BORROMEAANS: GLOBAAL, LOKAAL

HIER ZIE JE TWEE

KOLOMMEN DIE ZIJN ONTWORPEN DOOR DE NEDERLANDSE BEEL-

DEND KUNSTENAAR

RINUS ROELOFS. DE LINKER KOLOM IS IN HET VOORJAAR VAN

2020 GEPLAATST IN HET CREMATORIUM USSELO IN ENSCHEDE EN

MAAKT DEEL UIT VAN

EEN BEELDENGROEP. DE RECHTER KOLOM STAAT

SINDS 2022 BIJ DE AFDELING WISKUNDE

VAN DE KU LEUVEN IN KORTRIJK. ZO OP HET

EERSTE GEZICHT LIJKEN

BEIDE ONTWERPEN

HETZELFDE, BEHALVE

DAN DAT DIE IN KORTRIJK HOGER IS, MAAR DIE STAAT DAN OOK IN DE BUITENRUIMTE. AAN BEIDE ONTWERPEN LIGT WELISWAAR DEZELFDE

BAKERMAT TEN GRONDSLAG, MAAR ZE VERSCHILLEN ALS BROER EN ZUS

WEL DEGELIJK VAN ELKAAR. BEIDE ZIJN IN METAAL UITGEVOERD DOOR

STROBOS METAAL UIT HENGELO.

KLAAS LAKEMAN, ARS ET MATHESIS

BORROMEAANSE RINGEN

Borromeaanse ringen zijn drie met elkaar verstrengelde ringen en wel zo dat als je om het even welke van de drie ringen zou doorknippen en wegnemen de twee overgebleven ringen volledig vrij komen te liggen. Het motief kwam in de 15e eeuw voor in de drie ringen uit het familiewapen van de Noord-Italiaanse familie Borromeo (figuur 1). Vandaar de naam voor deze verstrengeling.

NIET MET PLATTE RINGEN

Wat op een tekening als figuur 2A eenvoudig lijkt, is in de werkelijkheid niet altijd te realiseren. In 1987 bewezen Michael Friedman en Richard Skora dat met drie gewone platte stijve cirkelvormige ringen geen Borromeaanse combinatie is te maken. Platte cirkelvormige ringen moeten altijd worden vervormd en aangepast om tot een Borromeaanse constellatie te komen. Zoals bijvoorbeeld in het logo van de IMU, International Mathematical Union (figuur 2C). Daaruit is gemakkelijk af te leiden dat met drie rechthoeken zoals in figuur 2B of drie platte ellipsen wel een ruimtelijke Borromeaanse verstrengeling is te maken. Dat is bijvoorbeeld simpel te controleren met drie (grote) paperclips (figuur 3A).

VAN NETWERK NAAR LAGEN

Vanuit het basismotief van de drie gekoppelde ringen zijn verschillende Borromeaanse structuren te ontwikkelen. Neem bijvoorbeeld de ellipsvormige ringen uit figuur 4A. Die kunnen worden uitgebreid door aan elk uiteinde op precies dezelfde manier twee andere langwerpige ringen op Borromeaanse wijze te koppelen (figuur 4B). En op de uiteinden daarvan ook weer. Je krijgt dan wat je een Borromeaans netwerk zou kunnen noemen. Evenzo is figuur 3B ook uit te breiden tot een Borromeaans netwerk van paperclips.

Vanuit zo’n netwerk is het een kleine stap naar zo te noemen Borromeaanse lagen. Die krijg je door in figuur 4B alle langwerpige ringen van dezelfde kleur met elkaar te verbinden. Dat levert een golvend patroon op van drie met elkaar verweven lagen zoals in figuur 4C en iets dichter gevlochten en afgesneden in figuur 5. Elke laag met een eigen kleur, maar alle drie wel met dezelfde vorm.

Door om het even welke laag in figuur 5 overal door te knippen en te verwijderen, blijven de overgebleven lagen als twee los van elkaar en op elkaar liggende tapijtjes over die nergens met elkaar zijn verbonden (figuur 6). Dit zijn dus inderdaad Borromeaanse lagen.

Je kunt het ook omdraaien. Uitgaande van twee op elkaar liggende gelijkvormige gatenmatjes zoals in figuur 6 moet er (al is het maar in gedachten) een derde gatenmat in stukjes doorheen worden gevlochten en aan elkaar worden vastgemaakt om zo’n Borromeaanse drielagenmat te krijgen als in figuur 5.

Bakermat

Om tot het ontwerp van de in het begin getoonde kolommen te komen dient de Borromeaanse drielagenmat van figuur 5 als uitgangspunt. Die mat is als het ware op te vatten als de bakermat van beide verwante kolommen. Ga er in gedachten even van uit dat de Borromeaanse lagen van figuur 5 zich inderdaad kunnen gedragen als een soepel drielaags tapijt. Dan is die op te rollen tot een cilinder- of kokervormige structuur (figuur 7). De gekleurde uiteinden aan de randen die naar elkaar worden gerold, sluiten keurig op elkaar aan. Ga maar na.

Het resultaat is een Borromeaanse kolom of koker (figuur 8). Het is echter niet een enkele kolom, maar het zijn drie met elkaar verstrengelde kolommen. Als om het even van welke kolom de verbindingen worden doorgeknipt zodat de betreffende kolom er aan stukjes tussen uit kan worden gehaald, dan zijn de overblijvende twee kolommen niet met elkaar verweven. De ene kolom zit als het ware om de andere heen. Net als bij de voorbeelden van Borromeaanse ringen hebben alle drie de kolommen afzonderlijk precies dezelfde vorm. Figuur 8 vormt het basisontwerp van de kolom(men) in het Enschedese crematorium.

Andere Richting

Zoals aangegeven in figuur 9 kan de afgesneden drielagenmat uit figuur 5 ook in een andere richting worden opgerold. De gekleurde uiteinden aan de randen die dan naar elkaar worden gerold, sluiten niet meer kleur aan kleur op elkaar aan (figuur 10A). Het levert een volledige versmelting van de drie lagen tot één enkele laag. Dat kan worden versterkt door vanuit de samengesmolten randen verder te gaan met één kleur. Dat maakt dat het hele object uiteindelijk overal dezelfde kleur krijgt (figuur 10B). Figuur 10B vormt het basisontwerp van de kolom in Kortrijk. Omdat bij deze koker toch nog een schijnbare Borromeaanse structuur bestaat, is het een mooie tegenhanger van de koker uit figuur 8.

De Beeldengroep

De beeldengroep in crematorium Usselo is op te vatten als een drieluik. Dat drieluik wordt gevormd door de drie verstrengelde kolommen binnen en twee elkaar omhullende kolom- men en een afzonderlijke ‘losgemaakte’ kolom buiten (figuur 11A, B en C). De drie verstrengelde kolommen in figuur 11A, de twee elkaar omhullende kolommen in figuur 11B en de afzonderlijke kolom uit figuur 11C hebben alle zes precies dezelfde vorm.

Ondanks plaatsing van een deel van de groep binnen en twee delen van de groep buiten kan er niet aan worden getwijfeld dat die delen bij elkaar horen, zoals de foto van de opstelling toont (figuur 12). Binnen is het nog met elkaar verstrengeld zijn, maar buiten is het los laten – laten gaan. Dat is ook de titel die aan deze beeldengroep is toebedacht.

OPBOUW

Het is natuurlijk niet zo dat voor de kolommen in het crematorium eerst een soort metalen frame is gemaakt dat daarna tot een koker of kolom is omgebogen zoals uit figuur 13 zou kunnen worden opgemaakt.

Eerst zijn door Strobos Metaal alle losse delen met behulp van een laser uitgesneden (figuur 14). Een aantal daarvan is vervolgens aan elkaar gelast tot ‘niet platte ringen’ (figuur 15) waarmee de kolommen zijn opgebouwd. Zoals in figuur 11C is te zien bestaat elke kolom uit zes van die ‘ringen’, twee aan voor- en achterzijde en een aan beide zijkanten. Voor elk van de drie delen van het drieluik wordt begonnen met één zo’n kolom. Daarna worden twee van die enkele kolommen omhuld met een tweede kolom. In figuur 11B is dat de groengekleurde kolom. Dat kan nog door de vooraf gemaakte ringen uit figuur 15 op een handige manier om de eerste kolom heen samen te stellen.

Dan komt het moeilijkste werk want bij een tweetal van die twee elkaar omhullende kolommen moet met de losse onderdelen uit figuur 14 de derde kolom worden opgebouwd. Dat moet zo gebeuren dat steeds drie ringen van drie verschillende kolommen op dezelfde manier worden verstrengeld zodat ze Borromeaanse ringen vormen. Het resultaat daarvan staat binnen in het crematorium (figuur 16).

Na las- en slijpwerk zijn de kolommen gestraald en met een kleur afgewerkt.

Lokaal Borromeaans

De opbouw van de kolom in Kortrijk (figuur 17) is te vergelijken met de kolommen in het Enschedese crematorium. De losse metalen onderdelen met een laser uitsnijden, enzovoort. Zoals eerder gemeld, vertoont deze kolom een schijnbare Borromeaanse structuur. Eigenlijk kan je beter spreken van plaatselijk of lokaal Borromeaans. Als je er namelijk een stuk uit zou halen, bijvoorbeeld het op de voorzijde van de omslag ingezoomde stuk, dan heeft dat stuk weer de Borromeaanse verweving (figuur 18).

FOTO’S EN ILLUSTRATIES: figuur 2B: Klaas Lakeman, figuur 3: Emiel Kaper, alle andere foto’s en illustraties: Rinus Roelofs

Hasse betaalt bij de bakker met haar bankkaart. Bij het intoetsen van haar viercijferige code kan de bakker zien dat ze het eerste cijfer kiest uit de eerste kolom van het toetsenbord, het tweede cijfer uit de tweede kolom en de laatste twee cijfers uit de laatste kolom. Wat is het aantal codes dat daaraan voldoet als het toetsenbord eruitziet zoals in de figuur?

Oefening 1

Jos doet boodschappen. Hij ziet dat de appels vandaag afgeprijsd zijn: 25% korting per kilo, en daarbovenop krijgt hij bij aankoop van 2 kg appels nog 1 kg gratis. Hoeveel procent betaalt Jos vandaag minder dan vóór de afprijzing als hij drie kilo appels mee naar huis neemt?

25% 40% 50% 75%

A 12

B 54

C 72

D 81

E 108