Spanish Teacher Edition | Level 4 Module 4 | EM2 National by General

Una historia de unidades®

Unidades fraccionarias ENSEÑAR ▸ Módulo 4 ▸ Fundamentos para las operaciones con fracciones

¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas? En esta pintura, el pintor abstracto Frank Stella usó un compás para crear figuras curvas muy brillantes. Cada parte de esta cuadrícula tiene un arco que es parte de un diseño de semicírculos que parecen arcoíris. Cuando Stella ubica estos patrones de arcoíris juntos, forman círculos. ¿Qué fracción de un círculo se muestra en cada cuadrado? En la portada Tahkt-I-Sulayman Variation II, 1969 Frank Stella, American, born 1936 Acrylic on canvas Minneapolis Institute of Art, Minneapolis, MN, USA Frank Stella (b. 1936), Tahkt-I-Sulayman Variation II, 1969, acrylic on canvas. Minneapolis Institute of Art, MN. Gift of Bruce B. Dayton/Bridgeman Images. © 2020 Frank Stella/Artists Rights Society (ARS), New York

Great Minds® is the creator of Eureka Math®, Wit & Wisdom®, Alexandria Plan™, and PhD Science®. Published by Great Minds PBC. greatminds.org © 2023 Great Minds PBC. All rights reserved. No part of this work may be reproduced or used in any form or by any means—graphic, electronic, or mechanical, including photocopying or information storage and retrieval systems—without written permission from the copyright holder. Where expressly indicated, teachers may copy pages solely for use by students in their classrooms. Printed in the USA A-Print 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 XXX 25 24 23 22 21 ISBN 978-1-63898-681-2

Una historia de unidades®

Unidades fraccionarias ▸ 4 ENSEÑAR

Módulo

2 3 4 5 6

Conceptos de valor posicional para la suma y la resta

Conceptos de valor posicional para la multiplicación y la división

Multiplicación y división de números de varios dígitos

Fundamentos para las operaciones con fracciones

Conceptos de valor posicional para las fracciones decimales

Medidas angulares y figuras planas

Antes de este módulo

Contenido general

Módulo 5 de 3.er grado

Fundamentos para las operaciones con fracciones

La clase formaliza su comprensión de las fracciones como números en 3.er grado. Usando objetos concretos y modelos pictóricos, definen 1 de una unidad fraccionaria como una fracción unitaria. Usan la forma unitaria y la forma fraccionaria para representar cómo se pueden repetir las fracciones unitarias a fin de crear fracciones no unitarias. Representan fracciones en una recta numérica, lo que les ayuda a consolidar su comprensión de las fracciones como números. Usan la distancia y la ubicación en la recta numérica para comparar fracciones con el mismo numerador o el mismo denominador. Reconocen que cuando dos fracciones comparten la misma ubicación o están a la misma distancia de cero en la recta numérica son equivalentes.

Tema A Descomposición y equivalencia de fracciones La clase descompone fracciones en una suma de fracciones unitarias y en una suma de fracciones no unitarias. Usan modelos conocidos, como vínculos numéricos, diagramas de cinta y rectas numéricas, para representar fracciones. Reconocen que el modelo de área puede ser útil para representar fracciones. Descomponen fracciones mayores que 1 en una suma de un número entero y una fracción menor que 1. Esta descomposición les ayuda a expresar fracciones mayores que 1 como números mixtos equivalentes. La clase expresa los números mixtos como una suma de un número entero y una fracción menor que 1. Luego, expresan el número entero como una fracción equivalente que después suman a la fracción. Esto les ayuda a expresar números mixtos como fracciones equivalentes mayores que 1.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4

Tema B Fracciones equivalentes La clase genera fracciones y números mixtos equivalentes. Descomponen unidades fraccionarias para hallar una fracción equivalente con unidades más pequeñas y registran su trabajo con la multiplicación. Componen unidades fraccionarias para hallar una fracción equivalente con unidades más grandes y registran su trabajo con la división. Usan modelos de área, así como diagramas de cinta y rectas numéricas, para representar fracciones y componer o descomponer unidades fraccionarias a fin de generar fracciones equivalentes.

1 2×1 2 = = 3 2×3 6

2 2×2 4 = = 3 2×3 6

EUREKA MATH2

4 ▸ M4

Tema C Comparar fracciones La clase usa diferentes métodos para comparar fracciones menores que 1, fracciones mayores que

1 y números mixtos. Consideran la relación entre los números y usan lo que saben sobre las fracciones unitarias para comparar fracciones y números de referencia, como 0, __21   y 1. Cuando las fracciones tienen numeradores o denominadores relacionados, usan lo que saben sobre generar fracciones equivalentes para expresar una fracción con otro nombre a fin de crear un numerador o un denominador común. Expresan las dos fracciones como fracciones equivalentes para compararlas. Usan métodos similares para comparar fracciones mayores que 1 y números mixtos.

Usar los puntos de referencia 0, _  1  y 1 2

_     _ 

__    __   

__    _   

_     _ 

Crear un numerador común

Crear un denominador común

× __     ____   __    

__     ____   ÷   __    

__      __   __ 

__     __ 

__      __  __      __ 

EUREKA MATH2 4 ▸ M4

Tema D Sumar y restar fracciones Al resolver problemas verbales, la clase hace estimaciones para evaluar si sus respuestas son razonables. El objetivo de esta actividad es establecer un concepto fundamental a lo largo del tema. Suman y restan fracciones con unidades semejantes y restan una fracción de un número entero. Usar la forma unitaria y una recta numérica les ayuda a relacionar el trabajo previo de sumar y restar números enteros con la suma y la resta de fracciones. Reconocen relaciones de parte-total similares y la importancia de sumar y restar unidades semejantes. Pueden aplicar la comprensión del concepto de parte-total para pensar en un problema de resta como un problema de sumando desconocido. En una lección opcional, suman fracciones con unidades relacionadas y generan fracciones equivalentes.

Sumar o restar usando la forma unitaria o la forma fraccionaria

Sumar o restar usando una recta numérica

Restar expresando con otro nombre o descomponiendo el total

 __   __  __    

− __     __    

__   − __    __   

 __   __  __    

−

_    − _    _   

−_  

−    

EUREKA MATH2

4 ▸ M4

Tema E Sumar y restar números mixtos La clase suma una fracción a un número mixto y suma dos números mixtos. También restan una fracción de un número mixto y restan dos números mixtos. Para sumar y restar números mixtos, aplican estrategias que aprendieron con anterioridad para sumar y restar números enteros. Usan vínculos numéricos, el método de flechas y una recta numérica abierta para representar y registrar la suma y la resta. La comprensión de un número mixto como la suma de un número entero y una fracción les ayuda a medida que componen y descomponen números mixtos para sumar y restar. La clase crea e interpreta diagramas de puntos, incluida la resolución de problemas de suma y resta con datos fraccionarios.

Sumar o restar contando hacia delante desde un número usando el método de flechas

Sumar o restar usando la compensación en una recta numérica abierta

__     − __   __ 

 _  − _    

Sumar descomponiendo una parte o restar descomponiendo el total

EUREKA MATH2 4 ▸ M4

Tema F Suma repetida de fracciones como multiplicación

Después de este módulo

La clase usa lo que sabe sobre la multiplicación de números enteros para

Módulo 5 de 4.o grado

multiplicar fracciones y números mixtos por números enteros. Usan la forma

La clase amplía su comprensión de los décimos y los centésimos como unidades fraccionarias para reconocerlos como unidades de valor posicional. Escriben los décimos y los centésimos en forma fraccionaria y en forma decimal. Aplican su comprensión sobre la comparación y suma de fracciones a la comparación y suma de décimos y centésimos como números decimales.

unitaria y la propiedad asociativa para multiplicar una fracción por

un número entero (p. ej., 3 × __6   = (3 × 5) sextos). Para multiplicar un número 5

mixto por un número entero, expresan el número mixto como una suma y, luego, aplican la propiedad distributiva.

Módulo 2 de 5.o grado La clase suma y resta fracciones y números mixtos con unidades relacionadas o con unidades diferentes. Usan números de referencia para estimar mentalmente y evaluar si sus respuestas son razonables. Aplican los mismos métodos para generar fracciones equivalentes y formar unidades semejantes antes de sumar o restar usando métodos conocidos.

Contenido Fundamentos para las operaciones con fracciones ¿Por qué? ��10

Lección 9 ��166

Criterios de logro académico: Contenido general ��14

Generar fracciones equivalentes con unidades más pequeñas para fracciones no unitarias

Tema A ��19 Descomposición y equivalencia de fracciones Lección 1 �� 22 Descomponer números enteros en una suma de fracciones unitarias

Lección 2 ��40 Descomponer fracciones en una suma de fracciones unitarias

Lección 3 ��56 Descomponer fracciones en una suma de fracciones

Lección 4 �� 72 Representar fracciones usando diferentes modelos de fracciones

Lección 5 ��88 Expresar fracciones mayores que 1 como números mixtos

Lección 10 ��182 Generar fracciones equivalentes con unidades más grandes

Lección 11 �� 200 Representar fracciones equivalentes usando diagramas de cinta, rectas numéricas y la multiplicación o la división

Lección 12 ��220 Generar fracciones equivalentes para fracciones mayores que 1 y

generar números mixtos equivalentes

Tema C �� 237 Comparar fracciones Lección 13 ��240 Comparar fracciones usando los puntos de referencia 0, __21   y 1 Lección 14 ��254

Lección 6 �� 106 Expresar números mixtos como fracciones mayores que 1

Comparar fracciones con denominadores relacionados

Tema B �� 123 Fracciones equivalentes

Comparar fracciones con numeradores relacionados

Lección 7 ��126 Expresar fracciones como una suma de fracciones unitarias equivalentes más pequeñas

Lección 8 ��148 Generar fracciones equivalentes con unidades más pequeñas para fracciones unitarias

Lección 15 �� 270 Lección 16 ��288 Generar un numerador o denominador común para comparar fracciones

Lección 17 ��302 Aplicar estrategias de comparación de fracciones para comparar fracciones mayores que 1

EUREKA MATH2 4 ▸ M4

Tema D ��315 Sumar y restar fracciones

Lección 30 �� 512

Lección 18 ��318

Tema F �� 549 Suma repetida de fracciones como multiplicación

Estimar sumas y diferencias de fracciones usando puntos de referencia

Lección 19 ��334 Sumar y restar fracciones con unidades semejantes

Lección 20 ��350

Representar datos en un diagrama de puntos

Lección 31 ��552 Descomponer fracciones no unitarias en un producto de un número entero y una fracción unitaria

Restar una fracción de un número entero

Lección 32 ��566

Lección 21 ��368

Multiplicar una fracción por un número entero usando la propiedad asociativa

Resolver problemas verbales de suma y resta, y estimar si las respuestas son razonables

Lección 22 ��382 Sumar dos fracciones con unidades relacionadas (opcional)

Tema E ��398 Sumar y restar números mixtos Lección 23 �� 404 Sumar una fracción a un número mixto

Lección 24 ��420

Lección 33 ��582 Resolver problemas verbales que involucran la multiplicación de una fracción por un número entero

Lección 34 �� 600 Multiplicar un número mixto por un número entero usando la propiedad distributiva

Recursos Estándares ��612

Sumar un número mixto a un número mixto

Criterios de logro académico: Indicadores de competencias ��616

Lección 25 ��432

Vocabulario ��628

Restar una fracción de un número mixto, parte 1

Lección 26 ��448 Restar una fracción de un número mixto, parte 2

Lección 27 ��462

Las matemáticas en el pasado �� 630 Materiales ��634 Obras citadas ��635

Restar un número mixto de un número mixto

Créditos ��636

Lección 28 �� 478

Agradecimientos ��637

Representar y resolver problemas verbales con números mixtos usando dibujos y ecuaciones

Lección 29 �� 494 Resolver problemas usando los datos de un diagrama de puntos © Great Minds PBC

¿Por qué? Fundamentos para las operaciones con fracciones ¿Por qué aparecen a lo largo del módulo las fracciones mayores que 1 y los números mixtos? La incorporación de fracciones menores que 1, fracciones mayores que 1 y números mixtos a lo largo del módulo ayuda a sus estudiantes a consolidar la idea de que las fracciones son números. Los números se pueden descomponer, expresar con otro nombre de manera flexible y comparar. Con los números se pueden realizar operaciones como la suma, la resta y la multiplicación. Cuando sus estudiantes trabajan sin problemas con fracciones menores que 1, fracciones mayores que 1 y números mixtos, pueden conectar lo que saben y desarrollar sus conocimientos previos de una categoría de números para aplicarlo a la siguiente categoría.

Expresar una fracción mayor que 1 como un número mixto

Expresar un número mixto como una fracción mayor que 1

¿Por qué se usan tantas estrategias de suma y resta? Las estrategias que se usan para sumar y restar fracciones y números mixtos en los temas D y E reflejan las estrategias que usa la clase en 1.er, 2.o y 3.er grado para sumar y restar números enteros. Estas estrategias refuerzan la idea de que las fracciones son números: podemos realizar operaciones con fracciones de manera similar a como lo hacemos con números enteros. Dado que las fracciones son números, se pueden componer y descomponer. La clase aplica la relación de parte-total que se halla en los problemas de suma y resta para componer y descomponer las unidades de las partes y el total.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 Fluidez significa tener precisión, ser eficiente y aplicar estrategias con flexibilidad para resolver problemas. Una estrategia puede ser eficiente para resolver un problema, pero puede requerir más tiempo para resolver otro. Sus estudiantes analizan problemas y seleccionan estrategias eficientes, muchas de las cuales, con el tiempo, se transforman en cálculos mentales. Seleccionan un modelo para registrar su trabajo de una manera que les resulte comprensible. No se espera que sus estudiantes dominen todas las estrategias y los modelos enseñados en los temas D y E del módulo 4. En su lugar, se espera que puedan tomar decisiones informadas sobre qué estrategia usar en cada problema.

Sumar o restar contando hacia delante desde un número usando el método de flechas

−

Sumar o restar usando la compensación en una recta numérica abierta

Sumar descomponiendo una parte o restar descomponiendo el total

−

4 ▸ M4

EUREKA MATH2

¿Por qué es opcional la lección 22? En 4.o grado, se espera que la clase sume y reste fracciones con unidades semejantes. En la lección 22, se invita a cada estudiante a usar lo que sabe acerca de generar fracciones equivalentes y a sumar dos fracciones con unidades relacionadas. Más adelante en 4.o grado, se suman décimos y centésimos. En la lección 22, se presenta la idea de expresar una fracción con otro nombre antes de sumar a fin de crear unidades semejantes y se prepara a la clase para sumar décimos y centésimos en el módulo 5.

Criterios de logro académico: Contenido general Fundamentos para las operaciones con fracciones Los Criterios de logro académico (CLA) son descripciones alineadas con los estándares que detallan lo que cada estudiante debe saber y poder hacer. Los criterios se escribieron usando secciones de distintos estándares para formar una descripción clara y precisa del trabajo cubierto en cada módulo. Cada módulo tiene su propio conjunto de criterios y el número de criterios varía según el módulo. En conjunto, los grupos de criterios por módulo/nivel describen lo que cada estudiante debe haber aprendido al terminar el año escolar. Los criterios y sus indicadores de competencias ayudan a las maestras y los maestros a interpretar el trabajo de cada estudiante a través de: • observaciones informales en el salón de clases; • los datos acumulados en evaluaciones formativas de otras lecciones; • Boletos de salida; • Pruebas cortas de los temas y • Evaluaciones de los módulos. Este módulo contiene los once CLA que se indican.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4

4.Mód4.CLA1

4.Mód4.CLA2

4.Mód4.CLA3

4.Mód4.CLA4

Representan y explican por qué

Generan fracciones equivalentes y sus representaciones.

Comparan dos fracciones con numeradores y denominadores distintos y justifican las conclusiones.

Descomponen fracciones de más de una manera para obtener una suma de fracciones con el mismo denominador.

a una fracción __   es equivalente a b

(n × a)   . una fracción ______ (n × b)

4.NF.A.1

4.NF.A.2

4.NF.B.3.a, 4.NF.B.3.b

4.Mód4.CLA5

4.Mód4.CLA6

4.Mód4.CLA7

4.Mód4.CLA8

Suman números mixtos con el mismo denominador.

Restan números mixtos con el mismo denominador.

Resuelven problemas verbales sobre sumas y restas de fracciones que hacen referencia al mismo entero y tienen los mismos denominadores.

Representan fracciones como múltiplos de fracciones unitarias con el mismo denominador.

4.NF.B.3.d, 4.MD.A.2

4.NF.B.4.a

4.NF.B.3.c

4.Mód4.CLA9

4.Mód4.CLA10

4.Mód4.CLA11

Multiplican una fracción por un número entero.

Resuelven problemas verbales que involucran la multiplicación de una fracción por un número entero.

Crean un diagrama de puntos para representar un conjunto de datos de mediciones en fracciones de una unidad

__1  , __1   , __1  ) y resuelven problemas ( 2 4 8

sobre sumas y restas de

fracciones utilizando los diagramas de puntos. 4.NF.B.4.b

4.NF.B.4.c, 4.MD.A.2

4.MD.B.4

4 ▸ M4

EUREKA MATH2

La primera página de cada lección identifica los Criterios de logro académico (CLA) alineados con esa lección. Cada criterio puede tener hasta tres indicadores, cada uno de estos alineado con una categoría de competencia (es decir, Parcialmente competente, Competente, Altamente competente). Cada criterio tiene un indicador para describir el rendimiento Competente, pero solo algunos criterios tienen un indicador para Parcialmente competente o Altamente competente. Un ejemplo de uno de estos criterios, incluyendo sus indicadores de competencias, se muestra a continuación como referencia. El grupo completo de criterios de este módulo con los indicadores de competencias puede encontrarse en el recurso Criterios de logro académico: Indicadores de competencias. Los Criterios de logro académico contienen las siguientes partes: • Código del CLA: El código indica el grado y el número del módulo y, luego, presenta los criterios sin un orden específico. Por ejemplo, el primer criterio para el módulo 1 de 4.o grado se codifica como 4.Mód1.CLA1. • Texto del CLA: El texto se ha escrito a partir de los estándares y describe de manera concisa lo que se evaluará. • Indicadores del CLA: Los indicadores describen las expectativas precisas del criterio para la categoría de competencia dada. • Estándar relacionado: Identifica el estándar o las partes del estándar de los Estándares Estatales Comunes que el criterio aborda.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4

Texto del CLA

Código del CLA: Grado.Mód#.CLA# EUREKA MATH2

4 ▸ M4

4.Mód4.CLA4 Descomponen fracciones de más de una manera para obtener una suma de fracciones con el mismo denominador. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADOS

Estándares relacionados

4.NF.B.3.a Entienden la suma y la resta de fracciones como la unión y la separación de partes que se reﬁeren a un mismo entero. 4.NF.B.3.b Descomponen de varias maneras una fracción en una suma de fracciones con el mismo denominador, anotando cada descomposición con una ecuación.

__ __ __ __ __ __ __ __

__ __ __ __

Justiﬁcan las descomposiciones, por ejemplo, utilizando un modelo visual de fracciones. Ejemplos: 3 = 1 + 1 + 1 ; 3 = 1 + 2 ; 2 1 = 1 + 1 + 1 = 8 + 8 + 1 . 8

Parcialmente competente Identifican descomposiciones de fracciones para obtener una suma de fracciones con el mismo denominador.

8 8

Competente

A. 1 + 1 + 1 + 1 + 1 6 6 6 6 6 B. 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 5 5 5 5 5 5 C. 1 + 1 5 6 D. 3 + 2 2 4

diferentes maneras. Dibuja un modelo para justificar una

__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __

Descomponen fracciones de más de una manera para obtener una suma de fracciones con el mismo denominador y justifican las descomposiciones. Completa las ecuaciones para descomponer 5 de

__ __ __ __

Altamente competente

¿Qué expresión muestra cómo se puede descomponer 5 ? 6

Indicadores del CLA

de tus respuestas.

__5 = ____ + ____ 6

__5 = ____ + ____ + ____ 6

619

Tema A Descomposición y equivalencia de fracciones En el tema A, la clase descompone números enteros y fracciones en sumas de fracciones. También desarrollan la comprensión de que un número mixto es la suma de un número entero y una fracción menor que 1, lo que les ayuda a expresar fracciones mayores que 1 y números mixtos con otro nombre. Sus estudiantes usan tiras de papel, diagramas de cinta, vínculos numéricos y rectas numéricas para representar la descomposición de números enteros y fracciones en fracciones unitarias. Usan modelos conocidos que les ayudan a registrar la descomposición como una suma de fracciones

unitarias (p. ej., 1 = _  1  +  _1  +  _1  o _ 3  =  _1  +  _1  +  _1 ). Reconocen que la descomposición de números enteros 3

y fracciones en fracciones unitarias es similar a la descomposición de números enteros en unidades (p. ej., 3 = 1 + 1 + 1). También se dan cuenta de que, al igual que los números enteros, las fracciones

se pueden descomponer de varias maneras (p. ej., _  4  =  _  +  _1  y _  4  =  _2  +  _2 ). Registrar con una ecuación 5

3 5

abstracta extiende el trabajo de 3.er grado, en el que la clase descompone números enteros y fracciones usando vínculos numéricos y otros modelos para representar su trabajo. La clase también divide y sombrea un modelo de área para representar fracciones. El modelo de área resulta particularmente útil en el tema B, en el que la clase genera fracciones equivalentes. Dependiendo del contexto y la unidad fraccionaria, pueden elegir la representación adecuada entre una variedad de modelos para representar fracciones. Sus estudiantes vieron números mixtos en 3.er grado, principalmente con diagramas de puntos y en contextos de medición. En este tema, se formaliza la definición de un número mixto como la suma de un número entero y una fracción menor que 1. Sus estudiantes usan vínculos numéricos y rectas numéricas para descomponer fracciones mayores que 1 y expresar las fracciones como un número mixto. Usan estos mismos tipos de modelos para expresar un número mixto como una fracción mayor que 1. Para expresar un número mixto con otro nombre, usan la suma de un número entero y una fracción menor que 1. Luego, usan fracciones equivalentes a números enteros para expresar el número entero como una fracción. Componen la fracción del número entero y la fracción menor que 1 para expresar el número mixto como una fracción mayor que 1. En el tema B, la clase usa modelos de área para generar fracciones equivalentes.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA

Progresión de las lecciones Lección 1

Lección 2

Lección 3

Descomponer números enteros en una suma de fracciones unitarias

Descomponer fracciones en una suma de fracciones unitarias

Descomponer fracciones en una suma de fracciones

1 1 2

1 2

1= + 1 2

1 2

Puedo usar un diagrama de cinta, una recta numérica o un vínculo numérico para representar la descomposición de un número entero en fracciones unitarias. Puedo escribir una ecuación para registrar el número entero como una suma de fracciones unitarias.

4 3

2 3

4 3

2 3

4 2 2 = + 3 3 3 Puedo usar un diagrama de cinta, una recta numérica o un vínculo numérico para representar la descomposición de una fracción no unitaria en fracciones unitarias. Puedo escribir una ecuación para registrar la fracción no unitaria como una suma de fracciones unitarias.

1 3

3 3 4 1 3 = + 3 3 3

Al igual que con los números enteros, puedo descomponer fracciones de varias maneras. Puedo representar la descomposición con un vínculo numérico, un diagrama de cinta, en una recta numérica y con una ecuación.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA

Lección 4

Lección 5

Lección 6

Representar fracciones usando diferentes modelos de fracciones

Expresar fracciones mayores que 1 como números mixtos

Expresar números mixtos como fracciones mayores que 1

Otro modelo que puedo usar para representar una fracción es un modelo de área. El contexto o la fracción en sí me pueden ayudar a elegir qué modelo usar cuando dibujo para representar la fracción.

Puedo usar un vínculo numérico o una recta numérica para descomponer una fracción mayor que 1 y expresar la fracción como un número mixto. El número mixto me ayuda a ver la fracción mayor que 1 como un número entero y una fracción menor que 1.

Se puede descomponer un número mixto en un número entero y una fracción. Cuando expreso el número entero como una fracción, puedo expresar el número mixto como una fracción mayor que 1.

LECCIÓN 1

Descomponer números enteros en una suma de fracciones unitarias

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

Nombre

Fecha

Completa la tabla para representar diferentes maneras de descomponer cada número en la fracción unitaria dada. Diagrama de cinta

Vínculo numérico

1 5

• ¿Qué modelos podemos usar para descomponer un número entero? ¿En qué se parecen y en qué se diferencian los modelos?

1 5

1 = 1_ + 1_ + 1_ + 1_ + 1_

1 5

La clase dobla tiras de papel y dibuja diagramas de cinta y rectas numéricas para descomponer los números 1 y 2 en fracciones unitarias. Escriben una ecuación para representar la descomposición como una suma de fracciones unitarias.

Pregunta clave

Ecuación

Vistazo a la lección

Criterio de logro académico 4.Mód4.CLA4 Descomponen fracciones de más de una manera para obtener

1 3 1 3

1 3

1 3 1 3

1 3

una suma de fracciones con el mismo denominador. (4.NF.B.3.a) (4.NF.B.3.b) 2 = (1_ + 1_ + 1_) + (1_ + 1_ + 1_) 3

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Aprender 35 min

• Recta numérica de 0 a 2 (en la edición para la enseñanza)

• Descomponer en una suma de fracciones unitarias

• computadora o dispositivo*

• Considere si desea retirar con antelación las hojas extraíbles de Diagrama de cinta en blanco y de Recta numérica de 0 a 2 de los libros para estudiantes e insertarlas en las pizarras blancas o si las preparará con la clase durante la lección.

• proyector*

• Para preparar las tiras de papel, corte una

Presentar 5 min

• Diagrama de cinta y recta numérica • Representar una ecuación

• tiras de papel de 2  _1 ″ × 5  _1 ″ (2) 8

hoja en blanco de 8  _1 ″ × 11″ en cuatro tiras

• libro Enseñar*

de 11 pulgadas y, luego, corte cada una

• Grupo de problemas

Estudiantes

Concluir 10 min

• Diagrama de cinta en blanco (en el libro para estudiantes) • tiras de papel de 2  _1 ″ × 5  _1 ″ (2) 8

de ellas por la mitad. • Conserve las tiras de papel para usarlas en la lección 2.

• Recta numérica de 0 a 2 (en el libro para estudiantes) • marcador de borrado en seco* • libro Aprender* • lápiz* • pizarra blanca individual* • borrador para la pizarra blanca individual* *E stos materiales solo se mencionan en la lección 1. Prepare estos materiales para cada una de las lecciones de este módulo.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Dividir y sombrear diagramas de cinta Materiales: E) Diagrama de cinta en blanco

La clase divide un diagrama de cinta en medios o cuartos y, luego, sombrea e identifica partes del diagrama de cinta como preparación para la descomposición y equivalencia de fracciones. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre el diagrama de cinta. Dividan el diagrama de cinta en medios. Muestre el diagrama de cinta dividido en medios. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. ¿Cuál es la fracción unitaria?

1   2 Sombreen 1 unidad. Muestre 1 medio sombreado en el diagrama de cinta. ¿Cuánto está sombreado? Digan la respuesta como una fracción.

1   2 ¿Cuánto está sin sombrear? Digan la respuesta como una fracción.

1   2

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Respuesta a coro: Fracciones iguales a números enteros La clase identifica la unidad fraccionaria y el valor sombreado en un diagrama de cinta como preparación para la descomposición y equivalencia de fracciones. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre el diagrama de cinta con 2 medios sombreados. Cada diagrama de cinta representa 1 entero. ¿Cuál es la unidad fraccionaria? Medios ¿Cuántos medios están sombreados?

2 medios

1 2 =1 2

Muestre la respuesta. ¿Qué número entero es equivalente a 2 medios?

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1 Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

4 =2 2

1 4 =1 4

8 =4 2

12 =3 4

1 8 =2 4

Contar de un medio en un medio en la recta numérica La clase cuenta de un medio en un medio y expresa las fracciones como números enteros como preparación para la descomposición y equivalencia de fracciones. Muestre la recta numérica. ¿Qué unidad fraccionaria muestra la recta numérica? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Medios Usen la recta numérica para contar hacia delante y hacia atrás de un medio en un medio hasta

10 medios. Empiecen diciendo 0 medios. ¿Comenzamos?

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1 Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

7 2

8 2

9 2

10 2

1 3 5 7 Ahora, cuenten hacia delante y hacia 0 2 1 2 2 2 3 2 atrás nuevamente de un medio en un medio. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?

9 2

0 medios, 1 medio…, 9 medios, 10 medios 10 medios, 9 medios…, 1 medio, 0 medios

0 2

1 2

2 2

3 2

4 2

5 2

6 2

Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 1 medio, 1…, 9 medios, 5 5, 9 medios…, 1, 1 medio, 0

Presentar

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere formar grupos de manera estratégica y flexible a lo largo del módulo. • Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en matemáticas. • Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en el idioma. • Forme grupos pequeños de cuatro uniendo dos parejas de estudiantes. De ser posible, intente formar las parejas con estudiantes que tengan el mismo idioma materno.

La clase analiza una pintura y razona acerca de las diferentes maneras de descomponer las figuras en partes iguales.

DUA: Representación

Muestre Tahkt-I-Sulayman, Variación II (Tahkt-I-Sulayman, Variation II), de Frank Stella.

Considere usar un código de colores y anotaciones para hacer énfasis en que cada círculo está dividido en cuartos.

Esta pintura se llama Tahkt-I-Sulayman. El artista, Frank Stella, la pintó en 1969. Esta obra es especialmente impactante por su precisión y su tamaño en la vida real. Mide 10 pies por 20 pies. Use las siguientes preguntas para que la clase se interese en la obra de arte:

cuarto cuarto cuarto cuarto

• ¿Qué observan? • ¿Qué se preguntan? Invite a sus estudiantes a contar salteado de un cuarto en un cuarto y a identificar cuántos cuartos forman 1.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1 Guíe a sus estudiantes para que piensen en la pintura en términos de fracciones. Haga referencia a las figuras que hay en ella y considere usar una secuencia como la siguiente. ¿Qué figuras ven en la pintura? La pintura entera es un rectángulo. Veo cuadrados y círculos. Las líneas curvas parecen partes de círculos. Pensemos en la pintura como 1 rectángulo grande. La pintura está dividida en paneles cuadrados individuales. ¿En cuántos cuadrados del mismo tamaño está dividido el rectángulo?

8 cuadrados ¿Qué fracción del rectángulo representa 1 cuadrado? ¿Cómo lo saben?

1 cuadrado representa _ 81 del rectángulo. Los 8 cuadrados juntos forman el entero, entonces cada

cuadrado es _   1 . 8

Seleccione a alguien para que dibuje con el dedo en qué lugar ve un círculo entero. Si pudiéramos ver debajo de los paneles cuadrados, quizás veríamos un círculo. Pensemos en el círculo como 1. ¿Qué fracción de él se representa en cada cuadrado? ¿Cómo lo saben?

_ 1 del círculo porque está dividido en 4 partes iguales, 4

y eso es 1 de las partes.

_ 1  y _ 1  son fracciones unitarias. Representan 1 de las partes, o unidades, iguales de un entero que 4

Diferenciación: Desafío Invite a sus estudiantes a razonar acerca de cómo están representados los medios, los cuartos y los octavos en la pintura. Pregúnteles dónde ven las diferentes unidades y cuántas de cada una hay en la pintura.

se ha dividido.

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, descompondremos números enteros en una suma de fracciones unitarias.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

Aprender

Descomponer en una suma de fracciones unitarias Materiales: M/E) Tiras de papel

La clase relaciona una tira de fracciones y un vínculo numérico con ecuaciones que descomponen los números 1 y 2 en una suma de fracciones unitarias. Distribuya dos tiras de papel a cada estudiante. Pida a sus estudiantes que doblen una de las tiras en 2 partes iguales. Luego, coloque la tira en una pizarra blanca y use una llave para rotular la tira como 1. La tira de papel entera representa 1. ¿Qué nombre podemos dar a cada parte? ¿Cómo lo saben?

Cada parte es _  1 . Hay 1 rectángulo dividido en 2 partes iguales. Una 2

de esas partes es 1 medio.

Nota para la enseñanza medio

medio

Considere rotular inicialmente la tira entera como __   2  . Invite a sus estudiantes a expresar la 2 fracción como un número entero y a explicar cómo saben que __  2  es equivalente a 1. 2

Invite a la clase a rotular cada parte en forma unitaria y en forma fraccionaria. ¿Cuántos medios equivalen a, o son la misma cantidad que, 1?

2 medios Comience un vínculo numérico con un total de 1 mientras sus estudiantes hacen lo mismo. ¿Cómo podemos usar un vínculo numérico para mostrar cómo descompusimos 1?

 1 . Podemos dibujar 2 partes. Cada parte es _ Descompusimos 1 en _ 1  y _ 1  . 2

Nota para la enseñanza Al hacer el vínculo numérico, escriba la fracción primero y, luego, enciérrela en un círculo. Esto ayuda a sus estudiantes a hacer que una fracción quede dentro del círculo.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1 Complete el vínculo numérico mientras sus estudiantes hacen lo mismo. Escriba una ecuación que muestre la descomposición de 1 en medios mientras sus estudiantes hacen lo mismo.

_ 1  es una fracción unitaria. Podemos decir que 1 es la suma, o el total, de las fracciones 2

unitarias.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la ecuación representa la tira dividida y el vínculo numérico. Forme parejas de estudiantes y pídales que coloquen sus tiras una al lado de la otra en una pizarra blanca.

Como soporte, considere mostrar un diagrama de cinta y un vínculo numérico para representar la descomposición de un número entero. Invite a sus estudiantes a describir ambos modelos usando esquemas de oración y ecuaciones con los números en forma unitaria y en forma estándar, como en los siguientes ejemplos. se descompone en

Cada tira representa 1. ¿Qué número entero representan las dos tiras?

partes iguales. .

Cada parte es una unidad. La unidad es

2 Pida a sus estudiantes que rotulen las dos tiras de papel como 2.

Diferenciación: Apoyo

medio

2 se descompone en 2 partes iguales, 1 y 1. 2 se descompone en 4 medios. Comience un vínculo numérico con un total de 2.

medio

¿Cómo muestran las tiras la descomposición de 2?

La suma de las unidades es medios =

medio +

. medio

Invite a las parejas de estudiantes a completar el vínculo numérico para mostrar cómo se descompone 2 en medios. ¿Qué ecuación podemos escribir para mostrar 2 como una suma de fracciones unitarias?

2 = 1_  + 1_  + 1_  + 1_   2

Pida a sus estudiantes que registren la ecuación. Agrupemos las fracciones unitarias para mostrar cómo se representa 1 en la ecuación. ¿Dónde podemos colocar paréntesis para agrupar 1?

Alrededor de  _1  +  _1  2

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1 Guíe a la clase para que coloque los paréntesis alrededor de cada grupo de _  1  + _  1 . 2

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la ecuación representa las dos tiras. Repita el proceso para descomponer 1 en cuartos y, luego, descomponga 2 en cuartos. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se pueden descomponer los números 1 y 2 en una suma de fracciones unitarias.

Diagrama de cinta y recta numérica Materiales: M/E) Recta numérica de 0 a 2

La clase descompone 1 o 2 en una suma de fracciones unitarias en un diagrama de cinta y una recta numérica.

Muestre la imagen del diagrama de cinta de 1. La cinta representa 1. ¿Cómo se descompone 1?

1 se descompone en 3 partes iguales. 1 se descompone en 3 tercios. Cada parte es _ 31 . Pida a las parejas de estudiantes que escriban una ecuación para mostrar cómo se descompone 1 en fracciones unitarias. ¿Qué ecuación escribieron?

1 = 1_  + 1_  + 1_   3

DUA: Representación

Muestre la imagen del diagrama de cinta de 2.

¿Qué representa el diagrama de cinta? El diagrama de cinta representa 2.

Relacione el diagrama de cinta de 2 con el trabajo previo de sus estudiantes con dos tiras. Considere mostrar un diagrama de cinta con cada 1 rotulado.

2 se descompone en 6 partes iguales.

¿En qué parte del diagrama de cinta está representado 1? ¿Cómo lo saben? Si 2 se compone de 6 partes, entonces 1 debe ser 3 partes porque la mitad de 6 es 3.

1 está representado como 3 partes, porque veo 2 grupos de 3 partes.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo se descompone 2. Veo que 1 se descompone en 3 tercios. Entonces, 2 se descompone en 6 tercios.

2 = 31 + 31 + 31 + 31 + 31 + 31

Pida a las parejas de estudiantes que escriban una ecuación con paréntesis para mostrar cómo se descompone 2. ¿Cómo usaron los paréntesis en su ecuación? Agrupé 3 tercios con paréntesis porque 3 tercios es 1. Hay 2 grupos de 3 tercios en la ecuación porque estamos descomponiendo 2. Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Recta numérica de 0 a 2 de sus libros y la inserten en sus pizarras blancas. ¿En qué parte de la recta numérica ven una longitud de 1? De 0 a 1, entre las primeras dos marcas de graduación ¿De qué manera podríamos usar la recta numérica como ayuda para dibujar nuestro diagrama de cinta con la misma longitud de 1? Podríamos dibujar el diagrama de cinta como la misma longitud, por encima o por debajo de la recta numérica.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando usa un diagrama de cinta y una recta numérica para descomponer un número entero en fracciones unitarias y escribe una ecuación que muestra la descomposición como una suma de fracciones unitarias. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7: • ¿Cómo se relaciona el uso de un diagrama de cinta con el uso de una recta numérica para descomponer 1? ¿De qué manera les ayuda esto a escribir una ecuación que muestre 1 como una suma de fracciones unitarias? • ¿En qué se parecen la descomposición de 2 en tercios y la descomposición de 1 en tercios?

Dibuje un diagrama de cinta por encima de la recta numérica de 0 a 1 mientras sus estudiantes hacen lo mismo. ¿Cómo podemos dividir en cuartos el diagrama de cinta y la recta numérica?

Podemos dividir cada uno de ellos en 4 partes iguales de 0 a 1. Guíe a la clase para que divida el diagrama de cinta en cuartos. ¿Qué fracción representa cada parte del diagrama de cinta?

1 cuarto ¿En qué parte de la recta numérica ven 1 cuarto? En el espacio entre 0 y la primera marca de graduación En el espacio entre las marcas de graduación

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1 Trace la longitud de 0 a _   1  y rotule 4

la primera marca de graduación. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invite a la clase a escribir una ecuación debajo del diagrama de cinta y de la recta numérica para mostrar cómo se descompone 1. Escriba la ecuación.

¿Qué podemos hacer en nuestro dibujo para mostrar la descomposición de 2 en cuartos? Podemos extender el diagrama de cinta y la recta numérica hasta 2 y, luego, dividir el siguiente entero en 4 partes iguales. ¿Cómo cambiará la ecuación? El total será 2.

Tenemos que escribir _  1  cuatro veces más en la ecuación.

Dé a sus estudiantes 1 minuto para extender sus dibujos y reescribir la ecuación a fin de mostrar 2 como la suma de cuartos. Luego, muestre el diagrama de cinta, la recta numérica y la ecuación completados. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la recta numérica y el diagrama de cinta representan la ecuación.

Representar una ecuación La clase selecciona y usa un diagrama de cinta, una recta numérica o un vínculo numérico para representar una ecuación. Escriba la ecuación. ¿Qué representa la ecuación?

Representa la descomposición de 1 en 6 sextos.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1 Dé a sus estudiantes 1 minuto para elegir si representarán la ecuación con un diagrama de cinta, una recta numérica o un vínculo numérico. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Identifique a dos estudiantes que hayan usado diferentes modelos para que compartan su trabajo. Guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir con todo el grupo sus representaciones de la descomposición de 1 en sextos.

1 0

1 6

1 6 1 6

1 6

A medida que cada estudiante comparte su trabajo, use preguntas como las siguientes para destacar la descomposición y para hacer conexiones entre los ejemplos de trabajo: • ¿Cómo está representado 1? • ¿Cómo se descompone 1? • ¿Cómo está representado 1 de manera parecida y diferente en cada ejemplo de trabajo?

• ¿Cómo saben que cada parte representa _  1 ? ¿Cómo está representado eso de manera parecida 6 y diferente en cada ejemplo de trabajo? Anime a la clase a que haga preguntas.

Si hay tiempo suficiente, repita el proceso con la ecuación: 2 =( _ 1  +  _1  +  _1  +  _1 )+ ( _ 1  +  _1  +  _1  +  _1 ). 4

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre su trabajo y el trabajo compartido.

Grupo de problemas Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Descomponer números enteros en una suma de fracciones unitarias Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación acerca de las diferentes maneras de representar la descomposición de 1 en fracciones unitarias. ¿En qué se parecen los modelos que muestran la descomposición de 1 en el problema 4? En el diagrama de cinta, el vínculo numérico y la ecuación, se puede ver que 2 medios es igual a 1.

1 es el total, y hay 2 partes iguales, o 2 medios.

En el vínculo numérico y en la ecuación, los medios están rotulados como _  1 .

1 está rotulado en todos los modelos.

¿En qué se diferencian los modelos que muestran la descomposición de 1 en el problema 4? El diagrama de cinta es el único modelo en el que se ve que las partes tienen el mismo tamaño. La ecuación es el único modelo que muestra 1 como una suma de fracciones unitarias.

2 es el total que se descompone en medios en el problema 5. ¿En qué parte de cada modelo ven 1?  1  + _  21 . En la ecuación, 1 está representado en cada grupo como _ 2 En el vínculo numérico y en el diagrama de cinta, 2 de las partes forman 1. Las otras 2 partes también forman 1.

Boleto de salida 5 min Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

Ejemplos de soluciones Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase. EUREKA MATH2

Nombre

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

Fecha

Completa los vínculos numéricos y las ecuaciones para que coincidan con cada diagrama de cinta. Diagrama de cinta

Completa las ecuaciones para que coincidan con cada polígono dividido. Cada polígono representa 1. 4. 1.

2 medios =

medio +

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

Vínculo numérico y ecuación

medio

1 1 2_ _____ _____ = + 2 2 2

1 2

3 tercios = 1 tercio + 1 tercio + 1 tercio 5.

1 +

cuarto + 1 cuarto cuarto + 1 cuarto

1 2

1 1 4

2 = (_____ + _____) + (_____ + _____)

1 1 1 1 _4 = _____ + _____ + _____ + _____ 4 4 4 4 4

2 1 2

4 cuartos =

1 = _____ + _____

1 1 1 _3 = _____ + _____ + _____ 3 3 3 3

1 2

GRUPO DE PROBLEMAS

_1 4

1 4

_1 4

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

Diagrama de cinta 7.

Ecuación

Vínculo numérico y ecuación

1 4 1 4

1 4

2=( +(

_1 4

1 4

_1 4

Diagrama de cinta

1 1_ 1_ 10. 2 = (_ + + + 1_ + 1_ + 1_ 3 3 3) (3 3 3)

1 1_ 11. 3 = (_ + + 1_ + 1_ + 1_ + 1_ 2 2) (2 2) (2 2)

1 4

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

)

_1 4

)

12. Deepa come la mitad de una galleta con chispas de chocolate. Gabe come la mitad de una galleta de avena. Se muestra el tamaño real de cada galleta. ¿Comieron la misma cantidad de galleta? Explica. No, no comieron la misma cantidad

Dibuja y rotula un diagrama de cinta para representar cada ecuación. Ecuación 1 1_ 1_ 1_ 1_ 8. 1 = _ + + + + 5 5 5 5 5

de galleta. La galleta con chispas de

Diagrama de cinta

chocolate es más grande que la de avena,

Galleta con chispas de chocolate

Galleta de avena

entonces la mitad de la galleta con chispas de chocolate es más grande que

3 1_ 1_ 1_ 9. _ = + + 3 3 3 3

3 3

la mitad de la galleta de avena. Deepa comió más cantidad de galleta que Gabe.

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1 ▸ Recta numérica de 0 a 2

This page may be reproduced for classroom use only.

LECCIÓN 2

Descomponer fracciones en una suma de fracciones unitarias

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

Nombre

Fecha

1. Dibuja un diagrama de cinta para representar la fracción. Luego, escribe una ecuación para expresar la fracción como una suma de fracciones unitarias. Fracción

Diagrama de cinta

Ecuación

La clase descompone una fracción no unitaria menor que 1 en fracciones unitarias de manera concreta con una tira de papel y, luego, escribe una ecuación relacionada. Representan una fracción mayor que 1 de manera pictórica con un diagrama de cinta y una recta numérica y escriben la fracción como una suma de fracciones unitarias.

Pregunta clave

_ _ _ _

3 6

Vistazo a la lección

• ¿Dónde ven fracciones unitarias en las representaciones de las fracciones?

3 1 1 1 = + + 6 6 6 6

Criterio de logro académico 2. Dibuja un diagrama de cinta para representar la fracción. Ubica la fracción en la recta numérica. Luego, escribe una ecuación para expresar la fracción como una suma de fracciones unitarias. Fracción

Diagrama de cinta y recta numérica

4.Mód4.CLA4 Descomponen fracciones de más de una manera para obtener

una suma de fracciones con el mismo denominador. (4.NF.B.3.a) (4.NF.B.3.b)

Ecuación

5 4

_ _ _ _ _ _

5 1 1 1 1 1 = + + + + 4 4 4 4 4 4

5 4

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• tira de cuartos

• Considere si desea retirar con antelación las hojas extraíbles de Diagrama de cinta en blanco y Recta numérica en blanco de los libros para estudiantes e insertarlas en las pizarras blancas o si las preparará con la clase durante la lección.

Aprender 35 min • Descomponer fracciones menores que 1 • Descomponer fracciones mayores que 1 • Representar fracciones mayores que 1 en una recta numérica • Grupo de problemas

Concluir 10 min

• lápiz de color • Recta numérica en blanco (en la edición para la enseñanza)

Estudiantes • Diagrama de cinta en blanco (en el libro para estudiantes) • tira de papel de 2  _1  ″ × 5  _1  ″ • lápiz de color

• tira de cuartos

• Reúna las tiras de papel de cuartos de la lección 1. • Prepare las tiras de papel cortando una hoja en blanco de 8  _1  ″ × 11″ en cuatro tiras de 2

11 pulgadas y, luego, corte cada una de ellas por la mitad.

• Recta numérica en blanco (en el libro para estudiantes)

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Dividir y sombrear diagramas de cinta Materiales: E) Diagrama de cinta en blanco

La clase divide un diagrama de cinta en cuartos u octavos y, luego, sombrea e identifica partes del diagrama de cinta para desarrollar fluidez con la descomposición y equivalencia de fracciones. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre el diagrama de cinta. Dividan el diagrama de cinta en cuartos. Muestre el diagrama de cinta dividido en cuartos. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.

¿Cuál es la fracción unitaria?

_1   4

Sombreen 1 unidad.

Muestre 1 cuarto sombreado en el diagrama de cinta. ¿Cuánto está sombreado? Digan la respuesta como una fracción.

1   4 ¿Cuánto está sin sombrear? Digan la respuesta como una fracción.

3   4

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Respuesta a coro: Fracciones iguales a números enteros La clase identifica la unidad fraccionaria y el valor sombreado en un diagrama de cinta para desarrollar fluidez con la descomposición y equivalencia de fracciones. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre el diagrama de cinta con 2 medios sombreados. Cada diagrama de cinta representa 1 entero. ¿Cuál es la unidad fraccionaria? Medios ¿Cuántos medios están sombreados?

2 medios

1 2 =1 2

Muestre la respuesta. ¿Qué número entero es equivalente a 2 medios?

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2 Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

6 =3 2

1 4 =1 4

8 =4 2

1 8 =2 4

16 =4 4

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

Contar de un tercio en un tercio en la recta numérica La clase cuenta de un tercio en un tercio y expresa las fracciones como números enteros para desarrollar fluidez con la descomposición y equivalencia de fracciones. Muestre la recta numérica. ¿Qué unidad fraccionaria muestra la recta numérica? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Tercios Usen la recta numérica para contar hacia delante y hacia atrás de un tercio en un tercio hasta

12 tercios. Empiecen diciendo 0 tercios. ¿Comenzamos? Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

3 3

4 3

5 3

6 3

1 2 Ahora, cuenten hacia delante y hacia 0 3 3 1 atrás nuevamente de un tercio en un tercio. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?

4 3

5 3

2 3 3 3 4 3 3

0 tercios, 1 tercio…, 11 tercios, 12 tercios 12 tercios, 11 tercios…, 1 tercio, 0 tercios

0 3

1 3

2 3

7 3

8 3

9 10 11 12 3 3 3 3

10 11

Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 1 tercio, 2 tercios, 1…, 11 tercios, 4 4, 11 tercios…, 1, 2 tercios, 1 tercio, 0

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

Presentar

Materiales: E) Tira de papel, lápiz de color

La clase usa tiras de papel para describir una fracción no unitaria. Distribuya una tira de papel a cada estudiante. Invite a sus estudiantes a doblar la tira en unidades fraccionarias de su preferencia: sextos, octavos o décimos. Pídales que sombreen la tira para representar una fracción que no sea unitaria y que sea menor que la que está representada por la tira entera. Forme parejas de estudiantes y pídales que se turnen para describir la cantidad fraccionaria que sombrearon, sin mostrar sus tiras de fracciones. El objetivo es que cada estudiante adivine de manera correcta la cantidad fraccionaria que sombreó su pareja de trabajo. Cuando lo hayan hecho, se puede mostrar la tira de papel. Reúna a la clase y use preguntas como las siguientes para guiar una conversación acerca de qué hizo que la descripción de la fracción fuera exitosa. Destaque el razonamiento que incluya fracciones unitarias y cómo se descompone la fracción no unitaria. • ¿Cómo describieron la unidad fraccionaria? • ¿Cuál fue la pista más útil para adivinar la fracción sombreada?

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere activar los conocimientos previos de la clase sobre términos y conceptos relevantes como los siguientes: • Fracción no unitaria: Presente una fracción unitaria, como __   1  , y pida a sus estudiantes 3 que nombren una fracción no unitaria, como __   2  . 3 • Fracciones mayores que 1: Pida a sus estudiantes que nombren una fracción equivalente a, o que represente la misma cantidad que, 1, como __   3  . Luego, pídales que 3 nombren una fracción mayor que 1, como __   4  , 3 y que expliquen cómo saben que es mayor.

• ¿Cómo podrían describir la fracción sombreada de manera diferente si tuvieran que volver a hacerlo? Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, descompondremos fracciones y escribiremos ecuaciones.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

Aprender

Descomponer fracciones menores que 1 Materiales: M/E) Tira de cuartos, lápiz de color

La clase sombrea una fracción no unitaria y la escribe como una suma de fracciones unitarias. Invite a sus estudiantes a sombrear 2 partes de sus tiras de cuartos.

cuarto

cuarto cuarto

cuarto

¿Qué cantidad está sombreada? ¿Cómo lo saben?

_ 2  porque sombreé 2 partes y cada una es 1 cuarto. 4

Pida a sus estudiantes que representen el total sombreado y las 2 partes haciendo un vínculo numérico en sus pizarras blancas.

¿Cómo podemos escribir una ecuación para mostrar _ 2  como una suma de fracciones unitarias? 4

_ _ _

2 1 1   =   +   4 4 4

Escriba la ecuación descomponiendo _ 2  en fracciones unitarias. 4

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo se relacionan el número de fracciones unitarias y el total. El total es 2 cuartos y la ecuación muestra 2 sumandos de _ 1  . 4

¿En qué se diferenciaría una ecuación que mostrara  _3  como una suma de fracciones unitarias? 4 La ecuación tendría 1 sumando más de _ 1  . El total cambiaría a _ 3  . 4

Dé a las parejas 1 minuto para sombrear 3 cuartos de la tira, hacer un vínculo numérico y escribir una ecuación descomponiendo _ 3  en fracciones unitarias. 4

¿En qué se parece y en qué se diferencia descomponer _ 2  y _ 3  en fracciones unitarias? 4

En ambos casos se descomponen cuartos, pero con un número diferente de cuartos. _ 2  se descompone en 2 grupos de _ 1  y _ 3  se descompone en 3 grupos de _ 1  . 4

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2 Invite a sus estudiantes a dibujar un diagrama de cinta, rotular el total como 1 y dividir el diagrama de cinta en 6 partes iguales.

Nota para la enseñanza

(Señale una parte). ¿Qué representa esta parte?

1 sexto

Pida a sus estudiantes que sombreen para representar  _5  .

¿Cómo podemos escribir  _5  como una suma de fracciones 6

unitarias?

_ _ _ _ _ _

5 1 1 1 1 1   =   +   +   +   +   6 6 6 6 6 6

5 1 1 1 1 1 = + + + + 6 6 6 6 6 6

El total será _ 5  . Cada uno de los 5 sumandos será  _1  . 6

Pida a sus estudiantes que escriban una ecuación para mostrar la descomposición de _ 5  en una suma 6 de fracciones unitarias.

Rotular 1 en el diagrama de cinta ayuda a sus estudiantes a definir el entero y a identificar la unidad fraccionaria (sextos). A medida que sus estudiantes consolidan la comprensión fraccionaria y el trabajo con fracciones se vuelve más complejo (p. ej., hallar fracciones equivalentes o sumar y restar fracciones), pueden dibujar y rotular solo la cantidad fraccionaria. Permítales seleccionar el modelo que mejor les sirva de apoyo.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la ecuación representa la fracción sombreada en el diagrama de cinta.

Descomponer fracciones mayores que 1

Diferenciación: Apoyo

La clase analiza cómo se representa y se descompone en fracciones unitarias una fracción mayor que 1.

Use la rutina Cinco preguntas estructuradas para invitar a la clase a analizar la descomposición de _ 6  5

en fracciones unitarias.

Observar y preguntarse

está sombreada y pídales que escriban una ecuación para mostrar __  6  como la suma 4 de __   4  y __   2  . 4 4

Observo que el total sombreado es mayor que 1. Observo que la recta numérica muestra quintos. Observo que la cantidad que se quiere descomponer es  _6  . 5

Me pregunto por qué 5 quintos están agrupados con paréntesis en la ecuación y 1 quinto, no.

Me pregunto por qué  _6  está rotulado en el 5 diagrama de cinta en lugar de un número entero.

de una fracción mayor que 1 antes de presentar __   6  . Forme parejas de trabajo y pida 5 a cada estudiante que sombree los 4 cuartos de sus tiras de fracciones. Pida a las parejas que coloquen los __  4  y los __   2  sombreados uno 4 4 al lado del otro. Pregúnteles qué fracción

6 5

¿Qué observan en este trabajo? ¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones?

Considere proporcionar un ejemplo concreto

1 5

6 1 1 1 1 1 1 = 5+5+5+5+5 +5 5

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

Organizar ¿Qué pasos siguió el o la estudiante? ¿Cómo lo saben? Puedo ver que dividió la recta numérica y el diagrama de cinta en quintos de 0 a 2. Así es como sabemos el tamaño de cada parte. Sombreó 6 quintos en el diagrama de cinta y lo rotuló. Escribió una ecuación para mostrar que  _6  es la misma cantidad que sumar _ 1  seis veces. Luego, agrupó 5 5 5 quintos con paréntesis. Guíe la conversación para enfocarse en cómo se representa una fracción mayor que 1 y fomente el razonamiento que permita a sus estudiantes hacer conexiones con la manera en que se descompone la fracción.

Mostrar Enfoquémonos en cómo se representa una fracción mayor que 1. ¿De qué manera el trabajo muestra que  _6  es mayor que 1? 5

La recta numérica me ayuda a ver que el  _6  sombreado está después del 1. 5

Puedo ver en la recta numérica que 5 quintos es 1, entonces 6 quintos es 1 quinto más. En la ecuación, hay 5 quintos agrupados. 5 quintos es 1. Entonces, hay 1 quinto más.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando analiza cómo se representa una fracción mayor que 1 mediante el uso de un diagrama de cinta y una recta numérica, y cómo se descompone dicha fracción en una suma de fracciones unitarias. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2: • ¿Cómo representan el diagrama de cinta y la recta numérica __   6  ? 5 • ¿De qué manera la unidad fraccionaria quintos les ayuda a pensar acerca de la descomposición de __  6  en la suma de 5 unidades fraccionarias?

Sintetizar ¿Cómo se diferencia la representación de una fracción mayor que 1 de la de una fracción menor que 1? Se muestra en la recta numérica la distancia entre 0 y 2 y no solo la distancia entre 0 y 1. Usamos paréntesis para agrupar las fracciones iguales a 1 en la ecuación. La tira entera no es igual a 1.

Comprender ¿De qué manera es útil representar una fracción mayor que 1 cuando la descomponemos en fracciones unitarias? Al dibujar la recta numérica y el diagrama de cinta, cada entero se divide en la unidad fraccionaria, por lo que puedo ver las fracciones unitarias. Al sombrear el diagrama de cinta, cuento las fracciones unitarias para hallar el número correcto.

Nota para la enseñanza Considere preguntar a la clase en qué se parecen la representación de una fracción mayor que 1 y la de una fracción menor que 1.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2 Al escribir la ecuación, otra manera de saber si tengo el número correcto de fracciones unitarias es agrupar las fracciones equivalentes a 1. Para mostrar 6 quintos, veo 5 quintos y 1 quinto más. Sé que 5 + 1 = 6, entonces sé que tengo el número correcto de quintos. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo representar y descomponer en fracciones unitarias una fracción mayor que 1.

Representar fracciones mayores que 1 en una recta numérica Materiales: M/E) Recta numérica en blanco

La clase representa una fracción mayor que 1 en una recta numérica y la escribe como una suma de fracciones unitarias. Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Recta numérica en blanco de sus libros y que la inserten en sus pizarras blancas. Presente la fracción: _ 5  . 3

Imaginen una tira de papel que representa 1, dividida en tercios. ¿Hay suficientes tercios para

representar  _5  ? ¿Cómo lo saben? 3

No, no hay suficientes tercios. Solo hay 3 tercios. Imaginen que ustedes tienen 1 tira de papel dividida en tercios y su pareja de trabajo tiene otra tira igual. ¿Hay suficientes tercios para representar  _5  ? ¿Cómo lo saben? Sí, hay suficientes tercios. Hay 6 tercios.

Invite a sus estudiantes a dibujar un diagrama de cinta para representar las dos tiras de papel. Dibuje el diagrama de cinta por encima de la recta numérica y rotúlelo como 2. ¿De qué manera podemos mostrar dónde está cada 1 en el diagrama de cinta? Podemos dividir el diagrama de cinta por la mitad para mostrar 2 partes iguales. Cada parte representa 1. Pida a sus estudiantes que dividan el diagrama de cinta en 2 partes iguales. ¿Cómo dividimos cada 1 para mostrar tercios? Dividimos cada 1 en 3 partes iguales.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2 Pida a sus estudiantes que dividan cada 1 en tercios y que,

luego, sombreen para representar  _5  .

DUA: Representación

Para que el tamaño de las unidades fraccionarias sea claro, rotulemos la fracción sombreada.

Considere resaltar 1 en el diagrama de cinta para ayudar a sus estudiantes a que vean la unidad fraccionaria de tercios.

Pida a sus estudiantes que borren el rótulo de 2 y que rotulen la fracción sombreada  _5  . 3

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo su diagrama de cinta representa  _5  . 3

Guíe a sus estudiantes para que dividan y rotulen la recta numérica a fin de que coincida con el diagrama de cinta. Luego, divida la recta numérica en tercios. ¿Qué ecuación podemos escribir para mostrar la descomposición de _ 5  en una suma de fracciones 3 unitarias?

_ _ _ _ _ _

5 1 1 1 1 1   =   +   +   +   +   3 3 3 3 3 3

Nota para la enseñanza

¿De qué manera podemos usar paréntesis en la ecuación para mostrar que _ 5  es mayor que 1?

Cuando se representan fracciones mayores que 1, puede ser más difícil distinguir la unidad fraccionaria. La fracción sombreada está rotulada para definir las unidades fraccionarias. La recta numérica debajo del diagrama de cinta ayuda a definir las unidades y a reforzar las unidades fraccionarias. Sin embargo, permita que sus estudiantes elijan libremente la forma de rotular el diagrama de cinta, en la medida en que puedan comprender la fracción sombreada.

Podemos agrupar 3 tercios con paréntesis. Pida a sus estudiantes que coloque paréntesis en sus ecuaciones. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar en qué parte de la recta numérica se ubica  _5 . 3

_ 5  está en la marca de graduación que se alinea con el extremo de los _ 5  sombreados en el 3

diagrama de cinta.

_ 5  está a 5 longitudes de _ 1  de 0. Podemos contar de un tercio en un tercio con las marcas 3 3 de graduación hasta _ 5  . 3 En la recta numérica, trace la longitud de _ 5  desde 0 y rotule _ 5  , mientras sus estudiantes hacen lo mismo.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de en qué se parecen y en qué

se diferencian _ 5  escrito como una suma de fracciones unitarias y su representación con un diagrama 3

de cinta y una recta numérica. © Great Minds PBC

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2 Si hay tiempo suficiente, forme parejas de trabajo y pida a cada estudiante que seleccione una fracción mayor que 1 con una unidad de tercios, cuartos o quintos para representar con un diagrama de cinta y una recta numérica. Luego, pídales que intercambien las pizarras blancas con sus parejas y que escriban una ecuación para representar la fracción como una suma de fracciones unitarias.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Descomponer fracciones en una suma de fracciones unitarias Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación acerca de las diferentes maneras de representar la descomposición de una fracción en fracciones unitarias. ¿En qué parte de cada modelo de _ 3  ven fracciones unitarias en el problema 6? 2

Cada parte del diagrama de cinta representa una fracción unitaria. En la recta numérica, la distancia entre cada marca de graduación representa una fracción unitaria. Podemos ver la fracción unitaria,  _1  , escrita en la ecuación. 2

¿Cómo se relacionan la fracción unitaria,  _1  , y la fracción no unitaria, _ 3  , en el problema 6? 2

Las dos fracciones tienen la misma unidad fraccionaria: medios.

El número de fracciones unitarias es la misma cantidad que el número de medios que hay en  _3  , que es 3. 2

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

Nombre

Fecha

Dibuja un diagrama de cinta para representar la fracción. Luego, escribe una ecuación para expresar la fracción como una suma de fracciones unitarias. El primero ya está resuelto como ejemplo. Diagrama de cinta

1. 4 6

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

Dibuja un diagrama de cinta para representar la fracción. Ubica la fracción en la recta numérica. Luego, escribe una ecuación para expresar la fracción como una suma de fracciones unitarias. El primero ya está resuelto como ejemplo. Diagrama de cinta y recta numérica

Ecuación

8 6

5. 8_ 6

_ _ _ _ _ 4 1 1 1 1 = + + + 6 6 6 6 6

_ _ _ _ _ _

_ _

8 = 1+1+1+1+1+1 +1+1 6 (6 6 6 6 6 6) 6 6 0

8 6

3 2

2. 2 3

6. 3_ 2

_ _ _ 2 1 1 = + 3 3 3

_ _

3 = 1+1 +1 2 (2 2) 2 0

3 2

4 3

3 3. _ 4

7. 4_ 3

_ _ _ _ 3 1 1 1 = + + 4 4 4 4

_ _ _

4 = 1+1+1 +1 3 (3 3 3) 3 0

4 3

7 5

4. 5 8

8. 7_ 5

_ _ _ _ _ _ 5 1 1 1 1 1 = + + + + 8 8 8 8 8 8

_ 0

_ _ _ _ _

_ _

7 = 1+1+1+1+1 +1+1 5 (5 5 5 5 5) 5 5

GRUPO DE PROBLEMAS

7 5

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

Diagrama de cinta y recta numérica

Ecuación

6 4

6 9. _ 4

_ _ _ _

_ _

6 = 1+1+1+1 +1+1 4 (4 4 4 4) 4 4 0

6 4

10. Eva dibujó un diagrama de cinta y una recta numérica para mostrar __ . ¿Cometió un error? Explica. 12 10

12 10

Eva cometió un error al rotular dos de las marcas de graduación en la recta numérica. La región sombreada muestra __ , entonces cada marca representa __ . La marca de graduación rotulada 10 12 10

1 10

debería estar rotulada 1 y la marca rotulada 20 debería estar rotulada 2.

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2 ▸ Recta numérica en blanco

This page may be reproduced for classroom use only.

LECCIÓN 3

Descomponer fracciones en una suma de fracciones

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

Nombre

Fecha

2. 7_ 5 Fracción

Completa los modelos para mostrar cómo se descompone cada fracción.

1. 5 6

Recta numérica

Vínculo numérico

Ecuación

Fracción

Diagrama de cinta

Vínculo numérico

7 5

Ecuación

0 1

1 6

5 6 1 6

4 6

5 = 6

_ 1 6

7 5

5 5

2 5

7 5

5 6

3 6

2 6

3 6

5 = 6

_ 2 6

7 = 5

2 5

1 5

5 5

2 6

5 5

_ 4 6

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

6 7 5 5

6 5

1 5

7 = 5

6 5

_ 3 6

B O L E TO D E SA L I DA

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

Vistazo a la lección La clase descompone fracciones de varias maneras. Relacionan cómo se descompone una fracción en una suma de fracciones no unitarias con cómo se descompone en una suma de fracciones unitarias. Muestran la descomposición de fracciones con diagramas de cinta, rectas numéricas y ecuaciones.

Pregunta clave • ¿Por qué pueden descomponer las fracciones de diferentes maneras?

Criterio de logro académico 4.Mód4.CLA4 Descomponen fracciones de más de una manera para obtener una suma de fracciones

con el mismo denominador. (4.NF.B.3.a) (4.NF.B.3.b)

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• tira de papel de 2″ × 11″

Aprender 35 min

Estudiantes

• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Diagrama de cinta en blanco de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas individuales con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.

• Descomponer una fracción en fracciones no unitarias

• Diagrama de cinta en blanco (en el libro para estudiantes)

• Representar descomposiciones con diagramas de cinta

• lápices de colores (2)

• tira de papel de 2″ × 11″

• Prepare dos lápices de diferentes colores por estudiante.

• Representar descomposiciones con rectas numéricas • Grupo de problemas

Concluir 10 min

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: De forma unitaria a forma estándar La clase escribe la forma estándar de un número de varios dígitos dado en forma unitaria para adquirir fluidez con la escritura de números hasta 1,000,000 iniciada en el módulo 1. Muestre 1 millar, 3 centenas, 6 decenas y 7 unidades =

Cuando dé la señal, lean el número que se muestra en forma unitaria. ¿Comenzamos?

1 millar, 3 centenas, 6 decenas y 7 unidades

1 millar, 3 centenas, 6 decenas y 7 unidades =

1,367

Nota para la enseñanza Considere proporcionar una tabla de valor posicional a sus estudiantes según sea necesario. Pídales que registren la información proporcionada, como un 1 en la posición de los millares, un 3 en la posición de las centenas, etc. Esto puede resultar particularmente útil para los problemas que tengan un 0 en uno o más valores posicionales.

Escriban el número en forma estándar. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

2 millares, 5 centenas y 8 decenas = 2,580

4 millares, 9 decenas y 1 unidad = 4,091

2 decenas de millar, 6 millares, 7 centenas y 3 unidades = 26,703

5 decenas de millar, 4 millares, 8 centenas y 1 decena = 54,810

8 decenas de millar, 9 centenas y 4 unidades = 80,904

3 centenas de millar, 7 decenas de millar, 2 millares y 6 centenas = 372,600

6 centenas de millar, 4 decenas de millar y 5 decenas = 640,050

7 centenas de millar, 9 millares y 8 unidades = 709,008

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

Intercambio con la pizarra blanca: Dividir y sombrear diagramas de cinta Materiales: E) Diagrama de cinta en blanco

La clase divide un diagrama de cinta en tercios o sextos y, luego, sombrea e identifica partes del diagrama de cinta para desarrollar fluidez con la descomposición y equivalencia de fracciones. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre el diagrama de cinta.

Dividan el diagrama de cinta en tercios. Muestre el diagrama de cinta dividido en tercios. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. ¿Cuál es la fracción unitaria?

1   3

Sombreen 1 unidad.

Muestre 1 tercio sombreado en el diagrama de cinta. ¿Cuánto está sombreado? Digan la respuesta como una fracción.

1   3 ¿Cuánto está sin sombrear? Digan la respuesta como una fracción.

2   3

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

Presentar

La clase categoriza fracciones según su descomposición. Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo? Muestre los cuatro modelos de fracciones e invite a sus estudiantes a observarlos. Señale que cada figura representa 1. Dé a la clase 1 minuto para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de los elementos, pero uno no pertenezca.

0 1 2 3 4 5 6 7 1 8 8 8 8 8 8 8

Cuando se acabe el tiempo, invite a sus estudiantes a que expliquen la categoría que eligieron y justifiquen por qué uno de los elementos no pertenece a esa categoría. Destaque las respuestas que hagan énfasis en el razonamiento acerca de cómo se descompone _ 6 . 8

A no pertenece al grupo porque está sombreado con un color. No se descompuso _ 6 en partes 8 más pequeñas.

B no pertenece al grupo porque es el único que está sombreado con dos colores. Se descompone _ 6  8 en dos partes. C no pertenece al grupo porque es el único que muestra cada octavo con un color diferente. Se descompone _ 6 en fracciones unitarias. 8

D no pertenece al grupo porque es el único en el que se descompuso _ 6 en tres partes. 8

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3 ¿Cuál es la fracción total representada en cada modelo? ¿Cómo lo saben?

Cada modelo muestra _ 6 . En A, B y D, están sombreadas 6 partes de 8 partes iguales, aunque 8

algunas están sombreadas con diferentes colores. En C, la recta numérica está resaltada de 0 a _ 6 . 8

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, descompondremos fracciones de diferentes maneras.

Aprender

Descomponer una fracción en fracciones no unitarias Materiales: E) Tira de papel, lápices de colores

La clase descompone una fracción y relaciona cada descomposición con una suma de fracciones. Distribuya una tira de papel a cada estudiante. Guíe a la clase para doblar la tira en octavos.

¿Qué ecuación podemos escribir para mostrar _ 7 como una suma de fracciones unitarias?

_ _ _ _ _ _ _ _

7 1 1 1 1 1 1 1   =   +   +   +   +   +   +   8 8 8 8 8 8 8 8

Escriba la ecuación.

Invite a la clase a descomponer _ 7 en dos partes y a sombrearlas 8 con dos colores diferentes. Recorra el salón de clases mientras trabajan y seleccione a tres estudiantes que hayan sombreado las partes de diferentes maneras.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3 Reúna a la clase y pida a un o una estudiante que haya seleccionado que comparta su trabajo. Guíe una conversación para relacionar la descomposición de _ 7 en fracciones unitarias con la descomposición 8

de  _7 en fracciones no unitarias. 8

¿Cuántos octavos están representados con el primer color?

2   8

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando descompone una fracción en una suma de fracciones unitarias y, luego, las agrupa para mostrar una descomposición diferente. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo agrupar las fracciones unitarias en la ecuación para mostrar  _2 . 8

Coloque paréntesis en la ecuación para agrupar las primeras dos fracciones unitarias. ¿Cuántos octavos están representados con el segundo color?

_ 5 8

  Coloque paréntesis en la ecuación para agrupar las fracciones unitarias y mostrar _ 5 .

• ¿De qué manera sus diagramas de cinta representan una descomposición de __  7  en 8 una suma de dos fracciones? • ¿En qué detalles es importante pensar al usar un diagrama de cinta para representar la descomposición de __  7  en dos partes? 8 • ¿Dónde podrían cometer un error al escribir una ecuación para mostrar la descomposición representada en sus diagramas de cinta?

¿De qué manera podríamos registrar esta descomposición como una suma de fracciones no unitarias?

_ _ _

7 2 5 = + 8 8 8 Escriba la ecuación. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se relaciona la tira sombreada con la suma de fracciones.

Repita el proceso con otros ejemplos de trabajo más para mostrar la descomposición de _ 7  8 de diferentes maneras.

DUA: Representación Considere resaltar la relación entre la suma de fracciones unitarias y la suma de fracciones no unitarias. Use diferentes colores para resaltar los grupos de fracciones unitarias. Luego, use el mismo color para resaltar las fracciones no unitarias equivalentes.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3 Dé a las parejas 1 minuto para registrar una ecuación al dorso de sus tiras de papel que represente la manera en la que descompusieron _ 7 en una suma de fracciones. 8

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de en qué se parece y en qué se diferencia la descomposición de una fracción en fracciones unitarias y en fracciones no unitarias.

Representar descomposiciones con diagramas de cinta Materiales: E) Lápices de colores

La clase descompone una fracción en una suma de fracciones de diferentes maneras y representa la descomposición en un diagrama de cinta. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. 1. Sombrea y rotula el diagrama de cinta para que coincida con el vínculo numérico. Luego, completa la ecuación.

4 3

Diferenciación: Apoyo Si hay estudiantes que necesitan el apoyo de tener 1 rotulado en un diagrama de cinta de una fracción mayor que 1, presente una alternativa:

4 3

1 2 3

4 = 3

2 3

¿Qué nos muestran el vínculo numérico, el diagrama de cinta y la ecuación? Nos muestran que el total es  _4 . 3

El vínculo numérico y la ecuación nos muestran que estamos descomponiendo  _4 en dos partes. El vínculo numérico muestra las dos partes como _ 2  y _ 2 . 3

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3 Invite a la clase a usar un lápiz de color para sombrear  _2 en el diagrama de cinta. Guíe a la clase para 3

rotular la parte sombreada con una llave. Repita el proceso con un color diferente para los otros _ 2 . 3

¿Cómo saben que han sombreado  _2  y _ 2  ? 3

Hay 4 partes en el diagrama de cinta. La longitud de la cinta está rotulada _ 4 , entonces sé que 3 cada parte es _ 1 . Cuando sombreo 2 partes, estoy sombreando _ 2 . 3

Pida a sus estudiantes que completen la ecuación para mostrar cómo se descompone _ 4 en una suma 3 de fracciones. Pídales que vayan al problema 2. 2. Completa el vínculo numérico, el diagrama de cinta y la ecuación para descomponer _ 4 de una 3 manera diferente a la del problema 1.

4 3

1 3

4 = 3

1 3

4 3

3 3

1 3

3 3

Dé a la clase 1 minuto para elegir una manera diferente de separar _ 4 en partes y para mostrar 3 su descomposición con el diagrama de cinta, el vínculo numérico y la ecuación. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y asegúrese de que registren primero _ 1  o _ 3 en sus 3 3 ecuaciones.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3 Escriba las dos ecuaciones.

Estas son otras dos maneras de escribir _ 4 como una suma de fracciones. 3

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si estas ecuaciones representan dos maneras diferentes de descomponer _ 4 .

Cada ecuación muestra las partes fraccionarias en un orden diferente, pero se sigue descomponiendo  _4 en las mismas dos partes. 3

Las partes y el total son los mismos, pero están en un orden diferente. Es la propiedad conmutativa de la suma.

Diferenciación: Desafío Invite a sus estudiantes a descomponer __  4  3 en tres o cuatro partes. Pídales que muestren vínculos numéricos, diagramas de cinta y ecuaciones para representar su descomposición.

Debido a la propiedad conmutativa de la suma, sabemos que la suma es la misma a pesar de que las partes estén en un orden diferente.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se puede descomponer  _4  3 de diferentes maneras.

Representar descomposiciones con rectas numéricas La clase descompone una fracción en una suma de fracciones de diferentes maneras y representa la descomposición en una recta numérica. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. En lugar de sombrear un diagrama de cinta para representar la descomposición de una fracción, vamos a mostrar la descomposición en una recta numérica. 3. Sombrea la recta numérica para que coincida con la ecuación.

_ _ _

3 2 1 = + 5 5 5

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3 ¿En qué unidad fraccionaria está dividido cada número entero? ¿Cómo lo saben? Cada número entero está dividido en quintos porque hay 5 partes iguales entre 0 y 1, y entre 1 y 2.

¿En qué parte de la recta numérica está ubicado  _3 ?

_ 3 es la tercera marca de graduación después de 0.

Pida a sus estudiantes que usen un lápiz de color para comenzar en 0 y sombrear una longitud de _ 2  5 y que usen un lápiz de otro color para sombrear una longitud de_1 . Pídales que consulten la ecuación 5 mientras sombrean. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la descomposición que ven representada en la recta numérica. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4. 4. Sombrea la recta numérica para descomponer la fracción y completa la ecuación.

6 = 4

_ _ _

2 1 3 + + 4 4 4

Ejemplo:

Dé 1 minuto a la clase para dividir en la recta numérica una longitud de _ 6 en dos o más partes y para 4 escribir una ecuación que coincida con la representación. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y pídales que identifiquen cómo se puede ver la suma en la recta numérica.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3 Si hay tiempo suficiente, invite a dos o tres estudiantes a compartir la manera en que descompusieron _ 6 . Para apoyar la comprensión, haga preguntas como las siguientes: 4

• ¿Cómo está representada la ecuación en la recta numérica? • ¿Cómo saben que se descompuso un total de  _6 ? 4

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las diferencias y semejanzas entre el trabajo compartido y su trabajo.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere invitar a sus estudiantes a que usen la sección Preguntar por el razonamiento de la Herramienta para la conversación a fin de responder al trabajo de sus pares.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Descomponer fracciones en una suma de fracciones Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de cómo representar una fracción como una suma de fracciones. ¿En qué se parece saber que 5 = 2 + 3 y 5 = 4 + 1 a saber que 5 tercios = 2 tercios + 3 tercios y 5 tercios = 4 tercios + 1 tercio? Los números enteros y las fracciones se pueden descomponer de una manera parecida. Solo tienen unidades diferentes.

5 se descompone de una manera parecida, ya sea 5 unidades o 5 tercios.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3 ¿Por qué pueden descomponer las fracciones de varias maneras? Puede haber varias maneras de descomponer una fracción porque puede haber partes de diferentes tamaños. Las fracciones son números, y así como puedo descomponer el número 10 de varias maneras, también puedo descomponer __  10  de varias maneras. 10

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

Nombre

Fecha

5 3

Diagrama de cinta

Se descompone cada fracción de dos maneras diferentes. Usa un diagrama de cinta, un vínculo numérico y una ecuación para mostrar cómo se descompone la fracción. 1.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

Vínculo numérico

4 6

5 3

Diagrama de cinta

Vínculo numérico

5 3

Ecuación

3 3

4 6 1

_ _____ + _____

1 6

3 6

4= 6

3 6

5 = 3

Ecuación

3 3

2 3

5 3

5 = 3 4 3

4 6

4= 6 2 6

2 6

2 3

1 3

2 3

3 3

1 3

4 3

1 3

2 6

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

_8 4. 5

Se descompone cada fracción de dos maneras diferentes. Usa una recta numérica, un vínculo numérico y una ecuación para mostrar cómo se descompone la fracción. 3.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

7 8

Recta numérica Recta numérica

Vínculo numérico

Ecuación

8 5

a. 0

7 8 0

2 8

7 8

8 5

2 8

5 8

8 = 5

5 5

_ _____ + _____

7 = 8

4 8

7 8

7= 8

4 8

3 5

6 5

5 5

3 5

8 5

7 8

Ecuación

4 8

8 5

8 = 5

2 5

6 5

3 8

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

Escribe dos ecuaciones diferentes para mostrar la descomposición de la fracción en una suma de fracciones. 5.

9 10 Ejemplo:

__ __ __

9 = 5+ 4 10 10 10

9 = 8+ 1 10 10 10

__ __ __

7 4 Ejemplo:

_ _ _

7=4+3 4 4 4

7=2+5 4 4 4

_ _ _

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 4

Representar fracciones usando diferentes modelos de fracciones

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4

Nombre

Fecha

Dibuja dos modelos diferentes para representar _ de yarda. 5 6

5 6

La clase dibuja, divide y sombrea modelos de área para representar fracciones. Dibujan diferentes modelos para representar la misma fracción. Comentan cómo determinar qué modelo usar para representar una fracción.

Preguntas clave

Ejemplo:

Vistazo a la lección

• ¿Cómo podemos usar un modelo de área para representar fracciones? • ¿Qué les ayuda a determinar qué modelo usar para representar una fracción?

Criterio de logro académico

5 6

4.Mód4.CLA4 Descomponen fracciones de más de una manera para obtener

una suma de fracciones con el mismo denominador. (4.NF.B.3.a) (4.NF.B.3.b)

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• ninguno

Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.

Aprender 35 min • Área y fracciones • Dibujar modelos de área • ¿De cuántas maneras?

Estudiantes • Práctica veloz: Identificar las partes fraccionarias de diagramas de cinta (en el libro para estudiantes)

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4

Fluidez

Práctica veloz: Identificar las partes fraccionarias de diagramas de cinta Materiales: E) 2Práctica veloz: Identificar las▸ partes fraccionarias de diagramas cinta EUREKA MATH 4 ▸ M4 Práctica veloz ▸ Identificar las partes de fraccionarias de diagramas de cinta

La clase identifica qué fracción de un diagrama de cinta está sombreada para desarrollar fluidez con la descomposición y equivalencia de fracciones.

Práctica veloz

Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.

Cada diagrama de cinta representa 1 entero. Escribe la fracción que representa la cantidad sombreada. 1.

_1 3

_2 4

Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea: No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo. En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar! Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A. ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B. Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4 Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.

Nota para la enseñanza

Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.

Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:

Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B. Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.

• ¿Qué observan acerca de los problemas 1 a 5? • ¿Qué patrones observaron en los problemas 9 a 18?

En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar! Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B. ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Calculen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.

Nota para la enseñanza Cuente hacia delante de un medio en un medio desde el 0 hasta el 5 para la actividad de conteo de ritmo rápido. Cuente hacia atrás de un medio en un medio desde 10 medios hasta 0 medios para la actividad de conteo de ritmo lento.

Celebre el progreso de sus estudiantes.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4

Presentar

Apoyo para la comprensión del lenguaje

La clase participa en una conversación acerca de los diferentes modelos usados para representar cantidades fraccionarias. Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo? Muestre la imagen del diagrama de cinta, la recta numérica, el vaso de jugo y el modelo de fracciones circular. Dé a la clase 1 minuto para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de las imágenes, pero una no pertenezca. Cuando se acabe el tiempo, invite a sus estudiantes a que expliquen la categoría que eligieron y justifiquen por qué una de las imágenes no pertenece a esa categoría.

Haga preguntas que inviten a la clase a usar un lenguaje preciso, a establecer conexiones y a formular sus propias preguntas. Considere hacer las siguientes preguntas para guiar la conversación. ¿Cuál no pertenece al grupo? El vaso de jugo no pertenece al grupo porque las otras imágenes muestran maneras de dibujar para representar fracciones, pero el jugo no.

El diagrama de cinta no pertenece al grupo porque representa _ 1  y las otras imágenes 4 representan  _1 .

La recta numérica no pertenece al grupo porque las otras imágenes están sombreadas o completadas para representar la fracción. En la recta numérica, hay un punto para representar _ 3 . 6

Destaque las respuestas que hagan énfasis en el razonamiento acerca de las unidades fraccionarias y las fracciones equivalentes.

Considere rotular las imágenes para ayudar a sus estudiantes a nombrar cada modelo mientras conversan acerca de cuál no pertenece al grupo.

Diferenciación: Apoyo Considere usar las siguientes preguntas para ayudar a sus estudiantes mientras determinan qué imagen no pertenece al grupo. • ¿Qué fracción está representada en cada imagen? • ¿Qué modelos de fracciones ven? • ¿Ven algunas fracciones equivalentes en las imágenes? • ¿De qué manera está representada la cantidad fraccionaria en cada imagen? ¿Está sombreada? ¿Está marcada? Haga la siguiente pregunta después de formular cada una de las preguntas de arriba: • ¿Eso les ayuda a determinar qué imagen no pertenece al grupo? ¿Cómo?

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4 El vaso de jugo no pertenece al grupo porque tenemos que estimar la fracción. Las otras imágenes están divididas como ayuda para expresar cada fracción.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

¿Por qué el diagrama de cinta y el círculo están rotulados 1? Nos ayuda a saber cuál es el entero. Si no sabemos cuál es el entero, no podemos darnos cuenta de cuál es la unidad fraccionaria.

¿De qué manera la recta numérica y el círculo muestran diferentes fracciones equivalentes a _ 1 ? 2

La recta numérica está dividida en sextos y hay un punto en _ 3 . El punto también es el punto medio 6 3 _ 1 _ entre 0 y 1. Muestra que     =    . 2

Considere crear un afiche que aclare las diferentes maneras en las que sus estudiantes pueden usar modelos de área.

El círculo está dividido en octavos y están sombreados 4 octavos. La cantidad sombreada también

es la mitad del círculo. Muestra que  _1  = _ 4 . 2

La imagen C muestra aproximadamente la mitad de un vaso de jugo de naranja. ¿Qué podrían representar las otras imágenes?

_ 4  de una pizza 8 _ 3  de milla 6 _ 1  de hora

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos diferentes modelos para representar fracciones.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4

Aprender

Área y fracciones

La clase dibuja, divide y sombrea un modelo de área para representar _ 1 . 2

Muestre la imagen de la sección Presentar. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo está representado o se podría representar _ 1  en cada modelo.

Podemos usar modelos, tales como diagramas de cinta, rectas numéricas y modelos de fracciones circulares, para representar cantidades fraccionarias.

0 C.

También podemos usar un modelo de área para representar cantidades fraccionarias. Usemos un modelo de área para representar _ 1 .

DUA: Acción y expresión Considere proporcionar una plantilla de modelo de área para minimizar las exigencias de motricidad fina necesarias para dibujar, dividir y sombrear un modelo de área.

Dibuje un modelo de área cuadrado y use una llave para indicar que representa 1. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Así como rotulamos diagramas de cinta para mostrar el valor, podemos rotular el modelo de área de una manera parecida. Para mostrar medios, ¿en cuántas partes iguales necesitamos dividir nuestro modelo de área?

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4 Trace una línea vertical para dividir el modelo de área en 2 partes iguales. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cuántos medios tenemos que sombrear para representar _ 1 ? 2

1 Sombree 1 medio y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿De qué manera el modelo de área representa _ 1 ? 2

Tiene 2 partes iguales y 1 de ellas está sombreada.

 _1  del modelo de área está sombreado. 2

Dibuje una llave y rotule el área sombreada como  _1 . Pida a sus estudiantes que hagan 2 lo mismo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el modelo de área y los otros modelos usados para representar fracciones.

Dibujar modelos de área Nota para la enseñanza

La clase dibuja, divide y sombrea modelos de área para representar cantidades fraccionarias. Muestre la imagen de la recta numérica y la cantidad fraccionaria.

6 de milla 8

Invite a la clase a trabajar en parejas para dibujar, dividir y sombrear un modelo de área cuadrado que represente _ 6 . 8

¿De qué manera su modelo de área representa _ 6 ?

Muestra 1 dividido en octavos y 6 octavos están sombreados. Presente la ecuación:

_ _ _ _ _ _ _ 6 1 1 1 1 1 1   =   +   +   +   +   +   8 8 8 8 8 8 8

En 1.er, 2.o y 3.er grado, la clase usa cuadrados y otras figuras para representar fracciones. En 4.o grado, usan un modelo de área cuadrado para representar fracciones. En esta lección, trazan líneas verticales para dividir el modelo de área. En las lecciones posteriores del módulo 4, la clase aprende cómo usar líneas verticales y horizontales en un modelo de área para hallar fracciones equivalentes, crear unidades semejantes y comparar fracciones. En 5.o grado, usan divisiones verticales y horizontales de un modelo de área para sumar, restar y multiplicar fracciones.

6 8 © Great Minds PBC

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo ven la ecuación representada en la recta numérica y en el modelo de área.

6 4 2 = + 8 8 8

Pida a las parejas que escriban ecuaciones para mostrar otras maneras en las que se puede descomponer _ 6 . Invite a dos o tres parejas a compartir sus ecuaciones.

6 5 1 = + 8 8 8

Use un proceso similar con las siguientes cantidades fraccionarias y modelos.

6 3 3 = + 8 8 8

Diferenciación: Desafío Considere mostrar las imágenes sin las cantidades fraccionarias. Invite a sus estudiantes a determinar la cantidad fraccionaria representada en la imagen y, luego, a usar un modelo de área para representar la misma fracción.

7 de un pastel 12

1 1

5 de hora 6

Las parejas deben dibujar un modelo de área para representar la fracción y escribir una ecuación que muestre cómo se puede descomponer la fracción.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4 Muestre la imagen de los modelos de área que representan _ 1  , _   6 , __   7   y _ 5  . 2 8 12 6

1 2

6 8

7 12

5 6

DUA: Representación

Dibujamos modelos de área para representar  _1 vaso de jugo, _ 6 de milla, __  7 de un pastel 2

y _ 5 de hora.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo se puede usar el modelo de área para representar diferentes fracciones y contextos.

Considere mostrar un afiche de referencia con el nombre y la imagen de cada modelo de fracciones. Esto puede ayudar a sus estudiantes mientras usan diferentes modelos para representar   4  . 10

Podemos dividir el modelo de área y sombrear algunas de las partes para representar la fracción. Podemos dividirlo en un número diferente de partes para mostrar una unidad fraccionaria distinta. Usamos diagramas de cinta y rectas numéricas para representar diferentes contextos. También podemos representar diferentes contextos usando modelos de área. Un modelo de área puede representar fracciones de tiempo, distancia, peso, alimentos y muchas otras cosas.

¿De cuántas maneras? La clase dibuja y comenta diferentes modelos que representan una fracción dada. Presente la situación:

La casa de Gabe está a  4  de milla de la escuela. Para llegar a la escuela, Gabe corre  2  de milla 10 10 y camina   2  de milla.

__ 10

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4 Invite a la clase a trabajar en parejas para dibujar tantos modelos diferentes como les sea posible que representen la distancia total de  4  de milla.

__ 10

Seleccione a dos o tres parejas para que compartan su trabajo. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre los diferentes modelos usados para representar  4   .

__ 10

Los ejemplos de trabajo demuestran cómo dibujar un diagrama de cinta, una recta numérica, un modelo de fracciones circular y un modelo de área. Diagrama de cinta

Recta numérica

4 10

Cada estudiante representa a través de las matemáticas (MP4) cuando representa distancias fraccionarias usando diferentes modelos (p. ej., una recta numérica o un modelo de área) y describe cómo el modelo representa las fracciones. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP4:

4 10

• ¿Cómo pueden escribir de manera matemática la distancia total que caminó y corrió Gabe? • ¿Qué ideas clave acerca de la distancia que corrió y caminó Gabe tienen que incluir en su modelo?

Modelo de fracciones circular

Modelo de área

• ¿De qué manera su modelo muestra  4  =   2   +   2   ? 10 10 10

__ __ __

4 10

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

4 10

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4 Mientras sus estudiantes comparten sus trabajos, pídales que participen en una conversación acerca de cada modelo usando las siguientes preguntas: • ¿Cómo está representado 1? • ¿Dónde ven representadas las unidades fraccionarias?

• ¿Dónde ven representado   4   ? 10

• ¿Cómo representa el modelo la distancia entre la casa de Gabe y la escuela? • ¿Cómo representa el modelo cuánto corre y cuánto camina Gabe? • ¿Cómo representa el modelo __   4   = __   2   + __   2   ? 10

• ¿De qué otras maneras se puede descomponer __   4   ? 10

Presente la cantidad fraccionaria:

__   4   de milla 10

¿Qué modelo prefieren usar para representar la cantidad fraccionaria? ¿Por qué? Usaría una recta numérica porque el problema es sobre distancia. Me gusta pensar en problemas de matemáticas sobre distancia en una recta numérica. Dibujaría un modelo de área o un diagrama de cinta porque me resultan más fáciles de dibujar y dividir que una recta numérica o un círculo. Si los __   4   fueran __   4   de hora, en lugar de __   4   de milla, ¿cambiaría eso el modelo que 10

usarían? ¿Por qué?

  4   . Como la unidad es la Podemos usar cualquiera de los modelos porque cada uno representa __ 10 hora, prefiero usar un modelo circular porque me recuerda a un reloj. Use preguntas similares para las siguientes cantidades fraccionarias: • __   4   de un pastel

10 •   4   de metro de listón 10

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo determinan qué modelo de fracciones dibujar para representar un contexto fraccionario.

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4

EUREKA MATH2

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Representar fracciones usando diferentes modelos de fracciones Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de cómo dibujar modelos y representar cantidades fraccionarias. ¿Cómo podemos usar un modelo de área para representar fracciones? Podemos dibujar un modelo de área y dividirlo en partes iguales. Luego, podemos sombrear las partes para representar la fracción. Podemos dibujar un modelo de área para representar 1. Podemos dividir el modelo de área en unidades fraccionarias y sombrearlas para representar la fracción. ¿Qué les ayuda a determinar qué modelo dibujar para representar una fracción? A veces, depende de la unidad fraccionaria. Me resultó difícil dividir un círculo en 5 partes iguales. Entonces, si se trata de quintos, puedo dibujar un modelo de área o un diagrama de cinta. Pienso en el problema y de qué se trata. Me gusta dibujar rectas numéricas para representar distancias y tiempo.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4

EUREKA MATH2

Número de respuestas correctas:

Cada diagrama de cinta representa 1 entero. Escribe la fracción que representa la cantidad sombreada.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ Práctica veloz ▸ Identificar las partes fraccionarias de diagramas de cinta

Número de respuestas correctas: Progreso:

Cada diagrama de cinta representa 1 entero. Escribe la fracción que representa la cantidad sombreada.

_1 2

19.

_1 2

19.

_1 2

_1 3

20.

_2 2

_1 3

20.

_2 2

_1 4

21.

_2 3

_1 4

21.

_2 3

_1 6

22.

_3 3

_1 6

22.

_3 3

_1 8

23.

_3 4

_1 8

23.

_3 4

_2 4

24.

_4 4

_2 4

24.

_4 4

_2 6

25.

_4 6

_2 6

25.

_3 6

_2 8

26.

_6 6

_2 8

26.

_6 6

_0 2

27.

_5 8

_0 2

27.

_4 8

10.

_1 2

28.

_8 8

10.

_1 2

28.

_8 8

11.

_0 3

29.

_1 3

11.

_0 3

29.

_1 2

12.

_2 3

30.

_1 4

12.

_2 3

30.

_1 3

13.

_0 4

31.

_4 6

13.

_0 4

31.

_3 6

14.

_3 4

32.

_6 8

14.

_3 4

32.

_5 8

15.

_0 6

33.

_6 6

15.

_0 6

33.

_6 6

16.

_3 6

34.

_7 8

16.

_3 6

34.

_6 8

17.

_0 8

35.

_5 6

17.

_0 8

35.

_4 6

18.

_3 8

36.

_8 8

18.

_3 8

36.

_8 8

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4

Dibuja un modelo de área para representar cada cantidad fraccionaria. Escribe una ecuación para mostrar una manera de descomponer la fracción.

Dibuja una recta numérica para representar cada cantidad fraccionaria. Escribe una ecuación para mostrar una manera de descomponer la fracción. Recta numérica 1.

_3 de taza de jugo 4

1 taza 2

__7 de la clase 1 0

Ecuación Ejemplo:

_2 = 1_ + 1_ 3 3 3

Ejemplo:

_3 = 1_ + 1_ + 1_ 4 4 4 4 2 3

5 2 7 = __ __ + __

4. _3 de hora

Ejemplo:

7 10

3. _2 de una pizza

Ecuación

3 4

1 taza

Modelo de área

Ejemplo:

_3 = 1_ + 2_ 5 5 5 3 5

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4

9 de metro. 5. Dibuja dos modelos diferentes para representar __ 10

Ejemplo:

9 10

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 5

Expresar fracciones mayores que 1 como números mixtos

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5

Nombre

Fecha

Expresa cada fracción mayor que 1 como un número mixto. Usa un modelo para mostrar la descomposición. 1.

_7 = 3

2 1_3

Ejemplo:

Vistazo a la lección La clase representa descomposiciones de fracciones mayores que 1 con rectas numéricas, vínculos numéricos y ecuaciones. Usan estos modelos para razonar acerca de cómo expresar fracciones como números mixtos de manera eficiente. En esta lección se formaliza el término número mixto.

Preguntas clave _7 = 6_ + 1_ 3 3 3

• ¿Qué modelos podemos usar para expresar fracciones mayores que 1 como números mixtos?

_7 = 2 + 1_ 3 3 7_ = 2 1_3 3

• ¿Cómo podemos usar modelos para expresar fracciones mayores que 1 como números mixtos de manera eficiente?

Criterio de logro académico 2.

15 __ = 4

4.Mód4.CLA4 Descomponen fracciones de más de una manera para obtener

3 3_4

Ejemplo:

una suma de fracciones con el mismo denominador. (4.NF.B.3.a) (4.NF.B.3.b) 15 12 __ + 3_ = __ 4 4 4

15 __ = 3 + 43_ 4 15 __ = 3 3_4 4

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• hilo de 8 pies

• Prepare una recta numérica colgando el hilo de manera horizontal en una altura y ubicación a la que toda la clase pueda acceder de manera segura.

Aprender 35 min

• tarjetas de índice (22) • lápices de colores (2)

• Analizar descomposiciones y modelos

• Prepare 5 tarjetas de índice doblándolas por la mitad y rotulando un lado de cada una de ellas como 0, 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Cuelgue la tarjeta del 0 al inicio y la del 4 al final de la recta numérica.

• Grupo de problemas

• Prepare 17 tarjetas de índice doblándolas

• Interpretar vínculos numéricos • Expresar fracciones con otro nombre usando rectas numéricas y ecuaciones

Concluir 10 min

Estudiantes • lápices de colores (2)

por la mitad y rotulando un lado de a cuartos con las fracciones _ 0 , _ 1 , _ 2  y así sucesivamente. 4 4 4

• Prepare dos lápices de diferentes colores por estudiante y maestra o maestro.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: De forma escrita a forma estándar La clase escribe la forma estándar de un número de varios dígitos dado en forma escrita para adquirir fluidez con la escritura de números hasta 1,000,000 iniciada en el módulo 1. Muestre mil doscientos cincuenta y seis =

Cuando dé la señal, lean el número que se muestra en forma escrita. ¿Comenzamos? Mil doscientos cincuenta y seis Escriban el número en forma estándar.

Mil doscientos cincuenta y seis =

1,256

Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Dos mil cuatrocientos setenta = 2,470

Cuatro mil ochenta y dos = 4,082

Veinticinco mil seiscientos cuatro = 25,604

Cincuenta y tres mil setecientos veinte = 53,720

Ochenta mil ochocientos tres = 80,803

Trescientos sesenta y un mil quinientos = 361,500

Seiscientos treinta mil cuarenta = 630,040

Setecientos ocho mil nueve = 708,009

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5

Contar de un cuarto en un cuarto en la recta numérica La clase cuenta de un cuarto en un cuarto y expresa las fracciones como números enteros para desarrollar fluidez con la descomposición y equivalencia de fracciones. Muestre la recta numérica. ¿Qué unidad fraccionaria muestra la recta numérica? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Cuartos Usen la recta numérica para contar hacia delante y hacia atrás de un cuarto en un cuarto hasta 12 cuartos. Empiecen diciendo 0 cuartos. ¿Comenzamos? Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

0 cuartos, 1 cuarto…, 11 cuartos, 12 cuartos 12 cuartos, 11 cuartos…, 1 cuarto, 0 cuartos

0 4

1 4

2 4

3 4

4 4

5 4

6 4

7 4

8 4

9 10 11 12 4 4 4 4

1 4

2 4

3 4

5 4

6 4

7 4

9 10 11 3 4 4 4

Ahora, cuenten hacia delante y hacia atrás nuevamente de un cuarto en un cuarto. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 1 cuarto…, 11 cuartos, 3 3, 11 cuartos…, 1 cuarto, 0

Respuesta a coro: Comparar fracciones La clase usa diagramas de cinta para comparar fracciones menores que o iguales a 1 con el mismo denominador para desarrollar fluidez con la descomposición y equivalencia de fracciones. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. © Great Minds PBC

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5 Muestre los dos diagramas de cinta sombreados. Cada diagrama de cinta representa 1 entero. ¿Cuántos tercios están sombreados en el diagrama de cinta de arriba? (Señale el diagrama de cinta de arriba).

1 tercio

Muestre la respuesta. ¿Cuántos tercios están sombreados en el diagrama de cinta de abajo? (Señale el diagrama de cinta de abajo).

2 tercios

1 3

1 2 3 1 es menor que 23 . 3

Muestre la respuesta.

¿ _1  es mayor que, igual a o menor que _ 2 ? 3

Menor Muestre el enunciado.

Cuando dé la señal, lean el enunciado. ¿Comenzamos?  _1 es menor que _ 2 . 3

Repita el proceso con la siguiente secuencia: 1 1 4

1 3 4

1 es menor que 34 . 4

2 4

3 es mayor que 24 . 4

1 3

2 es menor que 33 . 3

1 2

2 2

1 es igual a 12 . 2

1 1 2

2 es mayor que 12 . 2

1 4 4

1 0 3

1 3 3

1 2

1 2 3

1 1

1 es mayor que 03 . 3

4 es igual a 1. 4

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5

Presentar

Materiales: M) Recta numérica de hilo, tarjetas de índice preparadas con antelación

La clase justifica la ubicación de un número dado en una recta numérica. Pida a sus estudiantes que vayan a la recta numérica interactiva. Seleccione a alguien para que ubique la tarjeta de índice de números enteros rotulada 2 en la recta numérica. Pídale que justifique la ubicación y pregunte a la clase si están de acuerdo o en desacuerdo. Use un proceso similar para ubicar las tarjetas de índice de números enteros restantes. Mezcle el orden de las tarjetas de índice con fracciones y pida a sus estudiantes que se turnen para ubicar una fracción en la recta numérica y justificar su ubicación. Pregunte a la clase si están de acuerdo o en desacuerdo.

Nota para la enseñanza Cuando sus estudiantes ubiquen una fracción equivalente a un número entero en la recta numérica, pídales que coloquen la tarjeta sobre el número entero primero. Pídales que justifiquen la ubicación y asegúrese de que la clase esté de acuerdo. Luego, considere usar clips de carpeta, clips comunes o pinzas para la ropa para unir las tarjetas de fracciones a las tarjetas de números enteros.

Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de cómo determinar la ubicación de los números enteros y las fracciones en la recta numérica. ¿Qué números no tardaron en ubicar en la recta numérica? ¿Por qué? No tardé en ubicar los números enteros porque es fácil para mí ver el lugar al que pertenecen.

No tardé en ubicar las fracciones equivalentes a números enteros. Como sé que _ 4 = 1, puedo usar 4

esa información como ayuda para pensar en los cuartos que son iguales a 2, 3 y 4. No tardé en ubicar las fracciones menores que 1 porque pude contar y estimar con rapidez el lugar al que pertenecía cada cuarto.

No tardé en ubicar las fracciones que están cerca de números enteros. Sé que 2 = _ 8 , entonces

puedo ubicar  _9  después de _ 8 o puedo ubicar  _7  antes de _ 8 . 4

DUA: Acción y expresión Considere demostrar un razonamiento en voz alta para apoyar a sus estudiantes mientras justifican la ubicación de sus tarjetas numéricas en la recta numérica. Una vez que estén ubicados los números enteros, use la 11 y diga: “Mi tarjeta de fracción rotulada  __ 4 tarjeta dice 11 cuartos. Puedo ubicarla antes de 3. Sé que 12 cuartos es equivalente a 3 y que 11 cuartos es menor que 12 cuartos”.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5 ¿Qué números tardaron más en ubicar en la recta numérica? Tardé más en ubicar las fracciones mayores que 1 que no son iguales a números enteros. Tuve que contar de un cuarto en un cuarto hasta hallar el lugar al que pertenecía la fracción. Tardé más en ubicar las fracciones entre 2 y 4. Sé cuáles son los cuartos hasta 2, pero luego tuve que contar los cuartos que le siguen a 2 para ubicar las otras fracciones. Tardé más en ubicar las fracciones que no están cerca de números enteros. Tuve que pensar en un número entero que estuviera cerca de la fracción y, luego, contar de un cuarto en un cuarto para calcular dónde debía ubicar la fracción.

Nota para la enseñanza En 3.er grado, la clase usa números mixtos para registrar medidas y hacer diagramas de puntos. Cuando se les presenta por primera vez la notación con números mixtos, usan la palabra y para registrar un número entero y una fracción.

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, expresaremos fracciones mayores que 1 con otro nombre como ayuda para hallar de manera eficiente sus ubicaciones en una recta numérica. 1

Dejan de registrar la palabra y cuando representan medidas fraccionarias mayores que 1 en la recta numérica para hacer diagramas de puntos.

Aprender

Lápices en el salón de clases del maestro López

Interpretar vínculos numéricos __ La clase representa dos descomposiciones de 10   con ecuaciones y escribe 3 la fracción como un número mixto.

× 0

× ×

× × ×

× × × ×

1 44

1 42

3 44

× × × × × 5

× × ×

× ×

1 54

1 52

3 54

× ×

Longitud (pulgadas)

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5 1. Escribe una ecuación para representar cada vínculo numérico. Expresa con otro nombre las fracciones equivalentes a números enteros.

10 3

3 3

1 3 3 3

1 3

9 3

3 3

__ _ _ _ _

__ _ _

DUA: Representación

10 3 3 3 1 10 9 = + + + = + 1 3 3 3 3 3 3 3 3 10 10 1 = 1 + 1 + 1 + = 3 + 1 3 3 3 3 10 10 1 1 = 3 + = 3 3 3 3 3 10 = 3 1 3 3

Considere usar los mismos colores del vínculo numérico para las ecuaciones. Esto puede ayudar a sus estudiantes a hacer conexiones entre las representaciones.

10 3

3 3

¿Qué muestran los vínculos numéricos?

Los dos vínculos numéricos muestran la descomposición del total, __  10  . Un vínculo numérico muestra

1 3 3 3

3 3

9 3

1 3

10  en cuatro partes; tres de las partes son _ la descomposición de  __  3  y la otra es _ 1  . El otro vínculo 3

numérico muestra la descomposición de __  10  en dos partes, _ 9  y _ 1  . 3

Pida a la clase que escriba ecuaciones debajo de cada vínculo numérico para representar cómo se descompone __  10 . 3

¿Qué ecuaciones escribieron?

10  = _ 10  = _ Escribí  __  3  + _ 3  + _ 3  + _ 1  para el vínculo numérico con cuatro partes y  __  9  + _ 1  para el vínculo 3

numérico con dos partes. ¿Qué fracciones podemos expresar como números enteros? Cada uno de los _ 3  es igual a 1.

_ 9  es igual a 3.

En el siguiente segmento de la sección Aprender, considere usar colores nuevamente para ayudar a sus estudiantes a hacer conexiones entre el modelo pictórico (recta numérica) y el modelo abstracto (ecuación).

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5 Expresemos las fracciones equivalentes a números enteros con otro nombre y reescribamos las ecuaciones.

10 = 1 + 1 + 1 + _ Escriba las ecuaciones  __  1  y __  10  = 3 + _ 1  alineadas debajo de cada una de las otras 3

ecuaciones correspondientes y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo un vínculo numérico representa  10  = 3 + _ 1  . la descomposición __  10 = 1 + 1 + 1 + _ 1  y cómo el otro representa la descomposición __ 3

¿En qué parte de la primera ecuación ven unidades semejantes?

1+1+1 Reescribamos nuestra ecuación para mostrar que sumamos unidades semejantes. 10  = 3 + _ Escriba  __  1  alineada debajo de las otras ecuaciones 3

correspondientes y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

Podemos reescribir 3 + _ 1  como un número mixto, o un 3 número entero y una fracción menor que 1.

Escriba _  10  = 3  _1  alineada debajo de cada una de las otras 3

Apoyo para la comprensión del lenguaje

ecuaciones correspondientes y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale el número mixto mientras dice los siguientes enunciados.

Considere rotular el número entero y la fracción en un número mixto. Estos rótulos pueden ayudar a sus estudiantes a decir el nombre del número y comprender sus partes.

Decimos este número mixto como tres y un tercio. La palabra y indica que sumamos el número entero y la fracción menor que 1. Invite a las parejas de estudiantes a practicar cómo decir el número mixto. ¿Qué descomposición podría ser más eficiente para expresar una fracción mayor que 1 como un número mixto? Si sabes que _ 9  es igual a 3, descomponer __  10  en dos partes es más eficiente. 3

Parece que descomponer la fracción en dos partes es más eficiente, pero si no sabes que

_ 9  es igual a 3, descomponer la fracción en más partes podría ser más eficiente. 3

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5

Expresar fracciones con otro nombre usando rectas numéricas y ecuaciones Materiales: M/E) Lápices de colores

La clase usa rectas numéricas y ecuaciones para expresar fracciones mayores que 1 como números mixtos. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. En lugar de usar un vínculo numérico para representar la descomposición de una fracción y expresarla como un número mixto, vamos a usar una recta numérica. Expresa cada fracción como un número mixto. Muestra la descomposición en una recta numérica y escribe una ecuación.

3 2_

14 = 4

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

__ __ _

12 4

14 4

14 12 2 = + 4 4 4 14 2 = 3 + 4 4 14 2 = 3 4 4

__ __

¿Cuál es la unidad fraccionaria? Cuartos

Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando usa una recta numérica para representar la descomposición de una fracción mayor que 1 y escribe una ecuación para mostrar la descomposición como una suma de un número entero y una fracción menor que 1. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7: • ¿Cómo se relaciona la descomposición de __  14  4 en la recta numérica con la ecuación 12 __ __   14  =  __   +   42  ? 4 4 • ¿Cómo puede ayudarles lo que saben sobre expresar una fracción como un número entero a expresar una fracción mayor que 1 como un número mixto?

¿Cuántos cuartos forman 1?

4 cuartos

¿Cómo podemos usar  _4  = 1 para ubicar __  14  en la recta numérica? 4

Como sabemos que hay 4 cuartos en 1, podemos contar salteado de 4 cuartos en 4 cuartos hasta estar cerca de __  14 . 4

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5 Sabemos que __  12  = 3 y que __  16  = 4, entonces __  14  estará entre 3 y 4 en la recta numérica. 4

Divida la recta numérica en cuatro partes iguales y rotule los números enteros de 0 a 4. Luego, divida cada intervalo de números enteros en cuartos y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Si sabemos que __  12  = 3, ¿dónde está ubicado __  14  en la recta numérica? 4

__  14  es 2 cuartos más que __  12  , entonces __  14  está dos marcas de graduación después de __  12  en la recta 4

numérica.

12  y __  14  en la Pida a sus estudiantes que rotulen  __ 4 4 recta numérica mientras usted hace lo mismo.

Sombreemos nuestra recta numérica para

14  en dos descomponer de manera eficiente  __ 4

partes. ¿Cuántos grupos de 4 cuartos hay en la recta numérica antes de 14 cuartos?

3 Sombree la recta numérica de 0 a 3 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cuántos cuartos más hay en la recta 14  ? numérica antes de llegar a  __ 4

2 cuartos

Use un color diferente para sombrear la recta numérica de 3 a __  14  . Pida a sus estudiantes que 4 hagan lo mismo. Escribamos una ecuación para mostrar la descomposición de __  14  en una suma 4

de dos fracciones. ¿Cuántos cuartos sombreamos primero?

12 cuartos

Nota para la enseñanza En este tema, se usan ecuaciones de suma como una manera de mostrar la composición o descomposición de fracciones menores que 1, fracciones mayores que 1 y números mixtos. A medida que avanzan en las lecciones de este tema, es posible que sus estudiantes comiencen a reconocer que las ecuaciones que escriben con la suma también se pueden representar usando la multiplicación. Por 3 ejemplo, 2  __   = 2 ×  __44 ) +  __43  . 4 ( No se espera que sus estudiantes sumen o multipliquen con fracciones en este tema. Suman fracciones en el tema D y multiplican una fracción por un número entero en el tema F.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5 Escriba __  14  = __  12  +

y pida a sus estudiantes

que hagan lo mismo.

¿Qué sombreamos después para llegar a __  14  ? 4

2 cuartos

Complete la ecuación escribiendo  _2  en el espacio. 4

Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

Reescribamos la ecuación expresando __  12  4 como un número entero.

14  = 3 + _ Escriba la ecuación  __  2  alineada debajo de la otra ecuación y pida a sus estudiantes que

hagan lo mismo.

Nota para la enseñanza Considere demostrar el uso de la recta numérica abierta como una manera más 2 eficiente de mostrar 3  __   . 4

Señale la ecuación mientras hace la siguiente pregunta. ¿Qué número mixto podemos escribir para representar este número entero y esta fracción? Tres y dos cuartos Escriba la ecuación __  14  = 3  _2  alineada debajo de las otras ecuaciones y, luego, rotule el punto que 4

representa __  14  como 3  _2  en la recta numérica. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. 4

2 14  como 3  _ ¿De qué manera pensar  __   les ayuda 4

a ubicar __  14  en la recta numérica?

Nos ayuda a ver que __  14  es 3 y 2 cuartos más.

Diferenciación: Desafío

Podemos ubicar __  14  yendo al número entero, 4

3, y avanzando 2 cuartos más. En lugar de contar hasta 14 cuartos, podemos ir directamente a 3 y, luego, contar 2 cuartos más.

Considere pedir a sus estudiantes que piensen en un contexto que tendría sentido para cada número mixto. Estos son algunos ejemplos posibles: 1 • 3  __   yardas 3 2   galones • 2  __ 4 3   horas • 2  __ 6

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si tiene sentido expresar _ 2  como 0  _2  . 4

No, porque  _2  es menor que 1, entonces ya es fácil para mí ubicarlo en la recta numérica. 4

No, porque el cero no me ayuda a ubicar _ 2  en la recta numérica. Ya sé que _ 2  es menor que 1. 4

No, porque 0  _2  no me indica algo diferente de _ 2  . La cantidad fraccionaria no cambia en absoluto. 4

Use un proceso similar para completar el problema 3. 3.

2 _

3 6

15 = 6

__ __ _ __ _ __ _

12 6

15 6

15 12 3 = + 6 6 6 15 3 = 2 + 6 6 15 3 = 2 6 6 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usar un vínculo numérico o una recta numérica para descomponer una fracción mayor que 1 y expresarla como un número mixto.

100

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5

Analizar descomposiciones y modelos La clase piensa en descomposiciones y modelos usados para expresar fracciones mayores que 1 como números mixtos.

Muestre la imagen de los dos ejemplos de trabajo que expresan __  59  como un número mixto. 8

B 59 56 3 = 8+8 8

40 8

59 3 =7+ 8 8 59 3 = 7 8 8

59 8

3 59 =78 8

19 8 16 8

3 8

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre los registros. No es necesario que den todos los ejemplos de respuesta. ¿Qué tienen en común los dos ejemplos de trabajo? Los dos descomponen __  59 . 8

Los dos expresan __  59  como 7  _3  . 8 8 3 _ Los dos tienen     como una parte en sus modelos. 8

En ninguno de los dos se usó una recta numérica. ¿Por qué creen que en ninguno de los ejemplos de trabajo se eligió usar una recta numérica? Habría llevado demasiado tiempo descomponer una recta numérica en 59 octavos.

101

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5 En cada ejemplo de trabajo se expresa __  59  como el número mixto 7  _  . ¿En qué se diferencian los 8 8 ejemplos de trabajo? 3

En el ejemplo A, se usa una ecuación para expresar la fracción como un número mixto. En el ejemplo B, se usa un vínculo numérico para expresar la fracción como un número mixto.

56  = 7. Quien escribió el ejemplo B debe haber expresado mentalmente El ejemplo A muestra que  __ 8 las fracciones mayores que 1 como números enteros. 59  como dos partes primero, __  40  y __  19  . Luego, El ejemplo B muestra la descomposición de  __ 8

19  en __ se descompone  __  16  y _ 3  . El ejemplo A muestra una descomposición: __  59  se descompone 8

como __  56  y _ 3  . 8

¿Por qué creen que quien escribió el ejemplo B usó __  40  como la primera parte de su 8 descomposición?

Puede haber comenzado con un múltiplo de 8 que supiera. Parece que sabía que __  40  = 5, incluso 8 si no se muestra en el ejemplo B. ¿En qué parte del vínculo numérico ven representado 7  _ ? 3 8

40  , que es igual a 5. Otra parte es __ Una parte es  __  16  , que es igual a 2. 5 y 2 forman 7. Luego, hay una 8

parte más, _ 3  . Entonces, 7 + _ 3  = 7  _3  . 8

__  40  = 5, __  16  = 2 y 5 + 2 + _ 3  = 7  _3  . 8

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué deben considerar al expresar una fracción mayor que uno como un número mixto.

102

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Expresar fracciones mayores que 1 como números mixtos Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de expresar fracciones mayores que 1 como números mixtos. Muestre la imagen de la recta numérica interactiva. Antes, ubicamos números enteros y fracciones en la recta numérica. Comentamos qué números tardamos más en ubicar. ¿Sería útil expresar las fracciones mayores que 1 como números mixtos? ¿Por qué? Sí, porque para ubicar __  14  , puedo expresarla como 3  _2  . Eso me ayuda a ver que __  14  se ubica en 3 y _ 2  . 4

 14  . Puedo hallar 3  _2  mucho más rápido que __ 4

Sí, porque cuando expreso fracciones mayores que 1 como números mixtos, puedo hallar de manera rápida el número entero y la fracción. ¿Qué modelos podemos usar para expresar fracciones mayores que 1 como números mixtos? Podemos usar un vínculo numérico, una recta numérica o una ecuación para descomponer una fracción mayor que 1 y expresarla como un número mixto. ¿En qué podrían pensar como ayuda para expresar fracciones mayores que 1 como números mixtos de manera eficiente? Puedo pensar en la unidad fraccionaria. Puedo pensar en descomponer una fracción mayor que 1 en fracciones iguales a 1. Luego, puedo contar o sumar para expresarla como un número mixto. Puedo pensar en qué fracciones iguales a números enteros sé para la fracción dada. Luego, puedo usar esa información para descomponer una fracción mayor que 1 en menos partes.

103

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5

Nombre

Fecha

5 2

4 2

1 2

5_ = 2

+ ___ 2

___ 2

__ = 3. 13 6

2 1_ 6

17 5

15 5

2 5

17 __ = 5

12 6

13 6

12 _ 13 = __ __ +1 6 6 6

13 = 2 + 1_ __ 6 6

15 17 _____ 2_ __ = + 5 5 5

1 _5 = 4_ + _____ 2 2 2

_5 = 2

Expresa la fracción dada como un número mixto. Muestra la descomposición en una recta numérica y escribe las ecuaciones. El primero ya está resuelto como ejemplo.

Completa los vínculos numéricos y las ecuaciones. Expresa con otro nombre las fracciones que son equivalentes a números enteros. 1.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5

13 = 2 1_ __ 6 6

+ _____

7= 4. _ 2

3 1_ 2

6 2

7 2

___ 5

_7 = 6_ + 1_ 2 2 2

_7 = 3 + 1_ 2 2 _7 = 3 1_ 2 2

104

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5

EUREKA MATH2

8= 5. _ 3

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5

2 2_

7 7 __

77 = 9. __ 10

6 3

8 3

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5

53 = 10. __ 12

Ejemplo:

_8 = _6 + _2 3 3 3

5 53 = 4 + __ __ 12 12

5 53 = 4 __ __ 12 12

_8 = 2 2_ 3 3

3 1_

11. David y Oka piden pizzas pequeñas para compartir. David come 3 __3 pizzas. Oka come

12 4

53 24 5 __ __ + __ = __ + 24 12 12 12 12

5 53 = 2 + 2 + __ __ 12 12

_8 = 2 + 2_ 3 3 13 = 6. __ 4

Ejemplo:

7 77 = 70 __ + __ __ 10 10 10 7 77 __ = 7 + __ 10 10 7 77 __ = 7 __ 10 10

5 4 __

15 de pizza. ¿Quién come más pizza? Explica. __

13 4

David y Oka comen la misma cantidad de pizza.

15 = 12 15 = 3 3_ . __ + _3 . Entonces, __ __ 4

13 = 12 __ + 1_ __ 4 4 4

13 = 3 + 1_ __ 4 4 13 = 3 1_ __ 4 4

Expresa cada fracción mayor que 1 como un número mixto. Usa un modelo para mostrar la descomposición. 29 = 7. __ 6

4 5_

47 = 8. __ 8

Ejemplo:

29 = 24 __ + 5_ __ 6 6 6 29 = 4 + 5_ __ 6 6 29 = 4 5_ __ 6 6

5 7_ 8

Ejemplo:

47 = 40 __ + 7_ __ 8 8 8 47 = 5 + 7_ __ 8

47 = 5 7_ __ 8 8

GRUPO DE PROBLEMAS

105

LECCIÓN 6

Expresar números mixtos como fracciones mayores que 1

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6

Nombre

Fecha

Expresa cada número mixto como una fracción mayor que 1. Usa un modelo para mostrar la descomposición. 1. 2_1 = 4

__9 4

Ejemplo:

La clase representa descomposiciones de números mixtos con rectas numéricas, vínculos numéricos y ecuaciones. Expresan números mixtos como fracciones mayores que 1 y consideran cómo expresar los números mixtos con otro nombre de manera eficiente.

Preguntas clave

2 _1 = _8 + _1 2 _1 = _9

Vistazo a la lección

• ¿Qué modelos podemos usar para expresar números mixtos como fracciones mayores que 1?

• ¿Cómo podemos usar modelos para expresar números mixtos como fracciones mayores que 1 de manera eficiente?

Criterio de logro académico

18 __ 2. 3 _3 = 5

4.Mód4.CLA4 Descomponen fracciones de más de una manera para obtener

Ejemplo:

18 3 _3 = __

una suma de fracciones con el mismo denominador. (4.NF.B.3.a.) (4.NF.B.3.b)

15 3_ 3 _3 = __ + 5

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• lápices de colores (2)

Prepare dos lápices de diferentes colores por estudiante y maestra o maestro.

Aprender 35 min • Expresar números mixtos con otro nombre usando rectas numéricas y ecuaciones

Estudiantes • lápices de colores (2)

• Elegir un modelo • Grupo de problemas

Concluir 10 min

107

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: De forma estándar a forma desarrollada La clase escribe la forma desarrollada de un número de varios dígitos dado en forma estándar para adquirir fluidez con la escritura de números hasta 1,000,000 iniciada en el módulo 1. Muestre 1,478. Cuando dé la señal, lean el número que se muestra. ¿Comenzamos?

1,478

Mil cuatrocientos setenta y ocho Escriban el número en forma desarrollada.

1,000 + 400 + 70 + 8

108

4,082

56,920

80,805

4,000 + 80 + 2

50,000 + 6,000 + 900 + 20

80,000 + 800 + 5

650,030

708,009

600,000 + 50,000 + 30

700,000 + 8,000 + 9

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6

Contar de un quinto en un quinto en la recta numérica La clase cuenta de un quinto en un quinto y expresa las fracciones como números enteros para desarrollar fluidez con la descomposición y equivalencia de fracciones. Muestre la recta numérica. ¿Qué unidad fraccionaria muestra la recta numérica? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Quintos Usen la recta numérica para contar hacia delante y hacia atrás de un quinto en un quinto hasta 10 quintos. Empiecen diciendo 0 quintos. ¿Comenzamos? Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

0 5

1 5

2 5

3 5

4 5

5 5

6 5

7 5

8 5

9 5

10 5

1 5

2 5

3 5

4 5

6 5

7 5

8 5

9 5

0 quintos, 1 quinto…, 9 quintos, 10 quintos 10 quintos, 9 quintos…, 1 quinto, 0 quintos Ahora, cuenten hacia delante y hacia atrás nuevamente de un quinto en un quinto. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 1 quinto…, 9 quintos, 2 2, 9 quintos…, 1 quinto, 0

109

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6

_ 1   3

Muestre la respuesta. ¿Cuántos tercios están sombreados en el diagrama de cinta de abajo? (Señale el diagrama de cinta de abajo).

2 tercios Muestre la respuesta.

¿ _1  es mayor que, igual a o menor que _ 2 ? 3

1 3 2 3

1 1 2 < 3 3

Menor Muestre la oración numérica.

Cuando dé la señal, digan la oración numérica comenzando con _ 1 . ¿Comenzamos? 3 _ 1 es menor que _ 2 . 3 3 Cuando dé la señal, digan la oración numérica relacionada comenzando con _ 2 . ¿Comenzamos? 3 _ 2 es mayor que _ 1 . 3

110

Nota para la enseñanza

Es posible que haya estudiantes que duden al momento de decir la oración numérica comenzando por el número de la derecha. Considere señalar con el dedo __  2  y, luego, 3 deslizarlo hacia la izquierda mientras la clase lee la desigualdad.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6 Repita el proceso con la siguiente secuencia: 1 1 2 1 2

1 3 4

2 4

1 1 = 2 2

3 2 > 4 4

1 7 8 8 8

1 0 4 1 4

1 8 8

1 5 6

3 6

0 1 < 4 4

1 5 3 > 6 6

1 1

1 7 8 < 8 8

8 =1 8

1 3 8

3 8

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Presentar

Considere usar una imagen o una taza medidora real para ayudar a sus estudiantes

La clase expresa un número entero como una fracción y comenta el uso de estrategias similares para expresar un número mixto con otro nombre. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Lea el problema a coro con la clase. 1. Ray necesita 3 tazas de harina para hacer pan. Solo tiene un medidor de _ 1 taza. ¿Cómo puede usar el medidor de _ 1 taza para medir 3 tazas de harina?

a comprender el contexto de este problema. El término taza se refiere a una unidad de medida. Ray usa un medidor de __  1  taza con 2 el objetivo de calcular la harina que necesita para hacer pan y galletas.

Ray puede usar el medidor de _ 1  taza 6 veces para medir 3 tazas de harina. 2

111

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6 Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas y usen el proceso Lee-Dibuja-Escribe para mostrar

cómo puede usar Ray el medidor de _ 1 taza para medir 3 tazas de harina. Invite a una o dos parejas 2

Nota para la enseñanza

a compartir su trabajo. Luego, use las siguientes preguntas para guiar una conversación de toda la clase acerca de cómo representaron las 3 tazas de harina. ¿Qué dibujaron para representar el problema? Dibujamos tres círculos del mismo tamaño. Dibujamos un diagrama de cinta con tres partes iguales y dividimos cada parte por la mitad.

2 2

Dibujamos y rotulamos una recta numérica de 0 a 3. ¿De qué manera su trabajo les ayuda a ver cómo puede usar Ray el medidor de _ 1  taza para medir 2 3 tazas de harina?

1 2

Dividimos cada círculo en medios. Podemos ver que hay 6 medios en 3 enteros. Dividimos cada entero de nuestro diagrama de cinta en medios. Hay 6 medios en 3 enteros.

2 2

1 2

6 2

DUA: Representación

1 2

Dividimos cada intervalo de números enteros en medios. Hay 6 medios en 3 enteros. Presente la ecuación:

Se encuentra disponible un video de contexto para este problema verbal. Este video puede servir para eliminar barreras culturales e incentivar la participación en clase. Antes de presentar el problema, considere mostrar el video y guiar una conversación acerca de lo que cada estudiante observa y se pregunta. Esta herramienta les ayuda a visualizar la situación antes de interpretarla de forma matemática.

Considere hacer vínculos numéricos para mostrar la descomposición. Invite a sus estudiantes a razonar acerca de cómo se relacionan los vínculos numéricos con los modelos que dibujaron.

3 = _   6 2

¿Expresar el número entero como una fracción les ayuda a pensar en el problema? ¿Por qué? Sí, porque me ayuda a pensar en cuántos medios hay en 3.

112

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6 Presente el problema y léalo a coro con la clase:

Ray también quiere hacer galletas. Para hacerlas, necesita 2  _1 tazas de harina. 2

¿Cuál es la diferencia acerca del número de tazas de harina que Ray necesita para hacer galletas? Es un número mixto porque está formado por un número entero y una fracción. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si pueden usar un modelo o estrategia similar para determinar cómo puede usar Ray el medidor de  _1 taza para 2 medir 2  _1 tazas de harina. 2

Creemos que también podríamos usar círculos, pero no sabemos con certeza cómo mostrar el  _1  adicional. 2

Creemos que podemos dibujar un diagrama de cinta. Podemos mostrar 2 enteros iguales. Luego, podríamos dividir los 2 enteros iguales en medios. Sabemos que hay 1 medio más. Creemos que podemos usar una recta numérica. En lugar de dibujar y rotular una recta numérica de 0 a 3, podríamos dibujar y rotular hasta 2  _1 . Luego, podríamos dividir cada intervalo de números 2 enteros en medios. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, expresaremos números mixtos como fracciones mayores que 1.

Aprender

Expresar números mixtos con otro nombre usando rectas numéricas y ecuaciones Materiales: M/E) Lápices de colores

La clase usa rectas numéricas y ecuaciones para expresar números mixtos como fracciones mayores que 1. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y léalo a coro con la clase.

113

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6 Expresa cada número mixto como una fracción mayor que 1. Muestra la descomposición en una recta numérica y escribe las ecuaciones.

11 __  

3 4

2. 2   =

8 4

11 4

Considere proporcionar un contexto de medida para el problema 2. Por ejemplo, ¿cuántos 3 cuartos de pulgada hay en 2 __  pulgadas? 4 Cada estudiante puede comparar su trabajo

en la recta numérica con una regla. Use las siguientes preguntas para ayudar a sus

23 8_ 3_ __   =   +  

estudiantes a hacer conexiones entre la recta

_ __

3 • ¿En qué parte de la recta numérica ven 2 __ ? 4 ¿Y en la regla?

numérica y la regla.

4 4 4 3 11 2   =   4 4

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para ubicar 2 _ 3 en la recta numérica. ¿Entre qué dos números enteros está 2 _ ?

2y3

DUA: Participación

3 4

¿Cómo les ayuda eso a dividir la recta numérica y a rotular los números enteros? Sabemos que la recta numérica irá de 0 a 3, entonces podemos dividirla en tres partes iguales y rotular los números enteros 0, 1, 2 y 3.

• ¿En qué parte de la recta numérica ven marcas de graduación de __  1 ? ¿Y en la regla? 4 • ¿De qué manera la recta numérica les ayuda 3 a expresar 2 __  como una fracción mayor 4 que 1? ¿De qué manera la regla les ayuda a determinar cuántos cuartos de pulgada hay 3 en 2 __  pulgadas? 4

Divida la recta numérica en tres partes iguales y rotule cada número entero. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿De qué manera la fracción en el número mixto les ayuda a saber en qué unidad fraccionaria tienen que dividir cada intervalo de números enteros? Como la unidad fraccionaria es cuartos, dividimos cada intervalo de números enteros en cuatro partes iguales. Divida cada intervalo de números enteros en cuartos y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

114

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6 ¿Cómo saben en qué lugar se ubica 2 _  en la recta numérica? 3 4

2 _4 3 es tres cuartos más que 2, entonces 2_4 3 está tres cuartos, o tres marcas de graduación, después de 2 en la recta numérica.

Pida a sus estudiantes que rotulen 2_ 3 en la recta 4 numérica mientras usted hace lo mismo. ¿Cuántos cuartos hay en 2?

8 cuartos

Si 2 =    , ¿cuántos cuartos es 2 _ ? ¿Cómo lo saben?

3 4 4 2 4 3  es  11  porque está tres cuartos después de 4 8 en la recta numérica. Puedo contar hacia delante 4 desde  8 . Cuento 8 cuartos, 9 cuartos, 10 cuartos, 11 cuartos. 4 2 4 3  es  11   porque 4 8  y 4 3  es  11  . 4 4

_ __ _ _ __

_ _ __

Rotule _ 8  y __  11 en la recta numérica y pida a sus 4

estudiantes que hagan lo mismo. ¿Qué muestra nuestra recta numérica acerca de  11 ? ¿Cómo lo saben? la relación entre 2 _  y __

3 4 4 Muestra que 2 3 y  11 son equivalentes porque 4 4

_ __

están en la misma ubicación en la recta numérica.

Vamos a sombrear la recta numérica para mostrar cómo descompusimos 2 _  en dos partes. 4 ¿Cuántos cuartos hay en 2? 3

8 cuartos Sombree la recta numérica de 0 a 2. Use un color

_ 3 . diferente para sombrear la recta numérica de 2 a 2 Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

115

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6 Vamos a escribir una ecuación que represente cómo está sombreada nuestra recta numérica para descomponer 2 _ . ¿Cuántos cuartos sombreamos primero? 3 4

8 cuartos

Escriba 2  _3  = _ 8  + 4

Luego, ¿qué sombreamos para llegar de

2 a 2 _43 ? 3 cuartos

Escriba  _3 para completar la ecuación. Pida a sus 4

_ 8  + _ 3 en sus libros. estudiantes que escriban 2 _ 3  = 4

¿De qué manera la ecuación muestra cómo 3 3 podemos pensar en 2 _  como 2 + _   ? 4

Coincide con lo que rotulamos en la recta numérica. Muestra que 2 se puede expresar

como  _8 y que todavía tenemos los _ 3  adicionales. 4

¿De qué manera la recta numérica muestra 3 cómo podemos expresar _ 8  + _    como una 4 4 fracción?

Podemos expresar _ 8  + _ 3  como __  11 . La recta numérica muestra que cuando contamos 8 cuartos 4

DUA: Representación Considere rotular __   3  en la recta numérica para 4 ayudar a sus estudiantes mientras escriben las ecuaciones con la suma a fin de representar la descomposición de 2__   3 . Tener los dos sumandos 4 rotulados puede ayudarles a completar la 3 8 ecuación, 2 __  =  __  + . 4 4

y luego 3 cuartos, llegamos a __  11 . 4

Pida a sus estudiantes que escriban la ecuación

 11 alineada debajo de la otra ecuación. 2_ 3  = __ 4

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la manera en que las ecuaciones muestran cómo expresar 2 _ 3 como una fracción mayor que 1. 4

116

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6 Use un proceso similar para completar el problema 3.

Nota para la enseñanza

10 __  

1 3. 3   = 3

2 3 _1  = _   + 1_  

9 3

10 3

9 3 3 3 10 3 1  =   3 3

Considere la posibilidad de flexibilizar la estructura de la recta numérica. A medida que sus estudiantes tengan mayor seguridad y adquieran fluidez para expresar los números mixtos como fracciones mayores que 1, podrán simplificar sus modelos.

_ __

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre expresar fracciones mayores que 1 como números mixtos y expresar números mixtos como fracciones mayores que 1.

La clase elige un modelo para representar una descomposición de números mixtos y expresarlos como fracciones mayores que 1. Use la rutina Cabezas numeradas. Organice a la clase en grupos de 3 y asigne a cada estudiante un número, del 1 al 3. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4 y léalo a coro con la clase. 4. Expresa el número mixto como una fracción mayor que 1. Usa un modelo para mostrar la descomposición.

3 2_  = 6

20 __   6

  + 2_  3 2_  = __

18 6 6 20 3 2  =   6 6

_ __

2 9

+3 +3 3

4 1

+3 0

Elegir un modelo

+3 2

DUA: Representación Considere activar los conocimientos previos de diferentes modelos que cada estudiante puede usar para representar números enteros y fracciones. Cree una lista que sus estudiantes puedan consultar cuando expresen números mixtos como fracciones mayores que 1. • Modelo de área • Diagrama de cinta • Vínculo numérico • Recta numérica • Ecuaciones

117

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6 Dé 2 minutos a sus estudiantes para expresar el número mixto como una fracción mayor que 1. Los grupos pueden seleccionar un modelo para expresar el número mixto con otro nombre. Recuerde a la clase que cualquiera podría responder por el grupo, por lo que cada estudiante debe prepararse para responder. Diga un número, del 1 al 3. Pida a quienes se les haya asignado ese número que compartan las conclusiones del grupo.

Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) al elegir entre vínculos numéricos, rectas numéricas u otros modelos para representar una descomposición de un número mixto como ayuda para expresarlo como una fracción mayor que 1.

Estos ejemplos de trabajo demuestran cómo usar una recta numérica, un vínculo numérico y ecuaciones. Recta numérica

12 6

6 6

3 2 = 18 + 2

32 = 6 + 6 + 6 + 2

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:

3 2 = 18 + 2 6 6 6

• ¿Qué modelo sería más útil y más eficiente 2 para usar en la descomposición de 3 __ ? 6 ¿Por qué?

18 6

2 6

2 18 2 36 = 6 + 6

3 2 = 20 6

• ¿Cómo pueden usar una recta numérica 2 para mostrar la descomposición de 3 __  y 6 expresarla como una fracción mayor que 1?

36 = 6

3 2 = 20 6

Ecuaciones

32 = 6 + 6 + 6 + 2 6

Vínculo numérico

18 20 6 6

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

¿Cómo decidieron qué modelo usar para expresar 3 _2  como una fracción mayor que 1? 6

Queríamos dibujar un modelo para representar el número mixto, así que dibujamos una recta

 12  es 2 y __  18  es 3. Dividimos el intervalo de números enteros entre numérica. Sabemos que  _6  es 1, __ 6

3 y 4 en sextos y usamos un punto para mostrar que 3_ 62 es el mismo número que __  20 . 6

Pensamos en la unidad fraccionaria. Sabemos cuántos sextos hay en 3, así que usamos un vínculo numérico para expresar el número mixto como dos fracciones. Pensamos en cuántos sextos hay en 1. Usamos esa información para escribir una ecuación y mostrar cómo descomponer el número mixto en fracciones más pequeñas. Usamos esas fracciones para expresar el número mixto como una fracción mayor que 1.

118

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6 ¿Creen que un modelo es más eficiente que otro? El vínculo numérico y las ecuaciones parecen más eficientes que la recta numérica. Creo que el vínculo numérico es más eficiente porque no hay que escribir tantas partes. ¿Se les ocurre una manera de hacer un modelo más eficiente? Se podría rotular 3 como 18 sextos en la recta numérica, en lugar de rotular todas las fracciones equivalentes a números enteros. Luego, habría que contar hacia delante 2 sextos más para formar 20 sextos.

 18  y _ 2 con un vínculo numérico, se puede ver que 3  _2  = __  20 . Sería Una vez que se descompone 3_ 2  en __ 6

más eficiente no volver a registrar las partes del vínculo numérico.

18 = 3 o que __  12 = 2, se podría escribir el modelo de ecuación de manera más Si supieras que  __ 6 6 eficiente.

Repita la rutina Cabezas numeradas con el problema 5. Pida a sus estudiantes que intenten hacer un modelo diferente o que esta vez usen el mismo modelo de manera más eficiente. 5. Expresa el número mixto como una fracción mayor que 1.

4 _  = 6 8

38 __   8

  + _  4 _  = __ 6 32 8 8 46 38   =   8 8

__ __

6 8

119

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Expresar números mixtos como fracciones mayores que 1 Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de los modelos que puede usar la clase para expresar números mixtos como fracciones mayores que 1. ¿Qué modelos podemos usar para expresar números mixtos como fracciones mayores que 1? La recta numérica me puede ayudar a contar de unidad fraccionaria en unidad fraccionaria para expresar el número mixto como una fracción mayor que 1. Podemos usar un vínculo numérico para mostrar cómo descomponer el número mixto de una manera que nos ayude a expresarlo como una fracción mayor que 1. Podemos escribir ecuaciones para mostrar cómo descomponer y expresar el número mixto con otro nombre. Presente el problema:

Ray también quiere hacer galletas. Para hacerlas, necesita 2_ 1 tazas de harina. 2

Antes, les pedí que pensaran en cómo Ray puede usar el medidor de _ 1  taza para medir 2 _1  tazas 2

de harina. ¿Cómo ha cambiado su razonamiento acerca de este problema? Ahora, veo que cualquiera de los modelos que usamos anteriormente para expresar 3 tazas como 6 medios también se puede usar para expresar 2  _21 como una fracción mayor que 1. Antes, pensé que podríamos necesitar un modelo diferente. Anteriormente, no me di cuenta de que una recta numérica, un vínculo numérico o una ecuación funcionarían para expresar 2 _1 tazas de harina como una fracción mayor que 1. Ahora, sé que 2 todos esos modelos nos pueden ayudar.

120

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6

4. 3 _3 = 4

15 __ 4

Expresa cada número mixto como una fracción mayor que 1. Muestra la descomposición en la recta numérica y escribe las ecuaciones.

El primero ya está resuelto como ejemplo. 1. 2 _5 =

17 __ 6

15 4

__ + _3 3 3_ = 12

1 6 6 __ 2 5_ = 17 6 6

__ 3 3_ = 15

12 6

17 6

26 3

__ + 5_ 2 5_ = 12 2. 2 _1 =

12 4

Expresa cada número mixto como una fracción mayor que 1. Usa un modelo para mostrar la descomposición.

5. 4 _1 =

25 __

6. 5 _5 =

45 __

3 7. 6 __ =

63 __

7 8. 4 __ =

55 __

5_ 2

4 2

5 2

21_ = 4_ + _1 2

2 _1 = 5_ 3. 3 _2 =

9. El Sr. Davis corta el pan en rebanadas. Adam toma 5 _1 rebanadas de pan. Jayla toma 2 11 de rebanada de pan. ¿Tomaron la misma cantidad de pan? Explica. __ 2 10 + _ 1 = __ 11 . Sí, Adam y Jayla tomaron la misma cantidad de pan. Lo sé porque 5 _1 = __ 2

2 3 2_ = _9 + 2_ 3 3 3 __ 3 2_ = 11 3 3

11 __ 3

9 3

11 3

11 de rebanada. Entonces, 5_1 rebanadas es la misma cantidad que __ 2

GRUPO DE PROBLEMAS

121

Tema B Fracciones equivalentes En el tema B, la clase usa modelos, la multiplicación y la división para generar fracciones equivalentes y números mixtos equivalentes. Anteriormente, sus estudiantes descompusieron fracciones en una suma de fracciones unitarias con la misma unidad fraccionaria. Para generar una fracción equivalente, ahora descomponen una fracción en una suma de fracciones unitarias más pequeñas con diferentes unidades fraccionarias.

Por ejemplo, _  1  = _ 1  + _ 1  = _ 2  . La descomposición se representa en una recta numérica y en un modelo 2

de área. Sus estudiantes usan la multiplicación para expresar la descomposición que se representa en el modelo de área y para generar una fracción equivalente (p. ej., _ 1  = ____   = _ 2 ). Luego, ven que 3

2×1 2×3

el mismo proceso se aplica para hallar una fracción equivalente a una fracción no unitaria. Por

ejemplo, _   2 también se puede descomponer en sextos y la fracción equivalente se expresa de una 3

manera similar, _   2 = ____   = _ 4  . 3

2×2 2×3

La clase compone unidades para generar una fracción equivalente con unidades más grandes. En un modelo de área que muestra __  9   , encierran en un círculo grupos de 3 doceavos para componer 12

unidades de cuartos. Usan la división para expresar la composición representada en el modelo de área y generar una fracción equivalente (p. ej., __  9   = _____     = _   ). 12

9÷3 12 ÷ 3

3 4

En 3.er grado, la clase identifica fracciones equivalentes de referencia como el mismo punto en una

recta numérica; por ejemplo, _ 1  y _ 2  . En este tema, sus estudiantes extienden el trabajo de 3.er grado 2

al identificar una variedad de fracciones equivalentes en rectas numéricas y en diagramas de cinta. Usan estos modelos para descomponer y componer unidades mientras generan fracciones equivalentes. Usan una recta numérica y la multiplicación para representar fracciones equivalentes mayores que 1 y números mixtos equivalentes. Basándose en su comprensión de los números mixtos, comprenden que los números mixtos equivalentes tienen los mismos números enteros y diferentes fracciones equivalentes. En el tema C, la clase usa varias estrategias para comparar fracciones. Este trabajo incluye el uso de fracciones equivalentes para hallar numeradores y denominadores comunes.

123

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB

Progresión de las lecciones Lección 7

Lección 8

Lección 9

Expresar fracciones como una suma de fracciones unitarias equivalentes más pequeñas

Generar fracciones equivalentes con unidades más pequeñas para fracciones unitarias

Generar fracciones equivalentes con unidades más pequeñas para fracciones no unitarias

2 2×2 4 = = 3 2×3 6

Puedo formar fracciones equivalentes descomponiendo una fracción en fracciones unitarias más pequeñas. Puedo representar fracciones equivalentes en una recta numérica, en un modelo de área o en una ecuación como una suma de fracciones unitarias más pequeñas.

124

Un modelo de área me ayuda a ver la manera en que el número de partes y el tamaño de las partes cambia cuando descompongo unidades para crear una fracción equivalente. Puedo usar la multiplicación para mostrar cómo descompongo una fracción unitaria y la expreso como una fracción equivalente.

Hallar fracciones equivalentes a fracciones no unitarias es parecido a hallar fracciones equivalentes a fracciones unitarias. Puedo usar un modelo de área y la multiplicación para mostrar cómo descomponer unidades a fin de formar fracciones equivalentes.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB

Lección 10

Lección 11

Lección 12

Generar fracciones equivalentes con unidades más grandes

Representar fracciones equivalentes usando diagramas de cinta, rectas numéricas y la multiplicación o la división

Generar fracciones equivalentes para fracciones mayores que 1 y generar números mixtos equivalentes

÷ ÷

Un modelo de área me ayuda a ver la manera en que el número de partes y el tamaño de las partes cambia cuando compongo unidades para crear una fracción equivalente. Puedo usar la división para mostrar cómo compongo unidades a fin de hallar fracciones equivalentes.

Puedo representar fracciones equivalentes con un diagrama de cinta, una recta numérica y la multiplicación o la división. Cuando tengo que decidir cómo hallar fracciones equivalentes, pienso en un método que me resulte eficiente.

Los mismos métodos que usé para hallar fracciones equivalentes menores que 1 me pueden ayudar a hallar fracciones equivalentes mayores que 1 y números mixtos equivalentes. Cuando hallo números mixtos equivalentes, el número entero permanece igual y descompongo la fracción a fin de hallar una fracción equivalente para sumar al número entero.

125

LECCIÓN 7

Expresar fracciones como una suma de fracciones unitarias equivalentes más pequeñas

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7

Nombre

Fecha

3 son equivalentes. Luego, escribe una Dibuja un modelo para mostrar que las fracciones _1 y __ 4

ecuación para expresar la equivalencia como una suma. Ejemplo: 1 4

Vistazo a la lección La clase dibuja rectas numéricas y modelos de área para representar fracciones dadas. Descomponen una fracción dada en una suma de fracciones unitarias más pequeñas y expresan la fracción dada como una unidad fraccionaria diferente. Escriben una ecuación para expresar la descomposición de la fracción dada como una suma de fracciones unitarias.

Preguntas clave • ¿Cómo podemos formar fracciones equivalentes? • ¿Qué modelos podemos usar para descomponer unidades fraccionarias e identificar fracciones equivalentes? ¿En qué se parecen y en qué se diferencian los modelos?

1 1 1 _1 = __ + __ + __ 4 12 12 12

Criterio de logro académico

3 12

4.Mód4.CLA4 Descomponen fracciones de más de una manera para obtener

una suma de fracciones con el mismo denominador. (4.NF.B.3.a) (4.NF.B.3.b)

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• lápices de colores (2)

• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Tres rectas numéricas de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.

Aprender 35 min • Recta numérica y fracciones equivalentes • Modelo de área y fracciones equivalentes • Identificar fracciones equivalentes

Estudiantes • Tres rectas numéricas (en el libro para estudiantes) • lápices de colores (2)

• Prepare dos lápices de diferentes colores por estudiante y maestra o maestro.

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

127

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7

Fluidez

Contar de un medio en un medio en la recta numérica La clase cuenta de un medio en un medio y expresa las fracciones como números enteros o números mixtos para desarrollar fluidez con la descomposición y equivalencia de fracciones. Muestre la recta numérica. ¿Qué unidad fraccionaria muestra la recta numérica? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Medios Usen la recta numérica para contar hacia delante de un medio en un medio hasta 10 medios. Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

0 2

1 2

2 2

3 2

4 2

5 2

6 2

7 2

8 2

9 2

_ __

9 10 0 1 2 , 2 , … , 2 , 2

Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un medio en un medio. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

0, _2 , … , _2 , 5 1

10 2

1 2 1

3 2

1 1

5 2

2 2

7 2

3 3

9 2

4 4

Ahora, vuelvan a contar hacia 2 2 2 2 2 delante de un medio en un medio. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros y números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, _2 , 1, … , 4 _2 , 5 1

128

Nota para la enseñanza Considere hacer una pausa antes de que sus estudiantes expresen los números mixtos con otro nombre y repita cómo se dicen los números mixtos, como cuatro y un medio.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7

Intercambio con la pizarra blanca: Dividir y rotular rectas numéricas Materiales: E) Tres rectas numéricas

La clase divide una recta numérica en 2, 4 u 8 partes iguales e identifica la unidad fraccionaria, la fracción unitaria y las fracciones no unitarias para desarrollar fluidez con la descomposición y equivalencia de fracciones. Muestre la recta numérica. Dibujen la primera y la última marca de graduación en la primera recta numérica. Rotulen las marcas con 0 y 1 debajo de la recta. Dividan la recta numérica en 2 partes iguales. Muestren su trabajo a sus parejas.

Nota para la enseñanza Considere pedir a sus estudiantes que no borren las pizarras blancas cuando hagan la transición hacia una nueva unidad (p. ej., cuartos u octavos). Revisar ese trabajo le ayudará a evaluar la precisión de sus estudiantes. Cuando pida a sus estudiantes que rotulen las

Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas.

rectas numéricas para mostrar los cuartos y los

Muestre la recta numérica dividida en medios.

octavos, formule las indicaciones de manera

Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

que comiencen con la fracción unitaria. Por ejemplo, podría decir: “Rotulen todas las

Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.

marcas de graduación en la recta numérica, ” comenzando por   1  . El caso de  1  es diferente 2 4 porque es la única marca de graduación que

¿Cuál es la unidad fraccionaria?

queda por rotular.

Medios ¿Cuál es la fracción unitaria?

_ 1 2

Rotulen _ 1 en la recta numérica.

1 2

Nota para la enseñanza La recta numérica que se realiza en esta actividad apoyará la comprensión de sus estudiantes durante la siguiente actividad de fluidez: Oraciones numéricas verdaderas o falsas. Considere pedir a sus estudiantes que conserven su trabajo en las pizarras blancas.

Repita el proceso con cuartos y octavos.

129

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7

Respuesta a coro: Oraciones numéricas verdaderas o falsas La clase decide si una oración numérica es verdadera o falsa para adquirir fluidez con la equivalencia, comparación y descomposición de fracciones. Muestre _  1 > _ 2 . 3

__ 1  es mayor que __ 2  . ¿Esta oración numérica es verdadera o falsa? 3

Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

1 2 > 3 3

Luego de que sus estudiantes determinen que una oración numérica es verdadera, considere pedirles que lean en voz alta solo la oración numérica verdadera.

Falsa

Luego de que sus estudiantes determinen que una oración numérica es falsa, considere preguntarles cómo pueden hacer que sea verdadera formulando la siguiente pregunta:

Falsa Muestre la respuesta.

• ¿Cómo podrían cambiar el signo de comparación para hacer que la oración numérica sea verdadera?

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

130

Nota para la enseñanza

5 6 < 8 8

1 1 > 2 4

2 2 < 5 6

1 3 = 2 4

Verdadera

Falsa

1 3 = 2 6

2 1 1 = + 3 3 3

5 1 3 = + 6 6 6

8 4 2 = + 10 10 10

Verdadera

Falsa

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7

Presentar

La clase expresa la longitud de un crayón con otro nombre usando diferentes unidades fraccionarias. Muestre la imagen de la regla de 6 pulgadas.

Pulgadas

¿Qué observan acerca de la regla? Mide cosas en pulgadas. Se extiende hasta 6 pulgadas. Se puede usar para medir a la pulgada más cercana.

 1  pulgada más cercana. Se puede usar para medir a la _ 2

Se puede usar para medir al _  1  de pulgada más cercano. 4

Muestre la imagen de la regla y el crayón.

Pulgadas

Invite a la clase a trabajar en parejas para expresar la longitud del crayón de tantas maneras como les sea posible. Invite a dos o tres parejas a compartir sus respuestas.

3 1_ pulgadas 2

3 2_ pulgadas

4 7 de pulgada 2 14 de pulgada 4

_ __

131

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7 ¿Por qué podemos expresar la longitud del crayón de tantas maneras? Todas las medidas son equivalentes. Representan la misma longitud en la regla. Podemos usar números mixtos y fracciones mayores que 1 para expresar la longitud del crayón. Todos representan la misma longitud, pero de diferentes maneras. Hay diferentes unidades representadas en la regla. Las diferentes unidades nos ayudan a expresar la longitud de distintas maneras. ¿De qué manera muestra la regla cómo descomponer cada pulgada en medias pulgadas? Hay una marca de graduación en el punto medio entre cada pulgada. Las marcas de graduación muestran que hay 2 medios en 1 entero. ¿De qué manera muestra la regla cómo descomponer cada media pulgada en cuartos de pulgada? Hay una marca de graduación en el punto medio entre cada media pulgada.

 1  . Las marcas de graduación muestran que hay 2 cuartos en _ 2

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la descomposición de pulgadas y medias pulgadas en la regla les ayuda a identificar medidas equivalentes. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, descompondremos unidades fraccionarias para identificar fracciones equivalentes.

132

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7

Aprender

Recta numérica y fracciones equivalentes

Nota para la enseñanza

Materiales: M/E) Lápiz de color

La clase usa una recta numérica para descomponer unidades fraccionarias e identificar fracciones equivalentes. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Invite a la clase a leer las instrucciones en parejas. Expresa cada fracción con otro nombre descomponiéndola en fracciones unitarias más pequeñas. Rotula la recta numérica para mostrar la descomposición y escribe una ecuación para expresar la equivalencia como una suma. Fracción

Recta numérica y ecuación

1 2

En 3.er grado, la clase usa una recta numérica para representar fracciones equivalentes. 0 2

0 0 8

1 2

1 8

2 8

3 8

4 8

2 2

5 8

6 8

7 8

1 8 8

En 4.o grado, la complejidad consiste en escribir ecuaciones usando la suma para representar la descomposición de unidades fraccionarias.

1 2 2 4

_ 1_

  = ( +   )

1 2

  _2 = _4 1

1 4

133

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7 Invite a la clase a dibujar y rotular marcas de graduación para

0 y 1 en la recta numérica. Pídales que ubiquen _ 21.

Descompongamos cada medio para identificar una fracción que sea equivalente a _     . 1 2

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden dividir la recta numérica para formar unidades fraccionarias más pequeñas. Elija estudiantes para que compartan su trabajo. Dibujemos marcas de graduación para dividir cada medio en 2 partes iguales.

DUA: Representación Considere usar dos rectas numéricas para representar las diferentes unidades fraccionarias. Esta representación ayuda a sus estudiantes a identificar los medios y los cuartos. Haga la transición hacia una sola recta numérica para que sus estudiantes puedan practicar la descomposición de unidades fraccionarias más grandes en unidades fraccionarias más pequeñas.

Invite a sus estudiantes a dibujar marcas de graduación para dividir cada medio en 2 partes iguales, lo que da como resultado cuartos. ¿Qué otra unidad fraccionaria vemos ahora? Cuartos ¿Cómo muestra la recta numérica tanto los medios como los cuartos? Las 4 partes iguales de 0 a 1 representan cuartos.

Si miramos el punto rotulado _  1, podemos ver las 2 partes iguales de 0 a 1. Cada una de 2

las 2 partes iguales representa 1 medio.

Veamos _    y cómo se descompone. 1 2

Deslice el dedo a lo largo de la recta numérica desde 0 hasta la marca de graduación que representa _  1  y haga 4

la siguiente pregunta. ¿Qué fracción unitaria representa esta parte de la recta numérica?

_ 1   4

Sombree la recta numérica para representar _  1  y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. 4

134

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7 Deslice el dedo a lo largo de la recta numérica desde la marca de graduación que representa _  41  hasta la marca de graduación rotulada   1  y haga la siguiente pregunta. 2

¿Qué fracción unitaria representa esta parte de la recta numérica?

1 4

Considere usar la siguiente secuencia para apoyar la comprensión de la clase del término equivalente.

Sombree la recta numérica para representar el cuarto entre _ 1  y _  1 . 4

Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

• Mientras señala la recta numérica diga: “1 ”     es la misma cantidad que  2  . 2 4 • Repita el enunciado usando la palabra “ ”. equivalente y diga:   1  es equivalente a  2  2 4 • Escriba una ecuación para representar el 2 enunciado   1  =     . 4 2

¿Cuántos cuartos están sombreados? ¿Cuántos cuartos equivalen a _  1  ? 2

2 cuartos 2   4

Apoyo para la comprensión del lenguaje

__ __

Rotule _  2  debajo de la recta numérica y pida a sus estudiantes 4

que hagan lo mismo.

Diferenciación: Desafío

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca

de cómo la recta numérica muestra que _  1 y _  2  son equivalentes. 2

Considere invitar a sus estudiantes a dibujar

Escribamos una ecuación para representar cómo

una recta numérica y a dividir los medios

descompusimos _     con el objetivo de identificar una 1 2

de diferentes maneras para hallar otras fracciones que sean equivalentes a  1  . Pídales 2 que escriban una ecuación para expresar la descomposición de  1  . Las respuestas 2 pueden incluir:

fracción equivalente. 1 Escriba _   = 2 hagan lo mismo.

y pida a sus estudiantes que

¿Cómo descompusimos _     ? 1 2

1 1 1 1 = + + 2 6 6 6

Lo descompusimos en _  1  y _ 1  . 4

Lo descompusimos en dos fracciones unitarias. Cada fracción unitaria es _  1  . 4

1 1 1 1 1 = + + + 2 8 8 8 8 1 1 1 1 1 1 = + + + + 2 10 10 10 10 10 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + + 2 12 12 12 12 12 12

135

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7 Escriba _  1  en los espacios de la ecuación y pida a sus estudiantes 4

Diferenciación: Apoyo

que hagan lo mismo. Vamos a usar paréntesis para mostrar cuántas de las fracciones unitarias más pequeñas son iguales a una de las fracciones unitarias más grandes.

Considere invitar a sus estudiantes a hacer

Dibuje paréntesis alrededor de _  1  + _ 1  y pida a sus estudiantes que

un vínculo numérico para representar la descomposición de   1  en cuartos. El vínculo 2 numérico puede apoyar a sus estudiantes

hagan lo mismo.

mientras escriben ecuaciones con la suma para

¿Cuántos cuartos es igual a _     ?

representar la descomposición.

1 2

2 cuartos

1 2

Escriba _  1  = _ 2  alineado debajo de la ecuación. Pida a sus 2

estudiantes que hagan lo mismo. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo expresa la ecuación la descomposición de _  1  en la recta numérica.

(

)

1 4

( )

La ecuación muestra que 2 cuartos es equivalente a 1 medio. La ecuación muestra que los medios se pueden descomponer en cuartos. La ecuación muestra que 1 medio se puede descomponer en 2 cuartos.

 1  . En la ecuación, los cuartos están agrupados entre paréntesis para mostrar que hay 2 cuartos en _

1 1 1 = + 2 4 4 1 2 = 2 4

Dividimos cada medio en 2 partes iguales para formar cuartos. ¿Cómo cambió el número de partes iguales en el intervalo de números enteros de 0 a 1? Hay más unidades en el entero. El número de unidades pasó de 2 a 4, por lo que se duplicó.

136

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7 Use un proceso similar en el problema 2 para mostrar que _  4  y __     son fracciones equivalentes. 5

Fracción 2.

8 10

Recta numérica y ecuación

_ 4 5

4 5 8 10

_ _ _ _ _ 4 1 1 1 1 =   +   +   +   5 5 5 5 5

__   1   + __   1  ) + ( __   1   + __   1  )+ ( __   1   + __   1  ) + ( __   1   + __   1  ) 4_  = ( 5

8 _4   = __     5

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar una recta numérica para identificar fracciones equivalentes y escribir una ecuación que represente la descomposición.

137

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7

Modelo de área y fracciones equivalentes Materiales: M/E) Lápices de colores

La clase usa un modelo de área para dividir unidades fraccionarias e identificar fracciones equivalentes. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Invite a la clase a leer las instrucciones en parejas. El modelo de área representa 1. Expresa cada fracción con otro nombre descomponiéndola en fracciones unitarias más pequeñas. Usa el modelo de área para mostrar la descomposición y escribe una ecuación para expresar la equivalencia como una suma. Fracción

Modelo de área y ecuación

1 4

Nota para la enseñanza El uso de líneas horizontales para descomponer aún más las unidades fraccionarias en el modelo de área ayuda a la clase a identificar las dos unidades fraccionarias que se representan. El hecho de trazar más líneas verticales dificulta la diferenciación entre las unidades fraccionarias, especialmente cuando se triplica o cuadruplica el número de ellas. Por ejemplo, el modelo de área de abajo muestra la descomposición de cuartos en doceavos usando solo líneas verticales.

1 4

3 12

__ __ __

1   = (   1   +   1   +   1  ) 12 12 12 4

_ __ 3 1   =     4 12

138

3 12

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7 Divida y sombree el modelo de área para representar _  1  . Dibuje una 4

llave y rotule el área sombreada como _  1  . Pida a sus estudiantes que 4

hagan lo mismo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden dividir el modelo de área para formar unidades fraccionarias más pequeñas. Elija estudiantes para que compartan su trabajo. Dibujemos para dividir cada cuarto en 3 partes iguales.

DUA: Representación Considere proporcionar una ecuación que tenga espacios para apoyar a las parejas mientras escriben una ecuación que represente la descomposición de  1  en tres fracciones 4 unitarias más pequeñas.

Use un color diferente para trazar dos líneas horizontales a fin de dividir cada cuarto en 3 partes iguales. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Qué unidad fraccionaria formamos cuando descompusimos cada cuarto en 3 partes iguales? Doceavos ¿Cómo muestra el modelo de área tanto los cuartos como los doceavos? Si solo miramos las líneas verticales, vemos cuartos. Si miramos las líneas verticales y horizontales, vemos doceavos. ¿Cuántos doceavos están sombreados?

3 doceavos

Dibuje una llave y rotule __   debajo del modelo de área. Pida a sus 3 12

Considere usar las siguientes preguntas para ayudar a sus estudiantes mientras completan la ecuación: • ¿En qué unidad fraccionaria descompusimos cada cuarto? • ¿Cuántos doceavos hay en  1  ? ¿Cómo 4 pueden representar esto en su ecuación?

• ¿Dónde pueden dibujar paréntesis para mostrar cuántos doceavos hay en cada cuarto?

estudiantes que hagan lo mismo.

¿Cuántos doceavos equivalen a _     ? 1 4

3 __     12

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo

  1  es equivalente a __     . el modelo de área muestra que _ 4

3 12

139

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7 Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para escribir una ecuación que represente la descomposición de _  1 como la suma de tres fracciones unitarias 4

más pequeñas. Invite a una o dos parejas de trabajo a compartir las ecuaciones.

¿Cómo representa la ecuación la descomposición de _     en el modelo de área? 1 4

1 1 1 1 = + + 4 12 12 12 1 3 = 4 12

La ecuación muestra que descompusimos cuartos para formar doceavos.

 1  se puede descomponer en 3 doceavos. La ecuación muestra que _ 4

Al dividir cada cuarto en 3 partes iguales, formamos doceavos. ¿Cómo cambió el número de unidades fraccionarias en el entero? El número de unidades pasó de 4 a 12, por lo que se triplicó.

Use un proceso similar en el problema 4 para mostrar que _  2  y __ 4  son fracciones equivalentes. Fracción 4.

Modelo de área y ecuación

  _3 2

Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando usa un modelo de área para descomponer unidades fraccionarias, determinar fracciones equivalentes y escribir una ecuación de suma para expresar la equivalencia. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:

Hay más doceavos que cuartos en el entero.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

2 3

• ¿Cómo les ayudan las unidades fraccionarias, tercios y sextos, a pensar en cómo dividir el modelo de área? • ¿Cómo les ayuda el modelo de área dividido a escribir una ecuación de suma para mostrar que   2  y   4 son fracciones equivalentes? 3 6

__ __

4 6

_ _ _ 2 1 1 = +   3 3 3

 _6 +  _6) + (  _6+ _6)   _3 = ( 2

_ _

2 4 3 = 6

140

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7 ¿En qué se diferencia la división de unidades fraccionarias en un modelo de área de la descomposición de unidades fraccionarias en una recta numérica? En una recta numérica, dibujamos marcas de graduación verticales para dividir unidades fraccionarias. En un modelo de área, trazamos líneas horizontales para dividir unidades fraccionarias. Sabemos que dos fracciones que comparten la misma ubicación en una recta numérica son equivalentes. ¿Cómo podemos pensar en fracciones equivalentes en un modelo de área? Ocupan la misma cantidad de espacio. Tienen la misma área. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar un modelo de área para identificar y representar fracciones equivalentes.

Identificar fracciones equivalentes La clase examina una recta numérica y un modelo de área para expresar las fracciones equivalentes representadas por cada modelo. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 5 y léalo a coro con la clase. 5. Rotula la recta numérica con fracciones equivalentes. Luego, escribe una ecuación de suma para mostrar la equivalencia.

1 6

2 12

__ __

1   = (   1   +   1  ) 12 12 6

_ __ 1   =   2   6 12

141

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7 Invite a la clase a trabajar en parejas para determinar qué unidades fraccionarias están representadas en la recta numérica. ¿Qué unidades fraccionarias están representadas en la recta numérica? Sextos y doceavos ¿Dónde ven los sextos y los doceavos en la recta numérica? Observamos que se necesitan 2 de las unidades más pequeñas para igualar 1 de las unidades más grandes. Contamos grupos de 2 de las unidades más pequeñas en la recta numérica. Hay 6 grupos de 2 unidades pequeñas. De esa manera determinamos que la recta numérica representa sextos. Contamos todas las partes de 0 a 1. Hay 12 partes iguales. De esa manera determinamos que la recta numérica representa doceavos. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué unidad fraccionaria se descompuso como ayuda para identificar fracciones equivalentes en la recta numérica. Se descompusieron los sextos. Eran la unidad fraccionaria más grande. Se descompusieron los sextos para formar doceavos. Cada sexto se dividió por la mitad. Se descompusieron los sextos. La unidad fraccionaria sería aún más pequeña si se descompusieran los doceavos. ¿Cuántos sextos están sombreados?

1 sexto

Rotule _  1  arriba de la recta numérica y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. 6

¿Cuántos doceavos están sombreados?

2 doceavos

Rotule __   2   debajo de la recta numérica y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. 12

¿Qué fracciones equivalentes están representadas en la recta numérica?

_ __ 1 2   y     6 12

Pida a las parejas que escriban una ecuación de suma para mostrar _  61  como una suma de 2 doceavos. Invite a una o dos parejas de trabajo a compartir las ecuaciones. Use un proceso similar en el problema 6.

142

1 1 1 = + 6 12 12 1 2 = 6 12

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7 6. Rotula el modelo de área con fracciones equivalentes. Luego, escribe una ecuación.

Nota para la enseñanza Las líneas entrecortadas se usan en los modelos de área dados para representar la descomposición en unidades fraccionarias más pequeñas. Cuando sus estudiantes dibujan para dividir unidades fraccionarias en un modelo de área, usan un color diferente para trazar las líneas horizontales.

4 10

_ _ _ 2   = 1   + 1   5 5 5

__ __

2   =   1   +   1   +   1   +   1   5 (10 10) (10 10)

  4   2_  = __ 5

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre identificar fracciones equivalentes en la recta numérica y en un modelo de área.

143

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7

Concluir

EUREKA MATH2

Reflexión final 5 min Objetivo: Expresar fracciones como una suma de fracciones unitarias equivalentes más pequeñas Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de la descomposición de unidades fraccionarias como ayuda para identificar fracciones equivalentes. ¿Cómo podemos formar fracciones equivalentes? Podemos usar modelos para descomponer unidades fraccionarias e identificar fracciones equivalentes. Podemos descomponer cada unidad fraccionaria en unidades más pequeñas como ayuda para identificar fracciones equivalentes. ¿Cómo podemos usar modelos para descomponer unidades fraccionarias e identificar fracciones equivalentes? Podemos usar una recta numérica para representar la fracción. Luego, podemos dividir la recta numérica para descomponer cada unidad fraccionaria en unidades más pequeñas e identificar fracciones equivalentes. Podemos usar un modelo de área para representar la fracción. Luego, podemos trazar líneas horizontales para descomponer cada unidad fraccionaria y así formar unidades fraccionarias más pequeñas e identificar fracciones equivalentes. Podemos escribir una ecuación para representar cómo descompusimos la fracción en la recta numérica o en el modelo de área. Podemos usar paréntesis en nuestra ecuación para mostrar cuántas de las fracciones unitarias más pequeñas son iguales a la fracción unitaria más grande.

144

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7

Nombre

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7

Fecha

Recta numérica y ecuaciones 3 3. _ 5

Expresa cada fracción con otro nombre descomponiéndola en fracciones unitarias más pequeñas.

Rotula la recta numérica para mostrar la descomposición. Luego, completa las ecuaciones.

Recta numérica y ecuaciones 1 1. _ 4

1 4

2 8

_1 = 4

_3 = 5 (

1 __

_3 = 5

6 __

1 __ 10

)+(

1 __ 10

)+(

1 __ 10

1 __

)

1 1 _____ + _____

( 8

)

Cada cuadrado grande representa 1. Expresa cada fracción con otro nombre descomponiéndola en fracciones unitarias más pequeñas.

_1 = _____ 4 8

Rotula el modelo de área para mostrar la descomposición. Luego, completa las ecuaciones.

2 2. _ 3

Modelo de área y ecuaciones

2 3

1 4. _ 2

1 2

_1 = 2

1 1 _____ + _____

( 4

)

_2 = 3 ( _2 = 3 © Great Minds PBC

_1 6

)+(

_1 6

2 1_ _____ = 2 4

) 2 4

4_ 6

GRUPO DE PROBLEMAS

145

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7

Dibuja un modelo para mostrar que las fracciones son equivalentes. Luego, escribe una ecuación para expresar la equivalencia como una suma.

Modelo de área y ecuaciones 1 5. _ 3

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7

2 7. _1 y __

1 3

Ejemplo: 1_ = 3 (

_1 = 3

1_ 6

1 5

)

_2 6

2 6 3 6. _ 4

3 4

_3 = ( 4

1 __

9 12

_3 = 4

1 __

1 __ 12

1 __

12 12

)

1 __ 12

2 10

1 __

)

1 __

)

12 12

1_ __ 1 = 1 + __ 5 10 10 10 8. _5 y __ 6

Ejemplo:

9 __ 12

5 6

10 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 _5 = __ + __ + __ + __ + __ + __ + __ + __ + __ + __ 6 (12 12) (12 12) (12 12) (12 12) (12 12)

146

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 7

9. Explica por qué _1 + _1 + _1 + _1 + _1 + _1 es lo mismo que _2 . 9

2 3

6 9

En el modelo de área, el área de _6 es la misma cantidad que el área de _2 del modelo, entonces las 9

fracciones son equivalentes.

GRUPO DE PROBLEMAS

147

LECCIÓN 8

Generar fracciones equivalentes con unidades más pequeñas para fracciones unitarias

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 8

Nombre

Fecha

Divide el modelo de área para mostrar unidades fraccionarias más pequeñas. Luego, rotula la fracción equivalente. Expresa la equivalencia usando la multiplicación. Ejemplo:

Vistazo a la lección La clase divide modelos de área para formar fracciones equivalentes. Usan la multiplicación para expresar la descomposición representada en un modelo de área. Usan el razonamiento multiplicativo para formar una fracción equivalente con una unidad dada. En esta lección se formalizan los términos numerador y denominador.

Preguntas clave

1 3

• ¿Qué sucede con el número total de partes y el número de partes seleccionadas cuando descomponemos un modelo de área para hallar fracciones equivalentes?

3×1 _ _1 = ____ =3 3 3×3 9

• ¿Cómo podemos usar la multiplicación para expresar las fracciones equivalentes representadas en el modelo de área?

3 9

Criterios de logro académico

a 4.Mód4.CLA1 Representan y explican por qué una fracción     es equivalente b (n × a) a una fracción     . (4.NF.A.1) (n × b)

_____

4.Mód4.CLA2 Generan fracciones equivalentes y sus representaciones.

(4.NF.A.1)

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 8

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• ninguno

Considere si desea retirar la hoja extraíble de Tres rectas numéricas de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas individuales con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.

Aprender 35 min • Número total de partes, tamaño de las partes • Formar fracciones equivalentes • Relacionar múltiplos con unidades fraccionarias

Estudiantes • Tres rectas numéricas (en el libro para estudiantes) • lápiz de color

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

149

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 8

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Comparar fracciones La clase usa signos para comparar fracciones menores que o iguales a 1 que tienen el mismo denominador como preparación para comparar fracciones con denominadores distintos en el tema C. Muestre los números _   y _ 2 . 3 4

Nota para la enseñanza Es posible que haya estudiantes que duden al momento de decir la oración numérica comenzando por el número de la derecha. Considere usar el dedo para señalar  2  y, luego, 4 deslizarlo hacia la izquierda mientras la clase

Escriban una oración numérica usando los signos mayor que, igual a o menor que para comparar los dos números. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

dice la desigualdad.

Muestre la respuesta. Cuando dé la señal, lean la oración numérica comenzando con _     . ¿Comenzamos? 3 4

_ 3  es mayor que _ 2  . 4

3 2 > 4 4

Cuando dé la señal, digan la oración numérica relacionada usando las palabras menor que. ¿Comenzamos?

_ 2  es menor que _ 3  . 4

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

1 1 = 3 3

150

3 4 < 6 6

0 1 < 6 6

5 3 > 8 8

7 8 < 8 8

10 =1 10

7 10

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 8

Intercambio con la pizarra blanca: Dividir y rotular rectas numéricas Materiales: E) Tres rectas numéricas

La clase divide una recta numérica en 2, 3 o 6 partes iguales e identifica la unidad fraccionaria, la fracción unitaria y las fracciones no unitarias para desarrollar fluidez con la descomposición y equivalencia de fracciones. Muestre la recta numérica. Dibujen la primera y la última marca de graduación en la primera recta numérica. Rotulen las marcas con 0 y 1 debajo de la recta. Dividan la recta numérica en 2 partes iguales. Muestren su trabajo a sus parejas. Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas. Muestre la recta numérica dividida en medios. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. ¿Cuál es la unidad fraccionaria? Medios ¿Cuál es la fracción unitaria?

1 2

Rotulen _     en la recta numérica. 1 2

151

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 8

Presentar

La clase razona sobre las fracciones equivalentes con un modelo de área. Muestre el modelo de área de _  1  dividido. 2

Siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática.

1 2

Dé 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio y use

el modelo de área a fin de identificar una fracción equivalente a _  1 2

y cómo se relaciona con el modelo de área. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron. Pida a la clase que comente su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias. Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y, luego, registre las respuestas. A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que muestre la descomposición de los medios de la unidad fraccionaria. Sé que _  1  = __     porque veo que __     tiene el mismo tamaño que _ 1. 2

5 10

 1  = __     porque 1 se descompuso en décimos. Cada columna, o cada medio, es 5 décimos. Sé que _ 2

5 10

Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anímeles a hacer sus propias preguntas. Mostrar la descomposición de una fracción con un modelo de área es una manera de hallar una fracción equivalente. Podemos hallar fracciones equivalentes de otras maneras. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos la multiplicación para expresar fracciones equivalentes a fracciones unitarias.

152

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 8

Aprender

Número total de partes, tamaño de las partes La clase identifica cómo el número de partes y el tamaño de las partes cambia cuando se crean fracciones equivalentes, y usa la multiplicación para expresar la relación. Abra la actividad digital interactiva de Modelo de área con fracciones equivalentes y muestre _  1  . 3

El área del cuadrado representa 1 entero. ¿Qué fracción está sombreada?

_ 1   3

Descompongamos los tercios para hallar una fracción equivalente a _     . 1 3

Muestre la descomposición de los tercios en sextos.

    ven sombreada? ¿Qué fracción equivalente a _ 1 3

_ 2   6

¿Dónde ven la fracción _     ? 1 3

_ 1  sigue siendo 1 de los tercios sombreados verticalmente. 3

 1  = _ 2  , en sus pizarras blancas Invite a la clase a registrar la equivalencia, _ 3

mientras usted hace lo mismo. ¿Cómo cambió el tamaño de las unidades fraccionarias? Las unidades fraccionarias se hicieron más pequeñas. La unidad fraccionaria era tercios y ahora es sextos. Los sextos son unidades más pequeñas que los tercios.

153

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 8 ¿Cómo cambió el número de unidades fraccionarias en el entero? Hay más unidades fraccionarias en el entero. El número de unidades en el entero pasó de 3 a 6. Se duplicó. En el entero hay 2 veces la cantidad de unidades que había antes. ¿Cómo cambió el número de partes sombreadas? Hay más partes sombreadas. El número de partes sombreadas pasó de 1 a 2. Se duplicó. Hay 2 veces la cantidad de partes sombreadas. Podemos usar la multiplicación para registrar cómo cambiaron las partes en el modelo de área.

 1  = Escriba _ 3

Nota para la enseñanza

. Invite a la clase a hacer lo mismo.

Comenzamos con 3 partes iguales en el entero y dividimos cada una para formar el doble de partes.

Escriba 2 × 3 junto al denominador: _  1  = ____   3

2×3

Comenzamos con 1 parte sombreada y la descompusimos en 2 veces la cantidad de partes que había antes. Escriba 2 × 1 junto al numerador: _  1  = ____     3

Cuando use la multiplicación, escríbala con precisión en el numerador y en el denominador 1 (p. ej.,   2 × 1  en lugar de  2  ×    ). 2×3 2 3

____

__ __

Sus estudiantes no multiplican una fracción por una fracción hasta 5.o grado. Escribir la multiplicación en la fracción mantiene la

2×1 2×3

conexión con la manera en que cambian el

¿Cómo se relaciona la multiplicación con la fracción equivalente que vemos en el modelo de área?

número de unidades y el tamaño de ellas, como se ve en el modelo de área.

La multiplicación es 2 × 1 = 2 y 2 × 3 = 6. Los productos son 2 y 6. Vemos   2  sombreados en el 6 modelo de área. Hay 2 veces la cantidad de partes sombreadas y lo veo representado con 2 × 1. También hay 2 veces la cantidad de partes que hay en el entero y lo veo representado con 2 × 3.

154

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 8 Escriba la fracción equivalente: _  1  = ____     = _ 2  3

2×1 2×3

Hay 2 veces la cantidad de partes que hay en el entero y la cantidad de partes sombreadas en _     que las que hay en _    . Las fracciones _    y _    tienen el mismo tamaño. 2 6

1 3

2 6

Continúe mostrando la multiplicación y siga con el siguiente par de fracciones equivalentes. Muestre la descomposición de los tercios en novenos. 1 ¿Dónde ven _ sombreado en el modelo de área? 3 En la parte sombreada verticalmente

 1  es equivalente a _    mientras sus Use la multiplicación para mostrar que _ 3

3 9

estudiantes hacen lo mismo. ¿Cómo cambió el número de partes? ¿Cómo cambió el tamaño de las partes? Hay 3 veces la cantidad de partes que hay en el entero y 3 veces la cantidad de partes sombreadas. Las partes se hicieron más pequeñas. Eran tercios y ahora son novenos. Continúe mostrando la multiplicación y siga con el siguiente par de fracciones equivalentes. Muestre la descomposición de los tercios en doceavos. Repita el proceso usando la multiplicación para mostrar que

_ 1  es equivalente a __   4   . 3

Muestre los tres registros de la multiplicación. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que ocurre con el número total de partes y el tamaño de las partes al crear una fracción equivalente.

155

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 8

Formar fracciones equivalentes Materiales: E) Lápiz de color

La clase dibuja para descomponer _  1  , halla fracciones equivalentes y usa 2

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

la multiplicación para expresar la equivalencia. Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando determina fracciones equivalentes descomponiendo medios para formar cuartos, sextos u octavos y usa la multiplicación para expresar la equivalencia.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. ¿Qué fracción está sombreada en cada modelo de área?

_ 1   2

1 2

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:

1 2

• ¿Qué patrones observan cuando descomponen medios para formar unidades fraccionarias más pequeñas? ¿Cómo pueden ayudarles los patrones a usar la multiplicación para expresar la equivalencia de manera más eficiente? • ¿En qué se parece su razonamiento en cada uno de estos problemas?

3 6

  1_  = ____   = 2_  

  1_  = ____   = _  

156

4 8

2 4 2×1 2×2

3×1 3×2

3 6

DUA: Representación

 1_  = ____   = 4_   2

4×1 4×2

Considere presentar la fracción equivalente en un modelo de área separado. Si sus estudiantes tienen dificultades para ver ambas fracciones en un modelo, dibuje un segundo modelo de área del mismo tamaño debajo de la fracción original para crear la fracción equivalente.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 8 Dibuje y sombree un modelo de área que muestre _  1  para hacer la demostración mientras sus 2

estudiantes hacen lo mismo en sus libros. ¿Qué podemos hacer para dividir cada medio en 2 veces la cantidad de partes? Podemos trazar una línea horizontal para dividir los medios en 2 partes. Use un color diferente para trazar una línea horizontal que divida cada medio en 2 partes iguales. Pida a sus estudiantes que usen un lápiz de color. ¿Qué unidad fraccionaria es cada una de las partes más pequeñas? ¿Por qué? Las partes más pequeñas son los cuartos porque hay 4 partes iguales en el entero. ¿Qué fracción equivalente está sombreada?

_ 2   4

Usemos la multiplicación para expresar que el modelo de área muestra que _  2  y _ 4  son equivalentes. 1

¿Cómo podemos usar la multiplicación para mostrar cómo cambió el número de partes sombreadas y el número de partes que hay en el entero? ¿Cómo lo saben? Podemos multiplicar cada uno por 2 porque hay 2 veces la cantidad de partes. Guíe a sus estudiantes para que registren la multiplicación y la fracción equivalente. ¿En qué se pareció dividir el modelo de área a usar la multiplicación?

1   =   2

Trazamos una línea para dividir cada medio en 2 veces la cantidad de partes. Multiplicamos para mostrar 2 veces la cantidad de partes sombreadas y 2 veces la cantidad total de partes. Cuando registramos usando la multiplicación, multiplicamos el numerador, o el número de partes sombreadas, y el denominador, o el número total de partes que hay en el entero. ¿Cuál es la relación entre los numeradores de las dos fracciones equivalentes? El numerador 2 es 2 veces la cantidad del numerador 1. ¿Cuál es la relación entre los denominadores de las dos fracciones equivalentes? El denominador 4 es 2 veces la cantidad del denominador 2.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Para ayudar a sus estudiantes con el vocabulario nuevo, considere pedirles que rotulen el numerador y el denominador de una fracción. Mientras rotulan cada uno, pídales que los identifiquen en el modelo de área.

157

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 8 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para predecir lo que sucederá en el modelo de área y la multiplicación registrada con 3 veces la cantidad de partes. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Dé a las parejas 1 minuto para trazar dos líneas horizontales con un lápiz de color a fin de mostrar una fracción equivalente a _  1  y para usar 2

la multiplicación a fin de representar las fracciones equivalentes en el modelo de área. ¿Cómo se relacionan las fracciones equivalentes en el modelo de área? Hay 3 veces la cantidad de partes sombreadas en _     que las que hay en _ 1  . 3 6

Hay 3 veces la cantidad de partes que hay en el entero en _  3  que las que hay en _ 1  . 2

¿Cómo usaron la multiplicación?

Multiplicamos 3 por el numerador y el denominador. Hallamos que _  1  es equivalente a _    . 3 6

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Dé a las parejas 1 minuto para hallar una fracción diferente que sea equivalente a _  1  . Recorra el salón de clases mientras las parejas trabajan y elija 2

a dos parejas que hayan creado una fracción diferente que sea equivalente a _  1  . 2

Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a comentar cómo dividieron el modelo de área y cómo usaron la multiplicación para expresar la equivalencia. A medida que se desarrolla la conversación, haga preguntas para destacar las conexiones entre el modelo de área y la multiplicación. Anime a sus estudiantes a que hagan preguntas. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se representa la multiplicación en el numerador y el denominador en un modelo de área de fracciones equivalentes.

158

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 8

Relacionar múltiplos con unidades fraccionarias La clase razona acerca de cómo les ayuda saber los múltiplos de una unidad fraccionaria a generar fracciones equivalentes. Muestre la imagen de las fracciones equivalentes. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar lo que observan y se preguntan. Observo un patrón en las fracciones equivalentes. Los numeradores aumentan de 1 en 1 y los denominadores son múltiplos de la unidad fraccionaria inicial.

_ ____ _

 1_  = ____  = 2_ 

 1_  = ____  = _ 

 1_  = ____  = 4_ 

4    1_  = ____  =  __

1 2×1 2   =       = 2 2×2 4 2

3×1 3×2

3 6

4×1 4×2

2×1 2×3

3×1 3×3

3 9

4×1 4×3

¿Cómo puede ayudarles pensar en los múltiplos a hallar fracciones equivalentes? Como los denominadores son múltiplos de los denominadores de la fracción inicial, parece que cada numerador muestra qué múltiplo es su denominador. Por ejemplo, _  1  = _ 2  y 4 es el segundo múltiplo de 2. También, _  1  = __   4   y 12 es el cuarto múltiplo de 3. 3

Puedo usar los múltiplos de un denominador para hallar fracciones equivalentes. Como sé que

10, 12 y 14 también son múltiplos de 2, puedo pensar por qué número multiplicar 2 para crear cada uno de esos denominadores. Por ejemplo, sé que 2 × 5 = 10, entonces puedo multiplicar el numerador y el denominador de _  1  por 5 para crear un número equivalente de décimos. 2

159

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 8 Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4.

2 × 1 __ _ ____   =   2   1 5

4.   =

2×5

3 × 1 __ 3 _ ____   =     1 4

5.   =

3×4

Pida a sus estudiantes que dibujen para representar _  1  verticalmente. 5

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo podrían descomponer los quintos para formar décimos. Podríamos dividir los quintos en el doble de unidades, entonces habría 10 unidades fraccionarias, o décimos. Sé que 5 × 2 = 10, entonces podemos multiplicar el numerador por 2 y el denominador por 2.

160

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 8 Invite a la clase a usar un lápiz de color y a trazar una línea horizontal para dividir los quintos en el doble de partes. ¿Qué fracción equivalente a _     ven sombreada en el modelo de área? 1 5

__   2   10

¿Cómo podemos usar la multiplicación para mostrar que _     es equivalente a __     ? 1 5

2 10

Dibujamos 2 veces la cantidad de unidades, entonces podemos multiplicar el numerador y el denominador de _  1  por 2. 5

Pida a sus estudiantes que registren su razonamiento usando la multiplicación. Pídales que vayan al problema 5.

Dé a las parejas 2 minutos para dibujar, usar la multiplicación y hallar una fracción equivalente a _  1  4

con la unidad fraccionaria de doceavos.

¿Qué fracción equivalente a _     hallaron?

_ 1  es equivalente a __   3   . 4

1 4

¿De qué manera usaron los múltiplos de 4 como ayuda? 12 es el tercer múltiplo de 4, entonces lo descompuse en 3 veces la cantidad de unidades. Multipliqué el numerador y el denominador por 3. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo los múltiplos de un denominador pueden ayudarles a hallar una fracción equivalente.

161

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 8

Concluir

EUREKA MATH2

Reflexión final 5 min Objetivo: Generar fracciones equivalentes con unidades más pequeñas para fracciones unitarias Guíe una conversación que haga énfasis en el uso del razonamiento multiplicativo al generar fracciones equivalentes. ¿Cómo podemos usar la multiplicación para representar cómo se descompuso un modelo de área para hallar una fracción equivalente? Cuando divido un modelo de área, puedo crear 2 veces la cantidad de partes que hay en el entero. Puedo multiplicar el numerador y el denominador por 2. Esto crea una fracción equivalente. Con la multiplicación, puedo mostrar cómo cambia el número y el tamaño de las partes en un modelo de área. El numerador representa cómo cambió el número de partes sombreadas. El denominador representa cómo cambió el tamaño de las partes. ¿Por qué son diferentes los numeradores y los denominadores en las fracciones equivalentes? Dos fracciones equivalentes ocupan la misma área con diferentes números y tamaños de partes. Los numeradores y denominadores son diferentes debido a esas partes y esos tamaños.

162

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 8

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 8

Nombre

Fecha

Divide cada modelo de área para mostrar unidades fraccionarias más pequeñas. Luego, rotula la fracción equivalente. Expresa cada equivalencia usando la multiplicación.

Cada cuadrado grande representa 1.

5. Descompón en sextos.

Rotula cada modelo de área para mostrar la fracción equivalente.

1 2

6. Descompón en doceavos.

1 2

Expresa cada equivalencia usando la multiplicación. 1.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 8

1 3

1_ 2____ = × 1 = _____ 2 2×2 4

×1

3 ×1 3 _1 = _______ = _____ 2 3 ×2 6

_1 = ________ = _____ 3 2 ×3 6

4 × 1 __ _1 = ____ = 4 3 4 × 3 12

3 6 2 6

2 4

1 4

1 5

Dibuja un modelo de área para mostrar que cada par de fracciones es equivalente. Luego, expresa cada equivalencia usando la multiplicación. 7. _1 y _3 3

2 × 1 __ _1 = ____ = 2 5 2 × 5 10

3 × 1 __ _1 = ____ = 3 4 3 × 4 12

3 12

4 12

8. _1 y _2 4

1 3

1 4

3 9

2 8

3×1 _ _1 = ____ =3 3 3×3 9

2 × 1 2_ _1 = ____ = 4 2×4 8

2 10

GRUPO DE PROBLEMAS

163

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 8

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 8

9. Halla dos fracciones equivalentes para _1 . 6

2 __

3 __

10. El Sr. López hornea una bandeja de brownies. Le da a Robin _2 de los brownies. Le da a Iván 6 _1 de los brownies. 3

¿Obtienen ambos la misma cantidad? Explica.

Sí, ambos obtienen la misma cantidad porque _1 = ____ = _2 . Entonces, 3

2×1 2×3

_2 y _1 de los brownies representan la misma cantidad. 6

164

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 9

Generar fracciones equivalentes con unidades más pequeñas para fracciones no unitarias

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9

Nombre

Fecha

Divide el modelo de área para mostrar unidades más pequeñas. Luego, rotula la fracción equivalente. Expresa la equivalencia usando la multiplicación. Ejemplo: 3 4

Vistazo a la lección La clase reconoce las semejanzas entre formar fracciones equivalentes a una fracción no unitaria y formar fracciones equivalentes a una fracción unitaria. Forman una fracción equivalente usando la multiplicación y, luego, comprueban la equivalencia con un modelo de área. La clase está de acuerdo o en desacuerdo con los enunciados que establecen que dos fracciones son equivalentes.

Pregunta clave • ¿Es útil la multiplicación para hallar fracciones equivalentes? ¿Por qué? 2 × 3 6_ _3 = ____ = 4 2×4 8

Criterios de logro académico

a 4.Mód4.CLA1 Representan y explican por qué una fracción     es equivalente b (n × a) a una fracción     . (4.NF.A.1) (n × b)

_____

6 8

4.Mód4.CLA2 Generan fracciones equivalentes y sus representaciones. (4.NF.A.1)

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Fracciones equivalentes a una fracción no unitaria

Estudiantes • lápiz de color

• Comprobar la equivalencia con un modelo de área • ¿Equivalentes o no equivalentes? • Grupo de problemas

Concluir 10 min

167

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9

Fluidez

_ _ _ __ 0 1 9 10   ,   …,   ,   2 2 2 2

Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un medio en un medio. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?

0 2

1 2

2 2

3 2

4 2

5 2

6 2

7 2

8 2

9 2

10 2

Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 1_   …, _9   , 5 2

Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un medio en un medio. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros y números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

1 2

3 2

1 2

1 12 2 2 2 3 3 2 4 4 2 5

5 2 1

7 2 1

9 2

0, _1   , 1…, 4 1_   , 5 2

168

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9

Intercambio con la pizarra blanca: Comparar fracciones La clase usa signos para comparar fracciones mayores que o iguales a 1 que tienen el mismo denominador como preparación para comparar fracciones con denominadores distintos en el tema C. Muestre _     y _ 2  . 3 2

3 2 > 2 2

Muestre la respuesta. Cuando dé la señal, lean la oración numérica comenzando con _     . ¿Comenzamos? 3 2

__ 3  es mayor que __ 2  . 2

Cuando dé la señal, digan la oración numérica relacionada usando las palabras menor que. ¿Comenzamos?

_ 2  es menor que _ 3  . 2

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

4 5 < 3 3

7 9 < 4 4

11 11 = 6 6

19 17 > 8 8

4 =2 2

5 <2 3

11 3

169

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9

_ 3  es igual a _ 1  más _ 1  . ¿La oración numérica es verdadera o falsa? 4

Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

3 1 1 = + 4 4 4

Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

Falsa

Falsa Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

170

3 5 2 = + 6 6 6

4 3 7 + = 10 10 10

3 0 2 = + 3 3 3

1=5 +5

1=8 +8

5 1 3 = + 2 2 2

Verdadera

Falsa

Verdadera

Falsa

6 4 2 = + 4 4 4

10 3 6 = + 6 6 6

13 = 3 + 1

15 = 5 + 5

18 = 8 + 8

Verdadera

Falsa

Verdadera

Falsa

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9

Presentar

La clase razona sobre las fracciones equivalentes que se representan en una barra de chocolate. Muestre la imagen de las barras de chocolate. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la siguiente situación. Tanto James como Casey tienen una barra de chocolate. Las dos barras son del mismo tamaño. Parten trozos de sus barras de chocolate para comer. Casey dice que, como partió más trozos, tiene más para comer que James. ¿Están de acuerdo o en desacuerdo con Casey? ¿Por qué?

James

Casey

Estoy en desacuerdo con Casey. Aunque partió 4 trozos en lugar de 2, sus trozos son más pequeños y no parece que sean más. Estoy en desacuerdo con Casey. Tanto ella como James partieron la misma cantidad de chocolate. Hay 2 cuadrados en cada uno de los trozos de James, así que tanto Casey como James partieron 4 cuadrados. Casey no tiene más chocolate. 2 de sus cuadrados es la misma cantidad que 1 de los rectángulos de James, así que tienen la misma cantidad. James y Casey partieron cantidades equivalentes de chocolate. La barra de chocolate entera representa 1. ¿Qué fracción partió cada persona? ¿Cómo lo saben?

James partió _  2  . Partió 2 rectángulos y tiene un total de 5 rectángulos de chocolate. 5

Casey partió __   4   . Partió 4 cuadrados y tiene un total de 10 cuadrados de chocolate. 10

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos la multiplicación para representar fracciones equivalentes.

171

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9

Aprender

Fracciones equivalentes a una fracción no unitaria La clase genera una fracción equivalente a una fracción no unitaria usando un modelo de área. Abra la actividad digital interactiva de Modelo de área con fracciones equivalentes y muestre _  1  . 4

El área del cuadrado representa 1 entero. ¿Qué fracción está sombreada?

_ 1 4

Muestre los cuartos divididos en doceavos.

¿Qué fracción equivalente a _     ven sombreada? 1 4

Veo que __     es equivalente a _ 1  . 3 12

¿Cómo cambió el número de partes y el tamaño de ellas? Hay 3 veces la cantidad de partes que hay en el entero y 3 veces la cantidad de partes sombreadas. La unidad fraccionaria era cuartos y ahora es doceavos, entonces el número de partes se hizo más grande y el tamaño de las partes se hizo más pequeño.

Muestre _  2  . 4

¿Qué fracción está sombreada?

2 4

172

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9 Muestre los cuartos divididos en doceavos.

¿Qué fracción equivalente a _     ven sombreada? 2 4

    es equivalente a _ 2  . Veo que __ 6 12

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias que hay cuando se dividen

_ 1  y _ 2  en doceavos. 4

Ambas fracciones se dividieron en partes de un tamaño más pequeño. La unidad fraccionaria era cuartos y ahora es doceavos.

Tanto para _  1  como para _ 2 , el entero se dividió en 3 veces la cantidad de partes. Las divisiones 4

también crearon 3 veces la cantidad de partes sombreadas para ambas fracciones.

Tanto para _  41  como para _ 42 , el entero se dividió en doceavos. Se sombreó un número diferente de doceavos porque había un número diferente de cuartos sombreados al comienzo. Invite a la clase a comenzar a usar la multiplicación para generar las fracciones equivalentes mientras usted hace lo mismo. Escriba _  2  = _____     . 4

×2 ×4

¿De qué manera podemos usar la multiplicación para mostrar cómo se dividió _  4 en un número equivalente de doceavos? ¿Por qué? 2

Podemos multiplicar el numerador y el denominador por 3 porque hay 3 veces la cantidad de partes sombreadas y 3 veces la cantidad de partes que hay en el entero.

Represente 3 veces la cantidad que hay en el numerador y en el denominador: _  2  = ____   ¿Cómo sabemos que __     es equivalente a _    ? 6 12

2 4

Sé que 3 × 2 = 6. El numerador es 6.

3×2 3×4

Sé que 3 × 4 = 12. El denominador es 12.

_ 2  es equivalente a __   6   . 4

Escriba la fracción equivalente: _  2  = ____     = __   4

3×2 3×4

6 12

Muestre los cuartos divididos en doceavos. Pida a las parejas de estudiantes que usen la multiplicación para mostrar cómo se representa una fracción equivalente a _     en el modelo de área. 3 4

173

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9 ¿Cómo usaron la multiplicación? ¿Por qué?

    = ____     = __     . Esta vez se sombrearon _    del modelo, pero los cuartos aún estaban Escribimos _ 3 4

3×3 3×4

9 12

divididos en 3 veces la cantidad de partes.

3 4

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay al generar fracciones equivalentes a una fracción no unitaria y a una fracción unitaria.

Comprobar la equivalencia con un modelo de área Materiales: E) Lápiz de color

La clase usa la multiplicación para expresar fracciones equivalentes y, luego, comprueba la equivalencia con un modelo de área. Presente la fracción: _  4  5

¿Cómo podemos hallar una fracción equivalente a _     sin dibujar un modelo de área? 4 5

Podemos multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número. Podemos usar la multiplicación para cambiar el número de unidades y el tamaño de ellas.

 5  en 2 veces la cantidad de unidades fraccionarias con Representemos la descomposición de _ la multiplicación y, luego, con un modelo de área. 4

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. 1. Descompón _  4  en décimos. 5

_ ____ __

4 2×4 8 =   =     5 2 × 5 10

174

DUA: Acción y expresión Considere ofrecer un método alternativo de respuesta permitiendo a sus estudiantes que usen la actividad digital interactiva para probar diferentes fracciones equivalentes. Cuando hallen las unidades que se ajustan al problema, pídales que identifiquen cómo se descompusieron para generar la fracción equivalente correcta.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9

Escriba _  4 = _____     .

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

¿Cómo podemos representar 2 veces la cantidad de partes? Podemos escribir 2 × 4 como el numerador para representar 2 veces 4. Podemos escribir 2 × 5 como el denominador para representar 2 veces 5.

Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando determina fracciones equivalentes usando primero la multiplicación y, luego, un modelo de área.

 4 = ____   = _____     Represente la multiplicación: _

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:

¿Qué fracción equivalente a _     hallamos?

• ¿Cómo puede ayudarles lo que saben sobre los múltiplos a usar la multiplicación para determinar una fracción equivalente?

• ¿Cómo se relacionan el modelo de área y la multiplicación? ¿Cómo puede ayudarles esta relación?

2×4 2×5

4 5

__   8   es equivalente a _ 4  . 2 veces 4 es 8, entonces el numerador es 8. 2 veces 5 es 10, entonces 10

el denominador es 10.

Escriba la fracción equivalente: _  4  = ____     = __     5

2×4 2×5

8 10

Invite a la clase a dividir y sombrear un modelo de área que represente _  4  . 5

Pida a las parejas de estudiantes que usen un lápiz de color y dividan el modelo de área para mostrar que _  4  = __   8   . 5

¿Cómo dividieron el modelo de área para mostrar que _   es equivalente a __   ? 8 10

4 5

Trazamos una línea horizontal para dividir los quintos en 2 veces la cantidad de partes. Creamos décimos, y 8 décimos están sombreados.

Repita el proceso y pida a sus estudiantes que descompongan _  6  en doceavos. Deben usar primero la multiplicación y, luego, un modelo de área. 2

2. Descompón _  2  en doceavos. 6

2 × 2 __ _2 = ____ =   4 6

2×6

175

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué el numerador y el denominador se multiplican por el mismo número al crear una fracción equivalente. El numerador es el número de unidades sombreadas y el denominador es el número de unidades que hay en el entero. Los multiplicamos por el mismo número porque todas las partes se dividen en 2 veces una cantidad, 3 veces una cantidad o más.

¿Equivalentes o no equivalentes? La clase decide si un enunciado de equivalencia es verdadero o falso. Presente la ecuación: _  2  = _ 4 3

Apoyo para la comprensión del lenguaje

El entero de cada fracción es el mismo. ¿Cómo podríamos decidir si la ecuación es verdadera o falsa?

Podríamos representar _  2 con un modelo de área y ver si podríamos dividirlo para mostrar _ 4  . 3

 32  por el mismo número y ver si podríamos Podríamos multiplicar el numerador y el denominador en _ 4 _ obtener     . 6

Dé a las parejas 2 minutos para decidir si la ecuación es verdadera o falsa. Pídales que muestren su razonamiento.

Considere mostrar un banco de palabras para que sus estudiantes lo consulten mientras explican si la ecuación es verdadera o falsa. Considere usar los siguientes comienzos de oración, palabras y frases: • La ecuación es verdadera porque ______ . • La ecuación es falsa porque ______ .

¿La ecuación es verdadera o falsa? ¿Cómo lo saben?

• numerador, denominador

Es verdadera porque puedo multiplicar el numerador y el denominador por 2. 2 veces 2 es 4 y

• múltiplo

2 veces 3 es 6.

 32 y usé una línea horizontal para dividir los Es verdadera porque dibujé un modelo de área de _  4 del modelo de área estaban sombreados. tercios en sextos. Después de dividirlo, _

• multiplicar • tantas veces una cantidad

Decide si cada ecuación es verdadera o falsa. Muestra tu trabajo.

_ _4 2 3

3. =

Verdadera

_ __9 3 6

4. =

Falsa

176

2_ = ____ = 4_ 3

2×2 2×3

_ ____ __ 3 2×3 6 = =   6 2 × 6 12

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si prefieren usar un modelo de área o la multiplicación para comprobar la equivalencia.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Generar fracciones equivalentes con unidades más pequeñas para fracciones no unitarias Use las siguientes preguntas para iniciar una conversación de toda la clase. Anime a sus estudiantes a replantear o complementar las respuestas de sus pares usando sus propias palabras. Muestre la imagen de los dos modelos de área. Invite a sus estudiantes a consultar los dos modelos de área u otros ejemplos para apoyar sus respuestas. ¿Cómo usamos la multiplicación para hallar fracciones equivalentes? Mostramos una fracción con un modelo de área que tiene líneas verticales y, luego, lo dividimos con líneas horizontales para mostrar 2, 3 y 4 veces la cantidad de partes. Usamos la multiplicación para mostrar cómo 2, 3 y 4 veces el numerador y el denominador forman una

1 2×1 2 = = 3 2×3 6

2 2×2 4 = = 3 2×3 6

fracción equivalente.

177

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9 ¿Por qué es útil la multiplicación para hallar una fracción equivalente? Ambos modelos de área muestran que hay 2 veces la cantidad de partes cuando los tercios se dividen en sextos. Tanto si se sombrea 1 tercio o 2 tercios, se crea una fracción equivalente. La multiplicación y los múltiplos pueden ser útiles cuando se necesita hallar una fracción equivalente con una unidad específica. Por ejemplo, se pueden usar la multiplicación y los  1  o _ 2  . múltiplos de 3 para hallar más fracciones equivalentes de _ 3

Se puede crear cualquier fracción equivalente cuando se multiplica el numerador y el denominador por el mismo número.

178

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9

Nombre

Fecha

Divide cada modelo de área para mostrar unidades más pequeñas. Luego, rotula la fracción equivalente. Expresa cada equivalencia usando la multiplicación.

Cada cuadrado representa 1.

5. Descompón en novenos.

Rotula cada modelo de área para mostrar la fracción equivalente.

2 3

3 4

4 2 × 2 _____ _2 = ____ = 3 2×3 6

6 9

10 12

Dibuja un modelo de área para mostrar que cada par de fracciones es equivalente. Luego, expresa cada equivalencia usando la multiplicación.

4 6

8 7. _2 y __

2 × 4 __ _4 = ____ = 8 6 2 × 6 12

2 × 2 __ _2 = ____ = 4 5 2 × 5 10

6 8. _3 y __ 5

12 2 3

10 3 5

8 2_ 4____ = × 2 = __ 3 4 × 3 12

3_ 2____ 6 = × 3 = __ 5 2 × 5 10

8 12 8 12

2 × 5 10 _5 = ____ = __ 6 2 × 6 12

9 12

2 5

4 10

5 6

3 ×2 6 _2 = _______ = _____ 3 3 ×3 9 3 ×3 9 _3 = _______ = _____ 4 3 ×4 12

4 6

6. Descompón en doceavos.

2 3

Expresa cada equivalencia usando la multiplicación. 1.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9

GRUPO DE PROBLEMAS

6 10

179

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9

Completa cada ecuación para mostrar una fracción equivalente. 4 2 = _____ 9. _ 8 4

8 4 = _____ 10. _ 5 10

11. Ray necesita _3 de taza de harina. Solo tiene dos tazas medidoras, una de _1 de taza y otra de 3 _1 de taza. 4 8

a. ¿Qué taza debe usar Ray? Explica.

Ray debe usar la taza de _1 porque puede componer octavos para formar cuartos. 8

b. ¿Cuántas de las tazas que elegiste en la parte (a) se necesitarán para medir _3 de taza 4 de harina? Se necesitarán 6 de las tazas de _1 porque 2 de las tazas de _1 es igual a _1 de taza. 8

Ray necesita _3 de taza. _3 es 3 veces _1 , entonces debe usar 3 veces _1 de taza. Lo sé 4

porque 3 × 2 = 6.

180

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 10

Generar fracciones equivalentes con unidades más grandes

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10

Nombre

Fecha

El cuadrado grande representa 1. Traza el modelo de área para mostrar cómo se compone la unidad más grande. Luego, rotula las fracciones equivalentes.

Vistazo a la lección La clase compone unidades más grandes usando un modelo de área y usa la división para generar una fracción equivalente. Analizan cómo sombrear de manera eficiente un modelo de área para componer unidades más grandes. Usan los factores para demostrar la equivalencia de dos fracciones.

Preguntas clave

Expresa la equivalencia usando la división.

• ¿Qué sucede con el número total de partes y el número de partes sombreadas cuando componemos unidades fraccionarias más grandes?

1 3

• ¿Cómo podemos usar factores para generar fracciones equivalentes con unidades más grandes?

4÷4 4 __ = _____ = 1_ 12

12 ÷ 4

Criterios de logro académico

a 4.Mód4.CLA1 Representan y explican por qué una fracción     es equivalente b (n × a) a una fracción   . (4.NF.A.1) (n × b)

_____

4 12

4.Mód4.CLA2 Generan fracciones equivalentes y sus representaciones. (4.NF.A.1)

103

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• ninguno

Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.

Aprender 35 min

Estudiantes

• Componer unidades más grandes combinando unidades más pequeñas

• Práctica veloz: Comparar fracciones (en el libro para estudiantes)

• Sombrear un modelo de área

• lápiz de color

• Demostrar la equivalencia • Grupo de problemas

Concluir 10 min

183

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10

Fluidez

Práctica veloz: Comparar fracciones Materiales: E) Práctica veloz: Comparar fracciones EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ Práctica veloz ▸ Comparar fracciones

La clase usa signos para comparar una fracción con otra fracción que tiene el mismo denominador o un número entero para adquirir fluidez con la destreza del tema D.

Práctica veloz

Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.

Escribe >, = o <. 1.

1 tercio

2 4

5 6

Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea. No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo. En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar! Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A. ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.

184

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10 Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B. Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes. Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales. Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.

Nota para la enseñanza Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A: • ¿Qué patrón observan en los problemas 1 a 10? • ¿Qué estrategia podrían usar para los problemas 11 a 22? ¿Y para los problemas 23 a 32?

Nota para la enseñanza

Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B. ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.

Cuente hacia delante de un medio en un medio desde 0 medios hasta 10 medios para la actividad de conteo de ritmo rápido. Cuente hacia atrás de un cuarto en un cuarto desde 12 cuartos hasta 0 cuartos para la actividad de conteo de ritmo lento.

Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Determinen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Celebre el progreso de sus estudiantes.

185

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10

Presentar

La clase identifica fracciones equivalentes y describe el tamaño y el número de unidades fraccionarias. Muestre la imagen de _  3 .

Nota para la enseñanza

Diga a la clase que el rectángulo representa 1. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué fracción está sombreada.

_ 3 . Veo 3 unidades sombreadas y hay 6 unidades iguales en el entero. 6 _ 1 . Veo 2 columnas de igual tamaño y 1 columna está sombreada. 2 Muestre la imagen de _  4  . 8

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué fracción está sombreada.

El enfoque de esta lección es componer unidades fraccionarias más grandes a partir de unidades fraccionarias más pequeñas. Sus estudiantes expresan las fracciones con otro nombre en términos de unidades más grandes reconociendo cómo se pueden combinar las unidades más pequeñas en grupos iguales. Si bien se establece la base conceptual para la simplificación, el término simplificar se evita inicialmente, ya que la clase compone unidades de mayor valor.

_ 4 . Veo 4 partes sombreadas y hay 8 unidades iguales en el entero. 8 _ 1 . Veo 1 columna sombreada y 2 columnas de igual tamaño. 2 Ambas fracciones, _  63  y _84  , son equivalentes a _ 21  . ¿Qué hemos hecho antes para   1  ? hallar una fracción equivalente a _ 2

Hemos dividido un modelo de área para descomponer los medios en unidades fraccionarias más pequeñas, como cuartos, sextos u octavos.

 21 por el mismo número para hallar una Hemos multiplicado el numerador y el denominador en _ fracción equivalente. Tanto con el modelo de área como con los métodos de multiplicación, ¿hallamos fracciones equivalentes con unidades fraccionarias más pequeñas o más grandes? Unidades más pequeñas

Anteriormente descompusimos una fracción, como _   , en una fracción con unidades más

    o _    . pequeñas, como _ 3 6

186

4 8

1 2

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que se podría hacer para hallar

 4con unidades más grandes. una fracción equivalente a _ 8

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, hallaremos fracciones equivalentes con unidades más grandes.

Aprender

Componer unidades más grandes combinando unidades más pequeñas Materiales: E) Lápiz de color

La clase compone unidades más grandes como ayuda para generar una fracción equivalente en un modelo de área y usando la división. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Representa una fracción equivalente usando un modelo de área. Luego, expresa la equivalencia usando la división. 1.

1 2

4 8

_ ____ _ 4 4÷4 1   =   =   8 8÷4 2

187

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10 Reconocimos las fracciones equivalentes _  8  y _ 2  en el modelo de área. ¿Qué unidad es más grande, los octavos o los medios? 4

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Los medios Pida a sus estudiantes que usen sus lápices de colores para trazar cada medio que vean en el modelo de área.

Sabemos cómo usar la multiplicación para representar la descomposición de _     en _  . Trazaron _    1 2

4 8

  , que es lo opuesto a la descomposición. ¿Qué operación está relacionada con para componer _ 1 2

la multiplicación?

Considere ayudar a la clase a comprender la diferencia entre los términos descomponer y componer. Use un gesto, como juntar ambas manos para representar componer. Muestre las dos manos separadas para representar descomponer.

La división

  es equivalente a _    . Podemos usar la división para mostrar cómo _

Escriba _  4  = 8

4 8

1 2

. Invite a la clase a hacer lo mismo.

¿Cuántas unidades había en el entero?

8 ¿Cuántas unidades había en cada uno de los grupos que compusimos?

4 Había 8 unidades en el entero y compusimos grupos de 4 unidades. ¿Qué expresión de división podemos usar para representar la composición?

8÷4

Escriba 8 ÷ 4 junto al denominador: _  4  = _______     8

8÷4

¿Cuántas unidades estaban sombreadas?

4 ¿Cuántas unidades había en el grupo que compusimos?

4 Estaban sombreadas 4 unidades y compusimos un grupo de 4 unidades. ¿Qué expresión de división podemos usar para representar la composición?

4÷4

188

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10 Escriba 4 ÷ 4 junto al numerador: _  4  = _______   8

4÷4 8÷4

¿Cómo se relaciona la división con la fracción equivalente que vemos en el modelo de área?

 1  compuesto en el modelo de área. Sé que 4 ÷ 4 = 1 y que 8 ÷ 4 = 2. Vemos _ 2

Hay 8 unidades en el entero y compusimos 2 grupos de 4 unidades. Veo que eso está representado con 8 ÷ 4 = 2. Hay 4 unidades sombreadas y compusimos 1 grupo de 4 unidades. Veo que eso está representado con 4 ÷ 4 = 1.

Escriba la fracción equivalente: _  4  = _______     = _ 1 8

4÷4 8÷4

DUA: Representación Considere presentar los modelos de área uno al lado del otro y hacer anotaciones para mostrar la relación entre el número de unidades y el tamaño de la unidad.

¿Qué sucedió con el tamaño de las unidades y el número total de unidades cuando determinamos que _     es equivalente a _    ? 4 8

1 2

Las unidades pasaron a ser más grandes. Hay menos unidades en el entero. Las unidades eran octavos y compusimos octavos para formar medios, entonces el tamaño de las unidades se hizo más grande. Los medios son más grandes que los octavos. Había 8 unidades en el entero y las compusimos en 2 grupos iguales, entonces el número total de unidades se hizo más pequeño. 2 unidades es menor que 8 unidades. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la división representa la composición que se ve en el modelo de área. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. 2.

1 3

2 6

_ ____ _

2 2÷2 1 = = 6 6÷2 3

189

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué fracciones sombreadas están representadas en el modelo de área. ¿Cómo pueden componer una unidad más grande? Podemos componer tercios con grupos de 2 sextos. Pida a sus estudiantes que usen sus lápices de colores y tracen para componer los tercios de la unidad más grande. ¿Cómo podemos usar la división para expresar la manera en que agruparon los sextos? Podemos dividir el numerador y el denominador entre 2. Hay 6 unidades en el entero y compusimos 3 grupos de 2 unidades. Podemos escribir 6 ÷ 2 en el denominador. Hay 2 unidades sombreadas y compusimos 1 grupo de 2 unidades. Podemos escribir 2 ÷ 2 en el numerador.

Invite a la clase a usar la división para expresar una fracción equivalente a _  2  . 6

¿Qué sucedió con el tamaño de las unidades y el número total de ellas cuando determinamos

    es equivalente a _    ? que _ 2 6

1 3

El tamaño de las unidades pasó a ser más grande. Hay menos unidades en el entero. Las unidades eran sextos y compusimos sextos para formar tercios, entonces el tamaño de las unidades se hizo más grande. Los tercios son más grandes que los sextos. Había 6 unidades en el entero y las compusimos en 3 grupos iguales, entonces el número total de unidades se hizo más pequeño. 3 unidades es menor que 6 unidades. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué es parecido y qué es diferente en la fracción sombreada.

190

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10

2 3

4 6 4 ÷ 2 2_ _4 = ____ = 6

6÷2

¿En qué se parecen los modelos de área de los problemas 2 y 3? Ambos muestran sextos. Invite a sus estudiantes a usar sus lápices de colores para formar grupos de 2 sextos en el modelo de área. ¿Qué observan acerca de la fracción equivalente? Hay 2 unidades más grandes sombreadas.

¿Qué fracción equivalente a _     compusimos? 4 6

2   3

Dé a las parejas 1 minuto para que usen la división y expresen cómo muestran los modelos de área que _  4  y _ 2  son fracciones equivalentes. 6

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se puede usar la división para mostrar la manera en que se agrupan las unidades a fin de componer unidades más grandes y hallar una fracción equivalente. Pida a sus estudiantes que consulten su trabajo en los problemas 1 a 3 para apoyar sus respuestas a las siguientes preguntas.

191

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10 ¿Qué sucede con el tamaño de las unidades fraccionarias cuando se componen unidades fraccionarias? Las unidades se hacen más grandes. Los medios son más grandes que los octavos. Los tercios son más grandes que los sextos. ¿Qué sucede con el número total de partes que hay en el entero cuando se componen unidades fraccionarias? El número total de unidades fraccionarias que hay en un entero es menor cuando se componen unidades fraccionarias. Hay menos medios que octavos en el entero. Hay menos tercios que sextos en el entero.

Sombrear un modelo de área La clase analiza cómo sombrear un modelo de área para ver con facilidad una fracción equivalente y componer unidades más grandes. Muestre la imagen de __   sombreados en un modelo de área. 9 12

Un o una estudiante sombreó __     de un modelo de área y quiere componer 9 12

unidades más grandes para crear una fracción equivalente. ¿Ven una forma eficiente de componer unidades más grandes? Expliquen. Si componemos unidades en cada columna, no habrá un número igual de unidades sombreadas y sin sombrear. Si componemos unidades en cada fila, habrá 2 filas sombreadas, más 1 doceavo adicional. No habrá un número igual de filas sombreadas y sin sombrear. Cuando se usa un modelo de área para componer unidades más grandes, es útil sombrear las filas o columnas en grupos iguales.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4 y pídales que sombreen __   de una manera que 12 muestre grupos iguales de forma eficiente. 9

192

Nota para la enseñanza Permita que sus estudiantes sombreen y compongan unidades más grandes de una manera que puedan entender. Usar las filas o las columnas para hacerlo de manera eficiente es útil, pero acepte cualquier representación que sea matemáticamente correcta.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10 Sombrea __     y compón una fracción equivalente. Luego, usa la división para expresar la composición. 9 12

3 4

9 12 9 ÷ 3 3_ 9 __   =   = _____ 12

12 ÷ 3

¿Cómo sombrearon __   ? 9 12

Sombreé 3 columnas de 3 doceavos.

Dé a las parejas 1 minuto para componer unidades más grandes en el modelo de área y usar la división para hallar una fracción equivalente. ¿Qué fracción equivalente hallaron? ¿Cómo?

__   9   es equivalente a _ 43  . Compusimos cuartos en el modelo de área y dividimos el numerador y el 12  43 . denominador entre 3 para hallar _ Muestre la imagen del modelo de área original con __   9 sombreados. 12

Pida a las parejas que comparen el modelo de área que sombrearon en el problema 4 con el modelo de área sombreado por el o la estudiante. ¿El modelo de área sombreado por el o la estudiante representó _  4 ? ¿Cómo lo saben? 3

Ambos modelos de área tienen __   del entero sombreados, entonces 9 12

sabemos que ese modelo de área también muestra _   .

3 4

193

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10 En ambos modelos de área hay 9 unidades sombreadas y 3 unidades sin sombrear, entonces

  . el modelo de área que sombreó el o la estudiante también debe mostrar _ 3 4

Sí. Se puede encerrar en un círculo, o componer, grupos de 3 unidades. Si se hace eso, habrá 4 grupos de 3 unidades. Invite a alguien a componer doceavos en cuartos en el modelo de área sombreado por el o la estudiante. Luego, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden sombrear un modelo de área como ayuda para componer unidades más grandes de manera eficiente.

Demostrar la equivalencia La clase usa factores para decidir cómo componer unidades más grandes y usa la división para demostrar que dos fracciones son equivalentes. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 5. Lea el problema a coro con la clase. Dibuja un modelo de área y usa la división para demostrar la equivalencia.

__6 = _3

3 5

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando dibuja un modelo de área, lo divide y usa la división para demostrar la equivalencia de fracciones. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6: • ¿En qué detalles es importante pensar al momento de decidir cómo dividir el modelo de área para demostrar que  6   y   3  son 10 5 equivalentes?

__ __

6 10

• Cuando se usa la división para expresar esta equivalencia, ¿con qué pasos hay que tener más cuidado?

6 ÷ 2 3_ 6 __     = _____     =   10

194

10 ÷ 2

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10 Dé a las parejas 2 minutos para demostrar la equivalencia con un modelo de área y la división. ¿Entre qué número dividieron el numerador y el denominador en __   ? ¿Por qué?

Dividí entre 2 porque agrupé 2 décimos para crear cada quinto.

6 10

Diferenciación: Desafío

Dividí entre 2 porque sé que 10 ÷ 2 = 5 y que 6 ÷ 2 = 3.

Pida a sus estudiantes que hallen otros

2 es un factor tanto de 6 como de 10. ¿Cómo puede ayudarles eso a hallar una fracción equivalente a __   6 ? 10 Como 2 es un factor del numerador y del denominador, podemos dividirlos entre 2 para hallar una

usen estos números para hallar más fracciones equivalentes a   6   . 12

números que sean factores de 6 y 12 y que

fracción equivalente. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 6. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué factor de 6 y 12 podría ayudar a componer medios. Sé que 6 es un factor de 6 y 12. Divido 12 entre 6 y obtengo 2. Usa la división para componer doceavos en medios.

6 6. __   = _____ 2

6 ÷ 6 1_ 6 __     = _____     =   12

12 ÷ 6

Pida a sus estudiantes que usen la división para hallar la fracción equivalente. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo los factores de un numerador y un denominador pueden ayudarles a hallar una fracción equivalente con unidades más grandes.

195

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Generar fracciones equivalentes con unidades más grandes Use las siguientes preguntas para guiar una conversación sobre el uso de la división como ayuda para generar fracciones equivalentes. Muestre la imagen del modelo de área. ¿Cómo podrían usar la multiplicación y la división para explicar por qué las dos fracciones sombreadas son equivalentes?

1 3

_ 1  es equivalente a __ 4 porque se pueden descomponer los tercios en 4 veces 3

la cantidad de unidades y crear doceavos. Hay 4 doceavos sombreados porque 1 × 4 = 4 y 3 × 4 = 12.

__   4 es equivalente a _1porque se pueden componer tercios con grupos iguales 12

de 4 doceavos. Lo sé porque 4 ÷ 4 = 1 y 12 ÷ 4 = 3. ¿Cómo se ven afectados el tamaño de la unidad y el número de unidades cuando se halla una fracción equivalente usando la división?

4 12

Cuando se halla una fracción equivalente usando la división, el tamaño de la unidad se hace más grande y el número de unidades es menor. ¿Cómo se usan los factores como ayuda para determinar una fracción equivalente con unidades más grandes? Cuando se halla una fracción equivalente, se puede usar un factor del numerador y del denominador para poder dividir ambos entre el mismo número. Si se sabe cuál es el numerador o el denominador de la fracción equivalente, es necesario pensar en qué factor se puede usar para crear ese numerador o denominador.

196

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10

4 ▸ M4 ▸ Práctica veloz ▸ Comparar fracciones

Número de respuestas correctas:

2 tercios

2 3

1 cuarto

Número de respuestas correctas: Progreso:

Escribe >, = o <.

Escribe >, = o <. 1.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ Práctica veloz ▸ Comparar fracciones

1 tercio

1 3

23.

1 2

24.

2 2

25.

1 3

_ _

2 cuartos

1 4

2 4

26.

3 sextos

1 sexto

_ 0 4

27.

3 6

1 6

28.

3 4

29.

4 6

30.

31.

6 8

_ _

1 octavo

1 8

2 2

0 3

1 tercio

1 3

2 tercios

2 3

2 cuartos

2 3

2 4

0 6

1 octavo

6 6

1 8

5 8

1 octavo

_ _ _ _ _

23.

2 2

1 2

24.

25.

2 2

0 3

2 3

_ _

1 cuarto

2 4

1 4

26.

1 3

1 sexto

4 sextos

_ 3 4

0 4

27.

1 6

4 6

28.

29.

2 4

0 6

1 8

30.

5 6

6 6

5 octavos

31.

5 8

7 8

_ _ _

_ _ _ _

4 octavos

1 octavo

10.

4 8

32.

7 8

1 8

32.

11.

33.

1 3

1 2

34.

3 6

12.

2 2

34.

3 4

13.

2 3

35.

3 2

3 3

36.

3 3

14.

2 3

36.

4 3

15.

5 4

15.

3 4

37.

5 4

4 4

38.

16.

4 4

38.

8 6

17.

39.

9 8

17.

1 6

39.

6 6

40.

18.

2 6

40.

4 2

19.

41.

5 3

19.

5 6

41.

3 8

42.

9 4

20.

4 8

42.

21.

4 8

21.

6 8

43.

5 8

22.

4 8

8 8

44.

18 6

8 8

3 8

22.

6 8

2 8

4 8

4 3

20.

5 6

6 6

5 6

4 2

3 6

10 8

18.

4 6

2 6

4 4

4 6

7 6

4 4

7 4

16.

1 4

37.

7 4

3 3

3 4

3 3

2 4

4 3

2 3

2 2

14.

1 3

3 2

35.

2 2

1 4

2 3

1 2

1 3

1 6

2 2

2 3

12.

1 2

11.

1 2

33.

2 4

6 8

1 4

5 8

1 2

10.

1 8

1 2

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _

43.

18 6

44.

31 8

__ © Great Minds PBC

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

10 4

30 8

_ _ _ _ _ _ __ _ __

197

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10

Nombre

Fecha

_3 _4

5. Muestra cómo se puede expresar 6 y 8 como la misma fracción unitaria. Sombrea y rotula el modelo de área para mostrar las fracciones.

Luego, expresa cada equivalencia usando la división.

Cada cuadrado grande representa 1. Traza el modelo de área para mostrar cómo se compone la unidad más grande. Luego, rotula las fracciones equivalentes.

1 2

1 3

1 2 ÷ 2 _____ _2 = ____ = 4 4÷2 2

_4 8 1 2

3÷3 _ 1 _3 = ____ = 6 6÷3 2

2÷ 2 1 2_ _______ _____ = 6= 6÷ 2 3

2 4

3_ 6 1 2

Expresa cada equivalencia usando la división. 1.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10

4÷4 _ 1 _4 = ____ = 8 8÷4 2

3 6

4 8

2 6

6. Dibuja un modelo de área para representar las fracciones equivalentes. 3.

1 4

3 12

198

12 ÷ 3

3 4 2÷2 2 1 __ = _____ = _

3 3÷3 1 __ = _____ = _ 12

÷ 2 3_ 6_ 6____ = = 8 8÷2 4

1 5

10 ÷ 2

6 8

2 10

100

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10

Completa cada ecuación para mostrar una fracción equivalente. Puedes dibujar un modelo de área como ayuda. 7.

4 8 = _____ 8. __ 5 10

1 _3 = _____ 9 3

9. El Sr. Endo necesita 8 de taza de azúcar para hornear muffins. Liz dice que es la misma cantidad que __ de taza de azúcar. ¿Liz está en lo correcto? Explica. 4 2

3 6÷2 _ _6 ____

Liz no está en lo correcto. 4 no es la misma cantidad que 8 . Sé que 8 = 8 ÷ 2 = 4 .

10. Muestra una fracción equivalente para 8 usando la multiplicación. Luego, muestra una fracción _6 equivalente para 8 usando la división. 2 × 6 12 _6 = ____ = __ 8 2 × 8 16

3 6÷2 _ _6 = ____ = 8 8÷2 4

GRUPO DE PROBLEMAS

101

199

LECCIÓN 11

Representar fracciones equivalentes usando diagramas de cinta, rectas numéricas y la multiplicación o la división

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

Nombre

Fecha

1. Divide, sombrea y rotula el diagrama de cinta para representar _4. Luego, usa el diagrama 6

de cinta y la multiplicación para dividir y rotular la recta numérica y así representar la fracción equivalente. 4 6

Vistazo a la lección La clase dibuja diagramas de cinta y rectas numéricas para componer y descomponer unidades fraccionarias a fin de representar fracciones equivalentes. Aprenden cómo descomponer de manera eficiente unidades fraccionarias en una recta numérica. La clase también usa la multiplicación o la división para expresar fracciones equivalentes.

Preguntas clave

× 4 = __ 8 4_ = 2____ 6 2 × 6 12 8 12

• ¿Cómo podemos saber si se compusieron o descompusieron unidades para representar una fracción equivalente?

• ¿Cómo podemos usar un diagrama de cinta y una recta numérica para representar fracciones equivalentes?

Criterios de logro académico 2. Divide y rotula la recta numérica para representar _4. Luego, usa la recta numérica y la división

_____

2 3

4.Mód4.CLA2 Generan fracciones equivalentes y sus representaciones. (4.NF.A.1)

4 ÷ 2 = 2_ _4 = ____ 6 6÷2 3

a 4.Mód4.CLA1 Representan y explican por qué una fracción     es equivalente b (n × a) a una fracción     . (4.NF.A.1) (n × b)

para dividir, sombrear y rotular el diagrama de cinta y así representar la fracción equivalente.

4 6

111

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• herramienta de borde recto

Considere si desea retirar la hoja extraíble de Tres rectas numéricas de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.

Aprender 35 min

Estudiantes

• Descomponer y componer unidades fraccionarias

• Tres rectas numéricas (en el libro para estudiantes)

• Descomponer algunas unidades fraccionarias

• herramienta de borde recto

• Dividir algunas o todas las unidades fraccionarias • Grupo de problemas

Concluir 10 min

201

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

Fluidez

Contar de un tercio en un tercio en la recta numérica La clase cuenta de un tercio en un tercio y expresa las fracciones como números enteros o números mixtos para desarrollar fluidez con la descomposición y equivalencia de fracciones. Muestre la recta numérica. ¿Qué unidad fraccionaria muestra la recta numérica? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Tercios Usen la recta numérica para contar hacia delante de un tercio en un tercio hasta 12 tercios. Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

__ __

0 1 12   ,   … , 11   ,   3 3 3 3

0 3

1 3

2 3

Ahora, vuelvan a contar hacia 0 delante de un tercio en un tercio. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

__ 0, 1_   …, 11   , 4 3

3 3

4 3

5 3

6 3

7 3

8 3

9 10 11 12 3 3 3 3

10 11

0 3 3 1 3 3 2 3 3 3 3 3 4

1 2 1 2 Ahora, vuelvan a contar hacia 0 3 3 1 13 13 delante de un tercio en un tercio. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros y números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?

2 23 23 3 33 33 4

Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 1_   …, 3 2_  , 4 3

202

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

Respuesta a coro: ¿Más cerca de 0 o de 1? La clase determina si una fracción está más cerca de 0 o de 1 como preparación para comparar fracciones usando puntos de referencia en el tema C. Muestre _ 2  y la recta numérica rotulada 3

2 3

con 0 y 1.

Piensen dónde se ubica _ 2 3

en esta recta numérica. ¿_  2 está más

Nota para la enseñanza

cerca de 0 o de 1? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

1 2

Si bien es preferible que sus estudiantes piensen en si una fracción está más cerca de 0 o de 1, se ha proporcionado  1  como un punto 2 de referencia.

Más cerca de 1

Muestre _  2 en la recta numérica. 3

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

3 4

1 4

1 5

4 5

4 6

2 6

7 8

5 8

2 3

4 10

6 10

3 12

203

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

Intercambio con la pizarra blanca: Dividir y rotular rectas numéricas Materiales: E) Tres rectas numéricas

La clase divide una recta numérica en 2, 10 o 5 partes iguales e identifica la unidad fraccionaria, la fracción unitaria y las fracciones no unitarias para desarrollar fluidez con la descomposición y equivalencia de fracciones. Muestre la recta numérica. Dibujen la primera y la última marca de graduación en la primera recta numérica. Rotulen las marcas con 0 y 1 debajo de la recta. Dividan la recta numérica en 2 partes iguales. Muestren su trabajo a sus parejas. Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas. Muestre la recta numérica dividida en medios. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. ¿Cuál es la unidad fraccionaria? Medios ¿Cuál es la fracción unitaria?

_ 1   2

1 2

Rotulen _  1 en la recta numérica. 2

204

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

Presentar

La clase determina si la multiplicación se usa para representar la composición o descomposición de unidades en un modelo de área. 1 2×1 2 = = 4 2×4 8

Muestre la imagen de la multiplicación y los modelos de área. ¿Qué observan? Hay una multiplicación que muestra que 1 cuarto es equivalente a 2 octavos.

Modelo de área A

Modelo de área B

1 4

Hay dos modelos de área que representan la equivalencia de 1 cuarto y 2 octavos. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué modelo de área representa mejor la multiplicación.

Creemos que es el modelo de 8 8 área B porque usa la multiplicación para representar cómo se descompuso el modelo de área en 2 veces la cantidad de unidades. Cada cuarto se divide en 2 partes iguales para formar octavos. El modelo de área A muestra octavos compuestos para formar cuartos, pero la multiplicación muestra cuartos descompuestos en octavos. Entonces, el modelo de área A no representa la multiplicación. El modelo de área B y la multiplicación muestran cuartos descompuestos en octavos. Creemos que es el modelo de área B. Sabemos que podemos usar la multiplicación para mostrar cómo descomponer unidades fraccionarias a fin de hallar fracciones equivalentes. El modelo de área B muestra cuartos divididos en octavos. El modelo de área B muestra cuartos descompuestos para formar octavos que representan las fracciones equivalentes _   1 y _  2  . 4

Invite a las parejas de estudiantes a usar la división para representar el modelo de área A. Seleccione a una o dos parejas para que compartan su trabajo.

2 2÷2 1 = = 8 8÷ 2 4 205

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11 ¿El modelo de área A representa la composición o la descomposición de unidades fraccionarias? ¿Cómo lo saben? El modelo de área A representa la composición de unidades fraccionarias. Muestra octavos que se componen para formar cuartos. Cada grupo de 2 octavos está encerrado en un círculo para componer 1 cuarto. ¿Cómo representaron la composición de unidades fraccionarias? Dividimos el numerador y el denominador entre 2, lo que muestra cómo componer octavos para formar cuartos.

8 ÷ 2 = 4 representa las 8 unidades que hay en el entero compuesto en 4 grupos de 2 unidades. 2 ÷ 2 = 1 representa las 2 unidades sombreadas compuestas en 1 grupo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la multiplicación y la división pueden representar la descomposición y la composición de unidades fraccionarias para hallar fracciones equivalentes. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, dibujaremos diagramas de cinta y rectas numéricas para mostrar cómo la multiplicación y la división representan fracciones equivalentes.

Aprender

Descomponer y componer unidades fraccionarias Materiales: M/E) Herramienta de borde recto

La clase descompone y compone unidades fraccionarias usando diagramas de cinta y rectas numéricas para representar fracciones equivalentes. Escriba _  3  = ____  2 × 4  = _ 8 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. 4

2×3

¿Qué expresa la multiplicación sobre la relación entre _    y _   ? 3 4

6 8

La multiplicación muestra que las fracciones son equivalentes. La multiplicación muestra que se pueden descomponer los cuartos para formar octavos.

 86 que las que La multiplicación muestra que hay 2 veces la cantidad de unidades fraccionarias en _ hay en _   3  . 4

206

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que pueden dibujar para mostrar que _  3 y _ 6 son equivalentes. 4

Dibujemos un diagrama de cinta para representar _     . 3 4

Dibuje, divida, sombree y rotule un diagrama de cinta para representar _  3  . Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. 4

¿Necesitamos descomponer o componer los cuartos para formar octavos? ¿Cómo lo saben? Necesitamos descomponer los cuartos porque los octavos son más pequeños. Necesitamos descomponer los cuartos porque al usar la multiplicación podemos mostrar las mismas cantidades que los octavos. Dibujemos una recta numérica para descomponer los cuartos en octavos. Use una herramienta de borde recto para dibujar una recta numérica debajo del diagrama de cinta. La recta numérica debe ser ligeramente más larga que el diagrama de cinta. Dibuje marcas de graduación en la recta numérica para 0 y 1 de manera que se alineen con los extremos del diagrama de cinta. Rotule las marcas de graduación como 0 y 1. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cómo podemos usar el diagrama de cinta como ayuda para dividir el intervalo de 0 a 1 en cuartos?

DUA: Acción y expresión Considere proporcionar una plantilla con un diagrama de cinta y una recta numérica en blanco. Esto puede reducir la exigencia de motricidad fina de tener que dibujar estos modelos para cada problema.

Podemos dibujar marcas de graduación que se alineen con el lugar donde dividimos el diagrama de cinta. Dibuje marcas de graduación en la recta numérica para dividir el intervalo de 0 a 1 en cuartos. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Qué unidad fraccionaria se representa en el diagrama de cinta? Cuartos ¿Qué unidad fraccionaria se representa en la recta numérica? Cuartos

Diferenciación: Desafío Considere invitar a sus estudiantes a descomponer los cuartos de una manera diferente. Pueden usar la recta numérica para descomponer los cuartos y, luego, usar la multiplicación para representar las fracciones equivalentes.

207

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11 ¿Cómo nos ayuda la multiplicación a ver en cuántas partes iguales debemos dividir cada cuarto? Se muestra la multiplicación por 2, entonces necesitamos dividir cada cuarto en 2 partes iguales o 2 veces la cantidad de partes. Dibuje para dividir cada cuarto en 2 partes iguales en la recta numérica. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Qué unidad fraccionaria formamos al dividir cada cuarto en 2 partes iguales? Octavos ¿Cómo cambió el tamaño de las unidades que había en el entero cuando descompusimos los cuartos para formar octavos? El tamaño de cada unidad se hizo más pequeño. Los octavos son más pequeños que los cuartos. ¿Cómo cambió el número de unidades que había en el entero cuando descompusimos los cuartos en octavos? El número de unidades cambió de cuatro a ocho. Hay 2 veces la cantidad de unidades. ¿Cómo muestran el diagrama de cinta, la recta numérica y la multiplicación que hay el doble de octavos que de cuartos en un entero? Podemos ver que se necesitan 2 octavos en la recta numérica para formar cada cuarto en el diagrama de cinta. 2 es 2 veces 1.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Podemos ver que multiplicamos el numerador y el denominador por 2. 2 veces 4 es 8.

Considere crear un afiche de referencia para ayudar a sus estudiantes a hacer conexiones entre el vocabulario que se usa para describir cómo cambia el número de unidades y qué operación se usa.

Podemos ver que se necesitan 8 octavos para igualar 4 cuartos. 8 es 2 veces 4.

¿Cómo podemos rotular la recta numérica para mostrar que _   es equivalente a _     ?

 6  . Podemos rotular la marca de graduación que representa _ 8

 6 están en la misma ubicación Entonces, podemos ver que _   3 y _ en la recta numérica.

6 8

Rotule _   6 en la recta numérica y pida a sus estudiantes que 8

hagan lo mismo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo el diagrama de cinta y la recta numérica representan la multiplicación.

208

3 4

÷ ÷ ÷

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11 Escriba __  6   = _____     = _   y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. 10 ÷ 2 5 10

6÷2

¿Qué expresa la división sobre la relación entre __   6 y _    ?

 3 son equivalentes. La división muestra que __   6  y _ 10

3 5

La división muestra que se pueden componer décimos para formar quintos.

÷ ÷

Dibujemos una recta numérica y un diagrama de cinta para mostrar que

__   6 es equivalente a _  3  . 10

Use una herramienta de borde recto para dibujar una recta

 6   . numérica. Divida y rotule la recta numérica para representar __ Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

Dibuje un diagrama de cinta arriba de la recta numérica. Alinee los extremos del diagrama de cinta con las marcas de graduación que representan 0 y 1 en la recta numérica. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Necesitamos descomponer o componer décimos para formar quintos? ¿Cómo lo saben? Necesitamos componer décimos porque los quintos son más grandes que los décimos. Necesitamos componer décimos porque al usar la división podemos mostrar la misma cantidad de quintos. ¿Cómo nos ayuda la división a ver cuántos décimos necesitamos componer para formar cada quinto? La división muestra que el número de partes, 10, se divide entre 2. Entonces, necesitamos componer cada grupo de 2 décimos para formar 1 quinto. Usemos la recta numérica como ayuda para dividir el diagrama de cinta. Para cada grupo de 2 décimos en la recta numérica, dibujaremos para dividir el diagrama de cinta.

209

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11 Señale la recta numérica mientras dice lo siguiente.

DUA: Representación

1 décimo, 2 décimos Siga la marca de graduación que representa 2 décimos hacia arriba hasta el diagrama de cinta y trace una línea para dividirlo. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

Considere sombrear la recta numérica y el diagrama de cinta al componer los décimos. Esto puede ayudar a sus estudiantes a hacer conexiones entre los décimos y los quintos.

Continúe contando grupos de 2 décimos en la recta numérica y dividiendo el diagrama de cinta. ¿Qué unidad fraccionaria formamos en el diagrama de cinta al componer 2 décimos? Quintos ¿Cómo cambió el tamaño de las unidades fraccionarias que había en el entero cuando compusimos décimos para formar quintos? El tamaño de las unidades se hizo más grande. Los quintos son más grandes que los décimos. ¿Cómo cambió el número de unidades que había en el entero cuando compusimos décimos para formar quintos? El número de unidades cambió de diez a cinco. Hay la mitad de unidades. ¿Cómo muestran el diagrama de cinta, la recta numérica y la ecuación que hay la mitad de quintos que de décimos en un entero? Podemos ver que 1 quinto en el diagrama de cinta es igual a 2 décimos en la recta numérica. 1 es la mitad de 2. Podemos ver que se necesitan 5 quintos para igualar 10 décimos. 5 es la mitad de 10. Podemos ver que dividimos el numerador y el denominador entre 2. La mitad de 10 es 5.

¿Cómo podemos sombrear y rotular el diagrama de cinta para mostrar que _   es equivalente 5 a_   6   ? 3

 6   . Entonces, podemos ver que _ 3 y __  6  están en la misma Podemos sombrear 3 quintos de 0 a __ 10

ubicación y podemos rotular la parte sombreada del diagrama de cinta como _  3  . 5

210

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11 Sombree y rotule _  3 en el diagrama de cinta y pida a sus 5

estudiantes que hagan lo mismo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la recta numérica y el diagrama de cinta representan la división.

Descomponer algunas unidades fraccionarias Materiales: E) Herramienta de borde recto

La clase analiza una recta numérica que representa la división de 1 tercio en 4 longitudes iguales.

Diferenciación: Apoyo

Muestre la imagen del método de Adam.

Considere usar la siguiente secuencia para ayudar a sus estudiantes a reconocer que la recta numérica en el método de Adam representa doceavos, aunque no se descompongan todos los tercios:

Use la rutina Cinco preguntas estructuradas para invitar a sus estudiantes a analizar el trabajo.

Método de Adam

Observar y preguntarse 1 3

¿Qué observan en este trabajo? ¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones?

1 4×1 4 = = 3 4 × 3 12

• ¿En cuántas partes iguales dividió Adam 1 tercio? • ¿En cuántas partes iguales se dividiría el siguiente tercio?

Observo que Adam dibujó un diagrama de cinta y una recta numérica para representar las fracciones equivalentes. Observo que descompuso unidades porque la ecuación usa la multiplicación.

• ¿En cuántas partes iguales se dividiría el último tercio?

4 12

• ¿Cuántas partes iguales hay en total? ¿Qué unidad fraccionaria representa eso?

Me pregunto por qué no dividió todos los tercios en la recta numérica.

Organizar ¿Qué pasos siguió Adam? ¿Cómo lo saben?

 31  . Puedo ver Dibujó un diagrama de cinta y, luego, lo dividió y lo sombreó para representar _ 3 partes iguales en el diagrama de cinta y 1 de ellas está sombreada. Dibujó una recta numérica y dividió el intervalo de 0 a 1 en tercios. Puedo ver las marcas de graduación de la recta numérica que se alinean con los tercios en el diagrama de cinta. Dividió 1 tercio en 4 partes iguales en la recta numérica. Puedo ver que las marcas de graduación representan las partes iguales.

211

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11 Guíe la conversación para enfocarse en la descomposición de unidades fraccionarias de manera eficiente y fomente el razonamiento que permita a sus estudiantes hacer conexiones con la representación de fracciones equivalentes.

Mostrar Enfoquémonos en la descomposición de las unidades fraccionarias. ¿Dónde ven eso en este trabajo? Podemos ver la descomposición de las unidades fraccionarias en la multiplicación. La multiplicación muestra que Adam descompuso los tercios en doceavos al multiplicar por 4. También podemos ver que Adam dividió 1 tercio en 4 partes iguales en la recta numérica.

Sintetizar ¿Qué diferencia hace en este trabajo la división de 1 tercio en 4 longitudes iguales? Adam está representando una fracción equivalente a 1 tercio, entonces no tiene que dividir todos los tercios. Al dividir 1 tercio en 4 partes, la unidad cambia a doceavos.

Comprender ¿Por qué es útil dividir algunos tercios, pero no todos, al representar fracciones equivalentes? Dividir algunos tercios es más eficiente que dividir todos los tercios.

 2 × 6  = __    y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Escriba _   2  = ____ 12 6

2×2

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para mostrar que _   2 y __  4  son fracciones equivalentes. 6 12 Las parejas deben: • dibujar, dividir y sombrear un diagrama de cinta para representar _  2  ; 6

• usar una herramienta de borde recto para dibujar una recta numérica; • ubicar los sextos en la recta numérica y • descomponer _   2 en 4 longitudes iguales. 6

Invite a una o dos parejas a compartir su trabajo.

212

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11 Muestre la imagen

Método de Adam

del método de Adam y la multiplicación,

1 3

el diagrama de cinta y la recta numérica

1 4×1 4 = = 3 4 × 3 12

2 2×2 4 = = 6 2 × 6 12 2 6

DUA: Representación

en donde se ve que

_ 2  = __  4   . 6

¿Qué observan sobre la fracción

4 12

 2  ? equivalente a _   1 y _ 3

Considere mostrar ambos diagramas de cinta arriba de la recta numérica. Esta representación puede ayudar a sus estudiantes a verificar de manera visual que las fracciones son equivalentes.

2 6

_ 1 y _ 2 son equivalentes a __  4   . 3

_ _

_ _ _

  4  es equivalente a  31 y  62  . ¿Qué indica eso acerca de la relación entre  31 y  62  ? 12 Son equivalentes. Como   1 y  2 son equivalentes a  4   ,  1 es equivalente a  2  . 3 6 12 3 6 ¿En cuántas longitudes iguales dividió Adam   1 ? 3

_ _

__ _

1 3

¿Dónde ven representadas las 4 longitudes iguales en su multiplicación? Multiplicó el numerador y el denominador por 4, que es el número de longitudes iguales.

¿En cuántas longitudes iguales dividieron _   2 ?

¿Ven representadas 4 longitudes iguales en la multiplicación de _  2  ? Expliquen.

4 12

La multiplicación no muestra 4 longitudes iguales. Dividimos cada sexto en 2 longitudes iguales.  4 . Veo 4 longitudes iguales en el producto __ 12

No, el numerador y el denominador se multiplican por 2 porque cada sexto se divide en 2 partes iguales. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué pueden descomponer algunas unidades fraccionarias, pero no todas, en una recta numérica para representar fracciones equivalentes.

213

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

Dividir algunas o todas las unidades fraccionarias La clase divide algunas o todas las unidades en una recta numérica y en un diagrama de cinta para representar fracciones equivalentes. Escriba _  1  = ____  3 × 4  = __    y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. 12

Diferenciación: Desafío

Invite a las parejas de estudiantes a dibujar un diagrama de cinta y una recta numérica para representar las fracciones equivalentes.

3 Considere presentar la ecuación como  1  =     . 12 4 Invite a sus estudiantes a determinar si

Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y seleccione a dos o tres parejas para que compartan su razonamiento.

pueden usar la multiplicación o la división para

El ejemplo de trabajo demuestra la división de todas y de algunas unidades fraccionarias para representar las fracciones equivalentes.

de que usen la multiplicación o la división,

3×1

__ __

representar las fracciones equivalentes. Luego pueden dibujar un diagrama de cinta y una recta numérica para mostrar que las fracciones

División de todas las unidades fraccionarias

1 3×1 3 = = 4 3 × 4 12

División de algunas unidades fraccionarias

3× 1 1 3 = = 4 3×4 12

1 4

Diferenciación: Apoyo

1 4

3 12

son equivalentes.

Considere usar las siguientes preguntas para ayudar a sus estudiantes mientras dividen las unidades fraccionarias a fin de representar las fracciones equivalentes.

• ¿Cómo pueden representar  1  en un 4 diagrama de cinta?

Use las siguientes preguntas para guiar una conversación de toda la clase sobre la división de todas o algunas unidades fraccionarias a fin de representar fracciones equivalentes.

• ¿Cómo pueden usar su diagrama de cinta como ayuda para dibujar y rotular una recta numérica?

• ¿Cómo les ayudó la multiplicación a determinar si debían descomponer o componer cuartos para representar las fracciones equivalentes?

• ¿Cómo pueden usar la multiplicación o la división como ayuda para determinar si deben descomponer o componer unidades fraccionarias?

• ¿Cómo decidieron si debían dividir todos o algunos de los cuartos para representar doceavos? • ¿Cómo afectó su decisión de dividir todos o algunos de los cuartos a la representación de la fracción en su recta numérica?

• ¿Cómo pueden dividir los cuartos en su recta numérica? ¿Necesitan dividir todos los cuartos? • ¿Cómo pueden rotular su recta numérica para mostrar las fracciones equivalentes?

214

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11 • ¿Cómo afectó la división al número y al tamaño de las unidades fraccionarias que había en el entero? ¿Dónde pueden ver eso en la ecuación? • ¿Cómo representan el diagrama de cinta y la recta numérica las fracciones equivalentes? Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden dibujar diagramas de cinta y rectas numéricas para descomponer y componer unidades fraccionarias que representen fracciones equivalentes.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando decide si debe dividir algunas o todas las unidades fraccionarias en una recta numérica y en un diagrama de cinta para representar fracciones equivalentes. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8: • ¿Se repite algo cuando usan la recta numérica para dividir los cuartos y formar doceavos? ¿Cómo puede ayudarles eso

Concluir

Reflexión final 5 min

a dividir de manera más eficiente para representar que   1  y   3   son equivalentes? 4 12 • ¿En qué se parecen la división de algunas unidades fraccionarias y la de todas las unidades fraccionarias en la recta numérica?

__ __

Objetivo: Representar fracciones equivalentes usando diagramas de cinta, rectas numéricas y la multiplicación o la división Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca del uso de diagramas de cinta y rectas numéricas para descomponer y componer unidades fraccionarias que representen fracciones equivalentes. ¿Cómo podemos usar la operación que expresa fracciones equivalentes como ayuda para determinar si debemos componer o descomponer unidades fraccionarias? Cuando se usa la multiplicación para expresar fracciones equivalentes, podemos descomponer unidades fraccionarias. Cuando se usa la división para expresar fracciones equivalentes, podemos componer unidades fraccionarias.

215

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

EUREKA MATH2

¿Cómo podemos usar un diagrama de cinta y una recta numérica para expresar fracciones equivalentes? Podemos dibujar diagramas de cinta y rectas numéricas para expresar fracciones. También podemos dibujar diagramas de cinta para componer unidades fraccionarias. O podemos dibujar una recta numérica para descomponer unidades fraccionarias. Todos estos métodos nos pueden ayudar a ver si las fracciones son equivalentes. Los diagramas de cinta y las rectas numéricas nos ayudan a expresar fracciones, pero también a descomponer y componer unidades fraccionarias. Cuando descomponemos y componemos unidades fraccionarias, podemos hallar fracciones equivalentes.

216

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

2. Divide y rotula la recta numérica para representar la fracción _6 . Luego, usa la recta numérica 8

y la división para dividir, sombrear y rotular el diagrama de cinta y así representar la fracción equivalente.

1. Divide, sombrea y rotula el diagrama de cinta para representar _2 . Luego, usa el diagrama 3

de cinta y la multiplicación para dividir y rotular la recta numérica y así representar la fracción a. 6_ 8

2 3

3 4

6_ ____ = 6 ÷ 2 = 3_ 8 8÷2 4

3×2 _ _2 = ____ =6 3 3×3 9

6 9

9 b. __ 12

2 3

3 9

12 ÷ 3

9 12

8 12

9 c. ¿Cómo se relacionan las fracciones de las partes (a) y (b), _3 , _6 y __ ? 4 8

8? c. ¿Cómo se relacionan las fracciones de las partes (a) y (b), _2 , _6 y __ 9

9 son equivalentes Las fracciones de las partes (a) y (b) son todas equivalentes. Como _6 y __

8 son equivalentes Las fracciones de las partes (a) y (b) son todas equivalentes. Como _6 y __

9. a _3 , _6 debe ser equivalente a __

4 8

8. a _2 , _6 debe ser equivalente a __

3 4

6 8

9 9÷3 __ = _____ = 3_

4 × 2 __ _2 = ____ = 8 3 4 × 3 12

3 9

Recta numérica y diagrama de cinta

División

equivalente.

107

108

GRUPO DE PROBLEMAS

217

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

8. 5. Luke dice que 4_ es equivalente a _2 . Zara dice que _4 es equivalente a __ 3 12 6 6

3. Usa el diagrama de cinta y la recta numérica.

a. Divide y sombrea el diagrama de cinta para mostrar _3 .

a. ¿Estás de acuerdo con Luke, con Zara o tanto con Luke como con Zara? Explica.

b. Ubica _3 en la recta numérica. Descompón _3 en 9 longitudes iguales. 5

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

4÷2 _ = 2 . Entonces, _4 es equivalente a _2. Estoy de acuerdo tanto con Luke como con Zara. _4 = ____

c. Usa la multiplicación para mostrar cómo el diagrama de cinta y la recta numérica representan fracciones equivalentes.

6÷2

2 × 4 __ 8. _4 = ____ = 8 . Entonces, _4 también es equivalente a __ 6

2×6

3 5

9 15

b. Escribe otra fracción equivalente a 4_ . 6 12 __ 18

3 × 3 __ _3 = ____ = 9 5 3 × 5 15

4. Usa el diagrama de cinta y la recta numérica. 4 en la recta numérica. a. Ubica __ 10

4. b. Divide el diagrama de cinta en quintos. Sombrea para mostrar una fracción equivalente a __ 10

c. Usa la división para mostrar cómo el diagrama de cinta y la recta numérica representan fracciones equivalentes. 2 5

4 10

4 ÷ 2 = 2_ 4 = _____ __ 10

218

10 ÷ 2

GRUPO DE PROBLEMAS

109

110

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 12

Generar fracciones equivalentes para fracciones mayores que 1 y generar números mixtos equivalentes

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

Nombre

Fecha

Completa cada ecuación para mostrar una fracción equivalente. Puedes dibujar una recta numérica como ayuda. 14 1. 7_ = _____ 3 6

14 6

• ¿Cómo podemos usar rectas numéricas y la multiplicación para representar fracciones equivalentes de fracciones mayores que 1?

• ¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre los números mixtos para hallar números mixtos equivalentes?

6 2. 1 3_ = 1 _____ 4 8

Criterios de logro académico

a 4.Mód4.CLA1 Representan y explican por qué una fracción    es equivalente b (n × a) a una fracción     . (4.NF.A.1) (n × b)

La clase dibuja rectas numéricas y usa la multiplicación para representar fracciones equivalentes de fracciones mayores que 1. Usan modelos similares para hallar números mixtos equivalentes; sin embargo, usan su comprensión de los números mixtos para descomponer solo la fracción, no el número entero.

Preguntas clave

7 3

Vistazo a la lección

_____

4.Mód4.CLA2 Generan fracciones equivalentes y sus representaciones. (4.NF.A.1)

123

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Fracciones equivalentes mayores que 1 • Números mixtos equivalentes

Estudiantes • Tres rectas numéricas (en el libro para estudiantes)

• Reconocer la equivalencia de fracciones • Grupo de problemas

Concluir 10 min

221

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

Fluidez

0 3

1 3

2 3

3 3

4 3

5 3

6 3

7 3

8 3

9 10 11 12 3 3 3 3

Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

__ __

0   , 1   … , 11 12   ,   3 3 3 3

Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un tercio en un tercio. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

__ 0, _1   …, 11   , 4 3

10 11

0 3 3 1 3 3 2 3 3 3 3 3 4

2 23 23 3 33 33 4

Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 1_   …, 3 _2  , 4 3

222

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

Respuesta a coro: ¿Más cerca de 0, 1_   o 1? 2

La clase determina si una fracción está más cerca de 0, 1_   o 1 como preparación 2

para comparar fracciones usando puntos de referencia en el tema C. Muestre _  1 y la recta numérica rotulada con

0, _ 1  y 1. 2

1 6

 1 en esta recta Piensen dónde se ubica _ 6

numérica. ¿_   1 está más cerca de 0, _ 1  6

o 1? Levanten la mano cuando sepan

la respuesta.

1 2

Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Más cerca de 0

Muestre _  1 en la recta numérica. 6

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

5 6

3 8

7 8

2 10

8 10

1 6

10 12

4 12

2 5

223

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

Intercambio con la pizarra blanca: Dividir y rotular rectas numéricas Materiales: E) Tres rectas numéricas

La clase divide una recta numérica en 2, 6 o 12 partes iguales e identifica la unidad fraccionaria, la fracción unitaria y las fracciones no unitarias para desarrollar fluidez con la descomposición y equivalencia de fracciones. Muestre la recta numérica. Dibujen la primera y la última marca de graduación en la primera recta numérica. Rotulen las marcas con 0 y 1 debajo de la recta. Dividan la recta numérica en 2 partes iguales. Muestren su trabajo a sus parejas. Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas. Muestre la recta numérica dividida en medios. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. ¿Cuál es la unidad fraccionaria? Medios ¿Cuál es la fracción unitaria? 1 _  2

Rotulen _  1 en la recta numérica.

1 2

224

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

Presentar

La clase dibuja para descomponer 2 en medios y cuartos a fin de crear fracciones equivalentes. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Lea el problema a coro con la clase. 1. Usa la imagen de las galletas saladas para completar las partes (a) a (d). Cada galleta salada es 1 entero.

DUA: Representación Considere usar galletas saladas reales para representar la división de las galletas en medios y cuartos. Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas. Alguien puede dividir las galletas saladas en medios y su pareja puede dividirlas en cuartos. Las parejas de trabajo pueden usar estos medios y cuartos para mostrar de manera física que  4  es 2 equivalente a   8  . 4

a. Traza líneas para mostrar cómo se puede dividir cada galleta salada en medios.

b. Escribe una fracción para representar el número total de medios.

_ 4   2

225

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12 c. Traza más líneas para mostrar cómo se puede dividir cada galleta salada en cuartos.

d. Escribe una fracción para representar el número total de cuartos.

_ 8   4

Invite a la clase a trabajar en parejas para completar el problema 1. ¿Qué fracción representa el número total de medios?

_ 4   2

¿Qué fracción representa el número total de cuartos?

_ 8   4

¿Las fracciones, _  4 y _    , representan la misma cantidad? ¿Cómo lo saben? 2

8 4

Sí. Las fracciones muestran diferentes maneras de dividir las 2 galletas saladas enteras en diferentes unidades fraccionarias. Sí. La cantidad dividida cada vez no cambió, pero sí la manera de dividirla. Sí. _  4 y _ 8 son la misma cantidad, 2. 2

_ 4  y _ 8 son la misma cantidad, 2. ¿Qué indica eso acerca de la relación entre _ 4 y _ 8  ? 2

Las fracciones son equivalentes.

_ 4 y _ 8 son fracciones mayores que 1 y son fracciones equivalentes. 2

226

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si creen que pueden hallar fracciones equivalentes de otras fracciones mayores que 1. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, reconoceremos y hallaremos fracciones equivalentes de fracciones mayores que 1 y números mixtos equivalentes.

Aprender

Fracciones equivalentes mayores que 1 La clase divide unidades fraccionarias en una recta numérica para hallar fracciones equivalentes de fracciones mayores que 1. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Invite a la clase a leer las instrucciones en parejas. Divide la recta numérica y rotula la fracción dada. Descompón las unidades fraccionarias para hallar una fracción equivalente. Luego, usa la multiplicación para expresar la equivalencia.

_ 7 4

7 4

14 8

7 ____   = 2 × 7  = 14   4 2×4 8

227

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12 Dibuje para dividir cada entero en cuartos.

Marque _  7 en la recta numérica y pida a sus

Nota para la enseñanza

estudiantes que hagan lo mismo.

Dividamos cada cuarto en 2 partes iguales.

Dibuje para dividir cada cuarto en 2 partes iguales y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Qué unidad fraccionaria formamos cuando dividimos cada cuarto en 2 partes iguales? Octavos

Señale la recta numérica y haga la siguiente pregunta.

__ 14  8

7 4

¿Cuántos octavos son equivalentes a _   7  ?

Las rectas numéricas se deben usar como modelos flexibles para representar y dividir unidades fraccionarias. Sus estudiantes podrían representar y dividir todos los cuartos, o podrían representar y dividir los cuartos en el intervalo de 1 a 2.

7 4

Rotule __  14 debajo de la recta numérica y pida a sus 8

estudiantes que hagan lo mismo.

¿Cómo muestra la recta numérica que __   14 

es equivalente a _   7 ?

14 2 8

Las fracciones están ubicadas en el mismo lugar en la recta numérica, entonces son equivalentes. ¿Cómo cambió el número de unidades que había en el entero cuando dividimos los cuartos para formar octavos? El número de unidades aumentó. Hay 2 veces la cantidad de unidades.

Invite a la clase a trabajar en parejas para usar la multiplicación y mostrar que _  7  4

es equivalente a __   14  . Invite a una o dos parejas a compartir su trabajo. 8

7 2 × 7 14 = = 4 2× 4 8

Use un proceso similar en el problema 3 para mostrar que _  4 es equivalente a __  12  . 3

228

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

_ 4 3

DUA: Representación

4 3

Considere sombrear la recta numérica para ayudar a sus estudiantes a ver que  7  es 4 equivalente a   14  . Esto les ayudará a ver que 8 las fracciones son equivalentes porque están

12 9

_ ____ __

ubicadas en el mismo lugar y a la misma distancia de 0 en la recta numérica.

4 = 3 × 4 = 12       3 3×3 9

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden dibujar una recta numérica y usar la multiplicación para representar fracciones equivalentes de fracciones mayores que 1.

Números mixtos equivalentes La clase divide unidades fraccionarias en una recta numérica para hallar números mixtos equivalentes. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4. Invite a la clase a leer las instrucciones en parejas. Divide la recta numérica y rotula el número mixto dado. Descompón las unidades fraccionarias para hallar un número mixto equivalente. Luego, usa la multiplicación para expresar los números mixtos equivalentes.

_ 2 5

4. 1  

15 0

1 10

4 2 × 2 = 1  __ 1 2_  = 1 + ____ 5 10 (2 × 5 )

229

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12 Escriba 1 _  5  = 1 + _ 5  . 2

¿Cómo les ayuda pensar en el número mixto como una expresión de suma a ubicar 1 _    en la 2 5

recta numérica? No tenemos que dividir cada intervalo. Podemos ubicar el número entero 1 y, luego, dividir

el intervalo de 1 a 2 en quintos. Para ubicar 1 _  5  , simplemente contamos 2 quintos después de 1. 2

Rotule 1 _  5 en la recta numérica y pida a sus 2

estudiantes que hagan lo mismo. Dividamos cada quinto en 2 partes iguales. Dibuje para dividir cada quinto en 2 partes iguales y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

¿Qué unidad fraccionaria formamos cuando dividimos cada quinto? Décimos Señale la recta numérica y haga las siguientes preguntas. ¿Cuántos décimos son equivalentes a _  2  ?

__   4  

2   4  es equivalente a  2 . ¿Significa eso que 1    es equivalente a  4   ? ¿Cómo lo saben? 5 5 10 10

No, porque debemos pensar en el número entero y en la fracción para hallar un número mixto

 5  . equivalente a 1 _ 2

Deslice el dedo de 0 a 1 _  5 a lo largo de la recta numérica y haga la siguiente pregunta. 2

¿Cómo podemos expresar esta ubicación en la recta numérica como un número mixto? Usen décimos para la unidad fraccionaria.

4 1  __   10

230

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

__ Rotule 1 10    debajo de la recta numérica y pida a sus 4

Diferenciación: Apoyo

estudiantes que hagan lo mismo. ¿Qué números mixtos equivalentes están representados en la recta numérica?

4 1  _52  y 1  __   10

¿Cómo muestra la recta numérica que 1 _    es equivalente a 1 __     ? 2 5

4 10

Las fracciones están ubicadas en el mismo lugar en la recta numérica. Usemos la multiplicación para mostrar cómo el número entero permanece igual y la fracción cambia cuando hallamos números mixtos equivalentes.

(

× 5)

Escriba 1 _  5  = 1 + _____     2

×2

y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

¿Cómo cambió el número de unidades cuando dividimos los quintos en décimos? El número de unidades aumentó. Hay 2 veces la cantidad de unidades. Invite a la clase a trabajar en parejas para completar la multiplicación. Invite a una o dos parejas a compartir su trabajo. Mientras lo hacen, escriba 2 en ambos espacios. ¿Qué número mixto es equivalente a 1 _     ? 2 5

4 1  __   10

Considere usar la siguiente secuencia para ayudar a sus estudiantes mientras usan la multiplicación a fin de representar números mixtos equivalentes. • Escriban el número mixto como la suma de un número entero y una fracción:

1   2  = 1 +   2  5

• Reescriban la fracción usando la multiplicación:

_____

1   2 = 1 + (   2 × 2 )

5 2×5 • Reescriban la ecuación para mostrar la fracción equivalente:

1   2  = 1 +   4   5

• Escriban el número mixto equivalente:

1   2  = 1 +   4   = 1   4   5

Escriba = 1 __    y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. 10 4

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo saben que 1 _   4  son números mixtos equivalentes.  52 y 1 __ 10

231

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12 Use un proceso similar en el problema 5 para mostrar que 2 _  3 es equivalente a 2 _ 9  . 6

Apoyo para la comprensión del lenguaje

_ 2 3

5. 2  

Considere usar un código de colores y escribir rótulos para ayudar a sus estudiantes a hacer conexiones entre las palabras habladas y los diferentes números representados.

23 0

3 × 2 = 2 _  2 2_  = 2 + ____ 3 9 (3 × 3 ) 6

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar rectas numéricas y la multiplicación para hallar números mixtos equivalentes.

Reconocer la equivalencia de fracciones La clase determina si un enunciado dado sobre fracciones equivalentes es verdadero o falso. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 6 y léalo a coro con la clase. Para cada enunciado, encierra en un círculo Verdadero o Falso. Usa un modelo para explicar tu elección.

Enunciado

Verdadero o Falso

 11 es equivalente a __  13  . 6. __ 6

232

Verdadero

Falso

Modelo

__ _____ __ 11 = 2 × 11 = 22       12 6 2×6

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12 Invite a la clase a trabajar en parejas para determinar si el enunciado es verdadero o falso. Las parejas también deben usar un modelo para mostrar por qué encerraron en un círculo Verdadero o Falso.

DUA: Participación

Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático:

• ¿Cómo pueden representar __  11 en una recta numérica? ¿Cómo pueden descomponer sextos en la 6

recta numérica para hallar una fracción equivalente?

• dibujar una recta numérica para representar fracciones;

• ¿Su recta numérica muestra que el enunciado es verdadero o falso? ¿Cómo?

• dibujar para descomponer de manera eficiente unidades fraccionarias en la recta numérica o

• ¿Cómo cambia el número de unidades de sextos a doceavos? • ¿Cómo pueden usar la multiplicación para hallar una fracción equivalente?

• usar la multiplicación para mostrar cómo cambia el tamaño de cada unidad y el número de unidades.

• ¿La multiplicación muestra que el enunciado es verdadero o falso? ¿Cómo? Invite a una o dos parejas a compartir su razonamiento. El ejemplo de trabajo demuestra el dibujo de una recta numérica y el uso de la multiplicación para mostrar que __   11 no es equivalente a __  13  . 12

Dibujar una recta numérica

Usar la multiplicación

11 6

11 2 × 11 22 = = 6 2 × 6 12

22 2 12

A medida que sus estudiantes trabajan, ofrezca una retroalimentación que se enfoque en su esfuerzo y en el uso de un modelo. Por ejemplo, reconozca a sus estudiantes por:

Si sus estudiantes no dibujan modelos, haga preguntas para incentivar su uso: • ¿En qué se parecen las fracciones del enunciado a las fracciones con las que trabajamos antes? • ¿Qué modelos usamos antes? ¿Cómo pueden usar uno de esos modelos para este problema?

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo muestran la recta numérica y la multiplicación que el enunciado es falso. Use un proceso similar en el problema 7.

Enunciado

Verdadero o Falso

7. 3  _1 es equivalente a 3  __  . 4

3 12

Verdadero

Falso

Modelo

3 × 1 = 3  __  3 1_  = 3 + ____ 12 4 (3 × 4 ) 3

233

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Generar fracciones equivalentes para fracciones mayores que 1 y generar números mixtos equivalentes Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de las equivalencias. ¿Cómo podemos usar rectas numéricas y la multiplicación para representar fracciones equivalentes de fracciones mayores que 1? Podemos usar rectas numéricas para representar fracciones y descomponer unidades fraccionarias. Cuando descomponemos unidades fraccionarias, creamos fracciones equivalentes. Podemos usar la multiplicación para expresar cómo descomponemos unidades fraccionarias para hallar fracciones equivalentes. ¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre los números mixtos para hallar números mixtos equivalentes? Sabemos que los números mixtos son la suma de un número entero y una fracción. El número entero permanece igual y descomponemos la fracción para hallar una fracción equivalente que se pueda sumar al número entero. Podemos pensar en los números mixtos como un número entero más una fracción. Para hallar un número mixto equivalente, simplemente podemos descomponer las unidades fraccionarias. Los números mixtos equivalentes tienen los mismos números enteros, pero diferentes fracciones equivalentes.

234

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante construye argumentos viables (MP3) cuando comparte su razonamiento y los métodos para determinar si los enunciados sobre equivalencias son verdaderos o falsos. Ofrecen valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras cuando consideran el método de sus pares y lo comparan con el propio. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3: • ¿Por qué funciona su método? Convenzan a sus parejas de trabajo y a sus pares. • ¿Qué preguntas pueden hacer a su pareja de trabajo para asegurarse de que comprenden su método?

Diferenciación: Desafío Considere proporcionar a sus estudiantes enunciados verdaderos o falsos que tengan fracciones mayores que 1 y números mixtos. 1 Por ejemplo,   11  es equivalente a 1     . 12 6 Sus estudiantes pueden dibujar una recta numérica o usar la multiplicación para determinar si el enunciado es verdadero o falso.

1 0

1 12

11 6

10 11 2 × 11 22 = = 1 12 = 12 6 2× 6

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

Rotula la recta numérica para mostrar números mixtos. Luego, usa la multiplicación para expresar la equivalencia.

Rotula la recta numérica para mostrar fracciones mayores que 1.

1 3. 1 _ 3

Luego, usa la multiplicación para expresar la equivalencia. 1.

_3 2

13 0

3 2

1 2

×3

2 6

1 _3 = 1 + ( _______) = 1 ____ 6

4 2

×1

×3

_3 = _______ = ____ 2 2 ×2 4 3 4. 2 _ 4

_5 3

5 3

15 9

2 16

2_4 = 2 + ( _______ ) = 2 ____

3 ×5 15 5_ _______ ____ = = 3 9 3 ×3

119

120

GRUPO DE PROBLEMAS

×3

×4

235

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

Completa cada ecuación para mostrar fracciones equivalentes. Puedes dibujar una recta numérica como ayuda. 5.

27 _9 = ____ 12 4

8 ____ 16 6. _ = 5 10 1 4 7. 2_ = 2 ____ 2 8 10 5 8. 3_ = 3 ____ 12 6

9. La maestra Smith pide a sus estudiantes que escriban una fracción equivalente a 2 3 . Pablo

Carla

James

Amy

14 __ 6

_8 3

4 2 _6

2 _9 3

a. ¿Qué dos estudiantes cometieron un error? Carla y James b. Corrige los errores que cometieron.

Carla: 3

James: 2 6

c. Escribe otra fracción equivalente a 2 3 . 4 2 __ 12

236

GRUPO DE PROBLEMAS

121

Tema C Comparar fracciones En el tema C, la clase compara fracciones con numeradores y denominadores distintos usando modelos y puntos de referencia y expresando fracciones con otro nombre para crear denominadores o numeradores comunes. Al comienzo del tema, sus estudiantes usan lo que saben sobre el tamaño de las unidades

fraccionarias para comparar fracciones con los puntos de referencia 0, _   1  y 1. Por ejemplo, _  3  es menor 2

 5  está cerca de 1. A medida que comparan fracciones con los puntos de referencia, estiman que _   1  y _ 2

la ubicación de las fracciones en una recta numérica. Usan las ubicaciones relativas para hacer

 1  y __   6   es más enunciados de comparación acerca de las fracciones. Por ejemplo, __  5   es menos que _

6   .   5   <  __ que _   1  , entonces __ 2

En 3. grado, la clase compara fracciones con numeradores o denominadores comunes. En este tema, er

comparan dos fracciones con numeradores y denominadores distintos. Comienzan comparando fracciones con unidades relacionadas, donde un denominador es un múltiplo del otro. Por ejemplo,  5  . Sus estudiantes descomponen una fracción para hallar una fracción equivalente comparan _   3  y _ 4

y generar un denominador común. Este último les permite comparar el número de unidades, ya que el tamaño de las unidades es el mismo. Justifican las comparaciones usando una recta numérica, un diagrama de cinta, la multiplicación o la división. Usan un razonamiento similar para generar un numerador común y comparar fracciones según el tamaño de las unidades cuando el número de unidades es el mismo. Cuando un numerador o denominador no es un múltiplo del otro, la clase usa un modelo de área y la multiplicación para expresar las dos fracciones con otro nombre y generar un numerador o denominador común. Razonan acerca de los numeradores y los denominadores para decidir cómo generar de manera eficiente fracciones equivalentes que luego puedan comparar. Hacia el final del tema, sus estudiantes usan lo que saben sobre comparar fracciones menores que 1 para comparar fracciones mayores que 1 y números mixtos. En el tema D, la clase usa comparaciones para evaluar si las sumas y las diferencias son razonables mientras suman y restan fracciones.

237

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC

Progresión de las lecciones Lección 13

Lección 14

Lección 15

Comparar fracciones usando los puntos de referencia 0, _   1  y 1

Comparar fracciones con denominadores relacionados

Comparar fracciones con numeradores relacionados

1 2

1 0

÷ ÷

Los puntos de referencia 0, _   1  y 1 y el 2

tamaño de las unidades fraccionarias me ayudan a estimar en qué lugar marcar las fracciones en una recta numérica. Luego, puedo comparar las fracciones usando sus ubicaciones en una recta numérica.

238

Cuando un denominador es un múltiplo de otro, puedo expresar una fracción con otro nombre para que las fracciones tengan un denominador común. Luego, puedo comparar el número de unidades. Una recta numérica, un diagrama de cinta, la multiplicación o la división pueden ayudarme a expresar las fracciones con otro nombre y a compararlas.

Cuando un numerador es un múltiplo de otro, puedo expresar una fracción con otro nombre para que las fracciones tengan un numerador común. Luego, puedo comparar el tamaño de las unidades. Los mismos métodos que usé para comparar fracciones con denominadores relacionados se pueden usar para comparar fracciones con numeradores relacionados.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC

Lección 16

Lección 17

Generar un numerador o denominador común para comparar fracciones

Aplicar estrategias de comparación de fracciones para comparar fracciones mayores que 1

A veces, para comparar dos fracciones es más eficiente expresarlas con otro nombre y así crear un numerador o un denominador común. La multiplicación o un modelo de área pueden ayudarme a crear un número o un tamaño común de unidades.

Los mismos métodos que usé para comparar fracciones menores que 1 se pueden usar para comparar fracciones mayores que 1 y números mixtos. Puedo comparar usando el número de unidades o el tamaño de las unidades.

239

LECCIÓN 13

Comparar fracciones usando los puntos de referencia 0, 1―2 y 1

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 13

Nombre

Fecha

1. Marca las fracciones en la recta numérica. Usa >, = o < para comparar las fracciones. 9 1_ 4_ __ , ,

_1 2

1 b. _ 4

_1 2

1 c. _ 4

4 d. _ 6

10 4 6

1 2

1 4

4 6

9 10

9 __ 10

Vistazo a la lección

La clase razona acerca de la distancia entre una fracción y 0, _   1  o 1 para 2 marcar fracciones en una recta numérica. Se pueden usar los tamaños de las unidades y la relación entre las fracciones y otros números para justificar cada ubicación. La clase usa los signos >, = o < para registrar enunciados de comparación.

Pregunta clave

9 __

• ¿Cuándo es útil comparar fracciones con puntos de referencia?

_1 2

Criterio de logro académico 4.Mód4.CLA3 Comparan dos fracciones con numeradores y denominadores

distintos y justifican las conclusiones. (4.NF.A.2) 2. Explica cómo puedes usar los puntos de referencia 0, _1 o 1 para comparar las fracciones. Luego, 2 escribe >, = o < para compararlas. _4 > _2 5 3 Las dos fracciones están a solo 1 unidad de distancia de 1. _1 es una unidad más pequeña que _1, 5

entonces _4 está más cerca de 1. _4 está más cerca de 1 que _2 , entonces _4 es más grande. 5

131

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 13

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• hilo de 8 pies

• Prepare una recta numérica colgando el hilo de manera horizontal en una altura y ubicación a la que toda la clase pueda acceder de manera segura.

• tarjetas de índice (11)

Aprender 35 min • Comparar fracciones con 0 y 1 • Comparar fracciones con _  1  2

• Justificar una comparación • Grupo de problemas

Concluir 10 min

Estudiantes • Recta numérica de 0 a 1 (en el libro para estudiantes)

• Prepare 2 tarjetas de índice doblando cada una por la mitad. Rotule un lado de cada tarjeta como 0 y 1, respectivamente. Cuelgue la tarjeta del 0 al inicio y la del 1 al final de la recta numérica. • Prepare 9 tarjetas de índice doblando cada una por la mitad. Rotule un lado de cada tarjeta con una de las siguientes fracciones:

_ 1 , _ 5  , _ 1  , __   9   , _ 1  , __   6   , _ 2  , _ 2  , _ 2  . 4 6 3 10 2 10 6 3 5

• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Recta numérica de 0 a 1 de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.

241

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 13

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Redondear números de varios dígitos La clase redondea un número a la decena de millar y a la centena de millar más cercanas para adquirir fluidez con la destreza iniciada en el módulo 1 de redondear números de varios dígitos a cualquier valor posicional. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre 63,800 ≈

Redondeen 63,800 a la decena de millar más cercana.

Muestre el valor redondeado y, luego, muestre 63,800 ≈

Redondeen 63,800 a la centena de millar más cercana.

Muestre el valor redondeado.

63,800 ≈

60,000

63,800 ≈

100,000

Nota para la enseñanza Considere mostrar, o pedir a sus estudiantes que dibujen, una recta numérica vertical para cada unidad a la que redondean como un apoyo visual que ayude a la comprensión.

70,000

100,000

Repita el proceso con la siguiente secuencia: 63,800 63,800

242

249,356 ≈

250,000

572,941 ≈

570,000

249,356 ≈

200,000

572,941 ≈

600,000

60,000

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 13

Respuesta a coro: Comparar unidades La clase determina qué valor o medida tiene más capacidad, es mayor, más largo o más pesado como preparación para tener en cuenta las unidades al comparar dos cantidades a partir de la lección 14. Muestre la pregunta “¿Cuál es mayor?” y dos opciones de respuesta. ¿Cuál es mayor: 1 unidad o 1 decena? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

¿Cuál es mayor?

1 unidad o 1 decena

1 decena Muestre la respuesta encerrada en un círculo. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

¿Cuál es mayor?

¿Cuál es más largo?

¿Cuál es más pesado?

2 millares o 2 centenas

9 minutos o 9 horas

5 metros o 5 centímetros

8 gramos u 8 kilogramos

¿Cuál es más largo?

¿Cuál es más pesado?

¿Cuál tiene más capacidad?

¿Cuál es más largo?

3 pies o 3 yardas

6 libras o 6 onzas

4 mililitros o 4 litros

9 kilómetros o 9 metros

¿Cuál tiene más capacidad?

¿Cuál es más largo?

¿Cuál tiene más capacidad?

7 cuartos de galón o 7 pintas

5 pulgadas o 5 pies

3 tazas o 3 pintas

243

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 13

Intercambio con la pizarra blanca: Descomponer fracciones La clase determina el sumando desconocido y escribe una ecuación para adquirir fluidez a fin de descomponer fracciones menores que uno. Muestre el vínculo numérico y la ecuación. Escriban y completen la ecuación usando una fracción. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Cuando dé la señal, digan la ecuación completada. ¿Comenzamos?

2 3 1 3

1 3

2 = 13 + 13 3

_ _ _

2=1+1       3 3 3 Muestre el vínculo numérico completado y la ecuación completada. Repita el proceso con la siguiente secuencia: 2 4 1 4

1 4

1 5

2 5

2 6

5 6 2 6

2 = 14 + 14 4

3 = 15 + 25 5

4 = 26 + 26 6

7 8

8 10

11 12

3 8

4 8

7 = 38 + 48 8

244

4 6

3 5

2 10

6 10

2 8 6 = 10 + 10 10

5 12

3 6

2 6

5 = 36 + 26 6

6 12

6 11 5 = 12 + 12 12

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 13

Presentar

La clase considera cómo comparar diferentes fracciones en un contexto dado. Reproduzca la parte 1 del video Fracciones a la hora del almuerzo, que muestra a dos estudiantes que almuerzan en el comedor escolar y que, luego, piensan en la porción de la comida principal que han dividido. Pause el video después de la parte 1 para conversar con la clase. ¿Está cada estudiante sosteniendo una cantidad igual? ¿Cómo lo saben?

Si bien cada estudiante tiene _ 1  de una comida principal, no podemos saber si las cantidades son 2

iguales. Los enteros son diferentes. No podemos saber con certeza si _ 1  sándwich es equivalente a 2

 _1  burrito. 2

Reproduzca la parte 2 del video, que muestra a cada estudiante mientras divide parte de su palito de queso y se pregunta acerca del tamaño. Pause el video después de la parte 2 para conversar con la clase. ¿Está cada estudiante sosteniendo una cantidad igual? ¿Cómo lo saben?

Sí. Cada estudiante está sosteniendo _ 1  palito de queso. Las cantidades son iguales porque los 2

palitos de queso son del mismo tamaño, entonces los medios son equivalentes. Reproduzca la parte 3 del video, que muestra cómo cada estudiante divide parte de su postre y se pregunta acerca del tamaño. Pause el video después de la parte 3 para conversar con la clase. ¿Está cada estudiante sosteniendo una cantidad igual? ¿Cómo lo saben?

Cada estudiante no está sosteniendo una cantidad igual. _ 3  y _ 1  no son fracciones equivalentes. 4 2 Podemos ver que las partes son de diferente tamaño. ¿Podemos comparar las fracciones _  1  y _  3  ? ¿Cómo lo saben? 2

Sí, podemos comparar  _1  y _ 3  . Las dos fracciones pertenecen a un entero del mismo tamaño. 2

El postre tiene el mismo tamaño y forma.

245

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 13 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cuál de las dos fracciones es mayor.

_ 3  es mayor que _ 1  porque _ 3  es la mayor parte del postre. Solo quedó _ 1  del postre en la bandeja. 2 4 4 4 _ 3  es mayor porque puedo ver  _2  en _ 1  . Sé que _ 3  es mayor que  _2 . 4

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

Hoy, usaremos los puntos de referencia 0, 1 y _ 1 como ayuda para comparar fracciones con 2 el mismo entero.

Aprender

Comparar fracciones con 0 y 1 Materiales: M) Recta numérica interactiva, tarjetas de índice con fracciones; E) Recta numérica de 0 a 1

Diferenciación: Apoyo

La clase razona acerca de la distancia entre una fracción y los números de referencia para hacer comparaciones.

9   Para ayudar a sus estudiantes a comparar  __ 10 5 1 1 __ __ __ y    , comience comparando     y     . Luego, 10 6 6 pídales que apliquen esa comprensión a la

Pida a sus estudiantes que vayan a la recta numérica interactiva.

distancia entre cada fracción y 1.

¿Qué puntos de referencia están en la recta numérica?

0y1

Muestre la tarjeta de _ 1 . 4

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si _ 1  está más cerca de 0 o de 1. Luego,

Apoyo para la comprensión del lenguaje

pida a alguien que ubique _ 1  en la recta numérica y que justifique la ubicación. 4

_ 1  está más cerca de 0. Solo es 1 unidad fraccionaria mayor que 0. Sé que _ 4  es igual a 1 y que _ 1  es 4 4 4 3 unidades menor que _ 4  . 4

246

Considere activar los conocimientos previos de sus estudiantes acerca del término punto de referencia pidiéndoles que mencionen algunos números de referencia, como 5, 10, 25, 50 y 100. Explique que las fracciones son números, por lo que hay fracciones de referencia que cumplen una función parecida.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 13 Repita el proceso con _ 5  . 6

Sé que _ 5  está más cerca de 1 porque _ 5  está a solo _ 1  de distancia de _ 6  o 1. 6

DUA: Representación

Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas y escribir enunciados de comparación para _ 1  y _ 5  usando 4

los signos >, = o < y a comentar cómo pueden usar 0 o 1 a fin de justificar las comparaciones. Muestre la tarjeta de  _1 . 3

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de dónde ubicar _ 1  en relación con _ 1 . 3

Luego, pida a alguien que ubique _ 1  en la recta numérica y que justifique la ubicación.Destaque 3

el razonamiento que haga énfasis en los tamaños de las unidades fraccionarias. Sé que _ 1  es más que _ 1  porque está más lejos de 0. Un entero dividido 3

1 5 < 4 6

en 3 partes iguales crea partes más grandes que un entero dividido en 4 partes iguales. Entonces, los tercios son mayores que los cuartos.

5 1 > 6 4

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de dónde  9   en la ubicar __   9   en relación con _ 5 . Luego, pida a alguien que ubique __ 10

En 3.er grado, la clase se familiariza con el uso de los signos >, = y < para comparar fracciones. Para activar los conocimientos previos de sus estudiantes sobre el significado de cada uno de los signos, considere mostrar un afiche de referencia en el que se comparen dos fracciones usando dos rectas numéricas, lenguaje para comparar y signos de comparación.

recta numérica y que justifique la ubicación. Destaque el razonamiento que haga énfasis en la distancia entre la fracción y 1.

9   está más cerca de 1 que _  5 . Las dos fracciones están a solo 1 unidad de distancia de 1, Sé que  __ 10

1   es más pequeño que _  1 , entonces __   9   está más pero las unidades fraccionarias son diferentes.  __

cerca de 1.

Dé 1 minuto a las parejas para escribir enunciados de comparación adicionales usando las fracciones en la recta numérica y para comentar cómo pueden usar 0 o 1 a fin de justificar las comparaciones. Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Recta numérica de 0 a 1 de sus libros y la inserten en sus pizarras blancas.

1 1 > 3 4

1 1 < 4 3

9 5 > 10 6

5 9 < 6 10

247

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 13 Si hay tiempo suficiente, pida a sus estudiantes que marquen los siguientes grupos de fracciones en la recta numérica y que, luego, escriban y justifiquen un enunciado de comparación para cada grupo. Mientras sus estudiantes comparten las comparaciones, destaque el razonamiento que incluya los tamaños de las unidades y la distancia entre las fracciones y 0 o 1. • _ 1  y __   1   5

• _ 3  y __  10  Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo la distancia entre una fracción y 0 o 1 puede ayudarles a comparar fracciones. Cuanto más lejos de 0 está una fracción, mayor es su tamaño. Se puede usar el tamaño de la unidad fraccionaria para saber qué tan lejos de 0 está una fracción. Si las dos fracciones están a solo 1 unidad de 0, la fracción con la unidad más grande está más lejos de 0 y, por lo tanto, es la fracción mayor. Si las dos fracciones son menores que 1, puedo hallar la fracción mayor razonando acerca de qué fracción está más cerca de 1. Puedo usar el tamaño de la unidad fraccionaria para saber qué tan cerca de 1 está una fracción. Si las dos fracciones están a solo 1 unidad de 1, la fracción con la unidad fraccionaria más pequeña está más cerca de 1 y, por lo tanto, es la fracción mayor. Si las dos fracciones están a solo 1 unidad de 0, la fracción con el denominador más pequeño está más lejos de 0 y, por lo tanto, es la fracción mayor. Si las dos fracciones están a solo 1 unidad de 1, la fracción con el denominador más grande está más cerca de 1 y, por lo tanto, es la fracción mayor.

Comparar fracciones con 1―2

La clase usa la distancia entre una fracción y 1_ en la recta numérica para 2 comparar fracciones. Pida a sus estudiantes que observen la recta numérica interactiva con 0, _ 1 y 1 2 ya ubicados en ella.

 _1 es otro punto de referencia que podemos usar como ayuda para comparar fracciones. 2 Podemos pensar en las fracciones equivalentes a _ 1  para decidir dónde está una fracción en la 2 recta numérica.

248

DUA: Representación Considere pedir a sus estudiantes que dibujen modelos de área para representar las fracciones antes de compararlas. Asegúrese de que el entero sea del mismo tamaño en los dos modelos de área. Úselos como ayuda para que sus estudiantes relacionen el tamaño de la fracción con la comparación. Luego, conecte esa comprensión con la comparación basada en la distancia entre una fracción y 0 en la recta numérica.

Diferenciación: Apoyo Antes de comparar __  2  y __   2  con __   1  , considere 3 5 2 pedir a sus estudiantes que dibujen una recta numérica debajo de la que ya tienen en sus pizarras blancas y que la dividan en tercios. Pídales que identifiquen dónde se ubica __   1  2 en comparación con los tercios. Repita este proceso con los quintos.

1 2

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 13 Pida a sus estudiantes que compartan fracciones equivalentes a _ 1  mientras usted las registra. 2

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar cómo saben que una fracción es equivalente a _ 1 . 2

El denominador es 2 veces el numerador. El numerador es la mitad del denominador.

6 y _  2 . Muestre las tarjetas de  __ 10

6 2 > 10 6

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se comparan las

fracciones con _ 1 . Luego, pida a alguien que ubique cada tarjeta en la recta numérica y 2

use _ 1 para justificar las ubicaciones. 2

5 __  10 es equivalente a _2 1 , entonces __   6 es mayor que  _1  . 2 10 _ 3 es equivalente a _ 1  , entonces _ 2  es menor que  _1  . 2

Pida a sus estudiantes que escriban un enunciado para comparar __  6 y _ 2  usando >, = o <. 10

Vuelva atrás en la recta numérica interactiva de tal manera que solo muestre 0, _ 1  y 1 y repita 3

2 2 > 3 5

el proceso con _ 2 y _ 2 . 5

_ 2 es mayor que _ 1 porque _ 1 está entre  _1 y _ 2 . 3 2 2 3 3 _ 2 es menor que _ 1 porque _ 1 está entre _ 2 y _ 3 . 5

Si hay tiempo suficiente, pida a sus estudiantes que marquen _ 3  y __   7 en sus rectas numéricas y que, luego, 4

escriban y justifiquen un enunciado de comparación. Mientras comparten las comparaciones, destaque el razonamiento que incluya los tamaños de las unidades y la distancia entre las fracciones y  _1  . 2

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo puede ser útil _ 1  al comparar dos

fracciones.

249

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 13

Justificar una comparación Materiales: E) Recta numérica de 0 a 1

La clase escribe y corrige una justificación acerca de una comparación de fracciones. Presente el siguiente par de fracciones para compararlas y use la rutina Cada vez más consolidado y más claro para generar soluciones escritas y una conversación de toda la clase.

5 __  

4 5

Dé 1 minuto a sus estudiantes para comparar las fracciones de manera independiente y escribir una justificación para sus comparaciones.

Diferenciación: Apoyo Antes de pedir a sus estudiantes que escriban una justificación para sus comparaciones, considere pedirles que comiencen dibujando un modelo. Luego, pídales que usen sus modelos para escribir una justificación.

Sé que __   5 < _ 4 porque __   5 es menor que _ 1 y _ 4 es mayor que  _1 . 12

Forme parejas de estudiantes y pídales que intercambien las explicaciones escritas. Dé tiempo para que lean en silencio. Luego, invite a las parejas a que se hagan preguntas de aclaración y se ofrezcan valoraciones mutuas sobre sus respuestas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Haga preguntas específicas para incentivar el razonamiento matemático. • ¿Les ayuda a comparar las fracciones pensar en dónde se ubican en relación con 0 y 1? • ¿Hallar una fracción equivalente les ayudará a comparar las fracciones? • ¿De qué manera se comparan entre sí los tamaños de las unidades, los quintos y los doceavos? Dé a sus estudiantes 1 minuto para corregir lo que han escrito. Anímeles a mejorar la justificación de su argumento usando una recta numérica o un modelo de área como apoyo.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando usa la rutina Cada vez más consolidado y más claro para justificar una comparación de fracciones. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:

Pida a sus estudiantes que intercambien argumentos con sus parejas de trabajo nuevamente. Pídales que ofrezcan una retroalimentación verbal específica acerca de lo que no les resulta convincente sobre el argumento de su pareja de trabajo.

• ¿Por qué funciona la estrategia que usaron para comparar __   5  y __   5  ? Convenzan a su 6 12 pareja de trabajo.

Dé a sus estudiantes 1 minuto para corregir sus argumentos nuevamente basándose en esta retroalimentación. Pídales que compartan sus versiones finales con el resto de la clase.

• ¿Qué preguntas pueden hacer a su pareja de trabajo para asegurarse de que comprenden su justificación?

Si hay tiempo suficiente, repita la rutina para comparar _ 3 4

250

__   4 . 10

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 13

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Comparar fracciones usando los puntos de referencia 0, 1_ y 1 2

Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca del uso de puntos de referencia para comparar fracciones. ¿Cuándo _ 1 es un punto de referencia útil para usar en la comparación de fracciones? 2

Si se sabe que una fracción equivalente a _ 1 está relacionada con una de las fracciones, se puede 2

usar _ 1  para comparar las fracciones. Una fracción puede ser mayor que _ 1  y la otra menor que _ 1 . 2

¿Cuándo 0 es un punto de referencia útil para usar en la comparación de fracciones? Si una de las fracciones está cerca de 0, puede ser una fracción más pequeña. Si las dos fracciones están cerca de 0, se puede pensar en los tamaños de las unidades como ayuda para compararlas. ¿Cuándo 1 es un punto de referencia útil para usar en la comparación de fracciones? Si una de las fracciones está cerca de 1, puede ser la fracción más grande. Si las dos fracciones están cerca de 1, se puede pensar en los tamaños de las unidades para determinar qué fracción está más cerca de 1.

251

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 13

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 13

_5 6

7_ 8

Las dos fracciones están a solo 1 unidad fraccionaria de distancia de 1. Sé que 8 es más pequeño

Marca las fracciones en la recta numérica. Usa >, = o < para comparar las fracciones. 1.

9 5_ _1 , __ , 4 10 8

1 4

1 5 8

2 7_ 1_ 2. _ , , 5 8 3

1 b. _ 2

9 __ 10

d. 1

10 __ 10

_0 3

_1 3

a. 4

1 2

9 10

a. 1 2

0 1 3

2 5

1 b. _ 2

2 c. _ 5

7 8

2 d. _ 5

< <

Haz una marca de verificación en Verdadero o Falso para cada oración numérica. Luego, corrige las oraciones numéricas falsas cambiando uno de los números. 1 2 __ < _2 6. 10

1_ 2

✓

Falso

Verdadero

Falso

✓

Verdadero

Falso

✓

7_ 2_ > 8 3

_7 8

1 Explica cómo puedes usar los puntos de referencia 0, _ y 1 para comparar las fracciones. Luego, 2 escribe >, = o < para compararlas.

3_ 2_ > 8 3

Verdadero

Ejemplo:

3. 2

que 6 , entonces 8 está más cerca de 1.

9 11 __ < __ 12 10

Ejemplo:

11 __ < 12 __ 12 12

_5 6

_1 es equivalente a _3. Sé que _3 es menor que _5 , entonces _1 también es menor que _5. 2

4. 4

_1 3

_2 es mayor que _1 porque _2 es equivalente a _1 y _1 es mayor que 1_ . 4

252

127

128

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 13

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 13

5 _1 __5 _1 9. Casey dice que __ es mayor que 2 . Deepa dice que 12 es menor que 2 . ¿Quién está en lo correcto, 12 Casey o Deepa? Explica.

__6

_1 __5

__6

__5

Deepa está en lo correcto. 12 es equivalente a 2 y 12 es menor que 12, entonces 12 es menor que 2 .

__3

10. Eva pasa 10 de hora leyendo. Pasa 4 de hora dibujando. ¿Eva pasa menos tiempo leyendo o dibujando? Explica.

3 __2 1 menor que _1. Sé que _1 es 1_ menor que 1_. Las dos es 10 o _ Eva pasa menos tiempo dibujando. __ 5 2 4 10 2 4 1 _1 _1 _1 fracciones son 1 unidad menor que 2 . Sé que 4 es una unidad más grande que 5 , entonces _ está 4 1 __3 más lejos de _ que 10. 2

GRUPO DE PROBLEMAS

129

253

LECCIÓN 14

Comparar fracciones con denominadores relacionados

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

Nombre

Fecha

Compara cada par de fracciones usando >, = o <. Muestra tu razonamiento usando imágenes, números o palabras. 1.

_1 4

3 __ 12

Ejemplo: 3 × 1 __ 3 _1 = ____ = 4 3 × 4 12

Vistazo a la lección La clase usa diagramas de cinta, una recta numérica o la multiplicación como ayuda para comparar dos fracciones con unidades relacionadas. Con cada modelo, expresan una de las fracciones con otro nombre y crean unidades fraccionarias del mismo tamaño o con un denominador común. Registran enunciados de comparación con los signos >, = o < y usan el número de unidades fraccionarias para justificar la comparación. En esta lección se presenta el término denominador común.

Pregunta clave • ¿Por qué es útil crear un denominador común para comparar fracciones?

_5 8

Criterio de logro académico

_3 4

4.Mód4.CLA3 Comparan dos fracciones con numeradores y denominadores

Ejemplo:

distintos y justifican las conclusiones. (4.NF.A.2)

3 4

5 8

6 8

139

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• Modelos para comparar (en la edición para la enseñanza)

Considere si desea retirar la hoja extraíble de Modelos para comparar de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.

Aprender 35 min • Diagrama de cinta y multiplicación • Comparar con una recta numérica • Justificar una comparación

Estudiantes • Modelos para comparar (en el libro para estudiantes)

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

255

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

Fluidez

Redondeen 72,300 a la decena de millar más cercana.

Muestre el valor redondeado y, luego, muestre 72,300 ≈

Redondeen 72,300 a la centena de millar más cercana.

72,300 ≈

70,000

72,300 ≈

100,000

Muestre el valor redondeado. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

256

428,175 ≈

430,000

861,249 ≈

860,000

428,175 ≈

400,000

861,249 ≈

900,000

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

Intercambio con la pizarra blanca: Descomponer fracciones La clase determina el sumando desconocido y escribe una ecuación para adquirir fluidez a fin de descomponer 1 o una fracción equivalente a 1. Muestre el vínculo numérico y la ecuación. 2 2

Escriban y completen la ecuación usando una fracción. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

1 2

2 = 12 + 12 2

Cuando dé la señal, digan la ecuación completada. ¿Comenzamos?

_ _ _

2   = 1   + 1   2 2 2 Muestre el vínculo numérico completado y la ecuación completada. Repita el proceso con la siguiente secuencia: 3 3

1 1 2

1 2

1 3

1 2 3

3 4

1 4

1 = 12 + 12

3 = 13 + 23 3

1 = 34 + 14

6 6

10 10

2 6

4 6

6 = 26 + 46 6

3 8

5 8

1 = 38 + 58

4 10

1 6 10

4 10 6 = 10 + 10 10

7 12

5 12

7 5 1 = 12 + 12

257

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

Respuesta a coro: Comparar unidades La clase determina qué valor o medida tiene más capacidad, es mayor, más largo o más pesado como preparación para tener en cuenta las unidades al comparar dos cantidades. Muestre la pregunta “¿Cuál es mayor?” y dos opciones de respuesta. ¿Cuál es mayor: 1 decena o 1 centena? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

¿Cuál es mayor?

1 decena

1 centena

1 centena Muestre la respuesta encerrada en un círculo. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

¿Cuál es mayor?

¿Cuál es más largo?

¿Cuál tiene más capacidad?

4 millares o 4 centenas

7 segundos o 7 minutos

9 centímetros o 9 metros

5 litros o 5 mililitros

¿Cuál es más largo?

¿Cuál es más pesado?

¿Cuál es más largo?

8 pies u 8 yardas

2 onzas o 2 libras

6 kilogramos o 6 gramos

3 metros o 3 kilómetros

¿Cuál tiene más capacidad?

¿Cuál es más largo?

¿Cuál tiene más capacidad?

9 galones o 9 cuartos de galón

4 pulgadas o 4 pies

2 pintas o 2 cuartos de galón

258

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

Presentar

La clase categoriza imágenes para activar los conocimientos previos de los modelos que usaron para comparar fracciones. Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo? Muestre los modelos e invite a la clase a estudiar las imágenes.

B. 1 2

Dé a la clase 2 minutos para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de los elementos, pero uno no pertenezca. Cuando se acabe el tiempo, invite a sus estudiantes a que expliquen la categoría que eligieron y justifiquen por qué uno de los elementos no pertenece a esa categoría. Destaque las respuestas que hagan énfasis en el razonamiento acerca del uso de diferentes modelos y unidades relacionadas.

2 4 4 8

1 2

3 6

1 2 4 = = 2 4 8

2 4

Haga preguntas que inviten a la clase a usar un lenguaje preciso, establecer conexiones y hacer sus propias preguntas.

1 2 2 1 = 4 2

1 2 5 8

1 1 < 5 2 8 5 > 1 8 2

¿Cuál no pertenece al grupo? ¿Por qué? La imagen A no pertenece al grupo porque muestra tres cintas y tres fracciones equivalentes.

La imagen B no pertenece al grupo porque las rectas numéricas muestran que _ 1 es equivalente

a  _3 , pero no hay ninguna ecuación o enunciado.

Nota para la enseñanza Considere la posibilidad de flexibilizar la estructura de la rutina desafiando a sus estudiantes a pensar por qué dos elementos pertenecen y dos no, o por qué todos los elementos pertenecen al grupo. Considere usar las siguientes respuestas de ejemplo: • Las imágenes B y C usan una recta numérica para mostrar una fracción equivalente a _  1  . 2 • Todas las imágenes pertenecen al grupo porque usan unidades relacionadas para comparar las fracciones.

259

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14 La imagen C no pertenece al grupo porque es la única que muestra una recta numérica o cinta. Todas las otras imágenes tienen dos o tres rectas numéricas o cintas. La imagen D no pertenece al grupo porque muestra una comparación que no es igual. Pida a sus estudiantes que observen la imagen A. ¿Qué observan acerca de las unidades fraccionarias en la imagen A? Están todas relacionadas. Se pueden dividir los medios por la mitad para formar cuartos y los cuartos para formar octavos. Pida a sus estudiantes que observen la imagen D.

¿De qué manera les ayuda saber que  _4  =  _1  al comparar _ 5 y _ 1 ? 8

Si sé que  _4 es la misma cantidad que _ 1 , puedo usar _ 4 como un punto de referencia. _ 1 es menor 8

que _ 5  porque _ 4 es menor que _ 5  . 8

Con  _1  expresado como _ 4 , puedo comparar unidades semejantes. _ 5 es mayor que _ 4  . 2

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, expresaremos fracciones con otro nombre para crear unidades del mismo tamaño y poder comparar el número de unidades.

Aprender

Diagrama de cinta y multiplicación Materiales: M/E) Modelos para comparar

La clase usa diagramas de cinta y la multiplicación para comparar fracciones con unidades relacionadas expresando una fracción con otro nombre. Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Modelos para comparar de sus libros y la inserten en sus pizarras blancas. Presente las fracciones: _ 1  4

260

_ 3 .

Nota para la enseñanza La clase está familiarizada con la comparación de fracciones con unidades relacionadas (es decir, cuando un denominador es un múltiplo del otro) de 3.er grado, mediante el uso de un diagrama de cinta o una recta numérica.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14 Pida a sus estudiantes que dividan y sombreen un diagrama de cinta para representar  _1  .

1 4

¿Cómo se relacionan los cuartos y los octavos? Hay 2 veces la cantidad de octavos en 1 que de cuartos en 1. Pida a sus estudiantes que dividan y sombreen el segundo diagrama de cinta para representar _ 3  . 8

¿Cómo se comparan las fracciones?  _1 es menor que _ 3  . 4

¿Cómo podemos mostrar _ 1 como octavos de manera que nos 4 ayude a justificar nuestra comparación?

3 8

Podemos dividir cada cuarto en 2 partes iguales para formar octavos. Invite a la clase a trabajar en parejas para representar las dos fracciones como octavos en el diagrama de cinta, registrar la comparación y justificarla con el número de unidades fraccionarias. Cuando expresamos las dos fracciones con las mismas unidades fraccionarias, estamos hallando un denominador común. ¿Cómo les ayudó un denominador común a comparar  _1 y _ 3 ? 4

Expresé los cuartos como octavos. _ 1 es equivalente a

_ 2  y _ 2 es menor que _ 3  , entonces _ 1 es 4menor que  _3  .

1 2 = 4 8 2 3 < 8 8 1 3 < 4 8

3 8

261

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

__   9   .

Presente las fracciones: _ 2 

Dé 1 minuto a las parejas para representar _ 2  y __   9  en los diagramas de cinta. Luego, pídales que 3

dividan los tercios en doceavos y que expresen la fracción con otro nombre. ¿De qué manera les ayuda el diagrama de cinta a comparar las fracciones?  8  . Sé que __  8   es Puedo ver que _ 2 es equivalente a __ 3

9  , entonces _ menor que  __  2 es menor que __  9  .

__ __

  8   y   9  están cerca de ser equivalentes. Los doceavos 12 12

son unidades fraccionarias pequeñas y podemos

2 8 = 3 12 8 9 < 12 12 2 9 < 3 12

cometer un error al dibujar, lo que cambiaría nuestra

9 12

respuesta. ¿De qué manera podemos expresar con otro nombre usando la multiplicación y cómo podemos comprobar nuestra respuesta?

Podemos usar la multiplicación para expresar  _2 como doceavos. Entonces, incluso si nuestro 3 diagrama de cinta no es preciso, mientras hayamos expresado con otro nombre usando la multiplicación de manera correcta, sabremos qué fracción es mayor.

Pida a sus estudiantes que registren cómo usan la multiplicación para expresar  _2 con otro nombre. 3

Pídales que registren y justifiquen su comparación.

Comparar con una recta numérica

2 4× 2 8 = = 3 4 × 3 12

La clase expresa una fracción con otro nombre para crear unidades del mismo tamaño y comparar dos fracciones en la recta numérica.

__   7   .

Presente las fracciones: _ 1 

Pida a sus estudiantes que estimen y marquen las dos fracciones en una recta numérica. ¿Cómo completarían el enunciado de comparación? Expliquen.

1   <   7   2 10

_ __

1 2

7 10

1 7 5 < 10 10 7 1 < 10 2

DUA: Participación Considere aumentar la participación de sus estudiantes dando un contexto significativo a las fracciones. Asegúrese de que cada una se refiera al mismo entero. Por ejemplo, puede usar fracciones de una barra de chocolate, de un sándwich, de una milla recorrida o de un galón de agua.

_ 1 es equivalente a __  5   y __   5  es menor que __  7  . 2

262

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14 Pida a sus estudiantes que reescriban el enunciado de comparación con las dos fracciones como décimos y que, luego, comparen las fracciones. ¿De qué manera usaron las unidades fraccionarias para comparar las fracciones?

Expresé _ 1  como __   5  para que las dos fracciones tengan las mismas unidades fraccionarias. 10

5   y __ Como  __   7  tienen las mismas unidades fraccionarias, décimos, comparé el número de unidades. 10 10 __ Presente las fracciones:  _2    3  . 5

¿De qué manera usarían las ubicaciones de las fracciones en la recta numérica como ayuda para comparar las fracciones? Las dos ubicaciones son menores que _ 1 . 2

Ninguna ubicación está muy cerca de 0. Es difícil saber con exactitud dónde se ubicarían para compararlas. Las dos fracciones están ubicadas en algún lugar entre 0 y _ 1 , pero más cerca de _ 1 . 2

¿Cómo podemos representar los quintos y los décimos en una recta numérica para poder marcar con precisión las dos fracciones? Podemos dividir la recta numérica en quintos y, luego, cada quinto en dos partes iguales para formar décimos. Pida a sus estudiantes que dividan la recta numérica

4 10

en quintos, que marquen  _2  y que, luego, dividan 5

3  . la recta numérica en décimos y marquen  __ 10

Pídales que rotulen el número de décimos equivalentes a _ 2 en la recta numérica. 5

¿Cómo pueden usar las mismas unidades fraccionarias para justificar la comparación?

_ 2 es mayor que __  3   porque _ 2 es equivalente a __  4   5 5 10 10 3   . 4  es mayor que  __ y  __ 10

3 2 10 5

1 3 2 > 10 5

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo expresar una fracción con otro nombre de manera tal que las dos tengan la misma unidad fraccionaria les ayuda a comparar las fracciones.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere crear y dejar a la vista un banco de palabras para que sus estudiantes puedan consultar mientras construyen las justificaciones de sus comparaciones. Considere usar las siguientes palabras y frases: • mismas unidades, unidades relacionadas; • menor que, mayor que; • expresar con otro nombre; • equivalente; • descomponer y • numerador, denominador.

263

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

_ 4 .

Presente las fracciones: _ 1 

¿Qué fracción pueden expresar con otro nombre como ayuda para comparar  _1 y _ 4 ? 3

Puedo expresar los tercios como sextos.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Puedo expresar los sextos como tercios. Dé 1 minuto a las parejas para representar las dos

2 6

fracciones como sextos o tercios en la recta numérica y registrar un enunciado de comparación para  _1  y _ 4  . 3

¿Cómo se comparan las fracciones? ¿Cómo pueden usar las mismas unidades fraccionarias para justificar la comparación?

1 3

Sé que  _2 es menor que _ 4  .

1 4 1 < 6 3

 _1 es menor que _ 4  porque _ 1 es equivalente a _ 2  . 3

4 6

_ 1 es menor que _ 4  porque _ 4 es equivalente a _ 2  . Se qué _ 1 es menor que _ 2  . 6

¿De qué manera podemos usar la multiplicación o la división para expresar las fracciones con otro nombre?

Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando selecciona un método y usa una recta numérica, una ecuación u otro modelo o grupo de palabras para justificar una comparación entre dos fracciones con unidades relacionadas. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5: • ¿Qué método les puede ayudar a comparar __   2  y __   3   ? 6 12 • ¿Por qué eligieron usar una recta numérica o un diagrama de cinta para comparar __  2  y __   3   ? 6 12 ¿Funcionó bien ese método?

Podemos usar la multiplicación para expresar  _1 como sextos. 3

Podemos usar la división para expresar  _4 como tercios. 6

Pida a sus estudiantes que registren en la recta numérica cómo representaron la multiplicación o la división para expresar una de las fracciones con otro nombre. Pídales que registren y justifiquen su comparación. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué métodos pueden usar para comparar dos fracciones con unidades relacionadas.

264

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

Justificar una comparación La clase selecciona un método para comparar dos fracciones con unidades relacionadas.

__   3 .

Presente las fracciones: _ 2

Dé a sus estudiantes 2 minutos para usar imágenes, palabras o números a fin de justificar una comparación de las fracciones. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Identifique a dos estudiantes que hayan mostrado su razonamiento de diferentes maneras. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre los métodos. Guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo.

4 12

3 2 12 6

2 2× 2 4 = = 6 2 × 6 12

3 4 > 12 12 2 3 > 6 12

4 3 12 > 12 2 3 > 6 12

Haga preguntas como las siguientes que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anímeles a hacer sus propias preguntas: • ¿De qué manera su método les ayuda a comparar las fracciones? • ¿En qué se parecen y en qué se diferencian su método y el de su pareja de trabajo? • ¿Qué fracción expresaron con otro nombre? ¿Por qué? • ¿Cómo les ayudaron las unidades relacionadas a hallar un denominador común? Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las diferencias y semejanzas entre su trabajo y uno de los ejemplos de trabajo compartidos. Repita el proceso con _ 5 9

_ 2 . 3

265

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Comparar fracciones con denominadores relacionados Haga las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca del uso del número de unidades para comparar fracciones. ¿Es útil crear un denominador común para comparar fracciones? ¿Por qué? Sí. Si se crea un denominador común para dos fracciones, el tamaño de las unidades fraccionarias es el mismo y se puede comparar el número de unidades. ¿Cuándo pueden crear un denominador común como ayuda para comparar fracciones? Si las unidades de las dos fracciones están relacionadas, puedo crear una fracción equivalente con un denominador común.

Diferenciación: Desafío Considere desafiar a sus estudiantes a razonar acerca de cómo compararían fracciones con denominadores no relacionados. Presente 2 __  __     3  y pídales que hallen un 5 8 denominador común que puedan usar para comparar las fracciones.

Puedo crear un denominador común si hay un factor común. Puedo multiplicar un denominador por un número para que sea igual al otro denominador. Si un denominador es un múltiplo del otro, puedo crear un denominador común.

266

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

Nombre

Fecha

1. 1 tercio

2 tercios

2. 4 quintos

Representa cada par de fracciones en la recta numérica. Usa >, = o < para comparar las fracciones. 1 6. _ 3

Usa >, = o < para comparar las fracciones.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

_2 9 1 3

2 quintos

3. 5 décimos

7 décimos 0

2 9

3 9

Representa cada par de fracciones con los diagramas de cinta. Usa >, = o < para comparar las fracciones. 1 4. _ 2

_3 4

5 5. _ 6

__2 3

7 __ 10

_3 5 3 5

1 = 2

Compara cada par de fracciones usando >, = o <. Muestra tu razonamiento usando imágenes, números o palabras.

2 __

_1 5

3 9. _ 4

_5 8

7 10. __ 12

_2 3

5 11. _ 6

11 __ 12

2 = 4 3 6

7 10

5 6

6 10

135

136

GRUPO DE PROBLEMAS

267

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

12. David come _2 de una barra de chocolate. Oka come _4 de una barra de chocolate diferente, pero 3

del mismo tamaño. ¿Comen David y Oka la misma cantidad? Explica. Sí. David y Oka comen la misma cantidad porque _2 = ____ = _4. 2×2 2×3

3 de pie de alto. 7 de pie de alto. Su planta de frijoles mide _ 13. La planta de tomate de Jayla mide __ 12 4 ¿Qué planta es más alta? Explica. 9 . Entonces, la planta de frijoles de Jayla La planta de frijoles es más alta porque _3 = ____ = __ 4

3×3 3×4

7 9 de pie de alto. Su planta de tomate mide __ 9 > __ 7 de pie de alto. Sé que __ . mide __ 12

268

GRUPO DE PROBLEMAS

137

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14 ▸ Modelos para comparar

This page may be reproduced for classroom use only.

269

LECCIÓN 15

Comparar fracciones con numeradores relacionados

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15

Nombre

Fecha

Compara cada par de fracciones usando >, = o <. Muestra tu razonamiento usando imágenes, números o palabras. 2 1. _ 3

8 __ 10

Ejemplo: 4 × 2 __ _2 = ____ = 8 3 4 × 3 12

La clase usa un diagrama de cinta, una recta numérica o la multiplicación como ayuda para comparar dos fracciones con numeradores relacionados. Con cada modelo, expresan una de las fracciones con otro nombre para crear fracciones con el mismo número de unidades o un numerador común. Registran enunciados de comparación con los signos >, = o < y usan los tamaños de las unidades para justificar la comparación. En esta lección se presenta el término numerador común.

Pregunta clave

8 8 __ < __ 12

Vistazo a la lección

• ¿Por qué es útil crear un numerador común para comparar fracciones?

8 _2 < __ 3 10

Criterio de logro académico 3 2. _ 5

4.Mód4.CLA3 Comparan dos fracciones con numeradores y denominadores

_6 9

distintos y justifican las conclusiones. (4.NF.A.2)

Ejemplo: 2 × 3 __ _3 = ____ = 6 5 2 × 5 10 6 __ < 6_ 10

_3 < 6_ 5 9

149

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 15 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• ninguno

Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.

Aprender 30 min • Razonar acerca de cómo comparar • Compartir, comparar y conectar

Estudiantes • Práctica veloz: Redondear a la decena de millar más cercana

• Formar numeradores comunes • Grupo de problemas

Concluir 10 min

271

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15

Fluidez

Práctica veloz: Redondear a la decena de millar más cercana Materiales: E) Práctica veloz: Redondear a la decena de millar más cercana EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ Práctica veloz ▸ Redondear a la decena de millar más cercana

La clase redondea a la decena de millar más cercana para adquirir fluidez con la destreza iniciada en el módulo 1 de redondear números de varios dígitos a cualquier valor posicional.

Práctica veloz

Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.

Redondea a la decena de millar más cercana. 1. 2.

43,000 ≈

271,905 ≈

40,000 270,000

272

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15 Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes. Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales. Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico. Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B. Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.

Nota para la enseñanza Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A: • ¿Qué observan acerca de los problemas 1 a 12? • ¿Cambió su estrategia para los problemas 13 a 22? De ser así, ¿cómo cambió?

En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar! Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.

Nota para la enseñanza

¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Calculen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.

Cuente hacia delante de decena de millar en decena de millar desde el 20,000 hasta el 120,000 para la actividad de conteo de ritmo rápido. Cuente hacia atrás de decena de millar en decena de millar desde el 120,000 hasta el 20,000 para la actividad de conteo de ritmo lento.

Celebre el progreso de sus estudiantes.

273

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15

Intercambio con la pizarra blanca: Descomponer fracciones La clase determina el sumando desconocido y escribe una ecuación para adquirir fluidez a fin de descomponer fracciones mayores que 1. Muestre el vínculo numérico y la ecuación. Escriban y completen la ecuación usando una fracción. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Cuando dé la señal, digan la ecuación completada. ¿Comenzamos?

4 3 2 3

2 3

4 = 23 + 23 3

_ _ _

4 2 2   =   +   3 3 3 Muestre el vínculo numérico completado y la ecuación completada. Repita el proceso con la siguiente secuencia: 6 5

5 4 3 4

2 4

1 5

6 6

2 6

5 = 34 + 24 4

6 = 55 + 15 5

8 = 66 + 26 6

11 8

13 10

12 10

8 8

3 8

11 = 88 + 38 8

274

5 5

8 6

10 10

3 10

3 13 = 10 + 10 10 10

1 10

15 12 11 10

1 12 = 10 + 11 10 10

13 12

2 12

2 15 = 13 + 12 12 12

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15

Presentar

La clase compara cantidades con diferentes unidades razonando acerca del tamaño de cada unidad.

Diferenciación: Apoyo

Presente el problema:

Shen bebe _ 2 de litro de agua el lunes y _ 2 de litro de agua el martes.

Para apoyar a sus estudiantes con la

¿Bebió Shen más agua el lunes o el martes? ¿Cómo lo saben?

el tamaño de cada unidad fraccionaria,

representación y el razonamiento sobre

Siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática. Dé 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio, haga un dibujo y resuelva el problema. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron.

considere simplificar las cantidades en el problema usando __   1  y __   1  en lugar de __  2  y __   2  . 3 4 3 4

Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias. Guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y, luego, registre las respuestas. A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que muestre los diferentes tamaños de las unidades fraccionarias. Shen bebió más el lunes. Se qué los cuartos son unidades

fraccionarias más pequeñas que los tercios, entonces _ 2 es menor 4

que  _2 . 3

2 3

Bebió más el lunes porque sé que _ 2 es equivalente a _ 1  y _ 2 es mayor que _ 1 .

2 4

Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anímeles a hacer sus propias preguntas. ¿Qué tienen en común las dos cantidades? Las dos fracciones representan 2 partes de un litro entero. Tienen el mismo numerador.

275

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15 ¿Estamos comparando el número de unidades sombreadas o el tamaño de cada unidad? ¿Cómo lo saben? Estamos comparando el tamaño de las unidades. El número de unidades sombreadas es el mismo para cada fracción. Estamos comparando el tamaño porque si estuviéramos comparando el número de unidades sombreadas, serían iguales debido a que las dos fracciones tienen 2 unidades. ¿Qué sucedería si cambiara la cantidad del martes a _ 2 de litro? 2

Entonces, Shen bebería más el martes porque los medios son unidades más grandes que los tercios. Entonces, bebió más el martes porque _ 2 = 1, así que bebió 1 litro entero el martes. 2

Entonces, cuando los numeradores son el mismo número, lo que nos ayuda a comparar es el tamaño de la unidad fraccionaria.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere brindar apoyo a sus estudiantes con el término numerador común. Pregúnteles qué significa tener algo en común con otra persona. Explique que las fracciones con el mismo numerador tienen un numerador común. Luego, pregúnteles en qué se podrían parecer y en qué podrían ser diferentes las fracciones con un numerador común de aquellas con un denominador común.

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, compararemos fracciones y razonaremos acerca de cuándo es una estrategia eficiente expresar fracciones con otro nombre para tener el mismo numerador.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Aprender

Razonar acerca de cómo comparar La clase razona acerca de cómo comparar numeradores relacionados. Presente el problema _ 3  5

_ 6 . 8

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para comparar las fracciones. Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione a dos o tres parejas para que compartan su razonamiento. Busque ejemplos de trabajo que usen diferentes maneras de representar y comparar las fracciones. Los ejemplos de trabajo de sus estudiantes deben demostrar diferentes maneras de usar rectas numéricas y diagramas de cinta para hallar un numerador o denominador común y de razonar acerca de los números de referencia para comparar las fracciones.

276

Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando elige usar numeradores comunes, denominadores comunes u otras estrategias para comparar dos fracciones con numeradores relacionados. Cada estudiante también selecciona entre una recta numérica, una ecuación u otro modelo para representar las fracciones que está comparando. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5: • ¿Qué estrategia sería la más útil para comparar __   6  y __   3  ? ¿Por qué? 8 5 • ¿Por qué eligieron usar un diagrama de   3  ? cinta o una ecuación para comparar __  6  y __ 8 5 ¿Funcionó bien?

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15

Razonar sobre el tamaño usando puntos de referencia

1 3 2 5

1 2 3 6 < 5 8

6 8

Multiplicar para hallar un denominador común

3 < 5

6 8

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 8, 16, 24, 32, 40 3 24 = 5 40

Multiplicar para hallar un numerador común

6 30 = 8 40

3 < 5

6 8

6 3 2x3 = = 10 5 2x5 6 10 6 8

Compartir, comparar y conectar La clase comparte representaciones y métodos y razona acerca de sus conexiones. Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus métodos. A medida que cada pareja comparte su trabajo, haga preguntas para que expliquen su razonamiento y ofrezcan aclaraciones sobre lo que hicieron para comparar las fracciones. También haga preguntas a la clase para establecer conexiones entre sus trabajos y los diferentes métodos. Anime a sus estudiantes a que hagan preguntas.

Dividir para hallar un numerador común

6 6÷2 3 = = 8 8÷2 4 3 3 < 5 4 3 6 < 5 8

Nota para la enseñanza El ejemplo de trabajo muestra respuestas típicas. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre los conceptos clave. Si la clase no produjo ningún trabajo similar, seleccione uno o dos trabajos de sus estudiantes para compartir y destaque la manera en que esos trabajos contribuyen a avanzar hacia el objetivo de la lección. Luego, seleccione un ejemplo de trabajo de la lección que sirva para incentivar el razonamiento matemático. Considere decir lo siguiente para presentar el trabajo: “Alguien resolvió el problema de esta otra manera. ¿Qué fue lo que hizo?”.

277

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15 Razonar sobre el tamaño usando puntos de referencia (método de Gabe y David) Gabe y David, dígannos cómo compararon _ 3  y _ 6  . 5

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Las marcamos en las rectas numéricas y usamos puntos de referencia para ver la distancia entre ellas, _ 1  y 1.

2 1 ¿De qué manera los puntos de referencia de     y 1 les 2

1 3 2 5

1 2

ayudaron a comparar?

Pudimos ver que  _3 estaba más cerca de _ 1  que _ 6  y que _ 6  estaba 5

más cerca de 1. Eso significa que _ 6 es mayor que  _3 .

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Gabe y David y sus propios trabajos.

6 8

3 6 < 5 8

Los denominadores no estaban relacionados, entonces hallamos un denominador común enumerando los múltiplos de 5 y los de 8. Ambos tenían a 40 como un múltiplo. ¿Por qué hallar un denominador común les ayudó a comparar? Nos ayudó a expresar las fracciones con otro nombre para que tuvieran denominadores iguales. De esta manera pudimos comparar el número de unidades.

. grupos.

• Mi dibujo muestra • El total es

3 < 5

• Primero, dibujé • Mi dibujo muestra • Mi ecuación es

Multiplicar para hallar un denominador común (método de Liz y Jayla) Liz y Jayla, dígannos cómo compararon _ 3  y _ 6 .

Considere mostrar esquemas de oración para que sus estudiantes tomen de referencia hasta que tengan confianza a la hora de compartir su razonamiento de manera que el resto de la clase pueda seguir su estrategia para hallar la solución.

en cada grupo. .

porque porque

6 8

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 8, 16, 24, 32, 40 3 24 = 5 40

6 30 = 8 40

¿Por qué no dibujaron un modelo para representar su razonamiento? Consideramos dibujar una recta numérica, pero pensamos que tardaríamos demasiado tiempo en hacer 40 marcas de graduación. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo Liz y Jayla podrían haber representado su trabajo de manera pictórica.

278

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15 Multiplicar para hallar un numerador común (método de James y Zara) ¿Cómo compararon James y Zara _ 3  y _ 6 ? 5

3 < 5

  6  para que las dos fracciones tuvieran Expresaron _ 3  como __ 5 10 el mismo numerador. 6   y _ Dibujaron dos diagramas de cinta para comparar  __  6 . 10

James y Zara, ¿por qué hallar un numerador común les ayudó a comparar? Cuando el numerador es el mismo, podemos usar el tamaño de la unidad fraccionaria como ayuda para comparar. Sabemos que 2 veces 3 es 6, entonces multiplicamos

6   . el numerador y el denominador de _ 3  por 2 para formar  __ 5

Sabemos que los octavos son unidades más grandes que los

6 8

6 3 2x3 = = 10 5 2x5 6 10 6 8

décimos, entonces 6 octavos es mayor que 6 décimos. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar las semejanzas y las diferencias entre el método de Liz y Jayla y el de James y Zara. Los dos grupos tienen la misma respuesta, pero Liz y Jayla hallaron un denominador común para comparar mientras que James y Zara hallaron un numerador común para hacerlo. Los dos grupos expresaron con otro nombre para comparar. James y Zara solo expresaron con otro nombre una de las fracciones que estaban comparando, pero Liz y Jayla lo hicieron con las dos fracciones.

279

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15 Dividir para hallar un numerador común (método de Eva y Luke) ¿Cómo compararon Eva y Luke _ 3  y _ 6  ? 5

Dibujaron modelos de área y dividieron para formar numeradores comunes. Expresaron _ 6  como _ 3  y compararon _ 3  con _ 3  . 4

Eva y Luke, explíquennos su método para formar numeradores comunes. Pensamos en cómo hacer que los numeradores tuvieran

el mismo número y sabíamos que  _6 es la misma cantidad 8

que _ 3 , entonces dividimos el numerador y denominador entre 2. 4

Dibujamos modelos de área para representar nuestro razonamiento. ¿De qué manera los numeradores comunes nos hacen pensar acerca del tamaño de la unidad fraccionaria?

6 6÷2 3 = = 8 8÷2 4 3 3 < 5 4 3 6 < 5 8

Cuando el numerador es el mismo número, podemos pensar en el tamaño de la unidad, que está indicado por el denominador. Cuanto mayor es el denominador, más pequeña es la unidad fraccionaria. Entonces, los quintos son más pequeños que los cuartos. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y las diferencias entre usar la división para formar numeradores comunes y usar la multiplicación.

Formar numeradores comunes La clase expresa una fracción con otro nombre a fin de formar numeradores comunes para comparar. Presente el problema _ 2  6

__   4  . 10

¿Qué observan sobre los numeradores? Están relacionados. 4 es 2 veces 2. Sé que 4 es un múltiplo de 2. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden expresar una fracción con otro nombre de tal manera que tenga el mismo numerador que la otra fracción.

280

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15 Sé que 2 × 2 = 4, así que puedo multiplicar el numerador y el denominador en _ 2  por 2 para 6

4  . Entonces, puedo comparar __  4   y __   4  . formar  __ 12

Puedo dividir el numerador y el denominador en __  4   entre 2 para formar _ 2 . 5

Pida a sus estudiantes que usen la multiplicación o la división para expresar una de las fracciones con otro nombre de tal manera que tenga el mismo numerador que la otra fracción y que, luego, las comparen. Pídales que dibujen un modelo para representar su comparación de las fracciones. Dé tiempo para que sus estudiantes trabajen. Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione a dos estudiantes que hayan resuelto el problema de manera diferente para que compartan su trabajo. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora acerca de cómo expresar con otro nombre usando la multiplicación o la división para formar numeradores comunes.

4 2 < 10 6

2 < 6

2 2×2 4 = = 6 2 × 6 12

4 12

4 10

4÷ 2 2 4 = = 10 10 ÷ 2 5

4 4 < 12 10

2 6

Apoyo para la comprensión del lenguaje

2 5 4 2 = 10 5

Invite a sus estudiantes a compartir su trabajo. Mientras lo hacen, haga preguntas como las siguientes que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anímeles a hacer sus propias preguntas: • ¿Qué fracción expresaron con otro nombre? ¿Por qué? • ¿Formar numeradores comunes es una forma eficiente de comparar? ¿Cuándo? Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre un ejemplo de trabajo compartido y su trabajo.

Considere invitar a sus estudiantes a usar la Herramienta para la conversación mientras comparten su trabajo, realizan preguntas sobre el trabajo de la clase y hacen comparaciones entre su trabajo y el de sus pares. • La sección Compartir tu razonamiento puede ayudar a sus estudiantes a compartir sus métodos. • La sección Preguntar por el razonamiento puede ayudarles a hacer preguntas. • La sección Decirlo otra vez puede ayudarles cuando hacen preguntas para aclarar dudas acerca de los métodos.

281

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15

_ 3 .

Presente el problema __  9

¿Cómo se relacionan los numeradores? Sé que 3 × 3 = 9, entonces 9 es 3 veces 3. ¿Cómo podemos expresar una fracción con otro nombre usando una ecuación para que tenga el mismo numerador que la otra fracción?

Podemos multiplicar el numerador y el denominador de  _3  por 3 para crear 9 de una nueva unidad. 5

9   entre 3 para crear 3 de una nueva unidad. Podemos dividir el numerador y el denominador de  __ 12

Pida a sus estudiantes que registren una ecuación para crear numeradores comunes y completar la comparación. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuándo formar numeradores comunes para comparar fracciones.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Comparar fracciones con numeradores relacionados Guíe una conversación que haga énfasis en la comparación de fracciones con el mismo número de unidades según el tamaño de ellas. ¿Por qué es útil crear un numerador común para comparar fracciones? Cuando creamos un numerador común, las dos fracciones tienen el mismo número de unidades y podemos simplemente comparar los tamaños de las unidades. Es útil cuando los denominadores no están relacionados y no nos sirve usar un número de referencia.

282

DUA: Acción y expresión Considere reservar tiempo durante la Reflexión final para que sus estudiantes reflexionen. • ¿Probaron nuevas estrategias? ¿Qué les parecieron? • ¿Necesitaron apoyo en algún punto de la lección de hoy? ¿Cómo lo manejaron?

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15 Si dos fracciones tienen numeradores relacionados, podemos expresar una de ellas con otro nombre para que tenga el mismo numerador que la otra fracción y, luego, compararlas con numeradores comunes. Esto puede ser más eficiente que expresar las dos fracciones con otro nombre o intentar hallar un denominador común. ¿De qué manera la relación entre el número de unidades y el tamaño de las unidades fraccionarias les ayuda a comparar fracciones con el mismo numerador? Cuantas más unidades fraccionarias hay, más pequeño es el tamaño de ellas. La descomposición de un entero en quintos tiene partes más pequeñas que la descomposición de un entero del mismo tamaño en tercios. Entonces, si tengo el mismo número de unidades, solo necesito pensar en el tamaño de la unidad fraccionaria para comparar. Por ejemplo, _ 2  < _ 2  . 5

283

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15

4 ▸ M4 ▸ Práctica veloz ▸ Redondear a la decena de millar más cercana

Número de respuestas correctas:

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

142

284

31,000 ≈

30,000

23.

37,000 ≈

30,000

24.

40,000

25.

40,000

26.

50,000

27.

50,000

28.

70,000

29.

80,000

30.

70,000

31.

80,000

32.

90,000

33.

34,000 ≈ 42,900 ≈ 46,300 ≈ 49,400 ≈ 73,810 ≈ 77,250 ≈ 71,960 ≈ 83,713 ≈ 85,284 ≈ 84,563 ≈

212,000 ≈

80,000

34.

210,000

35.

219,000 ≈

210,000

36.

220,000

37.

630,000

38.

620,000

39.

630,000

40.

830,000

41.

840,000

42.

830,000

43.

830,000

44.

214,000 ≈ 628,100 ≈ 623,700 ≈ 625,600 ≈ 832,840 ≈ 836,910 ≈ 834,750 ≈ 831,560 ≈

Número de respuestas correctas: Progreso:

Redondea a la decena de millar más cercana.

Redondea a la decena de millar más cercana. 1.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ Práctica veloz ▸ Redondear a la decena de millar más cercana

341,725 ≈

340,000

345,366 ≈

350,000

560,000

580,000

510,000

750,000

780,000

710,000

940,000

10.

900,000

11.

910,000

12.

40,000

13.

30,000

14.

60,000

15.

95,599 ≈

80,000

16.

100,000

17.

555,555 ≈

100,000

18.

560,000

19.

600,000

20.

960,000

21.

1,000,000

22.

348,291 ≈ 562,004 ≈ 580,089 ≈ 509,107 ≈ 750,062 ≈ 775,009 ≈ 706,083 ≈ 940,740 ≈ 902,081 ≈ 905,305 ≈ 38,100 ≈ 34,900 ≈ 55,555 ≈ 75,955 ≈ 99,595 ≈

595,955 ≈ 959,595 ≈ 995,599 ≈

144

21,000 ≈

20,000

23.

27,000 ≈

20,000

24.

30,000

25.

30,000

26.

40,000

27.

40,000

28.

60,000

29.

70,000

30.

60,000

31.

70,000

32.

80,000

33.

24,000 ≈ 32,900 ≈ 36,300 ≈ 39,400 ≈ 63,810 ≈ 67,250 ≈ 61,960 ≈ 73,713 ≈ 75,284 ≈ 74,563 ≈

112,000 ≈

70,000

34.

110,000

35.

119,000 ≈

110,000

36.

120,000

37.

530,000

38.

520,000

39.

530,000

40.

730,000

41.

740,000

42.

730,000

43.

730,000

44.

114,000 ≈ 528,100 ≈ 523,700 ≈ 525,600 ≈ 732,840 ≈ 736,910 ≈ 734,750 ≈ 731,560 ≈

241,725 ≈

240,000

245,366 ≈

250,000

248,291 ≈ 462,004 ≈ 480,089 ≈ 409,107 ≈ 650,062 ≈ 675,009 ≈ 606,083 ≈ 840,740 ≈ 802,081 ≈ 805,305 ≈ 28,100 ≈ 24,900 ≈ 55,555 ≈ 75,855 ≈

250,000

460,000 480,000 410,000 650,000 680,000 610,000 840,000 800,000 810,000 30,000 20,000 60,000 80,000

95,588 ≈

100,000

555,555 ≈

560,000

99,585 ≈

595,855 ≈ 958,585 ≈ 995,588 ≈

100,000

600,000 960,000 1,000,000

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15

Nombre

Fecha

1. 1 medio

1 tercio

2. 2 octavos

Representa cada par de fracciones en la recta numérica. Usa >, = o < para comparar las fracciones. 3 6. _ 4

Usa >, = o < para comparar las fracciones.

2 quintos

3. 5 sextos

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15

_6 8 3 4

5 doceavos 0

Representa cada par de fracciones con los diagramas de cinta. Usa >, = o < para comparar las fracciones. 2 4. _ 3

_4 5

9 __ 10

2 7. _ 3

_3 4

10 __ 12

8 12

9 10

4 6

6 8. _ 8

_2 3

2 9. _ 5

3 10. _ 4

9 __ 12

10 11. __ 12

8 __ 10

3 = 9 4 12

Compara cada par de fracciones usando >, = o <. Muestra tu razonamiento usando imágenes, números o palabras.

10 12

2 3

1 0

2 = 3

145

146

GRUPO DE PROBLEMAS

_5 8

285

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15

9 de milla. Liz camina _ 3 de milla. ¿Caminan la misma distancia? Explica. 12. Gabe camina __ 10

9 3 × 3 = __ . Entonces, Liz No, no caminan la misma distancia. Liz camina _3 de milla. Sé que _3 = ____ 4

3×4

9 de milla. Gabe camina __ 9 de milla. Las distancias no son las mismas. camina __ 10

7 es mayor que __ 7 es menor que __ 14 . Mía dice que __ 14 . ¿Quién está en lo 13. Robin dice que __ 10

correcto? Explica.

14 7 = _____ 7 es equivalente a __ 14 . 2 × 7 = __ Ni Robin ni Mía están en lo correcto porque __ . Entonces, __ 10

286

2 × 10

GRUPO DE PROBLEMAS

147

LECCIÓN 16

Generar un numerador o denominador común para comparar fracciones

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

Nombre

Fecha

Compara las fracciones usando >, = o <. Explica tu estrategia usando imágenes, números o palabras. 1.

_2 9

_1 4

Ejemplo: 2×1 _ 2 _1 = ____ = 4

2×4

_2 < _2 9

_2 3

• ¿De qué manera el denominador y el numerador de los números dados nos ayudan a determinar la estrategia que podemos usar para comparar?

• ¿Cuándo es una estrategia eficiente expresar ambas fracciones con otro nombre antes de comparar?

Ejemplo: 5 × 2 __ 10 _2 = ____ = 5×3

3×5

3 × 3 __ 9 _3 = ____ = 5

9 10 __ __ >

Criterio de logro académico

4.Mód4.CLA3 Comparan dos fracciones con numeradores y denominadores

distintos y justifican las conclusiones. (4.NF.A.2)

_2 > _3

La clase usa la multiplicación para crear un numerador o denominador común a fin de comparar fracciones. Usan modelos de área para expresar las dos fracciones con otro nombre, comprobar su trabajo y conversar acerca de cómo se creó un denominador común de manera numérica y pictórica. Consideran cuándo es más eficiente crear un numerador común para comparar fracciones y lo hacen usando la multiplicación.

Preguntas clave

Vistazo a la lección

155

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• Afiches preparados con antelación

Prepare cuatro afiches, uno para cada una de las frases: Numerador común, Denominador común, Comparar con un número de referencia, Otra. Cuelgue los afiches en cuatro lugares diferentes del salón de clases.

Aprender 35 min • Comparar expresando las dos fracciones con otro nombre

Estudiantes • ninguno

• Comparar creando un numerador común • Razonar acerca de la eficiencia • Grupo de problemas

Concluir 10 min

289

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Estimar sumas y diferencias La clase hace una estimación de una suma o una diferencia y utiliza el algoritmo convencional a fin de determinar la respuesta exacta para adquirir fluidez con las operaciones aprendidas en el módulo 1 y evaluar si las respuestas son razonables. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre 36,247 + 29,166 =

Redondeen cada número. Escriban una ecuación que muestre cómo redondearon ambos números y una suma estimada.

36,247 + 29,166 = 65,413 36,000 + 30,000 = 66,000

Muestre la ecuación de ejemplo. Usen el algoritmo convencional para hallar la respuesta exacta.

Nota para la enseñanza Valide todas las respuestas correctas que no se hayan mostrado. Por ejemplo, la clase puede elegir redondear los números que se muestran en las ecuaciones a diferentes valores posicionales.

Muestre la respuesta. Comparen su estimación con la respuesta exacta. ¿Es razonable su respuesta? Díganselo a su pareja de trabajo. Dé tiempo para que las parejas compartan sus ideas. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

471,625 + 189,195 = 660,820

290

89,647 − 45,749 = 43,898

752,813 − 376,851 = 375,962

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

Contar de un cuarto en un cuarto en la recta numérica La clase cuenta de un cuarto en un cuarto y expresa las fracciones como números enteros o números mixtos para adquirir fluidez con la descomposición y equivalencia de fracciones. Muestre la recta numérica. ¿Qué unidad fraccionaria muestra la recta numérica? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Cuartos Usen la recta numérica para contar hacia delante de un cuarto en un cuarto hasta 12 cuartos. Empiecen diciendo 0 cuartos. ¿Comenzamos? Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

_ _ __ __ 0 1 11 12 4, 4…,   ,   4 4

0 4

1 4

2 4

3 4

4 4

5 4

6 4

7 4

8 4

9 10 11 12 4 4 4 4

Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un cuarto en un cuarto. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

0, _4…, __  , 3 1

11 4

Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un cuarto en un cuarto. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros y números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, _4…, 2 _4, 3 1

1 4

2 4

3 4

5 4

6 4

7 4

1 4

2 4

3 4

1 14 14 14 2 2 4 2 4 2 4 3

9 4

10 11 4 4

291

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

Presentar

La clase decide si halla un numerador o un denominador común para comparar dos fracciones y razona acerca de la eficiencia de cada estrategia. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si hallarían __ un denominador o un numerador común a fin de comparar las fracciones: _  2   3 . 6

Hallaría un denominador común porque puedo dibujar para mostrar _  2 y dividir cada sexto en 6

2 partes iguales para formar doceavos. Luego, podría comparar el número de doceavos. Hallaría un denominador común porque sé que 12 está relacionado con 6 y que es un múltiplo   2 por 2 para hallar una fracción de 6. Puedo multiplicar el numerador y el denominador de _

equivalente con un denominador común.

¿Qué es lo que hace que hallar un denominador común sea lo más eficiente para este problema? Los denominadores están relacionados, entonces solo necesito expresar los sextos como doceavos para comparar. Si expreso los numeradores con otro nombre, tendría que expresar ambas fracciones con otro nombre. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si hallarían _ 4 . un denominador o un numerador común a fin de comparar las fracciones: __  8 10

Hallaría un numerador común porque puedo dibujar para mostrar _  4 y dividir las 4 unidades en 6 8 de ellas. Luego, podría comparar el tamaño de las unidades.

Los numeradores están relacionados, entonces podría multiplicar el numerador y el denominador   4 por 2 porque sé que 4 × 2 = 8. Eso crearía un denominador común y podría comparar de _ 6 el tamaño de las fracciones. Hallaría un numerador común porque puedo dividir el numerador y el denominador de __  8 entre

2 para obtener _ 54  .

¿Qué es lo que hace que hallar un numerador común sea lo más eficiente para este problema? Los numeradores están relacionados porque 8 es un múltiplo de 4. Por eso es fácil para mí expresar una de las fracciones con otro nombre usando la multiplicación o la división mentalmente. Los denominadores no están relacionados, entonces tendría que expresar ambas fracciones con otro nombre para hallar un denominador común, y eso requiere más pasos.

292

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si hallarían _ 2 . un denominador o un numerador común a fin de comparar las fracciones: _  3 5

No sé muy bien qué haría. 3 no es un múltiplo de 2 que pueda usar para crear un numerador común. 5 no es un múltiplo de 3 que pueda usar para crear un denominador común. Creo que podemos expresar ambas fracciones como quinceavos porque 15 es un múltiplo tanto de 3 como de 5. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, expresaremos fracciones con otro nombre para crear un numerador o un denominador común y, luego, comparar las fracciones.

Aprender

Comparar expresando las dos fracciones con otro nombre La clase dibuja modelos de área y usa la multiplicación para expresar dos fracciones con otro nombre con un denominador común y comparar el número de unidades. Expresemos _   y _  2 con otro nombre para comparar las fracciones. ¿Cuáles son algunas de las 3 5

unidades fraccionarias que podemos usar para expresar los quintos con otro nombre? Décimos, quinceavos, veinteavos

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere crear y dejar a la vista un afiche con los nombres de unidades fraccionarias que sus estudiantes no conocen como apoyo para que las digan durante la lección.

Podemos usar cualquier múltiplo de 5. ¿Podemos expresar los tercios como décimos, quinceavos o veinteavos? ¿Cómo lo saben? No podemos expresar los tercios como décimos porque 10 no es un múltiplo de 3. Podemos expresar los tercios como quinceavos porque 15 es un múltiplo de 3. Sé que 3 × 5 = 15. No podemos expresar los tercios como veinteavos porque 20 no es un múltiplo de 3. Expresemos las dos fracciones como un número de quinceavos.

Escriba _   3 y _  2 y muestre la expresión con otro nombre mientras sus estudiantes 5 3 hacen lo mismo.

293

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16 ¿Pueden comparar las fracciones ahora? De ser así, ¿cómo? Sí. Como las dos fracciones tienen la misma unidad fraccionaria, podemos comparar el número de unidades.

Nota para la enseñanza

Pida a sus estudiantes que dibujen los dos enteros de manera que se vean parecidos uno al otro. Pídales también que los dividan de forma horizontal y vertical de la misma manera para crear unidades comunes que sean del mismo tamaño y forma.

__ 10 es mayor que __  9 . Además, __   10 es 1 quinceavo más que __  9 . 15

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usaron los múltiplos para expresar las dos fracciones con otro nombre y hallar un denominador común. Representemos nuestro razonamiento con modelos de área.

Pida a sus estudiantes que dividan y sombreen _  3 de manera 5

vertical en un modelo de área y que, luego, dividan y sombreen _  2 3

de manera horizontal en otro modelo de área mientras usted hace lo mismo. Explíqueles que cambiar la orientación de la fracción sombreada puede ayudarles a crear las mismas unidades fraccionarias al descomponer. Muestre la representación de _  3. 5

¿De qué manera podemos dividir los quintos para formar quinceavos? Podemos dividir cada quinto en 3 partes para formar quinceavos. Divida cada quinto en quinceavos de manera horizontal mientras sus estudiantes hacen lo mismo en sus dibujos. Repita el proceso a fin de dividir cada tercio de manera vertical para formar quinceavos. ¿Cómo saben que 1 se descompone en quinceavos en los dos modelos de área? Los dos modelos de área tienen 3 filas de 5 unidades, 3 × 5 = 15. Las unidades son quinceavos. Pida a sus estudiantes que completen el enunciado de comparación para comparar las dos fracciones. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se creó un denominador común para las dos fracciones usando la multiplicación y los modelos de área.

294

3 2 < 5 3

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

_ 2 .

Presente las fracciones que se van a comparar: _  3

¿Cómo podemos crear un denominador común? Podemos usar la multiplicación para crear un denominador común de 12. Podemos multiplicar el numerador y el denominador de _  3 4

 2 por 4. por 3 y _ 3

Nota para la enseñanza

3 4

Dé a las parejas 2 minutos para dibujar modelos de área y usar la multiplicación a fin de expresar las dos fracciones con otro nombre con doceavos.

__ __

2 3

8 12

Ahora que las dos fracciones tienen las mismas unidades, ¿cómo podemos compararlas? Podemos mirar el número de unidades porque

el tamaño de ellas, doceavos, es el mismo. __  9 es mayor 12 que __   8 porque 9 es mayor que 8. Entonces, _   3 > _   2. 12

9 12

3 3×3 9 = = 4 3 × 4 12

Invite a las parejas a registrar el enunciado de comparación y, luego, a reunirse y conversar acerca de cuándo es útil expresar las dos fracciones con otro nombre en una comparación con un denominador común.

Puede haber estudiantes que, cuando se les pida que comparen  3  y   2  , reconozcan que 4 3 crear numeradores comunes o comparar con un punto de referencia son estrategias que también son útiles para este par de fracciones. Por ejemplo, las dos fracciones están a 1 unidad de distancia de 1. Los cuartos son más pequeños que los tercios, entonces  3  es mayor 4 que   2  . Valide su razonamiento, pero anime 3 a sus estudiantes a crear un denominador común. Más adelante en la lección tendrán oportunidades de crear numeradores comunes y de elegir una estrategia. Si bien comparar con un punto de referencia puede ser la estrategia más eficiente para este par de fracciones, no siempre será tan eficiente o útil.

2 4×2 8 = = 3 4 × 3 12 3 2 > 4 3

Comparar creando un numerador común La clase usa la multiplicación para expresar dos fracciones con otro nombre con un numerador común y comparar los tamaños de las unidades fraccionarias.

__   5 .

Presente las fracciones que se van a comparar: _  2

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo podrían expresar las fracciones con otro nombre a fin de crear un denominador común. Podríamos dibujar quintos y dividirlos en 12 partes. Luego, podría dibujar doceavos y dividirlos en 5 partes.

  5 por 5. Podría multiplicar el numerador y el denominador de _  2 por 12 y __ 5

El dibujo tendría muchas unidades y es posible que multiplicar por 12 no sea la opción más eficiente.

295

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16 ¿De qué manera podríamos expresar las dos fracciones con otro nombre con un numerador común? Podríamos multiplicar los factores 2 y 5 para crear un numerador común de 10.   5 por 2. Podríamos multiplicar el numerador y el denominador de _  2 por 5 y __ 5

Dé a sus estudiantes 1 minuto para escribir ecuaciones usando la multiplicación a fin de expresar las dos fracciones con otro nombre con un numerador de 10. ¿Qué dos fracciones podemos comparar ahora? ¿Cómo?

__  10  10  y __ 25 24 __   10  < __  10 porque los veinticincoavos son unidades más pequeñas que los 25

veinticuatroavos, ya que 1 está dividido en más partes. Pida a sus estudiantes que completen el enunciado de comparación para comparar _   2 y __   5 . 5

Dé a las parejas 2 minutos para expresar cada fracción con otro nombre con un numerador común y comparar _  6 y _  5. 8

¿Cómo compararon _   y _   ? 6 8

5 6

Expresé cada fracción con otro nombre con un numerador común de 30. Hallé que _  6  = __  40 y que _    = __     . Los cuarentavos son unidades más pequeñas que los 8

5 6

30 36

treintaiseisavos, entonces _     < _  . 6 8

5 6

2 5×2 10 = = 5 5 × 5 25 5 = 2 × 5 = 10 12 2 × 12 24 2 5 < 5 12

Considere ayudar a sus estudiantes a comparar fracciones con denominadores que no les resulten conocidos. Antes de comparar, pídales que se imaginen la descomposición de 1 en cada unidad y el tamaño de las unidades.

6 5 × 6 30 = = 8 5 × 8 40 5 6 × 5 30 = = 6 6 × 6 36 6 5 < 8 6

¿Por qué es posible que la multiplicación sea más eficiente para crear un numerador común que para crear un denominador común con estas dos fracciones? Preferiría multiplicar con los factores 6 y 5 porque 5 me resulta fácil para multiplicar. Usar 8 y 6 en una multiplicación no es tan eficiente para mí. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo expresar dos fracciones con otro nombre con un numerador común.

Razonar acerca de la eficiencia Materiales: M) Afiches

La clase selecciona y comenta una estrategia para comparar dos fracciones. Presente a la clase la rutina Tomar una postura. Dirija la atención de sus estudiantes a los afiches colgados en el salón de clases: Numerador común, Denominador común, Comparar con un número de referencia, Otra.

296

DUA: Representación

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando usa la rutina Tomar una postura para seleccionar una estrategia a fin de comparar dos fracciones, decide cómo completar la comparación y considera una estrategia diferente. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1: • ¿Qué información puede ayudarles a seleccionar una estrategia cuando comparan   4  y   3  ? 6 4 • ¿Funcionó la estrategia? ¿Hay alguna estrategia diferente que puedan usar?

__ __

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16 Presente _   4 6

_ 3 e invite a sus estudiantes a ponerse de pie junto al afiche que mejor describa 4

la estrategia que usarían para comparar las dos fracciones. Cuando cada estudiante esté junto a un afiche, dé 2 minutos para que los grupos comenten por qué lo eligieron. Luego, pida a cada grupo que comparta con la clase las razones de su elección. Invite a sus estudiantes a comparar usando la estrategia que hayan elegido. Anime a quienes cambien de opinión durante la conversación a unirse a otro grupo. Si hay tiempo suficiente, repita el proceso con _  5 8

_ 4 y _ 4 6

__   5 . 12

Pida a sus estudiantes que regresen a sus asientos. Reflexione junto con la clase acerca del número de unidades y el tamaño de unidades que se consideraron en cada estrategia.

DUA: Representación Considere ayudar a sus estudiantes a seleccionar una estrategia de comparación eficiente haciendo un afiche con sus razonamientos durante la rutina Tomar una postura. Invite a la clase a evaluar los enunciados brindando ejemplos de problema para cada estrategia. Desafíe a sus estudiantes a razonar sobre los problemas que se podrían comparar de manera eficiente usando más de una estrategia.

Concluir

•

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Reflexión final 5 min Objetivo: Generar un numerador o denominador común para comparar fracciones Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de la creación de un numerador o denominador común para comparar fracciones. ¿Qué estrategias hemos usado para comparar dos fracciones?

Hemos comparado las dos fracciones con los puntos de referencia 0, _   1 y 1. 2

Hemos expresado una fracción con otro nombre para crear un numerador o denominador común.

Considere brindar apoyo a sus estudiantes mientras conversan en grupos pequeños acerca del afiche que eligieron. Invite a sus estudiantes a usar la sección Compartir tu razonamiento de la Herramienta para la conversación para explicar su razonamiento. La sección Estar de acuerdo o en desacuerdo también puede ayudarles mientras deciden si les gustaría unirse a un grupo diferente.

Hemos expresado dos fracciones con otro nombre para crear un numerador o denominador común.

297

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

EUREKA MATH2

¿De qué manera el denominador y el numerador de los números dados nos ayudan a determinar la estrategia que podemos usar para comparar? Si las unidades fraccionarias, o los denominadores, están relacionadas, podemos formar denominadores comunes. Si el número de unidades, o los numeradores, están relacionados, podemos formar numeradores comunes. ¿En qué casos expresar las dos fracciones con otro nombre antes de compararlas es la estrategia más eficiente? Si no es útil comparar las fracciones con puntos de referencia, y si los numeradores y los denominadores de las fracciones no están relacionados, necesitamos expresar las dos fracciones con otro nombre. Si un numerador o denominador no es un múltiplo del otro, podríamos expresar las dos fracciones con otro nombre.

298

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

Nombre

Fecha

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

3 3. _ 5

_2 3

4. 3_ 8

1_ 3

EUREKA MATH2

Expresa cada par de fracciones con otro nombre usando denominadores comunes. Usa >, = o < para comparar las fracciones. 2 1. _ 3

_1 2

2 2×2 = = 3 2×3

1 2. _ 3

1 3×1 = = 2 3×2

6 Expresa cada par de fracciones con otro nombre usando numeradores comunes. Usa >, = o < para comparar las fracciones.

_2 4

1 = 3

×1

×3

4 12

2 = 4

×2

×4

1 5. _ 4

_2 9

2 6. _ 5

_3 7

151

152

GRUPO DE PROBLEMAS

299

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

Compara cada par de fracciones usando >, = o <. Explica tu razonamiento usando imágenes, números o palabras. 1 7. _ 3

_2 5

2 8. _ 3

Ejemplo:

_3 4

Ejemplo: 2 × 1 = 2_ _1 = ____ 3 2×3 6

4 × 2 = __ 8 _2 = ____ 3 4 × 3 12 3 × 3 = __ 9 _3 = ____ 4

5 9. _ 6

_7 8

3 10. _ 5

Ejemplo:

3×4

7 __

Ejemplo: 7 × 5 = 35 _5 = ____ __ 6 7 × 6 42

7 × 3 21 _3 = ____ = __ 5 7 × 5 35

5 × 7 = 35 _7 = ____ __ 8 5 × 8 40

3×7 7 __ __ = _____ = 21 12

3 × 12

7 de milla. Zara corre 11. Ray y Zara corren alrededor de una pista de atletismo. Ray corre __ 10

_4 de milla. ¿Quién corrió el menor número de millas: Ray o Zara? Explica. 6

28, entonces Ray corrió __ 28 de milla. 7 como __ Zara corrió el menor número de millas. Expresé __ 10

28 28 , entonces Zara corrió __ 28 de milla. Sé que __ 28 > __ . Expresé _4 como __ 6

300

GRUPO DE PROBLEMAS

153

LECCIÓN 17

Aplicar estrategias de comparación de fracciones para comparar fracciones mayores que 1

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17

Nombre

Fecha

Compara las fracciones usando >, = o <. Explica tu estrategia usando imágenes, números o palabras. 1. 8_ 5

_ 4 3

Ejemplo:

• ¿Podemos usar las estrategias que usamos cuando comparamos fracciones menores que 1 para comparar fracciones mayores que 1? ¿Cómo?

_ _

8 8 > 5 6

_ _

8 4 > 5 3

Criterio de logro académico

2 5_

4.Mód4.CLA3 Comparan dos fracciones con numeradores y denominadores

Las partes que son números enteros son iguales en los dos números, así que comparé las partes fraccionarias. Usé el punto de referencia _1 . Ejemplo:

La clase compara los números enteros en números mixtos y, luego, usa estrategias conocidas para comparar las fracciones menores que 1. Aplican estrategias, como crear numeradores o denominadores comunes y usar puntos de referencia, para comparar fracciones mayores que 1.

Pregunta clave

_ ____ _ 4 2×4 8 = = 3 2×3 6

2. 2 2_ 6

Vistazo a la lección

distintos y justifican las conclusiones. (4.NF.A.2)

_ _ _ _

_ _

_ _ _ _

_ _

3 1 2 3 = y < , entonces 2 < 1 . 6 2 6 6 6 2 4 1 5 4 = y > , entonces 5 > 1 . 8 2 8 8 8 2

_ _

2 5 < , entonces 2 2 < 2 5 . 6 8 6 8

161

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 15 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• ninguno

Considere si desea retirar una hoja extraíble de Clasificar según la estrategia de comparación por pareja de estudiantes y recortar las tarjetas de fracciones con antelación o si las preparará con la clase durante la lección.

Aprender 30 min • Comparar números mixtos • Comparar fracciones mayores que 1 • Grupo de problemas

Estudiantes • Clasificar según la estrategia de comparación (en el libro para estudiantes) • tijeras

Concluir 10 min

303

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17

Fluidez

Redondeen cada número. Escriban una ecuación que muestre cómo redondearon ambos números y una suma estimada.

42,803 + 29,657 = 72,460

Muestre la ecuación de ejemplo. Usen el algoritmo convencional para hallar la respuesta exacta.

43,000 + 30,000 = 73,000

562,054 + 486,389 = 1,030,443

304

68,270 − 59,425 =

8,845

371,586 − 172,694 =

198,892

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17

_ _ __ __ 0 1 11 12   ,   …,   ,   4 4 4 4

0 4

1 4

2 4

3 4

4 4

5 4

6 4

7 4

Ahora, vuelvan a contar hacia 0 1 delante de un cuarto en un cuarto. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?

8 4

9 10 11 12 4 4 4 4

Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

11 0, 1_   …, __   , 3 4

Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un cuarto en un cuarto. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros y números mixtos cuando sea posible. Empiecen 1 2 3 5 6 7 9 10 11 0 4 4 4 1 4 4 4 2 4 4 4 3 diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 1_ …, 2 _ , 3 4

3 4

1 4

2 4

3 4

1 14 14 14 2 2 4 2 4 2 4 3

305

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17

Intercambio con la pizarra blanca: Descomponer números mixtos La clase determina el sumando desconocido y escribe una ecuación para adquirir fluidez con la descomposición de números mixtos. Muestre el vínculo numérico y la ecuación. 1

Escriban la ecuación y complétenla. Usen un número entero cuando sea posible. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

1 2

1 12 = 1 + 12

Cuando dé la señal, digan la ecuación completada. ¿Comenzamos?

1 1_   = 1 + 1_   2

Muestre el vínculo numérico completado y la ecuación completada. Repita el proceso con la siguiente secuencia: 2

13 2 3

1 2

35 3 4

2 3

2 5 3

3 2

13 = 1 + 3

24 = 2 + 4

35 = 5 + 3

3 10

46 5 6 5

4 5

46 = 6 + 4

306

2 6

6 8

3 6

28 = 2 + 8

5 12 9 10

5 9

3 10 = 3 + 10

10 12 10

5 12 = 5 + 12

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17

Presentar

Materiales: E) Clasificar según la estrategia de comparación, tijeras

La clase elige una estrategia para comparar números mixtos y fracciones mayores que 1. Forme parejas de estudiantes. Pídales que retiren, por pareja de trabajo, una hoja extraíble de Clasificar según la estrategia de comparación del libro para estudiantes. Pídales que recorten los seis pares de fracciones. Dé a las parejas 2 minutos para considerar si compararían cada par de fracciones usando un punto de referencia o creando un numerador o un denominador común. Clasifique las tarjetas de fracciones en las columnas correspondientes.

DUA: Acción y expresión Considere brindar apoyo y proveer soportes a sus estudiantes con el uso de las diferentes estrategias. Muestre un ejemplo de trabajo donde se usen puntos de referencia, numeradores comunes y denominadores comunes para comparar dos fracciones menores que 1. Use el nombre de la estrategia como el título de cada ejemplo.

Si hay tiempo suficiente, invite a las parejas de trabajo a justificar la ubicación de diversas tarjetas de fracciones. Reserve tiempo para abordar de manera específica el par de números mixtos y fracciones mayores que 1 durante una conversación como la siguiente.

   y __    de otras fracciones que hemos comparado? ¿En qué se parecen y en qué se diferencian _ 9 2

15 6

Las dos son fracciones mayores que 1. Hemos estado comparando fracciones menores que 1. Tanto las fracciones mayores que 1 como las fracciones menores que 1 tienen numeradores y denominadores. Las dos se pueden descomponer en unidades más pequeñas, pero los numeradores son más grandes, por lo que la multiplicación podría ser más difícil.

307

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17 ¿Qué estrategia podrían usar para comparar esas fracciones? Podría formar un denominador común expresando los medios como sextos. Luego, puedo comparar el número de sextos. Podría comparar cada fracción con un número entero.

   y 2 _   de otros números que hemos comparado? ¿En qué se parecen y en qué se diferencian 2 _ 5 8

3 4

Son números mixtos, pero parte del número es una fracción menor que 1. ¿Qué estrategia podrían usar para comparar los números mixtos? Los números enteros son iguales, así que no necesito compararlos. Los puntos de referencia no son muy útiles porque las dos fracciones son mayores que _  21 pero menores que 1. Los denominadores están relacionados, entonces hallaría un denominador común. Podría crear un denominador común y expresar los cuartos como octavos. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, aplicaremos estrategias que hemos usado para comparar fracciones menores que 1 con números mixtos y fracciones mayores que 1.

308

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17

Aprender

Comparar números mixtos La clase usa el número entero y las partes fraccionarias de un número mixto para compararlos. Presente los números mixtos: 3 _  1 

2 _ 43  .

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar de qué manera se comparan los números mixtos y completar el enunciado de comparación.

3 _ 51  > 2 _ 43  porque 3 unidades es mayor que 2 unidades.

2 _ 43  es menor que 3 y 3 _ 51  es mayor que 3.

Cuando compararon los números mixtos, ¿necesitaron considerar cómo se comparan entre sí las fracciones de los números mixtos? ¿Por qué?

Diferenciación: Desafío Considere aumentar la complejidad pidiendo a sus estudiantes que comparen números mixtos en los que la fracción sea mayor que 1. Pídales que compartan su estrategia de comparación.

3   1  5

2   5  4

No necesitamos comparar _   1  y _  3 . Solo tuvimos que comparar los números enteros porque las dos 5

fracciones eran menores que 1.

    Presente los números mixtos: 2 _ 5 8

2 _ 43  .

Guíe a sus estudiantes para que descompongan los números mixtos en un número entero y una fracción con un vínculo numérico. ¿Cómo se comparan los números enteros? Son iguales.

309

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17 Dé a la clase 1 minuto para seleccionar una estrategia y comparar las fracciones.

1 5 3 2 8 4

¿Cómo se comparan las fracciones? ¿Cómo lo saben?

_ 5 es menor que _ 3 . Las dos fracciones son 1 unidad mayor que _ 1 . 2 4 8 5 _ Como los octavos son más pequeños que los cuartos,    está más 8 1 _ cerca de    . 2 _ 3  = _ 6  y _ 6 es mayor que _ 5  .

3 2× 3 6 = = 4 2× 4 8

Considere mostrar esquemas de oración para que sus estudiantes los usen mientras escriben o comparten sus comparaciones.

5 6 < 8 8

• Sé que porque

5 3 < 4 ¿Cómo podemos completar el enunciado de comparación? ¿Por qué? 8 4

Apoyo para la comprensión del lenguaje

• Sé que

2 _ 85  < 2 _ 43  porque _ 85  < _ 43  .

porque

es mayor que . es menor que .

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usar los números enteros y las fracciones para comparar números mixtos.

Comparar fracciones mayores que 1 La clase relaciona las estrategias que se usan para comparar fracciones mayores que 1 y fracciones menores que 1. Presente las fracciones: _  7  6

__  13  . 12

Dé a las parejas 2 minutos para comparar las fracciones y mostrar su trabajo con imágenes, palabras o números. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Elija a dos estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias. Hallar un denominador común Razonar acerca del tamaño de la unidad

7 2 × 7 14 = = 6 2 × 6 12 14 13 > 12 12

7 6 6 6

1 6

12 1 12 12

1 1 > 6 12

7 13 > 6 12

310

13 12

7 13 6 > 12

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando relaciona estrategias usadas para comparar fracciones mayores que 1 con fracciones menores que 1. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7: • ¿Qué semejanzas hay entre la comparación de   7  y   13  y la comparación de fracciones 6 12 menores que 1?

__ __

• ¿Cómo pueden descomponer las fracciones mayores que 1 para hacer una comparación más simple?

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17 Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su trabajo con todo el grupo y justificar su comparación. Destaque la manera en que las estrategias usadas para comparar fracciones menores que 1 se usan para comparar fracciones mayores que 1. Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anímeles a hacer sus propias preguntas.

Cuando vi sextos y doceavos, supe que podía expresar los sextos como doceavos porque 6 × 2 = 12.

7 2 × 7 14 = = 6 2 × 6 12 14 13 > 12 12

¿De qué manera comparar fracciones mayores que 1 fue parecido a comparar fracciones menores que 1?

7 13 > 6 12

__ ____ __

trabajo de esta manera. ¿Qué observan? ¿Qué se preguntan?”). Si sus estudiantes no registran su trabajo de esta manera, considere iniciar la conversación con las siguientes preguntas: “¿Podemos registrar la multiplicación de una

7 6

¿Por qué decidiste descomponer las fracciones?

Una vez que descompuse las fracciones, pude usar lo que sé acerca de comparar fracciones menores que 1 para comparar las fracciones unitarias. Los sextos son unidades más grandes que los doceavos.

manera diferente de lo que se muestra en el 7×2   =   14 ). ejemplo de trabajo (es decir,  7  =   12 6×2 6 Busque este tipo de estrategia entre sus clase a conversar (p. ej., “Alguien registró su

Razonar acerca del tamaño de la unidad (método de Luke)

¿De qué manera fue útil saber cómo comparar fracciones menores que 1 para comparar fracciones mayores que 1?

para generar una fracción equivalente de

estudiantes, presente el trabajo e invite a la

Pude usar un denominador común para comparar las fracciones mayores que 1. Una vez que las unidades eran del mismo tamaño, pude comparar el número de unidades. 14 unidades es mayor que 13 unidades.

Observé que las dos fracciones estaban cerca de 1, entonces las descompuse en una fracción equivalente a 1 y la fracción unitaria restante. Luego, solo tuve que comparar las fracciones unitarias.

Sus estudiantes pueden usar lo que saben acerca de la propiedad conmutativa de la multiplicación

Hallar un denominador común (método de Zara) ¿Por qué decidiste expresar una fracción con otro nombre y crear un denominador común?

Nota para la enseñanza

6 6

13 12 1 6

12 1 12 12

1 1 > 6 12 7 13 6 > 12

manera diferente? ¿Cómo lo saben?”.

DUA: Acción y expresión Considere invitar a sus estudiantes a descomponer fracciones mayores que 1 y una fracción que sea equivalente a un número entero y una fracción menor que 1 para razonar acerca de su tamaño.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas entre comparar fracciones mayores que 1 y fracciones menores que 1.

5 2 4 2

1 2 1

15 8 8 8

7 8 7

311

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17 Repita el proceso y pida a las parejas de estudiantes que comparen __  15  y _ 5 . 8

Ubicar en una recta numérica (método de Shen)

15 8

¿Por qué decidiste dibujar una recta numérica y marcar las fracciones?

Usé la recta numérica para pensar cómo se comparaban las fracciones con números enteros de referencia. Sabía que __  15 estaba entre 1 y 2. 8

5 2

15 5 < 8 2

Luego, usé la recta numérica como ayuda para ubicar _  5  . 2

  y _     ? ¿De qué manera usaste fracciones equivalentes a 1 como ayuda para ubicar __ 15 8

5 2

Sé que _     = 1y que __     = 2, entonces pude marcar __  15 como un poco menos que 2. Sé que _  4  = 2 8 8

16 8

y que _  6  = 3, entonces pude marcar _ 5 en el punto medio entre 2 y 3. 2

Hallar un numerador común (método de Carla) ¿Por qué decidiste expresar una fracción con otro nombre y crear un numerador común? Me di cuenta de que 5 y 15 eran múltiplos de 5. Supe que podía

5 3 × 5 15 = = 2 3×2 6

15 15 > 8 6

Diferenciación: Desafío

5 15 > 8 2

Desafíe a sus estudiantes a comparar un

multiplicar el numerador y el denominador de _  5  por 3 para formar 2

un numerador común y, luego, comparar. ¿De qué manera comparar fracciones mayores que 1 fue parecido a comparar fracciones menores que 1?

Una vez que hallé el numerador común, supe que había el mismo número de unidades en cada fracción. Luego, pude comparar los tamaños de las unidades. Sé que los sextos son mayores que los octavos. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de una estrategia que vieron y no habían considerado usar.

312

número mixto y una fracción mayor que 1. Considere usar los siguientes números: 2   1  2 8

__   19 

Nota para la enseñanza Los problemas del Grupo de problemas están en un orden aleatorio y no están organizados de simples a complejos. Téngalo en mente cuando asigne los problemas para que sus estudiantes los completen.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Aplicar estrategias de comparación de fracciones para comparar fracciones mayores que 1 Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación acerca de comparar fracciones mayores que 1. ¿Qué comparación del Grupo de problemas les pareció más interesante? ¿Por qué? El problema 2 fue el más interesante para mí porque predije que 3 __     sería mayor, ya que había 5 12

muchos doceavos más que cuartos. Sin embargo, 3 _   2  resultó ser mayor porque expresé _ 2 como __  6  . 4

El problema 3 fue el más interesante para mí porque las fracciones resultaron ser equivalentes. El problema 4 fue el más interesante para mí porque pude pensar en una manera de usar cualquiera de las estrategias para comparar las fracciones en los números mixtos. ¿Podemos usar las mismas estrategias que usamos cuando comparamos fracciones menores que 1 para comparar también fracciones mayores que 1? ¿Cómo? Sí. Si los números enteros en los números mixtos son iguales, puedo elegir una estrategia para comparar las fracciones menores que 1. Sí. Las fracciones mayores que 1 tienen un numerador y un denominador. Aún puedo expresar una o las dos fracciones con otro nombre para crear un numerador o denominador común y comparar el número de unidades o los tamaños de ellas.

313

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17

9 4. 7 __ 10

7 _5 3

Ejemplo: Compara las fracciones usando >, = o <. Explica tu estrategia usando imágenes, números o palabras. 1.

_3 2

Las partes que son números enteros son iguales en los dos números, así que puedo comparar las partes fraccionarias.

_4 3

9 9 9 9 3 9 3 3 × 3 __ _3 = ____ = y __ > __ . Entonces, 7 __ > 7 _ porque __ > _.

Ejemplo:

3×5

10 __ 3

13 __ 6

2 × 10 __ 10 _____ 20 __

13 20 __ __

_3 es _1 más que 1. _4 es _1 más que 1. _3 > _4 porque _1 > _1 . 2

5. 5 2. 3 __ 12

Ejemplo:

3 _4 2

13 10 __ __

Sé que 3 = 2 × 3 = 6 . Sé que 6 > 6 , entonces 3 > 6 .

Ejemplo: Las partes que son números enteros son iguales en los dos números, así que puedo comparar

__6 _1 __5 __6

__5 _1

las partes fraccionarias. 12 = 2 y 12 < 12 , entonces 12 < 2 .

_2 = _1, entonces __5 < _2 y 3 __5 < 3 _2. 4

12 3. __ 10

Ejemplo:

2 6. 8 _ 3

_6 5

314

Ejemplo: Las partes que son números enteros son iguales en los dos números, entonces puedo comparar

_3 _2 _1 _3 _1 comparar los tamaños de las unidades. 3 está a 3 de distancia de 1 y 4 está a 4 de distancia de 1. 3 1 2 3 1 _ 2 _ _ _ _ _ _2 _3 Sé que > , entonces está más lejos de 1 que . Entonces, 8 < 8 porque < .

2 × 6 12 _6 = ____ = __ 5 2 × 5 10

las partes fraccionarias. Tanto 3 como 4 están a 1 unidad de distancia de 1, así que puedo

8 _4

159

160

GRUPO DE PROBLEMAS

Tema D Sumar y restar fracciones En el tema D, la clase suma y resta fracciones menores que o iguales a 1 y resta una fracción de un número entero. Al comienzo del tema, sus estudiantes usan puntos de referencia para estimar sumas y diferencias de fracciones. Representan fracciones en la recta numérica o descomponen las fracciones usando un vínculo numérico a fin de determinar un punto de referencia para estimar la suma o la diferencia. Se dan cuenta de que las sumas o diferencias estimadas pueden ser diferentes dependiendo de los puntos de referencia que se usan para reemplazar las fracciones. La clase usa vínculos numéricos y la forma unitaria para reconocer que sumar y restar fracciones con unidades semejantes es parecido a sumar y restar números enteros. Saben que 2 unidades + 3 unidades = 5 unidades, por lo que 2 octavos + 3 octavos = 5 octavos. También usan una recta numérica para representar la suma y resta de fracciones con unidades semejantes. Luego, sus estudiantes restan una fracción de un número entero. Representan la resta de una fracción de 1 en la recta numérica. También expresan 1 como una fracción para poder restar

 1 = _ 4 − _ 1 = _  ). Para restar una fracción de un número entero mayor unidades semejantes (p. ej., 1 − _ 4

3 4

que 1, descomponen el número entero en una fracción igual a 1 y un número entero que les permita restar fracciones con unidades semejantes. Sus estudiantes aplican estas destrezas de suma y resta para resolver problemas verbales que involucran fracciones. Dibujan diagramas de cinta a fin de representar los problemas y determinar una estrategia para hallar la solución. Evalúan si sus respuestas son razonables estimando las sumas y las diferencias al usar puntos de referencia, como _  1 y 1. 2

Por último, en una lección opcional, la clase suma fracciones con unidades relacionadas. Usan lo que saben sobre generar fracciones equivalentes para crear unidades semejantes antes de sumar las fracciones. Nuevamente, la recta numérica es una herramienta útil porque pueden usarla para crear unidades semejantes y representar la suma. En el tema E, la clase usa métodos similares al sumar y restar números mixtos.

315

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD

Progresión de las lecciones Lección 18

Lección 19

Lección 20

Estimar sumas y diferencias de fracciones usando puntos de referencia

Sumar y restar fracciones con unidades semejantes

Restar una fracción de un número entero

≈

Puedo reemplazar fracciones con números de referencia para estimar sumas y diferencias. Puedo usar la recta numérica o un vínculo numérico para determinar qué puntos de referencia puedo usar para estimar. Pensar en una relación entre una fracción y números enteros y la fracción de referencia de _   1 me ayuda a determinar 2 los puntos de referencia que debo usar al estimar las sumas y las diferencias.

316

Puedo usar lo que sé acerca de la suma y la resta de números enteros para sumar y restar fracciones. Cuando escribo fracciones en forma unitaria o en forma fraccionaria, puedo sumar y restar las unidades semejantes de la misma manera que sumo y resto unidades de valor posicional. Una recta numérica me ayuda a representar las partes y el total.

Puedo usar una recta numérica para representar la resta de una fracción de 1. También puedo expresar 1 como una fracción para restar unidades semejantes. Para restar una fracción de un número entero mayor que 1, puedo descomponer el número entero en una fracción igual a 1 y un número entero. Luego, puedo restar fracciones con unidades semejantes.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD

Lección 21

Lección 22

Resolver problemas verbales de suma y resta, y estimar si las respuestas son razonables

Sumar dos fracciones con unidades relacionadas (opcional)

11 12

7 12

Los puntos de referencia _   1 y 1 me ayudan 2 a estimar una suma o una diferencia para asegurarme de que mi respuesta es razonable. Puedo dibujar un diagrama de cinta para representar un problema verbal y elegir un método de suma o resta para resolverlo.

Antes de sumar dos fracciones, necesito que ambas tengan unidades semejantes. Puedo usar lo que sé sobre fracciones equivalentes para crear unidades semejantes usando una recta numérica, la multiplicación o la división. Una vez que ambas fracciones tienen las mismas unidades, puedo usar los métodos que sé para sumar las fracciones.

317

LECCIÓN 18

Estimar sumas y diferencias de fracciones usando puntos de referencia

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 18

Nombre

Fecha

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

1. David pasa _2 de hora estudiando historia y _5 de hora estudiando matemáticas. 6

2 6

3 6 1 2

_1 + 1 = 1_1 2

5 6

La clase razona y resuelve problemas verbales de suma y resta con fracciones usando el proceso Lee-Dibuja-Escribe. Reemplazan las fracciones con puntos de referencia para estimar sumas y diferencias.

Preguntas clave

¿Aproximadamente cuánto estudia David en total? 0 6

Vistazo a la lección

• ¿Cómo podemos usar los puntos de referencia para estimar sumas y diferencias de fracciones?

6 6

• ¿Por qué a veces tenemos distintas estimaciones de una suma o una diferencia?

David estudia aproximadamente 1_1 horas.

Criterios de logro académico

4.Mód4.CLA4 Descomponen fracciones de más de una manera para obtener

una suma de fracciones con el mismo denominador. (4.NF.B.3.a) (4.NF.B.3.b) 4.Mód4.CLA7 Resuelven problemas verbales sobre sumas y restas

14 de pulgada de alto. 2. Liz mide la altura de su planta todos los domingos. Este domingo, mide __

12 7 de pulgada de alto. ¿Aproximadamente cuánto ha crecido El domingo pasado, su planta medía __ 12

la planta de Liz desde el domingo pasado? 14 ≈ 1 12

1 − _21 = _21

12 12

de fracciones que hacen referencia al mismo entero y tienen los mismos denominadores. (4.NF.B.3.d)

7 ≈1 12 2

2 12

La planta de Liz ha crecido aproximadamente _1 pulgada desde el domingo pasado. 2

173

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 18

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 5 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• ninguno

Considere si desea retirar con antelación las hojas extraíbles de Tarjetas de expresiones de los libros para estudiantes y recortar un juego de tarjetas por pareja de estudiantes o si los preparará con la clase durante la lección.

Aprender 40 min • Estimar una suma • Compartir, comparar y conectar • Estimar una diferencia

Estudiantes • Tarjetas de expresiones (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes) • notas adhesivas (3 por pareja de estudiantes)

• Clasificación de estimaciones de sumas y diferencias • Grupo de problemas

Concluir 10 min

319

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 18

Fluidez

Contar de un quinto en un quinto en la recta numérica La clase cuenta de un quinto en un quinto y expresa las fracciones como números enteros o mixtos para adquirir fluidez con la descomposición y equivalencia de fracciones. Muestre la recta numérica. ¿Qué unidad fraccionaria muestra la recta numérica? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Quintos Usen la recta numérica para contar hacia delante de un quinto en un quinto hasta 10 quintos. Empiecen diciendo 0 quintos. ¿Comenzamos? Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

_0 _1 9_ 10 __ 

0 5

1 5

2 5

3 5

4 5

5 5

6 5

7 5

8 5

9 5

10 5

 ,   …,   ,

5 5

Ahora, vuelvan a contar hacia 0 delante de un quinto en un quinto. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?

Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

0, _1  …, 9_  , 2 5

Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un quinto en un quinto. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros y números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

1 5

2 5

3 5

4 5

1 5

2 5

3 5

4 5

1 15 15 15 15 2

0,1  …, 1 4  , 2 5 5

320

6 5

7 5

8 5

9 5

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 18

Respuesta a coro: ¿Más cerca de 2 o de 1?

La clase determina si una fracción está más cerca de __  1  o de 1 como preparación 2 para estimar sumas y diferencias usando puntos de referencia. Muestre _   1 y la recta numérica rotulada con

0, _ 21  y 1.

1 3

Piensen dónde se ubica _  1  en la recta 3

 1  o numérica. ¿ _1 está más cerca de _ 2

de 1? Levanten la mano cuando sepan

la respuesta.

1 2

Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Está más cerca de _  1  2

1 3

Muestre _   1 en la recta numérica. 3

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

1 4

3 4

5 6

5 8

8 10

2 5

7 12

321

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 18

Presentar

La clase usa números de referencia para estimar una suma y una diferencia. Presente el problema y léalo a coro con la clase. El Sr. Davis planea preparar una comida. Todos los platos de la comida llevan harina. El

plato principal lleva _   5 de taza. El acompañamiento lleva _  2 de taza. El postre lleva _   de taza. 4

8 4

¿Aproximadamente cuántas tazas de harina necesita el Sr. Davis para preparar toda la comida?

Nota para la enseñanza En esta lección, se hace énfasis en el uso de números de referencia para estimar sumas y diferencias de fracciones. La suma y resta de fracciones para hallar sumas y diferencias exactas comienza en la lección 19.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuántas tazas de harina necesita el Sr. Davis sin hallar la cantidad exacta. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y, luego, registre las respuestas. A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que use números de referencia. Necesita aproximadamente 3 tazas de harina. _  5 está cerca de 1 y _  8 es igual a 2. Entonces, 4

1 + 2 = 3. Como _ 5  es mayor que 1, decidí no usar los _ 2 de taza necesarios para el 4

acompañamiento en mi estimación.

 21 tazas de harina. _ 45 está cerca de 1, _ 42 es igual a _ 21  El Sr. Davis necesita aproximadamente 3 _ 8 _ y    es igual a 2. 4

Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anímeles a hacer sus propias preguntas. ¿3 tazas es una sobreestimación o una subestimación? ¿Y 3 _     ? ¿Cómo lo saben? 1 2

Diferenciación: Apoyo Si sus estudiantes necesitan apoyo para determinar los números de referencia adecuados para usar en sus estimaciones, considere pedirles que marquen cada fracción del problema en una recta numérica.

0 4

2 4

4 5 4 4

8 4

1 2

3 tazas es una subestimación. Ya para el plato principal y el postre se necesitarán más de 3 tazas porque _   5 es mayor que 1 y _  8 es igual a 2. 4

 1 tazas es una subestimación. El acompañamiento y el postre necesitan 2 _  1 tazas. El plato 3 _ 2

principal necesita más de 1 taza, entonces se necesitarán más de 3 _   1  tazas. 2

El Sr. Davis tiene una bolsa con 4 tazas de harina. ¿Aproximadamente cuántas tazas de harina le quedarán después de preparar la comida?

322

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 18 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuántas tazas de harina necesita el Sr. Davis sin hallar la cantidad exacta. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y, luego, registre las respuestas. A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que use números de referencia. Como el Sr. Davis necesita aproximadamente 3 _  1 tazas de harina, le quedará aproximadamente 2

_ 1 taza. Sé que 3 _ 1  necesita 1_ 1 más para formar 4. 2

Apoyo para la comprensión del lenguaje Las secciones Decirlo otra vez y Preguntar por el razonamiento de la Herramienta para la conversación pueden ayudar a sus estudiantes a hacer conexiones y preguntas a lo largo de la lección.

_   1 tazas es una subestimación. Sabemos que al Sr. Davis le quedará menos de _  1 taza, porque 3 2

Podemos decir que al Sr. Davis le quedará aproximadamente _  1 taza porque es una 2

estimación cercana.

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos números de referencia para estimar sumas y diferencias de fracciones.

Aprender

Estimar una suma La clase resuelve un problema verbal usando números de referencia para estimar una suma. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros y léalo a coro con la clase. Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. 1. Carla prepara comida para una venta de pasteles. Todas las recetas llevan vainilla. La receta del  9  de cucharadita. La receta de galletas pastel lleva __   23  de cucharadita. La receta de la tarta lleva _ 8

 11  de cucharadita. ¿Aproximadamente cuántas lleva _   3  de cucharadita. La receta de pastelitos lleva _ 8

cucharaditas de vainilla usa Carla?

3 + 1 + 1_   + 1 1_   = 6 2

Carla usa aproximadamente 6 cucharaditas de vainilla. © Great Minds PBC

323

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 18 Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione a dos o tres parejas de estudiantes para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre los diferentes métodos que sus estudiantes pueden usar para estimar una suma. Los ejemplos de trabajo que se muestran representan el problema con una recta numérica y vínculos numéricos usando diferentes números de referencia para hallar aproximadamente cuántas cucharaditas de vainilla usa Carla.

34 88

8 9 1 1 12 88 88

16 8

2324 88

0 8

1 2

3 1 ≈ 8 2

9 ≈1 8

Pastel

Tarta Pastelitos

Vínculos numéricos

Galletas

Recta numérica

11 ≈1 8

23 ≈3 8

1 1 + 1 + 1 + 3 = 52 2

Carla usa aproximadamente 5 1 cucharaditas de vainilla. 2

9 ≈1 8

23 ≈ 3 8 8 8 7 8 8 8

8 8

1 8

1 3+1+ 1 +1 1 =6 2 2 5

11 ≈ 1 1 2 8

3≈ 1 2 8 8 8

3 8

Carla usa aproximadamente 6 cucharaditas de vainilla.

Nota para la enseñanza El ejemplo de trabajo muestra respuestas típicas. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre los conceptos clave. Si la clase no produjo ningún trabajo similar, seleccione uno o dos trabajos de la clase para compartir y destaque la manera en que esos trabajos contribuyen a avanzar hacia el objetivo de la lección. Luego, seleccione un ejemplo de trabajo de la lección que sirva para incentivar el razonamiento matemático. Considere decir lo siguiente para presentar el trabajo: “Alguien resolvió el problema de esta otra manera. ¿Qué fue lo que hizo?”.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante construye argumentos viables (MP3) cuando resuelve un problema verbal y comparte su solución con sus pares. Ofrecen valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando consideran el trabajo de sus pares y lo comparan con el propio. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:

Compartir, comparar y conectar La clase compara diferentes maneras de resolver el problema 1 y hace conexiones con la forma en que resolvieron el problema.

• ¿Qué preguntas pueden hacerles a sus pares para asegurarse de que comprenden su método? • ¿Por qué funciona su método? Convenzan a la clase.

Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones.

324

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 18 A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento y ofrezca aclaraciones sobre el modelo que usó para representar el problema. Haga preguntas para ayudar a sus estudiantes a establecer conexiones entre las soluciones presentadas y su propio trabajo. Anime a sus estudiantes a que hagan preguntas.

La recta numérica muestra los puntos de referencia 0, _   1 , 1, 2 y 3. Dado que los 2 puntos de referencia se expresan como octavos, pueden marcar las fracciones del problema en la recta numérica y determinar de qué números de referencia están cerca.

marcamos y rotulamos cada fracción

16 8

2324 88

1 2

9 ≈1 8

Pastel

8 9 1 1 12 88 88

11 ≈1 8

23 ≈3 8

1 1 + 1 + 1 + 3 = 52 2

Primero, marcamos los puntos de referencia y los expresamos como octavos. Luego,

34 88

0 8

3 1 ≈ 8 2

Jayla y Pablo, expliquen cómo hallaron aproximadamente cuántas cucharaditas usa Carla.

0, _ 21 , 1, 2 y 3 en la recta numérica

Tarta Pastelitos

Examinen el trabajo de Jayla y Pablo. ¿Cómo les ayuda el uso de una recta numérica a identificar una estrategia para hallar la solución?

Galletas

Recta numérica (método de Jayla y Pablo)

Carla usa aproximadamente 5 1 cucharaditas de vainilla. 2

y receta del problema en la recta numérica

 1 , _   9  y __  11  y determinamos de qué números de referencia estaban cerca. Vimos que _  3 está cerca de _ 8

2 8

 23 está cerca de 3. Luego, sumamos las estimaciones para hallar una suma están cerca de 1 y __

 1 más es 5 _  1 . estimada. 3 + 1 + 1 = 5 y _ 2

Diferenciación: Desafío

¿Cómo determinaron que la recta numérica debe ir de 0 a 3?

Vimos que la fracción mayor del problema era ___  23  y la fracción menor era _  3 . Sabíamos que _   3  8

es menor que 1, entonces comenzamos con 0. Luego, contamos de uno en uno y de 8 octavos

 23 . Como 3 = __  24 , sabíamos que nuestra recta en 8 octavos hasta llegar a un número mayor que __ numérica no necesitaba ser más larga.

A medida que terminan, desafíe a las parejas de estudiantes a convertir sus estimaciones de cucharaditas a cucharadas. Señale que 1 cucharada es igual a 3 cucharaditas.

325

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 18 12 ¿Por qué decidieron marcar  __   en su recta numérica? 8

Nos dimos cuenta de que _  9  y __  11 se tendrían que marcar entre _  8  y __  16 . Como ayuda para calcular 8 8 8 8  8  y __  16 . Como __   12  era si estaban más cerca de 1 o de 2, hallamos la fracción en el punto medio entre _ 8 8 8  11 eran aproximadamente 1. el punto medio, sabíamos que _  9  y __ 8

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el trabajo de Jayla y Pablo y sus propios trabajos. Vínculos numéricos (método de Gabe y Liz) Examinen el trabajo de Gabe y Liz. ¿Qué tiene de diferente el trabajo de Gabe y Liz en comparación con el de Jayla y Pablo?

9 ≈1 8

23 ≈ 3 8 8 8 7 8 8 8

Gabe y Liz usaron vínculos numéricos para descomponer las fracciones del problema

8 8

1 8

en lugar de marcarlas en una recta numérica. Obtuvieron una estimación diferente. Su

3+1+ 1 +1 1 =6

estimación es 6 cucharaditas. La estimación

  1  cucharaditas. de Jayla y Pablo es 5 _ 2

Gabe y Liz, expliquen cómo hallaron aproximadamente cuántas cucharaditas usa Carla.

11 ≈ 1 1 2 8

3≈ 1 2 8 8 8

3 8

Carla usa aproximadamente 6 cucharaditas de vainilla.

Usamos vínculos numéricos para descomponer la mayoría de las fracciones del problema, entonces pudimos usar los puntos de referencia 0, _   1  y 1 para estimar. 2

 7  . Como _   7 está a solo 1 octavo de distancia de 1, Descompusimos __   23  en 2 grupos de 1 y 1 grupo de _ 8

estimamos que __   23 es aproximadamente 3.

Descompusimos _   9  en 1 grupo de 1 y 1 grupo de _  1  . Como _   1 está a solo 1 octavo de distancia de 0, 8

estimamos que _   9 es aproximadamente 1.

Sabíamos que _   4  = _  1  . Como _ 83 está a solo 1 octavo de distancia de _ 21  , estimamos que _ 83  8 2 es aproximadamente _   1  . 2 Descompusimos __   11  en 1 grupo de 1 y 1 grupo de _  3  . Como _   3 está a solo 1 octavo de distancia de _  4  8 8 8 8  1  , estimamos que __   11 es aproximadamente 1 _  1  . y_  4  = _ 8

326

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 18 Luego, sumamos todas nuestras estimaciones para hallar una suma estimada. 3 + 1 + 1 = 5 y 2 medios = 1. 5 + 1 = 6. ¿Cómo determinaron la manera de sumar las cuatro estimaciones? Sabemos cómo sumar números enteros. También sabemos cómo descomponer un número mixto en un número entero y una fracción, así que sumamos primero todos los números enteros.

3 + 1 + 1 = 5. Nos quedó el sumando _ 21 y la parte fraccionaria del número mixto _ 21 . Nos dimos

cuenta de que esto era 2 medios y sabemos que _  2  = 1 . 2

¿Por qué Gabe y Liz obtuvieron una estimación diferente a la de Jayla y Pablo? ¿Son correctas ambas estimaciones? Expliquen. Usaron diferentes puntos de referencia. Gabe y Liz estimaron que __  11 era 1 _  1  . Jayla y Pablo 8

estimaron que __   11  era 1. Estimar que __  11 es aproximadamente 1 o aproximadamente 1 _   1 está bien, 8

así que ambas estimaciones son correctas. Gabe y Liz simplemente usaron diferentes números de referencia para estimar que Jayla y Pablo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Gabe y Liz y sus propios trabajos.

Estimar una diferencia La clase resuelve un problema verbal usando números de referencia para estimar una diferencia. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y léalo a coro con la clase. Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

 3   de milla por la tarde. ¿Aproximadamente cuántas millas 2. Deepa corre __   9   de milla por la mañana y __ 10

más corre Deepa por la mañana que por la tarde?

1 − 1_   = 1_   2

Deepa corre aproximadamente _  1 milla más por la mañana que por la tarde. 2

327

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 18 Invite a las parejas de estudiantes a trabajar juntas para resolver el problema. Recorra el salón de clases y considere apoyar a sus estudiantes mientras trabajan con preguntas como las siguientes: • ¿Qué información conocemos? • ¿Qué información desconocemos?

Nota para la enseñanza

• ¿La respuesta será mayor que o menor que __  9  de milla? ¿Cómo lo saben? 10

• ¿De qué número de referencia está cerca __  9  ? ¿Cómo lo saben?

Considere preguntar a sus estudiantes si su estimación es una sobreestimación o una subestimación y por qué.

• ¿De qué número de referencia está cerca __  3  ? ¿Cómo lo saben? 10

Pida a una pareja de estudiantes que comparta su razonamiento con la clase. Anime a sus estudiantes a usar la sección Preguntar por el razonamiento de la Herramienta para la conversación para hacer preguntas sobre el trabajo de sus pares.

Clasificación de estimaciones de sumas y diferencias Materiales: E) Tarjetas de expresiones, notas adhesivas

La clase clasifica tarjetas de expresiones según las estimaciones de sumas y diferencias. Pida a la clase que trabaje en parejas. Distribuya un juego de Tarjetas de expresiones y tres notas adhesivas a cada pareja de estudiantes. Pídales que usen el siguiente procedimiento para clasificar las tarjetas. Considere hacer una ronda de práctica con la clase.

• Rotulen las notas adhesivas de la siguiente manera: Menor que _  1  ; Mayor que _   1 , pero menor que 1; 2 2 y Mayor que 1. • Coloquen todas las tarjetas de expresiones en una pila, bocabajo. • Túrnense para dar vuelta a una tarjeta y leer la expresión. • Clasifiquen en pilas las tarjetas que tengan la misma suma o diferencia estimada. • Continúen hasta que todas las tarjetas estén clasificadas.

328

Mayor que 1 , pero Menor que 1 2 2 menor que 1 1+1 6 6

3 + 1 + 5 12 12 12

Mayor que 1

15 + 3 8 8

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 18 Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario. Si hay tiempo suficiente, invite a las parejas a comparar los resultados de su clasificación con los de otra pareja cercana y a observar si hay diferencias. Si es así, anime a las parejas a comentar cómo hallaron las diferentes estimaciones.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Estimar sumas y diferencias de fracciones usando puntos de referencia Reúna a la clase, pídales que tengan a mano su Grupo de problemas y guíe una conversación acerca de sus estimaciones. Para los problemas 1 a 4, ¿cuándo usaron el punto de referencia 1 para hacer una estimación? ¿Por qué?

DUA: Acción y expresión Considere dar tiempo a sus estudiantes para que reflexionen haciendo preguntas como las siguientes:

Usé el punto de referencia 1 para los cuatro problemas. Cada problema tenía 1 fracción que estaba cerca de 1.

• ¿Qué aprendieron?

Usé el punto de referencia 1 cuando una fracción era 1 unidad menos que 1 o una unidad más que 1.

• ¿Hubo algún modelo que sus pares hayan usado para representar el problema que les gustaría usar la próxima vez?

• ¿Qué preguntas tienen todavía?

Para los problemas 1 a 4, ¿cuándo usaron el punto de referencia _  1 para hacer una 2 estimación? ¿Por qué?

Usé el punto de referencia _  1 para los problemas 1 a 3. Cada uno de esos problemas tenía 2

 1  . al menos 1 fracción que estaba cerca de _ 2

 1  o 1 unidad más que _  1  . Usé el punto de referencia _  1 cuando una fracción era 1 unidad menos que _ 2

¿Cómo podemos usar los puntos de referencia para estimar sumas y diferencias? Podemos reemplazar las fracciones con puntos de referencia de los que están cerca y, luego, estimar.

329

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 18

EUREKA MATH2

¿Por qué a veces tenemos distintas estimaciones de una suma o una diferencia? Si usamos distintos puntos de referencia, obtendremos distintas estimaciones. Si los puntos de referencia que usamos están cerca de los números del problema, está bien si tenemos distintas estimaciones.

330

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 18

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 18

Nombre

1. _2 + _5 ≈ 6 6

Fecha

1 _1

Estima la suma o la diferencia.

3. _7 − _3 ≈ 8 8

__6 + 11 __ + __4 ≈

12 5_ ≈ −4 4. __ 4

1 2

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 18

9 de metro. Si un listón mide __ 4 de metro de largo, 6. La longitud total de dos listones es __ 10

¿aproximadamente cuánto mide el otro listón de largo?

1− 1_ = 1_ 2

El otro listón mide aproximadamente _1 metro de largo.

7. El Sr. López planea pasar _7 de hora cocinando una comida. En cambio, termina de cocinar en

6 _4 de hora. ¿Aproximadamente cuánto tiempo antes termina de cocinar la comida el Sr. López?

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

1 − 1_ = 1_

5. James bebe _3 de litro de agua por la mañana. Bebe _4 de litro de agua por la tarde. 5

El Sr. López termina de cocinar aproximadamente _1 hora antes.

¿Aproximadamente cuántos litros de agua bebe James en total?

1 + 1 = 11 2 2

James bebe aproximadamente 1 _1 litros de agua. 2

169

170

GRUPO DE PROBLEMAS

331

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 18

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 18

16 de libra de arroz y _ 7 de libra de avena. 8. La señora Wong compra _3 de libra de trigo, __ 8

¿Aproximadamente cuántas libras de granos compra la señora Wong en total? La señora Wong compra aproximadamente 3 _1 libras de granos en total.

1+2+1=31 2 2

332

GRUPO DE PROBLEMAS

171

LECCIÓN 19

Sumar y restar fracciones con unidades semejantes

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 19

Nombre

Fecha

Suma o resta. Escribe la suma o la diferencia en forma fraccionaria. Puedes usar una recta numérica como ayuda. 1.

_7 − 6_ = 8 8

_1 8 −

_3 + 2_ = 4 4

Vistazo a la lección La clase hace conexiones entre la suma y la resta de números enteros y la suma y la resta de fracciones con unidades semejantes. Usan las formas unitaria y fraccionaria para escribir ecuaciones de suma y resta. También usan una recta numérica para representar la suma y resta de fracciones con unidades semejantes.

Preguntas clave

6 8

1 8

7 8

• ¿En qué se parece sumar y restar fracciones con unidades semejantes a sumar y restar números enteros? 1

• ¿Cómo podemos usar una recta numérica para representar la suma y resta de fracciones con unidades semejantes?

_5 4

Criterio de logro académico +

2 4

4.Mód4.CLA4 Descomponen fracciones de más de una manera para obtener

una suma de fracciones con el mismo denominador. (4.NF.B.3.a) (4.NF.B.3.b) 0

3 4

5 4

179

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 19

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• ninguno

Repase el recurso Las matemáticas en el pasado como apoyo para la enseñanza de la sección Concluir.

Aprender 35 min • Sumar y restar en forma unitaria

Estudiantes • ninguno

• Sumar y restar en forma fraccionaria • Sumar y restar en una recta numérica • Grupo de problemas

Concluir 10 min

335

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 19

Fluidez

_0   , 1_   …, 9_   , 10 __   5 5

5 5

Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un quinto en un quinto. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

_ _

0, 1   …, 9   , 2 5 5 Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un quinto en un quinto. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros y números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?

0 5

1 5

2 5

3 5

4 5

5 5

6 5

7 5

8 5

9 5

10 5

1 5

2 5

3 5

4 5

6 5

7 5

8 5

9 5

1 5

2 5

3 5

4 5

1 15 15 15 15 2

Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 1_   …, 1 4_   , 2 5

336

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 19

Respuesta a coro: ¿Más cerca de 0, 1_   o 1?

2 La clase determina si una fracción está más cerca de 0, _  1  o 1 como preparación 2

para estimar si las respuestas son razonables en la lección 21. Muestre _   5  y la recta numérica 6

5 6

rotulada con 0, _   1  y 1. 2

Piensen dónde se ubica _  5  en esta 6

recta numérica. ¿ _  5  está más cerca 6   1  o 1? Levanten la mano de 0, _ 2

cuando sepan la respuesta.

1 2

Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

Más cerca de 1

Muestre _   5  en la recta numérica. 6

5 6

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

1 6

3 8

7 8

6 10

2 10

5 12

10 12

2 5

337

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 19

Intercambio con la pizarra blanca: Interpretar vínculos numéricos La clase escribe cuatro ecuaciones con números enteros a fin de representar un vínculo numérico como preparación para sumar y restar fracciones con unidades semejantes. Muestre el vínculo numérico. ¿Cuál es el valor del número desconocido? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

4 4

Muestre la respuesta y, luego, las ecuaciones de suma en blanco. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

3 + 1 = 4

4 − 3 = 1

1 + 3 = 4

4 − 1 = 3

Escriban dos ecuaciones de suma distintas para representar el vínculo numérico. Muestre las ecuaciones de suma completadas y, luego, las ecuaciones de resta en blanco. Escriban dos ecuaciones de resta distintas para representar el vínculo numérico. Muestre las ecuaciones de resta completadas. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

8 5

338

5 3

10 2

3 + 5 = 8

8 − 3 = 5

3 + 2 = 5

5 − 3 = 2

6 + 4 = 10

10 − 6 = 4

5 + 3 = 8

8 − 5 = 3

2 + 3 = 5

5 − 2 = 3

4 + 6 = 10

10 − 4 = 6

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 19

Presentar

La clase razona sobre las estrategias de suma de fracciones con unidades semejantes. Muestre la imagen de los pasteles de Eva y Shen. Eva y Shen decoran pasteles del mismo tamaño. ¿Cuántos pasteles decoran Eva y Shen en total? ¿Cómo lo saben?

Pasteles de Eva

Pasteles de Shen

7 pasteles porque los conté. 7 pasteles porque 4 + 3 = 7. Muestre la imagen de las cantidades fraccionarias que quedan de los pasteles de Eva y Shen. La imagen representa la cantidad de pastel que les queda a Eva y Shen después de compartirlo con sus familias.

Pastel de Eva

Pastel de Shen

4 8

3 8

¿Qué observan? A Eva le queda más pastel que a Shen. Tanto a Eva como a Shen les queda parte de 1 pastel. Tanto Eva como Shen cortaron sus pasteles en octavos.  3 . A Eva le quedan _  4  de un pastel y a Shen le quedan _ 8

Eva y Shen quieren compartir el pastel que les queda con otras personas. ¿Cómo pueden calcular la cantidad de pastel que tienen en total? Pueden sumar lo que queda del pastel de Shen y lo que queda del pastel de Eva para calcular el total. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar lo que saben sobre la suma de números enteros y si creen que pueden usar estrategias parecidas para sumar fracciones. Creemos que podemos contar los octavos, al igual que contamos los pasteles, para hallar el total. Creemos que podemos sumar unidades semejantes, al igual que hicimos con los pasteles y lo que hacemos cuando sumamos unidades a unidades, decenas a decenas y centenas a centenas.

DUA: Acción y expresión Considere apoyar a sus estudiantes con la suma proporcionando tiras de fracciones o pidiéndoles que dibujen diagramas de cinta para representar su razonamiento.

No sabemos qué sucede con el denominador. ¿Cambia cuando sumamos fracciones? © Great Minds PBC

339

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 19 Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, sumaremos y restaremos fracciones con unidades semejantes.

Aprender

Sumar y restar en forma unitaria La clase hace conexiones entre la suma y la resta de números enteros usando números en forma unitaria y la suma y la resta de fracciones usando números en forma unitaria. Muestre la imagen del vínculo numérico.

octavos

¿Qué ecuaciones podemos escribir para representar el vínculo numérico?

4 octavos + 3 octavos = 7 octavos 3 octavos + 4 octavos = 7 octavos 7 octavos − 3 octavos = 4 octavos 7 octavos − 4 octavos = 3 octavos

octavos

Nota para la enseñanza

octavos

¿En qué se parecen las ecuaciones con unidades fraccionarias a las ecuaciones con números enteros? Las partes se suman para formar el total. Se resta una parte del total para mostrar la otra parte. Muestran la propiedad conmutativa de la suma. Se suman las mismas partes, pero en un orden diferente.

340

La lección está organizada intencionalmente de modo secuencial para ayudar a sus estudiantes a evitar el concepto erróneo de sumar y restar denominadores. Escribir ecuaciones usando primero la forma unitaria, seguida de la forma fraccionaria y la representación en la recta numérica, permite a sus estudiantes ver que las unidades no cambian al sumar y restar fracciones con unidades semejantes.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 19 Muestre la imagen del vínculo numérico con una parte desconocida.

¿Qué observan?

décimos

Hay una parte desconocida. ¿Qué ecuaciones pueden escribir para representar el vínculo numérico?

= 8 décimos 6 décimos + + 6 décimos = 8 décimos 8 décimos − 6 décimos = 8 décimos − = 6 décimos

décimos

¿Cuál es la parte desconocida? ¿Cómo lo saben?

2 décimos porque sé que 8 − 6 = 2, entonces 8 décimos − 6 décimos = 2 décimos. 2 décimos porque sé que 6 y 2 forman 8. Esa relación significa que 6 décimos + 2 décimos = 8 décimos.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere crear un afiche que enumere las maneras en las que sus estudiantes pueden sumar y restar fracciones con unidades semejantes. Comience el afiche escribiendo números en forma unitaria e incluya ejemplos de sumas y restas.

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar el número desconocido en cada ecuación: • 3 quintos + 2 quintos = • 4 novenos +

= 8 novenos

• 5 sextos − 1 sexto = • 11 doceavos − 6 doceavos = Invite a una o dos parejas a compartir sus ecuaciones. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar la forma unitaria para sumar o restar fracciones con unidades semejantes.

Diferenciación: Apoyo Considere ayudar a sus estudiantes a relacionar las ecuaciones con el razonamiento de parte-total mediante un vínculo numérico que represente cada ecuación.

341

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 19

Sumar y restar en forma fraccionaria La clase escribe ecuaciones con números en forma fraccionaria para sumar y restar fracciones con unidades semejantes. Escriba 4 octavos + 3 octavos = 7 octavos y 8 décimos − 6 décimos = 2 décimos. Pida a sus estudiantes que escriban la ecuación con los números en forma fraccionaria. Invite a una o dos parejas a compartir sus ecuaciones. Escriba las ecuaciones con los números en forma fraccionaria debajo de las ecuaciones con los números en forma unitaria.

Nota para la enseñanza Considere pedir a sus estudiantes que hagan una estimación antes de hallar la suma o la diferencia real. • ¿De qué punto de referencia está cerca cada fracción? • ¿Cómo podemos usar los puntos de referencia para estimar? • ¿La suma será menor que o mayor que 1? ¿Por qué?

¿Escribir la ecuación con los números en forma fraccionaria cambia la manera de sumar o restar fracciones con unidades semejantes?

• ¿La diferencia será menor que o mayor que   1  ? ¿Por qué? 2

No, porque cuando decimos la ecuación con los números en forma fraccionaria, suena exactamente igual que la ecuación con los números en forma unitaria. No, porque seguimos sumando el número de unidades en cada parte para hallar el total. No, porque seguimos restando el número de unidades en la parte conocida del total para hallar la diferencia. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar la suma o la diferencia de las siguientes ecuaciones:

__5   + __   2   =

•

10 10 6 4 •   −   = 8 8 3 1 •   +   = 3 3 5 2 •   −   = 5 5

_ _ _ _ _ _

Diferenciación: Desafío Invite a sus estudiantes a escribir enunciados que muestren la suma o la resta de otra manera.

3 4 3+ 4 7 + = = 8 8 8 8

8 — 6 = 8— 6= 2 10 10 10 10

Invite a una o dos parejas a compartir sus ecuaciones. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar la forma fraccionaria para representar la suma o resta de fracciones con unidades semejantes.

342

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 19

Sumar y restar en una recta numérica

Apoyo para la comprensión del lenguaje

La clase dibuja una recta numérica para representar la suma o resta de fracciones con unidades semejantes. Muestre la imagen de las rectas numéricas A y B.

Incluya forma fraccionaria en el afiche.

−4

¿Qué ecuación de suma representa la recta numérica A? ¿Cómo lo saben?

3 + 2 = 5 porque la flecha va de 3 a 5 y está rotulada con + 2. ¿Qué ecuación de resta representa la recta numérica B? ¿Cómo lo saben?

6 − 4 = 2 porque la flecha va de 6 a 2 y está rotulada con − 4. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si pueden representar la suma y la resta de fracciones con unidades semejantes en una recta numérica. Creemos que podemos hacerlo porque sabemos cómo marcar fracciones en una recta numérica. Después de marcar la parte o el total, podemos usar una flecha para mostrar cuántas unidades fraccionarias hay que sumar o restar. Creemos que podemos hacerlo porque sabemos cómo representar fracciones y unidades fraccionarias en la recta numérica. Podemos usar flechas, de forma parecida a lo que hacemos con los números enteros, para representar la suma o la resta. Creemos que podemos hacerlo porque las sumas y restas que hemos hecho hoy con fracciones son parecidas a las sumas y restas con números enteros. Si podemos sumar y restar números enteros en una recta numérica, creemos que podemos sumar y restar fracciones con unidades semejantes en una recta numérica.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante representa a través de las matemáticas (MP4) cuando dibuja una recta numérica para representar la suma o resta de fracciones con unidades semejantes. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP4: • ¿Qué información clave necesitan incluir en su recta numérica al sumar o restar fracciones con unidades semejantes? • ¿Cómo representan en la recta numérica la información clave al sumar y restar fracciones con unidades semejantes?

343

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 19 Escriba _   2  + _  1  =

. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Pídales que dibujen una recta

numérica y que marquen _  2  .

DUA: Representación

¿Cuántos cuartos sumamos a _  2  ?

Considere usar un código de colores para las partes y el total en la recta numérica. Esto puede ayudar a sus estudiantes a hacer conexiones entre las partes y el total en la recta numérica y en la ecuación.

1 cuarto

¿Cómo podemos representar la suma de _  1  en la recta numérica? 4

Podemos dibujar una flecha desde _  2  hasta el siguiente cuarto. Podemos rotular + _  1  arriba 4

de la flecha.

Dibuje y rotule una flecha de _  2  a _   3  . Pida a 4

sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale la recta numérica y haga la siguiente pregunta. ¿Cuánto es _   2  + _     ? 1 4

_ 3   4

Nota para la enseñanza

Rotule _   3  en la recta numérica y escriba la fracción en el 4

espacio de la ecuación. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Dónde ven las partes y el total en la recta numérica?

 1  . El total está representado por la longitud total de _  3. Las partes son las dos longitudes, _  2  y _ 4

Use un proceso similar para sumar _  4  y _  3  . 5

La recta numérica es un modelo que permite a sus estudiantes ver las fracciones mayores que 1 como números mixtos. Al sumar fracciones en la recta numérica, pueden registrar la suma como una fracción mayor que 1 o como un número mixto.

¿Cómo podemos cambiar nuestro trabajo en la recta

Diferenciación: Desafío

numérica para representar la ecuación de resta relacionada _   7  − _     = _    ? 5

3 5

4 5

Podemos cambiar la dirección de la flecha para que vaya de _   7  a _   4  . 5

Considere presentar rectas numéricas sin las fracciones rotuladas. Pida a sus estudiantes que rotulen la recta numérica y escriban una ecuación que represente el trabajo de suma o resta en la recta numérica.

También podemos cambiar el signo de suma que está arriba de la flecha por un signo de resta.

344

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 19 5 — 10

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar

__   7   − __   5   y _ 8  − _ 3  . Las parejas deben: 10

• dibujar para representar el total en la recta numérica; • dibujar y rotular una flecha para representar la fracción que se resta;

2 10

DUA: Acción y expresión

7 10 3

—8

• rotular la diferencia en la recta numérica y • escribir una ecuación de resta para representar la resta en la recta numérica. Invite a una o dos parejas a compartir su razonamiento. Use las siguientes preguntas para guiar una conversación de toda la clase:

7 5 2 — = 10 10 10

5 8

8 3 5 — = 8 8 8

8 8

• ¿Dónde ven representado el total en la recta numérica? ¿Y la parte que se resta? ¿Y la diferencia?

Considere brindar apoyo a sus estudiantes para que expresen su aprendizaje de manera flexible permitiéndoles usar una variedad de herramientas y modelos, como fichas de fracciones, tiras de fracciones, rectas numéricas abiertas y el método de flechas para hallar el número desconocido.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Incluya recta numérica en el afiche.

• ¿Cómo saben que la flecha representa la resta? • ¿Cómo representa su ecuación la resta en la recta numérica? Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar una recta numérica para representar la resta de fracciones con unidades semejantes.

345

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 19

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Sumar y restar fracciones con unidades semejantes Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de la suma y resta de fracciones con unidades semejantes.

DUA: Acción y expresión

Muestre la imagen de las cantidades fraccionarias que quedan de los pasteles de Eva y Shen. Antes, pregunté si pueden usar lo que saben sobre la suma de números enteros para sumar fracciones con unidades semejantes. ¿Ha cambiado su razonamiento? ¿Cómo? Ahora, sabemos que podemos usar algunas de las mismas estrategias que usamos para sumar números enteros a fin de sumar fracciones con unidades semejantes.

Pastel de Eva

Pastel de Shen

Considere dar tiempo para que sus estudiantes participen de una reflexión antes de pasar al Grupo de problemas. • ¿Qué les ayuda a entender la suma y la resta de fracciones con unidades semejantes? • ¿En qué creen que necesitan más ayuda?

4 8

Sabemos que podemos usar la forma unitaria, la forma fraccionaria o una recta numérica para sumar fracciones con unidades semejantes, al igual que cuando sumamos números enteros.

3 8

• ¿Cómo se relaciona la suma y resta de fracciones con unidades semejantes con otros conceptos que han aprendido?

¿En qué se parece sumar y restar fracciones con unidades semejantes a sumar y restar números enteros? Podemos sumar y restar unidades fraccionarias semejantes, al igual que podemos sumar y restar unidades de valor posicional semejantes. Podemos usar la propiedad conmutativa de la suma para las fracciones, al igual que podemos usarla con los números enteros. Podemos pensar en un problema de resta como un problema de sumando desconocido, al igual que con los números enteros.

346

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 19 ¿Cómo podemos usar una recta numérica para representar la suma y resta de fracciones con unidades semejantes? Podemos marcar una parte en la recta numérica y, luego, sumar la otra parte en la recta numérica para hallar el total. Podemos marcar el total en la recta numérica y, luego, restar las unidades fraccionarias para hallar la parte desconocida.

Las matemáticas en el pasado Las civilizaciones antiguas escribían las fracciones de manera diferente a como lo hacemos hoy en día.

1/3 Es posible que a sus estudiantes les resulte interesante aprender sobre las diferentes maneras en las que se escribían las fracciones y las operaciones con fracciones en la antigüedad. Considere ampliar esta lección haciendo referencia al recurso Las matemáticas en el pasado para tener una conversación más profunda sobre la historia de las fracciones. Sus estudiantes pueden explorar las distintas maneras en las que se han escrito las fracciones, y puede presentarles el desafío de reescribir las notaciones o las fracciones como se habrían escrito hace mucho tiempo.

347

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 19

Nombre

Fecha

Suma o resta. Escribe la suma o la diferencia en forma fraccionaria. Usa la recta numérica para representar la suma o la resta. 13. _2 + _2 = 5 5

Suma o resta. Escribe la suma o la diferencia en forma unitaria. 1. 2 quintos + 1 quinto =

3 quintos

2. 5 octavos + 4 octavos =

9 octavos

3. 3 cuartos − 1 cuarto =

2 cuartos

4. 7 décimos − 4 décimos =

3 décimos

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 19

_4 5 +

2 5

4 5

Suma o resta. Escribe la suma o la diferencia en forma fraccionaria. 5. _1 + _2 = 4 4

_3 4

6. _2 + _3 = 6 6

14. _3 + _5 = 8 8

_5 6

_8 8 +

7. _2 − _1 = 3 3

_1 3

8. _4 − _2 = 5 5

9. _3 + _2 = 3 3

_5 3

10.

5 11 __ + __ = 12 12

_2 5

16 __ 12

15. _4 + _3 = 4 4

3 8

8 8

_7 4 +

11. _5 − _3 = 6 6

_2 6

10 __ 12. __ − 7 = 10 10

4 4

3 __ 10

348

175

176

5 8

GRUPO DE PROBLEMAS

3 4

7 4

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 19

EUREKA MATH2

16.

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 19

5 7 __ + __ = 10 10

19. _7 − _4 = 8 8

12 __ 10 +

17. _3 − _3 = 4 4

5 10

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 19

_3 8 −

7 10

12 10

12 __ 20. __ − 5 = 12 12

_0 4

4 8

3 8

7 8

7 __ 12 −

−4

7 12 3 4

5 12

12 12

18. _4 − _2 = 6 6

_2 6 −

2 6

4 6

GRUPO DE PROBLEMAS

177

178

GRUPO DE PROBLEMAS

349

LECCIÓN 20

Restar una fracción de un número entero

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

Nombre

Fecha

Resta. Explica tu estrategia usando imágenes, números o palabras. 3 1. 1 − _ 4 Ejemplo:

1 − 3_ = 4_ − 3_ = 1_ 4

Vistazo a la lección La clase usa una recta numérica para representar la resta de números enteros y fracciones. Restan fracciones con unidades semejantes expresando 1 como una fracción o descomponiendo 2 o más en 1 y una fracción igual a 1. Usan un diagrama de cinta para representar un problema verbal que implica restar una fracción de un número entero.

Preguntas clave

• ¿Cómo podemos restar una fracción de un número entero? • ¿En qué casos descomponer números o expresarlos con otro nombre les ayuda a restar fracciones con unidades semejantes?

2 2. 2 − _ 5 Ejemplo:

2− 1

Criterios de logro académico

2 3 =1 5 5

4.Mód4.CLA4 Descomponen fracciones de más de una manera para obtener

5 5

una suma de fracciones con el mismo denominador. (4.NF.B.3.a) (4.NF.B.3.b) 4.Mód4.CLA7 Resuelven problemas verbales sobre sumas y restas

de fracciones que hacen referencia al mismo entero y tienen los mismos denominadores. (4.NF.B.3.d) (4.MD.A.2)

185

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Restar en una recta numérica

Estudiantes • ninguno

• Expresar 1 con otro nombre para restar • Descomponer 2 o más para restar • Resolver un problema verbal • Grupo de problemas

Concluir 10 min

351

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Fracciones equivalentes La clase escribe y completa un enunciado para adquirir fluidez con la destreza iniciada en el tema B de generar una fracción equivalente para una fracción unitaria. Muestre _   1  = ______     = ___           . 2

× 1       × 2

Escriban y completen los enunciados para mostrar cómo se expresa _  1  como una fracción 2 equivalente. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

2 ×1 2 1 = = 2 4 2 ×2

Muestre el enunciado completado. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

5 5 ×1 1 = = 2 10 5 ×2

352

2 2 ×1 1 = = 3 6 2 ×3

4 ×1 1 = = 4 3 12 4 ×3

2 ×1 1 = = 2 4 8 2 ×4

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

Intercambio con la pizarra blanca: Interpretar vínculos numéricos La clase escribe cuatro ecuaciones con fracciones a fin de representar un vínculo numérico para desarrollar fluidez con la suma y resta de fracciones con unidades semejantes. Muestre el vínculo numérico. ¿Cuál es el valor del número desconocido? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

3 4

_ 3   4

Muestre la respuesta y, luego, las ecuaciones de suma en blanco.

2 4

1 4

2 1 3 + = 4 4 4

3 2 1 − = 4 4 4

Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. 1 3 + 2 = 3 − 1 = 2 Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para 4 4 4 4 4 4 que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Escriban dos ecuaciones de suma distintas para representar el vínculo numérico. Muestre las ecuaciones de suma completadas y, luego, las ecuaciones de resta en blanco. Escriban dos ecuaciones de resta distintas para representar el vínculo numérico. Muestre las ecuaciones de resta completadas. Repita el proceso con la siguiente secuencia: 7 8 5 8

3 5 2 8

1 5

9 10 2 5

6 10

3 10

5 2 7 + = 8 8 8

7 5 2 − = 8 8 8

1 2 3 + = 5 5 5

3 1 2 − = 5 5 5

6 3 9 + = 10 10 10

9 6 3 − = 10 10 10

2 + 5 = 7 8 8 8

7 − 2 = 5 8 8 8

2 + 1 = 3 5 5 5

3 − 2 = 1 5 5 5

3 + 6 = 9 10 10 10

9 − 3 = 6 10 10 10

353

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

Presentar

La clase expresa una fracción como un número entero en una ecuación de resta y conversa acerca de la resta de una fracción de un número entero. Escriba __   3   , __   7   y __  10  . Invite a sus estudiantes a hacer un vínculo numérico para mostrar cómo 10 10

Sus estudiantes pueden beneficiarse de

se relacionan las fracciones. Elija estudiantes para que compartan su razonamiento.

10 10

¿Cuál es el total? ¿Cómo lo saben?

__  3   y __   7  .   10 porque está formado por __ 10

¿Cuáles son las partes? ¿Cómo lo saben?

__   7  porque se pueden juntar para formar __  10 .   3   y __ 10

DUA: Representación

3 10

dibujar un diagrama de cinta u otro modelo

__ __ __

7 10

pictórico de   10 ,   3   y   7   para derivar de manera 10 10 10 adecuada dos ecuaciones de suma y dos de resta del vínculo numérico.

Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas y usar las fracciones para escribir dos ecuaciones de suma y dos ecuaciones de resta. Invite a una o dos parejas a compartir su razonamiento. Escriba las ecuaciones de sus estudiantes. ¿Cómo muestran sus ecuaciones de suma la propiedad conmutativa de la suma? Podemos sumar las partes en cualquier orden y el total sigue siendo el mismo.

__   3   + __   7   y __   7   + __   3  tienen el mismo total, __  10 . 10

¿Qué fracción podemos expresar como un número entero? ¿Por qué?

__   10 porque es la misma cantidad que 1. 10 Exprese __   10  como 1 en cada ecuación y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. 10

Señale 1 − __  7   = __    y pida a sus estudiantes que digan la ecuación con los números en forma unitaria. 10

3 10

1 unidad menos 7 décimos es igual a 3 décimos. ¿Restamos unidades semejantes? Expliquen. No, restamos décimos de un número entero.

354

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20 ¿Cómo sabemos que la ecuación es verdadera?

Sabemos que es verdadera porque expresamos __  10  como 1.

Primero, restamos las unidades semejantes y, luego, expresamos __  10  como 1. 10 Escriba 1 − _  4  = . 10

¿La ecuación tiene unidades semejantes? Expliquen. No, tiene un número entero y una fracción con sextos. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si pueden expresar un número con otro nombre en la ecuación a fin de usar unidades semejantes para restar. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, restaremos una fracción de un número entero.

Aprender

Restar en una recta numérica La clase usa una recta numérica para representar la resta de una fracción de un número entero. Escriba 1 − _  1  = 4

Nota para la enseñanza Los puntos de referencia pueden ayudar a sus estudiantes a estimar la diferencia entre dos fracciones. Considere pedirles que estimen antes de hallar la diferencia real. Use las siguientes preguntas:

• ¿De qué punto de referencia está cerca  1 ? 4 • ¿Cómo podemos usar el punto de referencia para estimar la diferencia? • ¿La diferencia será menor que o mayor que   1  ? ¿Por qué? 2

Apoyo para la comprensión del lenguaje Los términos total, partes y diferencia se usan a lo largo de la lección. Considere rotular una ecuación de resta con estos términos.

Usemos una recta numérica para representar la ecuación. Dibuje una recta numérica y rotule 0 y 1. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿En qué unidad fraccionaria debemos dividir el intervalo de números enteros? ¿Por qué? En cuartos porque estamos restando _  1 . 4

355

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20 Dibuje para dividir el intervalo de 0 a 1 en cuartos. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

DUA: Representación

¿Cuál es el total en la ecuación?

¿Cómo podemos usar la recta numérica para mostrar que estamos restando _  1  de 1? 4

Podemos dibujar un salto de 1 al cuarto que está justo antes de 1. Rotulamos − _   1 arriba del salto.

  3 . Pida a sus estudiantes que hagan Dibuje y rotule un salto de 1 a _

1 + 4

lo mismo. Señale la recta numérica y haga la siguiente pregunta. ¿Cuánto es 1 −_    ? 1 4

_ 3   4

Sus estudiantes pueden preferir hallar el número desconocido escribiendo una ecuación de suma relacionada y contando hacia delante desde la parte conocida. Pídales que dibujen un modelo para representar su razonamiento.

1 4

Rotule _   3 en la recta numérica y escriba la fracción en el

=1 3

1 3

espacio de la ecuación. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

1 4

¿Cómo nos ayuda la recta numérica a representar la diferencia entre 1 y _  1 ?

Método de flechas Recta numérica abierta

Nos ayuda a mostrar que, cuando tenemos un total de 1 y restamos _   1 , obtenemos una diferencia de _  3 . 4

DUA: Representación

¿Dónde ven el total y las partes en la recta numérica? El total está representado por la longitud total de 1. La parte que restamos está representada por la longitud de _  1  de 1 a _   3 . La parte que queda está representada por la longitud de _  3 . 4

Use un proceso similar para hallar la diferencia de 1 y _  6 .

Considere usar un código de colores para el total, la parte conocida y la diferencia (o parte desconocida) en la recta numérica. Esto puede ayudar a sus estudiantes a hacer conexiones entre la recta numérica y la ecuación.

356

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20 Escriba 2 − _     = 3 5

DUA: Representación

¿Qué tiene de diferente el número entero en esta ecuación? El número entero es 2 en lugar de 1. ¿Cómo cambiará eso nuestra recta numérica?

—

Necesitaremos incluir 0, 1 y 2 en la recta numérica.

3 Podemos simplemente rotular 1 y 2 en la recta numérica 2— 5= porque la parte que estamos restando no es mayor que 1.

2 5

Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para usar una recta numérica a fin de representar la diferencia. Invite a una o dos parejas a compartir su razonamiento.

—

la diferencia de 2 y _  5 .

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar una recta numérica para representar la diferencia entre un número entero y una fracción.

Use un proceso similar para que las parejas hallen 6

3 5

—

5 6

2 — 6 = 16

1 16

Expresar 1 con otro nombre para restar La clase expresa 1 con otro nombre para restar fracciones con unidades semejantes. Muestre la imagen de las ecuaciones de resta con los números en forma unitaria. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo se usa la segunda ecuación como ayuda para hallar la diferencia entre 1 centena y 3 decenas y 2 unidades.

Considere invitar a sus estudiantes a sombrear las unidades fraccionarias mientras usan una recta numérica para representar la resta. Pueden contar y sombrear unidades fraccionarias para representar la parte que se resta. Luego, pueden dibujar y rotular un salto para representar esta misma resta. Esto puede ayudarles a llevar la cuenta de las unidades fraccionarias mientras restan, de modo que su salto represente la resta con precisión.

1 centena − 3 decenas y 2 unidades = 6 decenas y 8 unidades

9 decenas y 10 unidades − 3 decenas y 2 unidades = 6 decenas y 8 unidades

1 16

5 6

Apoyo para la comprensión del lenguaje Los términos expresar con otro nombre y descomponer se usan a lo largo de la lección. Considere crear un afiche que incluya los términos y algunos ejemplos. Esto puede ayudar a sus estudiantes mientras escuchan y usan estos términos.

La primera ecuación no tiene unidades semejantes. En la segunda ecuación, las unidades son todas iguales, entonces es más fácil restar. En la segunda ecuación, 1 centena se expresa como decenas y unidades para formar unidades semejantes. Esto hace que sea más fácil restar. Ambas ecuaciones representan el mismo total, pero de diferentes maneras. En la primera ecuación, las unidades son centenas para el total y decenas y unidades para la parte. Para que sea más fácil restar, 1 centena se expresa con otro nombre usando decenas y unidades.

357

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20 Escriba 1 − _  2  =

. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

¿Cómo podemos expresar 1 con otro nombre de una manera parecida para poder restar unidades semejantes? Podemos expresar 1 como _   8  porque 1 está formado por 8 octavos. 1 y _  8  representan 8 8 el mismo número.

Escriba _   8 debajo de 1. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Qué estamos restando de _  8  ?

Escriba − _  2 =

expresando 1 como una fracción y restando fracciones con unidades semejantes.

Invite a la clase a hallar la diferencia. ¿Cuánto es _   8  − _     ? 8

6 8

__ __

lo que saben sobre fracciones equivalentes,

y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

las fracciones como fracciones equivalentes

__ __

Considere invitar a sus estudiantes a expresar con unidades más grandes. Por ejemplo, 8 2 pueden representar 1 −     =     como 10 10 1 4 1 −     =     . Pídales que muestren cómo saben 5 5 que la segunda ecuación es verdadera usando

2   8

Diferenciación: Desafío

2 8

Escriba _   6 en el espacio y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. 8

¿Cómo nos ayuda saber que _  8  − _     = _   a hallar 1 − _    ? 2 8

6 8

2 8

Las diferencias son las mismas porque _  8 es equivalente a 1. 8

  8 es igual al mismo número que se obtiene al restar _  2  de 1. Restar _   2  de _ 8

Escriba _   6 en el espacio de la ecuación original y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. 8

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para expresar 1 con otro nombre a fin de hallar las siguientes diferencias:

2   = 10 4 • 1 −     = 12 • 1 −

1 — 10 =

8 10

1 — 12 =

8 12

10 2 — = 10 10

8 10

12 4 — = 12 12

8 12

Invite a una o dos parejas a compartir sus ecuaciones. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden expresar 1 con otro nombre para restar fracciones con unidades semejantes.

358

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

Descomponer 2 o más para restar La clase descompone 2 o más en 1 y una fracción igual a 1 y, luego, resta de la fracción. Muestre la imagen del método de Zara. Use la rutina Cinco preguntas estructuradas para invitar a sus estudiantes a analizar el trabajo.

Método de Zara 3 5 2 - 8 = 18

Observar y preguntarse

¿Qué observan en este trabajo? ¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones?

Observo que Zara usó un vínculo numérico para descomponer 2 en 1 y _  8  .

Observo que usó unidades semejantes para restar _  3  .

Observo que escribió la diferencia como un número mixto.

Nota para la enseñanza En 1.er, 2.o y 3.er grado, sus estudiantes usan una estrategia similar para restar números enteros. Por ejemplo, para hallar 13 − 8 podrían descomponer 13 en 3 y 10 para restar 8 de 10. Luego, suman 3 y 2 para obtener 5.

8 8

13 - 8 =

8 - 3= 5 8 8 8

3 10

 16  . Me pregunto por qué descompuso 2 en lugar de expresarlo como __

5 5 = 18 8

10 - 8 = 2 3+2=5 Conocer esta estrategia con números enteros puede ayudar a sus estudiantes a aplicarla cuando restan fracciones.

Organizar ¿Qué pasos siguió Zara? ¿Cómo lo saben?

  8 es una Usó un vínculo numérico para descomponer 2 en 1 y _  8  . Sus partes forman 2 porque _ 8

fracción igual a 1.

  8 y, luego, sumó la diferencia, _  5  , a 1. Puedo ver ecuaciones que representan la resta y la Restó _   3  de _ 8

suma. Escribió 1 _    en el espacio de la ecuación. 5 8

Guíe la conversación para enfocarse en la descomposición del número entero y fomente el razonamiento que permita a sus estudiantes hacer conexiones con la resta de fracciones con unidades semejantes.

359

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

Mostrar Enfoquémonos en la descomposición del número entero. ¿Dónde ven la descomposición en este trabajo?

Diferenciación: Apoyo Considere usar modelos de área u otras representaciones pictóricas que sirvan de apoyo mientras sus estudiantes descomponen 2 para restar. La representación pictórica puede ayudarles a comprender por qué suman 1 y la parte fraccionaria.

Zara descompuso 2 en un número entero y una fracción.

 8  . Zara descompuso 2 en 1 y _ 8

Sintetizar

¿Qué diferencia representa descomponer 2 en 1 y _  8 en este trabajo? 8

Al descomponer 2 en 1 y _  8  , Zara puede restar fracciones con unidades semejantes. 8

Le ayuda a escribir la respuesta como un número mixto porque puede sumar a 1 la diferencia entre las fracciones.

Comprender Cuando se resta una fracción de 2, ¿por qué es útil descomponer 2 en 1 y una fracción igual a 1? Hace que sea más fácil restar porque se pueden restar fracciones con unidades semejantes. También nos ayuda a ver la diferencia como un número mixto. Pida a las parejas que descompongan 2 o más para hallar lo siguiente:

7   = 10 7 • 3 −     = 10 8 • 5 −     = 12

• 2 −

__ __

2 -

7 = 10

1 10

3 -

3 7 = 2 10 10

5 -

4 8 = 4 12 12

1 10

2 10

4 12

10 7 3 = 10 10 10

12 8 4 - 12 = 12 12

1 +

3 3 = 1 10 10

2 +

Considere dejar a la vista la imagen del

3 3 =2 10 10

DUA: Acción y expresión

4 4 =4 12 12

método de Zara mientras las parejas de 8 7 7 estudiantes hallan 2 −     , 3 −     y 5 −     . Pida 10 10 12 a sus estudiantes que consulten el ejemplo

completado si tienen dudas sobre cómo descomponer 2, 3 o 5 para restar una fracción de un número entero.

360

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden descomponer para formar unidades semejantes a fin de restar una fracción de un número entero. Pregunte a sus estudiantes si creen que es más eficiente expresar un número entero con otro nombre o descomponerlo para restar una fracción.

Resolver un problema verbal La clase resta una fracción de un número entero para resolver un problema verbal. Presente el problema verbal y léalo a coro con la clase. Luke compra 15 libras de arroz. Usa _  1 de libra de arroz. ¿Cuántas libras de arroz le quedan a Luke? 4

¿De qué trata el problema? De libras de arroz ¿Cuál es la información que conocemos? La cantidad de arroz que compra Luke y la cantidad que usa ¿Qué podemos dibujar para representar la información conocida? Un diagrama de cinta con el entero rotulado como 15 y 1 parte rotulada como _   1 

DUA: Representación Puede haber estudiantes que prefieran hallar el número desconocido escribiendo una ecuación de suma relacionada y contando hacia delante desde la parte conocida. Pídales que dibujen un modelo para representar su razonamiento.

7 + 10 7 10

¿Qué información desconocemos?

+ 10

7 +2 10 3

+ 10

Método de flechas

3 3

+ 10

7 10

7 + 10 2 10

7 1 10

Dibuje y rotule un diagrama de cinta para representar la información conocida del problema. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

Recta numérica abierta

7 3 10

La cantidad de arroz que le queda ¿Qué parte del diagrama de cinta representa la cantidad de arroz que le queda? La parte que no está rotulada Señale la parte sin rotular en el diagrama de cinta mientras hace la siguiente pregunta. ¿Cómo podemos mostrar que el valor de esta parte es desconocido? Podemos usar una letra para representar el número desconocido. Podemos usar la letra l para representar las libras desconocidas de arroz que quedan. Rotule la parte desconocida con la letra l.

361

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo el diagrama de cinta les ayuda a pensar sobre una estrategia para hallar la solución en este problema. Pida a sus estudiantes que escriban una ecuación usando l para representar el número desconocido, que hallen el valor de l y que escriban un enunciado para responder la pregunta. ¿Cuántas libras de arroz le quedan a Luke? Le quedan 1 4_    libras de arroz. 3 4

Use las siguientes preguntas para guiar una conversación y ayudar a sus estudiantes a hacer conexiones entre la ecuación y el diagrama de cinta: • ¿Dónde está representada la cantidad total de arroz en el diagrama de cinta? ¿Y en la ecuación? • ¿Dónde están representadas las libras de arroz que usó en el diagrama de cinta? ¿Y en la ecuación? • ¿Dónde están representadas las libras de arroz que quedan en el diagrama de cinta? ¿Y en la ecuación? Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar un diagrama de cinta para representar un problema verbal que implique restar una fracción de un número entero. Pregunte a sus estudiantes si creen que es más eficiente expresar un número entero con otro nombre o descomponerlo para restar una fracción.

15 1 4

l 15 -

1 =l 4

4 4

4 1 3 - = 4 4 4

14 + 14

Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando resuelve un problema verbal determinando qué información se da y hallando los puntos de partida. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1: • ¿Qué pasos pueden seguir para hallar cuántas libras de arroz le quedan a Luke? • ¿Su respuesta tiene sentido? ¿Por qué?

3 3 = 14 4 4

3 =l 4

Nota para la enseñanza

A Luke le quedan 3

14 4 libras de arroz.

362

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Sus estudiantes usan diagramas de cinta para representar cantidades fraccionarias. Sin embargo, en este contexto, el diagrama de cinta se usa para representar el total y las partes en un problema verbal. El diagrama de cinta debería ayudarles a identificar una estrategia para hallar la solución. Por ejemplo, cuando se conoce el total y una parte, sus estudiantes saben que pueden restar para hallar la parte desconocida o ver esto como un sumando desconocido y contar hacia delante desde la parte conocida.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Restar una fracción de un número entero Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de la resta de una fracción de un número entero. Muestre las imágenes de la recta numérica, de la expresión de 1 con otro nombre para restar y de la descomposición de 2 para restar.

2−

6 − 8

1− 6 = 2 8

2 8

2 1− = 8

6 8

8 −2= 8 8

6 8

2 = 5

13 5

5 5 5 −2=3 5 5 5

3 3 =1 5 5

¿Cómo podemos restar una fracción de un número entero? Podemos usar una recta numérica para representar la resta de una fracción de un número entero. Podemos expresar 1 como una fracción para restar fracciones con unidades semejantes. Podemos descomponer números enteros mayores que 1 en un número entero y una fracción igual a 1. Luego, podemos restar fracciones con unidades semejantes. Después de restar las fracciones con unidades semejantes, sumamos ese número al número entero.

363

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

EUREKA MATH2

¿Por qué creen que dos de las estrategias implican expresar números enteros con otro nombre o descomponerlos para restar fracciones con unidades semejantes? Me resulta más fácil restar fracciones con unidades semejantes. Entonces, expreso los números enteros con otro nombre o los descompongo para hacer un problema más simple. Es igual que cuando expresamos con otro nombre o desagrupamos al restar con números enteros. Hace que sea más fácil restar.

364

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

4. 1 − 2_ = 5

3_ 5 −2 5

Usa los tres números para escribir dos ecuaciones de resta y dos de suma. 3 , 4_, 7_ 1. _ 8 8 8

6 , __ 4 2. 1, __ 10 10

Ejemplo:

_3 + 4_ = 7_ 8 8 8 _4 + _3 = _7 8 8 8

3 5

4 6 + __ __ =1

6 4 + __ __ =1

_7 − 3_ = 4_ 8 8 8

6 4 1 − __ = __

_7 − 4_ = 3_ 8 8 8

5. 2 − 3_ = 4

6 4 1 − __ = __

11_ 4

−3 4

Resta. Usa una recta numérica para representar la resta. 3. 1 − 2_ = 3

_1 3

−2 3

6. 2 − 5_ = 8

13_ 8

−5 8

3 1

181

182

GRUPO DE PROBLEMAS

365

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

14. El maestro Davis les pide a sus estudiantes que hallen la diferencia entre 2 y _3. Iván dice

Expresa con otro nombre o descompón el total para restar. 1 = 7. 1 − _ 4

8. 1 − 5_ = 6

_3 4

que la respuesta es 1 _3 . Pablo dice que la respuesta es 1 _1 . Amy dice que la respuesta es _9.

_1 6

¿Están en lo correcto? Explica.

Sí, todas las personas están en lo correcto. Iván está en lo correcto porque 2 − _3 = 1 _3 . Pablo

3 _4 − 1_ = _____ 4 4 4

3 9. 2 − __ = 10

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

está en lo correcto porque _3 = _1 , entonces 1 _3 = 1 _1 . Amy está en lo correcto porque 1 _3 = _9 . 6

7 1 __

10.

2− 1

7 = 12

5 12

12 12

15. Adam tiene 1 yarda de tela. Usa _1 de yarda para un proyecto. 3

7 11. 3 − _ = 8

2 _1 8

1 12. 5 − _ = 6

a. ¿Cuántas yardas de tela le quedan a Adam?

4 _5 6

A Adam le quedan _2 de yarda. 3

b. ¿Cuántos pies de tela le quedan a Adam? A Adam le quedan 2 pies.

13. La señora Wong tenía 2 galones de limonada. Después de una fiesta, le queda _1 de galón. ¿Cuántos galones menos tiene ahora la señora Wong?

La señora Wong tiene ahora 1 _3 galones menos de limonada. 4

366

GRUPO DE PROBLEMAS

183

184

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 21

Resolver problemas verbales de suma y resta, y estimar si las respuestas son razonables

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

Nombre

Fecha

James camina 8 de milla. Al día siguiente, camina _8 de milla. 5

7 8

_7 + 5_ = 12 __ = 1 4_ 8 8 8 8

Resuelven problemas verbales de suma y resta usando el proceso

son razonables.

a. ¿Qué distancia recorre James en total?

La clase usa los puntos de referencia _  1 y 1 para estimar sumas y diferencias. Lee-Dibuja-Escribe. Usan la estimación para comprobar si sus respuestas

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

Vistazo a la lección

5 8

Pregunta clave 12 8

• ¿Cómo podemos usar la estimación para decidir si nuestra respuesta es razonable?

Criterios de logro académico

James recorre 1 8 millas en total.

4.Mód4.CLA4 Descomponen fracciones de más de una manera para obtener

una suma de fracciones con el mismo denominador. (4.NF.B.3.a) (4.NF.B.3.b) b. ¿Es razonable tu respuesta para la parte (a)? Explica.

4.Mód4.CLA7 Resuelven problemas verbales sobre sumas y restas

_4 _1

Mi respuesta es razonable porque 8 está cerca de 1 y 8 está cerca de 8 , o 2 .

de fracciones que hacen referencia al mismo entero y tienen los mismos denominadores. (4.NF.B.3.d) (4.MD.A.2)

1 + _21 = 1 _21 , que es la misma cantidad que 1 _84 .

191

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Estimar con fracciones

Estudiantes • ninguno

• Contextos de suma • Contextos de resta • Grupo de problemas

Concluir 10 min

369

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Fracciones equivalentes La clase escribe y completa un enunciado para adquirir fluidez con la destreza iniciada en el tema B de generar una fracción equivalente para una fracción no unitaria. Muestre _   2  = ______     =  ___   . 3

× 2 ×3

Escriban y completen el enunciado para mostrar cómo se expresa _  2  como una fracción 3

equivalente. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

4 2 ×2 2 = = 3 6 2 ×3

Muestre el enunciado completado. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

4 2 ×2 2 = = 5 10 2 ×5

370

9 3 ×3 3 = = 4 12 3 ×4

2 ×4 4 = = 8 5 10 2 ×5

2 ×5 5 = = 10 6 12 2 ×6

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

Intercambio con la pizarra blanca: Interpretar vínculos numéricos La clase escribe y completa cuatro ecuaciones con fracciones a fin de representar un vínculo numérico para desarrollar fluidez con la suma y resta de fracciones con unidades semejantes. Muestre el vínculo numérico. ¿Cuál es el valor del número desconocido? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

4 5

3 5

1 5

3 1 4 + = 5 5 5

4 3 1 − = 5 5 5

1 + 3 = 4 5 5 5

4 − 1 = 3 5 5 5

5 6

7 2 10 10

1 6

9 12 4 6

4 5 12 12

7 2 9 + = 10 10 10

9 7 2 − = 10 10 10

1 4 5 + = 6 6 6

5 1 4 − = 6 6 6

4 5 9 + = 12 12 12

9 4 5 − = 12 12 12

2 + 7 = 9 10 10 10

9 − 2 = 7 10 10 10

4 + 1 = 5 6 6 6

5 − 4 = 1 6 6 6

5 + 4 = 9 12 12 12

9 − 5 = 4 12 12 12

371

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

Presentar

La clase estima si una suma será mayor que o menor que 1. Muestre la imagen de los recipientes de jugo de naranja y presente el problema. El Sr. López prepara ponche de naranja. Tiene 2 recipientes de jugo

de naranja. Hay _     de galón de jugo de naranja en cada recipiente. La 3 4

receta lleva 1 galón de jugo de naranja. Dé 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio y decida si el Sr. López tiene suficiente jugo de naranja sin hallar la cantidad exacta. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron.

3 de galón 4

Pida a la clase que comente su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre los distintos enfoques. Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y, luego, registre las respuestas. A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que use números de referencia.

El Sr. López tendrá suficiente jugo de naranja. _  3 de galón es casi 1 galón. Está a solo _  1 de galón 4

de 1. Los otros _  3 de galón son más que suficientes. 4

_ 3 de galón es más que _ 1  galón. Como _ 1  + _ 1  = 1, entonces _ 3  + _ 3 será más que 1. 4

Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anímeles a hacer sus propias preguntas. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos la estimación para decidir si nuestras respuestas a los problemas verbales de suma y resta son razonables.

372

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

Aprender

Estimar con fracciones

La clase usa los puntos de referencia _ 21 y 1 para estimar una suma o una diferencia. Los puntos de referencia pueden ayudarnos a estimar sumas y diferencias de fracciones.

Escriba __   3   + __   4  . 10

¿De qué punto de referencia está cerca cada sumando?

DUA: Acción y expresión Considere ayudar a sus estudiantes a hacer estimaciones pidiéndoles que muestren su razonamiento en una recta numérica. Pídales que dibujen una recta numérica de 0 a 1 y que rotulen  1  con una fracción 2 equivalente relacionada con el problema.

1   2

Si cada fracción es aproximadamente _  1  , ¿cuál podría ser la estimación de la suma? ¿Por qué? 2 La suma es aproximadamente 1 porque   1  +   1  = 1. 2 2

_ _

A continuación, se muestra una recta numérica de ejemplo.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si la suma será mayor que o menor que 1.  1  . La suma será menor que 1 porque ambas fracciones son menores que _ 2

_ 1  es mayor que ambas fracciones. Si sumamos _ 1  y _ 1  , esa estimación es mayor que la suma real. 2 2 2 4 _ Escriba 1 −    . 6 ¿De qué punto de referencia está cerca _  4 ?

5 10

_ 1   2

¿Cuál sería su estimación de la diferencia? ¿Por qué?

  1  = _   1  . La diferencia será aproximadamente _  1  porque 1 − _ 2

373

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si la diferencia será mayor que o menor que _   1  .

Diferenciación: Desafío

  4 es mayor que _  1 , entonces estamos restando más que _   1 . La diferencia será menor que _  1  porque _ 2

La diferencia será menor que _  1 porque, si sumamos desde _  4  hasta 1, sumaríamos menos que _   1  . 2

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo los puntos de referencia pueden ayudar a estimar sumas y diferencias.

Considere ampliar el razonamiento de sus estudiantes para usar puntos de referencia que les ayuden a razonar sobre si la suma de  1  y   5   3 12 será mayor que o menor que 1.

__ __

Contextos de suma La clase resuelve problemas verbales de suma y comprueba si sus respuestas son razonables. Presente el problema:

La señora Wong compra _  3 de libra de ensalada de espinaca y _  7 de libra de ensalada de papa en la 8 8 tienda de comestibles. ¿Cuántas libras de ensalada compra la señora Wong en total?

Guíe a sus estudiantes en el inicio del proceso de Lee-Dibuja-Escribe. Lea cada parte del problema verbal, represente la información conocida en un diagrama de cinta y use una letra para representar el número desconocido. Pida a sus estudiantes que sigan sus pasos en las pizarras blancas. ¿Qué nos muestra el diagrama de cinta? ¿Qué ecuación podemos escribir para representar el problema? El diagrama de cinta nos muestra dos partes y un total desconocido. Las dos partes son _  3  y _  7 .

_ _

3 7   +   = w 8 8

¿Cómo podemos usar puntos de referencia como ayuda para estimar la cantidad total de ensalada?

_ 3  es aproximadamente _ 1  y _ 7  es aproximadamente 1. En conjunto, estas cantidades deberían ser 2 8 8  1  . aproximadamente 1 _ 2

374

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

3 7 + =w 8 8

Dé a sus estudiantes 1 minuto para hallar la cantidad total de ensalada. ¿Cuántas libras de ensalada compra la señora Wong en total? Compra __   10 de libra de ensalada. 8

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar si su respuesta es razonable.

10 =w 8

Nuestra respuesta es razonable porque __  10 es mayor que 1 y 1 _   1 también es mayor que 1. 2

Nuestra respuesta es razonable porque __  10  = 1 _  2 . Sabemos que 1 _  4 es la misma cantidad que 1 _ 1 , 8

entonces nuestra respuesta y nuestra estimación son cercanas.

¿Mantendrán su respuesta como __  10 de libra o expresarán la cantidad como 1 _    libras? ¿Por qué? 2 8

  10 de libra tiene sentido para mí. Es un poco más que Mantendré mi respuesta como __  10  de libra. __ 8

1 libra.

DUA: Participación Considere ampliar el razonamiento de sus estudiantes a la suma de tres sumandos. Por ejemplo, la señora Wong puede comprar un tercer tipo de ensalada o David puede pasear a su perro un tercer día.

 2 libras. Eso suena más parecido a lo que dirían en una tienda. La expresaré como 1 _ 8

Pida a sus estudiantes que escriban un enunciado con la solución del problema. Repita el proceso y pídales que estimen y resuelvan el siguiente problema:

La señora Wong compra 10 de libra de ensalada. 8

David pasea a su perro __  9   de milla el sábado y __  8  de milla el domingo. ¿Qué distancia recorre 10

en total paseando a su perro durante los dos días? Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo comprobaron que sus respuestas son razonables.

Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando resuelve problemas verbales hallando puntos de partida, escribiendo ecuaciones con una letra para representar el número desconocido y evaluando si sus respuestas son razonables. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:

Contextos de resta

• ¿Qué pueden calcular sobre las cantidades fraccionarias de brownies mirando un diagrama de cinta de la situación?

La clase resuelve problemas verbales y comprueba si sus respuestas son razonables.

• ¿Qué pasos pueden seguir para hallar la fracción de los brownies que queda?

Presente el problema verbal sin números: Hay de una bandeja de brownies en la cocina. Amy y sus amigas comen bandeja de brownies. ¿Qué fracción de la bandeja de brownies queda?

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

de la

• ¿Su respuesta tiene sentido? ¿Cómo lo saben?

Lea el problema a coro con la clase.

375

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21 ¿Qué saben sobre la situación? Hay una bandeja con brownies. Se han comido algunos de los brownies. Necesitamos averiguar qué fracción de la bandeja de brownies queda después de que se comieran algunos.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Invite a sus estudiantes a dibujar un diagrama de cinta para representar la situación. Muestre la imagen del diagrama de cinta correspondiente.

Considere ayudar a sus estudiantes a relacionar el diagrama de cinta y el problema verbal con números desconocidos. Pida a las parejas de trabajo que usen el diagrama de cinta para completar primero los espacios del problema verbal, antes de compartirlo con todo el grupo.

11 12

¿Cómo podríamos completar los espacios del diagrama de cinta con la información? ¿Cómo lo saben? Hay __  11 de una bandeja de brownies en la cocina. Amy y sus amigas 12

comen __   7   de la bandeja de brownies. ¿Qué fracción de la bandeja

7 12

de brownies queda?

El total en el diagrama de cinta es __  11 . Esa es la cantidad de brownies que hay al comienzo. Se 12

comen una parte, __  7  , de la bandeja de brownies. El número desconocido es la parte de la bandeja 12

de brownies que queda. ¿Cómo pueden usar puntos de referencia para estimar la cantidad de brownies que queda?

__   11 está cerca de 1 y __   7  está cerca de _  1 . Queda aproximadamente _  1  de la bandeja de brownies. 12

 1 ? ¿Cómo lo saben? ¿La cantidad que queda es mayor que _ 1 o menor que _ 2 2 7 1 11 _ __ __ Es menor que    . Sé que    es menor que 1 y    es mayor que _  1 . 2

Dé a sus estudiantes 1 minuto para escribir una ecuación con una letra para el número desconocido que represente el problema y, luego, resolver la ecuación. Comparen su respuesta con su estimación. ¿Es razonable su respuesta? ¿Por qué?

__   4  es razonable. Está cerca de __  6  , que es _  1 . 12

DUA: Representación

7 11 − =a 12 12 4 =a 12 4

Quedan de la 12 bandeja de brownies.

Puede haber estudiantes que vean esto como una suma y escriban una ecuación de sumando desconocido. Pídales que compartan su razonamiento y que hagan conexiones con su trabajo de suma y resta con números enteros del módulo 1.

Pida a sus estudiantes que escriban un enunciado con la solución del problema. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo el diagrama de cinta representa el problema y cómo su solución se ajusta al diagrama de cinta.

376

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21 Presente el problema:

Una hoja mide 2 pulgadas de largo. Una polilla es _  3 de pulgada más corta que la hoja. ¿Cuánto 4 mide la polilla de largo?

Guíe a sus estudiantes para que realicen los siguientes pasos: • Leer el problema y representarlo con un diagrama de cinta • Escribir una ecuación con una letra para el número desconocido

Estimación: 2 - 1 = 1, aproximadamente 1 pulgada 3 2- =p 4

Hoja

Polilla

• Usar puntos de referencia y hacer una estimación • Resolver el problema • Comprobar si la respuesta es razonable con la estimación y el diagrama de cinta

3 4

3 1 =1 4 4

4 4

p=1

1 4

La polilla mide 1 pulgadas de largo.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se representan las ecuaciones de suma y resta en los diagramas de cinta.

377

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Resolver problemas verbales de suma y resta, y estimar si las respuestas son razonables Reúna a la clase, pídales que tengan a mano su Grupo de problemas y guíe una conversación acerca de si sus respuestas son razonables. Para su respuesta al problema 6(a), ¿tiene más sentido usar una fracción mayor que 1 o un número mixto? ¿Por qué? Tiene más sentido usar un número mixto porque estamos hablando de un número de libras. No suelo escuchar a las personas decir __  15  de libra. No sé con certeza cuánto es eso. Puedo 8

 7  libras. comprender con más facilidad cuánto es 1 _ 8

¿Cómo podemos usar la estimación para decidir si nuestra respuesta es razonable? Usamos puntos de referencia, como _  1  y 1. 2

Reemplazamos las fracciones con los puntos de referencia de los que están cerca y, luego, estimamos. Podemos comparar las estimaciones con las respuestas reales y asegurarnos de que están cerca.

378

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

3. Luke hornea una barra de pan de banana. Después de regalar un poco a

una amiga, le quedan 6 de la barra. ¿Cuánto de la barra regala Luke?

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

1 − _6 = _6

1. Shen camina 5 de milla por la mañana y 5 de milla por la tarde. ¿Cuántas millas en total

Luke regala 6 de la barra.

camina Shen?

_1 + 3_ = 4_ 5 5 5

Shen camina 5 de milla.

__9

__2

__5

2. Un recipiente tiene 10 de litro de agua. Casey vierte 10 de litro. ¿Cuántos litros

a. ¿Cuántos pies de listón azul usa Eva?

7 2 9 __ − __ = __ 10

__7

4. Eva usa 12 de pie de un listón rosa. Usa 12 de pie más de listón azul que de listón rosa.

de agua quedan en el recipiente?

7 5 __ __ = 1 + __ = 12

__7 Quedan de litro de agua.

Eva usa 1 pie de listón azul.

b. ¿Es razonable tu respuesta para la parte (a)? Explica.

__5

_1 __7

Mi respuesta es razonable porque 12 es aproximadamente 2 , y 12 es un poco más que 2 .

_1 _1

Sé que 2 + 2 = 1.

187

188

GRUPO DE PROBLEMAS

379

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

5. Carla tiene 2 libras de avena. Usa 4 de libra. a. ¿Cuántas libras de avena le quedan a Carla?

2 − _4 = 1 _1 3

A Carla le quedan 1 4 libras de avena.

b. ¿Es razonable tu respuesta para la parte (a)? Explica.

Mi respuesta es razonable porque 4 está cerca de 1. 2 − 1 = 1 y 1 4 está cerca de 1.

6. La señora Díaz compra 8 de libra de fresas. También compra 8 de libra de arándanos y 8 de libra de frambuesas.

a. ¿Cuántas libras de fruta compra la señora Díaz?

_7 + 5_ + 3_ = 15 __ = 1 7_ 8 8 8 8 8

La señora Díaz compra 1 8 libras de fruta.

b. ¿Es razonable tu respuesta para la parte (a)? Explica.

_1 _3

Mi respuesta es razonable porque 8 está cerca de 1, 8 es un poco más que 2 y 8 es un poco

_1 _1

menos que 2 . 1 + 2 + 2 = 2 y 1 8 está cerca de 2.

380

GRUPO DE PROBLEMAS

189

LECCIÓN 22

Sumar dos fracciones con unidades relacionadas (opcional)

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22

Nombre

Fecha

Halla la suma. Muestra tu trabajo. 1.

_1 + 3_ 2 8

Ejemplo:

_4 + _3 = _7 8 8 8

Vistazo a la lección La clase usa los conocimientos previos sobre las fracciones equivalentes para formar unidades semejantes a fin de sumar fracciones con unidades relacionadas. Usan rectas numéricas y ecuaciones para crear unidades semejantes o denominadores comunes. Examinan diferentes métodos para sumar fracciones con unidades relacionadas y los comparan con los métodos propios.

Preguntas clave • ¿Por qué necesitamos formar unidades semejantes para sumar fracciones?

• ¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre fracciones equivalentes para sumar fracciones con unidades relacionadas?

_3 + 2_ 6 3 Ejemplo:

3_ 4_ 7_ + = 6 6 6

Criterio de logro académico 4.Mód4.CLA4 Descomponen fracciones de más de una manera para obtener

una suma de fracciones con el mismo denominador. (4.NF.B.3.a) (4.NF.B.3.b)

197

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 5 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 40 min • Formar unidades semejantes para hallar sumas menores que 1

Estudiantes • ninguno

• Sumas menores que 1: Compartir, comparar y conectar • Formar unidades semejantes para hallar sumas mayores que 1 • Sumas mayores que 1: Compartir, comparar y conectar • Grupo de problemas

Concluir 10 min

383

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Fracciones equivalentes La clase usa la multiplicación a fin de generar una fracción equivalente como preparación para sumar dos fracciones con unidades relacionadas. Muestre _   1 = _____     = _____     . 2

× 1   × 2

Escriban y completen el enunciado para mostrar cómo se expresa _ 1 como una fracción 2 equivalente. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

3 ×1 3 1 = = 2 6 3 ×2

Muestre el enunciado completado. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

6 ×1 6 1 = = 2 12 6 ×2

384

4 ×1 4 1 = = 3 12 4 ×3

3 ×1 1 = = 3 4 12 3 ×4

2 ×3 3 = = 6 4 8 2 ×4

4 ×2 2 = = 8 3 12 4 ×3

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22

Presentar

La clase examina ecuaciones de suma y conversa sobre la suma de unidades semejantes. Muestre la imagen con el quarter, los pennies y Robin pensando en la suma.

25 centavos + 3 centavos = 28 centavos

1 quarter + 3 pennies = ?

Apoyo para la comprensión del lenguaje

¿Cómo piensa Robin en las monedas para hallar el total? ¿Por qué?

Considere crear un afiche para aclarar los términos unidades semejantes, unidades diferentes y unidades relacionadas.

Expresa las monedas con otro nombre usando centavos para poder sumar unidades semejantes. ¿Funcionaría decir que 1 quarter + 3 pennies = 4 quarter-pennies? Expliquen. No. Quarter-pennies no es una unidad. No sabemos qué significa eso. Muestre la imagen de las rectas numéricas y de James pensando en la suma.

1 3 4 + = 4 8 8

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si creen que la respuesta de James tiene sentido.

No, porque sumó cuartos y octavos de manera incorrecta. No, porque sería parecido a decir que

1 4

3 8

1 quarter + 3 pennies = 4 pennies. No se puede sumar un quarter y 3 pennies de esa manera.  1  . Podemos imaginar las dos partes sombreadas en una No, porque _   4 es la misma cantidad que _ 8

recta numérica y eso sería más que _  1  . 2

Nota para la enseñanza En 3.er grado, sus estudiantes usan tiras de fracciones concretas para desarrollar una comprensión de las unidades fraccionarias relacionadas. Marcan fracciones con unidades relacionadas en una recta numérica para compararlas.

385

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22 La respuesta de James no tiene sentido porque está intentando sumar unidades diferentes de manera incorrecta. ¿Cómo podemos usar las rectas numéricas para pensar en unidades semejantes? Podemos ver que _   1 es igual a _  2 en las rectas numéricas. 4

¿Cómo nos ayuda tener unidades semejantes a hallar la suma de _ 1  y _ 3  ? 4

Ahora, puedo sumar las dos fracciones y sé que puedo obtener la respuesta correcta.

    = _    , entonces tener unidades semejantes es una manera de comprobar Sabemos que _   2  + _

que _   1  + _     = _    . 4

3 8

5 8

3 8

5 8

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos lo que sabemos sobre fracciones equivalentes para sumar fracciones con unidades relacionadas.

Nota para la enseñanza Esta lección ofrece a sus estudiantes la oportunidad de aplicar su aprendizaje previo sobre las fracciones equivalentes y la suma de fracciones con unidades semejantes para sumar fracciones con unidades relacionadas. También experimentarán la suma de fracciones con unidades relacionadas en el módulo 5, cuando sumen fracciones decimales. Esta lección también prepara a sus estudiantes para sumar y restar fracciones con unidades diferentes en 5.o grado.

DUA: Representación

Aprender

Formar unidades semejantes para hallar sumas menores que 1

Considere pedir a sus estudiantes que participen en una lluvia de ideas sobre lo que ya saben acerca de formar fracciones equivalentes. Muestre métodos y ejemplos de cómo formar fracciones equivalentes.

La clase selecciona un método para formar unidades semejantes y sumar fracciones con sumas menores que 1. Escriba _   2 + _  1 = 3

¿Qué observan acerca de las unidades fraccionarias? Son diferentes. Hay tercios y sextos. ¿Están relacionadas las unidades? ¿Cómo lo saben? Sí, porque podemos descomponer los tercios para formar sextos. Sí, porque podemos componer los sextos para formar tercios. Invite a la clase a trabajar en parejas para hallar la suma. Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione a dos o tres parejas para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre cómo formar unidades semejantes para sumar las fracciones.

386

÷ ÷

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22 Los ejemplos de trabajo muestran cómo:

  4  y, luego, sumar _   1  a _   4  ; • usar una recta numérica para expresar _  2  como _

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

3 6 6 6 2 4 • usar una recta numérica para expresar     como     y, luego, sumar   4  a   1  y 3 6 6 6 2 4 4 • usar la multiplicación para expresar     como     y, luego, sumar     y  1  . 3 6 6 6

_ _ _ _

Usar una recta numérica para expresar _  2 con otro nombre y sumar _  1 a _  4  6

1 4+ 6 6

2 3

5 6

Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando decide cómo formar unidades semejantes y sumar fracciones eligiendo descomponer o componer unidades fraccionarias y eligiendo usar una recta numérica, la multiplicación o la división. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:

• ¿Sería más útil usar una recta numérica, la multiplicación o la división cuando suman

__  2  y __ 1  ? ¿Por qué?

1 1 2 4 5 + = + = 6 3 6 6 6

3 6 • ¿Por qué eligieron usar una recta numérica

Expresar _  2  con otro nombre y usar una recta numérica para sumar _  4  a _  1  6

para descomponer o componer y sumar

__  2  y __ 1  ? ¿Funcionó bien ese método? 3

+ 6 Diferenciación: Apoyo

1 6

2 1 1 4 5 + = + = 3 6 6 6 6 2 4 = 3 6

5 6

Para apoyar a sus estudiantes mientras toman decisiones acerca de cómo formar unidades semejantes, considere usar las siguientes preguntas: • ¿Qué fracción expresarán con otro nombre? ¿Por qué? • ¿Van a descomponer o componer unidades fraccionarias para formar una fracción equivalente? ¿Por qué? • ¿Pueden usar una recta numérica para hallar una fracción equivalente? ¿Y la multiplicación o la división?

387

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22 Usar la multiplicación para expresar _  2 con otro nombre y sumar _  4 y _  1  6

Nota para la enseñanza

2+ 1 4+ 1 5 = = 3 6 6 6 6

Los ejemplos de trabajo y razonamiento muestran respuestas típicas. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre los conceptos clave.

2 = 2x2 = 4 3 2x3 6

Sumas menores que 1: Compartir, comparar y conectar

La clase compara métodos para hallar la suma de 2_3   y 1_6   y razona sobre sus conexiones. Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones. A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento y ofrezca aclaraciones sobre el método que usó. Haga preguntas a la clase para establecer conexiones entre los distintos métodos. Anime a sus estudiantes a que hagan preguntas.

Si la clase no produjo ningún trabajo similar, seleccione uno o dos trabajos de la clase para compartir y destaque la manera en que esos trabajos contribuyen a avanzar hacia el objetivo de la lección. Luego, seleccione un ejemplo de trabajo de la lección que sirva para incentivar el razonamiento matemático. Considere decir lo siguiente para presentar el trabajo: “Alguien resolvió el problema de esta otra manera. ¿Qué fue lo que hizo?”.

Usar una recta numérica para expresar _     con otro nombre y sumar _    a _    (método de Mía y Shen) 2 3

1 6

Mía y Shen, ¿cómo formaron unidades semejantes?

1 4+ 6 6

Usamos una recta numérica para representar _  2  y, luego, 3

descompusimos cada tercio en 2 partes iguales para formar sextos. ¿Cómo usaron la recta numérica Mía y Shen para

    ? representar _  2  + _ 1 6

Mostraron que _   2  = _  4 . El salto en la recta numérica 3

4 6

2 3

Diferenciación: Desafío

5 6

1 1 2 4 5 + = + = 3 6 6 6 6

muestra que sumaron _  1  a _   4  para obtener _   5  . 6

¿Cómo registraron su razonamiento Mía y Shen? Usaron una recta numérica para mostrar cómo formar unidades semejantes y representar la suma. Escribieron un enunciado para representar la suma. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el trabajo de Mía y Shen y sus propios trabajos.

388

Considere pedir a sus estudiantes que muestren una manera diferente de formar una fracción equivalente y de sumar las unidades semejantes. Pídales que comenten la eficiencia de sus métodos.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere pedir a sus estudiantes que consulten la Herramienta para la conversación cuando compartan métodos y hagan preguntas sobre los métodos de sus pares.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22 Usar una recta numérica para expresar _     con otro nombre y sumar _    a _    (método de Ray y Zara) 2 3

4 6

1 6

Ray y Zara, ¿cómo formaron unidades semejantes?

4 + 6

Sabemos que _   2  = _  4 , entonces dividimos una recta 3

numérica en tercios y, luego, en sextos. ¿Cómo usaron la recta numérica Ray y Zara para

 1  ? representar _  2  + _ 3 6 Comenzaron en _   1  y, luego, sumaron _   4  porque _   2  = _  4  . 3 6 6 6 Su recta numérica muestra que el total es _  5  .

5 6

1 6

2 1 1 4 5 + = + = 3 6 6 6 6

Nota para la enseñanza Es posible que sus estudiantes usen el cálculo mental para formar fracciones equivalentes y sumar unidades semejantes. Pídales que registren o expliquen su razonamiento. Esto permitirá que sus pares lo comprendan mejor y usen estos métodos.

2 4 = 3 6

¿Qué observan acerca del orden en que sumaron las partes en la recta numérica y en el enunciado? Cambiaron el orden de los sumandos en su enunciado.

 1  como _ 1  + _ 2  . Usaron la propiedad conmutativa de la suma para pensar en _  2  + _ 3

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Ray y Zara y el de Mía y Shen. Usar la multiplicación para expresar _     con otro nombre y sumar _    y _    (método de Iván y Luke) 2 3

4 6

1 6

Iván y Luke, ¿cómo formaron unidades semejantes? Usamos la multiplicación para descomponer los tercios en sextos.

¿Por qué creen que Iván y Luke expresaron  _2 como sextos en lugar de expresar _  1 como tercios?

2+ 1 4+ 1 5 = = 3 6 6 6 6 2 = 2x2 = 4 3 2x3 6

Hay 2 sextos en cada tercio, entonces no hay suficientes sextos para formar tercios. ¿Cómo pueden usar una recta numérica Luke e Iván para comprobar su trabajo?

Pueden representar _   2 en una recta numérica y descomponer los tercios para formar sextos. Luego, 3

 4  . pueden usar una flecha para representar la suma de _  1  y _ 6

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre los tres métodos que usaron sus pares para hallar la suma de fracciones con unidades relacionadas.

389

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22

Formar unidades semejantes para hallar sumas mayores que 1 La clase selecciona un método para formar unidades semejantes y sumar fracciones con sumas mayores que 1. Escriba __   8 + _  2 = 10

DUA: Participación Considere presentar una aplicación real de la suma de fracciones con unidades relacionadas en un contexto que pueda ser de interés o conocido para sus estudiantes. Considere usar el siguiente ejemplo:

¿Qué observan acerca de las unidades fraccionarias? Son diferentes. Hay décimos y quintos. ¿Están relacionadas las unidades? ¿Cómo lo saben? Sí, porque podemos descomponer los quintos para formar décimos o componer los décimos para formar quintos. Sí, porque sabemos que 10 es un múltiplo de 5. Esto significa que 5 es un factor de 10.

Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para hallar la suma de __  8   y _  2  .

Una serpiente mide  8   de metro de largo. 10 Crece otros   2  de metro. ¿Cuánto mide la 5 serpiente ahora?

Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione a dos o tres parejas para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre cómo formar unidades semejantes para sumar las fracciones. Los ejemplos de trabajo muestran cómo:

• usar una recta numérica para expresar _  2  como __   4   y, luego, sumar __   8   a __   4   ; 5

  4   y, luego, sumar __   8   y __   4   y • usar la multiplicación para expresar _  2  como __ 5

  4  y, luego, sumar _   4  y _  2  . • usar la división para expresar __  8   como _ 10

390

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22 Usar una recta numérica para expresar _  2 con otro nombre y sumar __   8  a __   4   5

4 10

8 10

2 5

1 10

2 8 2 4 8 + = + = 1 10 10 5 10 10 Usar la multiplicación para expresar _  2 con otro nombre y sumar __   8  y __   4   5

8 8 2 4 12 + = + = 10 5 10 10 10 2 2× 2 4 = = 5 2 × 5 10 Usar la división para expresar __   8  con otro nombre y sumar _  4 y _  2  10

8 2 4 2 6 + = + = 10 5 5 5 5 8 8÷2 4 = = 10 10 ÷ 2 5

Sumas mayores que 1: Compartir, comparar y conectar

La clase compara métodos para hallar la suma de __  8 y 2_ y razona sobre 10 5 sus conexiones. Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones.

391

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22 A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento y ofrezca aclaraciones sobre el método que usó. Haga preguntas a la clase para establecer conexiones entre los distintos métodos. Anime a sus estudiantes a que hagan preguntas.

Usar una recta numérica para expresar _     con otro nombre y sumar __     a __     (método de Gabe y Oka) 8 10

2 5

Gabe y Oka, ¿cómo formaron unidades semejantes?

4 10

Usamos una recta numérica para

representar _   2  y, luego, descompusimos 5

cada quinto en 2 partes iguales para formar décimos.

8 10

2 5

4 10

1 10

2 8 2 4 8 + = + = 1 10 10 5 10 10

¿Cómo supieron que su recta numérica necesitaba incluir el 2?

Sabemos que __   8  está cerca de 1, 10

entonces pensamos que, al expresar _  2  con otro nombre y al sumarlo, la suma sería mayor que 1. 5

¿Cómo usaron la recta numérica Gabe y Oka para representar __  8   + _     ? 10

2 5

Mostraron que _   2  = __   4   . El salto muestra que sumaron __  8   a __   4  para obtener 1 __   2   . 5

Comenzaron en __   4   y sumaron __   8   . Usaron la propiedad conmutativa de la suma para pensar 10 10 en el problema como _  2  + __   8   . 5 10 2 ¿Pueden Gabe y Oka usar también la recta numérica para escribir 1  __ como una fracción mayor 10

que 1? ¿Por qué?

  2   = __  12  . Sí, pueden ver en la recta numérica que 1 __ 10

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Gabe y Oka y sus propios trabajos.

392

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22 Usar la multiplicación para expresar _     con otro nombre y sumar   _     y _     (método de Carla y Amy) 8 10

2 5

4 10

Usamos la multiplicación para descomponer los quintos en décimos.

8 8 2 4 12 + = + = 10 5 10 10 10

¿Cómo representa su método la descomposición de los quintos para formar décimos?

2 2× 2 4 = = 5 2 × 5 10

Carla y Amy, ¿cómo formaron unidades semejantes?

Muestran la multiplicación del numerador y el denominador de _  2  por 2 para obtener __  4   . 5

¿Qué diferencia hay entre el método en que escribieron la suma y el método de Gabe y Oka? Escribieron la suma como una fracción mayor que 1, pero Oka y Gabe escribieron la suma como un número mixto. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Gabe y Oka y el de Carla y Amy. Usar la división para expresar   __  con otro nombre y sumar _     y _    (método de David y Adam) 8 10

4 5

2 5

David y Adam, ¿cómo formaron unidades semejantes?

8 2 4 2 6 + = + = 10 5 5 5 5

Usamos la división para componer los décimos en quintos. ¿Cómo se relaciona el método de David y Adam con el de Carla y Amy? Para convertir los quintos en décimos, Carla y Amy multiplicaron por 2. Para convertir los décimos en quintos, David y Adam dividieron entre 2.

8 8÷2 4 = = 10 10 ÷ 2 5

¿La suma de David y Adam es equivalente a la suma de Carla y Amy de __  12 ? ¿Cómo lo saben?

 12  . Sí, porque _   6  = __ 5

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de los diferentes métodos que pueden usar para sumar fracciones con unidades relacionadas.

393

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22

Concluir

EUREKA MATH2

Reflexión final 5 min Objetivo: Sumar dos fracciones con unidades relacionadas Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de cómo formar unidades semejantes para sumar fracciones con unidades relacionadas. ¿Por qué formamos unidades semejantes para sumar fracciones? Es difícil pensar en sumar cuartos y octavos, así como es difícil pensar en sumar quarters y pennies, sin formar unidades semejantes. Puede ser difícil intentar sumar fracciones con diferentes unidades. Cuando pensamos en las fracciones con unidades semejantes, podemos imaginar lo que representa cada fracción y lo que representa la suma. ¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre fracciones equivalentes para sumar fracciones con unidades relacionadas? Podemos usar una recta numérica para crear unidades semejantes y, luego, podemos sumar las fracciones. Podemos usar la multiplicación para descomponer unidades a fin de hallar una fracción equivalente. Cuando tenemos unidades semejantes, podemos sumar las fracciones. Podemos usar la división para componer unidades a fin de hallar una fracción equivalente. Podemos sumar las fracciones después de obtener dos fracciones con unidades semejantes.

394

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22

1 2 3 _1 + 1_ = _____ + _____ = _____ 6 3 6 6 6

Representa la suma usando una recta numérica. Luego, completa los enunciados. +

2 3 1 1 1 1. _ + _ = _ + _____ = _____ 4 2 4 4 4

1 6

2 6

3 6

1 4

_5 + 1_ = 6 3

_7 6 +

2 6

_3 + 1_ = 3_ + _____ = _____ 4 2 4 4 4 0 2

3 4

5 6

7 6

193

194

GRUPO DE PROBLEMAS

395

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22

Expresa con otro nombre para hallar la suma. Muestra tu trabajo.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22

__7

10. Liz bebe 5 de litro de agua. Gabe bebe 10 de litro de agua. ¿Cuántos litros de agua beben en total?

3 1 4 _1 + 1_ = _____ + _____ = _____ 2 6 6 6 6

a. Escribe la respuesta como una fracción mayor que 1. 13 __

Beben 10 de litro de agua en total.

3 7 2 = __ 4 = __ 3 +_ + __ 6. __ 10 5 10 10 10

b. Escribe la respuesta como un número mixto.

1 __ 10 3

_3 + 5_ = 6_ + 5_ = 11 __ 4 8 8 8 8 c. ¿Liz y Gabe deberían describir el total como una fracción mayor que 1 o como un número mixto? Explica.

Liz y Gabe deberían describir el total como un número mixto. La cantidad de agua que beben

8 7 7 __ __ + 2_ = __ + __ = 15 12

__3

en total llenaría una botella de 1 litro y 10 de otra botella.

__5

9. James pasa 4 del año en Florida. Pasa 12 del año en Vermont. ¿Qué fracción del año pasa James en Florida o en Vermont?

__8

James pasa 12 del año en Florida o en Vermont.

396

GRUPO DE PROBLEMAS

195

196

GRUPO DE PROBLEMAS

Tema E Sumar y restar números mixtos En el tema E, la clase usa estrategias conocidas de números enteros para sumar y restar números mixtos. En 2.o y 3.er grado, la clase usa diversas estrategias basadas en el valor posicional, las propiedades de las operaciones y la relación entre la suma y la resta para sumar y restar números enteros. Registran su razonamiento de diferentes maneras; por ejemplo, con vínculos numéricos, el método de flechas y una recta numérica abierta. En este tema, aplican métodos que aprendieron con anterioridad para sumar y restar números mixtos. Al comienzo, sus estudiantes suman una fracción a un número mixto. Usan la forma unitaria para reconocer la necesidad de sumar unidades semejantes (p. ej., unidades a unidades y cuartos a cuartos). Cuando la suma de las partes fraccionarias es mayor que 1, pueden expresar la parte fraccionaria como un número mixto o formar el siguiente número entero como ayuda para hallar el total. Luego, suman un número mixto a un número mixto. Se dan cuenta de que, para sumar números mixtos, pueden aplicar estrategias similares a las que usaron al sumar una fracción a un número mixto. Sus estudiantes siguen una progresión de aprendizaje similar cuando restan una fracción de un número mixto y, luego, restan un número mixto de un número mixto. Usan la relación entre la resta y la suma para pensar en la resta como un problema de sumando desconocido. Luego, cuentan hacia delante desde un número para hallar el sumando desconocido, que también representa la diferencia. Asimismo, descomponen el total o la parte para restar y usan números de referencia para restar de una unidad de mayor valor, como 1, o para compensar. Expresar un número mixto como una fracción mayor que 1 les permite restar fracciones con unidades semejantes. Piensan en el total y la parte mientras deciden qué estrategia usar para hallar la diferencia al restar números mixtos. La clase usa modelos pictóricos conocidos (vínculos numéricos y diagramas de cinta) como ayuda para entender problemas verbales que involucran la suma y la resta de fracciones. Usan sus modelos a fin de determinar una estrategia para hallar la solución y escriben ecuaciones de suma o resta que representan el problema. Usan estrategias de suma o resta de su preferencia para resolver el problema de manera eficiente.

398

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE Por último, la clase aplica su comprensión de la suma y la resta de fracciones y números mixtos para interpretar datos en un diagrama de puntos. Analizan un diagrama de puntos dado y responden preguntas relacionadas, como decidir si una afirmación sobre los datos es verdadera o falsa. Luego, usan los datos dados para hacer un diagrama de puntos y escribir sus propias preguntas acerca de los datos. También deciden qué preguntas se pueden responder de manera más eficiente usando el diagrama de puntos o la tabla de datos. En el tema F, la clase multiplica fracciones y números mixtos por un número entero.

399

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE

Progresión de las lecciones Lección 23

Lección 24

Lección 25

Sumar una fracción a un número mixto

Sumar un número mixto a un número mixto

Restar una fracción de un número mixto, parte 1

Cuando sumo una fracción y un número mixto, quiero sumar unidades semejantes, al igual que cuando sumo números enteros. Sumo unidades con unidades y sumo fracciones que tienen unidades semejantes. Puedo seleccionar una estrategia eficiente como ayuda para sumar.

Puedo aplicar cualquier estrategia que haya usado para sumar fracciones o números enteros si quiero sumar números mixtos con unidades fraccionarias semejantes. La descomposición de cualquier parte, la expresión de números mixtos como fracciones mayores que 1 y la compensación son estrategias útiles.

400

De la misma manera que puedo elegir una estrategia para sumar fracciones y números mixtos de manera eficiente, puedo elegir una estrategia para restar una fracción de un número mixto. Puedo hallar la diferencia contando hacia delante desde la parte fraccionaria hasta el total del número mixto. Puedo expresar el número mixto como una fracción mayor que 1 y restar las fracciones. También puedo usar la compensación, restar 1 y, luego, volver a sumar la cantidad adicional.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE

Lección 26

Lección 27

Lección 28

Restar una fracción de un número mixto, parte 2

Restar un número mixto de un número mixto

Representar y resolver problemas verbales con números mixtos usando dibujos y ecuaciones

Puedo descomponer el total o la parte como ayuda para restar una fracción de un número mixto. Puedo descomponer la parte y restar del número mixto para formar un número entero y, luego, seguir restando. O puedo descomponer el total y restar la fracción de 1.

Cuando resto un número mixto de un número mixto, resto unidades semejantes. Cualquier estrategia que haya usado para restar números enteros y fracciones me puede ayudar. Descomponer el total o la parte, usar la compensación, contar hacia delante desde un número y pensar en los números de referencia puede ser útil al restar un número mixto de un número mixto.

Cuando resuelvo problemas verbales de suma y resta con números mixtos, puedo usar los mismos modelos que uso para representar problemas verbales con números enteros. Un vínculo numérico o un diagrama de cinta me ayudan a determinar una estrategia para hallar la solución y a escribir una ecuación para representar el problema. Puedo usar una estrategia de suma o resta conocida como ayuda para resolver el problema.

401

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE

Lección 29

Lección 30

Resolver problemas usando los datos de un diagrama de puntos

Representar datos en un diagrama de puntos Distancia que camina la señora Díaz

Peso de las bolsas de manzanas vendidas el lunes

× 0

× × ×

× ×

1 2 3 4 5 6 7 28 28 28 28 28 28 28

× × × ×

× × ×

0 1 8

1 2 3 4 5 6 7 38 38 38 38 38 38 38

Peso (libras)

Puedo interpretar diagramas de puntos que muestran medidas fraccionarias, incluyendo unidades de octavos. Puedo responder preguntas y resolver problemas relacionados con los datos del diagrama de puntos. Puedo usar los datos del diagrama de puntos para decidir si una afirmación sobre los datos es verdadera.

402

2 8

3 8

4 8

5 8

6 8

× × × ×

× ×

7 1 11 12 13 14 15 16 17 2 21 22 23 24 25 26 27 3 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 Distancia (millas)

Puedo organizar datos en una tabla y usarlos para hacer un diagrama de puntos. Puedo escribir y responder preguntas acerca de los datos.

LECCIÓN 23

Sumar una fracción a un número mixto

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 23

Nombre

Fecha

Suma. Muestra tu razonamiento. 1 2 1. 3_ + _ = 3 3

Ejemplo:

3_3 + _3 = 3 + _3 + _3 1

• ¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre sumar unidades semejantes para sumar un número mixto y una fracción?

• ¿Es útil la estrategia de formar el siguiente número entero si queremos sumar un número mixto y una fracción? ¿Por qué?

2_5 2

Ejemplo:

Criterio de logro académico 4 5

3 5

1 + =2 1

La clase usa lo aprendido sobre la suma de unidades mixtas de medida para sumar un número mixto y una fracción. Usan la forma unitaria para sumar unidades semejantes y escribir sumas como números mixtos o números enteros. Examinan, comentan y comparten diferentes métodos para sumar una fracción a un número mixto y, luego, seleccionan métodos de su preferencia para hallar las sumas.

Preguntas clave

=3+1

4 3_ 2. 1_ + = 5 5

Vistazo a la lección

4 5

+ 15

2 5

4.Mód4.CLA5 Suman números mixtos con el mismo denominador. (4.NF.B.3.c) + 25

2 5

201

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 23

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 5 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• Tarjetas de número mixto más una fracción (en la edición para la enseñanza)

Imprima o haga una copia y recorte las Tarjetas de número mixto más una fracción. Prepare 1 tarjeta por grupo de estudiantes.

Aprender 40 min • Sumar unidades semejantes • Examinar métodos de suma

Estudiantes • ninguno

• Elegir un método • Grupo de problemas

Concluir 10 min

405

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 23

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Sumar en forma unitaria y en forma fraccionaria La clase suma fracciones en forma unitaria con sumas menores que 1 y escribe la ecuación con los números en forma fraccionaria como preparación para sumar una fracción a un número mixto. Muestre 1 tercio + 1 tercio =

¿Cuánto es 1 tercio + 1 tercio? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

2 tercios

1 tercio + 1 tercio =

2 tercios

1 +1=2 3 3 3

Muestre la respuesta. Escriban la ecuación con los números en forma fraccionaria. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la respuesta.

406

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 23 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

2 cuartos + 1 cuarto = 3 cuartos

1 quinto + 3 quintos = 4 quintos

2 +1=3 4 4 4

1 +3=4 5 5 5

7 octavos = 4 octavos + 3 octavos

9 doceavos = 4 doceavos + 5 doceavos

7 =4+3 8 8 8

9 = 4 + 5 12 12 12

2 sextos + 3 sextos =

5 sextos

2 +3=5 6 6 6

407

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 23

Presentar

La clase comenta cómo aplicar lo aprendido acerca de la suma de unidades mixtas de medida a la suma de un número mixto y una fracción. Escriba 2 ct + 1 ct =

¿Cuánto es la suma?

3 ct Escriba 3 ct en el espacio. Escriba 4 gal 2 ct + 1 ct =

y pida a sus estudiantes que hallen la suma.

¿Cuánto es la suma?

4 gal 3 ct Escriba 4 gal 3 ct en el espacio. ¿Cómo hallaron la suma? Sumamos unidades semejantes. El primer sumando tiene galones y cuartos de galón, y el segundo sumando tiene cuartos de galón. No tuvimos que sumar ningún galón, entonces la cantidad de galones siguió siendo la misma. Luego, sumamos los cuartos de galón a los cuartos de galón. Escriba 2 cuartos + 1 cuarto =

¿Cuánto es la suma?

3 cuartos Escriba 3 cuartos en el espacio.

408

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 23 Escriba 4 unidades 2 cuartos + 1 cuarto = . Señale la ecuación con las unidades de medida mixtas y la ecuación con unidades y cuartos, y haga la siguiente pregunta.

Nota para la enseñanza ¿Qué observan acerca de las dos ecuaciones? Las dos tienen unidades mixtas. La primera ecuación tiene unidades mixtas de galones y cuartos de galón. La segunda ecuación tiene unidades mixtas de unidades y cuartos. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar cómo pueden usar lo que saben sobre la suma de unidades de medida mixtas para sumar un número mixto y una fracción.

En el tema A, sus estudiantes describen un número entero y una fracción como un número mixto. Considere ayudarles a ver un número mixto como un número entero más una 3 fracción representando 2  __  como la suma de 5 un número entero y una fracción.

Los galones y los cuartos de galón son unidades mixtas, y las unidades y los cuartos también. Podemos sumar unidades semejantes para sumar unidades mixtas, como galones más galones y cuartos de galón más cuartos de galón. Creemos que podemos usar el mismo método para sumar números mixtos y fracciones. Podemos sumar unidades semejantes, al igual que lo hacemos con las medidas mixtas. Podemos sumar unidades y unidades y, luego, sumar cuartos y cuartos. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, hallaremos la suma de un número mixto y una fracción.

409

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 23

Aprender

Sumar unidades semejantes La clase suma unidades semejantes para hallar la suma de un número mixto y una fracción.

_3 _1

Escriba 2   +   = 5

y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

¿De qué manera podemos expresar los sumandos de la ecuación en forma unitaria?

2 unidades y 3 quintos, y 1 quinto Escriba la ecuación con los números en forma unitaria.

DUA: Representación Considere hacer énfasis en el uso de la propiedad asociativa usando paréntesis para demostrar la descomposición del número mixto y la composición de unidades semejantes.

Sumemos las unidades semejantes. Señale los dos sumandos en la ecuación mientras hace la siguiente pregunta. ¿Cuántas unidades y quintos hay? Hay 2 unidades y 4 quintos Escriba 2 unidades 4 quintos en el espacio. ¿Cuál es la suma en forma unitaria?

2 unidades y 4 quintos ¿De qué manera la suma escrita en forma unitaria puede ayudarnos a pensar en la suma como un número mixto? Podemos ver las dos partes del número mixto en la forma unitaria de 2 unidades y 4 quintos. Podemos ver la parte de número entero y la parte fraccionaria.

Escriba 2    en el espacio y pida a sus 5

estudiantes que hagan lo mismo.

410

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 23

Use un proceso similar para hallar  3  + 3    . 6

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden pensar en la forma unitaria para sumar unidades semejantes. 2 1 Escriba 5  _+  _= 3

y pida a sus

estudiantes que hagan lo mismo. Pídales que hallen la suma. ¿Cuánto es 5  _2  +  _1 ? 3

5 _  3 3

Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando suma un número mixto y una fracción menor que 1 aplicando lo que sabe sobre la suma de unidades mixtas y la suma de fracciones. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:

Escriba 5    en el espacio de la ecuación.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Señale  3 y haga la siguiente pregunta. 3

3 ¿_    se puede expresar como qué número entero?

• ¿De qué manera pueden usar lo que saben sobre la suma de unidades mixtas como 2 ayuda para hallar __  3  + 3  __ ? 6 6 • ¿En qué se parece sumar un número mixto y una fracción menor que 1 a sumar fracciones?

Señale 5    y haga la siguiente pregunta. 3

DUA: Representación

¿Cuánto es 5 y 1 más?

3 Escriba = 6 después de 5    y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. 3 1 Use un proceso similar para hallar  1  + 4    . 2 2

3 Considere representar 5  __  como la suma de un 3 número entero y una fracción para ayudar a 3 sus estudiantes a ver que 5  __  = 6. 3

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden sumar unidades semejantes para hallar la suma de un número mixto y una fracción.

411

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 23

Examinar métodos de suma Materiales: M) Tarjetas de número mixto más una fracción

La clase examina, comenta y comparte diferentes métodos para sumar un número mixto y una fracción. Organice a sus estudiantes en 5 grupos y distribuya una Tarjeta de número mixto más una fracción a cada grupo. Lea con la clase las preguntas para comentar de las tarjetas. Invite a los grupos a usar las preguntas para conversar sobre el método presentado en sus tarjetas. Informe a sus estudiantes que compartirán las conclusiones de su grupo con el resto de la clase. Luego de 2 minutos, reúna a la clase. Invite a cada grupo a compartir sus conclusiones acerca del método para sumar una fracción a un número mixto que estaba representado en su tarjeta. Muestre la imagen del método mientras cada grupo comparte sus conclusiones.

Método de Eva 2

54 +

3 = 4

Método de Iván

2 4

5 + 1

3 = 4

1 4

54 + 4 =

1 4

22 3 25 + = 4 4 4 24 4

412

3 4

Por ejemplo, el método de Shen podría llamarse “usar la recta numérica para la compensación”. Como alternativa, si Shen hizo los cálculos mentalmente y, luego, dibujó la recta numérica, su método podría llamarse “usar la recta numérica para representar la compensación”.

4 -

1 4

Nota para la enseñanza

Sus estudiantes usan la compensación en 2.° y 3.er grado como apoyo para usar números de referencia a fin de crear problemas más simples.

45 + 19 =

Método de Pablo 3

64 -1

+ 20 1

54 + 4 = 54 + 1 = 64 1

54 4 1 4

2 4

Luego de que sus estudiantes hayan explicado su razonamiento, considere expresar cada método con otro nombre de una manera que les ayude a identificar el método.

Método de Liz

54 + 4 =

= 64

54 4 4

Método de Shen

Apoyo para la comprensión del lenguaje

64 65 45

+ 20

-1

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 23 Cuando los grupos hayan terminado, use las siguientes preguntas para guiar una conversación de toda la clase acerca de los diferentes métodos:

DUA: Representación

• ¿Qué observan acerca de la suma de los sumandos fraccionarios en todas las ecuaciones? Considere resaltar las fracciones o escribir una ecuación separada con las fracciones. Esto ayudará a sus estudiantes a ver que la suma de las fracciones es mayor que 1.

• ¿De qué manera muestra Eva cómo formar el siguiente número entero? • ¿Cómo usa Shen una recta numérica para sumar? • ¿Cómo usan Iván y Liz unidades semejantes para sumar? • ¿De qué manera usan Pablo, Iván y Liz un vínculo numérico? Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las estrategias que se pueden usar para sumar un número mixto y una fracción cuando la suma de los sumandos fraccionarios es mayor que 1.

Elegir un método

Use la rutina Cabezas numeradas. Organice a la clase en grupos de 3 y asigne a cada estudiante un número, del 1 al 3.

6 5 3 48 + 8 = 58

4  _ +  _ = 5 8

6 8

Dé a sus estudiantes 1 minuto para responder la pregunta en grupo. Recuérdeles que cualquiera podría responder por el grupo, por lo que cada estudiante debe prepararse para responder.

2 8

3 8

= 64

54 4 4

1 4

Nota para la enseñanza Considere pedir a sus estudiantes que hagan una estimación antes de hallar la suma real. • ¿De qué punto de referencia está cerca cada sumando? • ¿De qué manera podemos usar esos puntos de referencia para estimar la suma?

Diga un número del 1 al 3. Pida a quienes se les haya asignado ese número que compartan el trabajo del grupo. 11 __

3 = 4

2 3 5 + = 4 4 4

La clase suma un número mixto y una fracción usando un método de su preferencia.

Presente la siguiente ecuación:

2 4

5 +

• ¿La suma será menor o mayor que 5? ¿Por qué?

Sumamos unidades semejantes para obtener 4     y, luego, expresamos la fracción como 1 y  3  .

_ 8 5 _ Usamos un vínculo numérico para descomponer     en _ 2  y _ 3 . Formamos el siguiente número entero 5 8 8 8 y sumamos el otro sumando del vínculo numérico para obtener 5 _ 3  .

 3  . Sumamos los tres números, 4 + 1 +  3  para obtener 5 8

413

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 23

10 __

_2 _4

Use un proceso similar para  7   + 8     y 1 0     +     . 12

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo deciden qué método usar para sumar un número mixto y una fracción.

5 10 7 + 8 12 = 9 12 12 5 2 12 12

2 5

10 +

2 4 4 = 10 + + 5 5 5

Diferenciación: Apoyo

= 10 + 5 1

= 10 + 1 + 5 = 11 + 1 = 11 1 5

A fin de ayudar a sus estudiantes a decidir qué estrategia usar para sumar un número mixto y una fracción, considere usar las siguientes preguntas: • ¿La suma de las fracciones es mayor que 1? • ¿Cómo pueden usar un vínculo numérico para descomponer la fracción? • ¿Pueden formar el siguiente número entero? ¿Cómo? • ¿Pueden formar 1? ¿Cómo?

Concluir

• ¿Está uno de los sumandos cerca de un número entero? ¿Pueden usar la compensación? ¿Cómo?

Reflexión final 5 min Objetivo: Sumar una fracción a un número mixto Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de la suma de un número mixto y una fracción. Escriba 4 unidades 2 cuartos + 1 cuarto =

Antes, les pedí que pensaran en esta ecuación. ¿Cómo ha cambiado su razonamiento? Sabemos que podemos sumar unidades semejantes. Podemos sumar unidades a unidades y cuartos a cuartos. ¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre sumar unidades semejantes para sumar un número mixto y una fracción? Cuando sumamos unidades de medida mixtas, sumamos unidades semejantes. Sumamos galones a galones y cuartos de galón a cuartos de galón. Podemos usar la misma estrategia para sumar un número mixto y una fracción. Podemos sumar unidades a unidades y fracciones con unidades semejantes.

414

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 23 ¿Es útil la estrategia de formar el siguiente número entero si queremos sumar un número mixto y una fracción? ¿Por qué? Sí. Hace que sea más fácil sumar. Cuando formo 1, puedo sumar las unidades y, luego, sumar el sumando fraccionario adicional. Sí. Cuando formo el siguiente número entero, es más fácil para mí sumar. Puedo descomponer el sumando fraccionario de la ecuación pensando en qué necesito sumar al número mixto para formar el siguiente número entero. Luego, puedo sumar el número entero y el otro sumando fraccionario.

415

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 23

Nombre

Suma.

1. 3 1_ + 1_ = 5 5

Fecha

3 2_ 5

2 + 4 3_ = 2. _ 8 8

4 5_ 8

3. 5 1_ + 1_ = 2 2

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 23

11 __ 10. David y Oka hallan la suma de 10 __ y 5 . Explica por qué tanto David como Oka están 12 12 en lo correcto.

Método de David

Método de Oka

10 12 + 12 = 11 4

4. 2 1_ + 1_ = 4 4

2 2_ 4

2 + 7 3_ = 5. _ 6 6

11 + 12 = 11 12 Suma. Muestra tu razonamiento.

10 12 + 12 = 10 12

1012 = 10 + 12 + 12 = 1112

11 __ 4 Tanto David como Oka están en lo correcto porque 10 __ + 5 = 11 __ . David y Oka usaron

7 5_

5 en __ 1 y __ 4 para poder sumar __ 1 a __ 11 y formar 1. diferentes estrategias. David descompuso __ 12

5 , que era __ 5, 4 . Oka sumó unidades semejantes, __ 11 y __ Luego, sumó 11 y la otra parte de __ 12

16 . Luego, descompuso __ 16 como __ 12 , o 1, y __ 4 y sumó ambos a 10. y obtuvo __ 12

6. 3 4_ + 1_ = 5 5

5 + 5 3_ = 7. _ 8 8

8. 4 2_ + 2_ = 3 3

5 1_

9 7 9. 8 __ + __ = 10 10

6 9_

416

199

200

GRUPO DE PROBLEMAS

¿Qué te preguntas? ¿Qué pasos siguió este estudiante? ¿Cómo mostró este estudiante que el total es el siguiente número entero y una fracción?

• •

1 4

= 64

•

4 4

¿Qué observas en este trabajo?

3 = 4

•

Preguntas para comentar

5 +

2 4

¿Cómo mostró esta estudiante que el total es el siguiente número entero y una fracción?

•

Método de Iván

¿Qué pasos siguió esta estudiante?

1 4

•

¿Qué te preguntas?

•

¿Qué observas en este trabajo?

3 = 4

•

Preguntas para comentar

2 54

54 +

Método de Eva

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 23 ▸ Tarjetas de número mixto más una fracción

This page may be reproduced for classroom use only.

417

418

This page may be reproduced for classroom use only.

¿Qué te preguntas? ¿Qué pasos siguió esta estudiante? ¿Cómo mostró esta estudiante que el total es el siguiente número entero y una fracción?

• • •

1 4

¿Qué observas en este trabajo?

24 4

22 3 25 + = 4 4 4

•

Preguntas para comentar

54 + 4 =

Método de Liz

¿Cómo mostró este estudiante que el total es el siguiente número entero y una fracción?

•

¿Qué pasos siguió este estudiante?

•

¿Qué te preguntas?

3 4

1 4

•

¿Qué observas en este trabajo?

2 4

•

Preguntas para comentar

54 + 4 =

Método de Shen

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 23 ▸ Tarjetas de número mixto más una fracción EUREKA MATH2

¿Qué observas en este trabajo? ¿Qué te preguntas? ¿Qué pasos siguió este estudiante? ¿Cómo mostró este estudiante que el total es el siguiente número entero y una fracción?

• • •

54 4

•

Preguntas para comentar

54 + 4 = 54 + 1 = 6 4

Método de Pablo

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 23 ▸ Tarjetas de número mixto más una fracción

This page may be reproduced for classroom use only.

419

LECCIÓN 24

Sumar un número mixto a un número mixto

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 24

Nombre

Fecha

Suma. Muestra tu razonamiento. 1 1 1. 1_ + 1_ = 3 3

2 _3 2

Vistazo a la lección La clase suma unidades semejantes para hallar la suma de dos números mixtos. Usan sus conocimientos previos acerca de la suma de un número mixto y una fracción para sumar dos números mixtos. También resuelven un problema verbal que incluye sumar números mixtos.

Preguntas clave

Ejemplo:

1 + 1 + _3 + _3 = 2 _3 1

• ¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre sumar unidades semejantes para sumar números mixtos? • ¿Por qué podemos usar métodos parecidos cuando sumamos un número mixto y una fracción y cuando sumamos números mixtos?

3 2 2. 2 _ + 1_5 = 5

Criterios de logro académico

Ejemplo:

4.Mód4.CLA5 Suman números mixtos con el mismo denominador. (4.NF.B.3.c)

2 _5 + 1_5 = 3 _5 3

4.Mód4.CLA7 Resuelven problemas verbales sobre sumas y restas de

=3+1

fracciones que hacen referencia al mismo entero y tienen los mismos denominadores. (4.NF.B.3.d)

5 6 3. 3 _ + 2 _ = 8 8

6 _8 3

Ejemplo: 5

38 + 28 3 8 5

28 3

38 + 8 = 4 3

4 + 28 = 6 8

205

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 24

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 5 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 10 min

• ninguno

Aprender 35 min • Sumar unidades semejantes

Estudiantes • ninguno

• Usar métodos conocidos para sumar • Sumar números mixtos en contexto • Grupo de problemas

Concluir 10 min

421

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 24

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Sumar en forma unitaria y en forma fraccionaria La clase suma fracciones en forma unitaria y escribe la ecuación con los números en forma fraccionaria como preparación para sumar números mixtos. Muestre 3 quintos + 2 quintos =

¿Cuánto es 3 quintos + 2 quintos? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

3 quintos + 2 quintos = 5 quintos

3 +2=5 5 5 5

5 quintos Muestre la respuesta. Escriban la ecuación con los números en forma fraccionaria. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la respuesta.

422

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 24 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

3 quintos + 3 quintos =

6 quintos

4 sextos + 2 sextos =

6 sextos

3 +3=6 5 5 5

4 +2=6 6 6 6

4 octavos + 6 octavos = 10 octavos

13 décimos = 4 décimos + 9 décimos

15 doceavos = 8 doceavos + 7 doceavos

4 + 6 = 10 8 8 8

13 = 4 + 9 10 10 10

15 = 8 + 7 12 12 12

Presentar

La clase considera cómo sumar números mixtos en un contexto dado. Reproduzca la parte 1 del video Recoger huevos, que muestra a un hombre recogiendo huevos de sus gallineros. Pause el video después de la parte 1 para conversar con la clase. ¿Qué observan y se preguntan?

2 docenas de huevos

7 de una docena 12 de huevos

Observé que recogió 31 huevos.

7   docenas Observé que recogió 2  __ 12 de huevos.

Me pregunto si las gallinas pusieron todos esos huevos en 1 día. Me pregunto si venderá o usará esos huevos.

423

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 24 Reproduzca la parte 2 del video, que muestra al mismo hombre recogiendo huevos de sus gallineros un día después. Al final de esta parte del video, el hombre se pregunta cuántos huevos recogió en los 2 días. Pause el video después de la parte 2 para conversar con la clase. ¿Qué información conocemos? Sabemos cuántas docenas de huevos recoge cada día. ¿Qué podemos dibujar para representar la información conocida?

9 7 Podemos dibujar un diagrama de cinta con las partes rotuladas como 2  __   y 3  __  . 12

¿Qué parte del diagrama de cinta será más grande, 2 __   7  o 3 __    ? ¿Por qué? 9 9 7 3  __   será más grande porque 3  __   es mayor que 2  __  . 12 12 12

9 12

Dibuje y rotule un diagrama de cinta para representar la información conocida. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Qué se desconoce en el problema? No sabemos cuántas docenas de huevos recoge el hombre en total en 2 días. ¿Cómo podemos representar el número desconocido en nuestro diagrama de cinta? Podemos dibujar una llave a lo largo del total y rotularlo con una letra para representar que el total es desconocido. Dibuje una llave a lo largo del total y rotúlelo con la letra d. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo hallar cuántas docenas de huevos recogió el hombre en total. Creemos que podemos sumar unidades semejantes. Podemos hallar la suma de los números enteros y la suma de las fracciones y, luego, sumarlas.

424

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 24 Creemos que podemos expresar los dos números mixtos como fracciones mayores que 1 y sumar unidades semejantes. Luego, podemos volver a expresar la fracción mayor que 1 como un número mixto. Creemos que podemos descomponer uno de los números mixtos para obtener un número entero a partir del otro número mixto. Luego, podemos sumar un número entero y un número mixto en lugar de dos números mixtos. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, sumaremos números mixtos.

DUA: Representación

Aprender

Sumar unidades semejantes

Considere resaltar las unidades semejantes en las ecuaciones como ayuda para que sus estudiantes hagan conexiones entre las representaciones.

La clase suma unidades a unidades y fracciones a fracciones para hallar el total de dos números mixtos. Escriba 3  _1  + 1  _2  = 6

y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

¿De qué manera podemos expresar los sumandos de la ecuación en forma unitaria?

3 unidades 1 sexto + 1 unidad 2 sextos Escriba la ecuación con los números en forma unitaria. Sumemos las unidades semejantes. Señale los dos sumandos en la ecuación mientras hace la siguiente pregunta. ¿Cuántas unidades y sextos hay?

4 unidades y 3 sextos

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando suma unidades semejantes para hallar la suma de dos números mixtos. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7: • ¿Qué patrones observan cuando suman dos números mixtos? ¿De qué manera esos patrones pueden ayudarles a sumar de manera más eficiente? • ¿Qué semejanzas hay entre cómo hallan 3  __61  + 1  __62 , 2  __52  + 4  __51  y 3  __85  + 2  __82 ?

425

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 24 Escriba 4 unidades 3 sextos en el espacio.

Diferenciación: Apoyo

¿Cuál es la suma en forma unitaria?

4 unidades y 3 sextos ¿De qué manera la ecuación con los números escritos en forma unitaria puede ayudarnos a pensar en la suma expresada como un número mixto?

Considere proporcionar un diagrama de cinta para representar las ecuaciones.

Es el mismo total, 4 y 3 sextos, entonces podemos simplemente escribir un número mixto.

Escriba 4  _3 en el espacio y pida a sus 6 estudiantes que hagan lo mismo.

¿Cómo representan las dos ecuaciones la suma de unidades semejantes para hallar el total? En la ecuación con los números escritos en forma unitaria, podemos ver las unidades y los sextos. Sabemos que se suman unidades semejantes porque de la suma de las unidades se obtienen 4 unidades y de la suma de los sextos se obtienen 3 sextos. Vemos la unidad fraccionaria cuando los números se escriben en forma fraccionaria y podemos simplemente sumar unidades semejantes. Se suman las unidades para obtener 4 unidades y se suman los sextos para obtener 3 sextos.

Este diagrama de cinta se usa a fin de representar cómo agrupar las unidades semejantes para sumar. Más adelante en la lección, se usa un diagrama de cinta como parte del proceso Lee-Dibuja-Escribe para representar la información conocida y desconocida en un problema verbal. El diagrama de cinta usado para el proceso LDE también ayuda a sus estudiantes a identificar una estrategia para hallar la solución. Sin embargo, en este diagrama de cinta, ya saben que están sumando para hallar el total.

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar 2  _2  + 4  _1  y 3  _5  + 2  _2 . 5

Escriba 2  _3  + 1  _1  = 4

DUA: Representación

y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

Indique a las parejas que hallen el total. ¿Cuánto es 2 _    + 1 _ 1 ?

3 4

Considere presentar imágenes de los métodos 3 1 que usan sus estudiantes para hallar 2  __  + 1  __ . 4 4 El apoyo visual puede ayudarles a comprender cómo hallaron el total sus pares.

Escriba 4 en el espacio. ¿Cómo hallaron el total?

Sumamos unidades a unidades y cuartos a cuartos para obtener 3  _4 . Expresamos _ 4  como 1 y

sumamos 3 y 1 para obtener el total, 4.

Vimos que 2  _3  necesita 1 cuarto más para formar 3. Mostramos 1  _1 como un número entero y una 4 4  _3  y obtuvimos 3. Sumamos 3 y 1 para obtener el total, 4. fracción. Luego, sumamos  _1 a 2 4

426

1 4 24 + 1 = 3 = 3 + 1 = 4 4 4 1

2 4 + 14 = 3 + 1 = 4 1 4

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 24 Pida a las parejas que hallen 1  _1  + 5  _2 . 3

1 3 + 53 = 6 + 1 = 7

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden sumar unidades semejantes para hallar el total de dos números mixtos.

1 3

Usar métodos conocidos para sumar La clase aplica métodos de suma conocidos para sumar dos números mixtos. 7 Escriba 4  __   + __   9   = 10

Podemos sumar unidades semejantes para obtener un número mixto que incluya una fracción mayor que 1. Luego, podemos expresar la fracción mayor que 1 con otro nombre.

__7  tiene la misma unidad fraccionaria que __ 4  10  9  , entonces podemos descomponer uno de los 10

sumandos para componer un número entero. Luego, podemos sumar el número mixto y la fracción o el número mixto. Podemos usar la compensación en una recta numérica o con el método de flechas para 7 9   y 4  __  . Podemos sumar 1 y, luego, restar __  1  . representar la suma de  __ 10

7 Podemos usar el método de flechas para contar 9 décimos hacia delante desde 4  __  . 10

Considere crear una lista con las maneras de hallar el total de un número mixto y una fracción que sus estudiantes compartan. Pueden consultarla mientras aplican métodos similares para sumar números mixtos.

¿Cómo pueden hallar la suma?

9 7 Escriba 4  __   + 2  __   =

DUA: Representación

Nota para la enseñanza Considere pedir a sus estudiantes que hagan una estimación antes de hallar la suma real. • ¿De qué punto de referencia, o número entero, está cerca cada sumando? • ¿De qué manera podemos usar esos puntos de referencia para estimar la suma? • ¿La suma será menor que o mayor que 6? ¿Y que 7? ¿Por qué?

y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si pueden usar métodos parecidos para hallar la suma de los números mixtos. Pueden aplicar lo que saben acerca de la suma de un número mixto y una fracción para sumar dos números mixtos.

9 7 Pida a las parejas que hallen la suma de 4  __   y 2  __  . 10

Seleccione a dos o tres parejas para que compartan su trabajo. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre la suma de unidades semejantes y el uso de métodos conocidos para hallar la suma de dos números mixtos.

Diferenciación: Desafío Considere invitar a sus estudiantes a usar más de una estrategia para hallar el total de los números mixtos. Pídales que comenten la eficiencia de las diferentes estrategias que usaron para hallar el total.

427

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 24 Estos ejemplos de trabajo demuestran el uso del método de flechas para formar el siguiente número entero, la suma de unidades semejantes y su expresión con otro nombre, la expresión de unidades semejantes con otro nombre y su suma, y el uso de la compensación en una recta numérica abierta. Sumar unidades semejantes y expresarlas con otro nombre

Método de flechas para formar el siguiente número entero

4 10 + 2 10 = 7 10 7

4 10

+ 10

7 10

Expresar unidades semejantes con otro nombre y sumarlas

4 10 + 2 10 =

4 10 + 2 10 = 6 10

= 7 10

6 10

Compensación en una recta numérica abierta

4 10 + 2 10 = 7 10

7 10

76 47 29 10 + 10 = 10

1 10

70 6 10 10 7

4 10

7 10 7 10

Mientras la clase comparte su trabajo, considere usar las siguientes preguntas para que expliquen su razonamiento y para ayudarles a ofrecer aclaraciones sobre cómo sumaron unidades semejantes a fin de hallar la suma: • ¿Cómo usaron unidades semejantes para sumar? • ¿Cómo registraron la suma? • ¿Descompusieron algún número? ¿Por qué? • ¿Usaron el cálculo mental? ¿Cómo?

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar 3  _3  + 2  _6 . 8

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden hallar el total de dos números mixtos.

428

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 24

Sumar números mixtos en contexto La clase dibuja un diagrama de cinta y suma números mixtos para resolver un problema verbal. Presente el problema:

9 7 El Sr. Endo recoge 2  __  docenas de huevos de sus gallinas en 1 día. Recoge 3  __  docenas de huevos 12

al día siguiente. ¿Cuántas docenas de huevos recoge en los 2 días? ¿Qué observan? Se parece al problema que vimos anteriormente en el video. El hombre del video debe ser el Sr. Endo. Muestre el diagrama de cinta de la sección Presentar. Este es el problema sobre el que estuvimos pensando anteriormente. Ya hicimos un diagrama de cinta para representarlo. ¿Cómo podemos hallar cuántas docenas de huevos recoge el Sr. Endo en 2 días?

Sabemos cuáles son las partes, pero no el total. Para hallar el total, sumamos las partes. 9 7   y 3  __  . Podemos sumar 2  __ 12

Invite a las parejas de estudiantes a hallar cuántas docenas de huevos recogió el Sr. Endo escribiendo una ecuación para representar el problema, hallando el total y escribiendo un enunciado con la solución.

7 12

Nota para la enseñanza

9 12

7 + 39 = d 12 12

Invite a una o dos parejas a compartir su trabajo.

3 4 + +2 4 9 + 12 12 6 6 3 4 12 12 4 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las d = 6 12 semejanzas entre sus estrategias y la estrategia del Sr. Endo.

Reproduzca la parte 3 del video, que muestra al Sr. Endo determinando cuántos huevos en total recogió en los 2 días.

El Sr. Endo recoge

4 docenas de huevos 12 en dos días.

Considere pausar el video antes de que cada una de las dos ecuaciones aparezca en la pantalla. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para escribir una ecuación de suma que represente cada parte de lo que hace el Sr. Endo. Por ejemplo, pueden escribir 9 3 3  __   +  __   = 4 para representar que el Sr. Endo 12 12 mueve 3 huevos de un cartón a otro y, luego, 4 4 2  __   + 4 = 6  __   para representar cuántas 12 12 docenas de huevos hay en total.

429

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 24

EUREKA MATH2

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Sumar un número mixto a un número mixto Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de las maneras en las que se pueden sumar los números mixtos. ¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre sumar unidades semejantes para sumar números mixtos? Podemos pensar en la forma unitaria como ayuda para sumar unidades semejantes. Podemos sumar unidades a unidades y fracciones a fracciones. ¿Por qué podemos usar métodos parecidos cuando sumamos una fracción a un número mixto y cuando sumamos números mixtos? Podemos usar métodos parecidos porque estamos sumando unidades semejantes. Eso no cambia cuando se suma un número mixto y una fracción o dos números mixtos. Podemos usar métodos parecidos porque sabemos cómo sumar unidades semejantes. Se parece a cuando sumamos números enteros y descompusimos para formar diez o la siguiente decena. Sin embargo, con las fracciones y los números mixtos podemos descomponer una fracción para formar el siguiente número entero.

430

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 24

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 24

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 24

8. 3 5_ + 3 6_ = 8 8

7 3_ 8

Suma. 1 1. 1_ + 2 1_ = 3 3

3 2_ 3

2 2. 3 2_ + 1_ = 5 5

4 4_ 5

3. 2 1_ + 1 1_ = 2 2

Suma. Muestra tu razonamiento. 4. 1 2_ + 1 2_ = 3 3

6 8 9. 2 __ + 3 __ = 10 10

4 6_

5 __ = 10. 4 __ + 3 10 12 12

3 8_

3 1_ 3

9 5 8 11. 4 __ + 5 __ = 10 _ 12 12 12

5. 1 2_ + 3 3_ = 4 4

5 1_ 4

7 12. Deepa corre la primera parte de una carrera de relevos en 5 __ minutos. Adam corre la siguiente 10

6. 2 5_ + 3 3_ = 6 6

6 2_

7. 2 4_ + 2 4_ = 5 5

5 3_

9 parte en 4 __ minutos. ¿Cuál es el tiempo total de Deepa y Adam? 10 6 El tiempo total de Deepa y Adam es 10 __ minutos. 10

203

204

GRUPO DE PROBLEMAS

431

LECCIÓN 25

Restar una fracción de un número mixto, parte 1

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 25

Nombre

Fecha

Resta. Muestra tu razonamiento. 1 3_ − = 1. 1_ 5 5

3_ 5

Ejemplo: 1

15 − 5 5 5

Vistazo a la lección La clase usa varias maneras de restar fracciones menores que 1 de números mixtos. Consideran un problema de suma relacionado y usan puntos de referencia para contar hacia delante desde la parte hasta el total a fin de hallar la diferencia. También expresan un número mixto como una fracción mayor que 1 para restar una fracción. Eligen un método para hallar la diferencia y analizan el trabajo de sus pares.

Preguntas clave

1 5

• ¿Cómo podemos usar los puntos de referencia como ayuda para restar?

5 1 6 + = 5 5 5

• ¿Cómo deciden qué método usar para restar una fracción de un número mixto?

6 3 3 − = 5 5 5

Criterio de logro académico 5 7 2. 2__ − _ = 8 8

4.Mód4.CLA6 Restan números mixtos con el mismo denominador. (4.NF.B.3.c)

1_8 6

Ejemplo: 5

–1

1 8

213

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 25

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 5 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 40 min • La resta como un sumando desconocido

Estudiantes • ninguno

• Compensación • Expresar con otro nombre para restar • Seleccionar un método • Grupo de problemas

Concluir 10 min

433

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 25

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Restar en forma unitaria y en forma fraccionaria La clase resta fracciones en forma unitaria con diferencias menores que 1 y escribe la ecuación con los números en forma fraccionaria como preparación para restar una fracción de un número mixto. Muestre 2 tercios − 1 tercio =

¿Cuánto es 2 tercios − 1 tercio? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

2 tercios − 1 tercio =

1 tercio

2 −1=1 3 3 3

1 tercio Muestre la respuesta. Escriban la ecuación con los números en forma fraccionaria. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la respuesta.

434

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 25 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

3 cuartos − 1 cuarto = 2 cuartos

3 quintos − 2 quintos =

3 −1=2 4 4 4

5 sextos − 3 sextos =

1 quinto

3 −2=1 5 5 5

2 sextos

3 octavos = 7 octavos − 4 octavos

4 doceavos = 10 doceavos − 6 doceavos

3 =7−4 8 8 8

4 = 10 − 6 12 12 12

5 −3=2 6 6 6

Presentar

La clase resta unidades mixtas, incluidas las unidades fraccionarias mixtas, en forma unitaria. Muestre la imagen de las piñas y las zanahorias. ¿Cuántos de cada elemento ven? Veo 2 piñas y 5 zanahorias. ¿Cuántos de cada elemento quedarán si quitamos 2 zanahorias?

2 piñas y 3 zanahorias

¿Cambia el número de piñas? ¿Por qué?

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere presentar objetos concretos para demostrar la necesidad de restar unidades semejantes. Use objetos o herramientas del salón de clases para representar las ecuaciones de la lección en forma unitaria.

El número de piñas no cambia porque solo estamos quitando zanahorias. Las piñas son elementos diferentes. Registre la ecuación usando la forma unitaria.

435

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 25 Escriba 2 pies 5 pulgadas − 2 pulgadas. ¿Cuál es la diferencia? ¿Cómo lo saben? La diferencia es 2 pies y 3 pulgadas. Podemos restar pulgadas de pulgadas. Registre la diferencia. Escriba 2 unidades 5 octavos − 2 octavos. ¿Cuál es la diferencia? ¿Cómo lo saben? La diferencia es 2 unidades y 3 octavos. Podemos restar los octavos de los octavos. Las unidades seguirán siendo las mismas. Registre la diferencia. ¿Qué observan acerca de las unidades en las tres ecuaciones de resta? Cada vez que restamos, restamos unidades semejantes. Cuando restamos unidades fraccionarias, también necesitamos restar unidades semejantes. Escriba 1 hora 5 minutos − 10 minutos. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo hallarían la diferencia.

1 hora 5 minutos - 10 minutos = 5 minutos

Restaría 5 minutos y, luego, restaría otros 5 minutos de 1 hora. Como 1 hora es 60 minutos, quedarían 55 minutos. Usaría el método de flechas para contar hacia delante desde 10 minutos hasta 60 minutos porque sé que 60 minutos es 1 hora. Luego, solo necesito sumar 5 minutos para obtener 65 minutos, que es 1 hora y 5 minutos.

436

10 minutos + 10 min

+ 50 min

5 minutos

= 1 hora 5 minutos 60 min (1 hora)

+ 5 min

65 min

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 25 Sé que 1 hora es 60 minutos, entonces expresaría 1 hora y 5 minutos como 65 minutos y, luego, restaría 10 minutos. Podríamos usar varios métodos. En todos ellos, se suman o restan unidades semejantes.

1 hora 5 minutos - 10 minutos =

(60 min)

65 minutos - 10 minutos = 55 minutos

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

DUA: Representación Considere representar la ecuación usando un vínculo numérico para ayudar a sus estudiantes a describir una ecuación de suma mediante el uso del lenguaje de parte-total.

Hoy, usaremos diferentes métodos para restar una fracción de un número mixto.

Aprender

La resta como un sumando desconocido La clase usa la relación entre la resta y la suma y, luego, cuenta hacia delante desde un número para hallar la diferencia. Escriba 1  _3  − _ 7  = 8

Invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para describir la ecuación usando el lenguaje de parte-total. Sabemos que el total es 1  _3  y que _ 7 es una parte. 8

Necesitamos hallar la parte desconocida. ¿Qué observan acerca de la parte? Está a _ 1 de distancia de 1.

Diferenciación: Apoyo Para ayudar a sus estudiantes a relacionar un problema de resta con un problema de sumando desconocido, considere brindar apoyo con números enteros conocidos.

Está cerca del punto de referencia 1. ?

437

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 25 ¿De qué manera podemos escribir la ecuación como una ecuación de suma?

_ 7  +

Nota para la enseñanza

= 1  _83 

+ _8 7  = 1  _83 

Interpretar un problema de resta como un problema de sumando desconocido y usar puntos de referencia para contar hacia delante desde un número es una estrategia usada en 2.o y 3.er grado. El siguiente ejemplo muestra esta estrategia.

Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para contar hacia delante desde _ 7 hasta 1  _3 . Recorra 8

el salón de clases y elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento con la clase. Elija razonamientos que destaquen el uso de números de referencia como ayuda para

63 − 48 =

contar hacia delante desde un número. Registre las respuestas.

48 +

Dibujé una recta numérica abierta y conté hacia delante desde _ 7 

hasta  _8  porque sé que _ 8 es igual a 1. Luego, conté hacia delante desde 8

1 hasta 1  _83 . Para hallar la respuesta, sumé las partes que conté hacia delante. _ 1  + _ 3  = _ 4 , entonces la respuesta es _ 4 . 8

7 8

el método de flechas para mostrar mi razonamiento. ¿Usar un punto de referencia les ayudó a hallar la respuesta? ¿Cómo?

1 8

+ 8

Sí. Llegar al punto de referencia 1 hizo que sumar  _3 fuera más 8 fácil para mí.

Dé a la clase 1 minuto para contar hacia delante desde un número a fin de hallar 3  _1  − _ 4 . Pídales que muestren su razonamiento. 6

Recorra el salón de clases y elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento con la clase. Registre las respuestas.

La diferencia es 2  _3 . 6

Usé el método de flechas y sumé _ 2  a _ 4 para llegar a 1, luego, 6

sumé 2 para llegar a 3 y, por último, sumé _ 1 para formar 3  _1 .

6 6 2 4 Formé 1 contando hacia delante     desde    y, luego, contando 6 6 1 1 hacia delante 2    para llegar a 3    . La diferencia es 2  3 . 6 6 6

438

_ _

4 6

1 6

3 - =

4 6

26 +

2 6

4 + 6

48 50

+ 10

60 63

+ 10

36 - 6 = 4 6

+2 +2

3 1 8

7 1 8

Sumé _ 1  a _ 7 para formar 1 y, luego, sumé _ 3  a 1 para llegar a 1  _3 . Usé 8

+8 +8

= 63

3 6 1

= 36 +2

1 6

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 25 ¿Usar puntos de referencia les ayudó a hallar la respuesta? ¿Cómo? Sí. Llegar a los puntos de referencia 1 y, luego, 3 hizo que sumar fuera más fácil para mí.  _1 . Sí. Llegar al punto de referencia 1 hizo que fuera más fácil para mí sumar 2 6

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usaron los puntos de referencia para contar hacia delante desde un número y determinar cuándo tiene sentido usar esta estrategia.

Compensación

Invite a sus estudiantes a usar paréntesis para escribir una ecuación que muestre cómo usar la compensación.

La clase usa puntos de referencia y la compensación para simplificar la resta de una fracción menor que 1 de un número mixto. 4 Escriba 5  __   − __   9   = 10

Diferenciación: Desafío

510 - 10 =

(5 104 - 1) + 10 = 1

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué punto de referencia está cerca de la parte. Como __   9  está tan cerca de 1, restemos 1. ¿Cuánto es 5 __   4   − 1?

4   4   10

Registre la resta usando el método de flechas y la recta numérica abierta. Eso fue útil, pero restamos más de lo necesario. ¿Qué debemos hacer para restar solo __   9  ? 10

Volver a sumar __  1   10

Sabemos que esta es la estrategia de compensación. ¿Por qué usamos dos operaciones, la resta y la suma, para hallar la diferencia? Cuando usamos la compensación para restar, quitamos un número de referencia que es más grande y, luego, volvemos a sumar la cantidad adicional.

3 Repita el proceso con 2  __   − __   7  . 12

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué usar los números de referencia les ayuda a restar.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando usa la compensación para restar una fracción menor que 1 de un número mixto. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6: • Cuando se usa la compensación para restar, ¿con qué deben tener mucho cuidado? ¿Por qué? • ¿En qué detalles es importante pensar al 3 7 usar la compensación para hallar 2  __  −  __ ? 12 12 • ¿Dónde podrían cometer un error al restar usando la compensación?

439

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 25

Expresar con otro nombre para restar La clase expresa un número mixto como una fracción mayor que 1 para restar. Escriba 1  _2  − _ 5  = 6

Expresemos 1 _ 2 como una fracción mayor que 1 para restar. 6

Pida a sus estudiantes que expresen 1  _2 como una fracción mayor que 1 y que reescriban la ecuación 6 de resta. 6

6 6

¿Cuál es la diferencia entre  _8  y _ 5 ? 6

16 - 6 = 6

Expresé 1  _2  como _ 8 porque sé que 1 es igual a _ 6  y _ 6  + _ 2  = _ 8 . Entonces, 1  _2  = _ 8 .

¿De qué manera expresaron 1 _ 2 con otro nombre?

DUA: Acción y expresión Considere crear junto con sus estudiantes un afiche de referencia de los métodos usados para restar una fracción de un número mixto. Registre un ejemplo de cada método mientras se avanza en esta lección y en la siguiente. Deje el afiche de referencia a la vista de modo que sus estudiantes puedan consultarlo mientras trabajan.

6 2 8 + = 6 6 6

2 6

8 5 3 - = 6 6 6

3   6

Entonces, ¿cuánto es 1 _ 2  − _   ? 6

_ 3 

5 6

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo expresar el total como una fracción mayor que 1 les puede ayudar a restar.

Escriba 5  _2  − _ 5  = 8

2 8

Dé a la clase 2 minutos para expresar el total como una fracción mayor que 1 y hallar la diferencia. ¿Cuál es la diferencia? ¿Cómo lo saben?

La diferencia es __  37 . Expresamos 5  _2  como __  42 . Luego, restamos _ 5  de __  42 . 8

440

5 8

5 - =

42 5 37 - = 8 8 8

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 25 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar en qué casos elegirían expresar el total como una fracción mayor que 1 y en qué casos no. Si solo hubiera pocas unidades en el número mixto o si supiera los múltiplos del denominador lo suficientemente bien, expresaría el total como una fracción mayor que 1. Me gusta que una vez que el número mixto se expresa con otro nombre, puedo simplemente restar las unidades semejantes. Si hay muchas unidades en el número mixto o si no sé los múltiplos del denominador lo suficientemente bien, no expresaría el total como una fracción mayor que 1.

Seleccionar un método

Diferenciación: Apoyo Considere ayudar a sus estudiantes a expresar un número mixto con otro nombre mostrándoles un ejemplo de resta de un número entero y haciendo énfasis en la forma unitaria. Pregúnteles de qué manera expresar 4 decenas y 2 unidades como 3 decenas y 12 unidades les ayuda a restar.

La clase selecciona un método para hallar la diferencia y comparar y contrastar los ejemplos de trabajo. Escriba 1  _1  − _ 4  = 5

Dé a la clase 1 minuto para seleccionar un método y hallar la diferencia. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre los métodos.

Método de flechas para contar hacia delante desde un número

1 4 15 - 5= 2 5

4 + 5 4 5

1 4 1 - = 5 5 1

= 15 1

2 5

Compensación en una recta numérica

1 2 5 5

2 5

Expresar el número mixto con otro nombre

1 4 1 - = 5 5 6 4 2 - = 5 5 5

-1

1 5

2 5

Nota para la enseñanza Los ejemplos de trabajo y razonamiento anticipan las respuestas más comunes. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre los conceptos clave. Si la clase no produjo ningún trabajo similar, seleccione uno o dos trabajos de la clase para compartir y destaque la manera en que el trabajo contribuye a avanzar hacia el objetivo de esta lección. Luego, seleccione un ejemplo de trabajo de la lección que sirva para incentivar el razonamiento matemático.

441

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 25 Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su trabajo con todo el grupo.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que cree problemas más simples como ayuda para hallar la diferencia.

Mientras sus estudiantes escuchan a sus pares defender métodos más sofisticados, pídales que consulten la sección Preguntar por el razonamiento de la Herramienta para la conversación. Considere usar las siguientes preguntas para guiar la conversación:

Método de flechas para contar hacia delante desde un número (método de James) ¿Cómo hallaste la diferencia? Pensé en la ecuación de resta como una ecuación de suma. Primero, conté hacia delante hasta el punto de referencia 1 y, luego, conté hacia delante hasta el total. ¿Por qué elegiste contar hacia delante?

Sé que  _4 está cerca de 1. Entonces, fue fácil para mí usar un punto 5 de referencia como ayuda para contar hacia delante. Compensación en una recta numérica (método de Jayla) ¿Cómo halló Jayla la diferencia?

Restó el punto de referencia 1 y, luego, sumó _ 1 .

15 - 5= 2 5

4 + 5 1

4 5 1 5

1 -

¿Por qué creen que eligió usar la compensación? Porque la parte que necesitaba restar está cerca de un punto de referencia.

4 = 5

1 +5

2 5 1

= 15

• ¿Por qué eligieron contar hacia delante desde un número?

• ¿Pueden explicar cómo usaron la compensación?

2 5

-1

¿Podría haber mostrado la compensación de otra manera? Podría haberla mostrado con el método de flechas o con ecuaciones. Podría haber sumado  _1 al total y, luego, podría haber restado para 5

mantener una diferencia constante. Entonces, 1  _2 − 1 = _ 2 . 5

1 2 5 5

1 5

• ¿Cómo se relaciona su método con la resta de unidades semejantes?

DUA: Acción y expresión Otra forma de compensación que se usa para simplificar la resta es la diferencia constante que se enseña en 2.o y 3.er grado. Se puede sumar o restar un mismo número tanto del total como de la parte que se está restando. Considere invitar a sus estudiantes a determinar por qué esta estrategia funciona y cuándo puede ser útil al restar fracciones.

1 4 1 - = 5

1 + 5

1 5

15 - 1 = 5

442

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 25 Expresar el número mixto con otro nombre (método de Deepa) ¿Qué hiciste para hallar la diferencia? Expresé 1  _1  como _ 6 .

1 4 1 - = 5 5

¿Por qué creen que Deepa eligió expresar el total con otro nombre para restar?

6 4 2 - = 5 5 5

2 5

Creo que eligió expresarlo con otro nombre porque sabía que 1 es la misma

cantidad que  _5 y se puede sumar _ 5  y _ 1 mentalmente. Luego, solo tenía que restar _ 4  de _ 6 . 5

Creo que eligió expresarlo con otro nombre porque para ella este método es más eficiente que los otros. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para describir en qué se parece o en qué se diferencia cada método del método que usaron para hallar la diferencia.

5 Si hay tiempo suficiente, repita el proceso para hallar 6  __   − __  11 y, luego, comparta el trabajo de sus 12 12 estudiantes.

Nota para la enseñanza Considere pedir a sus estudiantes que estimen antes de hallar la diferencia real de manera que puedan evaluar si sus respuestas son razonables. • ¿De qué punto de referencia está cerca __  11 ? 12 • ¿Cómo podemos usar el punto de referencia como ayuda para estimar la diferencia? • ¿La diferencia será menor o mayor que 6? ¿Por qué?

Nota para la enseñanza Para anticipar la lección 26, considere pedir a sus estudiantes que hallen otras maneras de restar diferentes a las que se enseñaron en esta lección. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con la clase.

443

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 25

Concluir

EUREKA MATH2

Reflexión final 5 min Objetivo: Restar una fracción de un número mixto, parte 1 Use las siguientes preguntas para guiar una conversación sobre restar una fracción de un número mixto usando métodos para descomponer las partes. ¿Cómo podemos usar los puntos de referencia como ayuda para restar? Si pensamos en una ecuación de resta como una ecuación de suma, podemos usar puntos de referencia mientras sumamos de la parte para llegar al total. Si la parte que necesitamos restar está cerca de un punto de referencia, como 1 u otro número entero, el punto de referencia puede ser útil para la compensación. ¿Por qué es útil descomponer cuando se cuenta hacia delante desde un número para restar una fracción de un número mixto? Descomponer la diferencia mientras cuento hacia delante desde un número ayuda a crear problemas más simples. Puedo contar hacia delante usando puntos de referencia, fracciones y números enteros. ¿Cuándo elegirían expresar el total con otro nombre para restar? Expresaría el total con otro nombre si supiera bien los múltiplos del denominador en el número mixto y si el número entero y el numerador fueran números pequeños. Expresaría el total con otro nombre si la parte que estoy restando no estuviera cerca de un número de referencia. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las conexiones que observan entre las estrategias de resta que han aprendido hasta el momento.

444

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 25

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 25

Nombre

Fecha

Resta usando la compensación. Usa el método de flechas o una recta numérica como ayuda. Luego, completa la ecuación. 3 8 − __ = 7. 1 __ 10 10

Resta.

1. 1 3_ − 2_ = 4 4

11_

3 6 2. 5 __ − __ = 10 10

3 5 __

4 __ − __ 3. 7 11 = 12 12

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 25

5 __ 10

7 7 __ 12

110

−1

3 10

2 10

Resta contando hacia delante desde un número. Usa el método de flechas o una recta numérica como ayuda. Luego, completa las ecuaciones. 4. 1 1_ − 2_ = 4 4

_2 + 4

_3 4

3_ 4

= 1 1_ 4

5. 1 2_ − 4_ = 5 5

3_ 5

_4 + 5

= 1 2_

3_ 5

1 3_

_4 + 6

= 2 1_

1 4

8. 1 2_ − 7_ = 8 8

_3 8

9. 2 1_ − 3_ = 5 5

1 3_

6. 2 1_ − 4_ = 6 6

1 3_

2 4

207

208

GRUPO DE PROBLEMAS

445

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 25

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 25

10. 6 6

13. 1 1_ − 7_ = 8 8

2 6

7 5 − = 6 6

12. 2 1_ − 2_ = 3 3

446

_2 8

2 6

5 __ = 14. 1 __ − 10 12 12

11. 1 2_ − 3_ = 4 4

EUREKA MATH2

Resta. Muestra tu razonamiento.

Expresa el número mixto con otro nombre para restar. Luego, completa la ecuación. 1 5 16 − 6 =

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 25

7 __ 12

3_ 4

15. 4 1_ − 2_ = 3 3

3 2_

16. 5 2_ − 4_ = 5 5

4 3_

1 2_ 3

GRUPO DE PROBLEMAS

209

210

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 25

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 25

10 7 17. Jayla y Pablo usan el método de flechas para hallar 7 __ − __ . ¿Es correcto su trabajo? Explica. 12

10 12

Trabajo de Jayla

2 12

1 −

Trabajo de Pablo

7 12

7 −

3 12

7 12

9 12

9 7 3 y obtuvo 6 __ 7 y, luego, __ Sí, su trabajo es correcto. Pablo comenzó con 7 __ . Restó __ . Su trabajo 12

3 10 10 , porque __ 10 y contó hacia 7 + __ muestra que se resta el mismo total, __ = __ . Jayla comenzó con __ 12

9 7 7 2 7 . Sé que 6 + __ 2 , 6 y __ delante de manera correcta hasta 7 __ sumando __ + __ = 6 __ , entonces su 12

respuesta es correcta.

GRUPO DE PROBLEMAS

211

447

LECCIÓN 26

Restar una fracción de un número mixto, parte 2

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26

Nombre

Fecha

Resta. Muestra tu razonamiento. 1 3_ − = 1. 2 _ 5 5

1 _5 3

Ejemplo: 1

25 − 5 1 5 1 25 1 2 2. 3 _ − _ = 3 3

−

1 5

2 5 −

2 5

Vistazo a la lección La clase resta fracciones menores que 1 de números mixtos descomponiendo la parte que se resta en partes más pequeñas para crear problemas de resta más simples. También descomponen el total de dos maneras. Hacen un vínculo numérico para separar el total en 1 y una parte restante, restan la fracción de 1 y, luego, suman las partes restantes para hallar la diferencia. Además, expresan uno de los números enteros en el número mixto con otro nombre para aumentar el número de unidades fraccionarias y simplificar la resta de unidades semejantes.

Pregunta clave 3 15

• ¿Por qué es útil descomponer una parte o el total para restar una fracción de un número mixto?

2 2 3_

Ejemplo:

Criterio de logro académico 1

33 − 3

4.Mód4.CLA6 Restan números mixtos con el mismo denominador. (4.NF.B.3.c)

4 3

4 −2=2 3 3 3 2

2 + 3 = 23

221

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 5 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 40 min • Descomponer la parte para restar

Estudiantes • ninguno

• Restar de 1 • Expresar con otro nombre para restar • Grupo de problemas

Concluir 10 min

449

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Restar en forma unitaria y en forma fraccionaria La clase resta fracciones en forma unitaria y escribe la ecuación con los números en forma fraccionaria como preparación para restar una fracción de un número mixto. Muestre 5 quintos − 2 quintos =

¿Cuánto es 5 quintos − 2 quintos? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

3 quintos Muestre la respuesta. Escriban la ecuación con los números en forma fraccionaria.

5 quintos − 2 quintos = 3 quintos 5 2 3 − = 5 5 5

450

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

6 quintos − 3 quintos = 3 quintos

6 sextos − 1 sexto =

5 sextos

6 −3=3 5 5 5

6 −1=5 6 6 6

10 octavos − 3 octavos = 7 octavos

8 décimos = 13 décimos − 5 décimos

9 doceavos = 15 doceavos − 6 doceavos

10 −3=7 8 8 8

8 = 13 − 5 10 10 10

9 = 15 − 6 12 12 12

451

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26

Presentar

La clase razona sobre una manera de restar una fracción mayor que 1 de un número mixto. Muestre la situación y la imagen del aceite para motores.

Zara tiene 1  _1 galones de aceite para motores. 4 Necesita colocar _   3 de galón de aceite en el motor de un auto.

Recipiente A

Recipiente B

1 galón

1 de galón 4

Siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática. Dé 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio y describa cómo puede usar Zara

el aceite que tiene para colocar _  3 de galón en el motor. Invite a sus 4

estudiantes a dibujar un modelo y a escribir una ecuación para

describir la situación. Pídales que hallen cuánto aceite le queda a Zara después de colocar

_ 3 de galón en el motor. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron. 4

Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias. Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y, luego, registre las respuestas. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo puede usar Zara el aceite que tiene para el motor. Zara puede vaciar el recipiente B en su motor primero y, luego, usar _  2 de galón 4 del recipiente A. Pensé en la situación como un problema de resta y usé un vínculo numérico y el método de flechas para mostrar cómo descompuse y resté la parte.

14 - 4 = 4 1 4

2 4 1

2 4

1-4 -4 2 1 14 4 1

14 - 4 = 452

1 4 3

2 4

1-4 -4 2 2 1 1 EUREKA MATH 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26 4 4 Zara puede usar los _  3 de galón del recipiente A. Sé que 1 −_     = _ 1 , entonces 3 4

14 - 4 =

 1 de galón en el recipiente B. Escribí quedaría _   1 de galón en el recipiente A y _ 4

un problema de resta para mostrar cuánto aceite tenía al principio, cuánto

1 4 3 1 1- = 4 4 1 1 2 + = 4 4 4

aceite usó y cuánto le quedó. La ecuación de suma muestra cómo combiné las cantidades restantes. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos diferentes métodos para restar una fracción de un número mixto.

Aprender

Descomponer la parte para restar La clase reconoce que descomponer la fracción que se resta puede simplificar la resta de un número mixto. 3

Presente el trabajo que se analizará. Use la rutina Cinco preguntas estructuradas para invitar a sus estudiantes a analizar el método que se usó en el trabajo.

Observo que se descompone __  7  .

2 12 − 12 = 112

Para apoyar a sus estudiantes en la comprensión del proceso de descomposición de la parte para restar, considere mostrar otro método de registro. Anime a sus estudiantes a registrar su trabajo de una manera que les parezca que tiene sentido.

3 4 12 12

Observar y preguntarse ¿Qué observan en este trabajo? ¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones?

DUA: Acción y expresión

3 2 12

− 3

− 4

1 12

Observo que primero se resta una fracción del número mixto y, luego, se resta una fracción de un número entero.   3   y __   4  . Me pregunto por qué se descompone __  7   en __ 12

Me pregunto si siempre puedo restar una fracción del número mixto y, luego, restar una fracción de un número entero.

453

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26

Organizar ¿Qué hizo este o esta estudiante? ¿Cómo lo saben?

Primero, usó un vínculo numérico para descomponer __  7   en __   3   y __   4  . Luego, usó el método de flechas 12

3 para registrar la resta de cada parte de __  7  de 2  __ . Restó primero __   3  para obtener un número 12 12 12 8 entero. Luego, restó __  4  y halló la diferencia, 1  __ . 12

Guíe la conversación para enfocarse en la descomposición de la parte que se resta y fomente el razonamiento que permita a sus estudiantes hacer conexiones con la resta de una fracción de un número mixto.

Mostrar Enfoquémonos en la descomposición de la parte que se resta. ¿Dónde ven eso en este trabajo? Veo que con un vínculo numérico se descompone __  7   en __   3   y __   4  .

12 12 12 3 La resta se realiza en dos pasos. Primero se resta    y, luego, se resta  4  . 12 12

Diferenciación: Desafío Considere desafiar a sus estudiantes a escribir una ecuación con paréntesis a fin de mostrar los pasos que siguieron al descomponer la parte para restar. A continuación se presenta un ejemplo de este desafío.

Sintetizar ¿Cómo les ayuda descomponer la parte a restar?

Descomponer __   7  me ayuda a crear dos problemas de resta que me resultan más fáciles para 12 resolver que un problema. Puedo restar __  3  de la parte fraccionaria del número mixto y, luego, 12 4 restar __    del número entero.

__ __

(2   3   −   3  ) −   4  = 2 −  4   = 1   8   12

Comprender ¿De qué manera es útil descomponer la parte al restar una fracción de un número mixto? Se puede descomponer la parte que se resta en dos fracciones más pequeñas. Una de ellas se resta del número mixto para obtener un número entero. La otra 8 4 6 8 10 - 10 = 7 10 fracción se resta del número entero. Dé a sus estudiantes 2 minutos para usar este método a fin de 4 hallar 8  __   − __    . 10

6 10

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo descompusieron la parte para crear dos problemas de resta que puedan ser más fáciles de resolver.

454

4 2 10 10 2 4 - 10 4 - 10 8 8 8 10 7 10

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26

Restar de 1

DUA: Representación

La clase descompone el total para restar una fracción de 1. Escriba 1  _  − _  7  = 3 8

Si queremos restar _  7 de una vez, ¿hay suficientes octavos en _  3 ? 8

No.

¿Cómo podemos descomponer el total de manera que una parte tenga suficientes octavos para restar _   7 de una vez? 8

  3 . Podemos descomponer 1  _  en 1, u _   8 , y _ 3 8

Considere proporcionar a sus estudiantes un apoyo visual de la descomposición pidiéndoles que representen la resta con un diagrama de cinta. Rotule y reste de 1 y, luego, identifique y sume las 2 partes restantes.

3 Descomponga 1    con un vínculo numérico. Escriba el 1 más cerca de  7 . Invite a sus 8 8

estudiantes a hacer lo mismo y a seguir sus pasos.

Escribamos el 1 más cerca de _  7 de tal manera que nos recuerde que estamos 8 restando de 1.

Nota para la enseñanza

¿Cuál es la diferencia entre 1 y _  7 ? 8

_ 1   8

Desde 1.er grado hasta 3.er grado, la clase resta de una unidad de mayor valor para simplificar la resta. Considere mostrar un ejemplo de restar de una centena y guiar una conversación acerca de las semejanzas y diferencias entre restar de 1 y restar de una centena.

Queda _   1 . ¿Qué parte del total no hemos usado?

¿Qué hacemos con los _  3 ? ¿Cómo lo saben? 8

Necesitamos sumar _   3  y _  1 . Lo sé porque _  1 es lo que queda de 1 −_  7  y todavía quedan _ 3  más.

3 7 ¿Cuánto es 1  _  − _     ? 8

_ 4   8

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo el vínculo numérico les ayuda

 7  = _    + _ 1  = _ 4  . a mostrar 1  _  − _ 3 8

3 8

455

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26 1 Escriba 4  __   − __   7   = 10

4 10 - 10 = 3 10

1 ¿Cómo podemos descomponer 4  __  para restar __   7   de 1? 10 10 1 3  __   y 1 10

1 Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar 4  __   − __   7   usando 10 10 la estrategia restar de 1.

3 10

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y las diferencias entre 1 descomponer el total, 4  __  , y el problema anterior. 10

Dé a sus estudiantes 2 minutos para descomponer el total y hallar 9  _1  − _  3 . 4

Expresar con otro nombre para restar

¿Qué observan? ¿Qué se preguntan? Observo que los dos problemas muestran 1   − __     = 7  __ . que 8  __ 10

8 10

3 10

7 8

8 10 - 10 =

7 1 1 11

Observo que, en un problema, se usa un

8 10 - 10 =

11 10

7 10 - 10 = 7 10 10

1 11   como 7  __  en los dos ejemplos de trabajo. Observo que se expresa 8  __ 10

7 10

1 vínculo numérico para descomponer 8  __  en dos partes, 7 y __  11 . Sin embargo, en el otro problema,

se descompone en tres partes, 7, 1 y __   1  .

Considere pedir a sus estudiantes que estimen antes de hallar la diferencia real de manera que puedan evaluar si sus respuestas son razonables. 7 • ¿De qué punto de referencia está cerca     10 1 ¿Y 4     ? 10 • ¿Cómo podemos usar los puntos de referencia como ayuda para estimar la diferencia?

• ¿La diferencia será menor o mayor que 4? ¿Por qué?

La clase expresa el total de un número mixto con otro nombre para restar una fracción. Muestre las imágenes de los dos ejemplos de trabajo.

Nota para la enseñanza

DUA: Participación Considere establecer una conexión visual con el mundo real para ayudar a sus estudiantes a descomponer un total mayor que 2 al restar de 1. Pídales que visualicen el total como objetos discretos que se puedan descomponer en fracciones, como pasteles, pizzas o barras de chocolate. Pídales que visualicen 7 1 4   10   pasteles. Pídales que resten   10   de uno de los pasteles enteros y, luego, que traten de

visualizar qué cantidad de pasteles queda.

Me pregunto por qué el primer ejemplo muestra un vínculo numérico con tres partes y el otro ejemplo muestra un vínculo numérico con dos partes. Me pregunto por qué eligieron esta manera de expresar el total con otro nombre.

456

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar en qué se parece o en qué se diferencia esta estrategia de la estrategia restar de 1.

DUA: Representación

Las dos estrategias descomponen el total usando un vínculo numérico y usan el punto de referencia 1 como ayuda para restar. En la estrategia restar de 1, se saca 1 y la parte restante. En esta estrategia, se resta 1 del número entero del número mixto, se expresa como una fracción y se suma a la parte fraccionaria del número mixto antes de restar.

2 Escriba 9  __   − __     = 12

8 12

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para expresar con otro nombre a fin de restar y hallar la diferencia. Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione a alguien para que comparta su razonamiento con la clase. 2 14 Expresé 9  __  como 8  __   y, luego, resté __   8   . 12

9 12 - 12 =

8 12 6

8 12 - 12 = 812

Considere cambiar la orientación del problema para ayudar a sus estudiantes a relacionar la expresión del total con otro nombre y activar los conocimientos previos del trabajo realizado con números enteros en grados anteriores. Pídales que razonen sobre en qué se parece expresar 8 decenas y 1 unidad como 7 decenas y 11 unidades a expresar un número mixto con otro nombre para restar una fracción.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas entre expresar con otro nombre números mixtos y números enteros.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Restar una fracción de un número mixto, parte 2 Use los siguientes planteamientos para guiar una conversación sobre restar una fracción de un número mixto con estrategias para descomponer el total o la parte.

457

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26 ¿Por qué es útil descomponer la parte o el total para restar una fracción de un número mixto? Al descomponer la parte, puedo crear un problema más fácil. Primero, puedo restar una fracción del número mixto para crear un número entero. Luego, puedo restar lo que queda del número que estoy restando del número entero. Puedo descomponer el total en 1 y el resto del número, entonces puedo restar la fracción de 1. Restar de 1 es más fácil para mí que restar del número mixto. Muestre la tabla de ecuaciones. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar cómo hallarían la diferencia en cada ecuación.

1 5 46 – 6 =

9 11 10 12 – 12 =

3 5 78 – 8 =

Para la ecuación A, usaría la compensación o contaría hacia delante desde un número porque _  5 está cerca de 1. 6

Para la ecuación A, expresaría mentalmente el número mixto como __  25 porque sé que 6 4 × 6 + 1 = 25 y __  25  − _  5  = __  20 . 6

Para la ecuación B, contaría hacia delante desde un número, usaría la compensación o descompondría la parte. No expresaría el número mixto como una fracción mayor que 1 porque creo que llevaría más pasos. 11 Para la ecuación C, expresaría 7  _ como 6  __  para poder restar unidades semejantes. 3 8

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando expresa un número mixto con otro nombre para restar unidades fraccionarias de manera similar a cuando expresa con otro nombre para restar números enteros. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7: • ¿Cómo se relacionan la expresión de un número mixto con otro nombre para restar y la resta de números enteros expresando el total con otro nombre? ¿Cómo les puede ayudar esa relación a restar una fracción de un número mixto? 2 • ¿Cómo pueden descomponer 9     de manera 12 que se obtenga un cálculo de resta más 8 2 simple para hallar 9     −     ? 12 12 • ¿De qué otra manera se puede expresar el número mixto con otro nombre como ayuda 8 1 para hallar 8     −     ? 10 10

__ __

458

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26

Nombre

Fecha

Descompón el total para restar de 1. Luego, completa las ecuaciones. 3

Descompón la parte para restar. Usa el método de flechas como ayuda. Luego, completa las ecuaciones.

2 8

3. 2 1_ − 3_ = 4 4

6 10

7 1 − __ = _____ 10

2. 1 3_ − 4_ = 5 5

5 8

110 − 10 =

2 5 1. 1 − = 8 8

2 8

–

2 8

–

3 8

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26

3 + _____ = _____ __ 10

5 8

5. 1 2_ − 5_ = 6 6

_3 6

6. 2 1_ − 2_ = 3 3

1 2__

_4 5

1 2__

215

216

GRUPO DE PROBLEMAS

459

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26

7 6

EUREKA MATH2

Resta. Muestra tu razonamiento.

Expresa el total con otro nombre para restar. Luego, completa las ecuaciones. 1 4 26 − 6 =

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26

3 16

10. 1 1_ − 5_ = 6 6

_2 6

7 2 11. 2 __ − __ = 10 10

5 1 __

3 _7 − 4_ = _____ 6 6 6 3

1 + _____ = 1 _____ 6

8. 2 1_ − 5_ = 8 8

1 4_ 8

12. 3 3_ − 7_ = 8 8

9. 3 2_ − 4_ = 5 5

460

2 4_ 8

2 3_ 5

5 9 13. 5 __ − __ = 12 12

GRUPO DE PROBLEMAS

217

218

8 4 __ 12

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26

5 __ . ¿Es correcto su trabajo? Explica. 14. Ray y Amy hallan 7 __ − 10 12 12

Trabajo de Ray

Trabajo de Amy

7 12 – 12 =

7 12 – 12 = 6

1 12

7 __ − 10 __ = 6 __ 6 17 12

6 12

7 17 12 12

6 12

6 + 7 = 6 12 12

Sí, su trabajo es correcto. Usaron diferentes métodos. Ray descompuso el total en tres partes 7 __ . Luego, restó 10 __ y obtuvo una diferencia de 6 __ y lo expresó como 6 17 . Amy descompuso el 12 12 12 7 . Por último, sumó 6 y __ 7 y obtuvo __ de 17 __ y obtuvo __ total en dos partes. Luego, restó 10 12 12 12 12 7 una diferencia de 6 __ . 12

GRUPO DE PROBLEMAS

219

461

LECCIÓN 27

Restar un número mixto de un número mixto

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27

Nombre

Fecha

Resta. Muestra tu razonamiento. 1. 3 1_ − 1 2_ = 6 6

16_ 5

Vistazo a la lección La clase halla la diferencia entre dos números mixtos usando puntos de referencia para contar hacia delante o compensar. También aprenden a descomponer el sustraendo para restar las unidades primero, lo que crea un problema conocido en el que se resta una fracción de un número mixto.

Preguntas clave

Ejemplo: 2

• ¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre restar una fracción de un número mixto para restar números mixtos?

= 36

16 + 4

+ 6

• ¿Cómo deciden qué método usar para restar números mixtos?

Criterios de logro académico 2. 5 2_ − 3 3_ = 4 4

4.Mód4.CLA6 Restan números mixtos con el mismo denominador. (4.NF.B.3.c)

1_4 3

4.Mód4.CLA7 Resuelven problemas verbales sobre sumas y restas de

Ejemplo: 2

− 4

fracciones que hacen referencia al mismo entero y tienen los mismos denominadores. (4.NF.B.3.d) (4.MD.A.2)

5 4 − 34 54

+ 4

229

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 5 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 10 min

• ninguno

Aprender 35 min • La resta como un sumando desconocido

Estudiantes • ninguno

• Compensación • Comparar dos métodos • Métodos de resta • Grupo de problemas

Concluir 10 min

463

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27

Fluidez

Contar de un sexto en un sexto en la recta numérica La clase cuenta de un sexto en un sexto y expresa las fracciones como números enteros o mixtos para adquirir fluidez con la descomposición y equivalencia de fracciones. Muestre la recta numérica. ¿Qué unidad fraccionaria muestra la recta numérica? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Sextos Usen la recta numérica para contar hacia delante de un sexto en un sexto hasta 12 sextos. Empiecen diciendo 0 sextos. ¿Comenzamos? Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

0 6

1 6

2 6

3 6

4 6

5 6

6 6

7 6

8 6

9 10 11 12 6 6 6 6

11  , 12 _0 1_ __ __  

 ,   …,

6 6

Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un sexto en un sexto. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

__ 0, 1_   …, 11   , 2 6

Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un sexto en un sexto. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros y números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?

464

9 10 11

0 6 6 6 6 6 1 6 6 6 6 6 2 4

0 6 6 6 6 6 1 16 16 16 16 16 2

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27 Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, _1  …, 1 _  , 2 5 6

Respuesta a coro: Componer números mixtos La clase suma una fracción y un número entero y, luego, dice una ecuación para adquirir fluidez con la composición de números mixtos. Muestre el vínculo numérico con un total desconocido. 1

¿Cuál es el total? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

1 1_ 

1 2

1 1

1 + 2 = 12

Muestre el total. Cuando dé la señal, digan una ecuación de suma comenzando con el número entero. ¿Comenzamos?

1 + 1_  = 1 1_  2

Muestre la ecuación.

465

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27 Repita el proceso con la siguiente secuencia: 1

1 3

14 1

25 2 4

1 2

4 5

2 4

1 + 3 = 13

1 + 4 = 14

2 + 5 = 25

3 10

26 3 6

2 3

5 8

Presentar

2 5

2 + 6 = 26

6 10

3 5

2 + 8 = 28

3 12

11 12 6

3 + 10 = 3 10

3 11

3 + 12 = 3 12

La clase considera cómo restar números mixtos en un contexto dado. Reproduzca la parte 1 del video ¿Cuánta más distancia?, que muestra a Mía y sus amigas y amigos desde que comienzan su caminata hasta llegar al indicador de 2 millas. Pause el video después de la parte 1 para conversar con la clase. ¿Qué observaron? ¿Qué se preguntan? Observé que en el suelo hay indicadores para cada milla.

Observé que hay indicadores en los árboles para cada __  1  de milla. 10

Observé que hasta el momento han caminado 2 millas. Me pregunto hacia dónde lleva el sendero. Me pregunto si se están cansando.

466

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27 ¿Aproximadamente cuánto mide el sendero de largo? ¿Cómo lo saben?  __  está cerca de 4. El sendero mide aproximadamente 4 millas de largo. 4 3 10

El sendero mide aproximadamente 4  _1  millas de largo. 4  __  está cerca de 4  __ , que es la misma 10 10 2 1 _ cantidad que 4    . 3

¿Aproximadamente cuánta más distancia necesitan caminar Mía y sus amigas y amigos para llegar al final del sendero? ¿Cómo lo saben? Todavía necesitan caminar aproximadamente 2 millas más. El sendero mide aproximadamente 4 millas de largo y ya han caminado 2 millas, 4 − 2 = 2. Todavía necesitan caminar aproximadamente 2  _1  millas más. El sendero mide aproximadamente 2

4  _21  millas de largo y ya han caminado 2 millas, 4  _21 − 2 = 2  _21 . Reproduzca la parte 2 del video, que muestra cómo Mía y el grupo continúan su caminata y, más adelante, piensan en cuánta más distancia deben caminar para llegar al final del sendero. Pause el video después de la parte 2 para conversar con la clase. ¿Cuánto mide el sendero de largo?

3 4  __ millas 10

Escriba la siguiente oración:

Un sendero mide 4  __  millas de largo. 3 10

¿Qué distancia han caminado Mía y el grupo? ¿Cómo lo saben?

Han caminado 2  __ millas hasta el momento. El área de pícnic está en el indicador que muestra 9 10

3 millas y se encuentran en el último indicador de __  1  de milla antes del área de pícnic. 10

Escriba la siguiente oración:

Mía y el grupo han caminado 2  __  millas hasta el momento. 9 10

¿Qué se pregunta Mía acerca de su caminata por el sendero? Cuánta más distancia deben caminar para llegar al final del sendero

467

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27 Escriba la siguiente oración: ¿Cuántas millas más necesitan caminar? ¿Qué podemos dibujar para representar la información conocida? Podemos dibujar un diagrama de cinta con el total rotulado como 4  __ y una parte rotulada

como 2  __ . 9 10

3 10

Dibuje y rotule un diagrama de cinta para representar la información conocida. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Qué se desconoce en el problema? No sabemos cuánta más distancia necesitan caminar para llegar al final del sendero. ¿Cómo podemos representar el número desconocido en nuestro diagrama de cinta? Podemos dibujar una llave debajo de la parte desconocida y rotularla con una letra para representar que la parte es desconocida. Dibuje una llave debajo de la parte desconocida y rotúlela con la letra m. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo hallar cuánta más distancia necesita caminar el grupo a fin de llegar al final del sendero. Creemos que podemos expresar los dos números mixtos como fracciones mayores que 1 y restar unidades semejantes. Luego, podemos volver a expresar la fracción mayor que 1 como un número mixto. Creemos que podemos contar hacia delante de un décimo en un décimo y de unidad en unidad desde la parte hasta el total. Creemos que podemos restar 3 del total y, luego, volver a sumar __  1  . 10

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, restaremos unidades semejantes al restar un número mixto de un número mixto.

468

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27

Aprender

La resta como un sumando desconocido La clase cuenta hacia delante desde un número para restar dos números mixtos.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Presente el problema de la sección Presentar. Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando usa ecuaciones para representar y resolver un problema verbal.

¿Qué ecuación podemos escribir para representar el problema?

3 9 4  __   − 2  __   = m 10 10

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:

9 3 2     + m = 4     10 10

• ¿Qué se pide en el problema? • ¿Cómo representa la situación una ecuación de resta o de suma?

¿Cuánto ha caminado el grupo? 2  __  millas 9 10

• ¿Su solución tiene sentido en términos matemáticos?

¿De qué número de referencia está cerca 2  __ ? 9 2  __   está cerca de 3. 10

9 10

¿Cómo podemos contar hacia delante para decidir cuántas millas más necesitan caminar?

Nota para la enseñanza

10 3 3 para formar 4  10  .

A lo largo de la lección, anime a sus estudiantes a usar puntos de referencia, como el siguiente número entero, y a representar su razonamiento de la manera que mejor les resulte.

Podemos sumar __   1   para formar 3 millas y, luego, sumar 1  __  a

3 10

Entonces, ¿cuántas millas más necesitan caminar?

__4 millas 1  10

Registre cómo se contó hacia delante usando el método de flechas, la diferencia y el enunciado con la solución. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si hay otra manera en la que se podría contar hacia delante para hallar la diferencia.

469

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27 Presente el problema: 6  _1  − 1  _4 . 5

DUA: Representación

Dé a las parejas 2 minutos para contar hacia delante desde un número y hallar la diferencia. ¿De qué manera usaron un punto de referencia como ayuda para contar hacia delante?

1  _54  está cerca de 2, entonces sumamos _ 51  a 1  _54 para formar 2. Luego, sumamos 4  _1 y obtuvimos 6  _1 . La diferencia es 4  _2 . 5

4 5

1 5

6 -1 =4 1

2 5

Considere usar un código de colores para resaltar la relación entre una ecuación de resta y una ecuación de sumando desconocido.

+ 45

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usaron lo que saben sobre contar hacia delante desde una fracción para contar hacia delante desde un número mixto.

4 1 2 5

1 5

Compensación

Ayude a sus estudiantes a relacionar la ecuación con el trabajo en la recta numérica abierta.

La clase resta dos números mixtos usando la compensación. Escriba 6  _1  − 1  _4  = 5

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué punto de referencia está cerca de la parte. Como 1  _  está cerca de 2, restemos 2. ¿Cuánto es 6  _ − 2?

_ 1 5

4 5

1 5

4   Registre la resta usando el método de flechas y una recta numérica abierta. Sabemos que esta es la estrategia de compensación, pero restamos más de lo que necesitábamos. ¿Qué debemos hacer para asegurarnos de que solo 4 restamos 1  _ ? 5

Volver a sumar _  1  5

¿En qué se parece y en qué se diferencia la representación de la resta con la compensación en una recta numérica abierta y el método de flechas?

DUA: Acción y expresión Sus estudiantes pueden usar otra forma de compensación, conocida como la diferencia constante, sumando un mismo número al total y a la parte que se está restando. Considere pedirles que decidan por qué esta estrategia funciona y por qué puede ser útil para restar fracciones.

La recta numérica abierta muestra un salto grande hacia atrás de 2 y, luego, un pequeño salto hacia delante de _  1  . El método de flechas muestra tanto la resta como la suma con flechas hacia delante.

65 - 1 5 =

En la recta numérica abierta la diferencia está encerrada en un círculo, mientras que en el método de flechas no lo está.

6 5 - 2 = 45

Los dos modelos sirven para hallar 6  _1  − 1  _4 . 5

470

1 5

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27 2 Pida a sus estudiantes que usen la compensación para hallar 7  __   − 3  __ . 10 12

Recorra el salón de clases y supervise el trabajo de sus estudiantes. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y las diferencias entre contar hacia delante desde un número y la compensación.

2 12

Las dos estrategias usan puntos de referencia. Cuando contamos hacia delante desde un número, pensamos en formar la siguiente unidad más grande y, cuando usamos la compensación, pensamos en un punto de referencia que podemos restar con facilidad.

2 12

-4

2 12

4 12

2 -4 7 12

Podemos usar modelos como una recta numérica abierta y el método de flechas para mostrar las dos estrategias.

2 3 12

2 12

4 12

Para las dos estrategias puedo imaginar el modelo y resolver el problema mentalmente.

Comparar dos métodos La clase compara dos métodos que se usan para restar números mixtos. Muestre los dos métodos. ¿Qué observan? Observo que en los dos se descompone un número mixto. Observo que en los dos se resta una parte de un número entero. Observo que en los dos se llega a la suma de _   2  y 1  _1  antes de hallar la diferencia 6

de 1  _ . 3 6

3 6 – 1 6 = 16 1

1 6

2 6

4 2 6 6 1 2 3 1 6 + 6 = 16

2–1 =

1 4 1 4 3 3 – 16 = 2 – 6 = 16 6 6

1 6

2 6

4 2 = 6 6 1 2 3 1 6 + 6 = 16

1–

471

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27 ¿Por qué creen que uno de los métodos pasa de la resta de un número mixto a la resta de una fracción? Expliquen. Creo que primero se restan las unidades. 3  _1 − 1 = 2  _1 , lo que dejó solo una fracción por restar, _  4 . 6

DUA: Representación

¿Por qué uno de los métodos les permite saltear el paso de restar las unidades primero? El total se descompuso de manera que permitía restar la parte de una vez. En el otro método se restó la parte en dos pasos. Primero, se restó el número entero y, luego, la parte fraccionaria.

Considere resaltar la relación entre los números enteros para ayudar a sus estudiantes con la resta de los números enteros primero.

Dé a sus estudiantes 2 minutos para hallar 5  _  − 2  _7  descomponiendo el total o restando las unidades 8 8 primero y, luego, descomponiendo el total. 3

¿Cuál es la diferencia? ¿Cómo lo saben?

La diferencia es 2  _4  . Primero, restamos 2, entonces 5  _ − 2 = 3  _ . Luego, descompusimos 3  _  en 2  _  3 8

3 8

y 1, y restamos _   7  de 1. Por último, sumamos la diferencia de _  1  a 2  _ . 8

3 8

La diferencia es 2  _4 . Descompusimos 5  _  en 2  _  y 3. Luego, restamos 2  _7  de 3 y obtuvimos _   1 . Volvimos a sumar 2  _ . 3 8

3 8

Considere demostrar la resta en una recta numérica abierta y usando el método de flechas. Use un vínculo numérico para mostrar la descomposición del sustraendo.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si el uso de los dos métodos les simplificó el problema de resta.

Métodos de resta La clase decide qué método usar para restar dos números mixtos. Use la rutina Cabezas numeradas. Organice a la clase en grupos de 3 y asigne a cada estudiante un número, del 1 al 3. 7 Presente la siguiente expresión: 8  __  − 5  __   3 12

Dé 1 minuto a sus estudiantes para hallar la diferencia en grupo. Recuerde a la clase que cualquiera podría responder por el grupo, por lo que cada estudiante debe prepararse para responder. Diga un número del 1 al 3. Pida a quienes se les haya asignado ese número que compartan las conclusiones del grupo.

472

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27 7 Contamos hacia delante desde 5  __   hasta 8  __  . Primero, sumamos __  5   3 12

para llegar al número de referencia 6. Lo único que tuvimos que

hacer después fue sumar 6 y 2  __  para llegar a 8  __  . Luego, sumamos 3 12

3 12

las partes que contamos hacia delante __   5   + 2  __  = 2  __ . 12

3 12

8 12

3 3 8 La diferencia es 2  __  . Primero, descompusimos 8  __  en 2  __  y 6 12 12 12 7 de manera que pudiéramos restar 5  __   de una vez. Entonces, 12 3 8 7 6 − 5  __   = __   5  . Luego, sumamos __  5   y 2  __  y obtuvimos 2  __ . 12

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo decidir qué método usar para restar números mixtos.

8 12 - 5 12 = 2 12 3

7 + 12 5 12

+ 2 12

8 12 - 512 = 3 2 12

DUA: Acción y expresión

5 12

8 12 8

Considere usar el afiche de referencia de estrategias que se creó en las lecciones 25 y 26 para brindar apoyo a sus estudiantes mientras restan una fracción de un número mixto.

2 12

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere brindar apoyo a sus estudiantes con esquemas de oración para guiar sus respuestas. • Primero, restamos

• Luego, descompusimos

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Restar un número mixto de un número mixto Guíe una conversación que haga énfasis en la relación entre restar una fracción o un número mixto de un número mixto. ¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre restar una fracción de un número mixto para restar números mixtos?

DUA: Acción y expresión Invite a sus estudiantes a decidir si expresar los dos números mixtos como fracciones mayores que 1 antes de restar es un método que considerarían usar. Guíe una conversación sobre cómo pueden decidir qué método usar al restar números mixtos y sobre la importancia de dedicar tiempo a planificar antes de resolver.

Podemos usar estrategias parecidas para restar un número mixto. Podemos contar hacia delante desde un número para hallar la diferencia entre los números mixtos. O podemos descomponer la parte o el total después de que se restan las unidades.

473

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27 ¿Cómo deciden qué método usar para restar números mixtos? Veo los números en el problema y si están cerca de un punto de referencia, uso la compensación o cuento hacia delante.

DUA: Acción y expresión

Resto las unidades primero y, luego, pienso en cómo descomponer la parte para que me sea más fácil restar.

Considere ayudar a sus estudiantes a examinar su progreso animándoles a evaluar cómo han completado el Grupo de problemas. Inicie la conversación usando las siguientes preguntas.

• ¿Cómo sé que mis respuestas tienen sentido? • ¿De qué manera puedo comprobar mis respuestas? • ¿Qué estrategias me resultan útiles? • ¿Qué nueva estrategia podría intentar la próxima vez?

474

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27

Nombre

Fecha

Resta usando la compensación. Usa el método de flechas o una recta numérica como ayuda. Luego, completa la ecuación. 4 = 7. 5 1_ − 1__ 6 6

Resta. 2 1. 3 _ − 1 1_ = 3 3

2 _1 3

5 2. 4 _ − 2 3_ = 6 6

2 _2 6

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27

3 3_ 6

1 56

3 5 8 3. 7 __ − 3 __ = 4 __ 12 12 12

−2

1 6

+ 26

3 6

Resta contando hacia delante desde un número. Usa el método de flechas o una recta numérica como ayuda. Luego, completa las ecuaciones. 4. 4 1_ − 1 2_ = 3 3

2 2_

1 2_ + 3

= 4 1_ 3

2 2_ 3

5. 5 2_ − 2 4__ = 5 5

2 3_

2 _4 + 5

= 5 2_

2 _3 5

1 _6 + 8

= 6 3_

8. 6 1_ − 1 3_ = 4 4

4 2_

9. 7 2_ − 2 3_ = 5 5

4 4_

1 43

4 5_

2 13

+ 13

6. 6 3_ − 1 6_ = 8 8

4 _5 8

223

224

GRUPO DE PROBLEMAS

475

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27

4 10 − 110 = 1

2 10

1 3_

14. 6 1_ − 1 6_ = 8 8

4 3_

8 = _____ 2 − 1 __ 10

1 2 __ + _____ = 2 _____ 10

11. 5 1_ − 1 2_ = 3 3

12. 7 2_ − 3 5_ = 6 6

476

13. 4 2_ − 2 3_ = 4 4

2 10

EUREKA MATH2

Resta. Muestra tu razonamiento.

Descompón el total para restar de un número entero. Luego, completa la ecuación. 10.

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27

3 2_ 3

9 2 − 3 __ = 15. 6 __ 10 10

3 2 __

5 __ = 16. 8 __ − 5 10 12 12

7 2 __

3 3_ 6

GRUPO DE PROBLEMAS

225

226

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27

3 17. Mía recorre en bicicleta 15 __ kilómetros en total, entre el sábado y el domingo. Recorre 10

6 7 __ kilómetros el domingo. ¿Cuántos kilómetros recorre Mía el sábado? 10

7 kilómetros el sábado. Mía recorre 7 __ 10

GRUPO DE PROBLEMAS

227

477

LECCIÓN 28

Representar y resolver problemas verbales con números mixtos usando dibujos y ecuaciones

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28

Nombre

Fecha

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

Una sandía pesa 8 3 kilogramos. Una calabaza pesa 4 3 kilogramos.

• ¿Cómo nos ayudan los modelos pictóricos a comprender un problema?

• ¿Cómo nos ayudan los métodos conocidos a resolver problemas?

43 ?

2 3

+1 3

La clase selecciona representaciones y estrategias para resolver problemas verbales con números mixtos. Después de trabajar de manera independiente para resolver el problema, comparten su trabajo para comparar y relacionar los métodos que usan para resolver los problemas.

Preguntas clave

a. ¿Cuánto más que la calabaza pesa la sandía?

Vistazo a la lección

Criterio de logro académico

1 3

4.Mód4.CLA7 Resuelven problemas verbales sobre sumas y restas

de fracciones que hacen referencia al mismo entero y tienen los mismos denominadores. (4.NF.B.3.d) (4.MD.A.2)

2 La sandía pesa 3 kilogramos más que la calabaza. 3

b. ¿Cuánto pesan la sandía y la calabaza en total? 1

83 2

43 1

8 3 + 4 3 = 8 + 5 = 13 8

1 3

La sandía y la calabaza pesan 13 kilogramos en total.

237

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 5 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• notas adhesivas (5)

Aprender 40 min • Resolver un problema verbal

Estudiantes • ninguno

• Compartir, comparar y conectar • Resolver un problema verbal con dos partes • Problema de la bicicleta: Predecir el próximo paso • Grupo de problemas

Concluir 10 min

479

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28

Fluidez

0 6

1 6

2 6

3 6

4 6

5 6

Sextos

6 6

7 6

8 6

9 10 11 12 6 6 6 6

Usen la recta numérica para contar hacia delante de un sexto en un sexto hasta 12 sextos. Empiecen diciendo 0 sextos. ¿Comenzamos? Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

_ _ __ __ 0 1 11 12   ,   …,   ,   6 6 6 6

9 10 11

0 6 6 6 6 6 1 6 6 6 6 6 2 4

Ahora, vuelvan a contar hacia 0 6 6 6 6 6 1 16 16 16 16 16 delante de un sexto en un sexto. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?

Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

__ 0, 1_   …, 11   , 2 6

Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un sexto en un sexto. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros y números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 1_   …, 1 _  , 2 6

480

5 6

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28

Respuesta a coro: Componer números mixtos La clase suma una fracción y un número entero y, luego, dice la ecuación para adquirir fluidez con la composición de números mixtos. Muestre el vínculo numérico con un total desconocido. 1

¿Cuál es el total? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

2 1_ 

1 2

2 1

2 + 2 = 22

Muestre el total. Cuando dé la señal, digan la oración numérica de suma comenzando con el número entero. ¿Comenzamos?

2 + 1_   = 2 1_  2

Muestre la oración numérica. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

2 3

34 3

3 4

3 2

1 5 3

5 1

3 + 3 = 33

3 + 4 = 34

5 + 5 = 55

9 10

46 4 6

4 4

7 8 4

4 + 6 = 46

6 7

1 10

9 7

6 + 8 = 68

8 12

10 12 1

9 + 10 = 9 10

8 10

8 + 12 = 8 12

481

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28

Presentar

La clase usa métodos conocidos para hallar la suma de un problema de tres sumandos. Presente el siguiente problema y siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática:

3 10  + 1 + 6   = 4 4 Dé 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio, halle la suma y registre su razonamiento. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron.

Diferenciación: Desafío Considere extender el razonamiento de sus estudiantes cambiando las unidades semejantes del problema por unidades relacionadas.

___

  10  + 1 + 6   3  = 4

Pida a la clase que comente su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias. Luego, guíe una breve conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo. Registre las respuestas. Primero, expresé __   10  como 2  _2  y, luego, sumé 4

todos los números enteros y obtuve 9. Después,

sumé los cuartos y obtuve _  5 . Luego, expresé 9  _  4

como 10  _1  .

5 4

Primero, sumé unidades semejantes y obtuve

13 13 7  __   . Sé que __   12  es 3, entonces expresé 7  __  4 4 4

como 10  _1  . 4

  4  y, luego, sumé y Expresé 1 como _ 4

17 obtuve 6  __   . Sé que __  16  = 4, entonces expresé 4 4 1 _ el total como 10     . 4

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos métodos conocidos para resolver problemas verbales.

482

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28

Aprender

Resolver un problema verbal La clase razona, representa y resuelve un problema verbal usando métodos conocidos. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Pídales que trabajen de forma independiente y usen el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

1. Cuando comenzó el almuerzo, había 6  _  pizzas en una mesa. 3 8

Al finalizar el almuerzo, quedaban 2  _  pizzas. 6 8

¿Cuántas pizzas se comieron durante el almuerzo? Se comieron 3  _  pizzas durante el almuerzo. 5 8

Guíe a sus estudiantes para que razonen sobre el problema haciendo preguntas como las siguientes: • ¿Qué información nos da el problema? • ¿Qué se pide en la pregunta?

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante representa a través de las matemáticas (MP4) cuando usa diagramas de cinta, vínculos numéricos u otros modelos para representar y entender los problemas verbales. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP4: • ¿Qué pueden dibujar como ayuda para comprender el problema? • ¿Qué ideas clave del problema de la pizza necesitan asegurarse de incluir en sus modelos? • ¿Cómo representan las ideas clave del problema de la pizza en sus modelos?

• ¿Qué pueden dibujar para representar el problema? Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione a dos o tres estudiantes para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. Busque ejemplos de trabajo que contribuyan a promover el objetivo de la lección, que es usar dibujos y ecuaciones para representar y resolver problemas verbales.

483

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28 Los ejemplos de trabajo demuestran varios métodos posibles. Contar hacia delante desde un número

Descomponer el total

Restar las unidades primero y, luego, expresar el total con otro nombre

3 8

68 ? 6 28 + 6 2 8

2 8

5 38 +3

3 8

6 8

6 3 6 - 2 = 38 8 8

3 =6 8 +

6 28

3 3 8

3 8

2 8

3 8

p 3

3 8

6 8 - 28 = 4 3

6 8

5 6 =3 8 8

Nota para la enseñanza El ejemplo de trabajo muestra respuestas típicas. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre los conceptos clave. Si la clase no produjo ningún trabajo similar, seleccione uno o dos trabajos de la clase para compartir y destaque la manera en que esos trabajos contribuyen a avanzar hacia el objetivo de la lección. Luego, seleccione un ejemplo de trabajo de la lección que sirva para incentivar el razonamiento matemático. Considere decir lo siguiente para presentar el trabajo: “Alguien resolvió el problema de esta otra manera. ¿Qué fue lo que hizo?”.

11 8

p=3

5 8

Compartir, comparar y conectar La clase compara métodos y razona acerca de las conexiones entre ellos. Reúna a la clase y pida a dos o tres estudiantes que se turnen para compartir sus soluciones. Considere ordenar los trabajos compartidos que muestran las diferentes estrategias para hallar la solución aplicando algún criterio que pueda resultar útil. A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento y ofrezca aclaraciones sobre el método que usó. Haga preguntas a la clase para establecer conexiones entre los distintos métodos. Anime a sus estudiantes a que hagan preguntas.

484

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28 Contar hacia delante desde un número (método de Robin) ¿Cómo representó Robin el problema? Hizo un vínculo numérico para mostrar que sabía cuál era el total y una parte, y que la otra parte es desconocida. ¿Cómo halló Robin la diferencia?

¿Cómo contaste hacia delante desde un número para hallar el número desconocido, Robin?

Comencé con la parte que sabemos, 2  _  , y conté salteado hacia

  2  para delante usando puntos de referencia. Sé que 2  _  necesita _ 6 8

3  3  más para llegar a 6  _  . formar 3, y que 3 + 3 = 6. Luego, sumé _ 8

6 2 8

Las secciones Decirlo otra vez y Preguntar por el razonamiento de la Herramienta para la conversación pueden ayudar a sus estudiantes a hacer conexiones y formular sus propias preguntas a lo largo de la lección.

6 28

Reescribió el problema de resta como uno de suma y contó hacia delante desde un número.

6 8

Apoyo para la comprensión del lenguaje

3 68

28 +

2 8

3 8

Para hallar el número desconocido, sumé la cantidad total que

    = 3  _  . conté hacia delante. Entonces, _   2  + 3 + _ 3 8

5 8

¿Cómo le ayudó a Robin usar modelos para resolver el problema? Usó un vínculo numérico para representar el problema y el método de flechas para llevar la cuenta de cuánto sumó. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre su trabajo y el de Robin. Descomponer el total (método de Luke) ¿Cómo representaste el problema, Luke?

Dibujé un diagrama de cinta en el que 6  _  es el total y 2  _  es una de las 3 8

6 8

partes. Rotulé la otra parte con un signo de interrogación porque es el

¿Cómo restó Luke?

3 8

6 8

¿Por qué elegiste este método para hallar el número desconocido, Luke?

6 8

6 3 6 - 2 = 38 8 8

  3  y _  2  y Separó 6  _  en 3  _  y 3 y, luego, restó 2  _  de 3. Después, sumó 3_ 3 8 5 obtuvo 3     . 8

número desconocido.

3 8

2 8

Sé que 2  _  está cerca del punto de referencia 3, entonces descompuse el total en 3 y 3  _  y resté 2  _  6 8

3 8

6 8

485

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28 ¿Son razonables las respuestas de Robin y Luke? ¿Cómo lo saben?

DUA: Acción y expresión

Sí. El total era un poco más que 6 y la parte que restamos era un poco menos que 3, entonces tiene sentido que la respuesta sea más que 3.

Después de que sus estudiantes comparen los métodos, anímeles a examinar su progreso pidiéndoles que evalúen si su enfoque para resolver el problema funcionó. Por ejemplo, proporcione preguntas como guía para que se hagan sus estudiantes, como las siguientes:

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre su trabajo y el de Luke. Descomponer la parte (método de Shen) ¿Qué semejanzas o diferencias hay entre la representación de Shen y la de Luke?

Shen y Luke dibujaron diagramas de cinta en los que 6  _  es el total

3 8

• ¿Cómo me fue?

3 8

• ¿Mostré mi razonamiento?

y 2  _  es la parte conocida, pero rotularon el número desconocido 6 8

• ¿Funcionó mi método? • ¿Usaré el mismo método para resolver un problema parecido la próxima vez? ¿Por qué?

de diferentes maneras. Shen usó una letra para representar el número

desconocido y Luke usó un signo de interrogación. ¿Cómo hallaste el número desconocido, Shen? Sabía que 6 − 2 = 4, entonces primero resté las unidades. Luego,

11 expresé 4  _  como 3  __   para tener suficientes octavos para restar _ 6  . 3 8

3 8

6 8 - 28 = 4 -

¿Shen tenía que restar primero las unidades para expresar el total con otro nombre? 11 No. Podría haber expresado 6  _  como 5  __   y, luego, haber 8 8 6 11 __ _ hallado 5     − 2     .

5 6 =3 8 8

11 8

6 8

p=3

5 8

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué otro método se podría usar para hallar 6  _  − 2  _ . 3 8

6 8

Resolver un problema verbal con dos partes La clase razona, representa y resuelve un problema verbal con dos partes usando métodos conocidos. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y lea el problema con la clase a coro. Pida a sus estudiantes que usen el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

486

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28 Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

7 4 2. Ray recorre 4  __  km en bicicleta. Zara recorre 2  __  km en bicicleta . 10

a. ¿Cuántos kilómetros más que Zara recorre Ray en bicicleta? 7 Ray recorre en bicicleta 1  __   km más que Zara. 10

b. ¿Cuántos kilómetros recorren en bicicleta Ray y Zara en total? 1   km en bicicleta. Ray y Zara recorren 7  __ 10

Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione a dos o tres estudiantes para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre el uso de diferentes modelos, como diagramas de cinta, una recta numérica abierta, el método de flechas y vínculos numéricos. Los ejemplos de trabajo demuestran varios métodos posibles. Expresar el total con otro nombre para restar y formar el siguiente número entero

4 10

7 10

7 2 10

14 10

1 3 10 10

3 + 10

3 1

b. 4 4 + 2 7 = 4 1 + 3 = 7 1 10

Total de km

a. 2 7 + k = 4 4

a. 4 4 - 2 7 = 1 7 3

Z m

7 10

Contar hacia delante desde un número para hallar la diferencia y sumar unidades semejantes

4 10

7 =k 10

b. 4 4 + 2 7 = 6 11 = 7 1 10 10

487

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28

Problema de la bicicleta: Predecir el próximo paso

Nota para la enseñanza

Materiales: M) Notas adhesivas

La clase comparte soluciones para el problema de la bicicleta prediciendo el próximo paso en el proceso de resolución. Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones. Considere ordenar de una determinada manera los trabajos que se compartieron con toda la clase desde el método más conocido hasta el método menos conocido. A medida que cada estudiante comparte su trabajo, muestre las partes o los pasos, uno a la vez. Use notas adhesivas para cubrir los pasos tanto como sea posible hasta que se hayan hecho las predicciones y se hayan mostrado todos. Haga preguntas que animen a la clase a predecir una estrategia para hallar la solución eficiente y a explicar el razonamiento. Anime a sus estudiantes a que hagan preguntas. Expresar el total con otro nombre para restar y descomponer una parte para sumar (método de Gabe) ¿Qué hiciste primero, Gabe? Dibujé un diagrama de cinta para representar el problema. Rotulé los números desconocidos.

¿Qué creen que Gabe hizo después? ¿Por qué?

7 4 Creo que restó 2  __  de 4  __  . Necesita hallar cuántos kilómetros 10

más que Zara recorre Ray en bicicleta.

Invite a la clase a que prediga el próximo paso.

7 4 Probablemente sumó 4  __   y 2  __  , porque necesita hallar 10

la distancia total que recorren en bicicleta Ray y Zara.

488

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Considere proporcionar más tiempo para pensar que lo habitual cuando invite a sus estudiantes a predecir una estrategia de sus pares. Esto les permite procesar las pistas visuales y verbales de lo que ya se ha hecho y prepararse para explicar lo que podría seguir luego.

a. 4 4 - 2 7 = 1 7 10

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué estrategia creen que usó Gabe para restar y por qué. Muestre la parte (a) y permita que sus estudiantes confirmen sus predicciones.

7 2 10

Muestre el diagrama de cinta.

4 10

En esta sección se usa la actividad Predecir el próximo paso en lugar de la actividad Compartir, comparar y conectar para estructurar la conversación sobre los métodos de sus estudiantes. El trabajo de cada estudiante se muestra paso a paso y el resto de la clase predice lo que se hizo a continuación. Predecir el enfoque de otra persona hace que el resto de la clase piense en una estrategia para hallar la solución que podría ser diferente a la suya. Sus estudiantes trabajan con métodos que tal vez no hayan considerado y que podrían usar para resolver problemas en el futuro.

14 10

b. 4 4 + 2 7 = 4 1 + 3 = 7 1 10

1 3 10 10

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué estrategia creen que usó Gabe para sumar y por qué.

Nota para la enseñanza

Muestre la parte (b) y permita que sus estudiantes confirmen sus predicciones. ¿Cuál fue tu respuesta a las preguntas del problema, Gabe?

7 1 Ray recorre en bicicleta 1  __   kmmás que Zara. Ray y Zara recorren 7  __   km en bicicleta. 10

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Gabe y sus propios trabajos. Contar hacia delante desde un número para hallar la diferencia y sumar unidades semejantes (método de Oka) ¿Qué hiciste primero, Oka? Dibujé un diagrama de cinta para representar la distancia que recorrieron en bicicleta Ray y Zara y rotulé cuánta distancia más recorrió Ray como k.

R 2

Muestre el diagrama de cinta. ¿Qué creen que Oka hizo después? ¿Por qué? Creo que restó para hallar cuántos kilómetros más recorrió Ray en bicicleta. Necesita hallar la parte (a) antes de hallar la parte (b). Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué estrategia creen que usó Oka para restar y por qué. Muestre la parte (a) y permita que sus estudiantes confirmen sus predicciones. ¿Qué hiciste después, Oka? Dibujé ramas para mostrar el total que recorrieron en bicicleta juntos y lo rotulé total de kilómetros.

4 10

7 10

Total de km

Para promover la flexibilidad, considere pedir a sus estudiantes que mencionen más de una predicción para algunos pasos. Recuerde, sin embargo, pedir predicciones adicionales independientemente de si la predicción inicial era correcta. Pedir predicciones adicionales solo después de una respuesta incorrecta representa una pista de que se dio una respuesta incorrecta, en lugar de promover la flexibilidad. Anime a sus estudiantes a que respondan y reflexionen entre sí sobre las predicciones y las explicaciones.

a. 2 7 + k = 4 4 10

7 2 10

3 + 10

3 1

4 10

7 =k 10

b. 4 4 + 2 7 = 6 11 = 7 1 10 10

Invite a la clase a que prediga el próximo paso. Probablemente sumó para hallar la parte (b). Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué estrategia creen que usó Oka para sumar y por qué.

489

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28 Muestre la parte (b) y permita que sus estudiantes confirmen sus predicciones. ¿Cuáles son tus enunciados con la solución, Oka?

7 1 Ray recorre en bicicleta 1  __   kmmás que Zara. Ray y Zara recorren 7  __   kmen bicicleta. 10

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre su trabajo y el de Oka y entre el trabajo de Oka y el de Gabe.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Representar y resolver problemas verbales con números mixtos usando dibujos y ecuaciones Use las siguientes preguntas para guiar una conversación. ¿Cómo nos ayudan los modelos pictóricos a comprender un problema? Dibujar modelos nos puede ayudar a determinar qué operación podemos usar para hallar el número desconocido. A veces, los modelos pueden ayudarnos a pensar en los pasos que necesitamos seguir para resolver un problema. A veces, los modelos me ayudan a llevar la cuenta de lo que estoy haciendo para restar, como cuando uso el método de flechas para contar hacia atrás o hacia delante desde un número. ¿Cómo deciden qué modelo usar cuando resuelven un problema verbal? Quiero usar un modelo que me ayude a comprender qué está sucediendo en el problema. Si comienzo a dibujar un modelo y no se entiende, podría cambiar a un modelo diferente.

490

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28 ¿Cómo les ayuda pensar acerca de la relación entre los números a resolver problemas verbales? Me ayuda a mostrar lo que sé y no sé en mi modelo. Tienes que pensar en qué está sucediendo en el problema. Luego, usas esa información para responder la pregunta. ¿Cómo nos ayudan los métodos conocidos a resolver problemas? Los métodos conocidos nos ayudan a elegir la forma más eficiente de sumar o restar. Si sabemos varias formas de sumar y restar, podemos elegir aquella que sea más apropiada para ese problema.

491

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28

Nombre

Fecha

3. Una cubeta puede contener 5 _3 galones. Luke vierte 2 _5 galones de agua en la cubeta. ¿Cuánta 8

5 3_ − 2 5_ = 2 6_ 8

Se necesitan 2 _6 galones de agua más para llenar la cubeta.

1. Casey se fue de campamento por 3 _1 días en junio y 6 _1 días en julio. ¿Cuántos días estuvo Casey 2

cantidad de agua más se necesita para llenar la cubeta?

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema. en el campamento en total?

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28

3 1_ + 6 1_ = 10 2

Casey estuvo 10 días en el campamento.

4. Pablo lee 9 _1 páginas de su libro de ciencias. Lee 6 _2 páginas de su libro de estudios sociales.

2. Mía usa 4 _4 metros de alambre para colgar unas macetas. Le quedan 1 _3 metros. ¿Cuánto 5

alambre tenía Mía al principio?

9 1_ − 6 2_ = 2 2_

4 4_ + 1 3_ = 6 2_ 5

a. ¿Cuántas páginas más de su libro de ciencias que de su libro de estudios sociales lee Pablo? 3

Pablo lee 2 _2 páginas más de su libro de ciencias que de su libro de estudios sociales.

5 Mía tenía 6 2 metros de alambre al principio. 5

b. ¿Cuántas páginas lee Pablo en total?

9 1_ + 6 2_ = 16 3

Pablo lee 16 páginas en total.

492

233

234

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28

7 5. El Sr. Endo dona 4 __ kilogramos de alimento para mascotas al refugio de animales en mayo. 10

9 En junio, dona 2 __ kilogramos más de alimento para mascotas que en mayo. 10

a. ¿Cuántos kilogramos de alimento para mascotas dona el Sr. Endo en junio? 6 7 + __ 4 __ 2 9 = 7 __ 10

6 El Sr. Endo dona 7 __ kilogramos de alimento para mascotas en junio. 10

b. ¿Cuántos kilogramos de alimento para mascotas en total dona el Sr. Endo en mayo y junio? 3 7 + __ 4 __ 7 6 = 12 __ 10

3 El Sr. Endo dona un total de 12 __ kilogramos de alimento para mascotas en mayo y junio. 10

GRUPO DE PROBLEMAS

235

493

LECCIÓN 29

Resolver problemas usando los datos de un diagrama de puntos

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

Nombre

Fecha

1. El maestro Endo registra la cantidad de tiempo que cada estudiante pasa leyendo esta semana. El tiempo, en horas, se muestra en el diagrama de puntos. Tiempo que pasa leyendo cada estudiante

× 0

× ×

× × ×

Vistazo a la lección La clase responde preguntas y resuelve problemas usando los datos presentados en diagramas de puntos. Suman y restan números mixtos, que incluyen unidades fraccionarias de cuartos y octavos, para resolver problemas. También deciden qué preguntas se pueden o no responder usando los datos de un diagrama de puntos dado.

Preguntas clave ×

• ¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre números mixtos para resolver problemas usando los datos de un diagrama de puntos?

• ¿Por qué es importante saber interpretar los datos de un diagrama de puntos?

Tiempo (horas)

a. ¿Cuál es la mayor cantidad de tiempo que un o una estudiante pasó leyendo?

3 horas

Criterio de logro académico

b. ¿Qué cantidad de estudiantes hay en la clase del maestro Endo?

4.Mód4.CLA11 Crean un diagrama de puntos para representar un conjunto

 1  , _ 1  , _ 1 ) y resuelven de datos de mediciones en fracciones de una unidad ( _

11 estudiantes

2 4 8

c. ¿Qué cantidad de estudiantes leyeron durante 2 horas o menos?

problemas sobre sumas y restas de fracciones utilizando los diagramas

9 estudiantes

de puntos. (4.MD.B.4)

d. ¿Cuál es la diferencia entre la mayor y la menor cantidad de tiempo que un o una estudiante pasó leyendo?

3 − _4 = 2 _4 − _4 = 2 _4 3

2 _4 horas 1

249

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min

Estudiantes

• Resolver problemas con medidas de números mixtos

• Preguntas sobre el diagrama de puntos (en el libro para estudiantes)

• Clasificar y responder preguntas

• tijeras

• Grupo de problemas

• barras de pegamento

Concluir 10 min

495

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Dividir entre 7, 8 o 9 La clase utiliza estrategias de valor posicional para dividir un número de tres o cuatro dígitos y adquirir fluidez a fin de hallar cocientes que son números enteros. Muestre 938 ÷ 7 =

Hallen el cociente. Muestren su método. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

938 ÷ 7 =

134

Muestre el cociente. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

3,392 ÷ 8 =

496

424

9,056 ÷ 8 = 1,132

4,005 ÷ 9 =

445

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

Intercambio con la pizarra blanca: Sumar y restar fracciones con unidades semejantes La clase halla la suma o la diferencia para adquirir fluidez con la suma y la resta de fracciones con unidades semejantes.  1  = Muestre _   1  + _ 4

1 1 + = 4 4

Escriban la ecuación y complétenla. Escriban la suma en forma fraccionaria.

2 4

Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la suma. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

2 3 + = 6 6

5 6

3 5 + = 8 8

8 8

6 7 + = 12 12

13 12

3 1 − = 5 5

2 5

7 2 − = 8 8

5 8

10 4 − = 10 10

6 10

17 9 − = 12 12

8 12

497

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

Presentar

La clase usa datos de un diagrama de puntos para decidir si una afirmación es verdadera. Muestre la imagen del periódico escolar. Señale el encabezado y el diagrama de puntos mientras dice el siguiente enunciado. El encabezado de esta noticia usa datos de un diagrama de puntos para afirmar que la mayoría de las escuelas de la zona tienen una jornada escolar que dura más de 7 horas. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si la afirmación es verdadera según los datos que aparecen en el diagrama de puntos. Según los datos que aparecen en el diagrama de puntos, la afirmación no es verdadera. Solo 7 escuelas tienen una jornada escolar de más de 7 horas. Hay 20 escuelas representadas en el diagrama de puntos. Menos de la mitad de ellas tienen una jornada escolar que dura más de 7 horas. No tiene sentido decir que la mayoría de las escuelas tienen una jornada de más de 7 horas. La afirmación no es verdadera. 7 escuelas tienen una jornada escolar que dura más de 7 horas y 13 escuelas tienen una jornada escolar que dura 7 horas o menos. El encabezado podría afirmar que la mayoría de las escuelas tienen una jornada escolar de al menos 7 horas.

498

NOTICIAS ESCOLARES LA MAYORÍA DE LAS ESCUELAS DE NUESTRA ZONA TIENEN UNA JORNADA ESCOLAR DE MÁS DE 7 HORAS.

Duración de la jornada escolar

× × × × × × × × 0

× × × × × × × × × × × ×

6 64 64 64 7

74 74 74 8

Tiempo (horas)

¿Deberíamos aumentar la duración de nuestra jornada escolar?

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29 ¿Qué error creen que cometió la persona que hizo el artículo periodístico al observar los datos y escribir el encabezado? Quizás se olvidó de incluir las escuelas que tienen una jornada escolar de 7 horas. Si incluyera esas escuelas, entonces podría escribir un encabezado que afirmara que la mayoría de las escuelas tienen una jornada escolar de 7 horas o más. Si incluyera las escuelas que tienen una jornada escolar de 7 horas, entonces podría escribir un encabezado que afirmara que la mayoría de las escuelas tienen una jornada escolar de al menos 7 horas. La expresión al menos quiere decir 7 horas o más. ¿Qué pregunta intenta responder la escuela con estos datos? La escuela quiere saber si debería aumentar la duración de su jornada escolar.

Nota para la enseñanza En 3.er grado, la clase usa diagramas de puntos con escalas divididas en medios y cuartos para responder preguntas sobre los datos. El aumento de la complejidad en 4.o grado incluye diagramas de puntos con escalas divididas en octavos y la suma y resta de fracciones para resolver problemas basándose en los datos. Lápices en el salón de clases del maestro López

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, resolveremos problemas usando datos de un diagrama de puntos.

× 0

× ×

× × ×

× × × ×

1 44

1 42

3 44

× × × × × 5

× × ×

× ×

1 54

1 52

3 54

× ×

Longitud (pulgadas)

499

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

Aprender

Resolver problemas con medidas de números mixtos

DUA: Representación

La clase responde preguntas y resuelve problemas usando los datos en un diagrama de puntos. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Lea el problema a coro con la clase. 1. Zara mide la distancia que recorre su avión de papel cada vez que lo lanza y registra los datos en un diagrama de puntos.

Considere invitar a sus estudiantes a resaltar las medidas en las preguntas y en el diagrama de puntos. Esto puede ayudarles mientras usan los datos del diagrama de puntos para responder las preguntas y resolver los problemas.

Distancia que recorre el avión de papel

× × ×

× ×

× 2

14 14 4 14 4 14 4

× × ×

15 15 4 15 4

× × 3

15 4

16 16 4 16 4 16 4

Distancia (pies)

a. ¿Cuántas veces lanza Zara su avión de papel? b. ¿Cuál es la a distancia más larga que q recorre su avión de papel?

14 14 4 14 4 14 4

15 15 4 15 4

15 4

16 16 4 16 4 16 4

Distancia (pies)

c. Usa >, = o < para comparar la a distancia más larga y la más corta.

d. ¿Qué distancia ocurre con máss frecuencia? ¿Cómo lo sabes? 2 e. ¿Cuántas veces el avión recorre al menos me os 15 5 pies? p es?? 4 f. Estima la diferencia entre la distancia máss larga y la más corta. g. ¿Cuál es la diferencia entre la distancia más larga y la más corta?

59 de pie. 4 ¿En qué parte del diagrama de puntos debe marcarse la distancia? ¿Cómo lo sabes?

h. Zara lanza su avión una vez más y registra la distancia que recorre como

a. ¿Cuántas veces lanza Zara su avión de papel?

10 veces b. ¿Cuál es la distancia más larga que recorre su avión de papel?

16  _43  pies

c. Usa >, = o < para comparar la distancia más larga y la más corta.

16 _  > 14 1_  3 4

d. ¿Qué distancia ocurre con más frecuencia? ¿Cómo lo sabes?

15  _41  pies ocurre con más frecuencia porque tiene la mayor cantidad de X.

e. ¿Cuántas veces el avión recorre al menos 15  _2  pies?

5 veces

500

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29 f. Estima la diferencia entre la distancia más larga y la más corta.

17 − 14 = 3 La diferencia es aproximadamente 3 pies. g. ¿Cuál es la diferencia entre la distancia más larga y la más corta?

16 _  − 14 1_  = 2 _2  3 4

La diferencia es 2  _2  pies. 4

h. Zara lanza su avión una vez más y registra la distancia que recorre como __  59  de pie. 4

¿En qué parte del diagrama de puntos debe marcarse la distancia? ¿Cómo lo sabes?

  59  es la misma cantidad que 14  _  . Debe marcarse en 14  _  porque __ 3 4

3 4

¿Qué indica cada X en el diagrama de puntos? Cada X indica la distancia que recorrió el avión las distintas veces que se lanzó. ¿Qué observan acerca de la escala en el diagrama de puntos? Hay medidas de números enteros rotuladas en el diagrama de puntos. Las medidas fraccionarias están representadas con marcas de graduación entre los números enteros. ¿Qué unidad fraccionaria está representada por las marcas de graduación entre los números enteros? Cuartos Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas usando números mixtos para rotular las marcas de graduación que quedaron sin rotular. Pida a las parejas que respondan las partes (a) a (d). Seleccione a dos o tres parejas para que compartan sus respuestas.

Nota para la enseñanza

Lea la parte (e) a coro con la clase. ¿Qué significa al menos? Al menos significa que incluye el número y los números mayores que ese número.

Al menos significa contar todas las veces que el avión recorre 15  _2  pies o una distancia mayor. 2 ¿Cuántas veces el avión recorre al menos 15  _ pies?

5 veces

En 2.o grado, sus estudiantes dibujan una barra doble para mostrar que se saltearon una serie de números en la escala de un diagrama de puntos. Puede haber estudiantes que observen que no hay longitudes entre 0 y 14 en la escala. Considere pedirles que razonen sobre por qué esas longitudes no se muestran y cómo se vería el diagrama de puntos si estuvieran incluidas.

501

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29 Pida a sus estudiantes que registren la respuesta. Pídales que hallen la distancia más larga y la más corta que recorre el avión. Escriba 16  _  − 14  _1  . 3 4

Apoyo para la comprensión del lenguaje

¿De qué manera podemos estimar la diferencia entre las distancias?

16  _3  está cerca de 17 y 14  _1  está cerca de 14. Para estimar, podemos hallar 17 − 14, por lo que 4

la distancia es de aproximadamente 3 pies.

• ¿Cuántas veces el avión recorre una distancia mayor que 15   2  pies? 4 • ¿Cuántas veces el avión recorre una distancia mayor que o igual a 15   2  pies? 4 • ¿Cuántas veces el avión recorre al menos 15   2  pies? 4

Pida a sus estudiantes que completen la parte (f).

¿Cómo podemos hallar la diferencia real entre las distancias? Podemos restar unidades semejantes.  1  de _   3  . Podemos restar 14 de 16 y _ 4

Para ayudar a sus estudiantes a comprender el término al menos, considere usar el vocabulario conocido mayor que o igual a.

Pida a sus estudiantes que completen la parte (g). ¿Cuánto es 16  _ − 14  _ ?

2 2_ 

3 4

1 4

Entonces, la diferencia entre la distancia más larga y la más corta es 2  _2  pies. 4

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si su respuesta de la parte (g) es razonable basándose en su estimación de la parte (f).

502

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29 Pida a las parejas que lean la parte (h).

¿Cómo pueden ubicar la distancia de __  59 de pie en el diagrama de puntos? 4

Podemos expresar la fracción mayor que 1 como un número mixto. Invite a las parejas de estudiantes a completar la parte (h).

¿En qué parte del diagrama de puntos se marcaría __  59 de pie? 4

En 14  _  pies 3 4

Diferenciación: Apoyo

¿Qué hicieron para expresar __  59 como un número mixto? 4

Sabíamos que __   40  = 10 y que __   16  = 4. Entonces, nos quedaban _  3 . Sumamos los 4

números enteros y la fracción y obtuvimos 14  _  . 3 4

Sabíamos que __   60  = 15, entonces 1 cuarto menos es 14  _  . 4

Muestre la imagen de la afirmación de Zara. Zara usa los datos de su diagrama de puntos para hacer una afirmación sobre su avión de papel.

• ¿Cuántas veces lanza Zara su avión de papel?

3 4

Afirmación de Zara

La mayoría de las veces, mi avión de papel recorre al menos 16 pies.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si la afirmación de Zara es verdadera según los datos que aparecen en el diagrama de puntos.

Para apoyar a sus estudiantes mientras comentan si la afirmación de Zara es verdadera, considere usar las siguientes preguntas:

• ¿Cuántas veces el avión recorre al menos 16 pies? • ¿Cuántas veces el avión recorre una distancia menor que 16 pies? • ¿De qué manera esa información les ayuda a pensar en la afirmación de Zara?

503

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

Clasificar y responder preguntas Materiales: E) Preguntas sobre el diagrama de puntos, tijeras, barras de pegamento

La clase decide si las preguntas dadas se pueden responder usando los datos de un diagrama de puntos. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Invite a la clase a leer el problema en parejas. 2. Un puesto de frutas mide el peso de cada bolsa de manzanas que vende el lunes. Hacen un diagrama de puntos con los datos.

Diferenciación: Desafío

Peso de las bolsas de manzanas vendidas el lunes

× 0

× × 6

28 28 28 28 28 28 28

× × ×

× × × ×

× ×

Considere pedir a sus estudiantes que usen cuartos y medios para expresar los números mixtos con otro nombre debajo del diagrama de puntos. Luego, pregunte: ¿Expresar las medidas con otro nombre usando unidades fraccionarias diferentes les ayuda a resolver los problemas? ¿Por qué?

× 6

38 38 38 38 38 38 38

Peso de las bolsas de manzanas vendidas el lunes

Peso (libras)

× 0

a. ¿Qué indica cada X?

× × ×

× ×

1 2 3 4 5 6 7 28 28 28 28 28 28 28 1 1 3 24 22 24

× × × ×

× ×

1 2 3 4 5 6 7 38 38 38 38 38 38 38 1 1 3 34 32 34

Peso (libras)

Cada X indica el peso de 1 bolsa de manzanas. b. ¿Cuántas bolsas de manzanas vende el puesto de frutas el lunes?

16 d. ¿Cuál es el peso de la bolsa de manzanas más liviana?

2  _82  libras

504

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

f. Usa >, = o < para comparar el peso de la bolsa de manzanas más liviana con el peso de la bolsa de manzanas más pesada.

2  _82  < 3  _87 

g. ¿Qué peso ocurre con más frecuencia? ¿Cómo lo sabes?

3  _82  libras ocurre con más frecuencia porque tiene la mayor cantidad de X. i. ¿Cuántas bolsas de manzanas pesan al menos 3  _1  libras? 8

11 j. Estima el peso total de todas las bolsas de manzanas que pesan 2  _7  libras. 8 Halla el peso real.

3+3=6

El peso total es aproximadamente 6 libras.

2 _  + 2 _  = 5 _  7 8

7 8

6 8

El peso real es 5  _  libras. 6 8

l. ¿En qué parte del diagrama de puntos se marcaría una bolsa de manzanas si pesara _  6  de libra? 2 ¿Cómo lo sabes? Se marcaría en 3 libras porque _  6  = 3. 2

505

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29 ¿Qué observan acerca de la escala en el diagrama de puntos? Hay números enteros y fracciones en la escala. Hay medidas de números enteros y fraccionarias representadas en el diagrama de puntos. ¿Qué unidad fraccionaria está representada en la escala del diagrama de puntos? Octavos Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas usando números mixtos para rotular las marcas de graduación que quedaron sin rotular. Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Preguntas sobre el diagrama de puntos de sus libros y que recorten cada pregunta. Invite a las parejas a que lean las preguntas y las clasifiquen en dos pilas: preguntas que se pueden responder usando los datos del diagrama de puntos del problema 2 y preguntas que no se pueden responder basándose en los datos del diagrama de puntos. Una vez que las parejas hayan recortado, leído y clasificado las preguntas, haga la siguiente pregunta. ¿Qué preguntas no se pueden responder usando los datos del diagrama de puntos? ¿Cómo lo saben? La pregunta (c) porque pide averiguar cuántas bolsas de manzanas venderá el puesto de frutas el martes. El diagrama de puntos muestra cuántas bolsas se vendieron el lunes, pero no sabemos cuántas bolsas se venderán el martes. La pregunta (e) porque pide averiguar cuántas manzanas hay en una bolsa. El diagrama de puntos muestra el peso de las bolsas, pero no cuántas manzanas hay en cada una. La pregunta (h) porque pide averiguar cuántas bolsas de manzanas quedan. El diagrama de puntos muestra cuántas bolsas se vendieron, pero no sabemos cuántas había en un principio. No podemos calcular cuántas bolsas quedan. La pregunta (k) porque pide averiguar quién compró una bolsa de manzanas. El diagrama de puntos no muestra quién compró las manzanas. La pregunta (m) porque pide averiguar cuánto dinero recaudaron. No sabemos cuánto cuesta cada bolsa de manzanas, entonces no podemos calcular cuánto dinero recaudaron. Invite a las parejas de estudiantes a pegar en sus libros debajo del diagrama de puntos las preguntas que se pueden responder usando los datos del diagrama de puntos. Luego, las parejas pueden responderlas.

506

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando decide qué preguntas se pueden o no responder usando la información presentada en un diagrama de puntos. Luego, responden las preguntas que se pueden responder. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1: • ¿Qué información necesitan para responder la pregunta? ¿Esa información se presenta en el diagrama de puntos? • ¿Qué pasos pueden realizar para comenzar a responder la pregunta? • ¿Tiene sentido su respuesta a la pregunta? ¿Por qué?

DUA: Acción y expresión Considere representar un razonamiento en voz alta sobre cómo decidir si se puede responder una pregunta basándose en los datos del diagrama de puntos. Para la pregunta (m), podría decir los siguientes enunciados. Sé cuál es el número total de bolsas de manzanas que vendió el puesto de frutas el lunes. Para calcular cuánto dinero recaudó, también necesito saber cuánto cuesta cada bolsa de manzanas. El diagrama de puntos no muestra el costo de las manzanas, entonces no puedo responder esta pregunta basándome en los datos del diagrama de puntos.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29 Una vez que hayan terminado, use las siguientes preguntas para guiar una conversación de toda la clase: • ¿Qué signo usaron para comparar el peso de la bolsa más liviana y la bolsa más pesada? ¿De qué manera usaron lo que saben acerca de los números mixtos como ayuda para comparar los pesos? • ¿Qué hallaron para el peso total de las bolsas de manzanas que pesan 2  _7  libras? ¿Cómo pueden 8

usar sus estimaciones para comprobar si sus respuestas son razonables? • ¿Dónde se ubica 6 medios de libra en el diagrama de puntos? ¿Cómo lo saben? • ¿Puede el puesto de frutas afirmar que la mayoría de las bolsas de manzanas que vendieron el lunes pesan más de 2  _4  libras? ¿Por qué? 8

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Resolver problemas usando los datos de un diagrama de puntos Use las siguientes preguntas para guiar una conversación sobre resolver problemas basándose en los datos de los diagramas de puntos. ¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre números mixtos para resolver problemas usando los datos de un diagrama de puntos? Podemos usar lo que sabemos sobre comparar números mixtos para comparar medidas en un diagrama de puntos. Podemos usar lo que sabemos sobre sumar y restar números mixtos para resolver problemas de suma y resta basándonos en las medidas de los diagramas de puntos. Podemos usar lo que sabemos sobre expresar fracciones mayores que 1 como números mixtos para ubicar medidas en los diagramas de puntos. © Great Minds PBC

507

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29 Muestre la imagen del diagrama de puntos del periódico y el del avión de papel. ¿Cómo usamos los diagramas de puntos para decidir si las afirmaciones eran verdaderas? Pensamos acerca de lo que decía la afirmación y, luego, observamos el diagrama de puntos. El diagrama de puntos de la escuela no muestra que la mayoría de ellas tienen una jornada escolar de más de 7 horas. Solo 7 escuelas tienen una jornada escolar de más de 7 horas. El diagrama de puntos del avión de papel no muestra que el avión recorre al menos 16 pies la mayoría de las veces que vuela. El avión recorrió al menos 16 pies solo 4 veces.

NOTICIAS ESCOLARES LA MAYORÍA DE LAS ESCUELAS DE NUESTRA ZONA

TIENEN UNA JORNADA ESCOLAR QUE DURA MÁS DE 7 HORAS.

Distancia que recorre el avión de papel

Duración de la jornada escolar

× × × × × × × × 0

× × × × × × × × × × × × 1

× 0

× × ×

× × 16

× 17

Distancia (pies)

6 64 64 64 7 74 74 74 8 Tiempo (horas)

¿Deberíamos aumentar la duración de nuestra jornada escolar?

¿Por qué es importante saber interpretar los datos de un diagrama de puntos? Podemos responder preguntas y resolver problemas cuando sabemos cómo leer los datos de un diagrama de puntos. Podemos decidir si las afirmaciones que hacen las personas acerca de los datos son verdaderas o falsas cuando podemos leer e interpretar los datos en un diagrama de puntos.

508

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

Nombre

Fecha

× ×

× × ×

g. ¿Cuál es la longitud total de todos los listones que miden 2 _1 pies de largo? 4

6 _3 pies

Longitud de los listones en la clase de la maestra Smith

Estima la longitud total de todos los listones que miden 2 _1 pies de largo. Muestra tu trabajo.

6 pies

1. La clase de la maestra Smith mide la longitud de unos listones. Hacen un diagrama de puntos con los datos.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

h. La maestra Smith halla un listón más en su escritorio. La longitud del listón es _5 de pie. 2

¿En qué parte del diagrama de puntos debe marcarse la longitud de este listón? ¿Cómo lo sabes?

El listón debe marcarse en 2 _2 pies. Lo sé porque _5 = 2 _1 y 2 _1 = 2 _2 . 4

Longitud (pies)

a. ¿Cuántos listones mide la clase?

10 listones

2. El Centro de rescate de animales mide el peso de 10 crías de una gata. El peso de las crías, en libras, se muestra en el diagrama de puntos. Peso de las crías de una gata del Centro de rescate de animales

b. ¿Cuál es la longitud del listón más largo?

2 _3 pies 4

c. Usa >, = o < para comparar la longitud del listón más largo y la longitud del listón más corto. 2 _3 > _2 4 4

× × 0

× × × 2

Peso (libras)

d. ¿Cuántos listones miden al menos 1 _1 pies de largo?

8 listones

× × × × ×

a. ¿Cuál es el peso de la cría más liviana?

_7 de libra 8

e. ¿Qué longitud ocurre con más frecuencia? ¿Cómo lo sabes?

b. Usa >, = o < para comparar el peso de la cría más liviana y el peso de la cría más pesada. 7_ < 2 6_ 8 8

2 _1 pies ocurre con más frecuencia. Lo sé porque tiene la mayor cantidad de X. 4

245

246

GRUPO DE PROBLEMAS

509

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

c. ¿Cuántas crías tienen un peso menor que o igual a 1 _5 libras? 8

3 crías

d. ¿Qué peso ocurre con más frecuencia? ¿Cómo lo sabes?

1 _6 libras ocurre con más frecuencia. Lo sé porque tiene la mayor cantidad de X. 8

e. Dos crías pesan 2 _5 libras cada una. ¿Cuál es el peso total de las dos crías?

5 _2 libras

¿Cuántas libras más que la cría más liviana pesa la cría más pesada?

1 _7 libras 8

g. Estima el peso total de todas las crías que pesan entre 2 y 3 libras. Muestra tu trabajo.

7 _1 libras 2

h. Iván dice: “Hay más crías que son más pesadas que 1 _7 libras que crías que son más livianas 8

que 1 _7 libras”. ¿Estás de acuerdo con Iván? ¿Por qué? 8

No, no estoy de acuerdo. Hay 3 crías que son más pesadas que 1 _7 libras, pero hay 7 crías que

son más livianas que 1 _7 libras.

Una persona que trabaja en el Centro de rescate de animales trae una nueva cría que pesa

30 de libra. ¿De qué manera tendría que cambiar el diagrama de puntos para poder marcar __ 8

el peso de la nueva cría? El diagrama de puntos se tendría que extender hasta 4 porque el peso de la nueva cría es 3 _6 libras. 8

510

GRUPO DE PROBLEMAS

247

LECCIÓN 30

Representar datos en un diagrama de puntos

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

Nombre

Fecha

Un meteorólogo mide la cantidad de lluvia o precipitaciones mensuales y registra los datos en la tabla que se muestra. Usa los datos para hacer un diagrama de puntos. Mes

Ene

Feb

Mar

Abr

May

Jun

Jul

Ago

Sep

Oct

Nov

Dic

Precipitaciones (pulgadas)

_1 4

1 _4

2 _4

2 4_

1 _4

1 _2

1 _4

2 _4

_3 4

× 0

× 2

× × ×

La clase hace diagramas de puntos con los datos de una tabla y con datos que registra. Usan los datos a fin de determinar una escala adecuada para el diagrama de puntos. Rotulan la escala y escriben un título para el diagrama de puntos. También comparan los datos de diferentes diagramas de puntos.

Preguntas clave • ¿Por qué un diagrama de puntos es una manera útil de representar los datos de mediciones? • ¿Cómo determinamos cuándo usar los datos de una tabla o de un diagrama de puntos para responder de manera eficiente preguntas sobre los datos de mediciones?

Cantidad de precipitaciones

× ×

Vistazo a la lección

Criterio de logro académico

4.Mód4.CLA11 Crean un diagrama de puntos para representar un conjunto

Precipitaciones (pulgadas)

 1  , _ 1  , _ 1 ) y resuelven de datos de mediciones en fracciones de una unidad ( _ 2 4 8

problemas sobre sumas y restas de fracciones utilizando los diagramas de puntos. (4.MD.B.4)

263

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• Tarjetas de datos (en la edición para la enseñanza)

• Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.

Aprender 35 min • Crear un diagrama de puntos • Representar datos en una tabla y en un diagrama de puntos • Comparar diagramas de puntos

Estudiantes • Práctica veloz: Sumar y restar fracciones con unidades semejantes (en el libro para estudiantes)

• Grupo de problemas

• Tarjetas de datos (1 juego por pareja de estudiantes)

Concluir 10 min

• regla

• Imprima o haga una copia de las Tarjetas de datos. Recorte los 6 juegos de tarjetas. Prepare suficientes juegos de tarjetas como para tener 1 por pareja de estudiantes.

513

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

Fluidez

Práctica veloz: Sumar y restar fracciones con unidades semejantes 2 Materiales: E) Práctica veloz: Sumar y restar con unidades semejantes EUREKA MATH 4 ▸ fracciones M4 ▸ Práctica veloz ▸ Sumar y restar fracciones con unidades semejantes

La clase escribe la suma o la diferencia para adquirir fluidez con la suma y la resta de fracciones con unidades semejantes.

Práctica veloz

Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.

Suma o resta. Escribe la suma o la diferencia en forma fraccionaria.

_ _

1 1 + = 6 6

2 6

2 4 + = 6 6

6 6

3 1 − = 6 6

2 6

7 2 − = 6 6

5 6

_ _

_ _ _ _

_ _ _

514

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.

Nota para la enseñanza

Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes. Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales. Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico. Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.

Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A: • ¿Qué patrones observan en los problemas 1 a 12? • ¿Cómo se comparan algunos de los totales en los problemas 13 a 22 con los totales en los problemas 1 a 12?

Pida a sus estudiantes que vayan a la Práctica veloz B. En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!

Nota para la enseñanza

Cuente hacia delante de un cuarto en un cuarto desde   0  hasta   12  para la actividad de 4 4 conteo de ritmo rápido.

Cuente hacia atrás de un quinto en un quinto desde   10  hasta   0  para la actividad de conteo 5 5 de ritmo lento.

Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Calculen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Celebre el progreso de sus estudiantes.

515

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

Presentar

La clase comenta cómo usar los datos de una tabla para responder preguntas. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Lea el problema a coro con la clase. 1. La señora Díaz registra la distancia que camina cada día durante 14 días.

Día 1

_ 1 8  6

1_ 2 8 

4 5 6 7 8

516

Distancia caminada (millas)

_ 1 8  3

_ 1 8  6

7_ 2 8  1_ 2 8 

_ 1 8  5

_ 2 8 

7   8

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

Distancia caminada (millas)

Día

_ 1 8  5

1_ 2 8 

_ 2 8  5

_ 2 8  3

a. ¿Cuántas millas camina la señora Díaz en el día 10?

_ 7  de milla 8

b. ¿Cuántos días la señora Díaz camina más de 2  _1  millas? 8

4 días c. ¿Cuál es la distancia más larga que camina la señora Díaz?

2  _87  millas

d. ¿Qué días la señora Díaz camina 2  _  millas? 3 8

El día 9 y el 14 ¿Qué observan acerca de los datos? Las distancias están en millas. La mayoría de las distancias son números mixtos y la unidad fraccionaria son los octavos. Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para responder las partes (a) a (d). Invite a una o dos parejas a compartir sus respuestas. ¿Qué preguntas tardaron más en responder? Tardamos más en responder las partes (b) y (c) que las partes (a) y (d).

517

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué responder algunas preguntas lleva más tiempo que otras al usar los datos presentados en una tabla. Para responder la parte (b), tuvimos que mirar todas las distancias registradas en la tabla y llevar la cuenta de cuántos días la señora Díaz caminó más de 2  _1  millas. 8

Para la parte (c), tuvimos que mirar todas las distancias registradas en la tabla y compararlas entre sí para hallar la distancia más larga. Para las partes (a) y (d), hallamos rápidamente las respuestas porque estos problemas eran sobre ciertos días y distancias. No tuvimos que comparar las distancias. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, haremos diagramas de puntos que representan datos de mediciones y los interpretaremos.

Aprender

DUA: Acción y expresión

Crear un diagrama de puntos La clase hace diagramas de puntos con datos de mediciones de una tabla. Pida a sus estudiantes que vayan a la parte (e) y lean a coro el problema. e. Usa los datos de la tabla para hacer un diagrama de puntos.

Distancia que camina la señora Díaz

× × × ×

× ×

0 1 2 3 4 5 6 7 1 11 12 13 14 15 16 17 2 21 22 23 24 25 26 27 3 8

Considere proporcionar papel cuadriculado a sus estudiantes para que creen diagramas de puntos. La cuadrícula puede servirles de ayuda para separar en partes iguales los números en la escala y alinear las X cuando dibujan para representar los datos. Al usar papel cuadriculado, considere marcar en la escala el número inicial y el número final para sus estudiantes. O pídales que marquen y rotulen el número inicial en la escala y que, luego, cuenten salteado por la unidad fraccionaria para marcar y rotular en la escala el resto de los números.

× ×

× ×× ×××

× ××

Distancia (millas)

518

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 f.

¿Cuál es la distancia que la señora Díaz camina con más frecuencia?

_1 2  8  millas

g. ¿Cuántas millas camina la señora Díaz en el día 8?

_5 1  8  millas

h. Usa >, = o < para comparar las distancias que la señora Díaz camina el día 6 y el día 13.

_7 _5 2  8  > 2  8 

i. ¿Cuál es la diferencia, en millas, entre la distancia más larga y la más corta?

2 millas Primero, vamos a crear una escala para nuestro diagrama de puntos. ¿Cuál es la distancia más corta que camina la señora Díaz?

_ 7  de milla 8

¿Cuál es la distancia más larga que camina?

_7 2  8  millas

¿Qué números enteros debemos usar para comenzar y finalizar la escala de nuestro diagrama de puntos?

0y3 Dibuje y rotule marcas de graduación para representar 0 y 3. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Qué otros números enteros debemos rotular entre 0 y 3?

1y2 Dibuje y rotule marcas de graduación para representar 1 y 2. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

Diferenciación: Apoyo Para ayudar a sus estudiantes a crear la escala del diagrama de puntos, considere usar la siguiente secuencia: • Marcar y rotular los números enteros

¿En qué unidad fraccionaria debemos dividir cada intervalo de números enteros?

• Cubrir todos los intervalos de números enteros, excepto el intervalo del 0 al 1

En octavos, porque los datos en la tabla tienen números mixtos con octavos como la unidad fraccionaria.

• Dividir el intervalo del 0 al 1 en medios, luego en cuartos y, por último, en octavos

¿En qué unidad fraccionaria más grande podemos dividir cada intervalo primero como ayuda para formar octavos?

• Usar un proceso similar para dividir los intervalos de números enteros restantes en octavos

Podemos formar cuartos y, luego, dividir cada uno por la mitad para formar octavos. Podemos formar medios y, luego, dividir cada uno en 2 partes iguales para formar cuartos. Podemos dividir cada cuarto en 2 partes iguales para formar octavos.

Esta estrategia permite a sus estudiantes enfocarse en un intervalo de números enteros a la vez, lo que les ayuda a dividir y rotular la escala del diagrama de puntos.

519

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 Dibuje para dividir cada intervalo de números enteros en octavos. Rotule cada marca de graduación con un número mixto. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invite a sus estudiantes a hacer un diagrama de puntos con los datos. Señale la escala mientras hace la siguiente pregunta. ¿Qué representan los números en nuestra escala? Los números representan las distancias medidas en millas. Debajo del diagrama de puntos, escriba lo siguiente: Distancia (millas). Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Si alguien mira nuestro diagrama de puntos ahora, ¿sabrá lo que representan los datos?

EUREKA MATH2

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando hace un diagrama de puntos con datos de mediciones y tiene en cuenta los detalles del diagrama (p. ej., usar una escala adecuada). Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:

Sabrá que representan las distancias en millas, pero no podría saber que alguien caminó estas distancias.

• ¿En qué detalles es importante pensar cuando determinan una escala para su diagrama de puntos?

Escribamos un título para nuestro diagrama de puntos a fin de mostrar que los datos representan las distancias que camina la señora Díaz.

• Cuando dibujan X en el diagrama de puntos, ¿qué necesitan hacer con mucha precisión o cuidado? ¿Por qué?

Arriba del diagrama de puntos, escriba lo siguiente: Distancia que camina la señora Díaz. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

• ¿Qué representa cada X en el diagrama de puntos?

Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para responder las partes (f) a (i). Luego, guíe una conversación sobre el uso de los datos de la tabla y del diagrama de puntos para responder los problemas usando las siguientes preguntas: • ¿Qué problemas pueden responder usando solo la tabla? • ¿Qué problemas pueden responder usando solo el diagrama de puntos? • ¿Qué problemas se responden de manera más eficiente usando el diagrama de puntos? Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué es útil representar los datos de mediciones en un diagrama de puntos.

520

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

Representar datos en una tabla y en un diagrama de puntos Materiales: E) Tarjetas de datos, regla

La clase registra datos en una tabla y los usa para crear un diagrama de puntos. Forme parejas de estudiantes y dé un juego de Tarjetas de datos a cada una. Pida a las parejas que: • registren en la tabla del problema 2 los datos representados en las tarjetas de datos; • usen los datos de la tabla para hacer un diagrama de puntos y • escriban una pregunta que se pueda responder usando los datos del diagrama de puntos. 2. Usa las tarjetas de datos para completar la tabla.

Murciélago 1 2 3 4 5 6 7 8

Nota para la enseñanza Las tarjetas de datos están estructuradas de la siguiente manera: • Tiempo que Iván pasó leyendo: La clase registra las medidas dadas en una tabla. La unidad fraccionaria es cuartos. • Longitud de las alas de los murciélagos: La clase registra las medidas dadas en una tabla. La unidad fraccionaria es octavos. • Tazas de agua: La clase lee y registra volúmenes líquidos al cuarto de taza más cercano.

Longitud de las alas (pulgadas)

• Peso de las piñas: La clase lee y registra los pesos al octavo de libra más cercano.

• Ancho de las huellas de pumas: La clase usa una regla para medir el ancho de cada huella al cuarto de pulgada más cercano.

_ 9 8  _ 8 8  5

1_ 10 8 

• Longitud de los lápices: La clase usa una regla para medir la longitud de cada lápiz al octavo de pulgada más cercano.

7_ 9 8  7_ 8 8 

_ 9 8  3

_ 10 8  5

1_ 10 8 

_ 9 8 

DUA: Participación Pida a sus estudiantes que participen en una recolección y representación de datos del mundo real incorporando una o más de las siguientes actividades: • Proporcione objetos reales para que sus estudiantes midan. • Use datos de mediciones de una lección o tema de ciencias actual. • Invite a sus estudiantes a investigar datos de mediciones que puedan usar para crear un diagrama de puntos.

521

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 a. Usa los datos de la tabla para hacer un diagrama de puntos.

Diferenciación: Apoyo

Ejemplo:

Longitud de las alas de los murciélagos

× 0

8 81 82 83 84 85 86 87 9 8

× × ×

× × × ×

Considere invitar a sus estudiantes a organizar las tarjetas de datos de la medida más pequeña a la más grande. Las tarjetas que contengan las mismas medidas se pueden ubicar una encima de la otra. Esta organización de las tarjetas puede ayudar a sus estudiantes cuando representan los mismos datos en un diagrama de puntos.

9 1 9 2 9 3 9 4 9 5 9 6 9 7 10 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 11 8

Longitud (pulgadas)

A continuación, hay un ejemplo para las tarjetas de Longitud de las alas de los murciélagos. Murciélago 9

b. Escribe una pregunta que se pueda responder de manera más eficiente usando el diagrama de puntos. Ejemplo: ¿Cuál es la diferencia entre la longitud más larga y la más corta de las alas? Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Considere usar las siguientes preguntas a fin de ayudarles mientras determinan una escala para el diagrama de puntos. • ¿Cuál es la medida más grande y la más pequeña?

3 9 pulgadas 8

Murciélago 6

Murciélago 8

3 9 pulgadas 8

Murciélago 2

5 8 pulgadas 8

Murciélago 5

7 8 pulgadas 8

Murciélago 1

3 9 pulgadas 8

1 10 pulgadas 8 Murciélago 4

7 9 pulgadas 8

Murciélago 10

10 pulgadas

Murciélago 3

Murciélago 7

1 5 10 pulgadas 10 pulgadas 8 8

Apoyo para la comprensión del lenguaje

• ¿Qué unidades fraccionarias hay en los datos? • ¿Cuál es su plan para separar las marcas de graduación en partes iguales? Invite a las parejas de estudiantes a que se reúnan y conversen con otras parejas sobre cómo marcaron los datos en un diagrama de puntos.

Considere mostrar esquemas de oración que sus estudiantes puedan usar mientras trabajan en parejas para crear un diagrama de puntos. • La medida más pequeña es

• La medida más grande es

• Nuestra escala debería comenzar en y finalizar en porque . • Podemos dividir cada intervalo de números enteros en porque . • Nuestra escala está rotulada, ahora podemos .

522

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

Comparar diagramas de puntos La clase comenta las semejanzas y diferencias entre diferentes diagramas de puntos. Invite a dos parejas de trabajo a formar grupos de 4 estudiantes y comparar diagramas de puntos. Presente las siguientes preguntas para que sus estudiantes comenten mientras hacen la comparación:

Nota para la enseñanza

• ¿Qué unidades de medida se usan en los dos diagramas de puntos? ¿De qué manera los rótulos usados para las escalas les ayudan a identificar las unidades de medida?

Al agrupar estudiantes para comparar diagramas de puntos, considere lo siguiente:

• ¿Qué unidades fraccionarias están representadas en los dos diagramas de puntos? ¿Son iguales o diferentes? ¿Por qué?

• Se pueden formar grupos de parejas de estudiantes que tengan los mismos datos.

• ¿Cuáles son los títulos de los diagramas de puntos? ¿Qué información acerca de los datos les dan los títulos? • ¿Qué observan acerca de los datos? ¿Cuál es la medida más grande? ¿Y la más pequeña? ¿Y la más frecuente? Una vez que los grupos hayan tenido la oportunidad de comparar los diagramas de puntos, pídales que respondan la pregunta que escribió la otra pareja acerca de su diagrama de puntos. Luego, pídales que comenten si la pregunta se responde de manera más eficiente usando la tabla o el diagrama de puntos.

• Se pueden formar grupos de parejas de estudiantes que tengan la misma unidad fraccionaria en sus datos. • Se pueden formar grupos de parejas de estudiantes que tengan datos no relacionados y con diferentes unidades fraccionarias.

523

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

Concluir

EUREKA MATH2

Reflexión final 5 min Objetivo: Representar datos en un diagrama de puntos Reúna a la clase, pídales que tengan a mano su Grupo de problemas y use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca del uso de los diagramas de puntos a fin de representar datos de mediciones. ¿Por qué un diagrama de puntos es una manera útil de representar los datos de mediciones? Los diagramas de puntos nos pueden ayudar a ver los datos de manera más rápida. Los diagramas de puntos nos pueden ayudar a responder preguntas sobre los datos de manera eficiente. Por ejemplo, cuando necesitamos hallar la medición más frecuente, podemos observarlo más fácilmente en un diagrama de puntos. ¿Qué preguntas en el problema 1 del Grupo de problemas requieren el uso de la tabla? Usé la tabla para responder las partes (b), (c), (f) y (h) porque todas eran sobre recetas específicas. Necesité la tabla para saber qué receta mirar. ¿Cómo determinamos cuándo usar los datos de una tabla o de un diagrama de puntos para responder de manera más eficiente preguntas sobre los datos de mediciones? Debemos pensar acerca de lo que nos están preguntando. Cuando nos preguntan sobre la medida más frecuente, podemos usar el diagrama de puntos para hallar esa información de manera eficiente. También podemos usar el diagrama de puntos para hallar información acerca de las medidas más pequeñas y más grandes de manera eficiente. Podemos usar el diagrama de puntos para responder de manera eficiente las preguntas acerca de cuántas veces aparece cierta medida. Usamos la tabla cuando la pregunta es sobre algo que no podemos hallar en el diagrama de puntos. En la parte (b), necesitamos la tabla porque el diagrama de puntos no muestra qué medida corresponde a cada receta.

524

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

Ejemplos de soluciones Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

Taza A (de) taza(s)

2 1_ 4

3 2 1

Taza C

1 1_ 4

(de) taza(s)

3_ 4

3 2 1

Taza E

Taza F

(de) taza(s)

1 3_ 4

(de) taza(s)

Taza I (de) taza(s)

Taza H (de) taza(s) 3 2 1

2 1_ 4

Taza J (de) taza(s)

537

1 2

Piña B

libras

2 1_ 8

libras

(de) taza(s) 3 2 1

1_ 4

0 5 lb

Piña A

1 6_

EUREKA MATH2

0 5 lb

4 3

1 2

Piña C

2 3_ 8

libras

0 5 lb

4 3

1 2

Piña D

1 7_ 8

libras

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos

Taza G

0 5 lb

(de) taza(s)

3 2 1

1 3_

Taza D

This page may be reproduced for classroom use only.

(de) taza(s)

Peso de las piñas Registra cada peso al octavo de libra más cercano.

3 2 1

2 3_

Taza B

EUREKA MATH2

1 3_

3 2 1

This page may be reproduced for classroom use only.

3 2 1

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos

536

Tazas de agua Registra cada volumen líquido al cuarto de taza más cercano.

525

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

1 2

Piña E

0 5 lb

2 1_ 8

Peso de las piñas Registra cada peso al octavo de libra más cercano.

1 2

0 5 lb

4 3

Piña F

libras

1 2

Piña H

1 5_ 8

libras

EUREKA MATH2

Piña G

2 5_

0 5 lb

539

526

libras

0 5 lb

4 3

1 2

Piña J

2 1_ 8

libras

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos

This page may be reproduced for classroom use only.

0 5 lb

Piña I

1 7_

EUREKA MATH2

0 5 lb

This page may be reproduced for classroom use only.

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos

538

Peso de las piñas Registra cada peso al octavo de libra más cercano.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

Ancho de las huellas de pumas Mide el ancho de cada huella al cuarto de pulgada más cercano.

EUREKA MATH2

This page may be reproduced for classroom use only.

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos

540

Ancho de las huellas de pumas Mide el ancho de cada huella al cuarto de pulgada más cercano.

Huella A

2 2_ 4

pulgadas

Huella C

2 3_ 4

541

Huella D

pulgadas

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos

pulgadas

This page may be reproduced for classroom use only.

EUREKA MATH2

Huella B

3 3_

pulgadas

527

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

Ancho de las huellas de pumas Mide el ancho de cada huella al cuarto de pulgada más cercano.

EUREKA MATH2

This page may be reproduced for classroom use only.

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos

542

Ancho de las huellas de pumas Mide el ancho de cada huella al cuarto de pulgada más cercano.

Huella E

3 1_ 4

pulgadas

Huella G

2 3_ 4

543

528

Huella H

3 1_ 4

pulgadas

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos

pulgadas

This page may be reproduced for classroom use only.

EUREKA MATH2

Huella F

4 1_

pulgadas

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

Longitud de los lápices Mide la longitud al octavo de pulgada más cercano.

EUREKA MATH2

This page may be reproduced for classroom use only.

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos

544

Ancho de las huellas de pumas Mide el ancho de cada huella al cuarto de pulgada más cercano.

Lápiz A

4 7_ 8

pulgadas

Lápiz B

6 5_ 8

pulgadas

Huella I

4 1_ 4

pulgadas Lápiz C

5 3_ 8

545

Lápiz D

pulgadas

Lápiz E

5 7_ 8

pulgadas

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos

pulgadas

This page may be reproduced for classroom use only.

EUREKA MATH2

Huella J

3 1_

pulgadas

529

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

pulgadas

Longitud de los lápices Mide la longitud al octavo de pulgada más cercano.

5 7_ 8

EUREKA MATH2

This page may be reproduced for classroom use only.

Lápiz F

6 1_

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos

546

Longitud de los lápices Mide la longitud al octavo de pulgada más cercano.

Lápiz J pulgadas

Lápiz G

5 1_ 8

pulgadas

Lápiz I pulgadas

547

530

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos

EUREKA MATH2

4 5_

pulgadas

This page may be reproduced for classroom use only.

Lápiz H

5 5_

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ Práctica veloz ▸ Sumar y restar fracciones con unidades semejantes

Número de respuestas correctas:

Suma o resta. Escribe la suma o la diferencia en forma fraccionaria.

_ _

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ Práctica veloz ▸ Sumar y restar fracciones con unidades semejantes

Número de respuestas correctas: Progreso:

Suma o resta. Escribe la suma o la diferencia en forma fraccionaria.

_ _

1 1 + = 4 4

2 4

23.

1 7 + = 8 8

8 8

1 1 + = 4 4

2 4

23.

7 1 + = 8 8

8 8

1 2 + = 4 4

3 4

24.

3 6 + = 8 8

9 8

2 1 + = 4 4

3 4

24.

6 3 + = 8 8

9 8

2 1 − = 4 4

1 4

25.

8 3 − = 8 8

5 8

2 1 − = 4 4

1 4

25.

8 5 − = 8 8

3 8

3 1 − = 4 4

2 4

26.

7 8

3 2 − = 4 4

1 4

26.

1 1 + = 5 5

2 5

1 1 + = 5 5

2 5

27.

__9 + __1 = 10

1 3 + = 5 5

4 5

3 1 + = 5 5

4 5

28.

__6 + __6 =

10 10

12 10

3 1 − = 5 5

3 2 − = 5 5

1 5

29.

8 10 − = 10 10

4 2 − = 5 5

2 5

30.

13 − 7 = 10 10

2 1 + = 6 6

3 6

31.

11 + 1 = 12 12

10.

3 2 + = 6 6

5 6

32.

__9 + __5 =

12 12

14 12

11.

4 2 − = 6 6

2 6

33.

8 12 − = 12 12

12.

5 4 − = 6 6

1 6

34.

9 17 − = 12 12

13.

3 1 + = 4 4

4 4

35.

1 1 + = 3 3

5 4

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _

27.

_ _

__ _

10 3 − = 8 8

__1 + __9 = 10

_ _ _ __

10 10

12 10

_ _

_ _ _ _

_ _ _ _ _

_ _

__ _

10 7 − = 8 8

28.

2 5

29.

10 − 2 = 10 10

4 2 − = 5 5

2 5

30.

13 6 − = 10 10

1 2 + = 6 6

3 6

31.

__1 + 11 __ = 12

10.

2 3 + = 6 6

5 6

32.

__5 + __9 =

12 12

14 12

11.

4 2 − = 6 6

2 6

33.

12 − 4 = 12 12

12.

5 3 − = 6 6

2 6

34.

8 17 − = 12 12

13.

1 3 + = 4 4

4 4

35.

1 1 + = 3 3

14.

2 3 + = 4 4

5 4

36.

3 1 − = 3 3

14.

3 2 + = 4 4

36.

3 2 − = 3 3

15.

4 2 − = 4 4

2 4

37.

6 6 + = 6 6

12 6

15.

4 2 − = 4 4

2 4

37.

6 6 + = 6 6

16.

5 2 − = 4 4

3 4

38.

15 7 − = 6 6

8 6

16.

5 3 − = 4 4

2 4

38.

17.

1 4 + = 5 5

5 5

39.

16 8

17.

4 1 + = 5 5

5 5

39.

18.

3 4 + = 5 5

7 5

17 8 − = 8 8

9 8

18.

4 3 + = 5 5

7 5

19.

5 2 − = 5 5

3 5

41.

11 23 + = 10 10

34 10

19.

5 3 − = 5 5

2 5

20.

8 4 − = 5 5

4 5

42.

37 15 − = 10 10

20.

8 4 − = 5 5

4 5

21.

1 5 + = 6 6

6 6

43.

14 38 + = 12 12

21.

5 1 + = 6 6

6 6

22.

4 5 + = 6 6

9 6

44.

55 26 − = 12 12

22.

5 4 + = 6 6

9 6

_ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _

_ _ _ _

252

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

40.

__ __

__ __ _ _ _ _ _ _

__ _

_8 + 8_ = 8

__ _

__ __ __ __

_ _

__6 + __6 =

_ _

__8 __7 __ __ __8 __9 _ 2 3

_ 2 3

__ _

__ 22 __

__ 52 12

29 __ 12

254

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _

_ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

40.

__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ _ _

_ _

__ _

15 8 − = 6 6

_ _

_ _ _ 3 8

__ __ __2 __6 10

__ __ __4 __8 12

_ 2 3

_ 1 3

12 __ 6

_ 7 6

8 8 + = 8 8

16 8

17 9 − = 8 8

8 8

__ _

__ __

41.

23 11 + = 10 10

34 10

42.

37 16 − = 10 10

21 10

43.

38 14 + = 12 12

52 12

44.

55 29 − = 12 12

26 12

__ __ __ __ __ __

531

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

Usa >, = o < para comparar la cantidad de harina en las recetas G y H.

1 _2 < 2 2_ 4

1. El Sr. López está buscando recetas de muffins de arándanos. Halla 10 recetas diferentes. El Sr. López enumera en la tabla la cantidad de harina que necesita para cada receta. a. Usa los datos de la tabla para hacer un diagrama de puntos. Título:

Cantidad de harina en las recetas de muffins de arándanos

× 0

Cantidad de harina (tazas)

b. ¿Qué receta necesita la menor cantidad de harina? La receta D

c. ¿Qué recetas necesitan 1 _2 tazas de harina? Las recetas B, E y G

d. ¿Cuántas recetas necesitan al menos 1 _3 tazas de harina?

6 recetas

Receta de muffins de arándanos

Cantidad de harina (tazas)

1 3_

1 2_

1 3_

1 2_

2 2_

1 3_

g. ¿Cuál es la cantidad de harina más frecuente en una receta? ¿Cómo lo sabes?

La cantidad de harina más frecuente en una receta es 1 _3 tazas. Lo sé porque tiene la mayor 4 cantidad de X en el diagrama de puntos.

4 4 4

h. El Sr. López quiere hornear 2 tandas de muffins de arándanos usando la receta C. ¿Cuántas tazas de harina necesita? 3 2_ tazas 4

13 de taza de harina. ¿En qué parte del diagrama El Sr. López halla que la receta K necesita __ 8

de puntos debe marcar la cantidad de harina para la receta K? ¿Por qué?

El Sr. López debe marcar la cantidad de harina para la receta K entre 1 _2 tazas y 1 _3 tazas.

5 13 = 1 _ Sé que __ . Sé que 1 _5 está entre 1 _2 y 1 _3. 8

4 4

e. ¿Cuál es la diferencia, en tazas, entre la mayor y la menor cantidad de harina?

El Sr. López tiene 7 tazas de harina. Quiere hornear 3 tandas de muffins de arándanos usando la receta que necesita la mayor cantidad de harina. ¿Tiene suficiente harina para hornear 3 tandas? 4

Sé que 2 _2 + 2 _2 + 2 _2 = 7 _2. El Sr. López necesitaría más de 7 tazas de harina para hacer 4

3 tandas de la receta H.

532

No, no tiene suficiente harina. La receta H necesita la mayor cantidad de harina, 2 _2 tazas.

1 2_ tazas

259

260

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

b. Usa >, = o < para comparar la menor y la mayor profundidad de la nieve.

2. 10 estudiantes miden la profundidad de la nieve en diferentes ubicaciones alrededor de la escuela. Enumeran los datos en una tabla.

2 6_ < 4 3_ 8

a. Usa los datos de la tabla para crear un diagrama de puntos.

Estudiante

Profundidad de la nieve (pulgadas)

Zara

3 6_

Shen

3 5_

Casey

Ray

4 3_

James

2 6_

Luke

4 3_

Robin

3 6_

Amy

3 3_

Carla

2 7_

Eva

4 _3 8

2 estudiantes

d. ¿Cuál es la diferencia entre la medida más grande y la más pequeña?

1 5_ pulgadas 8

8 8 8

e. La medida de la profundidad de la nieve que realizó la maestra Wong es el doble de la medida de Carla. Estima la medida de la profundidad de la nieve que realizó la maestra Wong. Muestra tu trabajo.

La medida de la profundidad de la nieve que realizó la maestra Wong es aproximadamente 6 pulgadas. Carla mide 2 _7 pulgadas, que está cerca de 3 pulgadas. 2 × 3 = 6.

× × 2

c. ¿Cuánto más es el número de estudiantes que midió la cantidad mayor de nieve que el número de estudiantes que midió la cantidad menor de nieve?

Profundidad de la nieve medida por cada estudiante

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

× × ×

¿Cuál es la medida de la profundidad de la nieve que realizó la maestra Wong?

5 6_ pulgadas 8

× × × 5

Profundidad de la nieve (pulgadas)

GRUPO DE PROBLEMAS

261

262

GRUPO DE PROBLEMAS

533

534

Semana 4

Semana 3

This page may be reproduced for classroom use only.

1 4_  horas

2 _4  horas

Semana 10

Semana 9

3_   de hora 4

Semana 8

2 _4  horas

Semana 6

1 _4 horas

Semana 7

3 horas

Semana 5

1 _4  horas

2 1_4 horas

2 42_ horas

1 4_  horas

Semana 2

Semana 1

Tiempo que Iván pasó leyendo

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos EUREKA MATH2

Murciélago 6

Murciélago 10 3

9 _8  pulgadas

10 pulgadas

Murciélago 9

10 _8 pulgadas

Murciélago 8

9 _8  pulgadas

10 _8 pulgadas

Murciélago 7

8 _8 pulgadas

Murciélago 5

9 _8  pulgadas

Murciélago 4

8 _8  pulgadas

Murciélago 2

10 _8 pulgadas

Murciélago 3

9 _8 pulgadas

Murciélago 1

Longitud de las alas de los murciélagos

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos

This page may be reproduced for classroom use only.

535

536 This page may be reproduced for classroom use only.

(de) taza(s)

Taza I

3 2 1

(de) taza(s)

Taza G

3 2 1

(de) taza(s)

Taza J

3 2 1

(de) taza(s)

Taza H

3 2 1

(de) taza(s)

Taza F

Taza E

(de) taza(s)

3 2 1

(de) taza(s)

Taza D

3 2 1

(de) taza(s)

Taza C

3 2 1

(de) taza(s)

Taza B

Taza A (de) taza(s)

3 2 1

Registra cada volumen líquido al cuarto de taza más cercano.

Tazas de agua

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos EUREKA MATH2

4 2

0 5 lb 2

libras

Piña C

libras

Piña A

0 5 lb

0 5 lb 2

libras

Piña D

libras

Piña B

0 5 lb

Registra cada peso al octavo de libra más cercano.

Peso de las piñas

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos

This page may be reproduced for classroom use only.

537

538 This page may be reproduced for classroom use only. 4

4 2

0 5 lb 2

libras

Piña G

libras

Piña E

0 5 lb

0 5 lb 2

libras

Piña H

libras

Piña F

0 5 lb

Registra cada peso al octavo de libra más cercano.

Peso de las piñas

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos EUREKA MATH2

libras

Piña J Piña I

2 3 4

libras

0 5 lb 1 0 5 lb

Registra cada peso al octavo de libra más cercano.

Peso de las piñas

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos

This page may be reproduced for classroom use only.

539

This page may be reproduced for classroom use only.

pulgadas

Huella A

Mide el ancho de cada huella al cuarto de pulgada más cercano.

Ancho de las huellas de pumas 540

Huella B

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos

pulgadas

Huella D

pulgadas

Huella C

Mide el ancho de cada huella al cuarto de pulgada más cercano.

Ancho de las huellas de pumas

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos

This page may be reproduced for classroom use only.

541

This page may be reproduced for classroom use only.

pulgadas

Huella E

Mide el ancho de cada huella al cuarto de pulgada más cercano.

Ancho de las huellas de pumas 542

Huella F

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos

pulgadas

Huella H

pulgadas

Huella G

Mide el ancho de cada huella al cuarto de pulgada más cercano.

Ancho de las huellas de pumas

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos

This page may be reproduced for classroom use only.

543

This page may be reproduced for classroom use only.

pulgadas

Huella I

Mide el ancho de cada huella al cuarto de pulgada más cercano.

Ancho de las huellas de pumas 544

Huella J

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos

This page may be reproduced for classroom use only.

pulgadas

Lápiz E

pulgadas

Lápiz D

pulgadas

Lápiz C

pulgadas

Lápiz B

pulgadas

Lápiz A

Mide la longitud al octavo de pulgada más cercano.

Longitud de los lápices

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos

545

546 This page may be reproduced for classroom use only.

pulgadas

Lápiz I

pulgadas

Lápiz H

pulgadas

Lápiz G

pulgadas

Lápiz F

Mide la longitud al octavo de pulgada más cercano.

Longitud de los lápices

4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos EUREKA MATH2

pulgadas

Lápiz J

Mide la longitud al octavo de pulgada más cercano.

Longitud de los lápices

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 ▸ Tarjetas de datos

This page may be reproduced for classroom use only.

547

Tema F Suma repetida de fracciones como multiplicación En el tema F, la clase multiplica fracciones y números mixtos por un número entero. Sus estudiantes usan lo que saben sobre la descomposición de fracciones no unitarias en una suma de fracciones unitarias y la relación entre la suma repetida y la multiplicación para descomponer una fracción no unitaria en un producto de un número entero y una fracción unitaria (p. ej., __65   = __61   + __61   + __61   + __61   + __61   = 5 × __61  ). Usan un diagrama de cinta y una recta numérica para

representar la descomposición.

Luego, sus estudiantes usan la propiedad asociativa para multiplicar una fracción no unitaria por un número entero. Por ejemplo, usan la forma unitaria para pensar en la expresión 2 × __4   como 3

2 × 3 cuartos = (2 × 3) cuartos. También descomponen fracciones no unitarias en un producto de un

número entero y una fracción unitaria, reconociendo que la fracción no unitaria es un múltiplo de una fracción unitaria. Este proceso les permite escribir expresiones de tres factores y aplicar

  , reescriben la multiplicación como la propiedad asociativa. Por ejemplo, para hallar 3 × __ 2 8

3×( 2 × __81  ). Luego, aplican la propiedad asociativa a fin de agrupar los factores que son números

enteros para escribir la multiplicación como (3 × 2) × __81   . A través de su trabajo con la forma unitaria y la propiedad asociativa, reconocen que pueden expresar el producto de una fracción y un número

5  ). Luego, resuelven problemas verbales que involucran entero como una fracción (p. ej., 3 × __54   = _____ 3×4

la multiplicación de una fracción por un número entero. También usan el contexto de un problema para decidir cuándo expresar un producto que es una fracción mayor que 1 como un número mixto. Por último, sus estudiantes hallan el producto de un número mixto y un número entero. El análisis de las semejanzas entre diferentes métodos de multiplicación muestra que la propiedad distributiva se puede aplicar para multiplicar un número mixto por un número entero. Sus estudiantes descomponen el número mixto en un número entero y una fracción. Luego, multiplican esas partes por el número entero para hallar los productos parciales. Suman los productos parciales para hallar el producto. En el módulo 5, la clase amplía la comprensión fraccionaria a las unidades de valor posicional de los décimos y los centésimos. © Great Minds PBC

549

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF

Progresión de las lecciones Lección 31

Lección 32

Lección 33

Descomponer fracciones no unitarias en un producto de un número entero y una fracción unitaria

Multiplicar una fracción por un número entero usando la propiedad asociativa

Resolver problemas verbales que involucran la multiplicación de una fracción por un número entero

7 =7× 1 8 8

En lugar de descomponer una fracción en una suma de fracciones unitarias, puedo usar lo que sé sobre la multiplicación para descomponer una fracción en un producto de un número entero y una fracción unitaria. Esto me ayuda a entender una fracción no unitaria como un múltiplo de una fracción unitaria.

550

Puedo descomponer una fracción no unitaria en un producto de un número entero y una fracción unitaria. Luego, puedo usar la propiedad asociativa para agrupar el factor que es un número entero. Puedo multiplicar los números enteros y, luego, la fracción unitaria. La unidad fraccionaria sigue siendo la misma cuando multiplico una fracción por un número entero.

Puedo hallar el producto de un número entero y una fracción para resolver un problema verbal. Represento el problema con un diagrama de cinta y elijo un método para hallar el producto. Uso el contexto del problema como ayuda para decidir cuándo expresar una fracción mayor que 1 como un número mixto.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF

Lección 34 Multiplicar un número mixto por un número entero usando la propiedad distributiva

× ×

Así como puedo usar la propiedad distributiva para multiplicar números enteros, también puedo usarla para multiplicar un número mixto por un número entero. Hallo los productos parciales multiplicando los números enteros y multiplicando la parte fraccionaria del número mixto por el número entero. Luego, sumo los productos parciales para hallar el producto.

551

LECCIÓN 31

Descomponer fracciones no unitarias en un producto de un número entero y una fracción unitaria

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 31

Nombre

Fecha

Completa la ecuación para expresar cada fracción como un número entero por una fracción unitaria. 1.

_3 = 8

× ____ 8

_6 = 6

× _____ 6

_7 = 4

× _____ 4

Vistazo a la lección La clase descompone fracciones no unitarias en un producto de un número entero y una fracción unitaria. Describen una fracción como un múltiplo de una fracción unitaria.

Pregunta clave • ¿Por qué descomponer una fracción en el producto de un número entero y una fracción unitaria les ayuda a comprender mejor una fracción?

Criterio de logro académico 4.Mód4.CLA8 Representan fracciones como múltiplos de fracciones unitarias

con el mismo denominador. (4.NF.B.4.a)

271

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 31

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Representar la descomposición de fracciones

Estudiantes • ninguno

• Fracciones iguales a o mayores que 1 • Fracciones como un múltiplo • Grupo de problemas

Concluir 10 min

553

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 31

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Convertir unidades de volumen líquido La clase convierte galones a cuartos de galón, cuartos de galón a pintas o pintas a tazas para adquirir fluidez con la expresión de unidades de medida más grandes en términos de unidades de medida más pequeñas, aprendida en el módulo 3. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la tabla. Escriban el número de cuartos de galón igual a 1 galón.

Galones

Cuartos de galón

Muestre la respuesta.

Continúe con 2 galones y 43 galones. Muestre los números de galones y cuartos de galón uno a la vez.

172

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Nota para la enseñanza

554

Cuartos de galón

Pintas

Tazas

112

105

210

La última fila de cada tabla incorpora un número más grande para brindar a sus estudiantes la oportunidad de adquirir fluidez con la multiplicación dentro del contexto de medidas.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 31

Intercambio con la pizarra blanca: Relacionar la suma repetida con la multiplicación La clase escribe ecuaciones con números enteros a fin de representar un diagrama de cinta como preparación para multiplicar números enteros y fracciones. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre el diagrama de cinta que representa 2 unidades de 3.

Escriban una ecuación de suma para representar el diagrama de cinta.

Nota para la enseñanza

Muestre la ecuación de suma de ejemplo.

Aunque no es incorrecto que sus estudiantes registren la ecuación de multiplicación como 3 × 2 = 6, en esta actividad es preferible que piensen en el primer factor como el número de grupos y en el segundo factor como el tamaño del grupo (es decir, 2 grupos de 3). Esta forma de razonamiento ayudará a sus estudiantes en los tres casos siguientes de esta actividad, en los que el tamaño del grupo es una fracción en lugar de un número entero.

3+3=6 2×3=6

Escriban una ecuación de multiplicación para representar el diagrama de cinta. Muestre la ecuación de multiplicación de ejemplo. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

? 3

3 3+3+3=9 3×3=9

? 3

5 5 + 5 + 5 = 15 3 × 5 = 15

? 5

? 9

9 + 9 + 9 + 9 = 36 4 × 9 = 36

7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35 5 × 7 = 35

555

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 31

Presentar

La clase escribe una ecuación para representar una situación que involucra fracciones. Muestre la imagen de 7 pintas de leche en un cajón. Presente el siguiente problema y siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática. Una cafetería tiene 7 pintas de leche en un cajón. Cada pinta es

_1  de galón. 8

¿Qué cantidad de galones hay en el cajón? Dé 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio y escriba una ecuación que represente la cantidad total de leche que hay en el cajón. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron. Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las ecuaciones. Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y, luego, registre las respuestas. A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que muestre la descomposición de la fracción en una suma de fracciones unitarias y la descomposición de la fracción en un producto.

Vi 7 pintas de leche. El problema decía que cada pinta es _1   de galón, entonces escribí una ecuación 8

para sumar _1   , 7 veces. Entonces, _1   + _1  + _1   + _1   + _1   + _1   + _1   = _7   . Hay _7   de galón de leche en el cajón. 8

Como cada pinta es _1   de galón, sé que hay _4   de galón de leche en la fila de arriba y 8

_3  de galón de leche en la fila de abajo. Entonces, _4   + _3   = _7   . Hay _7   de galón de leche en el cajón. 8

Hay 7 pintas de _1   de galón. Todas las pintas tienen la misma cantidad de leche, entonces escribí 8

la ecuación 7 × _1   = _7   . El cajón tiene _7   de galón de leche. 8

556

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 31 Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anímeles a hacer sus propias preguntas. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos modelos para representar una descomposición de fracciones y expresar la descomposición como un producto.

Aprender

Representar la descomposición de fracciones La clase dibuja un diagrama de cinta y una recta numérica para representar la descomposición de fracciones expresada en una ecuación de multiplicación.

DUA: Representación

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros.

_ 7 8

_ 1 8

1. = 7 ×

7 octavos = 7 × 1 octavo a. Dibuja un diagrama de cinta para representar la descomposición de fracciones.

Considere mostrar un vínculo numérico para representar las ecuaciones de multiplicación. Rotule 7 octavos como el total en forma unitaria. Pregunte a sus estudiantes cuántos octavos forman 7 octavos.

7 8 1 8

1 8

557

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 31 b. Dibuja una recta numérica para representar la descomposición de fracciones.

c. _7   es el 8

Considere mostrar un diagrama de cinta y una

7 8

recta numérica que tengan 1 como el entero 7 y     como una parte. Invite a sus estudiantes a 8 conversar sobre las semejanzas y diferencias.

múltiplo de _1 .

séptimo

DUA: Representación

Demuestre cómo dibujar el diagrama de cinta y la recta numérica para completar las partes (a) y (b), mientras sus estudiantes hacen lo mismo. ¿Cómo se representa el número entero 7 y la fracción unitaria _1   en el diagrama de cinta? 8

Hay 7 partes y cada una tiene un valor de _1   . 8

¿Cómo se representa el número entero 7 y la fracción unitaria _1   en la recta numérica? 8

Hay 7 unidades y cada una tiene una longitud de _1   . 8

Después del 0 hay 7 marcas de graduación, y la longitud entre las marcas es _1   . 8

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar las semejanzas y diferencias entre el diagrama de cinta y la recta numérica. Tanto el diagrama de cinta como la recta numérica muestran 7 partes de _1   y _7   como el total. 8

Tanto el diagrama de cinta como la recta numérica muestran _7  como el total, pero en la recta 8

numérica hay un 0.

La recta numérica muestra _7  como la distancia desde 0, y el diagrama de cinta muestra 7 grupos iguales de _1  rotulados.

La recta numérica es parecida al diagrama de cinta porque descompone _7   en 7 partes iguales. 8

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Pida a sus estudiantes que cuenten a coro cada parte del diagrama de cinta.

_______ 1 2 3 4 5 6 7 , , , , , , 8 8 8 8 8 8 8

558

Considere ver con anticipación el término múltiplo con números enteros. Pida a sus estudiantes que enumeren los primeros cinco múltiplos de 10. Luego, pídales que expliquen cómo saben que 60 es el sexto múltiplo de 10.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 31 ¿Cuántas veces contamos de _1   en _1 ? 8

7 veces

Entonces, podemos decir que _7  es un múltiplo de _   . ¿Qué múltiplo es? El séptimo múltiplo

1 8

Pida a sus estudiantes que completen la parte (c). Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Pídales que trabajen en parejas para dibujar un diagrama de cinta y una recta numérica a fin de representar la ecuación y completar el enunciado.

__9 = 9 × __   1

a. Dibuja un diagrama de cinta para representar la descomposición de fracciones.

9 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 12 12 12 12 12 12 12 12

Diferenciación: Apoyo Considere proveer soportes para el uso del término múltiplo en la descripción de fracciones invitando a sus estudiantes a usarlo para describir números enteros. Pida a sus estudiantes que cuenten salteado de 10 en 10 nueve veces, que registren el conteo y que, luego, describan 90 usando el siguiente esquema de oración:

90 es el

múltiplo de

b. Dibuja una recta numérica para representar la descomposición de fracciones.

9 12

0 c. __     es el 9 12

noveno

múltiplo de

__   1   12

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de en qué se parece o en qué se diferencia representar una fracción como una suma de fracciones unitarias a representar una fracción como un producto.

559

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 31

Fracciones iguales a o mayores que 1 La clase expresa una fracción mayor que o igual a 1 como un producto de un número entero y una fracción unitaria. Muestre la imagen de 8 pintas de leche.

Considere pedir a sus estudiantes que hagan una lista de ecuaciones con una fracción unitaria como un factor y 1 como el producto. Las siguientes son ecuaciones de ejemplo:

Se agregó 1 pinta de leche más al cajón. ¿En qué se diferencia la ecuación de multiplicación que representa la cantidad total de leche de cuando había 7 pintas?

__ 2 __ 1 = 3 ×  1  3 __ 1 = 4 ×  1  1 = 2 ×  1 

Hay 1 pinta más, entonces el factor que es un número entero sería

8 en lugar de 7. _1   se mantendría igual porque cada pinta sigue siendo

_1   de un galón.

8 El producto sería _8  o 1. La ecuación puede ser _  = 8 × _1   o 1 = 8 × _1   . 8

Diferenciación: Desafío

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo cambiaría esto la representación en sus modelos para el problema 1. Tendríamos que sumar otro grupo de _1   a nuestro diagrama de cinta. 8

Nuestra recta numérica tendría que ser 1 unidad más larga para mostrar __1   adicional. 8

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Pídales que trabajen en parejas para dibujar un diagrama de cinta y una recta numérica a fin de representar la ecuación y completar el enunciado.

12 = 12 ×   1 10 10

a. Dibuja un diagrama de cinta para representar la descomposición de fracciones.

12 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

560

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 31 b. Dibuja una recta numérica para representar la descomposición de fracciones.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

12 10

__   1  

12 c. __   es el duodécimo múltiplo de

Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando dibuja un diagrama de cinta y una recta numérica para representar una descomposición de fracciones.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué ecuación expresa __ 10  como 8 1 _ el décimo múltiplo de   . 8

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:

Fracciones como un múltiplo

• ¿Cómo puede ayudarles lo que saben sobre los múltiplos a dibujar un diagrama de cinta y una recta numérica para representar la descomposición de fracciones?

La clase expresa una fracción como un múltiplo de una fracción unitaria.

• ¿Cómo pueden usar lo que tienen en

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo 15 descomponer __  como un producto de un número entero y una fracción unitaria y, luego, registrar 10 la ecuación. Sé que será 15 × __   1   porque hay 15 unidades de décimos.

común el diagrama de cinta y la recta numérica como ayuda para representar la

1 descomposición   12  = 12 ×    ? 10 10

15 Como una suma de fracciones unitarias, __   es __   1   sumado 15 veces. Entonces, es 15 × __   1   . 10

a Presente el siguiente enunciado: _   = a × _1  , entonces __ a  es el aésimo múltiplo de _1   . Use la rutina b

Siempre, a veces, nunca para que la clase participe en la construcción de significado y comente sus ideas. Dé 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio y evalúe si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca. Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento.

561

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 31 Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo. Anímeles a proporcionar ejemplos y ejemplos erróneos para apoyar su afirmación. Para concluir, llegue al consenso de que el enunciado es siempre verdadero porque se pueden hallar 15 múltiplos contando salteado. Por ejemplo, si contamos de __  1   en __   1 quince veces, llegamos a __   . 10

15 También se pueden hallar los múltiplos multiplicando. Por ejemplo, __   es la misma cantidad

que 15 × __   1   . 10

Si hay tiempo suficiente, invite a sus estudiantes a escribir una ecuación para expresar la descomposición de otras fracciones en un producto de un número entero y una fracción unitaria.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Descomponer fracciones no unitarias en un producto de un número entero y una fracción unitaria Use los siguientes planteamientos para guiar una conversación acerca de la descomposición de una fracción en un producto de una fracción unitaria. Muestre la imagen de las pintas de leche de la sección Presentar. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir

para analizar cómo descomponer la cantidad total de leche, _7   de galón, 8

en el producto de un número entero y una fracción unitaria.

562

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 31

7 = 7 × 1 8 8

Podemos multiplicar 7 por la unidad fraccionaria de _1  . 8

Hay _7   de galón. Hay 7 pintas y cada una es _1   de galón. Entonces, eso es 7 × _1   . 8

¿Por qué descomponer una fracción en el producto de un número entero y una fracción unitaria les ayuda a comprender mejor una fracción? En el producto, puedo ver rápidamente cuántas veces se repite la fracción unitaria porque el número entero me lo indica. Puedo descomponer una fracción mayor que 1 en 2 factores y ver rápidamente el producto equivalente a 1 y el resto de las unidades.

563

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 31

Nombre

Fecha

Completa cada ecuación y enunciado. Luego, representa la ecuación con una recta numérica. 4.

Completa la ecuación y el enunciado. Luego, representa la ecuación con un diagrama de cinta. El primer diagrama de cinta ya está hecho como ejemplo. 1.

2_ 1_ 1_ = + 3 3 3

_2 = 3

× _____ 3

_2 es el segundo múltiplo de 3

_3 es el

_1 3

1 3

_4 es el 3

_4 es el

múltiplo de

_1 4

1= 4

1 3

× _____ 4

cuarto

múltiplo de

_1 4

1 3

6_ 1_ 1_ 1_ 1_ 1_ 1_ = + + + + + 4 4 4 4 4 4 4

_6 = 4

× _____ cuarto

_4 = 1_ + 1_ + 1_ + 1_ 4 4 4 4 4 _4 = 4

1 3

_4 = 1_ + 1_ + 1_ + 1_ 3 3 3 3 3 _4 = 3

564

múltiplo de

3 4

× _____ tercer

1 3

3 1_ 1_ 1_ = + + 2. _ 3 3 3 3

× ____

_3 = 3

_3 es el tercer múltiplo de

1 3

_3 = 1_ + 1_ + 1_ 4 4 4 4 3_ = 4

2 3 1

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 31

1 3

_6 es el 4

1 3

267

268

× _____ 4

sexto

múltiplo de

GRUPO DE PROBLEMAS

_1 4

6 4

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 31

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 31

Escribe una ecuación para expresar cada fracción como un número entero por una fracción unitaria. 7.

7 __

1 7 __ = 7 × __ 12

9 __ 10

1 9 __ = 9 × __ 10

2 9. _ 2

8 10. _ 8 1 8_ = 8 × _8 8

7 11. _ 5

10 12. __ 6

_2 = 2 × 1_ 2 2

7_ = 7 × 1_ 5 5

10 = 10 × 1_ __ 6 6

GRUPO DE PROBLEMAS

269

565

LECCIÓN 32

Multiplicar una fracción por un número entero usando la propiedad asociativa

EUREKA MATH2

Nombre

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 32

Fecha

Elige un método y halla el producto. 3 1. 4 × __ 10

Ejemplo: 4 × 3 12 3 __ 4 × __ = ____ = 10 10 10

Vistazo a la lección La clase multiplica una fracción por un número entero usando la propiedad asociativa. Descomponen la fracción en un número entero por una fracción unitaria y, luego, aplican la propiedad asociativa. También expresan la multiplicación de una fracción por un número entero como una fracción con una expresión de multiplicación como el numerador.

Preguntas clave • ¿Qué sucede con las unidades fraccionarias cuando multiplicamos una fracción por un número entero? ¿Por qué? • ¿Cómo usan la propiedad asociativa para multiplicar una fracción por un número entero?

6 2. 5 × _ 8 Ejemplo: 6 5 × 6 30 5 × _8 = ____ = __ 8 8

Criterio de logro académico 4.Mód4.CLA9 Multiplican una fracción por un número entero. (4.NF.B.4.b)

277

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 32

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Multiplicación en forma unitaria

Estudiantes • ninguno

• La forma fraccionaria y la propiedad asociativa • Expresar un producto como una fracción • Grupo de problemas

Concluir 10 min

567

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 32

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Convertir unidades de tiempo La clase convierte horas a minutos o minutos a segundos para adquirir fluidez con la expresión de unidades de medida más grandes en términos de unidades de medida más pequeñas, aprendida en el módulo 3. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la tabla. Escriban el número de minutos igual a 1 hora. Muestre la respuesta. Continúe con 2 horas, 13 horas y 27 horas. Muestre los números de horas y minutos uno a la vez. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

568

Minutos

Segundos

180

840

2,520

Horas

Minutos

120

780

1,620

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 32

Intercambio con la pizarra blanca: Relacionar la suma repetida con la multiplicación La clase escribe ecuaciones con fracciones unitarias y una suma o un producto menor que 1 a fin de representar un diagrama de cinta para desarrollar fluidez con la multiplicación de números enteros y fracciones. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre el diagrama de cinta que representa 2 unidades de _1  . 3

Escriban una ecuación de suma para representar el diagrama de cinta.

1 3

Muestre la ecuación de suma de ejemplo.

1 3 1 1 2 + = 3 3 3 1 2 2× = 3 3

Escriban una ecuación de multiplicación para representar el diagrama de cinta. Muestre la ecuación de multiplicación de ejemplo. Repita el proceso con la siguiente secuencia: ?

? 1 4

1 4 1 1 2 + = 4 4 4

2×

1 2 = 4 4

1 5

1 5 1 1 1 3 + + = 5 5 5 5

3×

1 3 = 5 5

? 1 5

1 6

? 1 6

1 1 1 1 4 + + + = 6 6 6 6 6

4×

1 4 = 6 6

1 6

1 8

1 1 1 1 1 5 + + + + = 8 8 8 8 8 8

5×

1 5 = 8 8

569

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 32

Presentar

La clase multiplica las medidas fraccionarias por un número entero. Muestre la imagen del frente de la tarjeta con la receta del pan de banana. Iván usa la receta de su abuela para hacer pan de banana. La tarjeta de la receta muestra los ingredientes necesarios para hacer 1 barra de pan de banana. ¿Qué observan sobre la cantidad de cada ingrediente? Hay diferentes unidades de medida. Hay cantidades con números enteros y cantidades fraccionarias. Iván quiere hacer 3 barras de pan de banana. ¿Cómo puede calcular la cantidad que necesita de cada ingrediente? Puede multiplicar cada cantidad por 3. Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para calcular la cantidad de cada ingrediente que necesita Iván. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Elija a algunas parejas para que compartan su razonamiento sobre la cantidad de sal y mantequilla que necesita Iván. Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y, luego, registre las respuestas. Dibujamos un diagrama de cinta para representar 3 grupos de _1   .

3 Luego, escribimos una ecuación para mostrar que 3 × _1  = _   . 4 4 Iván necesita _3  de cucharadita de sal. 4

1 4

3×

570

1 4

1 3 = 4 4

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 32 Usamos una recta numérica para mostrar 3 grupos de _1   . También 2

3 escribimos una ecuación para mostrar que 3 × _1 = _   . Iván necesita 2 2 _3 de taza de mantequilla. 2 Expresamos _3 como 1 _1 . Iván necesita 1 _1 tazas de mantequilla. 2

3 2

3×2=

Muestre la imagen del dorso de la tarjeta con la receta del pan de banana. Iván da vuelta a la tarjeta de la receta para leer las instrucciones y ve otro ingrediente. ¿Qué observan sobre la cantidad de azúcar morena? La cantidad se mide en tazas. La cantidad es fraccionaria. El numerador no es 1 como en las otras cantidades fraccionarias de la receta. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo podrían calcular cuántas tazas de azúcar morena necesita Iván para hacer 3 barras de pan de banana. Podemos usar la suma repetida para hallar el total, _2  + _2  + _2  . 3

Podemos usar una recta numérica o un diagrama de cinta para representar 3 grupos de _2   . La 3 recta numérica nos ayudaría a ver el total. Creemos que podemos multiplicar, al igual que lo hacemos con las otras cantidades fraccionarias. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos la propiedad asociativa para multiplicar una fracción por un número entero.

571

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 32

Aprender

Multiplicación en forma unitaria La clase representa la multiplicación de una fracción por un número entero en una recta numérica y con una ecuación usando la forma unitaria. Vamos a dibujar una recta numérica como ayuda para calcular cuántas tazas de azúcar morena necesita Iván para hacer 3 barras de pan de banana. ¿El intervalo de 0 a 1 será suficiente para representar 3 grupos de _2   ? 3

No, porque _2  está cerca de 1, entonces 3 grupos de _2  es más que 1. 3

DUA: Representación Considere crear un afiche de referencia para mostrar los métodos que sus estudiantes pueden usar para multiplicar una fracción por un número entero. Incluya los nombres de los métodos y ejemplos.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué números enteros se necesitan representar en la recta numérica para mostrar 3 grupos de _2   . 3

Use el siguiente proceso para guiar a sus estudiantes mientras representan 3 grupos de _2  en una 3

recta numérica: • Dibuje una recta numérica de 0 a 3 y divida cada intervalo de números enteros en tercios.

• Toque y cuente cada tercio hasta _2  . 3

• Dibuje una flecha de 0 a _2  arriba de la recta 3

numérica. Rotule la flecha como _2  . Repita este proceso para 2 grupos más de _2   .

¿Cuántas repeticiones de _2 se representan en la recta numérica?

¿Cuántas tazas de azúcar morena necesita Iván?

_6  de taza 3

2 tazas

572

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 32 Rotule el producto como _6  en la recta numérica. 3

¿Qué observan sobre las unidades fraccionarias en el factor y en el producto? Las unidades fraccionarias en el factor y en el producto son las mismas. Son tercios. ¿Cómo podemos explicar por qué la unidad fraccionaria en el factor y en el producto es la misma?

La recta numérica muestra que tenemos 3 repeticiones de _2  . Los tercios se repiten una y otra vez, 3 entonces las unidades no cambian.

_2  se repite, no se compone ni se descompone, entonces la unidad no cambia. 3 2 Cuando representamos 3 × _ en la recta numérica, ¿qué unidad fraccionaria hay en nuestro producto? ¿Por qué?

Tercios, porque no cambiamos la unidad fraccionaria cuando multiplicamos por 3. Tercios, porque multiplicamos el número de tercios por 3. La unidad fraccionaria no cambia. Invite a las parejas de estudiantes a que se reúnan y conversen acerca de cómo la recta numérica representa lo que se expresa en la multiplicación. Usemos el contexto del problema para pensar en nuestra respuesta. ¿Qué quiere saber Iván? Quiere saber cuántas tazas de azúcar morena necesita para hacer 3 barras de pan.

En la recta numérica, vimos que el producto de 3 y _2   es _6   o 2. 3

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si tiene más sentido en el contexto del problema expresar la respuesta en forma fraccionaria o como un número entero. Creemos que 2 tazas tiene más sentido porque me resulta más fácil medir y pensar en eso que en

_6 de taza. 3

Creemos que 2 tazas tiene más sentido porque, cuando se sigue una receta, no se suelen ver cantidades dadas como fracciones mayores que 1. Si Iván solo tuviera un medidor que pudiera medir _1 de taza, entonces podría querer que la 3

respuesta fuera _6  de taza. Entonces, sabe que necesita llenar su medidor 6 veces porque _6  = 6 × _1  . 3 3 3 Usemos la forma unitaria para expresar el producto de 3 y _2   . 3

573

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 32 Escriba la ecuación: 3 × (2 tercios) = (3 × 2) tercios. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las dos expresiones. Las expresiones tienen los mismos números y la misma unidad fraccionaria. Las expresiones son las mismas, pero los paréntesis están en lugares diferentes.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere activar los conocimientos previos de sus estudiantes sobre la propiedad asociativa.

Ambas expresiones son iguales a 6 tercios. ¿Cómo nos ayuda saber cuánto es 3 × 2 a multiplicar 3 × 2 tercios? Si sé que 3 × 2 = 6, eso me ayuda a saber que 3 × 2 tercios = 6 tercios. Sé que 3 grupos de 2 unidades siempre será 6 de esa unidad. No importa cuál sea la unidad.

La forma fraccionaria y la propiedad asociativa La clase expresa una fracción como un número entero por una fracción unitaria y, luego, usa la propiedad asociativa. Muestre la imagen del diagrama de cinta que

representa 4 grupos de _2   . 5

¿Qué observan sobre el diagrama de cinta? Hay 4 grupos iguales de _2   . 5

El total es el número desconocido.

2 5

Pregunte a sus estudiantes por qué agrupar 6 × 7 les ayuda a multiplicar. Luego, pídales que identifiquen las semejanzas y diferencias entre la ecuación con números enteros y la ecuación en forma de unidad fraccionaria cuando se aplica la propiedad asociativa.

¿Cómo podemos hallar el total desconocido? Podemos usar la suma repetida. Podemos multiplicar. ¿Qué expresión de multiplicación pueden usar para representar el diagrama de cinta?

4 × 2_ 5

574

Diferenciación: Desafío Considere invitar a sus estudiantes a escribir un contexto que se relacione con el diagrama de cinta. Después de que hallen el producto, pregunte: “¿Tiene sentido dejar el producto como una fracción mayor que 1? ¿Por qué?”.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 32 Escriba: 4 × _2 = 4 × 5

¿Cómo podemos representar _2  como un número entero por una 5 fracción unitaria?

2 × 1_ 5

Continúe escribiendo la ecuación: 4 × _2  = 4 × (2 × _1 ). 5

Usemos la propiedad asociativa para agrupar los factores que son números enteros.

Escriba = (4 × 2) × _1  debajo de la ecuación, alineada con el signo igual. 5

Invite a las parejas de estudiantes a hallar el producto. ¿Cuánto es 4 × _ ? ¿Cómo lo saben? 2 5

Es _8   porque 4 × 2 = 8 y 8 × _1 = _   . 5

8 5

¿Cómo cambia su manera de pensar en el problema escribir _2 como un número entero por una 5

fracción unitaria y usar la propiedad asociativa?

Cuando escribimos _2   como 2 × _1 y usamos la propiedad asociativa, pude pensar en el problema 5

como el producto de dos números enteros multiplicados por una fracción unitaria. Lo cambiamos para obtener un problema que ya sabemos cómo resolver. Sabemos cómo multiplicar un número entero por una fracción unitaria. ¿Cómo les ayuda pensar en 4 × _  como 8 × _ a ver que las unidades fraccionarias no cambian 2 5

1 5

cuando se multiplica una fracción por un número entero? Cuando multiplicamos una fracción unitaria por un número entero, sabemos que solo se trata de repeticiones de la misma fracción unitaria. La unidad no cambia.

575

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 32 Use un proceso similar para hallar 2 × _7  y 5 × _  . 8

3 4

Diferenciación: Apoyo

Las parejas deberían: • escribir una expresión de multiplicación para representar el diagrama de cinta;

Considere usar las siguientes preguntas para

• expresar la fracción como un número entero por una fracción unitaria y

guiar a sus estudiantes mientras hallan los 3 7 productos de 2 ×     y 5 ×    : 4 8 • ¿Qué representa el diagrama de cinta? ¿Qué se conoce? ¿Qué se desconoce?

• usar la propiedad asociativa para agrupar los factores que son números enteros.

7 8

2×

7 8

(

3 4

)

7 1 = 2× 7× 8 8 = 2× 7 × 1 8 1 = 114 4× 8

(

14 8

)

3 4

5×

3 4

(

3 4

)

3 1 = 5× 3× 4 4 = 5× 3 × 1 4 1 = 115 5× 4

(

)

• ¿Qué expresión de multiplicación pueden escribir para representar el número desconocido? • ¿Cómo pueden reescribir el factor fraccionario como un número entero por una fracción unitaria? • ¿Cómo pueden mover los paréntesis para agrupar los factores de manera diferente? • ¿Cómo pueden multiplicar un número entero por una fracción unitaria?

15 4

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar la propiedad asociativa para multiplicar una fracción por un número entero.

576

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 32

Expresar un producto como una fracción La clase relaciona la propiedad asociativa con la representación de la multiplicación de un número entero y una fracción como una fracción. Escriba: 3 × _  = 5 6

Invite a las parejas de estudiantes a hallar el producto. El o la estudiante A puede usar la forma

unitaria y la propiedad asociativa. El o la estudiante B puede escribir _5 como un número entero por 6

una fracción unitaria y, luego, usar la propiedad asociativa. ¿Cómo usaron la forma unitaria y la propiedad asociativa para hallar el producto? Escribí la fracción en forma unitaria. Luego, usé la propiedad asociativa para agrupar 3 × 5, entonces lo pensé como (3 × 5) sextos.

Continúe escribiendo la ecuación: 3 × _ = (3 × 5) sextos. 5 6

Escribamos (3 × 5) sextos como una fracción. ¿A qué se parece eso? ¿Cómo lo saben? El numerador es 3 × 5 porque la expresión está agrupada por el paréntesis como un número por la unidad fraccionaria. Como la unidad fraccionaria son los sextos, el denominador es 6. El numerador es 3 × 5 y el denominador es 6. Cuando digo (3 × 5) sextos, me ayuda a imaginar cómo es la fracción.

Escriba = ____   debajo de la ecuación. 3×5 6

¿Cuánto es ____   ?

__ 15 6

3×5 6

15 Escriba = __  debajo del enunciado. 6

577

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 32 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar las semejanzas y diferencias entre este método y el método que usó el o la estudiante B para hallar el producto. En ambos métodos, 3 y 5 se multiplican y la unidad fraccionaria son los sextos.

Esta ecuación no muestra el paso de escribir _5 como un número entero por una fracción unitaria. 6

3×5 , que Creemos que (3 × 5) × _1 , como escribió mi pareja de trabajo, se puede reescribir como ____ 6

es la misma fracción que acabamos de escribir para representar (3 × 5) sextos.

¿Cómo les ayuda escribir 3 × _  como ____   a ver que las unidades fraccionarias no cambian 5 6

3×5 6

cuando se multiplica una fracción por un número entero? Podemos ver que el número entero se agrupa con el numerador de la fracción, pero el denominador permanece igual. Vemos que multiplicamos los números del numerador, 3 × 5, pero no cambiamos el denominador de 6.

Escriba la expresión 7 × _ . Invite a sus estudiantes a elegir un método para hallar el producto. Recorra 3 2

el salón de clases mientras la clase trabaja y seleccione a estudiantes para que compartan su trabajo. Use las siguientes preguntas para guiar una conversación de toda la clase mientras sus estudiantes comparten sus métodos de solución: • ¿Usaron la forma unitaria como ayuda para hallar el producto? ¿Cómo? • ¿De qué manera expresaron la fracción como ayuda para hallar el producto? • ¿Usaron la propiedad asociativa como ayuda para hallar el producto? ¿Cómo?

3 • ¿Pensaron en 7 × _ como una fracción que les ayude a hallar el producto? ¿Cómo? 2

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de los diferentes métodos que pueden usar para hallar el producto de un número entero y una fracción unitaria.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando multiplica una fracción por un número entero y considera diferentes maneras de hallar el producto. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8: • ¿Qué se mantiene igual en las diferentes 5 maneras de hallar 3 ×     ? 6 • ¿Qué patrones observan al multiplicar una fracción por un número entero? ¿Cómo pueden ayudarles esos patrones a ser más 3 eficientes para hallar 7 ×    ? 2

578

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 32

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Multiplicar una fracción por un número entero usando la propiedad asociativa Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de la multiplicación de una fracción por un número entero. ¿Qué sucede con las unidades fraccionarias cuando multiplicamos una fracción por un número entero? ¿Por qué? Las unidades fraccionarias permanecen iguales porque estamos repitiendo la misma fracción.

7×3 Cuando escribimos 7 × _  como ____   , vemos que la unidad fraccionaria tanto en el factor _3   como 3 2

7×3 en la fracción ____   son los medios. La unidad fraccionaria no cambia.

¿Cómo usan la propiedad asociativa para multiplicar una fracción por un número entero? Expresamos el factor fraccionario como un número entero por una fracción unitaria y, luego, movemos los paréntesis para multiplicar dos números enteros. Multiplicamos el producto que es un número entero por la fracción unitaria.

579

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 32

Nombre

Fecha

1 5

3 × (1 quinto) = (3 ×

1 5

Completa la expresión para representar el diagrama de cinta. Luego, completa los enunciados para hallar el producto.

Rotula la recta numérica. Luego, usa la forma unitaria y la propiedad asociativa para hallar el producto.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 32

2 × _4 = 2 × (3 × _____)

3 4

) quinto

3 4

= (2 × 3) × _____

quintos

2 × ____

= 6 × _____

= _____ 4

2 5

5 × (2 quintos) = (

× 2) quintos

quintos

4. 2 6

2 6

2 10

4 × _6 = 4 × (2 × _____) 1

2 6

× _____

4 × _____

) × _____ 6

= _____ 6

580

273

274

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 32

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 32

4 × _8 =

×(

× _____)

) × _____

× _____

5 8

× _____ 8

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 32

Elige un método y halla el producto. 10. 3 × 4_ 5 Ejemplo: 3 × 4 __ 3 × _4 = ____ = 12 5 5 5

3 11. 6 × __ 10 Ejemplo: 6 × 3 18 3 6 × __ = ____ = __ 10 10 10

8 12. 4 × __ 12 Ejemplo: × 8 32 8 4 × __ = 4____ = __ 12 12 12

13. 5 × 4_ 3 Ejemplo: × 4 20 5 × _4 = 5____ = __ 3 3 3

= _____ 8

Completa los enunciados para hallar el producto. 2× 3 3 _______ = 6. 2 × _ 5 5

5 × 3 3 7. 5 × _ = __________ 8 8

= _____ 5

= _____ 8

3 × 9 9 = __________ 8. 3 × __ 10 10 27

= _____ 10

7 × 4 4 9. 7 × __ = __________ 12 12 28

= _____ 12

GRUPO DE PROBLEMAS

275

276

GRUPO DE PROBLEMAS

581

LECCIÓN 33

Resolver problemas verbales que involucran la multiplicación de una fracción por un número entero

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 33

Nombre

Fecha

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

1. David camina 4 de milla por día durante 8 días. ¿Cuántas millas camina David en total? 3 4

3 4

• ¿Puede ayudarles un diagrama de cinta a decidir una estrategia para hallar la solución? ¿Cómo?

8×4=8×3×4 = 24 × 1 4

= 24

• ¿Cómo deciden cuándo expresar un producto que es una fracción mayor que 1 como un número mixto?

=6 David camina 6 millas.

Criterios de logro académico

2. Un trozo de papel rectangular mide 6 pulgadas por 8 de pulgada. ¿Cuál es el área del trozo de papel? 7 8

7 8

La clase dibuja diagramas de cinta para representar problemas verbales. Analizan diferentes métodos para multiplicar una fracción por un número entero y los comparan con sus propios métodos. Usan el contexto del problema para decidir cuándo expresar fracciones mayores que 1 como números mixtos.

Preguntas clave

? 3

Vistazo a la lección

7 8

4.Mód4.CLA9 Multiplican una fracción por un número entero. (4.NF.B.4.b)

7 8

4.Mód4.CLA10 Resuelven problemas verbales que involucran la multiplicación

de una fracción por un número entero. (4.NF.B.4.c) (4.MD.A.2)

? 6×7

6×8= 8 = 42 8

40 8

2 8

= 52 8

El área del trozo de papel es 58 pulgadas cuadradas.

285

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 33

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Problema verbal de producto desconocido

Estudiantes • ninguno

• Producto desconocido: Compartir, comparar y conectar • Problema verbal de comparación multiplicativa • Comparación multiplicativa: Compartir, comparar y conectar • Fracciones mayores que 1 o números mixtos • Grupo de problemas

Concluir 10 min

583

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 33

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Convertir unidades de longitud del sistema inglés La clase convierte yardas a pies o pies a pulgadas para adquirir fluidez con la expresión de unidades de medida más grandes en términos de unidades de medida más pequeñas, aprendida en el módulo 2. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la tabla. Escriban el número de pies igual a 1 yarda. Muestre la respuesta. Continúe con 5 yardas, 16 yardas y 285 yardas. Muestre los números de yardas y pies uno a la vez.

Yardas

Pies

285

855

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

584

Pies

Pulgadas

156

312

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 33

Intercambio con la pizarra blanca: Relacionar la suma repetida con la multiplicación La clase escribe ecuaciones con fracciones unitarias y una suma o un producto igual a o mayor que 1 a fin de representar un diagrama de cinta para desarrollar fluidez con la multiplicación de números enteros y fracciones. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre el diagrama de cinta que representa 2 unidades de _1   . 2

Escriban una ecuación de suma para representar el diagrama de cinta. Escriban la suma como una fracción.

1 2

Muestre la ecuación de suma.

1 2 1 1 2 + = 2 2 2 1 2 2× = 2 2

Escriban una ecuación de multiplicación para representar el diagrama de cinta. Escriban el producto como una fracción. Muestre la ecuación de multiplicación. Repita el proceso con la siguiente secuencia: ? 1 2

1 2 1 1 1 3 + + = 2 2 2 2 1 3 3× = 2 2

? 1 2

1 3

1 3 1 1 1 3 + + = 3 3 3 3 1 3 3× = 3 3

? 1 3

1 3

? 1 3

1 3

1 1 1 1 1 5 + + + + = 3 3 3 3 3 3 1 5 5× = 3 3

1 4

1 1 1 1 1 5 + + + + = 4 4 4 4 4 4 1 5 5× = 4 4

585

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 33

Presentar

La clase decide si un enunciado sobre la expresión de fracciones mayores que 1 como números mixtos es verdadero siempre, a veces o nunca. Presente el siguiente enunciado: Cuando el producto de una fracción y un número entero es una fracción mayor que 1, el producto se debe expresar como un número mixto. Use la rutina Siempre, a veces, nunca para que la clase participe en la construcción de significado y comente sus ideas. Dé 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio y evalúe si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca. Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo. Anímeles a proporcionar ejemplos y ejemplos erróneos para apoyar su afirmación.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere apoyar a sus estudiantes en la rutina Siempre, a veces, nunca mostrando una ecuación rotulada con las palabras del enunciado.

Creo que nunca es verdadero porque son equivalentes, entonces no debería importar si el producto es una fracción mayor que 1 o un número mixto. Creo que siempre es verdadero porque me resulta más fácil imaginar una cantidad como un número mixto en lugar de una fracción mayor que 1. Creo que a veces es verdadero. Cuando se trata de un problema verbal, a veces es útil pensar en la cantidad como una fracción mayor que 1, pero otras respuestas son más fáciles de pensar como un número mixto. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, resolveremos problemas verbales y decidiremos cuándo tiene sentido expresar una fracción mayor que 1 como un número mixto.

586

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 33

Aprender

Problema verbal de producto desconocido La clase resuelve un problema verbal multiplicando una fracción por un número entero y decide cómo expresar el producto. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros y léalo a coro con la clase. Pídales que usen el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

1. Deepa hace 5 jarras de limonada para vender en su puesto. Usa _3  de taza de azúcar en cada jarra. 4

Solo tiene un medidor de _1 de taza. ¿Cuántas veces llena Deepa el medidor para hacer las 5 jarras 4

de limonada?

5 × _ = __ 3 4

15 4

Deepa llena el medidor 15 veces. Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione a dos o tres parejas para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre los diferentes métodos que sus estudiantes pueden usar para multiplicar una fracción por un número entero.

587

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 33 Los ejemplos de trabajo que se muestran representan el problema usando diagramas de cinta y diferentes métodos para hallar cuántas veces llena Deepa el medidor.

3 4

Forma unitaria

Propiedad asociativa

3 4

5 × 3 cuartos = 15 cuartos Deepa llena el medidor 15 veces.

3 4

(

5×4 =5× 3×4

3 4

El ejemplo de trabajo muestra respuestas típicas. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre los conceptos clave.

3 4

)

= (5 × 3) × 4 1

= 15 × 4 =

Nota para la enseñanza

15 4

Deepa llena el medidor 15 veces.

Diferenciación: Apoyo Considere usar las siguientes preguntas para guiar a sus estudiantes mientras usan el proceso Lee-Dibuja-Escribe a fin de resolver los problemas verbales: • ¿Qué información conocemos? • ¿Qué pueden dibujar para representar la información conocida? • ¿Qué información desconocemos? • ¿Cómo pueden representar el número desconocido en su dibujo? • ¿Cómo les ayuda su dibujo a determinar una estrategia para hallar la solución? • ¿Qué método pueden usar para multiplicar una fracción por un número entero?

588

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 33

Producto desconocido: Compartir, comparar y conectar La clase compara diferentes métodos usados para resolver el problema 1 y establece conexiones con el método que usaron. Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones. A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento y ofrezca aclaraciones sobre el modelo que usó para representar el problema. Haga preguntas para ayudar a sus estudiantes a establecer conexiones entre sus trabajos y las soluciones demostradas. Anímeles a que hagan sus propias preguntas.

Forma unitaria (método de Jayla y Pablo) Examinen el trabajo de Jayla y Pablo. ¿Cómo les ayuda el diagrama de cinta a identificar una estrategia para hallar la solución? El diagrama de cinta muestra 5 grupos iguales

de _3  , con un total desconocido. Eso significa que 4

se puede sumar _3 cinco veces o multiplicar 5 y _3   para 4

hallar el total.

Jayla y Pablo, expliquen cómo hallaron el producto

3 4

5 × 3 cuartos = 15 cuartos Deepa llena el medidor 15 veces.

de 5 y _  . 3 4

Escribimos la fracción en forma unitaria. Luego, multiplicamos 5 y 3 y obtuvimos 15. Sabemos que la unidad fraccionaria permanece igual, entonces el producto es 15 cuartos. ¿Cómo determinaron cuántas veces llena Deepa el medidor?

5 × _1 . Eso significa que llena Sabemos que el producto, 15 cuartos, es la misma cantidad que 1

el medidor de _1 de taza 15 veces.

¿Por qué decidieron dejar el producto como una fracción mayor que 1?

Nos dimos cuenta de que si expresábamos el producto como un número mixto, sería 3 _  . Creemos 3 4

que nos resulta más fácil pensar en cuántas veces llenó el medidor dejando la respuesta como

15 cuartos.

589

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 33 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el trabajo de Jayla y Pablo y sus propios trabajos.

Propiedad asociativa (método de Gabe y Liz) Examinen el trabajo de Gabe y Liz. ¿Qué tiene de diferente la manera en que Gabe y Liz expresan

_3 en comparación con el trabajo de Jayla y Pablo? 4 Gabe y Liz representaron _3 en forma fraccionaria 4

en lugar de en forma unitaria.

3 4

× _1  . Sabemos que cuando Escribimos _3  como 3

el producto, entonces usamos la propiedad

y obtuvimos __ 15 .

)

se multiplica, el orden de los factores no cambia

3 4

= 15 × 4

y 3 y obtuvimos 15. Luego, multiplicamos _1   por 15

3 4

= (5 × 3) × 4

asociativa para agrupar 5 y 3. Multiplicamos 5

5×4 =5× 3×4

5 y _3  .

(

Gabe y Liz, expliquen cómo hallaron el producto de

3 4

15 4

Deepa llena el medidor 15 veces.

¿Cómo determinaron cuántas veces llena Deepa el medidor?

15 Observamos que el producto es __  y, para obtener ese producto, multiplicamos 15 por _1   . Sabemos 4

que Deepa llena el medidor 15 veces porque tiene capacidad para _1  de taza.

¿Por qué decidieron dejar el producto como una fracción mayor que 1? No necesitamos expresar la fracción como un número mixto para responder la pregunta. Vimos la respuesta a la pregunta en nuestro trabajo. Expresar la fracción como un número mixto es un paso adicional que no necesitamos hacer. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el trabajo de Gabe y Liz y sus propios trabajos.

590

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 33

Problema verbal de comparación multiplicativa La clase resuelve un problema verbal multiplicando una fracción por un número entero y decide cómo representar el producto. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y léalo a coro con la clase. Pídales que usen el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

2. Una gatita pesa _4  de kilogramo. Un cachorro es 6 veces tan pesado como la gatita. ¿Cuántos 5

DUA: Representación Considere activar los conocimientos previos de sus estudiantes sobre el vocabulario de comparación multiplicativa para ayudarles a entender el problema con una cantidad fraccionaria.

kilogramos pesa el cachorro?

24 6 × 4_ = __ = 4 4_ 5

El cachorro pesa 4 _4  kilogramos. 5

Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione a dos o tres parejas para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre los diferentes métodos que sus estudiantes pueden usar para multiplicar una fracción por un número entero.

? • ¿Qué relación se muestra en el diagrama de cinta? • ¿En qué se parece esa relación a la relación entre el peso de la gatita y el peso del cachorro? • ¿Qué animal pesa más? ¿Cómo lo saben? • ¿Cómo pueden representar que el cachorro es 6 veces tan pesado como la gatita?

591

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 33 Los ejemplos de trabajo que se muestran representan el problema usando diagramas de cinta y diferentes métodos para hallar cuántos kilogramos pesa el cachorro. Propiedad asociativa (sin paréntesis)

Reescribir un producto como una fracción

4 5

4 5 4 5

4 5

? 6×

4 1 =6×4× 5 5 1 = 24 × 5 24 = 5

4 5

? 6×

4 6×4 = 5 5 24 = 5 4 = 45

Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver un problema verbal, descontextualiza para multiplicar una fracción por un número entero y decide expresar el producto como una fracción o como un número mixto. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2: • ¿Qué les indica la información dada en el problema sobre cómo dibujar un diagrama de cinta para representar la situación?

El cachorro pesa 4 5 kilogramos.

20 4 5 5

4 5

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

• ¿Cómo representa su diagrama de cinta la relación entre los pesos de la gatita y el cachorro? • ¿Su respuesta tiene sentido en términos matemáticos?

= 45

El cachorro pesa 4 5 kilogramos.

592

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 33

Comparación multiplicativa: Compartir, comparar y conectar La clase compara los métodos para el problema 2 y razona sobre las conexiones entre los métodos y su propio trabajo. Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones. A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento y ofrezca aclaraciones sobre el modelo que usó para representar el problema. Haga preguntas para ayudar a sus estudiantes a establecer conexiones entre sus trabajos y las soluciones demostradas. Anímeles a que hagan sus propias preguntas. Propiedad asociativa (método de Shen y Zara) Examinen el trabajo de Shen y Zara. ¿Cómo les ayuda el diagrama de cinta a identificar una estrategia para hallar la solución? El diagrama de cinta muestra que el peso del cachorro es igual a 6 unidades del peso de la

gatita. Eso significa que se puede multiplicar 6 y _4   para hallar el peso del cachorro. el producto de 6 y _  . 4 5

Escribimos _4  como 4 × _1  . Luego, usamos 5

y obtuvimos 24. Multiplicamos _1   por 24 y obtuvimos

24  . Expresamos __ 24 __  como 4 _4  . 5

¿Por qué decidieron expresar el producto como un número mixto? Cuando pensamos en el producto como el peso del cachorro, no tenía sentido decir

__ 24 de kilogramo. No solemos escuchar los pesos 5

como fracciones mayores que 1.

4 5

Shen y Zara, expliquen cómo hallaron

la propiedad asociativa para multiplicar 6 y 4

4 5

? 6×

4 1 =6×4× 5 5 1 = 24 × 5 24 = 5 20 4 5 5 4

= 45

El cachorro pesa 4 5 kilogramos.

593

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 33 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el trabajo de Shen y Zara y sus propios trabajos. Reescribir un producto como una fracción (método de David y Robin) Examinen el trabajo de David y Robin. ¿Cómo muestran que cuando se multiplica una fracción por un número entero las unidades fraccionarias no cambian?

6×4 Escribieron 6 × _4 como la fracción, ____   . Eso nos 5 5 ayuda a ver que el producto también estará en quintos.

4 5

David y Robin, expliquen cómo hallaron 4 el producto de 6 y _  . 5

24 el producto es __  . Expresamos la fracción mayor 5 4 _ que 1 como 4   . 5

¿Por qué decidieron expresar el producto como un número mixto? Sabemos que el producto representa el peso del cachorro. Nos resulta más fácil pensar en el peso del cachorro como un número mixto en lugar de una fracción mayor que 1.

4 5

6×4 Escribimos 6 × _4  como ____   . 6 × 4 = 24, entonces

4 5

6×

4 6×4 = 5 5 24 = 5 4 = 45 4

El cachorro pesa 4 5 kilogramos.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el trabajo de David y Robin y sus propios trabajos.

Fracciones mayores que 1 o números mixtos La clase llega a la conclusión de que, cuando el producto de una fracción y un número entero es una fracción mayor que 1, a veces el producto se debe expresar como un número mixto. Presente el siguiente enunciado: Cuando el producto de una fracción y un número entero es una fracción mayor que 1, el producto se debe expresar como un número mixto.

594

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 33 Antes, les pregunté si este enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca. ¿Ha cambiado su razonamiento? ¿Cómo? Ahora, creo que el enunciado a veces es verdadero. Cuando resolvemos problemas verbales, pensar en lo que representa el producto me ayuda a decidir cuándo debo expresar las fracciones mayores que 1 como números mixtos. Creo que a veces es verdadero porque depende de lo que trate el problema. En el problema de la limonada, tenía sentido dejar el producto como una fracción mayor que 1 porque me ayudó a responder la pregunta. En el problema sobre el peso del cachorro, expresé el producto como un número mixto porque así es como suelo escuchar que se expresan los pesos.

Escriba: 4 × _2 = ____  = _   . 3

4×2 3

8 3

¿Creen que el producto se debería expresar como un número mixto? Expliquen. No. No hay un problema verbal con la ecuación, entonces no sabemos si tiene sentido expresarlo como un número mixto. No. No sabemos qué representa _8 , entonces podemos dejarlo como una fracción mayor que 1. 3

Sí. Me resulta más fácil pensar en _8 cuando lo expreso como 2 _2  . 3

Para concluir, llegue al consenso de que el enunciado es a veces verdadero porque el contexto de un problema verbal nos ayuda a decidir cuándo expresar una fracción mayor que 1 como un número mixto.

595

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 33

Concluir

EUREKA MATH2

Reflexión final 5 min Objetivo: Resolver problemas verbales que involucran la multiplicación de una fracción por un número entero Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca del uso de diagramas de cinta a fin de representar problemas verbales y determinar cómo expresar la respuesta a estos problemas. ¿Puede ayudarles un diagrama de cinta a decidir una estrategia para hallar la solución? ¿Cómo? Sí. Los diagramas de cinta nos ayudan a organizar la información conocida. También podemos ver lo que se desconoce en el diagrama de cinta, lo que me ayuda a pensar en cómo puedo resolver el problema. Sí. En los problemas verbales que resolvimos hoy, los diagramas de cinta me ayudaron a ver que los problemas eran de grupos iguales y de totales desconocidos. Cuando hay grupos iguales y el total es desconocido, sé que puedo multiplicar para hallar el número desconocido. ¿Cómo deciden cuándo expresar un producto que es una fracción mayor que 1 como un número mixto? Si se trata de un problema verbal, pensar en lo que representa el producto me ayuda a decidir cuándo debo expresar las fracciones mayores que 1 como números mixtos. Si la respuesta no tiene sentido como una fracción mayor que 1, entonces puedo expresarla como un número mixto. A veces, la pregunta del problema verbal me ayuda a pensar si debo expresar la fracción mayor que 1 como un número mixto. Cuando no hay un problema verbal o instrucciones para escribir la respuesta como un número mixto, podemos dejar el producto como una fracción mayor que 1.

596

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 33

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 33

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 33

3. Una bolsa de cerezas pesa _3 de libra. Antes de que se empezaran a comer las cerezas, la bolsa 8

pesaba 8 veces esa cantidad. ¿Cuál era el peso de la bolsa original de cerezas?

8 × _8 = __ 8 3

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

1. Carla camina _4 de milla cada día el martes, el jueves y el sábado. ¿Cuántas millas camina

La bolsa original de cerezas pesaba 3 libras.

Carla en total?

3 × _5 = __ 5 4

Carla camina 2 _2 millas en total. 5

7 de kilogramo de tierra en cada una de sus macetas. Llena 1 docena 4. El Sr. Davis coloca __ 10

1 de kilogramo de tierra. ¿Cuántas de macetas. Usa un recipiente medidor con capacidad para __ 10

veces llena el Sr. Davis el recipiente medidor para todas las macetas? (Pista: 1 docena

2. Un jardín rectangular mide 9 pies por _3 de pie. ¿Cuál es el área del jardín? 3

de macetas = 12 macetas)

9 × _4 = __ 4 27

7 __ 12 × __ = 84 10

El área del jardín es 6 _3 pies cuadrados.

El Sr. Davis llena el recipiente medidor 84 veces.

281

282

GRUPO DE PROBLEMAS

597

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 33

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 33

5. Hay 15 personas en el equipo de futbol de la Sra. Smith. Van a celebrar una fiesta con pizzas. Si cada persona come _3 de una pizza, ¿cuántas pizzas necesita comprar la Sra. Smith?

15 × _8 = 5 _8 3

La Sra. Smith necesita comprar 6 pizzas.

6. Un trozo de listón azul mide _5 de yarda de largo. Un trozo de listón rojo es 11 veces tan largo 6

como el trozo de listón azul. ¿Cuál es la longitud total de los dos trozos de listón?

__ 11 × 5_ = 55 6

__ = 60 __ _5 + 55 6 6 6 La longitud total de los dos trozos de listón es 10 yardas.

598

GRUPO DE PROBLEMAS

283

LECCIÓN 34

Multiplicar un número mixto por un número entero usando la propiedad distributiva

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 34

Nombre

Fecha

Multiplica usando la propiedad distributiva. Puedes dibujar un modelo como ayuda. 3 1. 2 × 3 __ = 8

6 _8 6

La clase aplica estrategias conocidas de multiplicación de números enteros y fracciones para multiplicar un número mixto. Analizan cómo multiplicar y registrar su trabajo con la propiedad distributiva de manera eficiente y cómo expresar una fracción mayor que 1 con otro nombre cuando resulta necesario.

Pregunta clave

2 × 3 _8 = 2 × (3 + _8) 3

Vistazo a la lección

= (2 × 3) + (2 × _8) 3

• ¿Cómo usan la propiedad distributiva para multiplicar un número mixto por un número entero?

= 6 + _8 6

= 6 _8 6

Criterio de logro académico 4.Mód4.CLA9 Multiplican una fracción por un número entero. (4.NF.B.4.b)

1 2. 4 × 5 _ = 3

21 3_ 1

4 × 5 _3 = 4 × (5 + _3) 1

= (4 × 5) + (4 × _3) 1

= 20 + _3 4

= 20 + 1 _3 1

= 21 3_ 1

293

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 34

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Aplicación de métodos

Estudiantes • ninguno

• Aplicar la propiedad distributiva • Expresar la fracción con otro nombre • Grupo de problemas

Concluir 10 min

601

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 34

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Convertir unidades de peso del sistema inglés La clase convierte libras a onzas para adquirir fluidez con la expresión de unidades de medida más grandes en términos de unidades de medida más pequeñas, aprendida en el módulo 3. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Libras

Muestre la tabla. Escriban el número de onzas igual a 1 libra. Muestre la respuesta. Continúe con 2 libras, 13 libras, 27 libras y 85 libras. Muestre los números de libras y onzas uno a la vez.

Onzas

1 2 13 27 85

16 32 208 432 1,360

Intercambio con la pizarra blanca: Relacionar la suma repetida con la multiplicación La clase escribe ecuaciones con fracciones no unitarias y una suma o un producto mayor que 1 a fin de representar un diagrama de cinta para desarrollar fluidez con la multiplicación de números enteros y fracciones. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre el diagrama de cinta que representa 2 unidades de _2  . 3

Escriban una ecuación de suma para representar el diagrama de cinta. Escriban la suma como una fracción.

602

? 2 3

2 3 2 2 4 + = 3 3 3 2 4 2× = 3 3

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 34 Muestre la ecuación de suma. Escriban una ecuación de multiplicación para representar el diagrama de cinta. Escriban el producto como una fracción. Muestre la ecuación de multiplicación. Repita el proceso con la siguiente secuencia: ? 2 3

2 3

? 2 3

3 4

2 2 2 6 + + = 3 3 3 3 2 6 3× = 3 3

3 4

3 5

3 3 3 9 + + = 4 4 4 4 3 9 3× = 4 4

Presentar

? 3 5

3 5

2 6

3 5

2 6

2 2 2 2 2 10 + + + + = 6 6 6 6 6 6 2 10 5× = 6 6

3 3 3 3 12 + + + = 5 5 5 5 5 3 12 4× = 5 5

La clase usa un conjunto de datos para identificar la necesidad de multiplicar un número mixto por un número entero. Peso de las crías de una gata del Centro de rescate de animales

Muestre el diagrama de puntos. ¿Qué información hay en el diagrama de puntos? El peso de cada cría de una gata del Centro de rescate de animales

× × 0

× × × × ×

× × × 2

Peso (libras)

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué peso ocurre con más frecuencia.

1 _86  libras

¿Cuántas crías pesan 1 _   libras?

4 crías

6 8

En lugar de sumar 1 _   libras 4 veces, ¿cuál es otra manera de hallar el peso total de las 4 crías? 6 8

Podríamos multiplicar. Podríamos hallar 4 × 1 _ .

6 8

603

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 34 Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, multiplicaremos un número mixto por un número entero.

Aprender

Aplicación de métodos La clase usa un método aprendido con anterioridad para multiplicar un número mixto por un número entero. Presente el problema: 3 × 2 _1 

DUA: Acción y expresión Considere apoyar a sus estudiantes en la representación del problema de manera

Dé a las parejas 3 minutos para determinar el producto. Invite a sus estudiantes a usar lo que saben sobre la multiplicación de números enteros y la multiplicación de fracciones para multiplicar un número mixto. Permita que sus estudiantes usen cualquier método para hallar el producto.

visual antes de resolverlo. Pídales que dibujen una recta numérica abierta con 3 saltos de 2  1 , marcando las unidades y los cuartos 4 por separado.

Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias. Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su trabajo con todo el grupo. A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que muestre la separación de 2 _1 en partes para multiplicar o sumar cada parte repetidamente. 4

1 4

3×2 =6 2

3 4

1 4

2+2+2=6 1 1 1 3 + + = 4 4 4 4 3 3 6+ =6 4 4

604

1 4

3 4

1 4

3×2 =6

3×2 =6 1 4

1 4

= 2 + 2 + 24 4 4

=2+2+2+

1 1 1 + + 4 4 4

3 4

1 4

3×2=6 1 3 3× = 4 4

3 4

Diferenciación: Apoyo Para apoyar a sus estudiantes en la resolución del problema, considere pedirles que hallen 1 primero 3 × 2 y, luego, 3 ×    . 4

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 34 Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anímeles a hacer sus propias preguntas.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Considere usar las siguientes preguntas: • ¿Por qué decidieron representar el problema de esta manera? • ¿Cómo se representan 3 grupos de 2 _1 ? • ¿Cómo hallaron la suma?

Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando comparte con la clase cómo halló el producto de un número entero y un número mixto y hace sus propias preguntas sobre el trabajo de sus pares.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de dónde ven 3 grupos de 2 y 3 grupos de _1  en su trabajo. 4

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:

Aplicar la propiedad distributiva

• ¿Por qué funciona su método? Convenzan a sus pares.

La clase analiza trabajos en los que se aplica la propiedad distributiva para multiplicar un número mixto por un número entero. Presente el trabajo que se analizará.

Use la rutina Cinco preguntas estructuradas para invitar a sus estudiantes a analizar el trabajo.

5 × 3 12 = 5 × (3 + 12 )

Observar y preguntarse ¿Qué observan sobre el trabajo? ¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones? Observo que se parece a la manera en la que multiplicamos números de dos dígitos.

• ¿Qué preguntas pueden hacerles a sus pares para asegurarse de que comprendan sus métodos?

2 = 5 × 3 + 5 × 12 10 = 15 + 12

(

= 15

) (

)

• ¿Creen que su método para multiplicar un número entero y un número mixto funcionará siempre? ¿Por qué?

10 12

2 Observo que se multiplicó cada parte de 3  __   por 5. 12

Me pregunto si el número mixto siempre se separa en partes de la misma manera. Me pregunto qué sucede si el producto de la fracción es mayor que 1.

605

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 34

Organizar

Apoyo para la comprensión del lenguaje

¿Qué pasos siguió este o esta estudiante? Primero, separó el número mixto en un número entero y una fracción. Luego, multiplicó cada parte del número mixto por 5 y sumó los dos productos. Guíe la conversación para enfocarse en la propiedad distributiva y fomente el razonamiento que permita a sus estudiantes hacer conexiones con la multiplicación de un número mixto por un número entero.

Mostrar

Considere destacar los conocimientos previos y relacionar el uso de la propiedad distributiva en problemas que incluyen un número entero y un número mixto con el trabajo realizado en el módulo 3. Para ello, muestre algunos ejemplos y guíe una conversación.

Enfoquémonos en la propiedad distributiva. ¿Dónde ven la propiedad distributiva en este trabajo? 2 Veo que se separó 3  __  en 3 + __  2  . Luego, se distribuyó la multiplicación. Cada parte 12 12 se multiplica por 5.

Sintetizar ¿Qué diferencia hace la propiedad distributiva en este trabajo? La propiedad distributiva permite usar la multiplicación en lugar de la suma repetida.

Comprender ¿Por qué es útil la propiedad distributiva al multiplicar un número entero por un número mixto? La propiedad distributiva es eficiente. La propiedad distributiva ayuda a saber que se ha multiplicado cada parte del número mixto.

Dé a las parejas de estudiantes 2 minutos para hallar 3 × 4 _2 usando la propiedad distributiva. 8

¿Cómo les ayudó usar la propiedad distributiva a hallar el producto?

2 _ . Separamos 4 _2 en partes y multiplicamos cada parte por 3. El producto es 1 8

6 8

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué usar la propiedad distributiva para multiplicar puede ser más eficiente que usar la suma repetida.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere activar los conocimientos previos de sus estudiantes sobre el término propiedad distributiva. Antes de la rutina Cinco preguntas estructuradas, guíe a sus estudiantes a través de un breve ejemplo sobre cómo aplicar la propiedad distributiva para multiplicar un número de dos dígitos por un número de un dígito. Considere usar el siguiente ejemplo:

3 × 13 = 3 × (10 + 3) = (3 × 10) + (3 × 3) = 30 + 9 = 39

606

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 34

Expresar la fracción con otro nombre

DUA: Acción y expresión

La clase expresa una fracción mayor que 1 con otro nombre en un producto parcial mientras multiplica un número mixto. Dé a las parejas de estudiantes 2 minutos para resolver el siguiente _1 . problema: 4 veces 6 3

1 1 4× 6 = 4× 6+ 3 3

= (4 × 6) + 4 ×

¿Cómo usaron la propiedad distributiva para hallar el producto?

4 3

1 3

Considere pedir a sus estudiantes que evalúen su progreso mientras completan el Grupo de problemas. Proporcione preguntas como las siguientes para apoyar a sus estudiantes mientras planifican, examinan y evalúan su propio trabajo.

Multiplicamos cada parte de 6 _1  por 4. Luego, sumamos

= 224 4+

cada producto.

= 224 4+ 1+ 1

• ¿En qué se parece este problema a los otros problemas que resolvimos?

= 225 51 3

Examinar:

Planificar:

¿En qué se diferenciaron los productos parciales en este problema de los problemas anteriores? En este problema, por primera vez uno de los productos parciales

era una fracción mayor que 1. Cuando hallamos 4 × _1  , el producto era _4  . 3

¿Qué hicieron, sabiendo que uno de los productos parciales era una fracción mayor que 1?

+ _1  . Luego, sumamos. Expresamos la fracción mayor que 1, _4  , como una expresión de suma, 1 3

Sumamos 1 más a 24, el producto parcial de las unidades.

• ¿Cómo resolvimos problemas parecidos?

• ¿Funciona su método? • ¿Hay algo que puedan hacer de otra manera? Evaluar: • ¿Qué funcionó bien? • ¿Qué harían de otra manera la próxima vez?

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuándo necesitarán expresar las unidades con otro nombre y sumarlas al multiplicar un número mixto por un número entero.

607

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 34

Concluir

EUREKA MATH2

Reflexión final 5 min Objetivo: Multiplicar un número mixto por un número entero usando la propiedad distributiva Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de la multiplicación con la propiedad distributiva. ¿En qué se parece usar la propiedad distributiva para multiplicar números enteros a usarla para multiplicar por un número mixto? Cuando usamos la propiedad distributiva para multiplicar números enteros, separamos un factor por valor posicional. Para multiplicar un número de dos dígitos, multiplicamos las decenas y, luego, las unidades. Separamos un número mixto en un número entero y una parte fraccionaria para multiplicar cada parte. Tanto si es un número entero como un número mixto, separamos el número en partes y distribuimos la multiplicación. ¿Por qué es útil la propiedad distributiva al multiplicar un número mixto por un número entero? La propiedad distributiva ayuda a comprobar que se ha multiplicado cada parte del número mixto. La propiedad distributiva nos ayuda a multiplicar de manera eficiente. La propiedad distributiva me resulta más eficiente que la suma repetida.

608

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 34

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 34

Nombre

Fecha

3. 4 × 4 3_ 4

Multiplica usando la propiedad distributiva. 1. 2 × 4 1_ 3

4 4

2 × 4 _3 = 2 × (4 + 1_) 1

1 3

3 4

= (2 × 4) + (2 × 1_) 3

1 3

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 34

+ _____

82_ 3

3 4

4. 5 × 7 5_ 6 2. 3 × 5 2_ 8

2 8

3 × 5 _8 = 3 × (5 + 2_) 2

= (3 ×

) + (3 × _____) 2

+ _____

5 6

156_ 8

287

288

GRUPO DE PROBLEMAS

4 × 4 4_ = 4 × ( 3

+ _____) 3

× 4) + (

+ __ 4

= 16 + =

× 3_) 4

5 × 7 _6 = 5 × (7 + _6) 5

= (5 × 7) + (5 × 5_)

__ = 35 + 25

6 = 35 + 4 1_ 6 = 39 _1 6

609

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 34

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 34

5 4 8. 8 × 9 __ = 75 _ 12 12

Multiplica usando la propiedad distributiva. Puedes dibujar un modelo como ayuda. 1 = 5. 2 × 3 _ 4

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 34

6 _2 4

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

9. El nuevo cachorro del Sr. Endo pesaba 6 _5 libras cuando lo llevó a su hogar. Ahora, el cachorro

8 2 6. 4 × 4 __ = 16 _ 10 10

pesa 8 veces esa cantidad. ¿Cuánto pesa el cachorro ahora?

8 × 6 5_ = 53 8

Ahora, el cachorro pesa 53 libras.

7. 5 × 4 2_ = 5

610

GRUPO DE PROBLEMAS

289

290

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 34

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 ▸ TF ▸ Lección 34

3 10. Mía corre 5 __ millas cada día. ¿Cuántas millas corre Mía en 2 semanas? 10

(Pista: 1 semana = 7 días)

3 2 14 × 5 __ = 74 __ 10

2 millas en 2 semanas. Mía corre 74 __ 10

GRUPO DE PROBLEMAS

291

611

Estándares Estándares de contenido del módulo Resuelven problemas relacionados a la medición y a la conversión de medidas de una unidad más grande a una más pequeña. 4.MD.A.2 Utilizan las cuatro operaciones para resolver problemas verbales sobre distancias, intervalos de tiempo, volúmenes líquidos, masas de objetos y dinero, incluyendo problemas con fracciones simples o decimales, y problemas que requieren expresar las medidas dadas en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña. Representan cantidades medidas utilizando diagramas tales como rectas numéricas con escalas de medición. Representan e interpretan datos. 4.MD.B.4 Hacen un diagrama de puntos para representar un conjunto de datos de medidas en fracciones de una unidad (__1   , __1   , __1   ). Resuelven problemas sobre sumas y restas 2 4 8

de fracciones utilizando la información presentada en los diagramas de puntos. Por ejemplo, al utilizar un diagrama de puntos, hallan e interpretan la diferencia de longitud entre los ejemplares más largos y más cortos en una colección de insectos. Extienden la comprensión de la equivalencia y el orden de las fracciones.3 4.NF.A.1

  al utilizar modelos Explican por qué la fracción __ a es equivalente a la fracción ( _____ n × b) b

n×a

visuales de fracciones, poniendo atención a cómo el número y el tamaño de las partes difiere aún cuando ambas fracciones son del mismo tamaño. Utilizan este principio para reconocer y generar fracciones equivalentes.

4.NF.A.2

Comparan dos fracciones con numeradores distintos y denominadores distintos, por ejemplo, al crear denominadores o numeradores comunes, o al comparar una fracción de referencia como __21   . Reconocen que las comparaciones son válidas solamente

comparaciones con los símbolos >, = o <, y justifican las conclusiones, por ejemplo, cuando las dos fracciones se refieren al mismo entero. Anotan los resultados de las utilizando un modelo visual de fracciones.

Las expectativas para el cuarto grado con respecto a esta área se limitan a fracciones con denominadores 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 y 100.

612

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 Forman fracciones a partir de fracciones unitarias al aplicar y ampliar los conocimientos previos de las operaciones con números enteros. 4.NF.B.3 Entienden la fracción __ a  cuando a > 1 como una suma de fracciones __1   . b

Entienden la suma y la resta de fracciones como la unión y la separación de partes que se refieren a un mismo entero.

Descomponen de varias maneras una fracción en una suma de fracciones con el mismo denominador, anotando cada descomposición con una ecuación. Justifican las descomposiciones, por ejemplo, utilizando un modelo visual de fracciones. Ejemplos:

__3   = __1   + __1  + __1  ; __3   = __1   + __2  ; 2 __1  = 1 + 1 + __1  = __8   + __8  + __1  . 8

8 8

;;;: ;;;;

Suman y restan números mixtos con el mismo denominador, por ejemplo, al reemplazar cada número mixto por una fracción equivalente, y/o al utilizar las propiedades de las operaciones y la relación entre la suma y la resta.

Resuelven problemas verbales sobre sumas y restas de fracciones relacionados a un mismo entero y con el mismo denominador, por ejemplo, utilizando modelos visuales de fracciones y ecuaciones para representar el problema.

4.NF.B.4 Aplican y amplían los conocimientos previos sobre la multiplicación para multiplicar una fracción por un número entero. a.

Entienden que una fracción __ a  es un múltiplo de __1   . Por ejemplo, utilizan un modelo b

visual de fracciones para representar __45   como el producto 5 × (__41  ) , anotando

la conclusión mediante la ecuación __45   = 5 × (__41  ) . b.

a Entienden que un múltiplo de __   es un múltiplo de __1   , y utilizan este entendimiento para b

multiplicar una fracción por un número entero. Por ejemplo, utilizan un modelo visual

de fracciones para expresar 3 × (__52  ) como 6 × (__51  ), reconociendo el producto como __56   .

__a

b ). (En general, n × (b ) = ______

(n × a)

613

EUREKA MATH2

4 ▸ M4 c.

Resuelven problemas verbales relacionados a la multiplicación de una fracción por un número entero, por ejemplo, utilizan modelos visuales de fracciones y ecuaciones para representar el problema. Por ejemplo, si cada persona en una fiesta come

__3  de una libra de carne, y hay 5 personas en la fiesta, ¿cuántas libras de carne 8

se necesitarán? ¿Entre qué números enteros está tu respuesta?

Estándares para la práctica de las matemáticas MP1

Dan sentido a los problemas y perseveran en su resolución.

MP2

Razonan de forma abstracta y cuantitativa.

MP3

Construyen argumentos viables y ofrecen valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras.

MP4

Representan a través de las matemáticas.

MP5

Utilizan las herramientas apropiadas estratégicamente.

MP6

Ponen atención a la precisión.

MP7

Reconocen y utilizan estructuras.

MP8

Reconocen y expresan regularidad en la lógica de la repetición.

614

Criterios de logro académico: Indicadores de competencias (n × a) 4.Mód4.CLA1 Representan y explican por qué una fracción __  a  es equivalente a una fracción _______     . b (n × b) CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

(n × a) ______   al utilizar modelos visuales de fracciones, poniendo atención a cómo el número y el tamaño de

4.NF.A.1 Explican por qué la fracción   a  es equivalente a la fracción   b

(n × b)

las partes difiere aún cuando ambas fracciones son del mismo tamaño. Utilizan este principio para reconocer y generar fracciones equivalentes.

Parcialmente competente

Competente

Altamente competente

Explican por qué una fracción  a  es equivalente a una

Representan y explican por qué una fracción  a  es

fracción

equivalente a una fracción

(n × a) ______   usando modelos visuales de fracciones. (n × b) 3  . Usa el modelo como ayuda. Explica por qué __  1  =  __ 4

(n × a) ______   .

Parte A

(n × b)

__ __

Dibuja un modelo para mostrar que  1  =   3   . 4

Parte B

__ __

Explica por qué  1  =   3  . 4

616

EUREKA MATH2 4 ▸ M4

4.Mód4.CLA2 Generan fracciones equivalentes y sus representaciones. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

(n × a) ______   al utilizar modelos visuales de fracciones, poniendo atención a cómo el número y el

4.NF.A.1 Explican por qué la fracción   a  es equivalente a la fracción   b

(n × b)

tamaño de las partes difiere aún cuando ambas fracciones son del mismo tamaño. Utilizan este principio para reconocer y generar fracciones equivalentes.

Parcialmente competente

Competente

Reconocen fracciones equivalentes y sus representaciones.

Generan fracciones equivalentes y sus representaciones.

Completa la ecuación para mostrar una fracción equivalente.

equivalentes a   3  .

Altamente competente

Completa las ecuaciones para hallar fracciones

__ 4

__ ____

  3  =   6   4

  3  = 4

__ ____ 

  3  =   4

__ __ 6 C.  __   8 3  D.  __ A.   6  4 2 B.     6

617

EUREKA MATH2

4 ▸ M4

4.Mód4.CLA3 Comparan dos fracciones con numeradores y denominadores distintos y justifican las conclusiones. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

4.NF.A.2 Comparan dos fracciones con numeradores distintos y denominadores distintos, por ejemplo, al crear denominadores o numeradores comunes, o al comparar

una fracción de referencia como   1  . Reconocen que las comparaciones son válidas solamente cuando las dos fracciones se refieren al mismo entero. Anotan los resultados 2

de las comparaciones con los símbolos >, = o <, y justifican las conclusiones, por ejemplo, utilizando un modelo visual de fracciones.

Parcialmente competente

Competente

Comparan dos fracciones con numeradores o denominadores relacionados y justifican las conclusiones.

Comparan dos fracciones con numeradores y denominadores distintos y justifican las conclusiones.

Compara las dos fracciones usando >, = o <. Divide y rotula la recta numérica para justificar tu respuesta.

Compara las dos fracciones usando >, = o <. Dibuja un modelo para justificar tu respuesta.

  2  3

618

Altamente competente

  3  5

EUREKA MATH2 4 ▸ M4

4.Mód4.CLA4 Descomponen fracciones de más de una manera para obtener una suma de fracciones con el

mismo denominador.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADOS

4.NF.B.3.a Entienden la suma y la resta de fracciones como la unión y la separación de partes que se refieren a un mismo entero. 4.NF.B.3.b Descomponen de varias maneras una fracción en una suma de fracciones con el mismo denominador, anotando cada descomposición con una ecuación.

__ __ __ __ __ __ __ __

__ __ __ __

Justifican las descomposiciones, por ejemplo, utilizando un modelo visual de fracciones. Ejemplos:   3  =   1  +   1  +   1  ;   3  =   1  +   2  ; 2   1 = 1 + 1 +  1  =   8  +   8  +   1  . 8

Parcialmente competente Identifican descomposiciones de fracciones para obtener una suma de fracciones con el mismo denominador.

8 8

Competente

A.   1  +   1  +   1  +   1  +   1  6 6 6 6 6 1 1 1 1 1 B.     +     +     +     +     +   1  5 5 5 5 5 5 1 1 C.     +     5 6 3 2 D.     +     2 4

diferentes maneras. Dibuja un modelo para justificar una

__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __

Descomponen fracciones de más de una manera para obtener una suma de fracciones con el mismo denominador y justifican las descomposiciones. Completa las ecuaciones para descomponer  5  de

__ __ __ __

Altamente competente

¿Qué expresión muestra cómo se puede descomponer  5 ? 6

de tus respuestas.

__ ____  + ____    

  5  =   6

__ ____  + ____     + ____    

  5  =   6

619

EUREKA MATH2

4 ▸ M4

4.Mód4.CLA5 Suman números mixtos con el mismo denominador. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

4.NF.B.3.c Suman y restan números mixtos con el mismo denominador, por ejemplo, al reemplazar cada número mixto por una fracción equivalente, y/o al utilizar las propiedades de las operaciones y la relación entre la suma y la resta.

Parcialmente competente

Competente

Suman fracciones con el mismo denominador.

Suman números mixtos con el mismo denominador.

Suma.

__ __

  3  +   3  = 4

620

Altamente competente

2   3  + 1   3  = 4

EUREKA MATH2 4 ▸ M4

4.Mód.CLA6 Restan números mixtos con el mismo denominador. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

Parcialmente competente Restan fracciones de fracciones menores que 1 con el mismo denominador o de números enteros. Resta.

__ __

  3  −   1  = 4

Competente

Altamente competente

Restan números mixtos con el mismo denominador. Resta.

2   1  − 1   3  = 4

621

EUREKA MATH2

4 ▸ M4

4.Mód4.CLA7 Resuelven problemas verbales sobre sumas y restas de fracciones que hacen referencia al mismo entero

y tienen los mismos denominadores. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADOS

4.NF.B.3.d Resuelven problemas verbales sobre sumas y restas de fracciones relacionados a un mismo entero y con el mismo denominador, por ejemplo, utilizando modelos visuales de fracciones y ecuaciones para representar el problema. 4.MD.A.2 Utilizan las cuatro operaciones para resolver problemas verbales sobre distancias, intervalos de tiempo, volúmenes líquidos, masas de objetos y dinero, incluyendo problemas con fracciones simples o decimales, y problemas que requieren expresar las medidas dadas en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña. Representan cantidades medidas utilizando diagramas tales como rectas numéricas con escalas de medición.

Parcialmente competente

Competente

Altamente competente

Resuelven problemas verbales sobre sumas y restas de fracciones que hacen referencia al mismo entero y tienen los mismos denominadores.

Casey corre 2   3  millas antes de la práctica y 1   4  millas 5

después de la práctica. ¿Qué distancia corre en total?

622

EUREKA MATH2 4 ▸ M4

4.Mód4.CLA8 Representan fracciones como múltiplos de fracciones unitarias con el mismo denominador. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

(4 )

4.NF.B.4.a Entienden que una fracción   a  es un múltiplo de   1  . Por ejemplo, utilizan un modelo visual de fracciones para representar   5  como el producto 5 ×   1  , b

(4 )

anotando la conclusión mediante la ecuación   5 = 5 ×   1  . 4

Parcialmente competente

Competente

Altamente competente

Representan fracciones como múltiplos de fracciones unitarias con el mismo denominador.

Usa la recta numérica para representar  4  como un 3

número entero por una fracción unitaria. Luego, completa la ecuación.

  4  = 3

×   1  3

623

EUREKA MATH2

4 ▸ M4

4.Mód4.CLA9 Multiplican una fracción por un número entero.

__ b (n × a) 2  como 6 ×  __ 1 __a ______ __6 modelo visual de fracciones para expresar 3 ×  __   ). ( ) (  ), reconociendo el producto como     . ( En general, n ×     =   CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

4.NF.B.4.b Entienden que un múltiplo de   a  es un múltiplo de   1  , y utilizan este entendimiento para multiplicar una fracción por un número entero. Por ejemplo, utilizan un b

Parcialmente competente Multiplican una fracción por un número entero. Completa la ecuación. Usa la recta numérica como ayuda. 2 5

2 5

3 ×   2  = 5

624

Competente

¿Qué expresiones son equivalentes a 3 ×   2  ? Selecciona 5 las dos expresiones correctas.

__ __ ____ _____ ____

Altamente competente

Identifican expresiones que son equivalentes a una fracción multiplicada por un número entero.

A. 6 ×   1  5 2 B. 6 ×     5 3 × 2 C.     5 3+2 D.     5 2 E.     3×5

Multiplican un número mixto por un número entero. Completa la ecuación.

3 × 1   2  = 5

EUREKA MATH2 4 ▸ M4

4.Mód4.CLA10 Resuelven problemas verbales que involucran la multiplicación de una fracción por un número entero. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADOS

4.NF.B.4.c Resuelven problemas verbales relacionados a la multiplicación de una fracción por un número entero, por ejemplo, utilizan modelos visuales de fracciones y

ecuaciones para representar el problema. Por ejemplo, si cada persona en una fiesta come  3  de una libra de carne, y hay 5 personas en la fiesta, ¿cuántas libras de carne 8

se necesitarán? ¿Entre qué números enteros está tu respuesta?

4.MD.A.2 Utilizan las cuatro operaciones para resolver problemas verbales sobre distancias, intervalos de tiempo, volúmenes líquidos, masas de objetos y dinero, incluyendo problemas con fracciones simples o decimales, y problemas que requieren expresar las medidas dadas en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña. Representan cantidades medidas utilizando diagramas tales como rectas numéricas con escalas de medición.

Parcialmente competente Resuelven problemas verbales que involucran la multiplicación de una fracción unitaria por un número entero.

Un recipiente contiene  1  de cuarto de galón de agua. Se 4

necesitan 5 recipientes enteros para llenar una cubeta.

¿Cuántos cuartos de galón de agua contiene la cubeta?

Competente Resuelven problemas verbales que involucran la multiplicación de una fracción por un número entero.

Un recipiente contiene  3  de cuarto de galón de agua. Se 4

necesitan 5 recipientes enteros para llenar una cubeta.

¿Cuántos cuartos de galón de agua contiene la cubeta?

Altamente competente Resuelven problemas verbales que involucran la multiplicación de un número mixto por un número entero.

Un recipiente contiene 1   3  cuartos de galón de agua. Se 4

necesitan 5 recipientes enteros para llenar una cubeta.

¿Cuántos cuartos de galón de agua contiene la cubeta?

625

EUREKA MATH2

4 ▸ M4

4.Mód4.CLA11 Crean un diagrama de puntos para representar un conjunto de datos de mediciones en fracciones de una unidad (__   1 ,   1 ,   1 ) y resuelven problemas sobre sumas y restas de fracciones utilizando los diagramas de puntos. 2 4 8

__ __ __

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

(2 4 8 )

4.MD.B.4 Hacen un diagrama de puntos para representar un conjunto de datos de medidas en fracciones de una unidad   1  ,   1  ,   1  . Resuelven problemas sobre sumas y restas de fracciones utilizando la información presentada en los diagramas de puntos. Por ejemplo, al utilizar un diagrama de puntos, hallan e interpretan la diferencia de longitud entre los ejemplares más largos y más cortos en una colección de insectos.

Parcialmente competente Resuelven problemas sobre sumas y restas de fracciones utilizando la información representada en diagramas de puntos. Un panadero registra la cantidad de azúcar que usa para cada pastel que hornea y representa los datos usando el diagrama de puntos que se muestra.

Azúcar en los pasteles

× 0

× × × 1

× × 1

14 12 14

Competente

Altamente competente

Crean un diagrama de puntos para representar un conjunto de datos de mediciones en fracciones de una

__ __ __

(2 4 8 )

unidad   1 ,   1 ,   1  y resuelven problemas sobre sumas y

restas de fracciones utilizando los diagramas de puntos. Un panadero registra la cantidad de azúcar que usa para cada pastel que hornea en la tabla de abajo.

EUREKA MATH2

4 ▸ M4

Pastel

Tazas de azúcar

1 14

1 34

1 14

1 34

1 14

Parte A Crea un diagrama de puntos para representar la información de la tabla.

Cantidad de azúcar (tazas)

Parte B ¿Cuántas tazas de azúcar usa en total para los pasteles

que llevan 1   3  tazas de azúcar? 4

¿Cuántas tazas de azúcar usa en total para los pasteles

que llevan 1   3  tazas de azúcar? 4

626

Vocabulario Los siguientes términos son sumamente importantes para el trabajo en el módulo 4 de 4.o grado. Este recurso agrupa el vocabulario en las siguientes categorías: Nuevo, Conocido y Verbos académicos. Las lecciones del módulo incorporan el vocabulario con la expectativa de que la clase emplee el vocabulario durante las discusiones y en sus escritos. Los elementos en la categoría Nuevo son palabras específicas de la disciplina que se presentan a la clase en este módulo. Estos elementos incluyen la definición, la descripción o una ilustración como aparece en la lección. En ocasiones, este recurso incluye también explicaciones en cursiva para las maestras y los maestros destinadas a ampliar la terminología usada con la clase. Los elementos de la categoría Conocido son palabras específicas de la disciplina que se han presentado en módulos o en grados anteriores. Los elementos de la categoría Verbos académicos son términos de gran utilidad que pueden usarse en otras disciplinas. Los términos provienen de una lista de verbos académicos que se presentan estratégicamente en el currículo para este grado.

Nuevo denominador El denominador de una fracción identifica la unidad fraccionaria e indica cuántas de esa unidad fraccionaria forman 1 entero. Por ejemplo, en __43   , el 4 indica que la unidad fraccionaria es cuartos. (Lección 8) denominador común Cuando dos o más fracciones tienen la misma unidad fraccionaria, tienen un denominador común (o el mismo denominador). La frase hallar un denominador común se suele usar para referirse a expresar con otro nombre dos o más fracciones de modo que tengan el mismo denominador. (Lección 14)

628

numerador El numerador de una fracción identifica el número de unidades fraccionarias. Por ejemplo, el 3 en __43   indica que hay 3 de la unidad fraccionaria __41   . (Lección 8) numerador común Cuando dos o más fracciones tienen el mismo número de unidades fraccionarias, tienen un numerador común (o el mismo numerador). (Lección 15) número mixto Un número mixto es un número entero más una fracción menor que 1, aunque generalmente no se escribe el signo de suma. Por ejemplo, 3 3 el número mixto 2 __4  es la misma cantidad que 2 + __4  . (Lección 5)

Conocido datos diagramas de puntos dividir forma fraccionaria forma unitaria fracción equivalente fracción mayor que 1 fracción unitaria marcar múltiplo propiedad asociativa de la multiplicación

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 propiedad asociativa de la suma propiedad distributiva signos >, =, < unidad fraccionaria

Verbos académicos En el módulo 4 no se presenta ningún verbo académico de la lista de 4.o grado.

629

Las matemáticas en el pasado Una pequeña fracción de la historia de las fracciones

2 3

Podemos pensar en ellas como recíprocos. Un tercio, por ejemplo, solo se podría haber escrito con un numerador

3 4

de 1 y un denominador de 3. En cambio, en la actualidad 3 4 __ __

¿De qué maneras se han escrito las fracciones a través de los años? ¿Cómo realizaban operaciones con fracciones las personas en el pasado? ¿Alguno de esos métodos aritméticos se sigue usando en la actualidad? __5 Pida a sus estudiantes que escriban la fracción   en una hoja de papel.

podemos expresar un tercio como 12     o 9   porque son

Luego, pídales que escriban la misma fracción de una manera diferente usando un sistema de notación alternativo. ¿Pueden hacerlo?

como 2   + 8   (el recíproco de 2 más el recíproco de 8). Este pueblo elegía

__5 La mayor parte de la clase escribirá la primera expresión como   , con 8

los dos números, 5 y 8, ubicados de manera vertical y separados por una barra horizontal. (Esta línea horizontal se conoce también como barra fraccionaria). Ante el desafío de hallar otra manera de representar esta fracción, puede haber estudiantes que hayan pensado en escribir 5/8, usando una barra diagonal. (Esta línea diagonal se conoce también como barra oblicua). Puede haber estudiantes que hayan pensado en escribir el número decimal 0.625 o las palabras cinco octavos. Puede haber alguien que recuerde de 3.er grado que en la antigua Grecia las fracciones se escribían usando una tilde para representar el numerador y dos tildes para el denominador. Es probable que la clase no esté familiarizada con la mayoría de estas notaciones fraccionarias, pero las civilizaciones a través de los tiempos sí lo habrían estado. Hace más de tres milenios y medio, en el antiguo Egipto, las fracciones se escribían usando símbolos jeroglíficos. Para representar una fracción se ubicaba un punto,

__1

equivalentes a 3  . Curiosamente, en Egipto se crearon

símbolos especiales para representar dos tercios, tres cuartos y un medio. Todas las otras fracciones se describían como una suma de recíprocos de números enteros. El pueblo egipcio expresaba las fracciones no unitarias como una

__5

suma de diferentes fracciones unitarias. Por ejemplo, 8   se expresaba

__1

no repetir nunca una cantidad en una suma, entonces no expresaba tres octavos, por ejemplo, como el recíproco de 8 más el recíproco de 8 más

el recíproco de 8.

__3

Pida a sus estudiantes que consideren cómo se podría haber escrito 8   .

__3

Una manera de escribir 8   sería usar un método llamado el algoritmo voraz.

Primero, se resta la mayor cantidad posible que sea una fracción unitaria

__2 __3

o una de las fracciones especiales (es decir, 3   y 4  ). El objetivo es obtener

__3

__1

1 __

    . una fracción unitaria y repetir el proceso de ser necesario: 8   − 3   = 24

__5

¿Pueden sus estudiantes hallar dos maneras diferentes de expresar 6   como lo hacían en el antiguo Egipto?

Si eso parece una tarea difícil de completar, ¡es porque lo es! El papiro de Ahmes, un antiguo manuscrito egipcio con fecha de 1650 a. e. c. y que en la actualidad lleva ese nombre en honor a Ahmes, el escriba que lo escribió, contiene tablas de fracciones expresadas con el método egipcio. ¡Aparentemente quienes estudiaban las matemáticas en esa época también necesitaban ayuda para expresar las fracciones!

llamado parte, o un óvalo, llamado boca, arriba del

1/3 630

símbolo del número entero. El pueblo egipcio usaba fracciones unitarias, o fracciones con un numerador de 1.

EUREKA MATH2 4 ▸ M4 Es posible que las personas del antiguo Egipto también hallan reconocido

en la parte superior

las fracciones como una parte del ojo de Horus. Horus era miembro

y el denominador en la

de una familia gobernante de Egipto hace mucho, mucho tiempo. Cuenta

parte inferior. Sin embargo,

la historia que en una batalla su ojo se desgarró en seis partes. Thoth,

había una gran diferencia:

el dios de la sabiduría, volvió a unir esas partes, y a cada una de ellas se le

¡no usaban una línea para

__1 __1 asignó una fracción: El lado derecho del ojo era 2   , la pupila era 4   , la ceja 1 1 __1 __ __     , la cola curva era 32     y la lágrima era 8   , el lado izquierdo del ojo era 16 1 __ era     . Cada denominador era un múltiplo de dos, y las fracciones

se escribía como 2   . Si había

también se usaban en el hekat, uno de los sistemas egipcios de medición

muchas fracciones juntas

de volumen más antiguos.

en una página, se dibujaban segmentos de recta alrededor de ellas para

Escriba las fracciones del sistema hekat como fracciones equivalentes

que se vieran con mayor claridad.

32 __ 16 __ 8 __ 4 __ 2 __ 1 __   , 64   , 64     , 64     , 64     y 64     ) y pida a sus con un denominador de 64 (es decir, 64 63 __ estudiantes que las sumen. Deberían obtener una suma de   . 64

Algunas personas creen que 1 __

la fracción que falta, 64     ,

es en realidad la magia que

__1

El manuscrito Bakhshālī, un texto matemático antiguo que se descubrió en 1881 y que se remonta a alrededor del año 400 e. c., incluye reglas y ejemplos de aritmética. Para escribir números mixtos, el número entero se escribía arriba de la

1/4 = Vista

fracción. Por ejemplo, 7 3  se escribiría como 2 .

1/8 = Pensamiento

el ojo de Horus.

1/16 = Oído

Otras personas creen que las

1/32 = Gusto

distintos sentidos: el olfato,

__1

denominador! Por ejemplo, 2  

1/2 = Olfato

usó Thoth para volver a juntar

fracciones representan los

separar el numerador del

__2

__3

¿Pueden sus estudiantes identificar el número mixto 3 8  en el manuscrito? Si miran con atención, se puede ver en el medio y se denominaba trayastraya-ashtha (tres tres octavos).

1/64 = Tacto

la vista, el pensamiento, el oído, el gusto y el tacto. Pregunte a sus estudiantes qué sentido le asignarían 1 __

a la fracción que falta, 64     . ¿Qué sentidos les gustaría que fueran un poco

más agudos?

Textos antiguos de la India que se remontan a obras del periodo védico, . como los Śulba-sūtras de alrededor del año 500 a. e. c. y el Rgveda de alrededor del año 1000 a. e. c., muestran que quienes estudiaban las matemáticas en esa parte del mundo escribían las fracciones de manera

Para sumar y restar fracciones, en la antigua India se usaban fracciones equivalentes de manera que cada fracción se escribía usando la unidad más grande posible. Esto se hacía mediante un proceso que llamaban

__4

9 __

    , por ejemplo, la expresión se reescribiría apavartana. Para hallar 8   + 12 13 24

como . Su método para luego sumar esas fracciones equivalentes era parecido al que se usa ahora: usar el mismo denominador. Sin embargo, la notación que se usaba para la resta de fracciones era diferente de la que acostumbramos usar. El signo de suma se ubicaba después de un número para indicar la resta.

parecida a como las escribimos en la actualidad: con el numerador

631

EUREKA MATH2

4 ▸ M4

__2

__1

__3

Por ejemplo, 3   − 2   se habría escrito como 2 1 +. La expresión 1 − 4  

32 1 se habría escrito como 3 . Se puede especular que las personas que 4+

estudiaban las matemáticas pensaban en la resta como lo contrario de la suma: dos tercios es un medio más algo más, mientras que uno es tres cuartos más algo más. Alrededor de la misma época, las comunidades en la antigua China usaban un sistema de valor posicional en base 10 como el que usamos en la actualidad y expresaban las fracciones como lo hacían las personas que estudiaban las matemáticas en la India: con un numerador y un denominador alineados de manera vertical, pero sin una barra de fracciones entre ellos. El texto antiguo Los nueve capítulos del arte matemático (Nine Chapters on the Mathematical Art), de alrededor del año 100 a. e. c., explica las reglas para realizar operaciones con fracciones. También sumaban y restaban fracciones reescribiéndolas con un denominador común.

632

Aunque hemos estado usando las palabras numerador y denominador en este ensayo, esos términos no se inventaron hasta la Edad Media para describir los dos números en la fracción. Las personas que estudiaban las matemáticas en Europa usaban la palabra numerator, que en latín significa “el que cuenta”, para el número en la parte superior de la fracción, y la palabra denominator, que en latín significa “el que da nombre”, para el número en la parte inferior. Tal como aprendió la clase en 3.er grado, el experto en matemáticas musulmán Abū Bakr al-H.as. s.ār creó la barra de fracciones que separa el numerador del denominador en el siglo XII y el experto en matemáticas italiano Leonardo Pisano introdujo su uso en Europa. Fibonacci denominaba a la barra de fracciones virga, en relación con la palabra del latín para ramita. En la actualidad, esta barra horizontal se conoce como barra fraccionaria o simplemente línea. Si se presentara alguna confusión sobre cómo expresar una fracción, el antiguo método romano podría ser una opción útil: solo escriba la fracción con palabras. Este método suele ser muy claro… a menos que se necesite una traducción.

Materiales Se necesitan los siguientes materiales para implementar este módulo. Las cantidades sugeridas se basan en una clase de 24 estudiantes y una maestra o un maestro. 25

barras de pegamento

papel de rotafolio, bloc

borradores para las pizarras blancas individuales

pizarras blancas individuales

computadora o dispositivo para la enseñanza

proyector

hilo de 8 pies

reglas

lápices

tarjetas de índice

lápices de colores, paquete de 2 colores

tijeras

libro Enseñar

tiras de papel de 2″ × 11″

libros Aprender

marcadores de borrado en seco

tiras de papel de 2  _ ″ × 5  _ ″ 1 8

1 2

Visite http://eurmath.link/materials para saber más.

634

Obras citadas Ask Dr. Math. “Roman Numerals,” The Math Forum at NCTM, accessed September 22, 2020, http://mathforum.org/dr.math/faq/faq .roman.html#calc. Berlinghoff, W. P. and F. Q. Gouvêa. Math Through the Ages: A Gentle History for Teachers and Others. Oxton House Publishers and MAA, 2015. CAST. Universal Design for Learning Guidelines version 2.2. Retrieved from http://udlguidelines.cast.org, 2018. Common Core Standards Writing Team. Progressions for the Common Core State Standards in Mathematics. Tucson, AZ: Institute for Mathematics and Education, University of Arizona, 2011–2015. https://www.math.arizona.edu/~ime/progressions/. Dhwty. “Eye of Horus: The True Meaning of an Ancient, Powerful Symbol.” Ancient Origins Blog, November 18, 2018. https://www.ancient -origins.net/artifacts-other-artifacts/eye-horus-0011014. MacTutor History of Mathematics Archive. “The Bakhshali manuscript,” School of Mathematics and Statistics at the University of St Andrews, Scotland, accessed September 22, 2020, https:// mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Bakhshali_manuscript/.

National Governors Association Center for Best Practices, Council of Chief State School Officers (NGA Center, CCSSO). 2013. Common Core State Standards English/Spanish Language Version. Estándares Estatales Comunes de Matemáticas. Translated by San Diego County Office of Education. San Diego, CA: San Diego County Office of Education. ReFaey, Karim, Gabriella C. Quinones, William Clifton, Shashwat Tripathi, and Alfredo Quinones-Hinojosa. “The Eye of the Horus: The Connection Between Art, Medicine, and Mythology in Ancient Egypt.” Cureus, US National Library of Medicine National Institutes of Health, May 23, 2019, https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/ articles/PMC6649877/. Sykorova, I. “Fractions in Ancient Indian Mathematics.” MATFYZ Press, 2010. Zwiers, Jeffrey, Jack Dieckmann, Sara Rutherford-Quach, Vinci Daro, Renae Skarin, Steven Weiss, and James Malamut. Principles for the Design of Mathematics Curricula: Promoting Language and Content Development. Retrieved from Stanford University, UL/ SCALE website: http://ell.stanford.edu/content/mathematics -resources-additional-resources, 2017.

635

Créditos Great Minds® has made every effort to obtain permission for the reprinting of all copyrighted material. If any owner of copyrighted material is not acknowledged herein, please contact Great Minds for proper acknowledgment in all future editions and reprints of this module. Common Core State Standards Spanish Language Version © Copyright 2013. San Diego County Office of Education, San Diego, California.All rights reserved. All United States currency images Courtesy the United States Mint and the National Numismatic Collection, National Museum of American History.

Cover, pages 27, 28, Frank Stella (b. 1936), Tahkt-I-Sulayman Variation II, 1969, acrylic on canvas. Minneapolis Institute of Art, MN. Gift of Bruce B. Dayton/Bridgeman Images. © 2020 Frank Stella/Artists Rights Society (ARS), New York; page 37, venski/Shutterstock.com; page 106, Av ONYXprj/Shutterstock.com; page 111, The Yarvin Italian Collection/Alamy Stock Photo; page 164, eurobanks/Shutterstock.com; page 372, greenpic. studio/Shutterstock.com; page 379, Rob Marion/Shutterstock.com; pages 556, 560, 562, Ros Drinkwater/Alamy Stock Photo; page 631 (right), Dinendra Haria/Alamy Stock Photo, (left), Eireann/Shutterstock.com; All other images are the property of Great Minds.

For a complete list of credits, visit http://eurmath.link/media-credits.

636

Agradecimientos Kelly Alsup, Lisa Babcock, Adam Baker, Reshma P. Bell, Joseph T. Brennan, Leah Childers, Mary Christensen-Cooper, Jill Diniz, Janice Fan, Scott Farrar, Krysta Gibbs, Torrie K. Guzzetta, Kimberly Hager, Eddie Hampton, Andrea Hart, Rachel Hylton, Travis Jones, Liz Krisher, Courtney Lowe, Bobbe Maier, Ben McCarty, Ashley Meyer, Bruce Myers, Marya Myers, Victoria Peacock, Maximilian Peiler-Burrows, Marlene Pineda, Elizabeth Re, Jade Sanders, Deborah Schluben, Colleen Sheeron-Laurie, Jessica Sims, Tara Stewart, Mary Swanson, James Tanton, Julia Tessler, Jillian Utley, Saffron VanGalder, Rafael Velez, Jackie Wolford, Jim Wright, Jill Zintsmaster Ana Álvarez, Lynne Askin-Roush, Trevor Barnes, Rebeca Barroso, Brianna Bemel, Carolyn Buck, Lisa Buckley, Shanice Burton, Adam Cardais, Christina Cooper, Kim Cotter, Gary Crespo, Lisa Crowe, David Cummings, Jessica Dahl, Brandon Dawley, Julie Dent, Delsena Draper,

Sandy Engelman, Tamara Estrada, Ubaldo Feliciano-Hernández, Soudea Forbes, Jen Forbus, Reba Frederics, Liz Gabbard, Diana Ghazzawi, Lisa Giddens-White, Laurie Gonsoulin, Adam Green, Dennis Hamel, Cassie Hart, Sagal Hasan, Kristen Hayes, Abbi Hoerst, Libby Howard, Elizabeth Jacobsen, Amy Kanjuka, Ashley Kelley, Lisa King, Sarah Kopec, Drew Krepp, Stephanie Maldonado, Siena Mazero, Alisha McCarthy, Cindy Medici, Ivonne Mercado, Sandra Mercado, Brian Methe, Patricia Mickelberry, Mary-Lise Nazaire, Corinne Newbegin, Max Oosterbaan, Tara O’Hare, Tamara Otto, Christine Palmtag, Laura Parker, Jeff Robinson, Gilbert Rodríguez, Todd Rogers, Karen Rollhauser, Neela Roy, Gina Schenck, Amy Schoon, Aaron Shields, Leigh Sterten, Rhea Stewart, Mary Sudul, Lisa Sweeney, Karrin Thompson, Cherry dela Victoria, Tracy Vigliotti, Dave White, Charmaine Whitman, Glenda Wisenburn-Burke, Howard Yaffe

637

Exponencialmente mejor Conocimientos2 Siguiendo con la tradición de ayudar a los maestros y maestras con todo lo que necesiten para que sus estudiantes desarrollen un conocimiento profundo y coherente de las matemáticas, Eureka Math2 ofrece colecciones de videos y recomendaciones hechas a medida de los y las profesionales con más y con menos experiencia. Digital2 A través de una experiencia digital perfectamente integrada, Eureka Math2 incluye cientos de imágenes inteligentes, videos cautivadores y actividades digitales interactivas que encienden la chispa de la conversación y el asombro en su salón de clases. Accesible2 Siempre con nuestros lectores y lectoras en mente, Eureka Math2 se ha diseñado cuidadosamente para que quienes tengan dificultades con la lectura puedan acceder a las lecciones, los problemas verbales, ¡y más! Sonrisas2

Con Eureka Math2, usted y sus estudiantes se enamorarán de las matemáticas,

o recordarán qué era lo que les hizo enamorarse de ellas.

ISBN 978-1-63898-681-2

Frank Stella (b. 1936), Tahkt-I-Sulayman Variation II, 1969, acrylic on canvas. Minneapolis Institute of Art, MN. Gift of Bruce B. Dayton/Bridgeman Images. © 2020 Frank Stella/Artists Rights Society (ARS), New York 9

781638 986812

Módulo 1 Conceptos de valor posicional para la suma y la resta Módulo 2 Conceptos de valor posicional para la multiplicación y la división Módulo 3 Multiplicación y división de números de varios dígitos Módulo 4 Fundamentos para las operaciones con fracciones Módulo 5 Conceptos de valor posicional para las fracciones decimales Módulo 6 Medidas angulares y figuras planas