Vector 26

VECTOR MEI 2026 - nummer 26

TIJDSCHRIFT voor wiskundeonderwijs

HET VERHAAL VAN DE MEETKUNDE 3 ZOALS VERTELD DOOR MUNTSTUKKEN 18 DIVERGENTE REEKSEN FLORENCE NIGHTINGALE EN DE BESCHRIJVENDE STATISTIEK

30

Met medewerking van Uitwiskeling, VVWL (Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars), GeoGebra Instituut, Vlaamse Wiskunde Olympiade, Ars et Mathesis en Pythagoras

2 3 HET VERHAAL VAN

INHOUD

DE MEETKUNDE ZOALS VERTELD DOOR MUNTSTUKKEN IN KWADRAAT 13 18

DE WONDERE WERELD VAN DE WISKUNDE: DIVERGENTE REEKSEN SKOLEMRIJEN 24

VECTOR

28

NEEM MET JE LEERLINGEN DEEL AAN DE EUROPESE STATISTIEKOLYMPIADE

GESCHIEDENIS IN DE WISKUNDELES: FLORENCE NIGHTINGALE EN DE BESCHRIJVENDE STATISTIEK 30 36

SCHAAKBORTONDE

DE DISCRIMINANT: ANDERS BEKEKEN 41

VECTOR 8e jaargang - nummer 26 REDACTIE Bart Delepierre, Daphné Depape, Anke Oderij, Karel Sierens, Esther Verhelst - die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge, educatief@diekeure.be EXTERNE AUTEURS die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met educatief@diekeure.be.

VECTOR is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in België.

VERANTWOORDELIJKE UITGEVER die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge VORMGEVING EN DRUK Isabelle Tilleman - die Keure, Brugge REACTIES Al je reacties, suggesties en opmerkingen zijn welkom op educatief@diekeure.be

3 WISKUNDE EN ONDERWIJS

HET VERHAAL VAN DE MEETKUNDE ZOALS VERTELD DOOR MUNTSTUKKEN DIT ARTIKEL VERTELT HET VERHAAL VAN EEN AANTAL BELANGRIJKE ONTWIKKELINGEN IN DE GESCHIEDENIS VAN DE MEETKUNDE, MET MODERNE HERDENKINGSMUNTEN ALS ACHTERGROND EN ILLUSTRATIE. H E N RY K F U K Ś I S P R O F E S S O R W I S K U N D E E N S TAT I S T I E K A A N B R O C K U N I V E R S I T Y, C A N A DA , G E S I T U E E R D I N D E B U U R T VA N D E N I AG A R A FA L L S . Z I J N O N D E R Z O E K S D O M E I N I S C E L L U L A I R E AU T O M AT E N . H I J I S O O K AC T I E F O P H E T G E B I E D VA N D E G E S C H I E D E N I S VA N D E W I S K U N D E . J E K A N E E N A A N TA L VA N Z I J N A R T I K E L S L E Z E N O P A R X I V.

De meetkunde is een van de oudste takken van de wiskunde.

Ze bestudeert eigenschappen van de ruimte en eigenschappen van objecten (figuren) in de ruimte, met behulp van begrippen als afstand, vorm en grootte. Bijna alle oude beschavingen ontwikkelden meetkundige concepten, vooral voor het meten van lengtes, oppervlaktes en volumes. De Mesopotamische en Egyptische beschavingen worden beschouwd als de eerste culturen waar dergelijke concepten opdoken, maar de oud-Griekse wiskundigen worden gezien als de ware grondleggers van rigoureuze meetkundige procedures en waren de eersten die deductief redeneren gebruikten om meetkundige problemen op te lossen. In de volksmond wordt de Griekse meetkunde vaak geassocieerd met

Pythagoras en zijn beroemde stelling over rechthoekige driehoeken. Dit werd besproken in [1], dus we zullen het hier niet herhalen, maar we willen wel vermelden dat er in 2013 door de Bank van Griekenland in het kader van het programma “Griekse cultuur – wiskundigen” een munt is uitgegeven ter ere van Pythagoras. (Noot van de vertaler: ook [2] en [3] zijn interessant en online te lezen!) (Figuur 1) Ondanks de populariteit van Pythagoras bij studenten elementaire meetkunde, hebben historici van de wiskunde de neiging om de nadruk te leggen op de prestaties en invloed van andere oud-Griekse wiskundigen, vaak aangeduid als de ‘grote drie’, namelijk Euclides (ca. 325–ca. 270 v.Chr.), Archimedes van Syracuse (ca.

287–ca. 212 v.Chr.) en Apollonius van Perga (ca. 240 v.Chr.–ca. 190 v.Chr.).

Figuur 1 – Pythagoras op een Griekse 10 euro (2013) Afb.: Bank van Griekenland

4

Euclides wordt beschouwd als de vader van de meetkunde en is beroemd om zijn boek De Elementen, het meest succesvolle leerboek aller tijden. Het is waarschijnlijk het meest gedrukte boek na de Bijbel en het werd tot het begin van de 20ste eeuw als leerboek gebruikt. Alleen al in het Engels zijn er bijna 20 verschillende vertalingen.

Het is dan ook enigszins verrassend dat Euclides bijna 23 eeuwen moest wachten om op een munt te worden vereeuwigd. Dit gebeurde in 2023, toen de Nationale Bank van Griekenland een zilveren munt van 10 euro uitgaf met een portret van Euclides op de voorzijde, ontworpen door Geórgios Stamatópoulos. Het portret is uiteraard een product van de verbeelding van de kunstenaar, aangezien er geen afbeelding van Euclides bewaard is gebleven.

De achterzijde is een mozaïek van verschillende meetkundige figuren waarvan de eigenschappen worden onderzocht in de Elementen, zoals lijnen, cirkels, ellipsen en veelhoeken. De oplettende lezer zal merken dat er ook spiralen op staan

dit is een beetje een anachronisme, aangezien er in de werken van Euclides geen melding wordt gemaakt van spiralen. (Figuur 2) De volgende van de “grote drie”, Archimedes, bestudeerde wel spiralen. Net als Euclides moest hij wachten tot 2015 om op een munt te worden afgebeeld. Dit is ook een zilveren proofmunt, onderdeel van dezelfde serie van de Bank van Griekenland als de munt van Euclides en ontworpen door dezelfde graveur. Archimedes, een van de grootste wiskundigen uit de geschiedenis, ontwikkelde ingenieuze methoden voor het berekenen van oppervlaktes en volumes van meetkundige figuren, waaronder de cirkel, de ellips en de bol, en de omwentelingsparaboloïde en -hyperboloïde. Hij vond hiervoor de “exhaustiemethode” uit, waarmee hij vooruitliep op de moderne infinitesimaalrekening die aan het einde van de 17de eeuw werd ontwikkeld. De buste van Archimedes op de bovengenoemde munt wordt afgebeeld tegen de achtergrond van een systeem van samengestelde katrollen,

een van zijn talrijke uitvindingen, een eenvoudige machine die ook bekend staat als een “takelblok”.

De cirkels op de achterzijde, waarvan er één de rol van nul speelt in het opschrift “10 euro”, zijn waarschijnlijk een eerbetoon aan de vermeende laatste woorden van Archimedes: “Noli turbare circulos meos!” (“Verstoor mijn cirkels niet!”). Volgens de Romeinse schrijver Valerius Maximus sprak Archimedes deze woorden (in iets andere bewoordingen) tegen een Romeinse soldaat die hem kwam doden tijdens het beleg van Syracuse in 212 v.Chr., verwijzend naar een tekening van meetkundige figuren die Archimedes kort voor de dodelijke ontmoeting in het zand had geschetst. (Figuur 3) De derde van de ‘grote drie’, Apollonius van Perga, staat bekend om zijn werk over de zogenaamde kegelsneden, krommen die worden verkregen door als snijkromme van een kegeloppervlak met een vlak. Deze krommen worden nog steeds aangeduid met de namen die Apollonius ze gaf, namelijk de ellips, de parabool en de hyperbool.

Figuur 2 – Euclides op een Griekse 10 euro (2023)

Figuur 3 – Archimedes op een Griekse 10 euro (2015)

Afb.: Bank van Griekenland

Afb.: Bank van Griekenland

5

Apollonius heeft nog geen eigen munt, maar men kan hopen dat dit in de nabije toekomst verandert, aangezien de Bank van Griekenland het programma “Griekse cultuur wiskundigen” voortzet. Er is in 2024 nog een munt in het kader van dit programma uitgegeven, ditmaal met Thales van Milete (ca. 624–ca.

540 v.Chr.). Iedereen die het geluk had om op de middelbare school traditioneel meetkundeonderwijs te krijgen, herinnert zich zijn naam zeker dankzij de basisstelling van evenredigheid, beter bekend als de stelling van Thales: als BC en DE evenwijdig zijn, dan is DE/BC = AE/ AC = AD/AB. Er zijn geen geschriften van Thales bewaard gebleven, maar de stelling van Thales komt voor in het eerste boek van Euclides’ Elementen als de 26ste stelling.

(Figuur 4-5)

een rechthoekige driehoek en de omgeschreven cirkel, verwijzend naar wat in Nederland de stelling van Thales wordt genoemd).

ondergrenzen voor de exacte waarde van , 3,1415926 < < 3,1415927, en gaf de rationele 355/113. (Figuur 6) benadering

Zoals we in het begin al vermeldden, ontwikkelden ook andere oude beschavingen meetkundige ideeën en boekten ze vooruitgang in het uitbreiden van de meetkundige kennis. De Chinese beschaving was er daar zeker een van. Zu Chongzhi (429–500) was een van de meest vooraanstaande Chinese wiskundigen uit de late oudheid, wiens grootste prestatie een benadering van het getal was. Hij vond boven- en

De zilveren munt van 5 yuan, uitgegeven in 1986 door de Volksrepubliek China, toont een portret ten voeten uit van Zu Chongzhi tegen de achtergrond van de hamermolen, een van zijn mechanische uitvindingen.

Linksboven zien we de veelhoek ingeschreven in een cirkel. Bij het afleiden van zijn resultaten met betrekking tot , benaderde Zu Chongzhi de cirkel met n-hoeken, waarbij hij n liet toenemen. Het is niet

En hier heb ik een klein puntje van kritiek: de nogal raadselachtige achterkant van de munt van Thales is naar mijn mening een gemiste kans.

Een illustratie van de basisstelling van de evenredigheid lijkt een meer voor de hand liggende keuze (noot van de vertaler: of een figuur met

Figuur 5 – Stelling van Thales Afb.: Nicostella, Wikimedia

Figuur 4 – Thales op een Griekse 10 euro (2023)

Figuur 6 – Zu Chongzhi op 5 yuan Volksrepubliek China (1986)

Afb.: Bank van Griekenland

Afb.: Heritage Auctions

6

precies bekend hoe Zu Chongzhi zijn interval van grenzen voor heeft verkregen, maar sommige auteurs vermoeden dat hij begon met een zeshoek en vervolgens het aantal zijden vele malen verdubbelde, waardoor hij regelmatige veelhoeken met 12, 24, 48 zijden, enz. verkreeg. Internetbronnen zoals Wikipedia beweren met autoriteit dat hij uiteindelijk uitkwam op een veelhoek met 3 • 212 zijden, maar er zijn geldige redenen om hieraan te twijfelen. Wiskundehistorici vermoeden dat hij eigenlijk begon met een vierkant, waarbij hij het aantal zijden verdubbelde totdat hij een veelhoek met 215 zijden kreeg.

Gelukkig had de ontwerper van de munt in 1986 geen toegang tot Wikipedia, waardoor hij neigde naar de meer waarschijnlijke hypothese en een achthoek op de munt afbeeldde. Dit komt overeen met de eerste stap in de benadering: 4 zijden van een vierkant resulteren na verdubbeling in een veelhoek met 8 zijden, d.w.z. een achthoek.

Terugkomend op de Griekse wiskundigen, wordt vaak gezegd dat na de dood van Archimedes de

meetkunde een terugval kende.

Pappus van Alexandrië (ca. 290– ca. 350) en een commentator op Euclides’ Elementen, Proclus Lycius (412–485), zijn inderdaad de enige Griekse namen uit de late oudheid die het vermelden waard zijn als het gaat om abstracte meetkunde.

Niettemin kan worden gesteld dat de praktische meetkunde een veel beter lot beschoren was. Claudius Ptolemaeus (ca. 100–ca. 170) schreef zijn baanbrekende astronomische verhandeling, nu bekend als Almagest, waarin hij zijn geocentrische model van het universum beschreef, uitsluitend gebaseerd op meetkundige principes. Hij schreef ook een boek dat bekend staat als Geographia, waarin hij uitlegde hoe kaarten te tekenen met behulp van geografische coördinaten, vergelijkbaar met wat we vandaag de dag gebruiken. In 1992 gaf Cuba een zilveren munt van 10 peso uit ter ere van Ptolemaeus samen met een 15de-eeuwse kaartmaker en wiskundige Paolo Toscanelli (1397–1482). (Figuur 7)

De reden waarom ze allebei zijn opgenomen, is omdat Toscanelli gebruikmaakte van de geografische informatie van Ptolemaeus uit Geographia en op het idee kwam om naar het westen te zeilen met de bedoeling om Azië te bereiken en dat door een afstand van maar 6500 mijl af te leggen. Hij maakte een kaart om zijn idee te illustreren. Columbus had de kaart van Toscanelli en die overtuigde hem om een directe waterroute van Europa naar Azië te zoeken. Een moderne weergave van de kaart (het origineel is verloren gegaan) staat op de Cubaanse munt, die de 500ste verjaardag van de reis van Columbus herdenkt. Op deze kaart is te zien dat Cipango (Japan) van Europa en Afrika wordt gescheiden door de Mare Oceanum (Oceaanzee).

We komen straks terug op het onderwerp cartografie, maar zullen nu eerst de ontwikkelingen in de meetkunde in chronologische volgorde bespreken.

In de middeleeuwen gebeurde er niet veel op het gebied van abstracte meetkunde, hoewel in de late middeleeuwen de praktische

Figuur 7 – Cuba 10 peso (1992) Ptolemaeus en Toscanelli

Figuur 8 – Filippo Brunelleschi op 1000 lire, San Marino (1977)

Afb.: ALAMIR, Numista

Afb.: Comptoir des Monnaies, Numista

7

meetkunde weer opbloeide. De monumentale gotische kathedralen van Europa zijn een levend bewijs van de vaardigheden van middeleeuwse architecten die verschillende meetkundige methoden gebruikten om deze prachtige bouwwerken te ontwerpen, in te richten en te bouwen.

vermoedelijk de architect Brunelleschi die iets bespreekt met bouwvakkers.

De balken die loodrecht op het vlak van de munt staan, komen samen in een punt buiten de munt, volgens de regels van het perspectief, hoewel er een beetje fisheye-vervorming is toegevoegd om te harmoniseren met de ronde vorm van de munt. (Figuur 8)

Aan het begin van de 15de eeuw zien we een andere belangrijke ontwikkeling in de praktische meetkunde. Filippo Brunelleschi (1377–1446), afgebeeld op de munt van 1000 lire van San Marino uit 1977 (600 jaar na zijn geboorte), was een Italiaanse architect en ontwerper. In de jaren 1415–1420 voerde hij een reeks experimenten uit die hem leidden tot de ontdekking van het lijnperspectief, een methode om een driedimensionaal object weer te geven op een tweedimensionaal doek, waardoor de illusie van diepte ontstaat. Hij wordt gezien als de eerste persoon die de principes van het lijnperspectief nauwkeurig heeft beschreven. Op de voorzijde van de munt van San Marino staat een groep mensen afgebeeld op een verhoogd platform of steiger,

In de jaren 1470 ontwikkelde de Italiaanse schilder Piero della Francesca (1415–1492) de ideeën van Brunelleschi verder en produceerde een invloedrijk werk getiteld De prospectiva pingendi (Over het perspectief van de schilderkunst).

Geï̈nspireerd door het werk van Euclides beschreef Piero della Francesca de wiskundige principes van het perspectief en legde hij uit hoe perspectief met kleuren kan worden

Figuur 9 – della Francesca op 500 lire, Italië (1992) Afb.: whitegandalf, Numista

gecreëerd. Op de Italiaanse munt van 500 lire uit 1992 staat op de voorzijde een portret van della Francesca en op de achterzijde een van zijn beroemdste fresco’s, De verrijzenis van Christus. (Figuur 9) Hoewel de compositie van De verrijzenis van Christus gebaseerd is op enkele meetkundige principes, wordt het gebruik van perspectief beter geïllustreerd in della Francesca’s De geseling van Christus, waar een aantal rechte lijnen duidelijk naar één punt convergeren.

Figuur 10 – De verrijzenis van Christus De geseling van Christus van della Francesca Afb.: louis-garden, Wikimedia

8

(Figuur 10) Na della Francesca, aan het begin van de 16de eeuw, heeft de franciscaanse monnik Luca Pacioli (1447–juni 1517) de perspectiefleer verder ontwikkeld in zijn boek Divina proportione (1509). Het boek bespreekt het begrip proporties in de beeldende kunst in de context van perspectief met toepassingen in de architectuur. Op de Italiaanse munt van 500 lire uit 1994 staat zijn portret afgebeeld, omringd door de inscriptie “1494 Luca Pacioli 1994”. Het jaar 1494 staat voor de publicatiedatum van zijn andere invloedrijke werk Summa de arithmetica, dat onder andere de eerste gepubliceerde beschrijving van het dubbel boekhoudsysteem bevat. Dit werk leverde hem de bijnaam “vader van de boekhouding” op.

Na de ontwikkelingen in de praktische meetkunde te hebben besproken, keren we terug naar meer abstracte problemen. In de eerste helft van de 17de eeuw vond er een belangrijke ontwikkeling plaats in de abstracte meetkunde, die kan worden omschreven als het ‘huwelijk tussen meetkunde

en algebra’. Dit was voornamelijk assen. (Figuur 12-13) te danken aan René Descartes Als we verdergaan naar de 18de (1596–1650), die de principes en 19de eeuw, komen we de van de analytische meetkunde imposante figuur Carl Friedrich formuleerde, oftewel de studie van Gauss (1777–1855) tegen, een van de meetkunde met behulp van een meest invloedrijke wiskundigen in coördinatensysteem. Tegenwoordig de geschiedenis van de wiskunde, wordt analytische meetkunde vaak vaak aangeduid als de ‘Prins cartesiaanse meetkunde genoemd der Wiskundigen’. Dit is niet de en wordt Descartes gezien als de plaats om zijn talloze bijdragen enige grondlegger ervan, hoewel aan verschillende takken van het de moeite waard is om te de wiskunde te beschrijven, we benadrukken dat Pierre de Fermat zullen het alleen hebben over (1601–1665) ook een bijdrage heeft de meetkunde. Voordat we dat geleverd aan dit onderwerp. Op doen, willen we vermelden dat in de in 1991 uitgegeven munt van 1977, op de 200ste geboortedag Frankrijk (100 francs) staat het hoofd van Gauss, twee “concurrerende” van Descartes afgebeeld met zijn munten werden uitgegeven door haar dat aan de linkerkant vloeiend de toenmalige twee verschillende overgaat in boeken en aan de rechterkant in een boekrol. Iets meer gerelateerd aan meetkunde is de munt van 50 lire van San Marino uit 1996 met het borstbeeld van Descartes gegraveerd in Figuur 12 – René Descartes op 100 francs, Frankrijk (1991) Cartesiaanse Afb.: nordboutik59 – Jérémy Pureur, Numista

Figuur 11 – Luca Pacioli op 500 lire, Italië (1994)

Figuur 13 – René Descartes op 50 lire, San Marino (1996)

Afb.: narracan coins, Numista

Afb.: Wilsonbar, Numista

9

Duitse staten, de Duitse Democratische Republiek en de Bondsrepubliek Duitsland.

De Oost-Duitse munt had een waarde van 20 mark (Oost-Duitse mark natuurlijk) en was voorzien van de grafiek van de Gauss-curve, de bekende kansverdelingsfunctie die veel wordt gebruikt in de statistiek, ook wel bekend als de ‘Gauss-klok’.

Dit is een zeer goed gekozen symbool voor de bijdragen van Gauss aan de wiskunde, omdat het direct herkenbaar is en verankerd is in de populaire cultuur. (Figuur 14) De West-Duitse munt, met een waarde van 5 DM (Deutsche Mark), is een meer typische herdenkingsmunt

met het portret van Gauss, dat sterk geïnspireerd is op het bekende schilderij van Christian Albrecht Jensen uit 1840, waarop Gauss zijn karakteristieke hoed draagt. (Figuur 15-16) Hoewel in de jaren 70 de wisselkoers op de zwarte markt 5 tot 10 OostDuitse marken voor één Duitse mark was, waardoor de munt van 5 DM waardevoller was dan de munt van 20 Oost-Duitse marken van de DDR, haalt de Oost-Duitse munt vandaag de dag veel hogere prijzen op de verzamelaarsmarkt dan zijn WestDuitse tegenhanger. Dit weerspiegelt natuurlijk vooral het verschil in oplage (55.000 versus 1 miljoen).

Gauss wordt beschouwd als een van de ontdekkers van de niet-Euclidische meetkunde, waarover later meer. Gauss stond echter ook aan de basis van de differentiaalmeetkunde van oppervlakken, die verschilt van de Cartesiaanse meetkunde omdat zij oppervlakken bestudeert vanuit het standpunt van een ‘interne’ waarnemer die zich gedwongen ziet zich op het oppervlak te bewegen alsof het tweedimensionaal is. Een van Gauss’ grootste verwezenlijkingen op dit gebied was zijn Theorema Egregium 1827. (“Opmerkelijke Stelling”), die informeel zegt dat de kromming van

Figuur 14 – Gauss-curve op 20 mark, DDR (1977) Afb.: Numista

Figuur 15 – Carl Friedrich Gauss op 5 Deutsche Mark, Duitsland (1977).

Figuur 16 – Carl Friedrich Gauss door Christian Albrecht Jensen (1840).

Afb.: RuibaiK, Numista

Afb.: Wikipedia

10

een oppervlak volledig kan worden bepaald door hoeken en afstanden op het oppervlak zelf te meten.

Een van de gevolgen van deze stelling is dat het oppervlak van een bol niet zonder vervorming op een vlak kan worden weergegeven, waardoor het onmogelijk is om een kaart van een aanzienlijk deel van de aarde te maken die vrij is van vervorming. Neem bijvoorbeeld een veelgebruikte kaartprojectie die bekend staat als de mercatorprojectie, uitgevonden door de Vlaamse geograaf Gerardus Mercator (1512–1594) en afgebeeld op de Duitse zilveren munt van 5 mark uit 1969. (Figuur 16-17) De Mercatorprojectie heeft een aantal uitstekende eigenschappen: ze is richtinggetrouw en ook vormgetrouw, maar objecten die ver van de evenaar liggen, worden wel vergroot. Dit wordt geı̈llustreerd in de voorbeeldkaart (rechts) door rode cirkels die in werkelijkheid dezelfde oppervlakte hebben, maar op de kaart verschillende groottes. Gauss toonde aan dat elke projectie, hoe slim ook, altijd zal leiden tot een

soortgelijke vervorming.

Zoals reeds vermeld, wordt de naam van Gauss vaak in verband gebracht met een andere belangrijke ontwikkeling in de meetkunde. Om deze te beschrijven, zijn enkele inleidende opmerkingen nodig. In de Elementen gaf Euclides vijf postulaten voor de vlakke meetkunde. Postulaten of axioma’s zijn uitspraken die als vanzelfsprekend worden beschouwd en geen bewijs behoeven. De eerste vier gaan ervan uit dat het altijd mogelijk is (1) om een rechte lijn te trekken van elk punt naar elk ander punt, (2) om een eindig lijnstuk continu te verlengen in een rechte lijn, (3) om een cirkel te tekenen met elk middelpunt en elke straal en (4) alle rechte hoeken gelijk zijn aan elkaar. Het vijfde postulaat, het

parallellenpostulaat genoemd, was veel ingewikkelder en niet meteen voor de hand liggend, namelijk Wanneer een rechte lijn m twee andere rechte lijnen zodanig snijdt dat de som van de binnenhoeken aan dezelfde kant van m kleiner is dan twee rechte hoeken, dan zullen de twee andere lijnen elkaar ergens aan die kant van m snijden.

Tegenwoordig formuleren we het vijfde postulaat meestal in de equivalente vorm die door John Playfair (1748–1819) is gegeven: In een vlak, gegeven een lijn en een punt dat niet op die lijn ligt, dan kan er door het punt hoogstens één lijn parallel aan de gegeven lijn worden getrokken.

Figuur 16 – Gerardus Mercator op 5 mark, Duitsland (1969)

Figuur 17 – Mercatorvervorming

Afb.: RuibaiK, Numista

Afb.: Wikimedia Commons

11

Omdat het vijfde postulaat niet vanzelfsprekend is, hebben wiskundigen meer dan tweeduizend jaar lang geprobeerd dat postulaat te bewijzen met behulp van de eerste vier. In de 19de eeuw bleek uiteindelijk dat deze pogingen zinloos waren, omdat het parallellenpostulaat onafhankelijk is van de overige vier. Men kan daarom een zelfconsistente versie van de meetkunde construeren met of zonder het vijfde postulaat, wat betekent dat er niet één meetkunde bestaat, maar vele meetkundes.

Dit opmerkelijke en werkelijk baanbrekende resultaat werd, zoals zo vaak gebeurt, onafhankelijk en bijna gelijktijdig ontdekt door twee mensen, de Hongaarse wiskundige János Bolyai (1802–1860) en de Russische wiskundige Nikolaj Ivanovitsj Lobatsjevski (1792–1856).

Zowel Rusland als Hongarije herdachten hun landgenoten met munten. (Figuur 18-19) De Russische koperen-nikkel munt van 1 roebel herdenkt de 200ste verjaardag van Lobatsjevski.

Het is een van de eerste herdenkingsmunten die in 1992

door de Russische Federatie werd geslagen na het uiteenvallen van de Sovjet-Unie, met op de voorzijde de nieuwe inscriptie “Bank of Russia” in plaats van het vroegere “CCCP”. Op de achterzijde staat een voorstelling van Lobatsjevski.

is: onafhankelijk van het XIe Euclidische axioma (waarover nooit a priori een uitspraak kan worden gedaan) dat waar of onwaar is: in het geval dat het onwaar is, wordt de meetkundige kwadratuur van de cirkel gegeven.”

De 200ste verjaardag van de geboorte van János Bolyai vond 10 jaar later plaats, in 2002, en Hongarije volgde dit voorbeeld door deze gebeurtenis te herdenken met een zilveren munt van 3000 forint.

Bolyai publiceerde zijn werk over niet-Euclidische meetkunde in 1831 als bijlage bij een boek dat door zijn vader was geschreven. Op de achterzijde staat de volledige titel van dit werk (in het Latijn):

De voorzijde toont een exacte kopie van een van de figuren uit de bijlage, namelijk Figuur 19. (Figuur 19-20) Tijdens zijn leven kreeg Bolyai niet de erkenning die hij verdiende. Een kopie van het werk in de bijlage werd door Farkas Bolyai, de vader van János, naar Gauss gestuurd.

Appendix. Scientiam Spatii absolute veram exhibens: a veritate aut falsitate Axiomatis XI. Euclidei (a priori haud unquam decidenda) independentem: adjecta ad casum falsitatis, quadratura circuli geometrica.

In het Nederlands vertaalt dit zich als: “Bijlage. Tonend dat de wetenschap van de ruimte absoluut waar

Figuur 20 – Figuur 20 uit János Bolyai’s Appendix. Afb.: Archive.com

Figuur 18 – Nikolaj Ivanovitsj Lobatsjevski op 1 roebel, Rusland (1991)

Figuur 19 – János Bolyai’s Figuur 10 op 3000 forint, Hongarije (2002).

Afb.: tolnomur, Numista

Afb.: numismatics.com

12

Gauss antwoordde dat hij het werk van János niet kon prijzen, omdat het dan zou lijken alsof hij zichzelf prees, aangezien hij de belangrijkste resultaten enkele jaren eerder al had ontdekt. Dit was een verwoestende klap voor Bolyai, ook al kon Gauss geen aanspraak maken op prioriteit, aangezien hij de vermeende bevindingen nooit had gepubliceerd. Bovendien werd na de dood van Gauss in geen van zijn teksten enig schriftelijk bewijs van de bovengenoemde uitspraak gevonden.

De ontdekkingen van Bolyai en Lobatsjevski raakten na hun publicatie in de vergetelheid en werden bijna volledig vergeten tot in de jaren 1860, toen het werk van Bernhard Riemann (1826–1866) over differentiaalmeetkunde een nieuwe golf van belangstelling voor niet-Euclidische meetkunde teweegbracht. Riemann stelde een zeer algemeen recept voor om een meetkunde te definiëren in een willekeurige ruimte. Zijn recept vereist enkel dat je afstanden

tussen punten kan meten, zodat je voor twee willekeurige punten kan spreken over de kortste weg tussen beide, en dat je hoeken kan meten tussen elkaar snijdende krommen. Het begrip afstand maakt het mogelijk om een grootheid te berekenen die bekend staat als de kromming, die in de ruimte met de Euclidische meetkunde overal precies nul is. Hoewel Riemann ze niet expliciet zo noemde, zijn de meetkundes van Bolyai en Lobatsjevski speciale gevallen van de Riemannse meetkunde die overeenkomen met een constante negatieve kromming. Tegenwoordig staan dergelijke meetkundes bekend als Bolyai–Lobatsjevski of hyperbolische meetkundes.

Na de tweede helft van de 19de eeuw maakte de meetkunde opnieuw een intense groei door.

Naast differentiaalmeetkunde verschenen er veel nieuwe takken, waaronder algebraï̈sche, eindige en computationele meetkunde.

Sommige van deze vakgebieden

zijn nog erg nieuw en we zullen nog even moeten wachten voordat we hun grondleggers op munten terugzien. De volgende gelegenheid is echter al heel dichtbij: in 2026 vieren we de 200ste geboortedag van Bernhard Riemann. Hopelijk worden ook zijn bijdragen aan de wiskunde, waaronder de meetkunde, geëerd met een mooie munt.

REFERENTIES 1

H. Fukś, “Mathematical formulae on coins. part 2: from Pythagoras to the 20th century”, The Canadian Numismatic Journal 61 (2016), no. 5, 208–213, arXiv:1609.09485.

2

H. Fukś, “Mathematics on coins, part I: The tale of two queens and two towering figures”, The Canadian Numismatic Journal 57 (2012), no. 5, 304–315, arXiv:1601.07394.

3

H. Fukś, “Mathematical formulae on coins. part 1: Einstein”, The Canadian Numismatic Journal 61 (2016), no. 4, 167–169, arXiv:1609.09485.

Dit artikel is een vertaling van: H. Fukś, “The Story of Geometry Told by Coins”, The Canadian Numismatic Journal 69 (2024), no. 4, 154–161, arXiv:2512.24349.

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, JWO 2026

OEFENING 1 Tine moest met haar rekenmachine het volgende product uitrekenen: 1,1 × 1,2 × 1,3 × 1,4 Bij een van de vier getallen vergat Tine de komma in te tikken en zo verkreeg ze 24,024 als resultaat. Welke uitspraak is zeker waar?

A

Tine vergat de komma bij 1,1.

D

Tine vergat de komma bij 1,4.

B

Tine vergat de komma bij 1,2.

E

Tine kan de komma bij elk van de vier getallen vergeten zijn.

C

Tine vergat de komma bij 1,3.

13 PYTHAGORAS

IN KWADRAAT IN DE VOLKSTAAL SPREKEN WIJ SOMS VAN EEN SUCCES IN KWADRAAT. DAT IS DUS EEN ENORM SUCCES: IETS WAAR WIJ VIERKANT ACHTER KUNNEN STAAN. HIER PRATEN WIJ ALLEEN OVER KWADRATEN ALS HET PRODUCT VAN EEN POSITIEF GEHEEL GETAL a MET ZICHZELF. ZO’N PRODUCT IS DAN OOK DE OPPERVLAKTE a2 VAN EEN VIERKANT MET ZIJDEN a.

DAV E O D E G A R D

Kwadraten ontstaan dus door een vermenigvuldiging, maar kunnen ook opgebouwd worden door een optelling van oneven getallen. Dit is visueel onmiddellijk duidelijk. Zie figuur 1. Hier geeft de zwarte steen met vier noppen de eenheidsmaat aan.

In het tegelpatronen van figuur 2 is te zien hoe je oneven kwadraten kunt opbouwen en in figuur 3 is te zien hoe je even kwadraten kunt opbouwen.

a. Wat is de regelmaat in de afstand tussen de getallen in deze rijen? b. Hoe kun je je vermoeden bewijzen?

Wat zouden de formules voor de som van de eerste kwadraten, de som van de eerste oneven kwadraten en de som van de eerste even kwadraten zijn? Er is een clou te vinden in de formule voor de eerste positieve gehele getallen.

Deze bekende formule is simpel te verklaren. Maak een tweede reeks

Figuur 1

Figuur 2

Denk nu aan de rij van oneven kwadraten. (1, 9, 25, …) en aan de rij even kwadraten (4, 16, 36,…).

om te door de reeks draaien en plaats de twee reeksen onder elkaar. Dan steeds naar beneden optellen en alles bij elkaar als som. Maar dit is heb je twee keer te veel. Dus het antwoord is .

Deze methode is ook aan te passen voor elke rekenkundige reeks.

Figuur 3

14

Kijk nu naar deze som in kwadraat.

en Het vermoeden is dat

c. Definieer een functie en laat zien dat en voor anders!

Daarmee bewijs je als de juiste formule is voor de dat derdemachten, dan is voor de derdemachten. d. De somformule voor gehele getallen is tweedegraads. In opdracht c is te zien dat de somformule voor derdemachten vierdegraads is. Je zou kunnen denken dat de som van tweede machten (kwadraten) derdegraads is. Dit is maar een vermoeden, maar als het waar is dan zijn de 4 coëfficiënten van de formule bepaald door de eerste vier sommen. Bepaal deze 4

Figuur 4

coëfficiënten. Noem je formule . en dat e. Laat zien dat .

Dit voelt een beetje als valsspelen en toch geluk hebben. Hetzelfde gevoel als wanneer je een aanname doet bij het oplossen van een Sudoku. Het zou veel bevredigender zijn om de formule gewoon af te leiden. Daar heb ik iets voor.

Kijk naar figuur 4 om een begin te maken. Hier is de som van de eerste vijf kwadraten in stapels van oneven getallen.

In figuur 5 is een piramide te zien, opgebouwd uit de eerste zeven kwadraten. Figuur 6 laat deze piramide van de onderkant zien. Hij is helemaal hol. Ik beschouw weer de bovenste steen met vier noppen als de eenheidsmaat. h. Hoeveel stenen van eenheidsmaat zijn er nodig om dit soort piramides te bouwen met lagen? Er zijn tenminste vier manieren om dit antwoord te berekenen. Geef je antwoord op in kwadraten en in termen van .

f. Kan je met behulp van figuur 4 de formule voor de som van de eerste kwadraten direct afleiden?

Nu hebben wij genoeg om de somformule voor de eerste even kwadraten en de somformule voor de eerste oneven kwadraten te bepalen. g. Wat zijn deze formules?

Figuur 5

Figuur 6

15

IN KWADRAAT ANTWOORDEN a. De afstanden vormen een rekenkundige rij met een verschil van 8. Denk aan figuur 1. In de rij 1, 9, 25,.. is het eerste verschil de som van 3 en 5. Het tweede verschil is de som van 7 en 9. 7 is 4 meer dan 3 en 9 is 4 meer dan 5 dus 9 + 7 is 8 meer dan 3 + 5 en dit geldt voor alle afstanden in beide rijen.

f.

b. De som van de eerste even kwadraten is 4 keer de som van de eerste kwadraten.

Dit is makkelijk in te zien want etc.

c.

d.

g. De som van de eerste even kwadraten is gelijk aan vier keer de som van de eerste kwadraten en dus . gelijk aan

Als dan

en

Dan is De som van de eerste oneven kwadraten is gelijk aan de som van de eerste 2 kwadraten min de eerste . even kwadraten en dus gelijk aan

e. h. Het snelste antwoord komt door in te zien dat als de piramide niet hol was, het gat hetzelfde was als de . Dus het antwoord is . Het bovenste . antwoord is ook te krijgen met Een derde methode is om de lagen van de uitgeholde piramide op te tellen. Dit geeft een rekenkundige reeks: .

En met magisch denken kun je de rode lagen ongehinderd laten vallen om de onderste laag op te vullen en dan de zwarte lagen laten vallen om de laag daarboven op te vullen zoals in figuur 2 en figuur 3.

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, Tweede ronde JWO 2026

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, Tweede ronde JWO 2026

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, Tweede ronde JWO 2026

16

OEFENING 2 Welk van de onderstaande getallen is deelbaar door 225?

A

B

1 111 100

11 111 100

C

D

E

111 111 100 1 111 111 100 11 111 111 100

OEFENING 3 Emma tekent met concentrische halfcirkels een regenboog met zeven banden zoals in de figuur. Wat is de verhouding van de oppervlakte van de grootste band tot de oppervlakte van de kleinste band?

A

B

C

OEFENING 4 In café De Ton kost een halve liter gemberbier € 5. In café Het Vat kost een flesje van 25 cl gemberbier € 3.

Welke bewering is juist?

D

E

A

Gemberbier in Het Vat is 20 % duurder dan in De Ton.

B

Gemberbier in De Ton is 20 % goedkoper dan in Het Vat.

C

Gemberbier in Het Vat is 25 % duurder dan in De Ton.

D

Gemberbier in De Ton is 25 % goedkoper dan in Het Vat.

E

In beide cafés kost gemberbier evenveel.

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, Tweede ronde JWO 2026

17

OEFENING 5 De figuur toont een schijf met vijf kruisjes die om haar middelpunt kan draaien.

Circe wil de getallen 1, 2, 3, 4 en 5 op de plaats van de kruisjes zetten, op zo’n manier dat steeds aan de volgende voorwaarden voldaan is: • Op elk kruisje staat een verschillend getal.

• Wanneer Circe de schijf zo draait dat 1 bovenaan staat, staat 2 in de linkerhelft en 3 in de rechterhelft.

• Wanneer Circe de schijf zo draait dat 3 bovenaan staat, staat 4 in de linkerhelft en 5 in de rechterhelft.

Hoeveel mogelijkheden zijn er waarbij 5 bovenaan staat?

A

B

C

D

E

1

2

3

4

5

OEFENING 6

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, Tweede ronde JWO 2026

Erno bouwt een grote 3 × 3 × 3-kubus met 9 houten kubusjes en 18 transparante glazen kubusjes zoals in de figuur hiernaast. Hij bekijkt de kubus langs voor, achter, links, rechts, boven en onder. Bij hoeveel van die zes aanzichten van de grote kubus kan Erno alle 9 houten kubusjes zien?

A

0

B

2

C

3

D

4

E

6

18 PYTHAGORAS

DE WONDERE WERELD VAN DE WISKUNDE: DIVERGENTE REEKSEN HET GEBEURT WEL VAKER IN DE WISKUNDE DAT THEORETISCHE RESULTATEN PAS VELE JAREN LATER OOK PRAKTISCH NUT BLIJKEN TE HEBBEN. HET BEROEMDSTE VOORBEELD ZIJN DE PRIEMGETALLEN, DIE AL BEKEND WAREN IN DE TIJD VAN EUCLIDES. ZE WERDEN GRONDIG BESTUDEERD DOOR PIERRE DE FERMAT IN DE ZEVENTIENDE EEUW, MAAR ZE ZIJN PAS RECENT ONMISBAAR GEWORDEN VOOR DE BEVEILIGING VAN IEDERS BANKGEGEVENS. HIER ZULLEN WE HET HEBBEN OVER WISKUNDIGE REEKSEN. DAT ZIJN SOMMEN MET ONEINDIG VEEL TERMEN. ZE WORDEN IN DE WISKUNDE EN IN DE INGENIEURSWETENSCHAPPEN ERG VAAK GEBRUIKT. ARCHIMEDES WERKTE ER AL MEE. DIVERGENTE REEKSEN VORMEN EEN GEVAL APART. IN DIT ARTIKEL BESTUDEREN WE ER EEN, NAMELIJK 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … DEZE REEKS KOM JE BIJVOORBEELD TEGEN IN HET CASIMIR-EFFECT UIT DE KWANTUMFYSICA. PAU L L E V R I E

HENDRIK CASIMIR EN HET CASIMIR-EFFECT De Nederlandse natuurkundige Hendrik Casimir (1909-2000) is vooral bekend voor zijn Casimireffect. Dit effect is eenvoudig uit te leggen aan de hand van een oude gravitatietheorie.

De Zwitsers wiskundige Nicolas Fatio de Duillier (1664-1753) gaf in 1690 de volgende mechanische verklaring

voor de onderlinge aantrekking van twee lichamen. Om te beginnen veronderstelde hij dat de ruimte geen vacuüm is, maar vol kleine deeltjes of golven zit die met een hoge snelheid in willekeurige richtingen bewegen.

Als die deeltjes of golven op hun weg een massa tegenkomen, dan vindt er een botsing plaats. Stel nu dat zich in de ruimte twee massa’s bevinden zoals in figuur 1.

De pijlen op de figuur geven inslaande deeltjes weer. Het effect van de deeltjes die invallen vanuit een richting loodrecht op de verbindingslijn van de twee massa’s wordt gecompenseerd door de even zoveel deeltjes die aan de andere kant inslaan. Maar in het gebied tussen de twee massa’s zullen zich geen horizontaal bewegende deeltjes bevinden. De massa’s verhinderen dat met hun

19

Figuur 1 – Twee massa's; de pijltjes geven inslaande deeltjes weer.

Figuur 2 – Begin van het artikel van Casimir

Figuur 3 – De onderste golf tussen de twee platen heeft frequentie 1, de goven erboven hebben achtereenvolgens frequentie 2,3,4.

aanwezigheid (ze zitten namelijk in de weg). Gevolg is dat het effect van de horizontaal inslaande deeltjes op de figuur niet wordt gecompenseerd.

Daardoor worden de twee massa’s naar elkaar toe gedreven.

In 1948 verscheen Casimirs artikel On the attraction between two perfectly conducting plates in de Proceedings van de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen (zie figuur 2).

Casimir paste hier ongeveer hetzelfde principe toe als Fatio de Duillier, maar hield hierbij rekening met de kwantumwereld waarin wij leven. De ruimte zit vol met in alle richtingen bewegende deeltjes en antideeltjes die op willekeurige momenten ontstaan en ook weer verdwijnen. De redenering van Fatio de Duillier zou hier dus gebruikt kunnen worden, ware het niet dat er ook deeltjes en antideeltjes zullen ontstaan in het gebied tussen de twee massa’s. Maar, zei Casimir, als we nu bijvoorbeeld twee metalen platen nemen en we brengen die zo dicht bij elkaar dat bepaalde deeltjes er niet tussen passen, dan zitten we wel in de situatie zoals beschreven door Fatio.

En dan zouden die twee platen naar elkaar toe moeten geduwd worden. Volgens de kwantumtheorie zullen tussen de twee platen enkel deeltjes kunnen ontstaan waarvan de golflengte precies een geheel aantal keer in de afstand tussen deze platen past (zie figuur 3).

Buiten deze platen kunnen deeltjes een willekeurige golflengte hebben.

Dit heeft voor gevolg dat de energiedichtheid tussen de platen kleiner is dan de energiedichtheid buiten de platen. En een maat voor de energiedichtheid tussen deze platen is op een factor na gegeven door de volgende som, waarover meer in de volgende paragraaf:

Als we afspreken dat de onderste golf tussen de platen op de figuur als frequentie 1 heeft, dan hebben

20

de golven erboven respectievelijk de frequenties 2, 3, 4, enzovoort. Voor de totale energie moeten we de energie van al die deeltjes optellen en dat zorgt ervoor dat er in het resultaat een som zit zoals die hierboven.

zijn schrijven had geantwoord dat hij niet in de valkuil van de divergente reeksen mocht vallen. Ramanujan schreef hierover naar Hardy (zie figuur 4 voor de eerste pagina van de brief):

SRINIVASA RAMANUJAN EN DIVERGENTE REEKSEN

"Ik vertelde hem dat in mijn theorie . Als ik dit aan u vertel, dan verwijst u me dadelijk naar een krankzinnigengesticht."

Op 16 januari 1913 schreef de toen onbekende Indische klerk Srinivasa Ramanujan (1887-1920) vanuit Madras een brief naar de Britse wiskundige G.H. Hardy (1877-1947).

De brief van 10 bladzijden bevatte naast een inleiding ook 120 formules, zonder bewijs. Eén ervan was de volgende:

De drie puntjes in het linkerlid duiden erop dat je moet blijven optellen ad infinitum, dus zonder te stoppen. De oneindige som in het linkerlid wordt in de wiskunde een (oneindige) reeks genoemd (zie tekstkader 1 op p. 22).

Dit resultaat is op zijn minst onwaarschijnlijk te noemen. Hoe kan je nu een negatief resultaat krijgen als je (oneindig veel!) positieve getallen optelt? Ook Hardy zal waarschijnlijk wel even zijn wenkbrauwen hebben gefronst, maar nadat hij samen met zijn wiskundecollega J.E. Littlewood (1885-1977) de brief wat grondiger had bestudeerd, besliste hij om Ramanujan naar Engeland te halen.

Ramanujan was hierover verbaasd, want zelf vertelt hij in een volgende brief naar Hardy, op 27 februari, over zijn wedervaren met een professor uit Londen, die hem naar aanleiding van

Het is niet zo moeilijk om na te gaan dat er in deze formule van Ramanujan een grond van waarheid zit. Dat zie je in de bijgevoegde tekstkaders 2 en 3 op p. 22-23. Soortgelijke manieren om zo de som te bepalen leiden overigens altijd tot hetzelfde . resultaat, namelijk

DE REEKS VAN RAMANUJAN TOEGEPAST BIJ HET CASIMIR-EFFECT De energiedichtheid tussen de twee evenwijdige platen is dus nu gekend: volgens Ramanujan hebben we

De kracht tussen de twee platen kan hieruit afgeleid worden, en die is gelijk aan

Hierbij is de gereduceerde constante van Planck (een natuurkundige constante die de basis vormt van de kwantumfysica waarin verondersteld wordt dat energie gekwantiseerd is, dus enkel kan voorkomen in veelvouden van

een basisenergie waarvan de grootte bepaald is door deze constante), de afstand de lichtsnelheid, en tussen de twee platen. Het minteken wijst op aantrekking.

Het Casimir-effect is in 1997 experimenteel geverifieerd: twee metalen platen die zeer dicht bij elkaar geplaatst worden, trekken elkaar aan. De waargenomen waarden komen met een nauwkeurigheid van 1% overeen met de theoretische berekeningen.

Het Casimir-effect blijkt ook praktisch nut te hebben, bijvoorbeeld bij het volgende fenomeen: microscopische onderdelen van computers blijken nogal eens aan elkaar te blijven plakken, wat problemen veroorzaakt bij het hanteren ervan (in het Engels noemen we dit effect stiction).

Het blijkt mogelijk te zijn van de Casimirkracht een afstotende kracht te maken i.p.v. een aantrekkende.

Het Casimir-effect zorgt er bijvoorbeeld ook voor dat gekko’s op muren en plafonds kunnen lopen zonder naar beneden te vallen: de miljoenen microscopische haartjes op hun poten worden aangetrokken door het oppervlak waarover ze lopen.

WAT MEER ACHTERGROND Ramanujan was niet de eerste die over divergente reeksen schreef. Hij had alvast als illustere voorganger Leonhard Euler (1707-1783), een Zwitsers wiskundige aan wie we o.a. een aantal veelgebruikte notaties in de wiskunde te danken hebben. De nu nog steeds gebruikte bijvoorbeeld, functienotatie en de letter e die de basis vormt van

21

de exponentiële functie. Ook de i bij de complexe getallen heeft hij ingevoerd.

Euler was zeer veelzijdig, en liet een omvangrijk oeuvre na, dat je volledig gratis online kunt raadplegen (https:// scholarlycommons.pacific.edu/eulerworks/). Zo begon hij met de studie van wat later de Riemann-zetafunctie genoemd werd. De definitie ervan voor de gehele getallen luidt als volgt:

dus staat voor . waarbij kiest, Als je voor de waarde dan komt er te staan: , de reeks waarover Ramanujan het had. Euler vond (100 jaar vóór Riemann) een vergelijking waaraan de Riemann-zetafunctie voldoet, de zogenaamde functionaalvergelijking (zie figuur 5, een hebbeding waarschijnlijk bedoeld voor wiskundigen). Met deze vergelijking kan je toch een betekenis geven aan de oneindige sommen die je krijgt als je s kleiner kiest dan 0 in de bovenstaande vergelijking. Voor onze reeks vind je dan inderdaad als som:

Wetenschappers noemen dit zeta-regularisatie.

De afleiding in tekstkader 2 op p. 22-23 komt overigens in grote lijnen overeen met hoe Euler het deed in 1746.

Figuur 4 – De eerste pagina van de tweede brief die Srinivasa Ramanujan schreef naar de Britse wiskundige Godfrey Hardy (1913).

Bernhard Riemann (1826-1866) nam later de draad weer op en

22

Een reeks in de wiskunde is een som met oneindig veel termen.

Reeksen vormen de basis van een heel deel van de wiskunde, maar dan vooral reeksen waarvan de som een eindig resultaat oplevert. We spreken in dit geval van een convergente reeks. Vooral dit soort reeksen heeft vele toepassingen.

Als voorbeeld zie je in figuur 6 een meetkundige interpretatie van de som van deze reeks:

Figuur 5 – De functionaalvergelijking van de zetafunctie, in een handig formaat.

gaf het eerste bewijs van deze functionaalvergelijking voor de zetafunctie. Zijn onderzoeken in dit verband leidden tot de formulering van de ondertussen beroemde Riemann-hypothese, die een uitspraak doet over de s-waarden waarvoor deze som gelijk is aan nul.

Het Amerikaanse Clay Mathematics Institute looft een prijs van 1 miljoen dollar uit voor wie deze Riemannhypothese kan bewijzen. Het is een van de zogenaamde Millenium Prize Problems.

waarbij elke term de helft is van de vorige.

Reeksen waarvan de som geen eindige waarde oplevert, noemen we ook wel divergente reeksen.

Dergelijke reeksen leken aanvankelijk nutteloos te zijn, maar blijken nu dus toch toepassingen te hebben.

Figuur 6 – Meetkundige interpretatie van de som van een reeks.

DEEL 1:

Laten we het resultaat van de volgende optelling voorstellen door de letter S.

We schrijven deze vergelijking nu tweemaal, onder elkaar, en wel als volgt:

Als we dan de beide vergelijkingen bij elkaar optellen, in het linkerlid door de termen die onder elkaar staan samen te tellen, dan vinden we daar als som 1, en als som van de rechterleden vinden we 2S. Hieruit volgt dus:

23

De volgende stap begint op dezelfde manier, maar nu vermenigvuldigen we S achtereenvolgens met − 1, met 1, met − 1, enz.:

ENKELE VOORAANSTAANDE WISKUNDIGEN/ WETENSCHAPPERS OVER DIVERGENTE REEKSEN Leonhard Euler (1707-1783): Ik ben ervan overtuigd dat met elke reeks een waarde overeenkomt.

Opnieuw tellen we alles bij elkaar op. Voor de som van de linkerleden vinden we:

Voor de som van de rechterleden geeft het:

en omdat S een factor is van elke term kunnen we dit resultaat schrijven als:

Nu weten we van vroeger dat de som tussen de haken precies gelijk is aan S. We kunnen dus nu besluiten:

want we hebben berekend dat

.

Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783): Ik geef toe dat ik alle redeneringen en berekeningen die gebaseerd zijn op nietconvergente reeksen altijd verdacht zal blijven vinden, zelfs als er dingen uit zouden volgen die overeenkomen met resultaten die op een andere manier zijn afgeleid.

Niels Henrik Abel (1802-1829): Divergente reeksen zijn een uitvinding van de duivel, en het is een schande er een bewijs op te baseren.

DEEL 2:

Godfrey Hardy (1877-1949):

Hier laten we Ramanujan zelf aan het woord. In figuur 7 zie je wat hij zelf in hoofdstuk 8 van zijn tweede Notebook schrijft. Hij gebruikt hierbij het resultaat uit Deel 1.

lijkt paradoxaal, want het is onnatuurlijk om aan een reeks met positieve termen een negatieve som toe te kennen.

Figuur 7 – Het bewijs van Ramanujan voor de -1/12 formule.

24

SKOLEMRIJEN ALBERT THORALF SKOLEM WAS EEN NOORSE WISKUNDIGE, DIE LEEFDE VAN 1887 TOT 1963. HIJ DEED VOORAL ONDERZOEK OP HET GEBIED VAN DE LOGICA EN FUNDAMENTELE WISKUNDE. HET HIERONDER BESCHREVEN PROBLEEM WERD DOOR HEM OPGELOST. WIJ GAAN HET OPLOSSEN MET BRUTE FORCE, DOOR EEN COMPUTER PROGRAMMA TE SCHRIJVEN. M AT T H I J S C O S T E R

Kies een positief geheel getal, zeg n. We gaan de getallen 1, 2, 3, t/m n tweemaal in een rij plaatsen op een dusdanige manier dat de afstand tussen de twee k’s precies is.

Een dergelijke rij noemen we een Skolemrij. Zo is [ 1, 1 ] een voorbeeld van een Skolemrij. Maar ook [ 1, 1, 3, 4, 2, 3, 2, 4 ] is een Skolemrij.

De enen staan immers op afstand 1 van elkaar, de tweeën op afstand 2, de drieën op afstand 3 en de vieren op afstand 4.

OPDRACHT Maak ook een Skolemrij van lengte 10 voor de getallen 1 t/m 5.

We schrijven een programma om met brute force het aantal Skolemrijen te bepalen voor een gegeven n.

We maken gebruik van itertools.

Itertools is een heel praktisch stukje gereedschap. Wij gebruiken permutations, daarmee kun je een verzameling elementen in alle mogelijke volgordes (permutaties) plaatsen. Bijvoorbeeld voor { 1, 2, 3 } geeft permutations de uitkomst

{ [ 1, 2, 3 ], [ 1, 3, 2 ], [ 2, 1, 3 ], [ 2, 3, 1 ], [ 3, 1, 2 ], [ 3, 2, 1 ] }. We gaan nu aan de slag met het programma.

Maar we kijken nog eerst even naar de oplossing bij n = 4. Dat was: [ 1, 1, 3, 4, 2, 3, 2, 4 ]. Je doorloopt deze rij van voor naar achter. Je komt eerst een 1 tegen, daarna de 3, daarna de 4 en ten slotte de 2. Dat je onderweg ook nog een 1 tegenkomt, is nu even niet relevant. Want we willen weten wat de volgorde is van de verschillende getallen. En die is [ 1, 3, 4, 2 ]. We laten nu zien hoe je met de permutatie [ 1, 3, 4, 2 ] weer de bovengenoemde oplossing kunt vinden. Plaats eerst een lege oplossingsrij: [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]. We gaan eerst de twee enen plaatsen. De eerste 1 komt vooraan, de tweede 1 komt 1 verderop, dus: [ 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]. Nu plaatsen we de twee drieën: De eerste drie komt op de eerste vrije plek en de volgende drie komt 3 verderop, dus: [ 1, 1, 3, 0, 0, 3, 0, 0 ]. Daarna plaatsen we de 4. We zoeken naar de eerste

vrije plek (dus 0). Hier plaatsen we de 4 en 4 verderop volgt de andere 4: [ 1, 1, 3, 4, 0, 3, 0, 4 ]. Ten slotte volgen de twee tweeën: [ 1, 1, 3, 4, 2, 3, 2, 4 ]. Niet bij elke permutatie is er een oplossing.

Bijvoorbeeld bij de permutatie [ 1, 2, 3, 4 ] is geen oplossing.

Het idee achter de brute force aanpak (dat wil zeggen we gaan alle mogelijkheden langslopen) is dat we alle permutaties van { 1, 2, 3, … ,n } langslopen. Als we een zekere permutatie bekijken, dan gaan we in een lege rij van lengte 2n de getallen invullen, zoals we dat hierboven hebben beschreven.

Bekijk het programma op de website van Pythagoras.

OPDRACHT Ga na dat er bij de permutatie [ 1, 2, 3, 4 ] geen oplossing is.

OPDRACHT We hebben n = 2 en n = 3 overgeslagen. Het blijkt dat er geen oplossingen zijn voor n = 2 en n = 3. Pas het hierboven beschreven

25

OPLOSSING

algoritme toe (werk met pen en papier) om na te gaan dat er geen oplossingen zijn.

Dan ben je natuurlijk benieuwd wat de resultaten zijn. T/m 9 zijn de berekeningen goed uit te voeren op een computer met het programma.

We vinden: 1 :1 2: 0 3: 0 4: 6 5 : 10 6: 0 7: 0 8 : 504 9 : 2656 Opmerkelijk zijn de nullen bij 2, 3, 6 en 7.

OPDRACHT Kun je nagaan waarom er geen oplossingen zijn voor 2, 3, 6 en 7?

Zouden er ook voor andere rijen mogelijk geen oplossingen zijn?

In het vorige nummer van Pythagoras stond een artikel over het plaatsen van tweemaal de getallen 1 t/m n. Er werd op het einde van het artikel een opdracht gegeven. Absoluut geen eenvoudige opdracht. We werken die opdracht hieronder uit.

OPDRACHT Plaats 1, 1, 2, 2, 3, 3, … , n, n zodat voor elk getal k geldt dat k en k op afstand k van elkaar staan.

We schreven de vorige keer een Python programma. Toen bleek dat er voor 2, 3, 6 en 7 geen oplossingen waren. Dat gaan we hieronder bewijzen. We bewijzen het zelfs algemener: voor geen enkel viervoud plus 2 of plus 3 is er een Skolemrij te construeren.

Stel dat we wel een oplossing hebben, zeg, a1, a2, a3, … ,a2n. We weten natuurlijk niet waar 1, 2, 3, … , n worden geplaatst, maar wat we wel weten is dat 1, 2, 3, … , n precies tweemaal worden geplaatst en dat na de eerste 1 1 verder nog een 1 staat. Evenzo voor 2, 3, 4 … , n. Stel dat de eerste 1 op plaats k1 staat, dan staat de tweede 1 op plaats k1 + 1, Evenzo staan de twee¨en op plaatsen k2 en k2 + 2, etc. Verder komen k1, k1 + 1, k2, k2 + 2, … , kn, kn + n precies overeen met de plaatsen 1, 2, 3, … , 2n.

Nu nemen we de sommen: k1 + k1 + 1 + k2 + k2 + 2 + k3 + k3 + 3 + … + kn + kn + n = 1 + 2 + 3 + 4 + … , +2n.

Ofwel 2(k1 + k2 + k3 + … + kn) + 1 + 2 + 3 + … + n = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 2n.

Als deze vergelijking geldt, dan moet ook gelden dat beide zijden of even of oneven zijn. De gemakkelijkste zijde om te bekijken is de rechter zijde. 2, 4, 6, … , 2n zijn allemaal even. 1, 3, 5, 7, … , 2n − 1 zijn oneven. Het aantal oneven getallen is precies n. Het rechterlid is even als n even is, en oneven als n oneven is.

Het linkerlid is iets ingewikkelder. 2(k1 + k2 + k3 + … + kn) is altijd even, ongeacht de keuze van k1, k2, … , kn. Wat kunnen we zeggen over 1 + 2 + 3 + … + n? 1 en 1 + 2 zijn oneven, terwijl 1 + 2 + 3 en 1 + 2 + 3 + 4 zijn even. En daarna herhaalt het patroon zich.

Dus als n een viervoud is, dan is de som even.

Dus als n een viervoud plus 1 is, dan is de som oneven.

Dus als n een viervoud plus 2 is, dan is de som oneven.

Dus als n een viervoud plus 3 is, dan is de som even.

Nu moet gelden dat zowel de som aan de linkerzijde en aan de rechterzijde allebei hetzij even hetzij oneven zijn. Uit onderstaande tabel kunnen we concluderen dat Skolem alleen een oplossing heeft als n een viervoud of een viervoud plus 1 is. voorwaarde n Dus als n een viervoud is Dus als n een viervoud plus 1 is Dus als n een viervoud plus 2 is Dus als n een viervoud plus 3 is

linkerzijde rechterzijde even even oneven oneven oneven even even oneven

Een gelijkzijdige driehoek △ ABC is opgedeeld in een aantal driehoeken zoals in de figuur.

Daarbij zijn de punten P, Q en R de middens van de drie zijden.

Welk deel van de driehoek is gekleurd?

OEFENING 7

26

ANDER DEEL VAN HET BEWIJS We hebben nu gezien dat voor viervouden plus 2 en viervouden plus 3 geen oplossingen zijn. Maar dat betekent nog niet dat er altijd oplossingen zijn als n een viervoud of een viervoud plus 1 is. Daarvoor verwijzen we naar twee algemene oplossingen die Skolem zelf bedacht:

A

B

C Geval n is een viervoud plus 1 We schrijven n = 4m + 1. We laten zien dat voor r {1, 2, 3, . . . , 4m + 1} er een kr is zodat zowel kr als kr + r in de Skolemrij zitten. r kr, kr + r 1 (k, k + 1) {2, 4, 6, . . . , 4k} (6k − r/2, 6k + r/2) {3, 5, 7, . . . , 2k − 3} (2k − (r − 1)/2, 2k + (r + 1)/2) 2k − 1 (2k, 4k − 1) { 2k + 1, 2k + 3, 2k + 5, . . . , 4k − 3 } (2k − (r − 1)/2, 2k + (r + 1)} 4k − 1 (2k + 1, 6k)

D

E

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, VWO Tweede ronde 2026

Geval n is een viervoud We schrijven n = 4m. We laten zien dat voor r ∈ { 1, 2, 3, … , 4m } er een kr is zodat zowel kr als kr + r in de Skolemrij zitten. r kr, kr + r 1 (k, k + 1) {2, 4, 6, … , 4k} (6k − r/2, 6k + r/2) {3, 5, 7, … , 2k − 3} (2k − (r − 1)/2, 2k + (r + 1)/2) 2k − 1 (2k, 4k − 1) {2k + 1, 2k + 3, 2k + 5, … , 4k − 3} (2k − (r − 1)/2, 2k + (r + 1)} 4k − 1 (2k + 1, 6k)

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, VWO Tweede ronde 2026

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, VWO Tweede ronde 2026

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, VWO Tweede ronde 2026

27

OEFENING 8 In hotel Kramekiek zijn 100 kamers, genummerd van 1 tot en met 100. Sommige kamernummers hangen per ongeluk ondersteboven aan de deur zoals in de figuur hiernaast.

Guust is zijn kamernummer vergeten. Hij herinnert zich enkel dat hij op de deur een ‘9’ heeft gezien. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor zijn kamernummer?

A

B

C

D

E

19

20

36

37

38

OEFENING 9 De vijfhoek ABCDE in de figuur heeft vier hoeken van 60°.

Ook is |AB| = 12, |BC| = 4 en |CD| = 1.

Waaraan is |AE| + |DE| gelijk?

OEFENING 10 Wat is het grootst mogelijke verschil tussen het gemiddelde en de mediaan van vijf, niet noodzakelijk verschillende, gehele getallen uit {10, 11, … , 20}?

A

15

B

16

C

17

D

18

E

19

A

2

B

4

C

5

D

7,5

E

10

28 STATBEL

NEEM MET JE LEERLINGEN DEEL AAN DE EUROPESE STATISTIEKOLYMPIADE EEN ONLINE WEDSTRIJD IN TEAMS VAN 1 TOT 3 LEERLINGEN IN DE 3E GRAAD SECUNDAIR ONDERWIJS NEEM NET ALS TEAMS UIT 22 LANDEN, MEER DAN 2200 SCHOLEN, 9000 TEAMS EN 28.000 STUDENTEN DEEL AAN DE EUROPESE STATISTIEKOLYMPIADE. WANNEER? De Olympiade loopt van november 2026 tot mei 2027. Inschrijven kan van 21 september tot 16 oktober via www.statistiekolympiade.be Op de website vind je naast een volledige beschrijving van de wedstrijd ook een kalender terug, zodat je de wedstrijd maximaal kan inplannen volgend schooljaar. Lees ook alvast even het reglement door.

HOE? 1. Online test (nov) : kennis, kritisch denken en analysevaardigheden Er zijn 2 trajecten voor de online test: - Traject π: 5 uur of meer wiskunde per week - Traject σ: minder dan 5 uur wiskunde per week

Wil je graag al enkele voorbeelden van de quizvragen zien?

Neem dan zeker eens een kijkje op de website, waar je de vragen van 2024-2025 kan terugvinden.

2. Video-opdracht (jan-feb) : creatieve communicatievaardigheden, interpreteren van statistieken en onderzoeksvaardigheden Wil je met je leerlingen graag al eens de video’s van alle finalisten van de vorige edities bekijken?

Neem dan zeker een kijkje op ons YouTube-kanaal.

JOUW TAAK ALS LEERKRACHT? • Je team(s) inschrijven.

• Aanspreekpunt zijn voor onze communicatie.

• Teams begeleiden en feedback geven.

DE PRIJZEN? Een trofee, een cadeaubon en misschien zelfs een gesponsorde trip naar de Europese prijsuitreiking, die elk jaar in een ander deelnemend land doorgaat, …

CONTACT Wil je op de hoogte blijven van alle ontwikkelingen? Volg dan zeker onze facebookpagina of schijf je in op onze nieuwsbrief. https://www.facebook.com/ EuropeanStatisticsCompetitionBelgium https://statbel.fgov.be/nl/ Olympiade/nieuwsbrief Een dringende vraag?

Een suggestie?

Mail naar statolympiade@economie.fgov.be.

Hoeveel meter lopen de schapen wanneer ze de kortst mogelijke weg nemen?

A

250 m

B

260 m

C

270 m

D

300 m

E

320 m

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, VWO Tweede ronde 2026

De schapen van Wouter Wollewei lopen elke dag van A naar B. Daarbij moeten ze op twee plaatsen een drassige rivierbedding van 10 meter loodrecht oversteken zoals in de figuur. De twee beddingen vormen een rechte hoek.

OEFENING 11

29

30 UITWISKELING

GESCHIEDENIS IN DE WISKUNDELES: FLORENCE NIGHTINGALE EN DE BESCHRIJVENDE STATISTIEK FLORENCE NIGHTINGALE (1820-1910) WAS EEN BRITSE VERPLEEGSTER DIE DE MANIER WAAROP DE MAATSCHAPPIJ DE VERZORGING VAN ZIEKEN EN GEWONDEN BEKEEK GRONDIG HEEFT VERANDERD. ZE PIONIERDE NIET ALLEEN OP HET GEBIED VAN DE MODERNE VERPLEGING, OOK BINNEN HET DOMEIN VAN DE BESCHRIJVENDE STATISTIEK HEEFT ZE EEN BELANGRIJKE BIJDRAGE GELEVERD. ZE BEDACHT HET ZOGENAAMDE POOLDIAGRAM OM DATA DUIDELIJK TE VISUALISEREN ZODAT DIE MEER TOEGANKELIJK EN BEGRIJPELIJK WERDEN. OP DIE MANIER KON ZE POLITICI OVERHALEN OM MEER TE INVESTEREN IN GEZONDHEIDSZORG. ZE GEBRUIKTE STATISTISCHE GEGEVENS OM DE RELATIE TUSSEN PATIËNTENSTERFTE EN HYGIËNE IN ZIEKENHUIZEN TE BEWIJZEN EN OM DE EFFICIËNTIE VAN ZIEKENHUIZEN TE EVALUEREN. HAAR WERK HAD EEN ENORME INVLOED OP DE ONTWIKKELING VAN DE MODERNE EPIDEMIOLOGIE, DE VERPLEEGKUNDE EN DE VOLKSGEZONDHEID. E L S VA N L O M M E L , R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

Florence Nightingale kwam uit een rijke familie van grootgrondbezitters en al vroeg tijdens haar jeugd bleek dat ze veel aanleg had voor wiskunde en vreemde talen. Voor

de opvoeding van vrouwen uit haar sociale klasse werd wiskunde echter als onbelangrijk gezien en haar ouders keurden haar interesse dan ook af. Nightingale moest

het daarom vooral van zelfstudie hebben. Ze verslond boeken over wiskunde en statistiek.

31

DATA GRAFISCH VOORSTELLEN: KORT HISTORISCH OVERZICHT

Figuur 1 – Florence Nightingale (1820-1910)

Gaandeweg kreeg ze ook interesse voor ziekenhuisbeheer. Ze wilde verpleegster worden, maar dat stond voor iemand van haar stand niet hoog genoeg aangeschreven.

Nightingale overwon deze vooroordelen, zette tegen de wil van haar ouders door en werd toch verpleegster. Haar werk was haar grote passie en haar gedrevenheid was enorm. Ze gebruikte haar talent en kennis om anderen te helpen.

Dit alles maakt haar een bijzonder inspirerende figuur.

Om de leerlingen te motiveren voor beschrijvende statistiek kun je de verwezenlijkingen van Florence Nightingale kort bespreken bij de start van de lessenreeks. Statistiek komt in elke graad van het secundair onderwijs voor. Het verhaal van Nightingale toont het belang en de kracht van beschrijvende statistiek.

Aan het einde van de achttiende eeuw wilden steeds meer staten info vergaren over hun inwoners omdat ze beseften dat hun macht niet enkel afhing van de grootte van hun staat, maar ook van bijvoorbeeld de productiviteit van de bevolking.

Overheidsambtenaren gingen systematisch data verzamelen zoals bevolkingsaantallen, info over de gezondheid van de bevolking, het inkomen, de prijsevoluties ... In Duitsland ontstond zo de discipline 'staatshuishouding' of 'Statistik'. Het woord 'statistiek' is afkomstig van het Latijnse 'statisticum collegium', wat 'les over staatszaken' betekent.

Een belangrijke innovatie in de negentiende eeuw was het gebruik van grafieken om al die gegevens te visualiseren. Verschillende wiskundigen leverden een bijdrage aan deze ontwikkeling.

William Playfair (1759-1823, niet te verwarren met zijn tijdsgenoot John Playfair naar wie het Playfair axioma van Euclidische meetkunde is vernoemd) was een van de eersten die tabellen met cijfers verving door visuele representaties.

Hij ontwierp verscheidene soorten grafieken zoals lijn-, staart- en staafdiagrammen. Een bekend voorbeeld met zowel een lijn- als een staafdiagram zie je in figuur 2.

De grafiek in figuur 3 (1801) toont de relatie tussen belastingopbrengst, bevolkingsgrootte en oppervlakte van verschillende Europese landen.

Een voorbeeld van multivariate analyse dus. De oppervlakte van de cirkelschijven representeert de oppervlakte van de genoemde landen. Het verticale lijnstuk links van elke cirkel stelt de bevolkingsgrootte van het land (in miljoenen) voor; het lijnstuk rechts is de belastingsopbrengst in miljoenen

Figuur 2 – Prijs van tarwe (staafdiagram) en gemiddelde weeklonen (lijngrafiek)

32

pond sterling. De verbindingslijnen tussen deze verticale rechten zeggen iets over het verband tussen deze twee.

De tweede cirkelschijf visualiseert de data voor het Turkse Rijk. Deze schijf is verdeeld in drie sectoren die de locatie weergeven: Europa, Afrika en Azië. Het is het oudste bekende voorbeeld van een taartdiagram.

Figuur 3 – Het eerste taartdiagram

Het valt op dat deze grafieken ook voor ons nu nog steeds heel overzichtelijk en duidelijk zijn.

Histogrammen werden voor het eerst gebruikt door A.M. Guerry in Frankrijk in 1833. Ze werden echter pas gemeengoed nadat Karl Pearson ze in 1895 gebruikte in een artikel over evolutieleer. Figuur 4 is een voorbeeld uit dat artikel, waaruit duidelijk blijkt dat er minder bloemen zijn met een groter aantal bloemblaadjes.

Rond 1875 bedacht Francis Galton het ogief, om cumulatieve frequenties voor te stellen. In figuur 5 toont Galton de trekkracht van 519 mannen van 23 tot 26 jaar, in Engelse ponden (lbs). Hij plaatste de kracht langs de verticale as en het percentiel langs de horizontale as (dat doen wij nu meestal omgekeerd). Je kunt uit de grafiek bijvoorbeeld aflezen dat mannen uit het 70e percentiel een gewicht kunnen trekken van ongeveer 80 Ibs. De grafiek is wat wij nu de inverse cumulatieve verdelingsfunctie noemen.

Figuur 4 – Histogram, Karl Pearson (1895)

33

Figuur 5 – Een reproductie van het eerste ogief, Galton (1875)

THE LADY WITH THE LAMP Door haar kennis van wiskunde en statistiek én doordat ze al op jonge leeftijd veel boeken las over verpleegkunde en ziekenhuisbeheer, was Florence Nightingale al heel snel een expert binnen deze domeinen. Dit bracht haar snel in leidinggevende functies. Dankzij haar gegoede afkomst had ze bovendien connecties met politici uit de hoogste regionen en dat gaf haar invloed op het beleid.

Tijdens de Krimoorlog van 1855, waar de Engelsen samen met de Fransen tegen de Russen vochten, kwam Florence Nightingale als diensthoofd terecht in het Scutariziekenhuis in de Bosporus waar ze gewonde Britse soldaten verzorgde. Wat ze daar aantrof, was verschrikkelijk. Aan alles was er gebrek: schoon water, verband en

medicijnen... De gewonden lagen met honderden naast elkaar op de vuile grond. Onder deze barre omstandigheden probeerde Nightingale het lot van de soldaten te verlichten en de medische zorg te verbeteren. 's Nachts deed ze met een lantaarn de ronde door de zalen om patiënten te bezoeken en om te inspecteren of alle hygiënische maatregelen die ze als diensthoofd in haar ziekenhuis oplegde, werden opgevolgd. Onder de soldaten stond ze daarom al snel bekend als 'The lady with the lamp'. De Krimoorlog was de eerste oorlog waarbij journalisten aanwezig waren.

Die brachten verslag uit over de dame met de lamp en stilaan werd Nightingale een nationale held.

Om de regering ervan te overtuigen dat de meeste soldaten niet stierven

Figuur 6 – 'Crimean War: Florence Nightingale with her lamp at a patient's bedside', Henrietta Rae (1891)

als gevolg van oorlogshandelingen maar wél door het gebrek aan goede ziekenzorg en hygiëne, begon ze dagelijks gegevens bij te houden en zocht ze een manier om die data visueel en overzichtelijk voor te stellen. Ze maakte daarbij dankbaar gebruik van de ideeën van haar tijdgenoot Adolphe Quetelet (17961874), Belgische statisticus en de grondlegger van sociale statistiek.

Nightingale bestudeerde onder andere zijn werk 'Physique sociale', nam er delen van over en schreef er commentaar bij. Ze ging echter verder dan Quetelet. Ze besefte dat ze ministers niet kon overtuigen van de noodzaak om meer te investeren

34

Figuur 7 – Pooldiagram van Florence Nightingale uit 1858

in gezondheidszorg door hen enkel naar getallen te laten kijken. Ze werd de uitvindster van het pooldiagram en introduceerde zo het gebruik van statistiek in de gezondheidszorg.

LESACTIVITEIT

HET POOLDIAGRAM VAN FLORENCE NIGHTINGALE

In figuur 7 zie je het pooldiagram dat Nightingale bedacht, 'Diagram of the causes of mortality in the army in the East'. Dit diagram geeft de jaarlijkse sterftecijfers (per 1000 en per maand) - die optraden als gevolg van te voorkomen ziekten (in blauw), - die het gevolg waren van oorlogsverwondingen (in rood), - die te wijten waren aan andere oorzaken (in zwart).

1 Welke info staat er op het diagram en hoe moet je het diagram lezen?

Het aantal slachtoffers dat er in een bepaalde maand gevallen is, is recht evenredig met de oppervlakte van de cirkelsector. Elke kleur stelt een bepaalde categorie voor.

In de korte lesactiviteit hiernaast, stellen we enkele vragen die je samen met leerlingen bij dit diagram kunt bespreken.

3 Welke oppervlakte is de grootste?

De oppervlakte die meestal uitsteekt: zeer duidelijk het aantal slachtoffers door gebrek aan zorg.

2 Overlappen de verschillende oppervlakten met elkaar?

Alle oppervlakten moet je meten vanuit het middelpunt, het zijn elk cirkelsectoren. De verschillende categorieën overlappen elkaar. In het diagram van 1855 kun je dit zien aan de ene sector waarbij rood aan de buitenkant zit.

35

BRONNEN 4 In oktober 1854 en april 1855 valt de zwarte oppervlakte samen met de rode. Wat betekent dit?

Er zijn evenveel slachtoffers door oorlogsverwondingen als door andere oorzaken.

Berlinghoff, W. & Gouvêa F. (2016). Wortels van de Wiskunde. Een historisch overzicht voor leraren en anderen.

Epsilon Uitgaven.

ISBN 978-90-5041-156-l.

5 In januari en februari 1856 vallen de blauwe oppervlaktes samen met de zwarte. Wat betekent dit?

Er zijn evenveel doden door gebrek aan zorg als door alle andere oorzaken. De rode categorie van de oorlogsgewonden is weggevallen.

Hautekiet, G., Lefèvre, E., Van Emelen, E. (2014). Beschrijvende statistiek in de tweede graad. Uitwiskeling 30/3, pp 44-46.

Janssens, D., Roelens, M., Op de Beeck, R. (1989). Historisch geïnspireerde wiskundelessen. Uitwiskeling 6/1.

Katz, V.J. (2009). A history of mathematics, an introduction. Addison-Wesley.

Na de Krimoorlog richtte Florence Nightingale in 1860 een verpleegstersschool op in Londen. Het was een van de eerste opleidingen op dit gebied en de invloedrijkste. Ze werkte mee aan tal van rapporten en schreef o.a. ook een handboek voor verpleegkundigen. Veel van Nightingales suggesties met betrekking tot ziekenhuisarchitectuur en gezondheidszorg zijn ondertussen gemeengoed geworden: afzonderlijke afdelingen om het besmettingsgevaar te verkleinen, het belang van licht en goede ventilatie, het belang van preventie ('gezondenzorg is even belangrijk als ziekenzorg') en haar opvatting dat ziekenhuizen elk jaar hun resultaten zouden moeten publiceren zodat die onderling statistisch vergeleken en verbeterd kunnen worden. Nightingale kan gerust een van de grote sociale hervormers van haar tijd worden genoemd.

Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 39/3 in het kader van een uitgebreider artikel over het gebruik van geschiedenis in de wiskundeles. Op www.uitwiskeling. be vind je alle info.

Magnello, E. (2010). Florence Nightingale: the compassionate statistician. Plus. https://plus.maths.org/ content/ about-plus Meskens, A. (2021). Florence Nightingale, Adolphe Quetelet en het begin van de medische statistiek. Wiskunde & Onderwijs 47/187, pp 5-14.

Nightingale's 'Coxcombs'. (z.d.).

Understanding Uncertainty. https://understandinguncertainty.org/ coxcombs

36

SCHAAKBORTONDE

ROTONDE MET EEN ILLUSIONAIR SCHAAKBORD ZOU HET MOGELIJK ZIJN OM MET SLECHTS 64 KUBUSSEN EEN KUNSTWERK TE MAKEN DAT VAN ZES KANTEN BEKEKEN, DE AANBLIK VAN EEN SCHAAKBORD BIEDT? DAT VROEG HANS KUIPER ZICH IN 2001 AF, NA EEN BEZOEK AAN EEN EXPOSITIE MET WERK VAN DE AMERIKAANSE MINIMAL ART KUNSTENAAR SOL LEWITT (1928–2007). IN GEDACHTEN ZAG HIJ ZO’N REUSACHTIGE KUBUS — WANT DAAR KOMT HET OP NEER — AL OP EEN ROTONDE STAAN VAN TWEE ELKAAR LOODRECHT KRUISENDE WEGEN. NORMAAL GESPROKEN ZOU ZO’N REUSACHTIGE KUBUS 8 X 8 X 8 KLEINERE KUBUSSEN MOETEN BEVATTEN, TENMINSTE ALS HIJ HELEMAAL WORDT OPGEVULD. MAAK JE HEM HOL DAN KAN HET MET 6 X 6 X 6 KUBUSSEN MINDER, MAAR DAN HEB JE NOG ALTIJD 296 KLEINERE KUBUSSEN NODIG. DUS HOE MOET DAT MET 64 KLEINERE KUBUSSEN? K L A A S L A K E M A N , A R S E T M AT H E S I S

37

Een Latijns vierkant van de orde n is een vierkant met n rijen en n kolommen, gevuld met n verschillende afbeeldingen zó dat elke afbeelding in elke rij en in elke kolom precies één keer voorkomt. (figuur 1). Doorgaans bestaan die symbolen uit de natuurlijke getallen 1 tot en met n. De naam 'Latijns vierkant' komt van de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler (17071783) die Latijnse symbolen gebruikte in zijn vierkanten. De iedereen wel bekende Sudokupuzzels zijn bijzondere gevallen van Latijnse vierkanten van orde 9.

Een Latijns vierkant van orde 8 (figuur 1) vormt de bron voor het kunstwerk dat Kuiper in gedachten had. Dat heeft 8 X 8 = 64 cellen. Elke rij en elke kolom bevat 8 cellen. Elke cel bevat een nummer tussen 1 en 8.

Elk nummer komt slechts eenmaal in een rij en in een kolom voor.

Figuur 1 – Latijns vierkant

VAN 2D NAAR 3D

VERBINDINGEN

Beschouw elk van de 64 cellen als een kubusje. Deze 64 kubusjes worden de bouwstenen of elementen van het object. Om een 3D-object te krijgen, moet elk kubusje een positie in de ruimte krijgen. Neem daartoe het nummer in elke cel als de hoogtecoördinaat van het kubusje. De kubusjes met nummer 1 blijven onderaan, die met nummer 8 komen helemaal bovenaan. De andere kubusjes krijgen een positie op een niveau ertussen. Als je het goed doet moet het resultaat een object worden, met de eigenschap dat alle 64 kubusjes in alle zes mogelijke aanzichten te zien zijn. Dus geen enkel kubusje mag aan het zicht worden onttrokken door een ander kubusje.

Kortom in alle zes aanzichten zie je een 8 bij 8 vierkant! Maar in een willekeurige perspectiefweergave zie je een chaos van kubussen. Dat vierkant is dus een optische illusie.

Om op de beschreven manier een 3D-object te krijgen moeten alle kubusjes stevig met elkaar tot één geheel zijn verbonden. Daarvoor moet elk kubusje minimaal aan een ander kubusje zijn vastgemaakt. Er zijn drie manieren om kubusjes aan elkaar te bevestigen zonder dat ze het zicht op elkaar benemen: via een gemeenschappelijk hoekpunt of op twee manieren middels een gemeenschappelijke ribbe (figuur 2).

Om een stevig object te krijgen dat geplaatst in de openbare ruimte tegen een (wind)stootje kan, zijn de verbindingen middels een gemeenschappelijke ribbe wel een vereiste. Niet elk willekeurig Latijns vierkant voldoet daaraan. Zo kan het Latijnse vierkant van figuur 3 onmogelijk dienen als bron voor zo’n 3D-object. De gekleurde kubusjes met de nummers 1 en 8 kunnen immers door hun verschil in hoogte niet aan elkaar vastgemaakt worden.

Langs die lijnen valt het object in twee losse delen uiteen. Toch blijven er tussen de miljarden Latijnse vierkanten van orde 8 nog miljoenen mogelijkheden over. Het Latijnse vierkant links in figuur 4 is daar een

Figuur 2 – drie geschikte verbindingen tussen kubusjes: middels een hoekpunt of ribben

38

Figuur 3

Figuur 4 – Symmetrisch Latijnse vierkant met bijbehorend 3D-object

mooi voorbeeld van. Het is symmetrisch met elk van de gekleurde diagonalen als as van symmetrie. Die symmetrie is gemakkelijk terug te vinden in het bijbehorende 3D-object.

MINIMAL ART OBJECT Het object rechts in figuur 4 is een voorbeeld van een Minimal Art Object. Met zo min mogelijk elementen, hier 64 kubusjes, wordt de indruk gewekt met een grotere 8 X 8 X 8 kubus te maken te hebben, althans als je daar in een van de zes goede richtingen naar kijkt.

Voor zijn Minimal Art Object op een rotonde had Kuiper een ander ‘mooi’ Latijns vierkant op het oog namelijk dat links in figuur 5. Daarin liggen op de diagonalen de blokken met de nummers 1 en 8 en op randen op- en aflopend de nummers 1 tot en met 8. Het Minimal Art Object dat daaruit is te construeren is geheel vervat in een regelmatig viervlak of tetraëder (figuur 5 rechts). Zoals bekend vormen zes zijvlakdiagonalen van een kubus de ribben van een

Figuur 5

regelmatig viervlak dat precies in de kubus past (figuur 6). Wat dat betreft zou de Schaakbortonde niet alleen vanwege zijn illusies, maar ook vanwege zijn reële vorm een interessant Minimal Art Object zijn.

OP DE ROTONDE Neem voor de bouwstenen 64 kubusblokken van 50 cm × 50 cm × 50 cm (groter kan ook), dan wordt het resultaat een illusionaire kubus van 4 m × 4 m × 4 m met illusionaire zijvlakken van 4 m bij 4 m. Geplaatst

op een verhoging in een rotonde levert dat al een redelijk imposant object!

Zie de fotomontages in het begin en in figuur 7 en de art-impressies van figuur 8. Op weg naar de rotonde zie je een groot schaakbord. Tijdens het rijden op de rotonde heb je daar geen idee meer van en vraag je je af waar dat schaakbord is gebleven. Je ervaart een voortdurend veranderende wirwar van op elkaar gestapelde kleinere kubussen, omdat je positie ten opzichte van het object constant verandert. Bij het

39

nog kunnen voorzien van een voetgangerstunnel naar het midden met een doorzichtig dak, zodat je het schaakbord ook van onderaf ziet.

KLEURING VAN DE BLOKKEN Een schaakbord heeft 64 velden, 32 witte en 32 donkere (hier zwart).

Een belangrijk aspect van de Schaakbortonde is dat het gezien in de vier richtingen van waaruit de rotonde kan worden benaderd, steeds de illusie moet wekken van hetzelfde schaakbord. De art-impressie boven in figuur 8 en de genoemde fotomontages geven de illusie van een zwart-wit schaakbord met in de uiterste linker bovenhoek een wit veld. Door daar een wit veld te nemen, liggen de kleuren zwart of wit voor alle andere velden van het bord ook vast. Het is dan ook voldoende om na te gaan of het betreffende blokje in alle andere aanzichten ook wit is. In dat geval zou de Schaakbortonde met 32 witte en 32 zwarte blok-elementen kunnen worden gerealiseerd. (figuur 9)

Figuur 6 – Tetraëder ingesloten in kubus

Figuur 7 – Fotomontage

verlaten van de rotonde zie je in de achteruitkijkspiegel het schaakbord weer, onafhankelijk of je na de eerste, de tweede of de derde afslag de rotonde verlaat. Ook vanuit de lucht zie je een rotonde met een groot (kubusvormig) schaakbord.

Je zou de rotonde bijvoorbeeld ook

Figuur 8 – Art-impressies van een rotonde met een illusionair schaakbord: een Schaakbortonde

In elk van de zes aanzichten met de illusie van een mooi

40

schaakbord, moeten steeds alle 64 kubuselementen te zien zijn zonder dat ze het zicht op elkaar ontnemen. En per kubuselement in elk van de zes aanzichten een van de zes zijvlakken. Stel dat het aanzicht links boven in figuur 8 het vooraanzicht is. Het kubuselement in de uiterste linker bovenhoek is daar wit (figuur 9). In het illusionaire bord dat je in de tegenovergestelde richting tegemoetkomt – zeg maar in het achteraanzicht – zit datzelfde blokje juist in de uiterste rechter bovenhoek. In dat aanzicht moet het dus zwart zijn. Benader je het illusionaire bord van de rechterkant dan zit dat blokje in de uiterste linker bovenhoek en moet dus wit zijn.

Kom je van de tegenovergestelde richting, dus van de linkerkant dan zit het op dat bord uiterst rechts bovenin en moet dus zwart zijn. Bij boven- en onderaanzicht gaat het net zo. Is het betreffende blokje in boven aanzicht zwart dan moet het in onderaanzicht wit zijn.

Figuur 9

Kortom de Schaakbortonde is niet met 32 geheel witte en 32 geheel zwarte kubuselementen te realiseren. Bij alle 64 kubuselementen moeten drie elkaar aangrenzende zijvlakken wit zijn en drie elkaar aangrenzende zijvlakken zwart. Uiteraard moet de stand van al die kubuselementen in de totale constructie worden afgewisseld.

Anders krijg je, afhankelijk van de kijkrichting, een groot zwart illusionair vierkant of juist een groot wit illusionair vierkant

REALISATIE Het wachten is op een of andere instantie die zich aandient om zo’n Minimal Art Object daadwerkelijk op een rotonde (of anderszins) te realiseren. Daarbij hoeft niet perse te worden uitgegaan van het ‘mooie’ Latijnse vierkant van figuur 5 dat Kuiper op het oog had. Zoals gezegd, zijn er talloze andere mogelijkheden. Het Minimal Art Object van figuur 4

staat bijvoorbeeld veel stabieler op de grond. En ongetwijfeld zijn er mogelijkheden die veel stabieler zijn dan het object van figuur 4.

Bijkomend effect is dat op diverse, eventueel opeenvolgende rotondes verschillende Minimal Art Objecten kunnen worden geplaatst die allemaal hetzelfde effect hebben: van zes kanten bekeken leveren ze de aanblik van een reusachtig schaakbord.

41 WISKUNDE EN ONDERWIJS

DE DISCRIMINANT: ANDERS BEKEKEN IN DEZE TEKST BESCHOUWEN WE VEELTERMEN DIE TE SCHRIJVEN ZIJN IN DE GEDAANTE p(x) = ax2 + bx + c en p(x) = ax3 + bx2 + cx + d MET REËLE PARAMETERS A, B C EN D. WE PROBEREN AAN DE HAND VAN DE VERALGEMEENDE DISCRIMINANT EN DE FORMULES VAN VIETA EEN VISUALATIE TE GEVEN IN HET VLAK EN IN DE RUIMTE WAAR DEZE VEELTERMEN EEN MEERVOUDIGE NULWAARDE HEBBEN. DE SCHEIDING TUSSEN DE GEBIEDEN WAARVOOR DE VEELTERMEN GEEN, ÉÉN OF MEERDERE OPLOSSINGEN HEBBEN, WORDEN VOOR VEELTERMEN MET TWEE PARAMETERS EEN DISCRIMINANTKROMME EN VOOR VEELTERMEN MET DRIE PARAMETERS EEN DISCRIMINANTOPPERVLAK GENOEMD. J E A N - M A R I E D E N D O N C K E R , I S E E N VO O R M A L I G T E C H N I S C H P E R S O N E E L S L I D VA N D E U G E N T. I N Z I J N V R I J E T I J D H O U D T H I J Z I C H B E Z I G M E T H E T M A K E N VA N W I S K U N D I G E M O D E L L E N . T O E N H I J N O G L E S G A F O P E E N G E N T S E M I D D E L B A R E S C H O O L M A A K T E H I J E E N T W I N T I G TA L J A A R G E L E D E N H E T H I E R VO O R G E S T E L D E M O D E L , S A M E N M E T S T E P H A N , E E N VA N Z I J N L E E R L I N G E N .

Schoute, Sylvester en Kerschensteiner bestudeerden deze tak van de wiskunde reeds halfweg de 19de eeuw. Ze gebruikten daarvoor het begrip afgeleide zodat ze ook het aantal raaklijnen of raakvlakken aan de discriminantkromme of het discriminantoppervlak konden bepalen. Deze tekst gebruikt die methode niet, maar aan de hand van de klassieke algebra en gekende formules uit het vierde jaar komen we tot hetzelfde resultaat.

Deze benadering levert zo een mooie aanvulling bij en een andere kijk op de klassieke methodes om de nulwaarden van veeltermen of de wortels van veeltermvergelijkingen te zoeken.

Met een kleine uitbreiding naar vectorruimten en complexe oplossingen van veeltermvergelijkingen maakt deze tekst ook een bruggetje naar leerstof van het vijfde of het zesde jaar.

VERALGEMEENDE DISCRIMINANT Beschouwen we eerst een kwadratische veelterm met twee reële nulwaarden en dan kan die geschreven worden als

, (1)

De discriminant van deze veelterm is dan gelijk aan (2) Voor veeltermen van de

-de graad

met waarbij rekening wordt nulwaarden gehouden met de meervoudigheid van de nulwaarden, kunnen we de discriminant naar analogie met (2) veralgemenen tot:

(3)

42

We merken hier al op dat als een meervoudige gelijk is aan 0. Zijn de coëfficiënten nulwaarde heeft, reëel, dan is . van

FORMULES VAN VIETA

Voorbeeld 2: een derdegraadsveelterm Algemeen We breiden het eerste voorbeeld uit tot de derdegraadsveelterm met . De formules van Vieta worden in dat geval

Om ons doel te bereiken, maken we gebruik van de formules van Vieta, die voor al of niet meervoudige van een veelterm van de nulwaarden n-de graad als volgt geschreven kunnen worden:

en uit definitie (3) volgt:

Samengevat in één enkele formule geldt algemeen, voor

Om praktisch nuttig te zijn, moeten we nog kunnen en van schrijven in functie van de coëfficiënten . Dit vraagt toch een zeker rekenwerk om te komen tot het resultaat

(4)

(5) dan heeft drie verschillende wortels. Voor heb je een meervoudige wortel en in het geval krijg je een reële en twee toegevoegde complexe wortels.

Is

Merk op dat de rechterleden van (4) elementaire symmetrische veeltermen in onbekenden zijn, die de opeenvolgende coëfficiënten van vormen.

Voorbeeld 1: een kwadratische veelterm met Nemen we als voorbeeld De formules van Vieta zijn dan de gekende som - en productformules voor de nulwaarden van een kwadratische veelterm:

.

Een concreet voorbeeld Stel nulwaarden (3) vind je met (5)

met , dan is met . Hetzelfde resultaat .

MEETKUNDIGE INTERPRETATIE Hieruit volgt dan onmiddellijk de veralgemeende discriminant zoals gegeven door (3)

Ook hier vinden we de klassieke formule voor de discriminant terug.

Meetkundige voorstelling van veeltermen , met We definiëren de verzameling van alle tweedegraadsveeltermen, een reële waarvan we kunnen aantonen dat vectorruimte is. Om die vectorruimte grafisch voor te stellen, beschouwen we de parameters a, b en c als de coördinaten van een punt in de driedimensionale -ruimte. De afbeelding (6)

43

is dan een isomorfisme tussen en . Dat wil zeggen dat een bijectieve lineaire afbeelding tussen en is. De vectorruimten en zijn isomorf . Om dit isomorfisme aan en we noteren dit als te tonen moet dus lineair, injectief en surjectief zijn.

Bewijs is lineair geldt:

wat het gestelde aantoont. is injectief Hiervoor volstaat het om aan te tonen dat de kern van . Met andere woorden: enkel . wordt afgebeeld op de de nulvector (0, 0, 0) van . nulvector van

is surjectief Dit is evident omdat elke kwadratische veelterm geschreven kan worden als en dus als het beeld van onder .

Besluit: van De geordende basis komt dus overeen met de geordende basis van . De vectorruimte heeft dus eveneens een dimensie gelijk aan 3.

Opmerking 1 te stellen in (6) zodat de Niets belet ons om kwadratische veelterm een eerstegraadsveelterm . Die eerstegraadsveeltermen worden zo wordt als en . Een voorbeeld voorgesteld in het vlak daarvan kan je vinden onder 'De kwadratische veelterm '.

Opmerking 2 op Alle van de nulvector verschillende punten eenzelfde vectorrechte , leveren hetzelfde type van . Alle punten op zijn oplossing van en komen overeen met de van de gedaante met vergelijking . discriminant De discriminantkromme De kwadratische veelterm De verzameling bevat alle reële veeltermen van de met reële parameters gedaante en . Al deze veeltermen kunnen we in het Obc-vlak . Omgekeerd zal representeren door het punt een veelterm uit de verzameling met elk punt overeenstemmen. Elke discriminant van een element is van de gedaante . We kunnen nu uit deze discriminant beschouwen als een functie van twee in het variabelen en . Zo is de grafiek van . Alle punten op deze parabool Obc-vlak een parabool voor die stellen dan veeltermen een dubbel getelde nulwaarde hebben. Deze parabool verdeelt het Obc-vlak in twee delen, waarbij elk punt in bepaalt met een verschillend deel een veelterm -waarden met een verschillend teken. de bijbehorende Zo is bijvoorbeeld voor die twee verschillende veelterm geldt . nulwaarden 1 en -3 heeft. In is dus , wat betekent In het gebied onder dat voor deze parameters en de overeenkomstige twee verschillende nulwaarden heeft. Om veelterm tot zijn theorie te komen werkte Sylvester met afgeleiden.

Hierdoor kon hij aantonen dat in het gebied waarvoor er twee raaklijnen uit aan kunnen , zodat in worden getrokken. Voor punten slechts één enkele raaklijn aan bestaat. In punten kunnen er dan geen boven de parabool, waarvoor getrokken worden, de veelterm raaklijnen aan heeft geen nulwaarden.

Een derdegraadsveelterm Op een analoge manier als voor de in het tweedegraadsveelterm bepaalt elk punt Ocd-vlak een derdegraadsveelterm van de gedaante

44

en omgekeerd. Ook nu bepaalt in het Ocd-vlak de parameters de kromme en waarvoor meervoudige wortels heeft. De vergelijking van deze kromme kan je vinden door in (5) en te stellen: Om een parametervoorstelling te vinden van de kromme kan je uiteraard de klassieke algebraïsche methode gebruiken, maar eveneens de formule van Vieta zoals gegeven door (4). Voor een dubbel getelde en een derde nulwaarde levert dit: nulwaarde

Een parametervergelijking van de discriminantkromme wordt zo

EEN DISCRIMINANTOPPERVLAK Alle voorbeelden tot nu toe gegeven zijn voorbeelden waarbij de veelterm slechts twee reële parameters bevat, wat steeds een discriminantkromme oplevert. Niets belet met drie parameters te ons om nu ook veeltermen beschouwen.

De kwadratische veelterm ax2 + bx + c met a = 0 Zoals eerder uitgelegd, kunnen we nu alle veeltermen met in de Oabc-ruimte voorstellen.

De punten in deze driedimensionale ruimte waarvoor , vormen een kegel de discriminant met top waarvan de as de vectorrechte met en de tophoek van een richtingsvector rechte hoek is. Deze kegel krijg je door de rechte kegel in de Oabc-ruimte rond de b-as over een hoek van 45° te roteren. Dit betekent dat een paar samenvallen met de uiterste beschrijvenden van de doorsnede van a-as en de c-as. Verder is voor met de vlakken respectievelijk een parabool, een orthogonale hyperbool en een parabool. In figuur 3 zijn deze verschillende doorsneden respectievelijk in het zwart, het rood en het blauw aangeduid.

De grafiek van deze kromme, een semikubische parabool, staat afgebeeld in figuur 2.

Figuur 1 – de parabool

Figuur 2 – de semikubische parabool

45

De kegel verdeelt de driedimensionale ruimte in drie gebieden: het binnengebied van de kegel (dat de as bevat), de kegel zelf en het buitengebied van de in deze gebieden heeft kegel. Voor de punten respectievelijk twee de vergelijking complexe toegevoegde, dubbel getelde reële of twee verschillende reële oplossingen. Zonder een exhaustieve lijst te willen opstellen zijn onderstaande gevallen met het meest interessant.

• De oplossingen zijn op het teken na gelijk aan de complexe eenheid.

• Drie gevallen treden nu op.

-

ligt in het binnengebied van

-

ligt in het buitengebied van

-

.

• de Met het bijzondere geval dat als vergelijking een dubbel getelde wortel gelijk aan 0 heeft.

De derdegraadsveelterm x3 + bx2 + ex + d Ook derdegraadsveeltermen met drie parameters zijn mogelijk. We nemen als voorbeeld . Opnieuw zal met elk punt in de ruimte een veelterm overeenstemmen en omgekeerd. De grafische voorstelling van de discriminant van p(x) zal nu geen kromme meer zijn maar een oppervlak voorgesteld in de ruimte Obcd.

Om een parametervoorstelling te krijgen van het discriminantoppervlak gebruiken we opnieuw de formules van Vieta zoaIs gegeven door (4) wat met leidt tot

.

(7)

een dubbel getelde wortel.

die voldoen aan (7) voor bepaalde Alle punten en liggen op een oppervlak waarden van en bepalen een derdegraadsveelterm met parameters en met een meervoudige nulwaarde.

Voorbeeld 1 een meervoudige en een Is dan is met enkelvoudige nulwaarde van (7) de overeenkomstige veelterm gelijk aan .

Voorbeeld 2 mag ook een drievoudige nulwaarde van als drievoudige nulwaarde is voor en , wat de veelterm oplevert.

Figuur 3 – disciminantoppervlak bij ax2 + bx + c = 0 met a = 0

zijn. Zo

gegeven door De grafiek van dit discriminantoppervlak herken (7) staat afgebeeld in figuur 4. In het vlak je als doorsnede met het discriminantoppervlak de semikubische parabool.

46

De niveaulijn van op hoogte is de b-as en de parabool met vergelijking eveneens de discriminantlijn is die voorkomt bij de reeds besproken veelterm

HET MODEL die .

Opmerking Formule (5) leidt onmiddellijk tot een expliciete vergelijking van dit discriminantoppervlak. De vergelijking is immers een vierkantsvergelijking in waarvoor de discriminant merkwaardig genoeg een volkomen derde macht is. Zo geldt:

(8)

Het hier nagebouwde eerste model van Schoute werd in bruikleen gegeven aan de UGent en stond lang opgesteld in de ingang van leslokaal Emmy Noether in de Galglaan in Gent. Door een verandering van bestemming voor dit lokaal zal het in 2025 in de wetenschapsbibliotheek campus Sterre Gebouw S5 worden tentoongesteld.

Schoute gebruikte afgeleiden voor zijn discriminantmodellen. Zo kon hij aantonen dat het discriminantoppervlak passend bij elke veelterm , een regeloppervlak is. Het eerste model van Schoute wordt gevormd door de ribben van een kubus. De krommen in het bovenvlak en het grondvlak van de kubus worden verbonden door gele draden, die een regeloppervlak van de vierde graad vorm geven. Aangezien de vergelijking (5) voor algebraïsch is, is het oppervlak van Schoute eveneens een algebraïsch oppervlak.

Dit artikel komt uit Wiskunde & Onderwijs, Jaargang 51, nummer 202. Oude jaargangen van Wiskunde & Onderwijs, tot en met jaargang 43 (2017), kunnen vrij geraadpleegd worden via https://www/vvwl.be/ oudere-jaargangen-tot-en-met-mei-2017/

Figuur 4 – discriminantoppervlak van p(x) = x3 + bx2 + ex + d

47

OEFENING 12 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, Wallabie 2026

Welke uitspraak is juist?

A

Alleen het eerste vierkant heeft de grootste gekleurde oppervlakte.

B

Alleen het tweede vierkant heeft de grootste gekleurde oppervlakte.

C

Alleen het derde vierkant heeft de grootste gekleurde oppervlakte.

D

Alleen het vierde vierkant heeft de grootste gekleurde oppervlakte.

E

De 4 vierkanten hebben dezelfde gekleurde oppervlakte.

OEFENING 13

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, Wallabie 2026

Wallabie kijkt naar de stapel van 20 dozen. Wat ziet hij?

A

B

C

D

E

850001449

Prijs

€ 44 Ontdek in dit naslagwerk de meest recente wetenschappelijke en praktische inzichten over hoe leerlingen wiskunde leren, hoe je krachtige lessen opbouwt en hoe je complexe concepten helder overdraagt. In samenwerking met de Vlaamse lerarenopleiders wiskunde (VELOV) bundelt deze gids theorie, praktijkvoorbeelden en concrete tips die je meteen in je klas kunt toepassen.

• Versterk didactische vaardigheden • Krijg houvast bij actuele thema’s zoals probleemoplossen, ICT en evalueren • Verdiep je in de didactiek van algebra, analyse, statistiek en meetkunde

Save the date!

30/9

Boekvoorstelling in KU Leuven

diekeure.be/educatief Laat je inspireren!

@DieKeureEducatief /

@DieKeureEducatief /

Kleine Pathoekeweg 3, B-8000 Brugge – 050 47 12 62 – so@diekeure.be – diekeure.be/educatief

@ DieKeure /

@UitgeverijDieKeure