Issuu

VECTOR MEI 2019 - nummer 5

Â© Shutterstock

TIJDSCHRIFT voor wiskundeonderwijs

10 HOE TEKEN JE EEN REGELMATIGE VEELHOEK? 23 GEOMETRISCHE LIJNTEKENINGEN WEGDROMEN BIJ WISKUNDE IN HET LANDSCHAP

Met medewerking van Uitwiskeling, VVWL (Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars), GeoGebra Instituut, Vlaamse Wiskunde Olympiade en Pythagoras

Vector5.indd 1

6/05/19 13:09

2 INHOUD

3 ALS ONZE PLANEET

DE VORM VAN EEN TORUS HAD

ANDRÉ STEEGMANS

PAUL IGODT, CHRISTOPHE SMET

MEER MELK IN DE 8 KOFFIE DAN KOFFIE IN DE MELK?

VECTOR

MICHEL ROELENS

Vector5.indd 2

GEOMETRISCHE 23 LIJNTEKENINGEN 27 WISKUNDE HOEFT

NIET SAAI TE ZIJN PLATFORM WISKUNDE VLAANDEREN

KEGELSNEDEN VOUWEN 29 JEANINE DAEMS

10 HOE TEKEN JE EEN

REGELMATIGE VEELHOEK? PAUL LEVRIE

37 WISKUNDE ACHTER

FOTOBEWERKING GERD HAUTEKIET, MICHEL ROELENS

OMTRENT 13 'ABSOLUTE WAARDE' LUC GHEYSENS, DANIËL TANT

19 HET BEGRIP ONEINDIG

IN DE CONTEXT VAN ONBEPAALDHEDEN LUC VAN DEN BROECK, ANNE SCHATTEMAN

WEGDROMEN BIJ WISKUNDE 42 IN HET LANDSCHAP GIOVANNI SAMAEY

44 VERALGEMENING

VAN DE STELLING VAN PYTHAGORAS … AD MESKENS

VECTOR 2e jaargang - nummer 5 REDACTIE Nicolas Ruys, Tom Harteel, Thomas D'Haeninck, Maaike Spanhove - die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge, educatief@diekeure.be EXTERNE AUTEURS die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met educatief@diekeure.be. VECTOR Vector is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in België. VERANTWOORDELIJKE UITGEVER die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge VORMGEVING EN DRUK Isabelle Tilleman - die Keure, Brugge REACTIES Al je reacties, suggesties en opmerkingen zijn welkom op educatief@diekeure.be

6/05/19 13:09

ALS ONZE PLANEET DE VORM VAN EEN TORUS HAD WE SCHRIJVEN 1852 WANNEER DE MORGAN, OP AANGEVEN VAN ZIJN STUDENT GUTHRIE, AANDACHT VRAAGT VOOR HET PROBLEEM OF EEN LANDKAART ALTIJD MET BEHULP VAN 4 KLEUREN ZÃ“ KAN GEKLEURD WORDEN DAT AANGRENZENDE LANDEN EEN VERSCHILLENDE KLEUR HEBBEN. DEZE VERWONDERING GENEREERDE GEDURENDE MEER DAN EEN EEUW EEN ZOEKTOCHT NAAR EEN BEWIJS, DAT UITEINDELIJK GEVONDEN WERD DOOR APPEL EN HAKEN IN 1976. HIEROVER HADDEN WE HET IN ONZE VORIGE BIJDRAGE. DAT DIEZELFDE VRAAG, MAAR VOOR EEN LANDKAART OP EEN PLANEET MET EEN ANDERE VORM, OOK TOT EEN ANDER ANTWOORD KON LEIDEN, KWAM ONGETWIJFELD NIET OP BIJ DE STELLERS ERVAN. IN DEZE BIJDRAGE TONEN WE DAT DE BOLVORM VAN ONZE PLANEET AARDE ER WEL DEGELIJK TOE DOET, EN DAT ER EEN VERBAND IS MET DE TOPOLOGISCHE EIGENSCHAPPEN VAN HET OPPERVLAK WAAROP DE LANDKAART GETEKEND WORDT. PAU L I G O D T E N C H R I S T O P H E S M E T

- KU LEUVEN CAMPUS KULAK

DE TORUS*, OOK WEL DONUT GENOEMD In de rest van deze bijdrage richten we onze aandacht op de torus. Dit is een omwentelingslichaam dat verkregen wordt door een cirkel te laten wentelen om een as, waarbij die as in het vlak van de cirkel ligt, maar de cirkel niet snijdt. Het resultaat hiervan geeft de vorm uit figuur 1 die meteen aan een donut doet denken.

Deze constructiewijze is echter niet de enige manier om een torus te verkrijgen. Een andere aanpak laat ons toe deze ruimtefiguur eenvoudig in een vlak voor te stellen. Hiervoor vertrekken we van een rechthoek, waarbij de vier zijden zijn gemarkeerd met een kleur en een pijl zoals in figuur 2. Deze markeringen geven identificaties weer: zo zijn de twee rode zijden eigenlijk gelijk. We mogen deze twee zijden dus samenbrengen door de blauwe zijden te buigen zoals in figuur 3.

Figuur 1 Een torus

Vector5.indd 3

Figuur 2 Startpunt

* Torus is de wiskundige naam voor een oppervlak met de vorm van een binnenband. Regelmatig hoor je ook spreken over een donut.

6/05/19 13:09

Figuur 3 Identificatie van de rode zijden

Figuur 5: Een pad op de torus

wereldkaarten) dan sta je meteen daarna niet plots op de Zuidpool!

Figuur 4 Identificatie van de blauwe zijden

Nu hebben we een cilinder, maar we moeten de twee blauwe zijden (dit zijn ondertussen cirkels geworden) nog identificeren. Dus buigen we de cilinder tot wanneer de twee blauwe cirkels samenvallen in figuur 4. Zo maak je dus een donut. Smakelijk! We werken voortaan met deze vlakke voorstelling, zolang we er maar rekening mee houden dat boven- en onderzijde gelijk zijn en dat linker- en rechterzijde gelijk zijn. Verderop bekijken we landkaarten op de torus. Hou er dus rekening mee dat, als je naar boven wandelt op deze vlakke voorstelling van de torus, je bij het overschrijden van de bovenkant meteen onderaan uitkomt en hetzelfde geldt voor links en rechts. Op de figuur zie je een pad op de torus dat achtereenvolgens de punten A, B, C en D aandoet. Dit is meteen al een verschil met de wereldkaart zoals wij die kennen van onze aardbol: als je daar de linkerkant bereikt en verder wandelt, kom je rechts uit; ga op een wereldkaart maar eens westwaarts vanuit Alaska. Maar bereik je de bovenkant (de Noordpool op onze

Vector5.indd 4

Toch is er ook een belangrijke overeenkomst tussen de bol en de torus: beide zijn ‘lokaal plat’, zoals dat in wiskundige termen heet. Intuïtief komt het erop neer dat, als je op een voldoende grote bol of torus staat (denk aan de aardbol), het oppervlak vlak lijkt te zijn. DE EULERKARAKTERISTIEK VAN EEN BOLOPPERVLAK Maar laten we eens op zoek gaan naar interessante verschillen tussen bol en torus, met in het achterhoofd de toepassing van het kleuren van landkaarten. In de vorige bijdrage bekeken we de Eulerkarakteristiek. Daartoe hadden we een landkaart op de bol overgezet naar een landkaart in het vlak en verder in een graaf. Dan volstaat het toppen, ribben en vlakken te tellen. Een alternatieve aanpak is te werken met een zgn. ‘triangulatie’ van bol en torus. Eenvoudig gesteld is een triangulatie een benadering van het oppervlak aan de hand van vlakke driehoekjes. Zo is een ietwat ruwe triangulatie van een boloppervlak bijvoorbeeld gegeven door een ingeschreven regelmatig viervlak of tetraëder (figuur 6). Om de Eulerkarakteristiek χ te berekenen hebben we het aantal toppen (t) nodig, het aantal zijvlakken (z) en het aantal ribben (r).

6/05/19 13:09

Zo vinden we eenvoudig dat

Meer algemeen is elk convex veelvlak dat je kan inschrijven in de bol, en dat driehoekjes als zijvlakken heeft, een triangulatie van de bol. De icosaëder of het regelmatig twintigvlak is er bijvoorbeeld ook zo een; je kan narekenen dat ook hier de Eulerkarakteristiek gelijk is aan 2. Het verrast misschien, maar tegelijk is het een van die wondermooie resultaten: de Eulerkarakteristiek blijkt niet af te hangen van de triangulatie die men kiest! Bovendien geldt dit niet enkel voor het boloppervlak, maar voor elk oppervlak.

Nu kunnen we ook een triangulatie van de torus tonen. Een bekende en nog behoorlijk eenvoudige triangulatie wordt gegeven in figuur 8. Zoals bij elk oppervlak wordt de Eulerkarakteristiek berekend door toppen (t), ribben (r) en zijvlakjes (z) . In deze te tellen, en geldt de formule triangulatie vinden we de 9 toppen (A tot en met I), de 27 ribben (tel je ook zelf even!) en de 18 driehoekige zijvlakjes, zodat

Welke triangulatie van een torus men ook neemt, steeds weer vinden we Eulerkarakteristiek 0. Een essentieel verschil met het boloppervlak, dat nog op andere manieren kan uitgelegd worden trouwens. Net zoals bij de toppen in een vlakke graaf (zie onze bijdrage in het vorige nummer van Vector), kan men voor de toppen een valentie bepalen. De valentie van genoteerd, is het aantal ribben dat in een top , die top samenkomt. De som van de valenties van alle toppen in een triangulatie noteren we dan als . Omdat in een triangulatie alle zijvlakjes driehoekig zijn (en dus 3 toppen hebben), en alle ribben 2 toppen aandoen, vinden we dat

Figuur 6: Een tetraëder als triangulatie van een bol

DE EULERKARAKTERISTIEK VAN EEN TORUS Bijgevolg geldt voor een triangulatie van de torus dat en dus dat . De “gemiddelde valentie” van een top in een triangulatie van de torus is dus gelijk aan

(de som van alle valenties, gedeeld door het aantal toppen). Figuur 7: De icosaëder heeft twintig driehoeken als zijvlakken.

Vector5.indd 5

6/05/19 13:09

Figuur 8: Triangulatie van een torus: links de vlakke voorstelling, rechts de figuur in de ruimte

In elke triangulatie van een torus moet er bijgevolg een top zijn met valentie hoogstens 6, dit wil zeggen met hoogstens 6 toppen als buren. Merk op: in onze vorige bijdrage, over landkaarten in het vlak (of op een boloppervlak), vonden we het bestaan van een top met valentie hoogstens gelijk aan 5. KLEUREN VAN EEN LANDKAART OP EEN TORUS Ook bij het kleuren van kaarten kunnen we inzien dat een torus verschillend is van een boloppervlak. Het is immers helemaal niet zo moeilijk om een landkaart te bedenken die niet kan gekleurd worden zoals gewenst met slechts 4 kleuren. Het kleuren van landkaarten zó dat aangrenzende landen een verschillende kleur krijgen, hangt bijgevolg ook af van de vorm van het oppervlak waarop de landkaart thuishoort, net zoals de Eulerkarakteristiek daarmee verband houdt. noteren voor Laat ons hier even afspreken dat we χ het aantal kleuren nodig om een landkaart, gelegen op een oppervlak met Eulerkarakteristiekχχ , te kleuren zoals het hoort. Reeds op het einde van de 19de eeuw kon Heawood1 expliciet een verband aantonen tussen χ enχχ . Hij gebruikte daarvoor informatie over de maximale valen-

Vector5.indd 6

tie van een top in een triangulatie van het oppervlak. In 1890 kon hij aantonen dat

en hij formuleerde zelfs een conjectuur dat dit om een gelijkheid zou gaan2. Voor een landkaart op een boloppervlak was de hypo, wat veel later (ruim 80 jaar!) these dus dat correct bleek. Met enorm veel computer-rekenwerk kon men aantonen dat de onvermijdbare configuraties (waar 5 kleuren aangewezen leken) telkens konden weggereduceerd worden. Voor een landkaart op een torusoppervlak zegt het resultaat van Heawood dat er hoogstens 7 kleuren nodig zijn, en dat was ook zijn hypothese. Pas in 1968 konden Gerhard Ringel3 en Ted Youngs4 aantonen dat die hypothese, op één enkele uitzondering na, juist was. De torus was niet de uitzondering, en bijgevolg zijn er ook effectief 7 kleuren nodig. Inderdaad, het blijkt niet zo heel moeilijk om ook aan te tonen dat zelfs 6 kleuren niet volstaan. Figuur 9 illustreert dit. In die figuur zien we zeven landen, waarbij elke twee verschillende landen aan elkaar grenzen. Ze hebben dus allemaal

6/05/19 13:09

Figuur 9: Alle kleuren voor deze landkaart op de torus zijn nodig.

een verschillende kleur nodig op de torus-wereldkaart. Houd in gedachten dat de linker- en rechterzijde geïdentificeerd moeten worden, net als de boven- en onderzijde. Hierdoor vormen bijvoorbeeld de vier rode gebieden wel degelijk één aaneengesloten land.

OPDRACHTEN VOOR DE KLASPRAKTIJK 1. Controleer nogmaals de Eulerkarakteristiek voor het boloppervlak aan de hand van de icosaëdertriangulatie. 2. Kan je intuïtief verklaren waarom er meer kleuren nodig zijn om de landkaart te kleuren op een torus dan op een bol? 3. Bij een “dubbele torus” zijn er als het ware twee “gaten” of “handvatten”. De Eulerkarakteristiek hiervan is -2. Gebruik het vermoeden van Heawood om te berekenen hoeveel kleuren je maximaal nodig hebt om een landkaart op dit oppervlak te kleuren. 4. (Pittig) Kan je een landkaart op zo'n ’dubbele torus’ verzinnen waarbij je dit aantal kleuren nodig hebt? Tip: start met de landkaart met zeven kleuren op de torus uit Figuur 9. Door een extra ring te maken die start en eindigt op twee drielandenpunten op deze kaart, kan je zo een dubbele torus maken die je niet met zeven kleuren kan inkleuren. 1 2 3 4

Percy John Heawood, 1861-1955, was een Brits wiskundige. Als x een reëel getal is, dan is x het grootste geheel getal dat kleiner of gelijk is aan x. Gerhard Ringel, 1919-2008, een Duits wiskundige John William Theodore Youngs, 1910-1970, een Amerikaans wiskundige

VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE VZW, EERSTE RONDE JWO 2019, VRAAG 10 Vul in elk hokje van de tectonic-puzzel een geheel getal in zo dat elke tegel met n hokjes de gehele getallen van 1 tot en met n bevat. Twee hokjes met gelijke getallen mogen geen zijde en geen hoekpunt gemeen hebben. Welk getal staat er in de rechterbovenhoek van deze tectonic? A

Vector5.indd 7

OEFENING

6/05/19 13:09

8 UITWISKELING

MEER MELK IN DE KOFFIE DAN KOFFIE IN DE MELK? MICHEL ROELENS

- R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

Hij en zij op een terrasje. Hij bestelt een kop melk, zij een kop koffie. Identieke kopjes, tot op eenzelfde hoogte gevuld. Hij doet één lepel van zijn melk in haar koffie. Roert. Zij doet daarna één lepel van haar koffie in zijn melk. Roert. Zit er meer melk in haar koffie dan koffie in zijn melk? Of minder? Of juist evenveel?

Onlangs stelde ik dit probleem in een paar klassen van de eerste en de tweede graad waar ik toezicht hield. Het had effect: ik kon hen een half uur lang van hun werk afhouden (of beter: van het gebruikelijke tijdverIies tijdens zo’n studie-uurtje?). We waren het er snel over eens dat beschouwingen over “de melk of de koffie die aan het lepeltje blijft plakken” niet weerhouden werden, evenmin als “het feit dat zowel de koffie als de melk voor een deel uit water bestaan”. “Een wiskundelepel” en “wiskundekoffie” zo vatte Staf het geïdealiseerde karakter van het probleem samen.

een mengsel bevat.” Brahim: “Maar van die volle lepel melk is een beetje teruggekeerd. Meer koffie in de melk dus!” Tibo: “Neen ik denk juist even veel!” We kwamen er niet uit. “Laten we het gewoon uitrekenen”, stelde Aline voor. Ik had geen bezwaar. Er volgde een berekening zoals hieronder. Veronderstel dat er juist 10 lepels in één kopje gaan. Eerst: - in zijn kopje: 10 lepels melk (LM) - in haar kopje: 10 lepels koffie (LK). Vervolgens (1 LM uit zijn kopje in haar kopje): - in zijn kopje: 9 LM - in haar kopje: 1 LM+10 LK. Nu gaat 1 lepel terug. Deze lepel . bevat

Tibo had dus gelijk: juist evenveel melk in de koffie als koffie in de melk! Ik stelde voor om het eens te tekenen. Hierbij namen we aan dat er juist 4 (reuzen)lepels in een kopje gaan. Het resultaat vind je op de volgende bladzijde. Achteraf gezien was het niet nodig te rekenen en te tekenen. Vermits de kopjes in het begin en op het einde even vol zijn, kan het niet anders dan dat de netto hoeveelheid melk in de koffie gecompenseerd wordt door de hoeveelheid koffie in de melk… Maar goed dat dit argument niet meteen in het begin uit de bus gekomen was, anders hadden die leerlingen gewoon studie gehad! Deze bijdrage verscheen in Uitwiskeling 19/4. Benieuwd naar meer? Op www.uitwiskeling.be vind je alle info.

Dit geeft ten slotte: - in zijn kopje:

in haar kopje:

Eva wist het (te?) snel: “Meer melk in de koffie, want de lepel melk bevat zuivere melk terwijl de lepel koffie

Vector5.indd 8

6/05/19 13:09

OEFENING VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE VZW, EERSTE RONDE JWO EN VWO 2019 Een bezige bij legt in haar honingraat de getallen a, b, c, d, −b, −a. Verder komt in elk vakje de som van de twee aangrenzende onderliggende vakjes. Welk getal komt er op de plaats van het vraagteken?

a + b + 3c + 3d

a + b + 6c + 6d

3a + 3b + 6c + 6d

3a + 3b + 10c + 10d

10c + 10d

Vector5.indd 9

6/05/19 13:09

HOE TEKEN JE EEN REGELMATIGE VEELHOEK? NU EN DAN KRIJG IK DE VRAAG VAN EEN COLLEGA: HOE GING DAT NU WEER, ZO’N CONSTRUCTIE VAN EEN REGELMATIGE VIJFHOEK? MEESTAL GEVEN DE REGELMATIGE DRIEHOEK, DE VIERHOEK (VIERKANT), EN DE ZESHOEK GEEN PROBLEEM: DAARVAN HERINNERT MEN ZICH WEL HOE HET GING. PAU L L E V R I E

- FAC U LT E I T T O E G E PA S T E I N G E N I E U R S W E T E N S C H A P P E N , U N I V E R S I T E I T A N T W E R P E N

elke regelmatige veelhoek, en die je niet meer vergeet. En zo’n methode bestaat.

Figuur 2

Figuur 1

Hierboven zie je hoe het kan voor de regelmatige vijfhoek. Het gaat hier om een beroemde, zeer oude en exacte constructie met passer en liniaal, die we al terugvinden in boek I van Ptolemaeus’ Almagest (tweede eeuw - in figuur 2 zie je een detail van een oude kopie). Er is ook zo’n constructie voor de regelmatige zeventienhoek (met dank aan C. F.

Vector5.indd 10

Gauss), maar ik ben er bijna zeker van dat niemand die uit het hoofd kan gebruiken. Voor de construeerbare veelhoeken zijn alle bekende methodes ook anders, dus het is te begrijpen dat je dat niet kan onthouden. Maar is een exacte constructie altijd wel nodig? Van het ogenblik dat je de veelhoek begint te tekenen met een niet-perfect geslepen potlood is het exact-zijn ver zoek. Kortom, er is nood aan een benaderende constructie die werkt voor

In figuur 3 geven we de constructie voor een zevenhoek. We vertrekken hiervoor van een lijnstuk (stel van lengte 7) dat in 7 gelijke delen is verdeeld (in de figuur horizontaal, met de blauwe punten). (1) We construeren een cirkel met dit lijnstuk als diameter, en tekenen door het middelpunt een verticale rechte, de middelloodlijn van de twee eindpunten van de diameter. (2) We passen m.b.v. een cirkel de diameter af op de verticale rechte (cirkel in rode streepjeslijn met middelpunt het rode punt). (3) We verbinden het snijpunt van de rode cirkel en de verticale rechte met het punt op de diameter dat 2 eenheden links van het middelpunt ligt (het groene punt in de figuur). Deze rechte snijdt

6/05/19 13:09

omwerken vind je de formule onder figuur 4. In de tabel staan voor een aantal waarden van n de exacte en de benaderende hoek in radialen.

Voor n = 12 is er nog een verrassing, dan vinden we de exacte waarde. Blijkbaar is het dus zo dat χ

Merk op dat we de bovenstaande uitdrukking voor kunnen benaderen voor grotere waarden van n. Precies daarom hebben we de formule in deze vorm geschreven. We weten namelijk dat de sinus en de tangens van een kleine hoek ongeveer gelijk zijn aan de hoek zelf, en dat geldt dus ook voor Bgtan en Bgsin: zo vinden we voor ‘grote’ n Figuur 3

met

de cirkel onderaan in een punt. Hiermee vind je een van de zijden van de zevenhoek. De methode bij een n-hoek is precies dezelfde, en steeds wordt het punt van de diameter 2 eenheden links van de verticale gebruikt. Het is een interessante oefening op driehoeksmeting om na te gaan hoe goed deze benadering wel is. We zullen de berekeningen doen voor een willekeurig n-hoek. Hiervoor maken we de tekening opnieuw. We geven hierbij enkele tips hoe je te werk gaat: (1) In de rode rechthoekige driehoek berekenen. kan je (2) In de groene driehoek kan je dan berekenen m.b.v. de sinusregel. Hiermee vinden we de hoek die een benadering zou moeten zijn voor . Mits wat (minder aangenaam)

Vector5.indd 11

Figuur 4

benaderd

exact

1,57080

1,24568

1,25664

1,03894

1,04720

0,89227

0,89759

0,69623

0,69813

0,37034

0,36961

0,27399

0,27318

257

0,02455

0,02445

Wat weten we over de nauwkeurigheid van deze benadering (zie ook de tabel)? De absolute fout op de hoek is steeds kleiner dan 1%, behalve voor de vijfhoek. Het blijkt zelfs zo te zijn dat de relatieve fout nooit groter is dan 0,9%. Wat niet zo slecht is. Historische noot Deze methode dateert uit 1853, en wordt de constructie van Tempier genoemd. M. Tempier was onderdirecteur van de Christelijke Scholen van Montpellier op het moment dat zijn methode gepubliceerd werd in het tijdschrift Nouvelles Annales de Mathématiques (Division pratique de la circonférence en parties égales). Je kan het artikel online vinden. In

6/05/19 13:09

feite is het een verbeterde versie van een nog oudere constructie die de methode van Bion genoemd wordt. N. Bion was Ingenieur du Roy pour les Instrumens de Mathematique. Hij beschreef deze methode in zijn boek Traité de la Construction et des principaux Usages des Instrumens de Mathematique Avec les Figures necessaires pour l’intelligence de ce Traité dat gepubliceerd werd in 1709. De twee methodes liggen heel dicht bij elkaar. Zo ging het bij Bion: zie figuur 5 en 6. Hij gebruikt telkens het tweede punt van links op de diameter. Rechts zie je de figuur voor de vijfhoek uit het boek van Bion (één van de figuren noodzakelijk om de zaak te begrijpen).

Figuur 5

De methode van Bion is veel nauwkeuriger voor kleine waarden van n. Vanaf n = 8 kan je beter de methode van Tempier gebruiken. Meer hierover kan je lezen in dit artikel, dat je online kan vinden: Pedro J. Freitas & Hugo Tavares, Dividing the Circle, The College Mathematics Journal 49, 3 (2018) pp. 187–194.

OEFENING VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE VZW, TWEEDE RONDE JWO 2019, VRAAG 21 Twee cirkels met middelpunt M hebben straal 1 en straal 2. In de figuur is 30 % van de oppervlakte van de grootste cirkel gekleurd. Hoe groot is de hoek AMB? A

22,5°

30°

36°

40°

45°

Figuur 6 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Vector5.indd 12

6/05/19 13:09

13 WISKUNDE & ONDERWIJS

OMTRENT 'ABSOLUTE WAARDE' ALS JURYLEDEN VAN DE VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE ZIJN WE TELKENS WEER VERWONDERD OVER HET FEIT DAT MEERKEUZEVRAGEN WAARIN DE ABSOLUTE WAARDE VAN REËLE GETALLEN OPDUIKT, DOOR HEEL WAT LEERLINGEN FOUTIEF WORDEN BEANTWOORD. VIA DEZE BIJDRAGE WILLEN WE DAAROM DE FUNCTIE 'ABSOLUTE WAARDE' EN HAAR EIGENSCHAPPEN EVEN IN DE KIJKER PLAATSEN. L U C G H E YS E N S - DA N I Ë L TA N T

We herinneren ons de definitie van de absolute waarde van een reëel getal:

Uit deze definitie leid je onmiddellijk de volgende eigenschap af Eig. 1:

De afstand tussen twee getallen en op de reële , zodat men in feite kan rechte is gelijk aan tot . Hiermee verifiinterpreteren als de afstand van eer je gemakkelijk de volgende twee eigenschappen. Eig.7: Eig.8:

4 2

Kan je nu ook (door gebruik te maken van de definitie) de volgende eigenschappen bewijzen? Eig. 2: Eig. 3: Eig. 4: Eig. 5: Eig. 6:

Vector5.indd 13

Wat lastiger om te bewijzen zijn de zogenaamde driehoeksongelijkheid en verwante ongelijkheden. Voor het bewijs ervan verwijzen we bijvoorbeeld naar [1]. Eig. 9: (driehoeksongelijkheid) Eig. 10: Eig. 11: Eig. 12:

De functie 'absolute waarde' is gedefinieerd door het voorschrift

6/05/19 13:09

of door

en heeft de volgende grafiek (figuur 1). Het is welbekend dat deze functie wel continu maar niet differentieerbaar is in 0. Voor het schetsen van de grafiek van een functie of een relatie waarbij in het voorschrift de absolute waarde van de variabele voorkomt, werkt men dus best met 'gevalonderscheiding'. We illustreren dit met een concreet voorbeeld.

Figuur 1

MEERKEUZEVRAAG (VWO 1987-1988, EERSTE RONDE VRAAG 7) Ziehier de grafische voorstelling van een relatie in

Het voorschrift van deze relatie is A

OPLOSSING

Je kunt starten vanuit de gegeven grafiek zonder naar de mogelijke antwoorden te kijken. is de grafische voorstelling deze van de Voor rechte met vergelijking

Je kunt nu nog even jouw kennis testen aan de hand van een bijkomende oefening.

OEFENING

Beschouw de functie en voor is de grafische voorstelling deze van de rechte met vergelijking . Dit wordt samengevat door te stellen dat zodat (B) de juiste oplossing is.

ALTERNATIEVE OPLOSSING

Vermits de grafische voorstelling symmetrisch is ten opzichte van de -as, kunnen enkel de alternatieven (B) en (E) de juiste oplossing geven. Voor is zodat (E) niet in aanmerking komt.

Vector5.indd 14

met als voorschrift

1. Bepaal het domein en het bereik van . . 2. Bepaal de asymptoten van en toon aan 3. Bepaal de eerste afgeleide van monotoon stijgend is. dat 4. Waarom kan je hieruit besluiten dat ?

6/05/19 13:09

De absolute waarde of modulus van een complex getal is gedefinieerd door .

Meetkundig gezien is dit de afstand in het complexe vlak van het complex getal tot de oorsprong. Kan je hiermee de volgende vraag oplossen ?

MEERKEUZEVRAAG (VWO 1987-1988, TWEEDE RONDE VRAAG 21) voldoet aan Het complex getal Wat is dan ? A

100

D 208

169

289

OPLOSSING

Zij . . We zoeken Uit volgt dan dat en en dus . , zodat Hieruit volgt dat juiste antwoord is (E).

of . Het

ALTERNATIEVE OPLOSSING

In het complexe vlak zijn en vectoren met . dezelfde lengte waarvoor Dus vormen – zoals aangegeven op de figuur hiernaast en de hoekpunten van een ruit. – De diagonalen van een ruit delen elkaar middendoor en staan loodrecht op elkaar.

De diagonaal van en coëfficiënt

naar heeft als richtingsals midden.

en heeft De andere diagonaal gaat door als richtingscoëfficiënt. Hieruit volgt dat deze diagonaal de reële as snijdt . Omdat op de reële as ligt, in het punt of . geldt dus

Voor het oplossen van vergelijkingen waarin de absolute waarde van de onbekende voorkomt, werk je best met 'gevalonderscheiding'. We illustreren dit met een voorbeeld.

Vector5.indd 15

6/05/19 13:09

MEERKEUZEVRAAG (VWO 1986-1987, EERSTE RONDE VRAAG 16) Hoeveel reële oplossingen heeft de vergelijking A

OPLOSSING

De nulwaarden van en pectievelijk

D 4

• , en zijn reszodat je hiermee de reële •

as kunt opdelen in vier gebieden, waarin je telkens het bestaan van een oplossing van de gegeven vergelijking moet controleren. : de vergelijking wordt met als oplossing

•

: de vergelijking wordt en heeft geen oplossing. : de vergelijking wordt en heeft ook geen oplossing. Het juiste antwoord is bijgevolg (B).

Wie ten slotte op zoek is naar bijkomend oefenmateriaal, zal ongetwijfeld aan zijn trekken komen met de onderstaande 'absolutewaardequiz'.

: de vergelijking wordt

•

met als oplossing

DE ABSOLUTEWAARDEQUIZ © Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. De vragen komen uit het rijk gevulde archief van de Vlaamse Wiskunde Olympiade. Op het einde van de vragenreeks staan de juiste antwoorden.

VRAAG 1

(VWO 2001-2002, EERSTE RONDE VRAAG 14) De functie A

Vector5.indd 16

heeft als grafiek B

6/05/19 13:09

VRAAG 2

(VWO 2002-2003, EERSTE RONDE VRAAG 27) ,

Beschouw de drie functies A

. Dan geldt

VRAAG 3

(VWO 2003-2004, EERSTE RONDE VRAAG 27)

De grafiek van de functie

VRAAG 4

(VWO 2004 - 2005 -TWEEDE RONDE-VRAAG 12) ,

Wat is de honderdste term in de rij A

D 100

,…?

5050

VRAAG 5

(VWO 2005 - 2006 - EERSTE RONDE -VRAAG 21)

De oplossingenverzameling van het stelsel A

VRAAG 6

(VWO 2005 - 2006 - EERSTE RONDE-VRAAG 21) Wat is het product van alle reële oplossingen van de vergelijking A

Vector5.indd 17

-15

-8

-3

D 5

6/05/19 13:10

VRAAG 7

VRAAG 8

(VWO 2006 - 2007 - EERSTE RONDE -VRAAG 6) De som van de oplossingen van

(VWO 2007 - 2008 - EERSTE RONDE-VRAAG 13) is

voldoen aan

Hoeveel drietallen ?

D -6

-1

0 A

D 6

VRAAG 9

(VWO 2008 - 2009 - EERSTE RONDE - VRAAG 18) De oplossingenverzameling in A

van

VRAAG 10

(VWO 2005 - 2006 - EERSTE RONDE -VRAAG 11) is gelijk aan

Het getal A

CORRECTE ANTWOORDEN: Vraag 1: A - Vraag 2: A - Vraag 3: C - Vraag 4: A - Vraag 5: C Vraag 6: A - Vraag 7: E - Vraag 8: E - Vraag 9: D - Vraag 10: A

UITSMIJTER: "It is easy to make things complicated, but complicated to make things easy." (N.N.)

Luc Gheysens <lucgheysens@yahoo.com> Populierenlaan I0, 8520 Kuurne ere-pedagogisch adviseur wiskunde DaniÃ«l Tant <tant.daniel@telenet.be> Beekstraat 61, 8730 Oedelem, is gewezen hoofdredacteur van Wiskunde & Onderwijs.

Uit: Wiskunde & Onderwijs, tijdschrift VVWL. Meer info over Wiskunde & Onderwijs vind je op www.vvwl.be

Vector5.indd 18

BRONNEN 1.

F. Brackx en H. De Schepper, Wiskundige Analyse I, faculteit ingenieurswetenschappen, Ugent, http://cage.ugent.be/-l b/waVeerste_hoofdstuk/ eerste_hoofdstuk_syllabus_wal_070813.pdf V. Vandewalle, D. Tant e.a, Richting Analyse A, De Nederlandse Boekhandel, Uitgeverij Pelckmans, Kapellen.

6/05/19 13:10

19 UITWISKELING

HET BEGRIP ONEINDIG IN DE CONTEXT VAN ONBEPAALDHEDEN L U C VA N D E N B R O E C K , A N N E S C H AT T E M A N

Het begrip ‘oneindig’ heeft verschillende facetten, die we heel regelmatig in onze wiskundelessen tegenkomen. Die verschillende betekenissen kunnen heel verwarrend zijn voor de leerlingen. ‘Oneindig binnen wiskunde’ heeft ook weinig te maken met het woordgebruik in onze dagelijkse taal. Om misconcepties en spraakverwarringen te vermijden, kan het daarom zinvol zijn om even stil te staan bij het begrip oneindig wanneer de gelegenheid zich aandient. Een mogelijke invalshoek situeert zich in de analyse van het vijfde jaar. De leerlingen hebben in de tweede graad al kennis gemaakt met asymptoten van standaardfuncties. Dit was een bewuste opstap naar het invoeren van het begrip oneindig in het vijfde jaar. Bij deze benadering verschijnt oneindig niet als een kardinaalgetal maar wel als een limiet van een rij of van een functie. Telkens wanneer het begrip oneindig in deze context gebruikt wordt, denken we nu aan bijvoorbeeld of aan . In deze interpretatie krijgen uitdrukkingen als een heel andere betekenis dan bijvoorbeeld in het verhaal van het hotel van Hilbert.

Vector5.indd 19

- R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

In de context van limieten betekent deze gelijkheid dat voor willekeurige en geldt dat: rijen

maar ook aan de bewerkinaan , en . Hun waarde gen hangt af van de keuze van de rijen en of van de keuze van de functies en . We noemen deze bewerkingen niet gedefinieerd of onbepaald.

en dat voor willekeurige reële functies en geldt dat :

Om volledig te zijn, merken we op dat er ook nog onbepaalde uitdrukkingen bestaan waarin de en oneindige grootheden hun hoofdrol afstaan aan het getal 0. Het zijn de uitdrukkingen , . De eerste van deze onbepaaldheden is de belangrijkste. Ze duikt op bij de afgeleide in een punt (als limiet van een differentiequotiënt).

. Deze dynamische interpretatie leidt zoals tot rekenregels met

maar ook tot rekenregels met zoals

ONBEPAALDHEDEN Heel wat bewerkingen met oneindigheden kunnen niet eenduidig geïnterpreteerd worden vanuit deze invalshoek. We denken hier in de en eerste plaats aan

Voor de meeste leerlingen is het zeer moeilijk onbepaaldheden te onderscheiden van bepaaldheden zoals , , en . Daarom moeten we voldoende aandacht besteden aan de intuïtieve voorspelling van de mogelijke waarden van allerhande onbepaaldheden (zie verderop). In een volgende fase moeten de leerlingen ook onbepaaldheden kunnen aantonen via een geschikte keuze van rijen of functies (zie verderop).

6/05/19 13:10

INTUÏTIEVE BENADERING VAN ONBEPAALDHEDEN We focussen ons nu even op de . onbepaaldheid Deze uitdrukking is voorlopig niet gedefinieerd. Telkens wanneer er in het verleden nieuwe getallen werden ingevoerd, werd er over gewaakt dat de rekenregels zo goed mogelijk in overeenstemming waren met bestaande definities en rekenregels. Ook nu moeten we een definitie voor kiezen die compatibel is met gekende rekenregels. Als je de leerlingen vraagt om een afspraak voor te stellen die hieraan voldoet, kan je ruwweg drie antwoorden verwachten. 1. Voor een willekeurig reëel getal geldt dat . Als we deze rekenregel uitbreiden naar oneindigheden, zou de afspraak zeer verantwoord kunnen zijn. , 2. De rekenregel die geldig is voor willekeurige reële getallen , zou ook uitgebreid kunnen worden naar oneindige getallen. Op deze manier zou de uitdrukking als nieuwe rekenregel ingevoerd kunnen worden. 3. Een andere rekenregel die de leerlingen kennen, is Deze regel geldt enkel voor reële getallen maar niets belet ons om hem te verbreden naar oneindigheden. Er zijn dus ook argumenten om als nieuwe rekenregel te aanvaarden. Deze drie voorstellen zijn even waardevol. Bij zulke dilemma’s (in dit geval

Vector5.indd 20

trilemma’s) spreken wiskundigen van een onbepaaldheid. Om dubbelzinnigheden te vermijden moet binnen de notatie berekeningen vermeden worden. Een andere manier om de onbete laten paaldheid aanvoelen is de visuele. Op de afbeeldingen hieronder zie je de grafieken van functies en zo dat

In het voorbeeld van figuur 2 kunnen de leerlingen argumenteren dat tot de mogelijkheden behoort. De functies en gaan beide naar voor groeiende -waarden. Maar stijgt vanaf een de grafiek van bepaalde -waarde veel sneller dan die van . Hierdoor zal de ‘verticale tussenafstand’ tussen beide grafieken oneindig groot worden.

. Je kunt de leerlingen vragen welke waarde ze verwachten voor en waarom.

Figuur 2

Figuur 1

en De grafieken van de functies in figuur 3 vertonen geen schuine asymptoten. De beide grafieken gaan wel naar oneindig voor groter wordende -waarden, zij het op een schommelende wijze.

In het voorbeeld van figuur 1 kunnen de leerlingen aflezen dat . Hiervoor kunnen ze de volgende intuïtieve argumenten aanvoeren. Hoe wordt, hoe groter de waarde van meer de (raaklijnen aan de) grafieken parallel lijken te lopen. De grafieken en stijgen na verloop van tijd even snel want de asymptoten van deze twee functies zijn evenwijdig. Deze asymptoten hebben een ‘verticale tussenafstand’ gelijk aan 2.

Figuur 3

Ook in dit voorbeeld kunnen de leerlingen een uitspraak doen over de limiet van de verschilfunctie. De ‘verticale tussenafstand’ tussen de grafieken lijkt hier stilaan naar een

6/05/19 13:10

constante waarde te streven. Daarom kunnen de leerlingen in dit geval vermoeden dat gelijk is aan een constante (in de buurt van 0,5). Het voorbeeld van figuur 4 heeft iets weg van het tweede voorbeeld. De ‘verticale tussenafstand’ tussen de beide grafieken wordt oneindig groot. Echter, de rollen van de en zijn hier omgewisfuncties seld. Hierdoor besluiten we dat .

overige onbepaaldheden uitbesteden als werk voor thuis. Hieronder zie je enkele invullingen van de onbepaaldheid in het kader van veeltermfuncties. Elke limietberekening heeft een ander resultaat. 1. Beschouw de functies en . Door de hoogstegraadseentermfunctie onder de loep te nemen, vinden we dat: en . De verschilfunctie van deze twee functies is een constante functie: . In dit voorbeeld is de limiet van de verschilfunctie: .

Figuur 4

Een gelijkaardige intuïtieve aanpak kan gevolgd worden voor alle andere onbepaaldheden. Let op bij de onbe. De formulering van paaldheid dit trilemma is iets moeilijker onder woorden te brengen. BENADERING VAN ONBEPAALDHEDEN MET RIJEN EN FUNCTIES Algebraïsch argumenteren dat een bepaalde uitdrukking met oneindigheden onbepaald is, is een vaardigheid die mooi aansluit bij de calculus in de derde graad. Je kunt best één onbepaaldheid samen met de leerlingen uitwerken, , en de bijvoorbeeld

Vector5.indd 21

en 2. Kiezen we de graden van ongelijk dan krijgen we een ander resultaat. Stel bijvoorbeeld dat en dan vinden we: en

Na dit klassikale voorbeeld is het voor de leerlingen niet erg moeilijk meer onbepaald om aan te tonen dat is. Ze kunnen opnieuw veeltermfuncties kiezen voor en . Door te spelen met de graden van deze veeltermfuncties, vinden ze al snel verschillende limieten voor de quotiëntfunctie . zal welVoor de onbepaaldheid licht gebruik gemaakt worden van de die naar rationale functie gaat voor naar . Misschien moet er wel een handje toegestoken worden bij de onbe. Goede keuzes voor de paaldheid en kunnen gevonden functies worden bij de exponentiële functies, vb: en met 1. 2. 3.

. De verschilfunctie heeft nu als voorschrift waaruit we afleiden dat . en 3. Indien we de rollen van . omkeren, d.w.z. als en dan vinden we nog steeds dat: en .

De hoogstegraadsterm leert ons dat: .

. Ditmaal is de functie .

en en

met met

De onbepaaldheid geeft de leerkracht de mogelijkheid de leerlingen kennis te laten maken met het getal e, dat hier als een limiet geïntroduceerd wordt. In de onderstaande voorbeelden zullen algebraïsche technieken vaak niet meer volstaan om de limiet te berekenen. Een numerieke benadering met de zakrekenmachine is hier aangewezen. Alleen het derde voorbeeld hieronder kan uitgewerkt worden zonder gebruik te maken van de zakrekenmachine.

6/05/19 13:10

OEFENING

en met

Het kan geenszins de bedoeling zijn dat de leerlingen deze voorbeelden uit het hoofd leren. Het doel is wel de inventiviteit en het inzicht van de leerlingen te prikkelen, zo dat ze zelf in staat zouden zijn snel onderscheid te maken tussen bepaaldheden en onbepaaldheden.

VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE VZW, EERSTE RONDE VWO 2019, VRAAG 6 Tien muntstukken liggen in een patroon zoals in de tekening links. Wat is het kleinste aantal muntstukken dat je moet verplaatsen om de muntstukken in het patroon te leggen zoals in de tekening rechts?

ÂŠ Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

met

BRONNEN Aigner, M., Ziegler, G. (2013). Raisonnements divins, Springer-Verlag, France, 49-55. Barrow, J.D. (2005). The infinite book. London: Vintage books. Burger, E.B., Starbird M. (2005). The Heart of Mathematics. Key College Publishing. Kindt M. (2008). Wat 40 keer te bewijzen is. Freudenthal Instituut, Utrecht, 79-81 Lamua A. (2013). Het boek der oneindigheid. Kerkdriel: Librero b.v. van den Broek L., van Rooij A. (2007). Blik op oneindig. Zebra-reeks. Utrecht: Epsilon Uitgaven.

Deze bijdrage verscheen in Uitwiskeling 31/1 als deel van een artikel over het begrip oneindig. Op www.uitwiskeling.be vind je meer info.

OEFENING VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE VZW, TWEEDE RONDE VWO 2019, VRAAG 11 Kleine zus speelt in een ballenbad met 110 rode, 120 gele en 140 blauwe ballen. Zonder te kijken neemt ze een aantal ballen uit het bad. Hoeveel ballen moet ze minstens nemen om zeker te zijn dat er 113 van dezelfde kleur bij zijn? A

Vector5.indd 22

322

326

335

337

339

ÂŠ Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

6/05/19 13:10

GEOMETRISCHE LIJNTEKENINGEN GESLOTEN LIJNEN IN EEN REGELMATIG PATROON ANDRÉ STEEGMANS

In 1958, in het vierde leerjaar, bracht onze meester een puntenrooster op het bord aan, tekende er dit lijnpatroon tussen terwijl wij toekeken, wiste ze vervolgens (gedeeltelijk) uit en vroeg wie het lijnverloop kon herstellen. Wonderwel waren er meerdere leerlingen die daarin slaagden. Later heb ik die oefening talloze malen herhaald tijdens vervangingsopdrachten: de vele geslaagde

uitvoeringen wezen erop dat leerlingen spontaan de regels volgden die nodig zijn om de beweging toe te passen. Zonder uitleg, gewoon door te kijken. Dit ontwerp blijkt een Kolam te zijn. Indische meisjes leerden ze met kalk of rijstpoeder strooien door te kijken hoe hun moeder het deed. Een levendige traditie, die in ook Angola (Afrika) bestaat onder de naam Lusona, en in Malekula (Oceanië)

Figuur 2 Donau (6000 v.C.)

Figuur 1 Kolam

Vector5.indd 23

Figuur 7 Ur (2600 v.C.)

Figuur 3 Ur (3500 v.C .)

als Nitus. En zelfs hier werden, tot in 1948, dergelijke tekeningen gestrooid onder de noemer ‘boerinnenkunst’. Wanneer we ook de lijnpatronen van de Inca's en Navaho, inheemse volkeren van vóór de westerse veroveringen, bij dit verhaal betrekken, wordt duidelijk dat we spreken over een geografisch én historisch wijdverspreide "wiskunst". Een andere vorm van deze geometrische kunst die ons bekend is, zijn

Figuur 4 Figuur 5 Elam (3400 v.C.) Jordaan (3300 v.C.)

Figuur 8 Figuur 9 Indus (2600 v.C.) Nippur (2500 v.C.)

Figuur 10 Mesopotamië (2250 v.C.)

Figuur 6 Nijl (2600 v.C.)

Figuur 11 Byblos (2000 v.C.)

6/05/19 13:10

de Keltische en Longobardische vlechtbanden. Beide verschenen véél complexer dan deze in Romeinse mozaïeken. Ook in de Griekse cultuursfeer waren vele motieven bekend, en nog meer in de Egyptische. Uit archeologisch onderzoek blijken de oudste uitvoeringen vooral voor te komen in het Tweestromenland. (zie figuur 2 tem 11) Het patroon in figuur 15 werd terug-gevonden op een kleistempel in Lagash, gedateerd op 2355 v.C. De vergevorderde complexiteit ervan veronderstelt een lange voorgeschiedenis en ‘professionele’ ontwikkeling. Door wie en waarom is dan de vraag. (zie figuur 15) De Afrikaanse en Oceanische uitvoerders hadden, naar eigen zeggen, een ‘geheime’ opleiding genoten en mochten oorspronkelijk niet zomaar voor iedereen hun rituele tekeningen uitvoeren, net zoals de ingewijden in Griekse en eerdere ‘mysterie-scholen’ geheimhouding verplicht waren.

Figuur 15 Kleistempel in Lagash

Vector5.indd 24

Historisch is ons daarover (uiteraard?) weinig bekend. Als de oefeningen ook in het zand gebeurden, dan is er archeologisch weinig van terug te vinden. Werden er toch tekeningen uitgevoerd in het openbaar, dan was dat een overtreding, dus door een ‘onvolmaakte’. Een vierkantennetwerk van 4 op 7 inpassen op een gegeven oppervlakte is moeilijker dan datzelfde rooster los uitzetten in het zand. Dan maar zonder raster het schuine lijnenpatroon uitkappen in een steen? Nog moeilijker. En verder geldt nog de wet van degeneratie: wanneer deze patronen decoratief toegepast worden (in traditie of door niet-opgeleiden), gaat het inzicht in de geometrische wetmatigheden verloren. Met deze problemen heeft de steenhouwer gekampt die in 9000 v.C. (!) een regelmatig lijnpatroon wilde

uitkappen in een T-pilaar in wat nu “Göbekli Tepe” heet. (zie figuur 16 en 17) Niet alleen is het rooster schuin, de aanliggende diagonaal gerichte lijnen zijn aan de buitengrenzen met elkaar verbonden door middel van bogen of lussen. Niet allemaal, soms onduidelijk, maar op verschillende plaatsen duidelijk aantoonbaar. Het rooster is evenmin perfect, er is mee ‘geknoeid’. Maar het geheel is niet zomaar kriskras. Als we het patroon onder de loep nemen, dan vallen toegepaste regels op (algoritmen). Als je die consequent volgt, leidt dat tot volgende idealisering. (zie figuur 18) BESPREKING Graag zou ik willen overleggen met deskundige wiskundigen en kunstenaars om deze persoonlijke mening toe te lichten en te beoordelen. Als de hier voorgestelde interpretatie aannemelijk (b)lijkt, zou dit namelijk betekenen dat de oorsprong van de geometrie verschoven kan worden naar de neolithische revolutie, zo'n 11.000 jaar geleden.

Figuur 16 T-pilaar in Göbekli Tepe

6/05/19 13:10

A. Seidenberg noemt in The ritual origin of geometry de cirkel en het vierkant sacrale figuren die door priesters bestudeerd werden voor dezelfde reden als ze de sterrenhemel bestudeerden. We zouden vanuit ons huidig standpunt kunnen zeggen: om inzicht te verkrijgen in ruimte-tijdrelaties.

Figuur 18 idealisering van de figuur in Göbekli Tepe

Een van de middelen daartoe was allicht het ontwerpen van vlechtbanden: vele ervan zijn (variaties van) Lissajous-figuren. Die ontstaan door interactie van twee harmonische trillingen binnen een vierkantig coördinatenstelsel. Of: golfbewegingen in een rechthoekig rooster.

D.J. Struik licht in zijn Geschiedenis van de wiskunde toe dat de neolithische mens een levendig gevoel voor meetkundige patronen ontwikkelde, met een versterking van het gevoel voor vlakke en ruimterelaties, met veel congruentie, symmetrie en gelijkvormigheid.

Na de verbanning uit het paradijs (waar de mens nog opgenomen was in de goddelijk-magische sfeer, toen de dieren nog konden praten) moest de mens leren op eigen voeten te staan op aarde en ontwikkelde landbouw en verstand. We kunnen een parallel trekken met

de ontwikkelingsfase van het kind, op het ogenblik dat ze niet meer in sprookjes en Sinterklaas geloven. Is er een samenhang met het feit dat heel wat kinderen vanaf dan zo graag deze figuren tekenen? Leerlingen die op deze manier kennismaken met geometrie blijken er plezier in te beleven, zelfs als ze beweren “niks met wiskunde” te hebben. De kans dat deze liefde langer zal duren is mogelijk, het kan zich voortzetten in het secundair onderwijs. Daar kunnen we alleen maar blij om zijn.

Figuur 19 Lemniscaat

OEFENING EINDELOZE LIJNEN IN EEN REGELMATIG NETWERK We zetten een reeks punten uit (op gelijke afstanden) in rechthoekige schikking (rijen en kolommen). Tussen deze punten trekken we een schuine lijn (45°) en buigen aan de grens recht de hoek om (90°) naar de aansluitende diagonale richting.

Figuur 20

Vector5.indd 25

6/05/19 13:10

Zo slalommen wij over het hele puntenrooster, tot we aansluiten bij het begin. Er ontstaat één doorlopend pad. Binnengrenzen in het puntennetwerk (keerlijntjes) plaatsen we zodanig dat een regelmatig, symmetrisch patroon ontstaat. Belangrijk voor de leerlingen zijn de twee fasen van de oefening: - Eerst construeren ze zelf de geometrische omkadering (puntenrooster en keerlijntjes in symmetrisch patroon)

BRONNEN Quenet, P (2007). Un sceau-cylindre inédit de Tell Khuera (Syrie du nord) et sa place au sein de la glyptique géométrique du bronze ancien en Mésopotamie. In Revue d'assyriologie et d'archéologie orientale 2007/1 - Vol. 101. Presses Universitaires de France. Geraadpleegd op https:// www.cairn.info/revue-d-assyriologie2007-1-page-3.htm

Figuur 21

- Daarbinnen wordt volgens bepaalde regels vrij en speels rondbewogen, algoritmisch. Verstand en gevoel komen samen in de uitvoering.

In de etnische tradities blijkt het steeds weer belangrijk te zijn dat de beweging rustig maar zonder aarzeling wordt uitgevoerd, in één keer, zonder onderbreking. De voorkeur gaat uit naar één doorgaande lijn.

Tuffnell, O en Ward, A (1966). Relations between Byblos, Egypt and Mesopotamia at the end of the third millenium B.C. A Study of a Montet Jar. In Syria. Archéologie, Art et histoire. Geraadpleegd op http://www.persee.fr/web/revues/ home/prescript/article/syria_00397946_1966_num_43_3_5872

Legrain, L (1936). Ur excavations. v.3 ; Publications of the Joint Expedition of the British Museum and of the University Museum, University of Pennsylvania, Philadelphia, to Mesopotamia. London, Oxford University Press. Geraadpleegd op http://digital.library.stonybrook.edu/ cdm/ref/collection/amar/id/37360 Website Göbekli Tepe Info, http:// gobeklitepe.info/wp-content/uploads/ Gobeklitepe_Galeri_007.jpg

VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE VZW, TWEEDE RONDE VWO 2019, VRAAG 15 Van welke kubus kan dit de ontvouwing zijn?

Vector5.indd 26

OEFENING

6/05/19 13:11

27 PLATFORM WISKUNDE VLAANDEREN

WISKUNDE HOEFT NIET SAAI TE ZIJN ONZE HOOGTECHNOLOGISCHE SAMENLEVING STEUNT ENORM OP NIEUWE ONTWIKKELINGEN IN SCIENCE, TECHNOLOGY, ENGINEERING & MATHEMATICS, KORTOM STEM. OP 14 MAART, ∏-DAG, STELDE EEN GROEP WISKUNDIGEN HET WISKUNDEPLATFORM VOOR WAARIN ALLE FANS EN BEOEFENAARS VAN DE WISKUNDE ZICH VERENIGEN. HET STEM-PLATFORM, EEN ADVIESORGAAN VAN DE VLAAMSE OVERHEID TER ONTWIKKELING VAN DE WETENSCHAP, DE TECHNOLOGIE, DE ENGINEERING EN DE WISKUNDE, STEUNT DEZE OPRICHTING VOLMONDIG.

Zelfrijdende auto’s? Robotisering? Smartphones? Onze voedselveiligheid monitoren? Artificiële intelligentie? Technologische innovatie steunt in grote mate op ontdekkingen in de wetenschap. Maar wist u ook dat wiskunde cruciaal is voor elk van die systemen?

WWW.PLATFORMWISKUNDE.BE

Vector5.indd 27

“De Vlaming is al langer overtuigd van het grote belang van wetenschap en techniek voor onze toekomstige welvaart. Maar de belangrijke rol van de wiskunde raakt soms wat ondergesneeuwd in het oerwoud van zichtbare toepassingen”, zegt Françoise Chombar, CEO van Melexis en voorzitter van het STEM-platform. “Alle kinderen en jongeren moeten STEM-inzichten geïntegreerd kunnen gebruiken, maar dat veronderstelt

6/05/19 13:11

vertrouwdheid met alle STEMdisciplines — zeker ook met de M in STEM: wiskunde.”

14 maart is π-dag (want Amerikanen schrijven 14/3 als 3/14 en dat zijn de eerste cijfers in de decimale ontwikkeling van π = 3,14159…).

Toch kampt de wiskunde vandaag met verschillende uitdagingen, en dit ondanks haar grote belang. “De arbeidsmarkt smeekt om afgestudeerden uit STEM-studierichtingen met een sterke wiskundecomponent”, stelt Fons Leroy, gedelegeerd bestuurder van de VDAB en lid van het STEM-platform. Onderwijsexperte Rita Dunon, vult aan: “Het schoolvak wiskunde wordt niet altijd als aantrekkelijk ervaren. Het tekort aan leerkrachten wiskunde groeit alarmerend. En onder de wiskundeleerkrachten die er zijn, is er geen eensgezindheid over de rol van wiskunde in STEM-onderwijs.” Ingenieur Paul Bertels: “Ook de vertaling van nieuw ontwikkelde wiskunde naar STEM-innovatie in de industrie kan vlotter.”

Een groep Vlaamse wiskundigen koos deze hoogdag van de wiskunde om een nieuw initiatief voor te stellen: het verenigen van de hele wiskundige gemeenschap in een Platform Wiskunde Vlaanderen. “Onder die vlag kunnen de onderwijssector, bedrijfs- en academische wereld samen timmeren aan een sterkere wiskunde”, zegt Ann Dooms, professor digitale wiskunde aan de VUB en een van de initiatiefnemers. “Dit nog op te richten platform kan een aanspreekpunt worden voor iedereen, van journalisten tot het bedrijfsleven. Maar het kan ook overeenstemming zoeken over relevante kwesties, bijvoorbeeld een gezamenlijke visie ontwikkelen over de plaats van wiskunde binnen STEM-onderwijs.”

“Gezien de belangrijke rol van wiskunde in STEM, is het STEM-platform alvast enthousiast”, zegt Guy Tegenbos, journalist en ondervoorzitter van het STEM-platform. “We zijn heel blij met dit initiatief om de Vlaamse wiskunde te versterken! Binnen het STEM-platform hebben we allemaal de missieverklaring van het Platform Wiskunde Vlaanderen massaal ondertekend. Hopelijk komt het er en dan kijken we uit naar een intense en vruchtbare samenwerking.” De missieverklaring, te vinden op www.platformwiskunde.be, werd ook ondertekend door o.a. de vijf Vlaamse rectoren, Frank De Winne, Charissa Parassiadis (gekend als Slongs), Jef Colruyt en Robbert Dijkgraaf. Ook de hoofden van de voornaamste onderwijskoepels Lieven Boeve en Raymonda Verdyck zetten al hun handtekening.

VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE VZW, KANGOEROE, EDITIE WALLAROE 2019, VRAAG 10 Lieve lost de rekenpuzzel juist op. Welk getal vult ze in op de plaats van het vraagteken?

Vector5.indd 28

OEFENING

6/05/19 13:11

29 PYTHAGORAS

KEGELSNEDEN VOUWEN ELLIPSEN, PARABOLEN EN HYPERBOLEN ZIJN MOOIE FIGUREN DIE IN DE NATUUR VOORKOMEN. DENK MAAR AAN EEN STEEN DIE DOOR DE LUCHT VLIEGT, OF EEN KOMEET DIE OM DE ZON BEWEEGT. IN DE TECHNIEK WORDEN DEZE VORMEN VEEL TOEGEPAST BIJ ANTENNES EN CONCERTZALEN. WIST JIJ DAT JE ZE GEWOON KAN VOUWEN UIT EEN STUK PAPIER? J E A N I N E DA E M S

MIDDELLOODLIJN Dit hele artikel is gebaseerd op een belangrijk begrip, namelijk afstand. We zoeken steeds punten die even ver van bepaalde andere objecten af liggen. Laten we simpel beginnen. Pak een vouwblaadje en teken twee stippen erop. Doe dat een beetje dik, zodat je de stippen ook aan de achterkant kunt zien. Nu maak je een rechte vouw door de ene stip precies op de andere stip te leggen en dan je blaadje plat te vouwen. Vouw je blaadje weer open. Wat zie je nu? Niet iets heel bijzonders: gewoon een rechte vouw, met aan weerszijden de twee stippen. Als je de vouw als spiegellijn ziet, zijn de stippen precies elkaars spiegelbeeld. We noemen de stippen waarmee je begon even punt S en punt T, om er makkelijker over te kunnen praten. Wat voor lijn is die vouw? Daarvoor kan het helpen om met een potlood de twee stippen te verbinden, je tekent dus lijnstuk ST. Als je ST meet, zul je zien dat de vouwlijn lijnstuk ST precies in twee gelijke stukken opdeelt. Bovendien zie je dat de hoek tussen lijnstuk ST en de vouwlijn recht is. Met andere woorden: de vouwlijn is de middelloodlijn van ST (zie figuur 1). Kies nu vijf verschillende punten op die vouwlijn. Meet voor elk van die punten twee afstanden op: de afstand van het punt tot S en de afstand van het punt tot T. Wat valt je op?

Vector5.indd 29

Figuur 1

Als je netjes gevouwen en goed gemeten hebt, zul je ontdekt hebben dat voor alle punten op de vouwlijn geldt dat de afstand tot S gelijk is aan de afstand tot T. We kunnen de middelloodlijn dan ook op twee manieren beschrijven: • de middelloodlijn van een lijnstuk AB is de lijn die AB middendoor deelt en loodrecht op AB staat; • de middelloodlijn van een lijnstuk AB bestaat precies uit alle punten die even ver van A als van B af liggen.

6/05/19 13:11

BISSECTRICES De middelloodlijn krijg je dus door te kijken welke punten gelijke afstand hebben tot twee gegeven punten. Laten we nu in plaats van naar gegeven punten eens kijken naar twee lijnen. Neem een nieuw vouwblaadje en vouw er twee willekeurige rechte lijnen in die elkaar snijden. Die twee vouwen noemen we lijn l en lijn m. Welke punten op het vouwblaadje liggen even ver van l als van m af? Daar kunnen we eenvoudig achter komen: maak een vouw door lijn l en lijn m op elkaar te leggen en je blaadje plat te vouwen. Let op: dat kan op twee manieren, kies er om te beginnen één. Als het goed is, gaat de vouw door het snijpunt van l en m (zie figuur 2). Pak weer je geodriehoek. Je vouw loopt nu door twee van de vier hoeken die l en m met elkaar vormen. Meet de hoek die l en m daar vormen, en meet ook de hoeken tussen l en de vouwlijn en tussen m en de vouwlijn. Je ziet dan dat de vouwlijn de hoek tussen l en m precies in twee gelijke hoeken verdeelt. Deze vouwlijn is dus de bissectrice (deellijn).

lijn m. Je moet wel een beetje opletten: de afstand van een punt tot een lijn is de kortste weg! Je moet dus meten in de richting die loodrecht op lijn l of m staat. EEN BEETJE FLAUW… We weten nu dat de punten die gelijke afstand tot twee gegeven punten hebben de middelloodlijn vormen, en punten die gelijke afstand tot twee snijdende lijnen hebben de bissectrices. Hoe zit het in dit laatste geval als de gegeven lijnen elkaar niet snijden? De enige mogelijkheid is dan dat ze evenwijdig lopen, en het is eenvoudig te zien welke lijn je dan krijgt als je ze op elkaar vouwt: nog een evenwijdige lijn midden tussen de twee lijnen in. Die lijn heet de middenparallel.

Maar liggen de punten van de bissectrice inderdaad even ver van beide lijnen af? Dat kun je ter controle even meten. Kies daarom weer een willekeurig punt op de vouwlijn en meet de afstand van zo’n punt tot lijn l en de afstand tot

DE EERSTE KEGELSNEDE Pak nu een cirkelvormig vouwblaadje (te koop bij hobbywinkels, of knip zelf een cirkel uit een stuk papier). Teken nu ergens op het vouwblaadje een stip. Het is het leukst als je die niet te dicht bij het middelpunt van de cirkel kiest. Maak de stip niet al te dik, want dan kun je het nauwkeurigst vouwen. Kies nu een willekeurig punt op de rand van de cirkel, leg dat punt op de getekende stip en maak de vouw die je dan krijgt (zie figuur 3). Vouw de vouw weer open, zodat je weer een cirkel hebt. Kies vervolgens nog een een stuk of tien punten op de rand van de cirkel en vouw die één voor één op dezelfde manier op de

Figuur 2

Figuur 3

Vector5.indd 30

6/05/19 13:11

getekende stip. Vouw wel telkens je blaadje weer open voor je een nieuwe vouw maakt. (Je hoeft niet te tekenen welke punten op de rand je gebruikt hebt, het gaat om de vouwen.) Wat voor figuur vormen al die vouwen als je dit voor een heleboel punten gedaan hebt? Je blaadje ziet er dan bijvoorbeeld uit als in figuur 4, afhankelijk van waar je de stip hebt getekend. Je ziet dat rond de getekende stip een gebiedje leeg blijft, begrensd door de gemaakte vouwen. En dat gebiedje heeft een soort ovaalvorm, die minder hoekig lijkt naarmate je meer vouwen hebt gemaakt. De vouwen benaderen samen een ellips. Een echte ellips heeft geen hoeken, maar een mooie, vloeiende rand. Wat is een ellips dan precies, wiskundig gezien? Er zijn verschillende manieren om een ellips te definiĂŤren. De definitie die het beste bij het vouwen past is deze: Gegeven zijn een cirkel c en een punt P binnen die cirkel. Dan bestaat de ellips uit alle punten S waarvoor geldt: de afstand van S tot P is gelijk aan de afstand van S tot de cirkel.

Figuur 4

Vector5.indd 31

We gaan proberen zoâ€™n punt te construeren. Maar dan moeten we eerst bedenken hoe we de afstand van een punt tot een cirkel kunnen bepalen. In het plaatje ligt punt R in de cirkel (maar voor ons argument maakt het eigenlijk niet uit of R binnen of buiten de cirkel ligt). We zoeken dus de kortste weg van R naar de cirkel. Je gevoel zegt waarschijnlijk: dat lijntje moet loodrecht op de cirkel staan. Maar wat betekent loodrecht bij een gebogen lijn? Als we een raaklijn aan de cirkel tekenen, moet ons lijntje loodrecht op die raaklijn staan. Dat lijntje is precies een straal van de cirkel (het lijnstuk tussen het raakpunt en het middelpunt van de cirkel; zie figuur 5). Even terug naar onze vouwlijnen. We hadden al gezien dat de vouw die je krijgt als je twee punten op elkaar vouwt, de middelloodlijn is. De vouw is hier dus de middelloodlijn van lijnstuk PQ (zie figuur 6). Welk punt van onze vouw ligt nu echt op de ellips? Voor dat punt geldt dat de afstand van S tot P gelijk is aan de afstand tot de cirkel. Daarom tekenen we de straal die door ons punt Q gaat, zoals in het plaatje te zien is. S is het snijpunt van de straal met de vouwlijn. En nu geldt dat SQ = SP, omdat S op de middelloodlijn ligt, maar ook is de lengte van lijnstukje SQ gelijk aan de afstand van S tot de cirkel, omdat SQ op een straal ligt. Dus SP is gelijk aan de afstand van S tot de cirkel, met andere woorden: S ligt op de ellips (zie figuur 7).

Figuur 5

6/05/19 13:11

Figuur 7

DE TWEEDE KEGELSNEDE Hetzelfde principe kunnen we natuurlijk toepassen op andere figuren. Wat zou er bijvoorbeeld gebeuren als onze getekende stip niet binnen maar buiten de cirkel ligt? Neem nu een gewoon vouwblaadje en teken daar met je passer een cirkel (c) op. Teken ook een stip P buiten de cirkel; het handigste is om P op de rand van het vouwblaadje te kiezen. Je moet nu alleen een beetje opletten: we zoeken weer de punten S waarvoor geldt dat de afstand van S tot P gelijk is aan de afstand van S tot de cirkel.

Figuur 6

In figuur 8 is de hele ellips getekend tussen de vouwlijnen. De vouwlijnen (middelloodlijnen) raken aan de ellips. Het punt P is een brandpunt van de ellips en de cirkel c is de zogeheten richtcirkel. Het middelpunt van c is het andere brandpunt van de ellips. Wanneer we om punt P een cirkel met dezelfde straal tekenen als cirkel c en als brandpunt punt M nemen, krijgen we namelijk precies dezelfde ellips.

Dat betekent dat je wel steeds het dichtstbijzijnde punt van de cirkel moet kiezen. Als je een lijn trekt vanuit punt P, heeft die lijn soms twee snijpunten met de cirkel. Dan moet je dus het snijpunt met de cirkel kiezen dat het dichtst bij P ligt. Als je vanuit P de twee raaklijnen aan de cirkel tekent, zijn de enige voor ons interessante punten van de cirkel die punten die precies binnen de raaklijnen vallen (de gekleurde punten in figuur 9). Als je nu punten kiest in het blauwe deel van de cirkel en P op die punten vouwt, krijg je vouwlijnen die samen een soort boog vormen. De vouwlijnen benaderen nu samen een hyperbool (zie figuur 10 en 11).

Aan het begin schreven we dat het het leukst was als je punt P niet te dicht bij het midden van de cirkel koos. Wat voor bijzondere ellips krijg je als je punt P wĂŠl in het midden van de cirkel kiest?

Wat is dan eigenlijk een hyperbool? We kunnen de hyperbool op een soortgelijke wijze definiĂŤren als de ellips, het enige verschil is dat het punt nu buiten de cirkel ligt:

Figuur 7

Figuur 8

Vector5.indd 32

6/05/19 13:11

Figuur 9

Figuur 12

Gegeven zijn een cirkel c en een punt P buiten die cirkel. Dan bestaat de hyperbool uit alle punten S waarvoor geldt: de afstand van S tot P is gelijk aan de afstand van S tot de cirkel.

Figuur 10

Het punt P heet het brandpunt van de hyperbool en de cirkel c heet de richtcirkel. En welk punt van zoâ€™n vouwlijn ligt nou precies op de hyperbool? Ook dat gaat op dezelfde manier: bekijk het punt Q van de cirkel waar je P op gevouwen had. Het gezochte punt S moet op de middelloodlijn van PQ liggen, en even ver van punt P als van de cirkel. Dus SQ moet ook de afstand van S tot de cirkel zijn. Dat betekent, net als bij de ellips, dat S op de lijn ligt die vanuit het middelpunt van de cirkel door Q loopt (zie figuur 12). Als we de hele hyperbool tekenen, ziet die er uit als in figuur 13. We hebben het woord hyperbool eigenlijk een beetje slordig gebruikt. Wat we nu getekend hebben heet een hyperbooltak, want bij deze hyperbooltak hoort nog een stuk. Als je het middelpunt van c als brandpunt neemt en punt P als middelpunt van de richtcirkel (met dezelfde straal als cirkel c), dan krijg je nog een hyperbooltak, die het spiegelbeeld is van de eerste tak. Samen vormen ze de hele hyperbool (zie figuur 14).

Figuur 11

Vector5.indd 33

6/05/19 13:11

vel papier een punt P, redelijk dicht bij een van de zijden. Die zijde gaat onze lijn l zijn. Kies nu een willekeurig punt Q op lijn l en vouw dat punt op punt P; dat betekent dus weer dat we de middelloodlijn van PQ vouwen (zie figuur 15). Doe dat voor een stuk of tien verschillende punten Q op de lijn l. Welke figuur lijken de vouwlijnen te vormen? Wat je krijgt ziet er ongeveer uit als de kromme in figuur 16. Die lijkt op een boog die je al wel kent: de parabool. Op deze manier komen we bij een mogelijke definitie voor de parabool:

Figuur 13

Gegeven zijn een lijn l en een punt P buiten die lijn. Dan bestaat de parabool uit alle punten S waarvoor geldt: de afstand van S tot P is gelijk aan de afstand van S tot de lijn l. Weer zijn de vouwlijnen de raaklijnen aan de parabool. Hoe kunnen we nu de echte punten van de parabool zelf vinden? We doen eigenlijk precies hetzelfde als bij de ellips en de hyperbool. Je kiest een willekeurig punt Q op de lijn l. De kortste afstand van een willekeurig punt naar lijn l is nu het lijnstuk dat je krijgt als je vanuit dat punt een loodlijn op l trekt. We zoeken nu dus in feite het snijpunt S van de loodlijn vanuit Q met de middelloodlijn op PQ. Dan geldt namelijk dat PS = QS, omdat S op de middelloodlijn ligt, en ook is QS gelijk aan de afstand van S tot l, omdat QS loodrecht op l staat. Dus S ligt op de parabool (zie figuur 17). Als we nu alle punten van de parabool tekenen, krijg je figuur 18. Het punt P waarmee je was begonnen heet weer het brandpunt en lijn l heet de richtlijn van de parabool. Waarschijnlijk ken je de parabool al als grafiek van een kwadratische functie.

Figuur 14

DE DERDE KEGELSNEDE We hoeven natuurlijk niet per se naar een punt en een cirkel te kijken. We gaan nu hetzelfde idee toepassen op een rechte lijn l en een punt P daarbuiten. Teken op een

Vector5.indd 34

6/05/19 13:11

Figuur 15

Figuur 17

Vector5.indd 35

Figuur 16

Figuur 18

6/05/19 13:11

De punten op gelijke afstand van de twee objecten vormen... punt

lijn

cirkel

punt

middelloodlijn

parabool

ellips (punt binnen de cirkel) of hyperbool (punt buiten de cirkel)

lijn

parabool

bissectrices (bij snijdende lijnen) of middenparallel (bij evenwijdige lijnen)

parabool

cirkel

ellips (punt binnen de cirkel) of hyperbool (punt buiten de cirkel)

parabool

ellips (als de ene cirkel binnen de andere ligt), hyperbool (als de ene cirkel (deels) buiten de andere ligt) of middelloodlijn (als ze even groot zijn)

Wat we in dit artikel hebben besproken, staat samengevat in dit schema. Ook vakjes die we niet onderzocht hebben (lijn - cirkel, cirkel - cirkel) zijn ingevuld. Voor die vakjes helpt het om te bedenken dat je een cirkel soms als een ‘groot punt’ kunt beschouwen.

Uit: Pythagoras (www.pyth.eu)

OEFENING

Vector5.indd 36

VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE VZW, KANGOEROE, EDITIE WALLAROE 2019, VRAAG 3 Sug legt 3 kubussen op tafel. Op die kubussen plaatst hij 2 cilinders. Op die cilinders plaatst hij 1 kubus. Welke toren is van Sus?

6/05/19 13:11

37 UITWISKELING

WISKUNDE ACHTER FOTOBEWERKING DE MEESTE MENSEN BEWERKTEN AL WEL EENS DIGITALE FOTO’S MET HUN SMARTPHONE OF COMPUTER. ER ZIJN VEEL MOGELIJKHEDEN OM BEELDEN AAN TE PASSEN: FOTO’S DRAAIEN, RETOUCHEREN, HET CONTRAST VERHOGEN, DE OMTREK SCHERPER MAKEN … HOE DOET ZO’N BEELDVERWERKINGSPROGRAMMA DAT? WELKE WISKUNDE WORDT HIER GEBRUIKT? G E R D H AU T E K I E T, M I C H E L R O E L E N S

Bekijk de zwart-witfoto van de kat (figuur 1). We zoomen in op het oog. De pixels worden zichtbaar en worden omgezet in een rooster van getallen die de grijswaarden bepalen. Een digitale afbeelding is dus een raster van getallen. Hierop kunnen we makkelijk rekenkundige operaties en transformaties toepassen. (Voor kleurenfoto’s zijn er drie rasters nodig: één voor rood, één voor groen en één voor blauw.) De helderheid kun je aanpassen door bij alle getallen een getal bij te tellen of af te trekken. Een foto kun je 90° draaien door in de matrix van de rijen kolommen te maken die, weliswaar, in een andere volgorde staan. Een foto kun je bijsnijden door een deel van de getallen te laten vallen … Het gaat zelfs nog verder. De getallen en hun onderlinge verbanden laten toe om te ontdekken dat er iets

Vector5.indd 37

- R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

niet klopt met het beeld. Zo kun je bijvoorbeeld te weten komen of een foto gefotoshopt is. Soms zijn er meer subtiele zaken aan de gang: door het aanbrengen van kleine wijzigingen in de pixelwaarden kunnen filmdistributeurs boodschappen meegeven waarmee illegale kopieën kunnen worden opgespoord, maar ook terreurorganisaties verzenden op deze manier in videoboodschappen geheime plannen mee. Stap mee in de wereld van de digitale wiskunde!

Voor de volgende lesactiviteit hebben we ons gebaseerd op en gebruik gemaakt van de Duitse katern Kern e.a. (2015). Het was deze katern die ons op de idee voor dit artikel bracht. De lesactiviteit past in de tweede graad, in de context van functies. Je kunt de vragen gebruiken als Figuur 1 leidraad bij Getallenraster achter een foto. een klassikale bespreking of je kunt ze aan de leerlingen geven als zelfstandig door te nemen werktekst.

6/05/19 13:11

B E G I N L E S AC T I V I T E I T

ZWART-WIT EN GRIJSTINTEN 1 Kleur elk vakje dat een stukje lijn bevat zwart. Opdracht 1 is een eenvoudige opdracht vergelijkbaar met wat de computer op het beeldscherm ook doet. Normaal zie je dit niet omdat de pixels zo klein zijn. Door in te zoomen, zie je dit wel. Je kunt de opdracht iets complexer maken door elk vakje in te kleuren rekening houdend met hoe goed de lijn in elk vakje ligt. Hoe meer de lijn het vakje bedekt, hoe donkerder het vakje wordt. De computer doet dit met tussenstappen of grijswaarden tussen wit en zwart. De computer zet deze grijstinten om in helderheidsgetallen, meestal tussen 0 en 255. (Met 8 bits kun je 28 of 256 verschillende binaire getallen vormen.) De waarde 0 komt overeen met zwart en 255 met wit. Hoe helderder de grijstint, hoe groter het toegekende getal. Om de berekeningen te vereenvoudigen, herschalen wij voor de opdrachten hieronder het interval [0,255] naar het interval [0,1]. Dit rekent gemakkelijker en is ook gemakkelijker te interpreteren, bv. 0,3 betekent dan 30% helderheid. In werkelijkheid werkt de computer met discrete getallen, maar voor het gemak nemen we aan dat alle reĂŤle waarden van [0,1] kunnen voorkomen. De grijswaarden zijn dus getallen uit het interval [0,1]. Een zwart-witfoto is dus een rooster met getallen die grijswaarden voorstellen.

3 Zoek ook het verband tussen de waardentabel en de twee andere beelden. Welke bewerkingen uit je fotobewerkingsprogramma komen hiermee overeen? 4 Zet in de volgende voorbeelden de grijstinten van de strookjes om in getallen. Koppel eerst de verschillende mogelijke waarden aan een grijstint door pijltjes te trekken. Vul vervolgens de lege vakjes links in met de juiste getallen uit het interval [0,1]. Opgelet: wit is 1, d.w.z. dat lichtere grijstinten hogere getallen moeten krijgen!

TRANSFORMATIES We weten nu hoe een computer een beeld met grijswaarden voorstelt. Maar wat gebeurt er wanneer hij een beeld transformeert? We starten met het transformeren van grijswaardenstrookjes en werken nadien verder met het transformeren van beelden. In de figuur wordt het onderste strookje, het teststrookje, getransformeerd in het bovenste. Wiskundig gezien, worden de grijstinten van het onderste strookje ingevuld in een transformatie en zo ontstaan de waarden van het nieuwe strookje. De transformatie is dus een functie die toekent. aan elke grijswaarde een grijswaarde

2 Rechts zie je drie beelden. Welk beeld hoort bij de tabel met getallen?

Vector5.indd 38

6/05/19 13:11

5 Welke functie zit achter voorgaande transformatie? Een echte zwart-wit foto heeft uiteraard meer dan elf verschillende grijstinten. Dus de getallen van 0 tot 1 met stapjes van 0,1 voldoen niet. In principe zouden alle getallen uit het interval [0,1] als grijswaarde in een afbeelding kunnen voorkomen, maar met een computer blijft het aantal tinten altijd beperkt.

6 Bepaal de transformatie die de onderste teststrook omvormt in de bovenste. Teken links de schuinepijlvoorstelling en rechts de coรถrdinatenvoorstelling. . Geef ook het functievoorschrift voor

De tien intervalletjes worden in de volgende stap nog verder in tien onderverdeeld, zodat de 100 grijswaarden optisch voor een continue overgang van zwart naar wit zorgen. De transformatie hebben we door rechte pijltjes voorgesteld, die de oorspronkelijke grijstint met de nieuwe grijstint verbindt. In beeldverwerking werkt men soms ook met dezelfde x standaardstrookjes onder en boven. In dat geval wordt de transformatie weergegeven met schuine pijltjes. T(x)

In wiskunde zijn we het meest vertrouwd T(x) = x met de voorstelling van een functie in x een grafiek in een coรถrdinatenstelsel. Ook dit kun je hier toepassen. Op de assen kun je in plaats van getallen standaardstrookjes met grijstinten plaatsen. 2

Je ziet hieronder drie verschillende voorstellingen van dezelfde functie: de linkse met schuine pijltjes en grijstintenstrookjes, de rechtse met stippen en coรถrdinaten op de assen en in het midden een mengvorm. De punten op de twee rechtse afbeeldingen vormen de grafiek van de transformatie .

7 Op de standaardstrook wordt volgende transformatie uitgevoerd: . Teken de grafiek van en kies het passende strookje voor uit de alternatieven. 1 `

2 3 4

T(x) = x2

Vector5.indd 39

6/05/19 13:11

8 Als je denkt aan de operaties uit een beeldverwerkingsprogramma, wat doet dan de vorige transformatie met een beeld? Bespreek het effect van elke . coëfficiënt uit de veelterm . 9 Bekijk nu de transformatie: Wijs de pixels van het teststrookje een grijstint toe. Teken links de grafiek en rechts de pijlen. Bij welke grijstinten treden er problemen op en waarom? VAN STROOKJES NAAR EEN VOLLEDIG BEELD Een zwart-wit foto is niets anders dan een aaneenschakeling van grijswaardenstrookjes en dus van pixels. Het hele beeld wordt getransformeerd als de functie pixel per pixel wordt uitgevoerd. We gaan hier niet dieper op in, maar het principe is hetzelfde.

Bij sommige transformaties treden waarden op die buiten het interval [0,1] vallen en die dus niet door een grijstint voorgesteld kunnen worden. In dat geval vervangt men alle waarden groter dan 1 door 1 (wit) en alle getallen kleiner dan 0 door 0 (zwart). Wiskundig bekom je een samengesteld functievoorschrift:

Uit de transformatie ontstaat een nieuwe . transformatie -> 10 Als je opnieuw denkt aan de operaties uit een beeldverwerkingsprogramma, wat doet de vorige transformatie met een beeld? . Teken 11 Bekijk de transformatie: de grafiek van deze functie. De standaardstrook wordt afgebeeld op één van de strookjes van vraag 7. Welke?

Vector5.indd 40

De foto van het spelende kind wordt helderder gemaakt. Onderaan gebeurt dezelfde transformatie op de grijswaarde van elke pixel uit de ‘verpixelde’ foto.

6/05/19 13:11

12 Bekijk de onderstaande transformaties op het beeld van de cameraman.

15 Bekijk nu volgende transformatie .

Schets de grafiek van de transformatie.

Op het originele beeld (linksboven) wordt eerst de toegepast, vervolgens de transformatie . Wat is het eindresultaat? transformatie Maakt het verschil als je de volgorde van de transformaties omkeert? 13 Welk verband bestaat tussen de functie

16 Waarom is deze transformatie niet omkeerbaar?

14 Op het originele beeld (bovenste foto) wordt een nieuwe transformatie toegepast: BRONNEN Kern, F., Burgeth, B. Eichhorn, D. (2015). Algorithmen zur Bildbearbeitung. MatheWelt. Das SchĂźlerarbeitsheft. Mathematik Lehren 188

Daarbij ontstaat het onderste beeld. Teken de grafiek van de transformatie en de omgekeerde transformatie in hetzelfde coĂśrdinatensysteem. Geef ook het functievoorschrift van de omgekeerde transformatie.

Vector5.indd 41

Deze bijdrage verscheen in Uitwiskeling 32/4 als deel van een artikel over wiskunde achter beeldverwerking. Daarin komen nog volgende topics aan bod: beelden optellen, digitale watermerken, compressie en fractalen. Op www.uitwiskeling.be vind je meer info. Daar kun je ook de lesactiviteiten uit het artikel downloaden, met de antwoorden.

6/05/19 13:11

WEGDROMEN BIJ WISKUNDE IN HET LANDSCHAP GROND IS SCHAARS, EN WORDT STEEDS SCHAARSER DOORDAT DE WERELDBEVOLKING TOENEEMT. VOOR ZOWAT ALLES WAT MENSEN DOEN, IS GROND NODIG. WE BOUWEN ER HUIZEN OP, TOT ZELFS GIGANTISCHE STEDEN. WE BOUWEN BEDRIJVEN, FABRIEKEN EN SCHOLEN. ONS VERVOER HEEFT GROND NODIG VOOR DE WEGEN EN SPOORWEGEN. WE BEPLANTEN GROND VOOR VOEDSEL, EN NU OOK VOOR BIOBRANDSTOF. WE HALEN HOUT UIT BOSSEN. TEGELIJK WILLEN WE DE NATUUR IN KUNNEN DUIKEN OM ONS TE ONTSPANNEN. WE HALEN GENOT UIT DE VELE NATUURPRACHT DIE ONZE PLANEET RIJK IS. EN ALS HET EVEN KAN, WILLEN WE OOK DE BIODIVERSITEIT BESCHERMEN OM DE PLANEET TE LEEFBAAR HOUDEN VOOR ONZE NAKOMELINGEN. G I OVA N N I SA M A E Y

- K U L E U V E N , D E PA R T E M E N T C O M P U T E RW E T E N S C H A P P E N , A F D E L I N G T O E G E PA S T E W I S K U N D E E N N U M E R I E K E A N A LYS E

Dat een goed gebruik van onze grond niet vanzelfsprekend is, heeft de geschiedenis ons al bij herhaling geleerd. Pogingen om rivieren binnen hun oevers te houden vermijden meestal wel vele kleine overstromingen, maar kunnen bij extreme omstandigheden de schade ook sterk vergroten, zoals bijvoorbeeld bij de Mississippi of de Jangtse rivier gebeurde. Overmatige landbouw of boskap kan leiden tot erosie en landverschuivingen. De bouw van stuwdammen voor irrigatiewater of waterkrachtcentrales heeft een zeer ingrijpende impact op het ecosysteem stroomafwaarts. Op de eilanden in de Middellandse zee leidt (onder andere) overmatig grond-

Vector5.indd 42

watergebruik tot een verzilting van de bodem. En het aantal woon- en industriegebieden dat gebouwd is op gevoelige plaatsen voor noodweer of aardbevingen is bijna niet te tellen. De voorbeelden hierboven illustreren een aantal van de moeilijkheden die naar boven komen bij het nemen van beslissingen over grondgebruik. Het belangrijkste probleem, dat steeds terugkeert, is dat de impact van een ingreep in het landschap pas duidelijk wordt nadat ze is aangebracht. Om goede beslissingen te kunnen nemen, zijn beleidsmakers dus afhankelijk van voorspellingen van die impact om een degelijke beslissing te kunnen nemen. Die voorspellingen worden

becijferd, en dat betekent dat we wat wiskunde zullen nodig hebben. De berekeningen gebeuren namelijk aan de hand van wiskundige modellen: formules en vergelijkingen die heel precies onze kennis weergeven over verbanden tussen de gemodelleerde grootheden. Voor erosie gaat het dan bijvoorbeeld over hoe neerslag de grond raakt (en hoe beplanting dat beÃ¯nvloedt), hoe snel water de bodem indringt of hoe het oppervlak wegstroomt, en hoeveel van de bodem er wordt meegenomen door het water. Bij het opstellen van wiskundige modellen komen steeds dezelfde uitdagingen naar boven. Om te beginnen moeten we de fysica

6/05/19 13:11

onderzoek betrokken, omdat ook psychologische menselijke drijfveren correct moeten opgenomen worden in de modellen. Vanuit de abstractere hoek dragen wiskundigen, statistici en computerwetenschappers een steentje bij, met hun kennis van modelleren, kansberekening en besliskunde. Enkel samen kunnen we de juiste stappen zetten naar een duurzaam grondgebruik.

van het probleem goed begrijpen. Kennen we alle mechanismen die een rol spelen? Hier ligt al een eerste moeilijkheid: we moeten bepalen wat we precies willen bekijken met ons model. Een model van een stuwdam dat enkel dient om te bepalen of er gevaar is op een dambreuk zal een volledig andere structuur hebben dan een model dat het effect op de biodiversiteit stroomafwaarts wil bestuderen. Daarnaast bevatten alle modellen wat onzekerheid. Wanneer we erosie willen bekijken, kennen we vaak de samenstelling van de bodem niet precies, en weten we ook niet precies hoeveel neerslag er gaat vallen. Rekening houden met die onzekerheid is verre van eenvoudig.

Vector5.indd 43

Zo is het veel minder erg een risico te groot in te schatten dan een risico te onderschatten. Maar elke risicobeheersing komt met een kostprijs, en ook die kost willen we minimaliseren. Wiskundige ondersteuning voor de beslissingsprocessen bij grondgebruik is dan ook een belangrijk onderzoeksgebied, waar momenteel heel wat activiteit in is. Dit onderzoek is zeer interdisciplinair: wiskundigen werken intensief samen met specialisten uit de landbouw, het bosbeheer, de watervoorziening en de biodiversiteit. Niet alleen academici, maar ook mensen uit het bedrijfsleven en beleidsmakers van de overheid. Ook psychologen worden bij dergelijk

Dit stuk werd geschreven naar aanleiding van een workshop “Progress on novel mathematics and statistics for Landscape Decisions, including priorities for further research” die deze zomer georganiseerd wordt aan het Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences in Cambridge, UK. Lees je graag meer verhalen over reële problemen waar wiskunde op een overwachte manier opduikt? Bekijk dan ook het boek X-factor (GS en Joos Vandewalle, Pelckmans Pro, 2016). Het boek bundelt twintig verhalen en tal van anekdotes de kracht en de noodzaak van wiskunde voor de maatschappij geïllustreerd worden. Dat boek werd bekroond met een jaarprijs Wetenschapscommunicatie van de Koninklijke Vlaamse Academie van België (KVAB). G. Samaey en J. Vandewalle. X-Factor, Pelckmans Pro, 2016. ISBN 978 90 289 8612 1

6/05/19 13:11

44 WISKUNDE & ONDERWIJS

VERALGEMENING VAN DE STELLING VAN PYTHAGORAS … IN WISKUNDE EN ONDERWIJS 176 BESPREEKT LUC GHEYSSENS EEN VERALGEMENING VAN DE STELLING VAN PYTHAGORAS VAN DE HAND VAN THÂBIT IBN QURRA (836–901). IN DEZE BIJDRAGE ZOEKEN WE HET DICHTER BIJ HUIS, MET NAME BIJ EEN BRUGSE JEZUÏET, GREGORIUS A SANCTO VINCENTIO. AD MESKENS

GREGORIUS A SANCTO VINCENTIO Sancto Vincentio werd op 8 september 1584 in Brugge geboren, waarschijnlijk was hij de zoon van een Spaanse koopman, Gregorio a San Vincente. Hij studeerde te Brugge en Douai. In 1605 trad hij te Rome toe tot de jezuïetenorde. Hij zou bijna tien jaar in Rome verblijven en daar als een soort vrije student de wiskundelessen van Christopher Clavius s.j. aan het befaamde Collegio Romano volgen. In 1613 keerde hij terug naar de Nederlanden en werd in 1615 als wiskundeleraar aan de nieuw opgerichte wiskundeschool van het Antwerpse jezuïetencollege aangesteld. In de wiskundeschool werden getalenteerde leerlingen van het college, in de eerste plaats jezuïeten en aspirant-jezuïeten, in de toenmalige hogere wiskunde ingewijd. Met enige overdrijving kunnen we de school vergelijken met een universitair wiskundedepartement

Vector5.indd 44

integratiemethode die hij ductus plani in planum (vermenigvuldigen van een vlak met een vlak) noemde en die gebaseerd is op de uitputtings- of exhaustiemethode. De term exhaustie werd overigens voor het eerst door Sancto Vincentio gebruikt.

Figuur 1 (c) Rijksprentenkabinet, Den Haag

nu. In 1620 werd de wiskundeschool overgebracht naar Leuven en Sancto Vincentio verhuisde mee. In deze periode ontwikkelde hij een

Na vele tribulaties verschijnt in 1647 zijn magnum opus Problema Avstriacvm plvs vltra qvadratvra circvli (het Oostenrijks probleem, en hierbij de cirkelkwadratuur), mét cirkelkwadratuur. Deze cirkelkwadratuur moet hier verstaan worden als de exacte berekening, niet de constructie, van de oppervlakte van de cirkel en dit met Gregorius’ ductusmethode. Helaas bevatte de cirkelkwadratuur een fout, die werd ontdekt door Christiaan Huygens. Ze zou Sancto Vincentio’s reputatie voor eeuwig bezoedelen. Ze overschaduwde ook zijn andere mooie en innovatieve ontdekkingen. Dat is zeer jammer, want zijn boek bevat ook enkele kleinere stellingen

6/05/19 13:11

die voor het middelbaar onderwijs van belang zijn. We beschrijven er hier twee.

Laat uit C de loodlijn neer op AB, deze snijdt AB in L en FM in K. Teken de lijnstukken AI, CM, BN en BD.

DE STELLING VAN A SANCTO VINCENTIO De eerste is een veralgemening én uitbreiding van de stelling van Pythagoras.

Teken, met AC als diameter een halve cirkel ALC, die de driehoek in L en H snijdt (hiermee is ook de loodlijnen op BC bepaald).

In wat volgt behouden we de aanduidingen van Sancto Vincentio.

Laat uit B de loodlijn neer op AC, deze snijdt AC in O en ND in P.

In een scherphoekige driehoek zijn de oppervlakten, zoals aangegeven in de figuur, gelijk.

Omdat AM en LC evenwijdig zijn, is de hoogte van ΔMAC op basis [MA] gelijk aan [AL] en dus Opp ΔMAC = opp ALKM en is ook Opp ΔAIC = opp CMGI.

Bovendien geldt dat de som van de vierkanten ABFM en CBEI het vierkant ACDN met tweemaal de rechthoek HBEG overtreft. Het bewijs van het eerste deel volgt het klassieke bewijs van Euclides I.47 (de stelling van Pythagoras). Teken de vierkanten op de zijden.

Vector5.indd 45

Verder is MÂB = CÂN , dit zijn nl. rechte hoeken. Tellen we bij beide leden BÂC op dan vinden we MÂB + BÂC = BÂC + CÂN, MÂC = BÂN. Verder is AN = AC en MA = AB Zodat ∆MAC ΔBAN en dus ook ∆MAC = ΔBAN.

6/05/19 13:11

Op dezelfde wijze vinden we: opp COPD = opp CHGI opp BLKF = opp BHGE Hieruit volgt ook dat opp ACDN = opp AOPN + opp COPD = opp ALKM + opp AOPN = opp ABFM - opp BLKF + opp CBEI - opp BHGE opp ACDN = opp ABFM + opp CBEI – 2 opp BHGE (1) De aandachtige lezer zal menen iets vertrouwds in formule (1) te zien en dat klopt ook.

HET HOOGTEPUNT Een beetje op zijn diefjes vinden we in figuur 1 terug dat de hoogtelijnen elkaar in één punt snijden. Deze stelling vinden we ook terug in de voorbereidende manuscripten voor Gregorius’ boek. In manuscripten geschreven rond 1625 vinden we de eerste keer deze stelling terug, met een verwijzing naar Pappos voor het bewijs. In het boek in Problema Austriacum vinden we een nieuw bewijs terug. Dit bewijs wordt beschouwd als het oudste in de westerse wereld.

Omdat ∆KGC gelijkbenig is, geldt ook dat KGC = BKC , wat, als we de gelijkheid in functie van de bogen uitdrukken, hetzelfde is als H�B + K�C = B�I + I�C. De congruentie van de cirkels impliceert ook dat K�C = G�C = I�C, dus H�B = B�I en AB is de bisectrice van HAG. Omdat verder HCA = GCA, wat een hoek is die gemeenschappelijk is in beide cirkels, geldt ook A � G=A � H en AG = AH . Dus is ∆AGH gelijkbenig en is AB CH (omdat middellijn, de bisectrice en de hoogtelijn uit A samenvallen). Op een analoge wijze kunnen we bewijzen dat BC AI. Waaruit we besluiten dat de hoogtelijnen elkaar in één punt snijden, het hoogtepunt G. BIBLIOGRAFIE

In de rechthoekige driehoek ΔABH is de lengte van de zijde BH gelijk aan: BH = AB cos B En is: opp BHGE= HG.BH = BC.AB cos B, Zodat we (1) kunnen schrijven als: AC2 = AB2 + BC2 – 2BC . AB cosB Of nog, de welbekende cosinusregel: b2 = a2 + c2 – 2ac cos B

Vector5.indd 46

Teken de omgeschreven cirkel C� van de driehoek ∆ABC en teken een cirkel C � AC � met dezelfde straal en door A en C�. Construeer de hoogtelijn uit B en noem G het snijpunt met C � AC � en K het snijpunt met C�. Teken AG en CG. Omdat de som van twee binnenhoeken gelijk is aan de buitenhoek van het tegenoverliggende hoekpunt geldt in driehoek ∆BCG dat BCG + KBC = KGC .

Gregorius à Sancto Vincentio s.j., Problema Avstriacvm plvs vltra qvadratvra circvli, Joannes & Jacobus Meursius, Antwerpen, 1647. Jean Dhombres, L’innovation comme produit captif de la tradition: entre Apollonius et Descartes, une théorie des courbes chez Grégoire de Saint-Vincent, In Marco Panza and Clara Silvia Roero, editors, Geometria, Flussioni e Differenziali, p. 17-102. La Città del Sole, Napoli, 1995. Jean Dhombres & Patricia Radelet-de Grave, Une mécanique donnée à voir : les theses illustrées défendues à Louvain en juillet 1624 par Grégoire de Saint-Vincent S.J., De diversis artibus volume 82 (N.S. 45). Brepols, Turnhout, 2008.

6/05/19 13:11

Luc Gheysens, De stelling van Thâbit ibn Qurra, Wiskunde en Onderwijs xxx. Ad Meskens & Paul Tytgat, Exploring Classical Greek Construction Problems with Interactive Geometry Software, Compact Textbooks in Mathematics. Birkhäuser Verlag, Basel, 2017. Omer Van de Vyver s.j., L’école de mathématiques des Jésuites de la province ﬂandrobelge au XVIIe siècle, Archivum Historicum Societatis Iesu, 49(1980), 265-271.

Herman Van Looy, Chronologie en analyse van de mathematische handschriften van G. a. Sancto Vincentio (1584-1667), PhD thesis, Katholieke Universiteit Leuven, Leuven, 1979. Herman Van Looy, Chronologie et analyse des manuscrits mathématiques de Grégoire de Saint Vincent (1584-1667), Archivum Historicum Societatis Iesu, 49(1980), 279- 303.

Herman Van Looy, A Chronology and Historical Analysis of the Mathematical Manuscripts of Gregorius a Sancto Vincentio (1584- 1667), Historia Mathematica, 11(1984), 57-75.

Uit: Wiskunde & Onderwijs, tijdschrift VVWL. Meer info over Wiskunde & Onderwijs vind je op www.vvwl.be

VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE VZW, KANGOEROE, EDITIE WALLABIE 2019, VRAAG 5 Tine legt 5 vierkanten op elkaar. Daarna neemt ze de vierkanten 1 voor 1 terug. Ze neemt telkens het bovenste vierkant. In welke volgorde neemt ze de vierkanten terug?

1-2-3-4-5

5-2-3-4-1

4-5-2-3-1

5-3-2-1-4

5-2-3-1-4

OEFENING

VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE VZW, KANGOEROE, EDITIE WALLABIE 2019, VRAAG 15 Adam, Bas, Cas, Daan en Emiel komen elkaar tegen op een feest. Ieder van hen geeft een handdruk aan wie hij kent. Adam geeft 1 handdruk, Bas 2, Cas 3 en Daan geeft 4 handdrukken. Hoeveel handdrukken geeft Emiel? A

Vector5.indd 47

OEFENING

6/05/19 13:11

Wiskunde met die Keure Naar aanleiding van de nieuwe eindtermen worden de wiskundemethodes van die Keure volledig vernieuwd.

Nando

850000941

- Al jaar en dag dĂŠ referentie is wiskunde - Een degelijke, kwalitatieve methode - Expertise van de leerkracht centraal www.vbtl.diekeure.be

Vector5.indd 48

Wiskunde met pit

- Vernieuwend en motiverend wiskundeonderwijs - Sterke focus op differentiatie - Leerkracht als coach www.nando.diekeure.be

6/05/19 13:11