Secciones cónicas

Universidad Intercontinental Septiembre 2023

UIC

Secciones Cónicas a Nuestro Alrededor.

Matemáticas a simple vista.

La historia de las secciones cónicas La primera definición que se tiene sobre las secciones cónicas se remonta hasta la antigua Grecia (340 a.C) gracias a los intentos de Hipócrates de Quíos sobre la resolución del problema clásico de la Duplicación del Cubo mediante la interpolación de dos medias proporcionales y donde estas fueron definidas como “secciones de un cono circular recto” conocidas también por el nombre de “Las cónicas de Menecmo”.

Aunque según el testimonio de Proclo y Eutocius Menecmo fue el primero en descubrir las secciones cónicas, quizás no fue así pues se tienen registros alrededor del 400 a.C En los cuales Arquitas de Tarento gran político reformador y maestro de Platón, había estudiado el problema de la Duplicación del Cubo, obteniendo las dos medias proporcionales mediante una compleja intersección de un cono de revolución, un cilindro de revolución y una superficie tórica. Así pues, Arquitas pudo haber estudiado la elipse como sección oblicua del cilindro.

Por otra parte, después de la línea recta, es la elipse la curva más habitual en la experiencia, ya que los objetos circulares mirados de forma oblicua, así como la sombra que arrojan, son elípticos.

Más adelante los importantes descubrimientos de Arquímedes sobre las secciones cónicas dieron pie a obras como

la

cuadratura de la Parábola y el método mecánico en la obra Sobre el Método relativo a los teoremas mecánicos dedicado a Eratóstenes, esto pone en un alto grado de importancia el desarrollo de la teoría de las secciones cónicas en la época de arquímedes y está siendo muy cercana a la de Apolonio.

Fue Apolonio en Las Cónicas quien no sólo demostró que de un cono único pueden obtenerse los tres tipos de secciones, variando la inclinación del plano que corta al cono, lo cual era un paso importante en el proceso de unificar el estudio de los tres tipos de curvas, sino que demostró que el cono no necesita ser recto y consideró, asimismo, el cono con dos hojas, con lo que identifica las dos ramas de la hipérbola.

¿Cuántas secciones cónicas existen y cuáles son?

Las secciones cónicas se dividen en 4 tipos: Circunferencia, Elipse, Parábola e Hipérbola. Estas son las secciones cónicas más comunes y sus características principales.

Circunferencia: Origen en el cono: Una circunferencia surge cuando un plano corta el cono de forma perpendicular a su eje.

Ecuación: La ecuación general de una circunferencia en el plano cartesiano es (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, donde (h, k) es el centro de la circunferencia y r es su radio.

Elipse: Origen en el cono: Una elipse surge cuando un plano corta el cono de forma oblicua, de manera que el plano no sea paralelo al eje del cono.

Ecuación: La ecuación general de una elipse centrada en el origen es x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, donde a y b representan la semieje mayor y la semieje menor respectivamente.

Parábola: Origen en el cono: Una parábola surge cuando un plano corta el cono de forma paralela a uno de sus generatrices.

Ecuación: La ecuación general de una parábola en su forma estándar es y = ax^2 + bx + c, donde a, b y c son constantes que determinan la forma y posición de la parábola.

Hipérbola: Origen en el cono: Una hipérbola surge cuando un plano corta el cono de forma oblicua, de manera que el plano sea paralelo a una de las generatrices, pero no intersecta al cono.

Ecuación: La ecuación general de una hipérbola centrada en el origen es x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1, donde a y b representan la distancia del centro de la hipérbola a los vértices en el eje x y el eje y respectivamente. .

Gráficas de las secciones cónicas Elementos básicos.

● Superficie - una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo. ● Generatriz - la generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas. ● Vértice - el vértice es el punto central donde se cortan las generatrices. ● Hojas - las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución. ● Sección - se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad

y la inclinación del plano

respecto del eje del cono , pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante, esto es, La elipse es una curva cerrada.

La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje. β = 90º La circunferencia es un caso particular de elipse La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz. α=β La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.

La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica. α>β La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas separadas.

Importancia de las secciones cónicas Hemos hablado sobre cuáles y de dónde vienen estas secciones cónicas pero la pregunta que todos debemos de hacernos es “¿para qué nos sirven?” “¿Cuál es su importancia en la vida cotidiana de cada persona?”. Y es que estas secciones cónicas como las matemáticas no solo se limitan a un ente científico, sino que están en nuestra vida cotidiana en cosas que nosotros vemos diariamente como lo son numerosos diseños y logotipos o en estructuras arquitectónicas, en las antenas parabólicas, en los faros de los automóviles, etc. Desempeñan un papel fundamental en las leyes de kepler que describen los movimientos de los astros ya que como un ejemplo claro de cómo funcionan en este ámbito astronómico es que como precisamente sus órbitas son elipses pues ahí determinamos una parte de las secciones cónicas teniendo como foco el Sol, nos encontramos con diversos fenómenos matemáticos observables dentro de nuestra vida cotidiana como lo puede ser la arquitectura de Fernando Romero quien fue el diseñador de el museo Soumaya en 1994 ubicado en Ciudad de México.

Arquitectura de las secciones cónicas Podemos apreciar diversos ejemplos de la arquitectura de las secciones cónicas como: ● Un ejemplo de Hipérbola en el museo de Soumaya ubicado en Ciudad de México fundado en 1944 (Img.01) ● Ejemplo de Parábola en la Torre Eiffel, Francia fundada en 1887 (Img. 02) ● Ejemplo de circunferencia MGS Sphere, Las Vegas fundada en 2023 (Img. 03)

Maqueta de las secciones cónicas Para el proyecto semestral hemos elegido hacer la maqueta para nuestra exposición la torre Eiffel, ejemplo de una arquitectura de las secciones cónicas ejemplificando la parábola.

Podemos concluir a partir de esta investigación que las secciones cónicas están presentes en nuestro alrededor y son parte de nuestra vida cotidiana útil, son parte de estructuras y cosas comunes que vemos en la calle como podrían ser los conos de tránsito y/o en lo que comemos, como un simple barquillo de helado.

A Partir de esta investigación nos dimos cuenta de que las matemáticas tienen una historia y contexto de fondo como en este caso los repetidos intentos de Hipócrates por resolver el problema de la Duplicación del Cubo mediante la interpolación de dos medias proporcionales o los nombres que se les dieron 150 años después de su descubrimiento por Apolonio de Perga, un tema sutilmente interesante y con una historia enriquecedora detrás de esta los cuales son datos que quizás poca gente conoce.

Hemos aprendido sobre la historia de las secciones cónicas, sus ecuaciones y sus elementos en las gráficas,

Biografía matemáticos:Apolonio (3 de 5)

Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia https://virtual.uptc.edu.co › mat › Apolonio3.asp.htm -https://www.ungs.edu.ar/wp-content/uploads/2014/10/Las-Secciones-Cónicas-en-Escuela-Secund aria.-Un-análisis-matemático-y-didáctico.pdf-https://www.studysmarter.es/resumenes/matemat icas/geometria/conicas/