Issuu

Tijdschrift voor wiskundeonderwijs Oktober 2011 nummer 13

vector

inhoud

voorwoord

Beste wiskundeliefhebber, De grote vakantie ligt alweer twee maanden achter ons, tijd voor een nieuwe

Vector!

Voorwoord

In dit oktobernummer gaan we op bezoek bij Jean Paul Van Bendegem, die ons meer vertelt over zijn nieuwste tentoonstelling ‘0/10?’. En ook ‘Dynamath’

Jean Paul Van Bendegem

in Charleroi kreeg Vector over de vloer. Hendrik Van Maldeghem rekende uit wanneer een (nieuwe) Vlaamse feestdag zou

moeten vallen, zodat we een maximum aan vakantie hebben.

Wanneer wordt Vlaanderen het ‘best’ onafhankelijk?

Dirk Huylebroeck ging op onderzoek in Ronquières naar een vlak dat scheef helt. Dat en nog veel meer in de nieuwe editie van Vector!

Alvast veel leesplezier gewenst!

Faits divers

Ronquières helt scheef

Tips voor Trips: Dynamath

Leestips

NIEU

Wiskundewoordenboek Dit wiskundevademecum bevat alle leerstof van de eerste graad. Het wiskundewoordenboek is een handig opzoekboekje, waarin alle begrippen alfabetisch staan opgelijst. Achteraan vind je bijlagen over ‘wiskunde leren leren’: mindmaps, tips bij bewijzen, formules … (12 cm x 16,5cm – hardcover – kleur) Auteurs Björn Carreyn, Filip Geeurickx, Roger Van Nieuwenhuyze

Bestelgegevens ISBN 978 90 4860 516 3 bestelnr. 94 404 0101 Wiskundewoordenboek € 10,00* Bestellen kan via mail corinne.gilte@diekeure.be of via www.diekeure.be *bij een klassikale bestelling geniet je 10% schoolkorting

vector

Jean Paul Van Bendegem: ‘Langs alle kanten ervaar ik eindigheid, hoe komt het dan dat we zo’n zwaar concept moeten aankunnen als oneindigheid?’ Tekst: Filip Moons Jean Paul Van Bendegem, professor logica en wijsbegeerte aan de VUB, is een bezige bij: enkele weken geleden trotseerde hij nog de Siberische kou om religies te bestuderen voor het Canvas-programma ‘Rusland voor beginners’, hij kwam uitgebreid in de pers met de bewering dat je pas vanaf je vierde liefde kans maakt om de ware te vinden en vandaag spreekt hij met Vector over zijn splinternieuwe vernissage ‘0/10?’, over de relatie tussen kunst en wiskunde, zijn fascinatie voor eindigheid en zijn ideeën over wiskundeonderwijs.

Van Bendegem is allerminst een filosoof pur sang: hij ging eerst wiskunde studeren en pas tijdens deze studies ging hij ook zijn geluk beproeven in de wijsbegeerte, evenwel zonder daarbij ooit zijn rug naar de mathesis te keren. Een aardig weetje is dat de prof lid is van de Vlaamse Vereniging Wiskundeleraars en als redacteur meeschrijft aan hun tijdschrift ‘Wiskunde & onderwijs’. In de tentoonstelling ‘0/10?’ probeert Van Bendegem de platgetreden paden van de relatie tussen kunst en wiskunde te vermijden. In deze vernissage werden de gulden snedes en fractalen niet van stal gehaald, maar wel negen installaties met kortfilmpjes waarin de stelling van Pythagoras bewezen wordt. De professor gaat hierin op zoek naar soms onopgemerkte omstandigheden die een essentiële rol spelen bij het onderwijzen van een bewijs. Elk kortfilmpje vergroot zo’n omstandigheid uit: Kurt Defrancq doet het op zijn SOS Piet’s; een prostituee bewijst de stelling op haar raam; een dovenlerares doet het didactisch prachtig, alleen versta je haar niet meteen; een damesgroepje bewijst het al dansend; als klap op de vuurpijl levert Van Bendegem een bewijs achter zijn piano! Na het bezichtigen van al dat fraais, hadden we met hem een gesprek. Vector: Vanwaar komt het idee voor de tentoonstelling? Van Bendegem: Dat is tweezijdig. Ik ben al een hele tijd bezig met te zoeken naar verbanden tussen wiskunde en kunst. Uiteraard is het idee van schoonheid in de wiskunde voor een

wiskundige bijna evident als ervaring. Het idee om het tot een tentoonstelling uit te werken, kwam op uitnodiging van de dienst Cultuur van de VUB. Met deze uitnodiging kreeg ik werkelijk de handschoen toegeworpen, want ik ben er steevast van overtuigd dat het mogelijk moet zijn om wiskunde op zo’n manier te presenteren. Vector: Als het over wiskunde voor een breed publiek gaat, frustreert het u niet dat u gedwongen bent om u te beperken tot elementaire wiskunde? Over multivariabele analyse moet je nu niet meteen beginnen tegen jan en alleman… Van Bendegem: Ik snap de vraag, maar neen, voor mezelf is dat zeker niet frustrerend. Als een elektricien bij je thuis moet langskomen, heb je ook niet meteen behoefte aan een exemplaar dat je de driefasespanning uitlegt. Dat belet echter niet dat je mensen geen inzicht kunt meegeven. Neem nu de laatste stelling van Fermat, het kan toch niet zo moeilijk zijn om aan een breed publiek uit te leggen waarom wiskundigen daardoor zo geboeid zijn en waarom men het bewijs van Andres Wiles graag wat zou inkorten? Voor mij is mensen inzicht geven op zich eigenlijk al voldoende om na te streven. In mijn

vector

tentoonstelling heb ik me inderdaad beperkt tot een basisstelling, het lijkt me wel leuk om te zien of je het effectief zou kunnen doortrekken. Vector: ‘Een van mijn grote frustraties als lesgever aan de universiteit is dat de meeste studenten leiden aan mathofobie: van zodra je een formule op het bord schrijft, ontstaat er angst’, liet u ooit eens optekenen in een interview. Loopt er volgens u iets mis in het onderwijs? Van Bendegem: Ik wil zeker niet met de vinger wijzen naar de wiskundigen en alleen de wiskundigen. Wat mij betreft is het een probleem van het onderwijs, men blijft nog teveel in tegenstellingen denken: ofwel heb je een wiskundeknobbel, ofwel een talenknobbel; een combinatie van beiden is uit den boze. Als ik logica aan de psychologiestudenten geef, dan zijn dat t ypische studenten met een talenknobbel die blij zijn het pad van de wiskunde niet meer te hoeven kruisen. Mijn idee is dan: het ontleden van teksten, de achterliggende structuren, dat is toch pure wiskunde? Er zouden meer momenten moeten komen waarbij deze zaken met elkaar in interactie treden en dan ebt die zogenoemde mathofobie volgens mij vanzelf weg.

Vector: We schotelen u nog een quote voor: ‘Moest men me ooit vragen om een cursus wiskunde voor het middelbaar te schrijven, direct!’ Wat zou uw cursus dan inhouden? Van Bendegem: Ik zou geneigd zijn om meer te kaderen, de leerstof te situeren: waarom waren wiskundigen op dat moment geïnteresseerd in dat probleem en wat vloeide daaruit voort? Daarbij zou ik vermijden om te vervallen in het klassieke verhaaltje van de ‘grote namen geschiedenis’, want dat wordt algauw een vertelling zonder context. Let op, ik spreek nu over wiskunde maar ook andere vakken als fysica en zelfs de talen zouden baat kunnen hebben bij zo’n aanpak. Ook de vraag: ‘met welke bagage moeten mensen uit een middelbare school komen om in de maatschappij te functioneren?’ lijkt me cruciaal om te beantwoorden. Volgens mij is technologisch en wiskundig inzicht fundamenteel, zonder daar al te concrete maatstaven aan te koppelen. In mijn visie moeten leerlingen op het einde van het secundair niet noodzakelijk een integraal kunnen uitrekenen, maar wel het inzicht verworven hebben. Vector: We horen het sommige leerkrachten nu al luidop denken: ‘Die Van Bendegem heeft makkelijk praten, maar mijn leerplan moet wel gezien zijn op het einde van het jaar’. Van Bendegem: Als lid van de Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars, hoor ik de verzuchtingen van wiskundeonderwijzend Vlaanderen. Ik weet waar zij voor staan en ik weet dat ze vanalles doen en willen doen voor een positieve vakbeleving. Om een heel concreet voorbeeld te geven: het boek van Rik Verhulst, In de ban van de Wiskunde, is een zeer mooie aanzet tot contextualisering. Dat een stukje integreren in zo’n leerplan, zou al een stap in de goede richting zijn. Maar nogmaals: ook andere vakken als de talen blijven niet gespaard van zulke problemen, het is zeker geen specifieke kwaal voor het vak wiskunde. Vector: Genoeg over onderwijs, over naar uw wetenschapsfilosofisch werk. Wanneer men dat bekijkt, valt het op dat u een speciale band met eindigheid hebt. Van Bendegem: (lacht) Dat heeft een dubbele voorgeschiedenis. Al sinds het middelbaar onderwijs was ik geïntrigeerd door de oneindigheid. Ik herinner me nog steeds een anekdote waarin een leerkracht in de eerste jaren van het middelbaar het concept van een rechte uitlegde en daarbij wist te melden dat het zowel langs de ene als langs de andere kant oneindig doorliep. ‘Hoe, bestaan er dan twee oneindigheden?’, vroeg ik me af. Toen ik dat voorlegde aan de leraar, wist hij me te vertellen dat

die twee kanten in het oneindige terug samenkwamen. ‘Wat’, dacht ik, ‘in het oneindige komen die terug samen?’. Ik geraakte er helemaal niet aan uit! Aan de universiteit ben ik na mijn wiskundestudie in de filosofie terechtgekomen en leerde ik Leo Apostel (Een bekende Belgische filosoof, red.) kennen. Die was toen bezig met het idee: ‘Als we een idee willen hebben over hoe de mens de wereld begrijpt, dan moeten we vertrekken vanuit de mens’. Nu, de mens is een eindig wezen, dus als een mens met concepten afkomt die dat tegenspreken, zoals oneindigheid, dan moeten we ons de vraag kunnen stellen of zo’n concepten noodzakelijk zijn. Van daaruit heeft Apostel mij aangeraden om een verhandeling te schrijven waarin ik ging kijken in hoever men in de wiskunde kan gaan als men oneindigheid niet introduceert. Die verhandeling is uiteindelijk mijn doctoraat geworden. Ook nu nog blijf ik het idee van eindigheid met Apostel delen: langs alle kanten ervaar ik eindigheid, hoe komt het dan dat we zo’n zwaar concept moeten aankunnen als oneindigheid? Ik sta 100% achter dat idee, ik kan het zelfs aantonen, dat een wiskunde zonder oneindigheid zeker geen arme wiskunde oplevert.

Vector: Een vraag die veel wiskundigen zich zullen stellen: maakt van Bendegem genoeg onderscheid tussen de wiskundige wereld en de reële wereld? Deze twee werelden hebben weliswaar overlappingen, maar zeker ook verschillen. Van Bendegem: De wiskunde die je krijgt als je oneindigheid buiten beschouwing laat, blijft even conceptueel als de wiskunde mét. Alleen wens je het concept oneindigheid buiten beschouwing te laten om filosofische redenen. Bij zo’n ‘eindige wiskunde’ laat ik trouwens gigantisch grote getallen toe, anders is het inderdaad een lege doos. Ik herinner me nog een anekdote uit het radioprogramma ‘Jongens & wetenschap’ waarop iemand de pertinente vraag stelde: ‘Bestaat oneindigheid?’ en iemand belde met het antwoord: ‘Neen, verder dan het aantal elementaire deeltjes in het universum heeft hoeft men nooit te tellen.’ Maar zoiets is natuurlijk nonsens! Want zodra je spreekt van alle mogelijke deelverzamelingen van deze elementaire deeltjes, kom je al niet meer toe met dat getal! Vector: Als afsluiter, onlangs haalde u de voorpagina’s van de kranten met het nieuwtje dat je pas vanaf je vierde partner een goede kans maakt om de ware te vinden. Uiteraard stellen we ons dan de vraag welke wiskunde daarachter zit? Van Bendegem (opgelucht): Eindelijk wordt de vraag eens op een ernstige manier gesteld, want het is ongelooflijk wat bepaalde kranten van deze uit de lichtjes uit de hand gelopen uitspraak gemaakt hebben. Sommige kranten melden dat het vierde lief dé ideale partner is, maar dat is uiteraard nonsens, want moest dat het geval zijn, dan moet je alvast je tijd niet meer verspillen met de eerste drie en ga je meteen je tenten opslaan bij de vierde. Eigenlijk vloeide de uitspraak voort uit de discussie. Kunnen wiskunde en seks iets met elkaar te maken hebben? Uiteraard kan dat, als banaal voorbeeld moet je maar eens een statistisch rapport van een seksuologisch artikel erbij nemen en je hebt al een verband gevonden. Mijn interesse voor het onderwerp bracht mij uiteindelijk naar het bekende bruidschatprobleem. (Het probleem gaat als volgt: een sultan laat 100 bruiden passeren en het is de bedoeling om de bruid eruit te halen die de hoogste bruidsschat meebrengt. Nadat de vrouw haar bruidsschat genoemd heeft, dient de sultan meteen een beslissing te nemen. Laat hij een bruid gaan,dan kan hij haar niet meer terugroepen als achteraf zou blijken dat zij diegene met het hoogste bod was, red.) Ik merkte op dat het probleem eigenlijk niet verandert, mocht de sultan een andere maatstaf dan de bruidschat gebruiken om de bruiden te beoordelen. Bijgevolg zijn zelfs subjectieve beoordelingen een geschikte maatstaf! Dit is juist het mooie aan dit voorbeeld: als je zegt dat de ene

vector

partner beter is dan de andere, mag dat uitermate subjectief klinken, toch moet er gewoon een orderelatie tussen de partners bestaan. In het klassieke bruidschatprobleem heb je deze orderelatie uiteraard direct door de bruidschat met elkaar te vergelijken, maar het probleem verandert niet wanneer de orderelatie op subjectieve grond bekomen wordt! En dat is net het punt dat ik wilde maken: wiskunde sluit zo’n subjectieve beoordeling niet uit, het probleem blijft hetzelfde en de oplossing bijgevolg ook: vanaf de vierde partner heb je de meeste kans om de ware te vinden! Vector: We zullen in het vervolg twee keer nadenken als we beweren dat wiskunde het summum der objectiviteit is. Hartelijk dank voor dit interview! 

De tentoonstelling ‘0/10’ kan voor educatieve doeleinden ontleend worden door vormingscentra, cultuurcentra, bibliotheken, scholen… Meer informatie: • Wim De Pauw wwdepauw@vub.ac.be, tel: 02-629 23 25 • Nik Honinckx nik.honinckx@beeldenstorm.be, tel: 02-523 43 50 www.kultuurkaffee.be – www.beeldenstorm.be Copyright foto’s: Bernadette Mergaerts – Vrije Universiteit Brussel © 2011

Wanneer wordt Vlaanderen het ‘best’ onafhankelijk? Tekst: Hendrik Van Maldeghem

De politieke impasse waar ons land in zit is brandend actueel. En dus kon Vector niet achter blijven. Professor Hendrik Van Maldeghem (Vakgroep Zuivere Wis kunde en Computeralgebra, Ugent) rekende uit wat de ideale datum zou zijn om de eventuele onafhankelijk heid van Vlaanderen te vieren. Een humoristische inslag en serieus rekenwerk ontmoeten elkaar.

Het is nog nooit zo brandend actueel geweest als nu. Nog nooit leek het zo dichtbij en zo werkelijk als tegenwoordig. Nooit hebben we er zo intens over nagedacht als nu. Vlaanderen onafhankelijk. Enkele vragen die daarbij oprijzen zijn: kan het? zal het? en wanneer? Op de twee eerste vragen kunnen we als wiskundige geen zinnige bijdrage leveren. Maar de laatste vraag is een kolfje naar onze hand. Wanneer worden we het best onafhankelijk? Op welke dag van welke maand? We zullen deze vraag oplossen vanuit twee standpunten: die van de economisch bewuste vertegenwoordiger van de regering, en die van de gewone man, die graag nog een extra dagje vrijaf meepikt. Beide oplossingen lopen analoog met elkaar, dus laat ons, voor de eenvoud en om de gedachten te vestigen, in de huid kruipen van de gewone man. Dat zijn we tenslotte zelf ook.

Wanneer België ophoudt met bestaan, zal vermoedelijk anderhalve dag verlof in lucht opgaan. Inderdaad, 21 juli zal dan een gewone werkdag worden, en ook 15 november zal niet langer op het verlofdaglijstje staan van enkele overheidsbedrijven of ex-staatsinstituten. Dat wordt ongetwijfeld gecompenseerd door de dag waarop we onafhankelijk worden als standaardverlofdag te lanceren, en door 11 juli te upgraden tot onze nationale feestdag. Dus opnieuw ongeveer anderhalve verlofdag erbij. Als gewone werkmens kunnen we daarmee best tevreden zijn. Kunnen we beter doen? Hier komt ons wiskundig denkwerk om de hoek kijken. Misschien kunnen we onze onafhankelijksdag optimaal kiezen? Om te beginnen niet in de grote vakantie, want dan is de helft van het land toch weg. Ook kerst- en paasvakantie zijn uit den boze. En natuurlijk ook gevestigde waarden zoals 1 mei, 1 november, 11 november. Vanzelfsprekend gaan we ook niet op 29 februari afscheuren, want dat zou ten eerste betekenen dat we dat maar om de vier jaar kunnen vieren, en bovendien dat we nog dik vier maanden moeten wachten vooraleer onafhankelijk te worden. De vraag die we nu als wiskundige krijgen voorgeschoteld, is: zijn alle andere data eender? Ons gezond verstand zegt ons dat dit wel zo zou moeten zijn. Immers, alle dagen van de week spelen dezelfde rol,

niet? Gemiddeld zal elke dag die we kiezen eenmaal op zeven jaar een zondag zijn en eenmaal op zeven jaar een zaterdag. Dus, waar maken we ons druk om? Is dat eigenlijk wel zo? Spelen alle dagen van de week werkelijk dezelfde rol? Indien onze wereld oneindig lang meeging, dan zou dat inderdaad zo zijn, maar het leven op aarde is eindig en ooit is het hier gedaan. Onze kalender zit zo in elkaar dat het systeem van schrikkeljaren de eerstkomende 3000 jaar niet wijzigt. En we kunnen aannemen dat binnen 3000 jaar het systeem van verlofdagen wellicht al lang achterhaald en gewijzigd zal zijn, als de mens dan nog in zijn huidige vorm bestaat. Dus zonder verlies van algemeenheid kunnen we kijken welke dagen het meest gunstig zijn om het label van een verlofdag op te plakken binnen een tijdspanne van 3000 jaar. Geldt daarin dan niet dat elke dag van de week gelijk is? Neen, bijvoorbeeld, het is bekend dat de eerste dag van een millennium alleen een maandag of een donderdag kan zijn (ga maar na dat 1 januari 2001 een maandag was). Aha, dus maandagen en donderdagen spelen al een bijzondere rol. Dat moeten we eens van naderbij bekijken. Onze tijdrekening begon op maandag 1 januari 0001. Hierin veronderstellen we voor de eenvoud (maar zonder verlies van algemeenheid!) dat er van in den beginne schrikkeljaren waren in het systeem zoals we het nu kennen (zie de

Gregoriaanse kalender). Dus om de vier jaar een 29ste februari, om de 100 jaar dan weer niet, en om de 400 jaar dan weer wel. Deze cyclus zo een aantal keer herhalen, en het wordt misschien tijd om een uitzondering op een uitzondering op een uitzondering op een uitzondering te maken, hoewel moderne berekeningen erop wijzigen dat we tegen dan een extra schrikkeljaar zullen nodig hebben. Soit, zonder grote fout mogen we onze berekeningen doen over een tijdslengte van precies 400 jaar. Daarin zitten 400 x 365 + 97 = 147 097 dagen, oftewel exact 20 871 weken. Dus 1 januari 0401 is opnieuw een maandag, en alles begint opnieuw. Daar er 97 schrikkeljaren geweest zijn in die 400 jaar, en dat niet deelbaar is door 7, zullen bepaalde dagen van de week meer voorkomen als de 29ste februari dan andere, en zullen dus ook bepaalde dagen bijvoorbeeld meer voorkomen als een 13de van de maand dan andere. Dat is onder andere het geval voor vrijdagen ... Maar dat is een ander verhaal. Fixeren we bijvoorbeeld de datum van 1 maart. In het jaar 0001 was dat een donderdag. Het jaar daarop een vrijdag, dan een zaterdag, en dan komt er een schrikkeljaar. Dus geen zondag, maar achtereenvolgens maandag, dinsdag, woensdag en donderdag. Dan geen vrijdag, maar een zaterdag. Stellen we maandag dag 1 van de week, dan zien we dat eerst dag 0 wegvalt, dan dag 5, dan dag 3, enz. Dus in de loop van de eerste 24 schrikkeljaren worden de dagen zondag, vrijdag en woensdag vier maal overgeschrikkeld, en de overige dagen elk driemaal. In het jaar 0100 is 1 maart bijgevolg een maandag (want moest normaal overgeschrikkeld worden, maar 0100 is geen schrikkeljaar). In het jaar 0101 is 1 maart een dinsdag, en zo begint het spel opnieuw. Die keer vallen

vector

vrijdag, woensdag en maandag vier keer weg, en de overige dagen driemaal. In het jaar 0201 is 1 maart een zondag, en dan de komende 100 jaar vallen woensdag, maandag en zaterdag elk viermaal weg. In het jaar 0301 is 1 maart een vrijdag, maar dan krijgen we 25 schrikkeljaren in plaats van 24. Dan vallen maandag, zaterdag, donderdag en dinsdag elk viermaal weg. Proef op de som: die dinsdag valt het laatst weg, en dat gebeurt in het jaar 0400. Dan is 1 maart een woensdag, en in 0401 is het opnieuw een donderdag, zoals we begonnen waren in het jaar 0001. Dus we kunnen nu vlug tellen hoe vaak elke dag wegviel: maandag en woensdag 15 keer, vrijdag en zaterdag 14 keer, dinsdag, donderdag en zondag 13 keer. Dus we berekenen nu eenvoudig dat op die 400 jaar het 58 keer op dinsdag, donderdag en zondag 1 maart was, 57 keer op vrijdag en zaterdag, en 56 keer op maandag en woensdag. Dus ons besluit is dat 1 maart een barslechte keuze is, want het valt een maximaal aantal keer op een zondag en een bijna maximaal aantal keer op een zaterdag. Alle data die een zevenvoud aantal dagen volgen op 1 maart, tot en met 28 februari, volgen datzelfde stramien en zijn dus te verwerpen. Om het aantal zondagen te minimaliseren moeten we ofwel vier dagen later nemen (dan wordt die woensdag een zondag), ofwel zes dagen later (dan wordt die maandag een zondag). Om te kiezen tussen die twee kijken we wat er met de zaterdagen gebeurt. Op 5 maart hebben we 58 keer een zaterdag, en 7 maart valt evenveel keer op een zaterdag. Dus geen verschil. Misschien moeten we voor de schoolkinderen het aantal woensdagen minimaliseren? Op 5 maart is dat 57 keer, op 7 maart 58 keer.

We hebben dus onze ideale dagen gevonden: op 5 maart, of elke zevende dag daarna. Nu kunnen we er nog voor zorgen dat onze nationale feestdag in spe nooit kan samenvallen met een krokus- of allerheiligenverlof, of paas- of pinkstermaandag, of Hemelvaart. Bovendien zou een dag in de zomer of lente te verkiezen zijn boven eentje in de herfst of winter. Rekening houdend met al deze randvoorwaarden komen we tot nog slechts de volgende mogelijkheden: 19 maart (26 maart kan al Paasmaandag zijn; 12 maart kan in krokus vallen, zie dit schooljaar!), 18 en 25 juni, 3, 10 en 17 september. Men zou ook 30 april kunnen denken, maar in extreme gevallen (wanneer Pasen op 22 maart zou vallen) kan dat Hemelvaartdag zijn. In juni zijn er examens waarvoor een verlofdag alleen maar kommer en kwel zou brengen. Dus we blijven nog met vier mogelijkheden: 19 maart, 3, 10 of 17 september. Voor studenten zijn deze laatste drie echter niet te verkiezen, wegens ofwel examenperiode ofwel verlof. Blijft dus over: 19 maart! Ik zou dus zeggen: we maken ons op voor de Vlaamse Metten op 19 maart 2012: lang leve de ideale verlofdag! En 19 maart 2012 is een maandag, een ideale start dus, met 4 opeenvolgende jaren een verlofdag in de week! En ik weet niet of je het al opgemerkt hebt, maar geen enkele wettelijke feestdag ligt op een ideale verlofdatum (waarmee ik bedoel, 5 maart of een veelvoud van zeven dagen later). Zou dat met opzet gedaan zijn? 

Faits divers Een greep uit het wiskundig nieuws van de voorbije maanden.

3 Amazone-rekenen Indianen uit het Amazonegebied blijken heel goed te zijn in meetkunde zonder dat ze ooit een opleiding hebben gehad, dat ontdekten wetenschappers uit Parijs en Boston. Indianen van de Mundurucu-stam in het Amazonegebied bleken eenvoudige meetkundige problemen te kunnen oplossen zonder enig wiskundeonderwijs. Ze presteerden hierbij net zo goed als een vergelijkbare, geschoolde, groep Amerikanen. De vragen waren eenvoudig: men moest zeggen of twee lijnen ooit zouden snijden en aan welke kant. Hiermee werd onderzocht of de Mundurucu een idee hadden van parallelle lijnen en of ze

konden inzien wat er gebeurde als je de lijnen doortrok. Om het nog wat ingewikkelder te maken, werd er gevraagd of ze konden vertellen wat er in een plat vlak met de lijnen gebeurde en wat er gebeurde als de lijnen op een ronde bal lagen. De Mundurucu-leden beantwoorden de vragen grotendeels correct, terwijl zij nog nooit hadden gehoord van meetkunde. Met hun bevindingen hebben de onderzoekers, zo zeggen ze zelf, ‘het bestaan van de intuïtieve meetkunde bij mensen’ aangetoond. Maar de Amazonebewoners kregen wel een korte analogie uitgelegd: lijnen werden vergeleken met wegen en punten met dorpjes. Toch is het bijzonder dat die overgang van de echte wereld naar de ‘ideale’ meetkundige wereld zo goed verloopt. Bronnen: - Veronique Izard e.a. - Flexible intuitions of Euclidean geometri in an Amazonian indigene group, PNAS, 23 mei 2011 - www.wetenschap24.nl

3 Google steekt 1 miljoen euro in wiskunde Internetbedrijf Google schenkt de Internationale Wiskunde Olympiade 1 miljoen euro voor de komende vijf edities. Volgens Wim Berkelmans, directeur van de Internationale Wiskunde Olympiade 2011, wordt het geld onder meer besteed aan extra promotie van de olympiade en wiskunde in het algemeen. Google is altijd gefascineerd geweest door wiskunde. Zo is de naam Google afkomstig van het woord Googol - de wiskundige term voor het getal 10100. Verder adverteerde Google in de zomer van 2004 met een billboard waarop een wiskundige vergelijking stond. De oplossing van deze wiskundige vergelijking leidde naar een website met een nieuw wiskundig probleem. Wie ook deze oploste kwam uiteindelijk terecht bij de wiskundige vacatures van Google Labs, de onderzoekstak van het internetbedrijf. Voor de liefhebbers hier het wiskundige probleem dat te vinden was op het billboard: {first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com. De Internationale Wiskunde Olympiade, die sinds 1959 elk jaar wordt georganiseerd, is een internationale wedstrijd voor jong wiskundig talent tot 20 jaar. De jaarlijkse competitie, waaraan ongeveer 600 jongeren meededen uit zo’n 100 landen, vond dit jaar voor het eerst plaats in Amsterdam van 16 tot en met 24 juli. Bron: - www.lovelymath.com

3 Wie zoekt, die vindt. Of niet? Er lijkt, wiskundig gezien, minder logica te zitten in de manier waarop dieren voedsel zoeken dan gedacht. Uit verschillende onderzoeken zou blijken dat dieren afwisselend korte stukjes in een willekeurige richting lopen, gevolgd door een langer stuk en dan weer meerdere korte stukjes. Maar volgens twee Engelse biologen en een wiskundige bestaat dit patroon eigenlijk niet. Het is een wiskundige illusie die ontstaat wanneer je de looppatronen van allerlei individuele dieren op één hoop gooit. Men kwam tot die conclusie na de analyse van het voedselzoekgedrag van zwarte bladluizen. Zij filmden, in hun lab, 171 strooptochten van deze diertjes. Als ze de gegevens van al die 171 voedselzoektochten samen evalueerden, leek het alsof de diertjes inderdaad rondscharrelden volgens een Lévy flight patroon. Maar als ze naar de individuele

vector

routes van de diertjes keken, zagen zij dit patroon niet. Sommige dieren liepen vooral korte stukjes, terwijl andere luizen steeds lange stukken in dezelfde richting liepen. Kortom: de bladluizen deden maar wat. Bladluizen zijn natuurlijk niet de meest intelligente dieren. Eerder onderzoek naar het patroon dat dieren volgen bij het zoeken naar voedsel is onder meer uitgevoerd bij haaien. Misschien gaan zij wel degelijk systematischer te werk. Bron: - www.wetenschap24.nl

3 Cineclub Recente Hollywoodproducties zijn vaak afgestemd op onze concentratieboog. Amerikaanse wetenschappers analyseerden 150 films, gemaakt tussen 1935 en 2005, en stelden vast dat de lengte van de ‘shots’ in recente producties een wiskundig patroon volgt dat ook onze concentratieboog beschrijft. In de jaren 1990 registreerden onderzoekers hoe lang vrijwilligers ononderbroken geconcentreerd konden blijven terwijl ze allerlei taken moesten uitvoeren. Die resultaten zetten ze om in een reeks golven met behulp van de Fourier-transformatie, een methode om een relatie in de tijd uit te drukken als een aantal sinus- en cosinusfuncties. Ze zagen dat de grootte van die golven toenam als de frequentie afnam, een fenomeen dat bekendstaat als 1/f-ruis – waarbij de intensiteit omgekeerd evenredig is met de frequentie. Concentratiebogen met een bepaalde lengte bleken met regelmatige tussenpozen voor te komen.

Met die kennis in het achterhoofd maten de wetenschappers de lengte van elk shot in 150 films uit uiteenlopende genres. Die bleek vooral bij recentere films ook het 1/f-patroon te volgen. Volgens de onderzoekers weten dergelijke films onze aandacht beter vast te houden doordat de lengte van de shots het ritme van onze concentratiebogen volgt. Dat het 1/f-patroon steeds vaker voorkomt, wijten ze aan het feit dat filmmakers de stijl kopiëren van succesvolle films – die vaker de 1/f-regel volgen. Tegelijk benadrukken ze dat de lengte van de filmshots minder doorslaggevend is dan een goed verhaal en sterk acteerwerk. Bron: - www.eos.be

3 Blokken stapelen is geen kinderspel In 1985 werd door twee wiskundigen een vermoeden geformuleerd over het symmetrisch stapelen van blokken. Een kwart eeuw later is er een bewijs. Het gaat om de vraag hoeveel stapelingen er onder bepaalde voorwaarden mogelijk zijn. Het uitgangspunt is een vierkant oppervlak dat onderverdeeld is in kleinere vierkantjes van gelijke grootte, zoals een schaak- of dambord. De regels: een stapel blokken mag niet hoger zijn dan het aantal vierkantjes langs de zijde van het oppervlak en ook niet hoger dan een stapel blokken achter of links van de stapel. Het aantal mogelijkheden om onder deze voorwaarden de blokken te stapelen, is makkelijk uit te rekenen. Het wordt lastiger als de blokkenstapels ook aan bepaalde symmetrie-eisen moeten voldoen. Met het bewijs van het Andrews-Robbins-vermoeden hebben twee Oosten-

rijkers en een Amerikaan dit laatste gat gedicht. “Dit probleem bleef bijna dertig jaar lang onopgelost. Het bewijs werd uiteindelijk ‘automatisch bewezen’, wat aangeeft dat moderne computerprogramma’s in staat zijn om iets te kraken wat ons mensen niet lukt”, aldus Kauers. Het resultaat van de computer, die ‘slechts een paar maanden’ nodig had om de klus te klaren, zou op papier een miljoen A4-pagina’s omvatten. Bron: - www.kennislink.nl 

Gamen en rekenen! Monkey Tales herhaalt de leerstof wiskunde uit de klas. Voor kids van 7 t.e.m. 11 jaar.

Ontdek Monkey Tales op de Boekenbeurs! Bekijk er de trailer en speel er je favoriete game. Hall 1 - stand 123 Die Keure en Hall 4 - stand 417B (e-paviljoen)

e14,95 Verkrijgbaar bij Standaard Boekhandel

www.monkeytalesgames.com

CONSTRUCTIEFOUT IN HELLEND VLAK

Ronquières helt scheef Tekst: Dirk Huylebrouck Dit artikel verscheen eerder in het tijdschrift EOS.

Het hellend vlak van Ronquières is – voor de verdedigers van de Vlaamse zaak – een triest voorbeeld van de Belgische spilzucht. Maar het bevat ook een constructiefout, die zelfs aan hun aandacht was ontsnapt.

Eerder rapporteerde Eos al dat het Atomium baan een slordige restauratie een scheve bol overhield (Eos nr. 11, 2009). Sommige overtuigde Belgen vatten dit humoristisch op, door te repliceren dat het land nu op gelijke voet staat met Italië, met zijn scheve toren in Pisa. Anderen zagen in de teloorgang van het Atomium een metafoor voor de huidige situatie van het land, dat volgens hen even krakkemikkig is opgelapt als het Belgische symbool uit de vervlogen tijden van de wereldtentoonstelling. Er is echter nog een bouwwerk met grote symboolwaarde in de Belgische politiek: het hellend vlak van Ronquières. Samen met de scheepslift van het nabije Strépy-Thieu had het een aanmoediging moeten zijn voor de scheepvaart vanuit de verarmende mijnwerkersstreek rond Charleroi naar de haven van Antwerpen. Uiteindelijk blijkt het vandaag slechts een tiental schepen per dag te vervoeren, en dan nog vooral bootjes van rijke pleziervaarders (zie ‘Symbool van het Belgische wafelijzer?’). Het is achteraf natuurlijk eenvoudig om de toekomst te voorspellen, en daarom wordt de interpretatie of dit bouwwerk van zowat 100 miljoen euro (in de jaren 1960!) een teken van geldverspilling is, best overgelaten aan politici. Technisch gezien is er echter zeker iets aan de hand met de laadbakken op het hellend vlak van Ronquières: de wielen staan scheef!

Wielen In 1957 besliste de Belgische regering om het oude kanaal Charleroi-Brussel, dat slechts scheepjes tot 70 ton aankon, te ‘upgraden’ voor schepen tot 1.350 ton. Bij het Henegouwse dorpje Ronquières, dat op de scheiding tussen de waterbekkens van Schelde en Maas ligt, moest een hoogteverschil van 68 meter worden overwonnen, en men besloot de vele tientallen tijdrovende sluizen te vervangen door een hellend vlak. In

1968 was het klaar: het werk werd opgeleverd op de symbolische datum van 1 april. De 1.400 meter lange dubbele spoorlijn vervoert twee scheepsbakken van elk ongeveer 90 meter lang, 12 meter breed en 5 meter diep, over een helling van bijna 5 procent. De bakken wegen gevuld met water ongeveer 5.500 ton, en hebben elk een tegengewicht. Zo kunnen ze onafhankelijk van elkaar werken. Het is dus niet zo dat de dalende elementen de stijgende omhoog trekken, zoals bij sommige Zwitserse kabelliften. De bakken worden gedragen door maar liefst 236 wielen. Om de last te verdelen over de vele wielen zijn alle stellen voorzien van veren. Zo worden een aantal onvermijdelijke onvolkomenheden opgevangen, zoals oneffenheden op de rails, onnauwkeurigheden in de uitlijning, maatafwijkingen van de onderdelen, enzovoort. Wat blijkt echter: deze wielen staan niet loodrecht op het vlak van helling, maar loodrecht op het horizontaal aardoppervlak, alsof er geen helling was. Ze volgen met andere woorden de lijn van de zwaartekracht (zie ‘De lijn van de zwaartekracht’).

De bakken van het hellend vlak hebben speciale, asymmetrische wielsteunen.

rechtop naar boven; ervaren wintersporters weten dat ze loodrecht op de helling moeten staan, omdat zo het risico om te vallen het kleinst is. Om de wielen van het hellend vlak foutief te kunnen plaatsen, getroostten de ingenieurs zich een extra inspanning: de speciale wielstellen zijn hoger aan één kant, al werd zo de constructie natuurlijk duurder. Het hellend vlak van Ronquières blijkt overigens het enige scheepstransportsysteem over land met veren aan het onderstel, zo bevestigt hoogleraar hydraulica Patrick Willems van de K.U.Leuven. Bij alle andere hellende vlakken in de wereld – en dat zijn er hooguit een tiental – staan de wielen vast aan de constructie. Hoewel het goed is om oneffenheden te dempen, kan men zich afvragen waar

Vergelijk het met een skilift: alleen beginnende skiërs gaan

Esthetisch excuus

Al in 1977 merkte Daniel Dewaele, een ingenieur uit Lint, het euvel op van de scheve ophanging aan het hellend vlak van Ronquières. Hij stuurde destijds een brief naar het ministerie van Openbare Werken. Na negen maanden beviel toenmalig minister Guy Mathot van een antwoord. Dewaele kreeg gelijk, en bovendien kon de minister eigenlijk geen goed excuus aandragen. De montage wordt er allerminst eenvoudiger op, zoals we hierboven hebben uiteengezet. En een helling van 5 procent lijkt op een tekening misschien klein, maar wielrenners en automobilisten weten dat het overeenkomt met een best steile helling. Een zwaardere helling komt in het transport zelden voor, tenzij op een spectaculaire bergpas. Bovendien gaat het in Ronquières om tonnen zware gewichten.

Brief van juli 1978 Aansluitend op mijn schrijven van 12 mei 1978 betreffende de wielstellen van de liftwagens van het hellend vlak van Ronquières, kan ik u meedelen

vector

dat deze aangelegenheid door mijn bevoegde diensten werd onderzocht. De door u geformuleerde opmerking is, althans wat het theoretische aspect betreft, juist. Inderdaad, de dwarscomponente die aanleiding geeft tot een buigmoment zou niet bestaan, met uitzondering van de rolweerstand, indien de loopwielsteunen loodrecht op het vlak der rails zouden gesteld zijn. In werkelijkheid is deze dwarscomponente, omwille van de zeer kleine helling van de rails (5%) echter zo klein, dat ze zonder invloed is op de loopwielsteunconstructie. Daartegenover staat dat de verticale opstelling van de loopwielsteunen heel wat voordelen biedt inzake montage. Deze loopwielsteunen worden namelijk vooraf in de werkplaats voorgemonteerd; alleen een verticale opstelling laat een nauwkeurige controle toe bij deze voormontage.

Een tweede reden voor de verticale opstelling is het estetisch aspect. Er valt op te merken dat zowel in de zijdelingse bekleding van de bak als ter hoogte van het voor- en achtervlak, een reeks verticale lijnen is terug te vinden. Het schuin opstellen van de loopwielsteunen zou dit verticale lijnenspel dermate storen dat het estetisch aspect van het geheel hierdoor in sterke mate zou aangetast worden. G. Mathot Minister van Openbare Werken

Blijft over: het esthetische element. Maar hier schijnt de briefschrijver met zichzelf in tegenspraak: enerzijds wordt beweerd dat 5 procent slechts een kleine afwijking betreft, maar anderzijds zou dat wel het esthetische aspect ‘dermate storen’ en ‘in sterke mate aantasten’. Als dat het geval is, dan zullen frequente skiërs en kijkers van Home Video-programma’s er wellicht een ander oordeel over vellen. Bovendien heeft een ingenieur blijkbaar een ander oordeel over het esthetische van een structuur dan een politicus.

dat voor nodig is bij het vervoeren van een schip over een korte afstand in een zware bak gevuld met schokdempend water. Er is misschien één soortgelijk geval, in het Franse Fonserannes, aan het Canal du Midi bij Béziers. Daar wordt het scheepstransportsysteem gedragen door grote rubberen wielen, zoals bij een reusachtige tractor, en die geven de ophanging enige vering. Het is echter geen goed voorbeeld: de constructie heeft nooit echt gewerkt, en is sinds 2001 buiten dienst. Ze kreeg een twijfelachtige vermelding in het boek Impossible Engineering (Mukerji, Chandra, 2009, Princeton University Press). Dat lot is vooralsnog niet toebedeeld aan Ronquières. Bergtreintjes of tandradbanen hebben natuurlijk ook soms veringen, maar die staan dan op het onderstel. De voorttrekkende kabel of het tandrad trekt dan aan dit onderstel en niet aan de veren. Schuin opstaande onderstellen monteren aan een scheepsbak maakt het bovendien niet eenvoudiger bij de assemblage. Ze werden trouwens ‘in situ’ aangebracht, op de helling. En de verkeerde stand van de wielstellen zorgt ongetwijfeld voor een grotere slijtage in de veergeleidingen. Het is technisch ingenieur Daniel Dewaele die de fout opmerkte. Al in 1977 schreef hij daarover een brief naar de toenmalige minister van Openbare Werken Guy Mathot. Die gaf hem gelijk (zie ‘Esthetisch excuus’), maar daar bleef het bij. Tot de ondertussen gepensioneerde leraar veeleer toevallig nogmaals zijn ontdekking ten berde bracht, en dit hierbij werd opgepikt. Al helpt ook het feit dat N-VA-kopman Bart de Wever in het hellend vlak een symbool ziet van de Vlaamse geldstromen naar Wallonië. Hij kan nu niet alleen de val van een toekomstige Belgische regering afwachten, maar ook die van een scheepslaadbak... 

De juiste (theoretische) constructie en de huidige, vergeleken met de houding van een skiër op een lift.

De lijn van de zwaartekracht

Fysicahandboeken uit het secundair onderwijs illustreren graag de wiskundige vectorleer met de toepassing van de ontbinding van een kracht uitgeoefend door een massa op een hellend vlak. Elke student leert zo een gewichtskracht ontbinden in een componente loodrecht op het hellend vlak en een componente parallel aan het vlak. Bij een correcte constructie wordt de eerste opgevangen door de wielen op de rails, de tweede door de trekkabels. Zoniet, en dat is het geval in Ronquières, zullen de veren na verloop van tijd schuin getrokken worden en vervormen.

Het lijnenspel op de laadbakken is mettertijd krom geworden.

Tips voor Trips Dynamath: Des maths pour tous!

Er gaan al langer stemmen op om lessen in een andere taal te geven, dus wat is er dan beter dan een wiskunde-uitstap in het Frans?

Met knikkende knieën vertrokken we richting het Centre de Culture Scientifique in Charleroi, wiskunde in het Frans is niet niks... Toen we daar aankwamen, werden we gerust gesteld door een vriendelijke dame die ons verzekerde dat we alle tijd hadden om rustig alles te bekijken en na te lezen. Op dat moment waren we de enige bezoekers (een wiskunde-

expo blijkt niet zo in trek in de zomer vakantie…) dus konden we in alle rust de wandkaarten en proefjes bekijken. Deze interactieve tentoonstelling laat je toe alles aan te raken en uit te testen en doet je echt wel beseffen dat wiskunde overal is: in het nummer van je bankkaart, in de manier waarop het Manneke Pist, hoe fruit in de winkels gestapeld ligt... Zelfs het breipatroon van een sjaal kan wiskunde bevatten! Alles wordt uitgelegd aan de hand van grote wandkaarten die je een duidelijk beeld en goede informatie geven van het thema dat behandeld wordt. Hierbij staat telkens ook een opdracht om de theorie uit te testen. De slotsmachine is hier een leuk voorbeeld van. Ik wist al langer dat zij enkel winst opleveren voor de eigenaar, maar toch werd het nog eens extra

duidelijk, na een tiental pogingen, dat ik hier niet rijk van zou worden. Dan maar richting de weegschaal, we waren ondertussen toch tien kilo lichter (ons geld was allemaal verdwenen in die machine...). Hier werden we zowel gemeten als gewogen en kregen we direct te zien waar wij ergens hoorden binnen de curve van bezoekers. Er is ook de mogelijkheid om mee te doen aan extra ateliers. Hier kregen wij helaas niet de kans toe, maar men wist ons wel te vertellen dat men drie verschillende ateliers heeft voor verschillende leeftijden. Van een architecturale/wiskundige wandeling tot blokken stapelen. Deze tentoonstelling is echt een aanrader voor elke wiskundeliefhebber die ook graag eens wat uittest.

Praktisch: Dynamath is een project dat uitgaat van de ULB en ULg en dat nog tot 18 december doorgaat in Charleroi en daarna tot 30 december 2012 verhuisd naar Luik. Je kunt een ‘dossier pédagogique’ kopen (6 euro) met een samenvatting van alle wandkaarten en opdrachten. Meer info: www.dynamath.be

vector

LEESTIPS De man die kon rekenen

Het wiskundeboek Reacties  `Een wiskundeleraar met een geheimzinnig pseudoniem voedde mijn fantasie met legenden over de woestijn, de hemel en de aarde, en met duizend oneindige Arabische vertellingen. Zijn verhalen zouden me later helpen bij het schrijven van mijn bekendste boek, De alchemist. Die wiskundeleraar is Malba Tahan.’ Paulo Coelho, auteur  `Meeslepend en intrigerend, een wonderschone mix van wiskundige vraagstukken en de sprookjes van 1001 nacht.’ Simon Singh, auteur van Het laatste raadsel van Fermat.  ‘Het boek De man die kon rekenen zou verplichte kost moeten zijn.’ De Stentor

In ‘De man die kon rekenen’ worden tijdens het verhaal verschillende rekenkundige puzzels en raadsels opgelost. We volgen Beremiz Samir, een jonge man met een buitengewoon wiskundig talent, van Samara naar Bagdad. Tijdens die reis wordt hij voortdurend geconfronteerd met mensen die hem aanklampen om allerlei rekenkundige dilemma’s en ruzies op te lossen. De problemen worden telkens weer uit de weg geruimd en Beremiz weet zijn publiek te vermaken met allerhande wiskundetrucjes en spelletjes. Voor elk schijnbaar onoplosbaar probleem heeft hij een oplossing, vaak zelfs zo eenvoudig dat de lezer zich zal afvragen waarom hij er zelf niet op kwam…

 ‘Wie niets met rekenen zegt te hebben, heeft nog nooit met de juiste getallen kennisgemaakt. Of met fraaie raadsels. De man die kon rekenen staat er vol van.’ De Pers

Praktisch: • Auteur: Malba Tahan • Uitgeverij: Sijthoff • ISBN: 978 90 2180 318 0 • 264 pagina’s, € 14,95 • Fictie

Dit prachtig geïllustreerde wiskundeboek bevat 250 van de meest intrigerende mijlpalen uit de geschiedenis van de wiskunde. We starten 150 miljoen voor Christus met de mierenstappenteller en eindigen in 2007 met het Wiskundig Heelal. Op originele wijze beschrijft de auteur stellingen, reeksen, functies, uitvindingen, problemen… Het boek brengt de lezer in vervoering en is helemaal niet saai of droog van stof. Het geeft de hersenpan een positieve boost. Alleen spijtig dat er soms inhoudelijke fouten ingeslopen zijn. Reacties  “Pickover, een productief schrijver en veelzijdig geleerde, heeft hiermee een prachtig naslagwerk samengesteld. De 250 korte hoofdstukken beschrijven de geschiedenis van de wiskunde door in te gaan op de belangrijkste theorieën

Getallen ontraadseld

Het stripverhaal van de statistiek

en de genieën die ze ontdekten. Pickovers voorliefde voor de wiskunde en zijn ontzag voor haar mysteriën komen terug op elke bladzijde van dit mooie boek. Alleen al de illustraties zijn de moeite waard.” Martin Gardner  “Pickover beschrijft werelden die verdergaan dan de realiteit die we kennen.” The New York Times  “Clifford Pickover is een van de meest creatieve, originele geleerden van deze tijd.” Journal of Recreational Mathematics  “Ik kan me niet voorstellen dat iemand geen kennis opdoet uit de boeken van Pickover” Arthur C. Clarke  “Fuller was een groot denker, Clarke is een groot denker, maar Pickover overtreft ze allebei.” WIRED

Praktisch: • Auteur: Clifford A. Pickover • Uitgeverij: Librero • ISBN: 978-90-8998-037-3 • 528 pagina’s, € 14,95 • Non-fictie

vector

Alex Bellos legt in Getallen ontraadseld met passie de basisprincipes van wiskunde uit. Hij zet alles over wiskundige formules, statistiek en symbolen helder op een rij. Door zijn enthousiaste aanpak weet hij de veelvoorkomende angst voor getallen weg te nemen. Hij laat zien dat het bij wiskunde vooral gaat om creatief denken en beschrijft hoe wiskunde ook in andere disciplines in het leven van belang is. Wiskunde is leuk! Alex Bellos is journalist met een fascinatie voor wiskunde en filosofie. Hij schrijft sinds jaren columns over alledaagse wiskunde in The Guardian. Praktisch: • Auteur: Alex Bellos • Uitgeverij: Kosmos • ISBN: 978-90-215-3570-8 • 432 pagina’s, € 19,95 • Non-fictie

Als je denkt dat verwachtingswaarde iets met aanstaande moeders te maken heeft, standaardafwijking wijst op een psychische stoornis die veel voorkomt, en als je eindelijk wilt begrijpen welke rol toeval speelt in je leven, dan ben je voor meer uitleg bij het Stripverhaal van de statistiek aan het juiste adres. Het behandelt de kernzaken van de moderne statistiek, uitgelegd aan de hand van eenvoudige, heldere en leuke illustraties. Het zal ervoor zorgen dat je nooit meer een Poissonverdeling in een Frans restaurant zult bestellen! Praktisch: • Auteurs: Larry Gonick & Woollcott Smith • Uitgeverij: Epsilon Uitgaven • ISBN: 978-90-5041-037-3 • 240 pagina’s, € 23 • Non-fictie

Geheime Geometrie We mogen een exemplaar van dit boek weggeven. Mail vóór 15 december het juiste antwoord op de vraag naar vector@diekeure.be Waar vind je dit prachtig staaltje architectuur?

De internationaal befaamde auteur Skinner toont dat achter de ogenschijnlijke wanorde in de natuur structuren en patronen met perfecte verhoudingen schuilgaan. Deze patronen speelden al een rol in oude culturen en zorgden ervoor dat in deze verborgen codes de hand van God gezien werd. Deze geometrische principes zijn dan ook door samenlevingen overal ter wereld verwerkt in heilige gebouwen en religieuze kunst.

Praktisch: • Auteur: Stephen Skinner • Uitgeverij: Librero • ISBN: 978-90-8998-034-2 • 160 pagina’s, € 9,95 • Non-fictie

Colofon Vector Vierde jaargang nummer 13

Redactieadres Vector Kleine Pathoekeweg 3 8000 Brugge vector@diekeure.be Externe auteurs die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met de redactie. Vector Vector is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in BelgiĂŤ. Voor het buitenland betaal je e 5. Verantwoordelijke uitgever Bart Vandenbussche Kleine Pathoekeweg 3 8000 Brugge