maart 2013 NUMMER 16
vector Tijdschrift voor wiskundeonderwijs
educatieve uitgaven
16
2
vector
voorwoord
inhoud
Beste wiskundeliefhebber,
3
Terugblik op het wiskundecongres: Dyscalculie: als cijfers niet voor zichzelf spreken
8
Wiskunde veranderde Hollywood.
10
12
16 19 20
Wiskunde geeft een boost aan ecorijden Geografische verschuivingen met Markov-ketens Faits divers Flatland² Sphereland Leestips
colofon Vector - Zesde jaargang - nummer 16 Redactie Sofie Audenaert Vector - Kleine Pathoekeweg 3 8000 Brugge - vector@diekeure.be Externe auteurs die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met de redactie. Vector Vector is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in België. Voor het buitenland betaal je e 5. Verantwoordelijke uitgever Bart Vandenbussche Kleine Pathoekeweg 3 - 8000 Brugge
U heeft het vast al gemerkt, Vector zit na 8 jaar in een nieuw kleedje! En dat allemaal ter gelegenheid van ons groots wiskundecongres. Op 23 maart organiseerde Studipolis i.s.m. VBTL, hét wiskundecongres van 2013, met gastsprekers als Björn Carreyn, Annemie Desoete, Paul Igodt…, een levendig debat over wiskundeonderwijs in Vlaanderen en Nederland o.l.v. Ionica Smeets en een spetterende slotshow met mentalist Gili! Wie er niet bij kon zijn, heeft dus duidelijk iets gemist! Wil je de topics nog even nalezen en de foto’s bekijken? Surf dan naar www.wiskundecongres2013.be Deze editie van Vector heeft alweer van alles in de aanbieding. Zo gaan we onder andere op bezoek bij prof. dr. Annemie Desoete en stellen we haar enkele vragen over de leerstoornis dyscalculie. Verder vertelt Tony DeRose ons hoe wiskunde Hollywood veranderde. DeRose is namelijk het hoofd van de Research Group bij Pixar Animation Studios en was onder andere nauw betrokken bij de ontwikkeling van het roodharige hoofdpersonage uit hun nieuwste film Brave. Burgerlijk ingenieur Bart Saerens ging tijdens zijn doctoraat op zoek naar een wiskundige methode om de optimale rijstijl te berekenen en geeft ons ondertussen ook nog enkel tips mee rond ecorijden. Tanja Van Hecke schreef ook een artikel rond geografische verschuivingen en Markov-ketens en wij bekeken voor jullie nog de nieuwste wiskundefilm Flatland² Sphereland. Uiteraard konden ook onze vaste rubrieken Faits divers en Leestips niet ontbreken.
groo wiskundectosngres
2013
Dus… veel plezier met deze Vector new style! PS: Wil je een boekenpakket in de wacht slepen? Je hebt geluk, want deze Vector zit vol met prijzen!
Interview
3 Kunt u ons uitleggen wat dyscalculie precies is? Dyscalculie is een ontwikkelingsstoornis (zoals dyslexie en ASS). Bij dyscalculie (een synoniem voor rekenstoornis) gaat het om niet goed kunnen rekenen, terwijl hier al hard op geoefend werd en men de achterstand met leeftijdsgenoten toch niet inhaalde. Er zijn drie criteria om van dyscalculie te spreken: 1. Criterium van de achterstand: men hoort bij de 10 procent zwakste rekenaars. (zie grafiek onderaan) 2. Criterium van de hardnekkigheid: door oefening gaat men wel beter rekenen, maar toch haalt men de achterstand met leeftijds- /opleidingsgenoten (die ondertussen ook wel beter gaan rekenen) niet in. 3. Mild exclusie criterium: er zijn geen andere factoren (zoals minder verstandelijke mogelijkheden of ADHD) die het onderpresteren op vlak van rekenen volledig kunnen verklaren.
Terugblik op het wiskundecongres
Dyscalculie: als cijfers niet voor zichzelf spreken
Interpretatie percentielwaarden 10
klinisch
slecht resultaat
10 %
16
25
zwak
1
subklinisch
Prof. dr. Annemie Desoete is hoofddocent aan de Vakgroep Experimenteel-Klinische en Gezondheidspsychologie van de Universiteit Gent en lector aan de Arteveldehogeschool. Ze doet onderzoek naar leerstoornissen, werkte mee aan een film over dyscalculie/dyslexie en schreef het boek “Ik hoor er ook bij� (over meest voorkomende leerstoornissen bij kinderen). Wij hielden haar na haar uiteenzetting op het Wiskundecongres 2013 nog even tegen voor een interview over de leerstoornis dyscalculie.
75
leeftijdsadequaat
100
goed
goed resultaat
4 Is dyscalculie aangeboren of treedt het pas op latere leeftijd op?
tijd met kloklezen…. Men kan dus zeker in de lagere school (vanaf het tweede leerjaar) na 6 maand remediëring de diagnose van dyscalculie gaan stellen.
Dyscalculie is een ontwikkelingsstoornis en dus iets waarmee men geboren wordt. Er zijn ook personen die pas later problemen met rekenen ondervinden bijvoorbeeld na een auto-ongeval. Men spreekt dan van acalculie door een ‘niet-aangeboren hersenletsel’.
Wat is de oorzaak van dyscalculie? Is deze leerstoornis merkbaar in de hersenactiviteit? We kennen de oorzaak van dyscalculie niet echt. We weten wel dat er verschillen in de (frontale en pariëtale) hersengebieden gevonden werden tussen groepen kinderen met en zonder dyscalculie. Er zijn structurele verschillen (op groepsniveau) tussen personen met en zonder dyscalculie, met een verminderde hoeveelheid grijze stof en een verminderde kwaliteit van witte stofbanen bij personen met dyscalculie. Verder zien we (ook op groepsniveau) functionele verschillen met een afwijking in het fronto-pariëtaal netwerk en afwijkingen in de intrapariëtale sulcus bij personen met dyscalculie. Die pariëtale sulcus is nodig om de waarde van getallen te representeren. We hebben namelijk een soort ‘mentale getallenas’ (gele lijn) in ons hoofd waar we de waarde van getallen op voorstellen (geordend van klein naar groot). Soms neemt men aan dat de voorstelling van de waarde van getallen niet goed werkt bij personen met dyscalculie. Ze hebben als het ware geen ‘ingebouwde flitspaal’, maar moeten voortdurend nadenken over de waarde
vector
Hoe merk je in het dagelijkse leven dat iemand dyscalculie heeft?
van getallen, terwijl personen zonder dyscalculie dit spontaan of automatisch doen en hier geen aandacht meer aan moeten besteden.
Hoe wordt er eigenlijk een diagnose gesteld? Die wordt gesteld op basis van rekenonderzoek (criterium van de achterstand) en op basis van een anamnesegebrek waarbij gekeken wordt of men al geprobeerd heeft hier iets aan te doen (criterium van de hardnekkigheid). Men moet ook nagaan of er eventueel alternatieve verklaringen zijn voor het probleem. Dit onderzoek zou door het CLB moeten kunnen gebeuren en dit vanaf het moment dat de problemen zich voordoen. Via www.prodiagnostiek.be is ook meer informatie te vinden over hoe men dit binnen de sector probeert te stroomlijnen.
Is er een bepaalde leeftijd waarop je ten vroegste een diagnose kunt stellen? Dyscalculie kan men veelal vaststellen op het eind van het eerste leerjaar (als de basiscombinaties tot 10 niet gekend zijn en als kinderen moeite blijven hebben met splitsingen en kloklezen). In het tweede leerjaar ziet men vaak problemen met tafels, hoofdrekenen en nog al-
In de lagere school hebben kinderen met dyscalculie problemen met het leren rekenen. Ze vallen uit op o.m. - hoeveelheden overzien en vergelijken - tellen (langer tellen, onrijpe telstrategieën) - splitsingen en tafels onthouden - arbitraire afspraken en rekentaal onthouden - hoofdrekenen - kloklezen en tijdsduur inschatten - meetkunde en inzicht hebben in maten - rekenen met breuken, decimale getallen, procenten Jongeren met dyscalculie in het secundair (voortgezet) onderwijs kunnen meestal wel accuraat getallen lezen tot 1000. Bij hen zien we deze problemen: - traag of haperend kommagetallen en getallen met een nul lezen - operatiesymbolen interpreteren - data situeren op een tijdslijn - nieuwe formules inprenten of arbitraire terminologie opslaan en oproepen - gebrek aan geautomatiseerde basiskennis - gebrekkige toepassing van regels - strategiefouten - tal van problemen door onvoldoende feitenkennis - meer tijd nodig voor hoofdrekenen - tussenstappen, die even opgeslagen worden in het werkgeheugen, verdwijnen - last met de formulering in taal van wiskundige of wetenschappelijke kennis - zich verliezen in een teveel aan (irrelevante) informatie
Interview
5 Komt dyscalculie vaker voor bij jongens of meisjes?
- vaak ‘de draad kwijtraken’ bij langere taken of taken waar tezelfdertijd meerdere dingen moeten gebeuren
Dyscalculie komt even vaak voor bij jongens als bij meisjes. Dit is in tegenstelling tot andere ontwikkelingsstoornissen (zoals dyslexie en ASS) die meer bij jongens voorkomen.
Hebben zij dus enkel problemen met rekenen? Nee, de problemen blijven meestal niet beperkt tot wiskunde. Leerlingen met dyscalculie vallen ook uit op vakken als fysica, scheikunde en meetkundig tekenen. Ook in boekhouden (procenten, inkoopprijs), aardrijkskunde (> en <symbolen voor klimaataanduiding) en geschiedenis (jaartallen onthouden) speelt dyscalculie hun parten. Ook het aflezen van tabellen, figuren, het werken op schaal … is moeilijk. Op www.studerenmetdyscalculie.be (gratis film) getuigen jongeren over hoe het is om dyscalculie te hebben.
Wim: “Ik heb de strijd met het hoofd-
rekenen opgegeven. Lang geleden al….’
Sara: “Qua tijdsbesef heb ik al twee keer op een verkeerd uur op een afspraak gestaan omdat ik gewoon de cijfers van de klok verwisseld had.” Yutta: “Op een keer vroeg mijn mama aan mij: Ga naar de supermarkt en breng 600 gram spaghettisaus mee. Ik had 6 kilo mee.” Sanne: “Als ik een winkelkar aan het vullen ben, weet ik helemaal niet of ik genoeg geld mee heb en wat het totaalbedrag wordt. Ik betaal daarom ook meestal met mijn bankkaart.” Sara: “Ik controleer nooit als ik wisselgeld terug krijg.”
Kristel: “Mijn handtas is altijd zo zwaar van al het wisselgeld dat ik gewoon spaar en nooit uitgeef.”
Zijn er evenveel Westerse als Oosterse kinderen met dyscalculie? Is er een verschil tussen kinderen en volwassenen met dyscalculie? Kinderen met dyscalculie hebben problemen om het diploma te halen waar ze gezien hun intelligentie toe in staat zijn. Ze falen vaak en blijven moeite hebben om bepaalde leerinhouden te verwerven. De stoornis blijft dus bestaan, ook op volwassen leeftijd. We onderschatten bovendien hoeveel numerieke informatie er eigenlijk wel is. Als we de krant openslaan, zien we bladzijden, data, prijzen, jaartallen, tijdstippen, hoeveelheden …. Om op tijd te zijn, ingrediënten af te wegen, de vervaldatum van producten te controleren, de uurregeling voor trein of bus te lezen, de juiste bus te nemen … heb je telkens opnieuw getallen nodig. Als men dyscalculie heeft blijven die aspecten moeilijk. Men leert hier wel mee omgaan en het gebruik van hulpmiddelen (zakrekenmachine, google…) kan de problemen omzeilen.
Wim: “Als ik de oppervlakte van de cirkel of een andere formule nodig heb voor een berekening, zoek ik dit op via google … De rest lukt me wel. Omdat je standaardbewerkingen oplost op een andere manier ga je ook in de dagelijkse manier op andere manieren beginnen denken.”
In tegenstelling tot dyslexie (waar de prevalentie taalafhankelijk is) komt dyscalculie overal even vaak voor. Er zijn dus evenveel Westerse als Oosterse kinderen met dyscalculie. Toch zien we soms uiteenlopende cijfers omdat men verschilt in het eerste criterium (het criterium van de achterstand). Sommigen spreken van dyscalculie als kinderen bij de 25% zwakste rekenaars zitten en dan heb je uiteraard meer kinderen die aan die definitie voldoen dan als je als norm ‘de 10% zwakste rekenaars’ neemt. De prevalentiecijfers variëren hierdoor van 2 tot 14%. Bij ons gaat het om 5% van de populatie. Als we rekenen dat er 10 miljoen Belgen zijn, gaat het dus om 500.000 (of een half miljoen) personen die met dit probleem te maken hebben.
Hoe gaan leerkrachten het beste om met leerlingen met dyscalculie? Als leerkracht is het essentieel om voldoende alert te zijn op eventuele risicosignalen, in het bijzonder problemen met splitsen, onthouden van tafels, problemen met kloklezen … Als kinderen uitvallen, is het de taak van de juf of meester om extra hulp te bieden en na die hulp opnieuw te evalueren. Leerstoornissen lossen zich namelijk nooit vanzelf op. Als kinderen blijven onderpresteren (en eigenlijk al wat vroeger), moet je het CLB aanspreken.
6 Heeft u nog belangrijke tips voor leerkrachten die te maken krijgen met dyscalculie bij leerlingen? Moeten zij bijvoorbeeld leerlingen meer tijd geven voor toetsen? Vooraan in de klas plaatsen? Extra kopies geven? Meer tijd krijgen voor toetsen is voor een grote meerderheid heel erg nodig. Het is echter altijd maatwerk om aanpassingen te zoeken die voor deze leerlingen van belang zijn. Het blijft dan ook nodig om maatregelen na een drietal maand samen te evalueren en ev. bij te sturen. Misschien nog enkele praktische tips: - Zoek samen met de leerling en de ouders naar ‘redelijke aanpassingen’. Zo’n maatregelen stellen leerlingen in staat om toch onderwijs op hun eigen intellectuele niveau te blijven volgen. Het gaat hier steeds om ‘maatwerk’. - Spreek het CLB aan om samen te zoeken naar redelijke aanpassingen. Zie ook STICORDIbank. (http://sticordibank.wikispaces.com) - Vraag aan de leerkracht van het jaar ervoor hoe hij/zij omging met de leerling en informeer ook wie achter jou komt, zodat continuïteit verzekerd is. - Zorg dat ze goede nota’s krijgen (kopie van nota’s van de leerkracht bijvoorbeeld) en dat de antwoorden op de oefeningen die ze maakten nagekeken zijn (zodat ze met een goede basis kunnen beginnen studeren). Weet ook dat kinderen met dyscalculie vaak ook spellingsproblemen hebben, waardoor ze vaak zelf geen goede nota’s hebben (een kopie van de nota’s van de leerkracht is dus heel belangrijk). - Help leerlingen ook plannen. De helft van de leerlingen met dyscalculie heeft bovenop de rekenproblemen
vector
ook planningsproblemen, waardoor ze hulp nodig hebben om schriften in orde te maken en om een studeerplanning te maken. - Bevestig waar leerlingen wel goed in zijn (sociale vaardigheden, lezen, creativiteit…). Het is met hun zelfbeeld en doorzettingsvermogen dat ze het later zullen moeten maken. En nog enkele voorbeelden van faciliteiten die kunnen worden toegekend in het secundair en hoger onderwijs: - Taken worden tijdig opgegeven bv. minstens 2 weken op voorhand. - De leerlingen krijgen 20 tot 30% meer tijd om toetsen te maken. - De toetsen mogen gemaakt worden in een afzonderlijk lokaal (zodat ze rustig kunnen werken). - De leerlingen mogen een zakrekenmachine en een formularium gebruiken (ook bij toetsen). - Vragen op een toets worden samen overlopen en indien nodig verduidelijkt. De examens worden meer gespreid zodat leerlingen meer tijd krijgen om de leerstof in te studeren. - Er worden geen letterlijke definities gevraagd (men mag zijn eigen woorden gebruiken). - Er wordt hulp geboden indien tabellen/ schaal moet gebruikt worden.
Bedankt voor de tips en uw tijd!
Annemie Desoete schreef samen met Karl Baert het boek ‘Ik hoor er ook bij’. Wil je kans maken op een exemplaar? Stuur het antwoord op de onderstaande vraag VOOR 19 april naar vector@diekeure.be
Er is geweten dat erfelijkheid ook een rol speelt bij dyscalculie. Hoeveel procent van de broers en zussen van kinderen met dyscalculie hebben de kans om ook dyscalculie te ontwikkelen?
7 unimath
Het UniMath project is een initiatief van de Opleidingscommissie Wiskunde van de Universiteit Gent. Het heeft de bedoeling om hedendaagse praktische toepassingen van de gevorderde wiskunde in de klaslokalen te brengen. Totnogtoe werd dit uitgevoerd door medewerkers uit de UGent die zes lesuren kwamen geven aan de hand van gekopieerde nota's. Vanaf nu komt daar verandering in, want de nota's zijn verschenen in boekvorm! Daarenboven zijn ze zodanig aangepast dat de leerkracht er onmiddellijk zelf mee aan de slag kan. Er zijn talrijke nieuwe oefeningen opgenomen, waarvoor voorbeeldoplossingen ter beschikking zijn. De boekjes zijn ideaal als lesmateriaal voor de vrije ruimte, en lenen zich ook uitermate goed tot zelfstudie voor het luik "onderzoekscompetenties". Alle onderwerpen zijn geschikt voor leerlingen van het vijfde of zesde jaar van de wiskundig eerder sterke richtingen (minstens 6 uur wiskunde), met uitzondering van de "Integralen, behoudswetten en de planimeter", dat eigenlijk alleen in het zesde jaar kan gegeven worden wegens de nodige voorkennis van integraalrekening. De momenteel beschikbare thema's zijn de volgende.
1 Opgeloste en onopgeloste mysteries over getallen In dit boekje worden een aantal gekende resultaten uit de getaltheorie
besproken, alsook een aantal onopgeloste vraagstukken. Toepassingen uit de getaltheorie, zoals crytografie, komen eveneens aan bod.
den. Dit boekje kan tevens worden gezien als een voorproef qua inhoud van academisch hogerdimensionale analyse in alle wetenschappelijke richtingen.
2 De wiskunde achter een routeplanner
5 Projectieve vlakken en codes
Wat heeft de 18e-eeuwse wiskundige Euler te maken met het ophalen van vuilnis in de 21ste eeuw? Hoe berekent je GPS-systeem een route en wat valt er daaraan te bewijzen? Dergelijke toepassingen komen uit de wereld van geografische informatiesystemen (GIS). In dit boekje wordt uitgelegd hoe begrippen en technieken uit wiskundige domeinen zoals grafentheorie, goniometrie en meetkunde, gebruikt worden om deze problemen op te lossen.
3 Wiskundige aanpak van vage informatie
In dit boekje wordt het model van de "vaagverzamelingenleer" uitgelegd. Dat is een model waar een element in de plaats van "wel" of "niet" nu "in een bepaalde mate" tot een verzameling kan behoren. Vandaag de dag is het een zeer uitgebreide theorie met praktische toepassingen in heel wat domeinen.
4 Integralen, behoudswetten en de planimeter
Hier is het kunnen berekenen van integralen van veeltermen als voorkennis vereist. In het boekje worden concepten zoals functies van twee variabelen, partiële afgeleiden, gradiënt, dubbelintegraal, lijnintegraal en lengte van een kromme ontwikkeld. De Stelling van Green vormt de basis voor de toepassingen, met onder meer de planimeter, behoudswetten en een kennismaking met fysische vectorvelden, zoals gravitatie en elektrisch/magnetische vectorvel-
Dit boekje laat de leerlingen proeven van de moderne projectieve meetkunde, waarin eindigheid centraal staat. We concentreren ons op de eigenschappen die belangrijk zijn voor de "codeertheorie". Op die manier wordt uitgelegd hoe een foutverbeterende code werkt, zoals bijvoorbeeld geïmplementeerd op cd’s. Andere toepassingen die worden aangeraakt zijn bankrekeningnummers, ISBN- en ISSN- nummers.
Bestelgegevens: Opgeloste en onopgeloste mysteries over getallen ISBN: 978 90 486 1663 3 De wiskunde achter een routeplanner ISBN: 978 90 486 1664 0 Wiskundige aanpak van vage informatie ISBN: 978 90 4861 665 7 Integralen, behoudswetten en de planimeter ISBN: 978 90 4861 666 4 Projectieve vlakken en codes ISBN: 978 90 4861 667 1 De boekjes kosten per stuk € 6. Bestellen kan via corinne.gilte@diekeure.be of via www.diekeure.be
Voor meer informatie, surf naar http://www.unimath.ugent.be/
8 Wat is uw job bij Pixar Animation Studios en met wat voor problemen krijgt u te maken? In 2005 werd onze groep samengesteld om met nieuwe technologieën te innoveren en te anticiperen op de huidige noden van films. Er is sowieso heel wat innovatie aan de gang in de verschillende afdelingen van het bedrijf, maar dat is vooral een innovatie ‘on demand’. Onze groep is aangewezen om de hele tijd te innoveren.
Wiskunde veranderde Hollywood Tony DeRose is Senior Scientist en hoofd van de Research Group bij Pixar Animation Studios. Voor hij in 1996 bij Pixar ging werken, was hij professor in de Computer Science and Engineering aan de University of Washington. In 1998 won hij met zijn team de Oscar voor de kortfilm ‘Geri’s game’, in 1999 kreeg hij de ACM SIGGRAPH Computer Graphics Achievement Award en in 2006 kreeg hij de Scientific Technical Academy Award voor zijn werk rond oppervlakvoorstellingen. DeRose presenteerde op 9 januari “How math changed Hollywood” op de 2013 Joint Mathematics Meetings in San Diego, Californië. Daarvoor sprak hij even met de MAA over zijn presentatie.
Interview: Mathematical Association of America
vector
De manier waarop wij projecten aanpakken en projecten die andere groepen in het bedrijf aanpakken, is in die mate verschillend dat wij onderzoek doen naar de risicovolle delen. Een project kan onder andere risicovol zijn omdat het een hele tijd duurt om er aan te werken. Bij specifieke producties is er innovatie nodig voor elke show, maar men heeft maar een jaar om de preproductie te ontwikkelen en dan slaat de ‘productiedruk’ hard toe. Alle problemen die meer dan een jaar in beslag nemen, zullen niet door individuele producties opgelost worden. Dat zijn de kansen die we zoeken, de moeilijke langetermijnproblemen. We werken ook aan kortetermijnproblemen waar de kans om te falen te hoog is voor de producenten, zodat ze er geen budget in stoppen [lacht]. Een recent voorbeeld hiervan is het haar van Merida in Brave. Haar haar was eigenlijk een ander personage. Het krijgen van die volle, zachte haardos, die zich gedroeg op de manier waarop de regisseur wou dat het zich gedroeg, lag gewoon niet binnen de mogelijkheden, rekening houdend met het tijdsbereik van de productie. Leden van mijn team ontwikkelden een volledig nieuw ‘haarsimulatiesysteem’ voor Merida, dat ook in de toekomst voor veel producties gebruikt zal kunnen worden.
Interview We werken dus aan heel veel verschillende projecten. Momenteel proberen we de bewegingen van personages ‘fysieker’ te maken, in het bijzonder voor de menselijke personages. Een goed voorbeeld hiervan is het ontwikkelen van meer gevoel in onderliggende spieren, in het bijzonder voor dikke personages [lacht]. Het blijkt heel moeilijk te zijn om met de huidige, nietfysieke technieken het schudden en het volumebehoud van lichaamsdelen echt fysiek aannemelijk te krijgen. Daarom werken we aan projecten waarin we proberen om meer natuurkunde in de beweging te brengen. Tot slot is er nog een grote tekortkoming in het simuleren van lichteffecten. Er zijn heel wat natuurkundige fenomenen verbonden aan de manier waarop licht verstrooid wordt in een ruimte. En het is helemaal niet gemakkelijk om dit aan de hand van computersoftware op te lossen. We zijn er nu al een aantal jaar mee bezig, maar we zijn ondertussen heel dicht bij ons einddoel.
In 2009, gaf u een lezing over “Math in the Movies” als onderdeel van de Distinguished MAA’s Lecture Series. Zonder te veel weg te geven over uw lezing, wat zijn de belangrijkste veranderingen die u sindsdien heeft gezien? In 2009 was onze mogelijkheid om fysieke eigenschappen vast te leggen nog veel beperkter. En de simulaties van lichteffecten en -inval waren toen echt nog primitief in vergelijking met de huidige standaarden.
Heeft u buiten Pixar ook een vooruitgang gezien in deze technieken? 15 jaar geleden werden special effects in films dikwijls uitgevoerd met echte materialen en waren er bijvoorbeeld echte explosies. Dat komt nu nog heel zelden
9 voor. Ongeveer alle special effects zijn nu digitaal, niet alleen omdat dat goedkoper is, maar ook veel veiliger en sneller. Ik denk dat er in de toekomst nog zelden op locatie gefilmd zal worden. Mogelijks wordt al het acteerwerk voor een ‘greenkey’ gedaan en zal de wereld rond de acteurs er dan later gewoon digitaal aan toegevoegd worden.
Ik neem aan dat het verhaal van iedere Pixar-film het uitgangspunt is in het creatieve proces, maar heeft de vooruitgang, die u en uw team maakten, invloed op het conceptualiseren van een nieuwe film? Dat gebeurde vroeger veel meer dan nu. Tegenwoordig is men zo gewoon geraakt aan het kunnen van de technische staf dat men zich niet meer creatief geremd voelt. Af en toe gebeurt het nog dat we niet volledig kunnen realiseren wat men voor ogen had, dus moet er teruggeschroefd worden of moeten er aanpassingen gemaakt worden in een aantal opzichten. De mate waarin de technologie de creatieve beslissingen beïnvloedt, is dus sterk afgenomen.
Wat is uw favoriete Pixar-film? Ik ben vooral dol op The Incredibles. Ik ben een echte James Bond-fan, en die film lijkt echt op een Bond-film. Ik vind ze eigenlijk allemaal leuk, maar ik heb een soort van zwak voor die ene.
Wat is uw favoriete Pixar-film waarin achter de animatie wiskunde zit? Ik zou Monsters, Inc. zeggen, want dat was de eerste keer dat er een heleboel technieken, die ik had ontwikkeld rond oppervlaktemodellen, werden gebruikt bij het creëren van de geometrie van de personages hun huid, gezicht, handen en kleding.
Welk advies zou u geven aan een wiskundecollega die geïnteresseerd is in animatie? We hebben mensen nodig die mathematisch aangelegd zijn, vooral in gebieden zoals lineaire algebra, numerieke analyse, differentiaalmeetkunde en differentiaalvergelijkingen. Ze moeten ook hun ideeën kunnen implementeren in software. Het is dus echt belangrijk dat kandidaten goed thuis zijn in moderne softwareontwikkeling en ideeën kunnen implementeren naar Python en C++.
Heb je ooit deelgenomen aan een JMM? Zijn er sessies of voordrachten waar je naar uitkijkt? Dit wordt mijn derde. Ik heb vooral genoten van de studentsessies. Ik kijk ook uit naar het ‘Who Wants to Be a Mathematician’ spel. Ik ben echt geïnteresseerd in educatieve bijdragen, dat is een van de redenen waarom ik meedoe aan deze sessies.
10
Wiskunde geeft boost aan ecorijden Met een zuinige rijstijl kun je op een eenvoudige manier 5 tot 15 procent brandstof besparen. Burgerlijk ingenieur Bart Saerens ontwikkelde in zijn doctoraat een wiskundige methode om de optimale rijstijl te berekenen. Die kan nog enkele procenten extra ecologische winst betekenen. “Hoe belangrijk is ecologisch rijden? Transport zorgt wereldwijd voor 13% van de broeikasgassen van menselijke origine, in Europa zelfs voor 20%”, steekt Bart Saerens van wal. “Ecorijden bespaart op je brandstofverbruik – en zo ook op de uitstoot van broeikasgassen – voor een totaal van 5 tot 15%. Is dat de moeite? Zeker wel. Ecologie zal altijd een kwestie blijven van een cumulatief effect van maatregelen die op het eerste gezicht misschien geen megaresultaten opleveren.” Ecologisch bewuste bestuurders kunnen in hun rijstijl rekening houden met een aantal vuistregels (zie kader op de volgende bladzijde), maar ook de technologie schiet hen te hulp. Saerens: “Over ecorijden is natuurlijk al veel nagedacht en gerekend en er zijn al aardig wat pogingen om die berekeningen te vertalen naar bakjes die je in je auto kunt inbouwen om optimaler, zuiniger te rijden. Daar schort echter meestal wat aan. Vaak zijn de gebruikte
vector
berekeningen te eenvoudig, en de wat complexere berekeningen zijn meestal alleen achteraf zinvol: als je wat trager gereden had, zou je x procent minder verbruikt hebben.”
Wiskunde aan het woord
Een juiste aanpak is met andere woorden een kwestie van de juiste wiskunde: “Je kunt ecorijden als een probleem van optimale controle definiëren. Optimale controle berekent welke controlesignalen een kost voor een bepaald systeem minimaliseren. Concreet: bij ecorijden zijn de controlesignalen de rotatiekracht van de motor, de remkracht en de versnelling. De kost is uiteraard het verbruik, en het systeem is de auto.” “Zo’n probleem kun je wiskundig langs verschillende wegen benaderen. Een zeer hoog aangeschreven methode is gebaseerd op het maximumprincipe van Pontryagin, een Russische wiskundige. Dat principe is helaas onmogelijk in twee regels uit te leggen, maar het maakt het mogelijk om een optimale motorcontrole en optimaal schakelgedrag te berekenen. Op die manier heb ik een aantal verfijningen kunnen formuleren in de bestaande opvattingen over ecorijden.” “Ik heb bijvoorbeeld aangetoond dat het tijdens het vertragen op hogere
snelheden – sneller dan 50 km/u – gunstig kan zijn om het ontkoppelingspedaal ingedrukt te houden. Een ander voorbeeld: bij versnellen was er geen consensus over de vraag of je nu hard of net traag moet optrekken. Ik heb aangetoond dat hoe groter het verschil is tussen de huidige snelheid en de snelheid naar waar je wil versnellen, hoe harder je moet optrekken. Hoeveel winst mijn verfijning oplevert, is moeilijk te zeggen, maar ik vermoed dat ecorijden op basis van mijn onderzoeksresultaten zeker nog vijf procent beter zou moeten kunnen.” “Ik heb geprobeerd zoveel mogelijk aspecten van het rijden in rekening te nemen, en tegelijk een methode te ontwerpen die praktisch is en tijdens het rijden gebruikt kan worden. Dat betekent dat mijn berekeningsmethode ‘vertaald’ kan worden in een apparaatje dat in de auto ingebouwd wordt en informatie geeft aan de bestuurder om zo zuinig mogelijk te rijden. Het kan bijvoorbeeld de huidige snelheid en de optimale snelheid tonen, en de huidige versnelling en de optimale. Enkele van onze ingenieursstudenten hebben al een prototype van zo’n apparaatje gebouwd. Een piste uitwerken voor commercialisering, via een spin-off of op een andere manier, zat er tijdens mijn doctoraatsmandaat niet in, maar in de toekomst sluit ik het zeker niet uit.”
Uitblinker
11
Cruise control
“Natuurlijk doen we niet alleen in Leuven onderzoek rond deze problematiek. In Linköping in Zweden is er bijvoorbeeld een grote onderzoeksgroep die werkt aan een eco-cruise control. Ik heb zelf samengewerkt met collega’s uit Blacksburg en het Virginia Tech Transportation Institute in de VS. Daar heb ik vooral gewerkt aan een geschikt verbruiksmodel, via metingen tijdens testritten. Zo’n samenwerking geeft veel voldoening en verruimt ook je onderzoeksmogelijkheden.” “Na mijn doctoraat ga ik eerst negen maand lesgeven in Zuid-Afrika. Daarna zien we wel. Onze unieke aanpak is veelbelovend, en ik hoop dat ik daar in de toekomst nog een en ander mee kan doen. De ecologische dreiging van broeikasgassen is in elk geval té groot om alles zomaar op zijn beloop te laten.”
Ecorijden doe je zo • Vervoer geen onnodig gewicht, controleer regelmatig de bandenspanning en wees spaarzaam met airco. • De optimale snelheid ligt tussen 50 en 90 km/u. De tijdswinst bij hoge snelheden weegt niet op tegen het meerverbruik: per 10 km/u sneller is er een meerverbruik van meer dan 10%. • Hou je snelheid zoveel mogelijk constant, wat betekent dat je anticiperend moet rijden. • Hoe groter het verschil tussen je huidige snelheid en de snelheid die je wil bereiken, hoe krachtiger je mag versnellen. • Schakel bij een benzinemotor rond 2.000 rpm; bij een dieselmotor rond 1.500 rpm. Dit lijkt laag, maar is voor moderne motoren geen probleem. • Het moeilijkste onderdeel van ecorijden is optimaal vertragen. Bij snelheden boven 50 km/u hou je het ontkoppelingspedaal ingedrukt. Bij lagere snelheden rem je op de motor. Bij snelheden lager dan 20 km/u gebruik je de remmen. Hoe korter de afstand waarover je moet vertragen, hoe sneller je moet remmen op de motor en hoe sneller je moet remmen. • Begin meteen te rijden wanneer je de motor start. ‘Opwarmen’ is niet nodig. • Zet de motor uit wanneer je langer dan 5 seconden stilstaat – maar niet op een kruispunt of bij verkeerslichten. • Kies voor een kleine auto, of nog beter: openbaar vervoer of fiets.
Dit artikel verscheen eerder in de Campuskrant van de KU Leuven.
12
Geografische verschuivingen met Markov-ketens Voor sommige mensen is leven in de stad aantrekkelijker dan het meer geïsoleerde leven op het platteland. Anderen verkiezen de voordelen van de stadsrand als oplossing bij de keuze tussen de stad en het platteland. Er is ook de groep van mensen die het rustige platteland ziet als hun ideale habitat. De verspreiding van de mensen verandert elk jaar omdat mensen continu verhuizen. Om de tijdsevolutie van de domicilieveranderingen te bestuderen, kan wiskunde nuttig zijn door middel van de Markovketens. Deze theorie laat toe om het langetermijngedrag van de verschuivingen te modelleren, waarmee opnieuw geïllustreerd wordt hoe wiskunde kan worden toegepast binnen andere disciplines.
Inleiding
Bij het beschrijven van de evolutie in de tijd van de migratie tussen leefomgevingen, onderscheiden we drie verschillende types: stad, stadsrand en platteland. Dit proces kan worden voorgesteld door een transitiematrix T geassocieerd met de Markov-keten die de veranderingen in de tijd modelleert van de populatieaantallen voor de drie types van leefomgevingen. Het element Tij duidt de kans aan dat een individu gedomicilieerd in een leefomgeving van het type i verhuist naar een leefomgeving van het type j tijdens 1 tijdstap. We veronderstellen dat de matrix T constant is in de tijd. Bovendien heeft deze matrix T de speciale 3
eigenschap dat
∑ Tij = 1 voor elke j , aangezien T bestaat uit kansen en we i=1
veronderstellen dat de drie types elkaar uitsluiten en dat elk individue in precies één van de leefomgevingen moet wonen.
Markov-ketens
Een algemene Markov-keten bestaat uit een sequentie X(0),X(1),…,X(n) van vectoren X van dimensie k, waarbij er k mogelijke toestanden voor een object zijn. De transitie van de situatie op moment n (voorgesteld door X(n)) naar moment n+1 (voorgesteld door X(n+1)) wordt weergegeven door X(n+1) = T X(n) waarbij T de transitiematrix van de Markov-keten is. Als we de startvector X(0) kennen, leert X(n+1) = T X(n) ons dat X(n) = Tn X(0). Om de evolutie van Tn te bestuderen als n ∞, gebruiken we de diagonalisatie van de matrix T . Als P de matrix is met eigenvectoren van T als kolommen, dan is T = P D P-1met D een diagonaalmatrix met de eigenwaarden van T op de diagonaal. n
Op die manier is
1
… 0
-1 -1 -1 Tn = (PDP ) (PDP ) … (PDP ) = PD nP -1 = P. n times
Tekst: Tanja Van Hecke
vector
. P -1 . 0 … 0
Perspectief
13
Aangezien transitiematrices van Markov-ketens de eigenschap hebben dat 0
≤
k
≤
k-1
≤ ... ≤
1
= 1,
1 … 0 zal
limn
∞
Tn = P .
. P -1 . 0 … 0
Voor het langetermijngedrag van het Markov-proces, is de eigenvector van de matrix T met eigenwaarde 1 van bijzonder belang. Aangezien X∞ = T X∞ met X∞ = lim X(n) (vastetoestandsvector genoemd), is de vector X∞ een eigenvector van n +∞ de matrix T met eigenwaarde 1.
Verschillende verhuistrends
Bij het modelleren van het verhuisproces met matrices, beschouwen we drie verschillende types van migratie.
ns X(0) = nr np
De startvector geeft de verdeling weer van de initiële populatie N = ns + nr + np , waarbij bijvoorbeeld nr het initieel aantal individuen voorstelt dat leeft in de stadsrand. We beschouwen drie voorbeelden van verhuistrends: Type I: Veronderstel dat er een algemene migratietendens is van één type van omgeving naar een andere, bijvoorbeeld per jaar verhuist de helft van de mensen. De mensen die de stad verlaten, zullen allen kiezen voor de stadsrand als nieuwe leefomgeving. Voor de mensen van het platteland heeft deze stadsrand dezelfde aantrekkingskracht. De mensen die de stadsrand verlaten, verhuizen in gelijke mate naar de stad als naar het platteland. Dan kan de tijdsevolutie over één tijdsinterval (meestal een jaar) voorgesteld worden door de transitiematrix s r p
s 0.5 0.25 0 a T = r 0.5 0.5 0.5 . p 0 0.25 0.5 Aangezien
1/√6 -1/√2 1/√6 1 0 0 1/√6 -1/√2 1/√6 0 -2/√6 . 0 ½ 0 . 2/√6 0 -2/√6 = aP a. D a. P -1 , T = 2/√6 1/√6 1/√2 1/√6 0 0 0 1/√6 1/√2 1/√6
a
kan de langetermijnvector geschreven worden als
1/4 1/4 1/4 1 0 0 1 N , 2 X∞ = (aP . lim aD. a P -1) X(0) = ( a P . 0 0 0 . aP -1) X(0) = 1/2 1/2 1/2 X(0) = n +∞ 4 1/4 1/4 1/4 0 0 0 1 die evenredig is met de eigenvector van de eigenvalue 1 van de matrix aT.
14 Type II: Dankzij investeringen van de lokale authoriteiten om de stad aantrekkelijker te maken, ontstaat er een algemene trend om naar de stad te verhuizen. Een mogelijke transitiematrix wordt
1 2 1
s r s 1 0.5 b T = r 0 0.5 p 0 0
p 0 1 , 0
die kan geschreven worden als
1 -1/√2 1/√6 1 -1/√2 1/√6 1 0 0 b T = 1 1/√2 -2/√6 . 0 0.5 0 . 0 1/√2 -2/√6 = bP .bD . bP -1 . 0 0 1/√6 0 0 1/√6 0 0 0 1 1 0 0 De langetermijnvector wordt X ∞ = bP . 0 0 0 . bP -1) X(0) = (ns + nr + np ) 0 . 0 0 0 0 1 Deze is evenredig met de eigenvector 0 van de eigenwaarde 1 van de matrix cT. 0 Type III: Wanneer de stad inboet aan attractiviteit, bijvoorbeeld ten gevolge van media die rapporteert over slechte luchtkwaliteit in de stad, is volgende transitiematrix een mogelijke vertolking van de verhuistendens.
s r p -1 s 0 0 0 0 0 1/√6 1 0 0 0 0 1/√6 c T = r 1 0.5 0 = 0 -1/√2 -2/√6 . 0 0.5 0 . 0 -1/√2 -2/√6 = cP .cD . cP -1 p 0 0.5 1 0 1/√2 1/√6 0 0 0 1 1/√2 1/√6 1 1 0 0 De langetermijnvector X ∞ = ( cP . 0 0 0 . cP -1) X(0) = (ns + nr + np ) 0 0 0 0 0 0 is evenredig met de eigenvector 0 van de eigenwaarde 1 van de matrix cT. 1
vector
Perspectief
15
aantrekkelijke stad
algemene migratie
100 60 80 50 60
aantal plattelandsbewoners aantal stadsbewoners aantal stadsrandbewoners
aantal plattelandsbewoners aantal stadsbewoners aantal stadsrandbewoners
40
40 30 20 20 0
5
10
15
20
Figuur 1: Het langetermijngedrag van X(n) met een aantrekkelijke stad ( bTals transitiematrix).
Deze resultaten tonen aan dat in het geval van aantrekkingspolen (zoals de stad of het platteland in types II en III respectievelijk), alle mensen op lange termijn in die aantrekkingspolen belanden. Om te illustreren, beschouwen we de evolutie op lange termijn Figuur 1 illustreert het langetermijngedrag van X(n) geëvokeerd door bT. De drie componenten van de vector X(n) worden voorgesteld gedurende 20 opeenvolgende jaren met startvector Na een aantal jaren 25 is iedereen verhuisd X(0) = 50 . naar de stad, wat de vastetoestand is van 25 het proces. Wanneer a T gebruikt wordt als transitiematrix, zijn er geen aantrekkingspolen aanwezig. Figuur 2 is gebaseerd op startvector en stelt de evolutie 60 over 20 jaar voor van 20 X(n) naar de vaste X(0) = 20 toestandsvector
0
10
15
20
Figuur 2: Het langetermijngedrag van X(n) met algemene migratie ( aTals transitiematrix).
De componenten van 50 ∞ deze vector stellen 25 . X = respectievelijk het aantal inwoners in de 25 stad, de stadsrand en op het platteland voor. Het is opmerkelijk dat in het meer algemene geval van type I, de initiële verdeling van de totale bevolking N in ns ,nr en np , irrelevant voor het langetermijngedrag dat enkel bepaald wordt door de transitiematrix aT.
Conclusie
5
Het is mogelijk om de vastetoestandsvector te voorspellen voor de verdeling van de totale populatie volgens de leefomgeving door middel van de theorie van de Markov-ketens. Het langetermijngedrag kan leiden tot een concentratie van de ganse bevolking in één leefomgeving. Bij meer realistische situaties waarbij zich geen afgetekende aantrekkingspool voordoet, heerst er een langetermijngedrag waarbij de evenwichtssituatie verbonden is met de vastetoestandsvector van de transitiematrix.
Voor leerlingen kan dit onderwerp een boeiend project vormen waar ruimte is voor experimenteren. De gevolgen van het wijzigen van de startvector en/of van de transistiematrix kan bestudeerd en verklaard worden. Volgende oefeningen zijn voorbeelden van wat als opdracht kan gegeven worden aan leerlingen om hen te laten werken rond dit onderwerp. Oefening 1: Gebruik de theorie van eigenwaarden om de diagonalisatie van aT af te leiden. Oefening 2: Omschrijf met woorden wat je allemaal leert over de verhuistrends weergegeven door de matrix bT. Oefening 3: Bestudeer experimenteel het langetermijngedrag met variërende startvectoren. Produceer rijen van vectoren X(n) en teken de componenten in functie van de tijd.
16 zakelijk verband is. De hoeveelheid chocolade die in een land gegeten wordt, heeft dus niets te maken met het aantal Nobelprijzen in dit land. Stop dus maar met die kilo’s chocolade en sloten melk (of nog beter, sloten chocolademelk)! Jammer genoeg worden we er niet slimmer van. “Dit onderzoek is een prachtige illustratie om te laten zien wat er gebeurt als je een verband verwart met oorzaak en gevolg”, vertelt Maarten Keulemans, wetenschapsredacteur van de Volkskrant.
Hold your horses!
“Wie veel chocomelk drinkt, heeft meer kans op het winnen van een Nobelprijs!” Het gebeurt wel vaker: fout interpreteren van statistieken. Onlangs stond op de website van heel wat nieuwsorganisaties te lezen dat Britse neurologen na onderzoek concludeerden dat ‘hoge consumptie van chocolade zorgt voor meer Nobelprijswinnaars’. Hoera voor de Zwitsers, Britten en Belgen, want zij maken de top drie van de landen waar het meeste chocolade geconsumeerd wordt! Een week later verscheen een onderzoek waarin men beweerde dat in landen waar meer melk gedronken wordt, er eveneens meer Nobelprijswinnaars zijn. Helaas voor ons (de Belgen), was het artikel een reactie op het eerste chocoladeartikel en wou men aantonen dat een verband niet noodzakelijk een oor-
vector
We weten allemaal dat statistieken met de nodige voorzichtigheid geïnterpreteerd moeten worden. Het verschil tussen correlatie en causaliteit wordt al te vaak over het hoofd gezien. “Dat is een vergissing die helaas veelvuldig wordt gemaakt, ook door wetenschappers die grote hoeveelheden factoren tegelijk bekijken. Je vindt dan al snel twee dingen die toevallig samen zijn toegenomen of afgenomen, ook als het helemaal niet voor de hand ligt dat het een het gevolg is van het ander. Chocolade eten is goed voor de gezondheid, heet het dan al snel. Of voor het winnen van een Nobelprijs, dat kan ook.", zegt Keulemans. Franz Messerli, een van de chocoladeonderzoekers, vertelt aan de National Post dat het een onderzoek met een knipoog is: “De wetenschappers onder ons zullen zich onmiddellijk realiseren dat dit eigenlijk een grap is.” Volgens Messerli onderstreept dit vooral de feilbaarheid van wetenschappelijk onderzoek en dat de relatie tussen oorzaak en gevolg ‘in geen geval overtuigend is’. Bron: De Volkskrant
Surfers en wiskundigen, vreemde combinatie? Wat krijg je als je een Australische surferwiskundige met een statisticus combineert? Nieuwe technieken om levens te redden! Na de tragische dood tijdens een wedstrijd van een 14-jarige surfer vorig jaar in Australië bundelden professoren wiskunde en statistiek van Bond University – zelf ook grote surffanaten – de krachten met Surf Life Saving Australia om te gaan werken aan een “Surf Safety Index”.
Surf Safety Index
Neville de Mestre, emeritus hoogleraar in de wiskunde aan Bond University, probeerde om samen met collega Gary McCoy, een index te ontwikkelen die ervoor moet zorgen dat surfers veiliger het water op kunnen gaan. De index zal worden gebruikt om na te gaan of het verantwoord is om surfwedstrijden te laten doorgaan. “Het is een metrisch model dat onder andere rekening houdt met de gevaren van de branding op een strand op een gegeven moment en de ervaring van de verschillende deelnemers”, zegt McCoy. “Belangrijke risico’s tijdens wedstrijden zijn dingen zoals golfhoogte, -type en -periode, lengte van de brandingszone, oppervlakteturbulentie, litorale drift en natuurlijke of door de mens veroorzaakte obstakels zoals rotsen, riffen, watervervuiling, schittering door de zon...” De index zou klaar zijn om getest te worden wanneer het surfseizoen opnieuw begint, maar de SLSA toonde al interesse voor het gebruik ervan tijdens de gewone strandpatrouilles. Bron: Mathematics of planet earth
Faits divers Hogere wiskunde bij dolfijnen? Om vis te vangen in een school blazen dolfijnen luchtbellen. Dit zorgt ervoor dat de vissen nog dichter op elkaar gaan zwemmen en dat het gemakkelijker wordt om er eentje uit te pikken. Maar met al die bubbels wordt het wel moeilijk om te zien waar de vissen zwemmen. Daarom maakt een dolfijn gebruik van echolocatie. Door klikgeluiden te maken, achterhaalt de dolfijn hoe zijn omgeving eruit ziet. Maar hoe kennen ze het verschil tussen de luchtbellen en de vissen? Er is toch geen onderscheid merkbaar? Dat denk je maar: het systeem werkt blijkbaar prima!
Bubbels Wetenschappers zetten een onderzoek op om uit te zoeken hoe de dolfijnen toch de vissen kunnen zien achter het ‘luchtbellengordijn’. Ze ontdekten dat de dolfijnen mogelijks een ingewikkeld wiskundig handigheidje gebruiken: nonlineaire wiskunde. Optellen, aftrekken en vergelijken lijkt een fluitje van een cent voor dolfijnen. “We weten dat dolfijnen klikjes uitzenden en de amplitude van elke klik kan verschillen, dus niet alle klikken zijn even luid.” vertelt onderzoeker Tim Leighton.
17 “We vroegen ons af of de variaties in de amplitude toeval waren. Wat als dolfijnen de klikken doelbewust inzetten om vissen van luchtbellen te onderscheiden?” Het zou volgens volgend systeem werken: de dolfijn stuurt bijvoorbeeld een sterke klik uit en een klik die 1/3 keer zwakker is. Beide klikken worden weerkaatst, maar de zwakke worden sterker weerkaatst dan de sterke. Blijkbaar zouden dolfijnen zich dus herinneren hoe de klikken verzonden zijn en hoe die zich tot elkaar verhouden. De onderzoekers baseren hun conclusies op een aantal experimenten. Ze deden zelf testen met soortgelijke klikken die dolfijnen uitzenden en onderzochten ze daarna met non-lineaire wiskunde. Het is nog niet bewezen dat dolfijnen dit systeem daadwerkelijk gebruiken, maar het zou wel verklaren waarom zij vissen kunnen onderscheiden van luchtbellen. Dit onderzoek is vooral ook voor de mens belangrijk vertelt Leighton: “Deze manier laat zien dat mensen objecten in water met luchtbellen kunnen detecteren en classificeren door gebruik te maken van dolfijnachtige pulsen. Zo kan men het systeem bijvoorbeeld gaan gebruiken bij de opsporing van mijnen in water met veel luchtbellen.”
Wiskunde = pijn Amerikaanse wetenschappers hebben aangetoond dat denken aan wiskunde letterlijk pijn kan doen. Voor hun conclusie baseren zij zich op een experiment met veertien volwassen die allemaal bang waren voor wiskunde. Het angstniveau werd gemeten aan de hand van een vragenlijst waarop men moest aanduiden hoe bang men was wanneer men een wiskundeboek kreeg, naar een wiskundelokaal liep of nadachten over wiskunde-examens. Tijdens het experiment werden de proefpersonen ook onder een MRIscanner geplaatst om hun hersenactiviteit te meten terwijl ze wiskundige sommen moesten oplossen. Uit het experiment bleek dat de proefpersonen een reactie in de hersenen vertoonden die overeenkomt met een reactie als we fysieke pijn ervaren. Opvallend was wel dat niet het rekenen zelf, maar wel de verwachting van een som te moeten maken, tot pijn leidde. “Dat suggereert dat niet de wiskunde zelf pijn doet, in plaats daarvan is de verwachting wiskunde te moeten doen, pijnlijk” vertelt onderzoeker Beilock.
Bron: scientas
Dit onderzoek heeft ook implicaties voor de behandeling van wiskundeangst. Nu worden mensen met angst voor wiskunde vaak nog gezien als mensen die slecht zijn in wiskunde. Onterecht dus volgens dit onderzoek. De angst moet net als andere fobieën behandeld worden. Eerder onderzoek onderschrijft deze manier. Daaruit bleek dat jongeren die voor een wiskundetoets een tekstje over hun angst schreven, daarna beter presteerden. Bron: Kennislink
TWITTER Blijf vanaf nu ook op de hoogte van het meest recente wiskundenieuws via Twitter. Volg ons via @VectordieKeure Interessante links, artikels, evenementen... we houden het voor jullie in de gaten.
Pincodes kraken Is uw pincode 2580? Dan heeft u een van de minst veilige pincodes die er is. Met een code als 1959 zit u een stuk beter: dit is een van de veiligste codes. Dat blijkt uit een onderzoek van twee wiskundestudentes aan de Universiteit van Eindhoven. Een pincode achterhalen kan op allerlei manieren, de een al iets minder illegaal dan de ander. Een microcamera installeren zodat je de combinatie kunt filmen, de hitte die je vingers op de toetsen achterlaten achterhalen... Maar het kan ook simpeler: door gewoon te kijken naar de bewegingen die je hand op het moment dat je pincode intoetst, maakt. Uit het onderzoek van studentes Anne Eggels en Aukje Boef blijkt dat handbewegingen heel wat pincodes prijs
vector
kunnen geven. Een voorbeeld: je ziet de hand van iemand naar beneden bewegen, maar nooit opzij gaan. Dan weet je: de pincode is 2580. Daarmee is dit een gemakkelijk te achterhalen code. En dit is niet de enige code die gemakkelijk te kraken is: er zijn er nog zo’n 54 die door goed naar de handbewegingen te kijken, gemakkelijk af te lezen zijn. Uit het onderzoek blijkt dat er zo’n 292 codes zijn waarbij de handbewegingen ook heel wat verraden. Kijken naar de handbewegingen die tijdens het intoetsen van deze codes worden gemaakt, levert drie mogelijke codes op. En omdat u drie keer een code kunt proberen alvorens een rekening wordt geblokkeerd, zijn ook deze codes allesbehalve veilig.
1959
Zijn er dan ook nog veilige codes? Jawel. Dat zijn de codes waarbij zoveel
mogelijk handbewegingen tegen elkaar in worden gemaakt. Dat is bijvoorbeeld het geval bij een pincode als 1959. De bewegingen die bij het intoetsen van deze code gemaakt worden, passen bij nog eens 105 andere codes. Op basis van hun onderzoek hebben de studentes nog wel een advies voor mensen die hun pincode veel liever voor zichzelf houden. De hand afschermen en zo de handbewegingen aan het zicht onttrekken, is bijvoorbeeld verstandig. En wanneer u zelf een pincode kunt kiezen, doet u er goed aan om te gaan voor een combinatie waarbij veel handbewegingen tegen elkaar in worden gemaakt. Natuurlijk geldt het onderzoek niet alleen voor codes die bij uw bankkaart horen, maar bijvoorbeeld ook voor codes waarmee u kluisjes opent. Bron: Wetenschap24
Kijktip
Vorig jaar verscheen de animatiefilm Sphereland, het vervolg op Flatland. Het is een prachtige verfilming van het boek van Dionys Burger’s Sphereland: A Fantasy About Curved Spaces and an Expanding Universe.
19
Flatland² Sphereland Sphereland is het vervolg op Flatland een roman van Edwin Abbott Abbott. De sequel is niet door hem geschreven, maar door de Nederlandse wiskundige Dionys Burger. In zijn boek gaat hij verder in op de sociale en wiskundige fundamenten waarop Flatland was gebaseerd.
als ketterij. De Circles zullen met iedereen korte metten maken die er zelfs maar over durven spreken. Tot op een dag A. Square bezoek krijgt van een bol uit een derde dimensie en beseft dat zijn 2D-wereld in werkelijkheid slechts deel uitmaakte van een universum van een hogere dimensie.
Edwin Abbott Abbott (inderdaad 2x Abbott om zichzelf te onderscheiden van zijn vader met exact dezelfde naarm) beschreef in Flatland een land waar slechts twee dimensies, lengte en breedte, bestonden. Hoe meer hoeken je hebt, hoe belangrijker je bent. Dat zorgt ervoor dat cirkels de onbetwiste leiders zijn, want zij hebben zodanig veel hoeken dat je ze zelfs niet meer ziet.
Spaceland gaat verder op dit verhaal. De Circles staan nog steeds aan het hoofd van Flatland en verwerpen de ontdekking van een derde dimensie door A. Square, waardoor hij verstoten wordt uit hun samenleving. Maar op een dag ontdekt een wetenschapper een driehoek die groter is dan 180° en trekt daarmee naar de enige persoon die naar hem wil luisteren: Hex, de zeshoekige kleinzoon van A. Square. Samen bedenken ze een theorie die de ongewone metingen moet verklaren: er bestaan nog andere gebieden naast hun eigen Flatland. Samen met Spherius (de bol uit de eerste film) willen ze hun theorie gaan bewijzen, met alle gevolgen van dien.
Zijn held in het verhaal, A. Square (A² = Abbott Abbott), leeft een saai leventje met zijn lineaire vrouw en veelhoekige kinderen in een vijfhoekig huis in het 2D-universum van Flatland, dat een Euclidisch vlak is. Een derde dimensie is dus ondenkbaar en wordt beschouwd
Extra info: Flatland² Sphereland en Flatland: the movie kunnen besteld worden via www.flatlandthemovie.com
20
Nummers in New York.
Wiskunde die leest als een strip… Beter nog: dit is een echt stripverhaal. Volgens de maker zelfs het ‘eerste wiskunde stripboek ter wereld’. Het bestaat uit twee delen. Eerst is er het verhaal, 16 bladzijden lang, dus gemakkelijk in je les in te passen. In het tweede deel wordt de basiskennis getallen summier uitgelegd, alsook twee bladzijden meetkunde. Het verhaal. Drie leuke karakters, Anna, Bao en Charley, leren elkaar kennen op een jongerenconferentie in New York. Die start op het hoofdkwartier van de VN, maar de eerste wiskunde treffen ze aan in de Wc Ronalds. Ze vinden een USB-stick met coördinaten die hen leidt naar Central Park, de Brooklyn Bridge, Wall Street en zelfs Ground Zero. Overal wordt wiskunde aangetroffen en worden problemen opgelost: aanzichten herkennen, coördinaten interpreteren, formules invullen, inhouden berekenen. Overal vinden ze steeds nieuwe aanwijzingen voor een wel erg futuristische finale. Jawel, een
vector
spannend wiskundeverhaal van drie jonge mensen in een wel erg grote stad. Wie problemen heeft met enkele gebruikte begrippen in de strip, kan een woordje (en tekeningetje) uitleg krijgen achterin. Vooral jongeren met dyscalculie hebben baat bij deze werkvorm. Met ijsblokjes wordt de volgorde van bewerkingen uitgelegd (in Nederland zijn dit de ‘voorrangsregels’). Ook alle bewerkingen met of zonder breuken worden met veel prentjes uitgelegd. Al is het bij de worteltrekking niet steeds duidelijk waar de vierkantswortel eindigt door het ontbreken van het horizontale streepje bovenaan. Jammer ook dat hier geen sprake meer is van de parabool, toch wel een nieuw begrip voor het doelpubliek. Onze leerlingen uit de eerste graad zullen aan deze mooi getekende strip van Stephan Timmers zeker wat hebben.
- Als leerkracht kan je het inpassen in een project. - Trek het door naar ‘nummers in jouw stad of school’. - Leg het in je kast als beloning voor de snel werkende leerling. - Koop het aan voor je schoolbibliotheek, waar dit lovenswaardig initiatief voor 7 euro niet mag ontbreken. De leerkracht beschikt ook over een docentenhandleiding waarin extra vragen en antwoorden staan over bepaalde plaatjes in de strip. Wij kijken alvast uit naar het beloofde vervolg bij uitgeverij Total Shot, waar dezelfde doelgroep ook strips kan vinden over Rome (geschiedenis), Europa (economie) en Frankrijk. tekst: Filip Geeurickx
Auteur: Stephan Timmers Uitgeverij: Total Shot Productions ISBN: 978 90 8105 750 9 Prijs: € 7,00
Leestips
Wiskunde in beeld Wiskunde in beeld verbeeldt met unieke computergraphics abstracte wiskunde in concrete en oogstrelende 3Dmodellen. Het boek is geschreven door Georg Glaeser en Konrad Polthier. Wiskunde in beeld vertaalt de aanschouwelijke facetten van de wiskunde in meer dan duizend kleurige illustraties. Sommige zijn nooit eerder geconstrueerd. Alle beelden zijn voorzien van verklarende tekst, literatuurverwijzingen of de nodige weblinks om nog dieper op de materie in te gaan. Echt iets voor liefhebbers van wiskunde die niet alleen maar droge berekeningen en formules willen zien. En afbeeldingen leiden letterlijk tot inzicht. Dit boek is een lust voor het oog, ook voor diegenen die huiveren van de wiskundelessen. Meer nog, dit boek bezit de unieke gave om wiskunde zeer aantrekkelijk voor te stellen. Dit naslagwerk bevat meer dan duizend meerkleurige 3D-computergrafieken van abstracte modellen, vormen en problemen uit alle deelgebieden van de wiskunde, met toepassingen in de natuur, de geneeskunde…
21
Alle thema’s zijn bovendien bevattelijk verwoord zonder aan wetenschappelijke correctheid in te boeten. Ieder onderwerp wordt beknopt voorgesteld en bevat verwijzingen naar boeken en websites voor wie zich er verder in wil verdiepen. De auteurs zijn beiden vermaarde hoogleraren wiskunde, de ene doceert aan de Universität für angewandte Kunst in Wenen en de andere aan de Freie Universität van Berlijn. Het is de verdienste van beiden om met dit boek het saaie imago dat wiskunde voor velen heeft, van zich af te gooien, en wiskunde kunstig voor te stellen ten dienste van de didactiek. Wie gefascineerd is door de werken van Vasarely en Escher en vele andere, hedendaagse kunstenaars, krijgt met het lezen (en bekijken) van dit boek een dieper inzicht en grotere fascinatie voor ‘de wonderen der wetenschap’. Het is een naslagwerk dat tijdloos is en ‘dwingt’ om regelmatig even ter hand te nemen. Het is een ongelofelijke verdienste van de auteurs om een wiskundeboek zo mooi weer te geven dat je bijna zou vergeten dat het in essentie om een didactisch wetenschappelijk werk gaat en niet om een kunstboek.
Auteur: Georg Glaeser en Konrad Polthier Uitgeverij: Veen Magazines BV ISBN: 978 90 8571 250 3 Prijs: 42,95
Het Labyrint van Occam Iedereen met een scherpe geest kan op ontdekkingsreis in Het Labyrint van Occam, waar logica en wiskunde de essentie zijn van de werkelijkheid. Het Labyrint is een doolhof van breinbrekers waarin je met slimme denksprongen elk dwaalspoor moet zien te vermijden. William van Occam, een veertiendeeeuwse Engelse monnik, introduceerde het ‘scheermes van Occam’, een vuistregel die nog niets aan actualiteit heeft ingeboet: als je allerlei aannames kunt doen om verschijnselen te verklaren, snij dan alles weg wat niet strikt noodzakelijk is, en je houdt het ware over.
22
Een advies dat in dit boek perfect van pas komt. Behalve wonderlijke varianten van klassiekers als de sudoku, het magische vierkant en het kruiswoordraadsel, ontwierp Arnout Jaspers echte breinbrekers zoals het openbreintentamen, de getalpaargenetica en de atoomkerntrisectie. Grote delen van het Labyrint kun je zonder enige kennis van de wiskunde verkennen, maar er zitten ook stevige uitdagingen tussen, waar je gemakkelijk enkele dagen in verdwaalt. Voor de meest gemotiveerde ontdekkingsreizigers bevat het Labyrint talrijke suggesties voor nader onderzoek. Met William van Occam in gedachten, zul je uiteindelijk de uitweg vinden in dit wonderbaarlijke labyrint. Die wiskundige breinbekers vormen natuurlijk de essentie van dit boekje. Achteraan vind je de oplossingen, maar tracht een kijkje op die pagina’s zo lang mogelijk uit te stellen. Daardoor neemt het puzzelplezier toe of net niet? De opgaven zijn niet van de poes! Arnout Jaspers is hoofdredacteur van wiskundetijdschrift Pythagoras en freelancewetenschapsjournalist voor onder meer vpro, ntr en de Volkskrant. Eerder verscheen mede onder zijn redactie De Pythagorascode, het beste uit vijftig jaargangen Pythagoras.
Auteur: Arnout Jaspers Uitgeverij: Bert Bakker ISBN: 978 90 3513 764 6 Prijs: € 19,95
vector
Hoe wiskunde de wereld veranderde De opkomst van de beschaving en ontwikkelingen in de wiskunde zijn hand in hand gegaan. Wiskundige vernieuwing maakte navigatie op oceanen mogelijk en daarmee de ontdekking van nieuwe landen. Mobiele telefoons zouden niet werken zonder de mogelijkheid van berekeningen in tien dimensies en we maken dagelijks gebruik van abstracte algebra (ja, iedereen, elke dag opnieuw). Veel van wat we als normaal beschouwen - van internet en bruggen tot ruimtevaart en financiële beurzen berust op wiskundige vooruitgang. Kortom: onze wereld zou niet kunnen functioneren zonder wiskunde. Van de eerste getallen tot de chaostheorie en verder: in deze verhelderende geschiedenis van de wiskunde behandelt Ian Stewart, auteur van de wereldwijde bestseller Professor Stewart’s verzameling van wiskundige raadsels, fundamentele vraagstukken uit de wiskunde. Op, de van hem bekende, humoristische wijze beschrijft hij de grootste wiskundige ideeën, de briljante geesten en de vele praktische toepassingen. Hij geeft zo een inzicht in een fascinerend verschijnsel dat onze wereld heeft gemaakt tot wat zij nu is.
Auteur: Ian Stewart Uitgeverij: Lias ISBN: 978 90 8803 022 2 Prijs: € 19,95
De zeven grootste raadsels van de wiskunde Op 24 mei 2000 presenteerde het Amerikaanse Clay Mathematics Institute tijdens een plechtige bijeenkomst in het Collège de France in Parijs een lijst met de zeven grootste onderzoeksvragen van de moderne wiskunde: de millenniumproblemen. Voor de oplossingen reserveerde het instituut een bedrag van zeven miljoen dollar: een miljoen voor iedereen die als eerste een millenniumprobleem weet op te lossen. In 2003 was het raak: de Rus Grigori Perelman wist het zogeheten Poincaré-vermoeden te bewijzen, een van de grootste doorbraken in de wiskunde ooit. Het duurde echter nog tot 2010 voor het prijzengeld officieel aan Perelman werd toegekend: het kostte experts jaren voor zij het bewijs van Perelman volledig hadden gecontroleerd. Perelman bleek echter niet geïnteresseerd te zijn in het geld. ‘Ik heb alles wat ik hebben wil,’ zo verklaarde hij. De overige zes millenniumproblemen wachten nog altijd op een oplossing. De zeven grootste raadsels van de wiskunde geeft de lezer op een toegankelijke manier een kijkje in de complexe, maar zeer fascinerende wereld van het hedendaagse wiskundeonderzoek.
Auteur: Alex van den Brandhof Uitgeverij: Bert Bakker ISBN: 978 90 3513 801 8 Prijs: € 19,95
Leestips
23
wedstrijd
vraag
Wiskunde dat kun je begrijpen Duizenden jaren geleden begon de wiskunde door streepjes op botten te kerven. Millennia verder is dit vak uitgegroeid tot een veelomvattende wetenschap. Zonder wiskunde zou er geen ruimtevaart, internet, gsm of MRI-scan bestaan. Hoewel de wiskunde zich in de loop der eeuwen heeft vertakt tot een systeem van allerlei specialismen, blijven enkele fundamentele begrippen, stellingen en theorieën de vaste basis voor iedereen die zich met wiskunde bezighoudt. In 'Wiskunde, dat kun je begrijpen!' worden een aantal van deze wiskundige kernideeën op heldere en aanschouwelijke wijze uiteengezet. Daarbij baseren de auteurs zich ook op de historische ontwikkeling van het vak dat voor velen een formeel denkspel is, maar dat van oorsprong vooral praktisch was.
In deze gereviseerde en sterk uitgebreide uitgave van het succesvolle boek 'Wiskunde in een notendop' is de tekst van de oorspronkelijke hoofdstukken verdiept en aangevuld. Bovendien zijn er drie nieuwe hoofdstukken toegevoegd en zijn in elk hoofdstuk een aantal uitdagende vraagstukken voor de lezer opgenomen. Martin Kindt en dr. Ed W.A. de Moor hebben beiden hun sporen verdiend als docent in het voortgezet en hoger onderwijs, maar ook als onderzoekers en ontwikkelaars van wiskundeonderwijs bij het Freudenthal Instituut van de Universiteit Utrecht. Beiden publiceren regelmatig over reken- en wiskundedidactiek en de historische aspecten daarvan.
Auteur: Martin Kindt en Ed De Moor Uitgeverij: Bert Bakker ISBN: 978 90 3513 805 6 Prijs: € 19,95
Wilt u kans maken op een boekenpakket? Stuur dan voor 30 april uw antwoord op onderstaand vraag naar vector@diekeure.be Als je bovenstaande donut met drie rechte sneden in stukken mag snijden, wat is dan het grootste aantal stukken dat je kunt krijgen? (Tussen de drie sneden door mag je de stukken niet verplaatsen.)
vector
WISKUNDECONGRES
spread the word het wiskundecongres van 2013: Zaterdag 23 maart 2013
wiskunde
innovatief onderwijs spread the maths Technopolis, Mechelen
Bedankt dat u erbij was op 23 maart! Toen organiseerde Studipolis i.s.m. VBTL, de wiskundemethode van die Keure Educatief, een groots wiskundecongres. Heb je het gemist of wil je de topics nog even nalezen en de foto’s bekijken? Surf dan naar www.wiskundecongres2013.be Wil je op de hoogte blijven en de volgende keer hierbij zijn? Registreer je dan op www.educatief.diekeure.be of volg ons op facebook via Facebook.com/Diekeure
educatieve uitgaven
www.studipolis.be
www.vbtl.diekeure.be
www.educatief.diekeure.be