Het koekjesprobleem

HOE IK DIT AAN MIJN 6U-LEERLINGEN VAN HET ZESDE JAAR UITLEG

MET BEHULP VAN KOEKJES.

REGI OP DE BEECK, REDACTIE UITWISKELING

Regi Op de Beeck, redactie Uitwiskeling

Herhalingscombinaties vormen een lastig telprobleem. Hoe tel je het aantal herhalingscombinaties? In dit artikel beschrijf ik hoe ik dit aan mijn 6u-leerlingen van het zesde jaar uitleg met behulp van koekjes.

Koekjesprobleem

Beeck, redactie Uitwiskeling de volgorde niet belangrijk is (keuze 2, 7, 10, 25, 28, 39 = keuze 2, 10, 28, 7, 25, 39). Op dat moment kunnen we starten met een systematische bespreking van (herhalings)variaties, permutaties en combinaties, waarbij ik regelmatig verwijs naar de inleidende typevoorbeelden uit het groepswerk. Zo is het lottoprobleem een typisch voorbeeld voor een combinatie: een keuze waarbij de volgorde niet belangrijk en herhaling niet toegelaten is. We noteren het aantal keuzemogelijkheden als

Ik start de lessenreeks over telproblemen bij mijn 6u-leerlingen meestal met een klein groepswerk, waarbij ze enkele typische telproblemen voorgeschoteld krijgen: aantal mogelijkheden voor de pincodes van een gsm, aantal mogelijke autonummerplaten bestaande uit drie letters en drie cijfers, aantal anagrammen van ‘les’ en van ‘wiskunde’, aantal verschillende lottoformulieren waarbij zes getallen tussen 1 en 42 moeten gekozen worden... Aan de hand van deze voorbeelden kunnen we ontdekken dat de aanpak varieert, omdat de problemen verschillend zijn. Bij sommige problemen mag je meermaals een zelfde getal of letter kiezen (pincodes en nummerplaten), bij andere is herhaling niet toegelaten (bij de voorgestelde anagrammen en bij de lotto). Anderzijds is bij een pincode de volgorde van de gekozen cijfers belangrijk (pincode 1234 ≠ pincode 1324), terwijl bij de lotto de volgorde niet belangrijk is (keuze 2, 7, 10, 25, 28, 39 = keuze 2, 10, 28, 7, 25, 39). Op dat moment kunnen we starten met een systematische bespreking van (herhalings)variaties, permutaties en combinaties, waarbij ik regelmatig verwijs naar de inleidende typevoorbeelden uit het groepswerk. Zo is het lottoprobleem een typisch voorbeeld voor een combinatie: een keuze waarbij de volgorde niet belangrijk en herhaling niet toegelaten is. We noteren het aantal keuzemogelijkheden als ����!" # , het aantal combinaties van 6 uit 45

Ik start de lessenreeks over telproblemen bij mijn 6u-leerlingen meestal met een klein groepswerk, waarbij ze enkele typische telproblemen voorgeschoteld krijgen: aantal mogelijkheden voor de pincodes van een gsm, aantal mogelijke autonummerplaten bestaande uit drie letters en drie cijfers, aantal anagrammen van ‘les’ en van ‘wiskunde’, aantal verschillende lottoformulieren waarbij zes getallen tussen 1 en 42 moeten gekozen worden... Aan de hand van deze voorbeelden kunnen we ontdekken dat de aanpak varieert, omdat de problemen verschillend zijn. Bij sommige problemen mag je meermaals een zelfde getal of letter kiezen (pincodes en nummerplaten), bij andere is herhaling niet toegelaten (bij de voorgestelde anagrammen en bij de lotto). Anderzijds is bij een pincode de volgorde van de gekozen cijfers belangrijk (pincode 1234 ≠ pincode 1324), terwijl bij de lotto de volgorde niet belangrijk is (keuze 2, 7, 10, 25, 28, 39 = keuze 2, 10, 28, 7, 25, 39). Op dat moment kunnen we starten met een systematische bespreking van (herhalings)variaties, permutaties en combinaties, waarbij ik regelmatig verwijs naar de inleidende typevoorbeelden uit het groepswerk. Zo is het lottoprobleem een typisch voorbeeld voor een combinatie: een keuze waarbij de volgorde niet belangrijk en herhaling niet toegelaten is. We noteren het aantal keuzemogelijkheden als ���� aantal combinaties van 6 uit 45 de handboeken eerder saai vond, bedacht ik hier een lekkere variant: het koekjesprobleem.

Herhalingspermutaties kun je nog mooi aanbrengen via anagrammen van woorden waarbij één of meerdere letters meermaals voorkomen; de inleidende anagrammen uit het groepswerk bevatten bewust woorden met verschillende letters. Omdat herhalingscombinaties echter een lastiger telprobleem vormen en ik de voorbeelden uit de handboeken eerder saai vond, bedacht ik hier een lekkere variant: het koekjesprobleem.

Ik vertel mijn leerlingen dat ik 10 identieke koekjes heb en die wil verdelen over 4 leerlingen. Hoeveel mogelijke verdelingen zijn zo mogelijk?

, het aantal combinaties van 6 uit 45.

Ik vertel mijn leerlingen dat ik 10 identieke koekjes heb en deze wil verdelen over 4 leerlingen. Hoeveel mogelijke verdelingen zijn zo mogelijk?

Herhalingscombinaties vormen een lastig telprobleem. Hoe tel je het aantal herhalingscombinaties? In dit artikel beschrijf ik hoe ik dit aan mijn 6u-leerlingen van het zesde met behulp van koekjes.

Herhalingspermutaties kun je nog mooi aanbrengen via anagrammen van woorden waarbij één of meerdere letters meermaals voorkomen; de inleidende anagrammen uit het groepswerk bevatten bewust woorden met verschillende letters. Omdat herhalingscombinaties echter een lastiger telprobleem vormen en ik de voorbeelden uit de handboeken eerder saai vond, bedacht ik hier een lekkere variant: het koekjesprobleem.

Ik start de lessenreeks over telproblemen bij mijn 6u-leerlingen meestal met een klein groepswerk, waarbij ze enkele typische telproblemen voorgeschoteld krijgen: aantal mogelijkheden voor de pincodes van een gsm, aantal mogelijke autonummerplaten bestaande uit drie letters en drie cijfers, aantal anagrammen van ‘les’ en van ‘wiskunde’, aantal verschillende lottoformulieren waarbij zes getallen tussen 1 en 42 gekozen moeten worden... Aan de hand van deze voorbeelden kunnen we ontdekken dat de aanpak varieert, omdat de problemen verschillend zijn. Bij sommige problemen mag je meermaals eenzelfde getal of letter kiezen (pincodes en nummerplaten), bij andere is herhaling niet toegelaten (bij de voorgestelde anagrammen en bij de lotto). Anderzijds is bij een pincode de volgorde van de gekozen cijfers belangrijk (pincode 1234 pincode 1324), terwijl bij de lotto

Ik vertel mijn leerlingen dat ik 10 identieke koekjes heb en deze wil verdelen over 4 leerlingen. Hoeveel mogelijke verdelingen zijn zo mogelijk?

Herhalingspermutaties kun je nog mooi aanbrengen via anagrammen van woorden waarbij één of meerdere letters meermaals voorkomen; de inleidende anagrammen uit het groepswerk bevatten bewust woorden met verschillende letters. Omdat herhalingscombinaties echter een lastiger telprobleem vormen en ik de voorbeelden uit

Ik start de lessenreeks over telproblemen bij mijn 6u-leerlingen meestal met een klein groepswerk, waarbij ze enkele typische telproblemen voorgeschoteld krijgen: aantal mogelijkheden voor de pincodes van een gsm, aantal mogelijke autonummerplaten bestaande uit drie letters en drie cijfers, aantal anagrammen van ‘les’ en van ‘wiskunde’, aantal verschillende lottoformulieren waarbij zes getallen tussen 1 en 42 moeten gekozen worden... Aan de hand van deze voorbeelden kunnen we ontdekken dat de aanpak varieert, omdat de problemen verschillend zijn. Bij sommige problemen mag je meermaals een zelfde getal of letter kiezen (pincodes en nummerplaten), bij andere is herhaling niet toegelaten (bij de voorgestelde anagrammen en bij de lotto). Anderzijds is bij een pincode de volgorde van de gekozen cijfers belangrijk (pincode 1234 ≠ pincode 1324), terwijl bij de lotto de volgorde niet belangrijk is (keuze 2, 7, 10, 25, 28, 39 = keuze 2, 10, 28, 7, 25, 39). Op dat moment kunnen we starten met een systematische bespreking van (herhalings)variaties, permutaties en combinaties, waarbij ik regelmatig verwijs naar de inleidende typevoorbeelden uit het groepswerk. Zo is het lottoprobleem een typisch voorbeeld voor een combinatie: een keuze waarbij de volgorde niet belangrijk en herhaling niet toegelaten is. We noteren het aantal keuzemogelijkheden als ����!" # , het aantal combinaties van 6 uit 45

Het gaat hier om een telprobleem waarbij de volgorde van het verdelen over de leerlingen niet belangrijk is (omdat de koekjes identiek zijn) en herhaling

Het gaat hier om een telprobleem waarbij de volgorde van het verdelen over de leerlingen niet belangrijk is (omdat de koekjes identiek zijn) en herhaling toegelaten is (in dit geval zelfs nodig: er zijn meer koekjes dan leerlingen, dus zal je bij de verdeling in herhaling moeten vallen).

Dergelijk telprobleem noemen we een herhalingscombinatie en het aantal mogelijkheden noteren we in dit geval als

Het gaat hier om een telprobleem waarbij de volgorde van het verdelen over de leerlingen niet belangrijk is (omdat de koekjes identiek zijn) en herhaling toegelaten is (in dit geval zelfs nodig: er zijn meer koekjes dan leerlingen, dus zal je bij de verdeling in herhaling moeten vallen). Dergelijk telprobleem noemen we een herhalingscombinatie en het aantal mogelijkheden noteren we in dit geval als ����! $% . Ik laat de leerlingen dan allen naar mijn bureau komen en haal effectief 10 identieke koekjes uit mijn boekentas. Omdat mijn bureau een . Ik laat de leerlingen dan allen naar mijn bureau komen en haal effectief 10 identieke koekjes uit mijn boekentas. Omdat mijn bureau een beetje stoffig is, heb ik ook