Vector 18 feb2015

FEBRUARI 2015 NUMMER 18

vector TIJDSCHRIFT voor wiskundeonderwijs

educatieve uitgaven

18

2

vector

VOORWOORD

INHOUD

Beste wiskundeliefhebber,

3 6

Wiskundewedstrijden

Het M-decreet: interview met Brenda Deschacht

9 Interview met Maryam Mirzakhani 12 Wiskunde met foto’s en video’s 14 Wiskunde proeven aan de KU Leuven

18 De grafische rekenmachine in de examenstand

21 Fietsje komt zo: stadsfietsen in

Hebt u zich ingeschreven voor ons tweejaarlijkse wiskundecongres? Proficiat, want als u dit leest, hebt u deze gloednieuwe Vector goed en wel teruggevonden in uw goodiebag!

Kreeg u deze editie gewoon thuis toegestuurd, dan miste u deze avant-première. Maar geen probleem, thuis of op het wiskundecongres, elke plek is goed om ons tijdschrift even ter hand te nemen.

VBTL en Die Keure Educatief zijn heel trots om ruim 400 leerkrachten wiskunde te mogen ontvangen op pi-dag in Technopolis Mechelen. Ons tweede wiskundecongres biedt opnieuw een uitgekiend nascholingsaanbod en boeiende sprekers. Beginnen doen we symbolisch op deze 14 maart 2015 (3,1415…) om 9.26 u. (3,1415926…) en we hopen alle deelnemers bijgeschoold en goedgezind naar huis te mogen sturen. In de volgende editie beloven we alvast sfeervol terug te blikken op dit evenement.

Antwerpen

23 Faits divers 26 Leestips

COLOFON Vector - Achtste jaargang - nummer 18 Redactie Tom Harteel Vector - Kleine Pathoekeweg 3 8000 Brugge - vector@diekeure.be Externe auteurs die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met de redactie.

Vector Vector is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in België. Voor het buitenland betaal je e 5.

Verantwoordelijke uitgever Els Putzeys Kleine Pathoekeweg 3 - 8000 Brugge

In deze Vector kunnen we enkele artikels linken aan ons wiskundecongres.

Zo kaarten we even na met Brenda Deschacht over de workshop die ze samen met Krista Kennes gaf over het M-decreet. Ook Jürgen Schepers was een gastspreker; op pagina 18 legt hij uit hoe u een grafische rekenmachine in de examenstand plaatst.

Wat er nog zoal de revue passeert in deze Vector: wiskundewedstrijden (handige info over de bekendste ‘concours’ voor u gebundeld), stadsfietsen in Antwerpen (en wat heeft wiskunde ermee te maken), Maryam Mirzakhani (wiskunde beleven in Iran), het Junior College STEM (wiskunde beleven aan de unief) en het wiskundige gebruik van foto’s en video’s.

Afsluiten doen we met een gezonde portie faits divers en leestips.

Veel leesplezier dus, waar u ook bent. En leest u dit voorwoordje in Technopolis op 14 maart, dan wensen we u een inspirerende dag!

Krijgt u niet genoeg van wiskundige lectuur? Waag dan uw kans op pagina 27, misschien wint u wel de drie boeken die u in de leestips terugvindt!

Review

3

Lekker competitief … … maar vooral superleerrijk!

Wedstrijden scherpen de mens aan. Je krijgt iets om naar uit te kijken, iets om voor te trainen. Je schrijft de dag des oordeels al lang op voorhand in je agenda en begint af te tellen. Dat geldt niet alleen voor, bijvoorbeeld, een eenzame jogger, maar ook voor wiskundeliefhebbers. Bovendien staat die jogger er vaak alleen voor om zich optimaal voor te bereiden, maar bij een wiskundewedstrijd overheerst vaak het groepsgevoel. Als wiskundeleraar ken je wellicht al onderstaande ‘concours’, misschien heeft iemand zelfs al eens een winnaar in zijn rangen gehad?

Maar voor wie nog een duwtje in de rug kan gebruiken, is hier een overzicht van wat-wie-wanneer-waar … Volgens onze zoektocht is het aanbod in de derde graad het meest omvangrijk, maar die ene wedstrijd van de eerste graad moet met haar internationale allures zeker niet onderdoen voor haar grotere zussen. Breek die klasmuren open en ga de uitdaging aan!

Kangoeroe (eerste graad)

Wat? Kangoeroe is een reken-, denk- en puzzelwedstrijd die jaarlijks meer dan 6 miljoen deelnemers aan het rekenen krijgt, verspreid over een zestigtal landen. Het principe is simpel: er wordt één algemene wedstrijddatum vastgelegd, voor alle landen. Als dat heel slecht uitkomt voor een school kan de proef worden verschoven binnen een welbepaalde ‘uitwijkperiode’.

Voor wie?

De Kangoeroewedstrijd wordt onderverdeeld in vier edities, te beginnen vanaf het derde leerjaar in het lager. De edities voor het secundair onderwijs

zijn de Wallaroe (voor leerlingen uit het eerste en tweede jaar secundair onderwijs B-stroom) en de Wallabie (leerlingen uit het eerste en tweede jaar secundair onderwijs A-stroom).

Door wie?

In Vlaanderen wordt Kangoeroe georganiseerd door de Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw. Het is wel in oorsprong een Frans initiatief, dat midden jaren negentig het levenslicht zag. Vanuit de internationale organisatie Kangourou sans Frontières wordt nog steeds een officiële datum vastgelegd.

Wanneer?

19 maart 2015 is de vastgepinde datum voor dit schooljaar. Noteer alvast met stip de volgende twee edities: 14 april 2016 (enkel voor het secundair onderwijs) en 16 maart 2017.

Inschrijven?

Precieze inschrijfdata voor de editie 2015-2016 zijn nog niet bekend, maar doorgaans kun je je inschrijven vanaf 1 december. Er wordt steeds gewerkt met één schoolverantwoordelijke, die

de inschrijvingen op school centraliseert. Check www.kangoeroe.org voor meer info.

JWO en VWO (tweede en derde graad)

Wat? Jaarlijkse Vlaamse wiskundewedstrijd voor leerlingen vanaf het derde jaar. De wedstrijd verloopt in verschillende fasen. De eerste ronde vindt op één welbepaalde datum in de deelnemende scholen plaats, te vergelijken dus met de Kangoeroewedstrijd. Daarna doen de besten mee aan de tweede ronde, die per provincie plaatsvindt. Daarvan mogen de besten dan weer meedoen aan de finale, waarmee het Belgische luik wordt afgesloten.

Maar de wedstrijd zet zich voort buiten de landsgrenzen. De jury selecteert na afloop van de finale namelijk drie Vlaamse finalisten, die samen met drie finalisten van de Olympiade Mathématique Belge naar de Internationale Wiskunde Olympiade mogen, waar ze zich kunnen meten met deelnemers uit elk werelddeel.

Voor wie?

JWO staat voor Junior Wiskunde Olympiade en is er voor leerlingen van het derde en vierde jaar secundair onderwijs. De VWO staat voor Vlaamse Wiskunde Olympiade en staat open voor leerlingen van het vijfde en zesde.

4 WISKUNDEWEDSTRIJDEN

Door wie?

Deze wedstrijden zijn, net als de Kangoeroe wedstrijd, in goede handen van VWO vzw. Voorzitter is Prof. Dr. Paul Igodt, van de KU Leuven Kulak.

Wanneer?

De editie van dit schooljaar zit al in een eindfase. De tweede ronde vond plaats begin maart, de finale staat gepland op 22 april 2015 (in Heverlee).

De data voor editie 2015-2016 zijn: - eerste ronde: 13 januari 2016 - tweede ronde: 2 maart 2016 - finale: 20 april 2016 Inschrijven?

Ook hier zijn nog geen precieze inschrijfdata bekend voor 2015-2016. Normaal is inschrijven mogelijk vanaf 1 oktober.

Er wordt ook gewerkt met ĂŠĂŠn schoolverantwoordelijke. Geregeld eens surfen naar www.vwo.be is dus de boodschap of volg de Facebook pagina voor de laatste nieuwtjes (www.facebook.com/ vlaamsewiskundeolympiade).

Wiskunnend Wiske (derde graad)

en niet als leerling. In de eerste ronde (die loopt van september tot januari) krijgt elke klas drie uitdagende opdrachten voorgeschoteld; de leerlingen krijgen dan drie weken de tijd om die samen uit te werken. De vragen zijn geen klassieke vraagstukken, maar wel open opdrachten die uit de praktijk zijn gegrepen en verweven zijn met andere wetenschappen.

In het voorjaar vindt dan de finale plaats, waarbij de klassen met de beste resultaten het tegen elkaar opnemen.

Voor wie?

Deze wedstrijd is er voor het vijfde en zesde jaar van het secundair onderwijs.

De editie die momenteel loopt, is de vijfde.

Wat? Wiskundewedstrijd waar samenwerking centraal staat: je neemt deel als klas,

vector

Door wie?

Organisator van dienst is de Vrije Universiteit Brussel. Bedenker van deze wedstrijd is Ingrid Daubechies, professor met internationale faam die nog in de vorige Vector stond. Zij wordt bijgestaan door twee sterke ambassadrices: Prof. Ann Dooms en Dr. Pattie Maes.

Samen zorgen ze voor heel wat interessante vraagstukken en invalshoeken.

Wanneer?

De finale van de lopende editie vindt plaats op 20 maart. Voor de volgende edities vindt de finale steeds plaats op pi-dag, 14 maart.

Inschrijven?

Inschrijven kan vanaf juni 2015 op www. wiskunnendwiske.be. Daar kun je ook steeds terecht voor meer info.

Internationaal wiskundetoernooi (derde graad)

Wat? Zoals de naam het zegt, is dit ook een wedstrijd die verder reikt dan de Belgische grenzen. De universiteit van

5 WISKUNDEWEDSTRIJDEN

Nijmegen startte al met dit initiatief een kleine 25 jaar geleden, België zit aan zijn vijfde editie. Het doel is ook om vaste voet te krijgen in andere Europese landen. Het leuke is dat je hieraan deelneemt in teams van vijf. Het toernooi duurt één volledige dag (van 10 tot 17 uur). In de ochtendsessie (de ‘Estafette’) lossen de vijf deelnemers tijdens een uur zo veel mogelijk vragen op. In de namiddagsessie (de ‘Sum of Us’) werken de groepjes rond een centraal thema dat wiskunde verbindt met de wereld zoals we die vandaag kennen. Vorig jaar was dat bv. 3D-printing.

Je krijgt via de website voorbereidend materiaal om je voor te bereiden op de tweede sessie.

Voor wie?

Leerlingen van de derde graad.

Door wie?

KU Leuven.

Wanneer?

De volgende editie vindt wellicht plaats op 25 september 2015, maar de organisatie kon deze datum nog niet bevestigen toen deze Vector van de drukpersen rolde. Surf naar http://wis. kuleuven.be/events/IntWis2014 voor meer informatie.

Inschrijven?

Inschrijven kan vanaf eind mei via diezelfde website. Extra tip: op de website van het Nederlandse toernooi (http:// www.ru.nl/wiskundetoernooi/) vind je onder Archief de opgaven en het voorbereidend materiaal van de vorige jaren.

Vlaamse Sterrenkunde Olympiade (derde graad)

Inschrijven?

Voor inschrijvingen, zie www.sterrenkundeolympiade.be.

Ook in het oog te houden …

Wat? Zin in iets anders? Voor de derde graad is er dan de Vlaamse Sterrenkunde Olympiade. Geen specifieke wiskundewedstrijd maar een achtergrond van wiskunde/wetenschappen is er wel een prima basis voor. De wedstrijd is individueel, maar in de eerste ronde krijgt de deelnemer twee maanden om een vragenlijst op te lossen, gewoon lekker thuis. De finaleronde brengt de vijf beste deelnemers samen.

Voor wie?

Vijfde en zesde jaar secundair, een wiskundige en wetenschappelijke achtergrond is aanbevolen maar geen vereiste.

Door wie?

Deze olympiade is een samenwerking van de Vereniging Voor Sterrenkunde (VVS), de Jongerenvereniging Voor Sterrenkunde (JVS), de Katholieke Universiteit Leuven (KU Leuven), de Universiteit Gent (UGent) en de Vrije Universiteit Brussel (VUB).

Wanneer?

De eerste ronde loopt over februari en maart, de finale vindt dit jaar plaats op 2 mei 2015.

Is GeoGebra uw dada, dan moeten de GeoGebra Awards iets voor uw klas zijn. Hou dan de site http://wedstrijd.geogebra.be in het oog. Door omstandigheden kon deze wedstrijd dit schooljaar niet doorgaan, maar in 2015-2016 komt er wellicht een nieuwe editie …

Wiskunde is (een beetje) oorlog is geen wedstrijd voor leerlingen, maar voor leerkrachten. Deze wedstrijd loopt mee met de herdenking van de Eerste Wereldoorlog, er zijn ook vier edities (eenmaal per jaar, van 2014 tot 2018). Het is de bedoeling telkens een constante te bepalen (zonder te bewijzen hoe je die vindt).

De opdrachten worden in het najaar verspreid via het tijdschrift Wiskunde en Onderwijs en via de wiskundeblog www.gnomon.bloggen.be.

En waarom niet eens voluit de internationale kaart trekken? World Maths Day vindt plaats op 14 oktober 2015 en maakt deel uit van de World Education Games. Leerlingen lossen in de klas op dezelfde dag online oefeningen op en wedijveren zo rechtstreeks met leeftijdsgenoten uit, pakweg, Nieuw-Zeeland, Pakistan of Costa Rica. Op www.3plearning.com/ worldeducationgames zijn de ‘preregistrations’ geopend. Laat je gegevens achter en zij houden je op de hoogte van verdere ontwikkelingen.

Interview

6

M-decreet in zicht!

Het M-decreet deed al heel wat stof opwaaien. Tik het even in Google in en je zult zien dat alle onderwijsnetten en overheidsinstanties hun best doen om de nodige info naar de betrokken personen door te sluizen. Op het wiskundecongres kon u over het M-decreet een praktische workshop volgen van Brenda Deschacht en Krista Kennes.

Hebt u die gemist? Geen probleem, wij kaarten er nog even over na met Brenda Deschacht, die vooral wil benadrukken dat dit een positief verhaal is.

Brenda Deschacht is pedagogisch begeleider inclusie voor het lager onderwijs. In het kader van haar studie van Master in de Opleidings- en Onderwijswetenschappen aan de Universiteit van Antwerpen, bouwt ze haar thesis op rond het M-decreet. Daarvoor praat ze met leerkrachten van het lager onderwijs om te polsen naar hun mening over het M-decreet.

Het M-decreet, zo steekt Brenda Deschacht van wal, wil eigenlijk, heel kort door de bocht, zeggen dat we alle kansen geven aan alle kinderen. Het is niet omdat je het bijvoorbeeld heel moeilijk hebt met rekenen, dat je al snel een label opgeplakt moet krijgen en even-

vector

tueel doorverwezen moet worden naar het buitengewoon onderwijs. Het kan gaan om lichte maar ook om zware beperkingen. Het is niet omdat je in een rolstoel zit dat je niet kunt functioneren in het regulier onderwijs. In september 2015 gaan alle scholen ermee aan de slag maar iedereen is zich nu wel aan het voorbereiden. Met mijn thesisonderzoek ga ik na bij leerkrachten wat hun noden en bedenkingen zijn en waar ze in hun voorbereiding tegenaan stoten, of wat ze net precies heel erg zien zitten. Zo willen we zicht krijgen op wat er leeft op leerkrachtenniveau.

Wat verandert er concreet?

Type 1 (leerlingen met een licht verstandelijke beperking) en type 8 (leerlingen met ernstige leerstoornissen) worden geleidelijk afgebouwd en er wordt een type ‘basisaanbod’ opgericht. Daarin komen kinderen terecht die specifieke onderwijsbehoeften hebben; na twee jaar worden die opnieuw geëvalueerd. Oriëntatie naar het type basisaanbod is enkel mogelijk wanneer de aanpassingen in het gewoon onderwijs onvoldoende en disproportioneel zijn.

Een leerling wordt niet meer ‘zomaar’ in het buitengewoon onderwijs gestopt.

Er moet namelijk een zorgcontinuüm worden doorlopen: drie fases die de gewone school zet om samen met het CLB en de ouders zo goed mogelijk te zorgen voor leerlingen. Dit zorgcontinuüm is een flexibel kader en hoeft dus niet per se lineair doorlopen te worden.

Brenda Deschacht, pedagogisch begeleider inclusie.

Het kan zijn dat het kind, bijvoorbeeld als de maatregelen in de verhoogde zorg genomen werden, kan terugkeren naar de brede basiszorg of ook is het mogelijk dat deze niet voldoende zijn en dat we naar de uitbreiding van zorg moeten gaan. De brede basiszorg, fase 0, betekent dat je je zorg zo breed mogelijk maakt in de klas. Fase 1 is de verhoogde zorg: kinderen hebben dan nood aan meer specifieke individuele maatregelen, boven op de basiszorg.

In deze fase is het overleg met alle betrokken partijen (ouders, leerlingbegeleider, leerkracht ...) van essentieel belang. In fase 2, de uitbreiding van zorg, mengt de CLB zich in het debat.

Bij eventuele doorverwijzingen naar het buitengewoon onderwijs blijft het CLB steeds betrokken. Gewoon onderwijs moet de regel zijn, buitengewoon onderwijs de uitzondering. Fase 3, ten slotte, bestaat uit zorg op maat.

7 Leerlingen die nu in type 1 of 8 zitten, worden natuurlijk niet zomaar naar een gewone school gestuurd.

Zij blijven waar ze zijn, niet?

Dat klopt. De leerlingen die nu ingeschreven zijn in type 8 en 1, kunnen gewoon verder hun traject volgen binnen het BuO. Het gaat vooral over de nieuwe kinderen die doorverwezen worden en dus terecht zullen komen in het basisaanbod. De nieuwe herstructurering zal systematisch worden ingevoerd.

Er zijn ook mensen die een kind hebben met een zware beperking en die hem of haar toch in het gewoon onderwijs willen plaatsen om sociaal-emotionele redenen. Het kind bloeit dan vaak open in een gewone klas, alleen al door het contact met leeftijdsgenoten, en dan is een diploma niet van tel. Daar staat het M-decreet ook voor. Kinderen staan hier trouwens heel open voor, meer dan volwassenen. Streven naar een inclusievere maatschappij vormt de essentie van het M-decreet. Het onderwijs vormt een belangrijke eerste stap naar dit streven. De leerkracht maakt het verschil en doet ertoe!

Leraars uit het lager onderwijs vrezen nu voor hun leerlingen vaak de stap naar het secundair. Heel soms hoor je dat ze hun leerlingen nog een bepaald attest willen meegeven, bv. van pakweg dyslexie, opdat ze in het middelbaar zouden kunnen genieten van de nodige maatregelen. Dergelijke manier van denken moet met het M-decreet echt verleden tijd worden. Misschien moeten we het net anders bekijken en biedt het secundair onderwijs gewoon meer kansen tot differentiatie, door verschillende omstandigheden, de andere uurindeling, meer leraars …

Je kunt dus gerust stellen dat er evenzeer een mentale ommezwaai moet komen?

Zeker en vast! Kinderen met dyslexie, dyscalculie enz. moeten nu eerst een label opgeplakt krijgen voordat de school maatregelen treft, en daar moeten we van af. Iedereen heeft recht op aangepaste maatregelen. We denken nu: wat is er aan de hand met dat kind?

Maar wij willen een ander denkpatroon, nl. wat heeft dat kind nodig? Als je echt werk maakt van een heel brede basiszorg, dan doe je ook aanpassingen die voor alle leerlingen bruikbaar zijn. Zo maak je je klasomgeving en didactiek zo breed mogelijk zodat je automatisch minder moet differentiëren en minder rekening moet houden met maatregelen voor één bepaalde leerling.

Wat is de grootste weerstand die je tegenkomt in het werkveld?

Weerstand heb ik nog niet ondervonden, maar leerkrachten vrezen vooral

een gebrek aan expertise. Dan denk ik bv. aan medische problemen; het is geen evidentie als een mucoviscidosepatiënt of suikerpatiënt je klas plots vervoegt. Ik hoor vaak: we willen echt inclusief werken, maar dan moeten onze klassen kleiner worden of moeten we extra hulp krijgen in de klas. En ik geef hen daarin ook gelijk: de expertise die nu zit in het buitengewoon onderwijs moet in het gewone onderwijs terechtkomen. Ook vrezen leerkrachten vaak dat ze de middelmatige leerlingen in hun klas uit het oog zullen verliezen als er inclusiekinderen bijkomen. Maar een breed basisaanbod aan maatregelen moet dit kunnen verhelpen.

We spreken trouwens van redelijke aanpassingen, zaken die nodig zijn voor een bepaalde leerling opdat hij in een gewone school kan meedraaien. Zo ga je bekijken in die school, in die klas voor die bepaalde leerling wat redelijk is en wat niet. Als je met een klas zit van pakweg 30 leerlingen met al heel wat problematieken, dan moet je kijken of

8 ervaringsdeskundigen. Het contact met de ouders kadert ook binnen het HGW (handelsgericht samenwerken). Dat belangrijke begrip zit ook wettelijk vervat in het M-decreet en berust op zeven uitgangspunten. Veel leerkrachten passen de meeste HGW-principes al onbewust toe, maar met dit M-decreet moet dit nog concreter worden.

De invoering van het M-decreet staat voor volgend schooljaar gepland, maar ik heb de indruk dat er nog een lang proces van trial and error zit aan te komen, klopt dat?

de nodige aanpassingen redelijk zijn.

Bepaalde zaken zijn nu soms structureel en financieel niet redelijk. Het is niet zo dat alles plots mogelijk moet zijn, maar er moet ‘zo veel mogelijk’ mogelijk zijn.

Is het niet moeilijk om als leraar te weten wanneer welk kind welke hulpmiddelen kan gebruiken? Ik denk aan een rekenmachine in een toets wiskunde.

Zoiets is voor de leerkracht inderdaad niet evident. Maar ook in het secundair moeten we afstappen van die labels en bekijken in een klas wat een kind nodig heeft om vooruit te gaan in zijn leerstof.

En heeft dat kind even ondersteuning nodig, dan is dat zo. Een klein beetje extra tijd geven om een examen af te werken, dat behoort theoretisch tot de brede basiszorg. Qua rekenmachines is het wel een gevoelig thema als je in een puur wiskundige richting zit. Maar ik denk sowieso niet dat ouders een kind met zware rekenproblemen naar een wiskundige richting zullen zenden.

Volg je een taalrichting waar je in de wiskundeles even je rekenmachine

vector

gebruikt, dan zie ik daar geen enkel probleem in.

Aan de andere kant is het zo dat we inclusiekinderen geen leerkansen mogen ontnemen: ‘Neem maar een rekenmachine want dit is te moeilijk voor je’ is een reactie die we moeten vermijden.

Waar staan de ouders in dit verhaal?

Ouders spelen een zeer belangrijke rol. Vanaf het begin moeten we transparantie bieden en hen meenemen in het verhaal. Elke leerkracht is zich ook bewust van het belang van communicatie, want ouders zijn ook echte

Wel, er zijn nog geen uitvoeringsbesluiten van het M-decreet en die zullen er wellicht ook niet komen. Je krijgt dus een grote vrijheid om het in te vullen, maar dat geeft ook veel onzekerheid.

Een vernieuwing als deze heeft tijd nodig om ingewerkt te raken. Dit verhaal wordt stapsgewijs geschreven, maar ook vooral samen met alle partijen, directeurs, leerkrachten, ouders, CLB, pedagogische begeleiders … Je bent niet goed bezig als je het op je eentje tussen je vier klasmuren wilt geklaard krijgen.

Bedankt voor dit interview!

Op het web vind je talloze websites over het M-decreet. Hieronder enkele tips van Brenda Deschacht: www.oudersvoorinclusie.be www.gripvzw.be www.inclusiefonderwijs.nl www.passendonderwijs.nl www.letop.be www.siho.be www.eurekaonderwijs.be www.handelingsgerichtwerken.be www.kinderrechtencommissariaat.be

Interview

9 Maryam Mirzakhani is de eerste vrouw die een Fieldsmedaille, de meest prestigieuze wiskundeprijs, op haar schouw heeft staan. Mirzakhani, 37 jaar, is van Iraanse afkomst en doctoreerde in Harvard in 2004.

Haar eindwerk toonde hoe de WeilPeterssonvolumes uitgerekend kunnen worden van moduliruimtes van Riemannoppervlakken. Haar onderzoekscompetenties omvatten de Teichmüllertheorie, hyperbolische meetkunde, ergodische theorie en symplectische meetkunde. Ze werkt momenteel als professor wiskunde aan de Stanforduniversiteit en werkt vooral met meetkundige structuren en hun vervormingen.

Wat zijn je vroegste herinneringen aan wiskunde?

Maryam Mirzakhani Een gouden medaille op de internationale Wiskunde Olympiade, hoogleraar aan de befaamde universiteit van Stanford in de VS, de eerste vrouw die een begeerde Fieldsmedaille mee naar huis kon nemen … Het traject van Maryam Mirzakhani is bepaald indrukwekkend. Een beetje ver van mijn bed, hoor ik u denken?

Misschien, maar net als u is deze Iraanse gewoon fan van wiskunde en het loont de moeite om te zien hoe zij in haar land de wiskunde ontdekte.

Als kind droomde ik ervan om schrijver te worden. Ik vulde mijn tijd vooral met verhalen schrijven; eigenlijk schreef ik gewoon alles wat in me opkwam.

Ik had nooit gedacht dat ik later met wiskunde zou doorgaan tot in m’n laatste jaar middelbare school. In ons gezin waren we met drie kinderen. Mijn ouders steunden ons in alles wat we deden. Het was belangrijk voor hen dat we een zinvol beroep kozen dat ons voldoening zou schenken; succes en carrière waren in hun ogen minder van belang.

In heel wat opzichten was het een prima omgeving om op te groeien, alhoewel het harde tijden waren toen de Iraaks-Iraanse oorlog uitbrak (die duurde van 1980, toen Mirzakhani drie jaar oud was, tot 1988, nvdr). Dankzij mijn oudere broer kreeg ik interesse in wetenschappen in het algemeen. Hij vertelde me steeds wat hij op school had geleerd. Mijn eerste herinnering

10 Kun je enkele verschillen aangeven tussen de wiskunde in Iraanse scholen en die in de VS?

aan wiskunde is waarschijnlijk toen hij me vertelde over het probleem om de cijfers van 1 tot 100 op te tellen. Ik denk dat hij in een populairwetenschappelijk tijdschrift had gelezen hoe Gauss dit aanpakte. De oplossing was best fascinerend in mijn ogen. Dat was de eerste keer dat ik echt kon genieten van een prachtige oplossing, hoewel ik het zelf nog niet al te goed snapte ‌

Welke gebeurtenissen en mensen hadden een grote invloed op uw wiskundige opvoeding?

Ik heb als jongere veel geluk gehad, op verschillende vlakken. De oorlog was gedaan toen ik mijn lagere school had afgemaakt. De kansen die ik toen kreeg, had ik nooit gekregen als ik 10 jaar vroeger was geboren.

Secundair onderwijs volgde ik in een geweldige school in Teheran, een Farzanegan school, en ik had er erg goede leerkrachten (een Farzanegan school is een staatsschool voor meisjes met strenge ingangsproeven; enkel de beste of meest getalenteerde meisjes raakten er binnen, nvdr).

Ik ontmoette er ook mijn goeie

vector

vriendin Roya Beheshti; het is echt van onschatbare waarde als je een vriend hebt die dezelfde interesses deelt en je motivatie op een scherp peil houdt.

Onze school lag dicht bij een straat vol boekwinkels in Teheran. Ik herinner me nog dat ik het fantastisch vond om in die drukke straat te kuieren en alle boekwinkels te bezoeken.

We konden er wel niet zomaar elk boek doorbladeren zoals je dat in het Westen kon in een boekhandel, meestal kwamen we dan ook naar buiten met een stapel boeken die we op het gevoel kochten. Ons schoolhoofd was trouwens een eigenzinnige vrouw die alles in het werk stelde om ons dezelfde mogelijkheden te bieden als op de jongensschool.

Later rolde ik dan in de wiskundeolympiades waardoor ik over moeilijkere problemen begon na te denken. Als tiener vond ik de uitdaging zelf leuk. Maar het belangrijkste was dat ik later aan de Sharifuniversiteit een pak inspirerende wiskundigen en vrienden leerde kennen. Hoe meer ik bezig was met wiskunde, hoe meer ik er ook in opging.

Daar kan ik moeilijk een antwoord op geven aangezien mijn ervaring in de VS beperkt is tot enkele universiteiten en ik ook weinig weet over het middelbaar onderwijs hier. Toch kan ik zeggen dat het onderwijssysteem in Iran verschilt van wat de mensen in het Westen denken. Toen ik naar Harvard ging, moest ik vaak uitleggen dat je als vrouw wel degelijk aan een universiteit kunt studeren. Het klopt dat jongens en meisjes naar aparte scholen gaan tot en met het middelbaar onderwijs, maar dat belet niet dat ze mogen deelnemen aan, bijvoorbeeld, de Wiskunde Olympiade of een zomerkamp.

Maar er zijn natuurlijk wel verschillen. In Iran kies je bv. een hoofdvak voordat je verder studeert en er is een nationaal ingangsexamen voor universiteiten.

Ook was het zo dat we, toch in mijn richting aan de universiteit, meer focusten op probleemoplossend denken dan op vervolgcursussen.

Wat trok u precies aan in de specifieke problemen die u hebt bestudeerd?

Toen ik in Harvard aankwam, had ik een achtergrond van vooral combinatoriek en algebra. Ik heb altijd genoten van complexe analyses, maar kende er niet zoveel van. Als ik er nu aan terugdenk, dan moet ik zelfs zeggen dat ik er echt niks van bakte. Ik moest nog veel zaken leren die voor studenten op bachelorniveau in de goede Amerikaanse universiteiten al gekend waren.

11 Ik begon met de informele seminaries van Curt McMullen. Helemaal in het begin snapte ik meestal helaas geen woord van wat er allemaal gezegd werd, maar ik kon sommige commentaren van Curt best wel smaken. Ik stond ervan versteld van de manier waarop hij de zaken eenvoudig en elegant voorstelt. Zo begon ik hem regelmatig vragen te stellen en dacht ik veel na over de problemen die uit die verhelderende gesprekken naar voren kwamen.

Zijn aanmoedigingen waren van een onschatbaar belang voor me. Werken met Curt had een grote invloed op mij, hoewel ik nu wens dat ik nog meer van hem had geleerd. Toen ik afstudeerde had ik dan een lange lijst van ruwe ideeën die ik wilde verkennen.

Kunt u uw onderzoek verstaanbaar maken voor outsiders? Zijn er toepassingen in andere gebieden?

De meeste problemen waarmee ik werk, houden verband met meetkundige structuren op oppervlakken en hun vervorming.

Om preciezer te zijn ben ik geïnteresseerd in het begrijpen van hyperbolische oppervlakken. Soms kunnen eigenschappen van een vast hyperbolisch oppervlak beter begrepen worden door de moduliruimte te bestuderen die alle hyperbolische structuren parametriseert op een gegeven topologisch oppervlak.

Deze moduliruimten hebben op zich een rijke geometrie en ontstaan op natuurlijke wijze in differentiële, hyperbolische en algebraïsche meetkunde. Er zijn ook linken met

Mirzakhani naast Daubechies tijdens de uitreiking van de Fieldsmedailles.

theoretische fysica, topologie en combinatoriek. Ik vind het fascinerend dat je uit verschillende invalshoeken naar hetzelfde probleem kunt kijken en het ook kunt benaderen via verschillende methodes.

Waaruit haal je het meest voldoening tijdens je werk?

Het meest voldoening krijg je natuurlijk tijdens je ‘aha-moment’; de opwinding om iets te ontdekken, de vreugde om iets nieuws te begrijpen ... Dan heb ik het gevoel boven op een helling te staan met een prachtig helder uitzicht rond me. Maar meestal voelt wiskunde voor mij aan als een lange wandeltocht zonder pad om te volgen noch een eindpunt om naar uit te kijken.

In mijn ogen vormt een discussie over wiskunde met collega’s met een verschillende achtergrond een van

de meest productieve manieren om vooruitgang te boeken.

Welk advies zou je geven aan wie meer wil weten over wiskunde, over wat het precies is en welke rol het speelt in onze samenleving?

Dat is een moeilijke vraag. Ik denk niet dat iedereen wiskundige moet worden, maar ik geloof wel dat er veel studenten zijn die wiskunde niet echt een kans geven. Als tiener had ik enkele jaren slechte resultaten voor wiskunde; het interesseerde me gewoon niet. Ik kan me goed voorstellen dat wiskunde zinloos en koud kan lijken als je er slechts oppervlakkig naar kijkt; de schoonheid van wiskunde laat zich vooral zien aan de volgers met dat tikkeltje meer geduld.

Dit artikel verscheen eerder in The Guardian

Grafisch

12

Wiskunde met foto’s en video’s Nooit was het makkelijker om beeldmateriaal zoals foto’s en video’s digitaal te registreren, te bewaren en te delen. Leerlingen kunnen grafische bestanden downloaden van internet (Google Earth, Wikipedia …) of zelf opnemen met hun smartphone, laptop of tablet.

Dit schept prachtige nieuwe mogelijkheden tot motiverende onderzoeksopdrachten waarbij wiskunde in realistische contexten wordt ontdekt en geëxploreerd.

Statische afbeeldingen (foto’s van landschappen, gebouwen, natuurkundige fenomenen, reproducties van kunstwerken …) kunnen met heel wat wiskundige ICT-hulpmiddelen geanalyseerd worden.

Elk hedendaags grafisch rekentoestel of wiskundig softwarepakket biedt hiervoor functionaliteiten. In enkele voorbeelden geven we hier de mogelijkheden.

Tekst: Jan Vermeylen

vector

Regressie De meest voor de hand liggende techniek is om een afbeelding als achtergrond te plaatsen in een vlak met assenkruis. Van de te onderzoeken figuur worden een voldoende aantal punten aangestipt en dan kan op de bekomen puntenwolk een ‘curve fit’ worden uitgevoerd. Een klassiek voorbeeld hiervan is de waterstraal van een fontein die mooi in de vorm van een parabool stroomt.

Kwadratische regressie op een waterstraal (TINspire CX rekentoestel © Jurgen Schepers)

Parameter-schuifbalkjes Een tweede manier is om in de vergelijking van een kromme enkele parameters met behulp van schuifbalkjes te veranderen zodanig dat de kromme past op de figuur op de foto.

Niet-analytische fit Meetkundig onderzoek van een foto is ook mogelijk zonder coördinaten of vergelijkingen. Een kromme zoals een kegelsnede wordt gedefinieerd met haar basiselementen. Voor een parabool is dat bijvoorbeeld het brandpunt en de richtlijn. In elk dynamisch meetkundepakket kan de vorm van een parabool veranderd worden door het brandpunt en/of de richtlijn te verplaatsen. Op die manier kan ook een kegelsnede-fit uitgevoerd worden.

Elliptische fit d.m.v. schuifbalkjes die het middelpunt en de assen veranderen (Geogebra © Jennifer Silverman)

Fitpoging met variabel brandpunt en richtlijn op de parabolische sound mirror van Dungeness (Autograph © Douglas Butler)

13 Ruimtemeetkunde

Bewegende beelden

Ook kunnen foto’s van gebouwen, beeldhouwwerken, …. aanleiding geven tot een onderzoeksopdracht voor ruimtemeetkunde met behulp van dynamische meetkundesoftware die 3D aankan.

Videoanalyse op de baan van een punt op een fietswiel (Cycloide)

Minder bekend, maar minstens even boeiend, is het werken met video. Bij de opname van een bewegend voorwerp kan zijn baan (net als zijn snelheid en versnelling) onderzocht, gemathematiseerd en grafisch voorgesteld worden.

Besluit De beschikbaarheid van digitale beelden en wiskundige software voor analyse is een verrijkende uitdaging voor elke leraar wiskunde. Als deze ICT-middelen op een didactisch verantwoorde manier worden ingezet, verhogen ze het inzicht en de motivatie van de leerlingen.

Jan Vermeylen was leraar wiskunde en onderwijsinspecteur voor de Vlaamse Gemeenschap. Momenteel is hij onafhankelijk educatief consulent.

ICT-hulpmiddelen voor foto- en videoanalyse • Rekenmachines met kleurenscherm Een merkwaardige lantaarnpaal van een vakantiekiekje wordt gereconstrueerd (Cabri 3D © Adrian Oldknow)

Wiskunde en kunst Op grafische kunstwerken kunnen leerlingen de opdracht krijgen om het perspectief of de verhoudingen, zoals de gulden snede, door middel van een constructie uit te tekenen.

o Texas Instruments TI-84 Plus Color

o Texas Instruments TI-Nspire CX (CAS)

o Casio FX-CG20 Color

o Hewlett-Packard HP Prime

• Wiskundige software en apps met dynamische meetkunde

o TI-Nspire (CAS) software

o Cabri Géomètre II

o Cabri 3D

o Geogebra

o Autograph Maths

o Google SketchUp

• Software en apps voor videoanalyse

Geometrische verbanden in de Sixtijnse kapel (© Gaetano Barbella)

vector

o Vernier LoggerPro

o Vernier Video Physics App

o Tracker 2

Vrije ruimte

14

Wiskunde proeven aan de KU Leuven

Het Junior College STEM biedt boeiende thema’s in een universitair jasje STEM is in. De Vlaamse regering maakte deze afkorting (science, technology, engineering en mathematics) niet alleen bij leraren razend actueel, ook bij ouders raakt dit vierletterwoord al goed ingeburgerd. Het actieplan moet loopbanen in wiskunde, wetenschappen en techniek stimuleren. De KU Leuven doet ook haar duit in het zakje, hoewel zij met hun Junior Colleges niet aan hun proefstuk toe zijn. Het Junior College STEM (zowel in Leuven als in Kortrijk te volgen) biedt uitdagende lespakketten voor leerlingen uit de derde graad en wil hun kijk op wiskunde en wetenschap prikkelen en verruimen met actuele lesthema’s. We spraken met Stefaan Vaes, hoogleraar aan de KU Leuven, die elk jaar met zijn team voor een gevarieerd programma zorgt.

Foto's: Junior College STEM KU Leuven Kunt u het ontstaan schetsen van de Junior Colleges die jullie jaarlijks organiseren?

We zijn er een vijf à zes jaar geleden mee begonnen, toen nog onder de naam Junior Colleges Wiskunde. We hadden op die eerste editie twee cen-

vector

trale thema’s ontwikkeld voor de lezingen van de kick-offmeeting (zie ook kaderstukje voor meer info, nvdr): eentje over wiskunde & Google en eentje over wiskunde & cryptografie.

Daar zijn dan in de loop der jaren thema’s bijgekomen; een van de recente onderwerpen is bijvoorbeeld dat van

de cochleaire implantaten, ontwikkeld door de faculteit ingenieurswetenschappen. Zo werd dit initiatief opengetrokken naar de volledige groep wetenschap en technologie, en werd de term ‘wiskunde’ gewijzigd in STEM. De nieuwe thema’s die nu nog in volle ontwikkeling zijn, zullen dan ook een pak breder gaan dan pure wiskunde. Zo is er iets concreets in ontwikkeling rond wiskunde en klimaatverandering, een onderwerp dat sowieso actueel blijft.

Het is ook zo dat STEM slechts een onderdeel is in het hele Junior College gebeuren. Het initiatief is er ook voor geschiedenis, taal, life sciences, en recent is daar ook nog filosofie bijgekomen.

Houdt de naamswijziging naar STEM ook verband met het gelijknamige actieplan van de Vlaamse regering?

Niet meteen, maar misschien zal het actieplan onrechtstreeks voor extra deelnemers zorgen ...

15

Junior College STEM uit de doeken Het Junior College STEM is een boeiend initiatief van de KU Leuven dat zowel in Leuven als in Kortrijk plaatsvindt. Het gaat om uitdagende lespakketten voor leerlingen uit de derde graad secundair onderwijs. Bij de inschrijving kies je een thema met bijbehorend lesmateriaal. Dit jaar was er keuze uit vier thema’s.

Zo loopt hier in de KU Leuven ook het project STEM@SCHOOL. Dat is een groot project van de faculteit ingenieurswetenschappen en de lerarenopleiding, in samenwerking met de verschillende onderwijskoepels.

Dat project vond al ingang in enkele proefscholen en heeft als doel een STEM-opleiding in te bouwen in het traditionele traject van het secundair onderwijs.

Welk doel hadden jullie bij de start van dit initiatief voor ogen, wat proberen jullie ermee te bereiken?

Met de Junior Colleges wilden we leerlingen uit de derde graad laten proeven van wat meer geavanceerde wiskunde, wiskunde die verder gaat dan het traditionele parcours van het leerplan. Maar dat was niet alles: we wilden dat gegeven ophangen aan een specifiek thema dat de leerlingen uit het dagelijkse leven kennen. Google is hier een heel duidelijk voorbeeld van, net als het thema van de klimaatverandering dat in ontwikkeling is. Ook het thema van cryptografie spreekt jonge-

vector

Het doelpubliek bestaat uit studenten die het betere wiskundewerk aankunnen, toch?

- In januari vindt de kick-offmeeting plaats. Leerlingen volgen een of meerdere lezingen. Dit schooljaar waren er vijf lezingen gespreid over een volledige dag.

- Daarna krijgen ze materiaal waarmee ze in groepjes in de klas aan de slag kunnen.

- Het feestelijke slotevent ten slotte biedt twee algemene lezingen aan. Daarin raken de leerlingen meer te weten over actueel onderzoek in een van de STEM-richtingen.

Dat klopt. Het materiaal is van die aard dat het geschikt is voor leerlingen uit de ‘klassieke’ 6 uursrichtingen, omdat toch de nodige voorkennis is vereist.

Na de paasvakantie wordt telkens de nodige info bekendgemaakt voor het volgende schooljaar. Inschrijven kan steeds tot september.

Een Junior College STEM verloopt in verschillende fasen, starten doen jullie met de kick-offmeeting, niet?

Voor meer info, surf naar www.kuleuven.be/onderwijs/juniorcollege.

ren aan, omdat het betrekking heeft tot bankkaarten, internetbeveiliging enzovoort. We hebben geen thema’s gemaakt die wiskunde om de wiskunde willen brengen. Er komt telkens wel gevorderde wiskunde aan te pas, maar altijd in een vertrouwde en actuele context.

Dat klopt. Die dag vindt telkens plaats begin januari. De kick-offmeeting heeft al verschillende formats gekend. Dit jaar waren er in totaal vijf lezingen. De leerlingen of klassen die deelnemen, kiezen zelf hun programma op basis van het aanbod. Sommigen doen

meer, sommigen doen minder. Scholen uit het Leuvense en omgeving komen soms voor één lezing, maar komen ze van verder, dan stellen ze vaak een substantiëler programma samen om meer te halen uit hun lange verplaatsing.

Daarna wordt in de klas gewerkt met ons cursusmateriaal. De leraar krijgt

16 gemakkelijk om hen te laten reageren op vragen of opmerkingen. Maar de lesmodules voor in de klas zijn zeer interactief, met veel groepswerk en veel ruimte voor discussie.

De organisatie van deze Junior Colleges zal wel wat voeten in de aarde hebben.

een handleiding om toelichting te kunnen geven, maar de klemtoon ligt op groepswerk. Ook via de website wordt in beperkte mate nog materiaal aangereikt, maar dat zijn dan bv. de stukken software die nodig zijn.

bepaald aantal activiteiten. Dan kan het natuurlijk zijn dat een school met 2, 3, 4, 5 … leerlingen het Junior College volgt.

Dat alles wordt dan afgesloten met een feestelijk slotevent in maart. Daar vinden voor alle deelnemers telkens twee lezingen plaats, gegeven door boeiende sprekers. Dat kunnen mensen uit het werkveld of de bedrijfswereld zijn of wetenschappers van de KU Leuven of een andere universiteit; het hangt ervan af welke sprekers we hiervoor kunnen strikken. Zo hadden we enkele jaren een gastspreker van Google Zürich, maar dit jaar komen de sprekers van de KU Leuven en van de Vrije Universiteit Brussel.

Het is niet altijd makkelijk om reacties te verzamelen na de lezingen die we aan de KU Leuven organiseren. Maar we vragen systematisch feedback aan de leraren, zowel over de lessen aan de universiteit als over het cursusmateriaal. Ook bij de voorbereiding van nieuw materiaal testen we dingen uit in enkele proefscholen en sturen we de lesmodules bij op basis van de reacties die we krijgen. Over het algemeen zijn de reacties positief en zijn de deelnemende klassen enthousiast. Er zijn dan ook verschillende scholen die jaar na jaar blijven meedoen.

Hoe zit het met de inschrijvingen, gebeurt dat per klas of school?

Dat staat de scholen vrij. De meeste scholen nemen deel in hun vrije ruimte met de volledige klas. Maar er zijn ook een paar scholen die een keuzesysteem hebben in hun vrije ruimte, waarbij ze de leerlingen laten kiezen tussen een

vector

Welke reacties krijgen jullie zoal van leerlingen en leerkrachten?

Is er wat interactiviteit in de modules die jullie geven?

Tijdens de lessen aan de universiteit is er tamelijk weinig interactie. De leerlingen zitten vaak voor het eerst met 200 of 300 samen in een aula en het is niet

Inderdaad. De planning van de Junior Colleges, de nodige sprekers en thema’s moeten ruim op voorhand geregeld worden. Het meeste werk hiervoor gebeurt door een vaste medewerkster, An Vanfroyenhoven, die zelf een achtergrond in het secundair onderwijs heeft als wiskundeleraar. Die ervaring is heel handig bij de ontwikkeling van nieuwe lesmodules, waar zij als interface optreedt tussen de academische en de onderwijswereld. Aan de ene kant heb je namelijk een onderzoeksgroep die nieuwe invalshoeken brengt en heel goed weet wat ze daarover wil vertellen. Maar dat moet, aan de andere kant, vertaald worden in iets bruikbaars voor in de klas, en dat is natuurlijk niet altijd evident. Wij hebben dus het geluk dat we op iemand kunnen rekenen die het secundair onderwijs door en door kent. Maar we profiteren ook van allerlei opportuniteiten. Er is dit jaar bijvoorbeeld een wiskundestudente die haar masterthesis doet in de didactiek van de wiskunde. In het kader van haar masterproef ontwikkelt zij een lesmodule voor het Junior College, onder begeleiding van een vakdidacticus en enkele andere medewerkers.

Hoe ziet u het concept evolueren in de toekomst?

We zijn begonnen als Junior College Wiskunde en verbreden nu tot een Ju-

17 nior College STEM. We willen dus zeker ook lesmodules ontwikkelen in natuurwetenschappen, zoals fysica, chemie, biologie, geografie enzovoort.

Maar voor een school is het niet altijd makkelijk om daarin mee te stappen.

De vrije ruimte in de sterke klassen wordt meestal ingevuld als vrije ruimte wiskunde en het zal minder evident zijn om dan te gaan werken met een substantieel stuk leerstof biologie of fysica.

We moeten dus kortere en modulair opgebouwde lespakketten maken zodat we ook deze doelgroep kunnen aanspreken.

Het aantal deelnemers aan het Junior College bleef een aantal jaren stabiel, maar groeide dit jaar, samen met de verbreding van het aanbod. Bovendien merken we dat er nog steeds scholen zijn die dit initiatief niet kennen, ook

scholen die hier dicht in de buurt liggen. Er is dus zeker nog ruimte voor groei. En met de dubbele locatie, namelijk in Kortrijk en Leuven, hebben we nog een mooie, praktische troef in handen.

Kunt u tot slot wat meer concrete info of data geven over volgend schooljaar?

Het is zo dat we steeds na de paasvakantie de nodige info bekendmaken.

Inschrijven kan dan tot september. De kick-offmeeting vindt steeds plaats in januari, kort na de kerstvakantie. Alle info kunnen geïnteresseerden steeds terugvinden op de website www.kuleuven.be/onderwijs/juniorcollege.

Bedankt voor dit gesprek!

Stefaan Vaes is hoogleraar wiskunde aan de KU Leuven en onderzoeker in functionaalanalyse.

Hij coördineert het Junior College STEM: “Ik heb de nadrukkelijke wens om wiskunde populairder te maken als wetenschap op zich. Ik hoor vaak van familie en vrienden dat ze wiskunde een vak vinden dat ‘af’ is sinds meer dan honderd jaar, een vak waarin nooit iets nieuws gebeurt. Met een dergelijk initiatief proberen we dat gevoel te ontkrachten.

Ik denk trouwens dat het een gezonde evolutie zou zijn om een aantal stukken van het leerplan wiskunde en het leerplan fysica meer op elkaar te laten aansluiten, in combinatie met echte toepassingen. Soms is wiskunde een vak dat net iets te ‘steriel’ is, en niet genoeg doorspekt met echte, tastbare toepassingen.”

Praktisch

18

Pennen en rekenmachines neer!

De grafische rekenmachine in de examenstand De technologie staat niet stil. In het najaar van 2014 nog haalde een wiskundeapp verschillende Vlaamse nieuwswebsites; je kon er ingewikkelde formules mee inlezen en de app loste die razendsnel op, met een mooi overzicht van de gevolgde stappen. Los van het gebruik van smartphones en tablets blijft de grafische rekenmachine een oerdegelijke klassieker in de wiskundeles. De GR is al ingeburgerd sinds de jaren 90 en maakte een evolutie door om u tegen te zeggen. Als u op het wiskundecongres was, dan liep u wellicht Jürgen Schepers (Texas Instruments Benelux) tegen het lijf, die er een workshop gaf over hun TI-Nspire app, maar in dit artikel vertelt hij je alles over een niet onbelangrijk detail van een rekenmachine … Weet u hoe u de examenstand moet activeren?

Als wiskundeleerkracht kun je ervoor zorgen dat tijdens overhoringen en examens al je leerlingen met een grafische rekenmachine werken waarop voor iedere leerling hetzelfde staat. Dat wil zeggen dat je, als je grafische rekenmachine in de examenstand staat, er niet meer mee kunt spieken.

In sommige landen, zoals Nederland en Frankrijk, zal deze examenstand verplicht worden voor de eindexamens.

Behalve de TI-83 Plus kunnen alle grafische rekenmachines van Texas Instruments in de examenstand worden gezet.

Hieronder leggen we voor je uit hoe je dat kunt doen voor de TI-84 Plus, TI-84 Plus C en TI-84 Plus CE-T.

vector

De TI-84 Plus CE-T is de TI-84 Plus in een nieuw jasje.

• Werk didactisch met kleur • Minder kosten met oplaadbare batterij • Hogere schermresolutie • Examenstand in blauwe kleur

19 TI-84 Plus (C of CE-T) examenstand in- en uitschakelen

Uitschakelen

- De examenstand schakelt apps en programs tijdelijk uit, en maakt alle plaatsen leeg waar iets kan staan, zoals lijsten, Y=.. , variabelen en de solver.

- Slechts de toegestane app ‘Finance’ blijft toegankelijk.

- De examenstand werkt op OS-versie (operating system) o vanaf versie 2.40 voor de TI-84 Plus. o vanaf versie 4.0 voor de TI-84 Plus CE en de TI-84 Plus C Silver Edition.

Er zijn twee manieren om de examenstand af te zetten:

Inschakelen - Schakel je TI-84 Plus (C of CE-T) uit.

- Druk tegelijkertijd op PIJLTJE LINKS en PIJLTJE RECHTS .

Houd beide ingedrukt en druk dan ook op ON .

- Kies met de pijltjestoetsen de gewenste optie voor de hoekinstelling (dat kun je later ook nog weer veranderen) en andere opties.

1. Met een andere TI-84 Plus (C of CE-T) - Verbind de TI-84 Plus (C of CE-T) met een kort USBkabeltje aan een andere TI-84 Plus (C of CE-T).

- Zet je ene TI-84 Plus (C of CE-T) met 2nd , ‘Link’ , ‘Receive’ ‘1’ op ontvangen.

- Stuur op de andere TI-84 Plus (C of CE-T) met 2nd , ‘Link’ ‘4’ een list naar de verbonden TI-84 Plus (C of CE-T). Selecteer L1 met ‘Enter’. Ga dan met de pijltjestoets naar ‘Transmit’ en druk op ‘Enter’.

- Kies op de TI-84 Plus (C of CE-T) die op receive staat de optie ‘2’ ‘Overwrite’.

- Je TI-84 Plus (C of CE-T) gaat nu uit de examenstand.

2. Met een pc en de gratis TI-Connect software - Zorg dat je de laatste versie van TI-Connect op je computer hebt (4.0 in 2014) - Sluit de GR met de USB-kabel aan op de pc.

- Klik op TI DeviceExplorer - Open ‘List’ en sleep de lijst ‘L’ naar de desktop van uw computer.

- Sleep daarna diezelfde lijst ‘L’ van uw desktop naar het scherm van TI-Connect en drop die in het scherm.

- De TI-84 Plus (C of CE-T) is nu weer uit de examenstand.

TI-84 Plus (C of CE-T) examenstand controleren

- Druk op ‘Zoom’ - Nu zie je het

om de examenstand in te schakelen. volgende scherm:

Als leerkracht of leerling kun je ook makkelijk controleren of de examenstand effectief is ingeschakeld (of uitgeschakeld).

Er zijn twee manieren om dat te doen: - Druk op APPS. Er komt nu te staan: APPS HAVE BEEN DISABLED. - Druk op PRGM. Er komt nu te staan: APPS HAVE BEEN DISABLED.

Druk op een willekeurige toets en de examenstand is geactiveerd. Dat wil zeggen: de machine is volledig gereset: apps, programma’s en foto’s zijn geblokkeerd. Lijsten, Y=..,VARS.. zijn ook leeggemaakt.

Bij de TI-84 Plus Color kan het ook op deze manier: - De bovenste strook van het scherm is blauw en er staat op de tweede regel: Test Mode Enabled.

LET OP: er moet Enabled staan, want tijdens het inschakelen van de examenstand is de strook al blauw en staat er ook al Test Mode!

20

vector

Uitblinker

21

Fietsje komt zo Wiskunde helpt steden om aanbod van deelfietsen op vraag af te stemmen

Elke dag doen in Antwerpen vijf mensen niets anders dan met een laadbak vol fietsen door ’t Stad rijden.

In opdracht van Velo Antwerpen, het deelfietsproject van de stad, pikken ze bij volle uitleenpunten rijwielen op die ze vervolgens bij lege uitleenpunten weer afzetten.

Hilde Van den Eynde

Dat doen ze niet op goed geluk – vanuit het Velo-hoofdwartier aan het Kievitplein stuurt Maaike Van Hoye de chauffeurs aan, gezeten aan een computerscherm waarop de 150 fiets-

© Peter Braakmann / Shutterstock.com

Steeds meer steden doen aan fietsdelen. Maar er is hogere wiskunde nodig om altijd genoeg fietsen in de rekken te hebben en om voldoende vrije plekken te creëren om ze in te leveren.

uitleenpunten van de stad in diverse kleuren oplichten: van leeg over minder leeg naar bijna vol tot vol.

Het is een hele toer, zegt Van Hoye, om vraag en aanbod voortdurend zodanig op elkaar af te stemmen dat Velo aan zo weinig mogelijk klanten een ‘neen’ moet verkopen. Het komt erop aan te vermijden dat er afhaalpunten zijn waar geen deelfiets meer te krijgen is, of punten waar geen plaats meer vrij is om zo’n fiets weer in te leveren. Het lukt de ene dag al beter dan de andere, zegt Van Hoye, die de bezettingsgraad van elk van de Antwerpse fietspunten in real time doorkrijgt. “Velo moet geregeld klanten ontgoochelen of doorverwijzen naar verderop gelegen fietsdeelpunten”, zegt Van Hoye.

Aan de Universiteit van Antwerpen, bij de faculteit Toegepaste Economie, werkt Kenneth Sörensen aan een wiskundig algoritme dat Maaike Van Hoye straks het werk aanzienlijk moet gaan vergemakkelijken. Sörensen zoekt naar de oplossing van een probleem dat wiskundig zeer complex is, maar van groot praktisch belang: hoe optima-

22 liseer je de route van chauffeurs die elke dag duizenden deelfietsen moeten herverdelen over een stad?

Zo’n zeshonderd steden in 52 landen doen inmiddels aan fietsdelen. Wenen, in 2003 bij de Europese pioniers, heeft 1.500 fietsen in omloop. Antwerpen, dat in 2011 begon, heeft 1.800 fietsen en in Parijs circuleren ruim twintigduizend vélos En allemaal kampen ze met hetzelfde probleem, zegt Kenneth Sörensen: dat er enerzijds uitleenpunten zijn waar te weinig fietsen staan en anderzijds punten waar er te veel zijn. Allebei even vervelend voor de gebruiker.

Liever bergaf dan bergop Zulke onevenwichten kunnen ontstaan omdat gebruikers doorgaans liever bergaf dan bergop fietsen, zegt Sörensen, daardoor hopen fietsen zich in de benedenstad op. “In een vlakke stad als Antwerpen is dat geen groot probleem, maar in Brussel en Parijs heb je hooggelegen punten waar fietsen zelden of nooit door gebruikers worden teruggebracht, terwijl laaggelegen punten vollopen en vervolgens niet meer van hun fietsen afkomen.”

In Antwerpen zorgen dan weer andere mechanismen voor zo’n onevenwicht, weet Maaike Van Hoye uit ervaring.

Onder meer het woon-werkverkeer zorgt voor pieken en dalen. “’s Ochtends is de vraag bij treinstations groot, als pendelaars een fiets willen om mee naar hun werk te rijden. Populaire stallingen bij Den Bell op het Zuid of bij de belastingkantoren op de Italiëlei lopen daarna helemaal vol.

Dat moet je dan gaan herverdelen.

En ’s avonds krijg je de omgekeerde

vector

beweging, als al die mensen weer naar huis willen. Dan moet je maken dat er bij de stations plaats is om al die fietsen weer te stallen.”

Het is dus niet altijd de ideale oplossing om te streven naar fietspunten met precies evenveel bezette als onbezette plaatsen, zegt Kennet Sörensen. “Je moet rekening houden met het weer, met de gemiddelde vraag op elk moment van de dag, van de week, van het jaar.” Het is opnieuw anders bij grote sportmanifestaties of in het weekend, wanneer vooral toeristen en winkelaars fietsen nodig hebben.”

Sörensen heeft het vraagstuk voor het gemak opgedeeld in twee deelvraagstukken. “Ten eerste: voorspellen waar er wanneer hoeveel fietsen nodig zullen zijn. Ten tweede: hoeveel fietsen pikken de chauffeurs op en in welke volgorde zetten ze ze elders weer af?”

Of Sörensens aanpak er straks voor zorgt dat Maaike Van Hoye minder hoofdpijn aan haar werkdagen overhoudt en haar chauffeurs minder kilometers zullen moeten rijden om de Antwerpse deelfietsen te allen tijde op de juiste plek te krijgen, weten we wellicht nog dit jaar.

Binnenkort zou Velo Antwerpen immers proefritten rijden die worden aangestuurd door Sörensens wiskundige formules (zie kaderstuk). “Het algoritme dat we hebben uitgewerkt, ziet er goed uit op papier, maar is nog te eenvoudig om al te worden getest”, legt Sörensen uit. De komende maanden gaan we stap voor stap complexiteit toevoegen: informatie over het weer, het seizoen, de dag van de week. En dan maar kijken of het werkt.”

Dit artikel verscheen eerder in De Standaard.

Update Dit artikel verscheen eind augustus van vorig jaar. Eind februari vroeg de redactie van Vector aan Kenneth Sörensen hoe het project al is geëvolueerd. “Er is al een mooie vooruitgang, maar we zijn nog niet gestart met proefprojecten. Wat er gebeurd is tot nu toe is de ontwikkeling van een planningsalgoritme op basis van metaheuristieken; meer in het bijzonder gebruiken we een adaptive large neighborhood search. We schrijven daar nu een paper over, maar die is nog niet klaar.

We willen graag binnen een half jaar ongeveer ons eerste algoritme testen in samenwerking met Velo Antwerpen, maar concrete afspraken zijn er nog niet gemaakt. Daarna kunnen we voortwerken aan de verbetering van het algoritme en vooral aan het realistischer maken van het onderliggende optimalisatieprobleem - bv. door het dynamisch te maken, d.w.z. dat er tijdens de dag verzoeken om fietsen te verplaatsen, kunnen bijkomen en wegvallen.”

Faits divers

23

Wiskundetempel in Londen Wetenschapsmusea garanderen een leerrijk uitje met de leerlingen, maar zijn eerder dunbezaaid. Naar een echt wiskundemuseum is het in België hopeloos zoeken en een trip naar MoMath, het recent geopende wiskundemuseum in New York, is wellicht moeilijk te verantwoorden bij de schooldirectie.

Vanaf 2016 zullen we wel al ietsje dichter bij huis kunnen proeven van wiskunde tussen museummuren. Het geweldige Londense Science Museum, het grootste wetenschapsmuseum ter wereld, bouwt namelijk een heuse wiskundetempel. Het museum krijgt straks namelijk een bijzondere galerie, de Mathematics Gallery, waarin zal worden uitgelegd hoe de wiskunde de wereld hielp scheppen zoals we die nu kennen. De verhalen die in de galerie verteld zullen worden, bespannen een periode van 400 jaar, van de renaissance tot de dag van vandaag.

Het is de bedoeling de theoretische stempel van wiskunde weg te vegen en de praktische kant van ’s werelds leukste vak in de spotlights te plaatsen.

De beroemde Britse architecte Zaha Hadid, zelf gefascineerd door wiskunde, neemt het ontwerp ter harte. Ze is daarmee niet aan haar proefstuk toe; zo creëerde ze bv. het Aquatic Center voor de Olympische Spelen van 2012 in Londen. Ook het ontwerp en de architectuur moeten wiskunde ademen.

De vrij futuristische afdeling werd bedacht als een soort enorme windtunnel voor een experimenteel vliegtuig uit 1929 dat er zal worden opgehangen.

Kunstige wiskunde of wiskundige kunst?

De Japanner Atsushi Koyama heeft een mooi duo bachelordiploma’s verzameld.

Eerst studeerde hij aan de Tama Art University in Tokyo, specialisatie olieverf.

Daarna sloeg hij echter een heel andere weg in en behaalde hij zijn bachelor in de … wiskunde. Zijn passie voor beide vakken wordt ook mooi weerspiegeld in zijn schilderijen. Hij koos dan wel niet voor het nobele beroep van wiskunde-

Dat vliegtuig wordt ook het (grootste) pronkstuk van de collectie. De galerie werd mogelijk gemaakt door de grootste individuele gift ooit aan het museum: de familie Harding had hiervoor niet minder dan 5 miljoen Britse pond over. De opening is voorzien voor 2016. (bron: Knack Weekend)

terug. Je ziet er een mix van zwart-wit geschilderde lichaamsdelen en felgekleurde mechanische onderdelen van, zo lijkt het wel, gedemonteerde machines. Leuk is dat de handen de mechanische stukken lijken vast te nemen of te manipuleren. Het is niet eenvoudig om uit te maken wat de schilderijen precies uitdrukken, maar los daarvan: wat vindt een wiskundeleerkracht daarvan? leerkracht, maar wel voor dat van schilder. Maar in zijn werken, een mix van paintbrush en olieverftechnieken, vind je wel wat van zijn wiskundige achtergrond

(bron: www.mixedgrill.nl)

24 100 jaar en nog steeds wiskundeleerkracht Vlotjes de kaap van 100 jaar ronden, met 60 jaar ervaring in de benen als wiskundeleerkracht: het zijn cijfers om in te kaderen. En de Amerikaanse Madeline Scotto wil van geen ophouden weten. Ze stopte pas op haar negentigste met klassikaal lesgeven omdat haar gehoor fel was achteruitgegaan. Daarna schakelde ze over op extra begeleiding tijdens lunchpauzes, in de vakanties en voor leerlingen die aan wiskundewedstrijden wilden meedoen. Ook nu nog is ze drie dagen per week actief op de school waar ze zelf in 1928 afstudeerde …

Het woord ‘oud’ of ‘senior’ zal ze zelf niet in de mond nemen; jong van geest als ze is, heeft ze geen voeling met anderen van haar leeftijd. De school houdt

haar jong, een wandelstok weigert ze te gebruiken en haar boekentas draagt ze nog steeds zelf.

Ze begon haar carrière als lesgeefster in 1954. In Pennsylvania verongelukten toen verschillende nonnen, waardoor de plaatselijke priester met een acuut tekort aan leerkrachten zat.

Madeline was nog maar net bevallen van haar vijfde kind, maar koos toch om de plaatselijke priester uit de nood te helpen. Haar moeder zou wel helpen zorgen voor haar jonge kinderen.

Ze had eigenlijk Frans gestudeerd maar rolde al snel in het wiskundevak. En de liefde bleef duren …

Enkele levenslessen voor een lange wiskundecarrière? Eat well, stay active,

Bliksemsnelle ambulances be joyful and don’t worry too much: dat zijn de kernwaarden waaraan Madeline zich vasthoudt. En in de klas is ze vooral blij als je als leerling hard werkt en je best doet. Haar eigen kinderen houden er wel een licht andere levensstijl op na: die zijn alle vijf al op pensioen … (bron: ScienceGuide)

Hoeveel jaar geef jij al les?

Ben je zelf een wiskundeleerkracht met pakweg 30 jaar ervaring in de benen en komt een welverdiend pensioen stilaan in zicht?

Of sta je nog maar heel recent voor de klas, je wiskundeopleiding vers in het geheugen?

Stuur dan een mailtje naar vector@diekeure.be en wij contacteren je misschien voor een heus duo-interview in de volgende Vector; daarin willen we visies en ervaringen samenbrengen van een beginnend leerkracht en een collega met een ton ervaring.

Hopelijk tot gauw!

vector

In Nederland loopt momenteel een proefproject dat ziekenwagens al de baan op stuurt nog voordat een ongeval heeft plaatsgevonden.

Door meerdere ambulances in real time steeds weer te verplaatsen in het testgebied krijg je een ideale dekking; pas als iemand de nooddiensten opbelt, snelt de dichtstbijzijnde wagen ter hulp.

Wetenschapper Rob Van der Mei werkt bij het Centrum Wiskunde & Informatica (Amsterdam) en leidt het project.

Hij gebruikt de zogeheten ‘blokkeringsformule’ van de Deense wiskundige Agner Erlang uit … 1909! Van der Mei: “Die formule vertelt je bv. hoeveel ambulances nodig zijn, maar je kunt er ook allerlei andere dingen mee uitrekenen, zoals hoeveel parkeerplaatsen of zendmasten je nodig hebt. De formule is oorspronkelijk ontwikkeld voor telefoonlijnen, waaraan rond 1900 allerlei technische beperkingen waren verbonden. Het algoritme moest ervoor zorgen dat zo weinig mogelijk telefoonlijnen tegelijk bezet waren. Het feit dat je een aloude formule op allerlei terreinen kunt gebruiken, bewijst dat wiskunde tijdloos is.”

In het project met de ziekenwagens berekent de Erlang-

25 B-formule hoe groot de kans is dat alle beschikbare ambulances in een bepaalde regio bezet zijn. Als die kans heel groot is, dan zou je in theorie meer ambulances willen hebben voor dat gebied.

Als de kans erg klein is, dan zijn er voldoende ambulances aanwezig. Van der Mei: “In werkelijkheid is de situatie veel complexer, en niet met een simpele formule op te lossen. De formule kijkt naar het aantal telefoontjes dat per uur gepleegd wordt om een ambulance op te roepen, het aantal beschikbare wagens, de tijd die ambulances

Blindelings wiskunde De taal van de wiskunde is dagelijkse kost voor Vector lezers maar de vele speciale tekens zijn vaak een moeilijk te omzeilen obstakel voor blinden met wiskundige ambities. Dat ondervond de vrijwel volledig blinde Larissa Klaassen uit Texel (NoordHolland). Voor blinden is een screenreader onontbeerlijk: dat is een extern softwareprogramma dat de tekst voor-

gebruiken om hun taak uit te voeren. In de pilot worden proactief ambulances verplaatst op het moment dat er ergens een lage dekking is of dreigt te komen op een deel van de testregio.” Hiervoor ontwikkelde het CWI een algoritme om de verplaatsingen te optimaliseren.

Of het werkt, weet de wiskundige nu nog niet zeker. “Het is veelbelovend, maar moet nog worden uitgetest. Vooraf is veel getest met simulatiestudies en de formule is constant in ontwikkeling, want de ene regio is de andere

leest van andere software (bv. een webbrowser, je mails, een tekstverwerkingsprogramma …). Als eerstejaarsstudent informatica moest Larissa twee wiskundige vakken volgen, maar de meeste speciale tekens kon haar reader niet lezen (zo’n reader kan ‘slechts’ 256 tekens aan).

Ze bleef niet bij de pakken zitten en zocht met docenten naar een oplossing. Via professoren uit het buitenland kwam ze te weten dat

niet. Nu moet blijken of het werkt in de praktijk, zowel in grote als kleine steden.” Per regio kijkt men naar factoren als aantal inwoners, waar het grootste aantal mensen wonen en werken, incidenten in het verleden en andere variabelen zoals evenementen.

“In de toekomst zal ons model misschien zelfs het weer toevoegen als factor”, vertelt Van der Mei nog.

blinden over de grens met hetzelfde probleem kampten. Toen zocht ze zelf maar uit hoe de screenreader precies werkt en vond ze uiteindelijk een manier om die aan te passen en extra tekens toe te voegen. Dankzij haar applicatie kan de reader nu dubbel zoveel tekens aan; zo had ze al snel een veertigtal symbolen kunnen toevoegen en kon ze haar eerste jaar informatica met glans doorstaan. Ook in braille waren hier trouwens nog geen tekens voor en daar bedacht ze ook een oplossing voor.

zonder daarvoor betaald te worden, ze was al tevreden dat ze haar twee vakken kon voltooien en haar studies kon voortzetten. Maar ze won ook de Publieksprijs van de Hogeschool van Amsterdam en werd door het vrouwentijdschrift Viva in de bloemetjes gezet met een award. Ook is ze met onderzoekers uit Duitsland en de VS nog bezig wiskunde meer toegankelijk te maken voor blinden.

De bal ging zo aan het rollen voor Larissa. De producent van ’s werelds meest gebruikte screenreader vroeg of hij de tekens mocht toevoegen. Larissa zei ja,

(bron: nieuws.nl)

Haar studies combineert ze trouwens met een wielercarrière: ze werd al Nederlands kampioene tandemwielrennen en mikt nu op de Paralympics in Rio. Op onze steun kan ze alvast rekenen. (bron: Noordhollands Dagblad)

Leestips

Het onderwijsdebat In april vorig jaar verscheen bij uitgeverij EPO het boek Het onderwijsdebat Waarom de hervorming van het secundair broodnodig is. Vijf maanden later kreeg het boek al een tweede druk. Het boek is geschreven door vier onderwijskundigen van de vier grote Vlaamse universiteiten. De titel dekt ook lading: het snijdt het onderwijsdebat aan, stelt de vragen die ertoe doen en levert ook een reeks mogelijke antwoorden aan. Zoals vermeld staat in het nieuwe voorwoord: het masterplan van regering-Peeters II zag uiteindelijk wel het levenslicht, maar de uitvoering ervan is een andere zaak. Er ligt dus nog brood op de plank van de opvolgers.

Het boek zelf blijft brandend actueel.

Geen wiskundeweetjes noch mathematische zekerheden dus, maar als leraar moet u toch wel enige gezonde nieuwsgierigheid voor dit onderwerp hebben.

Auteur: Ides Nicaise, Bram Spruyt, Mieke Van Houtte, Dimokritos Kavadias Uitgeverij: EPO ISBN: 978 94 9129 763 2 Prijs: € 24,90

vector

26

Logica, een aansporing tot denken Jean-Paul Delahaye gaat met logica aan de slag, en als je je denkniveau in de ‘abstract’-modus plaatst, dan zul je wellicht helemaal opgaan in dit boek.

De auteur voert verschillende wiskundegrootheden ten tonele, zoals Gödel, Turing, Riemann … en schuwt geen abstract klinkende hoofdstukken als Is wiskundige oneindigheid paradoxaal?

Toch slaagt hij erin om de aandacht van de lezer te behouden, en dat doet hij onder andere met interessante logicaweetjes. Wat heeft het spel steen-papier-schaar met logica te maken? Wat moeten we ons voorstellen bij racende getallen? Hoe zit piramideoplichterij precies in elkaar? Logica heeft in de laatste twee eeuwen een ongelooflijke evolutie doorgemaakt, die de auteur in dit boek uit de doeken probeert te doen.

Auteur: Jean-Paul Delahaye Uitgeverij: Veen Media ISBN: 978 90 8571 460 6 Prijs: € 42,50

Wiskunde Dit boek is nummer 14 van de reeks Elementaire Deeltjes, van de Amsterdam University Press. Dat zijn boekjes die als doel hebben kennis toegankelijk te maken voor een breed publiek. Elk boekje biedt zo’n 150 bladzijden over een bepaald onderwerp; daarin staat een prettig leesbare tekst die een goed onderbouwde, wetenschappelijke inhoud verwoordt. Sommige van die boeken zijn geschreven door Nederlandse experts, andere zijn dan vertaald uit het Engels (uit de reeks Very Short Introductions van Oxford University Press).

Dit boek is zo’n vertaling. En Timothy Gowers is niet de eerste de beste; hij werkt aan de Cambridge University en won al een Fieldsmedaille. In dit boek gidst Gowers je door wiskundeland met tal van praktische toepassingen en vlot geschreven verhalen. Dit boekje, want het blijft een pocket, biedt geen hapklare lessuggesties of didactische tips, maar het zal je blik op wiskunde wel verruimen en prikkelen.

Auteur: Timothy Gowers Uitgeverij: Amsterdam University Press ISBN: 978 90 8964 813 6 Prijs: € 9,95

WEDSTRIJD

VRAAG Zin gekregen om te lezen? U kunt deze drie boeken winnen!

Waag uw kans en stuur voor 30 april 2015 uw antwoord op onderstaande vraag naar vector@diekeure.be.

Parkeren was dankzij de vele leegstaande plaatsen een makkie voor de bestuurder van deze auto, maar weet je ook op welk nummer hij zijn wagen stalde?

16

Kent u T3 Vlaanderen al?

De kans is groot dat u sinds 1998 als wiskundeleerkracht een T3-nascholing hebt bijgewoond. T3 Vlaanderen, een educatief netwerk, staat voor Teachers Teaching with Technology™ en is een samenwerkingsproject tussen KU Leuven Research & Development en Texas Instruments.

Het team van T3 Vlaanderen bestaat uit ervaren leden die les geven in het secundair onderwijs of aan de universiteit of hogeschool en staat onder het voorzitterschap van de Specifieke Lerarenopleiding Wiskunde van de KU Leuven.

T3 Vlaanderen verzorgt nascholingen en ontwikkelt cahiers voor het wiskundeonderwijs en wetenschappenonderwijs (fysica, biologie en chemie). Die cahiers staan vrij ter beschikking op www.t3vlaanderen.be. Heel wat nascholingen voor de 2e en 3e graad en voor het hoger onderwijs, zijn gebaseerd op de T3 cahiers.

T3 focust op de didactische meerwaarde van ICT in het leren en doceren van wiskunde en wetenschappen. Er wordt niet

06

68

88

98

enkel gewerkt met grafische rekentoestellen, maar ook met dynamische computeralgebra en met sensoren voor het opmeten van data bij wetenschappelijke experimenten.

Naast nascholingen in nascholingscentra en op congressen verzorgen we ook nascholingen op aanvraag van scholen en scholengemeenschappen. Ook is projectbegeleiding met ICT mogelijk voor leerkrachten in een onderzoeksproject gekoppeld aan onderzoekscompetenties.

Voor de syllabi en bestanden van de vorige nascholingen en symposia, en voor de aanvraag van een projectbegeleiding of specifieke nascholing, kunt u terecht op www.t3vlaanderen.be.

Dit jaar organiseren we ons 18e T3-symposium op 24 en 25 augustus 2015.

Studenten van een lerarenopleiding kunnen hier gratis aan deelnemen!

Meer informatie volgt op www.t3vlaanderen.be!

vector