Vector 9

VECTOR OKTOBER 2020 - nummer 9

TIJDSCHRIFT voor wiskundeonderwijs

DE DOORBRAAK: RUIMTELIJKE BETEGELING 21 COVID-19 EN EPIDEMIEMODELLEN 39 DOBBELEN IN EEN DRIEHOEK

3

Met medewerking van Uitwiskeling, VVWL (Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars), GeoGebra Instituut, Vlaamse Wiskunde Olympiade en Pythagoras

2 INHOUD

3 DE DOORBRAAK:

RUIMTELIJKE BETEGELING KLAAS LAKEMAN

DE POPULARITEIT VAN MOD-97 9

VECTOR

PAUL IGODT STIJN SYMENS HILDE VAN DEN EYNDE

15 JONGEREN

HET VERBORGEN RUIMTELICHAAM, EEN SPELVORM VOOR IN DE KLAS 29 MICHEL ROELENS

34 HANDS-ON:

DE MODELLEERWEEK AAN DE UHASSELT ROEL SCHROOTEN JOCHEN SCHÜTZ

AAN DE WISKI JEROEN OOGE

KASTANJES UITDELEN 19 MIKE DAAS

21 COVID-19

EN EPIDEMIEMODELLEN IVAN DE WINNE

DOBBELEN IN EEN DRIEHOEK 39 KOEN DE NAEGHEL, HILDE EGGERMONT, ANNE SCHATTEMAN

44 JOHN CONWAY

EN HET BEWIJS VAN MORLEYS MIRAKEL PAUL LEVRIE

VECTOR 2e jaargang - nummer 9 REDACTIE Tom Harteel, Katinka Steen, Anke Oderij, Ellemijn Van Puymbroeck - die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge, educatief@diekeure.be EXTERNE AUTEURS die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met educatief@diekeure.be.

VECTOR Vector is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in België.

VERANTWOORDELIJKE UITGEVER die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge VORMGEVING EN DRUK Isabelle Tilleman - die Keure, Brugge REACTIES Al je reacties, suggesties en opmerkingen zijn welkom op educatief@diekeure.be

3

DE DOORBRAAK: RUIMTELIJKE BETEGELING

PYTHAGORAS

DE DOORBRAAK IS EEN 13 KILOMETER LANGE KUNSTMATIGE BEEK IN DE NEDERLANDSE PROVINCIE OVERIJSSEL, AANGELEGD TER VERBETERING VAN DE WATERHUISHOUDING TUSSEN ALMELO EN YPELO. TER MARKERING VAN DEZE BEEK KREEG DE IN HENGELO WOONACHTIGE KUNSTENAAR RINUS ROELOFS DE OPDRACHT EEN SERIE KUNSTWERKEN TE ONTWERPEN. ELK VAN DIE KUNSTWERKEN IS OPGEBOUWD UIT EVEN GROTE GELIJKVORMIGE VEELHOEKEN. PER KUNSTWERK IS STEEDS EEN ANDERE SERIE VAN DEZELFDE VEELHOEKEN TOEGEPAST. HIERBOVEN ZIE JE EEN DETAIL VAN EEN VAN DE BEELDEN. DAARIN IS TE ZIEN DAT HET IS OPGEBOUWD UIT DEZELFDE ONREGELMATIGE ZESHOEKEN DIE KEURIG NETJES ZONDER OVERLAP OF OPENINGEN OP ELKAAR AANSLUITEN. HOE KREEG RINUS ROELOFS DAT VOOR ELKAAR? K L A A S L A K E M A N , A R S E T M AT H E S I S

BETEGELING Een vlakvulling of betegeling is een opvulling van een oppervlak veelal door veelhoeken die allemaal dezelfde vorm en grootte hebben zonder overlap of openingen.

Meestal gaat men er stilzwijgend van uit dat de stempels of tegels een plat vlak moeten bedekken. Maar dat hoeft niet. Je kunt ook zeggen dat een betegeling een patroon is, gemaakt van identieke vormen (tegels) die zonder gaten of overlap in elkaar passen. Met bijvoorbeeld identieke L-vormige tegels kun je een betegeling maken zoals in figuur 1. De tegels vullen keurig een plat vlak op. Maar het kan ook anders, zoals in figuur 2. Daar zie je met dezelfde L-vormige tegels een nietvlakke betegeling zonder overlap of gaten. Dat geldt ook wanneer we

4

de tegels combineren zoals in figuur 3. Het resultaat is een cilindrische betegeling. Hier eveneens geen overlap of gaten.

RUIMTELIJKE BETEGELING Vierkante tegels zijn de meest voor de hand liggende vormen om platte vlakken op te vullen. Maar je kunt er ook een niet-vlakke betegeling mee maken zoals in figuur 4. Ook hier is er weer een structuur zonder overlap of gaten. De meest eenvoudige manier om met vierkanten een ruimtelijke betegeling te maken is door ze te combineren tot een kubus (figuur 5). Doorgaans zijn we echter niet geneigd dit als een betegeling op te vatten.

Net als de kubus kunnen ook de andere regelmatige veelvlakken worden opgevat als ruimtelijke betegelingen (figuur 6). Merk daarbij op dat een regelmatige vijfhoek gebruikt kan worden voor een ruimtelijke betegeling (het regelmatig twaalfvlak) maar niet voor een vlakke betegeling!

Figuur 5.

Figuur 6.

Figuur 1. Traditionele vlakke betegeling Figuur 2. Niet-vlakke betegeling Figuur 3. Cilindrische betegeling

Figuur 4.

ELEVATIE: VERHOOGDE VEELVLAKKEN Het zogenaamde elevatieproces dat Leonardo da Vinci toepaste op regelmatige veelvlakken levert achteraf beschouwd een opmerkelijke uitbreiding in de richting van ruimtelijke betegelingen. Het komt erop neer dat hij bijvoorbeeld op alle vier zijvlakken van een regelmatig viervlak eenzelfde regelmatig viervlak zette (figuur 7). In het algemeen kan dit elevatieproces van een veelvlak als volgt worden beschreven: Neem het middelpunt van een zijvlak van het veelvlak. Til het dan bij wijze van spreken loodrecht op het vlak omhoog tot de afstand van dit punt

5

tot elk van de hoekpunten van dit betreffende zijvlak gelijk is aan de lengte van een zijde van dat regelmatig zijvlak. Doe dit voor elk zijvlak van het regelmatig veelvlak. Zo zien we in figuur 8 nog twee tekeningen van Leonardo da Vinci met een verhoogd regelmatig twaalfvlak of verhoogde dodecaëder (figuur 8a) en een verhoogd regelmatig twintigvlak of verhoogde icosaëder (figuur 8b).

Omdat de nieuwe zijvlakken allemaal gelijkzijdige driehoeken worden, is het duidelijk dat dit proces alleen maar werkt op driehoekige, vierkante en vijfhoekige zijvlakken.

Figuur 9.

Figuur 10.

Figuur 7. Verhoogd viervlak

DRAAIING Behalve voor het regelmatig twaalfvlak, hebben we voorbeelden van ruimtelijke en niet-vlakke betegelingen gezien waarvan de tegels ook gebruikt kunnen worden

Figuur 8a. Verhoogd twaalfvlak Figuur 8b. Verhoogd twintigvlak

voor vlakke betegelingen. Zou het mogelijk zijn om andere vormen van tegels te vinden die alleen kunnen worden gebruikt voor niet-vlakke of ruimtelijke betegelingen? Voor het

antwoord bekijken we nogmaals de tekening met de verhoogde icosaëder van Leonardo da Vinci (figuur 8b). Deze kan worden gezien als een samenstelling van twintig driehoekige piramides met in totaal zestig (twintig keer drie) zijvlakken.

Nu veranderen we de vorm van de tegels door elke piramide over eenzelfde hoek om zijn eigen as te draaien. We krijgen dan een nieuw object zoals in de figuren 9 en 10.

In elke fase of tussenstand van de draaiing is de vorm van elk van de zestig tegels veranderd van een gelijkzijdige driehoek in een niet-convexe vijfhoek. In elke fase

6

is de vorm van de tegels hetzelfde.

Het object in figuur 10 kan worden herkend als een vervlechting van vijf tetraëders, maar hier is het gewoon een set van zestig gelijkvormige tegels die een niet-vlakke betegeling vormen.

SPIRAALCILINDERS De beschreven methoden van elevatie en draaiing en combinaties daarvan leveren veel inzicht in ruimtelijke betegelingen. Ze zijn echter ontoereikend om te komen tot de kunstwerken van Rinus Roelofs langs de Doorbraak. Daar heeft hij een andere aanpak voor ontwikkeld waarmee nieuwe vormen van tegels voor cilindrische betegelingen worden verkregen.

Eerst wordt een normale spiraal­ curve getekend. Deze wordt onderverdeeld in gelijke stukken. Daarna wordt een rechte lijn getrokken van het startpunt aan de onderkant van de spiraal naar het startpunt van het volgende stuk, enzovoort. Deze rechte lijnen worden vervolgens naar beneden samengedrukt (geëxtrudeerd) naar de as van de spiraal (figuur 11). Een tweede spiraalachtige vorm zoals in figuur 11 wordt ondersteboven gedraaid en toegevoegd aan de oorspronkelijke (figuur 12) waarbij de assen samenvallen. Deze spiraalvormen kruisen elkaar en van de snijlijnen is de uiteindelijke vorm van de tegels af te leiden. De vorm van de voltooide tegel is in het afgebeelde voorbeeld een niet-convexe zeshoek (figuur 13). Deze kan niet worden gebruikt om een plat vlak te betegelen.

Figuur 11.

VARIATIES Uitgaande van eenzelfde spiraal laat deze methode veel variaties toe zoals de afstand tussen de punten op de spiraal, de hoek waaronder de extrusie plaats vindt en de positie van de tweede spiraalvorm waarbij zowel de hoogte als de rotatiehoek kan variëren. Elke reeks waarden levert een andere tegelvorm op. De figuren 14, 15 en 16 zijn enkele mogelijkheden. Deze spiraalvormige cilinders kunnen zelfs worden uitgerold tot een eenvoudige strook tegels die vervolgens als een soort bouwplaat weer in elkaar kan worden gerold, te vergelijken met de uitslag van een regelmatig veelvlak.

Als voorbeeld is in figuur 17 het object van figuur 16 afgerold.

DE PRAKTIJK Het tekenen en verder bewerken van de spiraal waarmee wordt begonnen, wordt met behulp van aparte software op de computer

Figuur 12.

Figuur 13.

gedaan. Daarmee kunnen snel allerlei variaties worden uitgevoerd om te komen tot aantrekkelijke resultaten zoals de figuren 13 tot en met 16. De zeven beelden langs

7

Figuur 14.

Figuur 15.

Figuur 16.

Figuur 17. Stukje strook voor de cilindrische betegeling van figuur 16 en aanzet tot in elkaar draaien.

Figuur 18.

De papieren modellen voor de zeven beelden langs de Doorbraak.

8

Figuur 19.

de Doorbraak vormen dan ook een selectie uit de grote hoeveelheid mogelijkheden. Met dezelfde software kan het gekozen resultaat ook worden uitgerold. Dat levert dan stroken op zoals in figuur 17.

Die kunnen op stevig papier worden uitgeprint en uitgesneden.

Daarna kan met zo’n strook een papieren model van de betreffende cilindrische spiraal in elkaar worden gedraaid. Zo’n strook is dus in feite

niets anders dan een bouwplaat (figuur 18).

Het papieren model kan vervolgens dienen als voorbeeld en als uitgangspunt voor de schaalvergroting die moet plaatsvinden. Voor elk beeld moet een serie grote ijzeren tegels worden uitgesneden die vervolgens aan elkaar gelast worden (figuur 19).

DE ZEVEN KUNSTWERKEN

Doorbraak 1.

Doorbraak 2.

Doorbraak 3.

Doorbraak 4.

Zelf knutselen aan de Doorbraak?

Bij Ars et Mathesis kun je een bouwplaat van een van de kunstwerken bestellen.

Neem contact op met Klaas Lakeman (nt.lakeman@ hccnet.nl).

Doorbraak 5.

Doorbraak 6.

Doorbraak 7.

9

DE POPULARITEIT VAN MOD-97 SAMENVATTING

DE VOORBIJE ZOMERWEKEN KON JE IN DE STANDAARD BIJDRAGEN LEZEN IN DE REEKS “DE SUCCESFORMULE”. WE PIKKEN HIER GRAAG EVEN IN OP DE BIJDRAGE IN DE KRANT VAN 3 AUGUSTUS EN GAAN EEN TIKKELTJE DIEPER IN OP HET WISKUNDIGE ASPECT. IN DIE BIJDRAGE HAD MEN HET OVER EEN BESCHERMING TEGEN FOUTJES VAN ONZE BANKREKENINGNUMMERS MET EEN MOD-97-CONTROLEGETAL. WELNU, OOK DE INTERNATIONALE IBAN STANDAARD IS EEN MOD-97-GEBRUIKER, EN VOOR BELGEN ZELFS EEN MOD-97TOEPASSING OP DE REEDS MOD-97-GECODEERDE REKENINGNUMMERS. PAU L I G O D T - K U L E U V E N C A M P U S K U L A K , KO R T R I J K S T I J N SY M E N S - UNIVERSITEIT ANTWERPEN H I L D E VA N D E N E Y N D E - J O U R N A L I S T D E S TA N DA A R D

Als geld eenmaal naar andermans rekening is overgeschreven, kan een bank het niet meer terugstorten. Ook niet als het bedrag per vergissing naar de verkeerde titularis werd overgemaakt, bijvoorbeeld doordat de betalende partij een fout cijfer ingaf in het rekeningnummer van de bestemmeling. Dergelijke onbedoelde verkeerde overschrijvingen gebeuren in België zo goed als nooit, leert navraag bij de branchevereniging Febelfin. Dat komt niet doordat wij Belgen zo’n oplettende onlinebankiers zijn, maar omdat de Belgische banken in elk rekeningnummer een slimme alarmbel hebben ingebouwd.

Als iemand per vergissing een of meer verkeerde cijfers intoetst bij het ingeven van een betalingsopdracht, gaat die alarmbel af en verhindert de bank dat de verrichting wordt uitgevoerd. De kans dat iemand geld overmaakt naar een verkeerd rekeningnummer, wordt daarmee de facto onbestaande, aldus Febelfin.

Het veiligheidsnet dat door de banken wordt gespannen, mikt op de frequentst gemaakte fouten bij het online ingeven van een rekeningnummer. Wiskunde, en meer bepaald getaltheorie, wordt ingeschakeld om dergelijke fouten op te sporen. Dergelijke methodes geven vervolgens een alarmsignaal als er iets niet kan kloppen:

we spreken van een “Error detection method”. Studies (zie [1]) hebben uitgewezen wat de vaakst optredende foutjes zijn bij het manipuleren van een identificatie.

We hebben het dan in het algemeen over cijfer-letter combinaties. Een overzichtje helpt.

Type Fout

Voorbeeld

Frequentie

Een enkelvoudige fout

3 wordt 8, “k” wordt “h”

79.1 %

Transpositie van naast elkaar staande tekens

38 wordt 83, “an” wordt “na”

10.2 %

Fonetische fout

“14” wordt “40”, “50” wordt “15”

0.5 %

Tweeling fout

“pp” wordt “dd”

0.5 %

Een overzicht van enkele meermaals optredende fouten

Zeker in de Germaanse talen, zoals het Nederlands, waar getallen als 13 en 30, 14 en 40, enzovoorts, qua uitspraak erg op elkaar lijken, kan hieruit een bepaald type dubbele fout optreden.

10

Niet alleen banken wapenen zicht tegen dergelijke verschrijvingen. Nagenoeg elke identificatie, of ze nu bestaat uit cijfers, letters of een combinatie van beiden, tracht zich op een of andere manier te wapenen door een foutenopsporingscontrole in te bouwen.

Reeds meer dan 10 jaar wordt voor Belgische rekeningnummers het IBAN-formaat gebruikt: startend met BE en dan gevolgd door 14 cijfers. De laatste twaalf cijfers vormen de klassieke Belgische bankrekeningnummers, typische opgedeeld in 3 delen: .

Het eerste deel (a) bepaalt bij welke bank de rekening geopend werd, het tweede deel (b) is het nummer binnen deze bank en de laatste twee cijfers (c) zijn controlecijfers die schrijffouten moeten ontdekken door de zgn. mod-97-test.

Mod-97 slaat natuurlijk op het “modulo”-rekenen. En dat 97 een priemgetal is, zelfs het grootste priemgetal bestaande uit twee cijfers, heeft hierbij ook een voordeel. Je rekent “modulo ” indien je elk natuurlijk getal vervangt door de rest ervan bij deling door ; die mod . Wiskundigen schrijven ook rest noteren we mod .

Zo geldt natuurlijk dat mod ; meer algemeen zijn alle even natuurlijke getallen, modulo 2 gerekend, gelijk aan . Modulo 2 rekenen verdeelt de verzameling van de natuurlijke getallen in twee disjuncte klassen: de even getallen en de oneven getallen. Je rekent nu ook meteen mod , maar dat ook mod . na dat Modulo 6 rekenen is dus niet krachtig genoeg om zelfs maar een enkelvoudige schrijffout te ontdekken.

De Belgische banken hadden aan 10 cijfers genoeg om voldoende bankrekeningnummers te kunnen aanmaken. Toch hebben ze er bij de aanvang van dat systeem voor gekozen om te werken met 12 cijfers. Als was, dan werd dat het rekeningnummer nummer uitgebreid met de rest bij deling van het getal door 97, geschreven als een 2-cijfe, werd afgesproken om rig getal. Wanneer toe te voegen, maar wel 97. niet Dit systeem wordt overigens ook gehanteerd voor de nummers van de Belgische identiteitskaarten.

Als de identiteitskaart van een Belg volledig bekend zou zijn door het nummer ( cijfers), dan staat er op die kaart het nummer . Inderdaad: omdat . Het getal noemen we in het nummer van deze identiteitskaart het controlegetal. De functie ervan is die van een alarmbelletje of, zo je

11

dat verkiest, een rood licht. Controleer je even je eigen identiteitskaart? En je eigen bankrekeningnummers (in niet IBAN-formaat)?

Deze 97-proef haalt zeer veel regelmatig voorkomende tikfouten uit een betaalopdracht. Kijken we even naar het geval van een enkelvoudige fout. Als we in het getal één cijfer vervangen door dan is (de absolute waarde van) het verschil tussen die beide getallen • ofwel een getal uit de verzameling vervingen door een ) (als we • ofwel een getal uit de verzameling vervangen hebben door een ) (als we • of in het algemeen een getal uit de verzameling vermenigvuldigd met een macht van 10.

Door slechts één cijfer te veranderen, verandert dus nooit in een getal dat een veelvoud van 97 van verschilt. Enkel getallen die een veelvoud van 97 van elkaar verschillen hebben hetzelfde controlegetal. Mocht de fout gemaakt worden in één van de twee cijfers van het controlegetal, dan wordt de fout uiteraard ook ontdekt.

Het mod-97-controlegetal geeft dus een alarm bij alle enkelvoudige fouten.

Wat gebeurt er bij een transpositiefout van twee naast elkaar staande cijfers? Stel dat je bvb. het overschrijft maar je maakt er nummer van. In het algemeen gaat het dus over vervangen wordt door . een situatie waarbij Zo een transpositie zou hetzelfde controlegetal opleveren als het verschil tussen beide nummers een veelvoud van 97 wordt. Laat ons dat even onderzoeken. In het is de getalwaarde van nummer . Na omwisseling van beide gelijk aan . Het verschil ontstaat de getalwaarde tussen beide is dus gelijk aan

Beide getallen zouden hetzelfde controlegetal opleveren indien dit verschil een veelvoud is van 97. Omdat 97 een priemgetal is zou dit moeten betekenen dat ofwel 9, ofwel , ofwel een 97-voud is; wat natuurlijk niet kan.

Het mod-97-controlegetal zal dus een alarm geven bij elke transpositiefout van twee naast elkaar staande cijfers.

Toch ontdekt de mod-97-test niet alle dubbele fouten. Dit kun je uitmaken door vast te stellen dat en , dit terwijl 1067 en 1164 slechts op 2 plaatsen een verschillend cijfer staan hebben. Sommige rekeningnummers werden ook opzettelijk erg verkort weergegeven. Dit geldt in het bijzonder wel voor meerdere humanitaire organisaties. Zo is het nummer 12-12 een wel heel kort en dus eenvoudig te onthouden nummer. In werkelijkheid staat het voor dan evenzeer gevat is in het nummer het mod-97-model ( ). Een ongelukkige (maar 4-voudige) schrijffout tot het nummer 21-21, zal natuurlijk ook niet ontdekt worden.

Door mod 97 te werken, verdelen we alle natuurlijke getallen in 97 disjuncte deelverzamelingen. Kiezen voor een groter priemgetal, dat dan wel minstens 3 cijfers zal tellen, zou weliswaar een groter onderscheidend vermogen hebben, maar maakt ook alles een tikkeltje meer ingewikkeld. Tegenover de grotere baat staat dan dus ook een grotere kost.

In 2006 werden de Europese banken verplicht om voor internationale betalingen in de eurozone over te schakelen op een overkoepelend systeem om bankrekeningnummers weer te geven: het IBAN systeem (International Bank Account Number). De talrijke verschillende nationale systemen werden vanaf dan gevat door dit internationaal aanvaard model. Niet in alle Europese landen bestonden bankrekeningnummers op dat ogenblik enkel uit cijfers; in sommige landen konden ook letters gebruikt worden om een bankrekening weer te geven. Dit verklaart waarom de huidige IBAN nummers best wel wat in lengte kunnen verschillen, afhankelijk van het land waarop ze betrekking hebben.

We leggen even uit hoe het IBAN systeem werkt.

12

Veronderstellen we even dat er in Nederland een (lokaal) bankrekeningnummer “RABO 1234 1234 00” zou bestaan, en dat we dit in het IBAN formaat moeten brengen.

Het eerder weergegeven (fictieve) rekeningnummer 123 — 4567890 — 02 zou in het IBAN formaat dus voorgesteld worden als

Om te beginnen kreeg elk land een landcode bestaande uit twee letters. Voor Nederland is dat “NL” (voor ons land “BE”). In eerste instantie zullen we de letters omzetten in getallen. We gebruiken hiervoor de alfabetische rangschikking, en beginnen met . Elke letter wordt nu weergegeven door een getal bestaande uit 2 cijfers.

BE32 1234 5678 9002

Nu vormen we het lokale rekeningnummer om tot één groot getal, en we voegen daar achteraan de landcode aan toe (voor Nederland is dat 2321 en het getal 00.

Bovenstaand nummer wordt dus als volgt behandeld Lokaal rekeningnummer

landcode

00

RABO 1234 1234 00

NL

00

27 10 11 24 1234 1234 00

23 21

00

We verkrijgen zo dus het (grote) getal . Van dit getal bepalen we de rest bij deling door 97: .

En om het helemaal spannend te maken, trekken we dit resultaat af van 98: we vinden het nieuwe controlegetal . Het IBAN formaat voor het lokaal nummer hierboven wordt dan

NL75 RABO 1234 1234 00.

Het Europees Comité voor Bank Standaarden (ECBS) dat het IBAN systeem aannam, opteerde dus ook voor een mod-97-controlemechanisme. De kracht ervan was hen dus ook niet ontgaan.

We kunnen nu opmerken dat een IBAN-nummer voor een voorheen (lokaal) Belgisch rekeningnummer in feite een dubbel mod-97-controlemechanisme in zich draagt.

Het is een vernuftige illustratie van een samengestelde codering, waarbij eerst een lokaal mod-97-controlegetal wordt berekend, en daarna voor het nummer met dat controlegetal nog een tweede mod-97-controlegetal.

omdat

en (De landcode van België is 1114).

Vóór de invoering van het IBAN systeem werden bankrekeningnummers in Nederland tegen foutjes beschermd door de elfproef. Dat systeem werd ook gehanteerd in het vroegere systeem van ISBN nummers, die aan elke officiële publicatie (bvb. een boek) worden toegekend.

Een 9-cijferig (lokaal) Nederlands rekeningnummer, moet dan voldoen aan de zoals bvb controlevoorwaarde

Mod-97-controlegetallen leveren een beter onderscheidend vermogen dan het elfproefcontrolemechanisme, zonder dat de inspanning nodig om dit allemaal te implementeren onredelijk groot is. Het is een voorbeeld van een verstandige kosten-batenanalyse, die elke dag voor ons aan het werk is.

Wat de controleberekening niet kan verhinderen, is dat u per vergissing geld overmaakt naar het correcte rekeningnummer van partij B (laat ons zeggen uw waterleverancier), terwijl het geld voor partij A (het gas- en elektriciteitsbedrijf) was bedoeld. In zo’n geval contacteert u het best meteen uw bank. Zij is niet gemachtigd om het geld op uw rekening terug te storten, maar kan wel helpen bij het terugvorderen van het verkeerd overgemaakte bedrag bij de foutieve bestemmeling.

We eindigen graag met enkele oefeningen en een paar weetjes.

1. Leg nu zelf uit: Belgische bankrekeningnummers eindigen nooit met een controlegetal 98 of 99.

2. Controleer zelf even of het mod-97-controlegetal alle typische Nederlandse fonetische fouten (13

13

wordt 30, 14 wordt 40, 15 wordt 50, 16 wordt 60, 17 wordt 70, 18 wordt 80, 19 wordt 90) ontdekt.

3. Je rijksregisternummer bestaat uit 11 cijfers, en gebruikt een versie van de mod-97-proef. Zoek uit bij de rijksregisternummers van je gezinsleden hoe de laatste 2 cijfers berekend worden.

4. Laat ook zien dat het omwisselen van twee niet naburige cijfers van een (klassiek) Belgisch rekeningnummer steeds ontdekt wordt aan de hand van de mod-97-proef.

W E E TJ E Misschien verrassend, maar de Belgische

Douane die toeziet op de in- en uitvoer van auto’s, kent aan elk chassisnummer van een auto ook een mod-97controlegetal toe.

REFERENTIES 1. Joseph A. Gallian, Error detection methods, ACM Computing Surveys, Volume 28, No.3, pp. 504-517 2. Hilde Van Den Eynde, Hoe groot is de kans dat u geld overmaakt naar de verkeerde rekening, De Standaard, 3 augustus 2020

W E E TJ E In Frankrijk heeft elke burger een uniek

“Numéro de Sécurité Sociale”. Ook dat nummer wordt door een mod-97-controlegetal tegen fouten beschermd.

FINALE VWO 2019-20 Het symbool stond hierbij voor het getal 10.

Bij een geldige ISBN-code was

een veelvoud van 11. Bewijs de volgende uitspraken. (a) Als er in een geldige ISBN-code één symbool veranderd wordt, dan is het resultaat geen geldige ISBN-code. (b) Als er in een geldige ISBN-code twee verschillende symbolen van plaats verwisseld worden, dan is het resultaat geen geldige ISBN-code.

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

In elk officieel uitgegeven boek stond vroeger een ISBN-code (Internationaal Standaard BoekNummer) die bestond uit 10 symbolen. Zo’n code zag er als volgt uit:

15

JONGEREN AAN DE WISKI VEEL JONGEREN VINDEN WISKUNDE NIET BEPAALD COOL, DAT IS EEN PUBLIEK GEHEIM. VAAK ZET HET ABSTRACTE DENKEN HUN MOTIVATIE OP EEN LAAG PITJE. OP GROTERE SCHAAL WIJST PISA-ONDERZOEK UIT DAT VOOR WISKUNDE HET GEMIDDELDE NIVEAU GESTAAG DAALT EN DAT DE KLOOF TUSSEN DE BEST EN SLECHTST PRESTERENDE LEERLINGEN GROEIT. OM DIE KLOOF TE DICHTEN, IS DIFFERENTIËREN AL GERUIME TIJD EEN TREND IN HET ONDERWIJS. OP MIDDELBARE SCHOLEN SNAKKEN LEERKRACHTEN DAAROM NAAR FLEXIBELE, MOTIVERENDE HULPMIDDELEN OP MAAT VAN HUN LEERLINGEN. JEROEN OOGE

D O C T O R E E R T I N D E C O M P U T E RW E T E N S C H A P P E N A A N D E K U L E U V E N , WA A R H I J S A M E N M E T M A S T E R S T U D E N T E N V E R D E R

O N D E R Z O E K T H O E W I S K I ( W I S K I . B E ) A F G E S T E M D K A N WO R D E N O P D E N O D E N VA N L E E R L I N G E N E N L E E R K R AC H T E N I N H E T S E C U N DA I R O N D E RW I J S . Z I J N M A S T E R P R O E F OV E R W I S K I B E H A A L D E D E T O P 5 VA N D E K L A S S E P R I J S ( B E S T E E I N DW E R K OV E R O N D E RW I J S ) E N I S O N L I N E T E VINDEN OP SCRIPTIEBANK.BE.

Als master in de wiskunde ben ik gebeten door wiskunde en voel ik me al jaren betrokken bij de bovenstaande problematiek.

Tijdens mijn studies gaf ik bijles om jongeren opnieuw enthousiast te maken voor het vak. Vorig jaar zag ik mijn kans om dat op grotere schaal te doen tijdens mijn extra master in de toegepaste informatica: voor mijn masterproef ontwikkelde ik het online leerplatform Wiski.

EEN DUBBELE WISKI Wiski (wiski.be) is volledig gratis en is voornamelijk gericht op leerlingen van het secundair onderwijs. De website bevat ruim 2000 kwaliteitsvolle meerkeuzevragen, die werden aangereikt door uitgeverij die Keure.

Wiski is niet zomaar de zoveelste website met meerkeuzevragen: het platform bevat acht spelelementen, die de leerervaring leuker maken

en zo proberen leerlingen inherent te motiveren om oefeningen op te lossen. Bovendien krijgen leerlingen onmiddellijk feedback op hun antwoorden in oefensessies.

WISKI MOTIVEERT Commerciële applicaties bevatten de laatste jaren wel vaker spelelementen, maar die zijn zelden afgestemd op de specifieke context en doelgroep. De spelelementen op Wiski zijn daarentegen weloverwogen ontwikkeld op basis van de wiskundige context, jongeren als

doelpubliek en wetenschappelijk onderzoek naar gamification (het gebruik van spelelementen). Concreet kunnen leerlingen op Wiski: punten verdienen door oefeningen te maken; hun voortgang onderling vergelijken in een punten- en oefeningenklassement; anderen helpen met moeilijke opgaves; verborgen wiskundige cartoons verzamelen; zichzelf uitdagen met gemengde oefeningenreeksen; feedback met wiskundige grapjes krijgen bij het oplossen van oefeningen; en een day streak opbouwen (zoals op

16

het bekende Duolingo). Bovendien kunnen leerlingen zelf kiezen welke spelelementen ze inschakelen.

WISKI DIFFERENTIEERT Wiski bevat oefeningen voor alle graden van het secundair onderwijs.

Ze zijn voornamelijk gericht op leerlingen uit het ASO, maar de minder diepgaande opgaves zijn ook geschikt voor leerlingen uit het TSO en BSO. Alle oefeningen zijn onderverdeeld per jaar en thema.

Leerlingen kunnen onbeperkt en op hun eigen tempo oefenen. Ze hebben daarbij keuze uit 79 onderwerpen. Zo kunnen ze zich focussen op onderwerpen die ze nog niet volledig beheersen of die ze verder willen uitdiepen.

STRAFFE WISKI Vorig jaar trok ik voor mijn masterproefonderzoek naar zes verschillende scholen in Vlaanderen. In totaal gingen 401 leerlingen uit de tweede en derde graad ASO aan de slag met Wiski tijdens minstens één lesuur. Ze reageerden bijzonder enthousiast op de combinatie van wiskunde en spelelementen. De leerkrachten wilden Wiski blijven gebruiken (bijvoorbeeld om leerlingen leerstof op te laten frissen), omdat ze het platform een tijdbesparend, flexibel hulpmiddel vonden. Conclusie: Wiski bleek een schot in de roos.

GOEDE WISKI MOET RIJPEN Om nog meer differentiatie toe te laten, kunnen oefeningenreeksen in de toekomst ingedeeld worden volgens moeilijkheidsgraad. Leerlingen suggereerden ook uitbreidingsmogelijkheden zoals hints bij de opga-

ves en uitgewerkte voorbeelden met tussenstappen. Om leerlingen extra te motiveren, kunnen nog minstens twee pistes onderzocht worden: voor elke leerling voorspellen welke spelelementen stimulerend werken en die automatisch inschakelen, en de spelelementen zélf personaliseren. Momenteel verken ik al deze

opties samen met masterstudenten in de computerwetenschappen die voortbouwen op mijn masterproef.

UITDAGINGEN VOOR WISKUNDE IN HET ONDERWIJS Het wiskundeonderwijs staat voor gigantische uitdagingen: wiskunde aantrekkelijker maken en educatieve

17

methodes mee laten evolueren met de moderne technologie. Hoewel Wiski goed werd ontvangen en al honderden geïnteresseerden lokte, is het platform uiteraard geen totaaloplossing. Het platform draagt wel op een frisse manier bij aan de discussie over welke richtingen het onderwijs kan inslaan. Tegelijkertijd helpt het wiskunde af van haar stoffige reputatie. Het online karakter van Wiski laat iedereen toe te oefenen waar en wanneer het maar past. De dringende nood aan zulk digitaal leermateriaal werd opnieuw blootgelegd door de coronacrisis.

Daarom juich ik toe dat educatieve uitgeverijen digitale leeromgevingen ontwikkelen en volop zoeken naar motiverende technieken. Jongeren warm blijven maken voor wiskunde is essentieel in een wereld vol technologie die op wiskundige kennis berust.

Tips voor leerkrachten Wiski gebruiken tijdens de lesuren • Laat leerlingen individueel oefeningen maken over hetzelfde specifieke onderwerp.

• Voer een herhalingsmoment in waarop leerlingen extra oefenen op zelfgekozen onderwerpen.

• Test de voorkennis van leerlingen in het 3de of 5de jaar door hen respectievelijk enkele uitdagingen Basiskennis en 3de middelbaar en 4de middelbaar te laten afnemen.

• Bereid leerlingen in het 4de en 6de jaar voor op het eindexamen door hen respectievelijk enkele uitdagingen 3de middelbaar en 4de middelbaar en 5de middelbaar en 6de middelbaar te laten afnemen.

• Daag leerlingen uit om minstens X oefeningen te maken in een lesuur.

Wiski gebruiken na de lesuren • Laat leerlingen de leerstof van vorige jaren opfrissen of bijwerken, en laat ze nieuwe leerstof extra oefenen.

• Daag leerlingen uit om een day streak van X dagen te behalen of in een week tijd X punten te verdienen of X oefeningen te maken.

• Stimuleer leerlingen om vragen van anderen te beantwoorden op de pagina Helpen.

18 PYTHAGORAS

KASTANJES UITDELEN M I K E DA A S

Halverwege de maand maart vindt elk jaar de tweede ronde van de Nederlandse Wiskunde Olympiade plaats. Een groep van bijna duizend middelbare scholieren kreeg een uitnodiging hiervoor na hun uitstekende resultaat bij de eerste ronde. Op het laatste moment bleek dat de tweede ronde dit jaar niet op de universiteiten kon plaatsvinden vanwege het virus Covid-19, maar met dank aan de inspanningen van vele scholen hebben veel deelnemers toch de wedstrijd kunnen maken. De tweede ronde bestaat uit vijf pittige B-vragen, waarbij enkel een getal of ander kort antwoord verlangd wordt, en twee C-vragen, waarbij een complete berekening of zelfs een bewijs wordt gevraagd.

Voor dit alles krijgen de leerlingen 2,5 uur de tijd. Dit artikel bespreekt opgave B4 van de tweede ronde van dit jaar en laat zien hoe je hier met gewoon maar wat proberen en een gezonde portie rustig nadenken tot een goed antwoord kan komen.

De vlijtige leerling die bij de tweede ronde netjes van het begin naar het einde werkt, heeft al aardig wat hindernissen overwonnen om het tot vraag B4 te schoppen. Allereerst heeft deze leerling gevochten met de vraag wanneer de sommen van de cijfers van twee opeenvolgende getallen beide deelbaar zijn door 5, om vervolgens de oppervlakte uit te rekenen van een parallellogram, waar op het eerste gezicht niet genoeg informatie voor gegeven lijkt te zijn. De derde opgave was opnieuw van een compleet

verschillende aard; hier werd gevraagd om te bepalen wat er met de vakjes van een 8 x 8-vierkant gebeurt als je dit vierkant herhaaldelijk door midden vouwt - ook dit is geen eenvoudige klus. Vervolgens komt deze leerling dan aan bij de vraag B4, een vraag die geen enkel kenmerk overeen heeft met de inmiddels getrotseerde problemen. Deze vraag luidt:

Honderd kabouters (vrouwelijke scouts) zitten in een grote kring om het kampvuur. Elke kabouter heeft één of meer kastanjes en geen twee kabouters hebben hetzelfde aantal kastanjes. Elke kabouter deelt haar aantal door het aantal van haar rechter buurvrouw en schrijft de rest op een groen briefje. Elke kabouter deelt haar aantal ook door het aantal van haar linker buurvrouw en schrijft die rest op een rood briefje. Als bijvoorbeeld Anja 23 kastanjes heeft en haar rechter buurvrouw Bregje heeft er 5, dan schrijft Anja dus 3 op haar groene briefje en schrijft Bregje 5 op haar rode briefje.

Als het aantal verschillende resten op de honderd groene briefjes gelijk is aan 2, wat is dan het kleinst mogelijke aantal verschillende resten op de honderd rode briefjes?

Zoals vaker het geval bij olympiadesommen, lijkt er niet direct een voor de hand liggende strategie te zijn die hier zal gaan werken om het antwoord te bepalen. Daar komt nog bij dat het helemaal niet duidelijk is wat het antwoord zou moeten zijn. Zeker ligt

het ergens tussen de 1 en de 100, maar aan welk uiteinde van dit spectrum aan mogelijkheden moeten we zoeken? Als er slechts 2 antwoorden op de groene briefjes voorkomen, dan zou je misschien denken dat dat op de rode briefjes ook zou moeten lukken. Echter, misschien maakt het lage aantal op de groene briefjes het juist wel moeilijk om weinig getallen op de rode briefjes te krijgen; op dit moment is het nog moeilijk te zeggen.

Een gulden regel bij de olympiade is altijd: als je geen idee hebt hoe je het moet aanpakken, probeer gewoon wat uit. Wellicht verwerven we op deze manier wat inzicht.

Laten we kijken of we überhaupt een situatie kunnen bedenken die voldoet aan de eisen van de opgave. Wat voor mogelijke aantallen kastanjes zouden ertoe kunnen leiden dat er slechts twee groene getallen op de briefjes staan? Vaak loont het om de situatie zo simpel mogelijk te houden en het verzinnen van honderd verschillende

19

aantallen kastanjes klinkt nogal moeilijk. Laten we dus de vraag versimpelen, en doen alsof er geen honderd kabouters zijn, maar veel minder, zeg zes.

Om het zo eenvoudig mogelijk te houden, laten we ook zeggen dat een van de kabouters, zeg kabouter 1, precies 1 kastanje heeft. Haar linkerbuurvrouw, kabouter 2, zal haar aantal kastanjes delen door dat van kabouter 1. Maar delen door 1 levert nooit een rest, en dus zal kabouter 2 zeker het getal 0 opschrijven op haar groene briefje. Alle kabouters hebben een verschillend aantal kastanjes, dus in het eenvoudigste geval heeft kabouter 2 precies 2 kastanjes. Laten we vanaf nu proberen altijd het getal 0 op de groene briefjes te krijgen. Dit betekent dat het aantal kastanjes van elke kabouter een veelvoud moet zijn van dat van haar rechterbuur. We kiezen bijvoorbeeld dat kabouter 3 precies 4 kastanjes heeft, en dat kabouter 4 bijvoorbeeld 8 kastanjes heeft. Als we zo doorgaan, vinden we dat als kabouter 5 precies 16 kastanjes heeft en kabouter 6 precies 32 kastanjes heeft, bijna alle kabouters het getal 0 op hun groene briefje hebben. Alleen kabouter 1 doet iets anders; als ze haar ene kastanje door de 32 kastanjes van kabouter 6 deelt, houdt ze natuurlijk gewoon weer 1 als rest over. In dit geval komen er dus in totaal twee verschillende getallen voor op de groene briefjes, namelijk 0 en 1. Dit is dus een situatie die voldoet aan het verhaaltje in de opgave, ware het dan met zes kabouters, in plaats van honderd.

Maar hoe zit het nu met de getallen op de rode briefjes? Kabouter 1 deelt haar aantal kastanjes door dat van

kabouter 2. Maar 1 delen door 2 geeft gewoon rest 1. Net zo deelt kabouter 2 het getal 2 door 4, maar dit geeft ook gewoon rest 2. Net zo schrijven kabouters 3, 4 en 5 precies hun eigen aantal kastanjes op. Alleen bij kabouter 6 gebeurt er iets anders, want zij deelt haar aantal van 32 kastanjes door 1, en dit geeft natuurlijk rest 0. Uiteindelijk vinden we dus dat alle resten op de rode briefjes in dit geval verschillend waren; dit geeft 6 resten totaal.

Het bovenstaande zou kunnen worden opgevat als een mislukte poging. Ons wordt gevraagd om de laagst mogelijke waarde te vinden van het aantal verschillende getallen op de rode briefjes, en bovenstaand voorbeeld toont enkel aan dat het slechtst mogelijke geval, namelijk zes verschillende resten met zes kabouters, mogelijk is. Het lijkt alsof we nu helemaal niets zijn opgeschoten, maar niets is minder waar.

Wat we bemerkten bij het beschouwen van de rode briefjes is cruciaal.

Als we een klein getal nemen en het delen door een groter getal, dan is de rest simpelweg gelijk aan het kleine getal. Dus stel dat een kabouter a kastanjes heeft en de kabouter daar rechts van heeft er b, waar a < b, dan is de rest van a bij deling door b simpelweg gelijk aan a, en zo weten we zeker dat het getal a op een groen briefje terecht komt. Er mogen echter maar twee verschillende getallen op de groene briefjes terecht komen, en dus kan deze situatie zich slechts hooguit twee keer voordoen. Dus de rechterbuurvrouw van een kabouter heeft altijd minder kastanjes dan zijzelf, op maximaal twee kabouters na. Dit is al enorm veel informatie!

We zijn er echter nog niet volledig.

In ons voorbeeld was het zo dat de rechterbuur altijd minder kastanjes had, op slechts één kabouter na. Het zou echter nog kunnen dat er twee kabouters bestaan met, zeg, a en b kastanjes waar a < b, zodat voor alle kabouters behalve deze twee, de rechterbuur altijd minder kastanjes heeft. De twee resten die voorkomen op de groene briefjes moeten dus wel a en b zijn. Beschouw nu echter de kabouter links van de kabouter met a kastanjes. Het getal op haar groene briefje wordt berekend door haar aantal kastanjes te delen door a en dan de rest op te schrijven. Deze rest is altijd kleiner dan a, maar dat is gek!

Namelijk, a en b waren de enige getallen die voorkwamen op de groene briefjes, dus er is niet ook nog ruimte voor een getal nog kleiner dan a. Dit kan dus niet gebeuren en we concluderen dat de enige mogelijkheid is dat de rechterbuur van elke kabouter minder kastanjes heeft, op slechts één kabouter na.

Maar nu zijn we er eigenlijk. Namelijk, we bevinden ons weer precies in de situatie van ons voorbeeld. Elke kabouter behalve de rechterbuur van de kabouter met het minste aantal kastanjes zal haar eigen aantal op het rode briefje schrijven. De laatste kabouter schrijft een getal op dat kleiner is dan al die getallen, omdat zij de rest opschrijft bij deling door het kleinste voorkomende aantal kastanjes, en dat is altijd nóg kleiner.

Dit zijn dus altijd 100 verschillende getallen en daarom moeten er op de rode briefjes altijd 100 verschillende getallen voorkomen.

20

Het bovenstaande is een voorbeeld van een opgave die erg moeilijk op te lossen is, tot je het probleem versimpelt en probeert om een situatie te vinden waar de opgave over spreekt.

INLEVERTERMIJN PRIJSVRAAG VERLENGD

Dan is het direct veel minder abstract, en blijkt veel van de vrijheid die je op het eerste gezicht lijkt te hebben, direct te verdwijnen als sneeuw voor de zon. De structuur van de situatie

wordt dan veel duidelijker en dan is het nog slechts een bescheiden stap naar het juiste antwoord. Een echte doordenker, zoals het op de olympiade ook hoort.

In Vector 7 kon je lezen over de Pythagoras Vlakvullingen Prijsvraag. Vanwege de sluiting van de scholen wegens het Coronavirus heeft de redactie van Pythagoras besloten om de inlevertermijn van de prijsvraag over vlakvullingen te verlengen. Doe mee met de hele klas en win een uitstapje naar het Escher museum!

Individueel zijn er ook leuke afdrukken van je ontwerp te winnen. Info over de prijsvraag zie Vector 7 of https://pyth.eu/prijsvraagvlakvullingen. Je kunt je oplossingen en ontwerpen inzenden tot uiterlijk 1 januari 2021 naar prijsvraag@pyth.eu.

21

COVID-19 EN EPIDEMIEMODELLEN

WISKUNDE & ONDERWIJS

EIND 2019 WERD ER IN DE CHINESE STAD WUHAN VOOR HET EERST MELDING GEMAAKT VAN EEN ERNSTIG VERLOPENDE LUCHTWEGENINFECTIE, WAARVAN DE OORZAAK ONBEKEND WAS. OP 7 JANUARI 2020 WERD DOOR CHINESE WETENSCHAPPERS VASTGESTELD DAT EEN NIEUW VIRUS, DAT VOORLOPIG '2019-NCOV' WERD GENOEMD, AAN DE BASIS LAG VAN DEZE UITBRAAK. EÉN MAAND LATER WORDEN OOK DE EERSTE GEVALLEN IN EUROPA GEMELD EN KONDIGT DE WHO DE WERELDWIJDE NOODSITUATIE AF. HET NOORDEN VAN ITALIË WORDT VANAF FEBRUARI UITERMATE ZWAAR GETROFFEN. OP 7 MAART PLAATST ITALIË LOMBARDIJE EN BIJ UITBREIDING HET HELE LAND ONDER QUARANTAINE. EÉN WEEK LATER WORDEN OOK IN BELGIË EN NEDERLAND STRENGE BEPERKENDE MAATREGELEN GENOMEN. T I J D S C H R I F T V L A A M S E V E R E N I G I N G W I S K U N D E L A A R S W W W.V V W L . B E I VA N D E W I N N E I S VO O R Z I T T E R VA N D E V L A A M S E V E R E N I G I N G W I S K U N D E L E R A A R S ( V V W L ) .

DA A R N A A S T I S H I J AU T E U R VA N A L L E R H A N D E

I N T E R AC T I E F L E S M AT E R I A A L M E T G E O G E B R A . O O K I S H I J B E H E E R D E R VA N D E E L E K T R O N I S C H E L E E R O M G E V I N G VO O R W I S K U N D E W W W. M AT H E L O . N E T. E - M A I L : I VA N . D E W I N N E @T E L E N E T. B E

WISKUNDIGE MODELLEN VOOR DE VERSPREIDING VAN INFECTIEZIEKTEN Het idee dat de verspreiding van infectieziekten met wiskundige formules kan beschreven worden, is al oud.

In 1766 publiceerde Daniël Bernoulli een artikel waarin hij de effecten analyseerde van de pokkeninfectie op de levensverwachting. Het duurt nog tot de twintigste eeuw vooraleer de dynamiek van de verspreiding van infectieziekten werd begrepen en de eerste wiskundige modellen werden uitgewerkt.

Vandaag de dag is de epidemiologische modellering vergevorderd. Met gesofisticeerde modellen kunnen wetenschappers het verdere verloop van de verspreiding van COVID-19 of andere virussen vrij nauwkeurig

simuleren. Denken we bijvoorbeeld aan het werk van het team van prof. Niel Hens (UAntwerpen en UHasselt).

In deze tekst beperken we ons tot een aantal vereenvoudigde modellen. Die laten ons toe enkele sleutelbegrippen te leren kennen en ze verschaffen ons inzicht in de dynamiek van de verspreiding van een infectieziekte.

EPIDEMIEMODEL IN GENERATIES Een infectieziekte verspreidt zich door de contacten van geïnfecteerde personen met vatbare personen waarbij het virus wordt overgedragen. Met dit eerste eenvoudig model geven wij een beschrijving van de verspreiding in generaties van een infectieziekte zoals COVID-19.

22

HET REPRODUCTIEGETAL R In de epidemiologie maakt men gebruik van het zogenaamde (effectieve) reproductiegetal , dat aangeeft hoeveel mensen door één persoon gemiddeld besmet worden gedurende de volledige periode dat deze persoon besmettelijk is. Voor het geval van Covid-19 neemt men aan dat deze besmettelijke periode tot 14 dagen kan duren. Het reproductiegetal kan veranderen tijdens het verloop van de epidemie.

Bij het begin van een epidemie spreekt men over het basaal reproductiegetal . Dit getal geeft aan hoeveel secundaire besmettingen gemiddeld veroorzaakt worden door één geïnfecteerde persoon. Hierbij wordt ervan uitgegaan dat de volledige populatie vatbaar is voor de besmetting en er geen preventieve maatregelen zoals social distancing genomen zijn. Het basaal repro. ductiegetal voor Covid-19 is ongeveer

Voor het coronavirus (SARS-cov-2) lag hoogstwaarschijnlijk een handvol personen aan de bron van de verdere verspreiding. Het aantal geïnfecteerde personen bij . Wij het begin van de epidemie stellen wij voor door noemen het aantal geïnfecteerde personen in de eerste , enzovoort. generatie , in de tweede generatie Bij het opstellen van dit eerste model gaan wij uit van een aantal veronderstellingen.

EXPONENTIËLE GROEI Bij een nieuw virus zal bij de uitbraak van een epidemie de volledige populatie vatbaar zijn voor besmetting en is het aantal geïnfecteerde personen zeer klein zijn. Indien dan zal iedere geïnfechet reproductiegetal teerde persoon gemiddeld 2 andere vatbare personen besmetten.

Het aantal nieuwe besmettingen in de k-de generatie is ) dan (recursief voorAlgemeen geldt er dat schrift) gekend is en het aantal besmettingen bij Indien het begin van de epidemie, dan kan men het aantal (nieuwe) besmettingen in de k-de generatie berekenen.

Het aantal besmettingen in de k-de generatie hangt af van onder andere: • het aantal besmettingen in de voorafgaande generatie • het aantal vatbare personen die nog niet besmet zijn • de periode van de infectie en hoelang geïnfecteerde personen andere vatbare personen kunnen besmetten, hoe besmettelijk de ziekte is en de manier van overdracht.

Algemene formule:

23

Verloop van de epidemie met

(links) en

(rechts)

DREMPELWAARDE VAN HET (EFFECTIEVE) REPRODUCTIEGETAL R Bij het opstellen van dit eerste epidemiemodel werd verondersteld dat het aantal vatbare personen constant de infectie blijft. Bovendien geeft de generatie door aan de -de generatie en zijn er geen herhaalde besmettingen van de voorafgaande generaties. Na verloop van tijd zal de groep van vatbare personen erg klein worden. De waarde van het reproductiegetal zal tijdens het verdere verloop van de epidemie voortdurend wijzigen.

Indien wij dit model zouden toepassen op de verdan zou het aantal spreiding van mazelen met nieuwe besmettingen sterk oplopen en wordt dit model in de praktijk al snel onbruikbaar. Na 5 generaties . Na 10 generaties: zou immers gelden: .

Om het effect van de grootte van te begrijpen, berekenen wij het verschil van de aantallen tussen twee opeenvolgende generaties.

We zien dus: : afname van het aantal besmettingen. : aantal besmettingen blijft constant. : toename van het aantal besmettingen.

24

Een epidemie stoppen vereist dat het gemiddeld aantal nieuwe mensen dat elke geïnfecteerde besmet kleiner is dan één. Dit kan gebeuren wanneer mensen immuun worden, een vaccinatie krijgen of hun gedrag aanpassen om overdracht te voorkomen.

OPSTELLEN FORMULE VOOR HET REPRODUCTIEGETAL Het reproductiegetal kan men berekenen met het aantal contacten, de kans op overdracht van de besmetting, de infectieuze periode en de grootte van de groep vatbare personen. Aangezien Covid-19 wordt veroorzaakt door een onbekend nieuw virus kan dit enkel door analyse van de data en schattingen. Daarom gebruiken wij bij het opstellen van de formule voor het reproductiegetal de bekende gegevens van een “gewone” seizoensgriep.

Voor de seizoensgriep is de periode van infectie gemiddeld 5 dagen. Stel dat het aantal contacten per dag gemiddeld 10 is en laat ons aannemen dat bij elk van deze contacten er = 4 % kans op besmetting is.

Het totaal aantal besmettelijke contacten dat iedere geïnfecteerde persoon heeft, is dan gelijk aan .

Voor de seizoensgriep laat een gedeelte q (60 %) van de bevolking zich vaccineren waardoor het percentage vatbare personen in de populatie kleiner wordt: Het aantal “succesvolle” contacten die iedere geïnfecteerde in dit geval heeft, is gelijk aan: .

Indien het percentage vatbare personen kleiner wordt dan zal het reproductiegetal ook kleiner worden.

BASAAL REPRODUCTIEGETAL R0 Indien , dan is de volledige populatie nog vatbaar voor de besmetting. In dit geval spreekt men over het : basaal reproductiegetal met als notatie

Deze situatie doet zich voor bij het begin van de epidemie.

Omdat er bij het coronavirus voorlopig nog geen vaccin te verkrijbestaat, is de enige mogelijkheid om gen de beperking van het aantal contacten .

DE TRANSMISSIEPARAMETER Voor onbekende virussen is het in de praktijk erg moeilijk om een onderscheid te maken tussen en . Uit de analyse van data is het iets eenvoudiger om te vinden. een waarde voor het product Men noemt dit product de transmissieparameter

Rekening houdende met (3) krijgt men:

is een getal dat aangeeft hoeveel personen door één persoon gemiddeld besmet worden per tijdseenheid.

Voor het Covid-19, met periode van besmettelijkheid (dagen), vinden we .

VACCINATIE EN R0 Stel dat een deel van de bevolking zich laat vaccineren. Het reproductiegetal is dan

. Hiermee kunnen De ziekte zal uitdoven indien wij het percentage van de bevolking berekenen dat minimaal moet gevaccineerd worden.

25

Met vaccinatie

(links) en

(rechts)

Dit betekent voor het coronavirus (indien ) minstens van de bevolking moet gevaccineerd worden. Er is dan sprake van groepsimmuniteit.

EPIDEMIEMODEL IN DE TIJD In het epidemiemodel dat wij tot nu toe hebben besproken, werd de verspreiding van de infectieziekte bekeken in generaties. Hierbij zijn de geïnfecteerde personen in verschillend van en . Dit model generatie geeft ons wel heel wat inzicht in de dynamiek van de verspreiding van de ziekte. Door het nemen van de nodige quarantainemaatregelen en social distancing zal het aantal contacten tussen vatbare personen en geïnfecteerde personen sterk gereduceerd kunnen worden en het reproductiegetal kleiner worden. Dit model stelt ons ook in staat om te berekenen welk gedeelte van de populatie men minstens moet vaccineren om de verdere verspreiding te voorkomen.

VOOR EEN CONSTANTE VERANDERING VAN Voor dit model veronderstellen wij dat het percentage vatbare personen s constant blijft omdat de verhouding van het aantal geïnfecteerde personen tot de totale populatie bij het begin van de epidemie klein is. In een komen er geïnfecteerde personen bij tijdsinterval door besmetting en gaan er ook af door herstel (of sterfgeval).

Noem de transmissieparameter en de herstelsnelheid . Dan is: γ

Na limietovergang voor Dit epidemiemodel is echter moeilijk te verbinden met de dagelijkse data waarbij het aantal besmettingen worden weergegeven in de tijd. In een tweede model bestuderen wij de verandering van het aantal geïnfecin functie van de tijd . teerde personen

, vinden de dan dat

De formule voor het aantal geïnfecteerde personen in functie van de tijd (waarbij constant blijft) is:

26

Men noemt de groeisnelheid.

Voor een volledig vatbare populatie waarbij groeisnelheid

, is de

Bij aanvang van een epidemie met een nieuw virus is iedereen vatbaar voor het virus. Een beperkt aantal personen is besmettelijk. Doordat geïnfecteerde personen andere vatbare personen besmetten, zal het aantal personen binnen elke groep voortdurend wijzigen.

Omdat een besmette persoon uit groep I andere personen uit groep S besmet zal de groep S kleiner worden en de groep I groter. Daarnaast zijn er ook personen uit groep I die genezen (of overlijden) en immuniteit voor de ziekte opbouwen en uiteindelijk in groep R terecht komen.

Het SIR-model bestaat uit 3 differentiaalvergelijkingen die de veranderingen van de aantallen in elke groep beschrijven in functie van de tijd. Deze vergelijkingen zijn met elkaar verbonden.

Uit formule (8) volgt:

Data België maart 2020 (www.who.int)

VERBAND TUSSEN R0, Uit

volgt dat

.

EN . Daarom is

HET SIR-MODEL Een ander vaak gebruikt model om de verspreiding van besmettelijke ziekten te beschrijven is het zogenaamde SIR-model.

Het SIR-model is verdeelt de populatie in drie compartimenten met een verschillende infectiestatus: - S (Susceptable) aantal personen die vatbaar zijn voor de ziekte.

- IR (Infected) aantal personen die besmettelijk zijn.

- S (Recovered) aantal personen die genezen zijn (of overleden).

Hierbij is het constante vatbare deel van de populatie, de transmissiesnelheid (het gemiddeld aantal besmettingen dat één geïnfecteerd persoon per dag de herstelsnelheid (de fractie kan veroorzaken) enγ van geïnfecteerde personen die gemiddeld per dag zal herstellen).

In werkelijkheid verandert de groep van de vatbare personen bij de overgang van naar en is ook een met de functie van de tijd . Stel grootte van de populatie. De vergelijking die de verandering van het aantal geïnfecteerde personen weergeeft wordt dan: .

Men kan een stelsel van 3 differentiaalvergelijkingen opstellen die de veranderingen van de aantallen in elk van de drie groepen weergeven in functie van de tijd: .

27

Bovendien geldt:

Om het stelsel (12) op te lossen moeten , de beginen ook de waarden waarden voor de parameters en gekend zijn.

Wij nemen ook aan dat de omvang van de populatie niet verandert, omdat er geen rekening wordt gehouden met geboorten, overlijdens of migratie. Dus:

Wij definiëren vooreerst een aantal variabelen en gaan uit van een aantal veronderstellingen. (populatie Belgische bevolking) • • Wij nemen aan bij het begin slechts 1 persoon besmet . is: .

• Het aantal vatbare personen is dan: • Bij het begin zijn er nog geen mensen die genezen zijn: .

Wij maken ook twee schuifknoppen en voor de overgangssnelheden en een schuifknop voor de maximale tijd dat het model zal lopen: • schuifknop tussen 0 en 0,5 met stapgrootte 0,01 • schuifknop tussen 0 en 0,25 met stapgrootte 0,01. tussen 0 en 500 met stapgrootte 1.

• schuifknop Vervolgens geven wij in het algebravenster de drie differentiaalvergelijkingen in.

Het aantal vatbare personen zal kleiner worden en dus is . Het aantal herstelde personen zal toenemen . Het aantal geïnfecen dus is teerde personen zal in het begin toenemen indien . Het aantal geïnfecteerde personen zal . Het aantal een maximum bereiken indien . vatbare personen is dan Dit SIR-model kan nog verder worden gesofisticeerd door te werken met meer compartimenten.

DYNAMISCHE SIMULATIE MET GEOGEBRA Voor het rekenwerk en het tekenen van de bijhorende grafieken voor S, I en R kan men handig gebruik maken van ICT-tools zoals GeoGebra. Start GeoGebra en activeer het algebravenster voor het ingeven van de formules en ook het tekenvenster voor het weergeven van de grafieken.

GeoGebra beschikt over een commando om deze differentiaalvergelijkingen numeriek op te lossen en de , en weer te geven. bijhorende grafieken voor

ODE staat voor Ordinary Differential Equation.

LOCKDOWN EN “FLATTENING THE CURVE” VOOR COVID-19 De enige mogelijkheid om de epidemie af te remmen is het verkleinen van de waarde voor (en dus ook ).

Hierdoor wordt de grafiek van het aantal besmettingen afgevlakt.

28

Wij onderzoeken dit voor een aantal waarden van de parameter .

Geval 1:

en

Geval 3: strengere lockdown maatregelen .

.

COLLECTIE GEOGEBRA BESTANDEN https://www.geogebra.org/m/nxhtkuz6

Geval 2: beperkte lockdown

en

.

BIBLIOGRAFIE Dries De Smet, Krant De Standaard, 28 maart 2020 Swier Garst en Don Klinkenberg, Besmettelijke ziekten, Epsilon uitgaven deel 58 Niel Hens, Voordracht proclamatie VWO www.facebook.com/ vlaamsewiskundeolympiade/videos/876767442791237/ Ad Meskens, COVID-19 in de klas, Wiskunde en Onderwijs 182 (2020), p. 3-8 David Smith en Lang Moore, The Sir-model, Mathematical Association of America, april 2020 Simon Telen en Andreas Van Barel, The mathematics of “Flattening the curve”, maart 2020 Leo Van Echelpoel, Covidsimulatie, april 2020 https://www.facebook.com/groups/231795661356774/ World Health Organisation, www.who.int/emergencies/ diseases/novel-coronavirus-2019

en

29

HET VERBORGEN RUIMTELICHAAM, EEN SPELVORM VOOR IN DE KLAS MICHEL ROELENS

UITWISKELING

R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

IN DIT ARTIKEL BESCHRIJF IK EEN INTERESSANTE WERKVORM, OF MOET IK ZEGGEN ‘SPELVORM’, DIE JE KUNT GEBRUIKEN IN LESSEN OVER RUIMTEMEETKUNDE IN DE TWEEDE OF DERDE GRAAD EN, MITS AANPASSINGEN, OOK IN DE EERSTE GRAAD. IK LEERDE DEZE WERKVORM KENNEN TIJDENS EEN WORKSHOP OVER RUIMTEMEETKUNDE OP EEN BIJEENKOMST MET COLLEGA’S VAN DE GEM (GROUPE D’ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE) VAN LOUVAIN-LA-NEUVE EN DE IREM (INSTITUT DE RECHERCHE SUR L’ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES) VAN LILLE. DE WORKSHOP WERD GEGEVEN DOOR LOUIS ROYE (IREM) EN WE SPEELDEN HET SPEL TOEN MET EEN GROEPJE COLLEGA’S WISKUNDIGEN. DE SPELREGELS Een ruimtelichaam zit verstopt in een doos. De deelnemers zijn ingedeeld in groepjes van vier. Eén groepje kent het verborgen lichaam. De leerlingen van dit groepje hebben het lichaam vooraf mogen bekijken, betasten, opmeten… of eventueel hebben zij het vooraf zelf gemaakt. De andere groepjes moeten proberen te achterhalen welk lichaam het is. Op het einde moeten ze in staat zijn er een vlakke ontwikkeling van te maken die uitgeknipt, gevouwen en geplakt wordt om te verifiëren dat het hetzelfde lichaam is. Om er achter te komen welk lichaam in de doos zit, stelt elke groep om de beurt luidop een vraag aan de groep die het lichaam kent.

Het moeten vragen zijn die beantwoord kunnen worden met ‘ja’, ‘neen’ of een getal. Andere vragen worden niet

beantwoord. De groepjes kunnen zowel de antwoorden op de eigen vragen als de antwoorden op de vragen van de andere groepjes als informatie benutten. De leraar-spelleider controleert dat de antwoorden juist zijn en noteert in telegramstijl de gestelde vragen en de antwoorden op het bord. Af en toe kan de leraar een onderbreking voorzien om de groepjes toe te laten alles op een rij te zetten.

Bij de competitieve versie wint de groep die als eerste het juiste lichaam gemaakt heeft; groepjes die een fout lichaam ‘indienen’ worden uitgeschakeld.

Bij een minder competitieve variant vraagt de leraar na een tijd ‘denk je dat je nu genoeg informatie hebt?’.

Groepjes die menen genoeg te weten, maken het

30

lichaam. Groepjes die nog vastzitten, mogen een afgevaardigde sturen die enkele seconden in de doos mag kijken en dan in zijn groepje verslag uitbrengt over wat hij gezien heeft. Bij deze variant is het de bedoeling dat zoveel mogelijk groepjes het juiste lichaam kunnen maken.

Ik probeer de vragen en antwoorden te reconstrueren.

• Is het een veelvlak? Ja. • Convex? Ja. • Zijn sommige zijvlakken driehoeken? Ja.

Belangrijk is ook de nabespreking. ‘Waarom kon een bepaalde vraag niet beantwoord worden? Waren alle gestelde vragen nodig of werden ook zaken gevraagd die uit de vorige antwoorden konden worden afgeleid?

Indien een fout lichaam werd gemaakt, heeft die groep met bepaalde informatie geen rekening gehouden of was er te weinig informatie om het lichaam eenduidig vast te leggen?’

HET LICHAAM DAT WIJ MOESTEN VINDEN EN HOE WE ER LEKKER NAAST ZATEN… Toen wij aan de workshop deelnamen, was het lichaam dat in de doos zat een piramide met vierkant grondvlak, met top recht boven één hoekpunt van dit vierkant en met als hoogte de zijde van dit vierkant. Anders gezegd: het was de piramide die je krijgt als je in een kubus de hoekpunten van het grondvlak verbindt met één hoekpunt van het bovenvlak (zie figuur hieronder).

• Hoeveel zijvlakken zijn driehoeken? Vier. (Merk op dat de vorige vraag overbodig was.)

• Hoeveel zijvlakken zijn vierhoeken? Eén.

• Zijn er nog andere zijvlakken? Neen. (Als het antwoord ‘ja’ was geweest, hadden we met deze vraag niet zoveel geweten. We hadden bv. beter gevraagd hoeveel andere zijvlakken er nog waren.)

• Hoeveel hoekpunten zijn er? Vijf. (Merk op dat we nu niet meer hoefden te vragen naar het aantal ribben.

Een convex veelvlak voldoet immers aan de stelling van Euler ‘het aantal hoekpunten min het aantal ribben plus het aantal zijvlakken is 2’. Het aantal ribben is dus 5 + 5 - 2 = 8. Deze ‘geleerde’ beschouwingen gaven ons het gevoel dat we goed bezig waren…)

• Is het een piramide? Ja. • Is het een rechte piramide (top recht boven het midden van het grondvlak)? Neen.

• Hoeveel cm meet de zijde van het vierkante zijvlak? Zes. • Hoeveel cm is de hoogte van de piramide? Zes. • Hoeveel driehoekige zijvlakken zijn gelijkbenig? Twee.

• Is het veelvlak vlaksymmetrisch? Ja. Intussen zat ons groepje op een verkeerd spoor: we dachten aan een piramide met vierkant grondvlak en met de top recht boven een punt van een middellijn, maar niet boven het middelpunt (zie figuur hieronder, voor de duidelijkheid weer in een kubus getekend).

We hadden er niet aan gedacht dat de gelijkbenige driehoeken ook naaste buren konden zijn (met een

31

gemeenschappelijke zijde) en dat de gelijke ‘benen’ van deze driehoeken niet noodzakelijk opstaande ribben van de piramide hoeven te zijn…

We maakten een ontwikkeling van ‘onze’ piramide (zie figuur hieronder).

• Zijn de niet-gelijkbenige driehoeken rechthoekig? Ja. (Dat de driehoeken in werkelijkheid alle vier rechthoekig zijn, konden we met deze vraag niet achterhalen.)

Op dit moment dachten we dat we het gevonden hadden: de top moest recht boven het midden van een zijde van het grondvlak staan (zie figuur hieronder).

Een ander groepje had wel het juiste lichaam gemaakt.

Je ziet hun ontwikkeling hieronder.

Voor jongere leerlingen kan misschien best een ‘bekender’ lichaam genomen worden, zeker de eerste keer.

32

Nadien probeerde ik deze workshop uit in een vierde jaar (4 uur wiskunde). Twee groepjes vonden het lichaam dat ik had gekozen. Hun strategie bleek efficiënt: ze slaagden erin te achterhalen hoe de zijvlakken waren,

knipten die afzonderlijk uit en probeerden die aan elkaar te plakken, zonder zich veel zorgen te maken over een vlakke ontwikkeling uit één stuk.

Het groepje dat het lichaam kende

Het lichaam van de winnende groep, met daarnaast het origineel

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 25/3. Benieuwd naar meer?

Op www.uitwiskeling.be vind je alle info.

OEFENING 1 VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE VZW, EERSTE RONDE VWO 2020, VRAAG 9 in een kwartcirkel zoals in de figuur. Hij projecteert Kobe tekent een scherpe hoek het lijnstuk [OP] loodrecht op de stralen die de kwartcirkel begrenzen. Hij construeert is de som van twee vierkanten met die projecties als zijde. Voor welke hoek(en) hun oppervlaktes het grootst?

A

15° en 75°

B

20° en 70°

C

30° en 60°

D

45°

E

De som is steeds even groot.

Soms is 9 9,9% juist ut. o f r e t e m o il k ,3 7 1 1 nog steeds

Met dank aan Toon Baeyens. Data met dank aan NASA. V.U. Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, E.Sabbelaan 53, 8500 Kortrijk

! d i e h r e k e z e j t f e e g e d n u k s Wi

lympiade O e d n u k is W e s m a la 3 6 ste V 13 januari 2 021 w w w.v wisko.undbe eol ympiade

facebook.com/vlaam

sew

VWO wordt eveneens gesteund door de KU Leuven, de KU Leuven Campus Kulak Kortrijk, de Universiteit Antwerpen, de Universiteit Gent, de Universiteit Hasselt, de Vrije Universiteit Brussel, het Belgisch Wiskundig Genootschap, New Scientist, Rhombus, de Vlaamse Vereniging voor WiskundeLeraren, Wolfram Mathematica, Wetenschap in Beeld.

34

HANDS-ON: DE MODELLEERWEEK AAN DE UHASSELT SAMENVATTING

RECENT HEBBEN WIJ BINNEN DE BACHELOROPLEIDING WISKUNDE AAN DE UHASSELT EEN NIEUWE ONDERWIJSVORM GEÏMPLEMENTEERD. UITDAGENDE OPDRACHTEN, AANGELEVERD DOOR VLAAMSE BEDRIJVEN, WORDEN GEDURENDE EEN HELE WEEK DOOR STUDENTEN BESTUDEERD EN "BEWERKT". IN DIT ARTIKEL BESCHRIJVEN WIJ HET VERHAAL KORT, KIEZEN WE TWEE OPDRACHTEN MET BIJBEHORENDE OPLOSSINGEN GEVONDEN DOOR DE STUDENTEN, EN GEVEN WE EEN KORTE SCHETS VAN DE ACHTERLIGGENDE WISKUNDE. ROEL SCHROOTEN EN JOCHEN SCHÜTZ,

U H A S S E LT, 9 S E P T E M B E R 2 0 2 0

1. INLEIDING De missieverklaring van het Platform Wiskunde Vlaanderen [7] formuleert het uiterst duidelijk:

Al onze maatschappelijke en technologische vooruitgang heeft op een of andere manier een wiskundige component nodig. [...] Toch blijft de enorme impact van wiskunde meestal goed verborgen. [...]

Er valt weinig aan dit, en aan de rest van deze missieverklaring, toe te voegen, behalve wellicht nog dat zelfs toekomstige wiskundigen - studenten, maar ook scholieren met een liefde voor wiskunde - het vaak moeilijk vinden om precies en begrijpelijk te kunnen vertellen waar wiskunde in de maatschappij aan bod komt.

Binnen de bacheloropleiding wiskunde aan de UHasselt is er ruime aandacht voor de toegepaste wiskunde, meerdere modelleervakken staan verplicht in het curriculum. Toepassingen van de wiskunde worden besproken, maar omwille van didactische redenen zijn deze natuurlijk vaak afgezwakt. Implicaties zijn dat • de opdrachten volledig haalbaar zijn voor de student, • de docent de oplossing volledig kent en kan uitleggen, • de opdrachten iets van hun realisme verliezen.

Hiertegenover staat de aanzet die we voor de nieuwe modelleerweek gekozen hebben: we willen bewust de opdrachten niet versoepelen. Samen met industriële partners hebben wij realistische taken bedacht (op een

35

selectie ervan gaan we in het volgende wat dieper in), die we tijdens een intensieve week buiten de instelling aan de studenten hebben voorgelegd. Zij moesten dan ‘hands-on’, dus zonder inleidend hoorcollege of dergelijke, oplossingen zoeken. In tegenstelling tot de 'gewone' vakken is het evident dat: • wij niet kunnen/mogen verwachten dat de studenten de opdrachten volledig afmaken, • de docent de oplossing niet volledig kent, en enkel steun kan geven tijdens de uitvoering, • de opdrachten toch een zeer goed beeld geven van wat van een wiskundige in zijn beroepsleven verwacht zou kunnen worden.

We hebben ervoor gekozen om een volledige week in het tweede semester van het eerste jaar aan de bewerking van de opdrachten te besteden; we waren dan ook vijf dagen op stap, om de studenten de mogelijkheid te geven om buiten hun gewoon dagelijks leven zo hard mogelijk naar oplossingen te zoeken. Als bijproduct verstrengt dit ook de zo jobrelevante soft-skills, zoals groepswerk, frustratievermogen en dergelijke meer.

Het concept, ook al nieuw aan de UHasselt, bestaat aan sommige universiteiten in het buitenland al langer, in verschillende formaten. Voorbeelden die ons geïnspireerd hebben, zijn het CAMMP-initiatief aan de RWTH Aachen en de Karlsruhe Institute of Technology (Duitsland) (zie [3] met ook een aantal – meestal Duitstalige – publicaties) en de Modeling Week aan de TU Eindhoven [6]. Ook het European Consortium for Mathematics in Industrie (ECMI) organiseert sinds 1988 regelmatig modeling weeks [4].

In deze publicatie hebben wij het in detail over enkele van de taken en mogelijke oplossingsstrategieën. Vanaf 2020/21 wordt het concept uitgebreid naar excellente leerlingen uit het secundair onderwijs. We hopen met dit artikel de interesse van leerlingen en leerkrachten te wekken om er eventueel aan mee te doen. Maar ook voor mensen die niet per se geïnteresseerd zijn in de modelleerweek bieden de cases interessante voorbeelden van praktische toepassingen van wiskunde.

2. GESELECTEERDE VOORBEELDEN In dit hoofdstuk beschouwen we twee geselecteerde voorbeelden in detail. Wij bespreken de probleemstellingen, de door de studenten gevonden oplossingen en zetten dit in een bredere wiskundige context. Voor meer informatie over modelleren, in het bijzonder voor leerlingen uit het secundair onderwijs, verwijzen wij naar [1].

2.1 Voorspelling bestellingen Van een groot logistiek bedrijf mochten wij data uit de jaren 2018 en 2019 ontvangen. Deze data hadden, onder andere, als inhoud het aantal vervoerde goederen (inclusief massa en volumes van een dergelijk goed) per dag. Het spreekt voor zich dat het bestuur van het bedrijf grote interesse heeft voor een precieze voorspelling van hoeveel goederen te verwachten zijn op een zekere dag, omdat dit implicaties op werkbezetting, aanwerving van subondernemers en dergelijke meer heeft. Het gaat hier om massaal veel data die verwerkt moeten worden. De studenten hebben zelfstandig besloten om enkel de dagelijkse ritten te bekijken. Complexiteitsreductie is, zeker voor een wiskundige, een uiterst belangrijke vaardigheid; enkel een goede doordachte hiërarchie van problemen (van 'makkelijk' naar 'moeilijk') levert typisch gezien een tevredenstellend antwoord. Complexiteitsreductie kwam bij alle oplossingen aan bod, uiteraard ook gezien het feit dat wij met de studenten enkel een week konden bezig zijn.

Terug naar het probleem: wiskundig gezien hadden de studenten dus 2x365 = 730 waarden van het aantal . De eerste ritten, we noemen deze 365 waarden, behorende tot de ritten van 2018, hebben ze gebruikt als 'trainingsdata', de laatste 365 waarden, behorende tot de ritten van 2019, als 'testdata', om de kwaliteit van hun voorspellingsmodel te analyseren.

Aan het einde van de week hebben zij twee potentiële oplossingen gevonden: 1. Eerst realiseerden zij zich dat de totale aantallen van jaar tot jaar er toch soms behoorlijk anders uitzien, dus op het eerste gezicht was er weinig , dus de dag één en verband tussen jaar later. Wat er wel relatief stabiel is, is het aantal verschillen van dag op dag, dus voor de differentie is er wel het verband

36

zichtbaar. (Dit moet nog gezuiverd worden van het effect van weekends, wat de studenten ook gedaan hebben door een clustering van weken te maken. Voor het gemak gaan we hier niet dieper op in, omdat het enkel de notatie moeilijker maakt.) Een eerste schatter voor het jaar 2019 hebben zij dan gevonden als

Dit levert al relatief goede resultaten, zeker de trends worden goed begrepen. Het is interessant om te zien dat de studenten de zogenaamde Euler-methode uitgevonden hebben. Deze speelt eigenlijk een rol in de behandeling van gewone differentiaalvergelijkingen.

Gewone differentiaalvergelijkingen (van eerste orde, om precies te zijn) zijn vergelijkingen waar er een voorschrift is om de afgeleide van een functie te berekenen,

die van de tijd en met een gegeven functie ook van de functie zelf mag afhangen. Uitgaande , ook weer met van een beginconditie gegeven, is het in vele gevallen mogelijk om , en zij het enkel numeriek, te bepalen. De Euler-methode is nu zo een numerieke methode, en ze behoort tot de simpelste methoden ter oplossing van gewone difschat ze ferentiaalvergelijkingen. Uitgaande van , voor een 'kleine' waarde , door zijn raaklijn. Dit is succesvol omdat er een expliciet voorschrift is voor de afgeleide, we kunnen dus benaderen:

Eenmaal dat er een benadering aan bekend is, op dezelfde manier berekend worden: kan

In de numerieke analyse houdt men zich bezig met het analyseren van het convergentiegedrag van dit soort algoritmes [2]. Terug naar het probleem van het logistiekbedrijf. Als men het gevonden model (1) als

Euler-methode gaat interpreteren, dan is de toebehorende 'continue' differentiaalvergelijking gegeven door

wat in feite zelfs een (toegegeven, zeer simpele) geretardeerde differentiaalvergelijking is omwille van het tijdsverschil. Het vinden van dit soort continue modellen is in vele toepassingen cruciaal om meer informatie uit het model te kunnen halen.

2. Het is aan te nemen dat er bij dit soort verhalen een periodieke structuur te herkennen is. Dit viel één van de studenten wel op, en hij kon dan ook een verband trekken met de sinus- en cosinusfuncties. Op navraag konden wij als begeleiders hem dus alert maken op de discrete Fourier-transformatie, die dan ook in Matlab geïmplementeerd is. De Fourier-transformatie tracht een verband tussen een periodieke functie en sinus- en cosinusfuncties via

te vinden. De discrete Fourier-transformatie mikt precies op hetzelfde, maar dan wel met discrete . De waarden zoals degene aangeleverd door Fourier-transformatie wordt in veel verschillende plaatsen ingezet, bv. voor het denoising van muziek, maar heeft ook haar nut hier. Ook die aanzet leverde bruikbare resultaten op met een wat betere kwaliteit wat de grote trends betreft, en wat slechtere wat de details betreft.

Uiteraard hebben beide aanzetten voor zichzelf genomen het probleem niet opgelost. Het was ook niet te verwachten dat de studenten in één week dingen gingen oplossen waar business-intelligenceunits jarenlang mee bezig zijn. Maar het is toch verbazingwekkend hoeveel wiskunde 'in de praktijk' de studenten in één week tijd uitgevonden hebben.

Verdere ideeën die in het gesprek met de studenten naar voren kwamen, maar die niet getest werden, waren het koppelen van de voorspellingsmodellen aan economische waarden, het beter filteren van

37

vakantiedagen (in het binnen- en buitenland) en dergelijke meer. Sommige van deze extra's eisen uiteraard een interdisciplinaire aanpak.

2.2 Verdeling personeel Een grote Vlaamse infrastructuurbeheerder is van plan om zijn personeel beter op verschillende stations te verdelen; dit met het oog op het minimaliseren van totale reistijden. Uiteraard moet hierbij met verschillende neveneffecten rekening gehouden worden: eisen van de stations betreffende het minimale/maximale aantal van personeelsleden, eisen betreffende de opleiding van zekere personeelsleden en dergelijke meer. Ook hier hebben de studenten snel besloten om het probleem te versimpelen en zo 'oplosbaarder' te maken, zo zijn ze bijvoorbeeld overgegaan van de echte reistijd te minimaliseren naar het aantal kilometers in vogelvlucht te minimaliseren. Ook de eisen betreffende de opleiding van personeelsleden hebben zij versoepeld, zonder ze volledig overboord te gooien.

Figuur 1. Een gewone sudoku kan met behulp van backtracking opgelost worden.

Nadat ze enkele technische moeilijkheden opgelost hadden, zijn de studenten begonnen met een back­ trackingmethode [5] te implementeren. Backtracking werd in een ander college (Computerpractica voor wiskunde) al besproken, het concept is echter relatief gemakkelijk te begrijpen en te implementeren, en relatief machtig. Gecombineerd met meer kennis van het probleem is het ook niet enkel een brute-forcemethode.

Voor deze publicatie leggen wij het uit aan de hand van een bekend raadsel, nl. de sudoku. Er zijn tal van mogelijkheden om de sudoku op te lossen, voor gemakkelijke versies uit de krant is het meestal voldoende om voor elke cel te kijken welke waarden er ingevuld mogen worden. Soms is het wel zo dat dit niet tot de volledige oplossing leidt, en moeten er waarden gegokt worden.

De gok kan goed zijn – dan leidt het tot de oplossing van de sudoku – of kan slecht zijn, en dan leidt het tot een raadsel dat niet meer oplosbaar is, omdat bv. in een cel geen enkel cijfer ingevuld mag worden. In het laatste geval gaat men terug (``backtracking'') en gokt men een ander cijfer. Uiteraard kunnen verschillende 'gokken' ook met elkaar gecombineerd worden, dat ligt aan de basis van het backtrackingalgoritme.

Uiteraard kan de methode ook hier gebruikt worden. In plaats van cijfers te gokken worden personeelsbezettingen voorgesteld en dan via backtracking geleidelijk beter gemaakt. Het idee hierbij is dat, in theorie, elke werknemer bij de tien dichtsbijzijnde stations kan terechtkomen. Als eerste gok krijgt iedereen het dichtsbijzijnde station toegewezen - dit leidt uiteraard tot een overbezetting van vele stations, en een onderbezetting van vele andere. Via backtracking worden dan mensen die 'te veel' bij stations zijn op andere stations geplaatst, totdat er een goede oplossing naar voren komt. Het algoritme was moeilijk om te implementeren, en ook de looptijd was vrij lang, maar uiteindelijk leidde dit tot een vermindering van de (theoretisch geschatte) dagelijkse reistijd tot grofweg de helft. De industriële partner gaf aan dat hij dit soort oplossing nog niet bedacht had en hij deze in de toekomst verder wou bekijken, wat voor de studenten uiteraard extra lof was.

38

3. CONCLUSIE Geen enkele groep heeft haar taak perfect opgelost, maar dit is ook niet de bedoeling geweest. Ze zijn wel in aanraking gekomen met echte problemen vanuit de bedrijfswereld, en ze hebben ook allemaal oplossings­ methoden gevonden. Het was de moeite waard om ze uit te dagen, de oplossingen hebben aangetoond dat zij in staat zijn om reeds verworven kennis van wiskunde te kunnen gebruiken op een zeer creatieve manier. De week is geëindigd met een slotpresentatie, de studenten hebben dus ook moeten vertellen over wat ze gedaan hebben, in een taal die begrijpelijk is voor niet-wiskundigen.

Het is evident dat, hoe meer kennis van wiskunde men heeft, des te betere methoden men kan bedenken om problemen op te lossen. De week toont echter ook aan dat al relatief weinig kennis van wiskunde voldoende is om, althans simpele, oplossingsstrategieën voor dit soort problemen te ontwikkelen. Met kleine aanpassingen wordt het concept daarom volgend jaar in een eerste testrit ook aangeboden voor bovengemiddelde leerlingen uit het middelbaar/secundair onderwijs.

We twijfelen er geen seconde aan dat dit mogelijk is!

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Met al dit hopen wij om wiskunde in de maatschappij weer meer in de kijker te zetten, of, om weer een citaat van het Platform Wiskunde Vlaanderen [7] te gebruiken, de leerlingen en studenten als ambassadeurs voor de wiskunde op te leiden, die dan de volgende doelstelling realiseren:

Figuur 2. Studenten die hun resultaten presenteren tijdens de slotpresentatie

Het uitdragen en benadrukken van het belang van de wiskunde voor de maatschappij in het algemeen, en voor innovatie in het bijzonder.

REFERENTIE 1 K. Bliss, K. Fowler, B. Galuzzo, Math Modeling, SIAM, 2014 2 A. Bultheel, Inleiding tot de numerieke wiskunde, Uitgeverij Acco, 2006 3 Computational and Mathematical Modeling Program (CAMMP), https://www.cammp.online 4 ECMI Modelling weeks, https://ecmiindmath.org/education/ modelling-weeks/ 5 V. Fack, Algoritmen en datastructuren, Uitgeverij Acco, 2014 6 Modeling Week, TU Eindhoven, https://www.win.tue.nl/~pop/ Modeling/index.html 7 Platform Wiskunde Vlaanderen, Missieverklaring, http://www.platformwiskunde.be/missieverklaring/

OEFENING 2 VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE VZW, EERSTE RONDE JWO 2020, VRAAG 3 Van een rechthoek met zijden 6 en 16 snijden we een stuk af zoals in de figuur.

De twee stukken die zo ontstaan, worden herschikt tot een driehoek.

Hoe lang is de kortste zijde van die driehoek?

A

8

B

10

C

12

D

14

E

16

39

DOBBELEN IN EEN DRIEHOEK KO E N D E N A E G H E L , H I L D E E G G E R M O N T, A N N E S C H AT T E M A N

UITWISKELING

R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

WE MAKEN AL EENS VAN DE GELEGENHEID GEBRUIK OM HET IN DE LES OVER FRACTALEN TE HEBBEN, BIJVOORBEELD IN DE LESSEN OVER COMPLEXE GETALLEN EN BINNEN DE CONTEXT VAN RIJEN. HET ZIJN BIJZONDER FASCINERENDE MEETKUNDIGE FIGUREN MET HEEL VEEL TOEPASSINGEN IN DE REËLE WERELD. IS HET BIJVOORBEELD NIET VERRASSEND DAT MEN IN DE GENEESKUNDE HEEL GEÏNTERESSEERD IS IN DE STUDIE VAN FRACTALEN? LONGSTRUCTUREN, BLOEDVATENSTELSELS, DARMWANDEN ENZ. BLIJKEN BETER DOOR EEN FRACTAAL TE WORDEN BENADERD DAN DOOR DE KLASSIEKE MEETKUNDIGE FIGUREN. OOK BIJ BEELDCOMPRESSIE WORDT VAAK GEBRUIKGEMAAKT VAN FRACTALEN OM DE GROOTTE VAN DE DATATRANSMISSIE TE KUNNEN REDUCEREN. STRUCTUREN IN DE NATUUR ZOALS BLOEMKOLEN, BOMEN, WOLKEN, KUSTLIJNEN, VARENS… WORDEN BIJ BENADERING ALS EEN FRACTAAL BESCHOUWD EN KUNNEN HIERDOOR BETER BESTUDEERD WORDEN. WE PAKKEN GRAAG UIT MET DEZE SPECTACULAIRE BEELDEN EN TONEN HOE VERRASSEND EENVOUDIG ZE BESCHREVEN KUNNEN WORDEN. Bij het onderwerp meetkundige rijen en reeksen kan de Koch-kromme ter sprake komen (zie figuur 1), waarbij men aantoont dat de omtrek oneindig is en de oppervlakte van het gebied binnen de Koch-kromme daarentegen wel eindig is..

Figuur 1. Koch-kromme

Als je dan bovendien illustreert dat deze figuur noch als een lijn (eendimensionaal) noch als een vlakke figuur (tweedimensionaal) beschouwd kan worden en dat de dimensie dus geen natuurlijk getal is, vallen de leerlingen spreekwoordelijk van hun stoel. Op zich garanderen deze eigenschappen

over fractalen al spektakel in de klas.

We willen er nog een schepje bovenop doen en de leerlingen verbazen met een kansspel, het chaosspel, waarbij het resultaat op een verrassende wijze leidt naar een fractaal.

CONSTRUCTIE VAN EEN SPECIFIEKE FRACTAAL Een ander bekend voorbeeld van een fractaal is de zogenaamde Sierpinskidriehoek. Deze figuur is het resultaat van een iteratief proces (d.w.z. dat je telkens dezelfde constructiestappen herhaalt op het laatst verkregen resultaat en dit tot in het oneindige,

40

dus zonder dat het proces ooit stopt).

De theoretische limiet van dit proces vormt dan de fractaal. Het procedé verloopt als volgt: 1. We starten met een opgevulde gelijkzijdige driehoek en verbinden de middens van de zijden.

2. We nemen de kleine gelijkzijdige driehoek (op schaal ), die in het midden ontstaat, weg.

3. Er verschijnen drie volle gelijkzijdige driehoeken (op schaal ).

We hernemen de stappen 1, 2 en 3 voor elk van de drie driehoeken die zijn ontstaan. Zo krijgen we 9 kleinere driehoeken, ditmaal op schaal , waarop we de drie stappen opnieuw gaan toepassen. We blijven dit procedé herhalen. De figuur die als limiet ontstaat, kun je nooit tekenen.

Na een eindig aantal stappen heb je de Sierpinski-driehoek nog niet geconstrueerd. Wat bijzonder is, is dat, net als voor de Koch-kromme, het resultaat noch eendimensionaal noch tweedimensionaal is. De fractaal wordt gekenmerkt door een dimensie die geen geheel getal is, maar die gelegen is tussen 1 en 2, vandaar de naam ‘fractaal’.

Figuur 2. Ceci n’est pas un triangle de Sierpinski

HET CHAOSSPEL Iedereen zal het eens zijn met de idee dat de bovenstaande procedure op een heel gestructureerde manier gebeurt. Omgekeerd verwachten we dat structuren en patronen die gecreëerd worden vanuit een willekeurige, kansgedreven actie, er chaotisch zullen uitzien. Des te meer zal het resultaat van het volgende spel verbazen.

1. Je vertrekt van de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek waarvan de hoekpunten gemarkeerd zijn met de paren {1,2}, {3,4} en {5,6}. Dit zijn de mogelijke uitkomsten van een worp met de dobbelsteen.

2. Je kiest willekeurig een punt binnen de driehoek.

3. Je gooit met een dobbelsteen en vanuit het gekozen punt viseer je het hoekpunt dat overeenkomt met de uitkomst van je worp. Je plaatst een punt halfweg het eerste punt en het geviseerde hoekpunt.

Je herhaalt stap (3) met het nieuwe verkregen punt (zie figuur 3).

Figuur 3.

De bedoeling is om deze stap te herhalen totdat een patroon zichtbaar wordt. Er verschijnen lege gebieden.

Dit is zeer intrigerend.

Figuur 4. Chaosspel na 1000, 10000 en 100000 stappen

Nadien kunnen de gevonden punten met een computer geplot worden (die applets zijn talrijk te vinden op het internet (o.a. Giesen)) en dan verschijnt …., jawel, een benadering van de Sierpinski-driehoek. Niet te geloven! Het willekeurig gekozen startpunt en het toevalsaspect van de dobbelsteen leiden naar dit verrassend gestructureerd resultaat.

Nadat de leerlingen een korte klassikale introductie hebben gekregen over fractalen met als voorbeeld de opbouw van de Sierpinski-driehoek kan een klasactiviteit in groepjes gebouwd worden rond het chaosspel.

41

HET CHAOSSPEL

Instructie Jullie werken in groepjes van drie.

Indien jullie de instructies nauwgezet opvolgen, zullen jullie verbaasd staan van wat jullie gecreëerd hebben.

Jullie beschikken over: - een transparant waarop de hoekpunten van een voor iedereen zelfde gelijkzijdige driehoek getekend staan. Eén hoekpunt wordt gemarkeerd met {1,2}, een ander met {3,4} en het laatste met {5,6}. Dit zijn de mogelijke uitkomsten van een worp met de dobbelsteen.

- een dobbelsteen, een latje en een stift.

Handelingen 1. Kies een willekeurig punt binnen de driehoek. Markeer het punt op het transparant maar plaats de naam er niet bij.

2. Gooi met de dobbelsteen. het Viseer vanuit het punt hoekpunt dat overeenkomt met de uitkomst van je worp en plaats en het een punt halfweg geviseerde hoekpunt. Dit is .

3. Herhaal stap (2) met het nieuw verkregen punt (zie figuur). Doe dit minstens 30 keer.

Verdeel de taken: één leerling gooit met de dobbelsteen, een tweede hanteert het latje, een derde plaatst de stip halfweg.

1. Zien jullie een patroon verschijnen? Waarschijnlijk wordt het patroon versterkt door alle transparanten zorgvuldig op elkaar te leggen?

De leerlingen merken dat bepaalde zones binnen de driehoek onaangeroerd zijn gebleven.

2. Op http://www.jgiesen.de/ ChaosSpiel/Spiel1000.html kunnen jullie een groot aantal herhalingen laten uitvoeren aan de hand van een applet. (Geef in het Java-security-luik de toelating om deze applet te runnen.)

De computer tekent dan punten die ad random gevonden zijn.

Jullie herkennen vast en zeker de figuur die benaderd wordt?

De Sierpinski-driehoek verschijnt traag.

3. We zoeken een verklaring voor het gevonden fenomeen.

Veronderstel dat het startpunt van de rij geconstrueerde punten zich in de middelste driehoek van de onderstaande figuur bevindt.

Veronderstel dat er een 5 wordt gegooid met de dobbelsteen.

- Beschrijf welke transformatie van het vlak het punt op het nieuwe punt . stuurt?

- Wat doet deze transformatie met de lengtes van lijnstukken? Kunnen jullie hiermee de positie van . beschrijven zonder de constructie uit te voeren die onder (2) beschreven werd?

- Verklaar dat de rij van punten die je construeert steeds dichter en dichter bij de punten van de Sierpinskidriehoek gaan terecht­komen.

Het witte driehoekje zich bevindt, waarin het punt zal door een homothetie met verhouding en centrum (zie figuur op de volgende bladzijde) gestuurd worden op opnieuw een wit driehoekje met gehalveerde zijden. De afstand van tot is dus de helft van de aan tot aan . Dit afstand van fenomeen herhaalt zich. Bij elke iteratiestap halveert de afstand

42

tot de zijden van de verkleinde witte driehoek. We zien dus dat de rij van punten de rand van een wit driehoekje willekeurig dicht benadert.

4. Stel dat het startpunt is zoals in de onderstaande figuur.

Er worden enkele worpen gedaan met de dobbelsteen en het punt is terechtgekomen in het donkerste driehoekje.

We komen terecht in een driehoekje dat in stap 4 van het iteratieproces gecreëerd is. Er werd dus drie keer met de dobbelsteen gegooid. Je kan met verschillende sequenties van worpen tot in het driehoekje raken bijvoorbeeld (3,4,1) maar (3,3,1) kan ook. Deze worpen genereren dezelfde puntensequentie.

5. Aan jullie om onderzoek te doen. Stel zelf (onderzoeks-) vragen over mogelijke rijen van punten die gerealiseerd kunnen worden.

Hoeveel maal kan men in een bepaald wit driehoekje terechtkomen?

Zijn er punten die via verschillende puntensequenties bereikt kunnen worden?

Is er een verklaring waarom alle punten van de Sierpinskidriehoek benaderd zullen worden?

Is er een probleem als het startpunt buiten de driehoek gekozen wordt? Of als we starten met een punt van de Sierpinskidriehoek zelf?

- Hoeveel worpen zijn er nodig?

- Hoeveel ogen zijn er bij elk van de worpen gegooid?

Probeer meer dan één oplossing te geven.

BRONNEN 1. Peitgen H.O., Hartmut J., Dietmar S.,(1992). Fractals fort the classroom.

NCTM. Springer-Verlag: New York.

2. math.bu.edu/DYSYS/chaos-game/ node4.html (Chaos Game) 3. math.bu.edu/DYSYS/chaosgame/node4.html#SECT ION00040000000000000000 (Chaos Game) 4. math.rice.edu/~lanius/fractals/ (Fractalen) 5. webserv.jcu.edu/math//vignettes/ chaosgame.htm (Chaos Game) 6. www.jgiesen.de/ChaosSpiel/ Spiel1000.html (Chaos game)

Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 32/3 als onderdeel van het artikel ‘Verrassende wiskunde’ waarin we allerlei losse stukjes verzamelden met een probleem waarvan de uitkomst op een of andere manier verrast. Benieuwd naar meer? Op www.uitwiskeling.be vind je alle info.

V.U. Filip Moons - Ringlaan 40, 2600 Berchem | Vlaamse Vereniging WiskundeLeraars vzw - Bosveldstraat 7, 9230 Wetteren - filip@vvwl.be - 0744.492.222 - RPR, afdeling Dendermonde

44

JOHN CONWAY EN HET BEWIJS VAN MORLEYS MIRAKEL PAU L L E V R I E ,

FAC U LT E I T T O E G E PA S T E I N G E N I E U R S W E T E N S C H A P P E N , U N I V E R S I T E I T A N T W E R P E N

OP 11 APRIL BEZWEEK JOHN CONWAY AAN COVID-19. MET HEM VERDWIJNT EEN VAN DE ORIGINEELSTE WISKUNDIGEN VAN DE LAATSTE 100 JAAR. HIJ WERD 82. CONWAY IS VOORAL BEKEND ALS UITVINDER VAN THE GAME OF LIFE. HIJ WAS ACTIEF IN VERSCHILLENDE TAKKEN VAN DE WISKUNDE EN VERSCHILLENDE BEGRIPPEN IN DE WISKUNDE ZIJN NAAR HEM VERNOEMD. HIJ HEEFT OOK HEEL WAT WERK VERZET IN DE RECREATIEVE WISKUNDE. ZO IS BIJVOORBEELD DE VOLGENDE PUZZEL NAAR HEM VERNOEMD: MAAK VAN DEZE 9 STUKKEN EEN KUBUS.

Start met het getal 2. Zoek in bovenstaande lijstje naar een breuk die vermenigvuldigd met 2 een geheel getal oplevert (het is 15/2.) Neem nu dat gehele getal (15) en ga opnieuw op zoek in het lijstje naar de breuk die vermenigvuldigd met 15 een geheel resultaat geeft. Hou dit vol, tot je een macht van 2 uitkomt.

Dit is de Slothouber-GraatsmaConway-puzzel. De 5 x 5 x 5-versie is nog meer een uitdaging. En wie kent er niet zijn Look and Say-rij?

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, …

Conway heeft ook een algoritme bedacht dat alle priemgetallen genereert. Wat je ervoor nodig hebt, zijn de volgende 14 breuken:

De eerste macht van 2 (4, of 22) kom je tegen na 19 stappen. Ga op dezelfde manier verder. Vijftig stappen later heb je 23. Daarna komt 25, ongeveer 200 stappen verder. Er ontstaat een patroon: de exponenten zijn 2, 3, 5 … En we kunnen bewijzen dat dit een (weliswaar zeer omslachtige) manier is om alle priemgetallen te genereren.

45

In 2014 verscheen Conways bewijs van de trisectorstelling van Frank Morley, ook wel Morley’s Miracle genoemd, een eigenschap in een driehoek waar Morley in 1899 toevallig op botste.

Stelling van Morley Gegeven een willekeurige driehoek. Vanuit elk hoekpunt vertrekken er 2 rechten die die hoek in 3 gelijke delen verdelen, de trisectrices. Per paar hoekpunten bepalen we het snijpunt van de 2 trisectrices die het dichtst bij de zijde liggen die die 2 hoekpunten verbindt.

Deze 3 snijpunten vormen een gelijkzijdige driehoek, de driehoek van Morley.

Figuur 1 laat zien wat de stelling precies inhoudt. We starten met een willekeurige driehoek.

Figuur 1.

We verdelen elke hoek in drie gelijke delen. We tekenen dan de 6 rechten op de figuur en bepalen de 3 snijpunten die je aangeduid ziet op de figuur. Deze drie punten vormen steeds een gelijkzijdige driehoek, welke vorm de driehoek waarmee je start ook heeft.

verder ook een gelijkzijdige driehoek (zie driehoek bovenaan).

Deze eigenschap stond bekend als zeer moeilijk om te bewijzen. We laten zien hoe Conway het deed. Voor het bewijs gebruiken we wat elementaire meetkunde maar niet veel meer dan dat. O.a. de eigenschap dat de som van de hoeken van een driehoek gelijk is aan 180°.

We vertrekken van een willekeurige driehoek en noemen de hoeken , , . We verdelen elke hoek in drie gelijke delen, en we werken nu verder met de hoeken , , . Elk van deze hoeken stellen we voor met een kleur, de som ervan is dus 60°, wat te zien is op figuur 2. We nemen

Figuur 2.

Nu plaatsen we op de drie zijden van deze gelijkzijdige driehoek even grote gelijkzijdige driehoeken (figuur 3 bovenaan - de grijze driehoeken)

Figuur 3.

46

en we passen dan vanuit de hoekpunten van de gegeven gelijkzijdige driehoek de drie gekleurde hoeken af zoals op figuur 3 (onder). Door lijnen te verlengen krijgen we dan drie nieuwe driehoeken, het resultaat is te zien op figuur 4. Merk op dat de hoeken in de punten ook een kleur hebben gekregen. Voor de driehoek linksboven is dat blauw, want van deze driehoek kennen we twee hoeken, nl. groen + grijs en bruin + grijs. Maar grijs = 60째. En de som: (groen + grijs) + (bruin + grijs) + (nieuwe hoek) moet 180째 geven. Dat kan alleen indien de derde hoek gelijk is aan de blauwe hoek, want groen + bruin + blauw = 60째. Ook van de andere twee nieuwe driehoeken op de volgende figuur kennen we zo de derde hoek (zie figuur 4).

In een volgende stap halen we de nieuwe driehoeken linksboven en linksonder even uit de figuur, spiegelen ze om een van de zijden en leggen ze naast elkaar zoals op figuur 5.

Figuur 4.

Figuur 5.

Uit symmetrieoverwegingen volgt dadelijk dat deze twee driehoeken dezelfde hoogte hebben, en we kunnen ze dan ook over elkaar schuiven zoals onderaan te zien is. Merk op dat de tophoek van deze nieuwe driehoek gelijk zal zijn aan grijs +

bruin + grijs, want de drie hoeken geven samengeteld natuurlijk weer 180째. Je ziet dit links op de figuur (volg de pijl).

Het resultaat proberen we nu in te passen in de figuur die we al hadden.

Merk op dat de zijden die tegen elkaar moeten komen dezelfde lengte hebben (een gevolg van het spiegelen), maar de vraag is: past ook de hoek in het gat? We kunnen uitrekenen hoe groot het gat is, zie onderstaand detail van de vorige figuur 5:

Figuur 6.

47

Samen met de hoeken groen + grijs + wit + grijs + blauw moeten we aan 360° komen, en wit=grijs=60°. We hebben dus nog 120° + bruin tekort, of nog: grijs + bruin + grijs. Dus het past!

Precies dezelfde redenering laat ons toe de twee andere gaten in de figuur op te vullen (zie figuur 7).

Wat uiteindelijk leidt tot figuur 8.

En hiermee is de stelling bewezen: op de figuur zie je de willekeurige driehoek waarmee we gestart zijn en waarvan de hoeken in 3 gelijke delen verdeeld zijn.

Figuur 7.

OEFENING 6

Figuur 8.

A

6

B

7

D

9

E

10

C

8

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE VZW, EERSTE RONDE VWO 2020, VRAAG 6 Hoeveel congruente kubussen moet je minimaal aan de constructie toevoegen om de ruimtelijke kronkel te sluiten door de kubussen met de zijvlakken aan elkaar te kleven?

Op zoek naar

inspiratie voor je les?

Nando

Ook leken zien schoonheid in wiskunde

850000991

Kunnen leken wiskundige bewijzen beoordelen op schoonheid? En zijn ze met elkaar eens welke daarvan de mooiste zijn? Dat onderzochten twee hoogleraren. Benieuwd naar de resultaten van de studie? Lees dan zeker verder!

Wat is dat feestje?

Pi is dat feestje!

Hou je van wiskunde? Dan hou je van Maar op 14 maart is het pi-dag en viert iedereen het waardevolle 3,14 lekker mee.

Wiskunde met pit

16 gifs als hulpmiddel voor de les wiskunde !

Gifs zijn handig om wiskundige theorieĂŤn visueel weer te geven. Zo helpen ze de leerlingen om moeilijke materie vlotter te verwerken en beter te onthouden. En ze zijn natuurlijk ook gewoon leuk!

Ontdek hier 16 gifs voor de les wiskunde.

Leuke actie s, evenemente n, downloads en nog veel meer in spiratie vind je op www.educa tief. diekeure.be