞབས་མཚུངས་ AB སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད་པ་ཆ་ཞོ​ོག། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༡༤ ལ་ལྟོ​ོས་)

ང་ཚོ​ོས་ ar (PAB) = 1 ar (ABCD) ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་དགོ​ོས།

P

D

Q

C

B

A དཔེ་རིས་ ༩་༡༤

2 BQ || AP བྲི​ིས་ཏེ​ེ་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་གཞན་ ABQP འཐོ​ོབ་པར་གྱི​ིས། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABQP

དང་ ABCD ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ AB དང་ PC ལ་ནང་འཕྲད་དང་ཞབས་མཚུངས་ AB སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད།

154

མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་དང་ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

ar (ABQP) = ar (ABCD)

ཡི​ིན་ནའང་།

∆ PAB

དེ​ེས་ན།

(གཏད་ཐི​ིག་ PB ཡི​ིས་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABQP ནི​ི་

ar (PAB) = ar (BQP)

ar (PAB) =

1 ar (ABQP) 2

ar (PAB) =

1 ar (ABCD) 2

DC, CF

(༣)

A

B

[(༡) དང་ (༣) ལས།]

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༩་༢

AD རེ​ེད། གལ་སྲི​ིད་ AB = 16 cm དང་

F

AE = 8 cm, CF = 10 cm ཡི​ིན་ན། AD ཚོ​ོལ།

༢། གལ་སྲི​ིད་ E དང་ F, G, H ནི​ི་གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་

D E

C དཔེ་རིས་ ༩་༡༥

བཞི​ི་མ་ ABCD ཡི​ི་མཐའི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་ཡི​ིན་ན། ar (EFGH) =

(༢)

[(༢) ལས།]

༡། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༡༥ ནང་། ABCD ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་དང་ AE

(༡)

ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་སུ་བགོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།)

དེ​ེས་ན།

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

∆ BQP

(ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༩་༡ ལས།)

1 ar (ABCD) ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན། 2

༣། P དང་ Q ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ ABCD ཡི​ི་མཐའ་ DC དང་ AD སོ​ོ་སོ​ོའི་ི སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་གཉི​ིས་ རེ​ེད། ar (APB) = ar (BQC) ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

༤། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༡༦ ནང་། P ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ ABCD ཡི​ི་

A

ནང་རོ​ོལ་གྱི​ི་གནས་ཤི​ིག་རེ​ེད། གཤམ་གསལ་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན། (ཀ) ar (APB) + ar (PCD) = 1 ar (ABCD) 2

(ཁ) ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD)

P D

[བརྡ་སྟོ​ོན། P བརྒྱུད་ AB ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་ཅི​ིག་བྲི​ིས།]

༥། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༡༧ ནང་། PQRS དང་ ABRS ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་ བཞི​ི་མ་ཡི​ིན་པ་དང་ X ནི​ི་མཐའ་ BR སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་ཤི​ིག་རེ​ེད། གཤམ་གསལ་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

(ཀ) ar (PQRS) = ar (ABRS)

(ཁ) ar (AXS) = 1 ar (PQRS) 2

P

དཔེ་རིས་ ༩་༡༦

A

C

B

Q X

S

155

B

དཔེ་རིས་ ༩་༡༧

R

རྩིས་རིག

༦། ནོ​ོར་འཛི​ིན་ལ་ས་ཞི​ིང་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ PQRS ཡི​ི་རྣམ་པར་ཡོ​ོད། ཁོ​ོ་མོ​ོས་ RS སྟེ​ེང་གནས་གང་རུང་ A ཞི​ིག་བླངས་ཏེ​ེ། དེ​ེ་གནས་ P དང་ Q ལ་མཐུད་པ་རེ​ེད། ས་ཞི​ིང་འདི​ི་ཆ་ཤས་ག་ཚོ​ོད་ནང་བགོ​ོས་འདུག་གམ།

ཆ་ཤས་འདི​ི་དག་གི​ི་དབྱི​ིབས་གང་ཡི​ིན་ནམ། ནོ​ོར་འཛི​ིན་གྱི​ིས་ས་ཞི​ིང་སྟེ​ེང་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གཅི​ིག་མཚུངས་སུ་གྲོ​ོ་དང་ སྲན་མ་སོ​ོ་སོ​ོར་འདེ​ེབས་འཆར་ཡོ​ོད་ན། དེ​ེ་ཇི​ི་ལྟར་བྱ་དགོ​ོས་སམ།

༩་༤ མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་ནང་འཕྲད་དང་ཞབས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ།

Triangles on the same Base and Between the same Parallels དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༡༨ ནང་། ཟུར་གསུམ་མ་ ABC དང་ PBC གཉི​ིས་ནི​ི་མཉམ་ A འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ BC དང་ AP ལ་ནང་འཕྲད་དང་ཞབས་མཚུངས་ BC སྟེ​ེང་

ལ་ཡོ​ོད། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཟུར་གསུམ་མ་དེ​ེ་འདྲའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་སྐོ​ོར་གང་བཤད་ཐུབ་

P

C

B

བམ། དྲི​ི་བ་འདི​ིའི​ི་ལན་འདེ​ེབས་སུ་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཐི​ིག་རི​ིས་ཤོ​ོག་

དཔེ་རིས་ ༩་༡༨

བུའི​ི་སྟེ​ེང་དུ་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་ནང་འཕྲད་དང་ཞབས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཆ་འགའ་བྲི​ིས་ཏེ​ེ་གྲུ་བཞི​ི་མ་ བགྲང་བའི​ི་ཐབས་ལམ་ལས་དེ​ེ་དག་གི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་འཚོ​ོལ་ཐུབ།

ཁྱེ​ེད་ལ་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གཅི​ིག་མཚུངས་ (ཉེ​ེ་མཚུངས་) འཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་རེ​ེད། བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་འདི​ི་དབྱི​ིབས་པང་ སྤྱད་ནས་ཀྱང་སྒྲུབ་ཐུབ།

A

གོ​ོ ང ་གི​ི་ དྲི​ི་ བར་རྒྱུ་མཚན་ལྡན་པའི​ི་ ལན་འཐོ​ོ བ ་ཆེ​ེད ་གཤམ་ གསལ་ལྟར་བྱེ​ེད་ཐུབ།

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༡༨ ནང་། D དང་ R ཐི​ིག་ AP སྟེ​ེང་གནས་པར་

P

D

R

C

B

དཔེ་རིས་ ༩་༡༩

CD || BA དང་ CR || BP བྲི​ིས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༡༩ ལ་ལྟོ​ོས།)

འདི​ི་ལས། ཁྱེ​ེད་ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ PBCR དང་ ABCD གཉི​ིས་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ BC དང་ AR ལ་ ནང་འཕྲད་དང་ཞབས་མཚུངས་ BC སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད་པ་ཐོ​ོབ། དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

ar (ABCD) = ar (PBCR)

(ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

དེ​ེས་ན། ar (ABC) = 1 ar (ABCD) དང་ ar (PBC) = 1 ar (PBCR)

(ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

∆ ABC

∆ CDA དང་ ∆ PBC 2

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

∆ CRP 2

ar (ABC) = ar (PBC)

འདི​ི་ལྟར་ང་ཚོ​ོར་གཤམ་གསལ་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ལ་ཐོ​ོབ།

(ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༩་༢ མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་ནང་འཕྲད་ཞབས་མཚུངས་ (ཡང་ན་ཞབས་མཉམ་པ་) ཡི​ིན་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་

གཉི​ིས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གཅི​ིག་མཚུངས་རེ​ེད།

156

མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་དང་ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ

ABCD ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཞི​ིག་ཡི​ིན་པ་དང་དེ​ེའི​ི་གཏད་ཐི​ིག་གཅི​ིག་ AC ཡི​ིན་པ་དང་ AN

རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༢༠ ལ་ལྟོ​ོས་) དེ​ེས་ན།

∆ ADC

(ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

∆ CBA

A

B

(ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

ar (ADC) = ar (CBA)

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

DC

1 ar (ABCD) 2 D N 1 དཔེ་རིས་ ༩་༢༠ = (DC × AN) (ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།) 2 དེ​ེས་ན། ∆ ADC ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ = 1 × ཞབས་ DC × གནས་མཐུན་དཔངས་ AN 2 ar (ADC) =

C

ཚི​ིག་གཞན་ནང་། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ནི​ི་དེ​ེའི་ི ཞབས་ (ཡང་ན་མཐའ་གང་རུང་) ཀྱི​ི་ཕྱེ​ེད་ཀ་དང་གནས་མཐུན་དཔངས་

ཀྱི​ི་བསྒྱུར་ཐོ​ོབ་རེ​ེད། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཆོ​ོ་ག་འདི​ི་འཛི​ིན་རི​ིམ་བདུན་པར་སྦྱངས་ཡོ​ོད། ཆོ​ོ་ག་འདི​ི་ལས་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཞབས་ཐུན་མོ​ོང་

བ་ (ཞབས་གཅི​ིག་མཚུངས་) དང་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་གནས་མཐུན་དཔངས་གཅི​ིག་ མཚུངས་ཡི​ིན་པ་མཐོ​ོང་ཐུབ།

གནས་མཐུན་དཔངས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡོ​ོང་ཆེ​ེད་ཟུར་གསུམ་མ་རྣམས་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མར་ནང་འཕྲད་ ཡི​ིན་དགོ​ོས། འདི​ི་ལས་ཁྱེ​ེད་ལ་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༩་༢ ཀྱི​ི་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་ཐོ​ོབ།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༩་༣ ཞབས་ཐུན་མོ​ོང་བ་ (ཞབས་གཅི​ིག་མཚུངས་) དང་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་

གཉི​ིས་ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་ནང་འཕྲད་རེ​ེད། རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༣

ཟུར་གསུམ་མའི​ི་དཀྱི​ིལ་ཐི​ིག་གི​ིས་དེ​ེ་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་སུ་

བགོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་སྟོ​ོན། ལན།

ABC ནི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་དང་ AD ནི​ི་དེ​ེའི​ི་དཀྱི​ིལ་ཐི​ིག་ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༢༡ ལ་ལྟོ​ོས་)

ང་ཚོ​ོས་ ar (ABD) = ar (ACD) ཡི​ིན་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་དགོ​ོས། རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གྱི​ི་ཆོ​ོ་གའི​ི་ནང་དཔངས་ཡོ​ོད་པས། ང་ཚོ​ོས་ AN

BC འབྲི​ི་དགོ​ོས།

ar (ABD) = 1 × ཞབས་ × དཔངས་ (∆ABD ཡི​ི་) 2 1 = × BD × AN B 2 = 1 × CD × AN (BD = CD ཡི​ིན་པས་) 2 = 1 × ཞབས་ × དཔངས་ (∆ACD ཡི​ི་) 2 = ar (ACD)

157

A

N D དཔེ་རིས་ ༩་༢༡

C

རྩིས་རིག

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༤ དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༢༢ ནང་། ABCD ནི​ི་དབྱི​ིབས་མཐའ་

B

བཞི​ི་མ་ཞི​ིག་ཡི​ིན་པ་དང་། BE || AC, DC བརྐྱངས་པས་ BE

ནི​ི་ E ལ་འཕྲད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། ∆ADE ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ནི​ི་དབྱི​ིབས་མཐའ་ བཞི​ི་མ་ ABCD ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་དང་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན། ལན།

A

D

C

E

དཔེ་རིས་ ༩་༢༢

དཔེ​ེ་རི​ིས་ལས། ∆ BAC དང་ ∆ EAC ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ AC དང་ BE ལ་ནང་འཕྲད་དང་ཞབས་མཚུངས་ AC སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

(ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༩་༢ ལས།)

ar (BAC) = ar (EAC)

དེ​ེས་ན། ar (BAC) + ar (ADC) = ar (EAC) + ar (ADC) ཡང་ན།

(ཕྱོ​ོགས་གཉི​ིས་ཀར་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གཅི​ིག་

མཚུངས་སྡོ​ོམ་པ།)

ar (ABCD) = ar (ADE)

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༩་༣

A

༡། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༢༣ ནང་། E ནི​ི་ ∆ ABC ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་ཐི​ིག་ AD

སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་ཤི​ིག་རེ​ེད། ar (ABE) = ar (ACE) ཡི​ིན་པ་

E

སྟོ​ོན།

༢། ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ནང་། E ནི​ི་དཀྱི​ིལ་ཐི​ིག་ AD ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་

B

གནས་རེ​ེད། ar (BED) = 1 ar (ABC) ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

D

དཔེ་རིས་ ༩་༢༣

4

༣། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་གཏད་ཐི​ིག་གི​ིས་དེ​ེ་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་མཉམ་ ༤།

པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་བཞི​ི་རུ་བགོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་སྟོ​ོན།

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༢༤ ནང་། ABC དང་ ABD ནི​ི་ཞབས་

མཚུངས་ AB སྟེ​ེང་གི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་རེ​ེད། ཐི​ིག་དུམ་ CD ནི​ི་ AB ཡི​ིས་ O ཐོ​ོག་མཉམ་བགོ​ོད་བྱས་ཡོ​ོད་ན། ar (ABC) = ar (ABD) ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

C

C

A

B

O

D དཔེ་རིས་ ༩་༢༤

༥། D དང་ E, F ནི​ི་གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་ ∆ABC ཡི​ི་མཐའ་ BC དང་ CA, AB བཅས་ཀྱི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་རེ​ེད། གཤམ་གསལ་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

(ཀ) BDEF ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་རེ​ེད།

158

(ཁ) ar (DEF) = 1 ar (ABC)

མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་དང་ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ

4

(ག) ar (BDEF) = 1 ar (ABC) 2

༦། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༢༥ ནང་། དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD ཡི​ི་གཏད་

A D

ཐི​ིག་ AC དང་ BD གཉི​ིས་ O ཐོ​ོག་བསྣོ​ོལ་པས་ OB = OD རེ​ེད། གལ་སྲི​ིད་ AB = CD ཡི​ིན་ན། གཤམ་གསལ་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

O

(ཀ) ar (DOC) = ar (AOB)

B

(ཁ) ar (DCB) = ar (ACB)

C

དཔེ་རིས་ ༩་༢༥

(ག) DA || CB ཡང་ན་ ABCD ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་རེ​ེད། [བརྡ་སྟོ​ོན། D དང་ B ནས་ AC ལ་དྲང་འཕྱང་བྲི​ིས།]

༧། D དང་ E ནི​ི་ ∆ABC ཡི​ི་མཐའ་ AB དང་ AC སོ​ོ་སོ​ོའི་ི སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་ཡི​ིན་པ་དང་། ar (DBC) = ar (EBC) རེ​ེད། DE || BC ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

༨། XY ནི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཡི​ི་མཐའ་ BC ཡི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་རེ​ེད། གལ་སྲི​ིད་ BE || AC དང་ CF || AB ནི​ི་ XY ཐོ​ོག་ E དང་ F སོ​ོ་སོ​ོར་འཕྲད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་ན། ar (ABE) = ar (ACF) ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

༩། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD ཡི​ི་མཐའ་ AB ནི​ི་གནས་ P

D

ལ་བརྐྱངས་ཡོ​ོད། A བརྒྱུད་པས་ CP ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་

དེ​ེ་ CB བརྐྱངས་པས་ Q ལ་འཕྲད་རྗེ​ེས། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་

C

A

མ་ PBQR གྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༢༦ ལ་ལྟོ​ོས།) ar (ABCD) = ar (PBQR) ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

P

B

R

Q

དཔེ་རིས་ ༩་༢༦

[བརྡ་སྟོ​ོན། AC དང་ PQ མཐུད། ar (ACQ) དང་ ar (APQ) སྡུར།]

༡༠། སྐས་དབྱི​ིབས་ ABCD ནང་ AB || DC དང་། གཏད་ཐི​ིག་ AC དང་ BD གཉི​ིས་ཕན་ཚུན་ O ཐོ​ོག་སྣོ​ོལ་ གྱི​ི་ཡོ​ོད། ar (AOD) = ar (BOC) ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

༡༡། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༢༧ ནང་། ABCDE ནི​ི་དབྱི​ིབས་མཐའ་ལྔ་མ་

རེ​ེད། B བརྒྱུད་པའི​ི་ AC ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་དེ​ེ་ DC བརྐྱངས་པས་ F ལ་འཕྲད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། གཤམ་གསལ་སྟོ​ོན། (ཀ) ar (ACB) = ar (ACF)

(ཁ) ar (AEDF) = ar (ABCDE)

A

B

D

C

E

དཔེ་རིས་ ༩་༢༧

159

F

རྩིས་རིག

༡༢། ནོ​ོར་བུ་ལ་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ས་ཞི​ིང་ཞི​ིག་ཡོ​ོད། ས་གནས་འགོ​ོ་འཛི​ིན་གྱི​ིས་ནོ​ོར་བུའི​ི་ས་ཞི​ིང་གི​ི་མཐའ་ གཅི​ིག་ནས་ཆ་ཤས་ཤི​ིག་སྨན་ཁང་གསར་རྒྱག་ཆེ​ེད་སྤྱོ​ོད་རྒྱུ་ཐག་གཅོ​ོད་བྱས་ཡོ​ོད།

ནོ​ོར་བུས་ཐག་གཅོ​ོད་དེ​ེར་

ངོ​ོས་ལེ​ེན་བྱེ​ེད་པར་ས་ཁྱོ​ོན་དེ​ེའི​ི་ཚབ་ཏུ་ཁོ​ོའི་ི ས་ཞི​ིང་གི​ི་ཉེ​ེ་འདབས་སུ་དེ​ེ་མཚུངས་ཀྱི​ི་ས་ཁྱོ​ོན་ཞི​ིག་སྤྲད་དེ​ེ། ས་ ཞི​ིང་ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་འགྲུབ་པའི​ི་ཆ་རྐྱེ​ེན་འཇོ​ོག་པ་རེ​ེད། ལས་འཆར་འདི​ི་ལག་བསྟར་བྱེ​ེད་སྟངས་སྐོ​ོར་འགྲེ​ེལ་ བཤད་གྱི​ིས།

༡༣། ABCD ནི​ི་སྐས་དབྱི​ིབས་ཤི​ིག་ཡི​ིན་པ་དང་ AB || DC རེ​ེད། AC ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་ཅི​ིག་ AB ཐོ​ོག་ X དང་ BC ཐོ​ོག་ Y ལ་འཕྲད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། ar (ADX) = ar (ACY) ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན། [བརྡ་སྟོ​ོན། CX མཐུད།]

A

༡༤། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༢༨ ནང་། AP || BQ || CR རེ​ེད། ar (AQC) = ar (PBR) ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

P

B

༡༥། དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ ABCD ཡི​ི་གཏད་ཐི​ིག་

Q

C

R

AC དང་ BD གཉི​ིས་ཕན་ཚུན་ O ཐོ​ོག་འཕྲད་

དཔེ་རིས་ ༩་༢༨

ནི​ི་སྐས་དབྱི​ིབས་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

A

པས་ ar (AOD) = ar (BOC) རེ​ེད། ABCD

༡༦། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༩་༢༩ ནང་། ar (DRC) = ar (DPC) དང་ ar (BDP) = ar (ARC) རེ​ེད། དབྱི​ིབས་ མཐའ་བཞི​ི་མ ABCD དང་ DCPR གཉི​ིས་སྐས་ དབྱི​ིབས་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

B

D

C

R

P དཔེ་རིས་ ༩་༢༩

༩་༥ སྙི​ིང་བསྡུས།

སློ​ོབ་ཚན་འདི​ིར་གཤམ་གསལ་གནད་དོ​ོན་ཁག་སྦྱངས་ཡོ​ོད།

༡། དབྱི​ིབས་ཤི​ིག་གི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ནི​ི་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་སྟེ​ེང་དཔེ​ེ་རི​ིས་ཀྱི​ི་འཐུམ་པའི​ི་ཆ་ཤས་དང་འབྲེ​ེལ་བའི​ི་གྲངས་ (ཚད་གཞི​ི་ཞི​ིག་ གི​ི་ནང་) ཤི​ིག་རེ​ེད།

༢། ཡོ​ོངས་མཚུངས་དབྱི​ིབས་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་ནའང་དེ​ེའི་ི ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་བདེ​ེན་པ་ཡི​ིན་པའི​ི་ངེ​ེས་ པ་མེ​ེད།

༣། གལ་ཏེ​ེ་དབྱི​ིབས་ T ལས་གྲུབ་པའི​ི་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཁུལ་ནི​ི་མི​ི་སྣོ​ོལ་བའི​ི་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་ཁུལ་དབྱི​ིབས་ P དང་ Q གཉི​ིས་

160

མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་དང་ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ

ལས་གྲུབ་པ་ཡི​ིན་ན། ar(T) = ar(P) + ar(Q) ཡི​ིན་པ་དང་། ar(X) ཡི​ིས་དབྱི​ིབས་ X ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་མཚོ​ོན།

༤། གལ་ཏེ​ེ་དབྱི​ིབས་གཉི​ིས་ལ་ཐུན་མོ​ོང་གི​ི་ཞབས་ (མཐའ་) དང་དབྱི​ིབས་རེ​ེའི​ི་ཐུན་མོ​ོང་གི​ི་ཞབས་ཀྱི​ི་ཁ་གཏད་ཟུར་ ཚེ​ེག་རྣམས་ཞབས་ལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཡི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་ཅི​ིག་གི​ི་སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད་ན། དབྱི​ིབས་དེ​ེ་གཉི​ིས་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་ ནང་འཕྲད་དང་ཞབས་མཚུངས་རེ​ེད།

༥། མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་ནང་འཕྲད་དང་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ཞབས་ཐུན་མོ​ོང་ངམ་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པའི​ི་ མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གཅི​ིག་མཚུངས་རེ​ེད།

༦། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ནི​ི་དེ​ེའི​ི་ཞབས་དང་གནས་མཐུན་དཔངས་ཀྱི​ི་བསྒྱུར་ཐོ​ོབ་རེ​ེད།

༧། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ཞབས་ཐུན་མོ​ོང་ (ཡང་ན་ཞབས་གཅི​ིག་མཚུངས་) དང་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པའི​ི་ མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་ནང་འཕྲད་རེ​ེད།

༨། གལ་ཏེ​ེ་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་དང་ཟུར་གསུམ་མ་མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་ནང་འཕྲད་དང་ཞབས་གཅི​ིག་མཚུངས་ ཡི​ིན་ན། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ནི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གྱི​ི་ཕྱེ​ེད་ཀ་རེ​ེད།

༩། མཉམ་འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་ནང་འཕྲད་དང་ཞབས་ཐུན་མོ​ོང་ (ཡང་ན་ཞབས་གཅི​ིག་མཚུངས་) ཡི​ིན་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་རྒྱ་ ཁྱོ​ོན་གཅི​ིག་མཚུངས་རེ​ེད།

༡༠། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ནི​ི་དེ​ེའི​ི་ཞབས་དང་གནས་མཐུན་དཔངས་ཀྱི​ི་བསྒྱུར་ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཕྱེ​ེད་ཀ་རེ​ེད།

༡༡། ཞབས་ཐུན་མོ​ོང་བ་ (ཡང་ན་ཞབས་གཅི​ིག་མཚུངས་) དང་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་ནི​ི་མཉམ་ འགྲོ​ོ་ཐི​ིག་ལ་ནང་འཕྲད་རེ​ེད།

༡༢། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་དཀྱི​ིལ་ཐི​ིག་གི​ིས་དེ​ེ་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་མཉམ་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་སུ་བགོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

161

༡༠

སྒོར་དབྱིབས། Circles ༡༠་༡ ངོ་སྤྲོད།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཉི​ིན་རེ​ེའི​ི་འཚོ​ོ་བའི​ི་ནང་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཅན་གྱི​ི་དངོ​ོས་པོ​ོ་མང་པོ​ོ་མཐོ​ོང་ཡོ​ོད་ཤག་རེ​ེད། དཔེ​ེར་ན། མོ​ོ་ཊའི​ི་

འཁོ​ོར་ལོ​ོ་དང་། ཆུ་ཚོ​ོད་ཀྱི​ི་ངོ​ོས། སྒོ​ོར་གཅི​ིག་དང་བཅུ་ཡི​ི་གནས་ཐང་གི​ི་ལྕགས་སྒོ​ོར། སྟོ​ོད་ཐུང་གི​ི་མཐེ​ེབ་ཅུ། པི​ི་ཛ། ལག་གདུབ་སོ​ོགས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་༡༠་༡ ལ་ལྟོ​ོས་) ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཆུ་ཚོ​ོད་འཁོ​ོར་ལོ​ོའི་ི ནང་སྐར་ཆའི​ི་མདའ་ནི​ི་ཆུ་ཚོ​ོད་ཀྱི​ི་ངོ​ོས་ལ་

མྱུར་པོ​ོ་སྐོ​ོར་སྐྱོ​ོད་བྱེ​ེད་པ་དང་དེ​ེའི​ི་རྩེ​ེ་མོ​ོ་འཁོ​ོར་ལམ་དུ་འགུལ་གྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་མཐོ​ོང་ཐུབ། སྐར་ཆའི​ི་མདའ་རྩེ​ེའི​ི་ཤུལ་ ལམ་དེ​ེར་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཟེ​ེར། སློ​ོབ་ཚན་འདི​ིར་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་དང་། དེ​ེ་འབྲེ​ེལ་ཐ་སྙད་ཁག་ཅི​ིག་དང་སྒོ​ོར་ དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་འགའ་སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན།

11

12 1 2

10 9

3 8

4 7

6

5

འཁོ​ོར་ལོ​ོ།

ཆུ་ཚོ​ོད།

མཐེ​ེབ་ཅུ།

ལག་གདུབ།

པི​ི་ཛ།

སྒོ​ོར་མོ​ོ་གཅི​ིག

དཔེ་རིས་ ༡༠་༡

༡༠་༢ སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་དང་དེ​ེ་འབྲེ​ེལ་ཐ་སྙད་ཀྱི​ི་བསྐྱར་སྦྱོ​ོང་། Circles and its Related Terms: A Review སྒོ​ོར་ཆས་ཤི​ིག་ཁྱེ​ེར་ནས་དེ​ེའི​ི་ནང་ཞ་སྨྱུག་སྒྲི​ིགས།

དེ​ེའི​ི་དཔུང་པ་རྩེ​ེ་རྣོ​ོ་བ་དེ​ེ་ཤོ​ོག་བུ་སྟེ​ེང་དུ་བཞག་ནས་དཔུང་པ་

གཞན་དེ​ེ་བར་ཐག་ཕྲན་ཙམ་ཞི​ིག་ཁ་ཕྱེ​ེས། དཔུང་པ་རྩེ​ེ་རྣོ​ོ་བ་དེ​ེ་གནས་གཅི​ིག་ལ་བཞག་སྟེ​ེ་དཔུང་པ་གཞན་འཁོ​ོར་

སྐྱོ​ོད་གཅི​ིག་སྐོ​ོར། ཤོ​ོག་བུའི​ི་སྟེ​ེང་དུ་ཞ་སྨྱུག་གི​ིས་འབྲི​ི་ཤུལ་བྱས་པའི​ི་ཟུམ་དབྱི​ིབས་དེ​ེ་གང་རེ​ེད་དམ། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དེ​ེ་ སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཡི​ིན་པ་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༢ ལ་ལྟོ​ོས་) ཁྱེ​ེད་ལ་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཇི​ི་ལྟར་བྱུང་ངམ།

སྒོར་དབྱིབ

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གནས་གཅི​ིག་ (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༢ ནང་ A) བརྟན་པོ​ོ་བཞག་སྟེ​ེ།

A ནས་བར་ཐག་མཉམ་པའི​ི་གནས་མང་པོ​ོ་བྲི​ིས་ཡོ​ོད། འདི​ིས་ང་ཚོ​ོར་

གཤམ་གསལ་གོ​ོ་དོ​ོན་སྤྲད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

སྙོ​ོ མ ས་ངོ​ོ ས ་སྟེ​ེང ་དུ་གནས་བརྟན་པོ​ོ ་ ཞི​ིག ་ནས་བར་ཐག་མཉམ་པའི​ི་ གནས་ཚང་མ་ལས་གྲུབ་པའི​ི་དབྱི​ིབས་ལ་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཟེ​ེར། གནས་བརྟན་པོ​ོ་དེ​ེར་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ཟེ​ེར་བ་དང་།

A དཔེ་རིས་ ༡༠་༢

སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་

དང་སྒོ​ོ ར ་དབྱི​ིབ ས་དབར་གྱི​ི་ བར་ཐག་མཉམ་པ་ལ་ཚངས་ཕྱེ​ེད ་ཟེ​ེར །

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༣ ནང་། O ནི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་དང་རི​ིང་ཚད་ OP ནི​ི་སྒོ​ོར་ དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཚངས་ཕྱེ​ེད་རེ​ེད། མཆན།

སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་དང་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་གང་ཞི​ིག་མཐུད་

དེ​ེ་ནི​ི།

ཚངས་ཕྱེ​ེད་ནི​ི་ཐི​ིག་དུམ་གྱི​ི་དོ​ོན་དང་དེ​ེའི​ི་རི​ིང་ཚད་ཀྱི​ི་དོ​ོན་དུ་

O

པའི​ི་ཐི​ིག་དུམ་ལའང་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཚངས་ཕྱེ​ེད་ཟེ​ེར།

P དཔེ་རིས་ ༡༠་༣

སྤྱོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འཛི​ིན་རི​ིམ་དྲུག་པའི​ི་ནང་གཤམ་གསལ་གོ​ོ་དོ​ོན་ཁག་ཅི​ིག་ སྦྱངས་ཡོ​ོད། ང་ཚོ​ོས་དེ​ེ་དག་དྲན་གསོ​ོ་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན།

སྙོ​ོ མ ས་ངོ​ོ ས ་སྟེ​ེང ་གི​ི་ སྒོ​ོ ར ་དབྱི​ིབ ས་ཀྱི​ིས ་དེ​ེ་ ཆ་ཤས་གསུམ་ནང་བགོ​ོ ད ་

ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེ་དག་ནི​ི་ (ཀ) སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ནང་རོ​ོལ་དང་། (ཁ) སྒོ​ོར་

དབྱི​ིབས། (ག) སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཕྱི​ི་རོ​ོལ་བཅས་རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༤ ལ་ ལྟོ​ོས་)

སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་དང་དེ​ེའི​ི་ནང་རོ​ོལ་གྱི​ིས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཁུལ་གྲུབ་

ཕྱི་རོལ།

ཀྱི​ིས་ཡོ​ོད།

གལ་སྲི​ིད་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་སྟེ​ེང་དུ་གནས་ P དང་ Q བླངས་ ན། ཐི​ིག་དུམ་ PQ ལ་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་ཟེ​ེར། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༥ ལ་ ལྟོ​ོས་)

སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་བརྒྱུད་པའི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་ལ་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་

ཀྱི​ི་ཚངས་ཐི​ིག་ཟེ​ེར། ཚངས་ཕྱེ​ེད་ལྟར་མི​ིང་ཚི​ིག་ 'ཚངས་ཐི​ིག་' ཀྱང་ཐི​ིག་ དུམ་གྱི​ི་དོ​ོན་དང་དེ​ེའི​ི་རི​ིང་ཚད་ཀྱི​ི་དོ​ོན་དུ་སྤྱོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

ཚངས་ཐི​ིག་ལས་རི​ིང་བའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་ཅི​ིག་ཡོ​ོད་དམ།

མེ​ེད།

སྒོར་དབྱིབས།

ནང་རོལ། དཔེ་རིས་ ༡༠་༤

O

B

A Q

P དཔེ་རིས་ ༡༠་༥

ཚངས་ཐི​ིག་ནི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་རི​ིང་ཤོ​ོས་

ཡི​ིན་པ་དང་ཚངས་ཐི​ིག་ཚང་མའི​ི་རི​ིང་ཚད་གཅི​ིག་པ་དང་ཚངས་ཕྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཉི​ིས་ལྡབ་རེ​ེད། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༥ ནང་། AOB ནི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཚངས་ཐི​ིག་རེ​ེད།

སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཤི​ིག་ལ་ཚངས་ཐི​ིག་ག་ཚོ​ོད་ཡོ​ོད་དམ། སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་

163

རྩིས་རིག

ཤི​ིག་བྲི​ིས་ཏེ​ེ་དེ​ེའི​ི་ནང་ཚངས་ཐི​ིག་ག་ཚོ​ོད་འབྲི​ི་ཐུབ་བམ་ལྟོ​ོས།

གནས་གཉི​ིས་དབར་གྱི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཆ་ཤས་ལ་གཞུ་ཐི​ིག་ཟེ​ེར། དཔེ​ེ་

རི​ིས་ ༡༠་༦ ནང་གནས་ P དང་ Q དབར་གྱི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཆ་ཤས་ ལ་ལྟོ​ོས་དང་། འདི​ིར་ཆ་ཤས་གཉི​ིས་ཡོ​ོད། གཅི​ིག་རི​ིང་བ་དང་གཞན་དེ​ེ་

P

ཐུང་བ་ཡོ​ོད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༧) གཞུ་ཐི​ིག་རི​ིང་བར་གཞུ་རི​ིང་ PQ དང་ཐུང་

དཔེ་རིས་ ༡༠་༦

བར་གཞུ་ཐུང་ PQ ཟེ​ེར། གཞུ་ཐུང་ PQ ནི​ི་ PQ ལྟར་མཚོ​ོན་པ་དང་

R

གཞུ་ཆེ​ེན་ PQ ནི​ི་ PRQ ལྟར་མཚོ​ོན་པས་ R ནི​ི་ P དང་ Q དབར་ གཞུ་ཐི​ིག་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་ཤི​ིག་རེ​ེད།

གསལ་ཁ་བསྟན་ཡོ​ོད་ན་མ་གཏོ​ོགས་གཞུ་ཐི​ིག་ PQ ཡང་ན་ PQ ནི​ི་

གཞུ་ཐུང་ PQ མཚོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད། གལ་སྲི​ིད་ P དང་ Q ནི​ི་ཚངས་ཐི​ིག་

གི​ི་སྣེ​ེ་ཡི​ིན་ན། གཞུ་ཐི​ིག་གཉི​ིས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པ་དང་རེ​ེ་རེ​ེར་ཕྱེ​ེད་

Q

གཞུ་རིང་ PQ

P P

གཞུ་ཐུང་ PQ

Q Q

དཔེ་རིས་ ༡༠་༧

སྒོ​ོར་ཟེ​ེར།

སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རི​ིང་ཚད་ཆ་ཚང་ལ་དེ​ེའི​ི་སྒོ​ོར་མཐའི​ི་རི​ིང་ཚད་ཟེ​ེར། སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་དང་དེ​ེའི​ི་གཞུ་ཐི​ིག་ གང་རུང་གཅི​ིག་བར་གྱི​ི་ཁུལ་ལ་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཁུལ་གྱི​ི་གཞུ་དབྱི​ིབས་སམ་ཡང་ན་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་གཞུ་དབྱི​ིབས་ ཟེ​ེར། འདི​ིར་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གཞུ་དབྱི​ིབས་ཆེ​ེ་བ་དང་གཞུ་དབྱི​ིབས་ཆུང་བ་བཅས་རི​ིགས་མི​ི་འདྲ་བ་གཉི​ིས་མཐོ​ོང་ཐུབ། (དཔེ​ེ་ རི​ིས་ ༡༠་༨ ལ་ལྟོ​ོས་) སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་བརྒྱུད་པའི​ི་གཞུ་ཐི​ིག་གི​ི་སྣེ​ེ་གནས་གཉི​ིས་ལ་མཐུད་པའི​ི་ཚངས་ཕྱེ​ེད་དང་གཞུ་ཐི​ིག་དབར་

གྱི​ི་ཁུལ་ལ་སོ​ོག་དབྱི​ིབས་ཟེ​ེར། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༩ ལ་ལྟོ​ོས་)

སོག་དབྱིབས་ཆེ་བ།

གཞུ་དབྱིབས་ཆེ་བ།

P

གཞུ་དབྱིབས་ཆུང་བ།

O

Q

P

དཔེ་རིས་ ༡༠་༨

སོག་དབྱིབས་ཆུང་བ།

Q

དཔེ་རིས་ ༡༠་༩

གཞུ་དབྱི​ིབ ས་ལྟར་གཞུ་ཐུང་ནི​ི་ སོ​ོ ག ་དབྱི​ིབ ས་ཆུང་བར་ གནས་མཐུན་དང་གཞུ་རི​ིང ་ནི​ི་ སོ​ོ ག ་དབྱི​ིབ ས་ཆེ​ེ་ བར་

གནས་མཐུན་རེ​ེད། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༩ ནང་ནག་གྲི​ིབ་བཏང་བའི​ི་ཁུལ་ OPQ ནི​ི་སོ​ོག་དབྱི​ིབས་ཆུང་བ་དང་སྒོ​ོར་ དབྱི​ིབས་ཁུལ་གྱི​ི་ཆ་ཤས་ལྷག་མ་ནི​ི་སོ​ོག་དབྱི​ིབས་ཆེ​ེ་བ་རེ​ེད།

གཞུ་ཐི​ིག་གཉི​ིས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་ན།

དབྱི​ིབས་གཉི​ིས་དང་སོ​ོག་དབྱི​ིབས་གཉི​ིས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཆགས་པ་དང་རེ​ེ་རེ​ེར་ཕྱེ​ེད་སྒོ​ོར་གྱི​ི་ཁུལ་ཟེ​ེར།

164

གཞུ་

སྒོར་དབྱིབ

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༡༠་༡

༡། བར་སྟོ​ོང་སྐོ​ོངས།

(ཀ) སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ནི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ (ཁ) སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་

ལ་ཡོ​ོད། (ཕྱི​ི་རོ​ོལ་/ ནང་རོ​ོལ།)

ན་ཡོ​ོད་པའི​ི་གནས་ཤི​ིག་དང་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་བར་གྱི​ི་བར་ཐག་

ནི​ི་དེ​ེའི​ི་ཚངས་ཕྱེ​ེད་ལས་ཆེ​ེ་བ་ཡོ​ོད། (ཕྱི​ི་རོ​ོལ་/ ནང་རོ​ོལ།)

(ག) སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་རི​ིང་ཤོ​ོས་ནི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་

(ང) གཞུ་ཐི​ིག་གི​ི་སྣེ​ེ་གནས་ནི​ི་ཚངས་ཐི​ིག་གི​ི་སྣེ​ེ་གནས་ཡི​ིན་ན། གཞུ་ཐི​ིག་དེ​ེ་ (ཅ) སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་གཞུ་དབྱི​ིབས་ནི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་གཞུ་ཐི​ིག་དང་ (ཆ) སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་སྟེ​ེང་གི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ིས་དེ​ེ་ཆ་ཤས་

༢། འགྲི​ིག་མི​ིན་ལྟོ​ོས།

རེ​ེད།

རེ​ེད།

བར་གྱི​ི་ཁུལ་རེ​ེད།

ནང་བགོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

(ཀ) སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་གང་རུང་གཅི​ིག་དང་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་མཐུད་པའི​ི་ཐི​ིག་དུམ་ལ་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཚངས་ ཕྱེ​ེད་ཟེ​ེར།

(ཁ) སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཤི​ིག་ལ་རྒྱུད་ཐི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས་མང་པོ​ོ་ཡོ​ོད།

(ག) སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཤི​ིག་གཞུ་ཐི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས་གསུམ་ནང་བགོ​ོས་ན། གཞུ་ཐི​ིག་ཚང་མ་གཞུ་རི​ིང་རེ​ེད། (ང) ཚངས་ཕྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཉི​ིས་ལྡབ་ཡི​ིན་པའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་ནི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཚངས་ཐི​ིག་རེ​ེད། (ཅ) རྒྱུད་ཐི​ིག་དང་དེ​ེའི​ི་གནས་མཐུན་གཞུ་ཐི​ིག་བར་གྱི​ི་ཁུལ་ལ་སོ​ོག་དབྱི​ིབས་ཟེ​ེར། (ཆ) སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ནི​ི་སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་དབྱི​ིབས་ཤི​ིག་རེ​ེད།

༡༠་༣ སྒོ​ོར་མཐའི​ི་གནས་ཞི​ིག་ལ་རྒྱུད་ཐི​ིག་གི​ིས་གྲུབ་པའི​ི་ཟུར།

Angle Subtended by a Chord at a Point ཐི​ིག་དུམ་ PQ ཞི​ིག་བྲི​ིས་པ་དང་ PQ སྟེ​ེང་མི​ིན་པའི​ི་གནས་ R ཞི​ིག་ལོ​ོངས། PR དང་ QR མཐུད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༡༠ ལ་ལྟོ​ོས་)

PRQ ནི​ི་གནས་ R ལ་ཐི​ིག་དུམ་ PQ ཡི​ིས་གྲུབ་པའི​ི་ཟུར་ཟེ​ེར། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༡༡ ནང་ཟུར་ POQ དང་

PRQ, PSQ ལ་གང་ཟེ​ེར།

POQ ནི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ O ལ་རྒྱུད་ཐི​ིག་ PQ ཡི​ིས་གྲུབ་པའི​ི་ཟུར་ཟེ​ེར་བ་དང་།

དང་ PSQ ནི​ི་གཞུ་རི​ིང་དང་གཞུ་ཐུང་སྟེ​ེང་གནས་ R དང་ S ལ་ PQ ཡི​ིས་ཟུར་སོ​ོ་སོ​ོར་གྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། R

R O Q

P P

Q

S

དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༠

དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༡

165

PRQ

རྩིས་རིག

ང་ཚོ​ོས་རྒྱུད་ཐི​ིག་གི​ི་ཆེ​ེ་ཆུང་དང་དེ​ེའི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེའི​ི་ཟུར་དབར་གྱི​ི་འབྲེ​ེལ་བར་ལྟ་ཞི​ིབ་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན། དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་འགའ་དང་དེ​ེའི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེའི​ི་ཟུར་བྲི​ིས་ནས། ཟུར་དེ​ེ་ཙམ་ཆེ​ེ་བ་ཡོ​ོད་པ་མཐོ​ོང་ཐུབ།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་སྒོ​ོར་

རྒྱུད་ཐི​ིག་ཇི​ི་ཙམ་རི​ིང་བ་ཡོ​ོད་ན་དེ​ེའི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེའི​ི་ F

གལ་ཏེ​ེ་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས་གཉི​ིས་བླངས་

A

ན་གང་འབྱུང་ངམ། སྒོ​ོར་ལྟེ​ེའི​ི་ཟུར་གཉི​ིས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་ནམ།

O

སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས་གཉི​ིས་སམ་དུ་མ་བྲི​ིས་ཏེ​ེ་དེ​ེའི​ི་

སྒོ​ོར་ལྟེ​ེའི​ི་ཟུར་རྣམས་འཇོ​ོལ། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༡༢ ལ་ལྟོ​ོས་) ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེའི​ི་ཟུར་ རྣམས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པ་མཐོ​ོང་ཐུབ། དངོ​ོས་འབྲེ​ེལ་འདི​ི་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་

E D

B C དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༢

བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༡༠་༡ སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཤི​ིག་གི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས་ཀྱི​ིས་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ལ་ཟུར་གཅི​ིག་མཚུངས་གྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

ཁུངས་སྐྱེ​ེལ། ཁྱེ​ེད་ལ་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས་ AB དང་ CD བཅས་གཉི​ིས་དང་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ O སྤྲད་ཡོ​ོད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༡༣ ལ་ལྟོ​ོས་) ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་

ཟུར་གསུམ་མ་ AOB དང་ COD ནང་།

OA = OC

OB = OD

AB = CD

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། དེ​ེས་ན། མཆན།

∆ AOB AOB =

AOB =

COD ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་དགོ​ོས།

(སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཚངས་ཕྱེ​ེད།)

(སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཚངས་ཕྱེ​ེད།)

A

(ཤེ​ེས་ཟི​ིན།)

∆ COD (SSS ཆ་རྐྱེ​ེན།)

D

O

B C

COD

དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༣

(ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་གནས་མཐུན་ཆ་ཤས།)

སྟབས་བདེ​ེའི​ི་ཆེ​ེད་ 'ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་གནས་མཐུན་ཆ་ཤས་' ཀྱི​ི་ཚབ་ཏུ་བསྡུས་ཡི​ིག་

CPCT བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན།

སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་གཉི​ིས་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ལ་ཟུར་གྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་ན།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་རྒྱུད་ཐི​ིག་སྐོ​ོར་གང་བཤད་ཐུབ་བམ།

དེ​ེ་དག་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་ནམ། ང་ཚོ​ོས་འདི​ི་གཤམ་གསལ་བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་བརྒྱུད་ལྟ་ཞི​ིབ་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན། བྱེ​ེད་སྒོ​ོ།

རྩེ​ེག་ཤོ​ོག་ཅི​ིག་བླངས་ཏེ​ེ་དེ​ེའི​ི་སྟེ​ེང་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཤི​ིག་

དཔེ​ེ་བཤུས་བྱོ​ོས། སྒོ​ོར་ལེ​ེབ་འཐོ​ོབ་བྱེ​ེད་དུ་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་བརྒྱུད་དེ​ེ་

A

གཏུབས། དེ​ེའི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ O ལ་ཟུར་ AOB བཀོ​ོད་པས་ A དང་ B ནི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་རེ​ེད། སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ལ་

AOB དང་

མཉམ་པའི​ི་ཟུར་གཞན་ POQ ཁོ​ོད། AB དང་ PQ བརྒྱུད་དེ​ེ་སྒོ​ོར་ དབྱི​ིབས་གཏུབས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༡༤ ལ་ལྟོ​ོས་) ཁྱེ​ེད་ལ་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་

166

O C

A C

B P B P དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༤

Q R Q R

སྒོར་དབྱིབ

གཞུ་དབྱི​ིབས་ ACB དང་ PRQ གཉི​ིས་ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། གལ་སྲི​ིད་གཅི​ིག་གི​ི་ཐོ​ོག་གཞན་དེ​ེ་བཞག་ན་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དོ​ོ་ སྣང་གང་བྱུང་ངམ། དེ​ེ་དག་ཕན་ཚུན་ཁེ​ེབས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེ་ནི​ི། དེ​ེ་དག་ཡོ​ོངས་མཚུངས་རེ​ེད། དེ​ེས་ན། AB = PQ གོ​ོང་གི​ི་བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་འདི​ི་འདྲ་མཚུངས་ཟུར་གཞན་མང་ཙམ་ལ་བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱོ​ོས། ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༡༠་༢

རྣམས་མཚུངས།

སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཤི​ིག་གི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་གི​ིས་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ལ་གྲུབ་པའི​ི་ཟུར་རྣམས་མཚུངས་ན། རྒྱུད་ཐི​ིག་

གོ​ོང་གི​ི་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ནི​ི་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༡༠་༡ གི​ི་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་རེ​ེད། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༡༣ ནང་། གལ་ཏེ​ེ་ ཡི​ིན་ན།

∆ AOB

∆ COD

AB = CD ཡི​ིན་པ་མཐོ​ོང་ཐུབ་བམ།

AOB =

COD

(ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༡༠་༢

༡། གལ་སྲི​ིད་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་ཚངས་ཕྱེ​ེད་གཅི​ིག་པ་ཡི​ིན་ན། དེ​ེ་དག་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཡི​ིན་པ་དྲན་གསོ​ོ་གྱི​ིས་ དང་།

ཡོ​ོངས་མཚུངས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་མཚུངས་པས་དེ​ེའི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ལ་ཟུར་གཅི​ིག་མཚུངས་གྲུབ་ཀྱི​ི་

ཡོ​ོད་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

༢། གལ་སྲི​ིད་ཡོ​ོངས་མཚུངས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་གི​ིས་དེ​ེའི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ལ་ཟུར་གཅི​ིག་མཚུངས་གྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་ན། རྒྱུད་ཐི​ིག་རྣམས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

༡༠་༤ སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ནས་རྒྱུད་ཐི​ིག་ལ་དྲང་འཕྱང་། Perpendicular from the Centre to a Chord བྱེ​ེད་སྒོ​ོ། ཤོ​ོག་བུའི​ི་སྟེ​ེང་དུ་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཤི​ིག་བྲི​ིས། དེ​ེའི་ི སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ O ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག རྒྱུད་ཐི​ིག་ AB བྲི​ིས། O བརྒྱུད་པའི​ི་ཐི​ིག་ལ་ལྟེ​ེབ་ཚི​ིགས་བརྒྱབ་ནས་རྒྱུད་ཐི​ིག་གི​ི་ཆ་

ཤས་གཅི​ིག་གཞན་དེ​ེའི་ི སྒང་ལ་འཁེ​ེལ་གྱི​ི་ཡོ​ོད། ལྟེ​ེབ་སུལ་གྱི​ིས་ AB ཐོ​ོག་གནས་ M ལ་འཕྲེ​ེད་གཅོ​ོད་བྱོ​ོས། དེ​ེས་ན།

OMA =

OMB = 90o ཡང་ན་ OM

ནི​ི་ AB ལ་དྲང་འཕྱང་རེ​ེད། གནས་ A དང་ B ཕན་ཚུན་གཅི​ིག་སྟེ​ེང་ལ་གཅི​ིག་ འཁེ​ེལ་གྱི​ི་འདུག་གམ། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༡༥ ལ་ལྟོ​ོས་) དེ​ེས་ན། MA = MB

O A

M

B

དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༥

OA དང་ OB མཐུད་ནས་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ OMA དང་ OMB གཉི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཡི​ིན་པ་བསྟན་

ནས་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་ཞི​ིག་སྒྲུབས། འདི​ི་ནི​ི་གཤམ་གསལ་གྲུབ་འབྲས་ཀྱི​ི་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་ཞི​ིག་རེ​ེད།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༡༠་༣ སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ནས་རྒྱུད་ཐི​ིག་ལ་དྲང་འཕྱང་ཐི​ིག་གི​ིས་རྒྱུད་ཐི​ིག་མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་འདི​ིའི​ི་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་གང་རེ​ེད་དམ། དྲི​ི་བ་དེ​ེ་མ་དྲི​ིས་གོ​ོང་ལ་ང་ཚོ​ོས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༡༠་༣ ནང་གང་ཚོ​ོད་དཔག་

167

རྩིས་རིག

བྱས་ཡོ​ོད་པ་དང་གང་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱས་ཡོ​ོད་པ་གསལ་པོ​ོ་ཤེ​ེས་དགོ​ོས།

སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ནས་རྒྱུད་ཐི​ིག་ལ་

དྲང་འཕྱང་འབྲི​ི་བ་ནི​ི་ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པ་དང་དྲང་འཕྱང་དེ​ེས་རྒྱུད་ཐི​ིག་མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱ་དགོ​ོས། དེ​ེས་ ན། ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་ནང་ཚོ​ོད་དཔག་ནི​ི་ 'གལ་སྲི​ིད་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ནས་ཐི​ིག་གཅི​ིག་གི​ིས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་མཉམ་

བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་ན་' དང་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱ་དགོ​ོས་པ་ནི​ི་ 'ཐི​ིག་དེ​ེ་རྒྱུད་ཐི​ིག་ལ་དྲང་འཕྱང་ཡི​ིན་' བཅས་རེ​ེད། དེ​ེས་ ན་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་ནི​ི།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༡༠་༤ རྒྱུད་ཐི​ིག་མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་པར་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་བརྒྱུད་ནས་བྲི​ིས་པའི​ི་ཐི​ིག་དེ​ེ་རྒྱུད་ཐི​ིག་

ལ་དྲང་འཕྱང་རེ​ེད།

འདི​ི་བདེ​ེན་པ་རེ​ེད་དམ། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དེ​ེ་གནས་སྟངས་གཞན་འགར་ཚོ​ོད་ལྟ་བྱས་ན། བདེ​ེན་པ་ཡི​ིན་པ་མཐོ​ོང་ཐུབ། དེ​ེ་ སྤྱི​ིར་བཏང་བདེ​ེན་པ་ཡི​ིན་མི​ིན་གཤམ་གསལ་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་བརྒྱུད་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན།

AB ནི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ O ཅན་གྱི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་ཅི​ིག་ཡི​ིན་པ་དང་ O ནི​ི་ AB ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་ M ལ་མཐུད་

ཡོ​ོད། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ OM

AB ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་དགོ​ོས། OA དང་ OB མཐུད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༡༦ ལ་ལྟོ​ོས་)

ཟུར་གསུམ་མ་ OAM དང་ OBM ནང་།

OA = OB

AM = BM

OM = OM

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། དེ​ེ་ལས།

∆ OAM

∆ OBM

OMA =

OMB = 90o

(ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།) (ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

O

(སྤྱི​ི་མཐའ།)

(ཇི​ི་ལྟར།)

A

(ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

B

M དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༦

༡༠་༥ གནས་གསུམ་བརྒྱུད་པའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས། Circle through Three Points

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འཛི​ིན་རི​ིམ་དྲུག་པའི​ི་ནང་ཐི​ིག་སྟོ​ོན་ཆེ​ེད་ཉུང་མཐར་གནས་གཉི​ིས་དགོ​ོས་པ་སྦྱངས་ཡོ​ོད། དེ​ེ་ནི​ི། གནས་ གཉི​ིས་བརྒྱུད་པའི​ི་ཐི​ིག་གཅི​ིག་རང་ལས་མེ​ེད། སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་སྟོ​ོན་ཆེ​ེད་ཉུང་མཐར་གནས་ག་ཚོ​ོད་དགོ​ོས་སམ། གནས་ P ཞི​ིག་ལོ​ོངས། གནས་འདི​ི་བརྒྱུད་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ ག་ཚོ​ོད་འབྲི​ི་ཐུབ་བམ། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གནས་འདི​ི་བརྒྱུད་ནས་

སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་མང་པོ​ོ་འབྲི​ི་ཐུབ། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༡༧ (ཀ) ལ་ལྟོ​ོས་]

གནས་ P དང་ Q གཉི​ིས་ལོ​ོངས། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ P དང་ Q

བརྒྱུད་པའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཚད་མེ​ེད་འབྲི​ི་ཐུབ། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་ ༡༧(ཁ) ལ་ལྟོ​ོས་] ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གནས་ A དང་ B, C བཅས་

གསུམ་ལེ​ེན་སྐབས་གང་བྱུང་ངམ།

168

P

(ཀ)

P Q

དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༧

(ཁ)

སྒོར་དབྱིབ

ཐི​ིག་གཅི​ིག་སྟེ​ེང་གནས་གསུམ་བརྒྱུད་པའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཤི​ིག་འབྲི​ི་ཐུབ་བམ།

མི​ི་ཐུབ། གལ་སྲི​ིད་ཐི​ིག་གི​ི་སྒང་ལ་གནས་རྣམས་ཡོ​ོད་ན། གནས་གསུམ་པ་ནི​ི་

A

གནས་གཉི​ིས་བརྒྱུད་པའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ནང་རོ​ོལ་དང་། ཡང་ན་ཕྱི​ི་རོ​ོལ་ལ་ ཡོ​ོད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༡༨ ལ་ལྟོ​ོས་)

B

C

དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༨

དེ​ེས་ན། ང་ཚོ​ོས་ཐི​ིག་གཅི​ིག་སྟེ​ེང་མེ​ེད་པའི​ི་གནས་ A དང་ B, C བཅས་གསུམ་

ལེ​ེན་གྱི​ི་ཡི​ིན། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༡༩(ཀ) ལ་ལྟོ​ོས་] AB དང་ BC ཡི​ི་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་ PQ དང་ RS སོ​ོ་སོ​ོར་

བྲི​ིས། དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་དེ​ེ་དག་གནས་ O ལ་འཕྲེ​ེད་སྣོ​ོལ་བྱོ​ོས། (མཆན། PQ དང་ RS མཉམ་འགྲོ​ོ་ མི​ིན་པས་དེ​ེ་དག་འཕྲེ​ེད་སྣོ​ོལ་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།) [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༡༩(ཁ) ལ་ལྟོ​ོས་] C

A

A

C R

P O

S

Q B

B

(ཀ)

(ཁ)

དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༩

O ནི​ི་ AB ཡི​ི་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་ PQ སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད་པ་དང་། ཐི​ིག་དུམ་ཞི​ིག་གི​ི་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོ​ོད་

ཐི​ིག་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་ཚང་མ་དེ​ེའི​ི་སྣེ​ེ་གནས་ནས་བར་ཐག་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡོ​ོད་པས། OA = OB ང་ཚོ​ོས་དེ​ེ་སློ​ོབ་ ཚན་བདུན་པའི​ི་ནང་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱས་ཡོ​ོད།

དེ​ེ་མཚུངས། O ནི​ི་ BC ཡི​ི་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་ RS སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད་པས། OB = OC

དེ​ེ​ེས་ན། OA = OB = OC དང་། གནས་ A དང་ B, C ནི​ི་གནས་ O ནས་བར་ཐག་གཅི​ིག་མཚུངས་ལ་ཡོ​ོད།

དེ​ེས་ན། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ O དང་ཚངས་ཕྱེ​ེད་ OA ཡི​ིན་པའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཤི​ིག་བྲི​ིས་ན། དེ​ེ་ B དང་ C བརྒྱུད་

ནས་ཡོ​ོད། འདི​ིས་གནས་ A དང་ B, C བཅས་གསུམ་བརྒྱུད་པའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཤི​ིག་ཡོ​ོད་པ་སྟོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད། ཐི​ིག་

གཉི​ིས་ (དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་) ཕན་ཚུན་གནས་གཅི​ིག་རང་ལ་འཕྲེ​ེད་སྣོ​ོལ་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པས། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཚངས་ ཕྱེ​ེད་ OA བརྒྱུད་པའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་གཅི​ིག་རང་འབྲི​ི་ཐུབ། ཚི​ིག་གཞན་ནང་། གནས་ A དང་ B, C བརྒྱུད་ པའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཁྱད་པར་ཅན་ཞི​ིག་ཡོ​ོད། འདི​ིར་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གཤམ་གསལ་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱས་ཡོ​ོད།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༡༠་༥ ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་གཅི​ིག་སྟེ​ེང་གནས་མི​ིན་པའི​ི་གནས་གསུམ་བརྒྱུད་པའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་གཅི​ིག་ཁོ​ོ་

ན་ལས་མེ​ེད།

མཆན། གལ་སྲི​ིད་ ABC ནི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་ཡི​ིན་ན། ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༡༠་༥ ལས། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཟུར་ཚེ​ེག་ A དང་

169

རྩིས་རིག

B, C བཅས་གསུམ་རྒྱུད་པའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཁྱད་པར་ཅན་ཞི​ིག་ཡོ​ོད། སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་དེ​ེར་ ∆ ABC ཡི​ི་ཕྱི​ི་སྒོ​ོར་ (circumcircle) ཟེ​ེར། དེ​ེའི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་དང་ཚངས་ཕྱེ​ེད་ལ་གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཕྱི​ི་ལྟེ​ེ་ (circumcentre) དང་

ཕྱི​ི་སྒོ​ོར་ཚངས་ཕྱེ​ེད་ (circumradius) ཟེ​ེར།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡ ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པའི​ི་གཞུ་ཐི​ིག་ཅི​ིག་ལས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་མཇུག་སྐྱོ​ོལ། ལན།

སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་གཞུ་ཐི​ིག་ PQ སྤྲད་ཡོ​ོད་པ་ཆ་ཞོ​ོག ང་ཚོ​ོས་

སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་དེ​ེ་ཚ་ཚང་བ་བཟོ​ོ་དགོ​ོས། དེ​ེ་ནི​ི། ང་ཚོ​ོས་དེ​ེའི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་དང་ ཚངས་ཕྱེ​ེད་འཚོ​ོལ་དགོ​ོས། གཞུ་ཐི​ིག་སྟེ​ེང་དུ་གནས་ R ཞི​ིག་ལོ​ོངས། PR

O P

Q R

དང་ QR མཐུད། སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་དང་ཚངས་ཕྱེ​ེད་འཚོ​ོལ་ཆེ​ེད་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༡༠་༥

དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༠

ཡི​ི་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་ནང་སྤྱད་པའི​ི་བཀོ​ོད་རི​ིས་སྤྱོ​ོད།

ཁྱེ​ེད་ལ་ཐོ​ོབ་པའི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་དང་ཚངས་ཕྱེ​ེད་བླངས་ནས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་མཇུག་སྐྱོ​ོལ། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༢༠ ལ་ལྟོ​ོས་)

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༡༠་༣

༡། སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཆ་མི​ི་འདྲ་བ་འགའ་བྲི​ིས། ཆ་རེ​ེ་རེ​ེའི་ི ནང་སྤྱི​ི་གནས་ག་ཚོ​ོད་འདུག་གམ། སྤྱི​ི་གནས་ཀྱི​ི་གྲངས་མང་ ཤོ​ོས་གང་རེ​ེད་དམ།

༢། ཁྱེ​ེད་ལ་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཤི​ིག་སྤྲད་ཡོ​ོད་ན། དེ​ེའི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་འཚོ​ོལ་བར་བཀོ​ོད་རི​ིས་བྲི​ིས།

༣། གལ་སྲི​ིད་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་གཉི​ིས་གནས་གཉི​ིས་ཐོ​ོག་འཕྲེ​ེད་སྣོ​ོལ་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་ན། དེ​ེ་དག་གི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ནི​ི་སྤྱི​ིའི​ི་རྒྱུད་ ཐི​ིག་གི​ི་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་གི​ི་སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

༡༠་༦ རྒྱུད་ཐི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས་དང་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ནས་དེ​ེ་དག་དབར་གྱི​ི་བར་ཐག Equal Chords and their Distances from the Centre ཐི​ིག་ AB དང་དེ​ེའི​ི་སྟེ​ེང་མེ​ེད་པའི​ི་གནས་ P ཞི​ིག་ལོ​ོངས། ཐི​ིག་ཅི​ིག་གི​ི་

P

སྟེ​ེང་ལ་གནས་ཚད་མེ​ེད་ཡོ​ོད་པས། གལ་ཏེ​ེ་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གནས་འདི​ི་དག་ P

ལ་མཐུད་ན། ཁྱེ​ེད་ལ་ཐི​ིག་དུམ་ PL1, PL2, PM, PL3, PL4 སོ​ོགས་

ཚད་མེ​ེད་ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། འདི​ི་དག་ལས་གང་གི​ི་ P ནས་ AB བར་གྱི​ི་བར་ ཐག་རེ​ེད། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༢༡ ནང་གི​ི་ཐི​ིག་དུམ་ལས་ P ནས་ AB ལ་དྲང་

འཕྱང་ཐི​ིག་ PM ནི​ི་ཐུང་ཤོ​ོས་རེ​ེད། རྩི​ིས་རི​ིག་ནང་། ང་ཚོ​ོས་རི​ིང་ཚད་ ཐུང་ཤོ​ོས་ PM ལ་ P ནས་ AB བར་གྱི​ི་བར་ཐག་ཟེ​ེ བར་ཐག་ ར། དེ​ེས་ན་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གཤམ་གསལ་བཤད་ཐུབ།

170

A L1 L2 M L3 L4 L5 B དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༡

སྒོར་དབྱིབ

གནས་ཤི​ིག་ནས་ཐི​ིག་དབར་དྲང་འཕྱང་གི​ི་རི​ིང་ཚད་ནི​ི་གནས་ནས་ཐི​ིག་བར་གྱི​ི་བར་ཐག་རེ​ེ​ེད།

གལ་སྲི​ིད་གནས་ཐི​ིག་གི​ི་སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད་ན། གནས་ནས་ཐི​ིག་བར་གྱི​ི་རི​ིང་ཚད་ནི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་རེ​ེད།

སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཤི​ིག་ལ་རྒྱུད་ཐི​ིག་ཚད་མེ​ེད་ཡོ​ོད། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་འབྲི​ི་སྐབས་རྒྱུད་ཐི​ིག་རི​ིང་བ་ནི​ི་ རྒྱུད་ཐི​ིག་ཐུང་བ་ལས་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ནས་ཐག་ཉེ​ེ་བར་ཡོ​ོད་པ་མཐོ​ོང་ཐུབ། རི​ིང་ཚད་མི​ི་འདྲ་བའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་

དུ་མ་འབྲི​ི་བ་དང་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ནས་དེ​ེ་དག་དབར་གྱི​ི་བར་ཐག་གཞལ་ནས་ལྟ་ཞི​ིབ་བྱེ​ེད་ཐུབ། སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ནས་རྒྱུད་ཐི​ིག་རི​ིང་

ཤོ​ོས་ཀྱི​ི་བར་ཐག་གང་རེ​ེད་དམ། དེ​ེའི​ི་སྟེ​ེང་དུ་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་གནས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པས་བར་ཐག་ནི​ི་ཀླད་ཀོ​ོར་རེ​ེད། རྒྱུད་ཐི​ིག་གི​ི་ རི​ིང་ཚད་དང་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ནས་དེ​ེ་དག་དབར་གྱི​ི་བར་ཐག་ལ་འབྲེ​ེལ་བ་ཡོ​ོད་དམ། ང་ཚོ​ོས་གཤམ་གསལ་བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་བརྒྱུད་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན། C A O M

O'

O N

M

C N

B

D

B

བྱེ​ེད་སྒོ​ོ།

A

(ཀ)

དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༢

D

(ཁ)

ཤོ​ོག་བུའི​ི་སྟེ​ེང་དུ་ཚངས་ཕྱེ​ེད་གང་རུང་གི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཤི​ིག་བྲི​ིས། དེ​ེའི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས་AB

དང་ CD གཉི​ིས་འབྲི​ི་བ་དང་། སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ O ནས་རྒྱུད་ཐི​ིག་དེ​ེ་དག་ཐོ​ོག་གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་དྲང་འཕྱང་ OM དང་ ON བྲི​ིས། དཔེ​ེ་རི​ིས་ལྟེ​ེབ་རྩེ​ེག་རྒྱག་ནས་ D ནི​ི་ B དང་ C ནི​ི་ A ཐོ​ོག་ལ་འཁེ​ེལ་བར་བྱ། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༢༢(ཀ)] O

ནི​ི་ལྟེ​ེབ་སུལ་ཐོ​ོག་ལ་ཡོ​ོད་པ་དང་ N ནི​ི་ M ཐོ​ོག་ལ་ཡོ​ོད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན། OM = ON སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ O དང་ O' ཅན་ གྱི​ི་ཡོ​ོངས་མཚུངས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་བྲི​ིས་རྗེ​ེས་རྒྱུད་ཐི​ིག་མཚུངས་པ་ AB དང་ CD སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་རེ​ེའི​ི་སྟེ​ེང་ལ་བྲི​ིས་ ཏེ​ེ་བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་འདི​ི་བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱོ​ོས། དེ​ེ་དག་སྟེ​ེང་དྲང་འཕྱང་ OM དང་ O'N བྲི​ིས། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༢༢(ཁ)] སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ གཅི​ིག་གཏུབས་ནས་ AB དང་ CD ཕན་ཚུན་གཅི​ིག་གི​ི་སྟེ​ེང་ལ་གཞན་འཁེ​ེལ་བར་ཞོ​ོག དེ​ེ་ནས་ O ནི​ི་ O' དང་ M ནི​ི་ N ཐོ​ོག་ལ་འཁེ​ེལ་གྱི​ི་ཡོ​ོད། འདི​ི་ལྟར་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གཤམ་གསལ་ཞི​ིབ་བཤེ​ེར་བྱས་ཡོ​ོད།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༡༠་༦ སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཤི​ིག་ (ཡང་ན་ཡོ​ོངས་མཚུངས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་) གི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་མཚུངས་པ་རྣམས་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ (སྒོ​ོར་ ལྟེ​ེ་རྣམས་) ནས་བར་ཐག་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་འདི​ིའི་ི ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་བདེ​ེན་མི​ིན་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན། འདི​ིའི་ི ཆེ​ེད་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ O ཅན་གྱི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཤི​ིག་བྲི​ིས། སྒོ​ོར་ ལྟེ​ེ་ O ནས་རི​ིང་ཚད་གཅི​ིག་མཚུངས་དང་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ནང་རོ​ོལ་ན་ཡོ​ོད་པའི​ི་ཐི​ིག་དུམ་ OL དང་ OM

གཉི​ིས་བྲི​ིས། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༢༣(ཀ)] དེ​ེ་ནས་ OL དང་ OM སོ​ོ་སོ​ོར་དྲང་འཕྱང་ཡི​ིན་པའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་

PQ དང་ RS བྲི​ིས། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༢༣(ཁ)] PQ དང་ RS ཡི​ི་རི​ིང་ཚད་འཇོ​ོལ། རི​ིང་ཚད་གཅི​ིག་མཚུངས་རེ​ེད། ཐི​ིག་

171

རྩིས་རིག

དུམ་གཅི​ིག་མཚུངས་འགའ་དང་དེ​ེ་དག་ལ་དྲང་འཕྱང་ཡི​ིན་པའི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་བྲི​ིས་ཏེ​ེ་བྱེ​ེད་སྒོ​ོ་འདི​ི་བསྐྱར་ཟློ​ོས་བྱོ​ོས། འདི​ིས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༡༠་༦ གི​ི་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་ཞི​ིབ་བཤེ​ེར་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་དང་། དེ​ེ་གཤམ་གསལ་ལྟར་མཚོ​ོན་ཐུབ། R

P

O M

L

O M

L

S

Q

(ཀ)

(ཁ)

དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༣

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༡༠་༧ སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ནས་བར་ཐག་མཚུངས་པའི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་རྣམས་ཀྱི​ི་རི​ིང་ཚད་མཚུངས། ང་ཚོ​ོས་གོ​ོང་གི​ི་གྲུབ་འབྲས་ཀྱི​ི་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་རྩི​ིས་དཔེ​ེ་འགའ་བརྒྱུད་སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན། རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༢

གལ་སྲི​ིད་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་གཉི​ིས་འཕྲེ​ེད་སྣོ​ོལ་བྱས་པས་དེ​ེ་དག་གི​ི་སྣོ​ོལ་སྣེ​ེ་བརྒྱུད་པའི​ི་

ཚངས་ཐི​ིག་ལ་ཟུར་གཅི​ིག་མཚུངས་འགྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་ན། རྒྱུད་ཐི​ིག་རྣམས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན། ལན།

སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ O ཡི​ིན་པའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་ AB

དང་CD གཉི​ིས་གནས་ E ལ་འཕྲེ​ེད་སྣོ​ོལ་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་ཤེ​ེས་ ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། PQ ནི​ི་ E བརྒྱུད་པའི​ི་ཚངས་ཐི​ིག་ཡི​ིན་པས། =

AEQ

DEQ (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༢༤ ལ་ལྟོ​ོས་) ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ AB = CD

ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་དགོ​ོས། རྒྱུད་ཐི​ིག་ AB དང་ CD སོ​ོ་སོ​ོའི་ི ཐོ​ོག་ དྲང་འཕྱང་ OL དང་ OM བྲི​ིས། LOE = 180 − 90 − o

= 90 − o

o

LEO = 90 − o

AEQ = 90 − o

ཟུར་གསུམ་མ་ OLE དང་ OME ནང་།

LEO

DEQ = 90 − o

A

L

C

E

P

M

B

D དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༤

(ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ནང་ཟུར་བསྡོ​ོམས་གྲངས།)

MEO =

MOE

LEO =

MEO

LOE =

MOE

EO = EO

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། དེ​ེ་ཡི​ིས། དེ​ེས་ན།

∆ OLE

∆ OME

OL = OM AB = CD

172

Q

O

(ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

(ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་ཟི​ིན།)

(སྤྱི​ི་མཐའ།) (ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

(CPCT)

(ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

སྒོར་དབྱིབ

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༡༠་༤

༡། ཚངས་ཕྱེ​ེད་ 5 cm དང་ 3 cm ཅན་གྱི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་གཉི​ིས་གནས་གཉི​ིས་ལ་འཕྲེ​ེད་སྣོ​ོལ་བྱེ​ེད་པ་དང་དེ​ེ་ དག་གི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་དབར་བར་ཐག་ 4 cm ཡོ​ོད། སྤྱི​ིའི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་གི​ི་རི​ིང་ཚད་ཚོ​ོལ།

༢། གལ་སྲི​ིད་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས་གཉི​ིས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ནང་རོ​ོལ་ལ་སྣོ​ོལ་གྱི​ི་ཡོ​ོད་ན། རྒྱུད་ ཐི​ིག་གཅི​ིག་གི​ི་གཞུ་དབྱི​ིབས་ནི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་གཞན་གྱི​ི་གནས་མཐུན་གཞུ་དབྱི​ིབས་དང་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པ་སྟོ​ོན།

༣། གལ་སྲི​ིད་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས་གཉི​ིས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་

ཀྱི​ི་ནང་རོ​ོལ་ལ་སྣོ​ོལ་གྱི​ི་ཡོ​ོད་ན། སྣོ​ོལ་གནས་ནས་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ལ་མཐུད་པའི​ི་ ཐི​ིག་གི​ིས་རྒྱུད་ཐི​ིག་ལ་ཟུར་གཅི​ིག་མཚུངས་འགྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་སྟོ​ོན།

༤། གལ་སྲི​ིད་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ O ཡི​ིན་པའི​ི་ལྟེ​ེ་མཐུན་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་གཉི​ིས་ལ་ཐི​ིག་གཅི​ིག་ གི​ིས་གནས་ A དང་ B, C, D ཐོ​ོག་སྣོ​ོལ་གྱི​ི་ཡོ​ོད་ན། AB = CD ཡི​ིན་པ་

O

A

C D

B དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༥

སྟོ​ོན། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༢༥ ལ་ལྟོ​ོས་)

༥། ཆོ​ོས་དབྱངས་དང་དཔལ་མོ​ོ། བདེ​ེ་སྐྱི​ིད་བཅས་གྲོ​ོགས་མོ​ོ་གསུམ་སྐྱེ​ེད་ཚལ་ནང་བྲི​ིས་པའི​ི་ཚངས་ཕྱེ​ེད་ 5 m ཅན་

གྱི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་སྟེ​ེང་རྩེ​ེད་མོ​ོ་རྩེ​ེ་བཞི​ིན་ཡོ​ོད། ཆོ​ོས་དབྱངས་ཀྱི​ིས་པོ​ོ་ལོ​ོ་དཔལ་མོ​ོར་གཡུག་པ་དང་། དཔལ་མོ​ོས་ བདེ​ེ་སྐྱི​ིད་ལ། བདེ​ེ་སྐྱི​ིད་ཀྱི​ིས་ཆོ​ོས་དབྱངས་ལ་གཡུག་གི​ི་ཡོ​ོད། གལ་ཏེ​ེ་ཆོ​ོས་དབྱངས་དང་དཔལ་མོ​ོ་དབར་དང་

དཔལ་མོ​ོ་དང་བདེ​ེ་སྐྱི​ིད་དབར་བར་ཐག་ 6 m ཡོ​ོད་ན། ཆོ​ོས་དབྱངས་དང་བདེ​ེ་སྐྱི​ིད་དབར་ལ་བར་ཐག་ག་ ཚོ​ོད་ཡོ​ོད་དམ།

༦། གཞི​ིས་གྲོ​ོང་ཞི​ིག་གི​ི་ནང་ཚངས་ཕྱེ​ེད་ 20 m ཅན་གྱི​ི་རྩེ​ེད་ཐང་སྒོ​ོར་མོ​ོ་ཞི​ིག་ཡོ​ོད། དེ​ེའི​ི་མཐའ་མཚམས་སྟེ​ེང་དུ་

བློ​ོ་བཟང་དང་འཕྲི​ིན་ལས། ངག་དབང་བཅས་གྲོ​ོགས་པོ​ོ་གསུམ་སོ​ོ་སོ​ོའི་ི ལག་ཏུ་རྩེ​ེད་ཆས་ཁ་པར་བཟུང་ནས་ཕན་ ཚུན་སྐད་ཆ་བཤད་ཆེ​ེད་བར་ཐག་གཅི​ིག་མཚུངས་སུ་བསྡད་ཡོ​ོད། ཁ་པར་རེ​ེ་རེ​ེའི​ི་སྐུད་པའི​ི་རི​ིང་ཚད་ཚོ​ོལ།

༡༠་༧ སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་གཞུ་ཐི​ིག་གི​ིས་གྲུབ་པའི​ི་ཟུར། Angle Subtended by an Arc of a Circle

སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཚངས་ཐི​ིག་མི​ིན་པའི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་གི​ི་སྣེ​ེ་གནས་ཀྱི​ིས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་དེ​ེ་གཞུ་ཐི​ིག་གཉི​ིས་སུ་བགོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། གཞུ་ཐི​ིག་གཅི​ིག་རི​ིང་བ་དང་གཞན་དེ​ེ་ཐུང་བ་ཡོ​ོད། གལ་ཏེ​ེ་རྒྱུད་ཐི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས་གཉི​ིས་བླངས་ན་གཞུ་ཐི​ིག་སྐོ​ོར་ ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གང་བཤད་ཐུབ་བམ། རྒྱུད་ཐི​ིག་གཅི​ིག་གི​ིས་གྲུབ་པའི​ི་གཞུ་ཐི​ིག་ནི​ི་རྒྱུད་

ཐི​ིག་གཞན་གྱི​ིས་གྲུབ་པའི​ི་གནས་མཐུན་གཞུ་ཐི​ིག་དང་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་ ནམ། དེ​ེ་དག་གི​ི་རི​ིང་ཚད་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པ་དང་། གཞུ་ཐི​ིག་གཅི​ིག་གཞན་ གྱི​ི་སྟེ​ེང་བཞག་ན་ཕན་ཚུན་ཁེ​ེབས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དངོ​ོས་འབྲེ​ེལ་འདི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ནས་ CD བརྒྱུད་པའི​ི་གཞུ་ཐི​ིག་ CD

173

D

A

C B

དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༦

རྩིས་རིག

གཏུབས་ནས། དེ​ེ་རྒྱུད་ཐི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས་ AB ཡི​ིས་གྲུབ་པའི​ི་གནས་མཐུན་གཞུ་ཐི​ིག་སྟེ​ེང་ལ་བཞག་ནས་ཞི​ིབ་

བཤེ​ེར་བྱེ​ེད་ཐུབ། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གཞུ་ཐི​ིག་ CD ཡི​ིས་གཞུ་ཐི​ིག་ AB ཆ་ཚང་ཁེ​ེབས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་མཐོ​ོང་ཐུབ། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་

༢༦ ལ་ལྟོ​ོས་) དེ​ེས་རྒྱུད་ཐི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས་ཀྱི​ིས་ཡོ​ོངས་མཚུངས་གཞུ་ཐི​ིག་གྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་དང་། ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་དུ་ཡོ​ོངས་

མཚུངས་གཞུ་ཐི​ིག་གི​ིས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས་གྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་སྟོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེ་གཤམ་གསལ་ ལྟར་མཚོ​ོན་ཐུབ།

གལ་སྲི​ིད་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་གཉི​ིས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་ན། དེ​ེ་དག་གི​ི་གནས་མཐུན་གཞུ་ཐི​ིག་རྣམས་ཡོ​ོངས་ མཚུངས་ཡི​ིན་པ་དང་། ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་དུ་གཞུ་ཐི​ིག་གཉི​ིས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་ན། དེ​ེ་དག་གི​ི་གནས་མཐུན་རྒྱུད་ཐི​ིག་ རྣམས་མཚུངས།

གཞུ་ཐི​ིག ་གི​ིས ་སྒོ​ོ ར ་ལྟེ​ེ་ ལ་གྲུབ་པའི​ི་ ཟུར་ནི​ི་ གནས་མཐུན་རྒྱུད་ཐི​ིག་གི​ིས་ སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ལ་གྲུབ་པའི​ི་ཟུར་རེ​ེད། དེ​ེ་ནི​ི། གཞུ་ཐུང་གི​ིས་ཟུར་གྲུབ་པ་དང་གཞུ་

O

རི​ིང་གི​ིས་ལྡོ​ོག་འཕྲོ​ོ་ཟུར་གྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༢༧ ནང་ གཞུ་ཐུང་ PQ ཡི​ིས་ O ལ་གྲུབ་པའི​ི་ཟུར་ནི​ི་ ཡི​ིས་ O ལ་གྲུབ་པའི​ི་ལྡོ​ོག་འཕྲོ​ོ་ཟུར་ནི​ི་

POQ དང་གཞུ་རི​ིང་ PQ

P

POQ རེ​ེད།

གོ​ོང་གི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་དང་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༡༠་༡ ལས། གཤམ་གསལ་གྲུབ་འབྲས་བདེ​ེན་གྱི​ི་ཡོ​ོད།

Q དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༧

སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོངས་མཚུངས་གཞུ་ཐི​ིག་ (ཡང་ན་གཞུ་ཐི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས་) གི​ིས་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ལ་ཟུར་གཅི​ིག་མཚུངས་གྲུབ་

ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན། སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་གི​ིས་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ལ་གྲུབ་པའི​ི་ཟུར་ནི​ི་གནས་མཐུན་གཞུ་ཐི​ིག་ (གཞུ་ ཐུང་)

གི​ིས་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ལ་གྲུབ་པའི​ི་ཟུར་དང་མཚུངས། གཤམ་གསལ་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ནི​ི་གཞུ་ཐི​ིག་གི​ིས་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ལ་གྲུབ་པའི​ི་

ཟུར་དང་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་དབར་གྱི​ི་འབྲེ​ེལ་བ་སྟོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༡༠་༨ གཞུ་ཐི​ིག་གི​ིས་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ལ་གྲུབ་པའི​ི་ཟུར་ནི​ི་དེ​ེས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཆ་ཤས་ལྷག་མ་གང་རུང་སྟེ​ེང་གི​ི་

གནས་ཤི​ིག་ལ་གྲུབ་པའི​ི་ཟུར་གྱི​ི་ཉི​ིས་ལྡབ་རེ​ེད།

ཁུངས་སྐྱེ​ེལ། སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་གཞུ་ཐི​ིག་ PQ ཡི​ིས་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ O ལ་ཟུར་ POQ གྲུབ་པ་དང་། སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཆ་ཤས་ ལྷག་མའི​ི་སྟེ​ེང་གནས་ A ལ་ཟུར་ PAQ གྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། ང་ཚོ​ོས་ སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་དགོ​ོས།

A

A

A P

P O B P (ཀ)

O

Q BO

B Q

Q (ཁ)

དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༨

174

PAQ ཁུངས་

POQ = 2

(ག)

སྒོར་དབྱིབ

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༢༨ ནང་སྤྲད་པའི​ི་གནས་སྟངས་གསུམ་ལ་ལྟོ​ོས་དང་། (ཀ) ནང་ PQ ནི​ི་གཞུ་ཐུང་དང་། (ཁ) ནང་ PQ ནི​ི་ཕྱེ​ེད་སྒོ​ོར། (ག) ནང་ PQ ནི​ི་གཞུ་རི​ིང་རེ​ེད། AO མཐུད་ནས་གནས་ B ལ་བསྲི​ིངས།

གནས་སྟངས་ཚང་མའི​ི་ནང་།

BOQ =

OAQ +

AQO

རྒྱུ་མཚན་ནི​ི་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཕྱི​ི་རོ​ོལ་གྱི​ི་ཟུར་ནི​ི་ནང་རོ​ོལ་གཏད་ཟུར་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་རེ​ེད། ཡང་ ∆ OAQ ནང་།

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། (༡) དང་ (༢) ལས།

(ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༧་༥)

OAQ =

OQA

BOQ = 2

OAQ

BOP = 2

OAP

དེ​ེས། དེ​ེ་མཚུངས།

(སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཚངས་ཕྱེ​ེད།)

OA = OQ

BOP +

BOQ = 2 (

དེ​ེ་ནི​ི།   POQ = 2

OAP +

(༢)

OAQ)

(༣)

PAQ

གནས་སྟངས་ (ག) ནང་ PQ ནི​ི་གཞུ་རི​ིང་ཡི​ིན་པས། ལྡོ​ོག་འཕྲོ​ོ་

PAQ ཡི​ིས་ (༣) བརྗེ​ེ་ལེ​ེན་

POQ = 2

བྱས་ཡོ​ོད།

མཆན། གོ​ོང་གི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ནང་ང་ཚོ​ོས་གནས་ P དང་ Q མཐུད་ནས་ རྒྱུད་ཐི​ིག་ PQ གྲུབ་ཡོ​ོད་པ་ཆ་ཞོ​ོག དེ​ེ་ནས་

(༡)

A

C

PAQ ལ་གཞུ་དབྱི​ིབས་

PAQP ནང་གྲུབ་པའི​ི་ཟུར་ཡང་ཟེ​ེར།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༡༠་༨ ནང་། A ནི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཆ་ཤས་ལྷག་མའི​ི་སྟེ​ེང་གི​ི་

O

གནས་ཤི​ིག་རེ​ེད། དེ​ེས་ན། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཆ་ཤས་ལྷག་མའི​ི་

P

སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་གཞན་ C ཞི​ིག་བླངས་ན། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༢༩ ལ་ལྟོ​ོས་) POQ = 2

PCQ = 2

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།   PCQ =

P AQ

Q དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༩

PAQ

འདི​ིས་གཤམ་གསལ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༡༠་༩ སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཤི​ིག་གི​ི་གཞུ་དབྱི​ིབས་གཅི​ིག་པའི​ི་ནང་གི​ི་ཟུར་རྣམས་མཚུངས། ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༡༠་༨ ཀྱི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ (ཁ) ནང་། ཡང་།

PAQ =

1 2

PAQ ནི​ི་གཞུ་དབྱི​ིབས་ (དེ​ེ་ནི​ི་ཕྱེ​ེད་སྒོ​ོར་) ནང་གི​ི་ཟུར་ཞི​ིག་རེ​ེད།

POQ =

1 o o × 180 = 90 2

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཕྱེ​ེད་སྒོ​ོར་སྟེ​ེང་གནས་གཞན་ C ཞི​ིག་བླངས་ན། ཁྱེ​ེད་ལ་

175

PCQ = 90 ཐོ​ོབ། o

རྩིས་རིག

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ཁྱེ​ེད་ལ་གཤམ་གསལ་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཁྱད་ཆོ​ོས་གཞན་ཞི​ིག་ཐོ​ོབ།

ཕྱེ​ེད་སྒོ​ོར་ནང་གི​ི་ཟུར་ནི​ི་དྲང་ཟུར་རེ​ེད།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༡༠་༩ ཡི​ི་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་ཡང་བདེ​ེན་པ་རེ​ེད། དེ​ེ་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡི​ིན།

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༡༠་༡༠ གལ་སྲི​ིད་གནས་གཉི​ིས་མཐུད་པའི​ི་ཐི​ིག་དུམ་གྱི​ིས་དེ​ེའི​ི་ཕྱོ​ོགས་གཅི​ིག་ན་ཡོ​ོད་པའི​ི་གནས་གཞན་

གཉི​ིས་ལ་ཟུར་གཅི​ིག་མཚུངས་འགྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་ན། གནས་བཞི​ི་པོ​ོ་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད། [དེ​ེ་ནི​ི། དེ​ེ་དག་སྤྱི​ི་མཐུན་སྒོ​ོར་ མཐའི​ི་གནས་རེ​ེད། (concyclic)]

གྲུབ་འབྲས་འདི​ིའི​ི་བདེ​ེན་གྲུབ་གཤམ་གསལ་ལྟར་མཐོ​ོང་ཐུབ།

E'

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༣༠ ནང་། ཐི​ིག་དུམ་ AB ཡི​ིས་གནས་ C དང་ D གཉི​ིས་ ལ་ཟུར་གཅི​ིག་མཚུངས་འགྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེ་ནི​ི།

ACB =

C

ADB

D E

གནས་ A དང་ B, C, D བཅས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད་པ་སྟོ​ོན་ཆེ​ེད།

ང་ཚོ​ོས་གནས་ A དང་ C, B བརྒྱུད་པའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཤིག ི ་འབྲི​ི་དགོ​ོས། དེ​ེ་གནས་ D བརྒྱུད་ནས་འགྲོ​ོ་ཡི​ི་མེ​ེད་པ་ཆ་ཞོ​ོག དེ​ེར་བརྟེ​ེན། དེ​ེས་ AD (AD བསྲི​ིངས་བ་) ལ་གནས་ E (AD བསྲི​ིངས་ན་ E') ཐོ​ོག་སྣོ​ོལ་གྱི​ི་ཡོ​ོད།

A

གལ་སྲི​ིད་གནས་ A དང་ C, E, B བཅས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད་ན།

ACB =

AEB

ཡི​ིན་ནའང་།

ACB =

ADB

AEB =

ADB

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

B དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༠

(ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།) (ཤེ​ེས་ཟི​ིན།)

E དང་ D གཉི​ིས་གནས་ས་གཅི​ིག་ལ་འཁེ​ེལ་ན་མ་གཏོ​ོགས་དེ​ེ་བདེ​ེན་གྱི​ི་མེ​ེད།

དེ​ེ་མཚུངས། E' དང་ D གནས་ས་གཅི​ིག་ལ་འཁེ​ེལ་དགོ​ོས།

༡༠་༨ སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ནང་འབྲེ​ེལ་མཐའ་བཞི​ི་མ། Cyclic Quadrilaterals གལ་སྲི​ིད་སྒོ​ོར་མཐའི​ི་སྟེ​ེང་ལ་ཟུར་ཚེ​ེག་བཞི​ི་པོ​ོ་གནས་ཡོ​ོད་ན་དབྱི​ིབས་

མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD ལ་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ནང་འབྲེ​ེལ་ (cyclic) ཟེ​ེར། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༣༡ ལ་ལྟོ​ོས་) དེ​ེ་འདྲའི​ི་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ལ་ཁྱད་ཆོ​ོས་བྱེ​ེ་

བྲག་པ་ཞི​ིག་ཡོ​ོད། མཐའ་མི​ི་འདྲ་བའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ནང་འབྲེ​ེལ་མཐའ་ བཞི​ི་མ་དུ་མ་བྲི​ིས་ཏེ​ེ། འདི​ི་དག་རེ​ེ་རེ​ེར་མི​ིང་ ABCD ཐོ​ོགས། (འདི​ི་ནི​ི་

ཚངས་ཕྱེ​ེད་མི​ི་འདྲ་བའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་དུ་མ་འབྲི​ི་བ་དང་དེ​ེ་དག་སོ​ོ་སོ​ོའི་ི སྟེ​ེང་གནས་བཞི​ི་བླངས་ ནས་བྱེ​ེད་ཐུབ།)

གཏད་ཟུར་རྣམས་ཀྱི​ི་ཚད་འཇལ་ནས་ཁྱེ​ེད་རང་གི​ི་རྟོ​ོག་ཞི​ིབ་

གཤམ་གསལ་རེ​ེའུ་མི​ིག་ནང་སྐོ​ོངས།

176

D A

B

C དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༡

A

དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ཨང་།

B

C

D

A+

C

སྒོར་དབྱིབ B+

D

༡

༢ ༣ ༤

༥

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གོ​ོང་གི​ི་རེ​ེའུ་མི​ིག་ནས་གང་མཐའ་སྡོ​ོམ་བྱེ​ེད་ཐུབ་བམ། མེ​ེད་དུ་བཞག་ན། ཁྱེ​ེད་ལ་

C = 180 དང་ o

A+

དཔང་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

B+

ཚད་འཇལ་སྐབས་ནོ​ོར་འཁྲུལ་ཆུང་ཙག་སྣང་ D = 180 ཐོ​ོབ། དེ​ེས་གཤམ་གསལ་བདེ​ེན་ o

ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༡༠་༡༡ སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ནང་འབྲེ​ེལ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་གཏད་ཟུར་གཉི​ིས་པོ​ོ་གང་རུང་གི​ི་བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་ནི​ི་ 180 རེ​ེད། o

གཤམ་དུ་སྤྲད་པའི​ི་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་འདི​ིའི​ི་ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་ཡང་བདེ​ེན་པ་རེ​ེད། ངེ​ེས་སྲོ​ོལ། ༡༠་༡༢

གལ་སྲི​ིད་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་གཏད་ཟུར་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་ 180o ཡི​ིན་ན།

དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་དེ​ེ་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ནང་འབྲེ​ེལ་རེ​ེད།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་འདི​ིའི​ི་བདེ​ེན་གྲུབ་ནི​ི་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༡༠་༡༠ ནང་སྤྱད་པའི​ི་ཐབས་ལམ་ལ་བསྟུན་ནས་ལྟ་ཐུབ། རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༣ དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༣༢ ནང་། AB ནི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཚངས་ཐི​ིག་ཡི​ིན་པ་དང་། CD ནི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ ཀྱི​ི་ཚངས་ཕྱེ​ེད་དང་མཚུངས་པའི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་ཅི​ིག་རེ​ེད། AC དང་ BD བསྲི​ིང་སྐབས་གནས་ E ལ་སྣོ​ོལ་གྱི​ི་ཡོ​ོད། AEB = 60 ཡི​ིན་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས། o

ལན། OC དང་ OD, BC མཐུད།

E

ཟུར་གསུམ་མ་ ODC ནི​ི་མཐའ་མཉམ་རེ​ེད།

(ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

(ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༡༠་༨)

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

དེ​ེས་ན།

COD = 60 1 CBD = COD 2 o CBD = 30 o

ཡང་།

ACB = 90

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

CEB = 90 − 30 = 60

དེ​ེས་ན།

D A

(ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

o

BCE = 180 −

ACB = 90

o

o

C

o

o

o

དེ​ེ་ནི​ི།

177

AEB = 60

o

O དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༢

B

རྩིས་རིག

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༤ དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༣༣ ནང་། ABCD ནི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ནང་འབྲེ​ེལ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཡི​ིན་པ་དང་ AC དང་ BD ནི​ི་དེ​ེའི་ི གཏད་ཐི​ིག་རེ​ེད། གལ་སྲི​ིད་

DBC = 55

CAD +

ལན།

CAD =

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

DAB =

ཡི​ིན་ནའང་།

DAB +

DBC = 55 དང་

BAC = 45 ཡི​ིན་ན།

o

o

(གཞུ་དབྱི​ིབས་གཅི​ིག་པ་ནང་གི​ི་ཟུར།) o

BAC

o

BCD ཚོ​ོལ།

o

D

A

o

= 55 + 45 = 100

B

BCD = 180

o

དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༣

(སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ནང་འབྲེ​ེལ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་གཏད་ཟུར།)

དེ​ེས་ན།

C

BCD = 180 − 100 = 80 o

o

o

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༥ སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་གཉི​ིས་གནས་ A དང་ B ལ་སྣོ​ོལ་གྱི​ི་ཡོ​ོད། AD དང་ AC ནི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་ ཚངས་ཐི​ིག་རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༣༤ ལ་ལྟོ​ོས་) B ནི​ི་ཐི​ིག་དུམ་ DC སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད་པ་སྟོ​ོན། ལན། AB མཐུད།

ABD = 90

ABC = 90

དེ​ེས་ན།

ABD +

o

o

(ཕྱེ​ེད་སྒོ​ོར་ནང་གི​ི་ཟུར།) (ཕྱེ​ེད་སྒོ​ོར་ནང་གི​ི་ཟུར།)

ABC = 90 + 90 = 180 o

o

o

A

D

C

B

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། DBC ནི​ི་ཐི​ིག་རེ​ེད། དེ​ེ་ནི​ི། B ནི​ི་ཐི​ིག་དུམ་ DC སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད།

དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༤

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༦ དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཞི​ིག་གི​ི་ནང་ཟུར་གྱི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་ལས་གྲུབ་པའི​ི་ (གལ་ཏེ​ེ་གྲུབ་ན་) དབྱི​ིབས་ མཐའ་བཞི​ི་མ་ནི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ནང་འབྲེ​ེལ་ཡི​ིན་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

ལན། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༣༥ ནང་། ABCD ནི​ི་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཡི​ིན་པ་དང་དེ​ེའི​ི་ནང་ཟུར་ A, དང་ B, C, D ཡི​ིས་གོ​ོ་རི​ིམ་བཞི​ིན་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་ AH དང་ BF, CF, DH སོ​ོ་སོ​ོས་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ EFGH

གྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

FEH =

FGH =

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

AEB = 180 −

EAB −

o

EBA

A

(ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།)

F

1 ( A + B) 2 o CGD = 180 − GCD − GDC (ཅི​ིའི​ི་ཕྱི​ིར།) = 180 − o

1 = 180 − ( C + 2 1 o FGH = 180 − ( 2 o

FEH +

E

B

D)

A+

178

D

B) + 180 − o

1 ( 2

G

H C

དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༥

C+

D)

སྒོར་དབྱིབ

1 ( A + B + C + D) 2 1 o o o o o = 360 − × 360 = 360 − 180 = 180 2

= 360 − o

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ ༡༠་༡༢ ལས་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ EFGH ནི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ནང་འབྲེ​ེལ་རེ​ེད།

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༡༠་༥

B

སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་གསུམ་ཡི​ིན་པ་དང་།

o BOC = 30 དང་

A

AOB =

O

60 རེ​ེད། གལ་སྲི​ིད་ D ནི​ི་གཞུ་ཐི​ིག་ ABC སྟེ​ེང་མི​ིན་པའི​ི་གནས་གཞན་ o

ཞི​ིག་ཡི​ིན་ན།

D

ADC ཚོ​ོལ།

དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༦

༢། སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་ནི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཚངས་ཕྱེ​ེད་དང་གཅི​ིག་མཚུངས་

རེ​ེད། རྒྱུད་ཐི​ིག་གི​ིས་གཞུ་ཐུང་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་ཤི​ིག་དང་གཞུ་རི​ིང་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་ ཤི​ིག་ལ་གྲུབ་པའི​ི་ཟུར་ཚོ​ོལ།

༣། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༣༧ ནང་།

༤། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༣༨ ནང་། BDC ཚོ​ོལ།

P

ABC = 69 དང་ o

དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༧

BAC ཚོ​ོལ།

D

A

ACB = 31 རེ​ེད།

R

O

OPR ཚོ​ོལ།

བཞི​ི་རེ​ེད། AC དང་ BD ནི​ི་གནས་ E ལ་སྣོ​ོལ་ནས་ ECD = 20 རེ​ེད།

o

100

o

o

B

༥། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༣༩ ནང་། A དང་ B, C, D ནི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་ o

Q

PQR = 100 ཡི​ིན་པ་དང་ P དང་ Q, R ནི​ི་

སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ O ཡི​ིན་པའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་རེ​ེད།

o

60

30 o

༡། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༣༦ ནང་། A དང་ B, C ནི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ O ཡི​ིན་པའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་

C

BEC = 130 དང་ o

69o

31o

C

དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༨

A E B

130o

D

20o

C

དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༩

༦། ABCD ནི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ནང་འབྲེ​ེལ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཞི​ིག་ཡི​ིན་པ་དང་དེ​ེའི་ི གཏད་ཐི​ིག་གཉི​ིས་གནས་ E ལ་སྣོ​ོལ་ གྱི​ི་ཡོ​ོད། གལ་སྲི​ིད་ ན།

ECD ཚོ​ོལ།

DBC = 70 དང་ o

BAC = 30 ཡི​ིན་ན། o

179

BCD ཚོ​ོལ། AB = BC ཡི​ིན་

རྩིས་རིག

༧། གལ་སྲི​ིད་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ནང་འབྲེ​ེལ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་གཏད་ཐི​ིག་ནི​ི་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ཟུར་ཚེ​ེག་བརྒྱུད་ ནས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཚངས་ཐི​ིག་ཡི​ིན་ན། དེ​ེ་གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་ཡི​ིན་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

༨། གལ་སྲི​ིད་སྐས་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་མཉམ་འགྲོ​ོ་མི​ིན་པའི​ི་མཐའ་རྣམས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་ན། དེ​ེ་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ནང་ འབྲེ​ེལ་ཡི​ིན་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

༩། སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་གཉི​ིས་གནས་ B དང་ C ལ་སྣོ​ོལ་གྱི​ི་ཡོ​ོད། B བརྒྱུད་པའི​ི་ཐི​ིག་དུམ་ ABD དང་ PBQ གཉི​ིས་

P

B A

བྲི​ིས་ཏེ​ེ་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་སྟེ​ེང་གནས་ A དང་ D, P, Q སོ​ོ་ སོ​ོར་སྣོ​ོལ་བར་གྱི​ིས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༠་༤༠ ལ་ལྟོ​ོས་)

D

ACP =

QCD ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

Q C དཔེ་རིས་ ༡༠་༤༠

༡༠། གལ་སྲི​ིད་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མཐའ་གཉི​ིས་ཚངས་ཐི​ིག་ལྟར་བླངས་ནས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་གཉི​ིས་བྲི​ིས་ན། སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ འདི​ི་དག་གི​ི་སྣོ​ོལ་སྣེ​ེ་ནི​ི་མཐའ་གསུམ་པའི​ི་སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

༡༡། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC དང་ ADC གཉི​ིས་ལ་གསེ​ེག་མཐའ་ AC ཐུན་མོ​ོང་ཡོ​ོད།

CAD =

CBD ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

༡༢། སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ནང་འབྲེ​ེལ་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་ནི​ི་གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་ཡི​ིན་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

༡༠་༩ སྙི​ིང་བསྡུས།

སློ​ོབ་ཚན་འདི​ིར་གཤམ་གསལ་གནད་དོ​ོན་ཁག་སྦྱངས་ཡོ​ོད།

༡། སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་སྟེ​ེང་དུ་གནས་བརྟན་པོ​ོ་ཞི​ིག་ནས་བར་ཐག་མཉམ་པའི​ི་གནས་ཚང་མ་ལས་གྲུབ་པའི​ི་དབྱི​ིབས་ལ་ སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཟེ​ེར།

༢། སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ (ཡང་ན་ཡོ​ོངས་མཚུངས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་) ཤི​ིག་གི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས་ཀྱི​ིས་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ལ་ཟུར་གཅི​ིག་ མཚུངས་གྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

༣། གལ་སྲི​ིད་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ (ཡང་ན་ཡོ​ོངས་མཚུངས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་) ཤི​ིག་གི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་གི​ིས་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ (གནས་མཐུན་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་) ལ་གྲུབ་ པའི​ི་ཟུར་རྣམས་མཚུངས་ན། རྒྱུད་ཐི​ིག་རྣམས་མཚུངས།

༤། སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ནས་རྒྱུད་ཐི​ིག་ལ་དྲང་འཕྱང་གི​ིས་རྒྱུད་ཐི​ིག་མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

༥། རྒྱུད་ཐི​ིག་མཉམ་བགོ​ོད་བྱེ​ེད་པར་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་བརྒྱུད་ནས་བྲི​ིས་པའི​ི་ཐི​ིག་དེ​ེ་རྒྱུད་ཐི​ིག་ལ་དྲང་འཕྱང་ རེ​ེད།

180

སྒོར་དབྱིབ

༦། ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་གཅི​ིག་སྟེ​ེང་གནས་མི​ིན་པའི​ི་གནས་གསུམ་བརྒྱུད་པའི​ི་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་གཅི​ིག་ཁོ​ོ་ན་ལས་མེ​ེད།

༧། སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ (ཡང་ན་ཡོ​ོངས་མཚུངས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་) ཤི​ིག་གི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས་རྣམས་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ (སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་རྣམས་) ནས་ བར་ཐག་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན།

༨། སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ (ཡང་ན་ཡོ​ོངས་མཚུངས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་) ཤི​ིག་ཀྱི​ི་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ (གནས་མཐུན་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་) ནས་བར་ཐག་གཅི​ིག་མཚུངས་ ཡི​ིན་པའི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་རྣམས་ཀྱི​ི་རི​ིང་ཚད་མཚུངས།

༩། གལ་སྲི​ིད་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་རྒྱུད་ཐི​ིག་གཉི​ིས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་ན། དེ​ེ་དག་གི​ི་གནས་མཐུན་གཞུ་ཐི​ིག་རྣམས་

ཡོ​ོངས་མཚུངས་ཡི​ིན་པ་དང་། དེ​ེའི་ི ལྡོ​ོག་འདྲེ​ེན་དུ་གཞུ་ཐི​ིག་གཉི​ིས་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་ན། དེ​ེ་དག་གི​ི་གནས་ མཐུན་རྒྱུད་ཐི​ིག་ (གཞུ་ཐུང་། གཞུ་རི​ིང་།) རྣམས་མཚུངས།

༡༠། སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོངས་མཚུངས་གཞུ་ཐི​ིག་ (ཡང་ན་གཞུ་ཐི​ིག་གཅི​ིག་མཚུངས) གི​ིས་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ལ་ཟུར་གཅི​ིག་མཚུངས་ གྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

༡༡། གཞུ་ཐི​ིག་གི​ིས་སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ལ་གྲུབ་པའི​ི་ཟུར་ནི​ི་དེ​ེས་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ཆ་ཤས་ལྷག་མ་གང་རུང་སྟེ​ེང་གི​ི་གནས་ཤི​ིག་ལ་ གྲུབ་པའི​ི་ཟུར་གྱི​ི་ཉི​ིས་ལྡབ་རེ​ེད།

༡༢། སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཤི​ིག་ཀྱི​ི་གཞུ་དབྱི​ིབས་གཅི​ིག་པའི​ི་ནང་གི​ི་ཟུར་རྣམས་མཚུངས། ༡༣། ཕྱེ​ེད་སྒོ​ོར་ནང་གི​ི་ཟུར་ནི​ི་དྲང་ཟུར་རེ​ེད།

༡༤། གལ་སྲི​ིད་གནས་གཉི​ིས་མཐུད་པའི​ི་ཐི​ིག་དུམ་གྱི​ིས་དེ​ེའི་ི ཕྱོ​ོགས་གཅི​ིག་ན་ཡོ​ོད་པའི​ི་གནས་གཞན་གཉི​ིས་ལ་ཟུར་ གཅི​ིག་མཚུངས་གྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་ན། གནས་བཞི​ི་པོ​ོ་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད།

༡༥། སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ནང་འབྲེ​ེལ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་གཏད་ཟུར་གཉི​ིས་པོ​ོ་གང་རུང་གི​ི་བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་ནི​ི་ 180o རེ​ེད།

༡༦། གལ་སྲི​ིད་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་གཏད་ཟུར་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་ 180o ཡི​ིན་ན། དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ དེ​ེ་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ནང་འབྲེ​ེལ་རེ​ེད།

181

བཀོད་པ།

Constructions ༡༡་༡ ངོ་སྤྲོད།

༡༡

སྔོ​ོན་མའི​ི་སློ​ོབ་ཚན་ཁག་ནང་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་ཞི​ིག་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་པའམ་ཡང་ན་སྦྱོ​ོང་ཚན་གྱི​ི་ལན་འཚོ​ོལ་བར་དགོ​ོས་ ངེ​ེས་ཀྱི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ཏག་ཏག་མེ​ེད།

དེ​ེ་དག་ཁྱེ​ེད་ལ་གནས་སྟངས་ཀྱི​ི་ཚོ​ོར་སྣང་སྤྲོ​ོད་རྒྱུ་དང་རྒྱུ་མཚན་ལྡན་པའི​ི་ཞི​ིབ་

འཇུག་བྱེ​ེད་ཆེ​ེད་དུ་བྲི​ིས་ཡོ​ོད། ཡི​ིན་ནའང་། སྐབས་རེ​ེ་ང་ཚོ​ོར་དཔེ​ེ་རི​ིས་ཞི​ིབ་ཚགས་པོ​ོ་དགོ​ོས་པའི​ི་གནས་སྟངས་ཀྱང་

ཡོ​ོད། དཔེ​ེར་ན། ཁང་པ་གསར་རྒྱག་ཆེ​ེད་ས་ཁྲ་འགོ​ོད་པ་དང་། འཕྲུལ་འཁོ​ོར་གྱི​ི་ལྷུ་ལག་གི​ི་འཆར་གཞི​ི་འགོ​ོད་པ། ལམ་རི​ིས་འགོ​ོད་པ་སོ​ོགས།

དེ​ེ་འདྲ་བའི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་འབྲི​ི་བར་གཞི​ི་རྩའི​ི་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོ་ཆས་ཁག་ཅི​ིག་དགོ​ོས།

ཁྱེ​ེད་ལ་གཤམ་གསལ་ཡོ​ོ་ཆས་ལྡན་པའི​ི་དབྱི​ིབས་ཆས་སྒམ་ཡོ​ོད་ཀྱི​ི་རེ​ེད།

(༡) ཚད་གཞི​ི་ཅན་གྱི​ི་ཐི​ིག་ཤི​ིང་། ཕྱོ​ོགས་གཅི​ིག་ལ་སན་ཊི​ི་མི​ི་ཊར་དང་མི​ི་ལི​ི་མི​ི་ཊར་བཀོ​ོད་ཡོ​ོད་པ་དང་། ཕྱོ​ོགས་ གཞན་ལ་ཨི​ིན་ཅི​ི་བཀོ​ོད་ཡོ​ོད།

(༢) ཟུར་གསུམ་ཐི​ིག་ཤི​ིང་ཆ་གཅི​ིག གཅི​ིག་ལ་ཟུར་ 90o དང་ 60o, 30o ཅན་དང་གཞན་ལ་ཟུར་ 90o དང་ 45o, 45 ཅན་ཡི​ིན། o

(༣) བགོ​ོད་ཐུར།

(༤) སྒོ​ོར་ཆས་ཆ་གཅི​ིག་དང་དེ​ེའི​ི་སྣེ​ེ་གཅི​ིག་ལ་ཞ་སྨྱུག་འཛི​ིན་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཆ་རྐྱེ​ེན་ཡོ​ོད། (༥) ཟུར་ཚད་འཇལ་ཆས།

སྤྱི​ིར་བཏང་ནས་ཡོ​ོ་ཆས་འདི​ི་དག་ཚད་གཞི​ི་ཤེ​ེས་པའི​ི་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་ཀྱི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ཟུར་གསུམ་མ་དང་། སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས། དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ། དབྱི​ིབས་མཐའ་མང་སོ​ོགས་འགོ​ོད་སྐབས་སྤྱོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པའི​ི་བཀོ​ོད་པ་ནི​ི་ ཡོ​ོ་ཆས་གཉི​ིས་ཏེ​ེ། ཚད་གཞི​ི་མེ​ེད་པའི​ི་ཐི​ིག་ཤི​ིང་དང་། སྒོ​ོར་ཆས་སྤྱད་དེ​ེ་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་ཀྱི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་འབྲི​ི་བའི​ི་བརྒྱུད་ རི​ིམ་ཞི​ིག་རེ​ེད།

ཚད་གཞི​ི་ཤེ​ེས་དགོ​ོས་པའི​ི་བཀོ​ོད་རི​ིས་ནང་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཚད་གཞི​ི་ཅན་གྱི​ི་ཐི​ིག་ཤི​ིང་དང་ཟུར་ཚད་

འཇལ་ཆས་སྤྱོ​ོད་དགོ​ོས། ང་ཚོ​ོས་སློ​ོབ་ཚན་འདི​ིའི​ི་ནང་གཞི​ི་རྩའི​ི་བཀོ​ོད་པ་ཁ་ཤས་སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན། དེ​ེ་ནས་འདི​ི་དག་ ཟུར་གསུམ་མ་རི​ིགས་འགའ་ཤས་བཟོ​ོ་བར་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་གཏོ​ོང་གི​ི་ཡི​ིན།

༡༡་༢ གཞི​ི་རྩའི​ི་བཀོ​ོད་པ། Basic Constructions

འཛི​ིན་གྲྭ་དྲུག་པའི​ི་ནང་། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་བདེ​ེན་པ་དག་སྐྱེ​ེལ་མ་བྱས་པར་སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་དང་། ཐི​ིག་དུམ་ཞི​ིག་གི​ི་མཉམ་ བགོ​ོད་ཐི​ིག 30o དང་ 40o, 60o , 90o, 120o ཅན་གྱི​ི་ཟུར། ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པའི​ི་ཟུར་གྱི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་བཅས་ཀྱི​ི་

བཀོད་པ།

འགོ​ོད་སྟངས་སྦྱངས་ཡོ​ོད། ལེ​ེ་ཚན་འདི​ིའི་ི ནང་དེ​ེ་དག་ལས་བཀོ​ོད་པ་འགའ་རྒྱུ་མཚན་བགྲངས་ནས་འགོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན། བཀོ​ོད་པ། ༡༡་༡ ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པའི​ི་ཟུར་གྱི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་འགོ​ོད་པ། ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པའི​ི་ཟུར་ ABC ཡི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་འགོ​ོད་དགོ​ོས། བཀོ​ོད་པའི​ི་གོ​ོམ་རི​ིམ།

༡། སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ B དང་ཚངས་ཕྱེ​ེད་གང་རུང་བླངས་ནས། འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ BA དང་ BC ཐོ​ོག་གནས་ E དང་ D ལ་འཕྲད་ པའི​ི་གཞུ་ཐི​ིག་ཅི​ིག་བྲི​ིས། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༡་༡(ཀ) ལ་ལྟོ​ོས་]

༢། དེ​ེ་ནས། སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ D དང་ E དང་། ཚངས་ཕྱེ​ེད་ 1 DE ལས་མང་བ་བླངས་ནས་ཕན་ཚུན་ F ལ་འཕྲད་པའི​ི་ གཞུ་ཐི​ིག་གཉི​ིས་བྲི​ིས།

2

༣། འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ BF བྲི​ིས། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༡་༡(ཁ) ལ་ལྟོ​ོས་] འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ BF ནི​ི་ཟུར་ ABC ཡི​ི་དགོ​ོས་མཁོ​ོའི་ི མཉམ་བགོ​ོད་ ཐི​ིག་རེ​ེད།

A

A

E

E

F B

D

B

C (ཀ)

དཔེ་རིས་ ༡༡་༡

D

C (ཁ)

ཐབས་ལམ་འདི​ི་ལས་ཟུར་གྱི​ི་དགོ​ོས་མཁོ​ོའི་ི མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་སྤྲོ​ོད་སྟངས་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན། DF དང་ EF མཐུད། ཟུར་གསུམ་མ་ BEF དང་ BDF ནང་།

BE = BD

EF = DF

BF = BF

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། དེ​ེས་ན།

∆ BEF EBF =

(གཞུ་ཐི​ིག་གཅི​ིག་པའི​ི་ཚངས་ཕྱེ​ེད།)

(ཚངས་ཕྱེ​ེད་གཅི​ིག་པའི​ི་གཞུ་ཐི​ིག)

(སྤྱི​ི་མཐའ།)

∆ BDF (SSS སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ།) DBF (CPCT)

བཀོ​ོད་པ། ༡༡་༢ ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་དུམ་གྱི​ི་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་འགོ​ོད་པ།

ང་ཚོ​ོས་ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་དུམ་ AB ཡི​ི་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་འགོ​ོད་དགོ​ོས། བཀོ​ོད་པའི​ི་གོ​ོམ་རི​ིམ།

༡། སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ A དང་ B དང་ཚངས་ཕྱེ​ེད་ 1 AB ལས་མང་བ་བླངས་ནས་ཐི​ིག་དུམ་ AB ཡི​ི་ཕྱོ​ོགས་གཉི​ིས་ལ་གཞུ་ ཐི​ིག་བྲི​ིས། (ཕན་ཚུན་འཕྲད་པ།)

2

183

རྩིས་རིག

༢། གཞུ་ཐི​ིག་འདི​ི་དག་ཕན་ཚུན་འཕྲད་སའི​ི་གནས་ལ་ P དང་ Q

P

བྲི​ིས། PQ མཐུད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༡་༢ ལ་ལྟོ​ོས་)

༣། PQ ནི​ི་ AB ཐོ​ོག་གནས་ M ལ་འཕྲད་པར་གྱི​ིས། ཐི​ིག་ PMQ ནི​ི་ AB ཡི​ི་དགོ​ོས་མཁོ​ོའི་ི དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོ​ོད་རེ​ེད།

A

ཐབས་ལམ་འདི​ིས་ང་ཚོ​ོར་ AB ཡི​ི་དགོ​ོས་མཁོ​ོའི་ི དྲང་འཕྱང་མཉམ་ བགོ​ོད་ཐི​ིག་སྤྲོ​ོད་སྟངས་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན།

A དང་ B ནི​ི་ P དང་ Q གཉི​ིས་ལ་མཐུད་དེ​ེ་ AP དང་ AQ, BP, BQ གྲུབ་པར་བྱོ​ོས།

ཟུར་གསུམ་མ་ PAQ དང་ PBQ ནང་།

B

M

Q དཔེ་རིས་ ༡༡་༢

(ཚངས་ཕྱེ​ེད་གཅི​ིག་པའི​ི་གཞུ་ཐི​ིག)

AP = BP

AQ = BQ

PQ = PQ

(ཚངས་ཕྱེ​ེད་གཅི​ིག་པའི​ི་གཞུ་ཐི​ིག)

∆ PBQ

(SSS ཆ་རྐྱེ​ེན།)

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

∆ PAQ

(སྤྱི​ི་མཐའ།)

དེ​ེས་ན།

APM =

AP = BP

ཟུར་གསུམ་མ་ PMA དང་ PMB ནང་།

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

PM = PM

APM =

∆ PMA

དེ​ེས་ན།

AM = BM དང་

དེ​ེས་ན།

PMA =

ཡང་།

BPM

PMA +

BPM

PMB

PMB = 180 o

PMB = 90

o

(སྔ་མ་ལྟར།) (སྤྱི​ི་མཐའ།)

(གོ​ོང་ལ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་ཟི​ིན།)

∆ PMB PMA =

(CPCT)

(SAS ཆ་རྐྱེ​ེན།)

(CPCT)

(ཉེ​ེ་གསབ་ཟུར་གྱི​ི་སྤྱི​ི་སྲོ​ོལ།)

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། PM ཡང་ན། PMQ ནི​ི་ AB ཡི​ི་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོ​ོད་རེ​ེད།

བཀོ​ོད་པ། ༡༡་༣ ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པའི​ི་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་སྟེ​ེང་གི​ི་ཐོ​ོག་མའི​ི་གནས་ལ་ཟུར་ 60o འགོ​ོད་པ།

འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ AB དང་དེ​ེའི་ི སྟེ​ེང་དུ་ཐོ​ོག་མའི​ི་གནས་ A ཞི​ིག་བླངས། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༡་༣(ཀ) ལ་ལྟོ​ོས་] ང་ཚོ​ོས་ ཡི​ིན་པའི​ི་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ AC འགོ​ོད་དགོ​ོས། དེ​ེ་འགོ​ོད་པར་ཐབས་ལམ་གཅི​ིག་ནི​ི་གཤམ་གསལ་ཡི​ིན། བཀོ​ོད་པའི​ི་གོ​ོམ་རི​ིམ།

༡། སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ A དང་ཚངས་ཕྱེ​ེད་གང་རུང་གི​ི་གཞུ་ཐི​ིག་ཅི​ིག་བྲི​ིས་ཏེ​ེ། AB ཐོ​ོག་གནས་ D ལ་འཕྲད་པར་བྱོ​ོས།

184

o

CAB = 60

༢། སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ D དང་ཚངས་ཕྱེ​ེད་གོ​ོང་དང་མཉམ་པའི​ི་གཞུ་ཐི​ིག་གཞན་ ཞི​ིག་གོ​ོང་དུ་བྲི​ིས་པའི​ི་གཞུ་ཐི​ིག་གི​ི་ཐོ​ོག་གནས་ E ལ་འཕྲད་པར་

བཀོད་པ། A

B

བྲི​ིས།

C

༣། E བརྒྱུད་པའི​ི་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ AC བྲི​ིས། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༡་༣(ཁ) ལ་ལྟོ​ོས་] དེ​ེས་ན།

CAB ནི​ི་དགོ​ོས་མཁོ​ོའི་ི ཟུར་ 60 རེ​ེད། o

E

གཤམ་གྱི​ི་ཐབས་ལམ་ལས་དགོ​ོས་མཁོ​ོའི་ི ཟུར་ 60o གྲུབ་སྟངས་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན། DE མཐུད།

དེ​ེ་ནས།

(བཀོ​ོད་པ་ལས།)

AE = AD = DE

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ∆ EAD ནི​ི་མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཡི​ིན་པ་དང་

(ཀ)

EAD =

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༡༡་༡

B

A

D དཔེ་རིས་ ༡༡་༣

(ཁ)

CAB = 60 རེ​ེད། o

༡། ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པའི​ི་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་སྟེ​ེང་གི​ི་ཐོ​ོག་མའི​ི་གནས་ལ་ཟུར་ 60o བཀོ​ོད་ནས་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

༢། ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པའི​ི་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་སྟེ​ེང་གི​ི་ཐོ​ོག་མའི​ི་གནས་ལ་ཟུར་ 45o བཀོ​ོད་ནས་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས། ༣། གཤམ་གསལ་ཚད་གཞི​ི་ཅན་གྱི​ི་ཟུར་ཁོ​ོད།

o

(ཀ) 30o

(ཁ) 22 1

(ག) 15o

(ཀ) 75o

(ཁ) 105o

(ག) 135o

2

༤། གཤམ་གསལ་ཟུར་བཀོ​ོད་ནས་དེ​ེ་དག་ཟུར་ཚད་འཇལ་ཆས་ཀྱི​ིས་ཟུར་བཅལ་ནས་ཞི​ིབ་བཤེ​ེར་གྱི​ིས། ༥། ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པའི​ི་མཐའ་ལ་མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་བཀོ​ོད་ནས་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱོ​ོས།

༡༡་༣ ཟུར་གསུམ་མ་ཁག་ཅི​ིག་འགོ​ོད་པ། Construction of some Triangles

ལེ​ེ་ཚན་འདི​ིའི​ི་ནང་། གོ​ོང་དུ་སྤྲད་པའི​ི་བཀོ​ོད་པ་དང་འཛི​ིན་རི​ིམ་སྔོ​ོན་མའི​ི་ནང་སྤྲད་པའི​ི་བཀོ​ོད་པ་སྤྱད་ནས་ཟུར་

གསུམ་མ་ཁག་ཅི​ིག་འགོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན། སློ​ོབ་ཚན་བདུན་པ་ནས་ SAS དང་ SSS, ASA, RHS ཆ་རྐྱེ​ེན་གྱི​ིས་ཟུར་ གསུམ་མ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོངས་མཚུངས་སྟོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད་པ་དྲན་གསོ​ོ་གྱི​ིས་དང་།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ (ཀ) མཐའ་གཉི​ིས་དང་ཚུད་ཟུར་ཤེ​ེས་པ་ཡང་ན། (ཁ) མཐའ་གསུམ་ཤེ​ེས་པ་ཡང་ན། (ག) ཟུར་གཉི​ིས་

དང་ཚུད་མཐའ་ཤེ​ེས་པ་ཡང་ན། (ང) དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ནང་གསེ​ེག་མཐའ་དང་མཐའ་གཅི​ིག་ཤེ​ེས་པའི​ི་ཟུར་

གསུམ་མ་ཁྱད་པར་ཅན་འགོ​ོད་སྟངས་འཛི​ིན་རི​ིམ་བདུན་པའི​ི་ནང་སྦྱངས་ཡོ​ོད། ང་ཚོ​ོས་ཆ་རྐྱེ​ེན་གཞན་ལྡན་པའི​ི་ ཟུར་གསུམ་མ་འགའ་འགོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན། ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་དགོ​ོད་པར་དེ​ེའི​ི་རྒྱུ་གསུམ་ཉུང་མཐར་ཤེ​ེས་དགོ​ོས། ཡི​ིན་

185

རྩིས་རིག

ནའང་། རྒྱུ་གསུམ་ཤེ​ེས་པ་ཙམ་གྱི​ིས་ཟུར་གསུམ་མ་འགོ​ོད་ཐུབ་ཀྱི​ི་མེ​ེད། དཔེ​ེར་ན། གལ་སྲི​ིད་མཐའ་གཉི​ིས་དང་ཟུར་ (ཚུད་ཟུར་མི​ིན་པ་) ཞི​ིག་སྤྲད་ཡོ​ོད་ན། ཟུར་གསུམ་མ་འདི​ི་འགོ​ོད་ཐུབ་ཀྱི​ི་མེ​ེད།

བཀོ​ོད་པ། ༡༡་༤ ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཞབས་དང་ཞབས་ཟུར་གཅི​ིག མཐའ་གཞན་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་ཤེ​ེས་པའི​ི་

ཟུར་གསུམ་མ་འགོ​ོད་པ།

ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཡི​ི་ཞབས་ BC དང་ཞབས་ཟུར་

སྤྲད་ཡོ​ོད་པ་དང་། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཟུར་གསུམ་མ་དེ​ེ་འགོ​ོད་དགོ​ོས།

B མཐའ་གཞན་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་ AB + AC

བཀོ​ོད་པའི​ི་གོ​ོམ་རི​ིམ།

༡། ཞབས་ BC བྲི​ིས་ནས་གནས་ B ལ་སྤྲད་ཟི​ིན་པའི​ི་ཟུར་ཚད་དང་མཚུངས་པའི​ི་ཟུར་ XBC བྲི​ིས། ༢། སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ B དང་ཚངས་ཕྱེ​ེད་ AB + AC ཡི​ིན་པའི​ི་གཞུ་ཐི​ིག་ཅི​ིག་ འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ BX སྟེ​ེང་གནས་ D ལ་འཕྲད་པར་བྲི​ིས།

༣། DC མཐུད་ནས་

BDC ལ་མཚུངས་པའི​ི་

D

DCY ཁོ​ོད།

༤། CY དང་ BX འཕྲད་གནས་ལ་ A བྲི​ིས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༡་༤ ལ་ལྟོ​ོས་)

Y A

ABC ནི​ི་དགོ​ོས་མཁོ​ོའི་ི ཟུར་གསུམ་མ་རེ​ེད།

ཁྱེ​ེད་ལ་དགོ​ོས་མཁོ​ོའི་ི ཟུར་གསུམ་མ་ཇི​ི་ལྟར་ཐོ​ོབ་སྟངས་ལ་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན། ཞབས་ BC དང་

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། དང་།

B

B ནི​ི་སྤྲད་ཟི​ིན་པ་ལྟར་བཀོ​ོད་ཡོ​ོད།

ཟུར་གསུམ་མ་ ACD ནང་། ACD =

AC = AD

ADC

X

C

དཔེ་རིས་ ༡༡་༤

(བཀོ​ོད་པ་ལས།)

AB = BD − AD = BD − AC

AB + AC = BD D

ཐབས་ལམ་གཞན།

གོ​ོང་གི​ི་གོ​ོམ་རི​ིམ་ཐོ​ོག་མ་གཉི​ིས་རྗེ​ེས་འདེ​ེད་བྱོ​ོས། དེ​ེ་ནས་ CD ཡི​ི་

A

དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་ PQ བཀོ​ོད་དེ​ེ་ BD ཐོ​ོག་གནས་ A ལ་འཕྲད་པར་གྱི​ིས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༡་༥ ལ་ལྟོ​ོས་) AC མཐུད། ABC ནི​ི་ དགོ​ོས་མཁོ​ོའི་ི ཟུར་གསུམ་མ་རེ​ེད། A ནི​ི་ CD ཡི​ི་དྲང་འཕྱང་མཉམ་ བགོ​ོད་ཐི​ིག་གི​ི་སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན། AD = AC

Q P

B

དཔེ་རིས་ ༡༡་༥

མཆན། གལ་སྲི​ིད་བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་ AB + AC ≤ BC ཡི​ིན་ན། ཟུར་གསུམ་མ་འགོ​ོད་ཐུབ་ཀྱི​ི་མེ​ེད།

186

X

C

བཀོ​ོད་པ། ༡༡་༥

གསུམ་མ་འགོ​ོད་པ།

བཀོད་པ།

ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཞབས་དང་ཞབས་ཟུར་གཅི​ིག མཐའ་གཞན་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་ཧེ​ེ་བག་ཤེ​ེས་པའི​ི་ཟུར་

ཞབས་ BC དང་ཞབས་ཟུར་

B མཐའ་གཞན་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་ཧེ​ེ་བག་ AB − AC ཡང་ན་ AC − AB སྤྲད་ཡོ​ོད་

པ་དང་། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC འགོ​ོད་དགོ​ོས། གཤམ་གསལ་གནས་སྟངས་གཉི​ིས་ཡོ​ོད། གནས་སྟངས་ (༡) AB > AC དེ​ེ་ནི​ི། AB − AC སྤྲད་ཡོ​ོད། བཀོ​ོད་པའི​ི་གོ​ོམ་རི​ིམ།

A X

༡། ཞབས་ BC བྲི​ིས་ནས་གནས་ B ལ་སྤྲད་ཟི​ིན་པའི​ི་ཟུར་ཚད་དང་ མཚུངས་པའི​ི་ཟུར་ XBC བྲི​ིས།

༢། སྒོ​ོར་ལྟེ​ེ་ B དང་ཚངས་ཕྱེ​ེད་ AB − AC ཡི​ིན་པའི​ི་གཞུ་ཐི​ིག་ཅི​ིག་ འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ BX སྟེ​ེང་གནས་ D ལ་འཕྲད་པར་ཁོ​ོད།

༣། DC མཐུད་ནས་ DC ཡི​ི་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་ PQ ཁོ​ོད།

B

༤། PQ དང་ BX འཕྲད་གནས་ལ་ A བྲི​ིས། AC མཐུད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༡་༦)

C

དེ​ེས་ན། ABC ནི​ི་དགོ​ོས་མཁོ​ོའི་ི ཟུར་གསུམ་མ་རེ​ེད།

Q དཔེ་རིས་ ༡༡་༦

ང་ཚོ​ོར་དགོ​ོས་མཁོ​ོའི་ི ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཐོ​ོབ་སྟངས་ལ་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན། ཞབས་ BC དང་

P

D

B ནི​ི་སྤྲད་ཟི​ིན་པ་ལྟར་བཀོ​ོད་ཡོ​ོད། གནས་ A ནི​ི་ DC ཡི​ི་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་གི​ི་

སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

དེ​ེས་ན།

AD = AC

BD = AB − AD = AB − AC

གནས་སྟངས་ (༢) AB < AC དེ​ེ་ནི​ི། AC − AB སྤྲད་ཡོ​ོད། བཀོ​ོད་པའི​ི་གོ​ོམ་རི​ིམ།

༡། གནས་སྟངས་ (༡) ཡི​ི་གོ​ོམ་རི​ིམ་དང་པོ​ོ་དང་གཅི​ིག་མཚུངས་རེ​ེད།

༢། ཐི​ིག་དུམ་ BC ཡི​ི་ལྡོ​ོག་ཕྱོ​ོགས་སུ་འཕྲོ​ོ་ཐི​ིག་ BX བསྲི​ིངས་ཏེ​ེ།

X

དེ​ེར་ AC − AB དང་རི​ིང་ཚད་མཉམ་པའི​ི་ཐི​ིག་དུམ་ BD

A

གཏུབས།

༣། DC མཐུད་ནས་ DC ཡི​ི་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་ PQ ཁོ​ོད། ༤། PQ དང་ BX འཕྲད་གནས་ལ་ A བྲི​ིས། AC མཐུད།

(དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༡་༧ ལ་ལྟོ​ོས་) ABC ནི​ི་དགོ​ོས་མཁོ​ོའི་ི ཟུར་གསུམ་མ་རེ​ེད།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་གནས་སྟངས་ (༡) ལྟར་བཀོ​ོད་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་བྱེ​ེད་ཐུབ།

187

B

P C

D Q དཔེ་རིས་ ༡༡་༧

རྩིས་རིག

བཀོ​ོད་པ། ༡༡་༦

འགོ​ོད་པ།

ཞབས་ཟུར་

འགོ​ོད་དགོ​ོས།

ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་དང་དེ​ེའི​ི་ཞབས་ཟུར་གཉི​ིས་ཤེ​ེས་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་

B དང་

C དང་ BC + CA + AB སྤྲད་ཡོ​ོད་པ་དང་། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC

བཀོ​ོད་པའི​ི་གོ​ོམ་རི​ིམ།

༡། BC + CA + AB ལ་མཚུངས་པའི​ི་ཐི​ིག་དུམ་ XY བྲི​ིས། ༢། ༣།

B ལ་མཚུངས་པའི​ི་ཟུར་ LXY དང་ LXY དང་

[དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༡་༨ ལ་ལྟོ​ོས་]

C ལ་མཚུངས་པའི​ི་ཟུར་ MYX བྲི​ིས།

MYX མཉམ་བགོ​ོད་བྱོ​ོས། མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་དེ​ེ་དག་འཕྲད་སའི​ི་གནས་ལ་ A བྲི​ིས། L

M A

X

Y

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༡་༨

༤། AX ཡི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་ PQ དང་ AY ཡི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་ RS ཁོ​ོད།

༥། PQ དང་ XY འཕྲད་གནས་ལ་ B དང་། RS དང་ XY འཕྲད་གནས་ལ་ C བྲི​ིས། AB དང་ AC མཐུད། [དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༡་༩ ལ་ལྟོ​ོས་]

L

M

P

X

A

R

B

C Q

S

Y

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༡་༩

ABC ནི​ི་དགོ​ོས་མཁོ​ོའི་ི ཟུར་གསུམ་མ་རེ​ེད། བཀོ​ོད་པ་ཁུངས་སྐྱེ​ེལ་ཆེ​ེད་ B ནི​ི་ AX ཡི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་ PQ

སྟེ​ེང་ལ་ཡོ​ོད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན། XB = AB དང་ CY = AC དེ​ེས། ཡང་།

BC + CA + AB = BC + XB + CY = XY BAX =

AXB

188

(∆AXB ནང་ AB = XB) དང་།

ABC =

BAX +

དེ​ེ་མཚུངས།

ACB =

MYX

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡

B = 60o དང་

ཁོ​ོད།

བཀོ​ོད་པའི​ི་གོ​ོམ་རི​ིམ།

AXB = 2

AXB =

བཀོད་པ།

LXY

(དགོ​ོས་མཁོ​ོ་ལྟར།)

C = 45o, AB + BC + CA = 11 cm ཡི​ིན་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC

༡། ཐི​ིག་དུམ་ PQ = 11 cm ཅན་ཞི​ིག་བྲི​ིས། (= AB + BC + CA) ༢།

P = 60o དང་

Q = 45o ཁོ​ོད།

M L

A

F

D

o

60

E

B

o

C

P

45

G

Q

དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༡་༡༠

༣། ཟུར་འདི​ི་དག་མཉམ་བགོ​ོད་བྱོ​ོས། མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་འདི​ི་དག་འཕྲད་གནས་ལ་ A བྲི​ིས།

༤། AP ཡི​ི་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག་ DE དང་ PQ འཕྲད་གནས་ལ་ B དང་། AQ ཡི​ི་དྲང་འཕྱང་མཉམ་ བགོ​ོད་ཐི​ིག་ FG དང་ PQ འཕྲད་གནས་ལ་ C བྲི​ིས།

༥། AB དང་ AC མཐུད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༡་༡༠ ལ་ལྟོ​ོས་)

དེ​ེས་ན། ABC ནི​ི་དགོ​ོས་མཁོ​ོའི་ི ཟུར་གསུམ་མ་རེ​ེད།

༡། BC = 7 cm དང་

༢། BC = 8 cm དང་

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༡༡་༢

B = 75o, AB + AC = 13 cm ཡི​ིན་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཁོ​ོད།

B = 45o, AB − AC = 3.5 cm ཡི​ིན་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཁོ​ོད།

189

རྩིས་རིག

༣། QR = 6 cm དང་ ༤།

Y = 30o དང་

Q = 60o, PR − PQ = 2 cm ཡི​ིན་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་ PQR ཁོ​ོད།

Z = 90o, XY + YZ + ZX = 11 cm ཡི​ིན་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་ XYZ ཁོ​ོད།

༥། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཞབས་ 12 cm དང་དེ​ེའི་ི གསེ​ེག་མཐའ་དང་མཐའ་གཞན་ཞི​ིག་གི​ི་བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་ 18 cm ཅན་ གྱི​ི་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་ཁོ​ོད།

༡༡་༤ སྙི​ིང་བསྡུས།

སློ​ོབ་ཚན་འདི​ིར། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཐི​ིག་ཤི​ིང་དང་ཟུར་ཚད་འཇལ་ཆས་སྤྱད་དེ​ེ་གཤམ་གསལ་བཀོ​ོད་ཡོ​ོད། ༡། ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པའི​ི་ཟུར་གྱི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག

༢། ཤེ​ེས་ཟི​ིན་པའི​ི་ཐི​ིག་དུམ་གྱི​ི་མཉམ་བགོ​ོད་ཐི​ིག ༣། ཟུར་ 60o, 30o, 45o སོ​ོགས།

༤། ཞབས་དང་ཞབས་ཟུར། མཐའ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་བསྡོ​ོམས་ཐོ​ོབ་ཤེ​ེས་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ། ༥། ཞབས་དང་ཞབས་ཟུར། མཐའ་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་འཐེ​ེན་ཐོ​ོབ་ཤེ​ེས་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ། ༦། མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་དང་དེ​ེའི​ི་ཞབས་ཟུར་གཉི​ིས་ཤེ​ེས་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ།

190

༡༢

ཧི་རོན་ཆོ་ག

Heron's Formula ༡༢་༡ ངོ་སྤྲོད།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འཛི​ིན་རི​ིམ་སྔ་མའི​ི་ནང་བཟོ​ོ་དབྱི​ིབས་འདྲ་མི​ིན་གྱི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་གྲུ་བཞི​ི་ཁ་གང་མ་དང་། གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ། ཟུར་

གསུམ་མ། དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ལྟ་བུའི​ི་སྐོ​ོར་སྦྱངས་ཡོ​ོད། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དཔེ​ེ་རི​ིས་འདི​ི་དག་ལས་གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་དང་

གྲུ་བཞི​ི་ཁ་གང་མ་སོ​ོགས་ཀྱི​ི་མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ཡང་བཙལ་ཡོ​ོད། དཔེ​ེར་ན། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འཛི​ིན་གྲྭའི​ི་ ཞ་ལའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་དང་མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་འཚོ​ོལ་ཐུབ།

ང་ཚོ​ོས་ཞ་ལའི​ི་མཐའ་བརྒྱུད་སྐོ​ོར་བ་གཅི​ིག་བརྒྱབ་ན། བསྐྱོ​ོད་པའི​ི་བར་ཐག་ནི​ི་ཞ་ལའི​ི་མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་རེ​ེད། ཞ་ལའི​ི་ཁྱབ་ཚད་ནི​ི་དེ​ེའི་ི རྒྱ་ཁྱོ​ོན་རེ​ེད།

གལ་ཏེ​ེ་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ི་འཛི​ིན་གྲྭའི​ི་དཀྱུས་ལ་ 10 m དང་ཞེ​ེང་ལ་ 8 m ཡོ​ོད་ན། དེ​ེའི​ི་མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་ནི​ི་ 2(10 m + 8 m) = 36 m ཡི​ིན་པ་དང་། དེ​ེའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ནི​ི་ 10 m × 8 m = 80 m2 རེ​ེད།

དཀྱུས་སམ་ཡང་ན་ཞེ​ེང་གི​ི་འཇལ་ཚད་ཚད་གཞི​ི་ནི​ི་མི​ི་ཊར་ (m) ཡང་ན་སན་ཊི​ི་མི​ི་ཊར་ (cm) སོ​ོགས་སྤྱོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

སྙོ​ོམས་ངོ​ོས་དཔེ​ེ་རི​ིས་ཤི​ིག་གི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གྱི​ི་ཚད་གཞི​ི་ནི​ི་མི​ི་ཊར་གྲུ་བཞི​ི་མ་ (m2) ཡང་ན་སན་ཊི​ི་མི​ི་ཊར་གྲུ་བཞི​ི་མ་ (cm2) སོ​ོགས་སྤྱོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

ཁྱེ​ེད་རང་ལྡུམ་ར་ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་གི​ི་ནང་བསྡད་ཡོ​ོད་པ་ཆ་ཞོ​ོག ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དེ​ེའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ཇི​ི་ལྟར་འཚོ​ོལ་ཐུབ་བམ། སློ​ོབ་ཚན་དགུ་པ་དང་འཛི​ིན་རི​ིམ་སྔོ​ོན་མ་ལས་གཤམ་གསལ་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

ཟུར་གསུམ་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ = 1 × ཞབས་ × དཔངས།

གལ་ཏེ​ེ་ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་དྲང་ཟུར་ཅན་ དྲང་ཟུར་ཅན་ཡི​ིན་ན། དྲང་ཟུར་ཚུད་པའི​ི་ མཐའ་གཉི​ིས་ཞབས་དང་དཔངས་ལྟར་སྤྱད་དེ​ེ་ཆོ​ོ་ག་སྤྱོ​ོད་ཐུབ།

དཔེ​ེར་ན། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཡི​ི་མཐའ་ནི​ི་ 5 cm དང་ 12 cm, 13 cm ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག འདི​ིར་ཞབས་ 12 cm དང་དཔངས་ 5 cm ཡི​ིན། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༢་༡ ལ་ལྟོ​ོས་)

∆ ABC ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ =

(༡)

2

C 5 cm A

12 cm 13 cm དཔེ་རིས་ ༡༢་༡

1 ཞབས་ དཔངས་ 1 × × = × 12 cm × 5 cm = 30 cm2 2 2

ཞབས་ 5 cm དང་དཔངས་ 12 cm ཡང་བླངས་ཆོ​ོག

B

རྩིས་རིག

ང་ཚོ​ོས་མཐའ་ 10 cm ཅན་གྱི​ི་མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ PQR ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་འཚོ​ོལ་དགོ​ོས་ན། དེ​ེའི་ི དཔངས་ཤེ​ེས་ དགོ​ོས། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཟུར་གསུམ་མ་འདི​ིའི​ི་དཔངས་འཚོ​ོལ་ཐུབ་བམ།

ང་ཚོ​ོས་མཐའ་ཤེ​ེས་སྐབས་དེ​ེའི་ི དཔངས་འཚོ​ོལ་སྟངས་དྲན་གསོ​ོ་བྱེ​ེད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན། འདི​ི་ནི​ི་མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ སྐབས་སྲི​ིད་པ་རེ​ེད། QR ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་ M བླངས་ཏེ​ེ། དེ​ེ་ P ལ་མཐུད།

P

PMQ ནི​ི་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་རེ​ེད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན། པཡེ​ེ་ཐ་གྷོ​ོ་

རཱས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་སྤྱད་དེ​ེ་ PM ཡི​ི་རི​ིང་ཚད་གཤམ་གསལ་ལྟར་འཚོ​ོལ་ཐུབ།

10 cm

དེ​ེ་ནི​ི།

Q 5 cm M

PQ2 = PM2 + QM2

(10)2 = PM2 + (5)2

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།  PM2 = 75 དེ​ེ་ནི​ི།

(QM = MR ཡི​ིན་པས།)

R

དཔེ་རིས་ ༡༢་༢

PM = 75 cm = 5 3 cm

དེ​ེ་ནས། ∆ PQR ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ = 1 × ཞབས་ × དཔངས་ = 1 × 10 cm × 5 3 cm = 25 3 cm2 2

2

ཆོ​ོ་ག་འདི​ི་སྤྱད་དེ​ེ་སྐེ​ེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་འཚོ​ོལ་ཐུབ་མི​ིན་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན། དཔེ​ེར་ན། ཟུར་གསུམ་མ་ XYZ ཡི​ི་མཐའ་མཉམ་པ་ XY དང་ XZ ནི​ི་ 5 cm དང་། མཐའ་མི​ི་མཉམ་པ་ YZ ནི​ི་ 8 cm ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༢་༣ ལ་ལྟོ​ོས་) གནས་སྟངས་འདི​ི་ལའང་ང་ཚོ​ོས་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་དཔངས་ཤེ​ེས་དགོ​ོས།

དེ​ེས་ན། X ནས་

མཐའ་ YZ ལ་དྲང་འཕྱང་ཐི​ིག་ XP ཞི​ིག་བྲི​ིས། དྲང་འཕྱང་ XP ཡི​ིས་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཞབས་ YZ དུམ་བུ་ གཅི​ིག་མཚུངས་གཉི​ིས་སུ་བགོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

YP = PZ =

1 YZ = 4 cm 2

X

དེ​ེ་ནས། པཡེ​ེ་ཐ་གྷོ​ོ་རཱས་ངེ​ེས་སྲོ​ོལ་སྤྱད་དེ​ེ།

དེ​ེས་ན།

5 cm

XP2 = XY2 − YP2 = 52 − 42 = 25 − 16 = 9 XP = 3 cm

1 ∆ XYZ ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ = × ཞབས་ YZ × དཔངས་ XP 2 1 = × 8 cm × 3 cm = 12 cm2 2

Y

4 cm

5 cm P

Z

དཔེ་རིས་ ༡༢་༣

ང་ཚོ​ོས་མཐའ་མི​ི་མཉམ་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མཐའི​ི་རི​ིང་ཚད་ཤེ​ེས་པ་དང་དཔངས་མི​ི་ཤེ​ེས་ན། དེ​ེའི་ི རྒྱ་ཁྱོ​ོན་འཚོ​ོལ་

ཐུབ་བམ། དཔེ​ེར་ན། མཐའ་ 40 m དང་ 32 m, 24 m ཅན་གྱི​ི་སྐྱེ​ེད་ཚལ་ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་ཡོ​ོད། དེ​ེའི་ི རྒྱ་ཁྱོ​ོན་

ཇི​ི་ལྟར་འཚོ​ོལ་ཐུབ་བམ། གལ་ཏེ​ེ་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་ཆོ​ོ་ག་སྤྱོ​ོད་འདོ​ོད་ན། དེ​ེའི་ི དཔངས་འཚོ​ོལ་དགོ​ོས། ཡི​ིན་ནའང་ང་ཚོ​ོས་དེ​ེའི་ི དཔངས་འཚོ​ོལ་སྟངས་ཤེས ེ ་ཀྱི​ི་མེ​ེད་པས། ཟུར་གསུམ་མ་དེ​ེ་འདྲའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་འཚོ​ོལ་སྟངས་ལེ​ེ་ཚན་རྗེ​ེས་མར་སྦྱོ​ོང་རྒྱུ་ཡི​ིན།

192

ཧི་རོན་ཆོ་ག

༡༢་༢ ཟུར་གསུམ་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན། - ཧི​ི་རོ​ོན་ཆོ​ོ་ག་ལས། Area of a Triangle - by Heron's Formula ཧི​ི་རོ​ོན་ནི​ི་ཕྱི​ི་ལོ​ོ་ ༡༠ ཙམ་ལ་ཨི​ི་ཇི​ིབ་ཀྱི​ི་གྲོ​ོང་ཁྱེ​ེར་ Alexandria ནང་འཁྲུངས་པ་ དང་། ལག་ལེ​ེན་རྩི​ིས་རི​ིག་ཐོ​ོག་ཕྱག་ལས་གནང་ཡོ​ོད། ཁོ​ོང་གི​ིས་རྩི​ིས་རི​ིག་དང་དངོ​ོས་

ཁམས་རི​ིག་པའི​ི་ཐོ​ོག་ཕྱག་རྗེ​ེས་བཞག་ཡོ​ོད་པས། ཁོ​ོང་ལ་སློ​ོབ་ཚན་འདི​ི་དག་གི​ི་ཤེ​ེས་བྱ་ ཀུན་བཏུས་ཀྱི​ི་རྩོ​ོམ་པ་པོ​ོ་ཡང་ཟེ​ེར། ཁོ​ོང་གི​ི་དབྱི​ིབས་རྩི​ིས་རི​ིག་པའི​ི་ཕྱག་ལས་གཙོ​ོ་ཆེ​ེ་བ་

ནི​ི་འཇལ་ཚད་ཀྱི​ི་དཀའ་རྙོ​ོག་སྐོ​ོར་དེ​ེབ་གསུམ་བྲི​ིས་པ་དེ​ེ་རེ​ེད། དེ​ེབ་དང་པོ​ོ་ནི​ི་གྲུ་བཞི​ི་ཁ་ གང་མ་དང་། གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ། ཟུར་གསུམ་མ། སྐས་དབྱི​ིབས། དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཁྱད་

པར་ཅན་གཞན། མཐའ་མཉམ་དབྱི​ིབས་མཐའ་མང་། སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས། ཀ་ཟླུམ་གཟུགས།

ཧི​ི་རོ​ོན། (10AD-75AD) དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༢་༤

ཟླུམ་གཟུགས་སོ​ོགས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་སྐོ​ོར་ལ་རེ​ེད། དེ​ེབ་དེ​ེའི​ི་ནང་ཧི​ི་རོ​ོན་གྱི​ིས་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ ཡོ​ོངས་གྲགས་ཆོ​ོ་ག་ཁུངས་འདྲེ​ེན་བྱས་ཡོ​ོད།

ཧི​ི་རོ​ོན་གྱི​ིས་སྲོ​ོལ་གཏོ​ོད་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ཆོ​ོ་ག་ལ་ཧི​ི་རོ​ོན་ཆོ​ོ་ག་ཟེ​ེར། དེ​ེ་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡི​ིན།

ཟུར་གསུམ་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ = s(s − a) (s (s − b) (s (s − c)

(༢)

འདི​ིར་ a དང་ b, c ནི​ི་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མཐའ་དང་། s = མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་ཕྱེ​ེད་ཀ དེ​ེ་ནི​ི། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་ཀྱི​ི་ཕྱེ​ེད་ཀ =

a+b+c 2

ཆོ​ོ་ག་འདི​ི་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་དཔངས་འཚོ​ོལ་མི​ི་ཐུབ་པའི​ི་སྐབས་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་ཡོ​ོད།

ང་ཚོ​ོས་དེ​ེ་གོ​ོང་དུ་སྤྲད་པའི​ི་སྐྱེ​ེད་

ཚལ་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་འཚོ​ོལ་བར་སྤྱོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡི​ིན། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༢་༥ ལ་ལྟོ​ོས་) ང་ཚོ​ོས་ a = 40 m, b = 24 m, c = 32 m ལེ​ེན་གྱི​ི་ཡི​ིན། དེ​ེས་ན།

s=

40 + 24 + 32 m = 48 m 2

A

s − a = (48 − 40) m = 8 m

32 m

s − b = (48 − 24) m = 24 m s − c = (48 − 32) m = 16 m

B

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། སྐྱེ​ེད་ཚལ་ ABC ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན།

24 m 40 m དཔེ་རིས་ ༡༢་༥

= s(s − a) (s − b) (s − c) = 48 × 8 × 24 × 16 m2 = 384 m2

193

C

རྩིས་རིག

ང་ཚོ​ོས་ 322 + 242 = 1024 + 576 = 1600 = 402 ཡི​ིན་པ་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན། སྐྱེ​ེད་ཚལ་གྱི​ི་མཐའ་ཡི​ིས་

དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་འགྲུབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། མཐའ་རི​ིང་ཤོ​ོས་ BC = 40 m ནི​ི་གསེ​ེག་མཐའ་ཡི​ིན་པ་དང་མཐའ་ AB དང་ AC དབར་གྱི​ི་ཚུད་ཟུར་ནི​ི་ 90o རེ​ེད། ཆོ​ོ་ག་ ༡ སྤྱད་དེ​ེ། སྐྱེ​ེད་ཚལ་གྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ =

1 × 32 × 24 m2 = 384 m2 2

ང་ཚོ​ོར་ཐོ​ོབ་པའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ནི​ི་ཧི​ི་རོ​ོན་ཆོ​ོ་ག་སྤྱད་ནས་ཐོ​ོབ་པའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་དང་མཚུངས།

ཧི​ི་རོ​ོན་ཆོ​ོ་ག་སྤྱད་དེ​ེ་ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་དངོ​ོས་འབྲེ​ེལ་འདི​ི་གོ​ོང་དུ་གོ​ོ་བསྡུར་བྱས་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་རྣམས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ ཁྱོ​ོན་བཙལ་ནས་ཞི​ིབ་བཤེ​ེར་བྱོ​ོས། དེ​ེ་དག་ནི​ི།

(༡) མཐའ་ 10 cm ཅན་གྱི​ི་མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ། ང་ཚོ​ོར། s = 10 + 10 + 10 cm = 15 cm 2

ཟུར་གསུམ་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ = 15(15 − 10) (15 − 10) (15 − 10) cm2 = 15 × 5 × 5 × 5 cm2 = 25 3 cm2

(༢) མཐའ་མི​ི་མཉམ་པ་ 8 cm དང་མཐའ་མཉམ་པ་ 5 cm ཅན་གྱི​ི་སྐེ​ེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ། ང་ཚོ​ོར། s = 8 + 5 + 5 cm = 9 cm 2

ཟུར་གསུམ་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ = 9(9 − 8) (9 − 5) (9 − 5) cm2 = 9 × 1 × 4 × 4 cm2 = 12 cm2 ང་ཚོ​ོས་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་གཞན་འགའ་ལ་ལྟ་རྒྱུ་ཡི​ིན།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡ མཐའ་གཉི​ིས་ 8 cm དང་ 11 cm དང་། མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་ 32 cm ཡི​ིན་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་ མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ཚོ​ོལ། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༢་༦ ལ་ལྟོ​ོས་)

ལན། འདི​ིར་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་ = 32 cm དང་ a = 8 cm, b = 11 cm སྤྲད་ཡོ​ོད།

མཐའ་གསུམ་པ་ c = 32 cm − (8 + 11) cm = 13 cm

C

དེ​ེས་ན། 2s = 32 དེ​ེ་ནི​ི། s = 16 cm

11 cm

s − a = (16 − 8) cm = 8 cm s − b = (16 − 11) cm = 5 cm

A

s − c = (16 − 13) cm = 3 cm

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ = s(s − a) (s − b) (s − c)

B དཔེ་རིས་ ༡༢་༦

= 16 × 8 × 5 × 3 cm2 = 8 30 cm2

194

8 cm

ཧི་རོན་ཆོ་ག

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༢ ལྡུམ་ར་ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་ལ་མཐའ་ 120 m དང་ 80 m, 50 m ཡོ​ོད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༢་༧ ལ་ལྟོ​ོས་) ལྡུམ་ར་

བ་ཆོ​ོས་བཟང་གི​ིས་དེ​ེའི་ི མཐའ་ལ་ར་བ་སྐོ​ོར་བ་དང་། ལྡུམ་རའི​ི་ནང་རྩྭ་འདེ​ེབས་པའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ག་ཚོ​ོད་རེ​ེད་དམ། དེ​ེའི་ི ཕྱོ​ོགས་གཅི​ིག་ལ་སྒོ​ོའི་ི ཆེ​ེད་སྟོ​ོང་ཆ་ཁ་ཞེ​ེང་ 3 m བཞག་སྟེ​ེ། གཟེ​ེ་མ་རྭ་མགོ​ོ་ཡི​ིས་ར་བ་སྐོ​ོར་ཆེ​ེད་མི​ི་ཊར་རེ​ེར་ ` 20 གནས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད་ན། ར་བ་སྐོ​ོར་ཆེ​ེད་འགྲོ​ོ་གྲོ​ོན་ཚོ​ོལ། ལན། ལྡུམ་རའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་འཚོ​ོལ་ཆེ​ེད། ང་ཚོ​ོར།

2s = 50 m + 80 m + 120 m = 250 m

དེ​ེ་ནི​ི། དང་།

A

s − a = (125 − 120) m = 5 m

3m

B

s − b = (125 − 80) m = 45 m s − c = (125 − 50) m = 75 m

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

80 m

50 m

s = 125 m

ལྡུམ་རའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ = s(s − a) (s − b) (s − c)

= 125 × 5 × 45 × 75 m2

= 375 15 m2

C

120 m དཔེ་རིས་ ༡༢་༧

ཡང་། ལྡུམ་རའི​ི་མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་ = AB + BC + CA = 250 m

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། གཟེ​ེ་མ་རྭ་མགོ​ོ་སྐོ​ོར་ཆེ​ེད་དགོ​ོས་པའི​ི་ལྕགས་སྐུད་ཀྱི​ི་རི​ིང་ཚད་ = 250 m − 3 m = 247 m དེ​ེས་ན།

གཟེ​ེ་མ་རྭ་མགོ​ོའི་ི ར་བ་སྐོ​ོར་ཆེ​ེད་འགྲོ​ོ་གྲོ​ོན་ = ` 20 × 247 = ` 4940

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༣ ས་ཆ་ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་གི​ི་མཐའ་རྣམས་སྡུར་ཚད་ 3 : 5 : 7 ནང་ཡོ​ོད་པ་དང་དེ​ེའི​ི་མཐའ་འཁོ​ོར་ རི​ིང་ཚད་ནི​ི་ 300 m རེ​ེད། དེ​ེའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ཚོ​ོལ།

ལན། མཐའ་རྣམས་མི​ི་ཊར་ནང་ 3x དང་ 5x, 7x ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༢་༨ ལ་ལྟོ​ོས་) དེ​ེས་ན།

3x + 5x + 7x = 300 m (ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད།)

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། 15x = 300 m དེ​ེ་ཡི​ིས། x = 20 m

དེ​ེས་ན། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མཐའ་ནི​ི་ 3 × 20 m དང་ 5 × 20 m, 7 × 20 m རེ​ེད། དེ​ེ་ནི​ི། 60 m དང་ 100 m, 140 m རེ​ེད།

ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་འཚོ​ོལ་ཐུབ་བམ། [ཧི​ི་རོ​ོན་ཆོ​ོ་ག་ལས།] ང་ཚོ​ོར།

s=

60 + 100 + 140 m = 150 m 2

7x

དང་། རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ = 150(150 − 60) (150 − 100) (150 − 140) m2

5x

3x

= 150 × 90 × 50 × 10 m2 = 1500 3 m2

195

དཔེ་རིས་ ༡༢་༨

རྩིས་རིག ༡།

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༡༢་༡

འགྲུལ་ལམ་མངོ​ོན་བརྡ་ཤི​ིང་བྱང་ཞི​ིག་མཐའ་ a ཅན་གྱི​ི་མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ནང་ཡོ​ོད། དེ​ེའི་ི ནང་

'མདུན་དུ་སློ​ོབ་གྲྭ་ཡོ​ོད་' ཅེ​ེས་བསྟན་ཡོ​ོད། གལ་སྲི​ིད་དེ​ེའི་ི མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་ནི​ི་ 180 cm ཡི​ིན་ན། ཧི​ི་ རོ​ོན་ཆོ​ོ་ག་སྤྱད་དེ​ེ་མངོ​ོན་བརྡ་ཤི​ིང་བྱང་གྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ག་ཚོ​ོད་ཚོ​ོལ།

༢། ལྡི​ིང་ལམ་ཞི​ིག་གི​ི་གྱང་ངོ​ོས་ཟུར་གསུམ་མ་རྣམས་ཁྱབ་བསྒྲགས་ཆེ​ེད་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་བཏང་ཡོ​ོད། གྱང་གི​ི་མཐའ་རྣམས་

122 m དང་ 22 m, 120 m བཅས་རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༢་༩ ལ་ལྟོ​ོས་) ལོ​ོ་རེ​ེར་ m2 རེ​ེར་ཁྱབ་བསྒྲགས་བྱས་ པའི​ི་ཡོ​ོང་འབབ་ ` 5000 ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། ཀམ་པ་ཎི​ི་ཞི​ིག་གི​ིས་ཟླ་བ་གསུམ་རི​ིང་གྱང་ངོ​ོས་གཅི​ིག་གླ་གཡར་བྱས་ པ་རེ​ེད། དེ​ེས་གཡར་གླ་ག་ཚོ​ོད་སྤྲད་ཡོ​ོད་དམ། 122m

22m

120m

དཔེ་རིས་ ༡༢་༩

༣། སྐྱེ​ེད་ཚལ་ནང་ཤུད་སྐས་ཤི​ིག་ཡོ​ོད། དེ​ེའི​ི་གྱང་ངོ​ོས་ཀྱི​ི་ཕྱོ​ོགས་གཅི​ིག་ལ་ཚོ​ོན་རྩི​ི་བཏང་ནས་ ''སྐྱེ​ེད་ཚལ་འདི​ི་ལྗང་

ཁུ་དང་གཙང་མ་ཉར་དགོ​ོས་'' ཞེ​ེས་ཡི​ི་གེ​ེ་བྲི​ིས་ཡོ​ོད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༢་༡༠ ལ་ལྟོ​ོས་) གལ་ཏེ​ེ་གྱང་གི​ི་མཐའ་ 15 m དང་ 11 m, 6 m ཡི​ིན་ན། ཚོ​ོན་རྩི​ི་བཏང་བའི​ི་ཁུལ་གྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ཚོ​ོལ།

6 m

m 11

15 m དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༠

196

ཧི་རོན་ཆོ་ག

༤། མཐའ་གཉི​ིས་ 18 cm དང་ 10 cm དང་མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་ 42 cm ཡི​ིན་པའི​ི་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་རྒྱ་ ཁྱོ​ོན་ཚོ​ོལ།

༥། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མཐའ་ནི​ི་སྡུར་ཚད་ 12 : 17 : 25 ནང་ཡོ​ོད་པ་དང་དེ​ེའི​ི་མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་ནི​ི་ 540 cm རེ​ེད། དེ​ེའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ཚོ​ོལ།

༦། སྐེ​ེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་གི​ི་མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་ནི​ི་ 30 cm ཡི​ིན་པ་དང་མཐའ་མཉམ་རེ​ེར་ 12 cm ཡོ​ོད། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ཚོ​ོལ།

༡༢་༣ དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་འཚོ​ོལ་བར་ཧི​ི་རོ​ོན་ཆོ​ོ་གའི​ི་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད།

Application of Heron's Formula in finding Areas of Quadrilaterals ཞི​ིང་པ་ཞི​ིག་ལ་རྨོ​ོ་འདེ​ེབས་བྱེ​ེད་རྒྱུའི​ི་ས་ཞི​ིང་ཞི​ིག་ཡོ​ོད་པ་དང་། དེ​ེའི​ི་ཆེ​ེད་ལས་མི​ི་གླས་ཏེ​ེ་གླ་འབབ་མི​ི་ཊར་གྲུ་བཞི​ི་

མ་རེ​ེ་རེ​ེར་བཏབ་པའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་བརྩི​ིས་ཏེ​ེ་སྤྲོ​ོད་འཆར་ཡོ​ོད། ཁོ​ོང་གི​ིས་དེ​ེ་ཇི​ི་ལྟར་བྱ་དགོ​ོས་སམ། ས་ཞི​ིང་མང་ཆེ​ེ་བ་

དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ནང་ཡོ​ོད། ང་ཚོ​ོས་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་ཆ་ཤས་ནང་བགོ​ོས་ཏེ​ེ་ཟུར་ གསུམ་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གྱི​ི་ཆོ​ོ་ག་སྤྱོ​ོད་དགོ​ོས།

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༤ སྒྲོ​ོལ་དཀར་ལ་མཐའ་ 240 m, 200 m, 360 m ཅན་གྱི​ི་ས་ཞི​ིང་ཟུར་གསུམ་མ་ཞི​ིག་ཡོ​ོ​ོད་པ་

དང་། དེ​ེའི​ི་ནང་གྲོ​ོ་བཏབ་ཡོ​ོད། ས་ཞི​ིང་འདི​ིའི​ི་ཉེ​ེ་འདབས་སུ་མཐའ་ 240 m, 320 m, 400 m ཅན་གྱི​ི་ས་ཞི​ིང་ཟུར་ གསུམ་མ་ཞི​ིག་ཡོ​ོ​ོད་པ་དེ​ེའི་ི ནང་ཞོ​ོ་ཁོ​ོག་དང་ཙོ​ོང་འདེ​ེབས་འཆར་ཡོ​ོད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༢་༡༡ ལ་ལྟོ​ོས་) ཁོ​ོ་མོ​ོས་མཐའ་རི​ིང་ཤོས ོ ་ ཀྱི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་ཁ་གཏད་ཟུར་ཚེ​ེག་ལ་མཐུད་དེ​ེ་ས་ཞི​ིང་འདི​ི་ཆ་ཤས་གཉི​ིས་སུ་བགོ​ོས་པ་དང་། ཆ་ཤས་གཅི​ིག་ལ་ཞོ​ོ་

ཁོ​ོག་དང་ཆ་ཤས་གཞན་དེ​ེར་ཙོ​ོང་བཏབ་པ་རེ​ེད། གྲོ​ོ་དང་། ཞོ​ོ་ཁོ​ོག ཙོ​ོང་སོ​ོ་སོ​ོར་འདེ​ེབས་ཆེ​ེད་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ (ཧེ​ེག་ཊར་ནང་) ག་ ཚོ​ོད་བེ​ེད་སྤྱོ​ོད་བྱས་ཡོ​ོད་དམ། (ཧེ​ེག་ཊར་ 1 = 10000 m2)

ལན། ABC ནི​ི་གྲོ​ོ་འདེ​ེབས་སའི​ི་ས་ཞི​ིང་ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག ཡང་ ACD ནི​ི་ C དང་ AD ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་ E མཐུད་ནས་ཆ་ཤས་གཉི​ིས་སུ་བགོ​ོས་པའི​ི་ས་ཞི​ིང་དེ​ེ་ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ནང། a = 200 m, b = 240 m, c = 360 m

དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

s = 200 + 240 + 360 m = 400 m 2

400 m

D

E

A 320 m

240 m

དེ​ེས་ན། གྲོ​ོ་འདེ​ེབས་སའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན།

= 400(400 − 200) (400 − 240) (400 − 360) m2

C

360 m

200 m

= 400 × 200 × 160 × 40 m2 = 16000 2 m2 = 1.6 × 2 ཧེ​ེག་ཊར།

B

197

དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༡

རྩིས་རིག

= 2.26 ཧེ​ེག་ཊར། (ཉེ​ེ་མཚུངས་)

ཟུར་གསུམ་མ་ ACD ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་འཚོ​ོལ་དགོ​ོས།

འདི​ིར་ང་ཚོ​ོར་ s = 240 + 320 + 400 m = 480 m 2

དེ​ེས་ན། ∆ ACD ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ = 480(480 − 240) (480 − 320) (480 − 400) m2 = 480 × 240 × 160 × 80 m2 = 38400 m2 = 3.84 ཧེ​ེག་ཊར།

AD ཡི​ི་དཀྱི​ིལ་གནས་ E དང་ C མཐུད་པའི​ི་ཐི​ིག་དུམ་གྱི​ིས་ཟུར་གསུམ་མ་ ACD ཆ་སྙོ​ོམས་དུམ་བུ་གཉི​ིས་སུ་

བགོ​ོད་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། ཁྱེ​ེད་ཀྱི​ིས་འདི​ིའི​ི་རྒྱུ་མཚན་བཤད་ཐུབ་བམ། ཟུར་གསུམ་མ་དེ​ེ་དག་གི​ི་ཞབས་ AE དང་ ED གཅི​ིག་ མཚུངས་ཡི​ིན་པས། དེ​ེ་དག་གི​ི་དཔངས་ཀྱང་གཅི​ིག་པ་རེ​ེད།

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ཞོ​ོ་ཁོ​ོག་འདེ​ེབས་སའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ = ཙོ​ོང་འདེ​ེབས་སའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན། = (3.84 ÷ 2) ཧེ​ེག་ཊར། = 1.92 ཧེ​ེག་ཊར། རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༥

སློ​ོབ་གྲྭ་ཞི​ིག་གི​ི་སློ​ོབ་ཕྲུག་རྣམས་གཙང་སྦྲའི​ི་ལས་འགུལ་ཆེ​ེད་འཛོ​ོམས་པ་རེ​ེད།

ཁོ​ོ་ཚོ​ོས་ཤོ​ོ་ཁག་

གཉི​ིས་ནང་སྲང་ལམ་བརྒྱུད་དེ​ེ་ཕྱི​ིན་པ་རེ​ེད། ཤོ​ོ་ཁག་གཅི​ིག་སྲང་ལམ་ AB དང་ BC, CA དང་གཞན་དེ​ེ་ སྲང་ལམ་ AC དང་ CD, DA བརྒྱུད་ནས་ཕྱི​ིན་ཡོ​ོད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༢་༡༢ ལ་ལྟོ​ོས་) ཁོ​ོ་ཚོ​ོས་ཁུངས་སོ​ོ་སོ​ོའི་ི སྲང་ལམ་

ནང་ཚུད་ཀྱི​ི་ས་ཁུལ་གཙང་མ་བཟོ​ོས་ཡོ​ོད། གལ་ཏེ​ེ་ AB = 9 m དང་ BC = 40 m, CD = 15 m, DA = 28 m,

B = 90o ཡི​ིན་ན། ཤོ​ོ་ཁག་གང་གི​ིས་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་མང་བ་གཙང་མ་བཟོ​ོས་ཡོ​ོད་པ་དང་ག་ཚོ​ོས་ཀྱི​ི་མང་

བ་བཟོ​ོས་ཡོ​ོད་དམ། སློ​ོབ་ཕྲུག་ཚོ​ོས་གཙང་མ་བཟོ​ོས་པའི​ི་ཁྱོ​ོན་བསྡོ​ོམས་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ཚོ​ོལ། (སྲང་ལམ་གྱི​ི་ཁ་ཞེ​ེང་མ་རྩི​ི་བར་) ལན། AB = 9 m དང་ BC = 40 m, ང་ཚོ​ོར།

AC = 92 + 402 m

B = 90o ཡི​ིན་པས།

A

28m

D 15m

9m

= 81 + 1600 m

= 1681 m = 41 m

B

40m དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༢

C

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ཤོ​ོ་ཁག་དང་པོ​ོས་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གཙང་མ་བཟོ​ོ་དགོ​ོས། དེ​ེ་ནི​ི་དྲང་ཟུར་རེ​ེད། ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ =

1 × ཞབས་ × དཔངས། 2

198

ཧི་རོན་ཆོ་ག

1

= 2 × 40 × 9 m2 = 180 m2

ཤོ​ོ་ཁག་གཉི​ིས་པས་ཟུར་གསུམ་མ་ ACD ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གཙང་མ་བཟོ​ོ་དགོ​ོས། དེ​ེ་ནི​ི་མཐའ་ 41 m དང་ 15 m, 28 m ཅན་གྱི​ི་མཐའ་མི​ི་མཉམ་པ་རེ​ེད། འདི​ིར།

s = 41 + 15 + 28 m = 42 m 2

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ∆ ACD ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ = s(s − a) (s − b) (s − c)

= 42(42 − 41)(42 − 15)(42 − 28) m2

= 42 × 1 × 27 × 14 m2

= 126 m2

དེ​ེས་ན། ཤོ​ོ་ཁག་དང་པོ​ོས་ 180 m2 གཙང་མ་བཟོ​ོས་པ་དང་། དེ​ེས་ཤོ​ོ་ཁག་གཉི​ིས་པས་གཙང་མ་བཟོ​ོས་པའི​ི་རྒྱ་ ཁྱོ​ོན་ལས་ (180 − 126) m2 དེ​ེ་ནི​ི་ 54 m2 གྱི​ིས་མང་བ་བཟོ​ོས་ཡོ​ོད།

སློ​ོབ་ཕྲུག་ཚོ​ོས་གཙང་མ་བཟོ​ོས་པའི​ི་ཁྱོ​ོན་བསྡོ​ོམས་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ = (180 + 126) m2 = 306 m2 རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༦ ནམ་རྒྱལ་ལ་ས་ཆ་དུམ་བུ་ཞི​ིག་གཟེ​ེ་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་དབྱི​ིབས་ནང་ཡོ​ོད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༢་༡༣ ལ་ལྟོ​ོས་) ཁོ​ོ་མོ​ོས་རང་ གི​ི་བུ་མོ​ོ་གཅི​ིག་དང་བུ་གཅི​ིག་གི​ིས་ས་ཆ་དེ​ེའི​ི་སྟེ​ེང་ཞི​ིང་ལས་དང་ལོ​ོ་ཏོ​ོག་འདྲ་མི​ིན་འདེ​ེབས་ལས་བྱེ​ེད་པའི​ི་རེ​ེ་འདུན་

ཡོ​ོད། ཁོ​ོ་མོ​ོས་ས་ཆ་དེ​ེ་དུམ་བུ་གཅི​ིག་མཚུངས་གཉི​ིས་སུ་བགོ​ོས་པ་རེ​ེད། གལ་ཏེ​ེ་ས་ཆའི​ི་མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་ནི​ི་ 400 m དང་དེ​ེའི​ི་གཏད་ཐི​ིག་གཅི​ིག་ 160 m ཡི​ིན་ན། ཕྲུ་གུ་རེ​ེ་རེ​ེ་ལ་ལོ​ོ་ཏོ​ོག་ཆེ​ེད་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ག་ཚོ​ོད་འཐོ​ོབ་བམ། ལན། ABCD ནི​ི་ས་ཞི​ིང་ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག

མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་ = 400 m

100m

B

100m

0m 16

100m

D

100m

A

དེ​ེས་ན། མཐའ་ = 400 m ÷ 4 = 100 m དེ​ེ་ནི​ི། AB = AD = 100 m

གཏད་ཐི​ིག་ BD = 160 m ཡི​ིན་པ་ཆ་ཞོ​ོག

དེ​ེ་ནས། ∆ ABD ཡི​ི་མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་ཕྱེ​ེད་ཀ་ s ནི​ི། s = 100 + 100 + 160 m = 180 m

དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༣

2

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ∆ ABD ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ = 180(180 − 100) (180 − 100) (180 − 160)

= 180 × 80 × 80 × 20 m2

= 4800 m2

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ཁོ​ོ་ཚོ​ོ་གཉི​ིས་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ 4800 m2 རེ​ེ་འཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

199

C

རྩིས་རིག

ཐབས་ལམ་གཞན། CE

BD བྲི​ིས། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༢་༡༤ ལ་ལྟོ​ོས་)

A

BD = 160 m ཡི​ིན་པས།

0m 16 E

ང་ཚོ​ོར། DE = 160 m ÷ 2 = 80 m དང་།

2

2

DE + CE = DC

2

D

དེ​ེས་ན། CE = DC2 − DE2

ཡང་ན། CE = 1002 − 802 m = 60 m དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ∆ BCD ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ =

B 100m

m 80 དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༤

C

1 × 160 × 60 m2 = 4800 m2 2

སྦྱོ​ོང་ཚན། ༡༢་༢

༡། དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD ནང་ཡི​ིན་པའི​ི་སྐྱེ​ེད་ཚལ་ཞི​ིག་ལ་

C = 90o དང་ AB = 9 m, BC

= 12 m, CD = 5 m, AD = 8m ཡོ​ོད། དེ​ེས་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ག་ཚོ​ོད་འཛི​ིན་གྱི​ི་ཡོ​ོད་དམ།

༢། AB = 3 cm དང་ BC = 4 cm, CD = 4 cm, DA = 5 cm, AC = 5 cm

5cm

ཡི​ིན་པའི​ི་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མ་ ABCD ཡི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ཚོ​ོལ།

I IV

༣། བུ་འཁྲི​ིད་ཀྱི​ིས་ཚོ​ོན་མདོ​ོག་ཅན་གྱི​ི་ཤོ​ོག་བུས་ དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༢་༡༥ ནང་བསྟན་པ་ལྟར་གནམ་ གྲུ་བཟོ​ོས་པ་རེ​ེད།

1.5cm

6.5cm

ཤོ​ོག་བུ་སྤྱད་པས་ཁྱོ​ོན་

བསྡོ​ོམས་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ཚོ​ོལ།

6cm

1cm

V

II

III 1cm 2cm

དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༥

༤། ཟུར་གསུམ་མ་དང་མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མ་བཅས་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་ཞབས་དང་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གཅི​ིག་མཚུངས་རེ​ེད། གལ་ཏེ​ེ་ ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མཐའ་རྣམས་ 26 cm དང་ 28 cm, 30 cm ཡི​ིན་པ་དང་། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་ ཞབས་ 28 cm ཡི​ིན་ན། མཉམ་འགྲོ​ོ་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་དཔངས་ཚོ​ོལ།

༥། གཟེ​ེ་དབྱི​ིབས་ཅན་གྱི​ི་ས་ཞི​ིང་ཞི​ིག་ལ་བ་ཕྱུགས་ 18 ལ་འདང་བའི​ི་རྩྭ་ལྗང་ཁུ་ཡོ​ོད། གལ་ཏེ​ེ་གཟེ​ེ་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་ མཐའ་རེ​ེར་ 30 m དང་དེ​ེའི​ི་གཏད་ཐི​ིག་རི​ིང་བ་ལ་ 48 m ཡོ​ོད་ན། བ་ཕྱུགས་རེ​ེར་རྩྭ་ཞི​ིང་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ག་ཚོ​ོད་ འཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་རེ​ེད།

༦། ཚོ​ོན་མདོ​ོག་མི​ི་འདྲ་བ་གཉི​ིས་ཅན་གྱི​ི་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་རས་དུམ་བུ་ 10 བཙེ​ེམས་ཏེ​ེ་ཉི​ི་གདུགས་གཅི​ིག་བཟོ​ོས་

200

ཧི་རོན་ཆོ་ག

པ་རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༢་༡༦ ལ་ལྟོ​ོས་) དུམ་བུ་རེ​ེ་རེ​ེའི​ི་ཚད་གཞི​ི་ནི​ི་ 20 cm དང་ 50 cm, 50 cm རེ​ེད། ཉི​ི་གདུགས་ དེ​ེ་བཟོ​ོ་བར་ཚོ​ོན་མདོ​ོག་སོ​ོ་སོ​ོའི་ི རས་ག་ཚོ​ོད་དགོ​ོས་སམ།

༧། ཤོ​ོག་བྱ་ཞི​ིག་གཏད་ཐི​ིག་ 32 cm ཅན་གྱི​ི་གྲུ་བཞི​ི་ཁ་གང་མ་དང་། ཞབས་ 8 cm དང་མཐའ་མཉམ་ 6 cm ཅན་གྱི​ི་སྐེ​ེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་ལས་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༢་༡༧ ནང་བསྟན་པ་ལྟར་ཚོ​ོན་མདངས་གསུམ་གྱི​ི་ དབྱི​ིབས་ནང་བཟོ​ོས་ཡོ​ོད། དེ​ེའི​ི་ནང་ཚོ​ོན་མདངས་རེ​ེའི​ི་ཤོ​ོག་བུ་ག་ཚོ​ོད་སྤྱད་ཡོ​ོད་དམ། 50 cm

I

cm 20

II

III 8 cm

དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༦

དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༧

༨། ཞ་ལའི​ི་སྟེ​ེང་ཕ་གུ་ཟུར་གསུམ་མ་ 16 གི​ིས་མེ​ེ་ཏོ​ོག་གི​ི་བཀོ​ོད་རི​ིས་ཤི​ིག་ བཟོ​ོས་པ་དང་། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་མཐའ་རྣམས་ 9 cm དང་ 28 cm, 35 cm རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༢་༡༨ ལ་ལྟོ​ོས་) སན་ཊི​ི་མི​ི་ཊར་གྲུ་བཞི​ི་མ་རེ​ེར་

28cm

ཚོ​ོན་རྩི​ི་གཏང་བར་ ` 1.50 ཡི​ིན་ན། ཕ་གུ་རྣམས་ལ་ཚོ​ོན་རྩི​ི་གཏང་

35cm m 28cm 9c

བར་རི​ིན་པ་ག་ཚོ​ོད་རེ​ེད་དམ།

༩། ས་ཞི​ིང་ཅི​ིག་གཟེ​ེ་དབྱི​ིབས་ཀྱི​ི་དབྱི​ིབས་ནང་ཡོ​ོད་པ་དང་དེ​ེའི་ི མཉམ་འགྲོ​ོ་

མཐའ་ནི​ི་ 25 m དང་ 10 m རེ​ེད། མཉམ་འགྲོ​ོ་མི​ིན་པའི​ི་མཐའ་ རྣམས་ 14 m དང་ 13 m རེ​ེད། ས་ཞི​ིང་དེ​ེའི་ི རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ཚོ​ོལ།

9c m

དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༨

༡༢་༤ སྙི​ིང་བསྡུས།

སློ​ོབ་ཚན་འདི​ིར་གཤམ་གསལ་གནད་དོ​ོན་ཁག་སྦྱངས་ཡོ​ོད།

༡། ཧི​ི་རོ​ོན་ཆོ​ོ་ག་སྤྱད་དེ​ེ་མཐའ་ a དང་ b, c ཅན་གྱི​ི་ཟུར་གསུམ་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ནི​ི། ཟུར་གསུམ་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ = s(s − a) (s − b) (s − c)

འདི​ིར།

s = a+b+c 2

༢། མཐའ་དང་གཏད་ཐི​ིག་གཅི​ིག་ཤེ​ེས་པའི​ི་དབྱི​ིབས་མཐའ་བཞི​ི་མའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ནི​ི། དེ​ེ་ཟུར་གསུམ་མ་གཉི​ིས་སུ་བགོ​ོད་ པ་དང་ཧི​ི་རོ​ོན་ཆོ​ོ་ག་སྤྱད་དེ​ེ་བཙལ་ཐུབ།

201

ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་དང་བོངས་ཚད།

Surface Areas and Volumes ༡༣་༡ ངོ་སྤྲོད།

༡༣

ང་ཚོ​ོས་གང་དུ་བལྟའང་མཐོ​ོང་བ་ནི​ི་སྲ་གཟུགས་ཀྱང་རེ​ེད། ད་བར་དུ་ང་ཚོ​ོའི​ི་སློ​ོབ་སྦྱོ​ོང་ཚང་མ་བྲི​ིས་དེ​ེབ་བམ་ཡང་ ན་ནག་པང་ཐོ​ོག་ཏུ་ལས་སླ་པོ​ོར་འབྲི​ི་ཐུབ་པའི​ི་བཟོ​ོ་དབྱི​ིབས་སྐོ​ོར་ལ་འབྲེ​ེལ་བ་ཆག་ཡོ​ོད། དེ​ེ་དག་ལ་སྙོ​ོམས་དབྱི​ིབས་

ཟེ​ེར། ང་ཚོ​ོས་གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་དང་། གྲུ་བཞི​ི་ཁ་གང་མ། སྒོ​ོར་དབྱི​ིབས་ཙམ་མ་ཟད། དེ​ེ་དག་གི​ི་མཐའ་འཁོ​ོར་རི​ིང་ཚད་ དང་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་འཚོ​ོལ་སྟངས་ཤེ​ེས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། ང་ཚོ​ོས་འདི​ི་དག་འཛི​ིན་རི​ིམ་སྔོ​ོན་མའི​ི་ནང་སྦྱངས་ཟི​ིན།

གལ་སྲི​ིད་ང་ཚོ​ོས་ཤོ​ོག་ལེ​ེབ་ནས་དབྱི​ིབས་དང་ཆེ​ེ་ཆུང་གཅི​ིག་མཚུངས་ཡི​ིན་པའི​ི་སྙོ​ོམས་དབྱི​ིབས་མང་པོ​ོ་གཏུབས་ཏེ​ེ་ གཞུང་རྩེ​ེག་ཏུ་བཞག་ན། ཅི​ི་ཞི​ིག་འབྱུང་ངེ​ེས་ལ་བལྟ་བར་དང་བ་བསྐྲུན་ངེ​ེས།

བྱ་རི​ིམ་འདི​ི་ནས་ང་ཚོ​ོར་གྲུ་ནར་གཟུགས་དང་། ཁ་གང་གཟུགས། ཀ་ཟླུམ་སོ​ོགས་ཀྱི​ི་སྲ་གཟུགས་ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། འཛི​ིན་

རི​ིམ་སྔ་མར་ཁྱེ​ེད་ཚོ​ོས་གྲུ་ནར་གཟུགས་དང་། ཁ་གང་གཟུགས། ཀ་ཟླུམ་བཅས་ཀྱི​ི་ངོ​ོས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་དང་བོ​ོངས་ཚད་ འཚོ​ོལ་སྟངས་ལའང་སྦྱངས་ཡོ​ོད།

འདི​ིར་ང་ཚོ​ོས་གྲུ་ནར་གཟུགས་དང་ཀ་ཟླུམ་གྱི​ི་ངོ​ོས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་དང་བོ​ོངས་ཚད་འཚོ​ོལ་སྟངས་ལ་ཞི​ིབ་ཕྲ་སྦྱང་བ་ མ་ཟད། བརྗོ​ོད་བྱ་འདི​ི་སྙུང་གཟུགས་དང་ཟླུམ་གཟུགས་སོ​ོགས་སྲ་གཟུགས་གཞན་འགའ་ལ་རྒྱ་སྐྱེ​ེད་བྱ་རྒྱུ་ཡི​ིན།

༡༣་༢ གྲུ་ནར་གཟུགས་དང་ཤོ​ོ་གཟུགས་ཀྱི​ི་ངོ​ོས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན། Surface Area of a Cuboid and a Cube

ཁྱོ​ོད་ཀྱི​ི་ཤོ​ོག་ལེ​ེབ་ཆག་པ་དེ​ེ་འདྲ་མཐོ​ོང་མྱོ​ོང་ངམ། དེ​ེ་ལྟ་སྣང་ལ་གང་འདྲ་འདུག་གམ། དེ​ེ་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༣་༡ ལྟར་ འདུག་གམ།

དེ​ེས་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཤི​ིག་བཟོ​ོ་བ་དང་།

དཔེ་རིས་ ༡༣་༡

ཁྱོ​ོད་ཀྱི​ིས་གྲུ་ནར་གཟུགས་འདི​ི་ཤོ​ོག་བུ་རྒྱ་སྨྱུག་གི​ི་འཐུམ་རྒྱག་དགོ​ོས་ན།

ཁྱོ​ོད་ལ་ཤོ​ོག་བུ་ག་ཚོ​ོད་དགོ​ོས་སམ། ལྟ་ཞི​ིབ་བྱོ​ོས་དང་།

དང་པོ​ོ་ང་ཚོ​ོར་ཤོ​ོག་ལེ​ེབ་ཆག་པ་དེ​ེའི་ི ཞབས་འཐུམ་པར་གྲུ་ནར་ཤོ​ོག་བུ་ཞི​ིག་

ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་དང་བོངས

དགོ​ོས། དེ​ེ་ནི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༣་༢ (ཀ) པ་ནང་བསྟན་པ་ལྟར་དགོ​ོས།

(ཀ)

དེ​ེ་རྗེ​ེས་གཞོ​ོགས་མཐའ་གཉི​ིས་འཐུམ་པར་གྲུ་ནར་ཤོ​ོག་བུ་རི​ིང་བ་གཉི​ིས་ དགོ​ོས། དེ​ེ་ནི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༣་༢ (ཁ) པ་ནང་བསྟན་པ་ལྟར་དགོ​ོས།

(ཁ)

མདུན་དང་རྒྱབ་ཀྱི​ི་མཐའ་གཉི​ིས་འཐུམ་པར། ང་ཚོ​ོར་ཆེ​ེ་ཆུང་མི​ི་འདྲ་བའི​ི་ གྲུ་ནར་ཤོ​ོག་བུ་གཉི​ིས་དགོ​ོས། དེ​ེ་ལྟར་ང་ཚོ​ོར་ཐོ​ོབ་པའི​ི་བཟོ​ོ་དབྱི​ིབས་ནི​ི་དཔེ​ེ་ རི​ིས་ ༡༣༢ (ག) པ་ནང་བསྟན་པ་ལྟར་ཡོ​ོད།

(ག)

བཟོ​ོ་དབྱི​ིབས་འདི​ིའི​ི་འཐུམ་འགྲི​ིལ་ཕྱེ​ེ་སྐབས། མཐོ​ོང་སྣང་ལ་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༣་༢ (ང) པ་ལྟར་ཡོ​ོད།

(ང)

མཐར་ཤོ​ོག་ལེ​ེབ་ཆག་པ་དེ​ེའི​ི་སྟེ​ེང་འཐུམ་པར།

ང་ཚོ​ོར་ཞབས་ལ་སྤྱད་

པའི​ི་གྲུ་ནར་ཤོ​ོག་བུ་དང་ཆེ​ེ་ཆུང་གཅི​ིག་མཚུངས་ཤི​ིག་དགོ​ོས།

ང་ཚོ​ོས་དེ​ེ་

གཞོ​ོགས་གཡས་སུ་སྦྲགས་ན། དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༣་༢ (ཅ) པ་ནང་བསྟན་པ་ ལྟར་ཡོ​ོད།

(ཅ) b

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ང་ཚོ​ོས་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི​ི་ཕྱི​ི་ངོ​ོས་ཡོ​ོངས་སུ་འཐུམ་པར། ཤོ​ོག་དུམ་དྲུག་སྤྱད་ཡོ​ོད།

h h 5 h h b b l 1 l 2 l 3 l 4 b h h b

6 b

(ཆ)

དཔེ་རིས་ ༡༣་༢

203

l

རྩིས་རིག

འདི​ིས་ང་ཚོ​ོར་གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་དྲུག་ལས་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི​ི་ཕྱི​ི་ངོ​ོས་བཟོ​ོས་པ་སྟོ​ོན་ཞི​ིང་། གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོའི་ི ཁུལ་ལ་ གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི​ི་ངོ​ོས་ཟེ​ེར་བ་དང་། ངོ​ོས་དེ​ེ་དག་སོ​ོ་སོ​ོར་དཀྱུས་སྒྱུར་ཞེ​ེང་བྱས་པ་ལས། རྒྱ་ཁྱོ​ོན་དྲུག་ཐོ​ོབ་ཅི​ིང་། རྒྱ་ ཁྱོ​ོན་དྲུག་པོ​ོ་རྣམས་བསྡོ​ོམས་པ་ལས་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ཐོ​ོབ་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད།

ང་ཚོ​ོས་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི​ི་དཀྱུས་ l དང་། ཞེ​ེང་ b དཔངས་ h སོ​ོ་སོ​ོར་མཚོ​ོན་པར་བྱས་ན། བཟོ​ོ་དབྱི​ིབས་དེ​ེའི​ི་ཆ་ ཚད་ནི​ི་དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༣་༢ (ཆ) པ་ནང་གི​ི་དབྱི​ིབས་ལྟར་ཡོ​ོད། དེ​ེར་བརྟེ​ེན།

གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་དྲུག་གི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གྱི​ི་ཁྱོ​ོན་བསྡོ​ོམས་ནི​ི།

གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་ ༡ པོ​ོའི་ི རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ (= l × h)

+

+

+

+

+

= 2(l × b) + 2(b × h) + 2(l × h)

= 2(lb + bh + hl)

གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་ ༢ པའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ (= l × b) གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་ ༣ པའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ (= l × h) གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་ ༤ པའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ (= l × b)

གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་ ༥ པའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ (= b × h) གྲུ་བཞི​ི་ནར་མོ​ོ་ ༦ པའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ (= b × h)

གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི​ི་ངོ​ོས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ = 2(lb 2(lb + bh + hl hl))

དེ​ེའི​ི་ནང་གི​ི་ l དང་། b, h ཡི​ིས་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི​ི་གཞོ​ོགས་སོ​ོ་སོ​ོར་མཚོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད།

མཆན། རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གྱི​ི་ཚད་གཞི​ི་ནི​ི་ཉི​ིས་སྒྱུར་ཚད་གཞི​ིར་ཚད་འཛི​ིན་བྱེ​ེད་དགོ​ོས་པའི​ི་རྒྱུ་མཚན་ནི​ི། ང་ཚོ​ོས་གྲུ་བཞི​ི་ཁ་ གང་གི​ི་ཚད་གཞི​ིས་བཀང་ནས་ཁུལ་ཞི​ིག་གི​ི་བོ​ོངས་ཚད་འཇལ་གྱི​ི་ཡོ​ོད།

དཔེ​ེར་ན། གྲུ་ནར་གཟུགས་ཤི​ིག་གི​ི་དཀྱུས་དང་། ཞེ​ེང་། དཔངས་བཅས་ནི​ི་ 15 cm དང་། 10 cm, 20 cm སོ​ོ་ སོ​ོར་ཡི​ིན་ན། དེ​ེའི​ི་ངོ​ོས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ནི​ི།

2[(15 × 10) + (10 × 20) + (20 × 15)] cm2

= 2(150 + 200 + 300) cm2

= 2 × 650 cm2 = 1300 cm2

དྲན་གསོ​ོ་གྱི​ིས་དང་།

གྲུ་ནར་གཟུགས་ཤི​ིག་གི​ི་དཀྱུས་དང་། ཞེ​ེང་། དཔངས་བཅས་ཀྱི​ི་རི​ིང་ཚད་གཅི​ིག་མཚུངས་

ཡི​ིན་ན། དེ​ེ་ལ་ཤོ​ོ་གཟུགས་ཟེ​ེར། གལ་སྲི​ིད་ཤོ​ོ་གཟུགས་ཀྱི​ི་གཞོ​ོགས་རེ​ེ་རེ​ེ་ a ཡི​ིས་མཚོ​ོན་ན། ཤོ​ོ་གཟུགས་འདི​ིའི​ི་

204

ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་དང་བོངས

ངོ​ོས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ནི​ི་ 2( a × a + a × a + a × a) ཡི​ིན་པ་དང་། དེ​ེ་ནི​ི་ 6a2 རེ​ེད། (དཔེ​ེ་རི​ིས་ ༡༣་༣ ལ་ལྟོ​ོས་དང་།) ཤོ​ོ་གཟུགས་ཀྱི​ི་ངོ​ོས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ = 6a 6a2

དེ​ེའི​ི་ནང་གི​ི་ a ནི​ི་ཤོ​ོ་གཟུགས་ཀྱི​ི་གཞོ​ོགས་མཚོ​ོན་གྱི​ི་ཡོ​ོད།

a2 a a

a2

a2

a2

a2

a a2 དཔེ་རིས་ ༡༣་༣

གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི​ི་ངོ​ོས་དྲུག་ལས། ང་ཚོ​ོས་ཞབས་དང་སྟེ​ེང་གཉི​ིས་ཀྱི​ི་ངོ​ོས་ཕུད་པའི​ི་ངོ​ོས་གཞན་བཞི​ིའི་ི རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ཁོ​ོ་ན་ འཚོ​ོལ་དགོ​ོས་པར་ཆ་བཞག་ན། ངོ​ོས་བཞི​ི་པོ​ོ་དེ​ེ་དག་གི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ལ་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི​ི་ལོ​ོགས་ངོ​ོས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ (lateraal surface area) ཟེ​ེར།

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། དཀྱུས་ l དང་། ཞེ​ེང་ b དཔངས་ h ཅན་གྱི​ི་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི​ི་ལོ​ོགས་ངོ​ོས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ནི​ི་ 2lh + 2bh ཡང་ན། 2(l + b)h རེ​ེད། དེ​ེ་མཚུངས། མཐའ་ a ཅན་གྱི​ི་ཤོ​ོ་གཟུགས་ཀྱི​ི་ལོ​ོགས་ངོ​ོས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ནི​ི་ 4a2 རེ​ེད།

སྐབས་རེ​ེ་གྲུ་ནར་གཟུགས་(ཡང་ན་ཤོ​ོ་གཟུགས་)ཀྱི​ི་ངོ​ོས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ལ་ངོ​ོས་ཡོ​ོངས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ (total surface area) ཡང་ ཟེ​ེར། ང་ཚོ​ོས་དཔེ​ེ་མཚོ​ོན་འགའ་ཞི​ིག་བགྲངས་ཆོ​ོག

རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༡ སྒྲོ​ོལ་མས་རང་གི​ི་རྩེ​ེད་ཆས་བླུགས་སྣོ​ོད་ཀྱི​ི་སྒམ་ཆུང་ལ་ པར་རི​ིས་སྣ་ཚོ​ོགས་ཡོ​ོད་པའི​ི་ཤོ​ོག་བུས་བཏུམས་འདོ​ོད་ཡོ​ོད། ༡༣་༤

ལ་ལྟོ​ོས་དང།)

(དཔེ​ེ་རི​ིས་

དེ​ེའི​ི་ཆེ​ེད་སྒྲོ​ོལ་མས་ཤོ​ོག་བུ་མང་ཉུང་ཏག་ཏག་ག་

ཚོ​ོད་ཉོ​ོ་དགོ​ོས་པ་ངེ​ེས་པར་ཤེ​ེས་དགོ​ོས། གལ་སྲི​ིད་སྒམ་ཆུང་དེ​ེའི​ི་དཀྱུས་ དང་། ཞེ​ེང་། དཔངས་བཅས་ཀྱི​ི་རི​ིང་ཚད་ལ་ 80 cm དང་། 40 cm,

20 cm སོ​ོ་སོ​ོར་ཡོ​ོད་ན། མོ​ོ་ལ་མཐའ་ 40 cm ཅན་གྱི​ི་ཤོ​ོག་བུ་གྲུ་

བཞི​ི་ཁ་གང་མ་ག་ཚོ​ོད་དགོ​ོས་སམ། ལན།

དཔེ་རིས་ ༡༣་༤

སྒྲོ​ོལ་མས་སྒམ་ཆུང་གི​ི་ཕྱི​ི་ངོ​ོས་ལ་ཤོ​ོག་བུ་སྦྱར་དགོ​ོས་པས། ཤོ​ོག་བུའི​ི་མང་ཉུང་ག་ཚོ​ོད་དགོ​ོས་པ་དང་གྲུ་

ནར་གཟུགས་ཀྱི​ི་སྒམ་ཆུང་གི​ི་ངོ​ོས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་གཅི​ིག་མཚུངས་རེ​ེད། སྒམ་ཆུང་གི​ི་ཆ་ཚད་ནི​ི་དཀྱུས་ = 80 cm དང་། ཞེ​ེང་ = 40 cm, དཔངས་ = 20 cm བཅས་རེ​ེད།

205

རྩིས་རིག

སྒམ་ཆུང་གི​ི་ངོ​ོས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་ = 2(lb + bh + hl)

= 2[(80 × 40) + (40 × 20) + (20 × 80)] cm2

= 2 × 5600 cm2 = 11200 cm2

= 2[3200 + 800 + 1600] cm2

ཤོ​ོག་བུ་རེ​ེ་རེ​ེའི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན་

= 40 × 40 cm2

= 1600 cm2

སྒམ་ཆུང་གི​ི་ངོ​ོས་ཀྱི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན།

དེ​ེར་བརྟེ​ེན། ཤོ​ོག་བུ་དགོ​ོས་པའི​ི་གྲངས་ =

ཤོ​ོག་བུ་གཅི​ིག་གི​ི་རྒྱ་ཁྱོ​ོན།

=

11200 =7 1600

དེ​ེས་ན། སྒྲོ​ོལ་མ་ལ་ཤོ​ོག་བུ་ 7 དགོ​ོས་ཀྱི​ི་ཡོ​ོད། རྩི​ིས་དཔེ​ེ། ༢ དོ​ོན་འགྲུབ་རྒྱལ་གྱི​ིས་ཤོ​ོ་གཟུགས་ཅན་གྱི​ི་ཆུ་མཛོ​ོད་ཕྱི​ི་གཞོ​ོགས་ལ་ 1.5 m བྱས་པ་ཞི​ིག་བརྒྱབ་ཡོ​ོད། ཁོ​ོས་ཆུ་མཛོ​ོད་ཀྱི​ི་ཞབས་ཕུད་པའི​ི་ཕྱི​ི་ངོ​ོས་གཞན་རྣམས་ལ་ཚད་གཞི​ི་ 25 cm ཅན་གྱི​ི་ཕ་གུས་འཐུམ་རྒྱུ་རེ​ེད། (དཔེ​ེ་ རི​ིས་ ༡༣་༥ ལ་ལྟོ​ོས་) གལ་སྲི​ིད་ཕ་གུ་ཌར་ཚན་རེ​ེ་རེ​ེར་ ` 360 ཡི​ིན་ན། ཁོ​ོས་ཕ་གྲུ་ཆ་ཚང་ལ་འགྲོ​ོ་གྲོ​ོན་ག་ཚོ​ོད་གཏང་