TIENHOEK IN BURGOS

IN OUDE KERKEN KAN HEEL WAT WISKUNDE VERSTOPT ZIJN. SOMS

WORDT DIE WISKUNDE ER MET DE HAREN BIJGESLEEPT. THRILLERAUTEURS

ALS DAN BROWN WILLEN JE DOEN GELOVEN DAT ER MYSTIEKE SYMBOLEN

IN VERWERKT ZIJN MET DIEPE BETEKENISSEN DIE GEWONE MENSEN ONTGAAN. DIE OVERDRIJVING ONTNEEMT HET ZICHT OP WAT ER ZICH

WERKELIJK AFSPEELDE IN DE LATE MIDDELEEUWEN. ER IS SPRAKE

VAN EEN FASCINERENDE VOORUITGANG IN AMBACHT, KENNIS EN TECHNIEK. VANAF DE DERTIENDE EEUW GROEIT HET AANTAL MENSEN

DAT EEN UITGEBREIDE KENNIS HEEFT VAN WISKUNDE, EN DAN VOORAL

VAN DE MEETKUNDE VAN EUCLIDES EN DE ANDERE GROOTHEDEN UIT

DE GRIEKS-ROMEINSE TIJD. DE MEESTERS VAN DIE TIJD VERDIENEN

MIJN OPRECHTE BEWONDERING. NA HET TIJDVAK VAN DE ROBUUSTE

ROMAANSE ARCHITECTUUR, WORDT DE GOTISCHE BOUWKUNST

VERFIJNDER EN LEVENDIGER. ARCHITECTEN EN HUN OPDRACHTGEVERS

ZAGEN IEDERE KEER NIEUWE MOGELIJKHEDEN OM GEDURFDE

ONTWERPEN TEN UITVOER TE BRENGEN. OOK HET VAKMANSCHAP VAN

AANNEMERS EN STEENHOUWERS ONTWIKKELDE ZICH VERDER. HET BOEK “ARCHITECT EN AANNEMER, DE OPKOMST VAN DE BOUWMARKT IN DE NEDERLANDEN, 1350-1530” SCHETST DIE ONTWIKKELINGEN NAUWGEZET, ONDERBOUWD MET VELE VOORBEELDEN OP BASIS VAN GEDETAILLEERD BRONNENONDERZOEK. KENMERK VOOR DE ROMAANSE STIJL IS DE DRIEHOEK, DE VIERHOEK EN DE ZESHOEK. PAS IN DE LATERE GOTIEK VERSCHENEN VIJFHOEKEN, ZEVENHOEKEN, TIENHOEKEN OF ZELFS ELFHOEKEN.

HENK HIETBRINK

De kathedraal van Burgos in NoordSpanje is een voorbeeld van rijk uitgevoerde gotiek met veel variatie in de vormentaal. In 2021 verscheen in Spanje een boek met de titel "Tesoros Matematicos de la Catedral de Burgos". Het is geschreven door wiskundigen en uitgegeven door de vereniging Miguel de Guzman, een actieve groep van wiskunde docenten. Het boek is zo goed geschreven dat ik zonder enige kennis van de Spaanse taal toch begrijp waar het over gaat. De foto's en illustraties geven een goed beeld en bovendien zien wiskundige formules er in alle talen hetzelfde uit. (Figuur 1)

OPDRACHT -1: Internet staat vol met foto’s en video’s van deze kathedraal. Wanneer je de Nederlandse wikipedia pagina bezoekt, kijk dan ook eens op de Engelstalige of Spaanse pagina. Ook als je geen Spaans kent, is de trailer op de website https://cienciaycatedral. ubuinvestiga.es/ beslist de moeite waard.

In figuur 2 worden de onderdelen van de kathedraal benoemd. In deze bijdrage gaat het om de tienhoek rond de kooromgang en de apsis.

In figuur 3 zijn drie tienhoeken getekend. De eerste is om de apsis, de tweede om de kooromgang en de derde om de uiteinden van de straalkapellen. Binnen de tienhoeken zijn op de diagonalen tienpuntige sterren getekend. Het bijzondere van die tienpuntige ster is dat het één enkele zelfdoorsnijdende figuur is.

Category:Exterior_of_the_Cathedral_of_Burgos#/media/File:Burgos_-_Catedral_199.jpg

By Zarateman - Own work, CC0, https://commons.wikimedia.org/w/ index.php?curid=22952832

De tienhoeken zijn met elkaar verbonden door hun diagonalen. Iedere zijde van een binnenste tienhoek ligt op de diagonaal van de buitenste tienhoek, om precies te zijn, tussen het eerste en het vierde hoekpunt. Bijzonder is dat je met deze constructie zowel van buiten naar binnen kunt werken als van binnen naar buiten. Deze constructie gaat ons een meetkundige rij van lengtes van zijden bezorgen. Multatuli, bekend van de literatuurlijst Nederlands, noemt het geometrische progressie.

OPDRACHT 0:

Lees op de website dbnl.org de brief van Multatuli aan Busken Huet, datum 15 augustus 1866 over gokken, kansrekening en de geometrische reeks.

De verhouding tussen de lengte van de zijde van een buitenste tienhoek en een binnenste tienhoek is een speciale verhouding, het is namelijk de gulden snede verhouding. In de volgende opdrachten ontdek je wat de gulden snede precies is, daarna ontdek je waar de gulden snede in een vijfhoek zit en tot slot bewijs je dat de constructie van opeenvolgende tienhoeken inderdaad opeenvolgende lengte van zijden oplevert in de gulden snede verhouding.

De gulden snede kun je zien als het snijden van een lijnstuk in twee delen met een scherp mes.

Een lijnstuk met lengte is verdeeld in de gulden snede verhouding wanneer het zodanig wordt verdeeld in een langste deel met lengte en een kortste deel met lengte dat .

OPDRACHT 1: Stel dat een getal is en dat die de onbekende is, die je meestal noemt. Stel dat . Vul deze waarde van in de vergelijking in en toon aan dat .

Met algebra kun je aantonen dat dit waar is voor iedere waarde van door de vergelijking te herleiden tot

Dit is een kwadratische vergelijking met onbekende met als oplossing zodat

Uiteraard kun je deze uitdrukking ook zien als een kwadratische vergelijking met onbekende met dezelfde oplossing .

Omdat de verhouding tussen twee lengtes een positief getal is, kun je de oplossing met het minteken verwerpen omdat deze een negatief getal oplevert. Tot zover de algebra.

Nu verder met meetkunde. In figuur 5 zie je regelmatige vijfhoek met middelpunt en zijde en diagonaal . Met het laatste geven we alleen maar aan dat zijde een stukje langer is dan zijde

OPDRACHT 2:

Toon aan dat de grootte van alle hoeken van de driehoeken , , , en veelvouden van 18° zijn.

OPDRACHT 3: Onderzoek welke driehoeken gelijkbenig zijn.

OPDRACHT 4: Onderzoek welke driehoeken een vergroting zijn van elkaar.

OPDRACHT 5:

Toon aan dat de lengte van de zijden van de driehoeken en zich verhouden in de gulden snede verhouding met .

Idem voor de driehoeken , en .

OPDRACHT 6: Toon aan dat de oplossing is van de vergelijking .

OPDRACHT 7:

Teken met Geogebra een vijfhoek. Teken ook de diagonalen. Bepaal de lengte van de verschillende lijnstukken en stel vast dat de verhouding tussen de lengtes ongeveer is driehoek met tophoek 36° de lengte van de benen zich verhouden tot de basis in de gulden snede verhouding. Evenzo verhoudt zich in een gelijkbenige driehoek met tophoek 108° de lengte van de basis zich tot de lengte van de benen in de gulden snede verhouding. Deze driehoeken noemen we daarom gulden snede driehoeken. de binnenste tienhoek ligt op de diagonaal van de buitenste tienhoek. Te bewijzen is dat de verhouding tussen de lengte van de zijde van de buitenste tienhoek en die van de binnenste tienhoek de gulden snede verhouding is.

OPDRACHT 8:

Benoem in figuur 6 alle gulden snede driehoeken.

In figuur 7 zie je een opeenvolging van tienhoeken die allen op dezelfde manier geconstrueerd zijn. Geometrische progressie is een oud woord dat vandaag de dag niet meer genoemd wordt in de wiskundeboeken, maar Multatuli gebruikte dit woord nog. Vandaag zeggen we "meetkundige rij".

Een bijzondere meetkundige rij is die met de gulden snede als reden (factor).

OPDRACHT 9:

Bewijs dat de lengte van de zijdes van opeenvolgende tienhoeken een meetkundige rij is met als rede de gulden snede verhouding.

Resultaat tot zover is dat je bewezen hebt dat in een gelijkbenige

Tot zover de inleiding met de vijfhoeken. Terug naar de tienhoek rond de apsis van Burgos. In figuur 6 zijn twee opeenvolgende tienhoeken getekend waarbij Iedere zijde van

Dit voorbeeld van de tienhoek rond de apsis is slechts één voorbeeld van de wiskunde in de kathedraal van Burgos. Andere voorbeelden betreffen vier cirkels in een vierkant, een achthoekig plafond en een gulden snede verhouding in een trapconstructie.

Literatuur

Multatuli, Volledige werken. Deel 5. Millioenenstudiën. Divagatiën over zeker soort van liberalismus. Nog eens: vrye arbeid in Nederlands-Indië. Duizend-enenige hoofdstukken over specialiteiten. Brief aan den Koning, Delft, Waltman, 1872 (DBNL: https://www.dbnl.org/ tekst/mult001gstu08_01/ mult001gstu08_01_0013.php)

Multatuli, Brieven. Deel 7. Multatuli-Busken Huet 1866, brief van 15 augustus 1866 (DBNL: https://www.dbnl. org/tekst/mult001mdou09_01/ mult001mdou09_01_0027.php)

Merlijn Hurx, Architect en aannemer, de opkomst van de bouwmarkt in de Nederlanden, 1350-1530, Nijmegen, Vantilt, 2012

Constantino de la Fuente Martínez, Tesoros Matematicos de la Catedral de Burgos, Sociedad Castellano Leonesa De Educación Matematica Miguel De Guzmán, Burgos, 2021

Nemo Kennislink: https://www. nemokennislink.nl/publicaties/ het-geheim-van-de-gulden-snede/ La Ciencia que esconde la Catedral de Burgos: https://cienciaycatedral. ubuinvestiga.es/

Asociación Castellana y Leonesa de Educación Matemática"Miguel de Guzmán": https://www.socylem.es/sitio/ Animaties bij deze opdracht: https://www.geogebra.org/m/ y4ck2x6e#material/epexrpbx

UITWERKING OPDRACHT 1

Het getal invullen in de vergelijking geeft

. Kruislings vermenigvuldigen geeft met als oplossing . Omdat geldt dat

UITWERKING OPDRACHT 4

Onderstaande tabel toont de vergrotingen

Basishoek Driehoek Basis Benen

UITWERKING OPDRACHT 2

Neem middelpunt zodat en .

In gelijkbenige driehoek met is de tophoek en zijn de basishoeken . Omdat is driehoek gelijkbenig met tophoek en de basishoeken zijn

In driehoek is de tophoek en de basishoeken . Zodoende is deze driehoek gelijkbenig met zijde Driehoek is gelijkbenig vanwege de gelijke basishoeken en dus is de tophoek

In driehoek zijn de basishoeken en is de tophoek en dus is ook deze driehoek gelijkbenig. Conclusie is dat in de driehoeken , , , en alle hoeken een veelvoud van 18° zijn.

UITWERKING OPDRACHT 3

Alle genoemde driehoeken zijn gelijkbenig.

Vergrotingen van elkaar zijn dus de driehoeken , en met tophoek 36° en de driehoeken en met tophoek 108°.

UITWERKING OPDRACHT 5

Driehoek is een vergroting van driehoek , dus

. Omdat en omdat , daarom , oftewel , dus

Driehoek is een vergroting van driehoek , dus

. Omdat en omdat , daarom

.

Driehoek is een vergroting van driehoek , dus

. Omdat en omdat , daarom . Na kruislings vermenigvuldigen krijg je in beide gevallen dezelfde vergelijking

UITWERKING OPDRACHT 6

De oplossing van de vergelijking is de oplossing van de kwadratische vergelijking

. Omdat en al in de formule staan, kan toepassen van de abc-formule ondoorzichtig worden. De vergelijking doet al meer vertrouwd aan.

Nu is waardoor

. Terug naar en levert , hetgeen te bewijzen was.

UITWERKING OPDRACHT 7

In GeoGebra kun je met het commando “Regelmatige veelhoek” een vijfhoek tekenen. Alternatief is om met een geodriehoek vanuit het midden vijf lijnen met hoeken van 72° te trekken en dan met een passer de snijpunten te markeren van een cirkel met die vijf lijnen.

UITWERKING OPDRACHT 8

In de tienhoek is de middelpuntshoek 36°. Driehoeken , en zijn dus gulden snede driehoeken. Verder rekenen met overstaande hoeken, F-hoeken en Z-hoeken levert nog meer gelijkbenige driehoeken op met een tophoek van 36°, bijvoorbeeld de driehoeken en . Gelijkbenige driehoeken met een tophoek van 108° zijn bijvoorbeeld de driehoeken en , maar ook de driehoeken en . Ook dat zijn gulden snede driehoeken.

UITWERKING OPDRACHT 9

Stel en . Omdat driehoek een gulden snede driehoek is met tophoek 36°, dan is . Driehoek is ook een gulden snede driehoek met tophoek 36°. Omdat , daarom is en dus . De verhouding tussen twee opeenvolgende tienhoeken is nu . Conclusie is dus dat de lengtes van de zijden van opeenvolgende tienhoeken een meetkundige rij vormen met reden

In 2023 wordt Piet 25 jaar en Hortense 52 jaar. Hoe oud wordt Piet in het jaar dat Hortense 26 wordt?

A 36

B 43

C 49

D 57

71

In de figuur staan drie cirkels en van twee ervan is de diameter gekend. De oppervlakte van het blauwe gebied is gelijk aan de oppervlakte van het rode gebied. Wat is de diameter van de derde cirkel?