LEERBOEK
Functies
D-finaliteit 4 uur
Philip Bogaert Filip Geeurickx Marc Muylaert Roger Van Nieuwenhuyze Erik Willockx CARTOONS Dave Vanroye
Functies
1
Tweedegraadsfuncties Even herhalen ������������������������������������������������������������������������ 9 Tweedegraadsfuncties ��������������������������������������������� 19 Ontbinden in factoren ����������������������������������������������� 39 Tweedegraadsvergelijkingen ����������������������������� 45 Toepassingen op tweedegraadsvergelijkingen .............................. 64 1.6 Tekenverloop van een tweedegraadsfunctie ....................................... 73 1.7 Toepassingen op tweedegraadsfuncties ............................................... 88
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
2
Extra’s �������������������������������������������������������������������������������������������������� 104
Functies met voorschrift f (x) ==
c x
2.1 Instap ������������������������������������������������������������������������������������������ 111 c 2.2 De functie f met f (x) == (c ∈ r 0) ������������ 113 x Extra’s .................................................................................................... 123
Oplossingen 128
Trefwoordenregister 133
1
Tweedegraadsfuncties
Wiskunde is overal. De boog van de Tyne Bridge in Newcastle heeft de vorm van een (deel van een) parabool. Daardoor loopt een horizontale rechte, die voetgangers en auto’s naar de overkant brengt. Als je de coördinaten van enkele punten kent, kun je de vergelijking van de parabool terugvinden. Die leidt dan weer naar andere berekeningen zoals de hoogte van de brug en de afstand tussen de twee pijlers. In dit hoofdstuk lossen we tweedegraadsvergelijkingen en tweedegraadsongelijkheden op en illustreren we ze met een waaier aan realistische toepassingen.
1
Tweedegraadsfuncties 1.1 Even herhalen 1 2
3 4 5 6 7 8
Reële functies ........................................................................ 9 Domein, bereik en nulwaarde van een reële functie ............................................................. 10 Verloop van reële functies ..................................... 11 Differentiequotiënt van een functie over een interval ............................................................. 14 Eerstegraadsfuncties .................................................... 15 Constante functies .......................................................... 15 Samenvatting ...................................................................... 16 Oefeningen .............................................................................. 17
1.2 Tweedegraadsfuncties 1 2 3 4
Definitie ...................................................................................... 19 Grafiek van de functie f met f (x) = x2 ........ 21 Grafiek van de functie f met f (x) = ax2 ... 23 Grafiek van de functie f met f (x) = (x – )2 .......................................................... 25 5 Grafiek van de functie f met f (x) = x2 + β .............................................................. 26 6 Grafiek van de functie f met f (x) = a(x – )2 + β ............................................ 27 7 Grafiek van de functie f met f (x) = ax2 + bx + c .............................................. 28 8 Onderzoek van een tweedegraadsfunctie ....................................... 31 9 Differentiequotiënt ....................................................... 32 10 Samenvatting ...................................................................... 33 11 Oefeningen ............................................................................. 34
1.3 Ontbinden in factoren 1
2 3 4 5
Gemeenschappelijke factoren afzonderen ............................................................................. 39 Merkwaardige tweeterm a2 – b2 ...................... 40 Merkwaardige drieterm a2 ± 2ab + b2 ....... 41 Samenvatting ...................................................................... 42 Oefeningen ............................................................................. 43
1.4 Tweedegraadsvergelijkingen 1
2 3 4 5 6 7 8
8
Vergelijkingen herleiden naar de standaardvorm ......................................................... 45 Tweedegraadsvergelijkingen oplossen ... 46 Eigenschappen van de wortels ......................... 51 Bikwadratische vergelijkingen .......................... 53 De drieterm ax2 + bx + c ontbinden .......... 54 Computationeel denken .......................................... 56 Samenvatting ....................................................................... 57 Oefeningen ............................................................................. 60
1.5 Toepassingen op tweedegraadsvergelijkingen 1
2 3 4
Vraagstukken oplossen met behulp van tweedegraadsvergelijkingen ............................... 64 Snijpunten bepalen van twee grafieken .66 Samenvatting ....................................................................... 67 Oefeningen ............................................................................. 68
1.6 Tekenverloop van een tweedegraadsfunctie 1 2 3 4 5
Voorbeelden .......................................................................... 73 Tweedegraadsongelijkheden ............................. 78 Onderlinge ligging van twee grafieken ..... 81 Samenvatting ...................................................................... 84 Oefeningen ............................................................................. 85
1.7 Toepassingen op tweedegraadsfuncties 1
2 3 4 5 6
Toepassing waarbij het voorschrift van een tweedegraadsfunctie gegeven is ........ 88 Het voorschrift van een tweedegraadsfunctie opstellen ........... 89 Toepassingen waarbij het voorschrift van een tweedegraadsfunctie niet gegeven is ................................................................................ 91 Extremumvraagstukken ............................................ 94 Samenvatting ...................................................................... 95 Oefeningen ............................................................................. 96
Extra’s
Vaardigheden : wiskundige woordenschat ... 104 Wat moet je kennen en kunnen ? ........................... 105 Herhalingsoefeningen ....................................................... 106
1
Tweedegraadsfuncties
1.1
Even herhalen 1 Reële functies Hieronder vind je de grafische voorstelling van een aantal verbanden tussen twee variabele grootheden. Zijn deze verbanden functies? Hoe kun je dit grafisch onderzoeken? y
y
5 4 3 2 1
– 5 – 4 – 3 – 2 – 10 –1 –2 –3 –4 –5
JA
y
5 4 3 2 1
1 2 3
NEEN
4 5x
–5 –4 –3 –2 –10 –1 –2 –3 –4 –5
JA
5 4 3 2 1
1 2 3
NEEN
4 5x
– 5 – 4 – 3 – 2 – 10 –1 –2 –3 –4 –5
JA
1 2 3
4 5x
NEEN
reële functie Een functie is een verband tussen twee variabelen x en y waarbij voor elke x -waarde hoogstens één y -waarde bestaat. We noemen y de afhankelijke variabele en x de onafhankelijke variabele. Een reële functie is een functie waarbij de variabelen x en y reële getallen zijn. Er zijn verschillende representaties van een functie mogelijk: verwoording, tabel, letterformule (voorschrift) en grafiek.
Voor reële functies gebruiken we de letters f , g , h ... of f 1, f 2, f 3 ... De formule die de functie bepaalt, is het functievoorschrift. Zo spreken we over de functie f met voorschrift f (x ). De y -waarden noemen we ook de functiewaarden of beelden.
Voorbeeld: Elk reëel getal heeft juist één tweevoud, dus is dat verband een functie f 1 met voorschrift f 1( x ) = 2x . f 1( 3 ) = 2 · 3 = 6
(3, 6) ∈ f 1 f 1(– 2) = 2 · ( –2) = –4 dom f 1 = R ber f 1 = R
9
2 Domein, bereik en nulwaarde van een reële functie domein Het domein van een functie f is de verzameling van de x -waarden waarvoor de functiewaarde bestaat. Notatie: dom f
Merk op: Het domein van een functie kun je grafisch vinden door de grafiek van de functie loodrecht te projecteren op de x -as. bereik Het bereik (of beeld) van een functie f is de verzameling van de y -waarden waarvoor er een x -waarde bestaat zodat y = f ( x ). Notatie: ber f
Merk op: Het bereik van een functie kun je grafisch vinden door de grafiek van de functie loodrecht te projecteren op de y -as. nulwaarde Een nulwaarde van een functie is een x -waarde waarvoor de functiewaarde nul is. in symbolen:
α is een nulwaarde van f ⟺ f ( α) = 0 ⟺ de grafiek van f snijdt of raakt de x -as in ( α, 0)
Merk op: –
De nulwaarden van f zijn de oplossingen van de vergelijking y = f ( x ) = 0.
–
Een functie kan meer dan één nulwaarde hebben.
–
De nulwaarden zijn de eerste coördinaatgetallen
∩: doorsnede ∪: unie
van de snijpunten van de grafiek van de functie met de x -as.
\: verschil
Voorbeelden: y
f
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
–5 –4 –3 –2 –10 –1
y
y
5
1
2
3
4
5
x
–5 –4 –3 –2 –1 0 –1
h g
4 3 2 1
1
2
3
4
5
x
–5 –4 –3 –2 –10 –1
–2
–2
–2
–3
–3
–3
–4
–4
–4
–5
–5
–5
1
2
3
4
5
x
dom f = R
dom g = [ –3, +∞[
dom h = ] –∞, –2] ∪ [ 1, +∞[
ber f = R
ber g = [ –2, +∞[
ber h = [ –4, +∞[
nulwaarde: –3
nulwaarde: –2
nulwaarde: –4
10
1
Tweedegraadsfuncties
3 Verloop van reële functies Wanneer je de stand van je zicht- of spaarrekening regelmatig bijhoudt, dan merk je dat de stand van je rekening wijzigt door stortingen of afnamen, met andere woorden de grafiek stijgt of daalt. Ook bij temperatuurmetingen merken we dat de temperatuur stijgt, daalt of constant blijft aan de hand van de grafiek. Beschouw de grafiek van volgende
y 3
willekeurige functie f .
2
f
1
x
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10 –11
Stijgen en dalen
De bovenstaande grafiek is de grafiek van een functie f . Hierbij is dom f = ]–∞, 11] en ber f = ]–∞, 3]. Dit is een waardetabel van de functie f . x
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
f (x )
–10
–5
–2
–1
–2
–5
–3
–1
1
3
3
3
3
2
1
0
–1
↓ de functiewaarden worden groter als de x -waarden groter worden
↓ ↓ de functiede functiewaarden waarden worden groter als worden de x -waarden kleiner als de x -waar- groter worden den groter worden
↓ de functiewaarden blijven constant als de x -waarden groter worden
↓ de functiewaarden worden kleiner als de x -waarden groter worden
Uit de grafiek en de tabel kunnen we het volgende afleiden: –
In het interval ] –∞, –2[ stijgt de grafiek, de functiewaarden worden groter naarmate de x -waarden groter worden.
–
In het interval ] –2, 0[ daalt de grafiek, de functiewaarden worden kleiner naarmate de x -waarden groter worden.
–
In het interval ] 0, 4[ stijgt de grafiek, de functiewaarden worden groter naarmate de x -waarden groter worden.
–
In het interval ] 4, 7[ stijgt noch daalt de grafiek, de functiewaarden blijven constant (nl. 3) naarmate
–
In het interval ] 7, 11[ daalt de grafiek, de functiewaarden worden kleiner naarmate de x -waarden groter
de x -waarden groter worden. worden. stijgend, dalend en constant Een functie is stijgend in een interval als de functiewaarden in dat interval groter worden bij toenemende x -waarden. Een functie is dalend in een interval als de functiewaarden in dat interval kleiner worden bij toenemende x -waarden. Een functie is constant in een interval als de functiewaarden voor alle x -waarden in dat interval gelijk blijven.
11
Extreme waarden van een functie Gegeven: de functie f met f ( x ) = x 3 – 4x
Deze functie stijgt in het interval ]–∞; –1,15[ en gaat bij x = –1,15 over in een dalende functie. Hierbij is f ( –1,15) = 3,08. We zeggen dat 3,08 een maximum is van de functie voor x = –1,15. Deze functie daalt in ]–1,15; 1,15[ en gaat bij x = 1,15 over in een stijgende functie. Hierbij is f ( 1,15) = –3,08. We zeggen dat –3,08 een minimum is van de functie voor x = 1,15. We kunnen dit ook in een overzichtelijke tabel plaatsen. x
–∞
f (x )
–∞
–1,15 ↗
3,08 ∥ max
+∞
1,15 ↘
–3,08 ∥ min
↗
+∞
Maxima en minima noemen we de extreme waarden van de functie. Merk op dat een extreme waarde een functiewaarde is en geen x-waarde. extreme waarden Als een functie overgaat van stijgen naar dalen in ( a , f ( a )), dan zeggen we dat de functie een maximum f ( a ) heeft voor x = a . Als een functie overgaat van dalen naar stijgen in ( a , f ( a )), dan zeggen we dat de functie een minimum f ( a ) heeft voor x = a .
Opmerking: Een functie kan meerdere maxima en/of minima hebben.
12
Tweedegraadsfuncties
Tekenverloop van een functie y 6 5
f (a ) = max
4
(a, f (a ))
3 2 1
b
a
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
1
2
x 3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
–2 –3 –4 –5 –6 –7
(b, f (b ))
f (b ) = min f
–8
Bij bovenstaande grafiek merken we dat: •
–6, 0 en 4 de nulwaarden van deze functie f zijn, met andere woorden f ( –6) = f ( 0) = f ( 4) = 0;
•
als x ∈ ]–∞, –6[ bevindt de grafiek zich boven de x -as, met andere woorden f ( x ) > 0;
•
als x ∈ ]–6, 0[ bevindt de grafiek zich onder de x -as, met andere woorden f ( x ) < 0;
•
als x ∈ ]0, 4[ bevindt de grafiek zich boven de x -as, met andere woorden f ( x ) > 0;
•
als x ∈ ]4, +∞[ bevindt de grafiek zich onder de x -as, met andere woorden f ( x ) < 0.
We kunnen dit in een overzichtelijke tabel plaatsen. x
–∞
f (x )
–6 +
0 –
0
+∞
4 +
0
0
–
Algemeen: De grafiek van een functie f bevindt zich onder de x -as ⟺ f ( x ) < 0. De grafiek van een functie f bevindt zich boven de x -as ⟺ f ( x ) > 0. De grafiek van een functie f snijdt of raakt de x -as in ( a , 0) ⟺ f ( a ) = 0. 6
y
5 4 3 2 1
f (x) > 0
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
f(x) < 0
–2
f (x) > 0 1
2
3
x 4
5
6
–3 –4 –5 –6 –7 –8
7
f(x) < 0
f
8
9
10 11 12
1
4 Differentiequotiënt van een functie over een interval Gegeven: de grafiek van een functie f In de intervallen ] –4, –2[ en ] –2, 0[ daalt de functie telkens. We merken echter op dat de daling in ] –4, –2[ groter is dan in ] –2, 0[, want voor dezelfde toename van de x -waarden is de afname van de y -waarden het grootst in ] –4, –2[. Algebraïsch kunnen we dat vaststellen als:
∆y 0− 8 y2 − y1 • in [−4, −2] is = = = −4 ∆x x2 − x1 −2 + 4 • in [−2, 0] is
∆y −4 − 0 y2 − y1 = = = −2 ∆x x2 − x1 0+2
In de intervallen ] 2, 4[ en ] 4, 6[ stijgt de functie
y 9 A( –4, 8)
F( 6, 8)
8 7 6 5 4 3 2 1 B( –2, 0)
–5 –4 –3 –2 –1 0 –1
E( 4, 0) 1
2
3
4
5
x 6
7
8
–2 –3 –4 C( 0, –4) –5
D( 2, –4)
telkens. We merken echter op dat de stijging in ] 4, 6[ groter is dan in ] 2, 4[, want voor dezelfde toename van de x -waarden is de toename van de y -waarden het grootst in ] 4, 6[. Algebraïsch kunnen we dat vaststellen als:
• in [2, 4] is
∆y y2 − y1 0 − (−4) = =2 = ∆x x2 − x1 4−2
• in [4, 6] is
∆y 8−0 y2 − y1 = = =4 ∆x x2 − x1 6−4
∆y het differentiequotiënt van ∆x een functie over een interval. We noemen
differentiequotiënt Als A a , f (a ) en B b , f (b ) twee punten zijn van
de grafiek van een functie f , dan noemen we f (b ) − f (a ) ∆y = het differentiequotiënt of ∆x b −a de gemiddelde verandering van f over het interval [a , b ].
∆y > 0, dan stijgt die functie over dat interval; Als ∆x als
14
∆y < 0, dan daalt die functie over dat interval. ∆x
Toename van x : Dx = x 2 – x 1 Toename van y : Dy = y 2 – y 1
y B( b, f ( b ))
f (b)
Dy
Dx
f (a) 1 0
A( a, f ( a )) 1
a
b
x
Tweedegraadsfuncties
5 Eerstegraadsfuncties Vorig jaar bestudeerde je de eerstegraadsfuncties (of lineaire functies). We herhalen kort. eerstegraadsfunctie Een eerstegraadsfunctie is een functie die elk reëel getal x afbeeldt op ax + b met a ∈ R0 en b ∈ R. Het functievoorschrift ax + b is een veelterm van de eerste graad in x . in symbolen: f is een eerstegraadsfunctie ⇐⇒ f (x ) = ax + b
met a ∈ R0 en b ∈ R
Andere notaties: f : x → ax + b of: y = ax + b •
dom f = ber f = R
•
b De nulwaarde van f is − . a
•
Grafiek en tekentabel:
de grafiek van f is een rechte met richtingscoëfficiënt a die gaat door het punt met coördinaat ( 0, b ). a >0
a <0
De functie is stijgend.
De functie is dalend.
y
y f ( x ) = ax + b
(0, b) f ( x ) = ax + b
(0, b)
x
b − ,0 a
–∞
f (x )
0
− –
0
x
b a
0
+∞ +
x
–∞
f (x )
6 Constante functies
− +
x
b − ,0 a
b a
0
+∞ –
y
constante functie Een functie f is een constante functie ⟺ f ( x ) = b met b ∈ R
(0, b) f (x ) = b
De grafiek van een constante functie is een rechte evenwijdig met de x -as door het punt met coördinaat ( 0, b ).
0
x
De richtingscoëfficiënt van de grafiek is nul. Taak: Teken de grafieken van de functie f met voorschrift f ( x ) = 2x – 1 en de functie g met voorschrift g ( x ) = –2x + 5. Bepaal daarna voor elke functie het domein, het bereik, de nulwaarden, de snijpunten van de grafiek met de assen, de richtingscoëfficiënt van de grafiek, het stijgen/dalen en het tekenverloop. 15
1
7 Samenvatting •
Je weet dat een functie een verband is tussen twee variabelen x en y waarbij voor elke x -waarde hoogstens één y -waarde bestaat. We noemen y de afhankelijke variabele en x de onafhankelijke variabele. De representaties van een functie zijn: verwoording, tabel, letterformule en grafiek.
•
Je weet dat een reële functie een functie is waarbij de variabelen x en y reële getallen zijn.
•
Je weet wat bedoeld wordt met een functievoorschrift. De ‘formule’ die de functie bepaalt, noemen we het functievoorschrift. We spreken van de functie f met voorschrift f ( x ). We noemen y de functiewaarde van f in x als f ( x ) = y . Notatie: y = f ( x )
•
Je kent de betekenis van domein, bereik en nulwaarde van een functie. Het domein van een functie f is de verzameling van de x -waarden waarvoor de functiewaarde bestaat. Notatie: dom f
(grafisch: projecteer de grafiek van de functie loodrecht op de x -as)
Het bereik van een functie f is de verzameling van de y -waarden waarvoor er een x -waarde bestaat zodat y = f ( x ). Notatie: ber f
(grafisch: projecteer de grafiek van de functie loodrecht op de y -as)
Een nulwaarde van een functie is een x -waarde waarvoor de functiewaarde nul is. Een nulwaarde is het eerste coördinaatgetal van een snijpunt of raakpunt van de grafiek van de functie met de x -as. in symbolen: α is een nulwaarde van f ⟺ f ( α) = 0 ⟺ de grafiek van f snijdt of raakt de x -as in ( α, 0) •
Je kunt een grafiek construeren en je kunt bepalen of de grafiek al dan niet de grafiek van een functie voorstelt. Een grafiek is de grafiek van een functie als en slechts als elke rechte evenwijdig met de verticale as hoogstens één gemeenschappelijk punt heeft met de grafiek.
•
Je kunt op de grafiek van een functie het domein, het bereik, de nulwaarden, het stijgen en dalen en de extrema bepalen. Een functie is stijgend in een interval als de functiewaarden in dat interval groter worden bij toenemende x -waarden. Een functie is dalend in een interval als de functiewaarden in dat interval kleiner worden bij toenemende x -waarden. Een functie is constant in een interval als de functiewaarden voor alle x -waarden in dat interval gelijk blijven. Als een functie overgaat van stijgen naar dalen in ( a , f ( a )), dan zeggen we dat de functie een maximum f ( a ) heeft voor x = a . Als een functie overgaat van dalen naar stijgen in ( a , f ( a )), dan zeggen we dat de functie een minimum f ( a ) heeft voor x = a .
•
Je kent de betekenis van het differentiequotiënt of de gemiddelde verandering van f over het interval [ a , b ]. Als A a , f (a ) en B b , f (b ) twee punten zijn van de grafiek van een functie f , dan noemen we
f (b ) − f (a ) ∆y = het differentiequotiënt of de gemiddelde verandering van f over ∆x b −a
het interval [a , b ]. Als
16
∆y ∆y > 0, dan stijgt die functie over dat interval; als < 0, dan daalt die functie over dat interval. ∆x ∆x
•
Je weet dat een functie f een eerstegraadsfunctie is als en slechts als f ( x ) = ax + b met a ∈ R0 en b ∈ R.
•
Je weet dat een functie f een constante functie is als en slechts als f ( x ) = b met b ∈ R.
1
Tweedegraadsfuncties
8 Oefeningen 1
Is de grafiek een grafische voorstelling van een functie? Zo ja, neem de letter(s) mee en maak hiermee een woord. a
d MS
g LS
y
0
I
y
b
x
x
e
h R
y
EP
y
0
c
0
x
x
f EE
y
0
x
i BT
y
AJ
y
0
0
y
0
x
x
2
0
0
x
KA
y
x
Hieronder vind je de voorschriften van de functies f , g , h , m en k . Bepaal telkens: –
het domein en het bereik;
–
de nulwaarde;
–
het snijpunt van de grafiek met de assen;
–
de richtingscoëfficiënt van de grafiek;
–
het stijgen en dalen;
–
het tekenverloop. f ( x ) = –3x
g ( x ) = 2x – 5
h (x ) = 2
m(x ) =
1 2 x+ 4 3
k (x ) =
−3 3 x+ 5 7
17
3
Bepaal het domein, het bereik, de nulwaarden, het tekenverloop en het stijgen/dalen van volgende functies. a
c
e
y f
5
10
4
4
8
3
3
6
2
2
4
1
1
2
–5 –4 –3 –2 –1 0 –1
1
2
3
4
5
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
x
1
2
3
–2
–4
–3
–3
–6
–4
–4
–8
–5
–5
–10
d y
10
4
8
4
3
6
3
2
4
2
1
2
1
1
2
3
4
5
–10 –8 –6 –4 –2 0 –2
x
2
4
6
y
i
5
–5 –4 –3 –2 –1 0 –1
j
8
10 x
f
y g
–10 –8 –6 –4 –2 0 –2
x
–2
b
4
y
y
h
5
2
4
6
8
k
5
10 x
–5 –4 –3 –2 –1 0 –1
–2
–4
–2
–3
–6
–3
–4
–8
–4
–5
–10
–5
1
2
3
4
5
x
In deze Finse saunablokhut midden in het bos kun je je favoriete temperatuur opzoeken. Er zijn immers banken op verschillende hoogten. De temperatuur bovenaan kan meer dan 100 °C bedragen, terwijl het aan de grond maar 20 °C kan zijn. Op deze grafiek lees je de temperatuur af in functie van de hoogte in de blokhut. Gebruik de grafiek om volgende vragen op te lossen. °C 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
a
50
100
150
200
250 hoogte (cm)
Stel: je zit op de onderste bank en gaat één bank (= 50 cm) hoger zitten. Met hoeveel °C stijgt de temperatuur?
b Noteer het functievoorschrift dat hoort bij de grafiek. c
Een man (met een lengte van 1,75 m) staat recht in de blokhut. Wat is het temperatuurverschil tussen zijn hoofd en zijn tenen?
18
Tweedegraadsfuncties
1.2
Tweedegraadsfuncties 1 Definitie Wanneer je een elastisch balletje op de grond gooit en je zou de weg die het balletje volgt kunnen tekenen, dan krijg je een baan die er als volgt uitziet:
Wanneer een speerwerper zijn speer werpt en je zou de baan van de speer in slow motion weergeven, dan zou je volgende figuur te zien krijgen.
Wanneer Julie een bal uittrapt, dan zou de baan die de bal volgt er als volgt kunnen uitzien: h
VERPLAATSING s IN METER
HOOGTE h (s ) IN METER
0
0,00
3
3,06
4
6
5,04
2
10
6,00
14
5,04
17
3,06
20
0,00
10 8
T
6
–4
–2 0 –2
2
4
6
8
10
–4
12
14
16
18
20
22
s
r
19
1
Het kwadratisch verband tussen s (horizontale verplaatsing in meter) en h ( s ) (hoogte in meter) wordt weergegeven door:
h (s ) = −
3 2 6 s + s 50 5 3 2 6 s + s. 50 5
–
De baan van de bal wordt bepaald door de tweedegraadsfunctie h met voorschrift h (s ) = −
–
De grafiek van die functie is een parabool.
–
Uit de grafiek leiden we af dat de maximumhoogte van de bal 6 m is bij een horizontale verplaatsing van 10 m. Het hoogste punt T( 10, 6) wordt de top van de parabool genoemd.
–
De grafiek is symmetrisch t.o.v. de rechte r ⟷ x = 10. Die rechte r wordt de as van de parabool genoemd.
–
Als de bal niet tegengehouden wordt, zal hij de grond raken op 20 m van zijn vertrekpunt. We noemen 0 en 20 de nulwaarden van de tweedegraadsfunctie h .
tweedegraadsfunctie Een tweedegraadsfunctie is een functie f met voorschrift f ( x ) = ax 2 + bx + c waarbij a , b en c gegeven reële getallen zijn (met a ≠ 0). Die functie noemen we ook een kwadratische functie of een functie van de tweede graad.
Voorbeelden:
Tegenvoorbeelden:
f ( x ) = 2x 2
k ( x ) = 2x 3 – 2x + 8
g (x ) =
–x 2
+ 4x – 3
h ( x ) = 6x 2 – 9x
l ( x ) = –x + 3 m (x ) = 6 Verklaar waarom de functies k , l en m geen tweedegraadsfuncties zijn.
In wat volgt behandelen we de verschillende gevallen die kunnen voorkomen. We starten met het eenvoudigste geval, waarbij a = 1 en b = c = 0.
20
Tweedegraadsfuncties
2 Grafiek van de functie f met f (x) = x2 Om de grafiek van de tweedegraadsfunctie f met voorschrift f ( x ) = x 2 te tekenen, bepalen we een aantal koppels van f in een visgraatdiagram. We kiezen een aantal x -waarden en we zoeken voor elk van die waarden het beeld of de functiewaarde. x
–4
–3,5
–3
–2,5
–2
–1,5
–1
–0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
x2
16
12,25
9
6,25
4
2,25
1
0,25
0
0,25
1
2,25
4
6,25
9
12,25
16
Wanneer we de punten uitzetten in een georthonormeerd assenstelsel (dat is een assenstelsel waarbij de x -as en de y -as loodrecht op elkaar staan en de lengten van de eenheden op beide assen gelijk zijn) en ze door een vloeiende lijn verbinden, zien we een kromme ontstaan, die we een parabool noemen. De grafiek van f met f ( x ) = x 2 is een parabool. y
f (x ) = x 2
8
7
6
5
4
3
2
1
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
–1
–2
Kenmerken:
a Domein van de functie Het domein van een functie f is de verzameling van de x -waarden waarvoor de functiewaarde bestaat. Grafisch vinden we het domein van een functie door de grafiek van de functie loodrecht te projecteren op de x -as. Het domein van de functie f is R. We noteren dom f = R.
b Het bereik van de functie Het bereik van een functie f is de verzameling van de y -waarden waarvoor er een x -waarde bestaat zodat y = f ( x ). Grafisch vinden we het bereik van een functie door de grafiek van de functie loodrecht te projecteren op de y -as. Het bereik van de functie is [ 0, +∞[. We noteren: ber f = [ 0, +∞[ = R+. 21
1
c De nulwaarden van de functie De nulwaarden van een functie f zijn de x -waarden waarvoor de functiewaarde nul wordt, m.a.w. de nulwaarden zijn de oplossingen (ook wel de wortels genoemd) van de vergelijking f ( x ) = 0. Grafisch vinden we de nulwaarden als de eerste coördinaatgetallen van de snijpunten van de grafiek met de x -as.
Hier hebben we één nulwaarde, nl. 0 want
f (x ) = x 2 = 0 x = 0
d Tekenverloop van de functie De grafiek van de functie ligt steeds boven de x -as want ∀ x ∈ R: f (x ) = x 2 ⩾ 0. In de nulwaarde is de functiewaarde gelijk aan 0. In een tekentabel geeft dat: x
–∞ +
f (x )
+∞
0 0
+
e Stijgen en dalen van de functie We zien duidelijk dat deze functie eerst daalt, een minimum bereikt en nadien weer stijgt. Het punt van de grafiek waarin de functie de minimumwaarde bereikt, noemen we de top T van de parabool. In dit geval is de top T( 0, 0). x
–∞
f (x )
+∞
↘
0
+∞
0
+∞
∥ min
↗
f Dalparabool De opening van de parabool is naar boven gericht (hol). We noemen die parabool een dalparabool.
g Symmetrieas De grafiek is symmetrisch t.o.v. de y -as. Dat blijkt trouwens ook al uit het visgraatdiagram want f ( –x ) = f ( x ). Daarom noemen we de functie een even functie. De y -as noemen we de symmetrieas van de parabool (of korter: de as van de parabool). Het snijpunt van de parabool met zijn symmetrieas is precies de top van de parabool. f is een even functie ⟺ de y -as is de symmetrieas van de grafiek van f ⟺ ∀ x ∈ dom f : f ( x ) = f ( –x )
22
Tweedegraadsfuncties
3 Grafiek van de functie f met f (x) = ax2 a a>0 We tekenen in één assenstelsel de grafieken van de functies met voorschrift: 1 f 1( x ) = x 2 f 2( x ) = 2x 2 f3 (x ) = x 2 2 x
–3
–2,5
–2
–1,5
–1
–0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
x2
9
6,25
4
2,25
1
0,25
0
0,25
1
2,25
4
6,25
9
2x 2
18
12,5
8
4,5
2
0,5
0
0,5
2
4,5
8
12,5
18
4,5
3,125
2
1,125
0,5
0,125
0
0,125
0,5
1,125
2
3,125
4,5
1 2
x2
f2(x) =2x2
y
f1(x) = x2
8
1 f3(x) = x2 2
7
6
5
4
3
(– 1, 2)
2
(1, 2)
(– 1, 1)
1
(1, 1)
( ) – 1,
–7
–6
–5
–4
–3
–2
( )
1 2
–1
1,
0
1
1 2
2
3
4
5
6
7
x
Kenmerken: De grafiek van de functie f2 met f2 (x ) = 2x 2 en de grafiek van de functie f3 met f3 (x ) = algemene kenmerken als de grafiek van f1 met f1 (x ) = x 2 .
1 2 x vertonen dezelfde 2
De opening van de grafiek van f2 met f2 (x ) = 2x 2 is smaller dan die van de grafiek van f1 met f1 (x ) = x 2 . 1 De opening van de grafiek van f3 met f3 (x ) = x 2 is breder dan die van de grafiek van f1 met f1 (x ) = x 2 . 2 De grafiek van f2 met f2 (x ) = 2x 2 heeft de volgende kenmerken: • dom f 2 = R •
ber f2 = [0, +∞[
•
T (0, 0) is de top. Het eerste coördinaatgetal is de nulwaarde van de functie. Het tweede coördinaatgetal is het minimum van de functie. De opening van de parabool is naar boven gericht (hol). We spreken van een dalparabool.
•
De as is de y -as.
f2 is een even functie. Die kenmerken gelden ook voor f3 . •
Merk op: –
Als a ( a > 0) groter wordt, dan wordt de opening van de parabool smaller. We noemen a de openingscoëfficiënt van de parabool. We zeggen dat de grafiek van f uitgerokken is volgens de y -as met factor a .
–
Grafische betekenis van a : als T( 0, 0) de top is van de grafiek, dan zijn A( 1, a ) en B( –1, a ) punten van de grafiek. 23
1
b a<0 We tekenen in één assenstelsel de grafieken van de functies met voorschrift: f 1( x ) = x 2
f 2( x ) = –x 2
1 f4 (x ) = − x 2 2
f 3( x ) = –2x 2
x
–3
–2,5
–2
–1,5
–1
–0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
x2
9
6,25
4
2,25
1
0,25
0
0,25
1
2,25
4
6,25
9
–x 2
–9
–6,25
–4
–2,25
–1
–0,25
0
–0,25
–1
–2,25
–4
–6,25
–9
–2x 2
–18
–12,5
–8
–4,5
–2
–0,5
0
–0,5
–2
–4,5
–8
–12,5
–18
1 − x2 2
–4,5
–3,125
–2
–1,125
–0,5
–0,125
0
–0,125
–0,5
–1,125
–2
–3,125
–4,5
y
f1(x) = x2
2
1
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
–1
–2
–3
f3(x) = −2x2 –4
f2(x) = −x2
1 f4(x) = − x2 2
Kenmerken: De grafiek van de functie f 2 met f 2( x ) = –x 2 is het spiegelbeeld t.o.v. de x -as van de grafiek van f 1 met f 1( x ) = x 2. Voor dezelfde x -waarden krijgen we immers tegengestelde y -waarden. De grafiek van f 2 met f 2( x ) = –x 2 heeft de volgende kenmerken: •
dom f 2 = R
•
ber f 2 = ] –∞, 0]
•
T( 0, 0) is de top. Het eerste coördinaatgetal is de nulwaarde van de functie. Het tweede coördinaatgetal is het maximum van de functie. De opening van de parabool is nu naar onderen gericht (bol), we spreken van een bergparabool.
•
De as is de y -as.
•
f 2 is een even functie.
Die kenmerken gelden ook voor f 3 en f 4.
Besluit: De grafiek van de functie f met f ( x ) = ax 2 is een parabool waarvan de opening wordt bepaald door het teken van a . –
Is a > 0, dan is de opening naar boven gericht; we hebben een dalparabool. Is a < 0, dan is de opening naar onderen gericht; we hebben een bergparabool. We noemen a de openingscoëfficiënt van de parabool.
–
Als | a | groter wordt, dan wordt de opening van de parabool smaller. Als | a | kleiner wordt, dan wordt de opening van de parabool breder.
24
Tweedegraadsfuncties
4 Grafiek van de functie f met f (x) = (x – α) 2 We tekenen in één assenstelsel de grafieken van de functies met voorschrift: f 1( x ) = x 2
f 2( x ) = ( x + 2)2
f 3( x ) = ( x – 3)2
–3
–2,5
–2
–1,5
–1
–0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
x2
9
6,25
4
2,25
1
0,25
0
0,25
1
2,25
4
6,25
9
(x +
2)2
1
0,25
0
0,25
1
2,25
4
6,25
9
12,25
16
20,25
25
(x – 3)2
36
30,25
25
20,25
16
12,25
9
6,25
4
2,25
1
0,25
0
x
y
f2( x ) = ( x + 2)2
f1( x ) = x 2
8
f3( x ) = ( x – 3)2
7
6
5
4
3
2
1
–7
–6
–5
–4
–3
–2
x = –2
Kenmerken:
–1 2
0 –1
1
2
3
3
4
5
6
7
x
x =3
–2
De grafiek van de functie f 2 met f 2( x ) = ( x + 2)2 is congruent met de grafiek van f 1 met f 1( x ) = x 2. Ze wordt verkregen door die laatste twee eenheden naar links te verschuiven. De as is de rechte met vergelijking x = –2 en het punt T( –2, 0) is de top. Om dezelfde functiewaarden te bekomen, moeten we x -waarden nemen die twee eenheden kleiner zijn. f 1( 3 ) = f 2( 1 ) = 9 De grafiek van f 3 is congruent met de grafiek van f 1. Ze wordt verkregen door die laatste 3 eenheden naar rechts te verschuiven. De as is de rechte met vergelijking x = 3 en het punt T( 3, 0) is de top. Om dezelfde functiewaarden te bekomen, moeten we x -waarden nemen die drie eenheden groter zijn. f 1( 3 ) = f 3( 6 ) = 9
Besluit: De grafiek van f met f ( x ) = ( x – α)2 is congruent met de grafiek van g met g ( x ) = x 2. Ze wordt verkregen door die laatste te verschuiven evenwijdig met de x -as: Is α > 0, dan verschuiven we horizontaal naar rechts met α eenheden; Is α < 0, dan verschuiven we horizontaal naar links met | α | eenheden. De as is de rechte met vergelijking x = α en het punt T( α, 0) is de top.
25
1
5 Grafiek van de functie f met f (x) = x2 + β We tekenen in één assenstelsel de grafieken van de functies met voorschrift: f 1( x ) = x 2
f 2( x ) = x 2 + 3
f 3( x ) = x 2 – 2
x
–3
–2,5
–2
–1,5
–1
–0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
x2
9
6,25
4
2,25
1
0,25
0
0,25
1
2,25
4
6,25
9
x2 + 3
12
9,25
7
5,25
4
3,25
3
3,25
4
5,25
7
9,25
12
x2 – 2
7
4,25
2
0,25
–1
–1,75
–2
–1,75
–1
0,25
2
4,25
7
y 5
f3( x) = x 2 – 2
f2( x) = x 2 + 3 4
3
f1( x) = x 2
2 3 1
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
2 –1
–2
Kenmerken: De grafiek van de functie f 2 met f 2( x ) = x 2 + 3 is congruent met de grafiek van f 1 met f 1( x ) = x 2. Ze wordt verkregen door die laatste 3 eenheden naar boven te verschuiven. De as is de y -as en het punt T( 0, 3) is de top. Het bereik van de functie is [ 3, +∞[. Merk op dat bij dezelfde x -waarden de functiewaarden bij f 2 drie eenheden groter zijn. Merk ook op dat er geen snijpunten met de x -as zijn. De functie heeft dus geen nulwaarden. De grafiek van f 3 met f 3( x ) = x 2 – 2 is congruent met de grafiek van f 1 met f 1( x ) = x 2. Ze wordt verkregen door die laatste twee eenheden naar onderen te verschuiven. De symmetrieas is de y -as en het punt T( 0, –2) de top. Het beeld van de functie is [ –2, +∞[. Merk op dat bij dezelfde x -waarden de functiewaarden bij f 3 twee eenheden kleiner zijn. Merk ook op dat er twee snijpunten met de x -as zijn. De functie heeft dus twee nulwaarden.
Besluit: De grafiek van f met f ( x ) = x 2 + b is congruent met de grafiek van g met g ( x ) = x 2. Ze wordt verkregen door die laatste te verschuiven evenwijdig met de y -as: Is b > 0, dan verschuiven we verticaal naar boven met b eenheden; Is b < 0, dan verschuiven we verticaal naar onderen met | b | eenheden. De as is de y -as en het punt T( 0, b) is de top. ber f = [ b, +∞[
26
Tweedegraadsfuncties
6 Grafiek van de functie f met f (x) = a(x – α)2 + β Voorbeeld 1: f ( x ) = ( x – 2)2 + 3 y
f1( x) = x 2
f2( x) = ( x – 2)2
8
6
f ( x) = ( x – 2)2 + 3
4
T
2
–14
–12
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
12
14
x
–2
Kenmerken: –
de coördinaat van de top T is ( 2, 3);
–
de as gaat door de top en heeft als vergelijking x = x T of x = 2;
–
dom f = R;
–
ber f = [ y T, +∞[ = [ 3, +∞[ ;
–
de grafiek van f met f ( x ) = ( x – 2)2 + 3 ontstaat door die van f 1 met f 1( x ) = x 2 horizontaal twee eenheden te verschuiven naar rechts, gevolgd door een verticale verschuiving van drie eenheden naar boven (of omgekeerd).
Voorbeeld 2: f ( x ) = 2( x + 4)2 – 1 y
f3( x) = 2( x + 4)2
f1( x) = x 2
8
f2( x) = 2x 2
6
4
2
f( x) = 2( x + 4)2 – 1 –14
–12
–10
–8
–6
–4
T
–2
0
2
4
6
8
10
12
14
x
–2
Kenmerken: –
de coördinaat van de top T is ( –4, –1);
–
de as gaat door de top en heeft als vergelijking x = x T of x = –4;
–
dom f = R;
–
ber f = [ y T, +∞[ = [ –1, +∞[ ;
–
de grafiek van f met f ( x ) = 2( x + 4)2 – 1 ontstaat door die van f 1 met f 1( x ) = x 2 verticaal uit te rekken met factor 2 en daarna te verschuiven, eerst horizontaal naar links met vier eenheden en daarna verticaal naar onderen met één eenheid.
27
1
7 Grafiek van de functie f met f (x) = ax2 + bx + c Voorbeeld 1: f ( x ) = x 2 – 6x + 8 We herschrijven het voorschrift van de functie f : f ( x ) = x 2 – 6x + 8 ⟺ f ( x ) = ( x 2 – 6x + 9) – 1 ⟺ f ( x ) = ( x – 3)2 – 1 De grafiek van de functie f wordt dus bekomen door de grafiek van f 1 met f 1( x ) = x 2 tweemaal te verschuiven. Eerst horizontaal naar rechts met drie eenheden en daarna verticaal naar onderen met één eenheid, of omgekeerd. y
f1( x) = x 2
8
f2( x) = ( x – 3)2
A 7
6
5
4
f ( x) = ( x – 3)2 – 1
3
2
1 3 –7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
–1
– 2
1
4
T x=3
Kenmerken: –
de coördinaat van de top T is ( 3, –1);
–
de as gaat door de top en heeft als vergelijking: x = x T of x = 3;
–
dom f = R;
–
ber f = [ y T, +∞[ = [ –1, +∞[ ;
–
snijpunt met de y -as:
x = 0 f (0) = 02 − 6 · 0 + 8 = 8
A( 0, 8) is dus het snijpunt van de grafiek van f met de y -as.
Voorbeeld 2: f ( x ) = –x 2 + 2x + 8 Taak: toon aan dat je dit functievoorschrift kunt herschrijven tot f ( x ) = –( x – 1)2 + 9. Geef de kenmerken van deze functie f .
28
5
6
7
x
Tweedegraadsfuncties
Voorbeeld 3: f ( x ) = –2x 2 + 4x – 3 We herschrijven het voorschrift van de functie f : f ( x ) = –2x 2 + 4x – 2 – 1 ⟺ f ( x ) = –2( x 2 – 2x + 1) – 1 ⟺ f ( x ) = –2( x – 1)2 – 1
De grafiek van f wordt dus bekomen door de grafiek van f 1( x ) met f 1( x ) = x 2 achtereenvolgens: –
te spiegelen t.o.v. de x -as:
f 2( x ) = –x 2
–
te versmallen met factor 2:
f 3( x ) = –2x 2
–
één eenheid horizontaal naar rechts te verschuiven: f 4( x ) = –2( x – 1)2
–
één eenheid verticaal naar onderen te verschuiven: f ( x ) = – 2( x – 1)2 – 1
y f1( x) = x 2
4
3
2
1
–3
–2
–1
0
1
T
–1
Kenmerken: –
de coördinaat van de top T is ( 1, –1);
–
de as heeft als vergelijking x = 1;
–
dom f = R;
–
ber f = ] –∞, –1];
–
snijpunt met de y -as: A( 0, –3).
f3( x) = –2x 2
3
4
5
x
–2
–3
f2( x) = –x 2
2
f4( x) = –2( x – 1)2
–4
A f ( x) = –2( x – 1)2 – 1
29
1
Algemeen:
Berekening van α en β in functie van a, b en c 2
2
f (x ) = ax + bx + c en f (x ) = a (x − α) + β zijn gelijkwaardig want:
−2aα = b
⇐⇒ α =
−b 2a
aα2 + β = c ⇐⇒ β = −a α2 + c α = −b 2a −b 2 β = −a +c 2a
f (x ) = a (x − α)2 + β f (x ) = a (x 2 − 2αx + α2 ) + β
b2 +c β = − 4a
f (x ) = ax 2 − 2aαx + aα2 + β −2aα = b en aα2 +β = c f (x ) = ax 2 + bx + c
β =
f (x ) = ax 2 + bx + c en f (x ) = a (x − α)2 + β zijn gelijkwaardig als α =
−b 2 + 4ac 4a
−b −b 2 + 4ac en β = . 2a 4a
De grafiek van de functie f met f ( x ) = a ( x – α)2 + b ontstaat uit de grafiek van de functie f 1 met f 1( x ) = x 2 in maximaal vier stappen: –
Is a negatief, spiegel dan de grafiek t.o.v. de x -as.
–
Versmal of verbreed de parabool, naargelang | a | > 1 of | a | < 1. Zo bekom je de grafiek van f 2 met f 2( x ) = ax 2.
–
Verschuif de parabool evenwijdig met de x -as over een afstand | α |. Zo bekom je de grafiek van f 3 met f 3( x ) = a ( x – α)2. Als α > 0 verschuif je de grafiek naar rechts, als α < 0 verschuif je de grafiek naar links.
–
Verschuif de parabool evenwijdig met de y -as over een afstand | b |. Zo bekom je de grafiek van f met f ( x ) = a ( x – α)2 + b. Als b > 0 verschuif je de grafiek naar boven, als b < 0 verschuif je de grafiek naar onderen.
Kenmerken: a
Grafiek
De grafiek van de functie f met f ( x ) = ax 2 + bx + c is een parabool p waarvan de as evenwijdig is met de y -as. y = ax 2 + bx + c wordt de vergelijking van de parabool genoemd. Als a > 0, dan is p een dalparabool. Als a < 0, dan is p een bergparabool. −b −b 2 + 4a c −b −b b Top T α, β = T =T , , f 2a 4a 2a 2a c
As
d Domein e
Bereik
x = α of x =
−b 2a
dom f = R
−b 2 + 4ac −b Als a > 0, dan is ber f = β , +∞ = , +∞ , +∞ = f 4a 2a
−b 2 + 4ac Als a < 0, dan is ber f = −∞, β = −∞, 4a
= −∞, f
−b 2a
f
Nulwaarden
De nulwaarden zijn de oplossingen van de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 (zie 1.4).
g
Stijgen en dalen
Als a > 0 x
–∞
f (x )
+∞
Als a < 0
−b 2a −b f ↘ ↗ 2a ∥ min.
h Snijpunt met de y -as
30
+∞
x
–∞
+∞
f (x )
–∞
−b 2a −b f ↗ ↘ 2a ∥ max.
Als x = 0, dan is f ( 0) = 0 + 0 + c = c . Dus A( 0, c ) is het snijpunt met de y -as.
+∞ –∞
1
Tweedegraadsfuncties
8 Onderzoek van een tweedegraadsfunctie Bespreek de kenmerken van de tweedegraadsfunctie f met f ( x ) = x 2 + 2x – 8. –
Omdat a = 1 ( > 0), is de grafiek van de tweedegraadsfunctie een dalparabool.
–
Top T( α, b): α =
β =
−b −2 = = −1 2a 2·1 −4 + 4 · (−8) −4 − 32 −36 −b 2 + 4a c = = = = −9 4a 4 4 4
m.a.w. de coördinaat van de top T is (−1, −9) controle: β = f (−1) = (−1)2 + 2 · (−1) − 8 = −9 x = α ⇐⇒ x = −1
–
As:
–
Visgraatdiagram Om de grafiek te kunnen schetsen, berekenen we nu enkele punten van de grafiek aan de hand van een visgraatdiagram. Hierbij maken we dankbaar gebruik van de symmetrieas.
f (−1) = (−1)2 + 2 · (−1) − 8 = −9 f (0) = 02 + 2 · 0 − 8 = −8 f (1) = 12 + 2 · 1 − 8 = −5 f (2) = 22 + 2 · 2 − 8 = 0 f (3) = 32 + 2 · 3 − 8 = 7 f (4) = 42 + 2 · 4 − 8 = 16 ...
f (−2) f (−3) f (−4) f (−5) f (−6)
= = = = =
(−2)2 + 2 · (−2) − 8 (−3)2 + 2 · (−3) − 8 (−4)2 + 2 · (−4) − 8 (−5)2 + 2 · (−5) − 8 (−6)2 + 2 · (−6) − 8
= = = = =
−8 −5 0 7 16
x
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
f (x )
16
7
0
–5
–8
–9
–8
–5
0
7
16
top
–
dom f = R
–
ber f = [ b, +∞[ = [ –9, +∞[
–
Nulwaarden De nulwaarden zijn de x -waarden waarvoor de functiewaarde nul wordt. Blijkbaar kunnen we in dit geval de nulwaarden aflezen uit het visgraatdiagram (dat is niet steeds mogelijk). nulwaarden: –4 en 2
–
Stijgen en dalen x
–∞
f (x )
+∞
– –1
y
Grafiek
+∞ 5
↘
–9
∥ min
↗
+∞
De functie heeft een minimum –9 voor x = –1. –
–10
–5
0
5
x
Snijpunt met de y -as: A( 0, –8)
f ( x ) = x 2 + 2x – 8
–5
T
A
31
9 Differentiequotiënt
y 9
1 Gegeven is de functie f met f (x ) = x 2 − 2x + 3. 2 Bekijken we even de gemiddelde toename van de functie over het interval [0, 6].
8 7 6
f (0) = 3 f (6) = 9
5 4
∆ f (x ) = 9 − 3 = 6
van de toename van de afhankelijke variabele
f
3
De gemiddelde toename van f over [0, 6]: ∆ f (x ) 6 ∆ f (x ) = = =1 ∆x [0, 6] ∆x 6 Die gemiddelde toename of de verhouding
1 2 x − 2x + 3 2
f (x ) =
2 1 x –2
ten opzichte van de toename van de onafhankelijke
–1 0 –1
1
2
3
4
5
6
–2
variabele noemen we het differentiequotiënt. Dat de toename geen constante toename is, blijkt duidelijk als we het interval [ 0, 6] opsplitsen
y
in drie deelintervallen.
9
De gemiddelde toename van f over [0, 2] of het differentiequotiënt van f over [0, 2]:
8
f (0) = 3 f (2) = 1
6
7
5
∆ f (x ) = 1 − 3 = −2 ∆ f (x ) ∆ f (x ) −2 = = = −1 ∆x [0, 2] ∆x 2
4 3
f
2
De gemiddelde toename van f over [2, 4] of het differentiequotiënt van f over [2, 4]: f (2) = 1 f (4) = 3 ∆ f (x ) = 3 − 1 = 2 ∆ f (x ) ∆ f (x ) 2 = = =1 ∆x [2, 4] ∆x 2 De gemiddelde toename van f over [4, 6] of het differentiequotiënt van f over [4, 6]: f (4) = 3 f (6) = 9 ∆ f (x ) = 9 − 3 = 6 ∆ f (x ) 6 ∆ f (x ) = = =3 ∆x [4, 6] ∆x 2
32
1 x –2
–1 0 –1 –2
1
2
3
4
5
6
Tweedegraadsfuncties
10 Samenvatting •
Je kent de definitie van een tweedegraadsfunctie. Een tweedegraadsfunctie is een functie f met f ( x ) = ax 2 + bx + c waarbij a , b en c gegeven reële getallen zijn (met a ≠ 0). Dit noemen we ook een kwadratische functie of een functie van de tweede graad.
•
Je weet dat de grafiek van de functie f met f ( x ) = a ( x – α) 2 + b ontstaat uit de grafiek van de functie f1 met f1( x ) = x 2 in maximaal vier stappen: –
Is a negatief, spiegel dan de grafiek t.o.v. de x -as.
–
Versmal of verbreed de parabool naargelang | a | > 1 of | a | < 1. Zo bekom je de grafiek van f 2 met f 2( x ) = ax 2.
–
Verschuif de parabool evenwijdig met de x -as over een afstand | α | . Zo bekom je de grafiek van f 3 met f 3( x ) = a ( x – α)2. Als α > 0 verschuif je de grafiek naar rechts, als α < 0 verschuif je de grafiek naar links.
–
Verschuif de parabool evenwijdig met de y -as over een afstand | b | . Zo bekom je de grafiek van f met f ( x ) = a ( x – α)2 + b. Als b > 0 verschuif je de grafiek naar boven, als b < 0 verschuif je de grafiek naar onderen.
•
Je kunt het voorschrift van f ( x ) = ax 2 + bx + c omvormen tot
f (x ) = a (x − α)2 + β •
met α =
−b 2a
en
β =
−b 2 + 4ac 4a
Je kunt een tweedegraadsfunctie f met f ( x ) = ax 2 + bx + c als volgt onderzoeken. a
Grafiek De grafiek is een parabool met vergelijking y = ax 2 + bx + c en waarvan de as evenwijdig is met de y -as.
b Top c
As
d Domein e
Bereik
−b −b 2 + 4a c T α, β = T , 2a 4a −b x = α of x = 2a
=T
−b , f 2a
−b 2a
dom f = R
−b 2 + 4ac −b Als a > 0, dan is ber f = β , +∞ = , +∞ , +∞ = f 4a 2a
−b 2 + 4ac Als a < 0, dan is ber f = −∞, β = −∞, 4a
= −∞, f
−b 2a
f
Nulwaarden
De nulwaarden zijn de x -waarden van de snijpunten van de grafiek met de x -as.
g
Stijgen en dalen
Als a > 0 x
–∞
f (x )
+∞
Als a < 0
−b 2a −b ↘ f ↗ 2a ∥ min.
h Snijpunt met de y -as •
+∞
x
–∞
+∞
f (x )
–∞
−b 2a −b ↗ f ↘ 2a
+∞ –∞
∥ max.
A( 0, c )
Je weet dat het differentiequotiënt van een functie f over het interval [ a , b ] gelijk is aan de gemiddelde toename van de afhankelijke variabele t.o.v. de onafhankelijke variabele over het interval. ∆ f (x ) Notatie: ∆ x [a , b ]
33
1
11 Oefeningen 1
Gegeven zijn de functies met onderstaande voorschriften. Welke zijn eerstegraadsfuncties? Welke zijn tweedegraadsfuncties?
a b c d
2
3
f1 (x ) = 2x − 1 1 1 f2 (x ) = x 2 − x + 3 8 f3 (x ) = x 3 − x 2 + 1
3x − 1 4
h
f8 (x ) = 6
f6 (x ) = −x 2 + 3x − 4
i
f9 (x ) =
f7 (x ) =
j
f10 (x ) =
e
f5 (x ) =
f g
f4 (x ) = x 2 − 4
1
x
2
√
x2 −5
√
2x 2 − x
Bepaal het voorschrift van de tweedegraadsfuncties waarvan volgende waardetabellen gegeven zijn: x
–4
–2
0
2
4
x
–2
–1
0
1
2
x
–4
–2
0
2
4
f (x )
15
3
–1
3
15
g (x )
2
0
0
2
6
h (x )
9
1
1
9
25
Bespreek de kenmerken van de volgende functies (berg-/dalparabool, domein, extreme waarde, bereik, symmetrieas, stijgen/dalen, nulwaarden, tekenverloop) aan de hand van hun grafiek. a
y 4
3
3
2
2
1
1
–5 –4 –3 –2 –1 0 –1
b
d
f
y 4
1
2
3
4
–5 –4 –3 –2 –1 0 –1
x
–2
–2
–3
–3
–4
–4
e
y 6
1
2
3
4
x
f
f
y 2 1
5
x
4 3
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
2
–2
1
–3
–5 –4 –3 –2 –1 0 –1
1
2
3
4
5
6
–4
x
–5 –6
–2 –3 –4
c
f f
y 3
3
1 x 1
3
2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
–3
34
2
x
–2
–4
f
4
2
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
y 5
f
1
2
3
Tweedegraadsfuncties
4
Welke grafiek hoort bij welk voorschrift?
a b I
f1 (x ) = 2(x − 1)2 − 3 f2 (x ) = x 2 − 2
y
f5 (x ) = (x + 2)2
g
f
f6 (x ) = −(x + 1)2 + 3
h
V
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1 1
2
3
4
5
6
x
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
–2
–2
–3
–3
y
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1 2
3
4
5
6
x
–6 –5 –4 –3 –2
-1 0 –1
–2
–2
–3
–3
y 6
y 6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
VII
1
2
3
4
5
6
x
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
–2
–2
–3
–3
y
VIII
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1 1
2
3
4
5
6
x
1
2
3
4
5
6
x
1
2
3
4
5
6
x
1
2
3
4
5
6
x
1
2
3
4
5
6
x
y
6
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
f8 (x ) = −(x − 3)2 + 1
y
VI
6
1
f7 (x ) = 0, 5(x + 3)2 − 1
y 6
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
IV
e
6
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
III
f4 (x ) = (x − 2)2
d
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
II
f3 (x ) = −x 2 + 2
c
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
–2
–2
–3
–3
35
1
5
Bepaal telkens het voorschrift van de tweedegraadsfuncties f , g , h en i . a
h
f
y 5
g
i
4 3 2 1 x –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
3
4
5
6
7
8
9
10 11
6
7
8
9
10 11
6
7
8
9
10 11
–2 –3
b
y 3
f
2 1 x –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
1
2
–2 –3 –4 –5
h
c
h
–6
g
i
y 3 2 1 x
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
1
2
3
4
5
–2 –3 –4 –5 –6
d
y 3
f
i
g
f
h
2 1 x –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
1
2
–2 –3 –4 –5
i
36
–6
g
3
4
5
Tweedegraadsfuncties
6
Ken je het logo van McDonald’s? Mocht dat niet het geval zijn, dan doen de twee grafieken wellicht een belletje rinkelen. Het logo is namelijk duidelijk geïnspireerd op twee parabolen die congruent zijn met de parabool met vergelijking y = x 2. Bepaal de vergelijkingen van de twee parabolen die de basis vormen voor het McDonald’s-logo. Probeer dit te benaderen met behulp van GeoGebra. y 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
x
Teken de grafiek van de functies waarvan het voorschrift gegeven is. Bespreek de kenmerken aan de hand van de grafiek.
a b c
8
f (x ) = x 2 + 2x − 3 f (x ) = x 2 − 9
f (x ) = −x 2 + 4x
d
2 f (x ) = − x 2 + 4x 3
e
3 x2 −x + f (x ) = 2 2
f g h
f (x ) = −x 2 + 4x + 5 f (x ) = x 2 − 2x
f (x ) = x 2 + 2x + 1
Stel het voorschrift op van de functie g waarvan je de grafiek bekomt als je de grafiek van de functie f met f ( x ) = x 2 : a
twee eenheden horizontaal verschuift naar rechts.
b drie eenheden verticaal naar boven verschuift en spiegelt om de x -as. c
verticaal uitrekt met factor 4, spiegelt om de x -as en horizontaal twee eenheden naar links verschuift.
d vier eenheden horizontaal verschuift naar links, vijf eenheden verticaal verschuift naar onderen, verticaal 1 uitrekt met factor en spiegelt om de x -as. 2 *
9
Gegeven:
de functies f en g met f ( x ) = 2x 2 – px – 5 en g ( x ) = –3x 2 + qx – 2
Gevraagd:
a
Bereken p ∈ R opdat f een extremum heeft voor x = 1. Over welk extremum gaat het?
2 b Bereken q ∈ R opdat g een extremum heeft voor x = . Over welk extremum gaat het? 3
10
Welke transformaties heeft de grafiek van g met g ( x ) = x 2 ondergaan om tot de grafiek van f te komen?
a
f (x ) = (x + 1)2 − 2
b
1 f (x ) = − (x + 2)2 3
e
c
f (x ) = (2 − x )2 + 3
g
d
f
f (x ) = 2x 2 − 8x + 1 f (x ) = x 2 + 4 f (x ) = 3 − x 2
f (x ) = (x − 4)2
h
f (x ) = (2 − x )2
i
f (x ) = x 2 − 6x
j
f (x ) = −x 2 + 6x − 3
37
1
11
Bereken de top van de grafieken van volgende tweedegraadsfuncties en zet het voorschrift om in de vorm f ( x ) = a ( x – α)2 + b.
a b c
12
f (x ) = x 2 − 6x + 1
d
f (x ) = x 2 − 6
f (x ) = −
e
f (x ) = −4x 2 + 3x
f
f (x ) = −x 2 + 4x − 4
x2 + 3x − 4 2 f (x ) = 3x 2 + 1
Wat is er merkwaardig aan de coördinaten van de toppen van de grafieken van volgende functies f , g en h ?
f (x ) = 2x 2 − 4x + 6
g (x ) = x 2 − 2x + 3 h (x ) = −
13
x2 2 + x −1 3 3
De remweg van een auto wordt bepaald door de snelheid. Op een testbaan werden volgende metingen gedaan: x in km/h f (x ) in m
20
50
100
120
150
200
2
12,5
50
72
112,5
200
Bepaal het voorschrift van de vorm f ( x ) = ax 2.
a
b Teken de grafiek van f met ICT. c
Welke remafstand heeft de wagen bij een snelheid van 80 km/h?
d Bij een ongeval meet de politie een remspoor van 80 m. Wat was de snelheid van die wagen?
14
W ISK U N DE & W E T E N SCH A PPE N
Bij de vrijevalbeweging geldt volgende formule: x =
gt 2 . 2
met x : de afgelegde weg in meter t : de tijd in seconden g : de gravitatieconstante a
Teken de grafiek met behulp van ICT.
b Een steen valt van een 250 meter hoog gebouw. Welke afstand heeft de steen afgelegd na één seconde? c *
15
Hoe lang duurt het voordat de steen uit vraag b op de grond valt?
Bepaal in onderstaande voorschriften telkens de waarde van m opdat de gestelde voorwaarde geldt. a
De y -as is de symmetrieas van de grafiek van de functie f met voorschrift f ( x ) = x 2 + ( m – 1)x + 3.
b De top van de grafiek van de tweedegraadsfunctie f met f ( x ) = 2x 2 – 6x + m ligt op de x -as. c
De grafiek van f met f ( x ) = ( 3 – m )x 2 + 4x – 3 is een bergparabool.
d De grafiek van f met f ( x ) = 3x 2 – mx + 1 gaat door P( 1, 0).
16
Bepaal de top van de parabool met vergelijking y = ( 4x – 8)2 + 1.
38
Tweedegraadsfuncties
1.3
Ontbinden in factoren Een veelterm ontbinden in factoren is die veelterm schrijven als een product van zo veel mogelijk factoren. Dat is nuttig om algebraïsche vormen te vereenvoudigen en vergelijkingen van hogere graad op te lossen.
1 Gemeenschappelijke factoren afzonderen Als je volgende bewerking moet uitvoeren door te hoofdrekenen, dan ga je het best als volgt te werk: stap 1
7 · 18 + 3 · 18 = 18 · (7 + 3) = 18 · 10 = 180 In stap 1 heb je de factor 18 afgezonderd. Dat doe je door de eigenschap van de distributiviteit van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling van reële getallen toe te passen. Je hebt in dit geval de gemeenschappelijke factor 18 buiten de haakjes gebracht.
Voorbeelden: 3x 3 − 4x 2 = x 2 (3x − 4)
3x 3 y + 6x y 2 = 3x y x 2 + 2y (2x − 1)2 + 4 (2x − 1) = (2x − 1) [(2x − 1) + 4] = (2x − 1) (2x + 3) 2x 2 3x x x2 x = (2x − 3) − = − 3 2 6 6 6
Bij het afzonderen van gemeenschappelijke factoren pas je dus de distributieve eigenschap toe van het vermenigvuldigen ten opzichte van het optellen in R.
Gemeenschappelijke factoren afzonderen in symbolen:
a b + a c = a · (b + c )
in woorden:
Om gemeenschappelijke factoren af te zonderen, noteer je voor de haakjes: de factoren die in elke term van de veelterm voorkomen: – de ggd van de gehele coëfficiënten; – alle gemeenschappelijke letters, elk met hun kleinst voorkomende exponent. tussen de haakjes: het quotiënt van de gegeven veelterm met de afgezonderde eenterm.
39
1
Opmerkingen: •
Ontbind een veelterm altijd zo ver mogelijk. VOLDOENDE ONTBONDEN
2a 5 + 4a 3
ONVOLDOENDE ONTBONDEN
VOLDOENDE ONTBONDEN
= 2a · ( a 4 + 2a 2)
= 2a 3 · ( a 2 + 2)
ONVOLDOENDE ONTBONDEN
•
Niet alle veeltermen zijn te ontbinden in factoren. Zo kan 4a 2 + 3b niet ontbonden worden.
•
Je kunt de ontbinding controleren door je resultaat weer uit te werken door toepassing van de distributieve eigenschap.
2 Merkwaardige tweeterm a2 – b2 In de vorige jaren heb je kennisgemaakt met merkwaardige producten. Een daarvan was het product van twee toegevoegde tweetermen: ( a – b )( a + b ) = a 2 – b 2. Als we onze opgave nu omdraaien, vinden we voor een verschil van twee kwadraten dat a 2 – b 2 = ( a – b )( a + b ). Wanneer we dat nu toepassen op de veeltermen in R, dan kunnen we een verschil van twee kwadraten ontbinden.
Voorbeelden: 16a 2 − 81 = (4a − 9) (4a + 9) 4a
9
49 2 7 7 x −a2 = x −a x +a 81 9 9 7 x 9
0, 25 − x 6 = 0, 5 − x 3 0, 5 + x 3 5x 2 − 20x + 20 = 5 x 2 − 4x + 4 = 5 (x − 2)2 √ √ 2− x2 = 2− x 2+ x x 4 − 16 = x 2 − 4 x 2 + 4 = (x − 2) (x + 2) x 2 + 4
a
Merkwaardige tweeterm ontbinden in symbolen:
a 2 – b 2 = (a – b ) · (a + b )
Opmerkingen: •
Je kunt de ontbinding controleren door je resultaat weer uit te werken. Je past dan de formule toe en je krijgt weer de opgave.
•
Een som van twee kwadraten zoals 25a 2 + 1 kun je niet ontbinden.
•
Als het minteken bij het eerste kwadraat staat, herschrijf je de opgave: – 16x 2 + 9 = 9 – 16x 2 = ( 3 – 4x )( 3 + 4x )
•
Ga steeds eerst na of je een gemeenschappelijke factor kunt afzonderen. 2a 4 – 8a 2 = 2a 2( a 2 – 4) = 2a 2( a – 2)( a + 2)
40
Tweedegraadsfuncties
3 Merkwaardige drieterm a2 ± 2ab + b2 Het kwadraat van een tweeterm kun je snel uitwerken met de formules:
(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 (a – b )2 = a 2 – 2ab + b 2 Als je een drieterm hebt van de vorm a 2 – 2ab + b 2 of van de vorm a 2 + 2ab + b 2 kun je die ontbinden in factoren door de formule in omgekeerde zin toe te passen. Hoe vind je de grondtallen terug? Zeker twee van de drie termen zijn kwadraattermen. Stel jezelf de vraag: waarvan is de term het kwadraat? Zo vind je de twee grondtallen terug. Controleer zeker dat de derde term wel degelijk het dubbel product is van de twee grondtallen.
Voorbeelden: x2
6x
+
9
+
x
= (x + 3)2
9x 2
3 2· x ·3
√
x 2 − 2 2x + 2 = 49y 2 + 25x 4
12x
+
3x
√ 2 x− 2 2 − 70x y
4
= (3x − 2)2
2 2 · 3x · 2
= 7y − 5x
2 2
2 Merkwaardige drieterm ontbinden 7y 5x
in symbolen:
−
2 =2( a ± b )2 a 2 ± 2a2b· 7y + b· 5x
2 2 3 6 −9x 12x y2 3 + 4y 6 1 16 − 12x y 8− 4y = − 9x1 + 8 a + a + 1 = a + 1 2 4 = − 3x2 + 2y 3 1 8 a 2
1 2· a8 ·1 2
1
Opmerkingen: •
Je kunt je ontbinding controleren door je resultaat weer uit te werken. Je past dan de formule toe en je krijgt weer de opgave.
•
Als de drie termen kwadraattermen zijn, zul je de vierkantswortels zoeken van de termen met de grootste en de kleinste exponent. 1 1 2 4 2 2 Zo is x + x + = x + . 4 2
•
Ga steeds eerst na of je een gemeenschappelijke factor kunt afzonderen. 49a 5 + 126a 3 + 81a = a ⋅ ( 49a 4 + 126a 2 + 81) 2
= a ⋅ ( 7a 2 + 9) 5x 2 – 20x + 20 = 5( x 2 – 4x + 4) 2
= 5( x – 2)
41
1
4 Samenvatting •
Je weet dat een veelterm ontbinden betekent dat je de veelterm schrijft als een product van zo veel mogelijk factoren.
•
Je kunt een veelterm ontbinden in factoren door de volgende werkwijze toe te passen. Zonder alle gemeenschappelijke factoren af door de distributieve eigenschap in R toe te passen. Voor de haakjes noteer je de factoren die in elke term voorkomen (de ggd van de coëfficiënten en alle gemeenschappelijke letters, elk met hun kleinst voorkomende exponent). Tussen de haakjes noteer je het quotiënt van de gegeven veelterm met de afgezonderde eenterm. Pas indien mogelijk een van de formules van de merkwaardige producten toe.
ab + ac = a ⋅ ( b + c ) a 2 – b 2 = (a – b ) ⋅ (a + b ) a 2 ± 2 ab + b 2 = ( a ± b )2
42
Tweedegraadsfuncties
5 Oefeningen 1
Ontbind volgende veeltermen in factoren door de gemeenschappelijke factoren af te zonderen.
a 4x 3 − 2x 2 b 12a 3 b 4 − 18a 3 b 5 c
2
12x 4 − 8x 2 + 4x
g
a2 a3 + 2 3
h
√
√
3x 3 + 12x 2
i
e
x (x − 1) + 3(x − 1)
j
x (3x + 1) + 6x + 2
f
3x 2 − 1
x3 x2 − 2 2
Ontbind volgende merkwaardige tweetermen.
b 7− x2 c
a 4 − 64
d −16y 2 + 9x 2 e −100 + 25b 4
g (2x − 1)2 − x 2
h a 2 − (1 + 3a )2 i
a 2 (a − 1) − 4(a − 1)
j
(2x + 3)2 − (x + 1)2
x 2 + 8x + 16
f
b −x 2 + 2x y 2 − y 4
−
g
x 2 + 2 2x + 2
Ontbind volgende merkwaardige drietermen.
a
c
3x 4 − 12x 2 y + 12y 2
a4 3 2 9 − a − 4 2 4
√
h 9x 2 y 6 − 30x y 3 + 25 1 4
d a 4 + 2a 2 + 1
i
1 2 x 1 x − + 9 3 4
−x 2 + x −
j
a 2m + 2a m + 1
e
4
x2 x − 9 6
d 28x 2 − 42x + 70
a a2 −9
3
f
Ontbind in factoren. Je moet soms meer dan één methode toepassen.
a a 3 − 9a b x 6 − 9x 2 c
3x 2 − 24x + 48
d 3x 4 − 12x 2 y + 12y 2 e
x2 − x2y 4
f
a4 1 − 64 81
g −x − 2x 2 − x 3 h (2a − b )2 − a 2 i j
9 − (3x + 1)2
x 4 − 2x 2 + 1
43
1
5
Wat hoort niet thuis in het rijtje? Verklaar. a
(x – 4)(x + 4)
x 2 – 16
(4 + x )(–4 + x )
b
2 (–a + 3)
2 ( a + 3)
(3 – a )
2
6
Draai maar rond!
7
Toon aan dat 4( x + y ) – ( x – y ) = ( 3x + y )( x + 3y ).
8
Bereken zonder rekenmachine en door een merkwaardig product toe te passen.
2
Voorbeeld: 98 ⋅ 102 = ( 100 – 2)( 100 + 2) = 1002 – 22 = 10 000 – 4 = 9996 a
1001 ⋅ 999
b 10032 c
9992
d 52 ⋅ 48 e
44
502–1 ⋅ 498–1
2
16 – x 2 2 ( a – 3)
Vaardigheden | Wiskundige woordenschat Ken je de wiskundige woordenschat van dit hoofdstuk? Vul elk woord in het rooster in. Een ij schrijf je als twee letters. Als vakjes hetzelfde nummer hebben, dan vul je in die vakjes dezelfde letter in.
1
8
2
3
9
6 7
6
9
5
10
10
2
8 6
3
10
1
1
10
6
10
1
10
4 5
2
9
3
6
1
5
1
6
6
1
3
6
5
6
8
6
8
7
7
6
8
8
4
9
3
8
4
6
7
4
Horizontaal 1
x -waarde waarvoor de functiewaarde nul is.
2
Een parabool waarbij de opening naar boven is gericht.
3
ax 2 + bx + c = 0 is een … van de tweede graad en ax + b = 0 is een … van de eerste graad.
4
Verzameling x -waarden waarvoor de functiewaarde bestaat.
5
b 2 – 4ac is de … van een tweedegraadsvergelijking.
6
De verzameling van y -waarden waarvoor een x -waarde bestaat zodat y = f ( x ).
7
Zo noem je een vergelijking van de vierde graad met alleen even machten van x .
8
Dit heb je wanneer de functie overgaat van stijgen naar dalen.
9
Gemiddelde verandering van een functie over een interval.
104
6
8
4
❒
Ik weet wat bedoeld wordt met een functievoorschrift en ken de betekenis van domein, bereik en nulwaarde van een reële functie.
oké voor examen
ik ken het !
pagina
dit moet ik leren
Tweedegraadsfuncties
9
❒
Ik kan het verloop van een functie bespreken en in een tabel plaatsen.
11
❒
Ik weet wat een tweedegraadsfunctie is.
20
27
31
32
39
❒ ❒ ❒ ❒
Ik weet dat de grafiek van de functie f met f ( x ) = a ( x – f 1( x ) =
x2
α)2
+ β ontstaat uit de grafiek van f 1 met
in maximaal vier stappen.
Ik weet wat een tweedegraadsfunctie is en kan ze onderzoeken (grafiek, top, as, domein, bereik, nulwaarden, stijgen en dalen, snijpunt met de assen). Ik ken de betekenis van het differentiequotiënt van een functie over een interval. Ik ken de betekenis van ontbinden in factoren en kan hierbij de gemeenschappelijke factoren afzonderen.
❒
Ik kan de merkwaardige tweeterm a 2 – b 2 ontbinden in factoren.
40
❒
Ik kan de merkwaardige drieterm a 2 ± 2ab + b 2 ontbinden in factoren.
41
❒
Ik weet wat een tweedegraadsvergelijking is en kan ze omvormen en oplossen.
45
❒
Ik ken de betekenis van de som en het product van de wortels van een tweedegraadsvergelijking.
51
❒
Ik kan een bikwadratische vergelijking oplossen.
53
❒
Ik kan de drieterm ax 2 + bx + c ontbinden in factoren.
54
❒
Ik kan een vraagstuk oplossen met behulp van een tweedegraadsvergelijking.
64
❒
Ik kan het tekenverloop van een tweedegraadsfunctie weergeven.
73
❒
Ik kan een tweedegraadsongelijkheid oplossen en de oplossingen weergeven op een getallenas.
78
❒
Ik kan de onderlinge ligging bepalen van een parabool en een rechte en van twee parabolen.
81
❒
Ik kan het voorschrift van een tweedegraadsfunctie opstellen.
89
❒
Ik kan een vraagstuk over tweedegraadsfuncties oplossen.
91
❒
Ik weet wat extremumvraagstukken zijn en kan ze oplossen.
94
105
WAT MOET JE KENNEN EN KUNNEN ?
1
HERHALINGSOEFENINGEN
1
Tweedegraadsfuncties
Naam
Klas
1
Nummer
Datum
Totaal
Punten
Orde / Stiptheid
Correctheid
…… / 10
Gegeven is de functie f met f ( x ) = –x 2 + 6x – 5. a
Is de grafiek van die functie een dal- of een bergparabool? Verklaar.
b Bepaal dom f , ber f , de top en de symmetrieas. Zet het functievoorschrift om in de vorm f ( x ) = a ( x – α)2 + b en vermeld welke transformaties de
c
grafiek van g met g ( x ) = x 2 heeft ondergaan om tot de grafiek van f te komen. d Bereken de nulwaarden van f . e
Geef het tekenverloop van f .
f
Geef het stijgen en dalen van de functie.
g
Vul aan: deze functie bereikt een minimum/maximum van … voor … .
h Bepaal de coördinaat van het snijpunt van de grafiek van f met de assen.
2
i
Teken de grafiek van f .
j
Ligt het punt A( 8, –21) op de grafiek? Verklaar.
…… / 4
De grafiek van de functie f met f ( x ) = x 2 ondergaat een aantal opeenvolgende transformaties. Geef na elke transformatie het functievoorschrift:
3
–
versmallen met factor 3;
–
een verschuiving van 3 eenheden naar links volgens de x -as;
–
een verschuiving van 5 eenheden naar onderen volgens de y -as;
–
een spiegeling om de x -as.
1
f (x ) = x 2 − 6x + 5
2
g (x ) = − 6
x2 − 3x 2
y
5
h(x ) = x 2 − 6x
5
j (x ) = 2x + 3
4
i (x ) = 3x + 2
6
k (x ) =
y
6
x2 − 3x 2
y
y
4
5
7
4
3
4
6
3
2
3
5
2
1 0
2
4
−2 −1 −1
x 0 1
2
3
4
5
6
7
8
−2 −1 −1
x 0 1
2
3
4
5
6
7
−3
1 0
8
−2
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
−4
−3
−3
−2
−2
−5
−4
−4
x 00 1
2
3
3 2 1 0 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
x 0 1
x2 = 8
b x 2 − 4x + 1 = 0
2
3
4
−2
…… / 4
Los volgende vergelijkingen op.
a
106
3
5
1 0
4
…… / 2
Welk voorschrift hoort bij welke grafiek? (Let op: er zijn twee voorschriften te veel gegeven!)
c
−
x2 + 6x = 0 3
3 d −x 2 + x − 4 = 0 2
Tweedegraadsfuncties
5
Bepaal twee getallen waarvan de som 2 is en het product –5.
6
De vergelijking van de gegeven parabool is y =−
…… / 1
2
x − 3x + 2. Bepaal aan de hand van 2
7
…… / 3
y
6
de vergelijking de coördinaatgetallen van A en B. A
5
•
4 3 2 1
−9
7
−7
−5
−4
−3
1 y = − x 2 − 3x + 2 2
−2
−1
0
x 2 – 7x + 12
x 1
2
3
4
−1 −2
…… / 3 b –2x 2 – x + 6
Bepaal x bij de rechthoekige driehoek ABC.
c
3x 4 – 9x 3 + 12x 2
…… / 2
B
8 + 2x
A
9
−6
B
Ontbind in factoren. a
8
−8
•
Los volgende ongelijkheden op:
15
11 – x
C
…… / 4
a 8 − 2x 2 0 b
10
x2 − 4x < 1 2
De baan van een waterstraal van een fontein kan beschreven 1 worden door de functie h met h (x ) = − x 2 + x . 8 Hierbij is x de horizontale afstand tot de opening van
…… / 5
de fontein in m en h ( x ) de hoogte van het water boven de grond in m. a
Hoe ver gaat de waterstraal?
b Wat is de maximale hoogte van de waterstraal en waar wordt die bereikt? c
Hoe hoog is de waterstraal op 0,5 m van de fontein?
d Over welke horizontale afstand is het water minstens 1 m hoog? e
Een persoon van 1,8 m wil op 5 meter van de fontein onder de waterstraal doorlopen. Zal hij het er ‘drooghuids’ van afbrengen? Waarom (niet)? 107
1
11
Stel de vergelijking op van volgende parabool. Zet de vergelijking in de standaardvorm y = ax 2 + bx + c .
…… / 3
y
4 3 2 1
−3
−2
−1
B
•
•
x
A 0
1
2
3
4
5
6
7
8
−1 −2
•
9
10
C
−3
12
…… / 3
Het kasteel van Kruikenburg ligt op een eilandje in een grote vijver. Die vijver is parabolisch van vorm en heeft een breedte van 30 m. Op zijn diepste punt kun je tot 3 m diep gaan. a
Duid op de onderstaande tekening een assenstelsel aan en geef de coördinaten van de punten weer.
b Stel de vergelijking op van de parabool. c
Hoe breed is het wateroppervlak van de vijver als het waterniveau 20 cm daalt? © Lokaal bestuur Ternat
13
Twee getallen hebben als som 12. Voor welke getallen is de som van de kwadraten van die getallen
…… / 3
maximaal? Wat is dat maximum?
14
x2 Bepaal de (eventuele) snijpunten van de grafieken van de functies f en g met f (x ) = − 4x + 2 en 2 g (x ) = −2x + 2.
108
…… / 3
2
Functies met voorschrift c f (x) == x
Wiskunde is overal nodig, ook bij dit team van glazenwassers. Ze zoeken naar een formule om er de prijs van hun diensten mee te kunnen berekenen. Na een denkoefening wordt beslist om de prijs uit te drukken in functie van de schoon te maken oppervlakte glas. Als die oppervlakte (uitgedrukt per 100 m2) voorgesteld wordt door x, dan komt de ploeg tot de formule
(x) = 9 +
40 . x
Hierbij stelt k(x) de jaarlijkse kostprijs voor per m2. Zal dit bedrijf een goed omzetcijfer halen? Stel dat er een oppervlakte is van 2000 m2, hoeveel euro zal jaarlijks betaald moeten worden voor het onderhoud?
2
Functies met voorschrift f (x) == 2.1 Instap ................................................................................................ 111 2.2 De functie f met f (x) == 1 2 3 4 5 6
c (c ∈ 0 ) x
1 ................................................................................. 113 x c f(x) = met c > 0 .............................................. 115 x c f(x) = met c < 0 .............................................. 116 x c met 118 c<0 Differentiequotiënt bij f(x) = ................. x f(x) =
Samenvatting .................................................................... 118 Oefeningen ........................................................................... 119
Extra’s
Vaardigheden : vakoverschrijdend : wiskunde en wetenschappen .......................... 123 Wat moet je kennen en kunnen ? ........................... 126 Herhalingsoefeningen ........................................................ 127
110
c x