Vector 2 - mei 2018

VECTOR MEI 2018 - nummer 2

© Leonardo da Vinci, Codex Arundel

TIJDSCHRIFT voor wiskundeonderwijs

ZOMAAR EEN OEFENING OP DE STELLING VAN PYTHAGORAS? 23 ONDERZOEKSVAARDIGHEDEN IN DE WISKUNDE 44 HET PROBLEEM VAN BOER BAVO

11

Met medewerking van Uitwiskeling, VVWL (Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars), GeoGebra Instituut, Vlaamse Wiskunde Olympiade en Pythagoras

Vector2_april2018.indd 1

14/05/18 13:42

2

3 OVER KAUSTIEKEN

OF BRANDKROMMEN PAUL LEVRIE

ZOMAAR EEN OEFENING OP DE STELLING VAN PYTHAGORAS? 8

INHOUD MICHEL ROELENS

11 SINUS EN COSINUS

VAN EEN HOEK: OORSPRONG EN ETYMOLOGIE VAN TWEE VERTROUWDE BEGRIPPEN

ISAR GOYVAERTS

FORMULE 1 IN FORMULES 14 GIOVANNI SAMAEY

16 WISKUNDE

EN GEZONDHEID JOHAN DEPREZ, GERD HAUTEKIET

ONDERZOEKSVAARDIGHEDEN IN DE WISKUNDE 23 IVAN DE WINNE

30 EEN BEKNOPTE

GESCHIEDENIS VAN DE WISKUNDE (DEEL 1)

E

BESTE LEZER

E

en nieuw wiskundetijdschrift in Vlaanderen, het is me wat! We zijn erg blij met dit initiatief en zijn Uitgeverij die Keure dan ook zeer dankbaar: wat er gebeurt op wiskundevlak voor het secundair onderwijs in Vlaanderen wordt hierdoor voor alle leerkrachten wiskunde heel wat duidelijker!

V

anaf dit nummer komt er ook input vanuit Nederland bij, waar ze trots mogen zijn op het tijdschrift Pythagoras, een tijdschrift voor jongeren dat een veel ruimer lezerspubliek heeft dan enkel die groep. Pythagoras is nog te weinig bekend in Vlaanderen, meer erover vind je op pagina 7 en op de website www.pyth.eu.

n verder vind je in dit nummer van Vector nog een heleboel interessante artikels. Een eerste deel van een (korte) geschiedenis van de wiskunde bijvoorbeeld en iets over de begrippen sinus en cosinus. En kent u Eugène Catalan al?

E

r zijn ook dingen bij die je onmiddellijk in de klas kan gebruiken, o.a. een artikel waarin klassieke puzzels worden aangewend om onderzoeksvaardigheden aan te scherpen.

E

n geen wiskundetijdschrift zonder wiskundige problemen, met oplossing meestal. Nog een tip: als je jezelf een probleemoplosser vindt, ga dan zeker eens naar een MathsJam, een avondje samen puzzels en raadsels oplossen, gratis voor niets. Meer info vind je op www.mathsjam.com. Misschien ontmoeten we elkaar daar.

Ik wens je veel plezier en inspiratie! PAU L L E V R I E FAC U LT E I T T O E G E PA S T E I N G E N I E U R S W E T E N S C H A P P E N , UA N T W E R P E N .

ANDRÉ PIENS

MIND YOUR DECISIONS 38 LUC VAN DEN BROECK

42 EEN MINDER BEKENDE

LANDGENOOT EN ZIJN GETALLEN PAUL IGODT

VECTOR 1e jaargang - nummer 2 REDACTIE Nicolas Ruys, Katinka Steen, Maaike Spanhove - die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge, educatief@diekeure.be

HET PROBLEEM VAN BOER BAVO 44

EXTERNE AUTEURS die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met educatief@diekeure.be.

LUC GHEYSENS - DANIËL TANT

VERANTWOORDELIJKE UITGEVER die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge

47 WIN EEN

BOEKENPAKKET

Vector2_april2018.indd 2

VECTOR Vector is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in België. VORMGEVING EN DRUK Isabelle Tilleman - die Keure, Brugge REACTIES Al je reacties, suggesties en opmerkingen zijn welkom op educatief@diekeure.be

14/05/18 13:42

3 PYTHAGORAS

OVER KAUSTIEKEN OF BRANDKROMMEN SOMS ZIE JE DE ZON EEN MOOI PATROON MAKEN IN EEN KOPJE KOFFIE, OF EEN BLIK VERF. JE KUNT JE DAN AFVRAGEN WAT ER PRECIES GEBEURT ALS LICHTSTRALEN INVALLEN OP EEN GEKROMD SPIEGELEND OPPERVLAK. JE BENT DAN AAN HET KIJKEN NAAR BRANDKROMMEN. IN DIT ARTIKEL WORDT DE WISKUNDE ACHTER DEZE BRANDKROMMEN UITGELEGD. PAU L L E V R I E

- U N I V E R S I T E I T A N T W E R P E N - R E DAC T I E P Y T H AG O R A S

BRANDPUNT EN BRANDKROMMEN o rond 200 jaar voor Christus schreef de Griekse wiskundige Diocles een boek met als titel Over ). brandende spiegels ( Daarin vind je de bekende eigenschap van een parabool die weergegeven wordt in figuur 1.

Z

Lichtstralen die invallen op een parabolische spiegel en die evenwijdig zijn met de as van die parabool worden

Figuur 1

Vector2_april2018.indd 3

weerkaatst door het brandpunt van de parabool. Diocles is nu nog vooral bekend door zijn cissoïde, een kromme die hij als eerste bestudeerde en gebruikte om een van de Delische problemen uit de oudheid op te lossen: de verdubbeling van de kubus. Archimedes gebruikte bovenstaande eigenschap van de parabool in 212 voor Christus om bij de belegering van Syracuse de vloot van Marcus Claudius Marcellus in brand te steken, zo vertelt de overlevering. Pas veel later werd er ook gekeken naar wat er precies gebeurt indien lichtstralen invallen op een gekromd oppervlak dat niet parabolisch maar bijvoorbeeld cilindervormig is. Het resultaat zie je soms als je op een zonnig terras koffie zit te drinken, op het oppervlak van de koffie, zoals in figuur 2. In figuur 3, waar de zon wordt weerkaatst in een cilinder, is het effect duidelijker.

Wat we hier zien, wordt een brandkromme of kaustiek genoemd. Graaf Ehrenfried Walter von Tschirnhaus (1651-1708) was de eerste die dergelijke krommen die ontstaan bij weerkaatsing van het licht, onderzocht, rond 1680. Hij gebruikte het Latijnse woord Caustica, dat afgeleid is van , ’die kan doen het Griekse : branden’, van het werkwoord branden. De grote wiskundige Johann Bernoulli (1667-1748) zei het zo Als de zonnestralen op een hol deel van een curve vallen, dan zullen ze door hun weerspiegeling een andere curve vormen, die van de heer Tschirnhaus de naam ’Kaustische curve’ gekregen heeft en waarvan hij de eerste ontdekker is geweest. Toevallig is de koffiekopkaustiek (figuur 2 en 3) ook de eerste brandkromme die Tschirnhaus bestudeerde. (Merk op dat er in 1680 al koffie was in Europa.)

14/05/18 13:42

4

Figuur 2

Figuur 5

DE KOFFIEKOPKAUSTIEK We proberen de situatie grafisch voor te stellen. We vertrekken van een cirkel, en veronderstellen dat de lichtstralen in het vlak van de cirkel liggen. Als we voldoende lichtstralen tekenen en hun weerkaatsingen, dan krijgen we een goed beeld van de brandkromme (zie figuur 4). Je kan de kromme die zo ontstaat zelf maken. Teken op een stuk hout een

Vector2_april2018.indd 4

Figuur 3

Figuur 4

Figuur 6

cirkel, en klop dan op de cirkel en op gelijke afstand van elkaar een even aantal nageltjes in het hout. Nummer de nageltjes zoals in figuur 5. Als je dan met garen het nageltje op positie i verbindt met dat op positie 3i, dan krijg je wat je ziet in figuur 5. Het is leuk op te merken dat we bij Leonardo Da Vinci – de wetenschapper/uitvinder die erom bekend staat dat hij zijn tijd ver vooruit was – de

tekening in figuur 6 vinden, in zijn boek Codex Arundel dat dateert van rond 1500. (Toen was er nog geen koffie in Europa!) De kromme in kwestie is (de helft van) een nierkromme of nefroïde. Het is een kromme die behoort tot de klasse krommen die we epicycloïden noemen en die ontstaan door een cirkel om een andere cirkel te rollen. We volgen hierbij de beweging van

14/05/18 13:42

5

Figuur 7

Figuur 8

een punt van de rollende cirkel (zie figuur 7).

We moeten ook weten hoe lichtstralen weerkaatst worden. Dit gebeurt zoals aangegeven in figuur 9.

BRANDKROMMEN IN DETAIL We bekijken nu de koffiekopkaustiek wat meer in detail en gaan na hoe deze precies ontstaat. In figuur 8 nemen we een close-up van een stukje. Let op de verticale rechte. Op deze rechte ligt een punt van de kaustiek, het is aangeduid in de rechterfiguur. Behalve dit punt zijn ook een aantal van de weerkaatste stralen getekend die in de buurt van dit punt komen. Als we het snijpunt van deze stralen met de verticale rechte volgen, beginnend met de stralen door 1 en 2, dan zie je dat de hoogte van dit snijpunt afneemt tot het een minimum bereikt, en dan weer toeneemt. Op het ogenblik dat het minimum bereikt wordt, zitten we op de kaustiek. We kunnen dus de y-waarde van dit punt van de kaustiek in principe berekenen met behulp van afgeleiden. Dit is ook in het algemeen zo bij brandkrommen.

Vector2_april2018.indd 5

In deze figuur zie je een spiegel die door het punt P gaat (dikke lijn), een lichtstraal (verticale lijn) die invalt in P en weerkaatst wordt door de spiegel, volgens de wet van de weerkaatsing. Als de spiegel een hoek maakt met een horizontale rechte, dan is de hoek die de weerkaatste straal maakt met die horizontale rechte , zoals je kan zien op gelijk aan de figuur. Indien de spiegel gekromd

Figuur 9

is in P, dan bekijk je de raaklijn aan de kromme in P als spiegel om de weerkaatste straal te bepalen. Herinner je dat de richtingscoëfficiënt van die : we kunnen raaklijn gelijk is aan dus voor een gegeven kromme berekenen wat die hoek is.

OPDRACHT 1. Indien de raaklijn in het punt P richtingscoëfficiënt m heeft, wat is dan de richtingscoëfficiënt van de weerkaatste straal? Oplossing:

Specifiek in het geval van de koffiekopkaustiek kunnen we nu verklaren waarom we in figuur 5 als resultaat deze kromme krijgen. In figuur 10 zie je een straal die invalt op de cirkel in een punt P, waarbij de rechte OP een hoek t maakt met de horizontale as. Merk op dat de drie groene hoeken op de figuur . Dit is een gevolg gelijk zijn aan van de wet van de weerkaatsing en gelijkbenig is, van het feit dat

14/05/18 13:42

6

VERGELIJKINGEN VOOR DE KOFFIEKOPKAUSTIEK. Stel dat de verticale rechte in figuur 8 vergelijking x = a heeft. Om het punt van de brandkromme te vinden dat op die rechte ligt, gaan we eerst op zoek naar alle weerkaatste stralen die deze rechte snijden. In figuur 10 zie je dat zo’n weerkaatste straal voor een gegeven hoek t door de punten (cos t, sin t) en (cos 3t, sin 3t) gaat. De rechte bepaald door deze twee punten heeft als richtingscoëfficiënt:

We kunnen dit eenvoudiger schrijven door gebruik te maken van de volgende formules van Simpson:

We werken deze vergelijking uit naar a. Dit geeft, na wat goniometrisch rekenwerk (ga dit zelf na):

(of iets equivalent). De bijhorende y-waarde vinden we door deze uitdrukking voor a in te vullen in (*), en weer wat te herschrijven met goniometrische formules: (of equivalent). We kunnen dit als volgt interpreteren: voor deze waarde van a heeft het punt van de brandkromme deze y-waarde. Of nog: het punt met coördinaten

We vinden hiermee: is een punt van de brandkromme.

Een weerkaatste straal die door het punt (cos t, sin t) gaat, heeft dus als en de richtingscoëfficiënt vergelijking ervan is:

De rechte x = a snijdt zo’n weerkaatste straal dus in een punt met y-coördinaat (of hoogte):

We zoeken de kleinste waarde die deze y aanneemt als we t laten variëren. Die vinden we door te eisen dat de afgeleide van y naar t gelijk is aan nul. Dus er moet gelden:

Vector2_april2018.indd 6

OPDRACHT 2 Reken het even na en maak m.b.v. het programma desmos (www.desmos.com) of met Wolframalpha (www.wolframalpha.com) een grafiek van het resultaat, ook als je niet precies dezelfde uitkomst krijgt als hierboven!

Figuur 10

waarbij Q het punt van de cirkel is waar de weerkaatste straal doorgaat. De hoek tussen de horizontale as en de rechte OQ is hierdoor gelijk aan 3t. De weerkaatste straal loopt dus tussen het punt met hoek t en het punt met hoek 3t. Met deze figuur als basis kunnen we ook de vergelijkingen van de koffiekopkaustiek vinden (zie kadertekst). ANDERE INTERESSANTE BRANDKROMMEN Nadat Tschirnhaus als eerste dit soort krommen bestudeerde, stortten heel wat gerenommeerde wiskundigen zich op de studie van brandkrommen. We eindigen met enkele ontdekkingen in dit verband: (1) De brandkromme van een parabool waarbij de lichtstralen loodrecht invallen op de as ervan (zie figuur 11) is (de helft van) een kromme die de kubische kromme van Tschirnhaus genoemd wordt.

14/05/18 13:42

7

Figuur 11

Figuur 12

Figuur 13

(2) De brandkromme van een cycloide waarbij de lichtstralen invallen zoals in figuur 12 is ... opnieuw een cycloĂŻde die half zo groot is. (3) De brandkromme van de functie waarbij de met voorschrift lichtstralen invallen zoals in figuur 13 is ... een kettinglijn.

OPDRACHT 3 Reken deze laatste zelf na. Maar vertrek van zodat de stralen van onder komen. Gebruik het resultaat van opdracht 1, bepaal in een punt met x = a de vergelijking van de weerkaatste straal, en ga dan verder zoals in de uitwerking voor de koffiekopkaustiek.

Uit: Pythagoras (www.pyth.eu)

Vector2_april2018.indd 7

14/05/18 13:42

8 UITWISKELING

ZOMAAR EEN OEFENING OP DE STELLING VAN PYTHAGORAS? MICHEL ROELENS

- R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

DE OPDRACHT Ik kwam in Mathematik Lehren (Herget, 2015) de volgende oefening tegen, terwijl ik toezicht deed bij het inhaalexamen van één student. Deze zware taak eiste niet al mijn aandacht op en dus begon ik wat te piekeren over wat je zoal met deze opdracht zou kunnen doen.

DE OPLOSSING Je vult de tekening aan met loodlijnen uit K en je geeft namen aan de afstanden van K tot de zijden (figuur2). Je past vier keer de stelling van Pythagoras toe. Dit geeft:

Figuur 1 toont een vierkant ABCD met daarin een punt K. De afstanden van K tot de hoekpunten A, B en C zijn gegeven. Bepaal de afstand van K tot het vierde hoekpunt D. Let op: het is niet noodzakelijk een juiste tekening op schaal.

Figuur 1

Vector2_april2018.indd 8

Hiermee kun je d uitrekenen:

Figuur 2

WAAROM IS DEZE OEFENING MOEILIJK? Voor de leerlingen van het derde jaar is dit om twee redenen geen gemakkelijke oefening. Enerzijds moeten er lijnen bijgetekend worden om de stelling van Pythagoras te kunnen toepassen. Op het eerste gezicht lijkt het geen oefening over rechthoekige driehoeken. Lijnen bijtekenen vergt creativiteit, maar ook efficiëntie want je kunt ook teveel lijnen tekenen en het overzicht verliezen. Een tweede reden waarom de oefening als moeilijk wordt ervaren, is dat je (tenzij ik nu iets over het hoofd zie) niet zomaar stap voor stap bepaalde lengten rechtstreeks kunt berekenen; je moet ze een naam geven en verschillende vergelijkingen opschrijven. De uiteindelijke oplossing vind je met een stelsel van tweedegraadsvergelijkingen waaruit je u, v, w en z moet elimineren, ook al valt het elimineren hier goed mee.

14/05/18 13:42

9

AANPASSING VOOR MINDER CREATIEVE LEERLINGEN Wil je de oefening gemakkelijker maken, dan kun je er de stippellijnen van figuur 2 meteen bijgeven en de leerlingen aanraden om de stelling van Pythagoras te gebruiken. Hiermee verdwijnt dan de eerste moeilijkheid. De tweede moeilijkheid blijft. Maar nog meer voorkauwen doe ik niet graag. Als deze oefening voor je leerlingen enkel haalbaar is aan de hand van kleine tussenstappen (“Pas eerst de stelling van Pythagoras toe in de driehoek zus. Dan in de driehoek zo. Doe nu dit. Doe nu dat.”...), dan is het geen wiskundeles meer maar een opleiding voor het beroep van slaaf. Dan hoeft deze oefening niet; je kiest dan beter eenvoudigere oefeningen. AANPASSING VOOR CREATIEVERE LEERLINGEN Voor sterkere leerlingen kun je als toemaatje vragen om te veralgemenen tot een mooie ‘stelling’. Vervangen ze 10, 9 en 8 door a, b en c dan blijft de werkwijze identiek en vinden ze

De stelling klinkt in woorden bv. zo: Voor een punt binnen een vierkant is de som van de kwadraten van de afstanden tot twee overstaande hoekpunten onafhankelijk van het gekozen paar overstaande hoekpunten. Een gevleugelde zin! Kan er nog verder veralgemeend worden? Moet het punt noodzakelijk ‘binnen’ het vierkant liggen? Neen: het punt K mag

Vector2_april2018.indd 9

gerust ook buiten het vierkant liggen (zoals bv. in figuur 3). Waar K ook ligt, de nodige rechthoekige driehoeken blijven overeind en er verandert niets aan de berekening met de kwadraten. Eventueel kunnen bepaalde lengtes wel nul zijn (bv. als K op een zijde ligt), maar dit zorgt niet voor problemen; integendeel, dan is het nog eenvoudiger.

(het middelpunt van het vierkant, het midden van een zijde, een hoekpunt...). Het zou nog mooier zijn om een soort hoogtekaart te maken van de waarden . Toegegevan ven, dit is niet iets waar leerlingen van de tweede graad spontaan aan zouden denken; ik ben nu even ‘op eigen tempo voorop aan het lopen’. MEETKUNDIGE PLAATSEN Wat zijn de lijnen die punten verbin-waarde? Elk den van gelijke van deze lijnen is de meetkundige plaats van een (variabel) punt K waarvoor de som van de kwadraten van de afstanden tot twee vaste punten D en B gelijk is aan een constante waarde k.

Figuur 3

Moet ABCD trouwens een vierkant zijn? Neen: een rechthoek is even goed. In de berekening waren de rechte hoeken wel nodig, maar is er nergens gesteund op het feit dat het een vierkant is. Dit is dus ook een manier waarop leerlingen de opgave kunnen veralgemenen. Hieronder blijven we wel met een vierkant werken. De ‘som van de kwadraten van de afstanden tot twee overstaande hoekpunten’, uit de stelling, hangt niet af van het gekozen paar overstaande hoekpunten, maar wel van de positie van het punt K. Een natuurlijke vraag is: hoeveel bedraagt deze som van kwadraten, afhankelijk van de positie van punt K. Leerlingen kunnen dit uitzoeken voor enkele speciale posities

Dit is een klassieke meetkundige plaats, die meestal als volgt analytisch wordt bepaald. Kies een assenstelsel zo dat de punten D en B respectievelijke coördinaten (−p, 0) en (p, 0) hebben. De assen liggen dus op de diagonalen van het vierkant. Het punt K (x, y) bevindt zich op de meetkundige plaats wanneer

Vereenvoudigen geeft

Als is dit één punt, het . Als is de midden van meetkundige plaats een cirkel met als middelpunt het midden van , waarbij, nog en als straal even herhalen, k de waarde is van de som van de kwadraten van de afstanden van K tot twee overstaande hoekpunten en p de halve diagonaal van het vierkant.

14/05/18 13:42

10

Ter controle: in het middelpunt van het vierkant is r = 0 en dus k = 2p2. Dit klopt, want de afstanden d en b zijn allebei gelijk aan p zodat k = d2 + b2 = 2p2. In een hoekpunt (bv. in D) is r = p en dus k = 4p2. Ook dit klopt, want in D is d = 0 en b = (2p)2.

Na wat (onhandig) proberen bood het stelsel enige weerstand. Ondertussen was de student bijna klaar met zijn inhaalexamen. Ik heb het mezelf gemakkelijk gemaakt en het stelsel ingevoerd in WolframAlpha. Dit kwam eruit: de zijde q van het vierkant is gelijk aan:

De halve diagonaal p die een rol speelde bij de hoogtelijnen, is dus: .

Deze bikwadratische vergelijking heeft als positieve oplossing:

BRONNEN Herget, W. (2015). Marie Marckx, Lächendes Lernen und fehlerfreundliche Fragen. Mathematiklehren 188, 46-47. Wolfram Alpha. www.wolframalpha.com. Uitwiskeling is een tijdschrift van en voor wiskundeleraren, helemaal vanuit de praktijk van het wiskundeonderwijs. Benieuwd naar meer? Op de webstek www.uitwiskeling.be vind je alle info.

Achteraf, rustig in een trein, lukte het me wel om het stelsel systematisch op te lossen: Figuur 4

ZIJDE VAN HET VIERKANT? Terug naar het oorspronkelijke probleem, met a = 10, b = 9 en c = 8. Kunnen we eventjes snel berekenen hoe lang de zijde van het vierkant is? Dit blijkt moeilijker te zijn dan verwacht. Als we de zijde q noemen, geldt u + w = v + z = q (zie figuur 2). Substitutie in de drie gelijkheden afkomstig van de stelling van Pythagoras

levert het volgende stelsel van drie vergelijkingen in drie onbekenden op:

Vector2_april2018.indd 10

14/05/18 13:42

11 WISKUNDE & ONDERWIJS

SINUS EN COSINUS VAN EEN HOEK:

OORSPRONG EN ETYMOLOGIE VAN TWEE VERTROUWDE BEGRIPPEN SINUS EN COSINUS VAN EEN HOEK ZIJN BEGRIPPEN DIE BIJ VELE MENSEN EEN BELLETJE DOEN RINKELEN, ZIJ HET MISSCHIEN IN DE VERTE. BESCHOUWEN WE BIJVOORBEELD DE VRAAG "HOE KUNNEN WE AAN EEN GEGEVEN HOEK LENGTE(S) ASSOCIËREN DIE DE HOEK VOLLEDIG BEPALEN?", DAN IS HET LEGITIEM OM TE ANTWOORDEN: "SINUS EN COSINUS VAN DE HOEK IN KWESTIE". I S A R G OY VA E R T S

Willen wij, in deze post-postmoderne tijd, overgaan tot het berekenen van de sinus en de cosinus van een bepaalde hoek, dan nemen we doorgaans eenvoudigweg een zakrekenmachine die de klus in een mum van tijd voor ons klaart. Omgekeerd kan zo'n zakrekenmachine ons evengoed helpen; geven we twee reële getallen tussen -1 en 1 begrepen, dan kunnen wij - door een paar knopjes in te duwen - snel te weten komen welke hoek precies deze twee getallen als respectievelijk sinus en cosinus heeft. Historisch gezien waren sinus en cosinus echter niet de eerste keuzes om een hoek ondubbelzinnig vast te leggen. Het doel van deze nota is

kort te schetsen hoe sinus en cosinus hun intrede in de geschiedenis van de wiskunde hebben gemaakt en wat de oorsprong van de terminologie is.

(dit uit astronomische overwegingen). Merk op dat, wanneer r gegeven is, kennis van krd ( ) je inderdaad te reconstrueren. toestaat om

Ons verhaal begint bij Hipparchus in de tweede eeuw v.C. Deze voorname astronoom introduceerde in het Oude Griekenland het idee om een cirkel in 360 graden op te delen. Een antwoord op de vraag hoe we een gegeven hoek, zegge , kunnen vastpinnen door middel van geassocieerde lengte(s), formuleerde hij als volgt. Hij nam een cirkel met straal r en bekeek de lengte van de koorde van , kortweg krd ( ) genoteerd, verkregen door het hoekpunt van als middelpunt van de cirkel te nemen

Een viertal eeuwen later stelde Ptolemaeus uitgebreide tabellen op voor deze koorden. Hiervoor koos hij r = 60 (in onze hedendaagse goniometrische cirkel wordt r gelijk aan 1 gekozen, hiermee de tiende-eeuwse Perzische geleerde Aboe al-Wafa volgend) en berekende - op behoorlijk virtuoze en bijzonder nauwkeurige gaande van manier - krd ( ) voor O tot 180 graden met intervallen van 30 seconden !

De inhoud van dit artikel is gebaseerd op een hoorcollege van het vak "Histoire des mathématiques", zoals het gedoceerd werd door Prof. Jean Doyen in het tweede semester van het academiejaar 2009 -2010 aan de Université Libre de Bruxelles. De auteur is momenteel Marie Curie fellow van het lstituto Nazionale di Alta Matematica. Eventuele opmerkingen, suggesties of vragen zijn welkom (e-mail: igoyvaer@unito.it).

Vector2_april2018.indd 11

14/05/18 13:42

12

In de zesde eeuw merkte de Indiase als eerste op dat geleerde het veel eenvoudiger is om te berekenen indien gegeven is. Hij was ook de eerste die inzag dat het (computationeel) interessant is om aan een hoek de lengte toe te kennen. Nu kan je eenvoudig nagaan dat de waarde exact hetzelfde is als hetgeen wij - in hedendaagse noteren terminologie - als (indien je r =1 kiest). Eigenlijk zou een historische en wiskundige correcte notatie voor hetgeen noteren, bijvoorbeeld wij als kunnen zijn. Vanwaar komt dan de benaming "sinus van " voor dat ding ? Wel, daarvoor gaan we terug en zijn inzicht dat hierboven beschreven werd. Een 'halve ' in het Sanskoorde' heet ' kriet, de taal van maestro (die trouwens ook beschouwd wordt als de vader van het HindoeArabische talstelsel 1). In geleerde ', kringen gebruikte men ' een Sanskriet synoniem voor koorde. In de achtste eeuw van onze jaartelling trokken Arabische geleerden naar het huidige Indië en brachten kennis over de Indiase wiskunde (en hun positioneel decimaal stelsel) naar

1 2 3

Bagdad, een van de twee hoofdsteden van het toenmalige Islamitische Rijk. Zij trachtten de geschriften van hun Indiase collega's fonetisch te transcriberen naar het Arabisch, zodat de relevante termen in het Sanskriet uitspreekbaar zouden worden voor Arabischtaligen. De Arabische transcriptie van de Sanskriete term ' werd zo 'djiba' uitgesproken, wat ' overigens geen enkele betekenis had in het Arabisch van die tijd 2. Nu is het Arabisch een semitische taal waar klinkers wel worden uit gesproken, maar vaak niet opgeschreven (indien de klinkers in een woord niet worden opgeschreven, dient uit de context duidelijk te worden welke klinkers men tussen de geschreven letters moet voegen om het woord in kwestie zinvol te maken). Wat we als 'djiba' uitspreken, kan dan met slechts drie letters van het Arabische alfabet genoteerd worden: 'dj' ( ), 'i' ( ) en 'b' ( ), de 'a' ( ) wordt niet opgeschreven. Waarschijnlijk is men na verloop van tijd de juiste plaats van de 'a' in 'djiba' vergeten en ging men die tussen de 'dj' en de 'i' plaatsen. Op die ). Dat manier krijgt men 'djaib' ( heeft in het Arabisch wél betekenis : dit kan een zak of een (hand)tas zijn. Aan het begin van de renaissance komen de geschriften van de Arabische geleerden uit het noorden van Afrika - voornamelijk via Spanje en Sicilië - tot in onze contreien (en met hen ook het Hindoe-Arabische talstelsel dat we nog steeds gebruiken). In de twaalfde eeuw is het Gerard van

Cremona die het Arabische woord dat we als 'djaib' uitspreken op zijn beurt naar het Latijn vertaalt als 'sinus'. Dat verwijst naar de plooien in een Romeinse toga, ter hoogte van de borststreek, die men gebruikte om spullen in op te bergen (een beetje zoals een moderne broekzak dus, met dien verstande dat toga's geen zakken hadden) 3. Het dient gezegd dat de metamorfose van een halve koorde naar een plooi in een toga opmerkelijk is. Het verhaal van cosinus is sneller verteld. Hier zit het fenomeen eenvoudigweg in het voor voegsel 'co'. Dit voorvoegsel is namelijk een afkorting van de term 'complement' en uit de goniometrie weten we dat, voor een gegeven hoek , de sinus van het complement van (i.e. die wij met cos

) net de lengte geeft aanduiden.

`Isar.Goyvaerts Isar.Goyvaerts@vub.ac.be Università di Torino Dipartimento di Matematica "G. Peano" via Carlo Alberto 10 1-10123 Torino

Uit: Wiskunde & Onderwijs, tijdschrift van VVWL

In zijn geschriften duikt namelijk duidelijk een positioneel decimaal talstelsel op dat van kennis (en gebruik) van een nul getuigt. Niet geheel onterecht is Aryabhata vandaag een nationale held van Indië. Dit zou je kunnen vergelijken met de volgende situatie. De Engelse term 'fuel' - wat brandstof betekent - kan fonetisch getranscribeerd worden naar het Nederlands als 'fjoel'. In het Nederlands heeft dit geen enkele betekenis. Een niet-wetenschappelijke restant van deze etymologische tocht van het begrip 'sinus' vinden we bij voorbeeld terug in het Frans, meer bepaald in het woord 'sein'.

Vector2_april2018.indd 12

14/05/18 13:42

13

ELEGANTE MANIER OM SIN(22,5°) TE BEREKENEN Bovenstaande rechthoek heeft . afmetingen 1 en Wegens Pythagoras is de schuine zijde van de gelijkbenige rechthoekige driehoek met rechthoekszijden . gelijk aan 1 , gelijk aan De basishoeken in de gelijkbenige zijn gelijk driehoek aan 67,5° en dus hebben we rechts bovenaan 22,5°. Er geldt dan in de rechtse rechthoekige driehoek :

OEFENING

A

5

Vector2_april2018.indd 13

B

6

C

9

D

12

E

14

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

KANGOEROE, EDITIE WALLABIE, OPGAVE 12, 2018 Han vermenigvuldigt 2 getallen. Daarna maakt hij 3 cijfers onzichtbaar. Wat is de som van de 3 onzichtbare cijfers?

14/05/18 13:42

14 VWO

FORMULE 1 IN FORMULES GEEN SPORT TECHNOLOGISCH ZO UITDAGEND ALS DE FORMULE 1. AL MEER DAN ZESTIG JAAR LANG ONTWERPEN EEN TIENTAL TEAMS ELK JAAR EEN COMPLEET NIEUWE SUPERSNELLE WAGEN. DE BEDOELING? SNELLER ZIJN DAN DE ANDEREN, EN TEGELIJK TEGEN EEN STOOTJE KUNNEN. HET MINSTE SNELHEIDSVERLIES KAN JE PILOOT EEN OVERWINNING OF PODIUMPLAATS KOSTEN, MAAR TIJDENS DE RACE UITVALLEN OMWILLE VAN EEN TECHNISCH MANKEMENT IS ZO MOGELIJK NOG ERGER. EEN TEAM KAN ALLEEN WINNEN WANNEER HET EEN TECHNOLOGISCHE VERNIEUWING INVOERT EN DIE GEHEIM KAN HOUDEN VOOR DE CONCURRENTEN. BIJ HET ZOEKEN NAAR DIE VERNIEUWING KOMT ONDERTUSSEN HEEL WAT WISKUNDE KIJKEN: DE WISKUNDE ACHTER COMPUTERSIMULATIE. P R O F. D R . I R . G I OVA N N I S A M A E Y

Formule 1 is zeer streng gereglementeerd. Die reglementering is de essentie van de sport: het was van in het begin de bedoeling om elke constructeur vrijheid te geven binnen de afgesproken regels (de “formule”). De winnende constructeur kan dan met recht en reden beweren dat zijn ingenieurs de meest creatieve zijn, die het maximaal mogelijke realiseren binnen de grenzen van wat toegelaten is. De regels zelf hebben ruwweg twee doelen: veiligheid en spektakelwaarde. Voor de spektakelwaarde is niet alleen snelheid belangrijk, maar ook de spankracht. Ingrepen die een te groot competitief voordeel opleveren aan rijkere teams worden daarom vaak verboden. Zo mocht in het jaar 2004 de motor niet meer tijdens de race vervangen worden. Sinds 2005 moeten zelfs meerdere weekends afgewerkt worden met dezelfde motor. Ook voor het seizoen, bij het ontwerp van de wagen, hebben rijke teams met een groot onderzoeksbudget

Vector2_april2018.indd 14

een groot voordeel, vooral wanneer het gaat over de aerodynamische eigenschappen van de wagen. Een rijk team hoeft niet bijzonder creatief te zijn: het kan gewoon een hele waslijst aan mogelijke aerodynamische ingrepen vergelijken met testen in een dure windtunnel. Om dat te vermijden, is er sinds 2008 een maximale toegelaten testtijd in windtunnels: de wind mag maximaal 25 uur per week “op” staan. En nu komt het interessante deel: een brokje wiskunde. Windtunnels kunnen ook virtueel nagebouwd worden, op een supercomputer die een aerodynamisch experiment vervangt door een computersimulatie. Omdat duurdere computers sneller kunnen rekenen, zijn er ook regels over de maximaal toegelaten rekenkracht van supercomputers. Een uur in de windtunnel wordt door de FIA (de internationale automobielfederatie) gelijkgesteld met 1 teraflop aan rekencapaciteit. Een teraflop komt overeen met duizend

14/05/18 13:42

15

miljard optellingen of vermenigvuldigingen per seconde. Dat lijkt misschien veel, maar zelfs in 2005 was dit al niet meer genoeg om één van de 500 snelste computers ter wereld te zijn. De virtuele experimenten worden “CFD” genoemd, Engels voor Computational Fluid Dynamics. Bij CFD modelleert men de stroming van lucht rond de auto, net zoals dat in een windtunnel zou gebeuren. Het grote voordeel van virtuele experimenten is dat ze niet alleen zeggen hoe de lucht stroomt rond de auto die je net hebt getekend. Ze suggereren meteen ook een verbeterde vorm, waarvoor je opnieuw een virtueel experiment kunt doen. Die herhaalde afwisseling van simuleren en verbeteren heet optimaliseren, en laat toe om een heleboel echte experimenten in een windtunnel te elimineren.

Virtueel ontwerp via optimalisatie is niet alleen nuttig in de Formule 1. Het mooie aan de wiskundige benadering van optimalisatie is dat ze toelaat het optimalisatieprobleem los te koppelen van de concrete toepassing. In zowat elk domein waarin je wiskundige modellen beschikbaar hebt, kan je via een opeenvolging van virtuele experimenten (simulaties) stelselmatig toewerken naar een optimaal ontwerp. Zo slaagde Boeing erin om de Boeing 787 te bouwen met slechts 11 prototypes voor de vleugels. Voor de Boeing 747 waren er dat nog 77. De kostenbesparing die daarmee gepaard gaat, zorgt ervoor dat wiskundigen en wiskundig ingenieurs zeer gegeerd zijn in de industrie. Dat kan verklaren waarom Google bij een zoektocht naar “CFD formula 1” meteen de aanvulling “engineer salary” suggereert…

BIO P R O F. D R . I R . G I OVA N N I S A M A E Y Prof. dr. ir. Giovanni Samaey is docent aan het Departement Computerwetenschappen van de KU Leuven (afdeling NUMA, Toegepaste Wiskunde en Numerieke Analyse), gespecialiseerd in numerieke methodes voor computersimulatie. Recent schreef hij met collega Joos Vandewalle het boek 'X-Factor' waarin met twintig verhalen en tal van anekdotes de kracht en de noodzaak van wiskunde voor de maatschappij geïllustreerd worden. G. Samaey en J. Vandewalle. X-Factor, Pelckmans Pro, 2016. ISBN 978 90 289 8612 1

Vector2_april2018.indd 15

14/05/18 13:42

16 UITWISKELING

WISKUNDE EN GEZONDHEID DE LESACTIVITEITEN DIE WE IN DIT ARTIKEL BESCHRIJVEN ZIJN BEDOELD VOOR HET EERSTE JAAR. DE WERKTEKSTEN KUNNEN KADEREN IN EEN THEMAWEEK ROND ‘GEZONDE VOEDING’ EN/OF ’GENOTSMIDDELEN’. DIT KAN ZOWEL IN EEN A-STROOM ALS B-STROOM. CONCRETE VAKOVERSCHRIJDENDE EINDTERMEN DIE HIERBIJ AAN BOD KOMEN ZIJN: LEERLINGEN MAKEN GEZONDE KEUZES IN HUN DAGELIJKSE VOEDING, LEERLINGEN NEMEN DAGELIJKS TIJD VOOR LICHAAMSBEWEGING, LEERLINGEN SCHATTEN DE RISICO’S EN GEVOLGEN IN BIJ HET GEBRUIK VAN GENOTSMIDDELEN. J O H A N D E P R E Z , G E R D H AU T E K I E T

- R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

GEZONDE VOEDING Er is de laatste tijd heel wat te doen over gezonde voeding. Overgewicht heeft een epidemische omvang aangenomen. Daarnaast zijn er ook jongeren die lijden aan een eetstoornis. We vinden het zinvol dat wiskundeleerkrachten van de eerste graad ook eens buiten het handboek treden. We willen echt niet meesurfen met de trend van vaak tegenstrijdige voedingsadviezen. We willen ook niet dat leerlingen systematisch alle calorieën die ze opnemen gaan tellen. Obsessief bezig zijn met wat je eet, kan ook gevaarlijk zijn. Maar veel leerlingen hebben ongezonde eetgewoonten: ze eten te dikwijls frieten, chips, hamburgers en diepvriespizza’s. Bovendien drinken ze veel gesuikerde frisdranken. Vooral voor hen kan het zinvol zijn om eenmalig hun energie-

Vector2_april2018.indd 16

balans uit te rekenen en kritisch naar hun voedingspatroon te kijken. Het is belangrijk om de energiebalans in evenwicht te brengen of te houden door zowel de voedselinname als het energieverbruik aan te pakken. Op deze manier heb je als wiskundeleerkracht de kans om met de leerlingen te spreken over gezonde voeding en dit misschien op een andere manier dan de leerkracht natuurwetenschappen of lichamelijke opvoeding. Om aan de gegevens te komen om de opdrachten te kunnen uitvoeren, moeten de leerlingen de juiste informatie halen uit veel getalletjes op een verpakking of informatie online zoeken in een voedingsmiddelentabel. Gezonde voeding is een veelzijdig begrip. Het voorziet ons van de

nodige energie en voedingsstoffen om optimaal te functioneren. Je kunt je bij een bepaald voedingsmiddel de vraag stellen welke voedingswaarde het heeft en in welke mate het bijdraagt aan een evenwichtige voeding. Evenwichtige voeding is niet alleen een kwestie van calorieën tellen maar het gaat ook over welke nuttige voedingsstoffen zoals vitaminen, mineralen en vezels het product bevat. In de lessen natuurwetenschappen wordt hier verder op ingegaan. Door te veel te eten word je dik. Je krijgt dan meer energie binnen dan je verbruikt. De energie die je overhoudt, slaat je lichaam op als vet. Wil je dit vet kwijt? Dan moet je meer energie verbruiken dan je eet. Dit kan door lichaamsbeweging of fysieke activiteiten waarbij je door het leveren

14/05/18 13:42

17

van spierarbeid het lichaam beweegt en energie verbruikt. In een aantal werkteksten gaan we hier wat dieper op in. We kijken welke informatie we op het etiket van verpakte voedingswaren en drankjes vinden, berekenen wat we zoal opeten op een dag en hoeveel energie we verbruiken door fysieke activiteiten. In één lesuur leren leerlingen kritisch om te gaan met de informatie op het

voedingsetiket. De aandacht gaat hierbij vooral naar dranken en tussendoortjes. Zo kunnen de leerlingen een bewuste keuze leren maken uit het dranken- en tussendoortjesaanbod. De les start met een stukje theorie over wat er zoal op een voedingsetiket te vinden is. Sinds december 2016 zijn hier nieuwe richtlijnen van kracht. De aandacht gaat verder vooral naar het uitvoeren van enkele praktische oefeningen met verpakkingen.

Verschillende producten worden met elkaar vergeleken op basis van het energiegehalte (calorieën) en de voedingswaarde (zoals gehalte aan suikers, vetten en vezels). Voor deze oefening heb je genoeg verschillende verpakkingen nodig van drankjes en tussendoortjes. Je kunt hier als leerkracht zelf voor zorgen of je kunt de leerlingen iets laten meebrengen.

aandeel suikers apart vermeld, bij de vetten wordt het aandeel verzadigde (slechte) vetten vermeld. Dikwijls worden de voedingswaarden ook per portie weergegeven in een extra kolom. Een portie kan immers afwijken van 100 g of 100 ml. Vaak vind je op de verpakking een icoontje (zie figuur links) dat laat zien hoeveel procent van de referentie-inname (RI) voor energie, vet, verzadigd vet, suikers en zout in het product zit. Het icoon laat zien hoeveel 1 portie bijdraagt aan de referentie-inname.

Zo zie je hoeveel je binnenkrijgt in verhouding tot wat je per dag nodig hebt of wat maximaal past binnen een gezond voedingspatroon. Het is vooral informerend bedoeld en is geen leidraad van hoeveel je zou moeten eten.

L E S AC T I V I T E I T

WAT STAAT ER OP DE VERPAKKING? Hiernaast zie je het etiket van een flesje melk. Je vindt er heel wat informatie op. De ingrediëntenlijst geeft een opsomming van alle ingrediënten aanwezig in het product. Wat het meeste voorkomt in het product staat vooraan. De rest staat in dalende volgorde. De voedingswaarde geeft aan hoeveel energie en voedingsstoffen het product bevat per 100 g voor vaste stoffen of per 100 ml voor vloeistoffen. Energie wordt uitgedrukt in kilocalorie (kcal) of kilojoule (kJ). 1 kcal komt overeen met 4,166 kJ. Bij de koolhydraten wordt het

Vector2_april2018.indd 17

Het nettogewicht is het gewicht van het voedingsmiddel zonder de verpakking. De houdbaarheidsdatum geeft aan tot wanneer je het product minimaal

14/05/18 13:42

18

kan bewaren en opeten. Voorschriften voor bewaring en gebruik moeten verplicht op de verpakking staan als dit invloed heeft op de houdbaarheid, bv. koel bewaren voor yoghurt. De allergenen moeten in het oog springen voor mensen die allergisch zijn aan bepaalde ingrediënten. Verder vind je eventueel nog labels (bv. Fairtrade), een streepjescode of een lotnummer om te achterhalen waar of wanneer het product gemaakt werd. Voor vlees van verschillende diersoorten (gevogelte, varkensvlees, geitenvlees, schapenvlees) is het verplicht te vermelden waar het dier is gekweekt en geslacht.

2. Je hebt een zestal verschillende verpakkingen van drank ter beschikking. Zet de beschikbare drankverpakkingen van laag naar hoog volgens energiegehalte (aantal kcal per 100 ml) zonder de voedingswaarde af te lezen van het etiket. Je maakt een schatting en je gaat af op je intuïtie. 3. Lees nu het energiegehalte af van het etiket, schrijf het energiegehalte per 100 ml op een post-it en kleef dit op de verpakking. 4. Verplaats zo nodig de verpakkingen zodat ze in de juiste volgorde komen staan.

1. Zoek al deze gegevens op de verpakking van één tussendoortje.

5. Plaats de producten van laag naar hoog volgens energiegehalte per verpakte portie.

Het is belangrijk een nabespreking te houden met de leerlingen. De volgende vragen kunnen aan bod komen: • Is de volgorde zoals verwacht? • Ben je verrast door de hoeveelheid energie in bepaalde dranken? • De energiewaarde van melk, fruitsap en frisdrank ligt dicht bij elkaar. Wat is de beste keuze en waarom? Het is niet altijd eenvoudig om te bepalen wat de beste keuze is. Het is belangrijk vanuit welk standpunt je dit bekijkt. Melk bevat bv. meer calcium, fruitsap dan weer meer vezels. • De energiewaarde van water, koffie en light frisdranken is zeer laag. Wat is de beste keuze en waarom?

Water zal wel het gezondst zijn. Het bevat geen cafeïne, geen kunstmatige zoetmakers,... maar alleen water drinken is ook eentonig. • Welke dranken bevatten toegevoegde suikers? Toegevoegde suikers zijn suikers die aan producten zijn toegevoegd Het kan ook gaan om suikers die toegevoegd worden in de vorm van honing, siropen, geconcentreerd fruitsap, kokossuiker en rietsuiker. Ook de alternatieve zoetmakers die vaak als gezonder worden gepercipieerd, horen hierbij. Suikers die van nature en intrinsiek aanwezig zijn in fruit, groenten en melk en dus deel uitmaken van hun intacte structuur horen niet tot deze groep.

Vector2_april2018.indd 18

Verpakkingen van frisdrank, tussendoortjes bevatten meestal meer dan 100 ml of 100 g. De volgorde kan dus anders zijn dan bij de vorige opdracht. 6. Gok hoeveel suikerklontjes de dranken bevatten zonder op de verpakking te kijken. Schrijf je gok op een post-it en plak hem op het product. 7. Ga na op de verpakking hoeveel suiker de producten echt bevatten en reken deze hoeveelheid om naar suikerklontjes. Ter info: 1 suikerklontje heeft een massa van 5 g, bevat dus 5 g koolhydraten en heeft een energiewaarde van 20 kcal.

14/05/18 13:42

19

L E S AC T I V I T E I T

JOUW ENERGIEBALANS Niet alle voedingsmiddelen zijn verpakt. Van alle voedingsmiddelen kun je de gegevens opzoeken in een tabel (op papier of op internet). De voedingsmiddelen zijn meestal uitgedrukt per 100 g of per portie. Niet alle voedingsmiddelen staan in deze tabel. Op internet kun je voedingsmiddelentabellen vinden met veel meer voedingsmiddelen, zelfs per merk.

1. Hieronder zie je wat Georges als ontbijt en voormiddag-tussendoortje gegeten heeft. Bereken met de tabel hoeveel energie (in kcal) Georges heeft opgenomen voor de middag. Energie in kcal ontbijt 2 sneetjes bruin brood (60 g) margarine (5 g) 1 plakje kaas (30 g) 1 sinaasappel (150 g) 1 glas chocolademelk (200 g) 10u tussendoortje 1 stuk peperkoek (20 g) 1 glas halfvolle melk (200 g) Totaal

Hij neemt ongeveer 637,25 kcal op. 2. Pieter maakt fruitsla van 1 peer (= 120 g), 1 banaan (= 100 g), 1 sinaasappel (= 110 g). Hij eet van deze fruitsla 200 g. Hoeveel kcal heeft Pieter opgenomen?

Vector2_april2018.indd 19

portie

Energie (kcal)

Energie (kJ)

Eiwit (g)

Vet (g)

Koolhydraat (g)

Vezels (g)

bruin brood

100 g

256

1076

7,0

3,7

45,6

5,7

margarine

100 g

711

2977

0,0

80

1,03

0,0

kaas

100 g

235

988

32,0

12,0

0,0

0,0

sinaasappel

100 g

44

186

1,0

0,0

9,5

2,1

chocomelk, halfvol

100 g

79

328

3,2

1,6

12,9

0,0

peperkoek

100 g

308

1293

3,3

1,7

67,7

2,9

halfvolle melk

100 g

46

194

3,4

1,5

4,8

0,0

banaan

100 g

137

575

1

0,3

20,6

1,9

peer

100 g

86

363

1,2

0,2

18,8

2,0

Ongeveer 175 kcal. 3. Schrijf in een tabel alles op wat je gisteren gegeten hebt. Bereken hoeveel kcal je hebt opgenomen. Als je meer energie opneemt dan verbruikt, leidt deze overtollige energie tot een verhoging van het lichaamsgewicht. Deze vermeerdering van gewicht wordt veroorzaakt door het opslaan van vet en water in de weefsels. Om 1 kg in gewicht toe te nemen zijn ongeveer 25000 tot 30000 kJ extra nodig. 4. Hoeveel kcal zijn er nodig om 1 kg in lichaamsgewicht toe te nemen? 6000 tot 7200 kcal.

activiteiten hij voor de middag gedaan heeft. Vul de tabel aan en bereken hoeveel kcal hij op een voormiddag verbruikt heeft. Activiteit

Aantal minuten

opstaan, wassen, aankleden

15 min

zittend ontbijt

10 min

naar school fietsen

30 min

3 zittende lesuren

3 x 50 min

speeltijd

2 x 15 min

Verbruikte energie in kcal

lichamelijke 50 min opvoeding Totaal

De tabel op de volgende pagina geeft een overzicht van het energieverbruik per uur bij verschillende activiteiten. De getallen staan aangegeven per kg lichaamsgewicht en bij een gemiddeld gewicht van 75 kg voor een man en 65 kg voor een vrouw. 5. Georges weegt 45 kg. In de onderstaande tabel zie je welke

6. Heeft Georges meer energie verbruikt dan hij opgenomen heeft? 7. Maak voor jezelf een dagindeling van een gewone schooldag. Zoek in de tabel op hoeveel energie je verbruikt op een totale dag.

14/05/18 13:42

20

Vergelijk het met de energie die je op een hele dag opneemt (vraag 3). Is je energiebalans positief of negatief?

Energieverbruik

Energieverbruik/ uur

Energieverbruik/ min

(kcal/kg/uur)

Man

Man

Vrouw

Vrouw

Dagelijkse activiteiten Slapen, liggen

0,95

71

62

1,2

1

Zitten

1,1

82

71

1,4

1,2 1,4

Staan

1,3

97

84

1,6

Lopen, wandelen (3 km/u)

2,7

202

175

3,4

2,9

Traplopen

6,5

487

422

8,1

7,0

Fietsen (15 km/u)

5,5

412

357

6,9

6,0

Autorijden

2,5

187

162

3,1

2,7

Licht huishoudelijk werk

2,4

180

156

3,0

2,6

Zwaar huishoudelijk werk

3,5

262

227

4,4

3,8

Licht werk (kantoor)

2,2

165

143

2,8

2,4

Half zwaar werk (fabriek)

3,5

262

227

4,4

3,8

Zwaar werk (bouw)

7,5

562

487

9,4

8,1

Buiten spelen (kinderen)

6,5

487

422

8,1

7,0

Binnen spelen (kinderen

1,5

112

97

1,9

1,6

Wandelen (5 km/u)

4,5

337

292

5,6

4,9

Joggen (10 km/u)

9,0

675

585

11,3

9,8

Fietsen (25 km/u)

11,0

825

715

13,8

11,9

Fitnessen

4,5

337

292

5,6

4,9

Sportieve activiteiten

ROKEN BIJ JONGEREN Tabaksrook heeft veel schadelijke gevolgen voor verschillende delen van het lichaam. Sommige effecten zijn onmiddellijk duidelijk (stinkende kleren en haren, hoesten, gele vlekken op vingers en tanden…), andere pas na langere tijd (hart- en vaatziek-

Vector2_april2018.indd 20

Voetballen

7,5

562

487

9,4

8,1

Hockeyen

7,5

562

487

9,4

8,1

Tennissen

7,0

525

455

8,8

7,6

Volleyballen

3,2

240

208

4,0

3,5

Skiën

8,0

600

520

10,0

8,7

Schaatsen

7,5

562

487

9,4

8,1

Zwemmen

5,2

390

338

6,5

5,6

ten, longkanker…). Rokers hebben 2,5 keer meer kans om te sterven aan een hartziekte dan niet-rokers, 90% van de longkankers en 80% van de chronische longaandoeningen zijn te wijten aan roken. Mensen die er voor kiezen niet te roken hebben minder kans om deze ziektes te krijgen.

Andere voordelen voor niet-rokers zijn: een frisse adem, frisse kleren en haren, meer geld… In een eerste werktekst gaan we in op het financiële aspect van roken op korte en lange termijn.

14/05/18 13:42

21

L E S AC T I V I T E I T

HET KOSTENPLAATJE Een pakje sigaretten kost 6,00 EUR en hierin zitten 25 sigaretten. 1. Bereken de kostprijs per sigaret tot op 0,001 EUR. 2. Vul de tabel in. 3. Hoeveel heeft een gelegenheidsroker die stopt met roken na 10 jaar uitgespaard? 4. Wat kan hij met dit geld kopen? Schrap wat niet past. mountainbike - brommer - auto - Playstation 5. Hoeveel kan een verstokte roker jaarlijks sparen als hij stopt met roken?

Type

Aantal sigaretten per dag

Aantal sigaretten per week

Aantal sigaretten per jaar

Kostprijs per jaar

Kostprijs per 10 jaar

Gelegenheidsroker 10 sigaretten in het weekend Roker 10 sigaretten per dag Verstokte roker 1 pakje per dag Kettingroker 2 pakjes per dag

Bij een tweede werktekst is het de bedoeling gegevens af te lezen van enkele (recente) grafieken in verband met het rookgedrag van jongeren.

L E S AC T I V I T E I T

ROOKGEDRAG BIJ JONGEREN Dit zijn de resultaten van een onderzoek naar hoeveel procent van de jongeren dagelijks roken. Dit onderzoek werd bij verschillende leeftijdscategorieĂŤn gedaan en op verschillende tijdstippen. De grafiek is ook te vinden op de website van jongeren-en-gezondheid.ugent. be (http://www.jongeren-engezondheid.ugent.be/wordpress/ wp-content/uploads/2016/03/ HBSC_2014_Rookgedrag..pdf). 1. Hoeveel procent van de 13-14jarige meisjes rookte er in 1998? 5%

Vector2_april2018.indd 21

Percentage prevalentie dagelijks tabaksgebruik naar leeftijd en geslacht

14/05/18 13:42

22

2. Kijk goed naar de horizontale as. Om de hoeveel jaar is het onderzoek gebeurd? Deze grafiek is een mooi voorbeeld van een lijndiagram waarbij de afstand tussen de punten niet steeds even groot is. Als je dezelfde grafiek in een spreidingsdiagram zou tekenen, krijg je een ander realistischer beeld, zeker voor de stijgingen en dalingen. 3. Kun je het totaal aantal rokende jongens in 2014 aflezen in deze grafiek? Waarom (niet?) Neen, de grafiek geeft percentages. Je weet niet hoe de leeftijdsverdeling is, de percentages van de verschillende leeftijden mag je dus zeker niet optellen.

BRONNEN Biront, C., & Deprez, J. (2012). Wiskundige begrippen en methoden. Deel 3. Deurne: Wolters-Plantyn, 388 pp. ISBN 978-90-301- 3689-7. www.gezondeschool.be/ www.gezondeschool.be/acties/actielijst/ winkeloefening-module-dranken-entussendoortjes-voor-het-so www.gezondeschool.be/assets/uploads/pages/ homepagecovers/Interventiedatabase/ infofiches_Gameover@tabak.pdf www. jongeren-en-gezondheid.ugent.be/ www.nubel.com/nl/merknamendatabank. html www.rokeninfo.nl/publiek/cijfers/ cijfers-over-jongeren www.vigez.be/ themas/voeding-en-beweging/cijfers/ voeding#jongeren www.voedingswaardetabel.nl/

Vector2_april2018.indd 22

4. Bij welke categorie wordt er meest gerookt? Bij de jongens van 17-18 jaar. 5. Omschrijf de evolutie van het rookgedrag van deze categorie in functie van de tijd. Sterke stijging van 1990 tot 1996, daling en stagnatie tot 2002, sindsdien verdere daling tot 2014. 6. Waar of niet waar: jongens roken in elke leeftijdscategorie meer dan meisjes. Meestal wel, maar er zijn kleine uitzonderingen bij de jongere meisjes. Jammer genoeg, halen ze de jongens in.

Dit klopt. Dit is vooral te wijten aan de categorie jongens 15-16. 8. Waar of niet waar: de laatste vier jaar van deze meting roken meisjes minder, over alle leeftijdscategorieën samen. Het verschil is te klein om deze uitspraak te kunnen doen. 9. Bekijk de groep meisjes die 17-18 jaar waren in 2014. Maak een tabelletje met hun rookgedrag in functie van hun leeftijd. 11-12

13-14

15-16

17-18

2008

2010

2012

2014

3%

2%

8%

11%

7. Waar of niet waar: de laatste vier jaar van deze meting roken jongens minder, over alle leeftijdscategorieën samen.

Dit is een stuk uit een omvangrijk artikel met de titel ‘Wiskunde en gezondheid’ dat verscheen in het tijdschrift Uitwiskeling (jaargang 33 nummer 3). In het artikel richten we ons op toepassingen van wiskunde in de medische wereld. Voor de A- en B-stroom in de eerste graad werkten we activiteiten uit die kaderen in een themaweek rond gezonde voeding en rond genotsmiddelen. Verder presenteren we materiaal over farmaceutisch rekenen, voor leerlingen van het vijfde jaar tso met 2 uur wiskunde per week en bruikbaar bij het leerplanonderdeel mathematiseren. Voor richtingen uit de derde graad met minimaal 4 uur wiskunde per week werkten we toepassingen over exponentiële functies en rijen uit in de context van farmacokinetiek: hoe evolueert de concentratie van een geneesmiddel in het lichaam?

Uitwiskeling is een tijdschrift van en voor wiskundeleraren, helemaal vanuit de praktijk van het wiskundeonderwijs. Benieuwd naar meer? Op de webstek www.uitwiskeling.be vind je alle info. Daar kun je ook de werkteksten uit het artikel downloaden.

14/05/18 13:42

23 GEOGEBRA

ONDERZOEKSVAARDIGHEDEN IN DE WISKUNDE I VA N D E W I N N E

- I VA N @ M AT H E L O . N E T - E VA L UAT I E F O R M U L I E R E N S C O R E B L A D T E D OW N L OA D E N V I A W W W. M AT H E L O . N E T

VERANTWOORDING In het leerplan wiskunde voor de derde graad ASO staat voor de studierichtingen met component wiskunde het onderwerp onderzoekscompetenties als een verplicht onderdeel op het programma met als kerndoelstellingen:

Reken-, meet- en tekenvaardigheden, alsook de wiskundige taalvaardigheid, zijn voor zowat elke leerling tot op een bepaald niveau haalbaar. Vanuit puur wiskundig standpunt zijn denk- en redeneervaardigheden uiteraard belangrijker, maar minder evident om te realiseren.

OC1: Zich oriënteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken. OC2: Een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uitvoeren en evalueren. OC3: De onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere standpunten.

Als voorbereiding op hogere studies zijn probleemoplossende vaardigheden en onderzoeksvaardigheden ongetwijfeld van nog groter belang. Aan leerlingen worden meestal problemen en hieraan gekoppelde onderzoeksvragen voorgeschoteld die sterk aanleunen bij onderwerpen die reeds eerder aan bod kwamen in het leerplan. Het eindproduct van zo’n onderzoeksopdracht is voor heel wat leerlingen een “paper” met een vaak erg verzorgde lay-out maar waarbij de inhoud zich beperkt tot een samenraapsel van “knip- en plakwerk” van artikels en afbeeldingen gevonden op Wikipedia en Google.

In de twee leerjaren van de derde graad zou hieraan ongeveer 4% van de lestijden moeten besteed worden. Dit komt neer op een totaal van ongeveer 12 lestijden. In een tweedelig artikel illustreren wij deze vaardigheid met een zoektocht doorheen de wereld van de meetkundige puzzels. In het eerste deel staan wij stil bij een paar beroemde meetkundige puzzels uit de geschiedenis en verduidelijken het OVUR stappenplan. In het tweede deel komt het ICT-gebruik met GeoGebra aan bod om via meetkundige constructies interactieve versies van deze puzzels te creëren. WISKUNDIGE VAARDIGHEDEN Leerlingen moeten bij hun wiskundevorming een groot aantal vaardigheden ontwikkelen.

Vector2_april2018.indd 23

Een onderzoeksopdracht verloopt in een aantal fasen, die bekend staan als het OVUR-stappenplan; oriënteren, voorbereiden, uitvoeren en reflecteren. In essentie is dit gebaseerd op de principes van de zelfinstructiemethode van Meichenbaum, in het basisonderwijs beter bekend als “de methode met de vier beertjes”.

Wat moet ik doen? O(riëntatie)

Hoe ga ik het doen? V(oorbereiden)

Ik doe mijn werk U(itvoeren)

Ik controleer R(eflecteren)

14/05/18 13:42

24

Een ideale onderzoeksopdracht zou vooral origineel moeten zijn waarbij het bepalen en afbakenen van geschikte onderzoeksvragen een uitdaging op zich is, de zoektocht naar de mogelijke oplossingen intrigerend en de uitwerking het resultaat is van een creatief proces. Meetkundige puzzels vormen ongetwijfeld een dankbaar onderwerp om dergelijke onderzoeksopdrachten uit te werken. In de loop der geschiedenis werden mensen gefascineerd door (wiskundige) raadsels, spelletjes en meetkundige puzzels met als bekendste voorbeeld de Chinese tangram. De Japanse tempelmeetkunde leverde ons een schat aan sangaku’s en de oudste meetkundige puzzel is waarschijnlijk de Griekse ostomachion van Archimedes. DE BEKENDSTE CHINESE LEGPUZZEL: DE TANGRAM Een tangram is één van die meetkundige puzzels bestaande uit zeven veelhoeken: een vierkant, een parallellogram, twee grote congruente driehoeken en twee kleine congruente driehoeken en één middelgrote driehoek. Dankzij de handel met China verspreidde in het begin van de negentiende eeuw de tangram zich snel over Europa en de Verenigde Staten. Van Lewis Carroll, de auteur van Alice in wonderland en de Amerikaanse schrijver Edgar Allan Poe is bekend dat zij een voorliefde voor deze legpuzzel hadden.

Een andere uitdaging bestaat erin om met GeoGebra de tangram te reconstrueren en zodanig te verdelen dat er een vierkant, een parallellogram en vijf gelijkbenige rechthoekige driehoeken met drie verschillende grootten ontstaan. Een iets moeilijkere ICT-opdracht is het maken van de aparte puzzelstukjes die men vervolgens kan verschuiven en roteren rond een hoekpunt. EUREKA! Archimedes is één van de belangrijkste wetenschappers uit de klassieke oudheid. Over zijn leven is vrij weinig met zekerheid bekend. Hij zou geboren zijn in 287 v. Chr. te Syracuse op het eiland Sicilië. Hij studeerde wiskunde in Alexandrië, waar hij les kreeg van leerlingen van Euclides. Na zijn studie keerde hij terug naar Syracuse, waar hij zijn onderzoeken op het gebied van wiskunde en natuurkunde verderzette. Archimedes werd gedood in 212 v. Chr. bij de inname van Syracuse door de Romeinen. Hieraan is een leuke anekdote verbonden: het verhaal gaat dat een Romeinse soldaat zijn huis binnendrong waar Archimedes bezig was met een wiskundig probleem. Hierbij had hij cirkels getekend in een zandbak. De soldaat rende door deze zandbak heen, waarop Archimedes riep: ‘ Verstoor mijn cirkels niet!’ Hierop doodde de soldaat Archimedes met zijn zwaard. In de fysica beschrijft de naar hem genoemde wet van Archimedes de opwaartse kracht die een in vloeistof ondergedompeld voorwerp ondervindt. Koning Hiero vermoedde dat de edelsmid die een gouden kroon moest maken had gefraudeerd en een deel van de voorraad goud die http://www.coreknowledge.org.uk/ year6literaturesayings.php

De populariteit van de tangram is vooral te danken aan de eenvoud van de spelregels. Het is de bedoeling om met alle puzzelstukken meetkundige figuren te maken zoals diersilhouetten, mensen, planten, letters en cijfers waarbij de veelhoeken elkaar niet overlappen en aansluiten.

Daarnaast is de tangram een bruikbaar hulpmiddel om allerlei verbanden te onderzoeken tussen de puzzelstukken zoals de oppervlakte, de lengten van de zijden en de grootte van de hoeken.

Vector2_april2018.indd 24

14/05/18 13:42

25

hem ter beschikking was gesteld had verwisseld voor hetzelfde gewicht aan zilver. De kroon smelten en opnieuw smeden was echter geen optie, het sieraad was namelijk al aan de goden gewijd. De opdracht leek onmogelijk, maar toen hij in bad lag, bedacht Archimedes de oplossing. Volgens de overlevering rende hij volledig naakt, dolblij de straat op terwijl hij “Eureka!” riep, Grieks voor “Ik heb het gevonden!” De ontdekking van een aantal eigenschappen uit de meetkunde worden ook aan Archimedes toegeschreven.

Spiraal van Archimedes

Oppervlakte paraboolsegment

Inhoud bol ingeschreven in cilinder

DE OSTOMACHION VAN ARCHIMEDES In de Griekse oudheid bestond er een meetkundige puzzel die erg vergelijkbaar is met de tangram. Deze puzzel wordt beschreven in teksten uit de derde eeuw voor Christus en wordt toegeschreven aan Archimedes. De Griekse naam is “ostomachion”, de Latijnse naam “loculus Archimedius”.

Vector2_april2018.indd 25

De ostomachion bestaat uit veertien veelhoeken waarvan de hoekpunten roosterpunten zijn van een vierkant met zijde 12. Men kan met deze puzzelstukken allerlei figuren maken zoals een olifant of een kroon.

Men kan zich ook de vraag stellen “Op hoeveel verschillende wijzen men het vierkant rooster kan opvullen met de losse puzzelstukjes?”. Het onderdeel van de wiskunde dat zich hiermee bezig houdt is de combinatieleer. De Amerikaanse wiskundige Bill Cutler heeft de computer gebruikt om het aantal verschillende mogelijkheden te bepalen en vond in 2003 als resultaat 536 oplossingen. DISSECTIEPUZZELS De stelling van Wallace-Bolyai-Gerwien luidt als volgt: Elke twee eenvoudige veelhoeken van gelijke oppervlakte zijn stuksgewijs congruent, dat wil zeggen dat je de eerste veelhoek in een eindig aantal veelhoeken kunt opdelen en deze kunt omvormen zodat je de tweede veelhoek bekomt. Wallace had deze stelling al bewezen in 1807. Andere bronnen vermelden echter dat Bolyai en Gerwien de stelling individueel hadden bewezen in 1933 en 1935. Aangezien het niet duidelijk is wie het eerste bewijs leverde, is de stelling naar alle drie vernoemd. Raadpleeg de website mathworld.wolfram.com/ Dissection.html voor een uitgebreid overzicht van dissectiepuzzels.

14/05/18 13:42

26

Het is bijvoorbeeld mogelijk om een regelmatige achthoek in vijf puzzelstukken te versnijden en te transformeren naar een vierkant met dezelfde oppervlakte. https://ggbm.at/ hcb5XHt2 1

3

2

In 1900 formuleerde David Hilbert tijdens een internationaal wiskundig congres zijn 23 nog niet opgeloste wiskundige vraagstukken waarbij het derde probleem een uitbreiding is naar drie dimensies van het vorige probleem in een vlak: Gegeven twee veelvlakken met gelijke inhoud. Is het dan altijd mogelijk om het eerste veelvlak in eindig veelvlakken te verdelen en te transformeren naar een ander veelvlak?

Eén van de beroemdste meetkundige puzzels, het Haberdasher probleem, werd op 17 mei 1905 door Dudeney gepresenteerd voor de Royal Society in het Burlington House. Een paar maanden eerder werd dit probleem gepubliceerd als een uitdaging in de Daily Mail. Bij de honderden inzendingen was er geen enkele correcte oplossing. In 1907 werd een bundeling van ruim honderd puzzelproblemen van Dudeney uitgebracht in het boek “Canterbury Puzzles”, waaronder de Haberdasher puzzel.

Gegeven is een gelijkzijdige driehoek. Maak met slechts 3 insnijdingen van de driehoek 4 puzzelstukjes die vervolgens kunnen omgevormd worden tot een vierkant met dezelfde oppervlakte als de gegeven gelijkzijdige driehoek.

DE HABERDASHER PUZZEL Bij het begin van de twintigste eeuw kende men in England en de Verenigde staten een revival met een collectie puzzels van Henry Ernest Dudeney en Sam Loyd. Dudeney (1857-1930) was een Engelse wiskundige die vooral als bedenker van puzzels beroemd werd. Dudeney was zestien jaar jonger dan zijn Amerikaanse collega puzzelontwerper Sam Loyd. Eind 19de eeuw werkten ze samen op een reeks puzzelartikelen voor het tijdschrift Tit-Bits en later hebben ze heel wat puzzelproblemen voor hun tijdschrift- en krantenkolommen geruild.

Vector2_april2018.indd 26

Zo’n puzzel noemt men ook een scharnierpuzzel omdat men al scharnierend de driehoek kan omvormen tot een vierkant en omgekeerd.

14/05/18 13:42

27

1

3

HET OVUR STAPPENPLAN Stap 1: keuze Leerlingen kiezen idealiter zelf een onderwerp voor een onderzoeksopdracht en formuleren kort de opdracht.

Stap 2: oriënteren

2

Leerlingen verzamelen gericht informatie over het gestelde probleem door raadpleging van verschillende bronnen zoals Google, documentatie in een bibliotheek, wetenschappelijk naslagwerken, krantenartikels, tijdschriften, tentoonstellingen, musea, wetenschappelijke doe-centra.

http://www.gutenberg.org/books/27635

Dit puzzelprobleem van Dudeney is een boeiende onderzoeksopdracht om volgende redenen: - Er is slechts weinig betrouwbare informatie te vinden. - Sommige constructies blijken na nauwkeurig onderzoek slechts benaderingen en onjuist. - Het ontrafelen van de constructie van Dudeney in Canterbury Puzzles is niet eenvoudig. - Leerlingen moeten een aantal basistechnieken van GeoGebra beheersen. - Dit probleem uit 1905 houdt nu nog altijd wiskundigen bezig zoals de vouwwiskundige Eric Demaine. - Er zijn mogelijke uitbreidingen naar andere veelhoeken (Hilbert) en zelfs tot 3 dimensies.

Originele tekening van Dudeney in Canterbury Puzzles

Vector2_april2018.indd 27

Mogelijke zoektermen zijn: Dudeney, puzzel, versnijding, dissection, Canterbury Puzzles … Leerlingen bewaren deze links als favorieten of bladwijzers en noteren mogelijke andere bronnen zoals handboeken, wetenschappelijke tijdschriften, cursussen… Leerlingen ordenen de gevonden informatie tot een lijst van interessante links en documenten in verschillende categorieën. Zij maken ook een inschatting van de betrouwbaarheid van de bronnen. Leerlingen bewerken deze informatie tot een overzichtelijk geheel met aanduiding van de belangrijkste aan dit probleem gerelateerde items. Belangrijk is ook het bijhouden van de gebruikte bronnen in een literatuurlijst met bronvermelding. De leerkracht of een andere geïnteresseerde moet immers steeds de informatie, op basis van de bronvermelding kunnen controleren. Stap 3: voorbereiden Na het verzamelen en het ordenen van de gevonden informatie moeten leerlingen een aantal relevante hoofdvragen in verband met het gestelde onderzoeksprobleem en deelvragen opstellen.

14/05/18 13:42

28

Aansluitend verwerken de leerlingen deze vragen tot een schematisch plan van aanpak bij de uitvoering van deze onderzoeksopdracht. Hoe zal deze onderzoeksopdracht worden uitgevoerd? Onder welke vorm zal het eindresultaat gepresenteerd worden? Welke hulpmiddelen heeft men nodig? Leerlingen maken een (realistische) tijdsplanning met vermelding van de opeenvolgende stappen van de uitvoering van deze opdracht. Tijdens de uitwerking van deze onderzoeksopdracht moet de leerling een logboek bijhouden. Een logboek geeft een chronologisch overzicht van de geplande en uitgevoerde activiteiten en een werkinstrument voor het opvolgen van de werkzaamheden door de leerkracht. Voor de evaluatie van de onderzoeksopdracht is het belangrijk dat de leerkracht kan nagaan dat de leerling actief en op regelmatige basis aan deze opdracht werkt. Tijdens deze voorbereidingsfase worden de onderzoeksvragen en deelvragen nauwkeurig omschreven en omgezet in hypothesen. Naast het logboek is het ook belangrijk om een bronnen- en materialenmap aan te leggen. Deze (digitale) map is een hulpmiddel bij het verzamelen en ordenen van materiaal. Voor de leerkracht is het een hulpmiddel om de opdracht te evalueren.

Bij het uitwerken van deze opdracht moet er mogelijks ook gebruik gemaakt worden van ICT-hulpmiddelen (beamer, e-mail, internet), algemene softwarepakketten (Word, Paint, Snagit, PowerPoint, rekenblad, formule-editor) en specifieke wiskundesoftware. Leerlingen vermelden het gebruik hiervan in het logboek. De leerlingen formuleren de conclusies die een antwoord geven op de gestelde onderzoeksvragen. Stap 5: rapporteren, presenteren Leerlingen maken een heldere, coherente en goed verzorgde neerslag van de onderzoeksopdracht en kiezen één (of meerdere) van de volgende vormen: paper, presentatie, website, tentoonstelling…

Het schriftelijk rapport dient minimaal 10 en maximaal 15 pagina’s tekst te omvatten bestaande uit een inleiding, samenvatting, conclusie en literatuurlijst. Voornamelijk de kwaliteit en niet de kwantiteit is hierbij van belang. De onderzoeksopdracht moet de leerling uiteindelijk voorstellen aan de klasgroep door middel van een mondelinge presentatie.

De gevonden informatie wordt verwerkt tot een coherent geheel.

Stap 6: evalueren en reflecteren Eén van de doelstellingen van een onderzoeksopdracht is de ontwikkeling van de onderzoekscompetentie (voor wiskunde). Dit omvat het geheel van kennis, vaardigheden en attituden om zelfstandig een onderzoek uit te voeren volgens de wetenschappelijke methode.

Mogelijks moet de onderzoeksopdracht worden bijgestuurd en de deelvragen aangepast. Leerlingen selecteren de nuttige informatie en

Bij de beoordeling door de leerkracht wordt niet enkel rekening gehouden met het eindproduct (rapport en presentatie) maar ook met alle stappen van het onderzoeksproces.

Deze bronnenmap bevat de kladversie met aantekeningen en opmerkingen, het overzicht van de geraadpleegde bronnen… Stap 4: uitvoeren

Vector2_april2018.indd 28

integreren informatie uit eigen onderzoek en vergelijken dit met bestaande gegevens.

14/05/18 13:42

29

Bij de evaluatie van het proces zijn een nauwkeurig bijgehouden logboek en de bronnenmap belangrijke waardemeters in verband met het plan van aanpak, het tijdsschema, de uitvoering en de bijsturing. De leerkracht zal na elke stap duidelijke feedback geven en indien nodig remediëren. Bij de uiteindelijke quotering zal ongeveer de helft van de punten toegekend worden aan het proces en de helft aan het uiteindelijke product. De leerkracht zal bij de procesbeoordeling rekening houden met volgende criteria: - de mate van zelfstandigheid waarmee de leerling heeft gewerkt - neemt de leerling voldoende eigen initiatieven - werkt de leerling actief samen met voldoende teamgeest - beschikt de leerling over doorzettingsvermogen - nauwkeurigheid en volledigheid - werkt de leerling volgens het stappenplan - doet de leerling aan reflectie en houdt rekening met opmerkingen van de leerkracht - correct mondeling en schriftelijk taalgebruik - bijhouden van logboek voor verslag, planning, remediering - zelfevaluatie …

De leerkracht zal bij de productbeoordeling rekening houden met: - de inhoud en in hoeverre de verschillende aspecten van het probleem werden uitgewerkt - uitwerking hypothesen en conclusies - werden de teksten in belangrijke mate zelf geschreven of louter gekopieerd? - de lay-out, leesbaarheid en de verzorgde uitwerking van het rapport - opmaak van het rapport: titelblad, paginanummering, bladspiegel, koppen, voetteksten … - logische indeling in onderdelen en alinea’s - de volledigheid van het logboek - de inhoud van de bronnenmap - het ontwikkelde ICT-materiaal - weergave van formules - taal: woordenschat, spelling, zinsbouw… - de presentatie ZELFEVALUATIE DOOR LEERLING Het leerproces en het eindproduct worden door de leerling beoordeelt en vergeleken met de evaluatie door de leerkracht. Dit biedt mogelijkheden tot reflectie en bijsturing. De leerling denkt na over de aanpak en werpen licht op de positieve en negatieve zaken van de onderzoeksopdracht. Hinderpalen, wat ging vlot, wat kan veel beter, wat zou je beter anders aanpakken?

OEFENING Olifanten kunnen vliegen.

A

Vector2_april2018.indd 29

De leeuw zit niet achter deze deur.

De leeuw zit achter deze deur.

B

C

De leeuw zit achter deur E.

D

De leeuw zit achter deur D.

E

Achter juist 1 van de volgende deuren zit een leeuw. Op elke deur staat een zin. Juist 1 van de zinnen is waar. Achter welke deur zit de leeuw?

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

KANGOEROE, EDITIE WALLABIE, OPGAVE 20, 2018

14/05/18 13:42

30 WISKUNDE & ONDERWIJS

EEN BEKNOPTE GESCHIEDENIS VAN DE WISKUNDE (DEEL 1) ANDRÉ PIENS

VOORAF Tijdens onze activiteiten als vrijwillig medewerker van het Museum voor de Geschiedenis van de Wetenschappen van de Universiteit Gent is de idee gegroeid voor het samenstellen van een Geschiedenis van de Wiskunde. Daarvoor hebben we voor onszelf enkele principes vastgelegd: 1. oorspronkelijk is het ontwerp bedoeld voor presentatie aan middelgrote groepen; de diverse slides van de powerpointpresentatie zijn echter zo ontworpen dat ze relatief eenvoudig te transformeren zijn naar een doorlopende tekst, 2. de vereiste kennis van de wiskunde is hoofdzakelijk beperkt tot het niveau, dat bij een overgang van het secundair naar het hoger onderwijs vereist wordt: zo kunnen zowel scholieren uit het hoger secundair onderwijs, als studenten, en leden van culturele verenigingen deze presentaties volgen, 3. het principe van de Gentenaar prof. G. Sarton (1884 – 1956) (in de Verenigde Staten erkend als de grondlegger van de geschiedenis van de wetenschappen) toepassen: tevens de mens achter de wiskundige behandelen. Deze Geschiedenis van de Wiskunde vormde het onderwerp van een reeks van acht lezingen op het Museum: Lezing 1 Vroegste sporen van wiskundig denken en de Wiskunde van de vier Riviervalleien Lezing 2 De Wiskunde van het Antieke Griekenland Lezing 3 De Indische Wiskunde, de Arabische Wiskunde, de Wiskunde in het Latijnse Westen tijdens onze Middel-

Vector2_april2018.indd 30

eeuwen en de Wiskunde in het Europa van de Renaissance Lezing 4 Wiskunde in Europa tijdens de Wetenschappelijke Revolutie: 1550 – 1700 Lezing 5 Wiskunde tijdens de Verlichting: 18de eeuw Lezing 6 Van generalisten tot specialisten: de Wiskunde van de 19de eeuw Lezing 7 Wiskundige structuren en nadruk op strengheid: vanaf ca. 1870 Lezing 8 Accenten van de Wiskunde van de 20ste eeuw De met deze lezingen verbonden powerpointpresentaties zijn vrij consulteerbaar via de link: http://www.sciencemuseum.ugent.be/wiskunde.html Tevens vormen ze een nuttige aanvulling bij deze reeks artikelen. Deze reeks lezingen maakt deel uit van het aanbod workshops van het Museum voor de Geschiedenis van de Wetenschappen van de Universiteit Gent. De samenstellers van deze Geschiedenis van de Wiskunde, A. Piens en L. Verkimpe, zijn steeds bereid deze lezingen te herhalen voor een geïnteresseerd publiek.

DEEL 1 VROEGSTE SPOREN VAN WISKUNDIG DENKEN EN DE WISKUNDE VAN DE VIER RIVIERVALLEIEN VROEGSTE SPOREN VAN WISKUNDIG DENKEN Het is onmogelijk te bepalen wanneer de primitieve mens vertrouwd raakte met elementaire begrippen, zoals hoeveelheden en vormen.

14/05/18 13:42

31

Het staat echter vast dat meer dan 30 000 jaren geleden de mens reeds verder dacht dan hoeveelheden één, twee en veel, en tevens belangstelling toonde voor regelmatige terugkerende verschijnselen, zoals de opeenvolging van de dagen, de fasen van de maan of de wisseling van de seizoenen: het 36 000 jaren oude Lebombo-beentje en het 18 000 jaren oude Ishango- beentje, gevonden door de Belgische professor J. de Heinzelin de Braucourt (1920 – 1998), in het gebied van de Grote Meren van onze vroegere kolonie, zijn hiervan stille getuigen. Het gaat hierbij echter meer om kerven en tellen dan om echte wiskunde.

WISKUNDE IN HET OUDE EGYPTE De sleutel tot het begrip van de Egyptische beschaving werd gegeven door de steen van Rosetta; een steen in donker graniet, met een bijna identieke tekst opgesteld in drie schriften: Oud-Egyptische hiëroglyfen, het demotisch schrift en het Oud-Grieks.

De rotsschilderingen van o.a. de grotten van El Castillo, Chauvet en Lascaux tonen ook de mogelijkheid van de mens om ca. 35 000 jaren geleden figuratieve en abstracte vormen realistisch weer te geven in felgekleurde figuren.

Terzelfdertijd (ca. 3000 BCE) als de hiëroglyfen werd in het oude Egypte het hiëratisch schrift ontwikkeld: dit schrift was structureel vergelijkbaar met de hiëroglyfen, maar met een eenvoudigere voorstelling van de tekens en bedoeld voor dagelijks gebruik.

DE BESCHAVINGEN VAN DE VIER RIVIERVALLEIEN De oudste beschavingen ontwikkelden zich in de valleien van grote rivieren. De belangrijkste beschavingen, die vier à drie millennia geleden ontstonden, waren die van de Nijl (Egypte), de Tigris en de Eufraat (Mesopotamië), de Indus en de Ganges (Indië) en de Huang-he of Gele Rivier (China).

Omstreeks 1000 BCE werd uit het hiëratisch schrift een meer praktische vorm afgeleid, het demotisch schrift, dat algemeen werd gebruikt voor religieuze, administratieve en commerciële teksten.

De steen van Rosetta werd in 1799 ontdekt in El-Rashid door een officier van het leger van Napoleon tijdens de veldtocht in Egypte. In 1822 slaagde de franse taalkundige J.-F. Champollion (1790 – 1832) erin, door vergelijking van de drie schriften, de hiëroglyfen te ontcijferen.

In elk van de drie schriften was het numeriek stelsel tiendelig, niet-positioneel en was er geen symbool voor de waarde 0 gekend.

De voornaamste reden was de beschikbaarheid van water. Grote hoeveelheden water en vruchtbare grond, bevorderd door regelmatige overstromingen, zorgden voor overvloedige landbouwproductie en niet alle beschikbare arbeid moest voor de landbouw worden gebruikt. Zo was het voor sommige leden van de gemeenschap mogelijk andere, niet-landbouwkundige, activiteiten te beoefenen, zoals bouw, handel of administratie. Het is evident dat hierdoor een sterke behoefte ontstond aan het beoefenen van activiteiten, zoals meten en vergelijken van hoeveelheden, die noodzakelijk werden om handel te drijven, opmeten van landerijen vereist om eigendommen te verdelen en de studie van de bewegingen van zon, maan en planeten die leidden tot het berekenen van een kalender en het bepalen van de seizoenen. Deze activiteiten werden uiteraard sterk bevorderd door wiskundig denken.

Vector2_april2018.indd 31

Figuur 1.1 Cijfers en getallen in hiëroglyfen en in hiëratisch schrift

Reeds vroeg waren de Egyptenaren vertrouwd met grote getallen; zo bevatte de scepter van farao Narmer (ca. 3100 BCE) een vermelding in hiëroglyfen, van de buit bij de

14/05/18 13:42

32

verovering van Neder-Egypte: 400 000 runderen, 1 422 000 geiten en 120 000 gevangenen. Onze kennis van de Egyptische wiskunde komt van een aantal papyri, die mede door het droge woestijnklimaat, bewaard zijn gebleven. De twee belangrijkste van deze papyri zijn de Moskou-wiskundige-papyrus en de Rhindpapyrus, beiden geschreven in het hiĂŤratisch schrift. Een bekende wiskundige tekst uit het oude Egypte is de Moskou-wiskundige-papyrus: het is een papyrusrol van ca. 5,50 m lang en 4 tot 8 cm breed, geschreven ca. 1750 BCE, gebaseerd op kennis van ca. 2000 Ă 1850 BCE. Deze papyrus bevat 25 problemen, waarvan 7 meetkundige.

werkten de Egyptenaren enkel met stambreuken (Egyptische breuken); elke andere breuk werd geschreven als de som van verschillende stambreuken. Een Egyptische breuk (dus het omgekeerde van een getal) werd voorge. steld door het getal met er boven het teken Zo geeft Ahmes op de recto-zijde van de papyrus o.a. een tabel van de Egyptische breuken voor , voor alle oneven n van 3 tot 101. Tevens geeft hij de opsplitsing in Egyptische breuken van 1 , 2 , ... , 9 gedeeld door 10. Verso worden 87 problemen behandeld. Merkwaardig is de methode die Ahmes in de problemen 48 en 50 leidde tot het bepalen van de oppervlakte van de cirkel.

In probleem 14 van deze papyrus wordt het volume van een afgeknotte vierkante pyramide berekend: het vermelde resultaat is te herleiden tot , met h de hoogte en a en b de zijden van grond- en bovenvlak. In probleem 10 wordt voor de oppervlakte van een halve bol met straal r een oplossing gegeven, die, in onze moderne notatie, te herleiden is tot

Figuur 1.2 Bepalen van de oppervlakte van de cirkel in de Rhind-papyrus

een waarde van 3.16049... geldt. Dit betekent dat voor Een dergelijke redenering wordt ook gebruikt in probleem 50 van de Rhind-papyrus. Omvangrijker, wiskundig interessanter en de belangrijkste bron van onze kennis van de wiskunde in het antieke Egypte is de in Luxor opgegraven Rhind-papyrus, een rol van ca. 5 m lang, 33 cm breed en recto-verso beschreven. A. H. Rhind was de Schotse antiquaar die de papyrus in 1858 aankocht. De schrijver van deze papyrus was de scribe Ahmes, die de tekst kopieerde van een nu verdwenen manuscript, dat teruggaat tot 2000 BCE.

Zoals steeds wordt de werkwijze verklaard aan de hand van een voorbeeld, in dit geval een cirkel met diameter 9. Elke zijde van het omgeschreven vierkant wordt verdeeld in 3 gelijke delen; de oppervlakte van de (onregelmatige) achthoek die hierdoor geconstrueerd wordt, namelijk 63, beschouwd Ahmes als een eerste benadering van de oppervlakte van de cirkel; daar 63 heel dicht bij 64 ligt en 64 de oppervlakte is van een vierkant met zijde gelijk aan acht negenden van het oorspronkelijke vierkant, aanvaardt Ahmes dit als een voldoende nauwkeurige benadering van de opper vlakte van de cirkel. Meer algemeen wordt dus de oppervlakte S van een cirkel gelijk aan het vierkant van acht negenden van de diameter

Recto behandelt Ahmes uitvoerig het rekenen met en breuken. Op uitzondering van de breuken

Vector2_april2018.indd 32

14/05/18 13:42

33

Hetgeen betekent dat voor Ahmes de waarde zou gelden. Waarschijnlijk is deze redenering gesteund op dezelfde bron als probleem 10 van de Moskou-wiskundige-papyrus.

en het tien-symbool . symbool , Zo is bijvoorbeeld (in onze moderne literatuur wordt het voorgesteld als 1, 57, 46, 40), de Babylonische schrijfwijze, in cuneïform schrift, van het getal

Algemene kenmerken van het wiskundige denken in het Oude Egypte zijn: het gebruik van het tiendelig, nietpositioneel, talstelsel; de nadruk op het praktisch rekenen via specifieke numerieke oefeningen; de ontwikkeling wordt sterk geremd door het exclusieve gebruik van Egyptische breuken. De meetkunde vertoont nooit een deductieve structuur en blijft beperkt tot toepassingen in de landmeetkunde en de bouwkunde. WISKUNDE IN MESOPOTAMIË Mesopotamië, of 'het land van de twee rivieren' (Tigris en Eufraat), wordt algemeen beschouwd als de bakermat van onze beschaving: het schrift, het wiel en de woonentiteit, die we nu 'stad' noemen, waren uitvindingen van de diverse beschavingen, die achtereenvolgens het gebied beheersten: de beschavingen van Sumer, Ur en Babylonië. Grondige studie vanaf 1835 door H. Rawlinson (1810 - 1895) van de inscripties van de rots van Behistun, nu gelegen in West-Iran, leidden tot het begrip van de oude Mesopotamische teksten. Deze rots bevat inscripties, in bas-reliëf, en vertelt het verhaal in het Oud-Perzisch, het Elamitisch en het Babylonisch van de overwinningen van de Perzische koning Darius I (ca. 550 BCE-486 BCE). Het cuneïform schrift (spijkerschrift) werd verkregen door het drukken van een stylus in kleitabletten; door het bakken ervan, in een oven of in de zon, ontstaan goed bewaarde tabletten. Het Babylonisch cuneïform schrift bestond oorspronkelijk uit een 600-tal tekens, en werd geschreven van boven naar onder; tegen het begin van onze tijdrekening werden nog 36 tekens gebruikt, die werden geschreven van links naar rechts. Het Mesopotamisch numeriek systeem is zestigdelig en positioneel. De cijfers van 1 tot en met 59 werden voorgesteld door een combinatie van twee symbolen: het eenheids-

Vector2_april2018.indd 33

Figuur 1.3 De getallen 1 tot 59 in cuneïform schrift

Oorspronkelijk werd een opening gelaten om het ontbreken van een positie aan te duiden. Daar dit tot veel verwarring leidde werd ca. 300 BCE hiervoor een symbool ingevoerd. Dit symbool, , mag echter niet als ons cijfer nul worden beschouwd, daar het niet gebruikt werd op het einde van een getal (op de plaats van de eenheden).

Figuur 1.4 De vereenvoudiging door het invoeren van een symbool voor de ontbrekende positie

Een additionele factor van verwarring was het ontbreken van een symbool voor de overgang van het gehele naar het decimale gedeelte van een getal. Dit moest worden afgeleid uit de context. In de moderne literatuur wordt hiervoor het symbool , gebruikt. Een zeer groot aantal kleitabletten zijn bewaard gebleven. Bovendien worden nog regelmatig nieuwe kleitabletten ontdekt en opgegraven. Hierdoor werd een relatief com-

14/05/18 13:42

34

plete en degelijke kennis opgebouwd van de wiskunde in Mesopotamië.

Een andere kleitablet (1800 - 1600 BCE) bevat een methode om de verhouding van de diagonaal tot de zijde van een vierkant te berekenen:

Een verbazingwekkend aspect van de wiskunde in Mesopotamië was het gebruik van tabellen in de rekenkunde. Twee tabletten, gevonden in 1854, en daterend van ca. 2000 BCE, geven de kwadraten van de getallen tot 59 en de derdemachten van de getallen tot 32. Om te vermenigvuldigen werd de formule gebruikt. Ook bestaan tabletten met tabellen voor de omgekeerden van natuurlijke getallen; zo werd een deling gereduceerd tot de vermenigvuldiging met het omgekeerde getal:

Hier volgen enkele voorbeelden uit de praktijk van de Babylonische wiskunde. Een kleitablet van ca. 1850 BCE verdeelt een kudde van 219 661 schapen tussen 13 herders: de verdeling geeft aan elke herder inderdaad 16 897 schapen.

Figuur 1.6 Een kleitablet berekent de verhouding van de diagonaal tot de zijde van een vierkant

Een vierkant met zijde 30 heeft een diagonaal 42; 25, 35. Daaruit wordt de verhouding van de diagonaal tot de zijde als 1; 24, 51, 10 afgeleid. Omgezet in ons decimaal stelsel geeft dit 1,4142130... hetgeen een nauwkeurige benadering betekent. van

Figuur 1.5 Een kleitablet en haar grafische vorm uit de omgeving van Ur

Een merkwaardige kleitablet, afkomstig uit Larsa (nu in Zuid-Irak), dateert van omstreeks 1800 BCE; ze werd aangekocht door G. A. Plimpton, die ze in 1935 heeft geschonken aan de University of Columbia, New York, en daar werd gecatalogeerd als 'Plimpton 322'.

Deze tablet bevat 3 regels: 1, 1, 1, 1 - 13 - 4, 41 , 37 Een andere kleitablet, met afmetingen 4.5 cm x 11.7 cm x 2.8 cm van ca. 2000 BCE bevat een 15-cijferig cuneïform getal: 13, 22, 50, 54, 59, 09, 29, 58, 26, 43, 17, 31, 51, 06, 40. Omgezet in ons talstelsel geeft dit 104 857 600 000 000 000 000 000 000. Op het eerste gezicht enkel een willekeurig groot getal, maar opmerkelijk wordt het pas als men inziet dat dit getal 2020 is.

Ze werd onderzocht door o.a. 0. E. Neugebauer (Innsbruck, 1899 - Princeton, 1990), de grondlegger van de studie van de Egyptische en Babylonische wiskunde, en door E. Robson, de actuele experte voor de studie van de Babylonische wiskunde. Blijkbaar is de opgegraven tablet (ca. 19 cm x 13 cm) slechts een deel van een groter origineel. Tevens is het gevonden gedeelte nog op vele plaatsen beschadigd.

Vector2_april2018.indd 34

14/05/18 13:42

35

Figuur 1.7 De kleitablet Plimpton 322 en de moderne notatie van de inscripties

Figuur 1.7 geeft links een afbeelding van de tablet en rechts een voorstelling van de tablet met moderne notatie, aangevuld met ontbrekende delen, en met het teken: als scheidingsteken tussen de getallen. De meest plausibele hypothese is dat de ontbrekende rand aan de linkerzijde, telkens het symbool (het Babylonisch getal 1) zou bevatten, zodat er in feite een getal genoteerd staat, zoals is getoond in het rechtse deel van de figuur. In dat geval zijn de vier kolommen resp. het kwadraat van het quotiënt van de tweede en de derde kolom, de korte zijde van een rechthoek, de diagonaal van die rechthoek en een volgnummer van 1 tot 15. Verder wordt dan verondersteld dat een ontbrekende kolom, die voorkomt op de afgebroken rechterrand van de tablet, de lange zijde van die rechthoek bevat. Op die manier wordt deze tablet verondersteld een lijst te zijn van Pythagorische drietallen. Dit stemt overeen met het feit dat andere gevonden tabletten aantonen dat de Babyloniërs vertrouwd waren met dergelijke drietallen.

tot 1600 BCE, kan een goed beeld gevormd worden van de wiskundige kennis van de Babyloniërs. Ze hadden een zestigdelig, positioneel talselsel en maakten bij het rekenen veelvuldig gebruik van tabellen (kwadraten, omgekeerden, …). Telkens werden numerieke toepassingen behandeld; er werden geen algemene procedures vermeld. WISKUNDE IN HET OUDE CHINA In 213 BCE besliste het totalitaire regime van de Ch’in dynastie, aan de macht van 221 tot 207 BCE, tot een totale boekverbranding; bovendien werden de 460 geleerden, die weigerden mee te werken, levend begraven. Enkel de boeken die handelden over landbouw, geneeskunde en toekomstvoorspelling bleven gespaard. Dit betekent dat voor andere onderwerpen geen documenten uit vroegere periodes beschikbaar waren. In 1899 werden echter op de archeologische site van de Henan provincie duizenden beenderen en schildpadschelpen gevonden, die informatie leverden over het China van de 14de eeuw BCE.

Andere tabletten geven aan dat de Babyloniërs ook vierkantsvergelijkingen oplosten door de methode van het 'vervolledigen van het vierkant'. Hierbij negeerden ze echter absoluut het gebruik van negatieve getallen.

Zo werd o.m. duidelijk dat, alvorens het rod-systeem op rekenborden werd gebruikt, er een decimaal, nietpositioneel talstelsel bestond.

Door het zeer groot aantal kleitabletten die zijn teruggevonden, het merendeel daterend uit de periode 1800

Bekend zijn twee belangrijke werken, samengesteld na de boekverbranding, die kunnen worden beschouwd als

Vector2_april2018.indd 35

14/05/18 13:42

36

WISKUNDE IN HET OUDE INDIA De eerste belangrijke beschaving in het gebied van de Indus, de Harappa-beschaving, kende haar bloeitijd van 2600 tot 1900 BCE. Men leefde er in strak geplande, degelijk georganiseerde, stedelijke gebieden. Vanaf de 15de eeuw BCE migreerde een Arisch nomadenvolk, vanuit het Noord-Westen naar de Indus-vallei. In deze Vedische beschaving was de bevolking verdeeld in sociale klassen; de leiding berustte bij de bevoorrechte priesterklasse, de Brahmanen.

Figuur 1.8 Chinees decimaal stelsel van ca. 1500 BCE en het rod-stelsel vanaf de 4de eeuw BCE

compilaties van de wiskundige kennis uit het verleden. Het oudste is de Zhou Bi Suan-Jing (vrij vertaald: ‘de wiskundige klassieker van de gnomon en het cirkelvormig hemelpad’). Het dateert van ca. 200 BCE en werd later, tussen 200 en 1270, uitgebreid met commentaren en aanvullingen. Het behandelt 246 astronomische en wiskundige problemen, onder de vorm van gesprekken tussen een Chinees edelman en zijn astroloog. Het bevat één der vroegste, en merkwaardigste, bewijzen van de stelling van Pythagoras. Het andere werk is de Jiuzhang Suansu (vrij vertaald: 'de negen afdelingen van mathematische kunst' ). Het is een compilatie, samengesteld in de 2de en de 1ste eeuw BCE, van het werk van wiskundigen en astronomen van de 10de tot de 2de eeuw BCE. Voor het eerst worden hier zo wel positieve als negatieve getallen ingevoerd. Tevens wordt veel aandacht besteed aan magische vierkanten. In 9 hoofdstukken worden 264 problemen van praktische aard behandeld, echter meestal beperkt tot het geven van procedures, waarbij deductieve bewijzen ontbreken. In 263 publiceerde Liu Hiu zijn versie van de Jiuzhang Suansu, aangevuld met analyses en commentaar. Deze versie is bewaard gebleven en werd in 1084 uitgegeven als gedrukt leerboek. Dit werk kan dan ook beschouwd worden als het eerste gedrukte wiskundeboek.

Vector2_april2018.indd 36

Tijdens hun religieuze ceremonies werden teksten, geschreven in het Sanskriet, de Veda's, gezongen. Aanvullingen van de Veda's waren de Sulbasutras, met nauwkeurige instructies voor het bouwen van altaren. Deze altaren dienden zeer precies geconstrueerd te worden om succesvolle ceremonies te garanderen. Deze instructies zijn de enige bron van onze kennis van de vroegste Indische wiskunde. Twee bekende schrijvers van Sulbasutras waren Baudayana (ca. 800 BCE) en Apastamba (ca. 600 BCE). Enkele verzen van de Sulbasutra van Baudayana geven voorbeelden van de meetkundige kennis in het oude India: - Vers 1.9: 'de diagonaal van een vierkant geeft een vierkant met dubbele oppervlakte' - Vers 1.12: 'de som van de oppervlakten van de vierkanten van de lengte en de breedte van een rechthoek geeft het vierkant van de diagonaal van de rechthoek' - Vers 2.12: 'vermeerder de zijde (van een vierkant) met een derde en dit derde opnieuw met een vierde verminderd met een vierendertigste van dit vierde; dit is de waarde van de diagonaal van het vierkant' Dit laatste vers toont de nauwkeurigheid van de waarde in het oude India: in moderne notatie is, volgens dit van vers, de diagonaal d van een vierkant met zijde a

Door de sterke ontwikkeling van de meetkunde in het Oude India zijn verscheidene interessante meetkundige constructies bekend.

14/05/18 13:42

37

Een voorbeeld hiervan is de constructie van een vierkant met een oppervlakte gelijk aan de som van de oppervlakten van twee ongelijke vierkanten. Figuur 1.9 toont dat AK de zijde is van een vierkant waarvan de oppervlakte de som is van de oppervlakten van de vierkanten met zijden resp. AB en EF = AJ .

Figuur 1.9 Een vierkant met een oppervlakte gelijk aan de som van de oppervlakten van twee ongelijke vierkanten

ALGEMENE KENMERKEN VAN HET WISKUNDIG DENKEN IN DEZE OUDE BESCHAVINGEN De ontwikkeling van de beschavingen in de vier riviervalleien begon in het 4de millenium BCE. Wiskundig denken ontstond als gevolg van de noden van de landbouw: de studie van de beweging van de zon, de maan en de planeten leidde tot het berekenen van de kalender; het opmeten van de landerijen werd nodig om eigendommen te verdelen en het meten van hoeveelheden werd noodzakelijk om handel te drijven. De wiskunde in deze vier beschavingen vertoonde een aantal gemeenschappelijke elementen: in de diverse talstelsels ontbreekt het getal 0, de redeneringen zijn gebaseerd op specifieke voorbeelden, waarbij algemene methodes ontbreken, en de benadering van de constanten was ruim voldoende nauwkeurig voor het praktisch gebruik.

OEFENING VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE, TWEEDE RONDE 2018, OPGAVE 5 Vier 2D-mollen leven in hetzelfde vlak. Hun gangenstelsels zijn strikt gescheiden. Op de onderstaande figuur zie je dat de eerste 2D-mol een verbinding heeft gemaakt tussen de molshopen A en B. Op hoeveel manieren kunnen de drie andere 2D-mollen de overige molshopen twee aan twee verbinden?

Onderlinge beĂŻnvloeding van de beschavingen van de vier riviervalleien kan zeker niet worden uitgesloten.

Asger Aaboe, Episodes from the Early History of Mathematics, MAA, Washington, 1964. David M. Burton, The History of Mathematics, An Introduction, 7th ed., McGraw Hill, New York, 2011. Erik M. Gregersen, The Britannica Guide to the History of Mathematics, Britannica Educational Services, New York, 2011. Uit Wiskunde & Onderwijs, tijdschrift van VVWL

Vector2_april2018.indd 37

A

1

B

2

C

3

D

4

E

5

Š Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

BIBLIOGRAFIE

14/05/18 13:43

38 UITWISKELING

MIND YOUR DECISIONS HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/USER/MINDYOURDECISIONS L U C VA N D E N B R O E C K

- R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

‘Hi, this is Presh Talwalkar.’ Met deze intro begint elk wiskundefilmpje van de videoblogger (of vlogger) Presh Talwalkar. Bij de video’s met wiskunderaadsels wordt er halverwege een korte pauze ingelast of is er een spoiler alert. En helemaal aan het einde komt telkens weer de retorische vraag: ‘Did you figure it out?’. Dit zijn de kenmerken van een MYD-filmpje. Uiteraard is het antwoord op deze laatste vraag ‘neen’. De wiskundeproblemen die Presh Talwalkar presenteert, zijn zo interessant dat je meteen wil weten hoe de presentator het antwoord ziet.

Presh Talwalkar studeerde wiskunde en economie aan de Stanford University in San Francisco. Sinds enkele jaren publiceert hij met een strakke regelmaat populaire wiskundeboeken over speltheorie, logica, paradoxen, rekentrucs ... Zijn YouTube-kanaal heeft ondertussen bijna een half miljoen volgers. Ik mag me sinds kort bij hen rekenen. Veel van de filmpjes van Presh Talwalkar gaan over zeer eenvoudige wiskunde. Dat is wel eens een kritiekpunt op het discussieforum van zijn YouTube-kanaal. Vanuit vakdidactisch oogpunt blijven ook deze filmpjes voor mij interessant. Om het diverse kijkerspubliek van verschillend opleidingsniveaus te plezieren, kom je ook de zwaardere wiskundeproblemen op dit kanaal tegen. In deze bespreking presenteer ik één probleem van elke soort, een lichter probleem en een zwaarder. Het lezerspubliek van Uitwiskeling kan in aantal wel niet tippen aan het volgersaantal van MYD maar ik ga ervan uit dat het even breed is.

DE DRIE SNELSTE PAARDEN Deze vraag werd ingezonden door een volger van de vlogger, Presh Talwalkar.

Aan een hypodroom staan 25 paarden te wachten om tegen elkaar de strijd aan te binden. De omloop is zo smal dat er telkens maar 5 paarden tegen elkaar kunnen uitkomen. Elk paard heeft een verschillende aankomsttijd, die invariant blijft doorheen alle wedrennen van het toernooi. Paarden worden dus nooit moe en lopen ook geen kwetsuren op. Er wordt geen klok gebruikt bij de paardenrennen. Enkel de volgorde van aankomst wordt opgeschreven. De vraag is nu: hoeveel wedstrijden zijn er minimaal nodig om de drie snelste paarden aan te kunnen wijzen?

Op deze plaats stopt de uitleg en wordt een aftellende klok met een spoiler alert zichtbaar. Lees daarom nu even niet verder en zoek het zelf uit.

Figuur 1 Het logo van MindYourDecisions

Vector2_april2018.indd 38

14/05/18 13:43

39

rechthoek. Bepaal onder deze omstandigheden de limiet van de breedte-hoogte-verhouding van de samengestelde rechthoek.

Figuur 2 Verdeel de 25 paarden in 5 groepen van 5

Figuur 3 Er blijven slechts zes paarden over

Het paardenprobleem wordt door Presh Talwalkar omschreven als ‘a hard question’. Maar het begin van de oplossing is volgens mij erg evident. Verdeel de 25 paarden willekeurig in 5 groepjes van 5 (groep a, b, c, d en e) en duid in elke groep het beste paard aan. Dit doe je door 5 races te organiseren. Laat in een zesde race alle winnaars nog een keertje tegen elkaar lopen. Zo kan het allersnelste paard aangeduid worden in 6 races. Verbluffend is het vervolg. Om de paarden aan te duiden die met zilver en brons om de hals op het ereschavotje mogen, is er nog slechts één race nodig. Een wedstrijd met 7 races is dus voldoende.

De verklaring waarom deze paarden afvallen, sla ik even over. Deze redenering is niet moeilijk te reconstrueren. Er blijven nu nog zes paarden in de running, zie figuur 3.

Om dit in te zien worden de paarden geschikt zoals in figuur 2. Per groep staan ze van links naar rechts in volgorde van snelheid, de snelste uiterst rechts. De groepen werden van beneden naar boven geschikt volgens de snelheid van hun winnaar, de snelste helemaal bovenaan. In een volgende stap worden alle paarden geschrapt waarvan geweten is dat er minstens nog drie snellere paarden in de wedstrijd zijn.

Vector2_april2018.indd 39

Het paard in de rechterbovenhoek heeft zijn verdienste al bewezen. Het is het paard met de gouden medaille. Alleen de andere vijf paarden komen in aanmerking voor zilveren en brons. Zij lopen tegen elkaar in de zevende race. 'Did you figure it out?' EEN SPIRAAL VAN RECHTHOEKEN Het volgende probleem wordt door Presh Talwalkar eveneens omschreven als ‘a hard problem’, ditmaal zeer terecht. Ik formuleer het in eigen bewoordingen.

Neem een vierkant stuk karton met een oppervlakte van 1 dm². Kleef hierrond een spiraal van kartonnen rechthoeken die alle een oppervlakte hebben van 1 dm²: eerst aan de rechterkant, daarna bovenaan, vervolgens links, dan onder, vervolgens weer rechts ... (zie figuur 4). Na elke toevoeging van een rechthoek moet het geheel er weer uit zien als een

Om deze limietverhouding te berekenen, zullen we eerst proefondervindelijk te werk gaan. Aangezien het zijdelings aankleven van een rechthoek wiskundig een beetje afwijkt van het boven- of onderaan aankleven, zullen we in één stap simultaan twee rechthoeken aankleven, een opstaande en een liggende. Dit is cruciaal in de heuristiek en het vereenvoudigt de oplossing heel sterk. Met de nummering van figuur 4 nemen we eerst de rechthoeken 1 en 2 samen, vervolgens de rechthoeken 3 en 4, daarna 5 en 6 enz.

Figuur 4 Vierkant met een spiraal van rechthoeken

Rechthoek 1 heeft de vorm van een eenheidsvierkant. Rechthoek 2 heeft breedte 2. Om de oppervlakte gelijk te krijgen aan 1 moet de hoogte gelijk zijn aan . Na uitbreiding met deze twee rechthoeken, vinden we een breedte die gelijk is aan 2 en een hoogte die gelijk is aan . De breedte-hoogte-verhouding van de samengestelde rechthoek is dan . Rechthoek 3 heeft een hoogte die gelijk is aan . De breedte is bijgevolg

14/05/18 13:43

40

gelijk aan want de oppervlakte van elke rechthoek is 1. Hierna kunnen we de breedte van rechthoek 4 berekenen. Die is gelijk aan . Omdat ook deze rechthoek oppervlakte 1 heeft, moet de hoogte gelijk zijn aan . De samengestelde rechthoek heeft na twee uitbereidingsronden een breedte gelijk aan en een . De breedte-hoogtehoogte van verhouding is nu gelijk aan . Zonder de gave van de helderziendheid is het vrijwel onmogelijk om het rijtje dat begint met de breuken verder te zetten. Zelfs na de en berekening van de volgende term, , zal de regelmaat niet duidelijk worden. Daarom proberen we in deze bespreking eerst een recursieformule op te stellen voor de termen in deze rij. Nadien zal blijken dat het niet moeilijk meer is om een formule te vinden voor de limiet van de breedtehoogte-verhoudingen. Voor we van wal steken, nemen we eerst een andere rij onder de loep, nl. van de oppervlakten van de de rij samengestelde rechthoeken die je verkrijgt door telkens twee rechthoeken bij te kleven: ‌ Deze rij is rekenkundig. De beginterm is 1, het verschil is 2. Het expliciete voorschrift van deze rij is: . Figuur 5 stelt twee opeenvolgende rechthoeken uit het iteratieproces voor. De kleinste heeft en hoogte en de breedte en grootste heeft breedte . We zoeken iteratieforhoogte mules die deze laatste twee getallen uitdrukken in functie van de eerste.

Vector2_april2018.indd 40

Door de formule (1) te delen door (2) vinden we de uiteindelijke recursieformule voor breedte-hoogteverhoudingen:

Het recursieproces start met een vierkant. Dit drukken we als volgt uit: Figuur 5 Opeenvolgende rechthoeken in de iteratie

De rechthoek die aan de rechterkant toegevoegd wordt, heeft een hoogte een breedte . Hieruit volgt:

Na toevoeging van twee rechthoeken en na toepassing van de recursieformule voor n = 1 vinden we de breedte-hoogte-verhouding:

. De breedte-hoogte-verhouding na de volgende recursiestap is: Gebruik makend van de formule van de n-de voor de oppervlakte rechthoek vinden we de eerste van beide iteratieformules: . Deze iteratieformule geeft niet maar wel in functie in functie van . Om dit schoonheidsfoutje van weg te werken, vermenigvuldigen we . Zo vinden teller en noemer met we een geschiktere formule:

De rechthoek die boven aangekleefd is, heeft een breedte die gelijk is aan . De hoogte van deze rechthoek is . Hieruit volgt de dus gelijk aan tweede recursieformule:

In de limiet leidt dit tot een oneindig lange productreeks:

Wellicht kan je de schoonheid van deze eindformule wel smaken. De natuurlijke getallen zijn in kanteelvorm geschikt over de tellers en noemers van de opeenvolgende breuken. Maar het is niet meteen duidelijk of deze productrij convergeert. De opeenvolgende factoren zijn immers afwisselend kleiner is dan 1 en groter dan 1. Van de productreeks hierboven werd in 1655 door Johan Wallis (1616-1703) bewezen dat ze convergeert naar een eindig getal, niet gelijk aan nul.

14/05/18 13:43

41

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE, TWEEDE RONDE 2018, OPGAVE 13 Kies drie verschillende punten op het boloppervlak A? Hoe groot is de kans dat deze drie punten op een half boloppervlak van A liggen?

A

B

C

D

E

OEFENING

OEFENING

JUNIOR WISKUNDE OLYMPIADE, TWEEDE RONDE 2018, OPGAVE 17 Als de klassen A en B naar de eetzaal van de school gaan, nemen ze een vierde van de stoelen in. Op een dag zit klas A al in de eetzaal. Dan verschijnt klas B en neemt een achtste van de resterende stoelen in. Als alleen klas A naar de eetzaal gaat, welk deel van de stoelen neemt ze dan in?

JUNIOR WISKUNDE OLYMPIADE, TWEEDE RONDE 2018, OPGAVE 12; VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE, TWEEDE RONDE 2018, OPGAVE 8 Vouw de onderstaande ontwikkeling van een dobbelsteen rond een massieve houten kubus. Doorboor deze kubus op de stippen, loodrecht op een zijvlak. Door hoeveel gangen kan je nu door de kubus kijken?

A

B

D

E

Vector2_april2018.indd 41

C

A

15

B

17

C

18

D

19

E

21

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Uitwiskeling is een tijdschrift van en voor wiskundeleraren, helemaal vanuit de praktijk van het wiskundeonderwijs. Benieuwd naar meer? Op de webstek www.uitwiskeling.be vind je alle info.

OEFENING

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

In zijn belangrijkste werk, Arithmetica infinitorum, toonde hij aan dat deze reeks convergeert naar . Wat mij betreft kan de formule van Wallis bestempeld worden als de mooiste formule uit het hele wiskundelandschap. De structuur die in deze formule zit, vergeet je niet snel. Maar het bewijs van de formule is heel wat zwaardere materie. Ben je hierin geïnteresseerd, dan vind je hierover een ander filmpje van Presh Talwalkar op zijn website.

14/05/18 13:43

42 VWO

EEN MINDER BEKENDE LANDGENOOT EN ZIJN GETALLEN EUGÈNE CHARLES CATALAN WERD IN 1814 GEBOREN TE BRUGGE, IN EEN VLAANDEREN DAT TOEN NOG NET ONDER HET FRANSE NAPOLEONTISCHE REGIME LEEFDE. OMWILLE VAN EEN ONBEKENDE VADER, WAS ZIJN FAMILIENAAM BIJ DE GEBOORTE BARDIN, GENOEMD NAAR ZIJN MOEDER JEANNE. TOEN ZIJ 7 JAAR LATER IN HET HUWELIJK TRAD MET DE JUWELIER JOSEPH CATALAN, ERKENDE DIE KORTE TIJD NADIEN DE JONGE EUGÈNE ALS ZIJN WETTIG KIND. NA EEN PERIODE IN LILLE GEWOOND TE HEBBEN, TROK DE FAMILIE ROND 1825 NAAR PARIJS. HELAAS STIERF ZIJN MOEDER DAAR NA KORTE TIJD. JOSEPH CATALAN, INMIDDELS ARCHITECT GEWORDEN, HUWDE EEN TWEEDE KEER EN STUURDE ZOON EUGÈNE IN 1828 NAAR DE “ÉCOLE ROYALE GRATUITE DE DESSIN ET DE MATHÉMATIQUES EN FAVEUR DES ARTS MÉCANIQUES” (DE LATERE ÉCOLE NATIONALE DES ARTS DÉCORATIFS). WOU HIJ OOK DAT EUGÈNE ARCHITECT ZOU WORDEN? PAU L I G O D T

- KU LEUVEN CAMPUS KULAK

De jonge Eugène was duidelijk talentvol, ontwikkelde er niet alleen zijn grafisch inzicht, maar werd er, vanwege zijn klaarblijkelijk talent, gevraagd om lessen meetkunde te verzorgen voor zijn medeleerlingen. Een leraar van de “École Gratuite” overtuigde de jonge Eugène, bij wie hij een groot talent voor meetkunde en wiskunde vaststelde, om zich voor te bereiden voor het toelatingsexamen van de École Polytechnique. In 1833 werd Eugène laureaat van de Concours Général de Mathématiques Spéciales en in november van datzelfde jaar werd hij toegelaten tot de École Polytechnique, waar hij lessen wiskunde kon volgen bij ondermeer Joseph Liouville, die voor de duur van talrijke jaren een raadgever bleef. Na een onderbreking van enkele maanden in het

Vector2_april2018.indd 42

toenmalig politiek onstabiele Parijs studeerde hij er in 1835 met uitstekende resultaten af. Een loopbaan als ingenieur openbare werken (“Ponts et Chaussées”) wenkte, maar dat vond hij toch maar niks. Eugène bleef liever leraar en nam tijd om permanent bij te studeren. Hij bleef ook politiek actief, en was niet bepaald een volgeling van het toenmalige regime. Hij bekwaamde zich verder in de wiskunde, was heel productief, en betrachtte meermaals een academische positie in Parijs. Allicht ook omwille van zijn uitgesproken linkse en republikeinse politieke opvattingen werd dit nooit succesvol. Het was de Belgische wiskundige Adolphe Quetelet die hem suggereerde eerder in België naar een positie zoeken. Toch duurde het nog tot 1865 vooraleer Eugène

14/05/18 13:43

43

Ze zijn even beroemd als de Fibonacci-getallen en spelen een rol in een ongelooflijke variatie van op het eerste zicht helemaal niet verwante toepassingen. Wil je meer weten over de Catalan-getallen? Breng dan eens een bezoekje aan deze webpagina van Igor Pak (UCLA) http:// www.math.ucla.edu/~pak/lectures/Cat/pakcat.htm.

© Université de Liège - Musée Wittert

Een erg leuke en intrigerende manier om de Catalan, te ontmoeten bestaat erin je af te vragen op getallen, ) kunt hoeveel manieren je een regelmatige n-hoek ( partitioneren in disjuncte driehoeken door er diagonalen in te tekenen. Dit probleem, waar Euler reeds mee worstelde, is er slechts één dat net zoals vele andere, ogenschijnlijk totaal verschillende probleemstellingen, leidt tot de rij Catalan-getallen die begint als

Catalan een positie als professor aan de universiteit van Luik aanvaardde. Zijn politieke ambities schroefde hij wat terug. Zijn productiviteit als wiskundige kon weer toenemen, en hij publiceerde veel, voornamelijk over meetkundige, combinatorische en algebraïsche problemen. Hij bleef verbonden aan de universiteit van Luik tot aan zijn emeritaat in 1884. Eugène Catalan stierf in 1894. De biografie van Eugène Catalan is een boeiend stukje literatuur. We verwijzen graag naar een herinneringspagina van de Luikse universiteit als één van de interessante bronnen: http://200.ulg.ac.be/catalan-bio.html. In de wiskunde is de naam van Catalan o.a. onverbrekelijk verbonden met twee begrippen die eenvoudig te begrijpen vallen: de Catalan-getallen, enerzijds, en het vermoeden van Catalan anderzijds. We belichten hier bondig elk van beide. In de meeste hedendaagse computer algebra systemen (zoals Mathematica® of http://www.wolframalpha.com/) vind je de Catalan-getallen kant en klaar geïmplementeerd (CatalanNumber[n] geeft je het n-de Catalangetal).

Vector2_april2018.indd 43

Zoek jij even de 14 mogelijkheden om dit te doen bij een regelmatige zeshoek? Ook het “Vermoeden van Catalan” (geformuleerd in 1844) is een klassieker. In eenvoudige woorden gesteld, beweerde Catalan dat er slechts 2 natuurlijke getallen zijn waarbij het verschil van twee machten gelijk kan zijn aan 1, met name de natuurlijke getallen 2 en 3. Inderdaad: 32 − 23 = 1. Om het helemaal correct te formuleren: voor de gelijkheid na − mb = 1 met n, m, a en b natuurlijke getallen, is er slechts 1 oplossing. Het heeft tot 2002 geduurd vooraleer dit vermoeden effectief kon aangetoond worden, en vanaf dan dus een stelling is geworden. De Roemeense wiskundige Preda Mihailescu slaagde erin dit aan te tonen. Eugène Catalan is onterecht een te weinig bekend landgenoot gebleven.

14/05/18 13:43

44 WISKUNDE & ONDERWIJS

HET PROBLEEM VAN BOER BAVO

EEN EXTREMUMVRAAGSTUK EN EEN CONSTRUCTIE UIT DE OUDE DOOS L U C G H E YS E N S - E R E - P E DAG O G I S C H A DV I S E U R DA N I Ë L TA N T - TA N T. DA N I E L @T E L E N E T. B E

PROBLEEMSTELLING Boer Bavo bezit een stuk weiland in de vorm van een driehoek en heeft één schaap en drie koeien. Hij is van plan om een driehoekig deel van de weide af te bakenen waarop hij het schaap zal laten grazen. De rechtlijnige afsluiting wil hij echter door de drenkplaats D (zie figuur 1) laten lopen zodat deze zowel voor het schaap als voor de koeien dienst kan doen. Hij wil ook dat het driehoekig deel waarop het schaap zal grazen zo klein mogelijk is. Waar moet hij de afsluiting aanbrengen?

W I S K U N D E - L U C G H E YS E N S @YA H O O . C O M - W I S K U N D E B L O G : W W W. G N O M O N . B L O G G E N . B E

Figuur 1

OPLOSSING Boer Bavo moet ervoor zorgen dat D in het midden ligt van de afsluiting. Om dit te bewijzen gebruiken we de klassieke manier om een extremumvraagstuk aan te pakken, nl. via het bepalen van de nulwaarde van de eerste afgeleide van de functie voor de oppervlakte van de driehoek. Kies het assenstelsel zoals op figuur wordt begrensd 2. De driehoek door de x-as, de rechte met als en een variabele vergelijking Figuur 2

Vector2_april2018.indd 44

14/05/18 13:43

45

rechte l door het punt vergelijking richtingscoëfficiënt is.

. De rechte l heeft dan als , waarbij m een variabele

Door telkens een eenvoudig stelsel op te lossen bepalen we de coördinaten van de snijpunten A en B van de en : rechte l met de rechten

We geven ook een antwoord op de vraag hoe men die rechte, die door het punt D gaat, construeert. Uit de constructie blijkt opnieuw dat de oplossing uniek is. CONSTRUCTIE Stap 1. We gaan er van uit dat het probleem is opgelost (figuur 3).

Via de klassieke determinantformule bepalen we hiermee : de oppervlakte van driehoek

Dan is

Aangezien de gezochte richtingscoëfficiënt m een en vinden we dat negatieve waarde heeft is

Figuur 3

Merk op: aangezien D een vast punt en de halfrechten gegeven zijn, kennen we de hoeken en en . We stellen vast dat

Dat het hier om een minimum gaat blijkt duidelijk uit de aard van het probleem. Als we anderzijds uitdrukken dat D het midden is van vinden we na enig rekenwerk zowel voor de x- als voor de y-coördinaat van D dezelfde voorwaarde:

met een willeStap 2. Construeer een driehoek en de gekende basishoeken en keurige basis (figuur 4).

Figuur 4

Wegens de sinusregel geldt:

Vector2_april2018.indd 45

14/05/18 13:43

46

Stap 3. Neem nu de opgave en construeer uitgaande en op de van figuur 4 de lijnstukken en en construeer door het punt D halfrechten met (figuur 5). de evenwijdige

OEFENING

Figuur 5

A

11

B

14

C

D

15

17

E

22

Uit de constructie volgt

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

JUNIOR WISKUNDE OLYMPIADE, TWEEDE RONDE 2018, OPGAVE 27 Op een feestje van 28 personen waren er n jongens aanwezig. Als aan de meisjes gevraagd wordt met hoeveel jongens ze gedanst hebben, dan horen we alle aantallen vanaf 7 tot en met n precies één keer. Hoeveel jongens waren er aanwezig?

OEFENING

A

33

B

1000

D

1221

E

1331

Waar moet hij de afsluiting aanbrengen?

Uit Wiskunde & Onderwijs, tijdschrift van VVWL

Vector2_april2018.indd 46

C

1111

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

© A. Mus

JUNIOR WISKUNDE OLYMPIADE, TWEEDE RONDE 2018, OPGAVE 29 In mijn portefeuille zitten 11 bankbiljetten van 5 sjekel, 11 biljetten van 50 sjekel en 11 biljetten van 500 sjekel. Hoeveel verschillende bedragen kan ik hiermee gepast betalen in een Israëlische supermarkt?

14/05/18 13:43

47 WEDSTRIJD

WIN EEN BOEKENPAKKET B A R T D E M O O R , A N N D O O M S , PAU L I G O D T, E R I C J E S P E R S , S O R I N P O P, G I OVA N N I S A M A E Y, B E R T S E G H E R S , S T E FA A N VA E S , J O R I S VA N D E R J E U G T, W I M VA N R O O S E

VECTOR VERLOOT DIT BOEKENPAKKET MET DRIE MOOIE WISKUNDEBOEKEN. WIL JE OOK KANS MAKEN? SURF NAAR VECTOR.DIEKEURE.BE, VUL HET WEDSTRIJDFORMULIER IN VÓÓR 30 JUNI EN WAAG JE KANS!

ALGEBRA. VAN VECTOREN TOT VARIABELEN: HET ABC VAN X PLUS Z MICHAEL WILLERS

Algebra is overal om ons heen. Het vertegenwoordigt en beïnvloedt de wereld op veel manieren, van het aantal blaadjes aan een bloem tot de rente op je hypotheek. Dit boek is een reis door de abstracte wereld van de algebra en de wiskunde. Het bevat wiskundige ideeën van over de hele wereld. Onderweg passeren namen als Pythagoras, Fibonacci, Galileo en Pascal de revue.

Vector2_april2018.indd 47

HOE VOORKOM JE EEN KATER?

GEHEIME CODES EN GETALLEN

M A R K F R A RY

PIERRE BERLOQUIN

Hoe krijg je bij het verhuizen een bank om de bocht? Hoe houd je je eten langer goed? Hoe wordt je geheugen beter? Dat zijn enkele van de vragen die in dit boek aan bod komen en die je aan de hand van elementaire wiskunde en wetenschap kunt oplossen. Want met een simpele formule of handige berekening kom je vaak al een stuk verder. Vol instructieve tekeningen en foto's.

Dit boek is een praktische geschiedenis van codes, vol geheime communicatiemethodes en verborgen symboliek. Van de Griekse oudheid tot het computertijdperk, van de vrijmetselaars tot de Vitruviusman, van de Turing- en de Enigmamachine tot het internet. Maak kennis met onbreekbaar geachte coderingssystemen en kraak zelf de codes in de meer dan negentig voorbeelden die dit boek rijk is.

14/05/18 13:43

Nieuw o p POLPO!

Eindeloos oe fenen met Algebrak it

Algebrakit is een interactieve oefeningengenerator waarmee je eindeloos wiskunde-oefeningen maakt op POLPO. •

Eindeloos oefenen op getallenleer, algebra, analyse

85 0000 536

en algebraïsch rekenen •

Nadruk op de tussenstappen

•

Voor het eerste tot het zesde jaar

•

Sluit aan bij Nando en VBTL

•

Inbegrepen in je POLPO-abonnement

POLPO verzamelt al het digitaal lesmateriaal van die Keure voor het secundair onderwijs op één handig platform. Ontdek alles over POLPO op www.polpo.be.

Meer weten? Bekijk het demofilmpje op www.polpo.be/algebrakit

Vector2_april2018.indd 48

14/05/18 13:43