NOVEMBER 2014 NUMMER 17
vector TIJDSCHRIFT voor wiskundeonderwijs
educatieve uitgaven
17
2
vector
VOORWOORD
INHOUD
Beste wiskundeliefhebber,
3 5 7 9
Kent u deze handige apps al? I nterview met Ingrid Daubechies et NUM'ART-project van H Luc Janus I k studeer wiskunde en ik word …
12 Het grensgetal 0,639578175… 16 Faits divers 19 Kijktip 20 Leestips
COLOFON
Blij u terug te zien! De laatste editie van Vector dateert alweer van maart 2013. Met deze kraakverse uitgave nemen we de draad weer op, zodat u opnieuw op tijd en stond een mooie portie wiskundenieuws van ons mag verwachten. Net als de vorige edities brengt Vector jullie de gekende cocktail van boeiende artikels en dito wiskundeweetjes. Zo stelden we enkele originele vragen aan Ingrid Daubechies, een vermaard wiskundige die werkzaam is in de VS. Luc Gheysens vertelt ons dan weer over het project NUM’ART, een wiskundig-artistiek project dat bloggewijs gevolgd kan worden. Björn Carreyn geeft u ook een onmisbaar overzicht van handige apps mee die een toegevoegde waarde bieden aan de wiskundelessen. We brengen een niet te missen artikel over (on)bewijsbaarheid, geschreven door Dirk Huylebrouck (een van de sprekers op het komende wiskundecongres trouwens) in samenwerking met Andreas Weiermann. Afsluiten doen we met de gekende faits divers en kijk- en leestips. Mogen wij u ook nog warm maken voor een nieuwe editie van het grootse wiskundecongres, dat volgend jaar zal plaatsvinden op pi-dag? Het belooft weer een razend interessante dag te worden, gevuld met workshops en afgesloten met een luchtig wiskundig toetje. Hou uw mailbox in de gaten, want eerstdaags krijgt u van ons een mailtje met alle details. Vergeet 14 maart alvast niet te blokkeren in uw agenda. Wij kijken er al reikhalzend naar uit en hopen van u hetzelfde! Veel leesplezier en tot op pi-dag!
Vector - Zevende jaargang - nummer 17 Redactie Tom Harteel Vector - Kleine Pathoekeweg 3 8000 Brugge - vector@diekeure.be
PS: de posters die u bij deze Vector terugvindt, horen bij de VBTL-kalender die wellicht in uw klas pronkt … Zo kunt u de tijdslijn aanvullen en verfraaien. Hou de volgende Vector in de gaten voor meer posters!
Externe auteurs die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met de redactie. Vector Vector is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in België. Voor het buitenland betaal je e 5. Verantwoordelijke uitgever Els Putzeys Kleine Pathoekeweg 3 - 8000 Brugge
Zin in een mooie portie wiskundig leesvoer? Blader dan snel door naar pagina 24, waar je een stapel boeken kunt winnen!
Review
3
Kent u deze handige apps al? perfect een pak functionaliteiten van de grafische rekenmachine en is bovendien gratis.
Calculator Dit is een van de betere apps als rekentoestel. De breuken en vierkantswortels worden er mooi weergegeven. Er zijn twee versies van deze app: een gratis versie en een betalende versie. In de
Maak een wiskundig wonder van uw tablet In 2013 steeg de tabletverkoop in België met zo’n 65% en ook in 2014 zit er een stijging aan te komen, hoewel wellicht minder sterk. In elk geval zijn tablets vandaag de dag ‘incontournable’ geworden, ook in het onderwijs. Tussen de talloze apps die de markt overspoelen, zijn er zeker meerdere de moeite waard voor de lessen wiskunde, zowel voor leerling als leraar. Een greep uit het aanbod. Tekst: Björn Carreyn
Desmos Met de app Desmos kunnen de leerlingen grafieken van wiskundige verbanden laten tekenen, waardetabel-
betalende versie zijn er verschillende modules actief, waaronder de wetenschappelijke rekenmachine, de module statistiek, complexe getallen, computeralgebra, matrices en vectoren …
GeoGebra
len opstellen, gebruikmaken van schuifknoppen en parameters, afbeeldingen toevoegen … Door de laagdrempeligheid van de app kan die uitstekend gebruikt worden bij onderzoeksopdrachten en kunnen de leerlingen zelf wiskunde ontdekken, ook in wiskundig zwakke richtingen! De app vervangt
GeoGebra is de app bij uitstek om aan vlakke meetkunde te doen. De app bevat voorlopig minder functionaliteiten dan de versie voor op de computer, maar dat hoeft geen probleem te zijn, integendeel. Leerlingen zijn er onmiddellijk mee weg. Je kunt ook op een eenvoudige manier gebruikmaken van applets via de zoekfunctie (je hebt toegang tot GeoGebraTube).
4 HANDIGE APPS
Educreations Met Educreations kunnen de leerlingen screencasten. Dit biedt een pak meer mogelijkheden dan een digitaal bord! Ze kunnen hun eigen lesvideo maken, een stukje theorie uitleggen, een bewijs opstellen, hun redenering bij het oplossen van een probleem verduidelijken … Deze app heeft absoluut een hoog leerrendement!
leerlingen. De tool om deze oefeningen te maken is zowel downloadbaar voor Mac als voor pc. Met behulp van een eenvoudige defensie kunnen de leerlingen de oefeningen op de tablet maken in de daarvoor speciaal ontworpen app. De software biedt trouwens LaTeX ondersteuning, waardoor de wiskundeweergave prima is.
Deze app is een veel beter alternatief dan wat we tot nu toe kennen voor interactieve oefeningen! Er zijn widgets om je rekenvaardigheid te oefenen, je kunt werken met parameters bij grafieken, rekenbladen, meerkeuzevragen, je vindt er ook quizmogelijkheden … Meer info vind je op: http://www.bookwidgets.com
Bookwidgets Deze app is echt onmisbaar in de lessen wiskunde. Als leraar kun je heel wat digitale oefeningen aanbieden voor jouw
Keynote
iCrosss
Numbers
Calculator++ Fx
Interactieve ruimtemeetkunde
beschrijvende statistiek
doorsneden ruimtemeetkunde
rekenmachine
Polynom Mathsolver -
PhotoMath
Algebra Touch
Quick Maths
scan algebra
algebraïsch rekenen
algebraïsch rekenen
vector
oefenrekenvaardigheid
Interview
5 Welk personage uit de literatuur zou u aanwerven als onderzoeker in uw groep, en waarom? Mma Precious Ramotswe. Omdat ze zorgvuldig nadenkt, ongebruikelijke oplossingen verzint en niet bij de pakken blijft neerzitten. Vanwege haar menselijkheid ook. (Ramotswe runt The No. 1 Ladies’ Detective Agency in Gabarone en is het hoofdpersonage in de misdaadromans van Alexander McCall Smith, red.)
Wat is uw grootste frustratie? Dat persoonlijke problemen nooit opgelost blijven.
Welke studierichting had u gekozen als u geen wiskundige was geworden?
Ingrid Daubechies Ingrid Daubechies (Houthalen, 1954) is een wereldvermaard wiskundige. Ze doceert aan de Duke University in de VS en is gespecialiseerd in wavelettransformatie, een wiskundige techniek die uit schijnbaar chaotische informatie toch een patroon kan destilleren.
Ik héb geen wiskunde gestudeerd, maar natuurkunde, en tijdens mijn middelbareschooljaren dacht ik altijd dat ik ingenieur zou worden. Maar kunst, vooral keramiek, trekt me ook aan – als ik er genoeg talent voor had gehad om er mijn brood mee te kunnen verdienen, had ik dat ook best willen doen.
Waarom is wiskunde zo moeilijk? Op die vraag zijn meerdere antwoorden denkbaar. 1. Wiskunde is niet moeilijk: we doen allemaal aan wiskunde en vaak met veel plezier. Denk maar aan puzzels oplossen of bedenken dat de redenering die het juiste antwoord geeft voor vraag A dat ook doet voor vraag B, al is dat dan in een ander kader. 2. Wiskundeonderwijs kan worden herleid tot het aanleren van regeltjes die je toestaan vraagstukken op te lossen zonder dat ze je inzicht bijbrengen –
6
alsof je poëzie zou moeten leren waarderen door enkel rijmschema’s te bestuderen. Krijg je wiskunde aangeleerd op die manier, dan is het vervelend en onmogelijk te onthouden. 3. Wiskunde op topniveau is erg abstract en vereist een heleboel voorkennis. Dus kan het moeilijk zijn om precies uit te leggen wat nu juist de nieuwste bijdrage is aan iemand die niet die voorkennis heeft.
U bent de enige wetenschapper op een feestje. Hoe legt u uit wat u doet voor de kost? Ik praat over toepassingen waaraan ik heb gewerkt: computertechnieken waarmee valse van echte Van Goghs zijn te onderscheiden, manieren om medisch beeldmateriaal te compacteren zonder kwaliteitsverlies, zodat het efficiënter kan worden opgeslagen en verstuurd.
Door een hapering in de aardrotatie duurt een dag voortaan vijfentwintig uur. Waaraan besteedt u de extra tijd? Mijn correspondentieachterstand inhalen! Daar ben ik wel een paar jaar mee zoet, met slechts één extra uurtje per dag.
vector
Men heeft u net (in vertrouwen) verteld dat morgen de wereld vergaat. Wat doet u nog? Met mijn kinderen praten, een goed glas wijn in de hand. Zou het pas over een paar jaar zijn, dan hopelijk ook met mijn kleinkinderen erbij.
Ingrid Daubechies studeerde fysica aan de VUB en behaalde er ook haar doctoraat. Ze bleef er werkzaam als assistent-onderzoeker maar zette haar carrière begin jaren 90 voort in de VS, eerst in Princeton, daarna ook aan de Duke University. Ze was de afgelopen vier jaar voorzitster van de International Mathematical Union. Ze is de bedenker van Wiskunnend Wiskunde, de wedstrijd
Welk boek ligt momenteel op uw nachtkastje? Major Pettigrew’s Last Stand, door Helen Simonson.
De gastvrouw van een etentje heeft u een plaats toebedeeld naast God. Waarover zou u het hebben? Ik zou hem vragen wat hij van zijn hele schepping het leukst heeft gevonden, en waarom.
Bij welke beroemde wiskundige (levend of dood) had u in de leer willen gaan, en waarom? John von Neumann. Hij lijkt me zo’n interessante man te zijn geweest – een fantastisch wiskundige, maar tegelijk enorm veelzijdig.
Dit artikel verscheen eerder in De Standaard.
voor wiskundeknobbels uit het vijfde en zesde jaar secundair onderwijs. Die wedstrijd is al aan zijn vijfde editie toe (de komende finale vindt plaats op 20 maart 2015) en won in 2014 een jaarprijs wetenschapscommunicatie van de KVAB. Wil je zelf deelnemen met je klas of kijk je liever eens naar de vragen van de afgelopen jaren, surf dan naar www.wiskunnendwiske.be.
Online
7
Het NUM’ARTproject van Luc Janus NUM’ART is een wiskundigartistiek project waarin Luc Janus vanaf september 2014 elke maandag een getal in de kijker plaatst op het wiskundeblog www.gnomon.bloggen.be. Je verneemt er elke week een anekdote of enkele wetenswaardigheden die met een bepaald getal verbonden zijn. Ook de karakteristieke wiskundige eigenschappen van die getallen worden vermeld en af en toe is er een verwijzing naar een YouTubefilmpje.
Tekst: dr. Luc Gheysens, ere-pedagogiasch adviseur wiskunde
Lucky number 17 Bij elk nieuw getal dat op het blog wordt aangeboord, hoort een plaatje waarin een van de 17 mogelijke be-
hangpatronen of een rozetpatroon zorgt voor een kleurrijke illustratie. Hierbij worden symmetrieën, translaties, rotaties, lijnspiegelingen en glijspiegelingen toegepast. Het was de kristallograaf E.S. Fedorov die in 1891 al kon aantonen dat er precies 17 verschillende behangpatroongroepen zijn. Zijn artikel was echter in het Russisch geschreven en bleef daarom lang onbekend. Het werd in 1924 herontdekt door enkele eminente wiskundigen die meteen ook ontdekten dat onder andere in de Moorse paleizen in Andalusië deze 17 patronen opdoken in schitterende wanddecoraties. Hieronder is het logo van die Keure op vier van de 17 mogelijke manieren verwerkt in een behangpatroon (types: pmg, pgg, p4 en p6). Een bevattelijk artikel hierover is geschreven door Prof.
8 Jan van de Craats en is te vinden op https://staff.fnwi.uva. nl/j.vandecraats/SymIslam1.pdf . Daarin beschrijft hij elk type en hij vermeldt daarbij ook telkens de karakteristieke naam van de corresponderende symmetriegroep.
The Hills in Flanders Fields Bij wijze van voorbeeld vermelden we hier het rozetpatroon uit het Num’Art-project van Luc Janus met als titel The Hills in Flanders Fields. Daarbij verwijst hij naar de heuvels Hill 61 en Hill 62, die bekende plaatsen zijn in de WestVlaamse velden vanwege de rol die ze speelden tijdens de Eerste Wereldoorlog. Dit is meteen de aanleiding om enkele leuke eigenschappen van de getallen 61 en 62 in de kijker te plaatsen en hieraan ook twee uitdagende problemen te koppelen. 61 is een priemgetal dat met 59 een priemtweeling vormt. Vervang elke letter in ‘PRIEM’ door zijn positie in het alfabet en je bekomt 16 + 18 + 9 + 5 + 13 = 61.
61 = 52 + 62 = 32 + 42 + 62 61 = 312 – 302 62 = 12 + 52 + 62 = 22 + 32 + 72 Het totale aantal hoekpunten, ribben en zijvlakken van een dodecaëder (regelmatig twaalfvlak) is 20 + 30 + 12 = 62. En kan je ook deze twee problemen (die natuurlijk iets te maken hebben met de getallen 61 en 62) oplossen? Beschouw de rij 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, ... waarin het n-de positief geheel getal precies n keer voorkomt. Welk getal staat in deze rij op positie 1879 (het geboortejaar van A. Einstein)? De onderstaande rechthoek is onderverdeeld in negen rechthoeken en in elke gekleurde rechthoek staat de omtrek ervan vermeld. Hoeveel bedraagt dan de omtrek van de grote rechthoek?
NUM’ART
Zin in meer getallenweetjes? Elke maandag ontdek je weer de eigenschappen van een ander getal op www.gnomon.bloggen.be.
vector
Uitblinker
9
Ik studeer wiskunde en ik word …
Bekendheden waarvan u de wiskundige achtergrond wellicht niet vermoedde Wat zou u doen als u geen … geworden was? Het is een klassieker die elke bekende zanger, acteur, kok of bv wellicht al meermaals voorgeschoteld kreeg. ‘Wiskundige!’, dat zou nog eens een antwoord zijn, en dan nog van die beroemdheid waarvan je het het minst verwachtte. Om aan te tonen dat je met een wiskundediploma heeeeel breed kunt gaan, sommen we voor u enkele beroemdheden op van wie het leven in het teken van de wiskunde had gestaan als hun andere talent niet de kop had opgestoken …
2014 nog een van de headliners op het Cactus Festival in Brugge. Zijn eerste album kwam uit toen hij nog volop bezig was met zijn doctoraat in de … wiskunde! Dat werkte hij netjes af in Londen in 2005, maar muzieknoten en optredens kregen sindsdien voorrang op pakweg cijfers en formules. Hij is zeker niet de enige uit het muziekwereldje die wiskunderoots heeft. Zo onderbrak Brian May 2 zijn doctoraat toen zijn job als gitarist van Queen te veel tijd in beslag nam. In 2007 echter keerde hij terug naar Londen om alsnog af te studeren. In tegenstelling tot May slaagde colle-
ga Art Garfunkel 3 er wel in om studie en muziek te combineren. Hij haalde in de jaren 60 in Columbia zijn doctoraat toen hij al volop was doorgebroken als duo met Paul Simon. En ook Coldplay 4 telt een wiskundige in zijn rangen: vier leden, goed voor evenveel universitaire diploma’s, doet u een gokje wie de wiskundeknobbel is?
Van Dracula tot Alice in Wonderland
Literatuur en wiskunde, u vindt enkele aanraders van deze mooie combinatie op pagina 20, maar om u warm te maken geven 3
2 1
Streepje muziek
Aanleiding voor dit artikel was een online interview met Caribou 1 , een pseudoniem van de Canadees Dan Snaith. Hij combineert elektronische muziek met indierock en jazz en was in
4
10 5
8
12
6
7 10
11
9
we al enkele grootheden mee waarvan u hun wiskundeverleden wellicht niet vermoedde. Achter pseudoniem Lewis Carroll 5 , de beroemde schrijver van Alice’s Adventures in Wonderland, schuilt Charles Lutwidge Dodgson, een wiskundige en logicus. Hij studeerde in Oxford en was er ook een tijdje lector; hij schreef een dozijn wiskundeboeken onder zijn echte naam, Dodgson dus, en specialiseerde zich onder meer in geometrie, lineaire algebra en logica. Voor zijn kinderboeken gebruikte hij wel steeds zijn bekender pseudoniem Lewis Carroll. Ook andere grootheden als de Ier Bram Stoker 6 (Dracula) en Nobelprijswinnaar Alexandr Solzjenitsyn 7 (De Goelag Archipel) studeerden wiskunde. Meer recente auteurs met zo’n verleden werden niet gevonden …
Let me entertain you
Even naar Hollywood nu voor een portie entertainment, waar heel wat mooi volk een wiskundige studie wel begon, maar zelden afmaakte. Teri Hatcher 8
vector
echter, die doorbrak als Lois Lane in de serie Lois & Clark, is hier de uitzondering op. Hatcher, recenter nog een vaste waarde in de succesreeks Desperate Housewives, had sowieso al goede genen met een kernfysicus/elektroingenieur als vader. Haar wiskundige studies in Cupertino (Californië) waren een logische keuze. Dat wiskundigen grappig kunnen zijn, bewijst de populaire Brit Dara O’Briain 9 , bekend van zijn stand-upcomedy en tv-programma’s als Have I Got News for You, en jawel, in het bezit van een diploma wiskunde (University College Dublin). Even interessant is de categorie ‘niet afgestudeerd maar wel ooit begonnen aan een wiskundige richting’: Cindy Crawford 10 , het best betaalde model van de jaren 90, legde haar studie engineering/wiskunde stil voor haar modellencarrière (dat kunnen we haar moeilijk kwalijk nemen). Wie ook bekendstaat in Hollywood om zijn
hoge IQ is James Woods 11 , met een indrukwekkend palmares rollen in films en series. Tussen zijn Golden Globe en verschillende Emmy Awards had een wiskundediploma niet misstaan in zijn prijzenkast, maar tijdens zijn studie kreeg hij de acteermicrobe te pakken. Mr. T 12 is dan weer een geval apart. Hij kreeg ooit een studiebeurs om wiskunde te gaan studeren, maar werd buitengesmeten na welgeteld één jaar; daarna koos hij voor het leger, en dan voor The A-Team ...
Een gezonde geest in een gezond lichaam
Hier moeten we u wat ontgoochelen, want we dachten dat we meer wiskundige sportlui zouden vinden. In de VS bemachtig je vaak al sportend een studiebeurs; dat was bijvoorbeeld het geval bij de onfortuinlijke Mr. T uit ons vorig hoofdstuk; hij kreeg een beurs dankzij American football. Jammer ook dat Michael Jordan 13 , een van de meest ronkende namen uit de basketwereld, besloot om na een jaar
11 14
Een veelzijdig en boeiend kaartspel!
13 15
Voor spelers vanaf 10 jaar. De Einsteincode speel je met 2, 3 of 4 spelers.
Prijs
wiskunde over te stappen naar aardrijkskunde. Behalve een eerder onbekende voetballer (Glen Johnson van Liverpool) valt hier niet meer te rapen. De eer wordt echter hoog gehouden door een vrouw: Virginia Wade 14 . Zij was tot 1986 actief op het tenniscourt. Ze schreef 7 grand slams op haar naam, waaronder 3 in het enkelspel; ze werd prof twee jaar nadat ze haar diploma wiskunde/fysica behaalde.
Wiskundige bv
Afsluiten doen we dichter bij huis met een bv avant la lettre. Armand Pien 15 , die in totaal 37 dienstjaren als weerman op de BRT/VRT verzamelde, ging na het behalen van zijn licentiaat wiskunde werken aan het KMI; aangezien hij er de enige Nederlandstalige medewerker was, was de beslissing snel gemaakt toen de BRT op zoek was naar een weerman … De rest is geschiedenis. Bedankt voor het kijken!
12,50 euro
Probeer de code van je medespelers te breken voor zij erin slagen om jouw code te ontdekken!
Waaruit bestaat het spel? - 36 kaarten met de cijfers van 1 tot 9 - 4 reeksen codekaarten met letters x, y, z en t (t verwijst naar de vierde dimensie ‘tijd’) - 2 Einsteinjokers
Hoe speel je het spel? Je kan het kaartspel veelzijdig gebruiken: getal- en letterspelletjes, wiskundige goocheltrucs en zoveel meer! Ontdek enkele voorbeelden op www.vbtl.be
Wil je het kaartspel kopen? Bestel via www.diekeure.be of mail je bestelling naar so@diekeure.be
educatieve uitgaven
pub_vector_einsteincode_2014.indd 1
6/11/14 14:57
12 BEWIJSBAAR OF NIET
Het grensgetal 0,639578175… IJs gaat over in water bij 0 °C. Zo’n faseovergang geldt ook voor een bepaalde wiskundige stelling over ‘boomvertakkingen’, want ze smelt van bewijsbaar naar onbewijsbaar bij de grens van 0,639578175...
In ijs treden bij 0 °C krakende boomstructuren op; een bepaalde wiskundige stelling smelt ook, bij 0,639578175…
Tekst: Andreas Weiermann (Faculteit Wetenschappen UGent) en Dirk Huylebrouck (Faculteit Architectuur KU Leuven)
vector
‘Kretenzers liegen’, zei de Kretenzer. De paradox van de liegende Kretenzers heeft iedereen vroeg of laat verrast, en niet het minst de wiskundigen. Zij kennen immers een soortgelijke paradox: hoe ziet de verzameling eruit die precies die verzamelingen bevat die niet zichzelf als element hebben. Bevat die verzameling dan zichzelf, of juist niet? De vraag is vergelijkbaar met een catalogus die alle catalogi zou bevatten die zichzelf niet opnemen in hun lijst: vermeldt die catalogus dan zichzelf of niet? De paradox over de verzamelingenleer dateert van 1908 en is van de Britse filosoof en Nobelprijswinnaar Bertrand Russell. Zijn werk werd mooi en erg begrijpelijk geïllustreerd in wat waarschijnlijk het beste wiskundige stripverhaal is, het boek Logicomix van Apostolos Doxiadis en Christos Papadimitriou. Maar zelfs na het lezen van Logicomix blijft de wiskundige met een vraag zitten: wat nu? Zijn die paradoxen alleen maar ‘woordgrapjes’, zoals met de liegende Kretenzer, of zijn het in het beste geval aardigheidjes waarmee filosofen boeken kunnen vullen, maar wetenschappers verder niets aan hebben? Godsdienstwetenschappers zaten alvast ernstig in de maag met de vergelijkbare kwestie ‘of God een steen kan maken die zo zwaar is dat de Almachtige hem zelf niet kan ophef-
Bertrand Russells zoektocht in een wiskundig stripverhaal fen’. Sommigen meenden daaruit af te kunnen leiden dat een Almachtige niet kon bestaan, want ofwel is God dan geen almachtige steenmaker, ofwel is hij geen almachtige gewichtheffer. Maar heeft ook een down-to-earth wiskundige iets aan dergelijke paradoxale toestanden?
Depressief door paradoxen
De Duitse wiskundige David Hilbert wordt gerekend bij de grootste wiskundigen uit de eerste helft van de 20e eeuw. Hij hield in 1900 een toespraak
Perspectief waarin hij de wiskundige uitdagingen voor de komende eeuw samenvatte en hij vroeg er onder andere naar een formalisering van de wiskunde, zodat er geen paradoxen konden optreden zoals met de zichzelf niet bevattende verzamelingen. De vraag bleek te optimistisch, want rond 1930 toonde de Oostenrijkse wiskundige Kurt Gödel aan dat een volledige formalisering van de wiskunde onmogelijk is. Volgens Gödel kan men met elementaire eindige methoden nooit bewijzen dat er geen paradoxen in de wiskunde zullen optreden. Meer nog, er zijn zelfs voorbeelden van ware uitspraken die in de rekenkunde niet bewijsbaar zijn (zie ‘Bewijsbaar in de rekenkunde’). Gödel construeerde in de taal van de rekenkunde een concreet voorbeeld van een zin die zijn eigen onbewijsbaarheid vooropstelt. Het resultaat leverde Kurt Gödel een vriendschap op met Albert Einstein, die onder andere naar Princeton trok om er met Gödel wandelingen te maken. Later bezorgde het Gödel een vermelding in de tophonderd van de belangrijkste personen van de twintigste eeuw
13 volgens Time Magazine. Maar heel wat wiskundigen werden alleen maar depressief van Gödels bevindingen. De Rus Vladimir Arnold schreef dat sommige wiskundigen zelfs enige tijd afzagen van hun vakgebied omdat zij door Gödel de zin niet meer inzagen van de wiskunde: als je zelfs in de wiskunde niet meer weet of iets waar is of niet, tja, is er dan nog hoop in dit leven? Anderen trokken de schouders op en deden toch maar rustig verder. Per slot van rekening, zo dachten ze, zijn Gödels constructies nogal formalistisch van aard, en bedoeld voor doorgewinterde logici. En, zo hoopten ze, één enkel mysterieus, fout liggend kiezelsteentje in de fundamenten van de wiskunde zal het grootse wiskundige bouwwerk niet in gevaar brengen.
Boomstructuren
Terwijl de mathematici met hun logische hoofd in de grond zaten, formuleerden de Britse wiskundige Jeff Paris en zijn Amerikaanse collega Harvey Friedman (zie kaderstukje) in de jaren
1970 ware en toch echte klassieke wiskundige uitspraken die niet bewijsbaar zijn in de gewone rekenkunde. Dat betekende een nieuwe schok, want Gödels kiezelsteentje bleek dus minstens te reiken tot de benedenverdieping van het wiskundige bouwwerk. Lezers die zich enige denkende inspanning willen getroosten, kunnen in de volgende paragrafen meegaan in Friedmans redenering. Beschouw de zogenoemde ‘eindige bomen’. Wiskundig is een eindige boom een eindige verzameling van knopen die met bogen verbonden zijn. Een boom heeft een wortel, en dat is intuïtief gezien gewoon de knoop die het laagst staat. Typisch voor een wiskundige boom is verder dat er voor een gegeven knoop precies één weg bestaat om naar de wortel te gaan. Er zijn dus geen takken die omhoog groeien en hogerop opnieuw samenvloeien. Een driehoek is bijvoorbeeld zeker geen boom. Boomstructuren (tree structures) zijn inderdaad typisch wiskundige studieobjecten. Ze vinden hun toepassingen in
Eindige bomen De boom links kan ‘ingebed’ worden in de middelste en in de rechtse boom, zoals aangegeven door de blauwe cirkels. De rode cirkels duiden de wortels aan van de bomen.
B1
B2
4 5 knopen knopen
B3 6 knopen
B4
B5
5 4 knopen knopen
B6
B7
9 knopen
8 knopen
B8
B9
B10
7 6 5 knopen knopen knopen
In dit voorbeeld is voor K = 3 het aantal knopen van de i-de boom niet groter dan 3 + 1 en de rij bomen is dus niet 3-chaotisch. Maar voor M = 10 bestaan er geen getallen m en n kleiner dan of gelijk aan M met m < n waarbij Bm inbedbaar is in een Bn.
14 computerwetenschappen, omdat elke vertakking gezien kan worden als een logische keuze bij het programmeren, of in de scheikunde, waarin de knopen voor moleculen staan en de streepjes voor hun chemische bindingen. Ze komen ook voor in de studie van elektrische circuits. Wiskundigen kunnen er druk mee rekenen, als bepaalde voorwaarden worden opgelegd en ze zich afvragen hoeveel mogelijkheden er dan zijn. Die ‘echte’ wiskunde verschilt zichtbaar van de meer filosofische beschouwingen over liegende Kretenzers of catalogi die zichzelf niet vermelden, maar toch treden ook hier logische moeilijkheden op. Een boom is ‘inbedbaar’ in een tweede boom als er een voorschrift bestaat dat de knopen van de eerste boom naar de knopen van de tweede boom afbeeldt en dat de boomstructuur van de eerste boom bewaart (wiskundig heet dat een ‘injectieve infimum-bewarende afbeelding’). We beschouwen ook rijen van bomen en noteren die met B1, B2, ..., BM. Zo’n rij noemen we ‘niet-K-chaotisch’ als voor een gegeven getal K het aantal knopen van de i-de boom hoogstens K + i is. Bijvoorbeeld, als men K = 3 neemt, dan mag het aantal knopen van de eerste boom hoogstens 4 zijn, van de tweede boom hoogstens 5, van de derde hoogstens 6 enzovoort.
De bewuste (in de rekenkunde) onaantoonbare uitspraak van Friedman luidt nu als volgt: is er een getal K gegeven, dan bestaat er een getal M groot genoeg zodat een willekeurige nietK-chaotische rij bomen B1, B2, ..., BM steeds toelaat om twee getallen m en n kleiner dan of gelijk aan M te nemen, waarbij m kleiner is dan n en de m-de boom kan worden ingebed in de n-de boom. Friedmans uitspraak wordt in de literatuur afgekort tot FFF, wat staat voor ‘Friedman’s Finite Form’.
Harvey M. Friedman
Harvey M. Friedman haalde het Guinness Book of World Records toen
De waarheidsgrens
We gebruiken nu voor de niet-Kchaotische rij bomen B1, B2, ..., BM niet
(UGent, foto Hilde Christiaens)
vector
Merkwaardig is dat Friedmans uitspraak zich niet eenvoudig laat bewijzen, en daarvoor zelfs een oneindigheidsbegrip nodig is dat ‘de aftelbare oneindigheid’ van het ‘oneindige aantal’ getallen 1, 2, 3, 4, … overstijgt. Een voorbeeld van zo’n ‘aantal’ is het ‘oneindige aantal’ kommagetallen zoals 0,111…, 0,123…, 3,141…, 0,0101…, en dat zijn er inderdaad oneindig veel meer. Friedmans uitspraak is met andere woorden zeker niet ‘bewijsbaar in de rekenkunde’. Dat is des te merkwaardiger omdat ze gaat over ogenschijnlijk eenvoudige boompjes en niet over liegende Kretenzers.
K+i als bovengrens maar K+r·log2i. Hierbij is log2i de logaritme met basis 2 van i, zodat bijvoorbeeld log2 2 = 1, log2 4 = 2, log2 8 = 3, enzovoort, want, respectievelijk, 2 = 21, 4 = 22 en 8 = 23. Log2i is met andere woorden de macht van 2 die in een getal verscholen zit. Soms valt dat moeilijk te bepalen. Zo is log25 = 2,3219… Gelukkig hebben we tegenwoordig een rekenmachine, en dan volgt log2 5 uit log5 / log2 en het toetsje ‘log’ op elke zichzelf respecterende zakrekenmachine. Bijgevolg, als bijvoorbeeld K = 3 en r = 4, dan is K + r · log2i gelijk aan 3 + 4 · log2i en wordt de bovengrens voor de tweede boom 7, voor de vierde boom 11, voor de achtste boom 15 enzovoort. Of nog: als K = 3 en r = ½, dan is K + r · log2i gelijk aan 3 + ½ · log2i en wordt de bovengrens voor de tweede boom 3,5, voor de vierde boom 4, voor de achtste boom 4,5 enzovoort. Omdat er geen halve bomen zijn, wordt de uitspraak ‘het aantal knopen van de tweede boom is niet groter dan 3,5’ bijgevolg ‘het aantal is kleiner dan of gelijk aan 3’. Friedmans hypothese voor een dergelijke waarde r wordt dan met FFFr aangeduid. In 1985 konden Jirí Matoušek en Martin Loebl aantonen dat FFF4, Friedmans uitspraak voor r = 4, niet bewijsbaar is in de rekenkunde, maar
hij op 18-jarige leeftijd als jongste professor ooit benoemd werd aan de prestigieuze Stanford University. Later werd hij professor in de wiskunde, informatica, wijsbegeerte en zelfs in muziek, aan de Ohio State Universiteit. In 2013 verkreeg hij van de UGent een eredoctoraat voor zijn baanbrekend onderzoek in de wiskunde. Op de foto staat Harvey Friedman uiterst rechts, omringd door rectoren en prominenten, waaronder Etienne Vermeersch.
Perspectief
15
Bewijsbaar in de rekenkunde Algemene axioma’s 0 en 1 bestaan 0 ≠ m+ 1 voor alle m m+ 1 = n + 1 ⇒m=n
Axioma’s van de optelling m + (n + 1) = (m + n) + 1
m · (n + 1) = (m · n) + m
m+0=m
m·0=0
De axioma's van de rekenkunde zijn de rekenregels zoals iedereen die in het lager en secundair onderwijs geleerd heeft. Met behulp van deze axioma's kan men eigenschappen van natuurlijke getallen bewijzen, zoals, zeg maar, 2 · 2 = 4. Bovendien heeft de rekenkunde nog een bewijsprincipe dat ‘inductie’ wordt
FFF½ wel. Lange tijd was het een open vraag voor welke waarde van r de overgang van bewijsbaar naar onbewijsbaar plaatsvond. Dat stond bekend als de vraag naar de ‘faseovergang’, vergelijkbaar met ijs dat in water verandert. Voor ijs is dat natuurlijk bij 0 °C, maar de gelijkaardige waarde van r in het geval van de bewijsbaarheid van de bomenstelling bleef uit. Het werd een gangbare uitdrukking om de vraag te stellen naar de vooruitgang in de studie van de faseovergang van de bewijsbaarheid van stellingen.
genoemd: als een (in de rekenkunde beschrijfbare) verzameling S het getal 0 bevat en voor elk getal m ook het getal m + 1, dan bevat S alle getallen. Met deze axioma’s kunnen zo goed als alle beweringen over eindige objecten in dit stelsel worden bewezen. Ze heten dan ‘bewijsbaar in de rekenkunde’.
Precies daarover gaf de Duitse wiskundige Andreas Weiermann, die verbonden is aan de Universiteit Gent, in het jaar 2000 uitsluitsel dankzij technieken uit de geavanceerde analytische combinatoriek. Hij vond een mysterieus grensgetal, 0,639578175… Weiermann toonde aan dat Friedmans uitspraak bewijsbaar is in de rekenkunde als r kleiner dan of gelijk is aan zijn getal, en onbewijsbaar in de rekenkunde als r strikt groter is dan dat getal. Wel weet Weiermann (nog) niet waar zijn getal dan voor staat: is het een breuk of een uitdrukking in pi, of bevat het het getal van Euler, e? Het maakt zijn vondst
Andreas Weiermann De Duitse wiskundige Andreas Weiermann werd geboren in Borghorst, Duitsland. Hij studeerde wiskunde en in het bijzonder wiskundige logica in Münster, waar hij zijn doctoraat behaalde in 1990. Hij kreeg een prestigieuze Heisenbergbeurs, werd gastprofessor in Utrecht en ging daarna naar de UGent, waar hij in 2010 benoemd werd tot hoogleraar in logica en de wiskundige informatica.
Axioma’s van de vermenigvuldiging
nog mysterieuzer en misschien zal het getal wel de geschiedenis ingaan als ‘het getal van Weiermann’. In dat geval is de Universiteit Gent een getal rijker, zodat wiskundigen voortaan, als ze het onbewijsbare bespreken, niet meer denken aan leugenaars op Kreta, maar aan België, waar gelogen kan worden vanaf 0,639578175…
Dit artikel verscheen eerder in het novembernummer van het wetenschapsblad EOS.
8 Hij is een gedreven schaker, die ook puzzels publiceerde. Meet u zich eens aan hem met de hierbij gegeven puzzel: wit is aan zet, en er volgt mat in twee zetten (referentie: Deutsche Schachzeitung 10 (1980), p. 351). Zijn bewondering voor de wiskundige eigenschappen van boomstructuren gaat zo ver dat hij er zelfs heuse schilderijen over maakt.
7 6 5 4 3 2 1 a
b
c
d
e
f
g
h
16
Fieldsmedaille voor het eerst naar vrouw
Vlaamse Sterrenkunde Olympiade De Vlaamse Sterrenkunde Olympiade, een wedstrijd bedoeld om de interesse in sterrenkunde bij jongeren te stimuleren, begint stilaan een traditie te worden. De wedstrijd richt zich hoofdzakelijk tot leerlingen van de derde graad secundair onderwijs die een gezonde interesse hebben voor sterrenkunde en aanverwante wetenschappen, of gewoon graag een leuke uitdaging willen aangaan. De Vlaamse Sterrenkunde Olympiade is een samenwerking van de Vereniging Voor Sterrenkunde, de Jongerenvereniging Voor Sterrenkunde, de KU Leuven, de Universiteit Gent en de Vrije Universiteit Brussel. De wedstrijd bestaat uit een voorronde en een finale. In de voorronde krijgen de leerlingen een lijst open vragen voorgeschoteld over sterrenkundige onderwerpen. Daarbij kunnen ze hun kennis over aardrijkskunde, fysica,
vector
chemie, biologie en wiskunde op een leuke manier toepassen om zelf de werking van het heelal te ontdekken! De deelnemers lossen die vragen thuis op hun eigen tempo op en mogen daarbij gebruikmaken van alle hulpmiddelen die ze nuttig achten. Vijf gelukkigen worden dan uitgenodigd om deel te nemen aan de finale, waar ze een nieuwe opdracht voorgeschoteld krijgen. In 2014 was Bart Wijns uit Duffel de eindwinnaar; Jochim Maene (Veurne) en Alexander Baumgartner (Kortenberg) werden respectievelijk tweede en derde. De prijzen zijn ook niet min, met als klapper een waarnemingssessie met de Mercatortelescoop op La Palma (Spanje), inclusief reis en verblijf. Is de interesse gewekt en wilt u die doorgeven aan leerlingen uit uw klas, surf dan naar www.sterrenkundeolympiade.be.
De Fieldsmedaille, of zeg maar gerust de Nobelprijs voor de wiskunde, wordt om de vier jaar uitgereikt, en dat aan twee tot vier topwiskundigen. Sinds het ontstaan in de jaren dertig ging de prijs nooit naar een vrouw, maar bij de laatste editie viel dan toch de primeur: Maryam Mirzakhani, een Iraanse die als hoogleraar in de VS werkt, was een van de vier wiskundigen die deze prijs in ontvangst mocht nemen. Na haar universitaire studies in Teheran promoveerde Mirzakhani aan de universiteit van Harvard. Sinds 2008 is ze werkzaam als hoogleraar in Stanford (Californië). Ze werd al als tiener bekend in eigen land toen ze op de Internationale Wiskunde Olympiade van 1994 en 1995 een gouden medaille won. Met deze Fieldsmedaille krijgt ze erkenning voor haar werk in de complexefunctietheorie, in het bijzonder rond het Riemannoppervlak. Professor Dame Frances Kirwan, een lid van de selectiecommissie van deze prijs, wijst erop dat vrouwen al eeuwenlang belangrijke bijdragen aan de wiskunde hebben geleverd, hoewel het traditioneel als een mannenbastion wordt gezien. Ze hoopt dat deze prijs meisjes en jonge vrouwen inspireert om in hun eigen kunnen te geloven. Behalve Mirzakhani wonnen ook nog de Fransman Artur Avila, de Amerikaan Manjul Bhargava en de Oostenrijker Martin Hairer. Met de prijs is een bedrag gemoeid van zo’n 10 000 euro. (bron: www.nieuwsblad.be)
Faits divers Ada Lovelace Day Elk jaar wordt midden oktober Ada Lovelace Day gehouden, dit jaar viel die op 14 oktober. Dit Britse initiatief wil zo alle vrouwen in de wetenschapswereld, nog al te vaak een mannenbastion, een warm hart toedragen. Op Ada Lovelace Day slaan mensen over de hele wereld aan het bloggen en schrijven ze een stukje over een vrouw uit de wetenschap, technologie, engineering of wiskunde die voor hen veel betekent. Een over-
17 zicht van alle blogs vind je dan terug op findingada.com. Het event gaat ook live in Groot-Brittannië, met een heus wetenschapsevent met een rits boeiende (vrouwelijke) sprekers. Dit initiatief wil op die manier nieuwe rolmodellen creëren voor meisjes en vrouwen die actief zijn in het zogenaamde STEM: science, technology, engineering & mathematics. Ada Lovelace (1815-1852) was een Britse wiskundige en wordt beschouwd als de eerste computerprogrammeur. Ze is de dochter van de beroemde dichter Lord Byron maar groeide op bij haar moeder, die Byron kort na de geboorte verliet. Ze werd door haar moeder snel in de richting van de
exacte wetenschappen gestuurd. Al op haar achttiende ontmoette ze Charles Babbage, de bedenker van de eerste mechanische, programmeerbare computer. Voor zijn ‘analytische machine’ beschreef Lovelace onder meer een algoritme waarmee zogenaamde Bernoulligetallen konden worden berekend. Omdat die berekening speciaal voor de computer geschreven werd, wordt dit algoritme ook wel het eerste computerprogramma genoemd. Wil je volgend jaar een wiskundige vrouw in de spotlights zetten, noteer dan alvast de volgende editie in de agenda, die vindt plaats op 13 oktober 2015.
De koning van de priemgetallen woont in Nederland In Dresden vond in oktober het wereldkampioenschap hoofdrekenen plaats. In de Oost-Duitse stad werd gerekend op een niveau dat hooguit enkele tientallen van de 7,1 miljard aardbewoners beheersen. Als ‘extraatje’ tussen de officiële rondes door betrad Willem Bouman, een 74-jarige gepensioneerde vertegenwoordiger uit Alphen aan den Rijn, het podium. De Britse rekenmeester Robert Fountain, een van de organisatoren van het WK, had hem gevraagd het huzarenstukje te herhalen dat de Duitse rekenaar Zacharias Dase in 1854 leverde. Het lukte Dase toen om het getal 278.353.657 te factoriseren in drie priemgetallen van drie cijfers. Fountain wist dat er maar één mens is die dat zou moeten kunnen, Willem Bouman dus. De Nederlander kreeg het getal 365.369.197 voorgeschoteld en moest
dus berekenen welke drie priemgetallen daaraan ten grondslag liggen. Hij kwam mooi uit op 719 × 547 × 929. Omdat er geen concurrentie was werd Bouman geen wereldkampioen genoemd, maar kreeg hij de Prix d’Excellence, ook niet mis. In Boumans hoofd wordt elk telefoon-, rekening- of ander nummer, naar eigen zeggen, in zijn hoofd meteen gedemonteerd in priemgetallen. Hij vergelijkt het brein met een spier: als je een spier traint, wordt die groot en sterk; als je het rekencentrum in onze hersenen prikkelt, wordt dat ook sterker, maar helaas wordt dat nauwelijks aangemoedigd …
(bron: www.ed.nl)
18 Sudoku voor gevorderden
In januari komt The Imitation Game in de Belgische zalen. Deze bekroonde film vertelt het verhaal van de Britse wiskundige Alan Turing en is gebaseerd op Alan Turing: The Enigma van Andrew Hodges.
8 6
7
9
5
2 7
4
5
7
1
3
1 8
6 5
9 Sudoku’s zijn al een tijdje over hun hoogtepunt heen maar blijven wel een vaste waarde in kranten en tijdschriften. Het wiskundige principe achter deze hersenkraker is al eeuwen oud, toch werd de sudoku pas in de jaren 80 in Japan onder de huidige naam ontdekt. In het land van de rijzende zon zijn cijferpuzzels altijd al populairder geweest dan letterpuzzels door het ingewikkelde schrift. Een tijd geleden plaatste The Telegraph de ‘Everest of numerical games’ op zijn website, de sudoku der sudoku’s zeg maar. Bedenker van de moeilijkste sudoku ter wereld is de Finse wiskundige Arto Inkala; hij was er zo’n drie
vector
1 4
8
AI14473 (c) Arto Inkala www.aisudoku.com
3
maanden mee bezig, mogelijk duurt het even lang als u die wilt oplossen. Wellicht kent u het sterrensysteem waarmee een sudoku wordt geklasseerd in uw krant (1 ster = gemakkelijk, tot 5 sterren = erg moeilijk)? Dan weet u waar u aan toe bent als u beseft dat deze variant de volle 11 sterren waard is. Volgens de maker kan het toeval soms een handje helpen; via een viertal (goeie) gokken kan de oplossingstijd aanzienlijk verminderd worden. 23 van de 81 hokjes zijn al ingevuld, er is slechts één correcte oplossing. Laat internet als hulpbron even links liggen, het enige wat u nodig hebt, is een pen … Veel succes ermee!
Films over wiskundigen moeten we koesteren, want zo vaak gebeurt het niet dat we wiskunde kunnen combineren met een avondje uit met popcorn. Good Will Hunting, met de betreurde Robin Williams, en A beautiful mind liggen al in een grijs verleden, tijd dus om even door te spoelen naar januari, wanneer de nu al bekroonde The Imitation Game zijn intrede doet in België. In deze biopic volgen we wiskundige Alan Turing, die tijdens de Tweede Wereldoorlog werkte als codekraker bij de Britse crypto-analytische dienst; daar maakte hij deel uit van het team dat codes kon ontcijferen die door een Duits coderingssysteem, Enigma, waren gegenereerd. De ontcijfering van de Enigma wordt vaak aangehaald als een van de grootste prestaties in de Tweede Wereldoorlog die de alliantie de uiteindelijke overwinning zouden hebben gebracht. De film volgt Turing vanaf de kostschool waar hij zijn jeugddagen sleet.
Kijktip
19
The Imitation Game Naast het kraken van de Enigma-code zijn zijn grootste verdiensten zijn theoretische vorderingen op het gebied van de berekenbaarheid geweest en de turingmachine, een mechanisch model
Na de dood van zijn goede vriend Christopher Morcom besluit hij zich te storten op zijn studies; hij gaat naar Cambridge en studeert er kwantummechanica. Na zijn studies ging hij een tijdje werken in Princeton (in de VS) maar hij keerde terug naar Engeland tijdens de oorlog om in het geheim deel uit te maken van de Government Code and Cypher School, de crypto-analytische dienst. In 1952, zeven jaar na zijn baanbrekend codewerk, werd hij gearresteerd voor homoseksuele handelingen, strafbaar in Engeland tot 1967. Hij pleegde twee jaar later zelfmoord. Pas vorig jaar werd hem gratie verleend door de Britse Queen.
De film belooft alvast een aanrader te worden. De regisseur van dienst, de Noor Morten Tyldum, kon rekenen op onder meer Benedict Cumberbatch, Keira Knightley en Matthew Goode. Op het belangrijke internationale filmfestival van Toronto, in Canada, sleepte de film de hoofdprijs in de wacht. Wellicht kreeg het verhaal de nodige hollywoodiaanse opsmuk mee, maar het thema van spannende wiskunde (of wiskundige spanning) moet al voldoende zijn om zeker een plaatsje in de bioscoop te reserveren.
van berekening en berekenbaarheid en daarmee een model voor een computer. Bij het grote publiek is hij ook gekend voor de turingtest; daarin staat de vraag centraal of een machine menselijke intelligentie kan vertonen.
20
Genieten van getallen Populaire wetenschap is in en Genieten van Getallen sluit naadloos aan bij deze trend. In dit werk wordt de wereld van getallen en wiskunde op een toegankelijke en verhalende manier beschreven door Alex Bellos. Een boek over wiskunde kan voor de leek een beetje intimiderend overkomen maar dit boek probeert net precies het tegenovergestelde te bereiken. Maar ook voor wiskundeleraars is dit boek al evenveel een must-read waaruit je heel wat wiskundeweetjes kunt putten. Gaat er een wiskundige wetmatigheid schuil achter Ulysses van James Joyce? Waarom vinden we het ene getal mooie dan het andere? Hoe kan het getal aan het kapitalisme worden gekoppeld? Van priemgetallen tot kegels, van rotaties tot de calculus, Bellos doet het op een heldere en gepassioneerde manier uit de doeken. Aan de hand van anekdotes en voorbeelden uit het dagelijkse leven schrijft hij over de betekenis van getallen en de relatie
vector
die wij ermee hebben. Hoe ze onze vrienden zijn geworden en hoe we ze gebruiken om de wereld te begrijpen. Het boek laat op een toegankelijke en humorvolle manier zien hoe getallen het leven weerspiegelen en het leven de getallen. De Brit Alex Bellos is met dit boek niet aan zijn proefstuk toe. In 2013 verscheen van deze auteur ook Getallen ontraadseld, dat een internationaal succes genoemd kan worden. Dat boek werd in meer dan 20 (!) talen vertaald en verscheen op menig shortlist van belangrijke boekenprijzen. Bellos is een Engelse journalist met een fascinatie voor wiskunde en filosofie. Hij schrijft sinds jaren columns over alledaagse wiskunde in The Guardian.
De winst van het werkgeheugen Ons werkgeheugen blijkt een veel betere voorspeller van schoolprestaties en carrièrekansen dan het IQ. Het werkgeheugen is het vermogen om feiten te combineren, prioriteit aan te brengen in informatie en daarmee iets constructiefs te doen. Dit boek schotelt eerst de belangrijkste inzichten voor uit wetenschappelijk onderzoek. Wat is het, waardoor wordt het beïnvloed en waar komt het van pas? Zo zijn bv. bessen, kruiden en pure chocolade fantastisch voor je werkgeheugen, net als wandelen in de natuur en een opgeruimde werkomgeving. Daarnaast biedt het boek oefeningen die je werkgeheugen verbeteren, want het gaat wel degelijk om een rekbaar gegeven. Je maakt er kennis met begrippen als bootstrapping en chunking en krijgt dagdagelijkse tips.
Auteur: Alex Bellos Uitgeverij: Kosmos ISBN: 978 902155 646 8 Prijs: € 14,99
Auteur: Tracy & Ross Alloway Uitgeverij: Nieuwezijds ISBN: 978 90 5712 356 6 Prijs: € 24,95
Leestips
De pracht van priemgetallen Wellicht is de cover al een motivatie op zich om dit boek te kopen, want wiskundigen dragen priemgetallen toch steeds een warm hart toe. Waarom zijn priemgetallen zo belangrijk? Wat maakt ze zo intrigerend? Je komt ze tegen op de meest onverwachte plaatsen: bij online bankieren, in de voortplantingscyclus van cicaden, bij pogingen om contact te leggen met buitenaardse wezens, en zelfs in titels van bestsellers. Priemgetallen zijn de bouwstenen van alle getallen en worden al meer dan 2000 jaar grondig bestudeerd. Maar tot dusver weigeren ze hun geheim prijs te geven, want ze blijken even onvermijdelijk als onvoorspelbaar. Dit boek geeft een soort van geschiedenis van de langste zoektocht ooit, een zoektocht naar verborgen patronen in schijnbare willekeur. Maar het verhaalt vooral de lotgevallen van de vaak kleurrijke helden van wie het leven grotendeels in het teken stond van hun passie voor priemgetallen.
21
Paul Levrie (1959) promoveerde in 1987 aan de KU Leuven. Hij is in het bijzonder geboeid door de didactiek en de geschiedenis van de wiskunde. Levrie is ook redacteur van Pythagoras, het wiskundetijdschrift voor jongeren. Rudi Penne (1964) promoveerde in 1992 aan de Universiteit Antwerpen in een schemerzone tussen zuivere wiskunde en mechanische toepassing. Beide auteurs doceren nu wiskunde aan de faculteit Toegepaste Ingenieurswetenschappen van de Universiteit Antwerpen. Ze wonnen in oktober een Jaarprijs Wetenschapscommunicatie van de Koninklijke Vlaamse Academie van België voor Wetenschappen en Kunsten (KVAB), en dat voor dit boek en voor hun blog op Scilogs, waarin zij “de schoonheid van de wiskunde helder weergeven zonder verlies aan diepgang.”
Auteur: Paul Levrie & Rudi Penne Uitgeverij: Prometheus Bert bakker ISBN: 978 90 351 3863 6 Prijs: € 17,95
De godin van de kleine overwinningen De laatste leestip is de debuutroman van de Franse Yannick Grannec, industrieel ontwerpster van beroep, graficus van opleiding en naar eigen zeggen verzot op wiskunde. In Frankrijk werd deze roman bekroond met de Prix des Libraires en genomineerd voor de Prix du Premier Roman. Reden van deze vermelding in Vector is dat wiskunde in dit boek een centraal thema is. Het boek vertelt het verhaal van een jonge documentaliste die toegang probeert te krijgen tot het archief van wiskundige Kurt Gödel. Daarvoor zoekt ze contact met zijn weduwe Adèle, die aanvankelijk weigerachtig reageert maar steeds meer loslaat over haar leven met haar geniale maar evenzeer mentaal labiele echtgenoot.
Auteur: Yannick Grannec Uitgeverij: Arbeiderspers ISBN: 978 90 295 8840 9 Prijs: € 24,95
22
Elke 3 seconden Wiskunde en seks, wat hebben ze met elkaar gemeen? Jean Paul Van Bendegem probeert alvast ons leven tussen de lakens te gieten in wiskundige berekeningen. Elke 3 seconden …, denkt een man aan seks, hoorden wij u denken? Volgens Van Bendegem gaat het om 51 minuten voor mannen en 96 voor vrouwen. Toch zeggen de woorden ‘Elke drie seconden’ niets over seks, maar wel alles over wiskunde, want drie seconden is een maat en meten hoort thuis bij de koningin der wetenschappen. Als we wiskunde bepalen als het zoeken naar patronen en structuren en als je aanneemt dat alle menselijke activiteiten patronen vertonen, dan moet ook ons seksuele leven door een wiskundige bril bekeken kunnen worden. Dit boek brengt dergelijke patronen samen. Wat hebben reproducerende konijnen met de gulden snede te maken? Bestaat er een strategie om de ideale partner te vinden? Wat zijn de mathematische grenzen van
vector
datingsites? Hoe kan de (ingewikkelde) dynamiek van een relatie beschreven worden? Hoe verspreiden soa’s zich? En waarom garandeert meer seks veiliger seks? Of wiskundeleraars hieruit meteen bruikbare info voor hun lessen zullen kunnen halen, dat laten we in het midden, maar verruimd zal jullie wiskundehorizon sowieso worden. Jean Paul Van Bendegem is hoogleraar aan de VUB, directeur van het Centrum voor Logica en Wetenschapsfilosofie en gastprofessor aan Universiteit Gent. Jean Paul Van Bendegem is een van de sprekers op komende wiskundecongres. Benieuwd of hij er enkele onderwerpen uit zijn recentste boek zal aansnijden? Afspraak op Pi-dag!
Auteur: Jean Paul Van Bendegem Uitgeverij: Houtekiet ISBN: 978 90 8924 295 2 Prijs: € 18,99
WEDSTRIJD
VRAAG Wilt u kans maken op een boekenpakket? Stuur dan voor 31 december uw antwoord op onderstaande vraag naar vector@diekeure.be. Als onderstaande persoon al bestaat, dan zal het wellicht geen mathematicus zijn … Maar schud je de letters door elkaar, dan bekom je de voor- en familienaam van een bekende wiskundige. Extra tip? Blader nog eens snel door deze Vector voor het antwoord … LEO CALAVEDA
3,1415 23
educatieve uitgaven
2e wiskundecongres 14maart2015
wil je er opnieuw bij zijn?
Schrijf alvast 14 maart 2015 in jouw agenda!
Pre mail naar ed registratie: uca en we laten tief@diekeure.be zodra inschri jou weten van jven mogelijk is. Like ook onz e fa en blijf zo op cebookpagina de hoogte. Facebook.com
/Diekeure
vector
3,1415 2e wiskundecongres
Schrijf 14 maart 2015 in jouw agenda voor het 2e wiskundecongres! Facebook.com/Diekeure