FLORENCE NIGHTINGALE EN DE BESCHRIJVENDE STATISTIEK 30
Met medewerking van Uitwiskeling, VVWL
(Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars), GeoGebra Instituut, Vlaamse Wiskunde Olympiade, Ars et Mathesis en Pythagoras
3 HET VERHAAL VAN
DE MEETKUNDE ZOALS VERTELD
DOOR MUNTSTUKKEN
IN KWADRAAT 13
18 DE WONDERE WERELD
VAN DE WISKUNDE: DIVERGENTE REEKSEN
SKOLEMRIJEN 24
28 NEEM MET JE LEERLINGEN
DEEL AAN DE EUROPESE
STATISTIEKOLYMPIADE
GESCHIEDENIS IN DE WISKUNDELES:
FLORENCE NIGHTINGALE EN DE BESCHRIJVENDE STATISTIEK 30
36 SCHAAKBORTONDE
DE DISCRIMINANT: ANDERS BEKEKEN 41
VECTOR
8e jaargang - nummer 26
REDACTIE Bart Delepierre, Daphné Depape, Anke Oderij, Karel Sierens, Esther Verhelst - die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge, educatief@diekeure.be
EXTERNE AUTEURS die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met educatief@diekeure.be.
VECTOR is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in België.
VERANTWOORDELIJKE UITGEVER die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge
VORMGEVING EN DRUK Isabelle Tilleman - die Keure, Brugge
REACTIES Al je reacties, suggesties en opmerkingen zijn welkom op educatief@diekeure.be
WISKUNDE EN ONDERWIJS
HET VERHAAL VAN DE MEETKUNDE ZOALS VERTELD DOOR MUNTSTUKKEN
DIT ARTIKEL VERTELT HET VERHAAL VAN EEN AANTAL BELANGRIJKE ONTWIKKELINGEN IN DE GESCHIEDENIS VAN DE MEETKUNDE, MET
MODERNE HERDENKINGSMUNTEN ALS ACHTERGROND EN ILLUSTRATIE. HENRYK FUKŚ IS PROFESSOR WISKUNDE EN STATISTIEK AAN BROCK UNIVERSITY, CANADA, GESITUEERD IN DE BUURT VAN DE NIAGARA FALLS. ZIJN ONDERZOEKSDOMEIN IS CELLULAIRE AUTOMATEN. HIJ IS OOK ACTIEF OP HET GEBIED VAN DE GESCHIEDENIS VAN DE WISKUNDE. JE KAN EEN AANTAL VAN ZIJN ARTIKELS LEZEN OP ARXIV.
De meetkunde is een van de oudste takken van de wiskunde. Ze bestudeert eigenschappen van de ruimte en eigenschappen van objecten (figuren) in de ruimte, met behulp van begrippen als afstand, vorm en grootte. Bijna alle oude beschavingen ontwikkelden meetkundige concepten, vooral voor het meten van lengtes, oppervlaktes en volumes. De Mesopotamische en Egyptische beschavingen worden beschouwd als de eerste culturen waar dergelijke concepten opdoken, maar de oud-Griekse wiskundigen worden gezien als de ware grondleggers van rigoureuze meetkundige procedures en waren de eersten die deductief redeneren gebruikten om meetkundige problemen op te lossen. In de volksmond wordt de Griekse meetkunde vaak geassocieerd met
Pythagoras en zijn beroemde stelling over rechthoekige driehoeken. Dit werd besproken in [1], dus we zullen het hier niet herhalen, maar we willen wel vermelden dat er in 2013 door de Bank van Griekenland in het kader van het programma “Griekse cultuur –wiskundigen” een munt is uitgegeven ter ere van Pythagoras. (Noot van de vertaler: ook [2] en [3] zijn interessant en online te lezen!) (Figuur 1)
Ondanks de populariteit van Pythagoras bij studenten elementaire meetkunde, hebben historici van de wiskunde de neiging om de nadruk te leggen op de prestaties en invloed van andere oud-Griekse wiskundigen, vaak aangeduid als de ‘grote drie’, namelijk Euclides (ca. 325–ca. 270 v.Chr.), Archimedes van Syracuse (ca. 287–ca. 212 v.Chr.) en Apollonius van Perga (ca. 240 v.Chr.–ca. 190 v.Chr.).
Figuur 1 – Pythagoras op een Griekse 10 euro (2013)
Afb.: Bank van Griekenland
Euclides wordt beschouwd als de vader van de meetkunde en is beroemd om zijn boek De Elementen, het meest succesvolle leerboek aller tijden. Het is waarschijnlijk het meest gedrukte boek na de Bijbel en het werd tot het begin van de 20ste eeuw als leerboek gebruikt. Alleen al in het Engels zijn er bijna 20 verschillende vertalingen.
Het is dan ook enigszins verrassend dat Euclides bijna 23 eeuwen moest wachten om op een munt te worden vereeuwigd. Dit gebeurde in 2023, toen de Nationale Bank van Griekenland een zilveren munt van 10 euro uitgaf met een portret van Euclides op de voorzijde, ontworpen door Geórgios Stamatópoulos. Het portret is uiteraard een product van de verbeelding van de kunstenaar, aangezien er geen afbeelding van Euclides bewaard is gebleven. De achterzijde is een mozaïek van verschillende meetkundige figuren waarvan de eigenschappen worden onderzocht in de Elementen, zoals lijnen, cirkels, ellipsen en veelhoeken. De oplettende lezer zal merken dat er ook spiralen op staan
dit is een beetje een anachronisme, aangezien er in de werken van Euclides geen melding wordt gemaakt van spiralen. (Figuur 2)
De volgende van de “grote drie”, Archimedes, bestudeerde wel spiralen. Net als Euclides moest hij wachten tot 2015 om op een munt te worden afgebeeld. Dit is ook een zilveren proofmunt, onderdeel van dezelfde serie van de Bank van Griekenland als de munt van Euclides en ontworpen door dezelfde graveur. Archimedes, een van de grootste wiskundigen uit de geschiedenis, ontwikkelde ingenieuze methoden voor het berekenen van oppervlaktes en volumes van meetkundige figuren, waaronder de cirkel, de ellips en de bol, en de omwentelingsparaboloïde en -hyperboloïde. Hij vond hiervoor de “exhaustiemethode” uit, waarmee hij vooruitliep op de moderne infinitesimaalrekening die aan het einde van de 17de eeuw werd ontwikkeld. De buste van Archimedes op de bovengenoemde munt wordt afgebeeld tegen de achtergrond van een systeem van samengestelde katrollen,
een van zijn talrijke uitvindingen, een eenvoudige machine die ook bekend staat als een “takelblok”. De cirkels op de achterzijde, waarvan er één de rol van nul speelt in het opschrift “10 euro”, zijn waarschijnlijk een eerbetoon aan de vermeende laatste woorden van Archimedes: “Noli turbare circulos meos!” (“Verstoor mijn cirkels niet!”). Volgens de Romeinse schrijver Valerius Maximus sprak Archimedes deze woorden (in iets andere bewoordingen) tegen een Romeinse soldaat die hem kwam doden tijdens het beleg van Syracuse in 212 v.Chr., verwijzend naar een tekening van meetkundige figuren die Archimedes kort voor de dodelijke ontmoeting in het zand had geschetst. (Figuur 3)
De derde van de ‘grote drie’, Apollonius van Perga, staat bekend om zijn werk over de zogenaamde kegelsneden, krommen die worden verkregen door als snijkromme van een kegeloppervlak met een vlak. Deze krommen worden nog steeds aangeduid met de namen die Apollonius ze gaf, namelijk de ellips, de parabool en de hyperbool.
Figuur 2 – Euclides op een Griekse 10 euro (2023)
Afb.: Bank van Griekenland
Figuur 3 – Archimedes op een Griekse 10 euro (2015)
Afb.: Bank van Griekenland
Apollonius heeft nog geen eigen munt, maar men kan hopen dat dit in de nabije toekomst verandert, aangezien de Bank van Griekenland het programma “Griekse cultuurwiskundigen” voortzet. Er is in 2024 nog een munt in het kader van dit programma uitgegeven, ditmaal met Thales van Milete (ca. 624–ca. 540 v.Chr.). Iedereen die het geluk had om op de middelbare school traditioneel meetkundeonderwijs te krijgen, herinnert zich zijn naam zeker dankzij de basisstelling van evenredigheid, beter bekend als de stelling van Thales: als BC en DE evenwijdig zijn, dan is DE/BC = AE/ AC = AD/AB. Er zijn geen geschriften van Thales bewaard gebleven, maar de stelling van Thales komt voor in het eerste boek van Euclides’ Elementen als de 26ste stelling. (Figuur 4-5)
En hier heb ik een klein puntje van kritiek: de nogal raadselachtige achterkant van de munt van Thales is naar mijn mening een gemiste kans. Een illustratie van de basisstelling van de evenredigheid lijkt een meer voor de hand liggende keuze (noot van de vertaler: of een figuur met
een rechthoekige driehoek en de omgeschreven cirkel, verwijzend naar wat in Nederland de stelling van Thales wordt genoemd).
Zoals we in het begin al vermeldden, ontwikkelden ook andere oude beschavingen meetkundige ideeën en boekten ze vooruitgang in het uitbreiden van de meetkundige kennis. De Chinese beschaving was er daar zeker een van. Zu Chongzhi (429–500) was een van de meest vooraanstaande Chinese wiskundigen uit de late oudheid, wiens grootste prestatie een benadering van het getal was. Hij vond boven- en
ondergrenzen voor de exacte waarde van , 3,1415926 < < 3,1415927, en gaf de rationele benadering 355/113. (Figuur 6)
De zilveren munt van 5 yuan, uitgegeven in 1986 door de Volksrepubliek China, toont een portret ten voeten uit van Zu Chongzhi tegen de achtergrond van de hamermolen, een van zijn mechanische uitvindingen. Linksboven zien we de veelhoek ingeschreven in een cirkel. Bij het afleiden van zijn resultaten met betrekking tot , benaderde Zu Chongzhi de cirkel met n-hoeken, waarbij hij n liet toenemen. Het is niet
Figuur 4 – Thales op een Griekse 10 euro (2023) Afb.: Bank van Griekenland
Figuur 6 – Zu Chongzhi op 5 yuan Volksrepubliek China (1986) Afb.: Heritage Auctions
Figuur 5 – Stelling van Thales
Afb.: Nicostella, Wikimedia
precies bekend hoe Zu Chongzhi zijn interval van grenzen voor heeft verkregen, maar sommige auteurs vermoeden dat hij begon met een zeshoek en vervolgens het aantal zijden vele malen verdubbelde, waardoor hij regelmatige veelhoeken met 12, 24, 48 zijden, enz. verkreeg. Internetbronnen zoals Wikipedia beweren met autoriteit dat hij uiteindelijk uitkwam op een veelhoek met 3 • 212 zijden, maar er zijn geldige redenen om hieraan te twijfelen. Wiskundehistorici vermoeden dat hij eigenlijk begon met een vierkant, waarbij hij het aantal zijden verdubbelde totdat hij een veelhoek met 215 zijden kreeg. Gelukkig had de ontwerper van de munt in 1986 geen toegang tot Wikipedia, waardoor hij neigde naar de meer waarschijnlijke hypothese en een achthoek op de munt afbeeldde. Dit komt overeen met de eerste stap in de benadering: 4 zijden van een vierkant resulteren na verdubbeling in een veelhoek met 8 zijden, d.w.z. een achthoek.
Terugkomend op de Griekse wiskundigen, wordt vaak gezegd dat na de dood van Archimedes de
meetkunde een terugval kende. Pappus van Alexandrië (ca. 290–ca. 350) en een commentator op Euclides’ Elementen, Proclus Lycius (412–485), zijn inderdaad de enige Griekse namen uit de late oudheid die het vermelden waard zijn als het gaat om abstracte meetkunde. Niettemin kan worden gesteld dat de praktische meetkunde een veel beter lot beschoren was. Claudius Ptolemaeus (ca. 100–ca. 170) schreef zijn baanbrekende astronomische verhandeling, nu bekend als Almagest, waarin hij zijn geocentrische model van het universum beschreef, uitsluitend gebaseerd op meetkundige principes. Hij schreef ook een boek dat bekend staat als Geographia, waarin hij uitlegde hoe kaarten te tekenen met behulp van geografische coördinaten, vergelijkbaar met wat we vandaag de dag gebruiken. In 1992 gaf Cuba een zilveren munt van 10 peso uit ter ere van Ptolemaeus samen met een 15de-eeuwse kaartmaker en wiskundige Paolo Toscanelli (1397–1482). (Figuur 7)
De reden waarom ze allebei zijn opgenomen, is omdat Toscanelli gebruikmaakte van de geografische informatie van Ptolemaeus uit Geographia en op het idee kwam om naar het westen te zeilen met de bedoeling om Azië te bereiken en dat door een afstand van maar 6500 mijl af te leggen. Hij maakte een kaart om zijn idee te illustreren. Columbus had de kaart van Toscanelli en die overtuigde hem om een directe waterroute van Europa naar Azië te zoeken. Een moderne weergave van de kaart (het origineel is verloren gegaan) staat op de Cubaanse munt, die de 500ste verjaardag van de reis van Columbus herdenkt. Op deze kaart is te zien dat Cipango (Japan) van Europa en Afrika wordt gescheiden door de Mare Oceanum (Oceaanzee). We komen straks terug op het onderwerp cartografie, maar zullen nu eerst de ontwikkelingen in de meetkunde in chronologische volgorde bespreken.
In de middeleeuwen gebeurde er niet veel op het gebied van abstracte meetkunde, hoewel in de late middeleeuwen de praktische
Figuur 7 – Cuba 10 peso (1992) Ptolemaeus en Toscanelli Afb.: ALAMIR, Numista
Figuur 8 – Filippo Brunelleschi op 1000 lire, San Marino (1977) Afb.: Comptoir des Monnaies, Numista
meetkunde weer opbloeide. De monumentale gotische kathedralen van Europa zijn een levend bewijs van de vaardigheden van middeleeuwse architecten die verschillende meetkundige methoden gebruikten om deze prachtige bouwwerken te ontwerpen, in te richten en te bouwen.
Aan het begin van de 15de eeuw zien we een andere belangrijke ontwikkeling in de praktische meetkunde. Filippo Brunelleschi (1377–1446), afgebeeld op de munt van 1000 lire van San Marino uit 1977 (600 jaar na zijn geboorte), was een Italiaanse architect en ontwerper. In de jaren 1415–1420 voerde hij een reeks experimenten uit die hem leidden tot de ontdekking van het lijnperspectief, een methode om een driedimensionaal object weer te geven op een tweedimensionaal doek, waardoor de illusie van diepte ontstaat. Hij wordt gezien als de eerste persoon die de principes van het lijnperspectief nauwkeurig heeft beschreven. Op de voorzijde van de munt van San Marino staat een groep mensen afgebeeld op een verhoogd platform of steiger,
vermoedelijk de architect Brunelleschi die iets bespreekt met bouwvakkers. De balken die loodrecht op het vlak van de munt staan, komen samen in een punt buiten de munt, volgens de regels van het perspectief, hoewel er een beetje fisheye-vervorming is toegevoegd om te harmoniseren met de ronde vorm van de munt. (Figuur 8)
In de jaren 1470 ontwikkelde de Italiaanse schilder Piero della Francesca (1415–1492) de ideeën van Brunelleschi verder en produceerde een invloedrijk werk getiteld De prospectiva pingendi (Over het perspectief van de schilderkunst). Geï̈nspireerd door het werk van Euclides beschreef Piero della Francesca de wiskundige principes van het perspectief en legde hij uit hoe perspectief met kleuren kan worden
gecreëerd. Op de Italiaanse munt van 500 lire uit 1992 staat op de voorzijde een portret van della Francesca en op de achterzijde een van zijn beroemdste fresco’s, De verrijzenis van Christus. (Figuur 9)
Hoewel de compositie van De verrijzenis van Christus gebaseerd is op enkele meetkundige principes, wordt het gebruik van perspectief beter geïllustreerd in della Francesca’s De geseling van Christus, waar een aantal rechte lijnen duidelijk naar één punt convergeren.
Figuur 9 – della Francesca op 500 lire, Italië (1992) Afb.: whitegandalf, Numista
Figuur 10 – De verrijzenis van Christus
De geseling van Christus van della Francesca
Afb.: louis-garden, Wikimedia
(Figuur 10)
Na della Francesca, aan het begin van de 16de eeuw, heeft de franciscaanse monnik Luca Pacioli (1447–juni 1517) de perspectiefleer verder ontwikkeld in zijn boek Divina proportione (1509). Het boek bespreekt het begrip proporties in de beeldende kunst in de context van perspectief met toepassingen in de architectuur. Op de Italiaanse munt van 500 lire uit 1994 staat zijn portret afgebeeld, omringd door de inscriptie “1494 Luca Pacioli 1994”. Het jaar 1494 staat voor de publicatiedatum van zijn andere invloedrijke werk Summa de arithmetica, dat onder andere de eerste gepubliceerde beschrijving van het dubbel boekhoudsysteem bevat. Dit werk leverde hem de bijnaam “vader van de boekhouding” op.
Na de ontwikkelingen in de praktische meetkunde te hebben besproken, keren we terug naar meer abstracte problemen. In de eerste helft van de 17de eeuw vond er een belangrijke ontwikkeling plaats in de abstracte meetkunde, die kan worden omschreven als het ‘huwelijk tussen meetkunde
en algebra’. Dit was voornamelijk te danken aan René Descartes (1596–1650), die de principes van de analytische meetkunde formuleerde, oftewel de studie van meetkunde met behulp van een coördinatensysteem. Tegenwoordig wordt analytische meetkunde vaak cartesiaanse meetkunde genoemd en wordt Descartes gezien als de enige grondlegger ervan, hoewel het de moeite waard is om te benadrukken dat Pierre de Fermat (1601–1665) ook een bijdrage heeft geleverd aan dit onderwerp. Op de in 1991 uitgegeven munt van Frankrijk (100 francs) staat het hoofd van Descartes afgebeeld met zijn haar dat aan de linkerkant vloeiend overgaat in boeken en aan de rechterkant in een boekrol. Iets meer gerelateerd aan meetkunde is de munt van 50 lire van San Marino uit 1996 met het borstbeeld van Descartes gegraveerd in Cartesiaanse
assen. (Figuur 12-13) Als we verdergaan naar de 18de en 19de eeuw, komen we de imposante figuur Carl Friedrich Gauss (1777–1855) tegen, een van de meest invloedrijke wiskundigen in de geschiedenis van de wiskunde, vaak aangeduid als de ‘Prins der Wiskundigen’. Dit is niet de plaats om zijn talloze bijdragen aan verschillende takken van de wiskunde te beschrijven, we zullen het alleen hebben over de meetkunde. Voordat we dat doen, willen we vermelden dat in 1977, op de 200ste geboortedag van Gauss, twee “concurrerende” munten werden uitgegeven door de toenmalige twee verschillende
Figuur 11 – Luca Pacioli op 500 lire, Italië (1994) Afb.: narracan coins, Numista
Figuur 13 – René Descartes op 50 lire, San Marino (1996) Afb.: Wilsonbar, Numista
Figuur 12 – René Descartes op 100 francs, Frankrijk (1991)
Afb.: nordboutik59 – Jérémy Pureur, Numista
Duitse staten, de Duitse Democratische Republiek en de Bondsrepubliek Duitsland.
De Oost-Duitse munt had een waarde van 20 mark (Oost-Duitse mark natuurlijk) en was voorzien van de grafiek van de Gauss-curve, de bekende kansverdelingsfunctie die veel wordt gebruikt in de statistiek, ook wel bekend als de ‘Gauss-klok’. Dit is een zeer goed gekozen symbool voor de bijdragen van Gauss aan de wiskunde, omdat het direct herkenbaar is en verankerd is in de populaire cultuur. (Figuur 14)
De West-Duitse munt, met een waarde van 5 DM (Deutsche Mark), is een meer typische herdenkingsmunt
met het portret van Gauss, dat sterk geïnspireerd is op het bekende schilderij van Christian Albrecht Jensen uit 1840, waarop Gauss zijn karakteristieke hoed draagt. (Figuur 15-16)
Hoewel in de jaren 70 de wisselkoers op de zwarte markt 5 tot 10 OostDuitse marken voor één Duitse mark was, waardoor de munt van 5 DM waardevoller was dan de munt van 20 Oost-Duitse marken van de DDR, haalt de Oost-Duitse munt vandaag de dag veel hogere prijzen op de verzamelaarsmarkt dan zijn WestDuitse tegenhanger. Dit weerspiegelt natuurlijk vooral het verschil in oplage (55.000 versus 1 miljoen).
Gauss wordt beschouwd als een van de ontdekkers van de niet-Euclidische meetkunde, waarover later meer. Gauss stond echter ook aan de basis van de differentiaalmeetkunde van oppervlakken, die verschilt van de Cartesiaanse meetkunde omdat zij oppervlakken bestudeert vanuit het standpunt van een ‘interne’ waarnemer die zich gedwongen ziet zich op het oppervlak te bewegen alsof het tweedimensionaal is. Een van Gauss’ grootste verwezenlijkingen op dit gebied was zijn Theorema Egregium 1827. (“Opmerkelijke Stelling”), die informeel zegt dat de kromming van
Figuur 16 – Carl Friedrich Gauss door Christian Albrecht Jensen (1840). Afb.: Wikipedia
Figuur 15 – Carl Friedrich Gauss op 5 Deutsche Mark, Duitsland (1977). Afb.: RuibaiK, Numista
Figuur 14 – Gauss-curve op 20 mark, DDR (1977) Afb.: Numista
een oppervlak volledig kan worden bepaald door hoeken en afstanden op het oppervlak zelf te meten.
Een van de gevolgen van deze stelling is dat het oppervlak van een bol niet zonder vervorming op een vlak kan worden weergegeven, waardoor het onmogelijk is om een kaart van een aanzienlijk deel van de aarde te maken die vrij is van vervorming. Neem bijvoorbeeld een veelgebruikte kaartprojectie die bekend staat als de mercatorprojectie, uitgevonden door de Vlaamse geograaf Gerardus Mercator (1512–1594) en afgebeeld op de Duitse zilveren munt van 5 mark uit 1969. (Figuur 16-17)
De Mercatorprojectie heeft een aantal uitstekende eigenschappen: ze is richtinggetrouw en ook vormgetrouw, maar objecten die ver van de evenaar liggen, worden wel vergroot. Dit wordt geı̈llustreerd in de voorbeeldkaart (rechts) door rode cirkels die in werkelijkheid dezelfde oppervlakte hebben, maar op de kaart verschillende groottes. Gauss toonde aan dat elke projectie, hoe slim ook, altijd zal leiden tot een
soortgelijke vervorming. Zoals reeds vermeld, wordt de naam van Gauss vaak in verband gebracht met een andere belangrijke ontwikkeling in de meetkunde. Om deze te beschrijven, zijn enkele inleidende opmerkingen nodig. In de Elementen gaf Euclides vijf postulaten voor de vlakke meetkunde. Postulaten of axioma’s zijn uitspraken die als vanzelfsprekend worden beschouwd en geen bewijs behoeven. De eerste vier gaan ervan uit dat het altijd mogelijk is (1) om een rechte lijn te trekken van elk punt naar elk ander punt, (2) om een eindig lijnstuk continu te verlengen in een rechte lijn, (3) om een cirkel te tekenen met elk middelpunt en elke straal en (4) alle rechte hoeken gelijk zijn aan elkaar. Het vijfde postulaat, het
parallellenpostulaat genoemd, was veel ingewikkelder en niet meteen voor de hand liggend, namelijk
Wanneer een rechte lijn m twee andere rechte lijnen zodanig snijdt dat de som van de binnenhoeken aan dezelfde kant van m kleiner is dan twee rechte hoeken, dan zullen de twee andere lijnen elkaar ergens aan die kant van m snijden.
Tegenwoordig formuleren we het vijfde postulaat meestal in de equivalente vorm die door John Playfair (1748–1819) is gegeven: In een vlak, gegeven een lijn en een punt dat niet op die lijn ligt, dan kan er door het punt hoogstens één lijn parallel aan de gegeven lijn worden getrokken.
Figuur 16 – Gerardus Mercator op 5 mark, Duitsland (1969) Afb.: RuibaiK, Numista
Figuur 17 – Mercatorvervorming Afb.: Wikimedia Commons
Omdat het vijfde postulaat niet vanzelfsprekend is, hebben wiskundigen meer dan tweeduizend jaar lang geprobeerd dat postulaat te bewijzen met behulp van de eerste vier. In de 19de eeuw bleek uiteindelijk dat deze pogingen zinloos waren, omdat het parallellenpostulaat onafhankelijk is van de overige vier. Men kan daarom een zelfconsistente versie van de meetkunde construeren met of zonder het vijfde postulaat, wat betekent dat er niet één meetkunde bestaat, maar vele meetkundes. Dit opmerkelijke en werkelijk baanbrekende resultaat werd, zoals zo vaak gebeurt, onafhankelijk en bijna gelijktijdig ontdekt door twee mensen, de Hongaarse wiskundige János Bolyai (1802–1860) en de Russische wiskundige Nikolaj Ivanovitsj Lobatsjevski (1792–1856).
Zowel Rusland als Hongarije herdachten hun landgenoten met munten. (Figuur 18-19)
De Russische koperen-nikkel munt van 1 roebel herdenkt de 200ste verjaardag van Lobatsjevski. Het is een van de eerste herdenkingsmunten die in 1992
door de Russische Federatie werd geslagen na het uiteenvallen van de Sovjet-Unie, met op de voorzijde de nieuwe inscriptie “Bank of Russia” in plaats van het vroegere “CCCP”. Op de achterzijde staat een voorstelling van Lobatsjevski.
De 200ste verjaardag van de geboorte van János Bolyai vond 10 jaar later plaats, in 2002, en Hongarije volgde dit voorbeeld door deze gebeurtenis te herdenken met een zilveren munt van 3000 forint. Bolyai publiceerde zijn werk over niet-Euclidische meetkunde in 1831 als bijlage bij een boek dat door zijn vader was geschreven. Op de achterzijde staat de volledige titel van dit werk (in het Latijn):
Appendix. Scientiam Spatii absolute veram exhibens: a veritate aut falsitate Axiomatis XI. Euclidei (a priori haud unquam decidenda) independentem: adjecta ad casum falsitatis, quadratura circuli geometrica.
In het Nederlands vertaalt dit zich als: “Bijlage. Tonend dat de wetenschap van de ruimte absoluut waar
is: onafhankelijk van het XIe Euclidische axioma (waarover nooit a priori een uitspraak kan worden gedaan) dat waar of onwaar is: in het geval dat het onwaar is, wordt de meetkundige kwadratuur van de cirkel gegeven.”
De voorzijde toont een exacte kopie van een van de figuren uit de bijlage, namelijk Figuur 19. (Figuur 19-20)
Tijdens zijn leven kreeg Bolyai niet de erkenning die hij verdiende. Een kopie van het werk in de bijlage werd door Farkas Bolyai, de vader van János, naar Gauss gestuurd.
–
Figuur 18 – Nikolaj Ivanovitsj Lobatsjevski op 1 roebel, Rusland (1991) Afb.: tolnomur, Numista
Figuur 19 – János Bolyai’s Figuur 10 op 3000 forint, Hongarije (2002). Afb.: numismatics.com
Figuur 20
Figuur 20 uit János Bolyai’s Appendix. Afb.: Archive.com
Gauss antwoordde dat hij het werk van János niet kon prijzen, omdat het dan zou lijken alsof hij zichzelf prees, aangezien hij de belangrijkste resultaten enkele jaren eerder al had ontdekt. Dit was een verwoestende klap voor Bolyai, ook al kon Gauss geen aanspraak maken op prioriteit, aangezien hij de vermeende bevindingen nooit had gepubliceerd. Bovendien werd na de dood van Gauss in geen van zijn teksten enig schriftelijk bewijs van de bovengenoemde uitspraak gevonden.
De ontdekkingen van Bolyai en Lobatsjevski raakten na hun publicatie in de vergetelheid en werden bijna volledig vergeten tot in de jaren 1860, toen het werk van Bernhard Riemann (1826–1866) over differentiaalmeetkunde een nieuwe golf van belangstelling voor niet-Euclidische meetkunde teweegbracht. Riemann stelde een zeer algemeen recept voor om een meetkunde te definiëren in een willekeurige ruimte. Zijn recept vereist enkel dat je afstanden
tussen punten kan meten, zodat je voor twee willekeurige punten kan spreken over de kortste weg tussen beide, en dat je hoeken kan meten tussen elkaar snijdende krommen. Het begrip afstand maakt het mogelijk om een grootheid te berekenen die bekend staat als de kromming, die in de ruimte met de Euclidische meetkunde overal precies nul is. Hoewel Riemann ze niet expliciet zo noemde, zijn de meetkundes van Bolyai en Lobatsjevski speciale gevallen van de Riemannse meetkunde die overeenkomen met een constante negatieve kromming. Tegenwoordig staan dergelijke meetkundes bekend als Bolyai–Lobatsjevski of hyperbolische meetkundes. Na de tweede helft van de 19de eeuw maakte de meetkunde opnieuw een intense groei door. Naast differentiaalmeetkunde verschenen er veel nieuwe takken, waaronder algebraï̈sche, eindige en computationele meetkunde. Sommige van deze vakgebieden
OEFENING 1
zijn nog erg nieuw en we zullen nog even moeten wachten voordat we hun grondleggers op munten terugzien. De volgende gelegenheid is echter al heel dichtbij: in 2026 vieren we de 200ste geboortedag van Bernhard Riemann. Hopelijk worden ook zijn bijdragen aan de wiskunde, waaronder de meetkunde, geëerd met een mooie munt.
REFERENTIES
1 H. Fukś, “Mathematical formulae on coins. part 2: from Pythagoras to the 20th century”, The Canadian Numismatic Journal 61 (2016), no. 5, 208–213, arXiv:1609.09485.
2 H. Fukś, “Mathematics on coins, part I: The tale of two queens and two towering figures”, The Canadian Numismatic Journal 57 (2012), no. 5, 304–315, arXiv:1601.07394.
3 H. Fukś, “Mathematical formulae on coins. part 1: Einstein”, The Canadian Numismatic Journal 61 (2016), no. 4, 167–169, arXiv:1609.09485.
Dit artikel is een vertaling van: H. Fukś, “The Story of Geometry Told by Coins”, The Canadian Numismatic Journal 69 (2024), no. 4, 154–161, arXiv:2512.24349.
Tine moest met haar rekenmachine het volgende product uitrekenen: 1,1 × 1,2 × 1,3 × 1,4
Bij een van de vier getallen vergat Tine de komma in te tikken en zo verkreeg ze 24,024 als resultaat. Welke uitspraak is zeker waar?
A Tine vergat de komma bij 1,1. D Tine vergat de komma bij 1,4.
B Tine vergat de komma bij 1,2. E Tine kan de komma bij elk van de vier getallen vergeten zijn.
C Tine vergat de komma bij 1,3.
IN KWADRAAT
IN DE VOLKSTAAL SPREKEN WIJ SOMS VAN EEN SUCCES IN KWADRAAT. DAT IS DUS EEN ENORM SUCCES: IETS WAAR WIJ VIERKANT ACHTER KUNNEN
STAAN. HIER PRATEN WIJ ALLEEN OVER KWADRATEN ALS HET PRODUCT
VAN EEN POSITIEF GEHEEL GETAL a MET ZICHZELF. ZO’N PRODUCT IS DAN
OOK DE OPPERVLAKTE a2 VAN EEN VIERKANT MET ZIJDEN a.
DAVE ODEGARD
Kwadraten ontstaan dus door een vermenigvuldiging, maar kunnen ook opgebouwd worden door een optelling van oneven getallen. Dit is visueel onmiddellijk duidelijk. Zie figuur 1. Hier geeft de zwarte steen met vier noppen de eenheidsmaat aan.
Denk nu aan de rij van oneven kwadraten. (1, 9, 25, …) en aan de rij even kwadraten (4, 16, 36,…).
a. Wat is de regelmaat in de afstand tussen de getallen in deze rijen? b. Hoe kun je je vermoeden bewijzen?
In het tegelpatronen van figuur 2 is te zien hoe je oneven kwadraten kunt opbouwen en in figuur 3 is te zien hoe je even kwadraten kunt opbouwen.
Wat zouden de formules voor de som van de eerste kwadraten, de som van de eerste oneven kwadraten en de som van de eerste even kwadraten zijn? Er is een clou te vinden in de formule voor de eerste positieve gehele getallen. Deze bekende formule is simpel te verklaren. Maak een tweede reeks
door de reeks om te draaien en plaats de twee reeksen onder elkaar. Dan steeds naar beneden optellen en alles bij elkaar heb je als som. Maar dit is twee keer te veel. Dus het antwoord is
Deze methode is ook aan te passen voor elke rekenkundige reeks.
Figuur 1
Figuur 2
Figuur 3
PYTHAGORAS
Kijk nu naar deze som in kwadraat.
en Het vermoeden is dat
c. Definieer een functie en laat zien dat en voor anders! Daarmee bewijs je als de juiste formule is voor de derdemachten, dan is dat voor de derdemachten.
d. De somformule voor gehele getallen is tweedegraads. In opdracht c is te zien dat de somformule voor derdemachten vierdegraads is. Je zou kunnen denken dat de som van tweede machten (kwadraten) derdegraads is. Dit is maar een vermoeden, maar als het waar is dan zijn de 4 coëfficiënten van de formule bepaald door de eerste vier sommen. Bepaal deze 4
coëfficiënten. Noem je formule
e. Laat zien dat en dat
Dit voelt een beetje als valsspelen en toch geluk hebben. Hetzelfde gevoel als wanneer je een aanname doet bij het oplossen van een Sudoku. Het zou veel bevredigender zijn om de formule gewoon af te leiden. Daar heb ik iets voor.
Kijk naar figuur 4 om een begin te maken. Hier is de som van de eerste vijf kwadraten in stapels van oneven getallen.
f. Kan je met behulp van figuur 4 de formule voor de som van de eerste kwadraten direct afleiden?
Nu hebben wij genoeg om de somformule voor de eerste even kwadraten en de somformule voor de eerste oneven kwadraten te bepalen.
g. Wat zijn deze formules?
In figuur 5 is een piramide te zien, opgebouwd uit de eerste zeven kwadraten. Figuur 6 laat deze piramide van de onderkant zien. Hij is helemaal hol. Ik beschouw weer de bovenste steen met vier noppen als de eenheidsmaat.
h. Hoeveel stenen van eenheidsmaat zijn er nodig om dit soort piramides te bouwen met lagen? Er zijn tenminste vier manieren om dit antwoord te berekenen. Geef je antwoord op in kwadraten en in termen van .
Figuur 4
Figuur 5
Figuur 6
IN KWADRAAT
ANTWOORDEN
a. De afstanden vormen een rekenkundige rij met een verschil van 8. Denk aan figuur 1. In de rij 1, 9, 25,.. is het eerste verschil de som van 3 en 5. Het tweede verschil is de som van 7 en 9. 7 is 4 meer dan 3 en 9 is 4 meer dan 5 dus 9 + 7 is 8 meer dan 3 + 5 en dit geldt voor alle afstanden in beide rijen.
b. De som van de eerste even kwadraten is 4 keer de som van de eerste kwadraten. Dit is makkelijk in te zien want etc.
c. d. Als dan en Dan is e.
f.
g. De som van de eerste even kwadraten is gelijk aan vier keer de som van de eerste kwadraten en dus gelijk aan
De som van de eerste oneven kwadraten is gelijk aan de som van de eerste 2 kwadraten min de eerste even kwadraten en dus gelijk aan
h. Het snelste antwoord komt door in te zien dat als de piramide niet hol was, het gat hetzelfde was als de bovenste . Dus het antwoord is . Het antwoord is ook te krijgen met . Een derde methode is om de lagen van de uitgeholde piramide op te tellen. Dit geeft een rekenkundige reeks: .
En met magisch denken kun je de rode lagen ongehinderd laten vallen om de onderste laag op te vullen en dan de zwarte lagen laten vallen om de laag daarboven op te vullen zoals in figuur 2 en figuur 3.
OEFENING 2
Welk van de onderstaande getallen is deelbaar door 225?
OEFENING 3
Emma tekent met concentrische halfcirkels een regenboog met zeven banden zoals in de figuur. Wat is de verhouding van de oppervlakte van de grootste band tot de oppervlakte van de kleinste band?
OEFENING 4
In café De Ton kost een halve liter gemberbier € 5. In café Het Vat kost een flesje van 25 cl gemberbier € 3. Welke bewering is juist?
A Gemberbier in Het Vat is 20 % duurder dan in De Ton.
B Gemberbier in De Ton is 20 % goedkoper dan in Het Vat.
C Gemberbier in Het Vat is 25 % duurder dan in De Ton.
D Gemberbier in De Ton is 25 % goedkoper dan in Het Vat.
E In beide cafés kost gemberbier evenveel.
OEFENING 5
De figuur toont een schijf met vijf kruisjes die om haar middelpunt kan draaien. Circe wil de getallen 1, 2, 3, 4 en 5 op de plaats van de kruisjes zetten, op zo’n manier dat steeds aan de volgende voorwaarden voldaan is:
• Op elk kruisje staat een verschillend getal.
• Wanneer Circe de schijf zo draait dat 1 bovenaan staat, staat 2 in de linkerhelft en 3 in de rechterhelft.
• Wanneer Circe de schijf zo draait dat 3 bovenaan staat, staat 4 in de linkerhelft en 5 in de rechterhelft. Hoeveel mogelijkheden zijn er waarbij 5 bovenaan staat?
OEFENING 6
Erno bouwt een grote 3 × 3 × 3-kubus met 9 houten kubusjes en 18 transparante glazen kubusjes zoals in de figuur hiernaast. Hij bekijkt de kubus langs voor, achter, links, rechts, boven en onder. Bij hoeveel van die zes aanzichten van de grote kubus kan Erno alle 9 houten kubusjes zien?
PYTHAGORAS
DE WONDERE WERELD VAN DE WISKUNDE:
DIVERGENTE
REEKSEN
HET GEBEURT WEL VAKER IN DE WISKUNDE DAT THEORETISCHE
RESULTATEN PAS VELE JAREN LATER OOK PRAKTISCH NUT BLIJKEN TE HEBBEN. HET BEROEMDSTE VOORBEELD ZIJN DE PRIEMGETALLEN, DIE AL BEKEND WAREN IN DE TIJD VAN EUCLIDES. ZE WERDEN GRONDIG
BESTUDEERD DOOR PIERRE DE FERMAT IN DE ZEVENTIENDE EEUW, MAAR ZE ZIJN PAS RECENT ONMISBAAR GEWORDEN VOOR DE BEVEILIGING VAN IEDERS BANKGEGEVENS. HIER ZULLEN WE HET HEBBEN OVER WISKUNDIGE
REEKSEN. DAT ZIJN SOMMEN MET ONEINDIG VEEL TERMEN. ZE WORDEN IN DE WISKUNDE EN IN DE INGENIEURSWETENSCHAPPEN ERG VAAK GEBRUIKT. ARCHIMEDES WERKTE ER AL MEE. DIVERGENTE REEKSEN VORMEN EEN GEVAL APART. IN DIT ARTIKEL BESTUDEREN WE ER EEN, NAMELIJK 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … DEZE REEKS KOM JE BIJVOORBEELD TEGEN IN HET CASIMIR-EFFECT UIT DE KWANTUMFYSICA.
PAUL LEVRIE
HENDRIK CASIMIR EN HET CASIMIR-EFFECT
De Nederlandse natuurkundige
Hendrik Casimir (1909-2000) is vooral bekend voor zijn Casimireffect. Dit effect is eenvoudig uit te leggen aan de hand van een oude gravitatietheorie.
De Zwitsers wiskundige Nicolas Fatio de Duillier (1664-1753) gaf in 1690 de volgende mechanische verklaring
voor de onderlinge aantrekking van twee lichamen. Om te beginnen veronderstelde hij dat de ruimte geen vacuüm is, maar vol kleine deeltjes of golven zit die met een hoge snelheid in willekeurige richtingen bewegen. Als die deeltjes of golven op hun weg een massa tegenkomen, dan vindt er een botsing plaats. Stel nu dat zich in de ruimte twee massa’s bevinden zoals in figuur 1.
De pijlen op de figuur geven inslaande deeltjes weer. Het effect van de deeltjes die invallen vanuit een richting loodrecht op de verbindingslijn van de twee massa’s wordt gecompenseerd door de even zoveel deeltjes die aan de andere kant inslaan. Maar in het gebied tussen de twee massa’s zullen zich geen horizontaal bewegende deeltjes bevinden. De massa’s verhinderen dat met hun
3 – De onderste golf tussen de twee platen heeft frequentie 1, de goven erboven hebben achtereenvolgens frequentie 2,3,4.
aanwezigheid (ze zitten namelijk in de weg). Gevolg is dat het effect van de horizontaal inslaande deeltjes op de figuur niet wordt gecompenseerd. Daardoor worden de twee massa’s naar elkaar toe gedreven.
In 1948 verscheen Casimirs artikel On the attraction between two perfectly conducting plates in de Proceedings van de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen (zie figuur 2).
Casimir paste hier ongeveer hetzelfde principe toe als Fatio de Duillier, maar hield hierbij rekening met de kwantumwereld waarin wij leven. De ruimte zit vol met in alle richtingen bewegende deeltjes en antideeltjes die op willekeurige momenten ontstaan en ook weer verdwijnen. De redenering van Fatio de Duillier zou hier dus gebruikt kunnen worden, ware het niet dat er ook deeltjes en antideeltjes zullen ontstaan in het gebied tussen de twee massa’s. Maar, zei Casimir, als we nu bijvoorbeeld twee metalen platen nemen en we brengen die zo dicht bij elkaar dat bepaalde deeltjes er niet tussen passen, dan zitten we wel in de situatie zoals beschreven door Fatio. En dan zouden die twee platen naar elkaar toe moeten geduwd worden. Volgens de kwantumtheorie zullen tussen de twee platen enkel deeltjes kunnen ontstaan waarvan de golflengte precies een geheel aantal keer in de afstand tussen deze platen past (zie figuur 3).
Buiten deze platen kunnen deeltjes een willekeurige golflengte hebben. Dit heeft voor gevolg dat de energiedichtheid tussen de platen kleiner is dan de energiedichtheid buiten de platen. En een maat voor de energiedichtheid tussen deze platen is op een factor na gegeven door de volgende som, waarover meer in de volgende paragraaf:
Als we afspreken dat de onderste golf tussen de platen op de figuur als frequentie 1 heeft, dan hebben
Figuur 1 – Twee massa's; de pijltjes geven inslaande deeltjes weer.
Figuur 2 – Begin van het artikel van Casimir
Figuur
de golven erboven respectievelijk de frequenties 2, 3, 4, enzovoort. Voor de totale energie moeten we de energie van al die deeltjes optellen en dat zorgt ervoor dat er in het resultaat een som zit zoals die hierboven.
SRINIVASA RAMANUJAN EN DIVERGENTE REEKSEN
Op 16 januari 1913 schreef de toen onbekende Indische klerk Srinivasa Ramanujan (1887-1920) vanuit Madras een brief naar de Britse wiskundige G.H. Hardy (1877-1947).
De brief van 10 bladzijden bevatte naast een inleiding ook 120 formules, zonder bewijs. Eén ervan was de volgende:
De drie puntjes in het linkerlid duiden erop dat je moet blijven optellen ad infinitum, dus zonder te stoppen. De oneindige som in het linkerlid wordt in de wiskunde een (oneindige) reeks genoemd (zie tekstkader 1 op p. 22). Dit resultaat is op zijn minst onwaarschijnlijk te noemen. Hoe kan je nu een negatief resultaat krijgen als je (oneindig veel!) positieve getallen optelt? Ook Hardy zal waarschijnlijk wel even zijn wenkbrauwen hebben gefronst, maar nadat hij samen met zijn wiskundecollega J.E. Littlewood (1885-1977) de brief wat grondiger had bestudeerd, besliste hij om Ramanujan naar Engeland te halen. Ramanujan was hierover verbaasd, want zelf vertelt hij in een volgende brief naar Hardy, op 27 februari, over zijn wedervaren met een professor uit Londen, die hem naar aanleiding van
zijn schrijven had geantwoord dat hij niet in de valkuil van de divergente reeksen mocht vallen. Ramanujan schreef hierover naar Hardy (zie figuur 4 voor de eerste pagina van de brief):
"Ik vertelde hem dat in mijn theorie . Als ik dit aan u vertel, dan verwijst u me dadelijk naar een krankzinnigengesticht."
Het is niet zo moeilijk om na te gaan dat er in deze formule van Ramanujan een grond van waarheid zit. Dat zie je in de bijgevoegde tekstkaders 2 en 3 op p. 22-23. Soortgelijke manieren om zo de som te bepalen leiden overigens altijd tot hetzelfde resultaat, namelijk
DE REEKS VAN RAMANUJAN
TOEGEPAST BIJ HET CASIMIR-EFFECT
De energiedichtheid tussen de twee evenwijdige platen is dus nu gekend: volgens Ramanujan hebben we
De kracht tussen de twee platen kan hieruit afgeleid worden, en die is gelijk aan
Hierbij is de gereduceerde constante van Planck (een natuurkundige constante die de basis vormt van de kwantumfysica waarin verondersteld wordt dat energie gekwantiseerd is, dus enkel kan voorkomen in veelvouden van
een basisenergie waarvan de grootte bepaald is door deze constante), de lichtsnelheid, en de afstand tussen de twee platen. Het minteken wijst op aantrekking.
Het Casimir-effect is in 1997 experimenteel geverifieerd: twee metalen platen die zeer dicht bij elkaar geplaatst worden, trekken elkaar aan. De waargenomen waarden komen met een nauwkeurigheid van 1% overeen met de theoretische berekeningen.
Het Casimir-effect blijkt ook praktisch nut te hebben, bijvoorbeeld bij het volgende fenomeen: microscopische onderdelen van computers blijken nogal eens aan elkaar te blijven plakken, wat problemen veroorzaakt bij het hanteren ervan (in het Engels noemen we dit effect stiction).
Het blijkt mogelijk te zijn van de Casimirkracht een afstotende kracht te maken i.p.v. een aantrekkende.
Het Casimir-effect zorgt er bijvoorbeeld ook voor dat gekko’s op muren en plafonds kunnen lopen zonder naar beneden te vallen: de miljoenen microscopische haartjes op hun poten worden aangetrokken door het oppervlak waarover ze lopen.
WAT MEER ACHTERGROND
Ramanujan was niet de eerste die over divergente reeksen schreef. Hij had alvast als illustere voorganger Leonhard Euler (1707-1783), een Zwitsers wiskundige aan wie we o.a. een aantal veelgebruikte notaties in de wiskunde te danken hebben. De nu nog steeds gebruikte functienotatie bijvoorbeeld, en de letter e die de basis vormt van
de exponentiële functie. Ook de i bij de complexe getallen heeft hij ingevoerd.
Euler was zeer veelzijdig, en liet een omvangrijk oeuvre na, dat je volledig gratis online kunt raadplegen (https:// scholarlycommons.pacific.edu/eulerworks/). Zo begon hij met de studie van wat later de Riemann-zetafunctie genoemd werd. De definitie ervan voor de gehele getallen luidt als volgt:
waarbij dus staat voor Als je voor de waarde kiest, dan komt er te staan: , de reeks waarover Ramanujan het had. Euler vond (100 jaar vóór Riemann) een vergelijking waaraan de Riemann-zetafunctie voldoet, de zogenaamde functionaalvergelijking (zie figuur 5, een hebbeding waarschijnlijk bedoeld voor wiskundigen). Met deze vergelijking kan je toch een betekenis geven aan de oneindige sommen die je krijgt als je s kleiner kiest dan 0 in de bovenstaande vergelijking. Voor onze reeks vind je dan inderdaad als som:
Wetenschappers noemen dit zeta-regularisatie.
De afleiding in tekstkader 2 op p. 22-23 komt overigens in grote lijnen overeen met hoe Euler het deed in 1746.
Bernhard Riemann (1826-1866) nam later de draad weer op en
Figuur 4 – De eerste pagina van de tweede brief die Srinivasa Ramanujan schreef naar de Britse wiskundige Godfrey Hardy (1913).
Figuur 5 – De functionaalvergelijking van de zetafunctie, in een handig formaat.
gaf het eerste bewijs van deze functionaalvergelijking voor de zetafunctie. Zijn onderzoeken in dit verband leidden tot de formulering van de ondertussen beroemde Riemann-hypothese, die een uitspraak doet over de s-waarden waarvoor deze som gelijk is aan nul. Het Amerikaanse Clay Mathematics Institute looft een prijs van 1 miljoen dollar uit voor wie deze Riemannhypothese kan bewijzen. Het is een van de zogenaamde Millenium Prize Problems.
Een reeks in de wiskunde is een som met oneindig veel termen.
Reeksen vormen de basis van een heel deel van de wiskunde, maar dan vooral reeksen waarvan de som een eindig resultaat oplevert. We spreken in dit geval van een convergente reeks. Vooral dit soort reeksen heeft vele toepassingen.
Als voorbeeld zie je in figuur 6 een meetkundige interpretatie van de som van deze reeks:
waarbij elke term de helft is van de vorige.
Reeksen waarvan de som geen eindige waarde oplevert, noemen we ook wel divergente reeksen. Dergelijke reeksen leken aanvankelijk nutteloos te zijn, maar blijken nu dus toch toepassingen te hebben.
DEEL 1:
Laten we het resultaat van de volgende optelling voorstellen door de letter S.
We schrijven deze vergelijking nu tweemaal, onder elkaar, en wel als volgt:
Als we dan de beide vergelijkingen bij elkaar optellen, in het linkerlid door de termen die onder elkaar staan samen te tellen, dan vinden we daar als som 1, en als som van de rechterleden vinden we 2S. Hieruit volgt dus:
Figuur 6 – Meetkundige interpretatie van de som van een reeks.
De volgende stap begint op dezelfde manier, maar nu vermenigvuldigen we S achtereenvolgens met − 1, met 1, met − 1, enz.:
Opnieuw tellen we alles bij elkaar op. Voor de som van de linkerleden vinden we:
Voor de som van de rechterleden geeft het:
en omdat S een factor is van elke term kunnen we dit resultaat schrijven als:
Nu weten we van vroeger dat de som tussen de haken precies gelijk is aan S. We kunnen dus nu besluiten:
want we hebben berekend dat
DEEL 2:
Hier laten we Ramanujan zelf aan het woord. In figuur 7 zie je wat hij zelf in hoofdstuk 8 van zijn tweede Notebook schrijft. Hij gebruikt hierbij het resultaat uit Deel 1.
Figuur 7 – Het bewijs van Ramanujan voor de -1/12 formule.
ENKELE
VOORAANSTAANDE WISKUNDIGEN/ WETENSCHAPPERS OVER DIVERGENTE REEKSEN
Leonhard Euler (1707-1783):
Ik ben ervan overtuigd dat met elke reeks een waarde overeenkomt.
Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783): Ik geef toe dat ik alle redeneringen en berekeningen die gebaseerd zijn op nietconvergente reeksen altijd verdacht zal blijven vinden, zelfs als er dingen uit zouden volgen die overeenkomen met resultaten die op een andere manier zijn afgeleid.
Niels Henrik Abel (1802-1829): Divergente reeksen zijn een uitvinding van de duivel, en het is een schande er een bewijs op te baseren.
Godfrey Hardy (1877-1949):
lijkt paradoxaal, want het is onnatuurlijk om aan een reeks met positieve termen een negatieve som toe te kennen.
SKOLEMRIJEN
ALBERT THORALF SKOLEM WAS EEN NOORSE WISKUNDIGE, DIE LEEFDE
VAN 1887 TOT 1963. HIJ DEED VOORAL ONDERZOEK OP HET GEBIED VAN DE LOGICA EN FUNDAMENTELE WISKUNDE. HET HIERONDER BESCHREVEN
PROBLEEM WERD DOOR HEM OPGELOST. WIJ GAAN HET OPLOSSEN MET
BRUTE FORCE, DOOR EEN COMPUTER PROGRAMMA TE SCHRIJVEN.
MATTHIJS COSTER
Kies een positief geheel getal, zeg n. We gaan de getallen 1, 2, 3, t/m n tweemaal in een rij plaatsen op een dusdanige manier dat de afstand tussen de twee k’s precies is. Een dergelijke rij noemen we een Skolemrij. Zo is [ 1, 1 ] een voorbeeld van een Skolemrij. Maar ook [ 1, 1, 3, 4, 2, 3, 2, 4 ] is een Skolemrij. De enen staan immers op afstand 1 van elkaar, de tweeën op afstand 2, de drieën op afstand 3 en de vieren op afstand 4.
OPDRACHT
Maak ook een Skolemrij van lengte 10 voor de getallen 1 t/m 5.
We schrijven een programma om met brute force het aantal Skolemrijen te bepalen voor een gegeven n. We maken gebruik van itertools. Itertools is een heel praktisch stukje gereedschap. Wij gebruiken permutations, daarmee kun je een verzameling elementen in alle mogelijke volgordes (permutaties) plaatsen. Bijvoorbeeld voor { 1, 2, 3 } geeft permutations de uitkomst
{ [ 1, 2, 3 ], [ 1, 3, 2 ], [ 2, 1, 3 ], [ 2, 3, 1 ], [ 3, 1, 2 ], [ 3, 2, 1 ] }. We gaan nu aan de slag met het programma.
Maar we kijken nog eerst even naar de oplossing bij n = 4. Dat was:
[ 1, 1, 3, 4, 2, 3, 2, 4 ]. Je doorloopt deze rij van voor naar achter. Je komt eerst een 1 tegen, daarna de 3, daarna de 4 en ten slotte de 2. Dat je onderweg ook nog een 1 tegenkomt, is nu even niet relevant. Want we willen weten wat de volgorde is van de verschillende getallen. En die is [ 1, 3, 4, 2 ]. We laten nu zien hoe je met de permutatie [ 1, 3, 4, 2 ] weer de bovengenoemde oplossing kunt vinden. Plaats eerst een lege oplossingsrij:
[ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]. We gaan eerst de twee enen plaatsen. De eerste 1 komt vooraan, de tweede 1 komt 1 verderop, dus:
[ 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]. Nu plaatsen we de twee drieën: De eerste drie komt op de eerste vrije plek en de volgende drie komt 3 verderop, dus:
[ 1, 1, 3, 0, 0, 3, 0, 0 ]. Daarna plaatsen we de 4. We zoeken naar de eerste
vrije plek (dus 0). Hier plaatsen we de 4 en 4 verderop volgt de andere 4:
[ 1, 1, 3, 4, 0, 3, 0, 4 ]. Ten slotte volgen de twee tweeën:
[ 1, 1, 3, 4, 2, 3, 2, 4 ]. Niet bij elke permutatie is er een oplossing.
Bijvoorbeeld bij de permutatie [ 1, 2, 3, 4 ] is geen oplossing. Het idee achter de brute force aanpak (dat wil zeggen we gaan alle mogelijkheden langslopen) is dat we alle permutaties van { 1, 2, 3, … ,n } langslopen. Als we een zekere permutatie bekijken, dan gaan we in een lege rij van lengte 2n de getallen invullen, zoals we dat hierboven hebben beschreven.
Bekijk het programma op de website van Pythagoras.
OPDRACHT
Ga na dat er bij de permutatie [ 1, 2, 3, 4 ] geen oplossing is.
OPDRACHT
We hebben n = 2 en n = 3 overgeslagen. Het blijkt dat er geen oplossingen zijn voor n = 2 en n = 3. Pas het hierboven beschreven
algoritme toe (werk met pen en papier) om na te gaan dat er geen oplossingen zijn.
Dan ben je natuurlijk benieuwd wat de resultaten zijn. T/m 9 zijn de berekeningen goed uit te voeren op een computer met het programma. We vinden:
1 : 1
2 : 0
3 : 0
4 : 6
5 : 10
6 : 0
7 : 0
8 : 504
9 : 2656
Opmerkelijk zijn de nullen bij 2, 3, 6 en 7.
OPDRACHT
Kun je nagaan waarom er geen oplossingen zijn voor 2, 3, 6 en 7? Zouden er ook voor andere rijen mogelijk geen oplossingen zijn?
OPLOSSING
In het vorige nummer van Pythagoras stond een artikel over het plaatsen van tweemaal de getallen 1 t/m n. Er werd op het einde van het artikel een opdracht gegeven. Absoluut geen eenvoudige opdracht. We werken die opdracht hieronder uit.
OPDRACHT
Plaats 1, 1, 2, 2, 3, 3, … , n, n zodat voor elk getal k geldt dat k en k op afstand k van elkaar staan.
We schreven de vorige keer een Python programma. Toen bleek dat er voor 2, 3, 6 en 7 geen oplossingen waren. Dat gaan we hieronder bewijzen. We bewijzen het zelfs algemener: voor geen enkel viervoud plus 2 of plus 3 is er een Skolemrij te construeren.
Stel dat we wel een oplossing hebben, zeg, a1, a2, a3, … ,a2n. We weten natuurlijk niet waar 1, 2, 3, … , n worden geplaatst, maar wat we wel weten is dat 1, 2, 3, … , n precies tweemaal worden geplaatst en dat na de eerste 1 1 verder nog een 1 staat. Evenzo voor 2, 3, 4 … , n. Stel dat de eerste 1 op plaats k1 staat, dan staat de tweede 1 op plaats k1 + 1, Evenzo staan de twee¨en op plaatsen k2 en k2 + 2, etc. Verder komen k1, k1 + 1, k2, k2 + 2, … , kn, k n + n precies overeen met de plaatsen 1, 2, 3, … , 2n
Nu nemen we de sommen:
Ofwel
Als deze vergelijking geldt, dan moet ook gelden dat beide zijden of even of oneven zijn. De gemakkelijkste zijde om te bekijken is de rechter zijde. 2, 4, 6, … , 2n zijn allemaal even. 1, 3, 5, 7, … , 2n − 1 zijn oneven. Het aantal oneven getallen is precies n. Het rechterlid is even als n even is, en oneven als n oneven is.
Het linkerlid is iets ingewikkelder. 2(k1 + k2 + k3 + … + kn) is altijd even, ongeacht de keuze van k1, k2, … , kn. Wat kunnen we zeggen over 1 + 2 + 3 + … + n? 1 en 1 + 2 zijn oneven, terwijl 1 + 2 + 3 en 1 + 2 + 3 + 4 zijn even. En daarna herhaalt het patroon zich.
Dus als n een viervoud is, dan is de som even.
Dus als n een viervoud plus 1 is, dan is de som oneven.
Dus als n een viervoud plus 2 is, dan is de som oneven.
Dus als n een viervoud plus 3 is, dan is de som even.
Nu moet gelden dat zowel de som aan de linkerzijde en aan de rechterzijde allebei hetzij even hetzij oneven zijn. Uit onderstaande tabel kunnen we concluderen dat Skolem alleen een oplossing heeft als n een viervoud of een viervoud plus 1 is.
voorwaarde n linkerzijde rechterzijde
Dus als n een viervoud is even even
Dus als n een viervoud plus 1 is oneven oneven
Dus als n een viervoud plus 2 is oneven even
Dus als n een viervoud plus 3 is even oneven
ANDER DEEL VAN HET BEWIJS
We hebben nu gezien dat voor viervouden plus 2 en viervouden plus 3 geen oplossingen zijn. Maar dat betekent nog niet dat er altijd oplossingen zijn als n een viervoud of een viervoud plus 1 is. Daarvoor verwijzen we naar twee algemene oplossingen die Skolem zelf bedacht:
Geval n is een viervoud
We schrijven n = 4m. We laten zien dat voor r { 1, 2, 3, … , 4m } er een k r is zodat zowel k r als k r + r in de Skolemrij zitten.
Een gelijkzijdige driehoek ABC is opgedeeld in een aantal driehoeken zoals in de figuur. Daarbij zijn de punten P, Q en R de middens van de drie zijden. Welk deel van de driehoek is gekleurd?
OEFENING 8
In hotel Kramekiek zijn 100 kamers, genummerd van 1 tot en met 100. Sommige kamernummers hangen per ongeluk ondersteboven aan de deur zoals in de figuur hiernaast. Guust is zijn kamernummer vergeten. Hij herinnert zich enkel dat hij op de deur een ‘9’ heeft gezien. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor zijn kamernummer?
OEFENING 9
De vijfhoek ABCDE in de figuur heeft vier hoeken van 60°.
Ook is |AB| = 12, |BC| = 4 en |CD| = 1. Waaraan is |AE| + |DE| gelijk?
OEFENING 10
Wat is het grootst mogelijke verschil tussen het gemiddelde en de mediaan van vijf, niet noodzakelijk verschillende, gehele getallen uit {10, 11, … , 20}?
NEEM MET JE LEERLINGEN
DEEL AAN DE EUROPESE
STATISTIEKOLYMPIADE
ONDERWIJS
NEEM NET ALS TEAMS UIT 22 LANDEN, MEER DAN 2200 SCHOLEN, 9000 TEAMS EN 28.000 STUDENTEN DEEL AAN DE EUROPESE STATISTIEKOLYMPIADE.
WANNEER?
De Olympiade loopt van november 2026 tot mei 2027. Inschrijven kan van 21 september tot 16 oktober via www.statistiekolympiade.be
Op de website vind je naast een volledige beschrijving van de wedstrijd ook een kalender terug, zodat je de wedstrijd maximaal kan inplannen volgend schooljaar. Lees ook alvast even het reglement door.
HOE?
1. Online test (nov) : kennis, kritisch denken en analysevaardigheden Er zijn 2 trajecten voor de online test:
- Traject π: 5 uur of meer wiskunde per week
- Traject σ: minder dan 5 uur wiskunde per week
Wil je graag al enkele voorbeelden van de quizvragen zien?
Neem dan zeker eens een kijkje op de website, waar je de vragen van 2024-2025 kan terugvinden.
2. Video-opdracht (jan-feb) : creatieve communicatievaardigheden, interpreteren van statistieken en onderzoeksvaardigheden
Wil je met je leerlingen graag al eens de video’s van alle finalisten van de vorige edities bekijken?
Neem dan zeker een kijkje op ons YouTube-kanaal.
JOUW TAAK ALS LEERKRACHT?
• Je team(s) inschrijven.
• Aanspreekpunt zijn voor onze communicatie.
• Teams begeleiden en feedback geven.
DE PRIJZEN?
Een trofee, een cadeaubon en misschien zelfs een gesponsorde trip naar de Europese prijsuitreiking, die elk jaar in een ander deelnemend land doorgaat, …
CONTACT
Wil je op de hoogte blijven van alle ontwikkelingen? Volg dan zeker onze facebookpagina of schijf je in op onze nieuwsbrief. https://www.facebook.com/ EuropeanStatisticsCompetitionBelgium https://statbel.fgov.be/nl/ Olympiade/nieuwsbrief
Een dringende vraag? Een suggestie? Mail naar statolympiade@economie.fgov.be.
De schapen van Wouter Wollewei lopen elke dag van A naar B. Daarbij moeten ze op twee plaatsen een drassige rivierbedding van 10 meter loodrecht oversteken zoals in de figuur. De twee beddingen vormen een rechte hoek.
Hoeveel meter lopen de schapen wanneer ze de kortst mogelijke weg nemen?
UITWISKELING
GESCHIEDENIS IN DE WISKUNDELES: FLORENCE NIGHTINGALE EN DE BESCHRIJVENDE STATISTIEK
FLORENCE NIGHTINGALE (1820-1910) WAS EEN BRITSE VERPLEEGSTER DIE DE MANIER WAAROP DE MAATSCHAPPIJ DE VERZORGING VAN ZIEKEN EN GEWONDEN BEKEEK GRONDIG HEEFT VERANDERD. ZE PIONIERDE NIET
ALLEEN OP HET GEBIED VAN DE MODERNE VERPLEGING, OOK BINNEN HET
DOMEIN VAN DE BESCHRIJVENDE STATISTIEK HEEFT ZE EEN BELANGRIJKE
BIJDRAGE GELEVERD. ZE BEDACHT HET ZOGENAAMDE POOLDIAGRAM OM
DATA DUIDELIJK TE VISUALISEREN ZODAT DIE MEER TOEGANKELIJK EN BEGRIJPELIJK WERDEN. OP DIE MANIER KON ZE POLITICI OVERHALEN OM
MEER TE INVESTEREN IN GEZONDHEIDSZORG. ZE GEBRUIKTE STATISTISCHE GEGEVENS OM DE RELATIE TUSSEN PATIËNTENSTERFTE EN HYGIËNE IN ZIEKENHUIZEN TE BEWIJZEN EN OM DE EFFICIËNTIE VAN ZIEKENHUIZEN
TE EVALUEREN. HAAR WERK HAD EEN ENORME INVLOED OP DE
ONTWIKKELING VAN DE MODERNE EPIDEMIOLOGIE, DE VERPLEEGKUNDE EN DE VOLKSGEZONDHEID.
ELS VANLOMMEL , REDACTIE UITWISKELING
Florence Nightingale kwam uit een rijke familie van grootgrondbezitters en al vroeg tijdens haar jeugd bleek dat ze veel aanleg had voor wiskunde en vreemde talen. Voor
de opvoeding van vrouwen uit haar sociale klasse werd wiskunde echter als onbelangrijk gezien en haar ouders keurden haar interesse dan ook af. Nightingale moest het daarom vooral van zelfstudie hebben. Ze verslond boeken over wiskunde en statistiek.
Gaandeweg kreeg ze ook interesse voor ziekenhuisbeheer. Ze wilde verpleegster worden, maar dat stond voor iemand van haar stand niet hoog genoeg aangeschreven. Nightingale overwon deze vooroordelen, zette tegen de wil van haar ouders door en werd toch verpleegster. Haar werk was haar grote passie en haar gedrevenheid was enorm. Ze gebruikte haar talent en kennis om anderen te helpen. Dit alles maakt haar een bijzonder inspirerende figuur.
Om de leerlingen te motiveren voor beschrijvende statistiek kun je de verwezenlijkingen van Florence Nightingale kort bespreken bij de start van de lessenreeks. Statistiek komt in elke graad van het secundair onderwijs voor. Het verhaal van Nightingale toont het belang en de kracht van beschrijvende statistiek.
DATA GRAFISCH
VOORSTELLEN: KORT
HISTORISCH
OVERZICHT
Aan het einde van de achttiende eeuw wilden steeds meer staten info vergaren over hun inwoners omdat ze beseften dat hun macht niet enkel afhing van de grootte van hun staat, maar ook van bijvoorbeeld de productiviteit van de bevolking. Overheidsambtenaren gingen systematisch data verzamelen zoals bevolkingsaantallen, info over de gezondheid van de bevolking, het inkomen, de prijsevoluties ... In Duitsland ontstond zo de discipline 'staatshuishouding' of 'Statistik'. Het woord 'statistiek' is afkomstig van het Latijnse 'statisticum collegium', wat 'les over staatszaken' betekent.
Een belangrijke innovatie in de negentiende eeuw was het gebruik van grafieken om al die gegevens te visualiseren. Verschillende wiskundigen leverden een bijdrage aan deze ontwikkeling.
William Playfair (1759-1823, niet te verwarren met zijn tijdsgenoot John Playfair naar wie het Playfair axioma van Euclidische meetkunde is vernoemd) was een van de eersten die tabellen met cijfers verving door visuele representaties. Hij ontwierp verscheidene soorten grafieken zoals lijn-, staart- en staafdiagrammen. Een bekend voorbeeld met zowel een lijn- als een staafdiagram zie je in figuur 2.
De grafiek in figuur 3 (1801) toont de relatie tussen belastingopbrengst, bevolkingsgrootte en oppervlakte van verschillende Europese landen. Een voorbeeld van multivariate analyse dus. De oppervlakte van de cirkelschijven representeert de oppervlakte van de genoemde landen. Het verticale lijnstuk links van elke cirkel stelt de bevolkingsgrootte van het land (in miljoenen) voor; het lijnstuk rechts is de belastingsopbrengst in miljoenen
Figuur 1 – Florence Nightingale (1820-1910)
Figuur 2 – Prijs van tarwe (staafdiagram) en gemiddelde weeklonen (lijngrafiek)
pond sterling. De verbindingslijnen tussen deze verticale rechten zeggen iets over het verband tussen deze twee.
De tweede cirkelschijf visualiseert de data voor het Turkse Rijk. Deze schijf is verdeeld in drie sectoren die de locatie weergeven: Europa, Afrika en Azië. Het is het oudste bekende voorbeeld van een taartdiagram.
Het valt op dat deze grafieken ook voor ons nu nog steeds heel overzichtelijk en duidelijk zijn.
Histogrammen werden voor het eerst gebruikt door A.M. Guerry in Frankrijk in 1833. Ze werden echter pas gemeengoed nadat Karl Pearson ze in 1895 gebruikte in een artikel over evolutieleer. Figuur 4 is een voorbeeld uit dat artikel, waaruit duidelijk blijkt dat er minder bloemen zijn met een groter aantal bloemblaadjes.
Rond 1875 bedacht Francis Galton het ogief, om cumulatieve frequenties voor te stellen. In figuur 5 toont Galton de trekkracht van 519 mannen van 23 tot 26 jaar, in Engelse ponden (lbs). Hij plaatste de kracht langs de verticale as en het percentiel langs de horizontale as (dat doen wij nu meestal omgekeerd). Je kunt uit de grafiek bijvoorbeeld aflezen dat mannen uit het 70e percentiel een gewicht kunnen trekken van ongeveer 80 Ibs. De grafiek is wat wij nu de inverse cumulatieve verdelingsfunctie noemen.
Figuur 3 – Het eerste taartdiagram
Figuur 4 – Histogram, Karl Pearson (1895)
THE LADY WITH THE LAMP
Door haar kennis van wiskunde en statistiek én doordat ze al op jonge leeftijd veel boeken las over verpleegkunde en ziekenhuisbeheer, was Florence Nightingale al heel snel een expert binnen deze domeinen. Dit bracht haar snel in leidinggevende functies. Dankzij haar gegoede afkomst had ze bovendien connecties met politici uit de hoogste regionen en dat gaf haar invloed op het beleid.
Tijdens de Krimoorlog van 1855, waar de Engelsen samen met de Fransen tegen de Russen vochten, kwam Florence Nightingale als diensthoofd terecht in het Scutariziekenhuis in de Bosporus waar ze gewonde Britse soldaten verzorgde. Wat ze daar aantrof, was verschrikkelijk. Aan alles was er gebrek: schoon water, verband en
medicijnen... De gewonden lagen met honderden naast elkaar op de vuile grond. Onder deze barre omstandigheden probeerde Nightingale het lot van de soldaten te verlichten en de medische zorg te verbeteren.
's Nachts deed ze met een lantaarn de ronde door de zalen om patiënten te bezoeken en om te inspecteren of alle hygiënische maatregelen die ze als diensthoofd in haar ziekenhuis oplegde, werden opgevolgd. Onder de soldaten stond ze daarom al snel bekend als 'The lady with the lamp'. De Krimoorlog was de eerste oorlog waarbij journalisten aanwezig waren. Die brachten verslag uit over de dame met de lamp en stilaan werd Nightingale een nationale held.
Om de regering ervan te overtuigen dat de meeste soldaten niet stierven
als gevolg van oorlogshandelingen maar wél door het gebrek aan goede ziekenzorg en hygiëne, begon ze dagelijks gegevens bij te houden en zocht ze een manier om die data visueel en overzichtelijk voor te stellen. Ze maakte daarbij dankbaar gebruik van de ideeën van haar tijdgenoot Adolphe Quetelet (17961874), Belgische statisticus en de grondlegger van sociale statistiek. Nightingale bestudeerde onder andere zijn werk 'Physique sociale', nam er delen van over en schreef er commentaar bij. Ze ging echter verder dan Quetelet. Ze besefte dat ze ministers niet kon overtuigen van de noodzaak om meer te investeren
Figuur 5 – Een reproductie van het eerste ogief, Galton (1875)
Figuur 6 – 'Crimean War: Florence Nightingale with her lamp at a patient's bedside', Henrietta Rae (1891)
7 – Pooldiagram van Florence Nightingale uit 1858
in gezondheidszorg door hen enkel naar getallen te laten kijken. Ze werd de uitvindster van het pooldiagram en introduceerde zo het gebruik van statistiek in de gezondheidszorg.
In figuur 7 zie je het pooldiagram dat Nightingale bedacht, 'Diagram of the causes of mortality in the army in the East'. Dit diagram geeft de jaarlijkse sterftecijfers (per 1000 en per maand) - die optraden als gevolg van te voorkomen ziekten (in blauw), - die het gevolg waren van oorlogsverwondingen (in rood), - die te wijten waren aan andere oorzaken (in zwart).
In de korte lesactiviteit hiernaast, stellen we enkele vragen die je samen met leerlingen bij dit diagram kunt bespreken.
LESACTIVITEIT
HET POOLDIAGRAM VAN FLORENCE NIGHTINGALE
1 Welke info staat er op het diagram en hoe moet je het diagram lezen?
Het aantal slachtoffers dat er in een bepaalde maand gevallen is, is recht evenredig met de oppervlakte van de cirkelsector. Elke kleur stelt een bepaalde categorie voor.
2 Overlappen de verschillende oppervlakten met elkaar?
Alle oppervlakten moet je meten vanuit het middelpunt, het zijn elk cirkelsectoren. De verschillende categorieën overlappen elkaar. In het diagram van 1855 kun je dit zien aan de ene sector waarbij rood aan de buitenkant zit.
3 Welke oppervlakte is de grootste?
De oppervlakte die meestal uitsteekt: zeer duidelijk het aantal slachtoffers door gebrek aan zorg.
Figuur
4 In oktober 1854 en april 1855 valt de zwarte oppervlakte samen met de rode. Wat betekent dit?
Er zijn evenveel slachtoffers door oorlogsverwondingen als door andere oorzaken.
5 In januari en februari 1856 vallen de blauwe oppervlaktes samen met de zwarte. Wat betekent dit?
Er zijn evenveel doden door gebrek aan zorg als door alle andere oorzaken. De rode categorie van de oorlogsgewonden is weggevallen.
Na de Krimoorlog richtte Florence Nightingale in 1860 een verpleegstersschool op in Londen. Het was een van de eerste opleidingen op dit gebied en de invloedrijkste. Ze werkte mee aan tal van rapporten en schreef o.a. ook een handboek voor verpleegkundigen. Veel van Nightingales suggesties met betrekking tot ziekenhuisarchitectuur en gezondheidszorg zijn ondertussen gemeengoed geworden: afzonderlijke afdelingen om het besmettingsgevaar te verkleinen, het belang van licht en goede ventilatie, het belang van preventie ('gezondenzorg is even belangrijk als ziekenzorg') en haar opvatting dat ziekenhuizen elk jaar hun resultaten zouden moeten publiceren zodat die onderling statistisch vergeleken en verbeterd kunnen worden. Nightingale kan gerust een van de grote sociale hervormers van haar tijd worden genoemd.
Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 39/3 in het kader van een uitgebreider artikel over het gebruik van geschiedenis in de wiskundeles. Op www.uitwiskeling. be vind je alle info.
BRONNEN
Berlinghoff, W. & Gouvêa F. (2016). Wortels van de Wiskunde. Een historisch overzicht voor leraren en anderen. Epsilon Uitgaven. ISBN 978-90-5041-156-l.
Hautekiet, G., Lefèvre, E., Van Emelen, E. (2014). Beschrijvende statistiek in de tweede graad. Uitwiskeling 30/3, pp 44-46.
Janssens, D., Roelens, M., Op de Beeck, R. (1989). Historisch geïnspireerde wiskundelessen. Uitwiskeling 6/1.
Katz, V.J. (2009). A history of mathematics, an introduction. Addison-Wesley.
Magnello, E. (2010). Florence Nightingale: the compassionate statistician. Plus. https://plus.maths.org/ content/ about-plus
Meskens, A. (2021). Florence Nightingale, Adolphe Quetelet en het begin van de medische statistiek. Wiskunde & Onderwijs 47/187, pp 5-14.
MINIMAL ART KUNSTENAAR SOL LEWITT (1928–2007). IN GEDACHTEN ZAG
HIJ ZO’N REUSACHTIGE KUBUS — WANT DAAR KOMT HET OP NEER — AL OP EEN ROTONDE STAAN VAN TWEE ELKAAR LOODRECHT KRUISENDE WEGEN.
NORMAAL GESPROKEN ZOU ZO’N REUSACHTIGE KUBUS 8 X 8 X 8 KLEINERE KUBUSSEN MOETEN BEVATTEN, TENMINSTE ALS HIJ HELEMAAL WORDT
OPGEVULD. MAAK JE HEM HOL DAN KAN HET MET 6 X 6 X 6 KUBUSSEN
MINDER, MAAR DAN HEB JE NOG ALTIJD 296 KLEINERE KUBUSSEN NODIG. DUS HOE MOET DAT MET 64 KLEINERE KUBUSSEN?
KLAAS LAKEMAN , ARS ET MATHESIS
Een Latijns vierkant van de orde n is een vierkant met n rijen en n kolommen, gevuld met n verschillende afbeeldingen zó dat elke afbeelding in elke rij en in elke kolom precies één keer voorkomt. (figuur 1). Doorgaans bestaan die symbolen uit de natuurlijke getallen 1 tot en met n. De naam 'Latijns vierkant' komt van de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler (17071783) die Latijnse symbolen gebruikte in zijn vierkanten. De iedereen wel bekende Sudokupuzzels zijn bijzondere gevallen van Latijnse vierkanten van orde 9. Een Latijns vierkant van orde 8 (figuur 1) vormt de bron voor het kunstwerk dat Kuiper in gedachten had. Dat heeft 8 X 8 = 64 cellen. Elke rij en elke kolom bevat 8 cellen. Elke cel bevat een nummer tussen 1 en 8. Elk nummer komt slechts eenmaal in een rij en in een kolom voor.
VAN 2D NAAR 3D
Beschouw elk van de 64 cellen als een kubusje. Deze 64 kubusjes worden de bouwstenen of elementen van het object. Om een 3D-object te krijgen, moet elk kubusje een positie in de ruimte krijgen. Neem daartoe het nummer in elke cel als de hoogtecoördinaat van het kubusje. De kubusjes met nummer 1 blijven onderaan, die met nummer 8 komen helemaal bovenaan. De andere kubusjes krijgen een positie op een niveau ertussen. Als je het goed doet moet het resultaat een object worden, met de eigenschap dat alle 64 kubusjes in alle zes mogelijke aanzichten te zien zijn. Dus geen enkel kubusje mag aan het zicht worden onttrokken door een ander kubusje. Kortom in alle zes aanzichten zie je een 8 bij 8 vierkant! Maar in een willekeurige perspectiefweergave zie je een chaos van kubussen. Dat vierkant is dus een optische illusie.
VERBINDINGEN
Om op de beschreven manier een 3D-object te krijgen moeten alle kubusjes stevig met elkaar tot één geheel zijn verbonden. Daarvoor moet elk kubusje minimaal aan een ander kubusje zijn vastgemaakt. Er zijn drie manieren om kubusjes aan elkaar te bevestigen zonder dat ze het zicht op elkaar benemen: via een gemeenschappelijk hoekpunt of op twee manieren middels een gemeenschappelijke ribbe (figuur 2). Om een stevig object te krijgen dat geplaatst in de openbare ruimte tegen een (wind)stootje kan, zijn de verbindingen middels een gemeenschappelijke ribbe wel een vereiste. Niet elk willekeurig Latijns vierkant voldoet daaraan. Zo kan het Latijnse vierkant van figuur 3 onmogelijk dienen als bron voor zo’n 3D-object. De gekleurde kubusjes met de nummers 1 en 8 kunnen immers door hun verschil in hoogte niet aan elkaar vastgemaakt worden. Langs die lijnen valt het object in twee losse delen uiteen. Toch blijven er tussen de miljarden Latijnse vierkanten van orde 8 nog miljoenen mogelijkheden over. Het Latijnse vierkant links in figuur 4 is daar een
Figuur 1 – Latijns vierkant
Figuur 2 – drie geschikte verbindingen tussen kubusjes: middels een hoekpunt of ribben
mooi voorbeeld van. Het is symmetrisch met elk van de gekleurde diagonalen als as van symmetrie. Die symmetrie is gemakkelijk terug te vinden in het bijbehorende 3D-object.
MINIMAL ART OBJECT
Het object rechts in figuur 4 is een voorbeeld van een Minimal Art Object. Met zo min mogelijk elementen, hier 64 kubusjes, wordt de indruk gewekt met een grotere 8 X 8 X 8 kubus te maken te hebben, althans als je daar in een van de zes goede richtingen naar kijkt.
Voor zijn Minimal Art Object op een rotonde had Kuiper een ander ‘mooi’ Latijns vierkant op het oog namelijk dat links in figuur 5. Daarin liggen op de diagonalen de blokken met de nummers 1 en 8 en op randen op- en aflopend de nummers 1 tot en met 8. Het Minimal Art Object dat daaruit is te construeren is geheel vervat in een regelmatig viervlak of tetraëder (figuur 5 rechts). Zoals bekend vormen zes zijvlakdiagonalen van een kubus de ribben van een
regelmatig viervlak dat precies in de kubus past (figuur 6). Wat dat betreft zou de Schaakbortonde niet alleen vanwege zijn illusies, maar ook vanwege zijn reële vorm een interessant Minimal Art Object zijn.
OP DE ROTONDE
Neem voor de bouwstenen 64 kubusblokken van 50 cm × 50 cm × 50 cm (groter kan ook), dan wordt het resultaat een illusionaire kubus van 4 m × 4 m × 4 m met illusionaire zijvlakken van 4 m bij 4 m. Geplaatst
op een verhoging in een rotonde levert dat al een redelijk imposant object!
Zie de fotomontages in het begin en in figuur 7 en de art-impressies van figuur 8. Op weg naar de rotonde zie je een groot schaakbord. Tijdens het rijden op de rotonde heb je daar geen idee meer van en vraag je je af waar dat schaakbord is gebleven. Je ervaart een voortdurend veranderende wirwar van op elkaar gestapelde kleinere kubussen, omdat je positie ten opzichte van het object constant verandert. Bij het
Figuur 5
Figuur 4 – Symmetrisch Latijnse vierkant met bijbehorend 3D-object
Figuur 3
verlaten van de rotonde zie je in de achteruitkijkspiegel het schaakbord weer, onafhankelijk of je na de eerste, de tweede of de derde afslag de rotonde verlaat. Ook vanuit de lucht zie je een rotonde met een groot (kubusvormig) schaakbord. Je zou de rotonde bijvoorbeeld ook
nog kunnen voorzien van een voetgangerstunnel naar het midden met een doorzichtig dak, zodat je het schaakbord ook van onderaf ziet.
KLEURING VAN DE BLOKKEN
Een schaakbord heeft 64 velden, 32 witte en 32 donkere (hier zwart). Een belangrijk aspect van de Schaakbortonde is dat het gezien in de vier richtingen van waaruit de rotonde kan worden benaderd, steeds de illusie moet wekken van hetzelfde schaakbord. De art-impressie boven in figuur 8 en de genoemde fotomontages geven de illusie van een zwart-wit schaakbord met in de uiterste linker bovenhoek een wit veld. Door daar een wit veld te nemen, liggen de kleuren zwart of wit voor alle andere velden van het bord ook vast. Het is dan ook voldoende om na te gaan of het betreffende blokje in alle andere aanzichten ook wit is. In dat geval zou de Schaakbortonde met 32 witte en 32 zwarte blok-elementen kunnen worden gerealiseerd. (figuur 9)
In elk van de zes aanzichten met de illusie van een mooi
Figuur 6 – Tetraëder ingesloten in kubus
Figuur 7 – Fotomontage
Figuur 8 – Art-impressies van een rotonde met een illusionair schaakbord: een Schaakbortonde
schaakbord, moeten steeds alle 64 kubuselementen te zien zijn zonder dat ze het zicht op elkaar ontnemen. En per kubuselement in elk van de zes aanzichten een van de zes zijvlakken. Stel dat het aanzicht links boven in figuur 8 het vooraanzicht is. Het kubuselement in de uiterste linker bovenhoek is daar wit (figuur 9). In het illusionaire bord dat je in de tegenovergestelde richting tegemoetkomt – zeg maar in het achteraanzicht – zit datzelfde blokje juist in de uiterste rechter bovenhoek. In dat aanzicht moet het dus zwart zijn. Benader je het illusionaire bord van de rechterkant dan zit dat blokje in de uiterste linker bovenhoek en moet dus wit zijn. Kom je van de tegenovergestelde richting, dus van de linkerkant dan zit het op dat bord uiterst rechts bovenin en moet dus zwart zijn. Bij boven- en onderaanzicht gaat het net zo. Is het betreffende blokje in boven aanzicht zwart dan moet het in onderaanzicht wit zijn.
Kortom de Schaakbortonde is niet met 32 geheel witte en 32 geheel zwarte kubuselementen te realiseren. Bij alle 64 kubuselementen moeten drie elkaar aangrenzende zijvlakken wit zijn en drie elkaar aangrenzende zijvlakken zwart. Uiteraard moet de stand van al die kubuselementen in de totale constructie worden afgewisseld. Anders krijg je, afhankelijk van de kijkrichting, een groot zwart illusionair vierkant of juist een groot wit illusionair vierkant
REALISATIE
Het wachten is op een of andere instantie die zich aandient om zo’n Minimal Art Object daadwerkelijk op een rotonde (of anderszins) te realiseren. Daarbij hoeft niet perse te worden uitgegaan van het ‘mooie’ Latijnse vierkant van figuur 5 dat Kuiper op het oog had. Zoals gezegd, zijn er talloze andere mogelijkheden. Het Minimal Art Object van figuur 4
staat bijvoorbeeld veel stabieler op de grond. En ongetwijfeld zijn er mogelijkheden die veel stabieler zijn dan het object van figuur 4. Bijkomend effect is dat op diverse, eventueel opeenvolgende rotondes verschillende Minimal Art Objecten kunnen worden geplaatst die allemaal hetzelfde effect hebben: van zes kanten bekeken leveren ze de aanblik van een reusachtig schaakbord.
Figuur 9
WISKUNDE EN ONDERWIJS
DE DISCRIMINANT: ANDERS BEKEKEN
IN DEZE TEKST BESCHOUWEN WE VEELTERMEN DIE TE SCHRIJVEN
ZIJN IN DE GEDAANTE p(x) = ax2 + bx + c en p(x) = ax3 + bx2 + cx + d MET
REËLE PARAMETERS A, B C EN D. WE PROBEREN AAN DE HAND VAN
DE VERALGEMEENDE DISCRIMINANT EN DE FORMULES VAN VIETA
EEN VISUALATIE TE GEVEN IN HET VLAK EN IN DE RUIMTE WAAR DEZE
VEELTERMEN EEN MEERVOUDIGE NULWAARDE HEBBEN. DE SCHEIDING TUSSEN DE GEBIEDEN WAARVOOR DE VEELTERMEN GEEN, ÉÉN OF MEERDERE OPLOSSINGEN HEBBEN, WORDEN VOOR VEELTERMEN MET
TWEE PARAMETERS EEN DISCRIMINANTKROMME EN VOOR VEELTERMEN
MET DRIE PARAMETERS EEN DISCRIMINANTOPPERVLAK GENOEMD.
JEAN-MARIE DENDONCKER , IS EEN VOORMALIG TECHNISCH PERSONEELSLID VAN DE UGENT. IN ZIJN VRIJE TIJD HOUDT HIJ ZICH BEZIG MET HET MAKEN VAN WISKUNDIGE MODELLEN. TOEN HIJ NOG LESGAF OP EEN GENTSE MIDDELBARE SCHOOL MAAKTE HIJ EEN TWINTIGTAL JAAR GELEDEN HET HIER VOORGESTELDE MODEL, SAMEN MET STEPHAN, EEN VAN ZIJN LEERLINGEN.
Schoute, Sylvester en Kerschensteiner bestudeerden deze tak van de wiskunde reeds halfweg de 19de eeuw. Ze gebruikten daarvoor het begrip afgeleide zodat ze ook het aantal raaklijnen of raakvlakken aan de discriminantkromme of het discriminantoppervlak konden bepalen. Deze tekst gebruikt die methode niet, maar aan de hand van de klassieke algebra en gekende formules uit het vierde jaar komen we tot hetzelfde resultaat.
Deze benadering levert zo een mooie aanvulling bij en een andere kijk op de klassieke methodes om de nulwaarden van veeltermen of de wortels van veeltermvergelijkingen te zoeken.
Met een kleine uitbreiding naar vectorruimten en complexe oplossingen van veeltermvergelijkingen maakt deze tekst ook een bruggetje naar leerstof van het vijfde of het zesde jaar.
VERALGEMEENDE DISCRIMINANT
Beschouwen we eerst een kwadratische veelterm met twee reële nulwaarden en , dan kan die geschreven worden als
De discriminant van deze veelterm is dan gelijk aan
Voor veeltermen van de -de graad met nulwaarden waarbij rekening wordt gehouden met de meervoudigheid van de nulwaarden, kunnen we de discriminant naar analogie met (2) veralgemenen tot:
(1)
We merken hier al op dat als een meervoudige nulwaarde heeft, gelijk is aan 0. Zijn de coëfficiënten van reëel, dan is
FORMULES VAN VIETA
Om ons doel te bereiken, maken we gebruik van de formules van Vieta, die voor al of niet meervoudige nulwaarden van een veelterm van de n-de graad als volgt geschreven kunnen worden:
Voorbeeld 2: een derdegraadsveelterm
Algemeen
We breiden het eerste voorbeeld uit tot de derdegraadsveelterm met . De formules van Vieta worden in dat geval
Samengevat in één enkele formule geldt algemeen, voor (4)
Merk op dat de rechterleden van (4) elementaire symmetrische veeltermen in onbekenden zijn, die de opeenvolgende coëfficiënten van vormen.
Voorbeeld 1: een kwadratische veelterm
en uit definitie (3) volgt:
Om praktisch nuttig te zijn, moeten we nog kunnen schrijven in functie van de coëfficiënten en van . Dit vraagt toch een zeker rekenwerk om te komen tot het resultaat
Is dan heeft drie verschillende wortels. Voor heb je een meervoudige wortel en in het geval krijg je een reële en twee toegevoegde complexe wortels.
Een concreet voorbeeld
Nemen we als voorbeeld met
De formules van Vieta zijn dan de gekende som - en productformules voor de nulwaarden van een kwadratische veelterm:
Hieruit volgt dan onmiddellijk de veralgemeende discriminant zoals gegeven door (3)
Ook hier vinden we de klassieke formule voor de discriminant terug.
Stel met nulwaarden , dan is met (3) . Hetzelfde resultaat vind je met (5)
MEETKUNDIGE INTERPRETATIE
Meetkundige voorstelling van veeltermen
We definiëren , met de verzameling van alle tweedegraadsveeltermen, waarvan we kunnen aantonen dat een reële vectorruimte is. Om die vectorruimte grafisch voor te stellen, beschouwen we de parameters a, b en c als de coördinaten van een punt in de driedimensionale -ruimte. De afbeelding
(5)
is dan een isomorfisme tussen en . Dat wil zeggen dat een bijectieve lineaire afbeelding tussen en is. De vectorruimten en zijn isomorf en we noteren dit als . Om dit isomorfisme aan te tonen moet dus lineair, injectief en surjectief zijn.
Opmerking 2
Bewijs is lineair geldt:
Alle van de nulvector verschillende punten op eenzelfde vectorrechte , leveren hetzelfde type van oplossing van . Alle punten op zijn van de gedaante en komen overeen met de vergelijking met discriminant
De discriminantkromme
De kwadratische veelterm
wat het gestelde aantoont.
is injectief
Hiervoor volstaat het om aan te tonen dat de kern van . Met andere woorden: enkel de nulvector (0, 0, 0) van . wordt afgebeeld op de nulvector van
is surjectief
Dit is evident omdat elke kwadratische veelterm geschreven kan worden als en dus als het beeld van onder
Besluit:
De verzameling bevat alle reële veeltermen van de gedaante met reële parameters en . Al deze veeltermen kunnen we in het Obc-vlak representeren door het punt . Omgekeerd zal met elk punt een veelterm uit de verzameling overeenstemmen. Elke discriminant van een element uit is van de gedaante . We kunnen nu deze discriminant beschouwen als een functie van twee variabelen en . Zo is de grafiek van in het Obc-vlak een parabool . Alle punten op deze parabool stellen dan veeltermen voor die een dubbel getelde nulwaarde hebben. Deze parabool verdeelt het Obc-vlak in twee delen, waarbij elk punt in een verschillend deel een veelterm bepaalt met -waarden met een verschillend teken. Zo is bijvoorbeeld voor de bijbehorende veelterm die twee verschillende nulwaarden 1 en -3 heeft. In geldt
De geordende basis van komt dus overeen met de geordende basis van . De vectorruimte heeft dus eveneens een dimensie gelijk aan 3.
Opmerking 1
Niets belet ons om te stellen in (6) zodat de kwadratische veelterm een eerstegraadsveelterm wordt als . Die eerstegraadsveeltermen worden zo voorgesteld in het vlak en . Een voorbeeld daarvan kan je vinden onder 'De kwadratische veelterm '.
In het gebied onder is dus , wat betekent dat voor deze parameters en de overeenkomstige veelterm twee verschillende nulwaarden heeft. Om tot zijn theorie te komen werkte Sylvester met afgeleiden. Hierdoor kon hij aantonen dat in het gebied waarvoor er twee raaklijnen uit aan kunnen worden getrokken. Voor punten , zodat in slechts één enkele raaklijn aan bestaat. In punten boven de parabool, waarvoor kunnen er dan geen raaklijnen aan getrokken worden, de veelterm heeft geen nulwaarden.
Een derdegraadsveelterm
Op een analoge manier als voor de tweedegraadsveelterm bepaalt elk punt in het Ocd-vlak een derdegraadsveelterm van de gedaante
en omgekeerd. Ook nu bepaalt de kromme in het Ocd-vlak de parameters en waarvoor meervoudige wortels heeft. De vergelijking van deze kromme kan je vinden door in (5) en te stellen:
EEN DISCRIMINANTOPPERVLAK
Om een parametervoorstelling te vinden van de kromme kan je uiteraard de klassieke algebraïsche methode gebruiken, maar eveneens de formule van Vieta zoals gegeven door (4). Voor een dubbel getelde nulwaarde en een derde nulwaarde levert dit:
Een parametervergelijking van de discriminantkromme wordt zo
De grafiek van deze kromme, een semikubische parabool, staat afgebeeld in figuur 2.
Alle voorbeelden tot nu toe gegeven zijn voorbeelden waarbij de veelterm slechts twee reële parameters bevat, wat steeds een discriminantkromme oplevert. Niets belet ons om nu ook veeltermen met drie parameters te beschouwen.
De kwadratische veelterm ax2 + bx + c met a = 0 Zoals eerder uitgelegd, kunnen we nu alle veeltermen met in de Oabc-ruimte voorstellen. De punten in deze driedimensionale ruimte waarvoor de discriminant , vormen een kegel met top waarvan de as de vectorrechte met richtingsvector en de tophoek van een rechte hoek is. Deze kegel krijg je door de rechte kegel in de Oabc-ruimte rond de b-as over een hoek van 45° te roteren. Dit betekent dat een paar uiterste beschrijvenden van samenvallen met de a-as en de c-as. Verder is voor de doorsnede van met de vlakken respectievelijk een parabool, een orthogonale hyperbool en een parabool. In figuur 3 zijn deze verschillende doorsneden respectievelijk in het zwart, het rood en het blauw aangeduid.
Figuur 1 – de parabool
Figuur 2 – de semikubische parabool
De kegel verdeelt de driedimensionale ruimte in drie gebieden: het binnengebied van de kegel (dat de as bevat), de kegel zelf en het buitengebied van de kegel. Voor de punten in deze gebieden heeft de vergelijking respectievelijk twee complexe toegevoegde, dubbel getelde reële of twee verschillende reële oplossingen. Zonder een exhaustieve lijst te willen opstellen zijn onderstaande gevallen met het meest interessant.
• De oplossingen zijn op het teken na gelijk aan de complexe eenheid.
• Drie gevallen treden nu op.
• Met het bijzondere geval dat als de vergelijking een dubbel getelde wortel gelijk aan 0 heeft.
De derdegraadsveelterm x3 + bx2 + ex + d
Ook derdegraadsveeltermen met drie parameters zijn mogelijk. We nemen als voorbeeld
. Opnieuw zal met elk punt in de ruimte een veelterm overeenstemmen en omgekeerd. De grafische voorstelling van de discriminant van p(x) zal nu geen kromme meer zijn maar een oppervlak voorgesteld in de ruimte Obcd.
- ligt in het binnengebied van
- ligt in het buitengebied van
- een dubbel getelde wortel.
3 – disciminantoppervlak bij ax2 + bx + c = 0 met a = 0
Om een parametervoorstelling te krijgen van het discriminantoppervlak gebruiken we opnieuw de formules van Vieta zoaIs gegeven door (4) wat met leidt tot (7)
Alle punten die voldoen aan (7) voor bepaalde waarden van en liggen op een oppervlak en bepalen een derdegraadsveelterm met parameters en met een meervoudige nulwaarde.
Voorbeeld 1
Is een meervoudige en een enkelvoudige nulwaarde van dan is met (7) de overeenkomstige veelterm gelijk aan
Voorbeeld 2
mag ook een drievoudige nulwaarde van zijn. Zo is voor als drievoudige nulwaarde en , wat de veelterm oplevert.
De grafiek van dit discriminantoppervlak gegeven door (7) staat afgebeeld in figuur 4. In het vlak herken je als doorsnede met het discriminantoppervlak de semikubische parabool.
Figuur
De niveaulijn van op hoogte is de b-as en de parabool met vergelijking die eveneens de discriminantlijn is die voorkomt bij de reeds besproken veelterm
Opmerking
Formule (5) leidt onmiddellijk tot een expliciete vergelijking van dit discriminantoppervlak. De vergelijking is immers een vierkantsvergelijking in waarvoor de discriminant merkwaardig genoeg een volkomen derde macht is. Zo geldt:
HET MODEL
Het hier nagebouwde eerste model van Schoute werd in bruikleen gegeven aan de UGent en stond lang opgesteld in de ingang van leslokaal Emmy Noether in de Galglaan in Gent. Door een verandering van bestemming voor dit lokaal zal het in 2025 in de wetenschapsbibliotheek campus Sterre Gebouw S5 worden tentoongesteld.
Schoute gebruikte afgeleiden voor zijn discriminantmodellen. Zo kon hij aantonen dat het discriminantoppervlak passend bij elke veelterm , een regeloppervlak is. Het eerste model van Schoute wordt gevormd door de ribben van een kubus. De krommen in het bovenvlak en het grondvlak van de kubus worden verbonden door gele draden, die een regeloppervlak van de vierde graad vorm geven. Aangezien de vergelijking (5) voor algebraïsch is, is het oppervlak van Schoute eveneens
Dit artikel komt uit Wiskunde & Onderwijs, Jaargang 51, nummer 202. Oude jaargangen van Wiskunde & Onderwijs, tot en met jaargang 43 (2017), kunnen vrij geraadpleegd worden via https://www/vvwl.be/ oudere-jaargangen-tot-en-met-mei-2017/
Figuur 4 – discriminantoppervlak van p(x) = x3 + bx2 + ex + d
OEFENING 12
Welke uitspraak is juist?
A Alleen het eerste vierkant heeft de grootste gekleurde oppervlakte.
B Alleen het tweede vierkant heeft de grootste gekleurde oppervlakte.
C Alleen het derde vierkant heeft de grootste gekleurde oppervlakte.
D Alleen het vierde vierkant heeft de grootste gekleurde oppervlakte.
E De 4 vierkanten hebben dezelfde gekleurde oppervlakte.
OEFENING 13
Wallabie kijkt naar de stapel van 20 dozen. Wat ziet hij?
Ontdek in dit naslagwerk de meest recente wetenschappelijke en praktische inzichten over hoe leerlingen wiskunde leren, hoe je krachtige lessen opbouwt en hoe je complexe concepten helder overdraagt. In samenwerking met de Vlaamse lerarenopleiders wiskunde (VELOV) bundelt deze gids theorie, praktijkvoorbeelden en concrete tips die je meteen in je klas kunt toepassen.
• Versterk didactische vaardigheden
• Krijg houvast bij actuele thema’s zoals probleemoplossen, ICT en evalueren
• Verdiep je in de didactiek van algebra, analyse, statistiek en meetkunde
