Issuu

Tijdschrift voor wiskundeonderwijs Januari 2010 nummer 10

vector

Tijdschrift voor wiskundeonderwijs Januari 2010 nummer 10

vector inhoud

voorwoord

Beste wiskundeliefhebber Misschien had je het al in het nieuws gehoord of in de kranten gelezen: het

Atomium is zijn wiskundige perfectie kwijt sinds de renovatie. Dirk Huylebrouck

Voorwoord

legt alles piekfijn uit.

De scheve bol van Brussel

We bekijken de wiskundeopgaven in tv-spelletjes eens van dichtbij en nemen

je ook mee naar Parijs in onze rubriek Tips voor trips. Natuurlijk komen de

Wiskunde â€Ś hoe het niet moet

leesbeesten ook weer aan hun trekken in de vertrouwde boekenrubriek. De redactie van Vector wenst jullie een opperbeste start in 2010.

Tips voor Trips

Gezocht

Leestips

nodigt je uit! In maart 2010 organiseert VBTL infosessies met nadruk op het tweede jaar. Inschrijven of het programma raadplegen, kan vanaf 15 januari op www.vbtl.be. 2

vector

DE SCHEVE BOL VAN BRUSSEL SLORDIGE RESTAURATIE ATOMIUM Dit artikel verscheen eerder in EOS Magazine. Tekst: Dirk Huylebroeck / Illustraties: arch. Arnoud Hendrickx Nu de feestelijke vijftigste verjaardag van de wereldtentoonstelling van 1958 een tijdje achter de rug ligt, is het aanvaardbaar om een kritische blik te werpen op ‘de Belgische Eiffeltoren’. Het vernieuwde bouwwerk staat letterlijk ‘bol’ van de fouten. Als je vanuit het restaurant in de bovenste bol naar beneden kijkt, zie je een bol met schaamteloos foutief aangebrachte dekplaten. Bovendien spiegelt het Atomium niet meer zoals voorheen: de reflectie lijkt meer op die van een spiegelpaleis op de kermis. De Belgische ingenieurskunde maakt duidelijk geen goede beurt in het drukst bezochte monument van het land.

Vanuit het restaurant in de hoogste bol kijk je neer op drie bollen. De bollen in het noorden en het zuidwesten zien er mooi uit, maar de bol in het zuidoosten is schots en scheef.

Atomaire geschiedenis

Alle zeshoeken hadden er even regelmatig moeten uitzien als deze.

Detail van de scheve zeshoek ...

Eos 30

... en van de uit de as staande buis.

Een rechthoek?

Het Atomium is een ontwerp van André Waterkeyn en André en Jean Polak. Het werd gebouwd voor de wereldtentoonstelling van 1958 en het was niet de bedoeling dat het daarna bleef staan. Het hoeft dan ook niet te verwonderen dat het na een tijd aan restauratie toe was, wat gebeurde van 2004 tot 2006. Met zijn acht bollen op de hoekpunten van een kubus en één bol in het midden, stelt het 102 meter hoge bouwwerk een ijzerkristal voor. Toepasselijk in tijden toen de staalnijverheid floreerde en men droomde van atoomenergie. Leuk is dan ook dat tijdens de restauratie de aluminium panelen die de bollen bedekten, vervangen werden door stalen inoxplaten. Destijds had André

Waterkeyn er zijn hoofd over gebroken hoe hij de bollen met een diameter van 18 meter zou bedekken met metalen 'Om een esthetische oplossing te vinden die zo 'Om een esthetische oplossing te rekening vinden diemet zo platen. De ontwerper hield dicht mogelijk stond bij het symbool van het Atodicht mogelijk stond bij het symbool op vangrote het Atode constructiemoeilijkheden mium, wou ik het oppervlak van de sfeer versnijmium, wouen ikmet het oppervlak van deinsfeer versnijhoogte het verschil warmteden in een zo groot mogelijk aantal gelijke sfeden in een zotussen groot mogelijk aantal gelijke uitzetting het stalen skelet ensfede rische driehoeken door middel van grote cirkels. rische driehoeken door middel van grote cirkels. aluminium bedekking. Maar uiteindelijk Ik vertrok van de punten waar de buizen in de Ikspeelde vertrok van punten waar de buizen in de het de esthetische element een sfeer binnendringen, en kwam er zo toe een net te sfeer binnendringen, enrol. kwam erkoos zo toevoor een net te doorslaggevende Hij 48 trekken van 48 gelijke of symmetrische driehoetrekken van 48 gelijke of symmetrische driehoedriehoekige platen, want hij vertrok van ken gevormd door de doorsneden van negen grote ken gevormd door de doorsneden van negen grote de punten waar de buizen in de bollen cirkels.' cirkels.' binnendringen, en Waterkeyn dat zijn er zouden steeds uitdrie De grote cirkels van De grote cirkels van Waterkeyn zouden uit(behalve voor de middelste bol): eindelijk cirkelvormige stroken worden met eindelijk cirkelvormige stroken worden met ‘Om een esthetische oplossing te er vinden een breedte van 40 centimeter, zodat lampeen breedte van 40 centimeter, zodat er lampdie zo dicht mogelijk stond bij het jes in konden worden vastgezet. Het lijkt dan jes in konden worden vastgezet. Het lijkt dan van er hetelektronen Atomium,rond woude ik ijzeratohet ’ssymbool nachts alsof ’s nachts alsof er elektronen rond de ijzeratooppervlak de sfeer een men zweven van (al hadden hetversnijden er best meerinmogen men zweven (al hadden het er best meer mogen zijn, want een ijzeratoom heeft 26 elektronen). zo groot mogelijk aantal gelijke sferische zijn, want een ijzeratoom heeft 26 elektronen). Een volume met 48 zijvlakken, die allemaal driehoeken door48 middel van grote cirkels. Een volume met zijvlakken, die allemaal dezelfde ‘soort’ willekeurige driehoeken zijn Ik vertrok van de punten waar de buizen dezelfde ‘soort’ willekeurige driehoeken zijn (dus geen gelijkzijdige of gelijkbenige driehoein de sfeer binnendringen, en kwam er (dus geen gelijkzijdige of gelijkbenige driehoeken), heet in meer wiskundige bewoordingen zo toe een te wiskundige trekken vanbewoordingen 48 gelijke of ken), heet innet meer een ‘disdyakis dodecahedron’ (48=4x12) of symmetrische driehoeken gevormd doorof een ‘disdyakis dodecahedron’ (48=4x12) nog ‘een hexakis octahedron’ (48=6x8). Het lide ‘een doorsneden van negen (48=6x8). grote cirkels.’ nog hexakis octahedron’ Het lichaam behoort tot de familie van de CatalaanDe grote cirkels van Waterkeyn zouden chaam behoort tot de familie van de Catalaanse veelvlakken, naar de Frans-Belgische wisseuiteindelijk veelvlakken,cirkelvormige naar de Frans-Belgische stroken wiskundige Eugène Catalan, die het in 1865 voor kundige Catalan, die het wordenEugène met een breedte vanin401865 voor het eerst beschreef. Catalans veelvlak werd gehet eerst beschreef. Catalans veelvlak werd gecentimeter, zodat er lampjes in konden bruikt als een benadering voor een bol van het bruikt als een benadering het worden vastgezet. Hetvoor lijkteen danbol ’s van nachts Atomium: als je het opblaast, zoals een ballon, Atomium: als je het opblaast, zoals een ballon, alsof er elektronen rond de ijzeratomen dan wordt het veelvlak een sfeer, en worden dan wordt(al hethadden veelvlakhet eenersfeer, worden zweven best en meer de 48 sferische driehoeken beschreven door 9 demogen 48 sferische driehoeken beschrevenheeft door 9 zijn, want een ijzeratoom grote cirkels op de sfeer. grote cirkels op de sfeer. 26 elektronen). Een volume met 48 zijvlakken, die allemaal dezelfde ‘soort’ schEvE ArchitEctuur schEvE ArchitEctuur willekeurige driehoeken (dus van geen Omdat de cirkels een breedtezijn hebben 40 Omdat de cirkels een breedte hebben van 40 gelijkzijdige of gelijkbenige driehoeken), centimeter zijn het geen lijnen, maar stroken. centimeter zijn het geen lijnen, maar stroken. heet instroken meer wiskundige bewoordingen Als deze breder en breder worden, zien Als deze stroken breder en breder worden, zien een ‘disdyakis dodecahedron’ (48=4x12) we duidelijker en duidelijker de doorsneden we duidelijker en duidelijker de doorsneden of nog hexakis octahedron’ van deze‘een cirkelstroken. Waar er twee elkaar van deze cirkelstroken. Waar er twee elkaar (48=6x8). Het lichaam behoort tot er dedrie snijden, vormen ze vierkanten, waar snijden, vormen ze vierkanten, waar er drie snijden zeshoeken, en waar er vier snijden, familie van de Catalaanse veelvlakken, snijden zeshoeken, en waar er vier snijden, zijn het achthoeken (zie tekening p. 31). naar Frans-Belgische wiskundige zijn hetde achthoeken (zie tekening p. 31). Hoewel zeCatalan, een zijde die hebben van 40 centimeEugène het in 1865 voor Hoewel ze een zijde hebben van 40 centimeter, ziet iedereen de regelmatige veelvlakken het eerst beschreef. Catalans veelvlak ter, ziet iedereen de regelmatige veelvlakken wel, maar niemand kijkt ernaar. Vóór de reswerd gebruikt alskijkt eenernaar. benadering voor wel, maar niemand Vóór de restauratie van het Atomium was erjeook niets een bol van het Atomium: als het tauratie van het Atomium was er ook niets merkwaardigs aan: de veelvlakken waren keumerkwaardigs aan: de veelvlakken waren keurig regelmatig. En de grote cirkels waren netjes rig regelmatig. En de grote cirkels waren netjes opgebouwd uit rechthoekige stroken. opgebouwd uit rechthoekige stroken.

vector

In de de 48 48 driehoekige driehoekige panelen panelen zijn zijn schijnbare schijnbare voegen voegen aangebracht. aangebracht. Daardoor Daardoor vervormt vervormt de de In In de 48 driehoekige panelen zijn schijnbare voegen aangebracht. Daardoor vervormt de reflectie zoals in een spiegelpaleis. reflectie zoals in een spiegelpaleis. reflectie zoals in een spiegelpaleis.

Depanelen panelenvertoonden vertoondenzelfs zelfsvoor voor hun hunplaatsing plaatsingvervormde vervormdereflecties, reflecties,die diedaarna daarnanog nog De De panelen vertoonden zelfs voor hun plaatsing vervormde reflecties, die daarna nog versterkt werden door hitteen krachtwerkingen. versterkt werden door hitteen krachtwerkingen. versterkt werden door hitteen krachtwerkingen. bovenaan erg onregelmatig. Het is onbegrijbovenaan erg onregelmatig. Het is onbegrijpelijk dat het werk op die manier is opgelepelijk dat het werk op die manier is opgeleverd. Bovendien zijn de rechthoekige stroverd. Bovendien zijn de rechthoekige stroken die ernaartoe leiden (en de negen cirkels ken die ernaartoe leiden (en de negen cirkels vormen), duidelijk scheef: het zijn trapezia. vormen), duidelijk scheef: het zijn trapezia.

Vroeger spiegelden spiegelden de de bollen bollen als als egale egale Vroeger

het om een onderliggende structurele fout? het om een onderliggende structurele fout? De ingenieur Samuel Verbiese uit Overijse, De ingenieur Samuel Verbiese uit Overijse, nabij Brussel, bestudeert de wiskundige eigennabij Brussel, bestudeert de wiskundige eigenschappen van het Atomium. Hij reconstrueerschappen van het Atomium. Hij reconstrueerde de afgeknotte kuboctahedron met Atomide de afgeknotte kuboctahedron met Atomiumpanelen en zelfs het hele Atomium met het umpanelen en zelfs het hele Atomium met het wiskundige maquettemateriaal ‘Zometool’. Zo wiskundige maquettemateriaal ‘Zometool’. Zo kwam hij de euvels in de panelen op het spoor.

gebeurd bij de restauratie: een zeshoek is onregelmatig geworden, rechthoekige dekplaten zijn schuine trapezia geworden en ook een aslijn staat schuin. en het geheel blinkt als een lachspiegel. door dirk HuYleBrouCK/ tekeningen: arch. arnaud HeNdriCKX

opblaast, uzoals een ballon, dan wordt de feestelijke vijftigste verjaarhet veelvlak een sfeer, en worden de 48 dag van de wereldtentoonstelling sferische van driehoeken beschreven door 1958 een tijdje achter de rug9 grote cirkels de sfeer. ligt, op is het aanvaardbaar om een

kritische blik te werpen op ‘de Belgische Eiffeltoren’. Het vernieuwde bouwwerk staat Scheve architectuur letterlijk ‘bol’ van deeen fouten. Als je hebben vanuit het Omdat de cirkels breedte restaurant in de bovenste bolgeen naar lijnen, beneden van 40 centimeter zijn het kijkt, je een bol schaamteloos foutief maarzie stroken. Alsmet deze stroken breder aangebrachte dekplaten. spiegelt en breder worden, zienBovendien we duidelijker het Atomium niet meer zoals voorheen: de reen duidelijker de doorsneden van deze flectie lijkt meer op die van een spiegelpaleis cirkelstroken. Waar er twee elkaar op de kermis. De Belgische ingenieurskunde snijden, vormen ze vierkanten, waar maakt duidelijk geen goede beurt in het drukst er drie snijden zeshoeken, en waar er bezochte monument van het land.

vier snijden, zijn het achthoeken (zie tekeningen hiernaast). Hoewel ze een AtomAirE gEschiEdEnis zijde hebben centimeter, zietWaHet Atomium isvan een40 ontwerp van André iedereen de regelmatige veelvlakken terkeyn en André en Jean Polak. Het werd wel, maar niemand kijkt ernaar. Vóórvan de gebouwd voor de wereldtentoonstelling restauratie wasdat er ook 1958 en het van was het nietAtomium de bedoeling het daarna bleef staan. Het aan: hoeft de danveelvlakken ook niet te niets merkwaardigs verwonderen datregelmatig. het na een tijd waren keurig Enaan derestauragrote tie toe was, wat gebeurde van 2004 totuit 2006. cirkels waren netjes opgebouwd Met zijn acht bollen op de hoekpunten van een rechthoekige stroken. kubus één bol in het midden, stelt Bij deen restauratie is er bij een vanhet 102 meter hoge bouwwerk een ijzerkristal voor. de bollen echter iets misgegaan. Als Toepasselijk in tijden toen de staalnijverheid je vanuit de hoogste bol, waar het floreerde en men droomde van atoomenergie. restaurant in gevestigd is, neerkijkt Leuk is dan ook dat tijdens de restauratie de op de bol in de richting van het aluminium panelen die de bollen bedekten, Groentheater, blijkt eenstalen zeshoek vervangen werden door inoxplaten. helemaal bovenaan erg onregelmatig. Destijds had André Waterkeyn er zijn hoofd Het is onbegrijpelijk dat het werk op die manier is opgeleverd. Bovendien zijn de rechthoekige stroken die ernaartoe leiden (en de negen cirkels vormen), duidelijk scheef: het zijn trapezia. Erger nog, de bol schijnt zelfs niet mooi in de as van de buis te liggen. En dit terwijl de andere bollen wel mooi gerestaureerd werden. Was deze foute bol de eerste die werd aangepakt, een soort ‘restauratie-proefbol’, of gaat het om een onderliggende structurele fout? De ingenieur Samuel Verbiese uit Overijse, nabij Brussel, bestudeert de wiskundige eigenschappen van het Atomium. Hij reconstrueerde de afgeknotte

De sfeervolle oplossing voor de bedekking van de bollen van het Atomium: 48 sferische driehoeken afgelijnd door 9 grote cirkels (links). Het volume komt overeen met een opgeblazen ‘disdyakis dodecahedron’ (rechts).

Als we de stroken op de ‘disdyakis dodecahedron’ breder laten worden, zien we duidelijker dat de doorsneden van de stroken vierkanten geven, of zeshoeken of achthoeken.

kuboctahedron met Atomiumpanelen

over gebroken hoe hij de bollen met een diaen zelfs het hele Atomium met het meter van 18 meter zou bedekken met metawiskundige maquettemateriaal len platen. De ontwerper hield rekening met ‘Zometool’. Zo kwam hij de euvels in de de constructiemoeilijkheden op grote hoogte panelen het spoor. Maar Verbieses en met hetop verschil in warmte-uitzetting tusmening over de restauratie van het sen het stalen skelet en de aluminium bedek-

nationale monument is genuanceerd: Eosblij 31zijn dat het ‘We moeten vooral monument daadwerkelijk gerestaureerd werd, en er nog steeds staat.’ Spiegel De hoofdoorzaak voor het euvel is wellicht dat bij de reconstructie niet meer met de speciale aluminium platen kon worden gewerkt die destijds voor het originele kunstwerk zijn gebruikt. De legering iperaluman 15 met haar speciale spiegelende laag is vandaag onbetaalbaar geworden. Terwijl elk van de 48 grote driehoeken destijds bestond uit 15 kleinere

panelen die als puzzelstukjes met

king. Maar uiteindelijk speelde het esthetische de hand in elkaar werden gezet, element een doorslaggevende rol. Hij koos werd bij de restauratie geopteerd voor 48 driehoekige platen, want hij vertrok voor 48 grote panelen uit gepolijst van de punten waar de buizen in de bollen inox, die in één op het skelet binnendringen, enstuk dat zijn er steeds drie (bekonden worden aangebracht. Om het halve voor de middelste bol):

geheel er hetzelfde te laten uitzien, is de oorspronkelijke onderverdeling in kleinere paneeltjes op een kunstmatige wijze aangebracht. De inoxplaten werden ingedeukt volgens de lijnpatronen van de 15 kleinere driehoeken, waarna een laag silicone op deze ‘vouwen’ in het inox werd gespoten. Zo krijg je als bezoeker de indruk dat de grote 48 inoxplaten elk bestaan uit 15 kleinere platen, zoals bij het originele Atomium. Het idee van de grote panelen liet toe om snel te werken zonder tijdrovende handenarbeid, maar door de plaatsing en door de temperatuurverschillen

Kepler en de kuboctahedron Kepler en de kuboctahedron

Kepler en de kuboctahedron

Van Atomiumbol tot Van kuboctahedron Atomiumbol tot kuboctahedron

Ingenieur Verbiese maakte een wiskundige maquette het Atomium Ingenieurvan Verbiese maakte en eenontdekte wiskundige zo de ‘scheve’ Foto Dr. Wiebke maquette vanbol. het Atomium en Drenckhan ontdekte zo de ‘scheve’ bol. Foto Dr. Wiebke Drenckhan

Als de negen grote cirkels op een bol van het ling twijfelachtig zijn, want als je de hoeken Als de negen grote cirkels een bol van het lingeen twijfelachtig zijn,zoals wantaangegeven als je de hoeken Atomium breder worden enop tegelijk ook korvan kubus afvijlt in de Atomium breder worden en tegelijk ook korvan eenworden kubus wel afvijlt zoals aangegeven de ter, blijven uiteindelijk alleen de doorsneden figuren, achthoeken zichtbaar,inen ter, blijven de doorsneden figuren,ook worden wel achthoeken zichtbaar, en over: twaalfuiteindelijk vierkanten,alleen acht zeshoeken en daarna een aantal driehoeken en rechtVan over: twaalf vierkanten, acht zeshoeken en daarna en ookten een aantal en rechtzes achthoeken. hoeken, slotte eendriehoeken aantal rechthoeken, zes achthoeken. hoeken, enen tenachthoeken. slotte een aantal rechthoeken, Johannes Kepler, bekend van de wetten die zeshoeken Sommige zijvlak-Atomiumbol tot Johannes wetteneen die zeshoeken en achthoeken. Sommige zijn naam Kepler, dragen,bekend dooptevan dit de veelvlak ken blijven echter onregelmatig, en het zijvlakwordtkuboctahedron zijn naam kuboctahedron’. dragen, doopte dit veelvlak een kengeen blijven echter onregelmatig, en het wordt ‘afgeknotte Kepler was een dus afgeknotte kuboctahedron. ‘afgeknotte waszelfs een dus geen afgeknotte groot kenner kuboctahedron’. van veelvlakken Kepler – hij wou Onderzoekers die de kuboctahedron. werken van Kepler konAls de negen grote cirkels op– hij een bolzelfs van het ling twijfelachtig zijn,Kepler want als je de hoeken groot kenner van veelvlakken Onderzoekers de werken van het hele universum in veelvlakkenwou vatten. den inkijken endie vertalen, stootten echterkonop Atomium breder worden en tegelijk ook korvanwaarin een kubus afvijlt zoals in de het hele universum inhem veelvlakken vatten. denpassage inkijken en vertalen, echter aangegeven op Toch verdenken velen hierbij van een de Kepler stootten zijn naamgeving Toch verdenken velen hem hierbij van dat een de passage Kepler wel zijn naamgeving zichtbaar, en de (Engelse) Wikipedia uitlegt: ‘... diewaarin ik een afgeknotte kuboctahedron ter,slippertje: blijven uiteindelijk alleen destelt doorsneden figuren, worden achthoeken slippertje: de (Engelse) Wikipedia stelteudat uitlegt: ‘... niet die ik een afgeknotte kuboctahedron Keplers benaming ‘misleidend’ – een zal noemen: omdat kan aantal gevormd worden over: twaalf vierkanten, achtis zeshoeken en daarna ookheteen driehoeken en rechtKeplers benaming ‘misleidend’ is – een zal noemen: nietmaar omdatomdat het kan worden femistische uitdrukking om te zeggen dat eude door afknotting, hetgevormd [veelvlak] lijkt zes femistische achthoeken. hoeken, en ten slotte een aantal rechthoeken, uitdrukking om te zeggen dat de door afknotting, maar omdat het [veelvlak] lijkt grote Kepler het fout had. Het gebruik van op een kuboctahedron die afgeknot is’. Dit zuiJohannes Kepler, bekend vansamenstelde wetten zeshoeken enafgeknot achthoeken. Sommige zijvlakgrote Kepler het fout Het gebruik van die op een kuboctahedron die is’. Dit zuihet woord ‘kubus’ zouhad. in deze vert Keplers naam, zonder twijfel. woorddragen, ‘kubus’ zou in deze vert Keplers zonder twijfel. zijn het naam doopte ditsamenstelveelvlak een ken naam, blijven echter onregelmatig, en het wordt

destijds voor het originele kunstwerk zijn gedestijdsDevoor het originele kunstwerk zijn gebruikt. legering iperaluman 15 met haar bruikt. spiegelende De legering laag iperaluman 15onbetaalmet haar speciale is vandaag speciale spiegelende laag is vandaag onbetaalbaar geworden. baar geworden. Terwijl elk van de 48 grote driehoeken destijds Terwijl elk 48 grote driehoeken destijds bestond uit van 15 de kleinere panelen die als puzbestondmaakte uit panelen die als puzIngenieur een wiskundige zelstukjes met15 dekleinere hand in wiskundige elkaar werden gezet, IngenieurVerbiese Verbiese maakte een ‘afgeknotte kuboctahedron’. Kepler was een dus geen afgeknotte kuboctahedron. zelstukjes met deen hand in elkaar voor werden gezet, maquette het Atomium ontdekte zo de werd bij de restauratie geopteerd 48 grote maquettevan van het Atomium en ontdekte groot kenner van veelvlakken – hij wou zelfs Onderzoekers die de werken van Kepler konwerd bijuit de restauratie geopteerd 48 grote panelen gepolijst inox, die in voor één stuk op ‘scheve’ bol. Foto Dr. Wiebke Drenckhan zo de ‘scheve’ bol. Foto Dr. Wiebke Drenckhan den inkijken en vertalen, stootten echter op panelen gepolijst inox, die in één stuk op het hele universum in veelvlakken vatten. het skeletuit konden worden aangebracht. Om hetgeheel skelet erkonden worden aangebracht. het hetzelfde te laten uitzien, is Om de Toch verdenken velen hem hierbij van een de passage waarin Kepler zijn naamgeving ging het inoxoorspronkelijke uitzetten. Er ontstonden Op de hier gegeven wijze kan een kubus net niet afgeknot worden tot een het geheel er hetzelfde te laten uitzien, is de onderverdeling in gekleinere slippertje: de (Engelse) Wikipedia stelt dat destijds voor het originele kunstwerk zijn uitlegt: ‘... die ik een afgeknotte kuboctahedron kuboctahedron, want de zijvlakken kunnen niet allemaal regelmatig worden. Op de hier gegeven wijze kan een kubus net niet afgeknot worden tot een oorspronkelijke onderverdeling in kleinere allerlei glooiingen. Dit was voordienwijze niet paneeltjes op een kunstmatige aangekuboctahedron, de zijvlakken niet allemaal regelmatig worden. benamingwant ‘misleidend’ is kunnen – een eubruikt. De legering iperaluman 15 metwijze haaraange- Keplers zal noemen: niet omdat het kan gevormd worden paneeltjes op een kunstmatige bracht. de De werkelijke inoxplaten werden ingedeukt volhet geval, omdat voegen speciale spiegelende laag is vandaag door afknotting, maar omdat het [veelvlak] lijkt bracht. De inoxplaten vol- femistische uitdrukking om te zeggen dat de gens de lijnpatronen vanwerden de onbetaal15 ingedeukt kleinere drietussen de panelen dezeeen uitzettingen gens dewaarna lijnpatronen van de 15 op kleinere drie- grote Kepler het fout had. Het gebruik van hoeken, laag silicone deze ‘voubaar geworden. op een kuboctahedron die afgeknot is’. Dit zuiopvingen. Het oppervlak van het hoeken, waarna een laag siliconeZo opkrijg dezeje‘vouinox driehoeken werd gespoten. als het woord ‘kubus’ zou in deze samenstelTerwijl elk vanwen’ de in 48het grote destijds vert Keplers naam, zonder twijfel. wen’ ingeworden het inox werd gespoten. Zoinoxplaten krijg je als Enkele jaren geleden dook het in de media op als bezoeker de indruk datwas de grote 48 Atomium, dof door bestond uitdat 15bezoeker kleinere panelen die als puzjaren hethet in Atomium de media gevalop als dat deplaten, grote 48 inoxplaten 1Enkele aprilgrap: er geleden was een dook bol van elk bestaandeuitindruk 15 kleinere zoals bij het de corrosie het aluminium, spiegelt zelstukjes metvan debestaan hand in werden 1 aprilgrap: was een bol van het Atomium elk uitelkaar 15 kleinere platen,gezet, zoals bij het len. Of er veelerramptoeristen kwamen opdagen,gevalheroriginele Atomium. nu wel maar len. Of er kwamen heroriginele Atomium. inneren weveel onsramptoeristen niet meer. Maar heeft opdagen, u al gemerkt Het idee van deniet grotemeer panelen liet toe om snel werd bijopnieuw, de restauratie geopteerd voorzoals 48 grote inneren webovenste ons niet meer. u al gemerkt idee van de grote panelen liet toe om snel dat de drie bollenMaar nooitheeft toegankelijk zijn teHet werken zonder tijdrovende handenarbeid, weleer. spiegelden de bollen panelen Vroeger uit gepolijst inox, die in één stuk op dat de bovenste nooit toegankelijk zijn te werken zonder tijdrovende voor hetdrie publiek? ‘Om bollen veiligheidsredenen’, zo luidt maar door de plaatsing en door de temperaals egale ronde spiegels. Nuhandenarbeid, zijn het mooie skelet konden worden aangebracht. voorInhet publiek? ‘Om veiligheidsredenen’, zo luidt maar door de ging plaatsing en uitzetten. door deOm temperahet. tegenstelling tot de andere sferen hebben ze tuurverschillen het inox Er onthet ronde spiegels geworden met bulten het geheel er stonden hetzelfde te ging laten is voordien deEr onthet. In tegenstelling tot de andere sferen ze tuurverschillen hetuitzien, inoxDit uitzetten. geen verticale ondersteuning, al waren diehebben er bij de allerlei glooiingen. was geen van verticale ondersteuning, al waren die er troubij de stonden allerlei glooiingen. Dit was voordien net afgeknot worden tot een en builen langs valse voegen. De vraag bouw hetniet Atomium wel. Aanvankelijk was niet het geval, omdat de voegen Op de hier gegeven wijze kan een kubus oorspronkelijke onderverdeling inwerkelijke kleinere kunnen niet allemaal regelmatig worden. bouw van het Atomium wel. Aanvankelijk was trouniet het geval, omdat de werkelijke voegen kuboctahedron, want de zijvlakken wens voorzien dat geen enkele bol ondersteund zou tussen de panelen deze uitzettingen opvingen. dringt zichopop: Spiegeltje aan de wand, paneeltjes een kunstmatige wijze aangewens voorzien dat geen enkele bolsnel ondersteund zou tussen de panelen uitzettingen worden, maar van dit plan werd afgeweken. Het oppervlak van deze het Atomium, datopvingen. dof gewat is het monument van het bracht. De scheefste inoxplaten werden ingedeukt volworden, maar dit bol plan werd snel Het oppervlak Atomium, dof geMisschien is de van scheve een teken aanafgeweken. de wand worden was doorvan de het corrosie van hetdat aluminiland? gens de lijnpatronen van de 15 kleinere drieMisschien is de scheve een tekenOfaan worden was door de corrosie van aluminidat er iets schort met de bol constructie. datde dewand losum, spiegelt nu wel opnieuw, maarhet niet meer dat er ietsbollen schort het metgebouw de constructie. dat de losum, spiegelt nu wel opnieuw, maar niet meer hangende scheef Of beginnen te zoals weleer. spiegelden de bollen als hoeken, waarna een laagVroeger silicone op deze ‘vouhangende bollen het beginnen zoals weleer. Vroeger spiegelden dehet bollen als trekken. Trouwens, er isgebouw nog eenscheef mysterieus teken,te mooie egalegespoten. ronde spiegels. Nu zijn wen’ in het inox werd Zo krijg je alsronde trekken. Trouwens,opperen, er is nogwant een mysterieus teken, mooie egale rondemet spiegels. het langs ronde zullen bijgelovigen het nabijgelegen spiegels geworden bultenNu enzijn builen jaren geleden dook het in de media op als bezoeker de indruk dat de grote 48 inoxplaten zullenEnkele bijgelovigen opperen, het nabijgelegen spiegels geworden metdringt bulten en op: builen langs ‘mini-Europa’ heeft vele grote want Europese monumenvalse voegen. De vraag zich Spiegel1 aprilgrap: er Eiffeltoren was boldevan elk bestaan uittje 15 zoals bijop: het ‘mini-Europa’ heeft van vele grote een Europese monumenvalse voegen. Deplaten, vraag dringt zich Spiegelten gereproduceerd, tot torenhet vanAtomium gevalaankleinere de wand, wat is het scheefste monument ten gereproduceerd, vanramptoeristen Eiffeltoren tot de kwamen toren van opdagen, hertje het aanland? de wand, Pisa, maar eigen Atomium. van ■ wat is het scheefste monument len.niet Of het er veel originele Atomium. Pisa, maar niet het eigen Atomium. van het land? ■

≠ ≠

Teken aan de wand? Teken aan de wand?

≠

Teken aan de wand?

Het idee van de grote panelen liet toe om snel te werken zonder tijdrovende handenarbeid, maar door de plaatsing en door de temperatuurverschillen ging het inox uitzetten. Er ontvector stonden allerlei glooiingen. Dit was voordien

Eos 33 Eos 33

inneren we ons niet meer. Maar heeft u al gemerkt dat de drie bovenste bollen nooit toegankelijk zijn voor het publiek? ‘Om veiligheidsredenen’, zo luidt het. In tegenstelling tot de andere sferen hebben ze geen verticale ondersteuning, al waren die er bij de

vbtl daagt je uit! uitdagende problemen

VBTL daagt je uit

leuke en frisse illustraties elke maand wordt een wiskundig probleem in de verf gezet aandacht voor wiskundetaal

Een uitdagende wiskundekalender voor het eerste jaar

de kalender is elk jaar herbruikbaar extra groot formaat, uitstekende kwaliteit, stevige ringen met twee haken

AUTEURS BJÖRN CARREYN FILIP GEEURICKX

de kalender vormt samen met de

ILLUSTRATIES ERWIN VAN POTTELBERGHE

boekenreeks VBTL en de instructieposters een uniek totaalpakket

Kleine Pathoekeweg 3 ı 8000 Brugge ı T 050 47 12 88 ı F 050 47 12 87 ı E educatieve.uitgaven@diekeure.be ı www.diekeure.be ISBN 978 90 4860 180 6 KB 0147/2008/218 NUR 014/126 Bestelnr. 90 105 0011 Verantwoordelijke uitgever Die Keure NV, Kleine Pathoekeweg 3 8000 Brugge H.R. Brugge 12.225 www.diekeure.be © Copyright by die Keure, Brugge Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt worden door middel van druk, fotokopie, microfilm of op welke wijze ook, zonder voorafgaande toestemming van de uitgever (behoudens de uitzonderingen door de wet voorzien). No part of this book may be reproduced in any form by print, microfilm or any other means without written permission from the publisher.

ISBN 978 90 4860 180 6

www.vbtl.be ı www.educatief.diekeure.be/educatief

KALENDER_grootblad.indd 1

9/12/09 12:29

Kalender Probleem van de week 1 Bestelnummer: 94 105 0011

Probleem

Prijs: ¤ 20,00

om 8.30 u.

van dit schooljaar Stel dat je op 1 september te tellen. jouw hartslag begint jouw hart dan Op welke dag klopt keer? voor de miljardste Is dat nog tijdens

Kalender Probleem van de week 2 Bestelnummer 94 105 0012 Prijs: ¤ 20,00

tik tik …

Boem tik tik, boem

VBTL daagt je uit

dit schooljaar?

September

Probleem

Taaltip september

>> (reken-)regel

een Voorbeeldopgave om machten met Noteer de rekenregel in vermenigvuldigen zelfde grondtal te symbolen. at ⋅ as = a

t+s

de wiskunde Betekenis binnen woorden of Een formulering in maakt wat je symbolen die je duidelijk verder te opgave moet doen om de kunnen uitrekenen.

(a ≠ 0)

Het ten 3) Een gewoonte: in de regel. l. nis4)pro verordening: verkeersrege bleem Voorschrift,

van regel Andere betekenissen geschreven wordt. 1) Een lijn waarop

een lijn. 2) De woorden op

Voorbeeld de regels lezen. Je kunt ook tussen je uit een tekst een Dit betekent dat er niet letterlijk staat. betekenis haalt die

Voorbeeld geldt de regel In het wegverkeer Drie meisjes: “voorrang van rechts”. spelen heel Ann-Sophie, Bronté

graag en en Charlotte De regels heel veel zijn de tennis. volgende Eén van : de drie is scheidsre De andere chter. twee spelen tot er een een spelletje set tennis De winnaar gewonnen is. wordt de Tot er weer nieuwe scheidsre een set chter. gespeeld en ook hier de is, winnaar scheidsre chter

wordt. 29 30 Na 28speelde een tijdje 27 23 24 25 26Bronté Ann-Soph speelde ie elf keer 18 19 20 21 22 zes keer Charlotte een setje een setje 13 14 15 16 17 was vier tennis. keer scheidsre tennis. 7 8 9 10 11 12 chter. 2 3 4 5 6 Wie won de

Een uitdagende wiskundekalender voor het tweede jaar

16/06/09 11:04

vierde

set?

Taaltip april

3 2eJAAR_KALENDER_grootblad.indd

Recht evenredi Twee groothed g het quotiënt en zijn recht evenredi van hun maatgeta llen constantovereenkomstigeg als is. Na 100 km verbruikt heeft je wagen . Na 200 6 12 l verbruikt km heeft l brandstof dezelfde . wagen

>> evenred ig

Betekeni s binnen Een evenredig de wiskunde heid is verhoudin een gelijkheid Evenredi gen. van g zijn, duidt tussen twee groothedop een verband dan recht en. Die kunnen met elkaar.of omgekeerd evenredig zijn

100 200 6 = 12

Omgekee rd evenredi Twee groothed g en zijn evenredi omgekee rd overeenk g als het product omstige maatgetavan hun llen constant Drie schilders is. Vier schilders klaren de klus in zouden klaren dezelfde 12 dagen. in 9 dagen. klus

3 ⋅ 12 = 2eJAAR_KALENDER_groot blad.indd

4⋅9

April

Andere betekeni Proportio s van evenredi neel, op g dezelfde wijze. Voorbeel den In het parlemen evenredi t werden stemmeng met het aantal de zetels verdeeld behaalde .

De prijzen

van benzine 2 3 niet evenredi en diesel 4 5 g. dalen 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

24/06/09

12:25

AUTEURS BJÖRN CARREYN FILIP GEEURICKX ILLUSTRATIES ERWIN VAN POTTELBERGE

Kleine Pathoekeweg 3 ı 8000 Brugge ı T 050 47 12 88 ı F 050 47 12 87 ı E educatieve.uitgaven@diekeure.be ı www.diekeure.be ISBN 978 90 4860 272 8 KB 2009/062 NUR 126 Bestelnr. 94 105 0012 Verantwoordelijke uitgever Die Keure NV, Kleine Pathoekeweg 3 8000 Brugge H.R. Brugge 12.225 www.diekeure.be © Copyright by die Keure, Brugge Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt worden door middel van druk, fotokopie, microfilm of op welke wijze ook, zonder voorafgaande toestemming van de uitgever (behoudens de uitzonderingen door de wet voorzien). No part of this book may be reproduced in any form by print, microfilm or any other means without written permission from the publisher.

Bestelnr.: 94 105 0012

,!7IJ0E8-gachci!

www.vbtl.be ı www.educatief.diekeure.be/educatief

2eJAAR_KALENDER_grootblad.indd 1

leine Pathoekeweg 3 ı 8000 Brugge ı T 050 47 12 88 ı F 050 47 12 87 K E educatieve.uitgaven@diekeure.be ı www.diekeure.be

www.vbtl.be ı www.educatief.diekeure.be/educatief

9/12/09 12:32

Wiskunde … hoe het niet moet Tekst: Filip Geeurickx Op 22 oktober 2009 moesten Linda (Milk Inc.) en Sylver de oefening op foto 1 uitrekenen in het VT4-programma ‘Hole in the Wall’. Ze konden niet beslissen welke deur ze zouden kiezen. Begrijpelijk, want de juiste oplossing was niet gegeven. Wellicht gebruikten de makers een niet zo wetenschappelijk rekentoestel. Want rekening houdend met de volgorde van de bewerkingen moet het resultaat uiteraard 38 zijn. In een reactie verklaarde VT4 dat ze de wiskundeverantwoordelijke eens flink in de oren zou knijpen. Maar ook bij de andere commerciële zenders VTM en 2BE wordt wiskunde bedreven met een serieuze knipoog. Daar durven ze bij de belspelletjes af en toe een wiskundige opgave stoppen. Uit die vele opgaven plukken we een voorbeeld (zie foto 2), dat gepresenteerd werd door Filip D’haeze, ooit zanger van de boysband Enzo. Je zou al snel denken dat je de oplossing kent, namelijk 62. Maar neen, na heel lang wachten werd gedurende enkele seconden de eindoplossing weergegeven. Ik vroeg me af hoe ze aan dit eindantwoord kwamen, want geen enkele foutenanalyse leidde tot 381. Dan maar enkele mailtjes gestuurd met de vraag naar een woordje uitleg. Heel snel kregen we antwoord. “De methode om tot de oplossing te komen is steeds dezelfde en is geheim.” Maar nog steeds (als wiskundeleerkracht) wilde ik weten hoe de televisiemakers (en onze leerlingen) tot bepaalde foute antwoorden komen.

Foto 1 Behoorlijk wat zoekwerk zou de volgende oplossing kunnen opbrengen. STAP 1: Los op en hou vooral geen rekening met de volgorde der bewerkingen. ((18 x 4) – 60 + 15) x 2 + 20 = 74 STAP 2: Tel alle getallen die je in de opgave LEEST apart op. (ACHTTIEN + ACHT + TIEN) + (VIER) + (ZESTIG + ZES) + (VIJFTIEN + VIJF + TIEN) + (TWEE) + (TWINTIG) = 158

Foto 2

STAP 3: Nu nog snel alle Romeinse cijfers en getallen optellen die in deze opgave voorkomen. In ACHTTIEN is dat (C + I), let goed op hier want de X van het maalteken geldt hier ook als Romeins Cijfer (!), in VIER wordt dat (VI + V + I), in ZESTIG (I), in VIJFTIEN (VI + V + I + I), hier nog een X teken, in TWEE zitten er geen en in TWINTIG (I + I). Samengeteld is dat 149. Tel je de drie stappen op, dan krijg je 381.

vector

Tips voor Trips:

Cité des sciences en de l’industrie Tekst: Vicky Vermeulen

Wie een citytrip naar Parijs boekt moet zeker wat tijd incalculeren voor een bezoek aan het magnifieke Parc de la Vilette. Op deze plek in het noordoosten van Parijs lagen vroeger slachthuizen en een veemarkt, maar het gebied werd omgetoverd in een futuristisch cultuurpark. Nu vind je hier onder andere het grootste wetenschapsmuseum van Europa. Het gebouw is een staaltje van industriële architectuur, symmetrie en schoonheid, waar op speelse wijze met lichtinval, water en weerkaatsing wordt gewerkt. Maar ook het park zelf behoort tot een van de mooiste van Parijs. Via bruggetjes over het Canal de l’Ourcq kom je in het park aan de zuidkant met cafés, thematische tuinzones en speelplaatsen (bv. Jardin des Frayeurs Enfantines, letterlijk “de tuin van de kinderangsten” met een enorme drakenglijbaan). Een deel van de vroegere veemarkt staat hier nog steeds en wordt gebruikt voor tentoonstellingen en rockconcerten. Hier vind je ook een groot muziekmuseum (Cité de la Musique). Maar de grootste publiekstrekker blijft natuurlijk het Cité des sciences en de l’industrie, na Disneyland Parijs en Centre Pompidou de meest bezochte attractie van Frankrijk! Op de gelijkvloerse verdieping vind je de kassa’s, winkels en vind je twee interactieve en hippe tentoonstellingen op maat van kinderen in de leeftijdscategorieën 2-7 jaar en 5 -12 jaar (Cité des enfants). Ook de bibliotheek, gespecialiseerd in weten-

schappelijke lectuur, bevindt zich hier. Op verdieping -1 zijn er een heleboel vergaderzalen voor seminaries, een restaurant, het aquarium (dat zeer klein uitviel na de reclame aan de kassa die beweerde dat er meer dan 2000 soorten vissen in zwemmen) en heb je toegang tot La Géode (apart te betalen of in combiticket met Explora) waar je op een IMAX-scherm van 180° naar films kunt kijken in 3D. Verwacht hier niet de laatste nieuwe kaskrakers uit Hollywood, maar wel natuurfilms, cultuurhistorische en wetenschappelijke documentaires over bijvoorbeeld het oude Egypte, het ISS ... Buiten kun je ook een bezoek brengen aan de onderzeeër “L’Argonaute” (apart entreegeld), die in 1957 werd gebouwd. Wie claustrofobie heeft wacht best buiten, want het interieur is zeer benauwend en klein.

Eerst brengen we een bezoek aan Crim’expo en we wagen ons direct in een aflevering van CSI Miami alias een levensgroot Cluedospel. Je krijgt een folder met kernvragen (beschikbaar in drie talen, geen Nederlands) waarin je aantekeningen kunt maken over het onderzoek. Het verhaal begint als volgt: een directeur wordt dood teruggevonden in zijn bureau, samen met het moordwapen, en er zijn enkele getuigen en verdachten. Aan de hand van videoboodschappen kom je te weten wat iedereen over het verhaal heeft te vertellen. Alles komt aan bod: ballistisch onderzoek, DNA, sporenonderzoek, de autopsie bij de patholoog, verhoren door de re-

Aangezien we op citytrip zijn zonder de kinderen en we maar enkele uren de tijd hebben voor de Thalys ons terug naar huis zal brengen, laten we de Cité des Enfants, La Géode, L’Argonaute en het Planetarium voor wat het is en kopen we twee ticketjes voor ‘Explora’, die ons de toegang verschaffen tot de roltrappen. Onze stadsgids omschreef dit museum als een ontdekkingsplek voor groot en klein en niet zozeer voor voor academici, door de talrijke interactieve opstellingen. Wij verwachten alvast een reuzegroot Technopolis en hebben er veel zin in! Vanaf nu hebben we de vrije toegang tot twee verdiepingen vol wetenschap en wiskunde. Inkomhal van Cité des Sciences & de l’industrie

La Géode, gezien vanaf het eerste verdiep van Cité et l’industrie. Op de achtergrond zie je een glimp van L’Argonaute

chercheurs … Stap voor stap probeer je de moord op te lossen en ondertussen krijg je een uitgebreide uitleg over alle wetenschappelijke aspecten van zo’n onderzoek en mag je proefjes doen. Deze tentoonstelling was ongetwijfeld de populairste van allemaal, zeker als je op het geduw en getrek bij de leeftijdscategorie 12-14 jaar mocht afgaan. Vlak naast Crim’Expo begint de permanente tentoonstelling “Mathématiques, du trivial à l’élégance”. Ook hier ligt de nadruk op doen en ontdekken, alle experimenten en video’s zijn tweetalig (Engels of Frans). Eigenlijk zou elke

Sfeerbeeld uit Cim’expo

vector

wiskundeleerkracht de proefopstellingen van deze expo beschikbaar moeten hebben in zijn klas, net zoals onze collega’s fysica af en toe leerstof kunnen visualiseren door middel van proefjes en experimenten. Het begint allemaal erg simpel met opstellingen over volumes van ruimtelichamen, rotatieassen in een kubus, symmetrie, valversnelling en een bewijs voor de stelling van Pythagoras. Door middel van water in drie vierkanten en een draaiende opstelling, zie je duidelijk stap voor stap wat er bedoeld wordt. Tussen de opstellingen door staan tv’s waar je naar korte videofragmenten kunt bekijken over bv. oneindigheid en paradoxen … We vinden er ook een experiment met zeepbellen en dus over oppervlaktes van de minste weerstand. Eén opstelling bevat een kegel die gesneden wordt door een glazen vlak dat we kunnen bewegen, net als de laser die erop schijnt. Hierdoor kunnen we spelen met ellipsen, parabolen en hyperbolen. Moeilijker - maar nog steeds heel origineel en uitdagend uitgelegd - wordt het in het tweede deel

van de tentoonstelling, dat vooral over chaos, statistiek, voorspellingen, kansen en speltheorie (via een spelletje schaak) gaat. Erg leuk in beeld gebracht is de Gausscurve. Er vallen één voor één 100 balletjes naar beneden langs enkele spijkers in smalle kolommen. Op het glas voor deze kolommen is de Gausscurve getekend. Keer op keer wordt bewezen dat de balletjes bijna allemaal binnen deze kromme vallen. Bij de “chaoteur”, zoals hij hier genoemd wordt, kun je spelen met de frequentie van een trilband die kleine ijzeren balletjes heen en weer slaat (zie foto 1 op de volgende bladzijde). Ze botsen willekeurig tegen een grote schijf en je moet proberen te voorspellen waar die schijf binnen enkele seconden zal liggen. Hiermee wordt de Browniaanse beweging naagebootst. En probeer in dit deel vooral ook zelf te ontdekken hoe de determinitschische chaos van “La Fontaine turbulante” werkt (zie foto 2). Een bewegend rad met omgekeerde kegels vol water dat nu weer eens traag, dan weer heel snel ronddraait. Het derde en laatste deel van deze tentoonstelling behandelt modelleren, fractals en eindigt met videoboodschappen van mensen over hun liefde voor wiskunde en hoe ze die nodig hebben voor hun werk. Maar hét paradepaardje van deze expo is de “Manège inertiel”, hij staat dan ook in het midden van deze expo opgesteld. Met 15 personen kun je in deze grote koker stappen, die daarna snel begint te draaien. Om te illustreren dat alles afwijkt naar rechts (Corioliseffect) als je je op zo’n carrousel bevindt, zijn er verschillende proefjes. Zo staat er een fontein waarvan de stralen duidelijk afwijken en moet je met zachte tennisballen proberen om vier doelen te raken (of elkaar natuurlijk). Een stem gidst je door dit experiment: “Loop tegenwijzerzin en je merkt dat je

naar buiten wordt geduwd.”, “Loop in wijzerzin en je wordt naar het midden van de carrousel getrokken”. Gelukkig staat er een zetel in het midden voor wie snel misselijk wordt, en is er een alarmknop voor wie het echt niet meer uithoudt.

Foto 1: Browniaanse beweging

Foto 2: La fontaine turbulente

Hieronder volgt een kort overzicht van wat we er nog allemaal te zien was in Explora. Je kunt urenlang verdwalen, ontdekken en experimenteren in dit prachtige gebouw. Let op, sommige van deze expo’s zijn tijdelijk en anderen permanent; voor meer info en exacte data kun je terecht op de website van Cité des sciences en l’industrie. - Jeux de lumière en Images zijn twee expo’s over perspectief, schaduw, licht, golven, illusies en optisch bedrog. - Objectifs terre: la révolution des satellites: speel met de technologie van camera’s die ook in satellieten zitten en modelleer kaarten … De twee spectaculairste opstellingen zijn zonder twijfel de beamers die opgesteld staan rond een grote witte bol waarmee je de aarde tot leven kunt brengen en de lancering van een miniraket door de waterstofdruk op te bouwen (let op: wie dit probeert kan erg nat worden). - 400 ans après Galilée en Le grand récit de l’Univers: over de oerknal en de ontwikkeling van het heelal en over hoe ver de sterrenkunde gevorderd is sinds Galilei. - Planétarium (apart te betalen): een projector met 10 000 lenzen toont op de halfronde koepel met doorsnede 21 meter beelden van zo’n 5000 sterren. - Ma terre première: over de toestand van de aarde, soorten bodem, gesteenten en alles wat daarbij komt kijken.

- Epidémik: alles wat je ooit al wilde weten over besmettelijke microben en virussen. Met het grote épidémikspel. - L’homme et les gènes: over DNA, stamcelonderzoek en klonen. - L’observatoire des innovations: onder andere de ontwikkelingen in de chemie zorgen ervoor dat er constant nieuwe stoffen worden gemaakt die bijdragen tot het maken van sterkere gebruiksvoorwerpen. Enkele bedrijven leverden prototypes van hun uitvindingen en die zijn hier te zien.

Beeld uit de expo “Objectifs terre: la révolution des satellites”

Praktisch: • Alle info: www.cite-sciences.fr • Metro: lijn 7, halte Porte de la Vilette • Adres: 30 avenue Corentin Cariou, Paris • Openingsuren: dinsdag tem zondag doorlopend open van 10u-18u, gesloten op maandag • Prijs: een ticketje Explora kostte 11 euro per persoon, combitickets voor Explora + Planétarium, La Géode en/of L’Argonaute kostten tussen de 20 en de 30 euro, afhankelijk van de formule. Voor groepstarieven zie website.

Het “épidémik”-spel

vector

Gezocht: meningen en verhalen uit de wiskundeklas De redactie van Vector is al een hele tijd bezig met de voorbereidingen voor een echte “spelletjes”special. Er is een immens aanbod spelen op de markt en je zou verbaasd zijn hoeveel er daarvan in aanmerking komen als alternatieve werkvorm in de wiskundelessen van het secundair onderwijs, voor elke graad en / of studierichting wat wils. Sommige zijn specifiek als educatief wiskundespel bedoeld en ontworpen, andere stimuleren enkel algemeen ruimtelijk inzicht en logisch denken. Maar onze Vector “spelletjes” special zou niet compleet zijn zonder jullie bijdrage. Stuur daarom voor 1 mei 2010 een e-mail naar vector@diekeure.be met daarin jouw ervaringen en / of mening over spelletjes in de wiskundeles. Hoe pak jij dat aan? Geef jij op het einde van een toetsuur wel eens een ongelooflijk moeilijk raadsel aan de bollebozen die al vroeg klaar zijn? Of deel je wel eens een sudoku van vijf sterren uit waar leerlingen hun hersenen op moeten kraken? Ooit al eens een Japanse puzzel voorgelegd tijdens de studie? Misschien bouw je een keer per schooljaar een lesuur in waarin je leerlingen een bordspel mogen spelen, of spaar je dat liever voor een vervanguur? Ben je eerder van mening dat spelletjes helemaal niet thuishoren op school? En al zeker niet in het vijfde en zesde middelbaar van het aso? Vergeet zeker niet om je naam, je school en de klassen waarin je lesgeeft te vermelden in je e-mail. We kijken uit naar jullie – hopelijk talrijke – reacties. De redactie

LEESTIPS Politiek van de wiskunde

Tekst: VUBPress Dit boek is de licht herziene versie van de doctoraatsthesis van Karen François en gaat over de rol die de wiskunde speelt in de manier waarop de mens kennis opbouwt over deze wereld. Vanuit de recente westerse wetenschapsantropologie en fenomenologische wetenschapskritiek wordt de zoektocht aangevat naar de politieke momenten van de wiskunde. Centrale concepten uit de wiskunde als deductie, bewijs en revolutie komen aan bod, evenals de evolutie en differentiatie van wiskunde bij Thales van Milete, Pythagoras, Plato en Aristoteles. De rol van wiskunde culmineert bij Descartes in een autoritaire epistemologie. Bij Husserl wordt de basis gelegd voor een democratische epistemologie die plaats biedt voor een waarhedenpluralisme. Het boek besteedt ook aandacht aan een actuele wiskundepraktijk, namelijk het wiskundeonderwijs. Het empirisch onderzoek toont de plaats van de filosofie van de wiskunde binnen

vector

het Vlaams secundair wiskundeonderwijs. Vanuit het onderzoeksprogramma van de etnowiskunde krijgt het abstract politieke aspect van wiskunde hier een heel concrete invulling. Politiek van de wiskunde wordt aanbevolen aan de lezer met een filosofische interesse voor de manier waarop wetenschap en maatschappij met elkaar verbonden zijn. Het is bovendien een rijke bron aan informatie voor de leerkracht, de lector en de docent wiskunde.

Praktisch: • Auteur: Karen François • Uitgeverij: VUBPress • ISBN: 978 90 5487 479 9 • 510 pagina’s, paperback, € 29,95

Logicomix

Tekst: Vicky Vermeulen Dikke strips met een straffe plot die evengoed in een roman had gepast, het is een genre an sich, en ze passen in het hokje beeldromans. En geloof het of niet, ook hier vinden we af en toe verhalen terug die liefhebbers van wiskunde zullen bekoren. Logicomix is er zo een. Een van de auteurs ken je misschien nog van de klassieker “Oom Petros en het vermoeden van Goldbach”, een wiskunderoman om u tegen te zeggen die we in een eerdere Vector al hebben besproken. Deze beeldroman zit nogal ongewoon ineen. Enerzijds maken we kennis met de auteurs en tekenaars, die je als stripfiguren vertellen waar het verhaal over gaat, hoe ze de plot zullen aanpakken, wat ze wel en niet gaan vertellen en hoe ze het verhaal binnen de afgesproken lijnen proberen te houden. Deze pagina’s zijn fleurig en realistisch ingekleurd. Daarnaast krijg je flashbacks naar het verhaal, de spirituele odyssee van filosoof Bertrand Russell. Om het contrast duidelijk te maken met het nu, kregen deze prentjes

een sepia-achtige toets mee. Het verhaal is verweven met die van grote denkers als Frege, Hilbert, Gödel en Wittgenstein. Russells ambitieuze doel – het bepalen van onwrikbare logische grondslagen voor de wiskunde – is de rode draad, maar blijft altijd net buiten bereik. Toch houdt Russell koppig vast aan zijn missie, die hem uiteindelijk bijna tot waanzin drijft. Logicomix is zowel een historisch epos als een verklaring van de grootste ideeën van de wiskunde en moderne filosofie. In een expressieve klare lijn, met een dramatisch verhaal en rijke karakterschetsen, maakt dit boek filosofie en logica toegankelijk voor een breed publiek. Deze beeldroman krijgt van Vector een puike 9/10.

Praktisch: • Auteurs: Apostolos Doxiadis en Christos H. Papadimitrou • Uitgeverij: De Vliegende Hollander • ISBN: 978 90 4950 040 5 • 352 pagina’s, paperback, €19,95 • www.logicomix.com

Colofon Vector Derde jaargang nummer 10

Redactieadres Vector Kleine Pathoekeweg 3 8000 Brugge vector@diekeure.be Externe auteurs die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met de redactie. Vector Vector is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in BelgiĂŤ. Voor het buitenland betaal je e 5. Verantwoordelijke uitgever Bart Vandenbussche Kleine Pathoekeweg 3 8000 Brugge